Il Cemento Armato-Aurelio Ghersi

Aurelio GhersiIL CEMENTO ARMATO Dalle tensioni ammissibili agli stati limite: un approccio unitario • Criteri di sicurezza, dalie tensioni ammissibili agli stati limite • • I materiali: calcestruzzo e acciaio Sforzo normale • Flessione semplice • Presso e tensoflessione • Taglio, punzonamento, torsione • Stati limite di esercizio Aurelio Ghersi IL CEMENTO ARMATO Dalle tensioni ammissibili agli stati limite: un approccio unitario DARIO FLACCOVIO EDITORE Aurelio Ghersi IL CEMENTO ARMATO DALLE TENSIONI AMMISSIBILI AGLI STATI LIMITE! UN APPROCCIO UNITARIO ÌSBN 88-7758-612-5 Prima edizione: febbraio 2005 © 2005 by Dario Flaccovio Editore s.r.l. - tel. 091202533 - fax 091227702 www.darioflaccovio.it e-mail [email protected] Tutti i diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica e di riproduzione sono riservati per tutti i paesi. Nessuna parte di questo può essere riprodotta in alcuna forma, compresi microfilm e le copie fotostatiche, né memorizzata tramite alcun mezzo, senza il permesso scritto dell’Editore. Aurelio Ghersi < 1951 > II cemento armato : dalie tensioni ammissibili àgli stati limite: un approccio unitario / Aurelio Ghersi. — Palermo : D. Flaccovio, 2005. ISBN 88-7758-612-5. 1. Cemento armato. 693.54 CDD-20 CIP - Biblioteca centrale delia Regione siciliana "Alberto Bombace " Stampa: Prillila» Palermo, febbraio 2005 AGGIORNAMENTI - ERRATA CORRIGE - ADDENDUM Eventuali integrazioni o revisioni al presente testo saranno disponibili alPindìrizzo www.danoflaccovio.it/aggiomainentL È pertanto consigliabile visitare periodicamente tale pagina o iscriversi dalla home page www.darioflaccovio.it alla newsletter gratuita informazioni editoriali, che riporta, tra le altre informazioni, anche gli eventuali aggiornamenti. Indice Premessa...............................................v......................................... *................ 11 Capitolo 1 INTRODUZIONE............................................................................ :.......... .... 15 1. Dall’arte del costruire alla Scienza e Tecnica delle costruzioni................. 15 2. Definizione del modello di calcolo............................................ .............. ... 18 3. Analisi strutturale.......................................................... ............................. 20 4. Verifica delle sezioni............................................... ................................... 23 Capitolo 2 METODI DI VERIFICA...................................................... ,.............................25 1. Modello del materiale.................................. .................................................25 2. Modello dei carichi.................................................. ......................... ......... ..28 3. Sicurezza strutturale....................................................... ............................ .29 4. Metodo delle tensioni ammissibili.............................................. .......... ...... 29 5. Calcolo a rottura.......................................................... .......................... ...... 32 6. Approccio probabilistico.............................................................. .............. .33 7. Approccio semiprobabilistico..................................................................... .36 8. Metodo degli stati limite :..................................................... ........ :........... .38 8.1. Verifiche allo stato limite ultimo....................................................... .39 8.2. Verifiche allo stato lìmite di esercìzio............................................... .39 Capitolo 3 NORMATIVA............................................................................................. ...... 41 1. Normativa tecnica........................................ .................................. ............ .41 1.1. Normativa italiana...............................................................................42 1.2. Normativa europea........................................................ .................... .44 2. Panoramica delle principali normative..........................................................44 2.1. Decreto Ministeriale 9/1/96............................... .......... .................... .44 2.2. Eurocodiee 2...... .......... ............................................... .............. ...... .46 2.3. Eurocodiee 3......................... ................... .... .................................... .47 6 Indice 3. Azioni e loro valore di calcolo.................................................................... 49 3.1. Classificazione delle azioni................................................................ 49 3.2. Valori di calcolo per verifiche agli stati limite ultimi........................ 50 3.3. Valori di calcolo per verifiche agli stati limite di esercizio............... 51 Capitolo 4 BREVE STORIA DEL CALCESTRUZZO (ARMATO)................ .................59 1. La preistoria del calcestruzzo...................................................................... .59 2. La muratura romana: l’opus caementicium..................................................61 3. La composizione, da Vitruvio al mix design................................................66 4. Il calcestruzzo nella rivoluzione industriale.................................................68 5. Il calcestruzzo, i nuovi elementi strutturali e le nuove forme..................... .75 6. Calcestruzzi strutturali ad alta resistenza: il futuro (?)............................... .82 Capitolo 5 IL CALCESTRUZZO................................................................... ................... 85 1. Aspetti tecnologici....................................................................................... 85 2. Comportamento sotto carichi di breve durata............................................ . 88 2.1. Resistenza a compressione.................... ...................................... :..... 88 2.2. Resistenza a trazione...................................................... ...... .......... 92 2.3. Modulo elastico.................................................................................. 94 3. Indicazioni di normativa................. ............................................................ 94 3.1. Limiti di Rck e controlli di accettazione...................... ............... . 94 3.2. Modulo elastico.................................................................................. 95 3.3. Resistenza a trazione.............................................................. ............ 95 3.4. Resistenza a compressione: limiti per TA e SLU.............................. 96 3.5. Legame tensioni-deformazioni per SLU............................................ 97 4. Comportamento del calcestruzzo nel tempo............................................... 101 4.1. Stagionatura e resistenza............................................................ ........101 4.2. Ritiro.............. ................................................ ....................................102 4.3. Scorrimento viscoso........................................................................... 106 4.4. Variazione delle proprietà chimiche (carbonatazione).......................109 Capitolo 6 L'ACCIAIO PER CEMENTO ARMATO ORDINARIO.................................111 1. Caratteristiche del materiale............................................... .........................111 2. Indicazioni di normativa............................................................................. . 113 2.1. Metodo delle tensioni ammissibili............................ ........................ 113 2.2. Verifiche allo stato limite ultimo........................................................114 3. Aderenza acciaio-calcestruzzo......................... ...........................................115 3.1. Tensioni di aderenza............................................................ ..............115 3.2. Lunghezza di ancoraggio .......................................... ........................117 3.3. Giunzioni per sovrapposizione...........................................................120 Indice 7 4. Ricoprimento e distanza tra le barre................................................... ........122 Capitolo 7 FLESSIONE COMPOSTA - GENERALITÀ....................:............................ 123 1. Simbologia e convenzione dei segni.......................................................... 123 2. Sistemi di misura...................................................................................... .. 125 3. La flessione composta nel cemento armato................................................ 126 4. Comportamento elastico lineare............................................. ................... 131 4.1. Calcestruzzo reagente a trazione (1° stadio).................................... . 131 4.2. Calcestruzzo non reagente a trazione (2° stadio).............................. 133 5. Comportamento non lineare (3° stadio)..................................................... 135 6. Diagrammi limite.....................................................................................136 7. Deformazioni, tensioni e caratteristiche della sollecitazione..................... 137 Capitolo 8 ' SFORZO NORMALE............................. ................................ ........................ 141 1. Modello lineare - calcestruzzo resistente a trazione............................... 141 2. Modello lineare - calcestruzzo non resistente a trazione............ ............... 143 2.1. Trazione....................................................................................... .... 143 2.2. Compressione - verifica della sezione....... ...................... ......... .......145 3. Progetto di una sezione compressa e prescrizioni di normativa................ 146 4. Modello non lineare................................................................................... 149 4.1. Trazione............................................................................................. 149 4.2. Compressione - verifica della sezione........ .................... .................. 150 5. Progetto di una sezione compressa e prescrizioni di nòrmativa.................151 6. Pilastri cerchiati.......................................................................................... 154 Capitolo 9 FLESSIONE SEMPLICE..........................................................:..... ............... . 159 1. Modello lineare - calcestruzzo resistente a trazione... ............................... 159 2. Modello lineare - calcestruzzo non resistente a trazione............................ 164 3. Verifica a flessione retta............................... .............................................. 164 3.1. Sezione rettangolare........................... ...................... .............. ..........164 3.2. Sezioni riconducibili" alla rettangolare.....................:............ ;......... 172 3.3. Sezione generica................................................................. .... ......... 174 4. Progetto della sezione.................. :............................. ...................... ^........179 . 4.1. Progetto di sezione rettangolare a semplice armatura................... !...... 179 4.2. Progetto di sezione rettangolare a doppia armatura...........................183 4.3. Valori dei coefficienti r ed f - metodo delle tensioni ammissibili... 186 4.4. Indicazioni progettuali....................................................................... 188 5. Modello non lineare.................................................................................. 191 8 Indice 6. Verifica a flessione retta.............................................................................. 192 6.1. Valori di β e κ per sezione parzializzata........... ................................ 193 6.2. Sezione rettangolare...................................................... .................... 197 6.3. Sezione generica.................................................................................201 7. Progetto della sezione.................................................................................. 204 7.1. Comportamento ultimo e duttilità.................................. ................... 204 7.2. Progetto di sezione rettangolare a semplice armatura........................208 7.3. Progetto di sezione rettangolare a doppia armatura...........................210 7.4. Valori dei coefficienti r ed r' per lo stato limite ultimo......................211 7.5. Indicazioni progettuali................................ ....................................... 212 8. Considerazioni finali....................................................................................216 Capitolo 10 PRESSO E TENSOFLESSIONE...................................................................... 219 1. La presso e tensoflessione in una sezione omogenea................. .................219 2. Modello lineare - calcestruzzo resistente a trazione................... ...... ..........224. 3. Modello lineare - calcestruzzo non resistente a.trazione.............................227 4. Verifica a presso o tensoflessione retta....................................................... 229 4.1. Sezione rettangolare..................................... :............................. .......229 4.2. Sezioni riconducibili alla rettangolare.............................................. . 239 4.3. Sezione circolare................................................... ............,............... 244 4.4. Sezione generica.................................................................................247 5. Domini M-N................................................................................................. 252 5.1. Diagrammi limite e campi di comportamento................................... 252 5.2. Campi di comportamento per modello lineare del materiale.............252 5.3. Costruzione dei domini M-N............................................................... 254 5.4. Domini M-N per sezione rettangolare................................................ 255 5.5. Considerazioni generali e indicazioni progettuali.......................... . 261 5.6. Presso e tensoflessione deviata..................................................... .....264 6. Modello non lineare..................................................................................... 266 7. Verifica a presso o tensoflessione retta.........................................................266 7.1. Valori di β e κ per sezione tutta compressa....................................... 268 7.2. Sezione rettangolare.......................................... .............................. 272 7.3. Sezione circolare........................................................................... .....276 8. Domini M-N........ .........................................................................................280 8.1. Diagrammi limite e campi di comportamento....................................280 8.2. Campi di comportamento per modello non lineare del materiale... 280 8.3. Costruzione dei domini M-N............. ...................................... ..........282 8.4. Domini M-N per sezione rettangolare................................................ 283 8.5. Sezione rettangolare e circolare - formule semplificate.....................287 8.6. Presso e tensoflessione deviata...........................................................305 9. Confronto tra tensioni ammissibili e stato limite ultimo............................. 308 Indice 9 Capitolo 11 TAGLIO............................................................................................................313 1. Il taglio in una sezione omogenea.............................................................. 313 1.1. Sezione rettangolare................................................................ ......... 317 1.2. Sezione circolare................................................................................318 1.3. Sezione triangolare............................................................................ 319 1.4. Sezione a doppio T............................................................................320 2. Modello lineare - calcestruzzo resistente a trazione...................................322 3. Modello lineare - calcestruzzo non resistente a trazione............................323 3.1. Sezione rettangolare................... ........................ ......................... . 324 3.2. Altri tipi di sezione.................................................................. ..........327 3.3. Considerazioni sullo stato tensionale................................................ 329 3.4. Limiti a taglio nel metodo delle tensioni ammissibili....................... 332 4. Modello lineare - armatura a taglio.................... ................ ........................334 4.1. Armatura con sagomati a 45°.................................... ....................... 335 4.2. Armatura con staffe e ferri di parete................................................. 338 4.3. Armatura con staffe............................................................................340 4.4. Un approccio unificato.......................................................................343 4.5. Minimi di armatura nel metodo delle tensioni ammissibili.........:.... 346 5. Meccanismi e modelli di comportamento oltre il limite lineare.......... ..348 6. Modello non lineare - resistenza in assenza di armature............................ 352 6.1. Il modello “a pettine”.........................................................................352 6.2. Altri contributi alla resistenza del dente........................................ . 355 6.3. Prescrizioni della normativa.............................................................. 357 7. Modello non lineare - armatura a taglio..................................................... 360 7.1. Metodo normale................................................................................. 360 7.2. Metodo dell'inclinazione variabile del traliccio.................................365 7.3. Modello dei campi di tensione...........................................................370 7.4. Traslazione del diagramma dei momenti...........................................372 7.5. Considerazioni sull'armatura con staffe e ferri di parete.................. 374 7.6. Minimi di armatura nel metodo degli stati limite............................. 377 8. Confronto tra stato limite ultimo e tensioni ammissibili ...........................378 Capitolo 12 PUNZONAMENTO......................................................................................... 383 1. Taglio e punzonamento...............................................................................383 2. Modello lineare............................................................................. ............. 384 3. Modello non lineare.................................................................................... 386 3.1. Normativa italiana..................................... ........................................ 386 3.2. Normativa europea............................................................................. 387 4. Confronto tra stato limite ultimo e tensioni ammissibili............................ 393 10 Indice Capitolo 13 TORSIONE....................................................... ........... .................................... 395 1. La torsione in una sezione omogenea..........................................................395 2. Torsione per congruenza e torsione per equilibrio...................................... 399 3. Modello lineare - stato tensionale................................................................400 3.1. Determinazione dello stato tensionale............................................... 400 3.2. Limiti tensionali nel metodo delle tensioni ammissibili.................... 401 4. Modello lineare - armatura a torsione..........................................................405 4.1. Armatura a spirale, a 45°.................................................................... 406 4.2. Armatura con staffe e barre longitudinali......................:...... ............ 408 4.3. Minimi di armatura nel metodo delle tensioni ammissibili............... 413 5. Modello non lineare..................................................................................... 415 6. Torsione e taglio..................................................*............................... .......421 6.1. Mo dello lineare.................................................................................. 421 6.2. Modello non lineare........................................................................... 422 Capitolo 14 STATI LIMITE DI ESERCIZIO....................................................................... 425 1. Generalità........ .......................................................................................... .. 425 2. Stato limite di fessurazione..........................................................................426 2.1. Comportamento di un'asta tesa al crescere dei carichi.......................426 2.2. Ampiezza delle fessure, secondo la normativa.................................. 434 2.3,. Controllo della fessurazione senza calcolo diretto.............................. 437 3. Stato limite di deformazione........................................................................440 4. Limitazione delle tensioni in esercizio........................................................ 446 Bibliografia........................................................................................................ 451 Appendice........................................................................................................... 453 E giunti alla fine.............................................. ,................................................. 459 ma diventa sempre più forte il rischio di delegare tutto a loro. ma che fatica aggiornarsi! E che incubo passare da un libro a un altro e trovare ap­ procci e simboli differenti e quasi mai coincidenti con quelli della nor­ mativa! “Fortunatamente” i programmi per computer vengono in nostro soccorso. ma è anche vero che essi sono — e devono restare — solo uno strumento. ma spesso chi scrive un libro scientifico tende. E le novità. E anche vero che i libri sull’argomento spesso appaiono complicati. E i venditori di software fanno bene il loro mestiere e rincarano la dose. ma dal punto di vista operativo continuano a seguire le stesse impostazione del passa­ to e sono addirittura più semplici nelle applicazioni. proponendo impostazioni che ci lasciano disorientati ed imponendo cal­ coli sempre più laboriosi. Nuovi simboli e nuove unità di misura accrer scono la confusione (il taglio ora è V 9 non T. che tanto ci spaventano. è vero che i programmi di calcolo sono uno strumento in­ dispensabile. Certo la sostanza rimane la stessa. sembrano così complicate solo perché non le conosciamo a fondo. pieni di simboli adimensionalizzati rappresentati con lettere greche e di formule lunghis­ sime. In realtà. . tanto da non capire più cosa si sta facendo. cercando di convincerci che senza programmi non si può più fare niente.Premessa Viviamo in un mondo in cui tutto sembra cambiare con rapidità incredi­ bile e la progettazione strutturale subisce anch’essa gli effetti di tale evoluzione. anche inconscia- . Il metodo degli stati limite e le verifiche allo stato limite ultimo presentano alcune differenze concettuali rispetto al metodo delle tensioni ammissibili. Nuove normative sostituiscono quelle a cui siamo abituati. ed il Newton sostituisce il vecchio chilogrammo). ed i fine settimana frenetici. per poi riprendere il discorso una settimana dopo per esporre. Fin dal primo anno ho sentito la necessità di lasciare agli studenti qualche traccia scritta di quello che andavo insegnando... a mostrare quanto è bravo e quanto ha approfondito l’argomento. mi sono reso conto che lo sviluppo logico della dimostrazione avrebbe portato a conclusioni ben diverse da quelle che davo per scontate. di questo testo si accorgerà di quante pagine sulla flessione semplice so­ no state buttate via. sotto forma di schemi sintetici degli argomenti principali. E chi ha avuto per le mani vecchie versióni. di riflessione sulla pressoflessione.12 Premessa mente. che sta per compiere cento anni. quando mi sono réso conto di essere caduto anch’io . con aria umi­ le e pentita. Ricordo ancora il giorno in cui durante Una lezione. che è ancora un giovincello. Sono stati anni intensi. ed ini­ zia ora ad avvenire anche per il metodo degli stati limite. “The show must go on” e in quell'occasione da bravo attore ho portato a termine la lezione sorvolan­ do un po’ (“con semplici passaggi si arriva all’espressione finale. provvisorie. Questo è avvenuto per il me­ todo delle tensioni ammissibili. che mirava soprattutto a evidenziare l’unitarietà dei diversi metodi di verifica (tensioni ammissi­ bili e stato limite ultimo). nel bel mezzo di una dimostrazione sull’armatura a taglio. fino ai minimi dettagli.”). ma alla fine ho scelto una mia impostazione. di grande e a volte anche travagliata maturazione. ho iniziato a tenere il còrso di Tecnica del­ le costruzioni ho passato in rassegna i testi “classici” e quelli più recenti. il frutto di numerose ore di laceranti rifLessioiii ed autocriti­ che. nel marzo 1995. Quando. semplice e concreto. Ricordo i momenti entusiasmanti. che con lo stimolo e l'aiuto di Marco Muratore hanno portato a formule di verifica e progetto di una semplici­ tà sconcertante. fino a dargli la veste che qui si può vedere. Non ho pretese di originalità (tanti colleghi in altre università operano come me e meglio di me) ma song rimasto sod­ disfatto della risposta degli studenti e questo mi conforta nell’idea che la mia sia una delle possibili vie dà seguire per' l'aggiornamento della di­ dattica in questo settore. Il tempo fa da filtro e anni di pratica professio­ nale consentono di accantonare tutto quello che non serve e lasciare il nucleo fondamentale. Pian piano sono andato or­ ganizzando il materiale didattico. Certo. spero. che tanto mi hanno insegnato e mi hanno fatto riflet­ tere con le loro domande. il corso di Tecnica delle costruzioni è frutto anche delle loro idee e del loro impegno. Pier Paolo Rossi. mettendo a disposizione i loro appunti. ben più che all’esito di un esame. Prima di tut­ to. Per concludere. an­ che un po’ divertiti nello studiarla. di aggiungere qualcos’altro lì. per la stima reciproca e l’amicizia che va al di là del rapporto docente-studente. Molti di loro hanno contribuito indi­ rettamente a questo libro. estremamente sintetiche. Edoardo Ma­ rino. che ha in comu­ ne con me una' smisurata passione per la didattica e che su vari argo­ menti costituisce un mio punto. Bruno Biondi. un lavoro come questo non può mai-dirsi pienamente compiu­ to. Li ringrazio per il bel rapporto uma­ no che si è creato tra noi. e finché c’è voglia di migliorare si è veramente vi­ vi. Prima o poi ci rimetterò mano. di tagliare qualcosa qui o. Fabio Neri.Premessa 13 nella trappola della pulizia formale.. di riferimento. vorrei ringraziare tantissime persone. Andrea Garofalo e Michele Privitera. E cito a parte Antonio Perretti. Melina Bosco. ma la stima e l’apprezzamento che ho delle persone sono legati alle loro qualità umane. Ma ricordo e ringra­ zio espressamente Calogero Colina. Li ringrazio per aver colto il mio entusiasmo verso questa materia e per essersi a loro volta appassionati e. Maria Garofalo. ma quasi del tutto incomprensibili per il comune lettore. e mi spiace non poterli citare. Carla Bongiorno. che porta a formule piene di lettere greche che rappresentano quantità adimensionalizzate. tratti dalle mie lezioni ma conditi di giuste riflessioni o stimolanti dubbi. ma è arrivato il momento di conge­ darsi da queste bozze e pensare ad altro. perché finché si è vivi c’è tempo per migliorare. Sono poi grato a tutti coloro che mi hanno dato una mano nel corso: Nino D’Ave ni. non per niente ho affidato . Tanti non hanno contrassegnato col loro nome le pagine che mi hanno messo a disposizione. Sebastiano Costa. Sono pe­ rò contento di questa mia insoddisfazione. Rileggo le pagine che ho scritto e mi verrebbe voglia di modificarle ancora. alla volontà di impegnarsi ed alle capacità complessive. Nessuno di loro ha avuto un voto altissimo in Tecnica delle costruzioni. Anna Lombardo si sono susseguiti nel tempo. i miei studenti.. Claudio Cravotta. Giuliana Mangano. Salvo Pantano. Marco Mu­ ratore. o ri­ leggendo e commentando le pagine di testo che andavo via via scrivendo. In ultimo. Vorrei infine dedicare questo mio lavoro ad Aurelio Giliberti. ed è un peccato che ancora nessuna università abbia voluto utilizzare stabilmente le sue grandi capacità. le discussioni avute con loro sono state spesso determinanti per chia­ rirmi le idee su vari argomenti (anche se non sono ancora riuscito a con­ vincere Bruno con le mie riflessioni sul taglio). il ringraziamento più grande a mia moglie Lia. . fornendomi utili suggerimenti e spunti. in particolare a Bruno Calderoni. anche per la pazienza con la quale sopporta il fatto che io lavori a 900 chilometri da casa e che dedichi tanto tempo al lavoro anche nei fine settimana. la sen­ sibilità strutturale. che si sono sentiti un po’ abbandonati da quando sto a Catania ma mi hanno sempre sostenuto e aiutato nella ricerca scientifica. La sua scomparsa ha lasciato un vuoto nel cuore di tutti coloro che sono stati suoi studenti. Non può-mancare un pensiero affettuoso agli amici deiruniversità di Napoli. la chiarezza didattica e le grandi doti umane che l’hanno contraddistinto hanno plasmato generazioni di inge­ gneri.14 Premessa a lui il compita descrivere un intero capitolo del testo. la concretezza. Zila Rinaldi (ora a Roma) e Pietro Lenza. grande amico prima ancora che grande professio­ nista. che ha discusso a lungo al telefono con me del taglio e si è “divora­ to” le pagine della prima edizione del relativo capitolo. Indipendentemente dai riconoscimenti accademici. Un “grazie” di cuore an­ che a Carlo Majorano. alle costruzioni civili e religiose romane. o. tanto che una costruzio­ ne ben realizzata viene detta “fatta a regola d’arte”.. Queste era­ no basate sull'esame del comportamento delle strutture realizzate e dei problemi da esse presentati.Capitolo 1 INTRODUZIONE 1. Fu infatti nel 1638 che Galileo propose le prime formulazioni téoriche della resistenza a rottura di travi inflesse mentre oltre un secolo dopo. ai templi greci. Il principio di . Nessuna di queste costruzioni è frutto di un “calcolo”. nel 1773. I primi tentativi di tradurre tali regole in formulazioni matematiche risalgono al 17° e 18° secolo. nel senso che diamo noi oggi a tale parola. Alcune opere hanno resistito per migliaia. Le dimensioni degli elementi ed i particolari costruttivi erano infatti dettati da regole empiriche che si erano andate via via definendo nel tempo. Il ricordo di tale modo di procedere permane anche oggi. Coulomb cercò di definire quanti­ tativamente la resistenza a rottura di archi in muratura. DalFarte del costruir e alla Scienza e Tecnica dèlie costruzioni L’uomo ha realizzato costruzioni fin da tempi antichissimi. Si pensi ad esempio alle piramidi di Giza e ai templi di Luxor in Egitto. Si è trattato in un certo senso di una continua sperimenta­ zione dal vero sulle cui basi è stata fondata l’arte del costruire. an^ dando a tempi relativamente più recenti. alle cattedrali gotiche con le loro mirabili forme slanciate. di anni e destano tuttora la nostra ammirai zione. 0gni dissesto dava origine a modifiche che quando mostravano di essere efficaci venivano incorporate nelle regole costruttive. 1852. 1865). Grinter. destinato ad essere uno dei pilastri della Scienza delle costruzioni.16 Capitolo 1 elasticità lineare. Nel 1826 Navier propose un metodo organico per il dimensionamento di strutture. Parallelamente venne affrontato il problema della valutazione delle caratteristiche della sollecitazione nelle strutture iperstatiche. finalizzato alla valutazione della capacità portante ultima della sezione (anni ’40 e ’50). il margine di sicurezza tra carico di rottura e carico di esercizio può essere garantito lavorando in termini di tensioni. fu invece formulato da Hooke nel 1678. Il progredire della tecnologia diede infine impulso alla metodologia matriciale. Suc­ cessivi sviluppi portarono al limit design o calcolo a rottura. 1860. Il 19° secolo vide giungere a piena maturità la teoria dell’elasticità. Mohr. I con­ tributi più rilevatiti in questo secolo furono quelli rivolti alla risoluzione di schemi di travi continue col metodo delle forze (Clapeyron. all’approccio probabilistico. Tresca. Il progresso teorico. che consenti­ vano l’analisi manuale di telai (Cross. brevemente delineato nelle pagine precedenti. 1875. nella prima metà del secolo ebbero ampio sviluppo i metodi iterativi. ciò portò a deno­ minare tale modo di procedere “metodo delle tensióni ammissibili”. Verso la fine del secolo furono infine sviluppati i criteri di resistenza basati sulla crisi puntuale del materiale (Raìikine. e intorno al 1855 De Saint Venant formulò il suo noto principio e fornì la soluzione del problema della relazione tra carat­ teristiche della sollecitazione e stato deformativo e tensionale in travi prismatiche. 1937). All’inizio del 20° secolo vennero redatte le prime normative tecniche (Francia. Italia. Bresse. Per quanto riguarda la risoluzione di schemi iperstàtici. ha portato ad una chiara indicazione del modo coti cui il progettista deve . e al metodo semiprobabilistico (anni ’50 e ’60). che tiene conto della variabilità dei ca­ richi e delle caratteristiche dei materiali. 1882. 1930. 1906. basato sull’ipotesi di comportamento linearmente elastico dei materiali costitutivi. 1907) che seguendo l’impostaziorie di Navier im­ ponevano un’analisi lineare elastica. che sfrutta in maniera ottimale le potenzialità offerte dai calcolatori elet­ tronici (anni ’60 e ’70). Mohr. Grazie alla linearità di comporta­ mento. 1871). Il progressivo aumento delle cono­ scenze ha reso necessario la suddivisione in due filoni. che includono materie quali Calcolo ane­ lastico e a rottura. 1 O. la Scienza delle co­ struzioni. Bologna.Introduzione 17 affrontare lesame di una struttura. Zanichelli. secondo me. ma con modelli estremamente semplificati. Teoria delle strutture e Dinamica (gruppo Scienza) o Costruzioni di ponti. spes­ so le incertezze sono tali da rendere necessario l’uso di più modelli limi­ te. 4 volumi. un compito preliminare è quello del di­ mensionamento degli elementi strutturali. Tecnica delle costruzioni. anche se nelle situazioni più comuni è l’esperienza stessa del progettista. capeg­ giati dalle omonime discipline. Progetto di strutture e Ingegneria sismica (gruppo Tecnica). Il primo problema è quello della de­ finizione di un modello per lo schema geometrico. per l’appunto Scienza e Tecnica delle costruzioni. per individuare una fascia entro cui sia compreso il reale comporta­ mento della struttura. In tempi ormai lontani tutte le problematiche e le conoscenze teori­ che citate erano racchiuse in un’unica disciplina. L’oggetto reale è sempre abbastanza complesso e nel tradurlo in modello matematico è inevitabile fare una serie di semplificazioni. Scienza delle costruzioni. eventualmente tradotta in formule semplici e di uso immediato. un valido riferimento per numerosissimi problemi di Scienza e. Nel caso di co­ struzioni ancora da realizzare. Con tale nome è intitolata l’opera di Belluzzi1. per il materiale e per i carichi. questo viene spesso fatto me­ diante un calcolo che segue le linee generali innanzi indicate. cioè alla‘determinazione di de­ formazioni e tensioni (o di spostamenti e caratteristiche di sollecitazio­ ni). questa fase viene usualmente denominata analisi strutturale anche se questo termine è a volte utilizzato con una accezione più ampia. a suggerire le dimensioni da adottare. Belluzzi. Infi­ ne occorre effettuare una verifica per controllare che la struttura sia in grado di sopportare le azioni che la solleciteranno durante la sua vita. Le tre fasi qui indicate sono riferite allo studio di una struttura esisten­ te o comunque già idealmente definita dal progettista. che nonostante gli anni trascorsi (la sua prima edizione risale al 1941) costituisce tuttora. che costituiscono nell’attuale ordi­ namento universitario italiano due raggruppamenti disciplinari. . Una volta definito lo schema geometrico e di cari­ co occorre passare alla sua risoluzione. più legate alla realtà concreta. edifìcio. Nel corso di Tecnica vengono inoltre presentati i primi approcci al pas­ saggio da oggetti reali a schemi di calcolo. analizza procedimenti numerici specifici per la risoluzione di schemi strutturali più comuni (travi continue. perché questo argomento può far parte anche del corso di Teoria delle strutture. telai a maglie rettangolari) per passare poi all'impostazione generalizzata dell’analisi matriciale (ma in questo caso la distinzione tra Scienza e Tecni­ ca delle costruzioni diventa meno netta. di De Saint Venant. metodo degli spostaménti) e fornisce strumenti essenziali quali il principio dei lavori virtuali e i teoremi di deformazione per sistemi ela­ stici. Scienza e Tecnica delle costru­ zioni si presentano nel segno di una unitarietà che non sempre consente una netta distinzione tra l’una e l’altra. La Tecnica delle costruzioni passa ad applicazioni “tecniche”. nonché tutti i dettagli costruttivi necessari per una corretta ese­ cuzione dell’opera. teorici e tecnici. Ad esempio affronta il problema della non omogeneità del materiale (tipico del cemento armato) e dell'influenza di legami costitutivi ϭ-ε del materiale non linearmente elastici. spostamen­ ti.) e studiano quali modelli. af­ fronta lo studio di base dei sistemi isostatici (reazioni vincolari. 2. ecc. per materiale omogeneo. Più precisamente. utilizzare per de­ terminare le caratteristiche di sollecitazione e verificare o progettare le sezioni. linearmente elastico e sviluppa le relazioni tra caratteristiche della sollecitazione. Per quanto riguarda l’analisi strutturale. occorre definire uno schema . I corsi successivi del gruppo Tecnica partono invece espressamente dall’esame di oggetti reali (ponte.18 Capitolo 1 Proprio per la loro origine comune. dia­ grammi delle caratteristiche di sollecitazione) e iperstatici (metodo delle forze. Nell’ambito dell’analisi strutturale. Essa ad esempio affronta in maniera esaustiva la teoria della trave. Si può dire in linea di massima che la Scienza delle costruzioni fornisce le basi teoriche generali. Definizione del modello di calcolo La definizione del modello di calcolo è il primo passo necessario per ana­ lizzare una struttura. isotropo. del gruppo Scienza). deformazioni e tensioni. non bisogna invece dimenticare che anche il programma di calcolo più avanzato fornisce solo una vaga immagine della realtà* perché quest’ultima è sempre molto più complessa di qualsiasi modello. tanto più il modello è complicato tanto maggiore sarà. ma anche un legame costitutivo per il materiale nonché il tipo di analisi da svolgere. è im­ portante usare modelli. anche grossolani. Contemporaneamente. ma diffìcilmente si andava oltre lo schema di telaio piano. il computer non commette errori di calcolo ma chi lo utilizza può sbagliare a fornirgli i dati. io sono convinto che occorra usare in ogni situazione il modello più semplice (tra quelli validi per il caso in esame) e soprattutto usare solo modelli di cui si capisca bene il significato. la quantità di informazioni da fornire e corrispondentemente crescerà la "possibilità di un errore. Innanzitutto. In secondo luogo. in genere. . Con l'avvento dei calcolatori elettronici è diventato facile utilizzare modelli anche notevolmente complessi. Non dobbiamo però tra­ scurare alcuni rischi connessi a questa evoluzione. il pro­ blema della modellazione è diventato molto più rilevante proprio perché molto più numerose di prima sono le possibilità a disposizione. la disponibilità di modelli sofisticati può generare la falsa convin­ zione di poter conoscere veramente il comportamento delle strutture.Introduzione 19 geometrico ed un modello per i carichi. come singole a ste soggette a sforzo assiale i secondi). In presenza di azioni orizzontali si rendeva necessario ricorrere a modelli più complessi. che forniscano immediata­ mente l’ordine di grandezza delle sollecitazioni. la scelta è ora più delicata ed il rischio di adottare un modello non appropriato è maggiore. in modo da poter con­ trollare i risultati forniti dai modelli più “esatti”. che ci forniscono indicazioni più dettagliate sul comportamento delle strutture. il progettista era ben con­ sapevole dei limiti del modello utilizzato e cercava di compensarne la grossolanità abbondando nelle sezioni e nelle armature. In­ fine. le travi ed i pila­ stri di un edifìcio soggetto a soli carichi verticali venivano analizzati se­ paratamente (con lo schema di trave continua le prime. Ovviamente. Nel passato le potenzialità di calcolo erano molto limitate ed era ne­ cessario adottare modelli molto semplici. che tenessero conto delle interazioni tra i diversi elementi. Qual è allora il modo più giusto di operare? A costo di sembrare ba­ nale. Ad esempio. In generale. Si parla in questo caso di carichi statici. Il tipo di analisi effettuato in assenza di complicazioni di tipo mec­ canico o geometrico è denominato analisi lineare. In caso contrario si deve effettuare un’analisi che tenga con­ to delle non linearità meccaniche. dai simboli utilizzati per la forza assiale e lo spostamento or­ togonale all'asse nelle prime trattazioni. occorre esaminare in che modo il comportamento della struttura è influenzato dalla legge costitutiva dei materiali di cui sonò costituiti gli elementi che la compongono. Affinché la relazione tra azioni e d:eformazioni sia effettivamente li­ neare è anche necessario che siano trascurabili gli effetti del secondo ordine.. Un legame elastico linea­ re consente di ipotizzare una analoga relazione lineare tra azioni e de­ formazioni. Un aspetto molto im­ portante è: che in essa valgono il principio di sovrapposizione degli effetti e di unicità della soluzione. ovvero che lo spostamento del punto di applicazione dei carichi non influenzi sostanzialmente l'equilibrio. In secondo luogo. oc­ corre effettuare un'analisi che tenga conto delle non linearità geometri­ che. Si par­ la in tal caso di carichi dinamici ed una analisi che tenga espressamen­ te conto della rapida variazione delle azioni nel tempo è detta analisi dinamica. o del moto del terreno durante un sisma. Ciò comporta vantaggi operativi tali da ren­ dere questo approccio estremamente conveniente. Altri termini usati per far riferimento a questo problema sono: ef­ fètto P-8. come antenne e tralicci.20 Capitolo 1 3. Quando ciò non avviene. una volta supe­ rata la fase transitoria di costruzione una parte dei carichi (ad esempio il peso proprio degli elementi strutturali) si può considerare permanen­ te. perché un caso molto comune è l'incremento di sol­ lecitazioni flessionali nei pilastri a causa dello sbandamento orizzontale dei traversi su cui sono applicati carichi verticali (fig. Analisi strutturale Un primo aspetto da chiarire nel parlare' di analisi strutturale è se e eome il comportamento della struttura-è influenzato dal modo in cui le azioni che la cimentano variano nel tempo. oppure effetto instabilizzante dei carichi verticali. 1). Si finisce così col ri- . un'altra parte invece (i cosiddetti sovraccarichi) varia nel tempo. ma in maniera abbastanza lenta. Ben diverso è l'effetto delle raffiche di vento su elementi deformabili. che mira a valutare la resistenza ultima della struttura si usa convenzionalmente un'analisi lineare per determinare le caratteri­ stiche della sollecitazione indòtte dai carichi e si tiene conto della reale non linearità della legge costitutiva del materiale solo nella fase finale di verifica delle sezioni. all'ulteriore crescere di χ la ten­ sione nell’ala rimane costante ed il momento cresce di poco. che corrisponde alla curvatura Xy per la quale si raggiunge lo snervamento nel bordo dalla sezione. all’ulteriore crescere del carico il concio di trave si potrà deformare con rotazione relativa tra Le sue facce senza in­ cremento di momento.8 o effetto instabilizzante dei carichi verticali correre ad esso anche in situazioni in cui non sarebbe rigorosamente applicabile. come se fosse presente una cerniera. di cui si tratterà più avanti. nel metodo degli stati limite. per una sezio­ ne a doppio T in acciaio (fig. per il con­ tributo della sola anima.Introduzione 21 Fig. Ad esempio.. Si può allo­ ra suddividere l’analisi di una generica struttura in più fasi lineari. 2) il momento cresce linearmente con χ fino al valore My. cioè ipotizzando un tratto elastico ed uno perfettamente plastico. Si può così immaginare che. Solo col raggiungimento della curvatura χh per la quale inizia rincrudimento dell'acciaio nelle fibre di bordo il momento riprende a crescere in maniera significativa. Ini­ zialmente si risolve lo schema di struttura integra e si valuta il carico . 1 .effetto P. L’andamento del diagramma momento-curvatura si presta ad esse­ re schematizzato con una bilatera. Ad esempio. una volta rag­ giunto il momento massimo. Per tenere conto delle non linearità meccaniche occorre innanzitutto definire il legame costitutivo ϭ-ε del materiale e le conseguenti relazioni tra momento M e curvatura χ per la sezione. La figura 3 mostra un semplice esempio di analisi elastico-perfette­ mente plastica. Il termine comune­ mente utilizzato per indicare questo modello di comportamento della se­ zione è cerniera plastica. . che contiene una cerniera nella se­ zione plasticizzata e si valuta con esso rincremento di sollecitazione in­ dotto da un incremento di carico. valori minori del momento negativo all’appoggio centrale e valori mag­ giori del momento positivo in campata.diagramma momento-curvatura per una sezione a doppio T in acciaio per il quale si raggiunge il momento limite nella sezione più sollecitata. rispetto all’analisi lineare. Nelle diverse fasi occorre però controllare che la rotazione di ciascuna cerniera continui a crescere nello stesso verso. una volta iperstatica. 