INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE FLUIDOS- Robert W, FOX, Alan T. McDonald-Cap 3 (segunda edición)

Estática de fluidosinrportancia en muchos casos prácticos. Los principios cre la hidrostática,. sirven por ejemplo para calcular las fuerzas sobre objetos sumergidos, desarrollar instrunrentos medidores cre presión, ¿"or.i, p."pi.au¿., v de la at_ nlósfera y de ros océanos. Los principios de Ia hidrostática pueden servir tanlbién para determinar ras fueizas que tos sistemas tiarául¡.o, rogran de_ sarrolrar en apricacione§, como Ias piensas o los frenos ae auto-or¡1. En un rluido en reposo, o en un fluido que efectúa un movimienlo de cuerpo rigido, cualquier partícula de fluido mantiene su ¡o.nri¿aJ'"n ,o¿o tiempo. Como no existe nlovimiento relativo dentro del fluido, un eremento de lluido no sufre deformación. se puede apricar la segunda ley de Newton del movimiento para calcular ra fueiza de reacción que ofrece"una particura a las fuerzas que se le aplican. se re aplica un esfuerzo cortante de.cuarquier magnitud. La ausencia i" n-r¡ri.nto rerati_ vo (y por ro tanto, de deformación angurar) implica que n0 existe esfuerzo cortante. por lo anterior, los fruidos en reposo, o bien, en movimiento de "cuerpo rígido", soramente pueden estar sujetos a esfuerzos nornares. obviamente, er anárisis cre estos "flujos" es mucho más sencilro que ros fluidos sujeros a deflormaciones angulares 1véase sección Ahora bien, la pura simplicidad no es razón suficiente para estudiar este tema' Las fuerzas normares que se transmiten en los f.luiclls son oe enorme P'r definición, un f ruicro se cleforma continuamente cuancro ,_+ .].I UCT]ACION T'TJNDAMINTA. I)Ii LA I,]S,'AT'ICA DE Nucslro objetivo principar en csta st;cción }'I,TJIDOS Hl,1:,:i3:::^",,:::]ry es obtc-ner una ecuación que per_ de presiones cienrro det fluido. para esro, escose_ I 1 is¡ ESTATIC,A DE fLL'IDOS t; a, I 6r C.'., , (p- ¿, 2 r\* (ü ü 3¡ (z+ '' l) dl xe, *tt-it Fig 91. Eier,er:l: ó,fÉ'Ei:;ai de lju;So t l"É?as il',uesl!-a dÉ ii€s'5r ea C:rea:;5n )' e n la figura 3-1. El e lrn-¡e nic de íluido es ria.-i¡na¡ic r(sl!'.lt) aXil sisierna lijo de coordenadas recia:rguiare:. (En la secci¡n 3-? st c'lLrdir.r¡rn los jluidos ¡¡ ¡'¡',¡i ir,-,ienio dr' culrpo rigido.) Anterio¡nt..n1e hemos seiialado que 1f puecie n a¡licar dos ti¡cs g. tlf rrllüs de fuer¿as a un fluido: las fuerzas rolu,';rálricas ¡ las lucrzas su¡c:iiii;ics. Ce nerainente, en lCs prof,)emas de ingrnieria, la únira fuei'za r ctli;-r-,i1r-ila que ei nf,iesa:-io considcrar es aqutlla deb,ida a la gr-areJaC. Fn al;ut';';tr eascs se lresenlan lue¡z¿s rolurnÉi:-ica-s d¿hidas a campos c]Úctri¡o'' o ma¡ni'- ticos, Flero por simpliciCad no re coni;derarán efl tsie te\lo. La fuerz¿ rc-r!uméirica, di'r.pera un elc;'nenlc dife¡encial de L-ilido, es ,!Fn=¡rlut-rj¡,,iV a¡eleraciÓn lo"-al de Ia graredad, ¡' la dcnrid:d' ¡' donde f 'ectoI dY el rolun:en del eie;nento. En coordenadas cartesianas,/\'= clt d-l ri:, dc es el dc l¡ ,tF; : pfi dt d1.rr que en un flu¡do en r€po§o no se pueden lresrniar esFlrrnos seialado fuerzos corlanles; por lo tanto, !a única fuerza superñcial es Ia fuerza de presión. La presión es una cantidad de ca;'npo, es decir, P = P 6, )', z). De este modo, la presión varía con la posición dentro del fluido. La fuerza nela de presión gue resulta de esta variación se puede calcular surnando las fuerzas que actuan sobre las seis caras del elemento de f'luido. SupOngase que la presiÓn en el cenlro, O, del elemenlo, sea p. Para drler' tminar presión en cada una de las seis caras del elemento, podrrrrcs uti!izar ia mtldo que la expansión en serie dr Ta¡'lor dr la presión alrededor del punto O' Utilizando esle desarrollo de Ta¡'lor, la presión en Ia cara izquierda de'l tleniento diferencial se puede escribir como pt=p**(.r'¿-.rl=p+ ()' - (P, {( i) -t' il dy ir' 2 l"l i I ESTATICA DE FLL'IDOS 55 i (Los térn-iincs de orden superior se puederr orru'rir )a que al {onar el !ímire resulian nulos. La ¡,:esién en Ia cara de¡echa deI eiemento djle¡encial resui- rd pr= i:. ' l¡ ^ - rl= ¡ r I: ir l ' t-r,.,.* inJ' En Ia figura 3-i se muestranlNÍuer:as de presión qrJe actúan en las dos ca¡as del ele;r,E¡to iil^erencial p.rpendiculares al ejel. Cada {'¿erza t}e ¡resiiin es el proCuclo de t¡es facloíes: el pn'rnero es Ia nragniÍud de Ia pres;óii; el segundo el área de la c¿:'a donde actúa la fuerza de presión, ¡ el f ercero el (an'iro su ccrrespondiente cara del eier.rrentO, en oira-( palabras, una p:esión positii'a cürrespirr'!de a un esfuFrzo de rompresión. Los rsluerzos ¡ las [uc-rzas qur artúan sot¡re Ias olras ca:-as de] ele msnlo st ol'iienen de mar¡r'ra tirnr-janf e. Surnandotodas esias f'¡ri'z.as se r,biirne la fue rza supe rlicial nela que aitüa soL.rr rl elemenlo; es decir, '.e.for unilario c.-r¡resFo¡diente, ion objeto de seialar Ia di¡ecoón de la fue rza. ObsÉrre ie tan-ib.¡án rn !a figura 3-l que cada lur-rza de ¡,rs5i§n ¿^,[¿ ,ri. = (r - ', ),,u.r--riit - (i, * (;, (r, :i 'i){'i r ¿/:){- i) i . (, - :i'i){,ir,/.-){;r* * (r 4giupando - :1 t:')i,Ir,/:rr- r ít)(rr,/ilrir* ii¡nincs, * :{f)(,rrri}t-i} ¡ carcelanCr-r sc ohtiene ,ti, = (-1, TI ¡ ,\ - a \ -/ =t (-- [)| a.,tr ,t-¿-(.1 rs decir, ./F., =- (!,* r'.1' i-t , * i-t [) ,1.,1, -\,\ r / Ia) La cantidad ertre paréntrsis es r) gradienle de Ia presión )'se reprr,\enta con grad p, o bien Vp. En coordenadas rectangulares grad ¡ = vi, = (; jl.',|{ - uf) = (,* + ¡ * +u ;), El gradiente constitu¡'e un operador; lomando el gradiente de un cam¡ro escalar se obtie ne un campó r'eclorial. Empteando ta nomenclatura drl gra- 5ó ESTATICA DE FLUIDOS diente, la ecuación 3.la se puede escribir como dF, De la ecuación 3.1b, : - gra d p(dx dy dz) : gradp:Vp: d.x -V r//it dy p dx clv lz lz Expresado en palabras, el gradiente de presión cs el negativo dc la l't¡crza superficial por unidad de volumen debida a la presión. Obsérvcsc t¡ttc cl nivel de presión no resulta importante para calcular la fuerza neta de prcsiÓn: lo que realmente importa es la rapidez cün que cambia la presión a través de la distancia, es decir, el grodiente de presión. Veremos en todo nuestro estudio de la mecánica de fluidos que este término es muy útil. Puesto que no existen otras fuerzas en un fluido en reposo, podemos combinar los resultados que hemos obtenido para las fuerzas superficiales y volumétricas con objeto de obtener la fuerza total que actúa en un elcmento de fluido; se tiene entonces, aÉ: aFr+ r/Fs: <l (-gracl p + pú)dxdytlz bien, por unidad de volumen, dF riV d.x dF d¡'tlz :-gradp+pú (.1 2) Hemos indicado también que en un fluido estático, una partícula de fluido retiene su identidad en todo tiempo. Dicha particula no se deforma puesto que no existe movimiento relativo dentro del fluido. Por lo anterior, podemos aplicar la segunda ley de Newton para determinar la reacción que ofrece la particula a las fuerzas aplicadas. El resultado que se obtenga ptrede servir también para evaluar el campo de presiÓn. La segunda ley de Newton, para una particula de fluido, establece ¿i É ij dm dp dY. Para un fluido estático, d 0. Asi : : : 1lF ,/V : ,,¿: o (31) Substituyendo ,Jit= {iV de la ecrración 3.2, se obtiene -gradp+pr¡:6 Revisemos brevemente la deducción de esta et'ttaciótl. fisico de cada términ,¡ es el siguiente: Il :igrrilicado -grldp . ¡.r i::i'r^'¡ Je ¡lest'.tt unr.teJ Je + I l'rl uer.'r Jc Jc -0 .'ucrP"r \ rolu" r.r- i\ * ' ['.rr unrJ¡J L:STATICA DE T:LUIDOS Se trata de una ecuación 57 vectorial, lo que significa que realmente consiste en tres ecuaciones escalares que deben satisfacerse individualmente. Al expresar la ecuación vectorial en sus cofirponentes, resulta - .' (, lo tl r¡ (.1X + Pg,:0 dirección x Pu,:o -;:-+ I' (1D direcciónY clirección ¡, (3.4) -'.: (t: + P!J, : ll Las ecuaciones 3.4 especifican la variación de la presión en un fluido estático respecto a cada una de las tres coordenadas. Para simplificar todavia más resulta lógico seleccionar un sistema de coordenadas tal que el vector aceleración de la gravedad quede alineado en una de las direcciones coordenadas. Así, escogiendo un sistema de coordenadas donde el eje z se dirija verticalmente hacia arriba, entonces g,:0, g,:0,y g": -g; con estas condiciones, las ecuaciones componentes se reducen a tln ^1 (.x ,lp r')' :0 (3.s) -':0 =' -p(J ?r tZ ; Las ecuaciones 3.5 establecen, bajo las suposiciones hechas, que la presión es independiente de las coorclenadas x y y, y únicaniente depende cle e. Por tanto, como p es una función de una sola variable, debemos utilizar la deri- vada total en lugar de la derivada parcial; de esta manera, las ecuaciones 3.5 se reducen a lt: tlz *pll =*y (3.6) Clondiciones: l. 2. 3. Fluido en reposo La única fuerza volumétrica es la debida a la gravedad El eje z es vertical hacia arriba [:',ta ecuación constituye la rcl¿rción básica de la presión-altrrra crr la estática de fluidos. Está sujeta a las restricciones señaladas arriba y, por lo tanto, puede aplicarse sólo cuando dichas restricciones son razonablemenf e repre- 58 EST"4T}C,4 :,j DE FLL¡DOS ! : srntal:las de la s;tuaciÓn ñsica. Pa:¿ siones'Én un fluiCo eslátiio, se ciones de fronlera apri';;adas. ;::..-::.inar la Cistr.:-::or dr prep*sJ: i:.=,--': Ia eruación : : bajc c:,rdi- 3.1.1 VARIACION DE LA PFESIO¡'l E\ U\ =-iiDC ESTAT;3:3 EnIaecua¡iór3.6rehae';ii:c'¿gcr:.;'h-:-:;eh:;t¡hi:..::e::.-:'.¿,-.lo i)iC^ÍlrOg deben coa::jde;arse ccill.- \¿l-:.bi:. laiÜ es asi n.'Úf.iii:.:;'!.je el j: :r--"--:-': !.ó y proCuclo f,.t se fuede de ilnir conlr-' . - = -- i:-a irieg:ar j¡r dc ¡:c's:.-;i:. :: .L::': ¡ e'::l'lt. L': :. : - r.3' -. i'-1ridrlrrminirr Ia C::::ihl; iilnt: tet¡illc a l3s ra'i:;!oric. f .. É ) s En Ia rna¡oI iatie de Ic: problcl:,.. 'jr r:-: :a dr l-l :iCi-s ¡r: ¡rá;iica de la in¡enieia, tra: raria.-...:t: r,*- S -: ¡'r-r'j.n crrr.iiJ:*: significantes. Scla¡¡enie en aquei;--: cas--. Cf nJe s. rtq':i:-::': mucha preiisión lcs can-,L,ios de ¡:t.ii:::.-: -: l:.ir'niai ca rr-: g:anCe de al:i:ud, resulta neces:ri.- i¡a::r :r .-i<nia ia: vlri:ii Para los plo¡ósitcs de este l bro. s;¡r:,i::¡" :': J.ul -§ r-( rt\i.:--:f lÍ la alritud de c'.ralquitr lo¡alidad ;¡licL,:lrl.:Í jc ir.¡rr.,ir'l':: L: .::,:;i¡ies ril ¡r 5¡¡ signifiratira:. ¡ dci'cn lcr.::r(- er. aU3;ia si sc ¡rt1:'J'j .-'l-r-it resullado!confiabigs. Erirlcn \&ri(1i (3iQi iar.¡c ia Ce ::iC::'r¿i-i,.-\;'aná' li:is e: sencillo. el nlás rir:l¡lt iJc i'-J¡: r¡rr'!¡'r:::lc al ;45-o 1j:¡r dl un POr el Co¡irarjO, en n.lñ'rl'ro5a\ fluido iniomPrc.ri'lc. a. Fluido incornpresib!e Para un fluido iniompre:ihle, p: fc: - c!--:-r::-:ie. Ccn.i¡:iár,dn l= ¿ce!er;ción {e la grarcdad constanic s. ::.:1i tr:¡'::e}. .ly *{*3-:.i- = 'L-:'i--:.-''te AI drterminar la rariación de presi.-::. de¡.sE-,:s !n:¡*c:-¿::: :sr,.E'::¡i' anlerior suponiendo condiciones de fro:.:era apro¡tCa-'. Si la prs'ilr .' =¡ ¡!r'el de referencia :() es fo. enlonces la p:r-.i§n, P .; un riirel 3 '-:ilris-*ier. se ob' ticnc mediante !a siguiente intrgra.-iln: rs decir, \luchas { veces es convenlente jislan' de coordenaCas en !a supe;ficie lib,rt lnire I c: :tlrren.-iel r =á:r ie*' cias desde la superñcie libre hacia aha-io co=-- ¡ositila. §$!I*i s. iLui:1t3 €rl' ta figura 3-2. De rsle ntodo, si para l.rs liqui3--- lo¡Tler cl e:-qr iei gs;ema' i e. pcsitir: :;lia aba¡1. § :=:J3 _ ,. - a, átl - 'l I I ,, 'l + tu!1, i I .t .t { EST, TICA DE FLL:]DOS 59 S,pe,4;r ls l 5.g J. Fig 3.2. Cco'le'tzi¿-< ?.e'2le i.lernilac,Ór':t riatrÚn le\z dt ;,'es,51 er un ll¡ cic er r?[iÜso ' Esra fo¡ma de Ia relación básica pres;ón-ali!ra se uiiiiza a nlfnu.i0 laÍ3 \eces los ellureso!\eI rr'iotr'!enas de nlanonetría' Sjn einbarSo, aigunas !rrn \a¡::anÓn-'eiIos prob'lemas de d;antes tirnen difi;uliades J,ata er,atiiT2t girlirale \: rctiai ntcs rios rubos. Para er ilar esto, sr recot':liendan las siguie t' 2. Ejtmplo ¡¡ 6¡¿lnquiera dos [''-lnioi q!;e se cl}'ucniitn cn l] Illi'l-.L1 La ¡iesión es la 'l^iirna nitel y qre fo¡nren ¡arte dt! n'!smo tranio c¡nlinuc de liquido' 3s-ll"qu]!o-r (rt;úcrdtt- a preig¡ :¡jDqr;iasj uno Ó;rc aiq !artcJru::a¡elr:"nL4 albcrca). una en al sumergirse ql-re tienrn se piesión dc ,.'ioññilos -1.1 B, \;slos en corle, flule agua' En el tub'o cn fo:'n:a los de una U inrrriida -se liene aceiie corno una densiCad relatira dr 0'E' En rrdensidad una cCn olros dos Srgmenlos del manÓmerio se lirne ñeICu¡io * ll'f''puig:' en presióñ, P.r ¡r' lativa de 13.6. Delermine la dij'e¡e ncia de A irarés de los tut'os ,4 .t I t0- --r I r I ó 4' -¡-5 i Prohlema de ejemplo 3.1 DATOS CONOCIDOS: ManÓmetro de varios lubos como se muestrs en la ligura La densidad relativa aceile es 0.8, y la del mercurio es-13.6. ESTATICA DE FLUIDOS DETERMINAB: La diferencia de presiÓn, P ¡- Ps,en lbf/pul92' ,,=or dt=10" HzO -l }9--L r^ dl= ds=8' I ds= 4' __L (1) .