DISCIPLINA: METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICAPROFESSOR Dr. APARECIDO DOS SANTOS ASSUNTO: ABORDANDO INEQUAÇÕES DO PONTO DE VISTA FUNCIONAL ______________________________________________________________________________ Nesta atividade, vamos refletir sobre: Dificuldades dos alunos no tema inequações. As possíveis vantagens de relacionar o estudo de inequações e o de funções. Resultados de uma pesquisa que investigou essa abordagem. Leia atentamente o texto abaixo e faça anotações dos pontos em que haja algum aspecto muito interessante e também alguma possível dúvida. Inequações têm um papel importante em matemática. São parte integrante de diversos tópicos, incluindo álgebra, trigonometria, programação linear e investigação de funções. Entretanto, segundo Bazzini et al (2001), o ensino de inequações na maioria dos países é subordinado ao de equações, baseado em procedimentos puramente algébricos, o que produz uma aprendizagem muito limitada. Em particular, essa abordagem evita as dificuldades típicas do conceito de função. Acrescentam que é comum ensinar os estudantes a abordar inequações de grau 2 dependentes de um parâmetro (exemplo: x2+Kx+1 >0) de uma maneira rígida e prescritiva: devem resolver a equação correspondente distinguindo entre os casos: nenhuma solução real, uma solução real, duas soluções reais; Em seguida devem construir uma tabela (conhecida entre nós como “varal”) em que as variações de sinal, relacionadas aos valores do parâmetro K, fornecem as soluções da inequação. Uma das consequências dessa abordagem é que os estudantes são incapazes de lidar com inequações que não se encaixam nesse modelo. Outros efeitos apontados pelos estudos são: a tendência dos estudantes a relacionar erroneamente a solução da equação quadrática e da correspondente inequação; e a dificuldade dos estudantes com inequações em que a solução é única, ou o conjunto dos números reais, ou o conjunto vazio. Citam pesquisas italianas que mostraram que a maioria dos estudantes que ingressam em cursos universitários de matemática não foi capaz de resolver inequações simples como (X2-1/X) > 0. Em geral, os alunos seguiram a sequência: (X2-1/X) > 0 X2 > 1/X X3 > 1, sem levar em conta o caso X=0, nem estudar separadamente os casos X > 0 e X< 0. O uso de gráficos ocorreu raramente e transformações algébricas foram realizadas sem levar em enquanto que os outro 28 compararam funções de um ponto de vista dinâmico e global. em oposição à clássica consideração estática de um conjunto de pares. Opção pelas apresentações da idéia de função que conduzem a uma visão dinâmica (função como máquina que transforma valores x em valores y. com diferentes estratégias. uma abordagem baseada na comparação de funções). Faça hipóteses sobre seus gráficos. Desencorajamento do uso exclusivo da construção ponto-a-ponto. Bazzini et al (2001) conduziram na Itália um experimento de ensino cujo contexto educacional incluiu: Estudo do conceito de função e de variável através de atividades envolvendo tabelas. Eis a classificação apresentada por Bazzini et al (2001): Estratégias baseadas na relação entre a fórmula e a forma do gráfico. o ensino de inequações foi implementado por comparação de funções. o qual supera em muito o conteúdo matemático envolvido (inequações). Finalmente. finalmente faça um esboço dos seus gráficos. frequentemente consistindo de uma fusão pessoal de estratégias e movimentos discutidos em classe. perímetro. que no Brasil estariam cursando a 8a série). gráficos e fórmulas. pode revelar e permitir explorar o potencial do estudante em Álgebra. Os alunos foram levados a compará-las fazendo hipóteses baseadas na análise de suas fórmulas. justificando-as cuidadosamente. adequadamente manejada pelo professor.consideração o fato de que o sinal > não se comporta como o sinal = (como está ilustrado anteriormente). Apresentamos a tarefa que foi aplicada individualmente aos estudantes como parte do experimento. etc) e progressiva passagem a outros contextos. apenas 3 construíram gráficos ponto-a-ponto. . atividades que enfocam a variação de y como dependente da variação de x) . Apoio inicial no contexto geométrico (área. Sugerem que uma abordagem funcional das inequações (isto é. Com o objetivo de investigar a viabilidade da introdução precoce da abordagem funcional de inequações ( para alunos de 13-14 anos. Acrescentamos que a abordagem fornece também uma perspectiva complementar ao estudo de equações. A) y=x2-4x+4 B) y=-x2+4. Vinculação constante dos aspectos algébricos e gráficos. desses. 