République Algérienne Démocratique et PopulaireMinistère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université de BATNA Faculté des Sciences de l’Ingénieur Département d'Electrotechnique Mémoire Présenté par : Lahouel Dalila Ingénieur d'Etat en Electrotechnique – Université de BATNA Pour obtenir le diplôme de Magistère en Electrotechnique Option : Electricité Industrielle / Commande Robuste Thème Commande Non Linéaire Adaptative D'une Machine Synchrone à Aimants Permanents Soutenu le, 01 / 07 / 2009 Devant le jury composé de: B. AZOUI Prof Université de Batna Président A. MAKOUF Prof Université de Batna Rapporteur M. S. NAIT-SAID Prof Université de Batna Co-Rapporteur S. BENDIB M.C Université de Batna Examinateur A. BETKA M.C Université de Biskra Examinateur Remerciements U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 Remer ci ement s Avant toute chose, je remercie Dieu le tout puissant de m'avoir donnée courage, patience et force durant toutes ces années d'étude. Je suis très reconnaissant à Monsieur Makouf. A, Professeur au sien du département d'Electrotechnique, pour avoir accepté de diriger mes travaux, et pour ses encouragements et son soutien qui m’ont été une aide précieuse. J’exprime mes sincères remerciements à Monsieur Nait Said. M. S, Professeur au sien du département d'Electrotechnique, pour avoir bien voulu co-diriger mon travail, pour le soutien qu’il a toujours porté à mes travaux. Je tiens également à remercier Madame Rebouh. S, pour ses conseils judicieux et pour les passionnantes discussions que nous avons eues ensemble. Je tiens ensuite à exprimer ma gratitude aux membres du jury, qui m'ont fait l'honneur d'examiner ce travail. Je ne saurais oublier mes amis, avec lesquelles j’ai partagé des très beaux moments. Merci et bonne chance à Amel, Khoukha, Fatima, Nadia, et mes collègues dans les départements : Eléctrotechnique, Electronique, mécanique, Physique et Chimie, pour leurs amours et leurs confiances. Je pense évidement à ma sæur, le Docteur F. Lahouel, pour ses conseilles et ses aides dans le but que tout se passe bien pour moi. Pour tout cela, je le remercie. Enfin, je ne saurais jamais suffisant remercier mon père et ma mère, mes frères et mes sæurs, que je porte toujours avec moi dans ma pensée. Sans leurs confiances immenses en moi, sans leurs aides et leurs amours, je n’aurais pas pu aller au bout de mes projets. Sommaire U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 SOM M A I R E Introduction Générale……………………………………………………................. 1 Chapitre Un Modél i sati on de l 'associ ati on Machi ne Converti sseur Introduction………………………………………………………………………… 3 1.1 Hypothèses simplificatrices ………………………………….……………………. 3 1.2 Modélisation de la Machine Synchrone à Aimants Permanent ...…………………. 4 1.2.1 Mise en équation de la machine……………………………….…………………… 5 1.2.1.1 Equations électriques………. ……………………………….….…………………. 5 1.2.1.2 Equations magnétiques ...…………………………………..……………………… 6 1.2.2 Transformation de Park…………………………………….……………………… 6 1.2.3 Modèle de la MS dans le référentiel de Park …..….……………………………… 7 1.2.4 Equations mécaniques ……………..……………………………………………… 8 1.2.5 Mise sous forme d’équation d’état ………………………...……………………… 9 1.3 Modélisation de l'alimentation de la machine……...……………………………… 10 1.3.1 Modélisation de l’onduleur ………….………..…………………………………… 10 1.3.2 Principe de la stratégie de commande…...………………………………………... 11 1.4 Résultats de simulation…………………………………………………………….. 12 Conclusion…………..……………………………………………………………... 15 Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP Introduction…………………………………………………………………….. 16 2.1 Commande Vectorielle…………………...……………………………..……… 16 2.1.1 Principe de la commande vectorielle ……...…………………………………... 16 2.1.2 Bloc de compensation ………………………………………………….……... 19 2.1.3 Régulation ……………………………………………………………………... 20 2.1.3.1 Correcteur du flux …………………….…………………………...…………... 20 2.1.3.2 Correcteur du couple ………….………………..……………………………... 21 Sommaire U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 2.1.3.3 Correcteur de vitesse ……….…………….…………….……………………... 21 2.1.4 Résultats de simulation…….…………………………………………………… 23 2.2 Commande Vectorielle avec un Observateur Adaptatif……..…………………. 25 2.2.1 Principe d'un observateur adaptatif ……………………………………………. 25 2.2.2 Application de l'observateur de Luenberger au MSAP …………….....………. 27 2.2.2.1 Synthèse de l'observateur………………………………………………………. 28 2.2.2.2 Stabilisation par Lyapunov……………………………………………………... 29 2.2.2.3 Schéma bloc de simulation……………………………………………………... 30 2.2.2.4 Résultats de simulation………………………………………………………... 31 Conclusion……………………………………………………………………… 33 Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Section Un…………………………………………………………………… Introduction…………………………………………………………………….. 34 3.1 Principe de la technique de linéarisation au sens des entrées sorties …………. 34 3.1.1 Dérivée de Lie …………………………...………………………..…………… 35 3.1.2 Technique de la commande non linéaire …….……….………………............... 36 3.1.3 Conception du nouveau vecteur de commande v …...…………...…………….. 38 3.2 Application au modèle de la MSAP……………………………………………. 39 3.2.1 Modèle de la MSAP commandée ……………….………………..……………. 40 3.2.2 Choix des grandeurs de sortie ……………………….………………………… 41 3.2.3 Calcul du degré relatif ……………………….………………………………… 41 3.2.4 Linéarisation du système ………………………...…………..………………… 43 3.2.5 Synthèse des régulateurs ………………………………………………………. 44 3.2.6 Résultats de simulation …………………..………………..…………………... 45 3.3 Commande par Backstepping…......……………..……..……………………… 47 3.3.1 Conception de la Commande par Backstepping.……….……………………… 50 3.4 Application de la Commande Non Linéaire Adaptative par Backstepping au MSAP.………………………………..………………………………………… 50 3.4.1 Schéma bloc de simulation……………………...……….……………………. 55 3.4.2 Résultats de simulation……………………………………..…...……………. 56 Sommaire U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 Conclusion……………………………………………………………………… 58 Section Deux : Etude Comparative……………………………………………. Introduction…………………………………………………………………….. 59 3.5 Qualité d'alimentation……………………………………………….…………. 59 3.6 Etapes des deux méthodes ………..……...………………………..…………… 60 3.6.1 Commande vectorielle avec adaptation paramétrique …….…………............... 60 3.6.2 Commande non linéaire adaptative par Backstepping…………………………. 60 3.7 Résultats de simulation…………..……………………………………………. 61 Conclusion …….………………………………………..………………........... 62 Conclusion générale ………..…......………………………....…….………….... 63 Bibliographie…….………………………………………………...…………….. 65 Annexe……….…….………….……………...…………………...…………….. Nomenclature U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 N omen cl at ur e c b a i , i , i Courants des phases statoriques. c b a , , φ φ φ Flux totaux à travers les bobines statoriques. f φ Flux des aimants. c b a v , v , v Tensions des phases statoriques. q d I , I Courants statoriques d’axe direct et en quadrature. q d V , V Tensions statoriques d’axe direct et en quadrature. s R Résistance des phases statoriques. 0 s M Inductance mutuelle entre deux phases statorique. 0 s L Inductance propre d’une phase statorique. θ Caractérise la position angulaire du rotor par rapport au stator. e C Couple électromagnétique. r C Couple résistante. f Coefficient de frottement. j [ ) (θ P Matrice de transformation de PARK. p nombre de paires de pôles. J Moment d’inertie des masses en rotor. Ω Vitesse mécanique de rotation. q d L , L Inductances cycliques directe et en quadrature. , ) β α, Référentiel lié au stator. , ) q , d Référentiel lié au champs tournant. nom Ω Vitesse de rotation nominale. rnom φ Flux rotorique nominale. ref φ Flux rotorique de référence. R Valeur estimée (Adapté) de la résistance. r C ´ Valeur estimée (Adapté) du couple résistant. x Vecteur des états. K Matrice des gains. e Vecteur des erreurs. V Fonction de Lyapunov condidate. x ´ Vecteur des états estimés. u Vecteur de commande (d’entrée). Nomenclature U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 , ) , ) x g , x f Champs de vecteurs. , ) x h Vecteur de sortie. , ) x h L i f Dérivé de Lie. r Degré relatif total. , ) x D Matrice de découplage du système. , ) x ζ Fonction de linéarisation. v Vecteur des nouvelles commande. 2 w 1 w d k , k , k Gains. r s C , R ∆ ∆ Différences entre les valeurs réelles et les valeurs nominales. 2 1 ,θ θ Incertitudes des paramètres. 3 m 2 m 1 m Z , Z , Z Etats de référence. 3 m 2 m 1 m k , k , k Gains désigne. dref ref i , ω Référence de vitesse et de courant i d . 2 1 ; θ θ Estimation de θ 1 et θ 2 . 2 1 ~ ; ~ θ θ Erreurs estimées entre les valeurs réelles inconnu et leurs estimations. α Commande virtuelle. Introduction générale U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 1 INTRODUCTION GENERALE Les Machines Synchrones à Aimants Permanents (MSAP) sont de plus en plus utilisées dans l’industrie parce qu'ils offrent beaucoup d'avantages: une faible inertie rotorique, une dissipation de chaleur efficace et un couple massique important. De plus, l’élimination des balais réduit les bruits et supprime la nécessité de leurs maintenances. Les recherches actuellement ont pour but de remplacer les Machines à Courant Continu (MCC) par des (MSAP) dans le domaine industriel initialement occupe par la commande des MCC. Le moteur à courant continu est alimenté par un convertisseur statique simple et une régulation de son courant d’induit permet de maîtriser son couple. Pour la MSAP, la fonction du collecteur est réalisée par un onduleur synchronisé avec la position du rotor [1], [2]. La commande vectorielle est une méthode qui se ramène à une structure de commande linéaire par l'hypothèse d'orientation du flux. Elle a été proposée par Blaschke en 1972. Si cette méthode est restée peu exploitée jusqu'au début des années 80, les progrès réalisés actuellement dans la technologie des semi-conducteurs et dans la microélectronique ont permis son utilisation dans les variateurs industriels de vitesse actuels. Cette commande permettant un découplage entre les variables de commande, reste la plus utilisée vue les performances dynamiques élevées qu’elle offre pour une large gamme d’applications. Dans le souci d'améliorer les performances dynamiques du réglage en vitesse de la MSAP, nous avons jugé intéressant de faire appel à un observateur d'état pour reconstruire les grandeurs d'état à partir de la grandeur de commande et de la grandeur à asservir c. Lors de son dimensionnement nous avons prévu l'estimation de la résistance statorique, afin d'améliorer davantage la robustesse de l'observateur et de la structure de commande. L'observateur utilisé est un "observateur de Luenberger". Il est utilisé pour la reconstitution de la résistance statorique, en vue de la mise en uvre d'une commande avec compensation des incertitudes paramétriques. [3] Par ailleurs, la commande des moteurs électriques s'est révélée être un champ d'application des méthodologies de l'automatique de linéarisation entrée sortie, développées depuis les années 70. En effet, la commande non linéaire présente l’avantage de pouvoir commander séparément le flux et le couple. Avec cette technique de commande, le modèle de la machine Introduction générale U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 2 est décomposé en deux sous systèmes linéaires mono variables indépendants. Chaque sous système représente une boucle de commande indépendante d’une variable donnée (vitesse, couple, courant etc.). La dynamique du système linéarisé est choisie par un placement optimal des pôles. Le comportement de la MSAP est celui d'un système non linéaire, sa dynamique est rapide, ses paramètres varient pendant le fonctionnement et elle est sujette à des perturbations inconnues. Toutes ces caractéristiques rendent la commande de cette machine complexe. Par conséquent, la conservation de la nature non linéaire de la machine, la poursuite de trajectoires prédéterminées, la robustesse aux variations des paramètres et le rejet de perturbations inconnues avec une réponse performante sont les objectifs à satisfaire lors d'une mise en oeuvre d'une stratégie de commande. On propose alors la synthèse d'une loi de commande utilisant une technique récursive, de type Backstepping, . [4] L'objectif général de ce mémoire est l'étude et la comparaison de méthodologie de synthèse de contrôleurs non linéaires pouvant améliorer la stabilité, la réponse et les performances de la Machine Synchrone à Aimants Permanents. Pour cela, deux techniques de synthèse de lois de commande sont particulièrement considérées: la commande vectorielle avec un observateur de Luenberger, et la technique de commande non linéaire adaptative par Backstepping. Modélisation de l'association Machine Convertisseur Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 3 INTRODUCTION Pendant plusieurs années, l’industrie a utilisé le moteur à courant continu (CC) offrant le principal avantage d’être facilement commandable grâce au découplage naturel du flux et du couple. Cependant la présence du système balais collecteur a toujours été un grand inconvénient du moteur parmi d’autres qui limitant de plus en plus son utilisation. Grâce aux progrès de l’électronique de puissance et l’informatique, le moteur synchrone à aimants permanents a pu s’imposer dans les systèmes d’entrainement. L’apparition d’aimants performants et le développement des composants de l’électronique de puissance ont poussé un bon nombre de chercheurs et industriels à lancer des investigations dans le domaine des associations convertisseurs et machine électrique utilisant le moteur synchrone à aimants permanents. La première étape de la synthèse d’une loi de commande est la modélisation du procédé à contrôler (MSAP). Le modèle doit être capable de représenter fidèlement les différentes dynamiques présentes. Cette modélisation est établie en termes d'équations différentielles et est basée essentiellement sur la transformation de Park. Puisque les machines synchrones dans les systèmes industriels ne sont pas directement alimentées par le réseau électrique, un onduleur de tension est prévu. 1.1 HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES La machine synchrone à aimants permanents est un système complexe, dont la modélisation obéit aux hypothèses simplificatrices suivantes : ü L’entrefer est d’épaisseur uniforme, et d’encochage négligeable. ü La saturation du circuit magnétique, l’hystérésis et les courants de Foucault sont négligeables. ü Les résistances des enroulements ne varient pas avec la température et l’effet de peau est négligeable. ü On admet que la FMM crée par chacune des phases des deux armatures est à répartition sinusoïdale. Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 4 1.2 MODELISATION DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS Les machines synchrones en général, sont alimentées au stator par des enroulements triphasés et au rotor par une tension continue. Alimentée à fréquence constante, sa vitesse est synchrone avec le champ tournant et ne dépend que de la fréquence de l’alimentation et du nombre de pôles de la machine. Au rotor, la bobine d’excitation peut être remplacée par des aimants permanents. Ce type de machine possède un bon rendement puisque les pertes Joule sont localisées au stator. En outre, la compacité du rotor conduit à un bon rapport couple/inertie, autorisant des accélérations élevées. La réalisation du rotor à aimants permanents conduit à deux variantes technologiques selon la disposition des aimants. On distingue ainsi: ü Les machines à aimants superficiels : les aimants sont montés sur la surface du rotor offrant un entrefer homogène. Le moteur est appelé à rotor lisse et les inductances ne dépendent pas de la position du rotor. ü Les machines à aimants permanents enterrés : les aimants sont montés à l'intérieur de la masse rotorique et l'entrefer sera variable à cause de l'effet de la saillance. Dans ce cas, les inductances dépendent fortement de la position du rotor. De plus, le diamètre du rotor du premier type est moins important que celui du deuxième ce qui réduit considérablement son inertie en lui offrant la priorité dans l’entraînement des charges rapides, et possèdent une robustesse mécanique élevée qui leur permet de travailler à des vitesses importantes. Le comportement magnétique de ces machines est similaire aux machines à rotor bobiné et possèdent des valeurs différentes pour les inductances directes et en quadrature. [5], [6] 1.2.1 Mise en équation de la machine synchrone Pour établir des relations simples entre les tensions d'alimentation du moteur et ces courants, nous considérons le modèle de la machine synchrone idéal suivant : Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 5 d 0 a F v a v f q v c v b b c Fig. 1.1 Schéma de la machine synchrone 1.2.1.1 Equations électriques Les équations électriques dans un repère fixe lié au stator sont décrites par : 1 1 1 ] 1 ¸ + 1 1 1 ] 1 ¸ · 1 1 1 ] 1 ¸ c b a c b a s c b a dt d i i i R v v v φ φ φ (1.1) Avec: Rs : la résistance par phase statorique, j [ T c b a v v v : Les tensions des phases statorique, j [ T c b a i i i : Les courants des phases statorique, j [ T c b a φ φ φ : Les flux totaux à travers les bobines statorique. 1.2.1.2 Equations magnétiques Les relations entre flux et courants s’écrivent sous forme matricielle comme suit : j [ j [ j [ j [ j [ f sf s ss s I M I L + · φ (1.2) Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 6 On désigne par : j [ ss L : Matrice d’inductances statorique. Elle contient des termes constants que nous regroupons dans j [ 0 s L et des termes variables dépendant de , que nous regroupons dans , ) j [ θ 2 s L : j [ j [ j [ 2 0 s s ss L L L + · Avec : j [ 1 1 1 ] 1 ¸ · 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s s s s s s s s s s l M M M l M M M l L ; j [ 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ Π − Π − Π − Π − Π − Π − · ) 3 2 ( 2 cos ) 2 cos( ) 3 4 ( 2 cos ) 2 cos( ) 3 4 ( 2 cos ) 3 2 ( 2 cos ) 3 4 ( 2 cos ) 3 2 ( 2 cos ) 2 cos( 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ s s L L Où : M s0 : inductance mutuelle entre deux phases statorique, L s0 : inductance propre d’une phase statorique. 0 : caractérise la position angulaire du rotor par rapport au stator. j [ 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ Π − Π − · ) 3 4 cos( ) 3 2 cos( cos θ θ θ f sf M M 1.2.2 Transformation de Park Pour éliminer 0 de la matrice j [ 2 s L ; et afin que les algorithmes de commande traitent des grandeurs électriques continues, les enroulements statorique (a, b, c) sont remplacés par deux enroulements (d, q) en quadrature, figure (1.2). Ce passage est obtenu par la transformation de Park. Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 7 a d v f θ v d v q q Fig. 1.2 Schéma de la machine synchrone dans le référentiel (d,q) La matrice de passage notée P(0) : 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ Π − − Π − − − Π − Π − · 2 1 2 1 2 1 ) 3 4 sin( ) 3 2 sin( sin ) 3 4 cos( ) 3 2 cos( cos 3 2 ) ( θ θ θ θ θ θ θ P Et la matrice P -1 (0) est donnée par : 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ Π − − Π − Π − − Π − − · − 1 ) 3 4 sin( ) 3 4 cos( 1 ) 3 2 sin( ) 3 2 cos( 1 sin cos ) ( 1 θ θ θ θ θ θ θ P 1.2.3 Modèle de la MS dans le référentiel de Park La transformation de Park ramène les équations statorique (1.1) dans un référentiel lie au rotor. Donc la machine équivalente est identique à une machine à courant continu ayant l’enroulement f comme inducteur et ayant deux induits en quadrature. [9] Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 8 Le passage du système triphasé au système biphasé se fait en utilisant les relations suivantes : j [ j [ j [ j [ j [ j [ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ' ¹ · · · ) ( P i i i ) ( P I I I v v v ) ( P V V V c b a o q d c b a o q d c b a o q d φ φ φ θ φ φ φ θ θ Alors, le modèle de la machine après la transformation de Park est : 1 1 1 ] 1 ¸ + 1 1 1 ] 1 ¸ 1 1 1 ] 1 ¸ + + − + · 1 1 1 ] 1 ¸ 0 P 0 I I I s L R 0 0 0 s L R L P 0 L P s L R V V V f f q d f f q s d q d s f q d ωφ ω ω (1.3) Ainsi pour la MSAP, le modèle est le suivant : 1 ] 1 ¸ + 1 ] 1 ¸ 1 ] 1 ¸ + − + · 1 ] 1 ¸ f q d q s d q d s q d P 0 I I s L R L P L P s L R V V ωφ ω ω (1.4) Avec la même procédure de calcul pour les équations magnétiques et faisant usage du calcul matriciel précédent et en supposant que le système est équilibré, on aura : ¹ ' ¹ · + · q q q f d d d I L I L φ φ φ (1.5) v f : représente le flux des aimants à travers le circuit équivalent direct. 1.2.4 Equations mécaniques L'équation mécanique développée par la machine est donnée par la relation suivante : Ω + Ω · − f dt d J C C r e (1.6) Avec: f, J, C r et O définissant respectivement le coefficient d'amortissement, le moment d'inertie du rotor, le couple de charge et la vitesse mécanique de rotation. Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 9 Le couple électromagnétique C e est produit par l'interaction entre les pôles formés par les aimants au rotor et les pôles engendrés par les FMMs dans l'entrefer générées par les courants statorique. Il est exprimé par : , ) j [ q f q d q d e I I I L L P C φ + − · 2 3 (1.7) 1.2.5 Mise sous forme d’équation d’état Considérons les tensions (V d , V q ), et le flux d’excitation (v f ) comme grandeurs de commande, les courants statorique (I d , I q ) comme variables d’état et le couple C r comme perturbation. A partir des équations (1.4), (1.7), on peut écrire le système d’équations comme suit : j [ f q q d q d q d q s q d d q d s . q . d L P 0 V V L 1 0 0 L 1 I I L R L L P L L P L R I I φ ω ω ω 1 1 ] 1 ¸ − + 1 ] 1 ¸ 1 1 1 1 ] 1 ¸ + 1 ] 1 ¸ 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ − − − · 1 1 1 1 ] 1 ¸ (1.8) Ces dernières équations constituent la base du schéma bloc de la MSAP (figure 1.3). [6], [8] Fig. 1.3 Schéma bloc de la MSAP dans le référentiel d-q La fréquence des courants au stator est asservie à la rotation du rotor de manière à maintenir le synchronisme entre le champ créé par les courants du stator et le moment magnétique du rotor. Il en découle que le champ statorique "tourne" à la vitesse du rotor. A l’arrêt du rotor, le champ statorique est immobile; c’est le principe de l’autopilotage. Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 10 1.3 MODELISATION DE L'ALIMENTATION DE LA MACHINE L’alimentation par un onduleur de tension à modulation de largeur d’impulsion (MLI), s’avère d’un grand intérêt pour la commande des machines électriques. En effet elle permet le réglage en amplitude et en fréquence de la tension d’alimentation et de repousser les harmoniques vers des rangs plus élevés. 1.3.1 Modélisation de l'onduleur L'onduleur de tension est une structure utilisée pour l'alimentation en tension moyenne des machines synchrones à aimants permanents et aussi les machines asynchrones de forte puissance fonctionnant en vitesse variable. La figure (1.4) présente un schéma d'alimentation pour la MSAP avec un onduleur de tension alimenté à partir d'un réseau triphasé. Fig. 1.4 Schéma de l'onduleur de tension alimenté à partir du réseau triphasé L Réseau K11 K12 K13 C E K21 K22 K23 i a i b i c cN bN aN v v v Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 11 Le filtre L-C, associé au pont redresseur à diodes constitue une source de tension non réversible. L'énergie ne peut donc transiter de la machine au réseau. L'ensemble des transistors constituant l'onduleur triphasé à modulation de largeur d'impulsion (MLI), impose la fréquence de rotation du champ tournant et l'amplitude de la tension dans la machine. [10] 1.3.2 Principe de la stratégie de commande L'onduleur a pour objectif de générer à sa sortie, des tensions les plus sinusoïdales possibles. A cet effet, différentes stratégies de modulation ont été proposées. Parmi celle-ci, la modulation de largeur d'impulsions MLI triangulo-sinusoidal. Le principe général consiste à convertir une modulante (tension de référence au niveau commande), généralement sinusoïdale, en une tension sous forme de créneaux successifs, générée à la sortie de l'onduleur (niveau puissance). Cette technique repose sur la comparaison entre deux signaux : ü Le premier, appelé signal de référence, représente l'image de la sinusoïde qu'on désire à la sortie de l'onduleur. Ce signal est modulable en amplitude et en fréquence. ü Le second, appelé signal de la porteuse, définit la cadence de la commutation des interrupteurs statiques de l'onduleur. C'est un signal de haute fréquence par rapport au signal de référence. L'intersection de ces signaux donne les instants de commutation des interrupteurs. [7], [11] Fig. 1.5 Génération des Signaux de commande PWM de l'onduleur Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 12 Les tensions de références sont les tensions simples j [ T cN bN aN s v v v V par rapport au point neutre. Si la charge est équilibrée alors : 0 · + + cN bN aN v v v , D'où : , ) , ) , ) ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ' ¹ − · − · − · bc ca cN ab cb bN ca ab aN v v v v v v v v v 3 1 3 1 3 1 (1.9) L'onduleur est modélisé en associant à chaque bras une fonction logique F j définie par : 1 : Interrupteur du demi bras haut fermé F j = 0 : Interrupteur du demi bras bas ouvert Les tensions imposées dans chaque bras de l'onduleur sont données par : E F V E F V E F V 3 3 2 2 1 1 · · · Et les tensions simples v a , v b et v c s'expriment par : 1 1 1 ] 1 ¸ ⋅ 1 1 1 ] 1 ¸ − − − − − − · 1 1 1 ] 1 ¸ 3 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 3 F F F E v v v cN bN aN (1.10) 1.4 RESULTATS DE SIMULATION Pour compléter l’étude théorique présentée précédemment, une simulation numérique est indispensable. Les programmes sont testés dans l’environnement MATLAB. Pour les paramètres de la machine définis en Annexe A. Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 13 Fig. 1.6 Résultats de simulation de la MSAP alimentée par un réseau triphasé équilibré (à gauche) et alimentée par un onduleur (à droite) Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 14 Fig. 1.7 Résultats de simulation de la MSAP alimentée par un réseau triphasé équilibré (à gauche) et alimentée par un onduleur (à droite) avec application d'un couple de charge Cr=5N.m à t = 1s Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 15 En première étape, on a simulé le fonctionnement de la machine synchrone alimentée directement par le réseau 220/380V, avec une augmentation lente de la fréquence à 50 Hz (autopilotage scalaire), et sans application du couple de charge. L'examen des courbes montre: ü Pendant le régime transitoire, la vitesse est fortement pulsatoire, présentant au premier instant de démarrage des battements importants, et atteint sa valeur nominale de 104 rad/sec. La contre réaction des masses tournantes tendant à ramener le moteur au repos fait apparaître des valeurs de vitesse négative très faible et de courte durée. ü L'allure de la courbe du couple présente au démarrage des battements importants dans un intervalle de temps court, puis se stabilisé à zéro puisque la machine est à vide. ü Pour les courants i d et i q au début de démarrage on voit des pics de courant assez important et cela s'explique par la F.E.M qui est due à une faible vitesse de démarrage, ensuite ils se stabelisent à leurs valeurs nominales après un temps assez court. ü A t = 1s, on applique une charge de C r = 5 N.m, on remarque que les caractéristiques suivent cette variation puis se stabelisent au régime permanent. Pour l'association onduleur-MSAP on remarque la présence des pulsations dans les réponses de la machine, ces pulsations sont liées aux harmoniques des courants injectés par l'onduleur. CONCLUSION On a présenté dans ce chapitre, le modèle de la machine synchrone à aimants permanents triphasé alimenté en tension et le modèle de Park (biphasé) équivalent. Sachant que la commande de la machine impose que celle-ci soit soumise à des tensions alternatives de fréquence et d'amplitude variable. Le convertisseur de tension permet d'imposer un système de tensions triphasées, obtenues à partir d'une tension continue d'entrée. A partir de ces résultats, on remarque que les performances ne sont pas bon suite à l'application de la charge avec et sans onduleur de tension, malgré l'apport de la transformation de Park dans le sens où le modèle devient plus simple et les non linéarités réduites. Donc, pour obtenir des performances statiques et dynamiques élevés on applique la commande vectorielle dans le chapitre suivant. Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 16 INTRODUCTION L’objectif de la commande vectorielle de la MSAP est d’améliorer son comportement dynamique. Lorsque la partie commandée est soumise à des perturbations et à des variations de paramètres, une solution par une commande adaptative, doit être envisagée qui par réajustement des paramètres des régulateurs, permet de conserver les performances fixées à l’avance même en présence de perturbations et de variations paramétriques. Une solution à ce problème consiste à concevoir un observateur adaptatif, permettant de reconstruire ces grandeurs à partir des mesures disponibles. Plusieurs types d’observateurs ont été mis au point. Dans ce chapitre on étudie d'une part, l'application de la commande vectorielle à la MSAP. D'autre part un observateur d'état pour l'estimation des variables intervenant dans cette machine sera utilise avec une adaptation de la résistance statorique. 2.1 COMMANDE VECTORIELLE 2.1.1 Principe de la commande vectorielle La commande vectorielle des machines à courants alternatifs est maintenant bien connue. De nombreux industriels commercialisent des variateurs de vitesse pilotés par des machines synchrones et asynchrones utilisant ce mode de contrôle. Le principe de la commande vectorielle est identique à celui de la commande d’une machine à courant continu à excitation séparée. Il faut cependant se placer dans un repère particulier où le couple électromagnétique s’exprime simplement en fonction des composantes des courants suivant les deux axes (axe d et axe q). Habituellement, la composante d’axe d du courant statorique joue le rôle de l’excitation et permet de régler la valeur du flux dans la machine. La composante d’axe q joue le rôle du courant d’induit et permet de contrôler le couple. [13] Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 17 V q I=I q o θ I d I d ß Fig. 2.1 Diagramme de phase de la MSAP dans le référentiel lié au champ tournant La figure (2.1) montre que la position instantanée du rotor, et par conséquent le flux rotorique est situe à un angle 0 par rapport à l’axe o du référentiel (o,ß) liée au stator. L’application de la commande vectorielle nécessite que l’axe de la composante I q soit en quadrature par rapport au flux rotorique. Si le courant I d est dans la même direction que flux rotorique, le flux statorique suivant l’axe ‘d’ s'ajoute au flux des aimants, ce qui donne une augmentation au flux d’entrefer (surexcitation). D’autre part, si le courant I d est négatif le flux statorique sera en opposition à celui du rotor, ce qui donne une diminution du flux d’entrefer (sous excitation). Le courant I d doit être nul, lorsque le système travaille à couple optimal linéaire. s q d I I I · ⇒ · 0 (2.1) Donc : f d φ φ · (2.2) Le couple électromagnétique devient : q f e I P C φ 2 3 · (2.3) Comme le flux est constant, le couple est directement proportionnel à I q : q t e I K C · (2.4) Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 18 Dans le cas de fonctionnement en survitesse, une stratégie de défluxage est appliquée, la consigne de courant I d n’est plus égale à zéro et le couple est limité de manière à toujours respecter la relation suivante : max 2 q 2 d I I I ≤ + (2.5) Où : I max est le courant maximal Cette stratégie permet l’exploitation optimale des capacités magnétique de la machine c.à.d : un fonctionnement à couple constant si la vitesse est inférieure à la vitesse nominale à puissance constante lorsque la vitesse excède la vitesse nominale, le flux obéit à la relation non linéaire suivante : rnom ref φ φ · Si nom Ω ≤ Ω (2.6) nom rnom ref Ω Ω · φ φ Si nom Ω ≥ Ω Avec : nom Ω : la vitesse de rotation nominale, rnom φ : le flux rotorique nominale, ref φ : le flux rotorique de référence. Pour ce type d’alimentation, la commande devient plus compliquée du fait qu’on doit considérer la dynamique du stator en plus du celle du rotor. En faisant appelle aux équations électriques et magnétiques, on obtient les équations suivantes faisant apparaître les variables de commande. ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ' ¹ + + · + − · + 4 4 3 4 4 2 1 3 2 1 ed f d d q q q q s eq q q d d d d s I L V dt di L I R I L V dt di L I R ωφ ω ω (2.7) Ces équations donnent la structure de commande en tension. Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 19 2.1.2 Bloc de compensation En plus du bloc de la structure de commande, il y a un bloc de compensation dont les équations sont données comme suit : Posons : ¹ ' ¹ + · − · d q q q d d e V V e V V 1 1 (2.8) Sachant que : ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ' ¹ + · − · · + − · ) ( 1 1 q d d d q q q q q f d d d e V V e V V I L e I L e ω ωφ ω (2.9) La compensation à pour effet de découpler les deux axes grâce à une reconstitution en temps réel de ces perturbations (e d (s) et e q (s)). Dans de telles conditions, le système devient linéaire. [4] e q V d - V d1 * i d + V q V q1 * i q + + e d Fig. 2.2 Schéma Bloc de compensation 2.1.3 Régulation Dans le cas de notre étude on se limite à la technique de control par des régulateurs PI qui permettant des performances satisfaisantes tant du point de vue de la régulation ou bien du point de vue de la stabilité, précision et rapidité. Notons que par analogie à la régulation utilise pour la MCC, deux boucles internes sont réalisées pour le contrôle direct du flux et du couple, ou indirectement par leurs composantes respectives en courant. MSAP Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 20 2.1.3.1 Correcteur du flux Le schéma fonctionnel du contrôle de flux est donné par: I dref + v d I d - I d Fig. 2.4 Régulation du flux , ) 1 1 1 sd sd ds s d V I s T R s F · + · / s ds ds R L T · (2.10) Le régulateur ) (Re d g est choisit comme étant un régulateur proportionnel et intégral, avec la fonction de transfert de la forme suivante : , ) , ) ) s K K 1 ( s K s g Re s C id pd id d + · · (2.11) La fonction de transfert en boucle ouverte est: s T R s K K s K FTBO ds s id pd id d + + · 1 1 ) 1 ( (2.12) La démarche à suivre consiste à procéder à la compensation de la constante de temps du système, en posant : ds id pd T K K · Ce qui ramène les fonctions de transfert des courants en boucle fermée aux expressions suivantes : ref sd sd d d I I s FTBF 1 1 · + · τ (2.13) Avec : id s d K R · τ En choisissant (: d =T ds ), donc: d 2 s ds s id L R T R K · · / d'où: K pd = K id . T ds C (s) F d (t) Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 21 2.1.3.2 Correcteur de couple De la même manière que le calcul précédent, on détermine le régulateur du couple (crt I q ): I qref + v q I q - I q Fig. 2.5 Régulation du couple Sachant que (Reg q) à une même forme que (Reg d), donc : s T 1 R 1 ) s K K 1 ( s K FTBO qs s iq pq iq q + + · (2.14) ref sq sq q q I I s FTBF 1 1 · + · τ (2.15) Et : iq s q K R · τ En choisissant (: q =T qs ), donc: q 2 s qs s iq L R T R K · · / d'où: K pq = K iq . T qs 2.1.3.3 Correcteur de vitesse Le schéma fonctionnel du contrôle de vitesse est donné par: C r O ref + C e O - O Fig. 2.6 Régulation de la vitesse On a ajouté à cette boucle un filtre pour éliminer le dépassement dû à l’existence d’un (Zéro) dans la FTBF du Système (machine + régulateur PI ). La fonction de transfert du régulateur de vitesse est donnée par : C (s) F q (t) s k k i p + f s J + ⋅ 1 Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 22 ) ( p i p i p K K s s K s K K + · + (2.16) La fonction de transfert de la vitesse en boucle ouverte est donnée par (C r =0) : f s 1 ) ( + + · Ω j K K s s K FTBO p i p (2.17) En adoptant la méthode de placement de pôle et la fonction de transfert de la vitesse en boucle fermée est donnée par: i p p i p ref K s K f Js K K s K s s FTBF + + + + · Ω Ω · Ω ) ( ) ( ) ( ) ( 2 (2.18) La Ω FTBF possède une dynamique de 2 ème ordre, par identification à la forme canonique du 2 ème ordre l’équation caractéristique peut être représentée comme suit : 1 ) 2 ( 1 0 2 0 + + s s ω ζ ω (2.19) Alors : 2 1 o i K J ω · o i p K K f ω ζ 2 · + Avec : ζ : Coefficient d’amortissement. On choisit alors le coefficient d’amortissement ζ et o ω on déduit i K et p K : Avec : 2 o i J K ω · f K K i p − · 0 2 ω ζ Donc : ¹ ¹ ¹ ' ¹ ⋅ · · τ τ i p 2 i K K J 4 K avec : s q R L · τ Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 23 2.1.4 Résultats de simulation Fig. 2.7 Résultats de simulation au démarrage à vide et en charge à t=1s Fig. 2.8 Résultats de simulation lors d’inversion de la vitesse Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 24 Fig. 2.9 Résultats de simulation lors des variations paramétriques (à t=0.4s : R'=2R, et à t=0.7s : Cr'=2Cr) Les performances de la commande vectorielle sont illustrées par les résultats de simulation donnée par les figures (2.7, 2.8, 2.9), on a procédé aux essais suivants : ü Démarrage à vide puis en charge à t=1s avec c ref =100rad/s. ü Inversion de sens de rotation à t=1s. ü Variation dans les valeurs de : la résistance statorique et le couple de charge. Lors du démarrage, les résultats montrent les performances de la régulation étant donnée que la vitesse se stabilise avec une bonne dynamique t=0.1s. Le couple électromagnétique égalise la valeur de couple résistant. Le courant i q est l’image du couple, et le courant i d est maintenu à zéro. Ceci montre que le découplage est parfaitement réalisé. Pour étudier la robustesse du régulateur PI on a inversé le sens de rotation de la machine. Les résultats obtenus montrent que les performances de poursuites de vitesse et de courant i d sont satisfaisantes. Cependant, on voit bien l'influence de la variation de la résistance et de couple de charge sur le comportement du système contrôlé. Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 25 2.2 COMMANDE VECTORIELLE AVEC UN OBSERVATEUR ADAPTATIF Dans les systèmes de réglages, le régulateur à paramètres fixes est utilisé pour réduire ou éliminer l'effet des perturbations agissant sur les grandeurs à régler. Pour atteindre ce but, les variables réelles sont mesurées et comparées aux valeurs désirées, leurs différences sont injectées à l'entrée du régulateur pour générer le signal de commande. Par contre le système de commande adaptative traite l'écart entre l'indice de performance désiré et celui qui est mesuré dans le système réel. Le mécanisme d'adaptation intervient lors de l'ajustement des coefficients du régulateur afin de réaliser un comportement souhaité du système en boucle fermée. Précédemment, nous avons discuté le contrôle de système avec un contrôleur à paramètres fixes. Pratiquement, les paramètres de la machine peuvent varier, et en conséquence les performances du système peuvent se détériorer en provoquant l'instabilité. [14] Donc le problème de ce système à modèle incertain (à paramètres variables) est résolu dans ce chapitre où on va exposer la commande vectorielle avec un observateur adaptatif, pour tester à la fin la robustesse de la commande en stabilité et en performances vis-à-vis des variations paramétriques. 2.2.1 Principe d'un observateur adaptatif Il est souvent difficile, pour des raisons économiques ou technologiques, de mesurer les grandeurs nécessaires à la commande d’un système. Cette problématique a été abordée conjointement par Luenberger, Kalman et Bucy qui ont proposé respectivement l’observateur de Luenberger et le filtre de Kalman-Bucy. Un estimateur est défini comme un système dynamique dans lequel ses grandeurs d’état sont des estimations des variables d’état d’un autre système, par exemple, une machine électrique. Principalement, il y a deux façons de réaliser un estimateur : en boucle ouverte et en boucle fermée. La différence entre ces deux méthodes est basée sur l’existence, ou non, d’un terme de correction, lié à l’erreur d’estimation, utilisé pour affiner la réponse de l’estimateur. Un estimateur en boucle fermée est connu sous le nom d’observateur. Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 26 Les estimateurs, de part leur principe, sont sensibles aux variations paramétriques. L’utilisation d’un observateur améliore la robustesse des estimations vis-à-vis des variations paramétriques et des bruits de mesures. La qualité d’une bonne estimation s’apprécie au regard de sa sensibilité par rapports aux bruits affectant l’état et la sortie et aux variations paramétriques. Le filtre de Kalman est un estimateur récursif. Cela signifie que pour estimer l'état courant, seul l'état précédent et les mesures actuelles sont nécessaires. L'historique des observations et des estimations n'est ainsi pas requis. [15] L'observateur linéaire de Luenberger est plus approprié pour les systèmes où les mesures ne sont pas bruitées. Quoique le système auquel on s'intéresse soit non linéaire, il s'avère suffisant d'utiliser un observateur linéaire. Soit le système à asservir suivant : , ) , ) , ) , ) , ) ¹ ' ¹ · + · t x C t y t u B t x A t x& (2.20) Avec dim (x) = n, dim (y) = q et C de rang q La dynamique de l'observateur est : , ) , ) , ) , ) ¹ ' ¹ · − + + · t x´ C t y ´ ) x´ x ( C L t u B t x ´ A x´ & (2.21) Introduisant l'erreur d'estimation : , ) , ) , ) t x ´ t x t e − · (2.22) , ) t x´ est une bonne estimation de x(t) si , ) 0 t e t ÷ ÷ → ÷ ∞ → . On obtient : Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 27 , ) , ) , ) t e LC A t e − · & (2.23) On sait que, si la partie (A,C) est observable, alors on peut choisir la matrice de gains L de l'observateur de telle façon que A – LC ait toutes ses valeurs propres à parties réelles négatives, ce qui assure la convergence vers zéro de e(t) quand t ÷ ∞ . La spécification du gain L peut être effectuée de différentes manières : placement des pôles, solution stationnaire d'une équation de Riccati, solution d'une équation de Lyapunov,… [16], [17], [18] U + x y + + + x - y + Fig. 2.10 Schéma de principe d'un observateur Donc, dans cette étude nous choisirons le modèle d'un observateur de Luenberger, et nous l'appliquerons sur le système (Machine Synchrone à Aimants Permanents + Commande Vectorielle). 2.2.2 Application de l'observateur de Luenberger par la MSAP On choisissant les courants i d et i q comme des paramètres à estimer par l'observateur, et on prenant la vitesse à partir de la réponse de la machine. Alors, le modèle de la MSAP est décrit par le système d'équation: (en considérant: L d =L q = L) B 1/S C A L C B A 1/S Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 28 d q d d u L i p i L R dt di 1 + + − · ω q f d q q u L L p i p i L R dt di 1 + − − − · ω φ ω (2.24) ω φ J f C J i J p dt dw r q f − − · 1 2 3 Le système est non linéaire et peut robuste par rapport aux variations des paramètres. 2.2.2.1 Synthèse de l'observateur Et les équations de l'observateur de Luenberger peut être exprimée par : ¹ ' ¹ · − + + · x ´ C y ´ ) y ´ y ( K u B x´ A ´ x ´ & (2.25) , ) , ) q q q q f d q q d d d d q d d i i K u L L p i p i L R dt i d i i K u L i p i L R dt i d 1 1 − + + − − − · − + + + − · ω φ ω ω (2.26) Où : K d et K q : les gains de correction d'erreur des courants i d , i q respectivement, R : la valeur de la résistance estimé et adapté au niveau de la commande et de l'observateur. Les équations des erreurs se déduisent par la différence entre les équations du modèle de la machine et les équations de l'observateur tel que : , ), ) , ) x ´ A ´ A x´ x KC A x´ x − + − − · − & & (2.27) 1 1 1 ] 1 ¸ − − − · L R p p L R A ω ω ; 1 1 1 1 ] 1 ¸ − − − · L R p p L R A ω ω ; 1 1 1 ] 1 ¸ ∆ − ∆ − · 1 ] 1 ¸ − − − · − L R L R R R R R L A A 0 0 0 0 1 Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 29 Après les calculs, on obtient : , ) x L R L R e KC A e 0 0 1 1 1 ] 1 ¸ ∆ − ∆ − + − · & (2.28) La matrice K peut être choisi tel que : (A - KC) < 0. 