INGENIERIA DE TRAFICOINTRODUCCION Como cualquier otro servicio público, un sistema de telecomunicaciones tiene que proveer para una demanda fluctuante que solo se puede predecir con un grado limitado de exactitud. La naturaleza del servicio requiere un alto estándar de rendimiento, desde el punto de vista del usuario la gran mayoría de las demandas deben ser satisfechas con poco ó ningún retraso, de lo contrario considerará un servicio inaceptable. Al mismo tiempo, los equipos de transmisión y conmutación son caros y deben ser eficientemente utilizados, un sobre-dimensionamiento de la central desmeritarán en las ganancias y un subdimensionamiento dará un servicio pobre. La optimización de la estructura de la red y la provisión de equipo son por lo tanto de los aspectos mas importantes en la ingeniería de las telecomunicaciones. Los intercambios entre teléfonos son conectados por uniones ó troncales, el número de troncales conectados tienen un intercambio x con y en que es el número de pares de voz o su equivalente usado en la comisión. Uno de los pasos más importantes en telecomunicaciones es el de terminar el número de troncales requeridos en una ruta o conexión entre centrales. Para dimensionar una ruta se debe tener una idea de lo que es el dimensionamiento, que es cuanta gente desea llamar a la vez en la ruta. El uso de una ruta de transmisión o de un conmutador nos introduce a la ingeniería de tráfico y su uso debe se ser definido por dos parámetros: 1. tasa de llamadas, o el número de veces que una trayectoria es usada por un periodo unitario y 2. el tiempo de espera, o la duración de una trayectoria en una llamada . Una trayectoria de tráfico es un canal, una frecuencia de banda, una línea, un troncal o un circuito sobre el cual comunicaciones individuales pasan en secuencia. ÍNDICE INGENIERIA DE TRAFICO INTRODUCCION CONCEPTOS FUNDAMENTALES Tráfico Unidades de tráfico telefónico Erlang Cien-segundos-llamada Variaciones en el tráfico telefónico La hora de mayor ocupación Grado de servicio DISTRIBUCIONES DE ARRIBO 1 Distribuciones de tiempo de retención Tiempo de retención exponenciales Formula de erlang de intensidad de tráfico SERVICIO DE ESTUDIOS DE TRÁFICO TELEFÓNICO LUCRO CESANTE. TABLAS BIBLIOGRAFÍA CREDITOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES Acarreo de tráfico. Es el volumen de tráfico que pasa por un conmutador ,tráfico ofrecido es la cantidad de tráfico para un conmutador. Para dimensionar una trayectoria de tráfico o el tamaño de un intercambio telefónico se debe conocer la intensidad de tráfico representativa de una temporada ocupada. El tráfico es muy aleatorio por naturaleza. Una consistencia certera puede ser encontrada en un horario de trabajo normal, a través de un día típico la variación es más que un periodo de 1- hora que se puede ver que es el más grande. Hora ocupada.- La hora ocupada refiere al volumen del tráfico o número de intentos de llamada y es continuo en un período de un intervalo en el que es cuantizado. Pico de hora ocupada.- Es la hora ocupada cada día; esta no es usualmente igual al número de días. Tiempo consistente de hora ocupada.- Es el periodo de 1 – hora que empieza al mismo tiempo cada día por el cuál el promedio del tráfico o intento de llamada es mayor que los días en consideración. El periodo de ingeniería.- es definido como la hora ocupada de temporada ocupada, la cual es la hora más ocupada del día más ocupado de la semana. El promedio de la hora ocupada de la sesión ocupada.- es usado para grupos de troncales y siempre tiene un criterio de servicio aplicado. Tráfico El flujo de tráfico a través de una central se define como el producto del número de llamadas y su duración promedio durante un periodo de observación de una hora. Es decir, A=CT 2 donde A= Flujo de tráfico C = No. de llamadas originadas en una hora I = Tiempo promedio de llamada Ejemplo: 200 llamadas con una duración promedio de 2 min. son generadas durante un periodo de una hora por los suscriptores de una colonia de la ciudad A = 200 * 2= 400 minuto llamada La intensidad de trafico es el flujo de tráfico expresado en horas-llamadas. Y representa el numero promedio de llamadas simultaneas. Para el ejemplo anterior, Ai = 400/60=6.67 horas-llamada La densidad de tráfico representa el número de llamadas simultaneas en un instante dado. Tráfico transportado es el volumen de tráfico manejado por la central, y se obtiene de mediciones. Tráfico ofrecido es una cantidad no medible, correspondiente al tráfico transportado más el tráfico bloqueado o perdido (si lo hay). Unidades de tráfico telefónico Erlang A la unidad internacional de tráfico telefónico se le denomina Erlang en reconocimiento al matemático danés A. K. Erlang, fundador de la teoría de tráfico telefónico. Un Erlang representa un circuito ocupado por una hora. La intensidad de tráfico expresada en erlangs representa: 1. El número promedio de llamadas en progreso simultáneamente durante el periodo de una hora. 2. El número promedio de llamadas originadas durante un periodo de tiempo igual al promedio de llamada normal. 