Introdução à Lógica Matemática - Alberto, Carlos b., Luiz Melo, Oswaldo

INTRODUÇÃO ÀGraduado em Análise de Sistemas (Unaerp), mestre em Sistemas de Apoio à Decisão (EESC-SP), doutor em Engenharia de Produção (USP). Professor da AFA (Academia da Força Aérea) desde 1997. LÓGICA MATEMÁTICA Luiz Batista Castanheira Graduado em Matemática (UFSCar), mestre em Fundamentos da Matemática (Unesp), doutorando em Geociências e Meio Ambiente. Professor da AFA (Academia da Força Aérea) desde 1982. Oswaldo Melo Souza Filho Para tanto, este livro é composto de uma parte inicial, em que o Cálculo Proposicional é apresentado com conectivos, tabelas-verdade, tautologias mais relevantes, formalização de argumentos e prova de sua validade ou invalidade. Na segunda parte é apresentado o Cálculo de Predicados com a prova de validade de argumentos usando o quantificador universal e o existencial. Em cada capítulo, o conteúdo é ilustrado com exemplos esclarecedores, seguidos por exercícios resolvidos, cuja finalidade é levar o aluno a entender a lógica matemática, além dos exercícios propostos, os quais o leitor deverá resolver e conferir com a resolução apresentada pelos autores. Aplicações Livro-texto para a disciplina de Lógica, utilizado em cursos de Matemática, Ciência da Computação e Administração. Pode ser útil aos leitores da área de Humanas, como Filosofia, Linguística, Letras e Direito, além de interessados em conhecer o rigor da dedução formal de maneira mais acessível. Além disso, pode servir também como bibliografia básica para vários concursos públicos e de ingresso em pós-graduação. INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA Graduado em Física (USP – São Carlos), mestre em Ensino de Ciências (USP), doutor em Filosofia (USP) e participou, de 1998 a 2001, do grupo de pesquisa em Lógica e Teoria da Ciência (USP), chefiado pelo dr. Newton da Costa. Professor da AFA (Academia da Força Aérea) desde 1985. Esta obra foi escrita por docentes da Academia da Força Aérea (AFA), responsáveis pela disciplina Lógica Matemática, e tem por objetivo dar ao leitor o fundamento introdutório necessário para o estudo aprofundado da Lógica e suas aplicações, além de suprir uma deficiência bibliográfica de textos mais acessíveis e didáticos. CARLOS ALBERTO F. BISPO | LUIZ B. CASTANHEIRA | OSWALDO MELO S. FILHO Carlos Alberto Ferreira Bispo Outras obras Aplicações da matemática Angela Leite Matemática aplicada à administração e economia – 2a edição S. T. Tan Matemática discreta: uma introdução tradução da 2a edição norte-americana Edward R. Scheinerman Matemática financeira moderna Rodrigo De Losso da Silveira Bueno, Armênio de Souza Rangel e José Carlos de Souza Santos CARLOS ALBERTO F. BISPO LUIZ B. CASTANHEIRA OSWALDO MELO S. FILHO Para suas soluções de curso e aprendizado, visite www.cengage.com.br introducao a log matem.indd 1 09-Mar-11 2:41:48 PM INTRODUÇÃO À Graduado em Análise de Sistemas (Unaerp), mestre em Sistemas de Apoio à Decisão (EESC-SP), doutor em Engenharia de Produção (USP). Professor da AFA (Academia da Força Aérea) desde 1997. LÓGICA MATEMÁTICA Luiz Batista Castanheira Graduado em Matemática (UFSCar), mestre em Fundamentos da Matemática (Unesp), doutorando em Geociências e Meio Ambiente. Professor da AFA (Academia da Força Aérea) desde 1982. Oswaldo Melo Souza Filho Para tanto, este livro é composto de uma parte inicial, em que o Cálculo Proposicional é apresentado com conectivos, tabelas-verdade, tautologias mais relevantes, formalização de argumentos e prova de sua validade ou invalidade. Na segunda parte é apresentado o Cálculo de Predicados com a prova de validade de argumentos usando o quantificador universal e o existencial. Em cada capítulo, o conteúdo é ilustrado com exemplos esclarecedores, seguidos por exercícios resolvidos, cuja finalidade é levar o aluno a entender a lógica matemática, além dos exercícios propostos, os quais o leitor deverá resolver e conferir com a resolução apresentada pelos autores. Aplicações Livro-texto para a disciplina de Lógica, utilizado em cursos de Matemática, Ciência da Computação e Administração. Pode ser útil aos leitores da área de Humanas, como Filosofia, Linguística, Letras e Direito, além de interessados em conhecer o rigor da dedução formal de maneira mais acessível. Além disso, pode servir também como bibliografia básica para vários concursos públicos e de ingresso em pós-graduação. ISBN 13 978-85-221-1595-2 ISBN 10 85-221-1595-9 Para suas soluções de curso e aprendizado, visite www.cengage.com.br introducao a log matem.indd 1 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA Graduado em Física (USP – São Carlos), mestre em Ensino de Ciências (USP), doutor em Filosofia (USP) e participou, de 1998 a 2001, do grupo de pesquisa em Lógica e Teoria da Ciência (USP), chefiado pelo dr. Newton da Costa. Professor da AFA (Academia da Força Aérea) desde 1985. Esta obra foi escrita por docentes da Academia da Força Aérea (AFA), responsáveis pela disciplina Lógica Matemática, e tem por objetivo dar ao leitor o fundamento introdutório necessário para o estudo aprofundado da Lógica e suas aplicações, além de suprir uma deficiência bibliográfica de textos mais acessíveis e didáticos. CARLOS ALBERTO F. BISPO | LUIZ B. CASTANHEIRA | OSWALDO MELO S. FILHO Carlos Alberto Ferreira Bispo Outras obras Aplicações da matemática Angela Leite Matemática aplicada à administração e economia – 2a edição S. T. Tan Matemática discreta: uma introdução tradução da 2a edição norte-americana Edward R. Scheinerman Matemática financeira moderna Rodrigo De Losso da Silveira Bueno, Armênio de Souza Rangel e José Carlos de Souza Santos CARLOS ALBERTO F. BISPO LUIZ B. CASTANHEIRA OSWALDO MELO S. FILHO 9 7 8 8 5 2 2 11 5 9 5 2 09-Mar-11 2:41:48 PM INtRoDuÇÃo À lÓGIca MatEMÁtIca   II. Luiz Batista Castanheira : Cengage Learning. Oswaldo Melo.   ISBN 978-85-221-1-   1. Luiz Batista. SP.Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro. Castanheira. 2011. Lógica matemática   511. Título. Lógica simbólica e matemática  I. Souza Filho.  III. Brasil) Bispo.   Bibliografia. Carlos Alberto Ferreira   Introdução à lógica matemática / Carlos Alberto Ferreira Bispo.3 Índices para catálogo sistemático:   1. 11-02802                       CDD-511.3 . INtRoDuÇÃo À lÓGIca MatEMÁtIca Carlos Alberto Ferreira bispo Luiz batista Castanheira Oswaldo Melo Souza Filho . 106. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102. sem a permissão por escrito da Editora. 107 da Lei no 9. sejam quais forem os meios empregados.br Impresso no Brasil Printed in Brazil 1234567 15 14 13 12 11 .: (11) 3665-9900 – Fax: 3665-9901 SAC: 0800 11 19 39 Para suas soluções de curso e aprendizado. Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida. de 19 de fevereiro de 1998. entre em contato pelo telefone 0800 11 19 39 Revisão: Helena Dias.com Capa: Weber Amendola © 2012 Cengage Learning. Maria Dolores D. 104. Todos os direitos reservados. 111 – Prédio 20 – Espaço 04 Lapa de Baixo – CEP 05069-900 – São Paulo –SP Tel.com.Introdução à Lógica Matemática © 2012 Cengage Learning Edições Ltda. Para permissão de uso de material desta obra. Sierra Mata Diagramação: Triall Composição Editorial Ltda. futuramente. envie seu pedido para direitosautorais@cengage. Para informações sobre nossos produtos. Gerente editorial: Patricia La Rosa Editora de desenvolvimento: Sheila Fabre Supervisora de produção editorial e gráfica: Fabiana Alencar Albuquerque Copidesque: Vera Lúcia Pereira Esta editora empenhou-se em contatar os responsáveis pelos direitos autorais de todas as imagens e de outros materiais utilizados neste livro. dispomo-nos a efetuar. Se porventura for constatada a omissão involuntária na identificação de algum deles. os possíveis acertos. ISBN-13: 978-85-221-1126-8 978-85-221-1595-2 ISBN-10: 85-221-1126-X 85-221-1595-8 Cengage Learning Condomínio E-Business Park Rua Werner Siemens.610. visite www. Carlos Alberto Ferreira Bispo Luiz Batista Castanheira Oswaldo Melo Souza Filho Todos os direitos reservados.cengage. ...................................................................................... 3 1................................................................................................................1 Conjunção ...5..18 SUMÁRIO v .................18 2.......................11 1................................2 Disjunção...6 1.........................................................................................6 1.........................2 Regras de formação ..........................................7 1.....1.................................................10 1................................................................................1 Conjunção (∧) ..................................................... 17 2....4 Bicondicional ..............................................................................................5 1.........................4..............13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 .....2 Proposição simples e composta .Sumário paRtE 1 cálculo proposicional ......3 Condicional ...................3 Conectivos proposicionais ......... 1 capítulo 1 Proposição ..... 13 capítulo 2 Tabela-Verdade .......1..............................18 2..........1 Critérios para o valor-verdade ..................12 1......................5 Negação .5 1...........18 2.................3 Condicional (→) ...................5 Formalização..........4...............11 1.................................................1.....................4 1.............................................................2 Disjunção (∨) ...........................8 1.......4 Classificação dos conectivos...............................4.........................................................................4.....................5.......................4.............1 Fórmula bem formada........1 Princípios da lógica clássica ... .............................38 5.......................................32 5.......................49 vi  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA ..........................).......... 20 capítulo 3 Classificação das Proposições.............................3 Regras de dedução do cálculo proposicional....... 29 capítulo 5 Consequência Lógica ou Dedução Formal.....................................................4 Teorema da Dedução (T............ 26 capítulo 4 Tautologias...................................D.........................................................................................................................2 Validade de um argumento...........3 Propriedades..............................3 Contingência.....................19 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2................2 Equivalência tautológica...................2............19 2......5 Prova indireta..................................24 3........4 Bicondicional (↔)........1 Implicação tautológica.......................................................2...... 31 5..................2 Tautologias úteis...................2.......................................................5 Negação (¬)..................1 Argumento.....................................26 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3............2.............38 5.. 23 3.............................................28 4.............................47 5................2 Contradição..................................................................1..1 Tautologia......................................................25 3........................................................1 Prova direta de validade.........28 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4........2..................1............................................2............................................. 27 4................41 5..................................36 5.......................................................................................................................................27 4.............. ..........................1 Método de atribuição de valores................ .......................... 60 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 8................62 5.................................................... 68 PARTE 2 Cálculo de Predicados................................................72 6..57 5............................................3 Quantificadores....................................................................63 5.............................................................................75 6........ 34 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6.......................................... 69 capítulo 6 Funções Proposicionais e Quantificadores...............................71 6......................................................................................56 5............................................................. 50 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7................................................................................ 78 capítulo 7 Validade de Argumentos com Quantificadores.. 76 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 10......5 Regras de formação do cálculo de predicados............4 Árvore de refutação...................6 Equivalência entre os quantificadores....................73 6.................................5.73 6............................. .6 Ramo fechado – ramo aberto..............................................................1 Termos e predicado... 81 7.................5 Método da árvore de refutação....................................3 Prova de invalidade...................76 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9....................3.........................................................81 Sumário  vii ....................64 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 5................................................................................................................................................ 71 6................1 Exemplificação e generalização.....2 Função proposicional.......................4 Formalização do cálculo de predicados..................................................... ..)....82 7.....3 Generalização Existencial (G........................82 7..4 Generalização Universal (G.. 84 Soluções para os Exercícios Propostos.........82 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 11........U...........................................................1......................U.......E..........1..........7....).......).....1 Exemplificação Existencial (E......................82 7.1...........)...................................... 87 viii  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA ..........E...........2 Exemplificação Universal (E...1........... Ao final dos tópicos de cada capítulo. equivalências entre eles e como se conduz a prova de validade de alguns tipos de argumentos que possuem em seu escopo esses quantificadores. O conteúdo deste livro foi dividido em duas partes: a primeira refere-se a Cálculo Proposicional e a segunda a Cálculo de Predicados. as tautologias mais relevantes. com o objetivo de suprir a necessidade de uma bibliografia básica. Sistemas de Informação e Direito. pré-requisitos para a resolução dos aproximadamente 300 exercícios propostos. Após a apresentação de uma pequena parte do conteúdo. Além disso. Para tanto. sempre utilizando o conteúdo que foi desenvolvido na primeira parte. Na parte do Cálculo Proposicional é apresentada a introdução à Lógica com a apresentação dos conectivos lógicos. os três autores tiveram a ideia de escrever juntos este livro. Essa forma de apresentação dá condições ao leitor para que ele consiga entender e praticar a Lógica Matemática. foram utilizadas as notas de aulas. Essa divisão e a sua linguagem objetivam uma maior compreensão do estudante que se depara pela primeira vez com esse assunto. Todos os exercícios propostos apresentam sua resolução no final deste livro. Na elaboração deste livro. são fornecidos exemplos e exercícios resolvidos.Prefácio 5 Após vários anos administrando a disciplina Lógica em cursos de graduação em Administração. suas tabelas-verdade. são apresentados exemplos resolvidos. seu valor-verdade. que seguem ordem crescente de dificuldade. argumentos e formas de argumentos. também são apresentadas as provas de validade e de invalidade com suas respectivas formalísticas. Na parte de Cálculo de Predicados são apresentados o quantificador universal e o existencial. extensa pesquisa bibliográfica e vários encontros para discutir o texto. o desenvolvimento do conteúdo se deu de maneira que o leitor possa utilizá-lo como bibliografia básica. PREFÁCIO ix . Matemática. . simbólica ou ainda matemática. não é uma tarefa fácil mesmo para o especialista nessa matéria. A lógica.C. O nosso objetivo é. porque a lógica trata de entidades linguísticas e não do modo como pensamos ou raciocinamos. mas sim na sua forma ou na sua estrutura. três períodos que correspondem. que se inicia por volta de IV a. religioso. Pode-se pensar na lógica como o estudo da validade dos argumentos. respectivamente. focalizando a atenção não no conteúdo. No cotidiano empregamos toda sorte de argumentos com os mais variados conteúdos: político. Podemos associar cada concepção a um determinado período da evolução da lógica. moral etc. estabelecemos. a lógica pode ser entendida como a ciência que estuda os princípios e os métodos que permitem estabelecer as condições de validade e invalidade dos argumentos. convencer ou persuadir o interlocutor de que estamos certos em nosso argumento. pode ser tratada.C. 3a) lógica como estrutura linguística. grosso modo. grosso modo. 3o) período contemporâneo. até o início do século XIX). em vez de “raciocínio”. mediante três concepções: 1a) lógica como um sistema de regras. ou da ciência da lógica. também chamada de formal. A busca de regras que assegurem a validade de um argumento dominou o primeiro período. O estudo do raciocínio ou do modo como pensamos pertence ao campo da psicologia. com 1 Dizemos “discurso”. 2a) lógica como um conjunto de leis. invariavelmente. Em uma primeira aproximação. Um argumento é uma parte do discurso1 (falado ou escrito) no qual localizamos um conjunto de uma ou mais sentenças denominadas premissas e uma sentença denominada conclusão.Introdução 5 Uma definição ampla e precisa da lógica. 