2 . Nella prima fase il momento massimo si ha in corrispondenza dell’ap­ poggio centrale. .22 Capitolo 1 Fig. Complessivamente si hanno. Lo schema è quello di trave continua a due campate di luce uguale. Poi si considera uno schema variato. lo scarico del materiale sarebbe elastico e la sezione si comporterebbe in maniera monolitica. per differenziarlo dalla cerniera reale che con­ sente rotazioni relative in entrambi i versi. l’incremento di carico agisce su uno schema nel quale le due campate non sono più continue (nel senso che la rotazione degli estremi di trave a sinistra e a destra dell'appoggio centrale non sono più uguali) e produce quindi solo mo­ mento positivo. Quando tale valore è raggiunto. infatti. in caso di inversione. sommando i valori del momento a quelli ottenuti nella prima fase. Un'analisi siffatta è deno­ minata analisi elastico-verfettamente plastica. Si continua quindi a variare lo schema finché la struttura diventa labile oppure si raggiunge in corrispondenza di una cerniera un valore di rotazione relativa tanto elevato da portare alla sua rottura completa. con carico uniformemente distribuito. analisi lineare e non lineare di una trave continua Dai risultati ora mostrati si possono trarre indicazioni utilizzabili anche senza svolgere effettivamente un’analisi elasto-plastica. . Spesso. Mi sembra interessante mettere in evidenza come il concetto di sicurezza sia variato negli anni. Verifica delle sezioni La verifica delle sezioni è l’ultimo passo per esprimere un giudizio sulla sicurezza della struttura. 4. il comportamento della sezione è molto lontano da quello che porta al modello di cerniere plastiche. Un’analisi non lineare più sofisticata potrebbe essere svolta suddividendo ogni asta in conci molto piccoli ed utilizzando la reale legge momento-curvatura per determinare la relazione complessiva tra carichi. specie per strutture in cemento armato. L’onere numerico di tale impostazione la rende però. Quando i risultati di un’analisi elastica mostrano in una sezione Valori del mo­ mento flettente un po’ più alti del dovuto. inadatta ad applicazioni professionali. 3 . caratteristiche del­ la sollecitazione e deformazioni.Introduzione 23 Fig. almeno per ora. purché vi sia una sufficiente riserva di resistenza in quelle sezioni nelle quali il momento aumente­ rebbe e a condizione che la sezione abbia sufficiente capacità deformativa plastica (duttilità). Questo mòdo di procedere è sempre stato seguito dagli ingegneri esperti ed è ora codificato nella normativa europea che lo denomina analisi elastica con ridistribuzione e ne definisce i limiti di applicabilità. L'analisi elastico-perfettamente plastica è solo una dei possibili mo­ di per tenere conto delle non linearità meccaniche. è possibile accettarli comun­ que invocando il comportamento plastico. tenendo nel dovuto conto la sua vita presupposta e il suo costo.con adeguati livelli di accettabilità sia in grado di sopportare tutte le azioni o influenze. legati a fatti quotidiani (rimanere adatta all’uso) ed eccezionali (sopportare tutte le azioni). in una visione deterministica di relazione: causa-effetto. . mentre nel secondo si evidenzia una duplicità di pro­ blemi. Nella prima si parla di condizioni da soddisfare per sopportare le forze. .con accettabile probabilità rimanga adatta alVuso per il quale è previ­ sta. ade­ guati livelli di accettabilità). il principio che “Una struttura deve essere progettata e costruita in modo che: . Nella seconda si passa invece ad un approccio probabilistico (accettabile probabilità. durante la sua realizza­ zione e il suo esercizio.24 Capitolo 1 Il Belluzzi nella prima pagina del suo testo afferma che “La Scienza delle costruzioni studia gli effetti prodotti dalle forze che sollecitano una costruzione e determina le condizioni cui devono soddisfare le diverse parti di questa affinché possano sopportare tali forze ” Cinquantanni dopo. Inoltre nel primo caso ci si preoccupatolo. cui possa essere sottoposta. che ha portato al cosiddetto “metodo probabilistico degli stati limite”. cui si è già accennato nel primo paragrafo e che sarà oggetto del prossimo capitolo. Queste differenze rispecchiano l'evoluzione di pensiero. la normativa europea (Eurocodice 2. e abbia adeguata durabilità in relazione ai co­ sti di manutenzione” Si può notare una differenza fondamentale tra le due impostazioni. punto 2:1) fissa. della resistenza. come requisito fondamentale della progettazione. prendendo come esempio l’acciaio che è utilizzato sia da solo. che insieme al calcestruzzo nelle costruzioni in cemento armato. La fi­ gura 1 mostra un tipico legame costitutivo cr-s ottenuto sottoponendo una barra metallica ad una prova di trazione. Soffermiamoci sul materiale.Capitolo 2 METODI DI VERIFICA 1. 1 .diagramma sperimentale tensioni-deformazioni per l'acciaio . per un’ampia gamma di costruzioni metalliche. per effettuare una analisi quantitativa di una struttura reale al fine di garantirne la sicurezza. è necessario definire un modello per la struttura. Fig. per il materiale e per i carichi. Modello del materiale Nel capitolo precedente si è evidenziato che. . Queste ultime possono essere tenute in conto usando alcuni concetti base della teoria della probabilità. Richiami di teoria delle probabilità Si definisce variabile aleatoria. da un tratto orizzontale in cui Taccialo snervato si deforma sotto tensione costante. 2a). Come esempio di variabile aleatoria si può cita­ re. o di rottura. valutata convenzionalmente come rapporto tra forza applicata e sezione nominale. da un tratto di nuovo cre­ scente ma con pendenza variabile (incrudimento. appare quindi de­ crescente. in­ tendendo con ciò valori non definibili a priori. cioè una forte ridu­ zione della sezione traversale (la tensione. nonostante l’accuratezza della produzione industriale* anche per barre ottenute dalla. Ciò avviene. il valore fy della tensione di snervamento fornito da una prova a trazione di una barra di acciaio. in inglese hardening) fino alla tensione massima.26 Capitolo 2 Come è ben noto. 2b).. Dato un insieme di n valori casuali Xi . una variabile che rappresenta il risultato di un esperimento che può fornire valori “casuali”. fu (in inglese ultimate strength). mentre con distribuzione di frequenza si in­ tende l'istogramma che rappresenta i valori della frequenza nelle diverse classi (fig. perché costituito da un primo tratto elastico lineare che cresce con pen­ denza Es (modulo elastico dell'acciaio) fino alla tensione di snervamento fy (in inglese yield strength). nel nostro ambito tecnico. Si indica col termine frequenza il numero di valori che ricadono in una classe. Oltre tale valore si ha il fenomeno della strizione. Il generico valore assunto da es­ sa sarà indicato col simbolo Xi. stessa colata di acciaio. il legame costitutivo è chiaramente non lineare. Xn è possibile suddividerli in un numero finito di intervalli (classi). L’area sottesa da un tratto di curva. Nel definire un modello per il materiale occorre quindi tener conto in qual­ che modo sia della non linearità del legame costitutivo che delle incer­ tezze sui valori della resistenza. compreso tra i valori Xa e Xb. che qui si richiamano. qui indicata col simbolo X. rappresenta la probabilità di otte- . Occorre notare che effettuando una prova di trazione su più barre di acciaio i diagrammi ottenuti differiscono non' nella pen­ denza del tratto elastico E$ ma nei valori della tensione di snervamento fy e di rottura fu. ma se si facesse riferimento alla sezione reale risulterebbe ancora crescente). Quando si aumenta l'ampiezza del campione (cioè il numero di valori) e si riduce l’ampiezza delle classi l’istogramma tende ad una curva continua che viene detta funzione di densità di probabilità (fig. il frattile 5% è il valore al di sotto del quale ricade solo il 5% dei valori aleatori. è la distri­ buzione normale Gaussiana.tensione di snervamento fornito da una prova a trazione di una barra di acciaio nere un valore compreso in tale intervallo. perché in questo caso l’intervallo comprende tutti i campioni (1 indica il 100% dei campioni). 2 . la cui funzione di densità di probabilità ha un ca- . L’intera curva sottende un’area uni­ taria. Una distribuzione statistica molto utilizzata. definiti rispettivamente da Si definisce inoltre come frattile il valore al di sotto del quale ricade una asse­ gnata percentuale dei valori aleatori. Ad esempio. e lo scarto quadratico medio ϭ. mentre frattile 95% è quello al di sotto del quale ricade il 95% dei valori.Metodi di verifica 27 Fig-. sia perché ad essa sono ri­ conducibili molti fenomeni aleatori che per le proprietà di cui gode. Due parametri molto importanti per esaminare un insieme di valori casua­ li sono il valore medio jj. quella di rottura per il calcestruzzo). Si ha ad esempio frattile 5% = μ . appaiono definiti in maniera apparentemente indiscutibile. indipendentemente dal metodo di. Questi carichi devono quindi essere necessariamente analizzati in maniera probabilistica. Modello dei carichi Passando ai carichi.64 ϭ frattile 95% = μ + 1. una volta stabilita la sezione di un solaio in cemento armato (altezza delle pignatte. perché in troppi casi la resistenza reale sarebbe minore di quella utilizzata. invece. spessore della soletta. quella di snervamento per 1'acciaio. Ad esempio. verifica. 2. Di conseguenza si è deciso di far riferimento ad un va­ lore che sia garantito con buona probabilità e si è scelto quindi il frattile 5% (così solo nel 5% dei casi si avrà una resistenza inferiore). ad esempio il carico portato da un solaio (persone ed ogget­ ti).. si può notare che alcuni di essi sono intrinsecamen­ te variabili. un qualsiasi frattile può essere calcolato a partire da ϭ e μ. Tale valore è denominato valore caratteristico ed è contraddistinto. Ma quello che noi valutiamo è solo il peso di quello che noi pensiamo debba essere il solaio. con precisione. Questo tipo di distribuzione è definita in ma­ niera completa se si conoscono ϭ e μ ed ha come equazione Per tale distribuzione.1.) il re­ lativo peso può essere determinato immediatamente. Chi ci garantisce che nel realizzarlo la soletta sarà esat- .64 ϭ Appare evidente che per tener conto delle incertezze sui valori della re­ sistenza si debba utilizzare nelle analisi numeriche il valore corrispon­ dente ad un opportuno frattile. Spesso parliamo di “carico massimo”.28 Capitato 2 ratteristico aspetto a campana.con il pedice k. ma questa dizione è sicura­ mente impropria perché qualunque valore scegliamo c'è sempre una sia pur piccola possibilità che esso venga superato. Prendere il valore medio non sarebbe adeguato. Altri carichi. ecc. Pertanto. si utilizza come riferimento fondamentale per la resistenza del materiale il valore carat­ teristico della tensione (in genere. promulgate a inizio secolo. che di solito vengono denominati “nominali” possono variare con una certa aleatorietà (benché con scarti minori rispetto ai carichi variabili). In particolare. Metodo delle tensioni ammissibili Il metodo delle tensioni ammissibili ha avuto un’importanza fondamen­ tale per tutto il 20° secolo. comporta un rischio di danni o collasso strutturale non accettabile. occorre sce­ glierne uno che abbia bassa probabilità di essere superato. si mostrerà còme valutare quantitativamente la probabilità di collasso. Esso è infatti nato con le prime normative tecniche. ma come e a chi applicarlo può essere oggetto di discussione ed è. si capisce come non sia possibile utilizzare direttamente tali valori nei calcoli. Per ora conviene accettare questa affermazione basandosi semplicemente sull'intuizione. allora. perché non sufficientemen­ te basso. nelle analisi dobbiamo utilizzare un valore dei ca­ richi corrispondente ad un opportuno frattile. Solo le normative più recenti sottolineano ciò usando il pedice k per contraddistinguere tali valori. si usa quindi il frattile 95% — e lo si denomina valore caratteristico. nel paragrafo dedicato alle analisi probabilistiche. Sicurezza strutturale Una volta chiarito il significato dei valori usati come riferimento per re­ sistenze e carichi. più avanti.Metodi di verifica 29 tamente di 4 cm. rispetto ai valori usati. 3. 4. in sostanza^ alla base delle differenze tra i diversi metodi di verifica. sono da intendersi come valori caratteristici sia il va­ lore dei carichi variabili prescritti dalla normativa che i valori nominali dei pesi propri degli elementi strutturali. Anche se non espres­ samente indicato. Nonostante tanta gloria. una adeguata sicurezza strutturale? Il modo più ovvio consiste nell’applicare un coefficiente di sicurezza. il metodo . come abbiamo previsto? Anche valori di questo genere. ed è ancora oggi utilizzato dalla quasi totalità degli ingegneri italiani. Di conseguenza. Come ottenere. in modo da avere una conferma numerica di quanto ora sostenuto. La possibilità di avere una resistenza mino­ re o un carico maggióre. soprattutto per la fatica che comporta il rimettersi a studiare ed il doversi abituare a un nuovo modo di procedere. sono state e sono ancora molto forti. Per quanto riguarda l'uso dei coefficienti di sicurezza. Le resistenze da parte di chi non vuole cambiare. non fornisce indi­ cazioni aggiornate ma si limita a rinviare a un-decreto precedente. Ciò è testimo­ niato anche dal dibattito suscitato dalla nuova norma sismica italiana. il fiorire di corsi di aggiornamento per laureati che chiariscono le nuove impostazioni nor­ mative rende facile prevedere che tra pochi anni chi non si sarà adegua­ to resterà inesorabilmente tagliato fuori dal mercato. non lo prendono proprio in considerazione ed anche il de­ creto ministeriale del 1996. In particolare. la tensione ammissibile ϭS dell’acciaio è pari a circa i due terzi della sua tensione di snervamento caratteristica fyk mentre la ten­ sione ammissibile ac del calcestruzzo è circa un terzo della sua resi­ stenza cubica caratteristica RCk (fig. emanata come ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri (quindi senza seguire il consueto iter burocratico). pur consentendone l’uso. Gli Eurocodici. norme tecni­ che europee».tensioni ammissibili per acciaio e calcestruzzo . il metodo del­ le tensioni ammissibili si basa sull’idea di controllare che in nessun punto lo stato tensionale superi un valore limite. detto appunto “tensio­ ne ammissibile”.30 Capitolo 2 sembra però avviato ad un rapido declino. 3 . Fig. nettamente inferiore a quello di rottura. I valori am­ missibili delle tensioni sono pari al valore di rottura diviso per un op­ portuno coefficiente di sicurezza. 3). che dipende dal materiale stesso. Nonostante alcuni sperino ancora che tale divieto sia revocato. che esclude del tutto la possibilità di usare il metodo delle tensioni ammissibili. Si pensi ad esempio a sezioni in acciaio. in particolare. Ciò consente di effettuare un’analisi lineare e rende applicabile tutti i principi studiati nel corso di Scienza delle costruzioni. che fornisce agevolmente lo stato tensionale corrispondente alle caratteristiche della sollecitazione ottenute dal cal­ colo. la differenza è dovuta al contributo dell’ano ma. Per una sezione a doppio T soggetta a flessione sem­ plice il momento ultimo Mu è maggiore di circa il 15% rispetto al mo­ mento My corrispondente al raggiungimento della tensione di snerva­ mento nelle fibre estreme. Occorre infine osservare che. A riprova di ciò. nella quale lo stato tensionale può ulteriormente crescere dopo che l’ala si è snervata. si può ritenere che l’ipotesi di linearità del legame costitutivo sia verosimile nel valutare lo stato tensionale indotto dai carichi di esercizio. il metodo delle tensioni ammissibili è si­ curamente affidabile. anche se il metodo delle tensioni am­ missibili tende ormai ad essere considerato come “sorpassato”. materiale per il quale la linearità della legge ϭ-ε si mantiene fino allo snervamento. inoltre i progettisti esperti adotta­ no semplici regole di ‘"buona progettazione” che aiutano a superare i li­ miti del metodo e ad evitare grossi errori. il comporta­ mento delle strutture ben progettate si è sempre rivelato soddisfacente. al quale segue un ampio tratto plastico con deformazioni à tensione costante. Il rapporto tra carico di collasso e carico di esercizio può quin­ di essere molto diverso^ in dipendenza dalla forma della sezione. a condizione che il' materiale sia omogeneo.Metodi di verifica 31 Un’immediata conseguenza di questa scelta è la possibilità di ipo­ tizzare che il legame costitutivo ϭ-ε del materiale sia linearmente elasti­ co. Il metodo non fornisce però informazioni sufficienti sul margine di sicurezza rispetto al collas­ so. l’ipotesi . Data l’entità dei coefficienti di sicurezza assunti. perché al crescere del carico la non linearità del materiale diventa rilevante. e. Se la sezione fosse rettangolare (piena) questo contri­ buto sarebbe più rilevante ed il momento ultimo Mu sarebbe maggiore del 50% rispetto a My. nel caso molto frequente di strutture costituite da aste monodimensionali è possibile utilizzare la teoria di De Saint Venant. I valori ammissibili delle tensioni sono stati defi­ niti usando coefficienti ben calibrati. dal materiale che la costituisce. Nonostante questi limiti. che possono invece presentare problemi di diverso genere. Inoltre esso trascura del tutto le condizioni di esercizio. In particolare. un ottimo punto di partenza per affrontare il problema della verifica delle sezioni. che costituiscono un aspetto non trascurabile del metodo degli stati limite. Nella sua impostazione più generale esso consiste nella determinazione del mec­ canismo di collasso dell'intera strutturale del carico che porta ad esso. si utilizza un'analisi strutturale lineare e si controlla che in ogni sezione le sollecitazioni in­ dotte da carichi maggiorati mediante un coefficiente di sicurezza siano minori del valore di collasso della sezione stessa. più semplicemente. a partire dalla conoscenza dei valori delle caratteristiche di sollecitazione che inducono la plasticizzazione e la rottura di ciascuna sezione. Inoltre questa metodologia deve essere applicata in tutte le veri­ fiche relative agli stati limite di-esercizio. Data la linearità dell'analisi. con l'obiettivo di valutare la resistenza ultima delle strutture. cioè nell'applicare il coeffi­ ciente di sicurezza ai carichi. ma non è esso stesso esente da problemi. dal punto di vista didattico. che offrono invece garanzie ben diverse. Il calcolo a rottura riesce ad ovviare ad alcune critiche rivolte al me­ todo delle tensioni ammissibili. ciò equivale a confrontare le caratteristiche di sollecitazione indotte dai carichi di esercizio con valori pari a quelli di rottura divisi per il coefficiente di sicurezza. La verifica di sicurezza consiste quindi nel controllare che il carico agente sulla struttura sia adeguatamente più basso rispetto al carico di collasso. È invece interessante notare come que­ sto approccio sia invece lo standard nella verifica geotecnica delle fonda- . 5. Calcolo a rottura Il calcolo a rottura è stato sviluppato intorno alla metà del XX secolo. nel caso di strutture in cemento armato si impone lo stesso margine di sicurezza ad acciaio e calcestruzzo. In alcune applicazioni. La normativa italiana non ha mai pienamente recepito questo me­ todo per la verifica strutturale. Queste sono ovviamente determinate tenendo conto della non linearità del le­ game costitutivo a-e del materiale.32 Capitolo 2 di elasticità lineare rimane comunque. 6. Per far ciò occorre innanzitutto conoscere la funzione di densità di probabili­ tà dei carichi e della resistenza dei materiali. Si consideri uno schema isostatico. sviluppato anch’esso intorno alla metà del XX secolo. nella quale il momento flettente è massimo.schema considerato nelTesempio . e si faccia riferimento solo alla sezione di incastro. Immaginiamo che la distribuzione probabilistica della forza F sia gaussiana. si determina il carico limite del plinto o del palo (cioè il carico che porterebbe a collasso il terreno) e si considera accetta­ bile un carico pari ad una opportuna frazione di tale valore. 4 . Fig. Per esse. Si deve quindi determina­ re la relazione tra queste funzioni è la probabilità di collasso. per semplici­ tà trascuriamo questa eventualità. con un valore medio di 25 kN ed uno scarto quadratico medio di 10. Se il metodo di analisi strutturale è lineare questo viene fatto separatamente per ciascuna sezione. tenendo conto della non linearità del legame costitutivo ϭ-ε del materiale. Questo modo di procedere può essere chiarito con un semplice esem­ pio. se è non lineare occorre farlo globalmente per l'intera struttura. una mensola con una forza all’estremo (fig. 4). La densità di probabilità ipotizzata per il carico F è mostrata nella figura j5a.98 kN. infatti.Metodi di verifica 33 zioni. meno sollecitata ma più debole. mira a valutare la probabilità di collasso ed a controllare che es­ sa sia inferiore ad un valore (molto piccolo) considerato accettabile. Approccio probabilistico L’approccio probabilistico. Il valore caratteristico è in tal caso Fk = 43 kN. In realtà questo non è del tutto corretto perché per la casualità della resistenza la rottura potrebbe av­ venire in un’altra sezione. 65 kNm.densità di probabilità di carico e momento sollecitante La densità di probabilità p(Ms) del momento die sollecita la sezione di incastro Ms (fig.0 kNm ed è espressa da Ipotizziamo che Tasta sia un profilato IPE 240 in acciaio Fe360. poiché il momento è ottenuto moltiplicando la forza per la lunghezza della men­ sola (l = 2.densità di probabilità di resistenza e momento resistente . che si suppone assegnata in maniera deterministica). lo scarto quadratico medio 21. che si suppone assegnato in maniera deterministica). scarto quadratico medio 9.96 kNm.34 Capitolo 2 Fig. 6 .6 cm3. Il suo valore medio è quindi 50 kNm.2 kNm.00 m.15 MPa. Il suo valore medio è quindi 91. Facciamo riferimento alla tensione di snervamento. Il momento resistente può essere ricavato moltiplicando la tensione di snervamento per il modulo di resistenza plastico (Wpl = 366. 5b) può essere ricavata immediatamente. 6a). con valor medio 250 MPa. che si suppone ab­ bia anch’essa una distribuzione gaussiana. il valore carat­ teristico è Mnk — 86.35 kNm. La funzione densità di probabilità p(Mr) del momento resistente è mostrata nella figura 6b ed è espressa da Fig. lo scarto quadratico medio 3. il valore caratteristico è Msk — 86. valore caratteristico 235 MPa (fig. 5 . che si può ottenere come integrale di p(Mr) esteso da -oo a Mi. Per questi motivi esso viene utilizzato solo in ambito di ricerca. lo stesso ri­ sultato può essere ottenuto più direttamente. si ha con ciò una conferma della necessità di adottare un coefficiente di sicurezza. pur basso. Esistono soluzioni analitiche del problema solo per casi semplici. Tale valore. cioè dall’integrale doppio Nell’esempio proposto. . Analoga­ mente la probabilità che Mr sia minore di Mi è fornita dall’area sottesa dalla parte della curva densità di probabilità di Mr posta a sinistra di Mi.Metodi di verifica 35 Occorre ora confrontare il momento sollecitante col momento di rot­ tura. effettuando il calcolo si ottiene una probabi­ lità di collasso appena superiore al 3%. o più precisamente che sia contenuto in un intervallo di ampiezza dM centrato su Mi. Se le espressioni analitiche delle funzioni densità di probabilità del momento sollecitante e del momento resistente sono note. La possibilità che entrambe le condizioni si verifichino è data dal prodotto i delle due aree e la probabilità di avere Mr < Ms è fornita dall’integrale del prodotto delle due aree. è sicura­ mente inaccettabile. Ripetendo questa operazione un numero estremamente grande di volte e conteggiando in quanti casi la sollecitazione supera la resistenza si avrebbe una indicazione della probabilità di collasso. Un approccio possibile sarebbe quello di prendere a caso un valore del carico ed uno della resistenza (conformemente alla densità di proba­ bilità) e vedere se la sezione riesce a sopportare le sollecitazioni indotte dal carico. cioè all’area tratteggiata in figura 7. Poiché i dati erano stati scelti in modo da avere un valore Msk leggermente inferiore a Mrk . Con riferimento a un ge­ nerico valore Mi del momento. in particolare in ambito lineare. mentre la soluzione numerica è sempre possibile ma estremamente onerosa. L’approccio probabilistico è comunque un po’ troppo complesso per un uso comune. la probabilità che Ms sia uguale a Mi. è pari al valore della funzione densità di probabilità in Mi moltiplicata per dM. Ciò può essere fatto confrontando il momento sollecitante dovuto a un carico corrispondente ad un opportuno frattile. con il momento resistente garantito da una tensione di snervamento corrispondente ad un frattile . 7 . che essa sarà tanto più bassa quanto più “disgiunte” saranno le due funzioni di densità di probabilità. maggiore del 95%.Capitolo 2 Fig.densità di probabilità di momento sollecitante e momento resistente e valutazione della probabilità di collasso 7. sem­ plice ed intuitiva. Approccio semiprobabilistico Il fatto che la probabilità di collasso sia calcolabile come integrale del prodotto della due aree innanzi descritte porta alla considerazione. Metodi di verifica 37 minore del 5%. se si usa il frattile 0. Da questa considerazione nasce un'impostazione che è detta semiprobabilistica perché consente di.005 per la tensione di snervamento la probabilità di collasso diventa 10-3. Nell'esempio precedente. mentre se si usano rispettivamente i frattili 0. sulla base di valori assegnati della resistenza ed utilizzando un opportuno legame co­ stitutivo non lineare per il materiale. 8).9998 e 0. Allo schema vengono infatti assegnati carichi ben definiti (corrispondenti al frattile prescelto) ed in base ad essi si determinano le caratteristiche della sollecitazione (con analisi lineare o non lineare).0002 la probabilità scende a 10'5. Il confronto tra caratteristiche di sollecitazioni di calcolo e caratteristiche di sollecitazioni limite consente di esprimere un giudizio sulla sicurezza della struttura (fig.verifica semiprobabilistica. effettuare una verifica che abbia una valenza probabilistica ma sia eseguita seguendo la stessa metodologia utilizzata in situazioni “deterministiche”. Separatamente vengono calcolati i valori limite delle caratteristiche di sollecitazione nella sezione. 8 .995 per i carichi e 0. mediante confronto tra momento sollecitante e momento resistente di calcolo . Fig. mentre il valore di calcolo fd della resi­ stenza è messo in relazione al valore caratteristico fk mediante un coef­ ficiente riduttivo I valori più idonei per yf e ym possono essere determinati mediante analisi probabilistiche. che integra l'approccio semiprobabilistico con verifiche nelle condizioni di esercizio. In particolare. Occorre distinguere tra due situazioni limite completamente diffe­ renti. denominate rispettivamente stato limite ultimo e stato limite di esercizio. 8. il valore di calcolo Fd di una azione è ottenuto amplificando il valore caratteristico Fk mediante un coefficiente yf. Si definisce in generale come stato limite uno stato al di là del quale la struttura. il metodo semiprobabilistico applica con­ temporaneamente coefficienti di sicurezza ad entrambe le grandezze. Lo stato limite ultimo corrisponde al valore estremo della ca­ pacità portante (limite di collasso) o ad altre forme di cedimento strut­ turale che possono mettere in pericolo la sicurezza delle persone (quali Cy A"*JL 'ir1" -------. che applicano il coefficiente di sicurezza rispettiva­ mente al materiale e ai carichi. o una sua parte. alternativo al metodo delle tensioni ammissibili. non soddisfa più le esigenze di com­ portamento per le quali è stata progettata. Per questo motivo esso è detto anche metodo dei coefficienti parziali. Metodo degli stati limite Il metodo degli stati limite rappresenta la formulazione completa del criterio di verifica. Si noti che a differenza del metodo delle tensioni ammissibili e del calcolo a rottura.------------------------------------------------------------------------ . ma i valori proposti dalla norma­ tiva sono stati definiti anche in maniera tale da avere una buona con­ cordanza con il metodo delle tensioni ammissibili.38 Capitolo 2 I valori del carico e della resistenza da utilizzare sono denominati valori di calcolo e sono indicati col pedice d (iniziale della parola inglese design. In effetti numerosi sono stati gli studi effettuati per ottenere indicazione quantitative. cioè progetto) e possono essere messi in relazione con i valori ca­ ratteristici mediante opportuni coefficienti. con probabilità di superamento via via mag­ giori e valori del carico progressivamente minori. sia la legge costitutiva ϭ-ε del materiale che il metodo di analisi strutturale adottato sono sempre lineari. è uno stato al di là del quale non risultano più soddisfatti i requisiti di esercizio prescrit­ ti. Verifiche allo stato limite di esercizio Poiché in condizioni di esercizio lo stato tensionale è ben distante dai valori di rottura. . redistribuzioni del momento per tener conto in maniera approssimata di un comporta­ mento inelastico globale. 8. in casi particolari. Nel va­ lutare le caratteristiche limite della sollecitazione in una sezione si uti­ lizza sempre una legge costitutiva ϭ-ε del materiale non lineare.2. ma tale possibilità non è in genere sfruttata. Il valore di calcolo della generica azione F è quindi determinato moltiplicando il valore ca­ ratteristico Fk per il coefficiente parziale yf. 8. Lo stato limite di esercizio. Si distinguono condizioni di carico rare. Verifiche allo stato limite ultimo Per garantire una sufficiente sicurezza nei confronti del collasso sarebbe a rigore necessario esaminare il comportamento della struttura con ana­ lisi non lineari. È quindi prassi comune adottare l'analisi li­ neare anche quando ci si preoccupa dello stato limite ultimo. In quanto ai carichi.Metodi di verifica 39 ribaltamento o instabilità). Ovviamente un'analisi non lineare è sempre consentita. Il criterio di verifica adottato è quello già definito come metodo se­ miprobabilistico o metodo dei coefficienti parziali. Le norma­ tive consentono anche di effettuare. mente il valore di calcolo della generica proprietà / del materiale (resistenza o altro) è ottenuto dividendo il valore caratteristico fk per il coefficiente parziale jm. comprende quindi situazioni che comportano un rapido deteriora­ mento della struttura (come tensioni di compressione eccessive o fessu­ razione.1. fre­ quenti o quasi permanenti. per il calcestruzzo) o la perdita di funzionalità (deformazioni o vibrazioni eccessive). ma ciò comporterebbe un onere di calcolo non accettabile per un comune progettista. si utilizzano per essi valori aventi una probabilità di essere superati maggiore rispetto a quelli utilizzati per le verifiche allo stato limite ul­ timo (e quindi più bassi). si determinano i valori resistenti delle caratteristiche di sollecitazione.si confronta il valore caratteristico del carico con il valore di collasso diviso per il coefficiente di sicurezza simbolicamente Verifica allo stato limite ultimo . con leg­ ge costitutiva del materiale non lineare .si determinano le caratteristiche di sollecitazione.si determinano i valori sollecitanti delle caratteristiche di sollecitazione. come valore caratteristico . con analisi lineare o non lineare .si definisce la resistenza del materiale.40 Capitolo 2 Confronto tra i diversi metodi di verifica Metodo delle tensioni ammissibili ~ si assegna il carico.si assegna il carico. come valore caratteristico . come valore caratteristico. con analisi non lineare . con analisi lineare .metodo semiprobabilistico . come valore di calcolo ridotto rispet­ to al caratteristico mediante un coefficiente di sicurezza .si assegna il carico.si determinano i valori ultimi delle caratteristiclie di sollecitazione.si confrontano i valori sollecitanti delle caratteristiche di sollecitazione con i valori resistenti simbolicamente .si confronta la tensione massima con il valore ammissibile simbolicamente Calcolo a rottura . come valore di calcolo amplificato rispetto al caratteri­ stico mediante un coefficiente di sicurezza .si definisce la resistènza del materiale.si definisce la resistenza del materiale. ed il coefficiente di' sicurezza nei confronti del carico di collasso . corrispondente ai valori ultimi delle carata teristiche di sollecitazione. come valore ammissibile ridotto ri­ spetto al caratteristico mediante un coefficiente di sicurezza .si determina lo stato tensionale. con legge costitutiva del materiale lineare . con legge costitutiva del materiale non lineare .si determina il carico di collasso. In parti­ colare. Essa però non deve mai essere accettata in maniera acritica: per fare un buon progetto non è sufficiente rispettarla alla lettera. cioè che le regole applicative in esse contenute devono essere obbligatoriamente rispetta­ te. La frase che ho citato all’inizio può forse essere vista anche come un segno di insofferenza nei confronti di una impostazione tanto restrittiva. Con ciò non intendo dire che le norme non contano. A me piace citarla per ricordare che la responsabilità di un pror getto è sempre del singolo ingegnere e ciò che è veramente importante è la sua capacità di affrontare e risolvere un problema con la sua testa. . Non tutti concordano con questa mia visione della norma. e non saprei a chi darne realmente la paternità. anche contra­ stanti. Ritengo anzi che la normativa debba essere vista come una guida autorevole.Capitolo 3 NORMATIVA 1. si presta a numerose interpretazioni. attribuita di volta in volta a differenti personaggi. fin nei dettagli. la cui ap­ plicazione può essere a volte inutile. inoltre ogni norma contiene anche prescrizioni prive di validità generale. Normativa tecnica “Le regole servono a chi non sa regolarsiHo sentito citare più volte questa frase. da prendere sempre in considerazione. tutti au­ torevoli. ma occorre a volte integrarla e interpretarla. per quanto riguarda le norme tecniche italiane l’interpretazione più comune è che esse debbano considerarsi cogenti. Come ogni fra­ se presa a se stante. . 108.Legge 5/11/71. Esso inoltre ha consentito l’uso degli Eurocodici 2 e 3. 1.D. . 16/1/96: Norme tecniche per le costruzioni in zona sismica. Sulla base delle indicazioni della legge 64 sono stati emessi i se­ guenti decreti: . Normativa italiana L’attuale normativa italiana è basata su due leggi: .a.D.M. normale e precompresso.42 Capitolo 3 La normativa tecnica europea è stata invece concepita con una im­ postazione prestazionale.1. Queste leggi definiscono i principi generali e affidano al ministero dei lavori pubblici il compito di emettere periodicamente decreti ministeria­ li contenenti indicazioni più specifiche. 16/1/96: Norme tecniche relative ai “criteri generali per la veri­ fica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi”.64: Provvedimenti per le costruzioni con particolari prescrizioni per le zone sismiche. Il decreto del 96 ha sostituito il precedente. normale e precompresso e per le strutture me­ talliche.a. e regole di applicazione. In essa vi è una chiara distinzione tra principi.Legge 2/2/74 n. che hanno più un carattere orientativo e possono essere sostituite da altre. nor­ male e precompresso e per le strutture metalliche. requisisti e modelli analitici per i quali non è ammessa alternativa.D.M 1. che però è rimasto valido per la parte che riguarda le verifiche col metodo delle tensioni ammissi­ bili. . che privilegia gli obiettivi da conseguire.M. Gli ultimi decreti emessi sulla base delle indicazioni della legge 1086_sono: . ed a struttura metallica. Questo almeno nelle intenzioni del legislatore.6 Norme per la disciplina delle opere di conglo­ merato cementizio armato. . . .M. che consentano di raggiungere gli stessi obiet­ tivi. perché in realtà la classificazione fatta per i singoli punti della norma non è del tutto esen­ te da critiche. cioè affermazioni generali. l’esecuzione ed il collaudo delle strutture in c. n.9/1/96: Norme tecniche per il calcolo.D.4/2/92: Norme tecniche per l’esecuzione delle opere in c. formazione ed aggiornamento degli elenchi nelle medesime zone” che. questa norma entrerà pienamente in vigore non sarà più possibile utilizzare il metodo delle tensioni ammissibili. Essa contiene innanzitutto i “Criteri per ¡’individuazione delle zone si­ smiche — Individuazione. 3274 del 20/3/03: Primi elementi in materia di criteri ge­ nerali per la classificazione sismica del territorio nazionale e di nor­ mative tecniche per le costruzioni in zona sismica. 14/21/92. CNR 10024/86: Analisi mediante elaboratore: impostazione e reda­ zione delle relazioni di calcolo. Si tratta infatti di una ordinanza del presidente del consiglio dei ministri: . la valutazione e l’adeguamento sismico degli edifici”. regolato dal D.M.metodo degli stati limite. .C. per quanto riguarda i metodi di verifica strutturale l'attuale normativa italiana consente queste tre possibilità: .Normativa 43 Esistono inoltre documenti preparati dal Consiglio Nazionale delle Ricerche (Istruzioni CNR) che sono solo orientativi e non hanno valore di normativa. .M. regolato dal D. l'ese­ cuzione. Istruzioni per il calcolo. In particolare: . . anche se in qualche caso i decreti ministeriali fanno espressamente riferimento ad essi. e se. n. che ha suscitato un ampio dibattito.CNR 10011/96: Costruzioni in acciaio.O.P. Istruzioni per l’impiego. regolato dagli Eurocodici 2 e 3. La tendenza normativa è però chiaramente orientata verso un completo recepimento degli Eurocodici. Quando. basata sul metodo degli stati limite. “Norme tec­ niche per il progetto sismico dei ponti”. Ciò è stato sottolineato da una recente norma.M. estendono di fatto a tutto il territorio nazionale l’obbligo di rispet­ tare la normativa sismica. 9/1/96.metodo delle tensioni ammissibili.M. ~ CNR 10022/84: Costruzioni di profilati di acciaio formati a freddo. In definitiva.metodo degli stati limite. Essa poi contiene “Norme tecniche per il pro­ getto. “Norme tecniche per il progetto sismico delle opere di fondazione e sostegno dei terreni” che ricalcano la normativa sismica europea (Eurocodice 8). sia per il contenuto che per il fatto di essere stata emessa senza seguire riter tradizionale. 9/1/96. introducendo una quarta zona a bassa sismi­ cità. con i para­ metri fissati dal D. il collaudo e la manutenzione. Eurocodice 9.EN 1995. . Eurocodice 6. e nove norme relative ai diversi materia­ li o problemi strutturali: . che stanno man mano affiancando le normative nazionali. . o in fase di completamento.1.2. Progettazione di strutture in alluminio. Eurocodice 5.EN 1992. Esse dovranno venire recepite dai governi dei singoli stati membri delFUnione Europea. Eurocodice 4. Progettazione di strutture in muratura. che fissa criteri di base.EN 1993. Panoramica delle principali normative. .Normativa europea Col procedere dell’unificazione europea si è sentito il bisogno di norme tecniche che guidassero i progettisti strutturali in maniera unica in tut­ ti i paesi dell'Unione Europea. una norma ge­ nerale. Eurocodice 3. che nel farlo devono integrarle con documento di applicazione nazionale (NAD. Il D. .M. Eurocodice 2: Progettazione delle strutture di calcestruzzo.44 Capitolo 3 1. Sono pronti. Queste norme sono ancora nella fase ENV (norme europee provvisorie) ma stanno ormai per diventare norme definitive. Progettazione di strutture miste acciaio-calcestruzzo. . Sono così nati gli Eurocodici.1 delTEurocodice 2 e dell'Eurocodice 3 (Regole generali e regole per gli edifici). . che è possibile utilizzarle e contiene i relativi NAD come sezióne III della parte I e della parte II. .EN 1997. . Eurocodice 8. 9/1/96 Il decreto è stato pubblicato sul supplemento ordinario alla “Gazzetta Ufficiale” n. con l'obiettivo di sosti­ tuirle del tutto. 2. National Application Document). al momento.EN 1991.EN 1996.EN 1998. Progettazione geotecnica. espressamente. Eurocodice 1: Azioni sulle strutture. . Esso è organizzato nel modo seguente: . Progettazione di strutture in zona sismica. 2.29 del 5/2/96. 9/1/96 indica infatti. Progettazione di strutture in legno. Decreto Ministeriale.EN 1994. solo la parte 1. .EN 1999. Progettazione delle strutture di acciaio. Eurocodice 7.EN 1990: Basi della progettazione strutturale. In Italia sono state recepite. Parte generale contiene le considerazioni generali. 7). parte 1-1. sulle saldature (par. Acciaio Simbologia Sezione I.2) e sulle verifiche allo stato limite di esercizio (par. 5). comuni al cemento armato e all'acciaio. Parte I. nell’art. 6) e norme complementari relative ai solai (par. 4.1).M. sulle verifiche allo stato limite ultimo (par. non­ ché prescrizioni sul collaudo statico (par. 14/2/92 per quanto riguarda il metodo delle tensioni ammissi­ bili. Eurocodice 2 costituisce il Documento di Applicazione Nazionale (o NAD. Simbologia Sezione I. rinvia al D.2 impone che il progettista adotti in maniera unitaria ed integrale uno (e uno solo) dei metodi citati. 3) .3). 4.1-2. nonché prescrizioni sul collaudo statico (par. in­ tegrative o soppressive da applicare nell'utilizzare tale normativa in Italia. Parte II.Normativa 45 Decreto contiene le formule di rito di approvazione delle norme tecniche riportate in allegato.7).1). norme_di esecuzio­ ne (par. 4. 2.5-2.3). 2. 14/2/92) e delle -norme europee sperimentali Eurocodice 2. National Appli­ cation Document) dell’Eurocodice 2 e contiene le prescrizioni sostitutive.. Cemento armato normale e precompresso . acciaio da cemento armato normale (par.4). contiene inoltre regole pratiche di progettazione (par. Prescrizioni generali e comuni fornisce indicazioni su calcestruzzo (par. nell’art.M. su bulloni e chiodi (par. del me­ todo delle tensioni ammissibili (secondo le indicazioni del D. 2.l specifica che è ammesso l’uso del metodo degli stati limite. > fornisce indicazioni sulle combinazioni delle azioni da considerare per le ve­ rifiche agli stati limite ultimi ed agli stati limite di esercizio. 2. Prescrizioni generali e comuni fornisce indicazioni sull'acciaio (par. Sezione III. Calcolo ed esecuzione fornisce indicazioni sui metodi per il calcolo delle sollecitazioni (par.2) e acciaio da cemento armato precompresso (par. 3) Sezione II.3). parte 1-1 ed Eurocodice 3. 2. 2. Introduzione indica lo scopo dell’Eurocodice e riporta la simbologia.2-4.4). sul materiale base (par. sulle unioni saldate (4. Il già citato D. Costruzioni composte da elementi in metallo diversi dall'acciaio Parte V. 7). 5). Norme per travi composte "'acciaio-calcestruzzo” Allegati 1-7 prescrivono i controlli da effettuare sui divèrsi materiali.2. 6) e regole pratiche di progettazione e di esecuzione (par. Parte IIL Manufatti prefabbricati prodotti in serie Parte IV. contiene inoltre norme di calcolo relative alla verifica di stabilità (par-. 9/1/96 autorizza Fuso di tale norma e fornisce spe­ cifiche prescrizioni integrative. L’Eurocodice 2 è organizzato nel seguente modo: Cap.46 Capitolo 3 Sezione II. 4. Eurocodice 2 L’Èurocodice 2. parte 1-1. del decreto costituisce il Documento di Applicazione Nazionale (NAD) previsto dal Comitato europeo di normalizzazione. indicazioni sulle prove su strutture e modelli (par.M. Cap. sezione III.5). 2. indicazioni sulla schematizzazione della struttura e sui metodi di analisi (punto 2. Calcolo ed esecuzione fornisce tra l’altro indicazioni sugli stati limite (par. sulle unioni con bulloni e chiodi (par. Eurocodice 3 contiene le prescrizioni sostitutive. le definizioni generali relative a stati limite. 4. Sezione III.3). . 4. la parte I. le combinazioni di carico da usare per verifiche agli stati limite ultimi e agli stati limite di esercizio (punto 2. Basi del progetto .5). sostitutive e soppressive delle indicazio­ ni contenute neirEurocodice stesso. riporta i requisiti fondamentali (punto 2.2).0). è stato approvato dal Comitato europeo di normalizzazione (CEN) nel dicembre 1991 come norma europea provvi­ soria (ENV). 1. La traduzione ufficiale italiana è stata pubblicata nel gen­ naio 1993 dall'UNI (ente italiano di unificazione). 2.1). azioni e proprietà dei materiali (punto 2. integrative o soppressive da applicare nell’utilizzazione decEurocodice 3.1). 3 e 4.M. Cap. l'Eurocodice 3 è organizzato nel seguente modo: Cap. sezione III. Finterò capitolo è sostituito dai punti 2. 2. Eurocodice 3 UEurocodice 3. parte 1-1. Progetto delle sezioni e degli elementi fornisce indicazioni sui requisiti di durabilità (punto 4.3) e per gli stati limite di esercizio (punto 4. Cap. sostitutive e soppressive delle indicazio­ ni contenute nell'Eurocodice stesso. le combinazioni di * carico da usare per verifiche agli stati limite ultimi e agli stati limite di e- .1). 1.4). ancoraggi e sovrapposizioni (punto 5. 5. 4. le definizioni generali relative a stati limite. all’analisi non lineare.4). Esecuzione e qualità delVesecuzione Cap.2) e sugli elementi strutturali (punto 5.3. Prescrizioni costruttive fornisce tra l’altro indicazioni sulla disposizione delle armature. la parte II. • Proprietà dei materiali fornisce indicazioni sul calcestruzzo (punto 3. alla determinazione delle deformazioni.8.1).4).1 del D.Normativa 47 Cap.1). Il già citato D. agli stati limite ultimi indotti da deformazioni strutturali. Principi di progettazione riporta i requisiti fóndamentali (punto 2. sugli acciai per precompressione (punto 3. 6. 9/1/96 autorizza l'uso di tale norma e fornisce spe­ cifiche prescrizioni integrative. 9/1/96. 2. sugli acciai per armature (punto 3.1. riporta i dati di progetto per i materiali (punto 4. La traduzione ufficiale italiana è stata pubblicata nel giugno 1994 dall'UNI (ente italiano di unificazione).4. 2. azioni e proprietà dei materiali (punto 2. Cap. è stato approvato dal Comitato europeo di normalizzazione (CEN) nell’aprile 1992 come norma europea provvisoria (ENV).3) e sui dispositivi di precompressione (punto 3. del decreto costituisce il Documento di Applicazione Nazionale (NAD) previsto dal Comitato europeo di normalizzazione. Introduzione indica lo scopo dell'Eurocodice e riporta la simbologia.2). 2. 7. Controllo di qualità • Appendici 1-4 riportano ulteriori disposizioni relative agli effetti della deformazione del cal­ cestruzzo dipendenti dal tempo. Cap.2.M. le prescrizioni da seguire per gli stati limite ultimi (punto 4.2).2). 3. Materiali fornisce indicazioni sull’acciaio strutturale (punto 3. Cap. da sottoporre al voto dei membri dell’Unione Europea. 7. J. indicazioni sui collegamenti bullonati (punto 6. indicazioni sulla durabilità (punto 2. . K. Si tenga presente che le indicazioni qui riportate si riferiscono alla versione ENV.3).1) e indicazioni sui metodi di anàlisi. Cap. 8. Stati limite di servizio fornisce principalmente i valori limite degli spostamenti verticali ed orizzon­ tali. M.9) e per i giunti di base (punto 6.48 Capitolo 3 sercizio (punto 2.8) e membrature composte (punto 5. la resistenza dell'anima alle forze trasversali (punto 5. Cap. 3. riporta una classificazio­ ne delle sezioni trasversali in base alla capacità di deformazione plastica (punto 5. (punto 6. la resistenza all'instabilità per taglio (punto 5.5) e saldati (pun­ to 6. fornisce le prescrizioni da seguire per verificare la resistenza delle sezioni trasversali (punto 5.3). normative o informative. nel documento approvato dal CEN sono state inserite solo le ap­ pendici B. Cap. sulla schematizzazione.6). F. nonché prescrizioni specifiche per strutture a maglie triangolari (punto 5.1). 