CÁLCULO DIFERENCIALAmaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial UNIDAD 4 6. Aplicaciones de la derivada 6.1. Máximos y mínimos absolutos a) En intervalos cerrados Supongamos que la función , es continua en un intervalo cerrado [c. /], entonces alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo. El máximo y el mínimo absoluto solamente pueden estar situados: 1. En puntos donde , 0 (r) = 0 2. En puntos donde , 0 (r) no está denida 3. En los extremos del intervalo. Puntos críticos de una función: Se llaman puntos críticos de una función a los puntos en los que la derivada sea nula o no esté denida. Cálculo del máximo y del mínimo absoluto: Para hallar el máximo y el mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado. 1. Se hallan los puntos críticos. 2. Se halan los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. El mayor valor obtenido es el máximo absoluto y el menor el mínimo. Arenas A. 90 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Observación .7 Si la función no es continua el método anterior no es valido, ya que los valores de la función en los puntos críticos no determinan nada. Ejemplo .63 Hallar los extremos absolutos de la función , (r) = 2r 3 ÷3r 2 ÷12r + 15 en el intervalo [0. 3]. Solución: 1. Hallamos los puntos críticos: a) Puntos en los que la derivada no está denida: No existen ya que , 0 (r) = 6r 2 ÷6r÷ 12 está denida en todo R. b) Puntos en los que la derivada vale cero: 6r 2 ÷6r ÷12 = 0 ÷÷r 2 ÷r ÷2 = 0 ÷÷r = 1 ± _ 1 + 8 2 = 1 + 3 2 = _ 2 ÷1 2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del inter- valo: , (0) = 15 Máximo , (2) = 16 ÷12 ÷24 + 15 = ÷5 Mínimo , (3) = 54 ÷27 ÷36 + 15 = 6 Ejemplo .64 Hallar los extremos absolutos de la función: , (r) = r 5 ÷r en el intervalo [2. 4] Solución: 1. Hallamos los puntos críticos: a) Puntos en los que la derivada no está denida: No existen ya que , 0 (r) = 5r 4 ÷ 1 está denida en todo R. b) Puntos en los que la derivada vale cero: 5r 4 ÷1 = 0 ÷÷r 4 = 1 5 ÷÷r = ± _ 1 5 , ¸ [2. 4] Luego no existe ningún punto crítico dentro del intervalo, por tanto: 2. Comparamos los valores de la función en los extremos del intervalo: , (2) = 30 Mínimo , (4) = 1020 Máximo Arenas A. 91 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Ejemplo .65 Hallar los extremos absolutos de la función: , (r) = 3 ÷[r ÷2[ en el intervalo [1. 4] Solución: Para hallar la derivada de la función eliminamos el valor absoluto, , (r) = 3 ÷[r ÷2[ = _ 3 ÷(r ÷2) si r _ 2 3 ÷(÷r + 1) si r < 2 = _ 5 ÷r si r _ 2 1 +r si r < 2 Con lo cual, la función derivada es: , 0 (r) = _ ÷1 si r 2 1 si r < 2 1. Hallamos los puntos críticos: a) Puntos en los que la derivada no está denida: r = 2 b) Puntos en los que la derivada vale cero: No existen. 2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del inter- valo: , (1) = 2 , (2) = 3 Máximo , (4) = 1 Mínimo b) Máximos y mínimos absolutos en intervalos abiertos Para hallar el máximo y el mínimo de una función continua en un intervalo abierto se “cierra” el intervalo hallando los límites de la función en los extremos del mismo. Ejemplo .66 Hallar los extremos absolutos de la función: , (r) = r 2 r 2 + 1 en todo R. Solución: Hallamos la derivada de la función, , 0 (r) = 2r (r 2 + 1) ÷r 2 2r (r 2 + 1) 2 = 2r 3 + 2r ÷2r 3 (r 2 + 1) 2 = 2r (r 2 + 1) 2 1. Hallamos los puntos críticos: a) Puntos en los que la derivada no está denida: No existen. b) Puntos en los que la derivada vale cero: 2r = 0 ÷÷r = 0. 2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los “extremos” del intervalo: Arenas A. 92 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial ¸ = r 2 r 2 + 1 , (÷·) = lm x!1 r 2 r 2 + 1 = 1 , (0) = 0 ÷÷ Mínimo , (+·) = lm x!+1 r 2 r 2 + 1 = 1 Luego la función no tiene máximo 6.1.1. Máximos y mínimos relativos o locales Crecimiento y decrecimiento. Una función es creciente allí donde su derivada es positiva y decreciente donde es negativa. \r ¸ (c. /) . , 0 (r) _ 0 == , es creciente en (c. /) \r ¸ (c. /) . , 0 (r) _ 0 ==, es decreciente en (c. /) Estudios de los máximos y mínimos locales a partir del signo de la primera derivada. Teorema .13 Criterio de la primera derivada. sea c un número crítico de una función , continua en un intervalo abierto 1 que contiene a c. Si , es derivable en el intervalo, escepto quizá en c, ,(c) puede clasicarse como sigue: 1. Si , 0 cambia de negativa a positiva en c. ,(c) es un mínimo relativo de ,. 2. Si , 0 cambia de positiva a negativa en c. ,(c) es un máximo relativo de ,. 3. Si , 0 no cambia su signo en c. ,(c) no es ni máximo ni mínimo relativo ,. Arenas A. 93 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Ejemplo .67 Estudiar los extremos relativos y absolutos de la función , (r) = ÷r 1 +r 2 en todo R. Solución: , es continua en todo R, ya que 1 +r 2 no se anula nunca. Puntos críticos: , 0 (r) = ÷(1 +r 2 ) +r (2r) (1 +r 2 ) 2 = ÷1 ÷r 2 + 2r 2 (1 +r 2 ) 2 = r 2 ÷1 (1 +r 2 ) 2 de donde: , 0 (r) = 0 ÷÷r 2 ÷1 = 0 ÷÷r = ±1 1. Extremos relativos: Estudiamos el signo de la derivada. , 0 (÷2) = 4 ÷1 (1 + 4) 2 = 3 25 = + , 0 (0) = ÷1 1 = ÷1 = ÷ , 0 (2) = 4 ÷1 (1 + 4) 2 = 3 25 = + Con lo cual hay un máximo en r = ÷1 y un mínimo en r = 1 2. Extremos absolutos: hallamos los valores de la función en los punto críticos y en los Arenas A. 94 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial extremos del intervalo. ¸ = ÷r 1 +r 2 , (÷·) = lm x!1 ÷r 1 +r 2 = 0 , (÷1) = 1 2 ÷÷Máximo absoluto , (1) = ÷1 2 ÷÷Mínimo absoluto , (+·) = lm x!+1 ÷r 1 +r 2 = 0 Ejemplo .68 Encontrar los extremos relativos de la función , (r) = r + 4 r en R. Solución: La función es continua en R ÷¦0¦ Puntos críticos. Hallamos la derivada de la función , 0 (r) = 1 ÷ 4 r 2 ¸ = r + 4 r 1. Puntos donde la derivada no esta denida. r = 0 Arenas A. 95 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 2. Puntos donde la derivada vale cero: , 0 (r) = 0 ÷÷r = ±2 Intervalos de crecimiento: , 0 (÷3) = 1 ÷ 4 9 = + ÷÷ Creciente , 0 (÷1) = 1 ÷4 = ÷ ÷÷Decreciente , 0 (1) = 1 ÷4 = ÷ ÷÷ Decreciente , 0 (3) = 1 ÷ 4 9 = + ÷÷ Creciente Ejemplo .69 Usar el criterio de la primera derivada para hallar todos los máximos y mínimos relativos de la función dada por: , (r) = 2r 3 ÷3r 2 ÷36r + 14 Solución: , 0 (r) = 6r 2 ÷6r ÷36 = 0. hacemos , 0 (r) = 0 6 _ r 2 ÷r ÷6 _ = 0 6 (r ÷3) (r + 2) = 0 r = ÷2. 3. Números criticos La tabla a continuación muestra un formato adecuado para la aplicación del criterio de la primera derivada. Intervalo ÷·< r < ÷2 ÷2 < r < 3 3 < r < · Valor prueba r = ÷3 r = 0 r = 4 Signo de , 0 (r) , 0 (÷3) 0 , 0 (0) < 0 , 0 (r) 0 conclusión Creciente Decreciente Creciente De la tabla anterior concluimos que hay un máximo relativo en r = ÷2 y un mínimo relativo en r = 3. La gura siguiente muestra la gráca de ,. Arenas A. 96 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Ejemplo .70 Hallar los extremos relativos de ¸ = r 3 3 ÷2r 2 + 3r + 1 Solución: Empezamos haciendo constar que , es continua en toda la recta real. Su derivada 1. Hallamos la primera derivada ¸ 0 = r 2 ÷4r + 3 2. Calculamos los puntos criticos, osea, la raices de la derivada: r 2 ÷4r + 3 = 0 r 1 = 1. r 2 = 3 3. La derivada es continua en todos los puntos y por tanto no existen otros puntos criticos. 4. Analizamos los valores criticos y los resultados los llevamos a la gura que se muestra enseguida. El primer punto criticos es r 1 = 1. como ¸ 0 = (r ÷1) (r ÷3) . resulta que: para r < 1 se tiene que: ¸ 0 0; para r 1 se tiene que : ¸ 0 < 0. Esto quiere decir que la pasar de izquierda a derecha por el punto r 1 = 1, el signo de la derivada cambia de más a menos; por tanto, en r = 1 la función tiene un máximo. (¸) x=1 = 7 3 El segundo punto criticos es r 2 = 3 para r < 3 se tiene que: ¸ 0 < 0; para r 3 se tiene que : ¸ 0 0. Esto quiere decir que la pasar de izquierda a derecha por el punto r 2 = 3, el signo de la derivada cambia de menos a más; por tanto, en r = 3 la función tiene un mínimo. (¸) x=3 = 1 Basándonos en este análisis, trazamos la siguiente gráca. Arenas A. 97 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 6.1.2. Concavidad y el criterio de la segunda derivada Denición .19 Sea , derivable en un intervalo abierto. Diremos que la gráca de , es cóncava hacia arriba si , 0 es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si , 0 es decreciente en el intervalo. Teorema .14 Criterio de concavidad Sea , una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto 1. 1. Si , 00 (r) 0 para todo r en 1, la gráca de , es cóncava hacia arriba. 2. Si , 00 (r) < 0 para todo r en 1, la gráca de , es cóncava hacia abajo. Ejemplo .71 Hallar los intervalos abiertos donde la gráca de , (r) = 6 r 2 + 3 es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Solución: Comenzamos observando que , es continua en toda la recta. Calculamos su se- gunda derivada , (r) = 6 _ r 2 + 3 _ 1 , 0 (r) = (÷6) (2r) _ r 2 + 3 _ 2 = ÷12r (r 2 + 3) 2 , 00 (r) = 36 (r 2 ÷1) (r 2 + 3) 3 Como , 00 (r) = 0 cuando r = ±1 y , 00 está denida en toda la recta real, probamos , 00 en los intervalos (÷·. ÷1) . (÷1. 1) y (1. ·). Los resultados se recogen en la tabla y en la gura siguiente. Intervalo ÷·< r < ÷1 ÷1 < r < 1 1 < r < · Valor prueba r = ÷2 r = 0 r = 2 Signo de , 00 (r) , 0 (÷2) 0 , 00 (0) < 0 , 0 (2) 0 conclusión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Arenas A. 98 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Denición .20 Punto de inexión Sea , una función cuya gráca tiene recta tangente en (c. , (c)). Se dice que el punto (c. , (c)) es un punto de inexión si la concavidad de , cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo (o viceversa) en ese punto. Teorema .15 Si (c. , (c)) es un punto de inexión de la gráca de ,, entonces o es , 00 (c) = 0 o , 00 no está denida en r = c. Ejemplo .72 Determinar los puntos de inexión y discutir la concavidad de la gráca de , (r) = r 4 ÷4r 2 . Solución: Derivando dos veces obtenemos: , 0 (r) = 4r 3 ÷12r 2 , 00 = 12r 2 ÷24r = 12r (r ÷2) Los posibles puntos de inexión están en r = 0 y r = 2. Ensayando en los intervalos determi- nados por esos dos valores de r, vemos que ambos son puntos de inexión. Un resumen de los ensayos se recoge en la tabla y la gura a continuación. Intervalo ÷·< r < 0 0 < r < 2 2 < r < · Valor prueba r = ÷1 r = 1 r = 3 Signo de , 00 (r) , 0 (÷1) 0 , 00 (1) < 0 , 00 (3) 0 conclusión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Arenas A. 99 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Teorema .16 Criterio de la segunda derivada. Sea , una función tal que , 0 (c) = 0 y tal que la segunda derivada de , existe en un intervalo abierto que contiene a c. 1. Si , 00 (c) 0, entonces , (c) es un mínimo relativo 2. Si , 00 (c) < 0, entonces , (c) es un máximo relativo 3. Si , 00 (c) = 0, entonces el criterio no decide. Determinación de funciones conociendo algunos puntos críticos La dicultad de este tipo de ejercicios está en saber aprovechar toda la información que nos da el enunciado. Ejemplo .73 Hallar c. /. c y d para la función , (r) = cr 3 + /r 2 + cr + d tenga un mínimo relativo de valor ÷3 en r = 0 y un máximo relativo de valor 4 en r = 1. Solución: Mínimo relativo de valor ÷3 en r = 0 ÷÷ _ , (0) = ÷3 , 0 (0) = 0 Máximo relativo de valor 4 en r = 1 ÷÷ _ , (1) = 4 , 0 (1) = 0 Hallando la derivada de , 0 (r) = 3cr 2 +2/r+c, y sustituyendo, resulta el sistema de ecuaciones: d = ÷3 c = 0 c +/ +c +d = 4 3c + 2/ +c = 0 _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ d = ÷3 c = 0 c +/ + 0 ÷3 = 4 3c + 2/ + 0 = 0 _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ d = ÷3 c = 0 c +/ = 7 3c + 2/ = 0 _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ d = ÷3 c = 0 c +/ = 7 c = ÷14 _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ d = ÷3 c = 0 / = 21 c = ÷14 _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ Arenas A. 100 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Luego la función buscada es: , 0 (r) = ÷14r 3 + 21r 2 ÷3 Ejemplo .74 Hallar c. / y c tales que la gráca de la función , (r) = cr 3 + /r 2 + cr tenga una tangente horizontal en el punto de inexión (1. 