2o) período booleano (século XIX e primeira década do século XX). que englobe com rigor todo o seu domínio atual. às três concepções de lógica: 1o) período grego (século IV a. Sendo assim. INTRODUÇÃO xi . Leibniz já apresentava o seu sistema em uma perspectiva de uma ideografia universal próxima da concepção contemporânea e de um modo de operar os símbolos próximo do cálculo algébrico. Desse ponto de vista. Augustus de Morgan (1806-1871) e outros.) e foram reunidos após sua morte.  A evolução nesse sentido representa uma mudança na concepção de lógica que passava então a buscar as suas leis como um resultado do paralelo de fórmulas algébricas com o cálculo de classes. por exemplo. Pedro Abelardo (1079-1142) e W. Ramsey (1903-1930). e.W. uma coleção de tratados denominada Organon. Esses tratados lógicos são de autoria de Aristóteles (384-322 a. respectivamente. Frege (1848-1925) desenvolveu um sistema de lógica por um método linguístico (cálculo proposicional) que se afastou do modo algébrico e teve muita influência na lógica contemporânea.). de A.C. Clarence Irving Lewis (1883-1964). Jan Lukasiewicz (1878-1956) e outros. 1912 e 1913 – e com a publicação de On the consistency of arithmetic. como a dos megáricos (300 a. Aristóteles é o autor mais importante da mais influente escola de lógica desse período. O período contemporâneo começa a partir do início do século XX – mais precisamente a partir da publicação em três volumes do Principia Mathematica.a primeira sistematização conhecida da lógica. a qual distingue outras escolas. Ainda nesse período. L. pressupõe uma sintaxe (regras ou leis de combinação dos signos) e uma semânxii  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA . Brouwer (1881-1966). o estudo dos fundamentos da matemática processou-se de um modo associado ao desenvolvimento da lógica.C. a lógica passa a ser vista como estrutura linguística. a lógica de Port-Royal (1662) e a logística de G. Bolyai. ou seja. Whitehead (1861-1947) e Bertrand Russell (1872-1970). passando pelos medievais. No segundo período. do matemático Frances Jacques Herbrand (1908-1931). mais algébrico. na Idade Moderna. que se uniram para transformar a lógica em uma nova ciência. mais precisamente. Riemann e outros) e da teoria dos conjuntos de George Cantor (1845-1918). Leibniz (1646-1716).J. F. P. em 1910. Gauss. Ockham (1285-1347). a partir do século XIX. É importante assinalar que no século XIX.) e estoicos (260 a. G.C.E. É nesse período que o enfoque linguístico-formal se impõe. com o surgimento das geometrias não euclidianas (Lobachevsky. a lógica passou a evoluir em um sentido mais matemático ou. a lógica como uma linguagem. N. Essa aproximação da lógica com a álgebra deu-se sob a influência de George Boole (1815-1864). ou como um sistema de signos. c)  Não aléticas. como Informática.  A. Kleene (1909-1994). f)  Modais paraconsistentes. Robinson (1918-1974) e outros. c) Teoria de categorias como fundamento da Matemática. b)  Teoria de tipos. atingindo uma complexidade técnica elevada e ampliando consideravelmente o seu domínio com aplicações nas mais diversas áreas. A. Church (1903-1995). A. J. Newton C. Engenharia etc. As contribuições de K. A. b)  Modal clássica. d)  Intencionais clássicas. g)  Epistêmicas paracompletas. dando forma à teoria da recursão. Tarski (1902-1983). cada uma associada a uma determinada estrutura linguística. Gödel (1906-1978) e seus teoremas de incompletude. Complementares da Clássica a)  Epistêmica clássica. Turing (1912-1954) e sua teoria geral dos processos computáveis. da Costa (1929-). criando a lógica paraconsistente. c)  Clássica de ação etc. Assim.   Lógica da crença. Introdução  xiii . e inúmeras outras contribuições diversificaram e ampliaram em tão alto grau os métodos e os domínios da lógica que ninguém teria hoje condições de acompanhar o desenvolvimento dessas teorias em detalhes.tica (interpretação e significado dos signos). S. Administração de Empresas. Rosser (1907-1989) e outros. Economia. É importante notar que essa última concepção de lógica matemática subsume as outras duas. b)  Paraconsistentes.B. e)  Relevantes. criando a teoria de modelos. Não clássica Heterodoxas a)  Paracompletas.C. e)  Indutiva clássica etc. A partir de 1930 até nossos dias. Sinopse das Várias Lógicas Clássica Cálculo de predicados de primeira ordem: a)  Teoria de conjuntos. d)  Quânticas. a evolução da lógica caminha em uma direção de maior integração à matemática.   Lógica do conhecimento. h)  Indutivas paraconsistentes etc. Física. existem várias lógicas.A.M. . ..........................................................BREVE SUMÁRIO 1 Proposição .......................................................................................... 27 5 Consequência Lógica ou Dedução Formal ........................ 23 4 Tautologias ................................................ 3 2 Tabela-Verdade ..... 17 3 Classificação das Proposições .............. 31 1 PARTE Cálculo Proposicional 1 ............................ O sintático estabelece símbolos. Constitui-se em um sistema formal no qual se pode operar com grande precisão e rigor algumas transformações e obter resultados bem definidos e de ampla aplicação em outras áreas da Ciência.paRtE 1 O Cálculo Proposicional é a parte da Lógica Matemática que estuda a validade de argumentos apresentados em uma linguagem própria. a linguagem proposicional. regras de formação e regras de dedução de validade. Nessa linguagem é possível distinguir dois aspectos: o sintático e o semântico. O Cálculo Proposicional trabalha com tabelas-verdade. . O aspecto semântico consiste na valoração das fórmulas com atribuição da propriedade de verdadeiro ou falso. tautologias e métodos dedutivos que visam estabelecer a validade de argumentos. uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser verdadeira (V) ou falsa (F). pois é impossível estabelecer um valor-verdade para elas. ou seja. qualquer sentença declarativa que assume um dos dois valores-verdade: verdade e falsidade.) Exemplos de sentenças não declarativas a) Venha aqui! (sentença imperativa) b) Não corra tão rápido! (sentença imperativa) c) Pela mãe do guarda! (sentença exclamativa) d) Quantas vezes terei de repetir isso? (sentença interrogativa) Essas sentenças não são proposições. Essa propriedade da proposição é usualmente denominada valor-verdade. (é uma proposição falsa (F). (é uma proposição verdadeira (V).) c) Os suíços fabricam os melhores relógios e os franceses. Exemplos de sentenças declarativas a) sen 90O = 1 (é uma proposição verdadeira (V). PROPOSIÇÃO 3 . isto em certo período de tempo. o melhor vinho.) b) Júpiter está a 100 km da Terra.capítulo 1 Proposição Considera-se uma proposição. ou um enunciado. 1 Princípios da lógica clássica A Lógica Matemática na sua versão clássica assume como regras fundamentais do pensamento válido três princípios básicos.. ou seu significado. O Cálculo Proposicional analisa a relação entre as proposições. As proposições podem ser substituídas por letras maiúsculas do alfabeto latino: A. S = Os franceses fabricam o melhor vinho. .” não (P e não P) 4 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 1 . b) Se prestar atenção na aula.. P = Eu tirarei boa nota na prova. então tirarei boa nota na prova. . 1. B. b) astronomia. a tradução simbólica da proposição.Nos exemplos anteriores. as proposições tratam os assuntos: a) matemática. a tradução simbólica da proposição.  Princípio da Identidade: “Toda proposição é idêntica a si mesma. Se tomarmos: R = Os suíços fabricam os melhores relógios.” PéP  Princípio da Não Contradição: “Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. considerando a forma que essa relação assume e não especificamente o seu conteúdo. e c) vinhos e relógios. Teremos: Se A então P. Teremos: R e S. o melhor vinho. Se tomarmos: A = Eu prestar atenção na aula. Z. EXEMPLOS 1 a) Os suíços fabricam os melhores relógios e os franceses. por símbolos denominados conectivos lógicos. Princípio do Terceiro Excluído: “Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa. nos restringiremos inicialmente ao chamado cálculo proposicional.. É uma proposição composta: não nos alimentarmos. e (nós) morreremos. os conectivos utilizados são conhecidos por sentenciais ou proposicionais. morreremos.3 Conectivos proposicionais Na linguagem comum. EXEMPLOS 2 a) Somos pobres mortais e fanáticos torcedores da vida. a e b são proposições simples. não existindo um terceiro valor que ela possa assumir. e somente se  não ƒse . Uma proposição é composta quando for constituída por uma sequência finita de pelo menos duas proposições simples. e somos fanáticos torcedores da vida.Tais palavras são substituídas. e c é uma proposição composta. Em nosso estudo. 1. a primeira proposição. então . Nos exemplos anteriores de sentenças declarativas. usam-se palavras explícitas ou não para interligar frases dotadas de algum sentido.. e somente se... a segunda. Trabalharemos com cinco conectivos que substituirão simbolicamente as expressões: ƒe ƒou  se. É uma proposição composta: Somos pobres mortais.” P ou não P (ou exclusivo) 1..2 Proposição simples e composta Uma proposição é simples se. b) Se não nos alimentarmos. a segunda proposição. PROPOSIÇÃO 5 . sendo e a palavra de ligação. por essa razão. a primeira proposição. contiver uma única afirmação. na Lógica Matemática. . Os símbolos especiais da Lógica Matemática expõem com maior clareza as estruturas lógicas de proposições e argumentos.4 Classificação dos conectivos Apresentaremos a seguir os conectivos que. no entanto. tem afinidades com a Matemática e dela se aproxima. contudo. A conjunção pode também ser expressa por palavras como: mas..As palavras que unem essas proposições são Se .. enquanto... Cada proposição também será traduzida. a primeira proposição. ficam obscurecidas.1 Conjunção É o resultado da combinação de duas proposições ligadas pela palavra e. não depende de observações como nas ciências naturais... c) Vamos ao cinema ou ao teatro. que será substituída pelo símbolo ∧. utilizando-se a primeira letra de sua palavra-chave. embora.. isto é. sendo ou a palavra de ligação. . 1. com suas representações simbólicas. então... todavia. além disso..... Cada letra maiúscula é usada para representar uma proposição bem definida (uma constante) e cada minúscula para representar uma proposição qualquer (uma variável).. É uma proposição composta: Vamos ao cinema. considerando a forma que essa relação assume e não o seu conteúdo.. visto que..4.. 1.. as proposições são representadas por letras maiúsculas do alfabeto latino... Em função disso. Portanto. que muitas vezes. e (vamos) ao teatro. serão usados na tradução de proposições para a linguagem simbólica. 6  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 . É importante assinalar que a Lógica Matemática é uma ciência não empírica... na linguagem comum. A Lógica Matemática trata da relação entre proposições. a segunda proposição...... a palavra ou pode ser empregada em dois sentidos. Simbolicamente. temos: C ∧ T. inclusivo ou exclusivo. somente o ou inclusivo será abordado. PROPOSIÇÃO 7 . Simbolicamente. trata-se do ou exclusivo. B = João é paulistano ou gaúcho. M = Leandro seguiu a carreira de Medicina. No cálculo proposicional. 1.EXEMPLOS 3 a) Maria foi ao cinema e Marta. c) André foi ao baile.4. pode ocorrer de Paulo ser matemático e físico. Tradução: C = Maria foi ao cinema. não é possível que João seja paulistano e gaúcho ao mesmo tempo. Tradução: F = José é jogador de futebol do Flamengo. b) José é jogador de futebol do Flamengo e Leandro seguiu a carreira de Medicina. Simbolicamente. temos: F ∧ M. Tomando-se as seguintes proposições: A = Paulo é matemático ou físico. utilizando-se a primeira letra de sua palavra-chave. Em B. Na linguagem coloquial.2 Disjunção É o resultado da combinação de duas proposições ligadas pela palavra ou. C = Maria ficou em casa. que será substituída pelo símbolo ∨. temos: B ∧ C. Tradução: B = André foi ao baile. T = Marta foi ao teatro. tratase do ou inclusivo. mas Maria ficou em casa. ao teatro. Em A. Cada proposição também será traduzida. A consequente decorre da atuação química e física da antecedente.4. ƒas proposições condicionais podem ter sentidos diferentes em sua composição. então (proposição 2). 8 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 1 . Tradução: F = José será jogador de futebol. L = (Alberto) fala várias línguas. M = José seguirá a carreira de Medicina. Tradução: P = Alberto é poliglota. ƒa EXEMPLOS 5 a) Se Alberto é poliglota. 1. temos: P → L. proposição 1 é chamada de antecedente. Simbolicamente. veja os exemplos a seguir. Simbolicamente. Aqui. então fala várias línguas. temos: C ∨ T. T = Maria foi ao teatro. b) José será jogador de futebol ou seguirá a carreira de Medicina. temos: F ∨ M. Tradução: C = Maria foi ao cinema. b) Se colocarmos em um ácido papel de tornassol. e a proposição 2 de consequente.EXEMPLOS 4 a) Maria foi ao cinema ou ao teatro.3 Condicional Duas proposições formam uma condicional quando for possível colocá-las na seguinte forma: Se (proposição 1). o papel ficará vermelho. a consequente depende da definição da palavra poliglota. Simbolicamente. ƒo símbolo utilizado para ligar as duas proposições de uma condicional é →. Tradução: C = Colocarmos em um ácido papel de tornassol. V = O papel ficará vermelho. Simbolicamente, temos: C → V. c) Se Fernando é inteligente, eu sou um gênio. Não existe uma conexão real entre a antecedente e a consequente. Tradução: F = Fernando é inteligente. E = eu sou um gênio. Simbolicamente, temos: F → E. d) Se o Brasil for campeão, eu vou para o Japão. A consequente reflete uma vontade própria, que depende da antecedente. Tradução: B = O Brasil for campeão. J = Eu vou para o Japão. Simbolicamente, temos: B → J. e) Se todos os homens são mortais e Sócrates é um homem, então Sócrates é mortal. Nesse caso, a consequente depende logicamente da antecedente. Tradução: H = Todos os homens são mortais. S = Sócrates é um homem. M = Sócrates é mortal. Simbolicamente, temos: (H ∧ S) → M. Desses exemplos, apenas o último tem relevância para o cálculo proposicional, pois seu valor-verdade depende apenas do valor-verdade atribuído a suas proposições simples. Proposição  9 1.4.4 bicondicional Toda proposição composta, formada por duas proposições, que pode ser colocada na forma: (proposição 1) se, e somente se, (proposição 2) é chamada de bicondicional e seu conectivo de ligação é representado pelo símbolo ↔. A proposição bicondicional pode ser entendida como uma conjunção de dois condicionais, ou seja, dado p ↔ q, temos p → q e q → p. EXEMPLOS 6 a) Só ganharás o dinheiro se completares o trabalho. Tal proposição é equivalente a: Ganharás o dinheiro se, e somente se, completares o trabalho. Tradução: D = Ganharás o dinheiro. T = Completares o trabalho. Simbolicamente, temos: D ↔ T. b) Só haverá diminuição da violência se a educação for prioridade governamental. Tal proposição é equivalente a: Se houver diminuição da violência, a educação é prioridade governamental. e Se a educação for prioridade governamental, a violência diminuirá. Tradução: V = Haverá diminuição da violência. E = A educação é prioridade governamental. Simbolicamente, temos:V ↔ E. 10 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 1 1.4.5 Negação Este conectivo não liga duas proposições, mas simplesmente nega a afirmação da proposição que o precede. Em virtude disso, é um conectivo unário, enquanto os anteriores são conectivos binários, pois ligam duas proposições. Se o valor-verdade de uma proposição é (V), quando acompanhado do conectivo de negação, passará a ser (F) e vice-versa. O símbolo utilizado para esse conectivo é ¬, colocado antes da letra que traduz a proposição. EXEMPLOS 7 a) Luís não recebeu o seu pagamento na data prevista. Tradução: P = Luís recebeu o seu pagamento na data prevista. Simbolicamente, temos: ¬P. b) Alfredo não gosta de trabalhar. Tradução: T = Alfredo gosta de trabalhar. Simbolicamente, temos: ¬T. c) A estabilidade não gera desemprego. Tradução: E = A estabilidade gera desemprego. Simbolicamente, temos: ¬E. 1.5 Formalização O processo de formalização consiste em converter um conjunto de proposições interligadas em uma estrutura composta de letras proposicionais, conectivos lógicos e símbolos de pontuação. Os símbolos usados nessa operação são: ƒletras proposicionais: A, B, ..., P, Q etc., ou P1, P2, ... , ou a, b, c,... ou p1, p2, p3, ...; conectivos proposicionais: ¬, ∧, ∨, →, ∆; ƒ ƒparênteses: ( ). PROPOSIÇÃO 11 Em geral. No processo de formalização. conectivos e parênteses. é melhor despedirmo-nos agora. Simbolicamente. essa operação de tradução é muito mais complexa. sendo um assunto que não cabe discutir aqui. No entanto. se isso for um problema. é necessário estabelecer uma pontuação adequada. é mais conveniente e mais correto dizermos que esses símbolos constituem propriamente o vocabulário do cálculo proposicional. chegaremos atrasados à conferência. mas. passa-se de uma linguagem natural ou do cotidiano para uma linguagem artificial formada pelos três tipos de símbolos: letras. 12 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 1 .5. temos: ((T ∨ C → A) ∧ (P → D)). Tal pontuação é idêntica à utilizada em expressões algébricas. Tradução: T = tomarmos café. nem toda fórmula é aceitável para o cálculo proposicional. Na verdade. ƒa ordem de prioridade dos conectivos é: 1o 2o 3o EXEMPLO 8 ¬ ∧e∨ →e∆ Se tomarmos café ou comermos algo. C = comermos algo. seguindo as seguintes regras: ƒcada parêntese aberto deve ser fechado. Uma fórmula aceitável para o cálculo proposicional é denominada fórmula bem formada. para evitar ambiguidades nas proposições compostas.1 Fórmula bem formada Uma sequência qualquer de elementos do vocabulário do cálculo proposicional constitui uma fórmula. D = é melhor despedirmo-nos agora. wff (well-formed formula). abreviadamente. P = isso é um problema. Por isso. os internos à expres- são precedem aos mais externos. 1. A = chegaremos atrasados à conferência. pois um dos parênteses foi aberto. é preciso definir as regras de formação para o cálculo proposicional. qualquer fórmula construída de acordo com essas regras de formação é uma wff. observemos que não há a necessidade da colocação de parênteses visto que a conjunção tem precedência sobre a condicional. Uma letra proposicional isolada é uma wff. 1. 