1Lic. Araujo Cajamarca, Raul INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES 1. CON VARIANZAS CONOCIDAS Sean 1 X y 2 X las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaños 1 n y 2 n seleccionadas respectivamente de dos poblaciones con medias 1 µ y 2 µ desconocidas. Suponemos que las varianzas 2 1 o y 2 2 o son conocidas. Este hecho se justifica por datos históricos, o por estudios estadísticos similares, o por su estimación puntual insesgada dadas respectivamente por 2 1 S y 2 1 S calculada de las muestras siempre que sea grande. Si las dos poblaciones son Normales: entonces 1 X y 2 X tienen distribuciones respectivas normal 2 1 1 1 ( , ) N n o µ y normal 2 2 1 2 ( , ) N n o µ (para 1 2 n > y 2 2 n > ). En consecuencia por la propiedad reproductiva de la normal, la estadística 1 2 X X ÷ tiene distribución normal 2 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) N n n o o µ µ ÷ + . Si las dos poblaciones no son normales, pero 1 n y 2 n son tamaños de muestras suficientemente grandes ( 1 30 n > y 2 30 n > ), entonces por el teorema del límite central, la estadística 1 2 X X ÷ es aproximadamente normal 2 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) N n n o o µ µ ÷ + . Por lo tanto, en cualquier de los dos casos, la variable aleatoria estándar Z definida por: 1 2 1 2 1 2 ( ) x x X X Z µ µ o ÷ ÷ ÷ ÷ = Donde 1 2 2 2 1 2 1 2 x x n n o o o ÷ = + Tienen distribución exactamente o aproximadamente normal. (0;1) N . La variable Z resultante, es la estadística del pivote que se aplica para determinar el intervalo de confianza de 1 2 µ µ ÷ en este caso, ya que esta depende sólo de valores de las muestras y del parámetro único 1 2 µ µ ÷ ya que las varianzas 2 1 o y 2 2 o son conocidas de algún modo dado el nivel de confianza 1 o ÷ , en la distribución de Z se ubica el valor 1 2 Z o ÷ de manera que: [ ] 1 P z Z z o ÷ s s = ÷ sustituyendo 1 2 1 2 1 2 ( ) x x X X Z µ µ o ÷ ÷ ÷ ÷ = y operando adecuadamente, resulta. 2 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 [( ) ( )( ) ( ) ( )( )] 1 x x x x P X X Z X X Z o o o µ µ o o ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ s ÷ s ÷ + = ÷ Intervalos de estimación de 1 2 µ µ ÷ 0 a Z b (1 ) 2 Z o ÷ ÷ (1 ) 2 Z o ÷ 1 o ÷ 2 o 2 o 1 2 X X ÷ Intervalo de 1 2 µ µ ÷ 1 2 X X ÷ Si se desconocen las varianzas, entonces se hace 2 2 1 1 S o = 2 2 2 2 S o = siempre que cada muestra sea d3e tamaño grande. Ejemplo 01 Un consumidor de cierto producto quiere aplicar la técnica de estimación estadística para decidir si comprar la marca A o la marca B del producto. Para esto va a estimar la diferencia entre los tiempos de vida promedio de las dos marcas del producto. Si dos muestras aleatorias independientes de 10 unidades de cada marca llevados a un laboratorio han dado las medias de vida útil respectiva de 1230 horas y 1190 horas; ¿es acertada la decisión del consumidor si decide adquirir la marca a? Aplique el nivel de confianza del 95% y suponga que las dos poblaciones tienen distribución normal con desviaciones estándar respectivamente de 120 y 160 horas. Solución: Paso 01: La estimación Puntual de 1 2 µ µ ÷ es la diferencia de las medias Muestrales: 1 2 1230 1190 40 X X ÷ = ÷ = Paso 02: El error típico de la diferencia de dos medias Muestrales es: 3 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 1 2 1 2 x x x x S