Geometria Analítica e Álgebra Linear Lima, Elon Lages Geometria analítica e álgebra linear / Elon Lages Lima. 1.ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2014 324 p. : il. ; 23 cm. (Coleção matemática universitária) Inclui bibliografia. e-ISBN 978-85-244-0383-5 1. Geometria Analítica. 2. Álgebra Linear. I. Título. II. Série. CDD-516.3 COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA Geometria Analítica e Álgebra Linear Elon Lages Lima INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA Copyright 2014 by Elon Lages Lima Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Rodolfo Capeto, Noni Geiger e Sérgio R. Vaz Ilustrações: Paulo Visgueiro Coleção Matemática Universitária Comissão Editorial: Elon Lages Lima S. Collier Coutinho Paulo Sad Títulos Publicados: • Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável – Elon Lages Lima • EDP. Um Curso de Graduação – Valéria Iório • Curso de Álgebra, Volume 1 – Abramo Hefez • Álgebra Linear – Elon Lages Lima • Introdução às Curvas Algébricas Planas – Israel Vainsencher • Equações Diferenciais Aplicadas – Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves • Geometria Diferencial – Paulo Ventura Araújo • Introdução à Teoria dos Números – José Plínio de Oliveira Santos • Cálculo em uma Variável Complexa – Marcio G. Soares • Geometria Analítica e Álgebra Linear – Elon Lages Lima • Números Primos: Mistérios e Recordes – Paulo Ribenboim • Análise no Espaço Rn – Elon Lages Lima • Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis – Elon Lages Lima • Álgebra Exterior – Elon Lages Lima • Equações Diferenciais Ordinárias – Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes • Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial – Elon Lages Lima • Álgebra Linear. Exercícios e Soluções – Ralph Costa Teixeira • Números Primos. Velhos Mistérios e Novos Recordes – Paulo Ribenboim Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail:
[email protected] http://www.impa.br Pref´ acio Embora seja geralmente a primeira coisa que se lˆe num livro, o pref´ acio ´e sempre a u ´ltima a ser escrita. Tendo acabado de fazer a revis˜ao final das provas, antes de mandar o texto para impress˜ao, cumpre-me contar ao presum´ıvel leitor o que o livro cont´em e com que inten¸ca˜o o escrevi. Comecemos com o t´ıtulo. No estilo de antigamente, ele seria algo como “Compˆendio de Geometria Anal´ıtica e C´alculo Vetorial, servindo ´ de introdu¸c˜ao ` a Algebra Linear.” Simplificando, restou “Geometria ´ Anal´ıtica e Algebra Linear”. Dito assim, fica a impress˜ao de que esses dois assuntos s˜ ao tratados com a mesma extens˜ao. Na verdade, trata-se essencialmente de um livro de Geometria Anal´ıtica, plana e espacial. Isto significa, por um lado, o estudo da Geometria por meio da introdu¸c˜ao de coordenadas e, por outro lado, o m´etodo de ´ olhar para problemas de Algebra (e de An´ alise) sob o ponto de vista da Geometria. Os vetores ocorrem inicialmente como instrumento para desenvolver a Geometria Anal´ıtica: muito u ´teis no caso do plano e indispens´aveis no espa¸co. Em seguida percebe-se que a no¸c˜ao de dependˆencia (e independˆencia) linear de vetores ´e a chave para analisar o comportamento dos sistemas de equa¸c˜oes lineares e a linguagem adequada para exprimir ` seus resultados. Neste ponto, estamos fazendo um pouco de Algebra Linear. A fim de identificar as cˆonicas e as superf´ıcies qu´adricas, precisamos estudar as formas quadr´aticas a duas e trˆes vari´aveis. Somos ent˜ao levados naturalmente a considerar matrizes sim´etricas 2 × 2 ou 3 × 3, ´ seus autovalores e autovetores. Isto ´e Algebra Linear. Matrizes e determinantes ocorrem ainda na f´ormula de Gram para a ´area de um paralelogramo ou o volume de um paralelep´ıpedo. E, finalmente, transforma¸c˜oes lineares s˜ ao brevemente estudadas, no plano e no espa¸co tridimensional, dando-se v´arios exemplos e mostrandose como um sistema de substitui¸c˜oes lineares transforma uma circunferˆencia numa elipse e uma esfera num elips´oide. Assim se mostra neste livro como o estudo da Geometria Anal´ıtica a duas e trˆes dimens˜ oes conduz a no¸c˜oes b´asicas como dependˆencia linear, matrizes, formas quadr´aticas, autovalores, transforma¸c˜oes li- Equa¸c˜oes Diferenciais. Para tal. A todos. Um agradecimento especial ´e devido ao Professor Jonas de Miranda Gomes pelo apoio. ou seja. etc. Rio de Janeiro. Rio de Janeiro. Os livros citados na bibliografia contˆem apresenta¸c˜oes em certos pontos bem semelhantes a este. do programa do Ensino M´edio mas este fato n˜ao ´e levado em conta aqui. Estes conceitos ser˜ao mais tarde sistematizados na Algebra Linear. O volume inteiro foi redigitado por Rog´erio Trindade. um abra¸co amigo do autor. a Geometria Anal´ıtica faz parte da cultura m´ınima necess´aria para estudos posteriores (ou simultˆ aneos) de C´ alculo. incentivo e valioso tempo investido na prepara¸c˜ao deste livro. etc. Carvalho. An´ alise. a qual ter´ a sua aprendizagem suavizada e tornada natural para os estudantes que j´a possuam uma experiˆencia pr´evia correspondente ao conte´ udo do presente livro. de uma forma mais superficial. 25 de mar¸co de 2005. al´em de conterem uma ampla cole¸c˜ao de exerc´ıcios que poder˜ ao complementar aqueles aqui propostos. Al´em disso. Independente disso. n˜ao admitimos que o leitor possua conhecimento anterior sobre o assunto. foi feita uma revis˜ao exaustiva do texto e dos exerc´ıcios. 25 de mar¸co de 2001. Os leitores aos quais este livro se destina s˜ ao os alunos do primeiro ano da Universidade.´ neares. com a generosa participa¸c˜ao do meu colega Moacyr Alvim. Elon Lages Lima . que colaboraram comigo nos livros que precederam este. ´ com grande satisfa¸c˜ao que deixo consignados aqui meus agradeciE mentos aos Professores Eduardo Wagner e Paulo Cezar P. V´ arios dos temas nele tratados constam. contei com a valiosa colabora¸c˜ao do Professor Florˆencio Guimar˜aes. externo meu agradecimento. Foram tamb´em refeitas diversas figuras. notadamente nas se¸c˜oes referentes a formas quadr´aticas. acrescentei e modifiquei v´arios exerc´ıcios e reformulei a apresenta¸c˜ao de alguns t´opicos. Elon Lages Lima Pref´ acio da segunda edi¸c˜ ao Nesta edi¸c˜ao. ´e claro. A todas esta pessoas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ˆ Angulo entre Duas Retas 56 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . 60 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 Coordenadas no Plano 8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 A Distˆ ancia entre Dois Pontos 23 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . 30 Escolhendo o Sistema de Coordenadas 31 Exerc´ıcios . . .Contents Introdu¸ c˜ ao 1 Coordenadas na Reta Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Segmentos de Reta no Plano 15 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . 57 Distˆ ancia de um Ponto a uma Reta 58 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Outros Tipos de Coordenadas 37 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 As Equa¸ co ˜es da Reta 40 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Formas Quadr´ aticas 129 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Equa¸ c˜ ao da Hip´ erbole 109 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Vetores no Plano 85 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Equa¸ c˜ ao da Elipse 103 Exerc´ıcios . . . . . 73 Equa¸ c˜ ao da Circunferˆ encia 75 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Mudan¸ ca de Coordenadas 120 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .´ 62 Area de um Triˆ angulo Exerc´ıcios . 145 O Sinal de uma Forma Quadr´ atica 146 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Equa¸ c˜ ao da Par´ abola 115 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Desigualdades Lineares 66 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Transforma¸ co ˜es Lineares 150 Exerc´ıcios . . . 137 A Equa¸ c˜ ao Geral do Segundo Grau 139 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Opera¸ co ˜es com Vetores 92 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Reconhecimento da Equa¸ c˜ ao da Circunferˆ encia 80 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Trˆ es Equa¸ co ˜es Lineares com Trˆ es Inc´ ognitas 205 Exerc´ıcios . . . . . 179 Vetores no Espa¸ co 181 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . 251 O Determinante do Produto de Duas Matrizes 252 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . 227 Opera¸ co ˜es com Matrizes 231 Exerc´ıcios . . . . . . . 238 Determinantes 240 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Escalonamento (elimina¸ c˜ ao gaussiana) 220 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Coordenadas no Espa¸ co 164 Exerc´ıcios . . . . . . . . 246 A Regra de Cramer 248 Exerc´ıcios . . . . . . . 168 As Equa¸ co ˜es Param´ etricas de uma Reta 169 Exerc´ıcios . . . . . . . . 186 Equa¸ c˜ ao do Plano 188 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Distˆ ancia entre Dois Pontos no Espa¸ co 172 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Sistemas de Equa¸ co ˜es Lineares com Duas Inc´ ognitas 194 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . 197 Sistemas de Equa¸ co ˜es Lineares com Trˆ es Inc´ ognitas 198 Exerc´ıcios . . . . . . . . 175 Segmentos de Reta no Espa¸ co 176 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 . . . . . . . . . . . 293 Completando Quadrados em R3 294 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Caracteriza¸ c˜ ao das Matrizes Invert´ıveis 261 Exerc´ıcios . . 263 O Produto Vetorial 266 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Formas Quadr´ aticas em R3 283 As Qu´ adricas Centrais 286 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 A Equa¸ c˜ ao Geral do Segundo Grau em R3 301 Exerc´ıcios . . . . . . . Volumes e a Matriz de Gram Exerc´ıcios . . . . . .´ 255 Areas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Matrizes e Formas Quadr´ aticas 306 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . 274 Mudan¸ ca de Coordenadas 275 Exerc´ıcios . . . . 316 Transforma¸ co ˜es Lineares em R3 317 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Bibliografia 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . e somente uma. Dentro dessa concep¸c˜ao. que por dois pontos dados passa uma. os pontos do plano por pares ordenados de n´ umeros reais e os pontos do espa¸co por ternos ordenados de n´ umeros reais. Isto permite tratar algebricamente muitas quest˜ oes geom´etricas e. interpretar de forma geom´etrica certas situa¸c˜oes alg´ebricas. No que se segue. por exemplo.Introdu¸c˜ ao A Geometria Anal´ıtica baseia-se na id´eia de representar os pontos da reta por n´ umeros reais. enfatizando seus aspectos mais relevantes para um estudo introdut´orio. Admitiremos conhecidos os fatos mais elementares da Geometria como. apresentaremos as no¸c˜oes b´asicas de Geometria Anal´ıtica. no plano e no espa¸co. s˜ ao descritas por meio de equa¸c˜oes. reta. . ´ A interconex˜ ao entre Geometria e Algebra resultante desse ponto de vista foi respons´ avel por extraordin´arios progressos na Matem´ atica e suas aplica¸c˜oes. etc. as linhas e as superf´ıcies. que por um ponto dado fora de uma reta passam uma u ´nica paralela e uma u ´nica perpendicular a essa reta. reciprocamente. . Escrevemos d(A. Todo eixo E pode ser posto. o comprimento do segmento de reta AB chama-se a distˆ ancia entre os pontos A e B. B) ´ claro se. o sentido inverso chama-se negativo. Numa reta orientada.1 Coordenadas na Reta Admitimos fixada. A no¸c˜ao de distˆ ancia permite introduzir coordenadas sobre uma reta. vale d(A. Se A 6= B. chamado a origem. e somente se. de uma vez por todas. representar os pontos da reta por meio de n´ umeros reais. Uma reta diz-se orientada quando sobre ela se escolheu um sentido de percurso. uma unidade de comprimento. o ponto C pertence ao segmento de reta AB. Convencionaremos pˆor d(A. B) = d(A. tem-se d(A. B quaisquer. ser´a necess´ario orientar a reta e escolher um dos seus pontos como origem. E tamb´em que d(A. em correspondˆencia biun´ıvoca com o conjunto R dos n´ umeros reais. Seguem-se os detalhes desse procedimento. C) + d(C. B) ou AB para indicar essa distˆ ancia. Dados os pontos A. chamado positivo. do seguinte modo: ` origem O do eixo faz-se corresponder o n´ A umero zero. Um eixo ´e uma reta orientada na qual se fixou um ponto O. Para fazer isto. diz-se que o ponto B est´a a ` direita do ponto A (portanto A est´a a ` esquerda de B) quando o sentido de percurso de A para B ´e positivo. ou seja. que ´e um n´ umero real. B) > 0. B) = d(B. de modo natural. A). A cada ponto . Al´em disso. A) = 0. (c) X est´a entre O e Y (logo 0 < x < y). chama-se a coordenada desse ponto. C s˜ ao pontos de uma reta tais que C est´a situado entre A e B ent˜ao d(A. X est´a `a esquerda de Y. B) = d(A. B. X) = d(O. Y) + d(Y. e somente se. Y) = d(X. B) = d(B. Se x e y s˜ ao respectivamente as coordenadas dos pontos X e Y do eixo E ent˜ao tem-se x < y se. C) + d(C. a cada ponto X no eixo E corresponde o n´ umero real x = d(O. Al´em disso.4 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear X de E situado ` a direita de O corresponde o n´ umero real positivo x = d(O. para cada n´ umero real x existe um (´ unico) ponto X em E cuja coordenada ´e x. Y) = |x − y| se demonstra usando (al´em da rela¸c˜ao evidente d(A. O n´ umero real x. cujos valores absolutos medem as distˆ ancias desses pontos `a origem. d(O. O) + d(O. Y) = |x − y|. X). dados os pontos X e Y sobre o eixo E. Reciprocamente. com coordenadas respectivas x e y. que corresponde ao ponto X do eixo E da maneira acima indicada. Y) = −x + y = |x − y|. No primeiro caso. No segundo caso. Portanto. (b) Y est´a entre X e O (logo x < y < 0). Ent˜ao h´a 3 casos poss´ıveis: (a) O est´a entre X e Y (logo x < 0 < y). X) se X est´a ` a direita de O e x = −d(O. Com efeito. B). X) se X est´a `a esquerda de O. X) = distˆ ancia de X ` a origem = comprimento do segmento de reta OX. Aos pontos situados ` a esquerda de O correspondem n´ umeros reais negativos. tem-se d(X. tem-se d(X. A)) o fato de que se A. . A importante igualdade d(X. sem perda de generalidade podemos supor que X esteja `a esquerda de Y. Noutras palavras. Y) = y − x = |x − y|. vale t = 1. −x = −y + d(X. d(O. ou seja. X) + d(X. ent˜ao a coordenada x de um ponto arbitr´ ario X do segmento de reta AB ´e um n´ umero x tal que a ≤ x ≤ b.Se¸c˜ ao 1 Coordenadas na Reta 5 ou seja. Quando t = 1/2. sua coordenada 1 a+b 1 x1/2 = a + b = 2 2 2 ´e a m´edia aritm´etica entre as coordenadas a e b dos pontos A e B. xt = (1 − t)a + tb = a + t(b − a). e suas coordenadas respectivas s˜ ao a e b. logo a raz˜ao t = d(A. B) ´e um n´ umero real compreendido entre 0 e 1. quando X = B. isto ´e. b] ⊂ R. Se A e B s˜ ao pontos do eixo E. Y). Y). no terceiro caso. y = x + d(X. Finalmente. X) ≤ d(A. 1]. Quando X = A tem-se t = 0 e. com A `a esquerda de B. . o ponto Xt = X1/2 chama-se ponto m´edio do segmento AB. Y) = d(O. Y) = y − x = |x − y|. tem-se evidentemente d(A. veremos que a coordenada xt do ponto Xt est´a relacionada com as coordenadas a e b dos pontos A e B pela igualdade (xt − a)/(b − a) = t. B) = t. ao segmento de reta AB ⊂ E corresponde o intervalo [a. Xt)/d(A. chamarmos de Xt o ponto do segmento de reta AB tal que d(A. Y). para cada t ∈ [0. B). donde d(X. donde d(X. Se. Para cada ponto X do segmento de reta AB. X)/d(A. 6 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Noutro exemplo. o processo ´e inverso: procura-se associar a cada ponto do eixo E um n´ umero. Observa¸ c˜ ao 1. ´e −11. chamado sua coordenada. logo x = 2a − x. Para isso. sim´etrico de B em rela¸c˜ao a A. b] em dois subintervalos [a. tem-se ent˜ao a = (x + x )/2. isto ´e. x e x . Isto corresponde ao fato de que X ´e por sua vez o sim´etrico de X ′ relativamente ao ponto A Exemplo 1. Note que desta igualdade resulta x = 2a − x ′ . Se A. admitimos que exista a no¸c˜ao de distˆ ancia entre dois pontos desse eixo. Em Geometria Anal´ıtica. tomando t = 1/3. obtemos o ponto X = X1/3 cuja coordenada 1 2 1 1 x= 1− a+ b= a+ b 3 3 3 3 ´e o n´ umero que separa o intervalo [a. diz-se que X ′ ´e o sim´etrico de X relativamente ao ponto A. que tenha sido fixada uma unidade de comprimento. Observa¸ c˜ ao 1. x] e [x. b] com (x − a)/(b − a) = 1/3.1 Quando estudamos os n´ umeros reais. X e X ′ est˜ao localizados sobre um eixo E e suas coordenadas s˜ ao ′ ′ ′ respectivamente a. .2 Quando A ´e o ponto m´edio do segmento de reta XX ′ .1 Se no eixo E os pontos A e B tˆem respectivamente coordenadas 3 e 17 ent˜ao a coordenada do ponto m´edio do segmento AB ´e 10 e a coordenada do ponto B ′ . fazemos a cada x ∈ R corresponder um ponto X sobre o eixo E. . g : E → R. B) entre eles pondo δ(A. B) + d(X. Esboce os gr´ aficos das fun¸c˜ oes ϕ. Se o ponto O ´e a origem do eixo E e A ´e o ponto desse eixo que tem coordenada 1. Sejam a < b < c respectivamente as coordenadas dos pontos A. C) + δ(C. . D pontos dispostos nesta ordem sobre um eixo E. . mostre que g(x) = −x para todo x. dadas por: ϕ(X) = d(X. C) = 2/3. B) d(A. B). B)/d(A.Exerc´ıcios 7 Exerc´ıcios 1. B) = d(A. C) + d(X. Se g(1) = −1. B. qual ´e a coordenada do ponto X que divide o segmento OA em m´edia e extrema raz˜ ao? No Exerc´ıcio 2. 6. A) = 0. calcule x em fun¸c˜ ao de a e b. b e x respectivamente. . 5. 8. g(1) = 1 ou g(1) = −1. C). B) = . g(X) = d(X. Sabendo que a = 17. A) + d(X. Seja f : R → R uma fun¸c˜ ao tal que |f(x) − f(y)| = |x − y| para quaisquer x. 2. para quaisquer pontos A. 7. B no eixo E. quais s˜ ao as coordenadas de X ′ e X ′′ ? Dados os pontos A. B) + d(X. defina a distˆ ancia orientada δ(A. Prove ent˜ ao que |g(x)| = |x| para todo x ∈ R. . Xn−1 que dividem o segmento AB em n partes iguais. B). C. B e C do eixo E. Diz-se que o ponto X divide o segmento AB em m´edia e extrema raz˜ ao (divis˜ ao ´ aurea) quando se tem d(A. tem-se δ(A. calcule a raz˜ ao ´ aurea d(A. Em particular. B e X sobre o eixo E tˆem coordenadas a. c = 32 e d(A. Prove que. Sejam a < b respectivamente as coordenadas dos pontos A e B sobre o eixo E. Os pontos A. A) + d(X. mostre que g(x) = x para todo x ∈ R. 4. X) d(X. 9. B e C situados sobre um eixo. Se X ′ ´e o sim´etrico de X em rela¸c˜ ao ao ponto A e X ′′ ´e o sim´etrico de X ′ em rela¸c˜ ao a B. B) + δ(B. Supondo que X divide o segmento AB em m´edia e extrema raz˜ ao. X e B do eixo E. f. (i) Pondo f(0) = a. Determine as coordenadas dos pontos X1 . A) + d(X. f(X) = d(X. (iv) Conclua que f(x) = x + a para todo x ∈ R ou ent˜ ao f(x) = −x + a para todo x. D). Sejam a < x < b respectivamente as coordenadas dos pontos A. d(A. B) se A est´ a` a esquerda de B e δ(A. B) = −d(A. qual ´e o valor de b? Qual seria a resposta do exerc´ıcio anterior se soub´essemos apenas que a < c? Sejam A. X) 3. (iii) Se g(1) = 1. X)/d(A. B) se A est´ a` a direita de B. y ∈ R. Tamb´em (g(x))2 = x2 . defina a fun¸c˜ ao g : R → R assim: g(x) = f(x) − a. (ii) Use a identidade xy = 12 [x2 + y2 − (x − y)2 ] para mostrar que xy = g(x) · g(y). que os pares ordenados (2. 3} e {3. y) pode-se ter x = y mas se {x.2 Coordenadas no Plano Indica-se como R2 o conjunto formado pelos pares ordenados (x. 3) e (3. 3) ´e 2 enquanto que a primeira coordenada de (3. y). Dados (x. por exemplo. x = x ′ e y = y ′ . e somente se. y ′ ) em R2. No par ordenado (x. O n´ umero x chama-se a primeira coordenada e o n´ umero y a segunda coordenada do par (x. Portanto. y) = (x ′ . 2) s˜ ao diferentes pois a primeira coordenada de (2. pertence ao outro. Observe. um par ordenado n˜ao ´e a mesma coisa que um conjunto com dois elementos. . y). Mostraremos agora como usar R2 para obter um modelo aritm´erico de um plano. os conjuntos {2. e somente se. Por outro lado. y} ´e um conjunto com dois elementos tem-se necessariamente x 6= y. 2) ´e 3. y ′ ) se. onde x e y s˜ ao n´ umeros reais. y) e (x ′ . 2} s˜ ao iguais pois um objeto pertence a um deles se. tem-se (x. y). 0). Assim. y do ponto P s˜ ao definidas do seguinte modo: Se P estiver sobre o eixo OX. y) ∈ R2 ´e o par ordenado de n´ umeros reais que corresponde ao ponto P. 0) chama-se a a proje¸ca ˜o de P sobre o eixo OX enquando ′′ o ponto P . onde x ´e a coordenada de P no eixo OX. onde y ´e a coordenada de P nesse eixo. Se P n˜ao est´a em qualquer dos eixos. . tem abcissa e ordenada ambas iguais a zero. 0) ∈ R2. ´e chamado a proje¸ca ˜o de P sobre o eixo OY. origem do sistema de coordenadas. a ele corresponde o par (0. a ele corresponde o par (0.Se¸c˜ ao 2 Coordenadas no Plano 9 Um sistema de coordenadas (cartesianas) no plano Π consiste num par de eixos perpendiculares OX e OY contidos nesse plano. O sistema ´e indicado com a nota¸c˜ao OXY. A escolha de um sistema de coordenadas no plano Π permite estabelecer uma correspondˆencia biun´ıvoca Π → R2. conforme explicado na se¸c˜ao anterior. Ent˜ao x ser´a a abcissa e y a ordenada do ponto P. Se x ´e a abcissa e y ´e a ordenada do ponto P. tra¸camos por P uma paralela ao eixo OY. a qual corta OX no ponto de coordenada x e uma paralela ao eixo OX. OX chama-se o eixo das abcissas e OY ´e o eixo das ordenadas. a qual corta OY no ponto de coordenada y. o ponto P ′ de coordenadas (x. de coordenada (0. Os n´ umeros x e y s˜ ao as coordenadas do ponto P relativamente ao sistema OXY : x ´e a abcissa e y ´e a ordenada de P. As coordenadas x. o par ordenado que lhe corresponde ´e (x. (x. y). com a mesma origem O. Noutras palavras. A cada ponto P do plano Π fazemos corresponder um par ordenado (x. Se P estiver sobre o eixo OY. y) ∈ R2. O ponto O. y) que lhe corresponde. Na pr´atica. n˜ao ´e a mesma coisa que o conjunto R2. Em princ´ıpio o plano Π. escrevemos P = (x. O primeiro ´e o de atribuir um significado geom´etrico (e com isto dar um maior conte´ udo intuitivo) a fatos de natureza num´erica. a ˆenfase recai sobre a correspondˆencia R2 → Π e no segundo sobre sua inversa Π → R2. O segundo prop´ osito do uso das coordenadas vai no sentido oposto: recorrese a elas a fim de resolver problemas da Geometria.10 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear O emprego de coordenadas no plano serve a dois prop´ ositos que se complementam. que ganha muito em clareza quando se olha para seu gr´ afico. como o comportamento de uma fun¸c˜ao real de uma vari´avel real. cujos elementos s˜ ao pares de n´ umeros reais. Entretanto. usaremos a correspondˆencia Π → R2 para identificar cada ponto P do plano com o par ordenado (x. . Assim. y) querendo dizer com isto que P ´e o ponto do plano cuja abcissa ´e x e cuja ordenada ´e y. cujos elementos s˜ ao pontos. Este ´e o objetivo da Geometria Anal´ıtica. No primeiro caso. quando fixarmos um sistema de coordenadas em Π. esses dois pontos de vista se entrela¸cam: para estabelecer os fatos iniciais da Geometria Anal´ıtica usam-se os resultados b´asicos da Geometria Euclidiana. o primeiro e o terceiro quadrantes formam dois ˆangulos retos. O terceiro. Fixando o sistema de coordenadas OXY no plano Π. e somente se. Tem-se portanto P = (x. Os pontos P = (x. Dado o ponto P = (x. opostos pelo v´ertice. O primeiro quadrante ´e o conjunto dos pontos P = (x. e somente se. y). Quando se toma no plano um sistema de coordenadas OXY. y) do quarto quadrante s˜ ao aqueles em que x ≥ 0 e y ≤ 0. y) tais que x ≥ 0 e y ≥ 0. x = y. y) ∈ ∆ se. O segundo quadrante ´e formado pelos pontos P = (x. cada uma das quais se chama um quadrante. x = −y. logo tˆem abcissa e ordenada iguais (ambas positivas no primeiro quadrante e ambas negativas no terceiro). chamase sentido positivo de rota¸ca ˜o (ou sentido anti-hor´ario) ao sentido da ◦ rota¸c˜ao de 90 que leva o semi-eixo positivo OX sobre o semi-eixo positivo OY.Se¸c˜ ao 2 Coordenadas no Plano 11 Os eixos ortogonais OX e OY decomp˜oem o plano Π em quatro regi˜ oes. y) com x ≤ 0 e y ≤ 0. Esta reta ∆ chama-se a diagonal do plano Π (relativamente ao sistema OXY). um ponto Q = (x. pelos pontos P = (x. Quais s˜ ao as coordenadas do ponto Q? A rota¸c˜ao de 90◦ no sentido positivo leva o ponto (x. submetamos o segmento de reta OP a uma rota¸c˜ao de 90◦ no sentido positivo em torno do ponto O. y) pertence `a bissetriz ∆ ′ comum ao segundo e quarto quadrantes se. y) com x ≤ 0 e y ≥ 0. obtemos assim o segmento OQ. y) da bissetriz comum desses dois ˆangulos s˜ ao (como todos os pontos de uma bissetriz) equidistantes dos lados. 0) no ponto . os pontos P = (x. Analogamente. Finalmente. onde Q ′ = (y. x). 5). Segue-se que Q = (−y. logo transforma o retˆ angulo que tem diagonal OP e dois lados sobre os eixos (vide figura 2. Exemplo 2. ter´ıamos obtido o segmento OQ ′ .12 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear (0. quais s˜ ao as coordenadas do v´ertice B? Esta pergunta admite duas . de 90◦ no sentido negativo).6) no retˆ angulo de diagonal OQ com dois lados sobre os eixos. x).1 O v´ertice do ˆangulo reto do triˆ angulo retˆ angulo is´osceles OAB ´e a origem O do sistema de coordenadas. Se tiv´essemos submetido o segmento OP a uma rota¸c˜ao de −90◦ (isto ´e. −x). Sabendo que A = (3. cujas ordenadas s˜ ao iguais a 5. e) (x2 − 7x + 10)(y2 − 7x + 6) = 0. A partir da´ı determine o sim´etrico de A relativamente ` a diagonal ∆ = {(x. determine os sim´etricos de A em rela¸c˜ ao aos eixos OX e OY respectivamente. −3). f) (x2 + 1)(x − y) = 0. com a reta r ′ = {(a. k) x2 ≤ y2 . 4. Enuncie e responda uma quest˜ ao an´ aloga ` a do exerc´ıcio anterior. −2) em rela¸c˜ ao ` a reta r. Para cada uma das equa¸c˜ oes abaixo. d). y ∈ R}. i) x ≥ y. y cumprem as condi¸c˜ oes especificadas: a) |x − 3| < 1. y) com x 6= y. d) |x − 3| ≤ 1 ou |y − 2| ≤ 5. descreva o conjunto dos pontos (x. d) |x| + y = 0. b) |x − 3| = 1. 2. tem-se B = (5. e o ponto P = (c. x) e D = (y. y) formam. x). ´e uma reta paralela ao eixo OX. y) cujas coordenadas satisfazem essa equa¸c˜ ao: a) x2 − 5x + 6 = 0. formado pelos pontos (x. 5. Exerc´ıcios 1. b) y2 − 6y + 9 = 0. Dado A = (x. C = (y. g) x3 + x − x2 y − y = 0 . y). |y| ≤ x ≤ 3}. c) x2 + y2 + 1 = 0. Em cada um dos casos abaixo. paralela ao eixo OY.Exerc´ıcios 13 respostas. 3. O conjunto r. Se o sentido da rota¸c˜ao for positivo ent˜ao B ′ = (−5. ambas corretas. . Caso a rota¸c˜ao seja feita no sentido negativo. y). 3). f) 0 ≤ x ≤ y ≤ 1. h) x > y. observe que os pontos B = (x. O cateto OB resulta de OA por uma rota¸c˜ao de 90◦ . j) x2 < y2 . 6. y). juntamente com A. 7. 5). x). esboce o conjunto dos pontos cujas coordenadas x. g) xy = 0. Esboce o conjunto X = {(x. os v´ertices de um quadrado de lados paralelos aos eixos. Diz-se que o ponto A ′ ´e o sim´etrico do ponto A em rela¸c˜ ao ` a reta r quando r ´e a mediatriz do segmento AA ′ . c) |x − 3| ≤ 1 e |y − 2| ≤ 5. e) |x| ≥ 2 e |y| ≥ 3. Sabendo que A = (x. x ∈ R}. Determine o sim´etrico do ponto P = (3. x ∈ R} s˜ ao retas. . Com argumento an´ alogo ao do exerc´ıcio anterior. y) em rela¸c˜ ao ao ponto A = (a. mostre que se obtˆem ainda trˆes pontos colineares. Mostre que r passa pela origem O. 14. 2). Se¸c˜ ao 3. b) ao eixo OY.) 10. Se somarmos a mesma constante ` as ordenadas de trˆes pontos colineares. −x). para todo a ∈ R os conjuntos X = {(x. Qual ´e o sim´etrico do ponto X = (x. Qual ´e o ponto da diagonal ∆ mais pr´ oximo de P = (x. y)? E da diagonal ∆ ′ ? (Use as coordenadas do ponto m´edio de um segmento. x ∈ R} e Y = {(x. V. Qual ´e o comprimento da proje¸c˜ ao ortogonal do segmento AB sobre o eixo OX? Sabe-se que A = (1. perpendicular a r a partir de O? 15. Todos os pontos P de uma certa reta r tˆem ordenada igual a trˆes vezes sua abcissa. 4). b)? Em particular. x ∈ R}. qual ´e o sim´etrico de X em rela¸c˜ ao ` a origem O = (0. y) tais que 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 − x. 0)? 11. Trˆes v´ertices de um retˆ angulo s˜ ao O = (0. b). 9. 16. x + a). Determine as coordenadas do sim´etrico do ponto P = (2. 2) e B = (−3. −3) em rela¸c˜ ao a) ao eixo OX. A = (a. paralelas ` as diagonais ∆ e ∆ ′ respectivamente. 0).14 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 8. a) e B = (−b. −x + a). Conclua que. Qual ´e a rela¸c˜ ao entre a ordenada e a abcissa de um ponto Q pertencente ` a reta s. O ponto X ′ chama-se o sim´etrico do ponto X em rela¸c˜ ao ao ponto A quando A ´e o ponto m´edio do segmento XX ′ . Qual ´e o quarto v´ertice? 13. c) ` a diagonal ∆. determine o sim´etrico do ponto A = (x. 12. Identifique o conjunto dos pontos P = (x. d) ao ponto (−3. y) em rela¸c˜ ao ` a diagonal ∆ ′ = {(x. M0 = (x. 0). pondo A0 = (a. os ˆ angulos agudos PAM e QMA ao congruentes porque os lados AP e MQ s˜ ao paralelos. vemos que APM e MQA ′ s˜ ao triˆ angulos retˆ angulos cujas hipotenusas AM e MA ′ tˆem o mesmo comprimento. 0) e A0′ = (a ′ . y). 0). b) e Q = (a ′ . b c ′ s˜ Al´em disso. Logo. Dados os pontos A = (a. y) do segmento de reta AA ′ ? A resposta ´e b + b′ a + a′ e y= x= 2 2 e a ela chegaremos usando um pouco de Geometria Plana. reduzindo-se imediatamente . Outro exemplo de como exprimir um fato geom´etrico de forma anal´ıtica ´e o seguinte. isto ´e. o argumento acima se simplifica. Da´ı resulta que os segmentos AP e MQ tˆem o mesmo comprimento. Quando o segmento AA ′ ´e horizontal (isto ´e. Suponhamos inicialmente que a 6= a ′ e b 6= b ′ . Ent˜ao. Portanto APM e MQA ′ s˜ ao triˆ angulos congruentes. j´a que M ´e o ponto m´edio de AA ′ . Segue-se ent˜ao que x = (a + a ′ )/2. o segmento AA ′ n˜ao ´e vertical (paralelo ao eixo OY) nem horizontal (paralelo ao eixo OX). quais s˜ ao as coordenadas do ponto m´edio M = (x. conforme vimos na Se¸c˜ao 1. De modo an´ alogo se vˆe que y = (b + b ′ )/2. considerando os pontos P = (x. conclu´ımos que M0 ´e o ponto m´edio do segmento A0A0′ no eixo OX. b ′ ).3 Segmentos de Reta no Plano Vimos na se¸c˜ao anterior como girar de 90◦ o segmento OP em torno do ponto O. b = b ′ ) ou vertical (a = a ′ ). b) e A ′ = (a ′ . pois tˆem um ˆangulo agudo comum. 0) e A ′ = (a ′ . onde yt = (1 − t)b + tb ′ = b + t(b ′ − b). 0) estiverem sobre o eixo OX ent˜ao Xt = (xt. e Xt = (a. e da´ı resulta xt = (1 − t)a + ta ′ . que o ponto Xt divide o segmento AA ′ na raz˜ao t. Xt)/d(A. (1 − t)b + tb ′ ) quando AA ′ ´e vertical. Estes triˆ angulos s˜ ao semelhantes. Esta pergunta foi feita na Se¸c˜ao 1. A ′ localizados sobre um eixo. de tal modo que d(A. portanto temos d(A. quando a = a ′ . Xt)/d(A. conforme tratado na Se¸c˜ao 1. Podemos ent˜ao enunciar: . um argumento muito parecido com o anterior se aplica. e a resposta foi dada em termos da u ´nica coordenada que cada um desses pontos tem naquele eixo. ou seja. Pelo que vimos l´ a. yt). se A = (a. quais s˜ ao as coordenadas do ponto Xt = (xt. s´ o que agora ´e mais conveniente comparar os triˆ angulos retˆ angulos APXt e AQA ′ com P = (xt. situado sobre o segmento AA ′ . b) e A ′ = (0. com 0 ≤ t ≤ 1. b) quando b = b ′ . Responderemos agora a pergunta mais geral seguinte: dados os pontos A = (a. isto ´e. com os pontos A. ou seja. yt = (1 − t)b + tb ′ (com o mesmo valor de t!). b) e Q = (a ′ . b). Analogamente. Segue-se da´ı que Xt = ((1−t)a+ta ′ . Quando a 6= a ′ e b 6= b ′ . (xt − a)/(a ′ − a) = t. 0). A ′ = (a ′ . se A = (0. quando o segmento AA ′ n˜ao ´e paralelo a qualquer dos eixos. com xt = (1 − t)a + ta ′ = a + t(a ′ − a). b). quando AA ′ ´e horizontal. Analogamente.16 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear ao caso do ponto m´edio de um segmento localizado sobre um eixo. P)/d(A. neste caso. A ′ ) = t. A ′ ) = t? Diz-se. Q) = t ou seja. yt). A raz˜ao de semelhan¸ca ´e d(A. b ′ ) e o n´ umero real t. b) pertencerem ao eixo OY ent˜ao Xt = (0. achar as coordenadas do ponto de interse¸c˜ao dos segmentos AA ′ e BB ′ . de dom´ınio R. na express˜ao que fornece as coordenadas do ponto Xt. temos os pontos da semi-reta OA e quando 0 ≤ t ≤ 1 temos os pontos do segmento de reta OA. B = (2. A fun¸c˜ao t 7→ Xt. obtidos com t ∈ R qualquer. resulta X1 = A ′ . A ′ ) = t s˜ ao xt = (1 − t)a + ta ′ e yt = (1 − t)b + tb ′ . obteremos todos os pontos da reta AA ′ . . Xt percorre a semi-reta de origem A que cont´em o ponto A ′ . b ′ ) as coordenadas do ponto Xt = (xt. fornece todos os pontos do segmento de reta AA ′ . para t = 0. (1 − t)b + tb ′ ). chama-se uma parametriza¸ca ˜o desse segmento e a vari´avel t chama-se o parˆ ametro. ´e formada pelos pontos X = (ta. A ′ = (3. b) e A ′ = (a ′ . Quando t < 0. Se. Xt percorre a semi-reta oposta.Segmentos de Reta no Plano 17 Se¸c˜ ao 3 Dados A = (a. Portanto. A express˜ao Xt = ((1 − t)a + ta ′ . b). Em particular. permitirmos que o parˆ ametro t assuma todos os valores reais. b ′ ). quando t varia de 0 a 1. quando t = 1/2 reobtemos as coordenadas x1/2 = (a + a ′ )/2 e y1/2 = (b + b ′ )/2 do ponto m´edio de AA ′ . ´e uma parametriza¸c˜ao da reta AA ′ . 2). ⇀ Quando t > 0. tb). 4) e B ′ = (3. 5). a fun¸c˜ao t 7→ Xt. Quando t ≥ 0. b) e A ′ = (a ′ . Em particular. temos X0 = A e. que cont´em a origem O e o ponto A = (a. n˜ao apenas os do segmento. para t = 1. Exemplo 3. a reta OA. yt) do segmento AA ′ tal que d(A. cujo dom´ınio ´e o intervalo [0. Note ainda que.1] e cujo contra-dom´ınio ´e o segmento de reta AA ′ . Xt)/d(A.1 Dados os pontos A = (1. 2). quando t varia em R. onde A = (a. devem existir s. com 0 ≤ t ≤ 1. 1] tais que . 2 + 3s). 4 − 2t). Se o ponto pertence a ambos os segmentos. (1 − s)2 + s · 5) = (1 + 2s. os pontos do segmento BB ′ tˆem a forma ((1 − t) · 2 + t · 3. os pontos do segmento AA ′ s˜ ao os da forma ((1 − s) · 1 + s · 3. com 0 ≤ s ≤ 1. Analogamente.18 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Como vimos acima. (1 − t)4 + t · 2) = (2 + t. t ∈ [0. 1 + 2s = 2 + t 2 + 3s = 4 − 2t . b ′ ). Quando escrevemos “o segmento orientado AB” estamos querendo dizer que A ´e o ponto inicial e B ´e o ponto final do segmento. estamos tacitamente admitindo que se trata do segmento orientado AA ′ pois o mesmo ponto divide o segmento (orientado) A ′ A na raz˜ao 1 − t. 2s − t = 1 3s + 2t = 2. obtemos s = 4/7 e t = 1/7. ou seja. Por exemplo. com A = (a. S˜ao ′ dados o segmento de reta orientado AA . e o ponto C = (c. quando dizemos que o ponto Xt divide o segmento AA ′ na raz˜ao t. A ′ = (a ′ . 7 7 As coordenadas do ponto m´edio de um segmento v˜ao ajudar-nos a responder outra pergunta de natureza geom´etrica. o que ´e o mesmo. Diz-se que um segmento de reta est´a orientado quando se escolheu um dos seus pontos extremos para ser o ponto inicial (e o outro ser´a o ponto final). escrever´ıamos “o segmento orientado BA”. b). P = (2 + t. Portanto os segmentos AA ′ e BB ′ se intersectam no ponto P = (1 + 2s. 2 + 3s) = ( 15 26 . Do contr´ario. 4 − 2t) = ( 15 26 . Uma quest˜ ao simples que ocorre com freq¨ uˆencia ´e a seguinte. ) 7 7 ou. d). ). Resolvendo este sistema. fora da reta AA ′ . . y) de modo que CC ′ seja o segmento orientado (come¸cando em C) obtido quando se translada AA ′ paralelamente at´e fazer A coincidir com C. A ′ e C. n˜ao situados sobre a mesma reta. d ′ ) os segmentos AA ′ . e somente se. s˜ ao equipolentes se. 0) do sistema de coordenadas ent˜ao o ponto A ′ cair´ a sobre C ′ = (a ′ − a. costuma-se dizer que o segmento AA ′ e CC ′ s˜ ao equipolentes. Isto nos d´a a′ + c a+x = 2 2 e b+y b′ + d = . se transladarmos paralelamente o segmento AA ′ at´e fazer o ponto A coincidir com a origem O = (0. Portanto. b). quer-se obter C ′ tal que AA ′ e CC ′ sejam os lados opostos de um paralelogramo cujos outros lados opostos s˜ ao AC e A ′ C ′ . se A = (a. Em particular. b ′ − b). . Assim os segmentos AC ′ e A ′ C tˆem o mesmo ponto m´edio. 2 2 Da´ı x = c + (a ′ − a) e y = d + (b ′ − b). y) e nos propomos a calcular x e y. b ′ ). Pomos C ′ = (x. Nas condi¸c˜oes da discuss˜ ao acima (isto ´e. A ′ = (a ′ . C = (c. d) e C ′ = (c ′ . sabemos que as diagonais de um paralelogramo cortam-se mutuamente ao meio.Segmentos de Reta no Plano 19 Se¸c˜ ao 3 Quer-se determinar as coordenadas do ponto C ′ = (x. Em termos mais precisos: dados os pontos A. CC ′ . Da Geometria Plana. quando CC ′ se obt´em de ′ AA por um deslocamento paralelo de modo a fazer A coincidir com C). tem-se a′ − a = c′ − c e b ′ − b = d ′ − d. estas igualdades significam que AC ′ e A ′ C tˆem o mesmo ponto m´edio. Quais ser˜ao as coordenadas do ponto C ′ ? . obtemos o segmento AC ′ . d).2 Efetuando sobre o segmento AC. b) e C = (c. Exemplo 3. um giro de +90◦ em torno do ponto A. com A = (a.20 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Quando os dois segmentos est˜ao sobre a mesma reta. diremos ainda que eles s˜ ao equipolentes quando estas igualdades se verificarem. Em qualquer caso. No quadrado ABCD. com C ′′ = (c − a. B = (3.) 4. decida se o segmento AA ′ corta um dos eixos. A ′ = (4. d) A = (2. com C ′ = (b−d+a. c) A = (−3. A ′ = (1. Quais s˜ ao as coordenadas dos pontos B e C? (Observa¸c˜ ao: SEMPRE que mencionarmos um pol´ıgono. 3) e B = (5. 4). Um dos v´ertices do quadrado OABC ´e a origem e o outro ´e o ponto A = (2. determine (se existir) o ponto de interse¸c˜ ao dos segmentos AA ′ e BB ′ . −2). Efetuamos um giro de +90◦ do segmento OC ′′ em torno do O. 234). Quais s˜ ao as coordenadas dos v´ertices C e D? 5. 6). −1). d − b). 5). letras adjacentes indicar˜ ao v´ertices adjacentes. −1). 18). obtendo o segmento AC ′ . A ′ = (3. a) A = (−5. obtendo OC ′′′ . Vejamos um caso particular: se A = (1. 4) ent˜ao C ′ = (2 − 4 + 1. Em seguida. 6). A ′ = (2. Dados A = (0. paralelas ou coincidentes. A ′ = (−1. Exerc´ıcios 1. c − a). c) A = (1. 1). 2). b) A = (0. B ′ = (40. O ponto C tem abcissa x e pertence ` a mesma reta AB. obtendo o segmento OC ′′ . Este ´e o ponto procurado. 21). a) ent˜ao os segmentos OA e OA ′ s˜ ao perpendiculares e congruentes. 3). B ′ = (−1. 3 − 1 + 2) = (−1. B ′ = (4. nenhum deles ou ambos. B ′ = (317. y). 3. ache y de modo que o segmento AB seja paralelo ` a diagonal ∆. Em cada um dos casos abaixo. 43). tem-se A = (−1. Se os segmentos n˜ ao se intersectarem. 3). Em cada um dos casos a seguir. B = (−1. 3). −1). a) A = (1. transladamos OC ′′′ de modo a fazer O coincidir com A. Observa¸ c˜ ao 3.Exerc´ıcios 21 Transladamos o segmento AC de modo a fazer A cair sobre a origem. 240). 4). A ′ = (0. lembrar que se A = (a. 0). decida se eles pertencem a retas concorrentes. B = (18. Determine o(s) ponto(s) de interse¸c˜ ao quando existir(em). 5). 123). 2. c−a+b). com C ′′′ = (b − d. Qual ´e a ordenada de C? . A ′ = (7. b) e A ′ = (−b. 1). −3) e B = (5. 2) e C = (3.1 Em alguns exerc´ıcios abaixo. B = (315. 1). b) A = (2. −15). Para qual valor de y as retas AB e CD s˜ ao perpendiculares? 9. e depois com o eixo OX. 2). D. Sejam A = (2. 4). B) = t. B)? 11. 7. tais que as retas AB e CD sejam perpendiculares. Xt )/d(Xt . −5) e B = (5. y). A e C s˜ ao colineares ent˜ ao c = ta e d = tb para algum t ∈ R. 0). d) pontos diferentes de O = (0. interse¸c˜ ao das diagonais AC e BD? 10. b) e C = (c. Se Xt ´e o ponto do segmento AB tal que d(A. −2). em lugar da diagonal ∆. 5). 8. quanto vale d(A. 5) e C = (6. B = (2.22 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 6. Dˆe exemplo de dois outros pontos C. C = (3. Sejam A = (a. Prove que se O. Sabe-se que A = (1. Responda as perguntas do exerc´ıcio anterior com a diagonal ∆ ′ . ABCD ´e um paralelogramo. Tem-se A = (2. Xt )/d(A. 3). Quais s˜ ao as coordenadas do v´ertice D? E do ponto M. . 4) e D = (0. B = (4. d(P.4 A Distˆ ancia entre Dois Pontos Se os pontos P = (x. y) e Q ′ = (x. Se. Como P e S tˆem a mesma ordenada. Q) entre eles ´e igual `a distˆ ancia q |x ′ − x| = (x − x ′ )2 entre suas proje¸c˜oes sobre o eixo OX. Portanto. y). Q)2. se P = (x. considerando o ponto S = (u. Pelo Teorema de Pit´ agoras. y) e Q = (u. S) = |x − u| e d(S. vemos que PSQ ´e um triˆ angulo retˆ angulo cuja hipotenusa ´e PQ. y) e Q = (x ′ . Q ′ ) = |y ′ − y| = (y − y ′ )2. podemos escrever d(P. que ´e igual ` a distˆ ancia entre as proje¸c˜oes de P e Q sobre o eixo OY. Analogamente. P = (x. . entretanto. v) tˆem abcissas e ordenadas diferentes ent˜ao. segue-se que d(P. y ′ ) tˆem a mesma abcissa x ent˜ao q d(P. Q)2 = (x − u)2 + (y − v)2. y) tˆem a mesma ordenada y ent˜ao a distˆ ancia d(P. Q)2 = d(P. Q) = |y − v|. S)2 + d(S. enquanto S e Q tˆem a mesma abcissa. a distˆ ancia do ponto P = (x. Em particular.´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 24 logo d(P. . 0) ´e d(O. y) `a origem O = (0. dada em termos das coordenadas desses pontos. Q) = q (x − u)2 + (y − v)2. P) = p x2 + y2. A f´ormula da distˆ ancia entre dois pontos. serve de partida para um grande n´ umero de resultados da Geometria Anal´ıtica. Vejamos um exemplo. A igualdade ux + vy = 0 expressa portanto a condi¸ca ˜o necess´ aria e suficiente para que os segmentos OP e OQ sejam perpendiculares.A Distˆ ancia entre Dois Pontos 25 Se¸c˜ ao 4 Dados os pontos P = (x. v). quando O ´e a origem. Simplificando: −2ux − 2vy = 0 e da´ı ux + vy = 0. ou seja: x2 − 2ux + u2 + y2 − 2vy + v2 = x2 + y2 + u2 + v2. 0) ´e a origem? Pelo Teorema de Pit´ agoras. A f´ormula da distˆ ancia entre dois pontos nos permite escrever esta equa¸c˜ao como (x − u)2 + (y − v)2 = x2 + y2 + u2 + v2. d(P. onde O = (0. y) e Q = (u. que assegura o perpendicularismo dos segmentos OP e OQ. em termos dessas coordenadas. . P = (x. os segmentos OP e OQ s˜ ao perpendiculares se. v). e somente se. y) e Q = (u. P)2 + d(O. Q)2. qual ´e a condi¸c˜ao. Q)2 = d(O. como vimos no final da Se¸c˜ao 1. confirmando ou negativo. OA ′′ ⊥ OC ′′ . O triˆ angulo ABC ´e retˆ angulo e seus catetos s˜ ao AB e AC. δ) tais que OA ′′ ´e paralelo a AA ′ e OC ′′ ´e paralelo a CC ′ .26 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Se os segmentos perpendiculares OP e OQ tˆem o mesmo comprimento ent˜ao OQ resulta de OP por uma rota¸c˜ao de 90◦ em torno da origem. 5). ou seja αγ + βδ = 0. 7). 0). b). a condi¸ca ˜o de perpendicularismo dos segmentos de reta AA ′ e ′ CC se exprime. 8) e C = (5. Al´em disso. Neste caso. b ′ ). −x). Mais geralmente. B = (−2. y) ent˜ao Q = (−y.1 Sejam A = (4. Com efeito. C = (c. obtemos os pontos A ′′ = (α. E que OP e OQ s˜ ao perpendiculares. x) ou Q = (y. d) e C ′ = ′ (c . como d′ (a ′ − a)(c ′ − c) + (b ′ − b)(d ′ − d) = 0. β = b ′ −b. os segmentos AA ′ e CC ′ s˜ ao perpendiculares se. Assim. Como vimos no final da Se¸c˜ao 3. conforme a rota¸c˜ao seja no sentido positivo ´ claro que x(−y) + yx = 0 e xy + y(−x) = 0. δ = − d. γ = c ′ −c. Qual ´e a condi¸c˜ao em termos dessas coordenadas que assegura serem perpendiculares os segmentos de reta AA ′ e CC ′ ? Transladando paralelamente os segmentos AA ′ e CC ′ de modo a fazer os pontos A e C coincidirem com a origem O = (0. em termos das coordenadas dos pontos extremos desses segmentos. A ′ = (a ′ . se P = (x. d ′ ) com A 6= A ′ e C 6= C ′ . β) e C ′′ = (γ. Exemplo 4. e somente se. α = a ′ −a. sejam A = (a. os segmentos . Sejam P = (x. vamos obter a f´ ormula do cosseno do ˆ angulo entre dois segmentos. respectivamente. y = sin α. e somente se. a condi¸c˜ao procurada ´e (x + a)(x − a) + y · y = 0. duas retas s˜ ao perpendiculares se. y) a fim de que os segmentos AP e A ′ P sejam perpendiculares. y) e Q = (u. 0). vejamos que condi¸c˜ao devem satisfazer as coordenadas do ponto P = (x.2 Dados os pontos A = (−a. pois (5 − 4)(−2 − 4) + (7 − 5)(8 − 5) = 1 · (−6) + 2 · 3 = −6 + 6 = 0. as medidas em radianos dos ˆ angulos do eixo OX com os segmentos OP e OQ. u = cos β e v = sin β. o cosseno do ˆangulo entre elas ´e igual a zero. x2 + y2 = a2. Ent˜ao. Como se sabe da trigonometria tem-se. cos θ = cos(β − α) = cos β · cos α + sin β · sin α = ux + vy. v) pontos situados `a distˆ ancia 1 da origem O = (0. 0). . Levados por esta observa¸c˜ao.Se¸c˜ ao 4 A Distˆ ancia entre Dois Pontos 27 AB e AC s˜ ao perpendiculares. A condi¸c˜ao de perpendicularismo ´e um caso particular da f´ormula que d´a o cosseno do ˆ angulo entre duas dire¸c˜oes. 0) e A ′ = (a. temos x = cos α. Exemplo 4. Portanto. com a > 0. se α e β s˜ ao. De acordo com a condi¸c˜ao de perpendicularismo. Comecemos com uma situa¸c˜ao especial. AP e A ′ P s˜ ao perpendiculares se. Isto significa que P pertence `a circunferˆencia de centro O que tem diˆ ametro AA ′ . O ˆangulo do segmento OP com o segmento OQ mede ent˜ao θ = β − α radianos. a distˆ ancia do ponto P `a origem ´e a. e somente se. Com efeito. ou seja. portanto. tv) est˜ao sobre os segmentos OP e OQ respectivamente. Do que acabamos de ver resulta ent˜ao que cos θ = tu · sx + tv · sy = st(ux + vy).28 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Se. ou seja. y) e Q = (u. y) e Q = (u. P = (x. Ent˜ao os pontos P ′ = (sx. Oˆ angulo θ entre OP e OQ ´e o mesmo que entre OP ′ e OQ ′ . 2 u + v2 · x2 + y2 Esta ´e. 0). sy) e Q ′ = (tu. v). P ′ ) = d(O. a f´ ormula do cosseno do a ˆngulo entre os segmentos de reta OP e OQ. 0) mas os comprimentos dos segmentos OP e OQ n˜ao forem necessariamente iguais a 1. v) forem pontos diferentes de O = (0. Q ′ ) = 1. agora com d(O. onde O = (0. tomamos p p s = 1/ x2 + y2 e t = 1/ u2 + v2. que ux + vy p cos θ = √ . . P = (x. d ′ ). d) e C ′ = (c ′ . transladaremos esses segmentos de modo a fazer A e C cairem sobre O. naturalmente. quando especificamos em cada um deles qual ´e o ponto inicial e qual o ponto final. b). o ˆ angulo θ entre eles s´ o fica bem definido quando os orientamos. B = (1+ 3. Como j´a vimos. o ˆangulo entre eles seria o suplemento de θ e o cosseno mudaria de sinal. . se θ ´e o ˆ angulo entre AA ′ e CC ′ . C = (c. paralelos a AA ′ e CC ′ respectivamente. tem-se A ′′ = (a ′ −a. (a ′ − a)2 + (b ′ − b)2 · (c ′ − c)2 + (d ′ − d)2 (. ´e indiferente considerar o ˆangulo orientado de OP para OQ ou vice-versa. Portanto. isto ´e. No argumento acima. esta extremidade ´e. b ′ −b) e C ′′ = (c ′ −c. a dicuss˜ ao admitiu tacitamente que os pontos iniciais dos segmentos AA ′ e CC ′ s˜ ao A e C. Portanto. b ′ ). 2 4 3 q Conseq¨ uentemente. ′ Caso A fosse o ponto inicial do primeiro segmento e C do segundo.1) Deve-se observar que se os segmentos AA ′ e CC ′ tˆem extremidades distintas. O ˆ angulo entre AA ′ e CC ′ ser´a o mesmo que entre OA ′′ ′′ e OC . Se. tomada como o ponto inicial de ambos. d ′ −d). e quisermos obter o cosseno do ˆangulo entre eles em fun¸c˜ao das coordenadas A = (a. tem-se cos θ = p (a ′ − a)(c ′ − c) + (b ′ − b)(d ′ − d) p . com extremidades distintas. √ √ √ √ Exemplo 4. A ′ = (a ′ .Exerc´ıcios 29 Como cos(−θ) = cos θ. 2+ 3) e C = (2+ 3. 3− 3) ent˜ao o cosseno do ˆ angulo formado pelos segmentos AB e AC ´e cos θ = = √ √ √ √ (1 + 3 − 1)(2 + 3 − 1) + (2 + 3 − 2)(3 − 3 − 2) q √ √ √ √ (1 + 3 − 1)2 + (2 + 3 − 2)2 · (2 + 3 − 1)2 + (3 − 3 − 2)2 √ 1 2 3 √ = . tivermos dois segmentos de reta AA ′ e CC ′ . obtendo assim os segmentos OA ′′ e OC ′′ .3 Se A = (1. a f´ormula acima d´a o cosseno de ˆangulo entre dois segmentos orientados. Caso os segmentos dados tenham uma extremidade comum (como OP e OQ acima). 2). os segmentos AB e AC formam um ˆangulo de 60◦ . −3) e B = (3. ache as coordenadas de um ponto C tal que o triˆ angulo ABC seja equil´ atero. −1) e B = (5. o ponto P tem abcissa x e AP ´e perpendicular a AB. 0). 2). B = (3. 2). 10). 8. b. 5) e C = (−8. Qual ´e o ponto C de abcissa 3 tal que AC ´e perpendicular a AB? 10. Ache x de modo que o ponto C = (x. Sejam O = (0. b) e C = (c. A = (a. e somente se. Dados A = (2. 0) e C = (0. 3). d). e somente se. 152). 0). Sejam A = (1. Quais s˜ ao os valores poss´ıveis de y? b e OCA. B = (2. Sejam a. 7. um ˆ angulo reto ou se seus trˆes ˆ angulos s˜ ao agudos: a) A = (0. 1). 4. 0). x) seja o terceiro v´ertice do triˆ angulo equil´ atero ABC. b + y) e C = (x − bc. y + ac) s˜ ao v´ertices de um triˆ angulo retˆ angulo. calcule os cossenos dos ˆ angulos OAC 3. C = (3. b 2. Prove que o ponto P = (x. com A = (−a. a2 + b2 = c2 + d2 = 2(a c + b d). B = (6. decida se o triˆ angulo ABC tem um ˆ angulo obtuso. Qual ´e a ordenada de P? . O triˆ angulo ABC.30 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Exerc´ıcios 1. B = (a + x. y). y) pertence ` a mediatriz do segmento AB se. y) ´e equil´ atero. A partir da´ı. 7). 7). 9. 3) e B = (5. Sejam A = (a. Qual ponto do eixo OX ´e equidistante dos pontos A = (1. 0) e B = (0. −1)? 6. −3). x e y diferentes de zero. C = (−45. 1). com a 6= 0. 1) e B = (5. Ainda com A = (2. Sejam A = (2. 8). a). x + y = 8. Em cada um dos casos abaixo. 5. 1). c) A = (2. b) A = (1. B = (a. Mostre que os pontos A = (x. C = (4. Prove que o triˆ angulo OAC ´e equil´ atero se. portanto A = (0. C) = b2 + c2 e o comprimento da mediana ´e r b 2 c 2 1 p 2 b + c2.5 Escolhendo o Sistema de Coordenadas At´e agora. c/2). Seja M o ponto m´edio de BC. o que nos permite identificar os pontos desse plano com elementos de R2 e desta maneira temos traduzido algumas propriedades geom´etricas em termos de rela¸c˜oes num´ericas entre essas coordenadas.1 Seja ABC um triˆ angulo retˆ angulo cuja hipotenusa ´e BC. Exemplo 5. 0) e C = (0. temos a liberdade de introduzir no plano o sistema de coordenadas que acharmos mais conveniente para o nosso problema. B = (b. 0). Queremos mostrar que o comprimento da mediana AM ´e igual ` a metade do comprimento da hipotenusa. Ent˜ao M = (b/2. c) s˜ ao as coordenadas dos v´ertices. Um sistema de coordenadas conveniente para este problema ´e aquele em que as retas AB e AC s˜ ao os eixos. + = 2 2 2 . Mas se temos um problema geom´etrico (que n˜ao menciona coordenadas) e queremos resolvˆe-lo usando Geometria Anal´ıtica. Come¸camos com um caso bastante simples. O comprimento da hipotenusa ´e p d(B. em todas as quest˜ oes que abordamos temos considerado um sistema de coordenadas fixado no plano. C). Uma escolha menos ´ obvia. 2 . y). Portanto d(A. 0). sendo a origem o ponto M. 0). A = (x.32 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear o que prova a afirma¸c˜ao feita. C)2. ou seja. Agora temos B = (−b. e da´ı x2 + y2 = b2. M) = d(B. x2 − b2 + y2 = 0. M)2 = 1 d(M. o que significa d(A. ´e tomar um sistema de coordenadas cujo eixo OX contenha a hipotenusa. C = (b. B)2 = d(M. mas ainda adequada para esta quest˜ao. A condi¸c˜ao de perpendicularismo entre AB e AC nos d´a (x − b)(x + b) + y2 = 0. A altura baixada do v´ertice . y) ´e equidistante de A e B se. provar que suas trˆes alturas se encontram no mesmo ponto. Exemplo 5. 0). B e C s˜ ao A = (a. de forma extremamente elementar. Para responder a esta solicita¸c˜ao consideramos um sistema de coordenadas no qual o eixo OX cont´em o segmento AB e a origem O ´e o ponto m´edio desse segmento.Se¸c˜ ao 5 Escolhendo o Sistema de Coordenadas 33 Outra situa¸c˜ao geom´etrica que pode ser resolvida com o aux´ılio de coordenadas.2 Dados os pontos A e B no plano. ou seja. e somente se. com a > 0. os pontos do plano que s˜ ao equidistantes de A e B s˜ ao aqueles que est˜ao sobre o eixo OY do sistema que escolhemos. tem-se x = 0. Tomamos no plano o sistema de coordenadas no qual o eixo OX cont´em o lado AB e o eixo OY cont´em a altura baixada do v´ertice C sobre esse lado. c). B) (pontos equidistantes de A e B). 0) e B = (a. O ponto X = (x. onde c 6= 0. as coordenadas dos pontos dados s˜ ao A = (−a. esse eixo ´e a perpendicular ao segmento AB passando pelo seu ponto m´edio.3 Dado o triˆ angulo ABC. A) = d(X. determinar o conjunto dos pontos X tais que d(X. B)2. as coordenadas dos v´ertices A. 0) e C = (0. Neste sistema. ´e a mediatriz deste segmento. Ora. isto ´e (x + a)2 + y2 = (x − a)2 + y2. Portanto. B = (b. d(X. ´e a seguinte. Neste sistema. Simplificando. A)2 = d(X. vem −2ax = 2ax. 0). Como a 6= 0. Exemplo 5. ab + cz = 0. a) e D = (0. Os segmentos BP e AC s˜ ao perpendiculares. O . Por sua vez. a altura baixada do v´ertice A encontra a altura OC no ponto Q = (0. y). ficando o v´ertice B sobre o eixo das abcissas e D sobre o das ordenadas. Assim teremos A = (0. z). ab+cy = 0.34 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear B encontra a altura OC no ponto P = (0. qual a medida do ˆangulo entre os segmentos orientados AC e DB. 0). − c ´e o ponto de encontro das trˆes alturas do triˆ angulo ABC. Escolhemos como origem o v´ertice A. Novamente. a). c ab P = Q = 0.4 Temos um retˆ angulo ABCD. ou seja. B = (2a. isto ´e. no qual o lado AB mede o dobro do lado BC e perguntamos qual ´e o menor ˆangulo formado por suas diagonais. Exemplo 5. Utilizando-se a condi¸c˜ao de perpendicularismo de dois segmentos obtemos (0−b)(0−a)+(y−0)(c−0) = 0. Vemos ent˜ao que z=y=− portanto ab . os segmentos AQ e BC s˜ ao perpendiculares e utilizando a mesma rela¸c˜ao obtemos (0 − a)(0 − b) + (z − 0)(c − 0) = 0. C = (2a. ou seja. 0). cos θ = p 2 2 2 2 5 (2a) + a · (2a) + (−a) logo θ = 5307 ′ 48 ′′ . x = c/4a. onde 2a ´e a distˆ ancia de P a Q. isto ´e. Queremos determinar o conjunto dos pontos M = (x. P)2 − d(M. . uma perpendicular ao segmento PQ. mais precisamente.Exerc´ıcios 35 cosseno do menor ˆ angulo formado pelas diagonais do retˆ angulo ´e: 3 (2a − 0)(2a − 0) + (a − 0)(0 − a) p = . y) tais que d(M. temos 4ax = c. Neste sistema.5 S˜ao dados dois pontos P e Q no plano e pergunta-se que forma tem o conjunto dos pontos M do plano tais que os quadrados de suas distˆ ancias aos pontos P e Q respectivamente diferem por uma constante c. Vemos que os pontos M que satisfazem a condi¸c˜ao dada constituem uma reta. Simplificando. Um sistema de eixos conveniente para este problema ´e aquele cujo eixo das abcissas cont´em P e Q e cuja origem ´e o ponto m´edio do segmento de reta PQ. temos P = (−a. isto ´e: (x + a)2 + y2 − [(x − a)2 + y2] = c. Q)2 = c. 0) e Q = (a. 0). Exemplo 5. 8. b) A = (x1 . escolha um sistema de coordenadas adequado 2 2 2 2 2 2 e mostre que AB +BC +CD +DA = AC +BD (a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo ´e igual ` a soma dos quadrados das suas diagonais). Num sistema de coordenadas em que a origem ´e equidistante de A. B. 2.] 7. 5. [Escolha um sistema de eixos no qual A = (a.” Prove este fato escolhendo um sistema de coordenadas onde a hipotenusa est´ a sobre o eixo OX e o v´ertice do ˆ angulo reto sobre o eixo OY. 2). B = (b. Escolhendo um sistema de coordenadas com origem no v´ertice A e com o ponto B sobre o eixo das abcissas. 4). 0). 4. V´ arias vezes. Dado um paralelogramo ABCD. 5). determine o conjunto dos pontos do plano cuja soma dos quadrados de suas distˆ ancias a A e B ´e igual a uma constante c. B. foi citada e usada a propriedade de que as diagonais de um paralelogramo cortam-se mutuamente ao meio. o qual divide cada uma delas na raz˜ ao 2/3 a partir do v´ertice correspondente. Se. 9. prove que os lados AC e BC s˜ ao iguais. c). 6. O triˆ angulo ABC ´e equil´ atero e seu lado mede l. logo o triˆ angulo ´e is´ osceles. nas p´ aginas anteriores. C e o ponto C est´ a sobre o eixo OY. y3 ). C = (x3 . no triˆ angulo ABC. y2 ). Chama-se baricentro de um triˆ angulo ao ponto de interse¸c˜ ao de suas trˆes medianas. Dados os pontos A. B = (3. 0) e C = (0. escolha um sistema de coordenadas adequado e use-o para provar a referida propriedade. B = (x2 . “Num triˆ angulo retˆ angulo.36 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Exerc´ıcios 1. quais s˜ ao as coordenadas dos trˆes v´ertices? 3. as medianas que partem dos v´ertices A e B s˜ ao iguais. Determine as coordenadas do baricentro do triˆ angulo ABC nos seguintes casos: a) A = (1. y1 ). a altura relativa ` a hipotenusa ´e a m´edia geom´etrica das proje¸c˜ oes (ortogonais) dos catetos sobre essa hipotenusa. prove que as trˆes medianas de um triˆ angulo se encontram no mesmo ponto. C = (2. . Dado um paralelogramo ABCD. Prove que o segmento de reta que une os pontos m´edios das laterais de um trap´ezio ´e paralelo ` as bases e sua medida ´e a m´edia aritm´etica das medidas das bases. o processo descrito na Se¸c˜ao 2 permite estabelecer uma correspondˆencia biun´ıvoca entre pontos do plano e pares ordenados de n´ umeros reais. E a Geometria Anal´ıtica usando eixos que formam ˆangulos diferentes de 900. n˜ao ´e a u ´nica maneira de se estabelecer correspondˆencias entre pontos do plano e pares orde- . Na maior parte dos casos n˜ao h´a motivo para se optar por um sistema de eixos n˜ao-ortogonais mas ´ poss´ıvel desenvolver em algumas situa¸c˜oes isto pode ser vantajoso. O uso de um par de eixos (ortogonais ou n˜ao). Tal modifica¸c˜ao afeta todas as propriedades ligadas ao conceito de distˆ ancia. as relacionadas com colinearidade) n˜ao s˜ ao afetadas por esta mudan¸ca.6 Outros Tipos de Coordenadas Dados dois eixos concorrentes quaisquer. Outras propriedades (por exemplo. no sentido hor´ ario. a equa¸c˜ao y = x caracteriza os pontos (x. . θ). Dado um par (R. x) situados sobre a bissetriz do ˆangulo formado pelos semi-eixos positivos. as coordenadas cartesianas desse mesmo ponto s˜ ao (R cos θ. Se (R. j´a que se um ponto P do plano ´e dado em coordenadas polares por (R. Exemplo 6.38 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear nados de n´ umeros reais. s˜ ao associados a P. θ) s˜ ao as coordenadas polares de um ponto P. obt´em-se o ponto correspondente P do plano considerando a circunferˆencia de centro O e raio R e sobre ela tomando um arco de θ radianos a partir do ponto de interse¸c˜ao com o semi-eixo positivo OX (no sentido anti-hor´ario.1 Num sistema de coordenadas obl´ıquas. R sen θ). Uma desvantagem de utilizar coordenadas polares reside no fato de que a correspondˆencia acima descrita n˜ao ´e biun´ıvoca. Al´em disso. Entretanto. h´a certas figuras (particularmente aquelas constru´ıdas a partir de circunferˆencias) cujo estudo fica facilitado com o uso de coordenadas polares. as coordenadas polares da origem O n˜ao s˜ ao definidas. Por esse motivo. θ + 2kπ). com k ∈ Z. O ponto assim resultante ´e facilmente expresso em coordenadas cartesianas relativas ao sistema de eixos ortogonais em que o eixo das abcissas ´e OX. as coordenadas polares s˜ ao usadas em problemas de C´ alculo. θ) de n´ umeros reais (com R > 0). especialmente na avalia¸c˜ao de certas integrais duplas. ent˜ao todos os pares da forma (R. No sistema de coordenadas polares usa-se um u ´nico eixo OX. se θ > 0. se θ < 0). Esboce o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas polares satisfazem a rela¸c˜ ao R = cos 3θ. menos um ponto. com − π2 < θ < π2 . Esboce a curva descrita pelo ponto de coordenadas polares R = t. Tomando no plano um sistema de eixos obl´ıquos no qual o ˆ angulo de OX para OY ´e θ. y) ao ponto P ′ = (x ′ . P ′ ) = (x − x ′ )2 + (y − y ′ )2 + 2(x − x ′ )(y − y ′ ) cos θ . (Aqui. y). a equa¸c˜ao R = 3 define uma circunferˆencia de centro na origem e raio 3 enquanto a equa¸c˜ao θ = π/3 define uma semi-reta (desprovida da origem) que parte de O e forma um ˆ angulo de 600 com o semi-eixo positivo OX. Se (x.Exerc´ıcios 39 Exemplo 6. em coordenadas polares. 8. Mostre que a distˆ ponto qualquer de X ao ponto P = (0. 2. y) s˜ ao as coordenadas do ponto P num sistema de eixos ortogonais. 