2.Para se obter as wffs. a) Se Alfredo escrever para Maria. Portanto. Determine se as fórmulas a seguir são wffs. que são a gramática do cálculo proposicional. d) A fórmula A ∧ → B não é uma wff. pois desobedece à regra 3. b) Ou Alfredo escreve para Maria ou ela irá para outra cidade. 1. EXERcícIoS pRopoStoS 1 a) A b) (A → B) ∧ C c) B ∧ (C ∨ D)) d) B ∧ C ∨ D e) ¬(A ∨ B) ∨ C → D f) (¬((A ∨ B) ∧ C ↔ ((D ∨ ¬E) → F)) g) ((¬(A ∨ (¬B) ↔ D) ∨ E) 2. então (P ∧ Q). 3. então ¬P também é. usando letras maiúsculas para abreviar as proposições simples. mas não foi fechado. ela for para outra cidade. ela não irá para outra cidade. Se P e Q são wffs. Se P é uma wff. pois a condicional e a bicondicional têm a mesma precedência. Traduza para a linguagem simbólica as seguintes proposições.5. (P → Q) e (P ↔ Q) também são. d) Alfredo escreverá para Maria se. Nesse caso.2 Regras de formação As regras de formação para o cálculo proposicional são: 1. c) A fórmula (A ∧ (B ↔ C) não é uma wff. e somente se. c) Alfredo não escreveu para Maria e ela irá para outra cidade. (P ∨ Q). EXEMPLO& contraexemplo a) A fórmula P → Q ∧ R é uma wff. b) A fórmula P → Q ↔ R não é uma wff. PROPOSIÇÃO 13 . a fórmula seria uma wff se fosse dada por (P → Q) ↔ R ou P → (Q ↔ R). houver mais policiamento e os motoristas forem mais conscientes. b) Se x é menor que 4 e maior que 2. Maria irá para outra cidade. com certeza ganhará um salário melhor. l) Se João for despedido e procurar um emprego. se Fernando investigar. k) Se João ama Maria e Maria ama Paulo. m) O número de acidentes diminuirá nas estradas se. f) Se Alfredo for ao encontro de Maria ou João for ao encontro de Maria. n) Todos acertaram todas as questões. j) Se João é vizinho de Maria. y for maior que 0. então João conhece Maria. x não é igual a 7. o) Se Eduardo não apresentar uma queixa. i) O gerente despedirá Maria ou despedirá João. Traduza para a linguagem natural as seguintes proposições simbólicas: a) A ∨ B b) ¬A ∧ B c) A → B d) A → ¬B e) ¬A ↔ B f) ¬A ∧ ¬B 4. c) Ou x é maior que 0. Sejam as proposições: A = Carlos é argentino e B = João é brasileiro. d) x é igual a 3 se. ou se não for ao encontro com Alfredo. ou x é menor que 3 e y é maior que 0. ou. g) João só irá ao encontro de Maria se Alfredo não estiver na cidade. ela não ficará mais na cidade. h) Se Maria se encontrar com João. nem Fernando investigará. então Maria não irá para outra cidade. e) Se x é diferente de 2. Coloque em linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: a) x é menor que 3 e maior que 0. nem Geraldo será classificado. 3. então y é igual a 9 e z é maior que 3. e somente se.e) Se Alfredo escrever para Maria e João for ao encontro dela. então Geraldo será desclassificado. ou. mas isso não significa que não devam estudar mais. 14  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 . e somente se. então. então x é igual a 3. p) Ou Eduardo apresentará uma queixa. então João não terá chance com Maria. Proposição  15 . traduza para a linguagem simbólica as proposições a seguir. que Alfredo é bancário ou que Maria seja comerciante. Alfredo não é bancário e Maria não é comerciante. d) É mentira que Luiz é administrador. e) Luiz é administrador se. Dadas as proposições: A = Luiz é administrador. c) Se Alfredo é bancário e Maria é comerciante. e somente se.5. a) Ou Luiz é administrador ou Alfredo é bancário. b) Luiz não é administrador e Maria é comerciante. então Luiz é administrador. mas Maria não é comerciante. B = Alfredo é bancário e C = Maria é comerciante. . Para determinar o valor-verdade (V) ou (F) de uma proposição composta. Tomando-se p e q como proposições simples quaisquer. na qual figuram todas as possíveis combinações dos valores-verdade das proposições simples.capítulo 2 Tabela-Verdade O valor-verdade de uma proposição composta é obtido de forma única a partir dos valores-verdade atribuídos às proposições simples que a compõem. a tabela-verdade de cada um dos conectivos binários já apresentados é dada por: Conjunção Disjunção Condicional Bicondicional p q p∧q p∨q p→q p↔q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V TAbELA-VERDADE 17 . A atribuição de um valor-verdade para uma proposição simples depende do seu contexto e faz parte do estudo semântico. usa-se um instrumento denominado tabela-verdade. sendo n o número de proposições simples envolvidas.2 Disjunção (∨) Uma disjunção tem valor-verdade (F) se. sua tabela-verdade é: Negação p ¬p V F F V O número de linhas de uma tabela-verdade depende do número de proposições simples presentes. 2. Para obtermos o número de linhas de uma tabela. a conjunção tem valor lógico (V) somente na primeira linha.1.1 Conjunção (∧) Uma conjunção tem seu valor lógico (V) se. 18  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 .1 Critérios para o valor-verdade O valor-verdade de uma proposição composta depende unicamente do valor lógico de suas proposições simples. e somente se. tomando-se p como uma proposição simples qualquer. e somente se. no caso n = 2 e a tabela tem 4 linhas.No caso específico da negação (conectivo unário). na tabela apresentada.3 Condicional (→) Uma proposição condicional é falsa (F) se. no caso anterior. seguindo os critérios a seguir. há duas proposições simples e quatro linhas com valores-verdade. basta usarmos a fórmula 2n. ambas as proposições que a compõem forem falsas (F) (é o caso da última linha da disjunção). 2. 2. as duas proposições que a compõem forem verdadeiras (V). Observe que.1. a proposição antecedente for verdadeira (V) e a consequente for falsa (F) (é o caso da segunda linha da condicional).1. e somente se. onde as proposições p e q são verdadeiras. 2. d) Se D. a) C = O Brasil foi colônia de Portugal. Valor-verdade (V) I = Hoje (o Brasil) é um país independente. 2. mas hoje é um país indepen- dente. (V) V = Obtivermos aprovação no vestibular. se obtivermos aprovação no vestibular. nosso idioma é proveniente do Latim. (V) Tabela-Verdade  19 .1.4 Bicondicional (↔) Uma proposição bicondicional tem valor-verdade (V) se. então.1. Verifique quais das proposições a seguir são verdadeiras: a) O Brasil foi colônia de Portugal.2. ou declarou guerra à Inglaterra. (V) P (V) � L (V) (V) c)  F = Cursaremos a faculdade. Pedro proclamou a independência do Brasil. 1. o Brasil foi colônia da Inglaterra.5 Negação (¬) ! EXERCÍCIOS RESOLVIDOS RESOLUÇÃO   1+2=3 A negação de uma proposição verdadeira (V) é uma proposição falsa (F) e a de uma proposição falsa (F) é uma proposição verdadeira (V). c) Só cursaremos a faculdade. (V) L = Nosso idioma é proveniente do Latim. portanto. as duas proposições que a compõem tiverem o mesmo valor-verdade (V) ou (F) (caso da primeira e quarta linhas). Valor-verdade (V) C (V) ∧ I (V) (V) b) P = Vivemos em um país da América Latina. b) Vivemos em um país da América Latina. e somente se. q e r proposições quaisquer. construa a tabela-verdade da proposição (p → p ∨ q) ∧ (r ↔ q). Atribuindo um valor lógico a cada uma das proposições simples. b) O Brasil não é um país emergente. Dados p. EXERcícIoS pRopoStoS 20 2 de acordo com o contexto atual. Pedro) declarou guerra à Inglaterra. (F) C = O Brasil foi colônia da Inglaterra. Pedro proclamou a independência do Brasil.F (V) ↔ V (V) (V) d) I = D. INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 1 . mas o Japão está em crise. (F) I (V) ∨ G (F) C (F) (V) (F) 2. conclua qual o valor lógico das seguintes proposições compostas: a) O Brasil é um país emergente e o Japão está em crise. RESoluÇÃo  1+2=3 p q r p∨q p→p∨q r↔q (p → p ∨ q) ∧ (r ↔ q) V V V V V V V V V F V V F F V F V V V F F V F F V V V V F V V V V V V F V F V V F F F F V F V F F F F F F V V V 1. (V) G = (D. g) A inflação é praticamente nula. l) Se Cuba é o único país comunista do Continente Americano e os Estados Unidos são um país capitalista. então os países desenvolvidos tentarão conter o desenvolvimento brasileiro. e somente se. o Japão estiver em crise. k) Se a Alemanha perdeu a Segunda Guerra Mundial e o Japão era seu aliado. Dado que o valor lógico das proposições P e Q é (V). determine o valor lógico das seguintes proposições: a) ¬P ∨ ¬Q b) P ∨ ¬Q c) ¬P ∧ (Q → R) d) ¬P ∧ (¬Q → ¬P) e) R ∨ S → P ∧ Q f) P ∧ Q ↔ R ∧ S g) (P ↔ Q) → (P → R) h) ((P ∨ Q) ∨ (S → (P → R)) i) ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ (R ∨ S)) → S) ↔ S j) ((R → P) ∨ (R ∨ S)) → (P → (Q ∨ S)) TAbELA-VERDADE 21 . então o Japão também perdeu a Segunda Guerra Mundial. 2. h) Ou os salários aumentam.c) Se o Brasil é um país emergente. e o desemprego não para de crescer. e a bandeira de Portugal tem as cores verde e vermelho. então Cuba será arrasada pelos Estados Unidos. mas se o técnico fosse outro. m) Se o Brasil já teve várias moedas. e o Brasil é país integrante desse mercado. talvez ela não tivesse sido. i) Se São Paulo é a maior cidade da América Latina. sua arrecadação de impostos é alta ou parte do dinheiro arrecadado é desviado. n) Se o Mercosul incomoda os países desenvolvidos. é provável que o real seja a última. f) A seleção brasileira de futebol foi pentacampeã. o Japão está em crise. d) O Brasil é um país emergente se. ou as vendas diminuem. e de R e S é (F). e) Ou o Brasil não é um país emergente ou o Japão não está em crise. j) O azul é uma das cores da bandeira brasileira. 3. q e r proposições simples. Considerando-se p. construa as tabelas- -verdade das seguintes proposições: a) (p ∨ q) → r b) ¬(p ∨ q) ∧ p c) (¬p → q) ∨ r d) p ∧ q → (r ↔ q) e) ¬p ∧ p → (r ↔ q) f) (¬p → q) ∨ (r → ¬p) g) ¬((p ↔ ¬q) → r ∧ ¬q) 22  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 . p ∧ ¬p CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇõES 23 . temos: 1+2=3 p ¬p p∨¬p V F V F V V 2. Em virtude disso. Dadas p e q proposições simples quaisquer. classificam-se as proposições compostas em tautológicas. observa-se que existem as que são sempre verdadeiras. O mesmo ocorre com as proposições compostas que são sempre falsas.capítulo 3 Classificação das Proposições ! EXERcícIoS RESolVIDoS RESoluÇÃo  No estudo das proposições compostas. p ∨ ¬ p Construindo a tabela-verdade. contraditórias e contingentes. independentemente do valor lógico atribuído a cada uma de suas premissas simples. feito com o auxílio da tabela-verdade. construa a tabela-verdade para as seguintes proposições: 1. e no exercício resolvido 2. temos: 1+2=3 p ¬p p∧¬p V F F F V F Observe que no exercício resolvido 1. 24 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 1 . independentemente do valor lógico das proposições simples que a compõem. independentemente do valor lógico de p. conforme demonstra sua tabela-verdade: p ¬p (p ∧ ¬p) ¬(p ∧ ¬p) V F F V F V F V Tal exemplo traduz a ideia do Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira (V) e falsa (F).RESoluÇÃo  Construindo a tabela-verdade. seu valor lógico é sempre verdade (V). o valor lógico da proposição é sempre (V). Tal princípio pode ser representado pela proposição p ∨ ¬p. 3. o valor lógico é sempre (F). EXEMPLOS 1 a) A proposição ¬(p ∧ ¬p) é uma tautologia.1 Tautologia Uma proposição composta é tautológica ou uma tautologia se. que a tabela a seguir demonstra ser uma tautologia. e somente se. b) Um outro exemplo de tautologia envolve o Princípio do Terceiro Ex- cluído: Uma proposição ou é verdadeira (V) ou é falsa (F). b) A proposição (p ∧ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) é contraditória. 3. Deixamos isso a cargo do leitor. d) A proposição ((p → q) → r) → (p → (q → r)) também é uma tautologia.2 Contradição Uma proposição composta é chamada de contradição se. a proposição p ∧ ¬p é uma contradição. o seu valor lógico for sempre falso (F). e somente se. o que pode ser demonstrado com sua respectiva tabela-verdade. temos o Princípio da Identidade: Toda proposição é idêntica a ela mesma. Esses três princípios são a base para todo o desenvolvimento do raciocínio lógico matemático. cuja condição de ser uma tautologia pode ser percebida sem dificuldades.p ¬p p ∨ ¬p V F V F V V c) Finalmente. Veja a tabela a seguir: p q ¬p ¬q p∧q ¬p ∧ ¬q (p ∧ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) V V F F V F F V F F V F F F F V V F F F F F F V V F V F CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇõES 25 . EXEMPLOS 2 a) Como já foi demonstrado em um exemplo anterior. independentemente do valor lógico das proposições simples que a compõem. Tal princípio pode ser representado pela proposição p ↔ p. para se provar que uma proposição composta é uma tautologia. se só apresentar valores (F). quando o seu valor lógico pode ser (V) ou (F). ou uma contingência. 1. a) p → (p ∨ r) b) p → (p ∧ q) k) p → (p → q ∨ q) l) (p → (p → q)) → q c) p ∨ q → p m) p → (¬p → q ∨ ¬q) d) p → (q → p) ∨ q n) (¬p ∧ q) → ¬p e) p ↔ p ∧ (p ∨ q) o) ¬(p → (¬p → (q ∨ ¬q))) f) p ∧ (p ∧ (p ∨ q)) p) (p → q ∨ r) ∧ q → (p → r) g) ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) q) p ∧ q ↔ (p ∨ q ↔ (p → ¬q)) h) (p → q) ∧ ¬q → ¬p r) p → (p → q ∧ ¬q) i) ¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∧ ¬q s) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ↔ p ∧ (q ∧ r) j) p ∨ q → p ∧ q t) (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 1 . uma contradição ou uma contingência.3. usa-se a última coluna de sua tabela-verdade. Use a tabela-verdade para classificar as proposições como tauto- EXERcícIoS pRopoStoS 26 3 logias. dependendo do valor de suas proposições simples. Como já deve estar claro. sendo p. e quando apresentar os dois valores será uma contingência. de acordo com a sua tabela-verdade: p ¬p p → ¬p V F F F V V b) A proposição (p → q) → (p ∨ r) ∧ ¬p é uma contingência. Dei- xamos a cargo do leitor a sua demonstração com o uso da tabela-verdade. q e r proposições quaisquer. EXEMPLOS 3 a) A proposição p → ¬p é uma contingência. Se essa coluna apresentar somente valores lógicos (V).3 Contingência Chama-se uma proposição composta de contingente. tem-se uma tautologia. contingências ou contradições. uma contradição. A implicação tautológica é fundamental para o estudo da validade de um argumento.capítulo 4 Tautologias 4.1 Implicação tautológica Uma implicação tautológica é uma proposição condicional tautológica. EXEMPLO 1 A proposição p ∧ q → p é uma implicação tautológica. Para provarmos essa afirmação usamos a tabela-verdade: p q p∧q p∧q→p V V V V V F F V F V F V F F F V Podemos então afirmar que p ∧ q implica tautologicamente p. assunto que será tratado posteriormente. TAUTOLOGIAS 27 . assunto que será tratado no próximo capítulo. denominada Lei de De Morgan. EXEMPLO 2 4. as seguintes propriedades se verificam: a) Reflexiva p → p é uma implicação tautológica p ↔ p é uma equivalência tautológica b) Simétrica (p ↔ q) R (q → p) é uma implicação tautológica c) Transitiva (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) é uma implicação tautológica (p ↔ q) ∧ (q ↔ r) R (p ↔ r) é uma implicação tautológica A demonstração dessas propriedades é feita usando a tabela-verdade. Dados p. e você. q e r proposições simples quaisquer. que são fundamentais na prova de validade de um argumento.4. 28 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 1 . será denominada equivalência tautológica. pode prová-las facilmente. leitor. p q ¬p ¬q p∧q ¬(p∧q) (¬p∨¬q) ¬(p∧q)↔(¬p∨¬q) V V F F V F F V V F F V F V V V F V V F F V V V F F V V F V V V Propriedades Tanto a implicação como a equivalência tautológicas têm propriedades específicas.2 Equivalência tautológica Quando uma proposição bicondicional for tautológica.3 A proposição ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) é uma equivalência tautológica. a) (p → q) ↔ (¬q → ¬p) b) p ↔ (p ∨ (p ∧ q)) c) (p → (q → p)) ↔ ((p → q) → (r → r)) d) (p → q) ↔ (¬p ∨ q) TAUTOLOGIAS 29 . a) (p → (q → r)) → ((p ∨ r) → (q ∨ r)) b) (p ∧ q) → (p → ¬q) c) (p → q) → ((p ∧ r) → (q → r)) d) (p → q) → (p → (q ∨ r)) e) ((p → ¬q) ∧ (¬r ∨ q) ∧ r) → ¬p f) (p ∧ q) → (p ∨ q) g) (p ∨ q) → (¬(p ∧ r)) h) (¬q ∨ p) → (q → p) i) ((¬q ∨ p) → q) → p 3. Prove. a) p → (p ∧ q) b) (p ∨ q) → p c) ((p → q) ∧ ¬p) → ¬q d) q → (p → q) 4. que a bicondicional (p → q) ↔ (p ∨ q ↔ q) é uma equivalência tautológica. Mostre que as seguintes condicionais não são implicações tautoló- gicas. Verifique se as proposições a seguir são implicações tautológicas. EXERcícIoS pRopoStoS 4 a) (p → q) ↔ ((p ∨ r) → q) b) (p → q) ↔ ((p ∨ q) ↔ q) c) ((p → q) → r) ↔ ((q → p) → r) d) (p → q) ↔ (p → (p ∧ q)) 2.1. 5. Use tabelas-verdade para concluir se as equivalências a seguir são tautológicas. Verifique se as proposições a seguir são equivalências tautológicas. usando a tabela-verdade. . das outras (premissas). por essa razão. nas quais uma delas (conclusão) deriva. também chamada de dedução. realizada em grande parte no estudo dos fundamentos da Matemática. ou é consequência. Essa noção está na raiz da ideia de raciocínio que vulgarmente pode ser entendido como um encadeamento de pensamentos ou juízos. o conceito de consequência lógica pode ser associado não só à noção de prova matemática como também à aplicação de regras de inferência. esse encadeamento obedece a certa ordem na qual um pensamento se segue a outro. Evidentemente. Como vimos anteriormente (veja a Introdução).capítulo 5 Consequência Lógica ou Dedução Formal Uma das mais importantes noções da Lógica é a de consequência lógica. está associada a determinadas atividades mentais. ou de fórmulas. inspiraram a renovação da lógica na metade do século XIX e começo do século XX. Neste caso. a palavra mais adequada é “argumento”. Desse modo. e estabelecem as provas de teoremas. Essa derivação. é de natureza puramente formal na Lógica Matemática. com as quais algumas transformações de caráter puramente estrutural são executadas sobre os axiomas ou teoremas CONSEQUêNCIA LÓGICA OU DEDUÇÃO FORMAL 31 . Cabe notar que os procedimentos dedutivos que ocorrem no interior das álgebras e geometrias. a palavra “raciocínio” é utilizada no contexto da Psicologia e. Um argumento é um conjunto de proposições. Para os nossos propósitos. 1962. (n – 1). neste livro. As premissas devem servir para provar ou. e as demais. formar alguma evidência para a conclusão de um argumento.. . na transformação simbólica de um argumento. 112) e de algoritmo (Curry.. ∧ P(n – 1) → C Resumidamente. 5. seguimos os seguintes passos: 32  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 . CONCLUSÃO.. A proposição consequência é chamada de conclusão. (n – 1). Pn – 1    n. 1977. e uma delas é consequência e depende das demais.1 Argumento Um argumento é um conjunto de n proposições. p. sendo i = 1. 