INTRODUCIÒN A LOS MODELOS ESTOCÀSTICOSTRABAJO 1 Investigación de Operaciones HAMDY A. TAHA Profesor: López Guevara Ricardo Integrantes: Mendoza Dipaz Yoselin Oré Ramírez Andrea Nina Yoplac Gaby Tucto López Isabel Huamán Gálvez Elisabet Bloque: FC-PREILT06B1M 2017-2 0.5 Respuesta El jugador A debe aplicar una estrategia combinada de A1 y A2 de (0. juegan a tirar la moneda.5) y el jugador 2 debe combinar las estrategias 1 y 2 con una probabilidad de (0. A le paga $1a B. A y B.4-2. De lo contrario.0. Jugador 2 Jugador 1 CARA SELLO CARA 1 -1 SELLO -1 1 Estrategia Retribución Valor obtenido Pura de B esperada de A 1 2x-1 0 2 -2x1+1 0 Estrategia Retribución Valor obtenido Pura de A esperada de B 1 2y1-1 0 2 -2y1+1 0 2y1-1=-2y1+1 y1=0. el jugador A recibe $1 de B.5) obteniendo un valor de juego de 0 para . La siguiente matriz de retribuciones para el jugador A da los valores de fila mín y columna máx correspondientes a las estrategias de A y B. Si coinciden (HH o TT). Resuelva gráficamente el juego de tirar la moneda del ejemplo 15. Investigación de Operaciones CONJUNTO DE PROBLEMAS poner número de capítulo Ejercicio Poner tema y número de ejercicio ARREGLAR FORMATO DE ESTOS EJERCICIOS *1.5.5. Ambos jugadores revelan sus elecciones al mismo tiempo. escoge cara (H) o cruz (T). sin saberlo el otro. Dos jugadores. Cada jugador. respectivamente. .0.5 Estrategia Retribución Valor oura de B esperada: A obtenido 1 4x1-1 1 2 -7x1+4 0.5.5) y el jugador 2 debe combinar las estrategias 1 y 2 con una probabilidad de (0. Resuelva gráficamente los siguientes juegos. B1 B2 B3 A1 1 -3 7 A2 2 4 -6 s B1 B2 B3 A1 1 -3 7 A2 2 4 -6 x1 0.5 3 13x1-6 0. La retribución es para el jugador A.43 2 8y1-6 1.5) Obteniendo un valor de juego de 0 el jugador 1 y 10/3 para el jugador 2.5.43 -6y1+7=8y1-6 y1=13/14 y1+y2=1 y2=1/14 Respuesta El jugador A debe aplicar una estrategia combinada de A1 y A2 de (0. B) B1 B2 A1 5 8 A2 6 5 A3 5 7 A3>>A3 por tanto A3 ya no forma parte de las alternativas del jugador A.0.5 Estrategia Retribución Valor obtenido pura de A esperada :B 1 -6y1+7 1.3. o M3 con .5) y el jugador 2 debe combinar las estrategias 1 y 2 con una probabilidad de (3/4.75.5. El profesor puede elegir de entre tres modelos: M1.1/3) Obteniendo un valor de juego de 5.Si el modelo actual es M1.75 estrategia Retribución Valor obtenido oura de A esperada deB 1 -3y1+8 5.2ª Ejercicio 17.75 2 y1+5 5.2ª.5 Respuesta El jugador A debe aplicar una estrategia combinada de A1 y A2 de (0. la siguiente computadora puede ser M2 con probabilidad 0.75 2 3x1+5 5.2.estrategia Retribución Valor obtenido oura de B esperada de A 1 -x+6 5.0.1 Un profesor de ingeniería adquiere una computadora nueva cada dos años. CONJUNTO DE PROBLEMAS 17.75 -3y1+8=-y1+5 y1=0.M2 y M3. 50 0.25] 0.10 0. conjunto 17. Solución: DIAGRAMA DE LA MATRIZ DE PROBABILIDADES DE TRANCISIÓN M1 M2 M3 M1 0.probabilidad 0.10 0.65 0. respectivamente. las probabilidades de cambiar a M1 y M3 son 0. 