IMII_GUIA_EJERCICIOS_14_2

FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL ASIGNATURA: INGENIERÍA MATEMÁTICA II TEMA: UNIDADES 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 DOCENTE: Dr. LUIS PAIHUA MONTES Ms. FIDEL JARA HUANCA GUÍA DE EJERCICIOS SEMESTRE ACADÉMICO 2014-II Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) 1 Este material de enseñanza se hace en concordancia con lo dispuesto por la legislación sobre derechos de autor: Ley 13714 Art 69.- Pueden ser reproducidos y difundidos breves fragmentos de obras literarias, científicas y artísticas, y aún la obra entera, si su breve extensión y naturaleza lo justifican siempre que la reproducción se haga con fines culturales y no comerciales, y que ella no entrañe competencia desleal para el autor en cuanto a aprovechamiento pecuniario de la obra, debiendo indicarse, en todo caso, el nombre del autor, el título de la obra y la fuente de donde se hubieren tomado. 2 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GUÍA DE EJERCICOS INGENIERÍA MATEMÁTICA II UNIDAD 1: VARIABLE COMPLEJA En la presente unidad realizaremos un estudio de las funciones analíticas complejas, así como el estudio del potencial complejo 1.- Identificar en el plano complejo la región que verifica la relación dada: a) z2 1 z i b) d) | z  1|2  | z  1|2  4 1 2 z i z 1 1 z 1 c) e) Re( z 2  2 z )  1 f) Im( z 2  2 z )  1 2.- Determinar el dominio natural de la función compleja a) w  z 1 z2  i b) w  2  iz 2 | z  1 | 1 c) w  1 z  4z 2 3.- Calcular el módulo y el argumento principal del complejo z (valor principal de z) a) z  ln(1  i ) z  (1  i ) i 1 c) z  (1  i ) (i 1) b) z  (1  i ) i 1 d) z  (1  i ) i 4.- Hallar la parte real e imaginaria de las siguientes funciones. a) f ( z )  z 2  4 z  1 d) f ( z )  i ( z  z ) b) f ( z )  2 z 3  3z e) f ( z )  ei ( z  2)2 c) f ( z )  1  1 /(1  z ) f) f ( z )  1  1/ (1  1/ z 2 ) 5.- Ver si la función dada es continua en el origen, si suponemos que f(0)=0. a) f ( z )  i Re( z ) / | z | b) f ( z )  Re( z 2 ) / | z 2 | c) f ( z )  Im( z ) /(1 | z |) 6.- Encuentre la derivada de la función f(z), en el caso de existir. a) f ( z )  ( z 2  4) 3 b) c) f ( z )  1 / z 2 d) f ( z ) | z | 2 e) f ( z )  z  1 / z f ( z)  z f) f ( z)  1 1 z 7.- Analizar la analiticidad de las siguientes funciones. a) f ( z )  z  z b) f ( z )  Im( z ) c) f ( z )  1 / z 3 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) en la forma z=z(t).d) f ( z ) | z | 2 e) f ( z )  z  1 / z f) f ( z)  1 1 z 8. a) y  2x 2 b) x 2  y 2  1 d) x 2  4 y 2  4 e) y  1 / x c) x 2  y 2  9 11. 2. f ( z)  z  i z e.. y=x2 cuando aplicamos la función: a) f(z)=(3+4i)z-2 b) f ( z )  z 16... f ( z )  z d. describa la naturaleza del flujo.Dado el mapeo w  (1  2i ) z  3 . a) x=-1. f ( z )  ( x  y )  ix 4 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. 1.. a.com/) . 10. 0.. siendo: a) w  z 5  5 z b) w  z 6 c) w  z  1 / z  (1  i )2  5 3i  8i  i 1 i  i     iz  2  13. determine las líneas de corriente y las curvas equipotenciales. determinar las rectas que se mapean sobre: a) Rectas b) Circunferencias. f ( z )  x  i( x  x 2 y c. 3 e) y  0 c) |z|=1 f) |x|+|y|=1 9..Simplificar w    b.Describir geométricamente la región R   z  C / Re    0  iz  1    14. f ( z)  z  2 z f.Dada la función compleja f(z) que explica el comportamiento del flujo de cierto fluido.. 2 d) x  0 b) y=0.Determine la imagen de la región limitada por las curvas y=x+2 .. hallar y trazar las gráficas de las imágenes de las curvas o regiones dadas.novapdf...Representar las curvas siguientes en el plano complejo (z=x+yi).Determinar los puntos donde el mapeo w=f(z) deja de ser conforme. 1. f ( z )  xy  i( x 2  y 2 ) 12. Q=-4+2i y R=i cuando aplicamos la función compleja: 1 i a) f ( z )  2i z b) f ( z )   z z 17.Analizar la diferenciabilidad de la función compleja: f ( x  iy )  x 3  2 x 2  3xy 2  2 y 2  5  y  3 x 2 yi  4 xyi  y 3i  xi 15.En el mapeo w  1 / z .Determine la imagen del triángulo de vértices P=3+4i . novapdf. C : x 2  y 2  4 .1. 0  x  2 b.….En la ecuación x 2  x  ln 2  0 queremos hallar la solución con una tolerancia de la milésima.Resolver con paso 0..1 las ecuaciones diferenciales dadas. F ( z )  z  z 2 c. 3..256  2.61356817 h=10 –8 UNIDAD 3: RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Encontraremos una tabla de valores las cuales nos ayudaran a construir curvas muy próximas al de la solución exacta.. a) f(x)=x3 x=6789.. F ( z )  ln(1/ z ) 19.Para cada flujo del ejercicio 17 y 18 calcular la circulación y la velocidad media del flujo a lo largo de C orientado positivamente. determinar el rango en el que se encuentra el calor A. ….. F ( z )  iz 3 e.04 1.1. identifique la forma que tienen las líneas de corriente y describa la naturaleza del flujo. 2.Para cada caso discutir la manera adecuada de calcular f(x+h)-f(x) con el objeto de tener la menor propagación de error.1245786 h=10 –8 b) f(x)=cos(x) x=13.Si los valores numéricos están correctamente redondeados.41 2. F ( z )  z  iz f. C : x 2  y 2  4 UNIDAD 2: ERRORES Y PROPAGACIÓN En la presente unidad determinaremos la propagación de errores a través de conCeptos y propiedades concernientes a esta unidad.452  1.354  0.5 5 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.5 y'  x=1. 