Introdução à Algebra Linear - Andrade

A minha mãe Maria da Conceição de Freitas e em memória de meu pai José de Andrade e Silva. Prefácio Este texto surgiu da experiência do autor quando ministrou algumas vezes a disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica para vários cursos na Universidade Federal da Paraíba. O principal objetivo deste texto é fazer uma apresentação rigorosa e clara das provas dos Teoremas e exemplos da Álgebra Linear no nível de graduação, desenvolvendo, também, a capacidade de modelagem de problemas e provas envolvendo combinações lineares, transformações lineares e matrizes, diagonalizações de operadores lineares e classificações de quádricas. Além disso, resolver problemas que envolvam matrizes utilizando a forma canônica de Jordan. É nossa expectativa que este texto assuma o caráter de espinha dorsal de uma experiência permanentemente renovável, sendo, portanto, bem vindas as críticas e/ou sugestões apresentadas por todos - professores ou alunos quantos dele fizerem uso. O leitor interessado em aprender a utilizar um programa de computação, por exemplo o Maple, como ferramenta na aprendizagem da Álgebra Linear e Geometria Analítica pode consultar uma das referências [1, 3, 5, 7]. Para desenvolver a capacidade do estudante de pensar por si mesmo em termos das novas definições, incluímos no final de cada seção uma extensa lista de exercícios, onde a maioria dos exercícios dessas listas foram selecionados dos livros citados no final do texto. Devemos, porém, alertar aos leitores que os exercícios variam muito em grau de dificuldade, sendo assim, não é necessário resolver todos numa primeira leitura. No capítulo 1 apresentaremos as principais definições e resultados sobre matrizes e sistemas de equações lineares que serão necessárias para o desenvolvimento deste texto. No capítulo 2 apresentaremos definições abstratas de espaços vetoriais e subespaços, combinações lineares, conjuntos linearmente independentes e dependentes, bases e dimensão, coordenadas de um vetor e mudança de bases. Esse capítulo envolve o desenvolvimento axiomático de vetores, sendo assim, exigindo maior esforço no início do curso tanto do professor quanto do estudante. No capítulo 3 apresentaremos transformações lineares, núcleo e imagem de uma transformação linear e representação matricial. A representação matricial proporciona um modo elegante de desenvolver a álgebra das matrizes e a geometria das transformações lineares. No capítulo 4 apresentaremos as definições de autovalores e autovetores de um ov vi perador linear, o polinômio característico e minimal de um operador linear e operadores diagonalizáveis. Esse capítulo inicia o estudo das relações de equivalências e das formas canônicas, úteis nas aplicações que envolvem representações matriciais. No capítulo 5 apresentaremos definições abstratas de espaços com produto interno, processo de ortogonalização de Gram-Schmidt e o complemento ortogonal. Esse capítulo introduz a noção de conceitos métricos sobre um espaço vetorial qualquer. No capítulo 6 apresentaremos operadores lineares especiais tais como: operador adjunto, ortogonais e simétricos e usá-los-emos para classificar as quádricas. Finalmente, no capítulo 7 apresentaremos a forma canônica de Jordan, a qual é uma ferramenta poderosa no estudo das relações de equivalência de matrizes. Agradecemos aos colegas e alunos do Departamento de Matemática que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho. Em particular, ao professor Inaldo Barbosa de Albuquerque, pela leitura criteriosa e sugestões. Antônio de Andrade e Silva. Sumário Prefácio 1 Pré-Requisitos 1.1 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 1 3 1.3 Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Espaços Vetoriais 23 2.1 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Subespaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4 Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 Bases e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.6 Mudança de Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3 Transformações Lineares 71 3.1 Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3 Transformações Lineares e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.4 Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4 Formas Canônicas Elementares 117 4.1 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2 Operadores Diagonalizáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.3 Polinômio Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5 Espaços com Produto Interno 149 5.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.3 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.4 Complementar Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 vii viii SUMÁRIO 175 . 175 . 182 . 188 197 . 197 . 205 . 212 219 220 6 Operadores Especiais 6.1 Operador Adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Operadores Ortogonais e Simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Forma Canônica de Jordan 7.1 Teorema da Decomposição Primária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Operadores Nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Forma Canônica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografia Índice Capítulo 1 Pré-Requisitos Neste capítulo apresentaremos as principais definições e resultados sobre matrizes e sistemas de equações lineares que serão necessárias para o desenvolvimento deste texto. O leitor interessado em mais detalhes pode consultar [7, 9]. 1.1 Corpos Um corpo é um conjunto F com duas operações F ×F → F F ×F → F e , (x, y) 7→ x + y (x, y) 7→ x · y chamadas de adição e multiplicação, tais que as seguintes propriedades valem: 1. A adição é associativa, x + (y + z) = (x + y) + z, para todos x, y, z ∈ F . 2. Existe um único elemento 0 (zero) em F tal que x + 0 = 0 + x = x, para todo x ∈ F . 3. A cada x em F corresponde um único elemento −x (oposto) em F tal que x + (−x) = (−x) + x = 0. 4. A adição é comutativa, x + y = y + x, para todos x, y ∈ F . 1 6. x · y = y · x. Exemplo 1. z ∈ F . x · (y + z) = x · y + x · z e (x + y) · z = x · z + y · z. 8. então x = 0. Definimos uma adição e uma multiplicação em F pelas tábuas: + 0 1 · 0 1 e 0 0 1 0 0 0 . y. dos reais R e dos complexos C. 9. A multiplicação é distributiva com relação à adição. b. y. Exemplo 1. Proposição 1. 1}. 7. z ∈ F . CAPÍTULO 1. b 5. A cada x em F − {0} corresponde um único elemento x−1 ou que x · x−1 = x−1 · x = 1. então x = 1. Se b 6= 0 e b · x = b.2 Seja F = GF (2) = {0. A multiplicação é associativa. para todos x. A multiplicação é comutativa. 1 x (inverso) em F tal . para todo x ∈ F . com as operações usuais de adição e multiplicação são corpos. Se a + b = 0.3 Sejam a. PRÉ-REQUISITOS x · (y · z) = (x · y) · z. Se a + x = a. a equação a · x = b tem uma única solução x = a−1 · b = a . 3.2 5. 4. x ∈ R. A equação a + x = b tem uma única solução x = (−a) + b. Então: 1. 1 1 0 1 0 1 É fácil verificar que F com essas duas operações é um corpo. para todos x. para todos x. então b = −a. Existe um único elemento 1 (um) em F tal que x · 1 = 1 · x = x. chamado de corpo de Galois. Se a 6= 0.1 O conjunto dos números racionais Q. y ∈ F . 2. MATRIZES 6. 8. F é um subcorpo de K. . . . i = 1. . 7. ⎥ ⎦ . ⎟ . ⎥ .. −(a + b) = (−1)(a + b) = (−1)a + (−1)b = (−a) + (−b). ⎢ . . a notação A = [aij ]1≤i≤m . .. am1 · · · amn am1 · · · amn onde aij ∈ R. 3 ¥ Sejam F e K corpos. n. nesse caso. m e j = 1. Usaremos. Prova. R é uma extensão de corpos de Q e Q é um subcorpo de R. ⎦ ⎣ .. x · 0 = 0. A=⎜ . −(−x) = x. ⎟ ou A = ⎢ . A i-ésima linha da matriz A é matriz 1 × n h i Li = ai1 ai2 · · · ain e a j-ésima coluna da matriz A é matriz m × 1 ⎡ a1j ⎢ ⎢ a2j Cj = ⎢ . simplesmente. . 10. ⎢ . . ⎝ . 1. 1≤j≤n ou. ⎤ amj ⎥ ⎥ ⎥. .2. . A = [aij ]. Dizemos que K é uma extensão de corpos de F se F ⊆ K e. ⎠ . pois Q ⊆ R. . também. ⎥. (−1)(−1) = 1.1. . ⎣ .. 9. Por exemplo. −x = (−1)x.2 Matrizes Uma matriz m × n A sobre o corpo dos números reais R é um arranjo retangular com m linhas e n colunas da forma ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ a11 · · · a1n a11 · · · a1n ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ a21 · · · a2n ⎥ ⎜ a21 · · · a2n ⎟ ⎜ . −(a + b) = (−a) + (−b). . Vamos provar apenas o item (8). . . . as entradas a11 . B = [bij ] ∈ Rm×n . 7. Dizemos que A é igual a B. a(A + B) = aA + aB. 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. para toda A ∈ Rm×n . Existe O ∈ Rm×n tal que A + O = A. ann e a12 . aij = bij . (A + B) + C = A + (B + C). 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. para todos a. dizemos que a matriz diagonal A é uma matriz identidade se ( 1 se i = j aij = δ ij = 0 se i 6= j. B ∈ Rm×n e a ∈ R. b ∈ R e A ∈ Rm×n . a(bA) = (ab)A. 4. Em particular. i 6= j. A + B = B + A. para todos a. . . O conjunto de todas as matrizes m × n será denotado por M(m. a22 . 1 · A = A. e será denotada por In = [δ ij ]. Nesse caso. existe −A ∈ Rm×n tal que A+(−A) = O. 3. para todas A. se. em símbolos A = B. 2. (a + b)A = aA + bA. possui as seguintes propriedades: 1. a(n−1)n formam a diagonal principal e a superdiagonal de A. . e somente se. onde δ ij é o símbolo de Kronecker. Dizemos que uma matriz quadrada A é uma matriz diagonal se aij = 0. B. para toda A ∈ Rm×n . O conjunto Rm×n munido com as operações de adição A + B = [aij + bij ] e multiplicação por escalar aA = [aaij ]. C ∈ Rm×n . PRÉ-REQUISITOS O símbolo aij significa o elemento da matriz A que está na i-ésima linha e j-ésima coluna e será chamado de entrada da matriz A. ∀ a ∈ R. A matriz A = [aij ] ∈ Rm×n com aij = 0. b ∈ R e A ∈ Rm×n . onde −A = [−aij ]. 5. n) ou Rm×n . para todas A. para todas A. 6. Para cada A ∈ Rm×n . respectivamente. . Uma matriz A ∈ Rm×n é chamada de matriz quadrada se m = n. a23 . é chamada de matriz nula e será denotada por 0.4 CAPÍTULO 1. Sejam A = [aij ]. 8. B ∈ Rm×n . . . B. 2. E21 = e E22 = . A transposta de matrizes possui as seguintes propriedades: 1. onde Cj é a j-ésima coluna da matriz B e cij = n X k=1 aik bkj . Sejam A = [aij ] ∈ Rm×n e as matrizes unitárias Eij = [epq ] ∈ Rm×n . para todas A. (AB)C = A(BC). 3. O ∈ Rm×n e B. B ∈ Rn×n . B. (AB)t = Bt At . O produto de matrizes possui as seguintes propriedades: 1. quando m = n = 2. At = [aji ]. O ∈ Rn×p . (A + B)t = At + Bt . onde ( 1 se (p. Note que AB ∈ Rm×p . O produto de A por B. q) = (i. A= n m XX j=1 i=1 aij Eij . A(B + C) = AB + AC. para todas A. 0 0 0 0 1 0 0 1 Então é fácil verificar que (quando o produto é definido) 1. C ∈ Rn×n . (A + B)C = AC + BC. Por exemplo. AO = O e OB = O. C ∈ Rn×n . MATRIZES 5 Sejam A = [aij ] ∈ Rm×n e B = [bij ] ∈ Rn×p . B ∈ Rm×n . j) epq = δpi δ qj = 0 se (p. 4. é definido como AB = A[ C1 · · · Cp ] = [ AC1 · · · ACp ] = [cij ]. para todas A. (aA)t = aAt . 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p. para toda A ∈ Rm×n e a ∈ R. . C ∈ Rn×n . j). 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. 2. para todas A. para todas A.1. E12 = . obtemos " # " # " # " # 1 0 0 1 0 0 0 0 E11 = . Seja A = [aij ] ∈ Rm×n . AB. 3.2. ou seja. q) 6= (i. em símbolos. para todas A. A matriz transposta de A é a matriz obtida escrevendo-se as linhas da matriz A como colunas. B. Uma permutação σ ∈ Sn pode ser escrita sob a forma à ! 1 2 ··· n σ= . s)-ésima entrada é igual a aqr e as demais zeros. σ2 = σ ◦ σ = . . isto é. onde Sn é o conjunto de todas as permutações do conjunto {1. um e somente um. Epq A = j=1 n P aqj Epj . Seja A = [aij ] ∈ Rn×n . . 1 2 3 2 3 1 3 1 2 à ! à ! à ! 1 2 3 1 2 3 1 2 3 τ = . . 3. Epq AErs = aqr Eps . de cada linha e coluna de A. onde o sinal está bem definido. AEpq é a matriz cuja q-ésima coluna é igual a p-ésima i=1 coluna da matriz A e as demais zeros. det A é a soma de n! termos. Eij Epq = δ jp Eiq .6 2. AEpq = m P CAPÍTULO 1. σ◦τ = . . 2. . Por exemplo. Assim. isto é. Epq AErs é a matriz cuja (p. e qualquer termo tem n elementos. . σ2 ◦ τ = 3 2 1 1 3 2 2 1 3 e det A = (−1)0 a11 a22 a33 + (−1)2 a12 a23 a31 + (−1)2 a13 a21 a32 +(−1)1 a11 a23 a32 + (−1)1 a12 a21 a33 + (−1)3 a13 a22 a31 = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) −(a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 ). com N igual ao número de inversões (transposições) necessárias para trazer de volta o conjunto {σ(1). PRÉ-REQUISITOS aip Eiq . 5. temos que os seis elementos de S3 são: à ! à ! à ! 1 2 3 1 2 3 1 2 3 I = . σ(n)} a sua ordem natural. σ(1) σ(2) · · · σ(n) onde a ordem das colunas não importa. Epq A é a matriz cuja p-ésima linha é igual a q-ésima linha da matriz A e as demais zeros. σ(2). . n} e sgn σ = (−1)N . O determinante da matriz A é definido por det A = σ∈Sn X sgn σa1σ(1) · · · anσ(n) . . σ= . isto é. . 4. para n = 3. então det A = 0. det At = det A. Se B é a matriz obtida de A trocando-se a i-ésima linha pela j-ésima linha. ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 2. . Se duas linhas da matriz A são iguais (ou Li = aLj . ⎥ ⎢ . Vamos provar apenas os itens (1). ⎢ . Portanto. ⎥ ⎢ . Prova. . ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 1. ⎢ . ⎢ . (4) e (5) Para provar (1). ⎥ ⎢ . ⎦ ⎣ ⎣ . .5 Sejam A = [aij ] ∈ Rn×n . Se Li = O.1. basta notar que X X sgn σa1σ(1) · · · (aiσ(i) + riσ(i) ) · · · anσ(n) = sgn σa1σ(1) · · · aiσ(i) · · · anσ(n) σ∈Sn σ∈Sn + σ∈Sn X sgn σa1σ(1) · · · riσ(i) · · · anσ(n) . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . então det B = − det A. ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ L1 L1 L1 ⎢ .1: Número de inversões de σ. σ admite duas inversões. o número de cruzamentos corresponde ao número de inversões de σ. Li a uma matriz fixada. ⎦ ⎣ Ln Ln Ln ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ L1 L1 ⎢ .4 Uma maneira alternativa para determinar o número de inversões de uma permutação à ! 1 2 3 σ= ∈ S3 2 3 1 é ilustrado no esquema da Figura 1. então det A = 0. . ⎥ ⎢ . ⎢ . ⎥ ⎢ . com i < j). ⎥ ⎢ . MATRIZES 7 Observação 1. ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥ ⎦ 4. i-ésima linha de A e Ri = [rij ] ∈ R1×n ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. Nesse caso. para todo a ∈ R. det ⎢ Li + Ri ⎥ = det ⎢ Li ⎥ + det ⎢ Ri ⎢ . ⎥ ⎢ . 5. ⎥ ⎣ . ⎦ ⎣ . det ⎢ aLi ⎥ = a det ⎢ Li ⎥ . ⎥ ⎢ . 6. Figura 1. ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . Esse procedimento vale para Sn .2. ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎦ Ln Ln 3. Proposição 1. ⎥ ⎢ . ∀ a ∈ R.1. f é sobrejetora. 2. ϕ ∈ Sn . . τ (j) = i e τ (x) = x. det A = a11 det a32 a33 a31 a33 a31 a32 . note que a1σ(1) · · · anσ(n) = aϕ(1)σ(ϕ(1)) · · · aϕ(n)σ(ϕ(n)) . ¥ Teorema 1. Agora. ∀ σ. Então a função f : X → Y definida por f (σ) = σ ◦ τ é bijetora. então σ = σ ◦ I = σ ◦ (τ ◦ τ ) = (σ ◦ τ ) ◦ τ = (ϕ ◦ τ ) ◦ τ = ϕ ◦ (τ ◦ τ ) = ϕ ◦ I = ϕ. em particular. Então pode ser provado que sgn τ = −1 e sgn(σ ◦ τ ) = − sgn σ. ∀ σ ∈ Sn . pois τ ◦ τ = I. PRÉ-REQUISITOS (4) Suponhamos que Li = Lj com i < j. De fato. .6 (Teorema de Binet) Sejam A. f é injetora. X ¡ ¢ sgn σ a1σ(1) · · · aiσ(i) · · · ajσ(j) · · · anσ(n) − a1σ(1) · · · aiσ(j) · · · ajσ(i) · · · anσ(n) ¡ ¢ sgn σ a1σ(1) · · · aiσ(i) · · · aiσ(j) · · · anσ(n) − a1σ(1) · · · aiσ(j) · · · aiσ(i) · · · anσ(n) σ∈X X sgn(σ ◦ τ )a1σ(τ (1)) · · · anσ(τ (n)) pois Li = Lj . Assim. para ϕ = σ −1 e sgn σ = sgn σ −1 . para todo x ∈ {1. temos que X X sgn σa1σ(1) · · · anσ(n) = sgn σaσ−1 (1)1 · · · aσ−1 (n)n det A = σ∈Sn = σ∈Sn X σ∈Sn sgn σ −1 aσ−1 (1)1 · · · aσ−1 (n)n = det At . se f (σ) = f (ϕ). Então # # # " " " a22 a23 a21 a23 a21 a22 − a12 det + a13 det . Portanto. Finalmente. n} − {i. ou seja.8 CAPÍTULO 1. ¥ Seja A = [aij ] ∈ R3×3 . B ∈ Rn×n . para provar (5). dado ϕ ∈ Y existe σ = ϕ ◦ τ ∈ X tal que f (σ) = (ϕ ◦ τ ) ◦ τ = ϕ. isto é. . j}. Seja τ ∈ Sn a permutação definida por τ (i) = j. X sgn σa1σ(1) · · · anσ(n) det A = σ∈Sn = = σ∈X X X sgn σa1σ(1) · · · anσ(n) + σ∈X = σ∈X = 0. Então det(AB) = det(BA) = det A det B. Sejam X = {σ ∈ Sn : σ(i) < σ(j)} e Y = {σ ∈ Sn : σ(i) > σ(j)}. . seja A = [bij ] a matriz obtida de A substituindo-se a j-ésima linha pela i-ésima a b b linha (note que se i = j. j. O escalar cij = (−1)i+j det(Aij ) é chamado o cofator do termo aij no det A e a matriz C = [cij ] ∈ Rn×n é chamada a matriz dos cofatores da matriz A. a para todo k. onde dij = n X k=1 aik bkj = n X k=1 aik (−1)k+j det(Ajk ). De modo análogo trabalha com BA. j=1 9 onde Aij é a matriz obtida eliminando-se a i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz A. os itens (1) e (3) da Proposição 1.1. . Cn as colunas da matriz A. k=1 b pois A tem duas linhas iguais quando i 6= j.5 (pelo item (5) continua válido para colunas). Prova. Se existirem x1 . = xj det A. Teorema 1. .8 (Regra de Cramer) Sejam A ∈ Rn×n e C1 . para todo k. . então A = A). então h i xj det A = det C1 · · · Cj−1 B Cj+1 · · · Cn . Seja B = adj A = [bij ]. Logo. Aplicando. Então A · adj A = AB = [dij ]. . Então bjk = aik . para todos i.7 Seja A ∈ Rn×n . . pode ser provado que det A = n X (−1)i+j aij det(Aij ). . b Agora. xn ∈ R tais que B = x1 C1 + · · · + xn Cn . onde adj A é a transposta da matriz dos cofatores de A. ( n X det A se i = j b b dij = bjk (−1)k+j det(Ajk ) = det(A) = a 0 se i 6= j. MATRIZES Mais geralmente.2. obtemos h i h i Pn det C1 · · · Cj−1 B Cj+1 · · · Cn = det C1 · · · Cj−1 k=1 xk Ck Cj+1 · · · Cn n i h X = xk det C1 · · · Cj−1 Ck Cj+1 · · · Cn k=1 Teorema 1. . . . pois a j-ésima linha é eliminada para obter essas matrizes. . Então A · adj A = adj A · A = (det A)In . n. Portanto. . indutivamente. . a qual é chamada de adjunta clássica de A. i = 1. A · adj A = adj A · A = (det A)In ¥ Prova. . Assim. de modo que bij = cji = (−1)i+j det(Aji ). Ajk = Ajk . det A 6= 0. d −b −c a Sejam A. A inversa de matrizes possui as seguintes propriedades: 1. Nesse caso. B ∈ Rn×n são invertíveis. Vamos denotar a matriz inversa de A por A−1 . dizemos que A e B são semelhantes ou conjugadas. Note que se A = [aij ] ∈ Rn×n é uma matriz triangular. Uma matriz A = [aij ] ∈ Rn×n é invertível ou não-singular se existir uma matriz B = [bij ] ∈ Rn×n tal que AB = BA = In . Dizemos que A e B são congruentes se existir uma matriz invertível P ∈ Rn×n tal que B = Pt AP. B ∈ Rm×n . . A ∈ Rn×n é invertível se. Sejam A. Se A. PRÉ-REQUISITOS ¥ pois as outras matrizes têm duas colunas iguais quando k 6= j. para i > j (aij = 0. # ∈ R2×2 . Mostre todas as afirmações deixadas nesta seção. Caso contrário. se A= então A−1 1 = det A " 1 adj A. A é não-invertível ou singular. 2. B ∈ Rn×n . det A # a b c d " ∈ R2×2 . A−1 = Em particular. se m = n e P = Q. então AB é invertível e (AB)−1 = B−1 A−1 . EXERCÍCIOS 1. Uma matriz A = [aij ] ∈ Rn×n é chamada uma matriz triangular superior (inferior) se aij = 0. para i < j). e somente se.10 CAPÍTULO 1. Dizemos que A e B são equivalentes se existirem matrizes invertíveis P ∈ Rm×m e Q ∈ Rn×n tais que B = PAQ−1 . então det A = a11 a22 · · · ann . Em particular. P ∈ Rn×n tais que B. Mostre que det(cA) = cn det A. Sejam A. Mostre que existem matrizes A. para todo c ∈ R. Seja A ∈ Rn×n tal que A2 = A. 11. 10. para algum k ∈ N. . Mostre que det(PAP−1 ) = det A. Seja A ∈ Rn×n . B ∈ R2×2 tais que (A − B)(A + B) 6= A2 − B2 . 3. ∀ m ∈ N. Sejam A. B = [bij ] ∈ Rn×n . P ∈ Rn×n com P invertível. B. Sejam A. 8. Mostre que det A = 0 ou det A = 1. P ∈ Rn×n com P invertível. Sejam A = [aij ]. Mostre que In +BA é invertível e (In + BA)−1 = In + B(In + AB)−1 A. 7. MATRIZES 2. D ∈ Rn×n e " E= A B O D # e F= " A B C D # . Mostre que ¢m ¡ PAP−1 = PAm P−1 . 6. C. ⎢ ⎢ A=⎢ ⎣ 5. 9. Mostre que det A = 0. Mostre que det B = det A. P e APAt + B−1 sejam invertíveis. Mostre que det(E) = det(A) det(D). mostre que det(F) = det(A) det(D − CA−1 B). 2 −1 3 1 ⎦ 0 3 1 3 11 Existe uma matriz B 6= O com AB = O? Existe uma matriz C 6= O com CA = O? 4.1. 12. B ∈ Rn×n tais que In +AB seja invertível. Sejam A. Seja A ∈ Rn×n tal que Ak = O. Seja ⎡ ⎤ −3 3 −4 0 1 1 2 2 ⎥ ⎥ ⎥ ∈ R4×4 . Sejam A. Se A é invertível. B. Mostre que P−1 + At BA é invertível e (P−1 + At BA)−1 = P − PAt (APAt + B−1 )−1 AP.2. onde bij = (−1)i+j aij . Seja A ∈ Rn×n . 14. e somente se. se AC = CA. Seja f : Rn×n → R uma função tal que f (AB) = f (A)f (B). Dizemos que A é uma matriz ortogonal se AAt = At A = In Mostre que se A é ortogonal.) 13. B ∈ Rn×n . A é uma matriz diagonal. O traço de A é definido por tr(A) = Mostre que: (a) tr(A + B) = tr(A) + tr(B). Seja A = [aij ] ∈ Rn×n . B ∈ Rn×n . Seja A ∈ Rn×n . Mostre que se A é anti-simétrica e n é ímpar. para toda A ∈ Rn×n e a ∈ R. para todas A. ∀ A. (Sugestão: Note que " # " # #" A B In O A B = O D O D 0 In e " A−1 O −1 −CA In #" A B C D # = " In A−1 B 0 D − CA−1 B # . n X i=1 aii . . (e) tr(AB − BA) = 0. e somente se. 15. 19. para toda matriz diagonal D ∈ Rn×n se. B ∈ Rn×n . Mostre que AB = BA. Dizemos que A é uma matriz simétrica se At = A e que A é uma matriz anti-simétrica se At = −A. A = aIn . para todas A. B ∈ Rn×n com AB − BA = In . e existem X. (d) tr(PAP−1 ) = tr(A). 18.12 CAPÍTULO 1. 16. então det A = ±1. (b) tr(aA) = a tr(A). mostre que det(F) = det(AD − CB). então f (A) 6= 0. para todas A. Mostre que AD = DA. (Sugestão: Calcule AEij = Eij A. B ∈ Rn×n . (c) tr(AB) = tr(BA). Seja A ∈ Rn×n . Sejam A. P ∈ Rn×n com P invertível. para todas A. PRÉ-REQUISITOS Em particular. Y ∈ Rn×n com f (X) 6= 0 e f (Y) 6= 1. ∀ m ∈ N. Seja A ∈ Rn×n . para algum a ∈ R. então det A = 0.) 17. Mostre que Am B − BAm = mAm−1 . para toda B ∈ Rn×n se. Mostre que se A é invertível. . i = 1. m e j = 1.3.3 Sistemas de Equações Lineares lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de onde aij . yn ) ou Y = [y1 . · · · + amn xn = bm . . . dizemos que o sistema de equações lineares (1. isto é. . onde ⎡ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ é a matriz dos coeficientes. ⎪ . . . .. .1) aij yj = bi . . i = 1. ⎢ ⎢ A=⎢ ⎢ ⎣ a11 a21 . Note que a n-upla (0. . . xn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . . . . . . a1n a2n . . . . (1. . . . O sistema (1. . . . . . . . . .1) pode ser escrito sob a forma matricial AX = B ou Xt At = Bt . Uma solução do sistema de equações lineares (1. .1) é uma n-upla Y = (y1 . 0) é sempre uma solução do sistema homogêneo. . . . . . .1. . . . . n. . ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ a x + m1 1 · · · + a1n xn = b1 · · · + a2n xn = b2 . . yn ] que satisfaz cada uma das m equações.1) é um sistema homogêneo. . Observação 1. . SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 13 1. .9 Se b1 = b2 = · · · = bm = 0. m. ou n X j=1 aij xj = bi . . . n X j=1 Um sistema de equações equações da forma: ⎧ ⎪ a11 x1 + ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ a21 x1 + . a12 · · · a22 · · · ... bi ∈ R.. am1 am2 · · · amn ⎢ ⎢ X=⎢ ⎢ ⎣ ⎡ x1 x2 . i=1 então necessariamente Caso contrário. . i=1 m X i=1 ri bi = 0.10 Vamos resolver o sistema de equações lineares ⎧ ⎪ x1 + x2 − 2x3 = 4 ⎨ x1 + x2 − x3 = 3 ⎪ ⎩ x1 + 4x2 − 4x3 = 5 A matriz associada ao sistema de equações lineares (1. am1 · · · amn .2) é chamado de sistema compatível se para qualquer escolha de ri ∈ R tal que m X ri Li = 0. . ⎦ ⎣ . . PRÉ-REQUISITOS é a matriz dos termos independentes. ⎢ 21 · · · a2n . . . . Exemplo 1. B ] = ⎢ . . . . .2) ai1 ai2 · · · ain . . Dizemos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes se eles admitem as mesmas soluções. . .14 é a matriz das incógnitas e ⎡ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ CAPÍTULO 1. ⎥ ⎢ . ⎢ ⎢ B=⎢ ⎢ ⎣ b1 b2 .2) tem solução.. b2 ⎥ . bm L1 X = b1 . ! usando algumas operações sobre as linhas da matriz ampliada do sistema. ⎥ . . pois se Y é uma solução do sistema e m X ri Li = 0. . . . . A0 = [ A . . Se o sistema de equações lineares (1. Nesse caso. . ⎥ . a11 · · · a1n . ele é chamado de sistema incompatível. m. ⎥ ⎢ a .1) ou (1. b1 . então é chamada de matriz ampliada (aumentada) do sistema.. onde Li = h i (1. L2 X = b2 . . ⎢ . bm m X i=1 ri bi = m X i=1 m X ri (Li Y) = (ri Li )Y = i=1 à m X i=1 ri Li Y = 0Y = 0. .2) ⎤ ⎡ . O sistema de equações lineares (1. então ele é compatível. Lm X = bm . i = 1. . . −1 . nosso sistema é equivalente ao sistema ⎧ 7 ⎪ x1 = ⎨ 3 x2 = −1 . 2 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 2 ⎢ 0 1 −2 . . 7 1 ( . ⎢ 1 ⎥ L → L + 2L 2 . ⎢ 0 0 L ⎣ 2 1 . −1) 3 3 é a única solução do sistema. ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ . 1 ⎥ L2 → L3 . . i 6= j. 4 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 1 . 7 . 0 0 1 . Cada operação acima tem uma inversa do mesmo tipo: . . Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais c vezes a j-ésima linha. ⎣ ⎦ −−−−− ⎣ 3 3 ⎦ −−−−→ . . . − . 0 0 1 . .3. Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não-nulo c. c 6= 0) 15 3.1. ⎣ 3 3 ⎦ −− − − −→ 3 3 ⎦ −−−−− − − − − −3− − − − − −→ . SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Solução. . 1 4 −4 . Considerando a matriz ampliada do sistema. 1 1 −2 . . temos que ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ . 4 . −1 ⎥ L−→− 3 − L1 . . (Li ↔ Lj ) 2. 1 ⎥ L → L + L . 3 ⎥ L2 → L2 − L1 ⎢ 0 0 . −1 . Permutação das i-ésima e j-ésima linhas. ⎢ 1 1 −1 . . 3 ⎪ ⎩ x3 = −1 Logo. . . ⎣ ⎦ ⎦ −− → − − − −3− − − −→ . . 1 ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ . 0 0 1 . −1 . 1 1 3 ⎣ 0 1 − 2 2 3 . (Li → Li + cLj ) essas operações são chamadas de operações elementares sobre as linhas da matriz A. 4 1 1 −2 . 4 1 1 0 . . 4 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ . − 1 ⎥ . 1 1 −2 . . 5 . 0 0 1 . − 1 ⎥ L1 → L1 − L2 ⎢ 0 1 0 . −1 . 1 4 −4 . 1 . 0 3 −2 . É fácil verificar que operações elementares sobre as linhas da matriz ampliada A0 correspodem a efetuar combinações lineares das equações do sistema de equações lineares AX = B. 2 1 0 0 . .11 1. . . 1 1 −2 . 1 1 0 . 3 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 0 1 0 . . . −1 . . . ⎣ ⎦ −−−−− ⎣ ⎦ −3 − L−− → −−−−→ −− − . 5 ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ . 1 1 −2 . Observações 1. (Li → cLi . 0 0 1 . . −1 ⎥ L− ↔− 3 ⎢ 0 3 −2 . As operações usadas na matriz ampliada do sistema foram: 1. Assim. Li−1 X = bi−1 . É claro que basta provar que uma operação elementar sempre produz um sistema equivalente. em particular. onde Si (c) = In + (c − 1)Eij .12 Se um sistema de equações lineares é obtido de outro através de um número finito de operações elementares. .2). . (c) Vij (c)A. também. se Y é solução do sistema (1. Lj Y = bj .3) Agora. Y é solução do sistema (1. Teorema 1. Exemplo 1. . ¥ Sejam A e R duas matrizes m × n. . . .2) pode ser escrito sob a forma L1 X = b1 . As operações (1) e (2) são facilmente provadas. Lm X = bm . . Note. 0 0 1 2 1 −3 −2 5 . seja Y uma solução do sistema (1. Prova. (Li + cLj )Y = bi + cbj e Lj Y = bj . Como (Li + cLj )Y = Li Y + cLj Y temos que Li Y = bi Portanto.3). Reciprocamente. Suponhamos que a operação consiste na substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais c vezes a j-ésima linha com i < j. (1. Então o sistema (1. (c) Li → Li + cLj e Li + c−1 Lj → Li são inversas. onde Vij (c) = In + cEij . . PRÉ-REQUISITOS (b) Li → cLi e c−1 Li → Li são inversas. (b) Si (c)A. . então é claro que Y também é solução do sistema (1. CAPÍTULO 1. onde Pij = In − Eii − Ejj + Eij + Eji . que as operações acima são equivalentes a: (a) Pij A. 2. (Li + cLj )X = bi + cbj . de modo que. Dizemos que R é equivalente por linha a A se R for obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas da matriz A. .3). . .16 (a) Lj → Li é sua própria inversa. i 6= j.2).13 As matrizes abaixo são equivalentes por linhas: ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ 7 1 0 0 1 1 −2 4 3 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ A = ⎣ 1 1 −1 3 ⎦ → · · · → R = ⎣ 0 1 0 − 1 ⎦ 3 1 4 −4 5 0 0 1 −1 ⎡ e ⎤ ⎤ ⎡ 1 0 0 3 1 4 3 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ A=⎣ 2 5 4 4 ⎦ → · · · → R = ⎣ 0 1 0 −2 ⎦ . então eles são equivalentes. O posto (linha) de A. Se as linhas i = 1. em símbolos posto(A). A nulidade de A. A matriz ⎤ 1 0 0 3 ⎥ ⎢ R = ⎣ 0 1 0 −2 ⎦ 0 0 1 2 ⎡ ⎤ 1 0 0 3 ⎥ ⎢ R = ⎣ 0 0 1 −2 ⎦ 0 1 0 4 ⎡ k1 < k2 < k3 . Observação 1. . com r ≤ m. é igual ao número de linhas não-nulas de R. então k1 < k2 < · · · < kr . . ¥ Sejam A uma matriz m × n e R a matriz m × n linha reduzida à forma em escada de A.14 O primeiro elemento em qualquer linha de R na posição (i.15 1.1. .17 Determine o posto e a nulidade ⎡ 1 2 ⎢ A = ⎣ −1 0 1 −2 da matriz ⎤ 1 0 ⎥ 3 5 ⎦ 1 1 está na forma em escada. 3. O primeiro elemento não-nulo em cada linha não-nula de R for igual a 1. Exemplos 1. ki ) é chamado de pivô. 4. r. . 17 2. 2. Exemplo 1. é igual a nul(A) = n − posto(A). Cada coluna de R que contém o primeiro elemento não-nulo de alguma linha tem todos os outros elementos nulos. Teorema 1. Toda linha de R cujos elementos são todos nulos ocorre abaixo de todas as linhas que possuem um elemento não-nulo.16 Toda matriz m × n é equivalente por linha a uma matriz na forma em escada. A matriz não está na forma em escada. k2 = 3 e k3 = 2 não implica que . em símbolos nul(A). SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Uma matriz R é reduzida por linha à forma em escada se: 1. pois k1 = 1.3. são as linhas não-nulas de R e se o primeiro elemento não-nulo da linha i ocorre na coluna ki . Ot . então o sistema tem infinitas soluções. . ⎤ . ¥ Observações 1. 0. Se posto(A) < posto(A0 ). se m = n. Teorema 1. 4 1 1 0 0 1 11 8 temos que o posto(A) = 3 e a nul(A) = 4 − 3 = 1. [ In . então o sistema não tem solução. ⎣ ⎦ . na matriz . O Assim. X ]. Nesse caso. ··· ⎥. . . ⎦ . At . ⎣ . ··· . . ··· . o sistema AX = B tem uma solução particular Xp se. e somente se. Rt . existem nul(A) = n − posto(A) variáveis livres. B ] . PRÉ-REQUISITOS A à forma em escada ⎡ ⎤ ⎤ 1 0 0 −7 1 0 8 ⎢ ⎥ ⎥ 3 5 ⎦ −→ · · · −→ R = ⎣ 0 1 0 − 1 ⎦ . ⎢ ⎢ ··· . . ⎢ ⎥ ⎥ → ··· → ⎢ ··· . t . . In . ⎥ ⎢ ⎢ ··· . . . Xt p ⎡ ⎤ ⎥ ⎥. 3. Então o sistema tem solução se. S . então o sistema tem uma única solução. Ot . . −B . ⎦ ⎣ t . Se posto(A) = posto(A0 ) e posto(A) < n. Em particular. In . −Bt . 4. posto(A) = posto(A0 ) ou. .18 Solução. [ A . A−1 . então para determinar a solução do sistema basta transformar a matriz . b) com b 6= 0. At . .19 1. Uma maneira alternativa de resolver o sistema AX = B é considerando a matriz A-associada ⎤ ⎡ . a forma reduzida da matriz A0 não contém uma linha da forma (0. 2. . In .18 Sejam AX = B um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas e A0 sua matriz ampliada. . e somente se. ⎡ . . Se posto(A) = posto(A0 ) e posto(A) = n. Reduzindo a matriz ⎡ 1 2 ⎢ A = ⎣ −1 0 1 −2 CAPÍTULO 1. equivalentemente. ··· . Determine a. . 0 0 1 ⎥ ⎢ ⎢ 3 ⎢ ⎢ ⎥ .20 Resolva o sistema ⎧ ⎪ x + 2y − 2z = 1 ⎨ 2x + y − 2z = 6 ⎪ ⎩ x + 8y − 6z = −7. 0 0 0 3 Portanto. temos que a solução particular do sistema é ¶ µ 11 4 Xp = . 1 . n. k = posto(At ) e si . a solução geral do sistema é X = Xp + Xh . . . Vamos escalonar a matriz A-associada ⎡ ⎡ ⎤ . 0 0 0 .1. Solução. 11 −1 −6 7 . ⎢ ··· ··· ··· . . . . . 1 0 0 1 0 5 . . . ⎥ −→ · · · −→ ⎢ 0 2 . . ⎢ ⎢ ⎥ 2 .0 +c .3. . ··· ··· ··· ⎥ ⎢ ··· ··· ··· . SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 19 onde Rt é a matriz linha reduzida à forma em escada de At .− . . Portanto. ⎣ ⎣ ⎦ . ⎢ −2 −2 −6 . 0 0 .0 3 3 EXERCÍCIOS 1. ci ∈ R. . 3 3 3 3 −2 3 −1 3 2 3 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥. Note que Xh é a solução do sistema homogêneo AX = O. onde Xh = n X i=k+1 ci si .− . ⎪ ⎩ −x1 + ax2 + x3 = 3 tenha infinitas soluções. 3 ⎢ ⎢ ⎥ . 1 . ⎥ ⎥ ··· ··· ⎥ ⎦ 4 −3 0 0 ⎤ é a solução geral do sistema. de modo que o sistema ⎧ ⎪ x1 + 2x2 − 2x3 = 7 ⎨ 3x1 + x2 − 5x3 = b . Fazendo c = 0. 0 1 0 ⎥ 1 −2 . b ∈ R. Exemplo 1. X= µ ¶ µ ¶ 11 4 2 2 . i = k + 1. ⎢ 0 ⎢ 2 3 ⎢ ⎢ ⎥ . 1 8 . . . ∀ c ∈ R. 1 2 1 . são as linhas da matriz S. . . Seja t ∈ R fixado e considere os conjuntos W = {(x. z) ∈ R3 : x − y + tz = 2}.) . z) ∈ R3 : x − (1 + t)y = t}. 1 −2 1 1 ⎡ Determine uma matriz R linha reduzida à forma em escada que seja linha equivalente a A e uma matriz 3 × 3 invertível P tal que R = PA. A−1 ] . U = {(x. V = {(x.20 2. . 6. Sejam A= " 1 1 −1 −1 # exista uma matriz B ∈ R3×2 tal que ⎤ ⎡ ⎤ 2 3 1 2 ⎥ ⎢ ⎥ 5 6 ⎦B = ⎣ 3 1 ⎦. Determine λ ∈ R. de modo que ⎡ 1 ⎢ ⎣ 4 7 4. . 8 λ 5 5 " 2 1 1 2 # . de modo que o sistema tenha solução. y. y. [ A . I3 ] −→ · · · −→ [ R . de modo que XA − 2X + XB2 = C2 − XA − XB2 . à forma em escada. Seja o sistema CAPÍTULO 1. 3.B = Determine uma matriz X ∈ R2×2 .C = " 2 0 1 3 # ∈ R2×2 . 5. . I3 ] −→ · · · −→ [ I3 . . à forma em escada. y. . z) ∈ R3 : y + z = 1}. [ A . (Sugestão: Basta reduzir a matriz . Determine a inversa da matriz ⎡ ⎤ (Sugestão: Basta reduzir a matriz ⎢ A=⎣ 1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1 3 1 4 1 5 ⎥ ⎦. ⎪ 1 ⎩ 5x2 − x3 = b3 Determine condições sobre b1 . Seja a matriz ⎤ 1 2 1 0 ⎢ ⎥ A = ⎣ −1 0 3 5 ⎦ ∈ R3×4 . PRÉ-REQUISITOS ⎧ ⎪ x1 − 2x2 + x3 = b1 ⎨ 2x + x2 + x3 = b2 . Dê uma interpretação geométrica desse problema.) 7. Determine U ∩ V ∩ W . . . b2 e b3 . P ]. ai . 1 2 −2 . ⎢ 0 1 2 . Seja ⎤ 1 2 −3 ⎥ ⎢ A=⎣ 2 5 −4 ⎦ . −2 1 0 ⎥ . (a) Reescreva as condições para um quadrado mágico como um sistema de 8 equações lineares nas variáveis s. ⎢ 2 B=⎣ 5 −4 . 1 0 0 . Pt ]. . −3 2 8 . −2 −4 8 . de modo que f + f 0 + f 00 + f 000 = 1. . [ D . 0 1 0 . . i = 1. ⎢ . 3 e resolva esse sistema. −3 −4 8 ⎡ Determine uma matriz invertível P tal que ⎡ Note que At = A e D é diagonal. 9. Sejam A. ⎦ ⎤ 1 0 0 ⎥ ⎢ Pt AP = D = ⎣ 0 1 0 ⎦. 2. 1 0 −3 . ⎣ ⎦ . . a soma das três colunas e a soma das duas diagonais são todas iguais ao mesmo número s. Determine todas as funções f : R → R da forma f (x) = a + bx + cx2 + dx3 + cx4 . Mostre que A é equivalente B se B for obtida de A por uma seqüência finita de operações elementares por linha e coluna. 11. 0 0 −5 agora aplique as operações de linhas e as correspondentes oparações de colunas para reduzir B à forma ⎡ ⎤ . Uma matriz ⎤ a1 b1 c1 ⎥ ⎢ A = ⎣ a2 b2 c2 ⎦ ∈ R3×3 a3 b3 c3 ⎡ é um quadrado mágico de ordem 3 se a soma das três linhas. (Sugestão: Considere a matriz . 0 0 1 continue até obter . ⎡ ⎤ ⎥ ⎥. 0 0 1 . SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 21 8. B ∈ Rm×n . bi e ci . .3.1. 10.) . 1 0 0 ⎢ ⎥ . .22 (b) Mostre que 3b2 = s. . n − 1.11. (Sugestão: Use indução em n e considere as operações elementares sobre colunas Cj+1 → Cj+1 − xj Cj . Mostre que as matrizes do item (2) da Observação 1. 4. ⎥ ⎦ 1≤i<j≤n i=1 j=i+1 onde si = ai + bi + ci . xn Esse determinante é conhecido como o determinante de Vandermonde. (e) Vij (c)−1 = Vij (c−1 ). 1. 3. . . 13. ij (b) Si (c)Si (d) = Si (cd). . (d) Vij (c + d) = Vij (c)Vij (d). . . então ele tem também uma solução X ∈ Rn×1 .) 15. . i = 0. . . s2 s3 s4 ⎡ ⎥ n−1 Y Y Y n ⎥ ⎥= (xi − xj ) = (xi − xj ). 14. . . 2 n−1 1 xn xn . . . Mostre que ⎤ s0 s1 s2 ⎢ ⎥ det ⎣ s1 s2 s3 ⎦ = [(a − b)(a − c)(b − c)]2 . . . . j = 1. Sejam A ∈ Rm×n e B ∈ Rm×1 . CAPÍTULO 1. PRÉ-REQUISITOS (c) Substitua as estrelas por números de modo ⎡ ∗ 1 ⎢ A=⎣ ∗ ∗ 2 ∗ seja um quadrado mágico. (c) Si (c)−1 = Si (c−1 ). Mostre que se o sistema AX = B tem uma solução X ∈ Cn×1 . 2. . Mostre que ⎡ ⎢ ⎢ det ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ 1 x1 x2 · · · xn−1 1 1 2 1 x2 x2 · · · xn−1 2 . . possui as seguintes propriedades: (a) P2 = In . que a matriz ⎤ ∗ ⎥ ∗ ⎦ 4 12. .. para todo u ∈ V . b ∈ R e u ∈ V . 8. para todos u. existe −u ∈ V tal que u + (−u) = 0. bases e dimensão de um espaço vetorial e relações entre bases de um mesmo espaço vetorial. 7. 2. (a + b)u = au + bu. v ∈ V .Capítulo 2 Espaços Vetoriais O principal objetivo deste capítulo é levar o aluno a compreender o conceito de espaço vetorial de um ponto de vista axiomático. b ∈ R e u ∈ V . veremos os conceitos de subespaços vetoriais. 6. u + (v + w) = (u + v) + w. Para cada u ∈ V .1 Espaços Vetoriais Um espaço vetorial sobre o corpo R (ou C) é um conjunto não-vazio V munido com duas operações: adição + : V × V →. 5. u + v = v + u. V (u. v. v) 7→ u + v e multiplicação por escalar ·: R×V (a. para todo u ∈ V . 23 → V 7→ au . 3. v ∈ V e a ∈ R. Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u. u) tal que as seguintes propriedades valem: 1. isto é. Além disso. a(bu) = (ab)u. para todos a. 1 · u = u. 4. para todos u. para todos u. 2. o conceito abstrato de espaço vetorial como objeto com uma estrutura algébrica específica. w ∈ V . a(u + v) = au + av. para todos a. dependência e independência linear. As propriedades associativa e comutativa da adição de vetores implicam que a soma de um certo número de vetores é independente da maneira pela qual esses vetores são combinados ou associados. xn ) : xi ∈ R}. por conveniência. Se u = (x1 . . Portanto. se u. . provaremos que −u = −1 · u e podemos escrever u − v = u + (−v). . 0 = w + (−w) = [w + w] + (−w) = w + [w + (−w)] = w + 0 = w. para todos u. . Além disso. . xn + yn ) e multiplicação por escalar au = (ax1 . 4. v. . Então w + w = (−u + u) + (−u + u) = −u + ([u + (−u)] + u) = −u + (0 + u) = −u + u = w. . . . v ∈ V . . . axn ). ESPAÇOS VETORIAIS 1. . −u + u = 0. para representar a diferença entre elementos de V .24 Observações 2. Exemplo 2. Logo. . Os elementos de V serão chamados. xn ) ∈ V e v = (y1 . 3. então V . .1 R. yn ) ∈ V . para todo u ∈ V . CAPÍTULO 2. . . então (u + v) + (w + t) = [v + (u + w)] + t e essa pode ser escrita sem confusão como u + v + w + t. de vetores. 