6. Fabbricazione e montaggio. 4. 5. E. Progettazione integrata da prove Cap.3). sulle imperfezioni e sui problèmi di stabilità (punto 5. C. Fatica Appendici riportano ulteriori disposizioni.5).9). una classificazione dei collegamenti stessi (punto 6.11). Y. Sono attualmente pronte per entrambi gli Eurocodici le versioni EN.2). la resistenza delle membrature all'instabilità (punto 5. Cap.6). riporta indicazioni sulle tolleranze nella preparazione dei pezzi e nel mon­ taggio Cap. L.2) e sugli elementi di giunzione. 9.4).7). Stati limite ultimi fornisce i valori dei coefficienti parziali γm ed i criteri generali di verifica (punto 5. nonché prescrizioni specifiche per i collegamenti trave-colonna (pun­ to (6. relative a problemi specifici.4) e sulla resistenza al fuoco (punto 2:5). Collegamenti soggetti a carichi statici fornisce tra l’altro i valori dei coefficienti parziali γm da usare nella verifica dei collegamenti . come bulloni e chiodi (punto 3.4). vento. La norma euro­ pea corrispondente a quest’ultimo è l’Eurocodice 1.Normativa 49 3.M. 16/1/96: Norme tecniche relative ai “criteri generali per la verifica di si­ curezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi”.azioni eccezionali A esplosioni. dando luogo a diverse disposizioni di carico (carichi mobili) Si indica col pedice k il valore caratteristico delle azioni (Gk Qk Ak Pk ) che viene definito in genere dalle norme e coincide col valore utiliz­ zato nel metodo delle tensioni ammissibili.valore di combinazione . 3.2.azioni libere se possono essere applicate in posti diversi. variazioni termiche) è definita nel D. carichi di vento o di neve .azioni variabili Q carichi variabili di esercizio. Le azioni possono però essere distinte anche in base alla loro varia­ zione nello spazio. neve.2 e 2. oltre . Si ha: . ma viene trattata sepa­ ratamente per ragioni pratiche. in maniera un po’ più det­ tagliata. corrispondenti ad una probabilità di superamento via via maggióre: . carichi fissi .valore frequente . urto di veicoli .precompressione P Quest’ultima è in realtà un’azione permanente. al valore caratteristico si considerano altri valori.valore quasi permanente . nei punti 2.azioni fisse se sono applicate in una posizione ben definita (per esempio il peso proprio) .3 degli Eurocodici 2 e 3. Si ha: .M. non ancora utilizza­ bile in Italia. Azioni e loro valore di calcolo Le problematiche fondamentali relative alle azioni vengono prese in esame nella parte generale del D. L’entità delle azioni (carichi variabili. Classificazione delle azioni Le azioni vengono distinte principalmente secondo la loro vàriazione nel tempo.azioni permanenti G peso proprio.1. Per le azioni variabili. 9/1/96 e. solo nel caso di azioni permanenti caratterizzate da un valore elevato del coefficiente di variazione o che sono suscettibili di variazione durante la vita della struttura (per esempio alcuni càrichi permanenti addizionali).M.inf.sup ed uno inferiore Gk. In maniera simbolica il valore di calcolo del carico è fornito dall’espressione Gli Eurocodici 2 e 3 (punto 2. E necessario definire due valori caratteristici distinti. Valori di calcolo per verifiche agli stati limite ultimi Il valore di calcolo del carico è ottenuto amplificando il valore caratteri­ stico mediante il coefficiente yp .2. uno superiore Gk. I valori di calcolo . il D. il peso proprio di un elemento può essere valutato in base alle sue dimensioni nominali ed al peso specifico medio del materiale.z) precisano che per le azioni per­ manenti occorre definire normalmente un unico valore caratteristico. 9/1/96 prescrive: 3.superiore ed inferiore delle azioni permanenti so­ no ottenuti mediante il valore massimo e minimo del coefficiente yg (punto 2. questa scelta sarà ovviamente fatta in modo da massimizzare le caratteristiche di sollecitazione ed in caso di incertezza occorrerà provare le diverse alternative.2.2. in particolare.4).50 Capitolo 3 I coefficientiψ sono definiti dalle norme. E' necessario considerare indipendenti la parte favorevoN . In presenza di più carichi variabili in­ dipendenti occorre sceglierne uno come principale e ridurre gli altri prendendone il valore di combinazione.2.2. almeno nei casi quotidiani. non sempre è immediato capire quale sia la situazione più gravosa e in caso di incer­ tezza è necessario provare tra più alternative.3).(2) e. Personalmente. il valore di calcolo del carico è definito in maniera univoca. ritengo estremamen­ te improbabile dal punto di vista statistico una tale variazione.Normativa 5 1 le e quella sfavorevole delle azioni permanenti.3. .2.2. per massimizzare le caratteristiche di sollecitazione. in particolare per travi continue e telai. Si noti che alcuni autorevoli personaggi suggeriscono di differenzia­ re sempre i carichi permanenti superiore ed inferiore. Àd esempio. solo quando ciò è veramente rilevante. 3. Calori di calcolo per verifiche agli stati limite di esercizio Nelle verifiche agli stati limite di esercizio si possono definire tre com­ binazioni di carico: .3. anche quando metto i carichi variabili solo in alcune campate per massimizzare i momenti positivi o negativi. utilizzando quindi valori di calcolo differenti. Quando vi è un solo carico variabile.combinazione quasi permanente Si utilizzerà l’una o l’altra di queste combinazioni in funzione del tipo di verifica da effettuare e delle indicazioni della normativa.combinazione frequente . Invece quando vi sono più carichi variabili indipendenti occorre scegliere come carico variabile principale quello che genera le massime caratteristiche di sollecitazione. in una trave continua moltiplico il peso proprio ed i carichi fissi per 1.4 in tutte le campate. ma è difficile riscon­ trarne sensibili variazioni tra una campata e l'altra di uno stesso solaio. si deve applicare uno stesso valore di calcolo delle azioni permanenti per tutte le parti della struttura (quello che risulta più gravoso). ad esempio. la soletta di un solaio può avere uno spessore diverso dal previsto (in più o in meno). Pertanto io seguo le indicazioni del punto 2.3.3.combinazione rara . In tutti gli al­ tri casi. in particola­ re nel caso di verifiche di equilibrio statico (punto 2. 2 kN/m2 M = -18. quindi gli stessi delle tensioni ammis­ sibili.0 kN/m2.2.3) +1.3 kNm Il massimo momento negativo (ottenuto con analisi lineare) è quindi quasi il 45% in più rispetto al valore ottenuto per le tensioni ammissibili.8 kN/m2 e risolvendo lo schema di trave continua si ottiene neirappoggio centrale M = -21.3 + 0.5 x 2.7 kNm Fig.3 + 2.8 kN/m2 e per quella quasi permanente q = 2. i carichi perma­ nenti mediante il coefficiente yg —1.di.. avente peso proprio gik—2.0 = 6.5 + 2.5 e ψ2 = 0.5 x 2.0 = 5. 1 . per la combinazione rara si usano i valori caratteristici del carico.4 ed i carichi variabili mediante il coefficien­ te yq= 1. ottenendo così per la combinazione frequente q = 2.2 x 2.schema geometrico e carichi del solaio .0 = 5.5. Si ha quindi q ± 1.5 + 2.4 x (2.5 + 2.50 m. altri carichi permanenti g2k=2. carichi variabi­ li (per abitazione) qk-2. 1) q = 2. Il massimo momento negativo all’appoggio centrale si ottiene applicando il ca­ rico massimo in entrambe le campate.9kNm Per una verifica allo stato limite ultimo occorre incrementare. Per quanto riguarda gli stati limite di esercizio. Se si opera col metodo delle tensioni ammissibili si ha (fig.52 Capitolo 3 Esempio 1.luce 5.0 = 9. per verifiche allo stato limite ultimo ed agli stati limite di esercizio.5 + 2. Dato un solaio a due campate.7 kNm M = -16.3 kN/m2. si determini il valore del massimo momento flettente negativo da usare nel metodo delle-tensioni ammissìbili ed i valori da usare nel metodo degli stati limite. rispettivamente mediante il coefficiente ψ1 = 0.3 + 0.72 kN/m2 M --31.5 kN/m2. Per la combinazione frequente e quella quasi permanente occorre invece ridurre il carico variabile.50 m e 4. 3 = 4.5 e xj/2 = 0. il carico massimo nella prima campata è ottenuto incrementando i carichi permanenti e variabili mediante i coefficien­ ti yg e 7g.8 kN/m2 M = 12. Per la combina­ zione frequente e quella quasi permanente.0 kNm q 2 = 4.2. =5.8 kN/m2 M~ 14.3) = 6. per verifiche allo stato limite ultimo ed agli stati limite di esercizio.5+ 2.4 kNm .72 kN/m2 <?2 = 1.8 kN/m2 q .8 kN/m2 q2 =2. Per quanto riguarda gli stati limite di esercizio.carichi del solaio che rendono massimo il momento in campata Esempio 2. cioè peso proprio ed altri carichi permanenti. Nella seconda campata occorre invece considerare i soli carichi per­ manenti.3.5+ 2. i valori per la combinazio­ ne rara coincidono ancora con quelli delle tensioni ammissibili. conforme­ mente alle indicazioni del punto 2.(2) delTEurocodice 2. 2) qx = 6. Se si opera col metodo delle tensioni ammissibili si ha (fig. Il massimo momento positivo nella prima campata si ottiene applicando in essa il carico massimo e nell’altra il carico minimo.2 kN/m2 ‘ q2 =4.0. incrementati di yg. Con riferimento al solaio dell’esempio precedente.2 si ottiene rispettivamente q{ =5.Normativa 53 Fig.1 kNm che anche in questo caso è quasi il 45% in più rispetto al valore ottenuto per le tensioni ammissibili. 2 .72 kN/m 2 Si noti che l'incremento y§ è stato applicato ad entrambe le campate.8kN/m2 e risolvendo lo schema di trave continua si ottiene come massimo momento po­ sitivo nella prima campata il valore M —16.3. utilizzando i coefficienti \j/i . Si ha quindi q{ = 9.8 KNm Per una verifica allo stato limite ultimo. si determini il valore del massimo momento flettente positivo nella prima campata da usare nel metodo delle tensioni ammissibili ed i valori da usare nel metodo degli stati limite.4 x (2. Si ottiene il mo­ mento M = 24. 7 x 0. combinazione frequente Usando per il primo carico variabile i valori di previsti per abitazione. Si ha quindi q = 1.2 = 0.5 + 2.5 x (1.3) +1. In realtà il D.4 kNm Verifiche allo stato limite di esercizio.3 +1.1 kNm Verifiche allo stato limite di esercizio.3 kN-Zm2.5 kN/m2.5 = 0. indica espressamente di non cumu­ lare il carico da neve con gli altri carichi variabili.5 = 0. perché deve tener conto dei coefficienti vj/x e \|/2. Si ha quindi q = 2.54 Capitolo 3 Esempio 3.2 = 0. Si consideri lo stesso sehema di solaio degli esempi precedenti. ed uno concentrato.00 kN/m2 Occorre accoppiare un carico con ψ1 e l’altro con ψ2.25 kN/m2 ψ2 qlk = 0. considerare come principale il carico da neve.24+ 0. E più gravoso.8 kNm Esempio 4.5) = 9.5x0. Si noti però che la scelta può essere diversa a seconda della combinazione che si considera.10 kN/m2 ψ1 q2k = 0.4 x (2. Si ha quindi q = 2. da assumere come carico princi­ pale. Verifiche allo stato limite ultimo E maggiore il carico da neve.2 x 0.05 kN/m2 M = -29. anche se di poco.9 kN/m2 M = -15. g2k-2. si de­ termini il valore del massimo momento flettente negativo da usare per verifiche allo stato limite ultimo ed agli stati limite di esercizio. qik e q2k.2 + 0.0 x 1. si ha ψ1 q1k = 0. combinazione rara È maggiore il carico da neve. Q3k. con gik=2.3 + 0.5 + 2. combinazione quasi permanente In questo caso entrambi i carichi variabili vanno moltiplicati per \|/2. che dipendono dal tipo di carico.5 + 2. Su di essa agiscono un carico permanente gik e tre carichi variabili indipendenti. Utilizzando le regole generali di combinazione dei carichi previste dagli Eurocodici.5 + 2. 16/1/96. due uniformemente distri­ buiti.2x1. Si ha quindi q = 2.7 x 0. In questo esempio lo si fa per mostrare il criterio generale di combinazione di più carichi variabili.2 kN/m2. Poiché i due carichi variabili sono analoghi (entrambi carichi distribuiti) è immediato individuare quale è il più gravoso.5 x 0.24 kN/m2 ψ2 q2k = 0.11 kN/m2 M = -16. I valori dei carichi e dei coefficienti ψ .M.10 = 5. Si consideri una trave ad unica campata.35 kN/m2 M = -20.4 kNm Verifiche allo stato limite di esercizio.destinato a copertura non praticabile e quindi con carico variabile qik~0S-kN/m2 e carico da neve q2k=1.10 + 0 = 4.2 + 0.3 + 0. che funge da copertura di un capannone e sostiene anche un carico sospeso.7 = 6. relativo ai carichi. Si determini il valore del massimo momento flettente positivo da usare per verifiche allo stato limite ultimo ed agli stati limite di esercizio. E quindi opportuno prendere di volta in volta uno dei tre carichi variabili come carico principale. ma maggiore del primo) si ha Il primo valore ottenuto è il più gravoso e verrà utilizzato per la verifica della struttura. Negli esempi precedenti la scelta del carico-variabile principale è stata imme­ diata. combinazione rara Se si considera come carico principale il secondo si ha Fig. Verifiche allo stato limite ultimo Se si considera come carico principale il secondo (dello stesso tipo. Verifiche allo stato limite di esercizio. perché il momento prodotto dai carichi distribuiti è calcolato con espressioni diverse da quelle utilizzate per il carico concentrato.schema geometrico e carichi della trave di copertura . Il caso in esame è particolarmente complesso.Normativa 55 sono indicati in figura 3. 3 . o addirittura non necessaria perché ne agiva uno solo. In questo caso. Sul traverso agisce inoltre una forza orizzontale dovuta al vento Fk . Si ha quindi q = 4.0 +0. Quello che io preferisco è risolvere lo schema separatamente per i singoli cari- .5 x 1.52 kN/m F = 3.6 = 0. Sulla trave agisce un carico permanente gk = 30 kN/m ed un ca­ rico variabile qu — 12 kN/m. non è possibile indivi­ duare a priori il carico principale perché i due carichi variabili gk ed Fk provo­ cano momenti flettenti con andamento molto diverso.6kN ψ2 Q3k =0.7 x 1. perché ψ2 qik + ψ1 q2k è maggiore di ψ1 q1k + ψ2 q2k.5 kNm Esempio 5.5 kN/m ψ2 qìk = 0.2+ 0 = 4. Si può procedere in più modi diversi. anche se di poco.6 = 0. ancor più che nell'esempio precedente. Sezione per sezione. equivalenti ai fini del risultato.0x 1.2 x 1.3kN M = 139.7 x 1. Verifiche allo stato limite di esercizio.2x 1.9 kNm Anche in questo caso è più gravoso il primo valore.0 kN/m ψ1 Q3k = 0. combinazione frequente Tenendo conto dei valori di ψ indicati.9 kNm In questo caso è più gravoso il secondo valore ed è quindi il carico sospeso a do­ ver essere considerato come carico principale.0 + 0. considerare come principale il secondo.6x11 = 6.0 + 0.6 kN M = 142.32 kN/m ψ2 q2k = 0. Si ha così q = 4.82 kN/m F = 11 kN M .3 kN M = 130.3x11 = 3.2 + 0.2 + 0 = 4.2 kN/m ψ1 q2k = 0.204. l’uno o l’altro dei carichi variabili.0 = 0.0 = 0. Si consideri il portale (telaio ad un piano ed una campata) mostra­ to in figura 4. si vede che è più gravoso.2 kN/m F = 3.32 = 4.0 + 0. combinazione quasi permanente In questo caso tutti i carichi variabili vanno moltiplicati per \j/2. e quindi da considerare principale. Verifiche allo stato limite di esercizio. Si valuti il massimo momento flettente da usare per verifiche allo stato limite ultimo nelle sezioni più significative del telaio.2 kN/m F = 6. può essere più gravoso.0 = 5. si ha ψ1 q1k = 0.56 Capitolo 3 Se si considera-come carico principale il terzo si ha q = 4.18 kN. che può essere diretta verso destra o verso sinistra.6 + 0.5 kNm Se si considera come carico principale il terzo si ha invece q = 4.3kN Confrontando i due carichi permanenti. 7 Fd. ma anche gd + qd. diagramma e valori (kNm) del momento flettente nel portale chi (gd. gd + 0. Il numero di combinazioni può però diventare veramente al­ to. un carico distribuito qd = 18 kN/m. sezione per sezione. separatamente. 4 .0.Normativa 57 Fig. qd. gd + 0.Fd.Fd. individuare quale dà l’effetto maggiore. gd. per tener conto della possibile assenza di un carico. considerando tutte le possibili combinazioni nell'applicazione di \|/o e nella scelta del segno di Fd. gd . applicandoci coefficiente ψo e scegliendo il segno di Fd in modo da massimizzare il risultato. Una alternativa molto usata consiste nel risolvere lo schema per più combina­ zioni di carico. Seguendo la prima via. 4). all’estre- . variabile o di entrambi. la mezzeria della campata della trave. si è risolto lo schema soggetto a tre condizioni di carico: un carico distribuito gd . gd + qd. il piede del pilastro. che si prendono in considerazione. Le sezioni più significative. i carichi variabili al momento col segno che si sta considerando.si valuta il massimo contributo che possono dare. Occorre esaminare separatamente entrambe le possibilità e si può procedere come segue.42 kN/m. sommarne gli effetti. sezione per sezione. In ciascuna sezione il momento flettente complessivo prodotto dai carichi potrebbe essere sia positivo che negativo. nell’esempio. I valori ottenuti con le tre condizioni di carico sono riportati in tabella 1. bisogna considerare gd + qd + 0.7 Fd.7 qd + Fd. e poi.schema. gd + Fd. Fd) e poi.7 qd . sono l'estremo della trave (cha ha lo stesso momen­ to della testa del pilastro). ad esempio. una forza concentrata Fd = 27 kN (fig. . 4 17.9 63.0. è maggiore il contributo di qd (—18.9 -73. 1 .4 e -17.4 27.9 kNm).4 .4 -17.4 kNm piede pilastro momento positivo momento negativo M = 21.0 kNm momento negativo M = -42.6 + 0.9 +17.7. questo si prende interamente mentre l’altro si riduce di ψo.9 kNm) che viene considerato senza riduzioni.6 9. quindi l’altro (—17.0 17.9 63.9 kNm campata trave momento positivo M = 63.0 21. si confrontano i contributi per individuare quale è il maggiore.4 kNm).5 0.9 = -13.4 27.1 kNm .2 90.5 .2 = 50.0 0.9 .9 kNm.9 -25.9 kNm) viene moltiplicato per 0. per il momento negativo.2 0.22.2 22.6 mo della trave il carico qa non contribuisce al momento positivo (perché è negativo). entrambi i cariehi possono invece contribuire al momento negativo (rispettivamente con —18.5 kNm M = 21.9 = -25.58 Capitolo 3 Tab.18. all’estremo della trave vi è solo un contributo per il momento positivo (17.0 -18. ad esempio.2 -22.6 -1.4 + 27.momenti flettenti nelle sezioni più significative sezione estremo trave campata trave piede pilastro gd qd Fd Cai colo di MCai. Si ha così: estremo trave momento positivo (minimo negativo) M = -42.5 kNm momento negativo (minimo positivo) M = 63.0 -22.7 x 17.0 0.6 = -1.colo di M+ M+ MFd Fd qd Qd 0.1 -42.0 50. mentre Fd può dare un contributo di 17.9 -18.5 0.2 = 90.7 x 9.5 9.5 + 22. Dalla chimica sono noti i processi che stanno alla base delle tra­ sformazioni che subiscono i carbonati con l’alta temperatura ed i succes- . Ed. 1957 1. al suo apparire.. una forte opposi­ zione da parte degli spiriti imbevuti di classicismo. Potremmo affermare che. Hazon y ser de los tipos estructurales. era già avvenuto il passaggio dal semplice legante aereo (la calce spenta) al composto a più componenti miscelati in proporzioni ben definite. al pari di altri elementi o materiali dell’edilizia. quello romano.. i romani probabil­ mente sfruttarono un’idea già diffusa portando al massimo splendore il suo impiego. Il calcestruzzo non sfuggì a tale regola [. Torroja.] sono ancora al mondo coloro a cui fu in-' segnato nelle scuole che era dolce pazzia pretendere di sostituire ■ la nobile pietra con un ripugnante miscuglio chimico. pronta ad adorare qualsiasi succedaneo. è un prodotto evoluto. La preistoria del calcestruzzo Il calcestruzzo era impiegato dai romani già dal secondo secolo a.Capitolo 4 BREVE STORIA DEL CALCESTRUZZO (ARMATO) Dal Pantheon alle travi di ghisa armata: Vinvenzione di un materiale Antonio Perretti Ogni materiale nuovo provoca. per­ ché il suo uso avviene quando.C. E. inclini ad at­ tribuire valore esclusivo alle forme ancestrali. ma del suo uso consapevole non v’è datazione certa.. Il calcestruzzo. prodotto malsano e meccanico di un’epoca artificiosa. dal punto di vista concettuale. dove ad oggi sono stati trovati i più antichi reperti di costruzioni in muratura con calce come legante. ad esempio dalla pioggia. Andando alla ricerca dei fatti più significativi che riguardano l’evo­ luzione della composizione del moderno calcestruzzo.C. l’anidride carbonica. resta l’ossido di calcio che a contatto con l’acqua diviene idrossido di calcio o calce spenta. ma era affine alla pozzolana che qualche secolo dopo i romani cominceranno ad utilizzare per le loro costruzioni.60 Capitolo 4 sivi processi di idratazione al contatto con l’acqua. In termini chimici. per diversi millenni la costruzione di murature con malta di calce è stata destinata preva­ lentemente agli edifici pubblici o di culto. con la cottura il carbonato di calcio libera. se confezio­ nata con pietra vulcanica. come gas. nell’oriente europeo. Lo testimoniano reperti archeologici trovati in Egitto. potremmo dire spontanei. Infatti. a sua volta. isola di origine vulcanica a sud di Atene. cosa c’è di più casuale delle trasformazioni subite dalle rocce (calcaree) disposte intorno al fuoco e degli effetti provocati sulle rocce cotte. . Anche questa scoperta è avvenuta casualmente in quanto i Fenici utiliz­ zavano la sabbia dell’isola di Santorini. Per tali fatti. Per tale ragione la sabbia non era chimicamente inerte. Anche l’origine del termine calce è significativa. probabile mente deriva dal greco chàlikos che indica il ciottolo. con l’ag­ giunta di sabbia o altri inerti è proseguito quasi senza modifiche per ol­ tre diecimila anni. dobbiamo fare un salto di altri millenni per giungere alle prime tracce di legante idraulico. Fat­ tore accomunante i reperti è la destinazione d’uso. l’inizio dello sfruttamento di un processo fisico ha sempre generato dubbi sulla datazione. scopri­ rono che la malta di calce prodotta nei millenni precedenti. acquisiva la capacità di resistere all’acqua. come legante aereo.C. tutti fenomeni cer­ tamente osservati casualmente e sfruttati nel tempo dall'uomo. L’impiego di malta di calce. I reperti sono attribuiti ai Fenici che intorno all’anno 1000 a. in Turchia. a Troia ed in tutta l’area orientale del Mediterraneo. dopo l’impasto reagirà nuovamente con l’anidride carbonica atmosferica. Questa. I primi esempi dell’impiego della malta di calce risalgono ad oltre dodicimila anni a. Questa tecnologia molto semplice ebbe una applicazione in tutti i paesi del Mediterraneo dove fu impiegata per tutte le opere idrauliche. in Palestina. Durante l’impero romano il ma­ teriale a grana grossa era prevalentemente estratto presso la città di Pozzuoli. in alcune zone dove le caratteristiche del terreno erano partico­ larmente scadenti. è stata usata in ambito geotecnico: una sorta di jet grounding. dopo aver costruito i paramenti esterni con mattoni o pietra da taglio. ovvero prevalentemente per le fondazioni degli edifici pubblici o per il culto. argilla ed altro) acquisiva caratteristiche meccaniche molto più rilevanti del semplice ossido di calcio cotto a legna. La muratura romana: l'opus caementieium Si è detto che le caratteristiche idrauliche conferite al calcestruzzo dalla sabbia vulcanica èrano note da tempo. in nuce. in Cina. col tempo. ma allo stesso modo nel tempo forse è stato il principale limite per l’uso dell'opus caementieium nei secoli successivi alla caduta dell’impero. cioè quella tecnica moderna utilizzata per migliorare le caratteristiche meccaniche dei terreni sciolti.C. che si diffonde tra le popo­ lazioni del mediterraneo la coscienza che la malta di calce additivata con altri materiali (sabbia vulcanica. Nella costruzione della muraglia cinese. prima di realizzare le fondazioni fu infatti mescolata della calce agli strati superficiali del terreno per migliorarne le caratte­ ristiche medie e quindi per aumentare il carico limite complessivo. All’inizio dell’era romana il calcestruzzo si impiegava solo per ele­ menti poco sollecitati. 2. Un altro modo. materiale piroclastico alterato. e fino alle grandi costruzio­ ni dell’impero Romano non accade più nulla di rilievo. polvere di marmo. nelle tante varianti di opus. E dunque intorno all’anno mille a. marmo o travertino. Questo avveniva nel vecchio continente. . se ne apprezzarono le caratteristiche di resistenza. di impiegare la calce avveniva nel trecento a. dove. attraverso l’apporto di legante e mescolamento del terreno che funge da scheletro solido.C. divenne il materiale col quale si riempiva la parte interna dei muri. meno noto. che ha fatto la fortuna di questa città. da cui ha assunto il nome la pozzolana. Quando. nei cui ruderi ne sono ancora visibili e resistenti le \ tracce.Breve storia del calcestruzzo (armato) 61 cisterne e canali. Qualcosa però stava accadendo anche nell’estremo oriente. ma con il nucleo interno di materiale molto resistente. comincia a diffondersi questa tipologia di muratura. la parte solida era co­ stituita da frammenti di roccia di sfrido della lavorazione delle pietre da taglio e da scarti di laterizio. nel tempo. definibile a sacco. era essenziale all’innesco delle reazioni chimiche tra i diversi componenti. di forma e pezzatura non organizzata. definita opus caementicium (fig. fino all’indurimento. 1). con elementi lapidei ortogonali. che fun­ gevano da casseri a perdere. Questa operazione certamente na­ ta per eliminare o ridurre i vuoti tra i blocchi. Col termine muratura a sacco si indica. Si precisa che.C. anche le opere sono esaminate in relazione al contributo dato alla comprensione del . poco legata. di resistenza complessiva molto variabile da punto a punto. anzi probabilmente era di origine greca. caotico. dal punto di vista tecnologico. era assicurata dal sistema diatonicòn. reazioni che. una muratura nella quale la parte interna è co­ stituita da materiale poco coerente. laddove però si adottava per realizzare la muratura a sacco. ma nasce come parte di nuova muratura. Il vero impasto avveniva dopo la posa in opera in quanto gli strati entravano in intimo contatto grazie al costi­ pamento manuale eseguito per strati. 1 . ovvero di collegamento dei due paramenti murari. Tale siste­ ma era noto ai greci. La stabilità del complesso dei paramenti e del calcestruzzo fluido. più in generale.Pompei: muratura romana . Nello spirito di questa breve storia del calcestruzzo.62 Capitolo 4 Fig. portavano la miscela ad avere resistenze ultime simili a quelle dei mo­ derni calcestruzzi cementizi.l’opus caementicium Alla fine del terzo secolo a. dunque il calcestruzzo non è usato per la realizzazione di un materiale lapideo artificiale. Agrippa però fu molto sfortunato. architetto. che diventano più leggeri e sottili in sommità. con un grande foro in sommità. 2 . il Pantheon. Segue un anello di soli mattoni. La base è di travertino. di nove metri di diametro. Per questa ragione il Pàntheon diven­ ta famoso per la sua ricostruzione. poiché il suo tempio fu colpito da fulmini e quasi di­ strutto dagli incendi conseguenti. costituito di travertino e tufo vulcanico. Tra tutte le opere progettate. Pertanto tra tante costruzioni d’epoca romana. 2) che è anche l’opera meglio conservata dell’Impero. Nel 27 a. grazie all’organizzazione interna della muratura nello spessore della cupola e ad una geniale intuizione di Adriano. il console Marco Agrippa.il Pantheon . chiamato oculus. 3). in onore di tutti gli dei. l’anello superiore di circa 6 metri di spessore. di fronte a un va­ sto complesso che comprende terme. Al contrario di tante cupole sferiche costruite nei secoli. questa non ha mai avuto necessità di incatenamenti lungo i paralleli. emblematico è il Pantheon (fig. grazie all’imperatore Adriano.Breve storia del calcestruzzo (armato) 63 Fig. L’ingresso è sul la­ to sud. presso le sue terme nel Campo Marzio a Roma.prospetto e sezione materiale e della statica delle strutture. basilica e giardini. la più famosa di Adriano dal punto di vista strutturale è l’enorme cupola di oltre 43 metri di diametro (fig. poi mattoni e pietra pomice. che incorpora il por­ tico del tempio di Agrippa e apre un nuovo ingresso a nord in quello che sostanzialmente è visibile oggi.C. Egli divise la struttura in una serie . di strati sovrapposti.C. anch’egli architettò. quello successivo è più sottile di tufo e mat­ toni. ognuno di materiale di peso specifico e spessore decrescente. genero di Augusto. avvenuta nel periodo 118-125 d. costruisce un piccolo tempio quadrato ispirato nella composizione all’ar­ chitettura greca. e infi- . Tutta­ via è necessaria questa citazione in quanto è la prima opera della storia nella quale l'uso e il confezionamento del conglomerato appare consape­ vole anche nel più piccolo dettaglio. Il risultato è una immensa corona ellittica di diametro massimo di 160 m circa' con fon­ dazione superficiale di sezione trasversale rettangolare di soli 60 m di . Questo processo non era compreso dal punto di vista chimico. nella valle compresa tra Palatino Esquilino. oltre alla funzione estetica. 4) fu fatto erigere da Vespa­ siano nel periodo 69-79 d. appare riduttivo citare il Pantheon solo per l'evoluzione del calcestruzzo. incrementando la superficie specifica. è utile descrivere le fondazioni: un’opera ciclopi­ ca.C. una conca lacustre. ' In conclusione. Per concludere il discorso sull'opus caementicium si citano due ope­ re che non hanno necessità di molte descrizioni: il Colosseo e la Torre di Pisa. Esse furono scavate parzialmente nell'argilla per circa sei metri di profondità e costruite fuori terra per altrettanti metri. Volendo esaminare l’opera solo dal punto di vista del contributo all’im­ piego del calcestruzzo. esempio le cavità presenti su tutta la superficie interna. Ad .pianta e sezióne della cupola ne il perimetro dell'oculus contiene vasi di terracotta vuoti su uno strato di pomice. nella zona che era stata la Domus Aurea di Nerone. ma da quello fisico risulta­ va loro chiarissimo. Il più grande anfiteatro di Roma (fig. viste le straordinarie intuizioni di Adriano. assolvono la funzione di accelerare la presa della malta aerea che ha necessità di reagire con l'anidride carbonica atmo­ sferica e quindi di maggiore superficie esposta all'aria.64 Capitolo 4 Fig 3 . 5). Le fondazioni sono state realizzate con un conglomerato denominato caementa. non pre­ senta alcuna innovazione costruttiva.Breve storia del calcestruzzo (armato) 65 Fig. 5 .la torre di Pisa . 4 . non necessita di partico­ lari menzione in quanto è realizzata con tecnologia classica. ma si cita per ricordare che per Fig. realizzata con muratura classica. e non presenta nessuna so­ stanziale innovazione rispetto a quanto già descritto in precedenza. con blocchi di travertino e muratura di laterizi pieni. ottenuto da inerti di roccia vulcani­ ca molto dura (tefrite).semi pianta del Colosseo base per 13 m di altezza circa. La struttura fuori terra. La Torre di Pisa (fig. Il problema. dopo essere stata impiegato per un millennio. l’onnipresente Vitruvio codifica le modalità di confezionamento della malta e del calcestruzzo con caratteristiche idrauliche. politici. con l'impiego di latte o vino come additivi. come le scorie di ferro. Il declino di un genere architettonico può essere generato da molti fattori. e ancora per molto. da Marco Porcio Catone che indica le proporzioni ottimali per confezionare la malta aerea. nasce nel 200 a. Si potrebbe dire che per la prima volta si descrive l’importanza deirassortimento granulometrico per l’ottenimento di un calcestruzzo compatto e resistente. forse anche per l’onere del tra­ sporto. fu quasi igno­ rata in Italia fino alla rivoluzione industriale. i tecnici tentarono innanzitutto di affrancarsi dalla pozzo­ lana impiegando altri prodotti naturali e di migliorarne le proprietà meccaniche con l’aggiunta di prodotti artificiali. nata da qualche decen­ nio. che studia la corretta miscelazione dei componenti del calcestruzzo per esaltarne alcune caratteristiche. della reperibilità e dello scavo di grandi quantità. La pozzolana che aveva rappre­ sentato l'ingrediente essenziale per confezionare il calcestruzzo. culturali o tecnologici. Per questo moti- . ma dal punto di vista storico. si è protratta per oltre due secoli. iniziata il 9 agosto dell'anno 1173. quali resistenza o durabilità. Le conoscenze tecniche avevano diffusione solo grazie alla trattati­ stica e per centinaia d’anni furono le corporazioni di artigiani e i maestri d’arte a conservare memoria delle regole del costruire. Solo due secoli più tardi. La composizione. una parte di calce spenta e due di sabbia. durante i quali viene incrementato il numero di piani e si tenta di correggere l'asse già pendente. 3. Quando poi il calcestruzzo fu riscoperto.66 Capitolo 4 oltre un millennio la muratura romana non ha subito modifiche tecnolo­ giche o chimiche. Inoltre la torre rappresenta l’edificio col quale di fatto si conclude il lunghissimo ciclo dell’architettura romana. ma tutto ciò. è antica come il calcestruzzo. La costruzione della Torre. solo con l’ausilio deli-intuito.C. da Vitruvio al mix design Il mix design nel nome è una disciplina giovane. in nuce. Si escluda però il periodo medioevale nel quale il mix design rasentava la stregoneria. e la tec­ nica di pestare i laterizi così come facevano i romani. completato par­ zialmente nel 1433. Friedrich. comprese che la cottura ad alta temperatura dei componenti era alla base del fenomeno della presa. i maestri muratori non sapendo ricreare un pro­ dotto paragonabile al calcestruzzo romano. inglese. 6 . nell'oscuro medio evo vanno perse molte regole del costruire romano. Egli ottenne. ma senza riuscire ancora a dare una spiegazione chimica del fenomeno. il cosiddetto trass. 6). Smeaton. quando per la prima volta.Breve storia del calcestruzzo (armato) 67 vo. Fi­ no alla metà del 1700. per la ricostruzione del faro di Eddystone (fig. il chimico tedesco J.il faro di Eddystone . con la fine dell’impero romano. aggiungono di tutto al con­ glomerato. Dal 1400 al 1700 si riscoprono lentamente le caratteristiche idrauli­ che fornite dalla pietra vulcanica macinata. ma ultimato solo nel XVIII. un legante dalla caratteristiche spiccatamente idrauliche. produsse il primo legante realmente idraulico utiliz­ zando oltre ai componenti classici anche scorie di ferro compresse. e in particolare i vari tipi di opus. stu­ diando la composizione di murature storiche. Per la comprensione chimica dei fenomeni si deve attendere fino al 1815. dall'aceto al latte. Solo nel 1755 J. o del buon vino locale come fecero per le murature del duomo di Vienna iniziato nel XII secolo. Nel 1824 nasce il termine Portland grazie ad un maestro d’arte che per realizzare il suo calcestruzzo impiegò una originale miscela di argilla e Fig. Questo fatto. Per tale ragione non deve apparire strano se è opinione di chi scrive che si possano trovare le origini concettuali del cemento armato nella ri­ lettura della storia degli elementi inflessi in ghisa e in generale delle co- Fig.J. citato negli scritti di sto­ ria del cemento armato. Con il perfezionamento del sistema di produzione del cemento con cottura ad alta temperatura. non rende giustizia ad altri personaggi coevi e soprattutto non rende ridea della ventata di modernità che giungeva sulla cultura scientifica del vecchio continente nella metà dell’ottocento. Il calcestruzzo nella rivoluzione industriale La storia del progresso scientifico è ricca di aneddoti sulla casualità di eventi che poi sono stati posti quali fondamenti di importanti scoperte per l'umanità. nasce il cemento moderno. 7 . introdotto da un altro inglese J. 7).68 Capitolo 4 calcare. e tra gli aneddoti se ne potrebbe annoverare an­ che uno per chi si occupa di strutture. 4. Monier: vasi e recipienti brevettati . J. Dalla caduta di frutti che hanno disturbato il riposino pomeridiano di illustri fisici. lo battezzo Portland-Cement dal nome della località inglese da cui aveva prelevato il materiale inerte per la sua produzione. Aspdin. Intorno al 1850. in perfetta analogia a quanto facciamo ancora oggi per la pro­ duzione del cemento in polvere. Johnson nel 1844. alle muffe che si sviluppano in laboratorio l’elenco è lunghissimo. per evitare che i suoi vasi di malta cementizia si rompessero miseramente. che da questo momento in poi subi­ rà solo perfezionamenti nei quantitativi dei componenti e nella granu­ lometria. quello del giardiniere Joseph Monier. suo creatore. provvide ad inserire una rete metallica nel getto di malta cementizia (fig. siano nate insieme alle o dalle ricerche per la comprensione del funzio­ namento degli elementi strutturali inflessi in ghisa. In un'area così ristretta. probabilmente sono state impiegate dai tecnici che per primi cercavano di interpretare il comportamento del calcestruzzo. che nel 1847 propose. Il personaggio che ha avuto meno popolarità dei suoi coevi. In particolare ci si riferisce alle vicende degli inge­ gneri inglesi ottocenteschi. Francia e Italia.trave di ghisa armata con nastri di acciaio fucinato .Breve storia del calcestruzzo (armato) 69 struzioni metalliche. ma non meno importante. Nelle prime esperienze col calcestruzzo armato è possibile indivi­ duare due strade. le idee sviluppate dagli ingegneri inglesi per la comprensione del funzionamento degli elementi strutturali inflessi in ghisa. Inghilterra. Nell’ambiente scientifico della rivoluzione industriale non ancora globalizzato. personaggi che incarnavano l’essenza dell’ingegnere che. amavano definirsi the practical men. stava fondando le basi della moderna ingegneria strutturale. L'antico materiale eteroresistente era stato riscoperto e reinventato grazie all'introduzione delle armature metalliche. 8 . La trave di figura 8 è realizzata in ghisa. con l’aiuto dell’intuito e della sperimentazio­ ne. Perso­ naggi che con orgoglio ed ironia. pur in as­ senza di supporto teorico. invece. nei confronti dei colleghi “teorici” fran­ cesi. Barlow.W. è l'inglese P. Per tale ragione. che cerca di darsi un supporto teorico anche se non ancora evoluto. materiale eteroresistente Fig. eccezionali progettisti di costruzioni metalli­ che. Dalla lettura della storia sorge la domanda se le idee per il funzionamento del cemento armato normale e precompresso. una prettamente intuitiva ed un’altra. per la realizzazione di piccoli ponti ferroviari. la prima trave armata della sto­ ria. non deve sembrare strano se l’incipit della storia del calcestruzzo armato potrebbe trovare le radici nella storia delle co­ struzioni metalliche. le nuove idee erano divulgate essenzialmente in Germania. ma questa invenzione la possiamo inserire tra quelle Fig. dimensione e modalità di applicazione dei nastri di acciaio dolce nell’ala tesa del profilo. le proporzioni tra ala compressa più tozza e quindi più stabile. annullavano le tensioni di trazione nell’ala inferiore (fig. Stephenson. nelle quali barre di ferro ad asse rettilineo o ad andamento trapezio. 9 . 10 . con bassa resistenza a trazione. costruite per conci. Quanto all’impiego di armature metalliche applicate ai materiali non resistenti a trazione. delle barre forgiate di ferro dolce. con tale accorgimento il momento ultimo della sezione aumentava del cinquanta per cento circa. 9).Rondelet: muratura armata del Pantheon (1770) . Osservando il profilo. presollecitate. Anche il sistema di precompressione è nato negli stessi anni. nella quale. Barlow introdusse in due incavi. nell’ala tesa. Dunque l’armatura di ferro dolce compensava la fragilità della ghisa e alterava la modalità di collasso. 10). notiamo che la posizione. Con questa solu­ zione si ha finalmente la possibilità di impiegare materiali eteroresistenti anche per realizzare travi inflesse di grande luce e non più solo tozzi pulvini di romana memoria. nel 1845.70 Capitolo 4 Fig. sono tutt’altro che casuali o fortuiti. si tenga presente che nel 1770 Rondelet ebbe l’idea di armare la muratura con barre metalliche per la costruzione del Pantheon (fig.Stephenson: travi di ghisa armate e presollecitate (1846) per eccellenza. ad opera di un altro inglese. per ridurre od eliminare la fessurazione. che realizza travi in ghi­ sa di 30 metri di luce. utilizzabile per annullare la fragili­ tà a flessione di qualsiasi materiale eteroresistente e in particolare del calcestruzzo. Fig. nel 1848 costruì una barca con una rete metallica ricoperta di malta di cemento. L’avvocato Lambot non si limitò alla costruzione di barche. non proporzionata.oggetti ideati da J. il cemento armato fu impie­ gato in settori molto diversi. Lambot: barche. che doveva assorbire gli sforzi di trazione rilevati probabilmente dalle fessure individuate su prototipi non armati. ma soprattutto questo. di malta cementizia ar­ mata. Gabellini. tutti erano accomunati solo dalla presenza del­ l’armatura reticolare. si dedicò infatti alla costruzione degli oggetti più diversi e singolari. poiché si è ben lontani dall’uso consapevole dal­ le armature. come altri fatti nati solo dall’e­ sperienza. il fat­ tore accomunante è stato il ferro. Queste ricordano ancora molto le cuciture con grappe me­ talliche dei blocchi lapidei. come facevano anche i romani: forse-non è molto noto. Lambot. finalmente disponibile a costo relati­ vamente basso ed in diversi formati.Breve storia del calcestruzzo (armato) 71 dettate solo dall’intuito. si cimentò nella costruzioni di pic­ cole imbarcazioni in cemento armato. L. l’ambiente culturale nel qua­ le si sono sviluppate le nuove tecniche costruttive era già maturo. creerebbero una discontinuità concettuale e temporale nello sviluppo della teoria e tecnica delle costruzioni che probabilmente non c’è mai stata. avvocato. Il francese J. appaiono riduttivi di un momento culturale unico nella storia dell’ingegneria. Tornando alla rivoluzione industriale. 11). Pertanto i vasi di Joseph Monier. Prima di essere utilizzato nell'edilizia. serbatoi. lastre . Quarant'anni dopo anche un italiano. che presentò all’Esposizione di Parigi del 1855 (fig.L. ma si stima che nel Colosseo siano state impiegate ben 300 t di ferro dolce per realizzare le grappe che collegano i blocchi di travertino. 11 . C. 12).a. 13) e con questi l'anno dopo costruisce la prima abitazione in c. disposte intuitivamente nelle zone tese. Un costruttore edile francese. intorno al 1870. Negli anni seguenti. brevettò moltissimi dettagli ed elementi costruttivi.B.B. nel 1854 brevetta gli ele­ menti costruttivi per la realizzazione di solai in calcestruzzo armato (fig.72 Capitolo 4 Fig. ne propose uno nel quale le armature erano costituite da funi metalliche. giardiniere ma di grande intuito.W. Monier. A conferma che questi impieghi erano dettati molto dal­ l'intuito. di ben tre piani. ispirandosi a costruzioni primitive rea­ lizzate con terra e paglia. J. 12 . Coignet . po­ sto in opera con la consistenza di terra bagnata.elementi strutturali brevettati da F. Wilkinson: solaio armato con funi metalliche Nel filone empirico si collocano i solai brevettati nel 1854 da un ar­ tigiano inglese W. F. tan­ to da creare quasi un genere: in Germania ed Austria il termine mo- Fig. Wilkinson. si poteva adattare a tutte le superfici. 13 . si segnala che Coignet. secondo le geometria imposta dalla forza di gravità ai cavi (fig. egli. al fine di realizzare orizzontamenti resistenti al fuoco. Coignet. propose anche un calcestruzzo battuto che. travi e solai brevettati da Hyatt (1875) . Dal punto di vista della regolamentazione dell'impiego del calcestruzzo. Nel nuovo continente molto importante fu il contributo di un altro avvocato. intorno al 1875. quando ci saranno i. fra cui fondamentali quelli di Mörsch. verranno pubblicati solo trenta anni dopo.armature. affer­ mando. Si cimentò anche nella pro­ gettazione di ponti in c.a.Breve storia del calcestruzzo (armato) 73 Fig. ma di più nel secondo. travi e Fig. che “in calcestruzzo di cemento armato con ferri a nastro e ferri tondi vengono prodotte lastre.. tant’è che esistevano solo prodotti legati al titolare del brevetto piuttosto che legati agli aspetti statici ancora poco noti. 15).a. la prima nazione ad introdurla è la Germania che nel 1877 emana norme per le costruzioni in calcestruzzo non armato. Tanto nell’acciaio che nel cemento armato.a. per pubblicizzare i suoi prodotti. il fattore tecnologico ed il nuovo business prevalgono sugli aspetti scienti­ fici. ma con risultati meno brillanti. 14 . brevettò molti elemen­ ti strutturali armati con ferri a nastro e tondi ortogonali (fig. per cui si privi­ legiavano gli aspetti prestazionali. 14). infatti la di­ sposizione delle armature appare poco efficace (fig. l'americano Hyatt che. Monier nierbau era l'equivalente di strutture in c. 15 .elementi strutturali brevettati da J. contributi teorici alla comprensione dei meccanismi resistenti. I primi rego­ lamenti sull'impiego del c. L’approccio fìsico prevaleva anche. attraver­ so esperienze di laboratorio egli perfeziona vari aspetti. la deformazione sotto carichi applicati per lungo tempo (successivamente compreso e denominato fluage).74 Capitolo 4 volte. non comprendendo a pie­ no l’effetto di incremento di portanza delle travi post-sollecitate. infatti. al­ l’epoca il problema degli incendi. Dal punto di vista del cosiddetto mix design. Le esperienze condotte sul campo in Europa e America erano ormai tali da non dare dubbi sulla resistenza degli elementi in c. anche se mancava ancora quasi del tutto il supporto teorico per il calcolo analitico degli elementi strutturali. nel 1880. 1900). di apparecchi di ancoraggio efficaci e di calcestruzzo con elevata tensione di rottura. Pur­ troppo per Jackson i risultati furono poco soddisfacenti perché ancora dipendenti da molti fattori. migliora decisamente le prestazioni del calcestruzzo. che nel 1846 aveva realizzato un sistema per ridurre le tensioni di trazione al lembo inferiore di travi isostatiche in­ flesse di ghisa. Koenen pubblica Principi dei calcoli statici per gli edifici in calcestruzzo e in calcestruzzo armato. era molto sentito sia in Ameri­ ca che in Europa. ma solo al fine di ri­ durre la formazione delle fessure in zona tesa. Il diciannovesimo secolo si conclude con tante scoperte e ricerche: quella sul rigonfiamento del calcestruzzo immerso in acqua e la varia­ zione di volume conseguente al fenomeno di presa (Schumann. il costruttore Coignet. impiegando il ferro solo dalla parte in trazione”. quali: la mancanza di acciaio ad elevato li­ mite elastico. Nel 1902 M. Jackson elabora il primo procedimento di precompressione del calcestruzzo. A proposito delle travi di ghisa armate e presollecitate è stato citato Stephenson. . 1902). quali il rapporto ottimale acqua-cemento. la durata della miscelazione dei componenti. la vibratura del calcestruzzo fluido.a. Eisenbetonbau. in relazio­ ne ai problemi apparentemente secondari come quello della fessurazione del calcestruzzo. òpera fondamentale in quanto sarà rielaborata da Emil Mörsch che pubblicherà le basi della teoria del cemento armato (E. lamericano J. Mörsch. Vent'anni dopo. Hyatt sfruttò le sue invenzioni soprattutto per realizzare travi resistenti al fuoco. famoso per aver svilup­ pato un sistema costruttivo per sub componenti. Infatti la sua opera.Breve storia del calcestruzzo (armato) 75 5. nei quali ogni elemento strutturale è dotato di armatura. Hennebique. Il calcestruzzo. quando ancora non era stato compreso completamente il comportamento di tutti gli elementi strutturali ancora monodimensionali. sperimentando anche la prefabbricazione. 