INTRODUCCIÓN

FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓNUNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS INTRODUCCIÓN La presente antología, se ha realizado de manera que pueda usarse como complemento de las actividades a realizar con sus respectivos docentes, o como manual para el curso de Matemáticas Financieras; es muy importante que los docentes, nos hagan saber sus comentarios y sugerencias, para retroalimentar los temas y subtemas contenidos en el programa de estudios. Cada unidad empieza con los objetivos , un sumario del capítulo, desarrollo de los temas, problemas resueltos y problemas propuestos; en próxima edición, se anexaran las tablas para la amortización, formularios generales y los resultados de los ejercicios propuestos. Es muy importante recalcar el buen uso del manejo de las calculadoras, para llevar a buen termino, la solución de los ejercicios que se proponen. El uso de las literales empleadas varían de un autor a otro y de un docente a otro; pero sin duda alguna todas llegan al mismo resultado. Sin más que agregar y esperando sus comentarios se despide de ustedes. UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO A.C. FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS ÍNDICE UNIDAD 1. INTERÉS SIMPLE. 1.1. Objetivos. 1.2. Definiciones. 1.3. Fórmulas básicas. 1.4. Cálculo de interés simple y monto. 1.5. Cálculo de la tasa de interés. 1.6. Cálculo del valor presente. 1.7. Ejercicios propuestos. 1.8. Interés simple exacto y ordinario. 1.9. Cálculo del tiempo exacto y aproximado. 1.10. Ejercicios propuestos. 1.11. Pagarés. 1.12. Ejercicios propuestos 1.13. Ecuaciones de valor a interés simple. 1.14. Descuento simple. 1.15. Descuentos de pagarés. 1.16. Problemas propuestos. UNIDAD 2. INTERÉS COMPUESTO. 2.1. Introducción. 2.2. Definición. 2.3. Monto compuesto con períodos de capitalización fraccionarios 2.4. Tasa nominal y efectiva de interés. 2.5. Aproximación de la tasa de interés. 2.6. Aproximación del tiempo. 2.7. Problemas resueltos. 2.8. Problemas propuestos. 2.9. Valor presente. 2.10. Valor presente para el caso de un período de conversión fraccionario. 2.11. Ecuaciones de valor a interés compuesto. 2.12. Tiempo equivalente. FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS UNIDAD 3. ANUALIDADES. 3.1. Introducción. 3.2. Clasificación de las Anualidades. 3.3. Anualidades simples ciertas ordinarias. 3.3.1. Valor de las Anualidades. 3.3.2.Monto y valor actual de las Anualidades Simples Ciertas Ordinarias. 3.3.3.Problemas resueltos. 3.3.4.Problemas propuestos. 3.3.5.Cálculo de la renta en una anualidad cierta ordinaria. 3.3.6.Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad. 3.3.7.Cálculo de la tasa de interés de una anualidad simple cierta ordinaria. 3.3.8.Problemas resueltos. 3.3.9.Problemas propuestos. 3.4. Anualidades Anticipadas. 3.4.1.Introducción. 3.4.2.Símbolos utilizados en las anualidades anticipadas. 3.4.3.Monto y valor actual de las anualidades simples ciertas anticipadas. 3.4.4.Problemas resueltos. 3.4.5.Problemas propuestos. 3.5. Anualidades diferidas. 3.5.1.Introducción. 3.5.2.Símbolos utilizados en las anualidades diferidas. 3.5.3.Valores de las anualidades diferidas simples ciertas. 3.5.4.Problemas resueltos. 3.5.5.Problemas propuestos. 3.6. Anualidades diferidas. 3.6.1.Introducción. 3.6.2.Símbolos utilizados en las anualidades generales. 3.6.3.Conversión de una anualidad general ordinaria en una anualidad simple. 3.6.4.Monto y valor actual de las anualidades. 3.6.5.Cálculo de la renta en una anualidad general cierta ordinaria. 3.6.6.Otros métodos de cálculo de los valores de las anualidades. 3.6.7.Problemas resueltos. 3.6.8.Problemas propuestos. 3.6.9.Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad general. 3.6.10. Cálculo de la tasa de interés de una anualidad general. 3.7. Método por fondos de Amortización. Fondos de Amortización.3. 4.7. AMORTIZACIÓN. 5.6. Problemas resueltos.9. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 3. 3. 5.10.Problemas resueltos. 5. Tablas de fondos de amortización. Anualidades continuas. Extinción de deudas consolidadas. Resumen.4. Tablas de Amortización. Problemas propuestos. 3. DEPRECIACIÓN.5. Método de Línea Recta. 4. Método de Suma de Dígitos.5. 5.8. Conceptos.12. Problemas propuestos. Problemas propuestos. 3.2. 5.1.7. 4. Problemas resueltos. 3.3.11. 5. Introducción.13. Problemas resueltos.Introducción.3. . A.2.10. 3. 5. Método de Depreciación por Unidad de Producción o Servicio. Anualidades variables.8.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.7. 4.6. Anualidades a interés continuo con pagos en flujos continuos.9.6. 5. 4.6. Problemas resueltos. 4. UNIDAD 4.7.11. 3. 4. 3.C.12. 3. 5.4.2.7.1. La Depreciación en las épocas inflacionarias. 4. Problemas propuestos.1. Método de Porcentaje Fijo.8. Interés en el valor de un bien adquirido. 5. 3.11. Introducción. UNIDAD 5. Anualidades generales anticipadas.Problemas propuestos. 3. Anualidades a interés continuo. 5. Problemas resueltos. 6. 6. BONOS.7. Bibliografía. 6. El precio cotizado de un bono.4. 6. Definiciones. MATEMÁTICAS FINANCIERAS UNIDAD 6. .2. Compra a premio o descuento.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Bonos con fecha opcional de redención. 6. 6. Problemas propuestos.10. Emisión seriada de bonos.6. Precios del bono en una fecha de pago de intereses. 6. 6.1.5. 6.C.3. A.9. 6.11.8. Un bono de anualidad. 6. Tasa de redituabilidad. Precio del bono comprado entre fecha de pago de interés. FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS OBJETIVOS 1  Enseñar los factores que entran en juego en el cálculo del interés simple.  Capacitarlo para manejar estos factores.  Aplicarlos en la solución de problemas frecuentes en las matemáticas financieras. SUMARIO 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. Objetivos. Definiciones. Fórmulas básicas. Cálculo de interés simple y monto. Cálculo de la tasa de interés. Cálculo del valor presente. Ejercicios propuestos. Interés simple exacto y ordinario. Cálculo del tiempo exacto y aproximado. Ejercicios propuestos. Pagarés. Ejercicios propuestos. Ecuaciones de valor a interés simple. Descuento simple. Descuentos de pagarés. Problemas propuestos. 1. INTERÉS SIMPLE FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. 1.1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS OBJETIVOS  Capacitarlo para manejar estos factores y aplicarlos a la solución de problemas.  Aprender definiciones, manejar conceptos y factores básicos que serán utilizados en esta unidad. 1.2 DEFINICIONES  Es la cantidad pagada por el uso de dinero obtenido en préstamo.  Es la cantidad producida por la inversión del capital.  Es el producto del capital, por la tasa de interés, por el tiempo, su unidad es $,en donde la tasa y el tiempo, sus tasas deben de ser congruentes.  Es cuando únicamente el capital gana intereses por todo el tiempo que dura la transacción, al interés vencido al final del plazo se le conoce como interés simple. 1.3 FORMULAS BÁSICAS I= C i t ……………(1) I= S - C…………….(2) S= C + I……………(3) S= C + C i t S= C ( 1 + i t)……..(4) NOTACIÓN : I = interés simple ($) C = capital ($) S = Monto……….. ($) ¡ = Tasa de interés (%) t = Tiempo (días, meses, años) FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1.4 CALCULO DEL INTERÉS SIMPLE Y MONTO Ejemplo 1. ( I Y S) Determinar el interés simple sobre $ 750 al 4% durante ½ año. ¿Cuál será el monto? En éste caso c = $750, ¡ = 0.04 y t = ½ año ó 6/12, por lo cual: Solución a). I= C i t ………………………..(1) I= ($ 750) (0.04) (1/2) I= $ 15 S= C + I ……………………….(3) S= $750 + $15 S= $ 765.00 Solución b) S= C ( 1 + i t)…………………..(4) S= $750 [ 1 + (0.04)(6/12) ] S= $ 765.00 I = S – C…………………………(2) I = $765 - $750 I = $ 15 1.5 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS (i) Ejemplo 2. ¿ A que tasa de interés simple, el monto de $ 2,000 será $ 2110 en un año ? $ 2000 I = $125 I=Cit I = t C i $ 125 = t ($2000)(0.000. A.055 = i 5½%= i calculo del tiempo ( t ) Ejemplo 3. t= 1 año.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. C= $2000. t =? Por lo cual : I=S–C I =$ 2125 . ¿En que tiempo el monto de $2000 será $2125 al 5% de interés simple? En este caso: s= $ 2125.05) 1. i =?. i = 5%.$2. por lo cual: I=s–c I = $2110 . c= $ 2. MATEMÁTICAS FINANCIERAS En este caso S= $2110.000 I = $110 I=Cit I Ct = i $ 110 = i ($2000)(1 año) 0.25 = t 1 ¼ años = t 1 año 3 meses = t .C. -¿En que tiempo se duplica una cantidad de dinero en BANAMEX al t% de interés simple? 6.C. s=$1500.04 (9/12) $1435.¿A que tasa de interés simple?. En este caso. . de $1..6 CALCULO DEL VALOR PRESENTE ( C) Encontrar el valor presente. al 6% de interés simple.500 con vencimiento en 9 meses. A. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. c=? Por lo cual: c= c= c= 5 1+ i t $ 1500 1+(0. (e) al 4% (f) al 5% 2.¿En que tiempo el monto de $4000 será $4250 al 5% de interés simple? 5. t=9/12.41 1.Encontrar el Interés simple y el monto de $1000 (a) al 41/2 durante 1 año (c) al 31/2% durante ½ año durante 15 meses (b) al 51/4 durante 2 años (d) al 6% durante 8 meses durante 10 meses.06.X compro un radio en $1245 Dio un anticipo del 10% y a cargo pagar el resto en 3 meses..7 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.¿Qué suma debe ser al 5% para tener $1000 después de 8 meses? .. l=0. más un cargo de $10 ¿Que tasa de interés simple pago? 4.. (a)el monto de $4000 será $4900 en 3 años (b)el monto de $720 será $790 en 10 meses 3. 000 durante 2 años 3 meses al 0. Si fue firmado el 16 de julio del mismo año.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. A. 2.5% mensual 2 Calcular el interés Exacto de: (a)$7000 durante 105 días al 8% (b)$4000.000 durante 1 año 3 meses al 6% semestral (d) $4.000 durante 10 meses al 41/2% (d) $ 9000 durante 4 meses al 33/4%.050 en 10 meses 3Que capital produce en 8 meses (a) 480 al 6% (b) 500 al 5% 4En qué tiempo un capital de $3.C.000 (a) produce $900 al 71/7% de interés simple (b) alcanza un monto de $3. (c) $6000 durante 4 meses el 9% . (b) $ 18. (a) $ 7.75% mensual (b) $10.500 durante 9 meses al 51/2% (c) $ 6000 durante 5 meses al 6%.775 en 4 meses (b) $17. MATEMÁTICAS FINANCIERAS EJERCICIOS GRUPO 2 1.000 durante 4 años al 5% semestral (c)$25.450 al 5% de interés simple EJERCICIOS GRUPO 3 1 Calcular el interés simple de (a) $2000 durante 3 años al 0.500 es: (a) $16. Encontrar el Monto y el interés simple de. Hallar la tasa de interés sabiendo que el monto de $16. el 16 de Nov. y $16. La diversidad de resultados se origina en las diferentes practicas para estimar t.600.000 c/venc.000 a 120 días. 4 Una persona descuenta un pagaré al $20. ( tome como fecha focal dentro de un año) 1. A.90 ¿A qué tasa de descuento racional o matemático le fue descontado el pagare? 5 Una persona debe $20. De 2000 por $32.8 INTERÉS SIMPLE EXACTO Y ORDINARIO INTRODUCCIÓN: DOS PROBLEMAS TÍPICOS DE INTERÉS SIMPLE SON: (a)Hallar el interés simple sobre $2000 al 5% durante 50 días (b)Hallar el interés sobre $1500 al 6%.000 a 120 días y $63. si el rendimiento es del 9%? (a) $60.559. . .000 al contado y un pagaré al 10 de Sep. DEFINICIÓN . sin embargo.El interés simple Exacto: (ISE) se calcula sobre la base del año de 365 días.000 el 15 de Mayo con vencimiento el 13 de Agosto y recibe solo $19. Determinar el valor de los nuevos pagares con el 8% de rendimiento. debido a las variaciones en las practica comercial.000 con vencimiento a 8 meses propone pagar su deuda mediante 2 pagos iguales a un vencimiento a 6 meses y 1 año respectivamente. Estos dos problemas resuelven aplicando I=cit. (c) $20.C. (b) $30.(366 en años bisiestos).500 al 180 días.000 al contado y un pagare con intereses del 8% por $71.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 3 El propietario de una casa recibe el 15 de Mayo de 1998 las 3 ofertas que se detallan. pueden darse dos respuestas diferentes en el primer problema y no menos de cuatro en el segundo. ¿Cuál es la mejor. del 20 de Marzo de 1999 al 11 de Mayo del 2000. A 3 meses. 05.9 CALCULO DEL TIEMPO. EJEMPLO 5 a) Hallar el interés Exacto Ordinario. EJEMPLO 5 (a)Determinar el interés exacto y ordinario sobre $ 2000 al 5%.50) (50/365)=$13. en base a la tabla I. es el numero exacto de días. (Dff-Dfi) + (dif. aumento el interés cobrado por el acreedor. MATEMÁTICAS FINANCIERAS . Tiempo exacto por formula: (131-79) + (1x365) + (1) + 52+ 365 + 1 = 418 t. t=50 días. En este caso. sin embargo. aplicando la siguiente formula. A. c=$2000. El uso del año de 360 días simplifico algunos cálculos.  Debe pasar por año bisiesto y por todo el mes de febrero para considerarlo. EXACTO Y APROXIMADO DEFINICIÓN:  Calculo Exacto del Tiempo: como su nombre lo indica. exacto Tiempo Exacto por calendario: . Años x 365) + (bisiestos)  Calculo aproximado del tiempo: se hace suponiendo que cada mes tiene 30 días y cada año 360 días.70 ISO=c i t =($2000)(0.El interés Simple Ordinario (ISO) se calcula con base en un año de 360 días.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. durante 50 días. ISE=c i t = ($2000) (0. con tiempo exacto y aproximado de: $1500 al 6% del 20 de Marzo de 1999 al 11 de Mayo del 2000.89 1. por lo cual.C.05) (50/360)=$13. y se obtiene restando la fecha final de la inicial. i=0. tal como se encuentra en el calendario. 10 EJERCICIOS PROPUESTOS 1 Determinar en forma aproximada y exacto el tiempo transcurrido de la fecha de tu nacimiento al día de hoy.60) (411/366) = $101.50 (SISTEMA BANCARIO) =Cit = ($1500) (0.75 EL ISO c/tiempo exacto es el método que produce mayor interés ¿Con cual cobra el banco y con cual paga el banco?.06 ISO c/t. de acuerdo con el sistema bancario. exacto = c i t = (1500)(0. 4 Comparar el interés exacto y ordinario sobre $2.06) (418/360) = $104. EXACTO = C i t = ($1500 (0. A.79 por que paso por todo febrero en año bisiesto ISE c/t. 2 Determinar en forma aproximada y exacta el tiempo transcurrido entre el 25 de enero de 1998 al 15 de Mayo del 2000.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 11+30+31+30+31+31+30+31+30+31+31+29+31+30+11=418 M A M J J A S O N D E F M A M Tiempo Aproximado: 11:05:00 20:03:99 41: 04 00 20: 03 99 21: 01 1 x30 x360 21+30+360= 411 tiempo aproximado ISE c/t.60)(418/366)= $102.60) (411/360)= $102. 3 Determinar en forma exacta y aproximada el tiempo transcurrido entre el 15 de septiembre de 1999 al 15 de febrero del 2000. 5 Determinar. .500 al 5% del 15 de Abril al 25 de Julio de 1999. con tiempo aproximado. el interés simple sobre $4280 al 6% del 21 de Marzo al 25 de julio del 2000. APROXIMADO = C i t = ($1500) (0. 1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. En un pagaré intervienen los siguientes elementos. . en una fecha dada. el valor al vencimiento siempre será mayor que el valor nominal. Es al suma Estipulada en el documento.C.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. En un pagaré. . MATEMÁTICAS FINANCIERAS 6 Determinar.Fecha de Vencimiento: Es la fecha en al cual debe ser pagada la deuda. 1. (b)Si el plazo este dado en días. 7 Hallar el interés Simple Ordinario y exacto de. EJEMPLO 6 . de acuerdo al sistema bancario. (a)$900 durante 120 días al 5% (b)$1200 durante 100 días al 6% (c) $1600 durante 72 días al 4% (d)3000 durante 146 días al 3% (e)$1000 del 6 de agosto de 1999 al 14 de Diciembre del 2000 al 4% (f) 1750 del 10 de junio de 1998 al 1 de noviembre de 1998 al 5% (g)$2500 del 21 de Enero de 1999 al 13 de agosto del 2000 al 41/2% (h)$2000 del 18 de octubre de 1999 al 6 de febrero del 2000 al 51/4%. el interés simple sobre $3575 al 43/4% durante 80 días. el tiempo se determinara aproximadamente. el valor nominal es igual al valor del vencimiento. en caso contrario. en el cual no se estipule intereses.Plazo: Es el tiempo especificado explícitamente en el documento (numero de meses) o (numero de días). . el tiempo de determinara exactamente.Valor de Vencimiento: Es la suma que debe ser pagada en la fecha de vencimiento. . suscrita por un deudor a favor de un acreedor.11 PAGARÉS DEFINICIÓN: un pagaré es una promesa escrita de pago de una determinada cantidad de dinero.Valor Nominal. Para determinar la fecha de vencimiento de un pagaré procederemos como sigue: (a)Si el plazo esta dado en meses. con intereses o sin ellos. A. con vencimiento de 3 meses por $5.000 con un interés del 6% Fecha plazo 15/01 3 meses fecha de vencimiento valor al vencimiento 15 de abril S=c (1+ i t) S= $5.000[1+(0. Determinar su valor dentro de 4 meses. 1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. es suscrito el día de hoy. MATEMÁTICAS FINANCIERAS En una pagaré firmado el 15 de Enero.13 ECUACIONES DE VALOR .000 al 6%. suponiendo un rendimiento de 5%.06)(3/12)] S= $5075 1. A. Un pagaré a 10 meses por $3. Suma Nominal Fecha plazo Tasa de interés a) $2500 1 de Marzo 4 meses 6% b) $3000 15 de junio 150 días 4% 2 Determinar la fecha de vencimiento y el valor al vencimiento de cada una de los siguientes pagarés.C.12 EJERCICIOS PROPUESTOS 1 Determinar para cada uno de los siguientes pagarés la fecha de vencimiento y el valor al vencimiento. Valor nominal a) $2000 b) $3000 c) $1250 d) $2500 e) $1600 f) $3200 g) $1500 h) $2750 Fecha 25 de abril 5 de marzo 10 de junio 1 de enero 10 de febrero 28 de nov. 5 de agosto 5 de julio Plaza 3 meses 8 meses 4 meses 7 meses 120 días 45 días 60 días 135 días Tasa de interés 51/2% 5% 6% 4% 7% 8% 6% 6% 3. Suponiendo un rendimiento de 5% y considerando la fecha final dentro de un año.75 EJERCICIOS GRUPO 6 1 Determinar el valor de las siguientes obligaciones. EJEMPLO 7 En la fecha. determinar el pago único mencionado. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Definición: en algunas ocasiones es conveniente para un deudor cambiar el conjunto de sus obligaciones por otro conjunto. Fecha focal 6 meses 1060 DIAGRAMA DE TIEMPO 0 $2.05)(6/12]+2500[1(0.05)(3/12] $2100+ x =$1086.000 $2500 6 9 3 meses 12 meses 2000[1+(0.05)(1)]x=1060[1+(0. Para efectuar esta operación.25 X =$1086. $2. Utilizar el día de hoy como fecha focal.C. suponiendo una tasa de 4% de interés simple: $1000 con vencimiento el día de hoy.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. El desea pagar $2. sin intereses. además. tanto el deudor como el acreedor deben de estar de acuerdo con al tasa de interés que han de utilizarse y en la fecha que se llevará a cabo.50+$2531. A. el día de hoy.25 . $2000 con vencimiento en 6 meses con intereses del 5% y $ 3000 con vencimiento en un año con intereses al 6%. 2 Resolver el problema anterior. B debe $1. contratado originalmente a 11/2 años a la tasa de 4% y debe.000 por un préstamo con vencimiento en 6 meses. considerando que la fecha focal esté un .50+$2531.$2100 X =$1517.000 de inmediato y liquidar el saldo mediante un pago único dentro de un año.500 con vencimiento en 9 meses. d t).(3) Ejemplo Nº 8 ... Al descuento bancario.C...... Se desea saldar las deudas mediante 2 pagos iguales.. A.... Determinar el importe de cada pago utilizando como fecha focal la fecha dentro de un año. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo un interés del 6%.......... DEFINICIÓN : El descuento simple.. suponiendo que Y espera un rendimiento del 5% en la operación..... es aquel que se descuente sobre una cantidad (S) del cuál se obtiene el valor presente u otorgado..... FORMULAS : D= S d t.....(1) C= S –D ... sin intereses.... tomando como fecha focal la fecha al final de 10 meses............ con vencimiento dentro de 9 meses.14 DESCUENTO SIMPLE INTRODUCCIÓN El valor presente C de una cantidad S con vencimiento a una fecha posterior...... o sea el descuento racional sobre S... uno con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses.. $1...000 con vencimiento en 5 meses y $1500 con vencimiento en 8 meses.....(2) C= S – Sdt C= S (1....... y otro dentro de 6 meses y el tercero dentro de un año. se le conoce frecuentemente como interés por adelantado......... puede ser interpretado como el valor descontado de S... 4 X debe a Y $1000 pagaderos dentro de 6 meses........ MATEMÁTICAS FINANCIERAS año después.. ya descontado.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. 3 X debe $500 con vencimiento en 2 meses.. A la diferencia del monto con el capital se le conoce como descuento simple de S a una tasa de interés. Y esta de acuerdo en recibir 3 pagos iguales...... 1. un inmediato.. y $ 2000 con intereses del 4% por 1 ½ años..... C. d= 0. NOTACIÓN : D = Descuento simple o racional ($) S = Monto ($) d = tasa de descuento (%) t = tiempo (días. t = 9/12 meses. al señor tomas Martínez. Ejemplo Nº 9 ¿Cuál es el importe de la venta del siguiente pagaré. 5 meses antes del vencimiento. a la tasa de descuento del 8%? DIAGRAMA DE TIEMPO .06. Cada comprador descuenta el valor del documento al vencimiento desde la fecha de la venta hasta la fecha de vencimiento a su tasa de descuento fijada. meses.06)(9/12) D = $ 67. A. D= Sdt D = ($1500)(0. años ) c = valor presente ($) 1.50 ( descuento simple ) C = S-D C = $1500 .15 DESCUENTO DE PAGARÉS INTRODUCCIÓN Un pagaré puede ser vendido una o más veces antes de la fecha de vencimiento.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Hallar el descuento simple sobre una deuda de $ 1500 con vencimiento en 9 meses a una tasa de descuento del 6% ¿cuál es el valor presente de la deuda? Por lo tanto. S= $ 1500.50 C = $ 1432.$67.50 ( valor presente). 4. suponiendo una tasa de interés simple de 5% ¿cuál es el descuento racional? 3.977. o sea $ 3080.04)(8/12) I = $ 80 valor al vencimiento S = C+I S = $ 3000+ $ 80 S = $ 3080 b) El periodo de descuento es 5 meses D=Sdt D = ($3080) (0. Un banco carga el 6% de interés por adelantado (6% de descuento . al 5% de descuento simple de: (a) $1000 con vencimiento en 1 año. (b) $1200 con vencimiento en ½ año. García el valor al vencimiento. 1/1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 4/1 9/1 ____________________________________________________________ Valor nominal Importe de la venta Valor al vencimiento $3000 $ 2. Sí Mtz.Descuento por 5 meses al 8% a) I=Cit I = ($3000)(0. suponiendo una tasa de interés del 6%? ¿Cuál es el descuento racional? 2.33 $3080 . (c) $800 con vencimiento en 3 meses.33 y obtiene la posesión del documento. le paga a Pérez $ 2977.C. de $1500 pagadero el 15 de junio.33 1. ¿Cuál es el valor actual de una serie de bonos que totalizan $1200 y cuyo vencimiento es dentro de un mes.16 PROBLEMAS PROPUESTOS 1.08) (5/12) D = $ 102. sin intereses. A. Determinar el valor al 1º de mayo de un pagaré.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. La conserva hasta el vencimiento ( 1 de septiembre) recibirá de Jaime p.67 c) Tomas Mtz. Hallar el valor actual.67 C = $ 2977.00 Importe de venta C= S-D C = $3080-$102. Un documento por $2500 a 6 meses. sin intereses. del problema 4. MATEMÁTICAS FINANCIERAS simple). Hallar el importe de la operación. Un pagaré de $ 1000 a tres meses. EJERCICIOS GRUPO 8 1. firmado el 5 de mayo fue descontado el 26 de junio al 6%. Hallar el importe de la operación. Determinar su valor 5 meses antes del vencimiento. en el problema 4? 6. Si B descuenta el documento 30 días antes del vencimiento para obtener 4% de interés simple ¿cuál es el descuento? 4. Determinar el descuento simple sobre: (a) $3500 por 60 días al 4% de descuento simple. ¿Qué tasa de interés simple paga x. (c) $1200 por 4 meses al 5% de descuento simple. Una hipoteca tiene un valor de $1200 al vencimiento. Determinar el valor del documento a 5 meses que x debe firmar con el objeto de recibir $2000 del banco. 8. . X recibirá un dividendo de $750 el 14 de junio ¿cuál es su valor el 30 de Abril suponiendo un rendimiento de 5% de interés simple? ¿Cuál es el descuento racional? 3. fue descontado el 7 de julio al 5%. 7. Determinar el valor de la transacción. Un documento por $600 establece 5% de interés simple por 120 días. un documento por $3000 a 240 días con intereses al 5%. A. (b) $5000 por 90 días al 3 ½ % de descuento simple. con intereses al 6%. fechado el 10 de Agosto de 1997 fue descontado el 16 de febrero de 1998 al 4%. 9. ¿Cuál es el descuento racional? 2. Si x firma un documento por $2000 a 5 meses. fechado el 20 de marzo. ¿Qué cantidad recibirá el banco? 5.C. Suponiendo un rendimiento de 4 ½ % de interés simple.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Determinar la cantidad recibida por una persona que solicite.C. En prestamos a corto plazo.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. (e) $4000 del 10 de octubre al 13 de noviembre. al 4 ½ % de descuento simple. MATEMÁTICAS FINANCIERAS (d) $2500 del 5 de marzo al 10 de abril. . (f) $ 3000 del 15 de septiembre al 30 de octubre. al 5½% de descuento simple. 5: Un banco carga el 6% de interés simple por adelantado (o sea el 6% de descuento simple). al 6% de descuento simple. A. 14.20.22. Valor presente. SUMARIO Unidad 2. Definición. Tasa nominal y efectiva de interés. Problemas resueltos. Problemas propuestos. tasas y tiempo. Tiempo equivalente.17. 2.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. 2. 2. Introducción. 2. Interés Compuesto.19.15.  Aplicarlos en la solución de problemas frecuentes en las matemáticas financieras. Aproximación de la tasa de interés.13. . 2.18.16.21. Aproximación del tiempo. Ecuaciones de valor a interés compuesto. 2. 2.24. 2. A. Monto compuesto con períodos de capitalización fraccionarios 2. Valor presente para el caso de un período de conversión fraccionario.C. 2. 2 MATEMÁTICAS FINANCIERAS OBJETIVOS  Capacitarlo para manejar los factores que intervienen en los cálculos del interés compuesto  Enseñar los análisis matemáticos que conducen al desarrollo de las fórmulas para el cálculo de montos. 2. 2.23. el interés vencido se paga mediante cheque o cupones.05) = $52. (a) l = Cit = 1000(0. El interés por un año es 1000(0. INTERÉS COMPUESTO 2.05) 3 = $ 150.50 = $1102. En este caso.50(0.C. Hallar el interés compuesto sobre $ 1000 por 3 años y el interés de 5% es convertible anualmente en capital.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. el interés puede ser manejado de dos maneras: (1) A intervalos establecidos.62 – 1000 = $ 157.12 El capital al final del tercer año es 1102.05) = $52. La suma vencida al final de la transacción es conocida como monto compuesto. En este caso.05) = $50 El capital original del primer año es 1000 + 50 = $1050. