MathematicsIntroduction to Game Theory Author: Julian Schrittwieser Advisor: Dr. August Mistlbacher Februar 12th, 2010 Preface While I originally concerned myself with game theory out of personal interest, my mathematics professor gave me the idea to write a paper on it. I noticed quickly that in order to master a topic, you need to be able to teach others about it. My paper should also be used in class, wherefore I included practical examples and their solutions for every item. Its mainly targeted at high school students, either as supplement to normal lessons or as base for extracurricular activities. For especially interested pupils (or teachers) I’ve included a list of further litratur in the appendix. I’d like to especially thank my professor in mathematics, Dr. August Mistlbacher, without whom this paper wouldn’t have been possible and who always supported me in both mathematical and other aspects. Melk, February 12th, 2010 Julian Schrittwieser ii Contents 1. Introduction 1.1. What is Game Theory? . . . . . 1.2. Relevancy in other sciences . . . 1.3. The prisoner’s dilemma . . . . . 1.4. Concepts and notation . . . . . 1.4.1. Basic assumptions . . . 1.4.2. Set of players N . . . . . 1.4.3. Strategy space S . . . . 1.4.4. Utility function ui . . . . 1.4.5. Game Γ . . . . . . . . . 1.4.6. Auxiliary definitions . . 1.4.7. Normal form . . . . . . . 1.4.8. Possibilities for analysis 1.4.9. Analysis of the prisoner’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dilemma 2. Dominant and dominated strategies 2.1. Dominant strategies . . . . . . . . 2.2. Dominated strategies . . . . . . . 2.3. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Simples Beispiel . . . . . . 2.4.2. Zeitungskrieg . . . . . . . 2.4.3. Medianw¨ahlermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Nash-Gleichgewicht 3.1. Reine Strategien . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. L¨osungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . 3.3. Gemischte Strategien . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Am Beispiel ”‘Schere-Stein-Papier”’ 3.3.2. Das Fingerspiel . . . . . . . . . . . 3.3.3. Allgemein . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Das Offenbarungsspiel . . . . . . . 3.4.2. Kampf der Geschlechter . . . . . . 3.4.3. Chicken-Spiel . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Tennisspiel . . . . . . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 8 9 10 10 10 10 . . . . . . . . . . . 11 11 12 12 13 14 15 16 16 16 17 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contents 4. Spiele mit stetigem Strategieraum 4.1. Konkurrenz zweier Anbieter . . 4.2. Allgemein . . . . . . . . . . . . 4.3. Beispiele . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Projektarbeit . . . . . . 4.3.2. Monopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Evolutorische Spiele 5.1. Grundannahmen . . . . . . . . . . 5.2. Evolution¨are Stabilit¨at . . . . . . . 5.2.1. Strikt dominierte Strategien 5.2.2. Nash-Gleichgewichte . . . . 5.3. Dynamische Gleichgewichte . . . . 5.3.1. Replikatorengleichung . . . 5.3.2. Marktspiel . . . . . . . . . . 5.4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Jagdverhalten . . . . . . . . 5.4.2. Falke und Taube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 18 20 21 21 21 . . . . . . . . . . 22 22 22 23 24 24 24 25 26 26 26 A. Literatur 27 B. L¨ osungen B.1. Erkl¨arung . . . . . . . . . . . . . . . B.2. Dominierte und dominante Strategien B.2.1. Simples Beispiel . . . . . . . . B.2.2. Zeitungskrieg . . . . . . . . . B.2.3. Medianw¨ahlermodell . . . . . B.3. Nash-Gleichgewicht . . . . . . . . . . B.3.1. Das Offenbarungsspiel . . . . B.3.2. Kampf der Geschlechter . . . B.3.3. Chicken-Spiel . . . . . . . . . B.3.4. Tennisspiel . . . . . . . . . . . B.4. Spiele mit stetigem Strategieraum . . B.4.1. Projektarbeit . . . . . . . . . B.4.2. Monopol . . . . . . . . . . . . B.5. Evolutorische Spiele . . . . . . . . . . B.5.1. Jagdverhalten . . . . . . . . . B.5.2. Falke und Taube . . . . . . . 28 28 28 28 28 29 29 29 30 30 31 32 32 33 33 33 34 C Literaturverzeichnis Introduction to Game Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 iv include the 1:1 gender ratio. Even an explanaition for the theory of democratical peace (war between democracies is less likely than between nondemocracies) is possible. The applications in politics are also interesting . 2003) and biological altruism (Fletcher und Zwick.survival is “success”. In the application of game theory to real world situations it’s important to keep in mind that every model is only as good as it assumptions about reality. What is Game Theory? Game theory is a subtopic of mathematics. The largest success has the party which appeals to the average voter. Humans don’t always act rational. (Basieux.2. p. on the contrary it is used in many other disciplines as useful tool: In economics. Just as information about the behavior of countries is easier 1 . Prominent phenomenons. The term Game Theory stems from the origins of this discipline. 10 ff). Relevancy in other sciences Game theory is not restricted to mathematics. 2008. the focus rests less on the thinking players and more on an evolutionary force . when one primarily investigated conventional games like Chess or chequers. sociology. which were explained using game theory. which concerns itself with the analysis of decisions in systems with several actors (in the following called players). computer science and even in biology to describe the process of evolution. It was founded in the year 1944 by John von Neumann and Oskar Morgenstern through their book “Theory of Games and Economic Behavior” (von Neumann und Morgenstern. who lies per definitionem in the middle of the range of voters. 2007). different description of the same situation (eg. 1. 1944).1. the spontaneus emergence of communication between animals (Harper und Smith. political sciences. 1957). psychology.for example. Introduction 1. In biology. simultanous or sequential decisions) and much more can influnece the result.1. it’s now possible to explain why political parties tend to move towards a middle ground with their agenda (Downs. In this game.de will be locked away for 10 years. without being able to communicate. The prisoner’s dilemma One of the most famous examples of game theory is without doubt the so called “prisoner’s dilemma”. their punishment will be split equally. detective Gates can only charge them with shoplifting. Alas. he only has proof for a small case of shoplifting. all possibilities are depicted. s11 . The Introduction to Game Theory 2 .e. If both of them should confess.Confession 10 years jail 5 years jail Table 1. the possible outcomes for a given player are summarized in table 1. his possible decisions.which are suspected of drug trafficking. mistrust tends to be lower. Jack will have to take the full blame for their crimes .Silence s12 . he can’t directly prove his suspicion. The strategies of the other player are analogously printed in the first row.1.3. so both will face prison sentence of 5 years. which together tends to make concessions and compromises more likely (Levy und Razin. which was first described by Merill Flood and Melvin Dresher in 1950. Introduction to obtain in open debates. If Joe however should decide to confess. Silence If Joe remains silent too. His only hope is that one of the suspects will rat out the other. Jack has two possibilities: He can either confess and incriminate Joe or he can keep silent. In this situation. Jack is allowed to walk free. Jack’s punishment not only depends on his own decision. 