Asignatura Matemática Financiera.Universidad Politécnica de Nicaragua. UPOLI – RUR Estelí. “Sirviendo a la Comunidad” Documento: Introducción a la Matemática Financiera. Estelí, Abril – 2012. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 1 Asignatura Matemática Financiera. Introducción. En todas las actividades financieras se acostumbra a pagar un rédito por el uso del dinero prestado. La mayor parte de los ingresos de bancos y compañías inversionistas se deriva de los intereses sobre préstamos o del retorno de utilidades por inversiones. En general, todas las operaciones comerciales están relacionadas con los réditos sobre los capitales en juego. Toda persona que obtiene un préstamo queda obligada a pagar un rédito (renta de capital) o interés, por el uso del dinero tomado en préstamo. En general, el dinero genera dinero, acumulado valores que varíen con el tiempo; el análisis de las causas de la acumulación del dinero con el paso del tiempo es el problema fundamental de las finanzas. Definiciones. Tasa de interés y tasa de retorno. Interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en préstamo. Las leyes de cada país rigen contratos y relaciones entre prestatarios y prestamistas. Por un dinero tomado en préstamo es necesario pagar un precio. Este precio se expresa mediante una suma que se debe pagar por cada unidad de dinero prestada, en una unidad de tiempo convencionalmente estipulada. La expresión del precio es la tasa de la operación comercial. La unidad de tiempo que acostumbra a utilizarse es un año. La tasa se expresa en tanto por ciento y éste es el tipo de interés de la operación. Así un préstamo convenido a una tasa o tipo de interés del r% significa que se acuerda que, por cada 100 unidades de dinero prestado, se pagará un interés r unidades al final de cada año de duración del préstamo. Cuando se trata de dinero invertidos en un negocio, el inversionista espera recuperar una suma mayor que la invertida; de esta operación, surge el concepto de tasa de retorno. En los países afectados por una desvalorización continua, la tasa de interés suele ser alta, puesto que combina el interés por el precio del dinero con la correlación de su valor, lo que constituye un seudo interés. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 2 Asignatura Matemática Financiera. Unidad No. I. Calculo del interés simple. El interés o rédito que se paga por una suma de dinero tomada en préstamo, depende de las condiciones contractuales y varía en razón directa con la cantidad de dinero prestada y con el tiempo de duración del préstamo. Al designar con: C = el capital o suma prestada. t = el tiempo. I = el interés o rédito. Se tiene, de acuerdo con las leyes de variación proporcional I = Ctk. Donde k es una constante, cuyo valor depende únicamente de las condiciones contractuales del préstamo. Si las condiciones son del r% anual (año comercial de 360 días) para un préstamo de 100 unidades de dinero, se tiene entonces: C = 100 unidades. t = 360 días (año comercial) I = r unidades (r% = r unidades por cada 100 en 360 días). Mediante la aplicación de la fórmula anterior se tiene: r = 100 (360) k Se despeja r . 100 (360) Al reemplazar la fórmula, se obtiene: I = Ctr . 100 (360) Para el año real de 365 días, año real, el mismo desarrollo conduce a: I= Ctr . 100 (365) El interés simple ordinario o comercial es que se calcula considerando el año de 360 días. El interés simple real o exacto es el que se calcula con año calendario de 365 días o de 366 si se trata de año bisiesto. Los bancos acostumbran calcular los intereses tomando como base el año de 360 días; pero para la duración de los préstamos a corto plazo (plazo menores que un año), cuentan los días efectivos calendario. k= MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 3 con el objeto de facilitar los cálculos. se acostumbra suponer el año de 360 días dividido en 12 meses de 30 días cada uno. 15. Si la fecha terminal corresponde a un día festivo. calculándose sobre el valor anotado en dichos documentos. Fecha de vencimiento. 18. 72. Para períodos menores de un año. Es importante que el estudiante aprenda a calcular el tiempo en la solución de problemas financieros. 60. 30. 40. salvo que se exprese como descuento racional o de otra forma convencional. Determinación del tiempo. computando los años de 360 días y los meses de 30 días. El descuento bancario es el que se utiliza en todas las operaciones comerciales y. Para llevar la cuenta de los días se acostumbra a excluir el primer día e incluir el último. 90.Asignatura Matemática Financiera. Por ejemplo. el sistema local indicará si el pago debe recibirse el primer día hábil siguiente. 5. Esto además de permitir al prestamista disponer de inmediato del dinero correspondiente a los intereses. comercialmente se acostumbra contabilizar los días calendario que hay entre dos fechas. le da un mayor rendimiento que la tasa señalada en la operación. Existen varias formas de medir el tiempo que interviene en el cálculo de los intereses. 45. un préstamo contraído el 10 de enero y pagado el 25 del mismo mes. Mauricio Navarro Zeledón. 9. Página 4 . 3. es el tiempo comercial transcurrido de 15 días. 120 y 180. 6. para calcular el tiempo transcurrido entre el 3 de abril del 2008 y el 14 de septiembre del 2010. comercialmente se acostumbra calcular el tiempo aproximado. Así. un préstamo que se recibe el 10 de marzo a 3 meses deberá pagarse el 10 de junio. Días inicial y terminal. Desde hace mucho tiempo. Obsérvese que 360 tiene los siguientes divisores: 2. Estos divisores permiten un gran número de simplificaciones. por ello. Descuento bancario. muy útiles cuando se trabaja con calculadora. se entiende que es el descuento bancario. MSc. 10 12. Para calcular el tiempo transcurrido entre la fecha inicial y la fecha terminada de períodos superiores a un año. Así. 8. 36. 24. 4. en las operaciones aritméticas con números complejos se utiliza el siguiente método: menos Igual a 2010 año 2008 año 2 años 720 días 9 meses 4 meses 5 meses 150 días 14 días 3 días 11 días 11 días = 881 días. los prestamistas han acostumbrado cobrar los intereses por adelantado sobre el valor de los pagarés. pero cuando el mismo préstamo se recibe a 90 días. La fijación de la fecha de vencimiento se establece contractualmente. si se acostumbra a contabilizar sólo el día terminal. sin contar los días adicionales para el cobro de intereses. Desde tiempos remotos. 20. deberá pagarse el 8 de junio. al hablar de descuento. el término descontar lo usan tanto el prestatario como el prestamista. Mauricio Navarro Zeledón. una o más veces antes de la fecha de vencimiento y cada comprador descuenta el pagaré por el tiempo que falta para su vencimiento. Descontar un pagaré. Es la acción de recibir o pagar hoy un dinero. bajo las condiciones convenidas en el pagaré. Los pagarés son obligaciones a corto plazo y el descuento bancario simple nunca se efectúa para períodos mayores de un año. Valor nominal de un pagaré. Si el pagaré no gana intereses. el valor nominal indica la cantidad que debe pagarse en la fecha de vencimiento señalada. toma el nombre de redescuento. Cuando la operación se efectúa entre bancos. Es el valor nominal menos el descuento. al momento de descontar el pagaré. Para estas operaciones. Descuento. Plazo. Es el término que se utiliza para expresar el período de duración del préstamo. Al referirse a la operación. es decir descontado. Es el tanto por ciento de descuento o sea. Tipo o tasa de descuento. Página 5 . un porcentaje del valor nominal que deduce el prestamista. a cambio de una suma mayor comprometida para fecha futura. n = tiempo expresado en años. al descontar el pagaré. d = tanto por ciento (tasa de descuento) MSc. Un pagaré como un bien mobiliario puede ser