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le conoce como interés compuesto.50+55. también gana interés.00 (b) El capital original es $ 1000. El interés sobre el nuevo capital por un año es 1050(0. El capital aumenta periódicamente y el interés convertible también aumenta periódicamente durante el periodo de transacción. (a) Hallar el interés simple sobre $ 1000 por 3 años al 5% de interés simple. estamos tratando con intereses simples.1 INTRODUCCIÓN En aquellas transacciones que abarcan un periodo largo de tiempo. El capital que produce los intereses permanece sin cambio durante el plazo de la transacción.12 = $1157.62 . A.50 El interés sobre el nuevo capital por un año es: 1102. el interés vencido es agregado al capital (por ejemplo en las cuentas de ahorro). (2) A intervalos establecidos. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 2.62 El interés compuesto es 1157. Ejemplo 1. se dice que el interés es capitalizable o convertible en capital y en consecuencia.50 El capital al final del segundo año es 1050 + 52. la frecuencia de conversión es 4. C(1 + i).C. el monto de un capital al final de un periodo de conversión se obtiene multiplicando en capital por el factor (1 + i). Ejemplo 2. En otras palabras.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. 5% convertible trimestralmente. al final de dicho periodo produce a C + Ci= C (1 + i). 4% convertible semestralmente. Puesto que C produce Ci de interés durante el primer periodo de conversión. El periodo de tiempo de interés se establece entre dos conversiones sucesivas se conoce como período de interés o conversión. (b) la tasa de interés por periodo y (c) el número de periodos de conversión durante todo el plazo de la transacción. la frecuencia de conversión se indica expresamente. Por “interés al 6%” se extiende que el 6% se convierte anualmente de otra forma. mensualmente etc. El número que el interés se convierte en un año se conoce como frecuencia de conversión. La sucesión de montos. La tasa de interés se establece normalmente como tasa anual. C (1+i) 3 .2 DEFINICIÓN El interés puede ser convertido en capital anualmente. el monto es C (1 + i)2 (1 + i) = C (1 + i) y así sucesivamente. al final del segundo periodo de conversión el capital es c(1 + i) (1 + i) = C (1 + i) 2 al final del tercer periodo de conversión. C (1 + i) 2. En consecuencia. etc. trimestralmente. A. semestralmente. Sea un capital C invertido a la tasa i por periodo de conversión y designemos con S al monto compuesto de C al final de n periodos de conversión. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 2.07= 0.0175 ó 1 3/4 4 El número de periodos de conversión es (numero dado de años) (frecuencia de conversión) = 8 ½ x 4 = 34 EL MONTO COMPUESTO. tres compuestos son importantes (a) el capital original. esto es. Una cierta cantidad es invertida durante 8 años al 7% convertible trimestralmente. El periodo de conversión es 3 meses. En problemas que implican interés compuesto. La tasa de interés por periodo de conversión es Tasa anual de intereses = Frecuencia de conversión 0. en ocasiones se utilizaran las tablas IV y VI.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.77 2.803725) = $1803.3 MONTO COMPUESTO CON PERIODOS DE CONVERSIÓN FRACCIONARIOS La formula (1) se deriva con la suposición de que n es entero. . n= 34 y S = C(1 + i) n = 1000 ) 1. A.72 Ejemplo 4.025) 33 = 200(2. en otros casos será necesario utilizar los logaritmos. En teoría puede ser aplicable para n entero o fraccionario. C = 1000. el monto compuesto puede ser obtenido mediante al teorema binominal utilizando logaritmos.72 --. Para una i y una n dadas. Si se invierten $1000 durante 8 ½ al 7% convertible trimestralmente. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Forma una progresión geométrica cuyo n-esimo término es S = C (1+i) n El factor (1+ I) n es el monto compuesto de A a la tasa i por periodo. tenemos que.0175) 34 = 1000)1. Para el cálculo de S aproximado a centavos. i = 0. ¿Cuál era el importe del fondo el 20 de septiembre de 1961?.72 El interés compuesto es 1803. Al evaluar la formula cuando n es fraccionario.0175. por n periodos de conversión y será conocido como monto compuesto de 1. Ejemplo 3. Este procedimiento en ocasiones causará un error de un centavo. i = 0. En caso de tasas comunes de interés.1000 = $803. n = 33 y S = C (1 + i) n = 200(1.25885) = $451. se invirtieron $ 200 en un fondo que pagaba el 5% convertible semestralmente. el valor puede ser leído directamente de tablas preparadas específicamente. El 20 de marzo de 1945. C = 200.C.025. utilizaremos únicamente tantos decimales como dígitos tenga C expresado en centavos. 0406) = $104. Resolver el ejemplo anterior aplicando interés simple en el periodo de conversión fraccionario.05) 23/4 3000(1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. A menos que se diga otra cosa.05) 6 (1. S = 3000(1. 2. A.05) 6 (1+1. produce un resultado ligeramente mayor que la regla teórica. Ejemplo 7. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Ejemplo 5. deberá entenderse en futuras aplicaciones que este último sistema será el utilizado. es decir S= 3000(1.54 Nota: Esta regla es más practica para simplificar los cálculos. Hallar el monto compuesto (teórico) de $ 3000 en 6 años 3 meses al 5% En este caso C = 3000 i = 0.01) 4 = $104.06% convertible anualmente es 100(1.0125) = $ 4070.4 TASAS NOMINAL Y EFECTIVA DE INTERESES Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes periodos de conversión son equivalentes si se producen el mismo interés compuesto al final de un año.05) ¼ En la practica raramente se aplica el procedimiento anterior.340096) (1.C. Ejemplo 6.05 y n 25/4 por tanto. Aplicamos interés compuesto por 6 periodos (años) e interés simple sobre el monto compuesto por ¼ año.06 (b) 4.05 (1/4)) = 3000(1. Al final de una año el monto compuesto de $100 al (a) 4% convertible trimestralmente es 100 (1. En su lugar se determina el monto compuesto correspondiente a los periodos de conversión y se aumenta con interés simple por el periodo fraccionario de conversión a la tasa anual estipulada.06 . En un año. Haciendo 4 (1 + j/4) 4 = 1.06 es la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal de 4% convertible trimestralmente. La tasa de interés efectivamente ganada en un año se conoce como tasa efectiva anual o como tasa efectiva.909% Nota: Ciertos autores definen y tabulan valores de jp ( a la tasa i) = p [ (1 +i) 1/p .05116190 .C.01227223) = 0.06% convertible anualmente son tasas equivalentes. Cuando el interés es convertible más de una vez en un año. En el ejemplo 7 (a). el monto de 1 a la tasa j convertible trimestralmente es (1 + j/4) y al 5% efectivo es 1. 4. Hallar una tasa nominal j convertible trimestralmente equivalente a una tasa efectiva de 5%. En un año el monto de 1 a la tasa efectiva i será 1 + i y al 5% convertible mensualmente será (1 + 0. Hallar la tasa efectiva de interés i equivalente a una tasa nominal de 5% convertible mensualmente. 4% convertible trimestralmente y 4. Como se mostró.04908892 o sea 4.05) ¼ Por tanto.05 vemos que 1 + j/4 = (1.05/12) 12 i = (1+ 0.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.116% Ejemplo 9.1 = 0. 4% es la tasa nominal mientras que en (b) 4.05/12) 13 Haciendo vemos que 1 + i = (1 + 0.05116190 o sea 5.05)1/4 -1 ] = 4(0. Ejemplo 8.1 = 1. A. j = 4 [(1.05/12) 12 .05. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Por tanto. la tasa anual dada se conoce como tasa nominal anual o simplemente tasa nominal.06 es la tasa efectiva.1) ] . C. 1900 = 1250 (1 + i) 40 y (1+i) 40 = 1900 1250 = 1. n = 40.4889 y (1.125 0. n = 31.5 APROXIMACIÓN DE LA TASA DE INTERÉS Dados C. ¿A que tasa nominal j convertible trimestralmente el monto de $1250 será $1900 en 10 años? En este caso C = 1250. tenemos que (1. S = 1900.5200.1547 1.6436 0. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 2. coloquemos a continuación junto a cada paréntesis rectangular la diferencia de las dos cantidades indicadas.025 y j = 2i = 0.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. (En este caso escribimos i – 0. de la ecuación (1) tenemos: 215 215 = 100(1 + i) 31 y (1 + i) 31 = 100 = 2.01)40 = 1. ¿A que tasa nominal j convertible semestralmente el monto de $100 será $215 en 15 ½ años? En este caso C = 100. Ejemplo 10. S = 215. Ahora. cercano a 1. de (1) tenemos que.1500 En la tabla IV encontramos que (1. Vemos claramente que la tasa i buscada debe estar entre 1% y 1 ¼ % estando mas cerca de 1%.0311 . por lo cual i = 0.5200 1. Será i = j/2. puede ser aproximada ya sea interpolando en la tabla IV o utilizando logaritmos.0125)40 = 1.01 = x) 0. S y n en la ecuación (1).05 o sea 5% Ejemplo 11.025 0. A.4889 1.025) 31 = 2.01 i 0.5200 Aproximado a cuatro decimales las cifras de la tabla IV.6436.15000677. 01050 y j = 4i = 0.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.02) n = 3650 = 1. De la igualdad 1900=1250 (1+i) 40 tenemos Log 1900=log 1250+40 log (1+i) Por tanto Log (1+ I) = log 1900 – log 1250 = 3278574 – 3096910 40 40 = 0. X 0. S= 6350.04546 De donde 1+ i = 1.01052 y j = 4i = 0. S e.6 APROXIMACIÓN DEL TIEMPO Conocidos C. Ejemplo 12 Resolver el ejemplo 11. Ejemplo 13.1547 De la proporción = encontramos que por tanto i = 0.02)n y (1. A. el tiempo n de la formula (1) puede ser calculado interpolando en la tabla IV o aplicando logaritmos.01052 o sea 4.0025 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 0.8250 2000 .01 + x = 0. ¿En que tiempo el monto de $2000 será $ 3600 al 4% convertible semestralmente? C= 2000. usando logaritmos.0311 0.0311 0.0420 y 4. i = 0.1547 0.02. de la formula (1) tenemos 3650 = 2000 (1.04208 2.20% = 00050.C.208% i = 0. i. 02) 30 = 1.38. existiendo un monto ligeramente mayor en la cuenta.02 o sea 2% y .8250 1.C. i = 0. x = 0. El tiempo es 15.81136158 y (1. que el tiempo requerido esta entre 30 y 31 periodos de conversión. El periodo de conversión es un mes.0362 conversión. el tiempo puede ser estimado en forma similar a la del ejemplo 11.8476 0. Hallar la tasa de interés i por el periodo de conversión y él numero de periodos n.005 o sea ½ % y n = 6 x 12 + 7 = 79 periodos de conversión. la frecuencia de conversión es 12.19 años. 7 meses.0136 . La información se maneja así: 1 30 n 31 x 0. El periodo de conversión es 3 meses. MATEMÁTICAS FINANCIERAS En la tabla IV. Hallar la tasa de interés i por el periodo de conversión y el numero de periodos n. aproximadamente.0362 1. Si el interés se carga por periodos de conversión fraccionarios. o sea entre 15 y 15 ½. A. 2. i = 0.8114 1.06/12 = 0. encontramos (1. del 10 de octubre de 1954 al 10 de enero de 1962.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.08/4 = 0.02) 31 = 1. Por tanto.7 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Por tanto.38 y n = 30 + x = 30.0135 De la relación x = 0. periodos de 1 0.84758882 Es decir. Una cierta cantidad es invertida al 8% convertible trimestralmente. la frecuencia de conversión es 4. al 6% convertible mensualmente. 2. Una cierta cantidad es invertida por 6 años. n = 20. ¿Cuánto debe al final de 4 años? C = 600. ya que.233247) = $3083.01/3. n = 50. n = 12.89 4. A.0125.0125) 50 = 2000 (1. ¿Cuánto debía el 1º de agosto de 1960? C = 2000. n = 63.04 6.015. i = 0. Por tanto.0125)12 En los siguientes 10 años C = 2500(1.025.42 (1.015)20 = 2500(1. n = 8.12 NOTA: Escribimos i = 0. convertible trimestralmente. i = 0. i = 0. al 4.01/3) 63 = 2500 (1. ya que S = C (1 + i ) n = 2500 (1 + 0. Seis años después de que X abrió una cuenta de ahorros con $ 2500 ganados intereses al 2 ½ % convertible semestralmente.015)n = 600 (1. S = C = 2500(1.346855) = 7.12649) = $675. ¿Cuánto había en la cuenta 10 años después del cambio en la tasa de interés? En los primeros 6 años C = 2500. Acumulado $ 2500 por 5 ¼ años al 4% convertible mensualmente.861022) = $3722. C = 2000.2%. X obtuvo un préstamo de $ 2000 al 5% convertible trimestralmente. y S = 2500(1.0105) 24 . la tasa de interés fue elevada al 3% convertible semestralmente.0125) 12.160755)(1. El 1º de Febrero de 1948. i = 0. n = 24 y S = 2000(1.0125) 12 $3908. C = 2500. Acumular $ 2000 por 6 años. por tanto S = C (1+ i )n = 600 (1.C.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. S = C (1 + i)n = 2000 (1.0105. X obtiene un préstamo de $ 600 acordando pagar el capital con interés de 3% convertible semestralmente. Año 1962 1954 Restando 7 Mes 1 10 3 MATEMÁTICAS FINANCIERAS n = 7 x 4 + 1 = 29 periodos de conversión 3. i = 0.025. 5. i = 0.01/3 puesto que de otra forma i seria un décimo ilimitado.04/12 = 0. al 4 ½ %.000 1.05/12. n = 240 y S = 1000(1 + 0.338 1.05/12)240 = 1000(1 + 0.180 1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Es este caso no nos sirve la tabla IV por lo cual S se determina usando logaritmos. convertible mensualmente.124 1. (b) $ 1500 por 6 años. La tabla dada a continuación. n = 43/6.44 . convertible semestralmente.45358) = $ 2712. Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Monto a interés simple 1.2%.0105 = 3. C = 1000.300 1.060 1.060 1.689 1.865822)(1. dos meses.420 1.791 10. nos da el monto de $ 1 a interés simple y a interés compuesto al 6%. y S = 500(1.120 1.C.262 1. i = 0. A.000 1.045)7(1.64 9.045)43/6 = 500(1.301030 + 0. (a) $ 500 por 7 años.191 1.409901 y S = $ 2569.05/12)90 = 1000(1.360 1.600 Monto a interés compuesto 1.80 8.00736) = $ 685.05/12)150 (1 + 0.36086)(1.480 1. Hallar el monto compuesto teórico de. Log S = log 200 + 24 log 1. El crecimiento comparativo se ilustra en la grafica adjunta.045. 7 meses.240 1. (a) C = 500.594 1. i = 0.540 1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.419 1.504 1.045)1/6 = 500 (1.108871 = 3. Hallar el monto compuesto de $ 1000 por 20 años al 5%. al 5. 026 = 3.0131) 4 = 1.001864 = 3.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.10 12. MATEMÁTICAS FINANCIERAS (b) C = 1500.0075) = $ 685.144911 + 0. A. i = 0. .045) 7 (1 + 0.2%.10 11.176091 + 0.0131) 4 = 4(0.176091 + 0. 2 meses al 4 ½ %.022609 Y (1.34% 13.322866 y S = $ 2103.0525 convertible trimestralmente.026.025/12) = 1500(1. En un año. 7 meses. n = 79/6. al 5. el monto de la tasa es 1 + i y la tasa j = 0.0043 = 3.0043) Log S = log 1500 + 13 log 1. Igualando 1 + i = (1. convertible semestralmente. (a) $ 500 por 7 años.0056523) = 0. Hallar la tasa nominal j.0131225) 4. Hallar el monto compuesto de.045/6) = 500(1.322867 y S = $2103.36086)(1.C.146776 = 3.026) 79/6 log S = log 1500 + 79/6 log 1.53 (b) Utilizamos interés compuesto por 13 periodos de conversión e interés simple por 1 mes. convertible mensualmente.026) 13(1. (b) $ 1500 por 6 años.026) 13 (1 + 0. y S = 1500(1. Hallar la tasa efectiva i equivalente a j = 0. equivalente al 6% convertible semestralmente.026 + log 1.013125) 4 encontramos i = (1. (a) Utilizamos interés compuesto por 7 periodos de conversión e interés simple por dos meses.0525 convertible trimestralmente es (1. con lo cual S = 1500(1.013125) 4 – 1 Ahora log (1.0534 Por tanto i = 0. con lo cual S = 500(1.0534 o sea 5. A.03) 2 encontramos 1 + j/12= (1. y al 4.02078 . al 6% convertible trimestralmente (g)del 10.C. Haciendo (1 + j/12) 12 = (1. al 6% .1] Aplicando logaritmos. (i) Del 18 de agosto de 1948 al 18 de febrero de 1957. En un año. log (1.00493862) = 0. equivalente al 4.8 PROBLEMAS PROPUESTOS 15. por tanto j = 2[1.03) 2 . al 3 ½ convertible semestralmente. Hallar la tasa de interés i por periodo de conversión y él numero n de periodos de conversión cuando se invierte un capital C: (a)por 5 años al 4% (b)por 8 años al 5% (c) por 6 años al 4 ½% convertible semestralmente (d)por 10 años al 3 ½ convertible semestralmente (e)por 5 ½ años al 4% convertible trimestralmente (f) por 6 años 9 meses.042 tenemos j = 2 [(1. (h)Del 15 de marzo de 1947 al 15 de septiembre de 1963. convertible semestralmente. convertible mensualmente. es (1 + j/2).03) 1/6 y j = (12 ) (1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Igualando (1 + j/2) 2 = 1.042) ½ =1. el monto de $1 a la tasa nominal j.042) ½ = ½ (0.2% efectivo es 1.05926344 o sea 5. es (1 + j/12) 12 y al 6% convertible semestralmente es (1.1] = 0.042) ½ . Julio de 1971 al 5% convertible semestralmente.03) 1/6 -1 = 12(0.02078. MATEMÁTICAS FINANCIERAS En un año.156% 2.2% efectivo. Hallar la tasa nominal j.042. de enero de 1960 al 1º. el monto de $1 a la tasa nominal j.0178677) = 0.926% 14.04156 o sea 4.0089338 Y (1. convertible semestralmente. (b) i = 0.005. n = 20 (e) i = 0. En forma aproximada ¿cuándo el monto compuesto es el doble del capital original?. (a) $951.42 21. al 6% convertible mensualmente.0175. (c).015.00 19. Resp.077.025. n = 22 (f) i = 0. (b) 20 años.0175. n= 23 (h) i = 0. $120. n = 186 16. Una póliza total de $10. (d)$1500 por 7 años 8 meses al 5% convertible mensualmente. (a) Comparar el monto simple y el monto compuesto de $ 100 por un año al 6%. ¿Cuál será su valor al final de dicho plazo? Res. (j) Del 20 de enero de 1955 al 20 de julio de 1962. 18.01.000 cuyo vencimiento fue el 1º. ¿cuánto habrá al cumplir 18 años el hijo?. n = 27 (g) i = 0.C. Un padre coloca $ 500 en una cuenta de ahorros al nacer su hijo.19. (a) $169.46 (d) $2199. Sacar conclusiones (b) Comparar el monto simple y el monto compuesto de $100 por 5 años al 6%. (c) $1500 por 8 ½ años al 3% convertible trimestralmente. (b)$750 por 6 años al 4% convertible trimestralmente. $781. (a) i = 0. n = 31 (i) i = 0. (b) $265.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. A. n = 90 (k) i = 0. Sacar conclusiones. n = 8 (c) i = 0. MATEMÁTICAS FINANCIERAS convertible trimestralmente. Si la cuenta paga el 2 ½% convertible semestralmente.000 aumentara su valor cada año en 4% sobre el valor del año anterior durante 12 años. Se estima que un terreno boscoso cuyo valor es de $ 75. n = 34 (j) i = 0.30 (c) $1919.4 n = 5.97 20. Resp. n = 12 (d) i = 0.0025. (k) Del 30 de septiembre de 1947 al 30 de marzo de 1963.89.0225. Hallar el monto compuesto de $ 100 al 5% por (a) 10 años. Res. Resp. De mayo de . 30 años. Hallar el monto compuesto de: (a)$750 por 6 años al 4% convertible semestralmente. al 3% convertible mensualmente. después de 15 años.05.33.18 (b) $952. 17.015. (c) $432. $ 2209.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.09 22. X desea un préstamo de $ 2000 por 2 años. 32. hallar el monto compuesto de: (a)$1000 por 8 años.969% 28. 4. Resp.2% convertible trimestralmente. 10 meses al 5% convertible trimestralmente.C. Res. (a). (b) 5 8/8 % convertible semestralmente. Le ofrecen el dinero al (a) 5% convertible trimestralmente. Res. $2918. Hallar la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al 5% convertible semestralmente Resp.67 (b)$1500 por 6 años. Hallar la tasa nominal convertible mensualmente a la cual el monto de $3250 es $400 en 8 años. 4. Acumular $ 2000 por 6 años al 6. (c) 5 ½ % de interés simple. ¿Cuál fue su valor el 1º. 5.169. 6. 5 meses al 4% convertible semestralmente. Resp. Res.70 24. 23. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1962. $ 13. Cuantos años se necesitaran para que: . Hallar la tasa nominal convertible semestralmente a la cual el monto de $ 2500 es $ 3250 en 5 años. Mediante la regla practica. A. ¿Qué tasa convertible anualmente es equivalente al 6% convertible trimestralmente? Res. 6.90 25. Acumular $ 1500 por 7 ½ años al 5.849% 31.136% 27.949% 29. Resp. Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente equivalente al 5% convertible semestralmente. $ 1395. fue dejada en la compañía de seguros al 3 ½% convertible anualmente.4% convertible semestralmente. 26. De mayo de 1970? Res.312% 30. Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente a la cual el monto de $3500 es $500 en 5 ½ años. ¿Qué oferta debe aceptar? Res. S = 2000. Ejemplo 1. (c) 5. deben utilizarse logaritmos. A.6% convertible trimestralmente Resp.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. suponiendo un rendimiento a la tasa de 5% convertible semestralmente.743556) = $1487. Hallar el valor presente de $2000. de un monto S con vencimiento en n periodos de conversión es la suma C tal que invertida ahora a la tasa dada de interés alcanzaría el monto S después de n periodos de conversión. C = S(1 + i)-n En la tabla V se dan valores para el factor de descuento (1 + i) -n.025. al 6% convertible trimestralmente? (b)El monto de $ 2500 sea $ 6000 al 5% convertible semestralmente? (c) El monto de $ 4000 sea $5000 al 4% convertible mensualmente? (d)El monto de $4000 sea $7500 al 4. i = 0.73.011. Del capitulo 7 tenemos. pagaderos en 6 años. i = 0.11 Ejemplo 2.C. para diferentes tasa y plazos.025)-12 = 2000(0. (b) 17. S = 500. por periodo de conversión. Cuando no es aplicable la tabla V. n = 12 de (1) tenemos C = S (1 + i) –n – 2000(1.(a) 11. n = 21 por tanto . S = C (1 + i)n De donde.59.74 2. MATEMÁTICAS FINANCIERAS (a)$1500 aumenten al doble. Hallar el valor presente de $ 2000 pagaderos en 6 años.9 EL VALOR PRESENTE A la tasa i. suponiendo un rendimiento a la tasa de 5% convertible semestralmente.64. (d) 13. 610324) = $4025. Hallar el valor presente de $3000 pagaderos en 8 años 10 meses suponiendo un rendimiento de 4% convertible trimestralmente. Ejemplo 3.730690) = $2941. MATEMÁTICAS FINANCIERAS C = 500(1.81(0.01. pagadera en 8 años. hallar: (a) El monto de la deuda al vencimiento. por tanto C = 3000(1. Ejemplo 4.04)-8 = 4025. (b) El valor presente del monto encontrado en (a. el valor presente puede ser encontrado en forma similar al caso del interés compuesto mediante la regla teórica y la regla practica. A. S = 3000.011)-21 Log C = log500 – 21 log 1.015)82 = 2500(1.81 pagadero en 8 años al 4% efectivo es: C = 4025.011 = 2.099775 = 2.37 PARA HALLAR EL VALOR PRESENTE de un pagare con interés.599195 C = $397.62 2.81 (b) El valor presente de $ 4025. (a) El valor al vencimiento es S = 2500 (1.10 VALOR PRESENTE PARA EL CASO DE UN PERIODO DE CONVERSIÓN FRACCIONARIO Cuando el tiempo en una parte fraccionaria del periodo de conversión.C. Suponiendo una tasa de rendimiento efectivo de 4% hallar el valor presente de una deuda de $ 2500 contratada con intereses al 6% convertible trimestralmente. i = 0. n = 106/3.81(1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.01) –106/3 .698970 – 0. la deuda de $3000 vence en dos años y su valor es 3000 (1. Tomando el final del tercer año como fecha focal. dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en una fecha también lo son el cualquier otra.C. Ejemplo 5. por tanto. Haciendo uso de las tablas V y VII tenemos C = 3000(1. la suma de un conjunto de obligaciones con otro conjunto de obligaciones.04/6) = 3000(0.01) – 106/3 = 3000 (1.01) –35 (1.03)2.73 Regla practica. C = 3000(1. es decir por dos meses.02/3) = $2110.01) –1/3 = 3000(0. Acuerdan que M liquide sus deudas. Igualando .996689) = $2110.75 2.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Regla teórica. En él capitulo 4 se hizo notar que cuanto se trata con interés simple. En este caso n =106/3 = 35 1/3 descontamos S por 6 periodo (él numero mayor entero de periodos de conversión más próximo al plazo dado) y le sumamos interés simple por 36 – 35 1/8 = 2/8 de periodo de conversión. dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en una cierta fecha pueden no serlo en otra distinta.01)-36 (1 + 0. 1000 0 1 2 3000 3 4 5 años Designemos con X el pago requerido. Cuando se trata con interés compuesto. la deuda de $ 1000 está vencida en un año y su valor es 1000 /1.03)-4.705914)(0. mediante un pago único al final de 3 años sobre la base de un rendimiento de 6% convertible semestralmente. mientras que el valor del pago X es X en la fecha local.698925)(3. M debe a N $1000 pagaderos en 2 años y $3000 pagaderos en 5 años.11 ECUACIONES DE VALOR Una ecuación de valor se obtiene igualando en una fecha de comparación focal. A. .03)-4 = 1000 (1. la deuda de $ 1000 está vencida 1 año y su valor es 1000 (1.03)-4 Tomando la fecha inicial como fecha focal. mientras que el pago X vale X. la ecuación de valor correspondiente puede ser obtenida de (b) multiplicando esta por (1. Tomando como fecha focal el final del 2º año.03)2 + 3000 (1.03)-10 Tomando el final del quinto año como fecha focal.025)-4 Analógicamente el pago de $2000 está vencido dos años de la fecha focal y su valor es 2000 (1. la ecuación de valor es: (c) X (1.03) 10. Acuerda pagar $2000 de inmediato y el resto en 2 años.36 Ejemplo 6 M debe $1000 pagaderos en 1 año y $3000 pagaderos en 4 años. Utilizándola tenemos X = 1000(1.03) -6 y (c) puede ser obtenida de (b) multiplicando esta por (1.03)2 + 3000(1. mientras que la deuda de $3000 vence en 2 años y su valor es 3000 (1.03) 300. si tomamos 100 años después como fecha focal. X = 1000(1.025)8.888487) = $ 3726.060900) + 3000( 0.025)4.03)-4 = 1000(1.03)-4 + 3000(1. ¿Cuánto tendrá que pagar al final del 2º año suponiendo un rendimiento de 5% convertible semestralmente? 0 2000 1 2 3 4 años X Designemos con X el pago requerido.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. la ecuación de valor es: (b) X (1. por ejemplo (b) puede ser obtenida de (a) multiplicando esta ultima (1.C. De todas las ecuaciones que puedan formarse (a) es visiblemente la más simple para determinar X. Sin embargo. MATEMÁTICAS FINANCIERAS la suma de los valores de las deudas con el valor del pago único en la fecha focal tenemos.03)6 + 3000 (a) Nótese que las tres ecuaciones de valor son equivalentes. A.03)4 = 1000(1. Tomando el día de hoy como fecha focal.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.C.9328575 4000 4000 .025)-4 – 2000(1.025)2 + 300081.01)-8 = 3731. ¿Cuál es el tiempo equivalente para el pago de unas deudas de $1000 con vencimiento de 1 año y $3000 con vencimiento en 2 años suponiendo un rendimiento de 4% convertible trimestralmente? 0 1 2 3 4 5 6 4m 7 4000 8 periodos de conversión (trimestre) Designemos con x (años) el tiempo equivalente.01)-4 + 3000(1.025)4 + X = 1000(1. con vencimiento en fechas diferentes.025)2 + 3000(1. tenemos 2000(1.63 = $1560.01)-4 =1000(1. puede ser liquidado mediante un pago único igual a la suma de las distintas deudas. Ejemplo 7.01)-4 + 3000(1.62 + 2717.12 TIEMPO EQUIVALENTE La fecha en la cual un conjunto de obligaciones. se conoce como fecha de vencimiento promedio de las deudas.025)-4 Por tanto. X = 1000(1.84 2.025)-4 = 1050.43 = 0.01)-8 Entonces: (1. A. la ecuación de valor es 400081. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Igualando la suma del valor de los dos pagos y de las dos deudas. El tiempo por transcurrir hasta dicha fecha se conoce como tiempo equivalente.01)-4 = 1000(1.85 – 2207. 6.4. Introducción.11. 3. Problemas resueltos.3. 3.6. Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad general. 3. rentas de anualidades.5.9.12. 3.8. 3.8. 3.3. 3. 3.6. Conversión de una anualidad general en una anualidad simple. Símbolos utilizados en las Anualidades Diferidas.6.13. Problemas Resueltos.7. Anualidades.4. Problemas resueltos.6. 3.2.5. 3. 3.2. 3.3. 3. 3.4. 3.1.4. 3.6.10.1. 3. Problemas propuestos.6.  Identificar y manejar los distintos factores que intervienen en las anualidades.6.1. Valores de las Anualidades Diferidas Simples Ciertas.3.9. 3. Introducción. Valor de las Anualidades. Problemas propuestos.3. Problemas propuestos. Anualidades a interés continuo.4.3. Monto y valor actual de las Anualidades Simples Ciertas Anticipadas. 3.11.7.2. Anualidades a interés continuo con pagos en flujos continuos. Anualidades Generales Anticipadas. definir y clasificar los diferentes tipos de anualidades. 3. 3. Monto y valor de las anualidades generales ciertas ordinarias.7.2.7.5.9.5. 3. SUMARIO Unidad 3.7.3. 3.4. Símbolos utilizados en las Anualidades Anticipadas.5. Anualidades Simples Ciertas Ordinarias.2.3. 3.1.5. Problemas propuestos. Problemas resueltos.4. Problemas resueltos. Introducción.12.3. 3. Símbolos utilizados en las anualidades generales.5. valores actuales. Introducción. Anualidades Anticipadas. Introducción. Cálculo de la renta de una anualidad general cierta ordinaria.4.3.6. 3. 3. 3. Cálculo de la tasa de interés de una anualidad general. 3.C.3. Problemas Resueltos.6.6.3.10. Problemas propuestos. Anualidades Diferidas. 3. 3.1. Anualidades Variables. 3.6.  Aplicarlos en la solución de problemas de montos o valores futuros. 3. Clasificación de las Anualidades. Otros métodos de cálculos de los valores de las anualidades. . 3. Cálculo de la tasa de interés de una anualidad simple cierta ordinaria. Problemas propuestos 3. Problemas resueltos. 3. A. Monto y valor actual de las Anualidades Simples Ciertas Ordinarias.5.7. 3. 3. 3.4.6. 3. 3. Cálculo de la renta en una Anualidad Simple Cierta Ordinaria.2. 3. 3. Problemas resueltos. 3.1. Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad.5.6. Anualidades Continuas.4.3.8. Problemas propuestos. 3.3.5.3. 3. Anualidad General Caso Especial. 3.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. tasas de interés y tiempos o plazos. Problemas Propuestos. 3  MATEMÁTICAS FINANCIERAS OBJETIVOS Reconocer.6. Definición. El tiempo que se fija entre dos pagos sucesivos en el período de pago o período de la renta. Renta anual. los sueldos y todo tipo de rentas son anualidades. El intervalo de tiempo que transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el final del último es el tiempo o plazo de una anualidad. A. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 3. los fondos de amortización. determinan diferentes tipos de anualidades. Período de pago o período de la renta. Así son anualidades los dividendos sobre acciones. El valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta. La suma de los pagos hechos en un año es la renta anual. Por costumbre se usa la palabra anualidad. Para su estudio ordenado es necesario clasificarlas y definirlas. los pagos periódicos de las compañías de seguros y en una forma más general. ANUALIDADES 3. 3. Renta. que en un sentido propio de las finanzas no significa pagos anuales sino simplemente pagos a intervalos regulares de tiempo. Tasa de una anualidad El tipo de interés que se fija es la tasa de una anualidad y puede ser nominal o efectiva. Tiempo o plazo de una anualidad.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Son .1 INTRODUCCIÓN En matemáticas financieras la expresión anualidad se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fijas a intervalos iguales de tiempo. Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. los pagos a plazos.2 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago.C. Las anualidades según su tiempo se agrupan en dos clases que son: anualidades ciertas y anualidades eventuales o contingentes. según el número de pagos en el año y número de períodos de capitalizaciones anuales que estipule el tipo de interés. Según la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad. Anualidades perpetuas o perpetuidades Son una variación de las anualidades ciertas en las que la duración del pago es ilimitada. MATEMÁTICAS FINANCIERAS anualidades ciertas aquellas anualidades cuyas fechas. A. es decir la fecha inicial y/o la fecha final dependen de algún suceso previsible pero cuya fecha de realización no se puede fijar.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.C. se originan las anualidades ordinarias o vencidas y las anualidades anticipadas. Anualidades contingentes son aquellas en las que el primer pago o el ultimo. inicial y terminal se conocen por estar estipuladas en forma concreta. Es anticipada si el pago se efectúa al principio del período de pago. Una anualidad es ordinaria o vencida si el pago de la renta se hace al final del periodo de pago. . De acuerdo con las definiciones anteriores las anualidades se clasifican en la siguiente forma: ANUALIDADES CIERTAS Ordinarias o vencidas Diferidas Perpetuas Perpetuas diferidas Anticipadas Diferidas Perpetuas Perpetuas diferidas ANUALIDADES EVENTUALES O CONTINGENTES Ordinarias o vencidas Diferidas Perpetuas Perpetuas diferidas Anticipadas Diferidas Perpetuas Perpetuas diferidas Cada una de las distintas formas de anualidades presenta variantes en la forma de calcular sus valores. 3.fecha intermedia . de acuerdo con este método hemos desarrollado los acápites que siguen. Pero desde un punto de vista didáctico es conveniente guiar el aprendizaje.3.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. El cálculo de los valores de la anualidades se puede hacer comenzando con un caso general que incluya las diferentes formas de anualidades. 0 1 2 3 4 5 A 2000 2000 2000 2000 2000 parte vencida . Así por ejemplo una renta de $ 2000 pagaderos cada final de año durante 6 años tendrá un monto S al finalizar los 6 años y tendrá un valor actual o presente A en su fecha inicial. 3. A. Son aquellas cuyo período de pago coincide con el período de capitalización. en tal caso se refiere a: monto de la parte vencida o valor actual de las anualidades por vencer. 3. El valor de la anualidad calculado a su comienzo es su valor actual o presente. 3.parte por vencer 6 2000 S Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida de la anualidad de la parte por vencer tal como se muestra en el gráfico.1 VALOR DE LAS ANUALIDADES El valor de las anualidades calculado a su terminación es el monto de ella.2 MONTO Y VALOR ACTUAL DE LAS ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ORDINARIAS Este tipo de anualidades es el más frecuente y por esto cuando se dice simplemente anualidad. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Si el período de capitalización coincide con el período de pago se dice que las anualidades son anualidades simples. se supone que se trata de una anualidad . Estos valores se pueden también calcular en fechas intermedias. comenzando por los casos de más frecuente aplicación para finalizar con un tratamiento general de ellas.C.3 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ORDINARIAS. FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. . Los pagos R efectuados al final de cada período ganan interés compuesto hasta la fecha final. El monto total S de la anualidad es igual a la suma de los montos producidos por las distancias rentas R. En caso de que la tasa no sea nominal se aclarará diciendo tasa efectiva anual..1 n períodos R R R Cada pago efectuado al final de período capitaliza los intereses en cada uno de los períodos que le siguen. m = numero de capitalizaciones en el año. el segundo durante (n-2) períodos y así sucesivamente hasta el último pago que no gana intereses ya que su pago coincide con la fecha de término. MATEMÁTICAS FINANCIERAS simple cierta ordinaria. n = número de períodos de pago. Los montos respectivos de los pagos R comenzando por el último serán R. El primer pago acumula durante (n-1) períodos. A.. La tasa de interés es por lo general una tasa de interés nominal anual. A = valor actual o presente de una anualidad. j(m)=tasa nominal con m períodos de capitalizaciones en el año. Si la tasa dada es nominal. Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fecha final como fecha focal. i = tasa efectiva por período de capitalización.R(1+i)n-2 + R(1+i)n-1.C. j = tasa nominal anual. tendremos 0 1 2 3 n .R(1+i)2. S = monto de una anualidad. Cálculo del monto.+R(1+I)n-2+R(1+I)n-1 . la tasa efectiva en el período de pago es el cociente entre la tasa nominal y el número anual de pagos. Símbolos que se utilizan en las anualidades R = pago periódico de una anualidad o renta.R(1+i). sin especificación de período de capitalización. o sea: S=R+R(1+i)+R(1+i)2+. por ejemplo. La tabla V incluida al final de este libro. el monto S corresponderá al monto de una anualidad de uno por período y se expresa con el símbolo s n i que se lee s sub n al i. sustituyendo este símbolo en la fórmula (26a) se obtiene: (1 – i)n – 1 i s n i= S=Rsni Los valores de s n i = se pueden calcular utilizando logaritmos. s 20 3% para expresar el monto de 1 en 20 periodos al 3% efectivo en el periodo. En la práctica los cálculos se efectúan utilizando tablas que tienen tabulados estos valores. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Los términos del segundo miembro forman una progresión geométricamente de n términos. se tiene: 0 1 2 R n –1 n per R A A(1 + i)n = S R R R S (1 – i)n – 1 . Algunos autores expresan i en tanto por ciento y escriben. Formando la ecuación de equivalencia.1 R[(1 – i)n – 1] S= (1 – i) .FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. A. Valor actual o presente de una anualidad es aquella cantidad A de dinero que con sus intereses compuestos. utilizando como fecha focal la fecha final. Aplicando la fórmula de la suma dada en 0. Nosotros utilizaremos la expresión decimal y escribiremos s 20 0. razón (1+i) y primer término R. (1 – i)n – 1 S=R i Si el valor de cada pago R es de una unidad monetaria.03 .11 se tiene: A(rn – 1) S= r . en el tiempo de la anualidad.C.1 . dará un monto equivalente al monto de la anualidad. tiene los valores de s n i calculados para las tasas y números de períodos que se utilizan en los problemas que se presentan en esta obra. Nosotros utilizaremos la forma decimal o sea el tanto por uno que hemos venido usando en los capítulos anteriores y escribiremos a 10 0.3. La tabla VI incluida al final de este libro. en la práctica se utiliza para los cálculos.162.90 .29736980) = $ 218. S = Rs n i 0.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. A.676.C. A(1 + I)n = R n MATEMÁTICAS FINANCIERAS i (1 – i) – 1 (1 + I)-n i 1 – (1 + I )-n A=R i A=R Si el valor de cada pago R es de una unidad monetaria.02. tiene los valores de a n i de uso frecuente en los problemas que se ofrecen en esta obra. Una persona que viaja fuera de su localidad deja una propiedad en alquiler por 5 años.08 R = 9000.02 En tabla VI. tablas que tienen tabulados estos valores. En la misma forma que el símbolo s n i el valor de i se acostumbra expresarlo en % y en decimal y se escribe a 20 3% para expresar el monto de 1 en 20 periodos al 3 %.33 A= Ra n i = 9000a 20 0.03 . s 20 0. con la condición que se pague $ 9000 por trimestre vencido que serán consignados en una cuenta de ahorros que paga 8% nominal anual.35143334 A= 9000(16. j = 0. n= 4*5=20 S= 9000s 20 0. i= 4 =0. Hallar el monto en los 5 años y el valor actual del contrato de alquiler. el valor actual A es el valor actual de una anualidad de 1 por período y se expresa con el símbolo a n i ( a sub n al i ). a 20 0.08. sustituyendo este símbolo en (27ª) se obtiene: 1 – (1 + I )-n a ni= i A = Ra n i Los valores de a n i se pueden calcular por logaritmos.29736980 S = 9000(24.02 = 24.02 = 16. 3.35143334) = $ 147.02 . en tabla V. m = 4.3 PROBLEMAS RESUELTOS Ejemplo 1. 043)-15 0.046. A.53179 1-0.382. Número de períodos mayores que el máximo de las tablas.043)15 – 1 S= R = 5000 i 0.043 Se calcula primero (1.043 logX = -15log)1.55 1-(1 + i)-n Valor actual A= 5000 i 1.88049 1.(1.88049 .6 % capitalizable semestralmente.02 Ejemplo 3. n = 72 (2)= 15 S 5000s 15 0.274260 X= 1.043 S=$102. Tasas que no figuran en las tablas.043)15 log X = 15log1.018284) = 0. m=2.043 Para I= 0.043 =5000 0.043) = -15(0. (1 + i)n – 1 (1 + 0.88049 0.53179 0.086.018284) = -0.1 S= 5000 0. i= 2 = 0. Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $ 5000 pagadera semestralmente durante 7 años 6 meses al 8.443.043)15 X = (1. .725740 – 10 X= 0.086 1 R = 5000.C.043 sn i no figura en la tabla y es necesario calcular aplicando logaritmos o utilizando una calculadora. 0. j= 0.043 log X = 15(0. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Ejemplo 2.043 A= $ 54.46821 A=5000 0.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.274260 logX = 9.043 = 50000. 83804327 = $ 37.09 R= 100.0075)-180 = 0.0075)80 utilizando la tabla I (1.26054942 1 – 0.11108384(1. Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $ 100 mensuales pagaderos durante 15 años al 9% nominal convertible mensualmente.0075)-180 = (1. los valores se calculan aplicando los métodos que se indican en los problemas 8 y 18 de este capítulo.1 S=100 0.0075 A=100 1 –0.0075)180 =(1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Cuan do el número de períodos es mayor que el máximo de las tablas.0075)100(1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.0075)-100(1. Hallar el monto al . A.0075. En este ejemplo desarrollaremos una solución que es de uso frecuente.0075 (1 + 0.0075 valor actual A = 100ª180 0.0075)180 .0075)-80 utilizando la tabla II (1. i= 12 =0.0075)180 =2.0075 A=$ 9859. j=0.81804398) = 3.C. 0.26054942 0.0075)-180 (1.09.55004170)=0.57 0.840.0075 (1.83804327 S= 100 2.0075 =100 0.0075 (1 + 0.34 Problemas resueltos 1.Una persona deposita $2000 al final de cada año durante 15 años en una cuenta de ahorros que paga el 8% de interés. m=12.73945058 A= 100 0. n=15(12)=180 S= 100s 180 0.47369033(0. Hallar a la tasa del 6% el costo de la anualidad.03.000(14. n =2(10)=20 A= Ran i = 20.06. i=0.549. valor de contado = cuota inicial + valor actual de las mensualidades valor de contado = cuota inicial + Ra n i cuota inicial = 1000.15 4. n = 15 S=Rsn i = 2000s 15 0. R=500. hallar el valor de contado.03 A=20. si la tasa de la operación es del . i= 0.000 pagadera semestralmente durante los próximos 10 años.¿cuánto debe pagar al vencer la quinta cuota para poner al día su deuda. m=12. Si no efectúa los 4 primeros pagos.000.15211393) = $54.0125 valor de contado = 1000 + 500(14.42029227)=$ 8210.000a 20 0.15 12 =0.0125 valor de contado = 1000 + 5000ª 16 0. Una persona desea comprar una renta de $20.23 2.304. R= 20.50 3. j=0.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Si se carga el 15% con capitalización mensual. i =0. n=16. Una compañía vende neveras con una cuota inicial de $1000 y 16 cuotas mensuales de $500.08 S= 2000(27.15. m=2.C.08. MATEMÁTICAS FINANCIERAS efectuar el último pago. Una persona debe pagar una anualidad de $6000 trimestral durante 10 años. A. j=0.87747486)=$297. R= 2000. 10 / 4 =0. es de $ 27.97 5.045.08 / 2 = 0.38 6.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.025 = 6000(5.04 Pago único = 5000 + 5000ª 11 0.09. el padre decide consignar semestralmente en una cuenta de ahorros que paga el 9% nominal.025.802. 0 1 5 30 periodos s s S= monto parcial. la cantidad de $2000. i= 0.Al cumplir su hijo 10 años. R= 2000.09/2=0. 0 1 2 10 años 3 11 23 años 11 años 15 años 21 años de edad S` S Primero se calcula el monto S` de las consignaciones durante 5 años.045 = 2000(13. Si hace estas consignaciones durante 5 años consecutivos.84117879) S´=$ 27.10. m=4.537.36 y esta suma gana interés compuesto durante 12 periodos hasta que el hijo cumpla 21 años de edad.682. i=0. j=0. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 10% con capitalización trimestral? Se calcula el monto parcial hasta el quinto pago. hecho el último pago.04 = 5000 + 5000(8.36 El monto cuando el hijo cumple 15 años. m=2.76047671) = 48.C.25632852)=$31. j=0. R=6000. Al efectuar el noveno pago desea liquidar el saldo con un pago único ¿Cuánto debe pagar en la fecha del noveno pago para liquidar la deuda? 0 1 9 20 periodos A` Al efectuar el noveno pago quedan 20 – 9=11 pagos Pago único= R +A`(R es el valor de cada anualidad y A` el valor actual de los 11 pagos pendientes) R=5000. m=2.682. i= 0. A. n =5 S= 6000s5 0. calcular la cantidad que tendrá en su cuenta el hijo al cumplir 21 años. Una persona debe pagar durante 10 años una anualidad de $5000 semestrales pactados al 8%. n=11 S`= 2000s 11 0. .08. j=0. 946 7. MATEMÁTICAS FINANCIERAS S=C(1 + i )n C=$ 27. c) $ 200 mensuales durante 3 años 4 meses capitalizable mensualmente. A. b) $ 4000 anuales durante 6 años al 7. Una persona deposita $5000 cada final de año en una cuenta de ahorros que abona el 8% de interés. . al 8% con capitalización mensual.36. Demostrar que (1+i)s n i =s n + 1 i –1 (1 – i)n – 1 (1 – i)n+1 – (1+i) (1+i)s n i = (1+i) i = i n+1 (1 + i)n+1 – 1 (1 + i) – 1-i i (1+i)s n i = = i i i (1+i)s n i =s n+1 i –1 8.36(1.36(1+0. Calcular el monto y el valor actual de las siguientes anualidades ciertas ordinarias: a) $ 2000 semestrales durante 81/2 años al 8% capitalizable semestralmente.045.045)12 S=$27.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 9.3.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.682. Demostrar que a h+k i = a h i + (1+i)-h a k i a h+k i 1 – (1+I)-h-k = i 1 – (1+I)-h-k + (1+I)-h-(1+I)-h-k a h+k i = i 1 – (1+I)-h (1+i)-h[1+(1+i)-k] a h+k i = + i i a h+k i = a h i + (1+i)-h a k i 3. Hallar la suma que tendrá en su cuenta al cabo de 10 años al efectuar el último depósito.3% capitalizable anualmente.682. n=2(6)=12 S=$27. i=0.69588143)=$46.C. 10.682. 16. A.500. Para el cálculo utilice el 9% con capitalización mensual.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Un señor puso al nacer a su hija y en cada uno de sus sucesivos cumpleaños $ 1500 en una cuenta que abona el 8%. En el problema 14 si se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por valor de $1. Hallar el valor actual de la producción.00 encontrar el valor actual incluidas las utilidades si éstas son el 25% de la producción.00 semestrales durante 21/2 años. $ 1600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2500 si se carga el 12% con capitalización mensual? 14. c) $210. si el rendimiento del dinero es del 8%.00 de contado b) $190.C. a) $400.00 de contado y $20.000 y se estima que se agotará en 10 años.000. $ 1000 por mensualidades vencidas durante 2 años 6 meses y un ultimo pago de $ 2500 un mes después de pagada la última mensualidad. 19.00 trimestrales durante 3 años ¿Que oferta es más conveniente si el interés es 12% nominal anual? 17. . Calcular su saldo en la cuenta al cabo de 20 años.000 de contado. Demostrar que s h+k i = s h i + (1 + i)h s k i. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad.000 de cuota inicial. Calcular la suma que tendrá a su disposición la hija al cumplir 18 años. Al cumplir su hija 12 años aumentó sus consignaciones a $3000. 12. 18. 13. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 11.00 de contado y $50. calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así: $ 6000 de 4 contado y 12 pagos trimestrales de $ 2000 con 12% de interés capitalizable trimestralmente. 15. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20. Una mina en explotación tiene una producción anual de $8. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés capitalizable mensualmente. ¿ Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $ 14. así por ejemplo: ¿ Cuál es el pago mensual que se debe hacer para cancelar el valor de una propiedad en un cierto número de años? ¿Qué cantidad de dinero habrá que colocar. para cancelar una obligación a largo plazo?¿Con qué cuotas periódicas se puede cancelar una mercancía.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. ¿ Cuál es el valor actual de una renta de $500 mensuales que se recibirá durante 15 años? Calcular con el 6% capitalizable mensualmente. s h – k i = s h i . en un fondo de amortización. Demostrar que: (a) (1+i)a n i = a n-1 i + 1 (b) (1+i)sn i = s n+1 i .a k i 25. Hacer el cálculo (a) utilizando la tabla II. A.1 23. conocido el valor de contado y la tasa de interés? Dos son los problemas que se presentan. CIERTA ORDINARIA Es frecuente e importante la necesidad de conocer el importe de los pagos periódicos para lograr un determinado resultado. Demostrar que para h>k. Demostrar que para h>k. (b) utilizando la fórmula desarrollada en el problema 18.5 CÁLCULO DE LA RENTA EN UNA ANUALIDAD SIMPLE. según se conozca: El monto a cancelar en fecha futura o el valor actual que se debe de cancelar mediante pagos periódicos.3. Demostrar que s h+k i = (ah i + s k i )(1+i)h 22. 21. Demostrar que para h >k. a h-k i = a h i –(1+i)-hs k i 26. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 20. Demostrar que : 1 sn+mi 1 / sn = i 1/ sn iS m i + (1 + i) m 3. periódicamente. .(1+i)h a k i 24.C. s h-k i = (1+i)-k s h i . el lector deberá calcular los valores de 1 /a n i utilizando la tabla VII que tiene los valores de 1 / s n i y aprovechando la siguiente relación: De (26a) s n i = (1+i)1 –1 / i Se obtiene 1/ s n i = i / (1+i)n –1 De (27a) a n i = 1-(1+i)-n / i Se obtiene 1/a n i = i/ 1-(1+i)-n Sumando i al valor de 1/ s n i se obtiene i + 1 / s n i = i / [(1+i)n –1]+i = i+i(1+i)n-1 / (1+i)n-1 i +1 / s n i = i/ 1-(1+i)n de donde 1/ a n i = 1/ s n i + i Los valores de 1/ a n i se obtienen sumando i al correspondiente valor . MATEMÁTICAS FINANCIERAS (a) Cálculo de la renta cuando se conoce el monto De la fórmula (26b) S= Rs n i Se obtiene R= S 1 / s n i El símbolo 1 / s n i recibe el nombre de factor del fondo de amortización y es el valor de la renta de una anualidad cuyo monto ascenderá a una unidad monetaria después de n pagos a la tasa i por período de pago. En esta obra no hemos incluido la tabla para los valores del factor de amortización. El valor de este factor. (b) Cálculo de la renta cuando se conoce el valor actual. De la formula (27b) A= Ra n i Se obtiene R= A 1/ a n i El símbolo a n i recibe el nombre de factor de amortización y es el valor de la renta de una anualidad que amortiza una deuda de una unidad monetaria en n pagos a la tasa de i por período de pago. para las tasas que con frecuencia se utilizan en esta obra se encuentran en la tabla VIII para valores de n desde 1 hasta 100. A.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.C. 04401537 1/ s 16 0. MATEMÁTICAS FINANCIERAS de 1 / 1/ s n i Ejemplo 4.3.09.00(0. R= A 1/ a n i A= 100.045 n=8*2=16 R = 100.04401537 + 0.08.08329094) R= $ 1665.00 de una propiedad comprada a 8 años plazo con el interés del 9% capitalizable semestralmente.045 = 0. A.04.045) = 100. m=2.000 (1/ a 16 0. m=2.00. i= 0.00.54 3.04 =20.045 + i) 1/ s 16 0.08901537) Pagos semestrales = R = $ 8901.C.82 Ejemplo 5.6 CALCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD Si en (26a) o (27a) se conocen el monto S o el valor actual .000 ( 1/ s 16 0.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. i= 0.08901537 R = 100.00 1/ s 10 0.000(0. Calcular los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros que paga el 8% con capitalización semestral. n=10 R= 20.000 R= S 1/ s n i S= 20. j=0. para obtener en 5 años un capital de $20.045 = 0. j ) 0. necesarios para cancelar el valor de $ 100.09/2=0.045 = 0. Calcular los pagos por semestres vencido. j =0. ¿Cuántos pagos semestrales de $ 600 se deberán hacer para cancelar una deuda de $ 4500 con el 7% de interés capitalizable semestralmente? $ 4500 es el valor actual de la deuda. A.035 = 7. MATEMÁTICAS FINANCIERAS A.5 En la tabla VI columna del 3 ½% no existe para n entero el valor 7. para el cálculo del número de pagos aplicamos: A = Ra n i A = 4500. se puede calcular el valor de n o sea el numero de pagos. R = 600. (26a) y (27a) se pueden resolver para n así por ejemplo: (26a) S = R ( (1 + i)n – 1)/1) Si = R (1 + i)n – R R (1 + i)n = Si + R log R + n log (1 + i) = log (Si + R) n log (1 + i) = log (Si + R) – log R n = (log (Si + R) – log R)/ log (1 + i) En la práctica el cálculo de n se efectúa utilizando ecuaciones de equivalencia o interpolando entre dos valores de las tablas.60768651 Si por algún motivo se necesita calcular un valor decimal aproximad del numero de periodos.035 = 4500 / 600 = 7.035 4500 = 600 a n an 0.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.C.07.035 0. i = 0. la tasa y la renta R.87395554 y a 9 0. m = 2.07/2 = 0. se puede proceder por interpolación así: .035 = 6. Ejemplo 6. Utilizando logaritmos.5 ya que este valor se encuentra comprendido entre: as 0. MATEMÁTICAS FINANCIERAS a 9 corresponde 7.62604446 n – 8 = 0.87395554 0. 8 9 600 600 600 X 4500 = 600 a 8 0. tendremos para A = 4500.07.73373097 = 0.73373097X periodos .73373097 como n – 8 es a 7.035) –9 4500 = 600(6.50000000 6. m = 2.73373097 = n – 8 / 0. A.853 periodos semestrales En las actividades financieras se acostumbra dar soluciones practicas optando por cualquiera de las dos alternativas que se expresan a continuación: (a) Aumentar el pago correspondiente al ultimo periodo entero (en nuestro caso el 8).87395554) + X(0. (en nuestro ejemplo se trabajaría con 9 periodos efectuando un pago menor al final del noveno periodo) (b) Estas soluciones no enteras dan origen a las anualidades impropias o variables que son aquellas cuyos pagos o rentas no son iguales. efectuando un pago menor en el ultimo periodo.73373097) 4500 = 4124.035 . j = 0.C.. Si en nuestro ejemplo optamos por la alternativa (b) se tendrá que efectuar un ultimo pago menor que los anteriores y suficiente para cancelar exactamente el saldo remanente que queda después de efectuar los 8 primeros pagos. r = 600.