Alumno: Jonathan Cronque JimenezMateria: Análisis Numérico Tema: Interpolación Segmentaria. Escuela: Instituto Tecnológico De Estudios Superiores De Zamora Maestro: Javier Barajas Aceves Grupo: 5B Carrera: Ing. Electrónica INDICE Introducción………………………………………………….... 12 .. 4-11 Conclusiones…………………………………………………. 12 Bibliografías……………………………………………………..3 Desarrollo……………………………………………………. 3 . podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple.INTRODUCCIÓN Interpolación. no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original. se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. por supuesto. En el sub campo matemático del análisis numérico. si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso. En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste. En general. En el sub campo matemático del análisis numérico. En los problemas de interpolación. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática. evitando así las oscilaciones. particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador . los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. Para el ajuste de curvas. encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. indeseables en la mayoría de las aplicaciones. Dados los n+1 puntos: Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos (Par coordenados) mediante segmentos de recta. Tipos Interpolación con splines de grado 1. un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. Los splines de grado 1 son funciones polinomiales de grado 1 (Rectas de la forma f(x)=ax+b) que se encargan de unir cada par de coordenadas mediante una recta. como se ilustra en las siguientes figuras: 4 . se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado.DESARROLLO Interpolación segmentaria o splines. vamos a tener seis incógnitas en total. al que se fuerza uno de los P(x). Es decir. y la quinta al igualar la derivada en el punto común a las dos P(x). sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos. 5 . vamos a determinar cómo condiciones: Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio. Esto quiere decir.Interpolación con splines de grado 2. que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c Como en la interpolación segmentaria lineal. que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar. Para resolver esto necesitaríamos seis ecuaciones. ¿de dónde se extrae? Esto suele hacerse con el valor de la derivada en algún punto. Esto sin embargo no es suficiente. y necesitamos una condición más. En un caso sencillo con f(x) definida en tres puntos y dos ecuaciones P(x) para aproximarla. ¿Por qué? Tenemos 3 incógnitas por cada P(x). pero vamos a tener tan sólo cinco: cuatro que igualan el P(x) con el valor de f(x) en ese punto (dos por cada intervalo). Los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser continua. Se necesita una sexta ecuación. sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos. que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar. Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m. respecto a la derivada segunda: Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual". d). esto son. n]. que va a tener la forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a. La forma de solucionar esto. ahora no nos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas que tenemos. y una nueva condición para cada punto común a dos intervalos. en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m. Splines cúbicos sujetos: La derivada primera de P debe tener el mismo valor que las derivada primera de la función para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines. La derivada segunda de P se hace 0 para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines. los puntos m y n en el intervalo [m. Es decir. Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.n]. c. los puntos m y n en el intervalo [m. n] tiene grado 3. Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. n].Interpolación con splines de grado 3 Cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [m. determina el carácter de los splines cúbicos. Esto quiere decir. podemos usar: Splines cúbicos naturales: La forma más típica. Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadráticos. Así. n]. 6 . esto son. b. 5=2(1-b)+b Luego b=1.Ejemplos Ejemplo 1 Interpolación lineal.5 Por lo tanto.75 7 . b = 0.0.5 f (4) = 0. se concluye que: P1(x) = .5 Reemplazando el valor de (b) en (1). 2 y 4 f (1) = 1 f (2) = 0.25 = 4a + b a = .0.25 El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de coordenadas (1. Análogamente a lo hecho para P1(x).5 = 2a + b (2) 0. se obtiene: a = .5x + 1. Surge un sistema lineal de dos ecuaciones en dos incógnitas: (1) 1=a+b (2) 0.1) y (2. Interpolar con splines f(x) = 1 / x.0.125. en el caso de P2(x) se obtiene: (1) 0.0.0.5).5) con el tercer punto (4.5 El segundo segmento P2(x) = ax + b deberá unir el segundo punto (2.5=2a+b De (1) se obtiene: a=1-b (3) Reemplazando (3) en (2) se obtiene: 0. en los puntos en los que x vale 1.25).0. necesitamos que la spline tenga derivada continua de orden k-1=1.5 s (4. se debe cumplir que: S (3)=2. 4. se forman las siguientes ecuaciones: Hasta aquí. vemos que se forman tres intervalos: [3. El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas continuas. 5. como sigue: Hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos. es decir.9] En cada uno de estos intervalos. tenemos un total de 6 ecuaciones con 9 incógnitas.5].7]. [4. debemos definir una función polinomial de grado 2. primera derivada continua. [7.Luego P2(x) = . Calcular la interpolación por splines de grado 2: Primero que nada. En el caso de las splines de grado 2. es decir.0.5 s (9)=0. Calculamos primero la primera derivada: 8 .75 Ejemplo 2 Interpolación Cuadrática.125x + 0.5 Así.5)=1 s (7)=2. las posibles discontinuidades son x = 5. Elegimos por simple conveniencia a1 = 0. Estas son las siguientes: Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial: 9 . tenemos un total de 8 ecuaciones vs.4 y x = 7. que pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Por lo tanto para que s′(x) sea continua. tenemos un total de 8 ecuaciones con 8 incógnitas. Es decir. esto nos da un grado de libertad para elegir alguna de las incógnitas. se debe cumplir que: También debe cumplirse que: Así. 9 incógnitas. De esta forma.Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas. 10 . Construir el spline cubico natural que interpola a partir de los datos: El sistema es: Por lo tanto: 11 .Ejemplo 3 Interpolación Cubica. dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.com/spline-teoria 12 . la interpolación polinómica es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. http://interpolacion. Labor/Publicaciones de la UAB. Aubanell.CONCLUSION En análisis numérico. 1994.Y. N. A. 641p A. / Edit. Mc Graw Hill.wikidot. Delshams (1993). Útiles básicos de Cálculo Numérico. A. BIBLIOGRAFIAS Chapra S. Es decir. Benseny. / Métodos numéricos para ingenieros. & Canales R.