3. 80).. ∴ C que é equivalente a: P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ . discutiremos inicialmente uma noção formalizada de argumento e. Portanto.. no mínimo.  P1 2. denominada forma de argumento: 1. . de premissas.. de modo que as proposições ou fórmulas resultantes desse processo de transformação sejam também consideradas provadas. . Uma outra relevante associação que pode ser feita com a noção de consequência lógica ou dedução formal é com as noções de computabilidade (Beth.  P2    . mas sempre será possível dispor um argumento da seguinte forma: PREMISSA 1. e a conclusão por C..já provados de uma determinada teoria formalizada. faremos o estudo da validade do argumento colocando-o na seguinte disposição.. uma proposta de regras de dedução para o cálculo proposicional. 2. em seguida. Denotando as premissas por Pi. PREMISSA 2. Observamos que a distinção entre premissas e conclusão independe de seus posicionamentos no argumento. p. PREMISSA (n – 1). C = Ir ao cinema. deve ser representada por uma letra maiúscula do alfabeto latino. devendo iniciar no número 1. seguindo também a numeração. e seguir a ordem crescente dos números naturais. precedida do símbolo “∴ ”. ∴ ¬J CONSEQUêNCIA LÓGICA OU DEDUÇÃO FORMAL 33 . Colocando-o na forma apresentada anteriormente. iria ao cinema. EXEMPLOS 1 a) Se tivesse dinheiro. ∴ C Se ainda. Nesse argumento. ƒa premissa P2 é: Se fosse ao cinema. C → J 3. ¬D 4. P1 2. ligada à sua respectiva palavra-chave. ƒe a conclusão C é: Não me encontrarei com Júlia. me encontraria com Júlia. iria ao cinema. tomarmos: D = Ter dinheiro. que compõe as premissas e a conclusão.ƒcada premissa é colocada em uma linha que recebe uma numeração. ƒcada proposição simples. devendo ser colocada na última linha. é a última proposição. Portanto. Se fosse ao cinema. Não tenho dinheiro. ƒa premissa P3 é: Não tenho dinheiro. temos: 1. P2 3. P3 4. não me encontrarei com Júlia. me encon- traria com Júlia. Teremos a forma de argumento: 1. temos: ƒa praemissa P1 é: Se tivesse dinheiro. J = Encontrar Júlia. D → C 2. ƒa conclusão. P: Alguém faz promessas. a) Se o avião não tivesse caído. Se alguém faz promessas. deve ser usada.b) Se alguém é político. deve ser usada. ∴ A → M Algumas palavras indicadoras de premissas e conclusão: Premissas Conclusão pois portanto desde que logo como por conseguinte porque dessa maneira assumindo que consequentemente visto que assim sendo admitindo que segue que dado que de modo que supondo que resulta que como consequência então 1. c) Se a regra existe. Portanto. o avião caiu. O avião não fez contato pelo rádio. b) Alberto será despedido ou transferido para outro departamento. Portanto. Se tomarmos: A: Alguém é político. Teremos a seguinte forma de argumento: 1. mente. será despedido. então faz promessas. INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 1 . Portanto. Logo. A regra existe. M: Alguém mente. Traduza para a linguagem simbólica os argumentos seguintes. Alberto não será transferido. teria feito contato por rádio. usan- EXERcícIoS pRopoStoS 34 5 do a primeira letra da palavra sublinhada. se alguém é político. A → P 2. P → M 3. mente. e somente se. Paulo mudará ou não sua opinião. i) Se todos os impostos devidos fossem pagos. a morte não é o fim. então devemos condená-lo. então vendem mais. Se a morte não é o fim. Se o cumprimento rigoroso da Lei faz diminuir o índice de criminalidade. certamente será acusado de traição. e) A empresa será privatizada se. l) Se Alice casar. Portanto. há outra vida. e somente se. a sua arrecadação diminuirá. j) Se Paulo aceitar que está errado e não mudar sua opinião. m) Se Deus existe. a arrecadação de impostos diminuirá. não ganhou dinheiro. haverá uma discussão na cerimônia. então o índice de criminalidade diminuirá. está comprando doces. haverá menos circulação de di- nheiro. k) Se as Leis são boas e o seu cumprimento é rigoroso. as vendas no comércio cairão. então estão sempre fresquinhos. o problema é a corrupção. Portanto. n) Se Pedro ganhou dinheiro. foi ao supermercado. não seria necessário aumentar os impostos dos trabalhadores. devemos condená-lo ou ele será acusado de traição. madrinha. A empresa não é deficitária e atinge seus objetivos sociais. Portanto. Se houver menos circulação de dinheiro. g) Alfredo é adolescente ou está na terceira idade. não será privatizada. Se Bete for dama de honra e Carolina madrinha. vendem mais se. h) Bárbara está fora de casa ou atendendo ao telefone. Se ela não se encontra em casa. Portanto. então haverá uma discussão na cerimônia de casamento. for deficitária ou não atingir os seus objetivos sociais. estiverem sempre fresquinhos. haveria superávit nas contas governamentais. f) Se vendem mais. há outra vida. Portanto. Mas se ela não está em casa. Havendo superávit nas contas. então o problema é a corrupção. Portanto. Se ele mudar sua opinião. ele está na terceira idade. Se estão sempre fresquinhos. Alfredo não é adolescente. ou ela foi ao supermercado ou está comprando doces. se Pedro não comprar um par de tênis. As Leis são boas. Portanto.d) Se os impostos aumentarem. comprará um par de tênis ou um relógio. Sei que Pedro não comprará um relógio. nem todos os impostos devidos foram pagos. Os impostos aumentaram. Portanto. se Deus existe. Logo. se Alice casar. Consequência Lógica ou Dedução Formal  35 . Portanto. Se as vendas do comércio caírem. Os impostos foram aumentados. Portanto. então Bete será dama de honra e Carolina. O valor-verdade de uma proposição depende do contexto. No entanto. P1 2. for uma implicação tautológica. escrevemos: P1. então ela gira em torno do Sol. ∴ C Se a conclusão C puder ser deduzida das premissas P1. enquanto a validade de um argumento depende da forma. um argumento pode ser válido ou inválido e não pode ser verdadeiro ou falso.2 Validade de um argumento Um argumento é válido se. ou seja.. Pn – 1 n. no contexto astronômico. A Terra é uma estrela. 3. 1. INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 1 . nem todas as afirmações são verdadeiras. e somente se. se o argumento é válido.. um argu- mento válido. Um argumento é inválido somente quando todas as suas premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. P(n – 1) ⊢ C O símbolo ⊢.. A verdade e a falsidade são propriedades das proposições. Dado um argumento qualquer: 1.. Portanto. em que o antecedente é a conjunção das premissas e o consequente. ou P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ .. .5. Pn–1. .. Se a Terra é uma estrela. 2. mas. P3. um argumento é válido quando for impossível todas as premissas serem verdadeiras e a conclusão ser falsa. afirma que a proposição à sua direita pode ser deduzida utilizando como premissas somente as proposições que estão à sua esquerda. Uma proposição pode ser verdadeira ou falsa e não pode ser válida ou inválida. a conclusão. enquanto a validade e a invalidade são propriedades dos argumentos. P2. ∧ P(n – 1) → C (n – 1). a Terra gira em torno do Sol. EXEMPLOS 2 36 a) O argumento a seguir é.. Em outras palavras. chamado de traço de asserção. Portanto. P2 . P2... do mesmo modo. é importante enfatizar que validade e valor-verdade são questões distintas. para a Lógica Matemática. . existe uma conexão entre o valor-verdade das proposições e a validade ou invalidade de um argumento. um argumento válido. então ele está morto. Consequência Lógica ou Dedução Formal  37 . um argumento válido. Mário é atleta. então é atleta. 1. Logo. Se a Lua é satélite da Terra. 3. 2.b) O argumento a seguir também é. quando provamos a validade dessa forma de argumento. os argumentos dos quatro exemplos anteriores são válidos. 2. Mário é jogador de vôlei profissional. 1. para a Lógica Matemática. d) Este argumento também é válido para a Lógica Matemática e suas afirmações podem ser verdadeiras para o nosso contexto. a Lua tem órbita em torno do Sol. no contexto astronômico. para a Lógica Matemática. então tem órbita em torno do Sol. Portanto. assim como. A B A→B (A → B) ∧ A ((A → B) ∧ A) → B V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V Logo. c) O argumento a seguir é. 2. no contexto biológico. João está morto. 3. Logo. João está vivo. mas. nem todas as afirmações são verdadeiras. A Lua é satélite natural da Terra. 3. mas podem ser colocados na mesma forma: 1. Os assuntos tratados nos quatro argumentos são distintos. possui afirmações verdadeiras.  A → B 2. Se Mário é jogador de vôlei profissional. Portanto. estamos provando a validade de todos os argumentos que possuem a mesma forma.  ∴B Sua tabela-verdade prova que é uma implicação tautológica.  A 3. Se João está vivo. 1. 5. Distribuição (DIS) (p ∧ (q ∨ r)) ↔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (p ∨ (q ∧ r)) ↔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (p → (q ∧ r)) ↔ ((p → q) ∧ (p → r)) (p → (q ∨ r)) ↔ ((p → q) ∨ (p → r)) 38  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 . 5. a seguir. dependendo do número de proposições simples que o compõe. Comutação (COM) (p ∧ q) ↔ (q ∧ p) (p ∨ q) ↔ (q ∨ p) 3. Isso torna sua utilização impraticável. Sejam p.2 Tautologias úteis Apresentamos. q. que utiliza implicações e equivalências tautológicas. No entanto. algumas implicações e equivalências tautológicas que serão utilizadas para provar a validade de um argumento.2.1 Prova direta de validade É necessário o uso da tabela-verdade para se provar a validade de um argumento. Indepotência (IND) (p ∧ p) ↔ p (p ∨ p) ↔ p 2. Por exemplo.2. Associação (ASS) ((p ∧ q) ∧ r) ↔ (p ∧ (q ∧ r)) ((p ∨ q) ∨ r) ↔ (p ∨ (q ∨ r)) 4. um argumento composto de 5 proposições simples terá sua tabela-verdade composta de 32 linhas. Equivalências tautológicas 1. r e s proposições simples quaisquer. a construção dessa tabela é um trabalho exaustivo. Uma outra maneira para se provar a validade de um argumento é a prova direta. Leis de De Morgan (MOR) ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) 6.) (p → q) ↔ (¬p ∨ q) 9. E.M.I. Negação da Implicação Material (N.N.) (p ↔ q) ↔ ((p → q) ∧ (q → p)) (p ↔ q) ↔ ((p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)) 8. Equivalência Material (E. Dupla Negação (D.) ¬(¬p) ↔ p 7. Implicação Material (I. Absurdo (ABD) (p → (q ∧ ¬q)) ↔ ¬p Implicações tautológicas 1.) ((p ∧ q) → r) ↔ (p → (q → r)) 12. Simplificação (SIM) p∧q p ou (p ∧ q) → p Consequência Lógica ou Dedução Formal  39 . Adição (ADI) p p∨q ou p → (p ∨ q) 2.) ¬(p → q) ↔ (p ∧ ¬q) 10.M. Importação / Exportação (I.M.5. Transposição (TRA) (p → q) ↔ (¬q → ¬p) 11. ) p→q p ou ((p → q) ∧ p) → q q 6.D.p∧q q ou (p ∧ q) → q 3. Dilema Destrutivo (D.) p∨q ¬p ou ((p ∨ q) ∧ ¬p) → q q 40  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 .) p→q ¬q ou ((p → q) ∧ ¬q) → ¬p ¬p 7.) p→q r→s ou ((p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)) → (q ∨ s) p∨r q∨s 8. Modus Ponens (M.D. Modus Tollens (M. Dilema Construtivo (D.) p → q ou ((p → q) ∧ (r → s) ∧ (¬q ∨ ¬s)) → (¬p ∨ ¬r) r→s ¬q ∨ ¬s ¬p ∨ ¬r 9.C. Absorção (ABS) pRq p → (p ∧ q) ou (p → q) → (p → (p ∧ q)) 5.T.P. Silogismo Disjuntivo (S. Conjunção (CON) p q ou (p ∧ q) → (p ∧ q) p∧q p q ou (p ∧ q) → (q ∧ p) q∧p 4. 2. à sua direita. a tautologia e o número das linhas por ela utilizada. Exportação (EXP) (p ∧ q) → r p → (q → r) ou ((p ∧ q) → r) → (p → (q → r)) 12. Silogismo Hipotético (S. a prova direta de validade do cálculo proposicional utiliza as seguintes regras: 1.) p→q q→r ou ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) p→r 11. Consequência Lógica ou Dedução Formal  41 .3 Regras de dedução do cálculo proposicional Dada uma forma de argumento. Cada nova premissa introduzida deve indicar. Importação (IMP) p → (q → r) (p ∧ q) → r ou (p → (q → r)) → ((p ∧ q) → r) Outras tautologias 1. Princípio da Não Contradição ¬(p ∧ ¬p) 3. Introduzir premissas mediante o uso: a) de equivalências tautológicas. Princípio da Identidade p↔p 2. Princípio do Terceiro Excluído p ∨ ¬p 5.H. c) do Teorema da Dedução.2.p∨q ¬q ou ((p ∨ q) ∧ ¬q) → p p 10. b) de implicações tautológicas. ou seja. conforme a necessidade. ou seja. então podemos deduzir uma nova premissa ¬(p ∧ q). Assim. Se tivermos a ¬q → ¬p. incluindo a ordem inversa. entre as novas premissas já deduzidas por equivalência ou por implicação tautológica as premissas que formam o antecedente do Modus Ponens: p → q e p. em conjunto ou separado. podemos deduzir outra premissa ¬q → ¬p utilizando a equivalência tautológica da Transposição. a premissa p ocorrendo antes da outra premissa. dada uma equivalência tautológica qualquer. então a prova de sua validade estará terminada. se tivéssemos ¬p ∨ ¬q em uma das premissas do argumento ou em uma das premissas deduzidas. a Lei de De Morgan: ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) se tivermos em uma das premissas do argumento ou em uma das novas premissas já deduzidas apenas um lado da equivalência como ¬(p ∧ q). podemos então deduzir a nova premissa q. em qualquer ordem. Usar a regra 1 para chegar à conclusão. obtida por dedução. nas implicações tautológicas a recíproca não 42  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 . Já pela regra 1b é possível introduzir uma nova premissa. no caso ¬p ∨ ¬q. A recíproca também é verdadeira. Pela regra 1a é possível introduzir uma nova premissa que seja equivalente a alguma já pertencente ao argumento ou já deduzida anteriormente. Se for necessário para o processo da prova da validade do argumento. por exemplo. se houver.3. diferentemente das equivalências tautológicas. podemos deduzir uma nova premissa usando o outro lado da equivalência. podemos deduzir pela mesma equivalência tautológica a nova premissa p → q. por exemplo. decorrente de uma ou mais premissas já expressas no argumento. Se aplicarmos as regras de dedução em um argumento e chegarmos à mesma conclusão deste. dada uma implicação tautológica qualquer. É necessário ressaltar que. Outro exemplo é a premissa p → q. de outras premissas já deduzidas anteriormente. Assim. o Modus Ponens: p→q p q Se tivermos entre as premissas do argumento e. em qualquer ordem. obtivemos a prova de validade desse argumento.  ∴ R Analisando as equivalências e as implicações tautológicas. Antes de aplicarmos as regras de dedução.D.D. R = Ficamos na rua conversando.é verdadeira. podemos então deduzir a nova premissa ¬p. Construa uma prova direta de validade para os argumentos e as formas de argumento a seguir. a partir de uma premissa q (consequente) não podemos deduzir as premissas p → q e p (antecedente). Simbolicamente. não ficaremos na rua conversando. que formam seu antecedente. devemos obter o argumento na sua forma simbólica: B = Voltamos ao baile. 1. no caso. Em outro exemplo. deduzimos a premissa R. se houver.  B ∨ R 2.  B ∨ R 2. (uso do S. Como a fórmula da nova premissa é idêntica à fórmula da conclusão do argumento.  ¬B 3. Portanto.  R 1. o Modus Tolens: p→q ¬q ¬p ! EXERCÍCIOS RESOLVIDOS RESOLUÇÃO   1+2=3 Se tivermos entre as premissas do argumento e. ficamos na rua conversando.2. S. nas premissas 1 e 2) b) Não é o caso de irmos ao baile ou ficarmos na rua conversando.  ¬B 3.  ∴ R 4. Aplicando essa implicação por meio da regra de dedução 1b.D. Decidimos não voltar ao baile. Logo. 1.) nas premissas das linhas 1 e 2. Consequência Lógica ou Dedução Formal  43 . o melhor a ser feito é aplicar a implicação tautológica do Silogismo Disjuntivo (S. a prova completa seria dada por: 1. a) Ou voltamos ao baile ou ficamos na rua conversando. entre as novas premissas já deduzidas por equivalência ou por implicação tautológica o antecedente do Modus Tolens: as premissas p → q e ¬q. P. Portanto. nas premissas 1 e 2) 5.P.  ¬R 3.3.  ¬B ∧ ¬R 1. MOR 4. idêntica à fórmula da conclusão. o melhor a ser feito é aplicar a equivalência Lei de De Morgan (MOR) na premissa 1. R = Ficarmos na rua conversando.  P → (Q → R) 2.  ¬(B ∨ R) 2.  ¬(B ∨ R) 2. (M. (M. (M.  ∴ ¬R 3.P. M.2.P.P. Analisando novamente a premissa original do argumento e a nova premissa obtida. o melhor a ser feito é aplicar a implicação tautológica da Simplificação (SIM) na nova premissa. por meio da regra 1b.  R 4.  ¬B ∧ ¬R 1.  ¬(B ∨ R) 2.  ∴ R RESOLUÇÃO   1+2=3 5. M.  P 3.  P 3.P.  Q → R 1.  ∴ ¬R Consultando as equivalências e as implicações tautológicas.  ∴ ¬R 3. obtendo assim uma nova premissa cuja fórmula é ¬R.  R 5. MOR A fórmula obtida na nova premissa ainda não é idêntica à conclusão do argumento. obtendo uma nova premissa contendo a sua equivalência: ¬B ∧ ¬R. 1.RESOLUÇÃO   1+2=3 Primeiro é preciso obter a forma simbólica do argumento: B = Irmos ao baile. SIM c) 1.  ∴ P ∧ R RESOLUÇÃO   1+2=3 44  4. SIM (SIM na premissa 4) INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 . nas premissas 5 e 3) d) 1. usamos MOR na regra de dedução 1a para introduzirmos a nova premissa. ficando assim este passo da prova de validade do argumento: 1.  P → (Q ∧ R) 2.  Q 4. Portanto.  Q ∧ R 1. a prova de validade do argumento foi obtida: 1. nas premissas 1 e 2) 6.2. portanto é necessário prosseguir com a prova. M. 10.  P ∧ Q 7.H. (D. CON (CON nas premissas 3 e 5) 1. 4.9. D.H. CON      6. 12.  ¬C ∨ ¬C 11.  C → ¬C 3.  R ∧ S 8. 8.  ∴ ¬A ∧ ¬C RESOLUÇÃO 1   1+2=3 RESOLUÇÃO 2   1+2=3 RESOLUÇÃO 3        6.  A → ¬C      5.      9.  ¬B 2.  ¬A ∧ ¬C 10.  ¬¬P 3.  ¬A 1. CON Essa é a forma mais fácil e mais rápida de efetuar a prova da validade desse argumento.7.  P ∧ Q → R ∧ S 2.  ¬C ∨ ¬C 6. 13. IND      9. S. S.      8. 8.6. faremos a referida prova do argumento abaixo de quatro formas distintas. na premissa 2) 3.  ¬C 12.  A → ¬A 4.      7.  S 2. (M.      7. I. M. TRA      8. M.  ¬A → ¬C 6.  B → C      3.P.      6.2. 11. I.M.5.  C → ¬C 3.  A → B      2. nas premissas 1 e 6) 7. SIM (uso da SIM na premissa 7) 2.M. M. S.M.N.2. IND 14.H.T.  P ∧ R 2. S.  A → C 1. a) Para mostrar que é possível provar a validade de alguns argumen- tos de mais de uma forma.Vamos às outras formas. Prove a validade das formas de argumento a seguir.6.  C → A      4.  ¬C 7. S.  ¬A ∨ ¬A 8.  Q 4.  ¬A 9.H.H.  P 6.N. I.  ∴ S RESOLUÇÃO   1+2=3 5.13.  ¬A ∧ ¬C 10.T. IND 11. 1+2=3 Consequência Lógica ou Dedução Formal  45 .P. CON (CON nas premissas 2 e 5) e) 1.      1.  A → C 1. 10.5.4. 11. 6. E.  N → ¬N 6.  P → ¬N 9.  N → O      2. S. MOR 9.H. CON 7. I. 5. E.  ¬¬P → ¬N 8.D.  N → (N ∧ O) 1.14.  A ↔ C      9.  ¬N 12. 3.  N → P 2.  (C → A) ∧ (A → C)      8.  N → P 2. M. ABS      6. 8. 10.  N → (N ∧ O) 1.T. TRA 10. 