SIX SIGMA ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALOS PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA MEDIAS1 ESTIMACION PUNTUAL Y POR INTERVALOS La estadística inferencial comprende básicamente dos áreas principales: estimación y pruebas de hipótesis. La estimación consiste, como su nombre lo indica, en “estimar” los valores de los parámetros de la población bajo estudio, mientras que las pruebas de hipótesis constituyen el proceso de aceptar o rechazar declaraciones, generalmente relacionadas con parámetros poblacionales. Pero, ¿cómo definimos un parámetro poblacional? Se denota en estadística con el nombre de parámetro poblacional, a una constante que aparece en la función de densidad (o probabilidad) de la población y que tiene cierto significado dentro de ésta. Ejemplo: En una población Poisson, λ es un parámetro poblacional que representa el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria X. µ En una población normal, µ y σ son parámetros poblacionales, donde representa el valor esperado de la variable X ( la media poblacional ) y σ la desviación estándar. En la vida real, se desconocen los valores de los parámetros de las poblaciones que se estiman. Por ejemplo a) La media de las longitudes de las varillas producidas por una máquina b) La proporción de votantes que están a favor de un determinado candidato. Se pretende entonces estimar estos valores que son de interés en nuestro estudio. Para ello, pueden hacerse: Estimaciones puntuales Estimaciones por intervalo Una estimación puntual es un valor único que pretende estimar el valor del parámetro poblacional estudiado. Ejemplo: a) La longitud promedio de una muestra de 50 varillas producidas por la máquina A es 40.5 metros. b) En una muestra de 200 votantes, se obtuvo que 75% están a favor del candidato demócrata Una estimación por intervalo, es un intervalo numérico en dónde se pretende se encuentre el valor del parámetro bajo estudio. Ejemplo: 2 se encuentra entre 70% y 78% ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Una desventaja de los estimadores puntuales.01 ) son deseables.3 metros.1. Con el fin de obtener alguna medida de la precisión en nuestra estimación.15. a este intervalo de estimación se le denomina intervalo de confianza del parámetro. con media µ desconocida y varianza σ 2 conocida. El símbolo α representa la probabilidad de que el intervalo no contenga al verdadero valor del parámetro. se encuentran entre 40. el cual incluirá el valor del parámetro con una probabilidad prefijada ( 1 . El objetivo es determinar un intervalo de valores.α ). De aquí concluimos que valores de α pequeños (0. es que no sabemos qué tan cerca se encuentran del valor del parámetro que estiman. Sabemos que Z = X -µ σ / n Tiene una distribución normal estándar. por lo que P ( -Zα /2 < Z < Zα /2 ) = 1 .zα /2 zα /2 . 0. Comúnmente.α α /2 1-α α /2 3 . INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA MEDIA POBLACIONAL NORMAL CON VARIANZA CONOCIDA.a) La longitud promedio de todas las varillas producidas por la máquina A. b) La proporción de votantes que están a favor del candidato demócrata. no tenemos ninguna medida que nos indique qué tan precisa es nuestra estimación ( que tan desviado puede estar el valor que tomó el estimador del verdadero valor del parámetro poblacional). Esto es. se extrae una muestra aleatoria de n observaciones independientes. se utiliza el procedimiento de estimación por intervalos. 0.2 y 41. De una población normal. Zα /2 σ n .n-1 S n .tα /2. X + tα /2.α )% de confianza para µ INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON VARIANZA DESCONOCIDA. X + Zα /2 σ n Se conoce como intervalo de 100(1 .0 FORMULA X . X .n-1 S n 4 . Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenedores si se supone una distribución aproximadamente normal. 9.Un antropólogo midió las alturas de una muestra de 100 hombres de cierta tribu. Obtener un intervalo de 99% de confianza para µ .. 1.8.Una compañía fabricante de cemento. 5.99.. 2.0.50 con desviación estándar de 1.04.01.99. Suponga que la desviación estándar de la población es de 0. 6. utiliza bolsas de papel para empacarlo. 0. 5 . 0. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para el diámetro medio de las piezas de esta máquina.97.El contenido de siete contenedores similares de ácido sulfúrico son 9.6 litros. 10.3 4. Se toma una muestra de las piezas y los diámetros son 1.. 0..Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es 2. 10.. Se desea estimar el verdadero peso medio de estas bolsas. 10.EJERCICIOS. suponga una distribución aproximadamente normal.8. 1. Suponga que las mediciones se distribuyen de forma normal.03. lo que dio un valor promedio de 48. 0.2. 