o ÷ ÷ = 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 120 160 42.4264 10 10 x x n n o o o ÷ = + = + = Paso 03: Dado el nivel de confianza 1 o ÷ =0.95 ¬ 1 0.95 o = ÷ 0.05 o = Paso 04: Calculando 0.05 0.975 1 1 2 2 1.96 Z Z Z o ÷ ÷ = = = Paso 05: Los limites inferiores y superiores respectivamente de 1 2 µ µ ÷ son: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) x x x x X X Z X X Z o o o µ µ o ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ s ÷ s ÷ + Remplazando valores tenemos: 1 2 (40) (1.96)(42.4264) (40) (1.96)(42.4264) µ µ ÷ s ÷ s + 1 2 43.155744 123.155744 µ µ ÷ s ÷ s Y dado que: | | 1 2 0 43.156;123,156 µ µ ÷ = e ÷ , se concluye que 1 2 µ µ = y que no hay diferencias significativas entre las medias de las vidas útiles de las marcas A y B del producto. Por tanto, el gerente de compras puede adquirir cualquiera de las dos marcas. Ejemplo 02 El salario diario promedio para una muestra de 1 30 n = empleados de una empresa manufacturera grande es 1 28000$ X = con una desviación estándar de 1 1400$ S = , en otra empresa grande, una muestra aleatoria de 2 40 n = empleados tiene un salario promedio diario de 2 27000$ X = , con desviación estándar muestral de 1000$ S = . El intervalo de confianza del 99% para estimar las diferencias entre los niveles diarios de salarios en las dos empresas es: Paso 01 Clasificación de datos: 4 Lic. Araujo Cajamarca, Raul Empresas A B 1 30 n = 2 40 n = 1 28000$ X = 2 27000$ X = 1 1400$ S = 2 1000$ S = Paso 02: La estimación Puntual de 1 2 µ µ ÷ es la diferencia de las medias Muestrales: 1 2 28000 27000 1000 X X ÷ = ÷ = Paso 03: El error típico de la diferencia de dos medias Muestrales es: 1 2 1 2 x x x x S o ÷ ÷ = 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1400 1000 300.56 30 40 x x S S S n n ÷ = + = + = Paso 04: Dado el nivel de confianza 1 o ÷ =0.99 ¬ 1 0.99 o = ÷ 0.01 o = Paso 05: Calculando 0.01 0.995 1 1 2 2 2.58 Z Z Z o ÷ ÷ = = = Paso 06: Los limites inferiores y superiores respectivamente de 1 2 µ µ ÷ son: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) x x x x X X Z X X Z o o o µ µ o ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ s ÷ s ÷ + Remplazando valores tenemos: 1 2 (1000) (2.58)(300.56) (1000) (2.58)(300.56) µ µ ÷ s ÷ s + 1 2 224.5552 1775.4448 µ µ s ÷ s Por ello se puede afirmar que el salario diario promedio de la primera empresa es mayor que el correspondiente a la segunda, en una cantidad que va de 225 a 1775 con una confianza del 99%. 5 Lic. Araujo Cajamarca, Raul 2. CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Sean 1 X y 2 X las medias y 2 1 S y 2 2 S las varianzas de dos muestras aleatorias independientes de tamaños 1 n y 2 n respectivamente seleccionadas de dos poblaciones normales con varianzas 2 1 o y 2 2 o desconocidas. 2.1. Con varianzas desconocidas supuestas iguales 2 2 2 1 2 o o o = = Poblaciones normales, en este caso, la obtención de la estadística de pivote es como sigue: La varianza común o promedio: 2 2 2 1 1 2 2 1 2 ( 1) ( 1) 2 c n S n S S n n ÷ + ÷ = + ÷ Es un estimador insesgado de la varianza 2 o . 