-Hg/ SOLUCION: Ecuaciones f undamentales: dp -t)g: +: oz -',' Y gP - l) '-' /)tt,tl '' ,'tl,t¡ dP: -^;dz = constante " f" r, oo : - Jt' f" ','d, pt:pt+",,(zr-22) ComenzadoenelpuntoAyaplicandolaecuaciÓnentrepuntossucesivosalolargo del manómetro, se obtiene Pt=P¡*)'H,odt Po: Pt -)'rrgd' Pr:.: P» t ?aceited¡ Pr:Pr.-)'H*do Pa: P, - l'n.ods 't (p,.- p¡r) + (Po - Pr) 'f @t:- Pt\ l- (pn P¡' Ps: 1P.n - Pt) : -l'tr'odr * i'u*d, - )o¡rd¡ * i'H*d4 *'¡'n't'd' Substituyendo po) + 13 6i'¡i'3d+ t Pt- Po: -i'rr,6d¡ + 13 67¡,od2 - 0 Bi'¡rodr -i'ds) = j'H,o( -dr + 13.6d2 - 0 Bdr + 13 6d4 : i'rr,<¡( - 10 + 40'8 - 3'2 + 68 + B) Pulg : I'tt.t¡ X '103 6 Pulg p¡e x pie2 103.6 Pulg 62.4 ltl l' = DR)'x,0 i¡¡"¡ds :Ñ, r' ---pulg 144 Pulg' 12 '' -.--.-^ P,t- Pn- 3.74 lbf/Pul02 ESl}|'TI C:.1 DE T?LU I DOS ól Los manómetros, como el del ejemplo anterior, son simples y de bajo costo por lo que se utilizan frecuentemente para medir la presión. Ahora bien, un ntanómetro de tubo en forma de U puede ofrecer dificultades para efectuar lecturas con precisiÓn debido a que los cambios en el nivel de liquido son pequeños cuando se tienen presiones diferenciales bajas. Esto se puede evitar mejorando el diseño del manómetro o utilizando dos liquidos cle densidad ligeramente diferente. Fln el ejemplo 3.2 se analiza un diseño tipico de manómetro de dePósito. Iijernplo 3.2 El manómetro ae aepólo de Ia figura tiene un tubo de diámetro l0 mm y un clepósito de diámetro 30 mm. El liquido manométrico es aceite rojo Meriam con DR = 0,827. Determine el desplazamiento del manómetro en milimetros por cacla rnilimetro de agua de presión diferencial aplicada. Problema de ejemplo 3.2 DATOS CONOCIDOS: Manómetro de depÓsito como se muestra en la figura d: D: 10 mm 30 mm Aco¡to, DR = 0.827 DETEFIMINAB: Oosplazamiento de liquido, ¡¡, en m¡limetros por cada m¡l¡metro de agua a presión di. ferencial aplicada. ESTAT]C,.1 DE FLU¡DOS :i SOLUCION: Ecuac ioribs ¡"¡i¿r¡s¡i3ls5. :f ,t én ey = *..¡dt'9 vf - i,9, DR : f, /H..c¡ e''c C.r I 'rr -t Pata {; = _cCxSlá-,1€ E:- Ft= -'g|z'{,' í: = r'!.?: - z)- zy\ l¿r.'r 9,1 - d) Pa'a el,mi¡a: h, c'!sérvese qre e! volu.r'iÉn de! liquidc r:i¿ncr:,¿ir;co detre pa-tarer co:rslaite; pcr 1¿-,1c, e! vol;.r.:ren des;.i¿-6¿s del de;'ósi1o Cebe ser igualal \.31ijTren que süL'ejjor ei iubr, e§ decif, ,:.r1 . -D'H=-d'h o bieñ, s= 19l'¡ \Dr Srbstituyerdc se:¡ane Pr Lo,r - P: = f'a.'-u9\ll - (= I \D/ j I L I Es!a ecuación sÉ p.rede si¡r,plif icar elf,resañdo la pr6gi$¡ d,lere.¡ciai ap!icai¡ ca'nc ura columna Je a!,re eqül\¿iente, Pt Y - P: = ¡',,.,.gih al observar QuÉ t,¡c¿,le = DR."u.," ¡r*-,r. Enlonces l'rrog.1h = DRr*;te/r¡r,,rrn o bien [.t f;) ¡ñ Subst iluyendo vatores, DBa.Éiru[1 + (d/u)21 _=_=109 1 0.82711 + (r0/30)rl ^h j Este probleme mueslra el efeclo que lienen el diseño y la se¡ección lla sensibilidad del h 3h del liQuido en I J manómetro. ESTAT}C.1 DE FL{,'¡DOS b. F iuido col-r-,presible He;nos listo que ]a rari¿ciín de presión en cualqúier i-:uido eitático ce ia reiación 1,.ásica rnlre i¿ ¡re sión y' la alr u¡a ,¡ ¡) J: i: tl 6) I"a ra:iaiión d. p:-esión en un lluido cc,i¡-if,¡e-'ibJr i;'nbiín se f Lreílr'cal;ul¡r irilrg:ando )a e¡iia;ión 3.6. S,n eir,bargc, ai;ie: Cr ¡rdci ha;e rlo, sc ireirs la (\;-'ciár la iir,i,j:J r¡;ro L:,a fur,¡i¡n Je c.r.lni.,,-l dr l¿s o; r¡s ra* at-lc: e:i la eiiia,.ión. Se ¡ueJc'utiiizar Iara e'irr auala;Li !cr i;-,f¡,r::-¡¡i,in aia:¡a Ce las lrr'¡i¡i:¡Jci de la s"hsi:"ci:' ¿n fdit;.Ljl.:r- i i.';t;-r L¡ra r( ij¡rri¡n dü .\: .. ..i tl. En mL-,rhcs i:qli,lirs, Ia rier.iJ¡d casi nc de ¡er,dr dc la irrpcraiJra; siil i'irjlrarEo, la p;riión ¡ Ia drnsrCad de Ios l!quidcs rsián relacioraCas n;rdi;ne la:li¡idaC. tslt r¡óCuio te supoite irlnslanie. en{onces la densidad es fur:iit,n ilr:iiamenle de Ia presión (es drrir, cl lluiCo es borotrópico) i'la ecuación J.fi fúinstilu)e la relación adicic'nal para la dcnsidad que sr nt-cesila para F.dcr ii..lcgrar la rela;jón básica cnt¡c la prcsión r la altura. In cl ;¡-nCiic A sc olrríen raio¡rs para Ios módulos rcrlunrilricos de algu;ios lir;uidoi coS; nlu n ús. Por sión of ¡ de la ra par-te, la de nsidad de lcs gases Erirer¿lrñe nf e deprnde de la ¡rcle m¡e r-elura. La ecra¡ión de esf aCo dc los ¡o-res id'.lllu lt = í,RT (3.9) Cond,¡ ff es ta consiantr del gas (réase apéndice A), lula, representa con suliciente aproximación el comportamirnto de la ma)'or pañe de los gases en las aplicacíones c,¡munes dc inge nieria. Sin e mbargo, al utilizar la ecuación -1.9 se introduce la temperatura del tas como una rariable más. Por tanlo, se requiere una hipótesis adicic'nal respecto a la variación de lemperatura para poder integrar la ecuación 3.6. Ejemplo 3.3 l f la temperalura abso- La pote ncia máxima que puede desarrollar un mo!or de combustión interna disrninuye con la altitud porque la densidad det aire, y por lo tanto el gasto rnásico de combustible-aire, disrninuyen. Un lransporte de carga sale de la ciudad de Denrer (altitud 5 280 pies) en un dia en gue ta temperatura y la presión barométrica locales son 80oF y 74.8 pulg de mercurio, respeclivamenre. El vehiculo viaja hacia ia ciudad de Yail Pass (alritud l0 600 pieg. Si la te mperalura disminu¡'e a razón de 3"F/l tl00 pies de aititud, delermine ta presión ma¡ométrica local en Yail Pass, en porcenlaje, de la potencia má-ri- ESTATICA DE T.-I.UIDOS Problema de ejemplo 3.J DATOS CONOCIDOS: Vehiculo que viaja de Denver a Vail Pass. La potencia disponible del rnotor t¡s drrecta mente proporc¡onal a la densidad del aire. Denver:z = 52B0pies p = 24.8 pulg de Hg l' = 80oF Vail Pass: ¿ = 10 600 p¡o$ dT d, = * 0.003 I pio DETERMINAR (a) Presión atmosfér¡ca en Vail pass {b) Porcentaje de pérdida de potoncia der mütor en v¡rt Fass comparada con Denvor SOLUCION: Ecuacionesfundamentales: dp A; Suposiciones: 1) f ,'e p=t'RT luido estático 2) el aire se comporta como un gas ideal Luego de substituir en la relación básica altura pres¡ón dp_ p O dz Rt'- o dp gdz -p - --RT -tn,ctdecir,f -fr- Como la temperatura varia linealmente con la alt¡tud, dTldz = m(z' z), se tiene dP-* p gdz RlTo - m(z ___yd(z'-zul =g * zu)! mR [To _ m(z * z)l lnlegrando de po en Denver a'p en Vail pass, es decir e rn[rn - m(z-2,,)l ,rl4\ =mR r, ] \pul I - -e-," mR \ f,,/ lI) Substituyendo valores * = (*)'''^ tbf I * mR I 32.2 _pie .. X--=s: 0.003 pie \.-,=----X___^--:A2( lbm , R slug F 53 3 pie tbf 32.2 tbm . s2 sluq . p¡e = [, ,,-L'- , 0.003F, (10600 s,28o)pi"^ _-_1 pL (460rBoñi'os7o I - ESTATICA DE FLTJTDOS ,l { o5 Obsérvese que fo puede usarse como una temperatura absoluta puesto que ore vrene oe ta ecuación de los gases ideales. = J i De esla manera *: (*)'"^ p (0.970)6 2s : O.B2t A.827po: Q.827)2a.8 putg. Hg 20.5 purg. Hg El cambio de potencia, en porcentaje, e§ iguar ar cambio de d€nsidad, que : : o" ,"1 n..ooo Po Po P-Po Po :P *t Po Toniendo en cuenta la ecuación ds los gases idealss, {g= p ro.- 1:(oB2e)(#)- 1: -014s Po P<, T ss dscir, AP _ : _.f 4.5% AP % Este probrema tieno como obi€to irustrar er moct€ro de ra ecuación de estado da ) { ¡deat€s, iunro con Ia retación básica prestón.attura, para calcutar ta I 1 l::.9:.":. r orsrnoucion de presionos en la atmósfera. ) J.: A'[MOS}'ERA ESTANDAR O NORMAL aviación de todo el mundo, se han celebrado numerosos congrescis internacio¡rales de aeronáutica. En uno de ellos, se logró aceptar inteinacionarmen_ te la definición de Ia atmósfera estándar o normar, cuyas caracteristicas al nivel del mar se presentan en la tabla 3.1. TABLA 3"1 Atmósfera estáhdar a nivel del mar con objeto de lograr una mejor comunicación entre los expertos de Propiedad Símbolo Temperatura Presión Densidad Peso T internacional Sistema ingtés p Í) 288 K 101.3 kPa (abs) 1.225 59F '14.696 psia kg/ml 0.002377 stug/pie3 0.07651 lbf/ple3 3.719 x 10-, lbf . s/plez especif ico Viscosidad )'y 1.781 x jO-ikg/m.s 66 ES'I"AT'|C¡| DE FL Ul DOS ; I E6n 52.4 km 47.3 krn -i oo - i20 - 100 -80 lemperoturo -b0 -40 -20 (C) c Flg. &3. Variación de temperátura con altitud en una atmÓsfera estándar' correspondiente a la atmósfera estándar se muestra en ta figura 3-3. En el apéndice A se tabulan valores adicionales para las propiedades como funciones de la altitud, El perfil de temperat¡ras 3.3 PRESIONES ABSOLUTA Y MANOMNTRICA Los valores de la presión se deben establecer respcct1¡ a un nivel dc ref'ert:ncia. Si este nivel de referencia es el vaclo, las presiones se denominan attsolu' /as, como se muestra en la figura 3-4. La mayor parte de los manómetros miden en realidacl una difcrentiu dc presión: entre la presión real y la presiÓn del ambiente (generalmentc la prciión atmosférica). Los niveles cle presión que se miden respecto a la presión atmosférica se denominan presiones manométricas. ESTATIC,A DE FI"UIDOS Nivel do presión 67 Pobsoluto Pres¡ón olmosfórico I01.3 kPo (14.ó9ó ps¡o) en coñdic ¡ones osióndor o nivel de mor Vocío Flg. 3'4. Presiones manomótr¡ca y absoluta que muestran los niv6l6s do r€fersnc¡a" En todos los cálculos que se efecti¡an mediante la ecuación de los gases ideales o cualquier otra ecuación de estado se deben emplear presiones absolutas; por lo tanto labsoluta : Pn,"no*¿r..". * Patmosférica La presión atmosférica se puede obtener mediante un borómetro, en el cual se mide la altura de una columna de mercurio. La altura medida se puede convcrtir en unidades de presión utilizando la ecuación 3.7. Cuando se requiere mayor precisión, la altura medida debe corregirse debido a los efectos de temperatura y altitud. (En el apéndice A se dispone de datos para la densidad relativa de mercurio.) "*3.4 SIS'IEMAS HIDRAULTCOS ["os sistemas hidráulicos se caracterizan por presiones muy altas pudiéndose despreciar en consecuencia las variaciones cle la presión hidrostática. Se pueden mencionar como ejemplos tipicos los frenos hidráulicos de los automóviles donde se desarrollan presiones hasta de l0 MPa (l 500 psi); los sistemas hidráulicos que se emplean en aviación y maquinaria pesada donde frecuentemente las presiones de diseño alcanzan hasta 30 MPa (4 500 psi), y los gatos hidráulicos donde las presiones toman valores de 70 MPa (10 000 psi). Además, se dispone comercialmente de equipos de laboratorio para pruebas especiales que usan presiones de I 000 MPa (150 000 psi). Si bien los líquidos generalmente se consideran incompresibles bajo presiones ordinarias, los cambios de densidad pueden resultar despreciables cuando se someten a presiones altas. Por otra parte, los módulos de compresibilidad de los fluidos hidráulicos pueden variar abrupta¡nente para presiones ¡ror encima de 50 MPa (7 000 psi). En los problemas donde se presenta un flujo no estacionario se debe considerar tanto la compresibilidad del l'luido como la elasticidad de la estructura que le sirve de frontera. El análisis de problemas relacionados con el ruido y las vibraciones de sistemas hidráulicos actuadores y amortiguadores, es bastante complejo y está fuera del alcance de este texto. "Se pu€de omrlir esia sección sin perder conlinuidad en el texlo. 6E ESTAT'ICA DE FLUIDOS 3.5 FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERTICIES SUMERGIDAS conociendo la manera como varía la presión en u¡r fruido estático, podemos ahora estudiar las fuerzas que se producen debido a la presión sobre superficies sumergidas en un líquido. con objeto de determinar completamente ra fuerza que actúa sobre una superficie sumergida, debemos especiticar: l. La magnitud de la fuerza. 2. La dirección de la fuerza. 3. La línea de acción de la fuerza resultante, Veremos en nuestro estudio superficies sumergidas planas y curvas. 3.5.1 FUERZA HIDROSTATICA SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS En la figura 3-5 se muestra una superficie plana sumergida sobre cuya cara xy, superior se desea determinar la fuerza resultante. Se haieleccionado el sistema de coordenadas de tar manera que la superficie se encuentra en er prano Pr6¡ón ombiGntc, pO Punlo do oplicoción do l| Flg. 3'6, §uperftcle ptana sum€rgtda. , Puesto que no puede haber esfuerzos cortantes en un fluicro estátic., la fuerza hidrostática sobre cuarquier elemento de superficie crebe actuar perpendicularmente a la superficie. La fuerza de presión que actúa sob.e un elemento, ¿Á,ae la cara superior de la superficie, está joaa po, dF : -pdÁ (3. I0) ESTA"ilCA DE FLUIDOS 69 ta a la de dÁ. La fuerza resultunre que actúa sobre toda la superficie Ya que la dirección positiva del vector dÁ esraperpendicular a la superficie dirigida hacia afuera, el signo negativo en la ecuación 3. l0 indica que la fuerza, ¿lÉ, actúa en contro de Ia superficie, es decir, en una dirección opuesse puede terminar sumando las contribuciones de las fuerzas infinitesimales que actúan sobre ella; cs decir F* : [^ -pdA (3. 