3.Se toma una muestra aleatoria de 12 agujas de tejer en un estudio de prueba de dureza por el método de Rockwell de la cabeza de las agujas.98.Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica.6 gramos por mililitro. el verdadero peso promedio de dichas bolsas. Una muestra de 36 bolsas dio una media de 280 gramos. 10.5. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río.4. determinar un intervalo de 95% de confianza para la altura media de la población de esa tribu.. construya un intervalo de confianza de 90% para la dureza de Rockwell media. La desviación estándar de todos los pesos es de 20 gramos. Se realizaron mediciones de la dureza de Rockwell para cada una de las 12.01 y 1. 1. 1.03 centímetros. Obtuvo una media de 71 pulgadas.2. Si se sabe que la desviación estándar de dichas estaturas es de 3 pulgadas. 9. c) Explique por que un valor observado de 2. b) La población de refrescos. La embotelladora informa a la división de inspección que la desviación estándar en estas botellas es de 0.97 litros. ¿Cuál seria la respuesta del inciso (a)? 6 .. b) ¿Piensa que el fabricante tiene derecho a establecer que los focos durarán un promedio de 400 horas? Explique.7. c) Explique por qué un valor observado de 320 horas no es raro. Establezca una estimación del intervalo de confianza de 95% de la vida promedio real de los focos de este envío. Se sabe que la desviación estándar del proceso es 100 horas. Una muestra aleatoria de 100 botellas de 2 litros obtenida en esta planta indica un promedio muestral de 1.98 de galón en una lata no es raro.Suponga que el administrador de una tienda de pinturas desea estimar la cantidad real de pintura contenida en las letras de 1 galón compradas a su fabricante con renombre en todo el país.02 litros no es raro. aun cuando este fuera del intervalo de confianza que calculó.. ¿piensa que el dueño de la tienda tiene derecho a quejarse con el fabricante? ¿Por qué? c) Explique por que un valor observado de 0.El gerente de control de calidad de una fábrica de focos necesita estimar la vida promedio de un envío grande.995 de galón.La división de inspección de Lee Country Weights and Measures Department está interesada en la cantidad real del refresco que contienen las botellas de 2 litros en una embotelladora local de una compañía de refrescos conocida en todo el país. d) Suponga que uso un estimador de intervalo de confianza de 95% ¿Cuáles serían las respuestas de los inicios (a) y (b)? 8. aun cuando esta fuera del intervalo de confianza calculado.05 de litro. d) Suponga que el promedio muestral es 1.99 litros. a) Establezca una estimación del intervalo de confianza de 99%. ¿debe tener una distribución normal? Explique. a) Establezca una estimación del intervalo de confianza de 95% de la cantidad promedio verdadera de refresco en cada botella. Se sabe. ¿Cuáles serían las respuestas a los incisos (a) y (b)? a) 9. de las especificaciones de fabricación que la desviación estándar de la cantidad de pintura promedio por galón es 0. b) Según estos resultados.. d) Suponga que la desviación estándar del proceso cambio a 80 horas. aun cuando está fuera del intervalo de confianza calculado. Una muestra aleatoria de 64 focos indica una vida media de la muestra de 350 horas. Una muestra aleatoria de 20 tarjetas indica un valor promedio de 1.. establezca un inventario de 95% de confianza estimado del valor promedio de todas las tarjetas de felicitación en el inventario de la tienda. Una muestra aleatoria de 10 empleados reveló esos gastos (en dólares) durante el año anterior. Se seleccionó una muestra aleatoria de 15 casas a partir de los registros disponibles del año anterior.10.32 de dólar.El departamento de servicio a clientes de la compañía local de gas para vivienda desea estimar el periodo promedio entre la llegada de una solicitud de servicio y la conexión del mismo. b) ¿En qué pueden ayudar los resultados obtenidos en (a) a la dueña de la tienda para estimar el valor total de su inventario. a) Suponga una distribución normal.La dueña de una papelería desea estimar el promedio del valor de venta al menudeo de las tarjetas de felicitación que tiene en su inventario..El departamento de personal de una corporación grande desea estimar los gastos dentales familiares de sus empleados para determinar la factibilidad de proporcionales un plan de seguro dental. ¿Cuál seria su respuesta ahora? e) Suponga que el cuarto valor era 585 dólares en lugar de 85. b) Si el departamento de servicio ha advertido a sus clientes que el tiempo de espera promedio es de 90 días. ¿Cuál sería su respuesta? 12.. d) Suponga que uso un intervalo de confianza de 95% en (a). 