1 2 2 2 1 2 c c x x S S S n n ÷ = + Es el error típico de 1 2 X X ÷ , Dado el nivel de confianza 1 o ÷ (o en porcentaje), en la distribución 1 2 ( 2) T t n n + ÷ se halla el valor 1 2 (1 ; 2) 2 n n t o ÷ + ÷ tal que [ ] 1 P t T t o ÷ s s = ÷ . Intervalos de estimación de 1 2 µ µ ÷ 0 a T b 1 2 (1 ; 2) 2 n n t o ÷ + ÷ ÷ 1 o ÷ 2 o 2 o 1 2 X X ÷ Intervalo de 1 2 µ µ ÷ 1 2 (1 ; 2) 2 n n t o ÷ + ÷ ÷ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1 ; 2) (1 ; 2) 2 2 [( ) ( )( ) ( ) ( )( )] 1 x x x x n n n n P X X t S X X t S o o µ µ o ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ s ÷ s ÷ + = ÷ Siendo el intervalo a determinar: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1 ; 2) (1 ; 2) 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) x x x x n n n n X X t S X X t S o o µ µ ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ s ÷ s ÷ + 6 Lic. Araujo Cajamarca, Raul Ejemplo 01 El agente de una cadena de restaurantes va a decidir adquirir entre dos variedades de arroz A y B. para tomar la decisión estadística comparando la calidad, se escogieron dos muestras aleatorias independientes de 10 bolsas de arroz de un kilo cada uno de las dos variedades de arroz y se observaron los siguientes porcentajes de granos quebrados por kilo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Variedad: A 6 5 6 7 4 7 6 4 3 6 Variedad: B 7 6 7 9 5 8 7 6 10 8 Obtenga el intervalo de confianza del 95% de la diferencia de los promedios de porcentajes de gramos quebrados por kilos de arroz de las dos variedades. ¿Es válido concluir que no hay diferencias significativas entre las dos medias poblacionales? Suponga que las poblaciones de los porcentajes de gramos quebrados por kilo de A y B se distribuyen normalmente con la misma varianza. Paso 01 Clasificación de datos: i 1 x 1 x x ÷ 2 1 ( ) x x ÷ 1 6 0.6 0.36 2 5 -0.4 0.16 3 6 0.6 0.36 4 7 1.6 2.56 5 4 -1.4 1.96 6 7 1.6 2.56 7 6 0.6 0.36 8 4 -1.4 1.96 9 3 -2.4 5.76 10 6 0.6 0.36 54 16.4 10 2 1 2 1 1 1 ( ) 16.40 1.82 1 9 i x x S n = ÷ = = = ÷ ¿ i 1 x 1 x x ÷ 2 1 ( ) x x ÷ 1 7 -0.3 0.09 2 6 -1.3 1.69 3 7 -0.3 0.09 4 9 1.7 2.89 5 5 -2.3 5.29 6 8 0.7 0.49 7 7 -0.3 0.09 8 6 -1.3 1.69 9 10 2.7 7.29 10 8 0.7 0.49 73 20.1 10 2 1 2 1 2 1 ( ) 20.10 2.23 1 9 i x x S n = ÷ = = = ÷ ¿ , es posible aproximar los valores de mediante la distribución normal estándar 7 Lic. Araujo Cajamarca, Raul Empresas A B 1 10 n = 2 10 n = 1 5.40 X = 2 7.30 X = 1 1.3499 S = 2 1.4944 S = Paso 02: La estimación Puntual de 1 2 µ µ ÷ es la diferencia de las medias Muestrales: 1 2 5.40 7.30 1.90 X X ÷ = ÷ = ÷ Paso 03: El error típico de la diferencia de dos medias Muestrales es: 2 2 2 1 1 2 2 1 2 ( 1) ( 1) (10 1)1.82 (10 1)2.23 9(1.82) 9(2.23) 2.03 2 10 10 2 18 c n S n S S n n ÷ + ÷ ÷ + ÷ + = = = = ÷ ÷ + ÷ 1 2 2 2 1 2 2.03 2.03 0.64 10 10 c c x x S S S n n ÷ = + = + = Paso 04: Dado el nivel de confianza 1 o ÷ =0.95 ¬ 1 0.95 o = ÷ 0.05 o = Paso 05: Calculando 1 2 0.05 (0.975;18) (1 , 2) (1 ;10 10 2) 2 2 2.101 n n t t t o ÷ + ÷ ÷ + ÷ = = = Paso 06: Los limites inferiores y superiores respectivamente de 1 2 µ µ ÷ son: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1 ; 2) (1 ; 2) 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) x x x x n n n n X X t S X X t S o o µ µ ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ s ÷ s ÷ + Remplazando valores tenemos: 1 2 (5.40 7.30) (2.101)(0.64) (5.40 7.30) (2.101)(0.64) µ µ ÷ ÷ s ÷ s ÷ ÷ 1 2 3.2379 0.5621 µ µ ÷ s ÷ s ÷ 8 Lic. Araujo Cajamarca, Raul Dado que 1 2 0 µ µ ÷ = no pertenece al intervalo de confianza, no se debe aceptar que 1 2 µ µ = además el intervalo es negativo, entonces 1 2 µ µ < . Ejemplo 02 La vida útil promedio de una muestra aleatoria de 1 10 n = focos es 1 4600 X = horas con 1 250 S = horas. Para otra marca de focos, la vida útil promedio y la desviación estándar para una muestra de 2 8 n = focos son 2 4000 X = horas y 2 200 S = horas. Se asume que la vida útil de los focos de ambas marcas tiene una distribución normal. El intervalo de confianza del 90% para estimar la diferencia entre las vidas útiles promedio de las dos marcas de focos es. Solución: Paso 01 Clasificación de datos: Empresas A B 1 10 n = 2 8 n = 1 4600 X = 2 4000 X = 1 250 S = 2 200 S = Paso 02: La estimación Puntual de 1 2 µ µ ÷ es la diferencia de las medias Muestrales: 1 2 4600 4000 600 X X ÷ = ÷ = Paso 03: Asumimos que 2 2 1 2 o o = La varianza muestral común es: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 ( 1) ( 1) (10 1)250 (8 1)200 9(250 ) 7(200 ) 52656.25 2 10 8 2 16 c n S n S S n n ÷ + ÷ ÷ + ÷ + = = = = ÷ ÷ + ÷ El error típico de la diferencia de dos medias Muestrales es: 1 2 2 2 1 2 52625.25 52625.25 108.8149 10 8 c c x x S S S n n ÷ = + = + = 9 Lic. Araujo Cajamarca, Raul Paso 04: Dado el nivel de confianza 1 o ÷ =0.90 ¬ 1 0.90 o = ÷ 0.10 o = Paso 05: Calculando 1 2 0.10 (0.95;16) (1 , 2) (1 ;10 8 2) 2 2 1.746 n n t t t o ÷ + ÷ ÷ + ÷ = = = Paso 06: Los limites inferiores y superiores respectivamente de 1 2 µ µ ÷ son: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1 ; 2) (1 ; 2) 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) x x x x n n n n X X t S X X t S o o µ µ ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ s ÷ s ÷ + Remplazando valores tenemos: 1 2 (4600 4000) (1.746)(108.8149) (4600 4000) (1.746)(108.8149) µ µ ÷ ÷ s ÷ s ÷ + 1 2 410.0092 790.2924 µ µ s ÷ s Así puede afirmarse con una confianza del 90%, que la primera marca de focos tiene una vida útil promedio mayor que la segunda, en una cantidad entre 40 y 790 horas. 2.2. Con varianzas desconocidas supuestas distintas Si las varianzas de las dos poblaciones normales independientes son desconocidas pero supuestas diferentes, entonces: Si 1 X y 2 X son las medias que resultan de dos muestras independientes de tamaño 1 n y 2 n escogidas respectivamente de dos poblaciones normales con varianza 2 1 o y 2 2 o desconocidas supuestas distintas entonces, el intervalo de confianza (1 o ÷ ) 100% de 1 2 µ µ ÷ es: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) (1 ; ) 2 [( ) ( )( ) ( ) ( )( )] 1 x x r x x r P X X t S X X t S o µ µ o ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ s ÷ s ÷ + = ÷ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1 ; ) (1 ; ) 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) x x x x r r X X t S X X t S o o µ µ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ s ÷ s ÷ + 10 Lic. Araujo Cajamarca, Raul Donde 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 S S n n r S S n n n n ( + ( ¸ ¸ = ( ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ + ÷ ÷ 1 2 2 2 1 2 1 2 x x S S S n n ÷ = + r Entero ~ Ejemplo 01 Se lleva a cabo un estudio para comparar los montos de los préstamos personales realizadas por dos entidades financieras A y B. con este fin se tomaron 9 y 8 préstamos al azar de cada banco resultando los siguientes montos en miles de soles: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Variedad: A 12 28 10 25 24 19 22 33 17 Variedad: B 