1. 2 y (1)  0. siendo: a. Halle el peor valor aproximado de ln2 que se emplea en la ecuación para hallar la solución mencionada..Dada la función compleja F(z) potencial complejo de flujo de cierto fluido. F ( z )  d.46 3. i a.com/) .18. 1.75 a) A  b) A  0. 2 b) y'  x y x=1. F ( z )  ln( z ) z 1 b. y x  x y a) y (1)  0. (0 . (0 . j  0. 3.1 j  .1  6.5 j ). -0. -1).5) .….5 j ).. 1) si: a) f ( z )  ( x 2  y 2  1)  ( x  y  1)i b) f ( z)  i z  z  1 i f ( z)   z z c) UNIDAD 4: ECUACIONES NO LINEALES En esta unidad localizaremos los ceros de las funciones y emplearemos métodos adecuados para la determinación de dichos ceros bajo cierta precisión. 5 2.2 y ( 0)  0.1 j  .4 por medio de las diferencias  y (0)  2 .21x  3.La función compleja f(z) modela el comportamiento del flujo de cierto fluido..com/) ..1  6.4 por medio de las diferencias  y (1)  2.  xy  y  3 y  0 a)  . halle y grafique las 5 líneas de corriente que contienen en forma respectiva a los puntos (0 ..21x  3.1 y (0)  0 d) y '  yx 2  y 2 x=0. j  1.1. y(0)  2  y  xy  3 x b)   y (1)  2.9 x 2  0..1 j  . a)  2.. con una tolerancia de la milésima.. j  1. y(1)  0 halle y 1  0.1 j  . j  1. encuentre y (0..5) . (0.667 x 3  0 b) sen (10 x )  cos(2 x )  0 6 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www..667 x 3 b) f ( x )  sen(10 x)  cos(2 x) c) f ( x)  x 2 | sen( x ) | 4 d) f ( x)  x tan( x)  1 2. encuentre y (1  0.9 x 2  0. 0) . j  0.10 e y0.10 .Localizar las raíces de las funciones dadas. 0.1.. y(1)  0 finitas 3. (0..10 .Dado los problemas de valores en la frontera. j  1.…. 1.Dados los problemas de valor inicial  xy  y  3 y  0 a)  halle y 0.  y (0)  2 . y(2)  2 finitas  y  xy  3 x b)  .Empleando cada método estudiado en clase hallar la solución más pequeña en módulo de la ecuación dada.10 e y1  0.c) y '  1  xsen( xy ) x=0. a) f ( z )  2.novapdf. Para la información dada. del piso.70 m UNIDAD 5: APROXIMACIÓN En la presente unidad realizaremos aproximaciones así como la de predecir valores a través de valores observados.15 4 10. 2m 3m 1. y estimar el valor de la función en x = a. Use el método numérico.5) empleando una cuadrática y estime el error. c) Entre los valores aproximado en la parte (a) y (b) .32 2 4. para obtener la respuesta con un error menor que 1mm.70 del piso para contemplar el cuadro bajo un ángulo de 20º.c) x 2 | sen( x ) | 4 d) x tan( x)  1 3.Un cuadro de 2m.novapdf.¿Cuál considera mejor? 3. de altura está colocado en una pared vertical a 3m.5) empleando una cúbica y estime el error.5 X F(X) -1 2 0 1 1 2 2 -7 3 10 0 0.5 b) a=1. a) a=0.5 3 3.com/) ... b) Aproximar F(0.5 X F(X) 7 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. proponer una curva de ajuste de mínimos cuadrados.15 1 3. A qué distancia de la pared deberá colocarse un hombre cuyos ojos se encuentran a 1.Dada la siguiente información: X F(X) -1 2 0 1 1 2 2 -7 3 10 a) Aproximar F(0.. 1. Cuando un cuerpo es calentado su densidad cambia.4.2  .6 28.7975 . x  2.1  4 x .5072 Determine los parámetros 6. x  0.5085 30 1.  : coeficiente de expansión volumétrica(1/ºC) Para determinar  0 y  para el ácido nítrico a la temperatura de 20ºC.1 .8543 i i i 1 5.5093 25 1. se midio la densidad a diferentes temperaturas y se obtuvo: TºC t 19 1.2  .4 19.7 118.5077 35 1.1 .4 88.novapdf.2x . x  1.0059 y i 1 6  log( P ) log(V )   16.3  8 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.8 72. La densidad a la temperatura t viene dada por la fórmula: 0 t  1   t  t 0  donde  0 : densidad (gr/cm3) a la temperatura t0 de referencia.Determinar si el spline cúbico natural que interpola la tabla X 0 1 2 Y 1 1 0 Coincide o no con la función 1  x .0 V Presión 61.5 37. Se desea estimar P cuando V = 100. i 1 6  log( Pi )  8.2 10. Además se cuentan con los siguientes datos: 6 6  log(Vi )  11.6 194.1  2 3 f  x   1 .3 61.5081 32 1.5098 24 1.2  2 3 4 x .1 P De acuerdo con los principios de la termodinámica la presión P de una gas con el volumen V están relacionados como PV a  b donde a y b son constantes.2  9 x . En cierto contexto experimental se obtuvieron los siguientes datos: Volumen 54. i 1 2  log(V )  i  23.3 x .x 3 .5091 28 1..com/) 3 10 .5102 21 1.2 49.6953 .3x . 1  f x    1 3 2   x .x .b] y estimar el error.9 2 8. 9 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.15 0.5 2.1  b x .8 3 3.1 1 2.6 22.5 0.5 2.b. calcular el área debajo la curva f(x) en el intervalo [a.5 3. ¿Es un spline cúbico natural? UNIDAD 6 APROXIMACIÓN DE LA INTEGRAL (CUADRATURACUBICACIÓN) Realizaremos aproximaciones de la integral bajo cierto métodos de integración numérica teniendo en cuenta cierta precisión.novapdf. Determinar a.Aproximar con una tolerancia de la milésima las siguientes integrales 1  0 1  x 3 dx 1 a) c)  30 0 250 z z / 15 e dz 4z b) d)   1 0 3 0 sen( x ) dx x e x sen ( x ) dx 1 x2 UNIDAD 7: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES En la presente unidad emplearemos los métodos directos e iterativos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 1. pero cambiando el número 24 de la primera ecuación por 23.c para que  x 3 .3 2 sea un spline cúbico.9 -1 0.5 1.91 1 3.5 0.5 11.5 3. 