1. In the following. Detective Gates shall serve as example. However.: Results for a given player The first column contains the possible “strategies” of the first player. with Jack’s decision in bold. Each suspect has two options: He can either remain silent or confess. For the sake of a better overview.Confession s21 .Jack and Joe . i.Chapter 1. He has arrested two men .1.Silence 2 years jail free s22 . Confession Should Joe decide not to confess. so they get away with 2 years in prison. As a reward. Jack’s confession is enough to convict Joe nevertheless. but also on Joe’s. two suspects “play” against each other. 2003). (5 years in jail) Obviously. one score for each player. Jack reaches his second best result of 3 (2 years in jail). since his result will inrease in every case. 2 : 5 years jail.Silence s12 .2.: Scores for different outcomes Now we can look at the possibilities of Jack to reach his goal of minimizing his punishment: Silence If Joe also keeps silent. 3 : 2 years jail.Confession s21 .Silence (3. The explanaition for this apparent paradox is simple: Because the decisions between “silence” and “confession” ultimately take place in private and independent of each other. Introduction to Game Theory 3 . For each player. the sentences for one player in the cells were replaced by a pair of values.they would have gotten away with 2 years in jail. whose strategies are in the first column. it is profitable to deviate from the bargain.Chapter 1.4) (2. the second worst result will come to pass . Should Joe rat him out. Introduction cells of the table represent the outcomes for player 1. we can create a new table. resulting in the second worst possible result. This leads to a paradox: Both players will confess. it is impossible to enforce any bargain. this will result in the worst outcome for Jack:: 1 (10 years of jail) Confession When Joe keeps silent.2) Table 1. In this new table we replace the specific punishment with its abstrakt representation by means of numbers from 1 to 4 : 4 : Acquittal. this role is filled by organisations like the Mafia. It’s easy to recognize that Jack is always better of if he confesses . s11 . The only possibility to escape this predicament is a superordinate instance.2. which can enfore any previously agreed contract. 1 represents the worst score and 4 the best one. 1 : 10 years jail. If however Joe also confesses. Jack can now reach his best result: 4 (Acquittal). this argument also works for Joe. However.his outcome is always increased by 1. it would have been better if the both of them had kept silence .3) (4. In the next table. If we now assume that the players prefer shorter sentences and therefore score them higher. In real life.1) s22 .Confession (1. . s12 is therefore strategy s2 of player 1. we combine two digits.4. n}. s is a particular game. 1.4. Games. Set of players N In each game we have a finite amount of players. 1. The strategy space S is defined as cartesian product of the sets of strategies Si of all the players: S = S1 × S2 × . in the context of common knowledge. a certain nomenclature simplifies communication. we need to assume that all players act rationally. Here. Strategy space S Each player i has a set of strategies Si at his disposal. × Sn Introduction to Game Theory 4 .3. If we refer to the strategy of a particular player. 2}. In the example of the prisoner’s dilemma this would be the wish for a short prison term. Introduction 1. are called games with complete information. or. certain methods to find solutions need to be introduced.4. It is further important. . The first digit represents the player and the second digit the strategy. that not only the players themselves know that they act rational. Additionally. Basic assumptions To be able to analyse a game. so the set of players is limited to N = {1. in other words. for which these criteria hold.again.this is called common knowledge.Chapter 1.1. . “Silence” and “Confession”. we have two strategies. etc. thus a combination of the strategies chosen by each player. Additionally.4. which we therefore call s1 and s2 . from which he ghooses one specific stratey si . that they strive to maximize their utility function. we usually assume that each players knows the rules of the game as well as the set of all strategies S of all players and their utility functions ui (their possible decisions and the manner in which they judge different situations) . .2. Concepts and notation While we discussed the prisoner’s dilemma relatively informal. In the prisoner’s dilemma. 1. . we will only look at game with two players. . but that they also know that the other players know this.. where each player i is part of the set of players N = {1. . so that the complete game is given by s = si + s−i . 1. if he should play strategy si against strategy sj . .. Auxiliary definitions Since it’s helpful for the analysis of a game to focus on the choices of a single player i. especially if two players make decisions indendently. (s12 . . s21 ). which a given player i can extract from an event. s22 ). (s11 .Chapter 1. s21 ). is given by the utility function ui (s). .4. (s12 . the utility for player 1.4. Introduction In the concrete case of the prisoner’s dilemma. in the first row we have the strategies of the second player (i = 2).4. . ui is defined for every strategy si . si−1 .5. u). we designate the chosen strategies of all other players by s−i = (s1 . s2 ) is the utility for player 1 (Jack). 1. . In the left column are the strategies of the first player (i = 1). this means that S = {s11 . This is the set of all possible combinations of the given strategies. where the digit represent the respective player. where the first value is the result resp. Normal form Often.6. s22 } = {(s11 . the set of strategies S and the set of utility functions of all players ui is called Γ = (N. These three sets contain all information necessary for the analysis of the game. .7. Therefore. u1 (s1 . In our previous example. ui (si . Because we’ve limited ourselves to two players. . . this will result in a utility of 1. s−i represens nothing else than the strategies of the other player.4. sj ) gives us the utility for player i. if he plays strategy 1 (“Silence”) against strategy 2 of the other player (“Confession”). s22 )}. Introduction to Game Theory 5 . 1. Game Γ A particular game with the set of players N .4. sn ). s−1 = s2 and s−2 = s1 . Utility function ui The utility. As we already know. S. si+1 . we can neatly display games in a table. s12 } × {s21 . In the corresponding cells of the table we find the results for the given strategies. 1. this utility would represent the score the players assigned to the outcome of the game. and the second for player 2. in this case “Silence”. 