1 1) el elemento de área, dA, deben estar expresados en función de las mismas variables. La relación básica entre la presión y la altura para un fluido estático se puede describir como dp Con objeto de poder evaluar la integral de la ecuación 3.1 l, la presión, p, y donde á se mide positivamente hacia abajo desde la superficie libre del líquido. De este modo, si la presión en la superficie libre (/, = 0) es po, podemos integrar la relación presión-altura para obtener una expresión para la presión, p, correspondiente a cualquier profundidad, lt. Asi, J ,th: Ps ,, : f' T,o ,J¡ lo t,u,tt y por lo tanto fh p:po+)nwdh Esta expresión para p se puede substituir en la ecuación 3.1l. La geometría de la superficie se expresa en términos de x y J,,' como la profundidad h se puede escribir en función de y (h = sen d), se puede entonces / calcular la integral para determinar la fuerza resultante. El punto de aplicación de la fuerza resultante debe ser tal que el momento de dicha fuerza con respecto a cualquier eje resulte igual al momento de la fuerza distribuida respecto al mismo eje. si er vector de posición desde un origen arbitrario de coorclenadas al punto de aplicación de la fuerea resultante se denomina l', entonces l' x É* : Jr " .,F': ).,i * nd't (3. r 2) Teniendo en cuenta la figura 3-5, se puede escribir i' : i-r' + .il,', i: i.x li:'y ¿Á : d,4k. Puesto que la fuerza resultante, É* actúa en contra de la su- 70 ESTATICA DE FLUIDOS perficie (en una direcció¡r opuesta a la tituyendo en la ecuación 3.12 resulta d.i¡, entonces i.* : * f.o[. Subs- (ix'+ js,') x Por lo tanto, -r'*[: .ix,Fn _f,,,r. ftr." +ir) x dF.: _ i1/F^: Io,irr i.rp),t,,t * j¡,¡ n ¡tJ,lR Esta es una ecuación vectorial, por Io que las conrponentes correspondientes a ambos lados del signo de igualdad cleben resultar iguales. Así, ),'Fn: I.,rou,t x'1.^: j^*t,a, (3. I 3a) (l. r 3bl 2. sión atmoférica. Al estudiar la fuerza resultante que actúa sobre una superficie plana sumergida, hemos utilizado la nornenclatura vectorial para hacer hincapié en que las fuerzas y los momentos son cantidades vectóriares. Las ecuaciones 3.1 I y 3.12 constif uyen Ia formulación matemática de principios básicos que son familiares al lector de sus cursos previos y física y estática: l. La fuerza resultante es la suma de las fueras infinitesimares (ecuación 3.ll). El momento de la fuerza resurtante respecto a cualquier eje iguar es - al momento de la fuerza distribuida crJn respecto al mismo eje (ec. 3'.12). es donde x'y y' son las coordenadas del punto de aplicació, cre Ia |uerz.a resultante. obsérvese que las ecuaciones 3. r l y 3. l2 sc pucden utiri¿ar para crctermina¡ la magnitud de la fuerza resultante y su pu*to cle apricación s.brc cualquier superficie plana sumergida, no se requiere que la crensidad cler fluido sea una constante ni que ra superficie liurá aer liquido estó en preIa Teniendo en cuenta que ra fuerza resurfante F^, se obtiene una cantidad vectoriar, l. ?. 3. La magnitud de F* está dada por r^:lÉ*l =!or,^ La dirección de I'* es perpendicular a la superficie. La linea de acción de Il, pasa a través del punto ¡,, /,, donde t"lt*: I^ :'p tA .'F* Ejemplo 3.4 : f xp dA La superficie inclinada que se mueslra en ra figura, está articLrlacra en el punto ,rl y tiene 5 m de ancho. Determine la fuerza resultante, l qLre ejc,rcc el agua sobre la superficie inclinada. ^. ESTATICA DE FLUIDOS 7l -fD=2m 2\ -L ) It =ql l]roblenla de ejemplo 3.4 DATOS CONOCIDOS: Compuerta rectangular, articulada en el punto A. r.y = 5 m. -1. D=2m __L DETERMINARI Fueza resultante, Ér, que ejerce el agua sobre la compuerta. SOLUCION: con objeto de delerminar É* en forma completa, debemos especificar: (a) la magni. tud, (b) la direcc¡ón y (c) la linea de acción, de la f uerza resultante. Ecuaciones fundamentales: ÉA : -lpo¡ r *: ,n clh i'x Fn: -J. ¡ x paÁ supÓngase que la compuerta, articulada en A, se encuentra en el plano xy, con las coordenadas mostradas en la figura que aparece más adelante. ÉR: -" J,oae.- J, pwdyk @Á:waykl 72 ESTATICA DE ¡;LUIDOS v ::i"?;::ff;Jn:i::.,.,1.::lJ:*", de tal manora que nocesitamos conocer p como runción de y Ps dp dh: dp: pgdh Suponiendo y I'.0, - .1,0, un on p = constant€. po 1- p: pgh lEsto permite obtener F = Ten¡€ndo en cuenla €l d¡agrama, se puedo oscribir p lh).Necesitamos p p = lyl.i h:D+ysen30o dondeD:Zm ;::::"rff" Asi, =f tn= I oclA: - aJA' estamos inreresados sobre ta fuerza que ojerce et agua sobre ta compuer. p:pS@+ysen30o) - J,, l?lD ¡t. + y §sn 30')wdy /r r = - powlDy _ -999 kg __x m3 + y2 Ir7""nt'',1" i:,. ,n*lor", 9.81 _-_v t.rnsol* m s2 F* = -58BkkN Para encontrar ra ,nea de acción do ra f ueza resurtante Fr, observemo§ qu8 cr¡cha linoa de acción puede ser tar que ,norunro Jeia f uerra resulranre con respecro ar eje que pasa a través dal.punto A "l clebe ser igual al momento de la f uer¿a d¡str¡buida con respeclo al mismo eie; es decir, r,, (ix, Én= ii ^ u dF: *lJ., i, paÁ De este modo, §ubst¡tuyendo las diferentes cantictades, so obt¡.ne +¡y,¡, _F*i,: _ i t* +jy) x pdAk JA ESTATTCA DE FLL)IDOS Y 73 porrotanto. ix'Ftt-.iy'F*:¡I'"0dA-'iI'"oo - ,-; !^r, oo 4 l, ypw dy : X [,j ,,o+ + ysen3o,) <ry PgwlD , v' --.1' ¡,gwlDL) tu lry' 3sen3ool , _999kgr9.Bl m , mr Y' = 2.22 m De la misma manera ñ1" Lr I 5sen30'I f s2'fus^1orNl , 5, 2m>..l6mr,64mr.1lr,¡ r, *-s "zlrrn_., xp dA Para carcurar er momento de la ruerza distribuida (rado derecho), recuérdese de ros cursos previos en estática, que se dobe ulilizar paÍa"x",el centroide del elomento de área. Conro en elemento de área liene ancho conslante, ¡a = wl|, y ,' : 1tw i_ l^i o ro : * { Í^p dA == i : zs* 1,, J I f' :2.5i 1-2.22¡ m { eje z negativo que pasa a través de La tinea de acción de F* es a lo largo det ¡. €r procedimienro utirizado para dst€rmrnar ra f uerza resuranrÉ, i rx .trt::.1::],"^T."-irusrra ',oQUrvarente a una f uer¿a distribuida que actúa sobre una superlrcie prana i gida. sumer- lemplo 3.5 pies dc longitud ciando el peso de la compuerta, carcule ra fuerza por unicrad deancho que ejerce sobre el tope en el punto,4. La compuerta rectangular, AB, tiene cinco pies de ancho (w = 5 pies) y l0 (¿ = l0 pies). La compuerta está articurada en g" Despre_ se 74 ESTAT'|C¡| DE FL-UIDOS Problema de ejempl<l 3.5 DATOS CONOCIDOS: Compuerta reclangular, AB, articulada en pies. Peso de la compuerta despreciable. B, ancho,w = 5piesylongituct,f = 10 DETERMINAR: Fuerza por unidad de ancho sobre el tope en A. SOLUCION: Ecuaciones fundamentates: F* lFrl luoo !i, , ,,0 momento, M -., lMl .,.Fd ,, donde d es el brazo de momento (el momento en sentido opuesto al de las manecillas del reloj se considera pos¡t¡vo). En equilibrio Lu--o si consideramos la compuerta articulada en g como un cuerpo libre que se en. cuentra en el plano xy con las coordenadas mostradas en la siguiente figura, se tiene: ESTAT'ICA DE F'LUIDAS (a) F.{, la 75 f ueza sobre er tope de ra compuerta, actúa a ro rargo de ra rínea y = o como se muestra. (b) ¿É es un elemento de la fueza distribuida que actúa como se muestra en la f igu. ra, ejercida por el agua sobre la compuerta. Nota: si al carcurar rafuerza d¡str¡buida ejercida por er agua no se considera er efecto de la pres¡ón atmosférica sobre ra superficie ribre, entonces no es necesario incluir ra f uerza debido a la presión atmosférica que actúa la cara posteriór de la compuerta. sobre El momento respecto a x que pasa por el punto B: (a) de É, es F.{¿ (b) det torat de ta fuerza disrribuida ", _Jtr * y\ dF: I, G - y\p dA Puosto que fnZ -- 0, se tiene t,-lit. L compuerta: r..t v)pdA dA = w d¡ donde w es el ancho de la El elemento de área, dA, en la compuerta, es Fu: con objeto de efectuar ra 1 rt. L),,(L ' y)pw dy la relación básica presión-altura, dp integración necesiramos conocer p como f urición de y. De dh:l Suponiendo ), ..dp:^,'dh , l:,oo : I", , on t$ = constante, p: p" I 7h Del diagrama, lEsto permite oblener p = p(h). Necesitamosp= p(y).) h : D,,+ysen3Oo dondeD Spies = .'. p: p,, +.;,(D + ysen3Oo) Al escribir la ecuación de momento (LM :0) no f ue necesario incluir el momento o de la f uerza debido a ra presión atmosférica que actúa sobre er tope de ra compuerta. En consecuencia, ar tener en cuenta er momento debido a ra acción der agua, no cre_ bemos incluir er efecto de ra presión atmosférica sobre ra superficie ribre oet agua. Por lo tanto, la presión debicla únicament€ al agua es p : ";(D "+ ysen30o) De esta manera, F,N : ii, (L - y)pw dy = ¡ .1,, (L - y)','(D + ysen3Oo) dy 76 ESTATICA DE FLUIDOS e§ decir Fn: w I. ,ra * Lysen3oo - Dy or -yr sen3oo) dy tl,* + ! r'sen3o" - r' f =""*" Lr 1 E 1,, -sen30o - z I DL2 L-r -sen3o. I I + Siendo D f ¿'senoo" 6l = 5pies, L = 10pies, y i, = 62.4 lbf/pie3, F_7 I . 1000pies3 1 _ 1 x624tbf|s.pie- l00pies2 t6' 'rl ;-ro*. pi",[ - 2 | 2osolhr/Pies donde F.,l es la lueza que ejerce el tope sobre la compuerta. La fuerza sobre el tope tiene el sent¡do opuesto; por tanto, F.. iF,(en el toPe¡ - --: ¡ ww { ,ie =2080klbf/pie Este oroole-ma ilustra el uso directo det momento distribuido uido sin necesidad de tcalcular la fuerza resurtanle y la linea de aplicación en forma separada. ---- -.-, Fl tl wt -_."¡ i | I I | I 3.5.2 FUERZA HIDHOSTATICA SOBHE SUPERFICIES CURVAS SIJMEHGIDAS Si bien resulta un poco más laborioso, la determinació¡r de Ia [uerza hiilrostática en una superficie curva no ofrece mayores dificultacles que en el caso apenas examinado de una superficie plana sumergicla. La fuer¿a hidrostática en un elemento infinitesimal de una superficie curva, dÁ,actúaperpendicularmente sobre la superficie. Sin embargo, el diferencial de fuerza de presión en cada elemento de superficie actúa en una dirección diferente debidg a la curvatura de la superficie. Si se tiene en cuenta este cambio de clirección el problema resulta un poco más dificil. ¿Qué es lo que normalmente hacemos cuando queremos formar varicls vectores de fuerza que actúan en diferentes direcciones? El procedimiento más común es sumar las componentes de los vectores tomados con respeclo a un sistema conveniente de coordenadas. considérese la superficie curva mostrada en la figura 3-6. La fuerza de presión que actúa en el momento de área, r/.í, está dada por dÉ: -pdÁ La fuerza resultante también está dada en este caso por ( 3.1 0¡ /i¡,: - [^raÁ (1.il) ESTATICA DE FLTJIDOS z=zo I Flü. 3.6. Superficie curva sumor0ida, Se puede escribir F¡ 1"110* y y z, respectivamente. x, : i/:¡, -t- iFn,, + [f'*. (3.1 4) Ito., F^, y r'*, son ras componentes deF^ en las direcciones positivas cra- cién considerada, asi. Para calcular ras comp'nentes dc ra fuerza a ro rargo de una crirección da, se toma er procructo puntuar de ra fuerea por er veitor unitario f tu air..- 1,,,, ,: /i* ,.. J Jt':.i ¡n. _ _ f' prlá cos{), : -lDe la ntisma manera, rn. - _ I^t,d,i.i td (3.r5a) [o-rr^, É.n : * : [^ o uocos l/, t I ptl.tn "/, (1. I sb) f'n. donde - - [^nuocoso,: * [u.ouo, 17,, (3. I 5c) ()r es el ángulo entre ,lÁ y i ,l)" es el ángulo entre r/.i y i es el ángulo entre r/,i y i dA,: ilAr: ¿/,1 cos0. es perpendicular al eje x perpendicular al eje 1, la pr.yección clel elemento cle área dl sobre el plano d.Acos{/, es la proyección del elemento de área dl sobre el plano dicular al eje z (1.