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Escogiendo la fecha inicial como fecha focal.07/2 = 0. Utilizar el entero superior.60768651 a n corresponde a 8 corresponde 6.87395554 a 8 corresponde 1 es a 0. Para calcular el valor del ultimo pago se plantea una ecuación de equivalencia.035 + X (1 + 0.. i = 0.62604446 1/0.37 + 0.62604446/0. n = 9 0 4500 1 2.853 n = 8. 94 Observe también que a 9 i . 3.37) / 0. para cubrir totalmente el valor de la anualidad.500000-6. estudie el problema 54. en este caso impropia.73373097)(600) = 511.a 8 i = ( 1 + i)-9 /0. A.87395554) (600) =(4500 – 4124.73373097 = $ 511.[(1 – (1 + i) -8) /i ] = [(1 + i)-8 . que corresponde al entero superior.7 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA DE UNA La tasa i de una anualidad puede ser incógnita cuando se .94 al final del noveno semestre Para el cálculo del ultimo pago pudimos interpolación hecha anteriormente y tendríamos: (0.3.73373097 = $ 511.(1 + i)-9 ] /i a9 i -a8 i = ( 1+ i)-9 [ (1 + i) – 1] / i = (1 + i)-9 Para una demostración general de que la interpolación obtenida multiplicada por la renta es igual al valor encontrado por medio de ecuaciones de equivalencia.62604446 / 0.73373097) Demostración [(1 – (1 + i)-9) /i ] . esta formada por 8 pagos semestrales de $ 600 c/u y un ultimo pago de $ 511.5000000 – 6.94 La anualidad.94 aprovechar la Para demostrar que las dos formas de cálculo son iguales basta observar que 0.62604446/0.62604446 = 7.87395554 y que (600)(0. De lo anterior podemos enunciar: Cuando el valor a n i = A / R es resuelto por interpolación.37) / 0.73373097)=((7. la parte decimal de n es la parte de la renta R que se debe pagar en el final del período.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS X = (4500 – 4124. 000 / 5000 = 18 Para encontrar los valores de a n i entre los cuales se halle comprendido el valor 18. ¿Qué tasa de interés abona la compañía de seguros? an i =A/R A = 90.00000000 0. n = 30 a 30 i = 90. desde el punto de vista matemático es correcto.70796670 . MATEMÁTICAS FINANCIERAS conocen los demás elementos de una anualidad.000. Este método lo ilustraremos con el ejemplo que sigue: Ejemplo 7.39204541 a i corresponde a 0. lo valores de i disminuyen. resultan ficticios en la práctica.040 es a 18.040 corresponde 17. La tasa aproximada de interés se acostumbra calcularla por interpolación con lo que se obtienen valores suficientemente aproximados para cualquier propósito. pero tal valor no es utilizado en la practica y se tomara como tasa aproximada el valor 7 1/3%. i = 0.040 corresponde 17.035 Observe que mientras los valores de a 30 i aumentan. Así por ejemplo si el calculo da para i el valor 7.29203330 a 0. Una compañía de seguros ofrece por un pago inmediato de $ 90.29203330 -0.29203330.39204541.00 una renta de $ 5000 pagadera durante 30 años al comprador o a sus herederos.000.32563%.035 corresponde 18.C. Estos valores son: para a 30 para a 30 = 17. a 0. R = 5000. Para nuestro valor a 30 i = 18 calculamos i por interpolación. por lo general los valores de i correctos desde un punto de vista matemático. i = 0.005 es a 1.04 i i = 18.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. buscamos en la tabla VI en la línea correspondiente a n = 30.000000.10001211 como i – 0. A. s 60 i = 69.040 = (-0.00500 corresponde 69.59290165 a i a 0.70796670) / 1.542 calculamos i por interpolación a 0. de s 60 i = 70. m = 12.542. A.70796670 i – 0.77196949) / 1.005)(0.00583 corresponde 71.00083 / 1.542 ¿Qué tasa nominal promedio ha ganado? sn i =S/R S = 70. (1/2 %).77003051 Para i = 0.00083 (0.542.003218 i = 0. MATEMÁTICAS FINANCIERAS . (7/2 %).10001211 = i – 0.77196949 i – 0.54200000 1.0.59290165 Para nuestro valor s 60 i = 70.005. s 60 i = 71.82287114 = (i – 0.00083 es a corresponde 70.77003051 a 0. R = 1000. Estos valores son: Para i = 0.10001211 = .77196949 0.040 / 0.82287114 como i – 0.0.6782 (tasa matemática) tasa = 3 ¾% (tasa práctica o real) Ejemplo 8.005) / 0. al cabo de 5 años tiene en su cuenta la suma de $ 70.82287114 . buscamos en la tabla V en la línea correspondiente a n = 60.542 / 1000 = 70.036782 tasa = 3.005 corresponde 69. n = 5(12) = 60 periodos Para encontrar los valores de s 60 i entre los cuales se halle comprendido el valor .00583.C.005 / 1. Una persona ha depositado al final de cada mes $ 1000 en una cuenta de ahorros.005 = 0.005 es a 0.77003051 0.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Cuota inicial de $ 1200 y el saldo en 18 abonos mensuales.20 valor cuota mensual 10.00535 (12) = 0. hallar el monto de la reserva anual.1200 = 5300. Hallar el valor . El deudor conviene con su acreedor en cancelar la deuda en 6 años con abonos semestrales. El concejo del municipio al cual pertenece el puente decide establecer una reserva anual para proveer los fondos necesarios para las reparaciones futuras del puente.000. A.00535 (mensual) tasa = 0.C..Una obligación se debe cancelar en 4 años con pagos semestrales de $ 10.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.08..3.08 = 85.8 PROBLEMAS RESUELTOS 9.005 = 0.Para mantener en buen estado cierto puente es necesario repararlo cada 6 años con un costo de $ 85.81 11.000. MATEMÁTICAS FINANCIERAS i – 0.000.000 / 7.586.01 R = 5300 / a 18 0. Si esta reserva se deposita en una cuenta que abona el 8% de interés.Un comerciante vende televisores en $ 6500 precio de contado.000 / s 6 0.39826858 R = $ 323.0642 (matemática) tasa = 6 ½% nominal anual (practica) 3.01 = 5300 / 16.33592904 R = $ 11. R = S/an i S = 85. n = 18. i = 0..00035 i = 0. ¿Cuál es el valor de las mensualidades? R = A/an i A = 6500 . i = 0. Para promover sus ventas idea el siguiente plan de ventas a plazos con cargo del 1% mensual de interés. n = 6 R = 85. 000 X 8 10.0075 = 67.C. ¿En cuanto tiempo juntara $ 55.000.1276 / 8.05 = X a 12 10.000 X 0. m = 12.86325164 X = $ 7292.0075 = 69. A.000 / 800 = 68.0075.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. 10. Designemos por X los nuevos pagos y establezcamos la ecuación de equivalencia utilizando como fecha focal la flecha inicial.Un empleado puede ahorrar $ 800 mensuales e invertirlos en una compañía financiera que abona el 9% convertible mensualmente. S = R sn i S = 55.76883409 y s 56 0.000? Calcular el tiempo y el deposito final.05 / a 12 0.27710035  sea que el empleado debe hacer 55 depósitos de $ 800 y un ultimo deposito X al final del mes 56..000 a 8 0. R = 800.000 10. 0 X 1 2 10. MATEMÁTICAS FINANCIERAS de los nuevos pagos si la tasa pactada es del 10% convertible semestralmente.. ( 3/4%) encontramos s 55 0. j = 0.05 9 10 11 12 X X X X 0. para determinar el valor de X planteamos una ecuación de equivalencia escogiendo como .000 a 8 X = .. i = 0.05 = 64632.0075 sn 0.0075 = 55.09.15 12.75 En la tabla V en la columna de i = 0. 621.68 X = $ 378. MATEMÁTICAS FINANCIERAS fecha focal el final del mes 56.98116591 1 / 1.6 para a n i = A/R.32 n+1 i .50826626 = 0.55 = 0.50826626 = (n – 55) / 0. si en la proporción 1 / 1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.s 55 i n.s 55 i = s 55 i (1 + i) + 1 - .000 – 54.C.6505 = (s n pero s n s 55 i i = S/R.50826626 = s 56 0. o fracción de periodo.0075) + X En el problema 7 demostramos que s n i (1 + i) = s sea X = 55.6505 La interpretación de la parte decimal. s 56 i i .27710035 a n a 55 corresponde 67.000 – 800 (68.76883409 a 55 corresponde 67.s 55 i i i ) / ( s56 = s 55 i (1 + i) + 1.98116591 / 1.98116591 reemplazamos: 1.0075 (1 + 0.76883409 1 es a n – 55 1.50826626 como corresponde 68. A. 0 1 2 55 56 800 X .98116591 n – 55 = 0.00 = 800 s 55 0...1 o Si este mismo problema se resuelve por interpolación se tiene a 56 corresponde 69.s 55 . 800 800 55. es distinta de la interpretación dada en el ejemplo 6.27710035) = 55. X = 55.75000000 es a 0.1). s 56 i i .000 – 800 (s 56 0.50826626 = (n – 55) / 0.0075 . en efecto.98116591 = s n i .s 55 i) . s i] /( s 55 I + 1) 55 i MATEMÁTICAS FINANCIERAS ) /(s 55 i (1 + i)+1 .6505 = S/R .6505 R pagados en la fecha inicial de la anualidad. m = 12.s 55 i ] / (1 + i)55 = ( S – R s 55 i ) / R (1 + o sea 0.R s 55 i 0.6505 R(1 + i )55 = S .R s 55 i es el saldo final de 55 periodos y es igual a 0.0075 520. A.00785)55 = S .6505 = (S/R . Para una demostración general estudie el problema 55.s 55 i ) = [S/R .1 / i] + 1 = (1 + i)55 luego i)55 [0. de donde: 0.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.40. 13. (b) la tasa efectiva de interés cargado.s 55 como is 55 i +1 = i [(1+i)55 .6505 R(1 + i)55 que es el valor al cabo de 55 periodos de 0.0075 S .40(1 + 0.C. de lo anterior podemos enunciar: Si el valor s n i = S/R es resuelto por interpolación la parte decimal de n es la parte de la renta R que se debe pagar en la fecha inicial para cubrir el valor total de la anualidad en un numero de periodos igual al entero que resulta de despreciar la parte decimal de n. Cierta maquina puede ser comprada con $ 4590 al contado o $ 450 de cuota inicial y 18 cuotas mensuales de $ 280 c/u. n = 18. En nuestro caso el pago inicial seria de $ 520. calcular (a) la tasa nominal de interés cargado. (a) a n i = A/R A = 4590 – 450 = 4140. R = 280 .R s 55 para R = 800. i = 0. 99203125 a i a 0. (b) Designando por i la tasa efectiva se tiene para j = 0.93836% Tasa práctica = 26% convertible mensualmente.33% 14.000.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.0216153 (12)(100) = 25.43235037) / 0.63866762 como corresponde 14. ¿Durante cuanto tiempo recibirá la nueva renta.005 / 0.43235037 -0.025 = -0. a 18 0.025 corresponde 14.025 corresponde 14.02 = 14.6386676 = 0..63866762 = (i – 0. Desea cambiar su póliza por otra que le asegure una renta de $ 30.0216153 Tasa anual convertible mensualmente = 0.26/12)12 . A.78571400 i – 0.35336363 sea que i esta comprendido entre 2% y 2 ½% y la tasa nominal entre 24% y 30%.26. Para afinar el resultado procedemos por interpolación.785714 En la tabla VI encontramos que para n = 18. a 18 i MATEMÁTICAS FINANCIERAS = 4140 / 280 = 14.000 cada final de año durante los próximos 15 años.1 i = 29. de equivalencia con los valores . m = 12 aplicando (20) i = (1 + 0.0033847 i = 0.025 es a 0.35336363 -0.020 corresponde 14.025) / 0.005(0.C.35336363 a 0.005 es a 0.43235037 i – 0.Una persona compra una póliza que le asegura una renta de $20.99203125 a 18 0.025 = 14. si la tasa de interés es 8%? Formamos una ecuación actuales en la fecha inicial. a 0. si el valor de salvamento se estima en 15% del costo? 18.000 y una vida útil de 6 años.3..¿Qué suma debe depositar anualmente en un fondo que abona el 6%.49994894 / 0.74663894 entre estos valores interpolamos a 8 corresponde 5.706319 15 0..08 a n 0.08 = 5.000) = $ 27..08 / 30.08 MATEMÁTICAS FINANCIERAS = 30.11 3.000 (8.20637006 1 es a 0.000.9 PROBLEMAS PROPUESTOS 15.08 = 5.000 En la tabla VI columna del 8% encontramos a 7 0.000 durante 7 años y un pago final al terminar el octavo año de 0.08 = [20.08 = 20.000 al contado y el saldo en 8 pagos iguales por trimestre vencido .¿Una compañía debe redimir una emisión de obligaciones por $ 3.20637006 a 7 corresponde 5.000.9253704 n = 7.9253704(30. 17.000 al contado. en un fondo de inversiones que abona el 10% convertible trimestralmente para acumular $ 50. si en la operación se le carga el .54026888 = 0. Enrique Pérez compro una casa cuyo valor es de $ 180. Pago % 50.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.000 al cabo de 5 años? 16.¿Cuando se debe depositar al final de cada trimestre. A.49994894 (n – 7 ) = 0.C.761. para proveer la sustitución de los equipos de una compañía que tienen un costo de $ 8.000] = 5.70631900 a 7 corresponde 5.54026888 = (n – 7 ) / 0.74663894 a n corresponde 5. 20.54026888 como i–7 es a 0.000 dentro de 10 años y para ello establece reservas anuales que se depositaran en un fondo que abona el 7%.000 a a n 0.000 a n 0.20637006 y a 8 0.9253704 Recibiría la renta de $ 30.000 a 15 0.55947869) / 30. Hallar el monto de la reserva anual.49994894 1/ 0. si la tasa de interés es del 6% calcular el tiempo indicando la solución matemática y la solución matemática y la solución práctica 26. si la tasa de interés es del 6%. 23. El monto de una renta de $ 4000 por trimestre vencido es de $ 60. si la tasa de interés es del 8% convertible trimestralmente. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 10% de interés nominal. con la condición de que se pagara a el o a sus herederos durante 20 años. hallar el tiempo indicando la solución matemática y la solución practica. hallar el valor de la renta anual. Si la compañía de seguros opera con el 7% de interés. con un interés del 8% convertible mensualmente. Si la tasa de interés es del 7% convertible trimestralmente. Sustituir una serie de pagos de $ 10000 al principio de cada año. por el equivalente en pagos mensuales vencidos con un interés del 8% convertible mensualmente.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. 22. por el equivalente en pagos mensuales vencidos.000. 20. Una persona compra maquinaria por valor de $ 60.000 y conviene en pagar $ 15000 como cuota inicial y el saldo en cuotas de $ 12000 trimestrales con el 12% convertible trimestralmente. se vende a plazos con una cuota inicial de $ 3000 y el saldo en 18 cuotas mensuales.000. El monto de una renta de $ 10000 por año vencido es de $ 100000. hallar el valor de los pagos trimestrales. El valor actual de una renta de $ 10000 por año vencido es de $ 100. 21. Encontrar el numero de pagos y el valor del .000 de contado. El valor actual de una renta de $4000 por trimestre vencido es de $ 60. Calcular el valor de las cuotas. Una deuda de $ 20000 con interés del 10% capitalizables semestralmente se conviene en cancelarla con pagos semestrales de $ 4000. encontrar el numero de pagos y el valor del pago final. 25.C. cargando el 16% de interés convertible mensualmente. A. 28.000 por una renta anual. calcular el tiempo indicando la solución matemática y la solución práctica 27. 24. Sustituir una serie de pagos de $ 10000 al final de cada año. Una maquina que vale $ 18.000. Una persona sustituye un seguro total de $ 300. 19. calcular el tiempo indicando la solución matemática y la solución practica. la parte decimal de n es la parte de la renta R que se debe pagar en el final del periodo que corresponde al entero superior a n. 30. Hallar el valor máximo de las acciones que pueden emitir. 31.C. 35. Transcurridos 3 años decide hacer nuevos depósitos cada final de años de modo que transcurridos 5 años tenga al efectuar el ultimo deposito $ 60000 Hallar el valor de los depósitos anuales Los dueños de una mina de carbón desean vender acciones pagando el 12% de dividendos anuales. (¿en cuanto tiempo y con que pago final lograra ahorrar $ 30. 33. Transcurridos 4 años el banco eleva la tasa al 8% Hallar el valor de los depósitos anuales antes y después de que el banco elevara la tasa de interés. Si los consigna en una cuenta de ahorros que paga el 8% convertible mensualmente. Una persona deposita hoy $ 10000 en una cuenta de ahorros que abona el 8% de interés. Para cubrir el valor de las acciones acumular reservas anuales e un fondo de amortización que abona el 8% de interés. Se estima que la mina producirá $ 400000 de utilidad anual durante los próximos 10 años después de los cuales estará agotada. ¿Qué tasa nominal convertible trimestralmente se debe establecer para que 24 depósitos de $500 trimestrales den un monto de $ 16000 al efectuar el ultimo pago? Una persona necesita reunir $ 10000 en 8 años y con este fin hace depósitos iguales cada fin de año en un banco que abona el 6% de intereses. Un empleado puede ahorrar $ 350 mensuales. 29.000? ¿Qué interés deben producir unas imposiciones de $ 300 mensuales para que se conviertan en $ 4500 en un año? Un televisor cuyo valor de contado es de $ 48000 se puede adquirir con un pago inicial de $ 800 y 12 pagos mensuales de $ 400 cada uno.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. A. 34. Demostrar que cuando el valor a n i = S/R es resuelto por interpolación para el valor de n la parte decimal de n es la . Demostrar que cuando el valor a n i = A/R es resuelto por interpolación para el valor de n. Sugerencia: Demuestre primero que a n + 1 i – a n i = (1 + i)n+i 37. Hallar la tasa convertible mensualmente que se carga. MATEMÁTICAS FINANCIERAS pago final. 36. para cubrir totalmente el valor de la anualidad. 32. 000: (a) $ 35. o vencen.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.000 al contado y un pago de $ 75. de vida o de protección contra riesgos. por lo general estipulan que el asegurado debe pagar sus cuotas o primas de seguro.000 a un año plazo.1 INTRODUCCIÓN En los negocios es frecuente que los pagos periódicos se efectúen al comienzo de cada periodo. ¿qué suma adicional se debería agregar al ultimo pago de $10.000 y el pago final tres meses después el ultimo pago completo. hallar el numero de pagos de $ 10.C. tal es el caso de la renta de terrenos. En los seguros ya sean dótales. ¿Qué oferta es mas conveniente por una propiedad que vale $ 100. En estos casos se usa la expresión “el pago vence a principio del periodo”.000 para cancelar totalmente el beneficio? 40.000 al contado y 12 pagos mensuales de $ 3000. El beneficiario de una póliza de seguro por $ 200. Las distintas variantes que se presentan según él numero de periodos de capitalización y él numeró de pagos en el año se estudiaran en él capitulo correspondiente al tratamiento general de las anualidades. En este capitulo estudiaremos las anualidades simples ciertas anticipadas. Sugerencia: Demuestre primero que s n + 1 i – s n i = (1 + i)n 38.4 ANUALIDADES ANTICIPADAS 3. MATEMÁTICAS FINANCIERAS parte de la renta R que se debe pagar en la fecha inicial. A. al principio del periodo de pago. (b) $ 35. las pólizas. para cubrir el valor total de la anualidad en un numero de periodos igual al entero que resulta de despreciar la parte decimal de n. Definición: Una anualidad anticipada e inmediata esa una sucesión de pagos o rentas que se efectúan.00 recibirá $ 20. al comienzo de cada periodo. 3.4.000 de inmediato y posteriormente $ 10. . Si la compañía paga el 8% convertible trimestralmente. edificios y oficinas cuyo alquiler se paga a principio de periodo. En el problema anterior. Las ventas a plazos suelen estipular una serie de pagos al comienzo de los periodos convenidos en el contrato de venta.000 cada 3 meses. 39. FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Para comparar las anualidades anticipadas con las anualidades vencidas es muy útil el siguiente diagrama. Anualidades 1 1 2 2 3 vencidas n-2 n-1 Anualidades n n-1 n anticipadas 3. A.4.2 SÍMBOLOS UTILIZADOS ANTICIPADAS EN LAS ANUALIDADES Todos los símbolos tienen el mismo significado que el definido en las anualidades ordinarias o vencidas así: R = pago periódico o renta i = tasa efectiva por periodo de capitalización J = tasa nominal anual M = numero de capitalizaciones en el año J(m)= tasa nominal con m capitalizaciones en el año N = numero de periodos de pago S = monto de una anualidad A = valor actual o presente de una anualidad Algunos autores utilizan los símbolos: a   para el valor actual o presente de una anualidad anticipada de una unidad monetaria por periodo durante n periodos a la tasa i por periodo. .C. A. S= Rsn+1 i . utilizando como fecha focal el final del periodo n1.C.3 MONTO Y VALOR ACTUAL DE LAS ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ANTICIPADAS Existen diferentes formas para calcular tanto el monto como el valor actual de las anualidades anticipadas. Daremos algunas relaciones útiles para él calculo del monto y del valor actual de las anualidades anticipadas y explicaremos diferentes métodos para obtenerlas.R S= R(sn+1 i .1) El mismo resultado se puede obtener planteando la siguiente ecuacion de equivalencia. vease el diagrama. -1 0 1 2 R R R n-2 R R n-1 n R S Observemos que al agregar el ultimo pago R se obtiene el monto de una anualidad vencida de R por periodo pagadera durante n+1 periodos su monto es Rsn+1 i. MATEMÁTICAS FINANCIERAS S  para el monto de una anualidad anticipada de una unidad monetaria por periodo durante n periodos a la tasa i por periodo. en el se advierte que el pago R en el periodo n-1 se puede considerar como el ultimo pago de una anualidad vencida que se . restando a este valor el ultimo pago R que se habia agregado se obtiene el monto de una anualidad anticipada de R por periodo pagadero durante n periodos.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Sea el diafragma de una anualidad anticipada de R por periodo.4. de estas daremos dos formas que consideramos las más simples y las de mayor utilidad en el planteamiento de los problemas. Nosotros no consideramos necesario utilizar estos dos últimos símbolos ya que no se requieren nuevas formulas para él calculo de los valores de las anualidades anticipadas ni tablas distintas de las que ya hemos descrito. 3. Si en el diagrama suprimimos el primer pago R se tiene una anualidad vencida de R por periodo pagadera durante n-1 periodos.C. utilizando como fecha focal la fecha inicial.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Agregando a este valor el primer pago R que se había suprimido se obtiene el valor actual de una anualidad anticipada de R por periodo pagadera durante n periodos. 0 1 2 n-1 n . R A R R R Su valor actual es R n-1 i.. Calculo del valor actual. A= Ra n-1 i + R A= R (an-1 i + 1) Este mismo resultado se puede obtener planteando la siguiente ecuación de equivalencia. A – R = Ra n-1 i A= Ra n-1 i + R . MATEMÁTICAS FINANCIERAS indica en el periodo –1 S(1+i)-1 = Rs n i S= Rs n i (1+i) reemplazando el valor s n i Se tiene S= R(1+i)n-1 (1+i)= R (1+i)n+1-1-i i i S=R[1+i)n+1-1-i]= R[(1+i)n+1-1-1] i i i S= R (s n+1 i -1) (s n+1 i -1) es el monto de una anualidad anticipada de una unidad monetaria pagada durante n periodos a la tasa i por periodo... A. 51 3. En todo caso recomendamos al lector plantear las ecuaciones de equivalencia y no atenerse a la simple aplicación de las formulas. Una compañía deposita al principio de cada año $20. ver tabla VI A = $45.065.4 PROBLEMAS RESUELTOS 1. El dueño de una propiedad avaluada en $400.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. MATEMÁTICAS FINANCIERAS A = R (a n-1 i + 1) (a n-1 i + 1) es el valor actual de una anualidad anticipada de una unidad monetaria pagadera durante n periodos a la tasa i por periodo.000 al contado y el saldo en 6 pagos . Hallar el valor del alquiler anual. n=12 A = 4000(a11 0. i= 0. i= 0. por lo general.01. Una compañía alquila un edificio en $4000 mensuales y propone al propietario pagarle el alquiler anual a principio de cada año.000 recibe por ella las siguientes ofertas: (a)$100.36762825).C. con la tasa del 12% convertible mensualmente.000 en una cuenta de ahorros que abona el 7%. no es diferente a lo tratado en los problemas de las anualidades vencidas. ver tabla V S= $123.000. ya que estas resultan muy limitadas ante la gran variedad de problemas que frecuentemente se presentan en matemáticas financieras.000(s6 0.07 –1)= 20.07.81 Ejemplo 2.01 +1 = 4000 (11.1 R= 20.4. A.15329074). ¿A cuanto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años? S= R sn+1 i .12. Ejemplo 1. El tratamiento de los problemas que involucran anualidades anticipadas. n=5 S= 20.000(6. j= 0. A= R an-1 i +1 R= 4000.470. FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS trimestrales de $55,000 cada uno. (b) 20 pagos mensuales de $22,000 cada uno, efectuando el primer pago de inmediato. Tasa de interés del 12% nominal. ¿Qué oferta le conviene mas? Se calcula el valor actual de cada oferta. (a) A = 100,000 + 55,000 a 6 0,03 A = 100,000 + 55,000(5,41719144) A = $397,945,50 (b) A = 22,000(a 20-1 0,01 + 1) = 22.000 (18,2260085) A = $400.972,20 Es preferible la oferta (b. 2. Un comerciante vende neveras a $7500 al contado. Promueve su venta a plazos en 18 meses sin cuota inicial, con un recargo del 24% convertible mensualmente. Hallar la cuota periódica o renta. A = R an-1 i +1 R=A a n-1 i +1 A = 7500; j = 0,24; m=12; n=18 R= 7500 15,29187188 = $ 490,45 3. Un comerciante estima que puede aumentar sus ventas, ofreciendo televisores que valen $4200 de contado en cuotas mensuales de $300 cada una y sin cuota inicial. Hallar él numero de cuotas si se carga el 18% de intereses convertibles mensualmente. A = R (a n-1 i +1) A= 4200; R= 300; j= 0,18; m = 12; i = 0,015 4200 = 300 a n-1 a n-1 0,015 +1 = 4200 -1 = 13 300 0,015 FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS En la tabla VI columna del 1 ½ %, el valor 13 esta comprendido entre a 14 0,015 y a15 0,015 cuyos respectivos valores son: 12,543381150 y 13,34323301. Como en el ejemplo 6.6, procedemos por interpolación. a 15 corresp... 13,34323301 a 14 corresp... 12,54338150 1 es a 0,79985151 a n-1 corresp... 13,00000000 a 14 corresp... 12,54338150 como 1 n-15 es a 0,45661850 = n-15 0,79985151 0,45661850 n-15 = 0,45661850 = 0,57087909 0,79985151 n = 15,57087909 respuesta matemática. Respuesta practica: 15 pagos de $300 y un ultimo pago al principio del periodo 16 de 0,57087909(300)=$171,26. 4. Una deuda de $40,000 se cancela con 10 pagos trimestrales, por trimestre anticipado, de $4450.¿qué tasa de interés se ha cargado? A = R (a n-1 i +1) A = 40.000; R = 4450; m = 4; n = 10 40.000 = 4450 (a 10-1 i + 1) a9 i a9 i = 40.000 - 1 4450 = 8,98876400 – 1 = 7,98876400 Buscamos en la tabla VI en la línea correspondiente a n = 9, los valores más próximos a 7,98876400 son: a 9 0,025 = 7,97086553 y a 9 0,02 = 8,16223671; para nuestro valor calculamos i por interpolación. FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS A 0,020 corresp... 8,16223671 a i corresp... 7,98876400 A 0,025 corresp... 7,97086553 a 0.025 corresp... 7,97086553 - 0,005 es a 0,19137118 como i – 0,025 es a 0,01789847 -0,005 = 0,19137118 i - 0,025 0,01789847 i - 0,025 = (-0,005)0,01789847 = 0,0004671 0,19137118 i = 0,0245329 j = 4(0,0245329) tasa matemática = 9,813% tasa practica = 9 5/6% 3.4.5 PROBLEMAS PROPUESTOS 5. Resolver el problema 1 planteando una ecuación de equivalencia para cada oferta. 6. Resolver el problema 3 planteando una ecuación de equivalencia. 7. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida a 15 años plazo con pagos $3000 mensuales por mes anticipado; Si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente. 8. Calcular el valor de contado de un equipo medico que se vende a dos años de plazo, con el 9% de interés convertible trimestralmente; Con pagos trimestrales anticipados de $4000 y un ultimo pago de $3200 a los 2 años 3 meses. 9. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad: (a) $400.000 de contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales durante 21/2 años; (c) $20.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000 al finalizar el cuarto año. ¿qué oferta ¿Cuál es el valor actual de una renta de $500 depositada a principio de cada mes durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9% convertible mensualmente?(Véase el problema 20 del capitulo 6). ¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año en un fondo que abona el 6%. por el equivalente en pagos mensuales anticipados. 11. 15. 3. con un interés del 9% convertible mensualmente.500 precio de contado. 12.000 y una vida útil de 5 años. MATEMÁTICAS FINANCIERAS debe preferir si la tasa de interés es del 8%? 10. ¿Cuál es el valor de las mensualidades? 13.000 se consigna a principio de cada año $120. Sustituir una serie de pagos al principio de cada año. con un interés del 9% convertible mensualmente.C.000. Calcular el tiempo.5 ANUALIDADES DIFERIDAS 3.1 INTRODUCCIÓN . Para establecer un fondo de $1. Un comerciante vende maquinas de tejer a $12.5.000 en una cuenta de ahorros que abona el 8%. Sustituir una serie de pagos al principio de cada año. utilizando algoritmos. por el equivalente en pagos mensuales anticipados. si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo? 14.000. Para promover sus ventas decide venderlas en 18 plazos mensuales cargando el 2% mensual de intereses. para proveer la sustitución de los equipos de una compañía que tienen un costo de $2. A.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. 5. Para medir el intervalo de aplazamiento. A. o fecha de valoración de la anualidad. hasta después de transcurrido un cierto tiempo desde el momento inicial o de convenio. 3.2 SÍMBOLOS DIFERIDAS UTILIZADOS EN LAS ANUALIDADES Los símbolos utilizados en las anualidades diferidas tienen el mismo .C. Intervalo de aplazamiento es el tiempo que transcurre entre la fecha inicial.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. tendremos 0 1 2 3 4 5 6 R R R R R R R 7 8 9 10 Semestres F = fecha inicial de la anualidad vencida Tiempo transferido = 3 periodos semestrales Tiempo o plazo de la anualidad = 7 periodos Tiempo total = tiempo diferido más tiempo de la anualidad. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Es frecuente en los negocios que algunas circunstancias obliguen a que el primer período de pago comience en una fecha futura. y la fecha del primer pago. Así por ejemplo: si dentro de 2 años se efectuara el primer pago de una anualidad vencida de $R por semestre y cuyo plazo es de 3 años. En estos casos se dice que la anualidad es diferida. Por lo general las anualidades diferidas se analizan como anualidades ordinarias o vencidas. Definiciones una anualidad diferida es una anualidad cuyo plazo comienza después de transcurrido un intervalo de tiempo. Es decir no coincide la fecha inicial de la anualidad con la fecha del primer pago. se utiliza como unidad el tiempo que corresponde a un periodo de pago. de manera que en los problemas al hablar de una anualidad diferida se supone que es vencida. Nosotros no utilizaremos estos símbolos porque consideramos que no son necesarios. Sea una anualidad vencida. Algunos autores separan para su análisis dos grupos de anualidades diferidas anticipadas. y utilizan los mismo símbolos pero encerrados en un recuadro así. diferida k periodos. y además nuestra experiencia nos ha permitido apreciar que su uso es perjudicial.1 k + n periodos R R R Tiempo de anualidad Formando una ecuación de equivalencia.5. El lector debe comprender la importancia de analizar los problemas utilizando diagramas que le permitan determinar cuidadosamente el tiempo diferido y el tiempo de pago. ¬ . se tiene. 3. utilizando como fecha focal el final del período k . MATEMÁTICAS FINANCIERAS significado que los utilizados en las anualidades estudiadas en los capítulos 6 y 7.3 VALORES DE LAS ANUALIDADES DIFERIDAS SIMPLES CIERTAS Para el cálculo de los valores no se requieren nuevas formulas ni tablas distintas de las que ya hemos descrito en los capítulos anteriores. debido a que en el tratamiento de los problemas crea confusiones a los estudiantes de matemáticas financieras.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. El lector debe desarrollar su propia imaginación y creatividad en el tratamiento de los problemas.C. de $ R por período pagaderos durante n periodos a la tasa i por periodo. Cálculo del valor actual. para luego plantear las ecuaciones de equivalencia que conducen a la correcta solución. No es conveniente memorizar formulas o procedimientos ya que estos resultan inútiles ante la gran variedad de problemas que suelen representarse. Dibujando un diagrama se tiene: 0 1 2 k k+1 k+2  A   R Tiempo diferido k + n . A. siendo A el valor actual o presente en la fecha inicial. así: 0 1 períodos 2 k-1 k k+1  A1 R 0 R 2 II k + n -1 k + n  R 1 k + n -2 R k-1 R R R R k  A2 R 0 R 1 R 2 k-1  n III R A3 k k+1  R R ¬ ¬ EL VALOR ACTUAL DE I ES EL VALOR ACTUAL DE II ES A1 = Ra k+n A2 = Ra k i EL VALOR ACTUAL DE III ES A3 = A1 . A (1+i )k = Ra n i De donde A = R (1+i )-k a n ¬ MATEMÁTICAS FINANCIERAS i Otro método para calcular el valor de las anualidades diferidas.C. A. consiste en tratarlas como diferencia entre dos anualidades no diferidas.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.A2 ¬ A3 = Ra k+n i - ¬ Ra k k + n -2 R k + n -1 k + R i i De donde el valor actual A de la anualidad diferida k período es: ¬ Ra¬ A = R( a k+n i - k I ) En el problema 8 del capitulo 6 se demostró que a k+n = a k i +(1+i) -k a k i . 77509103) = 5000(6. i) I=0. n. Ejemplo 1.60998273) A = $ 33.04) A = 5000(9. si la tasa de intereses es del 8% convertible semestralmente. MATEMÁTICAS FINANCIERAS sustituyendo en la formula 33 se tiene A = R [ ak i + (1+i) –k an i . Dibujemos el diagrama que corresponde a las condiciones del problema. 9 A = 5000(a12 0.C.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. 0 1 2 3 4 5 6 11 12 semestres ¨¨ ¨¨ A 5000 5000 5000 5000 5000 El intervalo es de 3 periodos y el tiempo de pago tiene 9 periodos A = R (a k+n i a k R= 5000.38507376 – 2. m= 2. k= 3.049.ak i ] A = R (1+i) –k a n i o sea La formula (34) ofrece algunas ventajas para el calculo y por esto es mas utilizado que la formula (33).91 Si aplicamos la formula (33) el calculo se desarrolla así: A = r(1+i) –k a n i .04. calcular el valor actual de una renta de $5000 semestrales si el primer pago se debe de recibir dentro de 2 años y el ultimo dentro de 6 años. A.04 – a 13 0. j= 0.08. a k i ). El monto de la anualidad diferida es el propio monto de la anualidad correspondiente al tiempo de pago.000 en un fondo universitario que abona el 8% . el valor R en la formula (33) o en la fórmula (34) Utilizando la fórmula (33) A = r(1+ i) –k a n i . Hallar el costo anual de los estudios.a k i Ejemplo 2.000 6 7 8 9 R R R k = 5. MATEMÁTICAS FINANCIERAS A = 5000(0.91 Cálculo del monto. Para el cálculo de la renta se despeja.049. 0 1 2 3 4 5 A A = $ 50. despejando R se tiene A(1+i) k R= ani Utilizando la fórmula (34) R = (a . 50. i = 0. Calculo de la renta. despejando R se tiene n+k i A R= a n+k i .000 R . Su cálculo fue tratado en los capítulos 6 y 7.C.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. según el caso. su padre deposita $ 50. Al cumplir un joven 12 años.43533161) A = $ 33.000.88899636)(7.08. para que al cumplir el hijo 18 años reciba una renta anual suficiente para costear 4 años sus estudios universitarios. A. n = 4 50. 04 2. por la interpolación o aplicando logaritmos. A. Alguien deposita en un banco que abona el 7%.99271004 50. hallar el número de pagos. Ejemplo 3. Estos problemas del cálculo del tiempo son poco frecuentes.000. la suma de $ 100.08 6.C.25417787 Cálculo del tiempo.000 R= = $ 22. R=n MATEMÁTICAS FINANCIERAS = a5 + 4 0.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.246888791 – 3.08 -a 5 0. Para el tiempo de la anualidad se tiene: A = R(1+i) –k a n i A(1+i) k a ni = R Luego se procede por interpolación o aplicando logaritmos.181. para que dentro de 5 años le pague una renta de $ 20.000 anuales. Hay dos tiempos distintos que pueden calcularse: el tiempo diferido y el tiempo de la anualidad. . Para el tiempo diferido se tiene: A = R(1+i) –k a n i A (1+i) –k = R a ni R a ni k (1+i) = A Luego se produce como en los capítulos anteriores. 000(1+0.07 = 6. las fórmulas que hemos estudiado conducen a .07 100.03874780 0.55398005 a 9 corresponde 6.03874780 1 = 0.0762227 0.0235854.0762227 Respuesta práctica: 9 pagos anuales de $ 20.07 = = 5(1.000 i = 0.000(1+0. A.0762227) = $ 1524.000 Este valor esta comprendido entre a 9 = 7.000 y un último pago al final del décimo año de $ 20. 0.07 luego por interpolación a 10 corresponde 7. Rara vez se presentan en la práctica problemas en los que sea necesario calcular la tasa de una anualidad diferida.46.000 = 20.07) an 0.C.50834929 n-9 0. Para el cálculo de la tasa.07.000.50834929 n-9 = = 0.07) –4 an 0.000(0.31079601) 20.51523225 a 9 corresponde 6.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.03874780 Respuesta matemática n = 9.51523255 1 es a 0. MATEMÁTICAS FINANCIERAS A = R(1+i) –k a n i 0 1 2 3 4 5 6 A R R R R R A = $ 100. Cálculo de la tasa. R= 20.02358154 a n corresponde 6. k = 4 –4 100.50834929 como n – 9 es a 0.15123255 y a 10 0. 42579860 = Respuesta práctica: La tasa está comprendida entre 6% y 6 ½ %.a 4 0. de manera que un hospital que .76776418 – 3.5.46510661 = 4 0. hallar la tasa de interés que abona el banco. Ejemplo 4.4 PROBLEMAS RESUELTOS 1. a 6. 3. En el caso que se desee o sea necesaria una mayor aproximación.6407866 a 16 0. Una persona entrega $ 39. A.065 .a 4 i ) 39. que en la mayoría de los casos es necesario resolver por tanteos. Así se encuentra que está comprendido entre las siguientes diferencias. restando mentalmente los valores para n = y n = 4. Para la tasa del 6% 6.000 a un banco con el objeto de que dentro de 5 años le inicie el pago de 12 anualidades de $ 6000.06 Para la tasa del 6 ½ %.34196558 .000 = 6000 (a 12 +4 i .5 6000 Procediendo por tanteo en la tabla VI. se busca.000 a 16 i .10589527 – 3. MATEMÁTICAS FINANCIERAS ecuaciones de grado superior.a 4 i = =6. n = 12 39. Alguien desea establecer un fondo.C.000 R= 6000 16 6000 6000 k = 4. se procede por interpolación lineal.06 = 10. el valor que más se aproxime a 6.065 = 9.5. A = R(1+i) –k a n i 0 1 2 3 4 5 6 15 6000 6000 A = 39.a 16 0.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. K = 9.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.a 4 0.000 = a 25 0.000. A. 3 4 5 6 23 R R R 24 25 años R R I= 0.23 2. si el banco abona el 6% convertible mensualmente.000 = a 21+ 9 0. una persona deposita en un banco $ 500 cada final de mes durante 4 años consecutivos. n = 21 A=60. .a 9 0 .35 . reciba para su funcionamiento una renta anual de $ 25. A = R(1+i) –k a n i 0 1 2 R= 25.000 De donde R = =$ 5563. Hallar la renta semestral que recibirá.07.31212684) A = $ 184. MATEMÁTICAS FINANCIERAS estará terminado dentro de 5 años.000 durante 20 años.61 10.35. Hallar el valor del fondo si gana el 8% de interés. I= 0. 0 1 2 9 10 11 29 30 semestres 60.08 ) A = 25.000 (10.67477619 – 3.000.C.035 R=(18.08 K = 4. n = 21 A=25. Una persona deposita hoy $ 60.066. M=2 .000 A= 60.39204541-7.000 en un banco que abona el 7% para dentro de 5 años se le comience a pagar una renta que se le cancelará semestralmente durante 10 años. R R R R J=0. Hallar la suma que tendrá en su cuenta 7 años después del último depósito.08 .60768651) 60.78435890 3. 005 (1 + 0.000 y que ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. si la tasa de interés es de 8% capitalizable . Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. i= 0. Hallar con la tasa del 6% el valor actual de la producción. esta es una anualidad vencida cuyo monto S queda diferido K períodos para su cobro.400.09783222)(1. 0 1 500 2 500 47 48 500 500 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 49 132 meses x R= 500. suponiendo que la tasa comercial de interés es del 8% y que los yacimientos se agotaran después de 15 años continuos de explotación.124. Para el cálculo establecemos una ecuación de equivalencia utilizando la fecha final como fecha focal X=500s 48 0. una ley de incentivos para la agricultura. permite a un agricultor adquirir equipos por valor de $ 80. ¿Con cuánto se puede comprar una renta de $ 10. K = 84. n= 48.5 PROBLEMAS PROPUESTOS 4.000 para pagarlos dentro de 2 años con 8 cuotas semestrales. La producción anual se estima en $ 400. 7. Si la ley fija el 6% de interés para estos préstamos.5. hállese el monto de la renta que se espera obtener.000.C. 8. en el momento de la adquisición de los yacimientos. debiendo comenzar el primer pago dentro de 12 años. no hay intervalo diferido. 5.005 ) 84 = 500(54. En el problema 4 hállese el valor de utilidad que se espera obtener.000 trimestrales pagadera durante 15 años.5203664) X= $ 41. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $ 2. hallar el valor de las cuotas semestrales.005. 6. Una compañía frutera sembró cítricos que empezarán a producir dentro de 5 años.35 3. los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demorarán 6 años. A. Sustituirla por una obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales.000 debiendo efectuar el primer pago dentro de un año y un pago final de $ 25. Calcular con el 12 % convertible trimestralmente. 15. ¿A que tasa nominal. A.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Una deuda contraída al 8% nominal. Por un pago de inmediato de $ 180. por 15 años contados desde su inauguración. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta si el banco abona el 6% convertible mensualmente? 10. 16. con la intención de que dentro de 10 años se le pague a él o a sus herederos una renta de cada mes.¿En cuánto tiempo y con qué pago final logrará ahorrar $ 30.000 en un banco. el hotel será puesto en servicio dentro de 2 años. Se estima que los ingresos brutos mensuales serán de $ 250. En el problema 12 hallar el monto de los ingresos brutos que se esperan obtener. 12.000. con la primera cuota a pagar dentro de 2 años. Una compañía concesionaria de la explotación de un hotel. se debe cancelar con 8 cuotas semestrales de $ 20. hallar con la tasa del 12 % convertible mensualmente. Un empleado consigna $ 300 a principios de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8% convertible mensualmente. Hallar el precio de contado de una propiedad comprada con el siguiente plan: Una cuota inicial de $ 30. Hallar la tasa aproximada que paga la compañía.000 6 meses después de pagada la última cuota trimestral. Una deuda de $ 30.000 con interés del 12% capitalizable semestralmente. darán un monto de $ 16. se conviene en cancelarla de inmediato con pagos semestrales de $ 5000. hallar el número de pagos y el valor final del pago final. 6 pagos trimestrales de $ 10. 11. pagándose la primera cuota de inmediato.000. 14.000 tres meses después de efectuado el último pago? . 25 depósitos trimestrales de $ 500 por trimestre anticipado. 13. Hallar la tasa de interés que se carga. transcurridos 10 años. el valor actual de los ingresos brutos. un televisor cuyo valor de contado es de $ 4000 se puede adquirir con 12 pagos mensuales anticipados de $ 400 cada uno. una renta de $5500 al comienzo de cada mes durante 5 años.000 c/u. 18. Alguien deposita $ 100.000 una compañía de seguros ofrece pagar. MATEMÁTICAS FINANCIERAS trimestralmente? 9.C.000? 17. Deducir la fórmula del valor actual para anualidades anticipadas. 20. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 19. Deducir de fórmula del monto para anualidades anticipadas.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. A. utilizando las propiedades de las progresiones geométricas.C. . utilizando las propiedades de las progresiones geométricas. 6. 4.4.  Aprender los métodos para calcular el valor de cuotas de amortización. 4. SUMARIO Unidad 4. las tasas de interés.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. MATEMÁTICAS FINANCIERAS OBJETIVOS 4  Aprender los esquemas principales de amortización de deudas y a combinarlos para crear nuevos sistemas. Fondos de Amortización. Amortización. AMORTIZACIÓN 4. 4.C. 4.7. 4. Extinción de deudas consolidadas. 4.1.5. Problemas propuestos.2. A. saldos insolutos y a preparar cuadros de amortización.3. 4.8. 4. Tablas de fondos de amortización. 4.1 INTRODUCCIÓN . Introducción.  Aplicarlos para manejar los sistemas de amortización que ofrecen las corporaciones financieras. Interés en el valor de un bien adquirido. Tablas de Amortización. Problemas resueltos. la cantidad disponible para disminuir la deuda aumenta con el transcurso del tiempo. debido a la práctica de redondear al centavo más próximo. Una deuda de $5000 con intereses al 5% convertible semestralmente se va a amortizar mediante pagos semestrales iguales R en los próximos 3 años. En consecuencia. Ejemplo 1.C. mediante una serie de n pagos de R cada uno. Cada pago R se aplica en primer lugar para el pago del interés vencido en la fecha del pago.025 Amorticemos una deuda A amparada con un documento que causa intereses. sin embargo. la diferencia se utiliza para disminuir la deuda. Hallar el pago.contraídas (tanto capital como intereses) son liquidadas mediante una serie de pagos (generalmente iguales).025  5000 yR  5000 1  $907. El capital insoluto al final del plazo es 0 en teoría. tal como en el ejemplo 1. El capital insoluto al inicio del plazo es la deuda original. hechos en intervalos de tiempos iguales. Por tanto Ra6. A. 4. La parte de la deuda no cubierta en una fecha dada se conoce como saldo insoluto o capital insoluto en la fecha.2 TABLA DE AMORTIZACIÓN Para efectos contables es conveniente preparar una tabla que . puede variar ligeramente de 0. 0 R R R R R R 1 2 3 4 5 6 5000 períodos de interés Los 6 pagos R constituyen una anualidad cuyo valor presente es $5000. El capital insoluto justamente después de que se ha efectuado un pago es el valor presente de todos los pagos que aún faltan por hacerse. el primero con vencimiento al término de 6 meses. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Se dice que un documento que causa intereses está amortizado cuando todas las obligaciones .75 a6.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. En el ejemplo 1.81 907. Construir una tabla de amortización para la deuda del ejemplo 1.01 885. Al principio del tercer período.43.93 y así sucesivamente. hallar el capital insoluto justamente después del 4° pago y comparar con la cifra de la tabla del ejemplo 2.25.49 5446.25 105. A.75 2592.14 907. El capital insoluto P justamente después del 4° pago es el valor presente de los 6-4=2 pagos que aún faltan por hacerse.43 907. Al principio del segundo período del capital insoluto (a) es 5000782. Al término de este período el interés vencido (b) es 4217.37 907. debe revisarse la tabla ocasionalmente durante su elaboración. Cuando tiene que hacerse un gran número de pagos.94 864. En consecuencia .00 125.75 1749.025)=$105.75 3414.55 64.75 se utilizan para el pago del capital (d).025)=$125.38 842.75 885.75 802.50 (d) Capital pagado al final del período 782.74 907.75 446. MATEMÁTICAS FINANCIERAS muestre la distribución de cada pago de la amortización respecto a los intereses que cubre y a la reducción de la deuda.25(0.75-105.93 85.75=$4217.01 La tabla se llena por renglones como sigue: El capital insoluto (a) al principio del primer período es la deuda original de $5000. Del pago (c) de $907.43=$802.32=$3414.25.C. Período 1 2 3 4 5 6 Totales (a) (b) (c) Capital Interés vencido insoluto al al final del Pago principio del período período 5000.75 4217.00 907.60 22. de los cuales se utilizan $125 para el pago del interés vencido y $907.32 para pago del capital (d).75 – 125=$782. El pago semestral (c) es $907.802.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Ejemplo 2. El interés vencido (b) al final de ese mismo período es 5000(0.75.32 822.61 5000. Ejemplo 3. el capital insoluto (a) es 4217.61 43. M compra una casa en $25.000-9815. ¿Cuál es el interés justamente después de hacer el 50° pago periódico? El pago periódico es R  15.18. mediante pagos iguales al final de cada mes en los próximos 10 años.75a2.005=$9815. MATEMÁTICAS FINANCIERAS P=907. 4. Del precio de venta de $25.49. lo . M debe aún $9815. cada pago se aplica para cubrir los intereses correspondientes vencidos y para redimir un cierto número de bonos. Construir una tabla para la liquidación mediante 6 pagos anuales. se redimirán 8 bonos.C.000 paga $10. es aquel que queda por pagarse. Su interés en la propiedad es 25. Por ejemplo.18. el capital insoluto en la fecha.82.000 de cuota inicial y el saldo lo amortiza con intereses al 6% convertible mensualmente.000. el interés del comprador del bien.4 EXTINCIÓN DE DEUDAS CONSOLIDADAS Cuando una deuda contraída mediante la emisión de bonos con intereses en amortizada. Al mismo tiempo. Claramente vemos que Interés del comprador + interés del vendedor = precio de venta.62 4.3 INTERÉS EN EL VALOR DE UN BUEN ADQUIRIDO Cuando se compra un bien mediante una serie de pagos parciales. esto es.025=$1749.53 El capital insoluto Justamente después del 50° pago periódico es 166.184. Ejemplo 4. si se dispone de $763. sin embargo tienen que ser lo más similares que sea posible.18=15.86.000 1 a120. es aquella parte del precio del bien que ha pagado.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.005  $166. si la denominación de los bonos es $100 y se dispone de $712. serán redimidos 7 bonos.53ª70. Los pagos periódicos no pueden permanecer iguales. el interés del vendedor del bien. en cualquier tiempo. A. Ejemplo 5. 00 25.880.52-1280$4630.00 5465. Al final del segundo año.00 1280. TABLA QUE MUESTRA LOS PAGOS PARA LA EXTINCIÓN DE UNA DEUDA CONSOLIDADA Período 1 2 3 4 5 6 Totales Capital insoluto al principio del período 30. de una deuda de $30.000 contraída mediante la emisión de bonos de $100 con intereses al 5%.52 para el retiro de 44 bonos.00 280.950.465.00 16.52-1500=$4410.00 21.600.000 y así sucesivamente. Hay disponibles 5910.05).00 5. el cargo por intereses es 25.00 5. será liquidada mediante 6 pagos anuales iguales de R  30.000.000 con intereses al 5%.950.00 11.00 1050.00 805. MATEMÁTICAS FINANCIERAS mas iguales posible.00 Interés vencido 1500.05  $5910.000(0.00 4.00 35.900.C. el cargo por intereses es 30. el acreedor recibe el interés pactado en su vencimiento y el valor nominal de la deuda al término del plazo.000(5. de tal forma que justamente después del último . el deudor crea un fondo por separado en el cual hace depósitos periódicos iguales durante el plazo. que representan un capital insoluto al principio del tercer año de $21. A.00 5.52 Al término del primer año.52 para el retiro de 46 bonos.00 Número de bonos retirados 44 46 49 51 54 56 300 Pago periódico 5.05)=$1280. Quedan disponibles 5910.00 5.100.00 5.880.5 FONDOS DE AMORTIZACIÓN En el método de fondo de amortización para liquidar una deuda. Quedan ahora 300-44=256 bonos que representan un capital insoluto al principio del segundo año de $25.000.00 550. Con el objeto de poder hacer el último pago.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.600.000 1 a6. La deuda de $30. Quedan ahora 256-46=210 bonos.000.00 5.600.905. por tanto Rs5. Ejemplo 6. El monto de los 5 depósitos anuales de R cada uno. (a) el importe R de cada depósito. (a) R  5000 1 s8. pero no necesariamente a la misma tasa que carga el acreedor.6 TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN El crecimiento del fondo de amortización del ejemplo 7 se muestra en . sin intereses. y (b) el costo semestral C de la deuda. en un fondo donde gana el 3%.03  5000 y R  5000 1 s5. va a ser liquidada mediante el sistema de fondo de amortización.025)=$125.92 (b) El cargo semestral por intereses es 5000(0.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.78 Ejemplo 7.C. Es de suponerse que el fondo gana intereses. A. Si se van a hacer 8 depósitos semestrales iguales. justamente después de efectuado el último es $5000. en un fondo que paga el 3% convertible semestralmente. MATEMÁTICAS FINANCIERAS depósito. hallar.92 4. Una deuda de $5000 con vencimiento al término de 5 años.015  $592.03  $941. Una deuda de $5000 que devenga intereses al 5% convertible semestralmente va a ser liquidada mediante el método de fondo de amortización. el primero con vencimiento en 6 meses. Si se van a hacer 5 depósitos anuales iguales. hallar el importe de cada depósito. el fondo importa el valor de la deuda original. en consecuencia C  125  592. el primero con vencimiento en un año.92  $717. El costo semestral de la deuda es el cargo por intereses más el depósito periódico en el fondo de amortización. 015)=$8. el depósito (b) es $592.92 592.92 s5.92.57.98 4999.82 55. el aumento por interés (a) es 1194.89.73(0.81=$1194.84.015)=$17.84=$1805.89 17.84 1805. MATEMÁTICAS FINANCIERAS la siguiente tabla: TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN Período (a) Aumento de interés 1 2 3 4 5 6 7 8 Totales 0 8.92+592.57 629.30 3054.92 y constituye tanto el incremento al fondo (c) como el importe del fondo (d) al final del primer período.73.92 4743. y el importe del fondo (d) es 592.C.