1. dass die Strategie ”‘Gest¨andnis”’ auch gegen sich selbst effektiver ist als die Strategie ”‘Schweigen”’ ui (s2 . their payoff (the value off their utility function) will be 3. it depends on the game itself which approaches we choose.Silence s12 . which we will discuss in order of increasing difficulty. so wollen wir dies nun mathematisch tun. Analysis of the prisoner’s dilemma Haben wir zuvor das Spiel noch intuitiv gel¨ost.4.4. while the payoff for the other player decreases to 1.3. since not all of the work all the time. 1. Nevertheless. he can improve his payoff to 4. s1 ) = 3 sowie aus der Tatsache.2) Table 1. Wie in Tabelle 1. das heißt unter Anwendung der zuvor eingef¨ uhrten Notation und mit Hilfe von Gleichungen. Many times it’s also necessary to combine several approaches to completely solve a game. s2 ) = 1 Introduction to Game Theory 6 .1) s22 . If player 1 now defects to strategy 2 (“Confession”).Confession s21 .4) (2. Introduction s11 . s2 ) = 2 > ui (s1 . Aus der bereits festgestellten Tatsache. If both player 1 and 2 choose strategy 1. Possibilities for analysis To find the best possible strategie or an equilibrum (certain strategies as reaction to each other) in a game we have different approaches.: Normal form of the prisoner’s dilemma Let’s look at an arbitrary game. s1 ) = 4 > ui (s1 .8.Confession (1. ist der Nutzen der Strategie s2 (”‘Gest¨andnis”’) gegen¨ uber jeder Strategie s−i des anderen Spielers gr¨oßer als der Nutzen der Strategie s1 (”‘Schweigen”’). Diese Aussage k¨onnen wir nun abstrakter formulieren.3 erkennbar ist.3. ui (s2 .3) (4.Silence (3.Chapter 1. dass die Strategie ”‘Gest¨andnis”’ (s2 ) gegen ”‘Schweigen”’ (s1 ) besser als ”‘Schweigen”’ ist. like the one shown in table 1.9. und wir landen wieder beim bereits in Abschnitt 1. dass heißt gegen alle Strategien des anderen Spielers (s−i ). s−i ) ∀ s−i ∈ S−i Die Strategie s2 liefert also gegen jede andere Strategie einen gr¨oßeren Nutzen als die Strategie s1 . zu w¨ahlen. effektiver ist als die Strategie ”‘Schweigen”’: ui (s2 . die Strategie s2 . ”‘Gest¨andnis”’.Chapter 1. Introduction to Game Theory 7 . egal was der andere Spieler tut.3 festgestellten Dilemma. Dies gilt. dass die Strategie ”‘Gest¨andnis”’ ganz allgemein. s−i ) > ui (s1 . Folglich ist es f¨ ur jeden Spieler am Besten. Introduction folgt. als die aller anderen Strategien. so k¨onnen die anderen Strategien dieses (oder dieser) Spieler(s) ignoriert werden. Definition 2. dh. hat eine dominante Strategie immer einen gr¨oßeren Nutzen als alle anderen Strategien. was die Analyse oft ungemein erleichtert. Dies ist eine Strategie. Dominant strategies Das Gefangenendilemma ist nicht nur ein Paradebeispiel der Spieltheorie. 8 . die f¨ ur alle m¨oglichen Strategien des Gegners einen gr¨oßeren Nutzen liefert. die immer besser als alle anderen anwendbaren Strategien eines Spielers ist. Eine Strategie si heißt strikt dominiert. ein rationaler Spieler w¨ urde gar keine andere Strategie spielen. Dominated strategies Wie wir eben festgestellt haben. wenn ihr Nutzen gegen¨ uber allen m¨oglichen Strategien des Gegenspielers gr¨oßer ist. Eine Strategie si heißt schwach dominant. es demonstriert auch eine dominante Strategie. wenn ihr Nutzen nur gr¨ oßer oder gleich dem anderer Strategien ist. Ist in einem Spiel f¨ ur einen (oder mehrere) Spieler eine strikt dominante Strategie vorhanden.1. die dem Spieler zur Verf¨ ugung stehen.2. In diesem Zusammenhang sind zwei Definitionen wichtig: Definition 1. falls es eine andere Strategie sj gibt. Folglich war die Strategie ”‘Gest¨andnis”’ eine strikt dominante Strategie. die nie optimal ist. Eine Strategie si heißt strikt dominant. 2. Es w¨are schlicht nicht rational diese zu spielen. Definition 3. Nat¨ urlich kann auch das Gegenteil der Fall sein: eine Strategie.2. sie dominiert jede dieser Strategien. die dem Spieler zur Verf¨ ugung stehen. Dominant and dominated strategies 2. 2) Strikt dominierte Strategien k¨onnen bei der Analyse eines Spiels ausgenutzt werden.: Ein Spiel mit strikt dominierter Strategie Im obigen Spiel ist Spieler 1’s Strategie C strikt dominiert . weil es eine in jedem Fall bessere Alternative gibt. 3) Table 2.F (2. daher streichen wir C. Daher k¨onnen wir sie einfach “streichen”.A s12 .B s21 . wir k¨onnen auch sie streichen.3) s22 . 2. so nennt man si schwach dominiert: ui (si . Außerdem dominiert D auch noch E. da sie von einem rationalen Spieler niemals gespielt werden w¨ urden.D (3. 1991.seine Strategie B liefert immer einen gr¨oßeren Nutzen als C.1) (6.3.2) (2.3) Table 2. Spieler 2 hat keine dominierte Strategie. s11 . s−i ) < ui (sj . Beispiel s11 . s−i ) ∀ s−i (2.D (3.: Das gleiche Spiel ohne Strategien C.1.E (0.B s13 .D (3.2) (2.3) (1.3.: Das gleiche Spiel ohne Strategie C Nun wird Strategie F durch Strategie D strikt dominiert.A s12 . 0) (1.B s21 . S. so dass wir diese Strategie ebenfalls entfernen: s11 .1) s23 .1) s22 .1) Gibt es eine derartige Strategie sj nur f¨ ur bestimmte Strategien des Gegners. daher k¨onnen wir bei ihm auch nichts streichen.1) (6. 2) Table 2. 0) (1. D und E Introduction to Game Theory 9 . das heißt bei der weiteren Analyse des Spiels ignorieren (Fudenberg und Tirole. s−i ) ∀ s−i (2.C s21 . s−i ) ≤ ui (sj .1) (2. 9 ff).E (0.A s12 . w¨ahrend der Nutzen ansonsten gleich groß ist.F (2.2. 2) (0.Chapter 2.3) s23 .2) (2. Dominant and dominated strategies ui (si . 4.3) (2.3.4. 2. b) Finde die L¨osung dieses Spiels. Bei einem Preis von 2e werden 100. Da dieser prim¨ar seinen eigenen Nutzen maximieren will. a) Wo werden sich die Parteien positionieren um gr¨oßtm¨oglichen Erfolg zu haben? b) W¨ urde sich das Ergebnis ver¨andern.F (6. wenn noch eine dritte Partei zur Wahl antritt? Introduction to Game Theory 10 .000.3) s23 . kann er keine Entscheidung treffen.1) (5. 11) (2. der Ausgang des Spiels h¨angt einzig von Spieler 1 ab.2) (2. 0) (2. wird er Strategie A spielen.: Spiel mit dominanten und dominierten Strategien Finde die L¨osung dieses Spiels mit Hilfe der oben angef¨ uhrten L¨osungsmethoden. Zeitungskrieg Zwei Zeitungen konkurrieren miteinander.4.1. Medianw¨ ahlermodell Bestimme die optimale Positionierung zweier Parteien bei einer Wahl. wobei die W¨ahler gleichm¨aßig verteilt sind (2 W¨ahler pro Position) und immer die Partei w¨ahlen.Chapter 2.4. 2. 2) (0.H (3. a) Stelle die Matrix mit den m¨oglichen Strategien und dem jeweiligen Gewinn auf. Dadurch bekommt er einen Nutzen von 3 und Spieler 2 einen Nutzen von 2. D) bezeichnet man als L¨ osung des Spiels.G (2. im Falle eines Gleichstands teilen sie sich zu gleichen Teilen auf. Die Kunden kaufen immer die billigste Zeitung. Die Kombination der Strategien A und D als (A. 0) Table 2.2.3) (1. 0) (10. bei 3e nur mehr 60. 2.4. 0) (2.E (3.4) s22 . Beispiele 2.000 Zeitungen verkauft. Es stehen dabei Positionen von 1 bis 10 zur Verf¨ ugung.5) (1. Simples Beispiel s11 s12 s13 s14 - A B C D s21 . 3) (1. ihre Produktionskosten liegen bei 1e und ihr Preis entweder bei 2e oder bei 3e. Bei Gleichstand spalten sich die Stimmen 1:1. Dominant and dominated strategies Da Spieler 2 nur mehr eine Strategie (D) zur Verf¨ ugung hat.4) (7. 3) s24 . die ihrer eigenen Position am n¨achsten ist. formal ausgedr¨ uckt als s∗ ∈ r(s∗ ). ri (s−i ) = {ˆ si ∈ Si |ui (ˆ si . dass sich ein Abweichen vom Gleichgewicht f¨ ur keinen Spieler lohnt. Nash-Gleichgewicht 3. Aus diesen besteht das Nash-Gleichgewicht. Zus¨atzlich unterscheiden wir zwischen einem strikten Nash-Gleichgewicht.1) Daraus folgt. s−i ) ≥ ui (si . welche Strategien auch beste Antworten auf sich selbst sind. Definition 4.3. da es nur eine Strategiekombination enth¨alt. s∗−i ) ∀ i. k¨onnen wir auch bestimmen. bei dem jeder Spieler mehrere.2) In einem Nash-Gleichgewicht sind die gespielten Strategien jeweils beste Antwort auf die Strategien der anderen Spieler. Das Gleichgewicht ist somit stabil. und einem schwachen Nash-Gleichgewicht.1. also sˆi ∈ ri (s−i ). Reine Strategien Bei einem Nash-Gleichgewicht w¨ahlt jeder Spieler i seine optimale Strategie s∗i in Bezug auf die optimalen Strategien aller anderen Spieler. ”‘beste”’ Antworten haben kann. Eine beste Antwort sˆi hat mindestens den gleichen oder einen gr¨oßeren Nutzen als alle anderen verf¨ ugbaren Strategien eines Spielers gegen eine bestimmte Strategie s−i . Da wir f¨ ur jede beliebige Strategiekombination s f¨ ur jeden Spieler i die besten Antworten ermitteln k¨onnen. 11 . si ∈ Si (3. s∗−i ) > ui (si . gleich gute. bei dem es nur eine beste Antwort f¨ ur jeden Spieler gibt. so dass gilt: ui (s∗i . s−i ) ∀ si ∈ Si } (3. sˆi ist damit f¨ ur Spieler i die beste Antwort auf die Strategiekombination s−i . Diese Art von Gleichgewicht wird auch als striktes NashGleichgewicht bezeichnet. Die Menge dieser besten Antworten beschreiben wir durch die Abbildung ri (s−i ). der vor allem f¨ ur kleine Spiele mit reinen Strategien geeignet ist. ”‘links”’. anschließend machen wir selbiges auch f¨ ur den anderen Spieler.unten s21 .Strategie s21 . Papier”’. und spielt sp¨ater auch genau diese.1) (1. s23 ). Daraus folgt. 