='l4cosl)- gs la proyccción ,r,:r cremenro ds árca r/,,r sobre er perpen- ESTA'T'ICA DE F-L IIIDOS El signo (positivo o negarivo) en la úlrima igualdacl de las ecuaciones 3. l5 depende de la magnitud del ángulo que forman el vector r/1 y los vectores unitarios. Si una componente cle fuerza, calculacla según las ecuaciones 3.15, resulta negativa, significa simplemente que según la ecuación 3.14, la componente de luerza actúa en la dirección negativa del correspoclienre eje de coordenadas. La componente de la fuerza resultante en la dirección / está dacla, en general, por Fr,: t [,,rdo, dl (,1.16) donde tlA, es la proyección del elemento de área cular a la dirección { y el signo (positivo o negativo) depende cle la magnirucl del ángulo 0,, entre tlÁ y el vector unitario correspondiente a la clirección /. Podemos observar entonces que para determinar la fuerza resultante sobre una superficie curva sumergida se necesita determinar cada una de sus componentes. Esto requiere aplicar tres veces c¡¡ando mucho la ecuación 3.16' Al igual que en er caso de superficies pranas sumergidas, la ecuación 3.16 se puede integrar solamente si se conoce la presión, y el clenre¡rto de ! área, dA, como una función de las mismas variables de'integracion. Al considerar la componente verticar, f'r.., de ra fucrza resulta,te, observamos que la presión ejercicla por el liquidi: está clacla por sobre el pla^o perpencli- r,: ,:. l" r,s,t= dode z" es la coordenacla vertical de la superficie sumcrgida y ;o es la ct¡ordenada vertical de la superficie libre. De esta manera (véase la i'igura 3-6), ¿¡'.: *pttA.: -(I"' w.,)dl, liquido, La componente vertical ele la luerza resultante sc obtienc al integrar en toda la su¡:erficie surnergidí, Esta integral representa el peso cle un elemento cilínclrico dif'erencial de líquido que se encuentra por encima del eremento cle s,perficie , dA,; dicho cilindro se extiende desde la superficie curva hasta la superficie libre del F, = - I l'" J A. J=' p11rl: tl t. signo negativo indica que una superficie curva con una proyección r/.4 positiva está sujeta a una fuerza en la dirección e negativa. Al tratar superficies cilindricas, es decir, superficies con un rac.lio cle curvatura constante, se f iene ¿/.4 : u,R ¿ifl, donde R es e[ raclio y rv es cl ancho clc la superficie cilíndrica. En esros casos, muchas veces es más fácil utilizar 0 La magnitud de la componente verticar cle ra fuerza resultante es iguar pear so total del líquido que se encuentra directamente encima de ra su¡rerficic. F,l ESTATICA DE I':LUIDOS como en la variable de integración. De este modo /r¡.t,: !.^runcos{J: *f" n"o, otvR¿lo doncle l/ es el ángulo entre ¿/zi y el vector unitario de la dirección /. Para especificar e¡r forma conrpleta la fr"rerza resultante que actúa sobre una superficie curva sumergida, debemos establecer la línea de acción de la fuerza. Dado que hemos expresado la fuerza resultante a través de sus componentes, debemos entonces especificar la linea de acción de cada una de estas componentes. l"o anterior se puede lograr recordando que el momento de una componente de la fuerza resultante debe ser igual al momento de la correspondiente componente de la fuerza distribuida, con respecto al mis- mo eje. Para encontrar la línea de acción de cada una de las componentes de la luerza resultante sobre una superficie curva, podernos escrit:ir iix?F*-:Jr-xi/F.,i i', x .il: i', x -^, [ iiF*" -: ; x,llt ri ( 3.1 7) l' i clonde i',, i'y y fl so¡l vectores de posición de las lineas de acciÓn cle las componentes de la fuer¿a resultante en las dirccciones x, -v y ¿, respectivamcnte' Las correspondientes expresiones para r/I.'., lF,, Y ,lI:, están daclas por lius ecuaciones 3.15. A fin de visualizar ntejor las relaciones dadas en las ecuaciQnes 3.15 y 3.17, considérese la superlicie curva de ancho constante (en la dirección x) nrostracla en la figura 3-7, donde el momento de área, ¿Á,ha sido amplificado. Las componcntes dc la fuerza se expresan como " at'"R F*, : !,1t, - t t dt i = I t,,l,tcosl/,, = [ n,t,tcosll = ! t,,t.t, fu, - !,tt'" - ! t,,t,í' l' ! t,,l,tc«rslr. . - ! t.t,tseni/ .. - t n,,,r, f dA - -dA cos 0, = dAt cos § E----.-.,1 dAsen P t = dAcos = dA, 0¿ Flg. 3.7. Superf icie curva sumergida bidimensional EO ESTATTCA DE FLUIDOS La componente de i;', en la dirección ¿, tiene como magnitud Jp dA- y actúa en la dirección ¿ negativa. Llamanclo fl*,, a la componente vertical de la fuerza resultante, se tiene Fn,, : - F*,. Para erlcontrar la linea de acción de las componentes: : I,n x dF,.i: Jrl x pdA,.i y'i x F*"k : y'i x -F^,i : I t¡x ¿JIr-[ * t r.¡ x -plA"k z'fr. x F^"j De estas dos ecuaciones se obtiene ' : i;!n"'od^n o /: -* [n.,,ouo" )': Fr- [o"rrr,o, Se concluye entonces que no se requieren nuevos conocimientos para especificar en forma completa la fuerza resultante que actúa sobre una superficie curva sumergida. Al determinar las componentes y sus correspondientes líneas de acción, se procede de la misma manera en que se hizo para superficies planas sumergidas. Sin embargo, como se trhta de superficies curvas, las lineas de acción de las componentes de la fuerza resultante no necesariamente coinciden; la resultante completa puede necesitar expresarse co- mo una fuerza y un par. Ejemplo 3.6 yv, de 5 m. La ecuación que describe su superficie es.x : y2 la, donde a = .l m. El nivel del agua en el lado derecho de la compuerta está a 4 m. Determine las componentes F^, y I'H, de la fuerza resultante debido al agua y la línea de acción de cada una de ellas. La compuerta mostrada en Ia figura tiene un ancho constante, Problema de ejemplo 3.6 DATOS CONOCIDOS: Compuerta de ancho constante, w = 5 m. Ecuación de la superficie en el plano xyr , : y2la, donde Nivel del agua, O = 4 ñ1, a la derecha de la compuerta. I = 4 m. -l I ESTATICA DE FLUIDOS DETERMINAR t1 Fr,, F*, y la linea de acción de cada una de ellas. SOLUCION: Ecuacionesrundamentales:F^: - pdÁ *: ctn rn. Momentodeuna fuerza, Ñ: f * F F^-= - UA | pdÁ.¡: - j^,06¡,= -J" onav F^r: - I^ pdÁ,¡ = I^,ooo,: !o'''" p*d, f Sr ruponc crc Iv f¡, &, I I .on positrvos Con ob¡6to de poder electuar las int€gracionos necesarias, se requleren expreslones para p(y) y p(x) a lo largo de la superlicie de la compuerta. dP dP=Pgdh, dh=PS' Si suponemos eu6 fP th ),"dP:)oPgdh p = constanle, ontonces p:p,+pgh como la pr€s¡ón almoslórica acti¡a tanto en la parte superior de la compuerla como en la superficie libro del lf quido, no existe una conlribuc¡ón neta por parte de la presión atmosférica. Por lo tanto, para dÉterminar la fueza debida al llquido, se puede tomar p = pgh. 82 ES A'TrcA DE I:LLIIDO,\ Necesitamos ahora una expresión para h = h\yl y h h(x) a lo largo rJe la superf i= c¡e de la compuerta. Sobre dicha superf ic¡e se t¡ene, h = D _ y. Como la ecuación de la superf icie de ra compuerta es x = y2ra, entonces sobre d¡cha compuerta y = ,/ axt/z pudiéndose escribir para h, h = O -1 áxVe. SubstituyenrJo eslos resuttados en las expresiones para FÁy y F^", se obtiene Fr,: - Jo o*ov - j"' ¡,shwdy - - rsw Í,i ,,o, 'tY!: ,,s* [,',,' {o vl dy :-t)swl', F : 'R. ñ^ ';1:, ' t)sw[r'-?I 999k9 _9.81 m .z-^ 5m (4)rm. N.s2 "-z " *o;, 392kN c IEl signo negativo ¡nd¡ca q,ue F^. realmente aclúa hacia la izquierda. ] t-,: I tDt o pwdx: j" ¡D) ''" pshwdx: ps" I: hdx: Dr psw I,i''' ,o -,/ax,,,)dx ttowD\ t= pew ,,. lDx I, z 2 ,rln'. ,_lo = ,s, ID, _;",o [? ;; I - ,,# I N s2 ks-., m Sm (4).m. 1 c _999k9_9Bl -;z-^ 'R' '-l-'0n,',^ m-j^ Para determinar la lf nea de acción Fr", =261 kN F !,- y'¡ Por lo lrnto, x FR,¡: tr¡ " dF,i: - lri, orte,i -y'F*,: Ín-rooo, 1 lD 1 co / : -ül.,, ,oro, = ,* l" voon*dv = ,f I, ,,o - y)dy y y': + J".rooo, wpsfD . : -r. LrY-- ytlo 31. y pgwDrl z I o 4m Y-- ¡tgwD3 6F" =- 6 l'¡*¡l:¡:-3-=133m De manera análoga para x', x'i x Fx,i : ! ri x dF,j : J xi x pdA,j ESTATICA DE ['I"TJ¡DAS Por lo que xp 83 dA\ d and x' - 1r \)n'"oo' " x1D Jaxt'2¡ox - F* J. wttg D 2 .,1"" :-l__x+ I F*. I2 srax-'.1, pgwD'| 3a - lGr-L,rúDr I I = 1 ln'" xPw dx F& J,, 1 rt,, xPghw dx Y's l'' -12 2 r Dtl pgwDs - lrywlDs ,"1ñ 5 v " as,'2_l -¡: 1oF ^,a2 ,'- 3D231 , 10, lo, U\'.' o; = 1.2 m I jEste problema ilustra el cálculo de las compongnles de ta luorza r6sullante que ac-l lúa sobre una suporf icie curva sumergida. f ljemplo 3.7 El tanque abierto nrostrado en la figura se llena con agua hasta un nivel de l0 pies. Determine las magnitudes y las líneas de acción de las componentes vertical y horizontal de la fuerza resultante que ejerce el agua sobre ta parte curva en el fondo del tanque. I Problema de ejemplo 3.7 DATOS CONOCIDOS: l0 p¡c! __t 4 pic: da rodio Tanque de ancho, w = 10 p¡es, lleno d6 agua hasta el nivel 1O ples. L = l0' o I I Et ESTATICA DE FLUIDOS DETERMINAR: Componentes,F^.,Fr,(ysuslineasdeacción),delafuorzaresullantequeelagua elerce sobre la parte curva an el fondo del tanque' SOLUCION: / Ecuaciones ,r-do F*:-)pdA lundamental6s: *:to:r dM Momentodeunatuer¿a u = lt * aÉ o :i x dÉ r*,- ldr,:F*'I:!o¡ ,: -lodÁ t: -Joaetr)cos(e0-{,r) como variable do integraciÓn, 0. Substituy€ndo los limiles rosulla f Fn.: *JOdAsentl : wR d0, resulta "lÓgico" seleccionar Puesto que para una superficie cilindrica, dA F*. = - J, f*12 PwR dl) sen () Nacesitamos ahora expresar p como r¡na f unciÓn do 0 dP:y dh o dp:ydh v l' dp:l1'dh "pu,,, w .ri u Paray=constante,p=P¡rm*yh.Comonosinteresalaluerzaresultantodebidaal agua(p.,. actúa tanto en el fondo de la superf icis curva como en la superf icie libre del agua), tomamos P: Yh Por lo tantc, lat2 F*,: -Jo )htvFsen0d{.} Para poder ¡ntegrar, neces¡tamos conocer h como una funclÓn de l). Teniendo en : Acos cuentaol diagrann, h = L - y, mientras quealo lafgodo lasuperficie cuwa,y 0.' Por lo tanto, ñ = L - Fcos0 Y r,,2 f" I F^,: -Jn 1'(L - Rcosfl)wRsenddd: -'¡*R ),, (L - Fcos{))senfld0 R\ R .1tri2 :'-vw?f/ :-^¡wR l-Lcos0+-cos2t)l t ' f 2--- l" \ -l 2/ ,^.: -u'or9l, roaie;4 Pies' (r. -:)pie * - 1ee70rbr lEl signo negativo ind¡ca que la componente horizontal do É* actúa hacia la de'' ESTA'I'ICA DE I,'LU I DOS E5 r*": lor,: F*'l: lof t: -lr¿Á ¡= *J = *[" pwldocoso= -.[" YhwRcosodr, rdA(r)cos0 -fr" r,a - ñcos0)wRcos0d0 = -vlwjr"ttcos0 - Rcos2g)d0 -rnwfr-sene - ^G*'""2eI" = -vlw(t n)Pi1 :-17 -'Í) 100 lbl E :' fl' 62.4 lbl pie3 -x 4 Pies . 10 Pies.. x (10 x hacia abaio.} {Et siono negativo indica que la componont€ vsrtical do f*,actÜa F¡* regpecto a O debe ser Para encontrar la linea de acciÓn de Fn,, 6l momento de a O' respecto dF, con de momentos igual a la suma dt y'l x FR.¡: !r¡, dr,t = t^Yl x (-PdÁsen0)¡ -y'Fx.k =* !¡cdAson0 \ !.roooseno - F*.J^ -*['' I : -* ['' F* J. \ YYhwRdoséno v1(L ^*12 - Fcos olwRdoséno J" -J^ F* ncos&y(t - n cos 0)¡vF sénO d0 , = -XI:" lntegrando, 1L"o"o."no - Flcos2osóno)do Y':- F:[t , "--. ]":-t*L,-5-l y' R2r,wf sen20 (¿)2 Rcos3fr-l'r2 n'1Ywf t 8l 1 83 Pies a O debe : --l-!l+r - pie2 , 62.4 llo - 4l ffi'tor,"{7 I_lni": lbl - Para determinar la linea de acciÓn de F¡,' el mom€nto de Ft, pies re§pecto ser igual a la suma de momento§ ds dF, respecto a O' LJ t.-t t I L1l DE l-'1. {J I DOS x'i x Fn,i:Jri * dF,j : x !^x'¡ (- pdÁcos{))i _ kl ,pdAcosfi x'F*.k: ' Jt xpdAcosr: -+['' - ,iJ,, yt¡ff2.' ¡a 'l -+ !l' - ,rr, - Rcos o)wlcos()tt() Fsent)i,(r z * Rcos 0)wRcos0d0 (Lsenllcosl/ llcosr (tsenil)dil senirr :- wR'-,.f Fco:.o1". =-r;1, = _$_-.ll r" l'-¡-*^l-1, 10 ft ' (4)ip¡e'r ,, _ _ !l 5 j 62 ¿ 17,1oo lbr /_ p* - ^ (' ¡JPies - 2 14 Pies 41 tbf obsérvess que como cada fuerza inf in¡tesimar, ¿É, acrúa a través der centro de ra su. perf¡cie c¡llndrica, entonces ra f uerza resultante, F^ debe actuar iambién a través dol origen, o. Este r6§u[ado se puede utilizar para determinar x,una vez que se conoct y', o viceversa. Este problema ¡rustra ra apricación de ras ecuaciones básicas para determinar ras lueruas hidrostáticas que acrúan sobre una superficie de radio de curvarura.on.. 1 I -'J , 'tant€. -- ---"- J **3-6 FLOTACION O T'UBRZA DE EMPUJB Y ESTABILII}AI) si un objeto se sumerge en un riquido o flüta sobre una superficie, la rue rza que experimenta debido a la presión del líquido se denomina fuerzu de e¡¡tpuje o flotación. considérese el objeto mostrado en ta figura 3-g, sunrcrgi_ do en un líquido en reposo. La fuerza verticar que actúa sobre er cuerpo debido a la presióLr hicrrostática se puede determinar más fácilmente si se consideran los elcr¡rcnlos de volumen en forma cirí,drica semejantes al nostraclo e, ra figura 3-g. para un fluido estático tp ,¡ ¡, -- l'!l Integrando para " t) constante, se obtiene lt ,., ¡t¡, t. pqlr Esla sección se puede omil¡r sln perder conlinuidad en el lextü. t:lS'f A I t C ¡1 D M: L' LJ l l.)0 5 E7 Flg. 3.8. Cuorpo sumergido en un lfquido en reposo. l,.a f uerza vertical neta sobre el elentento resulta, por lo tanto' dl'-,-.lpo + luh,)t1,1 '(Pt¡ | t,ght\d,1 - ¡tt¡(h'- ht)d''l [)cro (/r2 -" hr)lA - r/V. es el volurnen dcl elcnlento' Entorlces, f"' - .l l,ll'.- = Jv"' | ¡tp¡tlY - ¡tL¡Y eloncle V es el volulnen del otrjetg. Resulta, pues, que la fuerza vertical neta tlcbida a la ¡rresión, o fuerza de eurpuje sobre cl objet0, es igual a la fuerza cle graveclad clel líquido clcsplazado por el objeto. Esta relaciÓn la puso en práclica por prirnera vez Arquímedes, qtrien en el año 220n.C'determinó el la corona del Rey Hieron II (ejemplo 3.8). Por lo ante¡ior, a ilicha fórmula se le conoce como principio de Arquimedes' En las aplicaciones técnicas flrás reciel)tes, la ecuación 3.18 se utiliza para diseñar grandes enibarcaciones, tgda clase de dispositivos flotantes, y batiscafos. La línea cle acción de la fuerza de flotación se puede determinar utilizando los métodos examinados en la secciÓn 3-5.2. Puesto que los cuerpos que llotan se elcuentran en equilibrio bajo la acción de las fuerzas de cuerpo y las I'uerzas cle flotación, la localización de la línea de acción de la fuerza de l'lotación cletermina la estabilidad del cuerpo, co¡no.se muestra en la figura conrenido rle oro cle 3-9. l'1,,"""u,,¡ (0) t stable Flg. 3-9. Estabrlidad do cusrpos flotanl(,s lb) lnestable E8 ESTATTCA DE FLUID^S La fuerza volumétrica debida a ta graledad,en un objeto actúa a travós óé. puje (flotación) está tarancea¿áy'rlrm1e, Ia figura 3-9q, rafuerza de emparre de un par que dende tablecer la embarcación en a res,u oori.iin de equilibrio. Én üj¡*r. a 3-9b, et par formado tiende a vortear ru .rnu-*"ion. Én b, b;;'i; vera, ras cargas producidas por ros vientos *ur¡on* rr.