16 . il secalo si conclude con un personaggio molto noto. i nuovi elementi strutturali e le nuove forme Dal punto di vista costruttivo. Purtroppo la genialità di Hen­ nebique è stata limitata dal momento storico in cui ha operato. nel 1896 progetta un casello ferroviario interamente prefabbricato. 16).Hennebique: solai e sistemi a telaio brevettati. . abitazione. Dal 1890 Hennebique costruisce strutture con sistemi modulari (fig. (disposta correttamente) con chiaro funzionamento statico. il ponte Risorgimento a Roma (1908). dando vita a questa nuova tipologia costruttiva. l'ingegnere francese F. Fig. A. condivisa successivamente da Mies Van der Rohe e Le Corbusier.a. Le Corbusier. che grazie a strutture inte­ laiate realizza quella che a livello architettonico sarà definita “pianta libera”.a ”.76 Capitolo 4 al di là del famoso ponte Risorgimento a Roma. 17 . con chiara divisione dei ruoli tra elementi di decoro e portanti. del 1903 (fig. è la casa di Rue Franklin. Il primo a comprendere le nuove potenzialità compositive è Auguste Perret (1874-1954). dopo il legno. quindi anche il c. finalmente ci si liberava. ha avuto il merito dì aver acquisito all’architettura la tec­ nica del c. nella quale. definito “poeta del c. In questa direzione la prima opera. volte ed archi. dal punto di vista compositivo. anche l’acciaio è stato utilizzato con questo approccio. anche se egli li concepì ancora come som­ ma di sistemi a trilite. Perret proietta i telai sulla facciata secondo il principio della “sincerità costrut­ tiva”. Perret: Parigi. dei pesanti ed inamovibili muri portanti e di tutte le strutture spingenti. Questo passaggio attraverso i sistemi monodimensionali era obbligato perché da sempre l’uomo ha impiegato i tron­ chi per le sue costruzioni. la più famosa. 17). casa in Rue Franklin (1903) . è consistita nel perfezio­ namento dei sistemi a telaio. tanto cara a Le Corbusier. In definitiva l’opera di Perret* collocata architettonicamente nel proto­ razionalismo. il più grande architetto del secolo scorso. che in tutte le opere ha usato in maniera sapiente tutte le potenzialità strutturali e Fig. non poteva sfuggire a questi aviti modelli mentali.a. Altri segni importanti nella composizione architettonica di Le Corbusier sono i pilotis.Le Corbusier: Casa Dom-Ino. alla casa. il giardino è anche sopra la casa. alla Unité d’Habitation. mentre il calcestruzzo conferisce massa all'acciaio". L’affermazione forse appare ovvia. sul tetto Alla fine del 1800. ed il cosiddetto tetto giardino. sulle quali poggiavano setti murari. Ville Savoie. In una costruzione si possono senza dubbio separare le parti portanti e non. consentiti solo dal­ l’uso del cemento armato. Unite ¿’Habitation . I pilotis sollevano la casa dal suolo. non a caso aveva frequentato lo studio di A. Al posto delle primitive fondamenta. il cemento armato permette di usare fondamenta puntiformi e al posto dei muri pilastri. A tal proposito diceva: “risolvere un problema in maniera scientifica significa innanzi tutto distinguere i suoi elementi. 1953). Perret negli anni 1908-09. Inacciaio conferisce struttura fibrosa alla pietra. gli spazi vengono sottratti alVumidità del terreno e hanno luce ed aria. ma la seconda Fig. tutto quanto è compreso sul cemento armato può essere riassunto dalle parole di Torroja: “nel cemento armato. 18). 1929. Le Corbusier nel 1914 progetta una interessante casa modulare Dom-Ino da costruire in serie. La super­ ficie occupata dalla costruzione rimane al giardino che passa sotto. con ossatura intelaiata stan­ dardizzata (fig.Breve storia del calcestruzzo-(armato) 77 compositive del calcestruzzo (dalla Ville Savoie. 18 . purtroppo demolita alla fi­ ne della Esposizione Nazionale Svizzera per cui era stata costruita. pilastri a fungo . Maillart riflette molto sulle carat­ teristiche del nuovo materiale ed in particolare. Ci si riferisce alle strutture bidimensionali sottili. 19). asso­ ciata alle conoscenze teoriche del suo maestro. la “Zementhalle” (fig. che non ancora trentenne incontra Hennebique. gli consentirà di creare nuove forme e soprattutto di abbandonare il sistema monodimensionale e l'impostazione classica degli archi. sulla “conti­ nuità” del materiale.Maillart: Zementhalle. come il ferro e il legno. Egli diceva: “il calcestruzzo non cresce come il legno. Fino a questo momento il cemento armato era stato usato come se si trattas­ se di un materiale tradizionale. ovvero sull’intrinseca iperstaticità degli oggetti re­ alizzati in calcestruzzo armato. Le caratteristiche peculiari del nuovo materiale furono comprese grazie alla genialità dell'ingegnere svizzero Robert Maillart (1872-1940). Infatti.78 Capitolo 4 parte di certo ha richiesto molti anni per la completa teorizzazione ed applicazione. creando struttu­ re fatte di travi e pilastri monodimensionali. solo nel 1939 R..a. Fig. La sua fantasia. e forse possiamo proprio apprendere qualche cosa osservando le forme ottenute con la ghisa nelle quali non esistono passaggi bruschi fra i vari elementi. non viene laminato come l’acciaio o messo insieme come la muratura. ma questi sono fra loro col­ legati in modo progressivo e continuo" Questa è una concezione globale e non del singolo elemento costruttivo. instabili e difficili o impossibili da realizzare in acciaio. un guscio a botte alto 12 m e spesso solo 6 cm. per primo. Per questo suo aspetto è paragonabile alla ghisa. Maillart realizza la prima membrana in c. è essenzialmente un materiale colato in forme. 19 . 19 . Maillart riflette molto sulle carat­ teristiche del nuovo materiale ed in particolare. è essenzialmente un materiale colato in forme. gli consentirà di creare nuove forme e soprattutto di abbandonare il sistema monodimensionale e l’impostazione classica degli archi. solo nel 1939 R. la “Zementhalle” (fig. La sua fantasia. Fino a questo momento il cemento armato era stato usato come se si trattas­ se di un materiale tradizionale. asso­ ciata alle conoscenze teoriche del suo maestro. Le caratteristiche peculiari del nuovo materiale furono comprese grazie alla genialità dell'ingegnere svizzero Robert Maillart (1872-1940).. Infatti. 19). Ci si riferisce alle strutture bidimensionali sottili. che non ancora trentenne incontra Hennebique. un guscio a botte alto 12 m e spesso solo 6 cm. come il ferro e il legno. Maillart realizza la prima membrana in c. purtroppo demolita alla fi­ ne della Esposizione Nazionale Svizzera per cui era stata costruita. creando struttu­ re fatte di travi e pilastri monodimensionali. ovvero sull’intrinseca iperstaticità degli oggetti re­ alizzati in calcestruzzo armato. per primo.78 Capitolo 4 parte di certo ha richiesto molti anni per la completa teorizzazione ed applicazione.a. pilastri a fungo . sulla “conti­ nuità” del materiale. Fig. e forse possiamo proprio apprendere qualche cosa osservando le forme ottenute con la ghisa nelle quali non esistono passaggi bruschi fra i vari elementi.Maillart: Zementhalle. non viene laminato come l'acciaio o messo insieme come la muratura. Per questo suo aspetto è paragonabile alla ghisa. Egli diceva: “il calcestruzzo non cresce come il legno. instabili e difficili o impossibili da realizzare in acciaio. ma questi sono fra loro col­ legati in modo progressivo e continuo}\ Questa è una concezione globale e non del singolo elemento costruttivo. con varianti legate alla sensibi­ lità ed alla cultura di origine dei progettisti. in particolare delle membrane. tra i tanti progettisti. Occorre citare a questo punto solo i contributi teorici allo studio delle membrane. Negli anni successivi ci saranno solo applicazioni e perfezionamenti di quanto già esistente. 21 . Torroja: Ippodromo Zarzuela (1935). soprattutto dai molti funzionari esaminatori dei suoi progetti i quali bocciavano o relegavano i suoi ponti in zone secondarie perché a favore di forme tradizionali dalla sicurezza ancestrale. Nello spirito di questa storia potremmo dire che nulla di radical­ mente nuovo accadrà dopo Maillart. infatti. Poche le opere progettate attraverso una personale interpretazione delle potenzialità delle nuove forme nate grazie all’avvènto del c. Mörsch al Politecnico Federale di Zurigo. Egli diede un contributo fondamentale Fig. co­ me quelle di E. Innanzitutto quello del tedesco Dischinger (allievo di Bitter). ci si è soffermati solo sui contributi particolarmente ori­ ginali. lo studio analitico fu poi esteso alle membrane di forma qual­ siasi col contributo del tedesco Finsterwalder. Nello spirito di una storia minima della comprensione del calcestruzzo armato. Mercato Algericias (1933) . 21). delle grandi coperture. come spesso è accaduto ai grandi.E.a. A conclusione di questa troppo breve citazione di Maillart. si segna­ la che la sua genialità. che fornì l'approccio analitico allo studio delle superfici curve e in particolare a quelle di rivo­ luzione. Torroja (fig. non è stata compresa. si è scelto di citare solo quelli che hanno sfruttato il “nuovo” materiale per creare nuove forme o nuovo linguaggio architettonico. nel senso che tutti gli strumenti per la progettazione erano stati ideati..80 Capitolo 4 fatti Maillart nel 1911 succedette ad E. L. che realizzò coperture con gusci di varia forma. Di grande effetto estetico le piastre nervate che Nervi ha realizzato con sistemi semiprefabbricati. l’opera più nota è il ristorante Xochimilco a Mantiales (1958) composto da una successione di paraboloidi iperbolici (fig. grazie alla sua preparazione tecnica e grazie al grande intuito. Opere molto originali sono le aviorimesse realizzate intorno al 1939 e il Palazzetto dello Sport di Roma costruito nel 1957 (fig. Candela: ristorante Xochimilco (1958) alla diffusione dei sistemi a guscio. con un approccio al nuovo mate­ riale e alle nuove forme che potrebbe dirsi rinascimentale.i . quella di Pier Luigi Nervi (1891-1979). 23). Palazzetto dello Sport di Roma (1957) : . ? v. Nervi: hangar Orvieto (1937).Breve storia del calcestruzzo (armato) 81 Fig. Contemporaneamente in Italia si affermava una grande figura. Molto originale l’opera dell’ingegnere spagnolo Felix Candela. e infatti dai suoi scritti emerge come considerasse il supporto matematico quasi un vincolo alla creativi­ tà. L’approccio intuitivo-empirico era fondamentale. nelle quali le costole armate sono disposte secondo le direzioni principali di flessione.P. 22 .F. 22). 23 . con opere come la tribuna dell’ippodromo La Zarzuela (1935) o la copertura del mercato copertp di Algericias (1933). Fig. dimensioni ina­ spettate e inimmaginabili fino ad allora. in quanto fu il primo a usare il cemento armato precompresso. Calcestruzzi strutturali ad alta resistenza: il futuro (?) Nemmeno con Tausiliq dei calcestruzzi ad alta resistenza. E. dove usò archi e membrane paraboliche di cemento armato. Tra le sue princi­ pali opere c’è da ricordare anche l’hangar dell'aeroporto di Orly (1916). si potrà rivivere un momento di prosperità e di entusiasmo paragonabile a quello vissuto nel trentennio 1900-30 grazie al calcestruzzo armato. Alla fine dei lavori le grandi arcate iniziarono a cedere. già impiegati da un decennio (cori Rck> 100 MPa).E. migliorando le presta­ zioni di alcuni elementi strutturali che assunsero. A breve si potranno realizzare . hangar Orly (1916) Vicenda scientifica quasi autonoma è quella di un grande ingegnere francese. Freyssinet (1879-1962).82 Capitolo 4 Fig. La possibilità di applicare la precompressione si presentò casualmente a Freyssinet nel 1911 in occa­ sione della costruzione del Pont di Le Veurdre (fig. 24 . ma dal punto di vista concet­ tuale più nulla è stato aggiunto. Con questi personaggi si chiude probabilmente la “stagione della comprensione del calcestruzzo armato”. una struttura a tre campate su archi in calcestruzzo armato di circa una settantina di metri di luce ciascuna. Égli fu tra i creatori di alcune nuo­ ve forme strutturali in architettura agli inizi del novecento. così. Freyssinet: ponte di Le Veurdre (1911). durata quasi un secolo. reinterpretato oggetti e forme. evidenziando un probabile errore di progettazione al quale Freyssinet ovviò inserendo dei martinetti idraulici per indurre uno stato di coazione e riportare in assetto geometrico le arcate. 6. 24). Tutti i successivi illustri personaggi hanno creato nuovi spazi architettonici* nuovi segni. sia per quanto riguarda l’interpretazio­ ne dei meccanismi che le nuove forme strutturali. da solo. o per il primo edificio inte­ laiato di Perret. quasi trasparente rispetto ai ponti romani. come fu per il primo ponte a membrana irrigidita di Maillart. come le Petronas Twin Towers (fig. l’auspicio è che la moderna ingegneria dei materiali. anche quando questo rag­ giungerà i 400 MPa. creare nuove emozioni.L.Breve storia del calcestruzzo (armato) 83 Fig. Ma un calcestruzzo più resistente non potrà. più efficienti e leggere. . quella dei super calcestruzzi e dei metalli a memoria di forma. incroci la sua strada con quella dei grandi architetti che ne valo­ rizzino le potenzialità creando. si potranno realizzare grat­ tacieli in c. un nuovo linguaggio architetto­ nico.Cesar Pelli: Petronas Twin Towers. In conclusione. h = 432 m strutture più snelle. piuttosto che in acciaio. Malesia. 25 .. 25) di Cesar Pelli in Malesia (1997) o addirittura travi senza arma­ tura grazie a calcestruzzi con resistenza maggiore di 200 MPa. magari.a. svuotato. Oggi che le strade dell’ingegneria e dell'architettura so­ no definitivamente separate e che lo iato segnalato anche da P. anche se fatto di calcestruzzo ad alta resistenza. Nervi nel 1940 è divenuto incolmabile. Quindi la speranza per il futuro è che gli inguaribili strutturisti non si emozionino mai davanti ad un cubetto di calcestruzzo. un grattacielo rimarrà tale. senza un linguaggio architettonico. 1990.. Un vivo ringraziamento al prof. Utet. 1981. Milano. 7. 3. 4. Fink J. Benvenuto E. Torino. Firenze. Costruire Correttamente. 2000. A. Milano. Firenze. Pizzetti G. 1996. Sparacio R... Aurelio Ghersi per avermi dato ospitalità nel suo nuovo testo ed un grazie agli studenti della Facoltà di Architettura di Sira­ cusa per essere stati costruttivamente cavie delle mie riflessioni. in Contributi alla Stòria Della Costruzione Metallica. La scienza delle costruzioni e il suo sviluppo storico. Alinea Ed.. 9. Utet.. 5. lori I. La progettazione strutturale e la costruzione metallica dalle origini al periodo 1850-1860. Tempo... ll. Hoepli. 6. Longanesi. Utet. Benevento. 2. Di Pasquale S. 1966. Storia dell’ingegneria. 1980. 1962. Venezia.. Nascè V.K. Hoepli. Torino.. L'arte del costruire. Sansoni. Architettura. Principi statici e tecniche costruttive nel loro sviluppo storico. 1966. Spazio. .. Zorgno Trisciuglio A.P. Torino. Milano. Firenze. Marsilio. Sansoni..84 Capitolo 4 Bibliografia 1.. La scienza e i tempi del costruire.L. Principi statici e forme strutturali. 8. 1984.P. 1999.. 10. Torroja E. L’arte di costruire presso i romani. Hevelius Ed. La concezione strutturale. Giedion S. Nervi P. Adam J. 1982.M. Il cemento è un legante idraulico. ma dipendono anche dalla stagionatura. 0.8 m3 di inerti grossi. Aspetti tecnologici Il calcestruzzo. del­ la granulometria della miscela. costituito essenzialmente da sili­ cati e alluminati di calcio che reagiscono chimicamente con l’acqua (i- . si può dire che per ottenere un metro cubo di calcestruzzo di caratteristiche normali occorrono 0. della qualità degli inerti. Le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo sono determinate da tutti i suoi componenti: esse variano quindi in funzione della qualità e do­ satura di cemento. o conglomerato cementizio (in francese béton. Per gli scopi applicativi è però più agevole analizzare il calcestruzzo a livello macroscopico e considerarlo nei mo­ delli di calcolo come un materiale omogeneo^ con projprietà rappresenta­ tive del comportamento medio di un volume sufficientemente grande. a livello microscopico. vuoti maggiori dovu­ ti a imperfetta costipazione). da 120 a 180 litri di acqua.4 m3 di inerti fini. di inerti (sabbia e ghiaia o pietri­ sco) legati da una pasta cementizia costituita da acqua e cemento. pori capillari.Capitolo 5 IL CALCESTRUZZO 1. dalla meccanica della frattura che mette in relazione il comportamento al crescere del carico e la rottura con i difetti presenti all'interno del ma­ teriale (microfessure dovute al ritiro. Il comportamento del calcestruzzo è studiato. da 3 a 3. Solo a livello indicativo. della percentuale d’acqua. in inglese. concrete). è costituito da un aggregato.6 kN di cemento. La composizione del calcestruzzo può essere abbastanza varia. ecc.). per ottenere un prodotto compatto e di buona resistenza gli inerti devono essere ben assortiti come dimensioni. superiori a quelle della pasta cementizia. di frantoio) oppure artificiali (scorie d’altoforno. Il trasporto a piè d’opera viene effettuato mediante autobetoniere. e quindi l’indurimento. ma questo testo non è la sede più adatta per approfondire l’argomento. ed una superficie pulita.60. ecc. per consentire all’acqua una mobilità sufficiente a raggiungere tutte le particelle di cemento e per garantire una adeguata lavorabilità del­ l’impasto. Il calcestruzzo viene normalmente prodotto in impianti di betonag­ gio. Gli inerti possono essere naturali (materiali di cava. E opportuno che essi abbiano buone caratteristiche meccaniche.40 e 0.20). che \ . continuano però per lungo tempo. in peso {rap­ porto acqua-cemento . Le caratteristiche meccaniche cui usualmente si fa riferimento sono convenzionalmente riferite ad una stagionatura di 28 giorni. la pasta cemen­ tizia fa presa e si indurisce. come l’argilla espansa. che consentono di ottenere calcestruzzi leggeri ma di minore resistenza. L’idratazione. Di conseguenza. fino a prendere una consistenza simile alla pietra.0. idratazione del cemento è teoricamente necessa­ ria una quantità di acqua oari a circa il 20% del cemento. priva di impurità che po­ trebbero ritardare l’idratazione o riuscire in altro modo dannose. si possono però utilizzare anche materiali con basso peso specifico. In condizioni normali di temperatura la presa inizia circa un’ora dopo il mescolamento di acqua e cemento e si considera terminata quan­ do l’impasto ha consistenza tale da sopportare una certa pressione (in genere dopo tre o quattro ore). Il rapporto acqua-cemento è quindi in genere compreso tra 0. tondeggiante. Per una completa. Numerosi sono gli studi volti a definire la granulometria ottimale (diagramma di Füller. Man mano che la reazione chimica procede. fluviali.86 Capitolo 5 dratazione). In realtà ne occorre una quantità maggio­ re. Gli inerti devono avere una forma rego­ lare. in modo che gli elementi più-piccoli vadano ad occupare lo spazio libero tra gli elementi di dimensione maggiore. In un calcestruzzo normale la pasta cementizia è l’elemento più de­ bole. che consentono un accurato controllo della dosatura dei componenti.). Al crescere di tale rapporto aumenta la fluidità del co amasia ma si riduce notevolmente là sua resistenza a compressione. Anche la fase di stagionatura del calcestruzzo è importante ai fini della resistenza che esso acquista. viene fatta a strati successivi e l’impasto viene battuto o vibrato. I giunti di ripresa. E quindi necessario mantenere umide le superfici esposte del getto. con appositi vibra­ tori. aeranti. Se il calore non viene adeguatamente dissipato. senza lasciare vuoti. men­ tre l’acqua tende ad affiorare. L’idratazione è una reazione chimica* che produce calore. I primi riducono il tempo di presa e consentono di ottenere una 'maggiore resistenza nella fase iniziale (per limitare i problemi di getto con tempo freddo o per ridurre i tempi di disarmo delle casseforme). in modo da occupare completamente lo spazio nelle casseforme. vengono usati per aumentare il tempo di presa e di­ minuire la velocità indurimento nelle fasi iniziali (per contrastare l’ef- . La posa in opera. Il calcestruzzo viene posto in opera in apposite casseforme. Una eccessiva vibrazione può però portare alla se­ parazione dei componenti: la ghiaia tende a depositarsi sul fondo. I secondi. uno degli errori più comuni è l’aggiunta di acqua per mantenerne la fluidità dell’impasto. Per intervenire sul comportamento del calcestruzzo fresco è possibi­ le utilizzare opportuni additivi: acceleranti. ma devono essere oggetto di particolare cura. che causa una sensibile riduzione della resistenza (per l’aumento del rapporto ac­ qua-cemento). plasticizzanti. nelle quali sono già disposte le armature. ritardanti. Anche un abbassamento della temperatura ambientale al di sót­ to di 5°C nei primi 7-14 giorni di stagionatura può ridurre la resistenza finale del prodotto. spruzzandole di acqua almeno per i primi tre giorni. si ha un incremento di temperatura ed un aumento di volume del calcestruzzo. Il trasporto è sempre un punto critico e può influire notevolmente sulle caratteristiche meccaniche del prodotto. con conseguente peggioramento delle ca­ ratteristiche meccaniche. viceversa. che può produrre serie lesioni inoltre una prematura essiccazione del calcestruzzo può compor­ tare una perdita di resistenza. non possono essere evitati. in quantità particolarmente elevata nei primi giorni. o getto.Il calcestruzzo 87 continuano a rimescolare ed agitare l’impasto fino all'arrivo in cantiere. cioè le superfici di separazione tra getti effettuati in tempi successivi. e quindi una successiva forte contrazione col raffreddamento. la maggior quantità-di vuoti presenti riduce la resistenza.88 Capitolo 5 fetto di temperature elevate o per ridurre i problemi dovuti all’essicca­ zione in corrispondenza dei giunti di ripresa). 1 . 1). Gli aeranti facilitano-l'incorporamento di aria nel calcestruzzo durante l’impasto. Comportamento sotto carichi di breve durata \ 2. si ottiene un prodotto molto resistente al gelo e ben lavorabile. a provini di forma cubica o ci­ lindrica.1. La prova può essere condotta per determinare esclusivamente il valore della resistenza. In questo secondo caso è op­ portuno operare a deformazione imposta. In effetti. 2. fino alla rottura. I plasticizzanti aumentano anch’essi la lavorabilità dell’impasto. L'andamento tipico del legame tensione-deformazione è marcatamente non lineare. in cui all’incremento di deformazione corrisponde una riduzione della forza applicata (softening). esaminando il comportamento a livello mi­ croscopico si possono distinguere tre fasi: Fig. oppure per tracciare in maniera completa il legame tra tensione e deformazione (fig. ma questo può essere in parte com­ pensato dalla possibilità di ridurre il rapporto acqua-cemento grazie alla maggiore lavorabilità dell’impasto.legame sperimentale tra tensioni e deformazioni assiali . applicando spostamenti (non forze) in modo da seguire il tratto decrescente. Resistenza a compressione Prova a compressione La resistenza a compressione viene determinata applicando una forza di compressione crescente. fino ad un carico pari a circa il 40% di quello di rottura. indica­ ta col simbolo Rc. In entrambi i casi le prove sono effettuate su calcestruzzo con 28 giorni di stagionatura. Quando si raggiunge il carico massimo le fessure diventano evidenti a livello macroscopico e si ha una rottura fragile del provino. in questa fase l'incremento di carico non ha una sensibile influenza sulle microfessure che inevitabilmente esistono nel calcestruzzo. il comportamento macroscopico è sempre più marcatamente non lineare. si nota una ri­ duzione della forza resistente al crescere della deformazione (tratto de­ crescente del diagramma ϭ-ε). A parità di calcestruzzo la resistenza cilindrica minore di quella cubica. ma la propagazione si arresta giungendo ad un nuovo assetto stabile.fase finale. La dilatazione trasversale (legata alla compres­ sione) è localmente impedita dall’attrito. con carico compreso approssimativamente tra il 40% e l'85% di quello di rottura. In questo caso si parla di resisten­ za cilindrica. in questa fase la pro­ pagazione delle microfessure diventa instabile. con lato di 16 cm (o 20 cm. esse possono esten­ dersi nel tempo sotto carico costante. e non di carico. se la prova avviene con applicazione di spostamento. In Italia la resistenza a compressione viene usualmente determina­ ta utilizzando provini di forma cubica. aventi altezza pari al doppio del diametro (ad esempio 30 cm di altezza. portando alla rottura (per questo motivo la resistenza misurata con prove di breve durata è maggiore della resistenza che si rileva per carichi di lunga durata). in questa fase le microfessure si propaga­ no al crescere del carico. Nel resto dell’Europa si preferisce usare provini di forma cilindrica. dall'85% del carico di rottura in su. la rigidezza diminuisce man mano che le fessure si ampliano. 15 cm di diametro).Il calcestruzzo 89 fase iniziale. il com­ portamento macroscopico è quindi prossimo a quello elastico lineare: ~ fase successiva. indicata col simbolo fc. . questo effetto è rilevante nel provino cubico mentre in quello cilindrico - . Si parla in tal caso di resistenza cubica. che provoca un effetto di con­ tenimento laterale aumentando la resistenza della parte terminale. Ciò è dovuto al differente rapporto altezza/larghezza dei provini e alla inevitabile presenza di attrito tra le facce del provino e i piatti del­ la macchina di prova. nel ca­ so di inerti molto grossi). e quindi alla durezza superficiale. che sfruttano la corrispondenza esistente tra il carico di rottura a compressione e la durezza superficiale del conglomerato. una corretta individuazione delle caratteristiche del calcestruzzo. Il loro funzionamento è molto semplice: una massa scorrevole viene trascinata da una molla contro un elemento di acciaio disposto a contatto della superficie in cal­ cestruzzo. convenzionalmente si utilizza la relazione Nei calcoli occorre far riferimento al valore caratteristico della resi­ stenza (frattile 5%). miglioramento o adeguamen­ to sismico. che rimbalza per un tratto proporzionale all’energia restituita.80-0.90 Capitolo 5 (che ha un’altezza almeno doppia rispetto alle dimensioni della-base) la parte centrale si rompe senza risentire di questo effetto. Le indagini su strutture esistenti sono distinte in distruttive e non distruttive. In situazioni ordinarie si può ritene­ re. Gli apparecchi utilizza­ ti per tali prove sono denominati sclerometri.85. la superfìcie messa a nudo deve essere livellata per . per valutarne le caratteristiche statiche o progettare interventi di ristrutturazione. che il valore medio sia legato al valore caratteri­ stico dalle relazioni Prove su strutture esistenti Uno dei problemi più comuni che può incontrare il professionista è l’in­ tervento su strutture esistenti. Il rapporto tra resistenza cilindrica e cubica è pari a circa 0. Le prove non distruttive più comuni sono quelle sclerometriche. in seguito all’urto si ha una ridistribuzione dell’energia cine­ tica iniziale. In questi casi è essenziale. che in parte è dissipata dalla deformazione plastica della superficie del calcestruzzo ed in parte è restituita alla massa mobile. indicato col pedice k. Lo scarto quadratico medio della distribuzione di resistenze dipende dalla qualità del calcestruzzo e dalle modalità di confezionamento. orientativamente. Per una corretta esecuzione delle prove è impor­ tante la preparazione delle superfici da esaminare: l’eventuale intonaco deve essere rimosso. per una qualsiasi valutazione numerica. Infine. tra i valori ottenuti si scartalo il più basso ed il più alto. in modo da superare i limiti intrinseci nella misura di parame­ tri quali durezza superficiale e velocità ultrasoniche (metodo Sonreb).). per inserire un tassello standardizzato. Le carote sono sottoposte a prova di compressione. la loro di­ mensione è però in genere minore rispetto a quella dei provini usati per calcestruzzi in fase di getto. il va­ lore medio delle dieci battute limaste. La prova sclerometrica su una singola superficie consiste in genere nel­ l'effettuazione di dodici battute. presenza di vuoti. fornisce l’indice di rimbalzo dal quale.Il calcestruzzo 91 mezzo della pietra abrasiva in dotazione dello strumento. . si ricava la resistenza nel punto in esame. Essa consiste nell’effettuare col trapano un foro. a volte denominata semidistruttiva. o una elaborazione più complessa per eliminare altri valori estremi. insieme ad un cono di cal­ cestruzzo. Il foro prodotto per l’estrazione della carota viene poi richiuso con malta cementizia a ritiro controllato. microfessurazioni. come un normale provino cilindrico. La velocità di propagazione dipende dalle caratteristiche del materiale (elasticità. per limitare gli errori dovuti a battute su zòne porose o. che di individuare la presenza di eventuali imperfezioni esecutive localizzate. è quella di pull-out. con una opportuna scala. e quindi indirettamente la resistenza. Altra indagine non distruttiva è quella ultrasonica. la prova distruttiva per eccellenza è l’estrazione di carote. etc. onde ultrasoniche longitudinali aventi frequenza variabi­ le tra i 40 ed i 120 kHz. lungo traiettorie all’interno della struttura da analizzare. Le prove consentono quindi sia di valutare il modulo elastico. mediante battute su un provino standard. densità. cioè di elementi cilindrici. e quindi estrarlo. Questa tecnicadi analisi si fonda sullo studio della propagazione di impulsi di vibrazio­ ne meccanica. Indagini sclerometriche ed ultrasoniche possono anche essere ac­ coppiate. La forza di estrazione dei tasselli è messa in relazione con la resistenza a compressione del calcestruzzo. su grossi inerti o in prossimità di barre metàlliche. sia per i limiti della carotatrice che per la necessità di evitare eccessivo disturbo alla struttura esistente. che viene fatta per mezzo di una carotatrice a rotazione. per mezzo di un estrattore. viceversa. di resistenza nota. È inoltre op­ portuno effettuare periodicamente un controllo della taratura dello strumento. Un tipo di prova. 92 Capitolo 5 2. Si genera in questo modo uno stato tensio­ nale di trazione in gran parte del piano diametrale contenente il carico.2. Poiché lo stato tensionale nella sezione è uniforme. problema risolto in genere incollando il provino mediante resine epossidiche. ma il provino.2. 2 . viene disposto coricato nella macchi­ na.prova a trazione diretta . L’Eurocodice 2 (punto 3. Prova a trazione centrata Consiste nell’applicare una forza di trazione crescente. La resistenza a trazione fct. in modo da applicare una compressione lungo due generatrici dia­ metralmente opposte (fìg. Resistenza a trazione La resistenza a trazione è molto minore di quella a compressione. Esistono tre tipi di prove con le quali essa può essere determinata.1. fino alla rottura. di forma cilindrica. 2) Presenta qualche difficoltà nei collegare il provino alla macchina.sP si calcola con la relazione I valori della resistenza a trazione determinati con la prova brasiliana sono quasi uguali a quelli fomiti dalla prova a trazione centrata.3) suggerisce cautelativamente di valutare la resi- Fig. a provini cilindrici o prismatici (fig. Prova a trazione indiretta (prova brasiliana o splitting test) Viene effettuata in maniera analoga alla usuale prova a compressione.ax si ottiene come rapporto tra la forza che porta a rottura il provino e l'area della sua sezione tra­ sversale. 3). la resistenza a trazione fct. 3) sug­ gerisce cautelativamente di valutare la resistenza a trazione in funzione di quella determinata mediante la prova di flessione usando la relazione Fig. Il valore calcolato con la formula innanzi indicata è quindi sensibilmente maggiore (dal 50 al 70% in più) di quello reale.2.Il calcestruzzo 93 r = raggio della sezione / = lunghezza dei-provino Fig. 4 . 3 .prova a trazione indiretta stenza a trazione in funzione di quella determinata mediante la prova brasiliana usando la relazione fct. l'Eurocodice 2 (punto 3.1. 4).9 fct. mediante la relazione In realtà il comportamento del materiale a trazione è non lineare.ax = 0. che generano una sollecitazione di flessione (fig.prova di flessione .fi si può determinare in funzione del momento provocato dalla forza che porta a rottura il provino. la resistenza a trazione fci.sp Prova di flessione ( Consiste nell’applicare a un provino prismatico semplicemente appog­ giato due forze. Se si ipotizza un comportamento elastico lineare. Limiti di Rck e controlli di accettazione La normativa italiana impone di utilizzare come riferimento il valore caratteristico della resistenza cubica Rck misurata su provini cubici con 28 giorni di maturazione. Indicazioni di normativa 3. 5.1.5 MPa Rx > Rck . In questo modo si ottiene in realtà un modulo secante. Usualmente ogni controllo di accettazione è rappresenta­ to da tre provini (quindi si effettua un controllo al massimo ogni 300 m2 di getto). realizzando con il calcestruzzo prelevato due provini. non è ammes. L’allegato 2 dello stesso decreto impone le modalità da seguire per il controllo di accettazione del calcestruzzo utilizzato per la costruzione. R3 le resistenze di prelievo. Il par. se ne calcola il valore medio Il controllo ha esito positivo se sono verificate entrambe le disequaglianze Rm > Rck + 3. con Ri <= R2 <= R3. y Il modulo elastico viene-determinato applicando una forza di compres­ sione a un provino cilìndrico o prismatico e valutando l’accorciamento provocato da un carico pari a circa il 40% di quello di rottura.3. 9/1/96 definisce i valori minimi e massimi della resistenza caratteristica: non è ammesso l'uso di calcestruzzi con Rck minore di 15 MPa per opere in cemento armato normale o minore di 30 MPa per opere in cemento armato precompresso. Occorre effettuare un prelievo ogni 100 m3 di getto.3.2 del D.M. si può ritenere che il modu­ lo elastico tangente all’origine sia maggiore di circa il 10% del valore co­ sì determinato. 3. nonché calcolazioni accurate delle strutture.5 MPa . Mòdulo elastico. la media delle resistenze dei due provini costituisce il valore mediante il quale eseguire i controlli del conglomerato.94 Capitolo 5* / 2. Dette Ri. quando si usa un Rck >= 40 MPa sono richiesti controlli statistici sia preliminari che in cor­ so d’impiego. R2. so considerare una resistenza caratteristica maggiore di 55 MPa. 1. per costruzioni con volume di getto più elevato è ammes­ so un controllo statistico. come valore base.Il calcestruzzo 95 In alternativa.20 MPa e Rck = 25 MPa. Tale calcestruz­ zo equivale quindi al calcestruzzo classificato in Italia come di classe RCk~ 25 MPa.3) consente quindi di valutare il modulo tangente all'origine Ec mediante la relazione Ec =5700 UEurocodice 2 riporta nel capitolo 3 una relazione tra modulo elastico e resistenza cilindrica.2) impone le seguenti relazioni . da effettuare ogni 1500 m3 di getto e sempre con un prelievo ogni 100 m3 di getto.4 s R1 >= Rck . E però molto più agevole ipotizzare che il suo . Nell’utilizzare in Italia l'Eurocodice 2 occorre comunque tenere presente che il documento di applicazione nazionale (NAD) ita­ liano impone di far riferimento. II D. la sigla C 20/25 indica che fck . Indicando con Ri il valore minimo. il primo dei quali indica la resi­ stenza caratteristica cilindrica ed il secondo quella cubica. occorrerebbe tener conto della non linearità del calcestruzzo teso.5 MPa L’Eurocodice 2 considera invece come riferimento primario il valore caratteristico della resistenza cilindrica fck ed individua il calcestruzzo con una sigla che contiene due numeri. Il documento di applicazione nazionale italiano impone però di utilizzare in ogni caso la formula sopra riportata. Modulo elastico Il modulo elastico del calcestruzzo è tanto più alto quanto maggiore è la resistenza a compressione. Rn il valore medio ed s lo scarto quadratico medio dei 15 o più prelievi.3. alla resistenza cubica e di ricavare da questa tutte gli altri valori necessari per il calcolo 3.2. 3.M. il controllo è positivo se sono verificate entrambe le disequaglianze Rm >= Rck + 1.resistenza media a trazione . 9/1/96 (par. 9/1/96 (par.M.resistenza caratteristica (frattile 5%) Per sezioni soggette a flessione. 2. 2.3. Il D. Resistenza a trazione La resistenza a trazione può essere messa in relazione con quella a compressione. Ad esempio.1. Quando si applica il metodo degli stati limite occorre utilizzare nei calcoli la resistenza cilindrica. questa deve es­ sere determinata a partire dalla resistenza cubica. 3. /Resistenza a compressione: limiti per TA e SLU Per chi applica il metodo delle tensioni ammissibili.96 Capitolo 5 comportamento sia lineare.M.resistenza a trazione per flessione L’Eurocodice 2 riporta nel capitolo 3 formule per il calcolo della re­ sistenza a trazione del calcestruzzo in funzione della resistenza a com­ pressione analoghe ma non coincidenti con quelle previste dal D. in funzione della sua resi­ stenza cubica caratteristica RCk. 9/1/96.3 e 3. semplice o composta. con la relazione Il valore di calcolo è ottenuto dividendo il valore caratteristico per il coefficiente di sicurezza parziale del calcestruzzo γc. 3. il D.1. 9/1/96 anche quando si utilizza l'Eurocodice 2.4 le espressioni con le quali calcolare i valori delle tensioni ammissibili per il calcestruzzo.M. Secondo il NAD italiano. Per tener conto della . Il documento di applicazione nazionale italiano impone però di seguire le indicazioni sui materiali-contenuti nel . il valore ammissibile della tensione normale a.M. espresso in MPa. La normativa definisce quindi . Per compensare l’approssimazione di tale approccio occorre usare una resistenza fìttiziamente maggiorata. è: In presenza di taglio o di torsione vengono definiti due valori della tensione tangenziale t. In presenza di flessione. che rappresentano rispettivamente il limite al di sotto del quale non è necessario calcolare un’armatura a taglio o torsio­ ne e il limite al di sopra del quale la sezione non è adeguata: Quest’ultimo valore può essere incrementato del 10% nel caso di presen­ za contemporanea di taglio e torsione.4. 14/2/92 for­ nisce nel par. D.1. Numerosi ricercatori hanno proposto formule che esprimono in ma­ niera analitica il legame costitutivo del calcestruzzo. in questo capìtolo si riporta la formulazione del legame costitutivo prescindendo dal segno. 3. tuttavia. rispetto ai valori proposti in sede europea. ma dipende. Sé la prova è condotta imponen­ do deformazioni (non carichi) si nota uh successivo tratto discendente. per semplicità. Sargin ha suggeri­ to una espressione molto generale con ed ha fornito indicazioni per collegare i coefficienti A e D a i dati geome­ trici dell’elemento ed a caratteristiche del calcestruzzo ricavabili speri- 1 La convenzione dei segai usata nel testo considera negativa la tensione di com­ pressione e la deformazione di accorciamento.5. con riferimento ai dati sperimentali. che la prova a compressione monoassiale mostra che il diagramma tensioni-deforma­ zioni ha un andamento crescente curvilineo che raggiunge il massimo fc per deformazioni εci prossime a 0. . dalla eventuale presenza di armature di confinamento (staffe).5 per il cemento armato precompresso e 1. Si deve quindi usare il valore Anche 1 coefficienti parziali di sicurezza del calcestruzzo sono in parte modificati dal NAD italiano. Per le verifiche agli stati limite di esercizio il coeff. fino al valore di rottura εCu < La pendenza di questo tratto e la deforma­ zione di rottura dipendono dalla resistenza massima del calcestruzzo (i materiali più resistenti sono meno duttili.Il calcestruzzo 97 riduzione di resistenza per effetto di carichi di lunga durata occorre inoltre ridurre la tensione di calcolo a compressione mediante un coeffi­ ciente α=0. Legame tensioni-deformazioni per SLU Si è già fatto notare. Nelle verifiche allo stato limite ultimo si deve infatti usare un coefficiente yc pari a 1.6 per il cemento armato ordinario (o in caso di precompressione parziale). cioè hanno minori deforma­ zioni a rottura). soprattutto.85. yc vale sempre 1.0021. legame costitutivo per il calcestruzzo.98 Capitolo 5 mentalmente.2. con una estensione e pendenza dipendenti dalla quantità di armature di confi­ namento. = 0. 6).0. le deformazioni limite valgono εCI. costituito da un tratto parabolico ed uno costante (fig. e termina con un tratto costante fino alla e di rottura. L’Eurocodice 2 suggerisce di utilizzare per un’analisi strutturale non lineare o plastica la seguente legge (fig.0035 Fig.1. 5) Ec0 modulo tangente all’origine che è derivata da quella di Sargin. da utilizzare per analisi non lineari .3. Kent e Park hanno proposto una legge nella quale il trat­ to crescente è parabolico mentre quello decrescente è lineare.0020 εcu =0.1. 4.3) impongono Fuso di un diagramma tensioni-deformazioni con­ venzionale. ponendo A—k e D=0.2.2 e 4. 5 . Nella verifica allo stato limite ultimo delle sezioni trasversali sia l’Eurocodice 2 (punto 4.3) che la norma italiana (par. legame costitutivo per il calcestruzzo. 6 .85 che tiene conto dell’effetto dei carichi di lunga durata e con c L’equazione del tratto parabolico si scrive L’Eurocodice 2 consente anche l’uso di diagrammi semplificati. da utilizzare per la verifica delle sezioni trasversali ( La tensione massima è pari ad a f d col coefficiente a=0. . Esempio Determinare il modulo elastico e la resistenza a trazione per calcestruzzi di classe Rck — 2530. I valori ottenu­ ti sono riepilogati nella tabella 1. 35 MPa.00135) oppure l’uso di una distribuzione di tensione costante (pari ad a fcd) per un’altezza corri­ spondente all'80% della zona compressa.Il calcestruzzo 99 Fig. qua­ le quello bilineare (nel quale il tratto parabolico è sostituito da un tratto lineare che raggiunge il massimo per sc = 0. Per un calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa si ha In maniera analoga si procede per le altre classi di calcestruzzo. 35 MPa. Determinare i valori ammissibili delle tensioni normali e tangen­ ziali per calcestruzzi di classe Rck — 25.100 Capitolo 5 Tab. Determinare i valori di calcolo della resistenza a trazione e a com­ pressione per opere in cemento armato ordinario con calcestruzzi di classe Rck =25. Tab. 30. 30.tensioni ammissibili per il calcestruzzo Esempio 3. Per un calcestruzzo di classe Rck — 25 MPa si ha In maniera analoga si procede per le altre classi di calcestruzzo. 35 MPa. 2 . I valori ottenu­ ti sono riepilogati nella tabella 2.modulo elastico e resistenza a trazione del calcestruzzo Esempio 2. 1 . Per un calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa si ha . valori di calcolo delle tensioni per cemento armato precompresso 4. 40 MPa.i a un tempo t (in giorni) diverso può essere espresso da . Tab.I-l-ealeestruzzo 101 In maniera analoga si procede per le altre classi di calcestruzzo. Si opera come nell’esempio precedente. 3 . Determinare i valori di calcolo della resistenza a trazione e a com­ pressione per opere in cemento armato precompresso con calcestruzzi di classe Rck = 30. Comportamento del calcestruzzo nel tempo: 4. I valori ottenu­ ti sono riepilogati nella tabella 3. Tab.valori di calcolo delle tensioni per cemento armato ordinario Esempio 4. Il valore fc. 4 . ma utilizzando il valore γc = 1. Stagionatura e resistenza La resistenza varia con la stagionatura del calcestruzzo. 35.5.1 valori ottenuti sono riepilogati nella tabella 4.1. In genere si fa riferimento al valore fc misurato dopo 28 giorni dal getto. mentre in caso di maturazione forzata (spesso usata per elementi prefabbricati) è più cor­ retto il valore p=0.2.andamento della resistenza a compressione nel tempo Il valore di p dipende dal tipo di cemento e da come avviene la matura­ zione.11 fc.102 Capitolo 5 Fig. Piccole lesioni da ritiro sono inevitabili.10.25. perché l'accorciamento è in genere impedito dall'iperstaticità dello schema. durante la stagionatura. La resistenza finale (a tempo infinito) vale nei due casi rispettivamente 1. il calcestruzzo deve contenere una quantità d'ac­ qua maggiore di quella strettamente necessaria per l'idratazione del cemento. più ancora che tenerne conto effettuando speci­ . Il fenomeno del ritiro è particolarmente rilevante nelle prime setti­ mane di stagionatura. è esposto all'aria una buona parte di quest'acqua evapora e ciò comporta una ri­ duzione del suo volume. Se invece il calcestruzzo è immerso in acqua esso assorbe ul­ teriore acqua ed aumenta di volume. \ E quindi indispensabile. Il conseguente andamento della resistenza nel tempo è mostrato nella figura 7. ma continua in misura via via minore per parec­ chi mesi. 4. Ritiro Per essere lavorabile. in quanto può provocare uno stato tensionale di trazione anche elevato. ma talvolta le dimensioni delle fessure possono essere rilevanti e indurre un prematuro degrado delle strutture. Questo fenomeno è detto ritiro (in inglese shrinkage). per cementi normali si può assumere (3=0.28 fc e 1. Esso è sicuramente dannoso per le strutture. Quando il calcestruzzo. 7 . Oltre che dalla quantità d’acqua presente nell’impasto. 9/1/96 (e devono essere utilizza­ te anche in sostituzione di quanto indicato nel punto 3. mentre deve sempre essere effettuata nel caso di elementi in cemento armato precompresso. flessione nei pilastri). mediante i cosiddetti “giunti termici”.M. Poiché il coefficiente di dilatazione termica del calcestruzzo è circa 1x1O-5.5. Con tali accorgimenti una specifica valutazione delle deformazioni da ritiro diventa non essenziale per le strutture in cemento armato ordinario. un eccessivo contenuto di acqua nell'impasto. e quindi dividendo le strutture che hanno una estensione pianimetrica superiore ai 30-40 metri in blocchi indipendenti. L’accorciamento finale eCs (too-t0) misurato a partire dal tempo io. che tiene conto del rapporto tra area Ac di calcestruzzo e pe­ rimetro u della superficie di calcestruzzo esposta all’aria . evitando getti di estensione molto elevata.40xl0'3. il ritiro equivale quindi ad una variazione termica negativa di 20-40° C.20xl0-3 a 0.1. ed anche oltre. L’accorciamento unitario dovuto al ritiro può andare da 0. Indicazioni quantitati­ ve sono fornite dal punto 2. . cercare di limitarne gli effetti negativi con opportuni provve­ dimenti: .1.fuori calcolo .6 del D.in tutti gli elementi armature idonee ad assorbire le caratteristiche di sollecitazione provocate dal ritiro (principalmente trazione in travi e solai.Il calcestruzzo 103 fici calcoli.evitando. è indicato nella tabella 5 in funzione dell'umidità relativa e del pa­ rametro a.2.disponendo . l’entità del ritiro dipende dall’umidità dell’ambiente in cui avviene la stagionatura e dall’estensione della superficie esposta all’aria.5 dell’Eurocodice 2). L'area della sezione della trave è A c =30x60 = 1800cm2 Il perimetro esposto all’aria deve essere valutato escludendo il tratto di trave a contatto col solaio u = (60 — 24) x 2 + 30 x 2 = 132 cm Il parametro a vale quindi . 