UNIVERSIDAD DE ORIENTENÚCLEO DE ANZOÁTEGUI UNIDAD DE ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS LABORATORIO DE FISICA I PENDULO SIMPLE Prof. Bachilleres: Iskandar Arneodo. Rodriguez Adela C.I: 17.900.320 Sección: 13 Puerto La Cruz, 17 de Julio de 2012 TABLA DE CONTENIDO Pág. Introducción Objetivos Marco teórico Materiales Procedimiento Experimental Tabla de datos y Resultados Discusión de Resultados Conclusión Bibliografía Anexos INTRODUCCIÓN Un péndulo es un objeto suspendido de un punto, de modo que puede oscilar. Es muy fácil construir un péndulo y con él se puede estudiar las propiedades que le pertenecen. Lo que se leerá más adelante consiste en un trabajo de física, el cual, da a conocer el estudio de las relaciones que existen entre el período de un péndulo: - Su masa - Su amplitud - Su largo OBJETIVOS Estudiar el comportamiento del periodo en función: o La longitud del péndulo o La masa de oscilación o El ángulo de oscilación Obtener el valor de la aceleración de gravedad en forma experimental MARCO TEÓRICO 1. Péndulo simple.- El péndulo es un sistema masa-hilo: una masa suspendida por un hilo desde un punto fijo. Cuando se desplaza de su posición de equilibrio un ángulo u empieza a oscilar según la ecuación: ) cos( ) ( | e u + = t A t donde: g L T t 2 = entonces L T g 2 2 4t = Periodo de movimiento: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa. Para determinar el período se utiliza la siguiente expresión T/ N° de Oscilaciones. (Tiempo empleado dividido por el número de oscilaciones). g L T t 2 = Frecuencia de movimiento: Se define como el número de oscilaciones que se generan en un segundo. Para determinar la frecuencia se utiliza la siguiente ecuación N°de Oscilaciones. / T ( número de oscilaciones dividido del tiempo) L g T f t 2 1 1 = = Amplitud: Se define como la máxima distancia que existe entre la posición de equilibrio y la máxima altura. Ciclo: Se define como la vibración completa del cuerpo que se da cuando el cuerpo parte de una posición y retorna al mismo punto. Oscilación: Se define como el movimiento que se realiza siempre al mismo punto fijo Pasemos ahora al análisis del péndulo simple, un modelo abstracto estrechamente relacionado con el anterior. Un péndulo es un sistema formado por un cuerpo suspendido de un hilo y que puede realizar oscilaciones alrededor de una posición de equilibrio estable. El péndulo simple es un modelo que debe cumplir con las siguientes características: 1. El hilo del que pende el cuerpo es inextensible y sin peso. 2. La masa del sistema se considera concentrada en el cuerpo (puntual) que oscila. 3. No existen agentes que provoquen efectos disipativos. Teniendo en cuenta estas características veamos ahora cómo obtener el modelo simbólico (ecuación matemática) que se utiliza para describir el movimiento del sistema. En la siguiente figura se han trazado los ejes coordenados: el eje x en la dirección tangente a la trayectoria descrita por el cuerpo y el eje y según el radio de esta trayectoria. Es obvio que esta trayectoria es un arco de circunferencia. Se representan, además, las componentes de la fuerza de gravedad en estos ejes quedando claro que su componente en la dirección x tomada es el agente restaurador para el caso que nos ocupa. Apliquemos ahora la segunda ley de Newton al eje x. Así: ¿ = x x a m F Se toma el ángulo u como variable para describir la separación del sistema de la posición de equilibrio estable. Entonces: 2 2 dt S d m mgsen ma mgsen = ÷ = ÷ u u donde S es la longitud del arco de circunferencia que describe la partícula y si expresamos el ángulo u en radianes podemos escribir: u l S = Entonces: 2 ) ( dt l d gsen u u = ÷ Acomodando la expresión anterior y dividiendo por l nos queda: 0 2 2 = + u u sen l g dt d Comparando la ecuación anterior con la ecuación (1) nos damos cuenta que esta, realmente, no se corresponde con el modelo del oscilador armónico simple pues el agente restaurador no es proporcional a la separación ) (u del sistema de la posición de equilibrio estable sino a u sen lo cual no coincide con las características del modelo. Para eliminar esta dificultad hagamos que la amplitud de oscilación del sistema sea lo suficientemente pequeña como para considerar que u u ~ sen y entonces la ecuación anterior podrá ser escrita como: 0 2 2 = + u u l g dt d (2) Que sí es similar a la ecuación (1) y, bajo estas condiciones se puede afirmar que el péndulo simple realiza oscilaciones armónicas simples. Por los procedimientos conocidos para resolver ecuaciones diferenciales de este tipo podemos obtener como solución para (2) la siguiente: ) ( 0 0 ¢ e u u + = t sen m donde: u es la elongación. ÷ m u es la amplitud de las oscilaciones. l g = 0 e es la frecuencia propia de las oscilaciones libres del sistema. Y 0 ¢ es la Fase inicial (estado en que se encuentra el sistema cuando se comienza a medir el tiempo). MATERIALES Escala semicircular. Cuerpos de diferentes masas. Hilo inextensible. Cinta métrica. Cronometro. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL - Período en función de la longitud: o Construir un péndulo simple o Medir la longitud del péndulo o Seleccionar un ángulo de oscilación u entre 5 y 45 grados o Medir el tiempo empleado por la masa en completar 10 oscilaciones o Determinar el periodo (T = tiempo/nº de oscilaciones) o Repetir el procedimiento para 10 longitudes diferentes, manteniendo el ángulo de oscilación y la masa constante o Se construyó la gráfica T vs. L o Con los valores obtenidos, graficar T 2 vs L, ajustando a una recta mínimos cuadrados la ecuación del periodo de oscilaciones de un péndulo simple g L T t 2 = de manera que la pendiente de la recta sea: m=4π 2 /g. o partiendo de esta expresión y el valor de la pendiente obtenida mediante el método de mínimos cuadrados , determinar el valor de la gravedad y % de error. - Período en función de la masa de oscilación: o Cambiar la masa obteniendo el ángulo de oscilación y la longitud constante o Medir el tiempo para 10 oscilaciones o Repetir el procedimiento para cada masa distintos o Se determinó el período de cada uno. o Se construyó la gráfica T vs M. - Período en función del ángulo de oscilación: o Cambiar el ángulo de oscilación, manteniendo la longitud y la masa contante o Medir el tiempo para 10 oscilaciones. o Repetir el procedimiento para ángulos distintos o Se determinó el período de cada uno. o Se construyó la gráfica T vs. u TABLA DE DATOS Y RESULTADOS TABLA DE DATOS - Periodo en función de la longitud TABLA N°1. Angulo y masa del cuerpo para la prueba de periodo en función de la longitud Angulo 45° Masa del cuerpo 9/12gr TABLA N°2. Datos utilizados para determinar la aceleración de la gravedad Nº LONGITUD(cm) (L) LONGITUD(m) (L) TIEMPO (T)(Seg.) PERIODO (T/Nº DE OSCILACIONES) T 2 (seg)=Y 1 22,3 0,223 5,26 0,6575 0,4323 2 29,5 0,295 6,12 0,765 0,5852 3 26,3 0,263 5,62 0,7025 0,5374 4 32,3 0,323 6,35 0,7937 0,6299 5 43,4 0,434 7,00 0,875 0,7656 6 40,9 0,409 7,14 