Introducción de Lógica BorrosaIntroducción 1. Introducción a la Lógica Borrosa La Lógica Borrosa es un tipo de lógica que realiza el tratamiento de predicados vagos o también denominados borrosos. Un predicado vago o borroso es aquél que se le aplica a los elementos de un conjunto, en un cierto grado. Es decir, no tiene por qué verificarse o no verificarse, sino que se verificará en un cierto grado. Un predicado de este tipo, en general, no clasifica el universo en dos categorías, es decir, no produce una distinción en dos clases diferenciadas. Ejemplo Predicados vagos son: rico, feliz, joven, grande, alto... A partir de ellos formulamos enunciados borrosos: Juan es alto y no es muy joven. Mi casa es grande. El vecino es feliz porque le ha tocado la lotería. Ante esto, se necesita una nueva herramienta para poder realizar cálculos matemáticos y surge el concepto de conjuntos difusos o borrosos, es decir, conjuntos que no tienen bien definida su frontera frente a los conjuntos clásicos, usados en la Lógica Clásica, en los que la frontera está definida nítidamente. Ejemplo Estudiamos el conjunto de los números reales entre 0 y 1. Dado el intervalo [0,1] y el predicado "más grande que 0.5", vemos que es un predicado nítido ya que lo verifican los números del subconjunto (1/2,1] y no lo verifican los del subconjunto [0,1/2]. Con este predicado se puede observar que se realiza una partición del conjunto inicial [0,1]. Una de las partes satisface la propiedad dada en el predicado y la otra parte contiene los que no satisfacen la propiedad. Sin embargo, en el intervalo [0,1], el predicado "grande" no realiza una partición del conjunto anterior, ya que no queda claro qué es grande y qué no. Por ejemplo, si establecemos que los números grandes son los pertenecientes al intervalo [0.75,1], y preguntáramos, ¿es el 0.7499 un número grande? La respuesta desde el punto de vista de la Lógica Clásica sería que no lo es, puesto que no está dentro del intervalo que hemos propuesto, y esto sería totalmente válido. Pero, si lo consideramos bajo nuestro sentido común, o desde el punto de vista de la Lógica Borrosa, diríamos que 0.7499 es un número grande ya que está muy próximo al valor de 0.75. Un conjunto borroso es aquél al que los elementos no tienen por qué pertenecer o no pertenecer, sino que pertenecen con un cierto grado. Para poder trabajar con los conjuntos borrosos, usamos los grados de pertenencia que los elementos tienen a dicho conjunto borroso. Los grados de pertenencia tienen valores reales definidos en [0,1], es decir, si el grado de pertenencia es 0, el elemento no pertenece al conjunto que estamos estudiando, si el grado de pertenencia es 1, el elemento pertenece al conjunto de estudio; y los valores intermedios (0.33, 0.5, 0.75, ..) tendrán su propia representación dependiendo del problema que estemos estudiando en cada caso. Ejemplo Una persona que mide 2 metros es una persona alta (es alta con grado 1) y una persona que mide 1 metro no es una persona alta (es alta con grado 0). Si tenemos una persona que mide 1.80 metros, podemos decir que es alta (es alta con grado 0.75). Como 0.75 es un valor próximo a 1 podemos decir que esta persona es bastante alta. Si en este ejemplo solamente dispusiéramos de la Lógica Clásica una persona que mida 2 metros sería alta pero si midiese 1.99 metros claramente no, aunque la diferencia entre 2 y 1.99 metros sea mínima. La Lógica Borrosa nos permite dar valores intermedios dentro del límite de verdad y falsedad, ya que hay enunciados cuyo valor de verdad depende del contexto. Por esto, tenemos que tener cuidado al definir el dominio en el cual estamos en cada caso. Ejemplo Si estamos hablando de los jugadores de un equipo de baloncesto, un jugador que mide 1.80 metros se considera que no es tan alto, mientras que si nos fijamos en los alumnos que hay en una clase, podemos afirmar que los alumnos que miden 1.80 metros sí son altos. Este tipo de lógica intenta construir modelos que reflejan el razonamiento humano, ya que éste no puede tomar sólo dos valores de certeza como en el caso de la Lógica Clásica que sólo posee dos valores, 0 y 1, ó verdadero y falso. 2. Historia de la Lógica Borrosa Parece que la Lógica Borrosa es algo reciente y en lo que se lleva trabajando poco tiempo pero sus orígenes se remontan a los tiempos de los filósofos Aristóteles y Platón. Ellos son los primeros en considerar que las cosas no tienen por qué ser de un cierto tipo o dejar de serlo, sino que hay una escala intermedia entre los dos extremos. Es más son los pioneros en considerar que existían diferentes grados de verdad y falsedad. Ejemplo En el caso de los colores, entre el blanco y el negro hay una escala de tonalidades grises. Después de éstos, en el siglo XVIII, David Hume e Immanuel Kant continuaron pensando estas ideas. Ambos concluyeron en que el razonamiento se adquiere gracias a las vivencias a lo largo de nuestra vida. Hume creía en la lógica del sentido común y Kant pensaba que sólo los matemáticos podían proveer definiciones claras y que por lo tanto había principios contradictorios que no tenían solución. Uno de los ejemplos dados por Kant es que, la materia podía ser dividida infinitamente, pero al mismo tiempo no podía ser dividida infinitamente. En conclusión, ambos detectaron algunos principios contradictorios en la Lógica Clásica. A principios del siglo XX, el filósofo y matemático británico Bertrand Russell divulgó la idea de que la lógica produce contradicciones. Realizó un estudio sobre las vaguedades del lenguaje, concluyendo con precisión que la vaguedad es un grado. También en este tiempo Ludwing Wittgenstein, estudió las diferentes acepciones que tiene una misma palabra. Éste llegó a la conclusión de que en el lenguaje una misma palabra expresa modos y maneras diferentes. En 1920 Jan Lukasiewicz, desarrolló la primera lógica de vaguedades. Para