𝛱0 = 0.1. Considere el problema 1.25.15 0. respectivamente.65 0.15 0.20 0.15 𝑥 [0.22] .65 0.15. Represente la situación como una cadena de Markov.1a.60 0. entonces las probabilidades de comprar los modelos M1 y M2 son 0.15 M2 0.25 M3 0.6 y 0.15 𝑚 = 2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 2 𝑎ñ𝑜𝑠 Entonces dentro de 4 años: 𝛱𝑚 = 𝛱0 𝑃𝑚 0.65 0.20 0.40 𝛱𝑚 = [0.50 0.20 0.5 y 0. Si el modelo actual es M2.15 2 𝛱𝑚 = 0.61 0.40 Si el modelo actual es M1 y. Pero si el modelo actual es M3.20 0. Determine la probabilidad de que el profesor compre el modelo actual en 4 años.60 0.17 0. y 40% de probabilidades de que se haga una aprehensión de inmediato. Cuando la patrulla llega a la escena del suceso. Solución: S1 Patrulla en vigilancia S2 Patrulla respondiendo a una llamada S3 Patrulla en la escena de la llamada S4 Aprehensión realizada S5 Transporte a la estación de policía S1 S2 S3 S4 S5 S1 0.2ª.3 0 0 S3 0. para M2 es 17% y para M3 es de 22%. Considere el problema 2. hay 60% de probabilidades de trasladar a los sospechosos a la estación de policía.1 0 0. Si la patrulla se encuentra en este momento en la escena de una llamada.4 0 S4 0. Durante un patrullaje hay 60% de probabilidades de llegar a tiempo al lugar donde se requiere la ayuda.1 0. hay 10% de probabilidades de que los instigadores hayan desaparecido (en cuyo caso reanuda su patrullaje).1a. los oficiales rastrearán el área.2 Una patrulla policiaca vigila un vecindario conocido por sus actividades pandilleriles. y 30% de probabilidad de que la unidad ya esté respondiendo a la llamada anterior. determine la probabilidad de que haga una aprehensión en dos patrullajes. de lo contrario son liberados y la unidad regresa a patrullar.4 0. continuará el patrullaje regular. si no sucede algo.6 0. Ejercicio 17. Después de recibir una llamada.6 0 0 0 S2 0. conjunto 17. Exprese las actividades probabilísticas de la patrulla en la forma de una matriz de transición. De otro modo.6 0 S5 1 0 0 0 0 .4 0 0 0.5 0. hay 10% de probabilidades de cancelación (en cuyo caso el patrullaje normal se reanuda). Si ocurre una aprehensión. La probabilidad de que vuelva a comprar una computadora del modelo M1 es de 61%. Definición de variable Xi: Estados de préstamos del Banco 1.10 0.3 Cyert and Associates (1963).00 0.00 0. Banco 1 considera el préstamo como una deuda incobrable y la cancela.26] La probabilidad de que se haga una aprehensión en el segundo patrullaje es de 20%.06 0.00 1.00 0.25 0.00 𝛱𝑚 = [0.40 0.60 0. E1: 1 trimestre de retraso E2: 2 trimestres de retraso . La siguiente tabla proporciona una muestra de la experiencia anterior de Banco 1 con préstamos.00 0.40 0.30 0.2ª.50 0.60 0.20 0. Banco 1 ofrece préstamos los que o se liquidan cuando se vencen o se retrasan.Probabilidades iniciales S1 S2 S3 S4 S5 0 0 1 0 0 Si.00 0.00 0.00 0.00 0. Ejercicio 17.00 0.00 0.40 0.25 0.00 0. 𝑚 = 2 Segundo patrullaje y S4= Aprehensión. 𝛱𝑚 = 𝛱0 𝑃𝑚 2 𝛱𝑚 = [0 0 1 0 0] 𝑥 0. Si el pago sobre un préstamo se retrasa más de cuatro trimestres (1 año).60 0.00 0.10 0.00 0. Estados E0: Sin retraso. 