www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com CAPITULO 1 Introducci´n a la Teor´ de N´ meros o ıa u La Teor´ de N´meros, al menos originalmente, es la rama de la matem´tica ıa u a que estudia las propiedades de los n´meros naturales 1, 2, 3, . . . . A poco andar uno u descubre que este estudio no se confina a dicho conjunto de n´meros, ni siquiera al u conjunto de los n´meros enteros . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . . , sino que muchas veces u se debe recurrir a otros conjuntos de n´meros, algebraicos, reales, complejos, etc. u para resolver asuntos relacionados con los numeros naturales (y viceversa). Algunos problemas cl´sicos de la Teor´ de N´meros como el llamado ultimo a ıa u ´ teorema de Fermat o el de la distribuci´n de los n´meros primos, (ver m´s adelante) o u a han dado origen a grandes desarrollos de la matem´tica. Por ejemplo, al primero de a estos se debe gran parte del desarrollo de los cuerpos ciclot´micos, al segundo todo o el desarrollo de la funci´n zeta de Riemann. Es as´ que en la Teor´ de N´meros o ı ıa u moderna se emplean sofisticadas te´nicas de an´lisis matem´tico y de teor´ de c a a ıa probabilidades. Estudiaremos aqu´ tan s´lo los rudimentos de esta disciplina y ı o haremos algunos alcances acerca de su relaci´n con la llamada ´lgebra abstracta. o a 1. Los N´ meros Naturales y los N´ meros Enteros u u Comenzaremos nuestro estudio suponiendo que el lector est´ familiarizado con a los conjuntos Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . . } y N = {1, 2, 3, . . . }, de los n´meros enteros y de los n´meros naturales (o enteros positivos), respecu u tivamente. En particular supondremos conocimiento de las operaciones de suma y multiplicaci´n as´ como de la estructura de orden sobre estos conjuntos, por lo o ı tanto, no daremos una definici´n axiom´tica de ellas. o a La propiedad m´s importante de los n´meros naturales es el siguiente principio: a u 5 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com PRINCIPIO DE BUEN ORDEN Todo conjunto no vac´ de n´meros naturales tiene un menor ıo u elemento. Decimos que N es un conjunto Bien Ordenado. Intuitivamente, este sencillo principio nos dice que siempre puedo encontrar el m´s peque˜o n´mero natural a n u tal que ......, donde la l´ ınea de puntos puede ser llenada por cualquier propiedad (siempre que exista al menos un n´mero natural que verifique dicha propiedad). u Como consecuencia de esto, por ejemplo, podemos probar que todo n´mero natural u n tiene un (´nico) sucesor, o sea, el n´mero que le sigue en el orden natural. (Esto u u ya lo sabemos: el sucesor de n es n + 1). Para demostrarlo, basta considerar el conjunto no vac´ de los n´meros naturales estrictamente mayores que n y aplicar ıo u el Principio de Buen Orden. El menor elemento de ese conjunto es el sucesor de n. Cabe hacer notar que este menor elemento de un conjunto no vac´ A cuya ıo existencia garantiza el Principio es unico ya que si hubiera dos, digamos a y b, ´ entonces a ≤ b, ya que a es el menor elemento de A y b ∈ A. Similarmente, b ≤ a, por lo tanto a = b. Tampoco est de m´s recalcar que, a diferencia del infimo de un a conjunto, que puede no pertenecer a ´l, el menor elemento de A pertenece a A. e Obs´rvese que Z no verifica el Principio de Buen Orden: Z mismo (o los enteros e menores que 8, o los enteros negativos, etc.) es un subconjunto no vac´ de Z que ıo no tiene un menor elemento. La propiedad de ser un conjunto bien ordenado no es exclusiva de los conjuntos de n´meros enteros. Dado cualquier conjunto linealmente u ordenado uno puede preguntarse si es bien ordenado o no. Ver ejercicios. La segunda propiedad importante de los n´meros naturales es: u PRINCIPIO DE INDUCCION Sea P un conjunto de n´meros naturales tal que: u i. 1 ∈ P , ii. si k ∈ P entonces k + 1 ∈ P . Entonces P = N. Intuitivamente, el Principio de Inducci´n corresponde al “Principio de Domin´”: o o si cae el primero, cae el que le sigue y el que le sigue y el que le sigue..., por lo tanto caen todos. 6 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com “a”. (2) Si a | b y a | c. entonces a | mb + nc. Teorema 1. o ´ Demostracion. u ordenados en la forma habitual. entonces a = ±b. para cualquier par de enteros m. 1 ∈ P . Ejercicio. Sea A el conjunto de los n´meros que no o o u pertenecen a P .librospdf1. e u Denotamos este hecho por a | b. entonces a | c. el de Inducci´n y el de buen orden.com www. (4) Si a | b y b | a. El Principio de Inducci´n implica el Principio de Buen Orden. Divisibilidad ´ Definicion 1. |a| ≥ 1. Pero entonces.2. Sean a y b dos enteros con a = b. o Un resultado interesante es que los dos principios anteriores son equivalentes. (1) Sea R+ el conjunto de los n´meros reales positivos Ejercicios 1.com www.com Supondremos que el lector est´ familiarizado con este principio y sus aplicaa ciones. es conveniente saber que ambos principios.miacademia1.1.1. o ´ Demostracion.librospdf1.1. lo que es una contradicci´n. 7 www. A tiene un menor elemento ıo. luego a = 0 y m = 0.2. El Principio de Buen Orden implica el Principio de Inducci´n. Esta contradicci´n proviene de o o suponer que A es no vac´ Luego todos los enteros positivos pertenecen a P . o o a = (a − 1) + 1 ∈ P . Aunque no lo usaremos mayormente en estas notas.www. (3) b = ma = 0. el predecesor o a. a no puede ser 1 ya que por hip´tesis. Tambi´n decimos que b es un m´ltiplo de a. entonces 0 < |a| ≤ |b|.miacademia1. ´ Demostracion.com www.GRATIS2.blogspot. Teorema 1.GRATIS2. Supongamos que A es no vac´ En virtud del Principio de Buen Orden. Decimos que a divide a b si existe un entero n tal que na = b. (4) Demuestre el teorema 1. n. |m| ≥ 1 y |b| = |ma| = |m||a| ≥ 1 |a| ≥ 1 > 0.com www.blogspot. (Nos basta pues demostrar que A es vac´ ıo). Sea P un conjunto de n´meros naturales que verifica las u hip´tesis del Principio de Inducci´n.blogspot. son equivalentes. Analogamente tenemos: Teorema 1. 