16 20 16 20 16 17 15 21 - Aplicando un intervalo de estimación del 95% para la verdadera diferencia de los montos promedios, ¿Es válido inferir que en promedio el monto de los préstamos del banco A es mayor a los del banco B? datos históricos indican que la distribución de estos préstamos en cada banco, es normal con varianzas diferentes. Solución: Paso 01 Clasificación de datos: i i x i x x ÷ 2 ( ) i x x ÷ 1 12 -9.11 82.99 2 28 6.89 47.47 3 10 -11.11 123.43 4 25 3.89 15.13 5 24 2.89 8.35 6 19 -2.11 4.45 7 22 0.89 0.79 8 33 11.89 141.37 9 17 -4.11 16.89 190 440.87 i i x i x x ÷ 2 ( ) i x x ÷ 1 16 -1.63 2.66 2 20 2.37 5.62 3 16 -1.63 2.66 4 20 2.37 5.62 5 16 -1.63 2.66 6 17 -0.63 0.4 7 15 -2.63 6.92 8 21 3.37 11.36 141 37.9 11 Lic. Araujo Cajamarca, Raul Empresas A B 1 9 n = 2 8 n = 1 21.11 X = 2 17.625 X = 2 1 55.1088 S = 2 2 5.4143 S = Paso 02: La estimación Puntual de 1 2 µ µ ÷ es la diferencia de las medias Muestrales: 1 2 21.11 17.625 3.485 X X ÷ = ÷ = Paso 03: Las varianzas son 2 2 1 2 o o = Calculamos r : 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 55.1088 5.4143 (6.80) 9 8 9.7304 4.7521 55.1088 5.4143 9 8 8 7 1 1 S S n n r S S n n n n ( ( + + ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ = = = = ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ + + ÷ ÷ 9.7304 10 r = ~ El error típico de la diferencia de dos medias Muestrales es: 1 2 2 2 1 2 1 2 55.1088 5.4143 2.6077 9 8 x x S S S n n ÷ = + = + = Paso 04: Dado el nivel de confianza 1 o ÷ =0.95 ¬ 1 0.95 o = ÷ 0.05 o = Paso 05: Calculando 0.05 (0.975;9) (1 , ) (1 ;10 1) 2 2 2.228 r t t t o ÷ ÷ ÷ = = = Paso 06: 12 Lic. Araujo Cajamarca, Raul Los limites inferiores y superiores respectivamente de 1 2 µ µ ÷ son: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1 ; ) (1 ; ) 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) x x x x r r X X t S X X t S o o µ µ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ s ÷ s ÷ + Remplazando valores tenemos: 1 2 (21.11 17.625) (2.228)(2.6077) (21.1111 17.625) (2.228)(2.6077) µ µ ÷ ÷ s ÷ s ÷ + 1 2 2.3250 9.2950 µ µ ÷ s ÷ s Dado que | | 1 2 0 2.3250;9.2950 µ µ ÷ = e ÷ podemos concluir que: 1 2 µ µ = , por tanto, los montos promedios de los préstamos son iguales. entonces se hace 12 S12 2 2 S2 2 siempre que cada muestra sea d3e tamaño grande. Para esto va a estimar la diferencia entre los tiempos de vida promedio de las dos marcas del producto. Solución: Paso 01: La estimación Puntual de 1 2 es la diferencia de las medias Muestrales: X1 X 2 1230 1190 40 Paso 02: El error típico de la diferencia de dos medias Muestrales es: 2 Lic. Ejemplo 01 Un consumidor de cierto producto quiere aplicar la técnica de estimación estadística para decidir si comprar la marca A o la marca B del producto. ¿es acertada la decisión del consumidor si decide adquirir la marca a? Aplique el nivel de confianza del 95% y suponga que las dos poblaciones tienen distribución normal con desviaciones estándar respectivamente de 120 y 160 horas. Araujo Cajamarca.P[( X1 X 2 ) ( Z 1 2 )( x1 x2 ) 1 2 ( X1 X 2 ) ( Z Intervalos de estimación de 1 2 1 2 )( x1 x2 )] 1 2 Z (1 ) 2 1 2 Z X1 X 2 X1 X 2 0 Z (1 ) 2 a Intervalo de 1 2 b Si se desconocen las varianzas. Si dos muestras aleatorias independientes de 10 unidades de cada marca llevados a un laboratorio han dado las medias de vida útil respectiva de 1230 