1FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA “MODELAMIENTO DINAMICO DEL GENERADOR SINCRÓNICO DE IMANES PERMANENTES” Alumno : Mauricio Vallejos Briones Carrera : Ingeniería Civil Industrial en Electricidad Profesor Guía : Marcelo Cortés Antofagasta, 7 de diciembre de 2012 2 3 1 MODELO DEL GENERADOR SINCRÓNICO DE IMANES PERMANENTES 1.1 Modelo bifásico. El modelo dinámico del Generador Sincrónico de Imanes Permanentes (GSIP) se deriva utilizando un motor bifásico con ejes en cuadratura como el que se muestra en la figura 1. Figura 1: GSIP bifásico. 4 Los devanados del estator están desplazados en 90 grados eléctricos y el eje del rotor se encuentra desplazado en un ángulo θr respecto al devanado de eje directo del estator. Por simplicidad del modelo se asume un único par de polos. Las tensiones en los devanados de eje directo y cuadratura se obtienen como la suma de la caída de tensión resistiva y la derivada de los enlaces de flujo en los devanados, como se expresa a continuación Donde : Operador diferencial d/dt. , , , , : Tensiones en los devanados de eje directo y cuadratura respectivamente. : Corrientes en los devanados de eje directo y cuadratura respectivamente. : Resistencia de los devanados de eje directo y cuadratura. : Enlaces de flujo en los devanados de eje directo y cuadratura. Los enlaces de flujo en los devanados del estator se pueden expresar como la suma de los enlaces de flujo debidos a la excitación propia de la bobina y los efectos producidos por los enlaces de flujo mutuos entre las bobinas, y debido al flujo producido por la fuente magnética. 5 Los devanados están balanceados y por lo tanto sus resistencias son iguales y denotadas por Rs= Rd= Rq. Los voltajes en los ejes d y q del estator se pueden escribir en términos de los enlaces de flujo y las caídas de tensión en las resistencias de los devanados como sigue: Donde , , : Autoinductancias en los devanados de eje directo y cuadratura respectivamente. : Inductancias mutuas entre los devanados de eje directo y cuadratura. Por simetría se cumple que del rotor. Considerando = . Las inductancias son función de la posición como la inductancia mínima, la cual se obtiene al la máxima inductancia, obtenida al alinear el eje del rotor con el eje directo, y alinear el eje del rotor con el eje de cuadratura. Debido a que los devanados del estator están distribuidos para proporcionar fmm sinusoidal, las auto inductancias pueden ser modeladas como funciones cosenoidales de la posición del rotor respecto al eje directo. De este modo las inductancias propias pueden expresarse como: {( ) ( ) } {( ) ( ) } 6 Donde y ( ) ( ) Cuando el rotor se encuentra tanto en la posición 0° como en 90° la inductancia el acopamiento entre las bobinas es cero, y alcanza un máximo en la posición -45°. Asumiendo una variación sinusoidal, la inductancia mutua entre los devanados de los ejes q y d es ( ) Sustituyendo las inductancias propias y mutuas en términos de la posición del rotor en la ecuación de las tensiones en los devanados del estator se obtiene como resultado una serie de términos dependientes de la posición del rotor * + * + * + * + | * +* + * + 7 Se debe notar que el tercer término de la ecuación 14 existe debido a los polos salientes, es decir, cuando . En máquinas con imanes montados en la es cero, quedando una superficie las inductancias son iguales y, por lo tanto, expresión simplificada para estas máquinas con referencia en los ejes del estator. * + * + * + * + * + Cabe notar que en un GSIP de polos salientes, las inductancias son dependientes de la posición del rotor, por lo tanto, la solución de la ecuación 14 se vuelve engorrosa a pesar de la disponibilidad computacional y, además, las ecuaciones en su forma actual no proveen una visión de la dinámica de la máquina. Si se elimina la dependencia de la posición del rotor en la ecuación 15 mediante una transformación, entonces, las ecuaciones se vuelven más manejables, para obtener resultados fundamentales como: Circuito equivalente, diagrama de bloques, función de transferencia y, sobre todo, las ecuaciones de estado estacionario y diagramas fasoriales. Antes de realizar la transformación necesaria, es importante tomar en cuenta que las corrientes en los devanados de la maquina constan de una componente fundamental y armónicas de orden superior. Por esto se debe hacer distinción entre * + * +* + * + La ecuación 16 es relevante para la componente fundamental del flujo enlazado por las bobinas del estator, en esta se puede apreciar, que no existirán componentes armónicas debido al flujo magnético entregado por el rotor, por lo 8 tanto, en un análisis de armónicos el segundo término del lado derecho de la ecuación 16 puede ser omitido. 