Introdução Às Equações Diferenciais

Introdução às Equações Diferenciais− Um roteiro para estudo − Luiz Fernando Provenzano − UFMT − Versão 03/2010 Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Índice Equações Diferenciais - Um Pouco de História ...............................................................3 A Natureza das Equações Diferenciais ...........................................................................8 Definição e Notações ...................................................................................................8 Resolução de uma Equação Diferencial ....................................................................10 Tipos de Soluções de uma Equação Diferencial........................................................11 Interpretação Geométrica da Solução de uma Equação Diferencial..........................12 Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno..............................13 Teorema de Existência e Unicidade ..........................................................................14 Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau ............................................18 Classificação..............................................................................................................18 1o Tipo: Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis .......................................18 Sobre a Curva Tractriz ...........................................................................................20 2o Tipo: Equações Diferenciais Homogêneas ........................................................21 3o Tipo: Equações Diferenciais Redutíveis às Homogêneas ou às de Variáveis Separáveis .............................................................................................................25 4o Tipo: Equações Diferenciais Exatas...................................................................27 Fator Integrante......................................................................................................30 Pesquisa de um Fator Integrante ...........................................................................30 5o Tipo: Equações Diferenciais Lineares................................................................32 Algumas Aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias ......................................35 de 1a Ordem e 1o Grau ..............................................................................................35 Exercícios Gerais de Aplicações ............................................................................39 Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior à Primeira.................................43 Tipos Especiais de Equações Diferenciais de 2a Ordem ...........................................43 Problema de Perseguição (Uma aplicação) ..........................................................47 Equações Diferenciais Lineares de Ordem N ............................................................52 Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Homogêneas e de Coeficientes Constantes.................................................................................................................53 Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Não-Homogêneas e de Coeficientes Constantes.................................................................................................................57 Determinação de uma Solução Particular Experimental (yp) .....................................58 Método dos Coeficientes a Determinar (ou Método de Descartes)............................58 Família de uma função ...........................................................................................58 Construção de uma Solução Particular Experimental (yp)......................................59 Aplicações de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes.................................................................................................................64 Vibrações Mecânicas e Elétricas............................................................................64 Sistemas de Equações Diferenciais ..............................................................................73 Exercícios ..................................................................................................................77 Noções de Equações Diferenciais Parciais ...................................................................82 Sobre a Resolução ....................................................................................................83 Determinação de uma Equação Diferencial Parcial a partir de uma Solução dada. ..84 O Problema de Condução de Calor e o Método de Separação de Variáveis ............86 Anexos ..........................................................................................................................90 Fórmulas Básicas ..........................................................................................................91 Sistemas de Unidades...................................................................................................93 Bibliografia.....................................................................................................................95 2 Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Equações Diferenciais - Um Pouco de História De várias maneiras, as equações diferenciais são o coração da análise e do cálculo, dois dos mais importantes ramos da matemática nos últimos 300 anos. Equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Como uma ferramenta matemática importante para ciências físicas, a equação diferencial não tem igual. Assim é amplamente aceito que equações diferenciais são importantes em ambas: a matemática pura e a aplicada. A história sobre este assunto é rica no seu desenvolvimento e é isto que estaremos olhando aqui. Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados pelas contribuições de um homem, Leonhard Euler, que podemos dizer que a história deste assunto começa e termina com ele. Naturalmente, isto seria uma simplificação grosseira do seu desenvolvimento. Existem vários contribuintes importantes, e aqueles que vieram antes de Euler foram necessários para que ele pudesse entender o cálculo e a análise necessários para desenvolver muitas das idéias fundamentais. Os contribuintes depois de Euler refinaram seu trabalho e produziram idéias inteiramente novas, inacessíveis à perspectiva do século XVIII de Euler e sofisticadas além do entendimento de apenas uma pessoa. Esta é a história do desenvolvimento das equações diferenciais. Daremos uma pequena olhada nas pessoas, nas equações, nas técnicas, na teoria e nas aplicações. A história começa com os inventores do cálculo, Fermat, Newton, e Leibniz. A partir do momento que estes matemáticos brilhantes tiveram entendimento suficiente e notação para a derivada, esta logo apareceu em equações e o assunto nasceu. Contudo, logo descobriram que as soluções para estas equações não eram tão fáceis. As manipulações simbólicas e simplificações algébricas ajudaram apenas um pouco. A integral (antiderivada) e seu papel teórico no Teorema Fundamental do Cálculo ofereceu ajuda direta apenas quando as variáveis eram separadas, em circunstâncias muito especiais. O método de separação de variáveis foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz. Assim estes pesquisadores iniciais do século 17 focalizaram estes casos especiais e deixaram um desenvolvimento mais geral das teorias e técnicas para aqueles que os seguiram. Ao redor do início do século XVIII, a próxima onda de pesquisadores de equações diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas em astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli estudou cuidadosamente e escreveu equações diferenciais para o movimento planetário, usando os princípios de gravidade e momento desenvolvidos por Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenária e o uso de coordenadas polares. Nesta época, as equações diferenciais estavam interagindo com outros tipos de matemática e ciências para resolver problemas aplicados significativos. Halley usou os mesmos princípios para analisar a trajetória de um cometa que hoje leva seu nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi provavelmente o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios de mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos usando equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Ricatti (1676--1754) começou um estudo sério de uma equação em particular, mas foi limitado pelas teorias do seu tempo para casos especiais da equação que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann, e Daniel, todos estudaram os casos da equação de Ricatti também. Na época, Taylor usou séries para "resolver" equações diferenciais, outros desenvolveram e usaram estas séries para 3 ele introduziu equações gerais de movimento para sistemas dinâmicos. o desenvolvimento de Taylor de diferenças finitas começou um novo ramo da matemática intimamente relacionado ao desenvolvimento das equações diferenciais. Ele era um mestre que este assunto necessitava para se desenvolver além de seu início primitivo. este e muitos outros matemáticos tinham acumulado uma crescente variedade de técnicas para analisar e resolver muitas variedades de equações diferenciais. mas não uma teoria geral. estudou suas propriedades e definições. Em 1788. tornando-se um assunto coeso e central ao desenvolvimento da matemática aplicada moderna. O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre para consolidar e generalizar os métodos existentes e criar novas e mais poderosas técnicas para atacar grandes famílias de equações. Contudo. Lagrange seguiu de perto os passos de Euler. incluindo técnicas numéricas melhores e um melhor entendimento de integração. introduziu as idéias de um laplaciano de uma função. desenvolveu o método de variação de parâmetros. Usando seu conhecimento de funções. leia Euler. Luiz Fernando vários propósitos. desenvolveu procedimentos para soluções de muitos tipos de equações. hoje conhecidas como equações de Lagrange. Foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das funções exponenciais. Em 1728. mas tornaram-se decepcionantemente difíceis. Euler teve o benefício dos trabalhos anteriores. ao seu livro. quando Leonhard Euler chegou à cena das equações diferenciais. Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou estenderam muitas das idéias de Euler. logarítmicas. Rapidamente achou que funções eram a chave para entender equações diferenciais e desenvolver métodos para suas resoluções. Seu trabalho também incluiu o uso de aproximações numéricas e o desenvolvimento de métodos numéricos. O trabalho de Legendre sobre equações diferenciais foi motivado pelo movimento de projéteis. Euler então continuou aplicando o trabalho em mecânica que levou a modelos de equações diferenciais e soluções. pela primeira vez levando em conta novos fatores tais como resistência do ar e velocidades iniciais. trigonométricas e de muitas outras funções elementares. muitas equações ainda eram desconhecidas em termos de propriedades ou métodos de resolução. Lacroix foi o próximo a deixar sua marca. mas a chave para seu entendimento era seu conhecimento e percepção de funções. No início do século XVIII. desenvolvendo mais teoria e estendendo resultados em mecânica. Daniel Bernoulli usou os métodos de Euler para ajudá-lo a estudar oscilações e as equações diferenciais que produzem estes tipos de soluções. Laplace claramente reconheceu as raízes de seu trabalho quando escreveu "Leia Euler. Euler entendeu o papel e a estrutura de funções. o que manteve o interesse em generalizar métodos e analisar novas famílias de equações diferenciais.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. Em 1739. O trabalho de D'Alembert em física matemática envolveu equações diferenciais parciais e explorações por soluções das formas mais elementares destas equações. ele é nosso mestre". os quais proveram "soluções" aproximadas para quase todas as equações. Trabalhou em avanços nas equações diferenciais parciais e incorporou muito dos avanços. Cinqüenta anos de equações diferenciais trouxeram progresso considerável. A contribuição principal de Lacroix foi 4 . As maiores contribuições de Lagrange foram provavelmente na definição de função e propriedades. especialmente equações de movimento (problema dos três corpos) e energia potencial. técnicas de soluções iludiram perseguidores por cerca de 50 anos. Lagrange foi provavelmente o primeiro matemático com conhecimento teórico e ferramentas suficientes para ser um verdadeiro analista de equações diferenciais. Em muitos casos. Euler também desenvolveu várias funções novas baseadas em soluções em séries de tipos especiais de equações diferenciais. desde os tempos de Euler. Suas técnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes indeterminados foram etapas fundamentais para desenvolver este assunto. O trabalho de Laplace sobre a estabilidade do sistema solar levou a mais avanços. Contudo. Em 1799. Muitas equações pareciam amigáveis. Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas sobre a superfície de um líquido. Muito deste trabalho aparece em The Analytical Theory of Heat (A Teoria Analítica do Calor.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. Bessel era um amigo de Gauss e aplicou seu conhecimento sobre equações diferenciais à astronomia. Na metade do século XIX. o qual é importante na análise e solução de várias equações diferenciais parciais. Stokes. Poisson e Cauchy enquanto usava equações diferenciais para desenvolver teorias sobre a condução do calor. luz. som. Outro aplicador destas teorias foi George Green. Também foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistemática para números complexos e a desenvolver a transformada de Fourier para prover soluções algébricas para equações diferenciais. e Legendre. O próximo na ordem foi Fourier. Fourier. um método refinado por Fredholm e Hilbert no início da década de 1900. calor. incluindo elasticidade e vibrações. Gauss usou equações diferenciais para melhorar as teorias das órbitas planetárias e gravitação. quando as teorias e conceitos de funções de variáveis complexas se desenvolveram. Inventou o método das características. Laplace. Jacobi desenvolveu a teoria de determinantes e transformações em uma ferramenta poderosa para avaliar integrais múltiplas e resolver equações diferenciais. gravitação. Luiz Fernando resumir muitos dos resultados de Euler. Aplicou seu conhecimento de equações diferenciais a aplicações em física e mecânica. Ele usou modelos de equações diferenciais em todos os campos de estudo. contudo. Daniel Bernoulli. Muito de seu trabalho original foi feito na solução e análise de equações diferenciais. Depois destas grandes contribuições de Gauss e Cauchy. Posteriormente estas construções foram usadas para resolver equações diferenciais. As contribuições de Charles Babbage vieram por uma rota diferente. O próximo avanço importante neste assunto ocorreu no início do século XIX. Os resultados são agora clássicos em hidrodinâmica. As investigações teóricas e experimentais de Stokes cobriram hidrodinâmica. A matemática de Green proveu a base na qual Thomson. elasticidade. Ostrogradsky colaborou com Laplace. Este resultado foi uma ferramenta importante para o estudo de oscilações. O trabalho de Liouville sobre a teoria de integrais de funções elementares foi uma contribuição substancial para soluções de equações diferenciais. Ele desenvolveu uma máquina de calcular chamada de Máquina de Diferença que usava diferenças finitas para aproximar soluções de equações. pouco contribuiu para a teoria matemática desta série. uma nova estrutura era necessária para atacar sistemas de mais de uma equação diferencial. eletricidade e magnetismo foi publicado em 1828 em An Essay on the Application of Mathematical Analysis to Electricity and Magnetism. Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de contorno resolvendo equações integrais equivalentes. e Lagrange. Legendre. A estrutura do 5 . Sua pesquisa matemática fez contribuições ao estudo e cálculos da difusão de calor e à solução de equações diferenciais. a qual era bem conhecida anteriormente por Euler. Gauss estabeleceu a teoria do potencial como um ramo coerente da matemática. Cauchy foi o primeiro a definir completamente as idéias de convergência e convergência absoluta de séries infinitas e iniciou uma análise rigorosa de cálculo e equações diferenciais. Seu trabalho sobre funções de Bessel foi feito para analisar perturbações planetárias. Lagrange.1822) de Fourier. Os trabalhos iniciais de Poisson em mecânica apareceram em Traité de mécanique em 1811. meteorologia e física solar. Rayleigh. O trabalho de Green em fundamentos matemáticos de gravitação. outros puderam refinar estas teorias poderosas e aplicá-las a vários ramos da ciência. no qual ele fez uso extensivo da série que leva seu nome. Também reconheceu que a teoria das funções de uma variável complexa era a chave para entender muitos dos resultados importantes das equações diferenciais aplicadas. Maxwell e outros construíram a teoria atual do magnetismo. Os dois contribuintes principais deste desenvolvimento foram Gauss e Cauchy. Vários matemáticos vieram em socorro. Fourier. dinâmica teórica e astronomia. No seu estudo da forma dos anéis de Saturno. Cayley criou a noção de matrizes em 1858 e desenvolveu boa parte da teoria de matrizes nas décadas posteriores. Hoje seu nome está associado com os métodos de Runge-Kutta para resolver equações diferenciais. Na última metade do século XX. Kutta. sobre geometrias complexas. Sylvester e foi para os Estados Unidos para lecionar na Universidade Johns Hopkins entre 1881 e 1882. outro matemático aplicado alemão. completou três artigos sobre equações diferenciais parciais. Hermite mostrou que a equação de quinta ordem poderia ser resolvida por funções elípticas. O próximo a construir fundamento teórico foi Bernhard Riemann. Luiz Fernando jacobiano foi desenvolvida em 1841. Gibbs escreveu um artigo que descreveu a convergência e o "fenômeno de Gibbs" da série de Fourier. Cayley publicou mais de 900 artigos cobrindo muitas áreas da matemática. as seis funções trigonométricas básicas foram provadas transcendentais. Richard Courant e Garrett Birkhoff foram pioneiros bem sucedidos neste esforço. Estes métodos numéricos ainda são usados hoje. ao eletromagnetismo e à mecânica. baseada em equações diferenciais. 6 . O trabalho de Riemann em equações diferenciais contribuiu para resultados em dinâmica e física. Josiah Gibbs fez contribuições à termodinâmica. no século XX. Basicamente. No início de sua pesquisa. ela teve oportunidade de estudar com Weierstrass. Carl Runge desenvolveu métodos numéricos para resolver as equações diferenciais que surgiram no seu estudo do espectro atômico. Jacobi era um calculador muito hábil e um perito numa variedade de campos aplicados.