vendido. el valor actual o presente con descuento bancario. D = Snd. Valor efectivo o líquido de un pagaré. El valor nominal de un pagaré es el que está inscrito en la obligación. Fórmula para el cálculo del descuento bancario. S = valor del pagaré.Asignatura Matemática Financiera. Dónde: D = Descuento. en otras palabras. Es la diferencia establecida entre el valor nominal y el valor que se recibe. Es el valor en dinero que se recibe en el momento de descontar la obligación. se usan ciertas expresiones léxicas que es necesario conocer. para el comercio se trata de capital. Ejemplo.000. Mauricio Navarro Zeledón. se tiene: VL = VN – D. Calcular el valor líquido. n = ¼ años. Valor líquido = S – D = 68.09.09) = 22. Designado por VL el valor líquido.300.1). menos el descuento.700.000 ( 1 – 1/3 (0. se descuenta el 20 de junio al 10%.000 (0.000 (1/4) (0. Fórmula para el valor líquido en el descuento bancario. El tiempo que falta para el vencimiento es de 90 días.000 – 1. El valor liquido C es el valor actual del pagaré y.340. n = 120/360 = 1/3 año. los cuales se calculan en base en el valor nominal por el tiempo que se retrasa el pago. VN = $ 22. d = 10% (0. igual al valor nominal S. comienza a generar intereses llamados intereses en mora. S = $ 68.Asignatura Matemática Financiera.000 (1 – 0.000 vence el 18 de septiembre.03) VL = 22. Página 6 .000. a una tasa de interés fijada al firmar el pagaré. Un pagaré por valor de $ 68. Pagos después de la fecha de vencimiento. D = Snd = 68. Los intereses en mora se calculan mediante fórmulas ya estudiadas. por tanto. MSc. y por VN el valor nominal. d = 0.97) VL = $ 21. VL = (VN) (1 – nd) VL = $ 22.000 se descuenta 120 días antes de su vencimiento.700. D = (VN)nd. si el descuento se hace al 9%. Un pagaré por valor de $ 22. Valor líquido = $ 66. Calcular el valor descontado y el valor líquido del pagaré.1) D = $ 1. Se sustituye VL – (VN)nd VL = (VN) (1 – nd) Ejemplo. Cuando un pagaré no se cancela en la fecha señalada para su vencimiento. 1055555) (0. Ejemplo. se acostumbra ofrecer una rebaja sobre el precio de lista por alguna razón. pronto pago. La comisión se expresa en tanto por ciento y en su valor no interviene el tiempo. 100 Comisión = Ci. Los descuentos como las comisiones se expresan en tanto por ciento y en su valor no interviene el tiempo.177. promociones especiales de venta. Sean C el valor sobre el cual se ha de pagar una comisión. Valor neto de una factura. Calcular el valor líquido de un pagaré de $ 14. i = 0.12 VL = VN (1+ni) = 14. Descuentos comerciales. si para la venta de algún bien se conviene con el vendedor una comisión del 5%.Asignatura Matemática Financiera. I = r . si los intereses de mora si fijaron en el 12%. se tiene: Descuento = D = Si.000 (1 + 0.000 [(1+0.33 Comisión. El valor neto de una factura es igual al valor facturado. r = el % de comisión fijado. Mauricio Navarro Zeledón. tanto por uno. compra al por mayor. Las comisiones son cantidades de dinero que se pagan o cobran por la prestación de un servicio.01266666) VL = $ 14. esto significa que se la pagará. En el comercio. la suma de 5 unidades de dinero por cada 100 unidades del valor de la venta. menos el descuento. Página 7 . De esta manera.1055555 años.000 (1. n = 38/360 = 0.000. por ejemplo.12)] VL = 14. etc.000 cancelado 38 días después de su vencimiento. Siendo i el tanto por uno.01266666) = 14. C = VN = $ 14. Sea r% el descuento que por alguna razón se concede sobre factura de Valor $S. Sean S VN d i VN VN = = = = = = monto facturado o valor de la factura valor neto de la factura tanto por ciento de descuento d/100 tanto por uno de descuento S – D = S = Si S(1 – i) MSc. 000 (0. $ 96. esto significa que el comprador queda obligado a pagar a los 60 días contados a partir de la fecha de la factura.700 $ 41. Por tratarse de descuentos independientes. • • • Por pago de contado contra factura.000. 6/15. Se acostumbra indicar los descuentos por medio de fracciones.078 8% 5% 6% MSc. según el tiempo en que anticipen el pago sobre el plazo expresado en la lista de precios del mayorista. Por pago a 15 días de plazo.078. 4/30. 8% de contado.96) VN = $ 6.000 $ 46.000 $ 43.000 sobre la que se concede un descuento del 4%. Descuentos por pronto pago. o sea $ 92. cuyo numerador señala el tanto por ciento de descuento y cuyo denominador se refiere al tiempo dentro del cual el comprador tiene la opción de pagar para tener derecho al descuento señalado por el denominador. Por ejemplo.04) = 7. o sea el 15 de marzo. Con frecuencia ocurre que sobre una misma factura se hacen varios descuentos por diferentes razones independientes entre sí.04 VN = S (1 – i) = 7. El comercio mayorista acostumbra ofrecer descuentos por pronto pago. Calcule el valor neto por pagar para cubrir una factura por valor de $ 7. Página 8 . es decir. se paga con el 4% de descuento.720.Asignatura Matemática Financiera. Estos descuentos sucesivos reciben el nombre de descuentos en cadena o en serie.000 (1 – 0.700 Valor neto a pagar = $ 41. que permiten al comprador escoger entre varias alternativas su forma de pagar. Si un mayorista indica sus precios con plazos de pago a 60 días. sobre el precio facturado se ofrecen los descuentos por pronto pago. % de descuento 8% 5% 6% Valor neto de la factura $ 46. se paga la factura con el 6% de descuento. o sea el 1º de abril. Por ejemplo. Esto significa.000. un comerciante factura una mercancía por valor de $ 100.000 se conceden los siguientes descuentos: (a) Por compra al por mayor (b) Por promoción especial de ventas (c) Por despachos sin empaques Estos descuentos se operan así: Valor neto de la factura $ 50. se paga con el 8% de descuento. es decir. Por pago a 30 días de plazo. $ 94. i = 0.000 el primero de marzo con las siguientes condiciones: neto a 60 días. S = $ 7. después de deducir el descuento anterior. Descuento en cadena o en serie. sobre una factura de $ 50. cada uno se efectúa con base en el valor neto de la factura.000 $ 43. Mauricio Navarro Zeledón.000.000. Ejemplo. 06 $ 2. Unidad No.0225) = 47.06 2. 1.186.186. Una persona deposita en un banco $ 2.091. donde el capital permanecía invariable o constante durante todo el tiempo que duraba la transacción y que los intereses se retiraban periódicamente. Anteriormente se abordó problemas de interés simple. Página 9 .138. se muestran en el grafico anterior y se puede observar que en cada período trimestral.01 $ 2.00 $ 2. por cuanto el interés se va integrando al capital. Equivalencia financiera entre una suma de dinero presente y una suma futura. Por ello es muy corriente decir que el interés “los intereses ganan intereses”. El banco paga un interés de 9% convertible trimestralmente.09/4 = 2.138.0 2 Interés devengado I = Pin 2. para luego calcular intereses sobre un nuevo monto en cada período.091.00 $ 2.000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de un año.000.00 2.06 3 2.045 0 1 2. se observa que el capital va aumentando en cada período. Valor final del período F $ 2.11 2. ¿Cuál será el valor del depósito al final del año? Solución: Se trata hallar el valor futuro del depósito con una tasa de interés del 0. Esta situación se ilustra en la tabla siguiente: Período Trimestral 0 1 2 3 4 Valor al inicio del Período P $ 2. Mauricio Navarro Zeledón. II.00 (0. Cuando se utiliza el método del Interés Compuesto.01 2.091. la cual se muestra en la tabla.138.Asignatura Matemática Financiera.000 Los nuevos montos o valores futuros de cada período.045.17 2.0225) = 45.045. Deducción de la fórmula: Ejemplo No. MSc. porque se capitalizan en cada período de liquidación de intereses.06 (0.000. el interés se suma al capital a este proceso se le llama capitalización.0225) = 48. Interés compuesto.045.01 2. La fórmula general para la equivalencia entre una suma de dinero presente P