-ur"¿i.ior"rlüiour*.r bore que deben considerarse al esrudiar ,, .riuúili¿¿a. EJcmplo 3.t del cenrro de gravedad aer .ue.pJ, *ron" requería una fuerza de 4.7 lbf para quedar suspendida cuando r. ru*.rgu.n , desprazaba I8'9 purg3 de.agua, por "guu ro que conciuyó q". r" *r,uou r,""t o de oro puro. ¿Está t..io. a. con esto El Rey Hieron ordenó que re hicieran una nueva corona de oro puro. cuan_ do la recibió, sospechó qu. r. otros metares en su manufactura' Arquimedes.oescubrio 'uiiunlipreaao queiu il i.r.J" *;;il;..rro il.rino Problem¡ de ejemplo 3.E DATO§ CONOCIDOS: Volumen d€ la corona, V = 1g.g pulg3 Fuetza nocegaria para suspondsr la último? corona en agua, Fnet¡ = 4.7 lbl DETERMINAR Densidad promedio elel material an la corona. SOLUCION: Se trata de aplicar F : má a la corona Ecuaciones fundamenteles: §upóngase: á o bien : sumergida. fF: ma F,lotacrón= pu,ogVk t 0 para la corona. por lo tanto IF = 4","+ 6r""*"0* (6et¡6r¡veo¡¿+ Frio,o¡on = má = o pn,ogV)l - Q ESTATICA DE I-LUIDOS Por olra parto, Fgravodad E9 : tal manera que p"gV, donde p. es la densidad clel material de la corona, de 6rav6daa: t","* x PnrogV : P,gv rc p" , Fner" 1.94 slug* - pu2o pi"a 4.1 lbl 1 18.9 pulgJ 32.2 s2 slug.pie pie tbf .s 1728 pul EF- : 15.3 slug/pie3 "T3.7 }-I.UIDOS CON MOVII\IIENTO D[ CUERPO RIGIDO un fluido con movimiento de cuerpo rigido se mueve sin deformarse como si efectivamente consistiera en un cuerpo sólido. como no existen de forma_ ciónes, tampoco puede haber esfuerzos cortantes; en consecuencia, er único esfuerzo que actúa sobre cada elemento de fluido es la presión. como un fluido con movimiento de cuerpo rígido no se deforma, cada una de sus partículas mantiene su iclentidad. por esta razón,al igual que erl el caso de un fluido estático podemos apricar Ia seguncla ley de Newton puru determinar el campo de presiones que resulta de un movimiento de cuerpo rígido específico. En la sección 3-l dedujimos una expresión para la fuerza torar debida a ra presión y a Ia gravedad que actúa¡r sobre una particura de fluido de vorumen, dV. Obtuvimos, dF:(-gradp+pildy es decir, ñ --gradp+pú La segunda ley de Newton se puede escribir dF (3.2) ¿É : a¿lm: pn úpdY o bien dF ;li: Substituyendo de la ecuación 3.2, se obtiene -grad p + pú : pit " Esli sacción ss pu€ds omlilr 3ln porder conllnuidad sn sl f€xlo. (3. r e) 9ü EST,/ITICA DE ÍILUIDOS El signil'icado físico en seguida: cle cada uno cle li¡s tór¡¡rilios cfi csta ecuación sc sciul.i pg pá + prcsión ¡ luerza de ¡ ¡ luerza volurnéirica I I nrasa por I laccleracion por unidad de l' -J pu, uniclad de J l-] Lrnitlarl l', Jr.l* la pur- t volu.mcn en un votumcn c¡r un j r're uta rtc uorula. I pur)to | | punlo nler) [" I -gradp , lltrrtlo I Esta ecuación vectorial está formada por tres ecuacioncs co¡¡)poltcntcs qilc debe satisf'acerse individLralrncllte. [:n coorclcnadas rcctaugularcs lirecuaciones comp()nentes son ip\ l,L , pg, - 1,.,, ¡rara llr clireceiórr .r I I : ,u, ^! a ,0, para ¡:ara l, ..lirc.ci.'r,, ,' (.1.1()l ,'p + [r!1. : ,.'Ejemplo 3.9 l,o, ll tlirceciórl ; .. I I ] Las ecuacio¡res componentes para otros sistenras de coordenaclas escribir utilizando la correspondiente expresión de grad p. se pucclcrr Una persona debe nlrldarse a otra localidad. De sus pertenencias, debe llevar consigo una pecera en la parte trasera de su vehículo. La pecera liclte forma de una prisma rectangular de l2 x 24 x 12 pulg. ¿Quó cantidad dc agua debe colocar en la pecera con objeto de asegurar que el agua no sc derrame durante el viaje? Pr¡¡blema de ejtmpl«r 3.9 DATOS CONOCIDOS: Pecera en forma de prisma rectangular de 12 agua a Ser transportada en un automóvil. DETERMINAFl: x 24 x 12 pulg parcialmente llena con Nivel máximo del agua para asegurar que no se derrame duranle el viaje SOLUCION: El primer paso para obtener una solución consiste en tormular científicamentú problema, es dec¡r, expresarlo de manera más especif ica. el EST"ATICA DE fLUDOS 9l Es obvio que la superf icie del agua se moverá como resultado del efecto que causen Sobre el vehiculo los baches sobre el camino, laS vueltas en las esquinas, etc' sin embargo, supongamos que el principal efecto sobre la superf icie del agua se debe exclusivamente a las aceleraciones (y desacelerac¡ones) lineales sobr el vehiculo, es dec¡r, que no se presenta ningún bamboleo o agitaciÓn sobre el agua como resullado del movimiento del vehiculo. COn lo anter¡or hemos reducido el problema a determinar el ef eCto de una acelera' ción lineal sobre la superficie libre del agua. Sin embargo, no hemos decidido la orientación del tanque con re§pecto a la dirección del movimento, Si el eie de coordenadas x se encuentra en ladirecciÓn clel movimiento, ¿debemos al¡near el tanque con su lado más largo paralelo a este eie, o bien perpendicular a la direcciÓn del movi' mionto? St no existe movimiento relativo en el agua, debemos SUponer que se trata de un $istema con aceleraciÓn constante, a.. ¿Cuál será la forma que tome la superficie libre del agua bajo estas condiciones? Establezcamos el problemaa f in de respondera las ¡nterrogantes originales sin hacer desde un principio suposiciones restrictivas. DATOS CONOCIDOS: fanque parcialmente lleno con agua (hasta una altura d, en pulg) suieto a una acelefaciÓn l¡neal constante, La altura del tanque es de 12 pugl; la longitud paralela a la dirección del movimiento es b en pulg. El ancho perpendicular a la direcc¡Ón del mo' a,. vimienlo es c en Pulg. UI -TI d DETERMINAR: (a) Forma que toma la superf icie libre del agua bajo una celeraciÓn constante a. (b) Altura máxima oel agua, d, para evitar su clerrame, como f uncián cle a- y de la (c) orientaciÓn del tanque. OrientaciÓn Óptima del tanque y nivel rnáximo del agua. SOLUCION: EcuaciÓn f undafnenial : *'Yp t ¡,9 l)a + /<g.) - 92 ESTATICA DE Í,LUIDryS Puesloquepnoesunafuncióndez, :0yar:á,:0. lp/tz: O,porolra parle,g, * 6, g, = .'. r'o io jps:ipa^ -i;*i+('X ('y Las ecuaciones componentes son: dx,y + dy\es que una derivada parcral fRecuérdese que todas tas demás lsignilica variables ¡ndependi6nt€s { ?p mantienen constantes durante ol procoso lse -: -P9 .'y Icle derivación. El problema consiste ahora en determinar una expresión pdra p = p lx, yl. Eslo nos perm¡tirá encontrar la ecuación de la superf icie libre. sin embargo, posiblemento no tengamos que hacerlo. Como la presiÓn, p = p (x, y,l, la dif erencia de presión entre dos puntos (x, y) y (x + ?p ¡;: * Pa' ¿p=!a, +'!ay ('X a,y Dado que la superf icie libre constituye una linea de presión constante, entonces a lo lafgo cle la superficie libre, dp = e y - pa,dx- pgdy o:P ('x dx+?dy: (,y por lo tanto, dY\ {La superlicie l¡bre es una tinea recta.l En el diagrama que aparece abajo, . ax lx )"up.,t,r,.r,u," 7 d = nivel original del agua e = altura del aoua sobr€ ol nivel original D = longitud d€l ianque en la dirección del movimiento ' : t"n' : (f : #)*o"n** I e ,,0,": :? {""0o únicamente para d t,l } il l ) ESTATICA DE T"LUIDOS 93 Como se requiere que e sea lo más pequeño posible para rrna a, dada, el tanque debe alinear§e buscando que b sea lo más pequeña posible. Debemos entonces alinoar el tanque con su lado más largo perpend¡cular a la direcciÓn del movim¡ento, es decir, seleccionarD = 12 pulg. Tomando D = 12 pulg. - ,:6--:pulg g d, en pulg. De ost€ modo a- El máximo valor para e resulta '12 12-d= d.rr: s 12 - Si se supone que el valor máximo eS 39 e§ de do§ tercios de g, entonces el n¡vel n¡áx¡' 8 Pulg. mo pos¡ble resulta d s - A f in de tener un margen de seguridad, tal vez debamos selecc¡onar d - 6 pulg. Recuórdese que hemos supuesto en la soluciÓn de €ste problsma que se t¡ene una aceleración estacionaria, por lanlo, el vehiculo debe conducirse cuidadosamenle. El objetivo de sste problema es demostrar: -r'io*'^","á". i".-rr"o'"mas están ctaramente def inidos n¡ tienen una solal I f fespuesta, [(ll) la aplicación de la ecuaciÓn, -Vp + pg - pá. ) i tjemplo 3.10 Un recipiente cilindrico, parcialmente lteno con un líquido, se hace girar respecto a un eje a una velocidad angular constante, (D, como se muestra en el diagrama. Después de un corto periodo ya no se tiene movimiento relativo entre las partículas del líquido, es decir, é§te gira en el recipiente como si todo el sistema fuera un cuerpo rigido. Determine la forrna de la superficie libre. ,l Prr¡blems dt ejemplo 3.10 DATOS CONOCIDOS: Un cilindio que contiene liquido en rot*dlon de cuerpo sÓlido alredodor de su eje, con velocidad angular, r,r. 94 ESTATICA DE FLUIDÜS DETERMINAR: La forma de la suPerf icie libre.. rl SOLUCION: En este problema conviene utilizar un s¡stema de coordenadas presiÓn p no resulta sér f unciÓn de da la simetria circunf erencial del sistema, la cilindr¡cas, r, 0,2' Da" 1/, es decirp = Plr,z\. siste en determinar la ecuaciÓn de esta superf icie' ordenadas lr, (), 2) y Nota:Lasuperficielibr6esunasuperficiedepre§iÓncon§tante,elproblemacon- Comop=plr,z\,elcambiodiferencial,dp,enpresiÓnentrelosdospuntosdeco' (r + dr, 0 ' z + dz\ esta dado por ¿o -!i.r \l, ,, , ,'z), f) o, ip/rtz\,y t)p/ir\"'Esto se puede z' para Por lo tanto, necesitamos obtener expresionss lograrescribiendolasegundaleydeNewlonenlasdireccioneszy/,re§pectivamen. te, para un elemento inf initesimal de f luido' De la ecuaciÓn 3.20 se tiene para la direcciÓn ,to\ t Pg'= Pa' -+l t'Z /, Como g" y á. : 0,entonces i'p/iz\,: * t'9' ParaobtenerunaexpresiÓndelp/lr)..aplicamoslasogundaleydeNewtonenla : -g dirección r a un elemento dilerenc¡al adecuado' La presiÓn en el centro del elem€nto es p' pdrdz (o +'{, a) (, + !) a a, (r-'# ES'TATIC.A DE FLIJIDOS 95 tiene Escribiendo la segunda ley de Newton en la d¡recciÓn r' se EnoltliagramaSemuestranlasfuerzasqueactúanenelplanorl)delelemento. I¿f, De la f igura = a,dm: a,pdY: -t':2r¡'dY: -o2rpr70drdz d0 t.2pdrdzsent drt ,)dooz drt.. iPdrt/ t / .iPdrt/ ¡or, .(n ':+)1, i)0,,0, (, 'i;)\r que y Al dosarrollar la expresiÓn anterior, cancelar los términos iguales al observar sand0/2:d012(yaquesetratadeángulospequeños),seobt¡ene Ldr,-attaz\nr (i'o) of ,:+,:(';f orl N p+ LdF,.auaz\ Por lo tanto r- ":+ ':A+Í'P.*\ *, ! o, oU dz': :»2 rpr dt) dr ctz elr d0 dz Luego de dividir ambos lados de la ecuaciÓn entre -r fssulta (P : ir Por otra parte, siendo rr(t)'r ) o, ar:f\ ' ,'r/, ar*f) tz/, Resulta dp: polrdr - pgdz presiÓn entfe el punto Es necesario integrar con obieto de obtener la diferencia de d€referencia(r,,2,),,dondelapres¡Ónvalep,,yunpuntoarbitrario(r'z)dondela presión es p. f' i,,, - c, )""n0' )""'''"d' ''oo It't2 , _ _ lr, ril _ pg(z -- zt) P Pr =,; J i' Tomando el punto de referencia en la intersecc¡Ón clel eie del c¡lindro con la superf cie libre del liquido se obt¡ene zt: ht P1: Porn rr :0 Por lo tanto ,rr,.r2 r', _ pg(z -_ h1\ p _ pu,_ =,i 96 ESTATICA DE FLUIDOS presiÓn constants (p Como la superlicie librB e§ una superficie de ecuación esta dada Por ='' p",-)' su ,:ry-petz*h) z: ht t -(ror) 2 o bien, SeconcluyequelaecuaciÓndela§upeflici€libr6€sunaparábolaconunvérlicg en el ejo del cilindro en z = lt'. rotac¡Ón' Por s3lo, ob§€raltura orlgina| de la superficie, tru, es decir, en ausencia d€ Podemosexpresarlaalturat,,u"¡olascondicionesderotación,entórminosdela vemo§queelvolumend6fluidodobep€rmanecerconstanlg.Asi,enausencladero tación Con rotaciÓn v = n?2hn t = j" !" znrtz, : Y Por lo 1,, Znzrdr: J* (n, 'n .':r) ' o' -2n1,,1.#],: n.2ho n[n,n' tanto =, Lr,o, '#] . g;,* ] hr:hoFinalmente, (roH)2 4s (rur)2 29 ,:n.r_ (tuR)r * On z=ñ._*[l_(il'l f z(t\ llquido con suporf icie libre qu0 Esto oroblema ilustra el comportam¡ento tisico de un eiompl¡lica la aplicaciÓn de t¡smpo y mi§mo al rotacion de cuerpo sÓlido I citindricas. coordenadas en diterenciat elemento un a Newton d€ ;;,i;;"; l;;;;il,ey Obletlvos del caPitulo el lettor deberá ser ca¡:az dc lo una vez que ha completado el estutlio del capitulo 3, siguiente: l. 2. tle f'luidos en forma vectorial y Describir la ecuaciÓn fundamental de la estática señalar el significado ñsico de cada término' fluido estático e integrarla pa' Escribir la relación básica presión-altura para un cuenta cualquier variaciÓn en ra determinar la variaciónie presión teniendo en las propiedades del fluido' cs'l.