él los conjuntos tienen un posible grado de pertenencia con valores que oscilan entre 0 y 1, y en este intervalo existen un número infinito de valores. Jan Lukasiewicz El padre del término "borroso" fue Lofti Asier Zadeh cuando en 1965 publicó "Fuzzy Sets" (Conjuntos Difusos). Las tesis que propone surgen del estudio de pensadores de distintas disciplinas que como él, tenían una visión de los problemas diferente de la lógica tradicional. La paradoja del conjunto de Bertrand Russell, el principio de incertidumbre de la física cuántica de Werner Heisenberg, la teoría de los conjuntos vagos de Max Black y la aportación de Jan Lukasiewiz, influyeron para que Zadeh publicase el ensayo "Fuzzy Sets" en la revista "Information and Lofti A. Control" y tres años después en 1968, "Fuzzy Algorithm". Zadeh Al comienzo las ideas publicadas por Zadeh no fueron seguidas por la comunidad científica del momento, pero con el tiempo comenzó a tener seguidores lo que produjo que sus teorías fuesen ampliadas y se asentaran sus conocimientos. La intención de Zadeh era la creación de un formalismo para manejar de forma más eficiente la imprecisión del razonamiento humano. Es en 1971, cuando realiza la publicación de "Quantitative Fuzzy Semantics" en donde aparecen los elementos formales que dan lugar a la metodología de la Lógica Borrosa y de sus aplicaciones tal y como se conocen en la actualidad. A partir de 1973, con la teoría básica de los controladores borrosos de Zadeh, otros investigadores comenzaron a aplicar la Lógica Borrosa a diversos procesos. Se establecen el controlador ha realizado su trabajo correctamente con la consiguiente satisfacción por parte de los usuarios de dicho tren. En 1974 Assilian y Mamdani en el Reino Unido desarrollaron el primer controlador difuso diseñado para la máquina de vapor. Es también en este año cuando la empresa Omron desarrolla los primeros controladores difusos comerciales y es que 1987 es considerado como el "fuzzy boom" debido a la gran cantidad de productos basados en Lógica Borrosa que se comercializan. Para finalizar. Aplicaciones de la Lógica Borrosa La Lógica Borrosa tiene gran utilidad ya que ella nos permite tratar problemas demasiado complejos. sin producir alteraciones entre los pasajeros. aparecen los algoritmos genéticos que sumados a las redes neuronales y los sistemas fuzzy son herramientas de trabajo muy potentes en el campo de los sistemas de control. en una planta cementera en Dinamarca. traductores lingüísticos. Takagi y Sugeno desarrollan la primera aproximación para construir reglas fuzzy a partir de datos de entrenamiento. Gracias a este tipo de lógica se ha permitido modelizar y resolver situaciones consideradas intratables desde el punto de vista de la Lógica Clásica.L. estableciendo proyectos llevados a cabo por el Ministerio de Industria y Comercio (MITI) y la Agencia de Ciencia y Tecnología (STA) en consorcio con el Laboratory for International Fuzzy Engineering Research (LIFE). Fuji aplica la Lógica Borrosa para el control de inyección química en plantas depuradoras de agua por primera vez en Japón. E. En 1993. Se buscan relaciones entre las dos técnicas obteniéndose como resultado los sistemas neuro-fuzzy. mal definidos o para los cuales no existen modelos matemáticos precisos. De forma paralela al desarrollo de las aplicaciones de la lógica difusa. controladores de ascensores e ingeniería de terremotos. que usan métodos de aprendizaje basados en redes neuronales para identificar y optimizar sus parámetros.H. Realizando una división de los ejemplos en tres grandes grupos tenemos: Productos creados para el consumidor: Lavadoras difusas (Matsuhita Electronic Industrial). hornos microondas. Otro factor decisivo para continuar con la investigación de este campo es el interés en las redes neuronales y su semejanza con los sistemas fuzzy. televisores. . ya que permitía que el metro arrancara y frenara con gran suavidad.varios grupos de investigación en lógica difusa en algunas pequeñas universidades japonesas. los profesores Terano y Shibata en Tokio y los profesores Tanaka y Asai en Osaka hacen grandes aportaciones tanto al desarrollo de la teoría de la Lógica Borrosa como al estudio de sus aplicaciones. La implantación real de un controlador de este tipo no fue realizada hasta 1980 por F. Ha sido precisamente aquí. Desde entonces. máquinas y en diversos ámbitos de la vida cotidiana. obteniéndose excelentes resultados como en el caso del metro de Sendai en Japón. 3. En los últimos años la Lógica Borrosa se ha utilizado en distintos tipos de instrumentos. cámaras de vídeo. sistemas térmicos. Algunos casos por ejemplo son los estabilizadores de imágenes en grabadoras de vídeo. creándose estrechas colaboraciones entre el gobierno. las universidades y las industrias. Mamdani En 1987 Hitachi usa un controlador fuzzy para el control del tren de Sendai. Smidth & Co. el cual usa uno de los sistemas más novedosos creados por el hombre. También se ha usado esta técnica en la industria. en donde más apogeo ha tenido la Lógica Borrosa. html Software para diagnóstico médico. El estudiante selecciona el tipo de enfermedad y dependiendo de los síntomas que el sistema tenga registrados más los síntomas que el paciente de dicho alumno le exponga. controles de tráfico.0/index.org/espa/anales/2003/De%20Andres%202003.ijesp.pdf Módulo hardware mediante lógica difusa. comprensión de datos.pdf Determinación de las IBNR mediante lógica difusa. http://www.udec.uy/simplac2002/Ponencias/Inforedu Ejemplo A continuación se muestra una interfaz que está en desarrollo realizada mediante Lógica Borrosa.es/asepuma/recta/ordinarios/6/6-2. automóviles (caso de los sistemas de transmisiones.pt/pessoas/jaime/Documentos/CIT. http://www. de frenos y mejora de la eficiencia del uso de combustible en motores).unesco. EDIMED.actuarios. entorno de desarrollo para