INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA INGENIERIA EN CONTROL Y AUTOMATIZACION CALCULO VECTORIAL GRUPO: 2AM1 PROF. ROSAS CISNEROS JOSE AUTOR: GARCIA MARTINEZ CESAR ALBERTO Integrales de línea Hasta ahora, en el texto, se han estudiado varios tipos de integrales. En una integral simple b ∫ f ( x ) dx a Se integra sobre el intervalo [a, b]. se integró sobre el intervalo [a, b]. De manera similar, en las integrales dobles ❑ ∫∫ f ( x , y ) dA R Se integra sobre la región R. se integró sobre la región R del plano. En esta sección se estudia un nuevo tipo de integral llamada integral de línea ❑ ∫ f ( x , y ) ds C Se integra sobre una curva C. en la que se integra sobre una curva C suave a trozos. (Esta terminología es un poco desafortunada; este tipo de integral quedaría mejor descrita como “integral de curva”.) Para introducir el concepto de una integral de línea, considérese la masa de un cable de longitud finita, dado por una curva C en el espacio. La densidad (masa por unidad de longitud) del cable en el punto (x, y, z) está dada por ƒ(x, y, z). Divídase la curva C mediante los puntos P0, P1,. . ., Pn produciendo n subarcos. La longitud del i-ésimo subarco está dada por ∆ si . A continuación, se elige un punto (x i, yi, zi) en cada subarco. Si la longitud de cada subarco es pequeña, la masa total del cable puede ser aproximada por la suma n (x i , y i , z i) Masa de cable ≈ ∑ i=1 ‖∆‖ denota la longitud del subarco más largo y se hace que Si ‖∆‖ se aproxime a 0, parece razonable que el límite de esta suma se aproxime a la mesa del cable. Esto lleva a la definición siguiente. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LINEA Si f está definida en una región que contiene una curva suave C de longitud finita, entonces la integral de línea de f a lo largo de C está dada por ❑ n C i=1 ∫ f ( x , y ) ds=‖∆lim ∑ ( xi , y i) ∆ si ‖→ 0 Plano. o ❑ n C i=1 ∫ f ( x , y , z ) ds=‖lim ∑ (x i , y i , z i ) ∆ s i ∆‖ →0 Espacio. Para evaluar una integral de línea es útil convertirla en una integral definida. Puede demostrarse que si f es continua, el límite dado arriba existe y es el mismo para todas las parametrizaciones suaves de C. Para evaluar una integral de línea sobre una curva plana C dada por r(t)=x(t)i+y(t)j, se utiliza el hecho de que √ 2 2 ds=‖r ´ ( t )‖dt = [ x ´ ( t ) ] + [ y ´ ( t ) ] dt . EVALUACION DE UNA INTEGRAL DE LINEA COMO INTEGRAL DEFINIDA Sea f continua en una región que contiene una curva suave C. Si C está dada por r(t)=x(t)i+y(t)j, donde a ≤ t ≤ b , entonces ❑ b C a ∫ f ( x , y ) ds=∫ f (x ( t ) , y ( t )) √ [ x ´ ( t ) ] +[ y ´ ( t ) ] dt . 