y una suma futura F denominada monto a interés compuesto se deduce a partir de los resultados del ejemplo anterior.25% acumulativo por trimestre.00 (0.038.0225) = 46.00 $ 2.01 (0.01 $ 2.17 4 trimestres.091. n F = P (1 + ie)n Dónde: I = j/m N = m.000. Página 10 .00 j = 0. Período Trimestral 0 1 2 3 4 N Valor al inicio del Período P P P (1+i) P (1+i)2 P (1+i)3 P (1+i)N Interés devengado I = Pin Pi P (1+i)i P (1+i)2i P (1+i)3i P (1+i)N-1i Valor final del período F F = P (1+i) F = P (1+i)2 F = P (1+i)3 F = P (1+i)4 F = P (1+i)N De lo anterior se generaliza la fórmula de valor futuro a interés compuesto para N períodos anuales de liquidación de intereses de la siguiente manera: Dónde: F P j m i n N = Valor Futuro o monto a interés compuesto de una deuda. = Valor Presente o principal de una deuda. = Tasa de interés efectiva para períodos de capitalización menores que un año. La forma también se puede escribir en sus formas equivalentes de la siguiente forma: F = P 1 + j/m m. = Tasa de interés nominal periódica.09 tasa nominal anual. Al resolver nuevamente el ejemplo por la fórmula.n Ie = (1+j/m)m – 1 Datos: P = $ 2. Mauricio Navarro Zeledón. = Número total de capitalizaciones en el plazo de la operación financiera.Asignatura Matemática Financiera. MSc. = Plazo en años y total de capitalizaciones anuales de intereses. = Frecuencia de capitalización o liquidación de intereses. se obtiene el mismo resultado. según el período de la tasa nominal j. m = 4 frecuencia de capitalizaciones. lo que significa que $ 2.D. Esta tasa no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo y especifica la frecuencia de liquidar o capitalizar intereses. Es una tasa nominal j de período semestral con frecuencia m = 6 y tasa efectiva i = j/m = 2% mensual. Tasa de interés pactada o establecida en toda operación financiera.17 Se observa que el resultado es el mismo. Tasa nominal. b) 7% semestral. e) 12% semestral. Convertible continuamente Convertible diariamente Convertible semanalmente Convertible mensualmente Convertible bimensualmente Convertible trimestralmente Convertible semestralmente C. C.186. a) 24% convertible mensualmente (CM). generalmente es para períodos anuales pero también puede definirse para períodos menores de un año.B. por tanto tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo. C.Sem.0225)4 = $ 2.n 4 períodos capitalizados. En la solución anterior se recalca que el valor de 0.25% trimestral produce al cabo de 4 trimestres un monto o valor futuro $ 2.000 (1.T.0225 tasa efectiva trimestral. mide el porcentaje de ganancia de la inversión. C. Es una tasa nominal j con frecuencia m = 4 y tasa efectiva i = j/m = 4% trimestral. d) 18% efectiva. C. Es una tasa efectiva anual ie con frecuencia m = 1. i = j/m 0. Es una tasa nominal j con frecuencia m = 12 de liquidar o capitalizar intereses. n = 1 año de plazo de la operación. Notación para la frecuencia de la tasa nominal anual.0225 es lo que gana un dólar en un trimestre y N = 4 x 1 es el número de capitalizaciones durante el tiempo de la operación financiera.M.17.000 colocados al 2.C. Mauricio Navarro Zeledón. y tasa efectiva i = j/m = 2% mensual. Página 11 .Asignatura Matemática Financiera. F = P (1+1)N F = 2. convertible mensualmente (CM). tanto por deducción como por inducción. Es una tasa efectiva i por semestre.186. N = m.S. c) 16% convertible trimestralmente (CT). C. Tasa periódica de rentabilidad a interés compuesto. C. m m m m m m m = = = = = = = ∞ (infinito) 365 52 12 6 4 2 MSc. Tasa efectiva. 08).000 (1.4. F . El cálculo del valor presente responde a la pregunta: si se desea una determinada cantidad de dinero en el futuro.16/2 = 0.466666667) = 4. Mauricio Navarro Zeledón. P = 100. si se desea pagarla por adelantado antes de la fecha de su vencimiento. la determinación del valor actual de una deuda pendiente. Si observamos el ejemplo No.466666667 N = m. Fundamentalmente existen dos diferencias entre ambos métodos: a) La aplicación de los métodos difieren en respuesta al tipo de operación financiera efectuada: si los intereses son pagaderos por período.9333333 = $ 68.25% trimestral.Asignatura Matemática Financiera.000. n = 2 + 5/12 + 18/360 = 2.S. 5 meses y 18 días la cantidad de $ 100. es por ejemplo. obtendremos el Valor Presente a interés compuesto de la siguiente manera: P = F (1+i)-N = Ejemplo No. I = j/m = 0.000 a un interés del 16% C. colocados a una tasa del 2.186. m = 2 frecuencia de capitalización de intereses. resulta ser $ 2.08 tasa efectiva por semestre. Si los intereses son integrados al principal en cada período de liquidación de intereses. durante 1 año de plazo. (1+i)N Una empresa debe pagar dentro de 2 años. actúa el interés simple. De las formula anterior al despejar P. El valor presente P o actual. es el valor del dinero el día de hoy o el valor del dinero en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento.n 2(2.41 Diferencias entre interés simple e interés compuesto. En cambio si se realiza el cálculo a interés simple se produce una ligera disminución MSc. Página 12 . conociendo la tasa de interés y el plazo de la inversión? Otra forma de uso del valor presente. Equivalencia financiera entre una suma de dinero futura y una suma presente.408. ¿Cuánto se tendrá que invertir hoy.S. ¿Cuál es su valor presente? Datos: F = $ 100.000 J = 16% C. b) El crecimiento de una inversión específica se da de forma más acelerada si es colocada al interés compuesto que el interés simple para un mismo plazo y una misma tasa de interés. 1 resuelto en la tabla se puede apreciar que el monto del interés compuesto de $ 2. actúa el método de interés compuesto.9333333 de capitalizaciones semestrales. 2.17. de $ 6.00 $ 2.00 Valor final del período F $ 2.00 $ 2. ya que para efectos de cálculos los intereses no se capitalizan.00 Interés devengado I = Pin 2.000.00 (0. Página 13 .000. en vista del proceso de capitalización de los intereses. Para calcular la tasa de interés i par cualquier período.09) = $ 2. Período Trimestral 0 1 2 3 4 Valor al inicio del Período P $ 2.000 (1.00 2. F Monto a interés compuesto Monto a interés simple P 0 1 2 3 4 n….00 2. esto es: P (1+i)N = De donde: entonces (1+i)N F/P I = (F/P)1/N -1 MSc.0225) = 45.00 $ 2.0225(4) = 2. se despeja en la fórmula general.00 (0.00 (0.00 $ 2.045. hace crecer la inversión o principal de forma exponencial.000.000. excepto anual.000. Mauricio Navarro Zeledón. en cambio.0225) = 45. Cálculo de la tasa de interés. Efectivamente este resultado se puede comprobar mediante la siguiente fórmula: F = P 1+i(n) F = 2.00 (0. que también se define como rentabilidad a interés compuesto.00 La diferencia entre el cálculo de interés compuesto y simple es debido a que los intereses devengados en cada período no ganan intereses.000 (1+0.000.00 2.00 El método de cálculo del interés compuesto.0225) = 45.0225) = 45.000.135.00 $ 2. el valor futuro a interés simple crece con progresión aritmética y su gráfico corresponde a una función lineal.180.períodos.090.17 en el monto de la misma operación..00 $ 2.Asignatura Matemática Financiera.000.180. El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica y su gráfico corresponde al de una función exponencial. Esto resulta que la tasa nominal. m=2 j = ¿? Ie = ¿? Cálculo de la tasa nominal j: j = m (F/P)1/m. Relación entre las tasas nominales.n -1 Ejemplo No. es la que se pacta o que se establece en las operaciones financieras. Como se estableció antes. MSc. (a) ¿Qué tasa de interés nominal C.500 F = $ 3. Cálculo de la tasa efectiva anual ie ie = (F/P)1/n -1 = 0.S. la tasa nominal de interés. efectivas y equivalentes.Asignatura Matemática Financiera.16% efectiva anual. ie = (F/P)1/n -1 como I = j/m y N = m. ganó? (b) ¿Cuál es la tasa efectiva anual? Datos: P = $ 2.700. es igual a la tasa del período multiplicada por la frecuencia. Esta tasa establece la forma en que se liquidan o que se capitalizan los intereses y no mide la rentabilidad.0816 o sea ie 8. o sea.S. significa una tasa nominal anual con liquidación de intereses trimestrales. la tasa efectiva anual. 