sistemas de Lógica Borrosa.PDF Algoritmo de control borroso usando el dispositivo MSP430x14x. http://focus. Software: Diagnóstico médico. seguridad. . http://dei-s1. http://www.es/Xfuzzy/Xfuzzy_3.pdf Xfuzzy 3.edu.dei. A continuación se muestran aplicaciones en las que se pueden consultar a través de la página web algunas de las características.inf.ti. http://sipi.org.tq.cl/~mvaras/papers/2003/fuzzy-IDEAS-2003.acm.cnm. http://www. Sistemas: Elevadores. http://www. el cual puede formar parte del aprendizaje y evaluación de los estudiantes de Medicina.com/lit/an/slaa235/slaa235. trenes.D05.estabilizadores de imágenes digitales (Matsuhita) y sistemas de foco automático en cámaras fotográficas.edu/~kosko/SMCFinal.com/Vol2No1/IJESP2-8Hosseinzadeh. el sistema debería dar un diagnóstico apropiado según el tipo de enfermedad del paciente.pdf Sistema experto para evaluar daños postsísmicos en edificios.pdf Razonamiento para el estudio de la probabilidad de eventos borrosos http://delivery.uminho.uv.co:5050/dspace/bitstream/1992/413/1/mi_798.uniandes. sistemas de control de acondicionadores de aire que evitan las oscilaciones de temperatura y sistemas de reconocimiento de escritura. tecnología informática y bases de datos difusas para almacenar y consultar información imprecisa (uso del lenguaje FSQL).org Diseño de bases de datos difusa modelada con UML.pdf Control de un generador de inducción como un freno eléctrico.imse. http://espejos.pdf Modelización de magulladuras por disparos en armaduras con un sistema adaptativo de sistema difuso. EDIMED es una herramienta software para la realización de diagnósticos médicos. http://dspace.com/product/cart/pdfs_spanish/CE124%20Spanish. uso y una información más detallada: Gestión de recursos humanos mediante Lógica Borrosa.usc.pdf Evaluación de lógica difusa en el control de máquinas eléctricas. http://www.0. La mesa de mi habitación mide más de 1.. La hoz que encontró mi padre en el cuarto de labranza es muy antigua.. de un coche.. Caro: es un predicado que se puede afirmar o negar de un viaje. de un tablón de madera. Tener más de 40 años: es un predicado que se puede afirmar o negar de una persona.. El Pirulí de Madrid es uno de los edificios más altos de Madrid.Contenido 1. ¿Qué es un predicado? Un predicado es lo que se afirma o niega de un objeto.. de un mueble. de un edificio . de un apartamento. Hay que reformar el tejado de la casa de veraneo ya que tiene más de 40 años.. de un reloj de oro. El precio del aceite de oliva es muy caro. Medir más de 1.. El universo es el conjunto de los elementos a los que se puede aplicar un predicado..60 de largo por 90 centímetros de ancho.. Ejemplo Alto: es un predicado que se puede afirmar o negar de una persona. de un cuadro. Ejemplo Mi amigo Miguel es alto. Ejemplo El predicado "ser par" se puede aplicar en el caso del universo A = {Números naturales menores que 10} El predicadado "ser rubios" o el predicado "tener más de 2 hijos" se puede aplicar en el caso del universo B = {Habitantes de un país} .. Para expresar nuestras ideas nos ayudamos de predicados y con ellos construimos enunciados.60 metros: es un predicado que se puede afirmar o negar de una persona. En Agosto el viaje a Finlandia es mucho más caro que en el mes de Octubre. de una mesa. de un árbol. 9". Ejemplo Dado el universo A = {Números naturales menores que 10} y el predicado clásico P = "ser par". tiene asociado una función del universo en {0.8} Subconjunto de elementos de A que no verifican el predicado P: ¬ = {1. El predicado "gozar de buena salud" se puede aplicar en el caso del universo C = {Personas adultas de una familia} El predicado "ser barato" se puede aplicar en el caso del universo D = {Viajes que se ofertan para el mes de Marzo} El predicado "tener más de 20 años" se puede aplicar en el caso del universo E = {Alumnos de la facultad que han aprobado el 50% de los créditos de la carrera} 1. y el de los que no lo verifican. su función de pertenencia será: . el 0. podemos realizar la división en dos conjuntos claramente diferenciados: Subconjunto de elementos de A que verifican el predicado P: = {2. φ P(x) = { 0. Esta función recibe el nombre de función característica o de compatibilidad: 1.2] y el predicado nítido P = "mayor de 0. de forma que a cada elemento que verifica el predicado le hace corresponder el 1.7.1 Predicados clásicos Un predicado clásico o nítido.5. si x verifica P φ P: X → {0.1}. a cada elemento le hace corresponder el grado en que verifica dicho predicado. si x no verifica P Ejemplo Dados A = [-1.9} A continuación se muestra la representación gráfica de los subconjuntos anteriores. y a cada elemento que no lo verifica. es aquél que al aplicarlo a los elementos de un universo.3. lo divide en dos subconjuntos: el de los elementos que verifican dicho predicado.4.1}.6. Cada predicado nítido P en un universo X. Es decir. la afirmación "x es G" es falsa. µG(x) = 0: si x no verifica G.9 µ P(x) = { 0. si x ≤ 0. la afirmación "x es G" es verdadera. los grandes y los no grandes ¬ .9 es grande. ¿qué pasaría para el valor de µG(0. es decir. por lo tanto no podemos hacer tal clasificación en dos subconjuntos. no se puede obtener una división en dos subconjuntos claramente diferenciados. Ejemplo Tenemos el predicado P = "joven". la siguiente pregunta es. el de los que cumplen dicho predicado y el de los que no lo cumplen. partimos de los tonos amarillos que representarán a un jugador de baloncesto joven.9) = 1) que nos indica que 0.89)? Si damos µG(0. si x > 0.1}. ¿en dónde podemos establecer un corte que nos separe lo que es grande y lo que no? Si diésemos dicho corte de separación estaríamos contradiciendo nuestra propia intuición.9 1. que representarán a un jugador de baloncesto no joven. vemos que el predicado G no admite una definición por medio de µ G: X → {0. es decir. por lo tanto. no lo dividen perfectamente en dos subconjuntos. Pero.9). intervalo de la recta real. de forma que a cada elemento le haga corresponder el grado en que verifica G. y el predicado G = "grande".89) = 1. hasta llegar en la escala a los tonos azules. En este caso para representar el predicado "joven" hacemos uso de los colores. Un predicado P en el universo A es borroso si existe algún elemento x de A tal que la afirmación "x es P" no es ni verdadera ni falsa. al aplicarlos a los elementos de un universo. Ahora estudiamos el caso de µG(0. 