PROFª.MÁRCIA VANUS 1 ESTIMAÇÃO PARA A MÉDIA PROFª. MÁRCIA VANUS 2 Objetivo Estimar a média de uma variável aleatória X, que representa uma característica de interesse de uma população, a partir de uma amostra. μ PROFª. MÁRCIA VANUS 3 Exemplos: µ : peso médio de homens na faixa etária de 20 a 30 anos, em uma certa localidade; µ : salário médio dos empregados da indústria metalúrgica em São Bernardo do Campo, em 2001; µ : taxa média de glicose em indivíduos do sexo feminino com idade superior a 60 anos, em determinada localidade; µ : comprimento médio de jacarés adultos de uma certa raça. µ : idade média dos habitantes do sexo feminino na cidade de Santos, em 1990; PROFª. MÁRCIA VANUS 4 Vamos observar n elementos, extraídos ao acaso com reposição da população; Para cada elemento selecionado, observamos o valor da variável X de interesse. Obtemos, então, uma amostra aleatória simples com reposição de tamanho n de X, que representamos por X 1 , X 2 , ..., X n . PROFª. MÁRCIA VANUS 5 sendo c o erro amostral (margem de erro) calculado a partir da distribuição de probabilidade de . . ... 1 2 1 ¿ = = = + + + n i i n n X X X X X n Uma estimador pontual para é dado pela média amostral, μ | |, ε X ε - X + ; Uma estimador intervalar ou intervalo de confiança para tem a forma μ X PROFª. MÁRCIA VANUS 8 Intervalo de confiança Pergunta: Como determinar c ? | | ε X ε - X + ; Como vimos, o estimador por intervalo para a média tem a forma µ Lembrete: TLC ¬ mente. aproximada grande, para , σ , N ~ 2 n n μ X | . | \ | PROFª. MÁRCIA VANUS 9 que temos , Denotando z σ n ε = Assim, conhecendo-se o coeficiente de confiança ¸ obtemos z. . z) Z (-z P s s = ¸ PROFª. MÁRCIA VANUS 10 Erro na estimativa intervalar por dado é amostral erro o que segue , igualdade Da ε σ n ε z = (0,1). ~ com , ) ( P que tal sendo N Z z Z -z z s s = γ , n σ z ε = μ O intervalo de confiança para a média , com coeficiente de confiança ¸ fica, então, dado por , ( ¸ ( ¸ + n σ z X n σ z - X ; . de padrão desvio o sendo X σ PROFª. MÁRCIA VANUS 12 Intervalos de Confiança 90% da amostra 95% da amostra 99% da amostra o x _ n Z X X Z X o o · ± = · ± X X X X X o µ o µ µ o µ o µ · + · + · ÷ · ÷ 58 . 2 645 . 1 645 . 1 58 . 2 X X o µ o µ · + · ÷ 96 . 1 96 . 1 PROFª. MÁRCIA VANUS 13 Valores Críticos Nível de confiança o Área (o/2) Z area 80% 0.20 0.10 1.282 90% 0.10 0.05 1.645 92% 0,08 0,04 1,75 95% 0.05 0.025 1.960 98% 0.02 0.01 2.326 99% 0.01 0.005 2.576 PROFª. MÁRCIA VANUS 14 Exemplo 1: Não se conhece o consumo médio de combustível de automóveis da marca T. Sabe-se, no entanto, que o desvio padrão do consumo de combustível de automóveis dessa marca é 10 km/l. Na análise de 100 automóveis da marca T, obteve-se consumo médio de combustível de 8 km/l. Encontre um intervalo de confiança para o consumo médio de combustível dessa marca de carro. Adote um coeficiente de confiança igual a 95%. n = 100 ¬ (média amostral) = 8 km/l x X: consumo de combustível de automóveis da marca T o = 10 km/l ¸ = 0,95 ¬ z = 1,96 PROFª. MÁRCIA VANUS 15 Observe que o erro amostral c é 1,96 km/l. | | | | 9,96 ; 6,04 1,96 8 ; 1,96 - 8 + Pelo Teorema do Limite Central, o intervalo de