1). Solución: Pasa por el punto (1. 1) ÷÷, (1) = 1 Tangente horizontal en (1. 1) ÷÷, 0 (1) = 0 Punto de inexión en (1. 1) ÷÷, 00 (1) = 0 Hallando la primera y segunda derivada , 0 (r) = 3cr 2 + 2/r + c. , 00 (r) = 6cr + 2/ y sustituyendo, resulta el sistema de ecuaciones: c +/ +c = 1 3c + 2/ +c = 0 6c + 2/ = 0 _ _ _ c = 1 ÷c ÷/ 2c +/ = ÷1 3c +/ = 0 _ _ _ c = 1 ÷c ÷/ / = ÷1 ÷2c c = 1 _ _ _ c = 1 ÷1 + 3 / = ÷1 ÷2 = ÷3 c = 1 _ _ _ c = 3 / = ÷3 c = 1 _ _ _ Luego la función buscada es: , (r) = r 3 ÷3r 2 + 3r. Problemas de aplicación de máximos y mínimos Para resolver problemas de máximos y mínimos con enunciado deben seguirse los siguientes pasos: 1. Asignar letras a todas las magnitudes que intervienen e intentar relacionarlas entre sí. (Según se asignen las letras, la resolución del problema puede resultar más facil a más dicil. A veces conviene contar con los ángulos). 2. Preguntarse ¿Qué es lo que hay que hacer máximo o mínimo?. Esa magnitud es la que hay que derivar. 3. Encontrar una fórmula para la magnitud que hay que derivar y expresarla en función de una sola variable y entonces derivar. Naturaleza de los puntos críticos. La naturaleza de los puntos críticos puede determinarse por cualquiera de los siguientes críterios: 1. Por la propia naturaleza del problema. 2. Comparando el valor de la función en los puntos críticos y en los extremos del dominio. 3. Estudiando el signo de la primera derivada a ambos lados de cada punto crítico. 4. Estudiando el signo de la segunda derivada en los puntos críticos. Observación: Si el problema pide un máximo y encontramos un mínimo, el máximo habrá que buscarlo en los extremos del dominio. Arenas A. 101 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Ejemplo .75 Un granjero tiene 200 m de tela metálica que va a utilizar para tres lados de un corral rectangular; se va a usar un muro recto que ya existe como cuarto lado del corral. ¿Qué dimensiones maximizaran el área del corral? Solución: La magnitud a maximizar es el área. c = r ¸ 2r +¸ = 200 ÷÷¸ = 200 ÷2r _ c = r (200 ÷2r) = 200r ÷2r 2 de donde, c 0 (r) = 200 ÷4r ÷÷200 ÷4r = 0 ÷÷r = 50 Comprobamos que realmente se trata de un máximo, a partir de la segunda derivada: c 00 (r) = ÷4 ==c 00 (50) = ÷4 ÷÷ Máximo Luego la solución es r = 50 e ¸ = 100. Ejemplo .76 Una lámina metálica rectangular mide 5 m de ancho y 8 m de largo. Se van a cortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas para doblar la pieza metálica resultante y soldarla para formar una caja sin tapa. ¿Cómo debe hacerse para obtener una caja del máximo posible? Solución: La magnitud a maximizar es el volumen. · = r (8 ÷2r) (5 ÷2r) = 4r 3 ÷26r 2 + 40r Arenas A. 102 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial de donde · 0 (r) = 12r 2 ÷52r + 40 ==12r 2 ÷52r + 40 = 0 ÷÷3r 2 ÷13r + 10 = 0 luego: r = 13 ± _ 169 ÷120 6 = 13 ± _ 49 6 = 13 ±7 6 = _ r = 3 0 3 no válida r = 1 Comprobamos que realmente se trata de un máximo, a partir de la segunda derivada: · 00 (r) = 24r ÷52 ==c 00 (1) = ÷28 ÷÷Máximo Ejemplo .77 Deseamos construir una lata cilíndrica con 40 cm 3 de capacidad. El material del fondo y de la tapa es dos veces más caro que el del lateral. Hallar el radio y la altura de la lata más económica. Solución: La magnitud a minimizar es el coste. Suponiendo que el precio por unidad de super- cie del lateral es j el de las bases será 2j, con lo que resulta: o b = :: 2 +:: 2 = 2:: 2 o t = 2::/ _ 2j j _ coste o b = 4:: 2 j coste o t = 2::/j _ c = 4:: 2 j + 2::/j y teniendo en cuenta que · = 40 resulta :: 2 / = 40 ÷÷/ = 40 :: 2 de donde, c = 4:: 2 j + 2::/j = c = 4:: 2 j + 2:: 40 :: 2 j = 4:: 2 j + 80 : j luego, c 0 (:) = 8::j ÷ 80 : 2 j, con lo que resulta, 8::j ÷ 80 : 2 j = 0 ÷÷8:: ÷ 80 : 2 = 0 ÷÷8:: ÷ 80 : 2 ÷÷: 3 = 80 8: = 10 : ÷÷: = 3 _ 10 : Comprobamos que realmente se trata de un mínimo, a partir de la segunda derivada: c 00 (:) = 8: + 160 : 3 ==c 00 (:) 0 ÷÷Mínimo la altura correspondiente será: / = 40 : 3 _ 100 2 = 40 : 3 _ 100 3 2 = 40 3 _ 100: = 4 3 _ 1000 100: = 4 3 _ 10 : = 4: Arenas A. 103 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Ejemplo .78 Hallar el punto más cercano y más alejado de la parábola ¸ = 4 ÷ r 2 al punto (0. 1). Solución: Consideremos un punto genérico A (r. ¸) de la parábola ¸ = 4 ÷r 2 . Su distancia al punto 1 (0. 1) vendrá denida por la expresión: ¸ = 4 ÷r 2 d = _ (r ÷0) 2 + (¸ ÷1) 2 Cuyo valor ha de ser máximo o mínimo. Ahora bien, para facilitar la rasolución del problema, eliminamos la raíz cuadrada elevando al cuadrado. d 2 = r 2 + (¸ ÷1) 2 y teniendo en cuenta el valor de ¸ = 4 ÷r 2 resulta: d 2 = r 2 + _ 4 ÷r 2 ÷1 _ = r 2 + _ 3 ÷r 2 _ 2 = r 2 + 9 ÷6r 2 +r 4 = r 4 ÷5r 2 + 9 Y dado que, al ser d positivo, el valor máximo o mínimo de d se corresponde con el de d 2 , podemos optimizar la expresión: q (r) = d 2 = r 4 ÷5r 2 + 9 Halllamos los puntos críticos q 0 (r) = 4r 3 ÷10r ÷÷r _ 4r 2 ÷10 _ = 0 ÷÷r = 0. r = ± _ 5 2 Para estudiar la naturaleza de los puntos críticos podemos acudir al signo de la segunda derivada: q 00 (r) = 12r 2 ÷10 Arenas A. 104 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial q 00 (0) = ÷10 ÷÷Máximo relativo q 00 _ + _ 5 2 _ = 12 5 2 ÷10 = 30 ÷10 = 20 ÷÷Mínimo relativo q 00 _ ÷ _ 5 2 _ = 12 5 2 ÷10 = 30 ÷10 = 20 ÷÷Mínimo relativo El máximo relativo no es el máximo absoluto, ya que la función no tiene máximo absoluto por alejarse hacia el innito. El mínimo absoluto estará en uno de los dos mínimos relativos, para determinar hallamos el valor de la función q en cada uno de ellos. q _ + _ 5 2 _ = 25 4 ÷ 25 2 + 9 = 25 ÷50 + 36 4 = 11 4 = q _ ÷ _ 5 2 _ Luego los puntos de la parábola ¸ = 4 ÷r 2 que se encuentran más cercano al punto (0. 1) son: , _ + _ 5 2 _ = 4 ÷ 5 2 = 3 2 ÷÷1 1 _ + _ 5 2 . 3 2 _ , _ ÷ _ 5 2 _ = 4 ÷ 5 2 = 3 2 ÷÷1 2 _ ÷ _ 5 2 . 3 2 _ mientras que le punto más alejado no existe. EJERCICIOS .6 1. Una curva tiene la ecuación ¸ = , (r). a) Encuentre una expresión para la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos 1 (3. , (3)) y Q(r. , (r)). b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente en 1. 2. Suponga que un objeto se mueve con la función de posición : = , (t). a) Escriba una expresión para la velocidad promedio del objeto en el lapso t = c a t = c +/. b) Escriba una expresión para la velocidad instantánea en el instante t = c. 3. Considere la pendiente de la curva dada en cada uno de los cinco puntos que se muestran. Arenas A. 105 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Enumere estas cinco pendientes en orden decreciente y explique su razonamiento. 4. Graque la curva ¸ = c x en las pantallas [÷1. 1] por [0. 2] . [÷0.5. 0.5] por [0.5. 1.5] y [÷0.1. 0.1] por [0.9. 1.1]. ¿Qué advierte acerca de la curva a medida que se acerca al punto (0. 1)? 5. Encuentre la pendiente de la recta tangent a la parábola ¸ = r 2 + 2r, en el punto (÷3. 3) a) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso. b) Graque la ecuación de la parábola y la recta tangente. Como una comprobación de su solución, acérquese al punto 1 (÷3. 3) hasta que no pueda distinguir la parábola y la recta tangente. 6. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva ¸ = r 3 , en el punto 1 (÷1. 1) a) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso. b) Graque la curva y la recta tangente en pantallas cada vez más pequeñas con centro en (÷1. ÷1) hasta que parezca que coinciden la curva y la recta. 7. Encuentre la ecuación de la recta tamgente a la curva, en el punto dado: ¸ = _ r. 1 (1. 1) a) Encuentre la ecuación de la recta tamgente a la curva, en el punto dado: ¸ = r (1 ÷r) . 1 (0. 0) b) Encuentre la ecuación de la recta tamgente a la curva, en el punto dado: ¸ = 1 r 2 . 1 _ ÷2. 1 4 _ 8. Halle la pendiente de la tangente a la parábola ¸ = 1 +r +r 2 , en el punto donde r = c. a) Encuentre las pendientes de las rectas tangentes en los puntos cuyas coordenadas son: ÷1. ÷ 1 2 y 1 b) Graque la curva y las tres tangentes en una pantalla común. 9. Encuentre la pendiente de la tengente a la curva ¸ = r 3 ÷4r +1 en el punto donde r = c a) Halle las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (1. ÷2) y (2. 1). b) Graque la curva y las dos tangentes en una pantalla común. Arenas A. 106 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 10. Encuentre lapendiente de la tangente a la parábola ¸ = 1 _ 5 ÷2r en el punto donde r = c. a) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (2. 1) y _ ÷2. 1 3 _ . b) Trace las grácas de la curva y las dos tangentes en una pantalla común. 11. La gráca muestra la función de posición de un automóvil. Use la forma de la gráca para explicar las respuestas que dé a las siguientes preguntas. a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del automóvil? b) ¿El automóvil viajaba más rapido en 1 o en C? c) ¿El automóvil desacelera o aceleraba en ¹. 1 y C? d) ¿Qué sucedió entre 1 y 1? 12. Valeria conduce en una carretera. Graque la función de posición del auto si maneja de la siguiente manera: En el instante t = 0 min, el automóvil pasa frente el mojón que marca la milla 15 a una velocidad constante de 55 mi/h, que conserva durante una hora. A continuación, disminuye gradualmente la velocidad durante un periodo de dos minutos hasta que se detiene a comer. La comida dura 26 min; enseguida, vuelve a arrancar y acelera en forma gradual hasta 65mi/h, durante dos minutos. Conduce a una velocidad constante de 65mi/h durante dos horas y después, durante un periodo de tres minutos, disminuye su velocidad gradualmente hasta que se detiene por completo. 13. Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 ft/s, su altura (en pies) después de t segundos se expresa con ¸ = 40t ÷16t 2 . Encuentre la velocidad cuando t = 2. 