11. ¿puede decir que los resultados obtenidos en (a) son consistentes con la tal advertencia? Explique 7 . Los resultados registrados en número de días son: 114 126 78 86 96 99 137 114 78 72 103 104 117 73 86 a) Establezca una estimación del intervalo de confianza del tiempo de espera promedio de la población durante el año pasado.67 dólares y una desviación estándar de 0. 110 362 246 85 510 208 173 425 316 179 a) Establezca una estimación del intervalo de confianza de 90% para el gasto dental promedio por familia para todos los empleados de esta corporación. b) ¿Qué suposiciones sobre la distribución de la población deben hacerse en (a)? c) Dé un ejemplo de un gasto familiar que esté fuera de intervalo de confianza pero que no sea raro para una familia individual y explique por qué esto no es una contradicción. 3 30.6 43.El director de servicio a pacientes de una organización de mantenimiento de la salud desea evaluar el tiempo de espera de los pacientes en una instalación local.9 45.0 29.1 12.7 42. 19. El tiempo de espera se define como el tiempo desde que el paciente llega hasta que él o ella salen de ver al doctor.9 minutos ¿Cuál seria su respuesta en (a) y (b) ¿Qué efecto tiene este cambio en el intervalo de una confianza. se selecciona una muestra aleatoria de 25 pacientes de un libro de citas.5 21.9 minutos en realidad era 101.. Según los resultados de (a). Los siguientes datos representan los tiempos que espera (en minutos).1 10.6 a) Establezca una estimación del intervalo de confianza de 95% para el tiempo de espera de la población b) El director de servicio a pacientes de la organización desea informar a los clientes potenciales que el tiempo de espera promedio es 15 minutos.4 12.0 4.6 25. ¿Cuáles serían sus respuestas a (a) y (b)? ¿Qué efecto tiene este cambio en el intervalo de confianza? 13.8 31.6 28.¿puede afirmar eso? Explique.9 39.5 36. 8 .c) ¿Que suposición debe hacerse en (a) respecto a la distribución de la población? d) Suponga que el último valor era 286 días en lugar de 86. c) ¿Qué suposición debe hacerse en (a) sobre la distribución de la población? d) Suponga que el valor registrado de 1.1 13.4 26.8 45.9 17.1 1.7 41.5 24.8 52.4 39. Definición: Error tipo II: aceptar la hipótesis nula cuando esta es falsa.NOCIONES BASICAS DE PRUEBAS DE HIPOTESIS Muchos problemas en estadística se relacionan con decisiones acerca de declaraciones hechas referentes a parámetros poblaciones. A estos errores se le conoce como error tipo I y error tipo II. H : la población tiene distribución normal. Ejemplo Ejemplo Ejemplo H : µ = 12 ( la media población es igual a 12 ). y el procedimiento que se sigue para decidir acerca de la verdad o falsedad de una hipótesis se le conoce como prueba de hipótesis. Con la letra α se designa a la probabilidad de cometer este error. Hipótesis alternativa (H1): Una hipótesis complementaria. Definición: Una hipótesis es una suposición acerca de la distribución probabilística a los parámetros de una variable aleatoria. Las pruebas de hipótesis son unas de las partes fundamentales del área de la estadística conocida como estadística inferencial o inferencia estadística. Región de rechazo: (o región crítica): forma parte de una regla de decisión. tenemos posibilidad de cometer errores de aceptación o de rechazo. Definición: prueba de hipótesis es el procedimiento mediante el cual se acepta o rechaza una hipótesis. Definición: Error tipo I: rechazar la hipótesis nula cuando ésta es verdadera. H:σ 2 < 7 ( la varianza poblacional es menor que 7 ). Los elementos de una prueba de hipótesis son los siguientes: 1) 2) 3) 4) Hipótesis nula (H0 ): La hipótesis que se desea probar. Estadístico de prueba: El que recoge la información de la muestra. en base de la formación contenida en una muestra de la población. Al establecer una hipótesis y probarla. 9 . A estas declaraciones se le llama hipótesis. Cuando el estadístico de prueba que obtenemos a partir de la información muestral se encuentra en esta región. Hipótesis Alternativa. RESUMEN Hipótesis Nula. si una hipótesis es p = 0. Cuando rechazamos una hipótesis. En muchos casos formulamos una hipótesis estadística con el único propósito de rechazarla o invalidarla. Toda hipótesis que difiera de una dada se llamará una hipótesis alternativa. se llama nivel de significancia de la prueba. decimos que lo hacemos al nivel de significancia α .5 o p > 0. si deseamos decidir si un procedimiento es mejor que otro. Así. debemos rechazar la hipótesis nula. Análogamente. Lo anterior se puede resumir en la siguiente tabla: Decisión Aceptar Rechazar La hipótesis es: Verdadera Falsa No hay error Error tipo II Error tipo I No hay error. 