1. . se definiría: µG(x) = 1: si x verifica G. fuzzy o flexibles. A este tipo de predicados se les denomina predicados borrosos. y lo aplicamos al conjunto A = {Jugadores de baloncesto}.2 Predicados borrosos Hay predicados P que. al cual le podemos dar el valor 1 (µG(0. Por medio de la definición anterior vemos que µG(1) = 1 y que µG(0) = 0. Ejemplo Dado el conjunto A = [0.1]. Si fuera así. Al igual que en el ejemplo anterior.5. Luis. se ha de conocer la altura del mismo. y esto es verdadero.1}. Carlos. con los predicados borrosos no podemos establecer subconjuntos definidos dentro de un universo. µP(Carlos) = 0. de forma que a cada elemento le haga corresponder el grado en que verifica el predicado. por eso para asignar el grado en que cada elemento verifica el predicado "ser alto".9. en concreto. Podemos decir que un jugador de baloncesto que tiene una edad de 19 años (zona amarilla) es joven. También con este ejemplo vemos que el contexto influye en la determinación o significado que tiene un predicado. ni podríamos asociarle una función en {0. pero sin embargo. Como conclusión. con este predicado borroso no podemos realizar una división en dos subconjuntos.8. En este caso. Ejemplo Sea el conjunto X = {Marta.1]. sí podemos asociar al predicado una función del universo en el intervalo [0. Con este ejemplo observamos que no existe una frontera establecida claramente entre los que son jóvenes y los que no lo son. µP(Luis) = 0. Cuando llegamos a un jugador con una edad 30 años (zona azul claro) decimos que es menos joven que el de 20 años. ya que por ejemplo una persona de 40 años no es joven en el caso de los jugadores de baloncesto pero sí lo es cuando hablamos de una persona que es padre de familia. µP(Lola) = 0. como en otros muchos. de la siguiente manera: . en este predicado. el grado en que cada elemento verifica el predicado va a depender de una característica numérica. dependerá de la altura.3 De esta forma la función de pertenencia se podría definir sobre las posibles alturas. Y uno que tiene 40 años decimos que no es joven (zona azul oscuro). Lola}. Supongamos que las alturas son: Nombre Altura (centímetros) Marta 179 cm Luis 184 cm Carlos 159 cm Lola 130 cm Se podría asignar los siguientes valores de pertenencia: µ P(Marta) = 0. el predicado P = "ser alto". pero también lo es uno de 20 y otro de 20 y 3 meses. si x < 25 µ J(x) = { 8/3 . Conjunto clásico y conjunto borroso En el apartado anterior hemos utilizado los términos conjunto y subconjunto.70] y el predicado borroso J = "ser joven". Por otra parte.13. lo que nos indica que es joven y a una persona con 38 años se le asigna un grado de 0. Un conjunto clásico es una colección de elementos. Óscar. El estudio de los mismos será el objetivo de la presente sección.(1/15)x. Roberto. 2. dada por φ A(x) = { 0. si x pertenece A φ A: X → {0. el estudio de los predicados clásicos y borrosos nos permitirá hablar de conjuntos borrosos o fuzzy. Dado un subconjunto clásico A de X. puede ser el conjunto de elementos que verifican un predicado nítido. para un valor menor de 25 años se le asigna el valor 1.1}. Pedro}. se le puede asociar su función característica. si el grado en que x pertenece a A es 0. Para las edades comprendidas entre 25 y 40 años una persona será joven de acuerdo al grado de pertenencia asignado por la función µ J. es decir. cada elemento verifica el mismo predicado en un cierto grado entre 0 y 1. Marcos. se le asigna un valor de 0. si x no pertenece A es decir. Aurora. φ A(x) = 1 si el grado en que x pertenece a A es 1 y φ A(x) = 0. refiriéndonos a una colección de elementos que tienen una determinada característica. si 25 ≤ x ≤ 40 0. Marta. 1. Ejemplo Dados A = [0. la función de pertenencia del mismo podría estar definida de la siguiente forma: 1. y la función de pertenencia asociada asignará a cada elemento dicho grado. Ejemplo Sea el conjunto de estudiantes {Lucía.66. Recordamos que dado un predicado borroso. por lo que es menos joven que la persona de 30 años. Almudena. Por ejemplo a una persona con 30 años se le asigna un grado de pertenencia de 0. nos indica que una persona es joven y para una edad mayor de 40 años. Por ejemplo. si x ≥ 40 En este caso. el predicado P = "no ser de Madrid" y la siguiente tabla en donde se recogen las ciudades de origen de cada uno de ellos: Nombre Ciudad de origen Lucía Segovia Óscar Móstoles-Madrid Marcos Leganés-Madrid . lo que nos dice que una persona no se considera joven. ε = x-2ε también es grande.5. B = {x perteneciente a X | x > 70} 2. 1. A={x perteneciente a X| "x es grande" es verdadera} 2.2. De la misma forma (x-ε) . 0.100] son grandes. µP(Marta) = 1. 