9/1/96. stagionata in ambiente con umidità relativa 60%.104 Capitolo 5 Per valori intermedi tra quelli indicati in tabella si dovrà interpolare li­ nearmente. 5 o 8 rispettivamente per calcestruzzo a indurimento lento. si valuti l'accorcia­ mento unitario da ritiro da 28 giorni a tempo infinito. Il coefficiente nominale di ritiro ε cso può essere otte­ nuto con l'espressione εcso=εs(fcm) βrh nella quale ε s(fcm) è il fattore che tiene conto della resistenza media a compressione del calcestruzzo (alla stagionatura di 28 giorni) εs(fcm) =[160+βsc(90-fcm)]x10-6 con βsc = 4. Esempio 5. emergente da un solaio di spessore 24 cm. secondo le indicazioni del DM.035h20+ t-ts) nella quale ho è il parametro indicato con a dalla normativa italiana (espresso in mm).55[1-(RH/100)3 per calcestruzzo esposto all’aria βrh =+0. Indicazioni molto più dettagliate sono contenute neirappendice 1 deirEurocodice 2. Per una trave di sezione 30x60. indurimento normale o rapido oppure indurimento rapido ed alta resi­ stenza e βrh il fattore che tiene conto dell’umidità relativa ambientale RH βrh =-1.25 per calcestruzzo immerso in acqua Lo sviluppo del ritiro nel tempo può essere valutato moltiplicando il coefficiente nominale di ritiro per un coefficiente βs(t-ts) fornito dall’espressione βs(t-ts)=√(t-ts / 0. Esempio 6. se la trave è libera di deformarsi si ha proprio questo accorcia­ mento. secondo le indicazioni dell'appendice 1 dell'Eurocodice 2. il valore caratteristico della resi­ stenza cilindrica è Fig. Per la stessa trave dell’esempio precedente. si ha per a=27. si ha Interpolando tra questi due valori.Il calcestruzzo 105 Con riferimento ad una età compresa tra 8 e 60 giorni. interpolando tra i valori di umidità del 55 e 75% per ottenere il valore corrispondente al 60%. Per un calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa.27 cm Ovviamente. si valuti l'andamento dell'accorciamento unitario da ritiro nel tempo. raccorciamento è limitato dagli altri elementi strutturali ed insorgerà quindi uno stato tensionale più o meno rilevante. senza che nascano tensioni. realizzata in calcestruz­ zo di classe Rck = 25 MPa con indurimento normale. In strutture iperstatiche.andamento nel tempo dell'accorciamento unitario da ritiro secondo l’appendice 1 dell’Eurocodice 2) . 8 . 3. Questo feno­ meno. si verificano istantaneamente deformazioni elastiche che rispettano il legame cr-e descritto nel paragrafo 3. Nel­ la comune prassi progettuale non si effettuano specifici calcoli per valu­ tare l’effetto dello scorrimento viscoso. Di esso si tiene però implicita­ mente conto in numerosi casi. in inglese creep).106 Capitolo 5 4. quando si usa un valore convenzionale del rapporto dei moduli elastici n=Es IEC. è indicato col termine viscosità (in francese fluage. Sotto carichi di lunga durata avviene pero nel tempo un rilevante incremento di deformazioni. ad esempio nel metodo delle tensioni ammissibili. . potendo arrivare a valori pari a 2-3 volte le deformazioni elastiche. L’entità delle deformazioni viscose dipende dalla composizione del calcestruzzo. _ Le deformazioni viscose a tempo infinito sono veramente rilevanti. dalle dimensioni dell’elemento e dall’umidità relativa dell'ambiente ma anche dall’entità dei ca­ richi di lunga durata applicati alla struttura e dalla maturazione del calcestruzzo al momento dell’applicazione dei carichi.5. Scorrimento viscoso Quando si applicano carichi ad una struttura in cemento armato. causato principalmente dalla migrazione ed evaporazione dell’ac­ qua presente nei pori del calcestruzzo. 2.1.5. in giorni. vale . Il coefficiente finale di viscosità φ(to0. Indicazioni quantitative sono fornite dal punto 2.7 del D. misurato a partire dal tempo io di messa in carico.-to). al momento di applicazione del carico. 9/1/96 (e devono essere utilizzate anche in sostituzione di quanto indicato nel punto 3. Per valori intermedi tra quelli indicati in tabella si dovrà interpolare line­ armente.M. può essere ottenuto con l’espressione dove essendo io l’età del calcestruzzo. è indicato nella tabel­ la 6 in funzione dell’umidità relativa e del parametro a.Il calcestruzzo 107 Una specifica valutazione delle deformazioni viscose è invece impor­ tante quando si impone la congruenza tra elementi in calcestruzzo ed clementi in acciaio: ciò avviene sia per le strutture miste acciaio-calce­ struzzo che nel caso di elementi in cemento armato precompresso. già definito.' cioè il moltipli­ catore delle deformazioni elastiche per tener conto delle deformazioni viscose a tempo infinito. Indicazioni molto più dettagliate sono contenute nell'appendice 1 dell’Eurocodice 2.5 dell'Eurocodice 2). Il coefficiente nominale di viscosità ϕo. L’andamento della deformazione viscosa nel tempo può essere valutato moltiplicando il predetto valore per nella quale il termine βh che tiene conto dell’umidità relativa.1. secondo le indicazioni dell’appendice 1 dell’Eurocodice 2. si valuti il coefficiente finale di viscosità per un. carico applicato a 28 giorni di stagionatura.2 (2) e (3) del­ l’appendice 1 deH?Eurocodice 2.27 cm Con riferimento ad una età compresa tra 8 e 60 giorni.M. si ha Esempio 8. riportate ai punti 1. già calcolato nell’esempio 5. è fcm — 28.. realizzata in calcestruzzo di clas­ se Rck — 25 MPa. correggendo il valore di io con ulteriori espressioni. Per la stessa trave dell’esempio 5. 7. Per la stessa trave dell’esempio 5.75 MPa Il fattore che tiene conto di tale resistenza vale Il coefficiente nominale di viscosità ϕo è quindi . si valuti l’andamento della deformazione viscosa nel tempo.1. interpolando tra i valori di umidità del 55 e 75% per ottenere il valore corrispondente al 60%. vale a = 27. già valutata nell’e­ sempio 6. 9/1/96„ Il parametro a. secondo le indicazioni del D. Il fattore che tiene conto dell’umidità relativa ambientale (RH~60%) vale Il fattore che tiene conto dell’età del calcestruzzo al momento di applicazione del carico è Il valore medio della resistenza cilindrica del calcestruzzo.108 Capitolo 5 L'effetto di temperature alte o basse e del tipo di indurimento del calcestruzzo (lento o rapido) può essere pure tenuto in conto. Esempio. Il calcestruzzo 109 Fig. costituenti il calcestruzzo abbassa il pH iniziale dal valore 13-14 a valori minori di 12. La reazione di neu­ tralizzazione tra sostanze acide provenienti dall’ambiente esterno. dopo anni o decenni. e componenti alcalini. La carbonata­ zione del calcestruzzo. Nel tempo. CO2. L’anda­ mento della deformazione nel tempo. la deformazione finale sarà quindi quasi tre volte e mezzo quella istantanea. cioè lo spessore di calcestruzzo coinvolto dalla carbonatazione. La riduzione del grado di alcalinità del calcestruzzo. l’anidride carbonica presente nell’aria reagisce con gli strati superficiali del calcestruzzo. compromette l’ambiente passivante che costituisce la naturale protezione delle barre di armatura. pertanto. ed è importante conoscere la sua velocità di avanzamento.5. è mostrato nella figura 9. Ca(OH)2. non è un fenomeno allarmante di per sé. ma diventa tale in quanto la sua evoluzione temporale favorisce la corrosione dell’acciaio. 9 .andamento nel tempo della deformazione totale (elastica più viscosa) secondo l’appendice 1 dell’Eurocodiee 2) Tenendo conto degli effetti viscosi.4. riscontrata all’applicazione del carico. Variazione delle proprietà chimiche (carbonatazione) La carbonatazione è una delle cause di natura chimica del degrado del calcestruzzo armato. . Il fenomeno della carbonatazione è molto lento e compare. 4. ottenuto moltiplicando il coefficiente (|>o per il fattore βc (t-to). l’anidride carbonica si diffonde. sebbene saturo di acqua.110 Capitolo 5 Le condizioni ambientali sono determinanti nel processo di carbona­ tazione. La pro­ va con la fenolftaleina viene eseguita in sito. in modo da accertare quanto sia esteso in profondità lo stato di carbonatazione del calcestruzzo. sulla struttura messa a nudo rimovendo l’intonaco e lo strato superficiale di calcestruzzo. . Le condizioni ambientali critiche per il fenomeno della carbonatazione sono quelle con umidità relativa tra il 60% e il 70%.nell’acqua con una velocità bassissima. Un calcestruzzo in atmosfera molto umida (umidità relativa superiore all’80%) non può essere soggetto a carbonatazione perché. perché il quantitativo di acqua nei pori è tale da far procedere il fenomeno con la massima veloci­ tà verso gli strati più interni del calcestruzzo. La carbonatazione è constatabile spruzzando sulla superficie del calcestruzzo una soluzione all’1% di fenolftaleina in alcool etilico: le zone che non si colorano di rosso sono zone affette da carbonatazione. oppu­ re su carote estratte dalla struttura. D’altro canto anche un calcestruzzo in ambien­ te molto secco (umidità relativa inferiore al 50%) non può subire la car­ bonatazione perché i suoi pori sono secchi e quindi privi di acqua. cioè grandi deformazioni a rottura.diagramma sperimentale tensioni-deformazioni per l’acciaio . una lega di ferro e carbonio. 1 . fino al raggiungimento di una valore Fig. L’acciaio pre­ senta uguale resistenza a trazione e a compressione. Quello utilizzato per cemento armato ordinario è un acciaio dolce. Esso presenta un primo tratto linearmente elastico. nel quale la percentua^ le di carbonio è molto bassa. non si effettuano prove a compressione perché si avrebbero rilevanti problemi di instabilità. Caratteristiche del materiale L’acciaio è. Il tipico diagramma tensio­ ne-deformazione dell’acciaio è mostrato in figura 1.Capitolo 6 L’ACCIAIO PER CEMENTO ARMATO ORDINARIO 1.2%. ma le prove per va­ lutarla sono sempre effettuate sottoponendo a trazione barre di lun­ ghezza standardizzata. circa lo 0. come ben noto. ciò consente una notevole duttilità del materiale. M. A questo seguono rilevanti deformazioni sotto tensione costante e poi a partire dalla deformazione εh una ripresa detta incrudimento (in inglese hardening. 2. allungamento a rottura > 23%. realizzate con acciai estremamente duttili ma non partico­ larmente resistenti. Attualmente si utilizzano barre ad aderenza migliorata. nelle quali sono presenti nervature elicoidali che rendono più difficile lo sfilamento della barra dal calcestruzzo. La deformazione unitaria di rottu­ ra è indicata col simbolo εt. Il D. da curii pedice h). I corrispondenti tipi di acciaio sono: . Queste sono ancora consentite.112 Capitolo 6 fy detto tensione di snervamento (in inglese snervamento si dice yiel-_ ding. .2) e sono contraddistinti da una sigla che ne indica la tensione di snervamento. allo stabilimento. lisce. allungamento a rottura > 14%. per le barre ad aderenza mi­ gliorata. resistenza a trazione) . La tensione può così crescere fino al valore massimo fu (in inglese ultimate strensth)1 cor­ rispondente alla deformazione Su. 1 II valore massimo è a volte indicato anche con fi (in questo caso il pedice t fa riferimento al termine inglese tensile strength.Fe B 38 k con tensione di snervamento fyk >375 MPa e di rottura fuk > 450 MPa. il riferimento all’azienda produttrice. La norma prevede. da cui il pedice y). ma in pratica non più utilizzate. I tipi di acciaio il cui uso è consentito in Italia sono individuati dalla normativa (par. al tipo di acciaio ed alla sua eventuale saldabilità.Fe B 32 k con tensione di snervamento fyk> 315 MPa e di rottura fuk > 490 MPa. Tutti i prodotti devono essere forniti di un marchio dal quale risul­ ti. L’acciaio per cemento armato ordinario è prodotto in barre dritte o in reti elettrosaldate. i seguenti tipi di acciaio: . superato il quale si possono avere ul­ teriori deformazioni con carico decrescente (per valutarle occorre effet­ tuare la prova imponendo un allungamento crescente e misurando il ca­ rico corrispondente e non viceversa). Nel passato si utilizzavano barre a sezione cir­ colare.Fe B 22 k con tensione di snervamento fyk > 215 MPqi e di rottura fuk > 335 MPa. in modo inequivocabile. allungamento a rottura > 24%. 9/1/96 (allegato 4) impone controlli siste­ matici da effettuare in stabilimento per la qualificazione dei tipi di ac­ ciaio. 2. ~i ----Entrambi i tipi di acciaio hanno una duttilità molto alta. Le barre di acciaio italiane.025). solitamente di 12 m di lunghezza. Col tempo sta diventando sempre più prevalente l'uso del secondo (Fe B 44_k)‘ e spesso anche l’acciaio classificato come Fe B 38 k è solo una partita di acciaio Fe B 44 k che non ha superato le prove di qualificazione. fornite in pannelli larghi da 2 a 3 metri e lunghi da 3 a 6 metri.6 i valori delle tensioni ammissibili per i diversi tipi di acciaio. allungamento a rottura > 12%. Le reti elettrosal­ date.4. possono rendere l'acciaio estremamente fragi­ le e ciò può essere evitato solo intervenendo nella composizione chimica dell’acciaio. da 06 a 030) per jFeB38k e da 06 a 026 per FeB44k. In alcuni stati dell’Unione Europea sono prodotti acciai molto meno duttili di quelli italiani e ciò ha provocato lunghe discussione in fase di stesura delle norme europee.M. Indicazioni di normativa 2.1. sono disponibili nei diametri pari. da 6 a 30 mm (o. Attualmente l'Eurocodice 2 (punto 3. perché le forti variazioni termi­ che indotte dal procedimento di saldatura.1. o no. In assenza di que­ sto sono proibite le giunzioni mediante saldatura (par. Metodo delle tensioni ammissibili Per chi applica il metodo delle. Rispettare questa prescrizione è molto importante. in base alla deformazione sotto carico massimo εuk. 14/2/92 for­ nisce nel par. Gli acciai per cemento armato possono essere. sono costituite da fili di diametro da 4 a 12 mm.2. mentre la deformazione a rottura deve essere almeno pari all’8%. 2.2. il D. L’acciaio per reti elettrosaldate deve avere una tensione-di snerva­ mento fyk non inferiore a 390 MPa e di rottura fuk non inferiore a 450 MPa. come acciai ad alta duttilità (quando Suk > 0.6). Si ha: .05) e a normale duttilità (quando εuk > 0. tensioni ammissibili.Fe B 44 k con tensione di snervamento fyk >= 430 MPa e di rottura fuk >= 540 MPa. come si scrive in genere. ciò è comprovato da un apposito marchio. saldabili. Quando lo sono. nonché le reazioni chimiche dell’acciaio fuso con Faria.2) classifica gli acciai. 3.L’acciaio per cemento armato ordinario 113 . per acciaio Fe B 44 k a5 = 215 MPa a5 = 255 MPa 2. L'Eurocodice 2 (punto 4.114 Capitolo 6 .3.2.010 (fig. que­ sto limite è molto lontano dalle reali capacità deformative dell'acciaio. Fig.. 3). Infine.per acciaio Fe B 38 k . Si può in questo modo tener conto dell'incremento di resistenza dovuto all'incrudimento del materiale.2. ma veniva imposto perché si riteneva che oltre tale valore la fessurazio­ ne del calcestruzzo diventasse eccessiva e l'aderenza tra acciaio e calcestruzzo non fosse più garantita.2) consente l'utilizzo di un diagramma ϭ-ε nel quale il tratto plastico è inclinato. I risultati ottenuti mediante questo le­ game costitutivo sono sostanzialmente coincidenti con quelli ottenuti con l'impostazione “classica". nel presente testo userò questo legame costitutivo. con inclinazione tale da rag­ giungere il valore fud per una deformazione εsu = 0. Pertanto. II diagramma che veniva classicamente suggerito era costituito da un tratto elastico ed uno per­ fettamente plastico. senza limiti alla de' formazione dell'acciaio (fig. Verifiche allo stato limite ultimo Nella verifica allo stato limite ultimo delle sezioni trasversali è possibile utilizzare più diagrammi tensioni-deformazioni. che rappresentano una semplificazione del diagramma sperimentale. 2 . 2 b). 2 a).010 (fig.. fino al limite convenzionale εsu = 0.possibili diagramma di calcolo tensioni-deformazioni per l’acciaio . l'Eurocodice consente di utilizzare un diagramma costituito da un tratto elastico ed uno perfettamente plastico. ma Fassenza di limiti per la deformazione dell’acciaio consente numerose utili semplificazioni nella trattazione analitica.2. ed ove occorre di quella di calcolo.1.per acciaio Fe B 38 k εyk = 0.per acciaio Fe B 44 k fyd = 326. ma l’Eurocodice 2 suggerisce di utilizzare il valore (arro­ tondato) di 200000 MPa.1 MPa fvd =391.3 MPa fyd =373.9 MPa fud .L’acciaio per cemento armato ordinario 115 Fig. si ha quindi . La deformazione corrispondente allo snerva­ mento si ottiene dividendo la tensione di snervamento per il modulo elastico.per acciaio Fe B 44 k εyk = 0.diagramma di calcolo tensioni-deformazioni per l’acciaio Il valore di calcolo della tensione di snervamento. Utilizzando il valore di Es suggerito dalTEurocodice. Tensioni di aderenza La solidarietà tra calcestruzzo e barre di acciaio è garantita dall’ade­ renza (in inglese bond) che si sviluppa lungo la superficie di una barra immersa nel calcestruzzo assicurando la trasmissione di sforzi di scor­ rimento (tensioni di aderenza) tra i due materiali.00188 εyd = 0. 3 . Aderenza acciaio-calcestruzzo 3.469.00187 3.00164 . Essa è dovuta sia .00215 ε yd= 0.per acciaio Fe B 38 k . sono ottenuti dividendo i valori caratteristici per il co­ efficiente parziale di sicurezza ys e quindi .6 MPa Il valore del modulo elastico Es dell’acciaio è usualmente posto pari ( a 206000 MPa. .116 Capitolo 6 all’adesione chimica molecolare che alla compenetrazione geometrica dovuta alla scabrosità delle superfici di contatto.3.M. ad fck anziché ad Rck. mentre coinci­ dono formalmente con quelle italiane per barre ad aderenza migliorata (ma il valore di riferimento fctk è leggermente differente).per barre ad aderenza migliorata Si noti che le formule originariamente proposte dall’Eurocodice 2 fanno riferimento. fi­ no al 50%”. dalla posizione e dall’inclinazione della barra durante il getto ed anche dalle dimensioni dell’elemento in cui è posta la barra.la barra ha un’inclinazione rispetto all'orizzontale di 45-90°. 5. 9/1/96.2. .la barra è posta in un elemento la cui altezza nella direzione del getto è non maggiore di 25 cm.per barre lisce . nel caso di barre lisce. secondo il D. Se le condizioni di aderenza non sono buone.2) e.M. . par. In questi casi il valore di calcolo della tensione ultima di aderenza fbd può essere-valutato.la barra è posta nella metà inferiore di un elemento.M. 9/1/96 a quelle del capitolo 3 dell’Eurocodice. meno dettagliatamente. In particolare. poiché il NAD italiano sostituisce le formule del D. Il valore massimo della tensione di aderenza che può essere tra­ smessa tra acciaio e calcestruzzo dipende dal profilo della barra (liscia o ad aderenza migliorata).3. con l’espressione: . anche nel calcolo di fbd si deve far riferimento ad esse. accentuata da apposite nervature nelle barre ad aderenza migliorata. o comunque a una distanza di almeno 30 cm dal bordo superiore dell’elemento. il D. la vibrazione del calcestruzzo fatta dopo il getto tende a separare acqua e inerti. 9/1/96 considerano buone le condizioni di aderenza che si sviluppano quando: . la parte superiore dell’elemento (specie se questo è di grandi dimensioni) sarà costituita da più acqua e meno inerte ed avrà quindi caratteristiche meccaniche peggiori e potrà svi­ luppare una minore aderenza. L’Eurocodice 2 (punto 5. occorre ridurre il valore innanzi riportato: secondo la norma italiana “in maniera congrua. secondo l’Eurocodice 2 del 30%. ancoraggio di una barra . Lunghezza di ancoraggio Per impedire lo sfilamento di una barra da un blocco di calcestruzzo è ne­ cessario che essa sia immersa per una lunghezza tale da consentire la trasmissione al calcestruzzo dell’intera forza di trazione esercitata sulla barra. 4). Dall’equilibrio alla traslazione si ottiene.2. Un valore base di riferimento lb può essere calcolato ipotizzando la barra sollecitata dalla tensione di progetto fya ed una aderenza tra ac­ ciaio e calcestruzzo pari al valore ultimo fbd (fig. 4 .L'acciaio per cemento armato ordinario 117 3. indicando con ϕ il diametro della barra Fig. per evitare che in caso di errato po­ sizionamento della barra la piega risulti tutta a contatto con la cassaforma e quindi esposta alla corrosione.sàgome di ancoraggio . ciò diventa necessario per gli ancoraggi nella parte terminale di ele­ menti (ad esempio nell’appoggio di estremità di una trave continua). Il più semplice. La lunghezza della piega deve essere almeno pari a 5 0 perché essa sia ef­ ficace e comunque per motivazioni pratiche non la si fa mai inferiore a 10 cm. una tale soluzione è adottata normal­ mente solo per le barre lisce. realizzando quel­ lo che viene denominato gancio. E infine possibile piegare l'estremo della barra con un angolo superiore a 150° (fìg. 5 . 5 c). in ancoraggi di estremità è consigliabile piegare la barra con un angolo leggermente maggiore ai 90°. che consiste nel mantenere la barra diritta (fìg. come il dire che per barre in acciaio Fe B 44 k poste in un calcestruzzo di classe Rck = 2h MPa la lunghezza di ancoraggio di base è poco più di 40 diametri (vedi anche l'esempio 2). In alternativa è possibile piegare l'estremità della barra (fig. 5 b). L'ancoraggio di una barra può essere realizzato in diversi modi. in modo da ridurre la lunghezza del tratto rettilineo. 5 a). è nor­ malmente usato quando si ha sufficiente spazio per sviluppare Finterà lunghezza di ancoraggio. Fig.118 Capitolo 6 Si possono da ciò trarre facili regole mnemoniche. vale 1 per barre diritte.3) suggerisce di valutare tale lun­ ghezza con l'espressione nella quale il rapporto tra area di ferro richiesta e area di ferro disposta equivale al tasso di lavoro della barra. almeno pari a 3 0. Esempio 2. Per l’acciaio Fe B 44 k il valore di calcolo della tensione di snervamento è Utilizzando i valori della tensione di aderenza calcolati nell'esempio 1.L'acciaio per cemento-armato ordinario 119 L'ancoraggio delle staffe è invece realizzato normalmente con ganci. 35 MPa (per opere in cemento armato ordinario). La norma italiana pone invece come minimi 20 0 e 15 cm. perché questo potrebbe sal­ tare e in tal caso si perderebbe l'efficacia dell'ancoraggio. che tie­ ne conto della sagoma. L’Eurocodice 2 (punto 5. poste in calcestruzzi di classe Rck = B5.nella zona di ricoprimento.3 e di 10 0 (per ancoraggi in trazione) o di 0. 0.6 lb e 10 cm (per ancoraggi in compressione). L'effettiva lunghezza di ancoraggio lb. deve essere invece evitato se la piega è posta. purché vi sia un sufficiente ricoprimento. della condi­ zione di aderenza (che può non essere buona e quindi imporre la ridu­ zione di fbd) e della sagoma della parte di ancoraggio della barra (diritta o piegata). misurato ortogonalmente al piano di piega. mentre il coefficiente αa.7 per barre in trazionepiegate o con gancio.net deve tenere conto del tasso di lavoro della barra (che può essere anche minore di fyd ). Il valore della lunghezza di ancoraggio non deve comunque essere minore di 0. 30. si ha per calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa In maniera analoga si trova . disponendo sempre una barra longitudinale all'interno del gancio. Calcolare la lunghezza base di ancoraggio per barre ad aderenza migliorata in acciaio Fe B 44 k. L'uso di pieghe a 90° è consentito ma è accettabile solo se la piega è posiziona­ ta all'interno di un blocco di calcestruzzo.2. e lo incremento “a occhio” se sono in situazione di cattiva aderenza. In effetti. dove si usano sempre barre piegate. si può così ritenere che la tensione di lavoro della prima barra diminuisca man mano e contemporaneamente aumenti della stessa quantità la tensione di lavoro nella seconda. compresa la lunghezza della piega.giunzione per sovrapposizione . spesso non è possibile garantire un tratto orizzon­ tale di lunghezza sufficiente. anche usando αa= 0.2. Indicazioni dettagliate sono riportate nell’Eurocodice 2 (punto 5. In questo caso io faccio rife­ rimento all'intera lunghezza di ancoraggio. Giunzioni per sovrapposizione Poiché le barre hanno lunghezza limitata. Si noti inoltre che negli appoggi di estremità di una trave continua.3.4). calcolare per ogni barra l’effettivo tasso di lavoro (o il rapporto tra area disposta e area ri­ chiesta) risulterebbe fin troppo oneroso.7. che valuta la lunghezza di sovrapposizione ls con l'espressione Ls = lb. In generale. in modo che ai finì pratici l'elemento strutturale si comporti come se in esso vi fosse un'unica barra non interrotta.120 Capitolo 6 Consigli pratici Le indicazioni di normativa sono fin troppo dettagliate. 6 . 6). assumendo però αa= 1. 3. ai vale 1 se sono contemporaneamente rispettate le due condizioni Fig. o even­ tualmente lo riduco (ma senza scendere al di sotto di 20 o 25 0) quando il tasso di lavoro dell'armatura mi sembra abbastanza basso. ad esempio 40 diame­ tri. Io in genere uso come riferimento un valore arrotondato della lunghezza di ancoraggio di base. è spesso necessario effettuare delle giunzioni affiancando (“sovrapponendo”) due barre (fig. Nella zona di sovrapposizione si hà un graduale trasferiménto di tensioni dal­ la prima barra al calcestruzzo e da questo alla seconda barra. le sovrapposizioni dovranno essere fatte nelle zone di minor tasso di lavoro delle barre ed occorre evitare di interrompere nel­ la stessa sezione un numero elevato di barre.netα1 nella quale ai vale 1 se le barre sono compresse. se le barre sono tese. quasi sicuramente la loro distanza è superiore a 10 ϕ (20 cm). se il tasso di lavoro del­ l’armatura è sufficientemente basso. o quasi. Poiché le barre sono orizzontali e si trovano nella parte superiore di un elemen­ to di altezza superiore a 25 cm le condizioni di aderenza non sono buone.4. Occor­ re ridurre del 30% la tensione di aderenza ed aumentare l’ancoraggio base Tenendo conto che nella sezione di sovrapposizione l’armatura necessaria e un quarto di quella disposta.L-aeeiaio per cemento armato ordinario 121 . Inoltre. . quindi più del 30% delle barre della se­ zione.la distanza tra coppie di barre sovrapposte è non inferiore a 10 ϕ. In una trave 30x60 in calcestruzzo di classe Rck . Calcolare la lunghezza di sovrapposizione. In ogni caso. E inoltre opportuno interrompere le barre ad una ad una. la lunghezza di sovrapposizione non deve essere mino­ re di 15 0. e sovrapposte ad altri 2ϕ20. né di 150 min. Così facendo si può ancora usare come riferimento per la sovrapposizione lo stesso valore arrotondato della lunghezza base di anco­ raggio (ad esempio 40 diametri). Bisogna prestare attenzione alle rare occasioni in cui la sovrapposizio­ ne deve essere maggiore: nel caso delle travi inflesse ciò avviene solo se la sovrap­ posizione è fatta — nonostante ì consigli — nella sezione dove il momento è massimo. Due di queste barre sono interrotte. ma io di solito non lo faccio. in una sezione nella quale sarebbe suffi­ ciente avere solo 1020. se una di queste condizioni non è rispettata si deve assumere α1 = 1. può capitare più frequentemente nei tiranti^ perché in essi lo sforzo normale è costante e quindi il tasso di lavoro dell’armatura è sempre elevato. La cosa più importante è evitare di interrompere le barre nelle sezioni più sollecitate. se non in casi eccezionali. Esempio 3. mentre se entrambe non sono verificate è α1 = 2. la lunghezza di ancoraggio necessaria diventa Le barre interrotte sono due su quattro. Spesso si potrebbe scendere al di sotto di tale valore.meno del 30 % delle barre sono interrotte in quella sezione.25 MPa sono di­ sposte superiormente 4 barre 020 in acciaio Fe B 44 k. Quindi la lunghezza di sovrapposizione deve essere Consigli pratici Anche per la sovrapposizione un po’ di semplificazione non guasta. o al massimo a due o tre per volta se sono molte. . La distanza tra le barre (interferro) deve essere non minore del diametro ed almeno pari a 2 cm.3. Ricoprimento e distanza tra le barre Per assicurare la corretta trasmissione delle forze di aderenza e una adeguata protezione dell'armatura dalla corrosione è necessario che la superficie esterna di tutte le armature (incluse le staffe) sia posta ad una distanza dalla superficie di calcestruzzo più vicina non inferiore ad un adeguato valore. Per indicare la quantità di calcestruzzo che ricopre le armature si userà il termine ricoprimento. E anche possibile di­ sporre le barre a coppie.2) richiede un ricoprimento non in­ feriore al diametro della barra e pari almeno a 1. Questa distinzione di termini non è seguita da tutti. Le barre sovrapposte possono essere a contatto per tutta la lunghezza di sovrapposizione. 7).3 e prospetto 4. ma ciò comporta il rischio di confusione.1. La normativa italiana impone un ricoprimento minimo di 0. lasciando un adeguato spazio per consentire il passaggio di un apparecchio vibratore. valori più alti sono imposti nel caso di ambienti umidi e corrosivi. L’Eurocodice 2 (punto 4. purché si raddoppi l'interferro. perché c’è chi usa copriferro indifferentemente per le due quantità.5 cm in ambienti secchi (interno di abitazione).8 cm nel caso di solette e di 2 cm per tutti gli altri elementi costruttivi. Quando in una sezione sono necessarie molte barre. ma occorre prestare particolare attenzione alla loro dispo­ sizione. si userà invece la parola copriferro per indicare la distanza tra il bordo della sezione e l'asse delle armature (fig. esse possono essere disposte anche in più strati. v .122 Capitolo 6 4. l’asse x è orizzontale ed orientato da destra verso sinistra. ca­ richi distribuiti). coppie. y su z e z su x. in questo modo se l’asse dell’asta è orizzontale i carichi gravitazionali sono positivi. azioni esterne e componenti dì movimento Si assume come sistema di riferimento locale per un’asta una terna di assi avente l’origine nel baricentro geometrico della sezióne e l’asse z pa­ rallelo all’asse dell’asta ed orientato dal primo verso il secondo estremo (da sinistra verso destra in figura 1). Analo­ ga convenzione vale per le azioni esterne (forze concentrate. Nel piano della sezione. . come verso positivo di rotazione quello che porta x su y. Si considera come direzione positiva de­ gli spostamenti u. Simbologia e convenzione dei segni Assi di riferimento. v.GENERALITÀ 1. w quella concorde col verso positivo degli assi.Capitolo 7 FLESSIONE COMPOSTA . l'asse y verticale ed orientato dall’alto verso il basso. nella maggior parte dei casi pratici lo sforzo normale è di com­ pressione e quindi ha segno negativo. inferiori (fig. Questa convenzione è a volte scomoda nello studio di strutture in cemento armato. Occasionalmente nelle applicazioni nu­ meriche il segno negativo delle tensioni del calcestruzzo verrà omesso. 2). quando non vi è il rischio di confusione. 3). in cui abbiamo solo fles­ sione retta nel piano y-z. anche se spesso in situazioni che non creano ambiguità tale segno sarà omesso.124 Capitolo 7 Deformazioni e tensioni Coerentemente con le convenzioni utilizzate nell’ambito della Scienza delle costruzioni. 2 . Lo sforzo normale N si considera positivo se dL trazione. Il momento torcente è indicato col simbolo T ed è consi­ derato positivo se nel verso che porta x su y. Caratteristiche della sollecitazione Coerentemente con la convenzione usata per le rotazioni. Fig. faccia di normale uscente concorde con z la componente Vy nel piano y-z è positiva se diretta verso il basso (fig.flettente Mx se l'azione agente sulla faccia di norma­ le uscente positiva ha il verso che porta y su z\ esso quindi tende le fibre.verso positivo dello sforzo normale e del momento flettente . Analogamente My si considera positivo se ha il verso che porta z su x. si considera positivo il momento. Nella. ma frequenti. si considerano positive le deformazioni unitarie s di allungamento e le tensioni normali a di trazione. perché il cal­ cestruzzo è soggetto prevalentemente a compressione e le relative ten­ sioni ϭc hanno segno negativo. Il pedice sarà omesso ed il momento indicato semplicemen­ te con M in situazioni semplici. Il taglio è indicato col simbolo V. le equazioni differenziali che legano carichi. 2.Flessione composta . caratteristiche di sollecitazione e com­ ponenti di movimento in uno schema piano si scrivono essendo n. Nelle applicazioni numeriche è più comodo utilizzare multipli di tali grandezze. L'unità di misura per le forze è il Newton (N). 3 . q ed m il carico distribuito rispettivamente in direzione as­ siale. in particolare si userà .generalità 125 Fig. Sistemi di misura Già da molti anni la normativa italiana ha recepito le direttive europee che impongono l'uso in tutti gli atti pubblici del sistema internazionale (SI o MKS). il chilogrammo (per le masse) e il secondo (per i tempi). per le tensioni il Pascal (Pa) pari a un Newton su metro quadro (N m 2). che considera come unità fondamentali il metro (per le lun­ ghezze).verso positivo del taglio e del momento torcente In conseguenza alla convenzione dei segni qui definite. ortogonale all’asse e flettente. . che considera come unità fondamentali il metro (per le lun­ ghezze). Occorre però notare che essa perde di validità.126 Capitolo 7 Negli studi professionali è ancora molto diffuso Fuso del sistema tecnico (ST). si tenga presente che un Newton è ap­ prossimativamente pari al peso di una massa di 100 g. in tutte le applica­ zioni si utilizzerà quindi esclusivamente il sistema internazionale. La presenza di barre longitudinali e armatura trasversale (staffe) influisce sensibilmente sul comportamento del calcestruzzo.4) al fatto che la pendenza del tratto decrescente nel legame ϭ-ε e la deformazione massima raggiungibile dal calcestruzzo prima della rottura è dipendente dalla quantità di armatura di confinamento. ciò si ottiene anco­ rando sufficientemente le barre. La presenza dell'acciaio ha principalmente lo scopo di fornire quella resistenza a trazione che il calcestruzzo non è in grado di offrire. 4. par. Le attuali nor­ mative vietano però l'uso di tale sistema di misura. Si è già accennato (cap. 3. 1. mentre a quest’ultimo è demandato sostanzialmente il compito di sopportare la compressione. nell'esaminare il comportamento di una sezione in cemento armato soggetta ad uno sforzo normale N ed un momento flettente M vengono formulate due ipotesi: perfetta aderenza tra calcestruzzo e armatura e conservazione delle sezioni piane. Secondo tale sistema i momenti sono espressi in kgm (chilogrammi me­ tro) e le tensioni in kg cm2 (chilogrammi su centimetro quadro). (La flessione composta nel cemento armato Il cemento armato è costituito inglobando barre di acciaio in una massa di calcestruzzo. Nonostante l'eterogeneità dei materiali componenti. oltre che nei tratti in cui vi sono barre in fase di ancoraggio. si vedrà in seguito come la resi­ stenza stessa del calcestruzzo può essere incrementata con una adegua­ ta staffatura. La prima implica che i due materiali abbiano uguale deformazione ε nei punti di contatto. In definitiva. Nel fare le conversioni tra i due sistemi. per la quale Faccialo è meno idoneo a causa di problemi di instabilità. il chilogrammo peso (per le forze) e il secondo (per i tempi). In linea teorica. occorre sempre ricordare che affinché il ce­ mento armato si comporti come tale è necessaria la presenza di armatu­ re longitudinali e trasversali ben disposte. che comportano una discontinuità nel calcestruzzo ma non nell’acciaio1.Flessione composta . ma può essere considerato tale a livello macroscopico. per le sezioni in cemento armato è a volte preferibile riferirsi al baricen­ tro della sezione geometrica del solo calcestruzzo la curvatura nel piano x-z (derivata di εz rispetto a x) la curvatura nel piano y-z (derivata di εz rispetto a y) II diagramma delle deformazioni della sezione. il diagramma delle deformazioni longitudinali ez è rappresentato da un piano nello spazio xyεz La deformazione in un punto della sezione è quindi legata alle co­ ordinate x e y del punto dalla relazione lineare nella quale si è indicata con la deformazione del punto O. per acciaio e calcestruzzo) in ciascun punto della se- 1 Un modello più verosimile del comportamento della trave in prossimità delle fessure è presentato nel capitolo relativo alla fessurazione. χx e χy .Conoscendo il legame costitutivo ϭ-ε dèi materiale.generalità 127 anche in prossimità delle fessure. . Il calcestruzzo non lo è certamente a livello microscopico. è quindi defini­ to dai tre parametri εo. La seconda ipotesi è quella classica della Scienza delle costruzioni. che vale per un materiale omogeneo ed isotropo. anche la tensione normale o z è definita univocamente (ma in maniera distinta. che può essere in parte superata grazie all’ipotesi di perfetta aderenza. esso in genere coincide con il baricentro G della sezione (e in tal caso si utilizzerà il simbolo sg). origine degli assi. valido sia per racciaio che per il calcestruzzo per l’ipotesi di perfetta aderenza. Per l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane. la presenza di armatura costituisce una ulteriore disomo­ geneità. coeren­ temente con quanto si fa in Scienza delle costruzioni. cioè per un blocco di dimensioni sufficientemente grandi. almeno finché non si hanno fessure molto estese. 4) viene sostituito da rappresentazioni sem­ plificate. le caratteristiche della sollecitazione nella sezione N.legami costitutivi sperimentali per acciaio e calcestruzzo . In particolare sì possono distinguere tre stadi di comportamento. Noto lo stato tensionale. definite in base all’entità delle tensioni e delle deformazioni provocate dai carichi. un andamento delle tensioni non lineare al crescere delle deformazioni.128 Capitolo 7 zione in funzione della deformazione ez e quindi dei tre parametri sopra indicati. La linearità di comportamento è per­ fettamente valida per Facciaio e sostanzialmente anche per il calcestruzzo compresso. Il calcestruzzo teso presenta invece. 4 . per ciascuno dei quali viene proposto un diverso model­ lo dei materiali. anche per de­ formazioni molto piccole. il legame costitutivo ϭ-ε sperimentale del materiale (fig. Primo stadia Per carichi molto bassi (deformazioni e tensioni molto piccole) si può ipotizzare per acciaio e calcestruzzo un comportamento elastico lineare sia a trazione che a compressione. Fig. Mx ed My sono determinate come risultante delle tensioni mediante le relazioni Nel'applicare queste espressioni. perché in questo caso l’ampiezza della lesione si riduce o si annulla.generalità 129 Nel passato. . ovunque si supera la resisten­ za a trazione. si formano lesioni che impediscono la trasmissione di ten­ sioni.Flessione composta . Secondo stadio Per i valori più consueti del carico si può ipotizzare un comportamento elastico lineare per l’acciaio (teso e compresso) e per il calcestruzzo com­ presso e ritenere invece del tutto trascurabile la resistenza del calcestruzzo teso (fig.La prima ipotesi è verosimile per l’acciaio fino a va­ lori molto alti. La seconda corrisponde al fatto che. questa incapacità rimane anche quando si ha un parziale scarico. si tendeva a schematizzarlo ipotizzando un comportamento elastico lineare medio con modulo di elasticità più basso di quello a compressione. . in pratica fino alla tensione di snervamento fy. 6). Questo modello viene. 5). per il cal­ cestruzzo fino a valori pari a circa il 40% della resistenza a compressio­ ne fc. assumendo nel caso di elementi inflessi una resistenza a “trazione per flessione” fcf fittiziamente maggiore di quella a trazione pura fct (fig. Oggi invece si preferisce mantenere il modello elastico li­ neare con uguale modulo a trazione e compressione. oppure nel valutare Fazione che porta a rottura il “dente” del modello a pettine usato nel valutare la resistenza a taglio di sezioni non armate. ma la frattura non si può saldare. utilizzato quando occorre valutare la caratte­ ristica di sollecitazione che porta alla rottura per trazione. Lo incontre­ remo ad esempio nelle verifiche a fessurazione. per calcolare il momento di prima fessurazione. Questo modello è utilizzato per le verifiche allo stato limite ultimo. Per il primo si usa un modello elastico-perfettamente plastico senza limiti di deformazioni. per le stesse motivazioni già discusse a proposito del secondo stadio. per il secondo si assume invece un andamento ϭ-ε parabola-rettangolo (cap. 4. anche se talvolta si fa riferimento al limite tradizionale di 1O-3 (cap.130 Capitolo 7 Questo modello viene utilizzato sia per le verifiche alle tensioni ammissibili che per la maggior parte delle verifiche agli stati limite di esercizio (in particolare per la verifica allo stato limite di tensioni di esercizio). 1. Terzo stadio Per valori più alti del carico diventa indispensabile tenere conto della non linearità del comportamento dell'acciaio e del calcestruzzo compresso (fig. par. 5. par. 7). Il contributo del calcestruzzo teso è trascurato.4). 2). . momenti d'inerzia) amplificando con h il contributo dell'acciaio.1. Comportamento elastico lineare 4. sog­ getta alla tensione ac. soggetta alla tensione as. Questo pro­ blema può essere aggirato grazie alla ipotesi di perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo. mutuamente a contatto.generalità 131 4.Flessione composta . sarà rappresentativo delle tensioni del calcestruz­ zo (ϭc) e contemporaneamente di quelle dell'acciaio divise per n (ϭs / n). . cioè costituita da un solo materiale. lineare. Il diagramma delle tensioni nella sezione. il problema della presenza nella sezione di un ulteriore materiale. purché si valutino le sue caratteri­ stiche geometriche (area. a parità di deformazione e si hanno tensioni ϭc e ϭs che valgono rispettivamente La tensione nell'acciaio si può quindi esprimere come avendo indicato con n il rapporto tra i moduli elastici dei due materiali. l'acciaio. Il coefficiente n viene chiamato coefficiente di omogeneizzazione e la se­ zione ottenuta amplificando mediante esso il contributo dell'acciaio vie­ ne detta sezione omogeneizzata. /Calcestruzzo reagente. Infatti in due aree elementari dAc di calcestruzzo e dAs di acciaio. Si può allora considerare la sezione “omogenea”. Il contributo delle due aree elementari allo sforzo normale è rispet­ tivamente Confrontando la seconda espressione con la prima si vede che il contri­ buto dell'area di acciaio dAs. a trazione (1° stadio) Pur ipotizzando che il calcestruzzo sia omogeneo ed isotropo (a livello macroscopico) ed abbia un comportamento elastico lineare sia a trazione che a compressione. n dAs. è equivalente a quello che darebbe un’area di calcestruzzo n volte maggiore. posizione del baricentro. rimane. come ostacolo all'applicazione del modello analizzato dalla Scienza delle costruzioni. che ha caratteristiche elastiche nettamente differenti da quelle del calcestruzzo. 23. mentre quello del calcestruzzo è in realtà variabile in funzione della deforma­ zione e condizionato anche dai fenomeni viscosi Quando si considerano carichi di breve durata e di modesta entità è corretto considerare. ad esempio h. Si ha infatti . il valore del modulo elastico tangente all’origine e quindi un coefficiente di omogeneizzazione circa pari a 7. mentre per un calcestruzzo con Rck = 35 MPa si ha Ec — 33720 MPa e quindi n = 6.132 Capitolo 7 Il valore del modulo elastico dell'acciaio è univocamente definito. Se i carichi sono di lunga durata.=15. indipendentemente dal tipo di carichi e dallo stato tensionale. Grazie alla “omogeneizzazione” dell’acciaio è possibile applicare alle sezioni in cemento armato nel 1° stadio tutte le espressioni studiate nel corso di Scienza delle costruzioni. rincremento di deformazione dovuto alla viscosità equivale ad una ridu­ zione del modulo elastico ed è quindi più corretto usare valori di n mag­ giori. facendo riferimento ad una sezione convenzionale (sezione omogeneizzata) ma definita a priori. ai fini dell'omogeneizzazione. per la quale sono cioè immediatamente calcolabili le caratteristiche geometriche. ad esempio per calcestruzzo di classe Rck — 25 MPa si ha Ec~ 28500 MPa e quindi ti — 206000 / 28500 = 7.11. Poiché. Sezione reale Sezione reagente Fig. rendeva necessaria una ulteriore omogeneizzazione. Calcestruzzo non reagente a trazione (2° stadio) Il ritenere il calcestruzzo incapace di reagire a trazione introduce nella sezione una ulteriore eterogeneità. sorgono gli stessi pro­ blemi applicativi che vengono discussi in seguito con riferimento al se­ condo stadio.Flessione composta . tra calcestruzzo teso e com­ presso. tale retta è detta asse neutro ed indicata col simbolo n. 4. 