10 . generamos una región de rechazo o región crítica. formulamos la hipótesis de que no hay diferencia entre ellos (o sea.Con la letra β se designa a la probabilidad de cometer error tipo II.5. que cualquier diferencia observada se debe simplemente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población). hipótesis alternativas podrían ser p < 0. p ≠ 0. Por ejemplo.5. Definición: La probabilidad máxima con la que al probar una hipótesis se puede cometer error tipo I (α ).5. Al diseñar una regla de decisión para aceptar o rechazar una hipótesis. una hipótesis alternativa a la hipótesis nula se denotará por H1. formulamos la hipótesis de que la moneda es buena (o sea. Tales hipótesis se suelen llamar hipótesis nula y se denotan por Ho. p es la probabilidad de cara). si queremos decidir si una moneda está trucada. deben diseñarse de modo que minimicen los errores de decisión. y se llaman contrastes (o tests) de hipótesis o de significación o reglas de decisión. no ayudan a decidir si aceptamos o rechazamos hipótesis. un intento de disminuir un tipo de error suele ir acompañando de un crecimiento del otro tipo. estaríamos inclinados a rechazar la hipótesis de que la moneda es buena. aunque cabe la posibilidad de equivocarnos. entonces diremos que las diferencias observadas son significativas y no veríamos inclinarnos a rechazar la hipótesis (o al menos al no aceptarla ante la evidencia obtenida). Por otra parte. por teoría de muestreo). En la practica. Para que las reglas de decisión (o contrastes de hipótesis) sean buenas.CONTRASTES DE HIPOTESIS Y SIGNIFICACION. si aceptamos una hipótesis que debiera de ser rechazada. si en 20 tiradas de una moneda salen 16 caras. 11 . O REGLAS DE DECISION Si suponemos que una hipótesis particular es cierta pero vemos que los resultados hallados en una muestra aleatoria difieren notablemente de los esperados bajo tal hipótesis (o sea. Y no es una cuestión sencilla. un tipo de error puede ser más grave. Así. que no siempre es posible. esperados sobre la base del puro azar. diríamos que se ha cometido un error de tipo II. En ambos casos. porque para cualquier tamaño de la muestra. se ha producido un juicio erróneo. Los procedimientos que nos capacitan para determinar si la muestras observadas difieren significativamente de los resultados esperados. ERRORES DE TIPO I Y DE TIPO II Si rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada. La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra. diremos que se ha cometido un error de tipo I. Para esto. la media de una población normal. en caso contrario. La finalidad de esta estandarización es la de facilitar el procedimiento de decisión en la prueba.. tomamos una muestra aleatoria de n observaciones independientes de esta población X1. Consideremos casos en donde las varianzas poblaciones sean o no conocidas. Es decir. Prueba de hipótesis para la media de una población normal con varianza conocida. X2. Consideremos una población normal. H0 : µ = µ0 Contra la alterna H 1 : µ ≠ µ0 Donde µ 0 es una constante. sí el estadístico asociado a nuestro experimento es x (la media muestral). formamos luego el estadístico de prueba.PRUEBA DE HIPOTESIS EN POBLACIONES NORMALES. Estudiaremos la metodología para llevar a cabo pruebas de hipótesis referentes al parámetros µ . Z=X . ya sea una variable normal estándar (Z) en caso de que se conozca la desviación estándar poblacional. Las ideas anteriores se ilustran a continuación. por ejemplo. se manejara el estadístico de prueba en su forma estándar. este será estandarizado. En esta sección y en las siguientes.µ o σ /n 12 . Deseamos probar la hipótesis nula. y también el estudio comparativo de dos medias poblaciones. Xn.. supongamos que se cumplen las condiciones del Teorema Central del Limite). Pruebas de hipótesis para medidas. ( si la población no es normal. o una variable t de Student. cuya media µ es desconocida y su varianza σ 2 es conocida.…. cuando la hipótesis nula es verdadera. Si seleccionamos un valor de α pequeño. rechazamos la hipótesis nula si el valor del estadístico de prueba se encuentra en cualquiera de estas regiones.Z α / 2 y Zα /2 es 1 . Las pruebas de este estilo. es α .∝ ∝/ 2 ∝/ 2 Z -Z ∝ / 2 0 Z∝/2 Figura : región de rechazo de Ho :µ = µ o. en donde la región de rechazo se encuentra en las colas de cierta distribución. Supongamos que deseamos probar la alternativa unilateral. decimos que : Z > Zα /2 ó Z < -Z α /2. si la hipótesis nula es verdadera. Forman la región de rechazo para esta prueba.α .Que tiene distribución normal estándar. Así la probabilidad de que Z tome un valor entre . en un ensayo bilateral. esto se ilustra en la figura 1. sabemos que es poco probable que el valor de Z se encuentre en las colas de esta distribución. Esto es la probabilidad de que el valor de Z se encuentre en la región Z > Zα /2 ó Z < -Z α /2. Por todo esto. Es decir. y si esto ocurre puede ser un indicio de falsedad de la hipótesis nula. se denominan pruebas de dos colas. H 1: µ > µ Recordando que el estadístico de prueba es : Z= X . La probabilidad de estar equivocados (cometer errores tipo I ) es α .