Tarea 21.- Calcular e valor de l siguiente integral de linea ´ γ √ √ √ √ 2, 2 a − 2, 2 . 2.- Calcular la integral de linea ´ −y x2 +y 2 dx + x x2 +y 2 dy donde γ es el arco sobre la curva x2 + y 2 = 4 de (y − z) dx + zdy + xdz sobre la interseccion de los planos x + y + 2z = 1 y 2x + y − z = 2 γ desde (1, 0, 0)hasta (7, −10, 2) . ´ ˆ j 3.- Evaluar F ·dr donde F = x2ˆ + y 2 ˆ + z 2 k y γ es la intersección de la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 con el plano y = x en el i γ primer octante (0, 0, a) a a a √ , √ ,0 2 2 ´ . → − → − 4.- Evaluar la integral de la linea y 2 dx + zdy − 3dz donde γ es la curva que va de A = (0, 0, 2) a B = (2, 0, 0)sobre el circulo γ → → − − 2 x2 + z 2 = 4, y = 0 y de B a 0 = (0, 0, 0) sobre el circulo (x − 1) + y 2 = 1, z = 0 sobre el primer octante. ´ a a 5.- Evaluar zdx + xdy + ydz donde γ es la curva que va de A √2 , √2 , 0 a B(0, 0, a) sobre el cuarto de circulo de radio a γ con centro en el origen en el primer octante y de B (0, 0, a)a C (0, 2a, a)sobre el semicirculo x2 + (y − a)2 = a2 , z = a, x ≥ 0. ´ 6.- Evaluar x2 y 2 dx − xdy donde γ es el circulo x2 + y 2 = 9. γ 7.- ´ Calcule el valor de a) xy + y 2 − xyz dz b) γ ´ x2 − xy dy γ en donde γ es el arco de parábola y = x2 , z = 0 del punto a (−1, 1, 0)al punto b (2, 4, 0) . 8.- Evaluar: √ ´ a) La integral de la linea x3 − y 3 dy donde γ es e semicirculo y = 1 − x2 ´→ − γ → − − b) F · d→ donde F (x, y) = x2 , xy y γ es la curva x = y 2 del punto a (1, −1)al punto b (1, 1) . r ´ γ 9.- Calcular el valor de xzdx + xdy − yzdz a través de la curva la cual consiste de un cuarto de circulo en el plano xz , y los γ segmentos de linea en el plano xy que va del punto (1, 0, 0) al punto (0, 1, 0)y en el plano yz que va del punto (0, 1, 0) al punto (0, 1, 1) . 10.- Evaluar las siguientes integrales de línea ¸ a) y 2 dx + x2 dy donde γ es el triángulo con vértices (1, 0) , (1, 1) , (0, 0) . γ ´ b) x2 dx + xydy donde γ es el segmento de recta que va del punto (1, 0)al punto (2, 3) . γ 11.- Evaluar las siguientes integrales ¸→ − − → − → − a) F · d→ donde F es el campo vectorial F (x, y) = x2ˆ + xyˆ y γ consiste del segmento de parábola y = x2 entre los puntos r i j γ (0, 0) y (1, 1)y el segmento de línea que va del punto (1, 1) al origen. ´→ − 2 − → − → − b) F · d→ donde F es el campo vectorial F (x, y, z) = x y1−y 2 r 2 +z 1 2 , 0, 0 y γ es la porción de la curva (en el primer γ octante) de la intersección del plano x = y y el cilindro 2y 2 + z 2 = 1 del punto (0, 0, 1) al punto √ √ 2 2 2 , 2 ,0 . → − 12.- a) Sea F un campo vectorial en un conjunto abierto V y γ una curva en dicho conjunto abierto de nida en un intervalo ´→ ´→ − − [a, b] , demostrar que F = − F donde γ − es el camino recorrido en sentido contrario al recorrido por γ . γ− γ ´→ − − → − b) Evaluar F · d→ donde F (x, y) = x2ˆ + xyˆ en el segmento de recta que va del punto (1, 1)al punto (0, 0)utilizando el r i j γ camino en sentido contrario. → − x 13.- a) Encontrar la integral del campo vectorial F (x, y) = x2−y 2 , x2 +y2 alrededor del circulo del radio 2 en sentido +y √ √ contrario a las agujas del reloj, del punto (2, 0)al punto 2, 2 . √ √ b) Repetir para el circulo de radio 1 en sentido contrario a las agujas del reloj del punto (1, 0)al punto 22 , 22 . → − 14.