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. ela se apoiou no trabalho de Laplace. sob a orientação de Gauss. No final da década de 1890. Depois de vencer dificuldades consideráveis por causa da discriminação de seu gênero. cujo trabalho ela generalizou. de grande escala. os principais esforços em equações diferenciais se moveram para um plano teórico. assim como as inversas das funções trigonométricas e as funções exponenciais e logarítmicas. O próximo impulso foi no desenvolvimento de métodos numéricos mais robustos e eficientes. o trabalho de Kovalevsky era sobre a teoria de equações diferenciais parciais e um resultado central sobre a existência de soluções ainda leva seu nome. J. À medida que o final do século XIX se aproximava. na teoria de variáveis complexas. Cayley era um amigo de J. Lipschitz (1832-1903) desenvolveu teoremas de existência para soluções de equações diferenciais de primeira ordem. Ela publicou vários artigos sobre equações diferenciais parciais. Em 1876. os polinômios de Hermite e as funções de Hermite se mostraram posteriormente muito úteis para resolver a equação de onda de Schrödinger e outras equações diferenciais. Por seu trabalho nos fundamentos de sistemas de equações. muitos matemáticos e cientistas da computação implementaram métodos numéricos para equações diferenciais em computadores para dar soluções rápidas e eficientes para sistemas complicados. e fez tanta física que os matemáticos pensaram que fosse físico. Posteriormente. Gibbs é conhecido como o pai da análise vetorial. Ele usou tanta matemática em sua pesquisa que físicos pensaram que fosse matemático. Como Euler. trabalhos teóricos de Fredholm e Hilbert refinaram os resultados iniciais e desenvolveram novas classificações para o entendimento posterior de algumas das mais complicadas famílias de equações diferenciais. a maior matemática antes do século XX. também é lembrado por sua contribuição à teoria de Kutta-Joukowski de sustentação de aerofólios em aerodinâmica. O próximo contribuinte teórico importante foi Kovalevsky. O trabalho de Hermite foi desenvolver a teoria de funções e soluções de equações. À medida que a teoria se desenvolveu. Cayley também trabalhou com determinantes e criou uma teoria para operações com matrizes em 1854. Enquanto seu trabalho era teórico. Riemann também teve o benefício de trabalhar com o físico Wilhelm Weber. Seu doutorado foi obtido. a teoria emergente do caos usou os princípios desenvolvidos por Poincaré e seus seguidores.. o maior matemático de sua geração. A maioria destes trabalhos envolveu o uso e análise de equações diferenciais.. trabalhando com os resultados do astrônomo americano George Hill.......prenhall.... produziu mais de 30 livros técnicos sobre física matemática e mecânica celeste. a última pessoa a estar nesta posição. 7 .... Ele tinha um domínio criativo de toda a matemática de seu tempo e foi. provavelmente. George Birkhoff usou as idéias de Poincaré para analisar sistemas dinâmicos grandes e estabelecer uma teoria para a análise das propriedades das soluções destas equações.. .. tais como análise de séries divergentes e equações diferenciais não lineares......... conquistou a estabilidade das órbitas e iniciou a teoria qualitativa de equações diferenciais não lineares.. Fonte: http://cwx..... Poincaré. No século XX. álgebra..... Luiz Fernando Equações não lineares foram o próximo grande obstáculo. as quais floresceram..... Muitos resultados de seu trabalho foram as sementes de novas maneiras de pensar..................com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/diffeq..... geometria e teoria de números..análise..... Na década de 1980. Em mecânica celeste.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.... Poincaré entendeu e contribuiu em quatro áreas principais da matemática ...htm em setembro de 2008.. Nesse caso a única força que age sobre ele é m. É fácil de entender as razões que estão por detrás desta grande utilização de equações diferenciais.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. na engenharia.g 2 dt dt (3) As equações (2) e (3) são as equações diferenciais que expressam as atribuições essenciais dos processos físicos considerados. a aceleração a de um 1 corpo de massa m é proporcional à força total F agindo sobre ele.a = F (1) constante de proporcionalidade. especialmente na geometria. por hipótese. então sua aceleração é m = m g ou =g (2) dt 2 dt 2 dt 2 Se nós alterarmos a situação assumindo que o ar exerce uma força de resistência proporcional à velocidade. a = m Suponhamos. é bom relembrar que se y = f ( x) é uma dada função. e em muitos outros campos da ciência aplicada. na astronomia encontram a sua expressão mais natural na linguagem das equações diferenciais.g onde g é a aceleração devido à gravidade.g − k e (1) torna-se dt m d2 y dy = m. Em qualquer processo natural. que um corpo de massa m cai livremente sobre a influência da gravidade. Aplicações também surgem na matemática em si. com como a m F ou m. na biologia. Quando esta relação é expressa em símbolos matemáticos. na física. na química. dy pode ser interpretada como a taxa (ou razão) de variação de y então a sua derivada dx em relação a x . Se y(t) é a distância abaixo do corpo para alguma altura d2 y d2 y d2 y . Definição e Notações Definição: Uma equação envolvendo as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais 8 . Luiz Fernando A Natureza das Equações Diferenciais Muitas das leis gerais da natureza. e (1) torna-se . De acordo com a Segunda Lei de Newton do movimento. fixada. o resultado é freqüentemente uma equação diferencial. as variáveis envolvidas e suas taxas de variação estão interligadas com uma ou outras por meio de princípios básicos científicos que governam o processo. na economia. então a força total dy exercida sobre o corpo é m. Para ilustrar estas observações vejamos o exemplo que se segue. assim.g − k 2 dt dt ou m d2 y dy +k = m. Para tanto. . explicita claramente as variáveis dependentes e as independentes. . y ' ' ' .. d2y dy − 5 + 6y = 0 . x x ∂u ∂v =− ∂y ∂x 9. . é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem contida na equação. . ∂w ∂ 2 z dy d 2 y d 3 y . Luiz Fernando variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial. é dado pelo grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. e + 2  = 1 . dx 2. Preencha o quadro abaixo. ..  2  − 4.. ∂x 2 ∂y 2 10. . nos parece ser dx dx 2 dx 3 ∂x ∂y 2 mais vantajosa sobre a notação y ' . dx dy + = 2x + y dt dt 5 y '+ 8. 2 d2y  dy  4. admitindo-se a mesma escrita na forma racional inteira em relação às derivadas. . 2 dx  dx  y 3  d 2s  ds 5. x. 3 . ∂2z ∂2z + =0 . . Exemplo: d3y y − 3 =1 3 dx d y dx 3 2 ⇒ d3y d3y  3  − y = 3 dx  dx  ⇒ 3a ordem e 2o grau.s + 8.s 2 = 0 . . dy = 3x − 1 .dx = 0 3. 1 1 y= 2 . pois.. Exemplos: 1. . y ' '+3 y ( y ') + y ( y ') = 5 x 7. Grau de uma Equação Diferencial O grau de uma equação diferencial.dy − y. dt  dt  .t.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. . . .. 2 dx dx 6. Observação: A notação de Leibniz Ordem de uma Equação Diferencial A ordem de uma equação diferencial é dada pela ordem da derivada de mais alta ordem que nela aparece. dos dez exemplos apresentados anteriormente: Exemplo 1 2 3 4 5 Ordem Grau Exemplo 6 7 8 9 10 Ordem Grau 9 . ou seja. y ' ' . com respeito à ordem e o grau. não se dx verificou a igualdade. Luiz Fernando Classificação das Equações Diferenciais As equações diferenciais são classificadas em: a) Equações Diferenciais Ordinárias: são aquelas cuja(s) função(ões) incógnita(s) depende(m) de uma única variável. pois. 3) Já a função y = x2 não é solução da equação diferencial dy = 2 x + 3 . dx 2 dy = −c1 sen x + c 2 cos x dx d2y = −c1 cos x − c 2 sen x . ∂x ∂y ∂z ∂z = 2x e = 2 y . 10 . ? − c1 cos x − c 2 sen x + c1 cos x + c 2 sen x = 0 0 = 0 (Verdade → a igualdade se verificou). ∂x ∂y ? 2 xy − 2 xy = 0 0 = 0 (Verdade). dx 2 e Substituindo na equação diferencial dada vem. onde c1 . pois. as derivadas são parciais (os dois últimos exemplos). só apresentam derivadas ordinárias (os oito primeiros exemplos). é solução da equação diferencial d2y + y = 0 . 2 x ≠ 2 x + 3 . dx dy = 2 x e substituindo na equação diferencial dada vem. pois. Resolução de uma Equação Diferencial Resolver ou integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que substituídas conjuntamente com as suas derivadas na equação diferencial dada. Tais funções chamam-se soluções. Substituindo estas derivadas parciais na equação dada vem. b) Equações Diferenciais Parciais: são aquelas cuja(s) função(ões) incógnita(s) depende(m) de mais uma variável. Logo. e portanto. 2) A função z = x2 + y2 é solução da equação diferencial y ∂z ∂z −x = 0 . c 2 ∈ ℜ.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. são ditas constantes arbitrárias. primitivas ou integrais da equação. Exemplos: 1) A função y = c1 cos x + c 2 sen x . e portanto. a verificam identicamente. geralmente. igual às unidades dx 2 da ordem da equação diferencial considerada. no estudo das equações diferenciais ordinárias de 1a ordem. dy  dy  Exemplo: Seja a equação de Clairaut y = x − ln   . pois. z = f (u ) . No caso das equações diferenciais ordinárias. A forma analítica é aquela tradicional onde a solução. não envolve cálculos complicados e é baseado na interpretação da derivada. graficamente. Luiz Fernando Tipos de Soluções de uma Equação Diferencial Uma equação diferencial pode ser abordada de três maneiras diferentes: a analítica. existem muitas funções que não são integráveis. discute-se o comportamento das soluções e os aspectos das curvas integrais descritos por meio de campos de direções. o número de constantes arbitrárias essenciais é 2. d2y Exemplo: y = cos x é uma solução particular da equação + y = 0 . na abordagem numérica. Num primeiro curso de Equações Diferenciais. é encontrada pelo uso direto do cálculo diferencial e integral. já começa a ficar claro que por este processo analítico não é sempre possível encontrar a solução de todas as equações diferenciais. c 2 ∈ ℜ) é solução geral da equação diferencial 2 d y + y = 0 . b) Solução Particular: É a solução que se obtém atribuindo-se valores particulares às constantes arbitrárias. apenas alguns tipos de equações diferenciais apresentam essa solução. a função arbitrária ∂x ∂y z = f ( x 2 + y 2 ) é solução geral da equação diferencial. É fácil notar que a solução singular não pode ser obtida da solução geral. ∂z ∂z y −x Exemplo: Dada a equação diferencial parcial = 0 . métodos numéricos são utilizados para aproximar soluções de problemas de valor inicial de equações diferenciais de 1a ordem. Sendo assim. f é uma função de argumento u = x 2 + y 2 . quando c1 = 1 e c 2 = 0. Aqui. No caso das equações diferenciais parciais as soluções analíticas são dos seguintes tipos: a) Solução Geral: É uma solução que contém funções arbitrárias. que figuram na solução geral. a solução analítica pode ser dos seguintes tipos: a) Solução Geral: É uma solução que contém tantas constantes arbitrárias essenciais quantas forem as unidades da ordem da equação considerada. é uma dx 2 solução obtida da solução geral acima. Este procedimento. uma função explícita ou implícita. Finalmente. e derivando z em relação a 11 . sendo u = x 2 + y 2 . pois com já sabemos. a qualitativa e a numérica. isto é. Já pelo processo qualitativo.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. Ela possui solução geral dx  dx  dada por y = cx − ln c e solução singular dada por y = 1 + ln x (verifique!). Exemplo: y = c1 cos x + c 2 sen x (onde c1 .pois. isto é. Também são chamadas de soluções perdidas. é dado prioridade a este processo analítico na busca da solução de uma equação diferencial. pois. c) Solução Singular: É uma solução desprovida de constantes arbitrárias e que não pode ser obtida da solução geral. b . Outra particularidade que existe. Uma solução particular é representada por uma curva desta família. é de que nem sempre o número de funções arbitrárias ou de constantes arbitrárias traduz a ordem da equação diferencial parcial. Substituindo-se na equação ∂y diferencial dada vem. enquanto a solução geral de uma equação diferencial ordinária de ordem n contém n constantes arbitrárias de integração.x + b. ∂z ∂z ∂z ∂z Exemplo: Dada a equação diferencial parcial z = x + y + . Interpretação Geométrica da Solução de uma Equação Diferencial Sob o ponto de vista geométrico a solução geral de uma equação diferencial ordinária representa uma família de curvas. b) Solução Completa: É uma solução que contém constantes arbitrárias. atribuindo-se valores às constantes arbitrárias. cuja solução geral é dada por dx y = x2 + c .5 . é aquela que. dy Exemplo: Seja a equação diferencial = 2 x . ? y. onde a e b são constantes arbitrárias. tem-se e ∂z = f ' (u ). uma das mais importantes diferenças entre as soluções das equações diferenciais ordinárias e as soluções das equações diferenciais parciais. c1 = −1.2 y . Estas curvas chamam-se curvas integrais. . c 4 = 1. c) Solução Particular: É a solução obtida da solução completa.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. c 2 = 0. todas de concavidade voltada para cima e simétricas em relação ao eixo y. ∂x ∂y ∂x ∂y a função z = a. f ' (u ). c3 = 1. é solução completa da equação dada (Verifique). c5 = 3.2 x − xf ' (u ). Luiz Fernando ∂z = f ' (u ). 12 . Esta solução geral nada mais é do que uma Família de Parábolas. para alguns valores de c. conforme mostra a figura abaixo. nem da solução completa.2 x ∂x x e a y. d) Solução Singular: É uma solução que não resulta nem da solução geral. Assim.2 y = 0 ∴ 0 = 0 (Verdade). a solução geral de uma equação diferencial parcial contém funções arbitrárias. y + a. mas também naquelas soluções que satisfazem certas condições. Luiz Fernando Observação: Existem infinitas parábolas nesta família. Uma condição inicial é uma condição. Aqui trataremos daquelas condições que são conhecidas como condições iniciais e condições de fronteira (contorno) de equações diferenciais ordinárias. Solução: Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno Na resolução de equações diferenciais. na solução de uma equação diferencial. em um único ponto. aquela que envolve suas condições de fronteira (contorno) será chamada de um Problema de Valores de Fronteira (contorno). na solução de uma equação diferencial.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. A equação diferencial com condição inicial será chamada de um Problema de Valor Inicial. Exemplos: 1) Verifique se y = (c1 + c 2 x). condições de fronteira (contorno) são condições. onde cada uma delas representa uma solução particular (uma para cada determinado valor de c ∈ ℜ). 13 . estamos interessados não somente nas suas soluções gerais.e x + c3 é solução da equação diferencial d3y d 2 y dy − 2 + = 0. 2) Dado y= Solução: 3) Dado y = c1 cos 2 x + c 2 sen 2 x determine a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. dx 3 dx 2 dx Solução: 3x 2 − x + c determine a equação diferencial de menor ordem possível 2 que não contenha nenhuma constante arbitrária. em dois ou mais pontos. y = y(x).  y ' '− y '−2. no qual 14 .x e ∂y contínuas em D . I ∂f = 0 são ponto ( x0 . y ) dx e a condição inicial y(xo) = yo. y = 0  dx  y (0) = 1  π  y '   = 2   2  Teorema de Existência e Unicidade É sempre importante ter-se alguns teoremas básicos que nos habilitem a determinar se uma dada equação diferencial com condições iniciais tem ou não uma solução única. satisfazendo a equação diferencial dy = f ( x. y0 ) = (1. no qual há uma solução única . (h>0). contudo) a responder estas questões. sem nos preocuparmos com as demonstrações dos mesmos. (h>0) . yo). existe um intervalo Io : x − x0 < h . existe algum intervalo Io : x − 1 < h . satisfazendo a equação diferencial dy = 2. y = 0   y ( 0) = 0  y ' ( 0) = 3  Exemplo de Problema de Valores de Fronteira (Contorno): d2 y  2 + 4. y ) = 2. existe um intervalo Io : x − x0 < h .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. Aqui nós abordaremos os Teoremas da Existência para equações diferenciais ordinárias de 1a e 2a ordem. Como f ( x. yo . existem teoremas que nos ajudarão (nem sempre.x e a condição inicial y (1) = 1 dx (Fig. no qual há uma solução única ( y = x 2 ) .I). Teorema 2: Sejam as funções f. Então. (h>0) [ou xo – h < x < xo + h ]. Teorema 1: Sejam as funções f e ∂f contínuas num domínio D do plano xy contendo ∂y o ponto (xo .  y (1) = 1 Seja uma região D (cinza) no plano xy que contém o Fig. zo).  dy  = 2. Luiz Fernando Exemplos de Problemas de Valor Inicial: a) b)  dy = ky  dx  y (0) = 2 . Então. Afortunadamente.1) . ∂f e ∂f contínuas num domínio tridimensional D ∂z ∂y contendo o ponto (xo .x Exemplo: Dado o problema de valor inicial  dx . poderá existir uma única solução.yo) = (1.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. a existência de um intervalo Io : x − x0 = x − 0 = x < h . onde há uma única solução y(x) satisfazendo o problema de valor inicial. Isto é. satisfazendo a equação diferencial y ' ' = f ( x. Solução: Aqui. nós assumiremos que existe uma única solução para o problema de valor inicial. Note-se que os teoremas acima não se referem ao tamanho do intervalo Io. então. Eles meramente afirmam que existe este intervalo. esta função é a única solução do problema de valor inicial no intervalo Io: x <h. se estas condições não forem todas satisfeitas. y ' ) e as condições iniciais y(xo) = yo e y ' ( x 0 ) = z 0 . y = y(x).y) = ky e ∂f ( x. f(x. ∂y Claramente. Neste exemplo.x onde c é uma constante arbitrária. podemos aplicar este teorema em qualquer domínio D contendo o ponto (xo . se as condições estabelecidas nas hipóteses dos respectivos teoremas são satisfeitas. f(x. Assim. A solução para este problema é y = 2. y = ek. Luiz Fernando há uma solução única . ambas as funções f e ∂ f satisfazem a hipótese do Teorema 1 em todo ∂y plano xy. y(x). 15 .x é a única solução do problema de valor inicial no intervalo Io : x − 1 < h . pelo teorema. Solução: 2) Mostre que o problema de valor inicial: Aqui.0) asseguramos. em algum intervalo Io. Além disso. esta única solução existe sobre o intervalo −∞ < x < ∞  y' = 4 + y 2   y ( 0) = 0 tem uma única solução no intervalo Io : x < h . ∂y As funções f(x. Assim. as condições estabelecidas nas hipóteses destes teoremas não são necessárias. no qual há uma única solução. Exemplos: 1) Mostre que o problema de valor inicial tem uma única solução no intervalo  dy = ky   dx  y (1) = e k Io : x − 1 < h (h>0).ek. isto é. Em particular. A solução geral é dada por y = c. satisfazem a hipótese do Teorema 1 em qualquer ponto ∂y do plano xy. y ) =k. satisfazendo a equação diferencial e sua condição inicial. y . estes teoremas não nos indicam um método para encontrar esta solução única. Desde que y = ek em x = 1.y) e ∂ f ( x . Contudo. y ) . Estes teoremas fornecem aquelas que são conhecidas como as condições suficientes para a existência de uma solução única.yo) = (0. Assim. nós encontramos c = 1. existe um intervalo Io : x − x0 = x − 1 < h .ek).y) = 4+ y2 e ∂f ( x. y ) = 2 y . Para um domínio D contendo o ponto (xo.tg 2x (observe gráfico acima). y . contudo. existe um intervalo Io : x − x0 = x − 0 = x < h . y = 0   y ( 0) = 0  y ' ( 0) = 3  . y.yo . 4 4 Note. f(x. Luiz Fernando Neste exemplo. 