4) (3. in 13 kommt es zu einem Unentschieden und im letzten Drittel zu einer Niederlage. s11 . liefert mit 3 den gr¨oßten Nutzen s22 .0) s22 . Stein. 5) Table 3.1) (6. gibt es keine einzelne Strategie.links (3. gegen die sich f¨ ur keinen Spieler ein Abweichen lohnt.3. s21 ) und eines f¨ ur (s13 .in diesem Fall dominiert s13 mit 3 i=2: s11 . dass es keine Strategie s∗ gibt.Strategie s11 .1.hier wird durch s12 6 erreicht und markiert s23 .2) s23 . in der eine derartige Vorgehensweise wenig sinnvoll w¨are. liefert mit 2 den gr¨oßten Nutzen s12 . Welches der beiden Gleichgewichte auftritt h¨angt dabei vom Spielverlauf ab.2. Wie unschwer erkennbar ist. welche Strategie er w¨ahlen wird. Introduction to Game Theory 12 .3) (2. die die anderen dominieren w¨ urde. 3. dass es in diesem Beispiel sogar zwei Gleichgewichte gibt: Eines f¨ ur (s11 .2) (0.: Ein Spiel mit Nash-Gleichgewicht i=1: s21 .Mitte s13 . Jede Strategie ist in genau 31 der F¨alle siegreich. ”‘oben”’. Nun gibt es aber auch Spiele. Nash-Gleichgewicht 3.s23 (”‘rechts”’) erreicht 4 s13 . Dabei markieren wir f¨ ur jede Strategie des Gegenspielers die h¨ochste erreichbare Auszahlung. so bemerken wir.Mitte (0.wiederum bringt s23 (”‘rechts”’) mit 5 am Meisten Betrachten wir die in Tabelle 3. etwa bei ”‘Schere.1 l¨asst sich nun mit einem einfachen Algorithmus bestimmen. L¨ osungsalgorithmus Ein Nash-Gleichgewicht f¨ ur das Spiel in Tabelle 3. Gemischte Strategien Bis jetzt haben wir uns nur mit reinen Strategien besch¨aftig. Das heißt jeder Spieler entscheidet im voraus (auf Grund der m¨oglichen Strategien seines Gegners).oben s12 .Chapter 3.rechts (2. 0) (1.1 markierten Ergebnisse. Dazu weist jeder Spieler seinen Strategien bestimmte Wahrscheinlichkeiten zu. Theorem 1. Eine Mischung von Strategien si mit jeweils einer Wahrscheinlichkeit pi (si ) > 0 nennt man gemischte Strategie pi . k¨onnen wir den zu erwartenden Nutzen berechnen.Schere s12 . dass jede der Strategien eine beste Antwort sein muss.Papier (1. und außerdem den selben (durch die Wahrscheinlichkeit gewichteten) Nutzen erbringen. Folglich kann diese keine beste Antwort sein.-1) s23 .Chapter 3. W¨ urde er dagegen immer die selbe Strategie w¨ahlen. Stein. mit denen er sie spielen wird. Eine gemischte Strategie bildet genau dann ein Nash-Gleichgewicht. k¨onnte der St¨ urmer dies ausn¨ utzen und entsprechend auf eine ungedeckte Stelle zielen. Dabei w¨ urde allerdings eine neue gemischte Strategie entstehen. Proof.3.1.2.1) s22 .1) (0.: ”‘Schere. wenn sie selbst beste Antwort ist.0) (1.-1) (-1. Definition 5. Angenommen Spieler 2 weist ”‘Schere”’ eine Wahrscheinlichkeit von q. um somit die gemischte Strategie zu verbessern. Beispielsweise k¨onnte ein Torwart zu 20% in der Mitte stehen bleiben und zu je 40% in eine der beiden Ecken seines Tors springen. die einen niedrigeren Nutzen aufweist. k¨onnte die Strategie.0) Table 3. Der bei den jeweiligen Strategien resultierende Nutzen ist in eckige Klammern gefasst. Dabei m¨ ussen auch alle in der gemischten Strategie enthaltenen Strategien beste Antworten sein. Im Falle von Schere-Stein-Papier wissen wir wegen Satz 1. um den Schuss eines St¨ urmers abzuwehren. muss der Nutzen ui jeder dieser Strategien gleich sein. Papier”’ 3.Stein (-1. weggelassen werden. W¨are dies nicht der Fall. Am Beispiel ”‘Schere-Stein-Papier”’ Erst wenn wir eine Mischung aus verschiedenen Strategien zulassen ist wieder ein Gleichgewicht m¨oglich. Spieler 1 spielt ”‘Schere”’: u1 (s11 ) = [0] · q + [−1] · p + [1] · (1 − q − p) Spieler 1 spielt ”‘Stein”’: u1 (s12 ) = [1] · q + [0] · p + [−1] · (1 − q − p) Introduction to Game Theory 13 .Stein s13 .Schere (0. um ihn von den Wahrscheinlichkeiten zu unterscheiden. Dadurch entsteht ein Widerspruch.1) (0. die besser w¨are als die alte.0) (1. Nash-Gleichgewicht s11 .Papier s21 . ”‘Stein”’ eine Wahrscheinlichkeit von p und ”‘Papier”’ folglich 1 − q − p zu. Damit dies m¨oglich ist. -1) (-1. Diese Strategie ist die optimale Wahl f¨ ur jeden der beiden Spieler. Gleiches gilt f¨ ur Spieler 2 und q. Damit ist allerdings noch nicht gezeigt. 3 ).Chapter 3. folglich d¨ urfte er ”‘Stein”’ nicht mehr spielen. gibt es kein Gleichgewicht f¨ ur reine Strategien. Dann w¨are aber Spieler 2’s Nutzen von ”‘Papier”’ strikt gr¨oßer als von ”‘Stein”’. der andere bei ungerader Anzahl. Das Fingerspiel Gleichgewichte mit gemischten Strategien sind nat¨ urlich auch in asymmetrischen Spielen vorhanden. Betrachten wir dazu zwei Sch¨ uler. 1−p zwei Finger. Damit k¨onnen wir nun f¨ ur jeden Spieler den erwarteten Nutzen Introduction to Game Theory 14 . G¨abe es allerdings noch ein weiteres Gleichgewicht. Folglich bleibt auch f¨ ur ”‘Papier”’ nur mehr diese Wahrscheinlichkeit u ¨brig.3) |:3 1 3 Die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur ”‘Schere”’ und ”‘Stein”’ sind also jeweils 13 . Wie wir bereits oben sahen. 3. eine Mischung aus ”‘Schere”’ und ”‘Stein”’ von Spieler 2. Spieler 1 w¨ urde ”‘Schere”’ also nicht mehr spielen. Dann spielt er aber eine reine Strategie.2. mit W. n¨amlich ”‘Schere”’. B. Nash-Gleichgewicht Spieler 1 spielt ”‘Papier”’: u1 (s13 ) = [−1] · q + [1] · p + [0] · (1 − q − p) Da der Nutzen f¨ ur alle 3 Strategien gleich sein muss folgt daraus: 1 − q − 2 · p = −1 + 2 · q + p = −q + p 1 − q − 2 · p = −q + p 1−2·p=p |+q |+2·p 1=3·p 1 p= 3 q=p= (3. dann w¨are Spieler 1’s Nutzen von ”‘Stein”’ strikt gr¨oßer als von ”‘Schere”’. Der Sieger erh¨alt die Anzahl gezeigter Finger als Punkte gutgeschrieben. 3 . eine Abweichung von ihr bringt keine Verbesserung.3. der Verlierer abgezogen: Spieler 1 zeigt mit Wahrscheinlichkeit p einen Finger. Die gemischte Strategie pi 1 1 1 ist also ( 3 . dass es nur dieses eine Nash-Gleichgewicht gibt. z. die sich mit einem einfachen Spiel die Zeit vertreiben: Auf ein Signal hin zeigen beide jeweils einen oder zwei Finger. Ein Spieler gewinnt bei einer geraden Anzahl an Fingern. 3) (4. Im Maximum m¨ ussen diese Null sein: ∂u1 = 12q − 7 = 0 ∂p ∂u2 = −12p + 7 = 0 ∂q 7 F¨ ur beide Spieler ist es somit optimal mit einer Wahrscheinlichkeit von 12 einen Finger 5 und zu 12 zwei Finger zu zeigen.3.-2) (-3. der bei gerader Fingerzahl gewinnt.1 s12 .: Fingerspiel. 3. Nun k¨onnen wir dieses Gleichungssystem f¨ ur die Wahrscheinlichkeiten l¨osen. Ist das Spiel nicht symmetrisch. Der Spieler. Nash-Gleichgewicht s11 . Spieler 1 gewinnt bei gerader Fingerzahl bestimmen: u1 = p · u11 + (1 − p) · u12 u1 = p · ([2]q + [−3](1 − q)) + (1 − p) · ([−3]q + [4](1 − q)) = 12pq − 7p − 7q + 4 u2 = q · ([−2]p + [3](1 − p)) + (1 − q) · ([3]p + [−4](1 − p)) = −12pq + 7p + 7q − 4 Wir sehen. bestimmen wir das Maximum dieser Funktionen. Da jeder Spieler nat¨ urlich den gr¨oßten Nutzen erhalten will.