2.2.2.2 Stabilisation par Lyapunov On considère la fonction de Lyapunov condidate suivante : , ) λ 2 2 1 2 1 R e e V T ∆ + · (2.29) e = [e 1 e 2 ] = [i d -i d " i q -i q "] · > 0 : constante qui intervient dans la fonction de Lyapunov, V(x) : défini positive. Donc : dt R d R e e V T ⋅ ∆ − · λ & & (2.30) Pour assurer la négativité de la fonction de Lyapunov, par conséquent assurer la stabilité et la convergence du procédé complet (commande en boucle fermée avec observateur), on prend : (A - KC) < 0. Et : 0 dt R ´ d R x ´ L R 0 0 L R e T · ⋅ + , _ ¸ ¸ λ ∆ ∆ ∆ (2.31) Donc : Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 30 dt x ´ 1 0 0 1 e L R ´ T ∫ 1 ] 1 ¸ − · λ (2.32) 2.2.2.3 Schéma bloc de simulation Le schéma bloc de simulation de la MSAP avec l'observateur de Luenberger et le bloc d'adaptation, est donne ci après : ref V + - + + Fig. 2.11 Schéma bloc de la MSAP commandé avec l'observateur de Luenberger 2.2.2.4 Résultats de simulation A partir de la simulation de la MSAP avec l'observateur, on retient les tests suivants : ü La comparaison entre les réponses des courants de la machine et de l'observateur avec les variations paramétriques. ü La robustesse de la commande avec l'observateur pour la variation de la résistance statorique, On considère que : C' r = 2 C r , R' = 2 R et on déduit leurs influences sur la réponse du système. CV MSAP Bloc d'Adaptation K OL B Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 31 Fig. 2.12 Résultats de simulation lors des variations paramétriques R' = 2R à t = 0.4 s, C' r = 2C r à t= 0.7s Fig. 2.13 Résultats de simulation de comparaison entre les réponses des courants i d et i q de la MSAP et de l'observateur Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 32 Fig. 2.14 Résultats de simulation de la réponse du bloc d'adaptation R ´ par rapport à R ref Les gains de simulations d'observateur ainsi de régulateur sont respectivement : K d = 212; K q = 212 et · = 0.001. Les résultats de simulation montrent que la dynamique prévue est respectée, et le découplage entre le flux et le couple est réalisé, ce qui implique l'efficacité et la robustesse même avec la variation de la résistance statorique, donc " l'Observateur + le bloc d'adaptation " exécuté son travail et adapté la résistance statorique, qui est changé avec le temps à cause les pertes Joule ensuite l'échauffement du stator. CONCLUSION Dans ce chapitre, nous avons présenté la commande vectorielle appliquée à la MSAP, cette stratégie permet le découplage entre le couple et le flux de la machine afin d'assurer une commande souple de sa vitesse. Le réglage de la vitesse de la MSAP par le régulateur PI donne de bonns résultats, réponse rapide de la vitesse et sans dépassement, mais un comportement sensible aux variations des paramètres (résistance statorique). On a présenté l'étude et l'application d'un observateur de Luenberge, et à travers les résultats obtenu, on peut dire que : Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 33 Le réglage avec un observateur adaptatif donne de très bonnes performances (erreur presque nulle entre les réponses de la machine avec l'observateur); et une robustesse par rapport aux variations paramétriques. D'autres stratégies peuvent être utilisées pour atteindre ces objectifs. Dans le chapitre suivant, il sera présenté la méthode de la commande non linéaire adaptative par Backstepping de la MSAP. Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 34 INTRODUCTION La conception d'un contrôleur donné dépend de la nature du système lui même et de la qualité des performances exigées. L'intérêt constant d'améliorer les performances des systèmes commandés conduit à des modélisations de plus en plus précises. Les modèles résultants sont souvent non linéaires et les outils fondamentaux de synthèse de lois de commande dans le domaine linéaire deviennent insuffisants. Il peut donc être nécessaire d’avoir recours à de nouvelles méthodes. Plusieurs techniques de synthèses des régulateurs sont disponibles et chacune d'elles dépend du degré des non linéarités et de l'ordre du système considéré. [19] Nous proposons dans ce chapitre deux techniques de synthèse de correcteur non linéaire pouvant être utilisé dans l'industrie pour améliorer les performances des machines électriques. Nous introduisons tout d'abord la technique de linéarisation entrée sortie pour trouver une transformation permettant de compenser les non linéarités du modèle et ainsi rendre la relation entre la sortie et l'entrée complètement linéaire. Ensuite, les objectifs de stabilisation, poursuite, et rejection ou atténuation de perturbations conduisent à plusieurs types de problèmes de commande. La méthode de synthèse récursive de fonction de Lyapunov par Backstepping constitue la principale méthode utilisée dans ce mémoire. 3.1 PRINCIPE DE LA TECHNIQUE DE LINEARISATION AU SENS DES ENTREES-SORTIES Le concept de la linéarisation au sens des entrées-sorties est maintenant très connu, plusieurs références décrivant la manière de l’appliquer sont disponibles. Nous allons montrer comment obtenir une relation linéaire entre la sortie y et une nouvelle entrée v, en effectuant un bon choix de la loi de linéarisation. Le modèle équivalent étant linéaire, on peut lui imposer une dynamique stable en se basant sur les méthodes linéaires classiques. Soit un système d’ordre n, multi-entrées et multi-sorties, décrit par la représentation d’état non linéaire suivante : ) ( ) ( ) ( x h y u x g x f x · + · & (3.1) Avec : u : Vecteur de commande (d’entrée); Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 35 f(x), g(x) : Champs de vecteurs ; h(x) : Vecteur de sortie. Les éléments des champs vectoriels f, g et h sont des fonctions lisses. Si l’on considère le cas des systèmes avec m entrées et m sorties, en cherche un bouclage statique de la forme v x x u ) ( ) ( β α + · , tel que le comportement entrée-sortie du système (3.1) après bouclage soit linéaire et découplé. Ainsi on obtient un ensemble de m sous systèmes mono sotie indépendants où les entrées du sous système i n’affectent pas la sortie y j et réciproquement. Avec : v : Nouvelle variable de commande du système linéaire ; ß : Matrice non singulière de dimension m×m ; o : Vecteur de dimension m×1. La nouvelle commande permet de ramener le comportement entrée-sortie du système, défini par l’équation (3.1) à celui d’un système linéaire, par différentiation des sorties y i du système jusqu’à l’apparition des anciennes commande u i en utilisant la dérivée de Lie. 3.1.1 Dérivée de Lie Etant donnée la fonction scalaire continue h i (x) défini de ℜ → ℜ n et un champs de vecteur f(x) continu défini de n n ℜ → ℜ , la dérivé de Lie de h i (x) selon la direction du champ vectoriel f(x) est défini comme suit : ) ( ) ( 1 x f x h x h L j n j j i i f ∑ · ∂ ∂ · (3.2) La dérivé de Lie d’ordre k est : ) ( ) ( ) ( 1 x f x h L x h L i k f i k f ∂ ∂ · − (3.3) De la même manière, si g est un autre champ vectoriel, la fonction scalaire ) (x h L L i f g est donnée par : ) ( ) ( ) ( x g x h L x h L L i f i f g ∂ ∂ · (3.4) Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 36 3.1.2 Technique de la commande non linéaire L’application de la dérivé de Lie à la sortie y j du système (3.1), donne la première dérivée comme : j gi m i i j f j h L u h L y ∑ · + · 1 & (3.5) Lorsque la première dérivée de y j ne dépend d’aucune entrée, alors 0 · j gi h L , { } m i ,..., 1 ∈ ∀ et la commande n’apparaît pas. On continue la dérivation de y, jusqu’à ce qu’un des coefficients de commande ne soit pas nul. On peut écrire, dans ce cas : i j m i r f gi j r f r j u h L L h L y j j j ∑ · − + · 1 ) 1 ( ) ( (3.6) Avec : 0 ) 1 ( ≠ − j rj f gi h L L , , Ω ∈ ∀x : ensemble des états. On appelle r j le degré relative de la sortie y j . r est défini comme étant la somme de tous les degrés relatifs obtenus à l'aide de (3.6) et doit être inférieur ou égal à l'ordre du système : n r r m j j ≤ · ∑ ·1 (3.7) On dit que le système (3.1) a pour degré relatif (r) s'il vérifie: 0 · j k f g h L L i 0 < k < r j -1 , 1 j p , 1 i p Et : 0 ≠ j k f g h L L i k = r j -1 Dans le cas où le degré relatif total est égal à 1'ordre du système, on est en présence d'une linéarisation au sens des entrées-états. Si par contre le degré relatif total est strictement inférieur à l'ordre du système, la linéarisation est dite linéarisation au sens des entrées sorties. Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 37 Pour trouver l'expression de la loi linéarisante u permettant de rendre linéaire la relation linéaire entre l'entrée et la sortie, on récrit l'expression (3.6) sous forme matricielle: j [ u x D x y y T r p r p ). ( ) ( . . . 1 1 + ·ζ (3.8) Où : 1 1 1 ] 1 ¸ · ) ( ... ) ( ) ( 1 1 x h L x h L x p r f r f p ζ (3.9) Et : 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ · − − − − − − − − − ) ( ... ) ( ) ( ... ... ... ... ) ( ... ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 x h L L x h L L x h L L x h L L x h L L x h L L x h L L x h L L x h L L x D p r f g p r f g p r f g r f g r f g r f g r f g r f g r f g p p p p t p p p p (3.10) Où : D(x) : est appelée matrice de découplage du système. Si on suppose que D(x) n'est pas singulier, la loi de commande linéarisante a pour forme: ) ) ( ( ) ( 1 v x x D u + − ⋅ · − ζ (3.11) Notons que la linéarisation ne serait possible que si la matrice de découplage D(x) est inversible. Le schéma bloc du système linéarisé est donné à la figure (3.1). 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ p v v v ... 2 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ p u u u ... 2 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ p y y y ... 2 1 j [ T n x x x ... 2 1 Fig 3.1 Schéma bloc du système linéarisé D(x) -1 (-¸(x)+v) ∑ · + · p i i i u x g x f x 1 ) ( ) ( & ) (x h y j f · Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 38 En remplaçant (3.11) dans (3.1), le système équivalent devient linéaire et totalement découplé de la forme: i r i v y j · ) ( (3.12) Où : j [ j [ T p T r p r v v y y p . . . . . . 1 1 1 · (3.13) Ce qui nous permet de lui imposer n'importe quelle dynamique avec la conception d’un nouveau vecteur d’entrée j [ T p v v v . . . 1 · . Remarquons que 1'expression (3.12) représente p intégrateurs en cascade comme il est indiqué par la figure (3.2). v p y p Fig 3.2 Dynamique du système linéarisé 3.1.3 Conception du nouveau vecteur de commande v Le vecteur v est conçu selon les objectifs de commande. Pour le problème de poursuite envisagé, il doit satisfaire: ) ( ... ) ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( j d r j r d r r d j y y k y y k y v j j j j j j j − + + − + · − − − 1 _ j _ p (3.14) Où les vecteurs { } ) ( ) 1 ( ) 1 ( , ,..., , j j j j j j r d r d d d y y y y − définissent les trajectoires de référence imposées pour les différentes sorties. Si les k i sont choisis de façon à ce que le polynôme 1 2 1 r 1 r r k s k ...... s k s j j j + + + + − − soit un polynôme d’Hurwitz (possède des racines avec des parties réelles négatives), alors on peut montrer que l'erreur ) ( ) ( ) ( t y t y t e j d j j − · satisfait 0 ) ( lim · ∞ → t j t e . [9], [20], [21], [22] ) 1 ( − p r p y ) 2 ( − p r p y ) 3 ( − p r p y ) 1 ( p y ∫ ∫ ∫ ∫ Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 39 Le système linéarisé en boucle fermée est donné par la figure (3.3). 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ p d d d y y y ... 2 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ p v v v ... 2 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ p u u u ... 2 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ p y y y ... 2 1 + - j [ T n x x x ... 2 1 Fig 3.3 Schéma bloc du système linéarisé en boucle fermée 3.2 APPLICATION AU MODELE DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS L’application de la technique de linéarisation avec découplage entrée sortie au modèle de la MSAP, permet de pouvoir commander séparément le courant i d et la vitesse c. avec cette technique de commande, le modèle de la machine est décomposé en deux sous systèmes linéaires monovariables indépendants. Chaque sous système représente une boucle indépendante de commande d’une variable donnée (vitesse, courant,…). La dynamique du système linéaire est choisie par un placement de pôles. 3.2.1 Modèle de la MSAP commandée Pour une commande en tension da la MSAP, le modèle complet correspondant dans le repère lie au rotor est obtenu en considérant les vecteurs d’état : j [ j [ T q d T 3 2 1 i i x x x x ω · · et le vecteur de commande j [ q d u u u · . D(x) -1 (-¸(x)+v) ∑ · + · p i i i u x g x f x 1 ) ( ) ( & ) (x h y j f · k i Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 40 d d q d q d d d u L pwi L L i L R dt di 1 + + − · q q q f d q d q q q u L pw L pwi L L i L R dt di 1 + − − − · φ (3.15) w J f C J i i L L i J p dt dw r q d q d q f − − − + · 1 ) ) ( ( 2 3 φ Le système d'équations est récrit sous la forme suggérée pour l'application de la linéarisation au sens des entrées sorties comme suit: q d u x g u x g x f x ⋅ + ⋅ + · ) ( ) ( ) ( 2 1 & (3.16) Avec: Dans cette partie, nous présentons la technique trianglo-sinusoïdale destinée à la commande en tension d'un MSAP. , ) , ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ − − − + − − − + − · 1 1 1 ] 1 ¸ · w J f C J 1 i i L L i J 2 p 3 pw L pwi L L i L R pwi L L i L R ) x ( f ) x ( f ) x ( f ) x ( f r q d q d q f q f d q d q q q d q d d 3 2 1 φ φ (3.17) Et : 1 1 1 1 ] 1 ¸ · 0 0 1 ) ( 1 d L x g , 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ · 0 1 0 ) ( 2 q L x g (3.18) 3.2.2 Choix des grandeurs de sortie On s'est donné comme objectif d'assurer la régulation de la vitesse du moteur tout en maintenant un fonctionnement à couple maximal (où la composante longitudinale des courants statorique i d est forcée à rester nulle en tout temps). Pour ce faire, on applique à son modèle une linéarisation au sens des entrées sorties qui assure un découplage tota1 entre les Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 41 commandes et les sorties. Dans ce volet, les sorties doivent être la vitesse du rotor c et le courant i d : y 1 = i d et y 2 = c (3.19) Ces deux sorties doivent suivre les trajectoires qu'on leur impose. La stratégie de fonctionnement nous mène à imposer i dref = 0, tandis que la vitesse doit suivre sa référence qui peut être une trajectoire quelconque définie par a c ref . 3.2.3 Calcul du degré relatif La condition de linéarisation permettant de vérifier si un système non linéaire admet une linéarisation entrée sortie est l’ordre du système égal le degré relatif On calcule le degré relatif r i associé à chaque grandeur de sortie y i choisie, lequel correspond au nombre de fois qu’il faut dériver cette sortie pour faire apparaître explicitement une des grandeurs de commande. Pour la première sortie i d on a : y 1 = i d = h 1 (x) (3.20) En la dérivant, on aura : q g d g f u x h L u x h L x h L y ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 2 1 + + · & q d u x g x h u x g x h x f x h ⋅ ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ · ) ( ) ( ) ( 2 1 1 1 1 (3.21) d d q d q d d u L pwi L L i L R 1 + + − · Ainsi, l'entrée u d apparaît dans l'expression (3.21). On arrête ici et on note, pour cette sortie, un degré relatif r = 1. Pour la deuxième sortie c, on a: y 2 = c = h 2 (x) (3.22) Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 42 En la dérivant, on a: q g d g f u x h L u x h L x h L y ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 1 + + · & q d u x g x h u x g x h x f x h ⋅ ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ · ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 2 (3.23) r q d q d q f C J 1 J f ) i i ) L L ( i ( J 2 p 3 − − − + · ω φ Remarquons qu'aucune entrée n'apparaît. On est donc obligé de dériver une autre fois: q f g d f g f u x h L L u x h L L x h L y ⋅ + ⋅ + · )) ( ( )) ( ( ) ( 2 2 2 2 2 2 1 & & , ) ) x ( f J f ) x ( f ) i ) L L ( ( J 2 p 3 ) x ( f i L L J 2 p 3 3 2 d q d f 1 q q d ⋅ − ⋅ − + + ⋅ − · φ (3.24) , ) q q d q d f d q d q d u L ) i L L ( J 2 p 3 u i L ) L L ( J 2 p 3 ⋅ − + + ⋅ − + φ Où : f 1 (x), f 2 (x) et f 3 (x) sont donnés par (3.17). Les deux entrées u d et u q apparaissent dans (3.24), et le degré relatif est donc r 2 = 2. Le degré relatif associé aux grandeurs de sortie y 1 et y 2 sont respectivement r 1 = 1 et r 2 = 2. Donc, le degré relatif total est r = r 1 + r 2 = n = 3 et donc nous avons effectué une linéarisation exacte. Aucune dynamique interne n'est à considérer. [23], [24], [25] n : étant l’ordre du système à contrôler (n = 3). La matrice définissant la relation entre les entrées physiques U et les dérivées des sorties Y(x) est donnée par l’expression : j [ , _ ¸ ¸ + · q d u u x D x y y ) ( ) ( 2 1 ζ & & & (3.25) Où : , ) , ) 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ ⋅ − ⋅ − + + ⋅ − + − · 1 ] 1 ¸ · ) ( ) ( 2 3 ) ( ) ( 2 3 ) ( ) ( ) ( 3 2 1 2 2 1 x f J f x f i L L J p x f i L L J p i w p L L i L R x h L x h L x d q d f q q d q d q d d f f φ ζ (3.26) Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 43 Et : 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ − + − · ) ) ( ( 2 3 ) ( 2 3 0 1 ) ( d q d f q q q d d d i L L JL p i L L JL p L x D φ (3.27) Où : D(x) : est appelée matrice de découplage du système. 3.2.4 Linéarisation du système Pour linéariser le comportement entré sortie de la machine en boucle fermée, on applique le retour d’état non linéaire suivant : 1 ] 1 ¸ 1 ] 1 ¸ + − · 1 ] 1 ¸ − 2 1 1 ) ( ) ( v v x x D u u q d ζ (3.28) Le déterminant de la matrice de découplage D(x) est : j [ , ) 0 2 ) ( 3 ) ( det ≠ − + · q d d q d f L JL i L L p x D φ Donc : 1 1 1 ] 1 ¸ − + − + − − · − ) ) ( ( 3 2 ) ) ( ( ) ( 0 ) ( 1 d q d f q d q d f q q d q d i L L p JL i L L i L L L L x D φ φ (3.29) En remplaçant l'expression (3.28) dans celle donnée en (3.25) on obtient un système linéaire totalement découplé de la forme : j [ j [ T T v v y y 2 1 2 1 · & & & (3.30) Les nouvelles entrées v 1 , v 2 doivent être conçues pour nous assurer que: dref t i y · ∞ → 1 lim et ref t w y · ∞ → 2 lim (3.31) Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 44 Pour cela, on procède par placement des pôles. Dans le cas général, et pour un problème de poursuite de trajectoires, on a : 1 ] 1 ¸ − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + · 1 ] 1 ¸ ) w w ( k ) w w ( k w ) i i ( k i v v ref w ref w ref d dref d dref 2 1 2 1 & & & & & (3.32) En boucle fermée, l’erreur de poursuite est : 0 e k e k e 0 k e e 2 w 2 w 2 d 1 1 2 1 · ⋅ + ⋅ + · ⋅ + & & & & avec w w e i i e ref d dref − · − · 2 1 Le schéma bloc du système linéarisé en boucle fermée est représenté par la figure suivante : Fig 3.4 Schéma bloc du système linéarisé en boucle fermée 3.2.5 Synthèse des régulateurs Pour assurer une parfaite régulation de courant i d et de vitesse c vers leurs références respectives i dref et c ref , les variables v 1 et v 2 sont calculées par le système (3.32). Les coefficients k d , k w1 et k w2 sont choisis tels que : d k s + et 2 1 2 Ω Ω + + k s k s soient des polynômes d’Hurwitz. [26], [27] Donc, on a choisi ces gains comme suit : k d = 1600, k w1 = 2500000, k w2 = 16500. w ref - v 1 u d + i dref v 2 u q + - w, i d i d w Demux Mux Régulateur vitesse w Régulateur courant i d Park -1 MSAP Bloc de découplage Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 45 3.2.6 Résultats de simulation Fig. 3.5 Résultats de simulation au démarrage à vide et en charge (C r =5 N/m à t=0.7s) Fig. 3.6 Résultats de simulation avec des variations paramétriques (Cr et R) Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 46 Fig. 3.7 Résultats de simulation lors d’inversion de la vitesse Donc, la stratégie de commande par linéarisation entrée/sortie se ramène à la linéarisation du système en chaînes d'intégrateurs découplées, suivie de la synthèse du correcteur par placement de pôles. Et parce que le comportement de la MSAP est celui d'un système non linéaire, sa dynamique est rapide, ses paramètres varient pendant le fonctionnement et il est sujet à des perturbations inconnues. Toutes ces caractéristiques rendent la commande de cette machine complexe. Par conséquent, la conservation de la nature non linéaire de la machine, la poursuite de trajectoires prédéterminées, la robustesse aux variations des paramètres et le rejet de perturbations inconnues avec une réponse performante sont les objectifs à satisfaire lors d'une mise en oeuvre d'une stratégie de commande, on propose alors une synthèse de loi de commande utilisant une technique récursive, la commande adaptative par Backstepping. Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 47 3.3 COMMANDE PAR BACKSTEPPING La conception d’un contrôleur pour un système non linéaire où le vecteur d’état est de dimension élevée, peut souvent s’avérer une tâche difficile, voire impossible. La technique du Backstepping offre une méthode systématique pour répondre à ce type de problème. Elle combine la notion de fonction de Lyapunov (fcl) est une procédure du contrôleur récursive. Cela permet de surmonter l’obstacle de la dimension et d’exploiter la souplesse de conception pour résoudre les problèmes de commande pour des systèmes d’ordre plus élevé. Ne faisant pas nécessairement appel à la linéarisation, le Backstepping permet, quand il y en a, de conserver les non-linéarités utiles qui, souvent, aident à conserver des valeurs finies du vecteur d’état. Cette technique suppose que l’on soit en mesure de trouver, au moins pour un système scalaire, une fonction de contrôle de Lyapunov et une loi de commande qui stabilise son origine. La commande par Backstepping a donné un nouvel essor à la commande des systèmes non linéaires qui malgré les grands progrès réalisés, manquait d’approches générales. Elle se base sur la deuxième méthode de Lyapunov, dont elle combine le choix de la fonction avec celui des lois de commande. Ceci permet, en plus de la tâche pour laquelle le contrôleur est conçu (poursuite et/ou régulation), de garantir, en tout temps, la stabilité globale du système compensé. 