1.2 Transformación al sistema de referencia del rotor La transformación para obtener inductancias constates se logra reemplazando el estator actual y sus devanados con un estator ficticio con devanados en los ejes qr y dr. En este proceso, el estator ficticio tendrá el mismo número de vueltas por fase que los devanados en el estator y producirá la misma fmm. Figura 2: Marcos referenciales del rotor y estator. La relación entre las corrientes en el sistema referencial estacionario y el sistema referencial rotatorio (ficticio) se puede escribir como [ Donde ] * + ; * + ; [ ] * + 9 La velocidad de giro del sistema de referencia rotacional es ̇ Del mismo modo las relaciones entre los voltajes son [ Donde ] * + ; * + Sustituyendo las ecuaciones 17 a 20 en las ecuaciones 5 y 6, el modelo del PMSG en el sistema de referencia del rotor resulta * + * +* + * + En esta ecuación el vector de voltajes es igual al producto entre la matriz de impedancia y el vector de corrientes, con una componente adicional debido a la fem rotacional de los enlaces de flujo del rotor. Se debe notar que la matriz de impedancia consta ahora con inductancias constantes, las cuales ya no dependen de la posición del rotor. 1.3 Transformación trifásica a bifásica Un modelo dinámico para el GSIP trifásico se puede derivar del modelo bifásico si se establecen las equivalencias. Esta equivalencia se basa en la igualdad de las 10 fmm producidas en los devanados bifásicos y trifásicos con magnitudes de corrientes idénticas. La figura 3 muestra los devanados trifásicos y bifásicos. Asumiendo que cada devanado trifásico tiene T 1 vueltas por fase, e igual magnitud de corriente, los devanados bifásicos deberán tener 3T 1/2 vueltas por fase, para tener una equivalencia de fmm. Las fmm en los ejes d y q se obtienen resolviendo las fmm de los devanados trifásicos sobre los ejes d y q. El término T 1 se cancela en ambos lados de la ecuación, se asume al eje q retrasado respecto al eje a en . La relación entre las corrientes dqo y abc está dada por la ecuación (23). Figura 3: Sistemas de referencia del rotor y estator. ( [ ] [ La corriente ) ) ( ( ) ) [ ] ] ( representa los desbalances en las corrientes de fase, y puede ser reconocida como la componente de secuencia cero de la corriente trifásica. 11 [ Donde ] ] ; [ ] [ ( [ ] [ ( ) ) ( ( ) ) ] Bajo un desbalance en las tensiones o corrientes trifásicas, la única forma de representar las variables trifásicas como variables dq0 es adicionando el término de secuencia cero. La tensión de secuencia cero es: Donde : Enlace de flujo de secuencia cero. : Inductancia de secuencia cero. : Corriente de secuencia cero. 1.4 Equivalencia de potencias La potencia de entrada de la maquina trifásica debe ser igual a la potencia de entrada de la maquina equivalente en coordenadas dq0 para tener una correcta interpretación en modelamiento y simulación. La potencia de entrada trifásica es: 12 De las ecuaciones (24) y (26) podemos escribir la ecuación (28) en términos de las matrices y vectores del sistema de referencia dq0. [ ] [ ] Al realizar la sustitución y de las tensiones y corrientes de fase en corrientes y tensiones en el sistema de referencia dq0, y ordenando los términos la potencia de entrada se expresa como [( ) ] Para una operación balanceada de la maquina la corriente de secuencia cero desaparece de la ecuación (31), por tanto la potencia de entrada queda expresada por: [ ] 1.5 Torque electromagnético El torque electromagnético es la variable de salida más importante para