14. Si en la Luna se dispara una echa hacia arriba con una velocidad de 58 m/s, su altura (en metro) después de t segundos se expresa con H = 58t ÷0.83t 2 . a) Encuentre la velocidad de la echa después de un segundo. b) Halle la velocidad de la echa cuando t = c. c) ¿Cuándo chocará la echa contra la Luna? Arenas A. 107 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial d) ¿Con qué velocidad chocará contra la Luna? 15. La ecuación del movimiento : = 4t 2 + 6t + 2 denota el desplazamiento (en metros) de una particula que se mueve en línea recta. En dicha expresión, t se mide en segundos. Encuentre la velocidad de la partícula en los instantes t = c. t = 1. t = 2. t = 3. 16. Se coloca una lata tibia de gaseosa en un refrigerador frío. Graque la temperatura de la gaseosa como función del tiempo. ¿La razón inicial de cambio de la temperatura es mayor o menor que la razón de cambio después de una hora? 17. En la tabla se da la población 1 (en miles) de la ciudad de San José, California,1984 hasta 1994. año 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1 695 716 733 782 800 817 18. Encuentre la razón promedio de crecimiento. De 1986 a 1992 De 1988 a 1992 De 1990 a 1992 De 1992 a 1994. (En cada caso, incluya las unidades) 18. El costo (en dólares) de producir r unidades de cierto artículo es C (r) = 5000 + 10r + 0.05r 2 . a) Encuentre la razón promedio de cambio de C con respecto a r, cuando se cambia el nivel del producción: i) de r = 100 a r = 105. ii) de r = 100 a r = 101 b) Halle la razón instantánea de cambio C con respecto a r, cuando r = 100. (Esto se conoce como costo maginal) 19. Si un tanque cilíndrico contiene 100.000 galones de agua que se pueden drenar por el fondo del depósito en 1 h, la Ley de Torricelli da el volumen \ del agua que queda después de t minutos como: \ (t) = 100000 _ 1 ÷ t 60 _ 2 0 _ t _ 60 Encuentre la rapidez con que uye el agua hacia afuera del tanque (la razón instantánea de cambio \ con respecto a t) como función t. ¿Cuáles son sus unidades? Para los in- stantes t = 0. 10. 20. 30. 40. 50 y 60, encuentre el gasto y la cantidad de agua que queda en el tanque. Resuma sus hallazgos en una oración o dos. ¿En qué instante el gasto es máximo?¿Cuándo es mínimo? 20. Si la recta tangente a ¸ = , (r), en (4. 3), pasa por el punto (0. 2), encuentre , (4) y , 0 (4). 21. Graque una función , para la cual , (0) = 0. , 0 (0) = 3. , 0 (1) = 0 y , 0 (2) = ÷1. 22. Trace la gráca de una función q para la cual q (0) = 0. q 0 (0) = 3. q 0 (1) = 0 y q 0 (2) = 1. Arenas A. 108 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 23. Si , (r) = 3r 2 ÷ 5r, encuentre , 0 (2) y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola ¸ = 3r 2 ÷5r, en el punto (2. 2). 24. Si q (r) = 1 ÷r 3 , encuentre q 0 (2) y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ¸ = 1 ÷r 3 , en el punto (0. 1). 25. Si 1 (r) = r 3 ÷ 5r + 1, encuentre 1 0 (1) y úsela para hallar una ecuación de la recta tangente a la curva ¸ = r 3 ÷5r + 1, en el punto (1. ÷3). a) Ilustre el inciso a) trazando y la recta tangente en la misma pantalla. 26. Si G(r) = r (1 + 2r) , encuentre G 0 (c) y úsela para hallar una ecuación de la recta tan- gente a la curva ¸ = r (1 + 2r) , en el punto _ ÷ 1 4 . ÷ 1 2 _ . a) Ilustre el inciso a) trazando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 27. Sea q (r) = tan r. Estime el valor de q 0 _ : 4 _ de dos maneras. a) Aplique la denición 28. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con la ecuación del movimiento : = , (t), donde : se mide en metros y t en segundos. Encuentre la velocidad cuando t = 2. a) , (t) = t 2 ÷6t ÷5 b) , (t) = 2t 3 ÷t ÷1 29. El costo de producir r onzas de oro proveniente de una nueva mina es de C = , (r) dólares. a) ¿Cuál es el signicado de la derivada , 0 (r)?¿Cuáles son sus unidades? b) ¿Qué signica la proposición , 0 (800) = 17? c) ¿Piensa que los valores de , 0 (r) aumentarán o disminuirán a corto plazo?¿Qué puede decir acerca del largo plazo?Explique. 30. La cantidad de bacterias después de t horas en un experimento controlado de laboratorio es : = , (t). a) ¿Cuál es el signicado de la derivada , 0 (5)?¿Cuáles son sus unidades? b) Suponga que existe una cantidad ilimitada de espacio y de nutrientes para las bac- terias. ¿Cuál es mayor , 0 (5) o , 0 (10)?¿La limitación del suministro de nutrientes inuiría en su conclusión?. Explique. 31. El consumo de combustible (medido en galones por hora) de un automóvil que viaja a una velocidad de · millas por horas es c = , (·). a) ¿Cuál es el signicado de la derivada , 0 (·)?¿Cuáles son sus unidades? b) Escriba una oración (en los términos de un lego) que explique el signicado de la ecuación , 0 (20) = ÷0.05. Arenas A. 109 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 32. La cantidad (en yardas) de cierta tela que vende un fabricante a un precio de j dólares por yardas es Q = , (j). a) ¿Cuál es el signicado de la derivada , 0 (16)?¿Cuáles son sus unidades? b) ¿, 0 (16) es positiva o negativa? Explique. 33. Una partícula se mueve según una Ley del movimiento : = , (t) = t 3 ÷12t 2 +36t. t _ 0, donde t se mide en segundos y : en metros. a) Encuentre la velocidad en el instante t. b) ¿Cuál es la velocidad después de 3:? c) ¿Cuándo está la partícula en reposo? d) ¿Cuándo se mueve hacia adelante? e) Encuentre la distancia total recorrida durante los primeros 8:. f ) Dibuje un diagrama, con el n de ilustrar el movimiento de la partícula. g) Encuentre la aceleración en el instante t y después de 3 s. h) Trace las grácas de las funcionesde posición, velocidad y aceleración, para 0 _ t _ 8. i) ¿Cuándo se acelera y desacelera la partícula? 34. Una partícula se mueve a lo largo del eje r, con su posición en el instante t dada por r (t) = t (1 +t 2 ) . t _ 0, donde t se mide en segundos y r, en metros. a) Encuentre la velocidad en el instante t. b) ¿Cuándo se mueve la partícula hacia la derecha y cuándo hacia la izquierda? c) Encuentre la distancia total recorrida durante los primeros 4 s. d) Halle la aceleración en el instante t, ¿Cuándo es 0? e) Trace las grácas de las funciones de posición, velocidad y aceleración, para 0 _ t _ 4. f ) ¿Cuándo se acelera y desacelera la partícula? 35. La expresión : = t 3 ÷4.5t 2 ÷7t. t _ 0 da la función de posición de una particula. a) ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de 5 m/s? b) ¿Cuándo es 0 la aceleración?¿Cuál es el signicado de este valor de t? 36. Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 80 ft/s, entonces su altura después de t segundos es : = 80t ÷16t 2 . a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando está 96 ftarriba del piso en su camino hacia arriba y luego hacia abajo? 37. Si \ es el volumen de un cubo con longitud de arista r, encuentre d\ dt en términos de dr dt 38. Si ¹ es el área de un círculo con radio :, encuentre d¹ dt en términos de dr dt Arenas A. 110 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 39. ¿Cuáles cantidades se dan en el problema? 40. ¿Cuál es la incógnita? 41. Dibuje una gura de la situación para cualquier instante t. 42. Escriba una ecuación que relacione las cantidades. 43. Termine de resolver el problema. a) Si una bola de nieve se funde de modo que su área supercial disminuye a razón de 1 c: 2 , mn, encuentre la razón a la cual disminuye al diámetro cuando es de 10 c:. b) A mediodía, el velero ¹ está a 150 /: al oeste del velero 1. El ¹ navega hacia el este a 35 /:,/ y el 1 hacia el norte a 25 /:,/. ¿Con qué rapidez cambia la ditancia entre las embarcaciones a las 400 1.`.? c) Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 1 mi a una velocidad de 500 :i,/ y pasa sobre una estación de radar. Encuentre la razón a la que aumenta la distancia del avión a la estación cuando aquél está a 2 :i de está. d) Una farola de una calle está montada en el extremo superior de un poste de 15 ,t de alto. Un hombre cuya altura es de 6 ,t se aleja del poste a una velocidad de 5 ,t,: a lo largo de una trayectoria recta. ¿Con qué rapidez se mueve la punta de su sombra cuando el hombre está a 40 ,t del poste. 44. Dos automóviles empiezan a moverse a partir del mismo punto. Una viaja hacia el sur a 60 :i,/ y el otro hacia el oeste a 25 :i,/. ¿Con qué razón aumenta la ditancia entre los dos automóviles dos horas más tardes? 45. Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 12 : de distan- cia. Si un hombre de 2 : de alto camina desde la lámpara hacia el edicio a una velocidad de 1.6 :,:, ¿Con qué rapidez decrece su sombra proyectora sobre el edicio cuando se encuentra a 4 : de éste? 46. Un hombre empieza a caminar hacia el norte a 4 ,t,: desde un punto 1. Cinco minutos más tarde, una mujer empieza a caminar hacia el sur a 5 ,t,: desde un punto a 500 ,t al este de 1. ¿Con qué razón se separan 15 mn después de que la mujer empezó a caminar? 47. Un diamante de béisbol es un cuadrado de 90 ,t por lado. Un bateador golpea la pelota y corre hacia la primera base a una velocidad de 24 ,t,:? a) ¿Con qué razón disminuye su distancia a la segunda base cuando está a la mitad de la distancia de la primera? b) ¿Con qué razón aumenta su distancia a la tercera base en el mismo momento? Arenas A. 111 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 48. La altura de un tríangulo crece 1 c:, mn y su área 2 c: 2 , mn. ¿Con qué razón cambia la base del tríangulo cuando la altura es de 10 c: y el área de 100 c: 2 ? 49. El agua se fuga de un tanque cónico invertido a razón de 10.000 c: 3 , mn, al mismo tiempo que se bombea agua hacia el tanque con una razón constante. El tanque tiene 6 : de altura y el diámetro en la parte superior es de 4 :. Si el nivel del agua sube a razón de 20 c:, mn cuando la altura de ese nivel es de 2 :, encuentre la razón a la que se bombea el agua al tanque. 50. Una artesa de agua tiene 10 : de largo y una sección transversal en forma de trapecio isóceles cuyo ancho en el fondo es de 30 c:, el de la parte superior 80 c: y la altura 50 c:. Si la artesa se llena con agua a razón de 0.2 : 3 , mn, ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando ésta tiene 30 c: de profundidad? 51. Una piscina tiene 20 ,t de ancho, 40 ,t de largo y 3 ,t de profundidad, en el extremo menos profundo, y 9 ,t de profundidad en el más profundo. En la gura se muestra su sección transversal. Si la piscina se llena a razón de 0.8 ,t 3 , mn, ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando la profundidad en el punto más profundo es de 5 ,t? 52. Una cometa que está a 100 ,t del suelo se mueve horizontalmente a una velocidad de 8 ,t,:. ¿Con qué razón se han soltado 200 ,t de cordel? 53. Dos de los lados de un triángulo tienen 4 y 5 : de longitud y el ángulo entre ellos crece a razón de 0.06 :cd,:. Encuentre la razón con que aumenta el área del triángulo cuando el angulo entre los lados de longitud ja es de :,3. 54. Dos lados de un triángulo tienen longitudes de 12 : y 15 :. El ángulo entre ellos crece a razón de 2 o , mn. ¿Con qué rapidez aumenta la longitud del tercer lado cuando el ángulo entre los lados de longitud ja es de 60 o ? 