- Sea γ la hélice dada parametricamente como costi + sentj + tk tal que 0 ≤ 1 ≤ 2π. Sea F (x, y, z) = x2 i + y 2 j + z 2 k → − calcular la integral de linea deñ campo vetorial F sobre la curva orientada γ. → − 15.- Dado el campo vectorial F (x, y) = cxy, x6 y 2 donde c es una constante positiva. Sean a, b números positivos no cero. Encontrar un valor de a en términos de c tales que la integral de linea del campo vectorial → − F a lo largo de la curva y = axb del punto (0, 0)a la recta x = 1 sea independiente de b. ´ (3,4) 2 2 16.- a) Demostrar que (1,2) y 3 exy dx + 1 + 2xy 2 exy dy es independiente de la trayectoria de integración. Veri car el teorema de Green para F (x.2.1.1) 2 2 2 c) Evaluar (5.2.2) y 3 exy dx + 1 + 2xy 2 exy dy ´ (2. utilizando el teorema de Green calcule ¸ ´ γ (2x − y) dx + (x + 3y) dy . ¾Es F un campo conservativo? 2 2 → − → − 20. 3sent) tal g π que 0 ≤ t ≤ 6 .. b) Calcular el potencial. g 6 → − 24. es decir.10) y 1 + z 3 exz dx + x + zexz dy + 1 + yexz 1 + 2xz 2 dz → − 2 2 2 dz es independiente de la trayec- → − ˆ 19. y) = x2 y i + xy 2 j a) Determinar si el campo vectorial tiene o no función potencial.10) y 1 + z 3 exz dx + x + zexz dy + 1 + yexz 1 + 2xz 2 toria de integración. x2 +y 2 √ 3 y x2 +y 2 − sobre la curva → (t) = (et cost. → − b) ¾Admite F una función potencial? Si su respuesta es a rmativa.2.2) x2 +y 2 es 2 2 2π 2π π 3 .. c ≤ y ≤ d} γ . 3)y esta entre las lineas y = x y 21. b) ´ (x.a) Calcular la integral del campo vectorial F (x. a través del camino que consiste del segmento de linea que va del origen al punto (1. → − − 23. ´ (3.. y + 2z x − 1 dx + 2xydy + 2x2 zdz ´ (1.1) (z3 +zy2 )dx+xz2 dy+(xz2 +xy2 −xyz)dz (0. 2 . x2 b) ´ (1.a) Vere car que (1. −π. z) = yex 1 + 2x2 i + xex + zsenz 2 j + ysenz 2 1 + 2z 2 k. 25. x) sobre la curva → (t) = (3cost. ´ (e1 .3) 30..0) senydx + xcosydy .a) Calcule el valor de la integral de linea del campo vectorial F (x..5) c) Evaluar (1..Calcular xydx + x2 dy donde γ = {(x.a) Demostrar que (5. 3sent) tal que 0 ≤ t ≤ π . F = ´→ − − Q dos puntos en V y sea γ entre estos puntos. ´ (3.Mostrar que 29. Probar que F · d→ = φ (Q) − φ (P ) r b) Evaluar ´ γ φ.−2) ydx−xdy sobre la recta y = 3x − 5. x2 +y 2 → − ¾tiene F función potencial?.3) 9x2 y 2 + 2x dx + 6x3 + 16y 2 z 3 dy + 12y 4 z 2 dz es independiente de la trayectoria.1) 2xydx + x2 − y 2 dy ..Evaluar las siguientes integrales de linea ´ (3.3) (0.. 0)al punto P. xz 3 +xy 2 z 32.3. . Asumimos que para alguna función φen V . 1) .Evaluar la integral de linea (1.Sea γ la elipse x2 + 4y 2 = 4.Dado el campo vectorial F (x..Sea F (x. Explique ¾por qué si? o ¾por qué no? 22.y) a) (1. de ambas maneras. y) = (y.2.0.0. → − donde γ es una curva que va del punto (1.. → − b) Evaluar la integral de F a través de la curva γ que va del origen al punto P → − c) Evaluar la integral de F a través de la curva γ que va del origen al punto P √ √ 2 . 3 .b) Calcular el potencial ´ (3.Evaluar la integral de linea (1.3) 9x2 y 2 + 2x dx + 6x3 + 16y 2 z 3 dy + 12y 4 z 2 dz . 0) y el arco circular que va del punto (1.Calcular P x +y +z 27. √ 2 2 2 cos x +y +z √ 2 2 2 ·(xdx + ydy + zdz)donde el punto inicial y nal son respectivamente P π.4) a) (1. y) = √ 3 x . 0 .Evaluar por el teorema de Green la siguiente integral de linea x2 ydx − xy 2 dy. f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x) C ≤ y ≤ D. 0) γ 35. calcular la integral por este método. Sean P y γ x x2 −y 2 dx + y y 2 −x2 dy y = −x. directamente y calculando la funcion potencial. − b) Repetir para → (t) = (3cost.. g1 (y) ≤ x ≤ g2 (y) → − 33... 