3.3.1 Conception de la commande par Backstepping Afin d’illustrer le principe de la méthode de Backstepping, on considère le cas de système non linéaire de la forme : , ) u x x x f x · + · 2 2 1 1 , & & (3.33) Où: j [ 2 1 x x : le vecteur d’état, u: est l’entrée de commande. Et , ) 0 0 · f , alors son origine (x 1 = 0, x 2 = 0) est un point d’équilibre du système défini par (3.33). La commande par Backstepping est développée ci-dessous : Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 48 Étape 1 : Premièrement, on définit pour la sortie une trajectoire désirée x 1d , on introduit alors l’erreur de poursuite suivant : 1 1 x x d − · ζ (3.34) Sa dérivée s’écrit : , ) 2 1 1 1 1 1 x x f x x x d d − − · − · & & & & ζ (3.35) Où les deux sont associées à la fonction de Lyapunov candidate suivante : 2 1 1 2 1 ζ · V (3.36) La dérivée de la fonction de Lyapunov s’écrit : , ) , ) , ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x f x x x V d d − − · − · · & & & & & ζ ζ ζ ζ (3.37) L’état x 1 est ensuite utilisé comme commande intermédiaire afin de garantir la stabilité de (3.35). On définit pour cela une commande virtuelle : , ) 1 d 1 1 1 2 x f x a x − + · & ζ α (3.38) Où : x 2α : la valeur désirée de x 2 . a 1 : une constante positive permettant d'assurer la négativité de V, donc la convergence de l'erreur vers 0: , ) 1 d 1 1 1 2 x f x a x & & & & & − + · ζ α (3.39) Étape 2 : Il apparaît une nouvelle erreur : 1 1 1 2 2 2 a x x ζ ζ ζ α & + · − · ⇒ 1 1 2 1 ζ ζ ζ a − · & (3.40) Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 49 Sa dérivée s’écrit comme suit : u ) x ( f x a x x 1 d 1 1 1 2 2 2 − − + · − · & & & & & & ζ ζ α (3.41) Pour tenir compte de cette erreur, la fonction candidate de Lyapunov V 1 précédente (3.36) est augmentée d’un autre terme, tel que : 2 2 2 1 2 2 1 2 1 ζ ζ + · V (3.42) Ainsi que sa dérivée : ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 ζ ζ ζ ζ ζ α ζ ζ α ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ + − − + + − · + − + − · − + − · + · u x f x a a u a u a V d & & & & & & & & (3.43) L’expression entre parenthèse doit être égale à 2 2 ζ a − (a 2 une constante positive), ce qui donne la loi de commande finale suivante u pour assurer la négativité de la fonction de Lyapunov : ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 x f x a a a x f x a a u d d & & & & & & & − + − + + · − + + + · ζ ζ ζ ζ ζ (3.44) De telle sorte que : 0 2 2 2 2 1 1 2 ≤ − − · ζ ζ a a V & (3.45) Et V 2 apparaît maintenant comme une fonction de Lyapunov pour le système (3.33), ce qui prouve la stabilité asymptotique vers l’origine. Donc, l’avantage globale de la technique du Backstepping est sa flexibilité par le choix simple des fonctions stabilisantes o i sans élimination des non-linéarités afin de rendre négative la fonction i V & . [17], [19], [30] Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 50 Signal de référence Sortie Signal de Commande Fig. 3.10 Schéma de principe de la commande adaptative par Backstepping 3.4 APPLICATION DE LA COMMANDE NON LINEAIRE ADAPTATIVE PAR BACKSTEPPING AU MSAP Le modèle de la MSAP est donné par le système d'équation (3.15) par l'utilisation des courants statorique et la vitesse mécanique comme variables d'état, et les tensions statorique comme commandes : Depuis la première partie, il a été établi la commande par linéarisation entrée sortie. Mais on ne peut pas appliquer cette méthode s'il y a des variations dans les paramètres de la machine. La commande E/S ne peut être qu'adaptative. Nous utilisons maintenant la technique de commande Adaptative par Backstepping, développé pour les systèmes non linéaires avec des incertitudes paramétriques, pour réaliser les objectifs de poursuite des consignes et de régulation. Dans l'article [27], les paramètres à estimer sont : la résistance statorique R s , le couple résistant C r , et le coefficient de frottement f, mais Pour notre cas, on considère la résistance statorique R s , le couple résistant C r comme des paramètres inconnu à estimer et à adapter, en supposant que les frottements visqueux sont négligeable. On suppose que : r n r r s sn s C C C R R R ∆ + · ∆ + · (3.46) Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 51 Où : R sn , C r n : les valeurs nominales de la résistance statorique et le couple résistant respectivement; R s , C r : les différences entre les valeurs réelles et les valeurs nominales. Alors, on peut récrire le système (3.46), en considérant les incertitudes sur les paramètres cités ci-dessus, comme suit : q d u x g u x g x f x f x ⋅ + ⋅ + ∆ + · ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 & (3.47) Où : j [ T q d i i x ω · ; T L x g 1 ] 1 ¸ · 0 0 1 ) ( 1 ; T L x g 1 ] 1 ¸ · 0 1 0 ) ( 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ − − − − − + − · J C J f i J 2 p 3 L p i p i L R i p i L R ) x ( f rn q d q sn q d sn ω φ ω φ ω ω ; 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ ∆ − ∆ − ∆ − · ∆ J C i L R i L R x f r q s d s ) ( En suite, on applique l'algorithme de synthèse du contrôleur étape par étape comme suit : 1 ere Etape: On définit tout d’abord les nouvelles variables suivantes: ω · · ) x ( h Z 1 1 ; dt d ) x ( h L Z 1 f 2 ω · · ; d i x h Z · · ) ( 2 3 (3.48) Le système d’équation d'état de la forme normale correspondant au système (3.47) peut être écrit comme suit : 2 f q 2 2 g d 2 1 g 2 f 3 1 f f q 1 f 2 g d 1 f 1 g 1 2 f 2 1 f 2 1 h L u h L u h L h L Z h L L u h L L u h L L h L Z h L Z Z ∆ ∆ ∆ + + + · + + + · + · & & & (3.49) Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 52 On définit les incertitudes des paramètres comme suit : L R s ∆ − · 1 θ ; J C r ∆ − · 2 θ Le système (3.49) s'écrit alors comme suit : d q f q d f i u h L Z i J p J f u h L Z Z Z 1 2 3 1 2 1 2 2 2 2 1 2 3 θ θ φ θ θ + + · + − + · + · & & & (3.50) Où : q f g d u h L L u 1 2 · d g q u h L u 2 1 · (3.51) Pour la conception du contrôleur par Backstepping adaptative, on définit ensuit le modèle de référence utilisé pour conduire la sortie du système vers la dynamique désirée : 1 ] 1 ¸ 1 1 1 ] 1 ¸ + 1 1 1 1 ] 1 ¸ 1 1 1 ] 1 ¸ − − − · 1 1 1 1 ] 1 ¸ dref ref 3 m 1 m 3 m 2 m 1 m 3 m 2 m 1 m 3 m 2 m 1 m i k 0 0 k 0 0 Z Z Z k 0 0 0 k k 0 1 0 Z Z Z ω & & & (3.52) Où : Z m1 , Z m2 et Z m3 : les états de référence; k m1 , k m2 et k m3 : les gains désigne; c ref et i dref : les référence de vitesse et de courant i d . A partir du modèle de référence, on peut évaluer les performances du système à partir des erreurs entre le modèle dynamique de la MSAP et ce modèle : j [ j [ T m m m T Z Z Z Z Z Z e e e e 3 3 2 2 1 1 3 2 1 − − − · · (3.53) En utilisant la transformation suivante : [27] Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 53 1 ] 1 ¸ − + − + + · 1 ] 1 ¸ · dref m m m q ref m m m m m d q d i k z k u w k z k z k u u u U 3 3 3 1 2 2 1 1 ~ ~ ~ (3.54) Les équations différentielles des erreurs seront données par : q d f d q f u i h L e u i J p J f h L e e e ~ ~ 2 3 1 2 3 1 2 1 2 2 2 2 1 + + · + + − · + · θ θ φ θ θ & & & (3.55) 2 eme Etape: Pour la 1 ere équation de (3.55), si θ 2 est connu, on peut prendre e 2 comme une nouvelle entrée de commande, et le contrôleur 2 1 1 θ α − − · e k peut établir la stabilité par la fonction de Lyapunov condidate. Mais, actuellement e 2 n'est pas la commande réelle, en plus il y a des incertitudes dans les paramètres du système. Donc, on considère les erreurs suivantes dans les incertitudes des paramètres : 2 2 2 1 1 1 ~ ~ θ θ θ θ θ θ − · − · J C L R r s ∆ − · ∆ − · 2 1 ; θ θ (3.56) Où : 2 1 ; θ θ : les estimation de θ 1 et θ 2 respectivement, 2 1 ~ ; ~ θ θ : les erreurs estimés entre les valeurs réelles inconnu et leurs estimations respectivement. Alors on définit la commande virtuelle α pour e 2 comme suit: 2 1 1 θ α − − · e k (3.57) En suite, on définit les nouvelles variables des erreurs : ; ; 3 3 2 2 1 1 e e e e e e · − · · α (3.58) Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 54 En dérivant on aboutit à : d q f q d f i u h L e dt d i J p J f u h L e e e k e ) ~ ( ~ ) ~ ( 2 3 ) ~ ( ~ ~ 1 1 2 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 θ θ α θ θ φ θ θ θ + + + · − + + + − + · + + − · & & & (3.59) Où : 2 1 1 θ α & & − − · e k dt d (3.60) Donc, on peut faciliter la commande non linéaire adaptative par la fonction de Lyapunov condidate. 3 eme Etape: La définition de cette fonction est : 2 2 2 2 1 1 2 3 2 2 2 1 ~ 2 1 ~ 2 1 2 1 2 1 2 1 θ γ θ γ + + + + · e e e V (3.61) Où : γ 1 , γ 2 : sont des constantes positives. A partir de (3.59) et (3.61), on peut dériver la fonction de Lyapunov : 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 ~ ~ 1 ~ ~ 1 θ θ γ θ θ γ & & & & & & + + + + · e e e e e e V (3.62) Et pour assurer 0 ≤ V & , on écrire V & sous la forme : , ) 2 3 3 2 2 2 2 1 1 e k e k e k V + + − · & (3.63) Où : θ θ θ θ θ θ θ θ θ & & & & & & ~ 0 / ~ ~ − · ⇒ · − · ⇒ − · Donc : Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 55 , ) j [ d q f q d f d q i u h L e e e k k i J p J f u h L e e e k e J f e e i e i J p e k V 1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 3 2 1 2 1 1 ~ 2 3 ~ 1 ~ 1 2 3 ~ θ θ θ φ θ θ γ θ θ γ φ θ + + + 1 ] 1 ¸ + + − + + − + + + 1 ] 1 ¸ − + − + 1 ] 1 ¸ − + + − · & & & & (3.64) On ajoute les lois d'adaptation de θ 1 et θ 2 : , _ ¸ ¸ + − · , _ ¸ ¸ + · 2 1 2 1 2 2 3 2 1 1 2 3 e k e J f e e i e i J p d q γ θ φ γ θ & & (3.65) Et, les sorties de commande d u ~ et q u ~ sont : , ) d f q q f d i h L e k u e e e k k J f i J p h L e k u 1 2 3 3 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 ~ 2 3 ~ θ θ θ θ φ − + − · − − + − − + − − − · & (3.66) 3.4.1 Schéma bloc de simulation Z m1 - e 1 c ref U d V a Z m2 - Z 2 e 2 V b c i dref U q Z m3 Z 3 - e 3 V c ) ´ , ´ ( 2 1 θ θ i d i q Fig. 3.11 Diagramme de simulation non linéaire adaptative par Backstepping Bloc d'adaptation MSAP Bloc de commande Modèle de référence Park -1 Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 56 3.4.2 Résultats de simulation Fig. 3.11 Résultats de simulation lors des variations paramétriques R' = 2R à t = 0.5 s, C' r = 2C r à t= 1s Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 57 Fig. 3.12 Comparaison entre les valeurs réelle de : la résistance R et du couple résistant C r et les valeurs estimées et l'erreur entre les valeurs de référence et les valeurs actuel de : la vitesse c et de courant i d ; les paramètres estimé (R, C r );. Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 58 CONCLUSION Dans cette section, on a appliqué la commande non linéaire adaptative par Backstepping à la MSAP, sous l’effet des incertitudes dans les paramètres (résistance statorique, couple résistant). La technique de linéarisation entrée sortie est utilisée pour simplifier la non linéarité du système, et le suivi de sa réponse à un modèle de référence. Ensuite, les lois d'adaptation paramétrique et les lois de contrôle final sont tirées étape par étape. L'erreur entre la vitesse de référence et la vitesse actuelle de modèle de la MSAP converge vers zéro, et la robustesse à l'encontre des paramètres incertains est accomplie. Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 59 SECTION DEUX : ETUDE COMPARATIVE INTRODUCTION Dans le chapitre deux et la section précédent, nous avons présentés les deux méthodes de commande qu'on a décidées d'appliquer à la MSAP avec en plus les résultats de simulations. La commande vectorielle avec une adaptation des paramètres par utilisation d'un observateur de Leunberger, et la commande par linéarisation entrée sortie adaptative par Backstepping. Nous proposons dans ce chapitre une comparaison entre les deux techniques, tenant compte de la qualité d'alimentation, de la qualité des réponses aux différentes commandes, la simplicité de méthode par rapport à l'autre, et en fin la robustesse par rapport aux incertitudes paramétriques. 3.5. Qualité d'alimentation Pour assurer une comparaison juste, il faut étudier les deux méthodes de commande dans les mêmes conditions, c'est-à-dire que les caractéristiques d'alimentation doivent être les même : a. Les tensions V α , V ß de la commande vectorielle avec une adaptation paramétrique b. Les tensions V α , V ß de la commande non linéaire adaptative par Backstepping Fig. 3.13 Qualité d'alimentation pour les deux techniques de commande Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 60 A partir de ces résultats, on remarque que l'alimentation de la machine a les mêmes caractéristiques, soit : à vide, en charge ou sous l’effet des variations paramétriques. 3.6. Etapes des deux méthodes 3.6.1 Commande vectorielle avec adaptation paramétrique La commande vectorielle de la MSAP, utilise des régulateurs PI et nécessite une connaissance précise de la position du rotor qui assure l'autopilotage de la machine. Cette connaissance peut être obtenue directement par un capteur de position ou indirectement par un capteur de vitesse. Les inconvénients inhérents à l'utilisation de ce capteur mécanique, placé sur l'arbre de la machine, sont multiples : augmente le volume et le coût global du système. Leur installation exige un calage relatif au stator, opération qui diminue la fiabilité du système. Toutefois, les paramètres de la machine peuvent varier en cours de fonctionnement, dans ce cas on a choisi un observateur de Leunberger pour l'estimation de ces paramètres et on montre que cet estimateur améliore la robustesse de la commande vis-à-vis des incertitudes paramétriques. Donc, la commande vectorielle éliminée la non linéarité du modèle de la machine, et sa robustesse est lié de l’évolution des ses paramètres. 3.6.2 Commande non linéaire adaptative par Backstepping La linéarisation entrée-sortie signifie la génération d’une relation différentielle entre la sortie et une nouvelle entrée, et l’idée c'est la transformation de la dynamique de la machine en une forme linéaire. Puisque les paramètres peuvent varier, on applique la commande adaptative en ligne pour améliorer la performance de la commande en présence des perturbations. On choisit tout particulièrement la technique du Backstepping qui est caractérise par sa flexibilité pour le choix des fonctions stabilisantes o i qui sont choisies simplement sans éliminer toutes les non linéarités afin de rendre la fonction i V & négative, ce type de loi de commande permet d’aborder le système considéré comme une succession de sous-systèmes élémentaires, ce qui permet une prise en compte progressive des problèmes de robustesse pouvant se poser. Les résultats de simulation à titre comparatif montrent ce qui suit : Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 61 3.7 Résultats de simulation a. Les réponses de la vitesse c, courant i d et la résistance R adapté de la commande vectorielle avec une adaptation paramétrique b. Les réponses de la vitesse c, courant i d et la résistance R adapté de la commande non linéaire adaptative par Backstepping Fig. 3.14 Résultats de simulation de la MSAP pour les deux techniques de commande On remarque que la vitesse de rotation est similaire pour les deux commandes comme il est montré sur les figures (3.14.a et 3.14.b), mais on ajoute la différence dans la plage d'application les changements des paramètres, et on remarque bien ça dans les réponses de courant i d où les erreurs de suivi sont moins importantes en utilisant la commande par Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 62 Backstepping que la commande vectorielle adaptative, même chose pour la réponse de l'adaptation de la résistance statorique. Conclusion A partir de là, on peut affirmer que : si on applique les même conditions d’alimentation de la machine, nous constatons que la commande par Backstepping donne de meilleurs résultats que la commande vectorielle avec un observateur d'état, et les résultats de simulation montrent l'efficacité de la commande. On peut directement conclure que parmi les commandes testées, la commande par Backstepping est la meilleure soit pour assurer le découplage entre le flux et le couple de la machine, ou pour la bonne adaptation des paramètres qui varie dans le temps de fonctionnement. Conclusion générale U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 63 CONCLUSION GENERALE Les systèmes industriels ont souvent un comportement significativement non linéaire. La linéarisation autour d'un point de fonctionnement est souvent inadaptée pour les besoins de la commande, par conséquent il est important de développer des méthodes de commande pour les systèmes non linéaires. Pour notre cas le système non linéaire avec des incertitudes dans ses paramètres, c'est une Machine Synchrone à Aimants Permanents. Dans ce travail plusieurs méthodes de commande prenant en charge ces problèmes, et simultanément assurer de bonnes performances de suivit de trajectoire et de rejet de perturbation sont utilisées. ü On a étudié et simulé le modèle de la machine alimentée par un onduleur de tension autopiloté pour valider le modèle, ensuite on a appliqué une commande en boucle fermée en termes de la commande vectorielle, pour assurer le découplage du couple et du flux afin d'améliorer les performances. ü Devant l’insuffisance des performances dynamiques du régulateur PI utilisé dans le réglage de la vitesse, vis à vis des perturbations et incertitudes paramétriques, nous avons fait appel à un observateur d’état pour reconstruire les incertitudes dans les paramètres de la machine (résistance statorique). ü Toutefois, les résultats montrent que la commande vectorielle dotée d'un observateur d'état de Luenberger permet, en générale, d’obtenir des résultats satisfaisants par rapport, à la fois, aux grandeurs de consigne et aux perturbations. ü Autres méthodes de commande sont appliquées à titre comparatif, premièrement pour linéariser le modèle non linéaire de la MSAP, et assurer le découplage entre le couple et le flux. En introduisant des incertitudes paramétriques, comme, sur la résistance statorique, les performances se dégradent. Les essais montrent que le contrôleur synthétisé par la technique du Backstepping permet de mieux gérer le compromis entre la robustesse et les performances demandées. Conclusion générale U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 64 La méthode de contrôle par Backstepping montre un meilleur suivi de trajectoire et de stabilisation par rapport aux incertitudes. Les performances obtenues par simulation présentent l’importance de cette commande par rapport aux autres commandes puis qu'elle permet de réduire l'incertitude sur la résistance et le couple résistant et améliore la robustesse de la commande par rapport à cet aspect. ü En fin, une comparaison entre les méthodes utilisées permet de souligner l’avantage de la commande par Bakcstepping du fait qu’elle ne conduit pas à l'annulation des non linéarités utiles et permet de poursuivre des objectifs de stabilisation ou de poursuite, plutôt que des objectifs de linéarisation. Bibliographie U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 -65- B I B L I OGRA PH I E [1] Jason Lau, M. N. Uddin, "Performance of a Non Linear Controller Based IPMSM Drive", Departement of Electrical Engineering, Lakehead University, Canada, IEEE 2004. [2] L. Ben Amor, L. A. Dessaint, M. Ghribi and O. 