horas y 1190 horas. Raul . el gerente de compras puede adquirir cualquiera de las dos marcas.4264 10 10 Paso 03: Dado el nivel de confianza 1 =0.123.95 1 0.96)(42. se concluye que 1 2 y que no hay diferencias significativas entre las medias de las vidas útiles de las marcas A y B del producto.05 2 Z 0. El intervalo de confianza del 99% para estimar las diferencias entre los niveles diarios de salarios en las dos empresas es: Paso 01 Clasificación de datos: 3 Lic.156.155744 1 2 123. con desviación estándar muestral de S 1000$ .95 0. Raul .155744 Y dado que: 1 2 0 43.96)(42. una muestra aleatoria de n2 40 empleados tiene un salario promedio diario de X 2 27000$ .96 Los limites inferiores y superiores respectivamente de 1 2 son: ( X1 X 2 ) (Z tenemos: 1 2 )( x1 x2 ) 1 2 ( X1 X 2 ) ( Z 1 2 )( x1 x2 ) Remplazando valores (40) (1. x x Sx x 1 2 1 2 x x 1 2 12 n1 22 n2 1202 1602 42.975 1.4264) 1 2 (40) (1. Araujo Cajamarca.05 Paso 04: Calculando Z Paso 05: 1 2 Z 1 0. Ejemplo 02 El salario diario promedio para una muestra de n1 30 empleados de una empresa manufacturera grande es X1 28000$ con una desviación estándar de S1 1400$ .4264) 43.156 . Por tanto. en otra empresa grande. Empresas A B n1 30 n2 40 X 2 27000$ S2 1000$ X1 28000$ S1 1400$ Paso 02: La estimación Puntual de 1 2 es la diferencia de las medias Muestrales: X1 X 2 28000 27000 1000 Paso 03: El error típico de la diferencia de dos medias Muestrales es: x x Sx x 1 2 1 2 S x1 x2 Paso 04: S12 S2 2 14002 10002 300.58)(300.01 Paso 05: Calculando Z Paso 06: 1 2 Z 1 0.56) 1 2 (1000) (2.99 0. en una cantidad que va de 225 a 1775 con una confianza del 99%.58)(300. Raul .4448 Por ello se puede afirmar que el salario diario promedio de la primera empresa es mayor que el correspondiente a la segunda.01 2 Z0.995 2. 4 Lic.5552 1 2 1775.56) 224.99 1 0.58 Los limites inferiores y superiores respectivamente de 1 2 son: ( X1 X 2 ) (Z tenemos: 1 2 )( x1 x2 ) 1 2 ( X1 X 2 ) ( Z 1 2 )( x1 x2 ) Remplazando valores (1000) (2. Araujo Cajamarca.56 n1 n2 30 40 Dado el nivel de confianza 1 =0. n1 n2 2) 2 )(S x1 x2 ) 5 Lic. Intervalos de estimación de 1 2 2 1 2 t (1 . Raul .2. 2. Dado el nivel de confianza 1 (o en n1 n2 t (n1 n2 2) se halla el valor t (1 . Araujo Cajamarca. n1 n2 2) 2 X1 X 2 0 t (1 . CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Sean X 1 y X 2 las medias y S12 y S 2 2 las varianzas de dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 respectivamente seleccionadas de dos poblaciones normales con varianzas 12 y 2 2 desconocidas. en este caso. Con varianzas desconocidas supuestas iguales 12 2 2 2 Poblaciones normales. la obtención de la estadística de pivote es como sigue: La varianza común o promedio: (n1 1) S12 (n2 1) S2 2 Es un estimador insesgado de la varianza 2 . n1 n2 2) 2 porcentaje).1. en la distribución T tal que P[t T t ] 1 . n1 n2 2) 2 )(S x1 x2 )] 1 Siendo el intervalo a determinar: ( X1 X 2 ) (t (1 .n1 n2 2) 2 )(S x1 x2 ) 1 2 ( X1 X 2 ) (t (1 . n1 n2 2) 2 T a Intervalo de 1 2 b P[( X1 X 2 ) (t (1 .n1 n2 2) 2 )(S x1 x2 ) 1 2 ( X1 X 2 ) (t (1 . Sc n1 n2 2 2 S x1 x2 Sc 2 Sc 2 Es el error típico de X 1 X 2 . 