0 + u = u. Por exemplo. . . é um espaço vetorial sobre R. para todo u ∈ V.8. com as operações de adição u + v = (x1 + y1 . . Na Proposição 2. Note que R com as operações usuais é um espaço vetorial sobre 2. . . 0 + u = [u + (−u)] + u = u + [−u + u] = u + 0 = u. w e t são vetores quaisquer em V . isto é. Seja w = −u + u.2 Seja V = Rn = {(x1 . Logo. . . . Dados u = (x1 . b ∈ R. . . Dados u = (x1 . −xn ) ∈ V tal que u + (−u) = 0. 1. xn ) ∈ V . . Dados u = (x1 . xn ) ∈ V e a. . . xn ) ∈ V . . . . . . . zn ) ∈ V . . . Assim. bxn ) = au + bu. . . xn + (yn + zn )) em R = ((x1 + y1 ) + z1 . i = 1. . . yn + zn ) = (x1 + (y1 + z1 ). . . . . . xn ) + (y1 + z1 . xn + yn ) = (0. . . . 6. . n. v = (y1 . . . . . bxn ) = (a(bx1 ). . . . . . . yi = −xi . . . Portanto. . . temos que u + (v + w) = (x1 . . . n. . xn ) ∈ V e a. . . . . . . .2. . . . . . . . . (ab)xn ) = (ab)u. Dado u = (x1 . . devemos encontrar v = (y1 . . i = 1. zn ) = (u + v) + w. O leitor que tenha dificuldade em trabalhar com o caso geral pode iniciar esse exemplo com n = 2 ou n = 3. . xn ) ⇒ xi + yi = xi . . Dado u = (x1 . . . . (a + b)xn ) em R = (ax1 + bx1 . 5. xn + yn ) = (x1 . . xn ) ∈ V e v = (y1 . . . temos que a(bu) = a(bx1 . . . . axn ) + (bx1 . . . y1 = y2 = · · · = yn = 0. (x1 + y1 . 2. . Dados u = (x1 . . para todo u ∈ V . . 0) ∈ V tal que u + 0 = u. . . temos que (a + b)u = ((a + b)x1 . Assim. . . yn ) ∈ V tal que u + v = 0. . . . . . . . . . . . . . . devemos encontrar v = (y1 . . . a(bxn )) em R = ((ab)x1 . yn ) ∈ V e w = (z1 . . i = 1. yn + xn ) = v + u. xn + yn ) + (z1 . . . yn ) ∈ V . . . . . . . . . . . . n. . . temos que u + v = (x1 + y1 . . . . (x1 + y1 . yn ) ∈ V tal que u + v = u. b ∈ R. . 0) ⇒ xi + yi = 0. . xn + yn ) em R = (y1 + x1 .1. . (xn + yn ) + zn ) = (x1 + y1 . . . . . . . ESPAÇOS VETORIAIS 25 Solução. . . . . Logo. para todo u ∈ V . . . . 4. . axn + bxn ) = (ax1 . . . . . existe −u = (−x1 . 3. . existe 0 = (0. Portanto. . xn ) ∈ V . . . então V . ESPAÇOS VETORIAIS 7. . . temos que a(u + v) = a(x1 + y1 . então V . . yn ) ∈ V e a ∈ R. . V = {A : A ∈ Rm×n }. . . . . . . . . . Se p. com as operações de adição p + q dada por (p + q)(x) = p(x) + q(x) e multiplicação por escalar ap dada por (ap)(x) = ap(x). Solução. . q ∈ V . xn ) = u. . . . . . . Solução. temos que 1 · u = (1 · x1 . . axn + ayn ) = (ax1 . Exemplo 2. Exemplo 2. é um espaço vetorial sobre R. Dado u = (x1 . .4 Seja V = Pn (R) = {p : p = a0 + a1 x + · · · + an xn . Note que Rn = R1×n . v = (y1 . . . . .26 CAPÍTULO 2. . Fica como um exercício.3 Seja V o conjunto de todas as matrizes m × n. ayn ) = au + av. . xn ). 1 · xn ) em R = (x1 . é um espaço vetorial sobre R. axn ) + (ay1 . . Dados u = (x1 . . Se A = [aij ] ∈ V e B = [bij ] ∈ V . . . ai ∈ R}. a(xn + yn )) em R = (ax1 + ay1 . isto é. . . xn ) ∈ V . . . o conjunto de polinômios com coeficientes reais e grau menor do que ou igual a n. Fica como um exercício. xn + yn ) = (a(x1 + y1 ). . . com as operações de adição A + B = [aij + bij ] e multiplicação por escalar aA = [aaij ]. . 8. Então (f + (−f ))(x) = f (x) + (−f )(x) = f (x) − f (x) em R = 0. R) = {f : S → R : f é uma função}. ∀ x ∈ S. ∀ x ∈ S. ∀ x ∈ S. f + (−f ) = 0. ESPAÇOS VETORIAIS Exemplo 2. g. 3.2. (1) Dados f.1. para todo x ∈ S. f + (g + h) = (f + g) + h. Seja −f a função definida por (−f )(x) = −f (x). Portanto. ∀ x ∈ S. f + 0 = f . 27 o conjunto de todas as funções de valores reais. então V . Como a adição em R é comutativa temos que (f + g)(x) = f (x) + g(x) em R = g(x) + f (x) = (g + f )(x). para todo f ∈ V . com as operações de adição f + g dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x). ∀ x ∈ S. Portanto. (4) Dados f. Se f ∈ V e g ∈ V . h ∈ V . ∀ x ∈ S. Portanto. isto é. 0(x) = 0. é um espaço vetorial sobre R. para todo f ∈ V .5 Sejam S um conjunto não-vazio e V = F(S. para todo x ∈ S. Solução. (2) Seja 0 a função nula. g ∈ V . Então (f + 0)(x) = f (x) + 0(x) = f (x) + 0 em R = f (x). Como a adição em R é associativa temos que [f + (g + h)](x) = f (x) + (g + h)(x) = f (x) + [g(x) + h(x)] em R = [f (x) + g(x)] + h(x) = (f + g)(x) + h(x) = [(f + g) + h](x). . e multiplicação por escalar af dada por (af )(x) = af (x). temos que (1 · f )(x) = 1 · f (x) em R = f (x). Como a adição e a multiplicação em R são distributivas temos que [a(f + g)](x) = a(f + g)(x) = a[f (x) + g(x)] em R = af (x) + ag(x) = (af )(x) + (ag)(x) = [af + ag](x). f + g = g + f . Verifique se V com as operações de adição u + v = (x1 + y1 . Como a adição e a multiplicação em R são distributivas temos que [(a + b)f ](x) = (a + b)f (x) em R = af (x) + bf (x) = (af )(x) + (bf )(x) = [af + bf ](x). x2 ) : xi ∈ R}. Portanto. g ∈ V e a ∈ R. x2 + y2 ) e multiplicação por escalar au = (ax1 . Portanto. x2 ) ∈ V e v = (y1 . Portanto. (5) Dados f ∈ V e a. . a(bf ) = (ab)f . (7) Dados f. b ∈ R. Portanto. x2 ) é um espaço vetorial sobre R. Exemplo 2. u = (x1 . Como a multiplicação em R é associativa temos que [a(bf )](x) = a[(bf )(x)] = a[bf (x)] em R = (ab)f (x) = [(ab)f ](x). ∀ x ∈ S.6 Sejam V = R2 = {(x1 . ∀ x ∈ S. (a + b)f = af + bf . 1 · f = f . ∀ x ∈ S. (6) Dados f ∈ V e a. (8) Dado f ∈ V . y2 ) ∈ V. ∀ x ∈ S. b ∈ R.28 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS Portanto. a(f + g) = af + ag. Se au = 0. x2 ) : xi ∈ R}. Solução. com a ∈ R e u ∈ V . V não é um espaço vetorial sobre R. . 9. u = (x1 . (a + b)u 6= au + bu. i = 1. n. −u = (−1)u. para todo a ∈ R e 0 ∈ V . x2 ) ∈ V e v = (y1 . 5.7 Sejam V = R2 = {(x1 . v ∈ V . pois se x2 6= 0.1. Fica como um exercício. então a = 0 ou u = 0. então u + v = (x1 + y1 )u1 + · · · + (xn + yn )un e au = (ax1 )u1 + · · · + (axn )un . Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro). para todo u ∈ V . . ax2 ) é um espaço vetorial sobre R.8 Seja V um espaço vetorial sobre R. devemos verificar as propriedades relativas à multiplicação por escalar. 3. . x2 ) e au + bu = (ax1 + bx1 . Se u = x1 u1 + · · · + xn un e v = y1 u1 + · · · + yn un . 2x2 ). onde ui ∈ V e xi . a0 = 0. yi ∈ R. . É claro que a operação de adição satisfaz as propriedades de (1) a (4). (−a)u = a(−u) = −(au). Então: 1. 7. Note que (a + b)u = ((a + b)x1 . Exemplo 2. Proposição 2. x2 + y2 ) e multiplicação por escalar au = (ax1 − a + 1. x2 ) = (ax1 + bx1 . Existe um único x ∈ V tal que u + x = v. para todo a ∈ R e u ∈ V . Verifique se V com as operações de adição u + v = (x1 + y1 − 1. Logo. 6. então x2 6= 2x2 . ESPAÇOS VETORIAIS 29 Solução. y2 ) ∈ V. 0u = 0.. . 2. para todos u.2. Portanto. para todo u ∈ V e 0 ∈ R. 4. 8. Cada vetor u ∈ V admite um único vetor simétrico −u. Assim. Seja V = R2 . Se u = (x1 . é um espaço vetorial sobre R? 5. Portanto. 2. a0 = a(0 + 0) = a0 + a0. temos. com as operações de adição u + v = (x1 + y1 . Mostre que V com as operações usuais é um espaço vetorial sobre R. ESPAÇOS VETORIAIS Prova. y2 ) ∈ V . Seja V = R2 . Como u + 0 = u. x2 ) ∈ V e v = (y1 . x2 ) ∈ V e v = (y1 . Seja V = R2 . a2 x2 ). Logo. com as operações de adição u + v = (x1 + y1 . 5ax2 ). x2 ) ∈ V e v = (y1 . então V . a0 = 0. Seja V = C = {a + bi : a. Se u = (x1 . y2 ) ∈ V . para todo u ∈ V . em particular. é um espaço vetorial sobre R? 4.30 CAPÍTULO 2. Então 0 = 0 + 00 = 00 . pelo item (1). −x1 − y1 ) e multiplicação por escalar au = (3ax2 . Suponhamos que exista outro vetor 00 ∈ V tal que u + 00 = u. Se u = (x1 . ¥ EXERCÍCIOS 1. b ∈ R e i2 = −1} o conjunto dos números complexos. x2 + y2 ) e multiplicação por escalar au = (a2 x1 . Vamos provar apenas os itens (1) e (4). y2 ) ∈ V . para todo u ∈ V . Mostre todas as afirmações deixadas nesta seção. com as operações de adição u + v = (3x2 + 3y2 . que 0 + 0 = 0. x2 + y2 ) e multiplicação por escalar au = (5ax1 . 3. então V . é um espaço vetorial sobre R? . −ax1 ). então V . (Sugestão: Desenvolva (1 + 1)(u + v) de duas maneiras. . . xn ) ∈ Rn : xi = ia. Se u = (x1 . x2 + y2 ) e multiplicação por escalar au = (ax1 . Se u = (x1 . Seja V = R2 . . . . x2 ) ∈ V e v = (y1 . . . . . xn ) ∈ V e v = (y1 . . xn ) ∈ V e v = (y1 . . . . yn ) ∈ V . com as operações de adição u + v = (x1 + y1 . . . . Seja V = R2 . yn ) ∈ V . 9. . então V com as operações de adição u + v = (x1 − y1 . Seja V = Rn . Verifique se V com as operações de adição u + v = (x1 + y1 . . . . 8. . 10. xn + yn ) e multiplicação por escalar au = (0. . y2 ) ∈ V .) . . yn ) ∈ V . −ax2 ) é um espaço vetorial sobre R? 11. . é um espaço vetorial sobre R? 7. Mostre que a propriedade de comutatividade para a adição de vetores é redundante. xn ) e multiplicação por escalar au = (ax1 . . Verifique se V com as operações de adição u + v = (x1 + y1 . ESPAÇOS VETORIAIS 31 6. .2. xn + yn ) e multiplicação por escalar au = (ax1 . Se u = (x1 . . n. . Verifique se V com as operações de adição u + v = (x1 . . pode ser provada a partir das outras propriedades. . x2 ) ∈ V e v = (y1 . . . . . . . .1. Se u = (x1 . . então V . Seja V = {(x1 . . . 0) é um espaço vetorial sobre R. . . Seja V = Rn . . axn ) é um espaço vetorial sobre R. . i = 1. isto é. x2 − y2 ) e multiplicação por escalar au = (−ax1 . e a ∈ R}. . . y2 ) ∈ V . Se u = (x1 . . 0). xn ) ∈ V e v = (y1 . . axn ) é um espaço vetorial sobre R. . . . . . . . . y2 . xn + yn ) ∈ W e au = (a0. as oito propriedades de espaço vetorial são válidas em W . u + v ∈ W . v ∈ W temos que u = (0. se admitirmos essas duas propriedades em W . . xn ) e v = (0. . Dizemos que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas: 1. . xn ) : x2 . W é também um espaço vetorial com as propriedades herdadas de V . a saber. Os demais subespaços de V são chamados de subespaços não-triviais ou próprios. . Como u. . Qualquer subespaço W de V contém o vetor nulo 0. v ∈ W . . . v ∈ W e a ∈ R. {0} e V . xn ) ∈ V : x1 = 0} = {(0. . . 3. . u + v = (0 + 0. . Dessa forma.32 CAPÍTULO 2. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços. . . para todos u. xn ∈ R}. . . Exemplo 2. para todo a ∈ R e u ∈ W . . . ESPAÇOS VETORIAIS 2. xn + yn ) = (0. temos que 0 = 0u ∈ W. . 0) ∈ W. axn ) = (0. . . . pois 0 = (0. x2 . Pode ser provado que.2 Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V . . W 6= ∅. . ax2 . . 3. É claro que W 6= ∅. x2 + y2 . Portanto. 2. . ax2 . . W é um subespaço de V . . . yn ) Logo. x2 + y2 . pois quando a = 0. . Solução. Dados u. . . 2. .10 Sejam V = Rn e W = {(x1 . . . . . Então W é um subespaço de V . . . . . chamados de subespaços triviais ou impróprios.9 1. au ∈ W . axn ) ∈ W. x2 . Observações 2. . V = Rn×1 e W = {X ∈ V : AX = O}. W é um subespaço de V . W é um subespaço de V . Solução. Dados f . o conjunto solução do sistema homogêneo AX = O. Exemplo 2. Solução. ∀ x ∈ R. ⇒ 0 ∈ W. Fica como um exercício. 33 . SUBESPAÇOS VETORIAIS Exemplo 2. Como A. Então W é um subespaço de V . ∀ x ∈ R. É claro que W 6= ∅. É claro que W 6= ∅. Como f . Dados A.11 Sejam V = Rn×n e W = {A ∈ V : At = A} o conjunto das matrizes simétricas.2.13 Sejam V = F(R. ⇒ af ∈ W. ∀ x ∈ R.12 Sejam A ∈ Rm×n uma matriz fixada. pois Ot = O ⇒ O ∈ W. g ∈ W temos que f (x) = f (−x) e g(x) = g(−x). pois 0(−x) = 0 = 0(x). Portanto. (f + g)(−x) = f (−x) + g(−x) = f (x) + g(x) = (f + g)(x). Então W é um subespaço de V .2. (A + B)t = At + Bt = A + B ⇒ A + B ∈ W e (aA)t = aAt = aA ⇒ aA ∈ W. ∀ x ∈ R. Solução. ∀ x ∈ R} o conjunto das funções pares. Logo. Exemplo 2. ⇒ f + g ∈ W e (af )(−x) = af (−x) = af (x) = (af )(x). Então W é um subespaço de V . g ∈ W e a ∈ R. B ∈ W e a ∈ R. B ∈ W temos que At = A e Bt = B. Logo. R) o espaço vetorial de todas as funções reais e W = {f ∈ V : f (−x) = f (x). Portanto. . / Note que 0 = (0. Então W não é um subespaço de V . pois 0(1) = 0(7) = 0 ⇒ 0 ∈ W. Solução. . . então W1 ∩ W2 é um subespaço de V . xn ) ∈ V : x2 = x1 + 1}. / Exemplo 2. ESPAÇOS VETORIAIS Exemplo 2. Teorema 2. 3) ∈ W. Dados p. pois u = (−1. Portanto. q ∈ W temos que p(1) = p(7) = 0 e q(1) = q(7) = 0.34 CAPÍTULO 2.15 Sejam V = Rn e W = {(x1 . Então W é um subespaço de V . . É claro que W 6= ∅. . q ∈ W e a ∈ R. 0) ∈ W. pois 0 = (0. Portanto. 2) ∈ W mas u + v = (1. Como p. . Se W1 e W2 são subespaços de V . Logo.17 Seja V um espaço vetorial sobre R.16 Sejam V = R2 e W = {(x1 .14 Sejam V = Pn (R) com n ≥ 2 e W = {p ∈ V : p(1) = p(7) = 0}. 0) ∈ W . Exemplo 2. . x2 ) ∈ V : x2 = |x1 |}. Então W não é um subespaço de V . . 1) ∈ W e v = (2. W é um subespaço de V . . 0 ∈ W é condição necessária mas não suficiente para que W seja um subespaço de V . (p + q)(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0 e (p + q)(7) = p(7) + q(7) = 0 + 0 = 0 ⇒ p + q ∈ W e (ap)(1) = ap(1) = a · 0 = 0 e (ap)(7) = ap(7) = a · 0 = 0 ⇒ ap ∈ W. Dado A= temos que A= " " a b c d # ¥ ∈ W1 ∩ W2 . Dado u = (x. Logo. obtemos u = (x.2. b = 0 e c = 0. z) ∈ V : x = y = 0}. z) ∈ W1 e u = (x. e somente se. u + v ∈ W1 . Determine W1 ∩ W2 . W1 ∩ W2 = {(x. Assim. Exemplo 2. v ∈ W1 ∩ W2 e a ∈ R. por hipótese. Determine W1 ∩ W2 . Solução. Portanto. y. Logo. 35 Dados u. d = 0.19 Sejam V = R2×2 . " A= a b c d ∈ W1 ∩ W2 . Assim.2. Exemplo 2. au ∈ W2 . " a b c d # a b c d # ∈ W1 e A = # ∈ W2 . z) ∈ W1 ∩ W2 . y. u + v ∈ W1 ∩ W2 e au ∈ W1 ∩ W2 . y. z) ∈ V : x = 0} e W2 = {(x. SUBESPAÇOS VETORIAIS Prova. Como u. c ∈ R e W2 = ∈ V : a. (" # ) (" # ) a b a 0 ∈ V : a. v ∈ W1 ∩ W2 temos que u. Portanto. W1 = {(x. z) ∈ W2 . pois 0 ∈ W1 e 0 ∈ W2 ⇒ 0 ∈ W1 ∩ W2 . É claro que W1 ∩ W2 6= ∅. b. y. x = 0 e y = 0. Solução. y. v ∈ W1 e u. Portanto.18 Sejam V = R3 . Logo. b ∈ R W1 = c 0 0 d subespaços de V (prove isto!). z) ∈ W1 ∩ W2 se. u = (x. W1 ∩ W2 é um subespaço de V . x = y = 0 e z qualquer. u + v ∈ W2 e au ∈ W1 . y. y. v ∈ W2 . z) ∈ V : y = 0} subespaços de V (prove isto!). y. Prova. y) ∈ V : x = 0} subespaços de V (prove isto!). De fato. W1 ∪ W2 é um subespaço de V ? A resposta dessa pergunta é.20 Seja V um espaço vetorial sobre R. v2 ∈ W2 tais que u = u1 + u2 e v = v1 + v2 . então o conjunto W1 + W2 = {u1 + u2 : u1 ∈ W1 e u2 ∈ W2 } é um subespaço de V . Então W1 ∪ W2 não é um subespaço de V . Agora. Como 0 ∈ W1 e 0 ∈ W2 temos que 0 = 0 + 0 ∈ W1 + W2 . não. (" # ) a 0 W1 ∩ W2 = ∈V :a∈R . por hipótese. Determine W1 ∩ W2 e W1 + W2 . W1 = {(x. em geral. Note que W1 ∪ W2 ⊆ W1 + W2 . Exemplo 2. Assim. pois u = (1. z) ∈ V : y = z = 0} subespaços de V (prove isto!). W1 + W2 é um subespaço de V .36 CAPÍTULO 2. v ∈ W1 + W2 temos que existem u1 .21 Sejam V = R3 . u1 + v1 ∈ W1 . v ∈ W1 + W2 e a ∈ R. y. v1 ∈ W1 e u2 . sejam V = R2 . dados u. b = c = d = 0 e a qualquer. Logo. ESPAÇOS VETORIAIS se. 0) ∈ W1 ∪ W2 e v = (0. 0 0 Pergunta. / Teorema 2. Portanto. u2 + v2 ∈ W2 e au1 ∈ W1 . y) ∈ V : y = 0} e W2 = {(x. z) ∈ V : x = 0} e W2 = {(x. 1) ∈ W1 ∪ W2 . Se W1 e W2 são subespaços de V . W1 + W2 6= ∅. u + v = (u1 + u2 ) + (v1 + v2 ) = (u1 + v1 ) + (u2 + v2 ) ∈ W1 + W2 e au = a(u1 + u2 ) = au1 + au2 ∈ W1 + W2 . 1) ∈ W1 ∪ W2 mas u + v = (1. Assim. W1 = {(x. au2 ∈ W2 . Logo. Como u. e somente se. ¥ . V = W1 ⊕ W2 . z) ∈ V : x = 0} e W2 = {(x. Dizemos que V é decomposto em soma direta de W1 e W2 . pelo Exemplo 2. z) ∈ V : y = z = 0} subespaços de V .2.22 Sejam V = R3 . temos que A = 1·A 1 1 = ( + )A 2 2 1 1 A+ A = 2 2 1 1 1 1 A + At − At + A = 2 2 2 2 1 1 t = (A + A ) + (A − At ). y. Portanto. Assim. Assim. W1 = {(x. Portanto. V = W1 + W2 . SUBESPAÇOS VETORIAIS 37 Solução. W2 subespaços de V . W1 ∩ W2 = {O}. 2 2 .21. x = 0 e y = z = 0. y. se as seguintes condições são satisfeitas: 1. 0)}. z) ∈ W1 ∩ W2 . y. Solução. Dado A ∈ W1 ∩ W2 . Logo. temos que A ∈ W1 e A ∈ W2 . At = A e At = −A ⇒ A = −A ⇒ 2A = O ⇒ A = O. z) ∈ W1 e u2 = (x. z) ∈ W2 . y. Exemplo 2. x = y = z = 0. Mostre que V = W1 ⊕ W2 . y. Então. W1 + W2 = V. Exemplo 2. y. Logo.2. existem u1 = (0. z ∈ R. 0) ∈ W2 .23 Sejam V = Rn×n . 2. W1 ∩ W2 = {(0. y. Agora. dado u ∈ W1 + W2 . y. z). z) ∈ W1 e u = (x. com x. dado A ∈ V . Agora. Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 . W1 = {A ∈ V : At = A} e W2 = {A ∈ V : At = −A} subespaços de V . z) ∈ W1 ∩ W2 se. em símbolos V = W1 ⊕ W2 . W1 ∩ W2 = {0}. Dado u = (x. y. tais que u = u1 + u2 = (x. 0. e somente se. u = (x. 0. obtemos u = (x. z) ∈ V : x ∈ Z}. 3. . z) ∈ V : x = z 2 }. EXERCÍCIOS 1. (a) W = {p ∈ V : p(0) = 0}. c d 4. (g) W = {(x. z) ∈ V : xy = 0}. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V. y. z) ∈ V : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}. (" # ) a b (a) W = ∈V :a=c e b+d=0 . Seja V = Rn×n . Seja V = Pn (R). Seja V = R3 . (a) W = {(x. y. (b) W = {(x. y. y. y. (" # ) a b (e) W = ∈ V : ad − bc 6= 0 . z) ∈ V : x + y + z = 0}. y. c d (" # ) a b (f) W = ∈ V : ad − bc = 0 . 2. 2 2 Portanto. (d) W = {(x. (f) W = {(x. c d (" # ) a b (b) W = ∈V :a+d≤b+c . (e) W = {(x. n ≥ 2. (h) W = {(x. B uma matriz fixa em V }. n ≥ 2. z) ∈ V : x ≥ 0}. c d (c) W = {A ∈ V : AB = BA.38 É fácil verificar que CAPÍTULO 2. (d) W = {A ∈ V : A2 = A}. y. z) ∈ V : x − 3z = 0}. z) ∈ V : x ≤ y ≤ z}. ESPAÇOS VETORIAIS 1 1 (A + At ) ∈ W1 e (A − At ) ∈ W2 . Mostre todas as afirmações deixadas nesta seção. V = W1 + W2 . (c) W = {(x. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V . y. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V. 8. (b) W = {f ∈ V : f (5) = 0}. © ª W3 = (x. Considere © ª W1 = (x. Seja V = F(R. (c) W = {f ∈ V : f (3) = f (5)}. r]} é um subespaço de V . Mostre que V = W1 ⊕ W2 . R) o espaço vetorial de todas as funções reais e W1 = {f ∈ V : f (−x) = f (x). z) ∈ R3 : x = y = 0 . + Mostre que o conjunto Wr = {f ∈ V : f (x) = 0. W2 = (x. W2 = {f ∈ V : f (−x) = −f (x). onde w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2 . Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V .2. Mostre que V = W1 ⊕ W2 se. SUBESPAÇOS VETORIAIS (b) W = {p ∈ V : p(0) = 2p(1)}. (f) W = {f ∈ V : f é integrável}. (a) W = {f ∈ V : f (0) = 1}. Encontre um subespaço W2 de R2 tal que R2 = W1 ⊕ W2 .2. (d) W = {f ∈ V : f é contínua}. 8. y.W2 e W3 os seguintes subespaços de R3 © ª © ª W1 = (x. W2 subespaços de V . ∀ x ∈ [−r. ∀ x ∈ R} subespaços de V . Sejam V = F(R. z) ∈ R3 : x + y + z = 0 . R) o espaço vetorial de todas as funções reais e r ∈ R∗ fixado. (e) W = {p ∈ V : p = a0 + a2 x2 + · · · + a2k x2k e 2k ≤ n}. (e) W = {f ∈ V : f é derivável}. y) ∈ R2 : x = y . R) o espaço vetorial de todas as funções reais. 39 (c) W = {p ∈ V : p(x) + p0 (x) = 0}. z) ∈ R3 : x = z . É verdade que W1 + W2 = W1 + W3 = W2 + W3 = R3 ? Em algum dos casos a soma é direta? 7. 5. y. 7. 6. Sejam W1 . ∀ x ∈ R}. todo vetor v em V pode ser escrito de modo único sob a forma v = w1 + w2 . somente se. (d) W = {p ∈ V : p(2) = 0 e p(5) 6= 0}. Sejam V = F(R. Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 . y. . . xn ∈ R tais que u = x1 u1 + · · · + xn un = Exemplo 2. −7).3 Combinação Linear Seja V um espaço vetorial sobre R. 0. ESPAÇOS VETORIAIS 9. . 1. . b3 e b4 . e somente se. 10. b3 . (c) Mostre. −2. 1) são combinações lineares dos vetores u1 . . Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 . 2. de modo que o sistema não-homogêneo ⎧ x1 + 3x2 − x3 = b1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x1 + 2x3 = b2 ⎪ −2x1 + 4x2 + 5x3 = b3 ⎪ ⎪ ⎩ x1 − x2 + 2x3 = b4 n X i=1 xi ui . b2 . W2 . 1).24 Sejam V = R4 e u1 = (1. então vale a igualdade. 1. −1). 5. 0. W2 subespaços de V tais que V = W1 ⊕ W2 . Quais dos vetores u = (4. (a) Determine um exemplo de uma decomposição e um subespaço que não seja adaptado à decomposição. b4 ) ∈ V . 9.W2 subespaços de V . Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 . . Mas isto é equivalente a determinar condições sobre b1 . (d) Mostre que se W3 ⊆ W1 . onde u = (b1 . 1. Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 . (a) Mostre que (W1 ∩ W2 ) + (W1 ∩ W3 ) ⊆ W1 ∩ (W2 + W3 ). . Mostre que W1 ∪W2 é um subespaço de V se. que as inclusões acima podem ser estritas. W1 ⊆ W2 ou W2 ⊆ W1 . u3 = (−1. . Dizemos que um subespaço U de V é adaptado a essa decomposição se U = (U ∩ W1 ) ⊕ (U ∩ W2 ). 4) e w = (−1.40 CAPÍTULO 2. b2 . 2) vetores em V . −5. 2. com um exemplo. u2 = (3. Um vetor u em V é uma combinação linear dos vetores u1 . . Para resolver esse problema devemos verificar se a equação vetorial x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 = u tem solução. −4. (b) Mostre que se W1 ⊆ U ou W2 ⊆ U . v = (3. 11. . W3 subespaços de V . então U é adaptado a decomposição. u2 e u3 ? Solução. (b) Mostre que W1 + (W2 ∩ W3 ) ⊆ (W1 + W2 ) ∩ (W1 + W3 ). un em V se existirem escalares x1 . 4. u = (4. . . . Para resolver escada ⎡ . . ⎢ 1 0 2 . pois 0 6= 3 + 14 − 13. 0 1 0 . . u2 e u3 . o vetor u = (b1 . 0 0 0 . . ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Portanto. . . vamos reduzir a matriz ampliada à forma em ⎤ ⎡ . pois 9 = −12 − 70 + 91 e u = −3u1 + 2u2 − u3 . −5. Como u. xn ∈ R} = xi ui : xi ∈ R i=1 ⎢ ⎥ ⎢ b2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ → ··· → R = ⎢ ⎢ ⎥ b3 ⎦ ⎣ b4 b1 8b1 +19b2 −6b3 39 3b1 −b2 +b3 13 −4b1 +10b2 +3b3 39 3b1 −14b2 +b3 +13b4 13 é um subespaço de V . .19. . . Dados u. . . . 0 0 1 . y1 .3. −7) é combinação linear dos vetores u1 . −4. . 9. 1. v ∈ W temos que existem x1 . u + v = (x1 u1 + · · · + xn un ) + (y1 u1 + · · · + yn un ) = (x1 + y1 )u1 + · · · + (xn + yn )un ∈ W . . . . Teorema 2. . ⎣ . b3 . u2 e u3 se. . .2. 0. 1. ⎢ −2 4 5 . Então o conjunto ( n ) X W = {x1 u1 + · · · + xn un : x1 . 1) não é combinação linear dos vetores u1 . v ∈ W e a ∈ R. 13 Assim. . 3b1 − 14b2 + b3 + 13b4 = 0 ⇔ b3 = −3b1 + 14b2 − 13b4 . un vetores fixados em V . . e somente se. pois 0 = 0u1 + · · · + 0un ∈ W. Logo. . . Prova. É claro que W 6= ∅.25 Sejam V um espaço vetorial sobre R e u1 . 1 3 −1 . . u2 e u3 . b2 . 1 0 0 . pelo item 2 das Observações 1. . xn . pois −4 6= −9 + 14 − 52 e w = (−1. u2 e u3 . b4 ) ∈ V é combinação linear dos vetores u1 . v = (3. ⎢ 0 A =⎢ . COMBINAÇÃO LINEAR tenha solução. 1 −1 2 . yn ∈ R tais que u = x1 u1 + · · · + xn un e v = y1 u1 + · · · + yn un . 4) não é combinação linear dos vetores u1 . 41 o sistema. ⎢ . e3 ]. denotamos [β] por [u1 . todo vetor u em V pode ser escrito como uma combinação dos vetores e1 . E22 ]. δ i2 . E12 = . W = V . Por definição W = {aE11 + bE12 + cE21 + dE22 : a. Determine W = [E11 . isto é. E21 . . y. W = V . c d Portanto. . E21 = . 0) + y(0. Exemplo 2. E22 = E11 = 0 0 0 0 1 0 0 1 vetores em V . z ∈ R}. un . . Solução. . Determine W = [e1 . todo vetor u em V pode ser escrito como uma combinação dos vetores E11 . Portanto. 0) + z(0.27 Sejam V = R2×2 e " # " # " # " # 1 0 0 1 0 0 0 0 . Quando β = {u1 . . ESPAÇOS VETORIAIS au = a(x1 u1 + · · · + xn un ) = (ax1 )u1 + · · · + (axn )un ∈ W. Solução. onde β é o conjunto de geradores de V . . seja β um subconjunto não-vazio de V . z ∈ R} = {x(1. y. d ∈ R . e2 .42 e CAPÍTULO 2. 1) : x. 3. c. . . xn ∈ R} = ( n X i=1 ¥ ) xi ui : xi ∈ R de V é chamado o subespaço gerado por u1 . b. W é um subespaço de V . E12 . . d ∈ R} (" # ) a b = : a. b. z) : x. 1. Por definição W = {xe1 + ye2 + ze3 : x. Então ) ( k X xi ui : xi ∈ R e ui ∈ β W = i=1 é o subespaço de V gerado por β. Mais geralmente. . e será denotado por W = [β] . . . e2 e e3 . . E21 e E22 . . vetores em V . . z ∈ R} = {(x. . y. Exemplo 2. O subespaço W = {x1 u1 + · · · + xn un : x1 . 0. isto é. y. . 0. c. 2. E12 . un ]. un }. Portanto. δ i3 ) i = 1.26 Sejam V = R3 e ei = (δ i1 . Por outro lado. todo vetor u em V pode ser escrito como uma combinação dos vetores p0 . Solução. W2 ] = [W1 ∪ W2 ] . p3 ].29 Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 . a3 ∈ R}. p2 . 43 Portanto. Assim. W1 + W2 ⊆ W .2. isto é. então existem w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2 tais que w = w1 + w2 = 1 · w1 + 1 · w2 . p1 .30 Determine todos os subespaços de R2 . W = V . se w ∈ W1 + W2 . pois todo vetor de [W1 ∪ W2 ] é uma combinação linear de vetores em W1 ∪ W2 e W é um subespaço de V . a3 ∈ R} = {a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 : a0 . isto é.W2 subespaços de V . Mostre que W1 + W2 é o menor subespaço de V contendo W1 e W2 . W1 + W2 ⊆ [W1 ∪ W2 ] . i = 0. W1 + W2 = [W1 . vetores em V . 3. W1 ∪ W2 ⊆ W1 + W2 e [W1 ∪ W2 ] ⊆ W1 + W2 . p1 . Exemplo 2. Determine W = [p0 . Como w1 = w1 + 0 ∈ W1 + W2 e w2 = 0 + w2 ∈ W1 + W2 temos que W1 ⊆ W1 + W2 e W2 ⊆ W1 + W2 . seja W qualquer subespaço de V tal que W1 ⊆ W e W2 ⊆ W .28 Sejam V = P3 (R) e pi = xi . Finalmente. . 1. a2 . W1 + W2 = [W1 ∪ W2 ]. Solução. 2.3. a1 . a1 . Exemplo 2. a2 . todo vetor w ∈ W1 + W2 é uma combinação linear de vetores em W1 ∪ W2 . Por definição W = {a0 p0 + a1 p1 + a2 p2 + a3 p3 : a0 . Já vimos que W1 + W2 é um subespaço de V . Portanto. COMBINAÇÃO LINEAR Exemplo 2. Portanto. Consequentemente. p2 e p3 . Logo. Então W1 ∪ W2 ⊆ W e [W1 ∪ W2 ] ⊆ W. 1. y) = (ax0 . 4) vetores em V . para algum a ∈ R. y1 ∈ R tais que W1 = [x0 ] e W2 = [y1 ]. y − ay0 = by1 . dado u = (x. Logo. g = −8 + 5x − 2x2 vetores em V . W = [u0 .B = e C= 9 −7 −4 4 −2 1 são combinações lineares dos vetores A1 . para algum b ∈ R. 0)]? 2. −4) e w = (−1. 1. A3 = −1 2 5 2 vetores em V . ay0 + by1 ) = au0 + bu1 . (5. y) ∈ W . −5. 1. 9).44 CAPÍTULO 2. u2 = (3. pela definição desses subespaços. y0 ) ∈ W e u1 = (0. 2) . podemos encontrar y0 ∈ R tal que u0 = (x0 . EXERCÍCIOS 1. para algum y ∈ R} e W2 = {y ∈ R : ye2 = (0. Mostre que todo vetor em R2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1. v = (3. x ∈ W1 . existem x0 . Que relação existe entre R2 e [(1. Quais dos vetores " # " # " # 4 −5 3 1 −1 1 A= . De fato. u1 ]. Sejam V = P2 (R) e f = 2 − 3x + 5x2 . Assim. u − au0 = (0. Sejam V = R2×2 e A1 = " # " # " # 1 1 −2 1 . Quais dos vetores p = −26+11x+7x2 e q = 1+x+x2 são combinações lineares dos vetores f e g? 3. Então W1 = {x ∈ R : xe1 + ye2 = (x. 0) são combinações lineares dos vetores u1 e u2 ? 4. Sejam V = R3 e u1 = (1. ESPAÇOS VETORIAIS Solução. Afirmação. 2) e (5. y) ∈ W } são subespaços de R (prove isto!). y) ∈ W. A2 = 3 0 4 −1 . de modo que x = ax0 . y − ay0 ) ∈ W ⇒ y − ay0 ∈ W2 . A2 e A3 ? . Quais dos vetores u = (4. u1 ]. u = (x. Portanto. Seja W um subespaço qualquer de R2 . y1 ) ∈ W . isto é. 0). W = [u0 . Logo. −2). 0. Assim. 2. Determine o valor de k de modo que (4. p1 . 0). não todos iguais a 0. Quais dos vetores em V são combinações lineares dos vetores p0 . . 4. un são linearmente independentes (LI) ou. (e) W2 + W3 . 1. y. y. y. z) ∈ R3 : x + 2y − 3z = 0}. . −2). 1. 3.4 Dependência e Independência Linear Sejam V um espaço vetorial sobre R e u1 . u3 ].1) admite apenas a solução nula. un são linearmente dependentes (LD) se existirem escalares x1 . u3 = (−1. 6. Mostre que R2 = [u] ⊕ [v] . 0) estão em W ? 7. . 0) vetores em V . u2 .1) admite uma solução não-nula. 1. (b) W2 = {(x. p2 e p3 ? 9. 0. . DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 5. a equação vetorial (2. . p1 = 1 − x. Dizemos que os vetores u1 . (c) W3 = {(x. Caso contrário. . . z. Sejam V = R3 e u1 = (1.2. Ou. −5. 4. 1) e w = (−2. y. Quais dos vetores u = (−2. . p2 = (1 − x)2 . u2 = (3. 0. . Sejam V = P3 (R) e p0 = 1. 2. Sejam u e v dois vetores não-nulos de R2 e suponhamos que não exista um escalar a tal que u = av. z) ∈ R3 : x − y = 0}. equivalentemente. . . a equação vetorial (2. . Sejam V = R4 e W = {(x.1) x1 u1 + · · · + xn un = 0. 4). k) ∈ [u1 . xn ∈ R. 8. equivalentemente. un ∈ V . v = (6.4. dizemos que os vetores u1 . . t) ∈ V : x + 2y − 2z = 0 e t = 0} 45 um subespaço de V . p3 = (1 − x)3 vetores em V . . z) ∈ R3 : x + z = x − 2y = 0}. . . (d) W1 ∩ W2 . tais que (2. Encontre os geradores para os seguintes subespaços de R3 : (a) W1 = {(x. . 46 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS Mais geralmente, sejam V um espaço vetorial sobre R e β um subconjunto não-vazio de V . Dizemos que β é LI se para quaisquer vetores distintos u1 , . . . , un em β, temos que x1 u1 + · · · + xn un = 0 ⇒ x1 = · · · = xn = 0, isto é, todo subconjunto finito de β é LI. Caso contrário, β é LD. Exemplo 2.31 Sejam V = R3 e u1 = (3, 0, −3), u2 = (−1, 1, 2), u3 = (4, 2, −2), u4 = (2, 1, 1) vetores em V . Verifique se os vetores u1 , u2 , u3 e u4 são LI ou LD. Solução. Para resolver esse problema devemos resolver a equação vetorial x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 + x4 u4 = 0, onde 0 = (0, 0, 0) ∈ V . Mas isto é equivalente a resolver o sistema homogêneo ⎧ ⎪ 3x1 − x2 + 4x3 + 2x4 = 0 ⎨ x2 + 2x3 + x4 = 0 . ⎪ ⎩ −3x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0 Logo, nosso sistema é equivalente ao sistema ⎧ ⎪ x1 + 2x3 = 0 ⎨ x + 2x3 = 0 . ⎪ 2 ⎩ x4 = 0 Escolhendo, x3 = c ∈ R, temos que Para resolver o sistema, vamos considerar a matriz dos coeficientes do sistema e reduzí-la à forma em escada ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 1 0 2 0 3 −1 4 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ A=⎣ 0 1 2 1 ⎦ → ··· → R = ⎣ 0 1 2 0 ⎦. 0 0 0 1 −3 2 −2 1 S = {(−2c, −2c, c, 0) : c ∈ R} é o conjunto solução do sistema. Em particular, se c = 1, então (−2, −2, 1, 0) é uma solução não-nula do sistema. Portanto, os vetores u1 , u2 , u3 e u4 são LD, isto é, −2u1 − 2u2 + u3 + 0u4 = 0. Exemplo 2.32 Sejam V = F(R, R) o espaço vetorial de todas as funções reais e u1 = ex , u2 = e2x vetores em V . Verifique se os vetores u1 e u2 são LI ou LD. Note que u1 e u2 são soluções da equação diferencial y 00 − 3y 0 + 2y = 0. 2.4. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Solução. Para resolver esse problema devemos resolver a equação vetorial aex + be2x = 0, ∀ x ∈ R, 47 onde 0 é a função identicamente nula. Diferenciando ambos os membros dessa equação, temos que aex + 2be2x = 0, ∀ x ∈ R. Logo, subtraindo a primeira equação da segunda, resulta que be2x = 0, ∀ x ∈ R. Assim, b = 0 e, da primeira equação, aex = 0. Logo, a = 0. Portanto, os vetores u1 e u2 são LI. Exemplo 2.33 Seja A = [aij ] ∈ Rn×n tal que aij < 0 se i 6= j e Mostre que A é não-singular. Solução. Suponhamos, por absurdo, que A seja singular. Então as colunas de A são LD. Logo, existem escalares x1 , . . . , xn ∈ R, não todos nulos, tais que n X k=1 n X k=1 aik > 0, para i = 1, . . . , n. aik xk = 0, i = 1, . . . , n, (2.2) isto é, o sistema (2.2) possui uma solução não-nula (x1 , . . . , xn ). Assim, fazendo |xj | = max{|x1 | , |x2 | , . . . , |xn |} e multiplicando a solução do sistema (2.2) por −1, se necessário, podemos supor que xj > 0. Agora, considerando a j-ésima equação do sistema (2.2), temos que ! à n n n n X X X X ajk xk = ajj xj + ajk xk ≥ ajj xj + ajk xj = ajk xj > 0, k=1 k=1,k6=j k=1,k6=j k=1 o que é uma contradição. Exemplo 2.34 (Regra de Cramer) Sejam A ∈ Rn×n e C1 , . . . , Cn as colunas da matriz A. Mostre que se existirem x1 , . . . , xn ∈ R tais que B = x1 C1 + · · · + xn Cn , então i h xj det A = det C1 · · · Cj−1 B Cj+1 · · · Cn . Em particular, se det A 6= 0, então h i det C1 · · · Cj−1 B Cj+1 · · · Cn , xj = det A isto é, o sistema de equações lineares AX = B tem uma única solução. 48 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS Solução. Suponhamos que existam x1 , . . . , xn ∈ R tais que B = x1 C1 + · · · + xn Cn . Então x1 C1 + · · · + xj−1 Cj−1 + 1 · (xj Cj − B) + xj+1 Cj+1 + · · · + xn Cn = O. Logo, as colunas da matriz h i C1 · · · Cj−1 xj Cj − B Cj+1 · · · Cn Portanto, são LD. Assim, pela Proposição 1.5, temos que h i 0 = det C1 · · · Cj−1 xj Cj − B Cj+1 · · · Cn i h = xj det A − det C1 · · · Cj−1 B Cj+1 · · · Cn . xj det A = det h C1 · · · Cj−1 B Cj+1 · · · Cn i . Teorema 2.35 Sejam V um espaço vetorial sobre R e u1 , . . . , un ∈ V . O conjunto {u1 , . . . , un } é LD se, e somente se, um desses vetores for combinação linear dos outros. Prova. Suponhamos que o conjunto {u1 , . . . , un } seja LD. Então, por definição, existem escalares x1 , . . . , xn ∈ R, não todos nulos, tais que x1 u1 + · · · + xn un = 0. Como os escalares x1 , . . . , xn não são todos nulos temos que existe i ∈ {1, . . . , n} tal que xi 6= 0. Logo, ui = (− x1 xi−1 xi+1 xn )u1 + · · · + (− )ui−1 + (− )ui+1 + · · · + (− )un . xi xi xi xi Reciprocamente, suponhamos que um desses vetores seja combinação linear dos outros, digamos uj = x1 u1 + · · · + xj−1 uj−1 + xj+1 uj+1 + · · · + xn un . Logo, a equação vetorial x1 u1 + · · · + xj−1 uj−1 + (−1)uj + xj+1 uj+1 + · · · + xn un = 0. admite pelo menos uma solução não-nula, a saber, (x1 , . . . , xj−1 , −1, xj+1 , . . . , xn ). Portanto, o conjunto {u1 , . . . , un } é LD ¥ Corolário 2.36 Sejam V um espaço vetorial sobre R e u1 , . . . , un vetores em V com pelo menos dois vetores não-nulos. O conjunto {u1 , . . . , un } é LD se, e somente se, um desses vetores for combinação linear dos precedentes. 2.4. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 49 Prova. Suponhamos que o conjunto {u1 , . . . , un } seja LD. Então, por definição, existem escalares x1 , . . . , xn ∈ R, não todos nulos, tais que x1 u1 + · · · + xn un = 0. Seja k o maior inteiro tal que xk 6= 0. Então x1 u1 + · · · + xk uk = 0. Se k = 1, então x1 u1 = 0 e, assim, u1 = 0, o que é impossível. Portanto, k > 1 e uk = (− x1 xk−1 )u1 + · · · + (− )uk−1 . xk xk ¥ Exemplo 2.37 Seja V = R2 . Então os vetores u1 = (1, −1), u2 = (1, 1) e u3 = (1, 0) são LD, pois 1 1 u3 = u1 + u2 . 2 2 EXERCÍCIOS 1. Seja V = Rn . Se u = (x1 , . . . , xn ) ∈ V e v = (y1 , . . . , yn ) ∈ V . Mostre que u e v são LD se, e somente se, existe um escalar a ∈ R tal que yi = axi , i = 1, . . . , n. 2. Sejam u, v e w vetores de um espaço V . Se {u, v, w} é um conjunto LI, mostre que: (a) {u + v − 2w, u − v − w, u + w} é um conjunto LI. (b) {u + v − 3w, u + 3v − w, v + w} é um conjunto LD. 3. Sejam u = (a, b), v = (c, d) vetores de R2 . Mostre que o conjunto {u, v} é LD se, e somente se, ad = bc. 4. O conjunto {1, x, x2 , 2 + x + 2x2 } é LI ou LD em P2 (R)? O que se pode afirmar a respeito de qualquer um de seus subconjuntos com três elementos? 5. Encontre um vetor u ∈ R3 tal que [u] = W1 ∩ W2 , onde W1 = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] e W2 = [(1, 2, 3) , (1, −1, 1)] . 6. Em quais condições sobre o escalar k, o conjunto © ¡ ¢ª (1, 0, k) , (1, 1, k) , 1, 1, k 2 é LI em R3 ? (g) {sen x. 8. Exemplo 2. . . β = {u1 . 1]. É fácil verificar que o conjunto β = {e1 . Seja V = C([0. . a qual é chamada de base canônica de V . (b) {x + 5. Mostre que o conjunto {u1 . (f) {1. Observação 2. . . Responda verdadeiro (V) ou falso (F). tan x}.38 Pode ser provado. 2. x + 1 }. (c) {(x + 1)2 . . com i < j. Ou. 1 − x2 }. j ∈ {1. 2x. cos x. x + 1. . . ui + auj . x2 − x. um } é LI se. e somente se. ( ) Todo conjunto que contém um subconjunto LD é LD? ( ) Todo subconjunto de um conjunto LI é LI? ( ) Todo conjunto que contém dois vetores iguais é LI? ( ) Todo conjunto que contém o vetor nulo é LI? 9. um subconjunto não-vazio β de V é uma base de V se β é LI e [β] = V . . Mais geralmente. . e2 . x2 + x − 10}. . un } de vetores em V é uma base de V se as seguintes condições são satisfeitas: 1. e−x }. . e3 } é uma base finita de V . Justifique.50 CAPÍTULO 2. x2 − 1. um } é LI.39 Seja V = R3 . V = [u1 ] ⊕ [u2 ] ⊕ · · · ⊕ [un ]. usando o Lema de Zorn. . Um conjunto β = {u1 . x2 − 1}. . . . x(1 − x). un ]. . x + 1}. R) o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas. un } é LI. que todo espaço vetorial V 6= {0} possui uma base. equivalentemente. . 2. Quais dos subconjuntos abaixo são LI em V. ESPAÇOS VETORIAIS 7. . uj . . . . V = [β] = [u1 . . . Sejam V = Rn e a ∈ R. para todos i. . . . (d) {(x + 1)2 . . ex . . . (a) {x. . m}.5 Bases e Dimensão Seja V um espaço vetorial sobre R. 2 (e) {1 − x. o conjunto {u1 . . pi+1 = xi+1 . podemos extrair uma base de V . Dizemos que V é de dimensão finita se ele possui uma base finita.35. . x3 . un vetores em V tais que V = [u1 . .}.2. Sejam pi = xi . digamos un = x1 u1 + · · · + xn−1 un−1 .5. 1) vetores em V tais que V = [u1 .40 Sejam V = P (R) o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais e β = {1. Portanto. . . . un ]. Teorema 2. ¥ Exemplo 2. . Determine dentre esses vetores uma base de V . 0. digamos un−1 = x1 u1 + · · · + xn−2 un−2 . Se os vetores u1 . . x2 . 0). nada há para ser provado. . un−1 são LI. .41 Sejam V um espaço vetorial sobre R e u1 . V = R3 é de dimensão finita. un−2 ]. por exemplo. un ] = [u1 . . . . Caso contrário. . É claro que [β] = V . . . u4 ]. . 1. . Então. . pela igualdade de polinômios. . temos que um desses vetores é combinação linear dos outros. Se c1 pi + · · · + cn pi+n = 0. Caso contrário. x. . . . . pelo Teorema 2. . 0. 1). pi+n = xi+n vetores distintos de V com i ≥ 0. Logo. . . V é de dimensão infinita. . Logo. Então β é uma base infinita de V .35. . . Seja V um espaço vetorial sobre R. . . u2 . β é LI. Solução. BASES E DIMENSÃO 51 Exemplo 2. pelo Teorema 2. Logo. temos que um desses vetores é combinação linear dos outros. . un−1 ]. Continuando dessa maneira (em no máximo n − 1 etapas). u2 = (1. . un são LI. V = [u1 . u3 . 0). . dentre esses vetores. un−1 ] = [u1 . . . . Caso contrário. pois todo vetor p em V é da forma p = a0 + a1 x + · · · + an xn . β é uma base infinita de V . obtemos uma base de V. temos que c1 = · · · = cn = 0. 