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Khalil, "Systèmes Multivariable II, Systèmes Non Linéaires", Dr : Philippe Müllhaupt, Prentice Hall 2002. [21] Makouf. A, "Commande Non Linéaire", Cours Magistère, Université de Batna, 2006 [22] Jean-François Dulhoste, "Contribution à la commande Non Linéaire de Système d'Irrigation", Institut National Polytechnique de Grenoble, Doctorat 2001. [23] "Commande par Retour d'Etat Non Linéaire d'un Moteur Synchrone à Aimants Permanents avec Limitation du Courant par Imposition d'une Trajectoire", CE 11, Biskra. [24] A. Meroufel, M. Massoum, B. Belabbes,"Linéarisation Entrée-Sortie de la Machine Asynchrone Alimentée en Courant", First International Conference on Electrical Systems PCSE 05, May 09-11.2005. O. E. Bouaghi, Univ. Algeria. Bibliographie U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 -67- [25] B. Belabbes, M. K. Fellah, A. Meroufel, A. Azzeddine, M. Abid, "Etude Comparative de la Commande Linéarisante par Backstepping et la Commande à Retour d'Etat non Linéaire d'un Moteur Synchrone à Aimants Permanents", First International Conference on Electrical Systems PCSE 05, May 09-11.2005. O. E. Bouaghi, Univ. Algeria. [26] Yesma. Bendaha, Benyouness. Mazari, "Commande Adaptative Linéarisante d'un Moteur Asynchrone", Université des Sciences et de Technologie, Oran, 2008. [27] Jianguo Zhou, Youyi Wang, "Real-time Nonlinear Adaptative Backstepping Speed Control for a PM Synchronous Motor", Control Engineering Practice, 2005. [28] Leila Douha, "Commande Adaptative par Backstepping en utilisant les Réseaux de Neurones", Université de Batna, Magistère 2004. [29] Mokhtari Messaoude, "Commande Adaptative des Systèmes Non Linéaires "Backstepping"", Université de Batna, Magistère 2003. [30] Jawhar Ghomman, "Commande Non Linéaire et Navigation des Véhicules Marins sous Actionnés", Université d'Orléans. France, Doctorat 2008. Annexe. A U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 A nnex e A Les paramètres de la MSAP qui est utilisé sont donnés dans le tableau suivant : Paramètre Description R s =1.4 Ω Rrésistance statorique L d =0.0066 H, L q =0.0058 H Inductance statorique J = 0.00176 Kg.m 2 Moment d'inertie f = 0.0003881 N.m.s/rad Cæfficient de frottement f φ = 0.1564 Wb Flux à vide P = 3 Nombre de paire de pôles N = 1000 tr/min Vitesse maximale Annexe. B U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 A nnex e B Transformation Triphasée Diphasée On pose : j [ j [ j [ abc x C x · αβο x : représente les variables v, is et s φ [C] : matrice de Concordia : j [ 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ − − − · 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 0 6 1 6 1 3 2 C Transformation de Park On utilise deux repères, l’un fixe lié au stator, l’autre tournant lié au rotor (inducteur). Donc on définit un troisième repère de projection pour les axes statoriques et rotoriques (d,q). Cette transformation a pour but de simplifier la matrice des inductances, c'est la transformation de Park, résulte de l’association de la matrice de Concordia et d’une matrice de rotation. La matrice de rotation , ) j [ θ R permet de ramener les variables du repère (α,ß,o) sur les axes d’un autre repère (d,q,o). j [ , ) j [ j [ αβο ο θ x R x dq · avec j [ j [ j [ abc x C x · αβο , ) j [ θ R : matrice de Rotation , ) j [ , ) , ) , ) , ) 1 1 1 ] 1 ¸ − · 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos R θ θ θ θ θ Le produit des deux changements de référentiel (Concordia, Rotation) définit la Transformation de Park dont la propriété fondamentale est de ramener les grandeurs statoriques et rotoriques dans un même repère. j [ , ) j [ j [ abc dq x P x θ ο · avec , ) j [ , ) j [ j [ C R P θ θ · x : représente les variables v, i, ou φ . Remerciements Remerciements Avant toute chose, je remercie Dieu le tout puissant de m'avoir donnée courage, patience et force durant toutes ces années d'étude. Je suis très reconnaissant à Monsieur Makouf. A, Professeur au sien du département d'Electrotechnique, pour avoir accepté de diriger mes travaux, et pour ses encouragements et son soutien qui m’ont été une aide précieuse. J’exprime mes sincères remerciements à Monsieur Nait Said. M. S, Professeur au sien du département d'Electrotechnique, pour avoir bien voulu co-diriger mon travail, pour le soutien qu’il a toujours porté à mes travaux. Je tiens également à remercier Madame Rebouh. S, pour ses conseils judicieux et pour les passionnantes discussions que nous avons eues ensemble. Je tiens ensuite à exprimer ma gratitude aux membres du jury, qui m'ont fait l'honneur d'examiner ce travail. Je ne saurais oublier mes amis, avec lesquelles j’ai partagé des très beaux moments. Merci et bonne chance à Amel, Khoukha, Fatima, Nadia, et mes collègues dans les départements : Eléctrotechnique, Electronique, mécanique, Physique et Chimie, pour leurs amours et leurs confiances. Je pense évidement à ma s ur, le Docteur F. Lahouel, pour ses conseilles et ses aides dans le but que tout se passe bien pour moi. Pour tout cela, je le remercie. Enfin, je ne saurais jamais suffisant remercier mon père et ma mère, mes frères et mes urs, que je porte toujours avec moi dans ma pensée. Sans leurs confiances immenses en moi, sans leurs aides et leurs amours, je n’aurais pas pu aller au bout de mes projets. U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 Sommaire SOMMAIRE Introduction Générale……………………………………………………................. 1 Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur Introduction………………………………………………………………………… 1.1 1.2 1.2.1 1.2.1.1 1.2.1.2 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 1.3.1 1.3.2 1.4 Hypothèses simplificatrices ………………………………….……………………. Modélisation de la Machine Synchrone à Aimants Permanent ...…………………. Mise en équation de la machine……………………………….…………………… Equations électriques………. ……………………………….….…………………. Equations magnétiques ...…………………………………..……………………… Transformation de Park…………………………………….……………………… Modèle de la MS dans le référentiel de Park …..….……………………………… Equations mécaniques ……………..……………………………………………… Mise sous forme d’équation d’état ………………………...……………………… Modélisation de l'alimentation de la machine……...……………………………… 3 3 4 5 5 6 6 7 8 9 10 Modélisation de l’onduleur ………….………..…………………………………… 10 Principe de la stratégie de commande…...………………………………………... Résultats de simulation…………………………………………………………….. Conclusion…………..……………………………………………………………... 11 12 15 Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP Introduction…………………………………………………………………….. 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.3.1 2.1.3.2 16 16 16 19 20 20 21 Commande Vectorielle…………………...……………………………..……… Principe de la commande vectorielle ……...…………………………………... Bloc de compensation ………………………………………………….……... Régulation ……………………………………………………………………... Correcteur du flux …………………….…………………………...…………... Correcteur du couple ………….………………..……………………………... U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 .1..3 3..2..………………….3 3..…………….2. 27 28 29 Schéma bloc de simulation…………………………………………………….……………. Conception du nouveau vecteur de commande v ….1 3.…………….………………………… Calcul du degré relatif ………………………. 31 Conclusion……………………………………………………………………… 33 Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Section Un…………………………………………………………………… Introduction…………………………………………………………………….3.1..…………. Commande par Backstepping….2..2 Principe de la technique de linéarisation au sens des entrées sorties ………….3 Correcteur de vitesse ………..……….…………… Technique de la commande non linéaire …….2..………………………………………… Schéma bloc de simulation ……………………. 30 Résultats de simulation………………………………………………………..5 3.. 21 2.3 3..2 2.1 3.……….2 3.4.………………………………… Linéarisation du système ……………………….4 3.2.….……………..2 3...2 3..2.………………...…….B/ FAC :S.……………………… Conception de la Commande par Backstepping.2.………………….....2...2..2 2..4 2....Sommaire 2.……………………… Application de la Commande Non Linéaire Adaptative par Backstepping au MSAP.…………….1.2.. 50 55 56 34 34 35 36 38 39 40 41 41 43 44 45 47 50 U.2.. Synthèse de l'observateur……………………………………………………….……………………….2..…………. 25 Application de l'observateur de Luenberger au MSAP ……………. Modèle de la MSAP commandée ………………...2..4.………………..……….2..... 25 Principe d'un observateur adaptatif …………………………………………….…………………………………………………… 23 Commande Vectorielle avec un Observateur Adaptatif……...…………………….………………… Synthèse des régulateurs ……………………………………………………….2..1 2.1 3.1 2..…………….……………………..4 Résultats de simulation…….………………………………... Dérivée de Lie ………………………….I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 . Résultats de simulation ……………………………………...……….2. Choix des grandeurs de sortie ……………………….. 3.3 2..1 3.3. Stabilisation par Lyapunov…………………………………………………….1 3..1.. Résultats de simulation ………………….………………..4 3...2 2..6 3. Application au modèle de la MSAP…………………………………………….1. ...5 3..…………………………………………….…………….………….……..……... Résultats de simulation………….1 3..……………......... 3.....……………. Bibliographie…….. Etapes des deux méthodes ……….…………..………………………………………...………………….……………………….I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 .. Conclusion générale ……….2 3.…………..... Commande non linéaire adaptative par Backstepping………………………….........………………………. Introduction…………………………………………………………………….. Conclusion ……..6.………………..……...………….…... Annexe……….6 3.Sommaire Conclusion……………………………………………………………………… Section Deux : Etude Comparative……………………………………………..…………… Commande vectorielle avec adaptation paramétrique …….B/ FAC :S.7 Qualité d'alimentation……………………………………………….....………………………………………………..6. 58 59 59 60 60 60 61 62 63 65 U.. Flux rotorique nominale.φ b . Flux totaux à travers les bobines statoriques. Flux des aimants. Couple électromagnétique. β ) (d . Lq (α .I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 . ib . Inductance mutuelle entre deux phases statorique. Moment d’inertie des masses en rotor. Résistance des phases statoriques. i c φ a . q ) Ω nom φ rnom φ ref R Cr x K e V x u U. Matrice de transformation de PARK. nombre de paires de pôles. Flux rotorique de référence. Vitesse mécanique de rotation. Vecteur des états estimés. Caractérise la position angulaire du rotor par rapport au stator. Valeur estimée (Adapté) de la résistance.Iq V d .φ c φf Courants des phases statoriques. vb . Vecteur de commande (d’entrée). Tensions statoriques d’axe direct et en quadrature. Vecteur des états. Inductance propre d’une phase statorique. Couple résistante. v c Id . Vitesse de rotation nominale. Tensions des phases statoriques. Vecteur des erreurs.Nomenclature Nomenclature i a . Fonction de Lyapunov condidate. Courants statoriques d’axe direct et en quadrature. Matrice des gains. va .B/ FAC :S. Valeur estimée (Adapté) du couple résistant.V q Rs M s0 Ls 0 θ Ce Cr f [P(θ ) ] p J Ω Ld . Coefficient de frottement. Inductances cycliques directe et en quadrature. Référentiel lié au champs tournant. Référentiel lié au stator. ∆C r θ 1 . Estimation de θ 1 et θ2. Différences entre les valeurs réelles et les valeurs nominales. k m 2 .B/ FAC :S. θ 2 α U. Gains désigne. Etats de référence. θ 2 ~ ~ θ1 .θ 2 Z m1 . Matrice de découplage du système. i dref θ1 . Degré relatif total. Gains. Référence de vitesse et de courant id. Dérivé de Lie. k m 3 ω ref . Commande virtuelle. Vecteur de sortie. k w 2 ∆Rs .Nomenclature h( x ) f ( x ). Erreurs estimées entre les valeurs réelles inconnu et leurs estimations. Z m 3 k m1 . L f hi ( x ) r ζ (x ) D( x ) v k d .I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 . g ( x ) Champs de vecteurs. Incertitudes des paramètres. k w1 . Vecteur des nouvelles commande. Z m 2 . Fonction de linéarisation. . Introduction générale INTRODUCTION GENERALE Les Machines Synchrones à Aimants Permanents (MSAP) sont de plus en plus utilisées dans l’industrie parce qu'ils offrent beaucoup d'avantages: une faible inertie rotorique. Lors de son dimensionnement nous avons prévu l'estimation de la résistance statorique. Pour la MSAP. la commande des moteurs électriques s'est révélée être un champ d'application des méthodologies de l'automatique de linéarisation entrée sortie. l’élimination des balais réduit les bruits et supprime la nécessité de leurs maintenances. L'observateur utilisé est un "observateur de Luenberger". Si cette méthode est restée peu exploitée jusqu'au début des années 80. en vue de la mise en incertitudes paramétriques. les progrès réalisés actuellement dans la technologie des semi-conducteurs et dans la microélectronique ont permis son utilisation dans les variateurs industriels de vitesse actuels. le modèle de la machine uvre d'une commande avec compensation des U. développées depuis les années 70.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 1 . Dans le souci d'améliorer les performances dynamiques du réglage en vitesse de la MSAP. [2]. Avec cette technique de commande. une dissipation de chaleur efficace et un couple massique important. Cette commande permettant un découplage entre les variables de commande. La commande vectorielle est une méthode qui se ramène à une structure de commande linéaire par l'hypothèse d'orientation du flux. nous avons jugé intéressant de faire appel à un observateur d'état pour reconstruire les grandeurs d'état à partir de la grandeur de commande et de la grandeur à asservir . afin d'améliorer davantage la robustesse de l'observateur et de la structure de commande. la commande non linéaire présente l’avantage de pouvoir commander séparément le flux et le couple. reste la plus utilisée vue les performances dynamiques élevées qu’elle offre pour une large gamme d’applications. Les recherches actuellement ont pour but de remplacer les Machines à Courant Continu (MCC) par des (MSAP) dans le domaine industriel initialement occupe par la commande des MCC. Elle a été proposée par Blaschke en 1972. En effet. Il est utilisé pour la reconstitution de la résistance statorique. la fonction du collecteur est réalisée par un onduleur synchronisé avec la position du rotor [1]. Le moteur à courant continu est alimenté par un convertisseur statique simple et une régulation de son courant d’induit permet de maîtriser son couple. De plus. [3] Par ailleurs.B/ FAC :S. la robustesse aux variations des paramètres et le rejet de perturbations inconnues avec une réponse performante sont les objectifs à satisfaire lors d'une mise en oeuvre d'une stratégie de commande. U.). de type Backstepping. couple. courant etc. . Toutes ces caractéristiques rendent la commande de cette machine complexe. la poursuite de trajectoires prédéterminées. [4] L'objectif général de ce mémoire est l'étude et la comparaison de méthodologie de synthèse de contrôleurs non linéaires pouvant améliorer la stabilité. ses paramètres varient pendant le fonctionnement et elle est sujette à des perturbations inconnues. On propose alors la synthèse d'une loi de commande utilisant une technique récursive.B/ FAC :S.Introduction générale est décomposé en deux sous systèmes linéaires mono variables indépendants. la réponse et les performances de la Machine Synchrone à Aimants Permanents. deux techniques de synthèse de lois de commande sont particulièrement considérées: la commande vectorielle avec un observateur de Luenberger. Le comportement de la MSAP est celui d'un système non linéaire. la conservation de la nature non linéaire de la machine. sa dynamique est rapide. et la technique de commande non linéaire adaptative par Backstepping. Pour cela. Par conséquent. La dynamique du système linéarisé est choisie par un placement optimal des pôles.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 2 . Chaque sous système représente une boucle de commande indépendante d’une variable donnée (vitesse. Modélisation de l'association Machine Convertisseur . U. Grâce aux progrès de l’électronique de puissance et l’informatique. 1. l’hystérésis et les courants de Foucault sont négligeables.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 3 . dont la modélisation obéit aux hypothèses simplificatrices suivantes : ü ü ü ü L’entrefer est d’épaisseur uniforme. Cette modélisation est établie en termes d'équations différentielles et est basée essentiellement sur la transformation de Park. On admet que la FMM crée par chacune des phases des deux armatures est à répartition sinusoïdale. Cependant la présence du système balais collecteur a toujours été un grand inconvénient du moteur parmi d’autres qui limitant de plus en plus son utilisation. Puisque les machines synchrones dans les systèmes industriels ne sont pas directement alimentées par le réseau électrique. L’apparition d’aimants performants et le développement des composants de l’électronique de puissance ont poussé un bon nombre de chercheurs et industriels à lancer des investigations dans le domaine des associations convertisseurs et machine électrique utilisant le moteur synchrone à aimants permanents. La première étape de la synthèse d’une loi de commande est la modélisation du procédé à contrôler (MSAP). un onduleur de tension est prévu.Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur INTRODUCTION Pendant plusieurs années. et d’encochage négligeable.1 HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES La machine synchrone à aimants permanents est un système complexe. l’industrie a utilisé le moteur à courant continu (CC) offrant le principal avantage d’être facilement commandable grâce au découplage naturel du flux et du couple. Les résistances des enroulements ne varient pas avec la température et l’effet de peau est négligeable. Le modèle doit être capable de représenter fidèlement les différentes dynamiques présentes.B/ FAC :S. La saturation du circuit magnétique. le moteur synchrone à aimants permanents a pu s’imposer dans les systèmes d’entrainement. B/ FAC :S. On distingue ainsi: ü Les machines à aimants superficiels : les aimants sont montés sur la surface du rotor offrant un entrefer homogène. sa vitesse est synchrone avec le champ tournant et ne dépend que de la fréquence de l’alimentation et du nombre de pôles de la machine. Au rotor. ü Les machines à aimants permanents enterrés : les aimants sont montés à l'intérieur de la masse rotorique et l'entrefer sera variable à cause de l'effet de la saillance.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 4 . autorisant des accélérations élevées. nous considérons le modèle de la machine synchrone idéal suivant : U.Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur 1. et possèdent une robustesse mécanique élevée qui leur permet de travailler à des vitesses importantes. La réalisation du rotor à aimants permanents conduit à deux variantes technologiques selon la disposition des aimants. [5]. la bobine d’excitation peut être remplacée par des aimants permanents. En outre.1 Mise en équation de la machine synchrone Pour établir des relations simples entre les tensions d'alimentation du moteur et ces courants.2. sont alimentées au stator par des enroulements triphasés et au rotor par une tension continue. Ce type de machine possède un bon rendement puisque les pertes Joule sont localisées au stator. [6] 1.2 MODELISATION DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS Les machines synchrones en général. le diamètre du rotor du premier type est moins important que celui du deuxième ce qui réduit considérablement son inertie en lui offrant la priorité dans l’entraînement des charges rapides. Alimentée à fréquence constante. Dans ce cas. la compacité du rotor conduit à un bon rapport couple/inertie. Le comportement magnétique de ces machines est similaire aux machines à rotor bobiné et possèdent des valeurs différentes pour les inductances directes et en quadrature. De plus. Le moteur est appelé à rotor lisse et les inductances ne dépendent pas de la position du rotor. les inductances dépendent fortement de la position du rotor. T φb φc :]Les flux totaux à travers les bobines statorique.1 Schéma de la machine synchrone 1.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 5 .2 Equations magnétiques Les relations entre flux et courants s’écrivent sous forme matricielle comme suit : [φ s ] = [L ss ][I s ]+ [M sf ][ f ] I (1. 1.2.2) U.1 Equations électriques Les équations électriques dans un repère fixe lié au stator sont décrites par : φ a i a v a v = R i + d φ s b b b dt φ c i c vc (1. 1.B/ FAC :S.Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur d F a va vf q vb b vc c Fig.2. [v a vb vc T T ] : Les tensions des phases statorique.1. [ia [φa ib ic :] Les courants des phases statorique.1.1) Avec: Rs : la résistance par phase statorique. I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 6 . et afin que les algorithmes de commande traitent des grandeurs électriques continues. cos θ cos( θ − 2 Π ) =Mf 3 4Π cos( θ − ) 3 : caractérise la position angulaire du rotor par rapport au stator. U. [M ] sf 1.2). figure (1. les enroulements statorique (a. c) sont remplacés par deux enroulements (d.2. Ls0 : inductance propre d’une phase statorique. q) en quadrature. Ce passage est obtenu par la transformation de Park. [L s2 l s0 cos( 2θ ) Où : Ms0 : inductance mutuelle entre deux phases statorique. Elle contient des termes constants que nous regroupons dans [Ls0 ] et des termes variables dépendant de . que nous regroupons dans [Ls2 (θ ) :] L [Lss ] = [L s 0 ]+ [ s 2 ] Avec : cos( 2θ ) ]= Ls 2 cos 2(θ − 2Π ) 3 4Π ) cos 2(θ − 3 cos 2(θ − cos 2(θ − 2Π ) 3 4Π ) 3 4Π ) 3 cos( 2θ ) 2Π ) cos 2(θ − 3 cos 2(θ − [Ls0 l s0 ]= M s0 M s 0 M s0 l s0 M s0 M s0 M s 0 .2 Transformation de Park Pour éliminer de la matrice [Ls2 ].B/ FAC :S. b.Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur On désigne par : [Lss :] Matrice d’inductances statorique. 2.q) La matrice de passage notée P( ) : cos θ 2 P(θ ) = − sin θ 3 1 2 cos(θ − 2Π ) 3 2Π ) 3 4Π ) 3 4Π − sin(θ − ) 3 1 2 cos(θ − − sin(θ − 1 2 Et la matrice P-1 ) est donnée par : cos θ 2Π −1 P (θ ) = cos(θ − 3 ) 4Π cos(θ − ) 3 − sin θ − sin(θ − − sin(θ − 2Π ) 3 4Π ) 3 1 1 1 1.2 Schéma de la machine synchrone dans le référentiel (d.1) dans un référentiel lie au rotor. 1.Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur a d vf vd θ vq q Fig.B/ FAC :S.3 Modèle de la MS dans le référentiel de Park La transformation de Park ramène les équations statorique (1. Donc la machine équivalente est identique à une machine à courant continu ayant l’enroulement f comme inducteur et ayant deux induits en quadrature.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 7 . [9] U. le moment d'inertie du rotor. U.Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur Le passage du système triphasé au système biphasé se fait en utilisant les relations suivantes : Vd Id φd [ [ [ Vq Vo = P( θ ) [v a Iq φq Io φo a ] ( = P] θ ) [i ] = P( θ ) [φ vb ib ic vc ] ] ] a φb φc Alors.4) Avec la même procédure de calcul pour les équations magnétiques et faisant usage du calcul matriciel précédent et en supposant que le système est équilibré.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 8 .3) V d R s + Ld s V = PωL d q − Pω L q I d 0 + R s + Lq s I q Pωφ f (1. Cr et dΩ + fΩ dt (1.2. le modèle de la machine après la transformation de Park est : Vd Rs + Ld s − PωLq R s + Lq s Vq = PωLd V f 0 0 Ainsi pour la MSAP. le modèle est le suivant : I d 0 0 I q + Pωφ f R f + L f s I f 0 0 (1.B/ FAC :S. 1. J.4 Equations mécaniques L'équation mécanique développée par la machine est donnée par la relation suivante : Ce − Cr = J Avec: f.6) définissant respectivement le coefficient d'amortissement. on aura : φ d = Ld I d + φ f φ q = Lq I q f: (1. le couple de charge et la vitesse mécanique de rotation.5) représente le flux des aimants à travers le circuit équivalent direct. 5 Mise sous forme d’équation d’état Considérons les tensions (Vd. les courants statorique (Id. Iq) comme variables d’état et le couple Cr comme perturbation. A partir des équations (1.B/ FAC :S.7).4). L I q − P ω d Lq Pω Lq 1 Ld I Ld d I + R q 0 − s Lq 0 0 V d + − Pω φ f 1 Vq Lq Lq [ ] (1. Il est exprimé par : Ce = 3 P (Ld − Lq I d ) q + φ f I q I 2 [ ] (1.2. U. (1. 1.7) 1. − s Id Ld = .Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur Le couple électromagnétique Ce est produit par l'interaction entre les pôles formés par les aimants au rotor et les pôles engendrés par les FMMs dans l'entrefer générées par les courants statorique.8) Ces dernières équations constituent la base du schéma bloc de la MSAP (figure 1.3). A l’arrêt du rotor. c’est le principe de l’autopilotage.