0,8925 0,7965 7 39,2 0,392 6,99 0,8737 0,7633 8 37,9 0,379 6,82 0,8525 0,7267 - Periodo en función de la masa de oscilación TABLA N°3. Datos de longitud y ángulo constante para determinar el periodo en función de la masa de oscilación Longitud 35,9 cm Angulo 45° TABLA N°4. Periodo en función de la masa de oscilación - Periodo en función del ángulo de oscilación TABLA N°5. Datos de longitud y masa constante para determinar el periodo en función del ángulo de oscilación Longitud 35,6 cm Masa 22,89 gr TABLA N°6 Periodo en función del ángulo de oscilación Nº LONGITUD(cm) (L) LONGITUD(m) (L) TIEMPO (T)(seg.) PERIODO(T/Nº DE OSCILACIONES) Angulo 1 35,6 0,356 6,22 0,7775 15 2 35,6 0,356 6,32 0,79 20 3 35,6 0,356 6,36 0,795 30 4 35,6 0,356 6,48 0,81 40 5 35,6 0,356 6,51 0,81375 50 6 35,6 0,356 6,56 0,82 60 7 35,6 0,356 6,69 0,83625 70 8 35,6 0,356 6,76 0,845 80 Nº LONGITUD(cm) (L) LONGITUD(m) (L) TIEMPO (T)(Seg.) PERIODO(T/Nº DE OSCILACIONES) masa(gr) 1 35,9 0,359 6,60 0,825 22,89 2 35,9 0,359 6,38 0,7975 49,005 3 35,9 0,359 6,44 0,805 73,041 4 35,9 0,359 6,36 0,795 97,083 5 35,9 0,359 6,41 0,80125 115 6 35,9 0,359 6,51 0,81375 143 7 35,9 0,359 6,42 0,8025 145,096 8 35,9 0,359 6,24 0,78 154 TABLA DE RESULTADOS TABLA N°7. Datos para aplicar mínimos cuadrados en la obtención de la aceleración de la gravedad Nº LONGITUD(m) (L)=x T 2( seg)=Y L 2 =X 2 T 2 *L 1 0,223 0,4323 0,0497 0,0964029 2 0,295 0,5852 0,0870 0,172634 3 0,263 0,5374 0,0691 0,1413362 4 0,323 0,6299 0,1043 0,2034577 5 0,434 0,7656 0,1883 0,3322704 6 0,409 0,7965 0,1672 0,3257685 7 0,392 0,7633 0,1536 0,2992136 8 0,379 0,7267 0,1436 0,2754193 ∑= 2,72 5,2369 0,9628 1,84650260 TABLA N°8. Resultados de la aplicación del método mínimos cuadrados en la obtención de la aceleración de la gravedad M 4.95 b o g 7.96 m/s 2 % Error g 19% DISCUSION DE RESULTADOS Después de haber realizado las mediciones y cálculos respectivos con respecto al péndulo simple y su relación con la longitud, ángulo y masa se ha llegado que debido a que el período es independiente de la masa, podemos decir entonces que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con períodos iguales. A mayor longitud de cuerda mayor período, además para el cálculo de la gravedad después de realizar los mínimos cuadrados nos dio cercana al parámetro de la gravedad experimental con errores medios, estos debidos a la toma del tiempo que es común en esta práctica por su imprecisión. CONCLUSIONES - Desarrollando la experiencia del movimiento pendular hemos podido verificar las leyes que rigen este movimiento. Realizando nosotros mismos las experiencias necesarias. Estas leyes que fueron establecidas hace muchos años, aun siguen vigentes como los primeros tiempos en que fueron escritas. - Los datos tienen que tener mucha exactitud ya que puede no dar los datos experimentales iguales a los tabulados. - La masa efectúa un movimiento armónico simple puesto que el desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio, varia en el tiempo, es decir se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. - La aceleración es proporcional al desplazamiento de la masa a partir del equilibrio y está en la dirección opuesta. La aceleración es variable. Cuando la masa pasa por la posición de equilibrio, su aceleración se hace cero y su velocidad es máxima puesto que la masa oscila entre dos puntos de retorno. BIBLIOGRAFÍA JOSEPH W. KANE, MORTON M. STERNHEIM, JOSÉ CASAS VÁZQUEZ. Física. Edición 2. Editorial Reverté. Año 1996. Guía