0. µB(p2) = 0. tenemos dos subconjuntos diferenciados: 1. los conjuntos clásicos no son válidos para trabajar con predicados borrosos. p4. Repitiendo el razonamiento sucesivas veces. sino que pertenecen según un cierto grado entre 0 y 1.6/p5} o mediante la función de pertenencia con los siguientes valores: µB(p1) = 0. Ejemplo Dado el universo de personas X={p1. µP(Pedro) = 0.1] que a cada elemento de X le hace corresponder el grado en que verifica dicha propiedad. sino que cada elemento verifica dicho predicado en un cierto grado. µB(p3) = 0.9. Por tanto. para un predicado borroso no se puede obtener de forma precisa el conjunto de los elementos que lo verifican. Los conjuntos borrosos son aquéllos cuyos elementos no tienen por qué pertenecer (grado de pertenencia 1) o no pertenecer (grado de pertenencia 0). . De esta forma todo conjunto borroso A en el universo X tiene asociada una función de pertenencia µA:X →[0. p5} y el predicado B="bueno". Existen varias formas de representar los conjuntos borrosos. µP(Almudena) = 0. Roberto Córdoba Marta Ciudad Real Almudena Madrid Aurora Lugo Pedro Alcobendas-Madrid Expresamos el subconjunto de los estudiantes que provienen de otras ciudades de la siguiente forma: = {Lucía. Ejemplo Dado el universo X=[1. en este tutorial se utilizarán las dos más usuales.4/p4. µP(Óscar) = 0. ¬B = {x perteneciente a X | x ≤ 70} El problema aparece cuando intentamos obtener dos subconjuntos del predicado A. x=100). Por lo tanto. para el predicado B. µP(Roberto) = 1.5/p1. p3. Marta. entonces existe un ε > 0 tal que x-ε también es grande. 0. 0. el subconjunto = {personas buenas} puede venir definido por: = {0.7. lo que contradice nuestra intuición. p2.100] y los predicados A="número grande" y B="mayor de 70" podemos decir que. µB(p4) = 0. µP(Marcos) = 0. Determinando la función de pertenencia. µP(Aurora) = 1. Mediante la notación valor/elemento dentro de un conjunto de elementos. Roberto.2/p3.9/p2. ¬A={x perteneciente a X| "x es grande" es falsa} Ya que si tenemos un x perteneciente a A (por ejemplo. llegaremos a que todos los números en [1. Aurora} La función de pertenencia de P o función característica tendrá los siguientes valores: µP(Lucía) = 1. 85/Cádiz. 0. Valencia. µP(Cádiz) = 0. 0. µP(Asturias) = 0. la persona p1 es buena con un grado 0.3.4/Sevilla.2. la función de pertenencia de un conjunto A sobre un universo X será de la forma: µ A:X → [0. si µA(x) = 1 el elemento sí pertenece totalmente al conjunto. P puede venir dado por: = {0.65 Por ejemplo. 0.6. su función de pertenencia (función característica) tomará los valores en {0. Ejemplo Dado el universo de provincias españolas.9/Barcelona. Sevilla.65/Cáceres} o mediante su función de pertenencia: µP(Madrid) = 0. los tomará en el intervalo [0. . Ávila y Cáceres} y el predicado P = "tener temperatura agradable" y la siguiente tabla en donde se recogen las temperaturas de algunas provincias españolas previstas para un cierto día de primavera. Madrid es una provincia que tiene una temperatura agradable con grado 0. Si el conjunto es nítido.75/Valencia. Cádiz.85.1}. µP(Barcelona) = 0.1].8.2/Ávila. 0. 0. Por ejemplo.4.6 mientras que Cádiz lo es con un grado de 0.2.9. lo que nos indica que Cádiz tiene una temperatura más agradable que Madrid.6/Madrid. Es decir. 0.6. Funciones de pertenencia La función de pertenencia de un conjunto nos indica el grado en que cada elemento de un universo dado. Barcelona Bilbao. Provincia Temperatura ºC Madrid 30 Barcelona 24 Bilbao 20 Sevilla 33 Valencia 19 Cádiz 23 Asturias 15 Ávila 10 Cáceres 29 Se define como el subconjunto de provincias de X con temperaturas agradables. Asturias. 0. 3. 0.1]. pertenece a dicho conjunto. µP(Ávila) = 0.85. µP(Sevilla) = 0.75.8/Bilbao. Si µA(x) = 0 el elemento no pertenece al conjunto. mientras que si es borroso.3/Asturias. donde µA (x) = r si r es el grado en que x pertenece a A. X = {Madrid. µP(Cáceres) = 0. µP(Valencia) = 0.µB(p5) = 0. µP(Bilbao) = 0.5 mientras que la persona p3 lo es con grado 0. Función Trapezoidal Definida por sus límites inferior a. etc. y los límites de soporte inferior b y superior c. para que los cálculos no sean complicados. si los valores de b y c son iguales. de la aplicación a construir. del usuario. son muy utilizadas las triangulares y las trapezoidales: Función Triangular Definida mediante el límite inferior a. A la hora de determinar una función de pertenencia. En este caso. Dicha función dependerá del contexto (o universo) en el que se trabaje. No ocurre lo mismo cuando se intenta obtener la función de pertenencia de un conjunto formado por los elementos que verifican un predicado borroso. normalmente se eligen funciones sencillas. se obtiene una función triangular. En particular. el superior b y el valor modal m. en aplicaciones en distintos entornos. La función característica del conjunto de los elementos que verifican un predicado clásico está perfectamente determinada. del experto. tal que a<m<b. superior d. . Las funciones de pertenencia son una forma de representar gráficamente un conjunto borroso sobre un universo. tal que a<b<c<d. La función no tiene porqué ser simétrica. Casos especiales de estas funciones trapezoidales son aquéllas en las que algunos parámetros toman valores no finitos: Funciones Trapezoidales con parámetros a = b = .∞ o Funciones Trapezoidales que tienen los parámetros c = d = + ∞ . aunque tienen una asíntota horizontal en dicho valor. cuanto mayor es el valor de k. Esta función se caracteriza por un rápido crecimiento a partir de a. Ejemplo Cuando los valores de los parámetros son a = 5 y k = 3. se obtienen las siguientes funciones: . el crecimiento es más rápido. también se usan las siguientes: Función Gamma Definida por su límite inferior a y el valor k>0. Nunca toma el valor µA (x) = 1. Además de las funciones de tipo lineal anteriormente expuestas. que es lo usual. superior b y el valor m o punto de inflexión. El crecimiento es más lento cuanto mayor sea la distancia a-b. tales que a<m<b. Para el caso concreto de m=(a+b)/2. Ejemplo Cuanto se toma el valor de a = 3.5 se obtiene la siguiente gráfica: . el valor de b = 10 y m = (3+10)/2 = 6. se obtiene la siguiente gráfica. Función Sigmoidal Definida por sus límites inferior a. Esta función es la típica campana de Gauss y cuanto mayor es el valor de k. Función Gaussiana Definida por su valor medio m y el parámetro k>0. más estrecha es dicha campana. Ejemplo Para los valores k = 5 y m = 3: . inicialmente nos basaremos en las operaciones con conjuntos clásicos que se pueden ver en el anexo I.1 Extensión de las operaciones clásicas De la misma