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 9 . on peut écrire le système d’équations comme suit : R . le champ statorique est immobile. [6]. Il en découle que le champ statorique "tourne" à la vitesse du rotor. [8] Fig. et le flux d’excitation f) comme grandeurs de commande. Vq).3 Schéma bloc de la MSAP dans le référentiel d-q La fréquence des courants au stator est asservie à la rotation du rotor de manière à maintenir le synchronisme entre le champ créé par les courants du stator et le moment magnétique du rotor. En effet elle permet le réglage en amplitude et en fréquence de la tension d’alimentation et de repousser les harmoniques vers des rangs plus élevés.4 Schéma de l'onduleur de tension alimenté à partir du réseau triphasé U.Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur 1. 1. s’avère d’un grand intérêt pour la commande des machines électriques. L Réseau K11 C E K12 K13 K21 K22 K23 ia v aN ib v bN v cN ic Fig.3.4) présente un schéma d'alimentation pour la MSAP avec un onduleur de tension alimenté à partir d'un réseau triphasé. 1. La figure (1.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 10 .1 Modélisation de l'onduleur L'onduleur de tension est une structure utilisée pour l'alimentation en tension moyenne des machines synchrones à aimants permanents et aussi les machines asynchrones de forte puissance fonctionnant en vitesse variable.3 MODELISATION DE L'ALIMENTATION DE LA MACHINE L’alimentation par un onduleur de tension à modulation de largeur d’impulsion (MLI).B/ FAC :S. A cet effet. L'intersection de ces signaux donne les instants de commutation des interrupteurs. appelé signal de la porteuse. la modulation de largeur d'impulsions MLI triangulo-sinusoidal. généralement sinusoïdale. représente l'image de la sinusoïde qu'on désire à la sortie de l'onduleur. 1. L'ensemble des transistors constituant l'onduleur triphasé à modulation de largeur d'impulsion (MLI).B/ FAC :S. en une tension sous forme de créneaux successifs. [10] 1. Cette technique repose sur la comparaison entre deux signaux : ü Le premier. [11] Fig. appelé signal de référence. des tensions les plus sinusoïdales possibles. Le principe général consiste à convertir une modulante (tension de référence au niveau commande). L'énergie ne peut donc transiter de la machine au réseau. différentes stratégies de modulation ont été proposées. ü Le second. définit la cadence de la commutation des interrupteurs statiques de l'onduleur. associé au pont redresseur à diodes constitue une source de tension non réversible. Ce signal est modulable en amplitude et en fréquence. générée à la sortie de l'onduleur (niveau puissance).5 Génération des Signaux de commande PWM de l'onduleur U.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 11 .Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur Le filtre L-C. [7].2 Principe de la stratégie de commande L'onduleur a pour objectif de générer à sa sortie. impose la fréquence de rotation du champ tournant et l'amplitude de la tension dans la machine. Parmi celle-ci. C'est un signal de haute fréquence par rapport au signal de référence.3. Pour les paramètres de la machine définis en Annexe A.B/ FAC :S. D'où : v bN v cN T par ] rapport au point 1 v aN = 3 (v ab − v ca 1 v bN = (v cb − v ab 3 v = 1 (v − v bc cN 3 ca ) ) ) (1. U.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 12 .Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur Les tensions de références sont les tensions simples V s [v aN neutre.9) L'onduleur est modélisé en associant à chaque bras une fonction logique Fj définie par : 1 : Interrupteur du demi bras haut fermé Fj = 0 : Interrupteur du demi bras bas ouvert V 1 = F1 E Les tensions imposées dans chaque bras de l'onduleur sont données par : V 2 = F 2 E V 3 = F3 E Et les tensions simples va.4 RESULTATS DE SIMULATION Pour compléter l’étude théorique présentée précédemment. Si la charge est équilibrée alors : v aN + v bN + v cN = 0 . une simulation numérique est indispensable.10) 1. vb et vc s'expriment par : 2 − 1 − 1 F1 v aN v = E − 1 2 − 1 ⋅ F 2 bN 3 − 1 − 1 2 F3 v cN (1. Les programmes sont testés dans l’environnement MATLAB. B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 13 . 1.6 Résultats de simulation de la MSAP alimentée par un réseau triphasé équilibré (à gauche) et alimentée par un onduleur (à droite) U.Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur Fig. I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 14 .7 Résultats de simulation de la MSAP alimentée par un réseau triphasé équilibré (à gauche) et alimentée par un onduleur (à droite) avec application d'un couple de charge Cr=5N.m à t = 1s U. 1.B/ FAC :S.Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur Fig. I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 15 . ensuite ils se stabelisent à leurs valeurs nominales après un temps assez court. on remarque que les performances ne sont pas bon suite à l'application de la charge avec et sans onduleur de tension. le modèle de la machine synchrone à aimants permanents triphasé alimenté en tension et le modèle de Park (biphasé) équivalent. et atteint sa valeur nominale de 104 rad/sec. A partir de ces résultats. ü Pour les courants id et iq au début de démarrage on voit des pics de courant assez important et cela s'explique par la F.Chapitre Un Modélisation de l'association Machine Convertisseur En première étape. pour obtenir des performances statiques et dynamiques élevés on applique la commande vectorielle dans le chapitre suivant. Sachant que la commande de la machine impose que celle-ci soit soumise à des tensions alternatives de fréquence et d'amplitude variable. Pour l'association onduleur-MSAP on remarque la présence des pulsations dans les réponses de la machine. et sans application du couple de charge. Donc. L'examen des courbes montre: ü Pendant le régime transitoire. U. CONCLUSION On a présenté dans ce chapitre. présentant au premier instant de démarrage des battements importants. ü A t = 1s. on a simulé le fonctionnement de la machine synchrone alimentée directement par le réseau 220/380V. Le convertisseur de tension permet d'imposer un système de tensions triphasées.M qui est due à une faible vitesse de démarrage. malgré l'apport de la transformation de Park dans le sens où le modèle devient plus simple et les non linéarités réduites. La contre réaction des masses tournantes tendant à ramener le moteur au repos fait apparaître des valeurs de vitesse négative très faible et de courte durée.m. avec une augmentation lente de la fréquence à 50 Hz (autopilotage scalaire). on remarque que les caractéristiques suivent cette variation puis se stabelisent au régime permanent. ü L'allure de la courbe du couple présente au démarrage des battements importants dans un intervalle de temps court. obtenues à partir d'une tension continue d'entrée.E. puis se stabilisé à zéro puisque la machine est à vide. ces pulsations sont liées aux harmoniques des courants injectés par l'onduleur.B/ FAC :S. on applique une charge de Cr = 5 N. la vitesse est fortement pulsatoire. Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP . [13] U. permettant de reconstruire ces grandeurs à partir des mesures disponibles.1 COMMANDE VECTORIELLE 2. La composante d’axe q joue le rôle du courant d’induit et permet de contrôler le couple. Habituellement. une solution par une commande adaptative. Il faut cependant se placer dans un repère particulier où le couple électromagnétique s’exprime simplement en fonction des composantes des courants suivant les deux axes (axe d et axe q). Dans ce chapitre on étudie d'une part. la composante d’axe d du courant statorique joue le rôle de l’excitation et permet de régler la valeur du flux dans la machine. Lorsque la partie commandée est soumise à des perturbations et à des variations de paramètres. doit être envisagée qui par réajustement des paramètres des régulateurs.1 Principe de la commande vectorielle La commande vectorielle des machines à courants alternatifs est maintenant bien connue. 2. Le principe de la commande vectorielle est identique à celui de la commande d’une machine à courant continu à excitation séparée. Plusieurs types d’observateurs ont été mis au point. l'application de la commande vectorielle à la MSAP. permet de conserver les performances fixées à l’avance même en présence de perturbations et de variations paramétriques.1. De nombreux industriels commercialisent des variateurs de vitesse pilotés par des machines synchrones et asynchrones utilisant ce mode de contrôle.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP INTRODUCTION L’objectif de la commande vectorielle de la MSAP est d’améliorer son comportement dynamique. D'autre part un observateur d'état pour l'estimation des variables intervenant dans cette machine sera utilise avec une adaptation de la résistance statorique.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 16 . Une solution à ce problème consiste à concevoir un observateur adaptatif.B/ FAC :S. 1 Diagramme de phase de la MSAP dans le référentiel lié au champ tournant La figure (2. le couple est directement proportionnel à Iq : Ce = K t I q (2.1) montre que la position instantanée du rotor. lorsque le système travaille à couple optimal linéaire.3) Comme le flux est constant.B/ FAC :S. et par conséquent le flux rotorique est situe à un angle par rapport à l’axe du référentiel ( ) liée au stator. D’autre part. Le courant Id doit être nul.1) φd = φ f (2. Id = 0 ⇒ Iq = Is Donc : Le couple électromagnétique devient : (2. 2. Si le courant Id est dans la même direction que flux rotorique. le flux statorique suivant l’axe ‘d’ s'ajoute au flux des aimants.4) U.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP V q I=Iq θ Id I d Fig. ce qui donne une augmentation au flux d’entrefer (surexcitation). L’application de la commande vectorielle nécessite que l’axe de la composante Iq soit en quadrature par rapport au flux rotorique.2) Ce = 3 Pφ f I q 2 (2. ce qui donne une diminution du flux d’entrefer (sous excitation). si le courant Id est négatif le flux statorique sera en opposition à celui du rotor.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 17 . la commande devient plus compliquée du fait qu’on doit considérer la dynamique du stator en plus du celle du rotor. la consigne de courant Id n’est plus égale à zéro et le couple est limité de manière à toujours respecter la relation suivante : 2 2 I d + I q ≤ I max (2.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP Dans le cas de fonctionnement en survitesse. une stratégie de défluxage est appliquée. di d I R s I d + Ld dt = V d − ω L q3 q 12 eq di q = V q + ωL d I d + ωφ f R s I q + Lq 1 44 2 4 43 dt ed Ces équations donnent la structure de commande en (2. En faisant appelle aux équations électriques et magnétiques. le flux obéit à la relation non linéaire suivante : φ ref = φ rnom Si Ω ≤ Ω nom (2.B/ FAC :S.6) φref = φrnom Ω nom Ω Si Ω ≥ Ω nom Avec : Ω nom : la vitesse de rotation nominale. on obtient les équations suivantes faisant apparaître les variables de commande. φ ref : le flux rotorique de référence. φ rnom : le flux rotorique nominale.5) Où : Imax est le courant maximal Cette stratégie permet l’exploitation optimale des capacités magnétique de la machine c.7) tension.d : un fonctionnement à couple constant si la vitesse est inférieure à la vitesse nominale à puissance constante lorsque la vitesse excède la vitesse nominale.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 18 . Pour ce type d’alimentation. U.à. le système devient linéaire.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP 2.8) e d = − (ω L d I d + ωφ f ) e = ωL I q q q V q = V q1 − e d Vd = Vd 1 + eq (2. ou indirectement par leurs composantes respectives U.1.B/ FAC :S.3 Régulation Dans le cas de notre étude on se limite à la technique de control par des régulateurs PI qui permettant des performances satisfaisantes tant du point de vue de la régulation ou bien du point de vue de la stabilité. Dans de telles conditions. précision et rapidité. deux boucles internes sont réalisées pour le contrôle direct du flux et du couple.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 en courant. [4] eq Vd + Vd1* id MSAP Vq Vq1* iq + + ed Fig.2 Schéma Bloc de compensation 2. 19 . il y a un bloc de compensation dont les équations sont données comme suit : Posons : V d 1 = V d − e q V q1 = V q + e d Sachant que : (2.9) La compensation à pour effet de découpler les deux axes grâce à une reconstitution en temps réel de ces perturbations (ed (s) et eq(s)).1. 2.2 Bloc de compensation En plus du bloc de la structure de commande. Notons que par analogie à la régulation utilise pour la MCC. I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 20 .1 Correcteur du flux Le schéma fonctionnel du contrôle de flux est donné par: Idref + Id Fig. donc: U.11) d La fonction de transfert en boucle ouverte est: FTBO d = K pd K id (1 + s K id 1 Rs s) 1 + Tds s (2.13) Avec : τ d = Rs K id R s Rs2 K id = = Tds Ld / d'où: Kpd = Kid . 2. avec la fonction de transfert de la forme suivante : C (s ) = Re g K pd K s ( ) id ( 1 + = s) s K id (2. en posant : K pd K id = Tds Ce qui ramène les fonctions de transfert des courants en boucle fermée aux expressions suivantes : FTBFd = I 1 = sd 1 + τ d s I sd ref (2.4 Régulation du flux vd Id C (s) Fd (t) 1 Rs I Fd (s ) = = sd 1 + Tds s V sd 1 / Tds = Lds Rs (2.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP 2.12) La démarche à suivre consiste à procéder à la compensation de la constante de temps du système.10) Le régulateur (Re g d ) est choisit comme étant un régulateur proportionnel et intégral.3.1. Tds En choisissant ( d=Tds).B/ FAC :S. 2 Correcteur de couple De la même manière que le calcul précédent. on détermine le régulateur du couple (crt Iq): Iqref + Iq Fig. 2. donc : vq Iq C (s) Fq (t) FTBOq = K iq s (1 + K pq K iq 1 Rs s) 1 + Tqs s (2.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP 2.B/ FAC :S. La fonction de transfert du régulateur de vitesse est donnée par : U.14) FTBFq = Et : τ q = Rs K iq I sq 1 = 1 + τ q s I sq ref (2.3 Correcteur de vitesse Le schéma fonctionnel du contrôle de vitesse est donné par: Cr ref + - kp + ki s Ce 1 J ⋅s + f Fig.1.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 21 .5 Régulation du couple Sachant que (Reg q) à une même forme que (Reg d).6 Régulation de la vitesse On a ajouté à cette boucle un filtre pour éliminer le dépassement dû à l’existence d’un (Zéro) dans la FTBF du Système (machine + régulateur PI ).1. Tqs 2.15) En choisissant ( q=Tqs). 2.3. donc: K iq = R s R s2 = Tqs Lq / d'où: Kpq = Kiq .3. Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP Kp + Ki K p K = (s + i ) s s Kp (2. par identification à la forme canonique du 2ème ordre l’équation caractéristique peut être représentée comme suit : 1 2 2ζ s +( ) s +1 ω0 ω0 Alors : (2.18) La FTBFΩ possède une dynamique de 2ème ordre.17) En adoptant la méthode de placement de pôle et la fonction de transfert de la vitesse en boucle fermée est donnée par: Ki ) Kp FTBFΩ = Ω ( s) = Ω ref ( s ) Js 2 + ( f + K p ) s + K i K p (s + (2.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 22 .19) 1 J = 2 K i ωo f + Kp Ki = 2ζ ωo Avec : ζ : Coefficient d’amortissement. On choisit alors le coefficient d’amortissement ζ et ω o on déduit K i et K p : 2 Avec : K i = J ω o Kp = 2 ζ Ki − f ω0 Donc : 4J Ki = 2 τ K p = K i ⋅τ avec : τ= Lq Rs U.16) La fonction de transfert de la vitesse en boucle ouverte est donnée par (Cr=0) : FTBOΩ = Kp s (s + Ki 1 ) Kp j s + f (2. 8 Résultats de simulation lors d’inversion de la vitesse U. 2.7 Résultats de simulation au démarrage à vide et en charge à t=1s Fig. 2.1.B/ FAC :S.4 Résultats de simulation Fig.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP 2.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 23 . 2.1s.7s : Cr'=2Cr) Les performances de la commande vectorielle sont illustrées par les résultats de simulation donnée par les figures (2.8. Ceci montre que le découplage est parfaitement réalisé.9 Résultats de simulation lors des variations paramétriques (à t=0. Cependant. Les résultats obtenus montrent que les performances de poursuites de vitesse et de courant id sont satisfaisantes. Pour étudier la robustesse du régulateur PI on a inversé le sens de rotation de la machine. 2. on a procédé aux essais suivants : ü ü ü Démarrage à vide puis en charge à t=1s avec Inversion de sens de rotation à t=1s.B/ FAC :S. Variation dans les valeurs de : la résistance statorique et le couple de charge.4s : R'=2R. et à t=0. ref=100rad/s. U.7. on voit bien l'influence de la variation de la résistance et de couple de charge sur le comportement du système contrôlé.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 24 . 2. Le couple électromagnétique égalise la valeur de couple résistant. et le courant id est maintenu à zéro.9). Le courant iq est l’image du couple.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP Fig. les résultats montrent les performances de la régulation étant donnée que la vitesse se stabilise avec une bonne dynamique t=0. Lors du démarrage. Le mécanisme d'adaptation intervient lors de l'ajustement des coefficients du régulateur afin de réaliser un comportement souhaité du système en boucle fermée.1 Principe d'un observateur adaptatif Il est souvent difficile. Pour atteindre ce but. Cette problématique a été abordée conjointement par Luenberger. pour des raisons économiques ou technologiques. et en conséquence les performances du système peuvent se détériorer en provoquant l'instabilité. leurs différences sont injectées à l'entrée du régulateur pour générer le signal de commande. Kalman et Bucy qui ont proposé respectivement l’observateur de Luenberger et le filtre de Kalman-Bucy. [14] Donc le problème de ce système à modèle incertain (à paramètres variables) est résolu dans ce chapitre où on va exposer la commande vectorielle avec un observateur adaptatif. il y a deux façons de réaliser un estimateur : en boucle ouverte et en boucle fermée. de mesurer les grandeurs nécessaires à la commande d’un système. U. Par contre le système de commande adaptative traite l'écart entre l'indice de performance désiré et celui qui est mesuré dans le système réel. 2. lié à l’erreur d’estimation. Précédemment. une machine électrique. utilisé pour affiner la réponse de l’estimateur. par exemple.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 25 . nous avons discuté le contrôle de système avec un contrôleur à paramètres fixes. Un estimateur en boucle fermée est connu sous le nom d’observateur. La différence entre ces deux méthodes est basée sur l’existence. les variables réelles sont mesurées et comparées aux valeurs désirées.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP 2. les paramètres de la machine peuvent varier. le régulateur à paramètres fixes est utilisé pour réduire ou éliminer l'effet des perturbations agissant sur les grandeurs à régler.2 COMMANDE VECTORIELLE AVEC UN OBSERVATEUR ADAPTATIF Dans les systèmes de réglages. d’un terme de correction. Un estimateur est défini comme un système dynamique dans lequel ses grandeurs d’état sont des estimations des variables d’état d’un autre système. pour tester à la fin la robustesse de la commande en stabilité et en performances vis-à-vis des variations paramétriques. Pratiquement.B/ FAC :S. Principalement. ou non.2. de part leur principe. sont sensibles aux variations paramétriques.B/ FAC :S. Le filtre de Kalman est un estimateur récursif. La qualité d’une bonne estimation s’apprécie au regard de sa sensibilité par rapports aux bruits affectant l’état et la sortie et aux variations paramétriques. L'historique des observations et des estimations n'est ainsi pas requis.20) & x = A x(t ) + B u t (+ L C ( x − x ) ) y(t ) = C x t ( ) Introduisant l'erreur d'estimation : (2.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP Les estimateurs. il s'avère suffisant d'utiliser un observateur linéaire.22) x(t ) est une bonne estimation de x(t) si e(t ) ∞ → 0 . t→ On obtient : U. [15] L'observateur linéaire de Luenberger est plus approprié pour les systèmes où les mesures ne sont pas bruitées. Quoique le système auquel on s'intéresse soit non linéaire. Soit le système à asservir suivant : & x (t ) = A x t (+) B u t y (t ) = C x t ( ) Avec dim (x) = n. Cela signifie que pour estimer l'état courant. L’utilisation d’un observateur améliore la robustesse des estimations vis-à-vis des variations paramétriques et des bruits de mesures. seul l'état précédent et les mesures actuelles sont nécessaires.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 26 .21) e(t ) = x t( ) x t ( − ) (2. dim (y) = q et C de rang q La dynamique de l'observateur est : () (2. alors on peut choisir la matrice de gains L de l'observateur de telle façon que A – LC ait toutes ses valeurs propres à parties réelles négatives.10 Schéma de principe d'un observateur Donc. [17]. solution d'une équation de Lyapunov. dans cette étude nous choisirons le modèle d'un observateur de Luenberger. si la partie (A.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP & e(t ) = ( − LC e t) A () (2. le modèle de la MSAP est décrit par le système d'équation: (en considérant: Ld =Lq = L) U. Alors. [18] U + + A B 1/S x C y L + . La spécification du gain L peut être effectuée de différentes manières : placement des pôles. 2.C) est observable.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 27 .y C + B 1/S x + A Fig.2.2 Application de l'observateur de Luenberger par la MSAP On choisissant les courants id et iq comme des paramètres à estimer par l'observateur. solution stationnaire d'une équation de Riccati. ce qui assure la convergence vers zéro de e(t) quand t ∞.B/ FAC :S. et nous l'appliquerons sur le système (Machine Synchrone à Aimants Permanents + Commande Vectorielle). et on prenant la vitesse à partir de la réponse de la machine.23) On sait que. 2.