-4) Table 3.Chapter 3.3. Introduction to Game Theory 15 .3) s22 . wiederholen wir den Vorgang mit vertauschten Rollen. in dem Spieler 2 einige seiner Strategien mischt.2 s21 . dass u1 und u2 a¨quivalent sind.3.1 (2. Die erhaltene L¨osung muss dabei die Strategien enthalten. Außerdem m¨ ussen die L¨osungen wirklich Wahrscheinlichkeiten (0 < x < 1) sein und es darf keine profitablen Abweichungen vom Gleichgewicht geben. Der andere Spieler dagegen kann im Durchschnitt 12 erreichen und hat daher einen Vorteil . Allgemein Nehmen wir an. Dann m¨ ussen alle diese Strategien den selben erwarteten Nutzen liefern.2 (-3. Dazu bilden wir die partiellen Ableitungen nach p und q. hat 1 1 einen erwarteten Nutzen von − 12 . die Spieler 1 seinen Strategien zuweist. es gibt ein Gleichgewicht. die wir anfangs angenommen haben.langfristig gesehen wird er immer mehr Punkte erreichen. Anna w¨ urde gern ins Kino gehen. Introduction to Game Theory 16 . F¨ ur das Alien ist es dabei immer besser.4.Chapter 3. c) Kann das Spiel auch mit den Methoden aus Abschnitt 2 gel¨ost werden? L¨ose es. Diese enthalten die Wahrscheinlichkeiten p und q. doch auch die Lieblingsaktivit¨at ihre Partners ist ihnen lieber (2 ) als sich zu verfehlen und alleine im Kino bzw. bei denen sich f¨ ur keinen Spieler eine Abweichung lohnt. F¨ ur den Menschen ist es am Besten. alleine die Lieblingsaktivit¨at des Partners zu besuchen (0 ). Nash-Gleichgewicht Bei asymmetrischen Spielen bestimmen wir die erwarteten Nutzen der Spieler 1 und 2. dass es kein Alien sei.2. und der Mensch. Gleichzeitig f¨ uhrt eine Offenbarung immer zu einer Verschlechterung.1.4. Davon sind nur jene Maxima Nash-Gleichgewichte. ob er glaubt. falls es sich offenbart. mit der die beiden Spieler ihre Strategie s1 w¨ahlen. dass es ein Alien sei. Am schlimmsten f¨anden sie. Beispiele 3. w¨ahrend Michael ein Rugby-Spiel besuchen m¨ochte. Durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen findet man in diesem Fall die Maxima der Nutzenfunktionen.4. 3. 3. b) Suche das Nash-Gleichgewicht. wobei das Alien entscheiden kann ob es sich offenbart oder nicht. Am schlechtesten ist ein Unglauben im Falle einer Offenbarung des Aliens. falls es sich nicht offenbart. a) Bringe das Spiel in die Matrixform. Das Offenbarungsspiel Ein Mensch und ein Alien spielen gegeneinander. dem Alien zu glauben. Kampf der Geschlechter Anna und Michael haben es verabs¨aumt. a) Bringe das Spiel in die Matrixform. b) Wie sieht eine L¨osung dieses Spiels aus? c) Welches Problem gibt es bei dieser L¨osung? d) Bestimme eine L¨osung mit gemischten Strategien. Beide m¨ ussen sich f¨ ur eine der beiden Alternativen entscheiden. wo sie sich das n¨achste Mal treffen. als wenn er dies nicht tun w¨ urde. gefolgt von Glauben. der Mensch glaubt. beim Rugby-Spiel zu sein (1 ). sich bei ihrem letzten Date auszumachen. dass der andere ein Alien ist oder nicht. Am Liebsten (Nutzen 3 ) w¨ urden sie jeweils mit ihrem Partner ihre eigene Lieblingsaktivit¨at aus¨ uben. -1 (nur ich weiche aus). 0. 0. dabei kann er entweder leicht nach links oder nach rechts zielen. 0.3. Steffi Spieler 2 Die Nutzen geben dabei jeweils ihre Wahrscheinlichkeit an.7. 0.7) Table 3.3.7.4. Tennisspiel Bei einem Tennisturnier treffen die Kontrahenten Boris und Steffi aufeinander. Boris ist an der Reihe den Ball zu spielen.: Tennisspiel mit Steffis verbesserter R¨ uckhand Introduction to Game Theory 17 . und Steffi so auf ihrer Vor. 0. 3.Boris ist Spieler 1. um den Ball besser zu treffen. was schlimmer als ein einseitiges Ausweichen bewertet wird. a) Wie sollten Boris und Steffi spielen? b) Was passiert. +1 (nur der andere weicht aus) und -5 (keiner weicht aus). Auf Grund der unterschiedlichen F¨ahigkeiten der beiden mit ihren beiden H¨anden.8. Derjenige der zuerst ausweicht verliert.4. Nash-Gleichgewicht 3. so dass sich ihre Chancen damit verbessern: s11 . a) Stelle eine Matrix des Spiels auf.links (0. b) Finde die Nash-Gleichgewichte. 0.5.8.3) (0.Chapter 3. einen Punkt zu erzielen.rechts (0. wenn Steffi ihre R¨ uckhand trainiert.links s12 .links (0.3. Weicht keiner aus.6) (0. so passiert nichts.4. Weichen beide aus. 0. c) L¨ose das Spiel mit gemischten Strategien f¨ ur die Nutzen 0 (beide weichen aus).rechts (0.2) s22 .7) Table 3.2) s22 . 0.5. ergibt sich folgendes Spiel: s11 s12 s21 .3) (0.4.oder R¨ uckhand erwischen.rechts s21 .4.: Tennisspiel . so kommt es zu einem Crash.5) . Steffi kann ebenfalls nach links oder rechts ausweichen. Chicken-Spiel Zwei Autofahrer rasen auf einer geraden Straße aufeinander zu.links .rechts (0. Die Gewinnfunktion mit den konkreten Werten sieht daher folgendermaßen aus: ui = (100 − (xi + x−i )) · xi − x2i ui = (100 − x1 − x−i ) · xi − x2i ui = (100 − x−i ) · xi − 2x2i Wir bestimmen das Maximum der Gewinnfunktion: u0i = 100 − x−i − 4 · xi = 0 u00i = −4 < 0 → Maximum! x−i xi = 25 − 4 Selbiges gilt nat¨ urlich auch f¨ ur den anderen Landwirt: x−i = 25 − xi 4 18 . etwa den Preis eines Produkts. Die Landwirte kennen die Produktion ihres Gegenspielers nicht. Als Beispiel soll hier ein Dyopol von zwei Landwirten dienen. Spiele mit stetigem Strategieraum 4. Sie konkurrieren beim Verkauf einer Getreidemenge x. deren Herstellungskosten abh¨angig von ihrer Gr¨oße sind (je gr¨oßer die Menge.1. Konkurrenz zweier Anbieter Gerade bei o¨konomischen Fragestellungen gibt es oft nicht nur einige wenige Strategien.4. desto unwirtlichere Fl¨achen m¨ ussen genutzt werden): Ki(x) = x2i Der erzielte Preis ist von der gesamten angebotenen Menge abh¨angig: p(x) = 100 − x. wollen aber ihren Gewinn ui (xi . sondern eine kontinuierliche Menge. x−i ) = p(xi +x−i ) · xi − K(xi ) maximieren. 1 und 4. H¨alt nun einer der beiden Landwirte das Nashgleichgewicht ein. stimmen genau im Punkt (20|20) die Maxima u ¨berein.: Die Reaktionen der Landwirte auf ihren Gegenspieler In diesem Fall ist eine Produktionsmenge x von 20 optimal.Chapter 4. jede Abweichung davon h¨atte einen verringerten Gewinn zur Folge. welcher Produktionswert x den maximalen Gewinn liefert). xi = 100 − 4 · x−i x−i 100 − 4 · x−i = 25 − 4 x−i = 20 = xi Figure 4.2 erkenntlich wird. Spiele mit stetigem Strategieraum Wir k¨onnen sogenannte ”‘Reaktionsfunktionen”’ aufstellen.1. ergibt sich f¨ ur den anderen folgende Nutzenfunktion: ui = (100 − (xi + 20)) · xi − x2i = 80 · xi − 2 · x2i Introduction to Game Theory (4.1) 19 . welche angeben wie die Spieler auf bestimmte Produktionswerte ihrer Gegner reagieren (Genau genommen geben sie an. Das Nash-Gleichgewicht ist der Schnittpunkt dieser Funktionen. Wie aus den Abbildungen 4. 2.2 sichtbar. Da die Gewinnfunktion normalerweise sowohl von der Strategie si des Spielers. wie es ja auch sein muss.Chapter 4. ist es f¨ ur den Spieler selbst offensichtlich ebenfalls optimal. Ist das Spiel symmetrisch. Figure 4. Spiele mit stetigem Strategieraum Wie in Abbildung 4. Nun kann ebenfalls f¨ ur si gel¨ost werden. Andernfalls muss man die Gewinnfunktion f¨ ur den anderen Spieler entsprechend nach s−i ableiten.: ui falls der Gegenspieler das Nash-Gleichgewicht spielt 4. differenziert man zuerst nach si und dr¨ uckt dann si aus der Gleichung aus. als auch der Strategie s−i seines Gegners abh¨angt.2. Allgemein Das Ziel des Spielers ist immer die Maximierung seiner Gewinnfunktion. so kann man in der resultierenden Gleichung einfach s−i durch si ersetzen und sie l¨osen. Folglich ist der erste Schritt zur L¨osung die Bestimmung ihres Maximums. wiederum si ausdr¨ ucken und die resultierende Gleichung mit der vorigen (von Spieler i) gleichsetzen. Introduction to Game Theory 20 . das Gleichgewicht zu spielen. x−i ) · xi − K(xi ) f¨ ur die Unternehmen. a) Stelle die Reaktionsfunktionen auf. Monopol Das Unternehmen M besitzt ein Monopol auf den Markt mit Stereoanlagen.Chapter 4. und auch.3. Da er aber erst Maschinen kaufen und Erfahrungen sammeln muss.3. Das ergibt einen Gewinn von ui (xi . Introduction to Game Theory 21 . und dank seiner seit langem etablierten Fertigung produziert es zu niedrigen Kosten: K(xm ) = 3xm Der Konkurrent und Neuzugang K versucht ebenfalls in diesen Markt einzusteigen. c) Stelle die Funktionen und das Gleichgewicht graphisch dar. h¨angen dabei von der investierten Zeit √ t ab: Ki(t) = 2 t + 2.2. Spiele mit stetigem Strategieraum 4. Sie wissen. w¨ urden aber gerne die Arbeit auf den jeweils anderen abw¨alzen. sind seine Kosten geringf¨ ugig h¨oher: K(xk ) = 100 + 4xk Die Kunden sind bereit einen Preis p(x) = 200 − x2 zu zahlen. dass ihre Bewertung von ihrer gemeinsamen Leistung abh¨angt. also die eigene Bewertung ihres Arbeitsaufwandes. c) Zeichne die Funktionen und das Gleichgewicht. Projektarbeit Zwei faule Sch¨ uler sollen gemeinsam an einem Projekt arbeiten. Ihr eigentlicher Nutzen resultiert somit als √ √ √ ui (ti . b) Bestimme das Nash-Gleichgewicht und interpretiere das Ergebnis. √ Ihr Gewinn (Benotung) liegt bei ti + t−i .1. dass keiner alleine alles machen wird.3. 