2 Indepêndencia do caminhoO valor de uma integral de linha geralmente depende da curva ou caminho entre dois pontos A e B. Entretanto, há exceções. Em outras palavras, existem integrais de linha que são independentes do caminho entre A e B. Porém, antes de continuarmos com a discussão principal, vamos ver os seguintes conceitos. Definição 2.1 Diferencial - funções de duas variáveis O diferencial de uma função de duas variáveis φ(x, y) é dφ = ∂φ ∂x dx + ∂φ ∂y dy Uma expressão P(x, y)dx +Q(x, y)dy é dita ser uma diferencial exata se existe uma função φ tal que dφ = P(x, y)dx+Q(x, y)dy. Por exemplo, a expressão x 2 y 2 dx+x 2 y 2 dy é uma diferencial exata, pois ela é a diferencial de φ(x, y) = 1 3 x 3 y 3 . Definição 2.2 Diferencial - funções de três variáveis O diferencial de uma função de três variáveis φ(x, y, z) é dφ = ∂φ ∂x dx + ∂φ ∂y dy + ∂φ ∂z dz Uma expressão P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz é dita ser uma diferencial exata se existe uma função φ tal que dφ = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. Definição 2.3 Independência do caminho. Uma integral de linha cujo valor é o mesmo para toda curva ou caminho que conecta A e B é dita ser independente do caminho. Exemplo 2.0.1 A integral ´ C y dx + x dy tem o mesmo valor em cada caminho C entre (0, 0) e (1, 1), onde y = x 2 , x = y. Solução: ˆ C y dx + x dy = 1 Teorema 2.0.1 Teorema Fundamental das Integrais de Linha Suponha que existe uma função φ(x, y) tal que dφ = P dx + Qdy; isto é, P dx + Qdy é uma diferencial exata. então, ´ C P dx+Qdy depende apenas dos pontos finais A e B do caminho C, e ˆ C P dx + Qdy = φ(B) −φ(A). (1) Exemplo 2.0.2 No exemplo anterior podemos notar que d(xy) = y dx + x dy; isto é, y dx + x dy é uma diferencial exata. Portanto, ´ C y dx + x dy independente do caminho entre quaisquer dois pontos A e B. Suponhamos que A = (0, 0) e B = (1, 1), temos então, Solução: ˆ (1,1) (0,0) y dx + x dy = ˆ (1,1) (0,0) d(xy) = xy (1,1) (0,0) = 1 8 Teorema 2.0.2 Teste para independência do caminho Considere P e Q tendo derivadas parciais primeiras contínuas em uma região conexa aberta. Assim ´ C P dx + Qdy é independente do caminho C se e somente se ∂P ∂y = ∂Q ∂x (2) para todo (x, y) na região. Exemplo 2.0.3 Mostre que a integral ´ C (x 2 −2y 3 ) dx+(x+5y) dy não é independente do caminho C. Solução: ∂P ∂y = −6y 2 e ∂Q ∂x = 1 Exemplo 2.0.4 Mostre que ´ C (y 2 − 6xy + 6) dx + (2xy − 3x 2 ) dy é independente de qualquer caminho C entre (−1, 0) e (3, 4). Calcule. Solução: ∂P ∂y = 2y −6x e ∂Q ∂x = 2y −6x Como ∂P ∂y = ∂Q ∂x a integral é independente do caminho, e assim existe uma função φ tal que ∂φ ∂y = y 2 − 6xy + 6 e ∂φ ∂x = 2xy − 3x 2 . para obtermos a função φ, podemos integrar ∂φ ∂y ou ∂φ ∂x . Integrando ∂φ ∂x em relação a x, temos φ = y 2 x − 3x 2 y + 6x + g(y), onde g(y) é "constante"de integração. Tomando as derivadas parciais dessa última expressão em relação a y e igualando os resultados a Q (isto é, ∂φ ∂y ), temos ∂φ ∂y = 2yx −3x 2 + g ′ (y) = 2yx −3x 2 , o que implica que g(y) = 0, e assim g(y) = c, uma constante c e tomar φ = xy 2 −3x 2 y + 6x. Segue-se do teorema fundamental para integrais de linha que ˆ (3,4) (−1,0) (y 2 −6xy + 6)dx + (2xy −3x 2 )dy = ˆ (3,4) (−1,0) d(xy 2 −3x 2 y + 6x) = (xy 2 −3x 2 y + 6x) (3,4) (−1,0) = (48 −108 + 18) −(−6) = −36 . 