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Al final del tercer período.92 y el incremento en el fondo (c) es 8.92.73 610. La diferencia de $0.38 45.92 592.93 658.74 3693. En el ejemplo 7.92 592.32 4341.98 Al final del primer período se efectúa un depósito (b) de $592.00 2425.82 65.62 (b) Depósito 592.57 620. Al final del segundo período el aumento por intereses (a) es 592.05 4999.92 592. A.92 27.81 1194.02 en la última cifra de (d) es debida al redondeo de cada cifra a la centena.92 592.015=$3054.92 601. y así sucesivamente. y el importe del fondo (d) es ahora 1194.92 592. Al construir una tabla de fondo de amortización es recomendable comprobar las cifras ocasionalmente.08 36. hallar : (a)El importe del fondo justamente del 5° depósito.81. el incremento en el fondo (c) es 17. (b) cuánto del incremento al fondo por el 6° depósito es debido a intereses.92 592.92=$610.92+601.13 256.92 592.61 648. (a) El importe del fondo justamente después del 5° depósito es 592.88 (b) El aumento por intereses al efectuarse el 6° depósito es el interés .73+610.89+592. el depósito (b) es $592.92=$601.87 638. Ejemplo 8.36 (c) (d) Incremento al Importe del fondo fondo al final del período 592.92(0. tenemos 900 an. mediante pagos anuales iguales por lo próximos 8 años.Un comerciante pide un préstamo de $20.311. pago. 045 (b) el capital insoluto justamente después del 6º. capital e intereses al 4 ½%.045  $13. Construir una tabla. MATEMÁTICAS FINANCIERAS producido en un período por el monto en el fondo justamente después del 5° depósito. Pago reduce la deuda en 3032. Pago. Período Capital insoluto al principio del período Interés vencido al final del período Pago Capital pagado al final del período .88(0.82. vemos que se requieren 4 pagos completos. el incremento es 3054. La construcción de la tabla es similar a la del ejemplo 2.. la tabla XIII. A. en consecuencia. junto con un pago parcial final si fuera necesario.19599. el primero con vencimiento en un año.045)=$599.24(0. Hallar en forma independiente el capital insoluto justamente después del tercer pago.19 a 2.000 1 a  $3032. Acuerda amortizar la deuda.18.03=4 Por lo que.Una deuda de $3600 con intereses al 6% convertible semestralmente se va a amortizar mediante pagos semestrales de $900 cada uno.19 a 5.045  $5678.. (a) el costo anual de la deuda. Tal como en el capítulo 10.24 El interés vencido cuando sea hecho el 4º.01=$2433. pago es 3032.01. y (c) en cuanto se reduce la deuda con el 4º.311.03=3600 y an.28 (c) el capital insoluto justamente después del 3er.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.pago es 13. 2. pago es 3032.C. (a) el pago anual es R  20.. 4. Hallar.015)=$45. (b) el capital insoluto justamente después del 6º.7 PROBLEMAS RESUELTOS 1.19 s .000 para renovar la tienda. el primero con vencimiento al término de 6 meses. El 4º. 00 10 50 107 55.00 El capital insoluto requerido puede encontrarse sin que sea necesario determinar primero el pago final (parcial).00 84.57 Totales MATEMÁTICAS FINANCIERAS 108.00 1992.01 286.00 10. $35.092727)-900(3.17 792.000.01 3.00 295. Construir una tabla.24 1152.09090)=$1152.700.500 bonos de $500 y 1500 bonos de $100 que pagan intereses de 4% convertible semestralmente..FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.17 900.03 =3600(1.17 3600.00 2808.56 8. De la línea de tiempo 3600 0 P 1 2 3 4 5 tenemos que el capital insoluto P justamente después del tercer pago es P=3600(1.000.26 No hay ninguna estipulación sobre la distribución de la suma disponible en cualquier período entre las tres denominaciones.000 de la suma disponible se han utilizado para redimir 10 de los bonos de $1000 y 50 de los bonos de $500.23 865. cada uno sería de R  500.76 840.77 34.663.C.00 900. 1 2 3 4 5 3600.00 900.44 286. Período Capital Interés Número de bonos Pago insoluto vencido redimidos Semestral $1000 $500 $100 1 500. A.00 815. Si los pagos semestrales fueran iguales. En la tabla dada a continuación. será amortizada en los próximos 5 años mediante pagos semestrales lo más iguales posible.000 1 a10.00 900.57 3895.00 .24 59.03)3-900 s3.02  $55.Una deuda de $500.60 295.000 distribuida en 100 bonos de $1000. 200.839052 El interés vencido al final del primer año es 100.00 54.634.00 55. Los bonos están cotizados en el mercado de valores a 90.00 4.710.00 56.234.03 .000 y la tasa de interés es pagopor int erés 30 1   0.500.654.100.00 407.00 55.00 55.900.00 3.00 3.00 180.03  2 1 1     3  a5.00 5.839.000(0. R  90.00 556. Decir que un bono está cotizado a 90 significa que un bono de $1000 puede ser comprado.000 en forma de bonos de $1000 que devengan intereses al 3% se amortizaran durante los próximos 5 años mediante pagos anuales lo más iguales posibles.686.622. precio 900 3 El pago semestral igual.03 1  90.03     =90.246.00 8.086. Construir una tabla.500. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totales 454.00 211.00 Numero de bonos Costo de adquiridos los bonos 19 17.00 .00 262.210.700.000.590.00 55.160.03)=$3000.00 55.2204391)=$19.52 con lo cual pueden redimirse 19 bonos de $900 cada uno.660.00 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 9.000. necesario para liquidar la deuda seria.000(0.00 55.638.00 10 10 10 10 10 10 10 10 10 100 50 50 50 50 50 50 50 50 50 500 116 125 135 144 154 164 175 185 195 150 0 55.300.154.238.00 7.100.00 311.0 0 Una deuda de $100.00 6.00 Pago total anual 20. En consecuencia el valor presente de la deuda es $90.839.622.03 a5.00 160.000 1 3  a5.00 1.704.C. A.00 360. Quedan disponibles 19.090.000.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.00 2.00 55.52 – 3000=16.700.646.00 55.204.300.000  1 a 5. La tabla completa es la siguiente Periodo Capital Insoluto Interés Vencido 1 100. 2 3 4 5 Totales 81.00 630.00 1.430.00 20.00 00.000 o sea 1 1213.160.260.00 90.C.000 por 5 años al 6% convertible semestralmente. el costo anual de la deuda sería: R1  20.. ¿Qué plan es más barato y cuánto se ahorraría anualmente aceptándolo? Si se utiliza el plan del Banco Nacional.00 19. pagando el 3% mediante depósitos anuales iguales.530.. Si se establece un fondo de amortización. el primero con vencimiento en 1 año.27 a10i  10. Tenemos que 1213.0 0 19 20 21 21 17.27.000. (a).00 19.00 21.00 1.860.000(0. Con el objeto de pagar el capital al término de lo s5 años.000 6.900. El banco nacional.00 62.180.00 18.000 1 a6.58 .00 18.000. (a) El cargo por intereses es 10.02  $913. el primero con vencimiento en 6 meses. presta el dinero al 51/2% si la deuda se amortiza en anualidades.0 99. un fondo de amortización mediante depósitos semestrales iguales.055  $4003.03)=$300. El banco Regional el dinero al 5% si el interés se paga anualmente y el capital al término de 6 años. El depósito periódico en el fondo de amortización es 10.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.00 9. A. (b) En lugar de pagar ahora $10.000 1 s10.27 El costo semestral de la deuda es 300 + 913.100. se establece en una cuenta de ahorros que paga el 4% convertible semestralmente.000.000 a 6 años.860.00 18.27   .27 al final de cada seis meses durante los próximos 5 años. Sea la tasa nominal requerida 2i convertible semestralmente.00 5.00 42.000.27= $1213.00 19. el costo semestral de la deuda (b) la tasa nominal convertible semestralmente que la compañía está pagando para liquidar la deuda.000.530.900.M desea un préstamo de $20.00 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 2.La compañía XYZ obtiene un préstamo de $10.180.000 la compañía XYZ paga $1213. Hallar.121327 a10i 10. Por lo tanto 0.000.05V  (V  5000) s20. el costo anual de la deuda sería: R1  20. A.05  S20.000 y el depósito anual en el fondo de reembolso es 365.000  5000 V 1 S20.. En este caso el cargo por intereses es 0.000. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Si se utiliza el plan del Banco Regional. El interés ganado por el inversionista es 375.944.Se estima que una mina tendrá un rendimiento neto anual de $75.Por lo cual .72 1 .95 El plan del Banco Nacional es 4091.000 en los próximos 10 años.05V y el valor de reventa..035361)   $294.58=$88.37 más barato 7.C.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Hallar el rendimiento anual que obtendría un comprador sobre su inversión si paga $375. 08536108 0.03  $4091. esto es V-5000.95 anualmente 4003.000 1 s6.000 por la mina y el fondo de reembolso se acumula al 4%.035  25. Designemos con r el rendimiento anual requerido.00 Sea V el precio de compra requerido.04 .Resolver el ejemplo 10 si al término de 20 años la propiedad puede ser vendida en $5.035 8.000 1 S100.035 25000  5000(. al término de los cuales podrá venderse en $10.000 y 25.000  20. pago respecto al pago de interés y a la reducción del capital.Construir una tabla para la amortización de (a) una deuda de $4. 2.Una deuda de $10.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. (c) la distribución del 20º...000 con intereses al 4 ½%. mediante 5 pagos anuales iguales (b) una deuda de $6.89% 4.000 con intereses al 6% convertiblemente trimestralmente está siendo amortizada mediante pago trimestrales iguales durante los próximos 8 años.04  11. Hallar.000 r 375. (b) Hallar el capital insoluto justamente después del tercer pago periódico.000 con intereses al 4% convertible trimestralmente en 10 años.000 con intereses al 4%.000 1 S10.000r  365. (b) el capital insoluto justamente antes del 15º.. .04  75.0. 375. seguido de 6 pagos anuales iguales.500 al término de 4 años.Hallar el pago anual necesario para amortizar una deuda de $5.8 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. (c)¿Qué parte del último pago se aplica al pago de intereses? 5. L deuda será liquidada mediante un pago de $2..en 12 años .C. convertible semestralmente mediante 6 pagos semestrales iguales..Hallar el pago trimestral que debe hacer M para amortizar una deuda de $5. Pago.0. (a) el capital insoluto justamente después del 12º.000  365.000 con intereses al 6%.Una persona obtiene un préstamo de $10. 4. 3. (a)Hallar el pago periódico necesario. A.000 con intereses al 3172%.000 1 S10. Pago.000 MATEMÁTICAS FINANCIERAS y 75. . procurando que el costo anual sea lo más igual posible. para liquidar una deuda de $25. 35 bonos de $500 cada uno y 125 bonos de $100 cada uno. el primero de los cuales vencería en tres meses.000 con vencimiento en 10 años.. durante un período de 5 años. ganando el fondo intereses de 3% convertible trimestralmente. pagando 4% por los próximos 6 años.¿cuánto habrá en el fondo justamente después del /o. Puede establecerse un fondo de amortización mediante depósitos trimestrales iguales..000 que devengan intereses al 3%. Depósito es debido a intereses.000 va a ser liquidada al término de 20 años.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.-Hallar el importe del depósito anual que es necesario hacer en un fondo de amortización que paga e 4 ½% efectivo.000 en bonos de $1. establecer un fondo de amortización para el pago del capital.Construir una tabla para el pago de 5 bonos de $10. A.una empresa obtiene un préstamo de $50. (b). procurando que el costo anual se lo más igual posible. (a) Hallar el costo anual de la deuda si el fondo paga el 3 ½%.000 cada uno. teniéndose que pagar intereses de 4% convertible trimestralmente. 10. .Construir una tabla para el pago de una deuda de $200. acordando pagar intereses de 5% al final de cada año. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 6. 20 bonos de $1. 9..000 cada uno.Una deuda de 475. depósito? (c)¿Qué tanto del incremento al fondo en la fecha del 5º. 8.000 a 10 años.C. cada tres meses. y al mismo tiempo. 7. El 1º.C. Los primeros bonos vencen el 1º. de Junio de 1960.. (b) el 1º de junio de 1974. de Junio de 1970. De junio de 1970. A. con los cuales redimirá unos bonos emitidos. 11. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Hallar.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Hallar R si el último depósito en el fondo se hace. (a) el costo trimestral de la deuda.000 anuales durante los siguientes 5 años. una institución empezó a hacer depósitos anuales de R cada uno de un fondo que produce el 3% efectivo para poder disponer de $15. (a) el 1º. . (b) la tasa nominal convertible trimestralmente a la cual podría ser amortizada la deuda con el mismo gasto trimestral. 5.  Aplicarlos en la solución de problemas en el campo financiero y contable. 5. Conceptos.4. 5 MATEMÁTICAS FINANCIERAS OBJETIVOS  Reconocer y aplicar los diferentes métodos de depreciación. 5. SUMARIO Unidad 5. Método de Línea Recta.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. 5. 5. DEPRECIACIÓN 5.8. Método de Suma de Dígitos. Método de Depreciación por Unidad de Producción o Servicio. 5. Introducción.3.10. 5. 5.6. A.  Aplicar las fórmulas correctas y realizar los cuadros de depreciación que se presentan. Resumen.9. Problemas propuestos. Problemas resueltos.7.C. La Depreciación en las épocas inflacionarias. Método de Porcentaje Fijo. Método por fondos de Amortización.1.11.2.5. 5. 5.1 INTRODUCCIÓN Desde el momento mismo que se adquiere un bien ( a excepción de . Depreciación. 5. 5. pues aquel. La mayoría de dichos activos. 5. En el transcurso de tal periodo estos bienes van disminuyendo su valor y esta perdida de valor es reflejada por la depreciación. a excepción de los terrenos. refleja únicamente la parte del costo original que esta pendiente de ser cargada a resultados. A. Esta pérdida de valor es conocida como depreciación y debe reflejarse contablemente con el fin de: 1. y en contrapartida. MATEMÁTICAS FINANCIERAS los terrenos y algunos metales). 2. En este trabajo se estudiará la depreciación .C. se crea un fondo para contar con los recursos necesarios para reemplazarlo al concluir su vida útil. Contablemente se realiza un cargo a los resultados por la depreciación del bien. En la última parte se analizaran también los problemas que se presentan en épocas inflacionarias y que obligan a realizar ajustes en los métodos de valuación y depreciación de los activos. tiene una vida útil durante un periodo finito de tiempo. El valor en libros de un activo no corresponde necesariamente a su valor de mercado.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. y debe ser igual al valor en libros . éste empieza a perder valor por el transcurso del tiempo o por el uso que se le da. Los cargos periódicos que se realizan son llamados cargos por depreciación. Establecer un fondo de reserva que permita reemplazar el bien al final de su vida útil. así como los distintos métodos que se emplean para calcularla. Al valor que tiene el activo al final de su vida útil se le conoce como valor de salvamento o valor de desecho. La diferencia entre el valor original y la depreciación acumulada a una fecha determinada se conoce como valor en libros. Determinar el costo real de los bienes o servicios que se general con dichos activos. En tiempos de alta inflación este puede llegar a ser varias veces superior.2 CONCEPTO La pérdida de valor que sufren un activo físico como consecuencia del uso o del transcurso del tiempo es conocida como depreciación. esto es la perdida progresiva de valor por la reducción de su cantidad aprovechable. En este trabajo se utilizará la siguiente notación: C= Costo original del activo S= Valor de Salvamento (S puede ser negativo) N= Vida útil calculada en años B= C – S= Base de depreciación del activo. Existen diversos métodos para determinar el cargo anual por depreciación. hasta que se agotan totalmente. van disminuyendo paulatinamente su capacidad y su valor. Cada uno de ellos presenta ventajas y desventajas que serán analizadas en cada sección. Es el caso de los minerales que. La base de depreciación de un activo es igual a su costo original menos su valor calculado de salvamento y esa cantidad que debe ser cargada a resultados en el transcurso de su vida útil activa.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Así pues. (0 < k < n). Dk= Cargo por depreciación por el año K (1< k < n) Ak= Depreciación acumulada al final del año k.C. Reflejar en los resultados la pérdida de valor del activo 2. En épocas inflacionarias este segundo objetivo se logra sólo en forma parcial. dos son los objetivos de la depreciación: 1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS de esa fecha. Crear un fondo interno para financiar la adquisición de un nuevo activo al finalizar la vida útil del antiguo. por la extracción de que son objeto. pues los precios de los nuevos activos serán considerablemente mayores a los de los antiguos. A. En el caso de los activos que no pueden reemplazarse se utiliza el concepto de agotamiento. Do = 0 y Dn = B Vk = Valor en libros al final del año k (0 < k < n) Vo = C y Vn = S . .FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. En muchos piases. MATEMÁTICAS FINANCIERAS dk = Tasa de depreciación por el año K (1 < k < n) 5. A.3 MÉTODO DE LÍNEA RECTA Es el método más simple y el mas utilizado. como México. es el único aprobado por las autoridades para cumplir con las disposiciones fiscales al respecto.C. la depreciación acumulada más el valor de salvamento del bien debe ser igual al valor de reposición. Su valor de desecho se calcula en $ 2 500 000. Al final de la vida útil. De acuerdo con ello.2) AK = K D (1. la base de depreciación se divide entre el numero de años de vida útil calculada y se determina el cargo que anualmente se hará al fondo de reserva y a los resultados. A.C.KD La depreciación acumulada crece cada año en una cantidad fija y el valor en libros disminuye en la misma cantidad. .1) (1. Se compra un equipo de computo con valor de $ 16 000 000 y se calcula que su vida útil será de cuatro años antes de que deba ser reemplazado por equipo más moderno. D V C D D D 3 2 1 1 2 3 N 1 2 S 3 N GRÁFICA 1.1 Ejemplo 1. DK = C- B = n =D Sn (1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Este método supone que la depreciación anual es la misma durante toda la vida útil del activo.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.3) VK = C . 1. cantidad que se incrementara en el fondo de reserva para depreciación y disminuirá en el valor en libros del activo. Un equipo nuclear con costo de $35 000 000 tiene una vida útil de 6 años. Solución: Utilizando la fórmula (1. Esto se refleja claramente en la tabla (1.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS a) Determínese la depreciación anual por el método de línea recta.1 Años 0 1 2 3 4 Depreciación Anual 0 3 375 000 3 375 000 3 375 000 3 375 000 Depreciación Acumulada 0 3 375 000 6 750 000 10 125 000 13 500 000 Valor en Libros 16 000 000 12 625 000 9 250 000 5 875 000 2 500 000 Ejemplo 2.1) se tiene: B C-S D= n = v D = 16 000 .1) TABLA 1.2 500 13 = 500 4 4 D=3 375 Así la depreciación anual será de $ 3 375 000. A. al final de los cuales se calcula que alcanzara un nivel de obsolescencia que obligara a cambiarlo por un modelo nuevo.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Su valor de . b) Elabórese una tabla de depreciación. Esto puede observarse en la tabla 1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Desventajas: Valor en Libros 35 000 000 29 000 000 23 000 000 17 000 000 11 000 000 5 000 000 (1 000 000) . Años 0 1 2 3 4 5 6 TABLA 1. A.(. Solución: Aplicando nuevamente la fórmula 1.1 se obtiene: CD B n =S n = 35 000 .C.$ 1 000 000. a) Determínese el cargo anual por depreciación b) Elabórese una tabla de depreciación. pues si bien se recupera $ 1 000 000 por la venta del equipo.1 000) D= 6 D = 36 000 En este caso el valor de salvamento es negativo.2. Así su valor neto de salvamento es de .2 Depreciación Depreciación Anual Acumulada 0 0 6 000 000 6 000 000 6 000 000 12 000 000 6 000 000 18 000 000 6 000 000 24 000 000 6 000 000 30 000 000 6 000 000 36 000 000 Ventajas: 1) Es de fácil aplicación. MATEMÁTICAS FINANCIERAS salvamento será de $ 1 000 000 y se prevé que deberá realizarse una inversión adicional de $ 2 000 000 para desmontarlo y deshacerse de él. debe realizarse una erogación de $ 2 000 000 para desmontarlo y deshacerse de él. A.4 MÉTODO DE PORCENTAJE FIJO Este método tiene en consideración el hecho de que la depreciación es mayor en los primeros años de uso y menor en los últimos.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. en esta forma se logra distribuir los costos de inversión y operación en el tiempo) 5. en tanto que aumentan con el transcurso de los años. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1) No toma en cuenta los intereses que genera el fondo de reserva. Para reflejarlo se carga un porcentaje fijo del valor en libros disminuye cada año . 2) Los activos fijos tienden a depreciarse en una mayor proporción en los primeros años que en los últimos.C. ( Esto compensa el hecho de que en los primeros años los gastos de mantenimiento y reparación son menores. FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS y, por tanto, la depreciación disminuye también consecuentemente. La depreciación anual estará dada por la formula. DK = V K - 1d (1.4) El valor en libros al final del primer año estará dado por: V1 = V0 - V0d = C - Cd ( 1d) Donde V es el valor en libros y d la tasa de depreciación anual fijada. En el segundo año, el valor en libros estará dado por: V2 = V1 - V1d = V1 (1 - d) = C ( 1- d)(1 d) Y en el tercero será: V3 = V2 - V2d = V2 (1 - d) = C ( 1- d)(1 - d) (1 - d) Por tanto, se esta en presencia de una progresión geométrica cuyo termino común es (1 –d). El valor en libros al final de cada año puede determinarse utilizando la formula. VK = C ( 1 – d)k (1.5) En el ultimo año, el valor de salvamento será igual al valor en libros. S = C ( 1 – d)n = Vn ( 1.6) Dados S y n, se puede determinar la tasa de depreciación utilizando la formula 1.6. Este método solo puede aplicarse si el valor de salvamento es positivo; de lo contrario, la formula (1.6) carecería de sentido. En caso de que el valor de desecho calculado fuese 0, pude sustituirse por 1 para poder aplicar dicha fórmula. FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Ejemplo 1. Una compañía compra una camioneta para el reparto de su mercancía en $ 7 500 000. calcula que su vida útil será de 5 años y que al final de ella su valor de desecho será de $ 1 000 000. a) Determínese la tasa de depreciación d que debe aplicarse. b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente. Solución: En este caso se conoce el valor de desecho y el numero de años de vida útil. Se aplica la formula (1.6) y se despeja d. S 1 000 1 000 7 500 =C(1n d) 7 500 ( 1 =5 (1 - d)5 d) = ( 1 - d)5 1.333333 1/ =1-d (1.3333333) 3 . =1-d 5 66832506 d =1d = 0.668325 d = 33.1675 0.33167494 % Este porcentaje se aplica para calcular la tabla 1.3 de depreciación correspondiente: De existir diferencia, debida al redondeo de las cifras, esta se ajusta en el último cargo por depreciación. TABLA 1.3 FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. Años 0 2 3 4 5 Depreciación Anual -.2 487.56 1 662.50 742.57 496.28 MATEMÁTICAS FINANCIERAS Depreciación Acumulada -.2 487.56 4.150.06 6 003.72 6 500.00 Valor en Porcentaje de Libros Depreciación 7 500 000 0.331675 5.012.44 / 3 349.94 / 1 496.28 / 1 000.00 / Ejemplo 2. Se adquiere un equipo de troquelado con valor de $ 28 750 000 y se calcula que su tasa de depreciación es de 30%. Su esperanza de vida es de siete años. a) b) c) d) Elabórese una tabla de depreciación de los primeros cuatro años. Encuéntrese el valor en libros al final del quinto año Determínese el cargo de depreciación del sexto año. Determínese el valor teórico de desecho. TABLA 1.4 Años 0 1 2 3 4 Depreciación Depreciación Anual Acumulada 0 0 8 625 8 625 6 037.5 14 662.50 4 226.25 18 888.75 2 958.38 21 847.13 Solución: a) utilizando la formula 1.4 Dd = Vk – 1d Valor en Libros 28 750 20 125 14 087.50 9 861.25 6 902.87 60 Ejemplo 3.1.1 Dk D6 D6 D6 = = = = Vk-1d V5d 4 832.6 y se despeja d.01 El cargo de depreciación por el sexto año se obtiene utilizando la formula 1. pues. a) determínese el porcentaje de depreciación que debe aplicarse b) Elabórese una tabla de depreciación. se conoce el valor de desecho y el numero de años de vida útil: . como en el ejemplo 1.30)5 28 750 (0.C.6 S S S S = C(1 – d)n = 28 750(1-0. MATEMÁTICAS FINANCIERAS se determinan los valores de la tabla 1. A.30)7 = 28 750 (0. El costo de un equipo de precisión es de $ 10 000 000 se espera que su vida útil será de tres años y que su valor de desecho será igual a 0.16807) 4 832. Vk Vk V5 V5 = = = = c) C(1 – d)k 28 750 (1 – 0.30) 1 449.4 b) Utilizando la formula 1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Solución: Para determinar el porcentaje de depreciación se aplica la formula 1.4.5 se determina el valor en libros al final del quinto año.60 d) El valor teórico de desecho se calcula utilizando la formula 1.08235430) = 1 449.01(0. a) Determínense los cargos anuales por depreciación. Ejemplo 4.1 utilizando el método de porcentaje fijo. A. Se sabe que el costo del equipo es de $ 16 000 000 su vida útil. esta formula carece de significado si el valor de desecho es igual a 0. Resuélvase el ejemplo 1. como ya se menciono antes.99535841 El efecto de una tasa de depreciación como esta se refleja en la tabla 1.5 Años 0 1 2 3 Depreciación Depreciación Anual Acumulada 0 0 9 953 500 9 953 500 46 284 9 999 784 215 9 999 999 Valor en libros 10 000 000 46 500 216 1 En este caso. Por tanto. prácticamente el total de la depreciación es cargado al primer año y puede no ser conveniente la utilización de este método. b) Elabórese una tabla de depreciación Solución: En primer lugar debe determinarse el porcentaje de depreciación .FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. 10 000 000 ( 1 – d)3 ( 1 – d)3 = 1/ 10 000 000 d= 0. de $ 2 500 000.5 TABLA 1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS S = C (1-d)n 0 = 10 000 000 (1 – d)3 Sin embargo. se sustituye el 0 por el 1 y se aplica nuevamente la formula. pues su resultado seria indeterminado.C.3. y su valor de desecho. de cuatro años. 22 3 976. los cargos son más elevados en los primeros años y después se ajustan a la baja.8 3 734.37128329 d = 37.00 Valor en Libros 16 000 10 059. Utilizando la formula 1.4 Dk = VK-1d y se elabora la tabla de depreciación TABLA 1. Ventajas: 1) Es un método relativamente fácil de aplicar 2) Asigna un mayor cargo por depreciación a los primeros años.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.78 2 348.d)n 2 500 = 16 000 (1 – d)4 2 500 = (1 – d)4 16 000 d = 0.C.6 Años 0 1 2 3 4 Depreciación Depreciación Anual Acumulada 0 0 5 940. MATEMÁTICAS FINANCIERAS anual.18 12 023.98 9 675.00 La diferencia resultante por el redondeo se ajusto en el ultimo cargo.13% Conocida la tasa de depreciación se aplica en la fórmula 1.96 1 476.04 2 500.8 5 940. Como puede observarse. A.6 se tiene: S = C (1.04 13 500. no tiene en cuenta los intereses que .2 6 324. que es cuando los bienes efectivamente pierden un mayor valor Desventajas: 1) Como el método de línea recta. 