2. entonces: (1) Si a | b y b | c.com . ıo. ¿Es este un buen orden? (2) Sea A = {n2 : n ∈ Z}. (3) Si a | b y b = 0. es un entero positivo que pertenece a P porque a es el m´s peque˜o que no a n pertenece a P . Si a no divide a b escribiremos a b. por la segunda parte de la hip´tesis de inducci´n. Si a. con el orden natural. Por lo tanto.blogspot. b y c son enteros. ¿Es este un buen orden? (3) Demuestre que no puede existir una cadena descendente infinita de enteros positivos.3. Luego a − 1. b)).miacademia1. luego r − b ∈ A y 0 ≤ r − b < r. Quiere decir que existe un entero q tal que r = a − bq.com www.blogspot. a2 . Entonces existen dos enteros q y r tales que a = bq+r y 0 ≤ r < |b|. El teorema m´s importante sobre divisibilidad es: a Teorema 1. Luego r = r . El Algoritmo de la Divisi´n. Llam´moslo e r. Por Teorema 1. El m´ximo com´n a u divisor de a y b se denota (a.. luego b(q − q ) = r − r. Entonces bq − bq + r − r = 0 . Si b = 0. (1) Un entero positivo p = 1 se dice primo si sus unicos divisores son ±1 y ´ ±p. .GRATIS2. Obs´rvese que 0 ∈ A ya que ıo e / a no es un m´ltiplo de b.blogspot. o sea. entonces a = nb = n0 = 0. o Sean a y b dos enteros. o Finalmente. como a | b. i.blogspot. . a2 . .4. por (3).com www. supongamos que existen q y r tales que a = bq + r y 0 ≤ r < b.3(3). contradiciendo la minimalidad de r. A = {a − bn : n ∈ Z y a − bn ≥ 0}. Por lo tanto u 0 ≤ r < b. El mayor entero que divide tanto a a u a como a b se llama el m´ximo com´n divisor de a y b. Supongamos que r ≥ b. Entonces r − b = a − bq − b = a − b(q + 1) ≥ 0. 8 www. Pero esto es imposible ya que −b < r − r < b. o sea. u Por el principio de Buen Orden. (2) Sean a.librospdf1. ´ ´ Demostracion.(a. si r = r . A es un conjunto no vac´ de enteros positivos. a u A priori no es obvio que el m´ximo com´n divisor de dos n´meros deba existir.com www. A debe tener un menor elemento. Si a es un m´ltiplo de b. 0 < |b| ≤ |a|.5. an ) el m´ximo com´n divisor de a1 . Luego |a| = |b| y a = ±b.miacademia1.com www. luego a = ±b. an . 0 < |a| ≤ |b|.GRATIS2.com . . a = bq + r.D. u (3) Dos enteros se dicen primos relativos si su m´ximo com´n divisor es 1. como el mayor entero que divide a todos esos n´meros. b | (r − r).com (4) Si b = 0. Pero entonces b(q − q ) = 0 y b = 0. tenemos a + |a|b ≥ 0. |r − r| ≥ |b| = b > 0. a u Similarmente definimos (a1 . Dados dos enteros a y b. Consideremos el conjunto Como a ≥ −|a| ≥ −|a|b. a = bq + 0 y el teorema se cumple. su m´ximo com´n divisor (a. u u luego podemos suponer que a no es un m´ltiplo de b. . o Teorema 1.librospdf1. b) es el a u menor entero positivo que se puede escribir como suma de multiplos de a y de b.blogspot.e. Analogamente. luego a − (−|a|)b ≥ 0. ´ Definicion 1. Los enteros q y r son unicos.2. b dos enteros no ambos nulos. .C. . luego q = q . (r = 0 si y s´lo si a es un m´ltiplo de b). b > 0. . a u u sin embargo esto es consecuencia inmediata del pr´ximo teorema.www. para probar la unicidad de q y r. b) (o bien M. sea s ≥ 1 otro divisor com´n. . . . a d r = a − qd = a − q(ma + nb) = (1 − mq)a − nqb. A tiene un menor elemento. . . Si a1 . . . an−1 ) y de an . . . an−1 ). . entonces ( a . Si d = (a. . Si (a.librospdf1. u u Por el Teorema 1. y como 1 = ma+nb. .com www. (2) El m´ximo com´n divisor de a1 .blogspot. .com www. . . .com . entonces s | (a1 . entonces a | c. Debemos verificar que ´ste es el m´ximo com´n divisor de a y b. . . .blogspot.blogspot. al que llamaremos d. entonces (a1 . d b mente primos. an ) | d. e a u Por el algoritmo de la divisi´n. d | an .miacademia1. an ). . an−1 ) y tambi´n d | an . o e d | a2 . El m´ximo com´n divisor de a1 . . . (I. u u ´ Observacion 1. b) = 1 y a | bc. b Corolario 1.3(4). ´ Demostracion. . y b d son relativa- ´ Demostracion.com www. an ) = ((a1 . .librospdf1. an ) es divisor com´n de (a1 . an−1 ). . . a2 . . con 0 ≤ r < d. . an es el menor entero a u positivo que puede escribirse como suma de m´ltiplos de los n´meros a1 . Entonces. an−1 ). . . d | a1 . . Por lo tanto r = 0 y d | a. . a u s | a2 . e Como d ∈ A. . s | d. ¡ Obs´rvese que ( a y d ) son enteros!). .GRATIS2. an ).6. n ∈ Z y ma + nb > 0}. Como ambos son positivos. a2 . an son enteros. d ) = 1.com www. . en particular. . a2 .miacademia1. . por lo tanto d es un divisor com´n a u de a y de b. an−1 ). a = qd + r . n ∈ Z. s | an . a2 . . an ). s | ma + nb. an . para cualquier m. o Si r > 0. a2 . . luego 0 < s ≤ d. An´logamente podemos demostrar que d | b. n ∈ Z tales que 1 = ma + nb. o (1) a y b son relativamente primos si y s´lo si existen m. . . u A la inversa. Corolario 1. . . 