9 Teorema 2.0.3 Teste para independência do caminho Considere P, Q e R tendo derivadas parciais primeiras contínuas em uma região do espaço simplesmente conexa aberta. Assim ´ C P dx + Qdy + Rdz é independente do caminho C se e somente se ∂P ∂y = ∂Q ∂x , ∂P ∂z = ∂R ∂x , ∂Q ∂z = ∂R ∂y . Exemplo 2.0.5 Mostre que ´ C (y +yz) dx+(x+3z 3 +xz) dy +(9yz 2 +xy −1) dz é independente de qualquer caminho C entre (1, 1, 1) e (2, 1, 4). Calcule. Solução: ∂P ∂y = 1 + z = ∂Q ∂x , ∂P ∂z = y = ∂R ∂x , ∂Q ∂z = 9z 2 + x = ∂R ∂y . logo, concluímos que a integral é independente do caminho. Além disso (y +yz) dx+(x+3z 3 + xz) dy + (9yz 2 + xy −1) dz é uma diferencial exata, e assim existe φ(x, y, z) tal que ∂φ ∂x = P, ∂φ ∂y = Q, ∂φ ∂z = R. Integrando a primeira equação em relação a x, temos φ = xy + xyz + g(y, z). A derivada dessa última expressão em relação a y tem que ser igual a Q ∂φ ∂y = x + xz + ∂g ∂y = x + 3z 3 + xz logo, ∂g ∂y = 3z 3 10 e então g = 3yz 3 + h(z) Consequentemete, φ = xy + xyz + g = 3yz 3 + h(z). A derivada parcial dessa última expressão em relação a z tem que ser igual a R: ∂φ ∂z = xy + 9yz 2 + h ′ (z) = 9yz 2 + xy −1. A partir disso obtemos h ′ (z) = 1 e h(z) = −z + C. Desconsiderando C, podemos escrever φ = xy + xyz + 3yz 3 −z. E finalmente ˆ (2,1,4) (1,1,1) (y + yz) dx + (x + 3z 3 + xz) dy + (9yz 2 + xy −1) dz = ˆ (2,1,4) (1,1,1) d(xy + xyz + 3z 3 −z) = (xy + xyz + 3z 3 −z) (2,1,4) (1,1,1) = 198 −4 = 194 2.1 Aplicação a campos vetoriais conservativos Se ´ C P dx + Qdy é independente do caminho C. Sabemos que existe uma função φ tal que dφ = ∂φ ∂x dx + ∂φ ∂y dy = Pdx + Qdy = (P i + Q j).(dx i + dy j) = F dr onde F = P i + Q j é um campo vetorial e P = ∂φ ∂x , P = ∂φ ∂y . Em outras palavras, o campo vetorial F é um gradiente da função φ. Como F = ∇φ, F é dita ser um campo gradiente e a função φ é então dita ser uma função potencial para F. Em um campo gradiente de força F, o trabalho realizado pela força sobre uma partícula que se move a partir de A para posição B é o mesmo para todos os caminhos entre os pontos. Além disso, o trabalho realizado pela força ao longo de um caminho fechado é zero. Por essa razão, tal campo de força é dito ser conservativo. Em um campo conservativo F, a lei de conservação da energia mecânica se aplica: para a partícula que se move ao longo de um caminho em um campo conservativo. energia cinética+energia potencial=constante Em uma região simplesmente conexa, as hipóteses do teorema do teste de independência do caminho, implicam que um campo de força F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j é um campo gradiente (isto é, conservativo) se e somente se ∂P ∂y = ∂Q ∂x . 11 Exemplo 2.1.1 Mostre que o campo vetorial F = (y 2 + 5) i + (2xy −8) j é um campo gradiente. Determine uma função potencial para F Solução: ∂P ∂y = ∂Q ∂x = 2y Portanto F é um campo gradiente, assim existe uma função potencial φ satisfazendo ∂φ ∂x = y 2 + 5 e ∂φ ∂y = 2xy −8 Procedendo como o exemplo anterior, obtemos φ = xy 2 −8y + 5x . Confira: ∇φ = ∂φ ∂x i + ∂φ ∂y j = (y 2 + 5) i + (2xy −8) j 12