4 1.49 20.6 -1.23 9 6 Lic.7 -0. es posible aproximar los valores de mediante la distribución normal estándar Ejemplo 01 El agente de una cadena de restaurantes va a decidir adquirir entre dos variedades de arroz A y B.7 ( x1 x )2 0.3 -0.3 -1.96 5. Paso 01 Clasificación de datos: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1 6 5 6 7 4 7 6 4 3 6 54 x1 x 0.1 S12 ( x1 x )2 i 1 10 n1 1 16.82 9 S2 2 (x x ) i 1 1 10 2 n1 1 20.7 0.96 2.76 0.7 -2.36 16.09 1. para tomar la decisión estadística comparando la calidad.4 -2.10 2.3 -1.16 0.29 0. Raul .69 0.89 5.4 0.6 -1.6 0.36 0.40 1.4 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1 7 6 7 9 5 8 7 6 10 8 73 x1 x -0.36 1. ¿Es válido concluir que no hay diferencias significativas entre las dos medias poblacionales? Suponga que las poblaciones de los porcentajes de gramos quebrados por kilo de A y B se distribuyen normalmente con la misma varianza.4 0.09 2.56 0.09 1. Araujo Cajamarca.6 1.3 0.56 1.3 2..29 0.6 ( x1 x )2 0.69 7.6 -0.36 2.3 1.49 0. se escogieron dos muestras aleatorias independientes de 10 bolsas de arroz de un kilo cada uno de las dos variedades de arroz y se observaron los siguientes porcentajes de granos quebrados por kilo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Variedad: A 6 5 6 7 4 7 6 4 3 6 Variedad: B 7 6 7 9 5 8 7 6 10 8 Obtenga el intervalo de confianza del 95% de la diferencia de los promedios de porcentajes de gramos quebrados por kilos de arroz de las dos variedades. 23 9(1.64) 1 2 (5.03 n1 n2 2 10 10 2 18 S x1 x2 Sc 2 Sc 2 2. Raul . n1 n2 2) 2 t (1 0.64) 3.30 1.03 2.95 1 0.40 S1 1.1010 2) 2 t(0. Araujo Cajamarca.64 n1 n2 10 10 Paso 04: Dado el nivel de confianza 1 =0.Empresas A B n1 10 n2 10 X1 5.40 7.101)(0.101 Los limites inferiores y superiores respectivamente de 1 2 son: ( X1 X 2 ) (t (1 .90 Paso 03: El error típico de la diferencia de dos medias Muestrales es: Sc 2 (n1 1) S12 (n2 1) S2 2 (10 1)1.40 7.30 S2 1.18) 2. n1 n2 2) 2 )(S x1 x2 ) Remplazando valores tenemos: (5.2379 1 2 0.4944 La estimación Puntual de 1 2 es la diferencia de las medias Muestrales: X1 X 2 5.30) (2.95 0.82 (10 1)2.5621 7 Lic.05 Paso 05: Calculando t Paso 06: (1 .975.40 7.23) 2.05 .3499 Paso 02: X 2 7.30) (2.82) 9(2.03 0.n1 n2 2) 2 )(S x1 x2 ) 1 2 ( X1 X 2 ) (t (1 .101)(0. Se asume que la vida útil de los focos de ambas marcas tiene una distribución normal.25 52625.Dado que 1 2 0 no pertenece al intervalo de confianza.8149 n1 n2 10 8 8 Lic. la vida útil promedio y la desviación estándar para una muestra de n2 8 focos son X 2 4000 horas y S2 200 horas. entonces 1 2 . Raul . El intervalo de confianza del 90% para estimar la diferencia entre las vidas útiles promedio de las dos marcas de focos es. Araujo Cajamarca. no se debe aceptar que 1 2 además el intervalo es negativo. Solución: Paso 01 Clasificación de datos: Empresas A B n1 10 n2 8 X 2 4000 S2 200 X1 4600 S1 250 Paso 02: La estimación Puntual de 1 2 es la diferencia de las medias Muestrales: X1 X 2 4600 4000 600 Paso 03: Asumimos que 12 2 2 La varianza muestral común es: (n1 1) S12 (n2 1) S2 2 (10 1)2502 (8 1)2002 9(2502 ) 7(2002 ) Sc 52656.25 n1 n2 2 10 8 2 16 2 El error típico de la diferencia de dos medias Muestrales es: S x1 x2 Sc 2 Sc 2 52625.25 108. Ejemplo 02 La vida útil promedio de una muestra aleatoria de n1 10 focos es X1 4600 horas con S1 250 horas. Para otra marca de focos. n1 n2 2) 2 )(S x1 x2 ) Remplazando valores tenemos: (4600 4000) (1.95.10 8 2) 2 t(0.746 Los limites inferiores y superiores respectivamente de 1 2 son: ( X1 X 2 ) (t (1 .90 0. r ) 2 )( S x1 x2 ) 