µ σ /√n 13 0 0 . α . 0 Z 14 .Zα . Figura :región de rechazo de Ho : µ = µ o. en un ensayo unilateral. es decir. α Z 0 Zα rechazo de Ho. si.Zα rechazo de Ho.Concluimos que valores negativos de Z no llevarían al rechazo de Ho. Es decir. Debemos entonces rechazar Ho sí: Z > Zα En forma similar si deseamos probar H1 : µ < µ o Debe calcular el estadístico de prueba Z. Z < . la región de rechazo en esta prueba está en la cola derecha de la distribución normal estándar. y rechazaremos la hipótesis nula si el valor de Z se encuentra en la cola izquierda de la distribución normal estándar. 05.. .Z. Utilizando la tabla de la distribución normal. 1.05 Z Rechazo de Ho. x = 12.2 0 El valor de Z no se encuentra en la región de rechazo. 15 .645 -1.13 = 1.4 kms/lt. Se selecciona un a muestra al azar de 36 automóviles de este modelo.4. Si se sabe por experiencia que la desviación estándar de este rendimiento es α = 3 km/lt.2 3 / √ 36 La región de rechazo de Ho esta por Z < . por lo que concluimos que no existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis nula.Figura : región de rechazo de Ho.4 . : µ = µ o.05 = 1.645. en un ensayo bilateral. por lo que el estadístico de prueba es: Z =X . y se obtiene un rendimiento promedio de 12.Un fabricante de cierto modelo de autos afirma que dicho modelo rinde un promedio de 13 kilómetros por litro de gasolina. encontramos que Z.05. 0.1. para un ensayo unilateral. ¿ que se puede concluir con respecto a la afirmación del fabricante? Utilizar un nivel de significación = 0.µ o σ / √n Z = 12. Solución: Podemos postular la hipótesis como: Ho : µ = 13 H1 : µ < 13 La información muestral en n = 36. Utilice un nivel de significancia de: 0. Es decir.µ o σ /√n A partir de la información muestral.8/√49 la región de rechazo de la hipótesis nula es > Z .2 Kg.2 . se concluye que la decisión es rechazar la hipótesis nula. si los datos de una muestra aleatoria de 49 pasajeros arrojaron una media de 16. se obtiene.01 Solución. concluya con respecto a la afirmación anterior. El planteamiento de las hipótesis es el siguiente: Ho : µ = 15 H1 : µ ≠ 15 El estadístico de prueba es de Z = X .2. Z = 16. n = 49.La administración de una línea aérea desea determinar si el peso promedio de las maletas de los pasajeros que van de México a los Ángeles es de 15 Kg. Suponiendo que la desviación típica de estos pesos es de 2..58 rechazo de Ho 0 2.15 = 3 2.005 0.58 3 rechazo de Ho.005 Z -2.8kg. De la grafica anterior.005 Z 0.2. la información de la muestra si presenta evidencia estadística como para 16 .X = 16. b) ¿Existe evidencia de que el promedio poblacional es diferente a 8 onzas? c) ¿Cuál seria su respuesta en (b) si la desviación estándar es especificada como 0.05 onzas? 17 . a) Establezca la hipótesis nula y alternativa. b) ¿Existe evidencia de que la maquina no cumple con las especificaciones del fabricante respecto a la resistencia? (Use un nivel de significancia de 0. y se detiene la línea si se obtiene evidencia de que la cantidad promedio vertida es diferente de 8 onzas.15 onzas. El dueño actual asegura que los últimos 5 años el promedio de ingresos diarios ha sido 675 dólares con una desviación estándar de 75 dólares.5 libras. Un empresario potencial estudia la posibilidad de comprar una lavandería con máquinas operadas con monedas. La máquina que vierte los aderezos funciona bien cuando sirve 8 onzas.983 onzas.75 libras? d) ¿Cuál seria su respuesta en (b) su la medida muestral es 69 libras? 2. a) Establezca la hipótesis nula y alternativa. b) ¿Existe evidencia de que la aseveración del dueño actual no es válida? (Use un nivel de significancia de 0.rechazar la hipótesis de que el peso promedio de las maletas de estos pasajeros es de 15 Kg. EJERCICIO DE PRUEBAS DE HIPOTESIS 1. Una muestra de 30 días selectos revela un ingreso promedio diario de 625 dólares. De manera periódica. Suponga Que el director de una fábrica de telas necesita determinar si una máquina nueva produce cierto tipo de tela de acuerdo con las especificaciones del fabricante. que indican que la tela debe de tener una resistencia media de 70 libras y una desviación estándar de 3. Una muestra de 49 piezas revela una medida muestral de 69. Un fabricante de aderezos para ensalada usa unas máquinas para verter los ingredientes líquidos en las botellas que se mueven en una línea de llenado.05) c) ¿Cuál sería su respuesta en (b) si la desviación estándar especificada es de 1. La desviación estándar del proceso es 0. Suponga que la cantidad promedio servida en una muestra es particular es 7. se colecciona una muestra de 50 botellas.1 libras.01) c) ¿Cuál sería su respuesta en (b) si la desviación estándar fuera 100 dólares? d) ¿Cuál sería su respuesta en (b) si la medida muestral fuera 650 dólares? 