1. u3 = (0. Prova. a qual é chamada de base canônica de V . u4 = (1. então. . nada há para ser provado. . .42 Sejam V = R3 e u1 = (1. V = [u1 . Se os vetores u1 . Em particular. podemos supor que {u1 . . Portanto. u3 } é uma base de V (prove isto!). os vetores u1 . com k ≤ m. um . . . Como vj ∈ V e {u1 . . pelo Teorema 2. uk } é uma base de V temos que existem aij ∈ R tais que vj = a1j u1 + · · · + akj uk . u2 . Então todo conjunto com mais de m vetores em V é LD. . . isto é. Seja {v1 . u3 ] e o conjunto β = {u1 . que existe uma base de V dentre os vetores u1 . Para resolver esse problema devemos verificar se os vetores u1 . onde 0 = (0. . . . c) : c ∈ R} é o conjunto solução do sistema.52 CAPÍTULO 2. . . . . um ] temos. Prova. . um ]. Logo. . Assim. ESPAÇOS VETORIAIS Solução. todo conjunto de vetores LI em V possui no máximo m vetores. É fácil verificar que S = {(0. vn } um conjunto de vetores em V com n > m. . u2 . Como V = [u1 . . u2 . o sistema homogêneo ⎧ ⎪ x1 + x2 + x4 ⎨ x2 + x4 ⎪ ⎩ x3 + x4 Mas isto é equivalente a determinar se =0 =0 =0 tem solução. reenumerando. −c. . então (0. . . j = 1. se necessário. −1. 0. 0) ∈ V . se c = 1. . Teorema 2. −c. Assim. verificar se a equação vetorial x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 + x4 u4 = 0 tem solução nula ou não. u2 . u3 e u4 são LD e u4 = 0u1 + u2 + u3 . . .41. . . V = [u1 . uk }. seja uma base de V . . . . u3 e u4 são LI ou LD. n. . −1. 1) é uma solução não-nula do sistema.43 Seja V um espaço vetorial sobre R tal que V = [u1 . . . ¥ . . . . BASES E DIMENSÃO Agora. . está bem definida. x1 v1 + · · · + xn vn = 0 ⇔ à n X j=1 ! xj aij ui . Corolário 2. pelo item 2. xj aij = 0. vn } é LD. . . k. m = n.43. . n X j=1 k X i=1 yj vj = à n k X X i=1 j=1 yj aij ! ui 0ui = 0. . i = 1. vn } são duas bases quaisquer de V .43. . . A dimensão de V é o número de elementos em alguma base de V e será denotada por dim V ou dimR V . um } e {v1 . . . que esse sistema tem pelo menos uma solução não-nula (y1 . k. pelo Teorema 2. . Note. . pelo Teorema 2. yn ). . Como V = [u1 . .44. . Prova. i = 1. . Por outro lado. vamos estudar a combinação linear x1 v1 + · · · + xn vn = = n X j=1 n X j=1 k X i=1 53 xj vj à k X i=1 xj aij ui ! = Assim. das Observações 1. ou seja. então m = n. . convencionamos que dim V = 0. basta discutir o sistema homogêneo com k equações e n incógnitas n X j=1 n X j=1 xj aij = 0. . Se {u1 . . . . . .44 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. o conjunto {v1 . que n ≤ m. . Quando V = {0}. ¥ Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. . . Como n > m ≥ k temos. que essa definição não depende da base de V . y1 v1 + · · · + yn vn = = Portanto. um ] e {v1 .2. . . que m ≤ n. .19.5. isto é. Logo. . pelo Corolário 2. . como V = [v1 . . . vn ] e {u1 . vn } é um conjunto LI temos. . . um } é um conjunto LI temos. . Portanto. 45 Seja V um espaço vetorial sobre R. . . . . y y o que é impossível. . um+1 } é LI em W . ¥ Teorema 2. acabou. {u1 . . . Então todo conjunto de vetores LI em W é parte de uma base de W . . .45 um+2 ∈ W − [u1 . x1 = · · · = xm = 0. xm . . um+1 ]. . . . Se W = [u1 . . Logo. . . un }. . . . um . um . y = 0 e x1 u1 + · · · + xm um = 0. . u} é um conjunto LI. . . um+1 . u} é um conjunto LI. Sejam x1 . . . . . . um ]. . . Então y = 0. um ] se. . Lema 2. . . . Prova.46 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R e W um subespaço de V . obtemos o conjunto {u1 . um+1 ] tal que {u1 . . . . um+1 . y escalares em R tais que x1 u1 + · · · + xm um + yu = 0. . . Continuando dessa maneira (em no máximo dim V etapas). . Caso contrário. Seja {u1 . . . um ] tal que {u1 . um ]. um } um subconjunto LI em V . . Portanto. . ¥ . . . pois se y 6= 0. . O posto de α é definido por posto(α) = dim[α]. . Então u ∈ V − [u1 . . um . um+2 } é LI em W . ESPAÇOS VETORIAIS Sejam V um espaço vetorial sobre R e α = {u1 . existe pelo Lema 2. . que é uma base de W . . acabou. . . . um . um . e somente se. . . . . um+2 . . Caso contrário. Seja {u1 . então u = (− x1 xm )u1 + · · · + (− )um ⇒ u ∈ [u1 . {u1 .45 um+1 ∈ W − [u1 . um } um conjunto de vetores LI em W . existe pelo Lema 2. . um . Assim. un } um subconjunto qualquer de vetores de V . um . . . . Se W = [u1 . . Prova. .54 CAPÍTULO 2. por hipótese. 1. É claro que {u} é um conjunto LI em W . 1. 0) + x2 (0. e somente se. Como dim V = 3 temos que {(1. 1)]. 0). obtemos um conjunto LI para / V . então dim W < dim V . 1. 1. 1.47 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. 1) é parte de uma base de V . isto é. os vetores (1. 1) ∈ V − [(1. b3 ) ∈ V − [(1. dim W < dim V . 0). BASES E DIMENSÃO 55 Corolário 2. 0). 1. 1) são LI. 1. 0) e (0. Para resolver esse problema devemos verificar se os vetores (1. (1. . para determinar u = (b1 . Como W 6= {0} temos que existe u em W com u 6= 0. 1. 1) é parte de uma base de V . 0) e (0. Como W à V temos que existe v ∈ V tal que v ∈ W . 1)] ⇔ b2 6= b1 + b3 . 1. (0. (0. Solução. b2 = b1 + b3 . Se W é um subespaço próprio de V . (0. 1)]. 1. os vetores (1. ⎪ 1 ⎩ x2 = b3 Logo. 1. 1. 1. 0). b3 ) ∈ V é combinação linear dos vetores (1. então todo conjunto com n vetores LI em V é uma base de V . 1. Prova. devemos primeiro encontrar os vetores u = (b1 . b2 . Assim. 1) são LI em V . 1. 1. isto é. u = (b1 .2. resolver o sistema não-homogêneo ⎧ ⎪ x1 = b1 ⎨ x + x2 = b2 . b2 . Agora. (0. Portanto. 1) e (1. Em particular. 1. Mas isto é equivalente a verificar se o sistema homogêneo ⎧ ⎪ x1 = 0 ⎨ x + x2 = 0 ⎪ 1 ⎩ x2 = 0 tem solução. É fácil verificar que x1 = x2 = 0. 1) se. b2 . existe uma base de W contendo u e no máximo dim V elementos. 1)} é uma base de V . 0) + x2 (0. Logo. 1. acrescentando v a uma base de W . pelo Teorema 2. Logo. dim W ≤ dim V . 0) e (0.5. 1. 1. 1) = (0. ¥ Exemplo 2. b2 .48 Seja V = R3 . 0) e (0. 1) são LI. Portanto.46. (0. b3 ) tais que x1 (1. b3 ) ∈ V − [(1. 1. 1). 1) = u. 0). 1. Verifique se os vetores (1. os vetores (1. Assim. u = (1. o vetor u = (b1 . 1. 1. resolver a equação vetorial x1 (1. se dim V = n. 1. 0. 1. (0. 1. 0). Assim. Além disso. 0). Portanto. . que W1 ∩ W2 contém uma base α = {u1 . . . . Prova. uk } que é parte de uma base α ∪ β. . . Note que os conjuntos α. Afirmação. Se W1 e W2 são subespaços de V . onde γ = {w1 . Agora.56 CAPÍTULO 2. . pelo Teorema 2. então dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ).1: Interseção dos subespaços W1 e W2 . Como W1 ∩ W2 é um subespaço de W1 e W2 temos. . onde β = {v1 . vm } de W1 e parte de uma base α ∪ γ.46. De fato. wn } de W2 . β e γ são dois a dois disjuntos (confira Figura 2. O conjunto δ = α ∪ β ∪ γ é uma base de W1 + W2 . é claro que o conjunto δ gera W1 + W2 . suponhamos que k X i=1 xi ui + m X j=1 yj vj + n X l=1 zl wl = 0. .49 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. . . Figura 2. ESPAÇOS VETORIAIS Teorema 2.1). . . 1. . ou seja. Assim. tk ∈ R tais que ! à n X zl wl = t1 u1 + · · · + tk uk . BASES E DIMENSÃO Então − Logo.2. y. subespaços de V . W1 = {(x. . dim W1 + dim W2 = (m + k) + (n + k) = (m + n + k) + k = dim(W1 + W2 ) + dim(W1 ∩ W2 ). t) ∈ V : x + y = 0 e z − 2t = 0}. Logo.50 Sejam V = R4 . Logo. k X i=1 ti ui + Como γ é LI temos que z1 = · · · = zn = 0. t) ∈ V : y + z + t = 0} e W2 = {(x. Determine uma base de W1 + W2 e dim(W1 + W2 ). − à n X l=1 57 ! zl wl = k X i=1 xi ui + m X j=1 yj vj ∈ W1 . xi ui + m X j=1 yj vj = 0. k X i=1 n X l=1 zl wl = 0. Portanto. z. δ é um conjunto LI. 2. y. − l=1 à n X l=1 zl wl ! ∈ W1 ∩ W2 . Como β é LI temos que x1 = · · · = xk = y1 = · · · = ym = 0. . V é soma direta de W1 e W2 ? . existem t1 . z. ¥ Exemplo 2. .5. y. −z) : x. 1. mostra-se que W2 = [(1. 0). . 1. 0. ESPAÇOS VETORIAIS W1 = {(x. ⎪ ⎩ z − 2t = 0 Assim. De modo análogo. W1 ∩ W2 = [(3. 1. 0)} é uma base de W1 + W2 e dim(W1 + W2 ) = 4. 3) . 0. (0. 2. (0. 0. −1). 0. y. Agora. subespaços de V . −1. 0. −1). 1. z. −3. −1. −1. para determinar uma base de W1 ∩ W2 basta resolver o sistema ⎧ ⎪ y+z+t=0 ⎨ x+y =0 . 0. (0. V = R4 = W1 + W2 . 0. Exemplo 2. z ∈ R} = [(1. 1)] e dim W2 = 2. t) ∈ V : y + z + t = 0} = {(x. 0. 1. y. podemos escalonar a matriz ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 1 0 0 ⎥ ⎢ 0 1 0 −1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 1 −1 ⎥ → · · · → ⎢ 0 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎦ ⎣ 0 0 0 1 ⎦ ⎣ 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 Portanto. −1). y. 0. −1)]. −1). 2)] e W2 = [(1. (1. y. z ∈ R} = {(x.51 Sejam V = R3 . Como dim(W1 ∩ W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 + W2 ) = 3+2−4=1 temos que V não é soma direta de W1 e W2 . 1. Note que. 0). 2. (1. 0. (0. 2. 0) + (0.58 Solução. 0. Determine uma base de W1 ∩ W2 e a dim(W1 ∩ W2 ). o conjunto α = {(1. (0. z. −y) + (0. 0. 0. W1 = [(1. 1)]. 0. 1)] . (0. 0). 0. −y − z) ∈ V : x. para determinar uma base de W1 +W2 . Note que CAPÍTULO 2. pois W1 + W2 ⊆ V . e dim W1 = 3. Assim. 0. z. x . . . x . pois dim(W1 + W2 ) = 2 + 2 − 1 = 3 = dim V e W1 + W2 ⊆ V. x . x 1 1 . Sejam V = R3 e W1 . 1 0 . . . y ⎥ → · · · → ⎢ 0 1 . z) em R3 que estão nos subespaços W1 e W2 . ⎥ ⎥. z) ∈ V : −5x − 2y + 3z = 0}. . isto é. Agora. ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 2 −1 . y. para determinar uma base para W1 ∩ W2 . É fácil verificar que dim W1 = 2 e dim W2 = 2. ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ . z . ⎥ → ··· → ⎢ 0 1 . Solução. . . dim W2 = 2 e W1 " W2 .19. 0 0 . W2 subespaços V tais que dim W1 = 1. ⎡ ⎤ . ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 0 1 . ⎣ ⎣ ⎦ . . y ⎥ . Sejam V = R3 e W1 . ⎡ ⎤ . 0. y. 0)}? 2. x − 2y + z . . x ⎢ ⎥ . ⎢ ⎢ 0 1 . 3 1 . 1 0 . ⎡ . y ⎥ e ⎢ 2 −1 . 3)] e dim(W1 ∩ W2 ) = 1. devemos primeiro determinar os vetores u = (x. Portanto. . EXERCÍCIOS 1. z . 0 0 . W1 ∩ W2 = [(1. −5x − 2y + 3z = 0 Assim. y . W2 subespaços de V tais que dim W1 = dim W2 = 2. z . 3 1 . . . y. 1 1 . ⎣ . . x+y 3 2x−y 3 −5x−2y+3z 3 ⎡ ⎤ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ e Logo. . ⎦ W1 = {(x. basta resolver o sistema ( x − 2y + z = 0 . V não é soma direta de W1 e W2 mas V = W1 + W2 . . É possível obtermos W1 ∩ W2 = {(0. . −1 2 . z . . y ⎣ ⎦ . 1 0 . escalonar as matrizes ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ . Mostre que R3 = W1 ⊕ W2 . das Observações 1. . V é soma direta de W1 e W2 ? 59 Assim. BASES E DIMENSÃO 2. z) ∈ V : x − 2y + z = 0} e W2 = {(x.5. 1 0 . Finalmente. 2. pelo item 2.2. . −1 2 . 0. 1. y. onde u = (1 − a. 4). W2 subespaços V . 6. Determine uma base e a dimensão para W1 . 7)}. 7)] . ESPAÇOS VETORIAIS 3. −3. 0. 0. −1. −3. W1 = {(x. Quais dos subconjuntos abaixo são bases de V ? (a) {(1. 1). W2 . −8. −2. (3. 1. W1 + W2 e W1 ∩ W2 . −2. (0. v} em V . 5. (c) {(1. Sejam V = R2 e o conjunto de vetores β = {u. 1} é uma base de P3 (R). z) ∈ V : x = 0} e W2 = [(1. (1 − x)2 . p0 . 2) . c d c d subespaços de V . 0) . 3) . Seja V = R4 . Sejam V = P2 (R) e p = 2x2 − 3x + 1 ∈ V. 23). −4. −2. 0). (1. Seja V = R4 . 1. Determine os possíveis valores para dim (W1 ∩ W2 ). dim W2 = 5 e dim V = 7. 4. 1). (3. −5)] e W2 = [(1. −1) . Determine uma base e a dimensão para W1 . 3). onde dim W1 = 4. 2. Determine o valor de a ∈ R para que β não seja uma base de V . −1. (1. . Sejam V = R2×2 . 1. (0. Seja V = P3 (R). W1 + W2 e W1 ∩ W2 . É verdade que R2×2 = W1 ⊕ W2 ? 7. −13. −1. Sejam V = R3 . (3. 11. O conjunto β = {p. 0. 2. (b) {(1. 1. (4. (2. 1. Determine uma base e a dimensão dos subespaços W1 = [(1. 5. W2 . 9). Mostre que o conjunto β = {(1 − x)3 . (0. 8. 0. 1 − x. 1 − a) . 1 + a) e v = (1 + a. 3). 1)}.60 CAPÍTULO 2. 1. 0. (2. Determine uma base e a dimensão do subespaço W = {p ∈ V : p0 (x) = 0} . 2)] subespaços de V . 0. 2. 1. 0). 1. 2. 1. 4. (" # ) (" # ) a b a b W1 = ∈ V : b = −a e W2 = ∈ V : c = −a . 3. p00 } é uma base de V? 10. 1) . 1. (0. 5. (1. (1. −2)}. 1. 9. Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 . 15. 5). BASES E DIMENSÃO (d) {(1. 3). 4. Seja W o conjunto de todos os quadrados mágicos de ordem 3 (confira Exercício 11 do Capítulo 1). 1 + x + x2 + x3 + x4 } é uma base de P4 (R). 0. 2. Sejam V um espaço vetorial sobre R com V 6= {0} e β um subconjunto não-vazio de V . 4. 4. 0. Existe outra maneira de fazê-la? 14. −1. (−1. 13. (0. no seguinte sentido: não existe subconjunto β 0 LI de V tal que β ⊂ β 0 . 5). Em cada um dos subconjuntos abaixo determine uma base de W e estenda-a a uma base de V . (b) Mostre que toda matriz ⎤ a1 a2 a3 ⎢ ⎥ A=⎣ ∗ ∗ ∗ ⎦ ∗ ∗ ∗ ⎡ pode ser transformada em um quadrado mágico. 2. 2. (3. (−2. z) : x − 3y + 3z = x + 5y − z = x + y + z = 0}. −2. 2. 3)]. (a) Mostre que W é um subespaço de R3×3 e que o conjunto ⎧⎡ ⎤⎫ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎪ 1 1 1 0 1 −1 ⎪ 1 −1 0 ⎬ ⎨ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ . 3). 2. 1. (a) Se V = R3 e W = {(x. (b) Se V = R4 e W = [(1. (0.5. 2. 0. Mostre que as seguintes condições são equivalentes: (a) β é um conjunto independente maximal de V . 0. (c) Se V = R4 e W = [(1. Mostre que o conjunto β = {1. ⎣ −1 0 1 ⎦ 0 1 ⎦ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ 1 −1 0 0 1 −1 1 1 1 é uma base de W . 1. 0. 1). 3)]. 9)}. (b) β é um conjunto minimal de geradores de V . . (−2. 1 + x + x2 . (0. −2. 1 + x. 61 12. ⎣ −1 β = ⎣ 1 1 1 ⎦ . 0.2. 1). no seguinte sentido: não existe subconjunto de geradores β 0 de V tal que β 0 ⊂ β. 1). 1 + x + x2 + x3 . y. un } . então {u + W : u ∈ β − α} é uma base de V . ESPAÇOS VETORIAIS 16. . un ) ou {u1 . Uma base ordenada de V é uma seqüência finita de vetores LI que gera V e será denotada por (u1 . (a) Mostre que o conjunto V = com as operações de adição (u + W ) ¢ (v + W ) = (u + v) + W e multiplicação por escalar a ¯ (u + W ) = au + W é um espaço vetorial sobre R chamado espaço quociente. . Mostre que dim(W1 + W2 + W3 ) ≤ dim(W1 ) + dim(W2 ) + dim(W3 ) − dim(W1 ∩ W2 ) − dim(W1 ∩ W3 ) − dim(W2 ∩ W3 ) + dim(W1 ∩ W2 ∩ W3 ). isto é. W2 . Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 . Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subespaço de V . W3 subespaços de V . V = {u + W : u ∈ V } W 2. . 17. então α ∩ β = ∅ e α ∪ β é uma base de V . . .6 Mudança de Bases Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. .62 (c) β é uma base de V . (d) Mostre que dim V = dim V + dim W. (b) Se α é uma base de W e se β é um subconjunto de V tal que {u + W : u ∈ β} é uma base de V . . (c) Se β é uma base de V tal que α ⊆ β é uma base de W . . dim V = dim V − dim W. CAPÍTULO 2. Exemplo 2. .no conjunto não importa a ordem dos elementos enquanto na seqüência a ordem é importante . . . un é uma base ordenada de V . (1. então {u1 . .segunda é a identidade .no conjunto os elementos são todos distintos enquanto na seqüência todos podem ser iguais. (Existência) Como u ∈ V = [β] temos que existem escalares x1 . . . . i = 1. Prova. (1. 1). (Unicidade) Suponhamos. i = 1. ¥ Os escalares x1 . i = 1.53 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R e β = {u1 . b. . ⎥ [u]β = ⎣ . Determine [(a. ui = u. Então todo vetor u ∈ V pode ser escrito de modo único sob a forma: u = x1 u1 + · · · + xn un . Como β é LI temos que xi − yi = 0. que u = y1 u1 + · · · + yn un . . n. n. . xn são chamados as coordenadas do vetor u em relação à base ordenada β e será denotada por ⎡ ⎤ x1 ⎢ . 1. xn Note que [u + v]β = [u]β + [v]β e [au]β = a[u]β . Portanto. . . . . . xi = yi . Teorema 2. 0. . un } é uma base de V . . Então 0 = u − u = (x1 − y1 )u1 + · · · + (xn − yn )un . . xn em R tais que u = x1 u1 + · · · + xn un . .6. . . .2. . 0. un } uma base ordenada de V . . 0)} uma base ordenada de V . . a ∈ R. c)]β . n. . . −1). . ∀ u. 63 Observação 2.54 Sejam V = R3 e β = {(1. . . isto é.52 É importante destacar as principais diferenças entre seqüência e conjunto de vetores: a primeira é a ordem . . v ∈ V. . . MUDANÇA DE BASES Se a seqüência u1 . ⎦ . . também. É fácil verificar que os vetores 1. 1) + x3 (1. Portanto. isto é. y2 . Portanto. . . y3 ∈ R tais que a0 + a1 x + a2 x2 = y1 + y2 (1 + x) + y3 (1 + x)2 = y1 + y2 + y3 + (y2 + 2y3 )x + y3 x2 . 1 + x. Como dim V = 3 temos que β = {1. Então. . a − 2b + c É fácil verificar que y1 = a0 − a1 + a2 . . ⎪ ⎩ −x1 + x2 = c Exemplo 2. pelo Teorema 2. y2 = a1 − 2a2 e y3 = a2 . x2 = b e x3 = a − 2b + c. isto é. Solução. 0. b. . −1) + x2 (1. c)]β = ⎣ b ⎦. a2 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. c) = x1 (1. b. ⎡ ⎤ a0 − a1 + a2 ⎢ ⎥ [a0 + a1 x + a2 x2 ]β = ⎣ a1 − 2a2 ⎦ . Mostre que β = {1. 0. (1 + x)2 } é uma base de V e determine [a0 + a1 x + a2 x2 ]β . 1. . resolver o sistema não-homogêneo ⎧ ⎪ x1 + x2 + x3 = a ⎨ x2 = b . 1+x e (1+x)2 são LI.53. Para resolver esse problema devemos encontrar x1 . 1 + x. .3) u = y1 v1 + · · · + yn vn . x2 . todo vetor u ∈ V pode ser escrito de modo único sob a forma ( u = x1 u1 + · · · + xn un (2. ⎤ ⎡ b−c ⎥ ⎢ [(a.64 CAPÍTULO 2. vn } duas bases ordenadas de V . devemos encontrar y1 . x3 ∈ R tais que (a.55 Seja V = P2 (R). . 0). ⎪ ⎩ y3 = a2 É fácil verificar que x1 = b − c. resolver o sistema não-homogêneo ⎧ ⎪ y1 + y2 + y3 = a0 ⎨ y2 + 2y3 = a1 . un } e β 0 = {v1 . Agora. β = {u1 . ESPAÇOS VETORIAIS Solução. . (1 + x)2 } é uma base de V . ⎥. . . xn Em forma matricial ⎡ = . . notamos que essa matriz é obtida colocando as β coordenadas em relação à base β de vj na j-ésima coluna. .. 65 yn Como vj ∈ V . . Assim. . ⎦ . . ⎥. [u]β = [I]β [u]β 0 . . ⎤ y1 . + . . . . 2. . ⎦⎣ . temos que β vi = ai1 u1 + ai2 u2 + · · · + ain un = n X j=1 0 aij uj (2. v1 = a11 u1 + · · · + an1 un = . + ··· + a1n yn . 0 an1 · · · ann ⎤ a1n . ⎥ ⎢ [u]β = ⎣ . pela unicidade das coordenadas. temos que x1 . . .56 A matriz [I]β é invertível.. temos que u = y1 v1 + · · · + yn vn n n X X = yj ( aij ui ) = j=1 n X i=1 ( i=1 j=1 i=1 n X aij yj )ui . para cada j = 1. a11 y1 .4) ain ui . n P i=1 n P ai1 ui (2. ⎦ . . . pela Equação (2. .6. xn ⎡ ⎤ y1 . β A matriz [I]β é chamada a matriz de mudança de base da base β 0 para a base β. . . xn a11 · · · . ⎡ ⎤ x1 ⎢ . ⎦ e [u]β 0 = ⎣ . . yn obtemos 0 a11 · · · ⎢ . .4). . n. . . .5) . . n. + ··· . . ⎡ an1 · · · ann ⎤⎡ a1n . β 0 Comparando [I]β com a equação (2. ⎥. pois para cada i = 1. MUDANÇA DE BASES Assim. ⎥⎢ . ⎦=⎣ . . . . . β0 [I]β = ⎣ .. . . . . . . ⎦ . . . .3). vn = a1n u1 + · · · + ann un = Logo. temos que existem únicos aij ∈ R tais que . = an1 y1 Fazendo ⎤ ⎡ x1 ⎢ . . 2. . . . . . Observação 2..2. . ⎥ ⎢ ⎣ . . . . . . . . ann yn .. . 4) ⇒ a12 Portanto. vi = j=1 k=1 k=1 j=1 Como {v1 . . Uma maneira de resolver esse problema é usando a equação matricial [(5. temos que CAPÍTULO 2. f2 } uma base de V obtida de β pela rotação de um ângulo θ. 0) = a11 (2. n. −8)]β 0 = Agora.66 e para cada j = 1. . Solução. β = {e1 . β β β β Exemplo 2. (2. −1). [I]β 0 [I]β = Bt At = (AB)t = (In )t = In ⇒ [I]β 0 = ([I]β )−1 .6) Fazendo A = [aij ] e B = [bjk ]. . . ESPAÇOS VETORIAIS uj = bj1 v1 + bj2 v2 + · · · + bjn vn = 0 n X k=1 bjk vk . Portanto. −8)]β = 11 " 4 −3 1 2 5 −8 = 4 −1 . (3. Solução. 1 [I]β = β 11 0 0 0 0 " 5 −8 # .57 Sejam V = R2 . . . e2 } duas bases ordenadas de V . 1) = a12 (2. 2. =− 11 11 #" # " # " 4 −3 1 2 # 1 e [(5. −1) + a21 (3. temos que à n ! à n ! n n X X X X aij bjk vk = aij bjk vk .58 Sejam V = R2 . . β pois [(5. 4 1 e a21 = 11 11 3 2 e a22 = . −1) + a22 (3. Determine [(5. 4) ⇒ a11 = (0. vn } é uma base de V temos que n X j=1 aij bjk = δ ik ⇒ AB = In . Determine [u]β 0 . −8)]β .5). Substituindo a equação β β (2.2. β = {(2. . e2 } a base ordenada canônica de V e β 0 = {f1 . 4)} e β 0 = {e1 . .6) na equação (2. (1. Pela Figura 2. Exemplo 2. temos que [I]β = At e [I]β 0 = Bt . −8)]β = [I]β [(5. −8)]β 0 . . 2 2 −1 1 −x + y Exemplo 2. 1 . 1 0 . b). β ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ .6. 0 1 0 1 . β 1 −1 Determine a base β 0 . Solução. 2 −1 1 −1 . − sen θx + cos θy Em particular. .2: Rotação de um ângulo θ. Logo. −6)} e β 0 duas bases ordenadas de V . 2 ⎦ ⎣ 1 ⎦ → ··· → ⎣ 1 0 . temos que 4 # # √ " √ " 1 1 x+y 2 2 β [I]β 0 = e [u]β 0 = . 1 1 . . β = {(1.59 Sejam V = R2 . MUDANÇA DE BASES 67 Figura 2. . Logo. então [u]β 0 = [I]β 0 [u]β "β # cos θx + sen θy = . 2 = " cos θ sen θ − sen θ cos θ # . Uma maneira de resolver esse problema é determinando a inversa da matriz [I]β 0 . 1 . d)} a base desejada. (3. (c. y). [I]β 0 β Assim. se u = (x.2. 2 . A matriz de mudança de base da base β para a base β 0 é " # 1 1 [I]β 0 = . 2). temos que e1 = cos θf1 − sen θf2 e2 = sen θf1 + cos θf2 . Seja β 0 = {(a. quando θ = π . . 3) . 3. 0). 4. Mostre que β é uma base de R2 e calcule [(4. Determine [(x. Sejam V = R2 e α = {(1. −1)} um conjunto de vetores em V . Sejam V = R3 e β = {(1. −1)}. 0. onde (a) β = {(2. y)]β . Se " # −7 6 α . 2)}. 1) . 4). (0. (b) β = {(2. (1. −2). −2) 2 2 1 1 (c. 1)} (d) β = {(2. 0) . 1. Sejam V = P3 (R) e β = {(1 − x)3 . u = (a.68 Assim. (c) β = {(1. Calcule [(6. (−1. 0) . 2 2 (a. β 0 = {(2. 0) . −4)} uma base de V . Sejam V = R2 . (0. [I]β = −11 8 então determine a base β. Sejam V = R2 e β = {(2. 1 − x. z)]β . y)]β . CAPÍTULO 2. 2) + (3. Seja V = R2 . 1. 0) . calcule [(x. Determine a matriz de mudança de base da base β = {(1. 0) . 1) . −1)]β e [(x. EXERCÍCIOS 1. Determine [−x2 − 2x + 3]β . 4)}. (1. 1. 1} uma base ordenada de V . 1. . 1)} uma base ordenada de V . ESPAÇOS VETORIAIS " # e ´−1 ³ = [I]β = [I]β 0 β β 0 1 2 1 2 1 2 −1 2 1 1 (1. −6) = (2. Além disso. (1 − x)2 . d) = (1. (1. 2)]β e [(x. 2. (0. d) vetores em V tais que ac + bd = 0 e a2 + b2 = c2 + d2 = 1. b) e v = (c. 6. (1. y. −6) = (−1. 2) − (3. Mostre que β = {u. (2. 3)} para a base ordenada canônica de R3 . (1. y)]β . 5. 7. 1) . (0. 0. v} é uma base ordenada de V . −1)}. b) = Portanto. 2)} uma base de V . 9. 5) . α = {u1 . onde v1 = u1 + u3 v2 = 2u1 + u2 + u3 v3 = u1 + 2u2 + u3 . e1 + 3e2 + 2e3 . Considere os dados do exercício anterior. α = {e1 . (1. 2)} é # " 1 0 β [I]α = . 12. Se [v]t = [ 1 1 2 ]. e3 } e β = {e1 + 2e2 . Se " # −1 4 [I]α = . v2 . 1) . 11. β 15. Sejam V = R3 . Sejam V = R2 e β = {(3. MUDANÇA DE BASES 8. β = {−e1 + e2 .6. α 16. c ∈ R . Seja V = um espaço vetorial sobre R. Determine [I]α . α α β β 14. [I]β e [I]α · [I]β . (0. A matriz de mudança de base da base α de R2 para a base β = {(1. 69 10. β 13. e1 + e2 − e3 . b. Se [u]t = [ −1 3 ]. β = {−e1 + e2 + e3 . e2 }. então determine [u]α e [u]γ . 1 −2 3 3 Determine a base α. Se [u]t = [ −1 3 1 ]. β 4 −11 então determine a base α. Determine [I]α . e3 }. e2 . Sejam α = {e1 . v3 } bases ordenadas de V . então determine α [v]β . (" a b 0 c # ) α = {e1 . u2 . e2 . Seja V = R3 .2. Sejam V um espaço vetorial de dimensão n sobre R e α uma base ordenada de V . e2 + 3e3 } bases ordenadas de V . 2e2 } ∈ R2×2 : a. Sejam bases ordenadas de R2 . Determine as matrizes de mudança de bases de α para β e de β para α. e1 + e2 + e3 } e γ = 2α bases ordenadas de R3 . e1 + e2 } e γ = {2e1 . u3 } e β = {v1 . então determine [u]α e [u]γ . . . un ∈ V. yn ) ∈ Rn : y1 u1 + · · · + yn un = 0} é um subespaço de Rn e determine a dimensão de W . . xn ∈ R. . n ≥ 3. . . Wn . (c) Suponhamos que y1 u1 + · · · + yn un = 0. tais que x1 u1 + · · · + xn un = 0. determine [I]α e [I]β . . subespaços de V tais que W1 ⊆ W2 ⊆ · · · ⊆ Wn ⊆ · · · . Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. Mostre que existe a ∈ R∗ tal que y1 = ax1 . . . . E12 . [ Wn n∈N 19. (d) Mostre que W = {(y1 . ESPAÇOS VETORIAIS (a) α = {E11 .70 CAPÍTULO 2. . Mostre que \ W = Wn n∈N é um subespaço de V . . Suponhamos que u1 . E11 + E12 . . . E11 + E12 + E22 } são bases ordenadas de V ? (b) Se sua resposta ao item anterior foi positiva. . . yn = axn . . . β = {E11 . . W2 . W2 . β α 17. . . . (a) Dê um exemplo para tais vetores em R3 ! (b) Mostre que existem escalares x1 . . Wn . . . . sejam LD mas quaisquer n − 1 desses vetores são LI. todos diferentes de zero. Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 . subespaços de V . . E22 } . Mostre que W = é um subespaço de V . . 18. . . . Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 . 3.1 Transformações Lineares Sejam V e W espaços vetoriais sobre R. as quais são chamadas de “transformações lineares” e que é um dos objetos fundamentais da álgebra linear. 71 . por exemplo. pois T (0) = T (0 · u) = 0 · T (u) = 0. costuma-se aproximar uma função diferenciável por uma transformação linear. Se T : V → W é uma transformação linear. também. 2. para todos u. Intuitivamente. Veremos.Capítulo 3 Transformações Lineares Neste capítulo vamos estudar um tipo especial de funções. T (u + v) = T (u) + T (v). Se T : V → W é uma transformação linear. 3. ∀ a. Observações 3.1 1. Uma função T : V → W é uma transformação linear se as seguintes condições são satisfeitas: 1. v ∈ V. uma transformação linear é uma função que preserva as operações dos espaços vetoriais. b ∈ R e u. para todo a ∈ R e u ∈ V (Homogeneidade). v ∈ V (Aditividade). Em cálculo. 2. então T (0) = 0. T (au) = aT (u). que resolver um sistema AX = B de equações lineares é equivalente a encontrar todos os elementos X ∈ Rn×1 tais que TA (X) = B. onde TA : Rn×1 → Rm×1 definida por TA (X) = AX é uma transformação linear. então T (au + bv) = aT (u) + bT (v). A função 0 : V → W definida por 0(u) = 0. para todo x ∈ R. é uma transformação linear. ∀ a ∈ R e X ∈ V. Y ∈ V. De fato. para algum a ∈ R fixado. para todo u ∈ V . é uma transformação linear. W = Rm×1 espaços vetoriais sobre R e A ∈ Rm×n uma matriz fixada. que SA : R1×m → R1×n definida por TA (v) = vA. T (a1 u1 + · · · + an un ) = a1 T (u1 ) + · · · + an T (un ). A função TA : V → W definida por TA (X) = AX. pois IV (u + v) = u + v = IV (u) + IV (v). dizemos que T é um operador linear sobre V . para todo X ∈ V . ∀ a ∈ R e u ∈ V. também. é claro que a função T : R → R definida por T (x) = ax. . e Note. 4. Mais geralmente. Reciprocamente. A função I = IV : V → V definida por IV (u) = u.72 pois CAPÍTULO 3. Exemplo 3. para todo x ∈ R. Então T (x) = T (1 · x) = T (1)x. é um operador linear. ∀ X. seja T : R → R uma transformação linear. ∀ ai ∈ R e ui ∈ V.5 Sejam V = Rn×1 .4 Toda transformação linear T : R → R é da forma ax. ∀ a ∈ R e u ∈ V. obtemos T (x) = ax. para todo u ∈ V .2 (Operador Nulo) Sejam V e W espaços vetoriais sobre R. pois TA (X + Y) = A(X + Y) = AX + AY = TA (X) + TA (Y). Exemplo 3. v ∈ V e IV (au) = au = aIV (u). é uma transformação linear. é uma transformação linear. Se T : V → W é uma transformação linear e V = W .3 (Operador Identidade) Seja V um espaço vetorial sobre R. ∀ x ∈ R. TA (aX) = A(aX) = a(AX) = aTA (X). Exemplo 3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES T (au + bv) = T (au) + T (bv) = aT (u) + bT (v). Fazendo a = T (1) ∈ R. v ∈ V e 0(au) = 0 = a0(u). para todo v ∈ Rm×1 . Exemplo 3. ∀ u. pois 0(u + v) = 0 = 0 + 0 = 0(u) + 0(v). ∀ u. 3. y) = c(x. é uma transformação linear (prove isto!). ∀ p. y) e Rθ (x. u = x cos θ − y sen θ. A função T : V → V definida por T (x. Determine a transformação linear Rθ : V → V . Sejam u = (x. onde Rθ (u) é uma rotação anti-horário de um ângulo θ.7 (Operador Semelhança) Seja V = R2 . TRANSFORMAÇÕES LINEARES 73 Exemplo 3. y) = (u. . v = x sen θ + y cos θ. Solução. ∀ a ∈ R e p ∈ V. Logo.1.8 (Rotação de uma ângulo θ) Seja V = R2 . A função D : V → V definida por (Dp)(x) = p0 (x). Exemplo 3. é uma transformação linear. Então. v). x = r cos α e y = r sen α.1: Rotação de um ângulo θ. De modo análogo. Quando c > 0. q ∈ V e (D(ap)) (x) = (ap(x))0 = ap0 (x) = a(Dp)(x) = (a(Dp))(x). Figura 3. para todo p ∈ V . pois (D(p + q)) (x) = ((p + q)(x))0 = (p(x) + q(x))0 = p0 (x) + q 0 (x) = (Dp)(x) + (Dq)(x) = (Dp + Dq)(x). do vetor u ∈ V . pela Figura 3. y). temos que u = r cos(α + θ). T é chamado de operador semelhança. ∀ c ∈ R.1. Exemplo 3. 0 ≤ θ < 2π.6 (Operador Diferencial) Seja V = Pn (R) o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais e grau menor do que ou igual a n. T ((2.9 (Operador Translação) Seja V = R2 . 0) = (a. Portanto. −1)) = T (5. desde que |y + s| < |y| + |s| se ys < 0. CAPÍTULO 3. |y + s|) 6= (x. TRANSFORMAÇÕES LINEARES Rθ (x. y) + T (r. Figura 3. a menos que a = b = 0.2). A função Tv : V → V definida por T (u) = u + v. v ∈ V. pois T ((x. 0). y) = (x cos θ − y sen θ. y) e v = (a. Mostre que se a função T : V → W satisfaz à condição aditiva T (u + v) = T (u) + T (v). 1) + (3. pois T (0. y + s) = (x + r. 1) + T (3. −1) Note que T (0. |y|) + (r. y) + (r. y) = (x. b) 6= (0. s). 2) = T (2.74 Assim. . 0) (confira Figura 3. onde u = (x. 0) = (5. x sen θ + y cos θ). A função T : V → V definida por T (x. b).2: Translação por v. Exemplo 3.10 Seja V = R2 . Exemplo 3. T (0) = 0 é condição necessária mas não suficiente para que T seja uma transformação linear. 0) = (0. s)) = T (x + r. então T é uma transformação linear. |y|) não é uma transformação linear. não é uma transformação linear. |s|) = T (x. Em particular. 0) 6= (5.11 Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo dos racionais Q. ∀ u. Exemplo 3. satisfazendo à condição aditiva. . .1. para todo r ∈ Q e u ∈ V . Assim. Assim. wn vetores arbitrários em W . 0 = T (0) = T (u + (−u)) = T (u) + T (−u) ⇒ T (−u) = −T (u). (Existência) Como {u1 . verdade. Prova. n. para todo n ∈ N e u ∈ V . . Logo. para todo n ∈ Z. . . que esse resultado não é. . obtemos 1 1 T (u) = T (n( u)) = nT ( u). com n 6= 0. Sejam {u1 . Dado n ∈ Z com n < 0. . T ( n u) = n T (u). em geral. Mostraremos a seguir. Vamos definir T : V → W por T (u) = x1 w1 + · · · + xn wn = É claro que T está bem definida e n P xi wi . 75 Dado n ∈ N. T (0) = 0. para todo n ∈ Z e u ∈ V . segue. e u ∈ V . Dado n ∈ Z com n 6= 0. . i=1 T (ui ) = wi .3. Finalmente. . TRANSFORMAÇÕES LINEARES Solução. T (nu) = nT (u). . assim. u ∈ V. n. Como 0 + 0 = 0 temos que T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0). T é uma transformação linear. i = 1. . . obtemos n 1 m 1 T (ru) = T (m( u)) = mT ( u) = T (u) = rT (u) n n n e. n n 1 1 Logo. Então existe uma única transformação linear T : V → W tal que T (ui ) = wi . Portanto. indutivamente. Teorema 3. . podemos cuncluir que toda função definida em espaço vetorial sobre o corpo dos racionais Q. . é sempre linear. obtemos T (nu) = T (−n(−u)) = −nT (−u) = −n(−T (u)) = nT (u). . n. que T (nu) = nT (u). . . . . . T (ru) = rT (u). Assim. dado r = m ∈ Q. . i = 1.12 Sejam V e W espaços vetoriais sobre R. un } é uma base de V temos que cada vetor u ∈ V pode ser escrito de modo único sob a forma u = x1 u1 + · · · + xn un . . . . . pois ui = 0u1 + · · · + 0ui−1 + 1ui + 0ui+1 + · · · + 0un . un } uma base de V e w1 . i = 1. 2. para determinar T . Solução. 2r + 4s = y . 2) + s(3. 5. Então existe uma única transformação linear T : V → W tal que T (ui ) = wi . Exemplo 3. 5. µ n P (xi + yi )ui n P i=1 i=1 n P ¶ = i=1 xi wi + yi wi = T (u) + T (v) n P (xi + yi )wi i=1 T (cu) = T Portanto. 2) = (3. Sejam β = {ui }i∈I uma base de V e {wi }i∈I uma família arbitrário de vetores em W . s ∈ R tais que u = r(1. 4) = (6.76 Dados v ∈ V . . 1) e T (3. i = 1. n. digamos e c ∈ R. . . ∀ i ∈ I. Assim. existe uma única transformação linear T : R2 → R3 tal que T (1. 4). devemos encontrar r.13 Sejam V e W espaços vetoriais sobre R. (Unicidade) Seja S : V → W outra transformação linear tal que S(ui ) = wi . n P xi S(ui ) = i=1 n P xi wi = T (u). T é uma transformação linear. 1) e T (3. 4) = (6. dado u = (x. 4). TRANSFORMAÇÕES LINEARES v = y1 u1 + · · · + yn un . y) ∈ R2 . 2) = (3.14 Determine a transformação linear T : R2 → R3 tal que T (1. Então S(u) = S µ n P n P (cxi )ui = (cxi )wi i=1 ¶ µ i=1 n P = c xi wi = cT (u). temos que T (u + v) = T = e CAPÍTULO 3. 2).12. (3. pelo Teorema 3. S = T . i=1 µ n P ¶ xi ui i=1 ¶ = i=1 para todo u ∈ V . . isto é. 4). É fácil verificar que {(1. Portanto. 4)} é uma base de R2 . Agora. ¥ Observação 3. 2. resolver o sistema não-homogêneo ( r + 3s = x . TRANSFORMAÇÕES LINEARES Logo. y). 2) + sT (3. 2x − y . Portanto. 1) = (0. 1)]. (1. Então. resolver o sistema não-homogêneo ( r − as = x . isto é. 0).15 (Operador Projeção) Determine a projeção de um vetor u ∈ R2 sobre a reta y = ax.1. ar + s = y Logo. É fácil verificar que {(1. pelo Teorema 3. 1)} é uma base de R2 . para todo a ∈ R. a)] na direção de [(−a. . 2 2 T (x. a) + s(−a. r = 1 (−4x + 3y) e s = 1 (2x − y). a)k2 R2 = [(1. µ Como Figura 3. com a ∈ R (confira Figura 3. k(1. 1) + (6. Solução. 1). 1 + a2 1 + a2 h(x. y) = T (r(1.12. a) = (1. a). a)i = (1. dizemos que P é a projeção sobre [(1. existe uma única transformação linear P : R2 → R2 tal que P (1. a). ¶ x + ay ax + a2 y P (x. a)] ⊕ [(−a. dado u = (x. 2. 1)]. com a ∈ R. a) e P (−a. y) ∈ R2 . devemos encontrar r. (−a. para determinar P . = 2 2 2 77 Exemplo 3. x + y.3). 2) + s(3.3. 4) = 2 ¶ µ 2 1 1 3 y. 4) 2x − y −4x + 3y (3. s ∈ R tais que u = r(1. y) = . Agora. 5. 4)) = rT (1.3: Projeção de um vetor u ∈ R2 sobre a reta y = ax. se θ é o ângulo que a reta y = ax faz com o eixo dos x. y) = (x cos 2θ + y sen 2θ. a)] na direção de [(−a. dado u = (x. temos que 4 R(x. ar + s = y Logo. y) ∈ R2 . resolver o sistema não-homogêneo ( r − as = x . Em particular. pelo Teorema 3. para determinar R. Agora. para todo a ∈ R. y) = (y. y) − 2 k(1.78 CAPÍTULO 3. existe uma única transformação linear R : R2 → R2 tal que R(1. . 1)]. Finalmente. com a ∈ R. a) = (1. É fácil verificar que {(1. µ ¶ Como Figura 3. 1)]. 1) = (a. então a = tan θ e é fácil verificar que R(x. 1 + a2 1 + a2 h(x. com a ∈ R (confira Figura 3. x sen 2θ − y cos 2θ). dizemos que P é a reflexão em [(1. 1).4: Reflexão de um vetor u ∈ R2 em torno da reta y = ax. s ∈ R tais que u = r(1. a)] ⊕ [(−a. a)k2 R2 = [(1. x). 1)} é uma base de R2 .16 (Operador Reflexão) Determine a reflexão de um vetor u ∈ R2 em torno de uma reta y = ax. a) e R(−a. Solução. (1. y) = . y).12. devemos encontrar r. −1). (−a.4). a)i (1. Então. isto é. quando θ = π . a) + s(−a. = (x. TRANSFORMAÇÕES LINEARES Exemplo 3. a). (1 − a2 )x + 2ay 2ax − (1 − a2 )y R(x. a). y. . (b) T (A) = BA − AB. y) = (2x − y. quais das seguintes transformações são lineares? (a) T (A) = BA.38. T (x) = (x. 2. . Assim. .17 Mostre que existe uma função T : R → R satisfazendo à condição aditiva T (x + y) = T (x) + T (y). . (c) T : R → R3 . onde k1 . T (x. existem únicos rk1 . . ∀ x. pela Observação 2. EXERCÍCIOS 1. j=1 A função T : R → R definida por T (x) = n X j=1 rkj T (xkj ). (d) T : R2 → R2 . pois se fizermos T (xk1 ) = 1 e T (xk2 ) = 0.3. tais que n X x = rk1 xk1 + · · · + rkn xkn = rkj xkj . kn ∈ I. podemos escolher uma base “de Hamel” β = {xi }i∈I de R sobre Q. Assim. para cada x ∈ R. x3 ). c. (e) T : R2 → R2 . 0). −x). T (x) 6= ax. . y) = (ax + by. mas não é uma transformação linear. z) = (x − 1. isto é. y ∈ R. T (x. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 79 Exemplo 3. ∀ x ∈ R. (a) T : R2 → R2 . . então T (x + y) = T (x) + T (y). É fácil verificar que R com as operações usuais é um espaço vetorial sobre Q. cx + dy). T (x. possui as propriedades desejadas. . Verifique quais das transformações abaixo são lineares. Solução. onde a. rkn ∈ Q. y ∈ R. para algum x ∈ R. b. ∀ x. d ∈ R. para algum a ∈ R. mas T (x) 6= ax. y + z). (b) T : R3 → R2 . 2x. .1. y) = (y. T (x. Seja V = Rn×n o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Se B é uma matriz não-nula fixada em V. R) o espaço vetorial de todas as funções reais e h ∈ R fixado. 0) = (a. 1) = (c. 2) = (1. CAPÍTULO 3. (Deslocamento) (b) (T f )(x) = f (x + h) − f (x). (Valor médio) 2 4. Determine o operador linear T : R2 → R2 que satisfaça T (1. Mostre que S + T e aT . . (e) T (A) = Bt AB. (Operador Cisalhamento na direção de x) Determine a transformação linear T : R2 → R2 que satisfaça T (1. 1) = (1. 1) = (a. (Diferença para frente) (c) (T f )(x) = f (x) − f (x − h). 0). Mostre que a função J : V → V definida por x R (Jf )(x) = f (t)dt 0 é uma transformação linear. 1). (Operador Integração) Seja V = C(R. 8. 9. R) o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas. Defina Operador Cisalhamento na direção de y. 7. são lineares. (b) (T p)(x) = p(x)−a0 x (Eliminação do termo constante e divisão por x). Conclua que o conjunto de todas as transformações lineares L(V. 5. Determine o operador linear T : R2 → R2 que satisfaça T (1. 0) e T (0. (d) T (A) = At . (Diferença para trás) (d) (T f )(x) = f (x + h ) − f (x − h ). onde a ∈ R∗ . W ) é um espaço vetorial sobre R. Mostre que cada uma das funções T : V → V abaixo é uma transformação linear: (a) (T p)(x) = xp(x) (Multiplicação por x). TRANSFORMAÇÕES LINEARES 3. para todo a ∈ R. b) e T (0. d). 0) = (1. Mostre que cada uma das funções T : V → V abaixo é uma transformação linear: (a) (T f )(x) = f (x + h). Sejam S : V → W e T : V → W transformações lineares. Seja V = P (R) o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais. (Diferença central) 2 2 ¢ ¡ 1 h (e) (T f )(x) = 2 f (x + 2 ) − f (x − h ) . 6. 1) e T (0.80 (c) T (A) = B + A. Sejam V = F(R. 14. W ). 3. Generalize. (b) R ◦ S. Se dim V = 2 e dim W = 3. para todo z ∈ V . y) = (x. R ◦ T . (d) Mostre que S e T são LI. . S ◦ R. n. w3 } bases de V e W . S 2 e T 2 . . respectivamente. para todo ui ∈ V e ci ∈ R. Mostre que as seguintes condições são equivalentes: (a) Se w − u = c(v − w). Então as transformações lineares ( wj se i = k Eij (vk ) = δ ik wj = . determine uma base de L(V. Sejam R : R2 → R2 . E23 } é uma base de L(V. Sejam V = P (R) o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais e D : V → V e M : V → V operadores lineares definidos por (Dp)(x) = p0 (x) e (Mp)(x) = xp(x). onde x ∈ W e T : V → W é uma transformação linear. S : R2 → R2 e T : R2 → R2 operadores lineares definidos por R(x. . (b) f (z) = T (z) + x. (c) R2 . P P (c) f ( n ci ui ) = n ci f (ui ). T ◦ R. 2 e j = 1. . então f (w) − f (u) = c(f (v) − f (w)).3. v. w ∈ V e c ∈ R. E21 . W )). 0).1. Sejam V e W espaços vetoriais sobre R e f : V → W uma função. E12 . (Sugestão: Sejam {v1 . Agora mostre que o conjunto {E11 . x) e T (x. E22 . Determine: (a) S + T e 3S − 5T . 