3. El tiempo total, expresado en horas, para transportar todas las llamadas. 1. El número promedio de troncales ocupadas es 9. 2. En promedio se originan 9 llamadas cada tres minutos, ó tres llamadas por minuto, ó un total de l80 llamadas originadas en una hora (9/3 *60). 3. El tiempo total ocupado para transportar las 180 llamadas es de 9 horas (180 * 3/60). 3 Cien-segundos-llamada Los términos “unidad de llamada" UC (“Unit call”) ó su sinónimo 'Cien-segundosl1amada" CCS (“Hundred-call-seconds”) son de uso mas o menos generalizado. Y corresponde al número de circuitos ocupados en observaciones de cada 100 segundos. La relación de los ccs con el Erlang es: 1 Erlang=36 CCS En un ejemplo precedente, la suma de 36 observaciones es 36*9 =324 CCS Bloqueo, llamadas pérdidas y grado de servicio. Asumiendo que los intercambios telefónicos son para 5 000 suscriptores y que no más del 10% de los suscriptores desean el servicio simultáneamente de cualquier manera el intercambio es dimensional con suficiente equipo para completar las 5 000 conexiones simultáneas. Cada conexión puede ser entre cualquiera de los 5 000 suscriptores. Si el suscriptor 501 intenta hacer una llamada no puede por que todo el equipo esta ocupado de cualquier manera la línea con la que él desea hacer comunicación podría estar ocupada también. Esta llamada de suscriptor 501 se denomina llamada pérdida o llamada bloqueada. La probabilidad de tener un bloqueo es un parámetro importante en la ingeniería de tráfico en los sistemas de telecomunicaciones, si las condiciones de congestión son introducidas a un sistema de comunicaciones se puede esperar que estas funcionen en un ahora ocupada. Un conmutador es dimensionado para soportar la carga de la hora ocupada pero se podría sobre dimensionar la capacidad de este sistema pero sería muy redundante y por lo tanto poco económico. Variaciones en el tráfico telefónico Para determinar el dimensionamiento de las instalaciones telefónicas en concordancia con las necesidades de los subscriptores, se requiere la comprensión de la naturaleza del tráfico telefónico y su distribución con respecto al tiempo y destino. Los volúmenes de tráfico varían de estación a estación, de mes a mes, de día a día, de hora a hora y aún de minuto a minuto dentro de una misma hora. La duración de las conversaciones es otra importante variable a considerar. Aunque la duración de llamada puede variar considerablemente entre centrales y temporadas del año, se ha encontrado por mediciones reales, que tiempos de conversación de uno a tres minutos son relativamente frecuentes, en tanto que diez ó más minutos son mas ocasionales. La hora de mayor ocupación Es el período interrumpido de 60 minutos durante el cual el tráfico es máximo. Tradicionalmente la planta telefónica es dimensionada de acuerdo a la intensidad de tráfico de la hora de mayor ocupación. 4 Grado de servicio El término grado de servicio define la proporción de las llamadas que se permite fallar durante la hora de mayor ocupación debido a la limitación, por razones económicas, del equipo de conmutación de las plantas. En una oficina central con varias etapas de conmutación, existen grados de servio para cada uno de dos que van desde 1 pérdida en 100 llamadas hasta 1 en 1,000. El grado de servicio total es aproximadamente igual a la suma de los grados de servicio parciales. Grado de servicio = (número de llamadas perdidas) / (número total de llamadas ofrecidas) El tráfico en una red de comunicaciones Se refiere al acumulado de todas Las solicitudes de los usuarios que la red está atendiendo. En lo que a la red se refiere, las solicitudes de servicio arriban aleatoriamente y usualmente requieren tiempos de servicio impredecible. El primer paso del análisis de tráfico es la caracterización de los arribos de tráfico y tiempos de servicio en un marco probabilístico. A partir de lo cuál la red pueda ser evaluada en términos de cuánto tráfico transporta bajo cargas normales o promedio y con que frecuencia el volumen de tráfico excede la capacidad de la red. La impredecible naturaleza