31 mostraram saber atacar o problema. Dos 36 estudantes que foram sujeitos da pesquisa. com alguns comentários: TAREFA: Compare as seguintes fórmulas do ponto de vista algébrico e gráfico. Essa parábola começa devagar. Nas duas funções existe +4. assim podemos dizer que ambas as parábolas estão acima do eixo x ‘de +4’ (fig. enquanto que na última você nunca tem isso. pois -4x decresce a sua velocidade. assim podemos dizer que. quando y=0. mas em seguida vai para cima rapidamente (fig. . EXTRAIDO DO PROTOCOLO DE LOURENÇO: “. y=0. Para Lourenço o gráfico representa uma síntese e a validação visual da sua análise prévia. Nesse caso os estudantes analisam o comportamento da fórmula de acordo com os casos x>0 e x<0.em ambas as fórmulas você tem um +4. O protocolo de Lourenço é um exemplo. 3). a abordagem é global: é a função inteira que decresce ou cresce quando x varia. No seu caso. o único aspecto dinâmico pertinente é a análise de como y muda relativamente a x. Na função A existe uma operação (-4x) que move e transforma essa parábola. Quando x=2. porque existe um menos antes. EXTRAIDO DO PROTOCOLO DE DAVIDE: (FIGURA – REPRODUÇÃO) “No gráfico de x2 e –x2 temos duas parábolas. Mesmo aqui. a última parece um U invertido. x2 evoca a forma “parábola” e os outros elementos da fórmula são interpretados em termos de transformações do gráfico prototípico: por exemplo a presença de um sinal de menos antes de x 2 sugere a “forma invertida do U”. Essa parábola não vai para baixo de 0 quando x é negativo. O aspecto dinâmico da solução consiste na interpretação das diferentes partes da fórmula dada como transformações da fórmula prototípica. 2). Estratégias baseadas na relação entre a fórmula e o aumento ou diminuição de y quando x cresce. Na primeira você sempre tem um resultado positivo. Aí. 1). a primeira está acima de 0 e parece um U.A solução de Davide ilustra bem essa categoria. a parábola está em x=2 (fig. nem o uso do gráfico prevalece (como em Davide). Através da descoberta de pontos notáveis (x=0. de diferentes aspectos dos conceitos de função e de variável. Não há ponto de encontro.. a última decresce só porque eu tiro x 2 e a certo momento +4 não pode manter –x2 acima de 0. sempre positivo.. o assunto inequações surge como um contexto interessante para investigar a construção. As duas formas de ensinar inequações – a puramente algébrica e a funcional – estão ligadas a que concepções de Álgebra? .. pelos estudantes.). esses estudantes realizam uma análise indutiva das funções sob comparação e conseguem ter uma ideia do gráfico. um estudante encontra alguns pontos para a primeira função. porque o +4 e o x 2 não superam o 4x. Em particular. no que diz respeito a ferramentas e novas formas de raciocinar para resolver inequações. y=0. A segunda por certo tempo fica acima de 0 (de 0 a +2) porque o +4 supera o –x2. nem a análise de como y muda em relação a x (como em Lourenço). y=4 e x=2. e o sinal muda também em -4x. y=. x=. Ainda. . Ao contrário. (ele desenha os gráficos superpostos com um comentário) . então declara: “ela não toca a origem e y nunca é negativo”.se x<0: a primeira cresce mais porque existe x2.se x<0: a primeira decresce por certo tempo (de 0 a +2). De fato.a última é maior que a primeira de 0 a +2.. ressaltam que o estudo de inequações baseado numa abordagem global e dinâmica de funções parece contribuir para aumentar o repertório dos estudantes. enquanto que depois ela decresce para baixo de 0.. Esse comportamento pode ser considerado (no caso das duas funções) como intermediário entre os dois precedentes. Em particular. que fica +4x. Os pesquisadores concluem que os resultados do experimento dão indicações favoráveis à abordagem funcional de inequações. y=0. enquanto depois ela decresce.. apontadas no primeiro parágrafo do texto? Que opiniões existem no grupo sobre a proposta de relacionar o estudo de inequações ao de funções? É viável sua implementação em sala de aula no Brasil? Retome as diversas concepções de Álgebra. Debate no grupo: Que semelhanças e diferenças existem entre o ensino de inequações tal como é praticado no Brasil e as características desse ensino em outros países. mas os dois aspectos estão implicados. “ Estratégias baseadas na busca de “pontos notáveis”. Pontos de encontro: x=0. segundo Usiskin. . Conforme o texto acima. pesquisas italianas relatam que a sequência abaixo foi seguida pela maioria dos alunos. Escolha uma coleção do ensino médio e examine o tratamento dado a inequações. à luz das considerações do texto que estudamos. 3. Considere a tarefa apresentada no texto: TAREFA: compare as seguintes fórmulas do ponto de vista algébrico e gráfico. 2. justificando-as cuidadosamente.Atividades complementares 1. finalmente faça um esboço dos seus gráficos. Faça hipóteses sobre seus gráficos. para a resolução da inequação (X2-1/X) > 0: (X2-1/X) > 0 X2 > 1/X X3 > 1. Descreva algumas estratégias que você acredita que seus alunos empregariam para resolvê-las. A) y=x2-4x+4 B) y=-x2+4. Analise cada uma das passagens e faça hipóteses sobre as estratégias utilizadas pelos alunos.