Practica de Laboratorio de Física I FIGURA DE LA PRÁCTICA Figura N°1: péndulo utilizado en la práctica Introducción Objetivos Marco teórico Materiales Procedimiento Experimental Tabla de datos y Resultados Discusión de Resultados Conclusión Bibliografía Anexos .TABLA DE CONTENIDO Pág. Lo que se leerá más adelante consiste en un trabajo de física. Es muy fácil construir un péndulo y con él se puede estudiar las propiedades que le pertenecen. el cual.INTRODUCCIÓN Un péndulo es un objeto suspendido de un punto. da a conocer el estudio de las relaciones que existen entre el período de un péndulo: Su masa Su amplitud Su largo . de modo que puede oscilar. OBJETIVOS Estudiar el comportamiento del periodo en función: o La longitud del péndulo o La masa de oscilación o El ángulo de oscilación Obtener el valor de la aceleración de gravedad en forma experimental . Cuando se desplaza de su posición de equilibrio un ángulo empieza a oscilar según la ecuación: (t ) A cos(t ) L 4 2 g 2 L donde: T 2 entonces T g Periodo de movimiento: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa. / T ( número de oscilaciones dividido del tiempo) f 1 1 T 2 g L Amplitud: Se define como la máxima distancia que existe entre la posición de equilibrio y la máxima altura.MARCO TEÓRICO 1. (Tiempo empleado dividido por el número de oscilaciones). Ciclo: Se define como la vibración completa del cuerpo que se da cuando el cuerpo parte de una posición y retorna al mismo punto. Péndulo simple. Para determinar la frecuencia se utiliza la siguiente ecuación N° de Oscilaciones.. T 2 L g Frecuencia de movimiento: Se define como el número de oscilaciones que se generan en un segundo. Para determinar el período se utiliza la siguiente expresión T/ N° de Oscilaciones.El péndulo es un sistema masa-hilo: una masa suspendida por un hilo desde un punto fijo. . 3. No existen agentes que provoquen efectos disipativos.Oscilación: Se define como el movimiento que se realiza siempre al mismo punto fijo Pasemos ahora al análisis del péndulo simple. Teniendo en cuenta estas características veamos ahora cómo obtener el modelo simbólico (ecuación matemática) que se utiliza para describir el movimiento del sistema. La masa del sistema se considera concentrada en el cuerpo (puntual) que oscila. El hilo del que pende el cuerpo es inextensible y sin peso. . Se representan. El péndulo simple es un modelo que debe cumplir con las siguientes características: 1. además. un modelo abstracto estrechamente relacionado con el anterior. las componentes de la fuerza de gravedad en estos ejes quedando claro que su componente en la dirección x tomada es el agente restaurador para el caso que nos ocupa. Un péndulo es un sistema formado por un cuerpo suspendido de un hilo y que puede realizar oscilaciones alrededor de una posición de equilibrio estable. 2. Es obvio que esta trayectoria es un arco de circunferencia. En la siguiente figura se han trazado los ejes coordenados: el eje x en la dirección tangente a la trayectoria descrita por el cuerpo y el eje y según el radio de esta trayectoria. Entonces: mgsen ma d 2S mgsen m 2 dt donde S es la longitud del arco de circunferencia que describe la partícula y si expresamos el ángulo en radianes podemos escribir: S l Entonces: .Apliquemos ahora la segunda ley de Newton al eje x. Así: Fx m ax Se toma el ángulo como variable para describir la separación del sistema de la posición de equilibrio estable. gsen d (l ) dt 2 Acomodando la expresión anterior y