del trafico telefónico es el resultado de dos procesos aleatorios subyacentes: El arribo de llamadas y los tiempos de retención. El arribo de un usuario particular se considera por lo general que ocurre completamente al azar y que es totalmente independiente del arribo de otros usuarios Así que el número de arribos durante un intervalo de tiempo particular es indeterminado. En la mayoría de los casos los tiempos de retención también se distribuyen aleatoriamente. En algunas aplicaciones este crecimiento de aleatoriedad se puede sustituir por considerar tiempos de retención constantes. En cualquier caso la carga de tráfico presentada a una red depende fundamentalmente tanto de la frecuencia de arribos como de los tiempos promedios de retención de cada arribo. DISTRIBUCIONES DE ARRIBO La consideración fundamental del análisis de tráfico clásico es que el arribo de las llamadas es independiente. Es decir, el arribo de una fuente no está relacionado al arribo de cualquier otra fuente. Aunque esta consideración no sea aplicable en algunas situaciones, si lo es para la mayoría de los casos. En aquellos casos en que el arribo de llamadas tiende a estar correlacionado, aún se pueden obtener resultados útiles efectuando un análisis de arribos aleatorio. La adopción de arribos “aleatorios" provee una formulación matemática a problemas que de otra manera son matemáticamente insolubles. Tiempos de interarribo (Distribución exponencial negativa) 5 Designando la tasa promedio de arribo de llamadas de un grupo grande de fuentes independientes (líneas de subscriptor) como A. Y adoptando las siguientes consideraciones: 1.-Solo un arribo puede ocurrir en cualquier intervalo suficientemente pequeño. 2.-La probabilidad de un arribo en un intervalo suficientemente pequeño es directamente proporcional a la longitud del intervalo (La probabilidad de un arribo es A donde Ax es La longitud del intervalo). 3.-La probabilidad de un ambo en un intervalo particular es independiente de lo que ha ocurrido en otros intervalos. se puede demostrar que La distribución de tiempos de interrarribo es tm P(> t = e ) .............. (1) La ecuación (1) define la probabilidad de que no ocurran arribos en un intervalo t seleccionado aleatoriamente. Lo cual es idéntico a la probabilidad de que t segundos pasen de un arribo al siguiente. Una implicación de la consideración de arribos independientes involucra al número de fuentes. no solo sus patrones de Llamadas. Cuando la probabilidad de un arribo en cualquier intervalo suficientemente pequeño es independiente de otros ambos, implica que el número de fuentes disponibles para generar solicitudes es constante. Si un número de arribos ocurren inmediatamente antes de cualquier subinterva1o en cuestión, algunas de las fuentes se han ocupado y no pueden generar solicitudes. El efecto de fuentes ocupadas es reducir el tiempo promedio de interarribo. Así que los tiempos de interarribo son algo mayores de lo que la ecuación utilizada indica. El único caso en que la tasa de ambos es realmente independiente de la actividad de las fuentes es cuando existen un número infinito de fuentes. Para casos prácticos, cuando la tasa de arribos es bastante constante para todo el rango de actividad normal de las fuentes, se justifica adoptar que se trata con una fuente infinita. Arribos en un intervalo de tiempo (Distribución de arribos de Poisson) La ecuación (1) solo provee de los medios para determinar la distribución de tiempos de interarribos, pero no permite conocer cuántos arribos se puede esperar que ocurran en un algún intervalo de tiempo arbitrarlo. Utilizando las mismas consideraciones anteriores, la probabilidad de arribos en un intervalo t Se puede determinar como, P=e −A ∞ ∑ x =n A x x! ............... (2) La ecuación (2) es la bien conocida ley de probabilidad de Poisson. Nótese que cuando x =0, la probabilidad de no arribos en un intervalo t es Po (. como se obtuvo en la ecuación (1)). 