7. S.  ∴ ¬N RESOLUÇÃO 1   1+2=3 RESOLUÇÃO 2   1+2=3 46       5. IND INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 .M.M.N.11.  ¬N 3.2.      7.  ¬(N ∧ P)      4. E.  N → (N ∧ P) 6.  A → (A ∧ ¬C) 11. ABS 10.  ¬N ∨ ¬N 11.  ¬A ∧ ¬C 3.  ¬A ∨ (A ∧ ¬C) 12.  (A ∧ C) ∨ (¬A ∧ ¬C) 10.M.RESOLUÇÃO 4   1+2=3      7. S.D. 8. E. ABS      6. SIM 13.  ¬A ∨ ¬C 14.  (C → A) ∧ (A → C)      8. S. MOR 9.  (A ∧ C) ∨ (¬A ∧ ¬C) 10.  (N ∧ O) → P      3. 11. DIS 12. I. 13.  ¬(A ∧ C) 12.M. MOR      8.  N → ¬P 7. CON 7. D.6. 4. b) Agora faremos a prova de validade do argumento abaixo de três formas distintas.      9. 4. 12.  A ↔ C      9.M.  ¬A ∨ ¬C 11. ABS      8. S.M.      6. S.  (¬A ∨ A) ∧ (¬A ∨ ¬C) 13.  ¬A ∧ ¬C 1. I. I.  ¬N ∨ ¬P 3.      1.H. 10.      7. 5.  A → C      7.  ¬(A ∧ C) 15.      5.H.M.M.H. .. S. 5. MOR 16.2.. segundo a equivalência tautológica Importação/Exportação (I.E. An–1 e B. Esse teorema também pode ser enunciado do seguinte modo: Se Γ = {A1. A3.  ¬(N ∧ O) 14. B é introduzida como premissa e C é consequência de Γ e B. A2.  ¬¬P → ¬N 7.  ¬N ∨ ¬O 13. An–1} é o conjunto de premissas de um argumento. então B → C será consequência de Γ. Isso se deve ao fato de ainda não termos apresentado o Teorema da Dedução. D.  N → ¬P 6.  ¬(N ∧ O) ∨ ¬N 10. Esse é exatamente o teor do teorema apresentado a seguir.. An–1. .  (N ∧ O) → ¬N 2. MOR 7. Consequência Lógica ou Dedução Formal  47 . . Tal teorema foi estabelecido.9.  P → ¬N 8. A2. 12.15. então (B → C) pode ser obtido das premissas A1.). I..  (¬N ∨ ¬N) ∨ ¬O 12. Logo. observemos que os argumentos A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ An–1 → (B → C) (1) A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ An–1 ∧ B → C (2) são tautologicamente equivalentes. MOR 13.. TRA 9. 10. 11. .. então Γ ⊢ B → C.N. a validade de (1) estará provada.4 Teorema da Dedução (T.T. . Antes de o apresentarmos. ou ainda. IND 15.H. B ⊢ C.M.RESOLUÇÃO 3   1+2=3 5. Em nenhum dos exemplos anteriores a regra 1c foi aplicada.  (¬N ∨ ¬O) ∨ ¬N 11. independentemente. A3.. 8.) Dado um argumento A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ . M. ABS 6.D..  N → (N ∧ O) 1. se a proposição C pode ser obtida pela aplicação das regras de dedução direta 1a e 1b às premissas A1. ao provarmos a validade de (2).. ASS 14. ∧ An–1 → (B → C). A2.  ¬N 5. por Jacques Herbrand em 1930 e por Alfred Tarski em 1936. I.  ¬N ∨ ¬P 3.M. Se Γ.   C 2. a aplicação desse teorema tem como ideia básica: Se A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ An–1 ∧ B ⊢ C. CON 1. A ∧ D → C 2. D 4.  ¬B ∨ A      8.  A ∧ D 11.10. Prove a validade do seguinte argumento: 1. 3. A ∧ D → C 48  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 . 7. Passemos. então A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ An–1 ⊢ (B → C).P. B 5.  ¬¬B      9.  A 10.9. ¬(B ∧ ¬A) 3. D 4. D 4.D. A ∧ D → C 2.N. Aplicando o Teorema da Dedução.N. a validade do argumento inicial estará confirmada. A ∧ D → C 2. D. tal argumento é válido. M. ∴ B → C Segundo o Teorema da Dedução. então. ¬(B ∧ ¬A) 3. MOR 6. ¬(B ∧ ¬A) 3. A prova completa desse argumento é: 1. S. D. como obtivemos a conclusão C. podemos concluir que o argumento 1. 4. se provarmos a validade do seguinte argumento 1.  ¬B ∨ ¬¬A      7. ∴ B → C é válido. ∴ C então. à prova desse novo argumento:      6.! EXERCÍCIO RESOLVIDO RESOLUÇÃO   1+2=3 Na prova direta de validade de um argumento.8. 8.  ¬¬B 9. Dessa contradição obtida. 5. sendo utilizada em algumas demonstrações matemáticas.  B → C 4. ∴ ¬A 1. T.5 Prova indireta A prova indireta da validade de um argumento consiste da introdução de uma nova premissa que seja a negação da conclusão e. 5.D. D.D. 2. A prova indireta da invalidade é mais conhecida como redução ao absurdo.2.  A 10.N.  B 6.N. Encerramos a prova com uma nova premissa. 1. então podemos admitir φ.D. 5. ! EXERCÍCIOS RESOLVIDOS RESOLUÇÃO   1+2=3 Redução ao Absurdo (R. A → B 2. cuja fórmula seja igual ao consequente da conclusão.A.9. Prove a validade dos argumentos a seguir. 3. M. ¬B 3.  ¬B ∨ ¬¬A 7. CON 1.  D 4.11.  ¬B ∨ A 8.  ∴ B → C 5.  A ∧ D 11. ¬B Consequência Lógica ou Dedução Formal  49 . 7.10. na qual reconstruímos a conclusão original do argumento.  C 12. também obtida por meio do Teorema da Dedução. o antecedente da conclusão torna-se uma nova premissa. 1. Iniciamos a prova com uma nova premissa obtida por meio do Teorema da Dedução. Continuamos com a prova até chegarmos a uma nova premissa. D. A → B 2. a derivação de uma contradição.  ¬(B ∧ ¬A) 3. T. MOR 6. ou seja.2.P. conclui-se a validade do argumento.) Se a partir de uma hipótese ¬φ derivarmos uma contradição. com base nisso. S. A → B 2. A ∧ B 3. Justifique cada uma das premissas introduzidas pela demonstração direta de validade: a) 1.8. A → ¬B 7. por tabelas-verdade. 1. B 1.3. R. B → C 3. B 4. R. ¬(A ∧ B) 10. ¬¬A 3. SIM 9. D → E 4.M. (A → ¬B) ∧ (¬B → A) 1.A. 2.9. 7.N. ¬B ∧ B 2. ∴ ¬(A ∧ B) RESoluÇÃo  1+2=3 3. A ∨ B 2. ∴ A b) 1. A 4. A ↔ ¬B 2. B ∧ ¬B 6. (negação da conclusão) 5. M. SIM 7. D. I. ∴ ¬A 4. ¬A 7.P. R. ¬(¬(A ∧ B)) 2. D.5. 8. R. SIM 6. 4. B → C 3. ¬B 5. ∴ ¬C → ¬A 2. A ∨ D 5. 10. 6. se as seguintes formas simbólicas de argumento são válidas: EXERcícIoS pRopoStoS 6 a) 1. Determine. CON (uma contradição) 8. ∴ C ∨ E 50 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 1 .N. A → B 2. M. CON (contradição) 11.6.A.A.A. ¬B 3. 1. A 4. 5.P.   A ∧ B 2.  ∴ E 7.  A → C 8.  D 7.  C ∧ E e) 1.  B 3.  ∴ A ∧ D 4.  D 7.  C → D 4.  A → D 9.  ¬D 5.  (C ∧ E) ∧ D 8.  (A ∨ C) → D 3.  A 5. 6.  C ∧ (E ∧ D) 7.  (A ∨ C) → D 3.  A ∧ D c) 1.  A ∧ B 2.  ∴ A ∧ D 4.  ¬A 10.  C ∨ E b) 1.  (A ∨ B) → C ∧ (E ∧ D) 2.  A → C 7.  B → C 3.  A ∨ E 6.  A 5.  A ∨ B 6.  B ∨ A 5. W → X Consequência Lógica ou Dedução Formal  51 .  A → B 2.  E d) 1.  A ∧ D f) 1.  ∴ C ∧ E 4.  A ∨ C 6.  A ∨ C 6. Santos Ganha. Portanto. comprará um tênis ou um relógio. e) Se Luís comprar um carro.  (W ∧ X) → Y 4. então a solução é ácida. Se a compra de um carro por Luís implicar um acidente com João. deve tê-la aprovado. então Palmeiras e Guarani per- dem.  F → G 4. c) Se Botafogo ou Santos ganha.  ∴ D 4.  ∴ ¬A ∨ ¬E 6. W → Y 8.  E → F 3. então Carlos também comprará. O papel de tornassol ficou vermelho.  Z ∨ X 9.  (W → Y) → (Z ∨ X) 3. se Pedro não comprar um tênis. então ou Maria ou Glória tirarão a Carteira de Habilitação. Guarani perde.  (A ∨ B) ∧ (C ∨ D) 2.  D 3.  E → G 7. então João sofrerá um acidente automobilístico. 2. Ele notou a mudança. Construa uma prova direta de validade para os seguintes argumentos: a) Ou o chefe não notou a mudança.  A → B 8  ¬A ∨ ¬E h) 1.  ¬C 3. d) Se Pedro ganhou dinheiro. Portanto.  (A → B) ∧ (C → D) 2. ou aprovou-a. não ganhou dinheiro.  ¬Z 5. b) Se o papel de tornassol ficar vermelho. Se Carlos comprar um carro. Sei que Pedro não comprará um relógio. W → (W ∧ X) 7.  C ∨ D 5. Portanto.  ∴ X 6. a solução é ácida. Se ou Maria ou Glória tirarem a Carteira de Habilitação.  ¬B ∨ ¬G 5. Portanto.  X g)  1. 52  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 . então estudo.  ∴ P ↔ Q c) 1. Não fui aprovado em Lógica Matemática.  ∴ D → G b) 1.  (P → Q) → (Q → P) 3. Napoleão não foi um monarca legítimo.  B → A 3. o gerente não acionou o alarme.  ∴ A Consequência Lógica ou Dedução Formal  53 . for- mando um ácido. Se houver congestionamento.então Donizete será contratado como motorista. Se há controle.  (E → F) → G 3. Ou há decadência ou florescimento. j) Se Sônia ou Alfredo ganha. k) Se continuar chovendo. Portanto. então há controle do governo sobre as escolas. Construa uma prova direta de validade para as seguintes formas de argumentos: a) 1. não há decadência nas escolas.  C 2. a cidade ficará alagada. Se não jogo vôlei. se continuar chovendo. Portanto. h) O oxigênio do tubo ou combinou-se com o filamento. Portanto. 4. f) Se não existem subsídios do governo para as escolas. há subsídios para as escolas. sou aprovado em Lógica Matemática.  P → Q 2. Portanto. Logo. Logo. Logo. i) Se estudo. Se continuar chovendo e a cidade alagar. Os assaltantes não foram presos. o oxigênio do tubo combinou-se com o filamento. o cofre se trancaria e a polícia chegaria a tempo de prender os assaltantes. Donizete será contratado como motorista. então deve ser condenado. joguei vôlei.  (D ∧ E) → F 2. Sônia ga- nha. formando um ácido. O oxigênio do tubo não pode ter evaporado totalmente. Constata-se que não existe florescimento das escolas. deve ser condenado. Bete perde. haverá congestionamento. então o culpado é o prefeito. g) Se Napoleão usurpou o poder que legitimamente não lhe cabia. Ou Napoleão foi um monarca legítimo ou usurpou um poder que legitimamente não lhe cabia. Portanto.  C → B 4. ou evaporou completamente. l) Se o gerente do banco tivesse acionado o alarme. o culpado é o prefeito. Maria e Bete perdem.   ∴ C i) 1.  ∴ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) g) 1.  ∴ D h) 1.  ∴ A ∧ B f) 1.  ¬O 3.  ∴ A → ¬C l) 1.  ∴ C e) 1.  C → ¬B 3.  A → C 3.  M ∨ N → O ∧ P 2. W → X 54  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 .  S 3.  I 3.  B ↔ C 3.  B 4.  ∴ C j) 1.  ¬¬A 3.  A ↔ B 2.  ∴ ¬M n) 1.  A 2.  B 4.  A ∨ B 2.  A ∨ A 2.  A → B 2.  ∴ A ↔ C k) 1.  A → B ∧ C 2.  H ∨ I → J ∧ (K ∧ L) 2.  B → C 4.  A → (B → C) 2.  A 3.  A → B ∧ C 3.  A ∧ B → C ∧ D 2.  A 3.  F ↔ S ∨ D 2.  ∴ J ∧ K m) 1.d) 1.  ∴ F o) 1. Prove a validade das seguintes formas de argumentos usando o Teo- rema da Dedução: a) 1.  G → T ∨ R 2.  E → A Consequência Lógica ou Dedução Formal  55 .  ∴ ¬P → Q 5.  C ∧ B → M ∧ N 4.  C ∨ A 3.  C → ¬B 3.  C → H ∧ M 2.  ¬A ∧ B 2. 2.  A ∧ B 2.  ¬Q → P ∧ Q 2.  ¬Z 4.  ∴ M q) 1.  (E → F) → G 3.  ∴ A ∧ D r) 1.  ∴ C → D f) 1.  ∴ ¬P → Q b) 1.  ∴ A → ¬C e) 1.  ∴ ¬T → ¬G g) 1.  A → (B → C) 2.  B 3.  A → B 2.  ∴ D → G d) 1.  ∴ A → C c) 1.  ¬R 3.  H ∧ M → D 3.  (W → X) → (Z ∨ X) 3.  ¬Q → P ∧ Q 2.  ¬A ∨ B 2.  (D ∧ E) → F 2.  ¬B ∧ ¬C 3.  ∴ X p) 1.  A ∨ C → D 3.  ∴ ¬A → ¬C h) 1. 2.  ¬P 3.  Q → R 3.  ∴ ¬A → D i) 1. essa forma de realizar tal prova torna-se inviável.  ∴ ¬P ∨ Q c) 1. 56  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 .  ∴ ¬(P → Q) d) 1.  ∴ Q 5.  P 3.  E ↔ ¬D 3.  P → Q 2.  Q → R 3. Prove a validade das seguintes formas simbólicas de argumentos usando a Redução ao Absurdo: a) 1.  P → Q 2. a de invalidade pode ser realizada por meio da tabela-verdade.  P → Q 2.  ¬Q 3.  ∴ Q f) 1. dependendo do tamanho.  ∴ ¬P h) 1.  ∴ P → R 6.  P ∧ ¬Q 2.  ∴ P → R g) 1.  ¬P ∨ ¬Q 2.  P → Q 2. porém.  ∴ ¬Q → ¬P j) 1.  P → Q 2.  P ∨ Q 2.  ∴ ¬(P ∧ Q) b) 1.  P → Q 2.  ∴ ¬Q → ¬P e) 1.3 Prova de invalidade Da mesma forma que a prova de validade de um argumento.  P → Q 2.   C (F) → D (V) 3. Comecemos com aquela que determina de forma única o valor-verdade para uma proposição: ƒƒpara que a premissa 1 seja (V). estará provada a invalidade do argumento.  C (F) → D 3.  A ∨ D 4. Se conseguirmos obter tal situação. 1. devemos obter o valor-verdade (V) para cada uma das premissas. a proposição A deve ser (F): 1. de modo a tornar verdadeira cada uma das premissas. Prove que as formas simbólicas dos argumentos a seguir são inválidas: a) 1.3. o que termina a prova de invalidade desse argumento.  A (F) → B (F) 2. 5.1 Método de atribuição de valores ! EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Tal método consiste em atribuir valores-verdade às proposições da conclusão.  C → D 3. obtendo-se: 1. a partir daí.  ∴ B (F) ∨ C (F) Desse modo.  A (F) → B (F) 2.  A (F) ∨ D (V) 4. obtemos todas as premissas (V) com a conclusão (F). devemos atribuir valor (F) para B e C.  A (F) ∨ D 4. a proposição D deve ser (V): 1.  ∴ B (F) ∨ C (F) ƒƒpara que a premissa 3 seja (V).  ∴ B (F) ∨ C (F) A seguir. de forma que esta se torne falsa (F).  ∴ B ∨ C RESOLUÇÃO   1+2=3 Para que a conclusão do argumento seja falsa.  A → B 2.  C (F) → D 3. passamos a atribuir valores-verdade para as demais proposições.  A ∨ D 4.A única condição em que um argumento é inválido acontece quando todas as suas premissas são verdadeiras e sua conclusão é falsa (antecedente (V) e consequente (F)). Consequência Lógica ou Dedução Formal  57 .  A → B (F) 2.   ∴ ¬E (V) Assim. Como prova de invalidade basta uma linha com final (F). para que a premissa 3 seja (V). 4.  A → E (V) 4.A B C D 1. ou seja.∧2.  A ∨ B 2. então a proposição E deve ser (V). 1. outros argumentos podem apresentar mais linhas com valor final (F).  C ∨ D 58  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 .∧2. 1.∧3. a atribuição de valores pode não ser única. 2.  A ∨ B 2.  ∴ ¬E RESOLUÇÃO   1+2=3 Supondo a conclusão (F).∧3.  A (F ou V) ∨ B 2. no entanto. 3.→4. b) 1. 1.  C ∨ D 3.  A → E 4.  C ∨ D 3. V V V V V V V V V V V V V F V F V V F V V V F V V V V V V V V V F F V V V V V V V F V V F V V V F V V F V F F F V V F V V F F V F V V F F V V F F F F V V F F V F V V V V V V V V V F V V F V F F V F V F V F V V V V V V V F V F F V V F V F V F F V V V V V V V V F F V F V F F V F V F F F V V V V F V F F F F F V V F F F V Somente a penúltima linha apresenta valor-verdade (F). a proposição A pode ser (V) ou (F): 1.   ¬(¬C (F) ∧ D) 3.  ¬(~A ∧ ¬D) 4.  ¬(¬A ∧ ¬D (F)) 4. basta que as proposições C e D tenham valores-verdade diferentes: 1. que o argumento é inválido com várias linhas que apresentam valor-verdade (F).  ∴ ¬E (V) Para que a premissa 2 seja verdadeira.  A ∨ ¬B (F) 2.  A (F ou V) ∨ B (V ou F) 2.  A ∨ ¬B (F) 2. por meio da tabela-verdade. Desse modo.  A ∨ ¬B 2.  C ∨ D 3.  ∴ ¬E (V) RESOLUÇÃO   1+2=3 O leitor pode constatar.  ∴ ¬B (F) → C (F) Comecemos com a premissa 2.  ¬(¬C ∧ D) 3.  ∴ ¬E (V) Na premissa 1.  A (F ou V) → E (V) 4.  ¬(¬C (F) ∧ D (F)) 3.  A (F ou V) → E (V) 4.  ∴ ¬B (F) → C (F) Para que a premissa 3 tenha valor-verdade (V). o que termina a prova de invalidade desse argumento.   A (F ou V) → E (V) 4. todas as premissas são (V) e a conclusão é (F). se a proposição A for (F). a proposição B pode ser (F) ou (V): 1.  ¬(¬A ∧ ¬D) 4. a proposição B deve ser (V).  A (F ou V) ∨ B (V ou F) 2.  ∴ ¬B → C Supondo a conclusão (F). Consequência Lógica ou Dedução Formal  59 . devemos atribuir à proposição A o valor-verdade (V). 1.  C (F ou V) ∨ D (V ou F) 3. c) 1. 3. atribuindo a D o valor-verdade (F): 1. então as proposições B e C devem ser (F). e se A for (V). B ↔ (C ∨ A) 4. A ∨ D 4. ∴ ¬A → D c) 1. E → F 5. ¬A ∨ B 2. E → F 5. ∴ A → (D ∨ F) INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 1 . ¬(F ∨ ¬D) 4. ¬A 5. ¬A → B ∧ C 2. A → B 2. B → (D ∨ E) 3. D → C 4.1. ¬B ∧ ¬C 4. ¬A ∨ B 2. A ↔ (B ∨ C) 3. B → C 3. ∴ A h) 1. ¬(A → B) 2. D → (E ∨ F) 3. ∴ B ∨ C g) 1. ∴ B ∨ C d) 1. ¬(C ∧ ¬D) 3. ¬(F ∨ D) 4. ∴ C → A b) 1. Prove que as seguintes formas de argumentos são inválidas pelo EXERcícIoS pRopoStoS 60 7 método de atribuição de valores. ¬B → (F ∨ E) 4. A → (B ∨ C) 2. A → (B ∨ C) 2. ¬C ∨ D 3. (¬A ∧ ¬B) → (C ∧ D) 3. a) 1. (F → D) ∧ (¬E → D) 5. ¬B → B ∨ E 3. C ↔ (A ∨ B) 2. ∴ C e) 1. ∴ ¬A f) 1. i) 1.  A → B ∨ C 2.  B → C 3.  E ∨ D 4.  E → C 5.  ∴ ¬A 2. Mostre que os argumentos a seguir são inválidos dando valor-ver- dade às proposições traduzidas pela primeira letra das palavras sublinhadas. a) Se a luz está acesa, então há energia elétrica. Se há energia elétrica, então a geladeira está funcionando. Logo, se a geladeira está funcionando, então a luz está acesa. b) Se este objeto é de metal, então conduzirá eletricidade. Este objeto conduz eletricidade. Portanto, este objeto é de metal. c) Se Fernando é político, então é desonesto. Fernando não é político. Logo, é honesto. d) Se Pedro mantiver a palavra, as mercadorias serão entregues ou estarão em bom estado.  As mercadorias foram entregues, mas não em bom estado. Logo, Pedro não manteve a palavra. e) Se tivesse casado com mulher bonita, Antônio teria ciúmes. Se tivesse casado com mulher feia, estaria desgostoso. Com ciúmes ou desgostoso, Antonio seria infeliz. Mas Antonio é feliz. Logo, se casou com mulher bonita. f) Se meu cliente fosse culpado, a arma estaria no quarto. Ou a arma não estava no quarto ou João viu a arma. Se a arma estava no quarto, então João não a viu. A arma estava no quarto e o crime aconteceu no banheiro. Portanto, meu cliente não é culpado. g) Se você tem aquário em casa, então gosta de crianças. Se gosta de crianças, tem filhos. Se tem filhos, gosta do sexo oposto. Se gosta do sexo oposto, então é heterossexual. Portanto, se você não tem aquário em casa, não é heterossexual. h) Se fizer revisão em meu carro, vou passar férias no Nordeste. Se passar as férias no Nordeste, passarei pela casa de meus pais. Se passar pela casa de meus pais, eles me impedirão de ir para o Nordeste. Portanto, ou vou para o Nordeste ou para a casa de meus pais. i) Se Carlos comprar um carro, mandará instalar um aparelho para CDs. Se instalar um aparelho para CDs, comprará novos CDs. Se comprar novos CDs, ficará sem dinheiro para colocar gasolina no seu carro. Portanto, se Carlos tem dinheiro para a gasolina, não comprará um carro. Consequência Lógica ou Dedução Formal  61 5.4 Árvore de refutação É um método indireto usado para verificar a validade ou a invalidade de um argumento. Para poder usá-lo, devem ser definidas algumas regras, provenientes das implicações tautológicas usadas no método direto. Dadas A e B duas proposições quaisquer, as regras do tableau semântico são: 1. Regra da Conjunção – RCJ ∧ A B | A | B 2. Regra da Disjunção – RDJ ∨ A B / \ A B 3. Regra da Condicional – RCD → A B / \ ¬A B 4. Regra da Bicondicional – RBD ↔ A B / \ A ¬A | | B ¬B 5. Regra da Dupla Negação – RDN ¬¬A | A 62  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 6. Regra da Negação do Condicional – RNCD ¬ (A→B) | A | ¬B 7. Regra da Negação da Conjunção – RNCJ ¬ (A ∧ B) / \ ¬A ¬B 8. Regra da Negação da Disjunção – RNDJ ¬ (A ∨ B) | ¬A | ¬B 9. Regra da Negação da Bicondicional – RNBC ¬ (A ↔ B) / \ A ¬A | | ¬B B 5.5 Método da árvore de refutação Dada uma forma de argumento 1.  P1 2.  P2 ... n. Pn n + 1. ∴ C acrescenta-se como nova premissa a negação da conclusão, obtendo-se: Consequência Lógica ou Dedução Formal  63 só reste uma proposição simples ou a negação de uma proposição simples.  E → C 64  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 . como na dedução direta. n. P . RDN. RNCD e RNDJ.j) logo abaixo da premissa obtida. deve ser justificada. sendo i e j as linhas onde ocorrem as premissas contraditórias. 5. será um ramo aberto. 1. RCD. sua validade ou invalidade. Para justificar o fechamento de um ramo coloca-se F(i. desenvolvem-se os ramos da árvore.  