7. Num sistema de coordenadas obl´ıquas em que os semi-eixos positivos formam um ˆ angulo α. quais s˜ ao as coordenadas polares (R. Exerc´ıcios 1. b) θ = 3π/4. θ = 2πt quando t assume todos os valores reais positivos.2 No sistema de coordenadas polares (R. θ) desse ponto? (Supomos o semi-eixo positivo de OX como a origem do ˆ angulo θ. x+2y·cos α). pela equa¸c˜ ao R = 3/ sen θ. etc. Seja X o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas polares satisfazem ancia de um a equa¸c˜ ao R = cos θ. 4π. onde P=(x. c) R cos θ = 5. sobre o segmento OP ′ onde P ′ =(−y. y ′ ) ´e dada por p d(P. Descreva o conjunto representado. Identifique os seguintes subconjuntos do plano por meio de suas coordenadas polares r.) . J´a a equa¸c˜ao R = θ representa uma espiral que parte da origem. mostre que a distˆ ancia do ponto P = (x. θ). 4. estamos supondo que α ´e o ˆ angulo de rota¸c˜ ao do eixo x para o eixo y e que o sentido de rota¸c˜ ao de OP para OP ′ ´e o mesmo. 6. prove que a rota¸c˜ ao de ˆ angulo α em torno da origem leva o segmento OP. 1/2) ´e igual a 1/2 e conclua que X ´e a circunferˆencia de centro P e raio 1/2. 3. θ: a) R = 3. gira no sentido positivo e corta o semi-eixo OX nos pontos de coordenadas 2π.) 5. 6π. da diagonal ∆. Analogamente. Chama-se equa¸c˜ao de uma curva C a uma igualdade envolvendo as vari´aveis x. porque o ponto P = (x. . Seja agora r uma reta n˜ao-vertical. O ponto de abcissa 1 da reta r ´e A = (1. as curvas nesse plano passam a ser representadas por equa¸c˜oes. e somente se. isto ´e. x ∈ R}. gr´ afico da fun¸c˜ao afim f : R → R. y). a+b). o ponto P = (x. Para prov´a-lo. Ela corta o eixo OY no ponto B = (0. ax+b) ∈ R2. Diz-se ent˜ao que a equa¸c˜ao da reta r ´e x = c. bissetriz comum ao segundo e quarto quadrantes. y) pertence `a curva C. x = y. ax+b). isto ´e. y. quando sua abcissa vai de 0 at´e 1. y) com y ∈ R arbitr´ ario. H´ a trˆes tipos principais de equa¸c˜oes que definem retas no plano. que os pontos de r s˜ ao aqueles da forma P = (x. de ordenada b. Se a reta vertical r corta o eixo OX no ponto de abcissa c ent˜ao todos os pontos de r s˜ ao da forma P = (c. consideramos o conjunto X = {(x. onde a ´e a varia¸c˜ao que sofre a ordenada de um ponto P = (x. Afirmamos que y = ax+b ´e a equa¸c˜ao da reta r.7 As Equa¸c˜ oes da Reta Uma vez escolhido um sistema de coordenadas no plano. diz-se que r ´e horizontal quando ´e paralela ao eixo OX ou ´e o pr´oprio OX. x = y ´e a equa¸c˜ao da bissetriz comum ao primeiro e terceiro quadrantes. x = −y ´e a equa¸c˜ao da reta ∆ ′ . Por exemplo. Analogamente. A equa¸ c˜ ao y = ax + b Diz-se que a reta r ´e vertical quando ela ´e paralela ao eixo OY ou coincide com ele. e somente se. que descreve a reta r. Trataremos inicialmente da equa¸c˜ao y = ax + b. a qual ´e satisfeita se. b). y) pertence a ∆ se. logo d(P1. Ora. que trˆes pontos quaisquer P1 = (x1. P2) + d(P2. P2) = q (x1 − x2)2(1 + a2) √ 1 + a2 e d(P1. Ent˜ao verifiquemos que d(P1. ax1 + b). . Muitas vezes dizse simplemente “a reta y = ax + b” para significar “a reta cuja equa¸c˜ao ´e y = ax + b”. P ) = (x − x ) 2 3 3 2 √ 2 (x3 − x1) 1 + a .As Equa¸c˜ oes da Reta 41 Se¸c˜ ao 7 f(x) = ax + b. P3) = d(P1. Como X e r tˆem em comum os pontos A e B. Devemos mostrar que X = r. Supomos que a numera¸c˜ao foi escolhida de modo que x1 < x2 < x3. ou seja. existem n´ umeros reais a e b com a seguinte propriedade: o ponto P = (x. s˜ ao colineares. y) pertence a r se. basta constatar que X ´e uma reta. d(P1. P2 = (x2. P2) + d(P2. vale y = ax + b. P3). ou que esta ´e a equa¸ca ˜o da reta r. ax3 + b). Dizemos ent˜ao que a equa¸c˜ao y = ax + b representa a reta r. P3). e somente se. q (x1 − x2)2 + (ax1 + b − ax2 − b)2 = p = (x2 − x1) 1 + a2. pertencentes a X. Em suma: dada uma reta n˜ao-vertical r. P3) = d(P1. ax2 + b) e P3 = (x3. P3) = Analogamente se vˆ e que d(P . a equa¸c˜ao y = b representa uma reta horizontal. As retas dadas s˜ ao paralelas quando n˜ao existe um ponto P = (x.42 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Conv´em ter sempre em mente os significados das constantes a e b na equa¸c˜ao y = ax + b da reta n˜ao-vertical r: b ´e a ordenada do ponto em que r corta o eixo vertical OY e a. Quando se d´a a x o acr´escimo 1 (passando de x para x + 1). y) cujas coordenadas satisfazem ambas equa¸c˜oes. inclina¸ca ˜o de r. A interse¸c˜ao das retas y = ax + b e y = a ′ x + b ′ ´e o ponto P = (x. Mais geralmente. mede a taxa de crescimento de y em fun¸c˜ao de x. Ora. quando a = 0. se y1 = ax1 + b e y2 = ax2 + b com x1 6= x2 ent˜ao a= y2 − y1 = raz˜ao do acr´escimo de y para o acr´escimo de x. logo s˜ ao solu¸c˜oes do sistema − ax + y = b − a ′x + y = b ′. ou seja. . o acr´escimo correspondente de y ´e [a(x + 1) + b)] − [ax + b] = a. Evidentemente. x2 − x1 Quando a > 0 a reta y = ax + b ´e inclinada para cima e quando a < 0 ela ´e inclinada para baixo. quando o sistema acima n˜ao possui solu¸c˜ao. este sistema ´e equivalente a − ax + y = b (a − a ′ )x = b ′ − b. y) comum a ambas. de ordenadas b 6= b ′ . e somente se. As . Mas o racioc´ınio em termos de equa¸c˜oes lineares contribui para ilustrar o m´etodo anal´ıtico de resolver quest˜ oes de Geometria. as retas y = ax + b e y = a ′ x + b ′ s˜ ao paralelas se. e somente se. Portanto. de natureza geom´etrica. a = a ′ e b 6= b ′ . possuem a mesma inclina¸ca ˜o a e cortam o eixo OY em pontos distintos.Se¸c˜ ao 7 As Equa¸c˜ oes da Reta 43 o qual ´e desprovido de solu¸c˜ao se. dispensa E maiores considera¸c˜oes para concluir que as rela¸c˜oes a = a ′ e b 6= b ′ caracterizam o paralelismo das retas dadas. Exemplo 7.1 As retas y = 3x + 1 e y = 3x − 5 s˜ ao paralelas. ´ claro que o enunciado acima. mas os segundos membros destas duas equa¸c˜oes s˜ ao iguais. Do que vimos acima resulta imediatamente a equa¸c˜ao da reta que passa pelos dois pontos distintos P = (x1. y1) com inclina¸c˜ao (y2 −y1)/(x2 −x1). a equa¸c˜ao da reta se escrever´a mais rapidamente se n˜ao nos preocuparmos em calcular explicitamente o valor de b. a reta PQ tem inclina¸c˜ao a = (y2 − y1)/(x2 − x1) logo sua equa¸c˜ao ´e y2 − y1 y = y1 + (x − x1) x2 − x1 ou y2 − y1 y = y2 + (x − x2). obtemos y − y1 = a(x − x1).2 A equa¸c˜ao da reta que passa pelo ponto (3. Neste caso. A equa¸c˜ao y = ax + b p˜oe em relevo a ordenada b do ponto em que a reta corta o eixo OY. y2) com a mesma inclina¸c˜ao. ou seja. Na segunda. onde a ´e dado mas b n˜ao ´e conhecido. 3) e (2. do ponto da reta que tem abcissa zero. a equa¸c˜ao da reta que tem inclina¸c˜ao a e passa pelo ponto P = (x1. y2). Se x1 = x2. y1) e Q = (x2. vezes a taxa de varia¸c˜ao a da ordenada como fun¸c˜ao da abcissa. Na primeira. donde y = y1 + a(x − x1). Com efeito. . a equa¸c˜ao procurada tem a forma y = ax + b. igual ao acr´escimo x − x1. Subtraindo membro a membro estas duas igualdades. y1) ´e y = y1 + a(x − x1). a equa¸c˜ao procurada ´e x = x1 (ou x = x2) e a reta ´e vertical. Entretanto sabemos que y1 = ax1 + b. 5) com inclina¸c˜ao −2 ´e y = 5 − 2(x − 3) = −2x + 11. estamos dizendo que a reta passa pelo ponto (x1. Supondo x1 6= x2. −17) pois 2x − 5 = 4x + 7 ⇔ 2x = −12 ⇔ x = −6 e y = 2 · (−6) − 5 = −17. por´em. ` vezes. dado `a abcissa.3 A reta que passa pelos pontos (−1. dizemos que a reta passa pelo ponto (x2. Exemplo 7. x2 − x1 Pode n˜ao parecer. obtemos um ponto (x. Esta equa¸c˜ao tem um significado intuitivo bastante interessante: partindo do ponto de abcissa x1 e ordenada y1. Exemplo 7. y) qualquer da reta somando a` ordenada inicial y1 o acr´escimo a(x − x1). a informa¸c˜ao que se tem diz respeito a outra abcissa As x1. 5) tem in5−3 clina¸c˜ao 2−(−1) = 32 . logo sua equa¸c˜ao ´e y = 3 + 32 (x − (−1)) = 23 x + 11 3. Por exemplo.44 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear retas y = 2x − 5 e y = 4x + 7 tˆem em comum o ponto (−6. 4 Para verificar se trˆes pontos dados A. d) com a 6= 0 e c 6= 0. 3). 3). basta examinar se as retas AB e AC tˆem a mesma inclina¸c˜ao.5 Dados os pontos A = (2. perpendicular a AB tamb´em passando por C. 2−5 A inclina¸c˜ao da reta AB ´e 3−2 = −3. s˜ ao perpendiculares. b/a = d/c ou. a quest˜ ao se resume a saber se os segmentos OP e OQ s˜ ao perpendiculares. com a mesma inclina¸c˜ao 32 . 2) e C = (−1. Por exemplo. Se tomarmos o ponto D = (4. Exemplo 7. A e C s˜ ao colineares se. evidentemente. 3 3 3 3 3 Exemplo 7. B e C s˜ ao colineares ou n˜ao. Como vimos na Se¸c˜ao 2. B = (3. 5) e C = (4. Portanto as retas y = ax + b e y = a ′ x + b ′ s˜ ao perpendiculares se. Ent˜ao obter´ıamos sua equa¸c˜ao assim: 2 2 4 2 11 y = 5 + (x − 2) = x + 5 − = x + . 7). Tomando os pontos P = (1. e somente se. Mas ´e claro que se uma das retas dada for horizontal suas perpendiculares ser˜ao verticais e o problema desaparece. a ao colineares. Logo a inclina¸c˜ao de r ´e −3 e a de s ´e 1/3. pois estas s˜ ao paralelas ` as primeiras. B = (3. A e C do que a igualdade b/a = d/c porque nos livra da preocupa¸c˜ao de denominadores iguais a zero. paralela a AB passando por C. Assim. logo A. B e C n˜ao est˜ao sobre a mesma reta. e somente se. 1 + aa ′ = 0. logo os pontos O. B e D s˜ Tomando O = (0. A = (a. isto ocorre se. a ′ ) sobre estas retas. Isto equivale a perguntar quando as retas y = ax e y = a ′ x. Vejamos agora em que condi¸c˜oes as retas y = ax + b e y = a ′ x + b ′ s˜ ao perpendiculares. a inclina¸c˜ao de OA ´e b/a e a de OC ´e d/c. e s. A condi¸c˜ao ad − bc = 0 ´e mais conveniente para exprimir a colinearidade dos pontos O. a ′ = −1/a. achar as equa¸c˜oes das retas r. equivalentemente. . que passam pela origem O. as equa¸c˜oes procuradas s˜ ao: y = 3 − 3(x − (−1)) = −3x (equa¸c˜ao de r) 1 1 10 y = 3 + (x − (−1)) = x + 3 3 3 e (equa¸c˜ao de s). 0). 5). a) e Q = (1. b) e C = (c. e somente se.As Equa¸c˜ oes da Reta 45 Se¸c˜ ao 7 Poder´ıamos tamb´em pensar nesta reta como passando pelo ponto (2. Esta condi¸c˜ao sup˜oe. se A = (2. 6) ent˜ao a inclina¸c˜ao de 5−3 3 AB ´e 3−2 = 2 enquanto que a inclina¸c˜ao de AC ´e 6−3 4−2 = 2 . logo A. ad−bc = 0. inclina¸c˜ao da reta AD ser´a 7−3 4−2 = 2. que a e a ′ s˜ ao diferentes de zero. naturalmente. 5). b) diferente de O. y) pertence ` a reta r ent˜ao suas coordenadas satisfazem a equa¸c˜ao ax + by = c. b. a = 1. Chamando este valor de c. isto significa que um ponto P = (x. que a2 + b2 6= 0. Quando se afirma que a equa¸c˜ao ax + by = c representa a reta r. Mostraremos agora que. perpendicular ` a reta dada r. sobre a reta OA. e somente se. y) pertence a r se. c tais que a equa¸c˜ao ax + by = c representa a reta r. dada uma reta r qualquer no plano.46 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear A equa¸ c˜ ao ax + by = c Sempre que escrevermos a equa¸c˜ao ax + by = c. y1) e P2 = (x2. Se P1 = (x1. suas coordenadas x. b = −1 e c = 0. Aqui. a express˜ao ax + by tem sempre o mesmo valor. portanto a(x1 − x2) + b(y1 − y2) = 0 ou seja: ax1 + by1 = ax2 + by2. a equa¸c˜ao x − y = 0 representa a bissetriz do primeiro quadrante. y) pertencente ` a reta r. Para ver isto. ou seja. o segmento P1P2 ´e perpendicular a OA. mesmo que isto n˜ao seja dito explicitamente. Esta u ´ltima igualdade nos diz que. Por exemplo. y satisfazem a equa¸c˜ao dada. baixada da origem O. y2) s˜ ao dois pontos quaisquer sobre r. seja qual for o ponto P = (x. tomamos um ponto A = (a. . estaremos supondo que a e b n˜ao s˜ ao simultaneamente nulos. acabamos de mostrar que se o ponto P = (x. existem n´ umeros a. 1) sobre a bissetriz. Com efeito. Ela ´e vertical se. y0) na reta r. Conclus˜ ao: o ponto P = (x. e somente se. . Exemplo 7. e somente se. Subtraindo estas duas u ´ltimas equa¸c˜oes. vale ax0 + by0 = c. a = 0. se.As Equa¸c˜ oes da Reta 47 Se¸c˜ ao 7 Reciprocamente. Isto quer dizer que o segmento PQ ´e perpendicular `a reta OA. ou seja. suas coordenadas satisfazem `a equa¸c˜ao ax + by = c. estas condi¸c˜oes significam respectivamente que y ´e constante e que x ´e constante ao longo da reta. 3) e ´e perpendicular ` a bissetriz do primeiro quadrante. y) satisfac¸am esta equa¸c˜ao. 3) est´a sobre a reta dada. Como o ponto P = (2. b = 0. suponhamos que as coordenadas de P = (x. e somente se. que o ponto P pertence `a perpendicular baixada de Q sobre OA. a equa¸c˜ao procurada tem a forma x + y = c. Como Q est´a em r. Mas esta perpendicular ´e a reta r. vem a(x − x0) + b(y − y0) = 0. y) pertence `a reta r.6 Achar a equa¸c˜ao da reta que passa pelo ponto P = (2. Assim. A reta representada pela equa¸c˜ao ax + by = c ´e horizontal se. Tomando o ponto A = (1. Escolhamos arbitrariamente um ponto Q = (x0. P pertence a r. c pelo mesmo n´ umero k 6= 0 ´e a u ´nica altera¸c˜ao que se pode fazer na equa¸c˜ao ax+by = c de modo que ela continue a representar a mesma reta. 3). Ao resolver o problema acima. e somente se. a equa¸c˜ao (ka)x + (kb)y = kc tamb´em representa a mesma reta pois ´e claro que estas duas equa¸c˜oes s˜ ao equivalentes. os segmentos OA e PQ s˜ ao perpendiculares. poder´ıamos ter atribuido a b qualquer valor (exceto zero. Tomando b = 1. Demonstra¸ c˜ ao: Provaremos que (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) . c = 5. satisfaz a outra. 3) e Q = (2. devemos ter 4 · 1 + 3 = c. isto ´e. logo a = 4b. quando k 6= 0. Sejam r e r ′ as retas representadas pelas equa¸c˜oes ax + by = c e a ′ x + b ′ y = c ′ respectivamente. A e A ′ s˜ ao colineares. portanto (2 − 1) · a + (−1 − 3) · b = 0 isto ´e a − 4b = 0. −1). b) e A ′ = (a ′ . A equa¸c˜ao procurada ´e da forma ax+by = c onde. obtemos a = 4 e a equa¸c˜ao que procuramos ´e 4x + y = c. Mostraremos agora que multiplicar os coeficientes a. com c = 2 · 6 + 3 · 6 = 30. b. Assim. b ′ ). um par (x. Os pontos O. Tomando b = k ter´ıamos a = 4k. b). ou seja. ter´ıamos obtido a equa¸c˜ao 6x + 6y = c. ou seja. 6) sobre a bissetriz. a equa¸c˜ao 4x + y = 7 representa a reta que passa pelos pontos P = (1. ′ ′ ab − ba = 0. Se tiv´essemos escolhido outro ponto. Isto ilustra o fato de que se a equa¸c˜ao ax + by = c representa a reta r ent˜ao qualquer que seja k 6= 0. digamos A ′ = (6. o que nos daria 6x + 6y = 30. Logo a equa¸c˜ao x + y = 5 representa a reta em quest˜ ao. 3) e Q = (2. c = 7.48 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear temos 2 + 3 = c. c = 4·k+3k = 7k e a equa¸c˜ao teria a forma 4kx+ky = 7k. . pondo A = (a. Exemplo 7. Existe k 6= 0 tal que a ′ = k · a e b ′ = k · b.7 Obter a equa¸c˜ao da reta que passa pelos pontos P = (1. Ponhamos A = (a. pois a reta dada n˜ao ´e vertical). que ´e equivalente a 4x + y = 7. −1). Como a reta passa pelo ponto P = (1. y) satisfaz uma delas se. Vale o Teorema 1 As seguintes afirma¸co ˜es s˜ ao equivalentes: (1) (2) (3) (4) As retas r e r ′ s˜ ao paralelas ou coincidem. supondo a ′ = ka e b ′ = k · b. A e A ′ s˜ ao colineares. n˜ao existe k 6= 0 tal que a ′ = ka e b ′ = kb. a ′ x + b ′ y = c ′ . em que c ′ 6= kc. para todo ponto (x.As Equa¸c˜ oes da Reta 49 Se¸c˜ ao 7 Como r ´e perpendicular a OA e r ′ ´e perpendicular a OA ′ . e somente se. Resulta ent˜ao da discus˜ ao acima que as retas definidas pelas ′ ′ equa¸c˜oes ax + by = c e a x + b y = c ′ tˆem um u ´nico ponto em comum se. a ′ x + b ′ y = kc 6= c ′ portanto (x. na equa¸c˜ao a ′ x + b ′ y = 0. e somente se. ou seja. tem-se ab − ba = 0. Finalmente. existe k 6= 0 tal que a ′ = ka. logo O. Ent˜ao todo ponto de r est´a em r ′ . r = r ′ . a reta r est´a contida na reta r ′ . Assim. h´a duas possibilidades: ou c ′ = k · c (com o mesmo k!) ou c ′ 6= k · c. se r e r ′ s˜ ao paralelas ou coincidem. ou seja. e somente se. teremos ax + by = c. y) na reta r. Corol´ ario 7. os coeficientes a ′ e b ′ n˜ao se anulam simultaneamente.4 ′ ′ acima. Logo (2) ⇒ (3). Esta an´ alise da posi¸c˜ao relativa de duas retas com base nos coeficientes das equa¸c˜oes que as definem equivale ao estudo das solu¸c˜oes do sistema linear ax + by = c a ′x + b ′y = c ′. y) n˜ao pertence a r ′ . logo kax + kby = kc. O n´ umero k n˜ao pode ser zero pois isto faria a ′ = b ′ = 0. (1) ⇒ (2). Ent˜ao. de ab = ba resulta b ′ = aa · b. No segundo caso. contrariando a conven¸c˜ao de que. resta-nos o caso de retas concorrentes. Pondo k = a ′ /a. b ´e ′ ′ ′ diferente de zero. y) em r. Sabemos que um dos n´ umeros a. se tomarmos um ponto qualquer (x. como vimos ap´ os o exemplo 7. A e A ′ s˜ ao colineares ent˜ao. Ent˜ao r e r ′ s˜ ao paralelas. Tendo interpretado os casos de retas coincidentes ou paralelas em termos dos coeficientes de suas equa¸c˜oes. temos ax + by = c. Seja a 6= 0. isto ´e. Noutras palavras: nenhum ponto de r pertence a r ′ . y) pertence a r ′ . ab − ba 6= 0.1 As equa¸co ˜es ax + by = c e a ′ x + b ′ y = c ′ representam a mesma reta se. portanto (x. Assim. Ainda podemos dizer que as retas ax + by = c e a ′ x + b ′ y = c ′ s˜ ao ′ ′ concorrentes se. b ′ = kb e c ′ = kc. temos b ′ = k · b e (obviamente) a ′ = k · a. Podemos ent˜ao dizer que este sistema possui uma u ´nica solu¸c˜ao (a abcissa x e a ordenada y do ponto de interse¸c˜ao das duas retas) . No primeiro caso. logo kax + kay = kc. Assim. Suponhamos ab ′ − ba ′ = 0. os segmentos OA e OA ′ est˜ao sobre a mesma reta. Se O. (3) ⇒ (4). y) = c. sejam quais forem a. As demais linhas de n´ıvel da fun¸c˜ao ϕ s˜ ao as retas paralelas a esta. c. Mantendo a e b fixos e fazendo variar c. ´e indeterminado se. ab ′ − ba ′ 6= 0. uma outra reta a ′ x + b ′ y = c ′ . e somente se. Diz-se ent˜ao que esta reta ´e a linha de n´ıvel c da fun¸c˜ao ϕ. y) = ax + by. A linha de n´ıvel 0 ´e a reta ax + by = 0. Por exemplo. OA ⊥ OA ′ . ′ ′ aa + bb = 0. b ′ = kb mas c ′ 6= kc para algum k 6= 0. a ′ = ka. para algum k 6= 0 tem-se a ′ = ka. Portanto os pontos do plano que est˜ao no n´ıvel c em rela¸c˜ao `a fun¸c˜ao ϕ s˜ ao os pontos da reta representada pela equa¸c˜ao ax + by = c. Portanto. todas perpendiculares ao segmento OA. diremos que o ponto P = (x. e somente se. b ′ = kb. Evidentemente. a reta ax + by = 0 passa pela origem. e somente se. todas elas perpendiculares ao . Considerando a fun¸c˜ao linear de duas vari´aveis ϕ : R2 → R. isto ´e. b ′ ) ser´a perpendicular ` a primeira se. as diversas retas ax+by = c assim obtidas s˜ ao paralelas entre si. com A ′ = (a ′ . c ′ .50 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear se. aa ′ + bb ′ = 0 ´e condi¸ca ˜o necess´ aria e suficiente para que as retas ax + by = c e a ′ x + b ′ y = c ′ sejam perpendiculares. com A = (a. c ′ = kc e ´e imposs´ıvel se. b). definida por ϕ(x. b. as retas ax+by = c e bx−ay = c ′ s˜ ao perpendiculares. Quando c = 0. y) est´a no n´ıvel c (ou tem n´ıvel c) em rela¸c˜ao a ϕ quando ϕ(x. e somente se. onde A = (a. um modo eficiente de tra¸car a reta ´e marcar os pontos em que ela intersecta os eixos. b). y) da reta AB situados `a distˆ ancia 1 da origem. vem ax = c. Para t = 0 temos (x. tra¸camos a reta.As Equa¸c˜ oes da Reta 51 Se¸c˜ ao 7 segmento OA. 0). Ligando estes pontos. com A = (3. Se a = 0. . determinar os pontos P = (x. que pode ser pensado como o tempo. Dados os pontos distintos A = (a. b) e C = (c. consideremos o seguinte problema: dados A = (0. tem-se a reta horizontal y = c/b. Ent˜ao. Se a = c ent˜ao x ≡ a ´e constante e AC ´e vertical. vem by = c. donde x = c/a. 5). vale (x. 0). temos t = (x − a)/(c − a). o ponto (x. ` vezes ´e conveniente saber localizar. onde t assume todos os valores reais. Se b = 0. Equa¸ co ˜es param´ etricas. Fazendo x = 0.8 Como exemplo do uso das equa¸c˜oes param´etricas. Se for necess´aria uma informa¸c˜ao mais precisa. c−a Portanto quando t assume todos os valores reais. 1/5) e Q = (1/3. Para t = 1. ou x = a + t(c − a) y = b + t(d − b). Elas descrevem a trajet´ oria do ponto (x. Suponhamos ent˜ao ab 6= 0. para todos os valores de t. Suponhamos a 6= c.1 As a posi¸c˜ao da reta dada pela equa¸c˜ao ax + by = c. chamam-se as equa¸co ˜es param´etricas da reta AC. Analogamente. donde y = c/b. y). d). d). b). 0). portanto a reta r corta o eixo OX no ponto (c/a. y) descreve realmente a reta que passa pelos pontos A e C. pondo y = 0. a reta cuja equa¸c˜ao ´e 3x + 5y = 1 ´e perpendicular ao segmento OA. logo y=b+ d−b (x − a). logo r corta o eixo OY no ponto (0. b). A primeira coisa a lembrar ´e que r ´e perpendicualr ao segmento OA. y) = (c. 1) e B = (m. Ela corta os eixos coordenados nos pontos P = (0. em fun¸c˜ao do parˆ ametro t. Por exemplo. onde A = (a. de modo pr´atico. a reta vertical x = c/a. Observa¸ c˜ ao 7. as equa¸c˜oes x = (1 − t)a + tc y = (1 − t)b + td. Exemplo 7. c/b). y) = (a. No primeiro caso. . 1) = A.52 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Os pontos procurados s˜ ao o pr´oprio A e a interse¸c˜ao P da reta AB com a circunferˆencia de centro O e raio 1. obtemos o ponto (x. 1 + m2 m2 + 1 ´e o u ´nico outro ponto al´em de A que est´a sobre a reta AB e sua distˆ ancia `a origem O ´e igual a 1. Esta equa¸c˜ao significa t2m2 + (1 + m2)t2 − 2t = 0. (1 − t)2 = 1. o que era obviamente esperado. As equa¸c˜oes param´etricas da reta AB s˜ ao: x = tm y=1−t Devemos determinar t de modo que se tenha x2 + y2 = 1. 2 logo os valores de t procurados s˜ ao t = 0 e t = 1+m 2 . 1 + m2 m2 + 1 portanto o ponto P= 2m m2 − 1 . O segundo valor de t nos d´a x= m2 − 1 2m e y = . Vamos achar as coordenadas de P. y) = (0. ou seja. y0 ). Ache um ponto P sobre a reta y = 2x e um ponto Q sobre a reta y = 3x. 1). ambos diferentes da origem O. Qual ´e a equa¸c˜ ao da paralela ` a reta y = −2x+5 passando pelo ponto P = (1. tais que d(O. y) 6= A na circunferˆencia de centro O e raio 1. determinar a abcissa m do ponto B = (m. o ponto 2m m2 − 1 P= . 1 + m2 m2 + 1 ´ interessante descreve aquela circunferˆencia menos o ponto A = (0. com exce¸c˜ao do “p´ olo norte” A = (0. P) = d(O. Em seguida determine as coordenadas do ponto m´edio do segmento PQ e. 7. fazendo m variar entre todos os n´ umeros reais. x Sabemos que x = tm e y = 1−t. Ache B tal que o triˆ angulo OAB seja equil´ atero. 1). 1)? 2. E observar que se a abcissa m ´e um n´ umero racional ent˜ao as coordenadas de P s˜ ao racionais. 2) e B = (−3. Exerc´ıcios 1. 5. as retas y = ax + 3 − 5a passam pelo mesmo ponto. 0) onde a reta AP corta o eixo horizontal. Qual ´e o ponto de abcissa 5 sobre a reta perpendicular a AB passando pelo ponto C = (5. O ponto procurado ´e B = O argumento acima mostra que as f´ormulas x= 2m . Sejam A(1. 8. Mostre que. a partir da´ı. As retas y = ax + b e y = a ′ x + b ′ s˜ ao perpendiculares e contˆem o ponto (x0 . estabelecem uma correspondˆencia biun´ıvoca entre os pontos B = (m. Ache os v´ertices desse triˆ angulo. Que ponto ´e esse? 6. 0 . com x2 + y2 = 1. obtenha a equa¸c˜ ao da bissetriz de um dos ˆ angulos formados pelas retas dadas. Ache a equa¸c˜ ao da perpendicular ` a reta y = 3x−1 baixada do ponto Q = (2. Seja A = (3. 2 m +1 1−y x 1−y . para todos os valores reais de a. −4). 3. Da´ı tiramos sucessivamente t= m . . 2). determine a ′ e b ′ . Conhecendo a e b. Os lados de um triˆ angulo est˜ ao sobre as retas y = 2x+ 1. 6)? 4.Exerc´ıcios 53 Consideremos agora o problema inverso: dado o ponto P = (x. y) da circunferˆencia de centro O e raio 1. 1 + m2 y= m2 − 1 x e m= . 0) do eixo horizontal e os pontos P = (x. 1). Assim. x x y=1− m e m = 1−y . y = 3x− 2 e y = 1− x. Q). para c < c ′ . −2). escreva a equa¸c˜ ao da reta perpendicular ` a reta 3x + 2y = 5 baixada do ponto P = (−1. .54 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 9. pontos P e Q tais que d(A. Quais devem ser os sinais de a e b para que essa reta n˜ ao contenha pontos do segundo quadrante? 22. b). 14. para quaisquer valores de s e t. Qual ´e o ponto de interse¸c˜ ao da reta ax + by = c com a reta OA. Prove que toda reta do plano pode ser representada por uma equa¸c˜ ao da forma ax + by = c. b)? 25. sobre as retas AB e AC do exerc´ıcio anterior. Quais s˜ ao as paralelas situadas ` a distˆ ancia 5 da reta 3x − 4y = 1? 21. Ache as equa¸c˜ oes da mediana e da altura do triˆ angulo ABC que partem do v´ertice A. onde A = (a. Qual ´e a distˆ ancia entre as retas paralelas x − 3y = 4 e 2x − 6y = 1? 23. 16. 24. Sejam p e q tais que pq 6= 0. Mostre tamb´em que toda reta que passa por esse ponto ´e representada por uma equa¸c˜ ao da forma acima. baixada do v´ertice do ˆ angulo reto sobre a hipotenusa. 12. bissetriz do ˆ angulo BAC. para uma escolha conveniente de s e t. sob a forma ax + by = 1. exiba pontos com abcissas 2. 27. 4) e C = (3. Em que pontos a reta ax + by = c corta os eixos OX e OY? 26. Supondo b 6= 0. −1)? 19. Determine a equa¸c˜ ao dessa reta. Dˆe exemplo de uma fun¸c˜ ao linear ϕ(x. as retas (2s + 3t)x + (3s − 2t)y = 5s + 4t passam pelo mesmo ponto. q) respectivamente. 5) e A ′ = (14. existem n´ umeros s. q) respectivamente. Na reta ax + by = c tem-se c > 0. Prove que a reta a ′′ x + b ′′ y = c ′′ passa por este mesmo ponto P se. a distˆ ancia entre as linhas de n´ıveis c e c ′ de ϕ seja c ′ − c. 3 e 4 sobre a reta ax + by = c. sob a forma αx + βy = c. 18. 1) s˜ ao sim´etricos em rela¸c˜ ao a uma reta. Obtenha equa¸c˜ oes param´etricas para a reta que passa pelo ponto (2. 17. 0) e Q = (0. Escreva. 10. a equa¸c˜ ao da reta que corta os eixos OX e OY nos pontos P = (p. Escreva. t tais que a ′′ = sa + ta ′ . Ache os pontos da reta y = 2x + 1 que est˜ ao situados ` a distˆ ancia 2 da origem. a equa¸c˜ ao da reta que cont´em a altura do triˆ angulo retˆ angulo OAB. Sejam A = (1. 2). Q). Os pontos A = (2. B = (2. Tome. Ache o ponto m´edio M do segmento PQ e obtenha a ^ equa¸c˜ ao da reta AM. 20. b ′′ = sb + tb ′ e c ′′ = sc + tc ′ . com a2 + b2 = 1. tal que. 3) e ´e perpendicular ` a reta 5x − 3y = 2. com ab 6= 0. y) = ax + by. Qual ´e o ponto de ordenada 3 na reta paralela a 3x − 2y = 2 tirada pelo ponto A = (5. com ab 6= 0. 0) e B = (0. e somente se. 11. Seja ax + by = c e a ′ x + b ′ y = c ′ retas que tˆem um ponto P em comum. 15. P) = d(A. 13. Sejam A = (a. Sob a forma ax + by = c. −1). 0) e (0. Represente assim a reta que corta os eixos OX e OY nos pontos (p. Mostre que. Determine o ponto P = (x. A cada ponto P = (x. Se a equa¸c˜ ao ao de r? de r ´e mx + ny = p. 35. 4). y = ct+d. (c) Ache as coordenadas do ponto D. com Q = (m. 0). 32. Escreva uma representa¸c˜ ao param´etrica da reta que passa pelos pontos (7. 31. 34. B = (6. qual ´e a equa¸c˜ 37. S˜ ao dados os pontos A = (5. 33. y = bt + 5 sejam uma representa¸c˜ ao param´etrica da reta y = 2x + 3. (d) No triˆ angulo ABC. Prove que um sistema de coordenadas obl´ıquas a equa¸c˜ ao de uma reta ainda tem a forma y = ax + b. Determine a e b de modo que as equa¸c˜ oes x = at + 1. a equa¸c˜ ao da reta que passa pelo ponto P = (x0 . Escreva uma representa¸c˜ ao param´etrica da reta 3x + 4y = 5 sob a forma x = at − 5. n). (a) Escreva a equa¸c˜ ao da reta BC.Exerc´ıcios 55 28. b constantes n˜ ao-nulas. 7). y0 ) sobre a reta y = ax + b. y). A reta r ´e representada parametricamente por x = at+b. y = bt + 5. com x = x/a e y = y/b. . determine a medida da altura AD. onde α ´e o ˆ angulo entre os eixos e β ´e o ˆ angulo que o eixo x faz com a reta dada. y) em que r intersecta a seta s. 36. seu correspondente P tamb´em descreve uma reta r. que parte do v´ertice A. Escreva. 9) e C = (6. (b) Escreva a equa¸c˜ ao da reta r. Mostre que quando P descreve uma reta r. onde b ´e a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y e a = sen β/ sen (α − β). 29. y) fa¸camos corresponder o ponto P = (x. Sejam a. y0 ) e ´e perpendicular ao segmento OQ. que passa pelo ponto A e ´e perpendicular ` a reta BC. determine α e β de modo que as equa¸c˜ oes x = αt + x0 . −2) e (3. cuja equa¸c˜ ao ´e αx + βy = c. interse¸c˜ ao das retas r e BC. sob a forma ax + by = c. 30. Dado o ponto (x0 . y = βt + y0 sejam uma representa¸c˜ ao param´etrica da reta y = ax + b. Ache uma representa¸c˜ ao param´etrica para a reta 5x − 2y = 1. o valor absoluto | cos α | est´a definido sem ambig¨ uidade. Dois quaisquer desses ˆ angulos. Se as duas retas s˜ ao representadas pelas equa¸c˜oes ax + by = c e a ′ x + b ′ y = c ′ ent˜ao elas s˜ ao perpendiculares respectivamente `as retas . Assim. Segue-se que. logo congruentes. ou s˜ ao opostos pelo v´ertice. logo suplementares. seus cossenos coincidem ou diferem apenas pelo sinal. ou s˜ ao adjacentes com os lados exteriores em linha reta. se α ´e qualquer um dos quatro ˆangulos formados por duas retas que se cortam num ponto.8 ˆ Angulo entre Duas Retas Duas retas r e r ′ que concorrem num ponto formam quatro ˆangulos. =√ 2 2 2 2 2 13 · 26 13 2 2 +3 · 5 +1 Portanto as retas dadas se cortam formando dois ˆangulos de 450 e dois ˆangulos de 1350. Observe ainda que se as retas s˜ ao paralelas ou coincidentes. Assim. . obtemos √ 2·5+3·1 2 13 13 √ √ = √ = | cos α | = √ . se α ´e um desses ˆangulos. A = (a. 3. Seja α o ˆ angulo entre o eixo OX e a reta ax + by = c. onde O = (0. Exemplo 8. 2 2 4. a express˜ao acima fornece | cos α | = 1. Escreva. b ′ ). Determine | cos α | . Exerc´ıcios 1. y = 3t + 8 forma um ˆ angulo agudo α com reta 5x + 11y = 6. 0). 2. Dˆe uma express˜ ao para | cos α|. a equa¸ ao da reta que passa pela origem e √ c˜ x y 3 0 faz um ˆ angulo de 45 com a reta + = 1. Que ˆ angulos faz a reta 3x + 4y = 7 com os eixos OX e OY? 5. aa +bb = 0. o que ´e natural pois variando c obtˆem-se retas paralelas.Exerc´ıcios 57 OA e OA ′ . Determine α. Seja α um dos ˆ angulos formados pelas retas ax + by = c e y = px + q. Note tamb´em que a f´ormula acima n˜ao cont´em c. podemos afirmar (vide Se¸c˜ao 4) que | cos α | = √ | aa ′ + bb ′| p . e somente se. Prove que n˜ ao existe um triˆ angulo equil´ atero cujos v´ertices tenham coordenadas racionais. Portanto os quatro ˆ angulos formados pelas retas dadas s˜ ao congruentes `aqueles formados pelas retas OA e OA ′ .1 Quais os ˆ angulos formados pelas retas cujas equa¸c˜oes s˜ ao 2x + 3y = 5 e 5x + y = −3? Aplicando a f´ormula acima. 6. sob a forma ax + by = c. A reta definida pelas equa¸c˜ oes param´etricas x = 2t + 7. a2 + b2 · (a ′ )2 + (b ′ )2 Novamente vemos que as retas ax + by = c e a ′ x + b ′ y = c ′ s˜ ao ′ ′ perpendiculares se. b) e A ′ = (a ′ . . que passa pela origem e as corta nos pontos P e Q respectivamente.9 Distˆ ancia de um Ponto a uma Reta Determinemos primeiramente a distˆ ancia entre as retas paralelas ax + by = c e ax + by = c ′ . Ambas s˜ ao perpendiculares `a reta bx − ay = 0. As coordenadas desses pontos s˜ ao obtidas resolvendo os sistemas ax + by = c bx − ay = 0 e ax + by = c ′ bx − ay = 0. Q) = √ .1 O ponto P pertence a um dos lados do retˆ angulo ABCD. Outro c´alculo f´acil nos d´a |c ′ − c| d(P. . e que a distˆ ancia de P a r ´e igual ` a distˆ ancia entre essas duas retas paralelas. y0) `a reta r. e P= a2 + b2 a2 + b2 Q= ac ′ bc ′ . Provar que a soma das distˆ ancias de P `as diagonais desse retˆ angulo ´e constante. . tem-se ent˜ao a express˜ao d(P. a2 + b2 a2 + b2 A distˆ ancia entre as duas retas dadas ´e a distˆ ancia entre os pontos P e Q.Distˆ ancia de um Ponto a uma Reta 59 Se¸c˜ ao 9 Facilmente obtemos bc ac . onde c ′ = ax0 + by0. r) = |ax0 + by0 − c| √ a2 + b2 para a distˆ ancia do ponto P = (x0. y0) `a reta ax + by = c. observamos que a reta paralela a r passando por P tem a equa¸c˜ao ax + by = c ′ . Exemplo 9. a2 + b2 Para calcular a distˆ ancia do ponto P = (x0. dada por ax + by = c. Pelo que acabamos de ver. a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Observe ainda que essa constante nada mais ´e do que a distˆ ancia do ponto A ` a reta BD. Exerc´ıcios 1. Os v´ertices do triˆ angulo ABC s˜ ao A = (2. 4) e C = (5. b). Qual ´e o raio da circunferˆencia que tem centro no ponto P = (4. C = (a. 0). com a > 0. Qual o comprimento da altura baixada de A sobre a base BC? 4. B = (1. D = (a. Ache o ponto Q = (x. 1) ` a reta x + 2y = 3. Q) = ∆. Tomamos um sistema de coordenadas onde A = (0. 5). b). y) sobre esta reta. 1). tal que d(P. Obtenha a distˆ ancia do ponto P = (−2. 0) com 0 ≤ c ≤ a. 0) e P = (c. com b > 0. . Determine a distˆ ancia ∆ do ponto P = (3. 1) e ´e tangente ` a reta 3x + 7y = 2? 3. y = 1 − 4t. Somando as distˆ ancias de P a cada uma dessas retas obtemos bc ab |bc − ab| √ +√ =√ = constante. B = (0. 5. Qual ´e a distˆ ancia da origem ` a reta 5x − 2y = 8? 2. A equa¸c˜ao da diagonal AC ´e bx − ay = 0 e a equa¸c˜ao da diagonal BD ´e bx + ay = ab. 3) ` a reta cujas equa¸c˜ oes param´etricas s˜ ao x = 2 − 3t.60 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Suponhamos que P perten¸ca ao lado AD. [Lembre que todo ponto da bissetriz.Exerc´ıcios 61 6. Dadas as retas r : ax + by = c e r ′ : a ′ x + b ′ y = c ′ .] . suponha que a2 + b2 = (a ′ )2 + (b ′ )2 = 1. Mostre que as duas bissetrizes dos ˆ angulos formados por r e r ′ s˜ ao (a − a ′ )x + (b − b ′ )y = c − c ′ e (a + a ′ )x + (b + b ′ )y = c + c ′ . ´e eq¨ uidistante dos lados. A3 do qual o v´ertice A3 = (0. A numera¸c˜ao dos v´ertices foi feita de modo que o lado A1A3 n˜ao ´e vertical. 0) ´e a origem. b2). temos um triˆ angulo A1A2A3 onde os v´ertices A1 = . A2. Como a equa¸c˜ao da reta A1A3 ´e b1x − a1y = 0 temos: 1 area de A1A2A3 = ´ 2 q |b1a2 − a1b2| 1 a21 + b21 · q = |a1b2 − a2b1|. 2 b21 + (−a1)2 No caso geral. Seja A1A3 a base do triˆ angulo. Sejam A1 = (a1. a1 6= 0. a distˆ ancia de A2 at´e a reta A1A3 ´e a sua altura. b1) e A2 = (a2. Assim.10 ´ Area de um Triˆ angulo Consideremos inicialmente um triˆ angulo A1. isto ´e. 5). conv´em translad´a-lo de modo que um dos v´ertices caia sobre a origem. β2). ´ 2 ou seja: 1 area de A1A2A3 = |(a1 − a3)(b2 − b3) − (a2 − a3)(b1 − b3)|. 0). b2) e A3 = (a3. b1). b3) s˜ ao pontos quaisquer. α2 = a2 − a3.Se¸c˜ ao 10 ´ Area de um Triˆ angulo 63 (a1. com α1 = a1 − a3. A2 = (3. ´ 2 Exemplo 10.1 Dados os pontos A1 = (1. −4). Que ponto ´e esse e qual ´e a ´ area do paralelogramo A1A2A3B? Se transladarmos o segmento A1A2 de modo a fazer A2 coincidir com A3 (o que significa somar 2 − 3 = −1 a cada abcissa e 5 − 1 = 4 a cada ordenada) o ponto A1 cair´ a sobre B. respectivamente equipolentes a A3A1 e A3A2. β1) e Q = (α2. tra¸camos os segmentos OP e OQ. existe um u ´nico ponto B tal que A1A2A3B ´e um paralelogramo. logo P = (α1. A ´area do paralelogramo A1A2A3B ´e duas vezes a ´area do triˆ angulo A1A2A3. logo B = (0.) Antes de calcular a ´ area de um triˆ angulo. logo ´e igual a |(1 − 2)(1 − 5) − (3 − 2)(−4 − 5)| = |4 + 9| = 13. Ent˜ao 1 area de A1A2A3 = ´area de OPQ = |α1β2 − α2β1|. A2 = (a2. A partir da origem O. A f´ormula fica mais . 1) e A3 = (2. (O leitor deve esbo¸car a figura. β1 = b1 − b3. β2 = b2 − b3. Portanto 2 1 area de ABC = ´ ´ area A ′ B ′ C ′ = |1 · 4 − 1 · 2| = = 1. 2) e C = (5. O triˆ angulo A ′ B ′ C ′ foi obtido de ABC pela transla¸c˜ao (x. 1) e C ′ = (2. y) 7→ (x − 3. que leva A na origem. B = (4. 0). B = (1. onde A = (0. 1). 2 2 Tradicionalmente se escreve a1b2 − a2b1 como determinante: . 4). se A = (3.64 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear simples. Por exemplo. y − 1). 5) o triˆ angulo ′ ′ ′ ′ ′ ABC tem a mesma ´ area que A B C . . . a1 a2 . . . a1b2 − a2b1 = .. b1 b2 . escrevendo: . Podemos estender esta nota¸c˜ao. a1 a2 a3 b1 b2 b3 . = a1b2 + a2b3 + a3b1 − a2b1 − a3b2 − a1b3. . . . a1 a2 a3 . . . ´e. o dobro da ´area do triˆ Assim. em valor absoluto. . angulo b1 b2 b3 . b1). Seja Q um quadril´ atero cujos v´ertices s˜ ao A1 = (a1 . b3 ) e A4 = (a4 . A3 = ao introduzida no final da Se¸c˜ ao (a3 . b2 ). n˜ao ´e preciso transladar o triˆ angulo. b1 ). Exerc´ıcios 1. b4 ). Lembrando esta nota¸c˜ao. b2) e A3 = (a3. A2 = (a2 . Estendendo a nota¸c˜ 10. A1A2A3. b3). escreva . A2 = (a2. onde A1 = (a1. . a1 . . b1 a2 b2 a3 b3 . a4 . . = b4 . 0). 5). em valor absoluto. Prove que a ´ area de um pol´ıgono cujos n v´ertices tˆem coordenadas inteiras ´e um n´ umero inteiro ou a metade de um inteiro. (1. o dobro da ´ area do quadril´ atero Q. 3) e (0. Assinale (V)erdadeiro ou (F)also: ( ) As medidas das alturas do triˆ angulo ABC s˜ ao n´ umeros racionais. ( )A´ area do triˆ angulo ABC ´e um n´ umero racional. Calcule a ´ area do pent´ agono cujos v´ertices s˜ ao os pontos (−2. . 0). a1 b2 + a2 b3 + a3 b4 + a4 b1 −a2 b1 − a3 b2 − a4 b3 − a1 b4 e mostre que este n´ umero ´e. 4. 2. (2. (−1. 3). B e C pontos cujas coordenadas s˜ ao n´ umeros racionais. Sejam A. 3. 1). Calcule a ´ area do triˆ angulo cujos v´ertices s˜ ao interse¸c˜ oes de duas das retas x + y = 0. 0). B = (2. . C) ea´ area do triˆ angulo ABC.Exerc´ıcios 65 5. Dados os pontos A = (1. 3) e C = (4. obtenha a medida da altura baixada do v´ertice A. calcule a distˆ ancia d(B. A partir da´ı. x − y = 0 e 2x + y = 3. 6. como saber qual dos dois semi-planos por ela determinados ´e ax + by ≤ c e qual ´e ax + by ≥ c? Considerando a fun¸c˜ao ϕ : R2 → R. dada a reta r pela equa¸c˜ao ax + by = c. a origem est´a no n´ıvel zero de ϕ.11 Desigualdades Lineares Toda reta decomp˜oe o plano em duas regi˜ oes. como ϕ(a. Se a reta r ´e representada pela equa¸c˜ao ax + by = c. Assim. quando percorremos a reta OA no sentido de O para A. os n´ıveis c das retas ax + by = c (todas perpendiculares a OA) v˜ao crescendo. . chamadas semi-planos. definida por ϕ(x. Logo. y) ∈ R2. ax + by ≤ c} e H+{(x. b) est´a no n´ıvel positivo c = a2 + b2. b) = a2+b2 > 0. 0) = 0. Na pr´atica. Por outro lado. y) ∈ R2. ax + by ≥ c}. a reta ax + by = c ´e a linha de n´ıvel c da fun¸c˜ao ϕ. os semi-planos e H+ por ela determinados s˜ ao definidos pelas desigualdades ax + by ≤ c e ax + by ≥ c respectivamente. H− H− = {(x. o ponto A = (a. y) = ax + by. Como ϕ(0. Isto nos permite distinguir os semi-planos ax + by ≤ c e ax + by ≥ c. anx + bny ≤ cn . Multiplicando. ambos os membros por −1. o sentido de percurso de O para A ´e o sentido do crescimento da fun¸c˜ao ϕ(x. Uma solu¸ca ˜o do sistema de desigualdades lineares a1x + b1y ≤ c1 a2x + b2y ≤ c2 .Desigualdades Lineares 67 Se¸c˜ ao 11 As figuras desta se¸c˜ao ilustram o fato de que. y) = ax + by.. para A = (a. se for preciso. podemos sempre escrever qualquer desigualdade linear sob a forma ax + by ≤ c. b). . H2. · · · . y satisfazem todas as desigualdades do sistema. Isto equivale a dizer que o ponto P pertence a todos os semi-planos H1. Hn. onde A = (−1.3. 2x − y ≤ 3 tem como conjunto de solu¸c˜oes a regi˜ ao ilimitada que vem hachurada na figura 11.) Exemplo 11.4.68 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear ´e um ponto P = (x. x + y ≥ 1.2 O sistema de desigualdades x ≥ 0. Exemplo 11. y ≥ 0. 0).1 O conjunto das solu¸c˜oes do sistema de desigualdades lineares x+y≤1 −x + y ≤ 1 −y ≤ 0 ´e a regi˜ ao do plano limitada pelo triˆ angulo ABC. 0) e C = (0. 1). B = (1. definidos por essas desigualdades. y) cujas coordenadas x. (Vide figura 11. Assim. . o conjunto das solu¸c˜oes do sistema acima ´e a interse¸c˜ao H1 ∩ H2 ∩ · · · ∩ Hn desses semi-planos. Sabemos tamb´em que. isto ´e. y) aquele (ou aqueles) para os quais o valor f(x.. onde as vari´aveis x. do tipo f(x. onde A = (α. β). y) que s˜ ao solu¸c˜oes deste sistema chamam-se pontos vi´ aveis. Da´ı resulta a observa¸c˜ao fundamental seguinte: o valor m´ aximo de f no conjunto V dos pontos vi´ aveis n˜ ao pode ser atingido num ponto do interior de V. E o problema consiste em determinar. . f(x. em todos os pontos de uma dessas retas a fun¸c˜ao f assume um valor constante. tem que ser atingido num ponto do bordo de V. Os pontos P = (x.Desigualdades Lineares 69 Se¸c˜ ao 11 Os sistemas de desigualdades lineares ocorrem em problemas que consistem em maximizar (ou minimizar) fun¸c˜oes lineares. y) = αx + βy s˜ ao as retas perpendiculares ` a reta OA. anx + bny ≤ cn. entre os pontos vi´ aveis P = (x. Eles formam um conjunto convexo C ⊂ R2. ao deslocarmos essa linha de n´ıvel paralelamente a si mesma no sentido de O para A. Num problema de Programa¸c˜ao Linear tem-se um sistema de desigualdades lineares a1x + b1y ≤ c1 a2x + b2y ≤ c2 . y) = αx + βy ´e o maior poss´ıvel. o valor da fun¸c˜ao f cresce. y s˜ ao sujeitas a restri¸c˜oes sob a forma de um sistema de desigualdades lineares. Sabemos que as linhas de n´ıvel da fun¸c˜ao f(x. y) = αx + βy. . Esses problemas s˜ ao objeto de estudo de uma ´ area da Matem´ atica chamada Programa¸c˜ao Linear. y) = αx + βy e viabilidade. o conjunto de ´ dada uma fun¸c˜ao linear f : R2 → R. B = (1. onde A = (3. 0) e C = (0. 0) = 2 · 1 − 0 = 2. −y ≤ 0 (Vide Exemplo 11. O valor m´ aximo de f no triˆ angulo V ´e atingido no v´ertice (1. ou y = 2x − c. y ≥ 0. Esse valor ´e f(1. com as vari´aveis x. 0).2. y) = 2x − y crescem quando essas linhas se deslocam no sentido de O para P. com A=(−1.) O conjunto dos pontos vi´ aveis ´e o triˆ angulo ABC. que chamamos os lados de V. Vejamos dois exemplos. y0). A resposta ´e 2. y0) ´e um ponto interior de V ent˜ao a linha de n´ıvel que passa por P0 pode ser deslocada um pouco. de modo a nos dar outros pontos de V nos quais f assume valores maiores do que f(x0. −x + y ≤ 1.3 Consideramos o problema de maximizar a fun¸c˜ao f(x. −2) e o sentido de crescimento de c ´e de O para A. De qualquer modo. Exemplo 11. x+y ≥ 1. y sujeitas `as restri¸c˜oes x ≥ 0. As curvas de n´ıvel 3x−2y = c s˜ ao perpendiculares ao segmento OA. P = (2. . perpendiculares ao segmento OP. 2x − y ≤ 3. ilustrando essas possibilidades. y) = 3x−2y com as vari´aveis x. As linhas de n´ıvel de f s˜ ao 2x − y = c. o m´ aximo ´e atingido num v´ertice. Assim.1. se P0 = (x0. O conjunto V dos pontos vi´ aveis ´e aquele do Exemplo 11. Exemplo 11. 1). y) = 2x − y. o valor m´ aximo de f em V ´e atingido num dos v´ertices ou em todos os pontos de um dos lados de V (ent˜ao esse lado est´a contido numa linha de n´ıvel de f). −1) e os valores c da fun¸c˜ao f(x. y sujeitas `as restri¸c˜oes x + y ≤ 1.70 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Com efeito.4 Seja o problema de achar o maior valor da fun¸c˜ao f(x. Note-se que o bordo de V ´e formado por segmentos de reta ou (duas) semi-retas. 0). 3 kg 2 kg f. Cada uma das cinco desigualdades acima corresponde a um semiplano. 0) = 9/2. por´em. y) = 3x − 2y em V ´e atingido no v´ertice P = (3/2. onde se tem f(3/2. a serem produzidos durante a semana. 100) est´a em R. As seguintes rela¸c˜oes devem ser satisfeitas: 3x + 2y ≤ 1200 x + 2y ≤ 800 x ≤ 300 (carne desidratada) (farinha de milho) (farinha de soja) Al´em disto. As limita¸c˜oes nas quantidades dispon´ıveis dos ingredientes imp˜oem restri¸c˜oes expressas por desigualdades lineares a serem satisfeitas por x e y. Ra¸ c˜ ao para C˜ aes Gatos Carne desidr.000 em rela¸c˜ao a ϕ. 0). o que indica que a f´abrica pode produzir 100 pacotes de cada tipo de ra¸c˜ao sem violar qualquer uma das cinco restri¸c˜oes. a linha de ´ claro que (100. 100) n´ıvel correspondente est´a representada na figura. de milho 1 kg 2 kg f.6. Para a pr´oxima semana de produ¸c˜ao. Por exemplo. est˜ao dispon´ıveis 1200kg de carne desidratada. Sejam x e y os n´ umeros de pacotes de ra¸c˜ao para c˜aes e gatos. para c˜aes ou para gatos.Desigualdades Lineares 71 Se¸c˜ ao 11 O m´ aximo de f(x. y)= 40x + 40y. 100) tem n´ıvel 8. O ponto (100. respectivamente. farinha de milho e farinha de soja. Esta situa¸c˜ao pode ser formulada matematicamente como um problema de Programa¸c˜ao Linear. E . 800kg de farinha de milho e 300kg de farinha de soja. deve-se ter x ≥ 0 e y ≥ 0. A f´abrica deseja decidir quantos pacotes produzir de cada tipo de ra¸c˜ao de modo a maximizar o lucro. o ponto (100. O interesse da f´abrica. de soja 1 kg - A tabela acima indica as quantidades de ingredientes em um pacote de cada tipo de ra¸c˜ao. A interse¸c˜ao desses cinco semi-planos ´e a regi˜ ao convexa R representada na figura 11. R ´e o conjunto de todas as solu¸c˜oes vi´ aveis (ou poss´ıveis) para o problema. obtidos mediante a mistura de trˆes ingredientes b´asicos: carne desidratada.5 Uma f´abrica de ra¸c˜oes para c˜aes e para gatos produz ra¸c˜oes de dois tipos. Exemplo 11. O lucro ´e de 40 reais em cada pacote de ra¸c˜ao. ´e maximizar a fun¸ca ˜o objetivo ϕ(x. e que h´a uma sobra de farinha de soja. Notamos que as quantidades dispon´ıveis de farinha de milho e carne desidratada s˜ ao inteiramente utilizadas. a posi¸c˜ao relativa das trˆes retas ´e a indicada na figura 11. O ponto B ´e obtido resolvendo o sistema 3x + 2y = 1200 x + 2y = 800 que fornece x = 200 e y = 300. Logo. a estrat´egia ´ otima para a f´abrica ´e produzir 200 pacotes de ra¸c˜ao para c˜aes e 300 de ra¸c˜ao para gatos.000 reais. j´a que h´a outros pontos de R situados em linhas de n´ıvel mais alto de ϕ. Tal linha de n´ıvel ´e a que passa pelo ponto B de interse¸c˜ao das retas 3x + 2y = 1200 e x + 2y = 800. Para obter a solu¸c˜ao do problema. respectivamente. a id´eia ´e justamnte tomar a linha de n´ıvel mais alto de ϕ que ainda contenha pelo menos um ponto de R.72 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear n˜ao ´e a melhor solu¸c˜ao poss´ıvel para o problema. o que mostra que a linha de n´ıvel m´ aximo de ϕ que cont´em pontos de R passa por B.6. as inclina¸c˜oes das retas 3x + 2y = 1200 e x + 2y = 800 s˜ ao −3/2 e −1/2. a inclina¸c˜ao das linhas de n´ıvel de ϕ ´e igual a −1. De fato. o que traz um lucro de 20. Como −3/2 < −1 < −1/2. . Caso a fun¸c˜ao objetivo no exemplo fosse. Exerc´ıcios 1. Para produzir uma caixa de copos comuns requer-se 1 hora de uso da m´ aquina mais 1 hora de trabalho de um oper´ ario. suas linhas de n´ıvel seriam paralelas `a reta 3x + 2y = 1200 e. o lucro ´e de 40 reais. que todos os pontos de um dos lados de R sejam E solu¸c˜oes ´ otimas. haja uma falta de copos de vinho no mercado. No per´ıodo de uma semana. O lucro na venda de uma caixa de copos de vinho ´e de 50 reais e. qual ser´ a a solu¸c˜ ao ´ otima? . em conseq¨ uˆencia. Uma pequena f´ abrica produz copos comuns e copos de vinho. numa caixa de copos comuns.1 Um m´etodo pr´atico de achar o ponto de m´ aximo (ou de m´ınimo) de f consiste em calcular f(P) para todo v´ertice P e ver qual desses valores ´e o maior (ou o menor). A produ¸c˜ ao de uma caixa de copos de vinho requer apenas meia hora de uso da m´ aquina mas ocupa 2 horas de trabalho oper´ ario. 2.Exerc´ıcios 73 ´ poss´ıvel. todos os pontos do segmento BC seriam solu¸c˜oes ´otimas. b) A regi˜ ao formada pelo interior e os lados do triˆ angulo cujos v´ertices s˜ ao (0. Uma m´ aquina automatiza parte do processo de fabrica¸c˜ ao. 3) e (4. 3. a) Qual deve ser a produ¸c˜ ao semanal de cada tipo de copo de modo a maximizar o lucro? b) Suponha que. ϕ(x. y) = 30x + 20y. por´em. a f´ abrica disp˜ oe de 80 horas de trabalho manual e 50 horas de uso da m´ aquina. Qual ´e o lucro m´ aximo por caixa de copos de vinho para que a solu¸c˜ ao encontrada em a) continue ´ otima? Se o lucro exceder esse valor. o que faz subir o pre¸co de venda (portanto o lucro) de cada caixa de copos de vinho. Para cada uma das regi˜ oes do plano descritas a seguir. escreva uma desigualdade ou sistema de desigualdades que a defina: a) O semi-plano abaixo da reta 2x + 3y − 6 = 0. c) A parte da circunferˆencia de centro (1. repentinamente. 0). 0). Esboce o gr´ afico do conjunto das solu¸c˜ oes de cada uma das desigualdades a seguir: a) y ≤ x2 b) x2 + y2 ≥ 1 c) x2 + 2y2 ≤ 1 d) |x| + |y| ≤ 1. (3. 0) e raio 1 situada acima do eixo OY. Observa¸ c˜ ao 11. Esboce o gr´ afico do conjunto das soluc˜ oes de cada um dos sistemas de desigualdades lineares a seguir . Prove que o conjunto das solu¸c˜ oes de um sistema de desigualdades lineares a duas inc´ ognitas ´e um conjunto convexo. 5. Determine se o ponto P = (142. 1 · x + 1 e y = 300.74 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 4. no exterior ou num dos lados desse triˆ angulo. 6. y = 2. Os lados de um triˆ angulo est˜ ao sobre as retas y = 2x + 3. 298) est´ a no interior. Um subconjunto C do plano chama-se convexo quando o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de C est´ a contido em C. alta liquidez. no inverno 24 60 Quantos hectares de feij˜ ao e quantos de arroz ele deve plantar de modo a maximizar seu lucro? (A ´ area utilizada para plantar cada um dos cereais ´e a mesma em ambos os plantios. Determine o menor valor que x + 2y assume no conjunto definido pelas desigualdades x+y≥1 −x + y ≥ −1 x ≥ 0. No exerc´ıcio anterior. baixa liquidez. Duas op¸c˜ oes lhe s˜ ao oferecidas: Op¸c˜ ao A: 10% ao ano. no ver˜ ao 30 120 horas de trabalho por ha. x+y≥1 2x + y ≥ 4 y≥x −2x + y ≥ 4 y ≥ 2 − 2x 7.) . Um agricultor costuma plantar feij˜ ao e arroz. Suas culturas apresentam as seguintes caracter´ısticas: lucro por ha. Ele tem condi¸c˜ oes de pagar 2400 horas de trabalho no ver˜ ao e 1380 horas no inverno. feij˜ ao arroz 450 1200 horas de trabalho por ha. por seguran¸ca. Quantos euros em cada op¸c˜ ao deve o banco investir? 10. y ≥ 0. Sua propriedade disp˜ oe de 40ha de terra cultiv´ avel mas apenas 20ha podem ser usados para plantar arroz. 8. o total investido na op¸c˜ ao A no m´ aximo ser´ a 3 vezes o que foi investido na op¸c˜ ao B. Op¸c˜ ao B: 5% ao ano. o que ocorre se o objetivo for maximizar x + 2y sujeito ` as mesmas restri¸c˜ oes? 9. O objetivo do banco ´e receber o m´ aximo de juros dentro dessas condi¸c˜ oes. Um banco europeu disp˜ oe de 100 milh˜ oes de euros para aplicar imediatamente. A diretoria decide que. Exemplo 12. y) tais que d(A. Assim. b) e raio r > 0 ´e o conjunto Γ formado pelos pontos P = (x. a equa¸c˜ao da circunferˆencia. 0). y) pertence a Γ se. Esta ´e. P) = r. No caso particular em que o centro da circunferˆencia ´e a origem O = (0. 0) 2 . o centro ´e o ponto ( . 0). (x − a)2 + (y − b)2 = r2. portanto.1 Determine a equa¸c˜ao da circunferˆencia que tem OA a como diˆ ametro. e somente se. a equa¸c˜ao assume a forma simplificada x2 + y2 = r2.12 Equa¸c˜ ao da Circunferˆ encia A circunferˆencia de centro A = (a. Neste caso. sendo A = (a. P = (x. ou (1 + m2)x2 − 2am2x + a2m2 − r2 = 0. Isto nos d´a 4a2m4 − 4(1 + m2)(a2m2 − r2) = 0. 0). Essa interse¸c˜ao se obt´em substituindo y por m(x−a) na equa¸c˜ao x2 +y2 = r2. . 2 4 Exemplo 12.76 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear e o raio ´e |a|/2. A reta tangente a uma circunferˆencia pode ser caracterizada de duas maneiras: por tocar a circunferˆencia num u ´nico ponto ou por ser perpendicular ao raio no ponto de contacto. Logo a equa¸c˜ao ´e (x − a2 a 2 ) + y2 = . A estas duas propriedades correspondem duas maneiras de resolver este problema. seu discriminante deve ser igual a zero. A fim de que esta equa¸c˜ao do segundo grau tenha uma u ´nica raiz. Devemos determinar a inclina¸c˜ao m de modo que a interse¸c˜ao da reta com a circunferˆencia se reduza a um u ´nico ponto.2 Obter as equa¸c˜oes das tangentes `a circunferˆencia x2 + y2 = r2 que passam pelo ponto A = (a. 0) tˆem equa¸c˜ao da forma y = m(x−a). As retas n˜ao-verticais que passam pelo ponto A = (a. Obtemos x2 + m2(x − a)2 = r2. Vejamos a primeira. 2 obtemos ax = r . Portanto as retas y= √ r a2 − r2 (x − a) e y= √ −r a2 − r2 (x − a) s˜ ao as tangentes ` a circunferˆencia x2 + y2 = r2 (de centro O e raio r) tiradas do ponto A = (a. 0). a − r2) e a a A inclina¸c˜ao da reta AP ´e √ r 2 2 a a −r r2 a −a P′ = ( r2 r p 2 . Se estiver sobre a circunferˆencia (a = r ou a = −r).− a − r2). 4 4 Substituindo. a Portanto os pontos de tangˆencia (ou de interse¸c˜ao das duas circunferˆencias) s˜ ao x2 − ax + P=( r2 r p 2 . se P = (x. a tangente ´e vertical e sua equa¸c˜ao (x = r ou x = −r) n˜ao ´e da forma y = m(x − a). 0) est´a no interior da circunferˆencia x2 + y2 = r2 ou sobre ela. donde m = ±√ r a2 − r2 . logo x = r2/a. cuja equa¸c˜ao ´e (x − a2 a 2 ) + y2 = . n˜ao se pode tra¸car por ele uma tangente. donde rp 2 y=± a − r2. y) ´e um ponto da circunferˆencia x2 + y2 = r2 tal que a b ´e reto. 2 4 ou seja. a2 a2 + y2 = . A segunda maneira de resolver este problema consiste em observar que.Equa¸c˜ ao da Circunferˆ encia 77 Se¸c˜ ao 12 Simplificando. Se estiver no interior. nesta u ´ltima equa¸c˜ao x2 + y2 por r2 e cortando a2/4. logo P est´a tamb´em na reta AP ´e tangente ent˜ao o aˆngulo OPA circunferˆencia de diˆ ametro OA. a a √ r r a2 − r2 = −√ . = 2 2 r −a a2 − r2 . temos: (a2 − r2)m2 = r2. A express˜ao a2 − r2 sob o radical corresponde ao fato de que. quando |a| ≤ r. o ponto A = (a. Segue-se que y2 = r2 − x2 = r2 − r4/a2. nas inc´ ognitas x e y. mantenha os pontos A e B mas substitua C pelo ponto D = (1. Qual ´e a equa¸c˜ ao da tangente a Γ no ponto P? . No exerc´ıcio anterior. Exerc´ıcios 1. Observe que. Escreva a equa¸c˜ ao da circunferˆencia que tem centro no ponto P = (2. B = (3. Qual ´e a equa¸c˜ ao da circunferˆencia que passa pelos pontos A = (1. P)2 = d(B. Qual ser´ a a resposta? 3. A partir da´ı. obtenha as equa¸c˜ oes das retas mediatrizes dos segmentos AB e BC e determine as coordenadas da interse¸c˜ ao dessas retas. P)2 . B = (3. b) e raio r. ap´ os simplifica¸c˜ oes. 4. ache a equa¸c˜ ao da circunferˆencia que passa por A. Dados os pontos A = (2. y1 ) pertence ` a circunferˆencia Γ de centro (a. Com os mesmos dados do primeiro exerc´ıcio. este sistema ´e o mesmo obtido anteriormente. P)2 e d(B. 6. O ponto P = (x1 . 7). y) da circunferˆencia ABC resolvendo o sistema de equa¸c˜ oes d(A. B e C. 2). 4) e tem o centro sobre o eixo OY? 5. 4). obtenha as coordenadas do centro P = (x.78 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear logo a equa¸c˜ao desta reta ´e y = −√ r a2 − r2 (x − a) enquanto a equa¸c˜ao da tangente AP ′ ´e y = √ r a2 − r2 (x − a). 1) e C = (5. 2. 3). P)2 = d(C. 5) e ´e tangente ` a reta y = 3x + 1. 13. sob a forma ax + by = c. . seja tangente ` a circunferˆencia de centro O e raio r? 9. b) e raio r. ` a circunferˆencia de centro O e raio 3 ´e paralela ` a reta y = −2x + 1. Quais s˜ ao as coordenadas de P? E se o raio da circunferˆencia fosse 5? 10. y = sin t.Exerc´ıcios 79 7. Mostre que a reta y = ax + b ´e tangente ` a circunferˆencia x2 + y2 = r2 se. Ache as equa¸c˜ oes das retas que passam pelo ponto (2. Fixado a. t ∈ [0. obter equa¸c˜ oes param´etricas para a circunferˆencia de centro P = (a. 11. A tangente. de inclina¸c˜ ao a. 5) e s˜ ao tangentes ` a circunferˆencia de centro O e raio 3. no ponto P. s˜ ao equa¸c˜ oes param´etricas da circunferˆencia x2 + y2 = 1. 12. y1 ) dessa curva. b = (1 + a )r . 8. Escreva. Esboce o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equa¸c˜ ao x3 + xy2 − x − x2 y − y3 + y = 0. a equa¸c˜ ao da tangente ` a circunferˆencia x2 + y2 = 1 que toca no ponto (x1 . e 2 2 2 somente se. Sabendo que x = cos t. 2π]. quais devem ser os dois valores de b para os quais a reta y = ax + b. A parte “se” da afirma¸c˜ao acima vem de ser provada. e somente se. b) se escreve. B = 0 e D2 + E2 > 4AF. Queremos provar que A = C 6= 0. Destas duas igualdades resulta que D = 0 e que Ar2 + F = 0. B = 0 e D2 + E2 > 4AF. obtemos Ar2 − Dr + F = 0 e Ar2 + Dr + F = 0. y) cujas coordenadas a satisfazem ´e uma circunferˆencia se. Como a origem n˜ao pertence a Γ . ou seja. e somente se. por extenso. suas coordenadas (x. de raio r. A = −F/r2. e sabemos que um ponto pertence a ela se. A = C 6= 0. Temos uma circunferˆencia Γ . dada a equa¸ca ˜o (∗) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. o conjunto dos pontos P = (x. 0) e (r. 0) pertencem a Γ . assim: x2 + y2 − 2ax − 2by + (a2 + b2 − r2) = 0. Suponhamos inicialmente que o centro da circunferˆencia Γ seja o ponto O = (0. o par (0. Substituindo sucessivamente estes valores na equa¸c˜ao dada. Mostraremos agora que. 0).13 Reconhecimento da Equa¸c˜ ao da Circunferˆ encia A equa¸c˜ao da circunferˆencia de raio r e centro no ponto de coordenadas (a. logo F 6= 0 e da´ı segue-se que A 6= 0. Ent˜ao os pontos de coordenadas (−r. 0) n˜ao satisfaz a equa¸c˜ao dada. y) satisfazem a equa¸c˜ao (∗) acima. Demonstraremos agora a parte “somente se”. . com centro na origem. de mesmo raio r. ´e a origem O = (0. consideramos a nova circunferˆencia Γ ′ . Como o centro da circunferˆencia Γ . as coordenadas (x. D = E = 0. 0). Logo B = 0. A equa¸c˜ao dada se reduz a Ax2 + Ay2 + Bxy + F = 0. b).) Passemos ao caso geral. de raio r. O ponto de coordenadas (x. levando em conta que os pontos de coordenadas (0. o que n˜ao ´e verdade. y) de todos dos seus pontos cumprem a rela¸c˜ao x2 +y2 = r2. Resumindo: se Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. ´e a equa¸c˜ao de uma circunferˆencia com centro na origem do sistema de coordenadas ent˜ao A = C 6= 0 e B = 0. Se o centro da circunferˆencia Γ ´e um ponto arbitr´ ario P = (a. y) pertence a Γ ′ se. (Tem-se ainda. o ponto . −r) tamb´em est˜ao sobre Γ . conclu´ımos que E = 0 e C = −F/r2. y) em Γ seria zero. e (0. e somente se.Se¸c˜ ao 13 Reconhecimento da Equa¸c˜ ao da Circunferˆ encia 81 De modo an´ alogo. r). mas isto n˜ao vale quando o centro n˜ao ´e a origem. Portanto A = C 6= 0 e D = E = 0. neste caso. Se fosse B 6= 0. logo a equa¸c˜ao acima pode ser escrita assim: Ar2 + Bxy + F = 0. da´ı tirar´ıamos que xy = −(F + Ar2)/B = 0/B = 0 e o produto xy das coordenadas de um ponto qualquer (x. a equa¸c˜ao dada se reduz a Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 ou x2 + y2 + E F D x + y + = 0. e cujo raio ´e 2A 2A 2|A| Observa¸ c˜ ao 13. e somente se. Esta u ´ltima equa¸c˜ao representa. Note que os coeficientes A. Assim. No presente caso temos D D x + x = x2 + 2 x = A 2A 2 D 2 D2 x+ − 2A 4A2 . A(x + a)2 + C(y + b)2 + B(x + a)(y + b) + D(x + a) + E(y + b) + F = 0 ou Ax2 + Bxy + Cy2 + D ′ x + E ′ y + F ′ = 0. o que vimos acima nos d´a A = C 6= 0 e B = 0. A A A Completando os quadrados. y + b) pertence a Γ . a circunferˆencia Γ ′ . + y+ = 2A 4A2 Da´ı resulta imediatamente que D2 + E2 > 4AF. (Os de′ ′ ′ mais coeficientes D .) Como Γ ′ tem centro na origem. E . isto ´e. B e C s˜ ao os mesmos da equa¸c˜ao de Γ . F n˜ao nos interessam. portanto. esta u ´ltima equa¸c˜ao se escreve: D x+ 2A 2 E 2 D2 + E2 − 4AF . Isto completa a demonstra¸c˜ao. a equa¸c˜ao Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 representa uma circunferˆencia cujo centro ´e √ D D2 + E2 − 4AF E − .1 “Completar o quadrado” significa escrever x2 + 2ax = (x + a)2 − a2. se.82 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear de coordenadas (x + a. Fica ent˜ao claro que se D2 + E2 > 4AF.− . Logo a equa¸c˜ao dada representa o ponto (−3. Ela representa o conjunto vazio. Logo a equa¸c˜ao dada n˜ao tem solu¸c˜ao real. analogamente.1 Na equa¸c˜ao 3x2 +3y2 −2x+7y+4 = 0. Nela. 3 3 3 ou ou ainda: 1 7 49 4 1 49 1 + − − =0 x 2 − 2 · x + + y2 + 2 · y + 3 9 6 36 3 9 36 7 2 5 1 2 + y+ = = x− 3 6 36 √ !2 5 . que ´e u ´til no estudo de fun¸c˜oes quadr´aticas de uma ou mais vari´aveis. Portanto o centro da circunferˆencia ´e o ponto ( . veremos que ela equivale a 1 7 7 (x − )2 + (y + )2 = − .3 Se completarmos os quadrados na equa¸c˜ao x2 + y2 + 6x − 8y + 25 = 0 veremos que ela equivale a (x + 3)2 + (y − 4)2 = 0. . Exemplo 13. Exemplo 13. − 2A 4A2 Este m´etodo. A equa¸c˜ao dada equivale a 2 7 4 x2 + y2 − x + y + = 0. − ) e seu raio ´e 3 6 6 Exemplo 13. temos D2 +E2 = 4 + 49 = 53 e 4AF = 4 · 3 · 4 = 48.Reconhecimento da Equa¸c˜ ao da Circunferˆ encia 83 Se¸c˜ ao 13 e. mas D2 +E2 = 53 < 4AF = 60. igualdade que s´ o ´e v´alida quando x = −3 e y = 4. 4). 6 √ 5 1 7 . ser´a utilizado outras vezes aqui. tem-se A = C = 1. cujo centro e cujo raio acharemos completando os quadrados. 3 6 36 uma igualdade que n˜ao ´e satisfeita sejam quais foram x e y reais. mas D2 + E2 = 4AF. B = 0.2 Na equa¸c˜ao 3x2 + 3y2 − 2x + 7y + 5 = 0 temos A = C. Se completarmos os quadrados. ela ´e a equa¸c˜ao de uma circunferˆencia. B = 0. Como 53 > 48. y2 + E y= A E 2 E2 y+ . Diz-se que a reta r : ax + by = c corta a circunferˆencia Γ : Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 ortogonalmente quando r ´e perpendicular ` a tangente de Γ em cada ponto da interse¸c˜ ao r ∩ Γ .84 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Exerc´ıcios 1. decida se cada uma das equa¸c˜ oes abaixo define uma circunferˆencia. mostre que as duas circunferˆencias x2 + y2 − 4x + 5y − 2 = 0 e 2x2 + 2y2 + 4x − 6y − 19 = 0 cortam-se ortogonalmente. Diz-se que duas circunferˆencias se cortam ortogonalmente quando. 