13. para todos u. Sejam R : U → V . . y). y) = (0. S : U → V e T : V → W transformações lineares. S ◦ T e T ◦ S. S(x. Mostre que MD − DM = I e (DM)2 = D2 M 2 + DM. E13 . w2 . TRANSFORMAÇÕES LINEARES 81 10. y) = (y. 0 se i 6= k estão bem definidas e são únicas. 11. i = 1. v2 } e {w1 . 12. 2. Mostre que T ◦ S é uma transformação linear e T ◦ (R + S) = T ◦ R + T ◦ S. i = 1. com i=0 i=0 c1 + · · · + cn = 1. . A imagem de T é o conjunto Im T = {w ∈ W : w = T (u). vamos provar que T é linear. 2 Portanto. para todos y. para todo v ∈ W . T k−1 (u)} é LI. para algum k ∈ N.5). . TRANSFORMAÇÕES LINEARES (Sugestão: (a ⇒ b) Sejam x = f (0) ∈ W e T : V → W definida por T (y) = f (y)−x. . então T (v) ∈ W . T (u). Figura 3.2 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Sejam V . (a) Mostre que se u ∈ V é tal que T k−1 (u) 6= 0. Finalmente. . como 1 2z − (y + z) = z − y = − (2y − 2z) 2 temos que 2T (z) − T (y + z) = T (2z) − T (y + z) = f (2z) − f (y + z) 1 = − [f (2y) − f (2z)] = −[T (y) − T (z)]. .82 CAPÍTULO 3. para algum u ∈ V } = {T (u) : u ∈ V } = T (V ) (confira Figura 3.) 15. 3. Agora. T (cy) = cT (y).5: Representação gráfica da imagem de T . T (y + z) = T (y) + T (z). então o conjunto {u. W espaços vetoriais sobre R e T : V → W uma transformação linear. (b) Mostre que se W = [u. para todo y ∈ V e c ∈ R. z ∈ V . Logo. Como y − cy = (c − 1)(0 − y) temos que T (y) − T (cy) = f (y) − f (cy) = (c − 1)[f (0) − f (y)] = (c − 1)(−T (y)). T (u). T k−1 (u)]. . . . . Seja T : V → V um operador linear tal que T k = T ◦ T ◦ · · · ◦ T = 0. Portanto. 2y. Teorema 3. Então Im T é um subespaço de W e ker T é um subespaço de V .6). y.3. Dados w1 . É claro que Im T 6= ∅. Vamos provar apenas que Im T é um subespaço de W . Determine o núcleo e a imagem de T .18 Sejam V . NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR O núcleo de T é o conjunto ker T = {u ∈ V : T (u) = 0} = T −1 (0) (confira Figura 3. z) = (x. pois au1 ∈ V . ¥ . 83 Figura 3. w1 + w2 = T (u1 ) + T (u2 ) = T (u1 + u2 ) ∈ Im T. pois u1 + u2 ∈ V .20 Seja T : R3 → R3 a transformação linear definida por T (x.19 Seja T : V → W uma transformação linear com dim V = n. Prova. Logo. Im T é um subespaço de W .6: Representação gráfica do núcleo de T . w2 ∈ Im T e a ∈ R. 0). e aw1 = aT (u1 ) = T (au1 ) ∈ Im T. W espaços vetoriais sobre R e T : V → W uma transformação linear. Observação 3.2. w2 ∈ Im T temos que existem u1 . Então posto(T ) = dim Im T e nul(T ) = dim ker T. pois 0 = T (0) ∈ Im T. Exemplo 3. Como w1 . u2 ∈ V tais que w1 = T (u1 ) e w2 = T (u2 ). 0. 2.7: Representação gráfica do núcleo e da imagem de T . 0)]. 0. 0) ∈ Im T temos que existem u1 . 0. 0. 0)] (confira Figura 3. (0. z) = (0. 0)} = {(x. 0) e T (0. Por definição CAPÍTULO 3. 0) temos que Im T = [T (1. É fácil verificar que α = {(1. Solução. 0.7). 2. −1). 0). como T (1. 0) : x. (0. 0) = (0. 1. 1. 0). −1). 1)] e Im T = {T (x. . −1) e T (u2 ) = (0. z) ∈ R3 : T (x. 1. 0. 1. 0. y ∈ R} = [(1. 0. 0. z) ∈ R3 : (x. z) ∈ R3 } = {(x. 1. 1. 2y. 0)} é uma base de Im T . z) : z ∈ R} = [(0. T (0. 2y. −1). 0. Exemplo 3. 0). T (0. y.84 Solução. y. 0. 0. 0. 0)]. 1. u2 ∈ R3 tais que T (u1 ) = (1. y. Como (1. (0. 1. z) : (x.21 Determine uma transformação linear T : R3 → R4 tal que Im T = [(1. 0). 0. TRANSFORMAÇÕES LINEARES ker T = {(x. 1) = (0. 0) = (1. y. (0. y. 1. Finalmente. 0)} = {(0. 0. 0. 0. 0) = (0. 0. Figura 3. 1. . 1) temos. W espaços vetoriais sobre R e T : V → W uma transformação linear.3. 0). 1. u2 = (0. 0. −1). Em particular. 1. 0). 1. 0. NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Seja W = [u1 . u3 } para R3 . Sejam V . temos que T (u) ∈ Im T . y. y. 0. Finalmente. u2 ]. R3 = W + ker T . obtemos uma base {u1 . 0) = y1 T (u1 ) + y2 T (u2 ) = T (y1 u1 + y2 u2 ). dado u = (x. é fácil verificar que W ∩ ker T = {0}. Afirmação. isto é. 0. 0) e u3 = (0. T (u2 ) = (0. 85 ou seja. 0. y. 0. Assim. temos que T (x. Dizemos que T é injetora se T (u) = T (v) ⇒ u = v. Então {u1 . pois α é uma base de Im T . 1. equivalentemente. Dizemos que T é sobrejetora se dado w ∈ W . R3 = W ⊕ ker T .12. 1. Logo. existe v ∈ ker T tal que u − (y1 u1 + y2 u2 ) = v ⇒ u = (y1 u1 + y2 u2 ) + v ∈ W + ker T. escolhendo u1 = (1. Neste caso. y. De fato. y2 ∈ R tais que T (u) = y1 (1. ∀ u. −x). u − (y1 u1 + y2 u2 ) ∈ ker T. u2 } é uma base de W . pelo Teorema 3. z) = xT (u1 ) + yT (u2 ) + zT (u3 ) = (x. −1) + y2 (0. 0. Agora. T (u − (y1 u1 + y2 u2 )) = T (u) − T (y1 u1 + y2 u2 ) = T (u) − T (u) = 0. v ∈ V ou. para determinar T . dizemos que T é bijetora se T é injetora e sobrejetora. 0. Agora. w = T (u) ⇔ u = T −1 (w). z) ∈ R3 . u2 .2. Im T = W . 0) e T (u3 ) = (0. dado u ∈ R3 . u 6= v ⇒ T (u) 6= T (v). Portanto. v ∈ V. existem y1 . que existe uma única transformação linear T : R3 → R4 tal que T (u1 ) = (1. isto é. existir u ∈ V tal que T (u) = w. ∀ u. Escolhendo uma base {u3 } para ker T . Mas não é sobrejetora. isto é. 1) 6= (0. T é injetora. Exemplo 3. 0. 1) 6= (0. y) = x. Então T é não-singular se. u − v ∈ ker T = {0}. y) ∈ R2 } = {x · 1 : x ∈ R} = [1] = R. ou seja. Dados u. Então T é não-singular se. 0). 0) = (y. 0.22 Seja T : R2 → R a transformação linear definida por T (x. −1). −1) com (0. z) = (x. se T (u) = T (v).24 Seja T : R3 → R3 a transformação linear definida por T (x. y. pois T (x) 6= (0. Dado u ∈ ker T . Portanto. y. Teorema 3. u = v. Mas não é injetora. 0. temos que T (u) = 0. pois T (0. Então T é sobrejetora. −1) e (0. 1). z) ∈ R3 . pois T (0. Então T é injetora. y) : (x. então T (u − v) = T (u) − T (v) = T (u) − T (u) = 0. v ∈ V . 1). Exemplo 3. suponhamos que T seja injetora. pois Im T = {T (x. dizemos que T é singular. Assim. Dizemos que T é não-singular se ker T = {0}. Logo. Reciprocamente. z) 6= (0. pois T (x) = T (y) ⇒ (x. 0. 0. ¥ Corolário 3. ker T = {0}. T leva todo conjunto LI de V em algum conjunto LI de W . ker T = {0}.25 Sejam V . Suponhamos que T seja não-singular. . 1) = 0 = T (0. y. Caso contrário. T é não-singular.26 Sejam V . W espaços vetoriais sobre R e T : V → W uma transformação linear. 2y. isto é. −1) e T (x. T é injetora. Portanto. W espaços vetoriais sobre R e T : V → W uma transformação linear.23 Seja T : R → R2 a transformação linear definida por T (x) = (x. Como T (0) = 0 temos que T (u) = 0 = T (0) ⇒ u = 0. Im T 6= R3 . 0). 1) = (0. 0) ⇒ x = y. Então T não é injetora e nem sobrejetora. W espaços vetoriais sobre R e T : V → W uma transformação linear. Prova. 0) = T (0. TRANSFORMAÇÕES LINEARES Exemplo 3. para todo x ∈ R. e somente se. e somente se. Im T 6= R2 . Sejam V .86 CAPÍTULO 3. para todo (x. 0. isto é. . Como u ∈ V e β é uma base de V temos que existem x1 . Seja α = {u1 . . . . Portanto. . pois α é LI. u = 0 e T é não-singular. Reciprocamente. Portanto. . . . Prova. Então {u} é um conjunto LI de V . T (un )} é um conjunto LI de W . T (x1 u1 + · · · + xn un ) = x1 T (u1 ) + · · · + xn T (un ) = 0. xn = 0. . . Suponhamos que T seja não-singular. com u 6= 0. . com dim V = n. . . W espaços vetoriais sobre R. De fato. . Como ker T é um subespaço de V temos que ker T contém uma base {u1 . NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Prova.27 (Teorema do Núcleo e da Imagem) Sejam V . . . . . . .3. existe u ∈ V tal que w = T (u). x1 = 0. . . . {T (uk+1 ). . xn ∈ R tais que x1 T (u1 ) + · · · + xn T (un ) = 0. uk . . un } de V . xn ∈ R tais que u = x1 u1 + · · · + xk uk + xk+1 uk+1 + · · · + xn un . isto é. o que é impossível. . . . . T (un )} é uma base de Im T . . seja u ∈ ker T . isto é.2. Então dim V = dim ker T + dim Im T = nul(T ) + posto(T ). . Logo. Devemos provar que T (α) = {T (u1 ). {T (u1 ). x1 u1 + · · · + xn un = 0. T (un )} 87 é um conjunto LI de W . . Logo. dado w ∈ Im T . . {T (u)} = {0} é um conjunto LI de W . . Afirmação. uk } que é parte de uma base β = {u1 . Sejam x1 . . . Assim. . un } conjunto qualquer LI de V . ker T = {0}. . ¥ Teorema 3. uk+1 . x1 u1 + · · · + xn un ∈ ker T = {0}. . Assim. . e T : V → W uma transformação linear. . dim V = n = k + (n − k) = dim ker T + dim Im T. . x1 u1 + · · · + xk uk + (−yk+1 )uk+1 + · · · + (−yn )un = 0.28 Sejam V . . . Então T é injetora se. . T (un )} gera Im T . . . yk+1 uk+1 + · · · + yn un ∈ ker T. e T : V → W uma transformação linear. . . {T (uk+1 ). Assim. . . ¥ Corolário 3. . w = T (u) CAPÍTULO 3. . xk ∈ R tais que yk+1 uk+1 + · · · + yn un = x1 u1 + · · · + xk uk . para provar que {T (uk+1 ). . i = 1. T é sobrejetora. yn ∈ R tais que yk+1 T (uk+1 ) + · · · + yn T (un ) = 0. . . Como β é uma base de V temos que yk+1 = · · · = yn = 0 e {T (uk+1 ). Logo. com dim V = dim W = n. . . . k. Portanto. . . Donde. . T (un )} é um conjunto LI. Logo. Agora. e somente se. W espaços vetoriais sobre R. . . Então T (yk+1 uk+1 + · · · + yn un ) = yk+1 T (uk+1 ) + · · · + yn T (un ) = 0. . TRANSFORMAÇÕES LINEARES = T (x1 u1 + · · · + xk uk + xk+1 uk+1 + · · · + xn un ) = xk+1 T (uk+1 ) + · · · + xn T (un ). pois T (ui ) = 0.88 Assim. existem x1 . . sejam yk+1 . T (un )} é um conjunto LI. 1). NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 89 Prova. 0. T é não-singular. 0. −1)} é parte de uma base de R3 .25. −1). −1)} é uma base de ker T . para determinar T . Suponhamos que T seja injetora. 1. 3. e T : V → W uma transformação linear. dado u = (x. 1) = (0. 1) = (0. suponhamos que T seja sobrejetora. 1).2. dim Im T = dim V = dim ker T + dim Im T ⇒ dim ker T = 0. 0. −1). ker T = {0}. z) ∈ R3 . T é sobrejetora. digamos T (0.3. T é injetora. y. y. Assim. Assim. −1) + s(0. 1. t ∈ R tais que u = r(1. Assim. −1) = (0. −1). Agora. −1) = (0. definindo arbitrariamente T (0. 0) e T (0. digamos {(1. 2. Como Im T ⊆ W e dim W = dim Im T temos que Im T = W .25. 1). que existe uma única transformação linear T : R3 → R4 tal que T (1. 1). 0. Então as seguintes condições são equivalentes: 1. com dim V = dim W = n. (0. z) ∈ R3 : x + y + z = 0}. 0. Então Im T = W e dim W = dim Im T . −1). (0. 1. dim W = dim V = dim ker T + dim Im T = dim Im T. 0. Vamos estender este conjunto a uma base de R3 . pelo Teorema 3. 1. T é sobrejetora. 0. pelo Teorema 3. Exemplo 3. Solução.29 Sejam V .12. Como ker T é um subespaço de R3 temos que {(1. temos. ker T = {0} e. 0. −1) + t(0. 0. 0. Então. Assim. 0. s. T é bijetora. ¥ . 0. 4. T leva toda base de V em alguma base de W .30 Determine uma transformação linear T : R3 → R4 tal que ker T = {(x. Reciprocamente. 1. devemos encontrar r. Portanto. 0. 0. 0. ¥ Corolário 3. 0). 0. (0. pelo Teorema 3. T (0. 0. É fácil verificar que {(1. W espaços vetoriais sobre R. (0. 0. 1)}. z) = (x − 2y. resolver o sistema não-homogêneo ⎧ ⎪ ⎨ Logo. Finalmente. Como T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ) = w1 + w2 temos que T −1 (w1 + w2 ) = u1 + u2 = T −1 (w1 ) + T −1 (w2 ). É claro que T −1 (0) = 0. Prova. como T (au1 ) = aT (u1 ) = aw1 temos que T −1 (aw1 ) = au1 = aT −1 (w1 ). Teorema 3. y. Exemplo 3. y. 0.90 CAPÍTULO 3. o nome do elemento sendo T (u) ao invés de u ∈ V . z) = (0. z) ∈ R3 : T (x. W espaços vetoriais sobre R e T : V → W uma transformação linear bijetora. ⎪ ⎩ −r − s + t = z T (x. x + y) = (0. a ∈ R e T sendo bijetora temos que existem únicos u1 . isto é.32 Mostre que T : R3 → R3 definida por T (x. x + y) é um isomorfismo e determine uma regra para T −1 como a que define T . W espaços vetoriais sobre R e T : V → W uma transformação linear. um isomorfismo T de V sobre W é uma regra que consiste em renomear os elementos de V . y. 0)} . 0. ¥ Sejam V . 0. Dados w1 . y. Como ker T = {(x. TRANSFORMAÇÕES LINEARES isto é. y. 0)} = {(0. Então a transformação inversa T −1 : W → V é linear. z) ∈ R3 : (x − 2y. x + y + z). z. r=x s=y . Dizemos que T é um isomorfismo se T é bijetora. z. Se existir um isomorfismo de V sobre W . Intuitivamente. 0. w2 ∈ W . pois T (0) = 0. z) = (0. u2 ∈ V tais que w1 = T (u1 ) ⇔ u1 = T −1 (w1 ) e w2 = T (u2 ) ⇔ u2 = T −1 (w2 ).31 Sejam V . Portanto. T −1 é linear. 0. 0)} = {(x. Solução. dizemos que V é isomorfo a W e será denotado por V ' W . ⎧ ⎪ x − 2y = a ⎨ z=b . xn ∈ R tais que u= Vamos definir Tβ : Rn → V por i=1 n P xi ui . . c) = (x. b. dado (a. c) = (x − 2y. Então para cada u ∈ V existem únicos x1 . b. confira Corolário 3.xn ) = u. y. z. ⎪ ⎩ x+y =c µ µ Assim. . . 3 3 ¶ x + 2z −x + z . Tβ (x1 . b. c) ⇔ T −1 (a. . 3 3 (a. . . z). . V é isomorfo a Rn . Portanto. Sejam T : V → W um isomorfismo e S = {u1 . c) = (x. T é isomorfismo.3. . Portanto. . b. .34 1. Assim. y. y. ao decidirmos que S é LI não importa se consideramos S ou T (S). É fácil verificar que Tβ está bem definida.33 Todo espaço vetorial de dimensão n sobre R é isomorfo a Rn . . T ou ainda. un } uma base ordenada de V .y = e z = b. z) = (a. c) ∈ R3 . T −1 −1 c−a a + 2c . x= Portanto. b. (a. ¥ Observações 3. Então S é LI se. un } um subconjunto de V . 2.26.2. Logo. . A transformação linear Tβ : Rn → V é chamada a parame−1 trização de V dada pela base β e Tβ é chamada de isomorfismo de base canônica de V associada com a base β. existe um único (x. . NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 91 temos que T é injetora. 3 3 ¶ a + 2c −a + c . z) ∈ R3 tal que T (x. x + y). . . y. isto é.b . . e somente se. Sejam V um espaço vetorial sobre R com dim V = n e β = {u1 .y . T (S) é LI. Prova. z) = Teorema 3. . . é linear e injetora. Portanto. . y). . T (un )]. un ]. y. Seja T : V → W uma transformação linear. T (B) e T (C). então Im(T ) = [T (u1 ). . 5. z) = (x + y + z. . . Mostre que se V = [u1 . 0. Para cada tranformação linear abaixo determine o núcleo e a imagem: (a) T : R2 → R3 definida por T (x. . Seja T : V → W uma transformação linear. y) ∈ R2 : max{|x| . y. |y|} = 1}. (a) Verifique que T é uma transformação linear. 2x + y. quais as condições sobre a. . y) ∈ R2 : |x| + |y| = 1} e . 3. Determine T (A). TRANSFORMAÇÕES LINEARES EXERCÍCIOS 1. c) é um vetor em R3 . z) = (x − y + 2z.92 CAPÍTULO 3. z). (b) T : R3 → R2 definida por T (x. Seja T de R3 em R3 a função definida por T (x. (a) Mostre se U é um subespaço de V . y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}. 5x). y) = (y − x. 2. para que o vetor esteja na imagem de T ? Qual é o posto de T ? A = {(x. então o conjunto T −1 (Z) = {u ∈ V : T (u) ∈ Z} é um subespaço de V . b. y) = (x + y. b e c. 4. B = {(x. . C = {(x. Sejam T : R2 → R2 um operador linear definido por T (x. . então o conjunto T (U) = {T (u) : u ∈ U } é um subespaço de W . (b) Se (a. −x − 2y + 2z). (b) Mostre que se Z é um subespaço de W . 8. 0. 7. . 0). Sejam V e W espaços vetoriais sobre R e T : V → W uma transformação linear. Sejam T1 e T2 operadores lineares de V tais que nul(T1 ) = nul(T2 ) = 0. . 2)] . . 0) e T (1. (1. b e c. 14. T : V → V operadores lineares com dim V = n.3. −1. −1). Determine uma transformação linear sobrejetora T : R3 → R2 tal que T (1. 11.2. 0. 1) = (1. un } é um conjunto linearmente independente de V . 1. T (un )} é um conjunto linearmente independente de W . T (2. Mostre que: . (a) Mostre que Im(T ◦ S) ⊆ Im T e posto(T ◦ S) ≤ posto(T ). . 1) e T (−3. para que o vetor esteja no núcleo de T ? Qual é a nulidade de T ? 6. 2) = (1. 9. 0. 1)? 13. 0) = T (0. . 15. Mostre que se {T (u1 ). 1) = (0. então {u1 . . 1)? 12. 1). Sejam S : U → V e T : V → W transformações lineares. Existe uma transformação linear T de R3 em R2 tal que T (1. 3). 2. 1. NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 93 (c) Quais as condições sobre a. (4. . −1) = (1. Determine uma transformação linear T : R3 → R3 tal que Im T = [(1. Existe uma transformação linear T de R2 em R2 tal que T (1. (b) Mostre que ker S ⊆ ker(T ◦ S) e nul(S) ≤ nul(S ◦ T ). Mostre que nul(T1 ◦ T2 ) = 0. Determine uma transformação linear T : R3 → R3 tal que Im T = [(1. Determine uma transformação linear T : R3 → R3 tal que ker T = [(1. 10. . 1. −1) = (0. 2. 0)]. Sejam S. 5)] . (c) ker T ∩ Im T = {0}. 16. . então T não pode ser sobrejetora. (a) Mostre que se dim V < dim W . 21. Descreva explicitamente um isomorfismo de C sobre R2 . Determine todos os operadores lineares com essa propridade! 23. Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. e somente se. (b) Mostre que se dim V > dim W . para algum operador linear S : V → V invertível. posto(T )}. (b) nul(S) + nul(T ) − n ≤ nul(S + T ). (d) posto(S) + posto(T ) − n ≤ posto(S ◦ T ) ≤ min{posto(S). T 2 = 0 mas T 6= 0. para algum v ∈ ker T . (d) ker T 2 = ker T . Mostre que ker T = Im T se. z) ∈ R3 : z = 0}. então T não pode ser injetora. (c) max{nul(S). Seja T : V → W uma transformação linear com dim V = n e dim W = m. 22. nul(T )} ≤ nul(S ◦ T ) ≤ nul(S) + nul(T ).94 CAPÍTULO 3. 19. Determine o operador linear Tθ : R3 → R3 que faz cada vetor girar de um ângulo fixo θ em torno do eixo z. Mostre que R2 é isomorfo ao subespaço W de R3 dado por W = {(x. (e) Im T 2 = Im T . Se a equação T (u) = w0 tem uma solução u0 ∈ V . e somente se. Conclua que T 2 = cT . Sejam V e W espaços vetoriais sobre R com dim V = n e dim W = m. 20. 17. Mostre que as seguintes condições são equivalentes: (a) V = ker T + Im T . y. Mostre que V e W são isomorfos se. para algum c ∈ R∗ . Seja T : R2 → R2 um operador linear. 18. satisfaz essas condições e determine vários operadores lineares T : R2 → R2 que satisfaça essas condições. (f) T ◦ S ◦ T = T e Im(S ◦ T ) = Im T . TRANSFORMAÇÕES LINEARES (a) posto(T + S) ≤ posto(S) + posto(T ). (b) V = ker T ⊕ Im T . mostre que toda solução desta equação em V é da forma u0 + v. Sejam T : V → W uma transformação linear e w0 ∈ W um vetor fixado. m = n. u4 ]. Mostre que se existir um operador linear S : V → V tal que S ◦ T = I. 29. . . DE = I e ED 6= I. x2 . (a) u1 está no subespaço gerado por u2 e u3 ? (b) Sejam W1 = [u1 . 1). U : V → V operadores lineares definidos por n n n n X X X X ai i i−1 i xi+1 . Além disso. x5 ) ∈ R5 tais que ⎧ ⎪ x1 − 2x2 + x3 + x4 − x5 = 0 ⎨ x1 + x2 − 2x3 + x4 − x5 = 0 ? ⎪ ⎩ −2x1 + x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0 25. então α é LI e V = [α] ⊕ ker T . 3). u4 ∈ V tais que T (u1 ) = (1. e somente se. (b) T é não-singular mas não é sobrejetora. 0). 1). x3 . Sejam V . Qual é a interseção de W1 com W2 ? (c) Determine uma base do subespaço de V gerado pelos vetores u1 . 30. u3 e u4 . Além disso. W espaços vetoriais de dimensão finita sobre R e T : V → W um transformação linear. ai x ) = iai x . 1. UT = I e T U 6= I. então T é invertível.2. Sejam V = P (R) o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais e D. u3 . 26. onde T (ui ) = wi . 1. x4 . Mostre que se T 2 − T + I = O. u2 . T (e2 ) = (0. 0). Determine T −1 em função de T . 1. 28. Existe uma transformação linear T : R5 → R3 com T (e1 ) = (1. . Sejam S. E( ai x ) = D( i+1 i=0 i=1 i=0 i=0 n n n n X X X X i i+1 i T( ai x ) = ai x e U( ai x ) = ai xi−1 . uk }.3. NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 95 24. Sejam u1 . u2 . S ◦ T e T ◦ S são invertíveis. T (u2 ) = (−2. então T −1 existe e T −1 = S. Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. 0) e cujo núcleo consiste dos vetores (x1 . 0. . T (u3 ) = (−1. . Mostre que S e T são invertíveis se. . Mostre que se {w1 . T (u4 ) = (2. 0. . 27. Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. i=0 i=0 i=0 i=1 Mostre que: (a) E é não-singular mas não é sobrejetora. u2 ] e W2 = [u3 . T. T : V → V operadores lineares com dim V = n. . Sejam V um espaço vetorial sobre R e T : V → R3 um isomorfismo. wk } é uma base de Im T e α = {u1 . E. . 1. . . Ti : V → V . i = 1. w1 + w2 ) e multiplicação por escalar a(v1 . Mostre que se S1 + S2 e S1 − S2 são invertíveis. w2 ) = (v1 + v2 . Sejam V . . aw1 ) é um espaço vetorial sobre R. . operadores lineares com dim V = n. . (b) Mostre que dim(V × W ) = dim V + dim W . . w1 ). então existem operadores lineares Xi : V → V . W espaços vetoriais sobre R e S : V → W um isomorfismo. Mostre que Ud = {(u.96 CAPÍTULO 3. (b) Mostre que Im T = W1 + W2 . TRANSFORMAÇÕES LINEARES 31. 2. . . . . . 2. . . 0). uk )} é uma base ordenada de Ud . 0). Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita sobre R. . w) : v ∈ V e w ∈ W } o produto cartesiano entre V e W . respectivamente. . V ) → L(W. . Além disso. Sejam Si . w1 ) = (av1 . W ) definida por f (T ) = S ◦ T ◦ S −1 é um isomorfismo.) (c) Seja U um subespaço de V . . . (a) Mostre que a função T : W1 × W2 → V definida por T (w1 . tais que S1 ◦ X1 + S2 ◦ X2 = T1 e S2 ◦ X1 + S1 ◦ X2 = T2 . wn )} é uma base de V × W . (0. i = 1. . u1 ). u) : u ∈ U } é um subespaço de V × V . . Mostre que a função f : L(V. vm } e {w1 . (vm . uk } é uma base ordenada de W . então {(u1 . wn } bases para V e W . Mostre que {(v1 . Seja V × W = {(v. . . W2 subespaços de V. . 34. 32. Sejam V espaço vetorial de dimensão finita sobre R e W1 . (uk . w2 ) = w1 − w2 é uma transformação linear. (a) Mostre que V × W com as operações de adição (v1 . (0. mostre que se {u1 . w1 ) + (v2 . . (Sugestão: Sejam {v1 . 33. . Conclua que dim U = dim Ud . xn ⎡ Reciprocamente. 97 35. Sejam S : U → V e T : V → W transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita.3 Transformações Lineares e Matrizes Nesta seção mostraremos. Qual a base e a dimensão para ker T . 3. ∀ u = ⎣ . ⎥ u = ⎣ . ⎦ ∈ Rn×1 .3. xn ⎤ x1 ⎢ .) 36.3. Mostre que dim Im(T ◦ S) = dim Im S − dim(Im S ∩ ker T ). Já vimos no Exemplo 3. (Sugestão: Mostre que ker(T m ) ⊆ ker(T m+1 ) e Im(T m+1 ) ⊆ Im(T m ). Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. ⎥ TA (u) = Au. . . w) : w ∈ W1 ∩ W2 }. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES (c) Mostre que ker T = {(w. (d) Mostre que dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ). para todo m ∈ N. . ⎦ ∈ Rn×1 . xn ⎡ ⎡ De fato. seja T : Rn×1 → Rm×1 uma transformação linear. que o estudo de transformações lineares em espaços vetoriais de dimensão finita pode ser reduzido ao estudo de matrizes. ⎥ T (u) = Au.5 que. existe uma única transformação linear TA : Rn×1 → Rm×1 definida por ⎤ x1 ⎢ . dado . Então existe uma única matriz m × n A tal que ⎤ x1 ⎢ . para cada matriz m × n A fixada. ∀ u = ⎣ . Mostre que existe k ∈ N tal que Im(T k ) ∩ ker(T k ) = {0}. ⎦ ∈ Rn×1 . de um ponto de vista matemático. . . [T ]β = ⎣ . fazendo Ci = T (Ei ). pois n X i=1 vj = aij ui . . ⎦ + · · · + xn ⎣ . ⎥ ⎢ u = x1 ⎣ . . Como β é uma base de W temos que existem únicos aij ∈ R tais que T (uj ) = m X i=1 aij wi . . n. temos que T (u) = Au. sejam V . Mais geralmente. α −1 isto é. i = 1. . . bases ordenadas de V e W . . vn } bases ordenadas de V . . TRANSFORMAÇÕES LINEARES ⎤ ⎡ 1 ⎢ . am1 · · · amn 1. Observações 3. Então a −1 representação matricial do operador linear Tα ◦ Tβ : Rn → Rn em relação à base canônica de Rn é −1 [Tα ◦ Tβ ] = [I]β . . . 0 T (u) = i=1 n P Logo. α . . ⎦ i i . . j = 1. . . . onde A é a matriz m × n cujas colunas são os vetores C1 . j = 1. . β = {w1 . . . .. un }.35 ⎡ ⎤ a1n . . . Cn . . . Então T (u1 ). W espaços vetoriais de dimensão finita sobre R e α = {u1 . ⎥. ⎥ = Px E . . . T (un ) ∈ W. . . Seja T : V → W uma transformação linear. n.98 temos que ⎡ CAPÍTULO 3. . . wm }. . [Tα ◦ Tβ ] é a matriz de mudança de base da base β para a base α. Sejam Tα e Tβ duas parametrizações para V . . (3. Sejam V um espaço vetorial sobre R com dim V = n e α = {u1 .. β = {v1 . . . n.1) A transposta da matriz dos coeficientes deste sistema será chamada a representação matricial de T em relação às bases α e β e denotada por a11 · · · ⎢ . ⎤ 0 n . . 1 i=1 xi T (Ei ) Assim. . . un }. . . respectivamente. . ⎦ . j = 1. 1. Determine [T ]α . . . 3). β α = {(1. . . 1. . . (1. . com dim V = n e dim W = m. 0. respectivamente. 0). então T será identificada com [T ]α (confira Figura 3. implica que α −1 −1 Tα ◦ Tβ (ej ) = Tα (vj ) = n X i=1 −1 aij (Tα (ui )) = n X i=1 99 aij ei . Tα ◦ Tβ é invertível e é chamada de transformação de coordenadas (confira Figura 3. wm }. y.8 (1)). e T : V → W uma transformação linear.3. Exemplo 3.8: Representações gráficas de parametrizações. β m X i=1 aij ei .8 (2)). z) = (2x + y − z. se identificamos V com Rn via Tα e W com Rm via Tβ . 4)} . respectivamente. Sejam V e W espaços vetoriais sobre R. 0)} e β = {(1. respectivamente. Sejam α = {u1 . . . Sejam bases ordenadas de R3 e R2 . Sejam Tα e Tβ parametrizações para V e W . un } e β = {w1 . . 2. −1 Neste caso.3. 1). . Então a −1 representação matricial da transformação linear Tβ ◦ T ◦ Tα : Rn → Rm em relação às bases canônicas para Rn e Rm . (1.36 Seja T : R3 → R2 a transformação linear definida por T (x. Figura 3. (1. 3x − 2y + 4z). . é −1 [Tβ ◦ T ◦ Tα ] = [T ]α . β pois −1 −1 Tβ ◦ T ◦ Tα (ej ) = Tβ (T (uj )) = m X i=1 −1 aij Tβ (wi ) = Assim. respectivamente. n. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES onde [I]β = [aij ]. bases ordenadas de V e W . 3). 0) − 1(0. para determinar T . −4x + 3y). 1) + s(0. 3. 0) − 1(−1.37 Sejam α = {(1. respectivamente. TRANSFORMAÇÕES LINEARES T (1. Determine a transformação linear T : R2 → R3 tal que ⎤ ⎡ 0 2 ⎥ ⎢ [T ]α = ⎣ −1 0 ⎦ . −10x + 9y. isto é.100 Solução. 1) = (1. 4) temos que ( a11 + a21 = 2 3a11 + 4a21 = 5. 1). 0. −1. 9. 1)} bases ordenadas de R2 e R3 . s ∈ R tais que u = r(1. 0. devemos encontrar r. β −1 3 Solução. 1) = (x. [T ]α = β 4 3 r=x r + s = y. T (x. (0. (0. y) ∈ R2 . Por definição T (1. obtemos a12 = 11 e a22 = −8. Determine a base ordenada β para R2 tal que " # 1 −1 . 1)} e β = {(0. dado u = (x. 0) + 0(−1. 1. 3. Como CAPÍTULO 3. 0). 1) + sT (0.38 Seja T : R2 → R2 o operador linear tal que " # 1 −2 . . a13 = 5 e a23 = −3. −1) e T (0. " # 3 11 5 α . De modo inteiramente análogo. 1) = 2(0. 1) = (0. 0) + 3(0. 1) = 0(0. 0). Logo. (−1. 1. Portanto. a11 = 3 e a21 = −1. 3. 3) + a21 (1. 1. 1). Agora. Exemplo 3. [T ]α = α −3 1 onde α é a base canônica de R2 . y) = rT (1. 1) = a11 (1. [T ]β = −1 −8 −3 Exemplo 3. 0. resolver o sistema não-homogêneo ( Logo. 1. 1). T (u) = T à n X j=1 n X j=1 xj uj . temos que T (uj ) = m X i=1 aij wi . −3) e T (e2 ) = (−2. 1) = T (e2 ) = −1(a. . b) + 3(c. Então (1. d)} a base desejada para R2 . Então [T (u)]β = [T ]α [u]α . 7 7 7 β= ¾ 1 1 (11. −3) = T (e1 ) = 1(a. . b) + 4(c.3. d) e (−2. Sejam α = {u1 . . 7 7 Teorema 3. . Agora. wm }. seja β = {(a. Dado u ∈ V . un } e β = {w1 . −2) . β Prova. .39 Sejam V e W espaços vetoriais sobre R. a = b = − 13 . Portanto. Logo.3. e T : V → W uma transformação linear. . . Como [T ]α = α temos que T (e1 ) = (1. b). xj uj = m X i=1 à n X j=1 ! = ! n X j=1 xj T (uj ) = n X j=1 xj Ãm X i=1 aij wi ! aij xj wi . respectivamente. ( 11 . n. d). ∀ u ∈ V. (−1. . . Assim. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES Solução. (c. j = 1. bases ordenadas de V e W . com dim V = n e dim W = m. c = − 1 e d = − 2 .1. . . Pelas equações 3. . 7 101 " 1 −2 −3 1 # a + 4c = 1 b + 4d = −3 ½ e ( −a + 3c = −2 −b + 3d = 1. existem únicos xj ∈ R tais que u= Logo. −13). . Solução. 0)}. .39. b)]α . 0) = (a − 3b. Pelo Teorema 3. Dizemos que a matriz . B ] . (0. Sejam A = [aij ] uma matriz n × m e B = [bij ] uma matriz n × n. β Como [(a. 0. ⎦⎣ . b). b)]α = temos que ⎡ " a b # Logo.. 1). 1)} e β = {(1. das Observações 1. = ⎢ ⎢ n . ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎥ a11 · · · a1n x1 ⎥ ⎥ ⎢ . 1. 1) + b(−2. Esta mesma técnica pode ser utilizada para obtermos simultaneamente bases para o núcleo e a imagem de uma transformação linear T : Rn → Rm (ou T : V → W com dim V = n e dim W = m). β −2 3 onde α = {(1. ⎥⎢ . (−2. [ A . . ⎥ . . b) = (a − b)(1. [T (a. ⎣ P amj xj j=1 [T ]α [u]α β ⎡ n P ⎤ . TRANSFORMAÇÕES LINEARES [T (u)]β = ⎢ j=1 a1j xj ⎢ ⎢ .. b)]β = ⎣ 0 b 1 ⎦ ⎦ b −2a + 3b −2 3 T (a. 1) + (−2a + 3b)(0. . ⎥ ⎦ xn am1 · · · amn ¥ Exemplo 3. .102 Portanto. −2a + 3b.19 como resolver um sistema não-homogêneo usando uma matriz adequada. ⎦ ⎥=⎣ . Já vimos no item 4. (0.40 Seja T : R2 → R3 a transformação linear tal que ⎤ ⎡ 1 −1 ⎥ ⎢ [T ]α = ⎣ 0 1 ⎦. 0. . ⎤ ⎡ ⎤ a−b 1 −1 " # ⎥ ⎢ ⎥ a ⎢ =⎣ [T (a. a). 0). 0. b)]β = [T ]α [(a. Determine T (a. 1). 1. ∀ u ∈ V. 0. . CAPÍTULO 3. 2). 1. .42 Seja T : R4 → R3 a transformação linear definida por T (x. t) = (x − y + z + t. . 3. 1. 0) = (1. n. 1. . [ A . 0. [ A . Como T (1. é T -associada. aim ). 5). reduzindo a matriz ⎡ 2 ⎢ ⎢ 1 ⎢ . 0.41 Se a matriz . é reduzida por linha à T -forma em escada de . B ] . Agora. 1 2 . onde ⎢ ⎢ A=⎢ ⎣ ⎡ 2 1 0 1 2 3 1 1 2 5 2 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ e B=⎢ ⎣ ⎦ ⎡ 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥. é T -associada. se R for reduzida por linha à forma em escada de A. então a matriz reduzida por linha à T -forma em escada . . 1 .3. . TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES é T -associada se T (bi1 . 1 1 1 ⎥ 1 1 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 0 0 ⎥ ⎦ 0 0 0 . y. 1) temos que . . . 1 . 2. bin ) = (ai1 . [ R . . também o é. S ] . 1. T (1. . ⎦ 103 Solução. x + 2z − t. .3. Dizemos que a matriz . . 1 . B ] . . 1) = (2. S ] . B ]=⎢ . 1. 0) = (1. 1. [ R . . [ A . 0. ⎢ 0 ⎣ 1 ⎤ . 2) e T (1. x + y + 3z − 3t). é T -associada. 1 1 . B ] . 0) = (0. . 2 2 . Então a matriz . 1 . . Exemplo 3. [ A . [ A . z. B ] . Observação 3. 3 5 . 1. i = 1. T (1. k ≤ min{m. . 1 0 −1 . pois T (si ) = ri . − ) = (0. . . Teorema 3. [ R . . In ]. 0. 0 0 0 . k. . . i = 1. . Dado u ∈ ker T . − . . 2). é uma base de Im T e {sk+1 . . . 1 4 1 4 3 4 1 2 1 4 1 4 3 4 −1 2 1 4 1 4 −1 4 −1 2 3 4 −1 4 1 4 −1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ que é também T -associada. . − . . . − ) = (0. . 0 0 0 . 0. xk = 0. ) = (0. . . rk } é uma base de Im T . pois {s1 . sn } é uma base de Rn . . x1 = 0. Prova. Assim. ⎢ ⎣ ⎡ CAPÍTULO 3. . . .104 à T -forma em escada. e T (sj ) = 0. . S ]=⎢ . . sn } é uma base de ker T . . . [ R . 1. 0). ) = (1. . T ( . Então {r1 . 0. 0 1 2 . 4 4 4 4 2 2 2 2 Note que as matrizes B e S são invertíveis. . n. a matriz reduzida por linha à T -forma em escada de . . Logo. S ] . TRANSFORMAÇÕES LINEARES . . . . . 0) e T ( . n}. j = k + 1. . . rk }. −1). temos que ⎢ ⎢ ⎢ . . − . É claro que {r1 . onde ri são as linhas não-nulas de R e sj são as linhas de S. [ [T ]t . . . . .43 Sejam T : Rn → Rm uma transformação linear e . . . pois 1 1 1 3 1 1 1 1 T ( . xn ∈ R tais que u = x1 s1 + · · · + xk sk + xk+1 sk+1 + · · · + xn sn . existem únicos x1 . 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 3 3 1 1 T ( . . . . . . . 0 = T (u) = x1 T (s1 ) + · · · + xk T (sk ) + xk+1 T (sk+1 ) + · · · + xn T (sn ) = x1 r1 + · · · + xk rk . 3. z. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES pois os vetores r1 . 0 . dim ker T = nul([T ]t ) = n − posto([T ]t ). .3. isto é. . 105 ¥ ¥ Exemplo 3. 3) e T (e4 ) = (1. [ [T ]t . sn } é uma base de ker T . é claro que a matriz . pois T (e1 ) = (1. 1). Determine bases para Im T e ker T . t) = (x − y + z + t. . ⎢ −1 0 1 . reduzindo a matriz . ⎢ . Portanto. . 1 1 3 −3 Assim. 0 . x + y + 3z − 3t). . T (e2 ) = (−1. 1. Corolário 3. o posto linha é igual a dim Im T . 1 −1 −3 . Logo. Agora. sk+1 . . x + 2z − t. sn geram ker T e {sk+1 . u = xk+1 sk+1 + · · · + xn sn . . 2. −1. I4 ] . . 0 .45 Seja T : R4 → R3 a transformação linear definida por T (x. 1 . y. A representação matricial de T em relação às bases ordenadas canônicas de R4 e R3 é ⎤ ⎡ 1 −1 1 1 ⎥ ⎢ [T ] = ⎣ 1 0 2 −1 ⎦ . T (e3 ) = (1. .44 Seja T : V → W uma transformação linear. . Solução. Além disso. −3). 1). 0. . ⎢ 1 2 3 . . rk são LI. . . 1 . 1 1 ⎡ 0 0 0 ⎤ [ [T ]t ⎥ 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 1 0 ⎥ ⎦ 0 0 1 é T -associada. I4 ] = ⎢ ⎢ . Então dim Im T = posto([T ]t ). ⎣ . . . . 0 −1 0 0 ⎥ . 0. 0 −1 " # " # −2 0 0 −2 e T (E22 ) = . 1)} é uma base de ker T . S ]=⎢ . . I4 ] = ⎢ ⎢ . 1. −1. ⎢ 0 0 0 ⎣ 0 0 0 ⎡ ⎤ . pois # 0 2 T (E11 ) = . é claro que a matriz 2 0 −1 0 ⎢ ⎢ 0 2 0 −1 . (1. . −1 1 Determine bases para o núcleo e a imagem de T .46 Seja T : R2×2 → R2×2 um operador linear definido por T (A) = BA. . . A representação matricial de T em relação à base canônica de R2×2 é ⎢ ⎢ [T ] = ⎢ ⎣ Assim. Solução. I4 ] . . temos que CAPÍTULO 3. 1. reduzindo a matriz . . ⎦ . . . 2)} é uma base de Im T e {(−2. Exemplo 3. onde " # 2 −2 B= . T (E12 ) = . ⎥ 0 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 1 0 ⎥ ⎦ 0 0 0 1 1 0 0 0 ⎤ ⎡ ⎤ 2 0 −2 0 0 2 0 −2 ⎥ ⎥ ⎥. . −1 0 1 0 ⎦ 0 −1 0 1 [ [T ]t é T -associada. 1 2 0 1 {(1. −2 −1 1 0 ⎥ . . . . . 1 0 −1 ⎢ ⎢ 0 1 2 ⎢ . −1). (0. 1 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥. " . . 0). T (E21 ) = 1 0 0 1 Agora. [ [T ]t . ⎢ −2 0 1 0 ⎣ 0 −2 0 −1 " 2 0 −1 0 # ⎡ . . 0. 2. . TRANSFORMAÇÕES LINEARES Portanto. . [ R .106 à T -forma em escada. . . S ]=⎢ . β e γ bases ordenadas de U. e somente se. α. [aR]α = a [R]α . β bases ordenadas de V e W . ∀ a ∈ R e [T ◦ S]α = [T ]β [S]α . 0 1 0 . T é singular se. 1 0 0 .3. 1 0 1 0 0 . Teorema 3. temos que ⎢ ⎢ 0 1 ⎢ . temos que [T ◦ S]α = [T ]β [S]α . 0 . Então [R + S]α = [R]α + [S]α . e somente se.3. . Se T é um isomorfismo. então [T −1 ]α = ([T ]α )−1 . β β . det([T ]α ) = 0. T é um isomorfismo se. . temos que [T ◦ S(u)]γ = [T ◦ S]α [u]α e [T (S(u))]γ = [T ]β [S(u)]β . 2 . β 2. γ γ β ¥ Corolário 3. S : U → V e T : V → W transformações lineares. 0 ⎥ ⎦ 1 0 ⎤ 107 Portanto. det([T ]α ) 6= 0. pela unicidade das coordenadas.48 Sejam T : V → W uma transformação linear e α. # " . pelo Teorema 3.39. 0 1 0 2 2 . V e W .47 Sejam R : U → V . . respectivamente. respectivamente. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES à T -forma em escada. Então: 1. [ R . 1 0 −1 0 2 1 0 1 0 # " . Dado u ∈ U . 0 −1 . γ γ β Assim. 0 0 . β 3. ⎢ 0 0 ⎣ 0 0 (" ⎡ 1 0 −1 2 . γ γ Como T ◦ S(u) = T (S(u)) e [S(u)]β = [S]α [u]α β temos que [T ◦ S]α [u]α = [T ]β [S]α [u]α . 0 1 0 −1 2 0 1 0 1 é uma base de Im T e (" #) é uma base de ker T . #) ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥. β β β β β γ γ β Prova. 50 Seja A ∈ Rn×n uma matriz fixada. £ ¤α £ ¤β I = [IV ]α = T −1 ◦ T α = T −1 α [T ]α α β e Portanto. Além disso. Então as seguintes condições são equivalentes: 1. TRANSFORMAÇÕES LINEARES Prova. T −1 (x. " # 3 −4 [T −1 ] = −2 3 e [T −1 (x. T −1 : V → W existe e é linear. O sistema AX = B tem uma única solução. Logo. posto(A) = n. £ ¤β £ ¤β I = [IW ]β = T ◦ T −1 β = [T ]α T −1 α . y)] = = " " 3 −4 −2 3 #" # . O sistema AX = B tem uma solução. pois det([T ]) = 1 6= 0. 2. −2x + 3y). T −1 ◦ T = IV e T ◦ T −1 = IW .108 CAPÍTULO 3. Pelo Teorema 3. A é invertível. β β ´ £ £ ¤β ¤β ³ £ −1 ¤β T α = T −1 α · I = T −1 α [T ]α ([T ]α )−1 β β ³£ ´ ¤β = T −1 α [T ]α ([T ]α )−1 = I · ([T ]α )−1 = ([T ]α )−1 . y) = (3x − 4y. para todo B ∈ Rn×1 .49 Seja T : R2 → R2 um operador linear tal que " # 3 4 [T ] = . Proposição 3.31. para algum B ∈ Rn×1 . Vamos provar apenas o item (1). 2 3 Então T é um isomorfismo. β β β β ¥ Exemplo 3. Assim. . 3. 4. x y # 3x − 4y −2x + 3y Portanto. y) = (ax + cy. α β det([T ]β ) = det([T ]α ). as matrizes [T ]α e [T ]β são semelhantes. Então T (e1 ) = (a. y) ⇔ ( ax + cy = r bx + dy = s. y) = (ax + cy. Neste caso. Logo. temos que " # a c . y) ∈ R2 tal que T (x. bx + dy). T (x. d). bx + dy) e [T ] = b d Assim.3. Mais geralmente. como [I1 ]β = ([I2 ]α )−1 temos. temos o seguinte teorema: . o determinante de T é o determinante de qualquer representação matricial de T em relação a alguma base ordenada de V e será denotado por det(T ). β α Portanto. para todo (x. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES 5. y) = xT (e1 ) + yT (e2 ) = (ax + cy. Sejam V um espaço vetorial sobre R e α. Qual a relação entre [T ]α e [T ]β ? α β Para responder esta questão. existe (x. y) ∈ R2 . ad − bc 6= 0. que α β β [T ]β = [I2 ◦ T ◦ I1 ]β = [I2 ]α [T ]α [I1 ]β β β β α α [T ]β = P [T ]α P−1 . bx + dy) = (r. b) e T (e2 ) = (c. β α isto é. Se T : V → V é um operador linear.9: Diagrama de composição Assim. β duas bases ordenadas de V . y) = xe1 + ye2 . para cada (r. com ad − bc 6= 0. 109 ¥ Solução. Portanto. fazendo P = [I2 ]α .51 Determine todos os isomorfismos de R2 sobre R2 . Seja T : R2 → R2 um isomorfismo qualquer. vamos considerar o diagrama abaixo: Figura 3. det(A) 6= 0. pois T é sobrejetora. Como (x. s) ∈ R2 . todo isomorfismo de R2 sobre R2 é da forma T (x. Exemplo 3.3. 52 Sejam S. Então existem operadores linerares P = Tβ ◦ Sα : γ δ −1 V → V que aplica a base α na base β e Q = Tδ ◦ Sγ : W → W que aplica a base γ na base δ tais que −1 −1 −1 T = (Tδ ◦ Sγ ) ◦ [Sγ ◦ Tδ−1 ◦ T ◦ Tβ ◦ Sα ] ◦ (Sα ◦ Tβ ) = QSP −1 . α γ −1 [T ]β = [Tδ−1 ◦ T ◦ Tβ ] e [Sγ ◦ Tδ ] = [I]δ . Então [S]α = [T ]β se. Tβ duas parametrizações para V e Sγ . Prova. Então [T ]α = α " # " # 1 2 0 1 1 e [T ]β = β 3 7 −2 8 −1 . . [Sα ◦ Tβ ] = [I]β . β e γ.10). TRANSFORMAÇÕES LINEARES Teorema 3. Reciprocamente. Sejam α. γ α γ α γ δ δ δ δ ¥ Exemplo 3. se definimos β = P (α) e δ = Q(γ). γ δ e somente se. Sejam Sα . T : V → W transformações lineares com dim V = n e dim W = m. Tδ duas parametrizações para W (confira Figura 3.110 CAPÍTULO 3. então [T ]β = [QSP −1 ]β = [Q]γ [S]α [P −1 ]β = [I]γ [S]α [I]β = [S]α . γ δ −1 Agora. respectivamente. suponhamos que [S]α = [T ]β .53 Seja T : R2 → R2 um operador linear definido por T (x. y) = (x + 2y.10: Diagrama de composição Já vimos que −1 −1 [S]α = [Sγ ◦ S ◦ Sα ]. Figura 3. y). existem operadores lineares invertíveis P : V → V e Q : W → W tais que T = QSP −1 . δ bases ordenadas de V e W . Seja D : P3 (R) → P2 (R) uma transformação linear definida por (Dp)(x) = p(x). T (x. Portanto. . y. x + y). 4. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES onde α = {(1. Para cada uma das transformações lineares abaixo. Seja T : P2 (R) → P2 (R) um operador linear definido por T (a + bx + cx2 ) = b + ax + cx2 . Determine a representação matricial de T em relação à base canônica de P2 (R). y) = (x + y. y. determine bases para o núcleo e a imagem: (a) T : R2 → R2 . (b) T : R3 → R3 . T (x. onde " # 1 −1 B= . respectivamente. y. y − z. 2). 5. y + z). y) = (2x − y. z) = (x + y. 2. 0). (c) T : R2 → R2 . β α onde P= [I]α β 1 = 3 " 1 1 2 −1 # 111 . (f) T : R3 → R2 . y). [T ]β = P [T ]α P−1 . z) = (x + 2y. ´ Determine a representação matricial de D em relações às bases ordenadas canônicas de P3 (R) e P2 (R). 3. z) = (x + z.3. z) = (x + 2z. −1)} são bases ordenadas de R2 . Seja T : P2 (R) → P3 (R) a função definida por (T p) (x) = p (x) + x2 p0 (x) . (d) T : R3 → R2 . x − z.3. T (x. EXERCÍCIOS 1. 0). (0. T (x. z). (1. T (x. (e) T : R3 → R3 . y. x + 2z). T (x. Seja T : R2×2 → R2×2 um operador linear definido por T (A) = BA. −2 2 Determine bases para o núcleo e a imagem de T . 1)} e β = {(1. onde w = (a. y. γ 0 1 ⎡ . 7. então determine [S]α . determine bases para o núcleo e a imagem de T . b. S ◦ T e T ◦ S com respeito às bases ordenadas α = {(1. respectivamente. y) e T (x. 2). Seja T : R3 → R3 um operador linear definido por T (u) = w × u (produto vetorial). Dentre as transformações dos Exercícios 5 a 7. Determine a representação matricial de T em relação à base canônica de R3 . Sejam S : R2 → R3 e T : R3 → R2 transformações lineares definidas por S(x. y) = (2y. 0. TRANSFORMAÇÕES LINEARES (b) Determine bases para o núcleo e a imagem de T . y) = (x − y. CAPÍTULO 3. 0. onde " # 1 2 B= . Mesma questão anterior. β (c) Determine uma base γ de R3 tal que ⎤ 1 0 ⎥ ⎢ [T ]α = ⎣ 0 0 ⎦ . 1)} de R2 e R3 . x − y. 1)} e β = {(1. 9. definida por (T p) (x) = x2 p00 (x). Seja T : R2×2 → R2×2 um operador linear definido por T (A) = BA−AB. T . y). x + y). (b) Se S (x. 1. −1). Sejam α = {(1. 0)} bases ordenadas de R2 e R3 . 0). 0 1 8. (1. considerando agora T : P2 (R) → P2 (R). respectivamente. β 0 −1 (a) Determine T (x. 0). para essas. (1. 1. −1). z) = (2x − y − z. x). determine as que são isomorfismos e. 0). (1.112 (a) Verifique que T é linear. 3x. 11. (1. 6. Determine a representação matricial de S. 10. (0. encontre uma regra que defina a inversa. 1. 2)} e β = {(1. c) ∈ R3 é um vetor fixado. (0. Seja T : R2 → R3 a transformação linear tal que ⎤ ⎡ 1 0 ⎥ ⎢ [T ]α = ⎣ 1 1 ⎦. 2. tais que T (u) = u e T (v) = −v. (a) Mostre que T é um isomorfismo. Seja T : R3 → R3 um operador linear definido por T (x. vetores u e v. Seja T : R2 → R2 um operador linear tal que " # 1 −1 2 [T ] = . 18. encontrando. a. z) = (x − y. Determine a representação matricial de T em relação às bases canônicas de P3 (R) e R. y. 0 1 (a) Encontre. x2 .3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES 12. . (−1. x. 17. 2y. Determine a representação matricial T em relação à base canônica de P1 . Determine a rotação de um ângulo θ em torno de uma reta que passa pela origem e tem a direção do vetor (1. se possível. y + z). (b) Determine uma matriz que represente T −1 e determine T −1 (x. 15. x} de P2 (R). também. 0) em R3 com a ∈ R∗ .3. 2 Determine a representação matricial de T em relação às bases ordenadas α = {1. respectivamente. Seja T : P3 (R) → R a transformação linear definida por (T p) (x) = Z1 0 p (x) dx. 16. determine uma matriz que represente T −1 . 2). Seja T : R2 → R2 um operador linear tal que " # −1 −2 [T ] = . y). Qual o significado geométrico do operador T ? 14. Seja T : P2 (R) → P2 (R) a transformação linear definida por 1 (T p) (x) = (p (x) + p(−x)). 13. 1)} de R2 . Seja T : P1 (R) → P1 (R) um operador linear definido por (T p) (x) = (1 − x) p0 (x). z). x2 } e β = {1. 3 4 1 Determine a representação matricial de T em relação à base β = {(1. (b) Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T . 113 (c) T é um isomorfismo? Se T for um isomorfismo. y. T −1 (x. Seja V = W1 ⊕ W2 . Mostre que as seguintes condições são equivalentes: (a) E é uma projeção. A projeção sobre W1 na direção de W2 é a transformação linear E : V → V definida por E(w1 + w2 ) = w1 . A reflexão em W1 na direção de W2 é a transformação linear R : V → V definida por R(w1 + w2 ) = w1 − w2 . (b) V = ker(R − I) ⊕ ker(R + I). para todo w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2 . (c) Existe uma base de V tal que [R] = (d) R2 = I. " In 0 0 0 # . Seja E : R3 → R3 . Seja V = W1 ⊕ W2 . (a) Determine R(x. z). " In 0 0 −Im # . y. (b) V = Im E ⊕ ker E.114 CAPÍTULO 3. para todo w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2 . (b) Determine uma base ordenada β de R3 tal que ⎤ 1 0 0 ⎥ ⎢ [E]β = ⎣ 0 1 0 ⎦ . TRANSFORMAÇÕES LINEARES 19. (a) Determine E(x. y. Mostre que as seguintes condições são equivalentes: (a) R é uma reflexão. z). (c) Existe uma base de V tal que [E] = (d) E 2 = E. onde R(v) é a reflexão do vetor v em relação ao plano 3x + 2y + z = 0. Seja R : R3 → R3 . onde dim W1 = n e dim W2 = m. onde E(v) é a projeção do vetor v sobre o plano 3x + 2y + z = 0. onde dim W1 = n e dim W2 = m. 22. β 0 0 0 ⎡ 21. 20. . 3. e se P ∈ r. 3. para algum a ∈ R. c) ∈ Z tais que a2 + b2 = c2 . β 0 0 onde k = dim Im T . 0 −1 115 23. para toda reta r em R2 passando pela origem. .3. 2. isto é. quando i 6= j. [T ]β = β 0 1 (c) (T − I)k = 0. 28. para algum a ∈ R. A = aIn . Sejam V . 2. Uma tesoura é uma transformação linear T : R2 → R2 tal que T (r) ⊆ r. 3. para algum k ∈ N. 25. b. Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. ternos (a. e somente se. Mostre que T pode ser representado por uma matriz da forma # " Ik 0 [T ]α = . [T2 ] = ⎣ 2 −1 2 ⎦ e [T3 ] = ⎣ −2 1 2 ⎦ . para toda matriz invertível P ∈ Rn×n se. i = 1. Mostre que AP = PA. para α β todas as bases ordenadas α e β de V se. e somente se. Sejam Ti : R3 → R3 . T = aI. Mostre que [T ]α = [T ]β . (a) Mostre que tr é uma transformação linear. (b) Existe uma base β de R2 e um a ∈ R tal que " # 1 a . então a reta determinada por P e / T (P ) é paralela a r. Seja tr : Rn×n → R a função traço. (Sugestão: Calcule A(In + Eij ) = (In + Eij )A. preserva triplas pitagorianas.) 26. 27. 2 2 3 2 −2 3 −2 2 3 Mostre que Ti . W espaços vetoriais de dimensão finita sobre R e T : V → W uma transformação linear. Mostre que as seguintes condições são equivalentes: (a) T é uma tesoura. operadores lineares cujas representações matriciais em relação à base canônica de R3 são: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 2 1 2 1 −2 2 −1 2 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [T1 ] = ⎣ 1 2 2 ⎦ . TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES (b) Determine uma base ordenada β de R3 ⎡ 1 ⎢ β [R]β = ⎣ 0 0 tal que ⎤ 0 0 ⎥ 1 0 ⎦. Seja A ∈ Rn×n . 24. i = 1. 4 Funcionais Lineares Seja V espaço vetorial sobre R. . T é contínua. para algum c ∈ R.116 CAPÍTULO 3. Mostre que T é um operador linear se. Uma transformação linear f : V → R é chamada um funcional linear sobre V . (a) Mostre que se dim V = n. e somente se. 3. (b) Mostre. . T : V → V . . i = 2.) 29. Seja T : R → R uma função aditiva. TRANSFORMAÇÕES LINEARES (b) Seja f : Rn×n → R uma transformação linear tal que f (AB) = f (BA). B ∈ Rn×n . então Eij = Eik Ekj − Ekj Eik e Eii − E11 = Ei1 E1i − E1i Ei1 . para todos os operadores lineares S. n. que a afirmação (a) não é necessariamente verdade se dim V = ∞. . (Sugestão: Note que se i 6= j. Mostre que f = c tr. ∀ A. então ST − T S 6= I. Seja V um espaço vetorial sobre R. com um exemplo.????????????????????? . 30. v 6= 0. Vλ é um subespaço de V λ . Note que o vetor 0 nunca é um autovetor. então λ é um autovalor de T e. neste caso. dizemos que Vλ é o auto-espaço de T associado ao autovalor λ e V λ é o auto-espaço generalizado de T associado ao autovalor λ. tal que T (v) = λv. Teorema 4.2 Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n e λ ∈ R. consideremos os conjuntos Vλ = {v ∈ V : T (v) = λv} = ker(T − λI) e V λ = {v ∈ V : (T − λI)k (v) = 0. = n∈N Se Vλ 6= {0}. 4. para algum k ∈ N} [ ker(T − λI)n . 117 . λ é um autovalor de T . em relação à qual.Capítulo 4 Formas Canônicas Elementares Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R e T : V → V um operador linear. Nosso objetivo neste capítulo é determinar uma base de V . Para cada λ ∈ R. Note que. Um escalar λ ∈ R é um autovalor de T se existir v ∈ V . Então as seguintes condições são equivalentes: 1. O vetor v é chamado um autovetor de T associado a λ. a matriz de T tenha uma forma a mais simples possível. Observação 4.1 Seja T : V → V um operador linear.1 Autovalores e Autovetores Sejam V um espaço vetorial sobre R e T : V → V um operador linear. Assim. Como Vλ ⊆ V λ temos que V λ 6= {0}. 4. seja u ∈ V λ com u 6= 0. ¥ Como det(A − λIn ) = 0 ⇔ det(λIn − A) = 0 temos que det(λIn − A) = 0 é uma equação polinomial de grau n em λ. det(T − λI) = 0. posto(A − λIn ) < n. Então existe um menor k ∈ N tal que (T − λI)k (u) = 0. FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES 2. a saber. Vλ 6= {0}. Agora vamos provar as outras equivalências. (4. α para alguma base ordenada α de V . . λn + b1 λn−1 + b2 λn−2 + · · · + bn−1 λ + bn = 0. 5. Prova. e somente se. Seja u ∈ V com u 6= 0 tal que T (u) = λu. e somente se. e somente se. V λ 6= {0}. posto(T − λI) < n. isto é. Como [T (u)]α = [T ]α [u]α . det(A − λIn ) = 0 se. T − λI é um operador singular. para todo m ∈ N.118 CAPÍTULO 4. A − λIn é singular se. 3. onde b1 = (−1)1 tr(A). pois dim V = n e ker(T − λI)m ⊆ ker(T − λI)m+1 .1) admite uma solução nãoα nula X 6= O se. Reciprocamente. bn = (−1)n det(A). #! Ã" X aii aij b2 = (−1)2 det aji ajj i<j ⎛⎡ ⎤⎞ aii aij aik X ⎜⎢ ⎥⎟ det ⎝⎣ aji ajj ajk ⎦⎠ b3 = (−1)3 i<j<k aki akj akk . temos que λX = AX ⇔ (A − λIn )X = 0. É clara da definição que (1) é equivalente a (2).1) onde A = [T ]α e X = [u]α . . O polinômio fA = det(xIn − A) . v = (T − λI)k−1 (u) ∈ Vλ com v 6= 0. o sistema homogêneo (4. Portanto. det(xIn − B) = det(xPP−1 − PAP−1 ) = det[P(xIn − A)P−1 ] = det(xIn − A). Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R e T : V → V um operador linear. Assim. −1 −1 Determine os autovalores e autovetores de T . o operador linear T não tem autovalores e nem autovetores. AUTOVALORES E AUTOVETORES será chamado o polinômio característico de A. Portanto. . Solução. a saber. Mas esse polinômio tem duas raízes sobre C. os autovalores dependem do corpo. O polinômio característico de T é o polinômio característico de qualquer representação matricial de T em relação a alguma base ordenada de V .4. O polinômio característico de T é à fT = det(xI2 − A) = det x − 1 −2 1 x+1 ! = x2 + 1. pois é fácil verificar que as matrizes " # " # 1 0 1 1 A= e B= 0 1 0 1 têm o mesmo polinômio característico fB = fA = (x − 1)2 mas não são semelhantes. −i e i. fB = fA . Note que esse polinômio não tem raízes sobre R. Portanto. Exemplo 4. Logo.3 Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico. Prova.4 A recíproca do Lema acima é falsa. Sejam A e B matrizes n×n semelhantes.5 Seja T : R2 → R2 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R2 é " # 1 2 A = [T ] = . A equação polinomial det(xIn − A) = 0 119 será chamada a equação característica de A e as raízes dessa equação são os autovalores de A. ¥ Observação 4. Lema 4.1. Então existe uma matriz n×n invertível P tal que B = PAP−1 . z = y e y qualquer.120 CAPÍTULO 4. Logo. Logo. x = y = 0 e z qualquer. temos que λ2 = 3 também é uma raiz de fT .o Passo. 1. x = −2y. ±4. Geometricamente esses cálculos significa que em R3 cada ponto P da reta determinada pela origem 0 = (0.o Passo. resolver o sistema homogêneo ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 0 x −2 −2 0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 0 ⎦⎣ y ⎦ = ⎣ 0 ⎦. i = 1. Determinar os auto-espaços Vλi = ker(T − λi I). 0. isto é. 0) e u1 = (0. resolver o ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 x 0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎦⎣ y ⎦ = ⎣ 0 ⎦. . 1. 1 2 Exemplo 4. Assim. pelo dispositivo de Briot-Ruffini. 0 z 1 Logo. De modo análogo. y) ∈ R3 : y ∈ R} = [(−2. y. 1)]. ±6 e ±12. ⎣ 1 0 z 0 −1 0 Vλ1 = ker(T − 2I) = {(0. 0. Determinar o polinômio característico de T : ⎞ ⎛ x − 4 −2 0 ⎟ ⎜ fT = det(xI3 − A) = det ⎝ 1 x−1 0 ⎠ 0 −1 x − 2 = x3 − 7x2 + 16x − 12. Solução. 1)) é aplicado por T em 2P (3P ). isto é. ±2. z) ∈ R3 : z ∈ R} = [(0. devemos encontrar X ∈ sistema homogêneo ⎡ −1 −2 ⎢ 2 ⎣ 1 0 −1 R3×1 tal que (3I3 − A)X = O. 2. FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES linear cuja representação matricial em ⎤ 2 0 ⎥ 1 0 ⎦. λ1 = 2 e λ2 = 3 são os autovalores de T . 1) (u2 = (−2. os autovalores de T : As possíveis raízes racionais de fT são ±1.o Passo.6 Seja T : R3 → R3 um operador relação à base canônica de R3 é ⎡ 4 ⎢ A = [T ] = ⎣ −1 0 Determine os autovalores e autovetores de T . Assim. 2 1 −7 16 −12 1 −5 6 0 temos que λ1 = 2 é uma raiz dupla de fT . ±3. isto é. Para λ2 = 3. 0. Determinar as raízes de fT . 2: Para λ1 = 2. 3. 1. 0. 1)]. Assim. devemos encontrar X ∈ R3×1 tal que (2I3 − A)X = O. Vλ2 = ker(T − 3I) = {(−2y. Dizemos que λ tem multiplicidade algébrica m.6. . j = 1. . . . Logo. temos que. isto é. . j = 2. ⎥ 0 ⎥ ⎥. mg (2) = 1 e mg (3) = 1.4. pois dim V = n e ker(T − λI)m ⊆ ker(T − λI)m+1 . . . 1 2 fT = (x − 2)2 (x − 3). k. . un } de V . (4. Portanto. .1. T (uj ) = uj−1 + λuj . u2 . a qual é parte de uma base α = {u1 . onde uj = (T − λI)k−j (u). . . onde T (uk+1 ) = temos que " J B O C # ⎡ n X i=1 ai(k+1) ui . se (x − λ)m é um fator de f mas (x − λ)m+1 não.8 Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n e λ ∈ R.. denotada por ma (λ) = m. . podemos escolher um menor k ∈ N tal que (T − λI)k (u) = 0 mas (T − λI)k−1 (u) 6= 0. onde J = ⎢ ⎢ ⎣ λ 1 ··· . Note que mg (2) < ma (2). ⎥ 1 ⎦ 0 0 ··· λ 0 ⎤ . . . pelo Exemplo 4. . k. . f = (x − λ)m g. uk } é uma base de V λ . Se λ é um autovalor de T . para todo m ∈ N.7 Seja T : R3 → R3 um operador relação à base canônica de R3 é ⎡ 4 ⎢ A = [T ] = ⎣ −1 0 Então o polinômio característico de T é linear cuja representação matricial em ⎤ 2 0 ⎥ 1 0 ⎦.2) A= [T ]α α = ⎢ ⎢ . ma (2) = 2 e ma (3) = 1. Exemplo 4. uk . Como T (u1 ) = λu1 . . . A dimensão do auto-espaço Vλ = ker(T − λI) será chamada de multiplicidade geométrica de λ e denotada por mg (λ) = dim Vλ . Assim. Teorema 4. . então mg (λ) ≤ ma (λ) = dim V λ . onde g(λ) 6= 0. AUTOVALORES E AUTOVETORES 121 Sejam K uma extensão de R (por exemplo K = C) e λ ∈ K uma raiz do polinômio f ∈ R[x]. . .. Prova. . é fácil verificar que {u1 . . . . 0 λ . Por hipótese existe u ∈ V λ com u 6= 0. . . uk+1 . Além disso. Então α (λIn − A) adj(λIn − A) = det(λIn − A)In = O ou. equivalentemente. h(λ) 6= 0 e ma (λ) = k = dim V λ . Assim.9 Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R3 é ⎤ ⎡ 0 0 4 ⎥ ⎢ A = [T ] = ⎣ 1 0 −17 ⎦ . pois se μ é outro autovalor de T . onde h = det(xIn−k − C) é um polinômio de grau n − k.122 CAPÍTULO 4. FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES B é uma matriz k × (n − k) e C é uma matriz (n − k) × (n − k). A adj(λIn − A) = λ adj(λIn − A). o que é impossível. isto é. Agora. Note que λ é o único autovalor de T que satisfaz as equações (4. então (T − λI)(v) ∈ V λ . μ − λ = 0. isto é. isto é. Exemplo 4. . qualquer coluna não-nula Cj de adj(λIn − A) é um autovetor de T associado ao autovalor λ. Portanto. Logo. Logo. se (T − λI)(v) = 0. existe s ∈ N tal que (T − λI)s+1 (v) = (T − λI)s (T − λI)(v) = 0. Seja Cj a j-ésima coluna da matriz adj(λIn − A).2) e (T − λI)(v) 6= 0. para todo v ∈ V − V λ . v ∈ V λ . então ! à k µ ¶ X k 0 = (T − λI)k (u) = T j (−λI)k−j (u) j j=1 k k X µk¶ X µk¶ k−j j (−λ) T (u) = (−λ)k−j μj u = j j j=1 j=1 = (μ − λ)k u. e λ um autovalor de T . ¥ Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n. λ = μ. cuja representação matricial em relação a alguma base ordenada α de V é A = [T ]α . para algum v ∈ V − V λ . Então ACj = λCj . 0 1 8 Determine os autovalores e autovetores de T . fT = det(xIn − A) = det(xIk − J) det(xIn−k − C) = (x − λ)k h. (Caso n = 2). cuja representação matricial em relação a alguma base ordenada α de V é A = [T ]α . Se ma (λi ) = 1. Para λ2 = √ 2 − 3. u1 = (1. 1 4 16 ⎡ 123 Logo. onde A = Logo. u2 = (4(2 + 3). dx # " x − a22 −a12 adj(xI2 − A) = . " a11 a12 a21 a22 # . dfT = 2x − tr(A) = 2x − (a11 + a22 ) = tr (adj(xI2 − A)) . . . Teorema 4. . −(6 − 3). e λ1 . De modo análogo. AUTOVALORES E AUTOVETORES Solução. obtemos tr (adj(λ2 I2 − A)) = (λ2 − a22 ) + (λ2 − a11 ) = (λ2 − λ1 ). λn os α autovalores de T . . obtemos u3 = (4(2 − 3). então existe j ∈ {1. 1) é um autovetor de T associado ao autovalor λ1 = 4. quando x = λ2 . temos que ⎤ 1 4 16 ⎥ ⎢ adj(4I3 − A) = ⎣ −4 −16 −64 ⎦ . É fácil verificar que o polinômio característico de T é √ √ fT = x3 − 8x2 + 17x − 4 = (x − 4)(x − 2 + 3)(x − 2 − 3). . Para λ1 = 4. . onde Por outro lado. −4.4. −a21 x − a11 dfT = (x − λ2 ) + (x − λ1 ).1. n} tal que a j-ésima coluna Cj de adj(λi In − A) é um autovetor de T associado ao autovalor λi . O polinômio característico de T é fT = det(xI2 − A) = x2 − tr(A)x + det(A).10 Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n. −(6 + 3). 1) é um autovetor de T √ associado ao autovalor λ3 = 2 + 3. √ √ 1 2− 3 7−4 3 √ √ Logo. tr (adj(xI2 − A)) = (x − λ2 ) + (x − λ1 ). Prova. temos que ⎡ √ √ ⎤ 4 3+8 4 8−4 3 √ √ √ ⎢ √ ⎥ adj((2 − 3)I3 − A) = ⎣ − 3 − 6 4 3 − 9 17 3 − 30 ⎦ . 1) é um autovetor de T associado ao autovalor λ2 = √ √ √ 2 − 3. dx Assim. . como fT = (x − λ1 )(x − λ2 ) temos que . Em particular. . x + y. x + y + 2z). FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES Portanto. sendo A ∈ R2×2 . −x − 2y). (o) T (x. z) = (2x + 2y. w) = (3x − 4z. Logo. (p) T (x. (f) T (x. −16x + 8y + 7z). Mostre que T é singular. y. w) = (x. Qual é o operador linear T : R2 → R2 que possui λ1 = −2 e λ2 = 3 como autovalores associados. z. w) = (2x + y. y. isto é. y) = (−y. −y). y) = (x + y. 3z). x − y + 2z. y. y. y. 4y. (d) T (x. x + y + z. x + y + z + w). encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços. 3y + 5z. 2y. 2} tal que a j-ésima coluna Cj de adj(λ2 I2 − A) é um autovetor de T associado ao autovalor λ2 . x). 2x + y − z). ¥ EXERCÍCIOS 1. (i) T (A) = At . 2x + y). y) e (−2y. (a) T (x. y) = (2x + 3y. (q) (T p)(x) = p0 (x). 2z. (c) T (x. 3w). z) = (−9x + 4y + 4z. y). p ∈ P2 (R). Determine o polinômio característico dos operadores lineares. (m) T (x.124 CAPÍTULO 4. x + y + 2z. z. z) = (x + 3y − 3z. y. (n) T (x. 2y + z. −z. x). a autovetores da forma (3y. z) = (x + y + z. Seja T : V → V um operador linear tendo λ = 0 como autovalor. (r) (T p)(x) = (1 − x2 )p00 (x) − 2xp0 (x). w). existe j ∈ {1. −3x + 3y + z). y) = (2x + y. y. p ∈ P3 (R). (l) T (x. então λ2 −λ1 6= 0. existe j ∈ {1. Esse procedimento se aplica ao caso geral. (h) (T p)(x) = p(1 + x). respectivamente. (g) T (a + bx + cx2 ) = b + ax + cx2 . 2. p ∈ P3 (R). (j) T (x. . z) = (x + y. (b) T (x. y) = (2y. y. 2} para o qual λ2 −ajj 6= 0. (k) T (x. z. (e) T (x. com y 6= 0? 3. se ma (λ2 ) = 1. . −8x + 3y + 4z. 2 (b) Os autovalores de T são reais. Sejam S : V → V e T : V → V operadores lineares. Mostre. 7. (b) Se λ2 = 9 é outro autovalor de A.1.4. onde a. AUTOVALORES E AUTOVETORES 125 4. y) = (ax + by. B ∈ Rn×n . determine um autovetor de A associado a λ2 . Mostre que A e At têm o mesmo polinômio característico mas podem ter autovetores distintos. distintos e pelo menos um deles é positivo. . Mostre que se v é um autovetor de T associado ao autovalor λ. 3) o autovetor de A associado a λ1 . b.1 do Capítulo 1. com um exemplo. cx + dy). Mostre que λ−1 é um autovalor T −1 . 9. 8. Mostre que: (a) Os autovalores de T são dados por (a + d) ± p (a − d)2 + 4bc . 6. Seja T : R2 → R2 um operador linear definido por T (x. então v é um autovetor de T k associado ao autovalor λk . Mostre que se fS = fT . (c) Determine uma matriz B tal que B2 = A. Sejam A ∈ R2×2 uma matriz simétrica com autovalor λ1 = 1 e v1 = (1. Sejam A. então det(S) = det(T ). que a recíproca é falsa. para todo k ∈ N. (Sugestão: Note que " # " # A B A + B −A → ··· → B A A + B −B e use o Exercício 12 da Seção 1.) 10. Mostre que os autovalores da matriz " # A B C= B A são exatamente os autovalores simultâneos de A + B e A − B. Sejam T : V → V um operador linear invertível λ um autovalor de T . Seja A ∈ Rn×n . c e d são números reais positivos. Sejam T : V → V um operador linear. (a) Determine uma matriz A 6= I que satisfaça essas condições. O que se pode dizer sobre os autovetores associados? 5. λn . λn autovalores distintos aos pares de T . Sejam A.3) . 4. use o fato de que det(CD) = det(DC). . então T possui pelo menos um autovalor negativo. Seja T : R3 → R3 um operador linear não-nulo. . então z = a − bi também o é. Prova.) 14. xn ∈ R tais que x1 u1 + · · · + xn un = 0. Mostre que AB e BA têm o mesmo polinômio característico. . B In −B xIn Agora.11 Sejam T : V → V um operador linear e λ1 . onde a. Teorema 4. (Indução sobre n). . . Seja T : V → V um operador linear tal que todo v ∈ V − {0} é um autovetor de T . .2 Operadores Diagonalizáveis Antes de definirmos operadores diagonalizáveis. b ∈ R. . . FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES 11. Mostre que não existe A ∈ R3×3 tal que A2 = −I3 . .126 CAPÍTULO 4. Mostre que existe uma reta r em R3 passando pela origem tal que T (r) ⊆ r. . Mostre que T = aI. Sejam x1 . B ∈ Rn×n . .) 12. (c) Se n é par e det(A) < 0. provaremos um fato muito importante de que autovetores associados a autovalores distintos aos pares são linearmente independentes. 13. (b) Se n é ímpar e det(A) > 0. . un são os autovetores de T associados aos autovalores λ1 . então o conjunto {u1 . Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n e A = [T ]α . . Mostre que: (a) Se n é ímpar e det(A) < 0. (Sugestão: Use o Teorema do Valor Intermediário para o polinômio característico fT de T e o FATO: se z = a + bi é uma raiz de fT . (4. . 15. . então T possui pelo menos um autovalor positivo. i2 = −1 e zz = a2 + b2 ≥ 0. então T possui pelo menos um autovalor positivo e um negativo. Se u1 . (Sugestão: Sejam " # " # xIn A In O C= e D= . . . . . un } é linearmente independente. . para algum a ∈ R. para alguma α base ordenada α de V . Aplicando T a equação (4. . e α Xj = [v]α = (x1j . Agora. (λn − λi )xi = 0. .12 Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n. Xn geram Rn×1 . PAP −1 aik xkj = [λj xij ] = DP. . un } é linearmente independente. multiplicando a equação (4. Assim. .2. . i = 1. . i = 1. . . . . x1 = 0. . n − 1. . n − 1. . Se os vetores X1 . pela hipótese de indução. PA = Portanto. n. ⎦ . PAP = ⎢ . " n X k=1 Logo. j = 1. . . Logo. x2j . temos que xi = 0.4. . .. ⎥ . . . Como os vetores X1 . .4) Agora. . . . Portanto. pelo Teorema 4. . . . . ⎢ . . então x1 u1 = 0. . que a matriz P é não-singular. n. . OPERADORES DIAGONALIZÁVEIS 127 Se n = 1. . n − 1. Logo. i = 1. .3) e usando que T (ui ) = λi ui . suponhamos que n ≥ 2 e que o resultado seja válido para todo k com 1 ≤ k ≤ n − 1. 0 0 · · · λn Prova. . . ¥ # = D. . xn un = 0 mas isto implica que xn = 0. Sendo AXj = λj Xj n X k=1 temos que aik xkj = λj xij . Xn geram Rn×1 temos. Como λn − λi 6= 0. então a matriz P = [xij ] é tal que ⎤ ⎡ λ1 0 · · · 0 ⎥ ⎢ ⎢ 0 λ2 · · · 0 ⎥ −1 ⎥ = D. .3) por λn e subtraindo da equação (4. cuja representação matricial em relação a alguma base ordenada α de V é A = [T ]α . temos que x1 λ1 u1 + · · · + xn λn un = 0. i = 1. ¥ Teorema 4. ⎣ . . o conjunto {u1 .11. temos que (λn − λ1 )x1 u1 + · · · + (λn − λn−1 )xn−1 un−1 = 0. xnj )t ∈ Rn×1 as coordenadas de um autovetor v de T associado ao autovalor λj . .4). (4. . . . . pois u1 6= 0. . (1. Assim. temos que Vλ1 = [(4.13 Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R3 é ⎡ ⎤ 3 0 −4 ⎢ ⎥ A = [T ] = ⎣ 0 3 5 ⎦. α = {(4. Dizemos que T é diagonalizável se existir uma base de V formada de autovetores de T . 0 0 −1 T é diagonalizável? . 0 0 −1 Mostre que R3 possui uma base de autovetores. λ1 = −1 e λ2 = 3 são os autovalores de T .14 Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R3 é ⎤ ⎡ 3 −3 −4 ⎥ ⎢ A = [T ] = ⎣ 0 3 5 ⎦. Para λ2 = 3. Para λ1 = −1. 0. α 0 0 3 ⎤ 4 1 0 ⎥ ⎢ P = [I]α = ⎣ −5 0 1 ⎦ β 4 0 0 é a matriz de mudança de base da base α para a base canônica β de R3 . É fácil verificar que o polinômio característica de T é fT = (x + 1)(x − 3)2 . −5. 0)} é uma base de autovetores de R3 . Portanto. Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. D = [T ]α = ⎣ 0 3 0 ⎦ e PAP−1 = D. 4). Exemplo 4. Note que ⎡ R3 = Vλ1 onde ⎡ ⎤ −1 0 0 ⎥ ⎢ ⊕ Vλ2 . 0)]. 1. 0. (0. −5. FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES Exemplo 4. temos que Vλ2 = [(1.128 CAPÍTULO 4. 0). Solução. 4)]. (0. 0). 1. . ∀ f ∈ R[x]. . . W1 . i = 1. Dizemos que f anula T se f (T ) = 0. Prova. . Assim. 0)]. k. Para λ1 = −1. Lema 4. 0. . temos que Vλ1 = [(1. . Wk são independentes. Então as seguintes condições são equivalentes: 1. para 2 ≤ j ≤ k. temos que Vλ2 = [(1. . É fácil verificar que o polinômio característica de T é fT = (x + 1)(x − 3)2 .15 Seja T : V → V um operador linear tal que T (u) = λu. Lema 4. . Se αi é uma base ordenada de Wi .2. uj−1 ∈ Wj−1 tais que u = u1 + u2 + · · · + uj−1 . T não é diagonalizável. . Wk são independentes se ui ∈ Wi e u1 + u2 + · · · + uk = 0. Então f (T )(u) = f (λ)u. . . 16)]. (1 ⇒ 2) Seja u ∈ Wj ∩ (W1 + · · · + Wj−1 ). Wk subespaços de V . . . .. . . . λ1 = −1 e λ2 = 3 são os autovalores de T . . αk } é uma base de W . . Prova. . Wk subespaços de V e W = W1 + · · · + Wk . Sejam f = an xn + · · · + a1 x + a0 ∈ R[x] 129 um polinômio de grau ∂(f ) = n sobre os reais R e T : V → V um operador linear. então ui = 0. Dizemos que W1 . OPERADORES DIAGONALIZÁVEIS Solução. u1 + u2 + · · · + uj−1 + (−u) + 0 + · · · + 0 = 0. . Logo.4. Assim. . Então f (T ) é um operador linear sobre V definido por f (T ) = an T n + · · · + a1 T + a0 I. 3. existem u1 ∈ W1 . 2. com u 6= 0.. −20. então o conjunto ordenado α = {α1 . Então u ∈ Wj e u ∈ W1 + · · · + Wj−1 . Wj ∩ (W1 + · · · + Wj−1 ) = {0}. . . Portanto. (Exercício) ¥ Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 .16 Sejam V um espaço vetorial sobre R com dim V = n. W1 . . Para λ2 = 3. . . . onde os vi é alguma combinação linear dos vetores de αi . . n. Wk subespaços de V . . 2. Continuando dessa maneira. . . O polinômio característico de T é fT = (x − λ1 )m1 (x − λ2 )m2 · · · (x − λk )mk . . . temos que vk ∈ Wk ∩ (W1 + · · · + Wk−1 ) = {0}. Portanto. (3 ⇒ 1) Fica como um exercício. ⎥ ⎦ . . . (2 ⇒ 3) É claro que W = [α]. Notação V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk . . . i = 1. Teorema 4. temos que α é LI. . . u = 0 e Wj ∩ (W1 + · · · + Wj−1 ) = {0}. (1 ⇒ 2) Suponhamos que T seja diagonalizável.. Dizemos que V é soma direta de W1 . . . T é diagonalizável. . . v1 + v2 + · · · + vk−1 = 0 ⇒ vk−1 ∈ Wk−1 ∩ (W1 + · · · + Wk−2 ) = {0}. un } de V tal que T (ui ) = λi ui . Então as seguintes condições são equivalentes: 1. Como qualquer relação linear entre os vetores de α terá a forma v1 + v2 + · · · + vk = 0. FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES Pela hipótese. . Prova. . [T ]α α ⎡ λ1 I1 O · · · O O λ2 I2 · · · O .130 CAPÍTULO 4. . . V = Vλ1 ⊕ · · · ⊕ Vλk . O O · · · λk Ik ⎤ A= ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎥. 3.. . ¥ Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 . . .17 Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n e Vλi = ker(T −λi I) os auto-espaços de T associados aos autovalores distintos aos pares λi . . isto é. u1 = u2 = · · · = uj−1 = (−u) = 0. . 2 ≤ j ≤ k. Assim. i = 1.16 for satisfeita. vk = 0. k (em alguma extensão de R). Então existe uma base α = {u1 .. . onde mi = dim Vλi . isto é. vk−1 = 0. . Wk se pelo menos uma (e portanto todas) das condições do Lema 4. Logo. especifique uma matriz P tal que PAP−1 seja diagonal. k. são independentes. identifique os operadores que são diagonalizáveis. . fT = det(xIn − A) = (x − λ1 )m1 (x − λ2 )m2 · · · (x − λk )mk . . = j=1 131 Então. i = 1. k. j=1 Por outro lado. j 6= i e j = 1. . . j=1 Como λj 6= λi . . Nos casos afirmativos. k. temos que Sj (ui ) = k Y (λi − λj )ui . (2 ⇒ 3) Sejam ui ∈ Vλi . i = 1. (3 ⇒ 1) É uma conseqüência direta da definição. i = 1. . temos que Sj (ui ) = 0. . OPERADORES DIAGONALIZÁVEIS onde Imi é uma matriz identidade mi × mi e mi = dim Vλi . . . . . k Y (λi − λj )ui = 0. . i = 1. . . Portanto.15. os Vλi . temos que ui = 0. ¥ EXERCÍCIOS 1. basta provar que u1 + · · · + uk = 0 ⇒ ui = 0. k. . . Para cada um dos operadores lineares do Exercício (1) da Seção (4. Para verificar que V = Vλ1 ⊕ · · · ⊕ Vλk . . pelo Lema 4. . k. aplicando Sj à equação vetorial u1 + · · · + un = 0 e usando o Exercício (8) a seguir.2. . Assim. . .4. i = 1. . . isto é.1). k. . . Seja Sj = (T − λ1 I1 ) · · · (T − λi−1 Ii−1 )(T − λi+1 Ii+1 ) · · · (T − λk Ik ) k Y (T − λj Ij ) com j 6= i. Seja T : R2 → R2 um operador linear definido por T (x. Seja T : R2 → R2 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R2 é " # a b A = [T ] = . b. 3. a 0 6. Considere as matrizes " −4 −3 10 7 # ⎤ 1 −2 3 ⎢ ⎥ e B = ⎣ 0 −1 3 ⎦ . Além disso. c e d são números reais positivos. T é diagonalizável. 4. onde a. y) = (ax + by. . para que valores de a e b. especifique uma matriz P tal que PAP−1 seja diagonal. 7.132 CAPÍTULO 4. b a Determine os autovalores e autovetores de T . Mostre que T é diagonalizável. 1 1 Mostre que T é diagonalizável. Além disso. Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja base canônica de R3 é ⎡ 1 ⎢ A = [T ] = ⎣ 1 1 5. b c Mostre que os autovalores de T são reais e T que é diagonalizável. Generalize para Rn . Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja base canônica de R3 é ⎡ 0 ⎢ A = [T ] = ⎣ b 0 Determine os autovalores e autovetores de T . representação matricial em relação à ⎤ b b ⎥ a b ⎦. cx + dy). representação matricial em relação à ⎤ a 0 ⎥ 0 b ⎦. FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES 2. Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja base canônica de R3 é ⎡ a ⎢ A = [T ] = ⎣ b b representação matricial em relação à ⎤ 1 1 ⎥ 1 1 ⎦. 0 0 1 ⎡ A= Calcule A10 e B35 . (Sugestão: Note que bj = (−1)j onde λi são os autovalores de T . Mostre que existe um polinômio não-nulo f ∈ R[x] de grau no máximo n2 tal que f (T ) = O. 1≤i1 <i2 <···<ij ≤n . . xn . ∀ f ∈ R[x]. Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. (Sugestão: Seja f = a1 + a2 x + · · · + an xn−1 X λi1 · · · λij . ∀ n ≥ 2. i = 1. ∀ n ∈ N. e conclua que an+1 an−1 − a2 = (−1)n . . yn ∈ R. 11. n.2. . . Mostre que se A e B são semelhantes. . Mostre que se x1 . . g ∈ R[x]. xn são distintos aos pares. Os números de Fibonacci a1 . Mostre que T f (T ) = f (T )T. . an = 2n 5 12. . . . n (b) Mostre que √ ´ √ 1 ³ √ (1 + 5)n − (1 − 5)n . ∀ n ∈ N. . Conclua que f (T )g(T ) = g(T )f (T ). onde a0 = 0. . . ∀ f. a2 . . Sejam A. Sejam T : V → V um operador linear diagonalizável com dim V = n e fT = xn + b1 xn−1 + · · · + bn−1 x + bn o polinômio característico de T . (a) Mostre que " an+1 an an an−1 # " 1 1 1 0 #n = . . . 10. y1 . . Seja T : V → V um operador linear. . então existe um único polinômio f ∈ R[x] de grau no máximo n−1 tal que f (xi ) = yi . então f (A) e f (B) são semelhantes. OPERADORES DIAGONALIZÁVEIS 8. Sejam x1 . são definidos por a1 = a2 = 1 e an+1 = an + an−1 . 133 9.4. para todo f ∈ R[x]. Mostre que posto(T ) = max{j : bj 6= 0}.) 13. B ∈ Rn×n . . . ⎥ ⎦ 14. i = 1. ⎣ ⎣ . . f (T ) = O se.18 Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n e A = [T ]α . onde ⎡ ⎡ ⎤ 1 x1 · · · xn−1 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 1 x2 · · · xn−1 ⎥ 2 ⎢ . . . . e que f anula T se f (T ) = 0. Sejam V = C(R. Seja T : V → V um operador linear diagonalizável com dim V = n e todos os autovalores de T são distintos aos pares. . . .) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ e B=⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥. n. .. i ou. . R) o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas e β = {ea1 x . 15. . onde os ai ∈ R. an ⎤ ⎡ y1 y2 . Mostre que qualquer operador linear diagonalizável sobre V pode ser escrito como um polinômio em T .) 4. . . Já vimos que f (T ) é um operador linear sobre V definido por f (T ) = an T n + · · · + a1 T + a0 I. X = ⎢ A=⎢ . são distintos. ⎥ .. . 1 xn · · · xn−1 n a1 a2 . α para alguma base ordenada α de V . . . ean x }. ⎢ . f (A) = O. na forma matricial AX = B. onde os ai devem ser determinados. e somente se. Então obtemos o sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas a1 + a2 xi + · · · + an xn−1 = yi . Observação 4. ⎦ . A função fA : R[x] → Rn×n definida por fA (an xn + · · · + a1 x + a0 ) = an An + · · · + a1 A + a0 In é claramente uma transformação linear com ker fA = {f ∈ R[x] : f (A) = O} e Im fA = {f (A) : f ∈ R[x]}. ym ⎤ Agora.134 CAPÍTULO 4. Mostraremos a seguir (Teorema de Cayley-Hamilton) que ker fA 6= {0}. i = 1. FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES o polinômio desejado. 2. . . Então: 1. Mostre que β é um subconjunto linearmente independente de V . .3 Polinômio Minimal f = an xn + · · · + a1 x + a0 ∈ R[x] Sejam um polinômio de grau ∂(f ) = n sobre R e T : V → V um operador linear. . . (Sugestão: Considere o operador diferencial. n. use a Regra de Cramer para resolver o sistema. (Caso n = 2). pelo Lema 4. . i = 1. Se g = x − 3. Prova. Se fT é o polinômio característico de T . f (T ) = 0. . Então os elementos de B(x) são polinômios de grau no máximo 1 (n − 1). u2 } uma base ordenada de V e A = [T ]α . Seja B(x) = adj(xI2 − A). n. então " # −2 3 g(A) = 6= O. 0 0 Logo. POLINÔMIO MINIMAL 135 Exemplo 4. temos o seguinte teorema: Teorema 4. B(x) = " # x − a22 −a12 −a21 x − a11 . Então o polinômio característico de T é α fT = det(xI2 − A) = x2 + b1 x + b2 . . Logo.15. . então fT (T ) = 0. . temos que fT (T )(ui ) = fT (λi )ui = 0. # " x − a22 −a12 B(x) = −a21 x − a12 # " # " x 0 −a22 −a12 = B0 x + B1 . isto é. Mais geralmente. = + 0 x −a21 −a11 . Portanto. un } de V tal que T (ui ) = λi ui . Logo. De fato.19 Seja T : R2 → R2 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R2 é " # 1 3 A = [T ] = . então fT (T ) = 0. . .4.20 (Teorema de Cayley-Hamilton) Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. então f (A) = O. . . . Sejam α = {u1 . Logo. 0 3 Se f = x2 − 4x + 3. então existe uma base α = {u1 . g não anula T . . Se T é diagonalizável. se T é diagonalizável. Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n e fT o polinômio característico de T . i = 1. . n. f anula T .3. mT (A) = a b Assim. temos que O = A2 + b1 A + b2 I2 . B0 x2 + (B1 − AB0 )x − AB1 = (x2 + b1 x + b2 )I2 . FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES onde B0 . Logo. Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. A e I2 . Portanto. f (A) = 0. 2. Assim. respectivamente. " # b 0 6= O. mT (T ) = 0. então mT = ax + b com a 6= 0. mT = fT = x2 não é irredutível sobre R. Exemplo 4. ∂(mT ) ≥ 2. Note que o polinômio minimal mT não necessita ser irredutível. confira exemplo a seguir. Dizemos que o polinômio mT = xk + ak−1 xk−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ R[x] é o polinômio minimal de T se as seguintes condições são satisfeitas: 1. B0 = I2 B1 − AB0 = b1 I2 −AB1 = b2 I2 . Esse procedimento se aplica ao caso geral. Como (xI2 − A)B(x) = det(xI2 − A)I2 temos que (xI2 − A)(B0 x + B1 ) = (x2 + b1 x + b2 )I2 . Multiplicando as equações à esquerda pelas matrizes A2 .21 Seja T : R2 → R2 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R2 é " # 0 0 A = [T ] = . Se ∂(mT ) = 1. É claro que o polinômio característico de T é fT = x2 . e somando. mT é o polinômio de menor grau dentre aqueles que anulam T com ∂(mT ) ≥ 1. ou ainda. 1 0 Determine o polinômio minimal de T . Solução. B1 ∈ R2×2 são independentes de x. Como fT (A) = O temos que ∂(mT ) = 2.136 CAPÍTULO 4. ¥ . isto é. mA é um fator de mB . existe q ∈ R[x] tal que mT = (x − λ)q. f (B) = Pf (A)P−1 . existe w ∈ V . λ é um autovalor de T . isto é. Em particular. Suponhamos que mT (λ) = 0.24 Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. a menos de multiplicidades. É fácil verificar. Teorema 4. Então os polinômios característico e minimal de T possuem as mesmas raízes. que Bm = PAm P−1 . pelo algoritmo da divisão. Sejam mT o polinômio minimal de T e λ ∈ R. mB é um fator de mA . ∀ m ∈ N.4.22 Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio minimal. Logo 0 = mT (T )(w) = (T − λI)q(T )(w) = (T − λI)(u).3. Observação 4. mA (A) = O ⇒ mA (B) = O. Prova. Então existe uma matriz n×n invertível P tal que B = PAP−1 . Sejam A e B matrizes n×n semelhantes. pois ambos são mônicos. 137 Prova. Portanto. indutivamente. pois é fácil verificar que as ma1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ⎤ ⎡ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ têm o mesmo polinômio minimal mB = mA = x4 mas não são semelhantes.23 A recíproca trizes ⎡ 0 ⎢ 0 ⎢ A=⎢ ⎣ 0 0 ¥ do Lema acima é falsa. tal que u = q(T )(w) 6= 0. Por outro lado. Assim. mB (B) = O ⇒ mB (A) = O. Assim. mB = mA . isto é. Então. ∀ f ∈ R[x]. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ e B=⎢ ⎣ ⎦ . Devemos provar que mT (λ) = 0 se. Como ∂(q) < ∂(mT ) temos que q(T ) 6= 0. e somente se. w 6= 0. POLINÔMIO MINIMAL Lema 4. Exemplo 4. Exemplo 4. FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES Portanto. T (u). . T 2 (u)} é uma base de R3 . É claro. Existe um vetor u de R3 com u 6= 0 tal que o conjunto α = {u. Solução. temos que mT (λ)u = mT (T )(u) = 0. Logo.15. Então existe u ∈ V com u 6= 0 tal que T (u) = λu.138 CAPÍTULO 4.27 Determine um operador linear T : R3 → R3 cujo polinômio minimal é mT = x3 − 8x2 + 5x + 7.25 Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n e fT . da definição de fT . Então pelo Teorema de Cayley-Hamilton e o Teorema 4. pela minimalidade do grau de mT . pelo Lema 4. pois ¡ ¢ mT (T ) = O ⇒ T 3 (u) = −7I − 5T + 8T 2 (u) = −7u − 5T (u) + 8T 2 (u).24. T (u) = 0u + 1T (u) + 0T 2 (u) T 2 (u) = 0u + 0T (u) + T 2 (u) T 3 (u) = −7u − 5T (u) + 8T 2 (u). Assim. que dim V = 6. Reciprocamente. ¥ Observação 4. Determine os candidatos a polinômio minimal de T e a dim V . Como u 6= 0 temos que mT (λ) = 0. Solução. suponhamos que λ seja um autovalor de T . mT os polinômios característico e minimal de T . mT é um fator de fT .26 Seja T : V → V um operador linear com polinômio característico fT = (x − 3)2 (x − 1)3 (x + 5). λ é um autovalor de T e u é o autovetor associado a λ. Pela Observação acima os candidatos a polinômio minimal de T são: mT = (x − 3)(x − 1)(x + 5) mT = (x − 3)2 (x − 1)(x + 5) mT = (x − 3)(x − 1)2 (x + 5) mT = (x − 3)(x − 1)3 (x + 5) mT = (x − 3)2 (x − 1)2 (x + 5) mT = fT . . . para todo w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2 (confira Figura 4. .1: Projeção sobre W1 na direção de W2 . . . λi = 0 ou ci λi = 0. . não ambos. n. y + 8z). y. POLINÔMIO MINIMAL Portanto. W2 subespaços de V tais que V = W1 ⊕ W2 . . 1 n i Logo. ¥ Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1 . para todo i = 1. então T (u) = 0. i = 1.3. . ⎤ 0 0 −7 ⎥ ⎢ A = [T ]α = ⎣ 1 0 −5 ⎦ e T (x. z) = (−7z.28 Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. . . i = 1. Prova. A projeção sobre W1 na direção de W2 é o operador linear E1 : V → V tal que E1 (v) = E1 (w1 + w2 ) = w1 . Como para cada u ∈ V existem únicos c1 . .4. un } de V tal que T (ui ) = λi ui . . Figura 4. . . . n. . em qualquer caso T (u) = 0. . Suponhamos que T seja diagonalizável. Lema 4. x − 5z. . α 0 1 8 ⎡ 139 A matriz A é chamada de matriz companheira associada com mT . . cn ∈ R tais que u = c1 u1 + · · · + cn un temos que 0 = T 2 (u) = c1 λ2 u1 + · · · + cn λ2 un ⇒ ci λ2 = 0. . n. Portanto.1). Se T é diagonalizável e existe u ∈ V tal que T 2 (u) = 0. . Então existe uma base α = {u1 . Então as seguintes condições são equivalentes: 1. ⎤ ⎡ ⎤ 2 2 4 −1 −1 2 3 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [E1 ] = ⎣ −3 1 2 ⎦ e [E1 ]α = ⎣ −1 −1 3 ⎦ .29 Seja E1 : R3 → R3 a projeção sobre o plano W1 = {(x. (1 ⇔ 2) Suponhamos que E seja uma projeção. E1 (x. 0). # Ik 0 0 0 . 1)} é uma base ordenada de R3 . 1). 1. . Existe uma base ordenada α de V tal que " [E]α = α 4. Além disso. {w ∈ V : E(w) = w} = {w1 + w2 ∈ W1 ⊕ W2 : w1 = w1 + w2 } = {w1 + w2 ∈ W1 ⊕ W2 : w2 = 0} = W1 = Im E. Então existe uma decomposição V = W1 ⊕ W2 tal que E é a projeção sobre W1 na direção de W2 . (0. y. (0. −3. (1. . 2. z) ∈ R3 : 3x + y − 2z = 0} na direção da reta W2 = [(1. Portanto.30 Seja E : V → V um operador linear com dim V = n. é fácil verificar que ¶ µ −x − y + 2z −3x + y + 2z −3x − y + 4z .140 CAPÍTULO 4. 2. −1. y. Como W1 = [(1. 1. . E é uma projeção. 1)] temos que R3 = W1 ⊕ W2 e β = {(1. (2. basta tomar W1 = Im E e W2 = ker E. α 2 2 −3 −1 4 0 0 1 ⎡ Lema 4. FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES Exemplo 4. 3. 3)} de R3 . 2. Reciprocamente. E 2 = E. 0). Solução. Prova. e somente se. Assim. 2. 0. −3. z) = 2 2 2 Portanto. Determine a representação matricial de E1 em relação à base canônica de R3 e também em relação à base ordenada α = {(1. V = Im E ⊕ ker E e w ∈ Im E se. E(w) = w. 0). (1. 1). 1)]. W1 = Im E e W2 = ker E. 3. Então existe uma base ordenada β de V e uma matriz invertível P tal que PAP−1 = [T ]β = D β .4. Existe um k ∈ N. Então as seguintes condições são equivalentes: 1. . Então α = {u1 . escalares distintos λ1 . . (3 ⇒ 4) É claro. Logo. uk } uma base ordenada de Im E e {uk+1 . Se v0 ∈ V é um autovetor de T associado ao autovalor λ0 ∈ R. Suponhamos que A seja diagonalizável. . Finalmente. Logo. . ¥ Teorema 4. para todo u ∈ V . un } uma base ordenada de ker E. . . V = Im E + ker E. existe v ∈ V tal que w = E(v) se. . e somente se. uk . . se v ∈ Im E ∩ ker E. para todo v ∈ V . k X i=1 Ei = I e Ei Ej = 0 se i 6= j. w ∈ Im E se. 4. tal que T = k X i=1 λi Ei . . [E]α = α " Ik 0 0 0 # . Agora. un } é uma base ordenada para V . . (4 ⇒ 2) Suponhamos que E 2 = E.31 Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. . v = E(v) = 0 e Im E ∩ ker E = {0}. então (T −λ0 I)(u) 6= v0 . . Então E(v) ∈ Im E e v − E(v) ∈ ker E. E(w) = E 2 (v) = E(v) = w. POLINÔMIO MINIMAL 141 (2 ⇒ 3) Sejam {u1 . T é diagonalizável. então (T − λI)(u) = 0.3. . 2. u2 . As raízes do polinômio minimal de T são todas distintas (simples). k. . . . (1 ⇒ 2) Seja A = [T ]α a representação matricial de T em relação à alguma α base ordenada α de V . u2 . uk+1 . . uk+2 . . v = E(v) + (v − E(v)) ∈ Im E + ker E. ∀ v ∈ V. . V = Im E ⊕ ker E. Para cada u ∈ V e λ ∈ R se (T − λI)2 (u) = 0. isto é. e somente se. Prova. Logo. . 5. . . λk ∈ R e operadores lineares não-nulos Ei : V → V . então E(v) = v e E(v) = 0. Portanto. . . i = 1. Portanto. para cada u ∈ V . k. . e somente se i 6= j. pelo Lema 4. Então existe w ∈ V com w 6= 0 tal que v0 = (T − λ0 I)q(T )(w) 6= 0. . por hipótese. (3 ⇒ 4) Suponhamos que mT = (x − λ0 )2 q. k X i=1 pi . Então T (v0 ) = λ0 v0 . . FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES é diagonal. . Agora consideremos o polinômio g =1− Então ∂(g) < ∂(mT ) = k e g(λi ) = 0.142 CAPÍTULO 4. i = 1. . . Logo. Então 0 = (A − λIn )2 P−1 Y = (P−1 DP − λIn )2 P−1 Y = P−1 (D − λIn )2 Y. (T − λ0 I)(v0 ) = mT (T )(v0 ) = 0. pois ∂((x − λ0 )q) < ∂(mT ). (2 ⇒ 3) Suponhamos que v0 ∈ V seja um autovetor de T associado ao autovalor λ0 ∈ R. v0 ∈ V é um autovetor de T associado ao autovalor λ0 . se existir u ∈ V tal que (T − λ0 I)(u) = v0 . Mas então a equação (T − λ0 I)(u) = v0 tem solução q(T )(w). . k. . λk ∈ R são os autovalores distintos de T . Definimos pi ∈ R[x] pelas relações mT = (x − λi )pi . (4 ⇒ 5) Suponhamos que mT = (x − λ1 ) · · · (x − λk ).28. i = 1. Então pi (λi ) 6= 0 e pi (λj ) = 0 se. . então (T − λ0 I)2 (u) = (T − λ0 I)(v0 ) = 0. . o que é uma contradição. onde X = [u]α ∈ Rn×1 . onde λ1 . . Assim. Seja Y = PX. v0 = (T − λ0 I)(u) = 0. Logo. pi (λi ) . . o que é uma contradição. (D − λIn )Y = 0. Assim. Como P é invertível temos que (D − λIn )2 Y = 0 e. (D − λIn )PX = 0 ⇒ (D − λIn )X = 0. Portanto. un } é uma base de V formada de autovetores.3. se i 6= j. Finalmente. v = I(v) = k X i=1 Ei (v) = de modo que. k. Logo. i = 1. Então ui = Ei (v) é um autovetor de T associado ao autovalor λi . k X i=1 1 pi (T ). j=1 j=1 j=1 Além disso. . T pi (T ) = λi pi (T ). então Ei Ej = 1 pi (T )pj (T ) = 0. . ¥ k X i=1 ui . g(S) = 0. para todo operador linear S : V → V . pi (λi ) Ei = I e mT (T ) = (T − λi I)pi (T ) = 0. . pela minimalidade do grau de mT . . . isto é. T é diagonalizável. todo vetor é combinação linear dos autovetores. i = 1. pi (λi )pj (λj ) (5 ⇒ 1) Seja v ∈ V com v 6= 0. . . .4. α = {u1 . 1 2 −4 T é diagonalizável? . Assim. POLINÔMIO MINIMAL 143 Logo. Exemplo 4. . k X i=1 λi Ei = k X i=1 X 1 1 λi pi (T ) = pi (T )T = T pi (λi ) pi (λi ) i=1 k à k X i=1 Ei ! = T. .32 Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R3 é ⎤ ⎡ 2 2 −5 ⎥ ⎢ A = [T ] = ⎣ 3 7 −15 ⎦ . . Escolhendo os operadores lineares Ei = obtemos Ei 6= 0. pois ! à k k k X X X T (ui ) = λj Ej (ui ) = λj Ej (ui ) = λj Ej Ei (v) = λi Ei (v) = λi ui . Assim. temos que g ≡ 0. . k. o Passo. 1. . p2 = x − 1. Note que 1 1 p1 = x − 3. (a) Qual é a dimensão de V ? (b) Quais são as possibilidades para o polinômio minimal de T ? (c) Se T é diagonalizável. Neste caso. E2 = (T − I). Portanto. 2. T é diagonalizável. EXERCÍCIOS 1. Determinar os candidatos a polinômio minimal de T . Calcular mT (A) para cada um dos candidatos. Determinar o polinômio característico de T .144 CAPÍTULO 4.o Passo. são mT = (x − 1)(x − 3) mT = fT . Assim. mT (A) = (A − I3 )(A − 3I3 ) ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 2 −5 −1 2 −5 0 0 0 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎣ 3 6 −15 ⎦ ⎣ 3 4 −15 ⎦ = ⎣ 0 0 0 ⎦ . 1 2 −5 1 2 −7 0 0 0 mT = (x − 1)(x − 3) = x2 − 4x + 3 é o polinômio minimal de T . 3. FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES Solução. Sejam V um espaço vetorial de dimensão 5 e T : V → V um operador linear cujo polinômio minimal é m = (x − 1)2 (x − 2).1). E1 = − (T − 3I). determine o polinômio minimal e identifique os operadores que são diagonalizáveis. 2 2 E1 E2 = 0 e E1 + E2 = I. Seja T : V → V um operador linear cujo polinômio característico é f = (x − 1)2 (x − 4)3 (x + 2). 2. qual é o seu polinômio minimal? 3. Para cada um dos operadores lineares do Exercício (1) da Seção (4. fT = det(xI3 − A) = (x − 1)2 (x − 3).o Passo. Neste caso. Quais são as possibilidades para dim V−1 e dim V3 ? 10. Se dim Vλ1 = 3 e dim Vλ2 = 1. (a) Quais são as possibilidades para o polinômio característico de T ? (b) O polinômio minimal de T pode ser m = (x − λ1 )(x − λ2 )? 9.4. . Sejam V um espaço vetorial e T : V → V um operador linear não diagonalizável cujo polinômio característico é f = (x + 1)(x − 3)3 . Mostre que se λ e μ são autovalores distintos de um operador linear T : V → V . (a) Escreva todas as possibilidades para o polinômio característico de A.3. 5. c e d. POLINÔMIO MINIMAL (a) Quais são as possibilidades para o polinômio característico de T ? (b) T é diagonalizável? 145 4. Seja T : V → V um operador linear cujo polinômio característico é f = (x − 4)2 (x + 2)4 . Seja T : V → V um operador linear invertível com dim V = n. 6. 7. Seja A ∈ R4×4 matriz cujos autovalores distintos são λ = 1 e λ = −1. de modo que a matriz " # a b c d não seja semelhante a uma matriz diagonal. escreva os possíveis polinômios minimais de A. qual a dimensão de V4 e a de V−2 ? 8. b. (a) Quais são as possibilidades para dim V4 e dim V−2 ? (b) Se T é diagonalizável. Determine condições necessárias e suficientes em a. (b) Para cada possibilidade do polinômio característico de A. então Vλ ∩ Vμ = {0}. Sejam V um espaço vetorial de dimensão 6 e T : V → V um operador linear cujos autovalores distintos são λ1 e λ2 . Mostre que T −1 é um polinômio em T de grau no máximo n − 1. . . Mostre que E1 é a projeção sobre W1 na direção de W2 se. Seja T : R2 → R2 um operador linear cuja matriz em relação à base canônica de R2 é simétrica.146 CAPÍTULO 4. Mostre que se θ for um multiplo inteiro de π. E1 + E2 = I e E1 E2 = 0. 14. 12. Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja base canônica de R3 é ⎡ λ ⎢ A = [T ] = ⎣ 0 0 representação matricial em relação à ⎤ a 0 ⎥ λ a ⎦. 21. x sen θ + y cos θ). Sejam E1 a projeção de V sobre W1 na direção de W2 e E1 a projeção de V sobre U1 na direção de U2 . 13. 0 λ Determine o polinômio minimal de T quando a = 0 e a 6= 0. 15. Generalize para Rn . 18. e somente se. Determine a projeção E de R2 sobre W1 = [(1. e somente se. un } uma base ordenada de V . 16. I − E1 é a projeção sobre W2 na direção de W1 . . E1 E2 = 0. Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R3 é ⎤ ⎡ 5 −6 −6 ⎥ ⎢ A = [T ] = ⎣ −1 4 2 ⎦. −1)] na direção da reta W2 = [(1. 2)]. Mostre que E1 + E2 é uma projeção se. Suponhamos que V = W1 ⊕ W2 . Sejam E : V → V uma projeção e f ∈ R[x]. 19. Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n e Spec(T ) = {λ ∈ R : λ é autovalor de T }. Sejam V um espaço vetorial sobre R e α = {u1 . Mostre que Spec(T ) é um conjunto finito. y) = (x cos θ − y sen θ. FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES 11. Mostre que I + E é invertível exibindo sua inversa (I + E)−1 . então o autovalor de T será λ = 1 ou λ = −1. 20. 17. Seja E : V → V uma projeção. 3 −6 −4 Determine matrizes E1 e E2 tais que A = λ1 E1 + λ2 E2 . Mostre que f (E) = aI + bE. Prove que T é diagonalizável. . Seja T : R2 → R2 um operador linear definido por T (x. . determine o Spec(Eij ). Se Eij : V → V é um operador linear definido por Eij (uk ) = δ ik uj . para algum k ∈ N. é gerado pelos vetores colunas das matrizes Ej com i 6= j. Mostre que o polinômio minimal mC da matriz " # A O C= O B é o mínimo múltiplo comum dos polinômios minimais mA e mB de A e B. 27. onde W1 = {u ∈ V : T (u) = u} e W2 = {u ∈ V : T (u) = −u} (b) Determine W1 e W2 para o operador linear T : Rn×n → Rn×n definido por T (A) = At . B ∈ Rn×n . então E1 = E1 . nos Exercícios 21 e 22. respectivamente. (d) ker(T − I) = Im(T + I). .4. Sejam A. E2 = E2 e E1 + E2 = I. (e) T é uma reflexão. Seja T : V → V um operador linear. POLINÔMIO MINIMAL 147 22. 2 2 (c) ker(T + I) = Im(T − I). E2 e E3 tais que A = λ1 E1 + λ2 E2 + λ3 E3 . Seja A ∈ Rn×n . E1 + E2 + E3 = I e E1 E2 = E1 E3 = E2 E3 = 0.3. 25. 29. Mostre que as seguintes condições são equivalentes: (a) T 2 = I. Seja T : V → W um operador linear tal que T 2 = I. Essa afirmação pode ser generalizada? 24. Mostre que o auto-espaço associado ao autovalor λi . (a) Mostre que V = W1 ⊕ W2 . 23. Mostre que existe uma transformação linear S : W → V tal que ST = IV − E1 e T S = IW − E2 . Seja T : V → V um operador linear com dim V = n tal que T k = 0. Seja T : V → W uma transformação linear. Mostre que o polinômio característico de T é xn . ⎣ 0 1 0 1 ⎦ 1 0 1 0 Determine matrizes E1 . 2 2 (b) Se E1 = 1 (I − T ) e E2 = 1 (I + T ). Seja T : R4 → R4 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R4 é ⎤ ⎡ 0 1 0 1 ⎢ 1 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ A = [T ] = ⎢ ⎥. Sejam E1 : V → V uma projeção sobre ker T e E2 : W → W uma projeção na direção de Im T . 26. Mostre que A e At têm o mesmo polinômio minimal. 28. 148 CAPÍTULO 4. 31. As matrizes AB e BA têm o mesmo polinômio minimal? . Mostre que o polinômio minimal de T é o polinômio minimal de B. Sejam A. FORMAS CANÔNICAS ELEMENTARES 30. B ∈ Rn×n . Sejam B ∈ Rn×n uma matriz fixada e T : Rn×n → Rn×n um operador linear definido por T (A) = BA. wi + bhv. ∀ a. wi = hau. Uma função h . w ∈ V . v ∈ V . 149 .Capítulo 5 Espaços com Produto Interno O principal objetivo neste capítulo é estudar espaços vetorias nos quais tenha sentido falar do “comprimento” de um vetor e do “ângulo” entre dois vetores. wi. wi = ahu. que hu. wi + · · · + an hun . wi = ahu. v ∈ V e a ∈ R.1 Produto Interno Seja V um espaço vetorial sobre R. ∀ ai ∈ R e ui . 4. ui = 0 ⇔ u = 0. v. ha1 u1 + · · · + an un . v. Note que hau + bv. vi = ahu. wi. hu. wi. w ∈ V. wi = a1 hu1 . av + bwi = ahu. ∀ a. wi = hu. wi + hv. vi. 5. w ∈ V. wi + hbv. wi. para todos u. vi = hv.1 1. Observações 5. ui. Note. para todos u. para todos u. 2. w ∈ V. b ∈ R e u. 2. wi. v. Mais geralmente. pois hau + bv. vi + bhu. b ∈ R e u. 3. hu. wi + bhv. para todo u ∈ V e hu. hau. i : V × V → R é um produto interno sobre V se as seguintes condições são satisfeitas: 1. também. hu + v. ui ≥ 0. z2 . 1 2 3 Agora. Logo. wi + hv. Então hu. x3 y3 ⎡ Solução. wi = (x1 + y1 )z1 + (x2 + y2 )z2 + (x3 + y3 )z3 = x1 z1 + y1 z1 + x2 z2 + y2 z2 + x3 z3 + y3 z3 em R = (x1 z1 + x2 z2 + x3 z3 ) + (y1 z1 + y2 z2 + y3 z3 ) = hu. ui = 0 ⇒ u = 0. Então hu. As condições (2) e (3) são análogas a (1). vi = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 é um produto interno sobre V . A= " 1 −1 −1 5 # e Y = [v] = " y1 y2 # . Note que hu. v = (y1 . para provar que hu. x2 ). y3 ).3 Sejam V = R2 e u = (x1 . y2 . y2 ) ∈ V . que u 6= 0. por absurdo. ax2 . vi = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 5x2 y2 é um produto interno sobre V . vi = Xt Y. ax3 ). wi. y2 . Então x2 + x2 + x2 = 0 ⇒ ( 1 2 3 x2 2 x3 ) + ( )2 = −1. onde ⎡ ⎤ ⎤ y1 x1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ X = [u] = ⎣ x2 ⎦ e Y = [v] = ⎣ y2 ⎦ . v = (y1 . ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Exemplo 5.2 Sejam V = R3 e u = (x1 . x3 ). Suponhamos. z3 ) ∈ V e a ∈ R. hu + v. pois o lado esquerdo da última equação é positivo enquanto o lado direito é negativo. x2 . Finalmente. temos que u + v = (x1 + y1 . x1 x1 o que é uma contradição. digamos x1 6= 0. Dados u = (x1 . x2 + y2 . x2 . vi = Xt AY. Exemplo 5. é claro que hu. Note que hu.150 CAPÍTULO 5. x3 ). x3 + y3 ) e au = (ax1 . w = (z1 . o qual é chamado de produto interno usual (canônico). y3 ) ∈ V . ui = x2 + x2 + x2 ≥ 0. onde X = [u] = " x1 x2 # . . v = (y1 . Note que. Exemplo 5. Vamos provar apenas a (4) condição. . ∞ X n=1 xn yn . . a função hu. Como hf. ui = 0 ⇔ u = 0. f i ≥ 0. . . . 1 0 . ⎣ 1 −1 . gi = é um produto interno sobre V . vi = Xt AY define um produto interno se A for uma matriz simétrica positiva definida. Então hu. como a matriz A= " 1 −1 −1 5 # 151 Assim. Pt ]. ui = x2 − 2x1 x2 + 5x2 = (x1 − x2 )2 + (2x2 )2 1 2 temos que hu.5 Sejam V = l2 o conjunto de todas as seqüências reais (xn )n∈N tais que ∞ X n=1 é simétrica temos que existe uma matriz invertível P tal que Pt AP = D é diagonal. −1 5 . Vamos provar apenas a (4) condição. ⎦ L2 → L2 + L1 (C2 → C2 + C1 ) ⎣ 1 0 . f i = temos que hf. vi = é um produto interno sobre V . Portanto. g = b0 + b1 x ∈ V . Solução. . 1 1 −−−−−−−−−−− . .5. 1 0 ⎦ = [ D . ∀ f ∈ V e hf.1. ∀ u ∈ V e hu. PRODUTO INTERNO Solução. pois ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ . f i = 0 ⇔ f = 0. Como hu.4 Sejam V = P1 (R) e f = a0 + a1 x. Z1 0 f (t)g(t)dt a2 0 1 a1 + a0 a1 + a2 = (a0 + )2 + 1 3 2 µ a √1 12 ¶2 x2 < ∞ n e u = (xn )n∈N . 0 1 −− − − − − − − − − −→ 0 4 . Então hf. dizemos que A é positiva definida se todos os elementos diagonais de D são positivos. v = (yn )n∈N ∈ V . Exemplo 5. ui ≥ 0. Sejam V um espaço euclidiano e u. fica como uma exercício provar que a função hu. 3. v. temos que h0. para todo u ∈ V . Dizemos que α e β são ortogonais se hu. 5. n ∞ X n=1 x2 n < ∞. v ∈ V e a ∈ R. vi está bem definida.152 CAPÍTULO 5. Sejam α e β subconjuntos de V . ui = 0hu. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Solução. ¯ n=1 n n ¯ n=1 n=1 n=1 . ∀ u ∈ α e v ∈ β e denotamos por α ⊥ β. vi é um produto interno. então v ⊥ u. para todo v ∈ V . em particular. para todos u. vi = 0 e denotamos por u ⊥ v. então β é linearmente independente. 2. 4. Finalmente. ui = h0u. Se u ⊥ w. Se β é um subconjunto (finito ou infinito) de V formado de vetores não-nulos ortogonais aos pares. como por hipótese hu. ui = 0. Note que a função hu. v ⊥ w. Como 0 = 0u. ¯∞ ¯ ∞ ∞ ∞ ¯X ¯ X X X ¯ ¯ 2 2 2¯ x y ¯≤2 |xn yn | ≤ xn + yn = x + y < ∞. v ∈ V . então (au) ⊥ v. para todo v ∈ V . Portanto. w ∈ V . u = 0. Se u ⊥ v. Vamos provar apenas os itens (1) e (3). vi = 0.7 Seja V um espaço euclidiano. Dizemos que u e v são ortogonais se hu. que hu. y = ∞ X n=1 2 yn < ∞ então Agora. então u = 0. Prova. ¥ Teorema 5. Então: 1. pois se x= e 2 0 ≤ (|xn | − |yn |)2 = x2 − 2 |xn yn | + yn . v ∈ V .6 Seja V um espaço euclidiano. 0 ⊥ u. temos. Se u ⊥ v. Um espaço euclidiano é um espaço vetorial V sobre R munido com um produto interno. Se u ⊥ v. para todos u. para todo u ∈ V . ui = 0. Proposição 5. para todos u. vi = 0. então (u + v) ⊥ w. vi = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 5x2 y2 . . . Então β = {(2. x2 ). β é linearmente independente. PRODUTO INTERNO Prova. uj i + · · · + xn hun . Solução. uj i. . . (−3. Exemplo 5. Como huj . . Se β = {u1 . . . y2 ) ∈ V . Então β = {e1 . j = 1. v = (y1 . 1). . . un vetores distintos de β e x1 . uj i = xj huj . . Portanto. 1)i = 2(−3) − 2 · 1 − 1(−3) + 5 · 1 · 1 = 0 temos que os vetores (2. 1) e (−3.8 Seja V um espaço euclidiano com dim V = n. un . . 153 pois hui . 1). . . . . Como h(2. . ¥ Exemplo 5. Portanto. . se i 6= j. uj i > 0 temos que xj = 0. Dizemos que β = {u1 . . β é uma base ortogonal de V . então β é uma base ortogonal de V . onde u = (x1 . .5. en } é uma base ortogonal de V . Então 0 = h0.1. uj i = 0. 1) são LI. . . . xn ∈ R tais que x1 u1 + · · · + xn un = 0.9 Seja V = Rn com o produto interno usual. n. uj i = hx1 u1 + · · · + xn un . . uj i = x1 hu1 .} é uma base ortogonal (Hamel) de V se ui ⊥ uj . (−3. quando i 6= j. . . Corolário 5. ¥ Seja V um espaço euclidiano. . un } é um conjunto de vetores não-nulos ortogonais aos pares de V . .10 Seja V = R2 com o produto interno hu. . Sejam u1 . 1)} é uma base ortogonal de V . ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Exemplo 5. . ui i u= ui . . De fato.un i ⎥ ⎥. . ⎦ . Então β = {e1 . Solução. . n Sejam V um espaço euclidiano e β = {u1 . isto é. . . en i = 0 se m 6= n. ⎤ hu. hui . Exemplo 5. .}.154 CAPÍTULO 5. . β é uma base ortogonal de V . 0. . Logo. onde en = (0.12 Seja V = l2 com o produto interno do Exemplo 5. pois 1 / u = ( )n∈N ∈ V e u ∈ [β] . 0. . xn ∈ R tais que u = x1 u1 + · · · + xn un .u1 i hu1 . β é um conjunto ortogonal de V .un i hun . gi = Z1 0 f (t)g(t)dt. Solução. onde f = a0 + a1 x. . Então n X hu. Como h1.u1 i . . un } uma base ortogonal de V . 1. . ui i i=1 Neste caso. . . Então β = {1. . dado u ∈ V existem únicos x1 . . . é um conjunto ortogonal de V mas não é uma base ortogonal de V .). 1 − 2x} é uma base ortogonal de V . . . . g = b0 + b1 x ∈ V . É claro que hem . 1 − 2xi = Z1 0 (1 − 2t)dt = 0 temos que os vetores 1 e 1 − 2x são LI.11 Sejam V = P1 (R) com o produto interno hf. Portanto. ⎢ [u]β = ⎢ ⎣ ⎡ hu. . β é um conjunto LI mas V 6= [β]. . en . ∀ u ∈ V.5. n.1: Projeção de u sobre [ui ]. . xj = Portanto. 1)i = 0. Neste caso. i = 1. . (−1. h(1.1).14 Seja V = R2 com o produto interno usual. ∀ u ∈ V. 1). . Assim. PRODUTO INTERNO Então hu. n. . . (u − xi ui ) ⊥ ui . Para calcular as coordenadas do vetor u = (2. . Calcule [(2. j = 1. (−1. Solução. uj i = x1 hu1 . hui . 1)i 5 1 x1 = = e x2 = = . ui i u= ui . 1). ui i i=1 hu. uj i. 1)i 2 Portanto. 1)} é uma base ortogonal de V . " # 1 5 [(2. (−1. . uj i 155 Observação 5. . 1). 3)]β = . . 1)i 2 h(−1. uj i por hipótese = xj huj . uj i . Os vetores xi ui são os vetores projeções de u sobre [ui ]. 3).5. . (1. basta calcular h(2. xi = Figura 5. Logo. hu. hui . β é uma base ortogonal de V . 3). huj . 2 1 . (1. uj i = hx1 u1 + · · · + xn un . ui i . Exemplo 5. 1)i h(2. 3)]β . (confira Figura 5. n.13 Os escalares n X hu. É claro que h(1.1. 1). 3) em relação à base β. ui i são chamados os coeficientes de Fourier de u em relação à base β e a expressão para u no lado direito é chamada de expansão de Fourier de u em relação à base β. (−1. . Então β = {(1. uj i + · · · + xn hun . i = 1. . Seja V = R4 com o produto interno usual. x3 ). 1. (16. 6. Mostre que β = {(1. 7. v = (y1 . B = (bij ) ∈ V . (1. 2). y2 ) ∈ V . x2 . 3). Sejam V = R2 e u = (x1 . y2 ) ∈ V . c. v = (y1 . −9. 1. v) = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 é um produto interno sobre V . x2 ). Sejam V = R2 e u = (x1 . (1. x2 ). −13. 0. x2 ). v) = |y1 − x1 | + |y2 − x2 | é um produto interno sobre V . v = (y1 . B) = a11 b11 + 2a12 b12 + 3a21 b21 + a22 b22 é um produto interno sobre V . 3. Sejam V = R2×2 e A = (aij ). 5. y3 ) ∈ V . v) = hT (u). Calcule [(a. Mostre que f (A. 2. Sejam V = R3 e u = (x1 . v = (y1 . ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO EXERCÍCIOS 1. d)]β . 1. vi seja um produto interno sobre V ? . −1). v) = x1 y1 x2 y2 é um produto interno sobre V . Sejam V um espaço euclidiano e T : V → V um operador linear (a) Que condições T deve satisfazer para que a função f (u. v) = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 é um produto interno sobre V . 2. y2 ) ∈ V . Mostre que f (u. b. Verifique se f (u. 1. y2 . 3)} é uma base ortogonal de V . 4. Verifique se f (u.156 CAPÍTULO 5. Sejam V = R2 e u = (x1 . Verifique se f (u. Neste caso. ui. e somente se. então v u= kvk é um vetor unitário tal que [v] = [u]. seja f (X. respectivamente. a11 > 0. 11. v0 ) + g(w. Seja u ∈ V um vetor qualquer. A norma ou comprimento de um vetor u ∈ V é definida como p kuk = hu. Sejam A ∈ R2×2 e V = R2×1 . w0 ) é um produto interno sobre V × W . Descreva explicitamente todos os produtos internos sobre R. T (v)i seja um produto interno sobre V ? 157 8. w). pois hu. 12. a22 > 0 e det(A) > 0. NORMA (b) Que condições T deve satisfazer para que a função g(u. A diferença de dois produtos internos sobre V é um produto interno sobre V ? Mostre que um múltiplo positivo de um produto interno sobre V é um produto interno sobre V . Se v ∈ V é um vetor não-nulo qualquer. dizemos que u é a normalização do vetor v. Seja V um espaço euclidiano. 9.2 Norma Note que esta definição é possível. w0 )) = f (v. (v0 . Mostre que todo espaço vetorial de dimensão finita sobre R pode ser munido com um produto interno.2. Para X. ui ≥ 0. 5. 10. Seja V um espaço vetorial sobre R. Y ∈ V . Mostre que a função h : (V × W ) × (V × W ) → R definida por h((v. Mostre que a soma de dois produtos internos sobre V é um produto interno sobre V .5. Y) = Xt AY. . para todo u ∈ V . Mostre que f é um produto interno sobre V se. Sejam V e W espaços vetoriais com produtos internos f e g. v) = hT (u). A = At . Dizemos que u é um vetor unitário se kuk = 1. Solução. vi + kvk2 . kuk = 0 se.15 Seja V um espaço euclidiano. pois a2 kvk2 ≥ 0. temos que |hu. ∀ a ∈ R. vi|2 ≥ 0. vi|2 kuk2 + kuk2 |hu. Se u 6= 0. escolhendo s = kuk2 e t = −hu. nada há para ser provado. ∀ a ∈ R. Vamos provar apenas o item (5). para todos u. vi| ≤ kuk kvk. t ∈ R. e somente se. Portanto. Como ku − avk2 = kuk2 − 2ahu. extraindo a raiz quadrada em ambos os membros. ∀ s. pois kuk2 > 0. Logo. kauk = |a| kuk. para todos u. kuk2 kvk2 − |hu. vi| ≤ kuk kvk . s2 kvk2 + 2 hu. Então: 1. ku − avk2 = kuk2 + a2 kvk2 ≥ kuk2 . 5.158 CAPÍTULO 5. então ksv + tuk ≥ 0. 3. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) 6. vi|2 ≤ kuk2 kvk2 . kuk ≤ ku − avk . temos que kuk ≤ ku − avk . vist + kuk2 t2 temos que Em particular. para todo u ∈ V e a ∈ R. v ∈ V . ku ± vk ≤ kuk + kvk. u = 0. para todos u. kuk ≥ 0. vi|2 ≥ 0 ⇒ |hu.16 Sejam V um espaço euclidiano e u. ku ± vk2 = kuk2 ± 2 hu. para todo a ∈ R. e somente se. v ∈ V . Mostre que u ⊥ v se. v ∈ V . para todo u ∈ V . Se u = 0. ∀ s. (Desigualdade de Minkowski) Prova. 4. temos que ¡ ¢ kuk4 kvk2 − 2 |hu. extraindo a raiz quadrada em ambos os membros. vi + a2 kvk2 temos que se u ⊥ v. Como ksv + tuk2 = s2 kvk2 + 2hu. vi st + kuk2 t2 ≥ 0. |hu. v ∈ V . t ∈ R. ¥ Exemplo 5. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Teorema 5. 2. Logo. vi. vi|2 = kuk2 kuk2 kvk2 − |hu. u ⊥ v. . 0 ≤ θ ≤ π. vi hu. v ∈ V − {0}. assim. . kvk2 159 hu. . kuk kvk hu. cos θ = hu. hu. vi2 ≥ 0. então µ ¶2 hu. ∀ a ∈ R. Dizemos que β é uma base ortonormal ou sistema de coordenadas cartesianas para V se hui . NORMA Reciprocamente. escolhendo a= temos que − Portanto.18 Seja V = Rn com o produto interno usual. . nada há para ser provado. isto é. Se v = 0. Sejam V um espaço euclidiano e β = {u1 . . vi . vi + a2 kvk2 ≥ 0. vi + a2 kvk2 ≥ kuk2 temos que −2ahu. . 2. . Exemplo 5.2. Para quaisquer u.5. hu. −1 ≤ e. vi = 0. . o ângulo entre u e v é definido como o ângulo θ tal que 1. vi . kvk2 kvk2 Assim. en } é uma base ortonormal de V . vi + a kvk = − + kvk a − ≥ 0. vi ≤1 kuk kvk Observação 5. un } uma base de V .17 Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz. vi2 2 2 2 −2ahu. kvk2 Tendo definido o conceito de comprimento em um espaço euclidiano qualquer. ∀ a ∈ R. o ângulo θ sempre existe e é único. Se v 6= 0. . é natural perguntar: se o conceito de ângulo pode ser generalizado? A resposta é verdadeira se nosso corpo é os reais R mas é falsa no corpo dos números complexos C. uj i = δ ij . Seja V um espaço euclidiano. Então β = {e1 . como ku − avk2 = kuk2 − 2ahu. Calcule o ângulo entre as matrizes " # " # 1 −1 2 1 A= e B= . Seja V = R2 com o produto interno f (u.160 CAPÍTULO 5. onde f = a0 + a1 x. 1]. Calcule o ângulo entre os polinômios f = 1 + x e g = 1 − x. v) = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 . Sejam V um espaço euclidiano e u. x2 ). Seja V = C([0. onde u = (x1 . Também. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO EXERCÍCIOS 1. 4. y2 ) ∈ V . onde A = (aij ). 5. v = (y1 . B = (bij ) ∈ V . Mostre que: . v ∈ V . g = b0 + b1 x ∈ V . B) = a11 b11 + 2a12 b12 + 3a21 b21 + a22 b22 . Sejam V = P1 (R) com o produto interno hf. Seja V = R2×2 com o produto interno f (A. 0 Calcule o ângulo entre f (x) = x + ex e g(x) = x. gi = Z1 0 f (x)g(x)dx. 0 1 −1 1 3. v) = ku − vk . gi = f (x)g(x)dx. 2. determine h ∈ V tal que o ângulo entre h e 1 + x seja 60◦ . −1). a distância entre u e v é definida por d(u. R) o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas munido com o produto interno Z1 hf. Calcule o ângulo entre os vetores u = (1. 1) e v = (1. (Identidade de Polarização) Sejam V um espaço euclidiano e u.5. Mostre que ¢ 1¡ hu. 8. Sejam S = {v ∈ V : kvk = 1} e f : S → R a função definida por f (v) = ku − vk. então (xu + yv) ⊥ (zu + tv) ⇔ xz + yt = 0. v ∈ V .2. e somente se. (b) d(u. u e v são vetores ortogonais em relação ao produto interno usual. v ∈ V . y. u). Sejam V um espaço euclidiano e u. 12. Sejam V um espaço euclidiano e x. Seja V um espaço euclidiano. para todos u. v. w). t ∈ R. Mostre que °2 ° ° ° 1 1 2 2 2 kw − uk + kw − vk = ku − vk + 2 °w − (u + v)° . v. u) ≥ 0. Sejam V um espaço euclidiano e u ∈ V um vetor unitário. Mostre que hu + v. v ∈ V . y2 ) ∈ V . Mostre que a matriz At A é diagonal se. u − vi = kuk2 − kvk2 . 7. Sejam V = R2 e u = (x1 . z. Mostre que se u. ° ° 2 2 10. Mostre que se u. 15. v = (y1 . 13. v ∈ V são ortogonais e unitários. (Identidade do Paralelogramo) Sejam V um espaço euclidiano e u. 11. w ∈ V . Mostre que a função f (x) = ku + xvk2 possui um ponto de mínimo. Seja V um espaço vetorial com dois produtos internos f e g. (c) d(u. para todo u ∈ V e d(u. NORMA (a) d(u. (Identidade de Appolonius) Sejam V um espaço euclidiano e u. v ∈ V . Seja A a matriz cujas colunas sejam esses vetores. v ∈ V . w ∈ V . w) + d(v. para todo u ∈ V . para todos u. v) = d(v. então f = g. Sejam V um espaço euclidiano e u. 14. 161 6. . v) ≤ d(u. Mostre que se kukf = kukg . √ então ku − vk = 2. Mostre que ¡ ¢ ku + vk2 + ku − vk2 = 2 kuk2 + kvk2 . v ∈ V são ortogonais e unitários. u) = 0 ⇔ u = 0. 4 9. vi = ku + vk2 − ku − vk2 . x2 ). v1 = e w1 = . v. então u = ±v. kuk kvk À = 1 ou ¿ u v . continue. kuk kvk À = −1. nada há para ser provado. e somente se. . Mostre que ku − vk kwk ≤ kv − wk kuk + kw − uk kvk . vi = ±1. . Sejam V um espaço euclidiano e u. Sejam V espaço euclidiano e u. Mostre que |kuk − kvk| ≤ ku − vk . ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO (a) Mostre que o valor máximo de f é 2 e que o valor mínimo de f é 0. Caso contrário. vi ou kuk kvk = − hu. (Sugestão: Se u = 0 ou v = 0. 19. (Teorema de Pitágoras) Sejam V um espaço euclidiano e u1 . kuk kvk kwk . considere a normalização dos vetores u1 = Note que ku1 − v1 k = ku − vk kuk−2 kvk−2 e use a desigualdade triangular. √ (b) Mostre que f (v) = 2 se. v ∈ V . w ∈ V . v ∈ V .162 CAPÍTULO 5. vi . u = 0 ou v = au. para algum a ∈ R+ . quando i 6= j. (Sugestão: Se u = 0 ou v = 0 ou w = 0.) 18. . Mostre que se ui ⊥ uj . Mostre que se u e v são vetores unitários tais que hu. 17. Sejam V um espaço euclidiano e u. 20. vi| = kuk kvk ⇔ kuk kvk = hu. nada há para ser provado.) u v w . . e somente se. Mostre que |hu. vi| = kuk kvk se. un ∈ V . ¿ u v . v ∈ V . u ⊥ v. Sejam V espaço euclidiano e u. 16. então ° n ° n °X °2 X ° ° ui ° = kui k2 ° ° ° i=1 i=1 21. v ∈ V . Mostre que ku + vk = kuk + kvk se. então |hu. e somente se. Sejam V espaço euclidiano e u. u e v são linearmente dependentes. Se u 6= 0 e v 6= 0. Logo. / para alguns x1 . v1 i = 0 ⇔ x1 = Analogamente.. v2 i v2 2 v1 − kv1 k kv2 k2 v1 ⊥ v3 . os vetores de [v1 . un .3. . v3 ] = [u1 . x2 ∈ R. . o vetor v3 = u3 − é tal que (confira Figura 5.2: Projeção de u3 sobre o espaço [u1 . kv1 k2 hu3 .2). v2 ] = [u1 . u2 . . PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT 163 5. Figura 5. v1 i . v2 ⊥ v3 e [v1 . v1 i v2 = u2 − v1 kv1 k2 é ortogonal ao vetor v1 e é claro que [v1 . hu3 . u2 ]. . . u2 ]. . . . . .3 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt α = {u1 . Assim. .5. hu3 − (x1 v1 + x2 v2 ). v1 i hu3 . u3 ]. v2 i . digamos v1 = u1 . já vimos que o vetor hu2 . v2 i = 0 ⇔ x2 = Assim. Como u3 ∈ [u1 . kv2 k2 hu3 . un } Sejam V um espaço euclidiano e uma base de V . . Então poderemos obter uma base ortogonal β = {v1 . . vn } de V a partir da base α como segue: Para iniciar o processo vamos escolher v1 como qualquer um dos vetores u1 . u2 ] temos que hu3 − (x1 v1 + x2 v2 ). v2 ] são da forma x1 v1 + x2 v2 . v2 . 1). (0. . . . vn } de V . . .1 A partir de uma base qualquer de V podemos sempre obter uma base ortogonal (ortonormal) de V . . . . .. . 1. . Para resolver este problema. 0. indutivamente. ). 1). 1). . . ) 2 3 3 3 ku1 k Finalmente. vamos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. (0. Exemplo 5. vi i i=1 kvi k2 vi .) de V tal que [v1 .) é um seqüência LI de V . k = 1. . 1)} uma base de V . . obtemos uma base ortonormal ½ ¾ u1 u2 u3 . normalizando os vetores u1 . h(0. Conclusão 5. 1. . . ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Continuando desta maneira. Solução.. 0. se α = (u1 . então podemos construir. . 1. u2 e u3 . uk ]. Escolhendo um vetor inicial u1 . − . digamos u1 = (1. . 1. uma seqüência ortogonal β = (v1 . 1. vn . . Agora. vk ] = [u1 . onde vk = uk − k−1 X huk . n. . . u2 i 1 1 u1 − u2 = (0. . Mais geralmente. 1). 0. . . Determine a partir de α uma base ortonormal de V . u1 i 2 1 1 u1 = (− . 1).19 Sejam V = R3 com o produto interno usual e α = {(1. 1) − h(0.164 CAPÍTULO 5. obtemos uma base ortogonal β = {v1 . un . Este processo de ortogonalização é conhecido como o processo de ortogonalização de GramSchmidt. ∀ k ∈ N. . 2 2 2 2 ku1 k ku2 k . u1 i h(0. 1) − e u3 = (0. . 0. tomamos u2 = (0. . ku1 k ku2 k ku3 k de V . 1). . . 3 kp1 k kp2 k hx3 . . 5 kp1 k kp2 k kp3 k e assim por diante. x2 . Agora. pois se V = R2 com o produto interno usual e β = {u. digamos p1 = 1. x3 . que u ⊥ w e v ⊥ w. p1 i hx3 . −1 Determine uma base ortonormal de V a partir da base β = {1. q2 . gi = Z1 f (t)g(t)dt.. Solução. . −1). Escolhendo um vetor inicial p1 . a menos de constantes. .21 Sejam V um espaço euclidiano e u. p2 i hx3 . v. p1 i p1 = x. Para resolver este problema. não é verdade. x. . p1 i hx2 . wi = 8. q4 . p4 . tomamos p2 = x − p3 p4 hx. . wi = 0 mas hu. Seja w = (5. Então h4u + (−1)v. wi = 2 e hv. kp1 k2 hx2 .5. PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT 165 Exemplo 5. Finalmente. em geral. Os polinômios nesta seqüência são chamados. p2 i 1 2 = x2 − p1 − 2 2 p2 = x − . v} uma base ortogonal de V . p3 .} de V .20 Seja V = P (R) o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais munido com o produto interno hf. . normalizando os vetores p1 . w ∈ V . 1) e v = (1. vamos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. wi = 0. Se hxu + yv. .}. p2 . −3) ∈ V . p3 i 3 3 = x3 − p1 − p2 − 2 2 2 p3 = x − x.3. onde u = (1. obtemos uma base ortonormal {q1 . de polinômios de Legendre. . q3 . . . Observação 5. gi = Z1 0 f (t)g(t)dt. Seja V = R2 munido com o produto interno f (u. . Determine uma base ortonormal de V a partir da base β = {(−1. onde f = a0 + a1 x. v = (y1 . (1. 4. y2 ) ∈ V . (1. x2 ). Determine uma base ortonormal de V a partir da base β = {(1. Seja V = R3 com o produto interno usual. 3. x2 . 0)}. 1). 6. 1)}. x3 }. 2 −∞ Determine uma base ortonormal de V a partir da base β = {1. 0). 1. 2. 1)}. x. 1 + x}. 0. Seja V = R3 com o produto interno usual. 2). gi = Z∞ f (t)g(t)e−t dt. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO EXERCÍCIOS 1. onde u = (x1 . (2. 1). (0. g = b0 + b1 x ∈ V . 2. Seja V = P1 (R) munido com o produto interno hf. Seja V = R2 com o produto interno usual. 5. y.166 CAPÍTULO 5. Determine uma base ortonormal de V a partir da base β = {(1. v) = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 . Determine uma base ortonormal de V a partir da base β = {x. Seja V = P3 (R) munido com o produto interno hf. z) ∈ V : x − y + z = 0}. Determine uma base ortonormal para o subespaço W de R3 definido por W = {(x. 23 Sejam R4 com o produto interno usual e W = [(1. 1)]. Como dim W = k temos. 0)] um subespaço de R4 . . . Prova. 1. 0. consideremos o vetor b v = hv. u1 iu1 + · · · + hv. Para cada v ∈ V . Portanto. . 0. 0)i = 0 e hu. ui = 0.5.4 Complementar Ortogonal Sejam V um espaço euclidiano e β um subconjunto não-vazio de V . que W contém uma base ortonormal β = {u1 . (1. COMPLEMENTAR ORTOGONAL 167 5. 1. W ⊥ = {(x. Logo. uk iuk ∈ W. Observação 5. . Teorema 5. y. 1. Para resolver este problema basta encontrar u = (x. pelos itens (1) e (3) da Proposição 5. β ⊥ é um subespaço de V se β é um subespaço ou não de V . ∀ u ∈ β}.24 (Teorema da Projeção) Sejam V um espaço euclidiano e W um subespaço de V com dim W = k. Exemplo 5. 1.22 Pelos itens (4) e (5) da Proposição 5. 1. y = z e z. que {0}⊥ = V e V ⊥ = {0}. 0)i = 0. (0. z. 0. 0). 1. y = z e z.4. 0. 0. x = −z. uk }. (1. t) ∈ R4 tal que hu.6. pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. . 0). t quaisquer. (1. Solução. Determine W ⊥ . y. também. 