6 De nuevo, la ecuación de Poisson considera que los arribos son independientes y que ocurren a una taza promedio A sin relación con el número de arribos ocurridos en previos al interva1o en cuestión. Por lo cual la distribución de probabilidad de Poisson se debe utilizar solo para ambos de un gran numero de fuentes independientes. La ecuación (2) define la probabilidad de tener exactamente x arribos en t segundos. Usualmente hay más interés en determinar la probabilidad de x ó más arribos en t segundos: Distribuciones de tiempo de retención El segundo factor de la intensidad de tráfico es el promedio del tiempo de retención tm. En algunos casos el promedio del tiempo de retención es todo lo que se necesita para conocer las probabilidades de bloqueo, en otro casos es necesario conocer la distribución de probabilidad. Tiempo de retención exponenciales La distribución de tiempo de retención más comúnmente utilizada para conversaciones telefónicas convencionales es la distribución de tiempos de retención exponencial. t − P( > t ) = e tm ................. (3) donde tm es el tiempo de retención promedio. La ecuación anterior especifica la probabilidad de que un tiempo de retención sea mayor que un valor t. La distribución exponencial posee la curiosa propiedad que la probabilidad de una terminación es independiente del tiempo que ha transcurrido en la llamada. Es decir, no importa por que tanto tiempo ha existido una llamada, la probabilidad de que dure otros segundos está definida en la ecuación (4). En este sentido la distribución de tiempo exponencial representa el proceso más aleatorio posible. Ni siquiera el conocer el tiempo que ha transcurrido de una llamada proporciona información de cuándo la llamada terminara. Combinar un proceso de arribo de Poisson con un proceso de retención exponencial es una tarea no trivial. La ecuación (4) representa la probabilidad de que j circuitos estén ocupados en un instante particular, considerando un proceso de arribo de Poisson y que todas las peticiones son atendidas inmediatamente A j P ( jt ) = P ( A) = e j m j j! −A ................ (4) 7 donde λ= tasa de arribo tm = tiempo de retención constante A = intensidad de tráfico en erlangs Formula de erlang de intensidad de tráfico Para la proporción de llamadas perdidas en un grupo de disponibilidad total incluyendo n dispositivos y arreglados de tal manera que cualquier llamada que no encuentra un dispositivo libre se pierde, el matemático danés “A. K. Erlang” ha dado la siguiente expresión: B = ( AN! /N! ) Σ ( An! /n! ) donde A es el flujo de tráfico ofrecido expresado en erlang. Esta fórmula es frecuentemente usada en la estimación del número de dispositivos dependientes de tráfico requeridos en plantas telefónicas. No sólo es usada para grupos de disponibilidad total sino también, en gran medida, como base para la estimación de las condiciones de tráfico en grupos con disponibilidad restringida. La relación entre el número de dispositivos n, el flujo de tráfico A y la cantidad E1, n (A), como se expresó arriba, involucra algún trabajo de cálculos numéricos y, consecuentemente, se necesitan tablas. SERVICIO DE ESTUDIOS DE TRÁFICO TELEFÓNICO Los estudios de tráfico telefónico son el punto de partida para mejorar el rendimiento de una central. Mediante un censo de los datos de tarificación, se podrá planificar la gestión de los recursos de telecomunicaciones de una empresa, proporcionando la información que se necesita y asesorando en la elección de equipos, operadores, servicios, etc. Por otra parte, los estudios de tráfico telefónico ayudan en la detección de averías e irregularidades, niveles de ocupación y posible saturación de líneas. Los estudios realizados se ajustarán a las necesidades y al tipo de información que se desea obtener. 8 TRÀFICO TELEFÒNICO Tráfico telefónico saliente Circuitos telefónicos M M TCCA (%) Minutos por Minutos por abonado 1995 Internacionales Minutos Minutos 1990-95 habitante (k) 1995 1990 1995 1995 Arabia Saudita 413,2 537,3 5,4 30,0 312,5 6,0 79,4 151,3 13,8 4,4 27,4 5,3 165,0 286,4 11,7 1,8 23,7 7,9 83,1 182,9 17,1 17,7 74,8 6,2 46,3 136,0 24,1 9,5 72,2 2,0 182,4 557,3 25,0 12,4 30,0 8,1 213,3 463,1 16,8 44,2 89,7 9,6 ,,, 15,0 ,,, 37,0 108,3 ,,, 121,8 247,5 15,2 24,2 130,7 6,7 415,0 945,0 17,9 10,3 107,4 ,,, ,,, 823,7 ,,, 228,8 688,8 ,,, 156,0 305,0 14,4 7,4 77,8 8,0 35,0 58,6 10,9 44,9 279,8 1,3 Argentina Brasil Checa (Rep.) Chile Corea (Rep.) Grecia Guadalupe Hungría México Puerto Rico Sudafricana (rep.) Trinidad y Tabago 9 Uruguay Renta media superior 24,6 51,6 16,0 2 276,2 5 550,6 15,1 16,2 83,0 1,6 80,1 84,1 Tráfico telefónico saliente es el tráfico telefónico total medido en minutos, originado en el país especificado y con destino fuera del país. Los minutos por abonado se calculan dividiendo los minutos internacionales salientes por el número de líneas principales. Los minutos por habitante se calculan dividiendo los minutos de tráfico internacional saliente por el número de habitantes del país. Los circuitos telefónicos internacionales indican el número de enlaces (equivalentes de canales vocales) con otros países para el establecimiento de las comunicaciones telefónicas. LUCRO CESANTE. El denominado