3.08 o sea j = 8% C. o sea con frecuencia m = 4. Si una persona invierte $ 2.500 y dentro de 5 años le pagan intereses y principal por $ 3. o bien.T.025 (4) = 0. Al iniciar esta unidad se abordó un poco las tasas de interés nominales y efectivas sin profundizar en su significado.61. Mauricio Navarro Zeledón. y tasa efectiva de período trimestral 2. Por ejemplo 10% C. Página 14 .5%.10 o sea 10%.n -1 = 0. j = i(m)= 0.700.61 n = 5 años.n entonces la tasa nominal es: j = m (F/P)1/m. Cuando la tasa nominal establece períodos de capitalización.Asignatura Matemática Financiera. i = (1+ie)1/m -1 Tasas equivalentes. Dada una tasa periódica del 24% C. Solución: Para la tasa nominal dada j = 24% con frecuencia m = 12.24/12)12 -1 = 0. y las tasas efectivas i e ie son equivalentes. 4. Si los intereses se capitalizan m – veces en un período dado. ie = (i + 0. utilizando la frecuencia m y la tasa efectiva anual ie. pues la tasas efectivas no se capitalizan.M. De la relación entre la dos fórmulas anteriores se llega a la conclusión que la tasa nominal j. entonces decimos que la tasa de interés es necesariamente nominal para ese período. Ejemplo No. ya que miden rentabilidad. estableciendo así la relación de equivalencia entre tasas de interés. tanto nominales como efectivas son equivalentes.24/12 = 0. Mauricio Navarro Zeledón. esto es: j = m (1+ie)1/m -1 o bien. Relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva.02 o sea i = 2% efectivo mensual. Halle la relación de equivalencia entre la tasa nominal. una sola vez al año. Página 15 .02 = 2 mensual.8242% efectivo anual. se tiene la relación de equivalencia: i = j/m = 0. entonces se puede determinar la tasa efectiva i de forma: i = j/m o bien utilizar la fórmula: ie = (1+j/m)m -1 Despejando la anterior fórmula se puede determinar la tasa nominal j. i = (1+0.268242 o sea 26.268242)1/12 – 1 = 0. MSc. entonces decimos que la tasa nominal j es igual a la tasa efectiva anual ie. si al final de período rinden los mismos intereses y tienen la misma tasa periódica. Si conocemos la tasa nominal periódica j y su frecuencia m. por lo tanto se puede afirmar que: dos o más tasas de interés. la tasa periódica efectiva mensual y la tasa efectiva anual. 858619083 x 12 (10 meses) = 0.500/1. 9 meses y 6 días.500 en una cuenta de ahorros que paga el 9%. en determinada fecha. ¿En qué tiempo tendrá un valor futuro de $ 10. Ejercicio No.Asignatura Matemática Financiera.03) = 0. Una persona deposita $ 7.5) = 2n = log(1.012837224 2n = 13.03) = log (1.las sumas de los valores en la fecha escogida de los diferentes conjuntos de obligaciones. P = $ 1. que vencen en diferentes fechas.06 i = 0. El problema básico que debe analizarse es: establecer el valor del pagaré. 10 meses y 9 días.000 se convertirá en $ 1.03 n = ¿? N = 2 (n) F = P (1+i)2n (1+i)2n = F/P (1. Página 16 .5)/ log (1.303429 x 30 = (9. ¿En qué tiempo un depósito de $ 1. 5.5 2nlog (1. Mauricio Navarro Zeledón.03)2n = 1. MSc.000 = (1.500? Respuesta 3 años. equivalente al valor de un conjunto de obligaciones. 6. Estas ecuaciones son las que se forman igualando –en una fecha de comparación o fecha focal.000 F = $ 1. Ecuaciones de valores equivalentes. con capitalización bimensual.858619083 (años) = 0. Cálculo del tiempo. Datos.500 m=2 j = 0.717223817 = n = 6.10287 días) Respuesta 6 años.500 al 6% con capitalización semestral.03)2n = 1.176091259/0. Ejemplo No. 000 (0. Mauricio Navarro Zeledón. Un solo pago al iniciar el 3 año.56967493) = 40. capitalizable semestralmente.0816) + 20.04)-4 X = 10.000 a 5 años de plazo.854804191) X = 10.000 0 Datos. 2 y 3 años de plazo.9455621 + 0.000 (1.393.04)-4 + 20. 7.000 pagaderos dentro de 2 años y $ 20.Asignatura Matemática Financiera.04)-6 X = 40.50. Ejercicio No.000 (1.04 X = 40.393. si el rendimiento del dinero es del 8%.000 (2.000 cada uno a 1.912.000 de contado.50 X = $ 91.04)2 + 20.000 a 2 años y 5 años respectivamente.000 de contado y el saldo en tres pagarés iguales de $ 20.8580419 + 0. La oferta b) es superior en $ 1.000 $ 20.000 (1. Página 17 .000 + 20.7903145) X = 40.08 m=2 i = 0.000 + 20. ¿Qué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad? (a) $ 90.04 X = 10.08 i = 0. capitalizable semestralmente. j = 0.096. Una persona debe $ 10. 8. m=2 j = 0.000 + 51.000 (1. Calcular el valor único del pago. Con su acreedor pacta para efectuar un pago único al final de 3 años a la tasa del 8%.08 X = $ 27.000 + 20.393.000 (1.08 Ejercicios que representan un reto.000 (1. (b) $ 40.000 (0.816 + 17. 1 2 3 4 5 años MSc.000 y $ 20.04)-2 + 20. $10.50. P = $ 10. Ejemplo No. ¿Qué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad. Respuesta = $ 95.000 al contado. Ejercicio No.882. Mauricio Navarro Zeledón.66 MSc. 10.129. Una persona vende un terreno y recibe 2 pagarés de $ 60. Hallar el valor de contado. Respuesta: La oferta a) es superior en $ 3.000 a 2 y 4 años de plazo. b) $ 30. con capitalización semestral? a) $ 60. Página 18 .000 a 3 años de plazo. 9. si el rendimiento es del 8% con capitalización semestral.46 Ejercicio No.Asignatura Matemática Financiera.00 al contado y $ 35. si la tasa de interés es del 10%. anualidad no significa pagos anuales sino a intervalos iguales. Según la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad. los pagos periódicos de las compañías de seguros. los sueldos y todo tipo de rentas. Mauricio Navarro Zeledón. Es el tipo de interés fijado en la tasa de anualidad y puede ser nominal o efectiva. La palabra anualidad se utiliza por costumbre desde sus orígenes. Unidad No. El tiempo fijado entre dos pagos sucesivos es el período de pago o periodo de la renta. Definición: Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. Anualidades contingentes son aquellas en las que el primer pago o el último. El intervalo que transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el final del último es el tiempo o plazo de una anualidad. en las que la duración del pago es. Así es que se usa en las anualidades contingentes. en las que interviene la probabilidad anual de vida de las personas. Por consiguiente. los nombres de anualidades variables o anualidades impropias. ilimitada. Tiempo o plazo de una anualidad. los pagos a plazos. III. Página 19 . la fecha inicial y/o la fecha final dependen de algún suceso previsible. los fondos de amortización. La expresión anualidad puede cambiarse por la de rentas. Según el tiempo. Renta. Anualidades perpetuas o perpetuidades. A fin de llevar a cabo un estudio organizado. la anualidad toma. Período de pago o período de renta. Anualidades. según sea el caso. Estas son una variación de las anualidades ciertas. es necesario elaborar una clasificación y dar su correspondiente definición. se originan las anualidades ordinarias o vencidas y las anualidades anticipadas. MSc. Anualidades ciertas son aquellas cuyas fechas inicial y terminal se conocen por estar estipuladas en forma concreta. En matemáticas financieras. series uniformes. En finanzas. se consideran anualidades los dividendos sobre acciones. La suma de los pagos hechos en un año corresponde a la renta anual. es decir. Una anualidad es ordinaria o vencida si el pago de la renta se hace al final del período de pago. según el caso y las costumbres locales. pagos periódicos. las anualidades se agrupan en dos clases: anualidades ciertas y anualidades eventuales o contingentes. Si los pagos son diferentes o alguno de ellos es diferente de los demás. en teoría. la expresión anualidad se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fijas a intervalos iguales. El valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta. Es anticipada. y en forma más general. pero cuya fecha de amortización no puede fijarse.Asignatura Matemática Financiera. Tasa de una anualidad. Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago determinan diferentes tipos de anualidades. Clasificación de las anualidades. si el pago se efectúa al principio del período de pago. amortizaciones u otros. Renta anual. de la parte por vencer. una renta de $ 2. Símbolos utilizados para las anualidades. Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida de la anualidad. Valor futuro y valor presente de las anualidades simples ciertas ordinarias inmediatas. número de períodos de pagos.Asignatura Matemática Financiera. Mauricio Navarro Zeledón. Si la tasa dada es nominal. El valor de la anualidad calculado a su terminación es el valor futuro de ésta. El valor de la anualidad calculado al comienzo es su valor presente. Calculo del valor futuro. la tasa efectiva en el período de pago es el cociente entre la tasa nominal y el número anual de pagos. y tendrá valor presente P. se tiene entonces: 0 1 A 2 A 3 A 4 A MSc.000 pagaderos cada final de año durante 6 años. tasa nominal con m períodos de capitalizaciones en el año. tasa nominal anual. valor actual o presente de una anualidad. cuando se dice simplemente anualidad. Estas son aquellas en las que se estipula que el primer pago debe efectuarse después de transcurrido cierto número de períodos. Anualidades diferidas. una tasa de interés nominal anual. Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fecha final como fecha local. Página 20 . en su fecha inicial. se refieren a valor futuro de la parte vencida o valor presente de las anualidades por vencer. Este tipo de anualidades es el más frecuente y. tasa efectiva por período de capitalización. se supone que se trata de una anualidad simple cierta ordinaria inmediata. Estos valores pueden. Los pagos de A efectuados al final de cada período ganan interés compuesto. Valor de las anualidades. número de capitalizaciones en el año. en tal caso. por esto. A i j m j(m) n F P = = = = = = = = pago periódico de una anualidad o renta. Así por ejemplo. Estas son aquellas cuyo primer pago se efectúa al iniciar o terminar el primer período. sin especificación de período de capitalización. Anualidades inmediatas. se indicará la tasa como tasa efectiva anual. monto de una anualidad o su valor futuro. por lo general. también calcularse en fechas intermedias. La tasa de interés es. tendrá valor futuro F al finalizar los 6 años. En caso de que la tasa no sea nominal. hasta la fecha final. 33 P = A 1 – (1+i) -N i P = 9. N = 20 F = A (1+i)N -1 i F = 9.000 m=4 j = 0.08 i = 0. 1.162. Esta cantidad se consignará en una cuenta de ahorros que paga 8% nominal anual. se tiene: 1 2 3 0 A A A Ejemplo No. en el tiempo de la anualidad.000 (24.02 n = 5 años. Una persona que viaja fuera de su localidad deja una propiedad en alquiler por 5 años.Asignatura Matemática Financiera. El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero con sus intereses compuestos que.29736980) = $ 218.000 por trimestre vencido. proporciona un valor futuro equivalente al de la anualidad. Cálculo del valor presente.676.000 (16. Mauricio Navarro Zeledón. Al formar la ecuación de equivalencia y utilizar como fecha local la fecha final. así sucesivamente hasta el último pago que no obtiene intereses. con la condición de que paguen $ 9. Cada pago efectuado al final del período capitaliza los intereses en cada uno de los siguientes períodos.90 MSc.35143334) = $ 147. F = ¿? P = ¿? A = $ 9. Hallar el valor futuro en los 5 años y el valor presente del contrato de alquiler. Página 21 . el segundo (n-2) períodos y. ya que coincide con la fecha de término. El primer pago acumula durante (n-1) períodos. 086 i = 0. Mauricio Navarro Zeledón. así.Asignatura Matemática Financiera. Es frecuente la necesidad de conocer el importe de los pagos periódicos. F = ¿? P = ¿? A = $ 5.840. pagadera semestralmente durante 7 años 6 meses al 8. Hallar el costo de la anualidad a la tasa del 6%. Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de $ 5. durante 15 años. al 9% nominal convertible mensualmente.000. P = 5.47586698) = $ 102. 3.859.000 m=2 j = 0.6%. Respuesta F = $ 37. para cancelar una obligación a largo plazo? ¿Con qué cuotas periódicas puede cancelarse una mercancía. conocido su valor de contado y la tasa de interés? MSc.000 (10.34 Ejemplo No. 4. Página 22 . para lograr determinado resultado.34. en una cuenta de ahorros que paga el 8% de interés. Hallar el valor futuro incluyendo el último pago.5 años. por ejemplo: ¿Cuál es el pago mensual que debe hacerse para cancelar el valor de una propiedad. en un fondo de amortización.000 al final de cada año. en cierto número de años? ¿Qué cantidad de dinero habrá que colocar periódicamente.58 Respuesta P = $ 9. N = 15 F = 5. durante los próximos 10 años.443.50 Cálculo de la renta en una anualidad simple cierta ordinaria. Una persona desea comprar una renta de $ 20.000 (20.379.000 pagadera semestralmente.043 n = 7.88874114) = $ 54.549. Ejemplo No. Una persona deposita $ 2. capitalizable semestralmente. Respuesta P = $ 297. 5. 2.23 Ejemplo No.304.71 Ejemplo No. Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de $ 100 mensuales pagaderos durante 15 años. Respuesta F = $ 54. 000. Respuesta A = $ 8. necesarios para cancelar el valor de $ 100.08 i = 0.54. Mauricio Navarro Zeledón.Asignatura Matemática Financiera. i .82 Ejemplo No. MSc. 6. para obtener en 5 años un capital de $ 20.083290944) A $ 1.000 A= m=2 j = 0. Calcular los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros que paga el 8% con capitalización semestral. 7.665. (1+i)N – 1 Calcular los pagos por semestre vencido. Página 23 .901. Ejemplo No.04 n = 5 años N = 10 A=F A = 20.000 (0.000 de una propiedad comprada a 8 años de plazo con un interés del 9% capitalizable semestralmente. F = $ 20. MSc. Página 24 . convertible mensualmente. Un empleado puede ahorrar $ 350 mensuales.000 = 800 (1+i)55 – 1 (1.515625 NIn (1.515625) In (1.0075 m = 12 n = ¿? (1+i)N = F i + i A N (1. para calcular el último pago. Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad.0075) = 0.1 i F = $ 55.000. se tiene: 55.000 = 54. 8.31 último pago. Si los consigna en una cuenta de ahorros que paga el 8%.0075) + X 0.621.0075)N = 1. ¿en cuánto tiempo y con qué pago final logrará ahorrar $ 30.000) (0. convertible mensualmente.69 X X = 55.Asignatura Matemática Financiera. Mauricio Navarro Zeledón. que se debe hacer 55 depósitos de $ 800. ¿En cuánto tiempo juntará $ 55.621.000 – 54.035) = In (1.0075 55.0075) + 1 800 (1. 9.0075) + X I 55.6514 0.007472014 In = Logaritmo natural. i Ejemplo No.000 = 800 (1. O sea.000? Calcular el tiempo y el depósito final.0075)55 – 1 (1.2625) = N = In (1.000 A = $ 800 j = 0.69 = 378. F = A (1+i)N .09 I = 0.415827895 = 55.0075) = (55. Un empleado puede ahorrar $ 800 mensuales e invertirlos en una compañía financiera que abona el 9%. al final del mes 56. Ejemplo No. 11 X = $ 362. 2. No.000 = 350 (84.00666667)N = (30. precio de contado.000.571428571) = 0.868. 