0. z. O complementar ortogonal de β em V é o conjunto β ⊥ = {v ∈ V : hv. t) ∈ R4 : x = −z. resolver o sistema ( x+z =0 x + y = 0. Note. Então V = W ⊕ W ⊥.6. t ∈ R} = [(−1. isto é. falso. w2 i = hw1 . ⊥ ⊥ implica que w1 = 0 e v = w2 ∈ W2 .25 Se a dimensão de W . pois W ∩ W ⊥ = {0}. V = W + W ⊥ . ui i = 0. Reciprocamente.26 Sejam V um espaço euclidiano e W1 . Observação 5. em geral. Logo. ¥ . ⊥ (3 ⇒ 1) Como W2 ⊆ W1 temos que W1 ⊥ W2 . b v hv − v. então yn = hv. para todo w1 ∈ W e w2 ∈ W ⊥ . Portanto. no Teorema da Projeção. vi = hw1 . basta definir P : V → V por P (w1 + w2 ) = w1 . V = W ⊕ W ⊥ . cada vetor v ∈ V pode ser escrito sob a forma v = P (v) + (v − P (v)). a projeção de v sobre W ou a expansão de Fourier de v com respeito à base β. . se v ∈ W1 ⊆ V . w1 i + hw1 . i = 1. É fácil verificar que W ∩ W ⊥ = {0}. ⊥ 2.12. para todo w ∈ W . ui = 0. V = W + W ⊥ . V = W1 ⊕ W2 e W2 ⊆ W1 . W2 subespaços de V . en i = 0. Se V = W ⊕ W ⊥ . V = W ⊕ W ⊥ . Logo. k. for infinita o resultado é. W1 ⊆ W2 . V = W1 ⊕ W2 e W2 = W1 . (2 ⇒ 3) É claro. Então as seguintes condições são equivalentes: 1. W ⊕ W ⊥ = W 6= V . V = W1 ⊕ W2 e W1 ⊥ W2 (soma direta ortogonal).27 Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n e W um subespaço de V . Portanto.168 CAPÍTULO 5. ui i − hb. Então W ⊥ = {v ∈ V : hv. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO pois isto é. e somente se. . . sejam V = l2 e W = [β] do Exemplo 5. para todo n ∈ N. ker P = W ⊥ e P (w) = w. ui i = hv. onde P (v) ∈ W e v − P (v) ∈ W ⊥ . Assim. Por outro lado. e v = 0. Note que. Teorema 5. w1 i. Prova. ¥ Logo. 0 = hw1 . ∀ u ∈ W } = {0}. Portanto. então existem w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2 tais que v = w1 + w2 . w1 + w2 i = hw1 . ¥ Proposição 5. (1 ⇒ 2) Como W1 ⊥ W2 temos que W2 ⊆ W1 . Logo. pois se v = (yn ) ∈ W ⊥ . Então V = W ⊕ W ⊥ se. . existe um operador linear P : V → V tal que Im P = W . β é um conjunto ortonormal maximal. Portanto. b b v = v + (v − v) ∈ W + W ⊥ . ⊥ 3. Por exemplo. ⊥ ⊥ Prova. W2 = W1 . pois não existe v = (yn ) ∈ W ⊥ diferente do vetor nulo. . .30 Seja R3 com o produto interno usual. ⎢ ··· ··· ··· . ou. 0 0 1 ⎥ 0 0 . 1 0 0 3 ⎢ ⎥ ⎢ . 1). ∀ w ∈ W. 1) + x2 (1. 1 8 . 0 1 0 ⎥ 1 −2 . −2)k 1 (59. . 1 2 1 . 1. −2)i = 0 temos que β = {(1. Solução. . Como h(1. −3. −2)} é uma base ortogonal de W . 15 mais próxima do vetor 0 = (0. 1. −3. . uk } é uma base ortonormal de W . . (1. Determine a melhor aproximação de v = (1. 62) . . COMPLEMENTAR ORTOGONAL 169 Observação 5. . equivalentemente. . 1)k k(1. wi = 0. (1. 1. 3. ··· ⎢ ··· ··· ··· . Exemplo 5. −3. −1 −6 7 . ⎢ ⎢ 3 ⎢ ⎥ ⎢ . 1. . ⎥ −→ · · · −→ ⎢ 0 ⎢ −2 −2 −6 . 1. 1. ⎣ ⎦ ⎣ . 1). Determine a solução do sistema ⎧ ⎪ x + 2y − 2z = 1 ⎨ 2x + y − 2z = 6 . 5. 2 . se α = {u1 . ··· ··· ··· ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ 2 . ∀ w ∈ W. −2)] um subespaço de R4 . Além disso. 1)i hv. (1. . 1 1 0 5 . . isto é. −3. então P (v) = hv. . 3 −2 3 −1 3 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2 1 ⎥. 4. 1. . hv − P (v). 4. −3.29 Sejam R4 com o produto interno usual e W = [(1. Exemplo 5. 4. 1. 1. 0 0 0 0 0 0 . Então P (v) ∈ W é a melhor aproximação (única) de v ∈ V em W . 1. 56. u1 iu1 + · · · + hv. . −3. Então os coeficientes de Fourier v em relação a β são x1 = Portanto. (1. (1. ⎥ 3 ⎥ ··· ··· ⎥ ⎦ 4 −3 0 0 ⎤ . kv − P (v)k ≤ kv − wk . 0. Vamos escalonar a matriz ⎡ ⎤ ⎡ . 1. ⎪ ⎩ x + 8y − 6z = −7 Solução. uk iuk . 4. 0) ∈ R3 . 1). −2) = hv.5. 1.4. 4. 4. ⎢ 0 ⎢ 2 3 ⎢ ⎥ ⎢ . 7) ∈ R4 sobre W .28 Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n e W um subespaço de V . 63. 2 = 4 e x1 = 2 = − 15 k(1. 11 . P (v) = x1 (1. −2)i 1 . y1 . Sejam V = R3 com o produto interno usual e W = [(1. 2. 1)] 3 3 o subespaço solução do sistema homogêneo. Sejam V = R3 com o produto interno h(x1 . y2 . 3). 0).170 Portanto. 0. x − y. Determine W ⊥ e um operador linear T : R3 → R3 tal que Im T = W e ker T = W ⊥ . 0) + c( . 3. ∀ c ∈ R. y. . y. (x2 . 3 3 3 3 é a solução geral do sistema. 1. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO 11 4 2 2 . e W = ker T . 0) + (2. Sejam T : R3 → R3 um operador linear definido por T (x. Seja X=( 2 2 W = [( . − . (x2 . −z). em relação ao produto interno usual. 2. 1). . − . 42) 3 3 51 51 3 é a solução mais próxima do vetor 0 = (0. (0. Então ½ ¾ 1 √ (2. y2 . z2 )i = 2x1 x2 + y1 y2 + 4z1 z2 . √ (2. (b) A mesma questão. z1 ). 3) = (215. (a) Encontre uma base ortonormal para W ⊥ . . 0) = h( . 3 3 3 3 51 17 17 X0 = ( 14 1 11 4 . 0). CAPÍTULO 5. 2. e W núcleo do operador linear T : R3 → R3 definido por T (x. z) = (x − y. EXERCÍCIOS 1. 2. 2. 1. 0. 2. 3) = (2. 0) ∈ R . − . 3) 17 é uma base ortonormal para W e P( Poranto. z2 )i = 2x1 x2 + 4y1 y2 + 3z1 z2 . considerando o produto interno h(x1 . 3)i √ (2. −40. z). 1)] um subespaço de V . y1 . 11 4 1 1 14 11 4 . − . z) = (z. z1 ). 1 − t]. 5. (0. B) = tr Bt A . gi = Z1 f (t)g (t) dt. Determine uma base ortonormal de V a partir da base (" # " # " # " #) 1 0 1 1 1 0 1 1 β= . Determine bases ortogonais de β e β ⊥.5. Sejam V = R2×2 munido com o produto interno ¡ ¢ f (A. 1)} de R3 . 0 1 0 0 1 1 1 1 7. . COMPLEMENTAR ORTOGONAL (a) Encontre bases ortogonais de W e W ⊥ . um subespaço de V . 0. 1. onde A. Determine uma base ortogonal de W ⊥ . (a) Determine β ⊥ . (b) Se W = [1. 171 (b) Use as bases ortogonais de W e W ⊥ do item (a) para determinar uma base ortogonal de R3 . 0). Sejam V = P2 (R) e hf. Sejam V = R3 com o produto interno usual e W = [(1. Sejam R3 com o produto interno usual e o subconjunto β = {(1. B ∈ V . B) = tr Bt A e W = {A ∈ V : At = A}. (1. Mostre que ¡ ¢ f (A. determine uma base ortonormal de W utilizando esse poduto interno. (0. 0. é um produto interno sobre V . 1. 6. (b) Se tivéssemos β = [(1. 1. 1). (2. Determine W ⊥ e um operador linear diagonalizável T : R3 → R3 tal que Im T = W e ker T = W ⊥ . 4. −1). Seja V = R2×2 . o que seria β ⊥ ? Considerando esta hipótese. 1)]. 1)]. (1. .4. . . 0. 0). 1). 1. 8. −1 (a) Verifique que a função definida acima é um produto interno. 1. Mostre que: ⊥ ⊥ (a) W1 ⊆ W2 se. Determine bases ortonormais de W e W ⊥ . Sejam V um espaço euclidiano e u. 13. ⊥⊥ (b) W1 = W1 . i e. considere o conjunto β u = {v ∈ V : kvk = kuk}. wi = 0. para algum w ∈ V . kn uk } uma base ortogonal de V . −3. Sejam R4 com o produto interno usual e W = [ui ]. Mostre que {k1 u1 . . W2 subespaços de V . R) o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas com o produto interno hf. onde u1 = (1. onde r = {v + tw : t ∈ R}. 1]}. 5). −1 Determine W ⊥ . .. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO 9. n. . W2 ⊆ W1 . ∀ x ∈ [−1. i = 1. . 12. Sejam V = C([−1. −2. uk } uma base ortogonal de V . ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ (c) (W1 + W2 )⊥ = W1 ∩ W2 e (W1 ∩ W2 )⊥ = W1 + W2 . 0. . . 11. gi = Z1 f (x)g(x)dx e W = {f ∈ V : f (x) = f (−x). 3. u2 = (4. . Sejam V um espaço euclidiano com produto interno h . para cada u ∈ V . Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n e W1 . 0. 14. . para todo ki ∈ R∗ . e somente se. 10. −1) e u3 = (0. . 1). Sejam V um espaço euclidiano e {u1 . v ∈ V vetores distintos. 1]. Mostre que {x ∈ V : (x − u) ⊥ (x − v)} é uma esfera. . (b) β u ∩ r = {v}. −8. . . Mostre que as seguintes condições são equivalentes: (a) hv.172 CAPÍTULO 5. . Mostre que kT (u) − T (v)k = ku − vk . ∀ u. Conclua que T é um isomorfismo. . β −x2 x1 0 Reciprocamente. . . ∀ u. .4. . . . então hT (1. ui = 0. vi = − hT (v). Sejam A e T como no Exercício anterior e suponhamos que hT (u). descreve um operador linear da forma T (u) = v × u. 19. (0. u2 . . xi ui um vetor fixo em R . 0). mostre que cada matriz A ∈ R3×3 tal que At = −A. Mostre que se A = [aij ] e R2 com o produto interno usual. . Seja T : R → R um operador linear definido por T (u) = v×u (produto vetorial). ∀ u ∈ R2 . 1)i = a21 e hT (0. Sejam β = {u1 .5. 18. u3 } uma base ortonormal de R3 e v= 3 3 3 3 X i=1 173 " 0 −1 1 0 # . 0)i = a12 . 17. Sejam A ∈ R2×2 e T : R2 → R2 um operador linear definido por T (u) = Aut . i = 1. ui = 0. 16. ∀ u ∈ R2 . Seja T : R2 → R2 um operador linear tal que hT (u). un } é uma base ortonormal de Rn . Seja T : Rn → Rn um operador linear tal que T (ei ) = ui . v ∈ Rn . v ∈ R2 . 1). ui . Mostre que A=λ para algum λ ∈ R. n. (1. Mostre que ⎡ ⎤ 0 −x3 x2 ⎢ ⎥ [T ]β = ⎣ x3 0 −x1 ⎦ . Mostre que hT (u). COMPLEMENTAR ORTOGONAL 15. onde {u1 . 2. Mostre que kvk2 = |hv. un i|2 . un ihw. . . wi = hv. un i. uk iuk . ∀ v ∈ V. un ihw. (d) Mostre que β é uma base de V se. un i. x. 4) ∈ R4 sobre W . (c) Mostre que β é uma base de V se. 1. gi = f (t)g(t)dt e W = [1. x ] um subespaço de V . −4)] um subespaço de R4 . un } uma base ortonormal de V . u1 i + · · · + hv. 23. β = {u1 . 2 3 −1 . . 21. Sejam V = C([−1. u1 i + · · · + hv. e somente se. 24. 1]. −3. . −1. 1. u1 ihw. para todo v ∈ V . uk } um conjunto ortonormal de V e P (v) = hv. . hv. ∀ v. 2. ∀ v. Determine a melhor aproximação de f (x) = ex em W . 22. 1). . Sejam V um espaço euclidiano de dimensão finita. x . . 2). e somente se. ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO 20. u1 iu1 + · · · + hv. P (v) = v. ∀ v ∈ V. e somente se. wi = hv.174 CAPÍTULO 5. . u1 ihw. ∀ v ∈ V. Sejam R4 com o produto interno usual e W = [(1. . (b) Mostre que β é uma base de V se. 2. . . w ∈ V. (Identidade de Bessel) Sejam V um espaço euclidiano e β = {u1 . Mostre que hv. w ∈ V. . R) o espaço vetorial de todas as funções contínuas com o produto interno Z1 hf. Determine a melhor aproximação de v = (1. (Identidade de Parseval) Sejam V um espaço euclidiano e β = {u1 . un } uma base ortonormal de V . kP (v)k = kvk . −3. ∀ v ∈ V. (1. (a) (Desigualdade de Bessel) Mostre que kP (v)k ≤ kvk . u1 i|2 + · · · + |hv. (1. onde ci = f (ui ) ∈ R. obtemos a transformação linear fv (u) = hu. vi. i = 1. Teorema 6. Então a função fv : V → R definida fv (u) = hu. n. Já vimos que V ∗ é um espaço vetorial sobre R.Capítulo 6 Operadores Especiais Com objetivo de classificar as cônicas e as superfícies quadráticas apresentaremos neste capítulo alguns operadores especiais. . . . f (u) = x1 c1 + · · · + xn cn . . tomando v = c1 u1 + · · · + cn un . Então existe um único v ∈ V tal que f (u) = hu. Seja V ∗ = L(V. Prova. vi. . . 6. vi. un } uma base ortonormal de V . ∀ u ∈ V.1 por Operador Adjunto Sejam V um espaço euclidiano e v ∈ V fixado. R) o conjunto de todas as transformações lineares de V em R. (Existência) Seja {u1 .1 (Teorema da Representação de Riesz) Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n e f ∈ V ∗ . . ∀ u ∈ V. Logo. . Assim. 175 . Então cada vetor u ∈ V pode ser escrito de modo único sob a forma u = x1 u1 + · · · + xn un . é uma transformação linear (prove isto!). ∀ u ∈ V. . . . f (w) hu. Então dim W ⊥ = 1. Portanto. 2. vi. xn ) ∈ V. w1 ∈ W e w2 ∈ W ⊥ . ∀ v ∈ V é um isomorfismo. . . . ∀ u = (x1 . v − wi = hu. .1. wi w. wi = 0. Então P é um operador linear tal que Im P = W ⊥ e P 2 = P . O Teorema 6. f (u) = 2 f (w). OPERADORES ESPECIAIS fv (ui ) = hui . wi. pois hu.176 Logo. f (u) = f (P (u) + u − P (u)) = f (P (u)). isto é. seja a função P : V → V definida por P (w1 + w2 ) = w2 . Agora. ∀ u ∈ V. ∀ u ∈ V. wi w. v = w. vi = hui .1 mostra que a função T : V → V ∗ definida por T (v) = fv . i = 1. então hu. n.2 1. Logo. (Unicidade) Sejam v. Assim. v − w = 0. . w ∈ V tais que hu. pois u − P (u) ∈ W . Portanto. vi = x1 c1 + · · · + xn cn . f = fv . cn ) ∈ V tal que f (u) = hu. Então hu. ∀ u ∈ V e v = kwk kwk2 Exemplo 6. suponhamos que f 6= 0. Seja W = ker f como no Teorema 6. ∀ u ∈ V. c1 u1 + · · · + cn un i = ci = f (ui ). . CAPÍTULO 6. ∀ u ∈ V. . se W ⊥ = [w]. Observações 6. vi − hu. P (u) = kwk2 Portanto. .3 Sejam V = Rn com o produto interno usual e f ∈ V ∗ . Então V = W ⊕ W ⊥ e f é completamente determinado pelos vetores de W ⊥ . Então existe um único v = (c1 . De fato. . ∀ u ∈ V. ¥ . vi = hu. z2 . Exemplo 6. Solução. Assim. f ∈ V ∗ . Teorema 6.1. x3 ). vi = hu. z3 ) ∈ V. Seja v ∈ V fixado. pelo Teorema 6. wi. ∀ f. T t (v)i. vi. para todo f ∈ V . gt i = a0 + a1 + a2 2 3 1 1 1 t = hx. g ∈ V.6. v = (y1 . ∀ u ∈ V. y2 . resolvendo o sistema. isto é. ∀ u ∈ V. y3 ) ∈ V fixados e f ∈ V ∗ definido por ⎡ ⎤ x1 y1 z1 ⎢ ⎥ f (w) = det ⎣ x2 y2 z2 ⎦ = det[ u v w ]. existe um um único w ∈ V (dependendo de v) tal que f (u) = hu. x2 .5 Seja V = P2 com o produto interno hf. determine gt ∈ V tal que hf. ∀ w ∈ V. gt i = a0 + a1 + a2 2 3 4 1 1 1 t2 = hx2 . obtemos a0 = 3.1. ∀ w = (z1 . gi = Z1 0 177 Então existe um único u × v ∈ V tal que f (t)g(t)dt. x3 y3 z3 f (w) = hu × v.6 Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n e T : V → V um operador linear. Prova. OPERADOR ADJUNTO Exemplo 6. 3 4 5 Assim. gt = 3 − 24x + 30x2 . é uma transformação linear. wi. . gt i = a0 + a1 + a2 . Se t = 1 ∈ R fixado. Então existe um único operador linear T t : V → V tal que hT (u). gt i = f (t).4 Sejam V = R3 com o produto interno usual. Seja gt = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ V. Portanto. Então 1 1 1 = h1. v ∈ V. Então a função f : V → R definida por f (u) = hT (u). a1 = −24 e a2 = 30. ∀ u. u = (x1 . ∀ u. un } uma base ortonormal de V . ∀ u. ∀ u ∈ V. Dizemos que T possui um operador adjunto sobre V se existir um operador linear T t : V → V tal que hT (u). Como T (uj ) ∈ V . T t é um operador linear. ui i. wi = hu. Para cada u ∈ V . mostra-se que T t (av) = aT t (v). j = 1. Prova. j = 1. ¥ Sejam V um espaço euclidiano e T : V → V um operador linear. Quando dim V = n o operador adjunto sempre existe.7 Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n. . T t (v)i + hu. . T : V → V um operador linear e A = [aij ] = [T ]β . Por definição de A. T t (v)i. n. Dados v. β Então aij = hT (uj ). u1 iu1 + · · · + hu. . β = {u1 . v ∈ V. . un iun . un iun . pois β base é uma de V . vi = hu. v + wi = hT (u). un iun . T t (v)i. u1 iu1 + · · · + hT (uj ). . ¥ Teorema 6. . T t (v + w)i = hT (u). w ∈ V e a ∈ R. . É claro que T t está bem definido e é único. j = 1. obtemos a1j u1 + · · · + anj un = T (uj ) = hT (uj ). obtemos u = hu. . de modo que hT (u). onde A = [T ] é a matriz de T em relação à qualquer base ortonormal de V . Portanto. Então [T t ] = At . Assim. obtemos hu. n. .8 Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n e T : V → V um operador linear. Logo. . T t (w)i = hu. ¥ Corolário 6. . v ∈ V. T t (v) + T t (w)i. aij = hT (uj ). . ui i. Portanto. vi = hu. . . vi + hT (u). temos que T (uj ) = hT (uj ). . . n. .178 CAPÍTULO 6. T t (v + w) = T t (v) + T t (w). De modo análogo. resta mostrar que T t é um operador linear. u1 iu1 + · · · + hT (uj ). OPERADORES ESPECIAIS Vamos definir T t : V → V por T t (v) = w. temos. T t (v)i = hu. y)] = 2 1 y 2x + y Portanto. 4. OPERADOR ADJUNTO 179 Exemplo 6. Como hu. [T t (x. Dizemos que W é um subespaço invariante sob T se T (W ) ⊆ W . (T S)t (v)i = hT S(u). pois W é domínio de TW e não de V . vi = hS(u). T : V → V operadores lineares e a ∈ R. Se T é invertível.1. que (T S)t = S t T t . Solução. 0 1 Logo. A representação matricial de T em relação à base canônica de R2 é " # 1 2 [T ] = . W um subespaço de V e T : V → V um operador linear. " #" # " # 1 0 x x = . 2x + y).6. Se W é um subespaço invariante sob T . Determine o operador adjunto de T . Então: 1. pela unicidade. Prova. 3.9 Sejam V = R2 com o produto interno usual e T : V → V um operador linear definido por T (x. Note que TW 6= T . então T induz um operador linear TW : W → W tal que TW (w) = T (w). T t (x. (T S)t = S t T t . ∀ u. . para todo w ∈ W . Assim. S. (T t )t = T . então T t é invertivel e (T t )−1 = (T −1 )t . ¥ Sejam V um espaço euclidiano. T (w) ∈ W. ∀ w ∈ W. y). y) = (x + 2y. Teorema 6.10 Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n. y) = (x. S t T t (v)i. v ∈ V. [T ]t = " 1 0 2 1 # é a representação matricial de T t em relação à base canônica de R2 . isto é. 2. Vamos provar apenas o item (3). (S + T )t = S t + T t e (aT )t = aT t . Prova. Então u1 ⊥ u2 . Logo. isto é. Logo. a equação T (u) = b tem solução se. isto é. OPERADORES ESPECIAIS Exemplo 6. ∀ u ∈ V. para todo autovalor λ de T . com λ1 6= λ2 . então W ⊥ é um subespaço invariante sob T t. v ∈ ker T t . Logo. para todo v ∈ ker T t . T (w) ∈ Im U. vi = hu. Vamos provar apenas os itens (1) e (5). V = Im T t ⊕ ker T e V = Im T ⊕ ker T t . T t (v)i. Assim. e somente se. pois dado w ∈ Vλ . Se w ∈ Im U . então existe v ∈ V tal que w = U(v). . pois w ∈ ker U ⇒ U(T (w)) = U T (w) = T (U(w)) = T (0) = 0. ker T t = (Im T )⊥ .11 Sejam V um espaço euclidiano e T : V → V um operador linear. Teorema 6. isto é. obtemos T (w) = λw ∈ Vλ . T (w) = T (U(v)) = T U (v) = U T (v) = U(T (v)). Os operadores T e T t têm os mesmos autovalores. T t (v) = 0. Logo.180 CAPÍTULO 6. ker T t T = ker T e Im T t T = Im T t . 4. Então o auto-espaço Vλ . (ker T )⊥ = ((Im T t )⊥ )⊥ = Im T t .12 Sejam V um espaço euclidiano. 5. T (w) ∈ ker U. respectivamente. Exemplo 6.13 Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n e T : V → V um operador linear. b ⊥ v. Dado v ∈ V . obtemos v ∈ (Im T )⊥ ⇔ 0 = hT (u). Em particular. Então ker U e Im U são invariantes sob T . 3. Então: 1. Se W é um subespaço invariante sob T . é invariante sob T . Sejam u1 e u2 autovetores de T e T t associados aos autovalores λ1 e λ2 . Como (T t )t = T temos que ker T = ker(T t )t = (Im T t )⊥ . 2. ker T t = (Im T )⊥ e Im T t = (ker T )⊥ . T : V → V um operador linear e U : V → V operador linear qualquer tal que T U = U T . T (u) = 0. Por outro lado. Sejam R3 com o produto interno usual e T : R3 → R3 um operador linear tal que ⎤ 1 2 3 ⎥ ⎢ [T ] = ⎣ 4 5 6 ⎦ . mostrando que (3. 5 −2 Determine os subespaços invariantes sob T 4. u ∈ ker T t T ⇒ 0 = hu. Sejam R2 com o produto interno usual e T : R2 → R2 um operador linear tal que " # 2 −4 [T ] = . 10. y. 3x + y + z. T (u)i = kT (u)k2 . Mostre que o sistema de equações linerares T (x.1. Como dim Im T t = dim(ker)⊥ = dim V − dim ker T temos que Im T t T = Im T t . = dim V − dim ker T t T = dim Im T t T 181 ¥ EXERCÍCIOS 1. V = ker T ⊕ (ker T )⊥ = ker T ⊕ Im T t e V = Im T ⊕ (Im T )⊥ = Im T ⊕ ker T t . / 3. y. (5) É claro ker T ⊆ ker T t T . 1) não tem solução. u ∈ ker T . Sejam R3 com o produto interno usual e T : R3 → R3 um operador linear definido por T (x. OPERADOR ADJUNTO Portanto. 0i = hu. e2 ] é invariante sob T . x) = (x + y + z. 2. isto é. x + 3y + 3z). z) = (3. . 10. 1) ∈ (ker T t )⊥ . Mostre todas as afirmações deixadas nesta seção. Finalmente. 0 0 7 ⎡ Verifique se o subespaço W = [e1 . Assim.6. é claro que Im T t T ⊆ Im T t . T t T (u)i = hT (u). Dizemos que T é ortogonal se T T t = T t T = I. então u também é um autovetor de T associado ao autovalor λ. u2 ] e W2 = [u3 . Prova. Então as seguintes condição são equivalentes: 1. Verifique se os subespaços W1 = [u1 . u4 } é uma base qualquer de R4 . v ∈ V.2 Operadores Ortogonais e Simétricos Sejam V um espaço euclidiano e T : V → V um operador linear. T é invertível com T −1 = T t . 4. ∀ A ∈ Rn×n . isto é. v ∈ V . T (v)i = hu. T é ortogonal. 6. viw. Mostre que se u ∈ W for um autovetor de TW associado ao autovalor λ.14 Sejam V um espaço euclidiano e T : V → V um operador linear. (1 ⇔ 2) Basta observar que hT (u). Sejam V um espaço euclidiano. hT (u). ∀ u ∈ Rn . kT (u)k = kuk. ∀ u. . u3 . 7. 3. T t T (v)i. T (v)i = hu. ⎦ onde β = {u1 . Sejam Rn com o produto interno usual e v. é um operador linear e descreva explicitamente T t . Sejam R4 com o produto interno usual e T : R4 → R4 um operador linear tal que ⎢ ⎢ [T ]β = ⎢ β ⎣ ⎡ 2 −1 0 0 1 0 2 0 0 3 0 −4 0 0 4 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥. 6. para todos u. Mostre que T : Rn → Rn definido por T (u) = hu. 8. 2. para todo u ∈ V . Teorema 6.182 CAPÍTULO 6. T : V → V um operador linear e W um subespaço de V invariante sob T . u2 . vi. T leva toda base ortonormal de V em alguma base ortonormal de V . OPERADORES ESPECIAIS 5. u4 ] são invariantes sob T . Mostre que para cada transformação linear T : Rn×n → R existe um único B ∈ Rn×n tal que T (A) = tr(AB). w ∈ Rn . T (u)i = hu. v ∈ V . . y1 . .2. un } é uma base ortonormal de V . . yn ∈ R tais que n n X X u= xi ui e v = yi ui . (4 ⇒ 2) Seja uma base ortonormal de V . Solução. Então toda base ortonormal de R2 é da forma {T (e1 ). . xn . T (v)i = = n n XX i=1 j=1 n n XX i=1 j=1 xi yj hT (ui ). . . vi. . Seja T : R2 → R2 um operador ortogonal. . . Então hT (ui ).15 Seja R2 com o produto interno usual. T (un )} é uma base ortonormal de V . hT (u). onde {e1 . Então T (β) = {T (u1 ). un } 183 Portanto. . i=1 i=1 Logo. OPERADORES ORTOGONAIS E SIMÉTRICOS (2 ⇒ 3) Basta notar que kT (u)k2 = hT (u). . T (e2 )}. . . . . . T (β) = {T (u1 ). . Seja T (e1 ) = (a. T (uj )i xi yj δ ij = n n XX i=1 j=1 xi yj hui . existem únicos x1 . Então |a|2 = a2 ≤ a2 + b2 = kT (e1 )k2 = 1 ⇒ −1 ≤ a ≤ 1. . . ¥ Exemplo 6. (3 ⇒ 4) Seja uma base ortonormal de V . β = {u1 . .6. . T (uj )i = ¢ 1¡ kT (ui ) + T (uj )k2 − kT (ui ) − T (uj )k2 4 ¢ 1¡ kui + uj k2 − kui − uj k2 = 4 = hui . e2 } é a base canônical de R2 . T (un )} β = {u1 . . Dados u. . uj i = hu. ui = kuk2 . Determine todos os operadores ortogonais sobre R2 . . b). uj i = δ ij . . sen θ cos θ sen θ − cos θ isto é. b = sen θ e T (e1 ) = (cos θ. fixado v ∈ V e considerando a função ∙ ¸ 1 1 . páginas 209 e 215) temos que existe u0 ∈ V com ku0 k = 1 tal que R(u0 ) ≤ R(v). Portanto. kwk hu. Espaços Métricos. Então T possui um autovetor não-nulo. Logo. T (u)i . Então R(u0 ) ≤ R( 1 w) = R(w). T (e2 )i = 0. ∀ v ∈ S. T (u0 )i + t2 hv. a representação matricial de T em relação a qualquer base ortonormal de R2 é " # " # cos θ − sen θ cos θ sen θ [T ] = ou [T ] = . − cos θ). T (u0 )i + 2thv. cos θ) ou T (e2 ) = (sen θ. T (v)i . qualquer operador ortogonal sobre R2 é uma rotação sobre a origem ou uma reflexão em torno de uma reta passando pela origem. Teorema 6. Agora. Dizemos que T é auto-adjunto ou simétrico se T t = T . OPERADORES ESPECIAIS Como a função cos : R → [−1. obtemos T (e2 ) = (− sen θ.16 Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n > 0 e T : V → V um operador simétrico. g(t) = R(u0 + tv) = 1 + 2thu0 . Sejam V um espaço euclidiano e T : V → V um operador linear. vi + t2 kvk2 . sen θ). hu. 1] é sobrejetora temos que existe θ ∈ R tal que a = cos θ. Sendo kT (e2 )k = 1 e hT (e1 ). u0 ∈ V é um mínimo absoluto de R. Seja w ∈ V − {0} um vetor qualquer. →R g: − kvk kvk definida por hu0 .184 CAPÍTULO 6. ui Portanto. Prova. Consideremos a função (quociente de Raleigh) R : V − {0} → R definida por R(u) = Como R é contínua e S = {u ∈ V : kuk = 1} é um conjunto compacto (confira Elon Lages Lima. Em particular. Portanto. un } é uma base ortonormal de V formada de autovetores de T . ¥ Corolário 6. T (u0 )iu0 . Prova. Já vimos que V = W ⊕ W ⊥ . n) uma matriz simétrica. 1 ≤ k < n. Suponhamos que n ≥ 2 e que o resultado seja válido para todo espaço euclidiano com dimensão k. b c Logo. . Logo.2. Solução.17 Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n > 0 e T : V → V um operador simétrico. T (u0 )iu0 ). T (u0 ) = hu0 . OPERADORES ORTOGONAIS E SIMÉTRICOS a qual é bem definida e tem um mínimo em t = 0. . W ⊥ é invariante sob T t = T . . Vamos usar indução em n.19 Sejam R2 com o produto interno usual e T : R2 → R2 um operador simétrico. É claro que W = [u1 ] é invariante sob T . Portanto. Assim. β = {u1 . u0 é um autovetor de T associado ao autovalor λ = hu0 . A representação matricial T com relação a qualquer base ortonormal de R2 é " # a b A = [T ] = . isto é. . T (u0 )i. . fT = det(xI2 − A) = x2 − (a + c)x + (ac − b2 ) . u2 . Então existe uma matriz ortogonal P tal que P−1 AP seja uma matriz diagonal.18 Seja A ∈ M(n. Seja 1 u. então pelo Teorema 6.6. u1 = kuk Então u1 é um autovetor de T com ku1 k = 1. que W ⊥ possui uma base ortonormal {u2 . . . Então V possui uma base ortonormal formada de autovetores de T . un } de autovetores de S (T prove isto!). Se n = 1. 0 = g 0 (0) = 2h(T (u0 ) − hu0 . Como S = TW ⊥ é simétrico e W ⊥ é um espaço euclidiano com dim W ⊥ = n − 1 < n temos.13. 185 ¥ Teorema 6. pela hipótese de indução. Determine uma base ortonormal de R2 formada de autovetores de T . pelo Teorema 6. T é diagonalizável e o polinômio característico de T só tem raízes reais. . ¥ Exemplo 6. vi.16 T possui um autovetor não-nulo u. os autovetores u1 e u2 associados aos autovalores λ1 e λ2 são ortogonais. √ . então T possui dois autovalores distintos λ1 e λ2 . 1. √ ) e ( √ . 0)] e Vλ2 = [(1. Vλ1 = [(−2. Solução. respectivamente. 2)]. OPERADORES ESPECIAIS ∆ = (a + c)2 − 4(ac − b2 ) = (a − c)2 + 4b2 ≥ 0 temos duas possibilidades: Se ∆ = 0. então a = c e b = 0. 1). 1 1 1 1 1 2 1 1 β = {(− √ . √ . Logo. 0). Logo. obtemos bases ortonormais ½ ¾ ½ ¾ 1 1 1 1 1 1 1 2 (− √ . Assim. ¾ ½ u2 u1 . 0 λ2 Exemplo 6. √ )} 2 2 3 3 3 6 6 6 é uma base ortonormal de R3 formada de autovetores de T e ⎤ ⎡ −2 0 0 ⎥ ⎢ P−1 AP = ⎣ 0 −2 0 ⎦ . O polinômio característico de T é fT = x3 − 12x − 16 e λ1 = −2 e λ2 = 4 são os autovalores de T . √ . 0. (− √ . 0). 2 2 2 P−1 AP seja uma matriz diagonal. pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. √ . √ ) 2 2 3 3 3 6 6 6 de Vλ1 e Vλ2 . Logo. Logo. pelo Teorema 6. β= ku1 k ku2 k é uma base ortonormal de R2 formada de autovetores de T e # " λ1 0 β [T ]β = . ( √ . 0 0 4 Determine uma matriz ortogonal P tal que . 1. Portanto. √ ).20 Sejam R3 com o produto interno usual e T : R3 → R3 um operador simétrico tal que ⎤ ⎡ −1 1 2 ⎥ ⎢ A = [T ] = ⎣ 1 −1 2 ⎦ . − √ . Se ∆ > 0. − √ . T = aI e qualquer base ortonormal de R2 é formada de autovetores de T . (− √ . (−1.186 Como CAPÍTULO 6.13. então {u. u2 .2. (b) Determine a matriz A. OPERADORES ORTOGONAIS E SIMÉTRICOS onde ⎡ ⎤ 187 ⎢ P=⎣ 1 1 − √2 − √3 1 √ 2 0 1 − √3 1 √ 3 1 √ 6 1 √ 6 2 √ 6 ⎥ ⎦.6. . hT (u). 4. então T é diagonalizável. un } é uma base de V. T : V → V um operador simétrico e u ∈ V um autovetor de T . onde U é um operador ortogonal. . Mostre que o subespaço [u]⊥ = {v ∈ V : hv. . un } é uma base de [u]⊥ . Sejam V um espaço euclidiano. u 6= 0. λ2 = 9 e v1 = (1. EXERCÍCIOS 1. (b) T preserva ângulo. . T (v)i hu. . ui = 0} é invariante sob T . Mostre que se {u2 . 3) o autovetor de A associado a λ1 . Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n e u ∈ V . vi = . Mostre todas as afirmações deixadas nesta seção. . kT (u)k kT (v)k kuk kvk . Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n e T : V → V um operador linear invertível. Mostre que as seguintes condições são equivalentes: (a) T = λU. ∀ u. isto é. (a) Determine o autovetor de A associado a λ2 . T : V → V um operador simétrico e u ∈ V um autovetor de T . Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n > 1. 5. Mostre que se T[u]⊥ é diagonalizável. 2. v ∈ V − {0}. Sejam R2 com o produto interno usual e A ∈ R2×2 uma matriz simétrica com autovalores λ1 = 1. . 3. 6. . (c) Determine uma matriz B tal que B2 = A. então det T é real. que todo operador ortogonal sobre Rn é um movimento rígido em Rn . 8. então T é um operador linear. então det T = ±1. Além disso. vi = 0. Então kT (u)k = kT (u) − T (0)k = ku − 0k = kuk . as linhas de A também o são. OPERADORES ESPECIAIS (c) T preserva ortogonalidade. Então kT (u) − T (v)k = ku − vk . Suponhamos que T (0) = 0 e T (ei ) = ei . (a) Mostre que se T é auto-adjunto. .21 Se t ∈ Rn . Note. Denotando T (u) por (y1 . .1) Por outro lado. ∀ u. T (v)i = hu. (d) T preserva comprimento. Lema 6.22 Sejam Rn com o produto interno usual e T : Rn −→ Rn um movimento rígido. n. de modo que Tt não é um operador linear se t 6= 0. Exemplo 6. isto é. 6.188 CAPÍTULO 6. e somente se. É claro que Tt (0) = t. . Uma isometria ou um movimento rígido em Rn é uma função T : Rn −→ Rn que preserva produto interno. então hT (u). é um movimento rígido. obtemos 2 2 y1 + · · · + yn = x2 + · · · + x2 . Sejam Rn com o produto interno usual e A ∈ Rn×n Mostre que as colunas de A são ortonormais se. ∀ u ∈ Rn . isto é. T (v)i = 0. yn ). v ∈ Rn . hT (u). Sejam V um espaço euclidiano com dim V = n e T : V → V um operador linear. então kT (u)k = kT (v)k. i = 1. . . então a função Tt : Rn −→ Rn definida por Tt (u) = u + t. se hu. . 7. se kuk = kvk. (b) Mostre que se T é ortogonal. se T (0) = 0. isto é.3 Quádricas Seja Rn com o produto interno usual. ∀ u ∈ Rn . chamado a translação (à direita) por t. v ∈ Rn . 1 n (6. também. Prova. . vi. . . kT (u) − e1 k = kT (u) − T (e1 )k = ku − e1 k . ∀ u. S é um operador linear em Rn . . Então é fácil verificar que S é um movimento rígido em Rn e S(0) = 0. ¥ . Sejam f um movimento rígido em Rn . . Como S −1 ◦ T (0) = 0 e S −1 ◦ T (ei ) = ei .1) de (6. n. . . QUÁDRICAS Logo. T = T1 .6. . subtraindo a equação (6. É claro que S é invertível e S −1 ◦ T é um movimento rígido em Rn . n temos que S −1 ◦ T = I e T = S. S = S1 . Logo. n. que T (ei ) = ui . T = I é a aplicação identidade.2) Assim. . isto é. i = 1. Portanto. onde {u1 .3. . obtemos 2y1 − 1 = 2x1 − 1 ⇒ y1 = x1 . i = 1. . pelo Lema 6. ¥ Teorema 6.22. . onde T é uma translação em Rn e S é um operador ortogonal em Rn . 2 n 189 (6. . Logo. . 2 2 (y1 − 1)2 + y2 + · · · + yn = (x1 − 1)2 + x2 + · · · + x2 . f = T ◦ S. para todo u ∈ Rn . . . para todo i = 2.23 Todo movimento rígido em Rn pode se escrito de modo único sob a forma T ◦ S. Então T ◦ S = T1 ◦ S1 . n e que S : Rn −→ Rn seja um operador linear tal que S(ei ) = ui . Agora. onde T (u) = u + t. Portanto. t = f (0) e S = f − t. . agora. Suponhamos. . isto é. obtemos yi = xi . −1 −1 S ◦ S1 = T −1 ◦ (T ◦ S) ◦ S1 −1 = T −1 ◦ (T1 ◦ S1 ) ◦ S1 = T −1 ◦ T1 . seja f = T1 ◦ S1 outra decomposição. i = 1. T −1 ◦ T1 (0) = 0 e t1 − t = 0. De modo análogo. . . Assim.2) e desenvolvendo. un } é uma base ortonormal de Rn . . Prova. . T (u)= u. . Portanto. OPERADORES ESPECIAIS Seja V um espaço vetorial sobre R com dim V = n. Então existem um vetor u0 ∈ Rn e uma base ortonormal β = {u1 . pois a quádrica Sn permanece inalterada quando substituímos A pela matriz Teorema 6. Uma função q : V → R é uma forma quadrática sobre V se. Uma quádrica em Rn é um conjunto da forma ( ) n n n XX X Sn = (x1 . x2 ) ∈ R2 : x1 x2 − 1 = 0 © ª = (x1 . S2 é chamada de cônica e S3 é chamada de superfície quadrática. . . bk . xn ) ∈ Rn : aij xi xj + bk xk + c = 0 . existir uma matriz A ∈ Rn×n tal que q(v) = Xt AX. un } de V . x2 ) ∈ R2 : 4x2 + 9x2 − 36 = 0 1 2 © ª = (x1 . . u2 . . c ∈ R e pelo menos um aij 6= 0. Em particular.190 CAPÍTULO 6. Então os conjuntos E2 = H2 P2 são quádricas em R2 . un } de Rn tal que Sn = ( u0 + n X i=1 zi ui ∈ Rn : k X i=1 λi zi2 + j=k+1 n X dj zj + e = 0 . Seja Rn com o produto interno usual. . onde X = [v]β . . Exemplo 6. 1 B = (A + At ). x2 ) ∈ R2 : x2 − x2 − 1 = 0 1 Não há perda de generalidade em supor que A seja uma matriz simétrica. . . bn ) ∈ Rn = R1×n .24 Seja R2 com o produto interno usual. . i=1 j=1 k=1 onde aij . . . . . Então © ª Sn = x ∈ Rn : xt Ax + bt x + c = 0 . © ª (x1 . 2 que é uma matriz simétrica.25 Sejam Rn com o produto interno usual e Sn uma quádrica em Rn . para qualquer base β = {u1 . Sejam A = [aij ] ∈ Rn×n e b = (b1 . . . . ) . isto é. . . . Pen } é uma nova base de Rn . . . . obtemos k X i=1 n X i=1 di yi + c = 0. ⎥ P−1 AP = D = ⎣ . .6. .18. QUÁDRICAS Prova. n X i=1 2 λi yi ⎡ dn ⎤ d1 . ⎦ e [b]β = ⎣ . . (6. . . y = P−1 x e d = P−1 b. ¥ . 2λi i=1 di . e zj = yj . .3) Como A é uma matriz simétrica temos. e λj = 0. . 2λi 2λi i=1 j=k+1 Agora. k. podemos supor que λi 6= 0. . 2λi λi zi2 + j=k+1 n X dj zj + e = 0. . onde zi = yi + e fazendo e=c− obtemos k X i=1 k X di ( )2 . k. Suponhamos que a equação da quádrica Sn é dada por n n XX i=1 j=1 191 aij xi xj + n X k=1 bk xk + c = xt Ax + bt x + c = 0. . Assim. . .3) torna-se yt Dy + dt y + c = 0. pelo Corolário 6. yn onde β = {Pe1 . n. i = 1. n. j = k + 1. aplicando a translação T : Rn → Rn definida por T (y) = z. Tomando. ⎦ . ⎥ ⎢ [x]β = ⎣ . . ⎦ . + Reenumerando. se necessário. . completanto os quadrados. obtemos ⎡ ⎤ y1 ⎢ . λi (yi + n k X X di di 2 ) + di yi + c − ( )2 = 0.3. . . . Então a equação (6. . que existe uma matriz ortogonal P tal que ⎡ ⎤ λ1 · · · 0 ⎢ . 0 · · · λn é uma matriz diagonal. ⎥. j = k + 1. . . . i = 1. a quádrica é uma hipérbole com eixo imaginário o eixo y1 . Sejam 1 1 u1 = √ (−1. 1) e u2 = √ (1.28 Seja R3 com o produto interno usual.27 Seja R2 com o produto interno usual. 4 1 2 Logo. 2 2 Assim. x2 ) ∈ R2 : x1 x2 − 1 = 0 .26 Como o operador ortogonal e a translação são movimentos rígidos temos que a forma geométrica da quádrica não é alterada. x2 ) = y1 u1 + y2 u2 . Solução. Classifique a quádrica cuja equação é 6x2 + 7x2 + 5x2 − 4x1 x2 + 4x1 x3 − 12x1 + 6x2 − 18x3 − 18 = 0. Se (x1 . 1 2 3 . x1 x2 1 0 x2 2 O polinômio característico da matriz A= é " 0 1 2 1 2 0 # 1 fA = x2 − . Note que a quádrica na forma matricial é # #" " h i 0 1 x1 2 − 1 = 0. OPERADORES ESPECIAIS Observação 6. 1) 2 2 os autovetores (normalizados) associados aos autovalores λ1 e λ2 . " # " #" # ( x1 x2 1 =√ 2 −1 1 1 1 " y1 y2 ⇔ x1 = x2 = # 1 √ (−y1 + y2 ) 2 1 √ (y1 + y2 ).192 CAPÍTULO 6. isto é. Exemplo 6. Classifique a quádrica © ª S2 = (x1 . y1 y2 i −1 0 2 0 1 2 #" y1 y2 − 1 = 0. 2 2 y2 y1 − = 1. Exemplo 6. 2 a equação da quádrica torna-se h ou seja. λ1 = − 1 e λ2 = 2 são os autovalores de A. ⎧ ⎤⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎪ x1 = 1 (2y1 + y2 + 2y3 ) y1 2 1 2 x1 ⎨ 3 ⎥⎢ ⎥ 1⎢ ⎥ ⎢ x2 = 1 (y1 + 2y2 − 2y3 ) ⎣ x2 ⎦ = ⎣ 1 2 −2 ⎦ ⎣ y2 ⎦ ⇔ 3 ⎪ 3 ⎩ −2 2 1 x3 = 1 (−2y1 + 2y2 + y3 ). 0 0 9 y3 y3 ou seja. 1. Se (x1 . 2. u2 = (1. 2 z1 z2 z2 + 2 + 3 = 1.6. obtemos (y1 + 1)2 (y2 − 1)2 (y3 − 1)2 + + = 1. QUÁDRICAS Solução. obtemos . x2 . x3 y3 3 ⎡ 193 é a equação da quádrica torna-se ⎤⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ y1 y1 3 0 0 h i i h ⎥⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ y1 y2 y3 ⎣ 0 6 0 ⎦ ⎣ y2 ⎦ + 6 −12 −18 ⎣ y2 ⎦ − 18 = 0. Sejam 1 1 1 u1 = (2. 12 6 2 √ √ √ Assim. aplicando a translação T : R3 → R3 definida por T (y) = z. 12 6 2 Finalmente. λ2 = 6 e λ3 = 9 são os autovalores de A. onde z1 = y1 + 1. Logo. λ2 e λ3 . −2). λ1 = 3. 2 0 5 x3 x3 O polinômio característico da matriz ⎤ 6 −2 2 ⎥ ⎢ A = ⎣ −2 7 0 ⎦ 2 0 5 ⎡ fA = x3 − 18x2 + 99x − 162.3. 1) 3 3 3 os autovetores (normalizados) associados aos autovalores λ1 . 2 2 2 3y1 + 6y2 + 9y3 + 6y1 − 12y2 − 18y3 − 18 = 0. x3 ) = y1 u1 + y2 u2 + y3 u3 . z2 = y2 − 1 e z3 = y3 − 1. completando os quadrados. −2. Agora. isto é. 2) e u3 = (2. 6 e 2. Note que a quádrica na forma matricial é ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ x1 6 −2 2 h h i x1 i ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x1 x2 x3 ⎣ −2 7 0 ⎦ ⎣ x2 ⎦ + −12 6 −18 ⎣ x2 ⎦ − 18 = 0. a quádrica é um elipsóide com semi-eixos 2 3. 0).29 Seja R3 com o produto interno usual. ⎤⎡ é 0 1 √ 2 1 √ 2 ou seja. x3 ) = y1 u1 + y2 u2 + y3 u3 . 2 . 0 0 1 y3 y3 2 2 2 2 −y1 − y2 + y3 − √ y1 − 100 = 0. z2 = y2 e z3 = y3 . Sejam 1 1 u1 = (1. 0 1 0 x3 x3 O polinômio característico da matriz ⎤ −1 0 0 ⎥ ⎢ A=⎣ 0 0 1 ⎦ 0 1 0 ⎡ fA = x3 + x2 − x − 1. 1 Solução. ⎤ ⎡ 1 0 x1 ⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎣ x2 ⎦ = ⎣ 0 − √2 1 √ x3 0 2 ⎡ ⎧ ⎤ ⎪ y1 ⎨ x1 = y1 ⎥⎢ ⎥ 1 x2 = √2 (−y2 + y3 ) ⎦ ⎣ y2 ⎦ ⇔ ⎪ ⎩ 1 y3 x3 = √2 (y2 + y3 ). 0. isto é. OPERADORES ESPECIAIS Exemplo 6. 2 Agora.194 CAPÍTULO 6. obtemos − (y1 + 1 √ )2 2 199 2 − 2 y2 199 2 + 2 y3 199 2 = 1. Logo. aplicando a translação T : R3 → R3 definida por T (y) = z. λ1 = −1 e λ2 = 1 são os autovalores de A. −1. Note que a quádrica na forma matricial é ⎤⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ x1 x1 −1 0 0 h i h i ⎥⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ x1 x2 x3 ⎣ 0 0 1 ⎦ ⎣ x2 ⎦ + 0 −1 1 ⎣ x2 ⎦ − 100 = 0. completando os quadrados. onde 1 z1 = y1 + √ . Classifique a quádrica cuja equação é −x2 + x2 x3 − x2 + x3 − 100 = 0. Se (x1 . 1) e u3 = √ (0. u2 = √ (0. 1) 2 2 os autovetores (normalizados) associados aos autovalores λ1 e λ2 . x2 . Finalmente. 1. a equação da quádrica torna-se ⎤⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ y1 y1 −1 0 0 h h i i ⎥⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 2 y1 y2 y3 ⎣ 0 −1 0 ⎦ ⎣ y2 ⎦ + − √2 0 0 ⎣ y2 ⎦ − 100 = 0. (b) x2 + y 2 + 4z 2 + 8xy + 2xz + 2yz = 3. v ∈ R2 e a ∈ R com a > 0. Seja R3 com o produto interno usual: (a) Classifique a quádrica 5x2 + 6y 2 + 7z 2 − 4xy + 4yz = 0. Classifique as seguintes quádricas: (a) 12x2 + 12y 2 + 12z 2 + 16xy + 12yz = 2.3. 2 (c) y 2 − z 2 + 4xy − 6x + 4y + 2z + 8 = 0. (e) x2 + 3y 2 − 3z 2 + 4xy − 2xz + 2y − 4z + 2 = 0. z) ∈ R3 − {(0. 3. Seja R3 com o produto interno usual. (d) −x2 − y 2 − z 2 + 2xy + 2xz + 2yz = 2. Determine todos os movimentos rígidos em R2 . √ (c) 2x2 + 12xy = 1. 0)}. . y. Classifique as seguintes quádricas: (a) 12x2 + 24xy + 9y 2 = 5. Sejam R2 com o produto interno usual. 2 2 2 195 Assim. QUÁDRICAS obtemos 2 2 2 z1 z2 z3 − 199 − 199 + 199 = 1. EXERCÍCIOS 1. 4. u. (b) 5x2 − 8xy + 5y 2 = 9. (b) Mostre que 5x2 + 6y 2 + 7z 2 > 4xy − 4yz. Seja R2 com o produto interno usual. 5.6. 2. a quádrica é um hiperbolóide de duas folhas. (d) 23x2 + 2y 2 − 72xy + 30x + 40y = 0. (e) 3x2 + 3y 2 − 2xy + 6x − 2y − 3 = 0. 0. ∀ (x. Seja R2 com o produto interno usual. Mostre que {x ∈ R2 : kx − uk + kx − vk = 2a} é uma elipse com semi-eixo maior a e semi-eixo menor q 1 4a2 − kv − uk2 . e (e) A função B(v) = q(v + w) − q(v) − q(w).196 CAPÍTULO 6. onde X = [v]β . (c) Existe uma forma bilinear B : V × V → R tal que q(v) = B(v. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) q é uma forma quadrática. (b) Existem uma base β = {u1 . . para todo v ∈ V e a ∈ R. un } de V e uma matriz A ∈ Rn×n tal que q(v) = Xt AX. (d) Existe uma forma bilinear simétrica B : V × V → R tal que q(v) = B(v. . . é uma forma bilinear sobre V e q(av) = a2 q(v). . OPERADORES ESPECIAIS 6. . para todo v ∈V. para todo v ∈ V . Sejam V um espaço vetorial sobre R com dim V = n e q : V → R uma função. v). v). fk são relativamente primos se o mdc(f1 . gk ∈ R[x] tais que g1 f1 + · · · + gk fk = 1. 