4. x−i ) = p(xi . Beispiele 4. Ihre Kosten. t−i ) = ti + t−i − K(ti ) = ti + t−i − 2 ti + 2. a) Wie reagiert jedes Unternehmen optimal? b) Welches Gleichgewicht wird sich ergeben? Interpretiere es. ein Gen vs. 5. Evolution¨ are Stabilit¨ at Stellen wir uns eine große Population vor. • Wir betrachten jeweils nur den durchschnittlichen Nutzen dieser Paarungen. die eine andere Strategie spielen.1. hat die Spieltheorie auch in der Biologie eine wichtige Rolle inne. Im Bereich der Evolution wird der Nutzen ui (si ) einer Strategie oft auch als Fitness bezeichnet. Das erlaubt uns dynamisches Verhalten zu betrachten. dass Strategien. welche Strategie es spielt. Evolution¨are Abl¨aufe lassen sich mit Hilfe der ¨ Spieltheorie darstellen und auch f¨ ur die wichtigsten Konzepte gibt es Aquivalenzen (Polak.5. • Die “Spieler” werden zuf¨allig zu Paaren zusammengefasst. Diese Strategie nennen wir evolution¨ar stabil. d. aussterben. und zwar in der Evolution. seine Gene bestimmen. 22 . h. 5. h.2. deren durchschnittlicher Nutzen gr¨oßer als der anderer ist. Vorlesungen 11 und 12). von denen jedes fest auf eine Strategie “verdrahtet” ist. relativ zu diesen wachsen. falls Mutationen. Evolutorische Spiele Wie bereits zu Beginn erw¨ahnt. eine Mutation. Hier wird der je nach Kontext besser passende Begriff verwendet. • Wir betrachten nur symmetrische 2-Spieler Spiele. in der jeder die selbe Strategie spielt. • Wir nehmen weiters an. d. Dies sagt nichts u ¨ber das Wachstum der Population als Ganzes aus! • Außerdem behandeln wir nun wiederholte Spiele. 2008. Grundannahmen • Es gibt eine sehr große Population von Individuen. Nicht-Kooperation (3. Evolutorische Spiele 5. die einen gr¨oßeren Nutzen als sie haben. die wir zuvor getroffen haben. sie wird langfristig gesehen aussterben.2) Table 5.: Das Gefangenendilemma als evolution¨ares Spiel Nehmen wir an. Offensichtlich schneidet die nicht kooperierende Mutation besser als die urspr¨ ungliche Population ab.Chapter 5.Kooperation s22 .3) (1. folgt nun. dass strikt dominierte Strategien keinesfalls evolution¨ar stabil sein k¨onnen. Sie wird daher nicht aussterben. Da die Paarungen zuf¨allig sind.Kooperation s12 . und ε auf ein nicht kooperierendes. Folglich ist Kooperation keine evolution¨ar stabile Strategie. Der durchschnittliche Nutzen f¨ ur die kooperierenden Individuen ist damit (1 − ε)[3] + ε[1] w¨ahrend die nicht kooperierende Mutation einen Nutzen von (1 − ε)[4] + ε[2] aufweist. Damit ist eine nicht kooperierende Population evolution¨ar stabil. Diese h¨atten einen durchschnittlichen Nutzen von (1 − ε)[2] + ε[4] w¨ahrend die kooperierende Mutation nur einen Nutzen von (1 − ε)[1] + ε[3] aufweist.4) (4. dass zu Beginn die gesamte Population aus kooperierenden Individuen besteht. die Population best¨ unde zum Großteil aus nicht kooperierenden Individuen. Strikt dominierte Strategien Aus den Annahmen. hat jedes kooperierende Individuum eine Chance von 1 − ε auf ein anderes kooperierendes zu treffen. Nun tritt eine Mutation mit dem Anteil ε auf.1) (2.2. die nicht kooperiert.Nicht-Kooperation s21 . Die kooperierende Mutation hat einen geringeren Nutzen. Introduction to Game Theory 23 .1. Ein bereits bekanntes Beispiel soll zur Verdeutlichung dienen: s11 .1. Nehmen wir nun umgekehrt an. Es gibt immer Strategien. ebenso f¨ ur Nash-Gleichgewichte. . Somit gilt der Umkehrschluss. Replikatorengleichung Wie wir bereits gesehen haben. ¨ x˙ i (t) gibt die Anderungsrate dieses Anteils zum Zeitpunkt t an. ist eine Strategie nur dann evolution¨ar stabil. . Nash-Gleichgewichte Wie wir im vorigen Abschnitt belegt haben.1) i=1 Die Entwicklung der Strategien wird in der Replikatorengleichung festgehalten: x˙ i (t) = ui (x(t)) − u¯(x(t)) f¨ ur t ≥ 0 xi (t) (5. wenn ihr Nutzen gr¨oßer ist als der anderer Strategien. wie wir in Kapitel 3 gezeigt haben. dass jedes NashGleichgewicht evolution¨ar stabil ist. wenn auftretende “Mutationen” aussterben. Dynamische Gleichgewichte 5. so sind die Fixpunkte f 0 (x) = 0 die (dynamischen) Gleichgewichte dieses Spiels.2. Evolutorische Spiele 5. Dies gilt aber. Nur strikte Nash-Gleichgewichte. u¯(x(t)) gibt den durchschnittlichen Nutzen aller Strategien in diesem Spiel an.3. muss sie strikt dominant sein. Introduction to Game Theory 24 . das heißt der Nutzen der betrachteten Strategie gr¨oßer als der Durchschnitt. sind auch immer evolution¨ar stabil.2. Folglich ist jede evolution¨ar stabile Strategie auch ein Nash-Gleichgewicht. dass gilt: n X xi (t) = 1 (5.1. w¨achst der Anteil dieser Strategie.3. nicht. . 5. xn (t)) enth¨alt die Aufteilung der Population in die n verschiedenen Strategien zum jeweiligen Zeitpunkt t. Rechts ist ui (x(t)) der Nutzen der von uns betrachteten Strategie i in einem Spiel mit durch x(t) angegebener Aufteilung auf verschiedene Strategien.Chapter 5. entwickeln sich die Verh¨altnisse der Strategien entsprechend ihrer Nutzen. Definition 6. in denen alle Alternativen einen geringeren Nutzen aufweisen. Da eine Strategie aber nur dann evolution¨ar stabil ist. . Dieser ist so normiert. Der Vektor x(t) = (x1 (t). Wird ein Spiel durch ein Differentialgleichungssystem x˙ = f 0 (x) beschrieben. Gemeinsam beschreiben ¨ sie die relative Anderung dieser Strategie.2) Auf der linken Seite der Gleichung ist xi (t) der Anteil der von uns betrachteten Strategie. Ist diese Differenz dieser Funktionen positiv. so ergibt sich sein Nutzen als u1 = 3q + 2(1 − q) = 2 + q. Marktspiel Auf einem fiktiven Markt treffen K¨aufer und Verk¨aufer aufeinander. n¨amlich dass die K¨aufer vergleichen.ehrlicher Preis (3.Chapter 5. w¨ahrend der durchschnittliche Nutzen f¨ ur alle K¨aufer gleich1 + p − 2pq + 3q ist. mit 0 ≤ p ≤ 1 und 0 ≤ q ≤ 1. Jeder K¨aufer hat zwei Strategien: den Preis mit anderen H¨andlern vergleichen oder den Preis des H¨andlers akzeptieren.3) 25 .feilschende K¨aufer und wuchernde H¨andler W¨ahlt der K¨aufer ”‘vergleichen”’ (p = 1). q) besteht. p ist die Wahrscheinlichkeit.2. eine Abweichung kann profitabel sein.3. Beim Aufeinandertreffen kommt es zu folgenden Ergebnissen: s11 . Der durchschnittliche Nutzen der K¨aufer betr¨agt damit u¯1 = p(2 + q) + (1 − p)(1 + 3q) = 1 + p − 2pq + 3q und der der Verk¨aufer u¯2 = q(3 − p) + (1 − q)(4 − 3p) = 4 − q + 2pq − 3p Nun k¨onnen wir die Replikatorengleichung anwenden: p ist der Anteil der von uns betrachteten Strategie.2. Folglich gibt 2 + q den Nutzen dieser Strategie an. 1) (1. 4) Table 5. Akzeptiert er dagegen den Preis des H¨andlers einfach (p = 0) hat er einen Nutzen von u1 = 4q + 1(1 − q) = 1 + 3q. Damit erhalten wir folgendes Wachstum: p˙ = (2 + q) − (1 + p − 2pq + 3q) = (1 − p)(1 − 2q) p Introduction to Game Theory (5. 3) s22 .akzeptieren s21 . so dass die Menge aller Strategien aus Paaren (p.u ¨berh¨ohter Preis (2. 5. F¨ ur den Nutzen des Verk¨aufers folgen u2 = 2p + 3(1 − p) = 3 − p f¨ ur q = 1 und u2 = 1p + 4(1 − p) = 4 − 3p f¨ ur q = 0. q die mit der ein H¨andler einen ehrlichen Preis ansetzt. Zus¨atzlich k¨onnen die Spieler diese Strategien mischen. Die H¨andler besitzen ebenfalls zwei Strategien: einen u ¨berh¨ohten Preis ansetzen oder in Erwartung eines pr¨ ufenden K¨aufers den Preis wahrheitsgem¨aß ausschreiben.vergleichen s12 .: Marktspiel . Evolutorische Spiele Die so bestimmten Gleichgewichte sind jedoch nicht notwendigerweise strikte Gleichgewichte. 2) (4. dass ein K¨aufer vergleicht. Gnu (2. (1. 0) (3. Im Falle einer Mutation (dh. 12 ) sind alle diese Gleichgewichte nur Randgleichgewichtspunkte. und damit auch gleichzeitig die dynamischen Gleichgewichte. c) Sind die Gleichgewichte aus a) und b) evolution¨ar stabil? Begr¨ unde dies.Taube .4. 