1. Cuota inicial de $ 12. No. Para mantener en buen estado cierto puente. El concejo del municipio decide establecer una reserva anual a fin de proveer los fondos necesarios con miras a sus reparaciones futuras.006666667)67 – 1 (1. Mauricio Navarro Zeledón.000. al final del mes 68 se tiene: 30. idea el siguiente plan a plazos.571428571 NIn (1.89 Problemas propuestos.637.000 y el saldo en 18 abonos iguales mensuales: ¿Cuál es el valor de las mensualidades? Respuesta A = $ 3.0235181. con cargos del 1% mensual de intereses.0075) + X I 55.00666666… (1.08 m = 12 i = 0.451985123= 68. In = Logaritmo natural. Página 25 .06666667 X = 30. MSc.006644542 O sea que se deben hacer 67 depósitos de $ 350 para calcular el último pago.000) (0.Asignatura Matemática Financiera. Para promover sus ventas. F = $ 30.000 = 800 (1. In (1. Respuesta A = $ 115.08.232.006666667) 0.000 A = $ 350 j = 0. Un comerciante vende herramientas en $ 65.006666667) + 1 350 (1.006666667)N = 1. es necesario repararlo cada 6 años con un costo de $ 850.000 = 350 (1+i)67 – 1 (1.000 – 29. Si esta reserva se deposita en una cuenta que abona el 8% de interés.67746142) + X X = 30.571428571) = N = In (1.006666667) + X 0.006666667) = In (1. hallar el valor de la reserva anual. En los negocios. Símbolos utilizados en las anualidades anticipadas. i = tasa efectiva por período de capitalización. si la tasa pactada es del 10% convertible semestralmente. m = número de capitalizaciones en el año. Hallar el valor de los nuevos pagos. es frecuente que los pagos periódicos se efectúen al comienzo de cada período.Asignatura Matemática Financiera. esto en particular es útil cuando se trabaja simultáneamente con ambos tipos de anualidades. MSc. Valor futuro y valor presente de las anualidades anticipadas. de estas se proporcionan dos formas consideradas las más simples y de mayor utilidad en el planteamiento de los problemas. j(m) = tasa nominal con m capitalizaciones en el año. En las ventas a plazos se suele estipular una serie de pagos al comienzo de los períodos convenidos al contrato de venta. j = tasa nominal anual. Definición. 3. de vida o de protección contra riesgos. A = pago periódico o renta. El deudor conviene con su acreedor cancelar la deuda en 6 años. Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del período de pago. con pagos semestrales de $ 10. En los seguros. ¨P = valor presente de una anualidad anticipada. cuyo alquiler se paga al principio del período. tal es el caso de la renta de terrenos. por lo general. ¨F = valor futuro de una anualidad anticipada.292. En estos casos se usa la expresión. Existen diferentes formas para calcular tanto el valor futuro como el valor presente de las anualidades anticipadas. las pólizas. n = número de períodos de pago. Una obligación debe cancelarse en 4 años. Respuesta X = $ 7. ya sean seguros de bienes en general. Mauricio Navarro Zeledón. Con el objeto de diferenciar las anualidades anticipadas de las anualidades vencidas se acostumbra usar los símbolos F y P con diéresis para las anualidades anticipada. Todos los símbolos tienen el mismo significado definido en las anualidades ordinarias o vencidas. F = valor futuro o monto de una anualidad. No. estipulan que el asegurado debe pagar sus cuotas o primas al comienzo de cada período.000.15 Anualidades anticipadas. con abonos semestrales. Página 26 . edificios y oficinas. P = valor presente o actual de una anualidad. “El pago vence a principio del período”. Ejemplo No. ¿A cuánto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años? Datos.470. Hallar el valor del alquiler anual. ¨F = ¿? A = $ 20.000 j = 0.Asignatura Matemática Financiera.07 n = 5 años. Página 27 . N=5 ¨F = A (1+i)N+1 – 1 .51 1 – ( 1 + i) –(N-1) + 1 I MSc.000 mensuales y propone al propietario pagar el alquiler anual.81 Cálculo del valor presente. N = 12 ¨P = A ¨P = $ 45. Datos. Una compañía alquila un terreno en $ 4. a principio de cada año. con la tasa del 12% convertible mensualmente. Ejemplo No. Cálculo del valor futuro. ¨P = ¿? A = $ 4.000 j = 0.07 m=1 i = 0.1 I ¨F = $ 123. 2. Una compañía deposita al principio de cada año $ 20.065.01 n = 1 año.000 en una cuenta de ahorros que abona el 7% de intereses. 1. Mauricio Navarro Zeledón.12 m = 12 i = 0. Ejemplo No. El dueño de una propiedad cobra por su alquiler $ 5. En estos casos se dice que la anualidad es diferida.04 k=3 N=9 P´= $ 33.Asignatura Matemática Financiera. Hallar el costo anual de los estudios. por mes anticipado.91 P´ = A 1 – (1+1) –N . Valor presente de una anualidad diferida. 1 Calcular el valor actual de una renta de $ 5.000. es frecuente que algunas circunstancias obliguen a que el primer período de pago comience en una fecha futura. MSc. y la del primer pago.000. o fecha de valoración de la anualidad. En los negocios. si la tasa de interés es del 8% convertible semestralmente. y el último dentro de 6 años.48 Anualidades diferidas. En el tiempo transcurrido entre la fecha inicial. Al cumplir un joven 12 años. Ejemplo No. si el arrendatario le pagó por mes vencido (tasa nominal 12% con capitalización mensual). Hallar la pérdida que le significa en dos años. su padre deposita $ 2. si el primer pago debe recibirse dentro de 2 años.049.000 en un fondo universitario que abona el 8%. Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza después de transcurrido un intervalo. Intervalo de aplazamiento. Es decir la fecha inicial de la anualidad no coincide con la fecha del primer pago.348.000 j = 0.000 semestrales. Definición. 3. Respuesta Pérdida = F2 – F1 = $ 1. (1+i)k i Valor futuro de una anualidad diferida. P´ = ¿? A = $ 5.08 m=2 i = 0. Datos. Página 28 . a fin de que al cumplir 18 años comience a recibir una renta anual suficiente para costear sus estudios universitarios durante 4 años. Mauricio Navarro Zeledón. hasta después de transcurrido cierto tiempo desde el momento inicial o de convenio. En cuanto a la amortización de deudas se aplican diversos sistemas y. MSc. En finanzas la expresión amortizar se utiliza para denominar un proceso financiero mediante el cual se extingue. Mauricio Navarro Zeledón. En algunos modelos de amortización por cuotas incrementadas el saldo insoluto crece en los primeros períodos. como consecuencia. Amortización gradual. y el sistema de amortización cuyas cuotas de pago crecen geométricamente. una deuda por medio de pagos periódicos. convirtiéndose así los incrementos en decrementos. es una aplicación de las anualidades estudiadas en las unidades anteriores. Para este modelo. Con estos sistemas de amortización con base en cuotas incrementadas se trata de conciliar el incremento de las cuotas con el mejoramiento económico del deudor. el deudor paga cuotas mayores en los primeros períodos. cada apago o deuda que se entrega sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la deuda. Este sistema tiene modelos matemáticos similares a los de amortización por cuotas incrementadas. Amortización y fondos de amortización. Este sistema consiste en incrementar periódicamente la cuota de pago.Asignatura Matemática Financiera. A diferencia de la amortización gradual. mantiene un valor igual para la amortización en cada período y. Para préstamos a largo plazo. En este tipo de amortización. hay numerosas variantes que hacen prácticamente inagotable este tema. se han creado diversos sistemas de amortización basados en anualidades variables. IV. Amortización constante. Principio básico de las amortizaciones. Amortización por cuotas incrementadas. Definición. Este consiste en un sistema por cuotas de valor constante. Página 29 . En las amortizaciones de una deuda. gradualmente. Así se tienen préstamos amortizables con cuotas crecientes de variación uniforme o con gradiente aritmético. En estos sistemas de amortización decreciente. los pagos son iguales y se hacen en intervalos iguales. Amortización decreciente. Sistemas de amortización. Esta forma de amortización fue creada en Europa y es la más generalizada y de mayor aplicación en el campo financiero. y en particular para préstamos de viviendas. la cuota de pago periódico es variable decreciente. con intereses sobre saldos. que pueden ser iguales o diferentes. puesto que los intereses sobre saldos son decrecientes. para luego decrecer. el factor de variación es negativo. El interés debe cancelarse al final de cada período sobre el saldo de los capitales adeudados. dentro de cada uno. lo que tiene importancia si el clima económico es de desvalorización monetaria creciente y se prevé un aumento futuro en las cuotas por corrección monetaria. Amortizar es el proceso de cancelar una deuda con sus intereses por medio de pagos periódicos. Unidad No. 49 99.952.228.08.16 126.865.00 Obsérvese que la suma de los pagos anuales es igual a la de los intereses sobre saldos.000 se debe amortizar en 5 años con pagos anuales iguales al 8% efectivo sobre saldos insolutos. i = 0.1 A=P i (1+i)N (1+i)N .228.725.23 125. más la suma de las amortizaciones.250456454) A = $ 125. En el estudio de las amortizaciones se presentan tres problemas básicos: hallar el importe de los pagos periódicos. estos modifican las condiciones de la amortización que varía el valor de las cuotas y/o el pago de la deuda. 