8 . e quella tesa.generalità 133 Il luogo dei punti per i quali ϭ = 0 costituisce una retta nel piano della sezione. che assegnava al calcestruzzo teso un modulo elàstico diverso da quello compresso. però.2. Si può allora considerare del tutto inesi­ stente la parte di calcestruzzo tesa e far riferimento ad una sezione co­ stituita dal calcestruzzo reagente e dalle armature (queste ultime “omo­ geneizzate” mediante il coefficiente n per essere equiparate al calcestruzzo).sezione reale e sezione considerata nel calcolo . che rimane inerte. mediante un coefficiente n’= Ecti Ec. Questa complicazione può essere su­ perata se si pensa che una volta definita la posizione dell’asse neutro è chiaramente individuata la parte di calcestruzzo compressa. Si noti che l’approccio utilizzato nel passato. che è in grado di trasmettere tensioni ovvero di “reagire” alle azioni esterne. in genere non è nota a priori quale parte della sezione sia tesa. Ulteriori considerazioni sono necessarie per il valore da attribuire al coefficiente di omogeneizzazione n.sezione reagente omogeneizzata o. Un possibile approccio generale potrebbe basarsi sul fatto che l’espressione generale che fornisce l'asse neutro è Queste ultime costituiscono un sistema di tre equazioni nelle quali le quantità A. come si suole dire. come nel caso delle verifiche alle tensioni ammissibili. in forma chiusa (per se­ zioni semplici) o con procedimenti numerici. o addirittura.8). inoltre non può in genere essere trascurato l’effetto delle deformazioni viscose. nelle verifiche alle tensioni ammissibili o allo stato limite di tensioni di esercizio. iterativi (per sezioni com­ plesse). b e c). con riferimento indiretto al comportamento ultimo. La differenza fondamental tra questo caso (sezione di calcestruzzo parzialmente reagente o. più brevemente. La determinazione della posizione dell’asse neutro è quindi un punto preliminare che va sempre affrontato prima di determinare lo stato tensionale nella sezione. b e c che individuano la posizione dell’asse neutro (con la compli­ cazione dovuta al fatto che baricentro e assi di riferimento dipendono anch’essi da a. I* ed Iy sono esprimibili a loro volta in funzione dei parame­ tri a. Il modello di comportamento elastico lineare con calcestruzzo non reagente a trazione è utilizzato in presenza di deformazioni maggiori. E quindi neces­ sario considerare il modulo elastico secante del calcestruzzo. rispetto al caso di calcestruzzo reagente a tra­ zione. un valore convenzionale n= 15. Ad essa sono applicabili tutte le relazioni definite dalla Scienza=dèlle costruzioni per materiale omogeneo e linearmente elastico.134 Capitolo 7 La sezione così definita viene detta. sezione reagente (fig. Per questo motivo la norma italiana prescrive di utilizzare. In genere si utilizzano però approcci più specifici. che portano a relazioni risolubili analiticamente. sezione parzializzata) e quello precedentemente trattato (sezione di calcestruzzo totalmente re­ agente) sta nel fatto che in genere non è noto a priori quale sia la sezione reagente. anziché quel­ lo tangente all’origine. \ . dà origine ad un altro problema. piuttosto rilevante. Per coerenza a questo. le caratteristiche della sollecitazione. alla fine del calcolo. e sì ripete il calcolo fino ad avere una coincidenza tra valori ipotizzati e valori effettivi. nel quale si ipotizza quale sia la parte reagente. La verifica (allo stato limite ultimo) in questo caso consisterebbe nel controllare che in nessun punto della sezio- . Occorrerebbe quindi trovare i valori dei parametri εg. In tal modo si ottengono. a 5. ma si ottenga piuttosto come esito finale di un calcolo. χx e χy (che definiscono la deformazione della sezione) per i quali la risultante delle tensioni coincide con le carat­ teristiche di sollecitazione agenti. si deter­ mina in base ad esse la parte reagente in ogni sezione. valutate rispetto al baricentro della sezione. non sono più applicabili in questo caso. che intervengono nella risoluzione dello schema. si risolve lo schema trovando le caratteristiche di sollecitazione.Flessione composta .generalità 135 Il fatto che la parte reagente della sezione non sia-definita a priori. Nella risoluzione di schemi iperstatici è necessario definire preliminarmente area e momento d’inèrzia del­ la sezione. valide per materiale linear­ mente elastico. nell’effettuare le verifiche bisogna però tenere conto che lo sforzo normale è una forza assiale applicata nel baricentro della sezione geometrica. che sarà in gène­ re diversa da quella ipotizzata. La risoluzione di strutture iperstatiche in cemento armato dovrebbe quindi essere fatta con un pro­ cedimento iterativo. e non nel baricentro delia sezione reagente. In realtà ciò non viene fatto (se non in situazioni estremamente particolari) e si fa convenzionalmente riferimento alle caratteristiche della sezione geometrica costituita dal solo calcestruzzo. Comportamento non lineare (3° stadio) Le relazioni della Scienza delle costruzioni. Bisogna quindi rifarsi alle espressioni generali nelle quali ϭ dipende in maniera non lineare da e. che presenta in tutti i punti della sezione valori accettabi­ li ma raggiunge in almeno un punto un valore limite. E però utile per ottenere formule di progetto nei casi semplici (sforzo nor­ male centrato. di tensioni o deformazioni. e verificare che le caratteristiche di sollecitazione^ effettivamente agenti siano minori di esse. nei punti più sollecitati della sezione (resistenza a trazione del calcestruzzo. corrispondenti a diagram­ mi limite di deformazione (diagrammi nei quali si raggiunge in un punto la deformazione limite). cioè diagrammi corrispondenti al raggiungi­ mento della tensione di riferimento. εcu). flessione semplice). perché le verifiche di resistenza vengono tipi­ camente effettuate calcolando i valori massimi delle tensioni provocati nel calcestruzzo e nell’acciaio da assegnate caratteristiche di sollecitas zione e controllando che essi siano inferiori ai valori di riferimento. Il riferimento a diagrammi limite non è strettamente necessario nel caso di modello lineare. Effetto che il legame costitutivo ϭ-ε sia non lineare. Diagrammi limite Col termine “diagramma limite” si intende un diagramma. comporta notevoli complicazioni. Si pre­ ferisce quindi risòlvere il problema in maniera inversa. inve- . ma soprattutto nei casi più generali (come la flessione composta) perché una visione globale del comporta­ mento della sezione. tensioni ammissibili nel metodo che da esse prende il nome. . cioè diagrammi corrispondenti al raggiungimen­ to della deformazione ultima (in particolare del calcestruzzo. cioè determinare le caratteristiche di sollecitazione “resistenti”. In caso di modello non lineare si fa invece riferimento a diagrammi limite di deformazione. In caso di modello lineare di comportamento del materiale (con o senza resistenza del calcestruzzo a trazione) si fa riferimento a dia­ grammi limite di tensione. tensioni limite per le verifiche allo stato limite di tensioni di esercizio). nelle verifiche a fessurazione. dell’acciaio o del calcestruzzo.136 Capitolo 7 ne siano superate le deformazioni limite dei materiali (in particolare del calcestruzzo. ma a volte anche dell’acciaio) nei punti estremi della sezione. In caso di modello non lineare del materiale. e soprattutto che non sia biunivoco. 6. 7. la deforma­ zione so del punto O.Flessione composta . Nc ed Me. Modello lineare del materiale La tensione nel calcestruzzo è proporzionale alla deformazione. Nel caso di sezione tutta compressa i limiti di integrazione sono. determinato in base ai legami costitutivi.generalità 137 ce. Le aliquote delle caratteristiche di sollecitazione dovute al calcestruzzo. ovviamente. tramite il mo­ dulo elastico Ec Si ha funzione lineare in y. E quindi utile richiamare brevemente le formulazioni analitiche che consentono di passare dallo stato deformativo alle caratteristiche di sollecitazione. La funzione ϭ(y) così ottenuta sarà utilizzata per calcolare. adotti un modello lineare o non lineare dei materiali. mediante integrazione. a ciascun diagramma limite corrisponde un ben preciso valore delle caratteristiche di sollecitazione M. Nel caso di flessione retta nel piano y-z ciascun diagramma di de­ formazione può essere individuato mediante due parametri. la determinazione delle caratteristiche di sollecitazione limite a par­ tire da diagrammi limite è sempre il procedimento base sia per la verifi­ ca che per il progetto della sezione. somma delle aliquote Mc Nc ed Ns Ms dovute rispettiva­ mente al calcestruzzo ed all’armatura. i valo­ ri di M ed N. N. differenti a seconda che si . origine degli assi di riferimento. le ordinate dei due bordi. tensioni e caratteristiche della sollecitazione Per un’assegnata sezione. valgono quindi Gli integrafi sono estesi alla parte compressa di calcestruzzo. mentre per sezione parzializzata sono l’ordinata del bordo compresso e . e la curvatura χ Si ha infatti Alla deformazione di ciascun punto corrisponde un valore della tensio­ ne. Deformazioni. 138 Capitolo 7 . generalità 139 .Flessione composta . le formule della Scienza delle costruzioni per la determinazione dello stato tensionale non possono essere applicate.il primo passo della verifica è la determinazione della posizione del­ l'asse neutro . resistente solo a compressione .usato per: verifiche allo stato limite ultimo .acciaio: elastico lineare .calcestruzzo: non lineare.il primo passo della verifica è la determinazione della posizione del­ l’asse neutro .140 Capitolo 7 Modelli di comportamento del materiale Primo stadio .acciaio: non lineare .calcestruzzo: elastico lineare. verifica al­ lo stato limite di esercizio di fessurazione Secondo stadio . sia a trazione che a compressione .acciaio: elastico lineare .le formule della Scienza delle costruzioni per la determinazione dello stato tensionale possono essere applicate alla sezione reagente omo­ geneizzata (non conosciuta a priori) .le formule della Scienza delle costruzioni per la determinazione dello stato tensionale possono essere applicate alla sezione omogeneizzata (nota a priori) .usato per: verifiche alle tensioni ammissibili. occorre rifarsi alla de­ finizione generale di caratteristiche della sollecitazione come risul­ tante delle tensioni .usato per: comportamento prima della fessurazione.calcestruzzo: elastico lineare. verifiche agli sta­ ti limite di esercizio (dopo la fessurazione) Terzo stadio . resistente solo a compressione . cioè a una sezione nella quale ogni elemento di acciaio è idealmente sostituito da un’area di calcestruzzo n volte maggiore (posta nella stessa posizione).calcestruzzo resistente a trazione Come già indicato nel capitolo precedente.Capitolo 8 SFORZO NORMALE 1. (Modellò Ime . a seconda che si voglia tener conto o no delle deformazioni visco­ se del calcestruzzo- . indipendentemente dal fatto che queste ultime siano di trazione oppure di compressione In queste espressioni il contributo dell'armatura è conglobato in quello del calcestruzzo definendo un’area ideale di calcestruzzo Aci = Ac + nAs. L’assenza di momento flettente comporta l'annullarsi della curvatura lì diagramma delle deformazioni e quello delle tensioni sono quindi co­ stanti.tot Il coefficiente di omogeneizzazione n viene assunto pari al rapporto tra i moduli elastici di acciaio e calcestruzzo oppure al valore convenzionale n= 15. in questo caso valgono inte­ gralmente le formule della Scienza delle costruzioni purché le si applichi alla sezione omogeneizzata. il diagramma delle tensioni nel calcestruzzo (fig. ritenendo che ci si riferisca ad un© stato tensionale modesto ed a carichi di breve durata nel tempo. Lo stato tensionale provocato dallo sforzo normale N è costante. Data una sezione rettangolare 30x50 in calcestruzzo Rck—25MPa armata con 6020 in acciaio FeB44k. Il coefficiente di omogeneizzazione n=Es/Ec può essere assunto proprio pari al rapporto tra i due moduli elastici. 1) può essere utilizzato anche per rappresentare. indipendentemente dal tipo di calcestruzzo (anche se questo valore viene inserito tra le prescrizioni relative al cemento armato precompresso. Parlare di sezione non fessurata equivale a ritenere il calcestruzzo nel primo stadio.02 Si noti che la normativa potrebbe prescrivere valori (convenzionali) leggermen­ te diversi da questo. cioè ipotizzare che esso sia resistente sia a trazione che a compressione ed abbia una relazione g-s lineare. Per il calcestruzzo in esame si ha quindi n = 200000/28500 = 7. Esempio 1. che ha caratteristiche di resistenza e modulo elastico maggiore rispetto al calcestruzzo qui considerato). Per de­ terminarne il valore occorre calcolare l’area A della sezione omogeneizzata . Nel primo stadio si applicano le formule no­ te dalla Scienza delle costruzioni alla sezione costituita da tutto il calcestruzzo più l'armatura omogeneizzata. si determini lo stato tensionale provocato da uno sforzo normale di trazione N = 160 kN ipotizzando che la sezione non sia fessurata. la normativa italiana impone per le verifiche a fessurazione il valore n=6. si verifichi se la tensione di trazione supera la resistenza a trazione del calcestruzzo.142 Capitolo 8 Fig. ad esempio.diagramma delle tensioni per sforzo normale: comportamento lineare con calcestruzzo reagente a trazione Si noti che. essendo ϭs = n ϭc. i corrispondenti valori neiracciaio. a meno del coefficiente di omogeneizzazione n. 1 . Esempio 2.62 MPa. Oc- . per­ ché in tali condizioni il calcestruzzo. Modello lineare . imponendo Si ha così Poiché la relazione tra tensioni e caratteristica della sollecitazione è linea­ re. Con riferimento alla sezione dell'esempio 1. soggette a trazione sono in verità mólto rari. si determini il valore dello sforzo normale che provocherebbe la rottura a trazione del calcestruzzo. L’area della sezione omogeneizzata è già stata calcolata nell'esempio 1.calcestruzzo non resistente a trazione 2. che provocherebbe la rottura a trazione del calcestruzzo. con una semplice proporzione Per tale sforzo normale la tensione nell’acciaio vale 2. Poiché il primo è inferiore al secondo.Sforzo normale 143 Pér giudicare se si è superata la resistenza a trazione del calcestruzzo ba­ sta confrontare la tensione di trazione nel calcestruzzo ϭc con il valore caratte­ ristico della resistenza del calcestruzzo a trazione fctk che. Trazione I casi di sezioni in c. fornisce alla sezione un contributo praticamente irrilevante.1. lo sforzo normale Nfess poteva anche essere calcolato immediatamente dai risultati dell'esercizio 1. vale 1.a. L’e­ spressione che fornisce la tensione nel calcestruzzo può essere utilizzata per determinare il valore dello sforzo normale Nfess. per il calcestruzzo dell'esempio. per la sua scarsa resistenza a tra­ zione. per lo sforzo normale N= 160 kN la sezione non è ancora fessurata. neanche se. questo non fornisce alcun contributo. V . In una sezione tesa nella quale si sia superata la resistenza a tra­ zione del calcestruzzo occorre fare riferimento alle sole armature.144 Capitolo 8 corre inoltre notare che. E buona norma progettuale. lo sforzo normale di trazione ritorna inferiore a quello di fessurazione. la verifica di sezione tesa sarà semplicemente fatta calcolando la tensione ϭs e frontando tale valore con quello ammissibile ϭs. come nel caso in esame. nel caso di sezioni seggette a sforzo assiale. occorrerà verificare la sezione a flessione composta e non a sforzo normale centrato. per una ridu­ zione dei carichi. se in un qualunque momento della vita della struttura una sezione tesa si fessura. Di conseguenza si intende di solito per sforzo normale una forza assiale applicata al baricentro della sezione geometrica di calcestruzzo. Il massimo sforzo male di trazione sopportabile dalla sezione è quindi nella una con­ nor­ Occorre prestare attenzione al fatto che nell’ambito del cemento armato le caratteristiche della sollecitazione sono in genere ottenute dalla risoluzione di uno schema strutturale nel quale si sono utilizzate le dimensioni geometriche delle sezioni. Se ciò non avviene. Uno sforzo normale centrato (rispetto al baricentro delle armature) provoca deformazioni e tensioni uniformi nella sezione avendo indicato col simbolo As.tot l’area di armatura totale presente sezione. il calcestruzzo in essa presente non sarà più in grado di trasmettere trazione. Elementi strutturali soggetti a trazione sono quindi ge­ neralmente realizzati in acciaio oppure in cemento armato precompresso. tenendo conto del momento flettente dovuto all’eccentricità tra i due baricentri. Operando col metodo delle tensioni ammissibili. trascurando la presenza di ar­ mature e la mancanza di contributo da parte del calcestruzzo teso. anche quando. disporre le armature in maniera tale che il loro baricentro coincida con quello della sezione geometrica. che la fessurazione provoca un incremento delle tensioni nell'acciaio veramente note­ vole (in questo caso di oltre 10 volte).3. secondo le pre­ scrizioni del D. confrontando questo valore con quello ottenuto nell’esempio 2. ipotizzando che le tensioni siano più elevate e che gli effetti viscosi nel calcestruzzo non possano essere trascurati. La verifica di una sezione compressa col metodo delle tensioni ammis­ sibili consisterà quindi semplicemente nel determinare la tensione nel calcestruzzo e confrontare tale valore con un limite che. Utilizzando l’espressione sopra riportata. Questa riduzione rispetto al valore consen­ tito in caso di flessione semplice e composta nasce dall’evidenza speri­ mentale di un peggior comportamento di una sezione tutta compressa. per il coefficiente di omogeneizzazione si adotta usual­ mente il valore n = 15.1. punto 3. Compressione . essendo pari a n volte quella del calcestruzzo.verifica della sezione Nel caso di compressione centrata la sezione è soggetta ad una deforma­ zione uniforme s di accorciamento ed il calcestruzzo è ovviamente tutto reagente. Con riferimento alla sezione dell’esempio 1.7 ϭc. che è sempre sicu­ ramente molto minore di ϭs . non può superare il valore n 0.2.M. si determini il valore della tensione nell'acciaio che si ha per lo sforzo normale di fessurazione dopo la rottura a trazione del calcestruzzo. è pari al 70% della tensione am­ missibile ϭc (un limite ancora più basso è richiesto per sezioni con di­ mensione inferiore a 25 cm). 2.Sforzo normale 145 Esempio 3. Valgono quindi le espressioni già indicate per il modello de­ nominato primo stadio In questo caso. si ha Si noti. La verifica dell’armatura è in questo caso superflua. ma nello stesso tempo consente ad una sezione progettata per solo sfor­ zo normale di sopportare anche la contemporanea presenza di un mo­ mento flettente non trascurabile. 14/2/92. perché in essa la tensione. Utilizzando il valore convenzionale n = 15. perché il comportamento del cemento armato differisce da quello del cal­ cestruzzo semplice proprio grazie alla presenza dell’armatura. 3. essa non deve però essere nemmeno troppo alta. ovvero il rapporto l'area ideale di calcestruzzo può essere espressa da e lo sforzo normale massimo sopportabile dalla sezione con La percentuale geometrica di armatura non deve essere troppo bassa.146 Capitolo 8 Esempio 4. l'area di calcestruzzo ideale. perché un’armatura eccessiva comporterebbe difficoltà di getto. vale Si ha quindi La tensione nel calcestruzzo è di poco inferiore al limite di normativa L’acciaio ha invece una tensione di molto inferiore al limite tanto che . Con riferimento alla sezione dell esempio 1. Progetto di una sezione compressa e prescrizioni di normativa In fase di progetto sono incognite le due quantità As. ovvero l'area della sezione omogeneizzata.come detto — non è mai necessario fare questo controllo. Il progetto viene generalmente con­ dotto assegnando un opportuno valore a ρ e determinando l’area di cal- . si determini lo stato tensionale provocato da uno sforzo normale di compressione N = 1000 kN e si verifichi se esso soddisfa i limiti imposti dal metodo delle tensioni ammissibili.tot ed Ac. Definendo col simbolo p la percentuale geometrica di armatura. in zone di sovrappo­ sizione di barre) della sezione effettiva. prima o poi cimente­ ranno sicuramente la struttura. anche se non esplicitamente previsti dal calcolo. Il secondo limite è veramente alto. 14/2/92. punto 5. cioè con necessaria mediante la relazione inversa della La normativa relativa al metodo delle tensioni ammissibili (D.4) impone per i pilastri (che sono tipicamente gli ele­ menti soggetti a compressione) la presenza di un’armatura longitudina­ le “non minore dello 0.M.8% della sezione effettiva. faccio presente che sia la norma sismica europea che una circolare del 1997. Assumendo ρ =0.3% ed il 6% (o 10%. nonché al diametro delle staffe (almeno 6 mm e 1/4 del diametro massimo delle barre longitudinali) ed al loro passo (non maggiore di 15 volte il diametro minimo delle barre longitu- . si ha in definitiva La normativa impone come ulteriore condizione che l’armatura lon­ gitudinale sia compresa tra lo 0. Personalmente. che non può essere inferiore a 12 mm. Anche con una quantità minore di armatura la disposizione delle barre e il getto del calcestruzzo posso­ no risultare difficoltosi ed è quindi consigliabile mantenersi ben lontani da esso.Sforzo normale 147 cestruzzo strettamente precedente.3. Il primo limite può diventare vincolante solo quando la sezione ef­ fettivamente adottata è molto maggiore di quella strettamente necessa­ ria.008 e ricordando che n =15. la normativa impone inoltre una limitazione al diametro delle barre longitudinali. perché l’armatura contribuisce note­ volmente alla capacità della sezione di sopportare momenti flettenti che. fissano all’1% della sezione effettiva la quantità minima di arma­ tura longitudinale da disporre in pilastri di edifici antisismici. io ritengo opportuno non allontanarsi mai troppo dallo 0.8% della sezione di conglomerato strettamente necessaria per carico assiale”. esplicativa della norma sismica ita­ liana. Con riferimento ai pilastri realizzati in opera. oltre il limite convenzionale εcu= 0. Esse hanno un effetto cerchiante. lavorando a trazione. La presenza di staffe ha inoltre un effetto positivo sia sulla resi­ stenza che sulla duttilità della sezione. . di contenimento laterale. . gli spostamenti delle barre longitudinali verso l'esterno” (D.4). ma sostanzialmente analo­ ghe. imponendoli ove necessari. ciò è fondamentale soprattutto per strutture anti­ sismiche. perché esso potrebbe deteriorarsi nel tempo.. Prescrizioni differenti. in particolare per barre che distino più di 15 cm da una barra bloccata me­ diante staffe o tirantini. Inoltre consentono al calcestruzzo di sopportare deformazioni notevoli. ed eventualmente disponendoli in maniera alternata (una staffa si ed una no). come verrà spiegato dettagliatamente in seguito con riferimento ai pilastri cerchia­ ti.M.0035. Questi ultimi sono più difficili da montare e quindi la loro presenza e posizione va opportunamente studiata. sono fornite per pilastri prefabbricati e per pareti in c.3. Il rischio di instabilità è tanto maggiore quanto più piccolo è il raggio d’i­ nerzia della barra (da ciò deriva la restrizione relativa al suo diametro). 14/2/92.a.determinandone la lun­ ghezza libera d'inflessione e per far ciò “devono essere chiuse e confor­ mate in modo da contrastare efficacemente. Obiettivo fondamentale di tali limitazioni è evitare che le barre di armatura compresse si instabilizzino per raggiungimento del carico cri­ tico Euleriano. per le quali viene quindi in genere prescritta una staratura ancora più fitta. Le staffe costituiscono un vincolo per le barre. mantenendo almeno in parte la capacità portante.148 Capitolo 8 dinali. Il calcestruzzo di ricoprimento non dà sufficienti garanzie verso tale fenomeno. Al crescere del numero di barre è opportuno passare da una singola staffa ad una doppia staffa (fig. che aumenta la resistenza. 2) ed aggiungere tirantini. né di 25 cm). punto 5. 4 cm2) o 8 016 (pari a 16. Nel caso in esame si potranno usa­ re 10 012 (pari a 13. 1651 cm2). Si progetti col metodo delle tensioni ammissibili la sezione e l'ar­ matura di un pilastro. 10 014 (pari a 15.più raramente — di 5 cm). 1800 cm2) e non all’area strettamente necessaria (nell’esempio.perfettamente plasti­ co.1 cm2). si può prevedere che non vi saranno sostanziali differenze tra i risul- . l’altro lato dovrà essere almeno di 60 cm (normalmente si usano dimensioni multiple di 10 o .Sforzo normale 149 Esempio 5. la possibile escursione in campo plastico interessa solo dal punto di vista deformativo ma non comporta incrementi di resistenza oltre quella corrispondente allo snervamento. poiché approssimativa mente tale è anche il rappoto tra i carichi utilizzati nelle due situazio­ ni. perché tutti i pilastri di uguale sezione hanno così la stessa armatura. 4. Ciò può comportare à volte l’uso di un numero maggiore di barre. Aggiungo che io trovo più comodo calcolare l’armatura necessaria facendo riferimento all’area della sezione scelta (nell’esempio.6 cm2). sapendo che esso deve portare uno sforzo normale di compres­ sione N = 1100 kN. consiglio inoltre di disporle ad una distanza mutua non superiore a 25 cm. da realizzare in calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa e con acciaio FeB44k. Modello non lineare 4.1. Nelle verifiche allo stato limite ultimo il massimo sforzo normale di trazione-sopportabile dalla sezione è per­ tanto N E facile notare che per qualunque tipo di acciaio il valore limite fyd è cir ca una volta e mezzo il valore ammissibile ϭs. Utilizzando l'espressione proposta si ottiene Se si vuole utilizzare una sezione rettangolare con un lato pari a 30 cm. ma ha il vantaggio di semplificare sia i calcoli che l’esecuzione della struttura. L’area di acciaio dovrà essere almeno Le barre devono essere sempre in numero pari. Trazione Quando si adotta per l’acciaio un modello elastico . A tale deformazione corrisponde per il calcestruzzo la tensione a f c d y mentre l'acciaio sarà snervato {almeno per i tipi usati in Italia) e quindi con tensione pari a f y d (fig. punto 4.diagramma di deformazioni e tensioni per sforzo normale: comportamento non lineare .2.verifica della sezione Nel caso di compressione centrata occorre considerare un diagramma di deformazioni uniforme. Questa riduzione non è prevista dall’Eurocodice 2.2.25 ri­ spetto a quello usuale. alme­ no finché il tipo di analisi strutturale utilizzato è quello lineare. Lo sforzo normale limite per la sezione è ottenuto sommando il con­ tributo di calcestruzzo ed acciaio e vale La norma italiana prescrive inoltre che Io sforzo normale sia “mino­ re di quello calcolato per compressioni centrate con una maggiorazione del 25% del coefficiente yc” (punto 4.3.2). 9/1/96.1. I valori di α fcd e del rapporto fyd! a fcd. 3 . per le classi di calcestruzzo più comunemente usate per cemento armato ordi­ nàrio sono riportati in tabella 1. con valore pari a sci (D. Fig.150 Capitolo 8 tati delle verifiche condotte secondo l’uno o l’altro dei due metodi.1. Pertanto se si segue la norma italiana occorre usare in tale espressione un valore fcd ridotto di 1. punto 4. ma ritengo opportuno imporla in fase di progetto per garantire che la sezione compressa abbia la capacità di sopportare anche momenti flet­ tenti di una certa entità.1. Compressione .1. 3). 4.2).M.2. ed Eurocodice 2. c). la sezione è verificata. cioè nello stesso rapporto esistente tra i carichi da considerare nei due casi. che è ora circa una volta e mezzo maggiore (perché tanto vale. Progetto di una sezione compressa e prescrizioni di normativa Prima di proporre una formula di progetto occorre richiamare le prescri­ zioni della normativa agli stati limite (italiana ed europea) relative ai limiti minimi di armatura longitudinale. si ha invece In entrambi i casi.1) impone che la sezione dell’armatura longitudinale sia non minore di 0.4. cioè porti almeno il 15% .2. comunque. 1 . 5. che presentano alcune diffe­ renze rispetto a quelli delle tensioni ammissibili. il rapporto tra a fcd e 0:7 a. per cemento armato ordinario Confrontando questa espressione con quella in precedenza indicata per verifiche alle tensioni ammissibili sì constata che la riduzione di f d imposta dalla norma italiana porta ad un ottima corrispondenza nel contributo del calcestruzzo. L’Eurocodice 2 (punto 5. Se si fa riferimento all'Eurocodice 2. perché il rapporto fyd I a fcd che compare in questa espressione è nettamente più grande del valore ri che compariva in quella delle tensioni ammissibili. Si verifichi se la sezione descritta nell'esempio 1 è in grado di por­ tare allo stato limite ultimo uno sforzo normale di compressione Nsd = 1500 kN.1.15 Nsd / fyd. si ha Se si fa riferimento alla norma italiana. più o meno. perché Nm è maggiore di Nsd.valori di a fcd del rapporto fyd / a fcd. C Esempio 6. Il con­ tributo dell'acciaio compresso è invece sensibilmente maggiore.Sforzo normale 151 Tab. La.4 o 0. 1 .5%. tenendo conto anche di problemi costruttivi quali la possibile eccentrici­ tà del pilastro immediatamente superiore. al calcestruzzo. le formule di progetto diventano quindi Anche se non richiesto dall'Eurocodice. sugge­ risco di sottolineare la riduzione di fcd. In caso contrario sarebbe necessario valutare atten­ tamente il massimo momento flettente che può sollecitare la sezione. restante parte. nella prima espressione è oppor­ tuno utilizzare un valore ridotto di fcd. Se si usa l'armatura strettamente necessaria. il maggior contributo dell’armatura compressa nelle verifi­ che secondo il metodo degli stati limite può portare a riduzioni di entità non trascurabile della sezione oppure dell’armatura. valore nettamente inferiore allo 0. (85%) deve essere affidata. In definitiva. io tendo ad essere sempre molto prudente nel dimensionare i pilastri e quindi. riscrivendo l’espressione Si noti che seguendo queste indicazioni la percentuale geometrica di armatura da disporre vale ed è quindi circa lo 0. La norma italiana (punto 5.8% ri­ chiesto dalla normativa precedente (metodo delle tensioni ammissibili).4) indica la stessa espressione. come suggerito dalla norma ita­ liana. probabilmente a causa delle esperienze personali su­ gli effetti delle azioni sismiche sugli edifici in cemento armato. Sento però dovero­ so aggiungere che. ma prescrive di far riferimento allo sforzo normale calcolato per la condizione di carico rara.3. Per evitare equivoci legati al far corrispondere allo stesso simbolo valori pieni e valori ridotti.152 Capitolo 8 dello sforzo normale1. in modo da garantire che la sezione possa portare un adeguato momento flettente. tenendo conto anche delle prescrizioni dell'Ordinanza 3274. Esempio 7. usando come dia­ metro minimo il 014 il passo delle staffe dovrà essere al più 16. Solo per quanto ri­ guarda il passo delle staffe l'Eurocodice 2 (punto 5. ed in prossimità delle giunzioni per sovrapposizione il passo deve essere ridotto mediante un fattore 0.8 cm (e quindi. il lato minore della sezione del pilastro. . che ha classificato come zone a bassissima si­ smicità quelle zone che erano in precedenza considerate non sismiche.una armatura nei pilastri non inferiore all’1% della sezione di calcestruzzo.6. la sezione e l'armatura di un pilastro. Inoltre per le zone di estremità del pilastro.6% e 0.2) impone che esso sia non superiore a: 12 volte il diametro minimo delle barre. facendo cifra tonda.4.2. Si progetti col metodo degli stati limite. sapendo che esso deve portare uno sforzo normale di compressione Nsd = 1600 kN. si useranno staffe 08 ogni 15 cm). da rea­ lizzare in calcestruzzo di classe Rck — 25 MPa e con acciaio FeB44k. Come conseguenza. Le indicazioni di normativa sono state nettamente modifícate dalla Ordinanza 3274 del 2003. 30 cm.1. Anche se la presenza di tanta armatura potrebbe portare ad una più marcata riduzione della sezione del pilastro.3% della sezione effettiva. ma disporre poi un’armatura avente area compresa tra 0. sopra riportata. nonché i limiti nei diametri delle barre longitudinali e delle staffe sono invariati. senza sfrut­ tare a pieno le riduzioni che la norma consentirebbe. Ad esempio. per un tratto pari alla maggiore dimensione della sezione del pilastro. io suggerisco di tenerne conto ritoccando solo leggermente la formula di progetto^ usando in de­ finitiva Altri limiti di normativa. ho sempre suggerito di utilizzale l’espressione di progetto del calcestruzzo. è ormai obbligatorio disporre — in ogni caso .8% dell’area della sezione di calcestruzzo (tendenzialmente il secondo limite).Sforzo normale 153 anche in assenza di azioni orizzontali. Nell’esempio precedente si useranno quindi in tali tratti staffe 08 ogni 10 cm. come la richiesta che l’area di ferro sia non inferiore allo 0. Liguori. pertanto.trasv non si ha rischio di rottura finché lo sforzo assiale non su­ pera il valore N'ax = t ϭc.F. Per alcuni studiosi2 la tensione trasversale deve essere tale da annullare la deformazione trasversale prodotta dal carico longitudinale. primo. 2 3 E. nel caso in esame si potrebbero usare 4 020 agli spigoli e 2 014 al centro del lato lungo.ax. L’area_dì acciaio dovrà essere almeno Dovendo disporre barre in numero pari e ad una distanza mutua non superiore a 25 cm (ma neanche troppo bassa).ax = Nax / Ac . e quindi soggetto a una tensione longi­ tudinale ϭc. Masson. Tecnica delle costruzioni. poiché questa vale v e si ha in tal caso t = 1 / v.6 cm2.1. Milano . Pilastri cerchiati Elementi strutturali come i pilastri sono soggetti nella quasi totalità dei casi a compressione uniassiale. a dover essere portata dal calcestruzzo e dalle armature longitudinali.trasv è una opportuna aliquota della tensione lon­ gitudinale ϭc. che danno un’area totale pari a 15. cioè se ϭc ax = t ϭc trasv .2. il collasso può essere dovuto solo all’aliquota Nax — N'ax ed è solo questa. l’altro lato dovrà essere almeno di 50 cm. cioè un valore compreso tra 5 e 10 perché v può variare tra 0. Se lo sforzo assiale è maggiore. E però ben noto che la resistenza del calcestruzzo aumenta notevolmente se esso è compresso anche in dire­ zione trasversale.1 e 0. è applicata una tensione di compressióne tra­ sversale ϭc. Teoria e tecnica delle costruzioni. Radogna.rasv Ac. Giangreco. Su tale base si può dire che quando a un elemento compresso assial­ mente mediante una forza Nax. Napoli E. 6. Altri3 citano invece prove sperimentali in base alle quali si dovrebbe assumere f=4. cioè è soggetto a compressione triassiale. voi. In particola­ re si può ritenere che non si avrà rottura quando la tensione di com­ pressione trasversale ϭc.154 Capitolo 8 Utilizzando l’espressione proposta si ottiene Se si vuole utilizzare una sezione rettangolare con un lato pari a 30 cm. 4).Sforzo normale 155 Fig.trasv e la tensione ϭs nella spirale si ricava sezionando la spirale lungo un diametro e imponendo l’equilibrio alla traslazione (fig.i di- . il modo più semplice per applicare una compressione tra­ sversale a pilastri di sezione circolare. Indicando con r il raggio della spirale e con a l’angolo che individua la posizione del tratto. La relazione tra ϭc. L’effetto fisico è evidente: quando il pilastro si dilata a causa delibazione assiale la spirale è costretta a dilatarsi anch’essa e quindi esercita sul calcestruzzo una azione di costrizione. Indicando ancora con ϭ trasv la tensione trasmessa dalla spirale-ai calcestruzzo e con p il passo della spirale. La condizione di equilibrio diventa quindi Cj L'aliquota di forza assiale che non provoca rischio di rottura vale pertanto La quantità 2πr As rappresenta il volume della spirale contenuta in un tratto p del pilastro. 4 . mentre la componente dell’azione sulla spirale ortogonale al diametro considerato vale ϭc trasv p ds sin a. consiste nel disporre a mo’ di staffe una spirale metallica di passo con­ venientemente piccolo. si ha ds=r da. Fazione trasmessa dal calcestruzzo ad un tratto ds della spirale è pari a ϭc trasv p ds .azione mutua tra spirale e calcestruzzo in un pilastro cerchiato In pratica. o di forma prossima a questa. Se si considera un'armatura longitudinale As. punto 3. purché la spirale abbia un passo non maggiore di 1/5 del diametro del nucleo cerchiato.1.“15. Il D. Ai fini economici diventa quindi indifferente disporre barre longitudinali o spirale e la scelta di quest’ultima sarà dettata principalmente da esigenze tecnologiche (necessità di sezione del pilastro più piccola ma non troppo affollata da armatura longitudi­ nale). 14/2/92. salti via e non fornisca più il suo contributo. .M.M.1. per premunirsi dal rischio che la parte ester­ na.156 Capitolo 8 sposta nello stesso tratto. un contributo circa doppio di quello che forniva secondo il metodo delle tensioni ammissibili. Si noti però che nel calcolo deve essere presa in. di ricoprimento. Si noti però che l’aver equiparato la spirale all’armatura longitu­ dinale deriva non tanto dalla volontà di penalizzare la spirale quanto dal fatto che operando allo stato limite ultimo l’armatura longitudinale dà già. il suo volume sarebbe p As'k . coefficiente di omogeneizzazione). Questo equivale ad usare l’espressione sopra ripor­ tata assumendo t/2 = 2.11) consente di tenere conto della cerchiatura.5) senza alcun coefficiente di incremento. è più conveniente usare una spirale cerchiante piuttosto che au­ mentare l’armatura longitudinale.2. relativamente allo stato limite ultimo. assumendo come area ideale resistente quella del nu­ cleo cerchiato aumentata di n volte quella della sezione delle barre lon­ gitudinali e di 2 n volte quella della sezione di un’armatura fittizia lon­ gitudinale di peso uguale a quella della spirale (con n. Appare evidente che. di per se. considerazione solo l’area di calcestruzzo cerchiata e mm. l’area dell’intera sezione. indica invece di tenere conto della spirale sommando al contributo del nucleo cerchia­ to e dell’armatura longitudinale quello “di una sezione fittizia longitudi­ nale di peso uguale a quello della spirale” (punto 4. 9/1/96. a parità di quantità di ac­ ciaio. Si è quindi soliti indicare il rapporto col termine area longitudinale equivalente (o equipesante) ed esprimere la forza N’ax come La normativa italiana relativa al metodo delle tensioni ammissibili (D. Sforzo normale 157 . Capitolo 9 FLESSIONE SEMPLICE 1. Modello lineare - calcestruzzo resistente a trazione Come già visto in precedenza, in questo caso valgono integralmente le formule della Scienza delle costruzioni purché le si applichi alla sezione omogeneizzata, cioè a una sezione nella quale ogni elemento di acciaio è idealmente sostituito da un’area di calcestruzzo n volte maggiore (posta nella stessa posizione). La soluzione del problema della flessione sempli­ ce per una sezione costituita da materiale omogeneo ed isotropo è ben no­ ta, ma ritengo utile richiamarla in maniera sintetica. Il piano in cui agisce il momento M, somma delle due componenti Mx ed My, è detto piano di sollecitazione e la sua traccia sul piano della sezione è detto asse di sollecitazione s. (fig. 1). Dall’espressione, prece­ dentemente richiamata nel caso generale di flessione composta, si deduce che in caso di flessione semplice, essendo N= 0, la deforma­ zione longitudinale in corrispondenza del baricentro sg è nulla. Anche la tensione normale, proporzionale alla deformazione, sarà nulla e quindi l’asse neutro n passa per il baricentro. L’espressione generale che forni­ sce la tensione in un punto si riduce a 160 Capitolo 9 La deformazione e varia linearmente con la distanza dall’asse neu­ tro; se questa è misurata parallelamente a s, si può scrivere essendo La tensione, proporzionale alla deformazione, vale Se si prendono in esame i momenti M n e M S ) cioè il momento delle tensioni agenti nelle aree elementari dA rispetto agli assi n ed s (con di­ stanze misurate parallelamente a tali assi), il primo di questi deve vale­ re M mentre il secondo deve essere nullo. Si ha quindi La prima relazione consente di scrivere Flessione-semplice 161 Fig. 2 - flessione retta nel caso di comportamento lineare con calcestruzzo reagente a trazione In essa il segno positivo corrisponde al fatto che, se si assume positivo il momento M quando ha il verso che porta s su z, tensioni positive a di­ stanza positiva danno un contributo positivo al momento. La seconda relazione equivale ad imporre che il momento centrifugo della sezione rispetto agli assi baricentrici s ed n sia nullo; le due rette sono quindi assi coniugati dell’ellisse centrale d’inerzia della sezione. Quando il momento agisce in un piano principale d’inerzia, Tasse neutro è perpendicolare all’asse di sollecitazione. In tal caso la sollecita­ zione viene denominata flessione retta. Ad esempio, se M=MX e My~ 0, Tasse di sollecitazione coincide con Tasse y e Tasse neutro con Tasse x (fig. 2). In questo capitolo si fa riferimento esclusivamente alla flessione retta. La flessione deviata può essere vista come caso particolare della flessione composta deviata, trattata nel capitolo seguente. Esempio 1. Data una sezione rettangolare 30x50 in calcestruzzo RCk=25MPa armata con 4020 inferiori e 2014 superiori in acciaio FeB44ki con copriferro c=4 cm, si determini lo stato tensionale provocato dal momento flettente M= Mx=50 kNm ipotizzando che la sezione non sia fessurata; si verifichi se la ten­ sione di trazione supera la resistenza a trazione del calcestruzzo. Parlare di sezione non fessurata equivale a ritenere il calcestruzzo nel primo stadio, cioè ipotizzare che esso sia resistente sia a trazione che a compressione ed abbia una relazione a-e lineare. Nel primo stadio si applicano le formule nòte dalla Scienza delle costruzioni alla sezione costituita da tutto il calcestruzzo più l'armatura omogeneizzata. Il coefficiente di omogeneizzazione n=EsIEc può 162 Capitolo 9 essere assunto proprio pari al rapporto tra i due moduli elastici, ritenendo che ci si riferisca ad uno stato tensionale modesto ed a carichi di breve durata nel tempo. Per il calcestruzzo in esame si ha quindi n = 200000/28500 - 7.02. In alternativa, si potrebbero usare valori convenzionali, come il valore n=6 impo­ sto dalla normativa italiana perle verifiche a fessurazione, indipendentemente dal tipo di calcestruzzo. In base a quanto visto per una sezione omogenea, lo stato tensionale provo­ cato dal momento flettente M è lineare, nullo in corrispondenza del baricentro. Il valore della tensione in un punto generico è valutato mediante l’espressioni nella quale I è il momento d’inerzia della sezione omogeneizzata (rispetto al­ l’asse x) ed y la distanza del punto dal baricentro. La sezione cui fare riferimento è costituita dal calcestruzzo più le armatu­ re omogeneizzate. Poiché le armature non sono simmetriche (As=12.56 cm2, As=3.08 cm2) è necessario valutare preliminarmente la posizione del baricen- tro. Per ottenerlo occorre calcolare l’area A della sezione ed il suo momento sta­ tico S rispetto ad un asse qualsiasi. Si ha e, facendo riferimento al bordo superiore della sezione La distanza del baricentro dal bordo inferiore e superiore è quindi Come si vede, il baricentro è leggermente spostato verso il basso, rispetto a matura inferiore. Il momento d’inerzia I della sezione omogeneizzata rispetto al suo baricen­ tro vale Flessione semplice 163 La tensione del calcestruzzo al bordo superiore (compresso) ed inferiore (teso) vale, di conseguenza e la tensione nelle armature Per giudicare se si è superata la resistenza a trazione del calcestruzzo basta confrontare la tensione massima di trazione ϭc,inf con il valore caratteristico delia resistenza del calcestruzzo a trazione per flession'é f c f k che, per il calcestruzzo dell’esempio, vale 1.94 MPa. Poiché il primo è nettamente maggiore del secondo, per il momento flettente M= 50 kNm la sezione è stia fessurata. Esempio 2. Con riferimento alla sezione dell'esempio 1, si determini il valore del momento flettente che provocherebbe la rottura a trazione del calcestruzzo. La posizione del baricentro ed il momento d’inerzia della sezione omogeneizza­ ta sono già stati calcolati nell'esempio 1. L’espressione che fornisce la tensione nel calcestruzzo può essere utilizzata per determinare il valore del momento di fessurazione Mr, cioè del momento flettente che provocherebbe la rottura a tra­ zione del calcestruzzo, imponendo Si ha così Poiché la relazione tra tensioni e caratteristica della sollecitazione è linea­ re, il momento di fessurazione Mr poteva anche essere calcolato immediata­ mente dai risultati dell'esercizio 1, con una semplice proporzione 164 Capitolo 9 Fig. 3 - flessione retta nel caso di comportamento lineare con calcestruzzo non reagente a trazione 2. Modello lineare - calcestruzzo non resistente a trazione Valgono ancora le formule della Scienza delle costruzioni, purché le si applichi alla sezione reagente omogeneizzata, ovvero alla sezione costi­ tuita dal calcestruzzo compresso e dall’armatura (tesa e compressa) “omogeneizzata”, cioè amplificata mediante il coefficiente n. A differenza del caso precedente, non è noto a priori quale sia la sezione alla quale applicare le formule, perché non si può sapere (se non dopo un calcolo) quale sia la sezione reagente. Il primo problema da affrontare è quindi la determinazione della posizione dell’asse neutro. Nei due paragrafi che seguono verrà mostrato come effettuare la verifica e il progetto nel caso di flessione retta (fig. 3). Il caso della flessione deviata non presenta problemi concettuali ma solo difficoltà analitiche, che non ho ritenuto opportuno affrontare in questa sede. 3. Verifica a flessione retta 3.1. Sezione rettangolare Nel caso di flessione retta con un momento agente nel piano verticale, y-z, cioè con M = Mx, Tasse neutro è orizzontale. La sua posizione è indi- Flessione semplice 165 viduata da un solo parametro, la distanza dal bordo compresso, che è indicata nell’Eurocodice col simbolo x (in alcuni testi di Tecnica delle co­ struzioni sono usati simboli differenti; useremo questo, per coerenza con la normativa, anche se è un po’ ambiguo perché si potrebbe confondere con il nome dell’asse orizzontale nella sezione). Nella trattazione che segue si fa riferimento ad un momento positi­ vo, per il quale le fibre di calcestruzzo compresse, che reagiscono, sono quelle superiori; i risultati e le considerazioni valgono anche per un momento negativo, purché si scambi “superiore” con “inferiore”. Si indi­ ca col termine sezione a semplice armatura una sezione nella quale vi è solo armatura tesa; si parla invece di sezione a doppia armatura quando in essa vi è armatura sia tesa che compressa. Nella trattazione si useranno i simboli di seguito definiti, il cui si­ gnificato è illustrato in figura 4. b base della sezione h altezza della sezione c copriferro, inteso come distanza tra Tasse delle armature; per indicare che ricopre le armature si userà il se alcuni usano anche per questo la di confusione il bordo della sezione e la quantità di calcestruzzo termine ricoprimento, anche parola copriferro, col rischio d distanza dell’armatura tesa dal bordo compresso, ovvero altezza utile della sezione Fig. 4 - sezione rettangolare - simboli utilizzati 166 Capitolo 9 x distanza dell’asse neutro dal bordo compresso z braccio della coppia interna As armatura tesa Il armatura compressa Il modo in cui viene effettuata la verifica è lo stesso, sia quando si opera col metodo delle tensioni ammissibili che quando si tratta lo stato limite di tensioni di esercizio. Il procedimento può essere diviso in tre fasi: - determinazione della distanza x dell'asse neutro dal bordo compresso, utilizzando la condizione che esso sia baricentrico per la sezione rea­ gente; - calcolo del momento d’inerzia I della sezione reagente; - calcolo della tensione massima nel calcestruzzo compresso e nell’ac­ ciaio teso e confronto con i valori ammissibili. Si noti che se la tensione nel calcestruzzo è accettabile lo è sicuramente anche quella nell’armatura compressa. Questa è infatti pari a n volte quella del calcestruzzo adiacente, ma la tensione ammissibile per l’ac­ ciaio è sempre molto maggiore rispetto a quella del calcestruzzo; ad esempio, nel caso di calcestruzzo con Rck “ 25 MPa ed acciaio FeB44k nel­ le verifiche alle tensioni ammissibili si ha ac=8.5MPa, as=255MPa e quindi quest’ultima è 30 volte più grande di oc. Posizione dell’asse neutro Poiché l’asse neutro deve essere baricentrico per la sezione reagente omogeneizzata, la sua posizione si determina imponendo che il momento statico della parte compressa e dell’armatura omogeneizzata rispetto ad esso sia nullo. Con riferimento alla figura 4, si può scrivere Flessione semplice 167 Risolvendo questa equazione di secondo grado si ha, scartando la radice negativa L'espressione si può scrivere in maniera più sintetica ponendo percentuale elastica di armatura, cioè rapporto tra l’area di acciaio omogeneizzata e l'area della sezione (utile) in calcestruzzo distanza del baricentro delle armature dal bordo compresso (per sezioni a semplice armatura si ha dG,s = d) ed ottenendo Si noti che in caso di flessione la posizione dell’asse neutro dipende solo dai dati geometrici (sezione ed armature) e non dall’entità del momento flettente. Momento d’inerzia della sezione reagente Il momento d’inerzia della sezione reagente è fornito dall’espressione Tensioni massime Sono fornite (tenendo anche conto del segno) dalle seguenti espressioni, che utilizzano i valori di x ed I calcolati in precedenza con copriferro c=4 cm. ri­ spettivamente. che consentono di calcolare con immediatezza i mo­ menti resistenti.02 si ha . perché ci si riferisca ad uno stato tensionale modesto ed a carichi di breve durata nel tempo. Data una sezione rettangolare 30x50 in calcestruzzo Rck=25 MPa armata con 4020 inferiori e 2ϕ14 superiori in acciaio FeB44k. ovviamente. Occorre preliminarmente determinare quale sia la parte di calcestruzzo compresso. Il coefficiente di omoge­ neizzazione n-Es/Ec deve in questo caso essere assunto proprio pari al rapporto tra i due moduli elastici (n=7. Con riferimento.168 Capitolo 9 Massimo momento flettente sopportabile dalla sezione Le espressioni innanzi indicate possono essere utilizzate anche per de­ terminare il massimo momento flettente che la sezione può sopportare. ad esempio. In questo caso si applica­ no le formule note dalla Scienza delle costruzioni alla sezione costituita dal cal­ cestruzzo compresso più l’armatura omogeneizzata. ai limiti imposti dal metodo delle tensioni ammissibili. Parlare di sezione fessurata ma con calcestruzzo compresso in regime lineare equivale a ritenere il calcestruzzo nel secondo stadio. si determini lo stato tensionale provocato. per carichi di breve durata. Il momento sopportabile dalla sezione è. imponendo che la massima tensione nel calcestruzzo e quella nell’armatura tesa siano uguali rispettivamente a ϭc e ϭs si ha I due momenti flettenti così calcolati sono usualmente denominati mo­ mento resistente del calcestruzzo e momento resistente dell'acciaio perché rappresentano il valore che manda in crisi il calcestruzzo e Taccialo. mediante la relazione Usando il valore n=7. Esempio 3.02). dal momento flettente M=50 kNm ipotizzando che la sezione sia fessurata ma il calcestruzzo compresso sia ancora in regime lineare. il più piccolo dei due. ovvero la distanza x dell’asse neutro dal bordo compresso. approssimate ma più semplici. Più avanti verranno mostrate formule. a causa della limitata influenza delle armature. poiché ora non si è considerata una notevole porzione del calcestruz­ zo. ma ancora di più è au­ mentata la tensione nelTarmatura tesa (nell’esempio. nel secondo stadio esso è posto molto più in alto.Flessione semplice 169 Il momento d’inerzia I della sezione reagente omogeneizzata rispetto al suo baricentro vale e si ha quindi Confrontando questi valori con quello ottenuti nell'esempio 3 si nota che. più che quadruplicata). Esempio 4. Il momento d’inerzia è molto minore rispetto a quello prima calcolato. La tensione nel calcestruzzo compresso è cresciuta. men­ tre nel primo stadio l'asse neutro era non lontano dal baricentro del rettangolo. Si verifichi col metodo delle tensioni ammissibili la sezione dell’esempio 3 soggetta al momento flettente M=50 kNm* In questo caso si deve assumere per il coefficiente di omogeneizzazione il valore n=15. Si ha . L’asse neutro è un po’ più in basso rispetto a quello ottenuto nelFesempio precedente. È invece mo­ desta la variazione di tensione nell’armatura tesa. Il momento d’inerzia della sezione reagente è aumentato. La posizione dell’asse neutro ed il momento d’inerzia della sezione reagente omogeneizzata sono già stati calcolati nell’esempio precedente. Si determini il massimo. momento flettente che può essere sopportato dalla sezione dell'esempio precedente per il metodo delle tensioni ammissibili. nel corso di Scienza delle costruzioni. condizione a sua volta ottenuta. ma sempre ben distante da quello che si aveva nel primo stadio. Esempio 5. perché i due effetti opposti (aumento di n e riduzione di ϭc) si bilanciano. .3 kNm. anche perché tale via deve es­ sere necessariamente seguita quando la legge costitutiva del materiale non è più lineare. con conse­ guente riduzione della tensione di compressione nel calcestruzzo. Considerazioni La posizione dell’asse neutro è stata ricavata imponendo che esso sia baricentrico per la sezione reagente omogeneizzata.170 Capitolo 9 La sezione è verificata perché si ha Si noti che considerare n= 15 anziché n=7. imponendo l’equili­ brio tra tensioni e caratteristiche della sollecitazione e sfruttando la li­ nearità della relazione ϭ-ε Ritengo utile mostrare come si possa deter­ minare la posizione dell’asse neutro ed effettuare la verifica rifacendosi direttamente alle condizioni di equilibrio. Si ha quindi La sezione può quindi sopportare un momento flettente massimo di 103.02 amplifica il contributo dell’ar­ matura. essendo b costante. è univocamente definito se è nota la distanza x dell'asse neutro dal bordo compresso ed il valore della curvatura χ (inclinazione del diagramma delle e).risultante delle tensioni agenti nella sezione . 