3) Mostre que y = e 2x – e− x é a única solução do problema de valor inicial. ∂f e ∂f satisfazem a hipótese do Teorema 2. y 2 −  + dx dx  dx  . 2 16 . z ) =2 Assim.0. Claramente.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. dx 2 x dx x → d 2 s ds − − 6s = 0 .( x − c) 2 d) Equações Diferenciais + c2 e 3t s = c1 cos (2t + c 2 ) x b e) y = a. podemos aplicar o teorema para qualquer domínio D contendo o ponto (xo . e a função y 4 4 dada por y = 2. y . Em ∂z ∂y particular.  y ' '− y '−2. y ' ) onde f ( x. Solução: y ' ' = f ( x. que esta solução única não pode ser estendida além deste intervalo. qualquer intervalo maior conteria os pontos x = − π e/ou x = π .z) = 2y + z e  ∂y   ∂f ( x. a solução única realmente existe sobre o intervalo − π < x < π .e − b → d 2 y 1 dy 2 − + =0 . Assim.tg 2x não é definida nestes pontos. y ' ) = 2 y + y ' .y. pois.zo) = (0. no qual há uma única solução y(x) satisfazendo a equação diferencial e as condições iniciais dadas acima.  ∂f ( x.3). as funções Exercícios 1) Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação diferencial correspondente: Funções a) y = c1 + 2 x + c 2 x 2 −2 t b) s = c1e c) y = c. y. dt 2 dt → ( y ')3 − 4 xyy'+8 y 2 = 0 → d 2s + 4s = 0 . z ) = 1  ∂z f. no intervalo Io : x < h . dt 2 → d 2 y  dy  dy =0 . dx c) x 3 = c. u = ex.... 6) Encontre uma função r ( x) de modo que y = sen(ln x) . dx 2 dx e) y = c1e 2 x + c 2 e − x dy ... seja solução da d y [r ( x). .. 17 ... o   y (−1) = 1 5) Mostre que y=  y '+ y. equação diferencial ordinária: dx x .. b) y = ce x Resp. y '] + = 0 .... a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária......Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. equação diferencial de Laplace + ∂x 2 ∂y 2 . a) x2 + y2 = c Resp. x > 0 ..: dy −y=0 .....sen 3t 2 → d 2x + 9 x = 3 cos 3t dt 2 2) Verifique se as funções u = x2− y2 ... sec x = cos x   y (0) = 1 ( x + 2 − cos x) cos x 1 + sen x é a única solução do problema de valor inicial .(x+1) é a única solução do problema de valor inicial 4) Mostre que  y ' = 3x + y para algum intervalo I : x +1 < h ....: 3 y 2 − x 2 = 2 xy d) y = (c1 + c 2 x)e x + c3 Resp. Luiz Fernando 1 f) y = c1e 3 x + c 2 e − x − e 2 x 3 → d2y dy − 2 − 3y = e2x 2 dx dx 1 g) x = c1 cos 3t + c 2 sen 3t + t.( x 2 − y 2 ) Resp.. dx y = ex+1 – 3.: d3y d 2 y dy − 2 + =0 .: d 2 y dy − − 2y = 0 .... e u = ln (x2+ y2) são soluções da 3) Dadas as curvas abaixo.... para algum intervalo Io : x < h .cos y ∂ 2u ∂ 2u = 0.......: xdx + ydy = 0 .. dx 3 dx 2 dx Resp.......... determine para cada uma delas.. a qual.dx + y. na realidade. resulta ∴ ∫ [M ( x)dx + N ( y)dy ] = c ∫ M ( x)dx + ∫ N ( y)dy = c . Definição: Diz-se que uma Equação Diferencial Ordinária é de 1a Ordem e 1o Grau se a mesma pode ser escrita na forma dy = F ( x. dx Classificação Começaremos agora nosso estudo sobre a metodologia de resolução de algumas classes ou tipos de equações diferenciais ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau: 1o Tipo: Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis a) Equações Diferenciais de Variáveis Separadas: São aquelas equações diferenciais que podem ser expressas da forma M ( x)dx + N ( y )dy = 0 . Assim.dy = 0 . y ). nem todas as equações diferenciais possuem solução analítica [podemos até afirmar que não são “muitos” os tipos (classes) de equações diferenciais que as possuem]. foram criados por mera curiosidade matemática. Se as funções M e N são integráveis. era o modelo matemático de um problema real. Observe que o c representa a soma algébrica de todas as constantes de integração. Solução: 18 . Exemplo: Determine a solução geral da equação diferencial x. aqui vamos abordar somente alguns poucos tipos de equações diferenciais ordinárias de 1a ordem e 1o grau.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.dy = 0 .dx + N ( x. não necessariamente serve para resolver outro. pois. Assim sendo. y ). para os quais foram criados procedimentos analíticos para se encontrar as suas respectivas soluções. y ) ou M ( x. obtemos imediatamente a solução geral da equação diferencial proposta aplicando-se o operador integral (que é um operador linear) a ambos os membros da equação diferencial. A habilidade para se encontrar a solução analítica (exata) de uma equação diferencial depende da habilidade em se reconhecer a que tipo (classe) a equação diferencial em questão se enquadra e da aplicação de um método específico para o cálculo da solução. Muitos desses procedimentos foram descobertos pela necessidade de se conhecer a solução de uma determinada equação diferencial. o método que se aplica para resolver um tipo de equação diferencial. Luiz Fernando Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau Como já foi citado anteriormente. outros procedimentos. Luiz Fernando b) Equações Diferenciais Redutíveis às de Variáveis Separáveis: Uma equação diferencial da forma M 1 ( x). se as funções g (x) e forem integráveis.dx . Assim. h( y ) Exemplos: Resolva as seguintes equações diferenciais: 1) ydx + xdy = 0 . cuja solução poderá ser obtida 1 por integração.dy = 0 . dx 1 e a seguir por dx (por definição.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. dx Solução: 2) 3) xdx − 4− x dy = 0 y .h( y ) . isto é. dy = g ( x)dx ∴ − g ( x)dx + h( y ) h( y ) uma equação diferencial de variáveis separadas. dx + 2 N1 ( y) M 2 ( x) variáveis separadas.dx + M 2 ( x). seu valor é constante e diferente de zero). isto é. temos que é uma equação diferencial de Observação: Este tipo de equação diferencial pode também aparecer escrito na dy = g ( x).N 1 ( y ). N ( y) M 1 ( x) dy = 0 . dx = ∆x é o membros da equação por h( y ) acréscimo da variável independente. multiplicando-se ambos os forma de derivada. Solução: dy = 3x + 1 .M 2 ( x) integração.N 2 ( y ). que é independente) de (4) resulta. Solução: 19 . a diferencial da variável dependente é dx igual ao produto da derivada da função pela diferencial da variável 1 1 dy = 0 . Assim. pode ser reduzida a uma equação diferencial de variáveis separadas. então. mediante a 1 multiplicação da equação pela expressão chamada fator de N1 ( y ). tem-se 1 dy dx = g ( x)dx (4) h( y ) dx dy Como dx = dy (ou dy = f ' ( x). ln   x    − a2 − x2   ou  a + a2 − x2 y = a. conclui-se que o segmento de reta PT é tangente à curva no ponto P. 20 . A Resolução: Separando-se as variáveis. y Solução: 4) Sobre a Curva Tractriz Suponhamos que um ponto P é arrastado ao longo do plano xy por um fio PT de comprimento constante a. Luiz Fernando dy 1+ y2 = .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. T desloca-se a partir da origem na direção positiva do eixo x e P é arrastado a partir do ponto (a. ou seja. O Modelo matemático: Das condições do problema e observando a sua representação gráfica ao lado. obtemos  a − a2 − x2 y = −a. dx (1 + x 2 ). e portanto. determinar o caminho percorrido pelo ponto P ? A curva descrita pela trajetória deste ponto P é chamada de Tractriz (do latim tractum que significa arrastar) ou curva Equitangencial. Nestas condições. integrando e usando o fato de que y = 0 quando x = a [condição inicial y ( a ) = 0 ]. 0) . sua inclinação é dada por dy QT =− dx QP ou dy =− dx a2 − x2 x que é uma equação diferencial de variáveis separáveis em x e y.ln   x    − a2 − x2   que é a equação da Tractriz. atribuindo-se para a constante arbitrária c o valor zero. Agora. para algum n ∈ ℜ . mediante a atribuição de um valor à constante arbitrária c. y = r é uma solução dx constante na equação diferencial. y ) = λ n .dy = dx indica claramente que precisamos omitir y = ±2 nessas etapas. x + k ⇒ y+2 1 1 ln y − 2 − ln y + 2 = x + c1 4 4 y−2 = c. dy Exemplo: Resolver = y2 − 4 . Luiz Fernando Esta curva é de considerável importância.dx fica indefinido em r. o primeiro dy = g ( x). se fatorarmos o segundo membro da equação diferencial dy = y 2 − 4 . dx A solução y = 2 é uma solução particular. pois. λ . devemos ter cuidado quando estivermos dx separando as variáveis. f ( x. Isto indica que esta solução foi perdida no início do processo de solução. em relação às variáveis x e y.e 4. x y+2 ⇒ y = 2. x ln y−2 = 4. Lembre-se que essa solução é chamada de solução singular. se tiver para todo λ ∈ ℜ *+ f ( λ .( y + 2) e é fácil verificar que y = 2 e y = −2 são duas soluções constantes.e 4. y ) 21 . Solução Singular (ou Solução perdida): Dada uma equação diferencial de dy = g ( x).h( y ) . não pode ser obtida a partir da solução geral.h( y ) torna nulo ambos os membros.e 4. dx 1  14  dy 4 dx − Solução: Separando as variáveis temos = ou  y − 2 y + 2  . A inspeção da equação diferencial 1  14  4 −  y − 2 y + 2  .dy = dx e 2 y −4   variáveis separáveis. Mas. x .   2o Tipo: Equações Diferenciais Homogêneas a) Função Homogênea: Diz-se que uma função. Especificamente. pois. pois. em outras palavras. y = r membro da equação h( y ) pode não aparecer na família de soluções (solução geral) obtidas após a integração e simplificação. y ) é uma função homogênea de grau de homogeneidade n.x + k y+2 ⇒ (Solução Geral). Conseqüentemente. pode ser obtida a partir da solução geral. ⇒ 1 + c. f ( x. após a separação das variáveis. Já.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. a solução y = −2 é uma solução singular. x 1 − c. digamos. uma vez que os divisores podem se anular em um ou mais pontos. teremos dx dy = ( y − 2). sua revolução em torno do eixo y gera a superfície que é um modelo para a versão da geometria não-Euclidiana de Lobachevski. se r for um zero da função h( y ) . substituir y = r em dy = g ( x). digamos integrando vem y−2 = ±e 4. dy = 0 Solução: 22 .x (ou x = v. y ).Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. y ).(ln x − ln y − 1) b) Equação Diferencial Homogênea: É toda equação diferencial que pode ser escrita da forma M ( x. y ) = x 3 .e y x 5) f ( x.dy = 0 . em relação a x e y. y ) = y. Luiz Fernando Exemplos: Verifique se as funções abaixo são homogêneas e dê o grau de homogeneidade: 1) f ( x. Observação: Uma equação diferencial também pode ser identificada como x dy dy  y = F   .dx + ( x 2 + y 2 ). y ) = x 2 + y 2 2) f ( x. y ) = x3 − y3 x. homogênea se ela puder ser escrita da forma = F   ou dx dx x  y Exemplos: Encontre a solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas abaixo: a) 2 x. onde M e N são funções homogêneas e de mesmo grau. se a equação diferencial é homogênea ela pode ser transformada. y ) = x 4) h( x.( x + y ). Assim.dx + N ( x. y x + 5y2 3) g ( x. que depois de encontrada a sua solução geral faz-se y x a substituição v = (ou v = ) para se obter a solução geral da equação x y diferencial inicial. mediante a substituição y = v. y ). em uma equação diferencial de variáveis separáveis em v e x (ou v e y). y dx dx Solução: 23 . Luiz Fernando b) y2 + x2 dy dy = x.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. .dx + 2 x.. em qualquer ponto igual a 2 ........dx = 0 R: arc sen y = ln c.dx n) y = c....dy = 0 R: (2 + y ).(1 + x) = 1 − x x +x III) Achar a solução particular que é determinada pelos valores de x e y dados. a) dx dy +4 =0 ......dy − 1 − y 2 ..dy = 0 R: x 2 + 4 xy − 3 y 2 = c h) (3x + 5 y ). =   dy  x  1 x+ y ln 2 x 2 + 2 xy + y 2 − arc tg =c 2 x R: 1 + 4cz − c 2 x 2 = 0 m) 2 x.dy − y.dy = 0 R: c..dx + (2 x − 3 y ).dy = 0 R: ( x + y ) 2 ..dy = 0 o) dx  y + 1  y..( x + 3).dz − 2 z.dy = 0 R: ( x + y ) 2 . ln x. y 2 = 1 + x 2 c) x.dw + (1 − 2w).. y x b) ( x 2 + y 2 )..dx − (3 − x)..dx + (4 x + 6 y ). cos θ f) (1 − x).x. y=0 R: x 2 + 4 y 2 = 32 R: y2 = x2 − x ..(1 + 3z ) = c.(3 z + 1). R: y. ln c.dx = x 2 + 4 z 2 .(3 − x) = c b) xy.dx = 0 R: d) 1 + x 2 ...dy = 0 R: 2 x 2 + 2 xy + 3 y 2 = c l) 2 z.dz = 0 R: (2w − 1)..dx + ( x + 3 y ). y=2 x =1 .(2 x + 3)..dx = 2 xy....(1 − x) = 1 g) ( x + 2 y ).dθ = 0 R: ρ = c.(2 x + y ) 3 = c k) (2 x + y )......dy ...( x + 3) R: x3 + 6x 2 y = c R: 1 3 1 1 x ln x − x 3 = y 2 + 2 y + ln y + c 3 9 2 2 II) Achar a equação da curva que passa pelo ponto (1...dx − (1 + x 2 ).Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.( x + 2 y ) = c i) 2( x + y ).dy − y 2 dx = 0 R: y...dx + (5 y + 7 x).. x=4 ... Luiz Fernando Exercícios I) Achar a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: a) (2 + y ).dy = 0 R: j) (8 y + 10 x).z ( x + 4 y ). 0) e cujo coeficiente angular y −1 é.. 24 .tg θ .dx + y......( x + 1 + x 2 e) dρ + ρ . equivale a uma translação dos eixos coordenados para o ponto (α .  a x + b1 y + c1 = 0 Para tanto. b2 e c 2 são constantes. onde  a1 . Para este tipo de equações temos a consideram dois casos:  a b1  a) Se det  1  ≠ 0 a equação diferencial se reduzirá a uma outra equação a 2 b2  diferencial homogênea. Desse modo. geometricamente. dy 2 x − 3 y − 1 = Exemplo: Resolver a equação diferencial dx 3 x + y − 2 Solução: 25 . com as quais vamos obter uma equação  y = v + β → dy = dv diferencial homogênea em u e v. a 2 . realizamos na equação diferencial considerada as seguintes  x = u + α → dx = du substituições  . c1 . β ) . b1 .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. A seguir. cuja solução admitamos ser  a 2 x + b2 y + c 2 = 0 x = α e y = β . as retas com variáveis u e v se interceptarão na origem ( c1 = c 2 = 0). Luiz Fernando 3o Tipo: Equações Diferenciais Redutíveis às Homogêneas ou às de Variáveis Separáveis São as equações diferenciais da forma  a x + b1 y + c1 dy = F  1 dx  a 2 x + b2 y + c 2   . forma-se o sistema  1 . Esta mudança de variáveis. que é a interseção das retas do sistema acima. Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando  a b1  b) Se det  1  = 0 , a equação diferencial se reduzirá a uma outra de variáveis a 2 b2  separáveis. Para tanto, faz-se a1 x + b1 y = t (ou a 2 x + b2 y = t ), sendo t uma função de x. Então, derivando-se em relação a x vem, dy 1  dt  =  − a1  dx b1  dx  Substituindo estes resultados na equação diferencial dada, obtém-se uma equação diferencial de variáveis separáveis em t e x. dy 2 x − y + 1 Exemplo: Resolva a equação diferencial = . dx 6 x − 3 y − 1 Solução: 26 Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Exercícios Calcular a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: 2 2 2 3 2  3   R:  y −  − 6. x − . y −  + 2 x −  = c 7 7 7  7   1) (2 x − 3 y ).dx − (3x − y − 1).dy = 0 2) (2 x + 3 y − 1).dx + (2 x + 3 y + 2).dy = 0 R: 3 x + 3 y = −9.ln 2 x + 3 y − 7 + c 3) (2 x − y + 4).dy + ( x − 2 y + 5).dx = 0 R: ( x + y − 1) 3 = c.( x − y + 3) 4) dy x + 2y +1 = dx 2 x + 4 y + 3 R: ln 4 x + 8 y + 5 + 8 y − 4 x = c 5) ( x − 4 y − 3).dx − ( x − 6 y − 5).dy = 0 R: ( x − 2 y − 1) 2 = c.( x − 3 y − 2) 6) ( x + 2 y − 4).dx − (2 x + y − 3).dy = 0 7  R: ( x − y − 1) 3 = c. x + y −  3  7) dy 1 − 3x − 3 y = dx 1+ x + y R: 3 x + y + 2. ln − x − y + 1 = c ................................................ 4o Tipo: Equações Diferenciais Exatas Uma equação diferencial ordinária de 1a ordem escrita da forma M ( x, y ).dx + N ( x, y ).dy = 0 (5) é dita exata se o 1o membro for uma diferencial total (ou exata), isto é, dU = ∂U ∂U dy dx + ∂x ∂y (6) de uma função U ( x, y ) . Neste caso a equação diferencial (5) pode ser escrita dU = 0 e mediante integração obteremos a solução geral de (5) que é da forma U(x,y) = c. Comparando (5) e (6) vemos que (5) é uma diferencial exata se existe uma ∂U ∂U função U(x,y) tal que, (I) e (II), M = N= ∂x ∂y então, ∂M ∂ 2U = ∂y ∂y∂x e ∂N ∂ 2U = ∂x ∂x∂y 27 Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando ∂ 2U ∂ 2U ∂M ∂N = ⇒ = → (Condição ∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂x M ( x, y ).dx + N ( x, y ).dy = 0 seja uma necessária para que a equação diferencial equação diferencial exata). Para calcularmos a expressão de U(x,y) vamos integrar (I) em relação a x. Portanto, U ( x, y ) = ∫ M .dx + Q( y ) , onde Q(y) é uma função só de y (III) e pelo Teorema de Schwartz como Para determinarmos Q(y), derivamos (III) em relação a y e usamos (II). ∂U ∂ ∂ Assim, = M .dx + Q' ( y ) = N ⇒ Q' ( y ) = N − M .dx) (função só de y). ∫ ∂y ∂y ∂y ∫  ∂P ∂P  .dy e substituindo em (III) Fazendo ∫ M .dx = P , Q' ( y ) = N − ∴ Q( y ) = ∫  N − ∂y ∂y   ( vem, ) (  ∂P  U ( x, y ) = ∫ M .dx + ∫  N − .dy , onde ∂y   ) P = ∫ M .dx Como U(x,y) = c, então a solução geral da equação diferencial exata M ( x, y ).dx + N ( x, y ).dy = 0 será dada por  ∂P  ∫ M .dx + ∫  N − ∂y .dy = c . Exemplos: Calcular a solução geral de cada uma das equações dadas: 1) (3x 2 + 6 xy 2 ).dx + (6 x 2 y + 4 y 3 ).dy = 0 Solução: 2) ( x 2 − y 2 ).dx − 2 xy.dy = 0 Solução: 28 dx + ( x. cos xy + 2 y )...sen y.. 29 .dy = 0 R: x..dy = 0 7) y 2 − 3x 2 2x dx + dy = 0 y3 y4 R: x2 1 − =c y3 y 8) (e 2 y − y. cos ( xy ) + x   2 dy x + xy =− dx y + x2 y R: 2 x 2 − 2 xy + 2 x + 4 y − 3 y 2 = c 1 ...dx + (1 − cos x).....e y − 2 y ). cos x − 3 x 2 y − 2 x).dx +  x....dy = 0 R: 4) 5)   y  .sen x − x3 y − x 2 + y.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano...sen x − x 3 + ln y )...ln y − y = 0 .. cos y − e )... cos ( xy ) + 2. x 2 .e x − y + 6 x 2 dx II) Resolva os problemas de valor inicial (determine a solução particular): 1) (2 x... cos x = c 6) (1 + y. x +  y..... sen x . y (0) = 2 = dx y. x + ln y = c R: x 2 .(1 − x 2 ) 3) ( y 2 ....dx + (2 x.sen x).. cos y − e y = −1 R: y 2 .dy = 0 ...(1 − x 2 ) − cos 2 x = c y (0) = e R: y 2 ... cos xy )..e 2 y − sen xy + y 2 = c 9) (2 xy 2 − 3).......dx − x 2) dy xy 2 − cos x .dy = 0 y  x.(1 + y 2 ) + y 2 = c R: x + y − y...dy = 0 R: x 2 y 2 − 3x + 4 y = c R: xy − 2 x.e y − y 2 = c x4 + y 2 x + sen y = c 4 R: sen ( xy ) + 2 y.... Luiz Fernando Exercícios I) Calcular a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: 1) (2 x − y + 1).dy = 0 R: 3) ( x 3 + y 2 ).dx + (2 xy + cos y ).e 2 y − x..dy = 0 2) e y ...dx + (2 x 2 y + 4)... x = 0 R: x 2 ....dy = 0 ...dx − ( x + 3 y − 2).dx + (2 y.e x + 2e x − 2 x 3 = c 10) x dy = 2 x....... temos 1 ∂λ 1  ∂M ∂N   − =  λ ∂x N  ∂y ∂x  (10) A equação (10) só terá sentido se o 2o membro for função só de x . que não é ∂M ∂N . y ) . 1 1 1 Porém.dx + N ( x. 2 e 2 são fatores integrantes da equação diferencial dada. e portanto.dy = 0 .dy = 0 (7) Como por suposição. y ). y) seja um fator integrante da equação diferencial M ( x. x y x + y2 Exemplo: Pesquisa de um Fator Integrante Vamos supor que λ ( x. isto é. y ) e ela se transforma em uma diferencial exata. y ). y ). λ é fator integrante da equação (7). Desse modo. =1≠ = −1 .dy . a esta função chamamos de Fator Integrante. Assim. Luiz Fernando Fator Integrante Quando multiplicamos uma expressão M ( x.dx ∴ ∫ λ dx λ λ ∫ ∴ ln λ = ∫ψ ( x). 2 . temos λ. Seja a equação diferencial y.dx − x. = . se multiplicarmos essa equação diferencial por ou 2 ou 2 .dx ∴ λ = e∫ ψ ( x ). ∂x ∂y ∂M ∂λ ∂N ∂λ Calculando as derivadas parciais temos λ +M =λ +N ∂y ∂y ∂x ∂x  ∂N ∂M  ∂λ ∂λ  (8) − = λ. ≠ ∂x ∂y expressão diferencial exata.dx + λ.dx + N ( x. 1 dλ dλ dλ = ψ ( x) ∴ = ψ ( x). y ) = − x . 2 x y x + y2 ela se converterá em uma equação diferencial exata (Verifique!). −N ∂y  ∂x  ∂x Dividindo ambos os membros de (9) por − λ . a equação não é uma equação ∂y ∂x diferencial exata. onde M ( x.dx ∴ = ψ ( x).Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. y ). ela é uma ∂ (λM ) ∂ (λN ) equação diferencial exata e. 1 1 1 Logo. por uma função λ ( x.dx . M −N ∂y  ∂x ∂y  ∂x A equação (8) é uma equação diferencial de derivadas parciais de 1a ordem em λ . para simplificar esta equação vamos supor que λ é apenas uma função de x ou y . e por enquanto a sua solução não pode ser calculada.M . y ) = y e ∂M ∂N N ( x. 30 .N . ∂y  ∂N ∂M  ∂λ  (9) − = λ .N . tem-se. Se multiplicarmos ambos os membros desta equação por λ ( x.dy = 0 . portanto. então. ∂λ = 0 e (8) se transforma em Supondo que λ seja uma função apenas de x . Desse modo.dx + ( xy + 1).Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. que só terá sentido se o 2o membro for função  dλ dλ ∴ = φ ( y). Observemos que. supondo que λ seja uma função apenas de y . 1 ∂λ 1  ∂N ∂M  = − λ ∂y M  ∂x ∂y 1 dλ = φ ( y) só de y . 1) y 2 .dy λ ∴ λ λ = e∫ φ ( y ).dy = 0 Solução: 31 . λ dy transforma em ∴ ∂λ = 0 e (8) se ∂y   .dx + 2 xy.dx ∴ ln λ = ∫ φ ( y).dy . de modo que as restrições adotadas não prejudicam a pesquisa desse fator.dy = 0 Solução: 2) ( x 2 − y 2 ). podemos determinar um fator integrante e não todos os fatores. transformando-as em equações diferenciais exatas. Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais. através da multiplicação por um fator integrante. pelo processo adotado. Luiz Fernando Analogamente.dy ∴ ∫ = ∫ψ ( x). por meio da multiplicação de um fator integrante. y 4) ( x 2 + xy )........ Observação: Aqui o sentido de homogênea é diferente daquele descrito nas equações diferenciais do 2o tipo.... Luiz Fernando Exercícios I) Verifique se cada uma das equações diferenciais dadas não é exata......dx − x 2 dy = 0 R: ln x − 5) (1 + y 2 )... Encontra-se a solução geral de uma equação deste tipo.dx + ( x 2 y + 4 y )..... R: 2 e y ( x 2 + 4) = 20 ... Se Q = 0. II) Resolva o problema de valor inicial dado encontrando um fator integrante: x. pesquise um fator integrante e calcule a solução geral de cada uma delas.dy = 0 y (4) = 0 .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano...dx + c 32 . ln x + y 3 = c.dx = ( x + x 2 ).. 5o Tipo: Equações Diferenciais Lineares dy + P. y R: 2. onde P e Q são dx São aquelas que podem ser escritas na forma funções de x .dx = x 2 .dy − y... por este processo...x + x......... um fator integrante que seja função apenas de x ou de y. y = Q ..e x 2) y 2 dy + y. Identifique a qual tipo esta equação diferencial pertence e resolva-a. y = Q dx (11) Antes vamos examinar dois casos particulares: 1o) Se P = 0 ⇒ dy =Q dx ∴ dy = Q.dx ∴ y = ∫ Q.dx = x.. em uma equação diferencial exata.dy R: arc tg y = ln 3) y =c x x +c x +1 Nota: Nesta última equação não é possível encontrar..... A seguir. 1) x..e x . é denominada a equação diferencial linear homogênea ou incompleta..dx R: y = c.... Método da Substituição ou Método de Lagrange Seja a equação diferencial dy + P..dy = 0 x R: y 2 + x = c.....dy y dx + ( y 3 − ln x)... utilizando-se o Método da Substituição (ou Método de Lagrange) ou transformando-a. Agora. = Q ∴ . Em cada um destes casos percebe-se que a equação diferencial resultante é sempre uma equação diferencial de variáveis separáveis. dt dz dy dt dz Assim.Q.e ∫     k1 − P .t = Q = z. + t.dx y − P .t = 0  dz t =Q  dx − P .dx + c y=e ∫ ∴ dy = − P.dx dt + P. Como.dx = .e ∫ e levando-se este dx − P . pelo Método da Substituição. y = 0 dx − P . k1 .dx + c    ⇒ que é a solução geral de (11).dx y = e ∫ .dx y =  ∫ e ∫ .t  + t =Q (12)  dx  dx Se conseguirmos obter os valores de z e t. Neste caso. dx y = k .dx + k 2 . y = z.Qdx k1 z= e integrando. ∫ e ∫ .t = 0 .t ⇒ 1 ∫ P. vamos fazer y = z. sendo z a nova função incógnita e t a função a determinar.Q. k1 ∫  1 P .dx + k 2 . em (12):  dt  dx + P.t . resulta t = k1 . e substituindo em (11) vem z.e ∫ . Exemplos: Resolva as equações diferenciais: 1) dy y − =x .Q ∴ dx dx k1 Resolvendo a equação diferencial resultado em dz = t dz =Q dx 1 ∫ P.dx e . obviamente teremos a solução geral de (11) que é uma equação diferencial linear dita completa. dx dx dx dx dx dt dz   ∴ z. vamos nos ater para o caso geral.dx + c ∴ − P .t . pesquisaremos em (12) um modo de calcular estas duas funções. onde z e t são funções de x. Assim.ec ∴ ∴ ∴ ln y = − ∫ P.dx P . Isto pode ser feito impondo-se as seguintes condições. dx − P .z. Luiz Fernando 2o) Se Q = 0 ⇒ dy + P. + t .e ∫ .dx . + P.dx y = e ∫ . z e t.Q. dx x Solução: 33 . quando P e Q são ambas funções não nulas.e temos k1 . + P.e .dx dz dz 1 ∫ P.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. já que y = z. A dx seguir resolva o exercício 1) a) por este processo. y + cos x dx 4 y '+ y = x 4 x R: R: y '−5. .tg x = sen x dx R: R: dy = (tg x).  + c   2  1 1  y =  x + sen 2x + c  . ln x + c)  sen 2 x  y = sec x . dx x x Solução: Exercícios 1) Resolver as seguintes equações diferenciais: a) b) c) d) e) dy y − = x−2 dx x dy − y.e 5 x 2) Resolva os problemas de valor inicial: dy + y − ex = 0 dx a) x b) y '+ y = sen x .sec x 4 2  c 1 y = 4 + x5 9 x y = c. y = Q . Luiz Fernando 2) dy y cot g x + − = 0. y = 0 R: y = x.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. 34 . y (a) = b y (π ) = 1 R: y= e x + ab − e a x R: y= 1 π −x e + sen x − cos x 2 ( 3) Pesquise um fator integrante para a equação diferencial linear ) dy + P.( x − 2. Luiz Fernando Algumas Aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau Com freqüência. Às vezes. saber qual a relação que deve existir entre elas. b) a temperatura da barra após 10 min. A construção de um modelo matemático que represente o comportamento de um sistema ou fenômeno pode não ser uma tarefa fácil. dT Então. sociológicos e mesmo biológicos. podemos concluir que. dt Exemplo: Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100°C em um quarto com temperatura constante de 0°C. Solução: 35 . bem como. determine: a) o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 25°C e. onde k é uma constante de proporcionalidade. bem como a sua resolução. quer sejam eles físicos. desejamos descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno do mundo real em termos matemáticos. Se. Assim. Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente (constante). pois. e cabe a quem estiver modelando identificar quais delas são realmente significativas ao comportamento do sistema. A representação idealizada deste sistema ou fenômeno envolvendo símbolos matemáticos é chamada de modelo matemático ou simbólico. econômicos. aqueles que quiserem se dedicar a esta tarefa de modelar deverão possuir “muita” experiência e uma “boa” capacidade de análise e síntese. e a lei dt de Newton relativa à variação de temperatura de um corpo pode ser formulada como dT = k (T − Tm ) . após 20 min a temperatura da barra é de 50°C. também se faz necessário que certas imposições sejam agregadas para facilitar a construção do modelo. 1) Problemas de Variação de Temperatura: A lei empírica de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é diretamente proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. o mesmo deve envolver um grande número de variáveis. a taxa de variação da temperatura do corpo em relação ao tempo é . qualidades estas que podem começar a ser adquiridas a partir do estudo de alguns modelos clássicos.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. taxa de variação da quantidade de substância é proporcional à dt dN quantidade de substância presente.N . Observação: Uma das primeiras tentativas de modelagem matemática para o crescimento populacional humano foi realizada pelo economista inglês Thomas Malthus.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. c) o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade. Se. inicialmente. após 2 horas. Solução: 2) Sabe-se que a população de um bairro cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. determine: a) a função para calcular a massa de substância restante em qualquer tempo t. em 1798. crescimento de bactérias. b) a massa restante após 4 horas. então = k . Exemplos: 1) Sabe-se que a massa de certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade de massa presente. Luiz Fernando 2) Problemas de Crescimento e Decrescimento: Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a um processo de crescimento ou decrescimento. determine a população inicial. pode ser usado para o crescimento de pequenas populações em um “curto” intervalo de tempo. a quantidade de massa de material radioativo é de 50 mg. O modelo por ele criado foi este descrito acima. Se no segundo ano de existência do bairro a população é o dobro da inicial. e observa-se que. Se dN admitirmos que . São raras as populações que crescem segundo esse modelo. mas não se mostrou confiável para se estimar o crescimento de populações humanas em “longos” intervalos de tempo. por exemplo. onde k é a constante de dt proporcionalidade. entretanto. perderam-se 10% da massa original. Solução: 36 . e no terceiro ano é de 20.000 habitantes. Para determinar a taxa de saída do sal. começa-se a deitar (derramar) no tanque água pura à taxa de 5 litros por minuto.t − f . à taxa (razão) de e litros por minuto. Ora. Assim. Despeja-se no tanque uma outra solução de salmoura com b gramas de sal por litro. a solução resultante. f.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. A concentração de sal no tanque. simultaneamente. se escoa do tanque à taxa de f litros por minuto.e − f dt V0 + (e − f ).t menos o volume escoado. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t.t.t − f . devemos primeiro calcular o volume de salmoura presente no tanque no instante t. é igual à taxa a qual o sal entra no tanque. o volume de salmoura no instante t é V0 + e.Q portanto. Luiz Fernando 3) Problemas de Diluição: Consideremos um tanque. com uma quantidade inicial de Vo litros de salmoura contendo a gramas de sal. Seja Q a quantidade de sal (em gramas) presente no tanque em um instante qualquer. é dada por V0 + e. que é o volume inicial Vo mais o volume adicionado e. .e litros por minuto. enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à mesma taxa.t − f . dt menos a taxa a qual o sal se escoa do tanque. em um instante qualquer. como na figura abaixo. o sal sai do tanque à taxa de gramas por minuto. Solução: 37 . O problema consiste em determinar a quantidade de sal presente no tanque no instante t.t presente no tanque em qualquer instante t. No instante t = 0. enquanto. Exemplo: Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 20 gramas de sal. o sal entra no tanque à taxa b.t f . bem misturada.t Q e.t dQ Q . A taxa de variação dQ de Q. V0 + e. cuja solução Q(t) determina a quantidade de sal Logo. = b. e. um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz (f. I Seja um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência R. resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. A corrente inicial é zero. Como a relação entre q e I é dada C dq . um capacitor C (em farads).e. Determine a corrente no circuito no instante t.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. II). uma força eletromotriz E. substituindo-se este resultado na equação anterior obteremos a equação por I = dt diferencial que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor dq 1 E + q= dt RC R Fig. consistindo de uma resistência R (em ohms). Pela q segunda lei de Kirchhoff temos que RI + = E . I). Aplicando-se a segunda lei de Kirchhoff obteremos a equação diferencial que rege a quantidade de corrente I (em ampères) neste circuito dI R E + I= dt L L Fig. ligados em série.m.m) E (em volts). e sem indutância (Fig. II Exemplo: Um circuito RL tem f. Solução: 38 . Luiz Fernando 4) Circuitos Elétricos: Seja um circuito simples do tipo RL (Fig. de 5 volts. 3) Sabe-se que certa substância radioativa diminui de massa a uma taxa proporcional à quantidade presente. b) a temperatura do corpo após 20 min. 2) Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de 30°F. R: I (t ) = e −t + cos 2.t 30 3 circuito no instante t. (em volts) dada por 3.e. R: 20 min.m.5 °F.000 núcleos de bactérias na cultura. a temperatura do corpo é 0°F e após 20 min é 15°F. Quando t = 0 . Luiz Fernando Exercícios Gerais de Aplicações 1) Um corpo à temperatura de 50°F é colocado ao ar livre. determine: a) o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 75°F. resistência de 100 ohms e capacitância de 10-2 farad. Se.t . 3.e − 0.366. onde a temperatura ambiente é de 100°F. após 10 min. determine a temperatura inicial. b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura. indutância de 0. não existe carga no capacitor. Determine a 8 4 16 corrente no circuito no instante t. resistência de 10 ohms. cos 2. b) o instante em que a mistura restante no tanque conterá 2 gramas de sal. R: Q(t ) = 100 − 99.t . R: 15. R: a) N (t ) = 50.338 min 6) Um tanque de 50 galões de capacidade contém inicialmente 10 galões de água pura. enquanto que a mistura se escoa à razão de 2 galões por min. R: 79.053. R:0. Determine: a) a quantidade de sal presente no tanque no instante t.t .4 min. 5) Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com uma grama de sal. c) o tempo necessário para que a massa restante fique reduzida à metade.000 núcleos. Determine: a) uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t. determine: a) a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t.5 mg . e após 2 horas se observa a perda de 10% da massa original. à razão de 3 litros por min.t − sen 2.t . Determine a corrente no 609 −20. R: b) 694.t . R: a) N (t ) = 694. Se.m. Determine: a) o tempo necessário para que ocorra o transbordamento.e − 0.t . observaram-se 1.t . No instante t = 0 .95 gramas ) de sal por galão. inicialmente. e após 4 horas. 4) Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. R: I = e + sen 2. b) a quantidade de sal presente no tanque por ocasião do transbordamento.sen 2.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. à razão de 4 galões por min. R: − 30°F. 101 101 101 8) Um circuito RC tem f. b) a massa restante após 4 horas. adiciona-se ao tanque uma solução de salmoura com 1 libra ( ≅ 453. a quantidade de material é 50 mg. 5 5 5 39 . adiciona-se outra solução de salmoura com 1 grama de sal por litro.t − cos 2.5 henry e corrente inicial de 6 ampères.03. (em volts) dada por 400. Se após 5 min a temperatura do corpo é de 60°F. R: 48 libras 7) Um circuito elétrico RL tem f. enquanto a mistura resultante se escoa à mesma taxa.e.e 0. R: b) N = 40. Após 1 hora. Inicialmente. R: 13 horas. começase a adicionar ao tanque uma solução de salmoura com 0. se observa um decréscimo de 5% após dois anos.t . R: 44°F. Determine: a) a quantidade de sal no tanque no instante t. R: 23.05 anos 13) Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. determine a “meia-vida” da substância. a população triplica.6 horas.9 min. enquanto a mistura se escoa do tanque à mesma taxa. b) o tempo necessário para uma redução de 10% da quantidade inicial.t . Observação: Meia-vida é o tempo necessário para que a massa da substância se reduza pela metade. e após 20 anos é de 150.000 habitantes. No instante t = 0 . determine a temperatura inicial do corpo. Se. Se após 20 min a temperatura do corpo é 40°F e após 40 min é 20°F. de 5 volts. R: 6. determine: a) o tempo necessário para que a temperatura do corpo atingir 50°F. ( ) 17) Um circuito RC tem f. R: 23. Após 10 min a temperatura do corpo é de 25°F. Observa-se que após uma hora. 14) Sabe-se que a população de uma determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. para uma quantidade inicial de substância de 100 mg.e − 0. Determine a quantidade de sal no tanque quando este contém exatamente 40 galões de solução. 2 b) a corrente estacionária.2.5 libra de sal por galão. Luiz Fernando 9) Coloca-se um corpo à temperatura de de 0°F em um quarto mantido à temperatura constante de 100°F. determine a população inicial. R: 4. 40 . 15) Um tanque contém inicialmente 10 galões de água pura. R: Q(t ) = −5. Se após 10 min a temperatura do corpo é 75°C.620 habitantes. R: − e − 10. No instante t = 0 .começa-se a adicionar ao tanque outra solução de salmoura com 1 libra de sal por galão. Se.5 libras. 10) Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de 0°F. à razão de 2 galões por min. Determine: 99 a) a corrente transitória. resitência de 10 ohms. R: N (t ) = 100.026. capacitância de 10−2 farad e inicialmente uma carga de 5 coulombs no capacitor. 11) Um corpo à temperatura de 50°C é colocado em um forno cuja temperatura é mantida a 150°C. houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância. R: T(0 )= 80°F.2. b) a temperatura do corpo após 20 min. R: 16. determine: a) uma expressão para a quantidade restante no tempo t. R: 0 . R: Q(10) = 22.e.9 min. V 2 16) Um tanque contém inicialmente 80 galões de solução de salmoura com 1/8 libra de sal por galão.e − 0. determine o tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 100°C. após 10 anos.t . a taxa de 4 galões por min. Q 1 b) a concentração de sal no tanque no instante t. 12) Certa substância radioativa decresce a um taxa proporcional à quantidade presente da substância.t + 5 . enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à taxa de 8 galões por min.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. R: = 1 − e − 0.m. chuvas e outros fatores que viessem a alterar o volume do manancial (considerando-o. R: 626 ( ) 20) Um indivíduo é encontrado morto em seu escritório pela secretária. portanto.m. morte ou migração. Quando a polícia chega. 19) Um circuito tem f. que resolva este grave problema em um prazo máximo de 4 meses (para que não ultrapasse o dia das eleições). que afirma ter ligado imediatamente para a polícia.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. 2 horas depois da chamada. é da ordem de 25g/l. mediu novamente obtendo 34. calcule: a) a proporção de indivíduos enfermos e sãos. Determine a corrente no instante t .e − R . A partir destes dados e supondo que o modelo seja fechado.2°C. 21) Uma cidade é abastecida de água por um lago cujo manancial é de 108 litros e que é alimentado por um rio cuja vazão é de 200 litros por minuto. sem nascimento. Determine a corrente no instante t.sen t − cos t . Desprezando-se a evaporação. examina o cadáver.5°C.m.e.t L . resistência de 100 ohms. constante). indutância de 4 henries. por decisão das autoridades sanitárias. O diretor exige que ele perca a terça parte do seu peso no máximo em três meses. R: I = I o . b) o tempo necessário para que a porcentagem de indivíduos enfermos seja de 50%. segundo uma dieta racional que o emagreça proporcionalmente ao peso de cada dia. mediu a temperatura do defunto.e. sabendo- 41 . tem uma corrente inicial dada por Io. como uma função do tempo. Em sete dias esta porcentagem cresceu para 20%. Houve uma epidemia e 10% da população contraiu o vírus.sen t . 1 − 25. Uma hora depois o detetive prende a secretária. fazendo com que o mesmo alimente o lago com uma vazão de 800 l/min. em virtude do seu num novo filme a ser rodado. O Prefeito Municipal. O engenheiro resolve desviar o curso de outro rio (considerando-se que condições impeçam que seja desviado o curso rio poluído) cujas águas estão com um grau de poluição de 10 g/l. a população mantendo-se constante. muito preocupado com as constantes reclamações da população que coloca em xeque a sua reeleição.t e + 25.000. Quando a polícia chegou. isto é. pergunta-se: “O Prefeito se reelegerá?” R: ≅ 144 dias. achando 35°C. e corrente inicial zero. Algumas fábricas localizadas à beira desse rio o poluem (há muito tempo) na ordem de 60 gramas por litro. uma hora depois. Por quê? Dados: A temperatura do escritório era de 20°C. pede ao engenheiro responsável pelo abastecimento de água da cidade. 