2.77 322. Elaborar el MSc.000 (0. Una deuda de $ 500. Una deuda de $ 100.228.21 626.315.410.00 Saldo 500.181.000.23 125.05 500.00 33. Mauricio Navarro Zeledón.771.02 17.000 A = ¿? m=1 n=5 j = 0. hallar el número de pagos necesarios para amortizar la deuda y hallar la tasa de interés. Hallar el valor de cada cuota y elaborar un cuadro de amortización. Página 30 . En la amortización de una deuda.141.000.23 92.05 0. N 1-(1+i) .363.141.21 9. Amortización con cuotas extraordinarias.228.276.13 Interés 40.228. Ejemplo No.23 125.21 107.08 N=5 A=P i .818.23 125.1 A = 500.02 115.228.28 223.13 Amortización 85.000 debe amortizarse en 2 ½ años con 4 abonos semestrales de $ 25. Ejemplo No. Cálculo de los valores de las amortizaciones.00 414.07 115.046.23 Fecha 0 1 2 3 4 5 Totales Pago anual 125.000.228. cada pago o anualidad –que se entrega al acreedor sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la deuda.000 por periodo vencido y un abono final de quinto semestre que extinga totalmente la deuda. En este sistema cada cierto número de cuotas incluye pagos extraordinarios. 1. Datos: P = $ 500.952.74 25.Asignatura Matemática Financiera. 226.05 .000 A=P i .000 A = ¿? m=2 n=8 j = 0.000.00 23.05) .797. -N 1-(1+i) .000.000. a la tasa del 10% capitalizable semestralmente sobre saldos insolutos.152.00 25. Pero. P = A 1-(1+i)-N MSc.10 i = 0. 3 años antes de la extinción de la deuda.00 1. el problema se resuelve para este caso en la misma forma como se calcula los valores de anualidades en fechas intermedias.50 Saldo 100.950. cuadro de amortización de la deuda.00 25.05 N =16 A = 100.000.050.05 Cuota = $25.000 m = 2.000. Es obvio que por simple inspección del cuadro de amortización.Asignatura Matemática Financiera.00 36.000.00 80.000. y el saldo insoluto es igual al valor presente.00 14.50 689.50 13. 16 1-(1.1 0.000.00 Cálculo del saldo insoluto. j = 0.00 25. Una deuda de $ 100.000 debe amortizarse en 8 años.00 59.092269907) A = $ 9. al final del quinto año.847.950. en muchos problemas de planeación es necesario conocer los estados financieros en fecha futura.00 22.000. Ejemplo No. 3. P = $ 100. P = $ 100.000.000 (0. Mauricio Navarro Zeledón.1 i = =0.99. Página 31 . por medio de pagos semestrales a una tasa del 10% capitalizable semestralmente.797.50 0.000 Fecha 0 1 2 3 4 5 Pago anual 25. se conoce el saldo insoluto.487.1 A = 100.00 4. Al finalizar los 5 años faltaran 3 para la extinción de la deuda.00 13. Hallar el saldo insoluto.1 A =P i (1+1)N (1+1)N .38 Interés 5.000.00 21.00 2.88 Amortización 20. 000.00 87.000 Fecha 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No.98 12.94 61.281.31 16.00 100. 1.459.253784603 0.281.72 822.000. y en los tres últimos años.82 15.896.226.93 14.36 Problemas resueltos. i P = 9.00 5. se cancelarán cuotas hasta extinguir la deuda al final de su plazo. Solución: Intereses al final de cada uno de los 3 primeros períodos = $ 5.281.98 17.000.928. Aplicar el modelo a un préstamo de $ 500.04 0.8) = $ 400.98 17.000. Pago semestral 5.99 1-(1.385.05 P = 9.16 1.26 16.00 Intereses 5% 5.606.95 Amortización 0.281.459. Mauricio Navarro Zeledón.00 5.000 (0.00 0.217. 2.675.075692067) = $ 46.29 (5. Solución: Amortización en los dos primeros años: 500.000.00 5.353.063.226.064.98 17.000 MSc.282. el 80% restante.00 4. en los primeros años se amortizará el 20% de la deuda.833.13 32.741.08 13. Una deuda de $ 100.10 3.00 12.000. Página 32 .00 100.05)-6 0.00 17.281.226.000.06 47.000 (0.05 2.000.02 74.Asignatura Matemática Financiera. cuotas semestrales a la tasa del 4% efectivo semestral.718.000.90 3.000.88 14. No.281.00 Con el objetivo de desarrollar un área industrial se conceden préstamos de fomento con el siguiente plan de amortización: plazo a 5 años.821.98 17.281.00 100. Amortización en los tres siguientes: 500.000.05 P = 9.05 Saldo 100.98 17.281.98 17.000 a 5 años de plazo debe pagarse con el siguiente plan de amortización: cuotas semestrales iguales a la tasa del 10% nominal convertible semestralmente.29 0.00 5.2) = $ 100.000. durante el primer año y medio se pagarán sólo los intereses y.134. a partir del cuarto semestre.00 0.540.000.00 5. 756.00 13.76 76.00 50.00 25.549.548.470.00 + $ 16.000.960.225. i = 0.60 26.000.490.549.00 1.549. Pago semestral 43.13 8.76 76.79 Intereses 4% 20. Página 33 . i = 0.00 25.549.44 400.00 1.00 24.918.470.000.76 76.00 500.000 = $ 25.40 17.489.96 25.058.000.04.80 Amortización 23.304.04 18.31 211.369.00 MSc.04 73.752.500.00 25.000 que generan los intereses de los $ 400.695.00 75.76 Fecha 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No.078.000 4 Fecha 0 1 2 3 4 Interese 2% 2.63 67. n = 6 A = % 76.58 16.00 26.000.000.03 73.00 19.000.000.95 65.00 451.079.000.99 Saldo 500.587.11 5.00 43.451.00 76.369.000.68 143.000.549. (Amortización constante y cuota variable decreciente) A = 100.304.716.04.76 62.00 43.000 Cuota para los tres últimos años P = 400.489.00 25.000.26 276.500.000 restantes de los $ 500.76 76.00 26.304. Cuota para los dos primeros años: A = P i (1+i)N (1+i)N .Asignatura Matemática Financiera.00 Pago trimestral 27. n = 4 A = $ 27.000.1 P = 100.000.00 Saldo 100.000.000.76 76.65 70.304.02 339.72 2.00 25.000. Mauricio Navarro Zeledón.304.99 0.42 60.834.304.059.00 Amortización 25.304.000.549.04 426. 3.500.00 43.00 Una deuda de $ 100.978.000 debe cancelarse con 4 pagos trimestrales vencidos iguales. más intereses del 8% nominal convertible trimestralmente.81 11.00 476.00 0.304.934. 645. a la tasa del 24% nominal.00 Saldo 100.el saldo insoluto.000.000. r = 0.12 N=6 A = 200. Mauricio Navarro Zeledón.000. No.00 1. si se exige el pago de intereses por trimestre anticipado.000.00 25.000.00 Amortización 25.000.14 que restan.02 . y preparar el cuadro de amortización de la deuda.00 Pago trimestral 2.000.00 26.000.000.00 25.000. 5. -N 1-(1+i) Al efectuar el segundo.500.000.752.00 500. Página 34 .00 50.645. el deudor hace un abono extraordinario de $ 60. Hallar el valor de las cuotas.645.037349347) = P2 = $ 147. Fecha 0 1 2 3 4 No.163% Tasa real cobrada = r = r = 0.12)-4 0.000 A = ¿? m=2 n = 3 años j = 0.020408 (4) = 8.14 (3.00 25. Al efectuar el segundo pago. hallar el nuevo valor de las cuotas para cancelar –en el plazo previsto.02 Tasa real nominal = 0.243225718) A = $ 48.000. 1–i 1 – 0.000. P2 = A 1-(1+i)-N i P2 = 48. de las 4 cuotas de $ 48.020408.Asignatura Matemática Financiera.00 75.00 1. 