55. Una cámara de televisión está a 4000 ,t de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar a la razón correcta para mantener el cohete en la mira. Asi mismo, el mecanismo de enfoque tiene que tomar en cuenta la distancia creciente desde la cámara hasta el cohete que se eleva. Supongamos que éste se eleva verticalmente y que su velocidad es de 600 ,t,: cuando se ha elevado 3000 ,t. a) ¿Con qué rapidez cambia la distancia de la cámara de televisión al cohete en ese momento? b) Si la cámara se mantiene apuntando al cohete, ¿con qué rapidez cambia el ángulo de elevación de la cámara en ese momento? Arenas A. 112 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 56. Un faro está en una isla pequeña a 3 1: de distancia del punto más cercano 1 en una línea costera recta y su luz realiza cuatro revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se mueve el haz de luz a lo largo de la línea costera cuando está a 1 1: de 1? 57. Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 :i,/ y la otra hacia el noreste a 2 :i,/. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre ambas después de 15 mn? 58. El minutero de un reloj tiene 8 ::de largo y el hoorario, 4 ::. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre las puntas de las manecillas a la 1 en punto? 59. Encuentre el límite. Aplique la regla de L'Hôpital donde resulte apropiado; explique los casos en donde no pueda aplicarla. Si existe un método más elemental, úselo. a) lm x!0 tan r r + sin r b) lm x!1 c x r 3 c) lm x!0 c x ÷1 ÷r r 2 d) lm x!1 ln ln r _ r e) lm x!0 tan 1 2(r) 3r f ) lm x!0 + _ r ln r g) lm x!1 c x ln r h) lm x!1 r 3 c x 2 i) lm x!0 _ 1 r ÷csc r _ j) lm x!1 r a ÷1 r b ÷1 k) lm x!0 sin :r sin :r l) lm x! tan r r m) lm x!0 6 x ÷2 x r n) lm x!0 1 ÷cos r r 2 ñ) lm x!1 ln (1 +c x ) 5r o) lm x!0 sin r c x p) lm x!1 rc x q) lm x!(=2) sec 7r cos 3r Arenas A. 113 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial r) lm x! (r ÷:) cot r s) lm x!0 (csc r ÷cot r) t) lm x!1 _ rc 1=x ÷r _ u) lm x!0 + r sin x v) lm x!0 (1 ÷2r) 1=x w) lm x!0 + (÷ln r) x x) lm x!1 _ 1 ln r ÷ 1 r ÷1 _ y) lm x!0 + (sin r) tan x 60. Use una gráca para estimar el valor del límite. Enseguida, utilice la regla de L'Hôpital para hallar el valor exacto. a) lm x!1 r [ln (r + 5) ÷ln r] b) lm x!=4 (tan r) tan 2x 61. Ilustre la regla de L'Hôpital gracando , (r) q (r) y , 0 (r) q 0 (r) cerca de r = 0 para ver que estas razones tienen el mismo límite cuando r ÷÷ 0. Asi mismo, calcule el valor exacto del límite. a) , (r) = c x ÷1. q (r) = r 3 + 4r b) , (r) = 2r sin r. q (r) = sec r ÷1 62. Utilice la regla de L'Hôpital para ayudarse a encontrar las asíntotas de ,. Enseguida, úse- las con la información de , 0 y , 00 para gracar ,. Compruebe su trabajo con un aparato gracador. a) , (r) = rc x b) , (r) = c x r c) , (r) = (ln r) r d) , (r) = rc x 2 63. Graque la función. a) Aplique la regla de L'Hôpital para explicar el comportamiento cuando r ÷÷0. b) Estime el valor mínimo y los intervalos de concavida. A continuación, use el cálculo para hallar los valores exactos. 1) , (r) = r 2 ln r 2) , (r) = rc 1=x Arenas A. 114 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 64. Trace la gráca de la función. a) Explique la forma de la gráca calculando el límite cuando r ÷÷0 + o cuando r ÷÷ ·. b) Estime los valores máximos y mínimos y luego utilice el cálculo para hallar los val- ores exactos. c) Utilice una gráca de , 00 para hallar las coordenadas r de los puntos de inexión. 1) , (r) = r 1=x 2) , (r) = (sin r) sin x 65. Investigue la familia de curvas dada por , (r) = rc cx , donde c es un número real. Em- piece por calcular los límites cuando r ÷÷ ±·. Identique cualesquiera valores de transición de c, donde cambia la forma básica. ¿Qué sucede a los puntos máximos y mín- imos y a los puntos de inexión cuando c cambia? Ilustre lo anterior gracando varios miembros de la familia. 66. Investigue la familia de curvas dada por , (r) = r n c x , donde : es un entero positivo. ¿Qué caracteristicas comunes tienen estas curvas?¿En que dieren? En particular, ¿Qué sucede a los puntos máximos y mínimos y a los puntos de inexión al crecer :? Ilustre lo anterior gracando varios miembros de la familia. 67. En la gura se muestra un sector de un círculo, con ángulo central o. Sea ¹(o) el área del segmento entre la cuerda 11 y el arco 11. Sea 1(o) el área del triángulo 1Q1. Encuentre lm x!0 + ¹(o) 1(o) 68. Si , 0 es cotinua, aplique la regla de L'Hôpital para demostrar que: lm h!0 , (r +/) ÷, (r ÷/) 2/ Explique el signicado de esta ecuación con ayuda de un diagrma. 69. Sea: _ [r[ x si r ,= 0 1 si r = 0 a) Demuestre que , es continua en 0. b) Investigua grácamente si , es diferenciable en 0 mediante varios acercamientos al punto (0. 1) de la gráca de ,. Arenas A. 115 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial c) Demuestre que , no es diferenciable en 0. ¿Cómo puede reconciliar este hecho con el aspecto de las grácas del inciso anterior? 70. Considere el problema siguiente. Un granjero que tiene 750 ,t de cerca desea encerrar un área rectangular y dividirla en cuatro corrales, colocando cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Cuál es el área total máxima posible de los cuatro corrales? a) Dibuje varios diagramas en que ilustre la situación, algunos con corrales cortos y anchos, y otros con corrales largos y angostos. Encuentre las áreas totales de estas conguraciones. ¿Parece que existe un área máxima? Si es así, estímela. b) Dibuje un diagrama en que ilustre la situación general. Introduzca la notación y mar- que el diagrama con sus símbolos. c) Escriba una expresión para el área total. d) Use la información dada para escribir una ecuación que relacione las variables. e) Utilice el inciso anterior para escribir el área total como función de una variable. f ) Termine de resolver el problema y compare la respuesta con la estimación que hizo que hizo en el inciso a). 71. Considere el problema siguiente: Se va a construir una caja con la parte superior abierta a partir de un trozo cuadrado de cartón que tiene 3 ,t por lado, al recortar un cuadrado de cada una de las cuatro esquinas y doblar los lados hacia arriba. Encuentre el volumen más grande que puede tener la caja. a) Dibuje varios diagramas para ilustrar la situación; algunas cajas cortas con bases grandes y otras altas con bases pequeñas. Encuentre el volumen de varias de esas cajas. ¿Parece que existe un volumen máximo? Si es así, estímelo. b) Dibuje un diagrama en que ilustre la situación genral.Introduzca la notación y marque el diagrama con sus símbolos. c) Escriba una expresión para el volumen. d) Use la inforamción dada para escribir una ecuación que relacione las variables. e) Utilice el inciso anterior para escribir el volumen como función de una variable. f ) Termine de resolver el problema y compare la respuesta con la estimación que hizo en el inciso a). 72. Si se cuenta con 1200 c: 2 de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja. 73. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32.000 c: 3 . Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. 74. Demuestre que de todos los rectángulos con un área dada, el que tiene el perímetro menor es un cuadrado. a) Demuestre que de todos los rectángulos con un perímetro dado, el que tiene el área máxima es un cuadrado. Arenas A. 116 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 75. Un recipiente rectángular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 10 : 3 . El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuesta 10 dólares por metro cuadrado. El material para los costados, 6 dólares por metro cuadrado. Encuentre el costo de los materiales para tener el más barato de esos recipientes. 76. Una ventana normada tiene forma de rectángulo rematado por un semicírculo. (Por con- siguiente, el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo) Si el perímetro de la ventana es de 30 ,t, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que se admita la cantidad más grande posible de luz. 77. Se elabora un cono para beber a partir de un trozo circular de papel de radio 1, al recortar un sector y unir los bordes C¹ y C1. Encuentre la capacidad máxima del cono. 78. Para un pez que nada a una velocidad · con relación al agua, el consumo de energía por unidad de tiempo es proporcional a · 3 . Se cree que el pez migratorio trata de minimizar la energía total requerida para nadar una distancia ja. Si nada contra una corriente n(n < ·), el tiempo requerido para nadar una distancia 1 es 1 (· ÷n) y la energía total 1 necesaria para nadar la distancia se expresa mediante 1 (·) = c· 3 1 · ÷n Donde c es la constante de proporcionalidad. a) Determine el valor de · que minimice 1. b) Dibuje la gráca de 1. Este resultado se ha comprobado de manera experimental; el pez migratorio nada contra la corriente a una velocidad 50 % mayor que la velocidad de esa corriente. 80 Se va a construir un armazón de una cometa a partir de seis razones de madera. Se han cortado los seis trozos exteriores con las longitudes que se indican en la gura. Para max- Arenas A. 117 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial imizar el área de la cometa, ¿qué longitud deben tener los trozos diagonales? 81. Sean · 1 la velocidad de la luz en el aire y · 2 la velocidad de la luz en el agua. Según el principio de Fermat, un rayo de luz viaja de un punto ¹ en el aire a un punto 1 en el agua por una trayectoria ¹C1 que minimiza el tiempo para hacer el recorrido. Demuestre que sin o 1 sin o 2 = · 1 · 2 donde o 1 (el ángulo de incidencia) y o 2 (el ángulo de refracción) son como se muestran en la gura. Esta ecuación se conoce como Ley de Snell. 82. Dos postes verticales, 1Q y o1, se aseguran por medio de un cable 11o extendido desde el extremo del primer poste hasta un punto 1 sobre el piso y a continuación, hasta el extremo superior del segundo poste, como se ve en la gura. Demuestre que se tiene la longitud más corta de ese cable cuando o 1 = o 2 Arenas A. 118 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 83. Se dobla la esquina superior izquierda de un trozo de papel de 8 c: ancho por 12 c: de largo para llevarla hasta el borde de la derecha, como en la gura. ¿Cómo la doblaría de modo que se minimice la longitud del doblez? En otras palabras, ¿cómo elegiría r para minimizar? 84. Se está transportando un tubo de acero por un pasillo de 9 ,t de ancho. Al nal de éste existe una vuelta a ángulo recto hacia otro pasillo más angosto de 6 ,t de ancho. ¿Cuál es la longitud del tubo más largo que se puede hacer pasar horizontalmente por la esquina? 85. Se necesita ubicar un punto 1 en alguna parte sobre la recta ¹1, de modo que se minimice la longitud total 1 de los cables que enlazan 1 con los puntos ¹. 1. C (véase la gura). Exprese 1 como función de r = [¹1[ y use las grácas de 1 y d1 dr para estimar el valor mínimo. 