… [16]. 24) dw 3 pφ f f 1 = iq − Cr − ω dt 2J J J Le système est non linéaire et peut robuste par rapport aux variations des paramètres. (2.25) ( ) (2.27) R R pω pω − − L 1 R − R L A= .2.1 Synthèse de l'observateur Et les équations de l'observateur de Luenberger peut être exprimée par : & x = A x + B u + K( y − y ) y = C x di d R 1 = − i d + pω i q + u d + K d i d − i d dt L L di q dt Où : Kd et Kq : les gains de correction d'erreur des courants id.2.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 28 . Les équations des erreurs se déduisent par la différence entre les équations du modèle de la machine et les équations de l'observateur tel que : & & x − x = ( A − KC () − x + A − A x x ) ( ) ∆R − L 0 = R − R 0 (2.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP di d 1 R = − i d + pω i q + u d dt L L di q dt =− φf p 1 R ω + uq i q − pω i d − L L L (2. A− A=− . A= R L 0 − pω − R − pω − L L 0 ∆R − L U. iq respectivement.B/ FAC :S. 2.26) =− φf p 1 R i q − pω i d − ω + u q + K q iq − iq L L L ( ) R : la valeur de la résistance estimé et adapté au niveau de la commande et de l'observateur. KC) < 0. par conséquent assurer la stabilité et la convergence du procédé complet (commande en boucle fermée avec observateur). Donc : ∆R dR & & V = eT e − ⋅ λ dt (2.KC) < 0.31) : Donc U. on prend : (A .B/ FAC :S.2.29) e = [e1 e2] = [id-id" iq-iq"] > 0 : constante qui intervient dans la fonction de Lyapunov.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 29 .Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP Après les calculs. Et : ∆R eT L 0 0 ∆R dR x+ ⋅ =0 ∆R λ dt L (2.30) Pour assurer la négativité de la fonction de Lyapunov. on obtient : ∆R − & ) e = ( A − KC e + L 0 0 x ∆R − L (2.2 Stabilisation par Lyapunov On considère la fonction de Lyapunov condidate suivante : V= 1 T 1 (∆R ) e e+ 2 2 λ 2 (2. 2.28) La matrice K peut être choisi tel que : (A .2. V(x) : défini positive. 32) 2. R' = 2 R et on déduit leurs influences sur la réponse du système. On considère que : C'r = 2 Cr . U.2. on retient les tests suivants : ü ü La comparaison entre les réponses des courants de la machine et de l'observateur avec les variations paramétriques.11 Schéma bloc de la MSAP commandé avec l'observateur de Luenberger 2.3 Schéma bloc de simulation Le schéma bloc de simulation de la MSAP avec l'observateur de Luenberger et le bloc d'adaptation. est donne ci après : ref V MSAP + K + B + OL Bloc d'Adaptation CV Fig.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP R=− λ T 1 0 e x dt L ∫ 0 1 (2.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 30 . 2. La robustesse de la commande avec l'observateur pour la variation de la résistance statorique.B/ FAC :S.2.4 Résultats de simulation A partir de la simulation de la MSAP avec l'observateur.2.2. 4 s.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP Fig. C'r = 2Cr à t= 0.12 Résultats de simulation lors des variations paramétriques R' = 2R à t = 0.7s Fig.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 31 .B/ FAC :S. 2. 2.13 Résultats de simulation de comparaison entre les réponses des courants id et iq de la MSAP et de l'observateur U. CONCLUSION Dans ce chapitre. qui est changé avec le temps à cause les pertes Joule ensuite l'échauffement du stator.14 Résultats de simulation de la réponse du bloc d'adaptation R par rapport à Rref Les gains de simulations d'observateur ainsi de régulateur sont respectivement : Kd = 212. donc " l'Observateur + le bloc d'adaptation " exécuté son travail et adapté la résistance statorique. On a présenté l'étude et l'application d'un observateur de Luenberge. Kq = 212 et = 0. Les résultats de simulation montrent que la dynamique prévue est respectée. mais un comportement sensible aux variations des paramètres (résistance statorique). et à travers les résultats obtenu.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 32 .B/ FAC :S. ce qui implique l'efficacité et la robustesse même avec la variation de la résistance statorique. on peut dire que : U. nous avons présenté la commande vectorielle appliquée à la MSAP. Le réglage de la vitesse de la MSAP par le régulateur PI donne de bonns résultats.001. cette stratégie permet le découplage entre le couple et le flux de la machine afin d'assurer une commande souple de sa vitesse. 2. et le découplage entre le flux et le couple est réalisé.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP Fig. réponse rapide de la vitesse et sans dépassement. I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 33 . U. il sera présenté la méthode de la commande non linéaire adaptative par Backstepping de la MSAP.B/ FAC :S. Dans le chapitre suivant. D'autres stratégies peuvent être utilisées pour atteindre ces objectifs. et une robustesse par rapport aux variations paramétriques.Chapitre Deux Commande Vectorielle avec Adaptation Paramétriques de la MSAP Le réglage avec un observateur adaptatif donne de très bonnes performances (erreur presque nulle entre les réponses de la machine avec l'observateur). Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP . L'intérêt constant d'améliorer les performances des systèmes commandés conduit à des modélisations de plus en plus précises. poursuite.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP INTRODUCTION La conception d'un contrôleur donné dépend de la nature du système lui même et de la qualité des performances exigées. Ensuite. Le modèle équivalent étant linéaire. Il peut donc être nécessaire d’avoir recours à de nouvelles méthodes. et rejection ou atténuation de perturbations conduisent à plusieurs types de problèmes de commande. La méthode de synthèse récursive de fonction de Lyapunov par Backstepping constitue la principale méthode utilisée dans ce mémoire.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 34 .B/ FAC :S. Nous introduisons tout d'abord la technique de linéarisation entrée sortie pour trouver une transformation permettant de compenser les non linéarités du modèle et ainsi rendre la relation entre la sortie et l'entrée complètement linéaire. Plusieurs techniques de synthèses des régulateurs sont disponibles et chacune d'elles dépend du degré des non linéarités et de l'ordre du système considéré. les objectifs de stabilisation. 3. Les modèles résultants sont souvent non linéaires et les outils fondamentaux de synthèse de lois de commande dans le domaine linéaire deviennent insuffisants. (3.1 PRINCIPE DE LA TECHNIQUE DE LINEARISATION AU SENS DES ENTREES-SORTIES Le concept de la linéarisation au sens des entrées-sorties est maintenant très connu. multi-entrées et multi-sorties. [19] Nous proposons dans ce chapitre deux techniques de synthèse de correcteur non linéaire pouvant être utilisé dans l'industrie pour améliorer les performances des machines électriques. on peut lui imposer une dynamique stable en se basant sur les méthodes linéaires classiques. en effectuant un bon choix de la loi de linéarisation. plusieurs références décrivant la manière de l’appliquer sont disponibles.1) U. Nous allons montrer comment obtenir une relation linéaire entre la sortie y et une nouvelle entrée v. Soit un système d’ordre n. décrit par la représentation d’état non linéaire suivante : & x = f ( x) + g ( x)u y = h( x ) Avec : u : Vecteur de commande (d’entrée). Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP f(x), g(x) : Champs de vecteurs ; h(x) : Vecteur de sortie. Les éléments des champs vectoriels f, g et h sont des fonctions lisses. Si l’on considère le cas des systèmes avec m entrées et m sorties, en cherche un bouclage statique de la forme u = α ( x ) + β ( x)v , tel que le comportement entrée-sortie du système (3.1) après bouclage soit linéaire et découplé. Ainsi on obtient un ensemble de m sous systèmes mono sotie indépendants où les entrées du sous système i n’affectent pas la sortie yj et réciproquement. Avec : v : Nouvelle variable de commande du système linéaire ; : Matrice non singulière de dimension m×m ; : Vecteur de dimension m×1. La nouvelle commande permet de ramener le comportement entrée-sortie du système, défini par l’équation (3.1) à celui d’un système linéaire, par différentiation des sorties yi du système jusqu’à l’apparition des anciennes commande ui en utilisant la dérivée de Lie. 3.1.1 Dérivée de Lie Etant donnée la fonction scalaire continue hi(x) défini de ℜ n → ℜ et un champs de vecteur f(x) continu défini de ℜ n → ℜ n , la dérivé de Lie de hi(x) selon la direction du champ vectoriel f(x) est défini comme suit : L f hi ( x ) = ∑ La dérivé de Lie d’ordre k est : ∂hi f j ( x) ∂x j j =1 n (3.2) L hi ( x) = k f ∂ ( Lkf−1 hi ) ∂x f ( x) (3.3) De la même manière, si g est un autre champ vectoriel, la fonction scalaire L g L f hi (x) est donnée par : L g L f hi ( x) = ∂( L f hi ) ∂x g ( x) (3.4) U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 35 Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP 3.1.2 Technique de la commande non linéaire L’application de la dérivé de Lie à la sortie yj du système (3.1), donne la première dérivée comme : & y j = L f h j + ∑ u i L gi h j i =1 m (3.5) 1 Lorsque la première dérivée de yj ne dépend d’aucune entrée, alors L gi h j = 0 , ∀i ∈ { ,..., m }et la commande n’apparaît pas. On continue la dérivation de y, jusqu’à ce qu’un des coefficients de commande ne soit pas nul. On peut écrire, dans ce cas : y j j = L fj h j + ∑ L gi L f j h j u i (r ) r ( r −1) i =1 m (3.6) Avec : L gi L(frj −1) h j ≠ 0 , ∀x ∈ Ω, : ensemble des états. On appelle rj le degré relative de la sortie yj. r est défini comme étant la somme de tous les degrés relatifs obtenus à l'aide de (3.6) et doit être inférieur ou égal à l'ordre du système : r = ∑ rj ≤ n j =1 m (3.7) On dit que le système (3.1) a pour degré relatif (r) s'il vérifie: L g i Lkf h j = 0 0 < k < rj-1 , 1 j p , 1 i p Et : L g i Lkf h j ≠ 0 k = rj-1 Dans le cas où le degré relatif total est égal à 1'ordre du système, on est en présence d'une linéarisation au sens des entrées-états. Si par contre le degré relatif total est strictement inférieur à l'ordre du système, la linéarisation est dite linéarisation au sens des entrées sorties. U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 36 Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Pour trouver l'expression de la loi linéarisante u permettant de rendre linéaire la relation linéaire entre l'entrée et la sortie, on récrit l'expression (3.6) sous forme matricielle: [y Où : r1 1 . . . y pp r T = ζ ( x) + D ( x).u ] (3.8) Lrf1 h1 ( x ) ζ ( x) = ... Lrfp h p ( x) Et : (3.9) Lg1 Lr1 −1 h1 ( x) L g 2 Lr1 −1 h1 ( x) f f r2 −1 r2 −1 L g L f h2 ( x) L g p L f h2 ( x) D( x ) = p ... ... rp −1 r p −1 L gt L f h p ( x) L g 2 L f h p ( x) Où : D(x) : est appelée matrice de découplage du système. L g p Lr1 −1 h1 ( x) f r2 −1 ... L g p L f h2 ( x) ... ... r −1 ... L g p L fp h p ( x) ... (3.10) Si on suppose que D(x) n'est pas singulier, la loi de commande linéarisante a pour forme: u = D( x) −1 ⋅ (−ζ ( x) + v) (3.11) Notons que la linéarisation ne serait possible que si la matrice de découplage D(x) est inversible. Le schéma bloc du système linéarisé est donné à la figure (3.1). v1 v 2 ... v p u1 u 2 ... u p y1 y 2 ... y p D(x)-1(- (x)+v) & x = f ( x ) + ∑ g i ( x)u i i =1 T p [x1 x2 ... x n ] y f = h j (x ) Fig 3.1 Schéma bloc du système linéarisé U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 37 Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP En remplaçant (3.11) dans (3.1), le système équivalent devient linéaire et totalement découplé de la forme: yi Où : ( rj ) = vi (3.12) [y r1 1 . . . y pp r T = v1 . . . v p [ ] T ] (3.13) Ce qui nous permet de lui imposer n'importe quelle dynamique avec la conception d’un nouveau vecteur d’entrée v = v1 [ . . . vp T . ] Remarquons que 1'expression (3.12) représente p intégrateurs en cascade comme il est indiqué par la figure (3.2). vp ∫ yp p ( r −1) ∫ yp p ( r − 2) ∫ yp p ( r −3 ) y (p1) ∫ yp Fig 3.2 Dynamique du système linéarisé 3.1.3 Conception du nouveau vecteur de commande v Le vecteur v est conçu selon les objectifs de commande. Pour le problème de poursuite envisagé, il doit satisfaire: v j = y d j j + k r j −1 ( y d j j (r ) ( Où les vecteurs y d j , y d1j) ,..., y d j j ( r −1) − yj j (r ) ( r −1) ) + ... + k1 ( y d j − y j ) 1 j p (3.14) { ( r −1) , yd jj définissent les trajectoires de référence imposées } pour les différentes sorties. Si les ki sont choisis de façon à ce que le polynôme s j + k rj −1s r r j −1 + ...... + k 2 s + k 1 soit un polynôme d’Hurwitz (possède des racines avec des parties réelles négatives), alors on peut montrer que l'erreur e j (t ) = y d j (t ) − y j (t ) satisfait lim e j (t ) = 0 . [9], [20], [21], [22] t →∞ U.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 38 ..2 APPLICATION AU MODELE DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS L’application de la technique de linéarisation avec découplage entrée sortie au modèle de la MSAP. y d1 y d2 .1 Modèle de la MSAP commandée Pour une commande en tension da la MSAP. ] U.B/ FAC :S. y p [x1 x2 . . La dynamique du système linéaire est choisie par un placement de pôles. x n T ] y f = h j (x ) Fig 3... permet de pouvoir commander séparément le courant id et la vitesse linéaires monovariables indépendants.. le modèle complet correspondant dans le repère lie au rotor est obtenu en considérant les vecteurs d’état : x = [x 1 le vecteur de commande u = u d x2 x3 T ]= [id iq ω et T ] [ uq ... u p ki D(x)-1(..3 Schéma bloc du système linéarisé en boucle fermée 3.. v p u1 u 2 . avec cette technique de commande. 3. ydp + - v1 v 2 .Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Le système linéarisé en boucle fermée est donné par la figure (3.…).3).I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 39 .(x)+v) & x = f ( x ) + ∑ g i ( x)u i i =1 p y1 y 2 . courant.2. le modèle de la machine est décomposé en deux sous systèmes Chaque sous système représente une boucle indépendante de commande d’une variable donnée (vitesse.. Lq R id + − pwi q Ld Ld f 1 ( x ) φf Ld R f ( x ) = f 2 ( x ) = iq − − pwi d − pw Lq Lq Lq f 3 ( x ) 3 p (φ f iq + (Ld − Lq id i)q − 1 C )r − f w J J 2J 1 L g 1 ( x) = d 0 0 .18) 3.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 40 .2. 0 1 g 2 ( x) = Lq 0 (3.15) Le système d'équations est récrit sous la forme suggérée pour l'application de la linéarisation au sens des entrées sorties comme suit: & x = f ( x ) + g 1 ( x) ⋅ u d + g 2 ( x) ⋅ u q (3.2 Choix des grandeurs de sortie On s'est donné comme objectif d'assurer la régulation de la vitesse du moteur tout en maintenant un fonctionnement à couple maximal (où la composante longitudinale des courants statorique id est forcée à rester nulle en tout temps). nous présentons la technique trianglo-sinusoïdale destinée à la commande en tension d'un MSAP.16) Avec: Dans cette partie.B/ FAC :S.17) Et : (3. on applique à son modèle une linéarisation au sens des entrées sorties qui assure un découplage tota1 entre les U.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Lq di d 1 R =− id + pwi q + ud dt Ld Ld Ld di q φf L R 1 i q − d pwi d − pw + uq dt Lq Lq Lq Lq dw 3 p f 1 = (φ f i q + ( Ld − Lq )i d i q ) − C r − w dt 2 J J J =− (3. Pour ce faire. Dans ce volet. les sorties doivent être la vitesse du rotor courant id : y1 = id et y2 = et le (3. La stratégie de fonctionnement nous mène à imposer idref = 0. l'entrée ud apparaît dans l'expression (3.2.B/ FAC :S. On arrête ici et on note. Pour la première sortie id on a : y1 = id = h1(x) En la dérivant. Pour la deuxième sortie . on aura : (3.21) =− Lq R 1 id + pwi q + ud Ld Ld Ld Ainsi.3 Calcul du degré relatif La condition de linéarisation permettant de vérifier si un système non linéaire admet une linéarisation entrée sortie est l’ordre du système égal le degré relatif On calcule le degré relatif ri associé à chaque grandeur de sortie yi choisie.21). pour cette sortie.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 41 . tandis que la vitesse doit suivre sa référence qui peut être une trajectoire quelconque définie par a 3. on a: y2 = = h2(x) (3.22) U. lequel correspond au nombre de fois qu’il faut dériver cette sortie pour faire apparaître explicitement une des grandeurs de commande.19) Ces deux sorties doivent suivre les trajectoires qu'on leur impose.20) ref. & y1 = L f h1 ( x) + L g1 h1 ( x)u d + L g 2 h1 ( x)u q = ∂h1 ∂h ∂h ⋅ f ( x) + 1 ⋅ g 1 ( x ) ⋅ u d + 1 ⋅ g 2 ( x ) ⋅ u q ∂x ∂x ∂x (3. un degré relatif r = 1.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP commandes et les sorties. 26) = L f h 2 ( x ) 3 p f 3p (φ f + (Ld − Lq id ) ⋅ f 2 ( x)) − ⋅ f 3 ( x) ( L d − L q ) i q ⋅ f 1 ( x) + J 2J 2J U.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 42 . on a: & y 2 = L f h2 ( x) + L g1 h2 ( x)u d + L g 2 h2 ( x)u q = ∂h2 ∂h ∂h ⋅ f ( x ) + 2 ⋅ g 1 ( x) ⋅ u d + 2 ⋅ g 2 ( x ) ⋅ u q ∂x ∂x ∂x (3. [23].24). Aucune dynamique interne n'est à considérer.24) + 3 p ( L d − Lq ) 3 p ( φ f + (L d − Lq i d )) ⋅ uq iq ⋅ u d + 2J Ld 2J Lq Où : f1(x).25) Où : Lq R id + p w iq − Ld Ld L f h1 ( x) ζ ( x) = 2 (3.B/ FAC :S. Donc. [24]. Le degré relatif associé aux grandeurs de sortie y1 et y2 sont respectivement r1 = 1 et r2 = 2. f2(x) et f3(x) sont donnés par (3. et le degré relatif est donc r2 = 2.17). [25] n : étant l’ordre du système à contrôler (n = 3). le degré relatif total est r = r1 + r2 = n = 3 et donc nous avons effectué une linéarisation exacte.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP En la dérivant. On est donc obligé de dériver une autre fois: & = L2f h2 ( x) + L g1 ( L f h2 ( x )) ⋅ u d + L g 2 ( L f h2 ( x)) ⋅ u q & y2 = 3p (Ld − Lq iq )⋅ f 1 ( x ) + 3 p ( φ f + ( Ld − Lq ) id ) ⋅ f 2 ( x ) − f ⋅ f 3 ( x ) 2J 2J J (3.23) = 3p f 1 ( φ f i q + ( Ld − Lq )i d i q ) − ω − C r 2J J J Remarquons qu'aucune entrée n'apparaît. La matrice définissant la relation entre les entrées physiques U et les dérivées des sorties Y(x) est donnée par l’expression : & [ y1 ud & = ζ ( x ) + D ( x ) & y2 ] u q (3. Les deux entrées ud et uq apparaissent dans (3. I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 43 .Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Et : 1 Ld D ( x) = 3p 2 JL ( Ld − Lq ) i q d 3p (φ f + ( Ld − Lq ) i d ) 2 JL q 0 (3.27) Où : D(x) : est appelée matrice de découplage du système.31) U.2.25) on obtient un système linéaire totalement découplé de la forme : & [ y1 & & y2 T ] = v[1 v2 T ] (3. 3.4 Linéarisation du système Pour linéariser le comportement entré sortie de la machine en boucle fermée.28) ) Donc : Ld − Lq ( Ld − Lq )i q = (φ f + ( Ld − Lq )i d ) 3 p(φ f + ( Ld − Lq )id ) 0 2 JLq D ( x) −1 (3. on applique le retour d’état non linéaire suivant : u d v1 −1 u = D ( x) − ζ ( x) + v 2 q Le déterminant de la matrice de découplage D(x) est : det[D( x) ] = 3 p (φ f + ( Ld − Lq )i d 2 JLd Lq ≠0 (3.28) dans celle donnée en (3.B/ FAC :S. v2 doivent être conçues pour nous assurer que: lim y1 = i dref t →∞ et lim y 2 = wref t →∞ (3.30) Les nouvelles entrées v1.29) En remplaçant l'expression (3. [26].I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 44 . U. Dans le cas général. on a : i& + k d ⋅ ( i dref − i d ) v1 dref = v w + k ⋅ ( w − w ) + k ⋅ ( w − w ) & & & w1 ref w2 ref 2 &ref En boucle fermée.2. Les s 2 + k Ω1 s + k Ω 2 soient des coefficients kd. et pour un problème de poursuite de trajectoires. kw1 = 2500000. vers leurs références les variables v1 et v2 sont calculées par le système (3. on a choisi ces gains comme suit : kd = 1600. kw1 et kw2 sont choisis tels que : s + k d et polynômes d’Hurwitz.4 Schéma bloc du système linéarisé en boucle fermée 3. [27] Donc.32).Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Pour cela.32) avec Le schéma bloc du système linéarisé en boucle fermée est représenté par la figure suivante : wref + idref + - Régulateur v1 vitesse w Bloc de découplage v2 Régulateur courant id ud Park-1 uq MSAP id w Demux Mux w. kw2 = 16500. on procède par placement des pôles. id Fig 3.B/ FAC :S. l’erreur de poursuite est : & e1 + e1 ⋅ k d = 0 & & & e 2 + k w1 ⋅ e 2 + k w2 ⋅ e 2 = 0 e1 = i dref − i d e 2 = wref − w (3.5 Synthèse des régulateurs Pour assurer une parfaite régulation de courant id et de vitesse respectives idref et ref. I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 45 .7s) Fig. 3.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP 3.6 Résultats de simulation avec des variations paramétriques (Cr et R) U.2.B/ FAC :S.6 Résultats de simulation Fig.5 Résultats de simulation au démarrage à vide et en charge (Cr=5 N/m à t=0. 3. la poursuite de trajectoires prédéterminées. ses paramètres varient pendant le fonctionnement et il est sujet à des perturbations inconnues. on propose alors une synthèse de loi de commande utilisant une technique récursive.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Fig. la stratégie de commande par linéarisation entrée/sortie se ramène à la linéarisation du système en chaînes d'intégrateurs découplées. la conservation de la nature non linéaire de la machine. la commande adaptative par Backstepping. Toutes ces caractéristiques rendent la commande de cette machine complexe. sa dynamique est rapide. 3.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 46 . Et parce que le comportement de la MSAP est celui d'un système non linéaire. Par conséquent.B/ FAC :S.7 Résultats de simulation lors d’inversion de la vitesse Donc. suivie de la synthèse du correcteur par placement de pôles. la robustesse aux variations des paramètres et le rejet de perturbations inconnues avec une réponse performante sont les objectifs à satisfaire lors d'une mise en oeuvre d'une stratégie de commande. U. 33).B/ FAC :S. dont elle combine le choix de la fonction avec celui des lois de commande.3. la stabilité globale du système compensé. Ceci permet. x2 = 0) est un point d’équilibre du système défini par (3. de garantir.3 COMMANDE PAR BACKSTEPPING La conception d’un contrôleur pour un système non linéaire où le vecteur d’état est de dimension élevée. 