2. Completando os quadrados. Para cada uma das equa¸c˜ oes abaixo. o quadrado da distˆ ancia entre seus centros ´e igual ` a soma dos quadrados dos seus raios (por quˆe?). onde a = x1 + D/2A e b = x2 + E/2A. e somente se. aD + bE + 2cA = 0. 5. d) 4x2 + 4y2 − 4x − 8y + 21 = 0. 3. em cada ponto da sua interse¸c˜ ao. e somente se. A partir da´ı. . quais s˜ ao as coordenadas do centro? 6. Se Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 ´e a equa¸c˜ ao de uma circunferˆencia. d) x2 + y2 + x + y = 1. um ponto ou o conjunto vazio. um ponto ou o conjunto vazio: a) 2x2 + 2y2 − 3x + y − 1 = 0. descreva o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas a satisfazem: a) x2 + y2 = x. decida se a equa¸c˜ ao x2 + y2 − 2(am + bn)x − 2(an − bm)y + m2 + n2 = r2 representa uma circunferˆencia. y1 ) ´e a(x − x1 ) + b(y − y1 ) = 0. c) x2 + y2 − 10x + 2y + 26 = 0. 7. Mostre que a equa¸c˜ ao da tangente ` a circunferˆencia Ax2 +Ay2 +Dx+Ey+F = 0 no ponto (x1 . b) −x2 − y2 + 6x − 4y + 3 = 0. b) x2 + y2 + y = 0. Prove que isto ocorre se. 4. Isto ocorre se. Sabendo que a2 + b2 = 1. as tangentes respectivas s˜ ao perpendiculares. c) x2 + y2 + x + y = 0. Quanto `a terceira. dizer que eles tˆem o mesmo sentido (de percurso) significa afirmar que uma das semi-retas ⇀ ⇀ AA ′ e CC ′ est´a contida na outra. logo A ′ A n˜ao ´e equipolente a CC ′ . Deslocando cada um dos pontos de uma figura. dizse que eles tˆem o mesmo sentido quando AA ′ e CC ′ s˜ ao lados opostos de um paralelogramo do qual os outros lados opostos s˜ ao AC e A ′ C ′ . 2) S˜ao paralelos ou colineares. Quando se disser “o segmento de reta orientado AB”. efetuar transla¸c˜oes. Dois segmentos de reta no mesmo plano dizem-se equipolentes quando: 1) Tˆem o mesmo comprimento.14 Vetores no Plano Vetores servem principalmente para deslocar pontos ou. mais precisamente. j´a visto na Se¸c˜ao 2. Para estudar os vetores do plano. 3) Tˆem o mesmo sentido.) Se AA ′ e CC ′ s˜ ao segmentos orientados colineares. se isto ocorre. ent˜ao A ′ C e AC ′ n˜ao s˜ ao lados opostos e sim diagonais daquele paralelogramo. ficar´a subentendido que A ´e o ponto inicial e B o final. . As condi¸c˜oes 1) e 2) s˜ ao claras. se os segmentos ′ ′ orientados AA e CC s˜ ao paralelos e tˆem o mesmo comprimento. retomamos o conceito de equipolˆencia. o vetor efetua uma transla¸c˜ao dessa figura. a outra ser´a a extremidade final (ou a segunda). Lembremos que um segmento de reta diz-se orientado quando se estipulou qual de suas extremidades ´e a inicial (ou a primeira). (Observe que. Da´ı resulta (como vimos na Se¸c˜ao 2) que. d) e C ′ = (c ′ . C = (c. y) ent˜ao P ′ = (x + α. P ′ ) = d(A. Se A = (a. y + β). para cada ponto P do plano existe um u ´nico ponto P ′ tal que o segmento orientado PP ′ ´e equipolente a ′ AA . se A = (a. b ′ ). para que os segmentos orientados AA ′ e CC ′ sejam equipolentes ´e necess´ario e suficiente que a ′ −a = c ′ −c e b ′ −b = d ′ −d. b). b). A ′ = (a ′ . onde α = a ′ − a e β = b ′ − b. Dado o segmento orientado AA ′ . . A ′ = (a ′ . Se P ´e colinear com A e A ′ ent˜ao P ′ deve ser tomado sobre a reta AA ′ de modo que d(P. b ′ ) e P = (x.86 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear A fim de que os segmentos orientados AA ′ e CC ′ sejam equipolentes ´e necess´ario e suficiente que o ponto m´edio do segmento AC ′ coincida com o ponto m´edio de A ′ C. d ′ ). fixado um sistema de coordenadas no plano. Se P n˜ao pertence ` a reta AA ′ ent˜ao P ′ ´e simplesmente o quarto v´ertice do paralelogramo do qual AA ′ e AP s˜ ao lados consecutivos. A ′ ) e os sentidos de percurso de A para A ′ e de P para P ′ coincidam. Vetores no Plano 87 Se¸c˜ ao 14 Quando os segmentos orientados AA ′ e CC ′ s˜ ao equipolentes. que significa transportar. dados o vetor v =AA ′ e o ponto P. b ′ ) ent˜ao os n´ umeros α = a ′ −a e β = b ′ −b chamam-se as coordenadas do vetor v no sistema .) Assim. o conjunto F + v = {P + v. tem-se uma transforma¸c˜ao (= fun¸c˜ao) Tv : Π → Π. −→ Costuma-se representar o vetor v =AA ′ por uma flecha com origem no ponto A. obtendo-se flechas graficamente diferentes por´em representando o mesmo vetor. b) e A ′ = (a ′ . apontando para o ponto A ′ . Escreve-se P ′ = P + v e diz-se que o vetor v transportou o ponto P at´e a posi¸c˜ao P ′ . −→ Seja v =AA ′ . P ∈ F} = Tv(F). diz-se −→ −→ que eles representam o mesmo vetor v. Se F ⊂ Π ´e qualquer figura (= subconjunto do plano Π). Fixando-se arbitrariamente um vetor v no plano Π. existe um −→ u ´nico ponto P ′ tal que PP ′ = v. chama-se o transladado do conjunto F pelo vetor v. A observa¸c˜ao anterior significa que o in´ıcio dessa flecha pode ser colocado em qualquer ponto P do plano. −→ Como vimos acima. a palavra vetor prov´em do latim vehere. chamada a transla¸ca ˜o determinada por v. Se A = (a. P ′ = P + v −→ significa v =PP ′ . (Ali´ as. a transla¸c˜ao faz corresponder o −→ ponto Tv(P) = P ′ tal que PP ′ = v. A cada ponto P ∈ Π. Escreve-se ent˜ao v =AA ′ =CC ′ . P ′ = P + v. ou seja. β) equivale a afirmar −→ que. a fim de calcular a ´area de um triˆ angulo. a transla¸c˜ao Tv : Π → Π leva o ponto P = (x. Quando se fixa um sistema em rela¸c˜ao ao qual o vetor v tem coordenadas (α. Este fato. y + β). β). y + β). Tv(P) = (x + α. ent˜ao A = (α. j´a foi usado na Se¸c˜ao 9 quando. y) no ponto Tv(P) = P + v. Escreve-se ent˜ao v = (α. t). d(P ′ . na verdade. quando se representa v por um segmento orientado com in´ıcio em O = (0. isto ´e. y) e Q = (s. Q). d ′ ) temse ainda c ′ − c = α e d ′ − d = β. logo p (x + α − s − α)2 + (y + β − t − β)2 p = (x − s)2 + (y − t)2 = d(P. de modo a fazer com que um dos seus v´ertices coincidisse com a origem. o deslocamos por uma transla¸c˜ao. d) e C ′ = (c ′ . Q ′ ) = Preservando distˆ ancias. β). Dizer que v = (α. isto ´e. t + β). . quando se escreve v =OA ′ . se P ′ = Tv(P) e Q ′ = Tv(Q) ent˜ao d(P ′ . Q). a transla¸c˜ao Tv tamb´em preserva ´areas. 0). ou seja. Q ′ ) = d(P. Q ′ = (s + α.88 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear de coordenadas considerado. Da´ı resulta imediatamente que a transla¸c˜ao Tv : Π → Π preserva distˆ ancias. para C = (c. Esta defini¸c˜ao −→ se justifica observando que se v =CC ′ (portanto os segmentos orientados AA ′ e CC ′ s˜ ao equipolentes) ent˜ao. β). Esta igualdade se torna ´ obvia se notarmos que se P = (x. ent˜ao P ′ = (x + α. 1 Vamos usar vetores para resolver um problema interessante. e uma palmeira. O tesouro parecia perdido. O carvalho A e a figueira B estavam. e a mesma distˆ ancia desses dois pontos”. . vire para a esquerda e dˆe exatamente o mesmo n´ umero de passos para chegar ao ponto M.. Chegando em B. mas a palmeira C tinha desaparecido. “.Se¸c˜ ao 14 Vetores no Plano 89 Exemplo 14. os exploradores chegaram `a referida ilha mas tiveram uma desagrad´ avel surpresa. qualquer um que desembarque nesta ilha ver´a imediatamente um carvalho. que chamarei de A. que chamarei de B. vire para a direita e dˆe exatamente o mesmo n´ umero de passos para chegar ao ponto N. Chegando em A. Recentemente foi descoberto um manuscrito do pirata Barba Negra descrevendo a localiza¸c˜ao de um tesouro enterrado por ele em certa ilha do Caribe. O manuscrito identifica perfeitamente a ilha e d´a as seguintes instru¸c˜oes. uma figueira.. Com essas precisas informa¸c˜oes. que chamarei de C. Eu enterrei o tesouro em um ponto X que pode ser encontrado assim: Caminhe de C para A contando seus passos. O ponto X est´a na reta que liga M a N. Volte ao ponto C. Caminhe de C para B contando seus passos. as coordenadas do ponto M s˜ ao M = (y. −x). conseguiu descobrir o tesouro. ap´ os breves c´alculos. −→ −→ Temos ent˜ao: AC= (x. 0). y). A localiza¸c˜ao do tesouro ficou independente da palmeira. Como ele fez isso? O matem´ atico estabeleceu na ilha. = (20. um sistema de coordenadas com origem A e com o ponto B no eixo dos x. que era plana. x − 40). Sendo X o ponto m´edio de MN. −→ AM= (y. y) e BN= (−y. −x). bastava andar 20m na dire¸c˜ao de A para B e depois virar `a direita e andar mais 20m. B = (40. Para a palmeira desaparecida ele pˆos C = (x. para encontrar o tesouro. N = B+ BN= (40 − y. Ele mediu a distˆ ancia de A at´e B e encontrou 40 metros. 2 2 Portanto. . Como A ´e a origem. y). x − 40). fazia parte da comitiva um matem´ atico que. −→ BC= (x − 40. suas coordenadas s˜ ao dadas por y + 40 − y −x + x − 40 X= .90 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Entretanto. −20). −→ Por sua vez. Assim. 0). ficou estabelecido que A = (0. 2. prove que os ˆ angulos BAC . 3. e somente se. Seja Tv : Π → Π uma transla¸c˜ ao do plano Π. suas diagonais se cortam mutuamente ao meio. Prove geometricamente que um quadril´ atero ´e um paralelogramo se. Tv (C) = C . prove que AA ′ e CC ′ s˜ ao equipolentes. Tv (B) = B ′ e ′ b e B ′A b ′ C ′ tˆem a mesma medida. BB ′ e CC ′ segmentos de reta no plano. Se AA ′ ´e equipolente a BB ′ e BB ′ ´e equipolente a CC ′ . Sejam AA ′ .Exerc´ıcios 91 Exerc´ıcios 1. Se Tv (A) = A ′ . sua origem localizada em qualquer ponto do plano. 0). no qual o in´ıcio e a extremidade final se reduzem a um mesmo ponto. As propriedades dessas opera¸c˜oes tornam-se particular−→ mente simples se convencionarmos em admitir o vetor nulo AA. como os demais vetores.15 Opera¸c˜ oes com Vetores Uma coisa agrad´avel a respeito de vetores ´e que se podem efetuar operac¸˜oes entre eles. −→ assim o vetor nulo AA pode ter. em seguida. Mais precisamente. determinado por um segmento degenerado. dois pontos quaisquer do plano s˜ ao equipolentes. Usaremos o mesmo s´ımbolo 0 para representar tanto o vetor nulo quanto o n´ umero zero. A soma de dois vetores v e w pode ser definida de duas maneiras −→ equivalentes. as coordenadas do vetor nulo s˜ ao (0. . Em qualquer sistema. A primeira consiste em representar v =AA ′ e. Outra opera¸c˜ao ´e a multiplica¸c˜ao de um vetor v por um n´ umero real t. . b + β). p˜oe-se tv = −(|t|v). Se A = (a. ´e f´acil deduzir as propriedades formais da adi¸c˜ao de vetores a partir de suas an´ alogas para a adi¸c˜ao de n´ umeros reais. E. O produto tv se define assim: se t = 0 ou v = 0. A ′′ ) = t · d(A. A ′ ). b) e AA ′ = v ent˜ao A ′ = (a + α. β) e w = (γ. elemento neutro: v + 0 = 0 + v = v. Logo as coordendas de v + w s˜ ao a + α + γ − a = α + γ e b + β + δ − b = β + δ. δ). tem-se v + w =AA ′′ . seu sim´etrico. ou oposto ´e o vetor −v =A ′ A. dando como resultado o vetor tv. p˜oe-se tv = 0. onde AD ´e a diagonal do paralelogramo que tem dois lados consecutivos iguais a AA ′ e AC. β + δ). A primeira defini¸c˜ao funciona mesmo que os segmentos AA ′ e A ′ A ′′ sejam colineares. β) −→ e w = (γ. num determinado sistema de coordenadas. Fixando um sistema de coordenadas no plano. onde A ′′ ´e o ponto da reta AA ′ tal que os segmentos orientados AA ′ e AA ′′ tˆem o mesmo sentido e d(A. inverso aditivo: −v + v = v + (−v) = 0. p˜oe-se tv =AA ′′ . δ) ent˜ao v + w = (α + γ. −β). s´ o se tem um paralelogramo) quando A. A outra maneira consiste em representar os vetores v =AA ′ −→ e w =AC por segmentos orientados com o mesmo in´ıcio e definir v + −→ w =AD. v e w: comutatividade: v + w = w + v. Sabendo que cada coordenada do vetor v + w ´e a soma das coordenadas correspondentes de v e w. para quaisquer vetores u. tem-se v = (α. b + β + δ). por −→ defini¸c˜ao. Se. Portanto se v = (α. Se −→ −→ t > 0 e v =AA ′ ´e 6= 0.Opera¸c˜ oes com Vetores 93 Se¸c˜ ao 15 −→ representar w =A ′ A ′′ por um segmento orientado cujo in´ıcio seja a −→ extremidade final A ′ do primeiro segmento e pˆor v + w =AA ′′ . Tem-se assim. A segunda s´ o faz sentido ′ (isto ´e. Por −→ defini¸c˜ao. para t = −|t| negativo. por isso −v tamb´em se chama o inverso aditivo do vetor v. −→ Analogamente. A e C n˜ao est˜ao sobre a mesma reta. Vale −v + v = v + (−v) = 0. associatividade: (u + v) + w = u + (v + w). se A ′ A ′′ = w ent˜ao A ′′ = (a + α + γ. −→ −→ Dado o vetor v =AA ′ . β) ent˜ao −v = (−α. sejam v = (α. os pontos da reta OA tˆem coordenadas (tα. E produzem ˆ angulos congruentes. Da express˜ao tv = (tα. v =AC.94 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Se. −|t|β) = (tα. −→ Logo tv =OA ′ = (tα. distributividade: (s + t)v = sv + tv. ′ tem-se d(O. por defini¸c˜ao. A ) = |t| · d(O. tβ) quando v = (α. t ∈ R e quaisquer vetores v. para todo t ∈ R. s˜ ao representa¸c˜oes dos vetores dados mediante segmentos orientados com ´ claro que diferentes escolhas do ponto inicial A o mesmo in´ıcio A. por segmentos orientados com o mesmo ponto inicial. A f´ormula da distˆ ancia entre dois pontos mostra que. tβ). afirmamos que. w. onde A = (α. Antes de introduzi-lo. tβ). num determinado sistema de coordenadas. E. β) resultam imediatamente as seguintes propriedades formais: associatividade: s(tv) = (st)v. para A ′ = (tα. temos v =OA. A e B s˜ ao sempre colineares. ao serem −→ −→ representados na forma u =AB. tivermos v = (α. admitiremos que . tβ). temos tv = −(|t|v) = −(|t|α. tβ). Como sabemos. t(v + w) = tv + tw. A). β). Uma terceira opera¸c˜ao entre vetores do plano ´e o produto interno. observemos que se v e w s˜ ao vetores n˜ao-nulos. completando a demonstra¸c˜ao. Como os pontos A. v´alidas para quaisquer s. Com efeito. onde t varia em R. o ˆangulo BAC. B e C s˜ ao colineares. se t < 0. o −→ −→ b onde v =AB e w =AC ˆangulo entre v e w ´e. 0). |t|β) = (−|t|α. representando v por um segmento orientado com in´ıcio −→ em O = (0. vale tv = (tα. Isto equivale a dizer que um desses vetores ´e m´ ultiplo do outro: v = t · u para algum t ∈ R. β). os pontos A. tβ) se t > 0. Diz-se que os vetores n˜ao-nulos u. v s˜ ao colineares quando. isto significa que αδ − βγ 6= 0. Se os vetores u. Em termos de coordenadas u = (α. δ) s˜ ao dados por suas coordenadas num certo sistema. u e v s˜ ao colineares se. Isto corresponde ao fato de que 0 = 0 · v ´e m´ ultiplo de qualquer vetor v. Demonstraremos esta proposi¸c˜ao de duas maneiras diferentes: uma geom´etrica e outra alg´ebrica. β) e v = (γ. v no plano s˜ ao linearmente independentes ent˜ ao qualquer vetor w nesse plano se escreve.Se¸c˜ ao 15 Opera¸c˜ oes com Vetores 95 todo vetor ´e colinear ao vetor zero.). δ). de modo u ´nico. Se os vetores u = (α. Dois vetores n˜ao-colineares ser˜ao chamados de linearmente independentes (L. como combina¸ca ˜o linear w = s · u + t · v de u e v.I. αδ − βγ = 0. Como . β) e v = (γ. −→ A demonstra¸c˜ao geom´etrica come¸ca representando os vetores u =AB −→ e v =AC por segmentos orientados com o mesmo ponto inicial A. e somente se. . relativamente ao qual se tem u = (α. A demonstra¸c˜ao alg´ebrica se faz introduzindo no plano um sistema de coordenadas. ou seja. 2). Como u e v s˜ ao L. logo este sistema possui uma u ´nica solu¸c˜ao (s. −→ −→ Como AP ´e diagonal do paralelogramo AB ′ PC ′ . Se quisermos. para a qual vale w = s · u + t · v. os eixos AB e AC tˆem apenas o ponto A em comum. Esta igualdade vetorial equivale `as duas igualdades num´ericas αs + α ′ t = γ βs + β ′ t = δ. temos αβ ′ − βα ′ 6= 0. escrever o vetor w = (1. procuram-se n´ umeros reais s. w = s · u + t · v. tra¸camos paralelas aos eixos AB e AC. t). β) e v = (α ′ . Exemplo 15.´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 96 u e v n˜ao s˜ ao colineares. existe (um u ´nico) s ∈ R tal que −→ AB ′ = s · AB. δ). −→ Dado um vetor qualquer w no plano..I. t tais que w = s · u + t · v. B e B ′ s˜ ao colineares. 1) como uma combina¸c˜ao linear w = su + tv. −1) e v = (−3. escrevemos w =AP e. −→ −→ Analogamente. AC ′ = t · AC com t ∈ R. β ′ ).1 Qualquer vetor do plano se exprime como combina¸c˜ao linear dos vetores u = (2. por exemplo. pelo ponto P. −→ Como A. temos AP=AB ′ −→ + AC ′ . Dado um vetor arbitr´ ario w = (γ. A primeira corta o eixo AC no ponto C ′ e a segunda corta AB no ponto B ′ . wi = αγ + βδ. vi. Tem-se ainda hv. wi > 0 quando o ˆangulo entre v e w ´e agudo. β) e B = (γ. Se v = 0 ou w = 0. t = 3. hv. wi = 0. wi = 0 quando v e w s˜ ao ortogonais (perpendiculares) e hv. ou seja. −s) + (−3t. vi = |v|2 = quadrado do comprimento do vetor v. β) ent˜ao p |v| = α2 + β2. ent˜ao n˜ao faz sentido falar no ˆ angulo entre v e w. δ). com A = (α. o n´ umero hv. A ′ ) = comprimento do segmento de reta AA ′ . −1) + t · (−3. 2) = (2s. o vetor v chama-se unit´ ario. −s + 2t). sabemos que o cosseno do ˆ angulo θ entre os segmentos OA e OB ´e dado por αγ + βδ αγ + βδ p . w = 5u + 3v ´e a express˜ao do vetor w como combina¸c˜ao linear de u e v. O produto interno dos vetores n˜ao-nulos v. Vˆe-se que hv. obtemos s = 5. p˜oe-se hv. p Logo o comprimento de v ´e |v| = hv. ou seja: 2s − 3t = 1 −s + 2t = 1. se v = (α. = cos θ = p 2 2 2 2 |v| |w| α +β γ +δ Da´ı resulta que αγ + βδ = |v| |w| cos θ. Se −→ v =AA ′ ent˜ao |v| = d(A. . Portanto. por defini¸c˜ao. wi < 0 quando o ˆangulo entre v e w ´e obtuso. Se fixarmos um sistema de coordenadas de origem O e pusermos −→ −→ v =OA e w =OB. por defini¸c˜ao. 1) = s · (2. Neste caso. w ´e. Sejam v e w vetores n˜ao-nulos. wi = |v| |w| cos θ. onde θ ´e o ˆ angulo entre v e w. que hv. Num determinado sistema de coordenadas.Opera¸c˜ oes com Vetores 97 Se¸c˜ ao 15 devemos ter (1. Se |v| = 1. Usaremos a nota¸c˜ao |v| para indicar o comprimento do vetor v. Resolvendo este sistema. 2t) = = (2s − 3t. . Sabendo que hv. obtemos uma express˜ao do produto interno hv. −→ −→ Como sabemos. em termos das coordenadas de u e v (isto ´e. Observese que. t ∈ R. wi + hv. O produto interno de dois vetores permite exprimir de forma elegante. P = A + tv significa que tv =AP. wi = αγ + βδ quando v = (α. hu + v. variando o sistema. v´alidas para vetores arbitr´ arios u. wi = hw. pois ´e igual a |v| |w| cos θ e este valor nada tem a ver com coordenadas. v + wi = hu. v. tal que v − z ´e ortogonal a u. hαv. O uso de vetores permite apresentar a equa¸c˜ao param´etrica da reta sem recorrer a um sistema de coordenadas. wi = hv. a reta que passa pelos pontos A e B ´e o conjunto dos pontos −→ P = A + tv. δ). que AP= −→ t· AB. Chama-se proje¸ca ˜o ortogonal do vetor v sobre o vetor n˜ao-nulo u ao vetor z. wi. Com efeito. wi. wi em fun¸c˜ao das coordenadas dos vetores v e w. vi. Assim. em qualquer caso. ou seja. hu. prova-se sem dificuldade cada uma das igualdades abaixo. w e qualquer n´ umero real α: hv. a proje¸c˜ao ortogonal de um vetor v sobre o vetor n˜ao-nulo u. m´ ultiplo de u. wi. αwi = αhv. v =AB .98 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Esta f´ormula vale obviamente quando um dos vetores v ou w ´e igual a zero. vi + hu. β) e w = (γ. wi = hu. sem Trigonometria). as coordenadas de v e w mudam mas a express˜ao αγ + βδ se mant´em invariante. vi Em particular. ui = 0. e) Todo vetor do plano ´e combina¸c˜ ao linear de u e v. ui = 0. logo t= hv. β) e v = (α ′ . hv. Exerc´ıcios 1. hu. ui. Temos. c) Nenhum dos vetores u e v ´e m´ ultiplo do outro. ui e t= hw. devem ser provadas as implica¸c˜ oes a) ⇒ b) ⇒ c) ⇒ d) ⇒ e) ⇒ a)] . para todo vetor w no plano de u e v se tem w = hw. ui = thu. ui. dada a express˜ao w = su + tv do vetor w como combina¸c˜ao linear de u e v. d) Se u = (α. se u e v al´em de ortogonais forem vetores unit´ arios. hu. ui . ui e t = hw.Exerc´ıcios 99 Seja z = tu (t ∈ R) a proje¸c˜ao ortogonal de v sobre o vetor n˜ao-nulo u. vi. se u e v s˜ ao vetores unit´ arios ortogonais ent˜ao. ui Exemplo 15. uiu + hw. sucessivamente: hv − z. Portanto. ui z= hv. vi . prove que as afirma¸c˜ oes seguintes s˜ ao equivalentes: a) Uma combina¸c˜ ao linear αu + βv s´ o pode ser igual a zero quando α = β = 0. vi = 1 logo s = hw. viv..2 Se os vetores n˜ao-nulos u e v s˜ ao ortogonais (isto ´e. tomamos o produto interno de ambos os membros desta igualdade por u e por v. ui = hv. sucessivamente e obtemos as rela¸c˜oes: hw. hv. [Neste exerc´ıcio. Dados os vetores u e v. vi = 0) ent˜ao eles s˜ ao L. b) Se αu + βv = α ′ u + β ′ v ent˜ ao α = α ′ e β = β ′ . vi. hw. e assim hu. vi = thv. ui hu. hv − tu. ui = shu.I. donde s= hw. Neste caso. ui u. β ′ ) ent˜ ao αβ ′ − α ′ β 6= 0. tem-se hu. 8. mostre que |u| · v e |v| · u s˜ ao vetores do mesmo comprimento. w vetores tais que v ´e m´ ultiplo de u mas w n˜ ao ´e. prove que EF = (AD + BC). v. e somente se. Exprima o vetor w = (1. Seja G o baricentro (ponto de encontro das medianas) do triˆ angulo ABC.100 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 2. Mostre que se os vetores u e v tˆem o mesmo comprimento ent˜ ao u + v e u − v s˜ ao ortogonais. b) |v + w| ≤ |v| + |w|. logo P ´e o baricentro desse triˆ angulo. Se αu+βv+γw = 0. v ´e m´ ultiplo do outro. Prove que hu. c) |λ · v| = |λ||v|. Prove −→ −→ −→ que GA + GB + GC= 0. 2 5. 3. Quais dessas seis propriedades se manteriam ainda v´ alidas se o produto interno de u por v fosse definido como igual a |u| · |v|? 13. Prove que as retas AP. v = 0. Em seguida. 6. 4. BP e CP s˜ ao medianas de ABC. Seja P um ponto interior ao triˆ angulo ABC tal que PA + PB + PC= 0. −1). 1) como combina¸c˜ ao linear de u = (−2. Sejam u. . logo AD= u + v e −→ BC= v − u. vi = ±|u||v| se. Prove que a soma dos vetores com origem no centro de um pol´ıgono regular e extremidade nos v´ertices desse pol´ıgono ´e igual a zero. e somente se. v ´e zero ou ´e um m´ ultiplo positivo do outro. prove que γ = 0 e αu + βv = 0. −→ −→ −→ 11. compare |u + v|2 = hu + v. e somente se. 14. Sejam u =OP. Prove que OR ´e a bissetriz do ˆ angulo P OQ. Prove que |u − v|2 + |u + v|2 = 2|u|2 + 2|v|2 e conclua que em todo paralelogramo a soma dos quadrados das diagonais ´e igual ` a soma dos quadrados dos quatro lados. Seja ABCD um quadril´ atero. 9. um dos vetores u. Se E ´e o ponto m´edio do lado AB e F ´e o ponto −→ −→ 1 −→ m´edio do lado oposto DC. Dados os vetores arbitr´ arios u e v. Obtenha. ponha AB= u e AC= v. −→ −→ −→ 7. E a rec´ıproca? −→ −→ −→ 10. 1) e v = (1. a partir da´ı. 12. d) | − v| = |v|. u + vi com (|u| + |v|)2 para concluir que |u + v| = |u| + |v| se. um dos vetores u. Prove as seguintes propriedades do comprimento (ou norma) de um vetor: a) |v| = 0 se. v =OQ vetores n˜ ao-nulos tais que |u|v + |v|u =OR tamb´em seja b diferente de zero. Logo em seguida ` a defini¸c˜ ao do produto interno de dois vetores foi feita uma lista de seis propriedades que resultam imediatamente da defini¸c˜ ao dada. Dado o paralelogramo ABDC. a inclina¸c˜ ao dessa bissetriz em fun¸c˜ ao das coordenadas dos pontos P e Q num sistema de eixos ortogonais arbitr´ ario OXY. ) . que D seja o ponto de encontro das alturas do triˆ angulo ABC que partem dos v´ertices B e C. prove que (αu + βv)∗ = αu∗ + βv∗ e hu. ou v ′ = v para todo v ou existe uma reta r tal que. Sejam A. portanto u + v = AC. −→ −→ −→ −→ −→ Mostre que. Fixando uma reta r. Indicando genericamente por v∗ o vetor obtido de v por rota¸c˜ ao positiva de 90◦ . BCi = 0 Suponhamos. de modo que AB ⊥ CD e AC ⊥ DB. (Por −→ defini¸c˜ ao. Sejam r e s duas retas concorrentes do plano. B e C pontos do plano. Um subconjunto X do plano chama-se convexo quando o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer de X est´ a contido em X. Suponha dada uma correspondˆencia que associa a cada vetor v do plano um vetor v ′ com as propriedades a). D ´e formado pelos pontos P tais que | AP | ≤ r. 19. c) do exerc´ıcio anterior. Deduza que AD ´e perpendicular a BC e conclua da´ı que as trˆes alturas do triˆ angulo ABC se encontram no mesmo ponto D. vi = 0 para quaisquer vetores u. DBi + hAD. com α + β = 1. −→ −→ −→ w =CD. β ∈ R. B. 22. ACi independe do ponto C tomado sobre r. wi 17. 23. v =BC. Se αA + βB = C e αA1 + βB1 = C1 . −→ −→ 20. Conclua que se B ´e o p´e da perpendicular baixada de A sobre a reta r ent˜ ao o −→ −→ produto interno hAB. C e D no plano. v ′ ´e a proje¸c˜ ao ortogonal de v sobre r. ACi = | AB |2 b) As retas AB e BC s˜ ao perpendiculares. Se as proje¸c˜ oes ortogonais dos vetores u e v sobre essas retas s˜ ao iguais. v do plano e α. CDi + hAC. em seguida. v∗ i + hu∗ . Conclua ent˜ ao que −→ −→ −→ −→ −→ −→ hAB. Prove que s´ o h´ a 3 possibilidades: ou v ′ = 0 para todo v. tem-se OC=OA +t · AB= (1 − t) OA +t· OB qualquer que seja o ponto O do plano. Prove as seguintes propriedades: a) (v + w) ′ = v ′ + w ′ b) (v ′ ) ′ = v ′ c) hv. v + w =BD e u + v + w =AD. prove que u = v. w ′ i = hv ′ . Seja 0 ≤ t ≤ 1. neste caso. indiquemos com v ′ a proje¸c˜ ao ortogonal de um vetor arbitr´ ario v sobre r. prove que se tem −→ −→ −→ α · AA1 +β · BB 1 =CC1 . 16. 18. b). Prove: O disco D de centro num ponto A e raio r ´e um conjunto convexo. ponha u =AB. para todo v. Sabemos que C = A + t · AB⇐⇒AC= t · AB⇐⇒ C ∈ AB. −→ −→ −→ 21. Dados quatro pontos quaisquer A. Prove que as seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: −→ −→ −→ a) hAB.Exerc´ıcios 101 15. 29. . 27. Seja X convexo. v. γ s˜ ao n´ umeros ≥ 0 com α + β + γ = 1 ent˜ ao αx + βy + γz ∈ X. ui · u ´e hu. o conjunto dos pontos P = (x. vi = 0. mostre que w = 0. ui 31. Se X e Y s˜ ao convexos ent˜ ao a reuni˜ ao dos segmentos de reta que ligam um ponto qualquer de X a um ponto qualquer de Y ´e um conjunto convexo. Dados os vetores u. e c qualquer. prove que o vetor w = v − perpendicular a u. y) cumprem as condi¸c˜ oes x > 0 e y ≥ 1/x ´e convexo. y) cumprem y ≥ x2 ´e convexo. Dados a. b n˜ ao simultaneamente iguais a zero. β. O conjunto W dos pontos cujas coordenadas (x. O conjunto Z dos pontos cujas coordenadas (x. y. ui = 0 e hw. Sejam u. com u 6= 0. 28. Se x. 30. Se um vetor w ´e tal que hw. v vetores n˜ ao-colineares. A interse¸c˜ ao X ∩ Y de dois conjuntos convexos X e Y ´e um conjunto convexo. 26. 25. hv.102 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 24. z ∈ X e α. y) tais que ax + by ≥ c ´e convexo. ) . a elipse pode ser representada por uma equa¸c˜ao bastante simples. 0). Observe que c < a pois. no triˆ angulo PFF ′ . Mostraremos a seguir que. (Se fosse c = a a elipse se reduziria ao segmento FF ′ . tomamos no plano um sistema de coordenadas tal que F = (c. Dada a elipse E. 0) e F ′ = (−c.16 Equa¸c˜ ao da Elipse Uma elipse de focos F e F ′ ´e o conjunto dos pontos P do plano cuja soma das distˆ ancias a F e F ′ ´e igual a uma constante. d(P. que indicaremos com 2a. e somente se. se escolhermos convenientemente o sistema de eixos. F) + d(P. c ≥ 0. P pertence ` a elipse se. sejam as coordenadas dos focos. F ′ ) = 2a. o lado FF ′ (= 2c) ´e menor do que a soma PF + PF ′ (= 2a). Portanto. obtemos: q 2 2 2 2 2 (x − c) + y = 4a + (x + c) + y − 4a (x + c)2 + y2 (16.1) (16. e somente se. (16.8) . a2 b2 (16.3) ou.6) Tomando novamente o quadrado de ambos os membros. q q (x − c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 = 2a. o ponto P pertence `a elipse se.2) Elevando ambos os membros desta equa¸c˜ao ao quadrado. (16.5) (a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2).7) Dividindo ambos os membros por a2b2 resulta x 2 y2 + = 1. ou seja q q (x − c)2 + y2 = 2a − (x + c)2 + y2. vem: logo Pondo a2 − c2 = b2.4) a2(x2 + 2cx + c2 + y2) = a4 + 2a2cx + c2x2. simplificando: q a (x + c)2 + y2 = a2 + cx. (16.´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 104 De acordo com a defini¸c˜ao. esta equa¸c˜ao se escreve: b2x2 + a2y2 = a2b2 (16. (16. Al´em disso. Isto garante que (16. Como a2 = b2 + c2. partindo-se de (16. com a ≥ b > 0.) Observa¸ c˜ ao 16. eles s˜ ao chamados os v´ertices.4) ⇒ (16. que A e B. b) e B ′ = (0.1). a equa¸c˜ao (16. B = (0. A u ´nica dificuldade aparente est´a em reverter as eleva¸c˜oes ao quadrado (16.5) ⇒ e (16. a menos que se saiba. Portanto a2 + cx > 0. temos que verificar que a validez de (16.3). A ′ ) = 2a e d(B. se e somente se x2/a2 + y2/b2 = 1. todo ponto cujas coordenadas satisfazem esta equa¸c˜ao pertence `a elipse cujos focos s˜ ao F = (c. Resta verificar que.4) s˜ ao obviamente ≥ 0. Os segmentos AA ′ e BB ′ chamam-se os eixos. (Note que. onde d(A. donde 2a − (x + c)2 + y2 ≥ 0.8) acima implica (16. e b = a2 − c2. pois de A2 = B2 pode-se concluir apenas que A = ±B mas n˜ao necessariamente que A = B. obriga |x| ≤ a. y) 1 da elipse satisfazem a equa¸c˜ao (16. reciprocamente. O eixo AA ′ . 0). F ′ )] 2 √ ancia focal. B ′ ) = 2b.8). sendo 2c = d(F. 0). p p Portanto (x + c)2 + y2 ≤ 2a.1 A rigor. Ora.8) obriga a serem q a2 + cx ≥ 0 e 2a − (x + c)2 + y2 ≥ 0. ent˜ao as coordenadas de um ponto qualquer P = (x. temos tamb´em 0 ≤ c < a. s˜ ao ambos ≥ 0. a priori. y) pertence `a elipse E. Isto se faz mostrando que cada passo da dedu¸c˜ao acima pode ser revertido. y) de um ponto arbitr´ ario da elipse satisfazem a equa¸c˜ao x2/a2 + y2/b2 = 1. A ′ = (−a. F ′ ) a distˆ Os pontos A = (a. onde c ≥ 0 ´e tal que a2 = b2 + c2.2) e (16. Isto completa a prova de que P = (x.8).8) tamb´em nos d´a y2 ≤ b2. 0) e F ′ = (−c. que cont´em os focos. a equa¸c˜ao (16.8) at´e chegar a (16. logo −b2+y2 ≤ 0 e da´ı (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2 ≤ a2 + 2a2 + a2 − b2 + y2 ≤ 4a2. Como os primeiros membros de (16.1). provamos acima apenas que as coordenadas (x. F) + d(P. na qual a = [d(P. 0). . ´e o eixo maior e BB ′ ´e o eixo menor.5) ⇒(16. −b) pertencem ` a elipse. ou seja. sendo a2 = b2 + c2.Se¸c˜ ao 16 Equa¸c˜ ao da Elipse 105 Resumindo: se tomarmos um sistema de coordenadas tal que os focos F e F ′ est˜ao sobre o eixo OX e a origem O ´e o ponto m´edio do segmento FF ′ . tem-se a ≥ b.2) ⇒ (16. que a equa¸c˜ao (16.4). (x ′ )2 (y ′ )2 + 2 = 1. tem-se x2 + y2 = a2 se. que consiste em levar cada ponto (x.106 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Note ainda que estamos admitindo a possibilidade de termos c = 0. Noutras palavras. Com efeito. ap´ os o processo de achatamento que acabamos de descrever.1 A figura de uma elipse nos d´a a impress˜ao de um c´ırculo achatado. temos y/a = y ′ /b. Dado o n´ umero real c. F = F ′ . podemos pensar no processo de achatamento vertical em R2. de modo que as distˆ ancias verticais ficam reduzidas pelo fator c. caso em que a elipse se reduz a uma circunferˆencia (elipse com dois eixos de mesmo tamanho). e somente se. y) para a posi¸c˜ao (x ′ . Esta impress˜ao ´e correta. num sentido bem preciso. a2 a2 a2 b . isto ´e. Se tomarmos o fator de redu¸c˜ao c = b/a. logo a x2 + y2 = a2 ⇔ x 2 y2 (x ′ )2 (y ′ )2 + = 1 ⇔ + 2 = 1. com 0 < c < 1. y ′ ) em que x ′ = x e y ′ = cy. onde 0 < b < a. a circunferˆencia Γ : x2 + y2 = a2. Exemplo 16. se transforma na elipse de equa¸c˜ao (x2/a2) + (y2/b2) = 1. a2 b onde x ′ = x e y ′ = b y. e y2 x2 somente se. pois y2 x2 + = 1 ou seja. Prove que a reta cuja a b x1 y1 equa¸c˜ ao ´e 2 · x + 2 · y = 1 tem apenas o ponto P em comum com a elipse. Sejam F e F ′ pontos n˜ ao pertencentes a uma reta r. F ′ ) m´ınima. onde F e F ′ s˜ ao os focos da elipse. ±b) s˜ ao. no segundo.2 A equa¸c˜ao 6x2 + 10y2 = 15 representa uma elipse. onde A = ( 5/2. a b Por isso. y1 ) ` a elipse 5. Seja P = (x1 . − 3/2). F ′ ) < 2a. respectivamente. os pontos da elipse mais afastados e mais pr´ oximos da origem. a2 = 5/2 e b2 = 3/2 logo c2 = a2 − b2 = 1. prove que existe um u ´nico ponto P em r que torna a soma d(F. Conseq¨ uentemente. P) + d(P. Conclua que se a reta r ´e tangente no ponto P ` a elipse de focos F e F ′ ent˜ ao os segmentos PF e PF ′ fazem ˆ angulos iguais com r. 4. Se Q = (x. x2 y2 + = 1. p p 0) e ′ ′ A = (− 5/2. d(P. 0) e (0. y) a2 b2 2 2 x y ´e um ponto de r diferente de P. No primeiro caso. cujos v´ertices s˜ ao os 4 pontos (±a. 0) e F = (1. y) cumpre a condi¸c˜ ao 2 + 2 < 1 se. diz-se que P ´e um ponto interior a b e. F) + d(P. F ′ ) > 2a se. e somente a b se. 3/2) e B ′ = (0. y1 ) um ponto da elipse 2 + 2 = 1. O eixo menor ´e o segmento BB . p 0). F) + d(Q. x2 y2 2 2 Prove tamb´em que todo ponto do disco x + y ≤ b2 cumpre 2 + 2 ≤ 1. 1. Ele ´e tal que os segmentos de reta PF e PF ′ formam ˆ angulos iguais com a reta r. . ( 5/2)2 ( 3/2)2 p O eixo maior dessa elipse ´e o segmento AA ′ . a b Mostre que (±a. |y| ≤ b. ±b). F) + d(P. Portanto os focos da elipse s˜ ao os pontos F ′ = (−1. com B = (0. d(P. 2 + 2 > 1. ela ´e chamada a tangente ` a elipse no ponto P. equivale a 5/2 3/2 x2 y2 p + p = 1. 0) Exerc´ıcios x2 y2 + = 1 est´ a contida no disco x2 + y2 ≤ a2 b2 a2 e no retˆ angulo |x| ≤ a. y2 x2 3. exterior ` a elipse. Aqui. Prove que se a > b ent˜ ao a elipse 2. Seguindo os mesmos passos da dedu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao da elipse de focos F e F ′ x2 y2 mostre que o ponto P = (x. Usando Geometria Elementar. F ′ ) > 2a. mostre que se tem 2 + 2 > 1 e conclua que a b d(Q. Seja r a reta tangente no ponto P = (x1 .Exerc´ıcios 107 Exemplo 16. onde c = b/a. Quais s˜ ao as tangentes ` a elipse x2 + 4y2 = 32 que tˆem inclina¸c˜ ao igual a 1/2? 11. A partir da´ı. y2 x2 + 2 = 1 ´e a imagem da cir2 a b cunferˆencia x2 + y2 = a2 pela transforma¸c˜ ao T : R2 → R2 . b sen t) descreve uma elipse. Prove que.108 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 6. c = b/a. obtenha um processo para tra¸car as duas tangentes a uma elipse dada. 12. Use este fato e o m´etodo do exerc´ıcio anterior para mostrar que a reta que liga o centro da elipse (x2 /a2 ) + (y2 /b2 ) = 1 ao ponto (x1 . gente ` a elipse pelo ponto (x1 . y) = (x. y) associemos o ponto P = (x. c b) T transforma retas paralelas em retas paralelas. F = −k e B = D = E = 0. y1 ). A cada ponto P = (x. Numa circunferˆencia. paralelas a uma reta dada. y) percorre a tangente ` a elipse no ponto (x1 . O segmento de reta que une dois pontos de uma elipse chama-se uma corda. cy). y1 ). seu correspondente Q = (x. . Prove: 7. mostre que P descreve a circunferˆencia x2 + y2 = 1. y = y/b. para mostrar que o “disco el´ıptico” 2 + 2 ≤ 1 a b ´e um conjunto convexo. 8. Quando P descreve a elipse x2 /a2 +y2 /b2 . Vimos no final da Se¸c˜ ao 16 que a elipse a) T transforma qualquer reta mx + ny = p numa reta de equa¸c˜ ao mx + n y = p. definida por T (x. 9. y) = (x. os pontos m´edios das cordas paralelas a PQ est˜ a b uma reta que passa pela origem. juntamente com o fato de que o x2 y2 2 2 2 disco x + y ≤ a ´e convexo. Os eixos de uma elipse medem 2a e 2b e est˜ ao situados sobre os eixos OX e OY. o raio perpendicular a uma corda passa pelo ponto m´edio dessa corda. y) percorre a tangente ` a circunferˆencia no ponto (x1 /a. cy). quando t varia de 0 a 2π o ponto P = (a cos t. onde a e b s˜ ao constantes n˜ ao-nulas. y1 ) tem a equa¸c˜ 13. Suponha que a equa¸c˜ ao Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 represente essa elipse. c) T transforma todo conjunto convexo C ⊂ R2 num conjunto convexo T (C). dados a > 0 e b > 0. y). Mostre que existe k 6= 0 tal que A = k/a2 . C = k/b2 . Use a transforma¸c˜ ao T do exerc´ıcio anterior para provar que se PQ ´e uma corda x2 y2 ao sobre da elipse 2 + 2 = 1. y1 /b). 10. Use a equa¸c˜ ao desta u ´ltima tangente para concluir que a tanao (x1 /a2 )x + (y1 /b2 )y = 1. Use a transforma¸c˜ ao T (x. com x = x/a. Mostre tamb´em que quando o ponto Q = (x. y1 ) dessa elipse divide ao meio todas as cordas paralelas ` a tangente ` a elipse pelo ponto (x1 . escrevemos a equa¸c˜ao d(P. Chamase hip´erbole de focos F e F ′ ao conjunto dos pontos P do plano cuja diferen¸ca das distˆ ancias aos pontos F e F ′ ´e. em valor absoluto. No sistema de coordenadas que acabamos de escolher. y). F) − d(P. igual a 2a. Portanto os dois ramos da hip´erbole s˜ ao linhas sim´etricas em rela¸c˜ao ao eixo OY. 0) e F ′ = (−c. A fim de determinar a equa¸c˜ao do ramo direito da hip´erbole. e vice-versa. F) = −2a. F ′ ) − d(P. o que nos d´a q q (x + c)2 + y2 = (x − c)2 + y2 + 2a. igual a 2a. diz-se que P pertence ao ramo esquerdo de H. o ponto P pertence a essa hip´erbole H se. Para obter a equa¸c˜ao da hip´erbole em sua forma mais simples. Assim. Se d(P. igual a −2a. F)| = 2a. F ′ )−d(P. se P = (x.17 Equa¸c˜ ao da Hip´ erbole Sejam F e F ′ dois pontos do plano e a um n´ umero real positivo. A hip´erbole H possui dois ramos. F) = 2a. diremos que o ponto P est´a no ramo direito da hip´erbole. F ′ ) ´e positiva. e outro pelos pontos em que esta diferen¸ca ´e negativa. est´a no ramo esquerdo. 0). e somente se |d(P. Quando d(P. sim´etrico de P relativamente ao eixo OY. y) est´a no ramo direto de H. . F ′ ) = d(P. tomamos no plano um sistema de eixos ortogonais relativamente aos quais as coordenadas dos focos sejam F = (c. F ′ ) − d(P. com c > 0. o ponto P ′ = (−x. F) + 2a em termos de coordenadas. um formado pelos pontos P para os quais a diferen¸ca d(P. temos b2x2 − a2y2 = a2b2. cuja raiz quadrada chamamos de b. no triˆ angulo PFF ′ .1) . a diferen¸ca c2 − a2 ´e um n´ umero positivo. Portanto. x 2 y2 − = 1. a2 b2 (17. de modo que c2 − a2 = b2. o lado FF ′ ´e maior do que a diferen¸ca dos outros dois. logo c2 > a2. 2 2 2 2 2 Simplificando: q cx − a2 = a (x − c)2 + y2. Elevando novamente ao quadrado e simplificando: (c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2). se o ponto P = (x.110 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Elevando ambos os membros ao quadrado: q (x + c) + y = (x − c) + y + 4a + 4a (x − c)2 + y2. ou seja. y) pertence ao ramo direito da hip´erbole. Como. temos 2c > 2a. Assim. 1).Se¸c˜ ao 17 Equa¸c˜ ao da Hip´ erbole 111 Se P = (x. se num triˆ angulo os ˆ angulos agudos medem 45◦ . x > 0. Suponhamos inicialmente que x seja positivo. seja P = (x. chama-se o eixo conjugado da hip´erbole. Isto era ´ obvio na primeira vez. portanto P = (x. Os pontos B e B ′ b b n˜ao pertencem ` a hip´erbole. Quando `a segunda.1 Seja f : R+ → R+ a fun¸c˜ao definida por f(x) = 1/x. Exemplo 17. y) estivesse no ramo esquerdo ent˜ao Q = (−x. As retas y = x e y = − x chamam-se a a as da hip´erbole. basta observar que a equa¸c˜ao (17. y) um ponto cujas coordenadas satisfazem a equa¸c˜ao (17. y) tem abcissa positiva e suas coordenadas tamb´em satisfazem a equa¸c˜ao (17. y) n˜ao pode satisfazer a equa¸c˜ao (17. Portanto a equa¸c˜ao (17. nas duas vezes em que elevamos ao quadrado ambos os membros de uma igualdade. Caso seja x < 0. y) estaria no ramo direito. Como j´a sabemos que c > a. segue-se que cx − a2 > 0. O segmento de reta AA ′ chama-se o eixo enquanto o segmento BB ′ . b) e B ′ = (0. Para fazer essas revers˜oes. Afirmamos que G ´e um ramo de hip´erbole. 0) que s˜ ao chamados os v´ertices da hip´erbole. Come¸camos lembrando que. esses dois membros eram positivos. Para valores muito grandes de |x| a hip´erbole torna-se quase indistingu´ıvel de suas ass´ıntotas. cada cateto ´e igual a √ angulo retˆ 2/2 vezes a hipotenusa.1) representa uma hip´erbole. Fica ent˜ao claro a partir da Figura 17. Chamemos de (s. y) est´a no ramo esquerdo. t) as coordenadas de um ponto nesses novos eixos. y = 1/x}. A fim de obter a equa¸c˜ao da curva G em termos de s e t. com B = (0.1). vamos introduzir no plano um novo sistema de coordenadas com a mesma origem e com eixos formando ˆ angulos de 45◦ com os eixos antigos. O gr´ afico de f ´e o conjunto G = {(x. Reciprocamente. de modo que valeria ainda a igualdade acima. logo Q pertence ao ramo direito da hip´erbole.] A hip´erbole corta o eixo OX nos pontos A = (a. precisamos exprimir x e y em fun¸c˜ao das novas coordenadas. t) no novo . [N˜ao ´e necess´ario considerar o caso x = 0 porque (0. Vamos reverter cada passo da dedu¸c˜ao feita acima e concluir que P pertence ao ramo direito da hip´erbole. y) ∈ R2. Para provar este fato.1) implica x ≥ a. −b). 0) e A ′ = (−a. precisamos apenas verificar que. o ponto Q = (−x.1).1) ´e satisfeita pelas coordenadas de todos os pontos P = (x.2 que se um ponto P tem coordenadas (x. y) no sistema antigo e (s. y) pertencentes `a hip´erbole. Isto conclui a verifica¸c˜ao de que a equa¸c˜ao (17. Portanto. com a = b = a2 b2 6) P pertence ao ramo direito de uma hip´erbole cujo eixo ´e a reta y = x. 2) x > 0 e xy = 1. x=s 2 2 2 2 Al´em disso. as seguintes afirma¸c˜oes s˜ ao equivalentes: 1) P = (x. se x > 0 e y > 0 ent˜ao s > 0. y) ∈ G.´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 112 ent˜ao √ √ √ √ 2 2 2 2 −t e y=s +t . √ √ √ √ 3) s > 0 e s 22 − t 22 s 22 + t 22 = 1. . 5) s > 0 e √ t2 s2 2. 4) s > 0 e s2/2 − t2/2 = 1. − = 1. mostre que a reta a b m n r : 2 x − 2 y = 1 tem apenas o ponto P em comum com H. 0). − 3/2). ( 5/2)2 ( 3/2)2 ′ e BB ′ s˜ logo representa uma hip´erbole cujos eixos AAp ao determinados p p p ′ por A = ( 5/2. Exemplo 17.2 A equa¸c˜ao 6x2 − 10y2 = 15 equivale a x2 y2 p − p = 1. ache um ponto (x. os focos desta hip´erbole s˜ ao os pontos F = (2. 1. 0). Para todo ponto P = (m. n) na hip´erbole H : 2 − 2 = 1. Quais s˜ ao as coordenadas dos focos da hip´erbole x2 y2 − = 1? 9 4 . 0) e F ′ = (−2. logo c = 2.Exerc´ıcios 113 Logo G ´e um ramo de hip´erbole. Assim. n˜ ao pode estar contida num disco de centro O. 0). B = (0. 3. 3/2) e B ′ = (0. Exerc´ıcios x2 y2 − =1 a2 b2 2 2 tal que x + y > R. Conclua que toda hip´erbole ´e um conjunto ilimitado. y) na hip´erbole y2 x2 2. A = (− 5/2. Como a2 = 5/2 e b2 = 3/2. Dado arbitrariamente R > 0. A reta r chama-se a b a tangente a H no ponto P. isto ´e. temos c2 = a2 + b2 = 4. 11.) ´e a bissetriz do ˆ angulo FPF 5. cos t cos t Qual ´e o dom´ınio da vari´ avel t e quais s˜ ao os focos dessa hip´erbole? 10. onde F e F ′ s˜ ˆ angulo FPF ao os focos. d) 3x2 + 5y2 = 0. AB · CD = ABC ent˜ ao a reta AD ´e bissetriz do ˆ angulo BAC x2 y2 AC · BD. 1/m) em comum com a hip´erbole xy = 1 logo ´e a tangente a essa hip´erbole no ponto P. Escolhendo os sinais + e − das oito maneiras poss´ıveis. para todo m 6= 0. Prove que a tangente ` a hip´erbole xy = 1 no ponto P = (5. uma hip´erbole ou o conjunto vazio. ache os focos e as ass´ıntotas. Lembrando que m2 − n2 = (m + n)(m − n). se D ´e um ponto do lado BC no triˆ angulo b se. uma reta. Qual ´e a equa¸c˜ ao dessa hip´erbole? . mostre que x − x2 − a2 = a2 √ e use este fato para concluir que. considere as equa¸c˜ oes ± Ax2 ± Cy2 = ± F. −4) e F = (0. (Noutros termos: quando x → +∞ ou x → −∞. a tangente num ponto P b ′ . √ 7. b) 3x2 = 1. (Observa¸c˜ ao: Em qualquer hip´erbole de focos F e F ′ . Segundo a Geometria Elementar. c) 5y2 = −1. Dados A. o ponto (x. atribuindo a x valores muito x + x2 − a2 x2 y2 b grandes em m´ odulo. e) 5y2 = 0 13. n´ umeros positivos. Quais s˜ ao as coordenadas dos focos da hip´erbole xy = 1? 1 x + my = 2 tem o u ´nico ponto P = 6. se for o caso. a b sin t 9. C e F. Nos casos de elipse.y = s˜ ao equa¸c˜ oes param´etricas de uma hip´erbole. 4). nos casos de hip´erbole.) 8. 1/5) ´e a bissetriz do b ′ . Decida cada situa¸c˜ ao e determine as retas. a) 3x2 − 5y2 = 0. um ponto. 4) ´e a bissetriz do ˆ angulo FPF ao os focos da hip´erbole. O eixo de uma hip´erbole mede 6 e seus focos. e somente se. um par de retas paralelas ou um par de retas que se cortam na origem. s˜ ao F ′ = (0. situados sobre o eixo OY. x) na ass´ıntota da hip´erbole H : 2 − 2 = 1 a a b torna-se t˜ ao pr´ oximo quando se queira do ponto de H com mesma abcissa x e mesmo sinal de ordenada. mostre que em cada caso se obt´em uma elipse. onde F e F s˜ no ponto P = (3 5. Mostre que x = . determine os v´ertices e focos. Prove que. a hip´erbole se aproxima arbitrariamente de suas ass´ıntotas.114 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 4. Cada uma das equa¸c˜ oes a seguir representa o conjunto vazio. a reta m (m. No exerc´ıcio anterior. quando ´e que as elipses se reduzem a circunferˆencias? 12. Use este fato para mostrar que a tangente ` a hip´erbole − =1 9 4 √ ′ ′ b . Se F0 ´e o p´e da perpendicular baixada de F sobre d. chama-se par´ abola de foco F e diretriz d ao conjunto dos pontos equidistantes de d e F. como se vˆe pela Figura 18. No plano determinado por d e F. a reta FF0 ´e um eixo de simetria da par´ abola: se P est´a sobre a par´ abola e P ′ ´e o seu sim´etrico em rela¸c˜ao `a reta FF0 ent˜ao P ′ tamb´em pertence `a par´ abola. A distˆ ancia de A ` a reta d ´e igual a p/2.1. Logo A pertence ` a par´ abola e chama-se o seu v´ertice. Qualquer . Lembramos que a distˆ ancia do ponto P `a reta d ´e a distˆ ancia de P ao ponto P0. p´e da perpendicular baixada de P sobre d.18 Equa¸c˜ ao da Par´ abola Sejam d uma reta e F um ponto fora dela. o mesmo que o comprimento de AF. Sejam p o comprimento e A o ponto m´edio do segmento FF0. Com efeito. Como a obl´ıqua FP0 ´e maior do que a perpendicular FF0. . a distˆ ancia de P `a reta d. eixo de simetria da par´ abola. conclu´ımos que essa Como PP0 ´e igual ` distˆ ancia ´e maior do que p/2. chamemos de P0 o p´e da perpendicular baixada de P sobre d. tomaremos um sistema de eixos cuja origem ´e o v´ertice da par´ abola e cujo eixo vertical ´e a reta FF0. com p > 0 representando a distˆ ancia de F a d. Em seguida. Para isso.116 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear outro ponto P da par´ abola est´a a uma distˆ ancia de d superior a p/2. vamos deduzir a equa¸c˜ao da par´ abola de foco F e diretriz d. temos p < FP0 < FP + PP0 = 2PP0. Seja P = (x. de fato. p/2) e diretriz d. se as coordenadas do ponto P = (x. a igualdade acima reduz-se a t = as2. temos F = (0. Assim. sendo a 6= 0. c constantes. Como P pertence `a par´ q y + p/2 = x2 + (y − p/2)2. com p > 0. t = as2. Se P = (x. 0) = A. Uma fun¸c˜ao quadr´atica de uma vari´avel tem a forma f(x) = ax2 + bx + c. se P = (x. t + k) pertence ao conjunto G se. y > 0 salvo quando P = (0. com a. b. p/2) e a equa¸c˜ao da diretriz d ´e y = −p/2. tais que x = s + h. Reciprocamente.Equa¸c˜ ao da Par´ abola 117 Se¸c˜ ao 18 Neste sistema. devemos ter x + (y − p/2) . O gr´ afico de f ´e o conjunto G. dada pela equa¸c˜ao y = −p/2. e somente se. enquanto a distˆ a ncia de P ao foco F ´e p 2 2 abola. . t) pertence ao gr´ afico G se. y) um ponto qualquer da par´ abola. t mediante uma transla¸c˜ao dos eixos. o que mostra que P pertence `a par´ abola de foco F = (0. Tomando h = −b/2a e k = ah2 + bh + c. Para mostrar que G ´e. ent˜ao y ≥ 0 logo y + p/2 ≥ 0 e todos os passos da dedu¸c˜ao acima podem ser revertidos. Desenvolvendo: y2 + py + p2 p2 = x2 + y2 − py + . t + k = a(s + h)2 + b(s + h) + c = as2 + (2ah + b)s + (ah2 + bh + c). o ponto P = (x. uma par´ abola. Elevando ambos os membros ao quadrado: (y + p/2)2 = x2 + (y − p/2)2. ou seja. y) satisfazem esta equa¸c˜ao. introduziremos novas coordendas s. formado pelos pontos P = (x. na verdade. y) pertence ` a par´ abola ent˜ao y ≥ 0. Como o eixo vertical ´e eixo de simetria. A distˆ ancia de P a ` diretriz d ´ e igual a y + p/2. y) pertence ` a par´ abola ent˜ao P ′ = (−x. y) ∈ R2 tais que y = ax2 + bx + c. y = t + k. Em termos das novas coordenadas. y) = (s + h. 4 4 Simplificando: 2py = x2 logo y = x2/2p. onde h e k ser˜ao escolhidos convenientemente. em termos das novas coordenadas o ponto (s. Par´ abolas ocorrem freq¨ uentemente como gr´ aficos de fun¸c˜oes quadr´aticas. y) tamb´em pertence. e somente se. da par´ abola em P. t). Dados um ponto F.∆) = e. Em termos das coordenadas originais x. 11). 7. Conclua que essa tangente ´e a bissetriz do ˆ angulo FPP 5. onde F ´e o foco e P0 ´e a proje¸c˜ FPP ao ortogonal de P sobre a diretriz. uma reta ∆ que n˜ ao cont´em F e um n´ umero positivo e. ent˜ ao X ´e uma par´ abola.F) X o conjunto dos pontos P do plano tais que d(P. Exerc´ıcios 1. c) Se e = 1. seja d(P. Mostre que a reta y = 7x − 3 ´e tangente ` a par´ abola y = x2 + 3x + 1 no ponto (2. Seja P = (m. am2 ) um ponto da par´ abola y = ax2 . seja P0 sua proje¸c˜ ao ortogonal sobre a diretriz. 3) sobre a curva.1 O gr´ afico da fun¸c˜ao f(x) = x2 −8x+15 ´e a par´ abola cujo foco ´e o ponto (4. o foco da par´ abola 2 y = ax + bx + c ´e o ponto b 4ac − b2 + 1 − . 2. 8). 1/4a) e cuja diretriz ´e a reta horizontal t = −1/4a (nas coordenadas s. cujo foco ´e o ponto (0. Prove: a) Se 0 < e < 1 ent˜ ao X ´e uma elipse. 2a 4a e a diretriz ´e a reta horizontal y = 4ac − b2 − 1 . Determine o foco. Prove que a u ´nica reta n˜ ao-vertical (portanto n˜ ao-paralela ao eixo da par´ abola) que tem apenas o ponto P em comum com essa curva ´e y = am2 + 2am(x − m). o v´ertice e a equa¸c˜ ao da diretriz da par´ abola y = −2x2 + 3x − 1. y. 3. 4. Prove que a tangente ` a par´ abola y = ax2 num ponto P ´e a bissetriz do ˆ angulo ^ 0 . Dado o ponto P = (1.118 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Isto mostra que G ´e uma par´ abola. 6. Determine α e β de modo que a reta y = αx + β seja tangente ` a par´ abola y = x2 − 2x + 5 no ponto (−1. Diz-se que uma reta ´e tangente a uma par´ abola quando tem um u ´nico ponto em comum com ela e n˜ ao ´e paralela ao eixo. 4a Exemplo 18. −3/4) e cuja diretriz ´e a reta horizontal y = −5/4. . b) Se e > 1 ent˜ ao X ´e uma hip´erbole. Determine o foco F e a equa¸c˜ ao da diretriz da par´ abola y = 3x2 . Mostre que a base FP0 do triˆ angulo is´ osceles PFP0 ´e perpendicular ` a tangente ^ 0. chamando de F o foco e P0 o p´e da perpendicular baixada de P sobre a diretriz. obtenha um m´etodo gr´ afico para tra¸car a tangente por P. Com a nota¸c˜ ao e o resultado do exerc´ıcio anterior. Conclua que a tangente por P ´e a bissetriz do ˆ angulo ^ P0 PF. Uma par´ abola de eixo vertical passa pelos pontos A = (−2. 26). a) Qual ´e a equa¸c˜ ao dessa par´ abola? b) Como ficaria a resposta do item a) se a ordenada de C fosse −2 em vez de 26? . Mostre que P e P ′ s˜ ao equidistantes do eixo 0X. 10. B = (3. 4) e C = (5. A partir da´ı. 19).Exerc´ıcios 119 8. mostre que o quadril´ atero PP0 P ′ F ´e um losango. Sejam P um ponto da par´ abola y = ax2 e P ′ o ponto em que a tangente a essa par´ abola pelo ponto P corta o eixo 0Y. 9. e1i = xhe1. e1i e y = hOP. Seja agora O ′ X ′ Y ′ outro sistema de eixos ortogonais no plano. y) de P no sistema original OXY. Tomamos o produto interno de ambos os membros desta igualdade. e1i = he2.19 Mudan¸ca de Coordenadas Em algumas situa¸c˜oes ´e conveniente passar de um sistema de eixos ortogonais OXY para outro sistema O ′ X ′ Y ′ no plano. Chamemos de f1 e f2 respectivamente os vetores unit´ arios de O ′ X ′ e O ′ Y ′ . ´e necess´ario ter f´ormulas que exprimam as coordenadas (x ′ . e2i. 0) e e2 = (0. Portanto as coordenadas de um ponto P num sistema de eixos orto−→ gonais OXY s˜ ao os produtos internos do vetor OP pelos vetores unit´ arios dos eixos: −→ −→ x = hOP. Dizer que (x. e1i = x e −→ hOP. e2i = y. e1i + yhe2. y) s˜ ao as coordenadas do ponto P no sistema OXY equivale a afirmar que −→ OP= xe1 + ye2. Come¸caremos exprimindo as coordenadas de um ponto em termos do produto interno de vetores. 1) os vetores unit´ arios dos eixos OX e OY respectivamente. Nesses casos. obtemos −→ hOP. sejam e1 = (1. e observando que he1. Sejam . primeiro por e1 e depois por e2. e2i = 1. e2i = 0. y ′ ) de um ponto P no novo sistema O ′ X ′ Y ′ em fun¸c˜ao das coordenadas (x. he1. Dado o sistema de eixos ortogonais OXY. ou tˆem a mesma orienta¸ca ˜o. Quanto a y ′ . Pela nossa defini¸c˜ao. . h´a 2 possibilidades. Portanto f1 = cos θ · e1 + sen θ · e2. No segundo caso. obt´em-se O ′ X ′ Y ′ a partir de OXY por meio da transla¸c˜ao que leva O em O ′ . x ′ = (x − a) cos θ + (y − b) sen θ. o sistema O ′ X ′ Y ′ se obt´em de OXY pela transla¸c˜ao que leva O em O ′ (e desloca OX e OY paralelamente). Logo −→ −→ −→ O ′ P=OP − OO ′ = (x − a)e1 + (y − b)e2. Diz-se ent˜ao que os sistemas O ′ X ′ Y ′ e OXY s˜ ao igualmente orientados. θ ´e o ˆangulo do vetor unit´ ario e1 para o vetor f1. Como e1⊥e2 e f1⊥f2. Segue-se que −→ x ′ = hO ′ P. ou seja.Mudan¸ca de Coordenadas 121 Se¸c˜ ao 19 ainda (a. −→ Temos tamb´em OO ′ = ae1 + be2. b) as coordenadas do ponto O ′ no sistema OXY e θ o ˆangulo de que ´e preciso girar o eixo OX (no sentido positivo. No primeiro caso. seguida de uma rota¸c˜ao de ˆ angulo θ. f1i = h(x − a)e1 + (y − b)e2. seguida da rota¸c˜ao de ˆangulo θ e. depois. o ˆangulo de e2 para f2 pode ser θ ou pode ser 180◦ + θ. que vai de OX para OY) para coincidir com O ′ X ′ . isto ´e. cos θ · e1 + sen θ · e2i. Ent˜ao θ ´e o ˆangulo de e1 para f1. as de f2 s˜ ao (− sen θ. Portanto: f2 = − sen θ · e1 + cos θ · e2. sen θ). Voltemos ` a nossa mudan¸ca de coordenadas. . Como as coordenadas de f1 no sistema OXY s˜ ao (cos θ. Ent˜ao os sistemas OXY e O ′ X ′ Y ′ tˆem orienta¸co ˜es opostas. Se O ′ X ′ Y ′ tem a mesma orienta¸c˜ao que OXY ent˜ao o vetor f2 ´e obtido de f1 por uma rota¸c˜ao de 90◦ no sentido positivo.122 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear de uma reflex˜ao em torno do eixo O ′ X ′ . cos θ). (a. como acima.Mudan¸ca de Coordenadas 123 Se¸c˜ ao 19 Da´ı segue-se. Portanto. as f´ormulas de mudan¸ca de coordenadas s˜ ao: x ′ = (x − a) cos θ + (y − b) sen θ (19. Nessas f´ormulas. .1) ′ y = −(x − a) sen θ + (y − b) cos θ ou x ′ = (x − a) cos θ + (y − b) sen θ (19. f2i = h(x − a)e1 + (y − b)e2. entretanto. − sen θ · e1 + cos θ · e2i = −(x − a) sen θ + (y − b) cos θ Se. que −→ y ′ = hO ′ P.2) ′ y = (x − a) sen θ − (y − b) cos θ. o sistema O ′ X ′ Y ′ tem orienta¸c˜ao oposta `a de OXY. ent˜ao f2 = sen θ · e1 − cos θ · e2 e da´ı y ′ = (x − a) sen θ − (y − b) cos θ. b) s˜ ao as coordenadas ′ da nova origem O em rela¸c˜ao a OXY e θ ´e o ˆangulo da rota¸c˜ao positiva (relativamente a OXY) que leva o eixo OX no eixo O ′ X ′ . conforme o novo sistema O ′ X ′ Y ′ seja igualmente orientado em rela¸c˜ao ao sistema OXY anterior ou n˜ao. somando e usando outra vez que sen 2 θ + cos2 θ = 1. Por exemplo. obtemos: x ′ · sen θ = (x − a) sen θ · cos θ + (y − b) sen 2 θ y ′ · cos θ = −(x − a) sen θ · cos θ + (y − b) cos2 θ e. para se obter (x.1) por cos θ. Procedendo de forma an´ aloga. obtemos x = x ′ cos θ − y ′ sen θ + a.1) por sen θ. por adi¸c˜ao: x ′ · sen θ + y ′ · cos θ = y − b. a segunda por cos θ. invertemos o sistema (19. y ′ ). a segunda por − sen θ.124 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear As equa¸c˜oes acima podem ser invertidas. Multiplicando agora a primeira equa¸c˜ao (19. multiplicando a primeira equa¸c˜ao em (19.3) . somando as duas equa¸c˜oes resultantes e observando que cos2 θ + sen 2 θ = 1. y) em fun¸c˜ao de (x ′ . donde y = x ′ · sen θ + y ′ · cos θ + b.2) e chegamos finalmente com as equa¸c˜oes: x = x ′ · cos θ − y ′ · sen θ + a ′ ′ y = x · sen θ + y · cos θ + b (19. (19. Estes n´ umeros s˜ ao as coordenadas de O ′ no sistema OXY. x′ 2 2 2 2 √ ou seja ′ ′ x2 y2 ′ ′ + − x ′ y ′ + 2x 2 + 4x ′ y ′ + 2y 2 = 4 2 2 e finalmente ′ ′ 5x 2 5y 2 + + 3x ′ y ′ = 4 2 2 . y) do ponto P no sistema OXY em fun¸c˜ao das coordendas (x ′ . e (19.3). Exemplo 19. Esta equa¸c˜ao pode ser escrita na forma x2/4 + y2/1 = 1 e portanto representa uma elipse.4) de outro s˜ ao uma mudan¸ca de sinal na segunda equa¸ca˜o de (19. as novas coordenadas x ′ e y ′ de um ponto do plano se obtˆem das antigas coordenadas x e y por meio das express˜oes √ √ ′ ◦ ′ ◦ ′ 2 ′ 2 x = x cos 45 − y sen 45 = x −y 2 2 √ √ 2 ′ 2 y = x sen 45 + y cos 45 = x +y 2 2 Substituindo estas express˜oes na equa¸c˜ao original.Mudan¸ca de Coordenadas 125 Se¸c˜ ao 19 x = x ′ · cos θ + y ′ · sen θ + a ′ (19. (19. A primeira delas se aplica quando os dois sistemas s˜ ao igualmente orientados e a segunda quando OXY e O ′ X ′ Y ′ tˆem orienta¸c˜ao opostas (al´em de transla¸c˜ao e rota¸c˜ao. de um lado.4) ′ y = x · sen θ − y · cos θ + b Estas f´ormulas permitem obter de volta as coordenadas (x.2). As diferen¸cas entre as f´ormulas (19. Vejamos o que ocorre com esta equa¸c˜ao ao se efetuar uma mudan¸ca de eixos que consiste em uma rota¸c˜ao de 45◦ . obtemos: ′ ◦ ′ ◦ ′ √ !2 √ !2 √ 2 2 2 2 − y′ + y′ + 4 x′ = 4. os pap´eis destas constantes nos dois grupos de equa¸c˜oes se inverteriam.3) e as posi¸c˜oes de a e b. y ′ ) do mesmo ponto no sistema O ′ X ′ Y ′ . ´e preciso uma reflex˜ao para passar de um para o outro).1 Consideremos a curva de equa¸c˜ao x2 + 4y2 = 4.1). Como vimos acima. Se tiv´essemos tomado a e b como as coordenadas de O no sistema O ′ X ′ Y ′ . pois a fun¸c˜ao ϕ ´e constante ao longo de toda reta perpendicular a OA. no novo sistema as coordenadas s˜ ao OA= (a. Observamos que. 0). temos sempre ϕ(P) = hOA. a reta x = y. Exemplo 19. y) tais que x2 − xy + y2 = 1. Mediante uma rota¸c˜ao de eixos. que α2 + β2 6= 0.126 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Observe que a equa¸c˜ao se torna mais complexa do que antes. y ′ tais que √ √ 2 ′ 2 ′ ′ x= (x − y ) e y = (x + y ′ ). o conjunto E passa a ser representado pela equa¸c˜ao 1 ′ 2 3 ′ 2 (x ) + (y ) = 1. No novo p sistema OX ′ Y ′ . no sistema de coordenadas original. Exemplo 19. dificultando seu reconhecimento. Supomos que ϕ n˜ao ´e identicamente nula. com as novas coordenadas. Ora. Vejamos em exemplo ilustrando esse m´etodo. procuramos introduzir novas coordenadas x ′ . Uma rota¸c˜ao positiva de 45◦ sobre o sistema de eixos OXY introduz novas coordenadas x ′ . isto ´e. y ′ tais que ϕ seja fun¸c˜ao de x ′ apenas. y) = αx + βy. A maior aplica¸c˜ao de mudan¸ca de eixos em Geometria Anal´ıtica consiste justamente em procurar tornar mais simples a equa¸c˜ao de uma curva. β). OPi seja qual for o sis−→ tema adotado. 0) e . 2 2 Estas substitui¸c˜oes nos d˜ao imediatamente 3 1 x2 − xy + y2 = (x ′ )2 + (y ′ )2. Como o produto interno de dois vetores n˜ao depende do sistema −→ −→ de coordenadas. permitindo reconhˆe-la com mais facilidade. as coordenadas do ponto A s˜ ao A = (a. A rota¸c˜ao desejada ´e aquela que leva o eixo OX sobre o eixo OX ′ que cont´em o ponto A = (α. 2 2 Portanto. 2 2 Isto mostra que E ´e uma elipse cujo eixo maior ´e OX ′ . OPi. y).3 Seja ϕ : R2 → R a fun¸c˜ao linear dada por ϕ(x. onde a = α2 + β2 ´e o comprimento do segmento OA. N˜ ao ´e mais evidente que a equa¸c˜ao acima represente uma elipse. ou seja. temos ϕ(P) = αx + βy = hOA.2 Seja E o conjunto dos pontos P = (x. −→ −→ dado o ponto P = (x. y) no sistema OXY e P = (x ′ . β) no sistema OXY e (α ′ . b) s˜ ao as coordenadas de O ′ no sistema OXY. y ′ ). β ′ ) no sistema O ′ X ′ Y ′ ent˜ao. se (a. se o sistema O ′ X ′ Y ′ se obt´em de OXY apenas por transla¸c˜ao (θ = 0) ent˜ao α ′ = α e β ′ = β. enquanto as coordenadas dos pontos (1. as coordenadas do vetor v s˜ ao as mesmas nos dois sistemas. Quais s˜ ao as novas coordenadas do ponto (2. d) respectivamente. Exerc´ıcios 1. enquanto que α ′ = α cos θ + β sen θ β ′ = α sen θ − β cos θ no caso em que OXY e O ′ X ′ Y ′ tˆem orienta¸c˜oes opostas. y ′ ) no sistema 0 ′ X ′ Y ′ . Elipses. portanto ϕ(P) = hOA. ou seja. 0) e (0. chamando de θ o ˆangulo de OX para O ′ X ′ . nas se¸c˜oes seguintes. b) e (c. tem-se α ′ = α cos θ + β sen θ β ′ = −α sen θ + β cos θ se os sistemas OXY e OX ′ Y ′ s˜ ao igualmente orientados. o que nos d´a imediatamente as equa¸c˜oes acima. Ent˜ao. que uma escolha adequada de eixos ortogonais deixa claro que a curva definida por uma equa¸c˜ao do segundo grau em duas vari´aveis ´e (salvo em casos excepcionais) um elipse.Exerc´ıcios 127 −→ −→ −→ OP= (x ′ . −→ Com efeito. Se o vetor v tem coordenadas (α. 1) passaram a ser (a. seja v =O ′ P. onde P = (x. α ′ = x ′ e β ′ = y ′ . Em particular.1 As f´ormulas de mudan¸ca de coordenadas para vetores do plano assumem um aspecto ligeiramente diferente daquelas relativas a coordenadas de pontos. Observa¸ c˜ ao 19. ou simplesmente cˆ onicas porque podem ser obtidas como interse¸c˜ao de um cone circular com um plano. como quer´ıamos. O principal uso que faremos da mudan¸ca de coordenadas ser´a para mostrarmos. 