A ∧ C → ¬D 3. Cada premissa pode ser usada uma única vez e a regra deve ser aplicada no seu conectivo principal. aplicar as que ramificam: RDJ. Cada linha gerada.  A ∧ B 2. No desenvolvimento dos ramos é mais eficiente aplicar inicialmente as regras que não resultem em ramificações: RCJ. Ao terminar a ramificação da árvore de refutação. para cada uma delas. se todos os ramos forem fechados. a) 1. conclua. A partir daí. Usando a árvore de refutação nas formas de argumentos apresentadas a seguir. em cada um deles. para. Observandose que todas as premissas devem ser utilizadas.1. P1 2. utilizando-se as nove regras apresentadas. o argumento será válido. RBD... até que. em seguida. RNCJ e RNBC. Caso contrário. \ ¬C que é a raiz da árvore de refutação. indicando-se a linha da premissa e a regra utilizada. Pn n + 1. o argumento será inválido.6 Ramo fechado – ramo aberto ! EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Um ramo de uma árvore de refutação é fechado quando contém uma proposição e sua negação. Caso contrário.   ¬¬D   6. B → E 5. A → B ∨ C 2.  B → E 5.10)    11. ¬(A → D)    4. 4. A ∧ C → ¬D 3.11) ¬C 11.RCD ¬E    C 3.      A 1. b) 1.RNCD    5.RDN E 4.        A 3.RCD  B ∨ C Consequência Lógica ou Dedução Formal  65 .  F(9.      ¬D 3.RCJ D 5.9)    10.RNCD      6.      B     1.RCD F(8. A → B ∨ C 2.12) F(10.12) Como todos os ramos são fechados. B ∧ C → D 3. 9. E → C 4.RCD 8.  ∴ ¬D RESOLUÇÃO   1+2=3 1. ¬A ¬D 2. a forma de argumento é válida. A ∧ B 2.RNCJ F(6.RCJ    7. ¬B  F(7. ¬A 1. B ∧ C → D 3. ∴ A → D RESOLUÇÃO   1+2=3 1. ¬ (A ∧ C) 12. 6)     7.RNCD      6.RDJ Como existem ramos abertos. RNCD ¬B 3. A → ¬B 3. ¬(A → B)    4. A 3. ¬(B ∧ C) C   D D ¬(B ∧ C)      9.    A 3.RDN 1. F(4. A 3. podemos concluir que a forma de argumento é inválida. ∴ A → B RESOLUÇÃO   1+2=3 1.       5.9) ¬C F(7. ¬¬B 4.RCD 8. ∴ ¬B RESOLUÇÃO   1+2=3 1.9) 6. ¬A  ¬B 2. ¬A ∨ B → C 2.RDJ 2.RCD F(4. A → ¬B 3.¬B F(5. ¬(¬A ∨ B) C 1. c) 1.6) 7. A ∨ B 2.RCD   Aberto   66  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 1 .  B    A B 3. d) 1.    B             8. A ∨ B 2. ¬A ∨ B → C 2.8)   ¬C ¬B   F(7. a forma de argumento é inválida.RNCJ Aberto Como existem ramos abertos.      ¬G       6. e) 1. A 3. ∴ C RESOLUÇÃO   1+2=3 1.       D      5. a forma de argumento é válida.RNCJ Consequência Lógica ou Dedução Formal  67 . B 4. ¬(D → G)      4. ¬(D ∧ E) F      7. D ∧ E → F 2.RCD 6.4) 5. A → (B → C) 2.RCD Como todos os ramos são fechados. (D → F) → G 3. B 4. ¬A B → C 1.7)   3.RNCD 3. f) 1. ¬¬A       ¬B Aberto Como há ramos abertos.8. (D → F) → G 3. ∴ D → G RESOLUÇÃO   1+2=3 1. A 3. D ∧ E → F 2.    ¬C     5.5)   6. A → (B → C) 2.RNCD 1.     ¬B    C    F(6. a forma de argumento é inválida.RCD F(2.   ¬D      ¬E F(4.3)   F(6. ∴ M b) 1. ∴ A ∨ ¬C → B f) 1. ¬B 3. B → L 2. C 3.RCD F(5. a forma de argumento é inválida. B → L 2. ¬E 3. ∴ M d) 1. ¬L 3. P → B 3. C → M 2. D 8. P ∧ V 3. P → (B ∧ ¬C → A) 2. Z ∨ G 3. F ∧ S → I 2. E ∧ I → ¬A 2. ¬(D → F) G 2. M → (V ↔ P) 2. ¬F Aberto 8. G 5. F ∧ Z 6. ∴ S c) 1.8) 9.RNCD 10. ∴ ¬L g) 1.8. a) 1. ¬B → C 3.RNCD Como existem ramos abertos. 1. Utilize o tableau semântico para verificar a validade das seguintes EXERcícIoS pRopoStoS 68 8 formas de argumento. ∴ ¬B h) 1. ∴ P → A ∨ C e) 1. A → B 2. I 4. ∴ A → ¬I INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 1 . .......................... 71 7 Validade de Argumentos com Quantificadores ....BREVE SUMÁRIO 6 Funções Proposicionais e Quantificadores ................. 81 Soluções para os Exercícios Propostos ... 87 2 PARTE Cálculo de Predicados ............ . a nossa atenção se volta para a estrutura de uma proposição simples.paRtE 2 No Cálculo Proposicional. .. vimos como podíamos compor as várias proposições simples. Não nos interessava analisar a proposição simples. P. . mediante as regras de formação e os cinco conectivos. a mais simples proposição é a que envolve um sujeito e um predicado: o primeiro designa ou nomeia um objeto ou indivíduo e o segundo indica a sua propriedade. Nesse caso. Q. No Cálculo de Predicados. ou cálculo funcional. termo: Antônio predicado: não foi um bom profissional FUNÇõES PROPOSICIONAIS E QUANTIFICADORES 71 . Amanda é a responsável pelo destaque. termo: Amanda predicado: é a responsável pelo destaque 2. Antônio não foi um bom profissional. 1.1 Termo e predicado Dada uma proposição simples qualquer.capítulo 6 Funções Proposicionais e Quantificadores 6. pode-se destacar dela dois entes: o termo e o predicado. O termo pode ser entendido como o sujeito da sentença declarativa e o predicado. EXEMPLOS 1 Indique o termo e o predicado de cada uma das proposições a seguir. o que se declara a respeito do termo. ou seja. em Ω. b) x2 –5x + 6 = 0. são constantes. Eles foram ao baile. ¬Pa 3. uma tradução para a linguagem simbólica das proposições seria: 1. são funções proposicionais as seguintes sentenças: a) x – 7 > 3. Nos exemplos anteriores. enquanto nas proposições. os termos são variáveis. EXEMPLOS 2 1. 2. com um dos valo- 72 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 2 . que não pode ser qualificada como verdadeira ou falsa. visto ser impossível qualificar as duas afirmações: prestaram concurso e foram contratados. Uma função proposicional em Ω é um predicado P associado a um termo x. esta última colocada à direita da primeira. é uma função proposicional. termo: eles predicado: foram ao baile Dada uma proposição. Observe que a função proposicional em a é verdadeira para valores maiores que 10.2 Função proposicional Seja Ω um conjunto de termos. Já a função proposicional b é (F) para valores diferentes de 2 e de 3 e (V) para os valores x1 = 2 e x2 = 3. Be 6. em Px. o predicado será indicado com uma letra maiúscula do alfabeto latino e o termo. existem números inteiros para os quais tal função proposicional é verdadeira (V) e é falsa (F) para todo o conjunto Z. No conjunto dos números inteiros Z. Tal qualificação só será possível quando. com letra minúscula. A sentença: Prestaram concurso e foram contratados. Nas funções proposicionais.3. o x representar pelo menos um ou todos os elementos de Ω. Ra 2. res-verdade (V) ou (F). Mas, se acrescentarmos a proposição: todos ou alguns, teremos: a) Todos que prestaram concurso foram contratados; b) Alguns dos que prestaram concurso foram contratados. Nesse caso, dependendo do contexto, podemos atribuir um dos valores-verdade às proposições a e b. 6.3 Quantificadores Quantificadores são operadores lógicos que restringem as funções proposicionais, de forma que elas se refiram a todo o conjunto Ω ou a uma parte dele.Tendo definido Ω como um conjunto de termos, o domínio de uma função proposicional, acrescentado a ela os quantificadores, obtém-se uma proposição, ou seja, uma sentença declarativa que pode ser considerada (V) ou (F). Há dois quantificadores: 1. ∀: quantificador universal (para todo, qualquer que seja etc.); 2. ∃: quantificador existencial (existe, há, alguns etc.). Exemplos: Quantificando-se os exemplos anteriores, temos: a) ∀x (x ∈ Z, x – 7 > 3), tem valor lógico (F) ou ∃x (x ∈ Z, x – 7 > 3), tem valor lógico (V). b) ∀x (x ∈ Z, x2 –5x + 6 = 0), tem valor lógico (F) ou ∃x (x ∈ Z, x2 –5x + 6 = 0), tem valor lógico (V). c) ∀x (Se x prestou concurso, então foi contratado) ou ∃x (x prestou concurso e foi contratado). 6.4 Formalização do cálculo de predicados Nas funções proposicionais, os termos de um conjunto Ω serão indicados com as últimas letras minúsculas do alfabeto latino: x, y e z, e os predicados desses termos serão indicados por letras maiúsculas, estas colocadas à esquerda dos termos. O quantificador é colocado à esquerda do termo, e ambos, à esquerda da função proposicional, que deve estar entre parênteses. Funções Proposicionais e Quantificadores  73 Em funções proposicionais quantificadas universalmente, por exemplo: Todo A tem a propriedade B. usa-se a letra x como representante de qualquer termo de Ω, expressando: Qualquer que seja x, se x tem a propriedade A, então x tem a propriedade B. Tal expressão apresenta uma condicional, de forma que, simbolicamente, temos: ∀x (Ax → Bx) Toda função proposicional quantificada existencialmente pode ser reescrita como: ! EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Existe pelo menos um x que tem a propriedade A e a propriedade B. que simbolicamente são traduzidas usando-se a conjunção: ∃x (Ax ∧ Bx) 1. A tradução simbólica do argumento: Todos os homens são mortais. Sócrates é homem. Portanto, Sócrates é mortal. RESOLUÇÃO   1+2=3 1. ∀x (Hx → Mx) 2. Hs 3. ∴ Ms 2. Simbolize as seguintes funções proposicionais quantificadas: a) Alguns empresários são patriotas. b) Todas as mulheres desta sala são universitárias. c) Existem pessoas que não gostam de viver. RESOLUÇÃO   1+2=3 74  a) ∃x (Ex ∧ Px) onde: Ex: x é empresário e Px: x é patriota. b) ∀x (Mx → Ux) onde: Mx: x é mulher e Ux: x é universitária. INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 2 c) ∃x (Px ∧ ¬Vx) onde: Px: x é pessoa e Vx: x gosta de viver. 6.5 Regras de formação do cálculo de predicados Uma fórmula bem formada wff para o cálculo de predicados deve obedecer às seguintes regras de formação: 1. Um predicado P seguido de um termo x é uma wff simbolizada por Px; 2. Se Px é uma wff, então ¬Px é uma wff; 3. Se Px e Qx são wffs, então serão também wffs as fórmulas: ƒPx ∧ Qx ƒPx ∨ Qx ƒPx → Qx ƒPx ↔ Qx 4. EXEMPLOS 3 Se Px é uma wff, então também serão fórmulas bem formadas: ƒ∀x (Px) ƒ∃x (Px) 1. São wffs do cálculo de predicados: a) Px ∧ ¬Vx b) ∃x (Px ∨ Vx) c) ∀x (Px → Vx) d) ∃x (Px ∧ Vx) e) ¬∀x (Px ↔ Vx) f) ¬∃x (Px ∧ Vx) g) C ∧ ∀x (Ax → Bx) h) ∃x (Ax ∧ Bx) → C 2. Não são wffs do cálculo de predicados: a) P(X) (o termo está em letra maiúscula) b) ∀x (não possui função proposicional) c) ∃∀x (Px) (há dois quantificadores para o único termo) d) ∀x Ax → Bx (faltaram os parênteses na função proposicional) e) (Ax ∧ Bx) ∃x (o quantificador está à direita da função) f) ∀x ∧ (Px) (há um conectivo entre o quantificador e a função) FUNÇõES PROPOSICIONAIS E QUANTIFICADORES 75 que essas. v) Os convocados se apresentaram. ou seja. i) Todos que são alegres ou tolerantes são felizes se. Equivalência entre os quantificadores Para se provar a validade de um argumento que apresenta funções proposicionais quantificadas é conveniente. devemos substituí-lo de forma equivalente. f) Não existem políticos não corruptos. Traduza para a linguagem simbólica as seguintes funções proposi- EXERcícIoS pRopoStoS 9 6. t) Todo número primo é diferente de 1. apresentamos as equivalências entre funções proposicionais quantificadas. e somente se. d) Todos os que estudaram foram aprovados. utilizando como predicado a letra maiúscula da palavra que representa o predicado. r) Existem jogadores habilidosos. Para tanto. o) Todo político é corrupto. u) Está um dia de sol e todos os escoteiros partiram. n) Alguns engenheiros são incompetentes ou têm má vontade. No caso de existir quantificador negado. é mais fácil. 76 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 2 . h) Quando os metais são aquecidos. b) Existem cães que são albinos. j) Alguns homens inteligentes são trabalhadores. junto com seus quantificadores. se apresentem na forma não negativa. se dilatam. k) Todo homem inteligente é trabalhador. p) Não há sobreviventes do desastre.6 cionais quantificadas. a) Todos os cães são mamíferos. então a empresa terá lucro. não forem egoístas.1. l) Nem tudo que reluz é ouro. s) Os médicos se opõem ao tabagismo. q) Há sobreviventes do desastre. m) Os sócios são industriais ou comerciantes. g) Os jogadores de vôlei são bem treinados. c) Nem todos os cães são treinados. mas alguns não foram selecionados. x) Se existem funcionários eficientes. e) Não existem aves sem penas. ¬∀x (Px → Vx) ∃x ¬(Px → Vx) ∃x ¬(¬Px ∨ Vx) ∃x (¬¬Px ∧ ¬Vx) Tradução EQV2 I. ¬∀x (αx) é equivalente a ∃x ¬(αx) De fato.M.Se usarmos α para representar um predicado associado aos termos de um conjunto Ω. b) não é todo x que está associado ao predicado α. 2. temos: ∀x (¬Bx ∨ ¬Rx) Usando I. é equivalente a: existe pelo menos um x que não está associado a α. MOR FUNÇõES PROPOSICIONAIS E QUANTIFICADORES 77 . ¬∃x (αx) é equivalente a ∀x ¬(αx) EQV2. EXEMPLOS 4 1. temos: ∀x (Bx → ¬Rx) É equivalente a: Todas as baleias não são répteis. as equivalências já estudadas no cálculo proposicional podem ser usadas nas funções proposicionais. temos: ∀x ¬(Bx ∧ Rx) Usando MOR. Traduzindo. as seguintes equivalências se verificam: EQV1. é equivalente a: todo termo x não está associado ao predicado α. temos: ¬∃x (Bx ∧ Rx) Usando EQV1. Não existe uma baleia que seja um réptil.M. a) não existe um termo x associado ao predicado α. Além dessas equivalências entre quantificadores. Nem todo pássaro voa.. 3. Substitua a quantificação negativa pela correspondente quantifica- EXERcícIoS pRopoStoS 10 ção sem a negação. determine o valor lógico de cada uma das funções proposicionais quantificadas a seguir. 2. determine o valor lógico de cada uma das proposições a seguir. a) ∀x (x2 + 1 > 0) b) ∃x (x2 + 1 = 0) c) ∃x (3x2 + 2x –1 = 0) d) ∀x ((x + 2)2 = x2 + 4x + 4) 3. Nem todos os animais não são domésticos.N Alguns animais são domésticos. 5} e dado x ∈ A. 4. Linguagem natural 3. Sendo A = {1. Linguagem natural 4.N Todos sobreviveram. Não existem não sobreviventes. ¬∃x ¬(Sx) Tradução ∀x ¬¬(Sx) EQV1 ∀x (Sx) D. a) ¬∀x (Ax → Bx) b) ¬∀x (Cx → ¬Dx) c) ¬∃x ¬(Ox ∨ ¬Px) d) ¬∃x (Px ∧ ¬Ax) e) ¬∃x (Ax ∧ (Bx → ¬Cx)) f) ¬∀x (¬Ax → (Bx ∧ Cx)) 2. ¬∀x ¬(Ax ∧ Dx) Tradução ∃x ¬¬(Ax ∧ Dx) EQV2 ∃x (Ax ∧ Dx) D.N. Existem pássaros que não voam. a) ∃x (x + 3 = 10) b) ∀x (x + 3 < 10) c) ∃x (x + 3 > 5) d) ∀x (x + 3 ≤ 7) e) ∃x (x2 + 2x = 15) 78 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 2 . Dado x um número real. Linguagem natural 1.∃x (Px ∧ ¬Vx) D. a) Nem todos os cães são treinados. f) Não há sobreviventes do desastre. c) Não existem aves sem penas. e) Nem tudo que reluz é ouro. d) Não existem políticos não corruptos.4. substituindo as respectivas quan- tificações negativas por quantificações sem a negação. Encontre a sentença equivalente. b) Nem todos os recém-nascidos são bonitos. Funções Proposicionais e Quantificadores  79 . . Para tanto. No entanto. é possível transformar tais argumentos com quantificadores. As duas generalizações revertem o que a exemplificação realiza. VALIDADE DE ARGUMENTOS COM QUANTIFICADORES 81 . usa-se a generalização para obter a conclusão do argumento quantificado.capítulo 7 Validade de Argumentos com Quantificadores Neste capítulo. seriam necessárias novas equivalências e implicações tautológicas. semelhantes às usadas anteriormente em argumentos sem quantificadores. transformando proposições em funções proposicionais. em argumentos sem quantificadores. 7. como os que já foram estudados no Cálculo Proposicional.1 Exemplificação e generalização A exemplificação nada mais é do que a aplicação de duas tautologias que efetuam a passagem de funções proposicionais para proposições. estaremos interessados em provar a validade de argumentos que envolvem funções proposicionais quantificadas. a prova direta de validade para esses argumentos exemplificados pode ser utilizada. por meio da exemplificação. Terminada a prova de validade do argumento exemplificado. Dessa forma. usando-se as mesmas tautologias já estudadas. um predicado qualquer.) Se existe um termo associado ao predicado α. Isso é traduzido pela Generalização Existencial.3 Generalização Existencial (G. pode ser tomado aleatoriamente.4 Generalização Universal (G.E. estipulamos que tal termo seja c. Isso é o que traduz a Generalização Universal. c. αc ∀x (αx) 82  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 2 . escolhemos um deles. αc ∃x (αx) 7. ∀x (αx) αc 7.1. temos: 7.Dado Ω. e α. então existe um termo associado a α.1.) Se o termo c tomado na exemplificação pode ser qualquer um.) Se todos os termos estão associados ao predicado α. Isso é traduzido pela Exemplificação Existencial. ∃x (αx) αc 7.1 Exemplificação Existencial (E.E.2 Exemplificação Universal (E. Isso é indicado pela Exemplificação Universal.) Se concluirmos que um termo c constante está associado ao predicado α.1. um conjunto de termos.U. ou seja. um termo constante. então qualquer termo está associado ao predicado α.1.U. H. ∀x (Jx → Cx) 6. E. Alguns gostam de mar “bravo” e não gostam de garotas bonitas.T.5. Jc → Ac 1. ¬Mc 2. Aplicando a implicação tautológica S. 3. S.E. alguns surfistas não gostam de garotas bonitas. pela Generalização Existencial. Jc → Cc 4.T. ∃x (¬Mx) 3. Ac → Cc 2. ∴ ∃x (¬Dx) (equivalente a ¬∀x (Dx)) Aplicando a exemplificação. existe um elemento que possui tal propriedade.U. vamos tomá-lo por c) 5. temos: 4. E. O primeiro passo é traduzir o argumento para sua forma simbólica: 1. temos: 7. Todos os atletas sofrem contusões. O último passo é aplicar a generalização universal. Todos que estavam doentes foram medicados. M. ∀x (Ax → Cx) (Cx: x sofre contusão) 3. (se existe um. assim.U. temos: 4. tomado arbitrariamente. então vale para um c qualquer: 4.U.H. nem todos estavam doentes. vale para um termo x qualquer: 7. ¬Dc Como vale para um c. Prove a validade dos seguintes argumentos: a) Todos os jogadores são atletas. RESOLUÇÃO   1+2=3 Traduzindo para a forma de argumento. Portanto. todos os jogadores sofrem contusões.. temos: 1. 6.. Alguns não foram medicados. ∀x (Dx → Mx) (Dx: x está doente e Mx: x foi medicado) 2.U. 2.5. Validade de Argumentos com Quantificadores  83 . E. G. Portanto.! EXERCÍCIOS RESOLVIDOS RESOLUÇÃO   1+2=3 1. ∃x (¬Dx) 6. E. 5. devemos aplicar as regras de exemplificação: se vale para todos. ∴ ∀x (Jx → Cx) Em seguida. Dc → Mc 1. se vale para um c. G. Todos que gostam de mar “bravo” são surfistas. temos: 6. Usando a implicação tautológica M. Portanto.E. ∀x (Jx → Ax) (Jx: x é jogador e Ax: x é atleta) 2. Mc → Sc 1. nenhum incompetente é cuidadoso. ¬Gc 4.P. 8.ADI 6. Sc ∧ ¬Gc 7. a E.U. M. Logo. Consequentemente. E. ∴ Pv 4. Caso a E. SIM 9. 4. b) Qualquer material apropriado resiste àquela pressão.U. Alguns idealistas são felizes.5. INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA  PARTE 2 .U.U. fosse feita antes da E. pois o quantificador universal refere-se a todos os elementos do conjunto. Portanto.8. G.E. 5. O vinagre é um ácido. o vinagre é um produto químico. ∀x (Mx → Sx) (Mx: x gosta de mar bravo e Sx: s é surfista) 2. nenhum material apropriado é metal.M. E.RESoluÇÃo  1+2=3 A tradução e a demonstração são descritas por: 1. SIM 7. o elemento escolhido c poderia não coincidir com aquele associado em questão. Não existe um metal que resista àquela pressão.P. ∴ ∃x (Sx ∧ ¬Gx) 4. Essa ordem sempre deve ser obedecida. Pv 4. Av ∨ Bv → Pv 1. RESoluÇÃo  1+2=3 O Logo. Sc 5. Mc ∧ ¬Gc 2.E. Av ∨ Bv 2. Mc 4. 