{ 7r¡c..1 oE l--l- Lt I Dos 97 3. 4. 5" Especificar las condiciones de temperatura y presión para una atmósfera estándar o normal. llstablecer la relación entre las presions absoluta y mafiométrica. Para una supcrf icie plana sumergida: (a) Detcrnrinc la fucrza resultante y su linea de acción que actüa sobre la superficie debido a la presencia dcl tluido' (b) Deternrinar las I'uerzas extern¿ls que se requieren para mantener [a superficie en equilibrio' lrara una superl'icie sumergirJa con curvatura en un plano: 6. las componentes cle [a fuerza resultante que actúan sobre la superficie y sus lineas dc acción debido a la presencia del fluido' (b) beterminar las fuerzas extelnas que se tcquieren para mantener [a superlicic en rcposo. i47.I)etemrinar la l'ucrza cle llotación o empuje que actúa sobre ttn cuerpo sumerglclo o quc flota sobre la supcrlicie clc un líquiclo, dett:rmitlar la esubilidad del (a) Derernrin¿rr **S.Aplicar la cuerpo llotante. ecr¡aciÓti básica <ie ta hidrostática para determinar el campo de pre- 9 . sioncs, la forma cle [a superficie libre de cualquier masa de lluido que se mueve con nrovitniento de cuerpo rigido, o ambos. Resolver aqur-'llos ¡:roblcmas ¿rl final del capítulo que se relacionatl con el tema quc :e ha cstudiaclo. Problemas l. t Una prcnszr hi{ráulica que sirve para troquelar partes metálicas automotrices puede clesarrollar una fuerza dc 36 MN (megallewtons). La carrera del tro 1.2 3.3 -1.,1 quelado es 0.2 m y [a prensa se acciona hidráulicamente mediante un sistema cuya presiirn de cliseño es 20 IviPa. Desprecianclo el rozamiento determineel área minirria clc pistón necesaria ¡rara producir la fuerza de troquelado. ¿Qué prensa? c:antir,lael clc aceitc hictráulico se clcbc sunrinistrar por cada ciclo de la reparaciÓn p¿ya de taller un Se desea cliserl¿¡r una gr(ta montacalga neumática cle autonlóviles. Se dispone de aire cornprinrido a una presiÓn manométrica clc ó00 kPa. El montacarga debe ser capaz de levantar vehículos hasta de 3 0ü kg. E.l rclzalnienlo en cl urec:rnisnro pistón-cilindro y en los sellos ocasiona una fuerza clc 9tt0 N quc sc opone ill movimiento del pistón. Determine cl cliárne tro del pistón necesario para suministrar la fucrz.a de levantamiento. de levantar fácil¿Qué presiÓn deberá manteilerse en el cilindro con objeto rlente un automóvil compírcto que tiene una masa de 895 kg? La tuberia dcl oleoducto de Alaska tiene un diámetro interno de 1.22 m. En su consrrucción se utilizaron tubos con paredes de I I y l4 mm. La tuberia se probó hidrostáticamente hasta una presiÓn de l0 MI'¡a; se espera que la presión máxinra en servicio sea de 7.79 MPa. Calcule el eslucreo de tensiÓn máximo que se espera tener en la pared de [a tubería una vez que ésta entre en servicig. ¡,Scrá arial o circunfcrc¡icial la dirección clel esfuerzo rnáximo en la parcd dc la trrbcría'l I:l nitrógcno conrprimitlo se enrbarca para su distrihuciÓn comercial en tanques cilintlricos dc diámctro, D : 0'25 rn y longitucl l' = l'3 m' El gas en el tanque sc oncuentür a una prc.,ión tbsoluta de 20 N'lPa y 20uc. Calcule la so relieron a l¿is secciones qus se púe.len omilir sin per(i6f la continui.lad del toxlo .. Eslos ohjelivos 9E ES'lA'tlC¡l DE I:LU IDOS masa del gas en el tanque . Si el esfuerzo ¡náxit'tlo perrnisiblc en la parcd ,icl tanque es 210 MPa, deterrüine el espesor mi¡rinro teÓrico de la pared del ei- lindro. 3.5 Al integrar la relación presión-altura para un fluido incofirpresible se supuso que en reposo, la aceleración gravitacional, g, era una constante. La ley clc lu atracción gravitacional se puede expresar como u:u,,(¡+t/ millas): (a) ir = 6 millas de altitud tb) h : -4 millas de altitud / R \2 donde .R es el radio de la Tierra y á la altitud sobre la supcrficie . Deterntine l¡ (Ilt) variación del porcentaje ell g para los siguientes dos casos (tórllese R = 4 Liquido A It Flg. íl'10. __J 10" T5" i5" I iqu¡do B 3.ó 3.7 3.t Un barómetro de rnercurio se utiliza para me«lir la presión atmosf ér'ica cn la misma localiilad pero en dos clías dif'erentcs. Iln anrbos días, la lec¡ura rlr presión fue 29.5 pulg de mercurio, pero las te nrperaturas ambicntales rest¡ltaion 70 y 95oF, respectivamente. Deterndne las prcsiottcs at¡noslÚricas reale\ en los dos rtias, el lbf/pid, y la cliferencia cntrc cllas, en psi' Un recipientc cerrado contictle agua con ttn ttivel tlc 5 m. L,a prcsiilrt atrsoluta por encima dc la superficie del agua es 0.3 atm. (lulcule la plesiÓrt absolutü de la superñcie interior del fondo del recipicnte. Determine la presiÓn manométrica en psig en el pullto a de la figura 3-10' si el liquido.4 tiene una de¡rsidad relativa de 0.75, y la B es de 1.20. El liquido que rodea al punto a es agua y el tanque de la izquierda está descubicrto a la atmÓsfera. 3.9 Un tanque rectangular, abierto la atmósfera, se llena con agt¡¿t hasta el nivel 2.5 m comO se muestra en la figura 3-l L Se conecta al tanqrte un manónretro de tubo en u en un punto localizado a 0.7 nr por encima del londo tlcl tartque. si el nivel cero del fluido manÓmetrico (densidad relativa I .75) es 0.2 rn por debajo de la conexiÓn, determine la desviaciÓn / una vez qtte se ha conectado el manómetro y se ha elinrinado todo el aire dcl tubo manonrétrico. ESTATICA DE F-LUTDOS 99 Flg. 3.11. J. l0 3.ll 3"12 l.13 si el tanque del problema 3.9 se tapa sellándolo perfectamente, y se permite el desalojo lento del agua por el fondo, determine la desviación, d una vez que el sistema ha alcanzado el equilibro. En el sistema del problema 3.9 el fluido manométrico se cambia por mercurio, manteniéndose el mismo nivel cero. se sella el tanque y se aumenta la presión del aire hasta alcanzar una presión manométrica de 0.5 atm. Determinar el valor de /. un manómetro de depósito se calibra para ser utilizacto con un lluido con densidad relativa 0.827. El diámetro del depósito es 5/g pulg y el cliámetro del tubo vertical es 3/ 16 pulg. Calcule la distancia necesaria entre dos marcas consecutivas de la escala vertical, que correspondan a una diferencia de presión de I pulg de agua. El manómetro inclinado mostrado en la figura 3-12 tiene un depósito con diámetro, D, de 90 mm y un tubo medidor con diánretro, d, d;6 mm; el fluido manométrico es aceite rojo Meriam. La longitud del tubo medidor es 0.6 m, 0 = 30o. Determine la presión máxima, en pa, que puede medirse con este manómetro. Fle. 3.12. 3.14 3.15 El manómetro inclinado mostrado en la figura 3-12 tiene un depósito con diámetro, D, de3 pulg, un tubo medidor con diámetro, 4 de 0.25 pulg, y €§_ tá lleno con aceite manométrico con una densidad relativa 0.g97. calcule el ángulo l/ necesario para obtener 5 pulg de aceite ¡nanométrico en et tubo inclinado para una presión aplicacla de l pulg de agua (manomérrica). El manómetro inclinado mostrado en la figura 3-12 tiene un depósito con diámetro, D, de 96 mm y un tubo medidor con diámetro, d, de g mm. Deter_ mine el angulo l) necesario parir obtener una relación 5:l di desplazamiento del liquido comparado con un n¡anórnetro de tubo en U convencionat. IOO ESTAT-IC,,I DE IILL]IDO,S 3.1ó . l.l7 En una localiclad doncle la prcsión es I atrlt se cneontrÓ quc la vur iaciirrr.ic presión con la altura a ctp/dz: - 10.7 N,/mr. La coordenada, í, sc tnide ver' ticalmente hacia arriba. Dcterniine 1a temperatura ilcl lirc, cn csta locltliLl¡il' si se sttpon!'quc eI airc sc colllportil conto gas idcal' para describir Ias variacioncs dcl ¡reso espccilico tlcl airc cn l¡ iltll)i)slcrlt rlc l.r Tierra se ha propuesto url modelo dado por l¡ ccuaciórl: '' "' j''r - l.: dondek: l.9j x l0-ólbl/pie],i = alrurasotrre lasuperficie tle lrt'fitrrlr,t (0.0765 lhvl.ipicr). Sul)()rliclrrl\) i,,, = pcso especilic¡ tlel airc u nivcl dcl nrar quc'11 prcsi¡n 4r'l airt ¿l nivcl clcl r¡rar scrt 1.1.7 ¡tsiit, citlcrrlc lit Plcsiolt tuttt' allittltl dc 2() 0ü) pies; colttparc cl tcst¡lt¡tlo ci)ll cl (ltrr \r L)bt it'nc ¡l consirlcrlit tttl¡ attllosl'srll cstíll(l:tl ' ¡'rortrlicrtlc a ulla l.lB 3.lg Si la r,ariacion dcl ¡reso cs¡-rccilico ctt e[ ¡irc lrtlllosl'L'lict) elltrc tl nircl ,lcl ttl;tt 't' -- A",:, donde 1,,, es il y una altitud de I 6(x) pies cstuviera dacia por )' peso espccitico del aire al nivel del nlar, ¿ es Ia attitt¡(l ltor eucirtta dcl nivel ilcl nlar y k = 0.00020 lbt/pid . pie' ', determine la prcsiiril en psia a la nri:;nra alpsia, 59"1 tura de 3 600 pies cuanclo las concliciones a nive I ,,lcl ttrar son 14.7 y prcsi(rtt, la dcn'i saliniclad tc'mperatura, e n los cambios de Como resultado la ri' clact clel agua del mar se increnrenta al aurnentar la ¡lrof uttcliclad scgún guiente ecuación: P--P'+blt prr.rl.undiclacl dl,.:tlc lit sLt¡rcrlt doltcie ¡,. es la clensidad en la superlicie, /¡ es la cieybesunaConstantepositiva.DesarrolleultaccuaciÓnalgchraica¡rltrlll J.20 presiÓn conlo lunción de la prt-rlundidad' (ltlr para c¡ilcular las vari¿ciones cic presión estática, gentrainlente st| sr.lpolrc se dct'ittc ci'r¡r¡" veces más compresible que el acero. EI niÓdulo dc elasticidad A parit viilirtc' (véase el apéndicc constante puede suponer y 1'.,,: tlp,ltlpifl se densidiicl del a¡lrru de este,roiuftl. óalcule el cambio en porcentaje cle la la clcnsidacl ori¡r' si atrtl su presión manométric¿r eli 100 elaguaesunlluidoincornpresible'Enrcalidad,e[aguaesdclorclcltdeltt} cuando se aurnenta 3.21 nalcorrespondientealapresiónatmosl'éricaescle2ggkg/nl]. para calcular las variaciones cie presión estálica, cl agua generalntertlc se 'ri' ponecomofluidoincompresible.Enreali<lad,sucompresibiliclad¡ructlc.,"t importarrteeneldiseñoclevehícl¡l«rssumergibles.Supóngasequeclttróilui., deelasticidaddelaguaesconstanteyCalcúleselapresiónylatJetrsidadautt.i 3'22 su¡rcrlrrrt prolunrliclacl de 4 millas clesdc el nivel clel nr¿ir. L.a dernsidad ett la del mar es 64 lbm'zPier' a descenr,ler }r.i., Los submarinos cle investigación oceanográI.ica han llegado tllt, prol\rndiclacler, estas A nrar' cleI nivel el km descle l0 ta proltrrrclidacles c]e ser sigrlit'icativa trlir tnar del agua clel ¡ucde la compresibiliclacl extremas, manerademoclelarelconr¡lorlattrientodelaguaclclllarellcslescliliclocs,i, ponerquesumÓdulodeelasticiclaclpermanececonslante.[)eacttertltlcLltil.l prot\ttttiitlr'i dc it anterior, calcule la diferelcia e¡ densiclad y presión a ttna knrclescleelnivelclelmaryCompareestosvaloresctllllosqut.sctlbticltcti"r, cll ]-]r)lriri utilizar el nroclelo de iluido incompresitrle. firprcsc los resrtltrdtls tajes" ESTATICA DE FLIJIDO.S IOI 1.23 Un lluido compresible hipotútico ra se utiliza en el sisterna mostrado en la figuAnlbos órnbolos sc rnucven sin rozamiento con las paredes y sus caras externas están expucstas a la prcsión atrrrosl'Crica. La ecuación cle estado para cl I'luido se ¡ruede suponer como 3-ll. ' - Kpr'2 donde h = 0. l0 lbfr ft r l De tcrnrine la ¡:resión en l¿r cara intcrrra del pistón supe rior y la fuerza, F, neccsaria para nrantener el equilibrio. 200 pie I |.25 riez 1_ A= 0.10 pie2 "+,8 Flg.3,13. 3.24 -1.25 3.26 1.27 Calcule dp/tlz para el aire estándar en un dia calmado al nivel del mar y a una altitud de 5 km. (La coordenada ¿ se mide positivamente hacia arriba.) Determine el canrbio de altitud ne.cesario para lograr una reducción del 1590 en la densidad de la atmósfera isotérmica a 20oC. [.a presión atmosférica y la temperatura al nivel del suelo en [a ciudad de Denver, Colorado, sorr 83.2 KPa y 25"C, respeclivamente. Calcule la presión cn una de las montañas aledañas que tiene una altura de 2 690 m respecto a la ciudad, suponiendo (a) un fluido incompresible, y (b) una atmósfera adiabática. Si se supone que el aire es un gas ideal, entonces, conociendo las variaciones de temperatura con la altitud, puede determinarse la presión en cualquier altitud si se sabe las condiciones a un nivel de referencia, :r. (a) Suponiendo 7' : l"o (l + n¡:), deduzca la ecuación para la variación de presión como función de la altitud si la presión al nivel de referencia es po. (b) Utilizando los resultados obtenidos en la parte (a), demuestre que la variación de presión para el caso isotérmico (m + 0) está dada por ! : o ¿11"x: l.2ll Po 'o -:')) en consecuencia, la tempe- A nrayor altitud, la presión atmoslérica disminye; .1.29 ratura del punto de ebullición del agua es menor. Por lo anterior, determinados alimentos, como los huevos pasados por agua, se deben cocinar con difere ntes lapsos. Determinese la temperatura de ebullición del agua a I 000 y a 2 ,C00 nl de altitud en un dia común y compararlo con los valores que se obtie¡ren al nivcl del mar. (lorno resultado de la disminución en la densidad del aire, los automóvilc-s experimentan una pérdida de' potencia con la altitud. Si la eficacia volumétrica de un motor permanece constante y la carburaciÓn se ajusta para mantener la misma relación aire-combustible, determine el porcentaje de perdida en potencia para un motor a 3 ü00 m de altitud, com¡rarado con el nivel del mar en un dia estándar. 