22) A população de uma cidade é de 1. E por último suponhamos que a temperatura normal de uma pessoa viva seja de 36. dada (em volts) por 4. e os indivíduos tendo toda a liberdade de interagir. Luiz Fernando 18) Um circuito RL sem fonte de f.000 habitantes. O vírus se propaga por contato direto entre os indivíduos enfermos e sãos (logo é proporcional ao número de contatos). A quantidade máxima de poluente admissível. Nestas condições. Sugestões: x → proporção de indivíduos enfermos y → proporção de indivíduos sãos x + y = 1 → totalidade da população 23) Um ator de cinema que pesa 120 Kg precisa fazer um severo regime para emagrecer. Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. e continuando neste mesmo ritmo? R: ≅ 37... 26) O ácido valpróico é uma droga usada para controlar epilepsia... 42 ...347 . Faça uma estimativa para a idade deste osso.000... o tempo em horas desde que foi encontrado.... a) Escreva uma equação diferencial para a quantidade Q da droga no corpo no tempo t. Quando o corpo foi encontrado. 24) Um investidor aplicou na bolsa de valores determinada quantia que triplicou em 30 meses.. c) O que acontece com a temperatura do corpo ao longo do tempo? Mostre isto no gráfico e algebricamente. Depois que a droga foi completamente absorvida.8 meses.. ao meio dia. 25) Uma conta bancária ganha juros continuadamente a uma taxa de 5% do crédito corrente.... Dado: A meia-vida do C−14 é de aproximadamente 5.. a) Ache a temperatura T do corpo como função de t. .. iniciada a dieta.00 e que não foram feitos outros depósitos ou retiradas. 37°C. Quando ocorreu o crime? 30) Foi encontrado um osso fossilizado que contém um milésimo da quantidade original de C−14 (isótopo carbono 14).. b) Resolva a equação dada no item (a)... A meia-vida do birtartarato de hidrocondone no corpo é de 3.. a) Escreva a equação diferencial satisfeita pelo crédito em conta.. 29) O corpo de uma vítima de assassinato é encontrado. Suponha que o depósito inicial foi de R$ 1. ao meio dia. Luiz Fernando se que....... d) Quando da dose de 10 mg resta no corpo após 12 horas? 28) A morfina é uma droga que alivia a dor. dQ a) Use a meia-vida para achar a constante k na equação diferencial = k ... b) Esboce um gráfico de T(t). b) Resolva a equação diferencial e faça um gráfico da solução. o artista emagreceu 20 Kg em 40 dias.... desde que a droga foi completamente absorvida.. supondo-se que o aumento é proporcional ao investimento feito..... R: ≅ 55.. dt b) Qual o tempo para que restem 10% da droga? 27) O birtartarato de hidrocondone é usado para suprimir a tosse... Use o fato de ser a meia-vida da morfina no corpo de 2 horas para mostrar que a magnitude da constante de proporcionalidade para a taxa à qual a morfina deixa o corpo é k ≅ 0.. quanto tempo será necessário para que ele comece a atuar no filme? R: ≅ 87 dias.. d) À hora do assassinato o corpo da vítima tinha a temperatura normal. numa sala com temperatura constante de 20°C.8 horas e a dose é 10 mg. por ano. a quantidade da droga no corpo decresce a uma taxa proporcional à quantidade que resta no corpo.... sua meia-vida no corpo humano é de cerca de 15 horas..Q .600 anos. c) Use a meia-vida para achar a constante de proporcionalidade k.. Em quanto tempo essa quantia estará quadruplicada..800 anos...... 2 horas depois a temperatura do corpo é de 33°C..... a sua temperatura era de 35°C. = f (x) = 2 e substituindo na equação diferencial dada vem dx dx dx que é uma equação diferencial de 1a ordem e de variáveis separáveis em p e x. faz-se a substituição p = . Resolvendo esta equação diferencial tem-se dy = [F ( x) + c1 ].dx ∴ ∫ dp = ∫ f ( x).x + c1 ]. se f (x) for integrável. dx dp dp d 2 y Assim. obtém-se = F ( x) + c1 que dx dx também é uma equação diferencial de 1a ordem e de variáveis separáveis em y e x.dx ∴ p = F ( x) + c1 . 2 dx Solução: 43 .dx ∴ y = ∫ F(x). Portanto.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. dy dy no resultado anterior. Substituindo p= Exemplo: Resolver a equação diferencial d2 y = e 2 x + cos 2 x . dp = f ( x).dx ∴ ∫ dy = ∫ [F ( x).dx + c1 x + c 2 . sendo p é uma função de x . Luiz Fernando Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior à Primeira Tipos Especiais de Equações Diferenciais de 2a Ordem d2y = f ( x) dx 2 a) Equação Diferencial do Tipo: Para encontrar a solução geral de uma equação diferencial que pode ser escrita dy desta forma. = 2 e substituindo na equação diferencial dada vem = f ( x. dx dp d 2 y dp Assim. Luiz Fernando b) Equação Diferencial do Tipo: d2y  dy  = f  x. p ) dx dx dx que é uma equação diferencial de 1a ordem em p e x.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. sendo p uma função de x . faz-se a substituição p = . para se encontrar a solução geral de uma equação diferencial que dy pode ser escrita desta forma. Exemplo: Resolver cada uma das equações diferenciais: d2y  dy  −4=  a) 2 dx  dx  Solução: 2 d 2 y dy b) (1 + x) 2 + =0 dx dx Solução: 44 .  2 dx  dx  Aqui também. Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando c) Equação Diferencial do Tipo: d2y = f ( y) dx 2 Aqui, para se encontrar a solução geral de uma equação diferencial que pode dy ser escrita desta forma, faz-se também a substituição p = , sendo p é uma função dx de x . d 2 y dp dp dy dp = = × =p e substituindo na equação diferencial dada Assim, 2 dx dy dx dy dx dp resulta p = f ( y ) que é uma equação diferencial de 1a ordem e de variáveis dy separáveis em p e y. Resolvendo esta equação diferencial tem-se p2 p.dp = f ( y ).dy ∴ p . dp = f ( y ) . dy ∴ = F ( y ) + c1 . ∫ ∫ 2 Substituindo p= dy no resultado anterior, obtém-se dx 2 1  dy    = F ( y ) + c1 2  dx  ∴ 2 dy  dy  ∴ = ± 2.F ( y ) + k1 que são duas equações diferenciais de   = 2.F ( y ) + k1 dx  dx  1a ordem e de variáveis separáveis em y e x, ambas levando a mesma solução geral. Portanto, basta resolvermos uma delas, digamos, aquela com sinal positivo. d2y Exemplo: Resolver a equação diferencial + k 2 .y = 0 . 2 dx Solução: 45 Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando d) Equação Diferencial do Tipo: d2y  dy  = f  y,  2 dx  dx  dp = f ( y, p) que é uma equação dy diferencial de 1a ordem em p e y . Resolvendo-a em relação a p e substituindo pelo dy , obtém-se uma outra equação de diferencial de 1a ordem e de variáveis seu valor dx separáveis em y e x. De maneira análoga ao tipo anterior, tiramos p 2 Exemplo: Resolver a equação diferencial d2y dy  dy  y 2 = y2. +   . dx  dx  dx Solução: Exercícios I) Calcule a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: d2y 1) = x.e x + cos x R: y = x.e x − 2.e x − cos x + c1 .x + c 2 2 dx d2y 1 2) = R: y = x. ln x + c1 .x + c 2 dx 2 x d2y dy 1 3) x 2 2 + x R: y = a. ln 2 x + c1 . ln x + c 2 =a dx 2 dx 2 d 2 y  dy  R: y = c1 .e c2 . x 4) y 2 =   dx  dx  1 5) x. y ' '+ y '+ x = 0 R: y = − x 2 + c1 . ln x + c 2 4 ....................................................... 46 Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Problema de Perseguição (Uma aplicação) Suponhamos que uma lebre começa a correr a partir da origem do sistema xy, na direção positiva do eixo y com velocidade constante a. No mesmo instante, uma raposa parte do ponto (c, 0) com velocidade b e está constantemente corrigindo seu rumo, de modo que a cada instante corre diretamente em direção ao ponto em que a lebre se encontra (Fig. I). Qual é o caminho a ser percorrido pela raposa? Solução: i) O Modelo Matemático No tempo t, a partir do instante em que ambos começam a correr, a lebre estará no ponto R = (0, a.t ) e a raposa em P = ( x, y ) (Fig. I). Uma vez que, a reta que passa pelos pontos P e R é tangente ao caminho percorrido pela raposa, nós temos dy y − a.t = dx x ou x. y '' = y − a.t (1) A seguir, vamos eliminar t. Para tanto, diferenciamos (1) em relação a x , e obtemos x. y ''+ y ' = y '− a x. y '' = − a Desde que dt dx ou Fig. I dt dx (2) ds 1 = b (velocidade da raposa), aplicando a regra da cadeia, temos dt dt dt ds = × dx ds dx (3) Mas, (ds ) 2 = (dx) 2 + (dy ) 2 (Fig. II) 2 ds (ds ) 2 (dy ) 2  dy  =   +1 = + 1 ou 2 2 dx (dx) (dx)  dx  (4) Assim, substituindo (4) em (3), vem 2 dt  dy  = −b.   + 1 dx  dx  (5) (o sinal de menos aparece porque a curva é decrescente, s cresce enquanto x decresce). Fig. II A seguir, substituindo (5) em (2) temos, 1 s = s(x) é o comprimento do arco da curva y = y(x), medido entre dois pontos dados [como na Fig. II ]. 47 x de variáveis separáveis em p e x. 0 = ln c + k1 ∴ b k1 = − ln c . substituindo k1 em (7). de (7) obtemos. ( ln p + 1 + p Mas p = 2 ) ∴ a ( ln p + 1 + p 2 ) a xb = ln . c a  x b = ln   c  x b p + 1+ p =   . y '' = a  dy  y '' = 1+   b. p = 0 e. sendo p uma função de x e. obtemos o problema de valor inicial. Luiz Fernando a 1 + ( y ' )2 b Assim. fica ln p + 1 + p 2 = ln x − ln c ∴ b b Como ) ( ( ) a x ln p + 1 + p = ln b c Como x e c são não negativos.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. temos = 1+ p2 b x ∫ dp 1 + p2 = a dx b∫ x Resolvendo por substituição trigonométrica. x. devemos fazer dy d 2 y dp = p .x  dx  2 y (c ) = . obtemos ) ( ln p + 1 + p 2 = a ln x + k1 (7) b dy dy = 0 quando x = c [condição dada (Fig. dx 2 dy  dy   x + 1+   =   dx  dx  c 2 2 2a a b 2 ∴ a a b dy  dy   x 1+   =   − dx  dx  c  dy   x  b  x  b dy  dy  +  1 +   =   − 2. .    c  dx  c  48 .    dx   c   c  dx  dx  ∴ a   b x dy  dy    ∴ 1 +   =   −   c  dx   dx    a 2 ∴ 2 2 ∴ 2. 2 dx  dx  Já sabemos que para resolver uma equação diferencial deste tipo. b b a a Portanto. portanto. dy (c ) = 0 dx (6) ii) A Resolução A equação diferencial dada em (6) é uma equação diferencial de 2a ordem do tipo d2 y  dy  (especial) = f  x. vem Assim. c ∴ 2 (8) dy e. logo.  . a curva tangencia o eixo =p e dx dx a a x]. I). = dx dx 2 dx dp a Substituindo em (6) fica 1 + p 2 . separando as variáveis. de (8) vem. dp a dx e integrando. que é uma equação diferencial de 1a ordem = dx b. a  x  b dy  x  b =   −1 2. (9) ficará da forma y = ∫  − . a Por exemplo. de (10) temos 0 = − ln c + k2 ∴ 4. se a velocidade da lebre for igual a velocidade b 1 x c da raposa. devemos ter informações adicionais sobre a e b. que a raposa nunca alcançará a lebre (Fig. se a=b (ou = 1 ).dx . quando ambos correm à mesma velocidade. obtemos. a lebre partindo da origem dos eixos e se deslocando na direção positiva do eixo y e a raposa partindo do ponto (5. vem 2 c x x2 c y= − ln x + k2 .c 2 x2 c  1 c c y= −  ln x − ln c +  . significando. 0). y = ∫   −   .e integrando o 2o membro.dx . assim. quando x → 0+ . vem 4.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. isto é. A curva do gráfico abaixo mostra o caminho a ser percorrido pela raposa. III). a a a     b b b x dy 1 x c   − 1   −    . e substituindo em (10). portanto. a a   1  x  b  c  b  Separando as variáveis e integrando. (9) 2  c   x     Para encontramos y como uma função explícita de x. c > 0 e x > 0 . y → +∞ . y= x2 5  1 −  ln x − ln 5 +  20 2  2 [curva que descreve o caminho percorrido pela raposa] Fig. (10) 4. que é uma equação diferencial ∴ =     a   c   dx 2  c   x    x b     2. em perseguição à lebre.   c   de variáveis separáveis em x e y. III 49 .c 2 c2 c Como y (c) = 0 [condição dada (Fig. I)]. Luiz Fernando 2. k2 = ln c − .c 2  2 2 4 dy = dx 1 Por hipótese. 0= a +b b b 2.c b  ⇒ a b       O gráfico ao lado mostra o caminho percorrido pela raposa.c 2.c b + 1 b b x b 1 b x b − + k2 y= c a −a + b a+b 2 2. b Assim.c −a +1 b a a 1 y= a b a a +b x 1 x − cb + k2 y= a −a a 2 +1 2. a ≠ b (ou ≠ 1 ). a raposa alcançará a lebre no ponto  0.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. Luiz Fernando A seguir.dx − 2 c b ∫ x b . c x   b b b x −c  + y=  a 2 b−a  (a + b). a curva que descreve este caminho.c a b ∴ − a +b a 1 ∴ y= −a 1 ∫ x b . é y= 3 2 x −5 3× 5 1 2 3 2 1 + 5 − (5. isto é.a ].x) 2 .  10  Logo. de (9) a a   1  x  b  c  b  y = ∫   −   .c b b b a +b b b 2. quando esta parte do ponto (5.dx 2  c   x     a +1 b 1 ∴ 2. Note-se que.c − a +b b a b c b c − c + k2 a + b 2 −a + b a b ∴ y= a +b b b ∴ a b − a +b b k2 = a b b−a b b−a b a +b b b c b c − c a a+b 2 b−a b 2. analisaremos a situação em que as velocidades da raposa e da lebre são a diferentes.  3 50 .  .0) e sua velocidade é o dobro da velocidade da lebre [ c = 5 e b = 2.5].c a b a b−a   b −b a b b a +b a +b − c .c a+b b x b x b c b c − c + c − a a + b 2 −a + b 2 b − a a+b b 2.dx a b ∴ − a +b b x b x − c + k2 a + b 2 −a + b Mas como y (c) = 0 (condição inicial). no intervalo [0. ........... é y= 1  x 3 − 53 52  − + 5 x 2  3 × 52    e.0) e sua velocidade é a metade da velocidade da lebre a [ c = 5 e b = ]... mostra o caminho percorrido pela raposa quando esta parte do ponto (5. a curva que descreve este 2 caminho...... isto é.......... a raposa só alcançará a lebre se a sua velocidade for maior que a velocidade da lebre....5]...... y → +∞ [a raposa nunca alcançará a lebre]..... 51 .... b > a .. no intervalo (0.....Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.... o gráfico ao lado..... quando x → 0 .. Luiz Fernando Já...... Como conseqüência do que foi visto anteriormente.... ...... Assim. ..... ...... 52 ..... y n sejam linearmente independentes.... temos A0 n + A1 n −1 + A2 n − 2 + . A solução geral desta equação diferencial contém n constantes arbitrárias. .. + An −1 + An .. y1 + c 2 .2.. . + c n . y n = 0 . + An ........ + ...... y n também será solução de (14).. Se y1 .... n é uma solução particular de (14) então...  d n yn d n −1 y n + A1 + ... y1 + c 2 . y = B 1 2 n n −1 n−2 dx dx dx dx (13) A0 . Luiz Fernando Equações Diferenciais Lineares de Ordem N São as equações diferenciais da forma: A0 onde dny d n −1 y d n−2 y dy A A + + + .. y ) + . y 2 . c y c y c y A . y1 + c 2 . y n forem soluções particulares da equação (14).. y 2 + .... . ..... c n designarem constantes. i = 1. + 1 1 2 2 n 1 dx n dx n −1 . y1 = 0 A A  0 1 n n −1 dx dx  n n −1  A d y 2 + A d y 2 + . y 2 + . y1 + c 2 . + c n .. Observação: Se expressão y1 ............. y = 0 n 1 2 n −1  0 dx n dx .. y 2 + .... cada y i . y 2 . .. De fato.. A1 ...... y 2 + .. a expressão y = c1 ..... y = 0 (14) dx dx dx dx que é uma equação linear e homogênea de ordem n.. ... . c n e somando dn d n −1 ( ) (c1 . + An .................. dny d n −1 y d n−2 y dy Se B = 0 ... Nota: A equação diferencial linear (13) é dita homogênea se B é identicamente nula ( B ≡ 0 ) e não-homogênea no caso contrário. y 2 .... .... y 2 + ..... y1 + c2 ...  . + c n .(c1 . + An −1 + An ..... .. y 2 + .. . y n também é solução da equação diferencial (14).. ordenadamente por membro a membro resulta A0 c1 ... a y = c1 . + .. + c n . A2 .. y = c1 ........... a não ser para todas as constantes nulas. c 2 . + .... y n (15) será solução geral de (14) desde que as funções y1 .. Este é o chamado Princípio da Superposição. y n forem soluções particulares da equação (14) e c1 . . por hipótese... isto é. + An .... desde que não se tenha c1 ...... y n = 0  A0 dx n −1 dx n  Multiplicando-se essas equações.. + c n .. + c n .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.....  d n y1 d n −1 y1 + + .. .. y1 + c 2 . An e B são funções apenas de x ... + A .. y ) = 0 Logo. c 2 . . A2 . x ≠ 0 . c n são as constantes arbitrárias.e − A1 x A0 e fazendo − A1 =r A0 resulta y = c..e r . Para n qualquer.. x e derivemos em . An são constantes. r2 . dx n Levando-se esses resultado na equação (16) e colocando o termo c. o dy caso em que n = 1 . dny = r n . x + c 2 . nesse caso a solução (15) contém n constantes arbitrárias. faz-se necessário examinarmos três casos: 1o Caso: A Equação Característica Admite Raízes Reais e Distintas Se r1 .. ou seja. d2y = r 2 . 53 .r n + A1 .e r . x .r n −1 + . x em evidência.r n −1 + . temos A0 + A1 . ..c.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. . Exemplo: Determinar a equação característica da equação diferencial linear abaixo: d2 y dy − 5 + 6. . x dx 3 y = c. . x + .r n + A1 .e r .. x dx ... Equações Diferenciais Lineares de Ordem N. y = 0 → 2 dx dx equação característica: Uma vez que a solução de (16) é obtida a partir das raízes de (17).. . .e r . y n são linearmente independentes. A0 . inicialmente. então a solução geral da equação diferencial correspondente é y = c1 .. obteremos: c. + c n . x . + An = 0 (17) A equação (17) é chamada de equação característica de (16).e rn . Homogêneas e de Coeficientes Constantes São as equações diferenciais que tem a forma A0 dny d n −1 y d n−2 y dy + + + . c 2 . . consideremos agora a expressão relação a x até a n-ésima ordem: dy = r.. nenhuma delas pode ser escrita como combinação linear das demais.e r .. número esse que não pode ser reduzido porque as funções y1 . y = 0 que é uma equação diferencial de dx variáveis separáveis.e r . x .e r .e r .c. Para determinarmos a solução geral de (16).. d3y = r 3 .e r . A A 1 2 n n −1 n−2 dx dx dx dx (16) onde A0 .e r1 . então A0 .. + An = 0 ( ) Daí. rn são as raízes reais e distintas da equação característica. Luiz Fernando De fato. x dx 2 . vamos considerar. .. cuja solução geral é y = c. y 2 . x onde c1 .. A1 . concluímos que sendo c.e r2 ... y = 0 . . + An −1 + An .c.. Assim. .c. ....... 54 ............... 2o Caso: A Equação Característica Admite Raízes Complexas Distintas Consideremos a equação diferencial homogênea de 2a ordem d2y dy A0 2 + A1 + A2 ..i são as raízes da equação característica.........Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. Luiz Fernando Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais: d2y dy − 5 + 6y = 0 2 dx dx Solução: 1) d4y d2y − 13 + 36 y = 0 dx 4 dx 2 Solução: 2) d3y d2y dy + 3 − 4 − 12 y = 0 3 2 dx dx dx Solução: 3) d2y dy − 7 + 12 y = 0 2 dx dx Solução: 4) ............. então....i e rq = a − b. y = 0 dx dx onde rp = a + b.. (cos b. x + c q . x + c q .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. (18) 55 .[(c p + c q ).i. c p .i ).sen b. x .sen bx ] y = e a.[c p .e − b.e a.e b. x ∴ e i. y = 0 dx dx e sejam y1 e y 2 as duas soluções desta equação.x) → solução geral Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais: d2y +y=0 dx 2 Solução: 1) d4y −y=0 dx 4 Solução: 2) d3y d2y dy − 4 +5 =0 3 2 dx dx dx Solução: 3) d3y d2y dy − 5 +7 =0 3 2 dx dx dx Solução: 4) 3o Caso: A Equação Característica Admite Raízes Múltiplas Consideremos a equação diferencial homogênea de 2a ordem d2y dy A0 2 + A1 + A2 . cos b. y = c p .i.x + k 2 .sen θ Pelas fórmulas de Euler  −i. é solução da equação diferencial dada. x .e ( a +b. x .e ( a −b. cos b.x + i.(k1 .i. x ( y = e a.x + i. x + c q .θ = cos θ + i. x .i.(c p − c q ).sen θ ) temos: y = e a.θ e = cos θ − i.e − b.(cos b.sen b. x Agora.e b.x) + c q .sen b.x)] y = e a.x − i. x .e a. x . Luiz Fernando y = c p .i ). como os coeficientes de u e u ' são nulos. Assim. A0 − A1 (21) resulta 2.r 2 + A1 . sua solução geral será y = c1 . x + 2. A0 Assim. x seja uma solução particular de (18). x ≠ 0 e ordenando temos.. y1 + c 2 . A0 − A1 r é raiz dupla.x solução ∴ geral y = c . y 2 ∴ y = (c + c .x. y1 + c 2 .e r . + c n e rn . característica. calculada do modo visto no 1o caso.x A propriedade se estende às equações de ordem superior. x + r.   y2 Suponhamos agora que a equação característica de (18) apresenta raiz dupla r1 = r2 = r e suponhamos que y1 = e r . x .r. é a própria equação r= − A1 ± A12 − 4. + c p .r. y = c1 . = rp .e r p +1 . x . y = c1 . que substituindo em (18) dx 2 .e r .e r1 .e r . x = 0 vem.