6. Ácidos ou bases são produtos químicos. 5.6.E. ∃x (Mx ∧ ¬Gx) (Gx: x gosta de garotas bonitas) 3. ∀x (Ax ∨ Bx → Px) 2.E.CON 10. alguns idealistas não são jogadores. EXERcícIoS pRopoStoS 84 11 a) Todos os incompetentes fracassam. c) Nenhum jogador é feliz.E.. Na resolução dos exercícios resolvidos 2 e 3. Av 3. 1. Todos os cuidadosos não fra- cassam. foi executada antes da E. ∃x (Sx ∧ ¬Gx) 9. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Construa uma prova formal de validade para os argumentos e formas de argumento a seguir.   ∀x (Fx → Gx) 2.d) Todo jogador de tênis pode ser considerado um atleta. Se alguém desobedece à Lei. Logo. nenhum político é feliz. f) Nenhum dos manifestantes foi ferido.  ∴ ∀x (Px → ¬Fx) q) 1. Alguns fumantes jogam tênis. deve ser punido. l) Nenhum estudante é preguiçoso. Carolina não é artista. h) Todos os corruptos mentem.  ∴ ∃x (Gx) r) 1. Assim. n) Todo político é corrupto. Portanto. os docentes nunca são políticos. Todo contrabandista desobedece à Lei.  ∃x (Fx ∧ Hx) 3. Carolina é apegada às tradições. Alguns gostam de mar “bravo” e garotas. e) Nenhum corredor de maratona é apegado aos livros. alguns fumantes são atletas. g) Nenhum artista é apegado às tradições. Mário é jogador.  ∀x (Px → ¬Dx) 2. Portanto. Assim. João não é estudante. i) Todos os que entraram na Justiça receberam. Alguns poetas são advogados. Portanto.  ∀x (Fx → Gx) 2. k) Todos os jogadores trouxeram contrabando. Todos os artistas são preguiçosos. Joaquim não recebeu. o) Todos os advogados são ricos.  ∴ ¬Ra Validade de Argumentos com Quantificadores  85 . Mário será punido. Alguns manifestantes não enfrentaram a repressão. p) 1. Portanto. existem poetas ricos. alguns políticos não são corruptos. Logo. Alguns políticos não mentem. Nenhum corrupto é feliz. existem surfistas que gostam de garotas.  ¬Sa 3. nenhum dos que enfrentaram a repressão ficou ferido. j) Nenhum docente é rico. m) Só os surfistas gostam de mar “bravo”.  ∃x (Fx) 3. Portanto. João é artista. Portanto. Não há político que não seja rico.  ∀x (Rx → Sx) 2.  ∀x (Fx → Dx) 3.  ∴ ∃x (Gx ∧ Hx) s) 1. Portanto. Joaquim não entrou na Justiça. Carlos é apegado aos livros. Carlos não é corredor de maratona. Portanto.   ∀x (Px → Rx) 2.t) 1.  ∴ ∃x (Sx ∧ Rx) 86  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA    PARTE 2 .  ∀x (Sx → Qx ∧ Px) 2.  ∴ Pa u) 1.  Sa 3.  ∃x (Sx ∧ Px) 3. A → ¬M A: Alfredo escreve para Maria. J: João for ao encontro dela (Maria). b) c) d) e) f) M: Maria irá para outra cidade. M: Maria irá para outra cidade. A↔M A: Alfredo escrever para Maria. J: João for ao encontro de Maria. M: Maria irá para outra cidade. A ∨ J → ¬M SOLUÇõES PARA OS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 87 . A ∧ J → ¬M A: Alfredo for ao encontro de Maria. M: Maria irá para outra cidade. M: Maria irá para outra cidade. a) A: Alfredo escreve para Maria. M: Ela (Maria) ficará na cidade. ¬A ∧ M A: Alfredo escreverá para Maria. a) é uma wff b) é uma wff c) não é uma wff d) não é uma wff e) é uma wff f) não é uma wff 3 g) não é uma wff 2.Soluções para os Exercícios Propostos EXERcícIoS pRopoStoS 1 1. A∨M A: Alfredo escreveu para Maria. D∧E→S m) A: O número de acidentes diminuirá nas estradas. M∨J j) M: João é vizinho de Maria. E: Isso significa que não devam estudar mais. P: Houver mais policiamento. F: Fernando investigará. J: O gerente despedirá João. J ∨ ¬A → M i) M: O gerente despedirá Maria. G: Geraldo será classificado. M: João terá chance com Maria. G: Geraldo será classificado. E ∨ (F → G) 88  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA . A: (Maria) for ao encontro com Alfredo. F: Fernando investigar. P: Maria ama Paulo. C: Os motoristas forem mais conscientes. S: (João) com certeza ganhará um salário melhor. J: João irá ao encontro de Maria. M: Maria irá para outra cidade. J ↔ ¬A h) J: Maria se encontrar com João. g) A: Alfredo estiver na cidade. A ∧ ¬E o) E: Eduardo apresentar uma queixa. J→C k) J: João ama Maria. A↔P∧C n) A: Todos acertaram todas as questões. J ∧ P → ¬M l) D: João for despedido. E: (João) for procurar um emprego. J: João conhece Maria. ¬E → ¬F ∧ ¬G p) E: Eduardo apresentará uma queixa. c) Se Carlos é argentino. (V) J = O Japão está em crise. João é brasileiro.3. João não é brasileiro. 4. a) Carlos é argentino ou João é brasileiro. d) Se Carlos é argentino. (F) ¬ B(V) ∧ J(F) (F) (F) c) B = O Brasil é um país emergente. (V) J = O Japão está em crise. (F) B(V) ∧ J(F) (F) b) B = O Brasil é um país emergente. então João é brasileiro. e) Carlos não é argentino se. e somente se. a) B = O Brasil é um país emergente. f) Carlos não é argentino e João não é brasileiro. (F) B(V) J(F) (F) SOLUÇõES PARA OS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 89 . (V) J = O Japão está em crise. b) Carlos não é argentino e João é brasileiro. a) (A ∨ B) ∧ ¬C b) ¬A ∧ C c) B ∧ C → A d) ¬(A ∧ (B ∨ C)) e) A ↔ ¬B ∧ ¬C EXERcícIoS pRopoStoS 2 1. a) ((x < 3) ∧ (x > 0)) ∨ ¬(x = 7) b) (x < 4) ∧ (x > 2) → (x = 3) c) (x > 0) ∨ ((x < 3) ∧ (y > 0)) d) (x = 3) ↔ (y > 0) e) (x ≠ 2) → (y = 9) ∧ (z > 3) 5. (F) ¬S(F)) B(V) ∧ (T(V) (V) (V) (V) g) I = A inflação é praticamente nula. (V) S(V) ∨ V(V) (V) 90  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA . (V) S = Talvez ela tivesse sido. (V) J = O Japão está em crise. d) B = O Brasil é um país emergente. (F) ¬ B(V) ∨ ¬ J(F) (F) (V) (V) f) B = A seleção brasileira de futebol foi pentacampeã. (V) I(F) ∧ ¬ D(V) (F) (F) h) S = Os salários aumentam. (V) V = As vendas diminuem. (F) B(V) ↔ J(F) (F) e) B = O Brasil é um país emergente. (V) T = O técnico fosse outro. (F) D = O desemprego para de crescer. (V) J = O Japão está em crise. (V) A(V) ∧ V(V) (V) k)  A = Alemanha perdeu a Segunda Guerra Mundial. (V)    V = A bandeira de Portugal tem as cores verde e vermelho. (V)   A = Sua arrecadação de impostos é alta. (V) A(V) ∧ J(V) P(V) (V) (V) l)  C = C  uba é único país comunista do continente americano. (V)   E = Os Estados Unidos são um país capitalista. (V) S(V) A(V) ∨ D(V) (V) (V) j)  A = O azul é uma das cores da bandeira brasileira. (F) B(V) R(F) (F) Soluções para os Exercícios Propostos  91 . (V)     J = O Japão era seu aliado (Alemanha). (V)   D = Parte do dinheiro arrecadado é desviado. (V)   A = Cuba será arrasada pelos Estados Unidos. (V)   P = O Japão também perdeu a Segunda Guerra Mundial. i)  S = São Paulo é a maior cidade da América Latina. (F) C(V) ∧ E(V) A(F) (V) (F) m)  B = O Brasil já teve várias moedas. (V)     R = É provável que o real seja a última (moeda). n)  M = O Mercosul incomoda os países desenvolvidos. (V) M(V) ∧ B(V) P(V) (V) (V) 2. (V)   B = Brasil é país integrante desse mercado. a)   ¬ P(V) ∨ ¬ Q(V) (F) (F) (F) b) P(V) ∨ ¬ Q(V) (F) (V) c) ¬P(V) ∧ (Q(V) R(F)) (F) (F) (F) d)    ¬ P(V) ∧ (¬ Q(V) (F) ¬ P(V)) (F) (F) (V) (F) 92  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA . (V)   P = Os países desenvolvidos tentarão conter o desenvolvimento brasileiro. e)   (R(F) ∨ S (F)) (P(V) ∧ Q(V)) (F) (V) (V) f)   (P(V) ∧ (Q(V)) ↔ (R(F) ∧ S(F)) (V) (F) (F) g)   (P(V) ↔ Q (V)) (P(V) (V) R(F)) (F) (F) h)   (P(V) ∨ Q (V)) ∨ (S(F) (P(V) (V) R(F))) (F) (V) (V) i)   ((P(V) ∧ Q (V)) ∨ (P(V) ∧ (R(F) ∨ S(F))) (V) S(F) ↔ S(F) (F) (F) (V) (F) (V) Soluções para os Exercícios Propostos  93 . a) p q r p∨q p∨q→r V V V V V V V F V F V F V V V V F F V F F V V V V F V F V F F F V F V F F F F V b) p q p∨q ¬(p ∨ q) ¬(p ∨ q) ∧ p V V V F F V F V F F F V V F F F F F V F c) p 94  q r ¬p ¬p → q (¬p → q) ∨ r V V V F V V V V F F V V V F V F V V V F F F V V F V V V V V F V F V V V F F V V F V F F F V F F INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA . j) P(V)) ∨ (R(F) ∨ S(F))) ((R(F) (V) (P(V) (Q(V) ∨ S(F))) (F) (V) (V) (V) (V) 3. d) p q r p∧q r↔q p ∧ q → (r ↔ q) V V V V V V V V F V F F V F V F F V V F F F V V F V V F V V F V F F F V F F V F F V F F F F V V e) p q r ¬p ¬p ∧ p r ↔ q ¬p ∧ p → (r ↔ q) V V V F F V V V V F F F F V V F V F F F V V F F F F V V F V V V F V V F V F V F F V F F V V F F V F F F V F V V p q r ¬p V V V F V F V V V F F V V V V F V F V F V f) ¬p → q r → ¬p (¬p → q) ∨ (r → ¬p) V F F F V V V F V V V V V V F V F V V V V F F V V F V V F F F V F V V Soluções para os Exercícios Propostos  95 . 96 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA . b) p q p∧q p → (p ∧ q) V V V V V F F F F V F V F F F V É uma contingência.g) EXERcícIoS pRopoStoS 3 (p ↔ ¬q) → (r ∧ ¬q) ¬((p ↔ ¬q) → (r ∧ ¬q)) F V F F F V F V V V V F F V V F F V V V F V F F V F V F F V F F V F F V V F V V F F F F V F F V F ¬q p ↔ ¬q r ∧ ¬q p q r V V V F F V V F F V F V V F F 1. a) p r p∨r p → (p ∨ r) V V V V V F V V F V V V F F F V É uma tautologia. c) p q p∨q p∨q→p V V V V V F V V F V V F F F F V É uma contingência. e) p q p∨q p ∧ (p ∨ q) p ↔ p ∧ (p ∨ q) V V V V V V F V V V F V V F V F F F F V É uma tautologia. Soluções para os Exercícios Propostos  97 . d) p q q→p (q → p) ∨ q p → (q → p) ∨ q V V V V V V F V V V F V F V V F F V V V É uma tautologia. f) p q p∨q p ∧ (p ∨ q) p ∧ (p ∧ (p ∨ q)) V V V V V V F V V V F V V F F F F F F F É uma contingência. i) ¬p ¬q p ∧ q ¬ (p ∧ q) ¬p ∧ ¬q ¬ (p ∧ q) ↔ ¬p ∧ ¬q p q V V F F V F F V V F F V F V F F F V V F F V F F F F V V F V V V É uma contingência. 98  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA .g) ¬p ¬q p ∨ q ¬(p ∨ q) ¬p ∧ ¬q ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) p q V V F F V F F V V F F V V F F V F V V F V F F V F F V V F V V V É uma tautologia. j) p q p∨q p∧q p∨q→p∧q V V V V V V F V F F F V V F F F F F F V É uma contingência. h) ¬p ¬q p→q (p → q) ∧ ¬q (p → q) ∧ ¬q → ¬p F V F V F V F F V V V F V F V F V V V V V p q V V F V F F F É uma tautologia. Soluções para os Exercícios Propostos  99 . l) p q p→q p → (p → q) (p → (p → q)) → q V V V V V V F F F V F V V V V F F V V F É uma contingência. n) p q ¬p ¬p ∧ q (¬p ∧ q) → ¬p V V F F V V F F F V F V V V V F F V F V É uma tautologia. m) p q V V ¬p ¬q q ∨ ¬q ¬p → q ∨ ¬q p → (¬p → q ∨ ¬q) V V F F V V F F V V V V F V V F V V V F F V V V V V É uma tautologia.k) p q q∨q p→q∨q p → (p → q ∨ q) V V V V V V F F F F F V V V V F F F V V É uma contingência. r) p q ¬q q ∧ ¬q p → q ∧ ¬q p → (p → q ∧ ¬q) V V F F F F V F V F F F F V F F V V F F V F V V É uma contingência. q) ¬q p ∧ q p → ¬q p ∨ q (p ∨ q) ↔ (p → ¬q) p ∧ q ↔ (p ∨ q ↔ (p → ¬q)) p q V V F V F V F F V F V F V V V F F V F F V V V F F F V F V F F V É uma contingência. o) p q ¬p ¬q q ∨ ¬q ¬p → (q ∨ ¬q) p → (¬p → (q ∨ ¬q)) ¬ (p → (¬p → (q ∨ ¬q))) V V F F V V V F V F F V V V V F F V V F V V V F F F V V V V V F É uma contradição. p) q ∨ r p → q ∨ r (p → q ∨ r) ∧ q p → r (p → q ∨ r) ∧ q → (p → r) p q r V V V V V V V V V V F V V V F F V F V V V F V V V F F F F F F V F V V V V V V V F V F V V V V V F F V V V F V V F F F F V F V V É uma contingência. 100  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA . SOLUÇõES PARA OS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 101 . t) p → q q → r (p → q) ∧ (q → r) p → r (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) p q r V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V É uma tautologia. EXERcícIoS pRopoStoS 4 1.s) p q r p ∧ q p ∧ r q ∧ r (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∧ (q ∧ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ↔ p ∧ (q ∧ r) V V V V V V V V F V F F V V V V F F V F V F V F V F F V F F F F F F F V F V V F F V F F V F V F F F F F F V F F V F F F F F V F F F F F F F F V É uma contingência. a) (p → q) (p ∨ r) ((p ∨ r) → q) (p → q) ↔ ((p ∨ r) → q) p q r V V V V V V V V V F V V V V V F V F V F V V F F F V F V F V V V V V V F V F V F V V F F V V V F F F F F V F V V Não é equivalência tautológica. 102  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA .b) p q p→q p∨q (p ∨ q) ↔ q (p → q) ↔ ((p ∨ q) ↔ q) V V V V V V V F F V F V F V V V V V F F V F V V É uma equivalência tautológica. d) p q p→q p∧q p → (p ∧ q) (p → q) ↔ (p → (p ∧ q)) V V V V V V V F F F F V F V V F V V F F V F V V É uma equivalência tautológica. c) p q r p → q (p → q) → r q → p (q → p) → r ((p → q) → r) ↔ ((q → p) → r) V V V V V V V V V V F V F V F V V F V F V V V V V F F F V V F F F V V V V F V V F V F V F F V F F F V V V V V V F F F V F V F V Não é uma equivalência tautológica. 2.  a) q → r p → (q → r) p∨r q∨r (p∨r) → (q∨r) (p → (q → r)) → ((p∨r) → (q∨r)) p q r V V V V V V V V V V V F F F V V V V V F V V V V V V V V F F V V V F F F F V V V V V V V V F V F F V F V V V F F V V V V V V V F F F V V F F V V Não é uma implicação tautológica. c) p → q p ∧ r q → r p ∧ r → (q→ r) (p→ q) → ((p ∧ r) → (q→ r)) p q r V V V V V V V V V V F V F F V V V F V F V V V V V F F F F V V V F V V V F V V V F V F V F F V V F F V V F V V V F F F V F V V V É uma implicação tautológica. Soluções para os Exercícios Propostos  103 . b) p q ¬q p∧q p → ¬q (p ∧ q) → (p → ¬q) V V F V F F V F V F V V F V F F V V F F V F V V Não é uma implicação tautológica. d) p q r p→q q∨r p→q∨r (p → q) → (p → (q ∨ r)) V V V V V V V V V F V V V V V F V F V V V V F F F F F V F V V V V V V F V F V V V V F F V V V V V F F F V F V V É uma implicação tautológica. e) p q r ¬p ¬q ¬r p→¬q ¬r∨q (¬r∨q)∧r (p→¬q)∧(¬r∨q)∧r ((p→¬q)∧(¬r∨q)∧r)→¬p V V V F F F F V V F V V V F F F V F V F F V V F V F V F V F F F V V F F F V V V V F F V F V V V F F V V V V V F V F V F V V V F F V F F V V V F V F F F V F F F V V V V V F F V É uma implicação tautológica. f) p q p∧q p∨q (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V É uma implicação tautológica. 104  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA g) p q r p∨q p∧r ¬ (p ∧ r) (p ∨ q) → (¬(p ∧ r)) V V V V V F F V V F V F V V V F V V V F F V F F V F V V F V V V F V V F V F V F V V F F V F F V V F F F F F V V Não é uma implicação tautológica. h) p q ¬q ¬q ∨ p q→p (¬q ∨ p) → (q → p) V V F V V V V F V V V V F V F F F V F F V V V V É uma implicação tautológica. i) p q ¬q ¬q ∨ p (¬q ∨ p) → q V V F V V F V F V F F F V ((¬q ∨ p) → q) → p V V V F V F V F V F V Não é uma implicação tautológica. 3. a) p q p∧q p → (p ∧ q) V V V V V F F F F V F V F F F V Não é uma implicação tautológica. Soluções para os Exercícios Propostos  105 b) p q p∨q (p ∨ q) → p V V V V V F V V F V V F F F F V Não é uma implicação tautológica. c) p q ¬p ¬q p→q (p → q) ∧ ¬p ((p → q) ∧ ¬p) → ¬q V V F F V F V V F F V F F V F V V F V V F F F V V V V V Não é uma implicação tautológica. d) p q p→q q → (p → q) V V V V V F F V F V V V F F V V É uma implicação tautológica. 4. p q p→q p∨q (p ∨ q) ↔ q (p → q) ↔ (p ∨ q ↔ q) V V V V V V V F F V F V F V V V V V F F V F V V É uma equivalência tautológica. 106  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 5. b) p q p∧q p ∨ (p ∧ q) p ↔ (p ∨ (p ∧ q)) V V V V V V F F V V F V F F V F F F F V É uma equivalência tautológica. Soluções para os Exercícios Propostos  107 . c) p q r q→p p→(q→p) p→q r→r (p→q)→(r→r) (p→(q→p))↔((p→q)→(r→r)) V V V V V V V V V V V F V V V V V V V F V V V F V V V V F F V V F V V V F V V F V V V V V F V F F V V V V V F F V V V V V V V F F F V V V V V V É uma equivalência tautológica. d) p q p→q ¬p ¬p ∨ q (p → q) ↔ (¬p ∨ q) V V V F V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V É uma equivalência tautológica. a) p q p→q ¬p ¬q ¬q → ¬p (p → q) ↔ (¬q → ¬p) V V V F F V V V F F F V F V F V V V F V V F F V V V V V É uma equivalência tautológica. ∴ A e) P = A empresa será privatizada. 1. ∴ D c) E = A regra existe. EXERcícIoS pRopoStoS 5 R = (O avião) teria feito contato por rádio. E → U 2. I → D 2. V → A 4. D → V 3. I 5. P ↔ D ∨ ¬O 2. ∴ ¬P f) V = Vendem mais. 1. O = A empresa atinge os seus objetivos sociais. ¬C → R 2. 1. ∴ U d) I = Os impostos aumentarem. a) C = O avião tivesse caído. 1. F → V 3. A = A arrecadação de impostos diminuirá. D = Haverá menos circulação de dinheiro. F = Estão sempre fresquinhos. ¬R 3. ∴ V ↔ F 108 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA . D ∨ T 2. T = Alberto será transferido para outro departamento. ¬D ∧ O 3. ¬T 3. ∴ C b) D = Alberto será despedido. 1. E 3. 1. V → F 2. V = As vendas no comércio cairão.1. U = (A regra) deve ser usada. D = A empresa for deficitária.   C → S     3.  (R → C) → P Soluções para os Exercícios Propostos  109 . S = (Bárbara) foi ao supermercado.  C → D     4. T = (Alfredo) está na terceira idade.  A ∨ T     2.  M → T     3. C = Devemos condená-lo (Paulo).g) A= Alfredo é adolescente.  L ∧ R → C     2.  C ∨ T     2.  A ∧ ¬M → C     2. C = O índice de criminalidade diminuirá. D = (Bárbara) está comprando doces.  ∴ C ∨ T k) L = As Leis são boas. A = Seria necessário aumentar os impostos dos trabalhadores.  ∴ T h) C = Bárbara está fora de casa.  ¬A     3. M = (Paulo) mudar sua opinião.  ∴ ¬I j) A = Paulo aceitar que está errado.     1. T = (Paulo) será acusado de traição. P = O problema é a corrupção.  I → C     2.  ∴ S ∨ D i) I = Todos os impostos devidos fossem pagos.  A     4.     1.     1.  C → ¬A     3. T = (Bárbara está) atendendo ao telefone. C = Haveria superávit nas contas governamentais. R = O seu cumprimento é rigoroso.     1.     1.  M ∨ ¬M     4. a) EXERcícIoS pRopoStoS 6 A B A∨B ¬B (A ∨ B) ∧ ¬B (A ∨ B) ∧ ¬B → A V V V F F V V F V V V V F V V F F V F F F V F V O argumento é válido. T = (Pedro) comprará um tênis. D = Haverá uma discussão na cerimônia de casamento. R = (Pedro) comprará um relógio. M = Carolina será madrinha. ¬R 3. M = A morte é o fim. G → T ∨ R 2. V = Há outra vida. H = Bete será dama de honra. C → H ∧ M 2. 1. 1. E → ¬M 2.3. ∴ ¬T → ¬G 1. 110 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA . H ∧ M → D 3. ∴ C → D m) E = Deus existe. 1. ¬M → V 3. ∴ E → V n) G = Pedro ganhou dinheiro. ∴ P l) C = Alice casar. L 4. ASS 7. M.9. 1. 4.P. ADI 4. A ∧ D f)    6.P. 6. 3.8. C ∨ E b)    4.T. ADI 2. M.6. ¬A 10. W → Y 1.5.H. SIM 4. S. M. 2. 6. 4.H. A ∨ C    6. S.P. E d)    4. 4. M. A    5. (C ∧ E) ∧ D    8.D. CON 1. A ∨ B    6. CON 1. ADI 2.6. Soluções para os Exercícios Propostos  111 . SIM 4. A    5. 3. S.7.2.4. a)    6.b) (A→B)∧(B→C) ¬C ¬A ¬C→¬A A B C A→B B→C (A→B)∧(B→C)→(¬C→¬A) V V V V V V F F V V V V F V F F V F F V V F V F V F F F V V V F F F V F V F F V F V V V V V F V V V F V F V F F V V V V F F V V V V F V V V F F F V V V V V V V O argumento é válido. S. W → (W ∧ X)    7.H. 5. 2. B ∨ A    5.C.5.2. COM 1. D    7.6. 5. A → D    9. ABS 3. C ∧ E e)    4. A ∨ C    6. C ∧ (E ∧ D)    7. SIM 1.H. A → C    8. A ∧ D c)    7. A → C    7. D    7. S. D. C ∨ D 1. S = O Santos ganha. X 4. S.4.D. S.  