9 www. a2 . Si a | bc. . . lo que contradice la minimalidad de d. e d Corolario 1.8. . son iguales. por 1. . ((a1 . a2 . luego ((a1 . A no es vac´ ya que 0 < |a| = ±1a + 0b ∈ A.7. . a2 . existen m. n enteros tales que d = ma + nb. Por la observaci´n anterior. . an ). Sea d = (a1 . por lo tanto d | ((a1 .1.e. . Por el Principio de Buen ıo Orden.www. . . Si s | a1 . an .3(2). . a2 . .GRATIS2. . Obs´rvese que d > 0. . a2 . a2 . . entonces r ∈ A. Consideremos el conjunto A = {ma + nb : m. Para verificar que d es el mayor divisor com´n. u multiplicando ambos miembros por c. . a2 . b). a2 . . Corolario 1. . pero r < d.9. a2 . luego d | (a1 .blogspot. an divide a a1 . entonces bc = ak para alg´n k. .com ´ Demostracion. . c = mac + nbc = mac + nak = a(mc + nk). . . por el u algoritmo de la divisi´n. Si r > 0. r). (a. Existe un m´todo para calcular el m´ximo com´n divisor de dos n´meros. (a. entonces existen q2 y r2 tales que r = r1 q2 + r2 y 0 ≤ r2 < r1 . b) = |b| y hemos terminado. entonces b | a. con 0 ≤ r < |b|. el resto obtenido es estrictamente menor que el de la aplicaci´n o o precedente.com www.miacademia1. b) = r y nuevamente hemos terminado. entonces existen q1 y r1 tales que b = rq1 + r1 . entonces (a. Entonces. aplicamos el a u a u Teorema 1. r2 ) = · · · = (rn−2 . b = 0.blogspot. nos detenemos y si no. b) = ma + nb = m(bq + r) + nb = (mq + n)b + mr. b) = (r. ıa rn−1 | rn−2 en cuyo caso (rn−2 . r). rn−1 ) = rn−1 . b). el m´ximo com´n divisor de a y de b es el resto inmediatamente a u anterior al resto que se anula. con 0 ≤ r1 < r. Si p es un n´mero primo.blogspot. El Algoritmo de Euclides. Vale decir. tal e a u u m´todo se denomina el Algoritmo de Euclides. tiene que existir un n tal que rn = 0. habr´ una cadena descendente infinita. luego por el teorema 1. Si r1 > 0. tenemos r > r1 > r2 > · · · > rn > · · · ≥ 0. Este proceso se puede continuar indefinidamente de tal manera que en cada paso.blogspot. b) es una suma de m´ltiplos de b y de r. existen q y r tales que a = bq + r. (a. Si a = bq + r y b = 0.5. b) | (b. Es importante notar que en cada aplicaci´n del algoritmo o a o de la divisi´n. entonces (b.librospdf1. o Si r = 0. a u 454 136 46 44 = = = = 136 · 3 + 46 46 · 2 + 44 44 · 1 + 2 2 · 22 + 0 Es decir. r1 ) = (r1 . (a. (a.7 y el algoritmo de Euclides. p | bc y p b.com www. 2.com . rn−1 ) = rn−1 y aplicando el Corolario 1. r) | (a.com www. aplicamos el algoritmo de la divisi´n una vez m´s. Por el Principio de Buen Orden (ver Ejercicios). 10 www.11.com www. Ejemplo: Calculemos el m´ximo com´n divisor de 454 y 136.com Corolario 1. entonces p | c. Corolario 1.librospdf1.www.GRATIS2. ya que si no. si obtenemos un resto cero.blogspot. e Sean a y b dos n´meros no ambos nulos.miacademia1. r) = r y por el Corolario 1.10.GRATIS2. Vale decir. digamos.11. (a. b) = (b. a u Para calcular el m´ximo com´n divisor de tres o m´s n´meros. es decir. el m´ximo com´n divisor de 454 y 136 es 2. u De una manera similar demostramos que (b.11 varias veces. u ´ Demostracion. Pero entonces. Si r1 = 0.1. |ab| k|a| = |b| = ±b.b) .com .com www.3. e u Todo n´mero entero mayor que 1 o bien es un n´mero primo o bien se puede u factorizar como producto de n´meros primos. luego m | (a. b) Como en el caso del m´ximo com´n divisor. o sea. b].GRATIS2. luego a | r = m − [a. luego m m y |ab| ≤ d. en virtud del Principio de Buen Orden. b]. ıa u Teorema 1. b) ´ Demostracion.com www.(a. [a. b]. u Teorema 1.miacademia1. m = ka. (a.blogspot. 11 www. b] | m.www. b] = |ab| . es e o ´ la piedra angular de toda la teor´ de n´meros.12. b]q + r. entonces [a.librospdf1.blogspot.c. Si a y b son enteros no nulos. u u ´ Demostracion. r es un m´ltiplo com´n de a y de b y 0 ≤ r < [a. M´s a´n.GRATIS2. Sean d = (a. Por lo tanto u u r = 0 y [a. u u Similarmente. Teorema 1. con 0 ≤ r < o [a. m Ahora bien. El Teorema Fundamental de la Aritm´tica. m Analogamente. b] | m. b] (o bien u a por m. Si r > 0.blogspot. Pero a | m y a | [a. m m |ab| | b.13. |ab| es divisor comun de a y de b. d d d |ab| u o sea |ab| es un m´ltiplo de a y de b. m = [a. El m´nimo com´n m´ltiplo de dos enteros no nulos a y b es el ı u u menor entero positivo que es m´ltiplo de a y de b. el m´ a u ınimo com´n m´ltiplo de dos u u n´meros siempre existe. d Por otra parte. luego m | |ab| y. b) y m = [a. m d |ab| m |d El siguiente teorema conocido tambi´n como teorema de factorizaci´n unica.librospdf1. Es decir. u u |ab| es un entero.miacademia1. Si m es un m´ltiplo com´n de a y de b. en particular. tal factorizaci´n es unica u a u o ´ salvo por el orden de los factores.com ´ Definicion 1. r ser´ el m´ ıa ınimo com´n m´ltiplo de a y de b y no lo es.com www. Por el algoritmo de la divisi´n.com www. Se le denotar´ por [a. En este caso.14. |ab| | a. Por lo tanto |ab| = m. b]q.m. b | r. |ab| es un m´ltiplo com´n de a y b. Entonces |ab| |a| |b| = |b| = |a| .blogspot. b]. luego k o sea. . 1 ≤ j ≤ s.GRATIS2. Supongamos que existe solamente una cantidad finita de primos p1 . Podemos suponer (reordenando) que j = 1. lo u u cual es una contradicci´n. es decir. . Supongamos que el teorema no es cierto.com www. ni por pn . pero n < n. . u Corolario 1. o sea. donde a y b son distintos de ±1 y de ±n. . como n es minimal para la propiedad indicada. . qs son n´meros primos. El siguiente corolario es uno de los m´s famosos y hermosos resultados de Eua clides. Ademas sabemos que a < n y b < n. Es decir. . q1 .blogspot. m no es divisible por p1 .blogspot. . reordenando. pr . luego n = p2 p3 · · · pr = q2 q3 · · · qs . Por otra parte. luego n verifica la condici´n de unicidad de la factorizaci´n. ´ Demostracion. . m no es divisible por ning´n primo. Entonces p1 |q1 q2 · · · qs y por el Corolario 1.2. .com . o 12 www. q2 . debe tener divisores no triviales.com www. tanto a como b son o bien primos. Sea n = ab. Obviamente no todos los primos que aparecen en la descomposici´n de un n´mero tienen que ser distintos. para 1 ≤ i ≤ r. .librospdf1.com www. . . En general todo entero positivo n o u se puede escribir como km n = pk1 pk2 · · · pm . p2 .www. u donde p1 . por lo tanto la descomposici´n de n es unica. ´ ´ Observacion 1. Consideremos ahora el n´mero u m = p1 p2 · · · pn + 1. los ki son enteros positivos. contradiciendo u la suposici´n original. Luego ´sta es falsa. ki suele llamarse la multiplio cidad de pi en la descomposici´n de n.GRATIS2.librospdf1. ni por p2 .10.com ´ Demostracion. p2 .14. Sin p´rdida de generalidad podemos suponer que e a y b son