3. a) Establezca la hipótesis nula y alternativa. 6 9. si se coloca demasiado. la cantidad promedio de retiro esperada (es decir.8 .1 8. Suponga que una cierta sucursal.7 9. La compañía Glen Valley Steel fabrica barras de acero.5 8. Las barras más largas se pueden usar o alternar.d) ¿Cuál sería su respuesta en (b) si la medida muestral fuera 7.0 8.01? 5.73 pies. energy eficiency rting) de una unidad de aire acondicionado de gran capacidad (más de 7. Si el proceso de producción funciona bien.3 9.8 9.2 9. Se selecciona una muestra aleatoria de estas unidades y se prueba durante un período fijo.8 9.0 18 8.8 pies con una desviación estándar de 0.5 9. pero las más cortas se desperdician. a) Establezca la hipótesis nula y alternativa. ¿Qué conclusiones obtendría? 6. b) Si la compañía desea probar la hipótesis a un nivel de significancia de 0.1 8.4 9. La muestra indica una longitud promedio de 2. para la población) por transacción del cliente en el fin de semana es 160 dólares con una desviación estándar esperada (poblacional) de 30 dólares.3 9. b) Si se examina una muestra aleatoria de 36 clientes y se obtiene que el retiro medio de la muestra es 173 dólares ¿existe una evidencia para que el retiro promedio verdadero ya no es 160 dólares? (use un nivel de significancia de 0. produce barras con longitud promedio de al menos 2.9 9. Por otro lado.5 9.6 8. Los registros de la EER son los siguientes: 9. a) Establezca la hipótesis nula y alternativa.9 9.7 8.05. Debe suministrarse suficiente efectivo en un cajero automático para satisfacer los retiros de los clientes durante el fin de semana. Un grupo para la defensa del consumidor desea evaluar la tasa de eficiencia de energía promedio (EER.1 10. el dinero permanece en el cajero sin necesidad y el banco pierde la oportunidad de invertirlo y ganar interés.4 8.5 9. La compañía desea determinar si debe ajustar el equipo de producción.05) c) ¿Cuál sería la respuesta en (b) si la desviación estándar es en realidad 24 dólares? d) ¿Cuál seria su respuesta en (b) si su nivel de significancia es de 0.6 9.9 9.2 8.3 9.4 9.1 9.4 9.3 9.000 Btu) para instalar en una ventana.02 pies (según la determinación de especificaciones de ingeniería del equipo de producción).3 9.952 onzas? 4.2 9.0 9. Se selecciona una muestra de 25 barras de la línea de producción.9 9.3 9. 2 249..5 281.0 276. ¿existe evidencia de que el EER promedio difiere de 9. Un fabricante de plásticos debe evaluar la durabilidad de bloques moldeados rectangulares (de plástico) que se usan en muebles.0? 7.0 270.3 267.3 243.Una empresa que se especializa en publicidad por correo ideó un cuestionario nuevo que.3 283. Se examina una muestra aleatoria de bloques y las mediciones de dureza (en unidades Brinell) son las siguientes: 283. Sea ∝ = 0. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir que el nuevo cuestionario es mejor que el usual?. con una desviación típica de 1. va a obtener más respuestas que el cuestionario normal.4 259.8 256.4 239.9 279. Otra muestra de 100 pacientes con una enfermedad B permaneció en promedio 35 días.4 295.Una muestra de 100 pacientes con una enfermedad A admitidos en un hospital para enfermos crónicos permaneció allí un promedio de 32 días. ¿existe evidencia de que la dureza promedio de los bloques de plástico excede 260 unidades (Brinell)? 8.4 285.8 313. Cuando se utilizo el cuestionario normal con 250 posibles encuestados. contestaron 115.8 301.4 onzas.2 267.5 194. La experiencia a demostrado que los pesos están distribuidos en forma aproximadamente normal.7 255.9 265. 10.5 a) Con un nivel de significancia de 0.6 269.. El número de respuestas es de 120. 9.3 291.6 228. en su concepto.7 263.9 334.9 228.6 276.3 277.0 281. que las dos poblaciones son diferentes respecto del promedio de permanencia?.0 260.1 274.1 252. Las varianzas de las muestras fueron de 50 y 60 respectivamente.9 262.2 302.a) Con un nivel de significancia de 0. 