1. V possui uma base formada de autovetores de T . Os subespaços Wi = ker pi (T ) de V são invariantes sob T e ker f (T ) = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk . .1 Sejam T : V → V um operador linear e f ∈ R[x] com decomposição f = p1 · · · pk .Capítulo 7 Forma Canônica de Jordan Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R e T : V → V um operador linear. . Dizemos que f1 . então determinar uma base de V em relação à qual a matriz de T tenha uma forma tão próximo quanto possível da matriz diagonal. . . . e somente se. . h ∈ R[x] com 1 ≤ ∂(g). ∂(h) < ∂(f ) tais que f = gh. fk ∈ R[x]. (Identidade de Bezout) Teorema 7. . Já vimos que a matriz A = [T ]α em relação a alguma base ordenada α de V α era semelhante a uma matriz diagonal se. onde os p1 . . . . . . 197 . dizemos que ele é irredutível sobre R. . pk ∈ R[x] são relativamente primos. . Nosso objetivo neste capítulo é o seguinte: se T não pode ser diagonalizável. . 7. fk ) = 1 ou. . . existirem g1 . Caso contrário. Sejam f1 . . . .1 Teorema da Decomposição Primária Um polinômio f ∈ R[x] é chamado redutível sobre R se existirem g. equivalentemente. A projeção Ei associada a decomposição em (1) é um polinômio em T . então Ei S = SEi . b Assim. i = 1. . 3. então W = (W ∩ W1 ) ⊕ · · · ⊕ (W ∩ Wk ). . se S : V → V é um operador linear tal que T S = ST . . então ui = gi (T )fi (T )(u) ∈ Wi . gk ∈ R[x] tais que b b g1 f1 + · · · + gk fk = 1. . Como fi e pi são relativamente primos temos que existem gi . pois Logo. como f1 . . hi ∈ R[x] tais que b gi fi + hi pi = 1. . . . ³ ´ b b ui = I(ui ) = gi (T )fi (T ) + hi (T )pi (T ) (ui ) = gi (T )fi (T )(ui ) ! à ´ X³ X bi (T ) − bi (T )(uj ) = 0. k X i=1 b pi (T )(ui ) = pi (T )gi (T )fi (T )(u) = gi (T )f (T )(u) = 0. b b Finalmente. Então b fi (T )(uj ) = 0 b b se i 6= j. . Além disso. se u ∈ ker f (T ). . u = I(u) = b gi (T )fi (T )(u) ∈ k X i=1 Wi . Se W ⊆ ker f (T ) é um subespaço invariante sob T . fk são relativamente primos temos que existem g1 . . onde ui ∈ Wi . (1) Seja Y f b fi = = pj . ker f (T ) ⊆ W1 ⊕ · · · ⊕ Wk . pi j6=i b b bb Então é fácil verificar que os f1 . . fk são relativamente primos e que f divide fi fj se i 6= j.198 CAPÍTULO 7. = gi (T )f gi (T )f uj = − j6=i j6=i Logo. . Como a outra inclusão é trivial temos que ker f (T ) = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk . pois fi (T ) contém o fator pj (T ). FORMA CANÔNICA DE JORDAN 2. . . Prova. k. isto é. Suponhamos que u1 + u2 + · · · + uk = 0. Vamos provar primeiro que a soma é direta. . . pri divide mi . pois pri (T )(u) = 0.1. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO PRIMÁRIA b (2) A prova de (1) mostra que Ei = gi (T )fi (T ) e Wi = Im Ei . W é invariante sob o polinômio gi (T )fi (T ). . . . Portanto. .7. 1 k o polinômio minimal de T . (2) Seja mi o polinômio minimal de Ti . Se Ai é a representação matricial de Ti em relação a alguma base de Wi . Além disso. .2 (Teorema da Decomposição Primária) Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n e mT = pr1 · · · prk . mi = pri . ¥ Teorema 7. . então T é representado pela matriz diagonal em bloco ⎡ ⎤ A1 0 · · · 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 A2 · · · 0 ⎥ ⎢ . pelo item (1) do Teorema 7. 0 0 · · · Ak Prova. para i i todo u ∈ Wi . i = 1. . k. onde os p1 . temos que u = u1 + u2 + · · · + uk . 199 b pois W sendo invariante sob T . como mi (Ti ) = 0 temos que ³ ´ b b mi fi (T ) = mi (T )fi (T ) = 0. Se Ti = T |Wi : Wi → Wi é a restrição de T a Wi . i i i pois ambos são mônicos. pk ∈ R[x] são distintos. pri fi divide mi fi . 1. 2. (1) Como mT (T ) = 0 temos que ker mT (T ) = V . ⎥ . b ui = Ei (u) = gi (T )fi (T )(u) ∈ W. ¥ . Logo. Então. . então o polinômio minimal de Ti é igual a pri . 3.. b b b Assim. m divide mi fi . i T = T1 ⊕ · · · ⊕ Tk . . . (3) Seja u ∈ W . onde ui ∈ Wi . Assim. . Por outro lado. A=⎢ . . . ⎥ = A1 ⊕ · · · ⊕ Ak . Os subespaços Wi = ker pri (T ) de V são invariantes sob T e i V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk . Então mi divide pri . . ⎦ ⎣ . . temos que Wi é invariante sob T e V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk . Portanto. por (1). Logo. irredutíveis e mônicos. W = (W ∩ W1 ) ⊕ · · · ⊕ (W ∩ Wk ).1. isto é. . . β β Prova. Fixando μj ∈ R. . escolhendo u ∈ Vμj ⊆ V e fazendo u= onde vi ∈ Vλi . T : V → V operadores lineares diagonalizáveis tais que ST = T S. existe uma base β de V tal que [S]β e [T ]β são diagonais. 1)]. . . que V = Vλ1 ⊕ · · · ⊕ Vλk e V = Vμ1 ⊕ · · · ⊕ Vμm . Logo. FORMA CANÔNICA DE JORDAN Lema 7. Solução.4 Sejam S.17. ou seja. 1)]. Então S e T são simultaneamente diagonalizáveis. Portanto. 1)] e V−1 = [(2. ¥ Exemplo 7. k.200 CAPÍTULO 7. obtemos k X i=1 k X S(vi ) = S(u) = μj u = (μj vi ). onde V1 = [(1. Determine uma matriz invertível P tal que P−1 AP e P−1 BP sejam ambas diagonalizáveis. 0)] ⊕ [(2. . V3 = [(1. Como S e T são diagonalizáveis temos. T : R2 → R2 operadores lineares cujas representações matriciais em relação à base canônica de R2 são " # # " 1 2 3 −8 A = [S] = e B = [T ] = . obtemos uma base de V formada de autovetores de ambos S e T . . i=1 k X i=1 vi . É fácil verificar que S e T são diagonalizáveis e ST = T S. Portanto. 0 2 0 −1 repectivamente. V2 = [(2. pelo Teorema 4. escolhendo uma base para cada Vμj ∩ Vλi . . . Como Vλi é invariante sob S e a soma é direta temos que S(vi ) = μj vi . j=1 i=1 isto é. R2 = (V1 ∩ V3 ) ⊕ (V2 ∩ V−1 ) = [(1. 0)]. i = 1. ´ ³ ´ ³ Vμj = Vμj ∩ Vλ1 ⊕ · · · ⊕ Vμj ∩ Vλk m k ´ XX³ V = Vμj ∩ Vλi . 0)]. k. i = 1.3 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e S. Para provar (2). . # " 1 0 0 2 e P−1 BP = −1 0 0 3 .6 Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n e mT = (x − λ1 )r1 · · · (x − λk )rk . . Dizemos que T é um operador nilpotente se existir r ∈ N tal que T r = 0.1. suponhamos que S m = 0 e T n = 0. então S + T também o é. onde os λ1 . . λk ∈ R são distintos aos pares. ¥ Além disso. Portanto. DN = ND. Teorema 7.3. O menor k ∈ N tal que T k = 0 é chamado de índice de nilpotência de T . . Então: 1. então S + T também o é. Se S e T são diagonalizáveis. 1. os operadores D e N são determinados de modo único por (a) e (b) e são polinômios em T . pois k − j = m + (n − 1 − j) ≥ m.7. Existe um operador diagonalizável D e um operador nilpotente N tais que a. T : V → V operadores lineares tais que ST = T S. (1) Segue do Lema 7. S + T é nilpotente. o polinômio minimal de T . escolhendo k = m + n − 1. obtemos pelo binômio de Newton (S + T ) k k X µk¶ = S k−j T j j j=0 n k X µk¶ X µk¶ k−j j = S T + S k−j T j j j j=0 j=n+1 = 0 + 0 = 0. 2. b. fazendo P= obtemos P−1 AP = " # # " # 201 1 2 0 1 e P−1 = 1 −2 0 1 " . Se S e T são nilpotentes. Seja T : V → V um operador linear. Prova. T = D + N. . Então.5 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e S. Lema 7. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO PRIMÁRIA Assim. . k. (1) Pelo item (2) do Teorema 7. k. Então N é um operador nilpotente. Então T D0 = D0 T e T N 0 = N 0 T. DN 0 = N 0 D e NN 0 = N 0 N. N 0 nilpotente e D0 N 0 = N 0 D0 . Portanto. Então existe s ∈ N com s > ri tal que (T − λi I)s (u) = 0. Escrevendo m = q(x − λi )ri . . ∀ f ∈ R[x]. Pelo Lema 7. Prova. Fazendo D = λ1 E1 + · · · + λk Ek temos. Finalmente. V λi = ker(T − λi I)ri . pelo Teorema 4. Em particular. r i=1 Logo. ou seja. . . Como D − D0 = N 0 − N temos que D − D0 é nilpotente. (x − λi )s−ri ) = 1. que existe u ∈ V λi tal que v = (T − λi I)ri (u) 6= 0. mas sendo D − D0 diagonalizável devemos ter k = 1. FORMA CANÔNICA DE JORDAN 2. temos que Im Ei = ker(T − λi I)ri . temos que mdc(q. Suponhamos. o polinômio minimal de D − D0 é da forma m = xk . suponhamos que T = D0 + N 0 . . m = x. ND0 = D0 N. D − D0 = 0. temos que N r = 0. Seja N = T − D. T = D + N e DN = ND. ∀ r ∈ N. que D é um operador diagonalizável. . . . . f (T )D0 = D0 f (T ) e f (T )N 0 = N 0 f (T ). rr }. i = 1. onde k ≤ dim V . Logo. com D0 diagonalizável. . (2) É claro que ker(T − λi I)ri ⊆ V λi . por absurdo. temos que D − D0 é diagonalizável e N 0 − N é nilpotente.1. Portanto.31. D = D0 e N = N 0 . . pois k X (T − λi I)Ei N =T −D = i=1 implica que k X N = (T − λi I)r Ei . Assim. .202 CAPÍTULO 7. . isto é. Para cada i = 1. DD0 = D0 D. tomando r ≥ max{r1 .5. 203 ¥ Mostre que existe um operador diagonalizável D sobre R3 e um operador nilpotente N sobre R3 tais que T = D + N e DN = ND. Assim. Logo. Sejam mT mT b b = x2 − 4x + 4 e f2 = 2 = x − 1.7 Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R3 é ⎤ ⎡ 3 1 −1 ⎥ ⎢ A = [T ] = ⎣ 2 2 −1 ⎦ . V λi = ker(T − λi I)ri . . Sejam b b E1 = g1 (T )f1 (T ) = T 2 − 4T + 4I e E2 = g2 (T )f2 (T ) = −T 2 + 4T − 3I. h ∈ R[x] tais que gq + h(x − λi )s−ri = 1. . k. p2 = x − 2 ∈ R[x] e W1 = ker p1 (T ). existem g1 = 1. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO PRIMÁRIA Assim.7. Solução. v = I(v) = [g(T )q(T ) + h(T )(T − λi I)s−ri ](v) = g(T )q(T )(v) + h(T )(T − λi I)s−ri (v) = g(T )m(T )(u) + h(T )(T − λi I)s (u) = 0 + 0 = 0. Sejam p1 = x − 1. Portanto. g2 = −x + 3 ∈ R[x] tais que b b g1 f1 + g2 f2 = 1. o que é uma contradição.1. D = E1 + 2E2 = −T 2 + 4T − 2I e N = T − D = T 2 − 3T + 2I Então W1 = Im E1 e W2 = Im E2 . existem g. É fácil verificar que o polinômio característico e minimal de T é fT = mT = x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x − 1)(x − 2)2 . . existem . irredutíveis e mônicos. i = 1. Determine as matrizes de D e N em relação à base canônica de R3 . . Portanto. Então é fácil verificar que p1 e p2 são distintos. 2 2 0 b b Então f1 e f2 são relativamente primos. W2 = ker p2 (T )2 . f1 = p1 p2 Exemplo 7. Determine uma matriz invertível P tal que P−1 AP e P−1 BP sejam ambas diagonalizáveis. Sejam T : V → V um operador linear. −2 2 2 4 0 −2 Note que α1 = {(1. 1 1 a 1 repectivamente. V = W1 ⊕ W2 e A = [T ] = [T1 ]α1 ⊕ [T2 ]α2 = α1 α2 onde T1 = T |W1 . 0. 10 −5 −3 Escreva o polinômio minimal de T sob a forma mT = p1 p2 . T2 = T |W2 . determine a matriz de Ti em relação à base αi . Logo. irredutíveis e mônicos sobre R. T : R2 → R2 operadores lineares cujas representações matriciais em relação à base canônica de R2 são " # " # 1 1 1 a A = [S] = e B = [T ] = . 3. 2. para todo g ∈ C[x]. 1. Se Ti = T |Wi . 0). EXERCÍCIOS 1. Finalmente. 0. FORMA CANÔNICA DE JORDAN tais que T = D + N e DN = ND. Mostre que a parte diagonal de g(T ) é D(T ). 2)} e α2 = {(1. 1)} são bases de W1 e W2 . Sejam W1 = ker p1 (T ) e W2 = ker p2 (T ). [T1 ]α1 = [1] e [T2 ]α2 = α1 α2 " [T1 ]α1 0 α1 0 [T2 ]α2 α2 " 4 −1 4 0 # # . ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ 1 1 0 2 0 −1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ [D] = ⎣ 0 2 0 ⎦ e [N] = ⎣ 2 0 −1 ⎦ . . Sejam S. onde p1 e p2 são distintos. respectivamente. onde V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre C e D a parte diagonal de T .204 CAPÍTULO 7. . respectivamente. (0. Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R3 é ⎤ ⎡ 6 −3 −2 ⎥ ⎢ A = [T ] = ⎣ 4 −1 −2 ⎦ . Determine bases α1 e α2 para W1 e W2 . então T é um operador nilpotente. e somente se. uk−1 = T (u) e uk = u. .) 7. k. . Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. Vamos provar apenas o item (1). . Se ordenarmos α por u1 = T k−1 (u). onde B ∈ Rn×n é fixada. Mostre que se T comuta com todo operador linear diagonalizável sobre V . . . então T = aI. uk } é uma base de W com T (u1 ) = 0. 7. . . e 3. ∀ m ∈ N. T (ui ) = ui−1 . . . . Mostre que se B é nilpotente.2. ⎥ . e ⎢ ⎢ ⎢ e]β = ⎢ [T β ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 . o polinômio minimal de T é um produto de fatores lineares distintos. . T (u).. . então β = {u1 . ⎥ . . 8. Mostre que T é diagonalizável ou nilpotente. . O conjunto α = {u.8 Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n e u ∈ V tal que T k (u) = 0 e T k−1 (u) 6= 0. T k−1 (u)} é LI. Prova. . 5. OPERADORES NILPOTENTES 205 4. Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. Mostre que T é diagonalizável se. não ambos. (Sugestão: Use o binômio de Newton.2 Operadores Nilpotentes Nesta seção faremos um estudo mais detalhado de operadores nilpotentes.7. é uma matriz. 6. . É fácil verificar. . 2. i = 1. . T = T |W é nilpotente de índice k. que T k+m (u) = 0. Determine se a matriz A é ou não diagonalizável. ⎥ ⎥ 0 0 0 ··· 1 ⎦ 0 0 0 ··· 0 1 0 . . Seja T : V → V um operador linear com dim V = n tal que posto(T ) = 1. indutivamente. Seja T : Rn×n → Rn×n um operador linear definido por T (A) = BA − AB. onde os elementos da superdiagonal são todos iguais a 1 e o restante zeros. Lema 7. 1. . . para algum a ∈ R. ⎤ 0 ··· 0 ⎥ 1 ··· 0 ⎥ . u2 = T k−2 (u). . Seja A ∈ Rn×n com A 6= I e A3 = I. . 4. . W = [α] é invariante sob T . . . . . . . Wi+1 e Wi+2 respectivamente. T (Wi+1 ) ⊆ Wi . . pois T k−1 (u) 6= 0. Então existem escalares a1 . . b1 w1 + · · · + bm wm ∈ Wi+1 . . ¥ . . obtemos c1 = c2 = · · · = ck = 0. Continuando deste modo. . c1 = 0. T i+1 (b1 w1 + · · · + bm wm ) = 0. Vamos provar apenas o item (3). pois αi+2 é LI. .1) ¥ Lema 7. o que é uma contradição. Wi ⊆ Wi+1 . (7.1). isto é. dm ∈ R tais que c1 u1 + · · · + ck uk + d1 v1 + · · · + dl vl + (−b1 )w1 + · · · + (−bm )wm = 0. . .9 Sejam T : V → V um operador linear e Wi = ker T i com i ∈ Z+ . b1 . tais que a1 u1 + · · · + ak uk + b1 T (w1 ) + · · · + bm T (wm ) = 0. v1 . Logo. Portanto. Suponhamos. Logo. vl } e αi+2 = {αi+1 .1). ck . αi+1 = {αi . . 3. Então: 1. Se αi = {u1 . por absurdo. Como αi+1 gera Wi+1 temos que existem c1 . ou seja. ak . b1 T (w1 ) + · · · + bm T (wm ) = −(a1 u1 + · · · + ak uk ) ∈ Wi . . Assim. T (wm )} ⊆ Wi+1 é LI. . pois T k−1 (u) 6= 0. não todos nulos. α é LI. . . wm } são bases ordenadas de Wi . d1 . . . Aplicando T k−2 à equação vetorial (7. obtemos c1 T k−1 (u) = 0. obtemos c2 T k−1 (u) = 0. . 2. FORMA CANÔNICA DE JORDAN c1 u + c2 T (u) + · · · + ck T k−1 (u) = 0. . . . . Prova. aplicando T k−1 à equação vetorial (7. c2 = 0. que α seja LD. . . . T (w1 ). bm ∈ R. . uk }. Logo. .206 Suponhamos que CAPÍTULO 7. . Assim. T i (b1 T (w1 ) + · · · + bm T (wm )) = 0. w1 . então o conjunto α = {αi . . . 2nk−1 − nk − nk−2 . . nk − nk−1 . temos que {0} = W0 ⊂ W1 ⊂ · · · ⊂ Wk−1 ⊂ Wk = V. . pois T k = 0 e T k−1 6= 0. pelo item (3) do Lema 7. Logo. . que β 1 = {u1 . . .k−1) . ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 ··· 1 ⎦ 0 0 0 ··· 0 Além disso: 1. j = 1. . ⎥ . a uma base de Wk−1 acrescentando elementos v(nk −nk−1 +j.k) = unk−1 +i e v(i. . un } para V tal que αi = {u1 . O número total de blocos N de todas as ordens é igual a nul(T ) = dim ker T . Então V = Wk . . estendendo β 1 . . . Wk ⊂ V e nk−1 < nk = n. uni } seja uma base para Wi . podemos obter uma base α = {u1 . . fazendo v(i.k−1) = T (v(i. . .9. . Assim. OPERADORES NILPOTENTES 207 Lema 7. . . . Vamos escolher agora uma nova base de V em relação à qual T tenha a forma desejada.7. O número de blocos N de cada ordem possível é determinado de modo único por T .. . ⎥ . . . . unk−2 . k. . . 3. v(nk −nk−1 . temos. . pelo item (1) do Lema 7. . . . 2. por indução. . N = ⎢ . Então T admite uma representação matricial em bloco J cujos elementos diagonais têm a forma ⎡ ⎤ 0 1 0 ··· 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1 ··· 0 ⎥ ⎢ . . Assim.k−1) . k. . i = 1. . . . nk−1 − nk−2 . . . i = 1. v(1. . . . . Prova. Fazendo v(i. . Agora.k−2) = T (v(i.10 Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n e T k = 0 mas T k−1 6= 0.9. . i = 1.2. i = 1. . .k) ). . . Sejam Wi = ker T i e ni = dim Wi . .k−1) ). . se necessário. . Existe pelo menos um bloco N de ordem k e todos os outros são de ordem menor do que ou igual k.k−1) } é LI em Wk−1 . k−2) .j) ) = (7. . Assim. . v(1. . j = 1. pela equação (7.k−2) } é LI em Wk−1 . . temos que ( v(i. .k−1) . 2n2 − n3 − n1 2n1 − n2 elementos diagonais de ordem k elementos diagonais de ordem k − 1 .2). . que β 2 = {u1 . . 2nk−2 − nk−1 − nk−3 . Pela construção.2) 0 se j = 1. T (v(i.9. Note que a última linha da Tabela 7. . assim por diante. . . .8.1 formam a base de W2 e. Além disso.j−1) se j > 1. . pelo item (4) do Lema 7. as duas últimas linhas da Tabela 7. .j) ) = v(i.1).1: Base desejada para V .j−m) .1) Figura 7. . (1) haverá exatamente nk − nk−1 nk−1 − nk−2 − (nk − nk−1 ) = 2nk−1 − nk − nk−2 . . que pode ser estendendido a uma base de Wk−2 acrescentando elementos v(nk−1 −nk−2 +j. ∀ m com 1 ≤ m < j.208 CAPÍTULO 7. . T terá a forma desejada se os v(i. Proceguindo assim.j) são ordenados de maneira lexicográfica (confira Tabela 7. unk−3 . obtemos T m (v(i. FORMA CANÔNICA DE JORDAN temos. elementos diagonais de ordem 2 elementos diagonais de ordem 1.1 forma a base de W1 . . v(nk−1 −nk−2 . pelo item (3) do Lema 7. Finalmente. obtemos uma nova base de V (confira Tabela 7. 7.2. OPERADORES NILPOTENTES 209 (2) Como os números n1 , . . . , nk são determinados de modo único por T temos que o número de elementos diagonais de cada ordem é determinado de modo único por T . (3) Como n1 = (nk − nk−1 ) + (2nk−1 − nk − nk−2 ) + · · · + (2n2 − n3 − n1 ) + (2n1 − n2 ) temos que o número total de blocos diagonais é igual a n1 = dim W1 = dim ker T. ¥ Teorema 7.11 Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. Então as seguintes condições são equivalentes: 1. T é nilpotente; 2. Existe uma base de V em relação à qual T admite uma representação matricial em blocos J cujos elementos diagonais têm a forma ⎡ ⎤ 0 1 0 ··· 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1 ··· 0 ⎥ ⎢ ⎥ . . . . N = ⎢ . . . ... . ⎥ ; . ⎥ ⎢ . . . ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 ··· 1 ⎦ 0 0 0 ··· 0 3. Existe uma base de V em relação à qual T é representado por uma matriz triangular superior com zeros na diagonal; 4. T n = 0. Prova. A implicação (1. ⇒ 2.) segue do Lema 7.10. Agora é fácil verificar as implicações (2. ⇒ 3. ⇒ 4. ⇒ 1.). ¥ Exemplo 7.12 Seja T : R4 → R4 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R4 é ⎢ ⎢ A = [T ] = ⎢ ⎣ ⎡ −1 0 −1 −1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥. ⎦ Verifique se T é nilpotente. Caso afirmativo: 1. Determine a matriz nilpotente J em forma canônica que seja semelhante a A. 210 CAPÍTULO 7. FORMA CANÔNICA DE JORDAN 2. Determine uma base β de R4 tal que P−1 AP = J, onde P é a matriz cujas colunas são os vetores de β, isto é, P é a matriz de mudança de base da base β para base canônica de R4 . Solução. (1) É fácil verificar que A2 = 0. Logo, T é nilpotente de índice 2. (a) Como o índice de nilpotência de T é igual a 2 temos que J contém pelo menos um bloco de ordem 2 e todos os outros de ordem menor do que ou igual 2. (b) Como o posto(T ) = 1 temos que n1 = dim W1 = 4 − 1 = 3, isto é, o número total de blocos diagonais de J é igual a 3. (c) Como k = 2, n1 = 3 e n2 = 4 temos que n2 − n1 = 1 e 2n1 − n2 = 2, isto é, J tem um bloco diagonal de ordem 2 e ⎡ 0 1 ⎢ 0 0 ⎢ J=⎢ ⎣ 0 0 0 0 dois de ordem 1. Portanto, ⎤ 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥. 0 0 ⎦ 0 0 (2) Pela forma de J basta escolher u1 , u2 , u3 , u4 ∈ R4 tais que T (u2 ) = u1 e T (ui ) = 0, i = 1, 3, 4. Como temos que u1 = (1, 0, 1, 1). Desde que T 2 = 0 temos que u1 ∈ W1 = ker T . Assim, podemos escolher u2 como qualquer solução da equação vetorial T (u2 ) = u1 , isto é, se u2 = (x, y, z, t) ∈ R4 , então escolher uma solução do sistema de equações lineares ⎧ ⎪ −x + y + t = 1 ⎨ −x + y + t = 1 , ⎪ ⎩ −x + y + t = 1 0 1 0 1 1 −1 0 −1 ⎤ Im T = [(1, 0, 1, 1)] e u1 ∈ Im T digamos u2 = (0, 1, 0, 0). Finalmente, estendendo u1 para u3 = (0, 0, 1, 0) e u4 = (1, 1, 0, 0). Portanto, se ⎤ ⎡ ⎡ 1 0 0 1 0 0 ⎢ 0 1 0 1 ⎥ ⎢ −1 1 ⎥ ⎢ ⎢ P=⎢ ⎥ e P−1 = ⎢ ⎣ 1 0 1 0 ⎦ ⎣ 0 0 1 0 0 0 1 0 então P−1 AP = J. uma base de W1 , escolhendo ⎥ ⎥ ⎥, ⎦ 7.2. OPERADORES NILPOTENTES 211 EXERCÍCIOS 1. Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja base canônica de R3 é ⎡ 0 ⎢ A = [T ] = ⎣ 0 0 representação matricial em relação à ⎤ 2 1 ⎥ 0 3 ⎦. 0 0 Determine a matriz nilpotente J em forma canônica que seja semelhante a A. Além disso, determine uma matriz P tal que P−1 AP = J. 2. Seja T : R4 → R4 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R4 é ⎤ ⎡ 0 0 −1 1 ⎢ 0 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ A = [T ] = ⎢ ⎥. ⎣ 0 0 0 0 ⎦ 0 0 0 0 Determine a matriz nilpotente J em forma canônica que seja semelhante a A. Além disso, determine uma matriz P tal que P−1 AP = J. representação matricial em relação à 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 ⎤ 3. Seja T : R5 → R5 um operador linear cuja base canônica de R4 é ⎡ 0 1 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ A = [T ] = ⎢ 0 0 ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 Determine a matriz nilpotente J em forma canônica que seja semelhante a A. Além disso, determine uma matriz P tal que P−1 AP = J. ⎡ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎦ 4. Seja (a) Mostre que AN = NA se, somente se, A é ⎡ a b c ⎢ 0 a b ⎢ A=⎢ ⎣ 0 0 a 0 0 0 ⎢ ⎢ N=⎢ ⎣ da forma ⎤ d c ⎥ ⎥ ⎥. b ⎦ a ⎥ ⎥ ⎥. ⎦ 212 CAPÍTULO 7. FORMA CANÔNICA DE JORDAN (b) Mostre que se b 6= 0, então dim Vλ = 1, para todo autovalor λ de A. (c) Mostre que se b = 0 e c 6= 0, então dim Vλ = 2, para todo autovalor λ de A. (d) Mostre que se b = c = 0 e d 6= 0, então dim Vλ = 3, para todo autovalor λ de A. (e) Generalize para qualquer matriz quadrada N. 5. Seja T : V → V um operador linear tal que T k = 0 mas T k−1 6= 0. Mostre que todo operador linear semelhante a T é nilpotente de índice k. 6. Seja T : V → V um operador linear com dim V = n tal que T k = 0 mas T k−1 6= 0. Mostre que Im T k−i ⊆ ker T i , i = 1, . . . , k − 1. 7. Seja T : V → V um operador linear com dim V = n tal que T k = 0 mas T k−1 6= 0. Mostre que T + I é invertível. 8. Seja T : V → V um operador linear, onde V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre C. Mostre que T é nilpotente se, e somente se, todos os autovalores de T são nulos. Mostre, com um exemplo, que uma das implicações da afirmação é falsa se V é um espaço vetorial de dimensão infinita sobre R. 7.3 Forma Canônica de Jordan Nesta seção provaremos que todo operador linear T : V → V com dim V = n pode ser decomposto como soma de um operador diagonalizável com um operador nilpotente. Lema 7.13 Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n, fT = (x − λ1 )d1 · · · (x − λk )dk e mT = (x − λ1 )r1 · · · (x − λk )rk , os polinômios característico e minimal de T , onde os λ1 , . . . , λk ∈ R (C) são distintos aos pares e 1 ≤ ri ≤ di . Então T admite uma representação matricial em bloco J cujos elementos diagonais têm a forma ⎤ ⎡ λi 1 0 · · · 0 ⎥ ⎢ ⎢ 0 λi 1 · · · 0 ⎥ ⎥ ⎢ . . . . . Jij = ⎢ . . . . . . ⎥ . . . . . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 0 0 0 ··· 1 ⎦ 0 0 0 · · · λi Além disso, para cada λi , i = 1, . . . , k, os blocos Jij têm as seguintes propriedades: 1. Existe pelo menos um bloco Jij de ordem ri e todos os outros são de ordem menor do que ou igual ri . onde Wi = ker(T − λi I)ri . temos que o número dos Jij é igual a mg (λi ). . . onde os λi . .7. J = J1 ⊕ · · · ⊕ Jk está na forma canônica e é a representação matricial T . temos que Ti = λi I + Ni e Niri = 0. . k. Então as seguintes condições são equivalentes: . ¥ A matriz J é chamada de forma canônica de Jordan de T . Como o polinômio minimal de T tem a forma mT = (x − λ1 )r1 · · · (x − λk )rk . temos pelo Teorema da Decomposição Primária que T = T1 ⊕ · · · ⊕ Tk e V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk . i = 1. Fazendo Ni = Ti − λi I. que é a nulidade de Ni . . . Prova. . . . Portanto. pelo Lema 7. . . k. O número dos blocos Jij é igual a ma (λi ).3. i = 1. i = 1. (2) Como T e J possuem o mesmo polinômio característico fT temos que a soma das ordens dos Jij é igual a di = ma (λi ). são distintos. Além disso. . . Note que se V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo dos números complexos C (sobre um corpo algebricamente fechado). .10. 3.10. temos que existe. . . podemos escolher uma base para Wi em relação à qual Ni esteja na forma canônica. Sendo mi = (x − λi )ri . . O número dos blocos Jij de cada ordem possível é determinado de modo único por T. o polinômio minimal de Ti temos que (Ti − λi I)ri = 0. Ti é a soma de um operador diagonalizável λi I e de um operador nilpotente Ni de índice ri . . i = 1. . Assim. isto é. i = 1. Teorema 7. k. Ti = λi I + Ni é representado por uma matriz diagonal de bloco Ji cujos elementos diagonais são as matrizes Jij . (4) Segue do item (2). i = 1. k. k. . 213 4. (3) Como Ni = Ti − λi I e a multiplicidade geométrica de λi é igual a dimensão do ker(Ti − λi I)ri . . pelo menos. . então todo operador linear T : V → V admite uma representação matricial na forma canônica de Jordan. Nesta base. k. FORMA CANÔNICA DE JORDAN 2. . um Jij de ordem ri e todos os outros de ordem menor ou igual ri . A soma dos blocos Jij é igual a di = ma (λi ). Um bloco diagonal Jij é chamado um bloco elementar de Jordan associado ao autovalor λi . (1) Como Niri = 0. do Lema 7. .14 Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. isto é. 4. Pelo item (2) do Teorema 7. V = V λ1 ⊕ · · · ⊕ V λk .). ⇒ 3. ⇒ 6. . Existe uma base de V em relação à qual T admite uma representação matricial na forma canônica de Jordan.). Prova.15 Seja T : R4 → R4 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R4 é ⎢ ⎢ A = [T ] = ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 −1 −1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥. . ⇒ 5. T é triangularizável. 6. A implicação (1. 1. Wk de V invariantes sob T tais que {0} = W0 ⊂ W1 ⊂ · · · ⊂ Wk−1 ⊂ Wk = V .) segue do Lema 7. Solução. 0 ∗ λn ⎤ ⎥ ⎦. 3. resta provar que (1. Determinar o polinômio característico de T : fT = det(xI4 − A) = (x − 1)4 . 5. ⇒ 2. .214 CAPÍTULO 7.. O polinômio característico de T fatora-se na forma fT = (x − λ1 )d1 · · · (x − λk )dk . existe uma base de V em relação à qual T é representado por uma matriz triangular superior da forma ⎢ [T ] = ⎣ ⎡ λ1 . FORMA CANÔNICA DE JORDAN 1. Assim. ⇒ 1.6. temos que V = ker(T − λ1 I)r1 ⊕ · · · ⊕ ker(T − λk I)rk = V λ1 ⊕ · · · ⊕ V λk . Existem subespaços W0 . . ⇒ 6. Agora é fácil verificar as implicações (2. ⎦ Determine a forma canônica de Jordan de T .o Passo. O corpo R (C) contém n autovalores de T (contando as multiplicidades).. 2. ¥ Exemplo 7.13. . W1 . ⇒ 4. Pelo Teorema da Decomposição Primária. Determinar o polinômio minimal de T : mT = (x − 1)2 .16 Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja representação matricial em relação à base canônica de R3 é ⎤ ⎡ 0 0 1 ⎥ ⎢ A = [T ] = ⎣ 1 0 −3 ⎦ . se λ é um autovalor de T . dim Vλ = dim ker(T − λI) = 3 − 2 = 1 ⎢ ⎢ J = P−1 AP = I + M = ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎥. Assim. FORMA CANÔNICA DE JORDAN 2. pelo Teorema 4.7. Finalmente. Logo. Por outro lado. 0 1 3 Determine a forma canônica Jordan de T .2. o posto(T −λI) ≤ 2. posto(T −λI) = 2. Portanto.12 ⎢ ⎢ N=A−I=⎢ ⎣ M = P−1 NP = P−1 (A − I)P = P−1 AP − I. ⎦ .o Passo. Solução. então. temos que T = T1 e V = ker(T − I)2 .3. isto é.o Passo. Note que o polinômio característico de T é ⎞ ⎛ x 0 −1 ⎟ ⎜ fT = det(xI3 − A) = det ⎝ −1 x 3 ⎠ 0 −1 x − 3 ⎛ ⎞ 0 0 x3 − 3x2 + 3x − 1 ⎜ ⎟ = det ⎝ −1 0 x2 − 3x + 3 ⎠ 0 −1 x−3 = x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3 . ⎡ 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎤ Exemplo 7. as operações de linhas acima mostra que posto(T −λI) ≥ 2. 3. fazendo ⎡ −1 0 −1 −1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 215 temos que N2 = 0 e pelo Exemplo 7. 18 (Teorema de Cayley-Hamilton) Seja A uma matriz n × n. Solução. que dim V = 6 e que os candidatos a polinômio minimal de T são: mT = (x − 3)(x − 1)(x + 5) mT = (x − 3)2 (x − 1)(x + 5) mT = (x − 3)(x − 1)2 (x + 5) mT = (x − 3)(x − 1)3 (x + 5) mT = (x − 3)2 (x − 1)2 (x + 5) mT = fT . então fA (A) = 0. FORMA CANÔNICA DE JORDAN e a forma canônica de Jordan de T é ⎤ 1 1 0 ⎥ ⎢ J = ⎣ 0 1 1 ⎦. ⎢ 1 1 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 0 ⎦ ⎣ 0 0 0 5 0 de Jordan de T são: ⎤ ⎡ 1 0 0 0 0 ⎥ ⎢ 3 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥. ⎢ 1 0 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 0 ⎦ ⎣ 0 0 0 0 5 ⎤ ⎡ 3 0 0 0 ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 1 0 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥. ⎢ 0 0 1 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 1 0 ⎦ ⎣ 0 0 0 0 5 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. da definição de fT . Exemplo 7.216 CAPÍTULO 7. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Exemplo 7. as possíveis ⎡ 3 0 0 ⎢ ⎢ 0 3 0 ⎢ ⎢ 0 0 1 ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 ⎡ 3 0 0 ⎢ ⎢ 0 3 0 ⎢ ⎢ 0 0 1 ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 formas canônicas ⎤ ⎡ 3 0 0 0 ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥. Determine as possíveis formas canônicas de Jordan de T e a dim V . ⎢ 0 0 1 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 1 0 ⎦ ⎣ 0 0 0 0 5 ⎤ ⎡ 1 0 0 0 0 ⎥ ⎢ 3 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 1 0 0 ⎥ ⎢ ⎥. .17 Seja T : V → V um operador linear com polinômio característico fT = (x − 3)2 (x − 1)3 (x + 5). É claro. 0 0 1 ⎡ Este procedimento se aplica a qualquer matriz companheira. Portanto. Mostre que se fA = (x − λ1 )d1 · · · (x − λk )dk é o polinômio característico de A. . g e m. n. Determine se as matrizes A= representação matricial em relação à ⎤ 2 1 ⎥ 0 3 ⎦. e assim por diante. Como a n-ésima linha de Jn é uma linha de zeros temos que: as duas últimas linhas de Jn−1 Jn são de zeros. fA (J) = 0. em qualquer caso. Então fA (J) = J1 · · · Jn .3. 0 0 Determine a forma canônica de Jordan de T . ⎣ 0 0 0 0 0 que a forma canônica de Jordan de M (N) é ⎤ ⎡ ⎤ 0 1 0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎦ e ⎣ 0 0 1 ⎦. Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja base canônica de R3 é ⎡ 0 ⎢ A = [T ] = ⎣ 0 0 2. M e N são semelhantes. n os polinômios característicos e minimais de M e N. Solução. Mostre que M e N são semelhantes se. M e N tem o mesmo polinômio minimal. i = 1. Então m = n e f = g. N ∈ R3×3 nilpotentes. Portanto. EXERCÍCIOS 1.7. Como m e f têm as mesma raízes temos uma das matrizes: ⎤ ⎡ ⎡ 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎦. 0 0 0 0 0 Portanto. Como fA (A) e fA (J) são semelhantes temos que fA (A) = 0. Sejam f . Seja J a forma canônica de Jordan de A. respectivamente. 217 onde Ji = J − λi I. Exemplo 7. . . e somente se. as três últimas linhas de Jn−2 Jn−1 Jn são de zeros. FORMA CANÔNICA DE JORDAN Solução. " # 1 4 −1 −3 e B= " −1 1 a −1 # são ou não semelhantes.19 Sejam M. . . onde a ∈ R. Logo. Determine a forma canônica de Jordan de A. ! . b2 = − b1 tr(A) + tr(A2 ) . todos os seus autovalores são não-nulos. Como fT (T ) = 0 temos que bn = 0. Mostre que T é não-singular se. Seja A ∈ R5×5 com polinômio característico e minimal f = (x − 2)3 (x + 7)2 e m = (x − 2)3 (x + 7). λn ∈ R. . então det T = λ1 · · · λn . Sejam T : V → V um operador linear com dim V = n e fT = xn + b1 xn−1 + · · · + bn−1 x + bn o polinômio característico de T . Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. i = 1. b0 = 1. . Então tr(fT (T )) = bn n. . 7. .) 9. Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. 0 é um autovetor de T . λn são os autovalores de T . . . onde bn é o termo constante de fT . . .218 CAPÍTULO 7. 6. 5. . i = 1. Seja T : V → V um operador linear com dim V = n. . B ∈ Rn×n . 1 n então λi = 0. respectivamente. Mostre que se tr(T i ) = 0. . Mostre que se A e B têm o mesmo polinômio característico f = (x − λ1 )d1 · · · (x − λk )dk . Mostre que se λ1 . n. 10. k. bn = − 2 n à n X k=1 bn−k tr(Ak ) . . e somente se. . Mostre que se λi + · · · + λi = 0. . FORMA CANÔNICA DE JORDAN 3. i = 1. . . então A e B são semelhantes. n. i = 1. . . Determine as possíveis formas canônicas de Jordan de T e a dim V . Mostre que ¢ 1¡ 1 b1 = − tr(A). . . Agora. Seja T : V → V um operador linear com polinômio característico fT = (x + 2)4 (x − 1)2 . . . então T é nilpotente. o mesmo polinômio minimal e di ≤ 3. Sejam λ1 . 8. elimine o bloco elementar de Jordan associado a 0 e use indução no restante. . . (Sugestão: Seja fT o polinômio característico de T . . . n. . . Sejam A. 4. LTC. 2. Volumes I e II. et al. J. N. 1994. Álgebra Linear. Introdução à Computação Algébrica com o Maple. Edgard Blücher Ltda. Matrix Theory with Applications. Interactive Linear Algebra with Maple V. Abstract Algebra with Applications. R. Álgebra Linear. T. de. 2004. 1971. McGraw-Hill. S.Junho 2001. 1978. [11] LIPSCHUTZ.. N. Ed. J. Álgebra Linear. D. M. R. Ed. [9] HOFFMAN. [4] BOLDRINI.. Makron Books (Coleção Schaum). pp. 1986. Inc. E. 219 . L. Álgebra Linear. [6] FINKBEINER.a Edição. LTC. et al. 3. [12] MEDEIROS. de. Linear Algebra with Maple.” Matemática Universitária. “Transformações Lineares e Escalonamento de Matrizes. [5] DEEBA. 3. Harbra Ltda. 1991. e KUNZE.a Edição. Rio de Janeiro.. Ed. 131-133.. Vol. Campus Ltda. [8] HALMOS. Ed. Ed. Introdução às Matrizes e Transformações Lineares. Álgebra Linear. 1 Marcel Dekker. 1994.. C. Springer-Verlag. K.Bibliografia [1] ANDRADE.. L. W. A. John Wiley. K. A.. 1995. [3] BAULDRY. 1988. 1998. 1979. Espaços Vetoriais de Dimensão Finita. P. S.a Ed. and GUNAWARDENA. L. SBM. São Paulo. . [13] SPLINDLER. Rio de Janeiro. 1970...o 30 . [10] LANG. [2] BARONE JÚNIOR.. S. [7] GOLDBERG. 50 base infinita. 91 Espaços de funções. 172 de Cauchy-Schwarz. 149 Espaço Rn . 199 Isometria. 3 Dependência linear. 2 dos números complexos. 159 de Bessel. 45 maximal. 156 de Minkoswski. 193 Elipsóide. 62 de dimensão finita. 9 Complementar ortogonal. 61 Hipérbole. 61 Índice de nilpotência. 22 de um operador linear. 188 Fourier coeficientes de. 26 Espaços de polinômios. 211 quadrática. 157 Auto-espaço. 150 Espaço l2 . 9 Ângulo. 51 de dimensão infinita. 90 . 153 expansão de. 188 Coordenadas. 194 canônica de Jordan. 50 base canônica. 53 parametrização. 193 Identidade de Appolonius. 2 dos números reais. 50. 23 dos números racionais. 119 Espaço euclidiano. 195 do paralelogramo. 1 de Galois. 24 Espaço vetorial. 156 Determinante. 186 Isomorfismo. 211 Cofator. ortogonal. 190 Hiperbolóide de duas folhas.218 Índice Adjunta clássica. 63 Corpo (s). 165 Geradores de um espaço vetorial. 23 base. 109 Elipse. 62 Espaços vetoriais isomorfos. 172 de polarização. 62 de autovetores. 159 de Parseval. 51 base finita. 26 Espaço quociente. 2. 153. 6 de Vandermonde. 82 Independência linear. 157 Cisalhamento. 51 base ordenada. 42 minimal de. 151 ortonormal. 117 Autovetor. 51 dimensão. 90 Forma (s) bilinear. 172 de Bezout. 159 Imagem de uma transformação linear. 2. 115 Bloco elementar de Jordan. 27 Espaços de matrizes. 191 Equação característica. 23 extensão de. 117 Base ordenada. 117 Autovalor. 45 Desigualdade de Bessel. 164 Cônica. 17 ortogonal. 1 de multiplicação. 1 de multiplicação por escalar. 17 produto de. 163 minimal. 10 equivalentes por linha. 80 nilpotente. 155 Núcleo de uma transformação linear. 155 Normalização. 149 diagonal. 109 diagonalizável. 6 Polinômio característico. 72 ortogonal. 9 não-invertível. 1 de adição. 4 invertível. 10 definida positiva. 127 diferencial. 45 Lema de Zorn. 3 A-associada. 137 reflexão. 73 identidade. 137 congruentes. 83 Números de Fibonacci. 119 irredutível. 16 identidade. 9 equivalentes. 123 elementares. 121 geométrica. 186 Multiplicidade algébrica. 73 semelhança. 40 dependência. 9 nula. 5 triangular. 180 projeção. 5 Melhor aproximação. 195 Legendre. 114 rotação de um ângulo θ. 74 Operações. 10 simétrica. 195 . 77. 114. 80 determinante. 182 translação. 65 dos cofatores. 4 anti-simétrica. 15. 118 característico de um operador linear. 10 conjugadas. 199 nulo. 12 posto. 4 diagonal principal. 121 Normal. 50 Matriz (es). 12 transposta.219 Linear combinação. 131 Operador linear. 176 auto-adjunto. 72 integração. 78. 15 Permutações. 134 redutível. 45 indepedência. 73 simétrico. 9 superdiagonal. 4 de mudança de bases. 167 Movimento rígido. 4 iguais. 5 reduzida por linha. 18 adição de. 103 traço de. 4 T-associada. 12 singular. 9 não-singular. 195 relativamente primos. 12 companheira. 10 unitárias. 72 adjunto. 182 cisalhamento. 17 semelhantes. 4 nulidade. 86 não-singular. 165 Símbolo de Kronecker. 182 Teorema de decomposião primária. 32 adaptado. 14 Subcorpo. 177 não-triviais. 82 Schmidt. 14 distância entre. 83 interno. 128 soma direta de. 42 impróprios. 40 gerado. 214 Quociente de Raleigh. 14 solução do. 173 Sistemas de equações lineares. 94 Teorema da projeção. 150 forma matricial. 4 Teorema da representação de Riesz. 166 triviais. 71 bijetora.220 Processo de ortogonalização de Gramimagem de. 61 Teorema de Binet. 134. 32 soma de. 3 Subespaço (s). 162 injetora. 112. 127 interseção de. 86 Pivô. 36 Superfície quadrática. 9 Quádrica. 87 Representação matricial Teorema de Pitágoras. 147 nulidade de. 34 invariante. 17 sobrejetora. 13 incompatível. 21. 197 Regra de Cramer. 155 homogêneo. 158 equivalentes. 171 posto de. 47 Teorema do núcleo e da imagem. 84 vetorial. 13 matriz ampliada do. 13 unitário. 160 transformação linear. 86 Quadrado mágico. 32 independentes. 188 Teorema de Cayley-Hamilton. 14 ortogonais. 153 singular. 36. 188 Transformação linear. 12 Vetor (es) compatível. 32 reunião de. 86 Produto núcleo de. 32 própios. 9. 86 . 84 Projeções. 37 soma direta ortogonal de.