FA C U LTA D D E I N G E N I E R Í AESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL FÓRMULAS ABIERTAS DE NEWTON-COTES INTEGRACIÓN MÚLTIPLE INTEGRACIÓN NUMÉRICA FÓRMULAS ABIERTAS DE NEWTON-COTES INTEGRACIÓN MÚLTIPLE FÓRMULAS ABIERTAS DE NEWTON-COTES Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes no incluyen los extremos de 𝑎, 𝑏 como nodos. Éstas utilizan los nodos 𝑥𝑖 = 𝑥𝑜 + 𝑖ℎ, para cada 𝑖 = 0,1, … , 𝑛, donde ℎ = (𝑏 − 𝑎)/(𝑛 + 2) y 𝑥0 = 𝑎 + ℎ. Esto implica que 𝑥𝑛 = 𝑏 − ℎ, por lo cual marcamos los extremos haciendo 𝑥−1 = 𝑎 y 𝑥𝑛+1 = 𝑏, como se muestra en la figura. Algunas de las fórmulas abiertas de Newton- Cotes comunes con sus términos de error son: 𝑛 = 0: 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑥1 ℎ3 ′′ 𝑥−1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2ℎ 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝜉 , donde 𝑥−1 < 𝜉 < 𝑥1 . (E.5) 3 𝑛 = 1: 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑥2 3ℎ 3ℎ3 ′′ 𝑥−1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓(𝑥1 ) + 𝑓 𝜉 , donde 𝑥−1 < 𝜉 < 𝑥2 . (E.6) 2 4 𝑛 = 2: 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑠𝑜𝑛 1/3 𝑥3 4ℎ 14ℎ5 (4) 𝑥−1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑓 𝑥0 − 𝑓 𝑥1 + 2𝑓(𝑥2 ) + 𝑓 𝜉 , donde 𝑥−1 < 𝜉 < 𝑥3 . (E.7) 3 45 3 𝑛 = 3: 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑠𝑜𝑛 8 𝑥 4 5ℎ 95 5 (4) = 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 𝑥 24 11𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + 11𝑓(𝑥3 ) + 144 ℎ 𝑓 𝜉 , donde 𝑥−1 < 𝜉 < 𝑥4 . −1 (E.8) EJEMPLO APLICATIVO A LA INGENIERÍA CIVIL Una viga de 11 m está sujeta a una carga, y la fuerza cortante sigue la ecuación 𝑉 𝑥 = 5 + 0.25𝑥 2 Donde 𝑉 es la fuerza cortante y 𝑥 es la distancia a lo largo de la vida. Se sabe que 𝑉 = 𝑑𝑀/𝑑𝑥 y 𝑀 es el momento flexionante. La integración conduce a la relación 𝑥 𝑀 = 𝑀𝑜 + න 𝑉 𝑑𝑥 0 Si 𝑀𝑜 es cero y 𝑥 = 12, calcule 𝑀 con el empleo de a) integración analítica, b) aplicación de fórmulas cerradas con la regla del Punto medio, Trapecio, Simpson y n=4.d) aplicación de fórmulas abierta con la regla del Punto medio, Trapecio, Simpson y n=4. SOLUCIÓN a) Integración analítica b) Fórmulas cerradas de Newton-Cotes n 0 1 2 3 4 12 𝑀 = 0 + 0 5 + 0.25𝑥 2 𝑑𝑥 Fórmulas 276 204 204 204 cerradas 𝑥3 12 𝑀 = 5𝑥 + 0 .25 ቚ 0 = Error -72 0 0 0 33 (12) 5 12 + 0.25 −5 0 + 3 0 3 c) Fórmulas abiertas de Newton-Cotes 0.25 = 204 3 n 0 1 2 3 4 Fórmulas 168 180 204 204 204 abiertas Error 36 24 0 0 0 INTEGRACIÓN MÚLTIPLE Una integral numérica doble estará basada en la misma idea. Primero se aplican métodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos múltiples, a la primera dimensión manteniendo constantes los valores de la segunda dimensión. Después, se aplica el método para integrar la segunda dimensión. EJEMPLO APLICATIVO A LA INGENIERÍA CIVIL Determinar la masa de la placa limitada por -2≤ 𝑦 ≥ 2 ; 0≤ 𝑥 ≥ 4 . La densidad de área en cualquier punto es: Densidad (x,y)=𝑥 2 − 3𝑦 2 + 𝑥𝑦 3 . Solución: Recuerde que la densidad se calcula como m=𝒙 𝒑 𝑫, 𝒚 𝒅𝑨 , por lo tanto para esta placa se tiene: m= 𝑥(𝑫2 − 3𝑦 2 + 𝑥𝑦 3 )𝒅𝑨 Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de integración: Por lo tanto: Método numérico Analíticamente 𝟐 𝟒 M=−𝟐[ 𝑥 ( 𝟎2 − 3𝑦 2 + 𝑥𝑦 3 )𝑑𝑥]𝑑𝑦 = 𝟐 𝑥3 −𝟐[ 3 − 3𝑥𝑦 + 𝑥 2𝑦3 4 ] 𝑑𝑦 = 2 0 𝟐 −𝟐[ 8𝑦 3 − 12𝑦 + 64 ]𝑑𝑦 = [2𝑦 4 − 3 64𝑦 2 4𝑦 3 + = 3 −2 64 =21.33333 𝑢3 3 CONCLUSIONES La integración numérica es una herramienta muy importante sobre todo para nosotros los ingenieros debido a que en la realidad difícilmente o quizás nunca se nos presente una función la cual sea sencilla de resolver, sino que serán difíciles de resolver por métodos analíticos. Por lo tanto, requerimos de aproximaciones para nuestros objetivos. En este caso especial la integración numérica.