5. MATEMÁTICAS FINANCIERAS genera el fondo de la reserva. A. es un método acelerado de depreciación que asigna un cargo mayor a los primeros años de servicio y lo disminuye con el transcurso del tiempo.5 MÉTODO DE SUMA DE DÍGITOS El método de suma de dígitos.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. al igual que el de porcentaje fijo.C. Para determinar el cargo anual se multiplica la base de depreciación del activo . se suman los dígitos enteros correspondientes a los años de servicio esperado: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Esta cifra también puede determinarse utilizando la siguiente fórmula: n (n +1) (1.C. A. Ejemplo: si un activo tiene una vida esperada de cuatro años. Ejemplo: En el caso del activo con vida de cuatro años se tiene: Año 1 2 3 4 Años en orden Invertido 4 3 2 1 Suma de dígitos 10 10 10 10 Fracción que 4/10 3/10 2/10 1/10 Se deprecia .FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. se asignan cada uno de los años de vida útil. los dígitos correspondientes a los años de la vida útil del activo se ordenan inversamente al tiempo y así . MATEMÁTICAS FINANCIERAS por una fracción que se obtiene de la siguiente manera: 1. Se suman los dígitos (suma de dígitos) de 1 a n de los años de vida esperada del activo. Estos serán los numeradores de la fracción. inversamente. 2.7) S= 2 Ejemplo En el caso anterior se tiene: S= 4 (4 +1) 2 S= 4 (5) 2 S = 10 La cifra así obtenida será el denominador de la fracción. FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 3. La fracción así obtenida se multiplica por la base de depreciación del activo (C – S) y se obtiene el cargo anual. Así, se tiene que: n D1 = s (C – S) n-1 D2 = s (C – S) 1 Dn = s (C – S) Y generalizando Dk = n – k + 1(C – S) s (1.8) La depreciación acumulada (Ak) se obtiene multiplicando la base de depreciación ( C – S ) por la suma de las fracciones acumuladas hasta ese año. Ejemplo 1. Se compre mobiliario de oficina con valor de $ 8 975.000. se espera que su vida útil sea de cinco años y que tenga un valor de desecho de $ 2 000 000. a) Elabórese la tabla de depreciación usando el método de suma de dígitos. Solución: 1. Se determina la base de depreciación B= C-S B = 8 975 – 2000 B = 6 975 2. Se calcula el denominador de la fracción ( suma de dígitos) S= n= 5 S= n (n +1) 2 5 (6) 2 FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS S= 15 3. Se determinan los numeradores de las fracciones. Año Numerador Fracción 1 5 5 /15 2 4 4/15 3 3 3/15 4 2 2/15 5 1 1/15 Cabe destacar que 5/15 + 4/15 + 3/15 + 2/15 + 1/15 = 15/15 4. Se multiplica cada fracción por la base de depreciación para determinar el cargo de cada año. Este procedimiento puede simplificarse con la utilización de las formulas (1.7) y (1.8), como se vera en el siguiente ejemplo: TABLA 1.7 Año 0 1 2 3 4 5 Fracción 5/15 4/15 3/15 2/15 1/15 Base de Depreciación Depreciación Anual 0 0 6 975 2 325 6 975 1 860 6 975 1 395 6 975 930 6 975 465 Depreciación Acumulada 0 2 325 4 185 5 580 6 510 6 975 Valor en Libros 8 975 6 650 4 790 3 395 2 465 2 000 Ejemplo 2. Resuélvase el ejemplo 1.3.1 utilizando el método de suma de dígitos. El costo del equipo es de $ 16 000 000, su vida útil, de 4 años y su valor de desecho, de $ 2 500 000. FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C. MATEMÁTICAS FINANCIERAS a) Determínense los cargos anuales por depreciación b) Elabórese una tabla de depreciación Solución: La base de depreciación se calcula por: B= C – S B= 13 500 La suma de dígitos se tiene por: S= n (n +1) 2 S = 10 Los cargos anuales por depreciación se tienen por: DK = n – k + 1 (C – S) s D1 = 5 400 D2 = 4 050 D3 = 2 700 D4 = 1 350 13 500 = C - S Con estos elementos se construye la siguiente tabla: TABLA 1.8 Año Depreciación Anual Depreciación Acumulada Valor el Libros A5 = 21 428. A. en $ 10 000 000 a) Cual es el valor en libros al cabo de cinco años si se aplica el método de suma de dígitos. El costo del terreno fue de $25 000 000 y el valor de la construcción fue de $ 60 000 000. y su valor de desecho. la vida útil del inmueble se calcula n 20 años. como se menciono. B = 50 000 Nótese que se considero únicamente el valor de la construcción. El denominador de la fracción se calcula utilizando la formula 1. pues los terrenos. 0 1 2 3 4 0 5 400 4 050 2 700 1 350 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 0 5 400 9 450 12 150 13 500 16 000 10 600 6 550 3 850 2 500 Ejemplo 3.C. no se depreciación.7 S = 210 La depreciación acumulada se obtiene por la suma de las fracciones de los cinco primeros años multiplicada por la base de la depreciación. Se construye un edificio para albergar las oficinas de una empresa.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Solución: En primer lugar se calcula la base de depreciación. Así el valor en libros del edificio al cabo de cinco años será de: $ 38 571 430 .57 En valor en libros será el resultante de restar al costo original la depreciación acumulada. . días. que produzca una cantidad determinada de kilos. horas) o bien.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Ventajas: 1) Este método asigna un cargo mayor de depreciación a los primeros años de uso del activo. unidades. toneladas. Desventajas: 1) No toma en cuenta los intereses que genera el fondo de reserva 5.6 MÉTODO DE DEPRECIACIÓN POR UNIDAD DE PRODUCCIÓN O SERVICIO Al adquirir un activo se espera que de servicio durante un determinado periodo de tiempo ( años. kilómetros.C. A. A. al cabo de ellos. Elabórese la tabla de depreciación correspondiente. Una compañías arrendadora de autos adquiere un automóvil para su flotilla. Solución: En primer lugar se determina la base de depreciación B = 5 700 Esta base de depreciación se distribuye entre el kilómetro “útil” para efectos de arrendamiento con el fin de encontrar la depreciación por kilómetros. TABLA 1. el valor de desecho da la unidad será de $ 3 000 000.9 de depreciación correspondiente.C. puede depreciarse de acuerdo con las unidades de producción o servicio que ha generado durante un periodo determinado. y que. la tabla 10.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. la compañía calcula que la vida útil del automóvil para efectos de arrendamiento es de 60 000 km. Ejemplo 1. conociendo este dato. con un costo de $ 8 700 000. el kilometraje recorrido por la unidad durante los tres primeros años fue: Años 1 2 3 a) b) Kilómetros 24 000 22 000 14 000 Determínese el monto de depreciación por kilómetro recorrido. d x km = 5 700 60 000 d x km = $ 95 La depreciación por kilómetro es de $ 95 000. MATEMÁTICAS FINANCIERAS etcétera.9 Año Kilómetros Depreciación Depreciación Valor en . Si se conoce la vida esperada del bien en función de estos parámetros. 00 El monto de depreciación por fotocopia procesada es de $ 3. Solución: Se determina la base de depreciación B = 1 800 Se divide la base de depreciación entre el numero de unidades de producción esperadas.00 c) Se elabora con estos datos la tabla 1. 0 1 2 3 Recorridos 0 24 000 22 000 14 000 MATEMÁTICAS FINANCIERAS Anual 0 2 280 000 2 090 000 1 330 000 Acumulada 0 2 280 000 4 370 000 5 700 000 Libros 8 700 000 6 420 000 4 330 000 3 000 000 Ejemplo 2. 180 000 200 000 140 000 y 80 000 a) Determínese la depreciación por copia b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente. 1800 / 600 = 3. el numero de copias obtenidas durante cuatro años de operación fue el siguiente.10 . A. Su costo de adquisición es de $ 3 000 000 y su valor de salvamento es de $ 1 200 000.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.C.10 de depreciación correspondiente: TABLA 1. Una maquina fotocopiadora tiene una vida esperada de 600 000 copias. 11 TABLA 1. 4 000 en el tercero y 3 000 en el cuarto año. antes de que deba ser reemplazado por equipo mas moderno.11 Año Horas de Trabajo Depreciación Anual Depreciación Acumulada Valor en Libros . B = 13 500 El total de horas de vida útil se tiene por: 2 500 + 4 500 + 4 000 + 3 000 = 15 000 La depreciación por hora de trabajo se determina dividiendo la base de depreciación entre las horas de vida útil. 13 500 000 / 15 000 = 900 Los cargos anuales por depreciación pueden verse en la tabla 1. 4 500 el segundo año. A.C. Año Fotocopias 0 1 2 3 4 0 180 000 200 000 140 000 80 000 MATEMÁTICAS FINANCIERAS Depreciación Anual 0 540 000 600 000 420 000 240 000 Depreciación Acumulada 0 540 000 1 140 000 1 560 000 1 800 000 Valor en Libros 3 000 000 2 460 000 1 860 000 1 440 000 1 200 000 Ejercicio 3. Se compra un equipo de computo con un valor de $ 16 000 000 y se calcula que su vida útil será de cuatro años y presto un servicio de 3 500 horas en el primer año. Solución: Se determina la base de depreciación. a) Determínense los cargo anuales por depreciación b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Su valor de desecho se calcula en $ 2 500 000. 7 MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN Este método toma en consideración los intereses que gana el fondo de reserva que se va constituyendo. 2) Asigna la depreciación en relación directa con las unidades de producción o servicio que efectivamente se general durante el periodo de referencia.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. A. 0 1 2 3 4 0 3 500 4 500 4 000 3 000 0 3 150 000 4 050 000 3 600 000 2 700 000 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 0 3 150 000 7 200 000 10 800 000 13 500 000 16 000 000 12 850 000 8 800 000 5 200 000 2 500 000 Ventajas: 1) Es de fácil aplicación.C. Desventajas: 1) Se requiere experiencia previa para determinar la producción durante la vida útil del activo. 2) No considera los intereses ganados por el fondo de reserva. 5. el incremento anual en el fondo estará dado por la suma del cargo anual por depreciación mas los intereses ganados en el periodo de referencia. . por lo tanto. a la base de depreciación del activo. i DK = B (1 + i)n . MATEMÁTICAS FINANCIERAS La aportación anual al fondo de amortización se deriva de la formula que se utiliza para la anualidad. Por lo tanto se tiene la fórmula.1 El monto acumulado al cabo de n años debe ser igual. Para determinar el pago periódico se despejaba R. Ejemplo 1. . En este caso M = B. A.C.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. pues es el momento que se debe acumular al cabo de n años a una tasa de interés i. Su costo de adquisición es de $ 40 000 000 y se calcula que tenga una vida útil de cinco años. como ya se señaló. y R = D. El interés vigente es de 50%. Se adquiere mobiliario nuevo para un hotel. a) Determínese el cargo anual por depreciación utilizando el método del fondo de amortización b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente. el cargo anual que debe realizarse al fondo. AK = D i (1 + i)K .1 Para determinar la depreciación acumulada Ak se calcula el monto de un pago periódico D a un plazo k y a una tasa de interés i por periodo. al cabo de los cuales su valor de desecho será de 0. Solución: Se calcula en primer lugar la base de depreciación. C.12 de depreciación que se elabora es equivalente a una tabla de amortización.12 Años Deposito Anual 0 1 2 3 4 5 Total 0 2 530 108 2 530 108 2 530 108 2 530 108 2 530 108 12 650 540 Intereses Ganados 0 0 1 415 065 3 946 968 7 833 214 * 14 051 213 27 349 460 Depreciación Anual 0 2 530 108 4 048 173 6 477 076 10 363 322 16 581 321 40 000 000 Depreciación Acumulada 0 2 530 108 6 578 281 13 055 357 23 418 679 40 000 000 Valor en Libros 40 000 000 37 469 892 33 421 719 26 944 643 16 581 321 * Esta cantidad es en realidad igual a 14 051 207. A. pues el grueso de la depreciación esta dado por los intereses que ganados por el fondo. pero con la adición de una columna para anotar el valor en libros. TABLA 1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS B = 40 000 Acto seguido. Esta situación se invierte si los intereses que gana el fondo son bajos. utilizando la formula (1. Solución: . La tabla 1. i DK = B DK = 40 000 0. Como puede observarse en épocas de inflación y altas tasas de interés el monto de las aportaciones que realiza la empresa es relativamente pequeño.60) . Resuélvase el problema anterior considerando una tasa del interés del 10%.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. pero se ajusto en 6 unidades para rectificar los errores de redondeo Ejemplo 2.1 D = 2 530 108 La aportación que se debe hacer anualmente al fondo de amortización es de $ 2 530 108.60 5 n (1 + i) .1 (1 + 0.9) se determina el cargo anual por depreciación. 90 13 758.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.60 9 592.90 2 168. se calcula D.61 *Este valor se ajustó para compensar el error de redondeo.19 1 375.71 7 240. con valor de $ 500 000 000.90 655. DK = 40 000 (10.50 Intereses Ganados 0 0 6 551.00 33 448.50 Depreciación Anual 0 6 551.39 40 000. A. MATEMÁTICAS FINANCIERAS La base de la depreciación es de $ 40 000 y a partir de ella.10 + 0. Deciden depreciarlo utilizando el método del fondo de amortización y considerando .10)5 -1 D = 6 551.09 7 927.C. El efecto financiero de los interese ganados por el fondo de reserva puede ser. TABLA 1.21 9 592.90 7 207.01 18 313. y por ello es conveniente tomarlo en cuenta. al cabo de los cuales su valor de desecho será 10% de su costo.99 21 686.90 6 551.13 (En miles de pesos) Año 0 1 2 3 4 5 Total Deposito Anual 0 6 551.90 6 551.90 6 551.00 Valor en Libros 40 000.79 30 407.80 8 720. Ejemplo 3. como ya se vio.61 40 000 Depreciación Acumulada 0 6 551. Una sociedad cooperativa adquiere un barco para pesca del camarón.90 32 759. muy importante.90 Se elabora la tabla 1. calculan que su vida útil sea de 20 años.10 26 241.13 de depreciación y se tiene.90 6 551.70 * 3 040. Ejemplo 4.9 se calcula el cargo anual por depreciación.10 AK = D i (1 + i)K . B = 450 Utilizando al formula 1. .2 Como puede notarse.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.82 V10 = 484 962 640. MATEMÁTICAS FINANCIERAS una tasa promedio de interés de 40%. Vk = C – Ak V10 = 500 000 000 – 15 037 359.1 El cargo anual por depreciación es de $ 215 392.C.1 Ak = 15 037 359.82 El valor en libros se obtiene restando la depreciación acumulada del costo original. A.79 b) La depreciación acumulada al cabo de 10 años se obtiene utilizando la formula 1. DK = B i (1 + i)n . el fondo se incrementa aceleradamente en los últimos años debido al crecimiento significativo que tienen los intereses generados por el fondo. a) Determínese el cargo anual por depreciación b) ¿Cuál es la depreciación acumulada y el valor en libros al cabo de 10 años? c) ¿ Al cabo de 15 años? Solución: Se determina la base de la depreciación. 46 11 846.54 1 661.00 Valor en Libros 16 000.84 Depreciación Depreciación Anual Acumulada 0 0 1 661.9 se tiene que: La aportación anual al fondo de amortización es de $ 1 661. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Se compró un equipo de computo con valor de $ 16 000 000 y se calcula que su vida útil será de cuatro años.00 14 338.54 6 646. Su valor de desecho se calcula en $ 2 500 000.15 8 107. Determinar el costo de lo real de los bienes o servicios que se .54 1 661.93 * 3 946. antes de que deba ser reemplazado por equipo mas moderno.47 7 892. 5.00 13 500.77 2 076.54 1 661.538 La tabla de amortización queda como sigue: TABLA 1.14 Año 0 1 2 3 4 Total Deposito Anual 0 1 661.16 Intereses Ganados 0 0 830.68 13 500.31 4 153.8 LA DEPRECIACIÓN EN ÉPOCAS INFLACIONARIAS Al inicio de este trabajo se menciono que dos son los objetivos de la depreciación: 1. Solución: Se tiene una base de depreciación de $ 13 500 000 ya que: Aplicando la fórmula 1.14 6 853.32 5 607.54 1 661.85 3 738.54 2 492.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. A.68 2 500. considerando que el fondo gana un interés de 50%.C.00 *Este valor se ajusto para compensar el error de redondeo. C. por tanto. dicha empresa estará sufriendo perdidas en términos reales. pues al mantenerse la base de depreciación sin actualizar. Cuando las organizaciones enfrentan situaciones de alta inflación sus encargados de las finanzas tienen una gran responsabilidad: hacerlas productivas descontando el efecto de la inflación. c) La inflación esperada. esto es el importe que se necesitará desembolsar en el futuro para reponer un activo que se encuentra en servicio en un momento determinado. Una empresa puede mostrar grandes utilidades en sus estados financieros. . pero si el porcentaje de incremento que ha tenido de un año a otro no compensa la perdida del poder adquisitivo ocasionada por la inflación. 2. pues influyen varios factores: a) La vida útil esperada del activo b) La obsolescencia del activo. MATEMÁTICAS FINANCIERAS generan como un activo y. En épocas inflacionarias el rápido incremento de los precios de todos los bienes y servicios impide que un sistema de depreciación basado en costos históricos cumpla con los objetivos arriba mencionados. A.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. establecer un fondo de reserva que permita reemplazarlos al final de su vida útil. En esta sección se harán algunas consideraciones con respecto a los problemas arriba mencionados y presentaran alternativas para el tratamiento financiero de la depreciación. Para hacerlo se usa el concepto de valor de reposición. El valor de reposición. los precios de los bienes no revelaran los costos actuales de producción. es la depreciación para efectos financieros. ni el fondo que se establezca permitirá reemplazar al bien. Este calculo resulta complejo. en forma constante. Si a ello se aúna el hecho de que tales utilidades aparentes se repartan entre los accionistas. Un elemento que deberá actualizarse. lo que estará sucediendo es que la empresa se estará descapitalizando y en pocos años afrontara serios problemas de liquidez que pueden llevarla incluso a la quiebra. 53 . hace muy difícil la predicción del comportamiento de esta variable en el mediano plazo ( 3 a 5 años) y prácticamente imposible en el largo plazo. Para poder conocer el valor de reposición de una activo es necesario calcular la inflación promedio esperada para los años de vida útil. ¿Cuál es el valor de reposición de un equipo cuyo costo de adquisición es de $ 5 000 000. Este calculo es cada vez más complejo. Son los años durante los cuales se considera que el activo podrá funcionar rentablemente. el calculo del valor de reposición es sencillo. Si bien un activo puede tener una vida útil de 10 años. y la presencia de variables ajenas al control de las mismas. su interdependencia cada vez mayor en el ámbito mundial. Una vez conocidos los datos anteriores. si su vida útil esperada es de cuatro años y se prevé que la inflación promedio anual será de 45%? Solución: Se aplica la formula del monto a interés compuesto y se obtiene: M = C (1 + i)n M = 22 102. a) MATEMÁTICAS FINANCIERAS Vida útil esperada del Activo. A. en el entendido que se trata de valores esperados que serán ajustados cada vez que se requiera. A pesar de estas dificultades es necesario realizar los esfuerzos necesarios para calcular dicho valor de reposición. c) La tasa de inflación esperada. Ejemplo 1. b) La obsolescencia. pues la variabilidad de las políticas económicas de los piases. puede ser que el avance tecnológico haga necesario su cambio con anterioridad.C.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. al aparecer equipos que hagan la misma función con un costo sensiblemente menor. 53125 Al valor así obtenido se le aplica la inflación esperada de 45% durante los próximos cuatro años.C = 4072.102 millones en cuatro años.C.8.84 El mismo resultado puede obtenerse si se disminuye el valor de reposición obtenido en el ejemplo 1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Esto puede expresarse matemáticamente como sigue (V. = 18 002.R.95)4 V.C. M = C( 1+i)n M = 4 072. ¿Cuál seria el valor de reposición esperado? Solución: Si se considera que el equipo tuviera valor constante de $ 5 000 000 al cabo de un año su precio sería 5 % menor.53 (0. = Valor de reposición a precios constantes): V. = 5 000 (0.R. MATEMÁTICAS FINANCIERAS El valor de reposición esperado es de $ 22.C. Ejemplo 2. = 22 102.R.R.53 (1 . = 5 000 (0.1 V.83 La diferencia en los resultados se debe al redondeo de las cifras.R.0. 5% menor y así sucesivamente.95)(0.95) (0.648. Si el valor de estos equipos ha estado disminuyendo 5% cada año en términos reales como resultado de los avances tecnológicos y de la utilización de nuevos materiales más económicos.R.95)4 V. = 22 102.95) V.R. A.95) (0.C. al cabo de dos años.45)4 M= 18 002 649.53125 (1 + 0. .05)4 V. C. El valor de reposición puede calcularse también anualmente. pero si se desea destacar la importancia que tiene reflejar en los estados financieros los efectos que produce la inflación. No es el objetivo desarrollar aquí ampliamente este tema. A. ajustando los costos históricos de acuerdo con los índices de inflación que proporciona el Banco de México o mediante avalúo realizado por peritos. OBJETIVOS . con el fin de prevenir las consecuencias mencionadas. pero a pesar de ello es muy necesario que sean consideradas para efectos financieros. Una vez determinado dicho valor se ajustaran también los cargos anuales por depreciación. con el fin de contar con información veraz para la toma de decisiones. Estos ajustes y reevaluaciones no son admitidos por las autoridades para efectos fiscales.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Una vez terminado el valor de reposición se procede a calcular los cargos anuales por depreciación de acuerdo con los sistemas previamente vistos. Compra a premio o descuento.15.16. 6. Emisión seriada de bonos.12. Precio del bono comprado entre fecha de pago de interés. Tasa de redituabilidad. 6. Problemas propuestos. Bonos con fecha opcional de redención.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Bonos. 6. 6. 6.20.17.13. Definiciones. SUMARIO Unidad 6. 6. 6.C. Problemas resueltos.1 DEFINICIONES UN BONO es una promesa escrita de pago de: . definir y clasificar bonos.18.21. 6. El precio cotizado de un bono. 6. Precios del bono en una fecha de pago de intereses.  Resolver los métodos para calcular el precio de los bonos y sus cotizaciones. 6. BONOS 6.14. 6. 6. 6 MATEMÁTICAS FINANCIERAS  Reconocer.22. Un bono de anualidad. A.19. C. El valor de redención. redimible a la par el 1º de julio de 1988 recibirá. No recibirá el pago de interés vencido en la fecha de la compra. omitiéndose la palabra “por ciento”. b) Pagos periódicos llamados pagos de intereses. 6. De febrero y el 1º. Cuando el valor de redención y el valor nominal son idénticos se dice que el bono es redimible a la par.01) = $5 los días 1º de enero. FA”. 1º de julio y 1º de octubre de cada año. . el valor de redención se expresa como un porcentaje del valor nominal. redimible el 1º de octubre de 1990 a 102. 4% EAJO. Por ejemplo. iii. en una fecha dada llamada fecha de redención. desde su emisión hasta el 1º de octubre de 1990 inclusive. La tasa de interés. Normalmente se redime un bono en una fecha de pago de intereses. a) $1000 el 1º de julio de 1988. adquiere el derecho de recibir ciertos pagos futuros. 6% pagadero el 1º. ii. EJ. estipula a) El pago de $500 (1.02)=$510 el 1º de octubre de 1990. 1º de abril. A. iv. Un inversionista que compró el 1º de enero de 1960 un bono de $ 1000. hasta la fecha de redención. De octubre de 1985.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. De otra forma. Por ejemplo. por ejemplo el 1º. Un bono de $500. La fecha de redención. Ejemplo 1. un bono de $1000 redimible en $1050 se expresa como “un bono de $1000 redimible a 105”. 5%.2 PRECIO DEL BONO EN UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES Si Un bono en una fecha de pago de intereses. De agosto. b) Pagos trimestrales de 500 (0. La descripción completa de un bono comprende i. MATEMÁTICAS FINANCIERAS a) Una suma fija llamada valor de redención. Casi invariablemente es un múltiplo de $100. abreviando sería el “6%. Ejemplo 2. Su denominación o valor nominal. El precio de comprar P está dado por . MS. Sea F el valor nominal y V el valor de redención de un bono.C. Hallar el precio de compra p. si está dispuesto a ganar una tasa menor. el primero con vencimiento el 1º de julio de 1960. debe comprar el bono a un precio más bajo que el valor nominal. i la tasa del inversionista por período y n el número de periodos de interés desde la fecha de compra (suponiendo que coincide con una fecha de pago de intereses) hasta la fecha de redención. siendo el primero el 1º de septiembre de 1962. Ejemplo 3. El comprador recibirá: a) $1000 el 1º de septiembre de 1997. Un bono de $1000. MATEMÁTICAS FINANCIERAS b) 57 pagos semestrales de $25 cada uno. Si un bono redimible a la par es comprado en una fecha de pago de intereses a su valor nominal. Si desea obtener una tasa mayor. estará dispuesto a pagar un precio arriba del valor nominal. el inversionista ganará precisamente la tasa de interés estipulada en el bono. A. 4%.64 FÓRMULAS. Sea r la tasa de interés por período de interés del bono. En el siguiente diagrama veremos que: 0 20 20 20 1000 20 20 20 1 69 2 3 3/629/623/639/68 Períodos de interés 70 71 9/97 P = 1000(1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. es comprado el 1º de marzo de 1962 con el propósito de ganar el 5% convertible semestralmente.0711) = $ 834. b) 71 pagos semestrales de $20 cada uno.25)-71 + 20 a n i = 1000(0. redimible a la par el 1º de septiembre de 1997.173223) + 20(33. 28. se desarrollan las siguientes dos fórmulas: Fr P= ) (1 + i)-n +(Vi y Fr 2) i P = V + (Fr – Vi) a n i 3) Ambas tienen la ventaja de requerir el uso de una sola tabla. Se dice que un bono es comprado a descuento si su precio de compra P es menor que su valor de redención V. A. El cambio del valor en libros durante la vida del bono se muestra con claridad construyendo una tabla de inversión. el valor en libros en la fecha de redención es el valor de redención. MATEMÁTICAS FINANCIERAS P = V(1 + i)-n + Fr a 1) n i Esta formula requiere el uso de dos tablas. 6.3 COMPRA A PREMIO O DESCUENTO Se dice que un bono es comprado a premio si su precio de compra P es mayor que su valor de redención V.28 – 1000 = $ 146. El bono del ejemplo 3 fue comprado con descuento de 1000 – 834. Su aplicación es opcional. Ejemplo 4. Ejemplo 5. El premio es P – V.