positivos. sea n ahora el menor entero o positivo tal que la factorizaci´n no es unica. m debe ser divisible por alg´n primo. u p1 = qj . .miacademia1. por lo o o o tanto r = s y. Pero entonces. Pero por el teorema 1.miacademia1. Existen infinitos n´meros primos. pi = qi . . . pn . Como n no es primo. o e Para demostrar la unicidad de la descomposici´n.blogspot. . Sea n el m´s peque˜o tal n´mero.blogspot. para alg´n j. p1 |qj . Obviamente m es mayor que todos los primos. o bien producto de primos y por lo tanto n es producto de n´meros primos. luego no es primo. Este debe existir por el Principio de a n u Buen Orden.com www. 1 2 donde los pk son primos. existe un entero positivo mayor que 1 que no es primo y que no se descompone como producto de primos. o ´ n = p1 p2 · · · pr = q1 q2 · · · qs .15. Pero como ambos son primos. para 1 ≤ i ≤ k.miacademia1.com www.www. (e) Si d = (a.blogspot.GRATIS2.2. u (2) Demuestre que si (a. u El m´ ınimo com´n m´ltiplo de dos n´meros es el producto de las m´ximas u u u a potencias de cada primo que aparece en la descomposici´n de alguno de los n´meros. m) = 1. 180] = 24 · 32 · 5 = 720.miacademia1. Obs´rvese que si αi = 0.blogspot.β } max{α . m) = 1 y (b. Entonces o a (48. www. [n.β1 } min{α2 .librospdf1.β } a0 es su d´gito de las unidades.blogspot. (4) Demuestre los criterios de divisibilidad que aprendi´ en el colegio. Podemos dar una f´rmula general para calcular el m´ximo com´n divisor y el o a u m´ ınimo com´n m´ltiplo de dos n´meros basada en la descomposici´n en n´meros u u u o u primos. 1 2 k β m = pβ1 pβ2 · · · pkk . entonces a | b. (n. (3) Demuestre o de un contraejemplo (a) Si a | a + b. este algoritmo puede generalizarse a cualquier cantidad de n´u meros. y algo an´logo ocurre con m. entonces ab | dc. (c) Si a2 | b2 . la m´s elemental es probablemente el a algoritmo para calcular m´ximo com´n divisor y m´ a u ınimo com´n m´ltiplo de dos o u u m´s n´meros: a u El m´ximo com´n divisor de dos n´meros es el producto de todos los pria u u mos (considerando su multiplicidad) que se repiten en la factorizaci´n de ambos o n´meros. (a) Un n´mero es divisible por 2 si 2 | a0 .librospdf1. entonces a2 | b2 . a | c y b | c. m) = 1. a1 es su d´ ı ıgito de las decenas.com . entonces a | b. b). 1 2 donde 0 ≤ αi y 0 ≤ βi . (d) Si a | b2 . (b) Si a | bc.com www.com www. entonces el primo e pi no aparece en la descomposici´n de n. 180) = 22 · 3 = 12 y [48. entonces (ab.com Este teorema tiene muchas aplicaciones. (1) Demuestre que el m´ ınimo com´n m´ltiplo de dos u u n´meros siempre existe. m] = p1 p2 · · · pk Ejercicios 1.GRATIS2. m) = p1 min{α1 . etc.β } · · · pk min{αk . Recordeo mos que si un entero se escribe en notaci´n decimal como o max{α .βk } . u 13 an an−1 · · · a2 a1 a0 . Sean n = pα1 pα2 · · · pαk . entonces a | b o bien a | c.β2 } p2 2 2 1 1 k k .com www. o u Ejemplo Calcular el m´ximo com´n divisor y el m´ a u ınimo com´n m´ltiplo de 48 y 180. u u Como 48 = 24 · 3 y 180 = 22 · 32 · 5. max{α . Como sabemos.blogspot. miacademia1.com .4. entonces a2 + b2 no puede ser un cuadrado perfecto. u (f) Un n´mero es divisible por 7 si u a2 a1 a0 − a5 a4 a3 + a8 a7 a6 − · · · es divisible por 7.com www.blogspot. Tambi´n es divisible por 4 u e si 4 | 2a1 + a0 .www. entonces (a + b. Probar que si a y b son impares. Decimos que a es congruente con b m´dulo m si y s´lo si m | a − b.GRATIS2. ´ Definicion 1.blogspot. ´ Demostracion.GRATIS2. Ejercicio. La relaci´n de congruencia m´dulo m es una relaci´n de equio o o valencia. o o Denotaremos este hecho por a ≡ b (mod m). b) = 7 y 2a + b = 50. (h) Un n´mero es divisible por 9 si la suma de sus d´ u ıgitos es divisible por 9. (g) Un n´mero es divisible por 8 si 8 | a2 a1 a0 .blogspot.com www. 14 www.com www. ab) = 1. 3. Congruencias En esta secci´n estudiaremos una importante relacion definida sobre el conjunto o de los n´meros enteros.16. Demuestre que no existen enteros a y b tales que (a. (i) Un n´mero es divisible por 11 si u a2 a1 a0 − a5 a4 a3 + a8 a7 a6 − · · · (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) es divisible por 11. Teorema 1.librospdf1. Sea m un entero positivo.blogspot. (c) Un n´mero es divisible por 4 si 4 | a1 a0 . (e) Un n´mero es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3.librospdf1. pero no puede tener la forma 3k + 2. Demuestre el teorema ??. (d) Un n´mero es divisible por 5 si su d´ u ıgito de las unidades es 5 o 0.com www. Demuestre que si (a. Invente criterios de divisibilidad para otros n´meros mas grandes. u Demuestre que el cuadrado de cualquier n´mero entero puede tener la u forma 3k o bien 3k + 1. Esta relaci´n tiene numerosas aplicaciones y sirve para u o introducir varios conceptos algebraicos.com (b) Un n´mero es divisible por 3 si la suma de sus d´ u ıgitos es divisible por 3. Tambi´n es divisible por 8 u e si 8 | 4a2 + 2a1 + a0 . Demuestre que hay infinitos enteros de la forma 5n − 1 que son divisibles por 7. b) = 1.miacademia1. o a si a + c ≡ b + c (mod m). pero 5 ≡ 3 (mod 12). Como (a. m) = ra + sm. Supongamos (a.3. entonces a ≡ b (mod m). ´ Demostracion. b es suma de m´ltiplos de a y de m.GRATIS2. u Por otra parte. Luego kr es soluci´n de la ecuaci´n ax ≡ b (mod m). Ejercicio. existen enteros x e y tales o u que ax − b = my. Si a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m).com . d d o a Si bien la ley de cancelaci´n no es siempre v´lida para congruencias. para ciertos enteros r y s. m). m) | b. m). Luego rd(b − c) = ksd y cancelando d.17.blogspot. para alg´n u k ∈ Z. existen r y s tales que a = rd y m = sd. m) | b. x0 + km tambi´n lo es. (1) Si m = 1.com Teorema 1. vale decir. Por otra parte.GRATIS2. entonces b ≡ c (mod m). Si ax ≡ b (mod m) tiene soluci´n.1.blogspot.blogspot. La ecuaci´n ax ≡ b (mod m) tiene soluci´n si y solamente si o o (a. o sea.18.librospdf1. ´ Demostracion. (2) La ley de cancelaci´n para la suma es v´lida para congruencias. d ´ Demostracion. entonces a ≡ b (mod 1) para todo a y todo b. para alg´n k. y por el Corolario 1.librospdf1.19. por lo tanto.com www. Si ab ≡ ac (mod m) y d = (a. s | r(b − c). Ecuaciones. m) | b. como (a.blogspot. Ahora bien. 3. el siguiente corolario inmediato del teorema anterior nos indica cu´ndo se puede cancelar. es decir. b = k(a. Teorema 1.com www. a Corolario 1.20. b ≡ c (mod m ). entonces b ≡ c (mod m ). Si ab ≡ ac (mod m). m) = 1. como ab ≡ ac (mod m). m) = d. a(b − c) = ab − ac = km. (a. ac ≡ bd (mod m) and −a ≡ −b (mod m).www.com www. b = k(a. s | b − c. donde (r. s) = 1.miacademia1.9. b − c = ts = t m . Teorema 1. ´ Observacion 1. (3) La ley de cancelaci´n para el producto no es v´lida para congruencias o a como lo demuestra el ejemplo siguiente: 5 · 6 ≡ 3 · 6 (mod 12). es decir. o o Obs´rvese que la soluci´n a la ecuaci´n ax ≡ b (mod m) nunca es unica ya que e o o ´ si x0 es una soluci´n.miacademia1. e o Ejemplo 15 www. si (a.com www. m) = (kr)a + (ks)m. entonces a + c ≡ b + d (mod m). luego b = ax − my. entonces para cualquier k. d donde d = (a. en el sentido de no ser congruentes a ı? mdulo m entre s´ Observemos que x0 + m ≡ x0 (mod m).com . o separando en dos casos si k es par o si k es impar. −73. Es decir. En efecto. o sea.miacademia1. 16 www. entonces ax ≡ ax0 ≡ b (mod m). · · · }.18 o m x ≡ x0 (mod ).blogspot. 79. etc.librospdf1.com www.GRATIS2. o 42x 2 · 21x 21x 21x 21x 21x x ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ 50 (mod 76) 2 · 25 (mod 76) 25 (mod 38) 25 + 38 (mod 38) 63 (mod 38) 21 · 3 (mod 38) 3 (mod 38). Estas se pueden expresar en t´rminos de el m´dulo e o original 76. d Es claro que cualquier soluci´n de la ecuaci´n ser´ congruente ( mod m) con o o a uno de los enteros m m m x0 . 41. x0 − m ≡ d x0 + (d − 1) m (mod m). x0 − 2 . m) | b. · · · x0 + (d − 1) .librospdf1.blogspot.blogspot. d d d ıcil u No resulta dif´ ver que ninguno de estos n´meros es congruente (mod m) con otro porque las diferencias entre ellos son todas menores que m. De la misma manera.miacademia1. m).com www. x0 + . la ecuaci´n ax ≡ b (mod m) tiene (a. · · · . d d d d d ¿Cu´ntas de estas soluciones son “distintas”. luego por el Teorema 1. como las soluciones obedecen la f´rmula x = 3 + 38k.blogspot. x0 + m. x0 . a lo m´s una soluci´n. x0 + 2 . Si (a. Si x es otra o o soluci´n. x0 + (d − 1) . las soluciones de la ecuaci´n 42x ≡ 50 (mod 76) son todos los enteros o {· · · . x = x0 + t m . · · · }. x0 + 2 .com www. e Recordando que una ecuaci´n de primer grado en los enteros (o los racionales o o los reales) tiene.GRATIS2. Obs´rvese que 41 ≡ 3 ( mod 76). Decimos que el conjunto anterior es un conjunto completo de representantes de las soluciones de ax ≡ b (mod m).www. x0 − . tenemos x = 3 + 38 · 2n = 3 + 76n y x = 3 + 38(2n + 1) = 41 + 76n. x0 + . −35.com Consideremos la ecuaci´n 42x ≡ 50 (mod 76).21. En los p´rrafos anteriores hemos demostrado el siguiente teorema: a Teorema 1. Es decir. x pertenece al conjunto d m m m m m {· · · . m) soluo ciones no congruentes entre si.com www. 3. la pregunta obvia es ¿Cu´ntas soluciones a o a no congruentes entre si puede tener una ecuaci´n en congruencias? o Consideremos la ecuaci´n ax ≡ b (mod m) y sea x0 una soluci´n. El funcionario mir´ someramente el pi˜o de ovejas y decidi´ que en ning´n caso o n o u ´ste ten´ m´s de cien ovejas. se di´ por satisfecho.? a —Bueno.2. En alg´n lugar del sur de Chile vive un pastor. Se trata entonces de encontrar un n´mero x que verifique las tres congruencias: u x ≡2 x ≡1 x ≡3 ( mod 3) ( mod 4) ( mod 5). Lo que s´ le puedo decir es que si cuento las ovejas de tres en tres. www.blogspot. x ≡ 3 ( mod 5). u “si cuento las ovejas de tres en tres.GRATIS2. 65. me sobra una. me sobran tres”. 1. quien ten´ por misi´n averiguar la cantidad exacta de ovejas de este ıa o pastor. luego n ≡ r (mod m). ¿C´mo pudo el e ıa a o o funcionario averiguar cu´ntas ovejas formaban el pi˜o? a n Supongamos que el n´mero de ovejas es x. Es f´cil ver que existir´ a a a exactamente m clases de equivalencia m´dulo m. Sistemas de Congruencias. m − 1. F´ e ıjese que yo aprend´ a contar hasta cinco no ı m´s. 120) = 4. me sobran a ı dos.com Ejemplo Consideremos la ecuaci´n 68x ≡ 100 ( mod 120). me sobran tres. Cierto d´ acert´ a pasar por este lugar un funcionario o ıa. Las clases de equivalencia de esta relaci´n juegan un papel muy o importante. ¿Cu´ntas ovejas tiene Ud. x ≡ 5 ( mod 30). “si cuento las ovejas de cinco en cinco. ya que para cualquier entero n. Por lo tanto existen m clases distintas.com www. y si las cuento de cinco en cinco.blogspot. si las cuento de cuatro en cuatro.www. Hecho esto. para alg´n o u r = 0. Este es (resumidamente) el di´logo que tuvo lugar: a —Y. que cuida de su pi˜o de ovejas u n con singular dedicaci´n. sobre todo en las conecciones con el ´lgebra. 17 68x ≡ 100 + 2 · 120 ( mod 120) 68x ≡ 340 ( mod 120) y como (68. “si cuento las ovejas de cuatro en cuatro. Consideremos el siguiente problema.com . o municipal. Entonces o Por lo tanto {5.GRATIS2.librospdf1.miacademia1. 35.com www. o por el algoritmo de la divisi´n. O sea. 3.com www.com www.librospdf1. 