(u ' '+2. r = que substituindo no 2o termo de 2. 56 .e .e r. y 2  .e * 2 (18) r. Agora.r + A2 = 0 ..u '+ r 2 .x p −1e r1 .u. de (21) resulta A0 . * 1 * 2 r. A0 + A1 = 2 A0 + A1 = 0 .(u '+ r. ... A0 . x + c p +1 . então.x + k 2 ).x + k 2 . x dx d 2 y2 = u ' '. x (20) sendo u (x) uma função incógnita a se determinar.u ' ' = 0 . Como por suposição 2.e r . A0 + A1 ).e * 1 r. Logo.r 2 + A1 . da forma y 2 = u ( x).u '. y 2 .u.x..x como + c 2 .x). [ A0 . 2. Luiz Fernando Estas soluções são ditas linearmente independentes se num determinado y  y intervalo I a relação 1 não é constante  1 ≠ k  . . a qual. A0 . para a equação diferencial A0 n + A1 n −1 + A2 n − 2 + . as soluções se y2  y2   y denominam linearmente dependente  1 = k ou y1 = k . Caso contrário.(k1 . rn .x é ou y = c1 .x de + c . Assim. Precisamos encontrar outra solução particular.u ) + A2 . rp +1 .r + A2 )..e r . x + . x + . A solução geral de (18) será Para encontrar u (x) .e r1 . y = 0 . dny d n −1 y d n−2 y dy + An .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. portanto. x forme um conjunto linearmente independente.x + k 2 .r.u ''+ (2. y 2 = (k1 .r.. x + c 2 . Como e r . Como A0 ≠ 0 [para que a equação (18) seja de 2a ordem] temos u ' ' = 0 ∴ u ' = k1 ∴ u = k1 .e r . A0 .u = 0 Observando (21) percebemos que (21) A0 . pois. A12 − 4.. derivemos (20) até a ordem da equação dada: dy 2 = u '. x .u ) + A1 . + An −1 dx dx dx dx onde as raízes da equação característica são: r1 = r2 = .u ]..e r . juntamente com a solução y1 = e r .u '+ ( A0 .).e r . Resolvendo esta vem. A2 .. procuramos uma segunda solução particular.e a r. x + r 2 . A2 = 0 e. y = B . dx dx dx dx onde A0 .. + An −1 + An . . An são constantes e B é uma função de x . A1 . B = h( x). as equações diferenciais da forma: dny d n −1 y d n−2 y dy A0 n + A1 n −1 + A2 n − 2 + .. como já sabemos. A2 . Não-Homogêneas e de Coeficientes Constantes São..Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. Luiz Fernando Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais: d2y dy − 4 + 4y = 0 2 dx dx Solução: 1) d2y dy + 6 + 9y = 0 2 dx dx Solução: 2) d3y d2y dy 3) − 8 2 + 20 − 16 y = 0 3 dx dx dx Solução: d4y d2y + 2 +y=0 dx 4 dx 2 Solução: 4) Equações Diferenciais Lineares de Ordem N.. . 57 . a menos de coeficientes. x } {sen b.x ..Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. a priori conhecida. . e é a parte da solução geral y que vai satisfazer o 2o membro da equação diferencial.. ou e a. yp → uma solução particular.x 3.x cos k. ou cos k.x} Observação: A família de uma constante é {1}. cos b. ou uma composição na forma de soma e/ou produto de duas ou mais destas funções.x} {cos k . x sen b.x sen x −7 58 . Determinação de uma Solução Particular Experimental (yp) Método dos Coeficientes a Determinar (ou Método de Descartes) Consiste em utilizando a própria equação diferencial. Exemplo: Determinar a família de cada uma das funções dadas abaixo: f ( x) Família de f ( x) 2 2. e é a parte da solução geral y que tem por objetivo principal suprir as constantes arbitrárias. x. x − 5. com as quais podemos formar combinações lineares de funções linearmente independentes. 1} m e a. .x. Portanto. x m −1 . Este método só é utilizado para equações diferenciais lineares de ordem n com coeficientes constantes e quando B = h( x) for constituído de um número finito de termos da forma x m ( m ≥ 0 e inteiro). Família de uma função Denomina-se família de uma função f ( x) ao conjunto constituído por esta função e suas derivadas sucessivas. a menos de certas constantes que são calculadas por aplicação do Método dos Coeficientes a Determinar.e −2. Para o emprego deste método será útil o conceito exposto a seguir. Luiz Fernando A solução geral de tais equações diferenciais é dada por: y = yh + yp onde yh → solução geral da equação diferencial homogênea associada ( B = 0) . instituir uma solução particular. x . ou sen b. cos 3.x.x . sen k .x {e a. para as funções descritas acima temos. f ( x) x Família de f ( x) {x m . x Construção de uma Solução Particular Experimental (yp) Tendo-se obtido a solução geral yh da equação diferencial homogênea associada. de tal modo que desfaça esta situação. Exemplo: Determinar a família da função Solução: f ( x) = 3. c) Toma-se como expressão experimental yp . Exemplo: h( x) = 2. cos x e y h = c1 .sen x + cos x b) Se um elemento de uma família pertencer a yh multiplica-se cada elemento dessa família pela menor potência de x .e x − 4. Luiz Fernando A família de uma função produto de n funções dos tipos citados acima é constituída dos produtos de n fatores obtidos associando-se cada elemento da família de um dos fatores aos elementos das famílias de cada um dos outros fatores.x 2 + 2 + 5.x + 3 + 5. então. institui-se uma solução particular experimental yp do seguinte modo: a) Determina-se a família de cada termo de B = h( x) e suprime-se a família que estiver contida em outra. Exemplo: Admitamos que para uma dada equação diferencial linear se tenha: h( x) = 3. com expoente inteiro e positivo.x 2 .e − x . uma combinação linear de todos os elementos das famílias resultantes dotados de coeficientes literais a serem determinados pela condição de que essa expressão verifique a equação diferencial dada.e x − 4.x + c 2 .x 2 − 1 2 dx dx Solução: 1) 59 .sen 3. Assim para o exemplo acima tomaríamos: yp = Exemplos: Resolver as equações diferenciais: d2y dy − 5 + 6 y = 2.e x + c3 .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. sen x Solução: 60 .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. Luiz Fernando d 3 y dy − = 2.e x 3 dx dx Solução: 2) 3) y ' '+ y = 10.e x . cos x + 2.x + 1 − 4. Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.e 3 x dx 2 Solução: 5) 61 .e 2.sen 2.x 3 dx dx Solução: 4) d2y + 9 y = (x 2 + 2). x − x − 2. Luiz Fernando d3 y dy +4 = 3. y ' ' (0) = −1 . 62 .sen x 2 dx dx Solução: 6) 7) Resolva o problema de valor inicial: y ' ' '+ y ' ' = 0 Solução: . y ' (0) = 1 . y (0) = 2 .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. Luiz Fernando d2y dy − 6 + 9 y = e x . y ' = x....x R: y = 1 + 2.x... y ' ' (0) = 2 R: 1 9 y = − + 4.. y '−3.... x − d) d 3 y d 2 y dy − + − y = 4... dx 3 dx y ' (π ) = −4 y (0) = y ' (0) = 0 .. 3 dx dx d) d 3 y dy − = 4.e − x + 2. y (π ) = 1 .. y ' = 0 R: y = c1 + c2 ..(c 2 ..e − x + 3.. y (0) = 1 ..e 2... x + cos x − − + 5 12 8 e2x + (2..x + e − x − 2.e − 2.sen 2 x 1 2 4 1 x + − x.x) + x 2 8 16 y (0) = 0 .....e 3 x R: y = c1 . x 2 3 9 4 x3 x 1 R: y = c1 + c 2 .. y ' ' (0) = 1 R: y= R: y = cos 2.sen x dx 3 dx 2 dx R: y = c1 ...sen 2..e3.e x + (c 2 + x)..x. y ' (0) = 2 ..e − x − x.. x . Luiz Fernando Exercícios I) Resolver as seguintes equações diferenciais lineares: a) y ' ' '−2..e 2. 63 . cos x + c3 . cos x + (c3 − x)... x 1 3 (1 − cos 2. y = 0 ..sen x e) y ' ' '−4.e x + c 2 . y = 2..e 3.e − x − 5 + cos 2. x 2 2 .. x + c3 ..e 2..x 2 − 3. y ' '−3....Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.. x + sen x + x 2 f) y ' '− y = 10.. dx 2 b) d3y d2y dy −4 2 +4 = 0 .x II) Resolva os problemas de valor inicial: a) d2y + 4....x) 32 R: y = c1 . y ' (0) = −1 ......e 3.. x b) d3y d2y dy + 6 + 10 =0 3 2 dx dx dx R: y = c1 + e −3... x .x − 2.e − x + c3 ..e 2.e − x + c 2 .e − x + e 2..sen x) c) y ' '−2. y ' ' (0) = 8 3 dx dx dx c) d3y dy +4 =x . y '(0) = y1 (1) Isso ilustra uma das relações fundamentais entre a matemática e a física. o fluxo de corrente elétrica em um circuito simples em série e muitos outros problemas físicos são bem descritos pela solução de um problema de valor inicial da forma A0 . o movimento de uma massa presa um uma mola. Por conveniência. y (0) = y0 . aquela de que muitos problemas físicos têm o mesmo modelo matemático e.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. Além disso. portanto. ou seja. se resolvermos este problema de valor inicial (1). para obtermos soluções de problemas físicos distintos. e as funções y e h. vamos admitir que a resistência do ar é diretamente proporcional à velocidade do corpo. Duas áreas importantes de aplicações são as vibrações mecânicas e elétricas. y ''+ A1 . y '+ A2 . escolhemos como positivo o sentido “para baixo”. e possuindo um corpo de massa m preso à sua extremidade inferior e que se encontra em repouso. basta apenas interpretarmos adequadamente as constantes A0 . Por exemplo. Mola não estendida Posição de equilíbrio Em movimento 64 . cuja massa é desprezível. aplicando-se à massa do corpo uma força externa F (t ) no sentido “para baixo”. com uma velocidade inicial v0 . O sistema é então posto em movimento puxando-se a uma distância y 0 abaixo da posição de equilíbrio e soltando-o. fixada por sua parte superior a uma trave. e tomamos como origem do sistema o centro de gravidade da massa do corpo na posição de equilíbrio (vide figura abaixo). Molas Vibrantes: A figura abaixo ilustra um sistema composto por uma mola. A1 e A2 . as torções de uma haste com um volante. y = h(t ) . Luiz Fernando Aplicações de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes Vibrações Mecânicas e Elétricas Uma das razões por que é interessante estudar as equações diferenciais lineares com coeficientes constantes é que elas servem como modelos matemáticos de alguns processos físicos importantes. ou seja. Note-se que a força restauradora sempre atua em um sentido tal que tende a fazer o sistema voltar à posição de equilíbrio. Note-se também que. Luiz Fernando Assim. 3) uma força devido à resistência do ar dada por Fa = −k2 . vamos supor que não haja forças de retardamento sobre o sistema e que a massa do corpo vibre sem a ação de outras forças externas. onde k2 > 0 e é a constante de proporcionalidade. Assim. tendendo assim a retardar. Se quisermos explicitar a gravidade. uma força externa agindo sobre a massa do corpo.a = F ) . y − k2 . isto é. ou amortecer. F (t ) ≡ 0 e k2 = 0 . é o ponto correspondente à extremidade da mola não distendida. assim. e foi automaticamente levada em conta quando medimos a distância a partir da posição de equilíbrio do sistema. e como o sistema começa em m m m t = 0 com velocidade inicial v0 e a partir de uma posição inicial y0 . 2) uma força restauradora da mola. Quando F (t ) ≠ 0 [existe uma força externa atuando sobre o sistema]. e h(t ) = . y . A1 = 2 . Ora. pela Segunda Lei de Newton (m. a força devida à resistência do ar atua no sentido oposto ao da velocidade. dizemos que o movimento é forçado. temos m. A2 = 1 . Fa é diretamente proporcional à velocidade do corpo.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. mais rígida é a mola). então a distância deve ser medida a partir da extremidade inferior do comprimento natural da mola. medida no sentido positivo. antes de se anexar o corpo de massa m. dada pela Lei de Hooke como Fr = − k1 . como k2 > 0. existem três forças atuando no sistema: 1) F (t ) . no instante t . representando a constante de proporcionalidade chamada de módulo da mola e y o seu alongamento (quanto maior for o valor de k1 . y = 0 . enquanto se o corpo está acima da posição de equilíbrio. então y é negativo e − k1 . o movimento do corpo. com k1 > 0. e a equação diferencial (2) se escreve k y ''+ 1 y = 0 (3) m 65 . juntamente com (2) as condições iniciais y (0) = y0 e y '(0) = v0 = y1 de (1). Movimento Livre não Amortecido: Nesse caso. k k F (t ) y ''+ 2 y '+ 1 y = ou (2) m m m k k F (t ) Se definirmos A0 = 1 . A força de gravidade não aparece explicitamente em (2). y é negativo. y '+ F (t ) . y ' . então y é positivo e − k1 . Assim. temos. y '' = −k1 . se o corpo está abaixo da posição de equilíbrio. y é positivo. porém está presente. o movimento da mola vibrante deve ser dado por y ''+ k2 k F (t ) y '+ 1 y = g + m m m se a origem. c1 = y0 e . Determine a equação do movimento livre. km1 y0 y0 implicitamente por cos φ = e sen φ = [ou sen φ = e cos φ = ]. W 2 1 De m = . = 2. cos b + cos a .t + c2 .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.π k1 m ou número de oscilações ωn = completas k1 m por . do que encontrar (6). km1 .t − φ [note que ) [ou y = A. k1 m e λ2 = − i. velocidade de 3 Solução: Como estamos usando o sistema de unidades da engenharia [veja a tabela Sistemas de Unidades nos Anexos].cos k1 m . Assim.= pé . Qualquer movimento descrito por (4) é chamado de movimento harmônico simples.sen b [ou sen (a + b) = sen a . então. as medidas dadas em polegadas devem ser 1 2 convertidas em pés: 6 pol.sen ( k1 m ) .sen b ]. ωn 1 . A freqüência circular de tal movimento é dada por freqüência fn = natural. Em t = 0 .π 2. Assim. obtém-se k1 m c2 = v0 .π . fn Exemplo: Um corpo com 2 libras de peso distende uma mola em 6 polegadas. = pé . a amplitude real A da vibração livre não é óbvia com base no exame da equação (5). Observação: É mais fácil verificar. y '(0) = v0 .cos b − sen a. o corpo é solto de um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio. 8 pol. a solução geral de (3) é k1 m y = c1 .t + v0 .cos se. para obter- y = A. a solução particular de (3) é y = y0 . m k1 .t Além disso.t Aplicando as condições iniciais y (0) = y0 . utilizando-se da identidade trigonométrica cos(a + b) = cos a.sen k1 m (5) . ou seja. Além disso. . pode-se simplificar a solução (5).sen k1 m (4) . onde A= y02 + v02 . enquanto a segundo é. Luiz Fernando As raízes da equação característica de (3) são λ1 = como tanto k1 como m são positivos. . ou. λ1 = i.cos . O período do sistema. km1 ( k1 m . é 1 T= = 2.t + φ ] (6) A = c12 + c 22 ] e o ângulo de fase φ é dado v0 . A A A A Esta simplificação é importante porque quando c1 ≠ 0 e c 2 ≠ 0 . em unidades de massa. k1 m k1 m e λ2 = − − k1 m . a uma 4 pés/seg para cima. km1 v0 . 32 16 g 66 . o tempo necessário para completar uma oscilação. temos m = = slug. precisamos converter as 2 3 unidades de peso dadas em libras. vamos considerar um corpo de massa m suspenso em um meio viscoso ou conectado a um dispositivo de amortecimento. Movimento Livre Amortecido: Neste caso. y = 0 ou y ' '+ 64. da Lei de Hooke. Assim. pois.69 pé .t 2 4 . conforme mostram as figuras a seguir.816) 6 2. Luiz Fernando 1 Também. A não ser que este corpo esteja suspenso em um vácuo perfeito. y = 0 . mas devemos 36 6 3 6 tomar algum cuidado quando calcularmos o ângulo de fase φ .cos ( k1 m .t + φ ] 2 17 17 2 1 O cálculo da amplitude é direto A =   +   = = ≅ 0.816) ]. y= [ou y= 17 sen (8. (3) resulta em y ' '+ 1 . y ' (0) = − . 6 Nota: O conceito de movimento harmônico livre é irreal.t 3 6 Aplicando as condições iniciais. 8 4 A figura abaixo ilustra o exemplo resolvido. 2 4 Logo.t − φ ) y = A.t − sen 8. y (0) = Esta solução pode também ser escrita na forma simplificada (alternativa) y = A.  implica que a constante da mola é k1 = 4 lb / pé . obtemos c1 = e c 2 = − .t − 1.π π O período desta função é T = = .t + 1. sempre haverá pelo menos uma força contrária ao movimento em decorrência do meio ambiente.sen [ou 2 ( k1 m ) . onde o sinal negativo é uma 3 3 conseqüência do fato de que é dado ao corpo uma velocidade inicial na direção 2 1 negativa ou para cima.sen 8. 2 = k1 . temos 17 cos (8. 67 . cos 8.t + c 2 . é descrito pela equação (3) sob a hipótese de que nenhuma força de retardamento age sobre a massa do corpo em movimento. cuja solução geral é 16 y = c1 . e a equação do movimento será 3 6 2 1 y = cos 8.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. m λ2 = e 2. Como o coeficiente de amortecimento 2. o deslocamento da massa fica desprezível após um longo período. Caso I: k 22 − 4.t + c2 .e − λ22 −4. Luiz Fernando Pelo fato do movimento ser livre (de forças externas).Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. dizemos que o sistema é superamortecido. 68 .k1 .m 2. pois. Duas curvas típicas descrevendo movimentos do sistema são apresentadas no gráfico abaixo.k1 . esta equação representa um movimento suave e não oscilatório. m  .m Aqui distinguiremos três casos possíveis. onde e .m .m . pois.m = 0 Æ as raízes são reais e iguais e a solução correspondente é − k2 y = e 2.m − k 2 − k 22 − 4.m     k2 > 0 é o fator de amortecimento. apenas F (t ) ≡ 0 e a equação (2) k k y ' '+ 2 y '+ 1 y = 0 (7) se escreve m m As raízes da equação característica associada a são λ1 = − k 2 + k 22 − 4.t ) .t 2.m > 0 Æ as raízes são reais e distintas e a solução correspondente y=e é − k2 .k1 . A figura abaixo representa dois gráficos possíveis de y(t).m − k2 .m k 2 é grande quando comparado com a constante da mola k1 . k1 .t Diz-se que este sistema é criticamente amortecido.t 2.k1 .m (c1 + c 2 . c1. m 2. dependendo do sinal algébrico de k 22 − 4. qualquer decréscimo na força de amortecimento resulta em um movimento ondulatório.k1 .k1 .e   λ22 − 4. Caso II: k 22 − 4. m .t 2. t 2. Determine o movimento subseqüente. 4 . distendendo-se 1. Determine o movimento subseqüente da massa se a resistência do ar é dada por − 2.m   . deslocando-se 6 polegadas (1 pol ≅ 2.54 cm) acima de sua posição de equilíbrio. y = e −7.t R: y ' '+8. y ' lb. a) a posição da bola no tempo t = 12 4 2  12  2 b) a freqüência natural. cos .t   2m 2. Exercícios 1) Uma bola de aço de 128 lb (1 libra ≅ 453. c1 . 2) Uma massa de 10 quilogramas acha-se suspensa de uma mola. y = . y ' N.t 2. Põe-se a massa em movimento.t . y '+25. pois o coeficiente de amortecimento é pequeno quando comparado com a constante da mola.sen .k . determine: 1 π 1 π  s. Desprezando-se a resistência do ar. distendendo-a de 0. se a resistência do ar é dada por − 90.t . y  = − pé. y = 0 3 ( ) 69 . y = 0 . Põe-se o sistema em movimento. R: T = c) o período. Põe-se a bola em movimento. R: y = − . a partir da posição de equilíbrio. Luiz Fernando Caso III: k 22 − 4. y '+14.sen 3.t + c 2 .m k 22 − 4.7 metro além do seu comprimento natural.28 pé além 4 de seu comprimento natural. as amplitudes de vibração tendem a zero quando t → ∞ .k1 . a partir de sua posição de equilíbrio.t − e − 2.54 gramas) acha-se suspensa de uma mola.m   Dizemos que este sistema é subamortecido .k .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. cos 4t .e − 4. Observe o gráfico abaixo. .m < 0 Æ as raízes são complexas e a solução correspondente é y=e −k2 . sofre uma distensão de 2 pés (1 pé ≅ 30. mas.m oscilatório. R: f n = ciclos/s. m  k 22 − 4. com uma velocidade inicial de 4 pés/s no sentido “para baixo”. sem velocidade inicial.48 cm) além de seu comprimento natural. que. por causa do fator e . π π 2 s. com uma velocidade inicial de 1 m/s “para cima”. O movimento deste sistema é − k2 . 1 R: y ' '+9. 5 1 3) Uma massa de slug acha-se suspensa de uma mola. em conseqüência. ..sen t . o comprimento da mola é de 8. com uma velocidade inicial de 1m/s no sentido “para cima” e com uma força externa aplicada F (t ) = 5... 3 3   ( ) . RI . Circuitos Elétricos em Série: A figura abaixo ilustra um circuito elétrico em série onde R é a resistência em ohms.. A queda de voltagem através de f.sen (3.m.e −7. pela lei de Kirchhoff.e.m. 70 .e − 2. de um ponto 2 pés acima da posição de equilíbrio. y= − 90. qual será o deslocamento y (t ) se sabe-se ainda que o meio ambiente oferece uma resistência numericamente igual à velocidade instantânea? 