confiança de 95% é dado, aproximadamente, por = + ( ¸ ( ¸ n z X ; n z - X o o = + ( ¸ ( ¸ 100 10 1,96 8 ; 100 10 1,96 - 8 PROFª. MÁRCIA VANUS 16 Exemplo 2: Deseja-se estimar o tempo médio de estudo (em anos) da população adulta de um município. Sabe-se que o tempo de estudo tem distribuição normal com desvio padrão o = 2,5 anos. Foram entrevistados n = 25 indivíduos, obtendo-se para essa amostra, um tempo médio de estudo igual a 10,5 anos. Obter um intervalo de 90% de confiança para o tempo médio de estudo populacional. n = 25 ¬ = 10,5 anos ¸ = 0,90 ¬ z = 1,65 x X : tempo de estudo, em anos e X ~ N( ; 2,5 2 ) μ PROFª. MÁRCIA VANUS 17 | | | |. 11,33 ; 9,68 0,825 10,5 ; 0,825 - 10,5 + A estimativa intervalar com 90% de confiança é dada por: = + ( ¸ ( ¸ n z x ; n z - x o o = + ( ¸ ( ¸ 25 2,5 1,65 10,5 ; 25 2,5 1,65 - ,5 10 PROFª. MÁRCIA VANUS 18 Dimensionamento da amostra conhecendo-se o desvio padrão o de X, o erro c da estimativa e o coeficiente de confiança ¸ do intervalo, sendo z tal que , σ ε z n 2 2 , n z relação da partir A o = c N(0,1). ~ Z e z) Z (-z P s s = ¸ o tamanho da amostra n é determinado por PROFª. MÁRCIA VANUS 19 n = ?? tal que c = 50 reais, ¸ = 0,95 ¬ z = 1,96 Exemplo 3: A renda per-capita domiciliar numa certa região tem distribuição normal com desvio padrão o = 250 reais e média µ desconhecida. Se desejamos estimar a renda média µ com erro c = 50 reais e com uma confiança ¸ = 95%, quantos domicílios devemos consultar? X : renda per-capita domiciliar na região X ~ N( ; 250 2 ) µ PROFª. MÁRCIA VANUS 20 ÷ Aproximadamente 96 domicílios devem ser consultados. ( ) 96,04 250 50 1,96 2 2 = | . | \ | = 2 2 Então, σ ε z n | . | \ | = PROFª. MÁRCIA VANUS 21 Exemplo 4: A vida útil X de baterias automotivas de uma certa marca segue uma distribuição de probabilidades com desvio padrão o = 50 horas e média µ desconhecida. Se desejamos estimar a vida média µ dessas baterias com erro c = 6 horas e confiança de 90%, quantas baterias devem ter suas vidas úteis analisadas? X: vida útil das baterias da marca estudada. o = 50 horas n = ?? tal que c = 6 horas ¸ = 0,90 ¬ z = 1,65 PROFª. MÁRCIA VANUS 22 Assim, aproximadamente 189 baterias devem ser analisadas. ( ) 06 , 189 50 6 1,65 2 2 = | . | \ | = Supondo que o tamanho da amostra a ser selecionada é suficientemente grande, pelo Teorema do Limite Central temos: 2 2 z n o | . | \ | c = PROFª. MÁRCIA VANUS 23 Na prática, a variância populacional o 2 é desconhecida e é substituída por sua estimativa, A estimativa amostral do desvio padrão o é 2 s s = ( ) . 1 - 1 - 1 2 2 ¿ = = n i X i X n S PROFª. MÁRCIA VANUS 24 Se a amostra for selecionada de uma população com distribuição normal com média e variância desconhecidas, a variável aleatória n S μ - X __ tem distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. PROFª. MÁRCIA VANUS 25 Distribuição t de Student • tem caudas mais densas do que a distribuição normal; • valores extremos são mais prováveis de ocorrer com a distribuição t do que com a normal padrão; PROFª. MÁRCIA VANUS 26 • a forma da distribuição t reflete a variabilidade extra introduzida pelo estimador S; • para cada possível valor dos