5. s11 . es also zu keiner Ver¨anderung kommen kann. In einer nat¨ urlichen Population w¨ urde nur diese Verteilung auftreten. Bis auf ( 12 . 1) (0. 3) Betrachte Populationen die sich a) nur aus Hasenj¨agern.Taube (0. 1) ( 12 . 1) und (1. Hier die von Osborne und Rubinstein (1994) vorgeschlagenen Auszahlungen: s11 s12 s21 .Hase s12 . oder jeder schnappt sich den n¨achsten Hasen. b) nur aus Gnuj¨agern. (0. weil nur jeweils eine Strategie existiert.Falke ( 1−c . die anderen Gleichgewichte (mit homogenen Populationen) w¨ urden durch Mutationen zerst¨ort. 21 ). was aber das Gnu entkommen l¨asst. 12 ).4.1.Chapter 5. 1). Evolutorische Spiele F¨ ur die Verk¨aufer k¨onnen wir analog verfahren: q˙ = (3 − p) − (4 − q + 2pq − 3p) = (1 − q)(2p − 1) q (5. 0).4. 1−c ) (1. Introduction to Game Theory 26 . Sind diese jeweils stabil? Wenn nicht.4) Die Fixpunkte (Nullstellen) dieses Gleichungssystems. Jagdverhalten Es treten bei L¨owen zwei verschiedene Verhaltensweisen w¨ahrend der Jagd auf: Entweder alle L¨owen st¨ urzen sich gemeinsam auf das große Gnu. welche Strategie wird sich durchsetzen? 5. (0. ein Spieler schert aus und spiele eine andere Strategie) konvergieren diese Gleichgewichte aber immer gegen den Punkt ( 12 . Beispiele 5. 0) 2 2 . Sie sind nur deshalb Gleichgewichte.Falke s22 .Gnu s21 .2.Hase (1. Falke und Taube Aggressive Falken und friedliche Tauben treffen in ihrem Lebensraum aufeinander. sind ( 21 . was fette Beute verspricht. 0). d) einem 3:2 und e) einem 2:3 Mix der beiden Strategien zusammensetzen. c) aus einem 1:1 . 12 ) Bestimme die Gleichgewichte f¨ ur a) c > 1 und b) c < 1. 2) s22 . wie ein Entkommen aus dem Dilemma gelingen kann. Eine sehr ausf¨ uhrliche Betrachtung des Gefangenendilemmas ist in ”‘Spieltheorie f¨ ur Einsteiger”’ (Dixit und Nalebuff. ist ”‘Einf¨ uhrung in die Spieltheorie”’ (Holler und Illing. ”‘Game Theory . 1991) dienen oft als Begleitb¨ ucher f¨ ur Univorlesungen und sollten selbst den anspruchsvollsten Sch¨ uler zufriedenstellen. Handouts und Pr¨ ufungen inkludiert. handelt es sich dabei um die mitgefilmten Vorlesungen eines ganzen Semesters Spieltheorie. Auch die Vortr¨age von Polak (2008) sind sehr zu empfehlen. 1997) und ”‘Game Theory”’ (Fudenberg und Tirole. Freundlicherweise von der University of Yale online frei zur Verf¨ ugung gestellt. wirft sie doch interessante Fragen auf. Diese leiten langsam in das Thema ein und erschließen es eher intuitiv. Im weiteren widmet sie sich auch der Verbindung von Spieltheorie und Informatik. 1997). sind auch die Tafelnotizen. m¨oglicherweise f¨ ur ein f¨acher¨ ubergreifendes Projekt zwischen Mathematik und Englisch. Dabei ist es problemlos m¨oglich einzelne Kapitel herauszugreifen. wobei das Hauptaugenmerk auf dynamischen Modellen liegt. erl¨autert werden. 2009). 1997) zu finden. wobei es durchaus m¨oglich w¨are die entsprechenden Algorithmen im Unterricht zu implementieren. Insgesamt 24 mal je 75 Minuten. Literatur F¨ ur interessierte Sch¨ uler sehr zu empfehlen sind die B¨ ucher ”‘Die Welt als Spiel”’ (Basieux. wo auch verschiedenste M¨oglichkeiten. 2008) und ”‘Spieltheorie f¨ ur Einsteiger”’ (Dixit und Nalebuff. allerdings setzen sie solide Englischkentnisse voraus.A. Auf h¨oherem Niveau angesiedelt. Eine detaillierte Abhandlung evolutorischer Spiele ist in Stanford Encyclopedia of Philosophy (2009) zu finden.Analysis of Conflict”’ (Myerson. und vor allem mit st¨arkerem Augenmerk auf Mathematik. 27 . F¨ ur den Unterricht eher weniger geeignet. außerdem sind sie in der selben Reihenfolge wie im Text angeordnet.000e) (0e. 100.000e) Table B. 50.: Krieg zwischen zwei Zeitungen b) Strategie s11 (2e Verkaufspreis) ist f¨ ur Spieler 1 strikt dominant.2.1.B.2. 28 .3e (100. Nun wird s12 von s11 strikt dominiert und ebenfalls gestrichen. s11 ist nun f¨ ur Spieler 1 die strikt dominante Strategie.3e s21 . Im verbleibenden Spiel ist s21 f¨ ur Spieler 2 strikt dominant. wo es zu Unklarheiten kommen kann ist dieser aber aufgef¨ uhrt. L¨osung: (s11 |s21 ) = (A|E) B. Dominierte und dominante Strategien B. s21 f¨ ur Spieler 2.2e s12 .000e. Simples Beispiel Die Strategie s23 wird strikt von der Strategie s21 dominiert und deshalb gestrichen.000e. Jetzt wird s22 von s21 strikt dominiert und kann gestrichen werden. B.2.000e.2e (50. L¨ osungen B.2.1. 60. Erkl¨ arung Aus Platzgr¨ unden enthalten die hier anfgef¨ uhrten L¨osungen nicht immer den L¨osungsweg. Die Nummerierung der L¨osungen entspricht den Kapitelnummern.000e) s22 . folglich ist (s11 |s21 ) die L¨osung dieses Spiels. Zeitungskrieg a) s11 . 0e) (60.1. . s3 ) = 20% u(s1 . Diese werden n¨amlich durch ihren jeweils inneren Nachbarn strikt dominiert: u(s1 . es w¨are sinnlos f¨ ur beide Parteien.: Das Offenbarungsspiel b) Das Spiel enth¨alt ein striktes Nash-Gleichgewicht: Geheimhaltung auf Seiten des Aliens und Nicht-Glauben auf Seiten des Menschen: (s12 |s22 ) Introduction to Game Theory 29 . Medianw¨ ahlermodell a) Zur Analyse dieses Spiels ist es wichtig an den R¨andern zu beginnen.Appendix B. Wobei si nat¨ urlich f¨ ur die Position i steht.Glauben (3.Offenbarung s12 . welche der beiden Positionen die Parteien jeweils w¨ahlen. 2) s22 .Geheimhaltung s21 . Nash-Gleichgewicht B. s4 ) = 20% < u(s2 . s1 ) = 90% u(s1 .3.3. s2 ) = 10% < u(s2 . sie erhalten jeweils 50% der Stimmen. 4) (4. Diese belegen die Parteien schließlich. Wiederholen wir dies oft genug so gelangen wir schließlich zu den zentralen Positionen.Nicht-Glauben (1. 10. Da die a¨ußersten Positionen strikt dominiert werden k¨onnen wir sie ”‘streichen”’. 3) Table B. eine derart extreme Position zu belegen. Eine dritte Partei k¨onnte von der Mitte abweichen und sich auf 4 positionieren .2. Das Offenbarungsspiel a) s11 . B.2. s2 ) = 50% u(s1 . s3 ) = 15% < u(s2 . 1) (2. . Dabei ist es egal. L¨osungen B. das heißt bei Position 1 bzw. in unserem Fall 5 und 6. s1 ) = 50% < u(s2 .3. b) Bei mehr als zwei Parteien sieht die Situation anders aus. s5 ) = 30% .sie erhielte mindestens 40% der Stimmen und w¨ urde die Wahl gewinnen. s5 ) = 25% < u(s2 .1. s4 ) = 25% u(s1 . 3) Table B.jeweils eins f¨ ur gleiche Strategiewahl: (s11 |s21 ) und (s12 |s22 ).Kino s12 .Rugby s21 . q. da sich nur hier eine Abweichung nicht lohnt.Kino (3. ansonsten k¨onnen die Spieler nur zuf¨allig entscheiden. 0) s22 . Chicken-Spiel a) siehe Tabelle B. L¨osungen c) Ja.3. In den anderen F¨allen kann sich jeweils einer der beiden Spieler durch einseitige Ver¨anderung seiner Strategiemischung verbessern.: Kampf der Geschlechter . Michael Spieler 2 b) Das Spiel enth¨alt zwei strikte Nash-Gleichgewichte .Rugby (1.4 Introduction to Game Theory 30 . Geheimhaltung durch das Alien (s12 ) ist eine strikt dominante Strategie. Davon ist aber nur die Kombination aus q = 41 und p = 43 ein Nash-Gleichgewicht. 1) (2. Damit ergibt sich: u1 = p · ([3]q + [1](1 − q)) + (1 − p) · ([0]q + [2](1 − q)) = 4pq − p − 2q + 2 u2 = q · ([2]p + [0](1 − p)) + (1 − q) · ([1]p + [3](1 − p)) = 4pq − 2p − 3q + 3 ∂u1 ∂u1 = 4q − 1 = 0 = 4p − 2 = 0 ∂p ∂q ∂u2 ∂u2 = 4p − 3 = 0 = 4q − 2 = 0 ∂q ∂p Somit existieren Maxima f¨ ur q = 41 und q = 21 sowie p = 34 und p = 12 . B.3.2.Appendix B. B. Kampf der Geschlechter a) s11 .3. c) Das Nash-Gleichgewicht funktioniert nur dann. Unter Ber¨ ucksichtigung dieser Tatsache (das Alien wird sich nie offenbaren) ist f¨ ur den Menschen Nicht-Glauben die optimale Strategie. d) Anna geht mit Wahrscheinlichkeit p ins Kino.Anna ist Spieler 1. Michael mit Wahrsch.3. wenn der eine Spieler die Entscheidung des anderen mitbekommt. 