P ∧ G 1. A = A solução é ácida.D.7. P = O Palmeiras perde.P.N.P. M.  A 1. A = (O chefe) aprovou-a (a mudança). SIM 8. 5.  ∴ A 4.  A 1. 9.  ∴ A 4. A → B 1. 8.  ∴ G 4.P.  G 6. M.  B ∨ S → P ∧ G 2. ¬A ∨ ¬E 4.  ¬N ∨ A 2. S. G = O Guarani perde.  ¬¬N 2. SIM 5.  B ∨ S 4.5. SIM d) G = Pedro ganhou dinheiro. Z ∨ X 2. 1. COM 6. 1. 7.6.4.D. T = (Pedro) comprará um tênis.8. ADI 5.  S ∨ B 2. a) N = O chefe notou a mudança. 7.  S 3. V → A 2. D.  N 3. M.D. g) 6. 1. 1. D 2. R = (Pedro) comprará um relógio.2. 3.H. h) 4. S. E → G 2. V 3.7. b) V = O papel de tornassol ficar vermelho.  ¬R 112  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA .  G → T ∨ R 2. D. c) B = O Botafogo ganha.3. S. F = Há florescimento (nas escolas).N.  ¬¬D 7.  D 4. D. C = Carlos também comprará (um carro). G = Glória tirará a Carteira de Habilitação.  ¬G ∨ T 7. D.2. 3.  (L → J) → D 5.  C → M ∨ G 3.D. C = (Napoleão) deve ser condenado.  ¬F 5. M. 7. M = Maria tirará a Carteira de Habilitação.4.  S 9.T.P. S. S.  C → ¬D 3.  G → T 8. D = Donizete será contratado como motorista. 1. 10.  ¬S → ¬D 1.8. TRA e) L = Luís comprar um carro.  L → J 3.H. S.N.  L → M ∨ G 1.  L → C 2.  ¬S → C 2.  ¬G ∨ (T ∨ R) 5.5. 8.  M ∨ G → J 4.2.  D ∨ F 4. M.D.  ∴ ¬T → ¬G 4. I. 8. 1. S.7.  ∴ S 6. D = Há decadência nas escolas.  D 3. J = João sofrerá um acidente automobilístico. g) U = Napoleão usurpou o poder que legitimamente não lhe cabia.H.  (¬G ∨ T) ∨ R 6.M.M. 7. I. 9.6.  ¬¬S 6. 6. Soluções para os Exercícios Propostos  113 . 4.H. 7. f) S = Existem subsídios do governo para as escolas.  ¬T → ¬G 1. ASS 2.  ∴ D 6. C = Há controle do governo sobre as escolas. P. V = Jogo vôlei.  E → A 2. S. S. A = Sou aprovado em Lógica Matemática.  B 5.  S ∨ A → M ∧ B 2.  L ∨ U 3. D.  ¬¬V 2. V 6.5. E = (O oxigênio) evaporou completamente.  ∴ V 5.T.  U 2. A = Alfredo ganha.  ¬E 3.  S 3. i) E = Eu estudo.3. A = A cidade ficará alagada.  C 1. j) S = Sônia ganha. M. ADI 5. 6. M. SIM k) C = Continuar chovendo.N.  ¬L 4. 1. 1. 6.  ∴ B 4. 1. F = Formou-se um ácido. M = Maria perde.T.D.  S ∨ A 2. 6.  ¬A 4.  ¬V → E 3. B = Bete perde.D. 1.  M ∧ B 1.  (C ∧ F) ∨ E 2. L = Napoleão foi um monarca legítimo.3.  U → C 2.2.P. M.  ∴ C 5.4. 7.  C ∧ F 1. h) C = O oxigênio combinou-se com o filamento.  ¬E 1.5. 114  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA .  ∴ C ∧ F 4. M. 6.  ¬A ∨ (T ∧ P) 1.4. M.  C → H Soluções para os Exercícios Propostos  115 . (P → Q) ∧ (Q → P) 1.2.P.  ¬P 3. S. Q → P 1.4. 1. B → C 1. E. ADI 4.P. 5.3. SIM 7.P. D. CON g) 5. CON 6. c) 5.2. D → (E → F) 1.  A → T ∧ P 2. H = Haverá congestionamento.6. A 2.5. M. M.2. M.M. SIM 6. T = O cofre se trancaria. 4. ABS 2.5.5.  ¬A 2. a)  4. M. S. C → A 2. (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) 3. B 4. 5. P = O culpado é o prefeito.4. CON 6.  ∴ C → P 5. A ∨ C 1. ADI 5. 5.H. A ∨ B 1. 6. CON f) 3. DIS 6. d) 5. A ∧ B 3.  C → P 3. P = A polícia chegaria a tempo de prender os assaltantes. S.H.H. D → G 2.D. P ↔ Q 5. 6. l) A = O gerente do banco tivesse acionado o alarme.N.  C ∧ A → H 3. e) 4. S.5. C 3.  C → C ∧ A 1.  ¬A ∨ P 5. B ∧ C 1.5.P.  H → P 4. b) 4.H.6.  C → A 2.  (¬A ∨ T) ∧ (¬A ∨ P) 4. A ∧ B 2. I. EXP 5. 7.P. 1. S. A 1.  ∴ ¬A 4.M. E. A ↔ C k) 4. 4. (B → C) ∧ (C → B) 6. 1. E. S ∨ D 7. I ∨ H 5.M. M. 3.M. C ∧ D 8. Z ∨ X 6. C ∨ C 6. SIM 2. ADI 5. S. F o) 5. C j) 4. . ¬ O ∨ ¬P 5.P. IND 1. 2. ASS 7. X 116  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 1. ¬M n) 4.6. D. 6.H. (J ∧ K) ∧ L 8. C → B 10. COM 1. IND 2. M.P. SIM 6. 5. 7. SIM 9. ¬¬B → ¬C 5.2. B → A 11. ¬(O ∧ P) 6. J ∧ (K ∧ L) 7. A → B 7. SIM 1. 6.5. A → C 9. 5. SIM 1. D.5. 8. SIM 5. M.H.4.6. C → A 12. ¬(M ∨ N) 7. TRA 4. SIM 1.P.D.3. S. 2. J ∧ K m) 4. (F → S ∨ D) ∧ (S ∨ D → F) 5. SIM 4.5.7. SIM 2.C. 1. A 5.10. E. M. B ∧ C 6. B → C 8. M. D h) 5. C i) 4. ADI 4. A → ¬C l) 4. MOR 7. (A → C) ∧ (C → A) 13. M. (A → B) ∧ (B → A) 5. H ∨ I 6. CON 12. S ∨ D → F 6. S.M. ADI 4.H.N.M.11. ¬M ∧ ¬N 8. B → ¬C 6. E.T. 7. 5. 4. S. 2.2.P.5. MOR 1.P. 3.T. I. I.7. S. SIM 1.5. B 8.10. D. ¬A 6. 2.N. T. G 12.11. T. ¬(D ∧ E) ∨ F 6. SIM 4.6. C 7. M q) 4. MOR 6. 1. T. D. CON 3. M. ¬(¬P) ∨ Q 9.M. ¬¬Q 7. 2. 3. 1. P ∨ Q 8. M. ADI 2.5. 6. S. A → C c) 4.6. D.P. 9. 3. 4.4. 9.D. I. ¬(P ∧ Q) 6.5. E → F 11. SIM 6. (Q ∨ P) ∧ (Q ∨ Q) 6. MOR 1.8. ADI 4. ¬P → Q b) 4. M. SIM 2.D. A 5. A ∨ C 6. D 5. ¬¬Q ∨ (P ∧ Q) 4.P.p) 5. COM 7. M. CON 1. 3. M. Q ∨ (P ∧ Q) 5.8. ¬P 4. C ∧ B 9.D.M. ¬P → Q 5. 4. ¬E ∨ F 10. M ∧ N 10. SIM 6. T. ASS 4.M. 8.5.N.7. D → G 1. 4. a)   3. B → C 6.N. D 7.D.N. 7. A 5. Soluções para os Exercícios Propostos  117 . 5. ¬P ∨ ¬Q 5. T. ¬(¬D) 9. C 7. Q ∨ P 7. T. 1. D.P. 2. ¬D ∨ (¬E ∨ F) 8.P. Q 8.P. DIS 5.D.D. M.M. I. 3.D. 4.D. (¬D ∨ ¬E) ∨ F 7. A ∧ D r) 3. (¬G ∨ T) ∨ R 5. ¬E 4.D. 6. ¬Q → ¬P 1. 7.D.8.D.4. (E → ¬D) ∧ (¬D → E) 2.10.D. D 2. f) 4. P 3.4.N. T. 5.P. i) 3.D. g) 4. T. D. 6. T.d) 4.7.D.P. P → R 4.5.5. 9. ¬A → ¬E 1. T. ¬C 2. TRA 5.D. ASS 7. M. I. M. T.11. M.5. TRA 6. S.4.8. 11. B → ¬C 6. SIM 9. 5. 9. ¬E → D 9. ¬A 3. T. ¬T 3. T. C → D 4. M. 4.D. 5. TRA 7. M. ¬Q → ¬P 3.P.D. 7. 5. 118  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA . ¬A 3.P. ¬T → ¬G 4.P. ¬Q 2. ¬A → ¬C 4. M.P. T. SIM 6. C 3.M.2.5.6.D. B 1. M.5. T. T.D.D. R 2. ¬D → E 7.6. S. e) 4. j) 4. ¬¬B → ¬C 2. ¬G ∨ (T ∨ R) 1.N. T. 7.D. ¬C 5. 6. T.5. D. ¬G 4. h) 4. D 6. T. 8. A 3.D.P. 8. H ∧ M 1.P. ¬A → D 4. T.M. 8. Q 1. TRA 10. ¬P 3.D. E. M.D.7. 5. 6. 12. A → ¬C 4. ¬G ∨ T 6. M. 5. 6.P. ¬E → ¬¬D 8. 2.A. P → R g) 4.A. S. CON 9. Q 6. CON 6.8.N. D. P ∧ ¬Q 6. P ∧ Q 5. 1.A. MOR 4.A. ¬(¬Q → ¬P) 4. S. P 7.A.5.6. ¬Q 5. 4. SIM 5.A. Soluções para os Exercícios Propostos  119 . ¬P ∨ Q c) 3. ¬Q ∧ Q 9.D. Q f) 4.P. 6. R. D. P → Q 5.6.A. 3. 1. ¬(¬(P ∧ Q)) 4. ¬(P → R) ∧ (P → R) 7. 5. 7.A. ¬¬P 5. R. P → R 6. 4. CON 6. Q 8. ¬P → Q e) 4. R. ¬¬(P → Q) 4. SIM 4. R. R. 3. ¬(P ∧ Q) b) 3. 4. 3. ¬¬P ∧ ¬Q 5. 1. R. R. ¬(P → R) 5. 2.2. R.H.7. Q 9.5. R. CON 6. R. ¬¬P ∧ ¬P 7. R. a)   3.A. 2.T.A. 3. SIM 1. MOR 4. R. ¬P 2.5. 1. 1.P.N. ¬(P → Q) d) 3. ¬(¬P ∨ Q) 4. CON 5. 3. D. ¬(P ∧ Q) 6 ¬(P ∧ Q) ∧ (P ∧ Q) 7. 3. P 6. M. TRA 3.A.N.4. CON 8. M. D.A. ¬P 6. Q ∧ ¬Q 10.A. ¬Q 7.N. ¬Q ∧ Q 7. M. ¬Q 8. ¬Q → ¬P 5 ¬(¬Q → ¬P) ∧ (¬Q → ¬P) 6. R. 2.5. SIM 1. 1.2. COM 6.5. ∴ B (F) ∨ C (F) d) 1. ∴ C (F) e) 1. E (F) → F (F) 5. a) 1. Q 3. ¬Q ∧ Q 7. 1. ¬(C (F) ∧ ¬D (F) 3. ¬Q 5. ¬(A (V) → B (F)) 2. ¬B (V) → B (V) ∨ E (F) 3. ¬(F (F) ∨ D (F)) 4.A. ¬(F (F) ∨ ¬D (V)) 4. R. A (V) → (B (F) ∨ C (V)) 2. 1. 4. B (F) ↔ (C (F) ∨ A (F)) 4. A (F) ∨ D (V) 4. ¬B (F) ∧ ¬C (F) 4. ∴ ¬A (V) f) 1. B (V/F) → C (V) 3.5. ∴ (B (F) ∨ C (F)) g) 1. M.2. ∴ ¬A (F) → D (F) c) 1.h) 4. A (F) → B (V/F) EXERcícIoS pRopoStoS 7 2. R.A. A (F) ↔ (B (F) ∨ C (F)) 3. ¬A (F) 5. A (V) → (B (V) ∨ C (V)) 120 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA (V) (V) (F) (V) (V) (V) (F) (V) (V) (V) (F) (V) (V) (V) (F) (V) (V) (V) (V) (F) (V) (V) (V) (V) (F) (V) (V) (V) (V) (F) (V) . C (F) ↔ (A (F) ∨ B (F)) 2. ¬C (F) ∨ D (V) 3. ¬A (F) ∨ B (F) 2. Q 6. B (F) → (D (F) ∨ E (F)) 3. D (F) → C (F) 4. CON 6. ∴ A (F) h) 1. ¬A (F) → B (V) ∧ C (V) 2. (¬A (V) ∧ ¬B (F)) → (C (F) ∧ D (F)) 3. ∴ C (V) → A (F) b) 1.P. E (F) → F (F) 5. ¬A (F) ∨ B (F) 2.   ∴ ¬P (V) (F) e) B = (Antônio) tivesse casado com mulher bonita. ¬B (V) → (F (F) ∨ E (V)) 4. a)   L = A luz está acesa. B (V) → C (V) 3.  ¬P (F) 3. 1.  ∴ G (V) → L (F) (V) (V) (F) b) M = Este objeto é de metal.  M (F) → C (V) 2. C = (Este objeto) conduz eletricidade. ∴ ¬A (V) (V) (V) (V) (F) (V) (V) (V) (V) (F) 2. 2. O = (Antônio) estaria desgostoso. 1. ∴ A (V) → (D (F) ∨ F (F)) i) 1. A (V) → B (V) ∨ C (V) 2. I = Antônio seria infeliz. 1.  C (V) 3.  E (V) ∧ ¬B (F) (V) 3.  L (F) → E (V/F) 2. E (V) ∨ D (V) 4. 1.  B (F) → C (F) (V) Soluções para os Exercícios Propostos  121 . G = A geladeira está funcionando. B = (As mercadorias) estão em bom estado. (F (F) → D (F)) ∧ (¬E (V) → D (F)) 5.  P (V) → E (V) ∨ B (F) (V) 2. E (V) → C (V) 5. F = (Antônio) tivesse casado com mulher feia.  ∴ ¬D (V) (V) (V) (F) d) P = Pedro mantiver a palavra.  E (V/F) → G (V) 3. E = As mercadorias serão entregues.  ∴ M (F) (V) (V) (F) c) P = Fernando é político. 1. E = Há energia elétrica. C = Antônio teria ciúmes. D (F) → (E (V) ∨ F (F)) 3.  P (F) → D (V) 2. D = (Fernando) é desonesto.   R (F) → N (F) 2. B = O crime aconteceu no banheiro. 1.  C (F) → I (F) 2.  C (V) → F (V) 3. 1. J = João viu a arma.  A (F) → C (V) 2.  C (V) → A (V) 2. N = (Carlos) comprará novos CDs.  F (V) → S (V) 4. 2.  N (F) → P (F) 3.  F (F) → D (F) 3.  ∴ N (F) ∨ P (F) (V) (V) (V) (F) i) C = Carlos comprar um carro. I = (Carlos) instalará um aparelho para CDs. N = (Eu) vou passar férias no Nordeste.  ∴ ¬C (V) (V) (V) (V) (V) (F) g) A = Você tem aquário em casa. F = (Você) tem filhos. S = (Você) gosta do sexo oposto.  C (F) ∨ D (F) → I (F) 4. 1.  P (F) → ¬N (F) 4.  ∴ B (F) (V) (V) (V) (F) f) C = Meu cliente é culpado.  ¬I (F) 5. G = (Carlos) tem dinheiro para colocar gasolina no seu carro.  A (V) → ¬J (F) 4. 1.  A (V) ∨ J (F) 3. P = (Eu) passarei pela casa de meus pais. C = (Você) gosta de crianças.  ∴ ¬A (F) → ¬H (V) (V) (V) (V) (V) (F) h) R = (Eu) fizer a revisão em meu carro. A = A arma estava no quarto. H = (Você) é heterossexual. I (F) → N (F) 122  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA (V) (V) .  S (V) → H (V) 5.  A (V) ∧ B (V) 5. ¬M | P | V 2. 5. F ∧ S → I 2.RCD ¬S F(7.RCJ 2.RBC F(4. b) 1.RCJ 5. P ∧ V 3. 4. G 5. 5.3. Z ∨ G 3. ¬(F ∧ S) I 11. 8. ∴ G (V) → C (F) 1. ¬I 4.RCJ 6. ¬M (V ↔ P) 1.RBC | | 8. M → (V ↔ P) EXERcícIoS pRopoStoS 8 2. F ∧ Z 6.RCD | | 7.RCJ G 10. SOLUÇõES PARA OS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 123 . a) 1. Z 7. N (F) → ¬G (V) (V) (F) 4.11) A forma de argumento é inválida. V ¬V 6. P ¬P 6. ¬S | F | Z 9. ¬F 2.RDJ 1.8) A forma de argumento é inválida. 10) 11. ¬B → C 3. d) 1.4) A forma de argumento é válida.NRDJ 5.   3.   (A ∨ ¬C) 124  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 3.             ¬A               | 7.RCD 9.RDN           F(7.            ¬(A ∨ C)                 | 6.12) A forma de argumento é válida. ¬C  M F(2.             P               | 5.NRCD .c) 1.4) F(3.         ¬C           8. ¬(A ∨ ¬C → B)       | 4.NRCD 5. e) 1.RCD     F(4.NRCD 3.       ¬P B     F(4. C → M 2. P → B 3.      ¬(B ∧ ¬C)     A 1.      ¬B        ¬¬C 10. P → (B ∧ ¬C → A) 2.               C 11.11)     | 12.RCD (B ∧ ¬C → A) 1.RCD        F(6. A → B 2. ¬M     4.8) 10.8)     ¬P 9.NRDJ 2. C 3. ¬(P → A ∨ C)              | 4.NRCJ        F(2. ¬A      F(5.      L 3. E ∧ I → ¬A 2.NRCD         7. 5.   ¬B      6.RDC 8.7) 8. ¬E 3.RDN    5. ¬¬L       | 4. 2. B → L 2.6) ¬C 1.RCD g) 1.      B 3.NRDC Soluções para os Exercícios Propostos  125 .       A B 3.RDC h) 1.RDN f) 1.5) F(2. B → L 2. ¬¬B        | 4.RDN   L F(4. ¬L 3. ¬¬B C       | F(7.          A       | 3.     B F(5.8) 9. ¬(A →¬I)       | 4.RDJ F(6. ¬B 3. 1. ¬B L A forma de argumento é inválida. ¬B 1.       | 5.9) A forma de argumento é válida.5) A forma de argumento é válida.RCD 4. ¬E ¬I 7.RDN 7.RCD F(4.NRDC 5. ¬¬I | I 3.5. 1.7) 8. a) ∀x (Cx → Mx) EXERcícIoS pRopoStoS 9 b) ∃x (Cx ∧ Ax) c) ¬∀x (Cx → Tx) d) ∀x (Ex → Ax) e) ¬∃x (Ax ∧ ¬Px) f) ¬∃x (Px ∧ ¬Cx) g) ∀x (Jx → Tx) h) ∀x (Mx ∧ Ax → Dx) i) ∀x ((Ax ∨ Tx → Fx) ↔ ¬Ex) j) ∃x ((Hx ∧ Ix) ∧ Tx) k) ∀x ((Hx ∧ Ix) → Tx) l) ¬∀x (Rx → Ox) m) ∀x (Sx → Ix ∨ Cx) n) ∃x (Ex ∧ (Ix ∨ Mx) o) ∀x (Px → Cx) p) ¬∃x (Sx) q) ∃x (Sx) r) ∃x (Jx ∧ Hx) s) ∀x (Mx → Ox) t) ∀x (Px → Dx) u) S ∧ ∀x (Ex → Px) v) ∀x (Cx → Ax) ∧ ∃x (Cx ∧ ¬Sx) x) ∃x (Fx ∧ Ex) → Le 126 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA .8) A forma de argumento é inválida. ¬ (E ∧ I) ¬A 1.NRCJ F(6. 6. M. MOR D. COM I.M.M.N.N.N.M. MOR I. MOR D. D. a) (V) b) (F) c) (V) SOLUÇõES PARA OS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 127 .N.M. a) ¬∀x (Ax → Bx) EXERcícIoS pRopoStoS 10 ∃x ~(Ax → Bx) ∃x ¬(¬Ax ∨ Bx) ∃x (¬¬Ax ∧ ¬Bx) ∃x (Ax ∧ ¬Bx) EQV I.M. d) ¬∃x (Px ∧ ¬Ax) ∀x ¬(Px ∧ ¬Ax) EQV. MOR D.N.1. c) ¬∃x ¬(Ox ∨ ¬Px) ∀x ¬¬ (Ox ∨ ¬Px) ∀x (Ox ∨ ¬Px) ∀x (¬Px ∨ Ox) ∀x (Px → Ox) EQV. D. b) ¬∀x (Cx → ¬Dx) ∃x ¬(Cx → ¬Dx) ∃x ¬(¬Cx ∨ ¬Dx) ∃x (¬¬Cx ∧ ¬¬Dx) ∃x (Cx ∧ Dx) EQV I. 2.M. MOR D. ∀x (¬Px ∨ ¬¬Ax) ∀x (¬Px ∨ Ax) ∀x (Px → Ax) e) ¬∃x (Ax ∧ (Bx → ¬Cx)) ∀x ¬(Ax ∧ (Bx → ¬Cx)) ∀x (¬Ax ∨ ¬(Bx → ¬Cx)) ∀x (¬Ax ∨ ¬(¬Bx ∨ ¬Cx)) ∀x (¬Ax ∨ (¬¬Bx ∧ ¬¬Cx)) ∀x (¬Ax ∨ (Bx ∧ Cx)) ∀x (Ax → (Bx ∧ Cx)) EQV. I. I.M.N. MOR MOR I. I. f) ¬∀x (¬Ax → (Bx ∧ Cx)) ∃x ¬(¬Ax → (Bx ∧ Cx)) ∃x ¬(¬¬Ax ∨ (Bx ∧ Cx)) ∃x ¬(Ax ∨ (Bx ∧ Cx)) ∃x (¬Ax ∧ ¬(Bx ∧ Cx)) ∃x (¬Ax ∧ (¬Bx ∨ ¬Cx)) ∃x (¬Ax ∧ (Bx → ¬Cx)) EQV. a) (F) b) (V) c) (V) d) (F) e) (V) 4.M.N. ∃x (¬¬Cx ∧ ¬Tx) MOR ∃x (Cx ∧ ¬Tx) Existem cães que não são treinados. I. d) ¬∃x (Px ∧ ¬Cx) ∀x ¬(Px ∧ ¬Cx) EQV. c) ¬∃x (Ax ∧ ¬Px) Linguagem natural. Linguagem natural. Existem recém-nascidos que não são bonitos. ∀x (¬Ax ∨ ¬¬Px) MOR ∀x (¬Ax ∨ Px) D. e) ¬∀x (Rx → Ox) ∃x ¬(Rx → Ox) EQV.M. b) ¬∀x (Rx → Bx) ∃x ¬(Rx → Bx) EQV. a) ¬∀x (Cx → Tx) ∃x ¬(Cx → Tx) Linguagem natural.N. D.M. Existe algo que reluz e não é de ouro.N. ∃x ¬(¬Cx ∨ Tx) I.N.M. ∀x ¬(Ax ∧ ¬Px) EQV. ∃x ¬(¬Rx ∨ Bx) I. EQV. Linguagem natural.M. Linguagem natural. 128  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA . ∃x (¬¬Rx ∧ ¬Bx) MOR ∃x (Rx ∧ ¬Bx) D. ∃x (¬¬Rx ∧ ¬Ox) MOR ∃x (Rx ∧ ¬Ox) D. Todas as aves têm penas. d) (V) 3.N. Linguagem natural. ∀x (Px → Cx) Todos os políticos são corruptos. ∀x (Ax → Px) I. ∃x ¬(¬Rx ∨ Ox) I. ∀x (¬Px ∨ ¬¬Cx) MOR ∀x (¬Px ∨ Cx) D. 2. c) 1.G. ¬¬Fc → ¬Cc 7. 8. ∀x ¬(Ix ∧ Cx) 3. 1. 5.D. TRA 6. Ic → Fc 5. Ac → ¬Mc 9.N. 4. ∀x (Ax → Rx) 2. Rc → ¬Mc 8.M. ∀x (Ax → ¬Mx) EQV MOR I. ∀x (Ix → ¬Cx) EQV. ∀x (Jx → ¬Fx) EQV MOR I. Fc → ¬Cc 8. ∀x (Ix → ¬Cx) 4.U.E. a) 1. G. 5. Ic → ¬Cc 9.S.7. ∀x ¬(Mx ∧ Rx) 2.f) ¬∃x (Sx) ∀x (¬Sx) EQV.U. ¬∃x (Mx ∧ Rx) 2.M.M.TRA 6. ¬¬Rc → ¬Mc 7. ∀x (¬Ax ∨ ¬Mx) 3. Todos não sobreviveram ao desastre. 2. ∀x ¬(Ax ∧ Mx) 3. E.U.U. ∀x ¬(Jx ∧ Fx) 1. ∀x (Cx → ¬Fx) 3. 3. ∀x (¬Mx ∨ ¬Rx) 2. Ac → Rc 5. ∀x (¬Jx ∨ ¬Fx) 1. MOR I.H. 2. 1. ∀x (Mx → ¬Rx) EQV MOR I.N. Cc → ¬Fc 6.M. ∀x (Ax → ¬Mx) 4. ¬∃x (Jx ∧ Fx) 1. D. 4. ∀x (¬Ix ∨ ¬Cx) 3. ∃x (Ix ∧ Fx) SOLUÇõES PARA OS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 129 . E.U. b) 1. 7.7. ∀x (Ix → Fx) EXERcícIoS pRopoStoS 11 2.U. Mc → ¬Rc 6. S.E. ¬∃x (Ax ∧ Mx) 3.H. ¬∃x (Ix ∧ Cx) 3. ∀x ¬(Mx ∧ Fx) 1.T. Ac 3.P. ∴ ∃x (Fx ∧ Ax) 4. ∀x ¬(Rx ∧ Fx) 3. Jc → Ac 6. ∴ ¬Cc 4. ∀x ¬(Cx ∧ Ax) 1.E. ¬∃x (Mx ∧ Fx) 1. ∃x (Ix ∧ ¬Jx) 2.E. ∴ ∃x (Ix ∧ ¬Jx) 4.E. ∀x (¬Cx ∨ ¬Ax) 1 ∀x (Cx → ¬Ax) EQV MOR I. 2. Cc → ¬Ac 5. Ic 7.D. ∃x (Fx ∧ Ax) 2. ¬(¬Fc) 9.CON 9. 6. e) 1.SIM 5. ¬∃x (Rx ∧ Fx) 3. 1.T.E.M. 6.SIM 7. 4. ¬Jc 10. ∀x (Mx → ¬Fx) EQV MOR I. Jc 8.G. D.E.N. ∃x (Fx ∧ Jx) 3. ∀x (¬Mx ∨ ¬Fx) 1. M. 3.E. ¬Cc 1.5. ¬∃x (Cx ∧ Ax) 1. 2. 4.SIM 4.U. ∀x (Jx → Ax) 2. E. 5.M.SIM 4. 2. Fc 7.M.7. ∀x (¬Rx ∨ ¬Fx) 130  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA EQV MOR . Ic ∧ ¬Jc 11. Ic ∧ Fc 5.9.E. ∃x (Mx ∧ ¬Rx) 3.8. Fc ∧ Jc 5.M.U. Jc → ¬Fc 6. ¬(¬Ac) 6.U.8. d) 1. 1.E. 4. Ac 9. Fc 8.CON 10. Fc ∧ Ac 10. f) 1.G.N. SIM 4. ∃x (Px ∧ ¬Mx) 3. 4. 2. CON 9. ∀x (Dx → ¬Rx) I.M. Pc 7. ∴ ¬Ac 4. ¬Jj 1. ¬Ac 1. 4. SIM 7.E. SIM 4. SIM 5. M. 6.7. Pc ∧ ¬Cc 10. G. 2. M. D. ¬(¬Tc) 6. h) 1. Soluções para os Exercícios Propostos  131 . ∀x ¬ (Dx ∧ Rx) 1.4. ¬Mc 8. 1. ∀x (¬Dx ∨ ¬Rx) EQV MOR 1. ∴ ∃x (Px ∧ ¬Cx) 4. ∴ ¬Jj 4. ∀x (Rx → ¬Fx) I.T. 9.M.M. ∀x (Rx → ¬Fx) 4.T. g) 1. ∀x (¬Ax ∨ ¬Tx) 1. j) 1. ¬∃x (Ax ∧ Tx) 1. Mc → ¬Fc 6. Ac → ¬Tc 5. E.U.T. E. G. Cc → Mc 6. Rc → ¬Fc 10.U. ¬Rj 3. 4.U. ∀x ¬(Ax ∧ Tx) 1. ¬Rc 8. 3. i) 1. ∃x (Px ∧ ¬Cx) 2. ¬Rc ∨ ¬Fc 9.M. E. Jj → Rj 5.U. ∀x (Jx → Rx) 2. 2. E. 2.E. ¬Cc 9. ∀x (Cx → Mx) 2.N. ∀x (Ax → ¬Tx) EQV MOR I.E. ¬∃x (Dx ∧ Rx) 1. E. Mc 7. I.8. Tc 3. 1.5. Pc ∧ ¬Mc 5. Mc ∧ ¬Rc 5. E. M. U. ADI 8. ¬∃x (Px ∧ ¬Rx) 2. ∴ ¬Ej 5. E. l) 1.N. ∀x (Ex → ¬Px) EQV MOR I. E.M.P. 3. 2. ∀x (Px → Rx) EQV MOR D. Pc → Rc 6. ∀x ¬ (Ex ∧ Px) 1.P.H.6. Aj → Pj 7.U. Pm 1. ¬Rc → ¬Pc 7. Cm → Dm 8. ∴ ∀x (Dx → ¬Px) 4. ∀x (Dx → Px) 4. 2. M. S. 8.N. Dc → ¬Rc 5.6. Ej → ¬Pj 6. Aj 4.9. ¬Ej m) 1. Dc → ¬Pc 8. Jm 5. 3. D. 2. 7. .U.P. G.U. ∀x (Cx → Dx) 3. Pj 8. 2. 7. k) 1.U.U.6.M. Jm → Cm 7. ∴ Pm 6. ¬∃x (Ex ∧ Px) 1. 5. ∀x (¬Ex ∨ ¬Px) 1. ∀x ¬ (Px ∧ ¬Rx) 2. E. ¬¬Pj → ¬Ej 9. ∀x (Ax → Px) 3.U.U. ∀x (¬Px ∨ ¬¬Rx) 2. I. ∃x (Sx ∧ (Mx ∧ Gx)) 132  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 1. ∀x (¬Px ∨ Rx) 2.10. Dm → Pm 9.U. ∀x (Sx → Mx) 2. Dm 11. E.9.P. Cm 10. E. E. 5. 3. Pj → ¬Ej 10. TRA 8. 2. 4. TRA 4. M.P. M. 7. ∀x (Jx → Cx) 2. M. M. ∀x (Dx → ¬Px) 1. E. E. 4. SIM 5. Ac 8. M. 3. Pc ∧ Ac 2. E.5. E.7. ¬∃x (Cx ∧ Fx) 2. Ac → Rc 6. Sc ∧ (Mc ∧ Gc) 5. Sc 7.U. Pc → ¬Fc 7. Pc → ¬Dc 5. n) 1.M. 1. 4. ∴ ¬∃x (Px ∧ Fx) 3. Sc → Mc 6. Pc ∧ Rc 10. S. ∴ ∀x (¬Px ∨ ¬Fx) 3. ∃x (Sx ∧ Gx) 2.M.U. ∀x (Fx → Dx) 3. ∴ ∀x (Px → ¬Fx) 4.E.U. Gc 9. Fc → Dc 1. E. Soluções para os Exercícios Propostos  133 . ∴ ∀x ~(Px ∧ Fx) 3. ∀x (Ax → Rx) 2. Pc 7. 6. Cc → ¬Fc 6. ∃x (Px ∧ Ax) 3.U.8. ∀x (¬Cx ∨ ¬Fx) 2. 5.H. o) 1. SIM 4. 2.U. E. E. 2. G. 1.P. 4. CON 9.E. (Sc ∧ Mc) ∧ Gc 8.E. ∴ ∀x (Px → ¬Fx) 4. G. CON 9. ∀x (Px → Cx) 2. SIM 6.E. ASS 7. E. ∃x (Px ∧ Rx) 1.8. E. 3. ∴ ∃x (Px ∧ Rx) 4. Sc ∧ Gc 10.U.U. Rc 9. ∀x ¬(Cx ∧ Fx) 2. Pc → Cc 5. ∴ ∃x (Sx ∧ Gx) 4. p) 1. ∀x (Px → ¬Fx) EQV MOR I. 6. ∀x (Cx → ¬Fx) EQV MOR I. ∀x (Px → ¬Dx) 2. G. SIM 4. ∀x (Px → ¬Fx) 5. Pa 1. 1.U. ∴ ∃x (Sx ∧ Rx) 4.E. E.T. 5. ∃x (Gx) 2. E. ∃x (Sx ∧ Px) 3. Qa ∧ Pa 6.U.P. E. 2. TRA 4.U. Fc 5. G.U. Fc → Gc 6.P. 4. Fc → Gc 6. E. ¬Sa 3. Pc → ¬Fc 8.H. G. 1. SIM u) 1.M. t) 1. . ∃x (Fx) 3.U. ∴ ∃x (Gx) 4. ∃x (Gx ∧ Hx) 2. s) 1. ∃x (Fx ∧ Hx) 3. M.5.P. Hc 9. Gc 7. E.8.E.6. CON 9. G.6. E. S. r) 1. Sc ∧ Pc 5.4. Fc 7. Ra → Sa 5. Gc 8. 1. Pc → Rc 134  INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 2. ∴ Pa 4. ¬Ra 1. Sa → Qa ∧ Pa 5.E. 7. M.4. E. 4. Sa 3. ∀x (Sx → Qx ∧ Px) 2.E. Fc ∧ Hc 5. SIM 5. E. 2. ∀x (Rx → Sx) 2. 6. 6. 4. Gc ∧ Hc 10.E. q) 1 ∀x (Fx → Gx) 2.U. M. ∀x (Fx → Gx) 2. ∴ ∃x (Gx ∧ Hx) 4. ¬Dc → ¬Fc 7. SIM 7. ∴ ¬Ra 4. ∀x (Px → Rx) 2. Rc 9.8. SIM 5. G. 6. 6. SIM 4. Soluções para os Exercícios Propostos  135 . ∃x (Sx ∧ Rx) 4. Pc 8. Sc 7.CON 9.M.E.7.P. Sc ∧ Rc 10. Documents Similar To Introdução à Lógica Matemática - Alberto, Carlos b., Luiz Melo, OswaldoSkip carouselcarousel previouscarousel next159430106 Iniciacao a Logica Matematica Edgard de Alencar FilhoENEM Questões e RedaçãoIrving M. Copi - Introdução a lógica.pdfIntrodução À Teoria Dos Autômatos, Linguagens E Computação 2ed Ed. by Hopcroft, Ullman and MotwaniManual de Metodologia Da Pesquisa CientificaTourinho - 1995 - O Autoconhecimento Na Psicologia Comportamental de B. F. SkinnerALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática.pdfCezar A. 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