determinar la dinámica mecánica del generador. Las ecuaciones dinámicas del GSIP se pueden escribir como [ ] [ ] [ ] 13 Pre multiplicando la ecuación 29 por la transpuesta del vector de corrientes, la potencia instantánea de entrada es: [ ] Donde [ ]: Matriz consistente en los elementos resistivos. [ ] [ ] [ ]: Matriz consistente de los coeficientes del operador diferencial . [ ]: Matriz consistente en los elementos coeficientes de la velocidad del rotor . La potencia en el entrehierro es el producto de la velocidad mecánica del rotor y el torque electromagnético. Por lo tanto, el torque en el entrehierro los términos que involucran a la velocidad del rotor, se deriva de , en radianes por segundo. [ ] [ ] Donde P es el número de polos. Cancelando la velocidad en ambos lados de la ecuación, obtenemos que el torque electromagnético está dado por: [ ] Si ahora sustituimos [G] en esta ecuación observando la ecuación (22) [ ] 14 El factor 3/2 proviene de la condición de equivalencia de potencia entre los sistemas de referencia trifásico y bifásico. 1.6 Modelo en por unidad El modelo normalizado del GSIP se deriva definiendo las variables base tanto en el sistema de referencia abc como en dq0. En el sistema abc, se toman los valores rms nominales de las tensiones y corrientes de fase. Donde e son las tensiones y corrientes de fase respectivamente. e Seleccionando las cantidades base en el sistema dq0 denotadas por , de tal forma que los valores peak de las tensiones y corrientes de fase en el sistema abc sean: √ √ Por tanto la potencia base está definida por: √ √ Considerando el modelo referencial del rotor para ilustrar el proceso de normalización, primero consideramos el voltaje en el eje q del estator, el cual está dado por: 15 ( ) ( ) Este se normaliza dividiéndose por el voltaje base . Sustituyendo voltaje base en términos de la corriente base y la impedancia base, o en términos de la velocidad base y el flujo base tenemos: ( )( ) ( ) ( ) ( ) *( )( ) + Donde las fracciones que contienen los valores base corresponden a los valores normalizados de la variable en cuestión, así la ecuación resultante es ( ) ( ) De forma similar se obtiene el voltaje de eje directo ( ) Y el torque electromagnético [ La ecuación dinámica electromecánica está dada por ] 16 Donde : Velocidad mecánica del rotor. : Momento de inercia de la carga y la máquina combinadas. : Coeficiente de fricción de la carga y la máquina. : Torque mecánico (Torque motriz de entrada). Esta ecuación normalizada es: Donde Y 1.7 Simulación dinámica Las ecuaciones del GSIP en el sistema de referencia del rotor en por unidad se expresan de forma que facilite la solución computacional, despejando la componente diferencial. ( ) 17 ( ) ( ( ) ) La última ecuación se agrega para determinar la posición del rotor ya que esta es de crucial importancia en la determinación de los voltajes y las corrientes en cada fase. La posición del rotor se calcula en radianes, y no en p.u, esto para posibilitar el cálculo de las tensiones y corrientes como función del tiempo. Al ser este sistema (Ec. 51 a 55) no lineal, la única forma de hallar una solución en mediante métodos numéricos. La solución de este sistema se obtiene mediante integración numérica por el método de Runge Kutta de cuarto orden, en el código Matlab GSIP.m. Las variables de entrada al modelo son las tensiones en el estator en coordenadas abc, a partir de las cuales se obtienen las tensiones dq0 mediante la transformación estudiada en el apartado 2.3. La transformación requiere la posición del rotor, la cual se obtiene de la ecuación 55, en cada paso de integración. La solución de las ecuaciones lleva a la obtención de las corrientes referenciadas al sistema del rotor, velocidad y posición del rotor. Las corrientes de fase abc, se obtienen mediante el uso de la matriz inversa [ ]. 