manera que se realizan operaciones con los conjuntos clásicos. se definen operaciones para los conjuntos borrosos. Intersección de conjuntos El primer problema que nos planteamos es la obtención de la intersección de dos conjuntos borrosos. unión y complemento de los conjuntos borrosos. un elemento x pertenece a la intersección P∩Q. 4. vemos qué ocurre en el caso clásico. Cuanto mayor es el valor de k. si x pertenece a P φ Q(x) = { 1. Tomando las respectivas funciones características como: φ P(x) = { 1. Ejemplo Para los valores de k = 4 y m = 7 se obtiene: 4. si y sólo si x pertenece a P y x pertenece a Q. Función Pseudo-Exponencial Definida por el valor medio m y el parámetro k>1. Para estas definiciones. si x pertenece a Q . Dados dos subconjuntos clásicos P y Q del universo X. el crecimiento es más rápido y la campana es más estrecha. Operaciones con conjuntos borrosos En este apartado se presentan algunos modelos matemáticos para realizar las operaciones de intersección. Para ello. si y sólo si dicho elemento x no pertenece a P. si x no pertenece a Q La función característica de la intersección quedará: 1. si φP(x) = 1 φ P (x) = { 1. La función característica está definida mediante: c 0. si y sólo si x pertenece a P o x pertenece a Q. un elemento x pertenece al complemento Pc.φQ(x)) Igual que en el caso de la intersección de conjuntos borrosos la definición de la unión de dos conjuntos no es trivial. si x no pertenece a P 0.µQ(x)) Complemento de un conjunto Para finalizar. si x no pertenece a Q La función característica de la unión será: 1. si φP(x) = 0 El complemento de un conjunto borroso no es una operación tan claramente definida como en el caso clásico. y que pertenece a Q en otro grado (µQ (x)). si x pertenece a Q φ P(x) = { φ Q(x) = { 0. 0.1]. y a Q en otro grado entre 0 y 1 (µQ(x)).φQ(x)) Sin embargo. en el caso de los conjuntos borrosos. un elemento x pertenece a la unión de PUQ. veamos qué ocurre en el caso de los conjuntos clásicos cuando tenemos que realizar la operación del complemento de un conjunto. la pregunta es: si un elemento pertenece a P en un cierto grado entre 0 y 1 (µP(x)). dados dos subconjuntos P y Q del universo X. Dadas las funciones de pertenencia µP: X → [0. si x pertenece a P 1.1] y µQ:X → [0. Dadas las respectivas funciones características: 1. la definición del conjunto intersección no es tan trivial. una primera forma de definir la intersección de dos conjuntos borrosos es: µP∩Q(x) = Min(µP(x). ¿en qué grado pertenece a Pc? ¿Cuál es el valor de µPc (x)? . si un elemento pertenece a P en un cierto grado entre 0 y 1 (µP (x)). si x no pertenece a P 0. ¿ en qué grado pertenecerá a P∩Q? Es decir. Teniendo las funciones de pertenencia µP: X → [0. si φP(x) = 1 o φQ(x) = 1 φ PUQ(x) = { 0. en otro caso O lo que es lo mismo. ¿en qué grado pertenecerá a PUQ? ¿Qué valor tomará µP U Q(x)? Fijándonos en el modelo del conjunto clásico. φP U Q(x) = Max (φP(x). ¿qué valor tomará µP∩Q(x)? Tomando como modelo el caso clásico. en otro caso O lo que es lo mismo.1] y µQ:X → [0.1]. Dada la función de pertenencia µP: X → [0. φ P∩Q(x) = Min (φP(x).µQ(x)) Unión de conjuntos En el caso de los conjuntos clásicos.1]. y sabiendo que un elemento pertenece a P en un cierto grado 0 y 1 (µP (x)). Dado el subconjunto clásico P del universo X. si φP(x) = 1 y φQ(x) = 1 φ P∩Q(x) = { 0. definimos la unión de dos conjuntos borrosos como: µPUQ(x) = Max(µP(x). recordamos que existen varios tipos de funciones de pertenencia. µQ(x)) = µP(x) · µQ(x) ∀ x ∈ X En la siguiente gráfica se muestra la función producto como función de dos variables: . se consideran dos modelos: El producto La función de pertenencia de la intersección viene dada mediante la siguiente expresión: µP∩Q(x) = Prod(µP(x). la intersección y el complemento en conjuntos borrosos. En el caso de la intersección. Dados dos conjuntos borrosos P y Q y sus funciones de pertenencia µ P: X → [0. Realizando una semejanza con los conjuntos clásicos se podría definir el complemento de un conjunto borroso P.1] y µQ:X → [0. también son comunes otras formas de representar la unión.1].2 Otras operaciones con conjuntos borrosos Aunque los modelos de operaciones presentados en el apartado anterior son los más habituales al ser una extensión del caso clásico.µP(x) Para poner en práctica los conocimientos adquiridos con la teoría anteriormente expuesta. para después realizar las distintas operaciones. Se puede empezar con un ejercicio sencillo en el que seleccionando algunos de los conjuntos discretos dados. 4. se presentan a continuación algunos ejercicios donde se realizan las operaciones definidas en los conjuntos borrosos. Este apartado se dedica a desarrollarlas. nos limitaremos a trabajar con ellas. pero como las más utilizadas son las trapezoidales y las triangulares. se presentan los diferentes modelos para cada una de las operaciones. Ahora vamos a poder realizar operaciones con conjuntos borrosos en un universo continuo. En los diferentes ejercicios se podrán dibujar mediante la introducción de parámetros diferentes formas trapezoidales y triangulares. Para ello. se pueden realizar las diferentes operaciones. mediante la función de pertenencia: µPc(x) = 1 . µQ(x)) = Max (0. µQ(x)) = µP(x) + µQ(x) .[µP(x) · µQ(x)] ∀ x ∈ X Para entender mejor este tipo de unión se muestra la gráfica: . La operación de Lukasiewicz En este caso la función de pertenencia se define como: µP∩Q(x) = W (µP(x). se consideran otros dos modelos: La suma producto La función de pertenencia de la unión vendrá dada por: µPUQ(x) = Prod* (µP(x). µP(x) + µQ(x) -1) ∀ x ∈ X A continuación se pinta la función de Lukasiewicz: En el caso de la unión. La suma acotada Definimos la función de pertenencia de la unión de la siguiente manera: µPUQ(x) = W* (µP(x).