9 Lic.746)(108.n1 n2 2) 2 )(S x1 x2 ) 1 2 ( X1 X 2 ) (t (1 .10 .16) 1. entonces: Si X 1 y X 2 son las medias que resultan de dos muestras independientes de tamaño n1 y n2 escogidas respectivamente de dos poblaciones normales con varianza 12 es: y 22 desconocidas supuestas distintas entonces. Con varianzas desconocidas supuestas distintas Si las varianzas de las dos poblaciones normales independientes son desconocidas pero supuestas diferentes. el intervalo de confianza ( 1 ) 100% de 1 2 P[( X1 X 2 ) (t (1 . que la primera marca de focos tiene una vida útil promedio mayor que la segunda. 2.2924 Así puede afirmarse con una confianza del 90%.r ) 2 (1 . Araujo Cajamarca.r ) 2 )(S x1 x2 ) 1 2 ( X 1 X 2 ) (t( r ) )(S x1 x2 )] 1 )( S x1 x2 ) 1 2 ( X1 X 2 ) (t ( X1 X 2 ) (t (1 .8149) 1 2 (4600 4000) (1.Paso 04: Dado el nivel de confianza 1 =0.0092 1 2 790.8149) 410. en una cantidad entre 40 y 790 horas.90 1 0. Raul .746)(108.2.10 Paso 05: Calculando t Paso 06: (1 . n1 n2 2) 2 t (1 0. 37 16. es normal con varianzas diferentes.9 10 Lic.89 11.63 -0.13 8.11 6.89 -4.89 -11.99 47.62 2.66 5.66 0.43 15. Araujo Cajamarca. Solución: Paso 01 Clasificación de datos: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xi 12 28 10 25 24 19 22 33 17 190 xi x -9. con este fin se tomaron 9 y 8 préstamos al azar de cada banco resultando los siguientes montos en miles de soles: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Variedad: A 12 28 10 25 24 19 22 33 17 Variedad: B 16 20 16 20 16 17 15 21 - Aplicando un intervalo de estimación del 95% para la verdadera diferencia de los montos promedios. Raul .37 -1. ¿Es válido inferir que en promedio el monto de los préstamos del banco A es mayor a los del banco B? datos históricos indican que la distribución de estos préstamos en cada banco.37 -1.92 11.89 -2.11 0.66 5.63 2.45 0.11 3.62 2.89 2.63 -2.47 123.79 141.4 6.89 440.63 2.87 i 1 2 3 4 5 6 7 8 xi 16 20 16 20 16 17 15 21 141 xi x -1. S12 S 2 2 n n 2 Donde r 1 2 2 S12 S22 n 1 n2 n1 1 n2 1 r Entero Ejemplo 01 2 S x1 x2 S12 S2 2 n1 n2 Se lleva a cabo un estudio para comparar los montos de los préstamos personales realizadas por dos entidades financieras A y B.11 ( xi x )2 82.63 3.37 ( xi x )2 2.36 37.35 4. 4143 X1 21.05 .485 Paso 03: Las varianzas son 12 2 2 Calculamos r : 2 S12 S2 2 55.625 S2 2 5.Empresas A B n1 9 n2 8 X 2 17.80) 2 8 r 12 9.975.4143 n 9 8 1 n2 8 7 n1 1 n2 1 2 r 9.625 3. r ) 2 t (1 0.6077 n1 n2 9 8 Dado el nivel de confianza 1 =0.95 0.4143 n 9 n2 (6.1088 Paso 02: La estimación Puntual de 1 2 es la diferencia de las medias Muestrales: X1 X 2 21.05 Paso 05: Calculando t Paso 06: (1 .7521 S12 S2 2 55.1088 5.4143 2. Araujo Cajamarca. Raul .11 S12 55.95 1 0.101) 2 t(0.9) 2.7304 10 El error típico de la diferencia de dos medias Muestrales es: S x1 x2 Paso 04: S12 S2 2 55.1088 5.11 17.1088 5.228 11 Lic.7304 2 2 2 4. los montos promedios de los préstamos son iguales.1111 17.6077) 2.6077) 1 2 (21.3250 1 2 9.625) (2.9.11 17. Raul . Los limites inferiores y superiores respectivamente de 1 2 son: ( X1 X 2 ) (t (1 .r ) 2 )( S x1 x2 ) 1 2 ( X1 X 2 ) (t (1 . Araujo Cajamarca. 12 Lic.625) (2. por tanto.2950 podemos concluir que: 1 2 .2950 Dado que 1 2 0 2.228)(2.228)(2.3250. r ) 2 )( S x1 x2 ) Remplazando valores tenemos: (21.
Report "Intervalos de Confianza Para La Diferencia Entre Dos Medias Poblacionales"