graus de liberdade, há uma diferente distribuição t; • as distribuições com menores graus de liberdade são mais espalhadas; • conforme g.l. aumenta, a distribuição t se aproxima da distribuição normal padrão; • conforme o tamanho da amostra aumenta, s se torna uma estimativa mais confiável de o ; se n é muito grande, conhecer o valor de s é quase equivalente a conhecer o. PROFª. MÁRCIA VANUS 27 Assim, uma estimativa intervalar para a média populacional, quando o é desconhecido e a amostra vem de uma população normal, é dada por: , ; ( ¸ ( ¸ + n s n t x n s n t x 1 - 1 - - PROFª. MÁRCIA VANUS 28 Exemplo 5: Não se conhece o consumo médio e o desvio padrão do consumo de combustível de automóveis da marca T. Sabe-se, no entanto, que a distribuição do consumo de combustível de automóveis dessa marca é aproximadamente normal. Na análise de 10 automóveis da marca T, obteve-se consumo médio de combustível de 8 km/l com um desvio padrão igual a 10 km/l. Encontre um intervalo de confiança para o consumo médio de combustível dessa marca de carro. Adote um coeficiente de confiança igual a 95%. PROFª. MÁRCIA VANUS 29 n = 10 ¬ (média amostral) = 8 km/l s = 10 km/l x X: consumo de combustível de automóveis da marca T ¸= 0,95 ¬ t n-1 =2,262 Um intervalo de confiança de 95% para a média µ da população é . ( ¸ ( ¸ + n s n t x ; n s n t - x 1 - 1 - PROFª. MÁRCIA VANUS 30 Substituindo os valores correspondentes resulta 15,15). ; (0,85 ) 10 10 262 , 2 8 ; 10 10 262 , 2 8 ( = + ÷ Se o desvio padrão o da população é conhecido e é igual ao valor da amostra de 10 km/l, o intervalo de confiança de 95% para µ seria (1,8; 14,2), que é menor. PROFª. MÁRCIA VANUS 31 Para n grande, a distribuição t de Student aproxima-se da distribuição normal. Assim, uma estimativa intervalar aproximada para a média populacional µ , quando o tamanho da amostra é grande e o é desconhecido , é , , ( ¸ ( ¸ + n s z x n s z - x sendo s o desvio padrão amostral e z tal que . N(0,1) ~ com ) (- P Z z Z z s s = γ PROFª. MÁRCIA VANUS 32 Exemplo 6: Para estimar a renda semanal média de garçons de restaurantes em uma grande cidade, é colhida uma amostra da renda semanal de 75 garçons. A média e o desvio padrão amostrais encontrados são R$ 227 e R$ 15 respectivamente. Determine um intervalo de confiança, com coeficiente de confiança de 90%, para a renda média semanal. n = 75 ¬ = 227 e s = 15 ¸ = 0,9 ¬ z = 1,65 x X : renda semanal de garçons da cidade PROFª. MÁRCIA VANUS 33 = + ( ¸ ( ¸ 5 7 5 1 1,65 227 ; 5 7 5 1 1,65 - 227 | | | | 229,86 ; 224,14 2,86 227 ; 2,86 - 227 = + = + ( ¸ ( ¸ ; - n s z x n s z x O intervalo de 90% de confiança é dado, aproximadamente, por PROFª. MÁRCIA VANUS 34 Exemplo 7: Considere que a distribuição do tempo de espera, em minutos, na fila de votação numa certa zona eleitoral é aproximadamente normal com uma média µ desconhecida e desvio padrão o = 4,6 minutos. Interesse: estimar o tempo médio de espera na fila de votação dessa zona eleitoral. Antes de selecionarmos uma a.a., a probabilidade de que o intervalo ) 4,6 1,96 ; 4,6 1,96 ( n X n X + ÷ contenha a média µ verdadeira da população é 0,95. PROFª. MÁRCIA VANUS 35 Suponha