95} es un conjunto completo de representantes de las soluciones de 68x ≡ 100 ( mod 120). O sea.miacademia1. Dijimos antes que la relaci´n de congruencia m´dulo m es una relaci´n de o o o equivalencia. n = qm + r.blogspot. me sobran dos”. · · · . O sea. en realidad no s´. x ≡ 1 ( mod 4). mire. x ≡ 2 ( mod 3). me sobra una”.blogspot. o Veamos ahora un segundo ejemplo.blogspot. Sea x0 una soluci´n. encontrar un n´mero x que satisfaga u las dos ecuaciones: x ≡ 3( 5x ≡ 7 ( mod 7) mod 12).com www. Esto es. o e Veamos primero dos ejemplos algo m´s sencillos que el de nuestro funcionario.blogspot. a Queremos solucionar el siguiente problema.GRATIS2.22. para alg´n s. luego x0 = 3+7(8+12t). Sea x0 una soluci´n del sistema.librospdf1. Luego este sistema no tiene soluci´n. por ser x0 soluci´n de o u o la primera ecuaci´n. 18 www. m2 ].com www. m2 ) | a1 − a2 . o bien. Obs´rvese que el punto importante aqu´ es que no o e ı podemos cancelar el 4. o x0 = 2 + 4s ≡ 5 ( mod 6) 4s ≡ 3 ( mod 6).miacademia1.com adem´s x debe ser menor que 100. El sistema x ≡ a1 ( mod m1 ) x ≡ a2 ( mod m2 ) tiene soluci´n si y solamente si (m1 . ¿Cu´les sistemas tienen soluci´n y cu´les no la tienen? a o a Teorema 1.com www. Consideremos el sistema: x ≡ 2( x ≡ 5( mod 4) mod 6). u es decir. a Este tipo de problema recibe el nombre de sistema de congruencias y en esta secci´n veremos m´todos para resolverlos.com .blogspot. s = 8+12t. o Si x0 es una soluci´n. 6) |3. toda soluci´n del sistema anterior es congruente con 59 ( mod 84).GRATIS2. lo que es claramente imposible.librospdf1. x0 = 59+84t. u por lo tanto 4s = 3 + 6t. o o 5(3 + 7s) 35s 35s 35s s ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ 7 ( mod 12) −8 ( mod 12) −8 + 288 ( mod 12) 280 ( mod 12) 8 ( mod 12). ya que (4. Entonces. y procedamos como en el ejemplo anterior. para alg´n t.miacademia1. para alg´n t.blogspot.com www. Entonces x0 = 3 + 7s. entonces toda soluci´n es congruente con x0 m´dulo o o o [m1 .www. reemplazando en la segunda ecuaci´n. Consideremos ahora M M M + a 2 α2 + · · · + ak αk . . m2 ) | a2 − a1 . luego [m1 .blogspot.blogspot. x0 es soluci´n del sistema si y s´lo si existe un entero s tal o o que x0 = a1 + sm1 ≡ a2 ( mod m2 ) si y s´lo si existe un entero s tal que o sm1 ≡ a2 − a1 ( mod m2 ).www. x − x0 es un m´ltiplo com´n de m1 y de u u m2 . por lo tanto x ≡ x0 ( mod [m1 . para i = j. mj ) = 1. entonces para todo j ≤ k.GRATIS2. entonces el sistema de congruencias x ≡ a1 ( mod m1 ) x ≡ a2 ( mod m2 ) .com . o Entonces si x es una soluci´n. Uno de los m´s famosos teoremas de la Teor´ de N´meros es el siguiente: a ıa u Teorema 1. as´ por u ı. .GRATIS2. M αj mj ≡ 1 ( mod mj ).blogspot. M Observemos que si M = m1 · m2 · · · mk .com www. luego m1 | x − x0 y m2 | x − x0 . x0 ≡ a1 α1 M pero como α1 m1 ≡ 1 ( mod m1 ) .com www. mj ) = 1. x ≡ a2 ( mod mk ) ´ Demostracion.miacademia1. M ( mod m1 ). Teorema Chino del Resto Si (mi . M ≡ a1 ( mod m1 ). La demostraci´n del teorema nos proporciona un m´todo que o e nos permite calcular las soluciones del sistema. ( mj . M Por lo tanto. o sea.23. o Supongamos ahora que (m1 . m2 ]). para i = j.blogspot.miacademia1.com www. m2 ) | a2 − a1 y que x0 es una soluci´n del sistema.librospdf1.com www. i. o x ≡ a1 ≡ x0 ( mod m1 ) x ≡ a2 ≡ x0 ( mod m2 ). es decir. m1 a1 α1 luego x0 ≡ a1 ( mod m1 ). Tal s existe si y s´lo si (m1 . existen enteros αj y βj tales que 1 = αj mj + βj mj . M mj tiene soluci´n. m2 ] | x − x0 .com ´ Demostracion. x0 = a1 α1 m1 m2 mk La segunda observaci´n es que o ejemplo. o es m´ltiplo de mi .librospdf1. j ≤ k. Dos soluciones son congruentes ( mod m1 · m2 · · · mk ). m1 19 www. librospdf1. M m1 = 20.blogspot. Encontremos la soluci´n al problema de las ovejas y el funcionario. 20 www. entonces a12 − b12 es divisible por 91. mod 60) (4) Demuestre que si 13 a y 13 b. En este caso. (6) Si de un canasto se saca huevos de a dos.blogspot. gast´ndose un total de 4151 pesos.com En forma an´loga se obtiene que x0 ≡ ai ( mod mi ).com .www. por lo tanto el pi˜o ten´ 53 ovejas.blogspot. respectivamente. (2) Demuestre el Teorema[1. entonces a12 ≡ b12 ( mod 13). (3) Encuentre todas las soluciones de las ecuaciones 3x ≡ 1 ( mod 4) 4x ≡ 2 ( mod 6) 3(x − 8) ≡ 18 − x ( mod 10) (1) (2) (3) x0 ≡ 233 ≡ 53 ( mod 60). ¿Cu´ntos a a paquetes de cada producto se compraron? (8) Demuestre el teorema ??. α1 = 2. Como 2 · 20 ≡ 1 ( mod 3) 3 · 15 ≡ 1 ( mod 4) 3 · 12 ≡ 1 ( mod 5).com www. (1) Demuestre el Teorema[1.16]. α2 = 3 y α3 = 3.blogspot. dos y tres. para todo i ≤ k.22 y se deja como ejercicio. o x ≡ 2 ( mod 3) x ≡ 1 ( mod 4) x ≡ 3 ( mod 5). a ´ Ejemplo. a o x0 es una soluci´n del sistema.GRATIS2. n ıa Ejercicios 1. o sea.miacademia1.17].com www. M = 3 · 4 · 5 = 60. ¿Cu´ntos huevos hab´ en el canasto? a ıa (7) Para una fiesta se compraron paquetes de papas fritas a 39 pesos y paquetes de galletas a 47 pesos.miacademia1. (5) Demuestre que si a y b son primos relativos con 91. La demostraci´n de que dos soluciones son congruentes ( mod m1 · m2 · · · mk ) o es an´loga a la de la ultima parte del teorema 1.librospdf1.com www. de a tres y de a cinco. sobran uno. luego x0 = 2 · 2 · 20 + 3 · 15 + 3 · 3 · 12 ( o sea.com www. M m2 = 15 y M m3 = 12.GRATIS2.3. −1. 1. 11. −4.com www. } {. . . Este resultado o nos permite definir operaciones de suma multiplicaci´n sobre el conjunto de todas o las clases residuales m´dulo m. Si a y b son dos clases residuales m´dulo m. o sea. Lo mismo ocurre si multiplicamos representantes.GRATIS2. . . 6. definimos: o a ⊕ b = a+b a ⊗ b = ab a = −a 21 www. −3. Si designamos por n la clase residual de n entonces 0 1 2 3 = = = = {. es un conjunto completo de representantes. 9. . −5. o ¿Cu´ntas clases de equivalencia hay? ¿Qu´ aspecto tienen? a e Comencemos con un ejemplo.blogspot. As´ por ejemplo. n = r. .com www. . m − 1}. 1. . En efecto. ya que {0.www. } {. 2. n = qm + r. . 8. 47 = −1 = 3. por el algoritmo de la divisi´n. .5. . 5.miacademia1.librospdf1. 