dividiendo por l nos queda: d 2 g sen 0 dt 2 l Comparando la ecuación anterior con la ecuación (1) nos damos cuenta que esta. Por los procedimientos conocidos para resolver ecuaciones diferenciales de este tipo podemos obtener como solución para (2) la siguiente: m sen(0t 0 ) donde: . bajo estas condiciones se puede afirmar que el péndulo simple realiza oscilaciones armónicas simples. no se corresponde con el modelo del oscilador armónico simple pues el agente restaurador no es proporcional a la separación sistema de la posición de equilibrio estable sino a con las características del modelo. ( ) del sen lo cual no coincide Para eliminar esta dificultad hagamos que la amplitud de oscilación del sistema sea lo suficientemente pequeña como para considerar que y entonces la ecuación anterior podrá ser escrita como: sen d 2 g 0 2 dt l (2) Que sí es similar a la ecuación (1) y. realmente. g l es la frecuencia propia de las oscilaciones libres del Y 0 es la Fase inicial (estado en que se encuentra el sistema cuando se comienza a medir el tiempo). m 0 sistema. es la elongación. es la amplitud de las oscilaciones. . MATERIALES Escala semicircular. . Cuerpos de diferentes masas. Hilo inextensible. Cronometro. Cinta métrica. Repetir el procedimiento para ángulos distintos . graficar T2 vs L. partiendo de esta expresión y el valor de la pendiente obtenida mediante el método de mínimos cuadrados . manteniendo el ángulo de oscilación y la masa constante Se construyó la gráfica T vs. Período en función de la masa de oscilación: o Cambiar la masa obteniendo el ángulo de oscilación y la longitud constante o o o o Medir el tiempo para 10 oscilaciones Repetir el procedimiento para cada masa distintos Se determinó el período de cada uno. L Con los valores obtenidos. manteniendo la longitud y la masa contante o o Medir el tiempo para 10 oscilaciones.PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Período en función de la longitud: o o o o o o o o Construir un péndulo simple Medir la longitud del péndulo Seleccionar un ángulo de oscilación entre 5 y 45 grados Medir el tiempo empleado por la masa en completar 10 oscilaciones Determinar el periodo (T = tiempo/nº de oscilaciones) Repetir el procedimiento para 10 longitudes diferentes. Período en función del ángulo de oscilación: o Cambiar el ángulo de oscilación. ajustando a una recta mínimos cuadrados la ecuación del periodo de oscilaciones de un péndulo simple T 2 o L g de manera que la pendiente de la recta sea: m=4π2/g. Se construyó la gráfica T vs M. determinar el valor de la gravedad y % de error. .o o Se determinó el período de cada uno. Se construyó la gráfica T vs. 99 6.7656 0.00 7.392 0.8525 T2(seg)=Y 0.8737 0.409 0. Datos utilizados para determinar la aceleración de la gravedad Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 LONGITUD(cm) (L) 22.223 0. Datos de longitud y ángulo constante para determinar el periodo en función de la masa de oscilación Longitud Angulo 35.379 TIEMPO (T)(Seg.5852 0.14 6.4323 0.2 37.434 0.7025 0.3 29.765 0.TABLA DE DATOS Y RESULTADOS TABLA DE DATOS Periodo en función de la longitud TABLA N° 1.5374 0.323 0.26 6.9 39.5 26.35 7.263 0.4 40.62 6.7937 0.9 cm 45° .6299 0.875 0.7267 Periodo en función de la masa de oscilación TABLA N° 3.9 LONGITUD(m) (L) 0.3 43. Angulo y masa del cuerpo para la prueba de periodo en función de la longitud Angulo Masa del cuerpo 45° 9/12gr TABLA N° 2.6575 0.7633 0.3 32.) 5.8925 0.82 PERIODO (T/Nº DE OSCILACIONES) 0.7965 0.12 5.295 0. 