2) (0. und q die Wahrscheinlichkeit mit der Steffi nach links ausweicht.7pq − 0. B. das Spiel erst gar nicht zu spielen. es w¨are also besser.7](1 − p)) = 0.Kollisionskurs (0.5 = 0 ∂q 4 q= 7 5 p= 7 Boris sollte mit einer Wahrscheinlichkeit von 47 nach links spielen.Ausweichen s12 .7 ∂u1 = −0.3]p + [0.7pq + 0.Ausweichen s22 . Dann gilt: u1 = p · ([0.3](1 − q)) = −0.7](1 − q)) + (1 − p) · ([0.Appendix B.8]q + [0.4% Introduction to Game Theory 31 .4p − 0. -5) Table B. L¨osungen s11 . Boris erreicht dabei einen Nutzen von u1 = 41 ≈ 58. 70 29 Steffi nur u2 = 70 ≈ 41. mit der Boris nach links spielt.5q + 0.3 u2 = q · ([0. +1) (+1.3.4 = 0 ∂p ∂u2 = 0. dann gilt: ui (s1 ) = 0· −1 · (1 − p) = p − 1 ui (s2 ) = 1· −5 · (1 − p) = 6· −5 p − 1 = 6· −5 4 p= 5 Mit p = 45 ergibt sich sodann ein erwarteter ”‘Nutzen”’ von − 15 . Tennisspiel a) Sei p die Wahrscheinlichkeit.5q + 0.5]q + [0. Offensichtlich ist das Resultat im Durschnitt negativ. 0) (-1.6%. w¨ahrend Steffi zu 57 nach links ausweichen sollte.4p + 0.Kollisionskurs s21 .5]p + [0.4. -1) (-5.7p − 0.4.7q + 0. c) Sei p die Wahrscheinlichkeit mit der ein Spieler ausweicht.2](1 − p)) + (1 − q) · ([0.: Das Chicken-Spiel b) Die Situationen in denen jeweils ein Spieler ausweicht und der andere Kollisionskurs f¨ahrt sind Nash-Gleichgewichte: (s12 |s21 ) und (s11 |s22 ). L¨osungen b) u1 = p · ([0.3](1 − q)) = −0.5q + 0. Projektarbeit a) 1 1 u0i = √ −√ =0 2 ti + t−i ti + 2 2 4 ti = − t−i 3 3 2 4 t−i = − ti 3 3 b) 3 ti = − t−i + 4 4 2 3 − t−i + = − t−i + 3 3 4 2 t−i = ti = 7 1 2 1 2 Wie schon aus den symmetrischen Nutzenfunktionen zu erkennen ist auch die L¨osung symmetrisch.3 u2 = q · ([0. beide Sch¨ uler arbeiten gleich lange am Referat.8]q + [0.1.8pq + 0.8q + 0. dass diese (geringf¨ ugig) seltener angespielt 1 wird: Boris spielt nur noch zu 2 nach links.6]p + [0.8p − 0.5 = 0 ∂q 1 q= 2 5 p= 8 Die Verbesserung der R¨ uckhand f¨ uhrt dazu.7](1 − p)) = 0.8pq − 0. w¨ahrend Boris sich auf 11 u1 = 20 ≈ 55% verschlechtert.Appendix B. w¨ahrend Steffi nur mehr zu 85 nach links 9 ausweicht.4p − 0.5q + 0.4p + 0.4 = 0 ∂p ∂u2 = 0.4.4. Spiele mit stetigem Strategieraum B. Das verbessert Steffis Nutzen auf u2 = 20 ≈ 45%. Dabei erreichen sie jeweils √ √ einen Nutzen von − 6 7 7 und eine Benotung von 2 7 7 c) Aus Platzgr¨ unden nicht dargestellt. B. Introduction to Game Theory 32 .2](1 − p)) + (1 − q) · ([0.4]q + [0.7 ∂u1 = −0.7](1 − q)) + (1 − p) · ([0.3]p + [0. ein Gnuj¨ager erreicht einen Nutzen von 0. Monopol b) a) xk + 197 = 0 u0m = −xm − 2 xk xm = 197 − 2 xm + 196 = 0 2 xm xk = 196 − 2 u0k = −xk − xm = 392 − 2xk xk 197 − = 392 − 2xk 2 xk = 130 xm = 132 Die optimalen Produktionsmengen der Firmen ¨ahneln sich offenbar sehr stark Ihr Gewinn unterscheidet sich jedoch: F¨ ur den Monopolisten 69 · 132 − 132 · 3 = 8712 und f¨ ur den Konkurrenten 69 · 130 − (100 + 4 · 130) = 8350. daher ist es auch evolution¨ar stabil. Evolutorische Spiele B. s12 ) > u2 (s21 . Die Hasenjagdstrategie dominiert damit. s22 ) > u1 (s11 . s11 ).6 · 0 + 0.6 · 2 = 1. Dieser Strategiemix ist damit nicht evolution¨ar stabil. e) Nun ist die Situation entgegengesetzt zu d).6 · 1 + 0. s12 ).5 · 0 + 0. Entsprechend konvergiert die Strategiemischung hier gegen das Gleichgewicht aus b) Introduction to Game Theory 33 . der eines Gnuj¨agers bei 0. die Population wird gegen das Gleichgewicht aus a) konvergieren.1. da Abweichung zu keinem Nachteil f¨ uhrt.4. B.6 · 3 = 1. L¨osungen B.5 · 3 = 1.4 · 0 + 0.2 begn¨ ugen muss. s21 ) > u1 (s12 .5.5 · 1 + 0. w¨ahrend sich ein Hasenj¨ager mit 0. d) Nun erreicht ein Hasenj¨ager einen Nutzen von 0.5.4 · 1 + 0. allerdings nur um ein schwaches.6 begn¨ ugen muss. Der durchschnittliche Nutzen eines Hasenj¨agers liegt damit bei 0. b) Auch bei (s12 |s22 ) handelt es sich um striktes Nash-Gleichgewicht.5.4.5. da u1 (s12 .Appendix B.8. daher ist es auch evolution¨ar stabil. Es handelt sich daher auch hier um ein Nash-Gleichgewicht. c) Da beide Strategien gleich oft vertreten sind betr¨agt die Wahrscheinlichkeit eines Zusammentreffens jeweils 50%. s22 ) und u2 (s22 . s11 ) > u2 (s22 . da u1 (s11 .5 · 2 = 1.2. Jagdverhalten a) Bei (s11 |s21 ) handelt es sich um striktes Nash-Gleichgewicht.4 · 2 = 1. w¨ahrend ein Gnuj¨ager sich mit 0.4 · 3 = 1. s21 ) und u2 (s21 . nicht stabil ist (f¨ ur jeden lohnt sich einseitiges K¨ampfen mit ”‘Falke”’). (s11 |s21 ) ist somit das gesuchte Gleichgewicht. wenn beide die Strategie ”‘Falke”’ spielen (s11 |s21 ). c) Ja. 1). und q die Wahrscheinlichkeit. auch wenn der Nutzen m¨oglicherweise kleiner als bei wechselseitiger Kooperation ist.h. Damit ist s11 f¨ ur Spieler 1 strikt dominant. mit der Spieler 2 ”‘Falke”’ spielt. ist der Nutzen. beide spielen ”‘Taube”’. f¨ ur beide Spieler negativ. Stabil ist davon aber nur ( 1c . Abbildung B. ebenso wie s21 f¨ ur Spieler 2. desto gr¨oßer ist auch der Anteil der Tauben im Vergleich zu Falken. da es sich bei allen um strikte Nash-Gleichgewichte handelt. 0) und ( 1c . Introduction to Game Theory 34 . dass die Kombination (s11 |s21 ) f¨ ur beide einen positiven Nutzen hat. alle anderen sind wie zuvor Randgleichgewichtspunkte. L¨osungen B.2. 1c ). muss das Gleichgewicht aus gemischten Strategien bestehen. (vgl. Auf die Biologie angewandt bedeutet dies.Appendix B. mit der Spieler 1 ”‘Falke”’ spielt. 1c ). im Prinzip handelt es sich hier um ein Gefangenendilemma. Falke und Taube a) F¨ ur c gr¨oßer als 1. dann gilt: 1−c +1−q 2 1 u¯1 = (−cpq + p − q + 1) 2 u1 (p = 1) = q 1 u1 (p = 0) = (1 − q) 2 p˙ 1 = − (p − 1)(cq − 1) p 2 Da das Spiel symmetrisch ist. (1. Da auch das Gegenteil. bedeutet dies. 1).: Anteile der beiden Strategien f¨ ur verschiedene Werte von c Je gr¨oßer c. 0). je st¨arker Kampf bestraft wird.1) b) Wenn c kleiner als 1 ist. (0. k¨onnen wir die selbe Gleichung auch f¨ ur Spieler 2 schreiben: 1 q˙ = − (q − 1)(cp − 1) q 2 Daraus folgen die dynamischen Gleichgewichte (1. dass Kampf bestraft wird.1. Figure B. (0.5. Hier wird der Kampf offensichtlich nicht bestraft. d. Sei p die Wahrscheinlichkeit. John von . S. Rubinstein. accessed 28-August-2009] 35 . John M. J.: Spieltheorie f¨ ur Einsteiger. Hamburg : Rowohlt Taschenbuch [Dixit und Nalebuff 1997] Dixit. Martin: The evolution of altruism: Game theory in multilevel selection and inclusive fitness.Online. Pierre: Die Welt als Spiel. – Working Paper [Myerson 1997] Myerson. Drew . 1994 [Polak 2008] Polak. Princeton University Press. Roger B. Cambridge : MIT Press. 1991 Fudenberg. Razin. – ISBN 978-0-691-13061-3 [Fletcher und Zwick 2007] Fletcher.stanford. Ben: Game Theory. Stuttgart : Sch¨affer-Poeschl. 1957. 26 – 36 [Fudenberg und Tirole 1991] bridge : MIT Press. accessed 10-August-2009] [Stanford Encyclopedia of Philosophy 2009] Stanford Encyclopedia of Philosophy: Evolutionary Game Theory. 1997 [Downs 1957] Downs. Oxford University Press. A. Manfred J. – [Open Yale Courses . Tirole. Avinash K. 2003. 2009 [Levy und Razin 2003] Levy. 2008 Basieux. . – ISBN 978-0-691-13061-3 [Osborne und Rubinstein 1994] Osborne. M. Gerhard: Einf¨ uhrung in die Spieltheorie. Anthony: An Economic theory of Democracy. Jean: Game Theory. Ronny: It Takes Two: An Explanation of the Democratic Peace. 245. Illing.edu/ entries/game-evolutionary. . Gilat . Jeffrey A. 2009. – [Online.Analysis of Conflict. Berlin : Springer.: Animal signals.: A course in game theory. New York : Harper. David .Bibliography [Basieux 2008] Verlag. In: Journal of Theoretical Biology (2007). 1944. . Nr.: Game Theory .yale. Cam- [Harper und Smith 2003] Harper. Cambridge : Harvard University Press. Oskar: Theory of Games and Economic Behavior. Barry J. 2008. . 1997 [von Neumann und Morgenstern 1944] Neumann. Nalebuff. Morgenstern.edu/ economics/game-theory. 2003. – URL http://oyc. Smith. – URL http://plato. – ISBN 978-0-19-852685-8 [Holler und Illing 2009] Holler. Zwick. 36 . dass ich diese Fachbereichsarbeit ausschließlich selbst und ohne Gebrauch unerlaubter Hilfsmittel oder Hilfen verfasst habe.Ich erkl¨are.