102 ESTATICA DE FLUIDOS 3.30 Las variaciones de presión que resultan de los cambios de altitud ocasionan que los oídos "se tapen", efeclo que resulta molesto para los pasajeros de avión o para aquellas personas que viajan a través de las montal'las. Cada individuo se ve aiectado de manera diferente, pero sc puede suponer como t¡n promedio razo¡rable que por cada 75 m de altitud se tenga la sensación r'le oidos tapados. Deterrnine el cambio de presiÓn, expresado en ¡nilimetros dc agua, que corresponde a esta diferencia de altitud en un dia estándar y en Ia 3.3f altitud de 2 000 m. Para calibrar presiones manométricas, muchas veces se utiliza un dispositivtr que se podria denominar corno probador de peso bruto (el rango posible dc cobertura va de 30 kPa a 35 MPa). Las presiones conocidas se generan nlcdiante cargas de peso conocidg en un conjuntg vertical de pisttln y cili¡dro. El pistón cargalo se hace girtu para anünorar los electos de la iriccion. l..a carga máxima recomendable es de 100 kg. Determine el tamaño apropiado del pistón para cubrir el rango de presión señalado. Muchas instalaciones recreativas se construyen en la actualidad utilizandrr estructuras inflables en forma de burbuja, A una burbuja destinacla para cubrir cuatro canchas de tenis, se le da forma aproxirnada de un senricilinilr6 circular de 30 m de diámetro y 60 de longitud. Los ventiladores ulilizados pitra emplear la estructura pueden mantener la presión del aire dentro cle la bur' buja a l0 mm de agua por encima de la presiÓn ambiental. El material de l¿ pared de la burbuja tiene un espesor uniforme. Deternüne la de nsidad rnáxt ma del material, en masa por unidad de área, quc puecle utilizarse para l'abricar una burbuja sostenida por la presión. Una de las principales empresÍ¡s fabricantes de neunráticos acaba de poner e tt operación una prensa vulcanizadora de 6.0 m cle diámetro. Se utiliza un domo hemisférico para sostener el molde y el neurnático, cuando sc introducc cl vapor a presión. La masa del clomo es 130 toneladas métricas. Determinc l¡ presión del vapor (manontétrica) para la cual la masa del domo qucda exaetamente balanceada. ¿Cuánto vale la temperatt¡ra de saturaciÓn correspoll' diente? 3.32 3.33 3.34 3.35 3.3é . 3.37 3.3S Un manómelro colocado en un depÓsi1o cerrado que contie¡re aire señala una presión de 827 kPa en un dia en que la lectura del barómetro es 750 mm de mercurio. Calcule la presiÓn absoluta en el tanque ' ¿Qué presiÓn indicaria cl manómetro si la lectura del barÓmetro cambiara a 775 mm de mercurio? En la pared plana vertical de un tanque de agua se dispone de una puerta de I m de ancho y 1.5 de altura. La puerta está articulada en su arista su¡rrior, la cual se encuentra a I m debajo de la superficie del agua. La presiÓn atmosl?' rica actúa sobre la superficie exterior de la puerta y sobre la superficie librt del agua. Determine la fuerza resultante total ejercida por todos los fluidos que actúan sobre la puerta. Si en el problema 3.35 la presión Inanométrica que actúa sobre la superficic del agua se aumenta a 0.3 atm, determine la fuerza resultante tolal de todor los fluidos que actúan sobre la co¡npuerta. ('al' Se sumergeuncubode I piede ladocomo se muestraen la figura 3-14. y vcrtical la fuerza del fondo, la superficie sobre real del agua cule la fuerza neta que actúa sobre el cubo. La puerta mostrada en la figtrra 3-15 tiene 5 pies de ancho y l0 pies de alttrra Determine la fuerza resultante de todos los fluidos que actúí¡t1 sobre elh ESTATICA DE p=5ps¡g Aire FLT]IDOS IO3 t 5', _T _t 5', 10' F|s.3.14. Flg. 3.15. -l J'39 La rnayoría de ras grandes presas disponen cre compuertas que pueden accionarse para libcrar er agua armaccnacla (fig. 3-16). i,u.o.pu.rtu mostrada se desli,a sobre una praca en cada uno de sus lados. La masa de la compuerta es 5 fi)O kg. (a) Deterrnine l¿¡ fuerza perpencricurar que actúa sobre la compuerta debiclo (b) al agua. Si ¡r.(coeficientetle rozam¡cnto estárico) = 0.4 entre la compuerta y sus soporte§' determine ra magnitud de ra luerza, ,R, necesaria para iniciar er deslizanriento de la compuerta. Flg. 3-1t. Flg. 3-f7. J.40 .1..1 I para la fuerza resultante, Fl. para la distancia vertical, a Considérese otra ve¿ la superficie plana mostrada en la ñg.ra 3-17. De*ucsrre que ros resurtados der problema 3.40 se pueden escribir como (a) L.lna expresión general (h) Una exprcsión general compresible es p. Obtenga: la ligura 3-17. El ancho de la superficie es w. La densidad del liquido in- Una superlicie plana vertical se sumerge en un liquido como se muestra en l -. p,..4 It- i'. I I r..A 104 ESTATTCA DE FLUIDOS donde p" es la presión en el centroide de la superficie, y" es la coordenada vertical del centroide, .4 es el área de la superficie e l es el momento del área cle la superficie respecto a su eje central. Un tanque descubierto con uno de sus lados verticales en forma rectangular, de dos pies de ancho y seis pies de altura, se llena con un liquido de peso especifico variable, y, donde y : 50 + 2y (lbf/pie3), siendo y la distancia desde la superficie libre medida verticalmente hacia abajo. Determine la magnitud de la fuerza sobre el lado del tanque. Sobre la pared plana vertical de un tanque de agua se dispone de una pue¡a de I m de ancho y 1.5 de altura. La puerta está articulada en su arista superior, la cual se encuentra I m por debajo de la superficie de agua. La presion atmosférica actúa sobre la superficie exterior de la puerta. Si la presión que actúa sobre la superiicie libre del agua es también la atmosférica, ¿qué fuerza deberá aplicarse en el extremo infe¡ior de la puerta con objeto de mantenerla cerrada? Si en el problema 3.43 la presión manométrica en la superlicie libre det agua es 0.5 atm. ¿Qué fuerza deberá aplicarse en el extremo inferior de la puerra con objeto de mantenerla cerrada? Uno de los acuarios del centro recreativo de Ma¡ineland tiene una ventana como la que se esquematiza en la figura 3-18. La fuerza resultante del agua de mar 0 : e lbf/pie3) que actúa sobre la ventana es I 280 lbf. Determine la línea de aplicación de la iuerza resultante, en pies medidos desde la arista superior de la ventana. 3.42 3.43 3.44 3.45 ffi Flg. &1E. +A 5 Agua t2' Ltr_ lor g, r+b Flg. 3-19. 3.1ó 3.17 3.48 La compuerta áOC mostrada en la figura 3-19 tiene 6 pies de ancho y se en- cuentra articulada en el punto O. Despreciando el peso de la compuerta, determine la luerza que actúa sobre la barra AB. La compuerta mostrada en la figura 3-20 está articulada en su arista inlerior. Se aplica una presión de 100 psfg sobre la superficie libre del líquido. Determine la fuerza, F, necesaria para mantener la puerta cerrada. Conforme aumenta el nivel del agua en el lado izquierdo de la compuerla rectangular como se muestra en la figura 3-21, la compuerta se abre automáticamente. ¿Para qué nivel por encima de la articulación ocurrirá lo anterior? Desprecie la masa de la compuerta. ESTATICA DE FLUIDOS IO5 : IOO lbf /pie2 ( íquido,l = 100 lbf/P¡ Fig. 32o. Fig. 3-21. 3.49 un 3.50 tanque con una partición central dispone de una pequeña puerta de 0.5 m I m de altura colocada en el fondo del tanque. Esta compuerta está circutada en su arista superior. En el lado izquierdo se tiene un nivel de 0.6 m de agua mientras que en el lado derecho se disponde I m de ácido nitrico el (densidad relativa 1.5). ¿Qué iuerza (magnitud y dirección) se requiere en ixtremo inferior para mantener la puerta cerrada? El registro circular de acceso a un depÓsito regulador de abastecimiento de agua, tiene un diámetro de 0.6 y se mantiene en su lugar mediante 8 pernos unifor¡¡.rn.nte distribuidos circunferencialmente. Si el depósito tiene un de ancho y diÉrmetro de 7 m y el centro del registro se localiza 12 cm por debajo de la superiicie libre del agua, determine: (a) la fuerza total que actúa en el registro y 3.51 (b) el diámetro apropiado de los pernos. La compuerta mostrada en la figura 3-22está articulada en H. Dicha compuerra riene 2 m de ancho perpendicularmente al plano del diagrama. Calcule la fuerza necesaria en .4 para mantener cerrada la compuerta' Ftg. !22. se Fig. 3.23. 3.52 3.s3 3.54 encuentra 100 pies debajo de la superficie del agua como se muestra en la figura 3-23. Determine la luerza neta, F, necesaria para abrir la escorilla circular, en la forma que se indica en la figura. La presión dentro del submarino es igual a la presiÓn atmosférica. La compuerta mostrada en la figura l-24 tiene 3 m de ancho y se puede considerar que no tiene masa, para los propósitos del análisis. ¿Qué altura deberá se encuentre en equilibrio tener el agua para que esta compuerta rectangular figura? la en que iridica se 600 los en Una compuirta plana se mantiene en equilibrio mediante la aplicación de la luerza 4 como se muestra en la figura 3-25.La compuerta pesa 600 lbf/pie de ancho y su centro de gravedad eslá a 6 pies desde la articulación en 0. Determine la fuerza desconocida, F, cuando ft : 5 pies y l): 30 ' un submarino Fí9. $24. Fig. íl.zi. 3.55 una compuerta de masa 2 00 kg se insrala con una articuración sin friccion, en su arista inferior. La rongitud dei :iepós!to y la compuerta (perpendicurar ar plano del paper) es g m. para las condiciones de equiiibrio *tstiuous figura 3-26, calcule el ancho, b, d,e la compuerta. .n ra Fig. 3.26. Fig.3-27. 3.56 3.57 La compuerta AB tiene 3 pies de ancho y 2 pies de rongitud. cuando es¡á cerrada, la compuerta se encuentra inclinada un ánguro de r : 60.. Determine el momento respecto a ra articuración á ejercida por er agua $rc. 3-21). La compuerra rectangular ,4fl mostrada en ra figura 3-2g, tiene 2 m de ancho. Determine la fuerza que por unidad de ancho se ej.rcá contra el tope en l. Supóngase que la masa de la compuena es despreciable. rts. Ftg- 3.2s. é-¿é. Fl$ &29. 3'58 por La densidad de líquido que se encuentra en un gran tanque no es constante debido a los gradientes de temperatura. La variación de densidad está dada ¡t: ¡tn(l + hl 5l DOIñ'tWñ UD rr-UtUuO Determlnar: 1.59 J.é{l sobre el área señalada en la figura 3-29 debido exclusivamente al líquido. (b) La posición y' donde actúa la fuerza resultante. La compuerta parabólica de la figura 3-30 tiene 2 m de ancho. Determinar la magnitud y la linea de acción de la fuerza horizontal que actúa sobre la compuerta debido a la presencia del agua; c = 0.25 m-1. Para las condiciones del problema 3.59, determine la magnitud y la linea de acción de la fuerza vertical que actúa sobre la compuerta debido a la acción del agua. (a) La fuerza resultante que actúa Flg. +30. Fig. 331. 331. 3.ól 3.62 3.63 El nivel del agua del lado derecho de la compuerta en el problema 3.59 se incrementa desde 0 hasta I m. Determine el nivel Z, necesario para reducir el momento respecto a 0 en un 5090 del valor correspondiente cuando L = 0 La compuerta mostrada en la figura 3-31 tiene 1.5 m de ancho. Determine la magnitud de la fuerza vertical y su momento respecto a O.El líquido es agua; a 3.64 3.65 Determine, para las condiciones del problema 3.62,\a magnitud y la línea de acción del componente horizontal de la fuerza. Si el agua a la izquierda de la compuerta3"62 alcanza el nivel 0.5 m (fig. 3-31), determine el momento total respecto a O. Determine la magnitud y la línea de acción de la fuerza verrical que actúa sobre la sección cuwa AB de la figura 3-32. El líquido es agua y la sección AB tiene un pie de ancho. Sobre la superficie libre actúa la presión atmosféri- = l.0m-2. ca;k:l.0Pie-1. -c-;---{\ Flg. 3-32. Flg. 3.33. r0E ESTATICA DE FLUIDOS # ; É ti § 3,66 Un tanque descubierto se llena con agua hasta el nivel señalado en la ligur; 3-33. La presión atmosférica actúa sobre todas las superficies externa\ c*i tanque. Determine la magnitud y la línea de acción de la componente verti(r' de la fuerza que ejerce el agua sobre la parte curva del fondo del tanque. La compuerta del vertedor de excedencias en una presa tiene la forma de ¡¡; arco circular de ancho )v m, como se muestra en la figura 3-34' Determine: a i 3.61 (a) (b) La magnitud y la dirección de la componente vertical de la luerza de¡r. do a todos los fluidos que actúan sobre la compuerta. Un punto de la linea de acción de la fuerza resultante total sobre la puerta debido a la acciÓn de todos los fluidos. e oar. Fig. 3-34. Fis. 3.35. 