00 0.15 0. $100.20 0.50 0.30 0. De éstos.00 0.55 0.00 0.00 0.000 están retrasados tres trimestres.00 0.E3: 3 trimestres de retraso E4: 4 trimestres de retraso E5: Deuda pagada E6: Incobrables Matriz de probabilidades de transición 𝑷= E0 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E0 0.00 0.00 Suponga que actualmente Banco 1 tiene préstamos pendientes que ascienden a $500.00 0.00 0.00 0.00 0. $150.00 0.00 E2 0. y el resto están retrasados más de tres trimestres.00 E4 0.16 0.00 1.00 E1 0.00 0.00 0.20 0.00 0.20 0.000 son nuevos.16 0.20 𝑷𝟐 𝝅𝟎 × 𝑷𝟐 = .00 E6 0.00 0.24 0.00 0.20 0.84 0.00 0.00 0. $100.12 0.00 0.00 0.30 0.50 E5 0.000 están retrasados un trimestre.48 0.00 0.000 están retrasados dos trimestres.00 0.30 0. ¿Cuál sería la situación de estos préstamos después de dos ciclos de préstamos? Matriz Vector 𝝅𝟎= E0 E1 E2 E3 E4 E5 E6 0.00 0.30 0.00 1. $50.00 0.00 0.00 E3 0.00 0.10 0.00 0.00 0.000. Los pacientes que sufren de falla de riñón pueden conseguir un trasplante o someterse a diálisis periódicas. 5% mueren y 5% regresan a la diálisis. Los porcentajes de muertes entre los dos grupos son 20% y 10%. y de los que sobreviven más de un año después de un trasplante. respectivamente. Durante un año cualquiera. 1 trimestre de retraso: 0 dólares. Deuda pagada: 265 000 dólares. En el año después de un trasplante. Definición de variable Xi: Estados de tratamiento de un riñón. 4 trimestres de retraso: 45 000 dólares. 3 trimestres de retraso: 25 000 dólares. 30% se somete a trasplantes cadavéricos y 10% recibe riñones de donadores vivos.Multiplicamos a la matriz vector resultante por la situación de préstamo actual que es 500 000 dólares. Incobrables: 150 000 dólares. 2 trimestres de retraso: 15 000 dólares. 500 000 × La situación después de dos ciclos de préstamos es: Sin retraso: 0 dólares. 30% de los trasplantes cadavéricos y 15% de los recipiendarios de donadores vivos regresan a la diálisis. Estados E1: Diálisis E2: Trasplante cadavérico E3: trasplante de donador vivo E4: Sobreviviente después de un año E5: No sobreviviente después de un año . Ejercicio 17. 10% mueren. De aquellos que están en el grupo de diálisis.4 Pliskin and Tell (1981).2ª. 50 0.00 0.05 0.15 E3: trasplante de donador vivo = 0.00 0.30 0.10 E4 0.00 a) Para un paciente al que se está tratando con diálisis. ¿cuál es la probabilidad de recibir un trasplante en dos años? Paciente que se está tratando con diálisis Matriz Vector para un paciente que se está tratando con diálisis E1 E2 E3 E4 E5 𝝅𝟎= 1 0 0 0 0 𝑷𝟐 𝝅𝟎 × 𝑷𝟐 E2: Trasplante cadavérico = 0.10 E2 0.05 E5 0.00 0.00 0.75 0.90 0.00 1.30 0.15 0. Matriz de probabilidades de transición 𝑷= E1 E2 E3 E4 E5 E1 0.00 0. ¿cuál es la probabilidad de que sobreviva cuatro años más? Matriz Vector para un paciente que ha sobrevivido más de un año .00 0.00 0.20 E3 0.50 0.00 0.05 La probabilidad de recibir un trasplante en dos años es del 20% b) Para un paciente que ha sobrevivido más de un año.00 0.00 0.10 0. 3ª.68 La probabilidad de que un paciente sobreviva 4 años más es 68% Ejercicio 17.2ª. ¿Cuáles son las unidades que describen cada variable? . (a) Exprese el problema como una cadena de Markov. B. C y D con retribuciones monetarias de $4. Las casillas están designadas en sentido horario como A.1 Explique su conocimiento de la relación entre la tasa de llegadas λ y el tiempo entre llegadas promedio. NO ESTÀ RESUELTO CONJUNTO DE PROBLEMAS 18. (b) Determine la ganancia o pérdida