86. ¿Dónde debe elegirse el punto 1 sobre el segmento rectilíneo ¹1 de modo que se max- Arenas A. 119 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial imice el ángulo o? 87. En un galería de arte, una pintura tiene la altura / y está colgada de modo que su borde inferior queda a una distancia d arriba del ojo del observador (como se observa en la gura). ¿Cuán lejos de la pared debe pararse un observador para tener la mejor vista? (En otras palabras, ¿dónde debe situarse el observador a n que se maximice el ángulo o subtendido en su ojo por la pintura? Arenas A. 120 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Arenas A. 121 Camargo B. Cálculo Diferencial UNIDAD 4 6. Aplicaciones de la derivada 6.1. Máximos y mínimos absolutos a) En intervalos cerrados Supongamos que la función f es continua en un intervalo cerrado [a; b], entonces alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo. El máximo y el mínimo absoluto solamente pueden estar situados: 1. En puntos donde f 0 (x) = 0 2. En puntos donde f 0 (x) no está de nida 3. En los extremos del intervalo. Puntos críticos de una función: Se llaman puntos críticos de una función a los puntos en los que la derivada sea nula o no esté de nida. Cálculo del máximo y del mínimo absoluto: Para hallar el máximo y el mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado. 1. Se hallan los puntos críticos. 2. Se halan los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. El mayor valor obtenido es el máximo absoluto y el menor el mínimo. Arenas A. 90 Camargo B. 6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Observación .7 Si la función no es continua el método anterior no es valido, ya que los valores de la función en los puntos críticos no determinan nada. Ejemplo .63 Hallar los extremos absolutos de la función f (x) = 2x3 en el intervalo [0; 3]. Solución: 1. Hallamos los puntos críticos: a) Puntos en los que la derivada no está de nida: No existen ya que f 0 (x) = 6x2 12 está de nida en todo R. b) Puntos en los que la derivada vale cero: 6x2 6x 12 = 0 ! x2 x 2 = 0 ! x p 1 1+8 1+3 2 = = = 1 2 2 6x 3x2 12x + 15 2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo: f (0) = 15 Máximo f (2) = 16 12 24 + 15 = 5 Mínimo f (3) = 54 27 36 + 15 = 6 Ejemplo .64 Hallar los extremos absolutos de la función: f (x) = x5 en el intervalo [2; 4] Solución: 1. Hallamos los puntos críticos: a) Puntos en los que la derivada no está de nida: No existen ya que f 0 (x) = 5x4 está de nida en todo R. b) Puntos en los que la derivada vale cero: r 1 1 4 4 5x 1=0 !x = !x= 2 [2; 4] = 5 5 Luego no existe ningún punto crítico dentro del intervalo, por tanto: 2. Comparamos los valores de la función en los extremos del intervalo: f (2) = 30 f (4) = 1020 Arenas A. 91 Mínimo Máximo Camargo B. 1 x la función derivada es: f 0 (x) = 1.66 Hallar los extremos absolutos de la función: f (x) = Solución: Hallamos la derivada de la función. 4] Solución: Para hallar la derivada de la función eliminamos el valor absoluto. x2 + 1 1 si x > 2 1 si x < 2 1. 92 Camargo B.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Ejemplo .6. Ejemplo . 2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los “extremos” del intervalo: Arenas A. f 0 (x) = 2x3 + 2x 2x3 2x 2x (x2 + 1) x2 2x = = 2 + 1)2 2 + 1)2 2 + 1)2 (x (x (x x2 en todo R. . 2.65 Hallar los extremos absolutos de la función: f (x) = 3 jx 2j en el intervalo [1. Hallamos los puntos críticos: a) Puntos en los que la derivada no está de nida: No existen. b) Puntos en los que la derivada vale cero: 2x = 0 ! x = 0. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo: f (1) = 2 f (2) = 3 Máximo f (4) = 1 Mínimo b) Máximos y mínimos absolutos en intervalos abiertos Para hallar el máximo y el mínimo de una función continua en un intervalo abierto se “cierra” el intervalo hallando los límites de la función en los extremos del mismo. f (x) = 3 jx 2j = 3 (x 2) si x 2 = 3 ( x + 1) si x < 2 5 x 1+x si x 2 si x < 2 Con lo cual. Hallamos los puntos críticos: a) Puntos en los que la derivada no está de nida: x = 2 b) Puntos en los que la derivada vale cero: No existen. Teorema . Si f es derivable en el intervalo. f (c) es un máximo relativo de f: 3.1. . Si f 0 no cambia su signo en c. Si f 0 cambia de positiva a negativa en c. f (c) es un mínimo relativo de f: 2. b) 0 =) f es decreciente en (a. sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a c.13 Criterio de la primera derivada. escepto quizá en c. 93 Camargo B. 8x 2 (a. Máximos y mínimos relativos o locales Una función es creciente allí donde su derivada es positiva y 0 =) f es creciente en (a. f (c) puede clasi carse como sigue: 1.6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial y= x2 x2 + 1 f ( 1) = x2 =1 x ! 1 x2 + 1 f (0) = 0 ! Mínimo x2 f (+1) = lm 2 = 1 Luego la función no tiene máximo x !+1 x + 1 lm 6. f 0 (x) 8x 2 (a. b) . Si f 0 cambia de negativa a positiva en c. decreciente donde es negativa. b) Crecimiento y decrecimiento. f 0 (x) Estudios de los máximos y mínimos locales a partir del signo de la primera derivada. b) . f (c) no es ni máximo ni mínimo relativo f: Arenas A.1. Puntos críticos: f 0 (x) = de donde: f 0 (x) = 0 ! x2 1=0 !x= 1 1.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Ejemplo . 94 Camargo B. Solución: f es continua en todo R. Extremos absolutos: hallamos los valores de la función en los punto críticos y en los Arenas A.6. ya que 1 + x2 no se anula nunca. . Extremos relativos: Estudiamos el signo de la derivada.67 Estudiar los extremos relativos y absolutos de la función f (x) = R. 3 4 1 =+ 2 = 25 (1 + 4) 1 f 0 (0) = = 1= 1 3 4 1 f 0 (2) = =+ 2 = 25 (1 + 4) f 0 ( 2) = Con lo cual hay un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 1 (1 + x2 ) + x (2x) = (1 + x2 )2 1 x2 + 2x2 x2 1 = (1 + x2 )2 (1 + x2 )2 x en todo 1 + x2 2. Cálculo Diferencial y= f ( 1) = x 1 f ( 1) = 2 1 f (1) = 2 f (+1) = x x 1 + x2 lm x =0 ! 1 1 + x2 ! Máximo absoluto ! Mínimo absoluto x lm =0 !+1 1 + x2 4 en R. x = 0 Arenas A.68 Encontrar los extremos relativos de la función f (x) = x + Solución: La función es continua en R f0g Puntos críticos. . Puntos donde la derivada no esta de nida. x Ejemplo . Hallamos la derivada de la función f 0 (x) = 1 4 x2 y =x+ 4 x 1.6.1 Máximos y mínimos absolutos extremos del intervalo. 95 Camargo B. La gura siguiente muestra la grá ca de f . hacemos f 0 (x) = 0 = 0 = 0 = 2.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 2. Arenas A.69 Usar el criterio de la primera derivada para hallar todos los máximos y mínimos relativos de la función dada por: f (x) = 2x3 Solución: f 0 (x) 6 x2 x 6 6 (x 3) (x + 2) x = 6x2 6x 36 = 0. Puntos donde la derivada vale cero: f 0 (x) = 0 ! x = Intervalos de crecimiento: 4 = + ! Creciente 9 0 f ( 1) = 1 4 = ! Decreciente 0 f (1) = 1 4 = ! Decreciente 4 f 0 (3) = 1 = + ! Creciente 9 f 0 ( 3) = 1 Ejemplo . 96 Camargo B. 3. . Intervalo Valor prueba Signo de f 0 (x) conclusión 1<x< 2 x= 3 f 0 ( 3) > 0 Creciente 2<x<3 x=0 f 0 (0) < 0 Decreciente 3<x<1 x=4 f 0 (x) > 0 Creciente 2 y un mínimo relativo De la tabla anterior concluimos que hay un máximo relativo en x = en x = 3.6. Números criticos 3x2 36x + 14 2 La tabla a continuación muestra un formato adecuado para la aplicación del criterio de la primera derivada. por tanto. Calculamos los puntos criticos. 7 (y)x=1 = 3 El segundo punto criticos es x2 = 3 para x < 3 se tiene que: y 0 < 0. Su derivada 4x + 3 2. la raices de la derivada: 4x + 3 = 0 x1 = 1. resulta que: para x < 1 se tiene que: y 0 > 0.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Ejemplo . (y)x=3 = 1 Basándonos en este análisis. para x > 1 se tiene que : y 0 < 0: Esto quiere decir que la pasar de izquierda a derecha por el punto x1 = 1. 4. por tanto. x2 = 3 3. Arenas A.70 Hallar los extremos relativos de y = 1. . el signo de la derivada cambia de más a menos. La derivada es continua en todos los puntos y por tanto no existen otros puntos criticos. El primer punto criticos es x1 = 1. en x = 1 la función tiene un máximo. trazamos la siguiente grá ca.6. osea. el signo de la derivada cambia de menos a más. en x = 3 la función tiene un mínimo. Hallamos la primera derivada y 0 = x2 x2 x3 2x2 + 3x + 1 3 Solución: Empezamos haciendo constar que f es continua en toda la recta real. para x > 3 se tiene que : y 0 > 0: Esto quiere decir que la pasar de izquierda a derecha por el punto x2 = 3. como y 0 = (x 1) (x 3) . 97 Camargo B. Analizamos los valores criticos y los resultados los llevamos a la gura que se muestra enseguida. 1<x< 1 x= 2 f 0 ( 2) > 0 Cóncava hacia arriba 98 1<x<1 x=0 f 00 (0) < 0 Cóncava hacia abajo 1<x<1 x=2 f 0 (2) > 0 Cóncava hacia arriba Camargo B. . Si f 00 (x) < 0 para todo x en I. Teorema . ( 1. Máximos y mínimos absolutos Concavidad y el criterio de la segunda derivada Cálculo Diferencial De nición . Los resultados se recogen en la tabla y en la gura siguiente.19 Sea f derivable en un intervalo abierto. 6 es cóncava x2 + 3 Solución: Comenzamos observando que f es continua en toda la recta. Diremos que la grá ca de f es cóncava hacia arriba si f 0 es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f 0 es decreciente en el intervalo.14 Criterio de concavidad Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I. 1) y (1. probamos f 00 en los intervalos ( 1. Intervalo Valor prueba Signo de f 00 (x) conclusión Arenas A. Calculamos su segunda derivada f (x) = 6 x2 + 3 1 2 f 0 (x) = ( 6) (2x) x2 + 3 12x = (x2 + 3)2 36 (x2 1) 00 f (x) = (x2 + 3)3 Como f 00 (x) = 0 cuando x = 1 y f 00 está de nida en toda la recta real.1. la grá ca de f es cóncava hacia arriba. Si f 00 (x) > 0 para todo x en I.1 6.2. 1). 1.71 Hallar los intervalos abiertos donde la grá ca de f (x) = hacia arriba o hacia abajo. 2. Ejemplo . la grá ca de f es cóncava hacia abajo. 1) .6. Solución: Derivando dos veces obtenemos: f 0 (x) = 4x3 12x2 f 00 = 12x2 24x = 12x (x 2) Los posibles puntos de in exión están en x = 0 y x = 2. Ejemplo . Intervalo Valor prueba Signo de f 00 (x) conclusión 1<x<0 x= 1 f 0 ( 1) > 0 Cóncava hacia arriba 0<x<2 x=1 f 00 (1) < 0 Cóncava hacia abajo 2<x<1 x=3 f 00 (3) > 0 Cóncava hacia arriba Arenas A.20 Punto de in exión Sea f una función cuya grá ca tiene recta tangente en (c. entonces o es f 00 (c) = 0 o f 00 no está de nida en x = c.6.15 Si (c. vemos que ambos son puntos de in exión. f (c)) es un punto de in exión si la concavidad de f cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo (o viceversa) en ese punto. f (c)). f (c)) es un punto de in exión de la grá ca de f . 99 Camargo B. Ensayando en los intervalos determinados por esos dos valores de x. . Teorema .72 Determinar los puntos de in exión y discutir la concavidad de la grá ca de f (x) = x4 4x2 . Un resumen de los ensayos se recoge en la tabla y la gura a continuación. Se dice que el punto (c.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial De nición . a = 14 3a + 2b = 0 a = 14 Arenas A. b. y sustituyendo. Sea f una función tal que f 0 (c) = 0 y tal que la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c. 100 Camargo B. . Si f 00 (c) > 0. .1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Teorema .73 Hallar a. 1. entonces el criterio no decide. Determinación de funciones conociendo algunos puntos críticos La di cultad de este tipo de ejercicios está en saber aprovechar toda la información que nos da el enunciado. resulta el sistema de ecuaciones: 9 9 d= 3 > > d= 3 > > = = c=0 c=0 a+b+c+d=4 > a+b+0 3=4 > > > . entonces f (c) es un mínimo relativo 2. .16 Criterio de la segunda derivada. . Si f 00 (c) = 0. Si f 00 (c) < 0. entonces f (c) es un máximo relativo 3. c y d para la función f (x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un mínimo relativo de valor 3 en x = 0 y un máximo relativo de valor 4 en x = 1.6. 