Lucro Cesante valora únicamente la no prestación del servicio, en el caso del servicio telefónico básico, y no el correspondiente al coste de la transmisión de datos, ni el debido a la no disponibilidad de los circuitos especiales, ni las penalizaciones que se aplica, por no prestación del servicio a las Empresas con servicios fijos contratados. Cuando se rompe un cable de enlace entre centrales se producen una serie de daños, que se pueden clasificar en tres grupos: * Daños físicos. Son los que originan deterioro de los materiales, obligando a realizar una obra para sustituir los materiales defectuosos y poner la red en servicio. * Daños Comerciales. Son los ocurridos debido a la no prestación de los servicios que se suministran los que, a su vez, se pueden subdividir en tres apartados. a) Tráfico telefónico básico (conversaciones de abonados) b) Tráfico de Datos (Telegráficos) c) Tráficos especiales (Microfónicos, enlaces entre emisoras de radio, Alarmas,...) * Penalizaciones, por incumplimiento de contratos de suministro de servicios. Como se ha indicado, se denomina al valor comercial del tráfico telefónico básico que no se ha podido cursar, como consecuencia de rotura de un cable de unión entre centrales telefónicas. Para su cálculo, es necesario realizar una serie de estudios y valoraciones, tanto más complejos, como importante en tráfico sea el cable afectado. 10 Inicialmente es necesario proceder a la obtención de los datos de tráfico, y mediante un procedimiento matemático proceder a estimar el tráfico que, en funcionamiento, podría haber cursado. Para la obtención de estos datos es necesario recurrir a los registros de tráfico cursado que se recogen en las centrales telefónicas. Todas ellas disponen de un procedimiento de recogida automática de datos, que permiten determinar los estados de todos sus sistemas, y entre los cuales, se encuentran registrados los correspondientes al tráfico que cursan las mismas. Estos datos son, normalmente, utilizados por las compañías telefónicas, para poder definir sus redes con un conocimiento completo del tráfico que van soportando sus centrales y circuitos y así poder diseñar sus redes para obtener un alto grado de optimización de las mismas. Actualmente existen en la red telefónica de muchos países dos tipos de centrales, que en función de su tecnología se clasifican como analógicas o digitales. La antigüedad de las centrales analógicas esta dando lugar a su sustitución por centrales de tecnología digital, existiendo, aún, un número importante de las analógicas. Esta diferencia tecnológica tiene su importancia ya que el sistema de recogida de datos varía de una a otra. En las analógicas existen unas unidades electrónicas exploradoras, que no forman parte del equipo de conmutación pero si están ligados a sus órganos, que miden el tráfico cursado en cada enlace almacenando estos datos a una unidad de memoria. En las digitales, son sus propios circuitos electrónicos los que se encargan de ir supervisando todos los parámetros de la central, entre los que se encuentran los de tráfico, almacenándolos en una memoria incorporada al mismo equipo. Estas memorias, se encuentran ubicadas en las propias centrales, desde las cuales, por líneas punto a punto o por líneas X25, son leídas por los centros de cálculo. En estos centros de cálculo se procesan todas las medidas efectuadas en las centrales, obteniéndose los datos de tráfico, los valores para estadísticas, el funcionamiento de las centrales y todos los parámetros propios de las redes. Estos datos se almacenan en una base de datos centralizada en las capitales de las ciudades del mundo, duplicada por razones de seguridad en ordenador robotizado con unidades de cinta magnética. Desde cualquier punto de la red de área local se puede tener acceso, mediante los ordenadores conectados a ella, a los obtenidos de todas las centrales telefónicas. Accediendo a la base de datos se pueden obtener datos del tráfico cursado en días similares al de la rotura, bien por día de la semana, bien por fecha del mes, etc. pudiendo disponer así de unos valores de tráfico básicos y necesarios para el cálculo completo del lucro cesante. Es necesario realizar una cuantificación del tráfico no atendido, utilizando los datos anteriormente obtenidos mediante una valoración, basada en el procedimiento matemático que se describe a continuación. 