7. .blogspot. o lo que o es lo mismo. como sigue: o ´ Definicion 1. . Pero como sabemos que el resto o residuo (de ah´ el nombre ı de clase residual) 0 ≤ r < m. Este hecho no es fortuito ni una caracter´ ıstica de las clases residuales m´dulo cuatro como lo establecimos en el teorema 1. . A estas clases a menudo se les denomina clases residuales.com www. 10. } Sabemos que las clases de equivalencia forman una partici´n del conjunto. . .miacademia1. . 2. . } {. dado cualquier entero n. . −2. Algo parecido ocurre con todas las combinaciones de clases: el resultado no depende del representante que usemos. o {0. . . Volvamos a nuestro ejemplo. En general cualquier conjunto de u u m n´meros tal que ning´n par de ellos es congruente modulo m.blogspot.blogspot. 1. tenemos s´lo m clases residuales distintas.librospdf1. 0. para cualquier m. . −6. digamos. −8. . son todos aquellos n´meros enteros x tales que n − x es a u divisible por 4. .com . hay m clases residuales m´dulo m.17. . 2.com 4. 2 obtenemos un elemento de 3. por o lo tanto no hay m´s clases residuales que las anteriores. Al conjunto {0. . a saber. .com www. 4. 2. .GRATIS2. m − 1} se le llama conjunto completo de representantes ya que contiene un elemento de cada clase residual. 3. −7. . Clases Residuales Estudiaremos ahora las clases de equivalencia definidas en Z por la relacion de congruencia m´dulo m. n ≡ r (mod m). . 1. . . el caso m = 4? ¿Cu´l es la clase de equivalencia a del entero n? Es f´cil. o ı o En general. Observemos que si tomamos por ejemplo cualquier elemento de 1 y lo sumamos a cualquier elemento de. 3} es una a partici´n. M´s adelante eliminareu a mos el c´ ırculo y usaremos el mismo s´ ımbolo para la suma de clases residuales y la suma de enteros.www.com www. Podemos hacer tablas de las operaciones entre estas clases. o escribiremos n por la clase residual n. x ⊗ 0 1 x ⊕ 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 (2) Las operaciones para las clases m´dulo 3 son: o ⊕ 0 1 2 ⊕ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 1 2 1 1 2 3 0 1 1 2 0 2 2 3 0 1 2 2 0 1 3 3 0 1 2 ⊗ 0 1 2 ⊗ 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1 0 1 2 3 2 0 2 1 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 x 0 1 2 x 0 2 1 x 0 1 2 3 x 0 3 2 1 o (3) Las operaciones para las clases m´dulo 4 son: ´ o Definicion 1.librospdf1. para cualquier clases a.blogspot.1.miacademia1.6.com www. estas o u operaciones son asociativas y conmutativas. dotado de la s operaciones ⊕ y ⊗ lo denotaremos por Zm . u u respectivamente). b. al igual que la suma y la multiplicaci´n entre n´meros enteros.com Hemos usado un s´ ımbolo nuevo para las operaciones de suma. es decir. (constituidas por los n´meros pares y por los n´meros impares. Hay dos o clases 0 y 1.com www. cuando no haya riesgo de confusi´n.blogspot. multiplicaci´n y o diferencia de clases residuales para enfatizar el hecho de que estas son operaciones distintas de las correspondientes en los n´meros enteros.com .librospdf1.blogspot. De la misma manera.miacademia1.GRATIS2. Elconjunto de todas las clases residuales m´dulo m.com www.blogspot. (1) Consideremos las clases residuales m´dulo 2. (a ⊕ b) ⊕ c (a ⊗ b) ⊗ c a⊕b a⊗b y tambi´n e (a ⊕ b) ⊗ c = = = = a ⊕ (b ⊕ c) a ⊗ (b ⊗ c) b⊕a b⊗a = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c) 22 www. Es inmediato que las operaciones sobre Zm heredan de Z algunas propiedades. Ejemplos 1. c.GRATIS2. Por ejemplo. m | ab. Dado n. Es consecuencia inmediata del corolario 1.com ¿Ser´ v´lida la ley de cancelaci´n para clases residuales? O sea. Si a = 1 .7.librospdf1. Pero entonces a ⊗ b = ab = n = 0 . es decir. o o Esto motiva una definici´n importante.librospdf1. Si n es primo y a. Si n no es primo.com www. entonces Si a = 2 . Si (a. pero n es primo. Podemos hacernos la misma pregunta respecto de los enteros. existir´n divisores del cero si y s´lo si existen enteros a y b a o tales que a ⊗ b = ab = 0. luego ⊗ verifica la ley de cancelaci´n si s´lo si no existen clases residuales a y b tales que a ⊗ b = 0. sin embargo es f´cil ver de la tabla de Z4 que aunque no podemos a cancelar un factor 2. n | ab.com .24. dado m. entonces existen enteros a y b tales que n = ab. o Teorema 1. si a = 0 y a a o a ⊗ b = a ⊗ c. hay divisores del cero. no o hay divisores del cero.miacademia1. 23 www. basta comprobar que 2b = 1 ssi b = 2 y 2b = 2 ssi b = 1.4. La multiplicacion en Zn verifica la ley de cancelaci´n si y s´lo si n es primo. vemos que en la o tercera fila se repite la clase residual 2 y tenemos que luego en Z4 no podemos cancelar. En Zn hay divisores del cero si y s´lo si n no es primo. luego n | a o bien n | b.com www. para verificar que tambi´n puedo cancelar. Si verificamos la tabla de multiplicaci´n de Z4 en cambio.miacademia1. a Entonces. o ´ n 1. en cualquier caso. o sea.GRATIS2.19. es decir.blogspot.com www. o El teorema anterior nos indica para qu´ clases residuales puedo cancelar cualquier e factor no nulo. La pregunta natural entonces es ¿Cu´ndo podemos cancelar y cu´ndo no podea a o mos? Notemos que x ⊗ y = x ⊗ z si y s´lo si x ⊗ (y z) = 0.blogspot. Dos clases residuales x e y no nulas (o sea distintas de 0.blogspot. ¿es cierto que b = c? a Ve´moslo en Z3 . Luego si n es primo. o ´ Observacion 1. ab ≡ 0 (mod m).www. como vimos antes. entonces como a ⊗ b = 2b. b = a ⊗ b = a ⊗ c = c.GRATIS2. b son clases no nulas tales que a ⊗ b = 0. e Esto puede f´cilmente verificarse con la tabla de multiplicaci´n anterior ya que a o no hay ninguna l´ ınea (o columna) en la que una misma clase se repite. ´ Demostracion. n) = 1.blogspot.25.com www.26. una contradicci´n. pero entonces a = 0 o bien b = 0. entonces a ⊗ b = a ⊗ c ⇒ b = c ´ Demostracion. ¿qu´ factores podee mos cancelar? Teorema 1. o Corolario 1.) son Definicio divisores del cero si y s´lo si x ⊗ y = 0. ¿existir´n divisores del cero en Z? Bien sabemos que no. 2 ⊗ 1 = 2 = 2 ⊗ 3. si podemos cancelar un factor 3. ba ≡ 1 ( mod n). 