19 .6 273.05.1 238.7 278.9 240. Una muestra aleatoria de 35 paquetes arroja un peso promedio de 29.05.8 302. El nuevo cuestionario se envía a una muestra de 200 posibles encuestados.8 233.Una empresa procesadora de alimentos congelados dice que el precio promedio neto por paquete de un alimento es de 30 onzas.2 235.5 onzas. ¿ Constituye esto suficiente evidencia como para concluir que el peso promedio verdadero de los paquetes a disminuido?. ¿ Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir.6 271.3 255. en el nivel de significación 0.5 277.7 289.3 273.9 254..3 250.1 279.05.05.7 263.05. Sea∝ = 0. cada uno de los cuales a recibido entrenamiento con métodos diferentes. Tabla 6.000 en determinado sector. El otro miembro se asigno a un curso de entrenamiento que se dicto según el método B. 12. en el nivel de significación 0. Una muestra aleatoria de 36 casas de ese sector tubo un valor promedio de $65.000. en promedio.7 muestra los resultados.Se compararon 9 pares de camioneros expertos con base en la edad. Los resultados fueron los siguiente: Alcohólicos No Alcohólicos X 60 72 S2 100 100 ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir. Uno de los miembros de cada par se asigna al azar a un curso de entrenamiento que se dicto según el método A.Una prueba para medir el nivel de seguridad de una persona se administro a una muestra aleatoria de 25 alcohólicos y a una muestra independiente a 20 no alcohólicos.05. ¿Podríamos concluir con base en estos datos que el método A es superior al método B?.05? 20 . años de experiencia y otras variables importantes. Al término del curso.000 y un desviación típica de $12. La tabla 6. cada uno hizo un examen para comprobar la retención del material estudiado..01.. Par Método A Método B 1 90 85 2 95 88 3 87 87 4 85 86 5 90 82 6 94 82 7 85 70 8 88 72 9 92 80 13.. presentan puntajes más bajos en la prueba que los no alcohólicos.Un agente de bienes raíces dice que el valor promedio de las casas es de $65. Sea∝ = 0.7 Puntajes obtenidos por nueve pares de camioneros. que los alcohólicos. ¿Son suficientes estos datos para sustentar la idea del agente en el nivel de significación 0.11. 125 dijeron que lo hacían 2 veces al año. un equipo de investigación encontró que el 35% de ellos eran veteranos incapacitados a los 55 años de edad entre los21 .6 115 2 ¿Proporcionan estos datos evidencias suficiente como para concluir que el tiempo promedio requerido por la población 2 es menor que el requerido por la población 1? Sea∝ = 0. con base en estos datos.1 140 Población 8 17. 17.. 15.? 16.05. en el nivel de significación 0. se obtuvieron los siguientes resultados respecto de los niveles de azúcar en la sangre: Sector 1 2 Numero de personas Examinadas 200 250 Número de personas con un nivel anormal de azúcar 20 40 ¿Se podría concluir. La variable de interés consiste en el tiempo (en minutos) que requieren para hacer una tarea. Los de la población 2 son normales. Población 1 N X S2 10 26..14.Los siguientes datos se basan en muestras aleatorias tomadas de 2 poblaciones de niños..En una encuesta hecha a incapacitados.05. ¿Son estos datos suficientes para sustentar la opinión de los empleados.En una encuesta realizada en 2 sectores de una ciudad.Una junta de empleados de salud publica cree que el menos del 50% de los adultos de su jurisdicción se mandan a ser revisiones dentales 2 veces al año de los 300 adultos entrevistados en una encuesta.. Los niños de la población 1 son retardados mentales educables. que los 2 sectores son diferentes respecto de la proporción de recientes con niveles anormales de azúcar en la sangre? Sea∝ = 0.05. 067 9.2.0 14.4 18. Báscula A Báscula B 10.Para poner una prueba su laboratorio.4.036 9. ¿Sugieren los resultados que existe una diferencia significativa entre ambas básculas?. y las dividió a la mitad. 235.056 3. en tanto que la otra la llevó a otro laboratorio (B).05.063 8.? Sea∝ = 0. 50.7 16. 19.1.050 9.9. un fabricante sacó 13 muestras de su producto. 254.3 16.7 16.033 9.7 22.006 2.074 5.9 18.Para revisar dos básculas.2 18. La muestra arroja una medida de 96 unidades/ml. 49. ¿Son tales resultados congruentes con el supuesto de que los sacos pertenecen a una población que tiene una media de 50Kg. ¿Dan estos datos evidencia suficiente para concluir.que no eran veteranos. a una de las mitades la puso a prueba en su laboratorio (A). 242.062 3. 50. se pesaron 8 muestras en cada una de ellas. 49.8. Se eligen 11 de ellos al azar y se observa que su masa en kilogramos es: 49.. 20. 50.9 Laboratorio B 19.8 17. 249. 235.? Emplee ∝ = 10%. 50.7 16.070 2.3 18.7 17.2.05.070 5. y una desviación típica de 36 unidades/ 100ml.. 266 y 239.3 15. el porcentaje inhabilitado antes de los 55 años era 45.7 19.063 10.7.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Laboratorio A 17.Se hicieron mediciones del nivel de una encima en muestras de sangre de 16 sujetos aparentemente normales.6.) 18. Use ∝ = 5%. y 49. 231.8 16. ¿Proporciona estos datos evidencia suficiente como para indicar que la media de la población es menor que 100 unidades/ml.Un fabricante afirma que la resistencia media de un resistor es de 250 Ω (ohms).0 18.2 17.4 14..2 13.2 17. 261. 49.3 15.0 18. ¿Llena los requisitos especificados la remesa si se toleran los valores dentro del nivel de significación de 10%?.000 21.. Muestra núm. 50. que en el nivel de significación 0.7 19. 22 .051 8. Un comprador pone a prueba 10 y observa los valores siguientes: 246.. 