11 Inicialmente se comprueba en las bases de datos la intensidad de tráfico, en el mes más próximo posible, que cursa la sección de cable dañado, en situación normal. Para determinar el tráfico que se hubiese cursado de no haberse producido la rotura se procede a aplicar las siguientes correcciones: * Establecer la relación entre el mes en que se produjo la avería y el mes en que se realizó el cómputo, si es el mismo mes será la unidad. * Establecer la corrección en función del día de la semana de la avería. * Establecer el coeficiente corrector en función de la hora. El tráfico que se hubiese producido de no tener avería, sería el producto resultante de aplicar al tráfico medido las correcciones anteriores. El tráfico que rechaza el sistema y que no puede atenderse, es el tráfico medido (con las correcciones estadísticas adecuadas) menos el que pueden atender los circuitos no averiados (si en el cable dañado quedan circuitos no averiados que pueden seguir cursando tráfico) y menos el que se pueda cursar por otras líneas alternativas (cuando existan y así esté establecido). Una vez determinado el tráfico total perdido en cada ruta y conociendo el tiempo que ha durado la avería, podemos obtener el tiempo total de servicio que no ha podido ser atendido en cada ruta del cable roto. Es preciso introducir un cuarto coeficiente para reducir el tiempo calculado, puesto que el propio sistema precisa de parte del tiempo para sus enlaces y señalizaciones, y este tiempo no se debe tasar como tráfico de usuario. Se realiza así la corrección entre tiempo ocupado por los abonados y el que precisa el sistema para realizar sus conexiones. Una vez obtenido el tráfico (atribuible al abonado) que no ha podido ser atendido, es preciso calcular el equivalente en pasos de contador, para obtener el importe que no se ha podido facturar. La facturación telefónica, como es sabido consta de dos partes, la primera consiste en una serie de pasos al establecimiento de la comunicación y la segunda un paso cada determinado tiempo de conversación. Puesto que se dispone del tiempo total de comunicación, si se divide por el tiempo medio de las comunicaciones, se obtiene el número de conversaciones diferentes que podían haber sido establecidas, y por tanto la cantidad de pasos iniciales que se hubiesen facturado de no haber tenido la avería. La valoración final se obtiene de multiplicar el número total de pasos anteriormente calculados, por la tarifa del paso en vigor aplicable el día de la rotura. 12 TABLAS Tablas de los valores de Erlang :A n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 0.007 .00705 .12600 .39664 .77729 1.2362 1.7531 2.3149 2.9125 3.5395 4.1911 4.8637 5.5543 6.2607 6.9811 7.7139 8.4579 9.2119 9.9751 10.747 11.526 12.312 13.105 13.904 14.709 15.519 16.334 17.153 17.977 18.805 19.637 20.473 21.312 22.155 23.001 23.849 24.701 25.556 26.413 27.272 28.134 28.999 29.866 30.734 31.605 32.478 33.353 34.230 35.108 35.988 0.008 .00806 .13532 .41757 .81029 1.2810 1.8093 2.3820 2.9902 3.6274 4.2889 4.9709 5.6708 6.3863 7.1155 7.8568 8.6092 9.3714 10.143 10.922 11.709 12.503 13.303 14.110 14.922 15.739 16.561 17.387 18.218 19.053 19.891 20.734 21.580 22.429 23.281 24.136 24.994 25.854 26.718 27.583 28.451 29.322 30.194 31.069 31.946 32.824 33.705 34.587 35.471 36.357 0.009 .00908 .14416 .43711 .84085 1.3223 1.8610 2.4437 3.0615 3.7080 4.3784 5.0691 5.7774 6.5011 7.2382 7.9874 8.7474 9.5171 10.296 11.082 11.876 12.677 13.484 14.297 15.116 15.939 16.768 17.601 18.438 19.279 20.123 20.972 21.823 22.678 23.536 24.397 25.261 26.127 26.996 27.867 28.741 29.616 30.494 31.374 32.256 33.140 34.026 34.913 35.803 36.694 Probabilidad de pérdida (E) 0.01 0.02 0.03 0.05 .01010 .02041 .03093 .05263 .15259 .22347 .28155 .38132 .45549 .60221 .71513 .89940 .86942 1.0923 1.2589 1.5246 1.3608 1.6571 1.8752 2.2185 1.9090 2.2759 2.5431 2.9603 2.5009 2.9354 3.2497 3.7378 3.1276 3.6271 3.9865 4.5430 3.7825 4.3447 4.7479 5.3702 4.4612 5.0840 5.5294 6.2157 5.1599 5.8415 6.3280 7.0764 5.8760 6.6147 7.1410 7.9501 6.6072 7.4015 7.9667 8.8349 7.3517 8.2003 8.8035 9.7295 8.1080 9.0096 9.6500 10.633 8.8750 9.8284 10.505 11.544 9.6516 10.656 11.368 12.461 10.437 11.491 12.238 13.385 11.230 12.333 13.115 14.315 12.031 13.182 13.997 15.249 12.838 14.036 14.885 16.189 13.651 14.896 15.778 17.132 14.470 15.761 16.675 18.080 15.295 16.631 17.577 19.031 16.125 17.505 18.483 19.985 16.959 18.383 19.392 20.943 17.797 19.265 20.305 21.904 18.640 20.150 21.221 22.867 19.487 21.039 22.140 23.833 20.337 21.932 23.062 24.802 21.191 22.827 23.987 25.773 22.048 23.725 24.914 26.746 22.909 24.626 25.844 27.721 23.772 25.529 26.776 28.698 24.638 26.435 27.711 29.677 25.507 27.343 28.647 30.657 26.378 28.254 29.585 31.640 27.252 29.166 30.526 32.624 28.129 30.081 31.468 33.609 