µ P (x) / 1 + λµ P (x) λ > -1 Un ejemplo de la negación de Sugeno se muestra a continuación con el valor de λ = 2: . dependiendo del valor que tome el parámetro λ vienen dadas por: c µ P (x) = 1 . por último. µP(x) + µQ(x)) ∀ x ∈ X A continuación se muestra una gráfica con la operación de dos variables: Y. en el caso del complemento o la negación de un conjunto borroso se presenta el modelo dado por: La familia de negaciones de Sugeno Las funciones de pertenencia. µQ(x)) = Min (1. 1]. entonces. y por lo tanto. µQ: X → [0. Para ello tendremos en cuenta que : Ø es el conjunto borroso cuya función de pertenencia es µØ(x) = 0 ∀ x X es el conjunto borroso cuya función de pertenencia es µX(x) = 1 ∀ x P ⊆ en Q si µP(x) ≤ µQ(x) ∀ x Dados tres conjuntos P. µP U (P ∩ Q) (x) = µP (x) 8. µP∩Q (x) = µQ∩P (x). hacemos un repaso de las principales propiedades que pueden presentar dichas operaciones. Distributiva P ∩ (Q U R) = (P ∩ Q) U (P ∩ R). de esta forma.1] se definen las siguientes propiedades para las operaciones: Respecto de la intersección y de la unión: 1. Elemento absorbente P ∩ Ø = Ø. las funciones de pertenencia coincidirán. ∀ x del universo P U Q = Q U P. por lo tanto. µPUQ (x) = µQUP (x).3 Propiedades de las operaciones de los conjuntos borrosos Antes de seguir adelante y presentar nuevos modelos para las operaciones con conjuntos borrosos. Idempotencia P ∩ P = P. µP∩P (x) = µP (x) P U P = P. Q y R y sus funciones de pertenencia µ P: X → [0. Ley de absorción P ∩ (P U Q) = P. por lo tanto. por lo tanto. µPU(QUR) (x) = µ(PUQ)UR (x) 3. por lo tanto. Monotonía . µP ∩ Ø (x) = Ø P U X = X.1] y µR: X → [0. de esta forma µP ∩ (P U Q) (x) = µP (x) P U (P ∩ Q) = P. µP U X (x) = µP (x) 7. Conmutativa P ∩ Q = Q ∩ P. donde µØ (x) = 0 ∀ x ∈ X. X es el elemento neutro de la intersección P U Ø = P. donde µX (x) = 1 ∀ x ∈ X. µP∩(Q ∩ R) (x) = µ(P∩Q)∩R (x) P U (Q U R) = (P U Q) U R. así obtenemos. Elemento neutro P ∩ X = P. por lo tanto. Ø es el elemento neutro de la unión 6. entonces. ∀ x del universo 2. es decir. así obtenemos. µPUP (x) = µP (x) 5. Asociativa P ∩ (Q ∩ R) = (P ∩ Q) ∩ R. es decir. µPU(Q∩R) (x) = µ(PUQ)∩(P U R) (x) 4.4. µP∩(QUR) (x) = µ(P∩Q)U(P ∩ R) (x) P U (Q ∩ R) = (P U Q) ∩ (P U R). ∀ x ∈ X Si queremos que la intersección sea conmutativa. A ∩ C ⊆ B ∩ D y A U C ⊆ B U D.4.1 Normas triangulares o t-normas Para representar la intersección de dos conjuntos borrosos.1] → [0. siendo el 1 el elemento neutro de T. entonces.µS (x)) por lo tanto. C ⊆ D. si µA (x) ⊆ µB (x). µ ¬ (¬P) (x) = µP (x) 2. T ha de ser creciente. Doble negación ¬¬ P = P.µR (x))) ∀ x. µA (x) ∩ µC (x) ⊆ µB (x) ∩ µD (x) y µA (x) ∪ µC (x) ⊆ µB (x) ∪ µD (x) Respecto de la negación: 1. µ ¬ (P U Q) (x) = µ(¬P ∩ ¬Q) (x) 4. Si A ⊆ B. Por tanto buscamos las funciones T: [0. entonces. µQ (x)) = T(µQ (x). µX (x)) = T(µP (x). µV (x)) ≤ T(µQ (x). en orden a representar dichas operaciones. De esta forma.1] x [0. Elemento neutro el conjunto X: µP∩X(x) = µP(x) con lo que T(µP (x).1) = µP (x) ∀ x. Las funciones que se van a desarrollar en este apartado son: Normas triangulares o t-normas Conormas triangulares o t-conormas Negaciones estrictas 4. T(µP (x). µC (x) ⊆ µD (x). con lo que tendremos. se hace de una forma más general. Monótona creciente: Si µP (x) ≤ µQ (x) ∀ x y µR (x) ≤ µS (x) ∀ x.µP (x)) ∀ x. T(T(µP (x). que nos permitan obtener la función de pertenencia del conjunto intersección de la siguiente forma: µP∩Q(x) = T(µP(x). t-conormas y negaciones estrictas Aunque ya se han expuesto diversas formas de representar las operaciones en conjuntos borrosos. con lo que T ha de ser conmutativa.1] que cumplan las siguientes propiedades: . entonces. Leyes de Morgan ¬(P ∩ Q) = ¬P U ¬Q. µ ¬ (P ∩ Q) (x) = µ(¬P U ¬Q) (x) ¬(P U Q) = ¬ P ∩ ¬Q. entonces.4 T-normas. Asociativa: µ(P∩Q)∩R(x) = µP∩(Q∩R)(x). µQ (x)). T(µQ (x). es decir.1]. asociativa.µR (x)) = T(µP (x). en este apartado.1] → [0. entonces. por lo que T ha de ser asociativa. µP ∩ R (x) ≤ µQ ∩ S (x) ∀ x. se debe verificar: Desde el punto de vista de las funciones de pertenencia se deben cumplir cuatro propiedades: Conmutativa: µP∩Q(x) = µQ∩P(x). entonces. T(µP (x). y por tanto. µQ(x)). buscamos funciones del tipo T: [0. Se van a buscar todas las funciones que verifican unas propiedades determinadas. que tenga por elemento neutro el conjunto X y sea monótona creciente.1] x [0. T(y. 1.1] 2. y. Elemento neutro T(x.z) ∀ x. que es la mayor de las t-normas.y) = Min (x. z ∈ [0.y) = x · y . Monótona creciente Si x ≤ y entonces T(x.y).z) ∀ x.1] A estas funciones se les denomina normas triangulares o t-normas. y.1] 3.z) ≤ T(y.1) = x ∀ x ∈ [0. z ∈ [0.x) ∀ x. Asociativa T(x. y ∈ [0.y).y) = T(y. Producto Prod (x.1] 4. Conmutativa T(x. Las más conocidas son: Mínimo T(x.z)) = T(T(x. y) = { y. .y) = Max (0. x+y-1) Producto drástico x. en otro caso que es discontinua y es la menor de todas las t-normas. si y = 1 Z(x. si x = 1 0. Operación de Lukasiewicz: W (x. .1].y) > 0) y continuas. tendremos la familia de la t-norma Min.1] Familias de t-normas Una t-norma T1 pertenece a la familia de otra t-norma T.es la única idempotente y es continua. si existe un automorfismo de orden en [0. entonces T(x. (y-ai/bi-ai)). y para cada i.y) ≤ Min(x. estrictamente creciente.ai)Ti ((x-ai/bi-ai).y) en otro caso donde los [ai. es decir. y se expresa T1 ∈ F(T). F(W). una t-norma definida de la forma: ai+ (bi .y) ≤ Prod(x.1].y) ∈ [ai.y ∈ [0. o son una t-norma ordinal. (φ: [0.y ∈ [0. a la que sólo pertenece ella misma F(Min) = {Min}..y > 0. ∀ x. con φ (0) = 0 y φ(1) = 1) tal que Tφ (x.y) ∀ x. Estas t-normas se relacionan por medio de las desigualdades siguientes: Z(x. φ. ..1]. si (x. Lukasiewick. no son estrictamente positivas pero sí continuas. F(Prod).n son conjuntos disjuntos del intervalo [0. Todas las t-normas continuas pertenecen a una de estas familias.1]. bi]2 T(x. φ(y))).y) ≤ W(x.y) = φ-1 (T(φ (x). la t-norma Prod. T i es una t-norma. De este modo. son estrictamente positivas (si x. bi] con i = 1.1] → [0. y) = { Min(x. siendo el 0 el elemento neutro de S. S ha de ser creciente.1] Se denota con el nombre de funciones conormas triangulares o t-conormas aquellas funciones que verifican las propiedades anteriores. entonces. Elemento neutro S(x. S(S(µP (x). µR (x)) ≤ S(µQ (x). S(µP (x).4. Las más conocidas son: .z) ≤ S(y. a la función S: [0.