3)? . uma hip´erbole ou uma par´ abola. OPi = a · x ′ + 0 · y ′ = ax ′ . hip´erboles e par´ abolas s˜ ao denominadas se¸co ˜es cˆ onicas. Uma mudan¸ca de eixos no plano manteve a origem fixa. a partir das f´ormulas de mudan¸ca de coordenadas obtidas anteriormente para pontos do plano. temos α = x − a. β = y − b. Efetue a mudan¸ca de coordenadas (rota¸c˜ ao de eixos) dada por x = as − bt. Como fica. Determine a transla¸c˜ ao de eixos que elimina os termos em x e y na equa¸c˜ ao 9x2 + 4y2 + 18x + 24y = 26 e permite assim reconhecer a curva que ela representa.128 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 2. y = x ′ sin θ + y ′ cos θ para a mudan¸ca de coordenadas por uma rota¸c˜ ao de ˆ angulo θ.2. b ′ ) |u|·|v|·cos AOC. 6. vi = −→ −→ b onde u =OA e v =OC . onde a = cos θ e b = sen θ. Quais s˜ ao as coordenadas do ponto (6.) 3. se f ´e o vetor unit´ ario de um eixo. Mostre diretamente que se A = (a ′ . d). Num sistema de coordenadas em que se tem F ′ = . 2) e cuja diretriz ´e a reta x + 2y = −5? 9. Se A = (a. Qual ´e a equa¸c˜ ao da par´ abola cujo foco ´e o ponto F = (1. a equa¸c˜ ao da circunferˆencia (x − m)2 + (y − n)2 = r2 ? . e C = (c ′ . fif. obtenha uma nova dedu¸c˜ ao das equa¸c˜ oes x = x ′ cos θ − y ′ sin θ. 3) pertencem aos semi-eixos positivos O ′ X ′ e O ′ Y ′ respectivamente. Com uma figura an´ aloga ` a Figura 17. nas novas coordenadas s. sabemos que a express˜ ao ac + bd permanece invariante por mudan¸ca de coordenadas pois ´e o produto interno hu. 5. 1) ´e a nova origem e os pontos (5. ◦ 4. d ′ ) num novo sistema de coordenadas. 10. Uma mudan¸ca de coordenadas passou do sistema OXY para O ′ X ′ Y ′ . y = bs + at. b) e C = (c. √ −3 3 3 7. Efetue uma rota¸c˜ ao de −60 √ nos eixos OX e OY e com isso consiga identificar 2 2 a curva 31x + 21y + 10 3xy = 144. t. achar a equa¸c˜ ao da mesma. ent˜ ao a ′ c ′ + b ′ d ′ = ac + bd. a proje¸c˜ ao do vetor v sobre esse eixo ´e hv.− e F = 2 2 √ 3 3 3 . O ponto (3. determine a equa¸c˜ ao da elipse que tem esses pontos como focos 2 2 e cujo eixo menor mede 6. Dados os dois focos de uma hip´erbole e a distˆ ancia entre os v´ertices. 6) no sistema O ′ X ′ Y ′ ? (Lembre que. 2) e (2. 8. onde O = (0. Dada a forma quadr´atica ϕ. 0) e A = (a. bs + at) = A ′ s2 + 2B ′ st + C ′ t2. Esses polinˆ omios. s˜ ao chamados de formas quadr´ aticas. Estudaremos em seguida as linhas de n´ıvel das fun¸co ˜es 2 quadr´ aticas de duas vari´aveis. y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2. . das fun¸c˜oes ϕ : R → R. (Com a2 + b2 = 1. Temos assim ϕ : R2 → R definida por ϕ(x.) Da´ı resultar´ a que ϕ(x. se introduzirmos. y) = ax + by (isto ´e. Portanto ϕ ´e um polinˆ omio do segundo grau. homogˆeneo (todos os seus termos tˆem grau 2). ou seja. linhas definidas por equa¸c˜oes do tipo ax + by = c) s˜ ao as retas perpendiculares a OA. Eles surgem em problemas relevantes de Geometria Diferencial. b). Mecˆanica.20 Formas Quadr´ aticas Vimos na Se¸c˜ao 7 que as linhas de n´ıvel de uma fun¸cao linear de duas vari´aveis ϕ(x. dadas por ϕ(x. mediante uma rota¸c˜ao dos eixos. novas coordenadas (s. etc. t) teremos x = as − bt. An´ alise Matem´ atica. y = bs + at. y) = ϕ(as − bt. onde θ ´e o ˆangulo do antigo eixo OX com o novo eixo OX ′ . y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F. Come¸caremos analisando o caso particular em que se tem D = E = F = 0. que ser˜ao o objeto desta se¸c˜ao. pois a = cos θ e b = sen θ. B ′ = −Aab + B(a2 − b2) + Cab. o vetor unit´ ario u = (a. C ′ = Ab2 − 2Bab + Ca2. b) ´e uma solu¸c˜ao (n˜ao-trivial) do sistema homogˆeneo . ou ainda: (A − λ)a + Bb = 0 e Ba + (C − λ)b = 0. o ˆ angulo de rota¸c˜ao θ de modo a ter B ′ = 0. b). b). Vemos ent˜ao que B ′ = 0 se. Quando isso for feito. existe λ tal que Aa + Bb = λa e Ba + Cb = λb. Mostraremos que ´e poss´ıvel escolher o vetor unit´ ario u = (a. Assim. Come¸camos reescrevendo a express˜ao de B ′ como B ′ = a(Ba + Cb) − b(Aa + Bb). isto ´e. ou seja. tem-se B ′ = 0 se somente se. nas novas coordenadas s. e somente se. o vetor w = (Aa+Bb. o que nos permitir´a identific´a-las facilmente. Ba+ Cb) ´e m´ ultiplo de u = (a. t as linhas de n´ıvel da fun¸c˜ao ϕ ser˜ao descritas por equa¸c˜oes do tipo A ′ s2 + C ′ t2 = c.130 onde ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear A ′ = Aa2 + 2Bab + Cb2. Isto nos leva ` a equa¸c˜ao λ2 − (A + C)λ + AC − B2 = 0. Ent˜ao λ deve ser tal que o determinante (A − λ)(C − λ) − B2 desse sistema seja igual a zero. chamada a matriz de ϕ. (A − λ)x + By = 0 (∗) Bx + (C − λ)y = 0. ou da matriz B C O discriminante da equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e ∆ = (A + C)2 − 4(AC − B2) = (A − C)2 + 4B2 ≥ 0. conhecida como ˜o caracter´ıstica da forma a equa¸ca A B . logo ela sempre possui ra´ızes reais. . de importˆ ancia capital. para algum λ convenientemente escolhido. quadr´atica ϕ. ou de sua matriz . Vemos agora como proceder para encontrar a rota¸c˜ao do sistema de eixos (ou seja. afirmar que λ1 e λ2 s˜ ao os u ´nicos valores de λ para os quais o sistema linear homogˆeneo (∗) admite solu¸c˜oes n˜ao-triviais. Portanto A(−b) + Ba = −Ab + λ1b − Cb = (A + C − λ1)(−b) = λ2(−b). para λ = λ1 ou λ = λ2 (e somente para estes valores de λ). Temos ainda Ba+Cb = λ1b. para todo n´ umero real k. o vetor unit´ ario u = (a. y) de uma das equa¸c˜oes do sistema s˜ ao tamb´em solu¸c˜oes da outra. b) ´e um vetor unit´ ario. agora associado ao autovalor λ2. que se tem Aa + Bb = λ1a e Ba+ A B Cb = λ1b. . tamb´em ´e um autovetor de ϕ. a). ou seja. ´e indeterminado. Com efeito. Segundo: Tomamos uma solu¸c˜ao n˜ao-trivial da equa¸c˜ao Ax + By = λ1x. x = 1 e y = (λ − A)/B. ky) ´e tamb´em solu¸c˜ao de (∗). logo (−b. obtido de u por uma rota¸c˜ao de +90◦ . portanto. B(−b) + Ca = λ2a. que cumpre ainda Aa + Bb = λ1a. γ2 da equa¸c˜ao caracter´ıstica s˜ os autovaao chamadas A B lores da forma quadr´atica ϕ. x 2 + y2 Ent˜ao u = (a. a) tamb´em ´e solu¸c˜ao da segunda equa¸c˜ao. com λ = λ1. sabemos que λ1 + λ2 = A + C (soma das ra´ızes de uma equa¸c˜ao do segundo grau). Observamos que o vetor u∗ = (−b. logo Ba = λ1b − Cb. B C associado ao autovalor λ1. as solu¸c˜oes (x. (Por exemplo. Primeiro: Resolvemos a equa¸c˜ao caracter´ıstica. pois o sistema (∗). Mas λ = λ2 tamb´em torna o sistema (∗) indeterminado.Se¸c˜ ao 20 Formas Quadr´ aticas 131 As ra´ızes γ1. isto ´e. Para significar que o vetor u = (a. b) ´e uma solu¸c˜ao n˜ao-trivial do sistema (∗) com λ = λ1. b) que torna B ′ = 0). pomos a = p e b = x 2 + y2 y p . y). Isto equivale a dizer que.) x Terceiro: Obtida a solu¸c˜ao (x. logo λ2 = A+C−λ1. ´e indeterminado. B C Dizer que λ1 e λ2 s˜ ao autovalores de ϕ significa. y) ´e uma solu¸c˜ao do sistema (∗) ent˜ao. logo vale tamb´em Ba + Cb = λ1b. o par (kx. ou seja. diz-se que u ´e um autovetor de ϕ (ou da matriz ). Seja λ1 uma de suas ra´ızes. Notemos ainda que se (x. 132 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear As duas igualdades A(−b) + Ba = λ2(−b) e B(−b) + Ca = λ2a significam que u∗ = (−b. b). introduzidas ap´ os a rota¸c˜ao de eixos determinada pelo vetor u = (a. n˜ao ´e preciso calcular A ′ e C ′ . nas novas coordenadas s. se c = 0 ent˜ao a origem ´e o u ´nico ponto do plano que cumpre a condi¸c˜ao λ1s2 + λ2t2 = c. Portanto. Para todo c 6= 0. definida pela equa¸c˜ao ϕ(x. definidas por equa¸c˜oes do tipo ϕ(x. bs + at) = λ1s2 + λ2t2. Realmente: A ′ = Aa2 + 2Bab + Cb2 = Aa2 + Bab + Bab + Cb2 = (Aa + Bb)a + (Ba + Cb)b = λ1a2 + λ1b2 = λ1 e C ′ = Ab2 − 2Bab + Ca2 = Ab2 − Bab − Bab + Ca2 = [A(−b) + Ba](−b) + [B(−b) + Ca]a = λ2 · (−b)2 + λ2a2 = λ2. Ent˜ao λ1 e λ2 tˆem sinais opostos. Tem-se automaticamente A ′ = λ1 e C ′ = λ2. ou λ1s2 + λ2t2 = c. t. a forma quadratica ϕ assume o aspecto ϕ(s. y) = c. ou λ1s2 + λ2t2 = c. Dado c 6= 0. a) ´e um autovetor de ϕ. Finalmente. Isto nos permite identificar as linhas de n´ıvel. a linha de n´ıvel c. Caso c tenha sinal oposto ao sinal comum de λ1 e λ2 ent˜ao a linha de n´ıvel λ1s2 + λ2t2 = c ´e vazia. associado ao autovalor λ2. t) = ϕ(as − bt. Ent˜ao λ1 e λ2 tˆem o mesmo sinal. Caso 2: AC − B2 < 0. um bˆonus: uma vez encontrados os valores λ1 e λ2. Portanto essas linhas de n´ıvel s˜ ao elipses. com m = e n = 1 m2 n2 sinal que λ1 e λ2. B e C da forma quadr´atica ϕ. Ent˜ao h´a 3 possibilidades. com m = c/λ1 e n = −c/λ2. caso o sinal de c m n . Agora. at´e mesmo por mera inspe¸c˜ao dos coeficientes A. escreve-se equivalentemente p p s2 t2 como 2 − 2 = 1. pode ser equivalentemente representada pela equa¸c˜ao p p s2 t2 c/λ c/λ2 caso c tenha o mesmo + = 1. que enumeramos a seguir. Caso 1: AC − B2 > 0. a equa¸c˜ao ϕ(x. y) = c. O ponto de partida ´e a observa¸c˜ao de que AC − B2 = λ1λ2 (produto das ra´ızes de uma equa¸c˜ao do segundo grau). y) = c. a linha de n´ıvel ϕ(x. ou seja. y) = 5x2+6xy+5y2. Uma rota¸c˜ao dos eixos introduz coordenadas s. N˜ ao pode ser tamb´em λ1 = 0 pois isto daria A+ C = 2 λ1 + λ2 = 0. cujas ra´ızes s˜ ao λ1 = 2 e λ2 = 8. Ent˜ao λ1 · λ2 = 0. C ≥ 0 e B < 0 vale ϕ(x.1 O caso AC − B2 = 0 pode ser tratado √ √ diretamente: Suponhamos A ≥ 0. A forma ϕ desapareceria. logo ´e vazia pse c e λ1 tˆem sinais opostos e ´e formada pelas retas paralelas s = ± c/λ1 quando c e λ1 tˆem o mesmo sinal. logo A = C = O e B = AC = 0. Se c = 0. Analogamente. Logo esta equa¸c˜ao define o par de retas t = ±k·s. y) = m2x2 + 2mnxy + n2y2 = (mx + my)2. s2 = c/λ1. y) = c ´e formada √ √ pelo par de retas paralelas mx + ny = c e mx + ny = − c quando c > 0 e pela reta mx + ny = 0 se c = 0. y) = c ´e representada.1 Seja ϕ(x. 2 2 n m 2 quando AC − B < 0 as linhas de n´ıvel c 6= 0 da forma quadr´atica ϕ s˜ ao 2 2 hip´erboles. Mas. Em qualquer hip´ otese. tem a u ´nica solu¸c˜ao s = t = 0 quando c = 0 e. Ora. y) = −(mx + ny)2. Se c e λ1 tˆem sinais opostos (logo c e λ2 tˆem o mesmo sinal) ent˜ao ϕ(x. y) = (mx − ny)2. a linha ϕ(x. digamos λ2. Assim. y) = −(mx − ny)2 enquanto A < 0. C < 0 e B < 0 leva a ϕ(x. B ≥ 0 e C ≥ 0. y) = c ´e a reta s = 0 (eixo t). logo um dos autovalores. k = λ2 p −λ1/λ2. y) = c equivale a p p s2 t2 − = 1 com m = −c/λ1 e n = c/λ2. A equa¸c˜ao caracter´ıstica desta forma quadr´atica ´e λ2 − 10λ + 16 = 0. de modo que √ a equa¸c˜ao ϕ(x. t tais que 5x2 + 6xy + 5y2 = 2s2 + 8t2. Exemplo 20. nas coordenadas s. teremos ϕ(x. para c > 0.Formas Quadr´ aticas 133 Se¸c˜ ao 20 seja o mesmo que o de λ1 (e contr´ario ao de λ2). y) = c significa mx + ny = ± c se c ≥ 0 e define o conjunto vazio se c < 0. A e C n˜ao tˆem sinais opostos. Caso 3: AC − B2 = 0. A < 0. Isto posto. sua equa¸c˜ao ´e λ1s + λ2t = 0 λ1 2 2 donde t = − s . a equa¸c˜ao 2s2 + 8t2 = c n˜ao tem solu¸c˜ao quando c < 0. pondo m = A e n = C. Ent˜ao. Se for A ≥ 0. C < 0 e B ≥ 0 d´a ϕ(x. equivale a s2 t2 + = 1. t pela equa¸c˜ao λ1s2 = c. Quanto ` a linha de n´ıvel zero. ´e zero. cada linha de n´ıvel ϕ(x. α2 β2 . como √ AC = B ≥ 0. Observa¸ c˜ ao 20. 0) se c = 0 e ´e uma elipse para todo valor positivo de c. logo representa uma elipse neste u ´ltimo caso. y) que s˜ ao solu¸c˜oes n˜ao-triviais da equa¸c˜ao Ax+By = λ1x. cujas ra´ızes s˜ ao λ1 = 4 e λ2 = −2. Em termos destas novas coordenadas. O eixo maior dessa elipse ´e o eixo s. a rota¸c˜ao de OX para OX ′ seria de −45◦ . y) = x2 + 6xy + y2. t tais que x2 + 6xy + y2 = 4s2 − 2t2. ´e a reta que passa pela origem e cont´em todos os pontos P = (x. y) = c se . − 2/2) para orientar o eixo OX ′ . Ele determina a orienta¸c˜ao do eixo OX ′ que ´e o eixo s. os focos da elipse tˆem coordenadas s = ± 3c Sendo α2 − β2 = 8 8 no sistema OX ′ Y ′ . t.134 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear p p com α = c/2 e β = c/8. Uma rota¸c˜ao dos eixos introduz no plano coordenadas s. 2/2). equivalentemente. Como o ˆangulo de OX para OX ′ ´e de 135◦ . Um vetor unit´ √ a reta x + y = 0 ´e u = (− 2/2. ario sobre √ x + y = 0. √ √ Observa¸ c˜ ao 20. que neste caso se escreve 5x + 3y = 2x ou. ou seja. reduz-se ao ponto 0 = (0. Portanto a linha de n´ıvel definida por 5x2 + 6xy + 5y2 = c ´e vazia se c < 0. esta ´e a rota¸c˜ao que se deve s. y paraq p 3c . A equa¸c˜ao caracter´ıstica desta forma quadr´atica ´e λ2 − 2λ − 8 = 0.2 Seja ϕ(x. r fazer para passar das coordenadas x. Exemplo 20. a linha de n´ıvel ϕ(x.2 Se tiv´essemos tomado u ′ = −u = ( 2/2. Se quisermos as equa¸c˜oes dessas retas em termos das coordenadas. Por sua vez. t nas quais a forma assume o aspecto (A + B)s2 + (A − B)t2. ou um par de retas passando pela origem quando c = 0. Qual foi o ˆ angulo de rota¸c˜ao? O novo eixo s cont´em o ponto x = a. √ √ obtendo 2 2 (x + 3y) − 8y = 0 e da´ı x + (3 + 2 2)y = 0 ou x + (3 − 2 2)y = 0. Autovalores: λ1 = A + B. com α = α2 β2 s2 t2 − = 1. basta completar o quadrado na equa¸ c˜ao x2 + 6xy + y2 = 0. a equa¸c˜ao x2 +6xy+y2 = 0 define um par de retas que passam pela origem (“linha” de n´ıvel zero da fun¸c˜ao ϕ(x. Assim. c/4 c/2 logo representa a hip´erbole se c > 0 ou a hip´erbole p p s2 t2 c/4 e β = c/2 − = 1. quando A = C. onde Aa + Bb = (A + B)a. √c˜ao s˜ √ os pontos (s. As solu¸c˜oes desta equa¸ ao. o que equivale a t2 s2 − = 1. Podemos supor B 6= 0. (Noutros termos: A = C. β2 α2 p p com α = −c/4 e β = −c/2 quando c < 0. Mostraremos agora como as no¸c˜oes de autovalor e autovetor fornecem uma resposta ao problema de achar os pontos da circunferˆencia unit´ aria . Portanto. t) situados sobre uma das retas 2s + 2t = 0 ou 2s − 2t = 0. Exemplo 20. y) = Ax2 + 2Bxy + Ay2. que s˜ ao as equa¸c˜oes das retas procuradas. a equa¸c˜ao 4s2 − 2t2 = 0 equivale a √ √ (2s + t 2)(2s − t 2) = 0. 135◦ e −135◦ tamb´em eliminam B. logo Bb = Ba. Podemos ent˜ao concluir que a equa¸c˜ao x2 + 6xy + y2 = c define uma hip´erbole quando c 6= 0. Evidentemente. Ent˜ao a = b. as rota¸c˜oes de −45◦ . λ2 = A − B. para todo c 6= 0. Uma rota¸c˜ao dos eixos traz novas coordenadas s.Formas Quadr´ aticas 135 Se¸c˜ ao 20 escreve 4s2 − 2t2 = c. portanto. Logo. y)). y = b. a equa¸c˜ao x2 + 6xy + y2 = c representa uma hip´erbole (linha de n´ıvel c da fun¸c˜ao ϕ).) A equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e λ2 −2Aλ+A2 −B2 = 0.3 Seja ϕ(x. o ˆangulo de rota¸c˜ao que elimina B ´e o ˆ angulo de 45◦ . t 6= 0 ⇒ λ1s2 + λ2t2 < λ1s2 + λ1t2 = λ1 logo o valor m´ aximo λ1 s´ o pode ser atingido por ϕ(s. y) 6= ±u ent˜ ao ϕ(x. o que quer dizer A = C e B = 0. y) ´e constante quando x2 + y2 = 1. b). t) = λ1s2 + λ2t2. onde u = (a. y) ´e constante quando x2 + y2 = 1 e todo vetor unit´ ario ´e autovetor de ϕ. . Logo E x2 + y2 = 1 ⇒ ϕ(x. Demonstra¸ c˜ ao: (1) Autovalores iguais significam que o discriminante ∆ da equa¸c˜ao caracter´ıstica λ2 − (A + C)λ + AC − B2 = 0 ´e zero. −b). logo ϕ(x. Nas novas coordenadas. Se (x. qualquer que seja o vetor n˜ao-nulo u = (a. y) < λ1. (2) Se λ1 > λ2 ent˜ ao o maior valor de ϕ(x. vemos que ϕ(a. b) ´e autovetor unit´ ario correspondente ao autovalor λ1. Teorema 20. b) = ϕ(−a. y) com x2 + y2 = 1 ´e λ1 = ϕ(a. b) ´e um autovetor unit´ ario correspondente ao autovalor λ1. Como ϕ(a. Al´em disso. 0) = λ1. y) com x2 + y2 = 1. Al´em disso.136 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear x2 + y2 = 1 onde a forma quadr´atica Ax2 + 2Bxy + Cy2 assume seu valor m´ aximo. y) = ϕ(s. t. s. Sejam λ1 ≥ λ2 os autovalores da forma quadr´ atica ϕ(x. b) = ϕ(1. temos ϕ(x. b) = λ1 ´e o maior valor de ϕ(x. y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2. Ora. bs + at) = ϕ(s. t) = λ1s2 + λ2t2 ≤ λ1s2 + λ1t2 = λ1. Ent˜ ao: (1) Se λ1 = λ2 ent˜ ao ϕ(x. ϕ(x. y) = A · (x2 + y2). correspondente ao autovalor A. y) = ϕ(as − bt. b) = ±u. Portanto u ´e autovetor. y = bs + at. t) com s2 + t2 = 1 quando t = 0.1. y) = ±(a. ∆ = (A + C)2 − 4(AC − B2) = (A − C)2 + 4B2 = 0. o que corresponde a (x. ´ claro que x2 + y2 = 1 ⇔ s2 + t2 = 1. consideramos o sistema ortogonal em que u ´e o vetor unit´ ario de um dos eixos. tem-se Aa + Bb = A · a (pois B = 0) e Ba + Cb = A · b (pois A = C). (2) Se λ1 > λ2 e u = (a. ou seja quando s = ±1. Assim. onde x = as − bt. 3 De modo inteiramente an´ alogo se mostra que o 2 2 menor valor de ϕ(x. onde v = (−b. y) quando x2 + y2 = 1 ´e ϕ(1. chamam-se cˆ onicas centrais porque possuem um centro de simetria. Al´em disso. y) = x2 + xy + y2 b) ϕ(x. 1) s˜ ao autovetores de ϕ. que podem ser obtidas como curvas de n´ıvel de uma forma quadr´atica. y) = Ax2 + Cy2. c) Descreva suas linhas de n´ıvel. y) quando x + y = 1 ´e λ2 = ϕ(−b. portanto. do teorema acima que se o maior valor de ϕ(x. As formas quadr´ aticas s˜ ao: a) ϕ(x. e) Determine os novos eixos em cujas coordenadas a forma quadr´ atica se exprime como A ′ s2 + C ′ t2 . t desse sistema.Exerc´ıcios 137 Observa¸ c˜ ao 20. y) = x2 + 2xy − 3y2 f) ϕ(x. 0) ent˜ao ϕ(x. em termos das coordenadas s. 0) e (0. f) Ache os focos da cˆ onica A ′ s2 + C ′ t2 = 1 em termos das coordenadas x. Exerc´ıcios 1. Resulta. . neste caso (1. b) Obtenha seus autovalores. Para cada uma das formas quadr´ aticas abaixo.4 Vimos no in´ıcio desta se¸c˜ao que se os vetores unit´ arios de um sistema de eixos s˜ ao autovalores da forma quadr´atica ϕ ent˜ao. ϕ(x. y) = xy c) ϕ(x. y) = x2 + xy − y2 e) ϕ(x.) Elipses e hip´erboles. Observa¸ c˜ ao 20. a). a) ´e o autovetor unit´ ario (ortogonal a u) correspondente ao autovalor λ2. y) 6= ±v. y) > λ2 se (x. (Pois. y) = x2 − 6xy + 9y2 d) ϕ(x. Veremos na pr´oxima se¸c˜ao que as par´ abolas (que n˜ao possuem centro de simetria) s˜ ao representadas por equa¸c˜oes do segundo grau nas quais necessariamente o coeficiente de x ou o coeficiente de y ´e diferente de zero. a forma se exprime como λ1s2 + λ2t2. d) Ache autovetores unit´ arios ortogonais u e u∗ . execute as seguintes tarefas: a) Escreva sua matriz e sua equa¸c˜ ao caracter´ıstica. y) = x2 + 24xy − 6y2 . y. . Descreva precisamente a linha de n´ıvel zero da fun¸c˜ ao ϕ : R2 −→ R. a forma quadr´ atica Ax2 + 2Bxy + Cy2 passa a expressar-se como A ′ s2 +2B ′ st+C ′ t2 . y) = x − y − x − y. dada por 3 3 ϕ(x. 3.138 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 2. y = bs + at. Mostre que A ′ +C ′ = A+C e A ′ C ′ −(B ′ )2 = AC−B2 e conclua que a equa¸c˜ ao caracter´ıstica ´e invariante por rota¸c˜ ao dos eixos. Mediante a mudan¸ca de coordenadas x = as − bt. obtida por uma rota¸c˜ ao de eixos. y) = c ou ϕ(s. t + k) = As2 + 2Bst + Ct2 + D ′ s + E ′ t + F ′ . pode-se ter o conjunto vazio.21 A Equa¸c˜ ao Geral do Segundo Grau A forma geral de uma fun¸c˜ao quadr´atica de duas vari´aveis ´e ϕ(x. em geral. ap´ os a qual os termos Dx e Ey desapare¸cam. Mostraremos agora que. x = s + h. onde: D ′ = 2Ah + 2Bk + D. os coeficientes A. o coeficiente F ′ ´e de menor importˆ ancia pois afeta apenas o n´ıvel mas n˜ao o aspecto geral das linhas ϕ(x. hip´erbole ou par´ abola. y = t + k. y) = 0 ´e uma elipse. Excepcionalmente. a elipse pode reduzirse a um ponto ou ao conjunto vazio. em vez da par´ abola. vistas em conjunto. a hip´erbole pode degenerar-se num par de retas concorrentes e. uma reta ou um par de retas paralelas. Procuremos uma transla¸c˜ao de eixos. F ′ = Ah2 + 2Bhk + Ck2 + Dh + Ek + F Como se vˆe. Por outro lado. a linha de n´ıvel ϕ(x. E ′ = 2Bh + 2Ck + E. Com estas substitui¸c˜oes. a fun¸c˜ao ϕ assume o aspecto abaixo: ϕ(s. y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F. . t) = c ′ . B e C s˜ ao invariantes por transla¸c˜ao. t) = ϕ(s + h. buscamos solu¸c˜ao pra o sistema de equa¸c˜oes .140 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Queremos obter valores para h e k de modo que tenhamos D ′ =E ′ =0. Noutras palavras. Ah + Bk = −D/2 (∗) Bh + Ck = −E/2. Se AC−B2 6= 0, este sistema possui solu¸c˜ao u ´nica (h, k). A transla¸c˜ao de eixos x = s+h, y = t+k introduz novas coordenadas (s, t), em termos das quais a fun¸c˜ao quadr´atica ϕ assume o aspecto ϕ(s, t) = As2 + 2Bst + Ct2 + F ′ Reca´ımos assim no caso da Se¸c˜ao 20. A equa¸c˜ao geral do segundo grau ϕ(x, y) = 0 equivale a ϕ(s, t) = −F ′ , onde ϕ ´e a forma quadr´atica cujos coeficientes s˜ ao os trˆes primeiros coeficientes de ϕ. Vejamos um exemplo. Exemplo 21.1 Que curva plana ´e definida pela equa¸c˜ao 5x2 + 6xy + 5y2 + 2x − 4y + 1 = 0? Para responder a esta pergunta, devemos achar h, k tais que a transla¸c˜ao de eixos x = s + h, y = t + k fa¸ca desaparecer os termos do primeiro grau em s e t na express˜ao de 5(s + h)2 + 6(s + h)(t + k) + 5(t + k)2 + 2(s + h) − 4(t + k) + 1. Em fun¸c˜ao das coordenadas s, t a equa¸c˜ao dada se descreve como 5s2 + 6st + 5t2 + (10h + 6k + 2)s + (6h + 10k − 4)t + F ′ = 0, onde F ′ = 5h2 + 6hk + 5k2 + 2h − 4k + 1. O sistema que nos dar´ a os valores de h e k ´e: 5h + 3k = −1 3h + 5k = 2, cuja solu¸c˜ao ´e h = −11/16, k = 13/16. Com estes valores, obtemos F ′ = −21/16. Assim, em termos das coordenadas s, t, a curva plana que desejamos identificar tem a equa¸c˜ao 5s2 + 6st + 5t2 = 21/16. Conforme vimos no Exemplo 20.1, uma rota¸c˜ao de +1350 introduz novas coordenadas p, q, nas quais a equa¸c˜ao acima se escreve como 2p2 + 8q2 = 21/16, Se¸c˜ ao 21 A Equa¸c˜ ao Geral do Segundo Grau 141 portanto a curva definida pela equa¸c˜ao 5x2 + 6xy + 5y2 + 2x − 4y + 1 = 0 ´e uma elipse. Voltemos ` a an´ alise do caso geral. Se AC − B2 = 0 ent˜ao o sistema Ah + Bk = −D/2 (∗) Bh + Ck = −E/2 pode ser indeterminado ou imposs´ıvel, conforme a segunda equa¸c˜ao seja ou n˜ao um m´ ultiplo da primeira. (Com um pouco mais de detalhe: AC − B2 = 0 significa que existe m tal que B = mA e C = mB. Se o mesmo m satisfizer ainda E = mD, o sistema possui infinitas solu¸c˜oes. Se, por´em, mD 6= E ent˜ao o sistema n˜ao possui solu¸c˜ao alguma.) Quando o sistema (*) ´e indeterminado, usando uma qualquer de suas solu¸c˜oes (h, k), a transla¸c˜ao de eixos x = s + k, y = t + k torna D ′ = E ′ = 0 de modo que, nas coordenadas s, t, a fun¸c˜ao quadr´atica ϕ assume a forma ϕ(s, t) = As2 + 2Bst + Ct2 + F ′ Como AC − B2 = 0 a equa¸c˜ao caracter´ıstica da forma quadr´atica + 2Bst + Ct2 ´e λ2 − (A + C)λ = 0, com uma raiz λ1 = A + C 6= 0 e λ2 = 0. Uma rota¸c˜ao de eixos conveniente introduz coordenadas p, q que d˜ao a ϕ o aspecto As2 ϕ(x, y) = ϕ(s, t) = ϕ(p, q) = (A + C)p2 + F ′′ , de modo que a linha de n´ıvel zero de ϕ (e, consequentemente, de ϕ) ´e o conjunto vazio ou um par de retas paralelas se F ′′ 6= 0, e uma s´ o reta, ′′ se F = 0. Exemplo 21.2 Que curva plana ´e representada pela equa¸c˜ao 4x2 + 12xy + 9y2 + 4x + 6y + 1 = 0? Tentando achar h, k de modo que a transla¸c˜ao de eixos x = s + h, y = t + k elimine os termos 4x e 6y, chegamos ao sistema 4h + 6k = −2 6h + 9k = −3, o qual ´e indeterminado. Uma de suas solu¸c˜oes ´e h = 1, k = −1. As substitui¸c˜oes x = s + 1, y = t − 1 transformam nossa equa¸c˜ao em 4s2 + 12st + 9t2 = 0, ou seja, (2s + 3t)2 = 0, logo 2s + 3t = 0, t = (−2/3)s. 142 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear A equa¸c˜ao dada define uma u ´nica reta. Se a equa¸c˜ao dada fosse 4x2 + 12xy+9y2+4x+6y−1 = 0, ela se exprimiria, em termos das coordenadas s, t, como 4s2+12st+9t2 = 2, logo √ o conjunto por ela definido seria o par de retas paralelas 2s + 3t = ± 2. Finalmente, a equa¸c˜ao 4x2 + 12xy + 9y2 + 4x + 6y + 2 = 0 define o conjunto vazio. Uma forma r´apida de ver isto ´e observar que se pode reescrevˆe-la como (2x+3y)2 +2(2x+3y)+2 = 0, ou seja, (2x + 3y + 1)2 + 1 = 0. Completando a discuss˜ ao geral, examinemos o caso em que se tem ainda AC − B2 = 0 mas agora o sistema (*) ´e imposs´ıvel. Neste caso, n˜ao h´a como encontrar h e k de modo a ter D ′ = E ′ = 0. Podemos, entretanto, achar h e k tais que E ′ = 0 e teremos, ap´ os a transla¸c˜ao de eixos x = s + h, y = t + k, ϕ(x, y) = ϕ(s, t) = As2 + 2Bst + Ct2 + D ′ s + F ′ , com D ′ 6= 0. A equa¸c˜ao caracter´ıstica da forma quadr´atica As2 + 2Bst + Ct2 ´e λ2 − (A + C)λ = 0, cujas ra´ızes s˜ ao λ1 = A + C 6= 0 e λ2 = 0. Uma rota¸c˜ao conveniente de eixos introduz novas coordenadas p, q com s = ap − bq, t = bp + aq (com a2 + b2 = 1) que nos d˜ao: ϕ(x, y) = ϕ(s, t) = ϕ(p, q) = (A + C)p2 + D ′ a · p − D ′ b · q + F ′ Ent˜ao a equa¸c˜ao inicial ϕ(x, y) = 0 equivale a (A + C)p2 + D ′ a · p + D ′ b · q + F ′ = 0. Podemos assegurar que a 6= 0 e b 6= 0 pois, do contr´ario, ter´ıamos feito uma rota¸c˜ao de 90◦ ou 180◦ , o que significa apenas permutar s com t ou mudar as orienta¸c˜oes nos eixos. Assim, na u ´ltima equa¸c˜ao, tem-se ′ D · b 6= 0, logo ela pode ser escrita sob a forma q = αp2 + βp + γ e define, portanto, uma par´ abola. Exemplo 21.3 Que curva ´e representada pela equa¸c˜ao 4x2 + 12xy + 9y2 + 8x + 6y + 1 = 0? As substitui¸c˜oes x = s − 2, y = t + 1 d˜ao a esta equa¸c˜ao a forma 4s2 +12st+9t2 +4s−8 = 0. (Seguimos o conselho dado acima e eliminamos o coeficiente de t.) Usando o m´etodo da Se¸c˜ao√20, efetuamos √ a rota¸c˜ao de eixos s = ap − bq, t = bp + aq, com a = 2/ 13 e b = 3/ 13 para eliminar o coeficiente de st. Ent˜ao a equa¸c˜ao assume o aspecto 8 12 13p2 + √ p − √ q − 8 = 0, 13 13 Se¸c˜ ao 21 A Equa¸c˜ ao Geral do Segundo Grau 143 ou seja, 13 √ 2 2√ 13p2 + p − 13, 12 3 3 logo a equa¸c˜ao dada define uma par´ abola. q= Exemplo 21.4 Seja ϕ(x, y) = x2 + 2y2 + 3x + 4y + 4. Determinemos h e k de modo que a transla¸c˜ao x = s + h, y = t + k elimine os termos 3x e 4y. Temos AC − B2 = 2, logo ϕ(x, y) = 0 define uma elipse, um ponto ou ∅. Vejamos qual ´e o caso e, se for elipse, quais s˜ ao seus eixos. Temos ϕ(s + h, t + k) = s2 + 2hs + h2 + 2t2 + 4kt +2k2 + 3s + 3h + 4t + 4k + 4 = s2 + 2t2 + (2h + 3)s + (4k + 4)t +h2 + 2k2 + 3h + 4k + 4. A fim de termos 2h + 3 = 0 e 4k + 4 = 0, devemos tomar h = −3/2 e k = −1: ϕ(x, y) = ϕ(s − 3/2, t − 1) 9 9 = s2 + 2t2 + + 2 − − 4 + 4 4 2 1 = s2 + 2t2 − . 4 2 2 Portanto, a equa¸c˜ao x + 2y + 3x + 4y + 4 = 0 se exprime, nas novas coordenadas, como s2 + 2t2 = 1/4, ou seja, s2 t2 √ = 1, + (1/2)2 (1/ 8)2 √ logo representa uma elipse com eixos 1/2 e 1/ 8, paralelos aos eixos OX e OY. Exemplo 21.5 Consideremos uma equa¸c˜ao com AC − B2 = 0: 2x2 + 12xy + 18y2 + x + y + 1 = 0. 2 2 ao 20 e 0. Um Os autovalores da forma quadr´ √ atica√2x + 12xy + 18y s˜ autovetor unit´ ario: u = (3/ 10, −1 10). A mudan¸ca de coordenadas x = √3 s 10 + √1 t 10 y = −1 √ s 10 + √3 t, 10 144 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear correspondente ` a rota¸c˜ao em torno de O que leva o vetor e1 = (1, 0) sobre u, faz com que a equa¸c˜ao dada se exprima, nas novas coordenadas, sob a forma √ √ (20 10)t2 + 2s + 4t + 10 = 0, logo define a par´ abola √ √ s = −10 10t2 − 2t − 10 2. Para encerrar esta se¸c˜ao, observaremos como o reconhecimento da equa¸c˜ao da circunferˆencia, feito de modo direto na Se¸ca˜o 12, se enquadra no contexo da discuss˜ ao mais geral que acabamos de fazer. Uma circunferˆencia ´e uma elipse com eixos iguais. Portanto, se a equa¸c˜ao do segundo grau Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 representa uma circunferˆencia, a equa¸c˜ao caracter´ıstica γ2 − (A + C)γ + AC − B2 = 0 tem ra´ızes iguais. Como o discriminante desta equa¸c˜ao ´e (A + C)2 − 4(AC − B2) = (A − C)2 + B2, isto acontece se, e somente se, A = C e B = 0. Portanto a equa¸c˜ao da circunferˆencia deve ter a forma Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0. Completando os quadrados, vimos na Se¸c˜ao 13 que esta equa¸c˜ao se reescreve como x+ D 2A 2 E 2 D2 + E2 − 4AF + y+ = . 2A 4A2 Logo, a equa¸c˜ao geral do segundo grau representa uma circunferˆencia se, e somente se, A = C(6= 0), B = 0 e D2 + E2 > 4AF. Exerc´ıcios 145 Exerc´ıcios 1. Para cada uma das equa¸c˜ oes abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudan¸ca de coordenadas que permitiu essa conclus˜ ao. a) 36x2 + 24xy + 29y2 − 120x + 10y − 55 = 0 b) 17x2 − 312xy + 108y2 − 590x − 120y + 688 = 0 c) 9x2 − 24xy + 16y2 + 10x − 55y + 171 = 0 d) 6x2 − 5xy + y2 − 17x + 7y + 8 = 0 e) x2 − xy + y2 − 7x + 5y + 14 = 0 f) 3x2 + 6xy + 3y2 − 9x − 6y + 6 = 0 2. Mostre que B2 − AC = 0 se, e somente se, 2 B Ax2 + 2Bxy + Cy2 = A x + y . A O processo de completar o quadrado consiste na observa¸c˜ao ´obvia de . se tudo o que queremos saber ´e o sinal de ϕ. como no estudo dos pontos cr´ıticos de uma fun¸c˜ao de diversas vari´aveis. No caso de duas vari´aveis. usando o recurso elementar de completar o quadrado. Al´em disso. h´a interesse em saber se uma determinada forma quadr´atica ϕ assume valores positivos e negativos. que nos concerne aqui. ou n˜ao muda de sinal. Ele pode ser aplicado a formas com um n´ umero qualquer n de vari´aveis mas sua utiliza¸c˜ao pr´atica depende do c´alculo das ra´ızes de uma equa¸c˜ao de grau n. mesmo com duas vari´aveis apenas. pois ϕ(x. a quest˜ ao pode ser resolvida de forma mais simples. O m´etodo da Se¸c˜ao 20 nos fornece muitas outras informa¸co˜es al´em do sinal de ϕ. y) = As2 + Ct2 muda de sinal quando AC < 0 e n˜ao muda quando AC ≥ 0. esta pergunta pode ser respondida com o que aprendemos na Se¸c˜ao 20.22 O Sinal de uma Forma Quadr´ atica Em algumas aplica¸c˜oes. Portanto. supondo A 6= 0: ϕ(x. diante da hip´ otese B2 − AC < 0. y) > 0 para qualquer (x. com c > 0.O Sinal de uma Forma Quadr´ atica 147 Se¸c˜ ao 22 que a2 + 2ab = (a + b)2 − b2. A e C tˆem o mesmo sinal. y) 6= (0. a forma quadr´atica ϕ ´e positiva ou negativa conforme se tenha A > 0 ou A < 0.) Quando a forma quadr´atica ϕ ´e positiva. ϕ ´e n˜ ao-negativa se A > 0 e n˜ ao-positiva se A < 0. isto ´e. A onde s = x + By/A e ∆ = B2 − AC. (Note que. y) < 0 para todos esses pares. ϕ n˜ao muda de sinal.) Quando ∆ > 0. define uma elipse. 0) ou ϕ(x. y) = c. ´e uma elipse. B2 = AC logo A e C n˜ao podem ter sinais opostos. neste caso. Estes fatos se resumem dizendo-se que: Quando ∆ < 0. . Com efeito. Tamb´em neste caso. quando ∆ = 0. (Equivalentemente: C > 0 ou C < 0. 3) Se ∆ = 0. Finalmente. y) diferente de (0. y) > 0 para todo par (x. com c > 0. 0). y) = A ′ s2 + B ′ t2. quando ∆ < 0 a forma quadr´atica ϕ n˜ao muda de sinal e tem o mesmo sinal de A. ϕ se anula em todos os pontos da reta s = 0 mas nos demais pontos tem o sinal de A. quando ϕ(x. conforme seja A > 0 ou < 0. Portanto. (Note que. Como ϕ ´e positiva.) 2) Se ∆ > 0 ent˜ao ϕ assume valores positivos e valores negativos: se s = 0 ent˜ao o sinal de ϕ ´e oposto ao de A e se y = 0 ϕ tem o sinal de A. uma rota¸c˜ao adequada introduz (vide Se¸c˜ao 20) novos eixos ortogonais e novas coordenadas s. y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 B 2 = A x + 2x · y + Cy2 A " # 2 B B2 2 = A x + y − 2 y + Cy2 A A = As2 − ∆ 2 y . tem-se A ′ > 0 e B ′ > 0 logo a equa¸c˜ao A ′ s2 + B ′ t2 = c. toda linha de n´ıvel ϕ(x. a forma quadr´atica ϕ ´e indefinida (assume valores negativos e valores positivos). Da´ı conclu´ımos: 1) Se ∆ < 0 ent˜ao tem-se ϕ(x. t tais que ϕ(x. y) = −x2 + xy − y2. ao pormos s = x + By/A e c ′ = −∆/A. ent˜ao quando tomamos os eixos ortogonais (assegurados pela Se¸c˜ao 20) com os quais se tem ϕ(x. y) = c ´e uma hip´erbole. y) = As2 + c ′ y2 mas as coordenadas s. Se ϕ ´e n˜ao-negativa. deve ficar claro que seu uso n˜ao fornece imediatamente as informa¸c˜oes contidas na Se¸c˜ao 20. ϕ2(x. y n˜ao s˜ ao relativas a um sistema de eixos ortogonais. com c < 0. Portanto. a linha de n´ıvel ϕ(x. ϕ3(x. Vale o resultado an´ alogo para ϕ n˜ao-positiva. isto ´e. A raz˜ao para isso ´e que. Exemplo 22. a linha de n´ıvel ϕ(x. tem-se ϕ(x. y) = 2x2 + 6xy + (9/2)y2. ϕ1(x. 2 4 2 Logo ϕ1 ´e positiva. y) = x + y − y2. y) ∈ R2 mas existem pares (x. temos ϕ(x. y) = − x − + y . y) = As2 com A > 0 ou ϕ(x.148 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Analogamente se vˆe que se ϕ ´e negativa ent˜ao as linhas de n´ıvel ϕ(x. para todopc > 0 a “linha” p de n´ıvel ϕ(x. y) = x + 2 4 2 4 2 y 2 3 2 3 ϕ3(x. 0) tais que ϕ(x. y) = 0 reduz-se a um ponto (a origem) quando ϕ ´e positiva ou negativa. y) = c com c > 0). y) = x2 + xy + y2. se ϕ ´e n˜ao-positiva. como a dire¸c˜ao e o comprimento dos eixos das elipses ou hip´erboles definidas pela forma quadr´atica ϕ. Ainda o mesmo argumento mostra que quando ϕ ´e indefinida (isto ´e. y) = Bt2 com B > 0. y) = As2 + Bt2. ϕ2(x. As considera¸c˜oes acima significam que o m´etodo de completar o quadrado ´e bastante r´ apido e eficaz para determinar a natureza das linhas de n´ıvel de uma forma quadr´atica. y) = x2 + 3xy + 2y2. podemos escrever: 3 2 1 y 2 3 2 + y .1 Sejam as formas quadr´aticas ϕ1(x. y) = 0. y) = c. Se ϕ ´e n˜ao-negativa mas n˜ao ´e positiva. y) = c ´e o par de retas paralelas s = ± c/A ou t = ± c/B. ϕ4(x. y) ≥ 0 para todo (x. se ϕ(x. um dos n´ umeros A. assume valores positivos e valores negativos) ent˜ao. A linha de n´ıvel ϕ(x. a um par de retas que se cortam na origem se ϕ ´e indefinida e a uma u ´nica reta quando ϕ ´e n˜ao-negativa mas n˜ao ´e positiva (ou ϕ ´e n˜ao-positiva mas n˜ao ´e negativa. ϕ2 ´e indefinida. ϕ4(x. Entretanto. Completando os quadrados. tamb´em s˜ ao elipses. . B deve ser positivo e o outro igual a zero. y) 6= (0. ϕ3 ´e negativa e ϕ4 ´e n˜ao-negativa. Noutras palavras. tamb´em ´e vazia a linha de n´ıvel ϕ(x. para todo c 6= 0. y) = c com c < 0 ´e vazia e. y) = 2 x + y . c) −x2 − 3xy − 2y2 .) 3. e) 3x2 + 12xy + 12y2 . Se uma forma quadr´ atica ´e positiva (respect. b) 2x2 − 3xy + y2 . Mostre ent˜ ao que as conclus˜ oes a que chegamos sobre o sinal de ϕ podem ser obtidas estudando o sinal do trinˆ omio Az2 + 2Bz + C. a forma quadr´ atica ϕ(x. 2.) . y) = y2 [Aw2 + 2Bw + C]. Supondo x 6= 0 e pondo z = y/x. mostre que os coeficientes de x2 e de y2 s˜ ao positivos (respect. (Observe que se x = 0 e y 6= 0. √ d) 2x2 + 4 3xy + 6y2 . y) = Ax2 + 2Bxy + 2 2 2 Cy pode ser escrita como ϕ(x. Completando os quadrados. negativa). com w = yx . Esta afirma¸c˜ ao continuaria verdadeira se substitu´ıssemos a palavra “positiva” por “n˜ ao-negativa”? (Mesma pergunta para “negativa”.Exerc´ıcios 149 Exerc´ıcios 1. podemos escrever ϕ(x. y) = x [Az + 2Bz + C]. negativos). classifique as formas quadr´ aticas abaixo segundo os sinais que assumem: a) 3x2 − 2xy + y2 . y) o vetor . y). y) = sen xy e g(x. As coordenadas de Tv s˜ ao n´ umeros que dependem das coordenadas x. Entretanto. Exemplo 23. y + b) para todo v = (x. y) = (f(x. como nos pr´oximos exemplos. teremos a transforma¸c˜ao T : R2 → R2. g(x. portanto Tv = T (x. no que se segue. y)). Assim. definida por Tw(x. chamado a imagem (ou o transformado) de v por T .23 Transforma¸c˜ oes Lineares Uma transforma¸c˜ao linear leva vetores em vetores. x2y + ex). por exemplo. fixaremos um sistema de coordenadas no plano. Assim.1 Dado o vetor w = (a. y) = x2y + ex. a rota¸c˜ao R = Rθ : R2 → R2 faz corresponder a cada v = (x. estudaremos transforma¸c˜oes para as quais as fun¸c˜oes-coordenada ser˜ao bem mais simples. Exemplo 23. g : R → R como f(x. a transla¸c˜ao Tw : R2 → R2. chamadas as fun¸co ˜es-coordenada de T . Exemplo 23.3 (Rota¸ c˜ ao em torno da origem. g : R2 → R. y) ∈ R2 um vetor Tv = T (x. Por simplicidade. dada por T (x. Transforma¸c˜ao ´e sinˆonimo de fun¸c˜ao. y de v.2 As fun¸c˜oes-coordenada de uma transforma¸c˜ao podem ser tomadas arbitrariamente. com valores num´ericos. y) = (sen xy. se escolhermos 2 f. ´e uma transforma¸c˜ao de R2. com valores em R2. Uma transforma¸c˜ao T : R2 → 2 R faz corresponder a cada vetor v = (x. y) = (x + a. Assim. y) ∈ R2. y) ∈ R2. os vetores ficar˜ao determinados por suas coordenadas e as transforma¸c˜oes lineares ser˜ao definidas em R2.) Fixado um ˆangulo θ. dar uma transforma¸c˜ao T : R2 → R2 ´e o mesmo que dar duas fun¸c˜oes f. b). que se referem a mudan¸ca de coordenadas. A fim de obter as equa¸c˜oes que exprimem x e y em termos de x e y (isto ´e. com x = x cos θ − y sen θ y = x sen θ + y cos θ. a rota¸c˜ao de 900 no sentido positivo leva o vetor v = (x. a diferen¸ca. Observa¸ c˜ ao 23. y) no vetor Rv = (x. y = |v| cos α · sen θ + |v| sen α · cos θ = x sen θ + y cos θ. ao mesmo tempo. confirmando o que j´a v´ıramos antes. as fun¸c˜oes-coordenada de R). y). Portanto. Por sua vez. y). observamos que se α ´e o ˆangulo do eixo x com v ent˜ao x = |v| cos α. y = |v| sen (α + β). temos x = |v| cos(α + θ). Fazendo uso das conhecidas f´ormulas cos(α + θ) = cos α · cos θ − sen α · sen θ e sen (α + θ) = cos α · sen θ + sen α · cos θ. x).Se¸c˜ ao 23 Transforma¸c˜ oes Lineares 151 Rv = (x. portanto Rv = (−y. estamos mantendo fixos os . y) no vetor Rv = (x. y) com x = x cos 900 − y sen 900 = −y e y = x sen 900 + y cos 900 = x. tal que o ˆangulo de v para Rv ´e θ. Em particular. y = |v| sen α. obtemos x = |v| cos α · cos θ − |v| sen α · sen θ = x cos θ − y sen θ. Aqui. entre as equa¸c˜oes acima e aquelas da Se¸c˜ao 19. de mesmo comprimento que v. o ˆangulo do eixo x com Rv ´e θ + α. a rota¸c˜ao R de ˆangulo θ em torno da origem leva o vetor v = (x. Como o comprimento de Rv tamb´em ´e |v|.1 Deve-se notar a analogia e. y). L´ a. as equa¸c˜oes exprimiam as novas coordenadas de um mesmo vetor em fun¸c˜ao das antigas. Lembrando que y = ax. na verdade.4 (Proje¸ c˜ ao ortogonal sobre uma reta que cont´ em 2 a origem. 2 1+a 1 + a2 a a2 y= x + y. Exemplo 23. Isto pode ser feito algebricamente. aqui elas exprimem as coordenadas do vetor Rv em termos das coordenadas de v. que associa a cada v = (x. enquanto l´ a os vetores ficavam fixos e os eixos se moviam. Desenvolvendo e simplificando. cuja extremidade ´e o p´e da perpendicular baixada de v sobre a reta r. Como cos(−θ) = cos θ e sen (−θ) = − sen θ. y) o vetor Pv = (x. v e Pv nos d´a: x2 + y2 = x2 + a2x2 + (x − x)2 + (y − ax)2. tamb´em chamada a simetria de eixo r. Para obter as coordenadas de Pv em fun¸c˜ao das coordenadas de v. observamos que o Teorema de Pit´ agoras aplicado ao triˆ angulo retˆ angulo de v´ertices O. a fim de exprimir x e y em termos de x e y. 1 + a2 1 + a2 x= Exemplo 23. A interpreta¸c˜ao anterior dessas equa¸c˜oes pode ser chamada de ali´ as (outro nome) e esta agora de alibi (outro lugar). resulta que x = x cos θ + y sen θ y = −x sen θ + y cos θ.5 (Reflex˜ ao em torno de uma reta r que cont´ em a origem.152 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear eixos e girando os vetores.) Seja r a reta em R dada pela equa¸c˜ao y = ax. obtemos (1 + a2)x = x + ay. temos y = ax. y) seu . ´e a correspondˆencia S = Sr : R2 → R2. Ent˜ao. A proje¸c˜ao ortogonal sobre r ´e a transforma¸c˜ao P : R2 → R2 que faz corresponder a todo v = (x.) Esta transforma¸c˜ao. Conv´em ainda observar que as equa¸c˜oes acima podem ser invertidas. como na Se¸c˜ao 19. podemos escrever: 1 a x+ y. ou simplesmente notando que v se obt´em de Rv por uma rota¸c˜ao de ˆangulo −θ. Isto significa que a reta r. 1 + a2 1 + a2 x= . y) em termos das coordenadas de v = (x.Se¸c˜ ao 23 Transforma¸c˜ oes Lineares 153 sim´etrico Sv = (x. y) s˜ 1 − a2 2a x+ y 2 1+a 1 + a2 2a a2 − 1 y= x + y. ´e a mediatriz do segmento de reta que liga v a Sv. Assim Pv = 21 (v + Sv) e da´ı Sv = 2Pv−v. y) em rela¸c˜ao a r. dada pela equa¸c˜ao y = ax. o ponto m´edio desse segmento de reta ´e a proje¸c˜ao Pv estudada no exemplo anterior. Segue-se imediatamente que as equa¸c˜oes que d˜ao as coordenadas ao de Sv = (x. Noutras palavras. y) tais que Pv = w. y) tal que Pv = w. y) = (x. y) e O(x. d tais que T (x. Basta observar que se Sv = (x. 0) = (0. (*) . 0) para qualquer (x. c. 0) e e2 = (0. d) desta matriz s˜ ao os transformados por T dos vetores e1 = (1. y) com y 6= ax n˜ao existe v = (x. y) ´e o sim´etrico de v = (x. cx + dy) para qualquer vetor v = (x. b. que formam a chamada base canˆ onica {e1. Resolvendo-o. Noutras palavras. ou seja. Se T : R2 → R2 ´e uma transforma¸c˜ao linear ent˜ao. por outro lado. vista no Exemplo 4. Mas n˜ao ´e necess´ario fazer c´alculos para chegar a esta conclus˜ao. 0). y. Ou seja: S(Sv) = v. v ∈ R2 e α ∈ R tem-se T (u + v) = Tu + Tv e T (α · v) = α · Tv.) E. definidas por I(x. y) = (ax + by. Os exemplos mais ´ obvios de transforma¸c˜oes lineares s˜ ao a transforma¸ca ˜o identidade I : R2 → R2 e a transforma¸ca ˜o nula 0 : R2 → R2. se w = (x. Isto n˜ao seria poss´ıvel: por um lado. veremos que as express˜oes alg´ebricas que fornecem x e y em fun¸c˜ao de x e y s˜ ao exatamente as mesmas que d˜ao x e y em termos de x e y. se w = (x. y) = (0. exceto no caso trivial em que w = (a. sendo dados x e y. Uma transforma¸c˜ao T : R2 → R2 chama-se linear quando se tˆem n´ umeros a. y) ∈ R2. O quadro a b c d chama-se a matriz da transforma¸c˜ao linear T . b) ´e o vetor zero. ax) existem infinitos vetores v = (x. d). a transla¸c˜ao Tw : v → v + w n˜ao ´e linear. c) e Te2 = (b. (A saber. y) ∈ R2.154 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Podemos considerar estas duas igualdades como um sistema de equac¸˜oes com inc´ognitas x. 1). Note que n˜ao tentamos inverter as equa¸c˜oes da proje¸c˜ao P. Diz-se ent˜ao que a rota¸c˜ao R e a reflex˜ao S s˜ ao transforma¸c˜oes invert´ıveis mas P n˜ao ´e. tem-se Te1 = (a. Note que se T : R2 → R2 ´e linear ent˜ao T (0. dados arbitrariamente u. todos os que tˆem extremidade sobre a reta perpendicular a r passando por w. a proje¸c˜ao P e a reflex˜ao S s˜ ao transforma¸c˜oes lineares mas. No exemplo acima. a rota¸c˜ao R. c) e (b. o vetor nulo ´e transformado em si mesmo. e2} ⊂ R2. Os vetores-coluna (a. y) em rela¸c˜ao ao eixo r ent˜ao v tamb´em ´e o sim´etrico de Sv. α(cx + dy)) = α · (ax + by. d). diz-se que m ´e uma matriz de posto 2. Esta igualdade. isto significa que ad − bc = 0 (e m n˜ao ´e nula). y ′ ) c d ent˜ao u + v = (x + x ′ . como quer´ıamos provar. T (α · v) = (a · αx + b · αy.Se¸c˜ ao 23 Transforma¸c˜ oes Lineares 155 a b Com efeito. dado qualquer v = (x. cx + dy) = α · Tv. cx) + (by. tamb´em significa que os vetores-linha de m s˜ ao colineares. quando ad − bc 6= 0. c · αx + d · αy) = (α(ax + by). logo. sejam Te1 = (a. a b Mostraremos agora como as propriedades da matriz m = c d refletem propriedades da transforma¸c˜ao linear T : R2 → R2. y) ∈ R2. y + y ′ ) e α · v = (αx. c) + y · (b. m = . y) = (ax + by. temos v = x · e1 + y · e2. αy).) . c) e Te2 = (b. logo T (u + v) = (a(x + x ′ ) + b(y + y ′ ). seja a matriz de T . Com efeito. d) = (ax. cx + dy) + (ax ′ + by ′ . Tv = T (x · e1 + y · e2) = T (x · e1) + T (y · e2) = x · Te1 + y · Te2 = x · (a. ou seja. cx + dy). cx + dy). evidentemente. (Ent˜ao os vetoreslinha de m tamb´em s˜ ao n˜ao-colineares. se T : R2 → R2 ´e uma transforma¸c˜ao que satisfaz as condi¸c˜oes (*) ent˜ao T ´e linear. cx + cx ′ + dy + dy ′ ) = (ax + by. ou seja. tal que T (x. Quando os vetores-coluna de m s˜ ao n˜ao-colineares. 0 0 O posto da matriz m diz-se igual a 1 quando m n˜ao ´e nula e seus vetores-coluna s˜ ao colineares. em virtude de (*). um deles ´e m´ ultiplo do outro. Ent˜ao. Reciprocamente. y) e v = (x ′ . Como sabemos. c(x + x ′ ) + d(y + y ′ )) = (ax + ax ′ + by + by ′ . Diz-se que m tem posto zero quando ela ´e a matriz nula. dy) = (ax + by. a matriz 0 0 isto ´e. Se u = (x. cx ′ + dy ′ ) = Tu + Tv. 156 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 1 2 1 2 Exemplo 23. se a matriz m tem posto 2 ent˜ao as imagens Tv dos vetores v ∈ R2 preenchem todo o plano R2. y) ∈ R2 tal que Tv = w. Logo. isto ´e.4 ´e uma transforma¸c˜ao linear de posto 1 pois os transformados Pv de todos os vetores v ∈ R2 est˜ao sobre uma mesma reta. c) = (ta. d = kc para um certo k ∈ R. Com efeito.7 A proje¸c˜ao ortogonal P do Exemplo 23. Ent˜ao b = ka. Com efeito. temos Tv = (ax + by. e somente uma solu¸c˜ao v = (x. ´e um m´ ultiplo da outra. cx + kcy) = ((x + ky) · a. Exemplo 23. Neste caso. n) o sistema de equa¸c˜oes ax + by = m cx + dy = n possui uma. seja qual for v = (x. Se a matriz m da transforma¸c˜ao linear T : R2 → R2 tem posto zero ent˜ao T ´e a transforma¸c˜ao nula. y). basta tomar v = te1. tc) desta reta ´e da forma Tv para algum v ∈ R2.6 A matrix tem posto 1 e a matriz tem 3 6 3 4 posto 2. uma das colunas de m. Note que o segundo vetor-coluna da matriz de P ´e realmente um m´ ultiplo do primeiro. neste caso. digamos a segunda. J´a a rota¸c˜ao e a reflex˜ao em torno de uma reta tˆem posto 2. Portanto T transforma qualquer vetor v ∈ R2 num vetor sobre a reta que passa pela origem e cont´em o vetor w = (a. d)). Se a matriz m tem posto 1 ent˜ao os transformados Tv dos vetores v ∈ R2 formam uma reta. para todo w = (m. tc). Finalmente. . pois estas duas equa¸c˜oes representam retas que tˆem um u ´nico ponto em comum (por serem perpendiculares aos vetores n˜ao-colineares (a. dizer que m tem posto 2 significa afirmar que ad − bc 6= 0. cx + dy) = (ax + kay. Todo ponto (ta. com t = x + ky. e somente um. b) e (c. (x + ky) · c) = (ta. transforma todo vetor v ∈ R2 no vetor zero. vetor v = (x. para qualquer w = (m. Mais precisamente. para ter Tv = T · te1 = t · (a. y). n) ∈ R2 existe um. c). tc). com os eixos multiplicados por |a|.Se¸c˜ ao 23 Transforma¸c˜ oes Lineares 157 Se uma transforma¸c˜ao linear T : R2 → R2 tem posto 2 ent˜ao ela ´e invert´ıvel . que toda transforma¸c˜ao linear invert´ıvel leva circunferˆencias em elipses (entendendo-se uma circunferˆencia como uma elipse com eixos iguais). ou seja. Isto ´e claro quando o posto de T ´e 0 ou 1. Segue-se tamb´em do fato de que H multiplica todas as distˆ ancias pelo mesmo fator |a| (e a partir da defini¸c˜ao de elipse) que H transforma toda elipse noutra. escrevemos Hv = a · v. Demonstra¸ c˜ ao: Sejam e1 = (1. Teorema 1 Para toda transforma¸ca ˜o linear T : R2 → R2. se T (x. existem vetores unit´ arios ortogonais u. y) = (x. Ela se chama a homotetia de centro O e raz˜ao a. Mesmo se T tem posto 2. v que s˜ ao transformados por T em vetores ortogonais Tu. logo tem posto 0 a 2. temos casos como o de T . ´e invert´ıvel. Tamb´em uma rota¸c˜ao. Com efeito. . uma transforma¸c˜ao linear T : R2 → R2 n˜ao leva necessariamente uma circunferˆencia noutra circunferˆencia. definida por H(x. 1) os vetores da base canˆonica de R2. uma reflex˜ao (e mesmo uma transla¸c˜ao.9 Em geral. Na nota¸c˜ao vetorial. O resultado crucial para esse prop´ osito ´e o Teorema abaixo. Mostraremos.8 Dado um n´ umero a 6= 0. se T ´e invert´ıvel e v 6= 0 ent˜ao Tv 6= 0 pois do contr´ario ter´ıamos dois vetores distintos (v e 0) com a mesma imagem 0 = T0 = Tv. que transforma a circunferˆencia x2 + y2 = 1 na elipse s2 + t2/4 = 1. 2 Exemplo 23. para u. vale |Hu − Hv| = |a · u − a · v| = |a| · |u − v|. y) = (ax. v ∈ R2 quaisquer. Como vimos antes. ay). tem matriz . 2y). definida por T (x. Em particular. Tomando A = |Te1|2. B = hTe1. isto equivale a dizer que para todo w ∈ R2 existe um. ou seja. v ∈ R2 tal que Tv = w. y) = (s. logo a equa¸c˜ao x2 + y2 = 1 equivale a s2 + t2/4 = 1. a distˆ ancia de Hu a Hv ´e igual a |a| vezes a distˆ ancia de u a v. a seguir. e somente um. (preservando o raio) e elipses em elipses (preservando o comprimento de cada eixo). Te2i e C = |Te2|2. que n˜ao ´e linear) s˜ ao transforma¸c˜oes que levam circunferˆencias em circunferˆencias. Segue-se que. Exemplo 23. Tv. a transforma¸ c˜ao linear H : R → a 0 R2. t) ent˜ao x = s e y = t/2. 0) e e2 = (0. Segue-se da´ı que a homotetia H transforma a circunferˆencia de centro v e raio r na circunferˆencia de centro Hv e raio |a| · r. (Vide Se¸c˜ao 20. Afirmamos que hTu. y) ∈ R2.) Isto significa que. onde x2 + y2 = 1. vi = 0 e hTu. Para mostrar isto. A identidade acima nos d´a ent˜ao (ap´os cancelamentos ´obvios): hTu. tem-se Tu 6= 0 e Tv 6= 0. usaremos a identidade 2hTu. y) = xe1 + ye2 ∈ R2 tem-se ϕ(x. Agora ´e s´ o fazer as contas. Teorema 2 Toda transforma¸ca ˜o linear invert´ıvel T : R2 → R2 transforma a circunferˆencia unit´ aria S1 = {(x. Tvi = 0. a) obtido de u por rota¸c˜ao de 900. Seja u = (a. b) um autovetor unit´ ario da forma quadr´atica ϕ. |T (v)|2 = Ab2 − 2Bab + Ca2. |T (u)|2 = Aa2 + 2Bab + Cb2. (autovalor de ϕ) tem-se Aa + Bb = λ1a Ba + Cb = λ1b. Sua imagem por T ´e Tw = x · Tu + y · Tv. Tvi = 0. Como T ´e invert´ıvel. para um certo λ1 ∈ R. y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2. Tvi = Cab + Ba2 − (Aab + Bb2) = a(Cb + Ba) − b(Aa + Bb) = a · λ1b − b · λ1a = 0. Isto completa a demonstra¸c˜ao do Teorema 1. Demonstra¸ c˜ ao: Sejam u. temos |T (u + v)|2 = ϕ(a − b. x2 + y2 = 1} numa elipse. a + b). vˆe-se imediatamente que. Seja v = (−b.158 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear introduzamos a forma quadr´atica ϕ : R2 → R pondo: ϕ(x. Todo vetor unit´ ario w se escreve como w = xu + yv. Tvi = |T (u + v)|2 − |Tu|2 − |Tv|2. Se adotarmos um sistema de . a + b) = A(a − b)2 + 2B(a − b)(a + b) + C(a + b)2. Usando a linearidade de T . y) = |Tw|2. para todo w = (x. Como u + v = (a − b. v vetores unit´ arios tais que hu. temos |Tv|2 = Ax2 + 2Bxy + Cy2. onde A = a2 + c2.3 Dada a transforma¸c˜ao linear T : R2 → R2.3 permite determinar os eixos da elipse. que transforma essa elipse noutra com eixos r vezes os anteriores. esse valor m´ aximo ´e atingido A B quando o vetor unit´ ario v ´e autovetor da matriz . x2 + y2 = 1. y). tem a equa¸c˜ao t2 s2 + = 1. O maior valor de |Tv| sujeito `a restri¸c˜ao |v| = 1 ´e a raiz quadrada do maior valor de |Tv|2. |Tu|2 |Tv|2 Observa¸ c˜ ao 23. com Tv = (ax + by. Observa¸ c˜ ao 23. se Γ ´e uma circunferˆencia de raio r e centro w. neste novo sistema de coordenadas. correspondente B C ao maior autovalor. .Se¸c˜ ao 23 Transforma¸c˜ oes Lineares 159 coordenadas com origem O. A Observa¸c˜ao 23. usamos a igualdade Tv = T (v − w) + Tw para ver que a imagem de Γ pela transforma¸c˜ao T pode ser obtida transladando a elipse do caso anterior pelo vetor Tw. B = ab + cd e C = b2 + d2. ou seja. Segue-se que s2 t2 + = x2 + y2 = 1. no qual os vetores unit´ arios dos eixos s˜ ao Tu/|Tu| e Tv/|Tv|.2 Segue-se do Teorema 2 que uma transforma¸c˜ao linear invert´ıvel T : R2 → R2 leva qualquer circunferˆencia Γ numa elipse. 2 |Tu| |Tv|2 Logo os vetores w pertencentes `a circunferˆencia unit´ aria S1 s˜ ao transformados por T nos vetores Tw pertencentes `a elipse que. da forma quadr´atica acima. que leva S1 numa elipse e a homotetia de raz˜ao r. para todo v = (x. Finalmente. Com efeito. cx + dy). as coordenadas de Tw nesse sistema ser˜ao s = x · |Tu| e t = y · |Tv|. sua imagem pela transforma¸c˜ao T pode ser obtida mediante uma seq¨ uˆencia de trˆes transforma¸c˜oes: a homotetia de raz˜ao 1/r. a transforma¸c˜ao T . que leva Γ em S1. imagem da circunferˆencia unit´ aria x2 + y2 = 1 pela transforma¸c˜ao T . Como vimos no final da Se¸c˜ao 20. quando v = (x. isto ´e. se Γ tiver centro na origem e raio r. y) pertence ` a circunferˆencia unit´ aria S1. cujas ra´ızes s˜ ao (aproximadamente) λ1 = 5. 67. Para obter v1. 3x + y = 0 ou x + 2y = 5. logo v2 = (−0. 25.2x + y). O eixo menor dessa elipse ´e o segmento de reta que liga os pontos Tv2 e −Tv2. 0. 29). cujo eixo maior ´e o segmento de reta que liga os pontos Tv1 = (0. 96) e da´ı Tv2 = (−1. dada por T (x. 0. 21) e − Tv1 = (−0. 3x). ´e invert´ıvel pois as colunas (e linhas) de sua matriz 1 −1 s˜ ao linearmente independentes. 0. 3y x − 3. onde v2 ´e um autovalor unit´ ario de ϕ relativo ao menor autovalor λ2 = 1. 3x −0. O eixo maior de E ´e o segmento de reta que liga os seus dois pontos Tv1 e −Tv1. y) = |T (x.160 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Exemplo 23. y) do sistema indeterminado 5x + y = 5. . A fim de determinar o maior valor de ϕ(x. T trans2 1 forma a circunferˆencia unit´ aria x2 + y2 = 1 na elipse E = {Tv. 7. consideramos a forma quadr´atica ϕ(x. y)|2 = (x − y)2 + (2x + y)2 = 5x2 + 2xy + 2y2. 25. resolvemos a equa¸c˜ao caracter´ıstica λ2 − 7λ + 9 = 0. mais afastados da origem. 5 1 cuja matriz ´e . 38). 3 s˜ ao as solu¸c˜oes n˜aonulas v = (x. 3 e λ2 = 1.10 A transforma¸c˜ao linear T : R2 → R2. 2. y) 1 2 quando x2 + y2 = 1. Tais autovetores tˆem a forma v = (x. y) = (x − y. 0. 29. Os autovetores de ϕ correspondentes ao maior autovalor λ1 = 5. |v| = 1}. Pelo teorema acima. Um autovetor unit´ ario relativo a λ1 ´e v1 = (0. 21). 7. O outro ´e −v1. 67. −0. Portanto a circunferˆencia unit´ aria x2 + y2 = 1 ´e transformada por T na elipse E. −2. 3y = 0. 96. 38) e − Tv2 = (1. Sabemos que v2 ´e ortogonal a v1. Seja T : R2 → R2 a transforma¸c˜ ao linear que consiste em aplicar uma rota¸c˜ ao de ˆ angulo θ e depois trocar o sinal da segunda coordenada. Sejam r uma reta que cont´em a origem. 3x + 2y) . sen 2α) e Se2 = (sen 2α. 1) mostre que o ˆ angulo de e1 para Se1 ´e 2α e o ˆ angulo de e2 para Se2 ´e 2α + 1800 . Mostre que T transforma toda elipse noutra elipse (que pode ser uma circunferˆencia). Mostre que os resultados dos exerc´ıcios 1 e 2 tamb´em valem para a reflex˜ ao em torno de uma reta (no lugar de uma rota¸c˜ ao). Conclua que Se1 = (cos 2α. toda hip´erbole noutra hip´erbole e toda par´ abola noutra par´ abola. Rvi = hu. α o ˆ angulo de OX para r e S : R2 → R2 a reflex˜ ao em torno de r. mostre que as c d colunas de m s˜ ao vetores unit´ arios ortogonais e o mesmo vale para as linhas. A partir da´ı obtenha a matriz de S em termos de α. Seja T : R2 → R2 linear invert´ıvel. 3. 0) e e2 = (0. Mostre que T ´e a reflex˜ ao em torno de uma reta r que cont´em a origem e ´e tal que o ˆ angulo de OX para r ´e −θ/2.Exerc´ıcios 161 Exerc´ıcios 1. y) = (x + 2y. 5. 6. 2x + y) b) T (x. y) = (x + 2y. Se m = ´e a matriz de uma rota¸c˜ ao em torno da origem. v ∈ R2 . Sendo e1 = (1. Use as equa¸c˜ oes que d˜ ao as coordenadas de Rv para mostrar que hRu. 7. − cos 2α). vi e |Rv| = |v| para quaisquer u. 4. a b 2. Seja R : R2 → R2 uma rota¸c˜ ao em torno da origem. Determine os eixos da elipse que ´e a imagem da circunferˆencia unit´ aria por cada uma das transforma¸c˜ oes lineares abaixo: a) T (x. Qual ´e o sim´etrico do vetor u = (2. dˆe exemplo de um vetor n˜ ao-nulo v tal que T · v = v. 13. e somente se. at´e u ocupar o lugar de v (e v o lugar de −u). 11. y) = (4x + 6y.ui u que d´ a a proje¸c˜ ao ortogonal do vetor v sobre o vetor n˜ ao-nulo u.) 15. 18. 5). Qual ´e a ´ area do paralelogramo no qual ´e transformado o quadrado ABCD. C = (1. Seja P : R2 → R2 a proje¸c˜ ao ortogonal sobre a reta y = 3x. 14. Seja T : R2 → R2 a transforma¸c˜ ao linear dada por T (x. Dados u = (1. Use a f´ ormula z = hu. y) com esta propriedade. 7). determine as coordenadas do vetor Pv. portanto paralelogramos em paralelogramos. Quais s˜ ao as extremidades desse segmento? 10. salvo se b = 0. E losangos? 16. para obter de outro modo as equa¸c˜ oes deduzidas no Exemplo 23. hv. y) = (3x + y. Qual ´e esse ponto? 9. Uma transforma¸c˜ ao linear T : R2 → R2 de posto 2 transforma toda reta numa reta. 5) em rela¸c˜ ao ` a reta y = x ? 2 . sejam u. y). u ′ = (5. tenha-se Pv = Pu. 2x + 2y). 4). Seja P : R2 → R2 a proje¸c˜ ao ortogonal sobre a reta y = ax + b. y) = (2x + 3y. Para todo v = (x. Mostre que em algum momento tem-se hTu. 1). Submeta o par (u. (Argumento topol´ ogico para o Teorema 1. Prove que a circunferˆencia (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 ´e transformada por T num segmento de reta. no sentido positivo. Seja T : R2 → R2 uma transforma¸c˜ ao linear invert´ıvel.ui 12. y ′ ). 10).4. w tˆem o mesmo comprimento e cada um deles forma com o seguinte um ˆ angulo de 120o . determine x de tal modo que. mantendo sempre u ⊥ v. 21. Prove isto. v = (3. a qual ´e transformada por T num u ´nico ponto e que todas as retas paralelas a r tˆem esta propriedade. com A = (0. B = (1. y). y = −1 x. Se a w = (x ′ . Seja T como no exerc´ıcio anterior. Seja P : R2 → R2 a proje¸c˜ ao ortogonal sobre a reta y = ax. de posto 1. Seja T : R2 → R2 linear. v. Conclua que P n˜ ao ´e uma transforma¸c˜ ao linear. 2). 0). ache uma transforma¸c˜ ao linear T : R2 → R2 tal que Tu = u ′ e Tv = v ′ . Dado o vetor u = (2. 1). quais s˜ ao as coordenadas de v e w? 19. D = (0. 6x + 9y). sob que condi¸c˜ oes tem-se Pv = Pw? 22. Dada a transforma¸c˜ ao linear invert´ıvel T : R2 → R2 . Determine todos os vetores v = (x. pela transforma¸c˜ ao linear T (x. Mostre que T transforma retas paralelas em retas paralelas. Dada a transforma¸c˜ ao linear T : R2 → R2 . Trˆes vetores u. mostre que se tem P · v = 0 se. Tvi = 0. com T (x.162 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 8. Dado o vetor v = (x. passando pela origem. v) a um processo cont´ınuo de rota¸c˜ ao. 8). pondo v = (x. 0). v vetores unit´ arios ortogonais tais que o sentido da rota¸c˜ ao de u para v seja positivo. Mostre que todos os pontos da reta 2x + 3y = 1 s˜ ao transformados por T no mesmo ponto de R2 . 4x + 5y)? 17. Mostre que existe uma reta r. Se u = (5. 20. 6) e v ′ = (7. cx + dy). i) Mostre que o primeiro membro da equa¸c˜ ao caracter´ıstica ´e o determinante do sistema ax + by = λx cx + dy = λy. onde T (x. tem posto 1 quando a.Exerc´ıcios 163 23. y) = (ax + by. existe um vetor n˜ ao-nulo v tal que T · v = λ · v. A equa¸c˜ ao λ2 − (a + d)λ + (ad − bc) = 0 chama-se a equa¸c˜ ao caracter´ıstica da transforma¸c˜ ao T . iii) Prove que se T : R2 → R2 tem posto 1 ent˜ ao os vetores v ∈ R tais que T · v = 0 formam uma reta contendo 0. quando sua matriz n˜ ao ´e nula e tem a forma a ka 2 2 . onde w = S · v. . y) = (ax + by. Seja T : R2 → R2 a transforma¸c˜ ao linear dada por T (x. ambas contendo a origem 0 = (0. y). ou seja. c kc i) Prove que existe algum v 6= 0 tal que T · v = 0. ii) Prove que se o vetor u ∈ R ´e linearmente independente do v do item anterior. encontre vetores n˜ ao-nulos u e v tais que Tu = u e Tv = 3v. ent˜ ao Tu 6= 0. cx + dy). As ra´ızes desta equa¸c˜ ao (se existirem em R) s˜ ao chamadas os autovalores de T . use as equa¸c˜ oes do Exemplo 23. 25.5 para determinar S ′ · w. d n˜ ao s˜ ao todos iguais a zero e existe algum k ∈ R tal que b = ka e d = kc. Seja T : R → R uma transforma¸c˜ ao linear de posto 1. iv) Dada a transforma¸c˜ ao linear T : R2 → R2 . definida por T (x. iii) Mostre que se b = c ent˜ ao T possui autovalores reais. Sejam S : R2 → R2 e S ′ : R2 → R2 as transforma¸c˜ oes lineares que consistem nas reflex˜ oes em torno de r e r ′ respectivamente. Sabemos que T : R2 → R2 . ii) Conclua que λ ´e um autovalor de T se. Dado o vetor v = (x. y) = (2x+y. x+2y). b. 24. Sejam r e r ′ duas retas perpendiculares. c. 0). e somente se. passando por P. da interse¸c˜ao Π ′′ ∩ OZ. com a mesma origem O. no eixo OY. Πyz e Πxz os planos determinados pelos eixos OX e OY. Sejam (x. tais que qualquer um deles ´e perpendicular a cada um dos outros dois. reciprocamente. Por . Uma vez fixado o sistema OXYZ. como o estudo dos sistemas lineares. no eixo OX. chamados as coordenadas do ponto P relativamente a esse sistema. OY e OZ. fornece uma interpreta¸c˜ao geom´etrica valiosa para quest˜oes de natureza alg´ebrica. y. respectivamente. no eixo OZ. da interse¸c˜ao Π ∩ OX ´e o n´ umero x. da interse¸c˜ao deste eixo com o plano Π ′ .24 Coordenadas no Espa¸co A introdu¸c˜ao de coordenadas no espa¸co oferece n˜ao apenas um m´etodo ´ para resolver problemas geom´etricos com os recursos da Algebra como. OY e OZ. Um sistema de coordenadas (cartesianas) em E consiste em trˆes eixos OX. Seja E o espa¸co euclidiano tridimensional. OX e OZ. A coordenada. z) de n´ umeros reais. paralelo a Πyz. chamaremos de Πxy. fazemos passar por esse ponto um plano Π. Finalmente. O sistema ´e indicado com nota¸c˜ao OXYZ. paralelo a Πxz. A escolha do sistema OXYZ faz com que se possa associar a cada ponto P do espa¸co um terno ordenado (x. onde Π ′′ ´e o plano paralelo a Πxy passando por P. objeto de estudo da Geometria Espacial. z ´e a coordenada. Estas s˜ ao as duas primeiras coordenadas de P. Para obter a coordenada x do ponto P. y) as coordenadas de P0 no sistema OXY do plano Πxy. z) do ponto P no sistema OXYZ podem tamb´em ser obtidas assim: a reta paralela ao eixo OZ passando pelo ponto P corta o plano Πxy no ponto P0. Analogamente. y ´e a coordenada. As coordenadas (x. y. Evidentemente. 