5 . risultante delle for­ ze infinitesime ϭc b dy.Flessione semplice 171 Il diagramma delle deformazioni. Le forze N’s ed Ns si ottengono moltiplicando l'area di acciaio per la tensio­ ne. e quindi quello delle tensioni. si ricava facilmente perché. Si ha E possibile esprimere in funzione di x e χ la risultante delle tensioni di compressione Nc nel calcestruzzo ed N’s nell'armatura compressa e la forza di trazione Ns nell'armatura tesa ed imporre le condizioni di equi­ librio alla traslazione ed alla rotazione. La forza NC. essa è proporzionale all'area sottesa dal diagramma delle tensioni. Si ha così Fig. fornisce poi il valore di Ec χ e quindi ϭcmax. in particolare. Si ha così 3. La distanza tra questo punto e l'annatura tesa è detto braccio della coppia interna ed è indicata nell'Eurocodice col simbolo z (alcuni testi di Tecnica delle costruzioni usano simboli differenti. ad esempio. di ottenere diret­ tamente la tensione nell’armatura. La condizione di equilibrio alla rotazione rispetto a un punto qual­ siasi. ma per coerenza con la normativa useremo questo. delle sezioni a T se in . essa è identica alla relazione scritta imponendo che il momento statico rispetto all’asse neutro sia nullo. perché il segno è già contenuto nelle relazioni innanzi scritte. Questo modo di procedere consente. indipenden­ temente dalla forma della sezione.2. a parte la pre­ senza del fattore Ec χ che è presente in tutti i termini e può essere tolto. anche se un po’ am­ biguo perché potrebbe confondersi con Tasse ortogonale al piano della sezione). determinando la posizione della ri­ sultante delle forze di compressione ed imponendo l'equilibrio alla rota­ zione rispetto ad esso. ad esempio il bordo superiore. ϭs e ϭ’s in funzione del valore del momento M. Sezioni riconducibili alla rettangolare Le espressioni ricavate per la sezione rettangolare sono di grande utilità perché la forma rettangolare è quella più comunemente usata per travi inflesse.172 Capitolo 9 Nella figura 5 le tre forze sono mostrate col loro verso effettivo. Le condizioni di equilibrio devono essere scritte con riferimento al verso positivo delle forze. E questo il caso. La condizione di equilibrio alla traslazione consente di ricavare x. purché la parte compressa abbia forma rettangolare. Inoltre esse sono ancora rigorosamente applicabili. deter­ minato dal segno delle tensioni ϭcmax ϭs e ϭ's . E il caso. Le formule ricavate per sezione rettangolare forniscono. ad esempio.Flessione semplice 173 Fig. la parte che manca per avere una parte compressa esattamente rettangolare è piccola e darebbe uno scarso contributo perché prossima all’asse neutro e quindi con tensioni molto basse. 7 . con le formule. 7). In tutti i casi in cui si pensa che le formule per sezione rettangolare potrebbero essere valide anche se la sezione ha una forma diversa è con­ sigliabile determinare innanzi tutto la posizione dell’asse neutro. Anche in una sezione di forma trapezia l'approssimazione può essere accettabile se l’inclinazione dei bordi verticali è minima e la variazione di larghezza è conseguentemente modesta. Fig.casi in cui si possono applicare rigorosamente le formule della sezione rettangolare esse è compressa solo una parte dell’ala o una parte dell’anima. 6).casi in cui si possono applicare con buona approssimazione le formule della sezione rettangolare . poi risultati approssimati ma in genere accettabili quando la parte compressa non è esattamente rettangolare. o delle sezioni scatolari se l’asse neutro taglia la soletta (fig. 6 .della sezione rettangolare e poi controllare se la parte compressa ha effettivamente (esattamente o con buona approssimazione) tale forma. ma differisce poco da tale forma. di una sezione a T nella quale l’asse neutro è appena al di sotto della soletta (fig. Poiché la sezione è soggetta ad un momento positivo sono compresse le fibre superiori. Sezione generica Il procedimento analitico descritto per sezione rettangolare può essere ripetuto per. è in calcestruzzo Hck-25 MPa e le barre. l'unica difficoltà sta nella maggio­ re complessità delle formule che forniscono il momento statico ed il mo­ mento d’inerzia della parte di calcestruzzo. La-sezione. cioè l'ala. in acciaio FeB44k. almeno in prima approssima­ zione. avente b=30 cm. Si verifichi col metodo delle tensioni ammissibili una sezione a T. ala di larghezza B=50 cm e spessore s=20 cm ed ar­ mata con 4ϕ20 inferiori e 2ϕ14 superiori. soggetta al momento flet­ tente M=120 kNm (positivo).174 Capitolo 9 Esempio 6. n=60 cm. la sezione può rigorosamen­ te considerarsi come rettangolare. cioè una sezione 50x00 Usando le formule valide per sezione rettangolare. si ottiene Poiché tale valore è inferiore allo spessore dell’ala. ottenendo La sezione è verificata perché si ha 3. con n=15.3. come una sezione rettangolare avente la stessa larghezza dell'ala. sezioni di forma diversa. . hanno copriferro c=4 cm. Essa può essere analizzata. Flessione semplice 175 Fig. momento statico e momento d’inerzia di un segmento circolare. valgono le formule già scritte per una sezione rettangolare. ottenendo così ancora un’equazione di secondo grado. Esempio 7. avente b=30 cm.In esse c’è solo la complicazione di dover utilizzare due espressioni diverse a se­ conda che l'asse neutro tagli o no l’ala. Nel secondo. utilizzando i simboli mostrati in figura 8. Anche per sezioni circolari la soluzione analitica è possibile. h—80 cm. altrimenti si passerà ad utilizzare la seconda espressione. Si verifichi col metodo delle tensioni ammissibili una sezione a T. scomponibili in due rettangoli. la condizione che l'asse neutro sia baricentrico per la sezione reagente si può scrivere. 8 . Nel primo caso.sezione a T con asse neutro al di sotto dell5ala Soluzione analitica Espressioni analitiche della posizione dell’asse neutro possono essere determi­ nate abbastanza facilmente per sezioni a T. In tutti gli altri casi è in genere preferibile una soluzione numerica. poiché sono note (e ritrovabili in qualunque manuale) le formule che danno area. Se x è minore di s il valore trovato è esatto. La sezione. ala di larghezza B=50 cm e spessore s=15 cm ed ar­ mata con 6020 inferiori e 2014 superiori. anche se più complicata di quella relativa alla sezione rettangolare. e si confron­ terà il valore trovato per x con l'altezza s dell'ala. Per effettuare la verifica si userà in genere prima la formula della sezione rettangolare. ma l'equazione sarà ovviamente trigonome­ trica. più semplice. soggetta al momento flet- . Per sezioni di forma triangolare o trapezia la larghezza è variabile linear­ mente e di conseguenza l'equazione risolutiva sarà di terzo grado. Usando le formule valide per sezio­ ne rettangolare. in acciaio FeB44k.176 Capitolo 9 tenie M=320 kNm (positivo). Risolvendo l'equazione di secondo grado scritta in preceden­ za per una sezione a T. la posizione delTasse neutro può essere determinata numericamente mediante un generico procedimento iterativo o col metodo del dimezzamento. le differenze tra soluzione rigo­ rosa e soluzione approssimata non siano molto rilevanti. cioè l’ala. che è un metodo gene­ rale per determinare il punto di nullo di una funzione continua. è in calcestruzzo Rck-25 MPa e le barre. si inizia col considerare la sezione come rettangolare. Come nell’esempio 5. . si ottiene Poiché tale valore è superiore allo spessore dell’ala. con n=15. Soluzione numerica Quando la soluzione analitica appare difficilmente perseguibile. Poiché la sezione è soggetta. cioè una sezione 50x80. hanno copriferro c=4-cm.ad un momento positivo sono compresse le fibre superiori.i valori che si ottengono considerando la sezione come rettangolare non sono rigorosi. si ottiene Il momento d'inerzia I è fornito dall'espressione Si ottiene così Si può osservare come. almeno in questo caso. si ripetono i passi precedenti finché n è quasi coincidente con n . . ottenendo i valori di seguito riportati . se si calcola l’area A ed il momento statico rispetto al bordo compresso S della sezione reagente.individuazione dell’asse neutro con un procedimento iterativo A) procedimento iterativo . ovvero un valore della sua distanza x dal bordo compresso. . partendo da un valore qualsiasi (in questo caso da x=0).si considera una nuova posizione di tentativo dell’asse neutro n’ passante per G. Si determini in maniera iterativa la posizione dell’asse neutro. la distanza x del baricentro dal bordo superiore vale x = S / A . per la sezione deUesempio 7.si calcola la posizione del baricentro G della sezione reagente. Si ha Si procede quindi.si assegna una posizione di tentativo dell’asse neutro n.Flessione semplice 177 Fig. Esempio 8. Per farlo occorre preliminarmente scrivere le espressioni di area A e momento statico S della sezione reagente omogeneizzata rispetto al bordo superiore per una generica posizione dell’asse neutro. 9 . . ma questo non è indispensabile) e si calcola il momento statico Sn della sezione reagente rispetto a tale asse. come di seguito riportato . — se Sn è uguale a 0. n è l’asse neutro.178 Capitolo 9 Fig. Esempio 9. costituita solo dalle armature omogeneizzate. quindi si può iterare ponen­ do n1 = n.individuazione dell'asse neutro con il metodo del dimezzamento B) metodo-dei dimezzamento — si assegnano le posizioni limite iniziali dell’asse neutro ni coincidente col bordo compresso ed n2 coincidente con quello teso. Si ha Si procede quindi partendo dai valori estremi (x=0 e x=80 cm) e scegliendo poi via via valori intermedi per x. Per farlo occorre preliminarmente scrivere le espressioni del memento statico Sn della sezione reagente omogeneizzata rispetto all’asse neutro. — si considera una posizione dell’asse neutro n intermedia tra m e n2 (di solito esattamente a metà. per una sua generica posizione. è sicuramente Sn1 < 0 e Sn. 10 . se è maggiore di 0 il punto di nullo di S deve trovarsi tra m en .2 = 0 oppure m e m sono molto vicini tra loro. quindi si può iterare ponendo n2~ n. mentre nel secondo la sezione reagente (tutto il calcestruz­ zo più le armature omogeneizzate) è al di sopra dell’asse neutro. è tutta al di sotto dell’asse neutro.2 > 0 perché nel primo caso la sezione rea­ gente. Si determini col metodo del dimezzamento la posizione dell’asse neutro per la sezione dell'esempio 7. — si calcola il valore del momento statico della sezione reagente rispetto ad m ed n2. se è minore di 0 il punto di nullo di S deve trovarsi tra n e n2. Il procedimento viene ripetuto finché Sn. Questi valori. La distanza x dell’asse neutro dal bórdo compresso è geometrica­ mente definita in funzione di ϭcmax. h e l’armatura As. 11) ovvero Fig. ϭsmax e d (fig. sono di solito i valori ammissibile ϭc e ϭs quando si segue il metodo delle tensioni ammissibili o i valori limite di normativa quando si effettuano verifiche allo stato limite di tensioni di esercizio. Progetto della sezione 4. il progettista potrebbe però. preferi­ re valori più bassi.progetto di sezione rettangolare a semplice armatura . in determinate situazioni.1. 11 . Sono invece incognite del problema le dimensioni della sezione b.Flessione semplice 179 4. Progetto di sezione rettangolare a semplice armatura Quando si progetta la sezione si assumono come dati di partenza il mo­ mento flettente M ed i valori massimi della tensione che si vuole rag­ giungere nel calcestruzzo e nell'acciaio. qui indicati gene­ ricamente con ϭcmax e ϭsma3. risultante delle tensioni nel calcestruzzo.£80 Capitolo 9 indicando col simbolo ξ la distanza dell’asse neutro dal bordo compresso. tenendo conto del verso di Nc e ponendo . in modulo ovverò avendo indicato col simbolo p. vale. il rapporto tra Nc ed la risultante di compressione che si avrebbe per una distribu­ zione di tensione uniforme e pari a ϭcmax. adimensionalizzata rispetto all’altezza utile d. il valore del braccio della coppia interna adimensionalizzato rispetto all’altezza utile d. La condizione di equilibrio alla rotazione rispetto all’armatura tesa si scrive. più in generale. Progetto della sezione La forza di compressione Nc. Il braccio z della coppia interna vale pertanto ovvero o anche indicando col simbolo C. kx) dal bordo superiore. Essa è applicata in un punto che dista x/S (o. detto fattore di riempimento. pari allo spessore del solaio. Ad esempio. questa formula è usata nel pro­ getto di travi a spessore. con riferimento al metodo delle tensioni ammissibili. questa formula è usata nel pro­ getto di travi emergenti. cioè vale in questo caso 8. mentre i parametri ξ. Essa può essere scritta anche in diversi altri modi. per le quali è invece definita l’altezza. d in metri. Quindi . secondo lo scopo che si vuole ottenere: che consente di determinare d in funzione di M se si assegna il valore di b. e ξ sono adimensionali. la verifica ha esito positivo se r è maggiore del valore cor­ rispondente a ϭCmax e ϭSmax. r è funzio­ ne della tensione acmax e dipende quindi dalle unità di misura utilizzate. che consente di determinare b in funzione di M se si assegna il valore di d. per le quali la larghezza è in genere predefinita.25 MPa e ad un acciaio FeB 44 k si ha e quindi Se si vuole esprimere M in kNm e b. che consente di verificare se la sezione è accettabile.5xl03. nel calcolare r il valore di ϭcmax deve essere espresso in kN nr2 (ovvero kPa).Flessione semplice 181 si ha In questa forma l'espressione fornisce il massimo momento accettabile per una sezione assegnata. ad un calcestruzzo di classe Rck. Si noti che. max La formula trovata per il progetto dell’armatura potrebbe essere combina­ ta con quella del progetto dell’altezza.9 d comporta quindi un errore (a svantaggio di sicurezza) di meno del 2%. Si dovrebbe pertanto prima calcolare il valore di r corrispondente . Se il calcestruzzo la­ vora a meno del massimo ξ. per valori di ac ancora più bassi la formula diventa a vantaggio di sicurezza.3 e z = 0. dimensionata per il momento massimo. Occorre infatti notare che la sezione di una trave.9 d .889 d se entrambi i ma­ teriali lavorano al massimo. la condizione di equilibrio alla rotazione rispetto a ta­ le punto si scrive ovvero E quindi necessaria nella sezione una quantità di armatura pan a N t p # Tenendo presente che ξ = 0. considerare z = 0. viene poi mantenuta costante. ma la differenza non può mai superare il 10% perché se ϭc tende a zero z tende a d.182 Capitolo 9 Progetto dell’armatura La risultante N$ delle tensioni di trazione nell'acciaio vale As ϭsmax. In una sezione generica. quindi. ottenendo e quindi L’uso di questa formula è meno semplice di quanto potrebbe sembrare in appa­ renza. riducendo ancora lo scarto. Per il calcestruzzo e l'acciaio usati come esempio. Poi­ ché essa è posta a una distanza z dal punto di applicazione della forza di compressione Nc. diminuisce e 2 aumenta. si può usare come formula per il progetto delle armature Questa formula è sempre sufficientemente approssimata. z vale 0. la tensione massima nel calcestruzzo sarà minore rispetto a quella ammissibile. da questo. d. l’armatura compressa A’s. 12 . Si noti però che quasi sempre le due forze di compressione sono molto vicine l’una all’altra e quindi 2 non è molto diverso da tale valore.Flessione semplice 183 al momento agente nella sezione e poi. 12) e pertanto non vale più (l — k ξ) d. La forza risultante nell’armatura tesa Ns vale anche in questo caso Asϭmaxs. Data la lineari­ tà del diagramma di tensioni. Si userà comunque il simbo­ lo ζ per indicare il valore del braccio della coppia interna adimensionalizzato rispetto all’altezza utile d. Progetto di sezione rettangolare a doppia armatura Rispetto al caso della sezione a semplice armatura.2.progetto di sezione rettangolare a doppia armatura . vi è in questo caso un’ulteriore incognita. Così come per la sezione a semplice armatura. Il braccio della coppia interna z deve essere valutato come distanza tra l’armatura tesa e la risultante delle forze di compressione No e N’s (fig. la distanza dell’asse neutro dal bordo compresso è geometricamente definita in funzione del­ le tensioni massime nel bordo compresso e nell’armatura tesa e vale an­ cora x = ξ. Per questo motivo ritengo che sia sempre molto più semplice utilizzare l’espressione approssimata ricavata in precedenza. 4. In genere questa viene definita come aliquota dell’armatura tesa. Quella nell’armatura compressa Ns vale A' . ricavare il valore di t. la tensione nell’armatura compressa ϭ's è legata a quella nell’armatura tesa ϭmaxs dalla relazione Fig. ponendo A' = u As. Ns + N’s. Questa può calcolarsi imponendo l’equilibrio alla rotazione di Ns e N’s rispetto al punto di ap­ plicazione della loro risultante Esprimendo N's in funzione di Ns e semplificando si ottiene e quindi Progetto della sezione La formula per il progetto della sezione si ottiene imponendo la condi­ zione di equilibrio alla rotazione rispetto al punto di applicazione della risultante delle forze nelle armature e quindi . ciò accade per travi molto basse e con copriferro eccessivo e certamente non è segno di buona impostazione della sezione. Si noti che nel ricavare la relazione si è dato per scontato che l’armatura superiore sia compressa e nel valutare il rapporto si è considerata la tensione di questa armatura cambiata di segno. ad una distanza di. La forza di compressione nell’ar­ matura può in definitiva scriversi La risultante delle forze nelle armature tesa e compressa. In tali con­ dizioni ir valore di s’ diventa negativo.184 Capitolo 9 ed avendo indicato col simbolo s' il rapporto tra la tensione nell’armatura compressa e la massima tensione ritenuta accettabile e con y il valore del copriferro adimensionalizzato rispetto all’altezza utile d. In casi estremamente rari anche l’armatura superiore può es­ sere tesa. è applicata al di sotto di Ns. per far sì che la quantità s’risulti positiva. Si può quindi valutare il coefficiente k in maniera approssimata come da cui si ottiene ovvero. La presenza di arma­ tura in compressione comporta solo la variazione del coefficiente r.Flessione semplice 185 Avendo già definito e ponendo si ottiene con Questa espressione è analoga a quella che fornisce il massimo momento accettabile per una sezione a semplice armatura. sosti­ tuito da r\ Si noti che le due quantità 1-y e 1-kξ. non dif­ feriscono molto l'una dall’altra. scrivendo . in definitiva Progetto dell’armatura Per determinare l’armatura necessaria si può imporre l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto di applicazione della forza di compressione nel calcestruzzo. rispettivamente proporzio­ nali alla distanza tra armatura tesa e compressa ed alla distanza tra armatura tesa e risultante della compressione nel calcestruzzo. 15-0. Valori dei coefficienti r ed r'— metodo delle tensioni ammissibili I valori dipendono dal tipo di calcestruzzo e di acciaio.20 per le travi a spessore.5 gs (per travi emergenti) a 0. Le tabelle contengono anche i valori di ξ.05 nelle travi emergenti.3.ζ ed s' Si può così notare che effettivamente il braccio della coppia interna è sempre prossimo a 0. Si può quindi continuare ad usare come formula per il progetto delle arma­ ture l’espressione 4. quest’ultimo vale circa 0. .20-0.186 Capitolo 9 e quindi ancora con È facile notare che la presenza di armatura in compressione non in­ fluisce in maniera rilevante sul braccio della coppia interna. valore molto utiliz­ zato nelle strutture in cemento armato ordinario.9 d e che il tasso di lavoro dell’armatura compressa scende da 0.0.25 ϭs (per travi a spessore). dalla percentuale u di armatura compressa e dal rapporto y tra copriferro ed altezza utile. e ai due tipi di acciaio previsti dalle norme italiane. 0. La risul­ tante delle tensioni di compressioni è in genere molto vicina all'armatu­ ra compressa e le due quantità K ξ e y sono spesso quasi coincidenti.4 . Si riportano nelle tabelle 1 e 2 i valori relativi al calcestruzzo di classe Rck—25 MPa.10 nei solai (che hanno altezza modesta ma per i quali si usa di solito un copriferro mi­ nore) e 0. Flessione semplice 187 . 9 d fornisce sempre valori accetta­ bili e non molto discosti da quelli ottenibili con calcoli rigorosi.25 nel caso di travi a spessore) o calcolandolo con riferimento al diagramma di tensioni di progetto Esempio 10. dopo aver stimato in maniera approssimata il momento sollecitante. Seguendo i consi­ gli. quando necessaria. idonea a sopportare un momento flettente M=120 kNm. Consiglio quindi di utilizzare valori leggermente minori a quelli calcolati per r.20-0. Per calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa si potrebbero forse sug­ gerire.25.025 e 0.027 per travi a spessore. 0. L’armatura compressa. rispettivamente. Indicazioni progettuali Personalmente ritengo che nel progettare secondo il metodo delle ten­ sioni ammissibili l’altezza di una sezione. Per quanto riguarda il progetto dell’armatura tesa.026 ottenendo così . da realizzare con calcestruzzo di classe Rck=25 MPa ed acciaio FeB44k. sia opportuno tenere conto del fatto che una piccola quantità di armatura in compressione è sempre presente. 0. si può utilizzare il valore r'=0. nel caso di barre in acciaio FeB44k (o. Si progetti la sezione di una trave emergente.4. calcolando il valore di r' corrispondente al momento di calcolo e confrontandolo con quello noto per i diversi valori di u. approssimativamente gli r’ corrispondenti ad u=0.4-0. può essere valutata co­ me percentuale di quella tesa. considerare il braccio della coppia interna pari a 0. si può valutare la differenza AM tra il momento di calcolo e quello resistente per u= 0 e calcolare l’area necessaria con la formula ipotizzando un opportuno valore per s’ (0.026 per FeB38k).026 per travi emergenti e 0.188 Capitolo 9 4. si ritiene che basti una larghezza b=30 cm (valore molto usato nelle travi di edifici). i valori 0. anche come cifre “tonde” e facile a ricordare. Poiché il momento M non è particolarmente elevato. Come alternativa.5 per travi emergenti. È però possibile. Essendo noti sia il momento flettente che le dimensioni della sezione.Flessione semplice 189 Considerando un copriferro c=4 cm. Per ricavarne un valore più preciso occorre innanzitutto stimare il tasso di lavoro dell’armatura compressa. si adotte­ rà quindi una sezione 30x60. si può ricavare il coefficiente r’ Poiché il rapporto y=c!d vale in questo caso 0. Si determini l'armatura tesa e l'armatura compressa necessaria per la sezione dell'esempio precedente. se veramente necessario. Si valuti se è possibile realizzare la trave deU’esempio precedente con una sezione 30x50 e che percentuale di armatura compressa sarebbe in tal caso necessaria.75 e 1. si ha Poiché si ha Questa percentuale è alquanto elevata e normalmente non utilizzata. Facendo riferimento al diagramma di ten­ sioni di progetto. forzare la situazione e realizzare la trave con sezione 30x50. Esempio 11. L'armatura tesa necessaria vale .00. Esempio 12.087. dalla tabella 2 si desume che è necessaria una percentuale di armatura compressa u compresa tra 0. è necessaria un'altezza h-56 cm. con 5020+1014 (17. anche l’altezza utile d=20 cm. assumendo un copriferro c=4 cm.50. Seguendo i consigli.027 ottenendo così Si adotterà quindi una sezione 140x24. ad esempio. da realizzare con calcestruzzo di classe Rck=25 MPa ed acciaio FeB44k. idonea a sopportare un momento flettente M=75 kNm. Per quanto riguarda l’armatura compressa. si può utilizzare il valore r'=0. Esempio 13. barre 014 e 020.2 cm2). In questo caso è fissata l’altezza h e quindi. Si progetti la sezione e l'armatura di una trave a spessore di al­ tezza h=24 cm. ad esempio. L’armatura tesa necessaria vale e potrà essere realizzata. In base ai risultati dell’esempio precedente. Se si vogliono utilizzare. si ha Un procedimento alternativo per valutare l’armatura compressa consiste nel valutare preliminarmente il momento che può portare la sezione con sem­ plice armatura e calcolare poi l’armatura necessaria che risulta praticamente coincidente con quella innanzi determinata. Se si vuole essere un po’ più precisi. occorre disporre almeno 4020 (12.20 il valore utilizzato per r corrisponde ad una percentuale di armatura compressa di poco inferiore ad u=0.0 cm2) come ar­ matura compressa. si ha . essendo y=c/d=0.190 Capitolo 9 L’armatura compressa necessaria può essere ricavata come percentuale di quella tesa.6 cm2) come armatura tesa e 8020+1014 (11. e in particolare alle due relazioni perché nel caso di flessione semplice è N=0. quindi. Per il calcestruzzo si utilizza la relazione tensioni-deformazioni co­ stituita da un tratto parabolico ed uno costante. espresso analiticamente dalle relazioni . e confrontando i valori che sollecitano la struttura con tali caratteristiche limite. In generale. si ana­ lizzerà il comportamento della sezione soggetta a deformazioni aventi un andamento lineare. cioè i va­ lori corrispondenti a diagrammi delle ε che raggiungono a un estremo un valore limite. La verifica viene quindi effettuata calcolando i valori limite delle caratteristiche di sollecitazione.Flessione semplice 191 5. Nell'effettuare le verifiche occorre tenere presente che mentre nel caso lineare la corrispondenza tra caratteristiche delle solle­ citazione e diagramma delle deformazioni è biunivoca. espressa analiticamen­ te dalle relazioni essendo Per l’acciaio si utilizza un modello elastico-perfettamente plastico. si ricaverà in ogni punto la tensione a corrispon­ dente alla deformazione e e si controllerà che le condizioni di equilibrio siano soddisfatte. ciò non è garanti­ to quando la legge g-s non è lineare. Modello non lineare Quando il legame tensioni-deformazioni non è lineare non è più possibi­ le applicare le formule della Scienza delle costruzioni ma occorre rifarsi direttamente alle condizioni di equilibrio tra tensioni e deformazioni. y . cioè con M = M x . ma la risoluzione numerica è onerosa. fino ad avere un valore nullo di N .flessione deviata nel caso di comportamento a-s non lineare Nel caso della flessione deviata si deve determinare un dominio li­ mite nel piano M x — M y.z .192 Capitolo 9 Fig. Per un assegnato valore di x è immediatamente definito il diagram­ ma limite di s. Nel seguito ci si soffermerà in dettaglio solo sul caso della flessione retta. 6. ( n 1 ed n2 in figura 13) determinando per ciascuna lo stato tensionale e le caratteristiche di sollecitazione conse­ guenti. . Fissata una direzione. Si proveranno quindi successive posizioni di tentativo. si deve vedere quale tra le infinite posizioni dell’asse neutro parallele ad essa compor­ tano un valore nullo dello sforzo assiale risultante. Verifica a flessione retta Nel caso di flessione retta con un momento agente nel piano verticale. 14). 13 . La sua posizio­ ne è individuata da un solo parametro. nel quale ciascuna coppia corrisponde ad una diversa direzione dell’asse neutro. M y limite. la verifica consiste nel controllare che i valori di calcolo rientrino all'interno del dominio. Tasse neutro è orizzontale (fig. che corrisponde al raggiungimento del valore εcu nel cal­ cestruzzo. la distanza x dal bordo compres­ so. Una volta determinate le coppie M X . Per determinare x occorre valutare in funzione di esso la ri­ sultante delle tensioni di compressione N c e le forze nell’armatura tesa N s e nell’armatura compressa N ’ s ed imporre che la loro somma sia nulla. Il procedimento è concettual­ mente semplice. flessione retta nel caso di comportamento non lineare Usualmente si esprime Nc come frazione del valore che si avrebbe se tutto il calcestruzzo compresso fosse soggetto alla tensione massima utilizzando il coefficiente p che può essere denominato fattore di riem­ pimento. 14 . Si noti che i simboli P e k sono già stati usati.1. la deformazione limite al bordo compresso è pari a εCu= -0. 15). L’origine O del sistema di riferimento può essere posta in corrisponden­ za del punto in cui la deformazione assume il valore εc1 = -0. con lo stesso significato.Flessione semplice 193 Fig. Poi­ ché nella flessione semplice la sezione è parzializzata. Il diagramma di deformazione è quindi definito dai due parametri La risultante delle tensioni nel calcestruzzo Nc ed il loro momento ri­ spetto all’asse neutro Mc si determinano quindi mediante gli integrali . 4).0035 (fig. 6.0020. La distanza di Nc dal bordo compresso viene espressa come ali­ quota k della distanza x dell'asse neutro dal bordo. Valori di β e k per sezione parzializzata Per calcolare la risultante Nc delle tensioni di compressione e la sua po­ sizione si possono usare le espressioni scritte alla fine del capitolo 7. nel caso di modello li­ neare con calcestruzzo non reagente a trazione (par. 194 Capitolo 9 . valori di β e k per diverse forme della parte compressa .Flessione semplice 195 Fig. si ottiene (con passaggi concettualmente semplici ma onerosi) Nella tabella 3 sono riportati i valori che si ottengono per alcuni casi particolari.sezione con larghezza variàbile linearmente Espressioni di β e k per sezione con larghezza variabile linearmente Indicando con bo la larghezza in corrispondenza dell’asse neutro e con b1 la differenza di larghezza del bordo superiore rispetto alla precedente. Tab. la larghezza alla generica quota y è Sostituendo questa espressione negli integrali. 3 . 16 . come mostrato nella tabella 4. si ritiene pienamente accettabile adottare in tutti gli altri casi il diagramma di tensione costante applicato all’80% della parte compressa. Una notevole semplificazione. molto prossimi a quelli forniti dal diagramma parabola-rettan­ golo. N \ Tab. impone una riduzione del coefficiente a (0. ad essa infatti corrisponderebbero i valori β=0. Ma l'approssimazione è buona anche per sezioni con larghezza va­ riabile linearmente. La risultante di compressione è in genere leggermente sottostimata (ma meno del 5%) e questo errore è inoltre parzialmente compensato da una sottostima di k che porta ad un leggero aumento del braccio della coppia interna.80 anziché 0. a partire dal bordo. consiste nel sostituire al diagram­ ma parabola-rettangolo un diagramma di tensioni costante applicato per un tratto pari all'80% della parte compressa. Bisogna infine ricordare che la validità di questa semplificazione è legata al fatto che la deformazione nel calcestruzzo raggiunge al bordo proprio il valore massimo.valori di β e k ottenuti con diagramma costante applicato sull'80% della sezione compressa . anche se per sezioni rettangolari si useranno i valori rigorosi di β e k.85) se la larghezza della zona compressa diminuisce pro­ cedendo nella direzione della fibra estrema. 4 . In definitiva. consentita dalla normativa europea.40.80 e k =0. nel con­ sentire questa semplificazione. E immediato constatare la validità di questa semplificazione nel caso di sezione rettangolare. E opportuno aggiungere che la normativa europea.196 Capitolo 9 Considerazioni e indicazioni opmatiue La dipendenza di β e k dalla forma della sezione può complicare note­ volmente la verifica a flessione quando si ha a che fare con sezioni di forma diversa da quella rettangolare. Sezione rettangolare Il procedimento generale per la verifica a flessione allo stato limite ul­ timo consiste nell’esprimere la risultante delle tensioni di compressione e trazione in funzione della posizione dell’asse neutro. 17 . Poiché la sezione è rettangolare. la parte compressa ha un'area b x (fig. calcolare questa imponendo l'equilibrio alla traslazione e determinare infine dalla condizione di equilibrio alla rotazione il mo­ mento massimo sopportabile dalla sezione. può essere espresso (come già visto nel caso di modello lineare) in Fig.sezione rettangolare a doppia armatura nella verifica con modello non lineare del materiale . 17) e la risultante delle tensioni di compressione vale mentre le forze esplicate dall’armatura tesa e compressa possono essere espresse in generale come con Le tensioni ϭs e ϭ's devono essere ricavate dalle deformazioni εs ed ε's.2. Il diagramma delle deformazioni. lineare anche allo stato limite ul­ timo.Flessione semplice 197 6. la condizione di equilibrio alla rotazione rispetto al punto di applicazione di Nc fornisce il momento resistente della sezione Sezione a doppia armatura L’armatura superiore è snervata quando . si ha Tenendo conto dell’acciaio.198 Capitolo 9 funzione della distanza x dell’asse neutro dal bordo compresso e della curvatura χ (inclinazione del diagramma delle e). si ha del legame costitutivo elastico-perfettamente plastico Sezione a semplice armatura In una sezione ben progettata l'armatura inferiore deve essere sempre snervata. L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa quindi e consente di ricavare immediatamente la posizione dell’asse neutro Una volta individuata la posizione dell’asse neutro. cioè deve essere s=l. Poiché il diagramma limite comporta il raggiungimento della deformazione εCu al bordo com­ presso. Nel caso non lo sia. Conviene pertanto effettuare la verifica partendo dairipotesi che entrambe le armature siano snervate. In tal caso la condizione di equili­ brio alla traslazione è . anche l’armatura compressa è sner­ vata.α fcd b x β .Flessione semplice 199 ovvero x >= 1. però. o meglio con un elevato rapporto y = c l d (ad esempio in alcune travi a spessore).A's fyd + As fyd = 0 e la posizione dell’asse neutro Confrontando il valore ottenuto con il limite innanzi indicato. op­ pure in sezioni con una notevole quantità di armatura in compressione. si può avere una conferma del fatto che l'armatura compressa è snervata. si ha e la condizione di equilibrio diventa .87 c per acciaio FeB38k x >= 2.15 c per acciaio FeB44k La distanza dell’asse neutro dal bordo compresso può essere inferio­ re al limite sopra indicato nel caso di sezioni molto basse. Nella maggior parte dei casi. Nrs (k x .c ) ] f f d che si può anche scrivere Esempio 14. Ipotizzando che l’armatura compressa sia snervata. la condizione di equilibrio alla rotazione rispetto al punto di applicazione di Nc M .c) fornisce il valore del momento resistente MRd = [As ( d . si trovi la posizione dell'asse neutro per flessione semplice allo stato li­ mite ultimo ed il momento limite corrispondente.ω(1-u1) dx .K x ) + s ' A ' s ( k x .200 Capitolo 9 Questa equazione può essere scritta in maniera più sintetica indicando col simbolo co la quantità che viene denominata percentuale meccanica di armatura perché tiene conto sia del rapporto tra l’area di acciaio e quella del calcestruzzo che delle differenti caratteristiche meccaniche dei due materiali. Data una sezione rettangolare 30x50 in calcestruzzo Rck~25 MPa armata con 4ϕ20 inferiori e 2ϕ14 superiori in acciaio FeB44k. con copriferro c=4 cm.ωu1 cd = 0 ed ha come soluzione Una volta individuata la posizione dell’asse neutro. si determina la posizione dell’asse neutro . Ponendc inoltre l’equazione diventa βx2 .Ns (d — k x) . 82 cm2).08 x(0.9 kNm Esempio 15. assegnando una posizione x per l’asse neutro. con co­ priferro c-4 cm.0. Data una sezione rettangolare 30x50 in calcestruzzo Rck=25 MPa armata con 4ϕ20 inferiori e 2ϕ20 + 1ϕ14 superiori in acciaio FeB44k. proce­ dere per tentativi.24) + 3. l’armatura compressa è effet­ tivamente snervata ett il valore trovato è esatto.9 x IO-3 = = 191.56x (46 .15 c = 8. indivi­ duando il corrispondente diagramma limite ed il relativo stato tensiona- .Flessione semplice 201 Poiché tale valore è maggiore. Si può quindi calcolare il mo­ mento resistente MRi = [l2. di 2.24 .416 X 13. si determina la posizione dell’asse neutro Questa volta il valore trovato è minore di 2.416 x 13. Ipotizzando che essa sia snervata. si può.4)]x 373.15 c = 8. in generale. Sezione generica Per verificare una sezione di forma qualsiasi. Si ha 6. Il valore di x è quindi sbagliato e per trovarlo oc­ corre risolvere una equazione di secondo grado. si trovi la posizione dell'asse neutro per flessione semplice allo stato limite ultimo ed il momento limite corrispondente.6 cm e l’armatura compres­ sa rimane in campo elastico.3.6 cm. In questo caso l’armatura compressa è molto maggiore (7. che moltiplicato per il valore di Ns fornisce il momento resistente della sezione. 18 .202 Capitolo 9 le. Le barre di armatura sono disposte con spaziatura regolare lungo una circonferenza di raggio rs = r . come i pali di una paratia. N’s (usando per la prima l'approssima­ zione di applicare una tensione costante all’80% della parte compressa — misurato in altezza a partire dal bordo compresso) si può controllare se la loro somma algebrica è nulla.c. Calcolate le tre forze Nc. l'equilibrio alla rota­ zione rispetto ad un punto qualsiasi fornisce il momento resistente. In caso con­ trario occorrerà provare con una nuova posizione. Esempio 16. con copriferro c=4 cm. più lontana se prevaleva la trazione. si trovi la posizione delVasse neutro per flessione semplice allo stato limite ultimo ed il momento limite corrispondente. si può calcolare la posizione della risultante di Nc e N’s e quindi il braccio della coppia interna. più vicina al bordo compresso se prevaleva la compressione. Ns. perché la condizione di equilibrio è rispettata.54 cm2 e As2 .08 cm2. posti alle quote indicate in figura 18r Assegnando una distanza x dell'asse neutro dal bordo superiore si defini­ sce un diagramma di deformazioni. Le armature aventi una stessa ordinata y sono soggette alle stesse tensioni. di area As1 = As4= 1. La forma circolare non è molto usata in elementi soggetti a flessione.sezione circolare .As3 = 3. Quando si è trovata la posizione esatta. si può quindi considerare l'annatura come costituita da 4 strati. Se ciò è vero la posizione dell’asse neu­ tro è esatta. individuato dalle quantità Fig. Data una sezione circolare di raggio r-20 cm in calcestruzzo Rck=25 MPa armata con 6ϕ14 in acciaio FeB44k. ma può ritrovarsi in casi particolari. op­ pure. Flessione semplice 203 Fig.area e posizione del baricentro di un segmento circolare . 20 . Inoltre in zona sismica la capacità di deformarsi plastica­ mente permette di dissipare con cicli isteretici delle sezioni l’energia . il comportamento a collasso di differenti sezioni può essere molto diverso. Progetto della sezione 7. Comportamento ultimo e duttilità A parità di momento resistente. definita come rapporto tra la ro­ tazione ultima e la rotazione corrispondente allo snervamento dell’ar­ matura tesa. notevole incremento della de­ formazione) che possono mettere in allarme e consentire interventi pri­ ma del crollo. Un parametro fondamentale nel valu­ tare tale comportamento è la duttilità.1. Una sezione che presenti una rottura duttile dà chiari se­ gnali di preavviso (elevata fessurazione.204 Capitolo 9 7. Nel primo dei casi sopra elencati. fino a tale valore.0 cm dal bordo superiore. con Tasse neu­ tro a 11.00187) quando nella sezione è presente un diagramma di deformazioni ben lontano da quello ultimo (χ . ad esempio 300 kNm.000073. praticamente lineare. fino ad arrivare a 300 kNm.08 e u=0 (fig. questa sezione. prendiamo in esame una sezione 30x50 in calcestruzzo di classe Rck~25 MPa ed acciaio FeB44k. da usare solo per considerazioni teoriche. stato limite ultimo (εc = εcu = -0.Flessione semplice 205 trasmessa dal sisma alla struttura. l'asse neutro è a 21. Come si vedrà meglio nel paragrafo successivo. La sezione subisce forti deformazioni con momento flettente quasi costante ed ha quindi una elevata duttilità (la curvatura ultima è circa quattro volte quella di snervamento). l'armatura tesa arriva a snervarsi (εs=0. la forza di trazione non cambia più ed il momento fletten­ te varia leggermente.-0. corrispon­ denti al raggiungimento dello stato limite in campi diversi. La duttilità di una sezione è strettamente legata al diagramma li­ mite col quale essa giunge al collasso.0109.000312 ed una deformazione dell’armatura inferiore εs = 0. può agevolmente portare un momento flet% tente pari a circa 130 kNm. una sezione priva di duttili­ tà ha un comportamento fragile. E però possibile farle sopportare un momen­ to ben più alto. Si raggiunge lo.2 cm dal bordo superiore ed il momento flettente corrispondente a tale diagramma è pari a 280. u=0. La quantità di ferro necessaria è ovviamente sempre alta ed in particolare nel quarto caso sicuramente improponibi­ le. 21). Per mostrare con un esempio con­ creto tale relazione. se dotata di una quantità non eccessiva di armatura tesa.6. Al contrario.0035 al bordo superiore) per una curvatura χ = -0. εc= -0. raggiunge il collasso senza un evidente preavviso ed ha una capacità di dissipare ciclicamente energia praticamente nulla. Per i successivi incrementi di deformazione. realizzando quindi un notevole risparmio economico.00156). Il diagramma momento-curvatura è. solo a causa del cre­ scere del braccio della coppia interna. ottenuti uti­ lizzando quattro percentuali di armatura compressa: u=0. \ .3. Si sono presi in esame più casi. u=0. aggiungendo rilevanti armature in compressione o in trazione. grazie a ciò è possibile utilizzare azioni di progetto molto minori di quelle che sarebbero necessarie se si volessero mantenere le sezioni in campo elastico.9 kNm. 21 .206 Capitolo 9 Fig.diagrammi momento-curvatura e diagrammi di deformazione limite per una sezione 30x50 con differenti percentuali di armatura compressa . Flessione semplice 207 Nel secondo caso. o sezioni a forte armatura. quando si rag­ giunge la resistenza ultima con acciaio teso ancora in campo elastico. L’andamento del diagram­ ma momento-curvatura è. In fase di progetto è sempre bene mirare ad ottenere una buona duttili­ tà e quindi ad avere l'acciaio teso ampiamente in campo plastico.1 kNm.sezioni ad alta duttilità. εs= 0. Il quarto caso. quando si rag­ giunge la resistenza ultima con deformazione nell’acciaio teso supe­ riore al limite (convenzionale) di 0.2 cm dal bordo superiore. χ = -0. Dopo lo snervamento dell'armatura tesa il momento varia di poco e si raggiunge lo stato limite ultimo per una curvatura χ = -0. con Tasse neutro a 20. ed in ma­ niera non molto evidente.01 o comunque non molto inferiore a tale valore. con de­ formazione pari a 0.000174 ed 0. Sulla base di tali considerazioni e tenendo conto del fatto che è la quantità di armatura tesa presente nella sezione a determinare in quale campo si avrà il collasso le sezioni possono essere denominate .000097. quando si rag­ giunge la resistenza ultima con acciaio teso snervato ma deformazio­ ne inferiore al limite (convenzionale) di 0. con armatura tesa ben al di sotto del limite di snervamento. ancora abbastanza prossimo ad una retta.000116 ed ss= 0. o sezioni a media armatura.3 cm dal bordo superiore.00094.01. con Tasse neutro a 30. Si raggiunge il collasso per un diagramma di deformazioni avente curvatura χ = -0. . . mostra un comportamento analogo al prece­ dente. La se­ zione ha una limitata capacità di deformazione plastica (la curvatura ul­ tima è circa il doppio di quella di snervamento).01.sezioni a media duttilità. Si raggiunge però il collasso per un diagramma di deformazioni avente curvatura ancora minore. senza che la sezione presenti al­ cuna capacità plastica.00204. Tannatura tesa si snerva per un diagramma di deformazioni avente curvatura χ = -0.3 cm dal bordo superiore ed il momento flettente corrispon­ dente a tale diagramma è pari a 291. il momento flettente cresce con la deformazione in maniera che si discosta dalla lineare solo nel tratto terminale. fino a tale valore.000084 ed εc= -0.2 cm dal bordo superiore.sezioni a bassa duttilità. o sezioni a debole armatura. Nel terzo caso. ed asse neutro a 36. ..00449. infine. Tasse neu­ tro è a 24.00187. kξ) αf c d e ponendo Fig.h e l’armatura As. in maniera formalmente analoga a quanto fatto nel caso di modello lineare del materiale. Si consideri un qualsiasi diagramma limite di deformazioni. La forza di compressione vale N c =-α f c i b x β ed è applicata ad una distanza k x dal bordo compresso. Progetto di sezione rettangolare a semplice armatura Quando si progetta la sezione con modello del materiale non lineare si assumono come dati di partenza il momento flettente M e il diagramma limite di deformazioni che si vuole ottenere.K x ) = b d 2 βξ (l .208 Capitolo 9 7. La condizione di equilibrio alla rotazione rispetto all’armatura tesa si scrive.2. 