esperadas después de lanzar el dado 5 veces. E1 E2 E3 E4 E5 𝝅𝟎= 0 0 0 1 0 𝑷𝟒 𝝅𝟎 × 𝑷𝟒 E4: Sobreviviente después de un año = 0. Por ejemplo. Comenzando en la casilla A. respectivamente.2 $6 y $9. lanzamos el dado para determinar la siguiente casilla a la que nos moveremos en el sentido de las manecillas del reloj. El juego se repite utilizando la última casilla como punto inicial.5 Un juego de lanzamiento de dados utiliza una cuadrícula de cuatro casillas.2 $2. si el dado muestra 2. nos movemos a la casilla C.3ª Ejercicio 18. El tiempo entre llegadas promedio en horas (1/λ) = 1/ (6/2) = 0. Tasa de llegadas promedio por hora (λ) = 2 llegadas cada 6 min. Tasa de llegadas promedio por hora (λ) = X llegadas sucesivas cada 30 min. Tasa de llegada λ es el número medio de clientes que acceden a un sistema por unidad de tiempo por ejemplo en número promedio de clientes que acceden al sistema de reclamos en 1 horas es 15 clientes. determine la tasa de servicio promedio por hora. Tasa de llegadas promedio por hora (λ) = 1 llegada cada 10 min. El tiempo entre llegadas promedio en horas (1/λ) = 1/ (30/10) = 0. λ. . Se completa un servicio cada 12 minutos. determine la tasa de llegadas promedio por hora. Cada 10 minutos ocurre una llegada. El tiempo medio entre llegadas es 1/ λ para el ejemplo sería el tiempo medio entre llegadas de clientes es 1/15 horas.Para entenderlo mejor usaremos un ejemplo aplicativo – teórico de la llegada de clientes para atención de un servicio. El tiempo entre llegadas promedio en horas (1/λ) = 1/10 = 0. El tiempo entre llegadas promedio en horas (1/λ) = 1/ (30/X) = Y llegadas sucesivas/min b) En cada uno de los siguientes casos. Tasa de llegadas promedio por hora (λ) = 10 llegadas cada 30 min. y el tiempo de servicio promedio en horas. y el tiempo entre llegadas promedio en horas.1 llegadas/min Cada 6 minutos ocurren dos llegadas. Tasa de servicio promedio por hora (µ) = 5 servicios cada hora.2 horas) por cada servicio. µ.33 llegadas/min La cantidad de llegadas en un periodo de 30 minutos es de 10.33 llegadas/min El intervalo promedio entre llegadas sucesivas es de .5 horas. El tiempo de servicio promedio en horas (1/µ) = 12 min (0. a) En cada uno de los siguientes casos. 2𝑡 .M. El tiempo de servicio promedio en horas (1/µ) = 7. sabemos sin pensarlo que no puede ser cierta porque entra en conflicto con el hecho de que el tiempo entre averías es exponencial y por. Cada 15 minutos ocurren dos salidas. el tiempo de servicio promedio en horas (1/µ) = 180 min (3 horas) por cada servicio. la distribución exponencial del tiempo para una falla es: 𝑓(𝑡) = 0.5 min (0. El tiempo para que falle la máquina (o su unidad de respaldo) es exponencial y ocurre cada 5 horas en promedio. La probabilidad de que ocurra una falla a las 8:30 P. Por lo tanto. tasa de servicio promedio por hora (µ) = 0.125 horas) por cada salida.1 horas) por cada cliente atendido. Analice la afirmación del operador. porque el valor de tal probabilidad depende de la hora (con respecto a las 8:30 P. Ejercicio 18. 