0. Πyz e Πxz tˆem coordenadas (x. escreveremos P = (x. z) de n´ umeros reais. da interse¸c˜ao do plano dado com esse eixo. Todos os pontos de um plano horizontal tˆem coordenadas (x. Em particular. e somente se. y. y. z ′ ) s˜ ao iguais se. Quando estiver claro o sistema OXYZ a que nos referimos. 3) e (1.Se¸c˜ ao 24 Coordenadas no Espa¸co 165 sua vez. (1. y. 3. y ´e a segunda coordenada e z ´e a terceira. z) para significar que x. a reta paralela ao eixo OX passando por P corta o plano Πyz no ponto P1. y. y. z) e (x. Um plano chama-se vertical quando cont´em o eixo OZ ou ´e paralelo a ele. 2. O sistema OXYZ determina uma correspondˆencia biun´ıvoca E → R3. y. Sejam (y. x = x ′ . y e z s˜ ao as coordenadas do ponto P. Dois ternos (x. Usa-se a nota¸c˜ao R3 para representar o conjunto cujos elementos s˜ ao os ternos ordenados (x. 0). De modo an´ alogo. z) de coordenadas desse ponto no sistema dado. O n´ umero x ´e a primeira coordenada do terno (x. os planos perpendiculares aos eixos OX e OY tˆem equa¸c˜oes do tipo x = a. ′ ′ y = y e z = z . no eixo OZ. y = b respectivamente. que a cada ponto P do espa¸co associa o terno (x. Um plano diz-se horizontal quando ´e perpendicular ao eixo OZ. y. onde a constante c ´e a coordenada. O n´ umero y ´e o mesmo j´a obtido e z ´e a coordenada restante do ponto P. ou coincide com. y ′ . z) respectivamente. Os pontos dos planos Πxy. z) as coordenadas de P1 no sistema OYZ. um plano horizontal ´e paralelo a. y. Diz-se ent˜ao que z = c ´e a equa¸c˜ao do referido plano. 2) s˜ ao ternos diferentes. 0. c). (0. As coordenadas da origem O s˜ ao (0. . z). 0). z) e (x ′ . y.166 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear o plano Πxy. onde r = x2 + y2 e θ ´e tal que r · cos θ = x e r · sen θ = y. θ. tirado por P. h´a conveniˆencia de se introduzirem no espa¸co coordenadas “curvil´ıneas”. n˜ao situados os trˆes no mesmo plano. Suponhamos fixado um sistema de eixos ortogonais OXYZ no espa¸co euclidiano E. As coordenadas acima consideradas s˜ ao chamadas “retil´ıneas”. z) um ponto de E. As coordenadas y. com a mesma origem O. em especial. z) de coordenadas. que n˜ao teremos ocasi˜ ao de empregar aqui. para os pon- . de modo inteiramente an´ alogo ao caso de eixos ortogonais. O n´ umero x ´e a coordenada. Seja P = (x. perpendiculares. A preferˆencia que damos aos sistemas de eixos ortogonais devese ao fato de que as coordenadas assim obtidas permitem um tratamento muito mais simples das no¸c˜oes ditas “m´etricas”. coplanaridade e outras no¸c˜oes ditas “afins” `as vezes s˜ ao tratadas mais eficazmente por meio de eixos obl´ıquos convenientemente escolhidos. por isso faremos delas apenas uma breve men¸c˜ao. y. Como se vˆe. Por outro lado. do ponto de interse¸c˜ao desse eixo com o plano paralelo a Πyz. z). Basta tomar trˆes eixos OX. Um tal sistema OXYZ permite ainda associar a cada ponto P do espa¸co um terno (x. z se definem de forma semelhante. quest˜oes relativas a colinearidade. Em algumas situa¸c˜oes que ocorrem no C´alculo Infinitesimal. OY e OZ. como distˆ ancias. Podemos tamb´em considerar no espa¸co euclidiano E sistemas de eixos obl´ıquos. p As coordenadas cil´ındricas do ponto P s˜ ao (r. ˆangulos e. As mais comuns s˜ ao as coordenadas cil´ındricas e as coordenadas esf´ericas. no eixo OX. ϕ). y. 0. as coordenadas θ. y. z = ρ cos ϕ. a coordenada θ n˜ao ´e completamente determinada. Portanto. x = ρ sen ϕ cos θ. z) do eixo OZ ´e indeterminada a coordenada θ e.Se¸c˜ ao 24 Coordenadas no Espa¸co 167 tos P = (0. y = ρ sen ϕ sen θ. ϕ s˜ ao determinadas apenas a menos de um m´ ultiplo inteiro de 2π. k ∈ Z. 0). onde P ′ = (x. onde p coordenadas esf´ericas do ponto P = (x. nos demais pontos do espa¸co. As ao (ρ. podendo ser substitu´ıda por θ + 2kπ. ϕ e. A origem O n˜ao possui as coordenadas θ. θ. ϕ ´e o ˆ angulo do eixo OZ para OP e θ ´e o ˆangulo do eixo OX para OP ′ . . z) s˜ ρ = x2 + y2 + z2. para os demais pontos do espa¸co. ( ) Ao mudar do sistema OXYZ para OXZY. z) ∈ R3 . z) ∈ R3 . ax + by + cz = d. z) e (x ′ . y. z) pertencem todos a uma reta no espa¸co ent˜ ao os pontos P ′ = (x. Identifique geometricamente os seguintes conjuntos: a) A = {(x. x2 + y2 = z2 } i) I = {(x. 3. z) ∈ R3 . z) ∈ R3 . x = y} c) C = {(x. z ′ ) pertencem a C. y. 6. Um plano vertical Π corta os eixos OX e OY nos pontos A = (3. 4) e Q = (1. e somente se. y.168 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Exerc´ıcios 1. y. os planos horizontais se tornam verticais. 3. y. (x − z)2 + (y − z)2 ≤ 1}. y. z) perten¸ca a Π se. y. 2. Se (x. Determine os coeficientes a. c). 5. x > 0. y. ( ) Se os pontos P = (x. B = (0. (x. y. os planos verticais passam a ser horizontais. b. 0. y. (x − z)2 + (y − z)2 ≤ 1} j) J = {(x. 0). y. qual ´e a rela¸c˜ ao entre z e z ′ ? 4. Escreva a equa¸c˜ ao do plano vertical que passa pelos pontos P = (2. z) ∈ R3 . y. 1. y > 0} g) G = {(x. z2 + 2z = 3} b) B = {(x. xy = 1. 0. 758). 0) e B = (0. 0). |y| ≤ 1 e |z| ≤ 1} f) F = {(x. d de modo que um ponto P = (x. 0. y ′ . z) ∈ R3 . Assinale V(erdadeiro) ou F(also): ( ) Quando se usa o sistema de eixos OXZY em vez de OXYZ. y. y. Dado um triˆ angulo acutˆ angulo ABC no espa¸co. z) ∈ C} ´e uma circunferˆencia no plano Πxy . z) ∈ R3 . 0) e C = (0. C ´e uma circunferˆencia no espa¸co e o conjunto C ′ = {(x. mostre que ´e sempre poss´ıvel escolher os eixos de modo que as coordenadas dos v´ertices sejam A = (a. (x2 + y2 + z2 )(x + y − 1) = 0} e) E = {(x. y. z) ∈ R3 . 0). Escreva a equa¸c˜ ao geral de um plano vertical. y. z) ∈ R3 . −1. . x = y = z} h) H = {(x. (x − 2z + 1)(3x − z − 2) = 0} d) D = {(x. c. z) ∈ R3 . |x| ≤ 1. 0) est˜ ao sobre uma reta no plano Πxy . b. 7. as equa¸c˜oes param´etricas da reta r1. e onde t ∈ R. respectivamente. s˜ ao y = b + t(b ′ − b). Ora. proje¸c˜ao ortogonal de r sobre o plano Πyz. y. z = c + t(c ′ − c). b ′ ). b ′ . c ′ ). da proje¸c˜ao ortogonal P0 do ponto P sobre o plano Πxy e da proje¸c˜ao P1 do mesmo ponto P sobre o plano Πyz s˜ ao P0 = (x. z) pertence a r1. Logo (x. b.25 As Equa¸c˜ oes Param´ etricas de uma Reta Se P = (x. P0 = (x. . y. c) e A ′ = (a ′ . z) s˜ ao as coordenadas relativas ao sistema OXYZ no espa¸co ent˜ao as coordenadas. y) pertence a r0 e P1 = (y. As equa¸c˜oes param´etricas da reta r0 s˜ ao x = a + t(a ′ − a). cujas coordenadas s˜ referentes ao sistema OXY. z). Seja r a reta do espa¸co passando pelos pontos A = (a. z) pertence a r se. Analogamente. no sistema OXY. b) e A0′ = (a ′ . e somente se. y = b + t(b ′ − b) ′ z = c + t(c − c). Sua proje¸c˜ao ortogonal sobre o plano Πxy ´e a reta r0 que ao passa pelos pontos A0 = (a. o ponto P = (x. x = a + t(a ′ − a). y. y = b + t(b ′ − b). z) pertence a r se. e somente se. y) e P1 = (y. deve-se ter . seus pontos s˜ ao P = (ta. c) e A ′ = (a ′ . suas equa¸c˜oes param´etricas assumem a forma mais simples x = ta. Salvo em circunstˆ ancias muito especiais. 6) com o plano horizontal cuja equa¸c˜ao ´e z = −1? As equa¸c˜oes param´etricas da reta AA ′ s˜ ao x = 1 + 3t. z = tc. Para que um ponto desta reta esteja sobre o plano z = −1. Quanto t < 0. b ′ . ′ descreve o segmento de reta AA . c). cujas coordenadas s˜ ao dadas pelas equa¸c˜oes acima. z = 3 + 3t. portanto. conforme veremos logo adiante. Finalmente. Observa¸ c˜ ao e exemplo. o ponto P = (x. pois tem-se apenas que determinar o valor do parˆ ametro t de modo que o ponto satisfa¸ca a equa¸c˜ao da superf´ıcie. que passa pela origem e pelo ponto A = (a. Por exemplo: qual a interse¸c˜ao da reta que passa pelos pontos A = (1. b. y = 2 + 3t. equa¸c˜oes param´etricas da reta que cont´em os pontos A = (a. tc) para todo t ∈ R. 2. tb. ou seja. z). A se situa entre P e A ′ . as equa¸c˜oes param´etricas s˜ ao mais convenientes. representando dois planos cuja interse¸c˜ao ´e a reta dada. principalmente quando se quer encontrar a interse¸c˜ao da reta com uma superf´ıcie. b. Quando se deseja caracterizar analiticamente os pontos de uma reta no espa¸co. c ′ ). tem-se A ′ entre A e P. y. 5. y = tb. Quando t varia de 0 a 1.170 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Estas s˜ ao. No caso particular da reta OA. tem-se duas op¸c˜oes: ou as equa¸c˜oes param´etricas daquela reta ou o sistema de duas equa¸c˜oes com trˆes inc´ognitas. 3) e A ′ = (4. quando t > 1. s ∈ R definem a mesma reta. 1). 1). 4) e B = (5. Sejam Π e Π ′ os planos verticais definidos pelas equa¸c˜ oes 2x+3y = 6 e 5x−2y = 10 respectivamente. 1). 2.Exerc´ıcios 171 3 + 3t = −1. S˜ ao. 1. z = −3 + t e x = 1 + s. −1. 5. 3. o qual pertence tamb´em ` a reta EF. y = 2 + 6t. 2) e B = (−1. t ∈ R e x = 2 + s. dadas pelas equa¸c˜ oes param´etricas x = −1 + 2t. Ent˜ao x = 1 + 3t = 1 + 3(−4/3) = −3. mostre que as retas AB e CD s˜ ao reversas. C = (2. retas reversas. 8. 5). 6. ou seja. C = (2. −1). B = (1. 3. Decida se P pertence a um dos segmentos de reta AB e CD. onde E = (1. Prove que as duas retas. 5) e D = (0. y = 5 + 3s. Obtenha equa¸c˜ oes param´etricas para a reta AB. 3. B = (3. 1. Mostre que as retas AB e CD tˆem um ponto em comum. 0). 7. 2) e B = (6. Sejam AB e CD retas sem pontos em comum. C = (1. 4). Sejam A = (3. z = 3 + 4t. 3) e B = (4. 3). 4). Se A = (1. Dados os pontos A = (3. t = −4/3. Dados A = (1. e somente se. 2) e B = (−1. 0) e D = (0. 5. 0. 5. y = 2 − s. onde: a) A = (2. 1) 2. y = 2 − 3t. 6). 1. Exerc´ıcios 1. Prove que elas s˜ ao reversas se. 1. determine os pontos em que a reta AB corta os planos Πxy . 2. 7) b) A = (−3. 0. −1. y = 2 + 3t = 2 + 3(−4/3) = −2 e z = −1. −1) e D = (3. 7. 1. ache os pontos em que a reta AB corta esses planos. 4) escreva equa¸c˜ oes param´etricas para a reta paralela a AB passando pelo ponto C = (2. O ponto procurado ´e P = (−3. 5. −1. Sejam A = (0. Dados A = (3. 5. 3). n˜ ao tˆem ponto em comum nem s˜ ao paralelas. z = 3 + 2s. 0. 0) e F = (0. 4. −1) e B = (−3. Πxz e Πyz . z = 5 + 2s. 1) e B = (3. 1). Mostre que as equa¸c˜ oes param´etricas x = 1 + 2t. 10. portanto. −2. 1). 3. 1. Mostre que as retas AB e CD tˆem um ponto em comum e determine este ponto P. 0. 6. . AC ∩ BD = ∅ e AD ∩ BC = ∅. 2. 1. 9. −2) c) A = (2. Interprete este resultado geometricamente. 5. sucessivamente: d(P. o Teorema de Pit´ agoras se reduz a uma igualdade banal. P ′ )2. Q)2 + d(Q. R) e (R. Dados P = (x. b. resulta da observa¸c˜ao inicial que d(P. y. R)2 + d(R. P ′ )2 = d(P. Um resultado an´ alogo vale.1 Pode ocorrer. z ′ ) e R = (x. Q) = |z− z ′ | pois esta ´e a distˆ ancia entre dois pontos no eixo formado por todos os pontos (a. para a primeira e terceira. . y. nos d´a. P ′ ) = q (x − x ′ )2 + (y − y ′ )2 + (z − z ′ )2. P ′ )2 = d(P. P ′ )2 = (z − z ′ )2 + (y − y ′ )2 + (x − x ′ )2 logo d(P. z ∈ R. (Q. y ′ . ou para a segunda e terceira coordenadas. z) e P ′ = (x ′ . P ′ ) s˜ ao pares de pontos com duas coordenadas iguais. ´e claro. b. z ′ ). Como (P. num determinado sistema OXYZ. z ′ ). evidentemente. que um (ou cada um) dos triˆ angulos retˆ angulos acima se reduza a um segumento como. (26. os pontos P = (a. consideremos os pontos auxiliares Q = (x.26 Distˆ ancia entre Dois Pontos no Espa¸co Observamos inicialmente que se. z ′ ) tˆem as duas primeiras coordenadas iguais ent˜ao d(P. y ′ . por exemplo. Nestes casos. aplicado ′ ′ aos triˆ angulos retˆ angulos PQP e QRP . z) e Q = (a. b. z). Q)2 + d(Q.2) Observa¸ c˜ ao 26. O Teorema de Pit´ agoras.1) (26. Q). quando Q = P. Em particular a equa¸c˜ao da esfera de centro na origem O = (0.Se¸c˜ ao 26 Distˆ ancia entre Dois Pontos no Espa¸co 173 A distˆ ancia do ponto P = (x. y. 0. c) e raio r > 0 ´e o conjunto dos pontos P = (x. b. 0) e raio r ´e: x2 + y2 + z2 = r2. Portanto o ponto de coordenadas x. Como se sabe. z pertence `a esfera S se. 0) ´e dada por p d(O. Exemplo 26. z) situados ` a distˆ ancia r do centro A. a esfera S de centro no ponto A = (a. 0. P) = x2 + y2 + z2. e somente se (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2. y.1 A f´ormula da distˆ ancia entre dois pontos no espa¸co tem como conseq¨ uˆencia imediata a equa¸c˜ao da esfera. . z) `a origem O = (0. y. z) tais que z = x2 + y2. portanto pertencem √ `a circunferˆencia de centro no ponto (0. Evidentemente. 0. Temos ent˜ao A = (a. temos a liberdade de escolher nosso sistema de eixos ortogonais da forma que julgarmos mais conveniente. o ponto m´edio O do segmento AB pertence a X. d(P. S˜ao dados dois pontos distintos A e B no espa¸co. z) ´e equidistante de A e B se. e somente se. Vejamos um exemplo bem simples para ilustrar esse ponto. Indaga-se que forma tem o conjunto dos pontos equidistantes de A e B.2 A superf´ıcie T . escrevendo X = {P. y. isto ´e (x − a)2 + y2 + z2 = (x + a)2 + y2 + z2. ´e chamada um parabol´ oide de revolu¸ca ˜o. e logo z2 + z = 1. Exemplo 26. As ra´ızes desta equa¸c˜ao s˜ ao −1 ± z= 2 √ 5 . com a 6= 0. c) e raio c. se o ponto P = (x. formada pelos pontos P = (x. z) pertence a S ∩ T ent˜ao temos simultaneamente x 2 + y2 + z 2 = 1 z = x2 + y2. z) tais que x2 + y2 + z2 = 1. Com efeito. 0). 0. A) = d(P. situada no plano z = c. B)2. Seja S a esfera de centro na origem e raio 1. ou seja z2 + z − 1 = 0. d(P. B)}. y.3 Quando se tem uma quest˜ ao geom´etrica. Tomamos ent˜ao um sistema de eixos ortogonais OXYZ cuja origem seja O e cujo eixo OX contenha o segmento AB. 0. pergunta-se que forma tem o conjunto X. com centro sobre o eixo OZ. e queremos trat´ala usando coordenadas. 0) e B = (−a. A)2 = d(P. Mostremos que a interse¸c˜ao S ∩ T ´e uma circunferˆencia contida num plano horizontal. portanto os pontos da interse¸c˜ao√da esfera com o parabol´oide tˆem todos a coordenada z igual a (−1 + 5)/2 = c e as outras duas coordenadas x e y cumprem x2+y2 = c. o conjunto dos pontos (x. Noutras palavras. isto ´e. y. . y.174 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Exemplo 26. Um ponto P = (x. Mas z = x2 + y2 > 0. em cujo enunciado n˜ao ocorre explicitamente um sistema de eixos. com ⇀ z 6= 1). y. Mostre que se a equa¸c˜ ao Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 representa uma esfera ent˜ ao A = B = C 6= 0 e D = E = F = 0. z = x + y }. um ponto ou o conjunto vazio. que passa pelo ponto m´edio desse segmento. E reciprocamente. y. x2 + 2 2 y + z = 1}. y ′ . Exerc´ıcios 1. esta equa¸c˜ao reduz-se a 4ax = 0. Para cada ponto P = (x. 2. 6. y e z. Seja N = (0. o conjunto dos pontos P do espa¸co tais que d(P. Complete os quadrados e decida para quais valores de k a equa¸c˜ ao x2 + y2 + 2 z + x + 2y + 3z + k = 0 define um ponto. Esboce geometricamente a situa¸c˜ ao. mostre que. 3. 0. 1) o p´ olo norte da esfera unit´ aria S2 = {(x.Exerc´ıcios 175 Simplificando. Com as nota¸c˜ oes do exerc´ıcio anterior. . y. 4. Como o enunciado do problema n˜ao fazia referˆencia a coordenadas. Determine ao da esfera x2 +y2 +z2 = 8 com o conjunto C = {(x. 5. 0) o ponto em que a semi-reta NP intersecta o plano Πxy . Portanto. A)2 − d(P. mais precisamente. z) ∈ R3 . y. Escolhendo o sistema de eixos adequado. e somente se. se estas condi¸c˜ oes s˜ ao cumpridas. x = 0. o conjunto X dos pontos equidistantes de A e B ´e o plano Πyz. a equa¸c˜ ao dada representa uma esfera. seja P ′ = (x ′ . dados dois pontos A e B. z) diferente de N em S2 (isto ´e. respondemos simplesmente que o conjunto X ´e um plano. y. dado o ponto P ′ = (x ′ . z) no qual a semi-reta NP ′ intersecta a esfera unit´ aria S2 . y ′ . ⇀ obtenha as coordenadas do ponto P = (x. z) ´e equidistante de A e B se. ´e o plano perpendicular ao segmento AB. B)2 = c (uma constante) ´e um plano perpendicular ` a reta AB. z) ∈ p a interse¸c˜ 3 2 2 R . uma esfera ou o conjunto vazio. 0) em Πxy . conclu´ımos que o ponto P = (x. Como a 6= 0. Use as equa¸c˜ oes param´etricas de NP para obter as coordenadas x ′ e y ′ em fun¸c˜ ao de x. 27 Segmentos de Reta no Espa¸co Discutiremos aqui alguns fatos b´asicos sobre segmentos de reta. onde A = (a. ^ ′ ´e reto se. c) e A ′ = (a ′ . Simplificando. b ′ . Em seguida. onde A = (a. b. c ′ ). A)2 + d(O. Inicialmente. usaremos a f´ormula da distˆ ancia entre dois pontos para obter as coordenadas do ponto que divide o segmento AA ′ numa . ou seja ′ ′ ′ (a − a ′ )2 + (b − b ′ )2 + (c − c ′ )2 = a2 + b2 + c2 + a 2 + b 2 + c 2. caracterizaremos o perpendicularismo dos segmentos OA e OA ′ . c ′ ). vale Oˆ angulo AOA d(A. b ′ . isto ´e: ′ ′ ′ a2 + b2 + c2 + a 2 + b 2 + c 2 − 2(aa ′ + bb ′ + cc ′ ) ′ ′ ′ = a2 + b2 + c2 + a 2 + b 2 + c 2. obtemos a rela¸c˜ao aa ′ + bb ′ + cc ′ = 0. A ′ )2 = d(O. que fornece a condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que sejam perpendiculares os segmentos OA e OA ′ . c) e A ′ = (a ′ . A ′ )2. b. como no caso do plano. tomando como referˆencia as coordenadas dos seus pontos extremos. e somente se. 2 2 b+y b′ + n = . p) fora da reta AA ′ . Ent˜ao AP ′ e A ′ P s˜ ao as diagonais. ou seja. b. b ′ .Segmentos de Reta no Espa¸co 177 Se¸c˜ ao 27 raz˜ao dada. Como no caso do plano. Xt) (xt − a)2 + (yt − b)2 + (zt − c)2 p = t. . . Queremos determinar P ′ = (x. = d(A. 1]. onde 0 ≤ t ≤ 1 e xt = a + t(a ′ − a) yt = b + t(b ′ − b) zt = c + t(c ′ − c). z = p + (c ′ − c). A ′ ) = t. Destas igualdades resulta. AP e A ′ P ′ s˜ ao diagonais. β = b −b e γ = c −c. y = n + β. AP e A ′ P ′ tamb´em formam um par de lados opostos do paralelogramo. x = m + α. logo seus pontos m´edios coincidem. A ′ ) (a ′ − a)2 + (b ′ − b)2 + (c ′ − c)2 Portanto Xt ´e. Em particular. zt). n. observamos que a pergunta acima admite duas respostas poss´ıveis. z) de modo que tanto AA ′ e PP ′ como AP e A ′ P ′ sejam pares de lados opostos de um mesmo paralelogramo. 2 2 c+z c′ + p = . tomando t = 1/2 obtemos as coordenadas do ponto m´edio de AA ′ : a + a′ b + b′ c + c′ M = X1/2 = . y = n + (b ′ − b). c). 2 2 portanto x = m + (a ′ − a). c ′ ) e o ponto P = (m. podemos responder a seguinte pergunta: dados A = (a. na outra. y. quais s˜ ao as coordenadas do ′ ′ ′ ponto P = (x. Sabemos que os pontos do segmento de reta AA ′ s˜ ao Xt = (xt. que p d(A. z = p + γ. Numa delas. yt. z) tal que AA e PP s˜ ao lados opostos de um paralelogramo? De sa´ıda. Da´ı resulta que a+x a′ + m = . para todo t ∈ [0. A ′ = (a ′ . o ponto do segmento de reta AA ′ tal que d(A. diremos que os segmentos de reta orientados AA ′ e PP ′ s˜ ao equipolentes quando eles: . 2 2 2 Conhecendo as coordenadas do ponto m´edio de um segmento. ′ ′ ′ Escrevamos α = a −a. Xt)/d(A. y. por um c´alculo simples. d(A.178 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 1. que eles s˜ ao lados opostos de um paralelogramo do qual os outros dois lados opostos s˜ ao AP e A ′ P ′ . 2. 3. . no caso em que AA ′ e PP ′ s˜ ao paralelos. No caso em que AA ′ e PP ′ est˜ao sobre a mesma reta. Novamente aqui as condi¸c˜oes 1) e 2) s˜ ao claras. Tˆem o mesmo sentido. A condi¸c˜ao 3) significa. isto ´e. P ′ ). S˜ao paralelos ou colineares. dizer que estes segmentos orientados tˆem o mesmo sentido significa que uma das semi-retas AA ′ e PP ′ est´a contida na outra. Tˆem o mesmo comprimento. A ′ ) = d(P. Se escrevermos α = a ′ − a. 1 ou 2 pontos P tais que d(O. c ′ ) e o n´ umero d > 0. c ′ − c) e ′′ P = (m ′ − m. Portanto. os segmen^ ´e tos OP e OQ. mostre que os segmentos de reta OP e AA ′ s˜ ao ortogonais. n ′ − n. s˜ ao ortogonais. b ′ − b. Exerc´ıcios √ 1. P = (m. 2. e somente se. diz-se que os segmentos de reta AB e CD s˜ ao ortogonais quando tomando-se. c). a partir de um ponto O. p) e ′ P = (m ′ . c). Logo estes u ´ltimos s˜ ao ortogonais se. AC e BD. Dados os pontos distintos A = (a. p ′ ). c). Ache quatro pontos A. b ′ . n ′ . b. se (a ′ − a)(m ′ − m) + (b ′ − b)(n ′ − n) + (c ′ − c)(p ′ − p) = 0. isto ´e. Em D = (a 6/3. . b. na reta AA ′ . C e D no espa¸co. −a/2. n. b ′ . b′ − b = n′ − n e c ′ − c = p ′ − p. p ′ ). p ′ − p). n ′ . Estabele¸camos agora a condi¸c˜ao para que sejam ortogonais os segmentos AA ′ e PP ′ . 0). Como acabamos de ver. P = (m. temos AA ′ e PP ′ equipolentes se. mostre que existem. por exemplo. a/2. 3. de modo que ABCD seja um tetraedro regular. 0). γ) ´e o u ´nico ponto do espa¸co tal que o segmento de reta orientado OQ ´e equipolente a AA ′ . n. 0. Verifique que duas arestas opostas desse tetraedro s˜ ao ortogonais. Em Geometria Espacial. 0. Verifique √ que A √= (0.Exerc´ıcios 179 Como o paralelogramo ´e o u ´nico quadril´atero cujas diagonais se cortam mutuamente ao meio. o ˆangulo POQ reto. β = b ′ − b e γ = c ′ − c. a 3/6) s˜ seguida mostre que duas arestas opostas quaisquer como. C = (0. podemos enunciar: A fim de que os segmentos de reta orientados AA ′ e PP ′ sejam equipolentes ´e necess´ ario e suficiente que os segmentos AP ′ e A ′ P tenham o mesmo ponto m´edio. c ′ ). se A = (a. A ′ = (a ′ . os segmentos de reta OA ′′ e OP ′′ s˜ ao ′ ′ paralelos respectivamente a AA e PP . onde A = (a. respectivamente paralelos a AB e CD. B. a 3/2) e ao os v´ertices de um tetraedro regular ABCD. veremos que Q = (α. P) = d. cujas coordenadas sejam 1 ou 0. b ′ . a ′ − a = m ′ − m. 0. c ′ ). A ′ = (a ′ . P) = d. A ′ = (a ′ . b. β. Se existir exatamente um ponto P com d(O. e somente se OA ′′ e OP ′′ s˜ ao perpendiculares. Reserva-se a denomina¸c˜ao perpendiculares para o caso em que os segmentos dados tˆem um ponto em comum. B = (0. se pusermos A ′′ = (a ′ − a. p) e P ′ = (m ′ . A ′ ). Se os segmentos orientados AA ′ e BB ′ s˜ ao equipolentes. Mostre que AA ′ ´e perpendicular a BC e BD e conclua que AA ′ ´e perpendicular ao plano BCD. 6. Seja AA ′ uma diagonal de um cubo e sejam B. prove que OC e AB s˜ ao perpendiculares. 5. . prove que tamb´em s˜ ao equipolentes os segmentos orientados AB e A ′ B ′ .180 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 4. P) = 13 d(A. C e D os v´ertices desse cubo que est˜ ao mais pr´ oximos de A. Se os pontos A e B s˜ ao equidistantes da origem e os segmentos orientados OA e BC s˜ ao equipolentes. Mostre ainda que se AA ′ corta o plano BCD no ponto P ent˜ ao d(A. quando P = (x. β. γ) e diz-se que −→ estas s˜ ao as coordenadas do vetor v = AA ′ no sistema OXYZ. na Se¸c˜ao 14. β = b ′ − b e γ = c ′ − c. n ′ . chamada a transla¸ca ˜o definida por v. existe − →′ ′ um u ´nico ponto P tal que PP = v. e somente se. y. tem-se P ′ = (x + α. transformando-a na figura F + v = {P + v. b. Em rela¸c˜ao a qualquer sistema. tem-se AA ′ = PP ′ = v se. n. escreve-se v = (α. com ponto inicial igual ao final. Como vimos na se¸c˜ao anterior. P = (m. (Veja figura 14. ´e conveniente introduzir o vetor nulo 0 = −→ AA. tem-se ent˜ao a fun¸c˜ao Tv : E → E. Dado o sistema de coordenadas OXYZ. Pondo α = a ′ − a. z + γ). p ′ ). c). representado por um segmento de reta degenerado. z) e v = (α. Fixado o vetor v. A transla¸c˜ao Tv : E → E n˜ao apenas transforma cada ponto P ∈ E no − → ponto P ′ tal que PP ′ = v mas opera tamb´em sobre uma figura qualquer F ⊂ E. que se diz transladada de F por V. p) e P ′ = (m ′ . A ′ = −→ − → (a ′ . c ′ ). b ′ − b = n ′ − n e c ′ − c = p ′ − p. β.3. Para todo ponto P do espa¸co tem-se − → PP = 0. as coordenadas do vetor nulo . P ∈ F}. com A = (a. b ′ .) Como no caso do plano. y + β. onde Tv(P) = P + v para todo P ∈ E. γ). −→ ′ − →′ escrevemos AA = PP e dizemos que eles representam o mesmo vetor −→ − → v = AA ′ = PP ′ . a ′ − a = m ′ − m. − → Escreve-se P ′ = P + v para significar que PP ′ = v e diz-se que o vetor v transporta o ponto P para a posi¸c˜ao P ′ .28 Vetores no Espa¸co Quando os segmentos orientados AA ′ e PP ′ no espa¸co E s˜ ao equipolentes. −→ ′ Se v = AA ´e um vetor e P ´e um ponto arbitr´ ario do espa¸co. Ele ´e indicado pelo mesmo s´ımbolo 0 que se usa para representar o n´ umero zero. Quanto ao produto interno hv. se v = (α. ´e mais conveniente come¸car com a defini¸c˜ao hv. Valem as propriedades formais v+w = w+v. wi = αα ′ + ββ ′ + γγ ′ . λβ. 0. . γ) ent˜ao −v = (−α. ´e simplesmente a fun¸c˜ao identidade. onde v = (α.182 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear s˜ ao 0 = (0. λγ). −β. β. −→ −→ Se v = AB ent˜ao o vetor −v = BA. −γ). chamado o sim´etrico. γ) e v ′ = (α ′ . γ) e w = (α ′ . β + β ′ . por isso se diz que −v ´e o inverso aditivo de v. determinada por esse vetor. Em rela¸c˜ao a um sistema de coordenadas OXYZ. wi. ou oposto de v tem a propriedade de que −v + v = v + (−v) = 0. γ + γ ′ ) e λv = (λα. Se v = (α. A transla¸c˜ao T0 : E → E. A adi¸c˜ao de vetores e o produto de um vetor por um n´ umero real se definem no espa¸co exatamente do mesmo modo que no plano. β ′ . 0). β. γ ′ ) ent˜ao v + v ′ = (α + α ′ . α(v + w) = av + αw e (α + β)v = αv + βv. (u+v)+w = u+(v+w). β ′ . β. γ ′ ) s˜ ao as coordenadas desses vetores com respeito a um sistema de coordenadas OXYZ arbitrariamente fixado. escrevendo −−→ −→ v = OA e w = OB. Se tom´ assemos outro sistema. o comprimento −→ de qualquer segmento AA ′ tal que v = AA ′ . com OA∗ ⊥ OA e A∗ no mesmo plano que O. pondo v = OA e w = OB. que o valor do produto interno hv. veremos que o produto interno independe do sistema de coordenadas tomado. quando v 6= 0 e w 6= 0. e somente se. wi + hv. as coordenadas de v e w seriam outras e nada garantiria. (ou seja. wi = hw. logo seu cosseno. pois os comprimentos |v| e |w|. wi = αα ′ + ββ ′ + γγ ′ . Se os vetores v e w s˜ ao ambos diferentes do vetor nulo. wi equivale a dizer que. w e qualquer n´ umero real λ. wi = |v||w| cos θ.Vetores no Espa¸co 183 Se¸c˜ ao 28 Desta defini¸c˜ao resulta imediatamente que hv. os vetores v e w s˜ ao −−→ −→ ortogonais. a priori. wi. (*) Observe-se que a defini¸c˜ao hv. n˜ao tˆem nada a ver com coordenadas: s˜ ao no¸c˜oes geom´etricas intr´ınsecas. pondo v∗ = OA∗ . Mostraremos agora que a defini¸c˜ao acima dada para o produto interno hv. Ent˜ao. tem-se p p |v| = α2 + β2 + γ2 = hv. vi. os segmentos OA e OB formam um ˆangulo que pode ser agudo. wi = 0. wi = |v||w| cos θ. aparentemente ´e o produto interno de v e w relativamente ao sistema de coordenadas OXYZ. diz-se que v ´e um vetor unit´ ario. que chamaremos cos θ. O s´ımbolo |v| indica o comprimento do vetor v. pode ser positivo. hv. wi se manteria o mesmo. Consideremos um vetor unit´ ario v∗ = −−→∗ OA . A e B. isto ´e. Al´em disso. pela −−→ defini¸c˜ao de seno e de cosseno. Mas. tem-se hv. se v = (α. wi e hλv. hu + v. −−→ −→ Sejam v = OA e w = OB. nulo ou negativo. wi = λhv. reto ou obtuso. Se |v| = 1. Suponhamos inicialmente que |v| = |w| = 1 . γ). se provarmos que hv. que demos acima. vi. os segmentos OA e OB s˜ ao perpendiculares) se. temos: w = cos θ · v + sen θ · v∗ . v. para quaisquer vetores u. wi = hu. . como vimos na se¸c˜ao anterior. bem como o ˆangulo θ. Portanto. β. A igualdade (*) est´a provada em todos os casos. v∗ i = o. Portanto a igualdade (*) ´e verdadeira quando u e v s˜ ao vetores unit´ arios. com v = |v|v ′ e ′ ′ ′ w = |w|w . os vetores v ′ e w ′ s˜ ao unit´ arios. wi = αhv. se tomarmos o produto interno de ambos os membros da igualdade acima por v e usarmos as regras hu+v. como o aˆngulo entre v e w ´e θ. Assim. wi+hv. Sejam agora v e w vetores n˜ao-nulos quaisquer. vem: hv. seu produto interno ´e hv. digamos de A para B e de A . duas retas que se cortam no ponto A formam quatro ˆ angulos. wi = hu. wi e hαv. |w|w ′ i = |v||w|hv ′ . |v||w| onde −→ −→ v = AB e w = AC. wi obteremos hv.184 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Como v e v∗ s˜ ao ortogonais. logo seus cossenos tˆem o mesmo valor absoluto. wi = cos θ. Dela resulta que se θ ´e um dos ˆ angulos formados por duas retas AB e AC que tˆem o ponto A em comum ent˜ao cos θ = hv. Como observamos no cap´ıtulo anterior. wi . Ent˜ao. que s˜ ao dois a dois iguais ou suplementares. Pondo v ′ = (1/|v|)·v e w ′ = (1/|w|) · w. Se considerarmos as retas dadas como orientadas. w ′ i = |v||w| cos θ. wi = h|v|v ′ . 1 Sejam B o p´e da perpendicular baixada do ponto A sobre o plano Π e C o p´e da perpendicular baixada de B sobre a reta r. v. Para provar este fato usando o produto interno −→ −→ −→ de vetores. wi = 0. Estenderemos agora esse resultado para o espa¸co tridimensional. C e D estiverem no mesmo plano. . os pontos A. vem: hu + v. sinal inclu´ıdo. v = AC e w = AD (com a mesma origem A). a r. ele pode ser agudo. contida em Π. escrevendo-os −→ −→ −−→ sob a forma u = AB. O “teorema das trˆes perpendiculares” diz que AC ´e perpendicular ` a reta r. com os n´ umeros x. Tomando −→ sobre r um ponto D.Se¸c˜ ao 28 Vetores no Espa¸co 185 para C ent˜ao o ˆ angulo entre elas est´a bem determinado. v e w). diferente de C. v num plano s˜ ao n˜aocolineares ent˜ao todo vetor w desse plano se escreve como combina¸c˜ao linear w = xu + yv. Vimos na Se¸c˜ao 15 que se dois vetores u. wi = 0 e hv. Em qualquer caso. As hip´ oteses feitas asseguram que hu. wi = 0. Quando u. ponhamos u = AB e v = BC. um deles ´e combina¸c˜ao linear dos outros dois. Somando estas igualdades membro a membro. donde u + v = AC. wi/|v||w|. w s˜ ao coplanares quando. donde AC ´e perpendicular a CD. y univocamente determinados (a partir de u. reto ou obtuso e seu cosseno vale hv. isto ´e. Exemplo 28. Diremos que os vetores u. escrevamos w = CD. v e w s˜ ao coplanares. B. ou os trˆes s˜ ao colineares ou um deles est´a no plano determinado pelos outros dois. 2.I. obtemos y = (c3d2 − c2d3)/b2c3. c = (c1. obtemos x. Entrando com este valor de z na segunda equa¸c˜ao. b. Esta igualdade vetorial equivale ` as trˆes igualdades num´ericas a1x + b1y + c1z = d1 b2y + c2z = d2 c3z = d3.). c2. γα ′ − αγ ′ . Queremos encontrar n´ umeros x. temos a1 6= 0. y. Observa¸ c˜ ao. A u ´ltima equa¸c˜ao acima nos d´a z = d3/c3. (d) os vetores u e v s˜ ao colineares. z tais que d = x · a + y · b + z · c. v. Dados u = (α. wi. Finalmente. w s˜ ao coplanares. Diz-se ent˜ao que eles s˜ ao linearmente independentes (L. Que rela¸c˜ ao entre u e v implica w = 0? . c s˜ ao vetores linearmente independentes ent˜ ao todo vetor d do espa¸co se exprime. β ′ . Ent˜ao as coordenadas dos vetores dados s˜ ao a = (a1. Teorema 28. wi e hv.1 Se a. 0. 0). substituindo y e z por estes valores na primeira equa¸c˜ao e levando em conta que a1 6= 0.186 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Se os vetores u. d2. onde A pertence ao eixo OX e B pertence ao plano Πxy. (e) os vetores u. 0). b2. explique o significado das seguintes afirma¸c˜ oes: (a) os vetores u. v. como combina¸ca ˜o linear d = x · a + y · b + z · c. Como os vetores a. c3) e d = (d1. γ ′ ) e w = (βγ ′ − γβ ′ . β. o teorema acima pode ser demonstrado geometricamente. Como na Se¸c˜ao 15. b e c n˜ao s˜ ao coplanares. v s˜ ao ortogonais. v = (α ′ . b = (b1. Isso ´e um dos exerc´ıcios propostos a seguir. (b) o vetor v ´e ortogonal ` a reta r. de modo u ´nico. (c) o vetor v ´e ortogonal ao plano Π. γ). w s˜ ao n˜ao-coplanares. αβ ′ − βα ′ ). Exerc´ıcios 1. Sem usar coordenadas. b2 6= 0 e c3 6= 0. calcule os produtos internos hu. d3). ent˜ao nenhum deles ´e combina¸c˜ao linear dos outros dois. Demonstra¸ c˜ ao: Tomemos no espa¸co um sistema de eixos ortogonais −−→ −→ OXYZ de modo que a = OA e b = OB. os vetores v. Mostre que os vetores u. (1. um deles ´e combina¸c˜ ao linear dos outros dois). e somente se. 0). n˜ ao est˜ ao contidas num −→ mesmo plano) se. 0. . −→ (ii) Prove que r1 e r2 s˜ ao coplanares se. (−1. Sejam A um ponto e u. −1. . 6. Dados os n´ umeros a. Sejam v1 . . 1). A condi¸c˜ ao abc 6= 0 pode ser omitida? 4. (−1. 1. prove que um deles ´e combina¸c˜ ao linear dos outros trˆes. existe k tal que α = ka. v e w n˜ ao s˜ ao coplanares. v e w s˜ ao coplanares se. at. 0) e w = (act. α. Seja u = (a. os vetores u. 4. pondo v = (−bt. 10. 7. v2 e v3 vetores n˜ ao-coplanares. com abc 6= 0. 8. . α2 . 12. 2). s. 2). prove que w = 0. e somente se. Se os vetores u. v vetores n˜ ao-colineares no espa¸co. β. os vetores v. um deles ´e combina¸c˜ ao linear dos outros dois. 2)} c) {(1. v1 i = hw. t ∈ R} ´e um plano. 1)} b) {(2. valendo a igualdade se. c. bct. −1/t). e somente se. αn ∈ R. −1. e somente se. w e AB s˜ ao linearmente dependentes (isto ´e. b. 2)}. Determine quais dos seguintes conjuntos ´e tal que nenhum dos seus vetores ´e combina¸c˜ ao linear dos outros dois: a) {(1. b. (5. Sejam r1 = {A + s · v. com α1 . 1). Determine o valor de t de modo que. (4. 10)} d) {(1. . . −1. Mostre que o conjunto Π = {A + su + tv. mostre que se tem a desigualdade (aα + bβ + cγ)2 ≤ (a2 +b2 +c2 )(α2 +β2 +γ2 ). (1. (iii) Prove que r1 e r2 s˜ ao paralelas se. . (iv) Prove que r1 e r2 s˜ ao retas reversas (isto ´e. γ.Exerc´ıcios 187 3. v2 i = hw. w ´e m´ ultiplo de v mas −→ n˜ ao de AB. c) um vetor unit´ ario. s ∈ R} e r2 = {B + t · w. Se o vetor w ´e tal que hw. 1. v e w sejam unit´ arios e mutuamente ortogonais. mostre geometricamente que todo vetor do espa¸co se exprime como combina¸c˜ ao linear αu + βv + γw. t ∈ R} duas retas: −→ (i) Prove que r1 = r2 se. Calcule o cosseno do ˆ angulo formado por duas diagonais de um cubo. v3 i = 0. (1. e somente se. . β = kb e γ = kc. −1. −3. os vetores AB e w s˜ ao m´ ultiplos de v. vn quando se tem v = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn . e somente se. 2). 5. (2. w e AB s˜ ao linearmente independentes. 1). . 11. −2). 2.) 9. (Exclua os casos triviais a = b = c = 0 ou α = β = γ = 0. −1. Dados quatro vetores no espa¸co. Diz-se que o vetor v ´e combina¸c˜ ao linear dos vetores v1 . 2. v2 . Tomemos a reta OA. b. se tomarmos dois pontos arbitr´ arios P0 = (x0. z0) e . onde se escolheu um sistema de coordenadas OXYZ. o ponto P = (x.29 Equa¸c˜ ao do Plano No espa¸co E. e somente se. z) pertence ao plano Π se. pelo ponto A = (a. isto ´e. Afirmamos que existe um n´ umero real d tal que a equa¸c˜ao do plano Π ´e ax + by + cz = d. y0. Com efeito. que passa pela origem. y. seja Π um plano. c) e ´e perpendicular ao plano Π. suas coordenadas satisfazem a rela¸c˜ao acima. o segmento PP0 ´e ortogonal a OA. y0. Discutiremos agora quando ´e que duas equa¸c˜oes definem o mesmo plano. z = tc) . sua equa¸c˜ao ´e satisfeita quando x = y = z = 0. ax0 + by0 + cz0 = d e. Conclus˜ ao: P = (x. y. Para que a reta OA seja determinada. y = tb. planos paralelos ou planos concorrentes. y. Para provar esta u ´ltima afirma¸c˜ao.1) (29. c) e A ′ = (a ′ . z) pertence ao plano Π se. ou seja. o ponto A ′ pertence `a reta OA (cujas equa¸c˜oes param´etricas s˜ ao x = ta. se as coordenadas do ponto P = (x. como acabamos de ver. ou seja. z1) no plano Π. c ′ ). b. c) n˜ao podem ser todas iguais a zero. ambos perpendiculares ao plano Π. b ′ = kb. Seja qual for a n´ umero real k 6= 0. y. o segmento P0P1 ´e ortogonal a OA. c ′ = kc e d ′ = kd. se as equa¸c˜oes ax + by + cz = d e a ′ x + b ′ y + c ′ z = d ′ definem o mesmo plano [isto ´e. y. tomando P0 = (x0. a express˜ao ax + by + cz assume um valor constante para todo ponto P = (x. Portanto. com A = (a. Reciprocamente. definido pelas duas equa¸c˜oes. z) ∈ Π ⇒ ax + by + cz = d. Se o plano Π cont´em a origem O. tˆem as mesmas solu¸c˜oes (x.2) Portanto. ax + by + cz = d. b. observemos que. Portanto P ∈ Π. z)] ent˜ao existe k 6= 0 tal que a ′ = ka. Assim. logo as coordenadas do ponto A = (a. sendo os segmentos OA e OA ′ . y1. deve-se ter A 6= 0. tem-se a(x1 − x0) + b(y1 − y0) + c(z1 − z0) = 0. sempre que nos referirmos `a equa¸c˜ao ax + by + cz = d como equa¸c˜ao de um plano. logo ax1 + by1 + cz1 = ax0 + by0 + cz0. P = (x. b ′ . as equa¸c˜oes ax + by + cz = d e kax + kby + kcz = kd definem o mesmo plano. Reciprocamente. z0) ∈ Π tem-se. por subtra¸c˜ao vem a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0. Este valor ´e o que chamamos de d.Equa¸c˜ ao do Plano 189 Se¸c˜ ao 29 P1 = (x1. y. z) em Π. z) satisfazem a rela¸c˜ao ax + by + cz = d ent˜ao. (29. logo d = 0 e a equa¸c˜ao de Π tem a forma ax + by + cz = 0. e somente se. fica tacitamente admitido que a2 + b2 + c2 6= 0. definidos por estas equa¸c˜oes. se os planos Π e ′ Π . (*) sejam paralelos (isto ´e. c ′ = kc e d ′ 6= kd. definidos pelas equa¸c˜oes ax + by + cz = d e a ′ x + b ′ y + c ′ z = d ′ . s˜ ao paralelos ent˜ao os segmentos OA e OA ′ . z) ∈ Π ⇒ ax + by + cz = d ⇒ kax + kby + kcz = kd ⇒ a ′ x + b ′ y + c ′ z = kd 6= d ′ ⇒P∈ / Π ′. para algum k 6= 0. como . perpendiculares a esses planos. Reciprocamente. tˆem uma reta em comum se. b ′ = kb. Completando a discuss˜ ao. b ′ = kb e c ′ = kc. Com efeito. Mas deve ser necessariamente d ′ 6= kd pois do contr´ario as equa¸c˜oes (*) definiriam o mesmo plano e ter´ıamos Π = Π ′ . c) e v ′ = (a ′ . b ′ . c ′ = kc. Isto nos d´a outra maneira de representar analiticamente uma reta no espa¸co. resta uma u ´ltima possibilidade: a fim de que os planos Π e Π ′ . para algum ′ ′ ′ k 6= 0 tem-se a = ka. y0. (*) n˜ao coincidam nem sejam paralelos (portanto se intersectem segundo uma reta) ´e necess´ario e suficiente que para nenhum k ∈ R (o qual ´e necessariamente 6= 0 pois os coeficientes da equa¸c˜ao de um plano n˜ao podem ser todos nulos) se tenha a ′ = ka. logo. d ′ 6= kd implicam que os planos Π e Π ′ s˜ ao paralelos. b ′ = kb. z0) em Π temos d ′ = a ′ x0 + b ′ y0 + c ′ z0 = kax0 + kby0 + kcz0 = k(ax0 + by0 + cz0) = kd. definidos pelas equa¸c˜oes ax + by + cz = d e a ′x + b ′y + c ′z = d ′. n˜ao tenham pontos em comum) ´e necess´ario e suficiente que. s˜ ao colineares. Noutras palavras. b. c ′ ) n˜ao s˜ ao m´ ultiplos um do outro. os planos Π e Π ′ . definidos pelas equa¸c˜oes (*). e somente se. y. com k 6= 0 pois A ′ 6= 0. Al´em de ser descrita por suas equa¸c˜oes param´etricas. tomando um ponto P0 = (x0. b ′ = kb e c ′ = kc. se estas rela¸c˜oes s˜ ao satisfeitas ent˜ao P = (x.190 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear logo a ′ = ka. A fim de que os planos Π e Π ′ . b = kb e c = kc. os vetores n˜ao-nulos v = (a. Logo as condi¸c˜oes a ′ = ka. Al´em disso. se tenha a ′ = ka. A distˆ ancia entre os planos Π e Π ′ ´e igual `a distˆ ancia entre os pontos P = (ta. y = 3 − 2t. com o mesmo primeiro membro. t ′ b. c) e v ′ = (a ′ . dado pela equa¸c˜ao ax + by + cz = d ′ . ´e perpendicular aos planos Π e Π ′ e os intersecta nos pontos P e P ′ respectivamente. bt. a reta r pode ser caracterizada como o conjunto dos pontos P = (x. tc) e P ′ = (t ′ a. t ′ c). Qual ´e a distˆ ancia entre esses planos? A reta r = {(at.Se¸c˜ ao 29 Equa¸c˜ ao do Plano 191 vimos na Se¸c˜ao 7. t ∈ R}. Exemplo 29. z) cujas coordenadas s˜ ao as solu¸c˜oes do sistema de equa¸c˜oes (*). 4x + 5y + 6z = 15 cont´em os pontos (0. 0) e (1. Deduziremos agora a f´ormula da distˆ ancia de um ponto a um plano. c ′ ) n˜ao s˜ ao m´ ultiplos um do outro. 1. b. 1) logo suas equa¸c˜oes param´etricas s˜ ao x = t. Examinaremos mais detidamente a quest˜ao do paralelismo ou interse¸c˜ao de planos quando estudarmos sistemas lineares. ct). definido pela equa¸c˜ao ax + by + cz = d. Inicialmente consideremos o plano Π. y. 3. z = t.1 A reta definida pelo par de equa¸c˜oes x + 2y + 3z = 6. e o plano Π ′ . tb. onde os vetores v = (a. b ′ . Eles s˜ ao paralelos se d 6= d ′ e coincidem quando d = d ′ . Devemos portanto determinar os . que passa pela origem. um plano ou o espa¸co todo. dado pela equa¸c˜ao ax + by + cz = d. 5. −2) e D = (8. determinemos a distˆ ancia do ponto P = (x0. d) P = (x0 . temos a(ta) + b(tb) + c(tc) = d. 3. Da´ı decorre facilmente que d(P ′ . y0. 4. B = (2. Em seguida. y0 . Como P ∈ Π. 3). definido pela equa¸c˜ao ax + by + cz = d0. 2. P) = √ |d ′ − d| a2 + b2 + c2 . Obtenha uma equa¸c˜ ao para o plano que cont´em o ponto P e ´e perpendicular ao segmento de reta AB nos seguintes casos: a) P = (0. 0). 5. A = (2. 3). Π) de P0 ao plano Π ´e igual `a distˆ ancia entre os planos Π0 e Π. 2). Prove que X ´e uma reta. 2). B = (x2 . paralelo a (ou coincidente com) Π. 2. 2). A = (x1 . c) P = (3. a2 + b2 + c2 Exemplo 29. 3. Mostre que as retas AB e CD s˜ ao concorrentes e ache uma equa¸c˜ ao para o plano que as cont´em. y2 . z0) ao plano Π. a distˆ ancia d(P0. B = (7. 1. 0. . 4). C = (5. −1).2 A distˆ ancia da origem ao plano ax + by + cz = d ´e igual √ a |d|/ a2 + b2 + c2.192 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear valores de t e t ′ . Se escrevermos d0 = ax0 + by0 + cz0. 1. Al´em disso. veremos que o ponto P0 pertence ao plano Π0. 5). Exerc´ıcios 1. B = (5. 1. Sejam A = (−1. −2). z0 ). Sejam A = (3. A = (1. Π) = |ax0 + by0 + cz0 − d| √ . Portanto d(P0. 1. b) P = (1. 4. 1. B = (2. −1. B = (4. donde t= d . 3. 3. 2. Seja X um conjunto no espa¸co que cont´em pelo menos dois pontos. 5) e C = (1. t ′ = d ′ /(a2 + b2 + c2). 3). z1 ). y1 . Suponha que X tem a seguinte propriedade: a reta que une dois pontos quaisquer de X est´ a contida inteiramente em X. z2 ). 12). Obtenha uma equa¸c˜ ao para o plano que cont´em a reta AB e o ponto C. A = (3. 2). a2 + b2 + c2 Analogamente. 3. −6). b. y e z. 2. 0. −x + 8y + 7z). (b) sejam paralelas. a condi¸c˜ ao para que cada um dos pontos A. 9. sejam quais forem os valores atribu´ıdos a x. 2. Dados os pontos A = (1. 1). 0) e (0. Ache uma equa¸c˜ ao para o plano determinado por elas. 2). v ′ a fim de que essas retas (a) coincidam. O ancia da origem a Π ´e √ plano Π cont´em o ponto A = (a. −2x+ y − z. O plano Π tem a seguinte propriedade: se P. c) e raio r? 11. Qual ´e a equa¸c˜ ao do plano tangente. B e C perten¸ca ao plano ax + by + cz = d. 3) e C = (−1. Existe um plano que passa pela origem e cont´em o ponto P = (x+2y+3z. Estabele¸ca condi¸c˜ oes sobre os pontos A. Use as coordenadas de P para achar uma equa¸c˜ ao do tipo ax+by+cz = d para esse plano. Prove que Π cont´em a origem O. A ′ e os vetores v. Escreva as equa¸c˜ oes param´etricas da reta que passa pelo ponto P = (1. 12. 3. z0 ). y0 . Q ∈ Π e OP + OQ = OR ent˜ ao R ∈ Π. 1)? 17. por meio de equa¸c˜ oes. tem-se r = {A + sv.Exerc´ıcios 193 5. b. Ache uma equa¸c˜ ao desse plano. (c) sejam reversas. 0) em rela¸c˜ ao ao plano x + 2y − z = 5? 13. ` a esfera com centro A = (a. Ache a equa¸c˜ ao desse plano. s ∈ R} e r ′ = {A ′ + tv ′ . (0. 0. Qual ´e o sim´etrico do ponto P = (3. no ponto P = (x0 . 6. t ∈ R}. c) respectivamente. 7. 8. c) e a distˆ a2 + b2 + c2 . B = (1. OY e OZ nos pontos (a. b. . 16. Sejam AB e CD retas paralelas. 7. Ache as coordenadas do ponto do plano 2x + y − 2z = 12 que est´ a mais pr´ oximo da origem. Qual ´e o ponto do plano 2x − 3y + z = 5 mais pr´ oximo do ponto P = (1. 15. Supondo abc 6= 0. 2. escreva a equa¸c˜ ao do plano que corta os eixos OX. −→ −−→ −→ 14. (d) sejam coplanares. obtenha as coordenadas de um ponto P tal que o segmento OP seja perpendicular ao plano ABC. Resolva o exerc´ıcio anterior escrevendo. 3) e ´e perpendicular ao plano x − 3y + 2z = 1. 0). 10. Escrevendo as equa¸c˜ oes param´etricas das retas r e r ′ sob a forma vetorial. 1. y) dos pontos de uma reta. Como sabemos. que os coeficientes a e b n˜ao se anulam simultaneamente. Uma solu¸ca ˜o do sistema linear a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 (*) ´e um par (x. representadas pelas duas equa¸c˜oes.30 Sistemas de Equa¸c˜ oes Lineares com Duas Inc´ ognitas Salvo men¸c˜ao expl´ıcita em contr´ario. imposs´ıvel ou determinado quando admite mais de uma solu¸c˜ao. imposs´ıvel ou determinado. fica convencionado que. nenhuma solu¸c˜ao ou uma u ´nica solu¸c˜ao respectivamente. . coincidam. ao escrevermos uma equa¸c˜ao ax + by = c. y satisfazem ambas equa¸c˜oes. O sistema (*) se diz indeterminado. de modo que o sistema ´e indeterminado. cada equa¸c˜ao em (*) tem como solu¸c˜oes as coordenadas (x. isto ´e. sejam paralelas ou sejam concorrentes respectivamente. y) ∈ R2 cujas coordenadas x. estaremos admitindo tacitamente que a2 + b2 6= 0. conforme as retas r1 e r2. a2). todos em R2. w = (b1. c2) da matriz M s˜ ao colineares (m´ ultiplos um do outro). b1c2−c1b2 ´e diferente de zero. ´e uma matriz 2 × 3. e somente se. a2 b2 a2 b2 c2 Eles s˜ ao exemplos de matrizes: m ´e uma matriz quadrada. uma matriz 2 × 2. em R3. devemos examinar os quadros dos coeficientes a1 b1 a1 b1 c1 m= e M= . c1) e L2 = (a2. O sistema (*) ´e imposs´ıvel quando as retas a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2 s˜ ao paralelas. b2). isto ´e. b1. como sabemos. b1. c1) e L2 = (a2. Para que isto aconte¸ca. suas equa¸c˜oes definem a mesma reta. b2 = kb1 e c2 = kc1. e somente se a1b2−b1a2 = 0 mas pelo menos um dos n´ umeros a1c2−c1a2. existe um n´ umero k 6= 0 tal que a2 = ka1. c2). ´e necess´ario e suficiente que exista k 6= 0 com a2 = ka1. Uma forma de exprimir esta condi¸c˜ao sem referˆencia ao n´ umero k consiste em dizer que a1b2 − a2b1 = a1c2 − a2c1 = b1c2 − b2c1 = 0. J´a M tem duas linhas e trˆes colunas. o sistema (*) ´e imposs´ıvel se. v = (b1. enquanto suas colunas s˜ ao os vetores u = (a1. Suas linhas s˜ ao os vetores L1 = (a1. Diz-se que m ´e a matriz e M ´e a matriz aumentada do sistema (*). Logo o sistema (*) ´e indeterminado se. Sabemos que isto ocorre se. b2) e w = (c1. b1) e l2 = (a2. ou seja. c2). a2). b2). Suas linhas s˜ ao os vetores l1 = (a1. . Duas retas que possuem mais de um ponto em comum devem coincidir. com duas linhas e duas colunas. e suas colunas s˜ ao os vetores v = (a1. pertencentes a R2. e somente se.Se¸c˜ ao 30 Sistemas de Equa¸c˜ oes Lineares com Duas Inc´ ognitas 195 Para decidir em qual dessas trˆes alternativas se enquadra o sistema (*). b2 = kb1 e c2 6= kc1. b2. os vetores-linha L1 = (a1. b2. Equivalentemente. os dois sistemas abaixo possuem as mesmas solu¸c˜oes: a1x + b1y = c1 a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 (a2 + ka1)x + (b2 + kb1)y = c2 + kc1. pode tamb´em ser olhado em termos das colunas u = (a1. Para resolver o sistema pelo m´etodo da elimina¸ca ˜o. Dois sistemas dizem-se equivalentes quando admitem as mesmas solu¸c˜oes. quando o determinante a1b2 − a2b1 ´e diferente de zero. Portanto. quando a1b2 − a2b1 6= 0 as retas a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2 se cortam num certo ponto (x0. escolhe-se o n´ umero k de modo que um dos coeficientes a2 + ka1 ou b2 + kb1 seja zero. O sistema (*). Quando se substitui uma das equa¸c˜oes do sistema pela soma desta equa¸c˜ao com um m´ ultiplo da outra. y0). obt´em-se um sistema equivalente. Sob este ˆangulo. Finalmente. Dito de outro modo: quando os vetores-linha ℓ1 = (a1. ent˜ao. afirmar que (x. Diz-se que um vetor w ´e combina¸ca ˜o linear dos vetores u e v quando existem n´ umeros x. o sistema (*) ´e determinado quando n˜ao ´e indeterminado nem imposs´ıvel. Sob o ponto de vista geom´etrico. Isto ocorre quando as retas a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2 s˜ ao concorrentes. v = (b1. b2) s˜ ao tais que a a1b2 − a2b1 6= 0 ent˜ao qualquer vetor w = (c1. b2). c2) em R2 se exprime (de modo u ´nico) como combina¸c˜ao linear deles. b1) e ℓ2 = (a2. para todo k ∈ R. que foi analisado acima sob o ponto de vista de suas linhas. y tais que w = xu + yv. o sistema possui solu¸c˜ao se. b2) da matriz m n˜ao s˜ ao m´ ultiplos um do outro. w = (c1. e somente se. Isto d´a imediatamente o valor de uma das inc´ognitas. a2) e v = (b1. w ´e combina¸c˜ao linear dos vetores u e v. da discuss˜ ao acima que se esses vetores u = (a1. c2) de sua matriz aumentada. quando u e v n˜ao s˜ ao m´ ultiplos um do outro) diz-se que os vetores u e v s˜ ao linearmente independentes. o qual ´e substitu´ıdo na primeira equa¸c˜ao para encontrar o outro valor. ou seja. y) ´e uma solu¸c˜ao do sistema equivale a dizer que w = xu + yv. a2). Resulta.196 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear O n´ umero a1b2 − b1a2 chama-se o determinante da matriz a1 b1 m= a2 b2 do sistema. Neste caso (isto ´e. Noutras palavras. . Exerc´ıcios 197 Para qualquer n´ umero k. se duas das equa¸c˜ oes representam retas concorrentes. Exerc´ıcios 1. b3 = b1 + kb2 e c3 = c1 + kc2. e somente se. Quantos gramas de cada uma deve-se tomar a fim de formar 100 gramas de uma liga com igual quantidade de ouro e prata? . Sejam a1 x + b1 y = c1 e a2 x + b2 y = c2 retas que se intersectam no ponto P. mostre que o sistema possui solu¸c˜ ao (´ unica) se. Uma liga L1 cont´em 30% de ouro e 70% de prata e uma liga L2 tem 60% de ouro e 40% de prata. supondo que as retas dadas sejam paralelas. Prove que uma reta do plano passa por P se. 5. a reta a3x + b3y = c3 ainda passa pelo ponto (x0. No exerc´ıcio anterior. o que permite determinar imediatamente uma das coordenadas x0 ou y0 . 3. pondo a3 = a1 + ka2. que se pode dizer sobre a reta (αa1 + βa2 )x + (αb1 + βb2 )y = αc1 + βc2 ? 4. y0). Escolher k de modo a anular um dos coeficientes a3 ou b3 equivale a obter a reta a3x + b3y = c3 horizontal ou vertical. Num sistema de 3 ou mais equa¸c˜ oes a 2 inc´ ognitas. 2. Admitindo que a1 e a2 n˜ ao s˜ ao simultaneamente nulos. prove que a1 b2 −a2 b1 =0 e a1 c2 − a2 c1 = 0 implicam b1 c2 − b2 c1 = 0. as demais equa¸c˜ oes s˜ ao combina¸c˜ oes lineares dessas duas. sua equa¸c˜ ao ´e da forma (αa1 + βa2 )x + (αb1 + βb2 )y = αc1 + βc2 onde α e β s˜ ao n´ umeros reais n˜ ao simultaneamente nulos. e somente se. Na situa¸c˜ ao dos dois exerc´ıcios anteriores. diz-se que a terceira equa¸c˜ ao ´e combina¸c˜ ao linear das duas primeiras. z) ∈ R3 chama-se uma solu¸ca ˜o do sistema a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 (*) quando suas coordenadas x. b1. Fixado um sistema de coordenadas OXYZ no espa¸co E.31 Sistemas de Equa¸c˜ oes Lineares com Trˆ es Inc´ ognitas O terno (x. Os planos Π1 e Π2 podem ser paralelos. A primeira ´e chamada a matriz do sistema e. c2). b2. podem coincidir ou podem intersectar-se segundo uma reta. o sistema (*) pode ser imposs´ıvel (sem solu¸c˜ao) no primeiro caso ou indeterminado (com uma infinidade de solu¸c˜oes) no segundo caso. a matriz aumentada: a1 b1 c1 a1 b1 c1 d1 m= M= a2 b2 c2 a2 b2 c2 d2 . Tal atitude n˜ao se justifica. Correspondentemente a estas alternativas. y. z satisfazem ambas equa¸c˜oes. onde A1 = (a1. a segunda. O sistema (*) d´a origem `as duas matrizes abaixo. c1) e A2 = (a2. y. procurando entre elas as que melhor respondem ao problema que conduziu ` as equa¸c˜oes. cabendo-nos descrever explicitamente suas solu¸c˜oes. Esses sistemas s˜ ao interessantes. as equa¸c˜oes acima representam planos Π1 e Π2 que s˜ ao perpendiculares respectivamente ` as retas OA1 e OA2. Nos estudos elementares costuma-se dar pouca importˆ ancia aos sistemas indeterminados. t) e w = (x ′ . t) em R4. z. y ´e a segunda. 0. . etc – h´a um elemento privilegiado 0 = (0. t) ´e o vetor α · v = (αx. Qualquer vetor v = (x. z. z + z ′ . t). 1) e (1. z ′ . t ′ ) dizem-se iguais quando x = x ′ . Isto n˜ao acontece no espa¸co. 0). b2. y. os vetores (1. y. 0. onde todos os pontos s˜ ao iguais. em R3. d1) e L2 = (a2. 1. z. etc. 3. nem no plano euclidiano. 0. αy. z = z ′ e t = t ′ . e3 = (0. A soma de dois vetores v = (x. 0. R2. 1. y. αt). Os n´ umeros x. 0) que serve de origem a todos os vetores. 0) e e4 = (0. 0. y. 0. 0. 0. 0) + (0. e2 = (0. y ′ . 2. c1. t ′ ) ´e o vetor v + w = (x + x ′ . z. quando um deles tem o privil´egio de ser escolhido como a origem. z. Estas opera¸c˜oes gozam das mesmas propriedades formais j´a estabelecidas para vetores do espa¸co tridimensional. 0. y. 0). O espa¸co R4 ´e o conjunto cujos elementos s˜ ao as listas ordenadas (x. Cada uma dessas listas pode ser chamada de um ponto P = (x. b2. z. z. 1). 0. y. z. Chamam-se vetores unit´ arios b´ asicos de R4 aos vetores e1 = (1. y + y ′ . t) escreve-se como uma combina¸c˜ao linear v = x · e1 + y · e2 + z · e3 + t · e4 pois x · e1 + y · e2 + z · e3 + t · e4 = (x. z ′ . Em R4 – como em R3. c1) e ℓ2 = (a2. s˜ ao as linhas da matriz do sistema. t) = v. ou de um vetor v = (x. 0) + (0. y. y. por exemplo. b1. t) de quatro n´ umeros reais. y ′ . z. t): x ´e a primeira coordenada. y. 2. 0. 0) + (0. c2). b1. y. t) e w = (x ′ . pelo menos at´e introduzirmos um sistema de eixos.Se¸c˜ ao 31 Sistemas de Equa¸c˜ oes Lineares com Trˆ es Inc´ ognitas 199 Os vetores ℓ1 = (a1. z. t) = (x. 3. y = y ′ . t s˜ ao chamados as coordenadas do vetor v = (x. 0. Assim. αz. c2. Para falar dos vetores-linha L1 = (a1. diremos algumas palavras sobre o espa¸co R4. Dois vetores v = (x. t + t ′ ) e o produto do n´ umero real α pelo vetor v = (x. d2) da matriz aumentada. y. z. 1) s˜ ao diferentes porque suas segundas (e terceiras) coordenadas s˜ ao diferentes. 0. 0. a partir das quais ´e definido o conceito de vetor. Aqui. d) e um vetor v = (m. podemos considerar o espa¸co n-dimensional Rn. foi este o argumento usado para atribuir exatamente trˆes coordenadas a cada ponto P do espa¸co E. partimos do modelo aritm´etico R4 e a ele aplicamos a linguagem vetorial-geom´etrica j´a desenvolvida antes para o plano e para o espa¸co euclidiano de dimens˜ ao 3. vemos que Πxy ∩ Πzt = {0}. y ∈ R} e. analogamente. y ∈ R} pode ser descrito como o plano Πxy = {0 + x · e1 + y · e2. no qual foi fixado um sistema de eixos ortogonais. (Se o espa¸co E tivesse mais de trˆes dimens˜ oes. . 0. O plano Π ´e ent˜ao o conjunto Π = {A + α · v1 + β · v2. t) = z · e3 + t · e4. y. Isto contrasta com o espa¸co tridimensional E (ou com R3). n. nenhum dos dois ´e m´ ultiplo do outro). . . faltanos uma intui¸c˜ao geom´etrica com base experimental pois o espa¸co em que vivemos ´e apenas tridimensional. em E. pressup˜oem-se conhecidas as no¸c˜oes geom´etricas b´asicas. Para cada n´ umero natural n. poderia ocorrer que um plano tirado por P paralelamente a Πyz n˜ao cortasse o eixo OX. Como vimos na Se¸c˜ao 24. a partir da´ı prova-se que. uma reta r em R4 ´e determinada por um ponto A = (a. Assim. Tem-se r = {A + α · v. α ∈ R}. . onde dois planos distintos que tˆem um ponto em comum ´ precisamente este u tˆem tamb´em uma reta em comum. Por este motivo. x. Πzt ´e o plano formado pelos pontos da forma (0. z.) Nada (exceto o projeto deste livro) nos obriga a parar em R4. 0. xn) de n n´ umeros reais. . Com efeito. se a reta OX tem um ponto O em comum com o plano Πyz e o plano Π ´e paralelo a Πyz ent˜ao a reta OX tem exatamente um ponto em comum com o plano Π. x. J´a em quatro dimens˜ oes. x2. q). 0) ∈ R4. Por exemplo. c. c. v2 ∈ R4 linearmente independentes (isto ´e. α.200 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Nos casos de espa¸cos com dimens˜ ao ≤ 3. d) e por dois vetores v1. p. cujos elementos s˜ ao as listas ordenadas v = (x1. R2 ´e o modelo aritm´etico de um plano munido de um sistema de eixos e R3 ´e o modelo aritm´etico do espa¸co euclidiano habitual. E ´ltimo fato que caracteriza a tridimensionalidade de E. b. b. com aux´ılio do sistema de eixos OXYZ. portanto a interse¸c˜ao de dois planos em R4 pode reduzir-se a um u ´nico ponto. β ∈ R}. resultando ent˜ao que R ´e o modelo aritm´etico de um eixo. Um plano Π em R4 fica determinado por um ponto A = (a. Πxy = {(x. b1c2 − b2c1 seja diferente de zero. a2). o sistema (*) ´e imposs´ıvel) se. b2). c2 = kc1 e d2 = kd1. a 3. d2) s˜ ao m´ ultiplos de u. u = (a1. e somente se. existe k 6= 0 tal que a2 = ka1. c2) da matriz do sistema n˜ao s˜ ao colineares (m´ ultiplos um do outro). L2 da matriz aumentada. Observa¸ c˜ ao: Como ao menos um dos vetores-coluna. b2 = kb1. logo s˜ ao todos colineares e da´ı b1c2 − b2c1 = b1d2 − b2d1 = c1d2 − c2d1 = 0. w = (c1. Esta condi¸c˜ao equivale a dizer que os vetores-linha ℓ1 = (a1. Mas h´a uma diferen¸ca entre as duas . c1) e ℓ2 = (a2. a1c2 − a2c1. definidos pelas equa¸c˜oes do sistema (*). Isto quer dizer que os vetores-linha da matriz de sistema s˜ ao m´ ultiplos um do outro (ℓ2 = kℓ1) mas isto n˜ao se d´a com os vetores-linha L1. Para que isto aconte¸ca ´e necess´ario e suficiente que (pelo menos) um dos trˆes n´ umeros a1b2 − a2b1. Os planos Π1 e Π2 s˜ ao paralelos (isto ´e. b2. b1d2 − b2d1 ou c1d2 − c2d1 ´e diferente de zero. Neste caso. v = (b1. Finalmente. O sistema (*) tamb´em ´e indeterminado quando suas equa¸c˜oes definem o mesmo plano Π1 = Π2. o sistema (*) ´e indeterminado. as 3 igualdades a1b2 − a2b1 = a1c2 − a2c1 = a1d2 − a2d1 = 0 dizem que os vetores v. existe um n´ umero k 6= 0 tal que a2 = ka1. Tem-se portanto a1b2 − a2b1 = a1c2 − a2c1 = b1c2 − b2c1 = 0 mas ao menos um dos n´ umeros a1d2 − a2d1. b2 = kb1. b1. de fato. coincidem se. c2). Com efeito. e somente se. w e d = (d1. supondo u 6= 0. (*) Sabemos que os planos Π1 e Π2. c2 = kc1 mas d2 6= kd1. Tamb´em podemos exprimir este fato dizendo que os vetores-linha L1 e L2 da matriz aumentada s˜ ao m´ ultiplos um do outro: L2 = k · L1. as 6 condi¸c˜oes acima se reduzem.Se¸c˜ ao 31 Sistemas de Equa¸c˜ oes Lineares com Trˆ es Inc´ ognitas 201 Voltemos ` a discuss˜ ao do sistema de equa¸c˜oes lineares a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2. Isto equivale a dizer que a1b2 − a2b1 = a1c2 − a2c1 = a1d2 − a2d1 = b1c2 − b2c1 = b1d2 − b2d1 = c1d2 − c2d1 = 0. os planos Π1 e Π2 se intersectam segundo uma reta quando n˜ao coincidem nem s˜ ao paralelos. ´e 6= 0. −3x + 2y + 4). quando Π1 ∩ Π2 ´e uma reta. x = t. onde os dois parˆ ametros x. obtendo y = 23 x − 2. Assim as solu¸c˜oes do sistema proposto s˜ ao os ternos 3 x. Exemplo 31. resolvemos o sistema −4y + 2z = 8 − 6x −6y + 2z = 12 − 9x. 2 onde o parˆ ametro x pode assumir qualquer valor real. as solu¸c˜oes do sistema dependem de dois parˆ ametros livres. y. y = 23 t − 2. 0 . no qual se tem z = −3x + 2y + 4. Noutras palavras. Exemplo 31. (x.2 No sistema 6x − 4y + 2z = 8 9x − 6y + 2z = 12 os vetores-linha (6. Exemplo 31. −4. 2) n˜ao s˜ ao colineares pois −4 · 2 − 2 · (−6) 6= 0. Para exprimir todas essas solu¸c˜oes em fun¸c˜ao de um u ´nico parˆ ametro. x − 2.202 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear situa¸c˜oes: quando Π1 = Π2. y. se intersectam segundo uma reta r. y assumem livremente quaisquer valores reais. Portanto. 2) e (9. z) pertence `a reta r = Π1 ∩ Π2 se. z = 0 s˜ ao as equa¸c˜oes param´etricas da reta r. e somente se. as solu¸c˜oes deste sistema s˜ ao os ternos (x. Logo os planos Π1 e Π2. y. z) ´e uma solu¸c˜ao do sistema. essas solu¸c˜oes s˜ ao expressas em fun¸c˜ao de um u ´nico parˆ ametro livre. no qual consideramos y e z apenas como inc´ognitas.1 As equa¸c˜oes do sistema 6x − 4y + 2z = 8 9x − 6y + 3z = 12 definem o mesmo plano. Ilustremos este ponto por meio de exemplos. definidos por estas equa¸c˜oes. O ponto P = (x. −6. z = 0. .3 No sistema 6x − 4y + 2z = 9 9x − 6y + 3z = 12. Como sabemos. o sistema dado ´e imposs´ıvel. y. c3 = αc1 + βc2 e d3 = αd1 + βd2 . d2 ). v. v e w. se algum dos n´ umeros a1b2 − a2b1. a 2 x + b2 y + c2 z = d2 . x + 2y + 3z = 4 2x − y + 5z = 3 6x − 4y + 12z = 2 2x + 3y + 4z = 5 4x − 2y + 10z = 5 9x − 6y + 18z = 3 2. a2). Logo os planos Π1 e Π2. escreva o sistema de duas equa¸c˜ oes com trˆes inc´ ognitas sob a forma x·u+y·v+z·w = d e. Desejo fazer isso de modo a usar o m´ aximo poss´ıvel da liga L1 . s˜ ao paralelos. b3 = αb1 + βb2 . ouro prata L1 30% 70% L2 40% 60% L3 80% 20% quero obter 100g de uma liga L4 formada por igual quantidade de ouro e prata. −4. se dois dos vetores u. a2 ). Mostre que a3 x + b3 y + c3 z = d3 ´e a equa¸c˜ ao de um plano que cont´em essa mesma reta se. o sistema (*) possui solu¸c˜ao se. ou seja. 3) de sua matriz s˜ ao colineares. 9) e (9. e somente se. o vetor d ∈ R2 ´e uma combina¸c˜ao linear d = xu + yv + zw das colunas u. b2 ). c2 ) e d = (d1 . determinados pelas duas equa¸c˜oes. −6. −4. 