2 2 Si C está dada por r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, donde a ≤ t ≤ b , entonces ❑ b C a √ 2 2 2 ∫ f ( x , y , z ) ds=∫ f (x ( t ) , y (t ) , z (t )) [ x ´ ( t ) ] +[ y ´ ( t ) ] +[ z ´ ( t ) ] dt . Obsérvese que si f(x, y, z)=1, al integral de línea proporciona la longitud de arco de la curva C. Es decir, ❑ b C a ∫ 1 ds=∫‖r ´ ( t )‖dt=longitud de ar co de lacurva C . Ejercicios ❑ 1. Evalué unitaria ∫ ( 2+ x 2 y ) ds C , donde C es la mitad superior de la circunferencia x 2+ y 2 =1 , en el intervalo 0 ≤t ≤ π x= cos t y= sen t 2 2+ cos π √( 2 2 ( 2+ x y ) ds=∫ (¿t sen t ) dx + dy dt 2 0 ❑ ∫¿ C 2+cos 2 (¿t sen t) √ sen 2 t+ cos2 t dt π ¿∫ ¿ 0 2+cos 2 [ (¿t sen t )dt= 2 t− π ¿∫ ¿ 0 cos3 t 3 ] dt ) ( dt ) ¿2π+ 2 3 ❑ 2. Evalué ∫ 2 x ds , donde C consiste del arco C 1 de la parábola y=x2 desde C (0,0) hasta (1,1) seguido por el segmento rectilíneo C 2 desde (1,1) hasta (1,2) Para C1 y=x2 x=x 0 ≤ x ≤1 ❑ 1 C1 0 ∫ 2 x ds=∫ 2 x √( dx 2 dy 2 + dx dx dx ) ( ) 1 ¿∫ 2 x √ 1+ 4 x 2 dx 0 3 1 2 5 5−1 ∙ ( 1+ 4 x 2 ) 2 = √ 4 3 6 Para C2 x=1 y=y ❑ 1 C2 0 ∫ 2 x ds=∫ 2(1) √( dx 2 dy 2 + dy dy dy ) ( ) 1 ≤ y≤2 1 ¿∫ 2 dy=2 0 ❑ ❑ 2 x ds=¿ ∫ 2 x ds+∫ 2 x ds C1 C2 ❑ ¿∫ ¿ C 5 √ 5−1 +2 6 ❑ ∫ y 2 dx+ x dy 3. Evalué C , donde a) C=C1 es el segmento rectilíneo desde (- 5,-3) hasta (0,2) y b) C=C2 es el arco de la parábola x=4-y2 desde (-5,-3) hasta (0,2). a) x=5t-5 0 ≤t ≤1 y=5t-3 0 ≤t ≤1 r(t)=(1-t)r0 + tr1 r0= ⟨ −5, −3 ⟩ r1= dx= 5 dt, dy= 5 dt ⟨ 0, 2 ⟩ ❑ 1 C1 0 ∫ y 2 dx+ x dy=∫ (5 t−3 )2 ( 5 dt )+ (5 t−3 )( 5 dt ) 1 ¿ 5∫ ( 25 t 2−25 t +4 ) dt 0 ¿5 [ 3 2 ] 25 t 25 t −5 − +4t = 3 2 6 b) x= 4 – y2 −3 ≤ y ≤ 2 y=y dx = -2y dy 2 ❑ ∫y C2 2 dx+ x dy=∫ y 2 (−2 y ) dy + ( 4− y 2 ) dy −3 2 ¿ ∫ (−2 y 3 − y 2+ 4 ) d y −3 ¿ [ 4 ] 3 −y y 5 − +4 y =40 2 3 6 ❑ ∫ y sen z ds 4. Evalué C , donde C es la hélice circular dada por las ecuaciones x= cos t, y= sen t, z=t, ❑ 2π C 0 ∫ y sen z ds=∫ ( sen t ) sen t 2π √( ¿ ∫ sen 2 t √ sen2 t+cos 2 t +1 dt 0 2t 1−cos ¿ dt ¿ 1 ¿ 2 2π ¿ √ 2∫ ¿ 0 [ ] 2 1 ¿ √ t − sen 2 t =√ 2 π 2 2 0 ≤t ≤2 π dx 2 dy 2 dz 2 + + dt dt dt dt )( )( ) ❑ 5. Evalué ∫ y dx + z dy + x dz , donde C consiste del segmento rectilíneo C 1 C desde (2,0,0) hasta (3,4,5) seguido por el segmento vertical C 2 desde (3,4,5) hasta (3,4,0). Para C1 x=2 + t y=4t z=5t 0 ≤t ≤1 1 y dx+ z dy + x dz=¿∫ ( 4 t ) dt+ (5 t ) 4 dt + ( 2+t ) 5 dt 0 ❑ ∫¿ C1 1 ¿∫ ( 10+29 t ) dt=10 t+ 29 0 ] t2 =24.5 2 Para C2 x=3 y=4 z=5 - 5t dx = 0 = dy ❑ 1 C2 0 ∫ y dx + z dy + x dz=∫ 3 (−5 ) dt=−15 Al sumar las integrales ❑ ∫ y dx + z dy + x dz=24.5−15=9.5 C 0 ≤t ≤1 Teorema de Green Este teorema establece que el valor de una integral doble sobre una región simplemente conexa R está determinado por el valor de una integral de línea a lo largo de la frontera de R. Una curva C dada por r(t) = x(t)i + y(t)j, donde a si misma, es decir, r (c )≠ r (d) a ≤ t ≤ b , es simple si no se corta para todo c y d en el intervalo abierto (a, b). Una región plana R es simplemente conexa si cada curva cerrada simple en R encierra solo puntos que están en R Sea R una región simplemente conexa cuya frontera es una curva C suave a trozos, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj (es decir, C se recorre una vez de manera que la región R siempre quede a la izquierda). Si M y N tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a R, entonces ❑ ❑ C R ∫ M dx+ N dy=∫∫ ( ∂∂ Nx − ∂∂My ) dA Se da una demostración sólo para una región que es vertical y horizontalmente simple ❑ ❑ ❑ C C1 C2 ∫ M dx=∫ M dx+∫ M dx b b ¿∫ M ( x , f 1 ( x ) ) dx +∫ M ( x , f 2 ( x ) ) dx a a b ¿∫ [ M ( x , f 1 ( x ) )−M ( x , f 2 ( x ) ) ]dx a Por otro lado b f 2 ( x) ❑ ∫∫ ∂∂My dA=∫ ∫ ∂∂My dy dx R a f ( x) 1 b ¿∫ M ( x , y ) ] dx a M ( x , f 2 ( x ) )−M ( x , f 1 ( x ) ) [ ¿]dx ¿ b ¿∫ ¿ a Por consiguiente ❑ ❑ C R ∫ M dx=−∫∫ ∂∂My dA De manera similar, se puede usar g 1(y) y g2(y) para demostrar que ❑ ❑ N dy= ∫ ∫∫ ∂∂ Nx dA . C R ❑ Sumando las integrales ∫ M dx C ❑ y ∫ N dy C , se llega a la conclusión establecida en el teorema. El teorema de Green se debe considerar como el equivalente del teorema fundamental del cálculo para las integrales dobles. Ejercicios ❑ 1. Evalué ∫ x 4 dx + xy dy C , donde C es la curva triangular que consiste de los segmentos rectilíneos de (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1), y de (0, 1) a (0, 0) ❑ ∫x 4 ❑ dx + xy dy=∫ ∫ C R ( ∂∂Nx − ∂∂My ) dA 1 1−x ¿∫ ∫ ( y−0) dy dx 0 1 ¿∫ 0 0 [ ] 1 1 2 1 y dx= ∫ (1−x )2 dx 2 20 ¿ ] −1 1 (1−x)3 = 6 6 2. Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea ❑ ∫ y 3 dx+ ( x 3+ 3 xy 2 ) dy C donde C es la trayectoria desde (0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la gráfica de y=x 3 y desde donde C es la trayectoria desde (0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la gráfica de y= x. 3 3 M = y y N =x +3 xy 2 , se sigue que ∂N ∂M =3 x 2 +3 y 2 y =3 y 2 ∂x ∂y ❑ ❑ C R ∫ y 3 dx+ ( x 3+ 3 xy 2 ) dy=∫∫ ¿ [¿ ( 3 x +3 y )−3 y 2 ]dy dx 2 2 x ∫¿ x 3 1 ¿∫ ¿ 0 1 x ¿∫ ∫ 3 x 2 dy dx 0 x3 2 3x y 1 x ¿∫ ∫ ¿ ¿ dx 0 x3 ( ∂∂Nx − ∂∂My ) dA 3x (¿ ¿ 3−3 x 5 )dx 1 ¿∫ ¿ 0 ¿ [ ¿ 1 4 4 6 3x x − 4 2 ] ❑ ∮ y 2 dx+3 xy dy 3. Evalue C , donde C es la frontera de la región semianular entre las circunferencias x2 + y2 =1 y x2 + y2 =4 en el semiplano superior. 1≤ r ≤2, 0 ≤ θ ≤ π ❑ ❑ C R ∮ y 2 dx+3 xy dy=∫∫ ( ∂∂Nx (3 xy )− ∂∂My ( y 2 )) dA π 2 ∫ y dA=¿ ∫∫ ( r sen θ ) r dr dθ 0 1 ❑ ∫¿ R θ 1 14 −cos ¿ r 3 = 3 3 ¿ r 2 dr=¿ [ ] 2 sen θ dθ ∫ ¿ 1 π ∫¿ 0 4. Estando sometida a la fuerza F(x, y)= y3i + (x3 + 3xy2)j una partícula recorre una vez el círculo de radio 3 x=r cos θ y dA=r dr dθ ❑ ∫y 3 C 2 R θ r cos ¿ ¿ ¿2 r dr dθ 3¿ ¿ 3 ∫¿ 0 2π 2 ∫ 3 x dA=∫ ¿ 0 ❑ W =∫ ¿ R 2π 3 ¿ 3 ∫ ∫ r 3 cos 2 θ dr dθ 0 0 2π ] r4 ¿ 3 ∫ cos2 θ dθ 0 4 2π ¿ 3∫ 0 ❑ dx+ ( x + 3 xy ) dy=∫ ∫ 3 x 2 dA 3 81 cos2 θ dθ 4 2θ 1+cos ¿ ¿ ¿ 2π 243 ¿ ∫¿ 8 0 [ ¿ 243 sen 2 θ θ+ 8 2 ¿ 243 π 4 ] 5. Evaluar arctan x + y y 2 (¿¿ 2)dx + ( e −x ) dy ❑ ∫¿ C donde C es la trayectoria que encierra la región anular 1≤ r ≤3, 0 ≤ θ≤ π θ+ r sen θ r cos ¿ ∂N ∂ M − =−2 x−2 y=−2 ¿ ∂x ∂ y arctan x + y ❑ (¿¿ 2)dx + ( e y −x 2 ) dy=∫ ∫ −2 ( x+ y ) dA R ❑ ∫¿ C π 3 ¿∫ ∫ 2r ( cos θ+ sen θ ) r dr dθ 0 1 θ+ sen θ r3 cos ¿ dθ 3 ¿ −2 ¿ ] π ¿∫ ¿ 0 π ¿∫ ( −523 )( cos θ+sen θ ) dθ ¿− 52 [ cos θ+ sen θ ] 3 ¿− 104 3 0