29.007 30.997 32.412 34.596 29.888 31.916 33.357 35.584 30.771 32.836 34.305 36.574 31.656 33.758 35.253 37.565 32.543 34.682 36.203 38.557 33.432 35.607 37.155 39.550 34.322 36.534 38.108 40.545 35.215 37.462 39.062 41.540 36.109 38.392 40.018 42.537 37.004 39.323 40.975 43.534 N 0.1 .11111 .59543 1.2708 2.0454 2.8811 3.7584 4.6662 5.5971 6.5464 7.5106 8.4871 9.4740 10.470 11.473 12.484 13.500 14.522 15.548 16.579 17.613 18.651 19.692 20.737 21.784 22.833 23.885 24.939 25.995 27.053 28.113 29.174 30.237 31.301 32.367 33.434 34.503 35.572 36.643 37.715 38.787 39.861 40.936 42.011 43.088 44.165 45.243 46.322 47.401 48.481 0.2 .25000 1.0000 1.9299 2.9452 4.0104 5.1086 6.2302 7.3692 8.5217 9.6850 10.857 12.036 13.222 14.413 15.608 16.807 18.010 19.216 20.424 21.635 22.848 24.064 25.281 26.499 27.720 28.941 30.164 31.388 32.614 33.840 35.067 36.295 37.524 38.754 39.985 41.216 42.448 43.680 44.913 46.147 47.381 48.616 49.851 51.086 52.322 53.559 54.796 56.033 57.270 0.4 .66667 2.0000 3.4798 5.0210 6.5955 8.1907 9.7998 11.419 13.045 14.677 16.314 17.954 19.598 21.243 22.891 24.541 26.192 27.844 29.498 31.152 32.808 34.464 36.121 37.779 39.437 41.096 42.755 44.414 46.074 47.735 49.395 51.056 52.718 54.379 56.041 57.703 59.365 61.028 62.690 64.353 66.016 67.679 69.342 71.006 72.669 74.333 75.997 77.660 79.324 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 13 50 51 n 36.870 37.754 0.007 37.245 38.134 0.008 37.586 38.480 0.009 37.901 40.255 41.933 44.533 38.800 41.189 42.892 45.533 0.01 0.02 0.03 0.05 Probabilidad de pérdida (E) 49.562 50.644 0.1 58.508 59.746 0.2 80.988 50 82.652 51 0.4 n 14 n 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 n Probabilidad de pérdida (E) 0.007 37.754 38.639 39.526 40.414 41.303 42.194 43.087 43.980 44.875 45.771 46.669 47.567 48.467 49.368 50.270 51.173 52.077 52.982 53.888 54.795 55.703 56.612 57.522 58.432 59.344 60.256 61.169 62.083 62.998 63.914 64.830 65.747 66.665 67.583 68.503 69.423 70.343 71.264 72.186 73.109 74.032 74.956 75.880 76.805 77.731 78.657 79.584 80.511 81.439 82.367 83.296 0.007 0.008 38.134 39.024 39.916 40.810 41.705 42.601 43.499 44.398 45.298 46.199 47.102 48.005 48.910 49.816 50.723 51.631 52.540 53.450 54.361 55.273 56.186 57.099 58.014 58.930 59.846 60.763 61.681 62.600 63.519 64.439 65.360 66.282 67.204 68.128 69.051 69.976 70.901 71.827 72.753 73.680 74.608 75.536 76.465 77.394 78.324 79.255 80.186 81.117 82.050 82.982 83.916 0.008 0.009 38.480 39.376 40.273 41.171 42.071 42.972 43.875 44.778 45.683 46.589 47.497 48.405 49.314 50.225 51.137 52.049 52.963 53.877 54.793 55.709 56.626 57.545 58.464 59.384 60.304 61.226 62.148 63.071 63.995 64.919 65.845 66.771 67.697 68.625 69.553 70.481 71.410 72.340 73.271 74.202 75.134 76.066 76.999 77.932 78.866 79.801 80.736 81.672 82.608 83.545 84.482 0.009 0.01 38.800 39.700 40.602 41.505 42.409 43.315 44.222 45.130 46.039 46.950 47.861 48.774 49.688 50.603 51.518 52.435 53.353 54.272 55.191 56.112 57.033 57.956 58.879 59.803 60.728 61.653 62.579 63.506 64.434 65.363 66.292 67.222 68.152 69.084 70.016 70.948 71.881 72.815 73.749 74.684 75.620 76.556 77.493 78.430 79.368 80.306 81.245 82.184 83.124 84.064 85.005 0.01 0.02 41.189 42.124 43.060 43.997 44.936 45.875 46.816 47.758 48.700 49.644 50.589 51.534 52.481 53.428 54.376 55.325 56.275 57.226 58.177 59.129 60.082 61.036 61.990 62.945 63.900 64.857 65.814 66.771 67.729 68.688 69.647 70.607 71.568 72.529 73.490 74.452 75.415 76.378 77.342 78.306 79.271 80.236 81.201 82.167 83.134 84.100 85.068 86.035 87.003 87.972 88.941 0.02 0.03 42.892 43.852 44.813 45.776 46.739 47.703 48.669 49.635 50.602 51.570 52.539 53.508 54.478 55.450 56.421 57.394 58.367 59.341 60.316 61.291 62.267 63.244 64.221 65.199 66.177 67.156 68.136 69.116 70.096 71.077 72.059 73.041 74.024 75.007 75.990 76.974 77.959 78.944 79.929 80.915 81.901 82.888 83.875 84.862 85.850 86.838 87.826 88.815 89.804 90.794 91.784 0.03 0.05 45.533 46.533 47.534 48.536 49.539 50.543 51.548 52.553 53.559 54.566 55.573 56.581 57.590 58.599 59.609 60.619 61.630 62.642 63.654 64.667 65.680 66.694 67.708 68.723 69.738 70.753 71.769 72.786 73.803 74.820 75.838 76.856 77.874 78.893 79.912 80.932 81.952 82.972 83.993 85.014 86.035 87.057 88.079 89.101 90.123 91.146 92.169 93.193 94.216 95.240 96.265 0.05 Probabilidad de pérdida (E) n 0.1 50.644 51.726 52.808 53.891 54.975 56.059 57.144 58.229 59.315 60.401 61.488 62.575 63.663 64.750 65.839 66.927 68.016 69.106 70.196 71.286 72.376 73.467 74.558 75.649 76.741 77.833 78.925 80.018 81.110 82.203 83.297 84.390 85.484 86.578 87.672 88.767 89.861 90.956 92.051 93.146 