49. que los veteranos y los no veteranos se diferencian en cuanto a la proporción de inhabilidad antes de los 55 años de edad? (nv = nN = 100.7.0 17.060 5.1 19. ¿Existe una diferencia significativa entre los resultados de la prueba de ambos laboratorios? Emplee ∝ = 5%.1.Se vende una marca especial de cemento en sacos de 50 kg.076 5. 54 93.21 94.52 Ponga a prueba la hipótesis que no hay ninguna diferencia en el contenido de los dos productos.32 92. % Fabrica 1 Fabrica 2 93.57 92.06 93..77 92. Use ∝ 1 % (ver tabla 13-1) Viscosidad (codificada) Muestra Número. se dividieron a la mitad 10 muestras.13 92. Use ∝= 1%.. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mañana Tarde 45 48 50 53 54 52 73 75 72 56 40 42 48 50 53 50 72 77 73 55 24.Los resultados de los análisis químicos del contenido de A en los materiales producidos por distintas fábricas son las siguientes: Contenido de A.38 92. ¿ Sugieren los datos que la “viscosidad vespertina” es mayor?. Por tanto. 23 .55 93.23. una de las mitades se pone a prueba en la mañana y la otra en la tarde.Se sospecha que en un laboratorio las medidas de viscosidad obtenidas en la mañana eran menores que en la tarde.81 93. 25. Para poner a prueba si esto es verdad. los valores correspondientes para la aleación B fueron 27.Para comparar la resistencia a la tensión de dos tipos de cemento.) De cada par de probetas. 4760. ¿ Se puede concluir que las resistencias de ambas aleaciones no difieren al nivel de significación del 1%?.100kN/m2 y 15%. 4820.72 2. se hacen seis cilindros de muestra usando este nuevo método y otros seis con el método común.400kN/m2 con un coeficiente de variación de 19%.. MN/m2 Lote número 1 2 3 4 5 6 Con empaque 2. Los resultados en MN/m2 son siguientes: 24 . 4450.96 2. La elección A presentó una resistencia media de 31.00 2.. 4670.10 2. Use ∝ = 1%.65 2.Se manufactura concreto mediante compactación a presión con visitas a incrementar su resistencia a la compresión.Se compró la resistencia de dos aleaciones y se puso a prueba 10 muestras de cada una de ellas. se hicieron seis briquetas de argamasa con cada uno de ellos. 4710.62 2.48 Sin empaque 2. (Ver tabla 13-15. una fue sometida a prueba con el empaque y otra sin él. se hacen dos probetas a partir de seis lotes de concreto.. 4100 ¿ Existe una diferencia significativa entre las resistencias a la tensión de ambos cementos? Use ∝ = 5%. 26. 4170.76 2. Resistencia a la tensión. 28. 4400.38 2. Cemento A: 4600. y se registraron las siguientes resistencias (kN/m2).28 2. 4700. ¿ Existe una diferencia significativa entre las resistencias obtenidas por ambos métodos de prueba?.18 27..48 2. 4480 Cemento B: 4400.a fin de determinar si el uso de empaques de caucho entre las puertas de concreto y la platina de la máquina de pruebas afecta la resistencia observada. Una muestra de 100 bombillas de la marca A da vida media de 1190 h y desviación típica de 90 h.3 35. ¿Hay diferencia entre las vidas medias de esas dos marcas de bombillas al nivel de significación (a) 0. en los del nuevo fertilizante..05 y (b) 0. El número medio de bushels (bu) de trigo cosechados por cuadrado fueron 18.9 31. calidades de tierra..01?. 25 . contrastar la hipótesis de que las bombillas de la marca B son de más calidad que las de la A. se utiliza en treinta de ellos en nuevo fertilizante y el antiguo a los demás.5 26. y 17. horas del sol. Explicar las diferencias entre estos resultados y los citados en la última parte del Problema 22.8 30.0 29.. se escogieron 60 campos cuadrados de iguales áreas.Muestras aleatorias de 200 piezas producidas por una máquina A y 100 fabricadas por otra B dieron 19 y 5 piezas defectuosas.63 bu.1 27.05. 31. 32.0 29.En el examen de ortografía. mientras que la nota media de 36 niñas ha sido 75 con la desviación típica de 6.0 34. respectivamente. Usar el nivel de significación 0.Para comprobar los efectos del nuevo fertilizante en la producción del trigo.En el problema 22. ¿Contradicen estos resultados a los del problema 22?.01.2 33. Contrastar la hipótesis de que (a) las dos máquinas tienen distinta calidad de producción y (b) la B es mejor a la A.. la nota media de 32 niños ha sido 72 con una desviación típica de 8.01 las niñas superan a los niños en ortografía. usando nivel de significación (a) 0.01.8 bu con una desviación típica de 0. Una muestra de 75 bombillas de la marca B da vida media de 1230 h y desviación típica de 120 h.6 29.05 y (b) 0.6 31. 33.7 29.05 y (b) 0. Usando nivel de significación de (a) 0. 30.2 bu con una desviación típica de 0.. Contrastar la hipótesis de que al nivel de significación (a) 0.54 bu en los del antiguo. etc.05 y (b) 0.Método nuevo Método común 33. contrastar la hipótesis de que el nuevo fertilizante es mejor que el antiguo.