𝑡 > 0 Con respecto a la afirmación del operador. El tiempo promedio de servicio es de . El tiempo de servicio promedio en horas (1/µ) = 6 min (0. consiguiente.2 fallas por hora. La cantidad de clientes atendidos en un periodo de 30 minutos es de 5. Por ejemplo. totalmente aleatorio.M. si en este .M. Tasa de servicio promedio por hora (µ) = 8 salidas cada hora.33 servicios cada hora.3 horas.2𝑒 −0. Tasa de servicio promedio por hora (µ) = 10 clientes atendidos cada hora.) a la cual se calcule. La tasa de fallas 1 promedio de la máquina es 𝜆 = 5 = 0.3ª.3 A Una máquina de servicio cuenta con una unidad de respaldo para su reemplazo inmediato si ocurre una falla. no puede usarse para sustentar o refutar la afirmación del operador.2 NO ESTÀ RESUELTO CONJUNTO DE PROBLEMAS 18. El operador de máquina afirma que ésta “tiene el hábito” de fallar cada noche alrededor de las 8:30 P. 777.3-1: determine lo siguiente: a) El promedio de fallas en una semana.momento son las 8:30 P.2𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠 24ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 7𝑑í𝑎𝑠 𝜆= ∗ ∗ ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑑í𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠 𝜆 = 33.18% c) La probabilidad de que la siguiente falla no ocurra dentro de 3 horas.6 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 b) La probabilidad de al menos una falla en un periodo de 24 horas. es decir.03278 60 Si la hora en este momento es la 1:00 P.2∗24 𝑃(𝑡 ≤ 24) = 0. entonces la probabilidad de que ocurra una falla a las 8:30 P. suponiendo que el servicio se ofrece las 24 horas del día. 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠 𝜆 = 0. 2.2(60) = 0. ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo entre fallas sea al menos de 4 horas? x . En el ejemplo 18..2𝑥3 𝑃(𝑡 > 3) = 1 − 𝑃(𝑡 ≤ 3) = 𝑒 −𝜆𝑡 = 0. −0.2 ℎ𝑜𝑟𝑎 0.88% d) Si no ha ocurrido ninguna falla 3 horas después de la última falla. se incrementa a aproximadamente 0. 𝑃(𝑡 ≤ 24) = 1 − 𝑒 −0.9918 ≈ 99. Estos dos valores extremos muestran que la afirmación del operador no es cierta.. entonces hay una baja probabilidad de que la afirmación del operador sea correcta. 7 días a la semana.M. 10 10 𝑝 {𝑡 < } = 1 − 𝑒 −0.M.5488 ≈ 54.M. M.89% 60𝑚𝑖𝑛 60 . El tiempo entre llegadas a la Oficina Estatal de Hacienda es exponencial. 𝑡 > 20 b) Encuentre la probabilidad de que no lleguen clientes a la oficina alrededor de las 8:15 A. ¿de que no llegue alrededor de las 8:40 A.: 3𝑚𝑖𝑛 3 𝑃 (𝑡 ≤ ) = 1 − 𝑒 −20(60) = 0.2∗1 = 0. 4hr.05 horas. falla 𝑃(𝑡 ≤ 1) = 1 − 𝑒 −0.1813 ≈ 18. 15𝑚𝑖𝑛 15 𝑃 (𝑡 > ) = 1 − 𝑃 (𝑡 ≤ ) 60𝑚𝑖𝑛 20 15 = 𝑒 −20∗20 = 0.05 ℎ𝑜𝑟𝑎 a) Escriba la distribución exponencial que describe el tiempo entre llegadas.21% 60𝑚𝑖𝑛 La probabilidad de que no llegue alrededor de las 8:40 A.M. 1 = 0.M.1889 ≈ 18.M.6321 ≈ 63. con valor medio de . 𝑃(𝑡) = 20𝑒 −20𝑡 .? La probabilidad de que el siguiente cliente llegue antes de las 8:38 A.13% 3.: 5𝑚𝑖𝑛 5 5 𝑃 (𝑡 > ) = 1 − 𝑃 (𝑡 ≤ ) = 𝑒 −20∗60 = 0.M.0067 ≈ 67% c) En este momento son las 8:35 A.05 𝜆 1 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝜆= = 20 0.M. Última 3hr.?. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue antes de las 8:38 A. La oficina abre a las 8:00 A. El último cliente llegó a la oficina a la 8:26.M.