94.242 95.338 96.434 97.530 98.626 99.722 100.82 101.92 103.01 104.11 105.21 0.1 0.2 59.746 60.985 62.224 63.463 64.702 65.942 67.181 68.421 69.662 70.902 72.143 73.384 74.625 75.866 77.108 78.350 79.592 80.834 82.076 83.318 84.561 85.803 87.046 88.289 89.532 90.776 92.019 93.262 94.506 95.750 96.993 98.237 99.481 100.73 101.97 103.21 104.46 105.70 106.95 108.19 109.44 110.68 111.93 113.17 114.42 115.66 116.91 118.15 119.40 120.64 121.89 0.2 0.4 82.652 51 84.317 52 85.981 53 87.645 54 89.310 55 90.974 56 92.639 57 94.303 58 95.968 59 97.633 60 99.297 61 100.96 62 102.63 63 104.29 64 105.96 65 107.62 66 109.29 67 110.95 68 112.62 69 114.28 70 115.95 71 117.61 72 119.28 73 120.94 74 122.61 75 124.27 76 125.94 77 127.61 78 129.27 79 130.94 80 132.60 81 134.27 82 135.93 83 137.60 84 139.26 85 140.93 86 142.60 87 144.26 88 145.93 89 147.59 90 149.26 91 150.92 92 152.59 93 154.26 94 155.92 95 157.59 96 159.25 97 160.92 98 162.59 99 164.25 100 165.92 101 0.4 n 15 n 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 n Probabilidad de pérdida (E) 0.007 83.296 84.225 85.155 86.086 87.017 87.948 88.880 89.812 90.745 91.678 92.612 93.546 94.481 95.416 96.352 97.287 98.224 99.160 100.10 101.04 101.97 102.91 103.85 104.79 105.73 106.67 107.61 108.55 109.49 110.43 111.37 112.31 113.26 114.20 115.14 116.09 117.03 117.97 118.92 119.86 120.81 121.75 122.70 123.64 124.59 125.54 126.48 127.43 128.38 129.32 130.27 0.007 0.008 83.916 84.849 85.783 86.718 87.653 88.589 89.525 90.462 91.399 92.336 93.274 94.212 95.151 96.090 97.030 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236.82 0.02 242.43 0.03 251.54 0.05 229.27 0.01 0.02 0.03 Probabilidad de pérdida (E)0.05 Probabilidad de pérdida (E) 0.1 160.23 0.1 161.33 215.43 162.43 216.53 163.53 217.64 164.64 218.74 165.74 219.85 166.84 220.95 167.95 222.06 169.05 223.17 170.15 224.27 171.25 225.38 172.36 226.48 173.46 227.59 174.56 228.69 175.67 229.80 176.77 230.90 177.88 232.01 178.98 233.12 180.08 234.22 181.19 235.33 182.29 236.43 183.39 237.54 184.50 238.65 185.60 239.75 186.71 240.86 187.81 241.96 188.91 243.07 190.02 244.18 191.12 245.28 192.23 246.39 193.33 247.49 194.44 248.60 195.54 249.71 196.65 250.81 197.75 251.92 198.85 253.02 199.96 254.13 201.06 255.24 202.17 256.34 203.27 257.45 204.38 258.56 205.48 259.66 206.59 260.77 207.69 261.88 208.80 262.98 209.90 264.09 211.01 265.20 212.11 266.30 213.22 267.41 214.32 268.52 215.43 269.62 0.1 270.73 0.1 0.2 184.23 0.2 185.47 246.63 186.72 247.88 187.97 249.13 189.22 250.38 190.47 251.63 191.71 252.87 192.96 254.12 194.21 255.37 195.46 256.62 196.70 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249.22 0.4 250.89 332.54 252.56 334.21 254.22 335.88 255.89 337.54 257.56 339.21 259.22 340.88 260.89 342.54 262.56 344.21 264.22 345.88 265.89 347.54 267.55 349.21 269.22 350.88 270.89 352.54 272.55 354.21 274.22 355.87 275.89 357.54 277.55 359.21 279.22 360.87 280.88 362.54 282.55 364.21 284.22 365.87 285.88 367.54 287.55 369.21 289.22 370.87 290.88 372.54 292.55 374.21 294.22 375.87 295.88 377.54 297.55 379.21 299.22 380.87 300.88 382.54 302.55 384.21 304.21 385.87 305.88 387.54 307.55 389.20 309.21 390.87 310.88 392.54 312.55 394.20 314.21 395.87 315.88 397.54 317.55 399.20 319.21 400.87 320.88 402.54 322.55 404.20 324.21 405.87 325.88 407.54 327.54 409.20 329.21 410.87 330.88 412.54 332.54 414.20 0.4 415.87 0.4 n n 18 n 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 n 0.007 226.06 227.02 227.99 228.95 229.92 230.89 231.85 232.82 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276.01 0.007 0.008 0.009 Probabilidad de pérdida (E) 0.01 0.02 0.03 0.05 229.27 236.82 242.43 251.54 230.25 237.82 243.44 252.58 231.22 238.81 244.45 253.62 232.19 239.81 245.46 254.67 233.17 240.81 246.48 255.71 234.14 241.80 247.49 256.75 235.12 242.80 248.50 257.79 236.09 243.80 249.52 258.83 237.07 244.79 250.53 259.87 238.04 245.79 251.54 260.91 239.02 246.78 252.56 261.96 239.99 247.78 253.57 263.00 240.97 248.78 254.58 264.04 241.95 249.77 255.60 265.08 242.92 250.77 256.61 266.12 243.90 251.77 257.62 267.17 244.87 252.77 258.64 268.21 245.85 253.76 259.65 269.25 246.82 254.76 260.66 270.29 247.80 255.76 261.68 271.33 248.78 256.75 262.69 272.38 249.75 257.75 263.71 273.42 250.73 258.75 264.72 274.46 251.71 259.75 265.73 275.50 252.68 260.74 266.75 276.55 253.66 261.74 267.76 277.59 254.64 262.74 268.78 278.63 255.61 263.74 269.79 279.67 256.59 264.74 270.80 280.71 257.57 265.73 271.82 281.76 258.54 266.73 272.83 282.80 259.52 267.73 273.85 283.84 260.50 268.73 274.86 284.89 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