1.4 2. .1.6 b) a=0 b=5 X F(X) 0 0.9 y el número 27 de la segunda ecuación por 27. x  1.15 3.1 0.Resuelva el sistema de ecuaciones: 7 x1 + 8 x2 + 9 x3 = 24 8 x1 + 9 x2 + 10 x3 = 27 9 x1 + 10 x2 + 8 x3 = 27 Ahora resuélvalo otra vez.1  c .5 4.com/) .5 2. x  0.7. ¿Cómo se llamó en el primer laboratorio a este tipo de problemas.5 2 4.7 1. a) a=-2 b=4 .f(x) -1.5 4.Para la información dada..5 3 3.1 35..5 13.5 4 10.1  a x .5 1.2 0 0.32 1.7 -0. 0 6.0 7..0 4.5 5.5 6.5 a) Empleando la base de soporte finito de grado 1.5 3.5 3.5 5.6 9.6 6.5 3.0 7.5 10.1 10.6 10. según los métodos iterativos de Jacobi y de Seidel.2.1 9.5 8. Determine si las matrices de coeficientes de los sistemas son diagonales predominantes. Calcule los parámetros de convergencia α y β .1 12.0 3.com/) .5 11.5 6.5 8.0 12.2 14.5 8.5 12. 10 x1-2 x2+3 x3+2 x4=15 1x1-2 x2+x3+2 x4=1 3 x1-10 x2 -4 x3+2 x4=4 x1-1x2 -4 x3+x4=3 5 x1+3 x2+10 x3 -x4=13 3 x1+2 x2+9 x3 -x4=10 4 x1-3 x2 -2 x3+10 x4=13 x1-2 x2 + 2 x3+12 x4=7 10 x1-2 x2+3 x3+2 x4=12 10 x1 + 5 x2+4 x3+4 x4=3 3 x1-10 x2 -4 x3+2 x4=4 3 x1-10 x2 + 4 x3+2 x4=2 5 x1+3 x2+10 x3 -x4= .6 5.5 5.5 3 2.7 16. 10 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.9 13.6 6.5 9.6 8.9 8.2 7.7 10.5 7.5 10.2 7.2 9.6 9.7 4.5 10. 2 y 3 y un asistente adecuado aproximar z=f(x.5 7.5 10.6 2.1 9.5 4.2 16.5 8.2 11.5 6.5 14.5 10.3 8.2 7.5 10.6 7.y) y graficar dicha superficie.0 13.2 8.7 9.8 6. establezca el criterio de parada para obtener la solución con cuatro cifras decimales exactas.1 11.0 15. d.En los siguientes sistemas de ecuaciones: a.6 5.5 4.5 9.5 8.0 11.0 3.0 7.5 11.5 9.5 6.5 5.1 6.2 5.0 9.y) x\y 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1.3 8.7 8.5 14.7 5 x1+3 x2+10 x3 + x4=1 4 x1-3 x2 -4 x3+10 x4= .5 12.5 9.0 12.5 4.5 3.3 9.6 6.2 13.5 7.0 8.2 7.5 11.0 4.6 9. De cumplirse las condiciones suficientes de convergencia.3 5.6 4.5 5.2 4 x1 + 3 x2 + 2 x3+10 x4=6 PROYECTOS APLICADOS A INGENIERÍA CIVIL Proyecto 1: Dada la siguiente información: Z=f(x.novapdf.0 4.5 6. b.7 6.9 11. c.2 5.5 6.1 8. Halle la matriz M / X = MX + C .5 4.9 7.5 10.3 15.2 8.0 2.5 6.5 8.2 3.5 4.0 8.2 6.0 12. 2) (5. 5. 10. 8.4) (10. 13. 4. 11. Trazar las curvas de nivel z=3.5) (3. 9. 5. 9. 11. 9. y )dA (cubicar) empleando la interpolación lineal .5) (7. calcular  f ( x. 10. 9. 5.com/) . R c) 11 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. 6.novapdf. 13.5) a) Considerando R la región poligonal formada por los puntos dados.5) (0. 7. 0.y. 8.5) (2.y): (0 .b) Empleando la base de soporte finita lineal y el trazados spline cúbico trazar las curvas de nivel correspondiente a z= 3.z) del espacio que corresponden a la superficie z=f(x. 12. 15 c) ¿Hay variación en las curvas de nivel si empleamos la base de soporte finito cúbico? Proyecto 2: La siguiente información corresponde a puntos P(x. 7. 11 empleando el trazador spline. b) Hacer la misma cubicación empleando base de grado mayor a 1 de soporte finita. ¿Es analítica f en z  0 ? (2 ptos) (1 pto) 3. Pruebe que la raíz se encuentra en el intervalo 1 . (1 pto) b. (2 ptos) 2. (2 ptos) 12 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.z  0 i (2 ptos) __ b. ¿Cuántas iteraciones debo realizar según el método de Bisección para obtener una raíz aproximada con tres cifras decimales exactas? (2 ptos) c. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema. ¿Es h( z )   continua en z  0 ? z  . realice cuatro iteraciones próximas a la raíz y luego estime el error correspondiente a la última iteración. Nota.UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Ingeniería Matemática II Examen Parcial Ciclo 2011_01 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Tiempo : 120 minutos. 2 . Grafique dos líneas de corriente. Encuentre el vector velocidad. Puede hacer uso de su calculadora científica. z  0 a. (1 pto) b.     Lea bien las preguntas y responda adecuadamente. ¿Es g ( z )  z Re f  z  derivable en (0. 1. indicando el sentido del flujo.1 a.1 . Teniendo en cuenta el método de Newton. así como la velocidad del flujo.com/) .0)? c. Dado la función f ( z )  2iz 2  (1. pues ello se tomará en cuenta en la calificación de su prueba. Dado el potencial complejo de un flujo: F  z   z  z  2  1.1) z  _______  f  z  1. Justifique todas sus repuestas. Grafique dos líneas equipotenciales.novapdf. Teniendo en cuenta el ítem (a). (2 ptos) c. Considerando la ecuación no lineal: 2 x  cos x  3 a. 13 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.23º h =1. Un ingeniero desea determinar la distancia d desde la línea de mira hasta la torre H = 50. (2 ptos) Surco 09 de Mayo de 2011.com/) . (3 ptos) b. Encuentre el intervalo donde se encontraría el valor exacto de la distancia d.58 m  = 27. a.4.novapdf. Encontrar la cota de error máximo cometido al determinar el valor numérico de la distancia d.04 y 0.03 respectivamente. Y en la medida angular   27.23º se ha cometido un error máximo del orden 0.72 d Si en las medidas lineales h y H se han cometido errores máximos del orden de 0.01º. 4).1 halle el valor aproximado de y(1.1). Halle la tabla de diferencias según el método de Newton. y(1.2 .2 .2). y  / 1  x  2. y(1. a. pues ello se tomará en cuenta en la calificación de su prueba.2. Hidraulica) Prof.4. 1) Sea claro y concreto en su respuesta: a. Luis Paihua Martes 5. Determine la parte real e imaginaria de f . hora 8 a.5. 2. (2 ptos) 3) En cierto experimento se obtuvieron los siguientes datos: x 3 5 8 9 f(x) 5 7 10 15 a. Grafique la región del plano complejo  D  z  C / 1  Re  z   Im( z )  1  Re  z  (1 pto) 2  (2 ptos) c.5) y determine los errores respectivos si la solución exacta es u t   t 2 e t  e (3 ptos)   5) La superficie del techo de una residencia está dada por f  x.2.5 .2 . y(1.UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Ingeniería Matemática II Examen final Ciclo 2011_01 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Tiempo : 120 minutos.5.2. Halle el volumen de una columna prismática cuya base es: R   x. Nota. 2  y  2.3). Aula G21 (Lab.2 . (3 ptos)  du  2u  t 3et dt  4) Dado el problema de valor inicial t . ¿Qué es Interpolación de una función? 2) Dado la aplicación f ( z )  (2 ptos) i  iz z a. 4 (2. Puede hacer uso de su calculadora científica. Justifique todas sus repuestas.4 mediante el método del trapecio con pasos (2. b.2.3) mediante un polinomio de segundo grado indicando su error respectivo.5 y y  0. ¿Qué es un proceso iterativo lineal? b. y   2  exp   x  y  . y(1. 0.5.novapdf. u (1)  0 Empleando el método de Euler con h=0. Determine el mapeo de la región D del item (b) mediante g ( z )  f  z   iz .5 ptos) Entrega de notas: Prof.5 ptos) x  0. Fidel Jara 14 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.m.com/) . b. Halle aproximadamente f (5.     Lea bien las preguntas y responda adecuadamente. 0. 2.5. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema. (2 ptos) b. Mediante elementos triangulares encuentre el volumen de una columna prismática que involucre los siguientes puntos 0. | z | z  z 2 2  z y g ( z)   2 z2 Halle si existe lim  f ( z )  g ( z )  z 0   z z z0  f ( z)  b. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema.UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Ingeniería Matemática II Práctica Calificada N° 1 Ciclo 2012_01 Profesores Secciones Tiempo Fecha Nota. B(3. Dada las funciones complejas f ( z )  a. Im( z )  4  Re( z )} (4 ptos) 2 3. Simplifique w  1  i (1  i) 2  (1. Justifique todas sus repuestas. 1. Responda adecuadamente a los siguientes ítems. z 15 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. Puede hacer uso de su calculadora científica. grafique h( R) . a.novapdf. : 13/04/12 Lea bien las preguntas y responda adecuadamente. ¿Es h( z )   z z .1) 4 y expréselo en forma polar b.0)  z0 (1.4). continua en z=(1.com/) (3 ptos) . Describa la parte real e imaginaria de g ( z )  f ( z ) z  .1).6) y f (z)  4z3 h( z )  . Describa geométricamente el cociente de dos números complejos ptos) c. Describa en el plano complejo la siguiente región . R  {z  C / Im( z 2  2 z )  2. pues ello se tomará en cuenta en la calificación de su prueba. C(5. 0) 4. Si R es la región acotada por el triángulo de vértices A(1. (3 ptos) (2 ptos) (2 ptos) b. 1 a. Dada la función de transferencia de un sistema H ( z )  (2 ptos) (2 z ( z 4  1) describa en 8 z 2  4)( z  2) el plano complejo los ceros y polos de H(z) (Nota: Los polos son los ceros del denominador) (2 ptos) 2.     : Fidel Jara _Luis Paihua : Todas : 90 minutos. Dada la función compleja f ( z )  4 z 3  jz 2  jz . Determine en que rango se encuentra el valor exacto del área sombreada. dicha estructura es de concreto armado y su ingreso está limitado por un arco parabólico cuya ecuación se indica y el piso terminado correspondiente.novapdf.12 8. Justifique todas sus repuestas. ¿Es u una función armónica? (2 ptos) b. a. ¿Es g ( z )   z  j 2 j z  (0. Dado el potencial complejo f ( z )  2 jz 2  z (1. (3 ptos) 4.UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Ingeniería Matemática II Práctica Calificada N° 2 Ciclo 2012_01 Profesores Secciones Tiempo Fecha Nota.02 m.11) 2 9 5.5 ptos) a.  z2 1 z  (0.5ptos) b. y )  e cos( y )  xy  2 a. 1. Responda adecuadamente a los siguientes ítems.60 m. : 18/05/12 Lea bien las preguntas y responda adecuadamente.com/) .1)  a. Re( z )  Im( z )} 2.22 m 16 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.1)  continua en z=(0. pues ello se tomará en cuenta en la calificación de su prueba. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema. Dada la función u ( x. (6 ptos) 4 y  4  ( x  4. Describa geométricamente las líneas equipotenciales asociadas a las curvas de nivel correspondiente c=0 y c=1 (2 ptos) b. Halle la cota máxima al calcular el área de la región sombreada. Teniendo en cuenta que en las medidas se cometió un error de 0.     : Fidel Jara _Luis Paihua : Todas : 90 minutos. La figura muestra el piso de la entrada principal a un parque de diversiones cuyo espesor es constante e igual a 0. Describa el comportamiento del flujo.1)? (1. b. Encontrar todas las funciones armónicas conjugadas de u tal que f  u  vj sea analítica. Describa en el plano complejo la siguiente región: R  {z  C / Im( jz 2 )  0. Puede hacer uso de su calculadora científica. (4 ptos) x 3. determine el rango en que se encuentra el área del triángulo ABC (4 ptos) 3. Proponga dos algoritmos de Aproximación sucesiva que permita hallar el cero que reencuentra en el intervalo [-1 . Con uno de los algoritmos propuestos en el item (a) calcule con dos decimales exactos dicho cero. 1. b. 0] (3. Dada la función f ( x)  x 2  xe x  1 a. Explique geométricamente el método de la secante (2 ptos) c. Halle el cero de f(x) que se encuentra en el intervalo [ 1 . ¿Qué entiende por propagación de error? (1 pto) Si las medidas lineales son los únicos valores que tienen un error máximo del 1%.com/) .  Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema. determine la imagen de la figura dada (justifique su respuesta) (4 ptos) A 25° 30 m B 40 m 2 C x2  y 2  4 2 4.novapdf. Si un cero de la función f(x) se encuentra en el intervalo [356 .  Puede hacer uso de su calculadora científica. (1 pto) 17 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. (3.  Justifique todas sus repuestas. Nota.  Lea bien las preguntas y responda adecuadamente. a. pues ello se tomará en cuenta en la calificación de su prueba.5 ptos) b.UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Ingeniería Matemática II Práctica Calificada N° 3 Ciclo 2012_01 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Tiempo : 90 minutos. ¿cuántas iteraciones se deben realizar como mínimo para determinar este cero con error de una diezmilésima? (1 pto) 2. 2] empleando el método de Newton. Sea claro y justifique su respuesta. Dada la función f ( z )  (3  4i )( z  i) . 358].5 ptos) c.  Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema. 7  .4 Ciclo 2012_01 Profesore : Fidel Jara.5 1. (2 ptos) 2 .UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Ingeniería Matemática II Practica Calificada No. ¿En qué consiste la interpolación numérica? (2 ptos) 3) En cierto experimento se encontraron los siguientes datos: X 0. (1 ptos) e.com/) . Dé una diferencia y una semejanza entre los métodos de interpolación e integración numérica . (2 pto) f.3 0. Halle la mejor aproximadamente de la integral  y ( x )dx .  Puede hacer uso de su calculadora científica.5 b.9 Y 10 7 4 3 1 4 5 6 4 7 a.  Lea bien las preguntas y responda adecuadamente.1 5 2. y (1.1 1. y (1.7 0.novapdf. 1) Describa el flujo cuyo potencial complejo es F ( z)  j z 2  z (3 ptos) 2) Conteste adecuadamente a los siguientes ítems (Justifique): d.9) . Nota. teniendo en cuenta x sólo los cinco primeros datos.1 (5 ptos)  dy y 3  yx 2  y 4) Dado el problema de valor inicial  dx 8  y (2 )  3  Halle el valor aproximado de y (1.1 0.6) hallado. y 1.3 2.5 3 b .5 0.5) mediante el método de Euler y estime el error en el valor y(1. estime el error 0 . Luis Paihua Tiempo : 90 minutos.  Justifique todas sus repuestas. Dé una interpretación geométrica del Método de Euler.8) . 6) e y (1. (5 ptos) 18 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.7 1.3 1.9 1. pues ello se tomará en cuenta en la calificación de su prueba. Describa el sistema normal asociado al modelo y  a  2. Halle el módulo y argumento principal del valor principal (2 ptos) ( 1  i) (3 4 i ) (1 pto) 6. Sea claro y justifique su respuesta. a.  Justifique todas sus repuestas. 5. (3 ptos) 7.  Puede hacer uso de su calculadora científica. Dada la función real u ( x. y ) sea analítica. (2 ptos) b. ¿Qué es propagación de error? Ejemplifique c. u )  i v( x. 0 (1 pto) d. Nota.z  0 i (2 ptos) b.  Lea bien las preguntas y responda adecuadamente.  Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema. pues ello se tomará en cuenta en la calificación de su prueba. y )  e 2 x sen(2 y )  x . Describa la naturaleza del flujo (3 ptos) 19 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. ¿Es analítica g ( z )  f ( z )  e z en z  0 ? (1 pto) c.1) z  _______  f   z    2. Dado la función f ( z )  3iz 2  (2.novapdf. z  0 a. Ejemplifique. Grafique las líneas equipotenciales para los niveles k=-1. ¿Es h( z )   continua en z  0 ? 6z  . 1 .UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Ingeniería Matemática II Examen Parcial Ciclo 2012_01 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Tiempo : 120 minutos.com/) . determine el armónico conjugado respectivo de modo que la función f ( x. Dé una diferencia y una semejanza entre los conceptos de error y un error relativo. y )  u ( x. 72 Si en las medidas θ y d se han cometido errores máximos del 0. c. Un ingeniero desea determinar la altura H de la torre d = 120.1%.8.com/) . 