0)al punto (5.a) Sea F un campo vectorial en un conjunto abierto V . ..2) 3x2 y dx sobre la parábola y = 2 + x2 .Probar que el teorema de Green en el plano si la región Rxy esta representada de las siguientes formas: a ≤ x ≤ b.−3 independiente de la trayectoria.0) 31. y) = y i + 2xj en donde γ es la frontera de la región acotada por x2 + y 2 ≤ 1 tal que y ≥| x | .3. ¸ 34.0..2.. ´ Q xdx+ydy 28. π y Q 2 − ´Q x3 y 2 dy 26. y.Evaluar p ´ (2..4) 2 2 c) Evaluar (1.y) (0. 0) al punto e2π .. y) = → − −y x x2 +y 2 .−1) yzdx + xzdy + xydz por el método de diferenciales exactas.Utilizar el teorema de Green para evaluar xyd + senydy donde γ es el triángulo con vértices (1...5) 17...Sea F (x. 22 2 √ √ 2 2 2 . b) Calcular el potencial ´ (2.. 36.2. 2) y (3. donde γ es x2 + y 2 = 1 ¸ γ 37. y) | a ≤ x ≤ b. (2.1) por el método de diferenciales exactas.Mostrar que las siguientes funciones son independientes de la trayectoria en el plano xy ´ (x.0.0.1) 18. et sent) que va g al punto (1. 48. y = 0 y y = 2. γ → − 39.La ecuación en coordenadas polares de la rosa de tres pétalos es dada por r = a cos 3θ. 1) .Mediante el teorema de Green calcular x − y 2 dx + 2xydy donde γ es el cuadrado formado por las rectas x = 0.. ¸ 46. ´ Calcular 1 + y 2 dx + ydy. encontrar el área encerrada por un cardioide cuya ecuación en coordenadas polares es r = a (1 + cos θ) . y) = (−y.. π . 0) . (−1.orientada γ de manera postiva. 49..-a) Utilizar el teorema de de Green para calcular y 2 dx − xdy alrededor del triángulo con vértices (0.Calcular xdy − ydx donde γ es el curva cuyas ecuaciones paramétricas son x = γ 3at 1+t3 ..Calcular el área con nada por la curva y = senx en el intervalo [−π.Evaluar 2x3 − y 3 dx + x3 + y 3 dy donde γ es la frontera de l región anular D descrita por a < x2 + y 2 < b. Utilizando una integral de línea calcular el área comprendida por un pétalo.Evaluar x2 + y 2 dx − xdy donde γ es la circunferencia centrada en el origen y de radio 3 2 γ 45. ¸ 44.. (1. γ x = 2.. −1) al punto (6.a) Veri car el teorema de Green para el campo vectorial F (x.Utilizando el teorema de Green. π] y la circunferencia x2 + y 2 = π 2 3 50. γ esta orientada en el sentido de las manecilas de las agujas del reloj y comienza en la intersección de las rectas y = 0 y x ´ 0. 0) .Calcular el área encerrada por el cicloide y el eje x. 1) .. = 42. (3.. 47. (3. (0. ´ 43. 2) . 3) . ¸ γ 40. 0) . 2) y (−1.¸ 38.. 0) .a) Calcular 3xydx + x2 dy en donde γ es el rectángulo de vértices (−1..Por medio de una integral de linea.Por medio de una integral de línea. calcule − ydx + xdy donde γ es la parte de la elipse 8 (x − 3)2 − 4 (x − 3) (y − 1) + γ 13 (y − 1) = 100 del punto (5. −1) . rsent) tal que −π ≤ t ≤ π y R = { P | p ¸ r} ≤ b) Evaluar x2 + 2y 2 dx donde γ es el cuadrado con vértices (1. ´ 2 41... x) y γ (t) = (rcost. calcular el área encerrada por las curvas y = senx y y = cosx en el intervalo − 4 π. γ b) Sea γ la curva cerrada que consiste de las grá cas de y = senx y y = 2senx para 0 ≤ x ≤ π orientada en sentido positivo. −1)y (−1. γ → − b) La integral de campo vectorial F (x. y) = (y + 3x) i + (2y − x) j en el sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de la elipse 4x2 + y 2 = 4. 4 . y= 3at2 1+t3 y tal que 0 ≤ t < ∞. Interprete el resultado. 1) y (1.