µR (x))) ∀ x.y) = S(y.1] x [0.1] → [0. En este caso. necesitamos buscar una función del tipo S: [0. Monótona creciente: Si µP (x) ≤ µQ (x) ∀ x y µR (x) ≤ µS (x) ∀ x.S(y.1]. y.z) ∀ x. tales que nos permitan obtener la función de pertenencia del conjunto unión de forma que: µPUQ (x) = S(µP(x).1] 3.y). µQ (x)) = S(µQ (x).2 Conormas triangulares o t-conormas Con la operación de la t-conorma se trata de representar la unión de dos conjuntos borrosos. z ∈ [0.µQ(x)) ∀x∈X Desde el punto de vista de las funciones de pertenencia se deben cumplir unas propiedades: Conmutativa: µPUQ(x) = µQUP(x). y ∈ [0.0) = x ∀ x ∈ [0. µØ (x)) = S(µP (x). Conmutativa S(x. Elemento neutro el conjunto Ø: µPUØ(x) = µP(x) con lo que S(µP (x). y.µR (x)) = S(µP (x).0) = µP (x) ∀ x. 4. De esta forma. y por tanto.z) ∀ x.1] → [0. Asociativa S(x. S(µP (x).1] x [0. µQ (x)). por lo que S ha de ser asociativa.z)) = S(S(x. entonces. Asociativa: µ(PUQ)UR(x) = µPU(QUR)(x).µP (x)) ∀ x.1] 4.1] 2. Para definir de forma correcta la unión.x) ∀ x. µP U R (x) ≤ µQ U S (x) ∀ x. S(µQ (x). Monótona creciente Si x ≤ y entonces S(x.1] se le exige que cumpla las siguientes propiedades: 1.µS (x)) por lo tanto. con lo que S ha de ser conmutativa. z ∈ [0. x+y) .y) = Min (1. Máximo S(x.y) = x + y .x · y Operación dual de Lukasiewicz: W* (x.y) = Max(x.y) que es la menor de todas las t-conormas Suma-Producto: Sum-Prod(x. si y = 0 * Z (x. Estas t-conormas se relacionan por medio de las desigualdades siguientes: Max(x.y) ∀ x.1] . en otro caso que es discontinua y la mayor de todas las t-conormas.y ∈ [0.y) ≤ Z*(x.y) ≤ Sum-Prod(x. y) = { y. Suma drástica x. si x = 0 1.y) ≤ W*(x. De este modo. bi]2 S(x. tales que nos permita obtener la función de pertenencia del conjunto complementario de forma que µ ¬P (x) = N(µP (x)). y se expresa S1 ∈ F(S). o son una t-conorma ordinal.n son conjuntos disjuntos del intervalo [0.1]. Lukasiewick.. es decir. si existe un automorfismo de orden en [0. con φ (0) = 0 y φ(1) = 1) tal que Sφ (x.1]. se ha de verificar: si µP(x) = 0. φ(y))). S i es una t-conorma. bi] con i = 1.1] → [0.1]. la t-conorma Sum-Prod. (φ: [0. tendremos la familia de la t-conorma Max.1].y) en otro caso donde los [ai. y) = { Max(x. F(Sum-Prod) que es estrictamente positiva y también continua..y) ∈ [ai. buscamos funciones N: [0.Familsdet-conr Familias de t-conormas Una t-conorma S1 pertenece a la familia de otra t-conorma S. Todas las t-conormas continuas pertenecen a una de estas familias. Y considerando las funciones de pertenencia del conjunto borroso P y de no P.1] → [0. (y-ai/bi-ai)) si (x. entonces "x es no P" es falsa. entonces µ ¬P(x) = 1 .1].4. una t-conorma definida de la forma: ai+ (bi .y ∈ [0. φ. ∀ x del universo. y para cada i. estrictamente creciente. ∀ x. si "x es P" es verdadera.3 Negaciones estrictas Para representar el complemento o la negación de un conjunto. cuanto más verdadera es "x es P ". más falsa es "x es no P". 4.y) = φ-1 (S(φ (x).. Teniendo en cuenta que según la lógica clásica: si "x es P" es falsa. a la que sólo pertenece ella misma F(Max) = {Max} que es la única idempotente y también es continua. entonces "x es no P" es verdadera. "x es no no P" equivale a "x es P". F(W*) que no son estrictas ni positivas pero sí continuas.ai)Si ((x-ai/bi-ai). 1] es una negación fuerte si y sólo si existe un automorfismo de orden φ. α > 0. la función SN: [0. donde φ(x) = x / (λ + (1. se les denomina negaciones de Sugeno-Yager.1] → [0.1] → [0. si µP(x) = 1. definida como: SN (x. En particular: o fijando α = 1.1] → [0. o y fijando λ = 0. ∀ x ∈ [0. N(1) = 0 si x ≤ y entonces N(y) ≤ N(x) N(N(x)) = x ∀ x ∈ [0. y ∈ X si µ ¬¬P(x) = µP(x). N(y))) .1] Las funciones que verifican estas tres propiedades se denominan negaciones fuertes. entonces µ ¬P(y) ≤ µ ¬P(x) ∀ x. x2) ½ . estrictamente creciente. x.1] Algunas negaciones fuertes son: N(x) = 1 . obtenemos: Nλ(x) = (1-x)/(1+λx) con λ > -1 que son las llamadas negaciones de Sugeno. 4. con φ (0) = 0 y φ(1) = 1) tal que N(x) = φ-1 (1 . dependiendo de los parámetros λ y α.5 Relación entre operaciones A través de las negaciones fuertes es posible relacionar las t-normas y las t-conormas. obtenemos: Nα(x) = (1-xα)1/α con α > 0 que son las llamadas negaciones de Yager. N(x) = (1 . cuyo automorfismo φ viene dado por φ(x) = x.φ(x)).y) = N(T(N(x).1] x [0. donde φ(x) = x2 N(x) = (λ2(1-x))/( x+ λ2(1-x)) con λ > 0. ∀ x ∈ X De este modo buscaremos funciones N: [0. donde φ(x) = (Ln(1+λxα))/(Ln(1+λ)) A esta familia de negaciones. Esta negación es las más utilizada y se denomina negación usual. Se sabe que una función N: [0. (φ: [0.1] → [0. entonces µ ¬P(x) = 0 si µP(x) ≤ µP(y).1].λ)x) N(x) = ((1-xα)/(1+λxα))1/α con λ > -1.1] verificando las siguientes propiedades: N(0) = 1.1]. Dada una t-norma T y una negación fuerte N. S (x.y) = N(TN(N(x).1] se cumple: T(x.S(1-x. la función TN: [0. T (x.y) = 1 . es una t-conorma a la que denominaremos t-conorma N-dual de T. expresada como: TN (x. T y S son duales si ∀ x ∈ [0. En conclusión diremos que: T y S son N-duales si ∀ x. 1-y) y que S(x. N(y))) es decir T. la t-norma N-dual de TN. N(y))) y que S(x.y) = N(S(N(x). por las propiedades de las negaciones.y) = N(S(N(x).y) = N(SN(N(x). Debido a las propiedades de las negaciones se tiene que también. y ∈ [0. N(x) = 1 . De nuevo.1].1] se cumple: T(x.T(1-x. es la t-norma N-dual de SN. 1-y) . N(y))) es una t-norma a la que denominaremos t-norma N-dual de S.y) = N(T(N(x).1] → [0. Dada una t-conorma S y una negación fuerte N. N(y))) es decir es a su vez.x. N(y))) En particular tomando la negación usual.y) = 1.1] x [0.