2 2.. L é a indutância em henries. respectivamente. y '+10. Luiz Fernando 4) Uma massa de 10 Kg se acha suspensa de uma mola cuja constante é 140 N/m. Determine o movimento subseqüente da massa se a resistência do ar é dada por − 90.391). Põe-se a massa em movimento...t + 13. é –E(t)..... cos t 2 500 5) Um peso de 16 lb é atado a uma mola de 5 pés de comprimento.sen 3t  ou y (t ) = .. de um capacitor e de dI 1 indutor são.sen t .e .. y = 0 . − 2. Na posição de equilíbrio..e. C é a capacitância em farads.. y '+14... y (t ) = e −t .t + 4.. temos Lembrando que I= RI + L dq dt dI 1 + q − E (t ) = 0 dt C dI d 2 q → = dt dt 2 (1) (2) e levando esses valores em (1) obtemos d 2 q R dq 1 1 + + q = E (t ) 2 L dt LC L dt As condições iniciais para q são: q(0) = q 0 e dq dt (3) = I ( 0) = I 0 .) em volts e I é a corrente em ampères. E(t) é a força eletromotriz (f.. y = . a partir da posição de equilíbrio..Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.. t =0 Agora. q e L onde q é a carga no capacitor em dt C coulomb.2 pés......t + 99.. 1 1 R: y ' '+9... levamos (2) diretamente na equação resultante. Assim. em seguida. Se o peso for puxado para cima e solto do repouso....sen t − 9. 10 −t   R: y ' '+2. primeiro derivamos (1) em relação a t e. cos 3t − . y ' N. Sabese que as quedas de voltagem através de uma resistência. para obter a equação diferencial que rege a corrente.. Solução: 2) Um circuito RCL tem R = 10 ohms. Assim. Luiz Fernando A nova equação é A primeira condição inicial é isolando d 2 I R dI 1 1 dE (t ) I= + + 2 L dt LC L dt dt (4) I (0) = I 0 . determine a corrente subseqüente no sistema. Exemplos: 1 farad. Solução: 1) Um circuito RCL tem R = 180 ohms. ao se aplicar inicialmente a voltagem. L = 71 . e uma voltagem 2 aplicada de E (t ) = 12 volts.sen t . seja resolvendo (3) em relação à carga e em seguida derivando a carga para obter a corrente. L = 20 henries. e uma voltagem 280 aplicada de E (t ) = 10. determine a carga subseqüente no capacitor. Admitindo que não haja corrente inicial nem carga inicial quando t = 0 .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. A segunda condição inicial se obtém de (1) dI e fazendo em seguida t = 0. C = 1 henry. Admitindo que não haja carga inicial no capacitor. dt dI dt = t =0 1 R 1 E ( 0) − I 0 − q0 L L LC Vê-se que a corrente no circuito pode ser obtida seja resolvendo (4) diretamente. C = 10 −2 farad. mas uma corrente inicial de 1 ampère em t = 0 quando se aplica inicialmente a voltagem. L = Observação: Condições iniciais desnecessárias.. determine a carga subseqüente no 3 −50. tem uma voltagem 8 aplicada de E (t ) = sen t . C = 0. 72 ...t 12 3 e − e + ..... Determine a corrente subseqüente no circuito se a carga inicial no capacitor é 1 5 coulomb e a corrente inicial é zero. não tem voltagem aplicada.. ao se aplicar inicialmente a voltagem......t .... C = 0..... não tem voltagem 8 aplicada.cos t + 320.. C = 10 −2 farad.... R: Zero..1 henry.. 3) Um circuito RCL com R = 5 ohms.. R: 640..Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.. R: I = e −50....1 henry. C = 10 −2 farad....... Determine a corrente estacionária no circuito. L = 0. L = 0... L = ..t 15 −10... I = e −10..t .. e uma voltagem aplicada de E (t ) = 6 volts. Observação: Condições iniciais desnecessárias.....02 farad.392.sen t ) . 1 henry... capacitor e a corrente no circuito. Supondo que não haja corrente inicial nem carga inicial quando t = 0 . R: q = 100 100 100 2 ( ) 2) Um circuito RCL com R = 6 ohms.... Determine a corrente estacionária subseqüente no circuito...001 4) Um circuito RCL com R = 5 ohms.....02 farad... 1 (6.t − e −50.t − e −10. Luiz Fernando Exercícios 1) Um circuito RCL com R = 6 ohms. 10 4 ( ) 1 henry..... é denominado normal...   dyn = F ( x.... e. em relação às derivadas de maior ordem...z  dx . n e j = 1.. ...... de não-homogêneo.yn ) = an1 . Fn forem lineares com relação às variáveis dependentes y1 . y1 + a22 ..x...... y  dt ..... y  dy  = c.. Referimo-nos. y1 + a12 . y2 . y2 ( x).... ... b)  dy  dx = z − y   dz = − y − 3.. se tiverem a forma F1 ( x... i = 1.... A solução geral do sistema descrito em (1) é um conjunto de n funções y1 ( x). às equações (1) como a um sistema de n equações diferenciais de 1a ordem. + a2 n . ... y n .. y2 + .. y . ... y1 ... y2 .yn ) = a11 ...... que contém p constantes arbitrárias ( p ≤ n ) e que verificam todas as n equações..  dy1  dx = F1 ( x.... . y1 ......y ) 1 2 n n  dx Quando todas as funções F1 ...yn ) = a21 ... se ele puder ser posto na forma explícita....Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. Equações deste tipo aparecem com frequência em aplicações na biologia... 2.. Quando fi ( x) = 0 . y − d . + a1n ... y2 .yn ( x)...... ... Neste caso o sistema é dito canônico e.... y2 .. y ... o sistema será chamado homogêneo... yn + f1 ( x) F2 ( x. y1 .... 2.... F2 .yn )   dy2 = F ( x. . a derivada de uma determinada variável y i não depende só de x e y i .. mas igualmente de todas as outras variáveis. pois. Luiz Fernando Sistemas de Equações Diferenciais Define-se sistema de equações diferenciais ao conjunto de equações diferenciais com as mesmas funções incógnitas e que se verificam para as mesmas soluções.... Exemplos: a)  dx  dt = a. .. n podem depender de x e juntamente com fi ( x) devem ser funções contínuas num intervalo comum I. ..y )  2 1 2 n (1)  dx ...x. Uma solução particular é o conjunto de n funções obtidas atribuindo-se valores particulares às constantes arbitrárias na solução geral. . . isto é. yn + f n ( x) o sistema (1) é dito linear..... y 2 . ∀i ...... usualmente.. c) dz   y + dx = cos x + sen x   dy + z = cos x − sen x  dx No presente estudo nos ateremos a Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau em que o número de funções incógnitas de uma mesma variável é igual ao número de equações...... . y .. . + ann .. 73 .... ...... y1 ... em caso contrário. y2 + .......... .. y . Os coeficientes aij .. y2 + . ..... yn + f 2 ( x) ......... ou seja. Fn ( x.... . na física e descrevem sistemas complicados.x − b. y1 + an 2 . .... dy (0) = 0 dx . Sistemas de Equações Diferenciais Lineares com coeficientes constantes Os sistemas de equações diferenciais lineares podem ser resolvidos.D n − 2 + . = dx dx dy = z 2 ( x) .. + an −1 .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. y = e x dx 3  dx  y (0) = 1 . an designam constantes e D é o símbolo de derivação (operador diferencial D ). z2 (0) = 0 e z3 (0) = 0 . dy d2y e . . z 3 ( x) = 2 dx dx 2 dz 2 d y = 2 . não linear  dz1  dx = z 2  dz 2 = z3  dx   dz 3 = e x − ( z ) 2 − 3. . num problema de valor inicial nas variáveis y. por processos de eliminação... z2 e z3 satisfazem as condições iniciais z1 ( x) = 1 . dx dx d2y = z 3 ( x) dx 2 e da e derivando todas em relação a dz 3 d 3 y = 3 dx dx equação (2) diferencial dada d3y = e x − [ z 2 ( x)] 2 − 3. . substituindo em (2) temos o seguinte sistema de equações 3 dx diferenciais de 1a ordem. dx Exemplo: Converter o problema de valor inicial: 2 d 3 y  dy  +   + 3. dx z1 ( x) = y . Toda equação diferencial de n-ésima ordem na única variável y pode ser convertido num sistema de a n equações de 1 ordem nas variáveis dy z 2 ( x) = .z 2 1  dx Além disso. Assim. tal como os sistemas de equações algébricas. um sistema de três equações diferenciais pode ser escrito da seguinte forma: 74 . dx dx 2 Solução: Fazendo temos Como z1 ( x) = y . adição ou substituição.D n −1 + a2 .. Luiz Fernando Sistemas de equações diferenciais de 1a ordem também se originam de equações diferenciais de ordem mais elevada numa única variável y (x) . d2y (0) = 0 dx 2 . vamos usar a notação operacional P ( D) = D n + a1 . as funções z1 . Para tanto. a2 .. d n −1 y z n ( x) = n −1 .z1 ( x) .. z 2 ( x) = dz1 dy . . dx dy d2y .D + an onde a1 . (3)  L1 ( D). φ2 e φ3 são funções de u. y + R3 ( D).e − x .e − x .z = φ3 onde x. isto é. Fazendo a retrosubstituição.x + Q3 ( D). C2 e C3 como constantes arbitrárias.z = T2  (5)  N 3 ( D).z = T1  (4) M 2 ( D).z = φ2   P3 ( D). integrando sucessivamente (5).Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.z = T3  onde T1 . representando as incógnitas do sistema. (4) e (3) e designando C1 . y + N 2 ( D).x + M 1 ( D). na 1a equação.e x + C2 . como nas equações algébricas. z = C1 . r2 = −1 Como as raízes são reais e distintas. y e z são funções de uma variável u. y + R1 ( D).z = φ1   P2 ( D). obtemos  Dy + D 2 z = D(cos x + sen x)  − Dy − z == cos x + sen x ou  Dy + D 2 z = − sen x + cos x  − Dy − z = − cos x + sen x Somando.z = 0 que é uma equação diferencial linear. y + N1 ( D). com equação característica r = 1 r 2 − 1 = 0 e cujas raízes são  1 . encontramos a solução geral. (6) Substituindo z = C1 . T2 e T3 são funções de u. conhecidas. temos. e φ1 . de 2a ordem.x + Q1 ( D). resulta D 2 z − z = 0 ou ( D 2 − 1).e x + C2 . membro a membro as equações. homogênea e de coeficientes constantes. através de regras de eliminação. 75 . temos  y + Dz = cos x + sen x   Dy + z = cos x − sen x Aplicando na 1a equação o operador " D " e multiplicado a 2a por (−1). y + R2 ( D). pode-se reduzir este sistema a um equivalente na forma triangular superior. Procedendo-se. como o que se segue. Luiz Fernando  P1 ( D). Exemplos: Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais: a) dz   y + dx = cos x + sen x   dy + z = cos x − sen x  dx Solução: Utilizando no sistema a notação operacional.x + Q2 ( D). Portanto. ao calculamos a função incógnita z = C1 .e x + C2 . Assim.e x + C2 . com raízes r1 = 1 e r2 = −1 (reais e distintas). vem 76 . (7) ∴ y + C1 .e − x + sen x + cos x + C3 Para determinarmos C3 . temos ( D 2 − 1) y = −2. esta foi substituída na 1a equação do sistema. isto porque.cos x que é uma equação diferencial linear de 2a ordem.e − x . a função incógnita y .e x + C4 .e − x + sen x + cos x + C3 + D(C1 .e x + C2 .e x + C4 . cuja equação característica da equação homogênea associada é r 2 − 1 = 0 . após obtermos a função incógnita z = C1 .e− x + sen x + cos x + C3 + C1 .e − x e y = C3 .e− x ) = cos x + sen x −C1 .e − x ) = cos x + sen x então. como a solução geral é y = yh + y p . Porém. para a determinação da função incógnita y não haverá a necessidade de integração. temos y p = cos x + sen x e. sem utilizar a função incógnita já calculada.e x + C2 .e − x + cos x + sen x em uma das duas equações do sistema.e − x = cos x + sen x y = −C1 . que é de 2a ordem. voltamos ao sistema.e − x + cos x + sen x . multiplicamos a 1a equação por (−1) e obtemos − y − Dz = − cos x − sen x  2  D y + Dz = − sen x − cos x Somando. se resolvêssemos substituir z na 2a equação teríamos Dy + C1 . evitando assim.e − x .e x + C4 .e− x = cos x + sen x ∴ C3 = 0. temos que y = C3 .e − x + cos x + sen x Assim.e − x + cos x + sen x são a solução do sistema de equações dado. A solução geral da equação diferencial homogênea associada é yh = C3 .e x + C2 .e − x + cos x − sen x e integrando y = −C1 .e x − C2 . podemos calcular a função incógnita y através de processo de eliminação. −C1 .  y + Dz = cos x + sen x .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. as funções z = C1 . por exemplo.e x + C2 . digamos na 1a. àquela calculada da 1a maneira. substituindo-se z = C1 .e x − C2 . coincide com (7).e − x .e − x e y = −C1 . com coeficientes constantes não-homogênea. Também. substituímos a expressão de z e a nova expressão de y em uma das equações do sistema. calculada da 2a maneira. o aparecimento de mais uma constante arbitrária.e x + C2 .   Dy + z = cos x − sen x aplicamos o operador " D " na 2a equação. Note-se que.e x + C2 .sen x − 2. Observe-se que apareceram duas novas constantes arbitrárias.e x − C2 . e teremos.e x + C2 .e − x = cos x − sen x ∴ Dy = −C1 .e x + C2 . digamos na 1a. Calculando solução particular. Luiz Fernando y + D(C1 .e x + C2 .e x + C2 . Para tanto. e um tanque B que contém 50 litros de água pura. − . e = − + + 1 2  5 x  3 2 = .e5.e x + C2 . C .e 3 Resp:  3+ 3 3− 3 x x  3 3 y (2 3).z = e   dy + dz − 2.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.e 2 x + 2 . como mostra a figura abaixo.e − x + cos x + sen x obtém-se.e x + C4 . Luiz Fernando C3 . x  dx dx 3+ 3 3− 3  x x  z = C1 . y − 3. Substituindo-se C3 e C4 em y = C3 . Exercícios Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais: a)  dy dz 2 dx − dx − y + z = 0   dy + dz − 2.e x − C2 .e− x ) ≡ cos x + sen x C3 . x 1  5 Aplicações de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Problemas de Diluição (Mistura) Exemplo: Suponhamos que um tanque A contém 50 litros de água na qual estão dissolvidas 25 gramas de sal.e5.e − x + cos x + sen x + C1 .e − x + cos x + sen x + D(C1 .z = 0  dx dx b)  dy dz 5.e x + C4 . C3 + C1 = 0 e C4 − C2 = 0 ∴ C3 = −C1 e C4 = C2 . x  dx + dx − y − 4.e 2. x − 2. x − e 2. Líquido é bombeado para dentro e para fora dos tanques. y = −C1 .e − x + cos x + sen x confirmando a solução obtida anteriormente. x z C e  1  5 Resp:  5  y = C .e − x ≡ 0 Como e x e e − x são funções linearmente independentes.e 3 + C2 .z = e 2. C . e (2 3).e x + C4 .e x + C2 .e − x ≡ cos x + sen x (C3 + C1 ). vamos supor também que a mistura trocada entre os dois tanques e o líquido bombeado para fora do tanque B esteja bem misturado. 77 .e x + (C4 − C2 ). QB . f1 − VB 0 + ( f1 − e2 − f 2 ).t dt (taxa de entrada do sal menos taxa de saída). b2 = Assim. QB (gramas de sal por litro [concentração de sal no tanque B]).Q A  dt = 50 − 25 . = − dt 25 25 ∴ dQB 4. determinar a quantidade de sal Q A (t ) e QB (t ) nos tanques A e B.t Analogamente para o tanque B. respectivamente.Q A 4.Q A 2. b1 = 0 (gramas de sal por litro [água pura]). ∴ dQ A QB 2.  dQ 2.t dQB 2.Q A 2.e2 − (taxa de entrada do sal menos a taxa de V A0 + (e1 + e2 − f 1 ). dQB Q A (1 + 3). no instante t.QB = ×4− dt 50 50 + (4 − 1 − 3).Q A = 0 × 3 + B ×1 − dt 50 50 + (3 + 1 − 4).QB dQB = b3 .t dt saída). Luiz Fernando Desejamos modelar o problema formulado acima.QB = − dt 50 50 ∴ Assim.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.Q A dQ A = b1 .Q A = − dt 50 25 (e2 + f 2 ). e1 = 3 (litros de mistura por min).e1 + b2 . dQ A Q 4.QB B  = − 25 25  dt Q A (0) = 25 gramas . V A0 = 50 (litros de mistura [volume inicial no tanque A]) e f1 = 4 (litros de mistura por minuto). Aqui. Solução: De maneira similar aos problemas de diluição estudados nas Aplicações de Equações Diferenciais de 1a Ordem e 1o Grau. obtemos o seguinte sistema de equações diferenciais lineares com condições iniciais:  dQ A QB 2. a taxa de variação da quantidade de sal no tanque A é determinada pela equação diferencial f1 . QB (0) = 0 grama Resolução: 78 . bem como. e2 = 1 (litro de 50 mistura por min). ....... ..... usando as informações apresentadas em cada uma das respectivas figuras. 2) Construa os modelos matemáticos para cada um dos problemas abaixo........ a) c) . d) Note-se que em nenhum deles são dadas condições iniciais...Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.. Luiz Fernando Exercícios 1) Qual é o sistema de equações diferenciais do exemplo anterior se.. for bombeada uma solução salina contendo 2 gramas de sal por litro para dentro do tanque A? Resolva-o.. em vez de água pura .. b) .. ...... [O leitor poderá sugerir as condições iniciais e tentar resolvê-los ou só calcular a solução geral].......... 79 ......... i2 + R1 . na malha A1 B1C1C2 B2 A2 A1 . um indutor e um capacitor. respectivamente. nas quais aplicaremos a 2a lei de Kirchhoff. Pela 1a lei de Kirchhoff.R2 (9) dt Analogamente.i2 = E (t )   R.C di2 + i − i = 0 2 1  dt [Sugestão: dq = i3 ]. onde a corrente i1 (t ) bifurca-se nas duas direções mostradas a partir do nó B1 . é  di1  L dt + R.i + R .R1 + L2 3 (10) dt Substituindo (8) para eliminarmos i1 em (9) e (10). encontramos di E (t ) = i1 .R1 + L1 2 + i2 . é 80 . A figura abaixo. a saber. ilustra uma rede. obtemos o seguinte sistema de equações diferenciais lineares de 1a ordem e 1o grau  di2  L1 dt + ( R1 + R2 ).i = E (t ) 1 2 1 3  2 dt Exercícios 1) Mostre que o sistema de equações diferenciais que descreve as correntes i1 (t ) e i2 (t ) na rede (figura abaixo) contendo um resistor. dt 2) Mostre que o sistema de equações diferenciais que descreve as correntes i2 (t ) e i3 (t ) na rede elétrica (mostrada na figura abaixo). Na malha A1 B1 B2 A2 A1 somando as quedas de voltagem em cada parte.i3 = E (t )   L di3 + R . obtemos di E (t ) = i1 . temos i1 (t ) = i2 (t ) + i3 (t ) (8) Esta rede elétrica possui duas malhas. Luiz Fernando Problemas de Redes Elétricas O modelo matemático para uma rede elétrica com mais de uma malha é um sistema de equações diferenciais lineares de 1a ordem e 1o grau. A1 B1 B2 A2 A1 e A1 B1C1C2 B2 A2 A1 .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. ...........i2 = E (t )  − R di2 + R di3 + 1 i = 0 2 3  1 dt dt C 3) Determine um sistema de equações de 1a ordem que descreva as correntes i2 (t ) e i3 (t ) na rede elétrica mostrada na figura abaixo: ........................... Luiz Fernando di3  di2  L dt + L dt + R1 .... 81 .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.......... Luiz Fernando Noções de Equações Diferenciais Parciais As Equações Diferenciais Parciais surgem ligadas a várias aplicações físicas e geométricas. Exemplos importantes de equações diferenciais parciais lineares de 2a ordem: 1) 2 ∂ 2u 2 ∂ u = c ∂x 2 ∂t 2 (equação da onda. caso contrário ela será dita não-homogênea. como nas equações diferenciais ordinárias. ) =0 + f x y ∂y 2 ∂x 2 (2a ordem) 3) ∂2z ∂ 2 z ∂z − 3 + = ex ∂x∂y ∂y ∂x 2 (2a ordem) Também. quando as funções envolvidas dependem de duas ou mais variáveis independentes. Assim. Exemplos: 1) ∂ 2u ∂ 2u ( . Exemplos: 1) 3y 2 ∂u ∂u + = 2u ∂x ∂y (1a ordem) 2) ∂ 2u ∂ 2u ( . não apresentando produto entre elas. como no caso das equações diferenciais ordinárias. Aqui neste estudo. dizemos que uma Equação Diferencial Parcial é linear se a variável dependente e suas derivadas parciais ocorrem somente no 1o grau. unidimensional) 82 . 2) 3y 2 ∂u ∂u + = 2u ∂x ∂y Equações diferenciais parciais lineares e homogêneas. a ordem é dada pela ordem da derivada de mais alta ordem presente na equação. Se cada termo de tal equação contiver ou a variável dependente ou uma de suas derivadas parciais. além dos conceitos básicos. nos concentraremos na resolução de um tipo especial e muito importante.