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. Véase el problema 4.C.36.64 = $165. El valor en libros de un bono en la fecha de su compra (suponiendo que coincide con una fecha de pago de intereses) es el precio de compra. El descuento es V-P. El valor en Libros de un bono en cualquier fecha es la suma invertida en el bono en dicha fecha. El bono del problema 1 fue comprado a premio de 1147. . En el problema 3. El nuevo valor en libros del bono es 954.88 3 971.20 El 1º de Julio de 1964 el valor en libros del bono es $954.43 5 990.00 9.03) = $28.00 Totales 145.80 100. el pago de intereses del bono es $20.00 8. como un método de comprobación de la tabla.15 4 980. para que reditúe el 6% convertible semestralmente. Puesto que el bono del ejemplo 5 fue comprado con descuento.83. y el nuevo valor en libros es 962. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Un bono de $1000.15 29. el interés vencido sobre el valor en libros es $954.86 20.20(0. Al final del segundo periodo de interés.63 del interés vencido no se cobra. el interés vencido es 962.63. varias veces.71 20.88 29.63 2 962.88. puede ser calculado en forma independiente. El precio de compra del bono es: P = 1000(1.63 = $962. por lo cual puede decir el inversionista que tiene $8.83(0.83 20.71 6 1000. es . A.63 más. Construir una tabla de inversión. que lo que tenia al principio del periodo.63 – 20 = $8. 4% EJ.00 8. mientras que el pago por intereses del bono es $20.20. Por tanto 28. Periodo Valor en libros al principio del periodo Intereses vencidos sobre el valor en libros 28. redimible a la par el 1º de Enero de 1967 es comprado el 1º de Julio de 1964.43 29.29 20. invertidos en el bono.63 28. Al termino del primer periodo de intereses.03) = $28.20 20.71 Pago de intereses del bono Cambio del valor en libros 1 954.88 = $971.20 + 8.C. 03 = $ 952.03)-5 + 20 a 5.00 45.71 y así sucesivamente.80 El valor en libros al principio de cualquier periodo es simplemente el precio al cual el bono debe ser comprado para que produzca el rendimiento deseado por el inversionista.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.83 + 8.00 9.00 9. 50 22. 06 ( 81 ) = 829. que produzcan un cierto rendimiento: a) b) Hallar el precio de compra en la última fecha que se pago intereses. es el 1º de Julio de 1962. 4 ½ %. 03 = $829. (81 días exactamente) al 6% de interés simple. Hallar el precio de compra P y el valor en libros del bono. Véase el problema 5 para la tabla de inversión de un bono comprado a premio. Un bono de $1000. Redimible a 105 el 1º de Enero de 1985. 50 7/1/62 9/20/622 1/1/68 7/1/68 44 P1 62p 22.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.4 PRECIO DEL BONO COMPRADO ENTRE FECHAS DE PAGO DE INTERESES Para hallar el precio de compra de un bono entre dos fechas de pago de intereses. 50 22. Ejemplo 6.53 360 . 10. Acumular la suma encontrada en (a) a intereses simple (aplicando la tasa de intereses del comprador) hasta la fecha de compra. 50 22.C. esperando un rendimiento de 6% convertible semestralmente.33 Esta cantidad se acumula del 1º de Julio de 1962 al 20 de Septiembre de 1962.0135) = $840.33(1.50 a45. 6. que proporcionaría un rendimiento de 6% convertible semestralmente es: P1 = 1050(1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS costumbre utilizar el término acumulando el descuento para llevar el valor en libros hasta el valor de redención.03)-45 + 22. 50 45 1/1/85 La fecha de pago de intereses inmediata anterior al 20 de Septiembre de 1962. EJ. A. se compra el 20 de Septiembre de 1962. El precio de compra en dicha fecha. Por tanto: P = P1 1 + 0. está obligado a participar del siguiente pago de intereses. No es el precio de compra. si compra un bono determinado a un precio dado y lo conserva hasta su redención.C. Será el precio de compra (mas conocido como precio neto) es el precio cotizado mas el interés redituable. Un bono de $1000. Por ejemplo. El comprador debe considerar que este interés redituable esta incluido en el proceso de compra. Del 1º .41 6.$10. El precio cotizado es lo que previamente se ha designado como valor en libros. En cierto sentido.5 EL PRECIO COTIZADO DE UN BONO En problema tratado anteriormente es hallar el precio que el comprador debe pagar por un bono dado. al 20 de Septiembre de 1962 es Precio de compra – interés redituable – 840. sin embargo el termino por ciento se omite.50. 81/180 (22. es conocida como interés redituable. Ejemplo 7. el precio cotizado generalmente no es el precio que paga el comprador. con el objeto que gane la tasa de interés deseada. Mas importante es el problema de determinar la tasa de interés que obtendrá el comprador. expresando como un porcentaje del valor nominal.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. A. MS se redimirá el 1º de Marzo de 1975. un bono de $1000 cuyo precio cotizado es $975 estaría cotizado a 97 ½ .50. Los bonos son generalmente ofrecidos al “precio contenido”. ya que no hay seguridad que un bono en particular pueda ser comprado al precio requerido. si ha sido cotizado a 95 8/4. Esta parte fraccionada del pago de interés.12 = $830. 3 ½ %. El precio cotizado es $957. Hallar el precio neto al 14 de Junio de 1962. MATEMÁTICAS FINANCIERAS El valor en libros del bono el 20 de Septiembre de 1962.50) .12. por lo que el valor en libros del bono. el problema es tanto académico. El vendedor del bono lo ha conservado por 81 días después del último pago de interés y por tanto.53 – 10. el pago de intereses es $17. 06/1175 = 0.21. La tasa por periodo de interés es 27.71. el interés redituable es 105/180 ( 17.21 = $967. esta cotizado en 125 al 1º de Enero de 1962. A. En sustitución daremos dos métodos para obtener aproximadamente la tasa de redituabilidad. La tasa de redituabilidad por periodo de intereses es aproximadamente igual a: Producto promedio por periodo Valor promedio en libros Ejemplo 8.06. 1250 = $1380 y el producto promedio por periodo es 1380/51 = $27. el producto total durante los 51 periodos de interés es 2630. aproximadamente y la tasa de .50) = $10. 6%. a) Método de promedios. esto es $2630. En la fecha de compra. Un bono de $1000. Dichas tablas son muy voluminosas para ser incluidas aquí.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.6 TASA DE REDITUABILIDAD Las instituciones de inversión utilizan tablas con las cuales puede ser obtenida la tasa de redituabilidad ya sea en forma directa o mediante interpolación. el precio cotizado también se conoce como precio con intereses. el valor en libros del bono es $1250 y en la fecha de redención será $1100. Puesto que paga $1250 por el bono. Redimible a 110 el 1º de Julio de 1987. El valor promedio en libros es: ½ (1250 + 1100) = $1175 Si se conserva el bono hasta su redención. Puesto que el comprador paga el precio cotizado más el interés redituable. MATEMÁTICAS FINANCIERAS de marzo de 1962 al 14 de Junio de 1962 son 105 días. El precio neto es 957. EJ. además del valor de redención de $1100.C. 6.40 + 10. Hallar por el método de promedios la tasa de redituabilidad suponiendo que es comprado en la fecha mencionada. el comprador recibirá 51 pagos de intereses de $30 cada uno.023. 2 0. b) Método de interpolación. MATEMÁTICAS FINANCIERAS redituabilidad es 4.028)-51 + 30 a 51 025 = $ 1171. Este método requiere del precio de compra del bono sobre la base de dos tasas de intereses.02)-51 + 30 a 51 02 = $1354. A.62 104.00285 y la tasa de redituabilidad es 4.00 -104.62 Interpolando entre estos dos valores. el problema es que debemos utilizar logaritmos en los cálculos. de interpolación la tasa de En el ejemplo 8 se obtuvo mediante una simple aproximación la tasa de 4.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. designadas por P = 1100(1.30 -182. Estrechando estos límites. Aproximar mediante el método redituabilidad del bono del ejemplo 8.68 i = 0. Las tablas V y XIII nos permiten hallar rápidamente los precios de compra que reditúen 4% y 5% convertible semestralmente al 1º de enero de 1962. en tal forma que un precio sea menor y otro mayor al precio cotizado dado.25 x 1354.02 + 0. .00285 182. tenemos: 0. correspondientes a las tablas mencionadas para bonos.C. obtendríamos mayor precisión.005 i 0. Ejemplo 9.30 Y Q = 1100(1.57% convertible semestralmente.30 1171. En el ejemplo 9 la interpolación ha estado entre las tasas de 2% y 2 ½ % disponible es nuestras tablas.6% convertible semestralmente.6% convertible semestralmente.005) = 0.68 1250. En esencia. estamos calculando las cifras que necesitamos.30 x= (0. 00023 = 0.68 0.00023 18.02) -51 y Q = 1100(1.0225 = $1258.3% por período de interés.0225 + 0.32 -18.7 BONOS CON FECHA OPCIONAL DE REDENCIÓN Con el objeto de estar en posición de tomar ventaja de cualquier futura baja en la tasa de interés.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.32 x= (0.0225)-51 + 30 1-(1. Al calcular el precio que se está dispuesto a pagar por ellos.028)-51 + 30 = 344.00 1240. A.028 1258.02273 y la tasa de redituabilidad es 4. Tenemos P = 1100(1. Aproximar la tasa de redituabilidad del bono del ejemplo 8 utilizando para la interpolación las tasas de 2 ¼ % y 2.93 + 895. Véase problema 9.64 + 904.26 Interpolando entre estos dos valores.0225)-51 = 353.023 = $1240.06 1250.005 i 0.0225 0. 6. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Ejemplo 10.005) = 0.32 8.C. tenemos 0.546% convertible semestralmente.33 0.26 x -8. el . en ocasiones las compañías emiten bonos previendo que pueden ser redimidos antes de la fecha normal de redención.06 i = 0.32 1-(1. 74 .02 = $ 159.39 180 El valor en libros al 12 de mayo de 1962 es 1192. que reditúe por lo menos 4% convertible semestralmente. 6%. El inversionista debe calcular el precio con la suposición de que el bono será redimido en la fecha más próxima (1º de septiembre de 1973) ya que de otra forma el valor en libros sería mayor que el valor de redención. será redimido a la par el 1º de septiembre de 1988. MATEMÁTICAS FINANCIERAS inversionista debe suponer la fecha de redención más desfavorable para él. sin embargo. En cada fecha posterior de pago de intereses.93 Y al 12 de mayo de 1962 es P = P1 1 + 0. 02 ( 72 ) = 1182. si el bono se redimiera en dicha fecha. El valor en libros del bono se reduce gradualmente hasta que alcanza el valor nominal en la fecha de redención (véase el problema 5). el precio de compra que reditúa 4% convertible semestralmente es P1 = 1000(1. De esta forma tendrá la certeza de obtener la redituabilidad deseada y quizá más. Hallar. Al 1º de septiembre de 1980. Un bono de $1000. a) Al 1º de marzo de 1962. (a) el precio de compra y el valor en libros al 12 de mayo de 1962. el monto de dichos excesos es 10 s 14 0. Ejemplo 11.008) = $1192.02 = $ 1182.39 b) El valor en libros al 1º de septiembre de 1973 debe haber llegado a $1000.02)-23 + 30 a 23 . puede ser redimido a la par el 1º de septiembre de 1973 o en cualquier fecha de pago de intereses posterior. (b) la utilidad del inversionista.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. En este caso la tasa estipulada en el bono excede la tasa de redituabilidad deseada por lo que el bono será comprado a premio.39 – 30(2/5) = $ 1180. MS.93 (1. (c) la tasa de redituabilidad si el bono es redimido el 1º de septiembre de 1980.C. el inversionista recibirá 30-20 = $10 en exceso de la recuperación esperada. A. 6. con intereses al 6% .78 i = 0. MATEMÁTICAS FINANCIERAS c) Tomando como fecha de redención el 1º de septiembre de 1980.00279 = 0.99 – 30(2/5) = $ 1118.99 -77. es un contrato para el pago de una anualidad cuyo valor presente a la tasa del bono es F.25 ] 1 + 0.02 + 0.8 UN BONO DE ANUALIDAD de valor nominal F.02 0.77 -138.005) = 0. Véase el problema 10.02)-37 + 30 a 37 .38 x= (0.01) = $ 1130.88 77. Ejemplo 12.00279 138.0.000.77 los valores en libros respectivos serían Q1 = 1130.77 Por lo cual 0.79(1. A.39 1118.005 x i 0.02 ( 72 ) 180 = 1259.78 1180.25 1257. Un bono de anualidad a 15 años por $20.558% convertible semestralmente.02 ] 1 + 0.025)-37 + 30 a 37 .02279 y la tasa de redituabilidad requerida es 4.77 – 30(2/5) = $ 1257.C.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.025 ( 72 ) 180 = 1119.99 y para que reditúe 4% convertible semestralmente sería P1 = [1000(1.99 Y Q1 = 1269. el precio de compra del bono que reditúa 5% convertible semestralmente es P1 = [1000(1.008) = $ 1269.69(1. 0. Una emisión seriada de bonos de $20.883. y otro con valor nominal de $10.25 = $ 21. A.000.025)-30 + 300 a 30 .9 EMISIÓN SERIADA DE BONOS Cuando una emisión de bonos va a ser redimida periódicamente en lugar de todos en la misma fecha. para ganar el 5% convertible semestralmente.907. el primero de los cuales vence en 6 meses.39 a 20 .25 = $ 15.000(1. Por lo tanto el precio que redituará 5% convertible semestralmente es P = 1020. Los bonos seriados son equivalentes a tres bonos ordinarios.025)-20 + 150 a 24 . Hallar el precio de compra al término del 5º año.39 .025 + 10.0. MATEMÁTICAS FINANCIERAS convertible semestralmente será liquidado en 30 pagos semestrales iguales.C.38 .0. uno con valor nominal de $5000 redimible a la par en 10 años. Puede pensarse Ejemplo 13. El pago periódico es 20. el primero con vencimiento en 6 meses.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.03 El comprador está comprando el derecho de cobrar los restantes 20 pagos.025) –24 + 150 a 30 .25 + 5000(1.00 con intereses al 6% convertible semestralmente va a ser redimida mediante pagos de $5000 en 15 años.000 1 a 30 = $ 1020.02 6. por lo cual P = 5000(1. otro con valor nominal de $5000 redimible a la par en 12 años. se dice que los bonos son de emisión seriada.000 redimible a la par en 15 años. Hallar el precio de compra de la emisión que reditúe 5% convertible semestralmente. El precio de compra requerido es la suma de los precios de los tres bonos que reditúen el 5% convertible semestralmente. Fr (1 + i)-n i i -n P = V(1 + i) + Fr a n i y (b) P= V + ( Fr – Vi) a n = V(1 + i)-n + Fr 1 – (1 + i)-n = V(1 + I)-N + i = Fr + (V . Sea F el valor nominal y V el valor de redención de un bono. MS. 6%.C. es comprado el 1º de julio de 1961. redimible a 102 al 1º de septiembre de 1990. Sea r la tasa de interés por período. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 6. 25 0 3/62 25 25 1 9/62 2 25 3 100 25 56 57 3/90 9/90 P = 1020(1.02 = $ 1147. P es: (a) P = Fr + V . A.025)-54 + 30 a 54 . i la tasa de inversionista por período y n el número de períodos de interés. Hallar el precio de compra P.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.02 = $ 1175.61 Periodos de interés 3. para ganar el 5% convertible semestralmente.10 PROBLEMAS RESUELTOS 1. un bono de $1000.02)-57 + 25 a 57 . del bono.Fr ) (1 + i)-n i i a) P = V(1 + i)-n + Fr a n i Fr i i Fr (1 + i)-n i . redimible a la par el 1º de julio de 1998.28 30 100 30 53 54 Periodos de interés 2. para ganar el 4% convertible semestralmente. Un bono de $1000. EJ. 0 30 30 30 1 2 3 30 P = 1000(1. es comprado el 1º de marzo de 1962. 5%. Demostrar que el precio de compra. Hallar el precio de compra P. el interés vencido sobre dicho valor en libros. La diferencia 25 – 21.37243) = $ 830. Periodo Valor en libros al principio del periodo 1 1058.02)-7 + 25 a 7 .48 El valor en libros en la fecha de la compra es $1058. y (b) la fórmula 3).00 Cambio del valor en libros 3.C. es redimible a 105 el 1º de febrero de 1985. 3 ½%.35 b) P = V + (Fr – Vi) a n i = 1050 + (17. A. (a) la fórmula 2). redimible a 103 el 9 de agosto de 1970.025 a) (1. P = Fr + V .Fr (1 + i)-n i i = 1000(0.83 .025 5.025)-40 = 700 + 350(0.17 Pago de intereses del bono 25.48 Intereses vencidos sobre el valor en libros 21.48 – 3.83 es para amortizar el capital. que reditúe 5% convertible semestralmente.02 = $ 1058. Tenemos que P = 1030(1.17 = $3.83 = $1054. FA.50 – 26.48(0. y así sucesivamente.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. FA.17 mientras que el pago de interese del bono es por $25. Un bono de $1000. al principio del segundo período. en consecuencia. el valor en libros del bono se reduce a 1058. para que reditúe 4% convertible semestralmente.0175 ) 0. comprado el 1º de febrero de 1967.25) a 40 .0175) + 1050 – 1000(0. al término del primer período. Hallar el precio de compra el 1º de febrero de 1965. MATEMÁTICAS FINANCIERAS = V – V + V(1 + I)-n + Fr a n i = V – V[1-(1+I)-n] + Fr a n = V – Vi 1 – (1+i)-n + Fr a n i = V + (Fr – Vi) a n i i 4. Construir una tabla de inversión para un bono de $1000.48. 5%. utilizando. a la tasa del inversionista es 1058.025 0.64.02) = $ 21. 44 – 13.65 1050.77 20.025 = $835.75 1042.15 4. que reditúa 5% convertible semestralmente es 1000(1025)-70 + 20 a 70 . 6.91 3.00 25.69 25. A. 4%. JD.05 ( 120 ) = $ 849. la fecha del último pago de interés anterior al día de la compra.51 1 + 0.54 1034. Un bono de $1000.33 = $ 836.99 4.51 Al 31 de marzo de 1961 (120 días después) el período de compra es 835.00 25.09 21.025)-70 + 20 a 70 .74 1046.51 .$13. Hallar el precio de compra y el valor en libros en dicha fecha. el precio de compra que reditúa 5% convertible semestralmente es 1000 (1.00 25. es comprado el 31 de marzo de 1961 para que reditúe el 5% convertible semestralmente. es costumbre hablar de amortizar el capital para llevar el valor en libros al valor de redención.00 25.94 20. redimible el 1º de diciembre de 1995 a la par.025 = $ 835.00 21.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.31 Como el bono fue comprado a premio.23 4. Al 1º de diciembre de 1960.31 1030.06 4.33 y el valor en libros requerido es 849. 2 3 4 5 6 7 8 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1054.85 20.00 3.01 20.69 1038.00 25.11 Solución alterna: El valor en libros del bono al 1º de diciembre de 1960.C.44 360 El interés redituable (del 1º de diciembre de 1960 al 31 de marzo de 1961) es 20(120/180) . el día de la compra y el interés vencido y el pago de intereses del bono son por 2/3 de período de interés. que reditúa 4% convertible semestralmente es P = 1000(1.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.82 – 30 ( 60 ) = 1061.025 = $ 836. .10 + 13.02)-r + 80 a 7 . MATEMÁTICAS FINANCIERAS y en la fecha del siguiente pago de interese. para que reditúe 4% convertible semestralmente.10 por lo cual el precio de compra es 836. Un bono de $ 1000.82 180 La tabla se construye como en el problema 4 excepto en el primer renglón donde el valor en libros es el del 30 de junio de 1962.40 interpolando entre las dos cantidades. El precio de compra al 1º de mayo de 1962.72 1 + 0. 1º de junio de 1961 es 1000(1.025)-80 + 20 a 70 .82 mientras que el valor en libros es 1071.C.40 – 835. Es comparado el 30 de junio de 1962. encontramos el valor en libros al 31 de marzo de 1961. Construir una tabla de inversión. Hallar el precio de compra y el valor en libros en la fecha de compra.43 7.51) = $ 836.72 El precio de compra al 30 de junio de 1962 es 1064.51 + 2/8 (836. 6%. o sea 835.MN.02 ( 60 ) 180 = $ 1071. es redimible a la par el 1º de noviembre de 1965.02 = $1064. A.33 = $ 849. 03 Por lo cual la tasa buscada está entre 3 y 3 ½ % convertible semestralmente.38 1009.80 1019. El precio con interés estaría cotizado como 106 1/8 ya que.00 30. es comprado en $ 952.82.88 9.50 el 1º de julio de 1963.00 30.0175 = $ 945.0175)-28 + 15 a 28 .97 952.77 MATEMÁTICAS FINANCIERAS Intereses vencidos sobre el valor en libros 14.00 30.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.82. En el bono del problema 7. Tenemos que: 0.C.175 x 1000. redimible a la par el 1º de julio de 1977. sobre la base de un rendimiento de 4% convertible semestralmente.42 9. 3%.00 30.04 1028.50 945.82 1055. Hallar la tasa de redituabilidad convertible semestralmente. el precio cotizado siempre se da en octavos.76 20.20 Pago de intereses del bono 20.00 Cambio del valor en libros 5.98 1047. la tasa buscada será mayor.015 i 0.84 8.16 21. El precio con intereses es el valor en libros de $1061.50 .00 -54.24 9.06 9. Puesto que al 1º de julio de 1963. cuál es el precio neto y el precio con intereses al 30 de junio de 1962.80 8. en la práctica.0025 0.12 20.00 30. EJ.39 20.94 20.61 9.03 -47.58 20. El precio neto es el precio de compra de $1071.10 1038. Un bono de $1000.00 30. 9. Periodo Valor en libros al principio del periodo 1 2 3 4 5 6 7 1061. El precio que reditúa 3 ½% convertible semestralmente es 100(1. el precio de compra que reditúa 3% convertible semestral es $1000. A. 3%.02)-54 + 15 a 54 . MATEMÁTICAS FINANCIERAS de donde x = 47. es redimible a la par el 1º de julio de 1990.09 Puesto que el inversionista recibirá $1000 en dicha fecha.C.50 (0.015 + 0.91. Por tanto el inversionista debe calcular el precio con la suposición que el bono será redimido en la última fecha posible. 6.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. A. el bono debe ser comprado con descuento.00216 54. Un bono de $1000. pero puede ser redimido el 1º de julio de 1980 o en cualquier fecha posterior de pago de intereses.11 PROBLEMAS PROPUESTOS .02 = $ 835. (b) Hallar la utilidad del inversionista si el bono es redimido el 1º de julio de 1985 Para que la tasa de redituabilidad requerida es superior a la tasa del bono. EJ.80 b) Al 1º de julio de 1985. esto es 1000(1. a) El 1º de julio de 1963.025) = 0. (a) Hallar el precio de compra al 1º de julio de 1963 que reditúe por lo menos 4% convertible semestralmente.97 i = 0. su utilidad es 1000 – 955. el precio de compra que reditúa 4% convertible semestralmente es 1000(1. el valor en libros del bono se habrá incrementado hasta el valor en libros en esa fecha sobre la base de redituabilidad del 4% convertible semestralmente.432 % convertible semestralmente.02 = $ 955.02)-10 + 15 a 10 .09 = $ 44. En esta forma.01716 y la tasa de redituabilidad es 3. el valor en libros aumenta gradualmente hasta que alcanza el valor nominal en la fecha de redención (véase el ejemplo 5).00216 = 0. 10. (b) $447.67.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. (a) $854.47.71. (f) $ 513. hallar la tasa de redituabilidad . hallar el precio “con intereses” el día de la compra.71. (c) $122. Para cada uno de los bonos del problema 13. 1986 La par el 1º de nov.52.56. (a) $742. (c) $1209. (b) $868. (b) $888. A. MATEMÁTICAS FINANCIERAS En cada uno de los casos siguientes.77.72. 1962 18 abril 1960 30 dic. En cada uno de los casos siguientes.C.97. (d) $598. hallar el precio del bono que reditúe la tasa deseada: Valor nominal (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) $ 1000 $ 500 $1000 $ 100 $1000 $ 500 $1000 $ 500 Redimible La par en 25 años La par en 15 años 105 en 10 años 110 en 20 años La par en 5 años La par en 3 años 102 en 2 ½ años 105 en 2 ½ años Pago de intereses 4 % semestral 4% semestral 5% trimestral 4% semestral 5% anual 6% semestral 3% semestral 4% semestral Redituabilidad 6% semestral 5% semestral 3% trimestral 3% semestral 4% anual 5% semestral 6% semestral 5% semestral Resp. 1963 QUE REDITÚE 5% semestral 6% semestral 3½% semestral 4% semestral Resp. En cada uno de los casos siguientes. 11.55 14. (e) 4 1044.30 15.32. 1995 PAGO DE INTERESES 4% JD 5% MN 5% EJ 5% AO FECHA DE COMPRA 30 de agosto 1960 22 sept. hallar el precio de compra del bono que reditúe la tasa dada: VALOR NOMINAL a) $1000 b) $1000 c) $ 100 d) $ 500 REDIMIBLE A La par el 1º de dic. Construir una tabla de inversión para cada uno de los bonos del problema 11 (e) – (h). (a) $864. Resp. (d) $592.48 12.97.01.1988 105 el 1º julio 1975 102 el 1º oct.51. (d) $ 120. (g) $ 948. (c) $120. 13. (h) $ 510. 615%. (a) Hallar el precio de compra el 1º de enero de 1961. a 15 años con intereses al 6% anual. (b) $39. 5. EJ. 4%.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. (a) $900. (b) Si el bono es redimido el 1º de julio de 1970. (b) Si el bono es redimido el 1º de julio de 1970. (b) $26. ¿cuál es la utilidad del inversionista y qué tasa convertible semestralmente redituará el bono? Resp. ¿cuál es la utilidad del inversionista y qué tasa convertible semestralmente redituará el bono? Resp. EJ. para que reditúe 4 ½ %. (a) Hallar el precio de compra el 1º de enero de 1961.493%. que reditúe por lo menos 5% convertible semestralmente. comprado al término del 8º año. pero puede ser redimido el 1º de enero de 1968 o en cualquier fecha posterior de pago de intereses. MATEMÁTICAS FINANCIERAS convertible semestralmente.68 .54.02. (d) 5. $ 3033.365% 17. es redimible a la par el 1º de enero de 1975. (b) 3. mediante interpolación: VALOR NOMINAL a) $1000 b) $1000 c) $1000 d) $1000 REDIMIBLE A PAGO DE INTERESES La par el 1º enero 1988 3½% EJ La par el 1º marzo 1987 3 5 MS 105 el 1º agosto 1990 5% FA 103 el 1º dic.922%. (a) $1060. Un bono de $1000. (a) 3.C.230% 16. Un bono de $1000.228% 18. (c) 4. es redimible a la par el 1º de enero de 1975. 5%. 1989 6% JD PRECIO COTIZADO 93 90 110 112 FECHA 1º de julio 1960 1º marzo 1962 1º febrero 1962 1º julio 1963 Resp. Hallar el precio de compra de un bono de anualidad de $5000. pero puede ser redimido el 1º de enero de 1968 o en cualquier fecha posterior de pago de intereses. 4. que reditúe por lo menos 4% convertible semestralmente. Resp.18.85. A. C. Sugerencia K = 5000 a 10 . Hallar el precio de compra utilizando la fórmula de Makeham. con intereses al 4% convertible semestralmente.015 y g = 0. es comparada para que reditúe 3% convertible semestralmente.81 20.296. Una emisión de $50.02 Resp. a 10 años con intereses al 4% convertible semestralmente. que le redituará 4%. Hallar el precio pagado por un banco el día de la emisión. $51. A.000 al término de 5 y 10 años. 22. con vencimientos de $500 cada 6 meses por los próximos 5 años. Una compañía emite $300.000.36 . comprado al término de tres años para que reditúe 5% convertible semestralmente.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO.844. Sustituir V(1 +i)-n = K y Fr = gV Makeham en 1) para obtener la fórmula de P = K + g ( V – K) i Utilizar la fórmula para resolver el problema 11. MATEMÁTICAS FINANCIERAS Hallar el precio de compra de un bono de anualidad de $10. Resp. $318. Resp. 19.000 en bonos seriados.000 en bonos al 5% y acuerda redimirlos mediante pagos de $150. $7149.07 21. Porrúa. Matemáticas Financieras. PORTUS-GOVINDEN-LINCOYAN. Mc-Graw-Hill. Mc-Graw-Hill. MATEMÁTICAS FINANCIERAS . 1986. 1991. Matemáticas Financieras. Matemáticas Financieras. BIBLIOGRAFÍA. 1994. Matemáticas Financieras.FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO. A. 1990. DE LA CUEVA. FRANK AYRES JR. Trillas. DÍAZ MATA ALFREDO.C. B.