3a + 2b + c = 0 3a + 2b + 0 = 0 9 9 9 d= 3 > d= 3 > > d= 3 > > > = = = c=0 c=0 c=0 a+b=7 > > a + b = 7 > b = 21 > > > . Solución: Mínimo relativo de valor 3 en x = 0 ! ! f (0) = 3 f 0 (0) = 0 f (1) = 4 f 0 (1) = 0 Máximo relativo de valor 4 en x = 1 Hallando la derivada de f 0 (x) = 3ax2 +2bx+c. Ejemplo . . 4. . 3. 1). Solución: Pasa por el punto (1. 2bx + c. Estudiando el signo de la primera derivada a ambos lados de cada punto crítico. la resolución del problema puede resultar más facil a más di cil. Preguntarse ¿Qué es lo que hay que hacer máximo o mínimo?. Por la propia naturaleza del problema. Esa magnitud es la que hay que derivar. 2. f 00 (x) = 6ax + 2b y 9 c=1 a b = b = 1 2a . 1) ! f 0 (1) = 0 Punto de in exión en (1. Estudiando el signo de la segunda derivada en los puntos críticos. 1) ! f (1) = 1 Tangente horizontal en (1. Observación: Si el problema pide un máximo y encontramos un mínimo. Naturaleza de los puntos críticos. Comparando el valor de la función en los puntos críticos y en los extremos del dominio. 101 Camargo B. a=1 Problemas de aplicación de máximos y mínimos Para resolver problemas de máximos y mínimos con enunciado deben seguirse los siguientes pasos: 1. 6a + 2b = 0 3a + b = 0 9 9 c=1 1+3 = c=3 = b= 1 2= 3 b= 3 .1 Máximos y mínimos absolutos 14x3 + 21x2 Cálculo Diferencial Luego la función buscada es: f 0 (x) = 3 Ejemplo . La naturaleza de los puntos críticos puede determinarse por cualquiera de los siguientes críterios: 1. 2. A veces conviene contar con los ángulos). Encontrar una fórmula para la magnitud que hay que derivar y expresarla en función de una sola variable y entonces derivar. Arenas A. a=1 a=1 Luego la función buscada es: f (x) = x3 3x2 + 3x. el máximo habrá que buscarlo en los extremos del dominio. 1) ! f 00 (1) = 0 Hallando la primera y segunda derivada f 0 (x) = 3ax2 + sustituyendo. (Según se asignen las letras. b y c tales que la grá ca de la función f (x) = ax3 + bx2 + cx tenga una tangente horizontal en el punto de in exión (1. Asignar letras a todas las magnitudes que intervienen e intentar relacionarlas entre sí. resulta el sistema de ecuaciones: 9 9 a+b+c=1 = c=1 a b = 3a + 2b + c = 0 2a + b = 1 . 3.6.74 Hallar a. . Se van a cortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas para doblar la pieza metálica resultante y soldarla para formar una caja sin tapa. v = x (8 Arenas A. ¿Qué dimensiones maximizaran el área del corral? Solución: La magnitud a maximizar es el área.75 Un granjero tiene 200 m de tela metálica que va a utilizar para tres lados de un corral rectangular.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Ejemplo . a partir de la segunda derivada: a00 (x) = 4 =) a00 (50) = 4 ! Máximo 4x ! 200 4x = 0 ! x = 50 Luego la solución es x = 50 e y = 100. Ejemplo . a=x y 2x + y = 200 ! y = 200 a0 (x) = 200 2x a = x (200 2x) = 200x 2x2 Comprobamos que realmente se trata de un máximo.6. 2x) (5 2x) = 4x3 102 26x2 + 40x Camargo B. .76 Una lámina metálica rectangular mide 5 m de ancho y 8 m de largo. ¿Cómo debe hacerse para obtener una caja del máximo posible? Solución: La magnitud a maximizar es el volumen. de donde. se va a usar un muro recto que ya existe como cuarto lado del corral. a partir de la segunda derivada: v 00 (x) = 24x 52 =) a00 (1) = 28 ! Máximo Ejemplo . Suponiendo que el precio por unidad de supercie del lateral es p el de las bases será 2p. 103 Camargo B. c0 (r) = 8 rp 8 rp 80 p.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial de donde v 0 (x) = 12x2 luego: x= 13 p 169 6 120 = 13 p 6 49 = 13 6 7 = x = 30 3 no válida x=1 52x + 40 =) 12x2 52x + 40 = 0 ! 3x2 13x + 10 = 0 Comprobamos que realmente se trata de un máximo. El material del fondo y de la tapa es dos veces más caro que el del lateral. .77 Deseamos construir una lata cilíndrica con 40 cm3 de capacidad. r2 40 80 p = 4 r2 p + p 2 r r 80 p=0 !8 r r2 80 80 10 ! r3 = = !r= r2 8 r 3 10 Comprobamos que realmente se trata de un mínimo. Hallar el radio y la altura de la lata más económica. Solución: La magnitud a minimizar es el coste.6. con lo que resulta. a partir de la segunda derivada: c00 (r) = 8 + la altura correspondiente será: 40 h= q 3 160 =) c00 (r) > 0 ! Mínimo r3 r r 40 3 10 3 1000 = p =4 = 4r =4 3 100 100 100 2 40 = q 3 100 2 3 Arenas A. r2 80 =0 !8 r r2 40 de donde. con lo que resulta: Sb = r 2 + r 2 = 2 r 2 St = 2 rh 2p p coste Sb = 4 r2 p coste St = 2 rhp c = 4 r2 p + 2 rhp y teniendo en cuenta que v = 40 resulta r2 h = 40 ! h = c = 4 r2 p + 2 rhp = c = 4 r2 p + 2 r luego. 104 10 Camargo B. 1) vendrá de nida por la expresión: x2 al punto x2 . para facilitar la rasolución del problema. el valor máximo o mínimo de d se corresponde con el de d2 . 1). .1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Ejemplo . al ser d positivo.78 Hallar el punto más cercano y más alejado de la parábola y = 4 (0. d2 = x2 + (y y teniendo en cuenta el valor de y = 4 x2 resulta: 2 1)2 d2 = x2 + 4 x2 1 = x2 + 3 x2 = x2 + 9 6x2 + x4 = x4 5x2 + 9 Y dado que. x = r 5 2 Para estudiar la naturaleza de los puntos críticos podemos acudir al signo de la segunda derivada: g 00 (x) = 12x2 Arenas A. podemos optimizar la expresión: g (x) = d2 = x4 Halllamos los puntos críticos g (x) = 4x 0 3 5x2 + 9 10x ! x 4x 2 10 = 0 ! x = 0.6. eliminamos la raíz cuadrada elevando al cuadrado. y) de la parábola y = 4 punto P (0. Su distancia al y=4 q x2 d= (x 0)2 + (y 1)2 Cuyo valor ha de ser máximo o mínimo. Solución: Consideremos un punto genérico X (x. Ahora bien. f (x)). Considere la pendiente de la curva dada en cada uno de los cinco puntos que se muestran.6.6 1. para determinar hallamos el valor de la función g en cada uno de ellos. a) Escriba una expresión para la velocidad promedio del objeto en el lapso t = a a t = a + h. Suponga que un objeto se mueve con la función de posición s = f (t). 2. Una curva tiene la ecuación y = f (x). b) Escriba una expresión para la velocidad instantánea en el instante t = a. a) Encuentre una expresión para la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P (3. ya que la función no tiene máximo absoluto por alejarse hacia el in nito. f (3)) y Q (x. 3. 2 2 2 mientras que le punto más alejado no existe. 3 q q2 2 5 5 3 5 3 f = 4 2 = 2 ! P2 . 105 Camargo B.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial g 00 g 00 g 00 (0) = 10 ! Máximo relativo q 5 10 = 30 10 = 20 ! Mínimo relativo + 5 = 12 2 2 q 5 5 10 = 30 10 = 20 ! Mínimo relativo = 12 2 2 El máximo relativo no es el máximo absoluto. q g + 5 2 25 = 4 25 25 +9= 2 50 + 36 11 = =g 4 4 q 5 2 Luego los puntos de la parábola y = 4 x2 que se encuentran más cercano al punto (0. El mínimo absoluto estará en uno de los dos mínimos relativos. 1) son: q q 5 5 3 f + 2 = 4 2 = 2 ! P1 + 5 . EJERCICIOS . Arenas A. . b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente en P . p 7.1.5] por [0.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Enumere estas cinco pendientes en orden decreciente y explique su razonamiento. Halle la pendiente de la tangente a la parábola y = 1 + x + x2 . 3) a) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso. en el punto donde x = a.5. 0. 2) y (2. 1] por [0. b) Gra que la ecuación de la parábola y la recta tangente. a) Encuentre las pendientes de las rectas tangentes en los puntos cuyas coordenadas 1 son: 1. b) Gra que la curva y las dos tangentes en una pantalla común. 4.9. Encuentre la ecuación de la recta tamgente a la curva. P (1. 1.6. 6. 0) (1 x) 1 1 b) Encuentre la ecuación de la recta tamgente a la curva. 1). 106 Camargo B. 1. 1) a) Encuentre la ecuación de la recta tamgente a la curva. [ 0. P (0. acérquese al punto P ( 3. 9. Encuentre la pendiente de la tengente a la curva y = x3 4x + 1 en el punto donde x = a a) Halle las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (1. en el punto dado: y = x. 1) a) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso. ¿Qué advierte acerca de la curva a medida que se acerca al punto (0. Gra que la curva y = ex en las pantallas [ 1.1] por [0. Arenas A.5. x 4 8. en el punto dado: y = x . 1) hasta que parezca que coinciden la curva y la recta. 2] . Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y = x3 . en el punto ( 3.5] y [ 0. en el punto dado: y = 2 .1]. . y1 2 b) Gra que la curva y las tres tangentes en una pantalla común. Como una comprobación de su solución. Encuentre la pendiente de la recta tangent a la parábola y = x2 + 2x. P 2. 1)? 5. 0. 3) hasta que no pueda distinguir la parábola y la recta tangente. b) Gra que la curva y la recta tangente en pantallas cada vez más pequeñas con centro en ( 1. en el punto P ( 1. que conserva durante una hora. a) b) c) d) ¿Cuál fue la velocidad inicial del automóvil? ¿El automóvil viajaba más rapido en B o en C? ¿El automóvil desacelera o aceleraba en A. disminuye gradualmente la velocidad durante un periodo de dos minutos hasta que se detiene a comer. Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 ft/s. disminuye su velocidad gradualmente hasta que se detiene por completo. Conduce a una velocidad constante de 65mi/h durante dos horas y después. 1) y b) Trace las grá cas de la curva y las dos tangentes en una pantalla común. . La comida dura 26 min. enseguida. B y C? ¿Qué sucedió entre D y E? 12. b) Halle la velocidad de la echa cuando t = a. 107 Camargo B.1 Máximos y mínimos absolutos 1 5 2x Cálculo Diferencial 10. c) ¿Cuándo chocará la echa contra la Luna? Arenas A. 1 . 14. Use la forma de la grá ca para explicar las respuestas que dé a las siguientes preguntas. A continuación.83t2 . Valeria conduce en una carretera. su altura (en metro) después de t segundos se expresa con H = 58t 0. durante dos minutos. Si en la Luna se dispara una echa hacia arriba con una velocidad de 58 m/s. Encuentre la velocidad cuando t = 2. 11. vuelve a arrancar y acelera en forma gradual hasta 65mi/h. Encuentre lapendiente de la tangente a la parábola y = p en el punto donde x = a.6. durante un periodo de tres minutos. Gra que la función de posición del auto si maneja de la siguiente manera: En el instante t = 0 min. 3 a) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (2. el automóvil pasa frente el mojón que marca la milla 15 a una velocidad constante de 55 mi/h. La grá ca muestra la función de posición de un automóvil. 13. 2. a) Encuentre la velocidad de la echa después de un segundo. su altura (en pies) después de t segundos se expresa con y = 40t 16t2 . 