18 1.7.1 Problema Sea el generador de imanes permanentes conectado a una barra infinita con tensión [ ] que se muestra en la figura 4, en un instante , los datos del generador se muestran en la tabla N°1. se produce una falla a tierra en la barra, la cual es despejada automáticamente en el tiempo Figura 4: GSIP conectado a una barra infinita. Parámetro Inductancia propia eje q Inductancia propia eje d Flujo del rotor Resistencia estator (por fase) Potencia base Numero de polos Constante de inercia Valor 0.0125 [H] 0.0057 [H] 0.123 [Wb] 1.2 [Ω] 890 [W] 4 0.0005 El generador gira a velocidad constante, impulsado por una potencia mecánica que entrega un torque de 1 p.u se conecta a la barra infinita en t = 0 [seg]. La respuesta del generador a la conexión inicial se muestra en las figuras 5 a 9. 19 Figura 5: Tensiones de fase del GSIP. Figura 6: Tensiones de eje d y q GSIP. 20 Figura 7: Corrientes de fase del GSIP. Figura 8: Torque electromagnético desarrollado por el GSIP. 21 Figura 9: Velocidad rotacional del GSIP. Se puede apreciar en las gráficas que la velocidad rotacional se estabiliza luego de 0.04 segundos, lo que significa dos ciclos a la frecuencia fundamental impuesta por el sistema. Por su parte el torque electromagnético se estabiliza luego de tres ciclos, mientras que las corrientes de fase lo hacen dentro de dos ciclos, de modo similar las tensiones de los ejes de cuadratura y directo se estabilizan luego de tres ciclos. Ahora se procede a simular una falla a tierra en la barra, la cual tendrá una duración de tres ciclos, iniciándose en [ ], y terminando en [ ] 22 Figura 10: Condición de falla del GSIP. Figura 11: Tensiones de ejes d y q del GSIP. 23 Figura 12: Corrientes de fase abc en el GSIP. Figura 13: Torque electromagnético del GSIP en condición de falla. 24 Figura 14: Velocidad rotacional del GSIP en condición de falla. En las gráficas presentadas en las figuras 11 a 14, se aprecia que la falla a tierra produce una inestabilidad en el generador, el cual dispara su velocidad rotacional, generando un torque oscilante, así como, tensiones de eje directo y cuadratura alternas, además de corrientes trifásicas desbalanceadas a pesar de reponer las tensiones de fase de la barra infinita. Si ahora se reduce el tiempo de la falla a solo un ciclo y medio aproximadamente, es decir [ ], el generador logra recuperar la estabilidad posterior a la falla, esto se aprecia en las figuras 25 Figura 15: Tensiones de fase del GSIP. Figura 16: Tensiones de ejes d y q del GSIP. 26 Figura 17: Corrientes de fase en el GSIP. Figura 18: Torque electromagnético en el GSIP. 27 Figura 19: Velocidad rotacional del GSIP. Un efecto similar se logra al reducir el torque de entrada proporcionado por la maquina motriz, en el siguiente caso se reduce el torque mecánico de entrada a , este valor se obtenido mediante el ajuste empírico es el máximo valor de torque de entrada para el cual el generador recupera la estabilidad para una falla trifásica a tierra como la indicada en el primer caso. Las figuras 20 a 24 muestran las formas de onda resultantes de la simulación del código GSIP.m en las condiciones ya descritas. 28 Figura 20: Tensión de fase del GSIP. Figura 21: Tensiones de ejes d y q en el GSIP. 29 Figura 22: Corrientes de fase del GSIP. 30 Figura 23: Torque electromagnético en el GSIP. 31 Figura 24: Velocidad rotacional del GSIP. En las figuras se puede apreciar que el generador cae en un período de oscilación antes de recuperar la estabilidad, esto durante aproximadamente 0.24 segundos, lo que equivale a doce ciclos a la frecuencia fundamental de la red. En vista de los resultados obtenidos mediante la simulación del generador de imanes permanentes, se puede concluir que la estabilidad de este, en el escenario planteado, estará directamente relacionada al tiempo de duración de la falla, tanto como a la potencia de entrada mecánica. Como en un escenario de falla, la duración de esta no es una variable manipulable, nos queda controlar de manera eficiente la potencia proporcionada a la máquina. El generador, presentará un comportamiento más estable si agregamos un lazo de control, el cual se realimente con la variable velocidad rotacional, regulando la potencia mecánica proporcionada al generador según el requerimiento del sistema. 32 2 BIBLIOGRAFÍA [1] Krishnan. R, Permanent Magnet Synchronous and Brushless DC Motor Drives, Taylor and Francis Group, LLC,2010.