2. 7.blogspot. o lo que es lo mismo. r2 . . ϕ(n) = {m : 0 < m < n y (m. ´ Definicion 1. podemos preguntarnos cu´les son las a a unidades de Z. p − 1} = p − 1. En otras palabras.blogspot. n) = 1. 1) Observemos que los n´meros que no son primos relativos n u o con p son los m´ltiplos de p. 5. Un conjunto de representantes de las unidades de Zn se llama un conjunto reducido de representantes.blogspot.com www. .miacademia1. existen enteros b y c tales que ba + cn = 1. 4.GRATIS2. o bien b ⊗ a = ba = 1.librospdf1.27. 2. 5.com Observemos ahora que si (a.com . Por lo tanto hay pn − pn−1 n´meros menores que pn que u son primos relativos con ´ste. entonces ϕ(pn ) = pn − pn−1 . rϕ(m) y s1 . Este n´mero tiene muchas aplicaciones interesantes. todos sus elementos son primos relativos con n. o Ejemplos ϕ(12) = {1. .5. . .miacademia1.librospdf1. 11} =4 ϕ(6) = {1. un conjunto reducido contiene un representante de cada clase que es una unidad de Zn .www. Resulta interesante entonces saber el n´mero de elementos de un conjunto reu ducido de representantes. el n´mero de enteros menores que n u u que son primos relativos con n. . ´ Observacion 1. 5} =2 {1. n) = 1}.GRATIS2.8. Como s´lo nos interesan aquellos menores o iguales que pn . . hay pn−1 de ellos. 6} ϕ(7) = =6 ϕ(p) = {1. . . vale decir. definimos ϕ se llama la funci´n de Euler. e 2) Sean r1 .com www. {k : 0 < k < n y (k. . . es decir. De lo anterior se deduce entonces que es un sistema reducido de representantes para Zn . sϕ(n) 24 www. n) = 1} ´ u Demostracion. entonces ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).com www. la clase a tiene un inverso multiplicativo.com www. para p primo. los enteros menores que n constituyen un conjunto completo de representantes de las clases residuales.9. Para todo entero positivo n. De manera an´loga. s2 . Una clase a de Zn es una unidad si y s´lo si existe una clase o b de Zn tal que a ⊗ b = 1. . ´ Definicion 1. Es claro que solamente 1 y −1 son unidades de Z. o lo que es lo mismo. n) = 1. Como sabemos. (1) Si p es primo. Teorema 1. 3. (2) Si (m.blogspot. las unidades de Zn son precisamente aquellas clases que son “primas relativas con” n. Para cada n entonces. Aplicaciones del Teorema de Fermat. (1) Calcule 31000 ( mod 7). .blogspot. puedo cancelar a. rϕ(m) todos los residuos m´dulo m. es decir. Es claro tambi´n o ´ o e que para cada i y j hay una soluci´n distinta y que (tij .com los residuos reducidos m´dulo m y m´dulo n. Euler–Fermat Si m es un entero positivo y (a. Por el teorema de Fermat. . Un caso particular de este teorema es el llamado Peque˜o Teorema de Fermat. Si ari ≡ arj (mod m). .com www.GRATIS2. mn) = 1. como (a. .librospdf1. arϕ(m) tambi´n son primos relativos con m.com . Cancelando los ri . obteniendo ri ≡ rj (mod m). por el Teorema Chino del Resto. respectivamente. o o Sea x un residuo m´dulo mn. pm son primos. Corolario 1. x ≡ sj ( mod n). donde p1 .blogspot. Entonces u Ejemplos 1. Entonces ar1 . luego aϕ(m) r1 r2 · · · rϕ(m) ≡ r1 r2 · · · rϕ(m) (mod m). . o sea. mn) = 1. . para cada i. por lo tanto. m Teorema 1. n) = 1 . ar2 . existe u una soluci´n tij para este sistema. m) = 1 y (x. lo que es una contradicci´n. m) = 1. www. por lo tanto tambi´n son un conjunto reducido de repree ´ sentantes. para alg´n i ≤ ϕ(m) y j ≤ ϕ(n). la que es unica m´dulo mn.blogspot. . o Luego (x. lo que termina la demostraci´n. . para i = j. (x. 25 ap−1 ≡ 1 ( mod p). . Entonces. (ver ejercicio e 3e). primo relativo con mn.com www. Si n = pk1 pk2 · · · pkm . Pero entonces. obtenemos el resultado requerido. m) = 1.blogspot.30.29. . que son o primos relativos con m.miacademia1. n Corolario 1. ar2 . .2. luego 36k ≡ 1 ( mod 7). . entonces aϕ(m) ≡ 1 (mod m). para cualquer k. x ≡ ri (mod m).miacademia1. .com www. por lo tanto hay o o exactamente ϕ(m)ϕ(n) de estos tij . o sea.28. que son un conjunto reducido de representantes. entonces 1 2 m ϕ(n) = n(1 − p11 )(1 − p12 ) · · · (1 − p1 ).GRATIS2.com www. existe un unico j tal que ari ≡ rj (mod m) y por lo tanto ar1 ar2 · · · arϕ(m) ≡ r1 r2 · · · rϕ(m) (mod m). . . Teorema de Fermat Sea p un n´mero primo y a un entero tal que p |a.www. r2 .librospdf1. ´ Demostracion. 36 ≡ 1 ( mod 7). o arϕ(m) son todos distintos. . Sean r1 . Luego los ar1 . sabemos que p 31000 = 36·166+4 ≡ 34 ( mod 7) 31000 ≡ 81 ( mod 7) 31000 ≡ 4 ( mod 7) 5100 = 54·25 ≡ 1 ( mod 8). Por el teorema del binomio.com www. ¿Que sucede si n es par? (3) Teorema 1.blogspot. 0 + 1 + · · · + n − 1 = 0. de donde se obtiene el resultado pedido.com . 26 www.com www.com www. p.31. o sea.blogspot. (1) Encuentre la intersecci´n de la clase del 7 m´dulo 4 y la clase del 5 m´dulo o o o 15.GRATIS2.miacademia1.4.blogspot. Teorema de Wilson Sea p un n´mero primo.GRATIS2. para cada .librospdf1. p p . p | aparece en la descomposici´n de o k k k = 0. luego p no puede cancelarse. (a ± b)p ≡ ap ± bp ( mod p).com (2) Calcule 5100 ( mod 8). donde para 1 ≤ k < p.librospdf1. (a + b) = k=0 p p k ap−k bk . Como ϕ(8) = 4. (2) Demuestre que si n es impar.com www.www. (3) Si p es primo.blogspot.miacademia1. Ejercicios 1. por el teorema de Euler–Fermat. = k k!(p − k)! o Observemos que p aparece en la descomposici´n en primos del numerador pero no en la del denominador. Pero entonces p k ≡0( mod p). es decir. Enu tonces (p − 1)! ≡ −1 ( mod p). p(p − 1) · · · (p − k + 1) p .
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