3.68 3.69 La compuerta de la figura 3-35 que tiene [a forma de un cuarto de cilindro e.tá articulada con el punto á y tiene 2 m de ancho perpendicularmente al plano del papel. El fondo de la compuerta se encuentra 3 m debajo de la superlicie del agua; determine: (a) la magnitud de la fuerza horizontal (b) la linea de acciÓn de la fuerza horizontal (c) la magnitud de la fuerza vertical (d) la línea de acción de la fuerza resultante El tanque mostrado en la figura 3-36 tiene 2 pies de ancho (es decir, 2 pies perpendicularmente al plano -rZ). Se encuentra lleno de agua hasta el nivel de 8 pies. La presión del aire encima del agua es l0 psig. Determine la rnagnitud de línea d.- acción de la fuerza vertical que actúa sobre la parte curva del tan- -{- + I 4', 8'. t I F¡9. 3-36. Fig. 3"37. ESTATICA DE FLUIDO§ IO9 1.70 4 pies y la si el nivel del agua en el tanque del problema 3.69 se reduce hasta magnitud la determine psig manométrica, pr*iá" del aire'se mantiene en l0 parte curva del la que sobre actúa vertical la fuerza i t" tin." de acción de .1.71 un r.12 tanque. vertedero cilíndrico tiene 3 m de diámetro y 6 m de longitud (fig. 3-37). que actúa sobre Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante agua' del la acciÓn a et vertedero debido I m de lonDetermine la masa del cilindro mostrado en la figura 3-38. Tiene que el rozamiento gitud y está sostenida por el líquido (agua)' Supóngase de la luerza entre el cilindro y la pared sólida es nulo; no se utilice la técnica de empuje excepto para verificar los resultados obtenidos' Pn, \ / \ Po" Aa,cu, loción Pz -T I 15 l 1 Fig. 3.38. Fig. 3-39. 1.73 3.14 srn peDos liquidos diferentes se encuentran separados por un divisor curvo, a difeso, cuyo radio de curvatura es constante. Los líquidos se encuentran r€sPectivarente presión en su superficie libre, representadas Por Po, Y Po,, pr mente, en la figura 3-39. La articulación no tiene fricción. Las densidades, pre. las } p¡. Son 33 lbm,/pier, respectivamente. Determine la diferencia en siones necesarias para apenas mantener cerrada la compuerta' a un La cubierta de la cancha de tenis del problema 3.32 se encuentra sujeta eje perpendicular.al dirección una en km/h 50 velocidad que con sopla viento del cuerpo Semicilíndrico' Utilizando coordenadas polares con ángulo, 0. la contado a partir del lado corriente arriba (aguat arriba) de la estructura, distribuciÓn de presiones se puede expresar como P-!' : I -4senru \pt'; dondepeslapresiónenlasuperficie,p,eslapresiónatmosférica,yl,*,esla velocidad del viento. Determine lr fuerza vertical neta que actúa sobre la estructura. mostraSe sumerge un cuerpo en forma de cubo en un líquido hasta el nivel es la cuerda y en la tensiÓn es 0.5 slug cubo del masa La do en la ligura 3-,10. l0 lbf. Determine el peso especiirco del liquido' 3.75 F¡9. 3.40. F¡s.3.41. il0 ESTATICA DE FLUIDOS F { 3'76 un hidrómetro e§ un dispositivo para medir la densidad rerativa .l J. t t que éste apenas sobresalga de la superficie, arcanzando la ventanilla, cuando el erectiólito ,.ngu ,,i"r.gu1áñp1.," p.r. una densidad relativa de 1.2g. 3'7E un buque moderno supertanque dispone de una capacidad de medio milrón de toneladas métricas de petróleo crudo tipo arábico, cuya densidad relati,,.a es 0'86' El buque tiene forma esenciarmente rectangurar con una longitud de 400 m y un ancho. de 65 m' su masa es aproximadamente 230 000 toneradas métricas' con objeto de lograr un calado suficiente para la estabilidad del buque cuando se encuentra descargado y mantener su propela sumergida, resulta necesario introducir at interioi del tuque agua de mar como lastre. sise requiere un caiado mínimo d. 20 ;, ;.;rmine er calado máximo cuando el tanque se encuentra cargado de petróreo. Determine ,".u;¿n qrc fracción del tanque debe llenarse.on de mar cuando el buque viaja sin carga. 3.79 Los grobos de investigación ciátifica "grá que se utilizan para erevar instrumen_ tación hasta altitude§ extremadamente grandes, op.i"n u";o eqritiu.io a. presión con sus alr-ededores. un globo Je este tipo, construido áe poriester con un espesor de.0.013 mm (0.5 mil), es capaz de levantar 230 k; de carga hasta una artitud de aproximadamente 4g km. Las condiciones de la atmósfeherio una temperatura de aproximadamente rOoc. La densidad ..rutir" o.iáterial del grobo es l'2g. Determine el diámetro y la masa de globo. supóngase que el balón tiene forma esférica ra en esa altitud son 0-95 mbar der hidrómetro de tar.manera el acumulado. esta comptei"i-,.nr.."rru_ do (ra densidad rerativa del erectrólito se encuentra entre r.2g y 1.30), ra parte cilindrica de diámetro uniforme der hidrómetro sobresale J. ü ,up"rri.i. a.r erectrórito de tal manera que se puede observar desde el exterior der acumurador a través de una pequeña ventana. Er hidrómetro.rta t..io a. un plásrico con una densid:d.rerativa 1.12 y la ventani,a se encuentra a l0 mm por encima de la super{icie del electrórito. Determine la longitud, r, der eremenro uno de ros recientes desarrolros en la industria automotriz son ros acumura_ dores de promo-ácido compretamenre se,ados. disponen de hidrÓmetros interconstruidos para indicar la densidad del electrólito y conocer asi su carga. cuando de u¡ líquido; el valor de esa propiedad queda indicado por el nivel iona. l" ,up..ficie libre interseca¿l vástago der dispositivo.u"náo r. ü;;;L flotar en el líquido' El niver 1.0 correspoñde ar agua destilada. para el dispositivo mostrado en la figura 3_41 de 6 mm de diámetro, el volumen srm"rgi¿o en agua dest,ada fue de 15 cm3- Determine la distancia, á, desde el niver 1.0 hasta la superficie cuando el hidrómetro se coroca en una solución de ácido nitrico cuya densidad relariva es 1.5. E"* ;;;i;;;;; ..úi;; v -20"c.E1gas r".n.;;;;;; 3'E0 un globo presurizado que contiene helio se ha diseñado para revanrar una carga hasta una artitud de 40 km, donde ra presión y la t.rp.."tr.a1tmorr.rica es 3.0 mbar y -soc, respectivamente. Er material del globo es poriéster con densidad relativa I.2g y espesor 0.015 mm (0.6 mil). para mantener ra forma esférica del globo se decidió presu.irarro hasta 0.45 mbar. si er máximo esfuerzo de tensión permisible en el materiar der globo es 62 MN,/m2, determine er diámetro máximo del grobo. ¿Qué carga se puede levantar en esas condiciones? ESTATTCA DE l.ll I FLUIDO§ III r.82 Determine el peso específico de la eslera mostrada en la figura 3.42 si su volumen es I pier. Establezca todas las hipótesis necesarias. ¿Es realmente necesario el peso para que flote la esfera? Un pid de cierto material que pesa 67 lbf se sumerge en agua como se muestra en la figura 3-43. Una barra de madera de l0 pies de longitud y 3 pulg2 de sección transversal une el peso con la pared. Si la barra pesa 3 ltf, ¿cuál será el angulo 6 de equilibrio? .'1.E3 una caja I 3.E4 en forma de cubo, de I m por cada lado, está llena hasta la mitad con aceite (DR : 0.80). si se le imprime una aceleración horizontal consrante de 0.2 g, determine la pendiente de la superñcie libre y la distribución de presiones a lo largo del fondo de la caja. un recipiente rectangular que contiene agua experimenta una aceleración constante al desplazarse hacia abajo sobre el plano inclinado como se muestra en la figura 3-4-4. Detelmine la pendiente de la superficie libre utilizando el sistema de coordenadas mostrado. ls Densidod a, = l0 o,"r,.2 ,v del líqu:do' 30"'a -T-* Flg. Fig. 344. 3-44. Í, Ftg. 34S, a_L 1 3.85 3.E6 se puede fabricar un acelerómetro rudirnentario con un tubo en u lleno de se muestra en la figura 3-45. Deduzca una expresión para la aceleración, ¿i, en función de la variaciones del nivel, ft, del liquido, la geometria del tubo y las propiedades del fluido. un recipiqnte rectangular cuya base mide 0.4 m x 0.2 m y cuya altura tiene 0.4 m se llena con agua hasta el nivel 0.2 m; la masa del recipiente vacio es 10 kg. El recipiente se coloca en un plano inclinado un ángulo de 30o respecto a la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el recipiente y el plano es 0.3, determine el ángulo que toma la superficie del agua respecto a la horizontal. liquido, como I t2 EST"I TIC.1 DE t''LUIDOS l.ll7 Si el rccipiente del problcrnl J.8(r sc dcsliza sirr rozi¡rniento, dctc¡r¡i¡e cl .r¡i gulo quc la superl'icic'clcl agua toma con respccto al horizontal. ¿,C'uál seriri l"i pettdiente tle la supcrlieic [ibre dcl agua si tuvicrii ]¿ rnisr¡ta acclcraci(rn sohir 3.8E un recipiente rectangular cuya basc nride 0..1 rn x el plano pcro hacia arrib¿'i 0.2 nl y cuyil altulu trcr¡, 0.5 m se llena con agua hlsta cl nivel 0.2 nr; la r¡llrsa rlcl rccipisntc vacítt g l¡ kg. El recipiente se coloca sobre una superlicie horizontal y se suicta a Lrri.r [uerza horizi¡ntal conslante de 150 N. Si el coelicicntc dc rozalnicnt() entt'( cl recipiente 1'Ia superlicie es 0.25 y el tanqr"re se oricnta clc tul n¡rrrera quc rLi dinlensión ntás corta qr-recle paralela a la dirección dcl rtrovitttit"ltto, cletcrnii. ne: 3.tt9 (a) La fucrza que ejerce el agrra sobrc cada llido clcl trlt(lLlü (b) L.a fuerza quc ejcrce el agua sobrc el londo clel lanquc Una cubeta dc I pic cle cliámetro y I pie de alrura, que pesa 3 lbl', ct»rrierrc ¡ pulg de agua. La cubeta se hace girar a una velr-rcitl¿id de I5 pics/s s6brc uu círculo de 3 pics cle l adio en un plano vertical. Se pue«le suponcr que cl agua se rrueve conto un cuerpo rigido. calcule la tensión cn la cue¡da y la prcsióil que ejercc cl agua con el fondo de l¡r cubeta, cuando ósta sc eneuentra en la parte rnás alta de su trayectoria. Una cámara hermótica, que contiene aceitc mant¡¡ltétrico (DI{ : 0.8), gira con respccto a su eje con velocidacl angular, r,r. Dcduzc¿i rrna cxpresión pura e[ gradiente de presión radial en el aceite, r]7rr'f¡. sn túrrninos clcl radio, r, y ll velocidad angular, r,r. Un recipienrc cilindrico, senrejante al estudiaclo en el problerna de cjcrnplo 3.10, se hacc girar con velocictad angular consran[e a]redcdor cle su ejc. El cilindro tiene I ¡:ric tle diánretro e inicialnicntc contiene agua hasta cl nivcl .l pulg. Determinc la mÉ¡-rirna velocidad con que el recipiente puecle girar sin que la superficie libre toque cl londo del tanque. ¿Dcpencle el resultado quc se obtiene de la densidad del tiquido? Explique. Un automóül que viaja a una vclocidad de 90 km/h toma una curva abierta de 250 m de radio. Las ventanillas del vehículo se encuentran cerradas dc ral tnodo que el aire d.'[ inferior puede considerarse escnci¿rlnlentc c()¡to si filcra un cucrpo sóliclo. LJn niño scntado en la partc trascra soslieltc cn su nlancl la cuerda cle un globo que estír ller¡o cje hclio. I-a cuercla tcnia la posición vcrrical cuanclo el autor¡lóvil se cncontraba en una recla, pero ahora tienc u¡ ángulo de inclinación. Deterntine la magnitud y la clirección rlel ángrrlo clc la cuerda con rcspccto a la vertical. lJn los procesos tlc lirrmltclt¡ tlc piezas tubularcs elc l'ulrtlición cor¡ror'ilirrrlros, tubos, etc., se trtiliza hicrro colaclo o ¡nolclcs dc accro cn un¿r ¡tritr¡clril¿rr.lora horizontal. Se coloca una carga clcl metal lirndidr-r cn la rnatri¿ giratoria, y la aceleración radial permitc que se lormen parcclcs dc cs¡rcsor urrilirrrne. Se dc- 3.90 3.91 3,92 J.CJ seal'ornraruncilinclrode¿rccrodclongitudl-..2rn,racliocxtcnror.r¡ - 0.15 nr, y radio intcrno ri =0. l0 tn mcdiantc este proceso, llr dcnsitlirrl rclirtit,it rlet acero es 7.8. A fin dc asegurar un espL-sor unilornlc, la acelcl-aciir,r rarli;rl minima dche ser l0 g. Dclermine: (a) La vclocidad angular necesaria (b) t-as presiones m¿ixima y nríninta que se alcanzan sttbrc la supcrl'ieic ijc la lu nd ición Documents Similar To INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE FLUIDOS- Robert W, FOX, Alan T. McDonald-Cap 3 (segunda edición)Skip carouselcarousel previouscarousel nextMecánica fluidos solucionario de shamesMecanica de Fluidos Fox SolucionarioMecánica de Fluidos Aplicada - Robert L. Mott - 4ta EdiciónFundamentos de Mecanica de Fluidos - Munson.pdfFrank M. Whithe Cap 1Mecánica de Fluidos - 3ra Edición - Merle C. Potter & David C. WiggertCap 6Mecanismos Mabie Cap 1Mecanica Dos Fluidos Fox Mcdonald 5 Edv3Mecanica de Fluidos de Crowe-elger-roberson Part IIInt.mecánica de FLuidos-Robert W. FOX-Alan T. 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