4. Desarrollar el problema anterior. e indicar la tasa real cobrada.00 0.00 26.12 P2 = 48.14 A=P i .00 0. se debe amortizar en 3 años mediante el pago de cuotas semestrales iguales. i .00 25.500. el saldo insoluto es el valor presente en esa fecha.645.14 1 – (1. Interese 2% 2.00 25.000.00 25.000.24 i = 0.00 Una deuda de $ 200.500.000 (0. P = $ 200.28 MSc. 042.752.752.000 para cancelarse dentro de 4 años. comercialmente se acostumbra crear fondos mediante reservas que devengan intereses.09 23.391. todos los problemas que se suelen presentar son similares a los estudiados en las anualidades.360.354.891.645.795.3992344) Fecha 0 1 2 3 4 5 6 Pago semestral 48. MSc.07 28.28 – 60. En un fondo de amortización.29 3.07 28.752. tal es el caso de las reservas para promover el pago de pensiones de jubilación y vejez de los trabajadores de una compañía.752.14 108. Página 35 .14 87. con el objetivo de cancelar la deuda en la fecha de vencimiento.28 (0. Ejemplo No.891. los fondos creados para retirar a su vencimiento una emisión de obligaciones.64 Saldo 200.564. Una compañía contrae una deuda de $ 500. Es obvio que lo anterior se aplica a deudas contraídas a mediano y largo plazo.07 i .095.86 87. Con el objetivo de pagar una deuda a su vencimiento en fecha futura. Saldo insoluto = 147.645. cada partida o suma que se reserva periódicamente es una anualidad cuyos intereses se capitalizan en cada período de capitalización.891. Cálculo de los valores de un fondo de amortización.891.Asignatura Matemática Financiera.12 .51 48.000 = $ 87.64 0.78 25.000.07 28. Si el dinero puede invertirse ganando el 8%. las reservas para reemplazar activos que se demeritan con el uso.795.859. La junta directiva de la compañía decide hacer reservas anuales iguales. el cual se debe amortizar en los 4 semestres restantes.12 Intereses 12% 24. a su vencimiento. de tal modo que el monto de estas acumulaciones permita cancelar la obligación.48 Amortización 24. las reservas para recuperación de minas que terminarán por agotarse. 1. A este valor se resta el abono extraordinario y se tiene el saldo insoluto. 1-(1.602. Mauricio Navarro Zeledón. 1-(1+i)-N N = 4 A = 87.28 Nueva cuota = A = P A = $ 28. hallar la suma que es necesario acumular cada año y elaborar el cuadro de amortización y muestre el crecimiento del fondo.28 0.00 175.42 25.14 28.752.326.530.00 21.12)-4 = 87.56 18.031.645.000.00 Fondo de amortización.58 10.891.98 5.79 20.30 69.28 8.827. 837.960.000 .63 360.75 56.40 A=F i .21 139.000 A ¿? j = 0.876.424.506112+1.960.841.08 n=4 N=4 A = $ 110.08 m=1 i = 0.40 230.960.39 Total agregado al fondo 110.16 500. Mauricio Navarro Zeledón. N (1+1) -1 + (1+i)N i 500.158.Asignatura Matemática Financiera.40 110.000.000. 4.778.960.40 119.960.221.00 8. N (1+i) – 1 Interés sobre el fondo 0.83 18. Datos: F = $ 500.41 443.81 28.797.00 ¿Cuál es la situación si la junta directiva ordena que el primer aporte se haga de inmediato? Para ello se utiliza la siguiente fórmula: A= F .960.00 Fecha Final año 1 Final año 2 Final año 3 Final año 4 Totales Aporte anual 110.817.61 Total en el fondo 110.463.40 110.960. Página 36 .23 129.36048896 A= MSc.84 500.40 110. 93 384.134. hallar el saldo insoluto al finalizar el cuarto año. Una deuda de $ 300.047. i%.684. A = ¿? m=1 j = 0. Si se prepara el cuadro correspondiente a determinado fondo. Para cancelarla se establece un fondo de amortización que gana el 8% de interés efectivo.05 500.228.02 115.23 85.000.723.952.72 276.62 Al designar el saldo insoluto dentro de 4 períodos por F4.84 73. i MSc.23 85.00 Total en el fondo 85.228.228.23 85.23 177.08 n=6 N=6 A=F i .000 vence dentro de 6 años.894.98 22.141. Saldo Insoluto = deuda –A (F/A.95 500. Para determinar los estados financieros en fecha futura.23 85.363.228.228.000.79 30.410.13 Interés sobre el fondo 0.23 92.21 426. (1+i)N – 1 A = $ 40. k) Ejemplo No. se tiene: F4 =A 1(+i)N-1 . por diferencia entre la deuda total en el fondo se establece el saldo insoluto.08 i = 0.858.000.181.00 6.00 Cálculo de lo acumulado en el fondo y del saldo insoluto en cualquier fecha. puede conocerse el saldo insoluto dentro de k períodos.228.26 14. Página 37 .87 Total agregado al fondo 85. Datos: F = $ 300. A = $ 85.228. por diferencia entre el valor de deuda y el valor de reservas A acumulado en los k períodos.228.Asignatura Matemática Financiera. Mauricio Navarro Zeledón.49 99.046.818.21 107.23 Fecha Inicio año 1 Final año 1 Final año 2 Final año 3 Final año 4 Totales Aporte anual 85.274. 2. 000 para ampliar su planta de producción. para cancelar el total en un solo pago a 5 años de plazo. decide establecer un fondo de amortización.275.724.08)4 – 1 = 40.000 a partir del segundo año. Una industria calcula que necesita $ 2.000.894.74 0. 3. Mauricio Navarro Zeledón.000 – 184.506112) = 184.000 y en la misma suma cada año. hasta alcanzar un nivel estable al finalizar el quinto año. Ejemplo No. En estos casos. F = $ 2. una vez iniciada su producción. Para estos diseños se aplican sistemas similares a los de amortización por cuotas incrementadas. Datos.000. bajo ciertas condiciones de pago de intereses.000.74 = $ 115. L = $ 10. F4 = 40.n i MSc. incrementando las cuotas en $ 100. Si el fondo lo establece en una corporación financiera que le ofrece el 26% de interés.26 n = 5 años. espera aumentar sus ventas dentro de un año en $ 600.08 F4 = 300. es necesario diseñar un sistema de amortización que funcione en concordancia con los proyectos financieros de la industria.000 (gradiente lineal) F = A (1+i) – 1 + L + i i F= (1+i)n -1 . Página 38 .62 (1. A fin de pagar la deuda.000. Estos préstamos se cancelan con los beneficios esperados de la industria. Es frecuente contraer deudas para financiar inversiones industriales. ya sean con variación uniforme o gradiente lineal o con variación geométrica. además se presupone que los ingresos comenzarán a crecer hasta alcanzar un nivel estable después de cierto tiempo.26 Fondos de amortización con aportes variables. hallar el valor de la cuota de base y preparar el cuadro del fondo de amortización de la deuda.62 (4. Obtiene un préstamo de fomento industrial por $ 2.275.000 i = 26% o 0.894.Asignatura Matemática Financiera. sobre el año anterior. Cuando el activo deja de ser útil. hasta agotarse. Caída en desuso u obsolescencia. V. una disminución de sus valores que no puede evitarse con los gastos corrientes de reparaciones. Mauricio Navarro Zeledón. las instalaciones. Unidad No. Depreciación. siempre conserva algún valor. y se debe a diferentes factores que causan finalmente su inutilidad. debe remplazarse. así sea como chatarra o material de desecho. Las maquinarias. El agotamiento es la pérdida progresiva de un activo por reducción de la cantidad aprovechable del mismo. Existen varios métodos para determinar el cargo que periódicamente debe hacerse por concepto de depreciación. Introducción. Cálculo de los cargos periódicos por depreciación. Tal es el caso de los minerales cuya cantidad disminuye por la operación de extracción. que sufren los activos. Depreciación es la pérdida de valor. es necesario estudiar la forma de establecer un fondo de reserva que compense está pérdida de valor. para crear con ella un fondo que recibe el nombre de reserva para depreciación y que debe ser igual al costo de remplazo al terminar la vida útil del activo. a continuación se estudiarán los más utilizados. este valor residual recibe el nombre de valor del salvamento. los edificios y otras clases de activos necesarios para las operaciones de las empresas sufren. La vida útil o duración probable de un activo se determina en base en la experiencia y tanto los expertos en estas materias como los fabricantes de equipos y máquinas señalan la vida útil de los distintos activos y con base en estos datos se establece el cálculo de la depreciación. Ocurre cuando por razón de nuevos inventos o perfeccionamientos técnicos. MSc.Asignatura Matemática Financiera. Puesto que el capital invertido debe permanecer constante. por su uso. Estos activos reciben el nombre de activos agotables y no pueden remplazarse. obligando por tanto el remplazo del activo. Página 39 . no recuperada con el mantenimiento. invirtiéndose para ello un valor que recibe el nombre de costo de remplazo. Al terminar la vida de un activo. Durante la vida útil del activo debe guardarse periódicamente cierta suma. Definición. no resulta económica la utilización de cierto activo.
Report "Introduccic3b3n a Las Matemc3a1ticas Financieras"