que selecionamos uma a.a. de tamanho 12 da população de eleitores dessa zona eleitoral e que o tempo médio de espera é = 21,7 minutos. x Baseado nessa amostra, um intervalo de confiança de 95% para µ é ) 12 4,6 1,96 1,7 ; 12 4,6 1,96 1,7 ( + ÷ 2 2 ¬ (19,1 ; 24,3) O intervalo de 19,1 a 24,3 fornece um intervalo de valores razoáveis para µ. Não podemos dizer que há uma probabilidade de 95% de que µ se encontre entre esses valores; µ é fixo e está entre 19,1 e 24,3 ou não. e o comprimento é 24,3 – 19,1 = 5,2 minutos. PROFª. MÁRCIA VANUS 36 Interpretação freqüentista: Se extrairmos 100 a.a. de tamanho 12 dessa população e para cada uma delas construirmos um intervalo de confiança de 95%, esperamos que 95 dos intervalos contenham a média µ verdadeira da população e 5 não. Intervalo de confiança de 99% para µ: ) 12 4,6 2,58 1,7 ; 12 4,6 2,58 1,7 ( + ÷ 2 2 ¬ (18,3 ; 25,1) O comprimento desse intervalo é maior do que o correspondente intervalo de confiança de 95%. comprimento do IC de 99% é 25,1-18,3 = 6,8 minutos. PROFª. MÁRCIA VANUS 37 Como o intervalo está centrado ao redor da média da amostra = 21,7 mg/100ml, estamos interessados no tamanho de amostra necessário para produzir o intervalo (21,7-1 ; 21,7+1) = (20,7 ; 22,7). x ÷ Que tamanho deve ter a amostra para se reduzir o comprimento do intervalo para 2 minutos? Para encontrar o tamanho n da amostra requerido, precisamos resolver a equação 141 1 4,6 2, 58 = ¬ = = n n ε É necessária uma amostra de 141 eleitores para reduzir o comprimento do IC de 99% para 2 minutos. PROFª. MÁRCIA VANUS 38 Exercícios. 1. Desejamos coletar uma amostra de uma v.a. X com desvio padrão igual a 15. Qual deve ser o tamanho da amostra para que, com 0,95 de probabilidade, a média amostral não difira da populacional por mais de 3 unidades? 2. Seja X uma v.a. com distribuição normal de média desconhecida e variância igual a 36. a. Para uma amostra de tamanho 50, obtivemos média amostral 18,5. Construa um intervalo de confiança com coeficientes de confiança 91%, 96% e 99% para a média populacional. b. Para uma confiança de 94%, construa intervalos de confiança supondo três tamanhos de amostra 25, 50 e 100 (admita que todos forneceram média amostral igual a 18,5). c. Comente sobre a precisão dos intervalos construídos em (a) e (b). PROFª. MÁRCIA VANUS 39 3. O intervalo [34,81 ; 36,38], com confiança 95% foi construído a partir de uma amostra de tamanho 25, para a média de uma população normal. O desvio padrão amostral foi igual a 2. a. Qual o valor encontrado para a média dessa amostra? b. Se utilizássemos essa mesma amostra, mas com uma confiança de 90%, qual seria o novo intervalo de confiança? 4. O tempo de permanência de contadores recém formados no primeiro emprego, em anos, foi estudado considerando um modelo normal com média e variância desconhecidas. Deseja-se estimar a média populacional. Para uma amostra de 15 profissionais, a média obtida foi de 2,7 anos e o desvio padrão foi de 1,4 anos. a. Encontre um intervalo para o tempo médio populacional de permanência com uma confiança de 90%. b. Refaça o item a. considerando que a amostra era formada por 150 profissionais.