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. ) =0 + f x y ∂y 2 ∂x 2 . a equação é dita homogênea. Uma solução de uma equação diferencial parcial em uma região R do espaço das variáveis independentes é uma função que conjuntamente com todas as derivadas parciais que figuram na equação a satisfaz em todos os pontos de R. 2 3) ∂ 2 u  ∂u  u 2 +   = u 2 ∂x  ∂y  Equação diferencial não linear. Estas variáveis podem ser o tempo e/ou uma ou mais coordenadas espaciais. Conceitos Básicos Uma equação que envolve uma ou mais derivadas parciais de uma função incógnita de duas ou mais variáveis independentes é chamada uma Equação Diferencial Parcial. a equação diferencial parcial linear e homogênea de 2a ordem que rege a difusão (condução) do calor. d) u = sen x. além de depender da ordem da equação. sobre a circunferência x2+ y2 =1 e u = 3 sobre a circunferência x2+ y2 = 4.. para algum valor adequado de c: a) ii) u = x2 + t 2 .......... Assim...... por ser um curso introdutório.y)= a. bidimensional) 4) ∂ 2u ∂ 2u = f ( x.sen x Verifique se as seguintes funções são soluções da equação de Laplace: a) u = x3− 3x. b) ........y) ≠ 0. Nós aqui.y.y2 . enfocaremos apenas um método particular de resolução.sen y .. ..... t é o tempo e x.. Exercícios i) Mostre que as seguintes funções são soluções da equação da onda (1).. é não-homogênea. u = ex... tomando como exemplo a equação diferencial parcial linear e 83 ... bidimensional) 5) ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u =0 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 (equação de Laplace..ln(x2+ y2)+b satisfaz a equação de Laplace e determinar a e b de modo que u satisfaça as condições de contorno u = 0... a resolução de equações diferenciais parciais apresenta-se como um problema muito mais difícil do que aquele de resolver equações diferenciais ordinárias e.. por exemplo.. y ) + ∂x 2 ∂y 2 (equação de Poisson. Em geral.. com f(x.. c) u = arctg y x ......cos y e u = ln(x2+ y2) são apenas três funções que são soluções da equação de Laplace (3) [verifique!].... A equação (4). c) u = sen t .. a totalidade das soluções de uma equação diferencial parcial é muito grande...z são as coordenadas cartesianas retangulares... tridimensional) onde c é uma constante. enquanto que todas as outras são homogêneas... a não ser para certos tipos especiais de equações diferenciais parciais lineares. b) iii) u =cos t ... Sobre a Resolução Geralmente.... A dificuldade na resolução de uma equação diferencial parcial linear. nenhum método geral de resolução é viável. Luiz Fernando 2) ∂u ∂ 2u = c2 2 ∂t ∂x (equação do calor.sen x u = ex...Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. as funções u = x2− y2 . unidimensional) 3) ∂ 2u ∂ 2u =0 + ∂x 2 ∂y 2 (equação de Laplace.cosh y Verificar que u(x.. depende fortemente do número de variáveis independentes envolvidas... .a − Ψ '. Determinação de uma Equação Diferencial Parcial a partir de uma Solução dada.2 x y −x ⇒ =0 ∂z f ' (u ). Relembrando o caso das equações diferenciais ordinárias lineares e homogêneas.x) onde a é uma constante e Φ e Ψ são funções arbitrárias dos respectivos argumentos u = y + a.a = (Φ '− Ψ ' ). tem-se = f ' (u ). ∂z ∂z ∂z ∂x = f ' (u ).x. 2) Seja z = Φ ( y + a. uma combinação linear de duas ou mais soluções da equação é também uma solução. Assim.. cn são constantes arbitrárias. .u1+ c2.x) + Ψ ( y − a.. e tem um papel importante no método de resolução conhecido como método de separação de variáveis (que será utilizado mais adiante).un são n soluções diferentes desta equação diferencial em algum domínio dado.2 y ∂x ∂y Dividindo membro a membro. Este resultado denomina-se princípio da superposição. da condução (difusão) do calor que é de um grau de dificuldade matemática intermediário entre as equações diferenciais ordinárias e as equações diferenciais parciais de três ou mais variáveis independentes. tem-se ∂z ∂z = Φ '.2 y ∂x ∂y ∂y a é a equação de 1 ordem que admite como solução a função arbitrária z = f(x2+y2). c2. ∂z ∂z Derivando z em relação a x e a y. então u = c1. onde os coeficientes c1. Luiz Fernando homogênea de 2a ordem. elimina-se u.un também é uma solução no mesmo domínio.. z = f(u).a e = Φ '+ Ψ ' ∂x ∂y Como ainda não foi possível eliminarmos as funções arbitrárias. + cn.. É sempre possível deduzir de uma função dada uma equação de derivadas parciais que admite aquela função como solução.. Observe-se que a equação foi obtida pela eliminação de uma função arbitrária.u2..( Φ ' ' + Ψ ' ' ) e = Φ ' '+ Ψ ' ' a a a ∂y 2 ∂x 2 ⇒ 2 ∂2z 2 ∂ z = a .x e v = y − a. Exemplos: 1) Seja z = f(x2+y2). ∂x 2 ∂y 2 (*) 84 . + Ψ ' '. em duas variáveis.u2+ . um resultado semelhante aplica-se às equações diferenciais parciais lineares e homogêneas. isto é. derivemos novamente: ∂2z ∂2z 2 2 2 = Φ ' '. e se u1 . Assim. onde f é uma função arbitrária de argumento u = x2+y2. = . sendo u = x2+y2.2 x e = f ' (u ). .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. . Derivando z em relação a x e a y respectivamente. . b) z = ey.. é aquela de que nem sempre o número de funções arbitrárias ou de constantes arbitrárias traduz a ordem da equação diferencial parcial...... Tal como nas equações diferenciais ordinárias. No caso das equações diferenciais parciais em que uma das variáveis independentes é o tempo t.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. 3) Seja z = a.z = f(x+y) . também são soluções de (*) z = (x + a. por Φ e Ψ serem funções arbitrárias.y .. c) z = a. os valores da variável dependente e muitas vezes sua derivada em relação ao tempo em algum instante...y)+e x− a. ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z ∂z +y + . Agora. temos z=x Exercícios: Obter as equações de derivadas parciais que apresentem as seguintes soluções:  y a) z = f   x .. uma que contém funções arbitrárias e denomina-se geral. que é a solução. mencionaremos aqui novamente.. a partir dos exemplos apresentados. sendo a e b constantes.... [Verifique!]. digamos t = 0.... e) z = f(x)+ey.. enquanto a solução geral de uma equação diferencial ordinária contém constantes arbitrárias de integração.. podem ser 85 . com valores da variável dependente dados sobre a fronteira de R... há certas equações que admitem as soluções singulares que são aquelas que não resultam nem da solução geral nem da solução completa. Além disso.x. Luiz Fernando é a equação diferencial parcial de 2a ordem que foi obtida pela eliminação das duas funções arbitrárias.... a solução geral de uma equação diferencial parcial contém funções arbitrárias.b.g(x). Observe-se que existem dois tipos de solução. ∂z ∂z Derivando z em relação a x e y.. ∂y ∂x ∂y ∂x a que é uma equação de derivadas parciais de 1 ordem e que foi obtida eliminando-se duas constantes arbitrárias na relação z = a. Assim. d) x.. que o termo “condições de fronteira” (condições de contorno) é usado na literatura com diferentes significados. e outra que contém constantes arbitrárias e denominase completa......y+b .. onde f e g são funções arbitrárias e a e b constantes arbitrárias.....b. tem-se =a e =b..y)3+ tg (x − a. O termo é obviamente apropriado quando uma equação tem que ser resolvida dentro de uma dada região R do espaço. Levando estes resultados à equação dada.x + b.. Outra particularidade que notamos..y) e z = sen (x+a...y + a... percebemos agora uma das mais importantes diferenças entre as soluções das equações diferenciais parciais e as soluções das equações diferenciais ordinárias. a fronteira não precisa envolver um volume finito (caso em que parte da fronteira estará no infinito)... qual seja. . Note-se que..f(x− y) . .x + b.y + a... 0<x<l . u é somente função da coordenada axial x e do tempo t. 2 ∂t ∂x . As condições iniciais.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. Escolhemos o eixo x de modo a se situar ao longo do eixo da barra e sendo x = 0 e x = l os extremos da barra. podemos exigir uma solução dentro da região R (conforme figura abaixo). Por exemplo. Vamos supor ainda que os lados da barra estejam perfeitamente isolados. Consideremos agora o problema de condução de calor para uma barra reta de seção transversal uniforme e de material homogêneo. onde um dos eixos representa a coordenada tempo. Então. t>0. (1) 86 . por exemplo. uma variável de espaço x e uma variável tempo t. O estudo desta equação teve origem por volta de 1800 (a primeira investigação importante foi desenvolvida por Joseph B. Consideremos também que as espessuras das seções transversais sejam tão pequenas que a temperatura u pode ser considerada constante em qualquer seção transversal dada. no entanto. A variação de temperatura nesta barra é descrita pela equação diferencial parcial denominada equação de condução (difusão) de calor e que tem a forma ∂u ∂ 2u = c2. a análise da dissipação e transferência de calor de suas fontes em maquinaria de alta velocidade é freqüentemente um importante problema tecnológico. Tais condições são usualmente chamadas de “condições iniciais”. O Problema de Condução de Calor e o Método de Separação de Variáveis Uma das equações diferenciais parciais clássicas da física matemática é a equação que descreve a condução de calor num corpo sólido. de modo que nenhum calor os atravessa. podem ser pensadas como condições de fronteira no diagrama espaço-tempo. Aqui as condições iniciais em t = 0 são condições de fronteira ao longo da fronteira OA. No caso da equação diferencial parcial em duas variáveis independentes. Fourier) e continua a demandar a atenção dos cientistas atuais. Luiz Fernando dados. 0) = f(x). Este método se baseia na idéia de encontrarmos certas soluções da equação diferencial (1) da forma u(x. σ é a densidade (massa específica do material do corpo) e ρ é o calor específico do material da barra. e condições (de contorno) são impostas nos extremos do intervalo. (2) e (3) é um problema de valor inicial para a variável t. Entretanto. com relação à variável espaço x. homogênea e de 2a ordem. Aqui. Derivando e substituindo em (1). Luiz Fernando onde c2 é uma constante conhecida como difusibilidade térmica. e a equação diferencial descreve o que acontece mais tarde.t) = 0 . Alternativamente.G ' = c 2 . A equação (4) é equivalente a 87 . superpondo-as para satisfazer a condição inicial.t) de (1) é procurada na faixa semi-infinita 0 < x < l.t) = 0 para qualquer t. estudaremos o caso em que as extremidades x = 0 e x = l da barra se encontram na temperatura zero. o problema é de um tipo diferente. A solução u(x. As unidades dimensionais de c2 são (comprimento)2/tempo. t > 0 sujeita à condição de que u(x. A solução da equação diferencial é desejada num certo intervalo. 0≤x≤l (3) onde f(x) é uma função dada. O parâmetro c2 k depende somente do material de que é feita a barra e é definido por c 2 = .G(t).t)=F(x). (2) Seja f(x) a temperatura inicial da barra. obtemos F . usamos uma técnica conhecida como o método de separação de variáveis. então.t) deve admitir um valor prescrito em cada ponto no limite desta faixa.F ' '. A equação diferencial parcial que rege este problema de condução de calor é linear. Assim. conhecido como um problema de valor de contorno. Isto sugere que poderíamos aproximar o problema procurando soluções da equação diferencial e das condições de contorno e. Então a condição inicial é u(x. u(l.G (4) onde G ' indica a derivada ordinária de G em relação a t e F ' ' indica a derivada ordinária (2a) de F em relação a x. podemos considerar o problema como um problema de valor de contorno no plano xt. as condições de contorno são u(0. Para encontrar as soluções de que necessitamos. onde σρ k é a condutibilidade térmica. O problema descrito por (1).Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.t) de (1) que satisfaz a (2) e (3). Determinaremos uma solução u(x. uma condição inicial é dada. . . [Para n inteiro negativo.2. ambas as expressões devem ser iguais a uma constante.n. .π Para os valores p = . . (10) l são soluções da equação do calor (1) que satisfazem (2).Gn(t)=Bn. Então.2. Assim. l 88 .e . Assim.. A = 0. já que de outro modo F ≡ 0. então u ( x.π G '+λ2n . Em vista de (9). sen n =1 n.2. F(l) = B. onde λ n = c.t)=Fn(x). Luiz Fernando G' F '' = 2 F c . n = 1.π .n.l) = 0 n. l (11) Para determinarmos uma solução que satisfaça também (3) devemos ter ∞ u(x.t .π . F(0) = A.e − λn .x Fn(x) = sen . n = 1. Fazendo B = 1 obtemos um número infinito de soluções l F(x) = Fn(x). n.G (t ) deve ser satisfeita exigindo-se que F (0) = 0 .x −λ2n ...sen .G = 0 .t)= ∑ u n ( x. obtemos essencialmente as mesmas soluções.G = 0 ..π . e portanto.0)= ∑ Bn .t un(x.sen (p. linear e homogênea de coeficientes constantes. . l de (7) que satisfazem as condições de contorno (2).l). de 2a ordem.F = 0 (7) G '+c 2 . p 2 . isto porque sen(−y)= − sen y]. cuja solução geral é (9) F(x)=A.G (5) Como o primeiro membro depende unicamente de t e o segundo membro somente de x. n = 1.x = f ( x) . n. (n inteiro).e l .. .G (t ) = 0 e se esta equação for satisfeita escolhendose G (t ) = 0 para todo t. Devemos ter B ≠ 0.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. n=1.0) = f (x) . sen n. já que não satisfaz a condição inicial u (x.. t ) = F (0). digamos − p2 (por conveniência). a menos de um sinal negativo. onde λ n = [equação diferencial linear e homogênea de 1a ordem ou l equação diferencial de variáveis separáveis de 1a ordem] cuja solução geral é 2 Gn (t ) = Bn . u (0.. t ) será identicamente nula.sen (p.cos (p.2.π . Isto é inaceitável.x) De (2) decorre que u (0. a condição de contorno x = l exige que F (l ) = 0 .π ou p = . vem ∞ ∞ n =1 n =1 u(x. G' F '' = = − p2 (6) 2 F c . t ) = ∑ Bn .G e daí as duas equações diferenciais F ' '+ p 2 . a equação (8) apresenta a forma l c. onde Bn é uma constante. Utilizando o princípio da superposição. a condição F(l) = 0 conduz a sen (p. Analogamente.t .x −λ2n . Assim as funções n.π .x) + B. e (8) A equação (7) é uma equação diferencial ordinária. e assim de (5) obtém-se. . t ) = F (0). sen dx . a saber..π ..2... n = 1. 89 . n=1. .. 2 t n. a série de Fourier em seno de f(x). como pré-requisito. os coeficientes Bn devem ser escolhidos de modo que u(x.........0) seja um desenvolvimento de meio período de f(x)... ...2... Luiz Fernando Assim para (11) satisfazer (3).Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.... .. de conhecimentos sobre Séries de Fourier..... l 0 l Observação: Para realizarmos um estudo mais detalhado sobre a escolha desses Bn ...x Bn= ∫ f ( x)......... ... .... necessitaríamos.... Luiz Fernando Anexos 90 .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. y k + ..c n 7) an a   = n b b 8) n m a = n. + C kn x n − k . então a + c > b + c 3) Se a > b e c > 0 .. . (d > 0) x>d (desigualdade triangular) DESIGUALDADES 1) Se a > b e b > c . então a.c 2.c > b.. y = log a x + log a y x log a = log a x − log a y y log a x k = k .m a m 9) 10) a = a m−n n a 1 a −n = n a LOGARITMOS FÓRMULA QUADRÁTICA Se a ≠ 0 . y + C 2n x n − 2 . Luiz Fernando FÓRMULAS BÁSICAS ÁLGEBRA EXPOENTES E RADICAIS 1) a m × a n = a m+ n m n = n am = 2) a 3) (a ) m n ( a) n m = a m..n b 4) n 5) (a.x 2 y + 3. onde C kn = n! k !( n − k ) ! TRIGONOMETRIA 91 .n a.x 2 + b.x + c = 0 − b ± b 2 − 4.b = n a . y 2 ± y 3 FÓRMULA BINOMIAL ( x + y )n = x n + C1n x n −1 . y 2 + .b n n a n b ou . + y n .x.. então a > c 2) Se a > b .Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano.x. log a x 5) log a 1 = 0 6) log a a = 1 7) log x = log10 x 8) ln x = log e x log b x log a x = log b a 3) 9) x= (x + y )(. y + y 2 4) log a x. então a. x − y ) = x 2 − y 2 (x ± y )3 = x 3 ± 3.c 4) Se a > b e c < 0 . as raízes da equação a.a PRODUTOS NOTÁVEIS 1) y = log a x ⇒ a y = x são 2) (x ± y )2 = x 2 ± 2..a.b )n 6) n a = b VALOR ABSOLUTO 1) x <d ⇔ −d < x< d 2) x >d ⇔ x < −d 3) a+b ≤ a + b 4) − a ≤a≤ a = a n .c < b. tg u 1 − tg 2 u 1 sen u .t cos 2 t = 2 sen (u + v) = sen u . cos v + sen u .c.sen v = [cos (u − v) − cos (u − v)] 2 sen (−t ) = − sen t 6) sen 2 t + cos 2 t = 1 19) tg 2. cos v − sen u . cos v + cos u .t 2 1 + cos 2.sen 2 u = 2.tg v cos (u + v) = cos u .u = 7) sec 2 t − tg 2 t = 1 20) 8) cos sec 2 t − cot g 2 t = 1 21) 1 − cos 2. cos v − cos u .b.tg v 22) 23) 24) 25) cos (−t ) = cos t 26) tg (−t ) = −tg t TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER 27) 28) a sen Aˆ = b sen Bˆ = c sen Cˆ (Lei dos senos) a 2 = b 2 + c 2 − 2.sen v 9) sen 2 t = 10) 11) 12) 13) tg u − tg v 1 + tg u .sen v tg u + tg v tg (u + v) = 1 − tg u .sen v 1 cos t 1 3) cot g t = tag t sen t 4) tg t = cos t cos t 5) cot g t = sen t 2) sec t = 15) cos (u − v) = cos u . cos 2 u − 1 2.cos Aˆ (Lei dos cossenos) FÓRMULAS DE DERIVADAS FÓRMULAS DE INTEGRAIS 92 .sen u .cos u 18) cos 2u = cos 2 u − sen 2 u = 1 − 2. cos v = [cos (u + v) + cos (u − v)] 2 1 sen u . cos v = [ sen (u + v) + sen (u − v)] 2 1 cos u .sen v 16) tg (u − v) = 17) sen 2.u = 2.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. Luiz Fernando FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS cateto oposto hipotenusa cateto adjacente 2) cos θ = hipotenusa cateto oposto 3) tg θ = cateto adjacente hipotenusa cateto oposto hipotenusa 5) sec θ = cateto adjacente cateto adjacente 6) cot g θ = cateto oposto 1) sen θ = 4) cos sec θ = IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1) cos sec t = 1 sen t 14) sen (u − v) = sen u .sen v = [ sen (u + v) − sen (u − v)] 2 1 cos u . cot g u.du = − cos sec u + c 12) ∫ tg u. Luiz Fernando 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) d c = 0 .du = ln sec u + tg u + c 15) ∫ cos sec u.du 2) n ∫ u .g ' ( x) dx d n du u = n.du = − sen u dx dx d du tg u = sec 2 u dx dx d du cot g u = − cos sec 2 u dx dx d du sec u = sec u . n ≠ −1 n +1 au +c ln a u.du = sec u + c 11) ∫ cos sec u. u 2 − 1 dx 19) 1) 19) 20) 1 du = arc sen u +c a a −u 1 1 u ∫ a 2 + u 2 du = a arc tg a + c 1 1 u ∫ u.du = ln sen u + c 14) ∫ sec u.du = tg u + c 2 u. u 2 − a 2 du = a arc sec a + c 1 1 u+a ∫ a 2 − u 2 du = 2. cot g u dx dx 1 d arc sen u = dx 1− u2 −1 d 18) arc cos u = dx 1− u2 17) ∫ u.v) = u + v dx dx dx du dv −u v d u dx dx  = 2 dx  v  v d { f [g ( x)]} = f ' [g ( x)].du = − ln cos u + c = ln sec u + c 13) ∫ cot g u.tg u.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano. ln a dx dx d 1 du ln u = dx u dx d 1 du log a u = dx u. ln a dx d du sen u = cos u dx dx d du cos u.du = − cot g u + c 10) ∫ sec u .du = e u + c 5) u ∫ a .du = 3) ∫u du = ln u + c 4) ∫e . u e v funções de x dx dx dx d dv du (u.a ln u − a + c 1 2 2 ∫ u 2 − a 2 du = ln u + u − a + c 2 2 Sistemas de Unidades 93 .du = − cos u + c 7) ∫ cos u = sen u + c 8) ∫ sec 9) ∫ cos sec 1 u 2 u n +1 + c .dv = u.du = ln cos sec u − cot g u + c 16) ∫ du dx 17) du dx 18) 1 du d arc tg u = dx 1 + u 2 dx du d 1 20) arc sec u = dx u.tg u dx dx d du cos sec u = − cos sec u .u n −1 dx dx d u du e = eu dx dx d u du a = a u .v − ∫ v.du = 6) ∫ sen u. onde c é uma constante dx d du dv (u ± v) = ± . 44822 N ...822 dyn = 4... m Foot. lb Força da Gravidade (g) 2 980 cm/s 2 9....3048 m 1 slug = 14.K.G.. dyn newton...594 kg 1 lb = 444. Força s s s dina... segundo....S.8 m/s 2 32 pés/s 1 ft = 30...... segundo.Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano... ft cm Massa grama..... N pound..... Engenharia (inglês) Comprimento centímetro ...... 94 ..........S... g quilograma.. M..... slug Tempo kg segundo. metro.. Luiz Fernando Sistemas de unidades C.480 cm = 0.594 g = 14... GeoGebra ... 1980... 2003. 2001-2007.. São Paulo... Editora da USP. BOYCE.geogebra. 95 ... 1975. Diferential Equations ... Texas Instruments... Rio de Janeiro... Rodney C. São Paulo...Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano... Moderna Introdução às Equações Diferenciais... George F. Markus Hohenwarter. & DIPRIMA.Winplot versão Windows 95/98/ME/2K/XP. http://math..... C. Tata McGraw-Hill Publishing Company Ltd. G. Pioneira Thomson Learning Ltda. Equações Diferenciais e Suas Aplicações. Vol. http://cwx. A. 1988.. Erwin.. William E.A....org . http://www. Windows. New Delhi... São Paulo. 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