3. o paralelismo e a concorrˆencia dos planos definidos pelas equa¸c˜ oes a1 x + b1 y + c1 z = d1 . β ∈ R tais que a3 = αa1 + βa2 . 2. b2). 2) e (9. Quantos gramas devo tomar de cada liga? . 0). w = (c1 . Na linha do exerc´ıcio anterior. a partir da´ı. existem α. b1c2 − b2c1 ´e diferente de zero) ent˜ao qualquer vetor d em R2 ´e combina¸c˜ao linear deles dois (logo dos trˆes) e o sistema possui solu¸c˜ao. Considerando os 4 vetores-coluna u = (a1 . 5. 4. No caso afirmativo. cujas percentagens de ouro e prata s˜ ao dadas na tabela abaixo. v = (b1. Sejam a1 x + b1 y + c1 z = d1 e a2 x + b2 y + c2 z = d2 as equa¸c˜ oes de 2 planos que tˆem a reta r em comum. a1c2 − a2c1. 3. Exerc´ıcios 1. mostre que se a1 b2 − a2 b1 6= 0 ent˜ ao o sistema admite sempre uma solu¸c˜ ao do tipo (x. d2) da matriz aumentada. interprete a coincidˆencia. w = (c1. v = (b1 . w s˜ ao n˜ao-colineares (isto ´e. −6. decida se existem ou n˜ ao solu¸c˜ oes. exiba todas as solu¸c˜ oes do sistema em termos de um ou dois parˆ ametros independentes. L2 e L3 . Dispondo de trˆes ligas L1 .Exerc´ıcios 203 os vetores-linha (6. Sob o ponto de vista dos vetores-coluna u = (a1. mas o mesmo n˜ao ocorre com os vetores-linha (6. 12) da matriz aumentada. e somente se. Para cada um dos sistemas a seguir. c2) e d = (d1. c2 = kc1 e d2 = kd1 . admitindo que se tˆem realmente trˆes inc´ ognitas. b2 = kb1 .204 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 6. mostre que se a1 b2 − a2 b1 = b1 c2 − b2 c1 = c1 d2 − c2 d1 = 0 ent˜ ao existe k 6= 0 tal que a2 = ka1 . . No sistema a 1 x + b1 y + c1 z = d1 a 2 x + b2 y + c2 z = d2 . Um terno (x. z) ∈ R3 ´e solu¸c˜ao do sistema quando o ponto P = (x. Consideremos o sistema a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 (*) a3x + b3y + c3z = d3. os planos Π1. que s˜ ao respectivamente: a1 b1 c1 a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 e a2 b2 c2 d2 . c2) e ℓ3 = (a3. Eles s˜ ao perpendiculares aos planos Π1. z) pertence `a interse¸c˜ao Π1 ∩ Π2 ∩ Π3. nesta ordem. Π2 e Π3. b2. faremos a interpreta¸c˜ao geom´etrica dos sistemas de trˆes equa¸c˜oes lineares com trˆes inc´ognitas e estabeleceremos as conex˜oes entre a situa¸c˜ao geom´etrica e os coeficientes do sistema. quando P est´a simultaneamente em cada um dos trˆes planos. que ser´a bem mais longa do que as outras. ℓ2 = (a2. c1). a3 b3 c3 a3 b3 c3 d3 Os vetores-linha da matriz do sistema s˜ ao ℓ1 = (a1. Os vetores-linha da matriz aumentada s˜ ao .32 Trˆ es Equa¸c˜ oes Lineares com Trˆ es Inc´ ognitas Nesta se¸c˜ao. y. O sistema (*) tem uma matriz 3 × 3 e uma matriz aumentada 3 × 4. Π2 e Π3 respectivamente. b1. y. c3). b3. Estas equa¸c˜oes definem. isto ´e. de trˆes equa¸c˜oes com trˆes inc´ognitas. v = AC e w = AD por segmentos de reta orientados .) Geometricamente. Ent˜ao tem-se u = 2v − w. ent˜ao u. Exemplo 32.3 Os vetores u = (1. v. logo n˜ao pode ser igual a e1. 2. d3). (Toda combina¸c˜ao linear de u e w tem a forma αu + βw = αu + 3βu = (α + 3β)u logo ´e um m´ ultiplo de u e ent˜ao n˜ao pode ser igual a v. c2. Assim. L2 = (a2. Exemplo 32. Quando os vetores de um conjunto n˜ao s˜ ao linearmente independentes. 6) e w = (3. L2 e L3 tamb´em s˜ ao diferentes do vetor 0 ∈ R4. Se um dos vetores u. se um dos vetores do conjunto ´e igual a zero (que ´e m´ ultiplo de qualquer vetor) ent˜ao os vetores desse conjunto s˜ ao linearmente dependentes. w ´e combina¸c˜ao linear de u e v mas v n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de u e w. b2. 3). 6) e w = (7. v e w s˜ ao linearmente dependentes. β3 tais que v2 = β1v1 + β3v3. 9) s˜ ao linearmente dependentes pois w = 3u. b1. v. Dizemos que os vetores v1. d1) . w s˜ ao linearmente dependentes. e2 n˜ao pode ser combina¸c˜ao linear de e1 e e3. Por motivo an´ alogo. v. w em R3 s˜ ao linearmente dependentes significa afirmar que eles s˜ ao coplanares. . Em particular. uma combina¸c˜ao linear qualquer de e2 e e3 tem a primeira coordenada igual a zero. . A existˆencia de solu¸c˜oes do sistema (*). afirmar que v1. 1) em R3 s˜ ao linearmente independentes.2 Sejam u = (1. e2 = (0. Vejamos este conceito. ℓ1 . quando algum vetor desse conjunto pode escrever-se como combina¸c˜ao linear dos demais. 8. nem n´ umeros β1. 1. w ´e m´ ultiplo do outro.206 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear L1 = (a1. No exemplo acima. 6. 5. vn (em R2. 0. pertencentes ao espa¸co R4. nem e3 de e1 e e2. 9).1 Os vetores e1 = (1. nem tampouco existem γ2. porque podemos escrever w = 0 · u + α · v. R3 ou R4) s˜ ao linearmente independentes quando nenhum deles ´e combina¸c˜ao linear dos demais. d2) e L3 = (a3. que passamos a discutir agora. Exemplo 32. logo L1 . diz-se que os vetores do conjunto dado s˜ ao linearmente dependentes. 0). v = (4. digamos w = α · v. ℓ2 e ℓ3 s˜ ao supostos n˜ao-nulos em R3. que se repre−→ −→ −−→ sentarmos u = AB. c3. c1. Com efeito. 2. isto ´e. logo os vetores u. γ3 tais que v1 = γ2v2 + γ3v3 . 0) e e3 = (0. b3. Como j´a foi dito antes. 5. . dizer que os vetores u. . v2 e v3 s˜ ao linearmente independentes significa dizer que n˜ao se podem encontrar n´ umeros α1. 3). α2 tais que v3 = α1v1 + α2v2. se baseia na dependˆencia ou independˆencia linear desses vetoreslinha. isto ´e. v = (4. 0. Se¸c˜ ao 32 Trˆ es Equa¸c˜ oes Lineares com Trˆ es Inc´ ognitas 207 com o mesmo ponto inicial A ent˜ao os pontos A, B, C e D est˜ao situados num mesmo plano. Em contraposi¸c˜ao, dizer que os vetores u, v e w s˜ ao linearmente independentes significa afirmar que, na situa¸c˜ao acima, os pontos A, B, C e D s˜ ao os v´ertices de um tetraedro. Se os vetores u, v, w s˜ ao linearmente dependentes mas nenhum deles ´e m´ ultiplo do outro ent˜ao qualquer um deles ´e combina¸ca˜o linear dos outros dois. Com efeito, se tivermos (digamos) w = αu + βv ent˜ao α e β s˜ ao ambos diferentes de zero pois w n˜ao ´e m´ ultiplo de v nem de u. Logo temos β 1 u=− v+ w α α e α 1 v = − u + w. β β Exemplo 32.4 Sejam u = (1, 2, 3), v = (2, 4, 5) e w = (1, 2, 5). Nenhum desses vetores ´e m´ ultiplo de outro. Logo, se eles forem linearmente dependentes, poderemos escrever u = αv + βw, ou seja, (1, 2, 3) = (2α, 4α, 5α) + (β, 2β, 5β) = (2α + β, 4α + 2β, 5α + 5β). Isto significa: 2α + β = 1, 4α + 2β = 2, 5α + 5β = 3. Ora, das equa¸c˜oes 2α + β = 1, 5α + 5β = 3 nos d˜ao α = 2/5, β = 1/5. Estes valores de α e β satisfazem a equa¸c˜ao 4α + 2β = 2. Logo u pode ser expresso como combina¸c˜ao linear de v e w, a saber: u = 52 v + 15 w. Portanto u, v e w s˜ ao vetores linearmente dependentes. 208 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear O exemplo acima sugere um m´etodo geral para decidir se um vetor u = (a1, b1, c1) ´e ou n˜ao uma combina¸c˜ao linear u = αv + βw dos vetores v = (a2, b2, c2) e w = (a3, b3, c3). Se um dos vetores v, w ´e m´ ultiplo do outro, a igualdade u = αv+βw significa que u tamb´em ´e m´ ultiplo de v ou w, o que pode ser constatado por mera inspe¸c˜ao. Se u e v n˜ao s˜ ao colineares, pelo menos um dos n´ umeros a1b2 −a2b1, a1c2 − c1a2, b1c2 − c1b2 ´e diferente de zero. Seja, por exemplo, a1b2 − a2b1 6= 0. Ent˜ao existe um (e somente um) par de n´ umeros α, β tais que αa1 +βa2 = a3 e αb1 +βb2 = b3. Obtidos estes n´ umeros α e β, testa-se a igualdade αc1 + βc2 = c3. Se ela for verdadeira, ent˜ao u = αv + βw (com estes valores de α e β). Se ela for falsa, u n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de v e w e os vetores u, v, w s˜ ao linearmente independentes. Voltemos ao sistema (*). Do ponto de vista da existˆencia ou n˜ao de solu¸c˜oes do mesmo, h´a oito situa¸c˜oes poss´ıveis dos planos Π1, Π2 e Π3, definidos pelas trˆes equa¸c˜oes. Examinaremos essas situa¸c˜oes e mostraremos como identific´a-las a partir dos vetores-linha ℓ1, ℓ2, ℓ3 da matriz do sistema e L1, L2, L3 da matriz aumentada. 1o caso: Os trˆ es planos coincidem. Π1 = Π2 = Π3. Neste caso, o sistema ´e indeterminado. Todos os pontos (x, y, z) ∈ Π1 s˜ ao solu¸c˜oes. Esta situa¸c˜ao acontece se, e somente se, os vetores L1, L2 e L3 s˜ ao colineares, isto ´e, m´ ultiplos uns dos outros. Exemplo 32.5 Seja o sistema x + 2y − z = 3 2x + 4y − 2z = 6 3x + 6y − 3z = 9. Se¸c˜ ao 32 Trˆ es Equa¸c˜ oes Lineares com Trˆ es Inc´ ognitas 209 Temos L1 = (1, 2, −1, 3), L2 = (2, 4, −2, 6), L3 = (3, 6, −3, 9), logo L2 = 2L1 e L3 = 3L1. As solu¸c˜oes do sistema s˜ ao todos os ternos (x, y, x + 2y − 3), onde x, y ∈ R s˜ ao arbitr´ arios. e paralelo a 2o caso: Dois dos planos coincidem e o terceiro ´ eles. Π1 = Π2 e Π3//Π1. Neste caso, o sistema n˜ao possui solu¸c˜ao: ´e imposs´ıvel. Esta situa¸c˜ao ocorre quando L2 = α · L1 (logo ℓ2 = α · ℓ1), ℓ3 = β · ℓ1 mas L3 n˜ao ´e m´ ultiplo de L1. Exemplo 32.6 No sistema x + 2y − z = 3 2x + 4y − 2z = 6 3x + 6y − 3z = 8, tem-se L2 = 2L1, ℓ3 = 3ℓ1 mas L3 n˜ao ´e m´ ultiplo de L1. Portanto este sistema n˜ao tem solu¸c˜ao. 3o caso: Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta. Π1 = Π2 e Π1 ∩ Π3 = r. Neste caso o sistema ´e indeterminado. Suas solu¸c˜oes s˜ ao as coordenadas (x, y, z) dos pontos da reta r. Reconhece-se esta situa¸c˜ao notando que L2 = α · L1 (logo ℓ2 = α · ℓ1) mas ℓ3 n˜ao ´e m´ ultiplo de ℓ1. 210 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Exemplo 32.7 O sistema x + 2y − z = 3 2x + 4y − 2z = 6 3x + 6y + z = 9 apresenta Π1 = Π2 mas ℓ3 = (3, 6, 1) n˜ao ´e m´ ultiplo de ℓ1 = (1, 2, −1), logo a interse¸c˜ao Π3 ∩ Π1 ´e a reta r, formada pelos pontos P = (x, y, z) cujas coordenadas s˜ ao as solu¸c˜oes do sistema x + 2y − z = 3 3x + 6y + z = 9 2y − z = 3 − x ou 6y + z = 9 − 3x Resolvendo-o na segunda forma, obtemos y = (3 − x)/2 e z = 0. Portanto as solu¸c˜oes do sistema dado s˜ ao (x, (3 − x)/2, 0), para qualquer valor real de x. Estes pontos formam uma reta em R3, cujas equa¸c˜oes param´etricas s˜ ao x = t, y = 23 − 2t e z = 0. ao paralelos dois a dois. Neste 4o caso: Os planos Π1, Π2 e Π3 s˜ caso, o sistema n˜ao admite solu¸c˜ao: ´e imposs´ıvel. Em termos dos vetores-linha, a presente situa¸c˜ao se d´a quando cada um dos vetores ℓ1, ℓ2 e ℓ3 ´e m´ ultiplo de outro mas os vetores L1, L2, L3 s˜ ao dois a dois n˜ao-colineares. Se¸c˜ ao 32 Trˆ es Equa¸c˜ oes Lineares com Trˆ es Inc´ ognitas 211 Exemplo 32.8 Este ´e o caso do sistema x + 2y − z = 3 2x + 4y − 2z = 4 3x + 6y − 3z = 5, para o qual se ℓ1 = (1, 2, −1), ℓ2 = (2, 4, −2) e ℓ3 = (3, 6, −3), logo ℓ2 = 2ℓ1 e ℓ3 = 3ℓ1. Mas as linhas da matriz aumentada, L1 = (1, 2, −1, 3), L2 = (2, 4, −2, 4) e L3 = (3, 6, −3, 5) s˜ ao duas a duas n˜ao-colineares. 5o caso: Os planos Π1 e Π2 s˜ ao paralelos e Π3 os intersecta segundo retas paralelas r e s. Como Π1 ∩ Π2 = ∅, tem-se Π1 ∩Π2 ∩Π3 = ∅, isto ´e, o sistema n˜ao possui solu¸c˜ao: ´e imposs´ıvel. Esta 212 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear situa¸c˜ao geom´etrica caracteriza-se pelas seguintes condi¸c˜oes alg´ebricas: ℓ2 = α · ℓ1 mas L2 n˜ao ´e m´ ultiplo de L1 (paralelismo entre Π1 e Π2). Al´em disso, ℓ3 n˜ao ´e m´ ultiplo de ℓ1 (Π3 e Π1 n˜ao s˜ ao paralelos). Exemplo 32.9 O sistema x + 2y − z = 3 2x + 4y − 2z = 5 x + 2y + z = 9 tem ℓ1 = (1, 2, −1), ℓ2 = (2, 4, −2), ℓ3 = (1, 2, 1) e as linhas aumentadas L1 = (1, 2, −1, 3), L2 = (2, 4, −2, 5), L3 = (1, 2, 1, 9). Vemos que ℓ2 = 2ℓ1 e L2 n˜ao ´e m´ ultiplo de L1. Portanto os planos Π1 e Π2 s˜ ao paralelos. Notamos ainda que o vetor ℓ3 n˜ao ´e m´ ultiplo de ℓ1. Logo o plano Π3 corta os planos paralelos Π1 e Π2 segundo retas paralelas r e s. 6o caso: Π1, Π2 e Π3 s˜ ao trˆ es planos distintos que tˆ em uma reta r em comum. Neste caso o sistema ´e indeterminado. Suas solu¸c˜oes (x, y, z) s˜ ao as coordenadas dos pontos da reta r = Π1 ∩ Π2 ∩ Π3. Caracterizemos algebricamente esta situa¸c˜ao geom´etrica. N˜ ao havendo paralelismo nem coincidˆencia entre dois quaisquer dos planos Π1, Π2, Π3, os vetores ℓ1, ℓ2, ℓ3 s˜ ao dois a dois n˜ao-colineares, ou seja, nenhum deles ´e m´ ultiplo de outro. A reta r, estando contida em cada um dos trˆes planos, ´e perpendicular aos vetores ℓ1, ℓ2 e ℓ3, logo estes vetores s˜ ao Logo r = Π1 ∩ Π2 ∩ Π3. Acabamos de mostrar que se o 6o caso ocorre ent˜ao nenhum dos vetores ℓ1. ou seja r ⊂ Π3. esta u ´ltima igualdade implica ℓ3 = αℓ1 + βℓ2. Isto mostra que todo ponto da reta r = Π1 ∩ Π2 pertence ao plano Π3. z0) sobre a reta r = Π1 ∩Π2. L3 ´e combina¸c˜ao linear de L1 e L2 e nenhum dos vetores ℓ1. Reciprocamente. b3 = αb1 + βb2. Exemplo 32. Ent˜ao a1x0 +b1y0 +c1z0 = d1 e a2x0 + b2y0 + c2z0 = d2. ℓ2. z0) na reta r teremos a1x0 + b1y0 + c1z0 = d1. a2x0 + b2y0 + c2z0 = d2 e d3 = a3x0 + b3y0 + c3z0 = (αa1 + βa2)x0 + (αb1 + βb2)y0 + (αc1 + βc2)z0 = α(a1x0 + b1y0 + c1z0) + β(a2x0 + b2y0 + c2z0) = αd1 + βd2.10 Os planos definidos pelas equa¸c˜oes do sistema x+y+z=1 2x − y + z = 3 5x + 2y + 4z = 6 . Em suma: o 6o caso (trˆes planos distintos com uma reta em comum) ocorre se. Segue-se da´ı que L3 = αL1 + βL2. Π3 s˜ ao distintos e nenhum deles ´e paralelo a outro. y0. y0. ℓ3 ´e m´ ultiplo de outro e L3 = αL1 + βL2. Se tomarmos um ponto qualquer (x0. ℓ2. A rela¸c˜ao L3 = αL1 + βL2 permite que escrevamos a igualdade anterior como a3x0 + b3y0 + c3z0 = d3. Multiplicando a primeira destas igualdades por α. c3 = αc1 + βc2. ℓ3 ´e m´ ultiplo de outro. se valem estas condi¸c˜oes alg´ebricas ent˜ao os planos Π1. a segunda por β e somando vem: (αa1 + βa2)x0 + (αb1 + βb2)y0 + (αc1 + βc2)z0 = αd1 + βd2. Tomemos um ponto (x0. e somente se. Evidentemente.Se¸c˜ ao 32 Trˆ es Equa¸c˜ oes Lineares com Trˆ es Inc´ ognitas 213 coplanares: tem-se ℓ3 = αℓ1 + βℓ2. Π2. Isto nos d´a: a3 = αa1 + βa2. tem-se L3 = 3L1 + L2. . Isto se d´a porque os vetores ℓ1 = (1. Como r e s s˜ ao paralelas. 1) e ℓ3 = (5. ℓ2 e ℓ3 s˜ ao coplanares: tem-se ℓ3 = αℓ1 + βℓ2. 7o caso: Os trˆ es planos se intersectam. vemos que ℓ1. O vetor ℓ3 ´e ortogonal a s porque esta reta est´a contida em Π3. segundo retas r = Π1 ∩ Π2. como se verifica facilmente. dois a dois. Mas n˜ao se pode ter L3 = αL1 + βL2. O sistema ´e indeterminado. o sistema ´e imposs´ıvel. 2 2 onde x assume livremente qualquer valor real. s e t coincidiriam. ℓ2 = (2. Π2 e Π3 equivale a dizer que nenhum dos vetores ℓ1. se ocorre o 7o caso. Suas solu¸c˜oes s˜ ao os pontos da forma 1 3 x. os vetores ℓ1. ℓ2 e ℓ3 s˜ ao ortogonais a r. Os vetores ℓ1 e ℓ2 s˜ ao ortogonais `a reta r porque ela est´a contida em Π1 e em Π2. paralelas umas ` as outras. tem-se ℓ3 = αℓ1 + βℓ2 e L3 6= αL1 + βL2. portanto ℓ1. s = Π1 ∩ Π3 e t = Π2 ∩ Π3. −1. e. Neste caso.214 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear s˜ ao dois a dois distintos e tˆem uma reta em comum. 1). 1. como vimos no final da discuss˜ ao do 6o caso. 2 − x . 2. ao dois a dois Portanto. se isto acontecesse as retas r. ℓ3 ´e m´ ultiplo de outro. ℓ2. x − 1. 4) s˜ ao dois a dois n˜ao-colineares. O fato de n˜ao haver paralelismo nem coincidˆencia entre dois quaisquer dos planos Π1. ℓ2 e ℓ3 s˜ n˜ao-colineares. de modo que ℓ1. ℓ2 e ℓ3 s˜ ao dois . ℓ3 da matriz do sistema s˜ ao linearmente independentes. ℓ2. que L1. logo L3 6= 3L2 − L1. ℓ2 = (3. 8o caso: Os trˆ es planos Π1. Com efeito. Do ponto de vista alg´ebrico. L3 6= αL1 + βL2. Portanto os planos definidos pelas equa¸c˜oes acima se intersectam dois a dois segundo trˆes retas paralelas. n˜ao h´a paralelismo nem coincidˆencia entre esses planos.11 No sistema x + 2y − 3z = 1 3x + u + z = 2 8x + y + 6z = 6. o sistema ´e determinado. Tem-se ℓ3 = 3ℓ2 − ℓ1. Analogamente r//s e s//t. Π2 e Π3 tˆ em um u ´ nico ponto em comum. Observa¸ c˜ ao: Isto equivale a dizer que L3 n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de L1 e L2 ou. paralelas. em primeiro lugar. 1. −3). L2 e L3 s˜ ao linearmente independentes. se Π1∩Π2∩Π2 = {P}. os vetores-linha ℓ1 = (1. e somente se. isto ocorre se. se ℓ3 = αℓ1 + βℓ2 mas. logo os vetores ℓ1. 6) s˜ ao dois a dois n˜ao-colineares. 1. Exemplo 32. ent˜ao o sistema n˜ao tem solu¸c˜ao. Neste caso. portanto Π1 ∩ Π2 ∩ Π3 = ∅ e da´ı as retas coplanares r = Π1 ∩ Π2 e t = Π2 ∩ Π3 s˜ ao disjuntas (pois r ∩ t = Π1 ∩ Π2 ∩ Π3) ou seja. 1) e ℓ3 = (8.Se¸c˜ ao 32 Trˆ es Equa¸c˜ oes Lineares com Trˆ es Inc´ ognitas 215 Reciprocamente. 2. ℓ2 e ℓ3 s˜ ao coplanares. mais simplesmente ainda. os vetores-linha ℓ1. Mas 6 6= 3 × 2 − 1. Portanto ℓ3 n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de ℓ1 e ℓ2. conforme fosse L3 = αL1 + βL2 ou L3 6= αL1 + βL2. ℓ1. c2) e ℓ3 = (a3. c1). Digamos que s n˜ao seja paralela a r. examinando as terceiras coordenadas. conclui-se que. a2. de fato.12 Dado o sistema x + 2y + 3z = 1 2x + y + z = 2 3x − y + 2 = 1. Com efeito. com α = −5/3 e β = 7/3.216 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear a dois n˜ao-colineares. olhando para as duas primeiras coordenadas. tˆem portanto um ponto P em comum. ℓ2. a3). −1) = α · (1. c3) s˜ ao linearmente independentes. e somente se. 3). b3. Mas. −1. em virtude dos dois casos anteriores. t n˜ao podem ser ambas paralelas a r porque ent˜ao estar´ıamos no 7o caso e ℓ1. s´ o poder´ıamos ter ℓ3 = αℓ1 + βℓ2 se α e β tivessem esses valores. Como ℓ1 e ℓ2 n˜ao s˜ ao m´ ultiplos um do outro. ℓ2 e ℓ3 s˜ ao linearmente independentes. . ℓ2 e ℓ3 s˜ ao linearmente independentes. ℓ2 e ℓ3 s˜ ao linearmente dependentes. como fizemos nesta se¸c˜ao. Portanto o sistema possui uma u ´nica solu¸c˜ao. ℓ2 = (2. 1). Nenhum outro ponto pode pertencer a Π1 ∩ Π2 ∩ Π3 porque ent˜ao essa interse¸c˜ao seria uma reta e estar´ıamos no 6o caso. b1. 2) + β · (2. s = Π1 ∩ Π3 e t = Π2 ∩ Π3 s˜ ao retas. Logo. Como est˜ao ambas no plano Π1. se ℓ1. Mais do que isto: n˜ao se pode ter ℓ3 = αℓ1 + βℓ2 pois. 1. Sabemos que o sistema a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 (*) a3x + b3y + c3z = d3 pode ser olhado n˜ao somente do ponto de vista de suas linhas. em que ℓ1. vemos que (3. os vetores ℓ1 = (a1. Pertencendo a r e s. podemos ver que os vetores-linha ℓ1 = (1. P est´a em Π1. 1) e ℓ3 = (3. ℓ3 n˜ao seriam linearmente independentes. ℓ2 e ℓ3 s˜ ao linearmente independentes ent˜ao nem ℓ2 nem ℓ3 ´e m´ ultiplo de ℓ1. Π2 e Π3. vemos que 2 6= − 53 · 3 + 37 · 1. se isto acontecesse ent˜ao o sistema seria indeterminado ou imposs´ıvel. logo as interse¸c˜oes r = Π1 ∩ Π2. Reciprocamente. 2. Exemplo 32. ℓ2 = (a2. Portanto se o 8o caso acontece os vetores ℓ1. b2. mas tamb´em em termos das colunas u = (a1. 2) s˜ ao linearmente independentes. As retas s. Em suma: o sistema (*) possui uma u ´nica solu¸c˜ao se. B. l2. Seja a 3a −2a b 3b −2b c 3c −2c a matriz dos coeficientes de um sistema linear 3 × 3. v. l2. c3) e d = (d1. l3 de uma matriz 3 × 3 s˜ ao linearmente independentes ent˜ao os vetorescoluna u. y. v e w. se uma das colunas fosse combina¸c˜ao linear das demais. B = (3. −15. C. 3). b3). as 3 igualdades num´ericas (*) equivalem `a igualdade vetorial x · u + y · v + z · w = d. sem uso de coordenadas) que permita escrever. d2. Escrevendo um sistema 3 × 3 sob a forma x · u + y · v + z · w = d. w e d s˜ ao vetores-coluna da matriz aumentada do sistema. embora suas linhas l1. z dessa combina¸c˜ao constituem uma solu¸c˜ao do sistema. sejam quais forem os n´ umeros d1. onde u. y. v. ent˜ao α · u + β · v + (−1)w = 0 e o sistema x · u + y · v + z · w = 0 admitiria as duas solu¸c˜oes distintas x = α. −1. z = −1 e x = y = z = 0. o vetor d ´e combina¸c˜ao linear dos vetores u. B. 2). Mostre −→ −→ −−→ que os vetores u = AB. l3 forem linearmente independentes ent˜ao. o −→ −→ −→ −−→ vetor AP como combina¸c˜ ao linear dos vetores u = AB. b2. y = β. d3. −1) e D = (5. d2. quais devem ser as outras duas a fim de que o sistema possua solu¸c˜ ao? . existem e s˜ ao u ´nicos os n´ umeros x. Da´ı resulta uma conclus˜ao interessante: se os vetores-linha l1. Portanto o sistema (*) possui solu¸c˜ao se. l3 sejam linearmente independentes. w da mesma matriz tamb´em s˜ ao linearmente independentes. C e D. 2. como se pode exprimir a coincidˆencia dos 3 planos em termos desses vetores-coluna? 4. 6). w = (c1. Com efeito. 3. 3. d3) de sua matriz aumentada. para qualquer ponto P. Sejam A. e somente se. digamos w = α · u + β · v. v = AC e w = AD. Sejam A = (1. Exerc´ıcios 1. z tais que x · u + y · v + z · w = d. C = (4. Os coeficientes x. ´ bom notar que a condi¸c˜ao para um sistema linear 3 × 3 possuir E uma u ´nica solu¸c˜ao n˜ao envolve a u ´ltima coluna da matriz aumentada: se os vetores-linha l1. 2. v = AC e w = AD s˜ ao linearmente dependentes e ache a equa¸c˜ ao de um plano que contenha os pontos A. D pontos n˜ ao-coplanares. Se a segunda equa¸c˜ ao do sistema ´e 3ax + 3by + 3cz = d. c2. Vistas sob este ˆ angulo.Exerc´ıcios 217 v = (b1. Descreva um m´etodo geom´etrico (isto ´e. l2. decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Chama-se posto de uma matriz ao n´ umero m´ aximo de linhas linearmente independentes que ela possui. Determine todos os pontos de coordenadas positivas que pertencem simultaneamente aos planos definidos pelas trˆes equa¸c˜ oes abaixo 2x − 6y + 2z = 4 x + 2y + 5z = 4 3x − 9y + 3z = 6. Escreva um sistema 3 × 3 cuja matriz dos coeficientes seja a do exerc´ıcio anterior. Para quais valores de m e n o sistema abaixo possui solu¸c˜ ao? x+y−z=1 x + 2y − 2z = 3 3x + 3y + mz = n. Determine tamb´em todas as solu¸c˜ oes do sistema. uma reta passando pela origem ou se reduzem a um s´ o ponto (a origem) conforme a matriz dos coeficientes tenha posto 1. 2 ou 3. . mas que n˜ ao possua solu¸c˜ ao. prove que suas solu¸c˜ oes formam um plano passando pela origem. Para cada um dos sistemas abaixo. No sistema abaixo. dois planos ou trˆes planos: x − 2y − 3z = m 3x − 6y − 9z = n −2x + 4y + 6z = 1. n de modo que as trˆes equa¸c˜ oes representem um u ´nico plano. se houver. 7. atribua sucessivamente valores aos parˆ ametros m. 3x − 5y + 2z = 1 3x − 5y + 2z = 2 4x − 3y + z = 2 4x − 3y + z = 1 2x − 7y + 3z = 4 5x − 12y + 5z = 6 3x − 5y + 2z = 3 3x − 5y + 2z = 4 4x − 3y + z = 4 4x − 3y + z = 3 6x − 10y + 4z = 5 5x − 7y + 3z = 2 10. 6. 8. Dado o sistema homogˆeneo a 1 x + b1 y + c1 z = 0 a 2 x + b2 y + c2 z = 0 a3 x + b3 y + c3 z = 0. 9.218 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 5. Prove que todo sistema linear homogˆeneo (isto ´e. Obtenha todas as solu¸c˜ oes do sistema x + 2y + 3z + 4t = 0 5x + 6y + 7z + 8t = 0 9x + 10y + 11z + 12t = 0. cujos termos constantes s˜ ao todos iguais a zero) de trˆes equa¸c˜ oes com quatro inc´ ognitas possui uma infinidade de solu¸c˜ oes. Prove: se os vetores-coluna de uma matriz 3 × 3 s˜ ao linearmente independentes ent˜ ao os vetores-linha da mesma matriz tamb´em s˜ ao linearmente independentes. . 13.Exerc´ıcios 219 11. 12. Usemos escalonamento para resolver o sistema linear a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3. isto ´e. passo a passo. mostrando-se ainda as condi¸c˜oes alg´ebricas que correspondem ` as diversas situa¸c˜oes relativas de trˆes planos no espa¸co. com ˆenfase na interpreta¸c˜ao geom´etrica. que s˜ ao a matriz e a matriz aumentada do sistema: a1 b1 c1 a1 b1 c1 d1 m = a2 b2 c2 M = a2 b2 c2 d2 . Esse processo opera sobre as matrizes abaixo. O m´etodo mais simples e eficaz para resolver sistemas ´e o do escalonamento. Na presente se¸c˜ao. como tamb´em ` a determina¸c˜ao expl´ıcita de tais solu¸c˜oes. uma an´ alise qualitativa dos sistemas lineares de trˆes equa¸c˜oes a trˆes inc´ognitas.33 Escalonamento (elimina¸c˜ ao gaussiana) Na se¸c˜ao anterior foi feita. olharemos para o mesmo problema sob o ponto de vista algor´ıtmico. Ele ´e elementar. a3 b3 c3 a3 b3 c3 d3 . atual. ao mesmo tempo. consagrado por seu uso secular e. ou elimina¸c˜ao gaussiana. n˜ao apenas ` a resposta para a quest˜ ao da existˆencia de solu¸c˜oes. com detalhes. mediante um processo que nos conduzir´a. quando existirem. Estas solu¸c˜oes formam a reta y = −3x + 5 no plano z = 3. Finalmente.Se¸c˜ ao 33 Escalonamento (elimina¸c˜ ao gaussiana) 221 Diz-se que uma matriz ´e escalonada quando o primeiro elemento n˜ao-nulo de cada uma das suas linhas situa-se `a esquerda do primeiro elemento n˜ao-nulo da linha seguinte. tem-se z = 3. m ′ = 0 0 1 . z = 1 ´e a solu¸c˜ao do primeiro sistema. um cuja matriz ´e escalonada) pode ser facilmente resolvido de baixo para cima. y. y = −2. e assim por diante.1 As matrizes abaixo s˜ ao escalonadas: 1 2 3 4 3 1 5 1 2 3 m = 0 1 4 . tamb´em do Exemplo 33.2 Consideremos os sistemas x + 2y + 3z = 2 y + 4z = 2 2z = 2 3x + y + 5z = 20 z=3 x + 2y + 3z = 4 y + 5z = −1 0x + 0y + 0z = 1 As matrizes dos dois primeiros s˜ ao m e m ′ do Exemplo 33. Portanto x = 3. Exemplo 33. as solu¸c˜oes do segundo sistema s˜ ao os pontos (x. 3) em R3. onde x pode assumir qualquer valor real. Entrando com este valor na segunda equa¸c˜ao resulta 3x + y = 5. Portanto. Substituindo na segunda equa¸c˜ao. resulta y = −2. . pode-se chegar a uma matriz aumentada em cuja u ´ltima linha (ou em cujas duas u ´ltimas linhas) os trˆes primeiros elementos sejam iguais a zero por´em o quarto seja diferente de zero. 5 − 3x. A matriz aumentada do terceiro ´e M. Novamente substituindo z por 1 e y por −2 na primeira equa¸c˜ao vem x = 3. obtendo-se primeiro o valor da u ´ltima inc´ognita. Al´em disso. Quanto ao segundo sistema. Lembramos que dois sistemas se dizem equivalentes quando tˆem as mesmas solu¸c˜oes. as linhas que tiverem todos os seus elementos iguais a zero devem estar abaixo das demais. Este exemplo foi inclu´ıdo aqui porque no processo de escalonamento. Exemplo 33. que descreveremos a seguir. ´e claro que o terceiro sistema n˜ao admite solu¸c˜ao (´e imposs´ıvel) pois n˜ao existem n´ umeros x. No primeiro sistema temos z = 1. z tais que 0x + 0y + 0z = 1. substituindo-a por esse valor na equa¸c˜ao anterior.1. M = 0 1 5 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 Um sistema escalonado (isto ´e.1. Quanto ` a segunda opera¸c˜ao elementar. z) ´e solu¸c˜ao de (**) ent˜ao satisfaz as duas primeiras equa¸c˜oes de (*). se (x. as solu¸c˜oes dos sistemas abaixo s˜ ao as mesmas: a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 (*) a3x + b3y + c3z = d3. L1. y. y. vemos que (x. Com efeito. Multiplicando a primeira equa¸c˜ao de (*) por α e somando-a com a terceira.222 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear O m´etodo do escalonamento se baseia no fato de que todo sistema ´e equivalente a um sistema escalonado. 2) Substituir uma equa¸c˜ao do sistema por sua soma com um m´ ultiplo de outra equa¸c˜ao do mesmo sistema. logo ´e solu¸c˜ao de (*). z) tamb´em satisfaz a terceira equa¸c˜ao de (**). Partindo de um sistema arbitr´ ario chega-se a um sistema escalonado equivalente por meio de uma seq¨ uˆencia de opera¸c˜oes elementares. L3 + α · L1. se (x. y. ela significa considerar o sistema cuja matriz aumentada tem linhas L1. . a opera¸c˜ao elementar (1) significa considerar um novo sistema cuja matriz aumentada tem linhas L2. vemos que (x. L2 etc. Evidentemente o novo sistema ´e equivalente ao primeiro. Se L1. Portanto. obt´em-se um sistema equivalente. que s˜ ao as seguintes: 1) Trocar a ordem das equa¸c˜oes do sistema. Reciprocamente. a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 (**) (a3 + αa1)x + (b3 + αb1)y + (c3 + αc1)z = d3 + αd1. por exemplo. L2. L3 ou L1. L3. Multiplicando a primeira equa¸c˜ao de (**) por α e subtraindo-a da terceira. Ora. L2. y. Mostraremos agora como proceder de modo que as sucessivas operac¸˜oes elementares conduzam a um sistema escalonado. z) satisfaz o sistema (*) ent˜ao satisfaz as duas primeiras equa¸c˜oes de (**). submetendo um sistema a uma s´erie de opera¸c˜oes elementares. L3 s˜ ao as linhas da matriz aumentada do sistema dado. z) satisfaz a u ´ltima equa¸c˜ao de (*). que define um plano. .) (1) O in´ıcio do processo realmente consiste em somar `a segunda equa¸c˜ao a primeira multiplicada por −a2/a1 e somar `a terceira equa¸c˜ao a primeira multiplicada por −a3/a1 . Se as duas equa¸c˜oes finais s˜ ao incompat´ıveis ent˜ao o sistema n˜ao tem solu¸c˜ao. portanto. Isto conduz a um sistema equivalente. Se as equa¸c˜oes em z n˜ao existem.Se¸c˜ ao 33 Escalonamento (elimina¸c˜ ao gaussiana) 223 Em primeiro lugar. (Se fosse a1 = a2 = a3 = 0. supondo que um dos n´ umeros b2′ . situada num plano horizontal. o sistema reduz-se a a1x + b1y + c1z = d1 c2′ z = d2′ c3′ z = d3′ . equivalente a um sistema escalonado. ap´ os a etapa (1). As duas u ´ltimas equa¸c˜oes podem simplesmente n˜ao existir (se c2′ = ′ ′ ′ ´nico valor de z (se d2′ /c2′ = d2 = c3 = d3 = 0). ent˜ao resta a primeira. podemos supor que a1 6= 0. assunto j´a tratado antes. trocando a ordem das equa¸c˜oes se necess´ario. Se acontecer que. Isto elimina o termo em y da terceira equa¸c˜ao e o sistema anterior ´e. Se um s´ o valor de z ´e determinado por essas duas u ´ltimas equa¸c˜oes ent˜ao as solu¸c˜oes do sistema formam uma reta. se necess´ario) que b2′ 6= 0. b3′ seja 6= 0. Voltemos ` a etapa (2). podem determinar um u d3′ /c3′ ou se c3′ = d3′ = 0 mas c2′ 6= 0) ou podem ser incompat´ıveis (se d2′ /c2′ 6= d3′ /c3′ ou se um dos c’s ´e zero mas o d correspondente ´e 6= 0). ter´ıamos um sistema com duas inc´ognitas. da forma a1x + b1y + c1z = d1 b2′ y + c2′ z = d2′ b3′ y + c3′ z = d3′ . podemos admitir (trocando a ordem das duas u ´ltimas equa¸c˜oes. se tenha b2′ = b3′ = 0. (2) Em seguida. Ent˜ao substituimos a terceira equa¸c˜ao por sua soma com a segunda multiplicada por −b3′ /b2′ . do tipo a1x + b1y + c1z = d1 b2′ y + c2′ z = d2′ c3′′ z = d3′′ . ao aplicarmos as opera¸c˜oes elementares para chegar a um sistema escalonado. y. valores que se obtˆem substituindo o valor de z na segunda equa¸c˜ao. efetuando as opera¸c˜oes elementares sobre as linhas da matriz aumentada. ou seja. obtendo o sistema x + 2y − 3z = 4 −y + 10z = −3 z = 0. Ganha-se em simplicidade e concis˜ao dispensando-os. Evidentemente. se na etapa (2) tivermos c3′′ = 0.224 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Finalmente. substituindo os valores encontrados de y e z na primeira equa¸c˜ao a fim de obter x. − e = n˜ao desempenham papel algum. retornando `as equa¸c˜oes apenas no final. Faremos assim no exemplo seguinte. y = 3 e x = −2. O conjunto das solu¸c˜oes ´e uma reta pois suas duas linhas n˜ao podem ser uma m´ ultiplo da outra. multiplicamos a segunda equa¸c˜ao por −1 e a somamos `a terceira. o que fornece y e. o sistema ser´a imposs´ıvel (sem solu¸c˜ao) caso d3′′ 6= 0. Multiplicamos a primeira equa¸c˜ao por −2 e por −4 sucessivamente e a somamos ` a segunda e ` a terceira respectivamente. Imediatamente vem z = 0.3 Consideremos o sistema x + 2y − 3z = 4 2x + 3y + 4z = 5 4x + 7y − z = 13. quando a matriz (n˜ao aumentada) estiver escalonada. Estas opera¸c˜oes conduzem ao sistema x + 2y − 3z = 4 −y + 10z = −3 −y + 11z = −3. Se c3′′ = d3′′ = 0. . Exemplo 33. as inc´ognitas x. z e os sinais +. Em seguida. o sistema ser´a indeterminado (infinitas solu¸c˜oes). em seguida. Evidentemente. este sistema n˜ao possui solu¸c˜ao. Como ele ´e equivalente ao sistema original. Se as linhas desta matriz s˜ ao L1. 0 0 0 −1 a qual ´e a matriz aumentada do sistema escalonado x + 2y − 3z = 4 −y + 10z = −3 0 · z = −1. da terceira. L2 e L3. consideramos o sistema x + 2y − 3z = 4 2x + 3y + 4z = 5 4x + 7y − 2z = 13.4 Consideremos o sistema abaixo e sua matriz aumentada: 1 2 −3 4 2 3 4 5 .5 Usando mais uma vez a matriz aumentada. L2 − 2 · L1 e L3 − 4 · L1: 1 2 −3 4 0 −1 10 −3 . Temos: 1 2 −3 4 2 3 4 5 4 7 −2 13 L2 −2·L1 −→ L3 −4·L1 1 2 −3 4 0 −1 10 −3 0 −1 10 −3 . 4 7 −2 12 x + 2y − 3z = 4 2x + 3y + 4z = 5 4x + 7y − 2z = 12 Subtra´ımos da segunda linha o dobro da primeira e. quatro vezes a primeira. Exemplo 33. sobre cujas linhas aplicamos as opera¸c˜oes elementares. obtemos a matriz 1 2 −3 4 0 −1 10 −3 . conclu´ımos novamente que aquele sistema ´e imposs´ıvel. 0 −1 10 −4 Substituindo a terceira linha pela diferen¸ca entre ela e a segunda. a matriz seguinte ter´ a linhas L1.Se¸c˜ ao 33 Escalonamento (elimina¸c˜ ao gaussiana) 225 Exemplo 33. Estes pontos formam a reta de equa¸c˜oes param´etricas x = −17t − 2. . onde z pode ser escolhido livremente. Da u ´ltima equa¸c˜ao obtemos y = 10z + 3. 0 0 0 0 L3 −L2 −→ A nota¸c˜ao L2 − 2 · L1 significa que a segunda linha est´a sendo substituida pela diferen¸ca entre ela e o dobro da primeira.6 Aplicando o processo de escalonamento ao sistema x − 2y + 3z = 4 2x − 4y + 6z = 5 4x − 6y + 9z = 12. y = 10t + 3. 10z + 3. Entrando com este valor na primeira equa¸c˜ao. 0 2 −3 −4 −2 3 4 2 −3 −4 . z). Vemos ent˜ao que as solu¸c˜oes do sistema proposto s˜ ao os pontos (−2 − 17z. z = t. obtemos x = −2 − 17z. Fomos ent˜ao conduzidos `a matriz aumentada do sistema escalonado x + 2y − 3z = 4 −y + 10z = −3. 0 0 −3 Chegamos ` a matriz do sistema escalonado x − 2y + 3z = 4 2y − 3z = −4 0 · z = −3. obtemos: 1 −2 3 4 2 −4 6 5 4 −6 9 12 L2 −2·L1 −→ L3 −4·L1 Trocando a ordem das linhas L2 e 1 L2 ↔L3 0 −→ 0 L3: 1 −2 3 4 0 0 0 −3 .226 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 1 2 −3 4 0 −1 10 −3 . Exemplo 33. As nota¸c˜oes L3 − 4 · L1 e L3 − L2 tˆem significados an´ alogos. Exerc´ıcios 1.Exerc´ıcios 227 Evidentemente. existe solu¸c˜ao para (*) se. (Sistemas de quatro equa¸c˜oes com trˆes inc´ognitas. logo o sistema original. as solu¸c˜oes do sistema (*) s˜ ao as mesmas solu¸c˜oes do sistema menor. Observa¸ c˜ ao. A elimina¸c˜ao gaussiana mostra que ele ´e equivalente ao sistema escalonado A1x + B1y + C1z = D1 B2y + C2z = D2 C3z = D3 0 = D4. Resolva o sistema: x + 3y + 5z + 7w = 12 3x + 5y + 7z + w = 0 5x + 7y + z + 3w = 4 7x + y + 3z + 5w = 16 Na sua opini˜ ao. que lhe ´e equivalente. caso existam. este sistema n˜ao possui solu¸c˜ao. a Regra de Cramer (que se estuda no col´egio) ´e um m´etodo pr´ atico para resolver este sistema? .) Consideremos o sistema a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 (*) a4x + b4y + c4z = d4. tamb´em n˜ao possui. L4 seja combina¸c˜ao linear das outras trˆes. Mais precisamente. a fim de que o sistema (*) possua solu¸c˜ao. e somente se. e somente se. Em particular. Uma vez cumprida esta condi¸c˜ao. se trˆes das linhas aumentadas s˜ ao linearmente independentes ent˜ao (*) possui solu¸c˜ao se. a quarta linha aumentada ´e combina¸c˜ao linear das outras trˆes. L2. Portanto. existe solu¸c˜ao para o sistema formado pelas equa¸c˜oes correspondentes a essas trˆes linhas. L3. Isto equivale a dizer que para o sistema (*) possuir solu¸c˜ao ´e necess´ario que uma das linhas aumentadas L1. ´e necess´ario que se tenha D4 = 0. 3. que cont´em 74% de ferro. y) = λ(x. Bronze ´e uma liga de cobre e zinco. 18% de cromo e 8% de n´ıquel. Sabe-se que a equa¸c˜ ao f(x. Determine os valores de m e n para os quais o sistema 2x − y + 3z = 1 x + 2y − z = 4 3x + y + mz = n ´e: a) indeterminado b) imposs´ıvel. Calcule λ. II. Seja f : R2 → R2 uma fun¸c˜ ao definida por f(x. Quantos quilos de cada uma dessas ligas devemos tomar? Ferro Cromo N´ıquel I 70% 22% 8% II 72% 20% 8% III 80% 10% 10% IV 85% 12% 3% . Um exemplo ´e o a¸co V2A. Obtenha as solu¸c˜ oes dos seguintes sistemas de equa¸c˜ oes lineares: a) x+z=2 y+z=4 x+y=5 x+y+z=0 b) 2x − 2y + 4z = 1 2x + 7z = 1 x − y + 6z = 1. na qual a porcentagem de cobre varia geralmente entre 60% e 70%. 4. 0). tˆem-se ligas I. III e IV. Quantos quilos do primeiro tipo de bronze e quantos quilos do segundo devem ser usados? 6. y) = (2x + y. x − y). cromo e n´ıquel. A¸co fino ´e uma liga de ferro. deseja-se obter uma tonelada de bronze com exatamente 65% de cobre. Na tabela abaixo. as quais devemos misturar para obter uma tonelada de a¸co V2A. 5 2y + 6z = 2 4x − 3y + 12z = 5 c) x − 2y + z + t = 1 2x + y − 2z + 2t = 0 x + 6y = −2 5.228 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 2. Usando dois tipos de bronze. y) possui solu¸c˜ ao (x. y) 6= (0. um com 62% e outro com 70% de cobre. Exerc´ıcios 229 7. Combinando quartzo (SiO2 ) com lix´ıvia de s´ odio (NaOH) obt´em-se silicato de s´ odio (Na2 SiO3 ) e ´ agua (H2 O). Investigue se seria poss´ıvel caso as exigˆencias fossem 40% de albumina. 35% de carbohidrato e 18% de lip´ıdio. No processo de escalonamento. Mostre que n˜ ao ´e poss´ıvel combinar esses alimentos formando uma refei¸c˜ ao que contenha 47% de albumina. Como podem esses n´ umeros ser tomados de modo a se ter a “menor” rea¸c˜ ao qu´ımica possivel? 8. Escreva a equa¸c˜ ao de um plano vertical que contenha as solu¸c˜ oes de ambos os sistemas a seguir. B e C. . Na e H ocorram em iguais quantidades em ambos os lados da rea¸c˜ ao. Resolva cada um dos sistemas abaixo: x−y+z=1 x−y+z=1 x+y−z=1 x + 2y + 3z = 1 −x + y + z = 1 2x − 4y = 3 x − 2y + z = 1 2x − y + 2z = 2 x+y+z=1 x − 3y + z = 2 x − 2y − z = 1 2x − 4y − 2z = 2 . 11. O. 9. z e t devem ser tais que os elementos qu´ımicos Si. Responda a quest˜ ao an´ aloga ` a anterior com respeito ` a rea¸c˜ ao xFeS + yO2 → zFe2 O3 + tSO2 (gera¸c˜ ao de di´ oxido de enxofre a partir de pirita). Quantos planos tˆem essa propriedade? x − 2y + 3z = 5 x − 7y + 14z = 13 2x + y − 5z = 2 4x − 3y + 2z = 12 x + y − 3z = −5 3x − 2y + 4z = 5. 12. 13. Albumina Carbohidrato Lip´ıdio A 30% 30% 40% B 50% 30% 20% C 20% 70% 10% 10. carbohidrato e lip´ıdio em cada um dos alimentos A. se uma linha (do tipo L ou l) se anular. Resolva os sistemas 3x + 5y + 7z + w = 0 5732x + 2134y + 2134z = 7866 2134x + 5732y + 2134z = 670 2134x + 2134y + 5732z = 11464 e 5x + 7y + z + 3w = 4 x + 3y + 5z + 72w = 12 7x + y + 3z + 5w = 16. na rea¸c˜ ao qu´ımica indicada por xSiO2 + yNaOH → zNa2 SiO3 + tH2 O. A tabela abaixo exibe as porcentagens de albumina. 40% de carbohidrato e 20% de lip´ıdio. y. prove que ela era combina¸c˜ ao linear das outras. Os n´ umeros naturais x. Use escalonamento para mostrar que um sistema 3 × 3 cujas linhas ℓ1 . ℓ2 . . 15. Aplique o processo de escalonamento a cada um dos sistemas abaixo e. x + 2y + 3z = 4 x − 2y + 2z = 3 3x − y + 2z = 5 2x + y − z = 4 9x − 3y + 6z = 16 2x − 4y + 4z = 6 3x − y + 2z = 5 2 1 y+ z=3 3 3 6x − 2y + 4z = 10 x− x + y − 2z = 1 2x + y − 3z = 1 3x + 2y + z = 4 3x + 3y − 6z = 2 3x + 2y + z = 2 x + 2y + 3z = 4 2x + 2y − 4z = 3 x − 5z = 1 2x + y + 2z = 2 6x + 2y + z = 2 4x − 2y + 3z = 2 1 z=1 3x + y − 2z = 1 2 1 2 2 x + 7y − 12z = −1 2x + y + z = 3 3 3 16. ℓ3 s˜ ao linearmente independentes possui uma u ´nica solu¸c˜ ao. a partir do resultado. Resolva o sistema abaixo.230 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 14. sabendo que 0 < a < b < c: 3x + y + ax + ay + cz = a2 + c2 bx − ay + cz = c2 − b2 ax + cy − bz = a2 − c2 . identifique em qual dos oito casos da se¸c˜ ao anterior o sistema se enquadra. Na interse¸c˜ao de uma linha com uma coluna figura um n´ umero. . com ´ındices duplos. Matrizes s˜ ao ainda usadas na teoria dos grafos e em muitas outras ´areas de Matem´ atica. . onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Por exemplo. as notas finais dos alunos de uma s´erie no col´egio podem formar uma matriz cujas colunas correspondem ` as mat´erias lecionadas naquela s´erie e cujas linhas representam os alunos. Na grande maioria das vezes. .34 Opera¸c˜ oes com Matrizes A id´eia geral de matriz do tipo m × n ´e a de um quadro retangular com mn elementos. esses elementos s˜ ao n´ umeros. Elas tamb´em surgem em situa¸c˜oes como a seguinte: os vetores u = (a1. .. Na defini¸c˜ao que adotaremos. no qual o elemento aij situa-se no cruzamento de i-´esima linha com a j-´esima coluna: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n m= . as matrizes ocorrem como quadros dos coeficientes de sistemas de equa¸c˜oes lineares. dispostos em m linhas e n colunas. c1) e v = (a2. . b1. Como vimos. Outros exemplos importantes onde ocorrem matrizes s˜ ao as transforma¸c˜oes lineares e as formas quadr´aticas. . Matrizes s˜ ao freq¨ uentemente utilizadas para organizar dados. uma matriz m × n ´e uma lista de n´ umeros aij.. A matriz m ´e representada por um quadro num´erico com m linhas e n colunas. . . c2) podem formar as linhas de uma matriz 2 × 3 ou as colunas de uma matriz 3 × 2.. am1 am2 · · · amn . que ´e a nota daquele aluno naquela mat´eria. b2. . n Assim. . . Na matriz m. C : R2 → R2 transforma¸c˜oes lineares dadas por A(x. Por exemplo. A soma de duas matrizes do mesmo tipo m × n e o produto de uma matriz por um n´ umero s˜ ao definidos elemento a elemento. que j´a vimos antes. o elemento aij chama-se o ij-´esimo elemento de m. . . c2x + d2y). as linhas de uma matriz m × n s˜ ao vetores de R e as colunas pertencem a Rm. sobre a qual falaremos a seguir. ´ Em Algebra Linear. y) = (c1x + d1y. Estas opera¸c˜oes tˆem as mesmas propriedades das opera¸c˜oes de mesmo nome entre vetores. a1 b1 c1 d1 a= e c= . ai2. . as matrizes surgem principalmente associadas a transforma¸c˜oes lineares e o produto de duas matrizes ´e naturalmente definido como a matriz associada `a composta de duas transforma¸c˜oes lineares. A grande novidade operacional entre matrizes ´e a multiplica¸c˜ao. .232 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear A lista ordenada (ai1. imitando as opera¸c˜oes an´ alogas com vetores: se m = [aij] e n = [bij] s˜ ao matrizes m × n ent˜ao m + n = [aij + bij] e α · m = [αaij] para todo α ∈ R. escreve-se m = [aij]. a2x + b2y) C(x. a nota¸c˜ao Rk indica o espa¸co euclidiano (num´erico k-dimensional ). ain) chama-se a i-´esima linha ou o i-´esimo vetor-linha da matriz m enquanto (a1j. . Numa extens˜ao natural dos casos em que k ≤ 4. . chamada a composta de A e . a2j. para todo v = (x. sejam A. xk) de k n´ umeros reais. cujos elementos s˜ ao as listas ordenadas v = (x1. desde que estabele¸camos as conven¸c˜oes naturais de que a matriz nula 0 do tipo m × n ´e aquela cujos elementos s˜ ao todos iguais a zero e que se m = [aij] ent˜ao −m = [−aij]. x2. . amj) ´e a j-´esima coluna ou o j-´esimo vetor-coluna de m. As matrizes dessas transforma¸c˜oes s˜ ao. y) = (a1x + b1y. . . Diz-se que a matriz m ´e quadrada quando tem o mesmo n´ umero de linhas e colunas. y) ∈ R2. respectivamente. a2 b2 c2 d2 A transforma¸c˜ao linear AC : R2 → R2. Logo a matriz de AC ´e m= a1c1 + b1c2 a1d1 + b1d2 a2c1 + b2c2 a2d1 + b2d2 Esta matriz ´e chamada o produto das matrizes a e c. y)) = A(c1x + d1y. o transformado do vetor v pela transforma¸c˜ao AC ´e o transformado do vetor Cv por A. c2x + d2y) = (a1(c1x + d1y) + b1(c2x + d2y). Em cada semana. o elemento de ac que est´a na segunda linha e primeira coluna ´e a2c1 + b2c2. chamadas A e B. b2). y). Vejamos qual ´e a matriz da composta AC. a¸cu ´car. as vendas dessas duas confeitarias s˜ ao estimadas conforme a matriz de m de venda semanal abaixo: Confeitaria A B Bolo tipo 1 50 unidades 20 unidades Bolo tipo 2 30 unidades 20 unidades Bolo tipo 3 25 unidades 40 unidades Para a fabrica¸c˜ao desses bolos. os quais s˜ ao feitos de farinha. primeira coluna de c. temos: (AC)v = A(C(x. y) ∈ R2. c2). Uma empresa.Opera¸c˜ oes com Matrizes 233 Se¸c˜ ao 34 C (ou o produto de A por C) ´e definida pondo-se (AC)v = A(Cv). fabrica trˆes tipos de bolo: 1. para todo v = (x. (a2c1+b2c2)x + (a2d1+b2d2)y). pelo vetor (c1. por exemplo. Assim. leite. a2(c1x + d1y) + b2(c2x + d2y)) = ((a1c1+b1c2)x + (a1d1+b1d2)y. 2 e 3. que possui duas confeitarias. Um exemplo mais prosaico ´e o seguinte. Observe que os elementos da matriz ac s˜ ao obtidos tomando-se os produtos internos dos vetores-linha de a pelos vetores-coluna de c ordenadamente. Assim. manteiga e ovos. Escreve-se m = ac. o material ´e usado de acordo com a matriz n seguinte: Bolo tipo 1 tipo 2 tipo 3 farinha 500 g 400 g 450 g a¸cu ´car 200 g 100 g 150 g leite 500 ml 300 ml 600 ml manteiga 150 g 250 g 0 ovos 4 5 6 . segunda linha de a. Para v = (x. produto interno do vetor (a2. O produto dessas matrizes ´e a matriz mn = [cij]. . Assim. 1 ≤ j ≤ 3 e n = [bij]. do tipo m × p. 1 ≤ j ≤ 5. o ij-´esimo elemento da matriz produto mn ´e o produto interno do i-´esimo vetor-linha da matriz m pelo j-´esimo vetor-coluna da matriz n. . Confeitaria A B farinha c11 c21 a¸cu ´car c12 c22 leite c13 c23 manteira c14 c24 ovos c15 c25 Assim. wi = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn. do tipo 2 × 5. 1 ≤ j ≤ 5). . A resposta deve ser uma matriz p. veremos facilmente que cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j (1 ≤ i ≤ 2. .234 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear A dire¸c˜ao da empresa. chama-se produto interno de dois vetores v = (a1. onde as linhas representam as duas confeitarias e as colunas correspondem aos cinco materiais usados. a2. . com 1 ≤ i ≤ 3. . quer saber a quantidade de cada uma das cinco mat´erias primas que deve alocar `as suas duas confeitarias. por exemplo. cujo ij-´esimo elemento ´e dado por: cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj. an) e w = (b1. Assim. b2. . a fim de atender `a demanda. Se escrevermos m = [aij]. Os dois exemplos acima sugerem a seguinte defini¸c˜ao geral. Sejam m = [aij] e n = [bij] matrizes de tipo m × n e n × p respectivamente. . cij ´e quanto a i-´esima confeitaria deve estocar do j-´esimo material a fim de executar as vendas previstas. . Estendendo a no¸c˜ao an´ aloga que j´a vimos em R2 e R3. bn) em Rn ao n´ umero hv. 1 ≤ i ≤ 2. o n´ umero de ovos necess´arios para a confeitaria A ´e c15 = a11b15 + a12b25 + a13b35 = 50 × 4 + 30 × 5 + 25 × 6 = 500. Assim.. isto ´e. a1 b1 c1 r1 s1 t1 m = a2 b2 c2 e n = r2 s2 t2 a3 b3 c3 r3 s3 t3 ´e a matriz mn abaixo especificada: a1r1 + b1r2 + c1r3 a1s1 + b1s2 + c1s3 a1t1 + b1t2 + c1t3 mn = a2r1 + b2r2 + c2r3 a2s1 + b2s2 + c2s3 a2t1 + b2t2 + c2t3 . a3r1 + b3r2 + c3r3 a3s1 + b3s2 + c3s3 a3t1 + b3t2 + c3t3 Exemplo 34. A primeira ´e que o produto mn n˜ao est´a definido para quaisquer matrizes m e n. ai3.1 1 2 3 1 2 3 6 20 26 4 5 6 1 3 4 = 15 47 62 7 8 9 1 4 5 24 74 98 A matriz identidade n × n ´e a matriz δij = 0 se i 6= j e δii = 1. o n´ umero de colunas do primeiro fator for igual ao n´ umero de linhas do segundo. A segunda ´e que o produto mn n˜ao ´e comutativo. m·In = m e In ·m = m sempre que esses produtos estiverem bem definidos. di) em vez de (ai1. . pois s´ o faz sentido quando o n´ umero de colunas de m ´e igual ao n´ umero de linhas de n. . ci. O produto de matrizes ´e associativo: (mn)p = m(np) e distributivo: (m + n)p = mp + np. bi. Mesmo que mn e nm existam. . 1 Tem-se m·0 = 0. ai2.. ai4). . 0 0 ··· In = [δij] cujos elementos s˜ ao 0 0 . . . n˜ao se tem necessariamente mn = nm. m(n + p) = mn + mp.. . 1 0 ··· 0 1 · · · In = . . escreveremos a i-´esima linha na forma (ai. Mas h´a quatro diferen¸cas fundamentais entre o produto de matrizes e o produto de n´ umeros. Com esta nota¸c˜ao. o produto de duas matrizes 3 × 4.Opera¸c˜ oes com Matrizes 235 Se¸c˜ ao 34 Quando lidarmos com matrizes que tˆem um n´ umero pequeno de colunas (digamos ≤ 4).. se −1 2 2 2 m = 2 −1 2 2 −1 ent˜ao −1/9 2/9 2/9 2/9 −1/9 2/9 2/9 2/9 −1/9 . Com efeito. Exemplo 34. como no exemplo abaixo. Por outro lado. se uma tal p existisse ter´ıamos In = In · In = pm · mp = p · m2 · p = p · 0 · p = 0. tal que mp = pm = In . um absurdo. do tipo n × n. n˜ao pode existir uma matriz p tal que mp = pm = In. nem sempre existe uma matriz p.2 30 36 42 1 2 3 1 2 3 1 3 4 4 5 6 = 41 49 57 . dada a matriz quadrada m. Quando uma tal matriz p existe. A quarta diferen¸ca entre o produto de matrizes e o produto de n´ umeros ´e que todo n´ umero a diferente de zero possui o inverso multi−1 plicativo a = 1/a pois a · a−1 = a−1 · a = 1. do tipo n × n. Escreve-se ent˜ao p = m−1.3 Se 1 1 −1 m = 1 1 −1 2 2 −2 ent˜ao m2 = 0. a matriz m se diz invert´ıvel e p chama-se a matriz inversa de m. em que as mesmas matrizes foram multiplicadas na ordem inversa. Por outro lado. 52 62 72 1 4 5 7 8 9 Compare este resultado com o exemplo anterior. mesmo que seja m 6= 0. A terceira diferen¸ca ´e que o produto de duas matrizes n˜ao-nulas pode ser a matriz nula: de m 6= 0 e n 6= 0 n˜ao se infere que mn 6= 0.236 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Exemplo 34. Pode at´e ocorrer que m 6= 0 seja tal que m2 = 0.4 Dada uma matriz m do tipo n × n tal que m2 = 0 (vide exemplo anterior). Exemplo 34. Acontece. do tipo 3 × 3. Tem-se ent˜ao necessariamente mp = I3? A resposta ´e afirmativa. o que nos d´a a elegante resposta: x = m−1d. conforme mostraremos agora. do seguinte modo: consi b1 c1 b2 c2 .Opera¸c˜ oes com Matrizes 237 Se¸c˜ ao 34 ´e a inversa de m. Logo as linhas de m s˜ ao L. suponha que exista uma matriz p. Se a matriz m possuir uma inversa m−1. Com efeito. o conhecimento de m−1 permite resolver o sistema multiplicando ambos os membros da igualdade acima. n˜ao ´e o instrumento mais eficaz para resolver um sistema de equa¸c˜oes lineares. Ent˜ao o sistema dado se escreve como mx = d. embora a matriz inversa m−1 seja um objeto teoricamente muito interessante. deramos as matrizes a1 m = a2 a3 em termos matriciais. tal que pm = I3. mas a solu¸c˜ao do sistema mx = d acima obtida usa apenas o fato de que m−1m = I3. Um sistema de equa¸c˜oes lineares como a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 pode ser interpretado. Por isso.I. ainda do tipo 3 × 3. m−1 Observa¸ c˜ ao 34. ent˜ao qualquer sistema mx = d possui a solu¸c˜ao u ´nica x = pd. que o problema de determinar a matriz inversa (mesmo quando se sabe que ela existe) ´e muito mais trabalhoso do que resolver diretamente o sistema por escalonamento.1 A defini¸c˜ao da matriz inversa m−1 exige que mm−1 = m−1m = I3. b3 c3 x x = y z d1 e d = d2 d3 de tipos 3 × 3. se pm = I3. conforme se verifica efetuando os produtos mp e pm. `a esquerda.. por´em. Isto sugere naturalmente a pergunta: dada a matriz m. por m−1. 3 × 1 e 3 × 1 respectivamente. . ao contr´ario do que ` as vezes se diz. Considere as linhas de uma matriz 3 × 3 como matrizes 1 × 3 e as colunas como matrizes 3 × 1. m · v3 . mostre que as linhas de m · n s˜ ao u1 · n. Sejam 0 1 2 . 3/5 . do tipo 3 × 3. Determine as matrizes v = e v′ = y′ y m= 1 3 2 . v2 . 6. Considere 0 0 1 e e3 = 0 . 4 m′ = 1 3 2. w= 0 5 6 ′ x x tais que m · v = w e m ′ · v ′ = 0. 7. se as linhas de m s˜ ao L. 4. p = m−1. Prove que o posto tamb´em ´e igual ao n´ umero m´ aximo de colunas linearmente independentes. mostre que existe uma u ´nica matriz n. Num exerc´ıcio anterior. obtemos as trˆes colunas de uma matriz q tal que mq = I3. 3. u3 e as colunas de n s˜ ao v1 . Prove que duas das colunas de m s˜ ao m´ ultiplos da restante e que uma das colunas de n ´e combina¸c˜ ao linear das outras duas: r1 s1 t1 a1 b1 c1 .I. u2 . e2 = 1 1 0 0 Resolvendo os sistemas m · x = e1 . u2 · n. Da´ı resulta que p = pI3 = p(mq) = (pm)q = I3q = q. Dada a matriz m= −3/5 4/5 4/5 . Sejam m e n matrizes 3 × 3. ent˜ao. Seja p(m) = 2m3 − 5m2 + 7m− 6I3 . resolvendo os sistemas mx = e1. Na matriz m abaixo. m · v2 . tal que m · n = I3 . ou seja. supomos que a primeira linha ´e n˜ ao-nula e na matriz n supomos que as duas primeiras linhas s˜ ao n˜ ao-colineares. r2 s2 t2 m = ka1 kb1 kc1 n = αr1 + βr2 αs1 + βs2 αt1 + βt2 na1 nb1 nc1 5. Seja m uma matriz 3×3 cujas linhas s˜ ao linearmente independentes. o posto de uma matriz 3×3 foi definido como o n´ umero m´ aximo de linhas linearmente independentes. e0= . m · x = e2 e m · x = e3 . u3 · n e as colunas de m · n s˜ ao m · v1 . Se n ´e invert´ıvel mostre que n−1 p(m)n = p(n−1 mn). Exerc´ıcios 1. e1 = 0 . Se as linhas de m s˜ ao u1 . Logo pm = I3 implica mp = I3. mx = e2 e mx = e3. v3 .238 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Reciprocamente. pondo M(x. Conclua que. Prove que a multiplica¸c˜ ao de matrizes ´e uma opera¸c˜ ao associativa: (mn)p = m(np). 13. (Teorema de Rouch´e. a3 x + b3 y + c3 z) N(x. A partir da´ı. 2 ou 3 respectivamente.) 0 1 10. o posto da matriz dos coeficientes ´e igual ao posto da matriz aumentada. z) = (a1 x + b1 y + c1 z. 8. p matrizes 3 × 3. r3 x + s3 y + t3 z). o n´ umero m´ aximo de colunas linearmente independentes ´e igual ao n´ umero m´ aximo de linhas linearmente independentes.) 9. y. para matrizes 3 × 4. encontre uma matriz n˜ ao-nula q tal que pq = qp = 0. Quais das matrizes abaixo tem uma linha que ´e duas? 2 1 1 3 3 1 3 3 2 1 1 2 1 1 −1 2 3 4 1 8 8 2 2 3 combina¸c˜ ao linear das outras 1 2 3 1 3 4 5 6 . . conforme o posto da matriz de M seja 1. Prove que um sistema de 3 equa¸c˜ oes lineares com 3 inc´ ognitas possui solu¸c˜ ao se. 14. Resolva dois sistemas 2 × 2 para achar uma matriz p = 2 3 x z tal que mp = I2 . y. Mostre que a composta N ◦ M : R3 → R3 ´e uma transforma¸c˜ ao linear cuja matriz ´e o produto n · m. prove que o mesmo ocorre com o produto mp. r2 x + s2 y + t2 z. um plano que passa pela origem ou todo o espa¸co R3 . nestas condi¸c˜ oes. Usando as matrizes a1 m = a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 e r1 n = r2 r3 s1 s2 s3 t1 t2 . Sejam m. Prove que. e somente se. Se uma das linhas de m ´e m´ ultiplo de outra ou combina¸c˜ ao linear das outras duas.Exerc´ıcios 239 mostre que m2 = I2 . z) = (r1 x + s1 y + t1 z. Ache n´ umeros α. a2 x + b2 y + c2 z. 7 8 9 5 12. Diz-se que m ´e a matriz de M e n ´e a matriz de N. N : R3 → R3 . mp n˜ ao ´e invert´ıvel. Seja m = . t3 definimos as transforma¸c˜ oes lineares M. (Posto da matriz. y w 11. 15. β tais que a matriz p = αm + βI2 cumpra p2 = p e seja n˜ ao-nula. Prove que a imagem de M ´e uma reta que passa pela origem. Seja m a matriz da transforma¸c˜ ao linear M : R3 → R3 . pode ser tratado de modo an´ alogo. a2 b2 definimos det m = a1b2 − a2b1. 3 aparecendo.35 Determinantes O determinante de uma matriz 2 × 2 surge freq¨ uentemente em quest˜oes da Geometria Anal´ıtica Plana. com uma nota¸c˜ao mais complicada por´em seguindo os mesmos princ´ıpios. As permuta¸c˜oes 123. Faremos agora o estudo do determinante de uma matriz 3 × 3. de uma matriz n×n. em todas essas parcelas. 3. Ela corresponde `as permuta¸c˜oes de 1. cada uma das seis parcelas ´e um produto do tipo abc. Se a b m= 1 1 . Ele ´e a soma de 6 = 3! parcelas. 321 e 132 . Assim. 2. 312 e 231 aparecem nas parcelas precedidas do sinal + enquanto as permuta¸c˜oes 213. com os ´ındices 1. cada um uma vez. A ordem em que esses ´ındices aparecem ´e relevante. cada uma das quais ´e um produto de trˆes fatores. O caso geral. 2. pertencendo esses 3 fatores a linhas e a colunas diferentes. O determinante da matriz a1 b1 c1 m = a2 b2 c2 a3 b3 c3 ´e o n´ umero ∆ = det m = a1b2c3 − a2b1c3 + a3b1c2 − a3b2c1 + a2b3c1 − a1b3c2. que se obtˆem trocando as posi¸c˜oes de 2 elementos numa permuta¸c˜ao par ou ent˜ao escolhendo trˆes n´ umeros consecutivos quaisquer na seq¨ uˆencia 321321321321. w]. w]+ det[u ′ . A seguir.. w]. Se uma matriz tem duas linhas iguais. v. faremos uma lista das propriedades b´asicas do determinante. w] e det[u.. α · v. Assim det[α · u. 3. w]. v] = −det[u. w] = det[u. As outras s˜ ao as permuta¸co ˜es ´ımpares. 1. v. det[w. v. seu determinante ´e igual a zero. α · w] = α det[u. v. Se uma linha da matriz ´e soma de duas parcelas (vetoriais) seu determinante ´e soma de dois outros. w. v. v. v. Sejam u = (a1. b2. Assim. det[u. . Quando quizermos enfatizar a dependˆencia do determinante de m em rela¸c˜ao a esses vetores. w] = −det[u. w]. v. Assim. Se multiplicarmos uma linha da matriz por um n´ umero. Elas s˜ ao obtidas quando se tomam trˆes n´ umeros consecutivos quaisquer na seq¨ uˆencia 123123123123. b3. c2) e w = (a3. v. v. v. Assim det[u+u ′ . v] = 0. em cada um dos quais aquela linha ´e substitu´ıda por uma das parcelas.Se¸c˜ ao 35 Determinantes 241 correspondem ` as parcelas precedidas do sinal −. o determinante fica multiplicado por aquele n´ umero. 2. c1). u] = det[u. c3) os trˆes vetores de R3 que correspondem `as trˆes linhas da matriz m acima. escreveremos det m = det[u. valendo igualdades semelhantes para a segunda e a terceira linhas. O determinante muda de sinal quando se trocam as posi¸c˜oes de duas quaisquer de suas linhas.. v. u. b1. tem-se det[v. w]. As trˆes primeiras s˜ ao chamadas as permuta¸c˜oes pares. w] = det[u. v. v = (a2. 4. u] = −det[u.. w] = det[u. w] = det[u. u. Entretanto. e somente se. w] trocando o sinal de cada parcela. Assim. w] = det[u. passa-se de det[u. u. v. u. Ent˜ao det[v. w].242 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 5. seu determinante deveria mudar de sinal. w] para det[v. u. v] = 0. As matrizes a1 b1 c1 a1 a2 a3 m = a2 b2 c2 e m⊤ = b1 b2 b3 a3 b3 c3 c1 c2 c3 s˜ ao tais que as linhas da segunda coincidem com as colunas da primeira. Diz-se ent˜ao que m⊤ ´e a transposta da matriz m. Para mostrar que det[v. det[α · v + β · w. w] = 0 se. v] e da´ı det[u. na mesma ordem. Tem-se det[u. α · u + β · w. v. invertendo as posi¸c˜oes de 1 e 2 (deixando 3 fixo) faz com que cada permuta¸c˜ao par se torne ´ımpar e vice-versa. 2. v. w] = − det[u. v] = − det[u. 3. 1. os ´ındices 1 e 2. a fim de passar da express˜ao de det[u. v. w] = det[u. isto ´e. w] = det[u. u. basta trocar. v. Parece uma tarefa pesada mas. w s˜ ao linearmente dependentes. u. v. u. v. O determinante n˜ao se altera quando se trocam as linhas pelas colunas e vice-versa. det[u + α · v. Portanto. na realidade. em cada parcela. Podemos reformular a u ´ltima propriedade acima do seguinte modo. Isto ´e imediato pois cada parcela de det[u. . w]. s˜ ao provas bastante simples. 8. trocando-se as posi¸c˜oes dessas duas linhas. Se uma linha da matriz ´e combina¸c˜ao linear das outras duas. Ora. pela Propriedade 1. Mesmo argumento para as outras duas invers˜oes. A propriedade 8 significa que as matrizes m e m⊤ tˆem o mesmo determinante. w]. w] cont´em exatamente um fator de cada linha. por exemplo. v. o determinante dessa matriz ´e zero. Portanto det[u. Passemos agora ` as demonstra¸c˜oes dessas oito propriedades. w] = −det[u. w] basta observar que. 7. v. Assim. 6. os vetores u. u. v. como a matriz n˜ao mudou com essa troca. seu determinante tamb´em n˜ao muda. O determinante n˜ao se altera se substituirmos uma de suas linhas pela soma dela com um m´ ultiplo de outra. w] para a express˜ao de det[v. v. α · u + β · v] = 0. um deles ´e combina¸c˜ao linear dos demais. Se uma matriz tem duas linhas iguais ent˜ao. b1. As parcelas de det[u + u ′ . 3 e 2 temos: det[α · v + β · w. 6. v. w] + det[α · v. c1 + c1′ ). v. v. c1′ ) e u + u ′ = (a1 + a1′ . v. ao se escalonar uma matriz quadrada. Ora. v. w] = α det[v. w s˜ ao linearmente independentes. w] = det[α · v. por outro lado. v. w] + det[β · w. v. escalonando a matriz m obtem-se ′ a1 b1′ c1′ m ′ = 0 b2′ c2′ 0 0 c3′ com a1′ ·b2′ ·c3′ 6= 0. w] + β det[w. v. por um lado. b1′ . Segue-se da propriedade 5 que se det[u. Pelas propriedades 4. Para provar a rec´ıproca. E. c1). v. w]. v. ou ai(bj + bj)ck = aibjck + aibj′ ck ou ent˜ao aibj(ck + ck′ ) = aibjck + aibjck′ . v. w] = α0 + β0 = 0. seu determinante. muda de sinal (se fizermos um n´ umero ´ımpar de troca de linhas).Se¸c˜ ao 35 Determinantes 243 4. w] = det[u. Portanto. u ′ = (a1′ . w]. w] = det[u. Sejam u = (a1. Em virtude das propriedades 4. a propriedade 6 nos diz que. v. v. Segue-se imediatamente da propriedade 7 que o sistema de equa¸c˜oes lineares a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 . v. v. v. 3 e 2 podemos escrever: det[u + α · v. w] + det[u ′ . a pr´opria defini¸c˜ao de determinante nos d´a a1′ ·b2′ ·c3′ = det m ′ . no m´ aximo. v. w] + α det[v. w implica que todo sistema cuja matriz de coeficientes ´e m tem solu¸c˜ao u ´nica. notemos que a independˆencia linear de u. v. w] s˜ ao do tipo (ai + ai′ )bjck = ′ ′ aibjck + aibjck. Logo det m = ± det m ′ 6= 0. 