20 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. Encontrar la cota de error máximo cometido al determinar el valor numérico de la altura H.58 m H  = 25. (4 ptos) d.novapdf. (1 ptos) Surco 07 de Mayo de 2012. Encuentre el intervalo donde se encontraría el valor exacto de la altura H.3º h =1. determine la ecuación de la imagen que se obtiene al aplicar la función f(z) sobre la parábola x  y 2  1 . Mencionar al menos 3 diferencias existentes entre el método del Trapecio y Simpson.2.UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Ingeniería Matemática II Examen Final Ciclo 2012_01 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Tiempo : 120 minutos. 13. (3ptos) 11.8m/s2. La fuerza del viento distribuida sobre el lado de un rascacielos se registra como: Alturs (m)/10 Fuerza (N/m)/100 0 0 3 3.5ptos) Surco 02 de Julio de 2012. c=12. en el contexto de la integración numérica.5 6 10 9 15 12 15 30 18 33 21 35 24 36 a. Teniendo en cuenta el resultado anterior describa el flujo.     Lea bien las preguntas y responda adecuadamente. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema. pues ello se tomará en cuenta en la calificación de su prueba. (2ptos) b. calcule la fuerza total sobre la línea de acción debida a esta distribución del viento. 0 b. Empleando una cúbica. Dar una semejanza y una diferencia entre Interpolación y Ajuste. vmax=46 (4ptos) 12.3. estime el error. La ecuación que permite explica mejor la velocidad de caída de un objeto teniendo en cuenta la resistencia del viento es: b  v  dv c  g   v  a  dt m vmax      . 4. 2. b=2. v(0)  0 .1 kg. 5 s. m=68. a=8. (1. 3.5 kg/s . halle el valor que falta. Sea claro y justifique su respuesta.5ptos) (1. Dada la función compleja f ( z )  iz  z  1 . Si el potencial complejo de flujo es F  z   i  z  z  2i  (3ptos)  a. siendo   g=9. resolver para t=1. (3ptos) b. 21 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. Empleando el valor hallado en la parte (a). Justifique todas sus repuestas.novapdf. a. en el contexto de la aproximación de una función. Nota. Grafique las líneas de corriente de nivel k= -1. (2ptos) 10. Puede hacer uso de su calculadora científica.com/) . estime el error. 9. Determine f (R) . 22 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. siendo g  z   f  z   i z . (5 ptos) z a.novapdf. B(3. y )  i v ( x. Halle la función real u ( x. En el caso de existir calcular Lim f ( z ) . b. Calcular W  ln   3  j   (1 pto)     j  1  1 d.3). Halle el módulo y argumento principal de: z  ( 2  2 j ) (3  4 j ) (1 pto)  1  j   c. y ) sea una función analítica. y ) de modo que f ( z )  u ( x. Fecha : 13/09/13 Indicaciones:    Apague todo dispositivo electrónico de comunicación. Verificar que es armónica.UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Profesores Ingeniería Matemática II Práctica Calificada N° 1 Ciclo 2013_02 : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones Duración : Todas : 90 minutos. Si D es la región triangular de vértices A(1. --------------------------------------------------------------------------------------------1. Sea la función real v( x. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema.com/) . Describa geométricamente la siguiente región: R   z  C / Re   Im    z  z  4  (2 ptos) 2 e. caso contrario se anulará la evaluación. use bolígrafo. Dada la función compleja f ( z )  3. Responda adecuadamente a los siguientes ítems: 1  j  9   3  3 j  7 a. Describa en forma polar el número W  (3  3 j )15 (2 ptos) b. 2. b. donde R es una circunferencia de radio r = 2.1).4) y C(5. (5 ptos) a. y )  e x cos( y )  e y sen( x )  y . siendo f ( z )  z0 z 2 (2 ptos) 1 iz. ¿en qué puntos del plano complejo tiene derivada? En el caso de existir halle dicha derivada. explique la forma que tiene g D  . (2 ptos)   | z2 |  z f. La función f ( z ) | z |  z . Los temas desarrollados con lápiz no tienen lugar a reclamo. UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Ingeniería Matemática II PC2 Ciclo 2013_02 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Tiempo : 90 minutos.2 . 1. (1 pto) b.0) al punto (0. 2 Describa geométricamente f R  donde R es región acotada por las curvas: y  x2  6 . (3 ptos) 2. cuyo uno de sus extremos esta coronado por un cono. desde el punto (2.com/) . 27 Setiembre 3013 23 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.003m. a. pues ello se tomará en cuenta en la calificación de su prueba. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema. (2 ptos) 4. (3 ptos) 2 2 c. Puede hacer uso de su calculadora científica. Encuentre y grafique dos líneas de corriente.novapdf. Dé dos diferencias entre el estudio de los dos casos en el contexto de flujo de fluidos a partir de funciones complejas. ¿En qué consiste la propagación de errores? (1 pto) d. Nota. (4 ptos) b. Responda adecuadamente a los siguientes ítems(Justifique): a. con una confiabilidad de  0. Describa la naturaleza del flujo de fluido.015m y  0. y  0 .1z . con una confiabilidad de  0.50m y 6m respectivamente. Justifique todas sus repuestas. ¿En qué rango se encuentra el valor de su volumen respectivo? (2 ptos) Surco. ¿En qué consiste el error sistemático? Ejemplifique. Para la siguiente función compleja que representa el campo de velocidad de un flujo de fluido f  z   j z   1.1). (1 pto) c. La longitud de la parte cilíndrica tiene una medida de 12m.018m respectivamente. Halle la circulación a lo largo de la curva C : x  y  4 x  0 . ¿Es cierto que  1   c   d ? (1 pto) cd j 2 z  1. Halle la confiabilidad en la medición de su volumen. mientras que el radio y la altura del cono miden 4. (2 ptos) b. Se tiene un recipiente cilíndrico para almacenar granos de cierto cereal. y  x .     