20. . g (1) = 0 y g (2) = 1. (En cada caso. 22. t se mide en segundos. cuando se cambia el nivel del producción: i) de x = 100 a x = 105. ¿Cuáles son sus unidades? Para los instantes t = 0. Trace la grá ca de una función g para la cual g (0) = 0. (Esto se conoce como costo maginal) 19. Resuma sus hallazgos en una oración o dos. 2). ii) de x = 100 a x = 101 b) Halle la razón instantánea de cambio C con respecto a x. encuentre f (4) y f 0 (4). en (4. t = 3. t = 2.000 galones de agua que se pueden drenar por el fondo del depósito en 1 h. En la tabla se da la población P (en miles) de la ciudad de San José. De 1986 a 1992 De 1988 a 1992 De 1990 a 1992 De 1992 a 1994.05x2 : a) Encuentre la razón promedio de cambio de C con respecto a x.1984 hasta 1994. cuando x = 100. Se coloca una lata tibia de gaseosa en un refrigerador frío. Encuentre la velocidad de la partícula en los instantes t = a. 3). ¿La razón inicial de cambio de la temperatura es mayor o menor que la razón de cambio después de una hora? 17. Gra que una función f para la cual f (0) = 0. la Ley de Torricelli da el volumen V del agua que queda después de t minutos como: V (t) = 100000 1 t 60 2 0 t 60 Encuentre la rapidez con que uye el agua hacia afuera del tanque (la razón instantánea de cambio V con respecto a t) como función t. 108 Camargo B. Encuentre la razón promedio de crecimiento.1 Máximos y mínimos absolutos d) ¿Con qué velocidad chocará contra la Luna? Cálculo Diferencial 15. año 1984 1986 1988 1990 1992 1994 P 695 716 733 782 800 817 18. 16. t = 1. 30. Arenas A. La ecuación del movimiento s = 4t2 + 6t + 2 denota el desplazamiento (en metros) de una particula que se mueve en línea recta. Gra que la temperatura de la gaseosa como función del tiempo. encuentre el gasto y la cantidad de agua que queda en el tanque. g (0) = 3. f 0 (1) = 0 y f 0 (2) = 0 0 0 1. Si la recta tangente a y = f (x). Si un tanque cilíndrico contiene 100. ¿En qué instante el gasto es máximo?¿Cuándo es mínimo? 20. California. pasa por el punto (0.6. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es C (x) = 5000 + 10x + 0. 10. 50 y 60. f 0 (0) = 3. 40. En dicha expresión. incluya las unidades) 18. 21. La cantidad de bacterias después de t horas en un experimento controlado de laboratorio es n = f (t). 27. 1). 25. Sea g (x) = tan x. Arenas A.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 23. El costo de producir x onzas de oro proveniente de una nueva mina es de C = f (x) dólares. en el punto (0. Si F (x) = x3 5x + 1. en el punto .05. donde s se mide en metros y t en segundos. El consumo de combustible (medido en galones por hora) de un automóvil que viaja a una velocidad de v millas por horas es c = f (v). 3). encuentre G0 (a) y úsela para hallar una ecuación de la recta tan(1 + 2x) x 1 gente a la curva y = . Si f (x) = 3x2 5x. 1 : 4 2 (1 + 2x) a) Ilustre el inciso a) trazando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. en el punto (1. 109 Camargo B. 2). Si G (x) = . Encuentre la velocidad cuando t = 2. ¿Cuál es mayor f 0 (5) o f 0 (10)?¿La limitación del suministro de nutrientes in uiría en su conclusión?. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con la ecuación del movimiento s = f (t). . Estime el valor de g 0 a) Aplique la de nición 28. Explique. a) ¿Cuál es el signi cado de la derivada f 0 (5)?¿Cuáles son sus unidades? b) Suponga que existe una cantidad ilimitada de espacio y de nutrientes para las bacterias. Si g (x) = 1 curva y = 1 x3 . 30. 24. a) ¿Cuál es el signi cado de la derivada f 0 (x)?¿Cuáles son sus unidades? b) ¿Qué signi ca la proposición f 0 (800) = 17? c) ¿Piensa que los valores de f 0 (x) aumentarán o disminuirán a corto plazo?¿Qué puede decir acerca del largo plazo?Explique. encuentre F 0 (1) y úsela para hallar una ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 5x + 1.6. x 26. en el punto (2. encuentre g 0 (2) y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la x3 . 31. encuentre f 0 (2) y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = 3x2 5x. a) f (t) = t2 6t b) f (t) = 2t3 t 5 1 4 de dos maneras. a) Ilustre el inciso a) trazando y la recta tangente en la misma pantalla. a) ¿Cuál es el signi cado de la derivada f 0 (v)?¿Cuáles son sus unidades? b) Escriba una oración (en los términos de un lego) que explique el signicado de la ecuación f 0 (20) = 0. 29. b) ¿Cuándo se mueve la partícula hacia la derecha y cuándo hacia la izquierda? c) Encuentre la distancia total recorrida durante los primeros 4 s. Encuentre la aceleración en el instante t y después de 3 s. velocidad y aceleración. t 0 da la función de posición de una particula. a) ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de 5 m/s? b) ¿Cuándo es 0 la aceleración?¿Cuál es el signi cado de este valor de t? 36. Si A es el área de un círculo con radio r. a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando está 96 ftarriba del piso en su camino hacia arriba y luego hacia abajo? dV dx 37. La cantidad (en yardas) de cierta tela que vende un fabricante a un precio de p dólares por yardas es Q = f (p). entonces su altura después de t segundos es s = 80t 16t2 . encuentre en términos de dt dt Arenas A. Si V es el volumen de un cubo con longitud de arista x. ¿Cuándo es 0? e) Trace las grá cas de las funciones de posición. con el n de ilustrar el movimiento de la partícula. t 0. Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 80 ft/s. 33. a) b) c) d) e) f) g) h) 12t2 + 36t. para 0 8. encuentre en términos de dt dt dA dx 38. para 0 t 4. en metros. Una partícula se mueve a lo largo del eje x.5t2 7t. i) ¿Cuándo se acelera y desacelera la partícula? t 34. a) ¿Cuál es el signi cado de la derivada f 0 (16)?¿Cuáles son sus unidades? b) ¿f 0 (16) es positiva o negativa? Explique. ¿Cuál es la velocidad después de 3s? ¿Cuándo está la partícula en reposo? ¿Cuándo se mueve hacia adelante? Encuentre la distancia total recorrida durante los primeros 8s: Dibuje un diagrama. (1 + t2 ) a) Encuentre la velocidad en el instante t. donde t se mide en segundos y x. La expresión s = t3 4. Encuentre la velocidad en el instante t. d) Halle la aceleración en el instante t. f ) ¿Cuándo se acelera y desacelera la partícula? 35. con su posición en el instante t dada por t x (t) = . Trace las grá cas de las funcionesde posición. . Una partícula se mueve según una Ley del movimiento s = f (t) = t3 donde t se mide en segundos y s en metros. t 0. 110 Camargo B.6. velocidad y aceleración.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 32. d) Una farola de una calle está montada en el extremo superior de un poste de 15 f t de alto. 44. El A navega hacia el este a 35 km=h y el B hacia el norte a 25 km=h. Encuentre la razón a la que aumenta la distancia del avión a la estación cuando aquél está a 2 mi de está. Escriba una ecuación que relacione las cantidades. 42.6 m=s. 40. Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 12 m de distancia. Una viaja hacia el sur a 60 mi=h y el otro hacia el oeste a 25 mi=h. b) A mediodía. ¿Con qué rapidez se mueve la punta de su sombra cuando el hombre está a 40 f t del poste. Dos automóviles empiezan a moverse a partir del mismo punto. 43.1 39. encuentre la razón a la cual disminuye al diámetro cuando es de 10 cm. 41. 111 Camargo B. Un hombre empieza a caminar hacia el norte a 4 f t=s desde un punto P . Máximos y mínimos absolutos ¿Cuáles cantidades se dan en el problema? ¿Cuál es la incógnita? Dibuje una gura de la situación para cualquier instante t. Si un hombre de 2 m de alto camina desde la lámpara hacia el edi cio a una velocidad de 1. ¿Con qué rapidez cambia la ditancia entre las embarcaciones a las 4 00 P:M .6. Un bateador golpea la pelota y corre hacia la primera base a una velocidad de 24 f t=s? a) ¿Con qué razón disminuye su distancia a la segunda base cuando está a la mitad de la distancia de la primera? b) ¿Con qué razón aumenta su distancia a la tercera base en el mismo momento? Arenas A. el velero A está a 150 km al oeste del velero B. Un diamante de béisbol es un cuadrado de 90 f t por lado. ¿Con qué rapidez decrece su sombra proyectora sobre el edi cio cuando se encuentra a 4 m de éste? 46. . Cálculo Diferencial a) Si una bola de nieve se funde de modo que su área super cial disminuye a razón de 1 cm2 = m n.? c) Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 1 mi a una velocidad de 500 mi=h y pasa sobre una estación de radar. ¿Con qué razón se separan 15 m n después de que la mujer empezó a caminar? 47. Un hombre cuya altura es de 6 f t se aleja del poste a una velocidad de 5 f t=s a lo largo de una trayectoria recta. Termine de resolver el problema. Cinco minutos más tarde. ¿Con qué razón aumenta la ditancia entre los dos automóviles dos horas más tardes? 45. una mujer empieza a caminar hacia el sur a 5 f t=s desde un punto a 500 f t al este de P . el de la parte superior 80 cm y la altura 50 cm. el mecanismo de enfoque tiene que tomar en cuenta la distancia creciente desde la cámara hasta el cohete que se eleva. ¿Con qué rapidez aumenta la longitud del tercer lado cuando el ángulo entre los lados de longitud ja es de 60o ? 55.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 48. Supongamos que éste se eleva verticalmente y que su velocidad es de 600 f t=s cuando se ha elevado 3000 f t. Una cámara de televisión está a 4000 f t de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. a) ¿Con qué rapidez cambia la distancia de la cámara de televisión al cohete en ese momento? b) Si la cámara se mantiene apuntando al cohete. Una artesa de agua tiene 10 m de largo y una sección transversal en forma de trapecio isóceles cuyo ancho en el fondo es de 30 cm. ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando ésta tiene 30 cm de profundidad? 51.8 f t3 = m n. encuentre la razón a la que se bombea el agua al tanque. ¿Con qué razón se han soltado 200 f t de cordel? 53.000 cm3 = m n. . al mismo tiempo que se bombea agua hacia el tanque con una razón constante. 50. Si la artesa se llena con agua a razón de 0. La altura de un tríangulo crece 1 cm= m n y su área 2 cm2 = m n. en el extremo menos profundo. Dos lados de un triángulo tienen longitudes de 12 m y 15 m. 112 Camargo B. y 9 f t de profundidad en el más profundo.06 rad=s. El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar a la razón correcta para mantener el cohete en la mira. El agua se fuga de un tanque cónico invertido a razón de 10. Si el nivel del agua sube a razón de 20 cm= m n cuando la altura de ese nivel es de 2 m. En la gura se muestra su sección transversal. ¿con qué rapidez cambia el ángulo de elevación de la cámara en ese momento? Arenas A. 54. El tanque tiene 6 m de altura y el diámetro en la parte superior es de 4 m. 40 f t de largo y 3 f t de profundidad.6. Una piscina tiene 20 f t de ancho. ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando la profundidad en el punto más profundo es de 5 f t? 52. Una cometa que está a 100 f t del suelo se mueve horizontalmente a una velocidad de 8 f t=s. Asi mismo. ¿Con qué razón cambia la base del tríangulo cuando la altura es de 10 cm y el área de 100 cm2 ? 49.2 m3 = m n. El ángulo entre ellos crece a razón de 2o = m n. Dos de los lados de un triángulo tienen 4 y 5 m de longitud y el ángulo entre ellos crece a razón de 0. Encuentre la razón con que aumenta el área del triángulo cuando el angulo entre los lados de longitud ja es de =3. Si la piscina se llena a razón de 0. Si existe un método más elemental. Dos personas parten del mismo punto. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre ambas después de 15 m n? 58. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre las puntas de las manecillas a la 1 en punto? 59.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 56. explique los casos en donde no pueda aplicarla. Una camina hacia el este a 3 mi=h y la otra hacia el noreste a 2 mi=h. Aplique la regla de L'Hôpital donde resulte apropiado. 4 mm. ¿Con qué rapidez se mueve el haz de luz a lo largo de la línea costera cuando está a 1 Km de P ? 57. Un faro está en una isla pequeña a 3 Km de distancia del punto más cercano P en una línea costera recta y su luz realiza cuatro revoluciones por minuto. úselo. x !( =2) Arenas A. . tan x a) l m x !0 x + sin x ex b) l m 3 x !1 x ex 1 x c) l m x !0 x2 ln ln x d) l m p x !1 x tan 1 2(x) e) l m x !0 p 3x f) l m+ x ln x g) h) i) j) k) l) m) n) ñ) o) p) q) x !0 x !1 x !1 x !0 lm e x ln x x 2 l m x3 e 1 x lm csc x xa 1 lm x !1 xb 1 sin mx lm x !0 sin nx tan x lm x ! x 6x 2x lm x !0 x 1 cos x lm x !0 x2 ln (1 + ex ) lm x !1 5x sin x lm x !0 ex l m xex x ! 1 lm sec 7x cos 3x 113 Camargo B. El minutero de un reloj tiene 8 mm de largo y el hoorario. Encuentre el límite.6. calcule el valor exacto del límite. g (x) = x3 + 4x b) f (x) = 2x sin x. a) f (x) = ex 1. a) b) x !1 l m x [ln (x + 5) l m (tan x)tan 2x ln x] x ! =4 61.1 Máximos y mínimos absolutos r) s) t) u) v) w) x) Cálculo Diferencial x ! l m (x ) cot x cot x) x x !0 l m (csc x lm xe1=x x !1 x !0 x !0 x !0 l m+ xsin x 2x)1=x l m+ ( ln x)x l m (1 1 1 x !1 ln x x 1 y) l m+ (sin x)tan x lm x !0 60. Compruebe su trabajo con un aparato gra cador. . a) Aplique la regla de L'Hôpital para explicar el comportamiento cuando x ! 0. 1) f (x) = x2 ln x 2) f (x) = xe1=x Arenas A. Gra que la función. utilice la regla de L'Hôpital para hallar el valor exacto. use el cálculo para hallar los valores exactos. Use una grá ca para estimar el valor del límite. 114 Camargo B. a) f (x) = xe x ex b) f (x) = x (ln x) c) f (x) = x 2 d) f (x) = xe x 63. úselas con la información de f 0 y f 00 para gra car f . Ilustre la regla de L'Hôpital gra cando f (x) f 0 (x) y cerca de x = 0 para ver que estas g (x) g 0 (x) razones tienen el mismo límite cuando x ! 0.6. Utilice la regla de L'Hôpital para ayudarse a encontrar las asíntotas de f . Asi mismo. A continuación. Enseguida. Enseguida. g (x) = sec x 1 62. b) Estime el valor mínimo y los intervalos de concavida. donde cambia la forma básica. Investigue la familia de curvas dada por f (x) = xn e x . donde c es un número real. b) Investigua grá camente si f es diferenciable en 0 mediante varios acercamientos al punto (0.6. 69. donde n es un entero positivo. ¿Qué caracteristicas comunes tienen estas curvas?¿En que di eren? En particular. 1) de la grá ca de f . Sea A ( ) el área del segmento entre la cuerda P R y el arco P R. Empiece por calcular los límites cuando x ! 1. 1) f (x) = x1=x 2) f (x) = (sin x)sin x 65. 67. b) Estime los valores máximos y mínimos y luego utilice el cálculo para hallar los valores exactos. Si f 0 es cotinua. 66. Trace la grá ca de la función. ¿Qué sucede a los puntos máximos y mínimos y a los puntos de in exión al crecer n? Ilustre lo anterior gra cando varios miembros de la familia. Sea B ( ) el área del triángulo P QR.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 64. con ángulo central . Arenas A. Investigue la familia de curvas dada por f (x) = xe cx . Sea: jxjx 1 si x 6= 0 si x = 0 a) Demuestre que f es continua en 0. . c) Utilice una grá ca de f 00 para hallar las coordenadas x de los puntos de in exión. En la gura se muestra un sector de un círculo. aplique la regla de L'Hôpital para demostrar que: h !0 lm f (x + h) 2h f (x h) Explique el signi cado de esta ecuación con ayuda de un diagrma. Identi que cualesquiera valores de transición de c. A( ) Encuentre l m+ x !0 B ( ) 68. 115 Camargo B. a) Explique la forma de la grá ca calculando el límite cuando x ! 0+ o cuando x ! 1. ¿Qué sucede a los puntos máximos y mínimos y a los puntos de in exión cuando c cambia? Ilustre lo anterior gra cando varios miembros de la familia. 000 cm3 . algunas cajas cortas con bases grandes y otras altas con bases pequeñas. e) Utilice el inciso anterior para escribir el área total como función de una variable. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32. d) Use la inforamción dada para escribir una ecuación que relacione las variables. 73. d) Use la información dada para escribir una ecuación que relacione las variables. Introduzca la notación y marque el diagrama con sus símbolos. ¿Parece que existe un volumen máximo? Si es así. b) Dibuje un diagrama en que ilustre la situación general. b) Dibuje un diagrama en que ilustre la situación genral.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial c) Demuestre que f no es diferenciable en 0. Encuentre el volumen de varias de esas cajas. e) Utilice el inciso anterior para escribir el volumen como función de una variable. algunos con corrales cortos y anchos. 116 Camargo B. Encuentre el volumen más grande que puede tener la caja. y otros con corrales largos y angostos. al recortar un cuadrado de cada una de las cuatro esquinas y doblar los lados hacia arriba. Si se cuenta con 1200 cm2 de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta. Demuestre que de todos los rectángulos con un área dada. 71. c) Escriba una expresión para el área total. a) Dibuje varios diagramas para ilustrar la situación. c) Escriba una expresión para el volumen. ¿Cómo puede reconciliar este hecho con el aspecto de las grá cas del inciso anterior? 70.6. estímelo. el que tiene el área máxima es un cuadrado. Encuentre las áreas totales de estas con guraciones. ¿Parece que existe un área máxima? Si es así. el que tiene el perímetro menor es un cuadrado. encuentre el volumen máximo posible de la caja. f ) Termine de resolver el problema y compare la respuesta con la estimación que hizo que hizo en el inciso a). Arenas A. Considere el problema siguiente: Se va a construir una caja con la parte superior abierta a partir de un trozo cuadrado de cartón que tiene 3 f t por lado. 72. a) Demuestre que de todos los rectángulos con un perímetro dado. . colocando cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo. f ) Termine de resolver el problema y compare la respuesta con la estimación que hizo en el inciso a). Un granjero que tiene 750 f t de cerca desea encerrar un área rectangular y dividirla en cuatro corrales. Considere el problema siguiente. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. ¿Cuál es el área total máxima posible de los cuatro corrales? a) Dibuje varios diagramas en que ilustre la situación. estímela. 74.Introduzca la notación y marque el diagrama con sus símbolos. Se elabora un cono para beber a partir de un trozo circular de papel de radio R. Para maxL v u Arenas A.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 75. el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo) Si el perímetro de la ventana es de 30 f t. . Se cree que el pez migratorio trata de minimizar la energía total requerida para nadar una distancia ja. Para un pez que nada a una velocidad v con relación al agua. Una ventana normada tiene forma de rectángulo rematado por un semicírculo. 77. (Por consiguiente. 6 dólares por metro cuadrado. 76. Si nada contra una corriente u (u < v). Encuentre el costo de los materiales para tener el más barato de esos recipientes. L el tiempo requerido para nadar una distancia L es y la energía total E necesaria (v u) para nadar la distancia se expresa mediante E (v) = av 3 Donde a es la constante de proporcionalidad. el pez migratorio nada contra la corriente a una velocidad 50 % mayor que la velocidad de esa corriente. 78. b) Dibuje la grá ca de E. a) Determine el valor de v que minimice E. al recortar un sector y unir los bordes CA y CB. el consumo de energía por unidad de tiempo es proporcional a v 3 .6. Encuentre la capacidad máxima del cono. debe tener un volumen de 10 m3 . El material para la base cuesta 10 dólares por metro cuadrado. 80 Se va a construir un armazón de una cometa a partir de seis razones de madera. Este resultado se ha comprobado de manera experimental. 117 Camargo B. encuentre las dimensiones de la ventana de modo que se admita la cantidad más grande posible de luz. Se han cortado los seis trozos exteriores con las longitudes que se indican en la gura. con la parte superior abierta. Un recipiente rectángular para almacenamiento. El largo de su base es el doble del ancho. El material para los costados. 6. Demuestre que se tiene la longitud más corta de ese cable cuando 1 = 2 Arenas A. como se ve en la gura. ¿qué longitud deben tener los trozos diagonales? 81. 82. 118 Camargo B.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial imizar el área de la cometa. se aseguran por medio de un cable P RS extendido desde el extremo del primer poste hasta un punto R sobre el piso y a continuación. . P Q y ST . Esta ecuación se conoce como Ley de Snell. Sean v1 la velocidad de la luz en el aire y v2 la velocidad de la luz en el agua. Dos postes verticales. hasta el extremo superior del segundo poste. Demuestre que sin sin 1 2 = v1 v2 donde 1 (el ángulo de incidencia) y 2 (el ángulo de refracción) son como se muestran en la gura. Según el principio de Fermat. un rayo de luz viaja de un punto A en el aire a un punto B en el agua por una trayectoria ACB que minimiza el tiempo para hacer el recorrido. Se necesita ubicar un punto P en alguna parte sobre la recta AD.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial 83. Se dobla la esquina superior izquierda de un trozo de papel de 8 cm ancho por 12 cm de largo para llevarla hasta el borde de la derecha. 86. ¿Dónde debe elegirse el punto P sobre el segmento rectilíneo AB de modo que se max- Arenas A. ¿Cómo la doblaría de modo que se minimice la longitud del doblez? En otras palabras. Se está transportando un tubo de acero por un pasillo de 9 f t de ancho. ¿Cuál es la longitud del tubo más largo que se puede hacer pasar horizontalmente por la esquina? 85. Al nal de éste existe una vuelta a ángulo recto hacia otro pasillo más angosto de 6 f t de ancho. B. . como en la gura. 119 Camargo B. dL Exprese L como función de x = jAP j y use las grá cas de L y para estimar el valor dx mínimo.6. de modo que se minimice la longitud total L de los cables que enlazan P con los puntos A. ¿cómo elegiría x para minimizar? 84. C (véase la gura). 6. 120 Camargo B. . ¿Cuán lejos de la pared debe pararse un observador para tener la mejor vista? (En otras palabras. una pintura tiene la altura h y está colgada de modo que su borde inferior queda a una distancia d arriba del ojo del observador (como se observa en la gura).1 Máximos y mínimos absolutos imice el ángulo ? Cálculo Diferencial 87. En un galería de arte. ¿dónde debe situarse el observador a n que se maximice el ángulo subtendido en su ojo por la pintura? Arenas A. 1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Arenas A. 121 Camargo B.6. .