5. w] = det[u. w] = det[u. 7. w] 6= 0 ent˜ao as linhas u. b1 + b1′ . Segue-se da´ı que det[u + u ′ . A2 = b1. Ou ent˜ao: um determinante ´e nulo. C2) e (A3. obtemos det m⊤ = A1B2C3 − A2B1C3 + A3B1C2 − A3B2C1 + A2B3C1 − A1B3C2 = a1b2c3 − b1a2c3 + c1a2b3 − c1b2a3 + b1c2a3 − a1c2b3 = det m. Assim. B3 = c2 e C3 = c3. z) se. A3 = c1. d3 que aparecem nos segundo membros das equa¸c˜oes. Omitindo-se de m a linha e a coluna que se cruzam em p. cujo determinante P se chama o menor relativo ao elemento p. C1).244 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear possui uma u ´nica solu¸c˜ao (x. suas colunas s˜ ao linearmente dependentes (em particular. Escrevendo a express˜ao de det m⊤ de acordo com a defini¸c˜ao dada. C3). C2 = b3. C1 = a3. os menores da matriz a1 b1 c1 m = a2 b2 c2 a3 b3 c3 . d2. y. Resulta imediatamente da propriedade 8 que as afirma¸c˜oes feitas nas sete propriedades anteriores a respeito das linhas da matriz m valem tamb´em para colunas. Como se vˆe. Por exemplo. se. Sejam m uma matriz 3 × 3 e p um elemento de m. B1. a matriz a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 tem determinante diferente de zero. (A2. B1 = a2. B2. o determinante muda de sinal quando se invertem as posi¸c˜oes de duas de suas colunas. e somente se. B2 = b2. A matriz transposta m⊤ tem as linhas (A1. 8. onde A1 = a1. se duas de suas colunas s˜ ao iguais). e somente se. obt´em-se uma matriz 2 × 2. esta condi¸c˜ao n˜ao depende dos n´ umeros d1. B3. Para enunciar a pr´oxima propriedade dos determinantes vamos precisar de uma defini¸c˜ao. A express˜ao a1A1 − b1B1 + c1C1 ´e o desenvolvimento de det m segundo os elementos da primeira linha.Se¸c˜ ao 35 Determinantes 245 s˜ ao A1 = b2c3 − b3c2 = menor de a1. O sinal que precede o produto pP do elemento p pelo seu menor P ´e + ou − conforme se tenha i + j par ou ´ımpar. . C1 = a2b3 − a3b2 = menor de c1. A2 = b1c3 − b3c1 = menor de a2. C2 = a1b3 − a3b1 = menor de c2. o produto a2A2 vem precedido do sinal − porque a2 est´a no cruzamento da segunda linha com a primeira coluna (i = 2. no desenvolvimento de det m segundo os elementos da segunda linha. B3 = a1c2 − a2c1 = menor de b3. 9. por exemplo. As demais f´ormulas s˜ ao an´ alogas. b1 e c1 nas parcelas em que eles aparecem na defini¸c˜ao de det m. Desenvolvimento de um determinante segundo os elementos de uma linha: det m = a1A1 − b1B1 + c1C1 = −a2A2 + b2B2 − c2C2 = a3A3 − b3B3 + c3C3. Isto nos d´a det m = a1A1 − b1B1 + c1C1. A demonstra¸c˜ao das f´ormulas acima ´e imediata: basta pˆor em evidˆencia. Assim. B1 = a2c3 − a3c2 = menor de b1. j = 1) e 2 + 1 = 3 ´e ´ımpar. vale tamb´em a propriedade: 10. B2 = a1c3 − a3c1 = menor de b2. C3 = a1b2 − a2b1 = menor de c3. As duas express˜oes seguintes chamam-se os desenvolvimentos de det m segundo os elementos da segunda e da terceira linha respectivamente. A3 = b1c2 − b2c1 = menor de a3. onde p est´a na interse¸c˜ao da i-´esima linha com a j-´esima coluna. por exemplo. a1. Evidentemente. Desenvolvimento segundo os elementos de uma coluna: det m = a1A1 − a2A2 + a3A3 = −b1B1 + b2B2 − b3B3 = c1C1 − c2C2 + c3C3. Ver tamb´em o Exerc´ıcio 7 desta se¸c˜ao. que cont´em um zero: 1 2 3 5 6 2 3 − 4 · det det 4 5 6 = 1 · det = 1 · (−2) − 4 · (−5) = 18. logo u.. Com efeito. Prove que os vetores u = (a1 . principalmente quando h´a uma linha ou coluna com um ou mais elementos iguais a zero. w ∈ R2 e α ∈ R: . sendo ortogonais a V. Exerc´ıcios 1.D.D. b3. a3c2 − a2c3.1 Calculando o determinante por desenvolvimento segundo a primeira coluna. v = (a2. Quantas multiplica¸c˜ oes precisam ser feitas para calcular um determinante a partir da defini¸c˜ ao? E pelo desenvolvimento segundo uma linha ou coluna? (N˜ ao conte adi¸c˜ oes ou subtra¸c˜ oes. + det + det det b2 c2 a 2 c2 a2 b2 3. O desenvolvimento de Laplace fornece uma demonstra¸c˜ao de que det m = 0 implica que u. (Noutras palavras. b1. b1 ). w s˜ ao L. 2 2 2 b1 c1 a 1 c1 a1 b1 6= 0. desenvolvendo det m segundo os elementos da primeira linha. v. Exemplo 35. portanto s˜ ao L. a2b3 − a3b2) ´e ortogonal aos vetores-linha v e w. tem-se uma fun¸c˜ ao. s˜ ao coplanares. b2 ) um n´ umero real f(v. c1) e V = (A1. Um c´alculo f´acil mostra que o vetor V = (b2c3 − b3c2. Isto significa que os vetores u = (a1. w = (a2 . w). c1 ) e v = (a2 . b2. b2 . Se V 6= 0 ent˜ao os vetores u. c2) e w = (a3. c2 ) s˜ ao linearmente independentes se. f : R2 × R2 → R. temos det m = a1A1 − b1B1 + c1C1 = 0. Seja f uma fun¸c˜ ao que faz corresponder a cada par de vetores v = (a1 .) 2. v e w.246 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear O c´alculo de determinantes por meio do desenvolvimento segundo linhas ou colunas ´e ` as vezes bem u ´til. e somente se.1 Seja m uma matriz cujas linhas s˜ ao u = (a1. −B1. c1). v e w s˜ ao linearmente dependentes. b1 .) Suponha que f tem as seguintes propriedades para quaisquer v. 7 8 7 8 0 7 8 Observa¸ c˜ ao 35. C1) s˜ ao ortogonais. v ′ . c3). b1. Se V for zero ent˜ao v e w s˜ ao colineares. 6. y. v. z) = A · det(u. 3 e 4 vistas acima para o determinante. Conclua que det(u. existe um u ´nico polinˆ omio f(x) = ax2 + bx + c. v e w. v. w) = α · f(v. Se f(e1 . dados n´ umeros reais x1 < x2 < x3 e y1 . f(x2 ) = y2 e f(x3 ) = y3 . tal que f(x1 ) = y1 . Prove que det m ´e o produto dos elementos da diagonal principal. w) = −f(w. v. w) segundo as propriedades 1. (Sugest˜ ao: escreva u = a1 e1 + b1 e2 + c1 e3 . z como combina¸c˜ oes lineares de u. v. b) f(v + v ′ . Prove que det m ′ = (−1)i det m. 0) e w = (0. w). mostre diretamente que se m. um n´ umero f(u. d) Se v = (1. Deduza da´ı que se uma matriz 3 × 3 tem determinante nulo. z.Exerc´ıcios 247 a) f(v. w vetores linearmente independentes. existe um n´ umero A tal que det(x. Mostre que. e3 ) = k. v). w) = 1. y2 . w).) 8. (Perceba que isto d´ a outra demonstra¸c˜ ao para a propriedade 7.) 9. y. v. Seja f uma fun¸c˜ ao que associa a cada matriz 3×3. Prove que f(v. v = a2 e1 + b2 e2 + c2 e3 . w ∈ R3 . Conclua que se det m = 0 ent˜ ao a u ´ltima linha de m ´e nula. v. e2 . obtendo assim nova demonstra¸c˜ ao da propriedade 7. 4. w) 6= 0.] . w) de tal modo que valham as propriedades 1. w) = a1 b2 − a2 b1 . v. Calcule o determinante da matriz de Vandermonde: 2 m m 1 n 2 n 1 p2 p 1 Sem calcular o determinante. alguma de suas linhas ´e combina¸c˜ ao linear das outras duas. 10. 1) ent˜ ao f(v. 3 e 4. Seja m ′ uma matriz 3 × 3 obtida de m pelo processo de escalonamento. 3 e 4. de grau ≤ 2. suas linhas s˜ ao linearmente independentes). w = a3 e1 + b3 e2 + c3 e3 e desenvolva f(u. Sejam u. para quaisquer vetores x. w). 5. 7. n e p s˜ ao trˆes n´ umeros distintos ent˜ ao a matriz acima tem posto 3 (isto ´e. c) f(αv. w e use as propriedades 1. y. [Exprima x. Prove que (mn)T = nT · mT . v. mostre que f(u. onde i ´e o n´ umero de vezes em que foi feita alguma troca de posi¸c˜ ao entre 2 linhas. v. cujas linhas s˜ ao u. Seja m uma matriz 3×3 escalonada. y3 quaisquer. Use o exerc´ıcio acima para mostrar que. Sejam m e n matrizes tais que o n´ umero de colunas de m ´e igual ao n´ umero de linhas de n. w) = f(v. w] para quaisquer u. w) = k·det[u. w) + f(v ′ . 36 A Regra de Cramer A regra de Cramer ´e um dos m´etodos mais tradicionais para resolver sistemas de equa¸c˜oes lineares. o sistema a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3. c = (c1. d3). no qual supomos que a matriz m dos coeficientes tenha determinante diferente de zero. O segundo inconveniente ´e o custo operacional: d´a mais trabalho calcular quatro determinantes do que escalonar uma u ´nica matriz 3 × 3. A regra de Cramer exprime essa solu¸c˜ao por meio de determinantes. b2. a3). esta hip´ otese equivale a admitir que as linhas de m s˜ ao linearmente independentes e portanto que o sistema possui uma u ´nica solu¸c˜ao. Para deduzir a regra de Cramer. como vimos fazendo at´e agora. Mas. Como sabemos. por outro lado. em vez de operar com as linhas da matriz. . Consideremos. b = (b1. ou seja. c2. c3) e d = (d1. quando o sistema possui uma u ´nica solu¸c˜ao. O primeiro ´e que ela s´ o se aplica quando o determinante da matriz do sistema ´e diferente de zero. Esse custo cresce espantosamente para sistemas n × n com n grande. possui dois inconvenientes em compara¸c˜ao com o m´etodo de escalonamento. b3). Ela apresenta a vantagem de fornecer explicitamente os valores das inc´ognitas como quocientes de dois determinantes. trabalharemos com os vetorescoluna: a = (a1. d2. portanto. a2. poder-se-ia pensar que ela fornece x = 0/0. Suponhamos. b. logo det[a. b. d] det[a. b. b. Tentar utiliz´a-la fora desse caso pode conduzir a erros. y. . z tais que x · a + y · b + z · c = d. y= Observa¸ c˜ ao 36. b. b. b e c: x · a + y · b + z · c = d. b. por exemplo. Mais precisamente. c] . c] = x det[a. isto ´e. c] . que fornecem os valores das inc´ognitas x. z em termos de determinantes. portanto x= det[d. c] Analogamente. c]. det[a.A Regra de Cramer 249 Se¸c˜ ao 36 Em termos desses vetores. det[a. c sejam m´ ultiplos um do outro mas que o vetor d n˜ao seja m´ ultiplo deles. elas dizem que o vetor d ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores a. c] + y det[b. o sistema n˜ao tem solu¸c˜ao. que: det[d. Da´ı resulta. Ent˜ao os quatro determinantes s˜ ao nulos mas n˜ao existem n´ umeros x. c] + z det[c. c].1 A regra de Cramer s´ o se aplica quando a matriz dos coeficientes do sistema tem determinante diferente de zero. Mas n˜ao ´e bem assim. c] Estas trˆes f´ormulas. c] det[a. 3 e 2. y = 0/0. b. b. Um desses erros ´e o seguinte: quando os 4 determinantes que aparecem na regra s˜ ao todos iguais a zero. as 3 equa¸c˜oes num´ericas que constituem o sistema dado se exprimem como uma u ´nica equa¸c˜ao vetorial. Exemplo 36. isto ´e. y. b. z= .1 Consideremos o sistema: x+y+z=1 2x + 2y + 2z = 2 3x + 3y + 3z = 4. d. que os trˆes vetores-coluna a. tem-se det[a. d] = z det[a. b. c] e det[a. b. c] = y det[a. pelas propriedades 4. b. possui infinitas solu¸c˜oes. b. z = 0/0 e concluir que o sistema ´e indeterminado. c] = det[x · a + y · b + z · c. b. constituem a regra de Cramer. d. c] = x det[a. c] 6= 0) nos levaria `as “express˜ oes indeterminadas” x = 0/0. olhando para as colunas vˆese facilmente que. se det[a. c s˜ ao coplanares. interse¸c˜ao de planos. b. det[a. d] for 6= 0. y = 0/0. Se olhamos para as linhas. c] = 0 e algum dos determinantes det[d. ent˜ao o sistema ´e imposs´ıvel. a regra de Cramer (usada incorretamente. y = 1/3 e z = 1/3.250 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear ´ claro que este sistema n˜ao tem solu¸c˜ao pois se x + y + z = 1 ent˜ao E 3x + 3y + 3z deve ser igual a 3 e n˜ao 4. Assim. c] = 0. As colunas s˜ ao a = (1. 3. ao qual demos prioridade nas Se¸c˜oes 30 a 32. c] e suas an´ alogas para y e z que. d. Apesar disso. A confluˆencia dessas v´arias interpreta¸c˜oes ilustra muito bem a riqueza de um assunto. as solu¸c˜oes do sistema ser˜ao os coeficientes x. d] = −1. Isto ´e uma conclus˜ao geom´etrica. c] = x det[a.3 Vimos que h´a duas interpreta¸c˜oes “duais” para um sistema de 3 equa¸c˜oes a 3 inc´ognitas. 5) e d = (1. Exemplo 36. c] = −3. b. vˆe-lo-emos como um vetor d. 2. z da combina¸c˜ao linear d = x · a + y · b + z · c. b. Observa¸ c˜ ao 36. Se olharmos para as colunas. pois foi deduzida mediante a hip´ otese de que det[a. det[a. colunas. 3. 3). b. c] ou det[a. . b. ´e o u ´nico geom´etrico pois lida com planos no espa¸co. c] = −1 e det[a. 4). det[d. enquanto o tratamento segundo colunas ´e alg´ebrico. c = (2. z = 0/0 e ` a falsa conclus˜ao de que o sistema ´e indeterminado. Temos det[a. d. b = (1. 2. ´e vantajoso n˜ao ter esp´ırito preconcebido. aparentemente elementar. Entretanto. b. b. combina¸c˜oes lineares e determinantes. podemos vˆe-lo como trˆes planos no espa¸co e as solu¸c˜oes s˜ ao os pontos comuns a esses planos.2 Resulta da f´ormula det[d. o sistema n˜ao admite solu¸c˜ao a menos que o vetor d esteja nesse plano. y. b. que se procura exprimir como combina¸c˜ao linear de trˆes vetores dados a. pois cuida de combina¸c˜oes lineares. Observa¸ c˜ ao 36. por´em de grande utilidade na Matem´ atica e em suas aplica¸c˜oes. Portanto x = 0. ao analisar um sistema linear. b. encarando-o sob v´arios aspectos: linhas. se os vetores a. c].2 Resolver o sistema x + y + 2z = 1 2x + 3y + 3z = 2 4x + 4y + 5z = 3 usando a regra de Cramer. c. b. 4). b. Neste caso. Poder-se-ia pensar que o tratamento segundo linhas. m · x = ∆e3 . . c) pelo m´etodo da elimina¸c˜ ao gaussiana. calculando os determinantes a partir da defini¸c˜ ao. m · x = ∆e2 . calcule o n´ umero de multiplica¸c˜ oes e divis˜ oes necess´ arias para resolvˆe-lo a) pela regra de Cramer. Seja m uma matriz 3 × 3 com det m = ∆ 6= 0. calculando os determinantes mediante a expans˜ ao segundo uma linha ou uma coluna. tem-se mn = I3 . e conclua que. mostre que. pondo n = adj · m/∆. Efetuando a multiplica¸c˜ ao das matrizes.Exerc´ıcios 251 Exerc´ıcios 1. 4. b) pela regra de Cramer. mostre diretamente que m·(adj·m) = det m · I3 . Usando a transposta mT . Dado um sistema 3 × 3 com determinante 6= 0. se det m 6= 0 ent˜ ao existe uma matriz p tal que pm = I3 . 2. Use a regra de Cramer para mostrar que as colunas da adjunta cl´ assica de m s˜ ao as solu¸c˜ oes dos sistemas m · x = ∆e1 . respectivamente. Chama-se adjunta cl´ assica de m a matriz A1 −A2 A3 B2 −B3 . 3. Adj · m = −B1 C1 −C2 C3 onde indicamos genericamente por P o menor relativo ao elemento p da matriz m. t1). s2. nosso m´etodo de demonstra¸c˜ao se estende diretamente para o caso geral de matrizes n × n. uma verifica¸c˜ao extremamente simples mostra que o determinante da matriz-produto mn ´e igual ao produto det m · det n. t3) os vetores-linha da matriz n ent˜ao as linhas da matriz-produto mn s˜ ao . Mostraremos agora que a f´ormula det mn = det m · det n vale tamb´em para matrizes 3 × 3. a3r1 + b3r2 + c3r3 a3s1 + b3s2 + c3s3 a3t1 + b3t2 + c3t3 Se indicarmos com u = (r1.37 O Determinante do Produto de Duas Matrizes Se m e n s˜ ao matrizes 2 × 2. v = (r2. Consideremos portanto as matrizes a1 b1 c1 m = a2 b2 c2 e a3 b3 c3 r1 s1 t1 n = r2 s2 t2 . s1. t2) e w = (r3. r3 s3 t3 cujo produto ´e a matriz mn definida por a1r1 + b1r2 + c1r3 a1s1 + b1s2 + c1s3 a1t1 + b1t2 + c1t3 a2r1 + b2r2 + c2r3 a2s1 + b2s2 + c2s3 a2t1 + b2t2 + c2t3 . s3. Na verdade. X3] = (a2b3c1 − a3b2c1) det n. det mn = det m · det n. como X2 = a2 · u + b2 · v + c2 · w. X3] = (a1b2c3 − a1b3c2) det n. w] = b3 det[u. X3] + c2 det[u. X3 = a3 · u + b3 · v + c3 · w. Conclu´ımos ent˜ao que det mn = (a1b2c3 − a1b3c2 + a3b1c2 − a2b1c3 + a2b3c1 − a3b2c1) · det n. podemos escrever det mn = det[X1. w] = −b3 det n. ou seja. X2. X2. X2 = a2 · u + b2 · v + c2 · w. X3] + b1 det[v. Em primeiro lugar. v. Portanto: a1 det[u. v] = −b3 det[u. v. w] = c3 det[u. X3] = a3 det[u. w. X2.Se¸c˜ ao 37 O Determinante do Produto de Duas Matrizes 253 os vetores X1 = a1 · u + b1 · v + c1 · w. temos: det[u. X2. v. X3]. X3] + c1 det[w. v] + c3 det[u. Usando repetidamente as propriedades dos determinantes. X3] = a3 det[u. X3]. X3] = det[a1 · u + b1 · v + c1 · w. Estabelecidas estas nota¸c˜oes. X3] = a1 det[u. vamos calcular cada uma das trˆes parcelas acima. onde det[u. X2. X2. Analogamente se mostra que b1 det[v. X3] = 0. w. . u] + b3 det[u. det[u. u. w. w. det[u. v. X2. X3] + b2 det[u. u. X3] = (a3b1c2 − a2b1c3) det n e c1 det[w. w] = c3 det n. X2. v. v] + c3 det[u. v. w. u] + b3 det[u. w. X2. v. X3] = a2 det[u. ortogonais. duas a duas. prove que M transforma todo triˆ angulo OAB num triˆ angulo OA ′ B ′ tal que (´ area de OA ′ B ′ ) = | det m|· (´ area de OAB). 2. Conclua que se p ´e invert´ıvel ent˜ ao tr(p−1 mp) = tr · m.254 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Exerc´ıcios 1. v e w s˜ ao. . a2 x + b2 y). Conclua que det mn = 0. ambas 3 × 3. Prove que o mesmo fato vale para triˆ angulos nos quais a origem n˜ ao ´e um v´ertice. c3 O n´ umero tr · m = a1 + b2 + c3 (soma dos elementos da diagonal principal) chama-se o tra¸co da matriz m. 4. Seja a1 m = a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 . Forme as matrizes m e n. Se a matriz m = a2 b2 de M ´e uma reta passando pela origem. Seja M : R2 → R2 a transforma¸c˜ ao linear definida por M(x. Sejam m e n matrizes do tipo 3 × 2 e 2 × 3 respectivamente. Se det m 6= 0. a imagem b1 y. para toda matriz m do tipo 3 × 3. Mostre que mn = m · n. Seja p uma matriz invert´ıvel 3 × 3. a partir da´ı. Prove que. Prove que tr · mn = tr · nm. Calcule o produto m · m⊤ e. acrescentando uma terceira coluna de zeros a m e uma terceira linha de zeros a n. 5. Seja m uma matriz 3 × 3 cujas linhas u. conclua que det ·m = ±|u||v||w|. tem-se det(p−1 mp) = det m. 3. y) = (a1 x + a1 b1 ´e n˜ ao-nula e det m = 0. Volumes e a Matriz de Gram Usaremos a f´ormula det mn = det m · det n a fim de obter belas express˜oes para a ´ area de um paralelogramo e para o volume de um paralelep´ıpedo.38 ´ Areas. v) = . vi ´ claro que hu. A. B = P + v e C = P + (u + v). no qual A = P + u. Sejam P. Considerando u + v = PC obtemos o paralelogramo PACB. por defini¸c˜ao: hu. hv. ui. ui hv. Ponhamos −→ − → −→ u = PA e v = PB. ui hu. vi g(u.) (E . A matriz de Gram dos vetores u. v ´e. vi = hv. B trˆes pontos n˜ao-colineares no espa¸co. v) ´e o quadrado da ´area do paralelogramo PACB. J´a a matriz m. wi a3 b3 o volume c1 c2 . w) ´e a chamada matriz de Gram dos vetores dados.256 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Mostraremos que det g(u. vi hu. v) = det(mm⊤ ) = det m · det m⊤ = (det m)2. v. w) a1a1 + b1b1 + c1c1 a1a2 + b1b2 + c1c2 a1a3 + b1b3 + c1c3 = a1a2 + b1b2 + c1c2 a2a2 + b2b2 + c2c2 a2a3 + b2b3 + c2c3 . veremos que g(u. v = (a2. w = (a3. a1a2 + b1b2 a2a2 + b2b2 Fica ent˜ao claro que. Consideremos ent˜ao o sistema PXYZ. formamos as matrizes a1 b1 hu. c3) em rela¸c˜ao a um sistema OXYZ. ui hw. a1a3 + b1b3 + c1c3 a2a3 + b2b3 + c2c3 a3a3 + b3b3 + c3c3 . angulo Sabemos que o valor absoluto de 21 det m ´e igual `a ´area do triˆ PAB. v) = |u|2|v|2 − hu. c1). v. v) = . pondo a1 b1 a1 a2 ⊤ m= . 0) e v = (a2. podemos escrever: det g(u. vi2 ´ = (Area do paralelogramo PACB)2. c2). wi g(u. v). Assim: det g(u. w do espa¸co. ui hu. Ent˜ao a1a1 + b1b1 a1a2 + b1b2 g(u. b1. vi hw. As coordenadas dos vetores u e v neste sistema s˜ ao u = (a1. wi e m = a2 b2 hw. v. com origem no ponto P. Logo | det m| ´e a ´ area do paralelogramo PACB. a2 b2 b1 b2 Lembrando que det m = det m⊤ . w) = hv. Evidentemente. b1. b2. Lembremos que o produto interno de dois vetores n˜ao depende do sistema de coordenadas. v. ela n˜ao depende do sistema de eixos adotado. vi hv. 0). tem-se m = e mm⊤ = g(u. b3. Mas se escrevermos explicitamente os elementos da matriz de Gram. cujas linhas s˜ ao as coordenadas dos vetores u = (a1. varia conforme os eixos que se tomem. b2. ui hv. Com os vetores u. tal que os pontos A e B perten¸cam ao plano horizontal z = 0. Mostraremos agora que uma express˜ao an´ aloga vale para de um paralelep´ıpedo. c3 g(u. v. Em particular. v. Sabemos que vol · S ´e o produto da ´area do paralelogramo PADB pela altura de S relativa a esta base. w) = det m · det mT = (det m)2. b3. w) = (det m)2 mostra ainda que o m´ odulo do determinante da matriz m depende apenas dos vetores u. Os pontos P. w s˜ ao linearmente independentes. 0). v = (a2. v. P + (u + w). Consideremos os −→ − → −→ vetores u = PA. as coordenadas dos vetores u = PA. v. v. com origem no ponto P. Chamemos de S (s´olido) esse paralelep´ıpedo. w s˜ ao linearmente dependentes e positivo quando quando u. −→ − → −→ Neste sistema. Ele ´e zero quando os vetores u. Portanto |c| ´e a altura do paralelep´ıpedo S. b2. 0) e w = (a3.Se¸c˜ ao 38 ´ Areas. de tal modo que a base do paralelep´ıpedo esteja contida no plano horizontal OXY. Sejam P. w) = mmT . A. Volumes e a Matriz de Gram 257 portanto g(u. B e C determinam um paralelep´ıpedo cujos outros quatro v´ertices s˜ ao os pontos D = P+(u+v). b1. . v = PB e w = PC s˜ ao respectivamente u = (a1. Esta observa¸c˜ao nos permitir´a obter a express˜ao que buscamos para o volume de um paralelep´ıpedo. w mas n˜ao do sistema de eixos escolhido. Tomemos no espa¸co um sistema de eixos PXYZ. c). v. Segue-se da´ı que det g(u. A. v = PB e w = PC. A igualdade det g(u. o determinante da matriz de Gram nunca ´e um n´ umero negativo. P + (v + w) e P + (u + v + w). B e C quatro pontos n˜ao-coplanares. Como det m depende apenas dos vetores u. c2) e w = (a3. a3 b3 c logo a1 b1 det m = c · det . c1). c3) s˜ ao as coordenadas dos vetores u = PA. conforme vimos acima. assume o aspecto abaixo: a1 b1 0 m = a2 b2 0 . a2 b2 Ora. w mas n˜ao do sistema de eixos escolhido. ´e igual ao valor absoluto do determinante da matriz a1 b1 . se u = (a1.258 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear A matriz m. − → −→ v = PB e w = PC em rela¸c˜ao a qualquer sistema de eixos ortogonais tomados no espa¸co. v = −→ (a2. podemos ent˜ao afirmar que. base de S. ent˜ao o volume do paralelep´ıpedo constru´ıdo a partir . b2. que tem esses vetores como linhas. b3. a ´area do paralelogramo PADB. a2 b2 Segue-se que | det m| = |c| · (´area do paralelogramo PADB) = vol · S. b1. v. 1). Portanto. −→ onde m ´e matriz cujas linhas s˜ ao as coordenadas dos vetores u = PA. − → −→ v = PB e w = PC. vi hu. a ´ area de ABDC ´e igual a 12 = 2 3. w) = (vol S)2 = 36 · [vol(PABC)]2. Pondo w = AD = (3. w) = hu. tomamos os vetores u = AB = −→ (−3. g(u. wi cujo determinante ´e igual a 100. B = (−2.2 Mantendo a nota¸c˜ao do exemplo anterior. 0. vi hv. vi . AC e AD como arestas ´e igual a 10. −1. 3. wi = −4 2 −4 4 19 hu. vi cujo determinante. 2. v.1 Sejam A = (1. 3) e C = (2. wi hv. −1. wi 4 . Como o determinante da matriz de Gram ´e o quadrado desse volume. ent˜ao o determinante da matriz de Gram g(u. acrescentemo−−→ lhe o ponto D = (4. −1). v) = −4 2 hu. Exemplo 38.1 Resulta da f´ormula vol S = | det m| que o volume de um paralelep´ıpedo cujos v´ertices tˆem coordenadas inteiras ´e um n´ umero inteiro. Volumes e a Matriz de Gram 259 Se¸c˜ ao 38 dos quatro pontos n˜ao-colineares P. obtemos a matriz de Gram 14 −4 −4 hu. Conclu´ımos ent˜ao que o volume do paralelep´ıpedo que tem os segmentos AB. logo vol(PABC) = 61 | det m|. v = AC = (1. = g(u. 2). wi hw. −1) e com eles formamos a matriz de Gram 14 −4 hu. ui hu. Observa¸ c˜ ao 38. vi hv. ´e o quadrado √ da ´area √ do paralelogramo ABDC. 1) trˆes pontos do espa¸co. 1. v. v. vi hv. B e C ´e igual ao valor absoluto do determinante da matriz a1 b1 c1 m = a2 b2 c2 . Vemos ainda que det g(u.´ Areas. ´e bem conhecido que o volume do tetraedro PABC ´e igual a 1/6 do volume do paralelep´ıpedo S. 2. Para calcular a ´area do paralelogramo que tem −→ os segmentos AB e AC como lados. w tˆem coordenadas inteiras. ui hu. a3 b3 c3 Por outro lado. w) ´e um quadrado . conclu´ımos ent˜ao que se os vetores u. A. igual a 12. v. 1). Exemplo 38. n. Seja M : R3 → R3 uma transforma¸c˜ ao linear cuja matriz m tem determinante 6= 0. mas n˜ao ´e verdade quando u e v s˜ ao vetores do espa¸co. Determine a ´ area do triˆ angulo BCD. ≥ det det 2 2 2 2 2 am + bn m + n am + bn + cp m + n + p 4. 5. O mesmo resultado se aplica ` a matriz de Gram g(u. sem usar o resultado da Se¸c˜ ao 10. m. Um bloco retangular tem arestas com medidas AB = 3. .1. c. v e w s˜ ao as linhas da matriz m ent˜ ao | det ·m| ≤ |u||v||w| (desigualdade de Hadamard). esse determinante ´e 100. Use a matriz de Gram para mostrar que (´ area OAB)2 + (´ area OBC)2 + (´ area OAC)2 = (´ area ABC)2 . Exerc´ıcios 1. Mostre que o argumento usado no texto para calcular a ´ area de um paralelep´ıpedo pode ser empregado para obter a ´ area de um paralelogramo. mostre que se tem 2 2 2 2 a + b2 am + bn a + b2 + c2 am + bn + cp . OB e OC segmentos de reta perpendiculares dois a dois. AC = 4 e AD = 5. Prove que M transforma todo tetraedro OABC num tetraedro OA ′ B ′ C ′ tal que vol(OA ′ B ′ C ′ ) = | det m| · vol(OABC). como mostra o Exemplo 38. diretamente. 2. 6.260 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear perfeito. Sejam OA. No Exemplo 2 acima. v) quando u e v s˜ ao vetores do plano com coordenadas inteiras. Use a interpreta¸c˜ ao do determinante como volume de um paralelep´ıpedo para provar que se u. Para quaisquer n´ umeros reais a. p. b. 3. det m 6= 0. p = x2 y2 z2 e I3 = 0 1 0 . se a matriz m possui a inversa m−1. conforme o Teorema. z2. da igualdade m · m−1 = I3 se conclui que det m · det(m−1) = 1. Suponhamos agora que.39 Caracteriza¸c˜ ao das Matrizes Invert´ıveis A maneira mais popularizada de caracterizar a invertibilidade de uma matriz ´e por meio do seu determinante. y2. se tenha det m 6= 0. mais ainda. x3). Procuremos uma matriz p tal que mp = I3 . Com efeito. A matriz quadrada m ´e invert´ıvel se. Escrevamos a1 b1 c1 x 1 y1 z 1 1 0 0 m = a2 b2 c2 . reciprocamente. A metade da demonstra¸c˜ao (ou a demonstra¸c˜ao da metade) deste fato consiste no uso imediato da f´ormula det(mn) = det m · det n. (y1. a3 b3 c3 0 0 1 x 3 y3 z 3 A equa¸c˜ao matricial mp = I3 significa que os vetores-coluna da matriz procurada p s˜ ao solu¸c˜oes (x1. x2. y3) e (z1. logo det m 6= 0 e. z3) dos sistemas abaixo: a1x1 + b1x2 + c1x3 = 1 a1y1 + b1y2 + c1y3 = 0 a2x1 + b2x2 + c2x3 = 0 a2y1 + b2y2 + c2y3 = 1 a3x1 + b3x2 + c3x3 = 0 a3y1 + b3y2 + c3y3 = 0 . det m−1 = 1/ det m. e somente se. isto ´e. seja qual for d.1 A restri¸c˜ao a matrizes 3 × 3 ´e meramente uma conveniˆencia did´ atica. Como vimos na Se¸c˜ao 32 (oitavo caso). tal que qm = I3 . segue-se da Se¸c˜ao 35 que as linhas da matriz m s˜ ao linearmente independentes. p = m−1 ´e a matriz inversa de m. isto significa que cada um dos sistemas acima admite uma u ´nica solu¸c˜ao. As linhas de m s˜ ao linearmente independentes. tˆem-se 3 sistemas com a matriz m⊤ (cujo determinante ´e o mesmo de m). Logo o sistema mx = d tem uma u ´nica solu¸c˜ao. Todos os resultados deste cap´ıtulo continuam v´alidos. Logo pm = mp = I3 . . do tipo 3 × 3. com as mesmas demonstra¸c˜oes. ao aplicar o processo de escalonamento. Todo sistema de equa¸c˜oes lineares mx = d tem solu¸c˜ao u ´nica. seja qual for a matriz d.2 Se as linhas da matriz m s˜ ao linearmente independentes ent˜ao. 5. do tipo 3 × 3. det m = det m⊤ 6= 0.262 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear e a1z1 + b1z2 + c1z3 = 0 a2z1 + b2z2 + c2z3 = 0 a3z1 + b3z2 + c3z3 = 1 Como det m 6= 0. nunca se chega a uma linha ℓ = 0. Observa¸ c˜ ao 39. 4. do tipo 3 × 1. det m 6= 0 ⇒ m invert´ıvel. para matrizes n × n em geral. Este argumento mostra como provar o teorema acima utilizando os resultados da Se¸c˜ao 33 e n˜ao os da Se¸c˜ao 32. Vemos portanto que as seguintes afirma¸c˜oes a respeito de uma matriz m do tipo 3 × 3 s˜ ao equivalentes: 1. Noutras palavras. Num argumento inteiramente an´ alogo. As colunas de m s˜ ao linearmente independentes. 3. Assim. 2. As solu¸c˜oes desses 3 sistemas s˜ ao as linhas de uma matriz q. Existe uma u ´nica matriz m−1 tal que m−1m = mm−1 = I3 (m ´e invert´ıvel). tal que mp = I3 . existe uma u ´nica matriz p. Mas ´e claro que q = qI3 = q(mp) = (qm)p = I3 p = p. Observa¸ c˜ ao 39. Prove que a composta M ◦ N : R2 → R2 tem a forma (M ◦ N)(x. r2 s2 Enuncie e prove um resultado an´ alogo para matrizes 3 × 3. (ou vol P ′ = vol P · | det m|). c3 a regra de Cramer para mostrar que M2 M3 N2 N3 . Resolva os sistemas de equa¸c˜ oes lineares a1 x1 + b1 x2 = 1 a2 x1 + b2 x2 = 0 a1 y1 + b1 y2 = 0 e a2 y1 + b2 y2 = 1 e obtenha uma f´ ormula expl´ıcita para a matriz inversa x1 y1 −1 . M(x. Partindo da matriz a1 m = a2 a3 b1 b2 b3 e supondo ∆ = det m 6= 0. P2 P3 . Tr ·αm = α Tr ·m se α ∈ R e que Tr ·(mn) = Tr ·(nm). c2 x+d2 y). com p invert´ıvel. N(x. Sejam m e p matrizes 3 × 3. Chama-se tra¸co de m a soma Tr ·m = a11 +a22 +· · ·+ann dos elementos aii da sua diagonal. a2 x+b2 y). 3. use trˆes vezes M1 1 m−1 = N1 ∆ P1 c1 c2 . y) = (a1 x+b1 y. No Exerc´ıcio 2. para cada (x. Prove que m e p−1 mp tˆem o mesmo tra¸co. Enuncie e demonstre o an´ alogo para R3 do exerc´ıcio 3 da Se¸c˜ ao 35. N : R2 → R2 (transforma¸c˜ oes lineares) pondo. 2. y) = (c1 x+d1 y. y) ∈ R2 . mostre que se det m 6= 0 ent˜ ao a fun¸c˜ ao M transforma todo paralelogramo P (ou paralelep´ıpedo. m = x2 y2 7. onde r1 s1 = mn. conforme se considere R2 ou R3 ) noutro paralelogramo (ou paralelep´ıpedo) P ′ tal que ´ area de P ′ = (´ area de P)×| det m|. 4. 6. r2 x + s2 y). Generalize. Dadas as matrizes m= a1 a2 b1 b2 e n= c1 c2 d1 . d2 defina as fun¸c˜ oes M. Prove que Tr ·(m+n) = Tr ·m + Tr ·n. Conclua que todas as propriedades do determinante s˜ ao conseq¨ uˆencias destas quatro. Seja m= a1 a2 b1 b2 tal que ∆ = det m 6= 0. y) = (r1 x + s1 y. Seja m uma matriz quadrada n × n. 5.Exerc´ıcios 263 Exerc´ıcios 1. Diz-se que uma matriz 3 × 3 tem posto 3 quando suas linhas s˜ ao linearmente independentes.linearmente independentes dessa matriz. Seja m uma matriz 3 × 3 ou 3 × 4. 13. Prove que m ´e ortogonal se. Prove o Teorema de Rouch´e: um sistema de 3 equa¸c˜ oes lineares com trˆes inc´ ognitas tem solu¸c˜ ao se.] 0 1 16. existem n´ umeros a1 . Resolva-o por elimina¸c˜ ao. bi e ci respectivamente. Escreva um sistema de 3 equa¸c˜ oes lineares com 3 inc´ ognitas. b3 tais que a1 b1 a1 b2 a1 b3 m = a2 b1 a2 b2 a2 b3 . Resolva dois sistemas 2 × 2 para obter uma matriz p = 2 3 x z tal que mp = I2 . . a3 e b1 . 11. Seja m uma matriz 3×3. Diz-se que m tem posto 2 quando duas de suas linhas s˜ ao linearmente independentes e a outra ´e combina¸c˜ ao linear delas. tem posto 1 se. Conclua que m n˜ ao possui uma matriz inversa.ou colunas . a3 b1 a3 b2 a3 b3 Enuncie e demonstre um fato an´ alogo para matrizes 3 × 4. y w 17. 15. prove que o mesmo ocorre com a matriz produto mp. Seja m = . uma de suas colunas ´e n˜ ao-nula e as outras colunas s˜ ao m´ ultiplos dela. Diz-se que m tem 1 quando uma de suas linhas ´e n˜ ao-nula e as outras s˜ ao m´ ultiplos dela. [Note que o posto de uma matriz n˜ ao-nula ´e o n´ umero m´ aximo de linhas . e somente se. Ni = (−1)i Bi e Pi = (−1)i+1 Ci (i = 1. 14. seus vetores-linha (ou coluna) s˜ ao dois a dois ortogonais de comprimento 1. Prove que.] A matriz ∆ · m−1 chama-se a adjunta cl´ assica de m. 2. 3). do tipo 3 × 3. Prove que. b2 . 12.264 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear onde M i = (−1)i+1 Ai . 8. Diz-se que uma matriz 3 × 4 tem posto 3 quando suas linhas s˜ ao linearmente independentes. [Conforme a nota¸c˜ ao estabelecida na Se¸c˜ ao 35. Prove que se m tem posto 3 ent˜ ao suas trˆes colunas s˜ ao linearmente independentes.4). e somente se. (Veja Exemplo 34. Bi e Ci s˜ ao os menores relativos a ai . e somente se. os n´ umeros Ai . 10. Uma matriz quadrada m chama-se quando m⊤ = m−1 . trˆes de suas colunas s˜ ao linearmente independentes e a quarta ´e necessariamente uma combina¸c˜ ao linear delas. a2 . neste caso. Enuncie e demonstre um resultado an´ alogo para matrizes 3 × 4. o posto da matriz do sistema ´e igual ao posto da matriz aumentada. Prove que se m tem posto 2 ent˜ ao duas de suas colunas s˜ ao linearmente independentes e a outra coluna ´e combina¸c˜ ao linear delas. Prove que uma matriz n˜ ao-nula m. Dˆe exemplos de matrizes ortogonais 2 × 2 e 3 × 3 nas quais nenhum elemento ´e igual a zero. 9. Compare e comprove qual dos trˆes m´etodos ´e o mais eficiente. Sejam m e p matrizes 3 × 3. Se uma das linhas de m ´e m´ ultiplo de outra. neste caso. pela regra de Cramer e pela f´ ormula x = m−1 · d. do tipo 3 × 3 ´e invert´ıvel se. tem-se m · x 6= 0. a matriz de N ´e m−1 . com trˆes linhas e uma s´ o coluna. BC = 10 e trˆes das arestas verticais tˆem medidas AA ′ = 2. 24. BB ′ = 5 e CC ′ = 7. Calcule a ´ area da superf´ıcie de um prisma reto cuja base ´e um paralelogramo ABCD. sua matriz m ´e invert´ıvel. (Aqui. 23. b. Mostre que M ´e invert´ıvel se. e somente se. Determine quais das outras duas: 1 2 2 das matrizes abaixo tˆem uma linha que ´e combina¸c˜ ao linear 3 1 2 1 3 1 . AC = 8. e somente se. 22. c do triˆ angulo ABC. 4 7 5 2 5 8 3 6 . 0) prove que para todo d = (d d2 . AOC ao retos. nestas condi¸c˜ oes. m n˜ ao ´e invert´ıvel. Prove que uma matriz m. Torne mais abrangente o resultado acima: mostre que se alguma linha de m ´e combina¸c˜ ao linear das outras duas ent˜ ao o mesmo ocorre com mp. d = d2 . d3 ). Se o sistema linear homogˆeneo m · x = 0 admite uma u ´nica solu¸c˜ ao x = (0. 19. No caso afirmativo. Determine as medidas das arestas e da altura da pirˆ amide de base ABC e v´ertice O em fun¸c˜ ao dos lados a. mostre que existe um ponto O no espa¸co. Conclua que. Seja m uma matriz 3 × 3. 2 1 3 3 1 8 2 3 1 . 8 20.Exerc´ıcios 265 18.) d3 . 0. −1 3 8 1 2 4 1 1 3 . Uma transforma¸c˜ ao linear M : R3 → R3 chama-se invert´ıvel quando existe uma transforma¸c˜ ao linear N : R3 → R3 (dita a inversa de M) tal que M(N(x)) = N(M(x)) = x para todo x ∈ R3 . o sistema 1. seja qual for p. 21. para toda matriz n˜ ao-nula x. ^ ^ e BOC ^ s˜ tal que os ˆ angulos AOB. com AB = 6. d1 linear m · x = d admite uma u ´nica solu¸c˜ ao. Dado um triˆ angulo acutˆ angulo ABC. que a1b2 − a2b1 6= 0. Ent˜ao devemos ter simultaneamente a1x + b1y + c1z = 0 e a2x + b2y + c2z = 0. Escrevamos as equa¸c˜oes acima sob a forma a1x + b1y = −c1z a2x + b2y = −c2z.40 O Produto Vetorial Ao contr´ario do produto interno. Essa opera¸c˜ao tem um significado geom´etrico interessante. consideremos os vetores u = (a1. sem perda de generalidade. z) que seja ortogonal a u e a v. c2). Suponhamos u e v linearmente independentes. b1. a1b2 − a2b1 . dados por suas coordenadas relativas a esses eixos. y. A defini¸c˜ao de produto vetorial que daremos a seguir prov´em do problema de encontrar um vetor n˜ao-nulo w = (x. que d´a como resultado um n´ umero e tem sentido tanto no plano como no espa¸co. c1) e v = (a2. b2. Como u e v s˜ ao linearmente independentes podemos admitir. Resolvendo este sistema nas inc´ognitas x e y achamos x= b1c2 − b2c1 z a1b2 − a2b1 e y= a2c1 − a1c2 z. Fixado um sistema de eixos ortogonais OXYZ no espa¸co. que ser´a mostrado a seguir. o produto vetorial ´e um modo de combinar dois vetores do espa¸co dando como resultado um outro vetor. a fim de facilitar a dedu¸c˜ao de suas propriedades formais. mas ser´a definida algebricamente. 4. As seguintes propriedades do produto vetorial decorrem diretamente da defini¸c˜ao: 1. Conseq¨ uˆencia da propriedade an´ aloga para determinantes. a1b2 − a2b1). v. . obt´em-se: det[u. Idem. faz com que valha a propriedade 4. Sua primeira linha ´e formada por vetores e as outras duas por n´ umeros. Isto motiva a defini¸c˜ao seguinte. Reconhece-se imediatamente que b1 c1 a1 c1 a1 b1 u × v = det · e1 − det · e2 + det · e3. a1b2 − a2b1). c1) por v = (a2. c3). e3 os vetores unit´ arios dos eixos. wi = det[u. u × v = −(v × u). Temos ent˜ao w = (b1c2 − b2c1. v. a2 b2 c2 Observe o carater h´ıbrido da matriz acima. abaixo. tem-se hu × v. e2. c2) ´e o vetor u × v = (b1c2 − b2c1.O Produto Vetorial 267 Se¸c˜ ao 40 Uma escolha natural para z ´e z = a1b2 − a2b1. w]. wi. os determinantes mudam de sinal quando se trocam as posi¸c˜oes de duas de suas linhas. 3. expandido segundo os elementos da primeira linha: e1 e2 e3 u × v = det a1 b1 c1 . onde w = (a3. 2. b2. Com efeito. desenvolvendo em rela¸c˜ao `a terceira linha o determinante det[u. a2c1 − a1c2. α ∈ R . b2 c2 a2 c2 a2 b2 Isto sugere interpretar mnemonicamente o produto vetorial u × v como o “determinante” abaixo. Para qualquer vetor w. w] = (b1c2 − b2c1)a3 − (a1c2 − a2c1)b3 + (a1b2 − a2b1)c3 = hu × v. O produto vetorial de u = (a1. Com efeito. w]. (u + u ′ ) × v = u × v + u ′ × v e u × (v + v ′ ) = u × v + u × v ′ . b3. b1. v. (O sinal menos da segunda coordenada. (α · u) × v = u × (α · v) = α · (u × v). −(a1c2 − a2c1).) Sejam e1. que destacamos para evitar erro. |u × v| = a ´rea [u. w} diz-se positivamente orientado (em rela¸c˜ao ao sistema de eixos fixado) quando ´e positivo o determinante cujas linhas s˜ ao formadas pelas coordenadas dos vetores dados. ui = det[u. v. podemos dividir por |u × v| e obter |u × v| = ´area[u. e somente se. segue-se de 4. tem-se det[u. fornece: |u × v|2 = hu × v.. v. Aqui. lembrando que o volume de um paralelep´ıpedo ´e o produto da sua altura pela ´ area da base e observando que o paralelep´ıpedo constru´ıdo sobre os vetores u. estamos supondo que u e v n˜ao s˜ ao colineares.268 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 5. Um triedro {u. u × v ´e um vetor ortogonal a u e a v. u] = 0 e hu × v. u × v] = hu × v. v. v. que hu × v. Caso contr´ario. vi = det[u. v] = 0. u × vi = |u × v|2 > 0. v]. os vetores u e v s˜ ao colineares. v. 6. na ordem em que s˜ ao listados. v] = 0. Com efeito. 8. v. e somente se. a propriedade 4. u × v tem altura |u × v| e base igual a ´area [u. u × v} ´e positivamente orientado. a1b2 − a2b1 = a1c2 − a2c1 = b1c2 − b2c1 = 0. 7. u e v s˜ ao colineares se. v]. Ora. . v](= a ´rea do paralelogramo de lados u e v). u × v] = |u × v| · ´area[u. v. tomando w = u × v na propriedade 4. u × v = 0 se. Com efeito. Se u e v s˜ ao colineares ent˜ao |u × v| = ´area[u. v. Com efeito. u × v] = vol[u. O triedro {u. v]. u × vi = det[u. b2.O Produto Vetorial 269 Se¸c˜ ao 40 Escrevendo o quadrado da ´area do paralelogramo [u. As propriedades 5. ela constitui uma interessante e u ´til generaliza¸c˜ao do Teorema de Pit´ agoras. Para ver isto. Πxz e Πyz. e 8. basta lembrar que as proje¸c˜oes dos vetores u. Com efeito. Portanto a proje¸c˜ao do paralelogramo [u. a igualdade |u × v|2 = (´area[u. v sobre o plano Πxy s˜ ao os vetores u0 = (a1.. A igualdade acima ´e conhecida como a identidade de Lagrange. cuja ´ area ´e |a1b2 − a2b1|. 0) e v0 = (a2. v] como o determinante da matriz de Gram. v] nos demais planos Πxz e Πyz. diz que u × v = 0 quando u e v s˜ ao . ela diz que o quadrado da ´area de um paralelogramo ´e igual ` a soma dos quadrados das suas trˆes proje¸c˜oes sobre os planos coordenados Πxy. 6. b1. Com efeito. v] sobre o plano Πxy ´e o paralelogramo [u0. caracterizam inteiramente o produto vetorial u × v. 6. 7. v0]. O mesmo se d´a com as proje¸c˜oes de [u.. v])2 significa: (a1b2 − a2b1)2 + (a1c2 − a2c1)2 + (b1c2 − b2c1)2 = (a21 + b21 + c21)(a22 + b22 + c22) − (a1a2 + b1b2 + c1c2)2. Olhada geometricamente. 0). Os dois sistemas s˜ ao igualmente orientados se. Expliquemos. poder´ıamos ter definido o produto vetorial u × v como o vetor perpendicular a u e v. n˜ao depende do sistema de eixos ortogonais utilizado. embora tenha sido apresentado por meio de coordenadas.270 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear colineares. Noutras palavras. u × v}. Complementar´ıamos a defini¸c˜ao pondo u × v = 0 quando u e v fossem colineares. o produto vetorial u×v continua o mesmo. v. em rela¸c˜ao ao qual passamos a tomar as coordenadas. Ela mostra tamb´em que o produto vetorial. este determinante ´e positivo. v] e dotado do sentido que torna positivo o triedro {u. diz qual o comprimento de u × v. 5. Esta condi¸c˜ao (de igual orienta¸c˜ao) pode ser verificada assim: toma-se o determinante cujas linhas s˜ ao as coordenadas (no sistema OXYZ) dos vetores unit´ arios do sistema O ′ X ′ Y ′ Z ′ . que os triedros positivos num deles sejam tamb´em positivos no outro. desde que estes dois sistemas tenham a mesma orienta¸ca ˜o. isto ´e. . Se substituirmos o sistema OXYZ por outro O ′ X ′ Y ′ Z ′ . Caso contr´ario. Quer dizer: n˜ao depende at´e certo ponto. Esta defini¸c˜ao geom´etrica constitui a maneira mais adequada de se pensar no produto vetorial. de comprimento igual `a ´area[u. 7. diz para que lado dessa reta u × v aponta e 8. diz que u × v se situa sobre a reta perpendicular ao plano de u e v. e somente se. Veremos. Pondo u = AA ′ e v = BB ′ tem-se R = {A + r · u. 2). y1. O plano Π ´e definido pela equa¸c˜ao ax + by + cz = d. onde d = −2 · 1 + 2 · (−1) − 6 · 2 = −16. c) deve ser perpendicular ao plano Π. 3. 2. z2). isto ´e: a = β1γ2 − β2γ1. y2. o produto vetorial muda de sinal. Sejam as retas R. z0). β2. 0). b. al´em disso. s ∈ R}. y1 − y0. z2 − z0) = (α2. 1) e v = AC = (2. Outro problema em que se faz uso do produto vetorial ´e o de determinar a perpendicular comum a (e a distˆ ancia entre) duas retas reversas. B = (x1. B e C est˜ao sobre o plano. b. O produto vetorial ´e u ´til em problemas onde se quer uma reta perpendicular a dois vetores dados. que passa pelos −→ −→ pontos B. . γ2). que passa pelos pontos A. 2. 3) e C = (3. Suponhamos que se procure a equa¸c˜ao ax + by + cz = d do plano Π que passa por trˆes pontos n˜ao-colineares A = (x0. c) = u × v. Sabemos que o vetor w = (a. os vetores u e v n˜ao s˜ ao colineares. A ′ . −1. tem-se: d = ax0 + by0 + cz0 = ax1 + by1 + cz1 = ax2 + by2 + cz2. r ∈ R} e S = {B + s · v. aos vetores −→ u = AB = (x1 − x0. duas situa¸c˜oes desse tipo. y2 − y0. z1) e C = (x2. 2.O Produto Vetorial 271 Se¸c˜ ao 40 Caso os dois sistemas tenham orienta¸c˜oes contr´arias. a seguir. B = (1. Exemplo 40. −6).1 Determinar a equa¸c˜ao do plano que passa pelos pontos A = (1. Tomamos ent˜ao w = (a. A equa¸c˜ao procurada tem a forma −2x + 2y − 6z = d. 1. z1 − z0) = (α1. Dizer que essas retas s˜ ao reversas significa afirmar que elas n˜ao tˆem ponto em comum e. e S. Como os pontos A. β1. b = α2γ1 − α1γ2 e c = α1β2 − α2β1. y0. 2). logo u × v = (−2. B ′ . Temos −→ −→ u = AB = (0. γ1) e −→ v = AC = (x2 − x0. ou seja. ou seja. Exemplo 40.272 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Seja w = u × v. a menor distˆ ancia entre um ponto qualquer de R e um ponto qualquer de S. Queremos que a reta T tenha origem num ponto C = A + r · u pertencente a R e. em seguida. t ∈ R}. 2. t ∈ R}. s. A equa¸c˜ao param´etrica da reta T ´e ent˜ao T = {A + r0 · u + t · w. determinar os n´ umeros reais r. conhecendo-se as coordenadas A = (2. 2). . isto ´e. cuja solu¸c˜ao (r0. Qualquer reta paralela a w. −3. B = (1. t tais que A + r · u + t · w = B + s · v. al´em disso. 4. t0) fornece os n´ umeros procurados. Este comprimento ´e igual a |t0 · w|. −→ r · u − s · v + t · w = AB. s0. −3). pois A + r0 · u + t0 · w = B + s0 · v. B ′ = (3. Esta equa¸c˜ao vetorial equivale a um sistema de trˆes equa¸c˜oes num´ericas. que passe por algum ponto B + s · v da reta S. do tipo T = {C + t · w. Devemos portanto tomar w = u × v e.2 Achar a perpendicular comum `as retas reversas R = AA ′ e S = BB ′ e determinar a distˆ ancia entre essas retas. ´e o comprimento do segmento de reta que liga os pontos A+r0·u e B+s0·v. A distˆ ancia entre as retas R e S. 5. A ′ = (4. 6). 1). ou seja. ´e ortogonal tanto a R como a S. v = BB ′ = (2. −→ sendo os vetores u. Resolvendo-o. a equa¸c˜ao vetorial r·u−s·v+t·w = AB (e o sistema linear que lhe ´e equivalente) possui sempre uma solu¸c˜ao (´ unica) (r0. −4). v e w. 3/4. portanto w = −→ u×v = (24. t0) porque. de maneira u ´nica.O Produto Vetorial 273 Se¸c˜ ao 40 −→ −→ Temos u = AA ′ = (2. 81. −2) e ´e paralela ao vetor w = (24. s0. A distˆ 9 |t0 · w| = 56 · 896 = 4. w linearmente independentes. obtemos r0 = 3/4. Portanto. a perpendicular comum `as retas AA ′ e BB ′ ´e a reta que passa pelo ponto C = A + r0 · u = (7/2. 1) . O sistema linear r·u−s·v+t·w = −→ AB escreve-se ent˜ao como 2r − 2s + 24t = −1 5r − s − 16t = 7 −4r − 4s − 8t = 1. 4). v. 7. 5. . como combina¸c˜ao linear de u.1 No problema de achar a distˆ ancia entre duas retas −→ reversas. 1. −16. −8) e AB = (−1. s0 = −19/28 e t0 = −9/56. −16. todo vetor AB do espa¸co se escreve. Observa¸ c˜ ao 40. ancia entre as retas AA ′ e BB ′ ´e igual a √−8). Prove que (u × v) × w + (v × w) × u + (w × u) × v = 0. c1 . Para quaisquer vetores u. 2. 2. ek ) = ψ(ei . Indicando com m1 . d1 ) e v = (a2 . (Sugest˜ ao: Os dois membros desta proposta igualdade s˜ ao fun¸c˜ oes ϕ(u.) 8. Mostre que u × (v × w) = hu. a segunda e a terceira coluna. hv. No espa¸co quadridimensional R4 . v. mostre que det ·mm⊤ = (det ·m1 )2 + (det ·m2 )2 + (det ·m3 )2 . 4) e v = (1. Escreva sob a forma ax + by + cz = d a equa¸c˜ ao do plano que passa pelo ponto A = (−7. 6. m2 e m3 respectivamente as matrizes 2 × 2 obtidas de m quando se omitem a primeira. v e w. tais que ϕ(e1 . c2 . k de 1 a 3. ek ) para quaisquer i. para quaisquer vetores u. wiv − hu. d2 ). Imitando o caso de R3 . lineares em rela¸c˜ ao a cada uma delas. Embora n˜ ao exista em R4 a no¸c˜ ao de produto vetorial de dois vetores. 2. 6. w × ti. 0). 3) sobre o plano que cont´em os pontos A = (5. b1 . 2) e C = (1. Seja m uma matriz 2 × 3. 0. wi hv. B = (0. 4). wi hu. vi dos vetores u = (a1 . defina o produto vetorial u × v × w de modo que seja ortogonal a cada um dos vetores u. w) e ψ(u. 2.274 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Exerc´ıcios 1. 5) e ´e paralelo aos vetores u = (3. viw. 0. ej . v. defina o produto interno hu. 3. ej . wi = hu. v × wi. j. 2. vale hu. v. ti det · = hu × v. de trˆes vari´ aveis vetoriais. Escolhendo um sistema de eixos conveniente no espa¸co. w). 4. Defina vetores ortogonais. mostre que. v. ti 7. prove que hu × v. w e t. 4). w. . 5. b2 . Use o produto vetorial para obter as coordenadas do p´e da perpendicular baixada do ponto P = (1. enuncie e prove propriedades de u × v × w an´ alogas ` aquelas provadas no texto para o produto vetorial de dois vetores de R2 . Por exemplo. Todo vetor do espa¸co sendo combina¸c˜ao linear de e1. e2 e e3. juntamente com os vetores unit´ arios f1. y. j´a adotado. f2. e2i = bi e hfi. 2. para um novo sistema O ′ X ′ Y ′ Z ′ . vi = |u||v| cos θ. naturalmente. que ai = cos αi. c2) e f3 = (a3. b1.41 Mudan¸ca de Coordenadas Em certos problemas. 2. bi = cos βi. 2. OY e OZ. Como cada vetor fi ´e unit´ ario. y ′ . e2. OY. melhor adaptado `as circunstˆ ancias. b2. podemos . Reciprocamente. a quest˜ao de. para cada i = 1. podemos escrever. Essas mudan¸cas de eixos ser˜ao abundantemente consideradas nas se¸c˜oes seguintes. e1i = ai. Nesta se¸c˜ao. c1). 3) se escreve como combina¸c˜ao linear dos vetores unit´ arios f1. e2. b3. tem-se cos2 αi + cos2 βi + cos2 γi = 1. trataremos desse problema. Como os vetores unit´ arios e1. Surge ent˜ao. e3 s˜ ao perpendiculares uns aos outros. Um papel relevante na discuss˜ao ser´a desempenhado pelos vetores unit´ arios e1. f2. f3. αi. e3i = ci. Segue-se da f´ormula hu. ´e conveniente passar de um sistema de eixos OXYZ. hfi. ci = cos γi onde. 3. z ′ do mesmo ponto no novo sistema O ′ X ′ Y ′ Z ′ . para cada i = 1. obter as coordenadas x ′ . e3 dos eixos OX. f3 dos eixos ′ ′ ′ ′ ′ ′ O X . cada vetor ej (j = 1. conhecendo as coordenadas x. para f1 = (a1. f2 = (a2. z de um ponto P no sistema OXYZ. βi e γi s˜ ao os ˆangulos que o vetor fi forma com os eixos OX.O Y e O Z . OZ. 3 temos hfi. c3): f1 = a1 · e1 + b1 · e2 + c1 · e3 f2 = a2 · e1 + b2 · e2 + c2 · e3 (*) f3 = a3 · e1 + b3 · e2 + c3 · e3. y. Para exprimir as coordenadas x ′ . Analogamente. Sejam ainda (m. Dizer que as coordenadas do ponto P no sistema OXYZ s˜ ao (x. bi. z ′ ) s˜ ao as coordenadas do mesmo ponto P no sistema O ′ X ′ Y ′ Z ′ . f2i = a2 e z = he1. y = he1. Observe que os coeficientes ai. ci nas equa¸c˜oes (**) s˜ ao os mesmos das equa¸c˜oes (*) por´em dispostos em ordem diferente: a matriz dos coeficientes de (**) ´e a transposta da matriz de (*). z ′ em fun¸c˜ao de x. Como os vetores unit´ arios f1. f3i = a3. f1i = a1. y ′ . p) as coordenadas da nova origem O ′ no sistema OXYZ. z. . come¸camos observando que ou seja: −−→ −→ −−→ −→ −−→ ′ −−→ OP = OO + O ′ P. f2. Portanto e1 = a1 · f1 + a2 · f2 + a3 · f3. −−→ ′ OO = m · e1 + n · e2 + p · e3.´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 276 escrever e1 = x · f1 + y · f2 + z · f3. De modo an´ alogo se obtˆem as outras duas igualdades que nos permitem escrever: e1 = a1 · f1 + a2 · f2 + a3 · f3 e2 = b1 · f1 + b2 · f2 + b3 · f3 (**) e3 = c1 · f1 + c2 · f2 + c3 · f3. f3 s˜ ao mutuamente perpendiculares. f1i = a1. he3. logo O ′ P = OP − OO ′ . y. resulta da´ı que x = he1. vem: x ′ = a1(x − m) + b1(y − n) + c1(z − p). f1i = c1. he2. a −−→ igualdade O ′ P = x ′ · f1 + y ′ · f2 + z ′ · f3 significa que (x ′ . isto ´e. f1i = b1. y ′ . z) −→ equivale a afirmar que OP = x · e1 + y · e2 + z · e3. x ′ · f1 + y ′ · f2 + z ′ · f3 = (x − m) · e1 + (y − n) · e2 + (z − p) · e3 Tomando o produto interno de ambos os membros desta igualdade por f1 e observando que he1. n. como x ′ = m · (x − v) e x = mT · x ′ + v. e2. e3} e {f1. y ′ . f3} s˜ ao triedros formados por vetores unit´ arios mutuamente ortogonais. z ′ . As f´ormulas (1) e (2). Levando em conta que {e1. y. a3 b3 c3 c1 c2 c3 chamadas respectivamente as matrizes de passagem de OXYZ para O ′ X ′ Y ′ Z ′ e vice-versa. ′ x m x Escrevendo x = y. p˜oem em relevo as matrizes a1 b1 c1 a1 a2 a3 m = a2 b2 c2 e mT = b1 b2 b3 . x · e1 + y · e2 + z · e3 = x ′ · f1 + y ′ · f2 + z ′ · f3 + m · e1 + n · e2 + p · e3. e tomamos o produto interno de ambos os membros por e1. inverter as equa¸c˜oes acima. E ou seja. que d˜ao a mudan¸ca de coordenadas quando se passa de um sistema de eixos ortogonais para outro. ´ conveniente tamb´em saber exprimir x.Mudan¸ca de Coordenadas no Espa¸co 277 Se¸c˜ ao 41 Analogamente se obtˆem as outras duas igualdades que nos permitem escrever as equa¸c˜oes de mudan¸ca de coordenadas: x ′ = a1(x − m) + b1(y − n) + c1(z − p) y ′ = a2(x − m) + b2(y − n) + c2(z − p) (1) ′ z = a3(x − m) + b3(y − n) + c3(z − p). obtendo x = a1x ′ + a2y ′ + a3z ′ + m. obtemos as outras duas igualdades que nos permitem escrever: x = a1x ′ + a2y ′ + a3z ′ + m y = b1x ′ + b2y ′ + b3z ′ + n ′ ′ (2) ′ z = c1x + c2y + c3z + p. resulta imediatamente das . partimos da igualdade OP = OO ′ + O ′ P. z em fun¸c˜ao de x ′ . f2. Tomando produtos internos por e2 e por e3. v = n e x ′ = y ′ as equa¸c˜oes (1) e z′ p z (2) da mudan¸ca de coordenadas se escrevem sob forma matricial. −−→ −→ −−→ Para isto. isto ´e. naquele argumento. ser ortogonal significa portanto que suas linhas e suas colunas s˜ ao vetores unit´ arios mutuamente perpendiculares em R3. esses sistemas de eixos tˆem orienta¸c˜ao opostas. As matrizes com esta propriedade chamam-se matrizes ortogonais. J´a o ponto P = O ′ + f1. Isto equivale a afirmar que os eixos O ′ X ′ e OX. Outra maneira de exprimir este fato ´e afirmar que se tem m · mT = mT · m = I3. f2 = e2 e f3 = e3. f2. Basta interpretarmos. Esta afirma¸c˜ao foi. Exemplo 41. Um tipo especial de mudan¸ca de eixos ´e aquele em que f1 = e1. como era de se esperar. cujas coordenadas no sistema O ′ X ′ Y ′ Z ′ s˜ ao (1.278 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear equa¸c˜oes (*) e (**) que as linhas de ambas estas matrizes s˜ao vetores unit´ arios mutuamente ortogonais em R3. a matriz de passagem de um sistema de eixos ortogonais para outro tem a peculiaridade de que sua transposta ´e tamb´em sua inversa. Se det m = −1. de fato.1 Apliquemos as equa¸c˜oes (1) e (2) em casos particulares bem simples. e2. tem coordenadas x = a1 + m. se as linhas de uma matriz 3 × 3 s˜ ao vetores unit´ arios mutuamente ortogonais em R3. y = n. z = 0. y = b1 + n. 0. dizem que suas novas coordenadas s˜ ao x ′ = 0. Quando o determinante da matriz de passagem m ´e igual a +1. 0). Portanto det m = ±1 para toda matriz ortogonal m. de acordo com as equa¸c˜oes (2). resulta da´ı que suas colunas tˆem tamb´em esta propriedade. Para uma matriz 3 × 3. aplicadas ao ponto O ′ . f3 como as linhas da matriz dada. z = p. de coordenadas x = m. onde 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1 ´e a matriz identidade 3 × 3. z = c1 + p no sistema OXYZ. As equa¸c˜oes (1). Assim. O ′ Y ′ . Na realidade. Da igualdade m · mT = I resulta que 1 = det I = det(m · mT ) = det m · det mT = (det m)2. provada quando mostramos acima que as equa¸c˜oes (**) resultam das equa¸c˜oes (*). dizse que os sistemas OXYZ e O ′ X ′ Y ′ Z ′ s˜ ao igualmente orientados. ′ ′ y = 0. e3 como os vetores da base canˆonica de R3 e f1. e1. no novo sistema de coordenadas. Numa transla¸c˜ao de eixos. Equivalentemente: P est´a no plano Π se. num dado sistema de eixos OXYZ. a equa¸c˜ao do plano Π assume a forma ligeiramente mais simples (*). c). donde Ilustraremos a seguir. Ent˜ao P pertence ao plano Π se. Fa¸camos uma transla¸c˜ao de eixos. o que conta ´e apenas a nova origem O ′ . bem como O ′ Z ′ e OZ s˜ ao paralelos e de mesmos sentidos. y ′ . n. z = z ′ + p. x = x ′ + m. n. d = ax + by + cz = a(x ′ + m) + b(y ′ + n) + c(z ′ + p) = ax ′ + by ′ + cz ′ + am + bn + cp = ax ′ + by ′ + cz ′ + d. Uma transla¸c˜ao de eixos colocando a nova origem no ponto A introduz coordenadas (x ′ . y ′ = y − n. z ′ = z − p. Exemplo 41.3 Seja S a esfera de centro no ponto A e raio igual a r. as coordenadas do ponto A s˜ ao (a. e somente se. ax ′ + by ′ + cz ′ = 0. y ′ . Fixemos um ponto O ′ = (m. z) pelas equa¸c˜oes x = x ′ +m. y. z = z ′ + p. Exemplo 41.2 Seja Π o plano cuja equa¸c˜ao no sistema de eixos OXYZ ´e ax + by + cz = d. Diz-se ent˜ao que se trata de uma transla¸ca ˜o de eixos. p) nesse plano. logo am + bn + cp = d. p) ent˜ao as equa¸c˜oes de mudan¸ca de coordenadas na transla¸c˜ao de eixos s˜ ao x ′ = x − m. y = y ′ +n.Mudan¸ca de Coordenadas no Espa¸co 279 Se¸c˜ ao 41 e OY. Se. Se as coordenadas de O ′ no sistema OXYZ s˜ ao (m. e somente se. z ′ ) em rela¸c˜ao `as quais a equa¸c˜ao da esfera S torna′ ′ ′ se x 2 + y 2 + z 2 = r2. mediante dois exemplos extremamente elementares. z ′ ) de um ponto P se relacionam com as antigas (x. adotando O ′ como a nova origem. y = y ′ + n. a equa¸c˜ao da esfera S nesse sistema ´e (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2. b. como a transla¸c˜ao de eixos pode simplificar a equa¸c˜ao de uma superf´ıcie. (*) Assim. . As novas coordenadas (x ′ . f1 e u. f1 = f2 × u = √ a2 + b2 a2 + b2 A matriz ortogonal cujos elementos s˜ ao os coeficientes das equa¸c˜oes de mudan¸ca de coordenadas ´e ent˜ao √ bc ac 2 2 √a2 + b2 √a2 + b2 − a + b . podemos tom´ a-lo como −b a f2 = √ . a2 + b2 a2 + b2 Quanto a f1. e n˜ao haveria necessidade de mudar coordenadas).√ . Ache n´ umeros α. c) sendo conhecido. f2. nas coordenadas x ′ . a2 + b2 + c2 = 1. podemos supor a2 + b2 6= 0 (do contr´ario seria u = e3.4 Seja ax + by + cz = d a equa¸c˜ao de um plano Π relativamente a um sistema de eixos OXYZ. ou seja.√ . Sabemos que o vetor u. Sem perda de generalidade. tomamos p ac bc 2 2 . u ´e claro que. a m = √ −b √ 0 a2 + b2 a2 + b2 a b c Exerc´ıcios 1. 2 2 n = −3 m = 1 2 −6 3 2 1 −2 .0 . devendo ser ortogonal a u. z ′ relativas a este sistema. ´e perpendicular ao plano Π. podemos supor que |u| = 1. O vetor f3 = u = (a. de coordenadas (a. c) no sistema dado. Resta apenas obter as f´ormulas de mudan¸ca de coordenadas. Isto representa uma simplifica¸c˜ao consider´avel. B em Π. β de modo que os m´ ultiplos αm e βn das matrizes abaixo sejam matrizes ortogonais 6 3 2 2 −2 1 2 6 .− a + b . a equa¸c˜ao do plano Π ser´a z ′ = 0. b. com origem O ′ em Π e com vetores unit´ arios f1. ABi = 0 quaisquer que sejam os pontos A. hu. y ′ . b. devendo ser unit´ ario e ortogonal a ambos. O vetor unit´ ario f2. Se tomarmos um novo sistema de eixos O ′ X ′ Y ′ Z ′ . −→ isto ´e.280 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Exemplo 41. onde d1 x e d = d2 . . Determine os valores de x e y tais que a matriz abaixo seja ortogonal 2 6 x 1 3 2 y . quais s˜ ao. b) m · mT = I3 . nas novas coordenadas x ′ . 2. Considere as seguintes afirma¸c˜ oes sobre uma matriz m do tipo 3 × 3: a) As linhas de m s˜ ao vetores unit´ arios mutuamente ortogonais. use a Observa¸c˜ ao 39. z ′ . Ache as novas coordenadas (x ′ .Exerc´ıcios 281 2. 1) f) (6. y. Em seguida. Usando a matriz αm do exerc´ıcio anterior. Mostre que a) ⇔ b) e que c) ⇔ d). z) s˜ ao a) (−1. suponha que as coordenadas dadas s˜ ao x ′ . efetue uma rota¸c˜ ao dos eixos (mudan¸ca de coordenadas mantendo a origem fixa). d) mT · m = I3 . as equa¸c˜ oes dos seguintes planos? a) 2x + y + 2z = 1 c) 2x − y = 1 b) 2x − 2y + z = 3 d) x+y+z=0 5. z ′ ) dos pontos cujas coordenadas (x. 1. y ′ . 1) e) (−1. 1. 1. m= 7 6 −3 2 6. prove que existe θ ∈ R tal que cos θ − sen θ cos θ sen θ m= ou m = .) 8. Seja m uma matriz ortogonal 3 × 3. c) As colunas de m s˜ ao vetores unit´ arios mutuamente ortogonais. 0) b) (0. 2) 3. 2) d) (−1. Quais eram. 1. determine os ˆ angulos que cada um dos novos eixos forma com o antigo. No exerc´ıcio anterior. 7. x = y d3 z prove que d21 + d22 + d23 = x2 + y2 + z2 . Efetuada a mudan¸ca de eixos dada pela matriz do exerc´ıcio anterior (sem mover a origem). −3. Ainda com a rota¸c˜ ao dos eixos dada pela matriz ortogonal αm acima. z ′ . sen θ cos θ sen θ − cos θ conforme seja det ·m = 1 ou det ·m = −1. Se m ´e uma matriz ortogonal 2 × 2.2 para concluir que b) ⇔ d). 9. Se m · x = d. y ′ . y e z? 4. em cada caso. −2) c) (1. (Sugest˜ ao: d21 + d22 + d23 = dT · d. logo as quatro afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes. x. y ′ . Equivalentemente. y ′′ .282 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 10. que a mudan¸ca (x ′ . y ′ . . y ′ . tem-se x = mT nT x ′′ + mT v + u. Mostre que se tem p = n · m e w = mT · v + u. z ′ ) 7→ (x ′′ . Suponha que a mudan¸ca de coordenadas (x. z ′ ) se exprima matricialmente por x ′ = m · (x − u). z ′ ) 7→ (x ′′ . y ′ . z) 7→ (x ′ . z ′′ ) seja dada por x ′ = n · (x ′ − v) e que a mudan¸ca (x ′ . y ′′ . z ′′ ) ´e dada por x ′′ = p · (x − w). y. mantendo fixa a origem. y. t).) Teremos ent˜ao ϕ(x.42 Formas Quadr´ aticas em R3 Uma forma quadr´ atica em R3 ´e um polinˆ omio homogˆeneo de grau 2 com trˆes vari´aveis. preferimos usar r. z) para (r. ´e uma fun¸c˜ao ϕ : R3 → R. c1r + c2s + c3t) = A ′ r2 + B ′ s2 + C ′ t2 + 2D ′ rs + 2E ′ rt + 2F ′ st = ϕ(r. (Ao lidarmos com formas quadr´aticas. z = c1r + c2s + c3t. z) = ϕ(r. y. z ′ . teremos a mudan¸ca de coordenadas de (x. s. s. y ′ . s. y. z)=c. z) = ϕ(a1r + a2s + a3t. Se. Esta express˜ao simplificada da forma quadr´atica ϕ permite melhor visualizar as superf´ıcies definidas por equa¸c˜oes do tipo ϕ(x. b1r + b2s + b3t. ou seja. t). mediante uma conveniente escolha de eixos (mantendo a origem fixa). s. t. portanto ϕ(x. y = b1r + b2s + b3t. Nosso principal objetivo nesta se¸c˜ao ´e mostrar que. definida por ϕ(x. ´e poss´ıvel fazer com que. t em vez de x ′ . tomarmos novos eixos em R3. y. y. por motivos ´obvios. se tenha D ′ = E ′ = F ′ = 0. t) = A ′ r2 + B ′ s2 + C ′ t2. como vimos na se¸c˜ao anterior. z) = Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz. s. . onde x = a1r + a2s + a3t. nas novas coordenadas r. 284 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear (Para cada c ∈ R, o conjunto dos pontos P = (x, y, z) tais que ϕ(x, y, z)=c chama-se a superf´ıcie de n´ıvel c da forma ϕ.) Teorema. Dada a forma quadr´ atica ϕ(x, y, z) = Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz, ´e poss´ıvel, mediante uma escolha conveniente de eixos ortogonais, introduzir novas coordenadas r, s, t de modo a ter-se ϕ(x, y, z) = ϕ(r, s, t) = A ′ r2 + B ′ s2 + C ′ t2. Demonstra¸ c˜ ao: Dentre todos os vetores u = (x, y, z) com x2 + y2 + 2 z = 1, (vetores unit´ arios) seja u1 tal que o valor ϕ(u1) ´e m´ aximo. Efetuando, se necess´ario, uma mudan¸ca de eixos, podemos admitir que u1 = (1, 0, 0). Ent˜ao ϕ(1, 0, 0) = A ´e o maior valor de ϕ(x, y, z) com x2+y2+z2 = 1. Nestas condi¸c˜oes, afirmamos que se tem D = E = 0. Isto resulta da Observa¸c˜ao 20.2 no final da Se¸c˜ao 20. Com efeito, ϕ(1, 0, 0) ´e, em particular, o maior valor de ϕ(x, y, 0) = Ax2 + By2 + 2Dxy quando x2 + y2 = x2 + y2 + 02 = 1. De acordo com aquela Observa¸c˜ao, isto implica que D = 0 e que ϕ(1, 0, 0) ´e o maior valor de ϕ(x, y, z) com x2 + z2 = 1, y = 0. Analogamente se vˆe que E = 0. Conclu´ımos ent˜ao que, em qualquer sistema de coordenadas (r, s, t) no qual u1 seja vetor unit´ ario do primeiro eixo, tem-se ϕ(r, s, t) = A ′ r2 + B ′ s2 + C ′ t2 + F ′ st. Ora, podemos escolher no plano r = 0 as coordenadas s, t de tal modo que ϕ(0, 1, 0) seja o maior valor de ϕ(0, s, t) quando s2 + t2 = 1. Ent˜ao (novamente pela Observa¸c˜ao 20.2), F ′ = 0 e da´ı ϕ(r, s, t) = A ′ r2 + B ′ s2 + C ′ t2, como se desejava demonstrar. Observa¸ c˜ ao 42.1 A existˆencia de um sistema de eixos em rela¸c˜ao ao qual os coeficientes D, E e F se anulam ser´a usada nas trˆes pr´oximas se¸c˜oes a fim de identificar geometricamente as formas poss´ıveis da superf´ıcie de n´ıvel de uma fun¸c˜ao quadr´atica (superf´ıcies qu´adricas). Na Formas Quadr´ aticas em R3 285 Se¸c˜ ao 42 Se¸c˜ao 46 apresentaremos o m´etodo alg´ebrico que determina especificamente a mudan¸ca de eixos que dever´a ser efetuada. Exemplo 42.1 Seja ϕ : R3 → R a forma quadr´atica dada pela express˜ao ϕ(x, y, z) = −2x2 + 5y2 + 11z2 + 12xy − 12xz. Efetuando a mudan¸ca de coordenadas (rota¸c˜ao dos eixos): 1 x = (2r − 3s + 6t) 7 1 y = (6r − 2s − 3t) 7 1 z = (3r + 6s + 2t), 7 obtemos a nova forma quadr´atica ϕ(r, s, t) = 7(r2 + 2s2 − t2), que ´e desprovida de termos contendo rs, rt e st. 43 As Qu´ adricas Centrais A express˜ao geral de uma fun¸c˜ao quadr´atica ψ : R3 → R ´e ψ(x, y, z) = Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Iz + J. As superf´ıcies de n´ıvel ψ(x, y, z) = d chamam-se qu´ adricas. Quando G = H = I = J = 0, temos a forma quadr´atica ϕ(x, y, z) = Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz, cujas superf´ıcies de n´ıvel ϕ(x, y, z) = d chamam-se qu´ adricas centrais. O adjetivo “central” prov´em de que, sendo ϕ(−x, −y, −z) = ϕ(x, y, z), o ponto P = (x, y, z) pertence `a superf´ıcie S de equa¸c˜ao ϕ(x, y, z) = d se, e somente se, o ponto P ′ = (−x, −y, −z) tamb´em pertence a S; logo a origem 0 = (0, 0, 0) ´e um centro de simetria de S. Nesta se¸c˜ao faremos uma lista de todas as qu´adricas centrais. Usando o que foi provado na se¸c˜ao anterior, admitiremos que, dada a forma quadr´atica ϕ, um sistema de eixos ortogonais foi escolhido de modo que se tem D = E = F = 0, ou seja: ϕ(x, y, z) = Ax2 + By2 + Cz2. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ ao evidentes: 1a ) Quando d 6= 0, tem-se Ax2 + By2 + Cz2 = d se, e somente se, (A/d)x2 + (B/d)y2 + (C/d)z2 = 1. Se¸c˜ ao 43 As Qu´ adricas Centrais 287 p 2a ) Se A/d > 0 ent˜ao, pondo a =p d/A, tem-se (A/d)x2 = x2/a2. Se (A/d)x2 = −x2/a2. A/d < 0 ent˜ao, pondo a = −d/A, tem-sep 2 2 2 Analogamente, (B/d)y = ±y /b , com b = ±d/B e (C/d)z2 = p 2 2 ±z /c , com c = ±d/C. Note que a > 0, b > 0 e c > 0. 3a ) − x 2 y2 z 2 x 2 y2 z 2 − + = 1 se, e somente se + − = −1. a2 b2 c2 a2 b2 c2 Destes trˆes fatos resulta que as equa¸c˜oes a seguir definem todas as superf´ıcies de n´ıvel poss´ıveis de uma forma quadr´atica (exceto por uma eventual troca de nomes dos eixos): (i) (iii) (v) (vii) (ix) (xi) (xiii) x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 + + + + − y2 b2 y2 b2 y2 b2 y2 b2 y2 b2 z2 = 1. c2 z2 − 2 = 1. c z2 + 2 = 0. c + (iv) (vi) = 1. (viii) = 0. (x) = −1. + (ii) y2 = 0. b2 (xii) x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 y2 b2 y2 + 2 b y2 + 2 b y2 − 2 b + = 1. = 0. z2 = −1. c2 z2 − 2 = −1. c z2 − 2 = 0. c + = 1. 288 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear A superf´ıcie E, definida pela equa¸c˜ao (i), chama-se um elips´ oide. Suas interse¸c˜oes com os planos Πxy, Πxz e Πyz s˜ ao respectivamente as elipses x 2 y2 + = 1, a2 b2 x 2 z2 + =1 a2 c2 e y2 z 2 + = 1. b2 c2 O ponto P = (x, y, z) pertence `a esfera unit´ aria x2 + y2 + z2 = 1 se, e somente se, o ponto P ′ = (ax, by, cz) pertence ao elips´oide E. Portanto, E resulta da esfera unit´ aria pela transforma¸c˜ao P 7→ P ′ , que consiste em multiplicar a primeira coordenada por a, a segunda por b e a terceira por c. Os n´ umeros 2a, 2b e 2c s˜ ao os comprimentos dos eixos (de simetria) do elips´oide, cada um deles contido num eixo coordenado. Se dois desses trˆes n´ umeros s˜ ao iguais, tem-se um elips´oide de revolu¸c˜ao. Por exemplo, quando b = c, o elips´oide x2/a2 + (y2 + z2)/b2 = 1 ´e gerado pela rota¸c˜ao da elipse x2/a2 + y2/b2 = 1, contida no plano z = 0, em torno do eixo OX. (Ou ent˜ao da elipse x2/a2 + z2/b2 = 1, contida no plano y = 0, em torno do mesmo eixo.) Se¸c˜ ao 43 As Qu´ adricas Centrais 289 A equa¸c˜ao (ii) evidentemente define o conjunto vazio, isto ´e, nenhum ponto do espa¸co a satisfaz. A superf´ıcie H1, definida pela equa¸c˜ao (iii), ´e chamada um hiperbol´ oide de uma folha. Sua interse¸c˜ao com o plano Πxz ´e a hip´erbole x2/a2 − z2/c2 = 1 e com o plano Πyz ´e a hip´erbole y2/b2 − z2/c2 = 1. Por outro lado, a interse¸c˜ao da superf´ıcie H1 com qualquer plano horizontal z = d ´e a curva de equa¸c˜ao x2/a2 + y2/b2 − d2/c2 = 1, ou x2/a2 + y2/b2 = 1 + d2/c2, logo ´e uma elipse. Quando a = b essas interse¸c˜oes s˜ ao circunferˆencias horizontais e H1 ´e um hiperbol´ oide de revolu¸ca ˜o, gerado pela rota¸c˜ao da hip´erbole x2/a2 − z2/c2 = 1 (situada no plano Πxz) em torno do eixo OZ, ou da hip´erbole y2/b2 − z2/c2 = 1 (contida no plano Πyz) em torno do mesmo eixo OZ. . sua interse¸c˜ao como plano horizontal z = d. y. em torno do mesmo eixo. ou a hip´erbole z2/c2 − y2/b2 = 1. A interse¸c˜ao de H2 com qualquer plano horizontal z = d com |d| > c ´e a elipse x2/a2 + y2/b2 = −1 + d2/c2.290 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear A equa¸c˜ao (iv). H2 chama-se um hiperbol´ oide de revolu¸ca ˜o com duas folhas. contida no plano Πyz. Al´em disso. Quando a = b. situada no plano Πxz. em torno do eixo OZ. Neste caso. a superf´ıcie H2 intersecta o plano Πxz segundo a hip´erbole z2/c2−x2/a2 = 1. A superf´ıcie H2 ´e chamada um hiperbol´ oide de duas folhas. z) da superf´ıcie H2 por ela definida cumprem a condi¸c˜ao |z| ≥ c. 2 com |d| > c. Noutras palavras. quando posta sob a forma z2 x 2 y2 = 1 + 2 + 2. e o plano Πyz segundo a hip´erbole z2/c2 − y2/a2 = 1. ´e a circunferˆencia x2 + y2 = a2 dc2 − 1 e a superf´ıcie H2 ´e obtida fazendo girar a hip´erbole z2/c2 − x2/a2 = 1. 2 c a b deixa claro que todos os pontos P = (x. H2 n˜ao possue pontos entre os planos horizontais z = c e z = −c. x2/a2 + y2/b2 − z2/c2 = 0. 0. seriam tamb´em x = 0 e y = 0 logo ter´ıamos P = O). 0) e base na elipse E. como z2/c2 = x2/a2 + y2/b2. tz) tamb´em a satisfaz. y. Ent˜ao. S cont´em o cone de v´ertice O e base E. pondo t = c/z. o ponto Pt = (tx. 0). item (v) da lista acima.Se¸c˜ ao 43 As Qu´ adricas Centrais 291 A equa¸c˜ao x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 0. (O caso P = O ´e trivial. y. Reciprocamente. ty. se P = (x. ´e satisfeita apenas pela origem O = (0. ty.) Portanto S ´e igual ao cone de v´ertice O e base E. A equa¸c˜ao (vi). 0. representa uma superf´ıcie S. definida naquele plano pela equa¸c˜ao x2/a2 + y2/b2 = 1. Noutras palavras. ou seja. temos Pt = (tx. para todo t ∈ R. ou seja todo ponto P 6= O em S est´a no cone de v´ertice O e base E. usamos o fato de que a equa¸c˜ao (vi) ´e homogˆenea. isto ´e. se o ponto P = (x. ty. se fosse z = 0. . Afirmamos que S ´e o cone duplo com v´ertice na origem O = (0. Isto implica que a reta que liga O a qualquer ponto da elipse E est´a contida na superf´ıcie S. z) a satisfaz ent˜ao. z) ´e um ponto qualquer de S diferente de O ent˜ao z 6= 0 (pois. c) em E e da´ı P pertence `a reta que liga O a Pt. tz) = (tx. Para ver isto. S ´e a reuni˜ao das retas que ligam O aos pontos de E. A interse¸c˜ao de S com o plano z = c ´e a elipse E. esta equa¸c˜ao define o cilindro reto com base na elipse x2/a2 + y2/b2 = 1 do plano Πxy. z) tais que x2/a2 + y2/b2 = 1.) Analogamente. a superf´ıcie definida pela equa¸c˜ao (viii). (Reuni˜ ao das retas verticais que passam pelos pontos dessa elipse. Logo. x2/a2 − y2/b2 = 1. ´e o cilindro reto com base na hip´erbole definida por esta equa¸c˜ao no plano Πxy. y. que n˜ao cont´em z. (Reuni˜ ao das retas verticais que passam pelos pontos dessa hip´erbole. s˜ ao todos os pontos P = (x.292 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear As solu¸c˜oes da equa¸c˜ao (vii).) . Exerc´ıcios 1. Mostre que por cada um dos seus pontos passam duas retas inteiramente contidas na superf´ıcie H. representa o conjunto vazio. (x/a+y/b)(x/a−y/b) = 0. Finalmente. pois nenhum ponto (x. Considere o hiperbol´ oide de uma folha H dado pela equa¸c˜ ao x2 + y2 = 1 + z2 . A equa¸c˜ao (x). representa o par de planos verticais x = a e x = −a. Em particular. mostre que a interse¸c˜ ao de um plano com um elips´ oide ´e uma elipse. a equa¸c˜ao (xiii) x2/a2 +y2/b2 = 0 representa a reta OZ. ou seja. A equa¸c˜ao (xii). z) a satisfaz. [Sugest˜ ao: x2 + y2 = 1 + z2 ⇔ (x + z)(x − z) = (1 + y)(1 − y). paralelos ao plano Πyz. Escolhendo convenientemente os eixos. mostre que a interse¸c˜ ao de um plano com uma qu´ adrica central ´e uma cˆ onica. A equa¸c˜ao (xi). Generalize para qualquer hiperbol´ oide de uma folha. Ela representa a reuni˜ao de dois planos verticais que cortam o plano Πxy segundo as retas x/a + y/b = 0 e x/a − y/b = 0.Exerc´ıcios 293 A equa¸c˜ao (ix) ´e x2/a2−y2/b2 = 0. representa o plano Πyz. x2/a2 = 1. pois equivale a x = 0.] . y. x2/a2 = −1. x2/a2 = 0. 2. pois equivale a x = y = 0. y. y. s. y1. Inicialmente. y2. obtendo assim novas coordenadas r. dentre os tipos descritos na Se¸c˜ao 43. z) = d. y. y.44 Completando Quadrados em R3 Vimos na Se¸c˜ao 42 que. y2. t. Mas um problema ainda persiste: dada a equa¸c˜ao Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = d. z2) < 0. Finalmente. como determinar efetivamente. diremos que ϕ ´e indefinida. quando existirem pontos P1 = (x1. y1. Este resultado nos permitiu fazer. As seguintes trˆes afirma¸c˜oes ser˜ao justificadas ao discutirmos os exemplos abaixo. na Se¸c˜ao 43. qual a superf´ıcie que ela define? Este problema ser´a resolvido agora. z. diremos que ϕ ´e n˜ ao-negativa (respect. y. ´e sempre poss´ıvel mudar os eixos ortogonais. para quaisquer x. y). z) > 0 (respectivamente. z) 6= 0. em rela¸c˜ao ` as quais ϕ admite a express˜ao A ′ r2 + B ′ s2 + C ′ t2. z) ≥ 0 (respect. . dada uma forma quadr´atica ϕ(x. y. z) ≤ 0). pelo m´etodo de completar o quadrado. tivermos ϕ(x. z1) > 0 e ϕ(x2. ϕ(x. Se. Diremos que a forma quadr´atica ϕ(x. y. n˜ aopositiva). z) algumas defini¸c˜oes dadas antes para ϕ(x. z1) e P2 = (x2. z2) tais que ϕ(x1. z). y. uma rela¸c˜ao completa das superf´ıcies que podem ser representadas por uma equa¸c˜ao do tipo ϕ(x. z) ´e positiva (respectivamente. y. negativa) quando ϕ(x. y. estenderemos `as formas quadr´aticas ϕ(x. z) < 0) para todo (x. ϕ(x. conforme d tenha o sinal de ϕ. z) = d pode ser um hiperbol´oide de uma ou duas folhas. y. 2. z). E e F. z) = 0 ent˜ao a superf´ıcie de n´ıvel ϕ(x. z) 6= 0 tais que ϕ(x. Para completar quadrados na forma ϕ(x. z) = Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz escolhemos.) Para isso. Digamos que D 6= 0. z) = As2 + B − y2 + C − z +2 F− yz A A A = As2 + ψ(y. se a forma quadr´atica ϕ ´e indefinida (isto ´e. escolhemos. um que seja diferente de zero. entre os n´ umeros A. Finalmente. y. um u ´nico plano. escrevemos a soma das parcelas contendo x como D E 2 2 Ax + 2Dxy + 2Exz = A x + 2x y+ z A A " 2 # D E E 2 D . um par de planos paralelos. Quando a forma quadr´atica ϕ ´e positiva ou negativa. ´e vazia ou reduz-se `a origem. vem D2 E2 2 DE ϕ(x. y. Quando ϕ ´e n˜ao-negativa ou n˜ao-positiva e existem pontos P = (x. z) = 2Dxy + 2Exz + 2Fyz. um que seja diferente de zero. y. logo em seguida. y. muda de sinal) ent˜ao a superf´ıcie de n´ıvel ϕ(x. sinal contr´ario ao de ϕ ou seja zero. que contˆem x. y. Digamos que se tenha A 6= 0. y. Quando se tiver A = B = C = 0. Ent˜ao faremos a mudan¸ca de vari´aveis x = r + s. quando ϕ(x. um cilindro de base hiperb´ olica ou um par de planos que se cortam segundo uma reta.Completando Quadrados em R3 295 Se¸c˜ ao 44 1. (O caso em que A = B = C = 0 ser´a tratado separadamente. onde ψ ´e uma forma quadr´atica com duas vari´aveis. B e C. ou seja. 3. um cone. Vamos ent˜ao primeiro fazer desaparecer os produtos xy e xz. z) = d ´e um elips´oide. z) = d ´e um cilindro de base el´ıptica. uma reta ou ´e vazia. y. . para a qual j´a sabemos como completar o quadrado. y+ z =A x+ y+ z − A A A A Pondo s = x + D Ay + E A z. a superf´ıcie de n´ıvel ϕ(x. entre os n´ umeros D. n˜ aopositiva) quando A ′ . C ′ ´e positivo e outro ´e negativo. xz = rz + sz. z) = 2Dr2 − 2Ds2 + 2(E + F)rz + 2(E − F)sz. negativos). y. Embora as novas coordenadas s. yz = rz − sz e a forma se escreve como ϕ(x. vem: 7 ϕ = s2 + y2 + 3z2 − 4yz. y. completamos mais um quadrado: 2 7 2 2 2 ϕ = s + 3 z − 2z · y + y 3 12 " # 2 2 4 2 7 2 2 =s +3 z− y − y + y 3 9 12 = s2 + 3t2 + 2 5 2 y . Para eliminar os produtos xy e xz. y. 2 2 Pondo s = x − y/2 − z e reduzindo termos semelhantes. z) = x2 − 2x + z + 2y2 + 4z2 − 3yz 2 2 y 2 y = x− −z − + z + 2y2 + 4z2 − 3yz. pomos 2x em evidˆencia nos termos que os contˆem. t) = A ′ r2 + B ′ s2 + C ′ t2 e agora ´e f´acil determinar seu sinal. Ent˜ao ficamos com y ϕ(x. recaindo no caso anterior. Ela ´e n˜ ao-negativa (respect. t n˜ao provenham de eixos ortogonais. y. z) = x2 + 2y2 + 4z2 − xy − 2xz − 3yz. 4 Em seguida. z) = ϕ(r. negativa) quando os coeficientes A ′ . 12 3 Portanto a forma quadr´atica ϕ ´e positiva. onde t = z − y. Ela ´e positiva (respect.296 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear y = r − s. B ′ . y. ≤ 0).1 Seja ϕ(x. Agora ilustraremos o m´etodo de completar quadrados com alguns exemplos. Depois de completar todos os quadrados. Ela ´e indefinida quando um dos coeficientes A ′ . isto assegura que . logo xy = r2 − s2. B ′ e C ′ s˜ ao ≥ 0 (respect. s. a forma dada se escreve como ϕ(x. B ′ e C ′ s˜ ao positivos (respect. Exemplo 44. a interse¸c˜ao da superf´ıcies de n´ıvel ϕ(x. a Se¸c˜ao 42 garante a existˆencia de eixos ortogonais em rela¸c˜ao aos quais a forma ϕ se exprime como uma combina¸c˜ao linear de quadrados. Exemplo 44. Isto resulta da discuss˜ ao sobre hiperbol´oides feita na Se¸c˜ao 43 (item iii) mas pode ser visto diretamente se observarmos que. s˜ ao elips´oides. Por outro lado. s˜ ao elips´oides. a superf´ıcie de n´ıvel ϕ(x. com d > 0. y. Logo ´e um hiperbol´oide de duas folhas. ϕ(x. y. z) = ϕ(x. 2 4 fica claro que. para d > 0. y. z) = d ´e um hiperbol´oide de uma folha.Se¸c˜ ao 44 Completando Quadrados em R3 297 as superf´ıcies de n´ıvel ϕ(x. z) = d n˜ao possui pontos entre os p a superf´p planos y = −2 |d| e y = 2 |d|. quando d > 0. y. A superf´ıcie de n´ıvel x2 + 2y2 + 3z2 − xy − 2xz − 3yz = d ´e um cone quando d = 0 e ´e um hiperbol´oide quando d 6= 0. Ent˜ao a positividade de ϕ obriga A > 0. temos y ϕ = x2 − 2x + z + 2y2 + 3z2 − 3yz 2 2 y 2 y + z + 2y2 + 3z2 − 3yz = x− −z − 2 2 7 y = s2 + y2 + 2z2 − 4yz (com s = x − − z) 4 2 7 2 2 2 = s + 2 z − 2yz + y 8 1 2 2 2 = s + 2 (z − y) − y 8 2 y = s2 + 2t2 − . z) = Ax2 + By2 + Cz2. y. ıcie ϕ(x. Escrevendoa como 2 y2 y x − − z + 2(z − y)2 − d = . Seguindo o procedimento do exemplo anterior. conforme a Se¸c˜ao 43. com t = z − y. Assim. com d > 0. Com efeito. z) = d .2 Tomemos ϕ(x. z) = d. quando o n´ıvel d ´e negativo. y. B > 0 e C > 0 logo. as superf´ıcies de n´ıvel ϕ(x. 4 Portanto a forma quadr´atica ϕ ´e indefinida. z) = d. quando d < 0. os pontos dessephiperbol´oide cumprem todos a condi¸c˜ao y2/4 ≥ |d|. z) = x2 + 2y2 + 3z2 − xy − 2xz − 3yz. y. y. ou seja |y| ≥ 2 |d|. y. Portanto a “superf´ıcie” ϕ(x.3 Seja ϕ(x. y. corta cada plano vertical y = m segundo uma elipse. x2 − 4xy + 5y2 = d. Exemplo 44. z) tais que x2 + 3z2 − 2xz − mx − 3mz = d − 2m2. (Mas n˜ao ´e positiva. formada pelos pontos (−z. 0.298 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear com qualquer plano vertical y = m ´e a curva desse plano formada pelos pontos (x. Para eliminar os termos em xy e xz. a curva de n´ıvel positivo d + 41 m2 da forma quadr´atica positiva x2 + 3z2 − 2xz. y. z) = d. logo y = 0 e x = −z. z ∈ R. y. z) = d. z). com d > 0. Se d = 0. 4 portanto ela define. ou seja. definida por ϕ(x. z) = 0 reduz-se `a reta g. ela ´e o conjunto dos pontos P = (x.) A superf´ıcie de n´ıvel ϕ(x. pois ϕ(x. z) = x2 + 5y2 + z2 − 4xy + 2xz − 4yz. . onde s = x − 2y + z. y. Vendo que a superf´ıcie de n´ıvel ϕ(x. conclu´ımos que tal superf´ıcie ´e um hiperbol´oide de uma folha. escrevemos: ϕ = x2 + 2x(−2y + z) + 5y2 + z2 − 4yz = (x − 2y + z)2 − (−2y + z)2 + 5y2 + z2 − 4yz = s2 − 4y2 + 4yz − z2 + 5y2 + z2 − 4yz = s2 + y2. corta o plano z = 0 segundo a curva (x − 2y)2 + y2 = d. esta curva ´e uma elipse pois a transla¸c˜ao x = x + 23 m. z) = d ´e vazia quando d < 0. 0. Ora. −x) = 0 para todo x. z = z + m introduz nesse plano coordenadas x. Quando d > 0 a superf´ıcie S. y. y nas quais a equa¸c˜ao acima se torna 1 x2 + 3z2 − 2xz = d + m2. g ´e bissetriz do segundo quadrante do plano Πxz. z) tais que (x − 2y + z)2 + y2 = 0. Portanto a forma quadr´atica ϕ ´e n˜ao-negativa. no plano y = m. m. Mas P = P0 + v. a superf´ıcie de n´ıvel ϕ(x. z) ´e um ponto arbitr´ ario da reta g. 0. Como s + y = x + 3y + z e s − y = x + y + z. se. 0) pertence `a hip´erbole H. z). Exemplo 44. z) = d ´e o cilindro (obl´ıquo) de base H e geratriz g. z) = x2 + 3y2 + z2 + 4xy + 2xz + 4yz. e somente se. conclu´ımos que. 0. z) = x2 + 4y2 + z2 + 4xy + 2xz + 4yz. y. bissetriz do segundo quadrante do plano y = 0. Como (−z. y. com v = (−z. O ponto P = (x.5 Seja ϕ(x. formado pelas retas paralelas a g tiradas por pontos de H.Completando Quadrados em R3 299 Se¸c˜ ao 44 a qual reconhecemos imediatamente como uma elipse E. y. Vemos assim que a forma quadr´atica ϕ ´e indefinida. Quando d 6= 0. conclu´ımos que a superf´ıcie S ´e a reuni˜ao das retas paralelas a g. y. z) est´a sobre a reta g. Escrevendo a equa¸c˜ao ϕ(x. z) e o ponto (−z. ou seja. z) = d sob a forma (x + z − 2y)2 + y2 = d. . e somente se (x + 2y + z)2 − y2 = d. Noutras palavras. Exemplo 44. ou x2 + 4xy + 3y2 = d. 0. ou seja (s+y)(s−y) = 0. e somente se. onde v = (−z. vemos que tal superf´ıcie ´e formada pelos planos x + 3y + z = 0 e x + y + z = 0. y. y. z) pertence a essa superf´ıcie se. a superf´ıcie de n´ıvel ϕ(x.4 Seja ϕ(x. Sua superf´ıcie de n´ıvel zero ´e representada pela equa¸c˜ao s2−y2 = 0. para todo d 6= 0. o ponto P0 = (x + z. escrevemos: ϕ = x2 + 2x(2y + z) + 3y2 + z2 + 4yz = (x + 2y + z)2 − (2y + z)2 + 3y2 + z2 + 4yz = s2 − 4y2 − 4yz − z2 + 3y2 + z2 + 4yz = s2 − y2. com s = x + 2y + z. z) pertence `a superf´ıcie S se. 0. o ponto P0 = (x + z. vemos que o ponto P = (x. y. Como P = P0 + v. z) = d corta o plano horizontal z = 0 segundo a curva (x + 2y)2 − y2 = d. A fim de eliminar os termos que contˆem xy e xz. que vemos ser uma hip´erbole H. S ´e o cilindro (obl´ıquo) de base E e geratriz g. tiradas a partir dos pontos da elipse E. y. y. cuja interse¸c˜ao ´e a reta g. 0) pertence `a elipse E. define o plano x + 2y + 0e √z = 0 quando d = √ representa o par de planos paralelos x + 2y + z = d e x + 2y + z = − d quando d > 0. com s = x + 2y + z. identifique as superf´ıcies de n´ıvel definidas por cada uma das formas quadr´ aticas abaixo: a) b) c) d) e) f) g) h) 4x2 + 3y2 − z2 − 12xy + 4xz − 8yz −x2 − y2 − 7z2 + 16xy + 8xz + 8yz 2x2 + y2 − 4xy − 4yz 3x2 − 3y2 − 5z2 − 2xy − 6xz − 6yz 3x2 + y2 − 2xy + 2xz − 2yz −2x2 + 4y2 + 6z2 + 2xy + 6xz + 6yz 4x2 + y2 − 8z2 + 4xy − 4xz + 8yz 3x2 + 3z2 + 4xy + 8xz + 4yz . . Completando os quadrados.300 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Temos ϕ = x2 + 2x(2y + z) + 4y2 + z2 + 4yz = (x + 2y + z)2 − (2y + z)2 + 4y2 + z2 + 4yz = s2 − 4y2 − 4yz − z2 + 4y2 + z2 + 4yz = s2. Resulta portanto que a equa¸c˜ao x2 + 4y2 + z2 + 4xy + 2xz + 4yz = d n˜ao tem solu¸c˜ao quando d < 0. Exerc´ıcios 1. tentamos eliminar na express˜ao de ϕ os termos em x. y. k. dada por x = r + h. Por simplicidade. sem perda de generalidade.45 A Equa¸c˜ ao Geral do Segundo Grau em R3 Estudaremos nesta se¸c˜ao as superf´ıcies de n´ıvel de uma fun¸c˜ao quadr´atica com trˆes vari´aveis. z = t + m. z para r. exceto no caso de um parabol´oide. s. admitiremos que os eixos ortogonais j´a foram escolhidos de modo a eliminar os termos em xy. Mostraremos que isto ´e poss´ıvel. . (transla¸c˜ao de eixos) fa¸ca desaparecerem os termos do primeiro grau. Como no caso de duas vari´aveis. que examinamos nas trˆes se¸c˜oes anteriores. Veremos que tais superf´ıcies s˜ ao as qu´adricas centrais. y = s + k. conforme ficou estabelecido na Se¸c˜ao 42. ou seja: ϕ(x. t. y. y. y e z mediante uma transla¸c˜ao de eixos. mais os parabol´oides. z) = Ax2 + By2 + Cz2 + Gx + Hy + Iz + J. Ent˜ao. Procuraremos determinar os n´ umeros h. ϕ : R3 → R. m tais que a mudan¸ca de coordenadas de x. basta considerar o caso da fun¸c˜ao ϕ(x. xz e yz. dada a fun¸c˜ao ϕ. z) = Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J. y. Na primeira hip´ otese. admitamos que C = 0. 2o ) Apenas um dos coeficientes A. com G ′ = 2Ah + G. t) = A(r + h)2 + B(s + k)2 + C(t + m)2 + G(r + h) + H(s + k) + I(t + m) + J = Ar2 + Bs2 + Ct2 + G ′ r + H ′ s + I ′ t + J ′ . Ent˜ao a equa¸c˜ao ϕ(x. k = −H/2B e m = −I/2C. y = −H/2B) quando d = J ′ . z. Ar2 + Bs2 = d − J ′ representa um cilindro vertical de base el´ıptica quando d − J ′ tem o mesmo sinal de A e B. B ′ = −B/I e p = (d − J ′ )/I. A mudan¸ca de coordenadas x = r − G/2A. Ent˜ao a equa¸c˜ao ϕ(x. s. z) = d se reduz a Ar2 +Bs2 +Ct2 = d − J ′ . B. H ′ = 2Bk + H. z) = ϕ(r. ou seja. s. z) = ϕ(r + h. B e C s˜ Ent˜ao. z como z = A ′ r2 + B ′ s2 + p com A ′ = −A/I. z) = d se exprime por meio das coordenadas r. logo a superf´ıcie de n´ıvel d da fun¸c˜ao ϕ ´e uma das qu´adricas centrais estudadas nas trˆes se¸c˜oes anteriores. a fun¸c˜ao se escreve como Ar2 + Bs2 + J ′ . Temos: ϕ(x. temos ϕ(x. logo AB > 0. y. 1o ) A. em termos das coordenadas r. H´ a duas possibilidades: ou I = 0 ou I 6= 0. .´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear 302 Ora. A segunda possibilidade ´e I 6= 0. C ´e zero e os outros dois tˆem o mesmo sinal . y. Para fixar as id´eias. tomando h = −G/2A. s + k. x = −G/2A. o conjunto vazio no caso contr´ario e a reta vertical r = s = 0 (ou seja. t + m) = ϕ(r. teremos G ′ = H ′ = I ′ = 0 e a equa¸c˜ao ϕ(x. K ′ = 2Cm + I. H´ a quatro casos poss´ıveis: ao diferentes de zero. z) = Ar2 + Bs2 + Iz + J ′ . z) = d. y. y. s. z) = Ax2 + By2 + Gx + Hy + Iz + J. s. y. y = s − H/2B (mantendo a coordenada z) nos d´a ϕ(x. y. a equa¸c˜ao ϕ(x. y. s. Para fixar as id´eias. z) = d por meio de uma transla¸c˜ao horizontal) chamase um parabol´ oide el´ıptico. em termos das coordenadas r. . C ´e zero e os outros dois tˆem sinais opostos. B ′ = −B/I e p = (d − J ′ )/I. onde A ′ = −A/I. uma transla¸c˜ao horizontal dos eixos introduz coordenadas r. caso se tenha d = J ′ ). z) = d se escreve. s. Suas interse¸c˜oes com planos horizontais s˜ ao elipses. z.Se¸c˜ ao 45 A Equa¸c˜ ao Geral do Segundo Grau em R3 303 A superf´ıcie representada pela equa¸c˜ao z = A ′ r2 + B ′ s2 + p (que resulta de ϕ(x. Ent˜ao a fun¸c˜ao quadr´atica ϕ se escreve como ϕ(x. z tais que ϕ(x. (ou um par de planos que se intersectam segundo a reta vertical r = s = 0. z) = Ax2 + By2 + Gx + Hy + Iz + J. O parabol´oide tem sua concavidade voltada para cima quando A ′ e B ′ s˜ ao positivos e para baixo que A ′ e B ′ s˜ ao negativos. suponhamos C = 0. s. a equa¸c˜ao ϕ(x. y. z) = d equivale a Ar2 + Bs2 = d − J ′ logo representa um cilindro vertical cuja base ´e uma hip´erbole. B. o 3 ) Apenas um dos coeficientes A. y. y. z) = Ar2 + Bs2 + Iz + J ′ . z) = ϕ(r. como z = A ′ r2 + B ′ s2 + p. Como no caso anterior. Se for I = 0. com AB < 0. Se for I 6= 0. A mudan¸ca de coordenadas x = r − G/2A. Sejam A 6= 0 e B = C = 0. Se H = I = 0. z) = d. y. um u ´nico desses planos (se d = J ′ ) ou o conjunto vazio (se ′ (d − J )/A < 0). I (digamos I) seja diferente de zero. suponhamos que um dos coeficientes H. z) = ϕ(r. Ar2 + Hy + Iz + J ′ = d. y. z) = Ax2 + Gx + Hy + Iz + J.304 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Note-se que A ′ e B ′ tˆem sinais opostos. Ent˜ao a equa¸c˜ao ϕ(x. 4o ) Um dos coeficientes A. ou seja. y. logo define um par de planos perpendiculares ao eixo OX (se (d − J ′ )/A for positivo). ficando ϕ(x. a equa¸c˜ao ϕ(x. z) = d equivale a r2 = (d − J ′ )/A. A fun¸c˜ao quadr´atica ϕ se escreve como ϕ(x. Para encerrar a discuss˜ ao do 4o caso. y. Ela ´e gerada por uma par´ abola que se desloca paralelamente. C ´e diferente de zero e os outros dois s˜ ao nulos. mantendo y e z. B. z) = Ar2 + Hy + Iz + J ′ . y. A superf´ıcie representada pela equa¸c˜ao z = A ′ r2 + B ′ s2 + p (que resulta de z = A ′ x2 + B ′ y2 + p por uma transla¸c˜ao horizontal) chamase um parabol´ oide hiperb´ olico. com seu v´ertice deslizando sobre outra par´ abola que tem sentido invertido. equivale a z = A ′ r2 + . elimina o termo em x. x = −G/2A). . situada no plano y = 0. onde A ′ = −A/I. Vemos ent˜ao que a superf´ıcie representada pela equa¸c˜ao Ax2 + Gx + Hy + Iz + J = d ´e o cilindro obtido deslocando-se a par´ abola z = A ′ r2 + p (ou seja. Mostre que por cada ponto do parabol´ oide hiperb´ olico z = x2 − y2 passam duas retas inteiramente contidas nele. H ′ = −H/I e p = (d − J ′ )/I. paralelamente a si mesma.Exerc´ıcios 305 H ′ y + p. Exerc´ıcios 1. com seu v´ertice deslizando sobre a reta z = H ′ y + p. ′ 2 z = A (x + G/2A) + p). contida no plano r = 0 (isto ´e. A existˆencia desses eixos foi demonstrada na Se¸c˜ao 42 mas n˜ao se mostrou ali como obtˆe-los de maneira efetiva. o produto das matrizes a1 b1 c1 x a = a2 b2 c2 e v = y a3 b3 c3 z ´e dado por r a1 b1 c1 x av = a2 b2 c2 y = s t z a3 b3 c3 . x Dado o vetor v=(x. z) indicaremos com v a matriz-coluna v= y z T e com v = [x y z] sua transposta. y. sem termos em xy. O m´etodo que apresentaremos agora ´e uma extens˜ao direta para trˆes vari´aveis daquele que foi exposto na Se¸c˜ao 20 para o caso de duas vari´aveis. para evitar uma desnecess´ aria complica¸c˜ao notacional. xz ou yz). usaremos a linguagem e as opera¸c˜oes com matrizes. De acordo com a defini¸c˜ao geral dada na Se¸c˜ao 34.46 Matrizes e Formas Quadr´ aticas Veremos nesta se¸c˜ao um processo alg´ebrico para determinar os eixos ortogonais em R3 segundo os quais uma forma quadr´atica com trˆes vari´aveis se exprime como combina¸c˜ao linear de quadrados das coordenadas (isto ´e. Entretanto. y.Matrizes e Formas Quadr´ aticas 307 Se¸c˜ ao 46 onde r = a1x + b1y + c1z s = a2x + b2y + c2z t = a3x + b3y + c3z. Todas as mudan¸cas de coordenadas que fizermos nesta se¸c˜ao manter˜ ao fixa a origem. Sob o ponto de vista matricial. o produto de vT pela mesma matriz a ´e a1 b1 c1 vT a = [x y z] a2 b2 c2 = [x y z]. y. Por sua vez. A nota¸c˜ao matricial nos permitir´a exibir com simplicidade como fica a matriz m da forma quadr´atica ϕ quando se efetua uma mudan¸ca de coordenadas em R3. a3 b3 c3 onde x = a1x + a2y + a3z y = b1x + b2y + b3z z = c1x + c2y + c3z. z) = [x y z] D B F y = vT mv. seu termo na i-´esima linha com a j-´esima coluna ´e igual ao termo da j-´esima linha com a i-´esima coluna. ou seja. a forma quadr´atica ϕ(x. z) = Ax2 + By2 + Cy2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz se escreve como A D E x ϕ(x. z E F C A matriz m da forma quadr´atica ϕ ´e sim´etrica. E F C z x A D E onde m = D B F e v = y. . Quando passamos dos eixos OXYZ para os eixos OX ′ Y ′ Z ′ . t) = A ′ r2 + B ′ s2 + C ′ t2 + 2D ′ rs + 2E ′ rt + 2F ′ st. isto ´e. Isto foi feito na Se¸c˜ao 20 e poderia ser feito aqui mas as express˜oes finais seriam muito complicadas e pouco esclarecedoras. Com efeito. s. t (do mesmo ponto). onde r a1 b1 c1 x e w = s . a matriz a. tornando-se ϕ(x. B. Ent˜ao podemos escrever w = av e v = aT w. B ′ . e2. a = a2 b2 c2 . y. um ponto P cujas coordenadas s˜ ao (x. Sejam v = (x. A linguagem matricial. f2. entretanto. com vetores unit´ arios f1. s. v = y t z a3 b3 c3 Como vimos na Se¸c˜ao 41. etc podem ser calculados diretamente a partir dos antigos A. z) = ϕ(r. para o sistema ortogonal OX ′ Y ′ Z ′ . Os novos coeficientes A ′ . s. a forma quadr´atica ϕ muda de coeficientes. no qual os vetores unit´ arios dos eixos s˜ ao e1. y. etc. ou seja. z para as coordenadas r. t) no novo sistema OX ′ Y ′ Z ′ . com r = a1x + b1y + c1z s = a2x + b2y + c2z t = a3x + b3y + c3z x = a1r + a2s + a3t e y = b1r + b2s + b3t z = c1r + c2s + c3t. s. que define a mudan¸ca de coordenadas entre eixos ortogonais. se chamarmos de ′ A D′ E′ m ′ = D ′ B ′ F ′ E′ F′ C′ .308 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Ao passarmos de um sistema de eixos ortogonais OXYZ. das coordenadas x. onde f1 = a1e1 + b1e2 + c1e3 f2 = a2e1 + b2e2 + c2e3 f3 = a3e1 + b3e2 + c3e3. z) ∈ R3 e w = (r. cumpre aT · a = a · aT = I3 . t) ∈ R3 os vetores-coordenada do ponto P nos dois sistemas. ´e uma matriz ortogonal . z) no sistema OXYZ passa a ter coordenadas (r. fornece uma solu¸c˜ao simples para este problema (al´em de se mostrar bastante eficiente na an´ alise subseq¨ uente). y. y. f3. e3. Sejam 2 6 1 −3 −2 a= 7 6 −3 Revejamos o Exemplo 42. respectivamente. z) para todo terno (x. y. logo os polinˆ omios ϕ1 e ϕ2 tˆem os mesmos coeficientes. v = y. z) = vT m2 v para todo v = (x. z) ∈ R ent˜ ao m l = m 2 . e m= 6 5 −6 0 11 .1 matricial. s. logo vT mv = wT m ′ w = vT (aT m ′ a)v. y. z) = ϕ2(x. Vamos agora provar que m ′ = amaT quando m e m ′ s˜ ao as matrizes da mesma forma quadr´atica ϕ relativamente a dois sistemas de eixos ortogonais OXYZ e OX ′ Y ′ Z ′ respectivamente.1 em termos da nota¸c˜ao r x 3 6. y. como quer´ıamos demonstrar. Ent˜ao ϕ1(x. ou seja. Multiplicando esta igualdade ` a esquerda por a e `a direita por aT . s˜ ao tais que vT ml v = T 3 v m2 v para todo v = (x. z) e av = w = s tem-se t vT mv = ϕ(x. y. 2o ) Se duas matrizes sim´etricas 3 × 3.Matrizes e Formas Quadr´ aticas 309 Se¸c˜ ao 46 a matriz de ϕ no sistema de eixos OX ′ Y ′ Z ′ . da segunda e da terceira linha da matriz a pelo vetor v. y. y. o segundo e o terceiro termos s˜ ao. m1 = m2 . y. Isto se segue imediatamente das defini¸c˜oes. obtemos m ′ = amaT . Esta hip´ otese sobre m e m ′ significa que se a ´e a matriz da mudan¸ c a de coordenadas ent˜ao. Com efeito. t) = wT m ′ w. pois cada um dos membros desta igualdade ´e uma matriz 1 × 3 na qual o primeiro. para r todo v = (x. w = s t z 2 −2 6 −6 0 . Para chegar a esta conclus˜ao. z) = ϕ(r. a partir dessas matrizes definimos duas formas quadr´aticas ϕ1 e ϕ2 tais que ϕ1(x. Segue-se que m = aT m ′ a. faremos uso de dois fatos que estabeleceremos agora: 1o ) Se a ´e uma matriz 3 × 3 e v ´e uma matriz 3 × 1 ent˜ ao (av)T = vT aT . z). Observa¸ c˜ ao 46. y. z) = vT m1 v e ϕ2(x. o produto interno da primeira. afirmamos que se tem: m ′ = amaT . y. z) ∈ R3. m1 e m2 . que indicaremos com pm (λ). Um c´alculo direto (o u ´nico a ser feito) mostra que 7 0 0 0 . s. amaT = 0 14 0 0 −7 A igualdade matricial vT mv = wT (amaT )w significa. ou simplesmente p(λ). Al´em disso. 7 Isto mostra a conveniˆencia da nota¸c˜ao matricial. y.310 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Ent˜ao a matriz a ´e ortogonal e a mudan¸ca de coordenadas ´e dada por v = aT w. temos ϕ(x. Ap´ os a mudan¸ca de coordenadas determinada pela matriz a. chama-se polinˆ omio caracter´ıstico da matriz m ao polinˆ omio de grau trˆes na vari´avel λ. t) = wT amaT w. z) = vT mv. e definiremos pondo A−λ D E B−λ F . p(λ) = det(m − λI3 ) = det D E F C−λ As ra´ızes deste polinˆ omio s˜ ao chamadas os autovalores da matriz m. Substituindo v por aT w obtemos ϕ(r. a forma quadr´atica passa a ter a matriz m ′ = amaT . portanto. que −2x2 + 5y2 + 11z2 + 12xy − 12xz = 7r2 + 14s2 − 7t2 quando 1 x = (2r − 3s + 6t) 7 1 y = (6r − 2s − 3t) 7 1 z = (3r + 6s + 2t). Como no caso de duas vari´aveis. O polinˆ omio caracter´ıstico ′ da matriz m ´e pm ′ (λ) = det(m ′ − λI3 ) = det(amaT − λI3 ) = det[a(m − λI3 )aT ] = det a · det(m − λI3 ) · det aT = det(m − λI3 ) = pm (λ) . m ′ − λI3 = 0 ′ 0 0 C −λ O polinˆ omio caracter´ıstico de m ′ ´e p(λ) = (A ′ − λ)(B ′ − λ)(C ′ − λ). ou seja. O que acabamos de mostrar ´e que as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica p(λ) = 0. Portanto. tomamos um sistema de eixos ortogonais. isto ´e. os 3 autovalores de uma forma quadr´atica.Se¸c˜ ao 46 Matrizes e Formas Quadr´ aticas 311 (Lembremos que det a = det aT = ±1. o polinˆ omio caracter´ıstico da forma quadr´atica ϕ. B ′ e C ′ . existe algum vetor v 6= 0 tal que m · v = λ0 · v. Uma equa¸c˜ao alg´ebrica do terceiro grau (com coeficientes reais) deve necessariamente ter uma raiz real mas pode perfeitamente ter. logo sua matriz nessas coordenadas ´e ′ A 0 0 m′ = 0 B′ 0 0 0 C′ e da´ı ′ A −λ 0 0 B′ − λ 0 . Um tal vetor v chama-se um autovetor da matriz m (mais precisamente. logo possui alguma solu¸c˜ao v = (x. (m − λ0I3 ) · v = 0 ´e o mesmo que m · v = λ0v. Estes n´ umeros. y. s˜ ao por conseguinte os autovalores de qualquer matriz que represente a forma quadr´atica ϕ num sistema de eixos ortogonais. 0). z) n˜ao-trivial. e somente se. v 6= (0. duas ra´ızes complexas. λ0 ´e um autovalor de m se. que passaremos a representar por λ1. Ora. al´em dela. cujas ra´ızes (autovalores de ϕ) s˜ ao A ′ . ou seja. (portanto de qualquer matriz sim´etrica) s˜ ao n´ umeros reais.) Isto nos mostra que o polinˆ omio caracter´ıstico da matriz de ϕ n˜ao muda quando se passa de um sistema de eixos ortogonais para outro. 0. Dizer que o n´ umero λ0 ´e autovalor da matriz m. . λ2 e λ3. um autovetor correspondente ao autovalor λ0). relativo ao qual a forma ϕ assume o aspecto A ′ r2 + B ′ s2 + C ′ t2. que o determinante de m−λ0I3 ´e igual a zero. Portanto p(λ) ´e. equivale a afirmar que o sistema linear homogˆeneo de trˆes equa¸c˜oes com trˆes inc´ognitas (m−λ0I3 )·v = 0 ´e indeterminado. na verdade. Fazendo uso do que foi estabelecido na Se¸c˜ao 42. 2r). seu m´ ultiplo tv tem a mesma propriedade. 2t. −t). extenso como: =0 =0 x − 2y =0 −2x − 2z = 0 =0 −2y − z = 0 Tais solu¸c˜oes s˜ ao respectivamente os vetores u = (r. dada por ϕ(x. pois m · (tv) = t(m · v) = t(λ0v) = λ0(tv).1 Consideremos a forma quadr´atica ϕ : R3 → R. Sua matriz ´e logo 7 −2 0 6 −2 . y. s.2 Se m e m ′ s˜ ao matrizes da mesma forma quadr´atica. Exemplo 46. =0 −2x − 2y −2x − 3y − 2z = 0 −2y − 4z = 0 v = (2s. z) dos sistemas lineares homogˆeneos (m − 3I3 )v = 0. λ2 = 6 e λ3 = 9. Observa¸ c˜ ao 46. Estes s˜ ao portanto os autovalores da matriz m. para todo t 6= 0. vemos que a todo autovalor λ0 corresponde (ao menos) um autovetor unit´ ario. tomando t = |v|−1. Em particular. .312 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Se v ´e um autovetor de m correspondente ao autovalor λ0 ent˜ao. que se escrevem por 4x − 2y −2x + 3y − 2z −2y + 2z (m − 6I3 )v = 0 e (m − 9I3 )v = 0. z) = 7x2 + 6y2 + 5z2 − 4xy − 4yz. m = −2 0 −2 5 7 − λ −2 0 m − λI3 = −2 6 − λ −2 0 −2 5 − λ e seu polinˆ omio caracter´ıstico ´e p(λ) = det(m − λI3 ) = −λ3 + 18λ2 − 99λ + 162. seus autovalores coincidem mas seus autovetores nem sempre. As primeiras tentativas com os divisores de 162 funcionam e nos revelam que as ra´ızes desse polinˆ omio s˜ ao λ1 = 3. 2r. y. −2s) e w = (−2t. Os autovetores correspondentes s˜ ao as solu¸c˜oes n˜ao-nulas v = (x. Evidentemente. 0 0 λ3 a3 b3 c3 Demonstra¸ c˜ ao: Basta observar que mf1 . dizer que f1. f2 e f3 no Exemplo 46. λ2f2 e λ3f3 s˜ ao as colunas da matriz aT Λ. Tem-se. λ2 e λ3 respectivamente significa afirmar que maT = aT Λ donde (multiplicando ` a esquerda por a) resulta que amaT = Λ. Portanto. . t) = λ1r2 + λ2s2 + λ3t2. y. c3) s˜ ao autovetores unit´ arios. 1/3. O fato de f1. y. Autovetores que correspondem a autovalores diferentes de uma matriz sim´etrica m s˜ ao ortogonais. mf2 e mf3 s˜ ao as colunas da matriz maT e que λ1f1 . al´em de unit´ arios. −1/3). 0 0 9 conforme estabelece o seguinte Teorema 1. s e t s˜ ao n´ umeros reais n˜ao-nulos quaisquer. m · f2 = 6 · f2 e m · f3 = 9 · f3 . b2. Isto nos assegura que. Notamos que. z) = Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz e f1. se tomarmos um sistema de coordenadas no qual estes sejam os vetores unit´ arios dos eixos. obtemos os autovetores unit´ arios f1 = (1/3. dois a dois ortogonais. 2/3. c2) e f3 = (a3. b3. f2 = (a2. c1).Matrizes e Formas Quadr´ aticas 313 Se¸c˜ ao 46 onde r. s. f2 = (2/3. f2 e f3 s˜ ao autovetores de m correspondentes aos autovalores λ1. f2. a conclus˜ao do teorema acima equivale a dizer que se m ´e a matriz da forma quadr´atica ϕ(x. Isto ´e o que nos diz o Teorema 2. z) = ϕ(r. 2/3. os autovetores f1. com mf1 = λ1f1 . f3 s˜ ao os vetores unit´ arios dos eixos de um novo sistema cujas coordenadas s˜ ao r. da matriz m. t ent˜ao ϕ(x. portanto m · f1 = 3 · f1 . s. 2/3). a matriz da forma quadr´atica ϕ nesse sistema ser´a 3 0 0 0 6 0 . f2 e f3 s˜ ao dois a dois ortogonais. b1. mf2 = λ2f2 e mf3 = λ3f3 ent˜ ao a matriz ortogonal a1 b1 c1 λ1 0 0 a = a2 b2 c2 ´e tal que amaT = 0 λ2 0 = Λ.1 serem dois a dois ortogonais n˜ao ´e uma mera coincidˆencia. Tomando r = s = t = 1/3. −2/3). Se f1 = (a1. f3 = (−2/3. achamos u e v unit´ arios. que podem ser determinadas por uma simples inspe¸c˜ao. Em seguida tomamos w unit´ ario. logo u e v s˜ ao ortogonais. w = u × v). Se os autovalores λ1. n˜ao haveria problema algum . o vetor mw ´e ortogonal a u e a v.314 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Demonstra¸ c˜ ao: Temos mT = m e vetores n˜ao-nulos u. sendo wT u = wT v = 0 e mT = m. Queremos provar que hu. λ3 (ra´ızes da equa¸c˜ao p(λ) = 0). temos (mw)T u = wT mu = wT · λu = λ · wT u = 0 e analogamente (mw)T v = 0. Na linguagem matricial. poderia ainda acontecer que as trˆes ra´ızes da equa¸c˜ao p(λ) = 0 fossem iguais. (A menos que se trate de uma equa¸c˜ao com ra´ızes inteiras. perpendicular a u e v (por exemplo. Ent˜ao (λ − µ)uT v = λuT v − µuT v = (λu)T v − uT µv = (mu)T v − uT · mv = uT mT v − uT mv = uT mv − uT mv = 0. essa f´ormula n˜ao ´e de grande valia pois no caso em que as trˆes ra´ızes s˜ ao reais (como ocorre aqui) a f´ormula as exprime por meio de radicais complexos. Ent˜ao w ´e necessariamente o terceiro autovetor procurado. Assim. ou seja. Se tivermos λ1 6= λ2 = λ3. os autovetores que lhes correspondem s˜ ao dois a dois ortogonais e o processo termina. mv = λ2v. λ2. para a qual existe uma f´ormula de resolu¸c˜ao. O modo mais eficiente de resolver uma equa¸c˜ao do terceiro grau ´e usar o m´etodo de Newton. com mu = λ1u. λ2. Fica assim delineado o processo alg´ebrico para encontrar os vetores unit´ arios f1. vi se escreve como uT v. v tais que mu = λu e mv = µv com λ 6= µ. resolvendo os sistemas lineares homogˆeneos (indeterminados) mu = λ1u. Com efeito. Mas neste caso. logo ´e um m´ ultiplo de w. (Este processo chama-se diagonaliza¸ca ˜o. vi = 0. Trata-se de uma equa¸c˜ao do terceiro grau. encontrar autovetores unit´ arios correspondentes. o produto interno hu. f3 dos eixos ortogonais que reduzem a forma quadr´atica ϕ a uma combina¸c˜ao linear de quadrados das coordenadas. Como λ − µ 6= 0. Teoricamente. mv = λ2v e mw = λ3w. Entretanto. logo u e v s˜ ao ortogonais.) Ele consta de duas etapas: 1a ) Resolver a equa¸c˜ao caracter´ıstica p(λ) = 0. conclu´ımos que uT v = 0. λ3 forem trˆes n´ umeros diferentes.) 2a ) Obtidos os autovalores λ1. f2. que d´ a excelentes aproxima¸c˜oes para as ra´ızes. w ´e um autovetor de m. 2 A matriz da forma quadr´atica ϕ(x. Novamente. y e z. 2/3. (Bem entendido: f1 corresponde ao autovalor 9 enquanto f2 e f3 correspondem ao autovalor 18. 2/6). autovalores de m. obt´em-se o autovetor unit´ a rio f1 = (1/3. Tomando x = 1/3. Resolvendo os sistemas lineares (indeterminados) mv = 9v e mw = 18w vemos que os autovetores correspondentes ao autovalor 9 s˜ ao todos os da forma v = (x. Dividindo p(λ) por λ−9 obtemos o quociente −λ2 + 36λ − 324 = −(λ − 18)2. s˜ ao λ1 = 9. 2/3).Matrizes e Formas Quadr´ aticas 315 Se¸c˜ ao 46 para resolver pois ter´ıamos λ 0 0 amaT = 0 λ 0 = λ · I3 0 0 λ logo m = aT · λI3 a = λI3 e a forma quadr´atica ϕ seria do tipo λx2 + λy2 + λz2 em qualquer sistema de coordenadas. −2 −4 14 O polinˆ omio caracter´ıstico ´e p(λ) = −λ3 + 45λ2 − 648λ + 2916. z). 2x. y. Exemplo 46. tem-se o √ √ pondo 2/2) e. com y e z arbitr´ arios mas n˜ao simultaneamente nulos. 2x) com x 6= 0 e os autovetores correspondentes ao autovalor 18 s˜ ao w = (−2y − 2z. Logo as ra´ızes de p(λ). sejam quais forem x.) Assim. 2/6. z = − 2/2. para y = z = 2/6. − √ √ √ unit´ ario f3 = (−2 2/3. √ y = 2/2. finalmente. experimentando os divisores do termo constante 2916 encontramos a raiz λ1 = 9. a matriz ortogonal 1/3 2/3 2/3 √ √ 0 a= √ √2/2 −√ 2/2 −2 2/3 2/6 2/6 . Observese que. o autovetor f2 = (0. λ2 = 18 e λ3 = 18. os vetores v e w s˜ ao sempre ortogonais. z) = 17x2 + 14y2 + 14z2 − 4xy − 4xz − 8yz ´e 17 −2 −2 m = −2 14 −4 . √ √ autovetor unit´ ario Em seguida. y. 2/2. Identifique ent˜ ao a qu´ adrica definida pela equa¸c˜ ao.1. y. Exerc´ıcios 1. efetue transla¸c˜ oes de modo a eliminar. a forma quadr´atica ϕ se exprime como ϕ(x. no sistema ortogonal de eixos que contˆem os vetores unit´arios f1. xz e yz nas formas quadr´ aticas do Exerc´ıcio 44. 3. Determine os autovalores das matrizes abaixo: 6 −1 0 3 0 3 3 3 −1 0 −3 −3 0 3 0 −3 −3 −2 2. efetue uma rota¸c˜ ao de eixos de modo a eliminar os termos em xy.316 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear ´e tal que 9 0 0 amaT = 0 18 0 0 0 18 e. xz e yz. f3. Escreva as equa¸c˜ oes de mudan¸ca de eixos (rota¸c˜ oes) que eliminam os termos em xy. y e z. s. os termos em x. t) = 9r2 + 18s2 + 18t2. z) = ϕ(r. Em seguida. Para cada uma das equa¸c˜ oes abaixo. f2. 2x2 + 2y2 − z2 + 8xy − 4xz − 4yz = 2 2x2 + y2 + 2z2 + 2xy − 2yz = 1 4x2 + 6y2 + 4z2 − 4xz + 1 = 0 2x2 + y2 − 4xy − 4yz + 12x + 6y + 6z = 1 x2 + y2 + z2 − 4xy − 4xz − 4yz = 7 5x2 + 5y2 + 3z2 − 2xy + 2xz + 2yz + 2x − y = 0 x2 + z2 − xy + xz + yz − 2x + 2y − 2z + 1 = 0 x2 + 4y2 + 9z2 − 4xy + 6xz − 12yz + 4x − 8y + 12z + 4 = 0 2x2 + 3y + 4z + 4 = 0 2z2 + 5x + 12y + 12z + 18 = 0 x2 + y2 + 4z2 − 2xy − 4xz + 6x + 12y + 18z = 0 2x2 + 2y2 − 4z2 − 5xy − 2xz − 2x − 2y + z = 0 3x2 + y2 + z2 + 4yz + 12x + 2y − 2z + 9 = 0 4x2 + 4y2 + 9z2 + 8xy + 12xz + 10x + y + 4z + 1 = 0 2x2 + 4yz − 4x + 2y + 6z + 5 = 0 3x2 + 3y2 + z2 − 2xy − 4x + 2y + 6z + 5 = 0 . ou reduzir a um s´ o. z ′ ). tem-se M(u + v) = Mu + Mv. 1).47 Transforma¸c˜ oes Lineares em R3 Uma transforma¸ca ˜o linear M : R3 → R3 ´e uma correspondˆencia que associa a cada vetor v = (x. chamado a imagem. y. 3) determinam a matriz a1 b1 c1 m = a2 b2 c2 . onde x ′ = a1x + b1y + c1z y ′ = a2x + b2y + c2z z ′ = a3x + b3y + c3z. Observe-se que as colunas de m s˜ ao os vetores Me1. . Como na Se¸c˜ao 23. 0. ou o transformado de v por M. 0. Os coeficientes ai. v ∈ R3 e α ∈ R quaisquer. ci (i = 1. e2 = (0. vˆe-se facilmente que se M : R3 → R3 ´e uma transforma¸c˜ao linear ent˜ao. para u. diz-se que m ´e a matriz de M relativamente ` a base canˆonica de R3. 0). Me2 e Me3. y ′ . bi. Quando h´a necessidade de uma linguagem mais precisa. 2. formada pelos vetores e1 = (1. a3 b3 c3 chamada a matriz da transforma¸ca ˜o linear M. 0) e e3 = (0. z) em R3 um vetor Mv = (x ′ . M(αv) = α · Mv. 1. . Tem-se (αI)v = αv para todo v ∈ R3. a3). a2. Dado v = (x. Al´em de M. z) ∈ R3. que reconhecemos como o primeiro vetor-coluna da matriz mn. a3) + y(b1. a primeira coluna da matriz de MN ´e (MN)e1 = M(Ne1) = M(r1.1 As transforma¸c˜oes lineares mais ´obvias s˜ ao a trans3 3 forma¸c˜ao identidade I : R → R . y. s3 t3 Definimos a soma M + N : R3 → R3. Afirmamos que sua matriz ´e mn. a matriz de αI tem trˆes α’s na diagonal principal e zeros nas demais posi¸c˜oes. a2r1 + b2r2 + c2r3. a3x + b3y + c3z). b3) e Me3 = (c1. b2. ponhamos Me1 = (a1. Verifica-se imediatamente que M + N e αN s˜ ao transforma¸c˜oes lineares. a2. r2.318 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Reciprocamente. b2. cujas matrizes s˜ ao m+n e αm respectivamente. c3) = (a1x + b1y + c1z. Me2 = (b1. c2. com 0v = 0 seja qual for v ∈ R3. (M+N)v = Mv+Nv. ´e claro que se trata de uma transforma¸c˜ao linear. (αM)v = α(Mv) e (MN)v = M(Nv). e a transforma¸c˜ao nula 0 : R3 → R3. Exemplo 47. a transforma¸c˜ao linear αI : R3 → R3 chama-se a homotetia de centro O e raz˜ao α. a2x + b2y + c2z. Logo Mv = M(xe1 + ye2 + ze3) = x · Me1 + y · Me2 + z · Me3 = x(a1. para cada v ∈ R3. logo a matriz de MN ´e mn. o produto αM : R3 → R3 pelo n´ umero real α e o produto MN : R3 → R3 das duas transforma¸c˜oes lineares pondo. Quanto a MN. A matriz de I ´e a matriz identidade I3 e a matriz da transforma¸c˜ao 0 ´e a matriz nula 0. b3) + z(c1. Para mostrar isto. se uma fun¸c˜ao M : R3 → R3 goza destas duas propriedades ent˜ao M ´e uma transforma¸c˜ao linear. r3) = (a1r1 + b1r2 + c1r3. definida por Iv = v para todo v ∈ R3. Para todo α ∈ R. c2. consideremos uma cuja matriz ´e r1 n = r2 r3 transforma¸c˜ao linear N : R3 → R3 s1 t1 s2 t2 . Analogamente se vˆe que o segundo e o terceiro vetores-coluna da matriz de MN coincidem com aqueles de mn. a3r1 + b3r2 + c3r3). Com efeito. c3). tem-se v = xe1 + ye2 + ze3. Por conseguinte. Ent˜ao. ui = 1. c). A 3 3 proje¸c˜ao ortogonal Q : R → R sobre Π associa a cada v = (x. vemos que P(v + w) = Pv + Pw e P(αv) = α · Pv. b. temos Qv = v − hv. devemos ter Pv = tu. z ′ ). Como u tem comprimento 1. Isto corresponde ao fato de que as imagens Pv de todos os vetores v ∈ R3 s˜ ao m´ ultiplos do mesmo vetor u. Exemplo 47. viu. b. y ′ = abx + b2y + bcz. uiu = v − Pv. uiu. viu. t ∈ R}. b. y. vi = hu.) Seja r uma reta que passa pela origem em R3. Pviu = hu. ou seja. ac bc c2 Nota-se que as linhas (e as colunas) de p s˜ ao vetores m´ ultiplos de u = (a. hu. c). para todo v ∈ R3. Pvi. y ′ . Assim. t ∈ R e hu. logo Pv = tu = hu. hu. o vetor v − Qv ´e perpendicular a Π (logo ´e m´ ultiplo de u) e v − (v − Qv) = Qv ´e perpendicular a u. a condi¸c˜ao Pv = tu nos d´a imediatamente hu. logo se trata de uma matriz de posto 1. Assim. a matriz de P ´e 2 a ab ac p = ab b2 bc . Pvi = thu. Sabendo que Pv = hu. Portanto Q = I − P e sua matriz ´e 1 − a2 −ab −ac q = I3 − p = −ab 1 − b2 −bc . Da´ı. Tem-se r = {tu. z ′ = acx + bcy + c2z. b. A proje¸c˜ao ortogonal P : R3 → R3 sobre r faz corresponder a cada vetor v = (x. z).2 (Proje¸ c˜ ao ortogonal sobre uma reta. y. z) ∈ R3 o vetor Pv.) Seja Π ⊂ R3 o plano que passa pela origem e ´e perpendicular ao vetor unit´ ario u = (a. tal que v − Pv ´e ortogonal a u. v − Pvi = 0.3 (Proje¸ c˜ ao sobre um plano. ou seja. v − Qv = hv. z) ∈ R3 o p´e Qv da perpendicular baixada de v sobre o plano Π.Transforma¸c˜ oes Lineares em R3 319 Se¸c˜ ao 47 Exemplo 47. pelo exemplo anterior. y. c). ui = t. onde x ′ = a2x + aby + acz. temos Pv = (x ′ . Em termos das coordenadas de u = (a. c) e v = (x. logo P : R3 → R3 ´e linear. −ac −bc 1 − c2 . determinada pelo vetor unit´ ario u = (a. Segue-se que v − Qv = Pv = proje¸c˜ao ortogonal de v sobre a reta que passa pela origem e cont´em o vetor unit´ ario u. pertencente a r. R = 2P − I ou. .4 (Reflex˜ ao em torno de uma reta. Por outro lado. Exemplo 47. b. uiu ´e a proje¸c˜ao ortogonal de v sobre a reta r. logo s˜ ao coplanares. preenchem o plano Π. Mas n˜ao ´e necess´ario fazer contas para chegar a esta conclus˜ao: as colunas de q s˜ ao os vetores Qe1. Qe2. A reflex˜ao em torno da reta r ´e a fun¸c˜ao R : R3 → R3 que associa a cada v = (x. Isto condiz com o fato de que as imagens Qv. O posto da matriz q ´e portanto igual a 2. y. mais explicitamente. Qe3. pelo menos uma de suas coordenadas ´e n˜ao-nula. Digamos que seja c 6= 0. c) n˜ao ´e zero. uiu − v para todo v ∈ R3. z) ∈ R3 o vetor Rv tal que r ´e a mediatriz do segmento de reta que liga v a Rv.) Seja r uma reta 3 em R que passa pela origem e cont´em o vetor unit´ ario u = (a. que tem duas dimens˜ oes. Ent˜ao 1 − a2 −ab = 1 − a2 − b2 = c2 6= 0. pertencentes ao plano Π. c). Noutras palavras. det −ab 1 − b2 logo as duas primeiras colunas de q s˜ ao linearmente independentes. Rv = 2hv. b.320 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Se calcularmos o determinante de q veremos que ele ´e igual a zero. Assim. como o vetor u = (a. o posto de q ´e ≤ 2. Segue-se imediatamente (ver figura) que v + Rv = 2Pv. v ∈ R3. onde Pv = hv. logo as colunas desta matriz s˜ ao linearmente dependentes. w ′ sobre a mesma reta perpendicular a Π. Em conformidade com a terminologia geral referente a fun¸co˜es. com α 6= 0. Noutras palavras o plano Π ´e perpendicular a esse segmento e o corta em seu ponto m´edio. R ´e uma transforma¸c˜ao linear e sua matriz ´e r = 2p − I3 . as transforma¸c˜oes P e Q n˜ao s˜ ao invert´ıveis. A reflex˜ao S : R3 → R3 em torno de Π associa a cada vetor v ∈ R3 o vetor Sv tal que Π ´e o plano mediador do segmento de reta que liga v a Sv. Exemplo 47.2 e 47. uma transforma¸c˜ao linear M : R3 → R3 chama-se invert´ıvel quando existe N : R3 → R3 linear tal que MN = NM = I. e somente se. S = 2Q − I ´e uma transforma¸c˜ao linear e sua matriz ´e s = 2q − I3 . Levando-se em conta que a matriz de MN ´e o produto das matrizes de M e N. segundo o crit´erio estabelecido na Se¸c˜ao 39. Se Qv ´e a proje¸c˜ao ortogonal de v sobre Π ent˜ao v + Sv = 2Qv. ´e invert´ıvel e 1 (αI)−1 = α · I. logo Sv = 2Qv − v. mostra-se sem dificuldade que M ´e invert´ıvel se. Outra maneira de justificar a n˜ao-invertibilidade de P e Q ´e observar que essas transforma¸c˜oes n˜ao s˜ ao injetivas: existem vetores v 6= v ′ com Pv = Pv ′ e w 6= w ′ com Qw = Qw ′ . sua matriz m ´e invert´ıvel.1. pois suas matrizes p e q. Assim. tendo colunas linearmente dependentes. Ent˜ao N chama-se a inversa de M e escreve-se N = M−1. basta tomar v e v ′ sobre um mesmo plano perpendicular a r e w.3.Se¸c˜ ao 47 Transforma¸c˜ oes Lineares em R3 321 Portanto. n˜ao possuem inversa. Nos Exemplos 47. toda homotetia αI. . No Exemplo 47.) Seja Π um plano que passa pela origem.5 (Reflex˜ ao em torno de um plano. e somente se. mmT = mT m = I3 .) Uma transforma¸c˜ao 3 3 linear M: R → R chama-se ortogonal quando sua matriz m ´e ortogonal. Isto resulta da Observa¸c˜ao 2. a rota¸c˜ao de ˆ angulo α em torno do eixo OZ ´e a transforma¸c˜ao . Qv) ´e a sua pr´opria proje¸c˜ao. vemos que S2 = I. Mv. Estas igualdades R · R = I e S · S = I significam que R e S s˜ ao invert´ıveis e mais ainda. Isto ´e um fato geral.2 e 47. v. A verifica¸c˜ao de que RR = I e SS = I pode tamb´em ser feita observando que se refletirmos Rv em torno de r obtemos v logo R(Rv) = v. As proje¸c˜oes P e Q. Com efeito. w (isto ´e. ´ suficiente que se tenha MN = I para concluir que NM = I e E portanto que as transforma¸c˜oes lineares M e N s˜ ao inversas uma da outra. S(Sv) = v para todo v ∈ R3. w seriam linearmente dependentes. Com efeito.6 (Transforma¸ co ˜es ortogonais. da´ı resultaria w = αu + βv e u. Analogamente. s˜ ao ortogonais. no final da Se¸c˜ao 39. Y quaisquer.3. de modo an´ alogo. referente a conjuntos X. se estes u ´ltimos vetores fossem linearmente dependentes ter´ıamos. n˜ao coplanares) em vetores linearmente independentes Mu. ´e injetiva e sobrejetiva. como Pv ∈ r (respectivamente Qv ∈ Π) ent˜ao Pv (respect. sabemos que r2 = s2 = I3 . digamos Mw = αMu + βMv = M(αu + βv).322 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Ora. Mw. definidas nos Exemplos 47. estudadas nos Exemplos 47. rT = r e sT = s. v. Exemplo 47. Uma transforma¸c˜ao linear invert´ıvel M : R3 → R3 leva trˆes vetores linearmente independentes u. calculemos os quadrados 2 R e S2 das transforma¸c˜oes dos Exemplos 47. Fazendo uso das rela¸c˜oes P2 = P e Q2 = Q.5. Logo rrT = r2 = I3 = s2 = ssT . As reflex˜oes R e S.5 acima. Outro exemplo de transforma¸c˜ao linear ortogonal ´e a rota¸ca ˜o em torno de um eixo. Al´em disso. Como M ´e injetiva.4 e 47. suas matrizes r e s s˜ ao sim´etricas. Temos: R2 = (2P − I)(2P − I) = 4P2 − 4P + I = 4P − 4P + I = I e. uma fun¸c˜ao f : X → Y ´e invert´ıvel se. R−1 = R e −1 S = S. cumprem as rela¸c˜oes P2 = P e Q2 = Q. isto ´e. Por exemplo.4 e 47. Isto pode ser verificado calculando os quadrados de suas matrizes ou (muito mais simplesmente) observando que. isto ´e. mutuamente ortogonais. p Em particular. vamos provar esta afirma¸c˜ao interpretando o produto interno hu. na linguagem matricial |Mv| = |v| significa (mv)T (mv) = vT v. w ∈ R3. v. Ent˜ao. Mv. Como anteriormente. . Ent˜ao. z). Provamos na Se¸c˜ao 23 que toda transforma¸c˜ao linear invert´ıvel T : R3 → R3 transforma circunferˆencias em elipses. para quaisquer u. vi = ax + by + cz do vetor u = (a. como vimos na se¸c˜ao anterior. Esta afirma¸c˜ao significa que se M ´e ortogonal ent˜ao. vi. Segue-se que vT I3 v = vT v = (mv)T (mv) = vT (mT m)v para todo v ∈ R3. que s˜ ao transformados por M em trˆes vetores n˜ ao-nulos. Vamos mostrar agora que vale um resultado an´ alogo em R3. vi. Mvi = (mu)T (mv) = uT mT mv = uT I3 v = uT v = hu. Seja M : R3 → R3 uma transforma¸ca ˜o linear invert´ıvel. m = sen α 0 0 1 Vˆe-se facilmente que mmT = mT m = I3 . z) como sendo o produto uT v das matrizes uT = [a b c] e x v = y. Sua matriz m tem a forma: cos α − sen α 0 cos α 0 . mutuamente ortogonais. dai resulta mT m = I3 . vemos que uma transforma¸c˜ao linear ortogonal M : R3 → R3 preserva o comprimento dos vetores: |Mv| = |v| para todo v ∈ R3.y. utilizaremos o seguinte Lema. Na verdade. Existem vetores unit´ arios u. como |v| = hv. temos z hMu. Mu. z) no vetor Mv = (x cos α− y sen α. Uma transforma¸c˜ao linear ortogonal M : R3 → R3 preserva o produto interno de vetores. x sen α + y cos α. y. logo M ´e ortogonal. vi. Como definimos a ortogonalidade de uma transforma¸c˜ao linear M em termos de sua matriz m. b. tem-se hMu. vale a rec´ıproca: se uma transforma¸c˜ao linear M : R3 → 3 R ´e tal que |Mv| = |v| para todo v ∈ R3 ent˜ao M ´e ortogonal. v ∈ R3. Com efeito.Transforma¸c˜ oes Lineares em R3 323 Se¸c˜ ao 47 linear M : R3 → R3 que leva o vetor v = (x. Mw. Mvi = hu. como mT m = I3 . c) pelo vetor v = (x. C = |Me3|2. ϕ(x. (Aten¸c˜ao: isto n˜ao significa que h = (x. x2 + y2 + z2 = 1} num elips´ oide. Me3i. u 6= 0 ⇒ Mu 6= M0. B = |Me2|2. embora n˜ao-unit´arios. s = y|Mv| e t = z|Mw| do ponto Mh nesse sistema satisfazem a condi¸c˜ao r2 s2 t2 + + = x2 + y2 + z2 = 1. Como vimos na Se¸c˜ao 42. Mv e Mw s˜ ao n˜ao-nulos. com x2 + y2 + z2 = 1. E = hMe1. temos h = xe1 + ye2 + ze3 = ru + sv + tw. que os vetores Mu. Isto significa que hMu. Mu 6= 0. onde A ′ = |Mu|2. f2 = Mv/|Mv| e f3 = Mw/|Mw|. z)!) Ent˜ao Mh = x · Mu + y · Mv + z · Mw. C ′ = |Mw|2. (Note que. Mvi = hMu. ou seja. ´e poss´ıvel escolher os vetores unit´ arios mutuamente ortogonais de tal forma que se tenha D ′ = E ′ = F ′ = 0. Mv e Mw s˜ ao dois a dois ortogonais. de modo que suas imagens Mu. y. w s˜ ao quaisquer vetores unit´ arios mutuamente ortogonais. sendo M invert´ıvel. Me2i. Mwi = hMv. D = hMe1. z) = |Mh|2 = |x · Me1 + y · Me2 + z · Me3|2 = Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz. Demonstra¸ c˜ ao: Pelo lema. a2 b2 c2 . y. Se u. ou seja. y. B ′ = |Mv|2. Todo h ∈ S2 se escreve como h = xu + yv + zw. z) = xe1 + ye2 + ze3. Mwi = 0. E ′ = hMu. logo ϕ(x. Uma transforma¸ca ˜o linear invert´ıvel M : R3 → R3 transforma a esfera unit´ aria S2 = {(x. Me3i e F = hMe2. F ′ = hMv. D ′ = hMu. para cada h = (x. Mv e Mw sejam vetores tamb´em dois a dois ortogonais. Mvi. v. v. definamos a forma quadr´atica ϕ : R3 → R pondo. vemos que f1.324 ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear Demonstra¸ c˜ ao: Dada a transforma¸c˜ao linear M. y. f2. podemos escolher trˆes vetores unit´ arios u. y. Pondo f1 = Mu/|Mu|. Mwi. z) = |Mh|2 = |M(ru + sv + tw)|2 = A ′ r2 + B ′ s2 + C ′ t2 + 2D ′ rs + 2E ′ rt + 2F ′ st. z) ∈ R3 . w. Analogamente. onde A = |Me1|2. dois a dois ortogonais.) Teorema. f3 s˜ ao os vetores unit´ arios de um sistema de eixos ortogonais onde se tem Mh = x|Mu|f1 + y|Mv|f2 + z|Mw|f3. Assim as coordenadas r = x|Mu|. Mwi. Em particular. v ∈ R3 quaisquer. mutuamente ortogonais. (d) N (M) = R3 . M ∗ vi para u. vi = hu. Uma transforma¸c˜ ao linear M : R3 → R3 chama-se auto-adjunta quando M ∗ = M. 47. prove que Mu. Mv e Mw s˜ ao vetores (n˜ ao-nulos) mutuamente ortogonais. M ∗ Mv = λ2 v e M ∗ Mw = λ3 w. tais que Mu = λ1 u. Mv = 0}. seu n´ ucleo se reduz ao u ´nico elemento 0 ∈ R3 . Chama-se adjunta da transforma¸c˜ ao linear M : R3 → R3 ` a transforma¸c˜ ao linear ∗ 3 3 M : R → R tal que hMu. isto significa que a matriz m de M ´e sim´etrica. Prove que uma transforma¸c˜ ao linear ´e injetiva se. Se os vetores unit´ arios u. mutuamente ortogonais. Prove que. se M ´e invert´ıvel. o mesmo ocorre com M ∗ M. 3. v. Prove que h´ a 4 possibilidades para o n´ ucleo de uma transforma¸c˜ ao linear M : R3 → R3 . β ∈ R ent˜ ao αu + βv ∈ N (M). w. Isto mostra que as imagens Mh dos pontos h ∈ S2 pela transforma¸c˜ao linear M formam o elips´oide cujos eixos tˆem comprimentos 2|Mu|.3 e 47. 4. isto ´e. 2|Mv| e 2|Mw| e se acham sobre os eixos que contˆem os vetores f1. w. como na Se¸c˜ao 23. c = |Mw|. Chama-se n´ ucleo da transforma¸c˜ ao linear M : R3 → R3 ao conjunto N (M) = {v ∈ R3 . b = |Mv|. 7. 5.2. Se m ´e a matriz de M. (a) N (M) = {0}. (c) N (M) ´e um plano que cont´em a origem. v. . f2. para toda transforma¸c˜ ao linear M : R3 → R3 . Pelo exerc´ıcio anterior. f3. v ∈ N (M) e α. mT = m. Da´ı resulta.) 6.4. que M transforma qualquer esfera num elips´oide. Prove que se M ´e auto-adjunta ent˜ ao existem vetores unit´ arios u. (Autovetores de M. 2. Determine os n´ ucleos das transforma¸c˜ oes lineares dos exemplos 47. Mv = λ2 v e Mw = λ3 w. s˜ ao tais que M ∗ Mu = λ1 u.Exerc´ıcios 325 com a = |Mu|. e somente se.1. Exerc´ıcios 1. Seja M : R3 → R3 uma transforma¸c˜ ao linear invert´ıvel. mostre que M ∗ ´e a transforma¸c˜ ao linear cuja matriz ´e mT . 47. (b) N (M) ´e uma reta que passa pela origem. a transforma¸c˜ ao ∗ M M ´e auto-adjunta e que o n´ ucleo de M ∗ M coincide com o n´ ucleo de M. Prove que se u. Osgood e W. Coordenadas no Plano . Os trˆes primeiros itens acima contˆem exposi¸c˜oes mais elementares dos assuntos aqui tratados. Paulo Cezar P. vol 3. . O primeiro deles traz as solu¸co˜es completas dos exerc´ıcios propostos. 1921. 1998. 2003. Matem´ atica e Ensino . 2001. [2] Elon Lages Lima (com a colabora¸c˜ao de Paulo Cezar P.MacMillan.Cole¸c˜ao do Professor de Matem´ atica SBM.SBM. A Matem´ atica do Ensino M´edio. O item [6] ´e a continua¸c˜ao natural dos estudos iniciados neste livro. SBM. Plane and Solid Analytic Geometry . Carvalho). ´ [6] Elon Lages Lima.Cole¸c˜ao do Professor de Matem´ atica . Carvalho. [4] W. [5] ´e uma cole¸c˜ao de artigos independentes. Algebra Linear . Graustein. um dos quais discute a eficiˆencia dos m´etodos para resolver um sistema de equa¸c˜oes lineares e outro caracteriza axiomaticamente o determinante.Bibliografia [1] Elon Lages Lima (com a colabora¸c˜ao de Paulo Cezar P. 1992. Coordenadas no Espa¸co . 1993. O item [4] ´e um livro-texto tradicional e primoroso.Cole¸c˜ao Matem´ atica Universit´ aria. Carvalho). [5] Elon Lages Lima. F. [3] Elon Lages Lima.SBM. IMPA. Eduardo Wagner e Augusto C´esar Morgado.