Lea bien las preguntas y responda adecuadamente. Dada la función compleja f  z   3. a.  Justifique todas sus repuestas. T 3.2) mediante el método de RK-2.UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Ingeniería Matemática II Practica Calificada No. Describa geométricamente el método de Euler (2 ptos) h.4) encontrado en la parte (a).  Lea bien las preguntas y responda adecuadamente. (3 ptos)  d 2T (r ) 1 dT (r )   200  8) Dado el problema de valor en la frontera  dr 2 . Describa la naturaleza del flujo de fluido. T 3 . (1 pto) b. Halle el error del valor y(1. T (4)  50  aproximaciones de las derivadas por medio de diferencias finitas encuentre un sistema de ecuaciones que permita encontrar los valores aproximados de T 2.4) mediante el método de Euler. Nota. (1 pto) c.novapdf.  Puede hacer uso de su calculadora científica pero no programable. 24 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. Usando r dr T 2   10 . 6) Conteste adecuadamente a los siguientes ítems (Justifique): g. Halle el valor aproximado de y (1.3 e y (1.5 .  Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema.5 . pues ello se tomará en cuenta en la calificación de su prueba. Describa geométricamente el método de aproximación sucesiva en el contexto de ecuaciones no lineales. (4 ptos)  dy x 3  xy 2  x 9) Dado el problema de valor inicial  dx 4  y (1)  2  a.3 Ciclo 2013_02 Profesores: Fidel Jara – Luis Paihua Tiempo : 90 minutos. Halle el valor aproximado de y (1. De una diferencia y una semejanza entre los métodos de Bisección y Newton en el contexto de ecuaciones no lineales.2) . (2 ptos) 7) Dado el potencial complejo de una flujo de fluido F  z   z 2  2 jz a. (3 ptos) b. y 1. Describa las lineales equipotenciales asociadas a las constantes k = 1 y k = 2.com/) (1 pto) . y (1. (2 ptos) i. De una diferencia y una semejanza entre los métodos de Euler y Runge-Kutta2. (1 pto) j.1) . 8 1. Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema. Los temas desarrollados con lápiz no tienen lugar a reclamo. Fecha : 22/11/13 Indicaciones:    Apague todo dispositivo electrónico de comunicación.5 1 5. Indicar la diferencia más importante entre el método del “Trapecio” y “Simpson” (1 pto) 5.UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Profesores Ingeniería Matemática II Práctica Calificada N° 4 Ciclo 2013_02 : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones Duración : Todas : 90 minutos. con el menor error posible. --------------------------------------------------------------------------------------------4. Indicar una diferencia fundamental entre “Interpolación” y “Ajuste” (1 pto) b.5 a) Calcular el valor aproximado de  4 0 2 2. ptos) (4 25 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.6 f ( x )dx .5 1 3 3.1 3. caso contrario se anulará la evaluación. Justificando su procedimiento determine la forma que tiene la imagen de la región dada en la figura al aplicar la función f (z ) siendo: (3 ptos) f ( z)  1 z  2 -2 6.com/) . (3 ptos) 7. use bolígrafo.5 4. Dado el potencial complejo F ( z )  z 2  jz  1 de cierto flujo de fluido. grafique dos líneas de corriente indicando el nivel respectivo oriente y explique el comportamiento de este flujo. indicar cual es ese error. Responda adecuadamente a los siguientes ítems: a.5 2.5 3.5 4 5.2 0. Dada la tabla siguiente: x f(x) 0 1.2 2.novapdf. si es posible halle el valor aproximado de estimando su error.  4.9 7 2.1 5 2.5 3 Describa el sistema normal asociado al modelo y  a  información dada y determine los valores de a y b. 26 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.7 4 1.b) Con lo aprendido en clase.5 6 1.novapdf. teniendo en cuenta la x (4 ptos) . En cierto experimento se encontraron los siguientes datos: X Y 1.5 0 f ( x)dx (4 ptos) 8.com/) b .3 5 1. Dada la función compleja f ( z )  jz 2  (1. Indicaciones:  Apague y guarde todo medio de comunicación electrónico.  Justifique todas sus repuestas.5 ptos) 11. siendo R la región acotada por la siguientes curvas x  y 2  2 . La velocidad del flujo de salida de un fluido ideal por un orificio en el lado de un tanque está dada por: v  2P . ¿en qué puntos del plano complejo tiene derivada? (2 ptos)   j  1  1 d. (1. La función f ( z ) | z |  z . (1 pto) b. Responder adecuadamente a los siguientes ítems: a. (1 pto) 2 c. Describa geométricamente la siguiente región: R   z  C / Re   Re    . representa el 10. pues ello se tomará en cuenta en la calificación de su prueba. x  y  8 . Determine las líneas de corriente y diga que forma tienen. (2.3) z .  Examen desarrollado con lápiz no tiene lugar a reclamo. Grafique y explique la orientación de la línea de corriente que pasa por el punto (-1 .  Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema. en caso contrario se anula el examen. De una diferencia y una semejanza entre el estudio de los dos casos en el contexto de flujo de fluidos a partir de funciones complejas.5 ptos) Determine la circulación a lo largo de la curva de ecuación x 2  y 2  1 en el sentido antihorario.  27 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. (1. De una diferencia y una semejanza entre los conceptos de error absoluto y relativo. La función compleja f ( z )   2 2  2  x  y x  y     campo de velocidad de cierto flujo de fluido. (2 ptos) b.UNIVERSIDAD RICARDO PALMA Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Ingeniería Matemática II Examen Parcial Ciclo 2013_02 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Fecha:07/10/2013 Duración: 120 minutos.5 ptos) 12. donde z  x  y j .com/) .  Puede emplear calculadora que no sea programable ni tenga capacidad de graficar. describa geométricamente f (R) . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9.novapdf. 2). c. a. z  z  4  (2 ptos)  x2   y2     2  j . novapdf.Si los errores relativos máximo cometidos en la medición de v y P son del orden del 0. (2. 2 x  e 0 . Tomando el intervalo que se obtiene en el ítem (b) en la segunda iteración. La siguiente función f ( x )  10  20 ( e 0 . ¿Cuántas iteraciones como mínimo son necesarias para hallar el valor x*con tres decimales exactos si aplicara el método de bisección? (1 pto) b. determine una cota máxima de error relativo en la medición de  .2] a. (2 ptos) 28 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. (1 pto) c.com/) . Haga dos iteraciones empleando el método de bisección. La lectura de 2 unidades del nivel de oxígeno es a una distancia x* que está en el intervalo [0 . 3.1% y 0. haga 3 iteraciones con el método de Newton y determine la precisión de este último valor hallado. 75 x ) mide el nivel de oxígeno a x kilómetros aguas abajo del punto de descarga de aguas residuales.5 ptos) 13.3% respectivamente. (1 pto) b. (1.5 ptos) 29 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. ¿en qué puntos del plano complejo tiene derivada? (2 ptos)   j  1  1 Describa geométricamente la siguiente región: R   z  C / Re   Re    . De una diferencia y una semejanza entre los conceptos de error absoluto y relativo. representa el  a.novapdf.5 ptos) 2 2 c. (1. Determine la circulación a lo largo de la curva de ecuación x  y  1 en el sentido antihorario.  Justifique todas sus repuestas. Determine las líneas de corriente y diga que forma tienen.  Puede emplear calculadora que no sea programable ni tenga capacidad de graficar. d. (1 pto) 2 La función f ( z ) | z |  z . --------------------------------------------------------------------------------------------------------NOTA: Apellidos y nombres: Código: -----------------------------------------------------------------------------------------------------------Indicaciones:  Apague y guarde todo medio de comunicación electrónico. z  z  4  (2 ptos)  x2   y2    2 2. c.  Recuerde que parte de la pregunta es el entendimiento e interpretación del problema.com/) . en caso contrario se anula el examen. (2 ptos) b. 2). pues ello se tomará en cuenta en la calificación de su prueba.  Examen desarrollado con lápiz no tiene lugar a reclamo.Ingeniería Matemática II Examen final Ciclo 2013_02 Profesores : Fidel Jara _Luis Paihua Secciones : Todas Fecha:07/10/2013 Duración: 120 minutos. donde z  x  y j . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.   j . De una diferencia y una semejanza entre el estudio de los dos casos en el contexto de flujo de fluidos a partir de funciones complejas. Grafique y explique la orientación de la línea de corriente que pasa por el punto (-1 . La función compleja f ( z )   2 2  2 x  y  x  y campo de velocidad de cierto flujo de fluido. Responder adecuadamente a los siguientes ítems: a. La lectura de 2 unidades del nivel de oxígeno es a una distancia x* que está en el intervalo [0 .5 ptos) 4. x  y  8 . (2.2] d.  Si los errores relativos máximo cometidos en la medición de v y P son del orden del 0. La velocidad del flujo de salida de un fluido ideal por un orificio en el lado de un tanque está dada por: v  2P . La siguiente función f ( x )  10  20 ( e 0 .novapdf.3% respectivamente. 75 x ) mide el nivel de oxígeno a x kilómetros aguas abajo del punto de descarga de aguas residuales. Haga dos iteraciones empleando el método de bisección. (2. describa geométricamente f (R) .3) z . Dada la función compleja f ( z )  jz 2  (1. Tomando el intervalo que se obtiene en el ítem (b) en la segunda iteración.3. (1 pto) f.5 ptos) 5. siendo R la región acotada por la siguientes curvas x  y 2  2 .1% y 0. haga 3 iteraciones con el método de Newton y determine la precisión de este último valor hallado. 2 x  e 0 . (2 ptos) 30 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www. 3. ¿Cuántas iteraciones como mínimo son necesarias para hallar el valor x*con tres decimales exactos si aplicara el método de bisección? (1 pto) e.com/) . determine una cota máxima de error relativo en la medición de . 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