81 0.32 6.6 35.6 35.44 6.356 TIEMPO (T)(seg.42 6.9 35.083 115 143 145.41 6.845 Angulo 15 20 30 40 50 60 70 80 .795 0.005 73.356 0.356 0.359 0.78 masa(gr) 22.9 35.359 0.9 35.36 6.9 0.56 6.356 0.359 0.6 35.) 6.041 97.9 35.60 6.82 0.6 35.359 0.36 6.7975 0.6 35.6 cm 22.79 0.76 PERIODO(T/Nº DE OSCILACIONES) 0. Periodo en función de la masa de oscilación Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 LONGITUD(cm) LONGITUD(m) (L) (L) 35.81375 0.81375 0.51 6.805 0. Datos de longitud y masa constante para determinar el periodo en función del ángulo de oscilación Longitud Masa TABLA N° 6 35.356 0.6 35.356 0.359 0.38 6.9 35.356 0.359 0.89 49.6 35.22 6.) 6.825 0.7775 0.6 0.9 35.795 0.48 6.80125 0.096 154 Periodo en función del ángulo de oscilación TABLA N° 5.TABLA N° 4.356 0.359 0.89 gr Periodo en función del ángulo de oscilación Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 LONGITUD(cm) LONGITUD(m) (L) (L) 35.359 TIEMPO (T)(Seg.8025 0.9 35.51 6.69 6.24 PERIODO(T/Nº DE OSCILACIONES) 0.83625 0. 96 m/s2 19% .72 T2(seg)=Y 0.7267 5.1413362 0. Datos para aplicar mínimos cuadrados en la obtención de la aceleración de la gravedad Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑= LONGITUD(m) (L)=x 0.1672 0.263 0.409 0.0964029 0.392 0.1883 0.2034577 0.3322704 0.TABLA DE RESULTADOS TABLA N° 7.3257685 0.7656 0.323 0.172634 0.4323 0.95 o 7.223 0.1536 0.6299 0.5852 0.5374 0.0870 0.2369 L2=X2 0.1436 0.0691 0.7965 0.2992136 0.2754193 1.7633 0.1043 0. Resultados de la aplicación del método mínimos cuadrados en la obtención de la aceleración de la gravedad M b g % Error g 4.0497 0.434 0.9628 T2*L 0.84650260 TABLA N° 8.295 0.379 2. DISCUSION DE RESULTADOS Después de haber realizado las mediciones y cálculos respectivos con respecto al péndulo simple y su relación con la longitud. . ángulo y masa se ha llegado que debido a que el período es independiente de la masa. además para el cálculo de la gravedad después de realizar los mínimos cuadrados nos dio cercana al parámetro de la gravedad experimental con errores medios. podemos decir entonces que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con períodos iguales. A mayor longitud de cuerda mayor período. estos debidos a la toma del tiempo que es común en esta práctica por su imprecisión. es decir se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. Los datos tienen que tener mucha exactitud ya que puede no dar los datos experimentales iguales a los tabulados. varia en el tiempo. aun siguen vigentes como los primeros tiempos en que fueron escritas. Realizando nosotros mismos las experiencias necesarias. La masa efectúa un movimiento armónico simple puesto que el desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio. Estas leyes que fueron establecidas hace muchos años. Cuando la masa pasa por la posición de equilibrio. La aceleración es proporcional al desplazamiento de la masa a partir del equilibrio y está en la dirección opuesta. La aceleración es variable.CONCLUSIONES Desarrollando la experiencia del movimiento pendular hemos podido verificar las leyes que rigen este movimiento. . su aceleración se hace cero y su velocidad es máxima puesto que la masa oscila entre dos puntos de retorno. MORTON M. Edición 2. KANE. STERNHEIM. Editorial Reverté. Guía Practica de Laboratorio de Física I . Física. Año 1996.BIBLIOGRAFÍA JOSEPH W. JOSÉ CASAS VÁZQUEZ. FIGURA DE LA PRÁCTICA Figura N° 1: péndulo utilizado en la práctica .
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