3. au moins pour un système scalaire. en plus de la tâche pour laquelle le contrôleur est conçu (poursuite et/ou régulation). voire impossible. en tout temps.1 Conception de la commande par Backstepping Afin d’illustrer le principe de la méthode de Backstepping. le Backstepping permet. aident à conserver des valeurs finies du vecteur d’état.33) [x1 x 2 :] le vecteur d’état. Et f (0 ) = 0 . manquait d’approches générales.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 47 . Elle combine la notion de fonction de Lyapunov (fcl) est une procédure du contrôleur récursive. Ne faisant pas nécessairement appel à la linéarisation. u: est l’entrée de commande. La technique du Backstepping offre une méthode systématique pour répondre à ce type de problème. La commande par Backstepping a donné un nouvel essor à la commande des systèmes non linéaires qui malgré les grands progrès réalisés. Cette technique suppose que l’on soit en mesure de trouver. alors son origine (x1 = 0.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP 3. Elle se base sur la deuxième méthode de Lyapunov. Cela permet de surmonter l’obstacle de la dimension et d’exploiter la souplesse de conception pour résoudre les problèmes de commande pour des systèmes d’ordre plus élevé. souvent. peut souvent s’avérer une tâche difficile. une fonction de contrôle de Lyapunov et une loi de commande qui stabilise son origine. & x2 = u Où: (3. La commande par Backstepping est développée ci-dessous : U. quand il y en a. on considère le cas de système non linéaire de la forme : & x1 = f ( x1 )+ x 2 . de conserver les non-linéarités utiles qui. B/ FAC :S. on introduit alors l’erreur de poursuite suivant : ζ = x1d − x1 Sa dérivée s’écrit : & & & ζ& = x1d − x1 = x1d − f ( x1 )− x 2 1 (3. On définit pour cela une commande virtuelle : & x 2α = a 1ζ 1 + x 1d − f ( x 1 Où : x2α : la valeur désirée de x2. donc la convergence de l'erreur vers 0: & & x 2α = a 1ζ& + &d − f&x1 x1 ( 1 ) (3.36) La dérivée de la fonction de Lyapunov s’écrit : & & & & V1 = ζ 1ζ& = ζ 1 ( x1d −(x1) = ζ 1 x1d − f x1) − x 2 () 1 (3. on définit pour la sortie une trajectoire désirée x1d.34) (3.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 48 .38) ) (3.40) U.39) Étape 2 : Il apparaît une nouvelle erreur : ζ 2 = x 2α − x 2 = a 1ζ 1 + ζ& ⇒ ζ& = ζ 2 − a1ζ 1 1 1 (3. a1 : une constante positive permettant d'assurer la négativité de V.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Étape 1 : Premièrement.35) Où les deux sont associées à la fonction de Lyapunov candidate suivante : 1 V1 = ζ 12 2 (3.35).37) L’état x1 est ensuite utilisé comme commande intermédiaire afin de garantir la stabilité de (3. I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 49 . Donc. [30] i sans élimination des non-linéarités afin de rendre négative la U.42) Ainsi que sa dérivée : & V2 = ζ 1ζ& + ζ 2ζ& 1 2 & = ζ 1 (ζ 2 − a1ζ 1 ) + ζ 2 (α 1 − u ) & & = −a1ζ 12 + ζ 2 (a1ζ 1 + &d − f ( x1 ) − u + ζ 1 ) x1 L’expression entre parenthèse doit être égale à − a 2ζ 2 (a2 une constante positive). ce qui prouve la stabilité asymptotique vers l’origine.33).Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Sa dérivée s’écrit comme suit : & & & & x1 ζ& = x 2α − x 2 = a 1ζ 1 + &d − f ( x1 ) − u 2 (3. l’avantage globale de la technique du Backstepping est sa flexibilité par le choix simple des fonctions stabilisantes & fonction Vi .43) & & u = a1ζ& + ζ 1 + a 2 ζ 2 + &d − f ( x1 ) x1 1 & & x1 = (a1 + a 2 )ζ 2 + (1 − a12 )ζ 1 + &d − f ( x1 ) (3.B/ FAC :S. [19]. tel que : 1 1 V 2 = ζ 12 + ζ 22 2 2 (3. [17]. la fonction candidate de Lyapunov V1 précédente (3.44) De telle sorte que : & V2 = − a1ζ 12 − a 2 ζ 22 ≤ 0 (3.45) Et V2 apparaît maintenant comme une fonction de Lyapunov pour le système (3.41) Pour tenir compte de cette erreur.36) est augmentée d’un autre terme. ce qui donne la loi de commande finale suivante u pour assurer la négativité de la fonction de Lyapunov : & = −a1ζ 12 + ζ 2 (α 1 − u + ζ 1 ) (3. 15) par l'utilisation des courants statorique et la vitesse mécanique comme variables d'état.46) U. le couple résistant Cr.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 50 . et les tensions statorique comme commandes : Depuis la première partie.B/ FAC :S. mais Pour notre cas. Dans l'article [27]. On suppose que : R s = R sn + ∆R s C r = C r n + ∆C r (3. La commande E/S ne peut être qu'adaptative.10 Schéma de principe de la commande adaptative par Backstepping 3. Nous utilisons maintenant la technique de commande Adaptative par Backstepping. et le coefficient de frottement f. pour réaliser les objectifs de poursuite des consignes et de régulation. le couple résistant Cr comme des paramètres inconnu à estimer et à adapter.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Signal de référence Signal de Commande Sortie Fig. on considère la résistance statorique Rs. en supposant que les frottements visqueux sont négligeable. développé pour les systèmes non linéaires avec des incertitudes paramétriques. Mais on ne peut pas appliquer cette méthode s'il y a des variations dans les paramètres de la machine. les paramètres à estimer sont : la résistance statorique Rs. 3.4 APPLICATION DE LA COMMANDE NON LINEAIRE ADAPTATIVE PAR BACKSTEPPING AU MSAP Le modèle de la MSAP est donné par le système d'équation (3. il a été établi la commande par linéarisation entrée sortie. 47) Où : x = id [ iq 1 T ω . g 2 ( x) = 0 T 1 L 0 T R sn − L i d + pω i q R pφ f ( x ) = − sn i q − pω i d − ω L L 3 pφ i − f ω − C rn 2J q J J . g 1 ( x) = L ] 0 0 .B/ FAC :S.47) peut être écrit comme suit : & Z 1 = Z 2 + L∆f h1 & Z 2 = L2f h1 + L g 1 L f h1 u d + L g 2 L f h1 u q + L∆f L f h1 & Z 3 = L f h2 + L g 1 h2 u d + L g 2 h2 u q + L∆f h2 (3. dt Z 3 = h2 ( x ) = i d (3.48) Le système d’équation d'état de la forme normale correspondant au système (3. Rs.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 51 . Alors.49) U. Z 2 = L f h1 ( x ) = dω . comme suit : & x = f ( x) + ∆f ( x ) + g 1 ( x ) ⋅ u d + g 2 ( x) ⋅ u q (3. on applique l'algorithme de synthèse du contrôleur étape par étape comme suit : 1ere Etape: On définit tout d’abord les nouvelles variables suivantes: Z 1 = h1 ( x ) = ω . on peut récrire le système (3. Cr : les différences entre les valeurs réelles et les valeurs nominales.46).Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Où : Rsn. − ∆R s L id − ∆R s i ∆f ( x) = q L − ∆C r J En suite. en considérant les incertitudes sur les paramètres cités ci-dessus. Cr n : les valeurs nominales de la résistance statorique et le couple résistant respectivement. 51) Pour la conception du contrôleur par Backstepping adaptative.50) Où : u d = L g 2 L f h1u q u q = L g 1 h2 u d (3. on peut évaluer les performances du système à partir des erreurs entre le modèle dynamique de la MSAP et ce modèle : e = [e1 = Z 1 − Z m1 ] [ Z 2 − Z m2 Z 3 − Z m3 ] e2 e3 T T (3.49) s'écrit alors comme suit : & Z1 = Z 2 + θ 2 3 pφ f & Z 2 = L2f h1 + u d − θ 2 + θ 1i q 2J J & Z 3 = L f h 2 + u q + θ 1i d (3. ref et idref : les référence de vitesse et de courant id.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 52 . on définit ensuit le modèle de référence utilisé pour conduire la sortie du système vers la dynamique désirée : & Z m1 0 Z = − k & m 2 m1 & 0 Z m3 Z 0 m1 0 0 Z m 2 + k m 1 − k m3 Z 0 m3 1 − km2 0 0 ω ref 0 i dref k m3 (3. L θ2 = − ∆C r J Le système (3.52) Où : Zm1.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP On définit les incertitudes des paramètres comme suit : θ1 = − ∆R s . Zm2 et Zm3 : les états de référence. A partir du modèle de référence.B/ FAC :S.53) En utilisant la transformation suivante : [27] U. km1. km2 et km3 : les gains désigne. 55) ~ θ1 = θ1 − θ1 ~ θ2 = θ2 − θ2 Où : θ1 = − ∆R s ∆C r . θ2 = − L J (3. e 2 = e 2 − α .55).Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP ~ ~ u d u d + k m1 z m1 + k m 2 z m 2 − k m1 wref U = ~ = u q + k m 3 z m 3 − k m3 i dref u q (3. actuellement e2 n'est pas la commande réelle. on peut prendre e2 comme une nouvelle entrée de commande. ~ ~ θ 1 . on considère les erreurs suivantes dans les incertitudes des paramètres : (3. Donc. θ 2 : les estimation de θ 1 et θ2 respectivement. en plus il y a des incertitudes dans les paramètres du système.57) En suite.B/ FAC :S.56) θ 1 . θ 2 : les erreurs estimés entre les valeurs réelles inconnu et leurs estimations respectivement. Alors on définit la commande virtuelle α pour e2 comme suit: α = − k1e1 − θ 2 (3. Mais. e3 = e3 (3.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 53 . on définit les nouvelles variables des erreurs : e1 = e1 . et le contrôleur α = − k1e1 − θ 2 peut établir la stabilité par la fonction de Lyapunov condidate.58) U.54) Les équations différentielles des erreurs seront données par : & e1 = e 2 + θ 2 3 pφ f ~ θ2 + i qθ 1 + u d 2J J ~ & e3 = L f h2 + i d θ 1 + u q & e 2 = L2f h1 − 2eme Etape: Pour la 1ere équation de (3. si θ2 est connu. 59) (3.63) Où : ~ θ =θ −θ ~ & & & & ⇒ θ =θ −θ / θ = 0 ~ & & ⇒ θ = −θ Donc : U.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 54 . on peut dériver la fonction de Lyapunov : & 1 ~~ & & & & & 1 ~~ V = e1e1 + e 2 e 2 + e3 e3 + θ 1θ 1 + θ 2θ 2 γ1 γ2 (3. γ2 : sont des constantes positives. A partir de (3. on peut faciliter la commande non linéaire adaptative par la fonction de Lyapunov condidate.59) et (3. on écrire V sous la forme : & V = − k1e12 + k 2 e 22 + k 3 e32 ( ) (3.61).62) & & Et pour assurer V ≤ 0 .B/ FAC :S.61) Où : γ1. 3eme Etape: La définition de cette fonction est : V= 1 2 1 2 1 2 1 ~2 1 ~2 e1 + e 2 + e 3 + θ1 + θ2 2 2 2 2γ 1 2γ 2 (3.60) Donc.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP En dérivant on aboutit à : ~ & e1 = −k 1e1 + e 2 + θ 2 f ~ 3 pφ dα ~ ~ & e 2 = L2f h1 + u d − (θ 2 + θ 2 ) + i q (θ 1 + θ 1 ) − J 2J dt ~ ~ & = L h2 + u q + (θ 1 + θ 1 )i d e3 f Où : dα & & = − k1 e1 − θ 2 dt (3. 4.1 Schéma bloc de simulation Zm1 ref e1 Ud Va Z2 Z3 e2 e3 idref Modèle de référence Zm2 Zm3 Bloc de commande Park-1 Uq Vb Vc MSAP ( θ 1 . 3.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 55 .11 Diagramme de simulation non linéaire adaptative par Backstepping U. les sorties de commande u d et u q sont : 3 pφ f & ~ ) u d = − k 2 e 2 − L2f h1 − θ 1i q + θ 2 − k1 (− k1e1 + e 2 − e1 − θ 2 2J J ~ u = −k e + L h − θ i q 3 3 f 2 1 d (3.64) f 3 pφ & 2 ~ ~ + e 2 e1 + L f h1 + u d − θ 2 + θ1 iq + k1 (− k1 e1 + e 2 + θ 2 + e3 L f h2 + u q + θ 1i d ) J 2J [ ] On ajoute les lois d'adaptation de θ1 et θ2 : 3 pφ & θ1 = γ 1 iq e 2 + id e3 2J f & θ 2 = γ 2 e1 − e 2 + k1 e 2 J ~ ~ Et.B/ FAC :S.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP f 1 & ~ 1 & ~ 3 pφ & V = −k1 e12 + θ 1 i q e 2 + i d e3 − θ 1 + θ 2 e1 − e 2 + k1 e 2 − θ 2 J γ1 γ2 2J (3.66) 3.65) (3.θ 2 ) id Bloc d'adaptation iq Fig. C'r = 2Cr à t= 1s U. 3.4.2 Résultats de simulation Fig.11 Résultats de simulation lors des variations paramétriques R' = 2R à t = 0.B/ FAC :S.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 56 .Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP 3.5 s. U. Cr).Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Fig.B/ FAC :S.. 3.12 Comparaison entre les valeurs réelle de : la résistance R et du couple résistant Cr et les valeurs estimées et l'erreur entre les valeurs de référence et les valeurs actuel de : la vitesse et de courant id . les paramètres estimé (R.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 57 . sous l’effet des incertitudes dans les paramètres (résistance statorique. on a appliqué la commande non linéaire adaptative par Backstepping à la MSAP. Ensuite. La technique de linéarisation entrée sortie est utilisée pour simplifier la non linéarité du système. et le suivi de sa réponse à un modèle de référence.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 58 .Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP CONCLUSION Dans cette section. couple résistant). et la robustesse à l'encontre des paramètres incertains est accomplie. L'erreur entre la vitesse de référence et la vitesse actuelle de modèle de la MSAP converge vers zéro. les lois d'adaptation paramétrique et les lois de contrôle final sont tirées étape par étape.B/ FAC :S. U. 3. c'est-à-dire que les caractéristiques d'alimentation doivent être les même : a. nous avons présentés les deux méthodes de commande qu'on a décidées d'appliquer à la MSAP avec en plus les résultats de simulations.13 Qualité d'alimentation pour les deux techniques de commande U. de la qualité des réponses aux différentes commandes. Qualité d'alimentation Pour assurer une comparaison juste. V de la commande non linéaire adaptative par Backstepping Fig.5. tenant compte de la qualité d'alimentation.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP SECTION DEUX : ETUDE COMPARATIVE INTRODUCTION Dans le chapitre deux et la section précédent. et la commande par linéarisation entrée sortie adaptative par Backstepping. la simplicité de méthode par rapport à l'autre.B/ FAC :S. V de la commande vectorielle avec une adaptation paramétrique b. Nous proposons dans ce chapitre une comparaison entre les deux techniques. et en fin la robustesse par rapport aux incertitudes paramétriques. il faut étudier les deux méthodes de commande dans les mêmes conditions. La commande vectorielle avec une adaptation des paramètres par utilisation d'un observateur de Leunberger.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 59 . 3. Les tensions Vα. Les tensions Vα. 6.B/ FAC :S. dans ce cas on a choisi un observateur de Leunberger pour l'estimation de ces paramètres et on montre que cet estimateur améliore la robustesse de la commande vis-à-vis des incertitudes paramétriques. Les résultats de simulation à titre comparatif montrent ce qui suit : U. on remarque que l'alimentation de la machine a les mêmes caractéristiques. et l’idée c'est la transformation de la dynamique de la machine en une forme linéaire.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP A partir de ces résultats. sont multiples : augmente le volume et le coût global du système.1 Commande vectorielle avec adaptation paramétrique La commande vectorielle de la MSAP. Etapes des deux méthodes 3. et sa robustesse est lié de l’évolution des ses paramètres. les paramètres de la machine peuvent varier en cours de fonctionnement. la commande vectorielle éliminée la non linéarité du modèle de la machine. Leur installation exige un calage relatif au stator. Puisque les paramètres peuvent varier.6.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 60 . ce qui permet une prise en compte progressive des problèmes de robustesse pouvant se poser. Cette connaissance peut être obtenue directement par un capteur de position ou indirectement par un capteur de vitesse. soit : à vide. ce type de loi de commande permet d’aborder le système considéré comme une succession de sous-systèmes élémentaires. en charge ou sous l’effet des variations paramétriques. on applique la commande adaptative en ligne pour améliorer la performance de la commande en présence des perturbations. Toutefois. Donc. utilise des régulateurs PI et nécessite une connaissance précise de la position du rotor qui assure l'autopilotage de la machine. Les inconvénients inhérents à l'utilisation de ce capteur mécanique. 3.2 Commande non linéaire adaptative par Backstepping La linéarisation entrée-sortie signifie la génération d’une relation différentielle entre la sortie et une nouvelle entrée.6. On choisit tout particulièrement la technique du Backstepping qui est caractérise par sa flexibilité pour le choix des fonctions stabilisantes i qui sont choisies simplement sans éliminer toutes & les non linéarités afin de rendre la fonction Vi négative. 3. opération qui diminue la fiabilité du système. placé sur l'arbre de la machine. Les réponses de la vitesse .b).I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 61 . 3. courant id et la résistance R adapté de la commande vectorielle avec une adaptation paramétrique b.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP 3.B/ FAC :S.14.a et 3. mais on ajoute la différence dans la plage d'application les changements des paramètres.14. et on remarque bien ça dans les réponses de courant id où les erreurs de suivi sont moins importantes en utilisant la commande par U.14 Résultats de simulation de la MSAP pour les deux techniques de commande On remarque que la vitesse de rotation est similaire pour les deux commandes comme il est montré sur les figures (3. courant id et la résistance R adapté de la commande non linéaire adaptative par Backstepping Fig. Les réponses de la vitesse .7 Résultats de simulation a. la commande par Backstepping est la meilleure soit pour assurer le découplage entre le flux et le couple de la machine.B/ FAC :S. nous constatons que la commande par Backstepping donne de meilleurs résultats que la commande vectorielle avec un observateur d'état. et les résultats de simulation montrent l'efficacité de la commande.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 62 . ou pour la bonne adaptation des paramètres qui varie dans le temps de fonctionnement. même chose pour la réponse de l'adaptation de la résistance statorique. on peut affirmer que : si on applique les même conditions d’alimentation de la machine. U.Chapitre Trois Commande Non Linéaire Adaptatif par Backstepping de la MSAP Backstepping que la commande vectorielle adaptative. Conclusion A partir de là. On peut directement conclure que parmi les commandes testées. . En introduisant des incertitudes paramétriques. ü On a étudié et simulé le modèle de la machine alimentée par un onduleur de tension autopiloté pour valider le modèle. Pour notre cas le système non linéaire avec des incertitudes dans ses paramètres.Conclusion générale CONCLUSION GENERALE Les systèmes industriels ont souvent un comportement significativement non linéaire. et assurer le découplage entre le couple et le flux. ensuite on a appliqué une commande en boucle fermée en termes de la commande vectorielle. nous avons fait appel à un observateur d’état pour reconstruire les incertitudes dans les paramètres de la machine (résistance statorique). par conséquent il est important de développer des méthodes de commande pour les systèmes non linéaires. les performances se dégradent. premièrement pour linéariser le modèle non linéaire de la MSAP. à la fois. d’obtenir des résultats satisfaisants par rapport. en générale. ü Toutefois. sur la résistance statorique. et simultanément assurer de bonnes performances de suivit de trajectoire et de rejet de perturbation sont utilisées. pour assurer le découplage du couple et du flux afin d'améliorer les performances. ü Autres méthodes de commande sont appliquées à titre comparatif.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 63 . aux grandeurs de consigne et aux perturbations. Dans ce travail plusieurs méthodes de commande prenant en charge ces problèmes. La linéarisation autour d'un point de fonctionnement est souvent inadaptée pour les besoins de la commande. les résultats montrent que la commande vectorielle dotée d'un observateur d'état de Luenberger permet. ü Devant l’insuffisance des performances dynamiques du régulateur PI utilisé dans le réglage de la vitesse. U. comme. vis à vis des perturbations et incertitudes paramétriques. Les essais montrent que le contrôleur synthétisé par la technique du Backstepping permet de mieux gérer le compromis entre la robustesse et les performances demandées.B/ FAC :S. c'est une Machine Synchrone à Aimants Permanents. plutôt que des objectifs de linéarisation. une comparaison entre les méthodes utilisées permet de souligner l’avantage de la commande par Bakcstepping du fait qu’elle ne conduit pas à l'annulation des non linéarités utiles et permet de poursuivre des objectifs de stabilisation ou de poursuite. Les performances obtenues par simulation présentent l’importance de cette commande par rapport aux autres commandes puis qu'elle permet de réduire l'incertitude sur la résistance et le couple résistant et améliore la robustesse de la commande par rapport à cet aspect.I/ Dep :ELT/ Mag :2007/2008 64 .Conclusion générale La méthode de contrôle par Backstepping montre un meilleur suivi de trajectoire et de stabilisation par rapport aux incertitudes.B/ FAC :S. U. ü En fin. . [2] L. [8] Babak Nahid Mobarakeh. "La Machine Synchrone à Aimants Permanent". Y. [11] Lamine Kisrane. Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers. [7] Gabriel-Octavian Cimuca. "Backstepping – Based Adaptive PID Control". André Desbiens. "Commande en vitesse du moteur Synchrone à Aimants Permanents Dotée d'un Observateur d'Etat de Luenberger". IEEE 1994. Institut de Recherche d'HydroQuébec. Hassaine. Québec. IEEE 2004. Dessaint. 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Rotation) définit la Transformation de Park dont la propriété fondamentale est de ramener les grandeurs statoriques et rotoriques dans un même repère. B Annexe B Transformation Triphasée Diphasée On pose : [x ] = [C][ x ] αβο abc x : représente les variables v.q). ou φ . is et φ s [C] : matrice de Concordia : [C ] = Transformation de Park 2 3 0 1 3 − 1 6 1 2 1 3 1 6 1 − 2 1 3 − On utilise deux repères.Annexe. l’un fixe lié au stator. i. Cette transformation a pour but de simplifier la matrice des inductances.o). c'est la transformation de Park. U. [x ] = [P(θ ) ][x ] dqο abc avec [P(θ ) ]= [R(θ ) ][ ] C x : représente les variables v. La matrice de rotation [R(θ ) ] permet de ramener les variables du repère (α . Donc on définit un troisième repère de projection pour les axes statoriques et rotoriques (d. [x dqο ] = [R(θ ) [xαβο ] ] avec [x ] = [C][ x ] αβο abc [R(θ ) ]: matrice de Rotation cos (θ ) sin θ ( )0 [R(θ ) ]= − sin(θ ) cos θ( )0 0 0 1 Le produit des deux changements de référentiel (Concordia. l’autre tournant lié au rotor (inducteur). résulte de l’association de la matrice de Concordia et d’une matrice de rotation.