22).N c (d . M = . sono invece incognite le di­ mensioni della sezione b. indivi­ duato dalla distanza x dell’asse neutro dal bordo superiore (fig. 22 .progetto di sezione rettangolare a semplice armatura per modello di comportamento non lineare . indipendentemente dalla classe del calcestruzzo e dal tipo di acciaio. Il valore di r dipende invece dalla resistenza del cal­ cestruzzo utilizzato. Per il diagramma di deformazioni scelto. differisce da quella usata nel metodo delle tensioni ammissibili so­ lo per la presenza di fyd anziché ϭs. Per un calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa si ha Si noti che questo valore è circa il 20% più piccolo di quello calcolato nel caso di modello lineare del materiale. da usare nel caso di stato limite ul­ timo. Il rapporto tra questi due valori è circa pari al rapporto tra i carichi che si utilizzano nei due metodi.Flessione semplice 209 Per conferire alla sezione una buona duttilità è opportuno assumere come riferimento un diagramma di deformazioni avente in corrispon­ denza dell'armatura tesa una deformazione εs = εsu = 0. . Per quanto riguarda il progetto delle armature. le armature da disporre risulteranno quindi sostanzialmente coincidenti. Si noti che in questo modo si recupera il limite di deformazioni tradizionalmente uti­ lizzato per l'acciaio. Poiché nel caso di progetto allo stato limite ultimo il valore di calcolo del carico (e quindi del momento flettente) è maggiore di circa il 40-50% rispetto a quando si progetta col metodo delle tensioni ammissibili. il prodotto r-/M assume in entrambi i casi all'incirca lo stesso valore e quindi l’altezza d calcolata mediante la formula è sostanzialmente la stessa in entrambi i casi.01.259.8923 e si può quindi ancora usare l’espressione approssimata Si. l'equilibrio alla ro­ tazione rispetto al punto di applicazione di Nc fornisce l'espressione che è perfettamente analoga a quella ricavata nel caso di modello linea­ re del materiale. è ζ = 0. noti che questa espressione. La posizione delibasse neutro può in tal caso rica­ varsi con una semplice proporzione ottenendo ξ=0. Progetto di sezione rettangolare a doppia armatura In caso di sezione a doppia armatura (fig. con sufficiente approssimazione. 23 . ad una distanza di che vale Imponendo la condizione di equilibrio alla rotazione rispetto al punto di applicazione della risultante delle forze nelle armature si ottiene ancora con rr = k r e o.=l. la risultante delle forze nelle armature è sempre applicata al di sotto dell'armatura tesa.210 Capitolo 9 Fig. Il contributo dell'armatura compressa è quindi sensibilmen- . Il contributo dell'armatura compressa N's si può sempre esprimere come -s’uNs .progetto di sezione rettangolare a doppia armatura per modello di comportamento non lineare 7.40-0. mentre in caso di comportamento lineare del materiale il rapporto tra le tensioni nell’armatura compressa e tesa vale s'=0. Occorre però notare che.3. 23) si procede in maniera for­ malmente identica a quella seguita nel caso di materiale a comporta­ mento lineare. nel caso di modello non lineare per il diagramma di deformazioni scelto si ha quasi sempre (tranne che per sezioni molto basse) s.50. Flessione semplice 211 . Per calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa si può suggerire.212 Capitolo 9 7. Indicazioni progettuali Analogamente a quanto detto per il metodo delle tensioni ammissibili. approssimativamente gli r’ corrispondenti ad u=0. anche come cifra .5. ritengo che nel progettare l'altezza di una sezione (dopo aver stimato in maniera approssimata il.25. momento sollecitante) sia opportuno tenere conto del fatto che una piccola quantità di armatura in compressione è sempre presente ed utilizzare quindi valori leggermente minori di quelli calcolati per r. 8 d. Consiglio quindi di valutare l’armatura massima Asmax e ricavare un ul­ teriore limite inferiore per l’altezza della sezione invertendo la formula di progetto dell’armatura.Flessione semplice 213 “tonda” e facile a ricordare. indipendentemente dal tipo di acciaio.020. ricordo che in questi casi potrebbe essere più vincolante la limitazione indotta dalla quantità di armatura tesa che è possibile disporre nella sezione. il valore 0. cioè calcolando Per quanto riguarda il progetto dell’armatura tesa. L’armatura compressa. o meglio ancora ricavandolo dal rapporto r'/ r con la relazione approssimata Oppure si può calcolare la differenza ΔM tra il momento di calcolo e quello resistente per u=0 e valutare l’area necessaria conia formula ipotizzando un opportuno valore per s’ (per travi emergenti 1 nel caso di stato limite ultimo. Se si è costretti a ridurre fortemente le dimen­ sioni della sezione e quindi ad utilizzare valori di r3 più bassi. quando necessaria. calcolando il valore di r* corrispondente al momento di calcolo e confrontandolo con quello noto per i diversi valori di u. considerare il braccio della coppia interna pari a 0.4-0.021. solo per travi a spessore molto basse potrebbe essere più op­ portuno il valore 0. La si può valutare come percentuale di quella tesa. 0.9 d fornisce sempre valori accetta­ bili e non molto discosti da quelli ottenibili con calcoli rigorosi. Si noti però che se si usasse come obiettivo di progetto un diagramma di defor­ mazioni diverso da quello indicato (con minori deformazioni dell’acciaio teso) il braccio della coppia interna potrebbe ridursi a 0.5 per travi a spessore) o calcolandolo con rife­ rimento al diagramma di tensioni di progetto . può essere determinata con gli stessi criteri enunciati per il metodo delle tensioni ammissibili. 214 Capitolo 9 . Flessione semplice 215 . La riduzio­ ne di tensione rende però necessaria una quantità di armatura maggio­ re (perché occorre ottenere lo stesso Ns. cioè con uguale armatura in compressione e in trazione. Nel caso di modello lineare del materiale. sono stati calcolati con riferimento a ben precisi diagrammi di tensione o deformazione. anzi un valore maggiore a causa della riduzione del braccio della coppia interna). Considerazioni finali I valori proposti per il coefficiente r. sia dal punto di vista economico (risparmio nelle quantità di materiale) che di comportamento. Si può facilmente constatare che usando come valore massimo per il calcestruzzo una tensione minore di ϭc la parte compressa risulta percentualmente più piccola. è sicuramente più conveniente aggiungere armatura in compressione. di­ mezzando la tensione di lavoro dell’armatura (e quindi più che raddop­ piando l’area di ferro teso) si può ridurre l’altezza di appena il 15%. Ad esempio. sproporzionata al van­ taggio che potrebbe comportare la riduzione di sezione. Vo­ lendo diminuire l’altezza. Nc diminuisce e di con­ seguenza aumenta l’altezza necessaria (r diventa più grande). si può avere una riduzione dell’altezza di circa il 30% (ma con un’armatura totale quasi triplicata. con riferiménto al metodo delle tensioni ammissibili. se si tiene conto anche dell’effetto . usando come valore limite per l’acciaio una tensione minore di ϭs la parte compressa aumenta e l’altezza necessaria diminuisce. e quindi per la valutazione dell’al­ tezza necessaria della sezione. Vicever­ sa.216 Capitolo 9 8. si sono utilizzati come valori limite le tensio­ ni ammissibili ϭc e ϭs. Ritengo opportuna qual­ che ulteriore considerazione sulla convenienza delle scelte fatte. ma anche questo non è troppo vantaggioso se si pensa che per u=1. Flessione semplice 217 della riduzione dell'altezza). l’economia che si avrebbe è pertanto solo apparente. Se invece si riduce la deforma­ zione dell'armatura tesa. perché il prodotto sarebbe dì qualità inferiore. quale si raggiungono contemporaneamente le deformazioni limite di ac­ ciaio e calcestruzzo. Anche in questo caso. a parità di momento. anche se in apparenza leggermente meno rilevante di quello dell’armatura tesa. Nel caso di modello del materiale non lineare. la sua tensione di lavoro non cambia (almeno fin quando non si scende al di sotto del limite di snervamento) mentre cresce. a parità di sezione. usare un valore limite più basso per il calcestruzzo comporta una riduzione della parte compressa ed un aumento dell’altezza necessaria. dell’80% ovvero. si può ridurre di oltre il 30% l’altezza necessaria. si è suggerito di far riferimento al diagramma C. se si raddoppia l’area di ferro teso il momento resistente cresce. In definitiva i margini di manovra del pro­ gettista sono alquanto limitati. col. . Si è però già spiegato che ciò comporta una netta riduzione della duttilità. Se si prende in esame solo l’aspetto economico. potrebbe sembrare quindi conveniente realizzare sezioni più basse e molto armate. è sicuramente molto maggiore che nel caso del modello lineare (circa il doppio) ed ha il vantaggio di non ridurre la duttilità. Invece il contributo dell’armatura in compressione. il contributo del calcestruzzo compresso. Di conseguenza. cioè nell’ambito dello stato limite ultimo. anche notevolmente. 218 Capitolo 9 . La presso e tensoflessione in una sezione omogenea Una sezione è sollecitata a flessione composta quando in essa agiscono contemporaneamente lo sforzo normale N ed il momento flettente M. la sua traccia sul piano della sezione. Le espressioni generali che forniscono la deformazione e la tensione in un punto della sezione. Queste azioni equivalgono alla sola forza assiale N applicata in un punto C. con le sue due componenti Mx ed My. 1). passa per i punti C e G (fig. detto centro di sollecitazione. detto asse di sollecitazione s. è detto piano di sollecitazione. somma delle due componenti Mx ed My.Capitolo 10 PRESSO E TENSOFLESSIONE 1. . L’asse neutro n (luogo dei punti per i quali la tensione è nulla) non passa quindi per il baricentro. già richiamate nel capitolo 7 mostrano che quando lo sforzo normale è diverso da zero anche la de­ formazione longitudinale e la tensione normale in corrispondenza del baricentro sono diverse da zero. spostato rispetto al baricentro G della sezione delle quantità Il piano in cui agisce il momento M. 220 Capitolo 10 . perché se il centro Ri relativo alla retta n sta su una retta r2. Gli assi dell’ellisse centrale d’inerzia sono gli assi principali d’iner­ zia del sistema e la lunghezza di ciascun semiasse è pari al raggio d’inerzia del sistema rispetto all’altro asse. cioè dei poli che stanno sulla propria polare.per il centro relativo dell’altra retta. Questo punto è indipendente dalla direzione secondo la quale si misurano le distanze. e solo se. Se il contorno della figura data ha un tratto rettilineo oppure un vertice il nocciolo ha corrispondentemente un vertice oppure un tratto rettilineo. il baricentro del sistema di masse (o aree) è il polo della retta all'infinito. Infine. ma ritengo uti­ le fare qualche breve richiamo. un’ellisse (denominata ellisse centrale d’inerzia) il cui centro coincide col baricentro del sistema di masse (o aree). Due rette r1 ed r2 si dicono coniugate rispetto all’ellisse centrale d’inerzia se ciascuna passa . Il punto R viene detto polo della retta r e la retta r viene detta polare di R. il momento centri­ fugo delle aree rispetto agli assi s ed n è nullo e che quindi s e d / i sono coniugati rispetto all’ellisse centrale d’inerzia della sezione. Si definisce centro relativo di un sistema di masse (o di aree) rispetto ad un asse il baricentro dei momenti statici delle masse (o aree) rispetto all’asse. In generale il luogo dei punti autoconiugati. sono antipoli delle rette che in­ viluppano la figura senza tagliarla (questa precisazione è fatta per escludere.Presso e tensoflessione 221 e quindi le relazioni monomie tra tensioni e caratteristiche di sollecita­ zione La terza espressione mostra che. esse sono coniugate. nel caso di una figura in parte concava. Anche questa corri­ spondenza è una polarità. simmetrico del centro relativo R rispetto al baricentro. In particolare. Si dimostra che questa corrispondenza è una polarità. che ha come conica fondamentale. . è una conica. che in questo caso non ha punti reali. Si dimostra che il mo­ mento centrifugo del sistema rispetto a due rette è nullo se. Il nocciolo è sempre una figura convessa. reale. Più utile è esaminare la corrispondenza tra una retta r ed il punto R’. rispetto all’ellisse centrale d’inerzia. si definisce nocciolo centrale d’inerzia di una figura il luogo dei punti che. essendo Ms=0. La corrispondenza tra una retta r ed il suo centro re­ lativo R è quindi una antipolarità rispetto all’ellisse centrale d’inerzia. Cosa sia l’ellisse centrale d’inerzia dovrebbe essere già noto. il centro R2 relativo alla retta T2 deve stare sulla retta ri. Pertanto ad ogni retta r del piano corrisponde un determinato centro relativo R. quelle rette tangenti nella parte rien­ trante che taglierebbero la figura). presso o tensoflessione retta. . . l’asse di sollecitazione coincide con l’asse y e l’asse neu­ tro è parallelo all’asse re (fig.se il centro di sollecitazione C è esterno al nocciolo l’asse neutro taglierà la sezione. l’asse neutro è perpendicolare all’asse di sollecitazione. si può conclude­ re che: . punto di applicazione di N. ovvero l’antipolo di n rispetto all’ellisse centrale d’inerzia della sezione.se il centro di sollecitazione C è sul contorno del nocciolo l’asse neutro sarà tangente alla sezione. 2 . Per le proprietà del nocciolo centrale d'inerzia. Ad esempio. se M= Mx e My = 0.se il centro di sollecitazione C è interno al nocciolo l’asse neutro sarà esterno alla sezione. 2). si può notare che il centro di sollecitazione C. è il baricen­ tro delle forze elementari a dA ovvero E χs s dA. Nei primi due casi la sezione sarà quindi tutta tesa o tutta compressa (secondo il segno di N ) mentre nel terzo caso essa sarà in parte tesa e in parte compressa. In tal caso la sollecita­ zione viene denominata presso o tensoflessione retta. Esso è quindi il bari­ centro dei momenti statici delle aree elementari dA rispetto all’asse neutro. Le relazioni generali tra tensioni e caratteristiche della sollecitazio­ ne diventano in questo caso Fig.222 Capitolo 10 Tornando alla sezione soggetta a flessione composta. Quando il momento agisce in un piano principale d’inerzia. per sezione omogenea . cioè le distanze e\ ed ez di tali punti dal baricentro (fig. ed imponendo.che ϭ(dG. Ciò può essere fatto immediatamente ricordando le proprietà del nocciolo: quando il centro di sollecitazione coincide con l'estremo supe­ riore Ci del nocciolo il corrispondente asse neutro m deve essere tangen­ te al bordo inferiore della sezione* Utilizzando la relazione binomia tra tensioni e caratteristiche di sol­ lecitazione.Presso e tensoflessione 223 mentre restano formalmente inalterate le relazioni monomie In presenza di flessione composta retta non è necessario conoscere l’intero nocciolo d’inerzia per giudicare se l'asse neutro taglia la sezione. v E infatti sufficiente determinare solo la posizione degli estremi Ci e C2 dei raggi di nocciolo lungo Tasse di sollecitazione. con M = -Ne1. 3).inf) = 0 si ottiene . 224 Capitolo 10 . Poiché queste non sono simmetriche (As=12.56 cm2. A parte la presenza di sforzo normale.02. Per ottener­ lo occorre calcolare l'area A della sezione ed il suo momento statico S rispetto ad un asse qualsiasi. Parlare di sezione non fessurata equivale a ritenere il calcestruzzo nel primo stadio. Nel primo stadio si applicano le formule note dalla Scienza delle costruzioni alla sezione costituita da tutto il calcestruzzo più l’armatura omogeneizzata. cioè ipotizzare che esso sia resistente sia a trazione che a com­ pressione ed abbia una relazione a-e lineare. Il coefficiente di omogeneizzazione n=Es/Ec può essere assunto proprio pari al rapporto tra i due moduli elastici. i dati dell'esempio coincidono con quelli usati nel primo esempio relativo alla flessione semplice. si ha A = 1609. ritenendo che ci si riferisca ad uno stato tensionale modesto ed a carichi di bre­ ve durata nel tempo. N = -100 kN ipotizzando che la sezione non sia fessu­ rata. al quale si rinvia per alcuni passaggi numerici.presso o tensofiessione retta per sezione omogeneizzata Esempio 1.08 cm2) è necessario valutare preliminarmente la posizione del baricentro. Per il calcestruzzo in esame si ha quindi n-7. si verifichi se la tensione di trazione supera la resistenza a trazione del calcestruzzo. La sezione cui fare riferimento è costituita dal calcestruzzo più le armature omogeneizzate. Data una sezione rettangolare 30x50 in calcestruzzo RCk=25 MPa armata con 4020 inferiori e 2014 superiori in acciaio FeB44k. con copriferro c=4 cm. As=3.8 cm2 S = 41642 cm3 .Presso e tensoflessione 225 Fig. si determini lo stato tensionale provocato dalle caratteristiche di solleci­ tazione M = Mz — 50 kNm. 4 . Come già vi­ sto nell’esempio citato. ad esempio al bordo superiore della sezione. 226 Capitolo 10 . tutta compressa oppure parzializzata (in parte tesa. per fare ciò basta confrontare la posizione del cen­ tro di sollecitazione rispetto al nocciolo centrale d'inerzia della sezione. Per verificare una sezione nel secondo stadio occorre quindi. In presenza di compressione. le formule della Scienza delle costruzioni vanno applicate alla sezione “reagente omogeneizzata”.calcestruzzo non resistente a trazione Quando il comportamento del materiale è lineare ma il calcestruzzo non resiste a trazione. controllare se essa sia tutta tesa. in questo caso non si sa a priori a quale sezione ci si debba riferi­ re.Presso e tensoflessione 227 3. In realtà il problema è un po' più complesso di quanto appare da questa affermazione. Modello lineare . perché non si può conoscere (se non dopo un calcolo) quale sia la par­ te di calcestruzzo reagente. cioè alla sezione costitui­ ta dal calcestruzzo compresso e dall’armatura (tesa e compressa) ampli­ ficata mediante il coefficiente n. Occorre infatti distinguere i casi in cui lo sforzo normale è di trazione da quelli in cui si ha compressione. In presenza di trazione. A differenza della sezione nel primo stadio. In linea teorica. in parte compressa). si utilizzeranno le formule della Scienza delle costruzioni facendo riferimento al baricentro. Di conse­ guenza si deve determinare innanzitutto il nocciolo d’inerzia di tale se­ zione e valutare se il centro di sollecitazione è interno ad esso. all’area e ai momen­ to d’inerzia delle sole armature. la sezione potrebbe invece essere tutta compressa ed in tal caso si dovrebbe far riferimento alla sezione com­ posta da tutto il calcestruzzo più le armature omogeneizzate. innanzi tutto. In caso affermativo. In questo caso la sezione di riferimento sarebbe costituita dalle sole arma­ ture. In caso . la sezione potrebbe essere tutta tesa. Di conseguenza si deve determinare innanzitutto il nocciolo d’iner­ zia delle sole armature e valutare se il centro di sollecitazione è interno ad esso. Poi­ ché lungo l'asse della trave variano le caratteristiche della sollecitazione e spesso anche le armature.228 Capitolo IO affermativo. indipendentemente dalla sua possibile parzializza­ zione. Per ovvia­ re a ciò si usa analizzare le strutture in cemento armato facendo riferi­ mento. e ciò cree­ rebbe problemi di calcolo piuttosto seri per schemi iperstatici. Una trave in cemento armato viene vista. Nei paragrafi che seguono. queste brevi indicazioni sono esplicitate con riferimento a sollecitazioni di presso e tensoflessione retta. come costituita sola­ mente dal calcestruzzo compresso e dalle armature omogeneizzate. la trave stessa dovrebbe essere considerata come un solido a sezione variabile anche quando la sezione geometrica del calcestruzzo rimane costante. Nella maggior parte dei casi. in fondo. all’area e al momento d'inerzia di tut­ to il calcestruzzo più le armature omogeneizzate. Inoltre la sezione reagente non è nota a priori perché dipende dalle caratteristiche di sollecitazione. sezione per sezione. Questa impostazione ha una conseguènza immedia- . in edifici antisismici). Occorre perciò determinare la posizione dell’asse neutro. Una ulteriore precisazione appare però importante. Infine. nella risoluzione dello schema. alla sezione geometrica di calcestruzzo (per intero. l’unico modo possibile per proce­ dere speditamente. se in un caso o nell’altro si trova che il centro di sollecitazio­ ne è esterno al nocciolo considerato si desume che l'asse neutro taglia la sezione e questa è quindi parzializzata. Questo modo di procedere è puramente convenzionale ed in casi particolari può portare a contraddi­ zioni e a risultati paradossali (ricordo polemici dibattiti in recenti con­ vegni circa la resistenza e duttilità di setti in c. e senza tenere conto delle armature). però. ciò può essere fatto sfruttando la relazione en=In/Sn nella quale tutte le grandezze possono essere espresse in fun­ zione dell'unica incognita x (distanza dell'asse neutro dal bordo com­ presso). prima per sezioni rettangolari e poi per sezioni di forma più complessa. l'approssimazione è tutto sommato accettabile e questo rimane.a. si utilizzeranno le formule della Scienza delle costruzioni facendo riferimento al baricentro. Il caso della flessione composta deviata non presenta problemi concettuali ma solo difficoltà analitiche e verrà affrontato più avanti con riferimento ai domini M-N. Sforzo normale di trazione interno al nocciolo (bassa eccentricità) Facendo riferimento alle sole armature (fig. si calcola l’area ed il momento statico rispetto al bordo superiore e quindi la posizione del ba­ ricentro Gs delle armature . 4. occorre distinguere il caso di sforzo di tra­ zione da quello di compressione e valutare se il centro di sollecitazione è interno al nocciolo rispettivamente delle sole armature e di calcestruzzo più armature omogeneizzate.Presso e tensoflessione 229 ta sulle verifiche a flessione composta: lo sforzo normale deve intendersi sempre come una forza assiale applicata nel baricentro della sezione ge­ ometrica di calcestruzzo. Sezione rettangolare Come già detto in generale.1. Verifica a presso o tensoflessione retta 4. indipendentemente da quale sia l’effettiva se­ zione reagente. 5). 230 Capitolo 10 Si noti che il nocciolo d'inerzia della sezione costituita da due arma­ ture non coincide col nocciolo determinato per due masse o aree concen­ trate. In quel caso, infatti, il punto in cui è posta un’area è l’antipolo di una retta passante per l’altra area e gli estremi del nocciolo d’inerzia sono quindi coincidenti con la posizione delle aree. In una sezione in cemento armato con doppia armatura, invece, la presenza del calcestruzzo è condizionante anche quando esso non reagisce, perché l’estre­ mo del nocciolo deve essere l’antipolo di una retta passante per il bordo della sezione e quindi più eccentrica rispetto all'armatura. Come conse­ guenza, la dimensione del nocciolo d’inerzia è sempre minore, anche se non di molto della distanza tra le armature. Una volta individuato il nocciolo è possibile esaminare la posizione del centro di sollecitazione. Ci si deve riferire all’eccentricità ex,s di C ri­ spetto alla nuova origine del sistema di riferimento, Gs, che è la diffe- Presso e tensofiessioné 231 renza tra l'eccentricità originaria Mx / N e la distanza doG tra i punti Gs edL0 Il centro di sollecitazione è interno al nocciolo se -ei < eX,S < e2. In tal caso la tensione nell'armatura è fornita dall’espressione nella quale y è la coordinata rispetto al punto Gs ed A, IX , eX,S sono fornite dalle espressioni riportate in precedenza. Esempio 3. Si verifichi col metodo delle tensioni ammissibili una sezione ret­ tangolare 30x60 in calcestruzzo RCk=25 MPa armata con 10 cm2 inferiori e 6 cm2 superiori in acciaio FeB44k, con copriferro c—4 cm, soggetta alle caratteristiche di sollecitazione M~30 kNm, N—200 kN. Come prima cosa si deve valutare l’eccentricità, che è pari a Forse si potrebbe già dire, a occhio, che l’eccentricità è bassa ed il centro di sol­ lecitazione interno al nocciolo, perché avendo uno sforzo di trazione si deve far riferimento al nocciolo d’inerzia delle sole armature, più ampio. Nel dubbio, comunque, è necessario calcolare la dimensione del nocciolo e controllare. Pro­ cedendo in ordine, innanzi tutto si determina la posizione del baricentro delle armature Il baricentro Gs delle armature è situato, come prevedibile, più in basso ri­ spetto al centro della sezione geometrica perché l’armatura inferiore è maggio­ re di quella superiore. Il momento d’inerzia rispetto al baricentro vale I = 10x10-4 x (0.235-0.04)2 + 6x10-4 x (0.365-0.04)2 =0.0001014m4 ed i raggi di nocciolo 232 Capitolo 10 cioè distano rispettivamente 6.14 cm dal bordo inferiore e 9.53 cm dal bordo superiore. La distanza-dei centro di sollecitazione dal baricentro delle armature e ex,s =0.15-(0.30- 0.235)=0.085 m = 8.5 cm Si ha così la conferma che il centro di sollecitazione è interno al nocciolo, essendo -e\ < ez,s<e2 (-26.97 < 8.5 < 17.36). La sezione è quindi tutta tesa e le tensioni nell’armatura inferiore e superiore valgono Dovendo effettuare la verifica col metodo delle tensioni ammissibili, questi valori vanno confrontati con la tensione ammissibile dell’acciaio. Essendo que­ sta pari a 255 MPa la verifica ha esito positivo. Sforzo normale di compressione interno al nocciolo (bassa eccentricità) Facendo riferimento alle armature omogeneizzate e a tutto il calcestruzzo (fig. 6), si calcola l’area ed il momento statico rispetto al bordo superiore, la posizione del baricentro Gc+s ed il momento d’inerzia bari­ centrico La distanza degli estremi del nocciolo C1,c+s e C2,c+s dal baricentro Gc+s si ottiene utilizzando le espressioni generali Presso e tensoflessione 233 Fig. 6 - raggi dì nocciolo di armature omogeneizzate e calcestruzzo Le dimensioni del nocciolo d’inerzia che si ottengono in questo caso saranno sicuramente maggiori, anche se non di molto, di quelle della so­ la sezione rettangolare (per la quale e 1 = e 2 = h / 6 ) perché le armature sono più centrifugate rispetto alla sezione in calcestruzzo. Una volta individuato il nocciolo è possibile esaminare la posizione del centro di sollecitazione. Anche qui l’eccentricità di C deve essere ri­ ferita alla nuova origine del sistema di riferimento, Gc+s, ed è quindi for­ nita dalla relazione, formalmente identica a quella vista in caso di trazione Il centro di sollecitazione è interno al nocciolo se -ei < ex,c+s < e2. In tal caso le tensioni nel calcestruzzo e nell’armatura sono fornite dalle espressioni 234 Capitolo 10 nella quale y è la coordinata rispetto appunto fornite dalle espressioni riportate in precedenza. Gc+s ed A, IXi ex,c+s sono Esempio 4. Si verifichi la sezione deli-esempio 3, soggetta alle caratteristiche di sollecitazione M-40 kNm, N=-500 kN. L'eccentricità vale Anche in questo caso si potrebbe dire, a occhio, che l'eccentricità è bassa ed il centro di sollecitazione internò al nocciolo d'inerzia, perché già il raggio di noc­ ciolo del solo calcestruzzo (h/6, cioè 10 cm) è più ampio. Per completezza, si è comunque calcolata la dimensione del nocciolo. La posizione del baricentro di tut­ to il calcestruzzo più le armature (omogeneizzate con n=15) si determina, calco­ lando area e momento statico Il baricentro Gc+s non dista molto dal baricentro del solo calcestruzzo, per­ ché la quantità di armatura presente è abbastanza piccola rispetto al calcestruzzo. Il momento d’inerzia rispetto al baricentro vale ed i raggi di nocciolo cioè sono leggermente maggiori del raggio di nocciolo della sola sezione rettan­ golare. La distanza del centro di sollecitazione dal baricentro è e x,c+s = -0.08 - (0.30 - 0.2924)=-0.0876 m = - 8.76 cm Si ha così la conferma che il centro di sollecitazione è interno al nocciolo, essendo -e 1< e x,c+s < e 2 (-11.75 < -8.76 < 11.17). La sezione è quindi tutta com- Presso e tensoflessione 235 In questo caso le tensioni sono tutte negative, cioè di compressione, e van­ no confrontate rispettivamente con la tensione ammissibile del calcestruzzo (8.5 MPa) e dell'acciaio (255 MPa). La verifica ha esito positivo. Si noti che non è mai necessario verificare l’armatura compressa, perché essa ha una tensione 15 volte maggiore di quella del calcestruzzo a contatto con le barre, mentre il rapporto tra le tensioni ammissibili dei due materiali è pari a 30. Sforzo normale esterno al nocciolo (forte eccentricità) Nella trattazione che segue si fa riferimento a una sezione nella quale le fibre compresse siano quelle superiori, cioè soggetta ad uno sforzo nor­ male di trazione applicato al di sotto di C2,s oppure ad uno sforzo di com­ pressione applicato al di sopra di Ci,c+s (fig. 7). I risultati e le considera­ zioni valgono, ovviamente, anche per sezione compressa inferiormente. Come prima cosa occorre determinare la posizione dell’asse neutro. Nella trattazione si usano i seguenti simboli, in aggiunta a quelli adot­ tati in precedenza dc distanza del centro di sollecitazione C dal bordo superiore (posi­ tiva se C si trova al di sotto del bordo) en distanza del centro di sollecitazione C dall’asse neutro (positiva se C si trova al di sotto di tale asse) x distanza dell’asse neutro dal bordo superiore (priva di segno, ovvero sempre positiva) Queste tre grandezze sono legate tra loro dalla relazione en = d C ~X mentre de è legata all'eccentricità e x dalla relazione 236 Capitolo 10 Presso e tensoflessione' 237 Una volta determinata la posizione dell’asse neutro, si può utilizza­ re la relazione monomia tra tensioni e caratteristiche di sollecitazione per ricavare la tensione in un punto qualsiasi, in funzione della sua di­ stanza s dall’asse neutro Esempio 5. Si verifichi la sezione dell'esempio 3, soggetta alle caratteristiche di sol lecitazione M-l 80 kNm, N=—450 kN. L’eccentricità vale In questo caso il centro di sollecitazione è esterno alla sezione e quindi sicu­ ramente esterno al nocciolo d’inerzia. La sezione è parzializzata ed occorre de­ terminare la posizione dell'asse neutro risolvendo un'equazione di terzo grado. Si‘ ha dc = -0.40 + 0.60/2 = -0.10 m = -10 cm e l'equazione si scrive (esprimendo tutte le lunghezze in metri) La risoluzione può essere fatta per tentativi, assegnando un valore a x, calcolando il conseguente valore F del primo membro e proseguendo per suc­ cessive approssimazioni fino ad azzerare F x 0 0.60 0.30 0.28 0.2862 F -0.11189 0.34603 0.00907 -0.00392 0.00001 o, molto più rapidamente, usando la funzione ricerca obiettivo di Excel. Noto x, si determina il momento statico della sezione reagente rispetto al­ l’asse neutro 238 Capitolo 10 e, utilizzando la formula monomia, le tensioni nel calcestruzzo (al bordo- supe­ riore) e nell'acciaio teso (armatura inferiore) Il confronto tra i valori così trovati e quelli ammissibili mostra che la veri­ fica della sezione non è soddisfatta, perché la tensione di compressione nel cal­ cestruzzo (12.39 MPa) supera di molto il valore ammissibile (8.5 MPa). Esempio 6. Si verifichi la sezione delVesempio 3, soggetta alle caratteristiche di sollecitazione M=-180 kNm, N=-450 kN. Rispetto all'esempio precedente, si è solo cambiato segno al momento flettente. L'eccentricità ex vale quindi 0.40 m = 40 cm ed anche in questo caso il centro di sollecitazione è esterno alla sezione e quindi sicuramente esterno al nocciolo d’inerzia. Bisogna però prestare un attimo di attenzione per non cadere in un errore grossolano (ma fatale): ora la sezione è compressa inferiormente e non è quindi possibile applicare l'espressione scritta per sezione compressa superior­ mente. Se lo si facesse, operando meccanicamente, si troverebbe come soluzione x=0.085 m, valore completamente diverso da quello reale. Per ricavare correttamente la posizione dell’asse neutro si potrebbe riscrivere la condizione Sn en = In tenendo conto di quale è la parte compressa nel valutare Sn ed In. Oppure, più semplicemente, si può analizzare una sezione ribaltata rispetto all’asse x, cioè con As = 6.cm2 ed A's = 10 cm2 e soggetta ad un momento positivo. Così facendo si ha ex = -0.40 m = -40 cm e quindi dc = -0.40 + 0.60/2 = -0.10 m - -10 cm e l'equazione si scrive (esprimendo tutte le lunghezze in metri) nell'acciaio teso (armatura inferiore) ϭc = -12. In caso di parzializzazione la posizione dell’asse neutro sarà sempre ricavata dalla relazione Sn en = In. perché sia la tensione di com­ pressione nel calcestruzzo che quella di trazione neiracciaio superano i valori ammissibili (rispettivamente 8. Fig. 8 .possibili posizioni dell’asse neutro per una sezione a croce . Quell'equazione rimane però valida in alcuni casi. 4. la parte compressa della sezione può avere forma rettangolare (fig. che però in gene­ rale porterà ad equazioni più complicate di quella scritta per la sezione rettangolare.9 MPa La verifica della sezione non è soddisfatta.60 MPa ϭS = 257. le tensioni nel calcestruzzo-(al bordo supe­ riore) e. a seconda del valore delle caratteristiche di sollecitazione M ed N. Sezioni riconducibili alla rettangolare Per sezioni di forma diversa da quella rettangolare rimangono validi il procedimento e le formule generali per la determinazione del nocciolo d’inerzia. a T (fig. che però devono essere particolareggiate tenendo conto della forma della sezione. o meglio del loro rapporto.5 MPa e 255 MPa). come quella mostrata in figura 8. In tutti i casi in cui si ritiene possibi­ le che la parte compressa sia rettangolare conviene quindi determinare la posizione dell’asse neutro in questa ipotesi e controllare se il valore così trovato comporta effettivamente che la parte compressa abbia que­ sta forma. 8b) oppure a croce (fig. Ad esempio per ima sezione a forma di croce. 8c). cioè quando la parte compressa ha forma rettangolare. Solo in caso contrario si cercheranno le formulazioni analiti­ che specifiche della situazione in cui ci si trova. utilizzando la formula monomia.Presso e tensoflessione 239 e.2. 8a). la sezione è in calcestruzzo Rck-25 MPa ed è armata con barre-in-acciaio FeB44k. 9 . mostrata in figura 9. La sezione è soggetta a sforzo normale positivo. Poiché la sezione è te­ sa occorre fare riferimento al nocciolo delle sole armature ed appare abbastan­ za evidente che il centro di sollecitazione sia interno al nocciolo. Lo stato tensionale viene determinato con riferimento alle sole armature. per le quali è A = 20 cm2 Si ha quindi Ix =2xl0x612 =74420 cm4 dGsup=65cm Fig. L'eccentricità è pari a Il centro di sollecitazione è quindi il punto Ca di figura 9.sezione a croce. cioè di trazione. soggetta alle caratteristiche di sollecitazione M=40 kNm. N=400 kN. con vari centri di sollecitazione .240 Capitolo 10 Esempio 7.-Si verifichi col metodo delle tensioni ammissibili la sezione a forma di croce. In questo caso l’eccentricità è pari a Il centro di sollecitazione è quindi il punto Cc di figura 9.95 2 .1339 m = 13. A occhio. La ten­ sione nelle armature vale quindi La tensione nell’armatura inferiore supera il valore ammissibile. Esempio 9. La verifica della sezione non è soddisfatta. valore minore di 50 cm. In questo caso l’eccentricità è pari a Il centro di sollecitazione è quindi il punto Cb di figura 9.0. calcolando i raggi di nocciolo. Applicando l’espressione valida per tale tipo di se­ zione si ottiene l’equazione x3 . E' comunque oppor­ tuno verificare questa impressione. N=400 kN. sembra pro­ babile che esso sia interno al nocciolo delle sole armature. Si verifichi la sezione dell’esempio 7. compressa superiormente. La sezione è quindi parzializzata. effettivamente. Esempio 8. Si verifichi la sezione dell'esempio 7soggetta alle caratteristiche di sollecitazione M=400 kNm.Presso e tensoHessione 241 Le tensioni nell'armatura non superano il valore ammissibile. L’asse neutro potrebbe tagliare il braccio superiore della croce e in tal caso la sezione sarebbe assimilabile a quella rettangolare (fig. Si ha e quindi. determinato nell’esempio precedente. L’eccentricità è mag­ giore del raggio di nocciolo. La parte compressa della sezione è effettivamente rettangolare e questa è quindi real­ mente la posizione dell'asse neutro.16674 = 0 la cui soluzione è x = 0. .4. N-400 kN.0.39 cm. 8a). soggetta alle caratteristiche di sollecitazione M-160 kNm. La verifica della sezione è soddisfatta.60 x . il centro di sollecitazione è interno al nocciolo. N=-2000 kN. che forniscono un’area più vicina al baricentro della sezione e quindi contribuiscono poco al momento d’inerzia. La sezione è soggetta a sforzo normale negativo. L’eccen­ tricità è pari a Il centro di sollecitazione è quindi il punto Cd di figura 9. si determina il momento statico della sezione reagente rispetto al­ l’asse neutro e.242 Capitolo 10 Noto x. utilizzando la formula monomia. .2 cm. Si ha e quindi Si noti che il raggio di nocciolo è nettamente minore di quello di una sezione rettangolare 30x130 con le stesse armature. ma per essere sicu­ ri che il centro di sollecitazione sia interno al nocciolo occorre determinare il raggio di nocciolo. Poiché la sezione è compressa occorre fare riferimento al nocciolo di tutto il calcestruzzo più le ar­ mature omogeneizzate. La verifica della sezione non è soddi­ sfatta. le tensioni nel calcestruzzo (al bordo supe­ riore) e nell’acciaio teso (armatura inferiore) La tensione nel calcestruzzo è accettabile. mentre quella nell’armatura inferio­ re supera di molto il valore ammissibile. che sarebbe pari a 24. cioè di compressione. Ciò è dovuto alla presenza dei bracci orizzontali. L’eccentricità è abbastanza piccola. soggetta alle caratteristiche di sollecitazione M-200 kNm. Esempio 10. Sì verifichi la sezione dell’esempio 7. 03 cm. La verifica della sezione è soddisfatta. determinato nell’esempio precedente. N=-2000 kN. Esempio 12.0. soggetta alle caratteristiche di sollecitazione M-800 kNm.75 x2 + 0. . Applicando l’espressione valida per tale tipo di se­ zione si ottiene l’equazione x3 .9303 m = 93. Esempio 11. Si verifichi la sezione dell'esempio 7. soggetta alle caratteristiche di sollecitazione M=2000 kNm.37926 = 0 la cui soluzione è x = 0. Si rinvia per questo all’esempio 14. Si verifichi la sezione dell’esempio 7. Si ha Le tensioni nel calcestruzzo e nell1 armatura non superano il valore ammissibi­ le.Presso e tensoflessione 243 Nel caso in esame il centro di sollecitazione è quindi effettivamente inter­ no al nocciolo d’inerzia e la sezione è tutta compressa. L’asse neutro potrebbe tagliare il braccio superiore della croce e in tal caso la sezione sarebbe assimilabile a quella rettangolare (fig.0. Per trovare la soluzione esatta bisognerebbe riscrivere l’equazione Sn en = In tenendo conto della reale forma della sezione. compressa superiormente. La sezione è quindi parzializzata. L’eccentricità è mag­ giore del raggio di nocciolo. quindi il valore trovato non indica la reale posizione dell’asse neutro.24 x . N=-2000 kN. Lo stato tensionale deve essere ricavato utilizzando la formula classica della Scienza delle costruzioni calcolando tutte le grandezze con riferimento alla sezione costituita da tutto il calcestruzzo più le armature omogeneizzate (e moltiplicando per n per ottenere la tensione nell’acciaio). 7a). valore maggiore di 50 cm. La parte compressa della sezione non è rettangolare. In questo caso l’eccentricità è pari a Il centro di sollecitazione è quindi il punto Ce di figura 9. Poiché questo valore è.61326 = 0 la cui soluzione è x = 0. Per calcolare il raggio di nocciolo.05 x2 + 0.3. esterno alla sezione e quindi anche al nocciolo. con la solita espressione . Quando le barre sono numerose conviene considerarle come un’armatura uniformemente diffusa secondo una circonferenza di raggio pari a quello r del cerchio meno il copriferro c (fig. Applicando 1’ espressione valida per sezione rettangolare si ottiene l’equazione X3 +1. compressa supe­ riormente. op­ pure per pali di fondazione. si de­ termina il momento statico della sezione reagente rispetto all’asse neutro e. 10). La verifica della sezione non è soddisfatta. Noto x. anche se di poco. Essendo l’eccentricità molto maggiore rispetto al caso precedente l'asse neutro potrebbe tagliare il braccio superiore della croce.60 x . Sezione circolare La forma circolare è utilizzata per la sezione di vari elementi soggetti a sforzo normale e momento flettente.0. ad esempio per pilastri ai quali si vuol dare una forma interessante dal punto di vista architettonico. L’armatura è costituita da barre disposte secondo una circonferenza (almeno 6).244 Capitolo 10 In questo caso l’eccentricità è pari a Il centro di sollecitazione è quindi il punto Cf di figura 9. minore di 50 cm la parte compressa della sezione è effettivamente rettan­ golare e questa è quindi realmente la posizione dell’asse neutro.80 cm. La sezione è quindi parzializzata. utilizzando la formula monomia. le tensioni nel calcestruzzo (al bordo supe­ riore) e neiracciaio teso (armatura inferiore) La tensione supera di molto il valore ammissibile sia nel calcestruzzo che nel­ l’armatura. 4.4680 m = 46. Presso e tensoflessione 245 Fig.sezione circolare occorre conoscere le espressioni che forniscono area e momento d'inerzia di una circonferenza (per le armature) e di un cerchio (per il calcestruzzo). Per l'armatura basta applicare i teoremi del trasporto . 10 . Per l'armatura si ha: A = As Si ottiene così come raggio di nocciolo delle sole armature e come raggio di nocciolo di calcestruzzo più armature Quando il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo d’inerzia la sezione è parzializzata e per scrivere l'equazione risolutiva Snen = In oc­ corre conoscere le espressioni del momento statico e d’inerzia rispetto alTasse neutro. con copriferro 4 cm. come quello de­ scritto per sezioni generiche. La sezione è soggetta a sforzo normale di compressione. L'eccentricità è pari a Poiché la sezione è compressa occorre fare riferimento al nocciolo di tutto il cal­ cestruzzo più le armature omogeneizzate. N=-200 kN. o utilizzare programmi matematici apposi­ ti (ad esempio la funzione ricerca obiettivo di Excel). Si ha . della quale sarebbe forse impossibile trovare una soluzione analitica. E quindi necessario adottare un procedimen­ to numerico iterativo con un chiaro significato fisico. Esempio 13. armata con 8ϕ14 in acciaio FeB44k.246 Capitolo 10 mentre per il calcestruzzo le formule sono più complesse e sono espresse (vedi figura 10) in funzione dell’angolo ϴ = arc cos (1 -x/r) Effettuando i necessari passaggi si giungerebbe ad un’equazione trigo­ nometrica molto complicata. Si verifichi col metodo delle tensioni ammissibili una sezione cir­ colare di diametro d=30 cm in calcestruzzo Rck=25 MPa. soggetta alle caratteristiche di sollecitazio­ ne M=12 kNm. quindi la sezione è parzializzat Scrivendo in funzione di x le espressioni per ϴ. Infatti per tale valore di x è e n = e x + r . do. Ac.4. Riepilogandola in maniera schematica.50 = -14. Izo. 4. Sezione generica Nel caso di sezioni dì forma più complessa occorre seguire la stessa pro­ cedura utilizzata per sezioni più semplici.50 cm ϴ = arccos (1-23.50/15) = 2.50 cm. si ottiene x = 23.173 Si ha così per il calcestruzzo Una volta determinato x} la tensione può essere calcolata mediante la formula La sezione è quasi interamente compressa (e quindi con tensioni molto basse nell’armatura tesa) e lo stato tensionale è ammissibile.x = -6 +15-23.Presso e tensoflessione 247 Il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo. d1. Sn. In ed impone do la condizione Snen = In. si procederà coi seguenti passi. . 4. Si calcola il momento d’inerzia Ix della sezione rispetto ad un asse x pas­ sante per il baricentro G ed infine i raggi di nocciolo 3. Sezione tutta tesa o compressa Si determina lo stato tensionale usando l’espressione binomia nella quale l'ordinata y è riferita al baricentro G. Se -ei <= ex <= e2 il cen­ tro di sollecitazione è interno al nocciolo e la sezione è tutta tesa o com­ pressa: si continua con le indicazioni riportate al punto 4. . In caso con­ trario la sezione è parzializzata: si continua con le indicazioni riportate al punto 5. Nocciolo d’inerzia Si determina l’area A della sezione. se esso è di trazione le opera­ zioni descritte ai punti 2. tenendo conto anche della distanza doG tra il centro geometrico O della sezione (in cui si considera convenzional­ mente applicato lo sforzo normale) e il baricentro G Si confronta l’eccentricità ex con i raggi di nocciolo. 2.248 Capitolo 10 1. Eccentricità del centro di sollecitazione Si determina l’eccentricità ex. il momento statico S rispetto al bor­ do superiore. 3 e 4 sono riferite alle sole armature. Segno dello sforzo normale Si controlla il segno dello sforzo normale. la posizione del baricentro G calcolata come dG.sup = S / A . se è di compressione sono riferite a tutto il calcestruzzo più le armature omo­ geneizzate. già citato per la flessione semplice (parar grafo 3. I primi tre passi sono già stati seguiti nella discussione degli esempi numerati da 7 a 12 e vengono quindi solo brevemente riepilogati. 1. in funzione della posizione x dell’asse neutro. valutando il primo membro dell’equazione e ri­ provando con un nuovo x finché questo non si annulla. In caso contrario (M < 0) la sezione è compressa inferiormente. Si determina infine lo stato tensionale usando l’espressione monomia nella quale l’ordinata s è riferita all’asse neutro. Per procedere col passo 5. _ 2.60 cm. Il baricentro della sezione (G. i raggi di nocciolo sono: e1 = e2 = 14.3). Esempio 14« Si determini la posizione delVasse neutro per la sezione già esa­ minata nell'esempio 11 ed il conseguente stato tensionale. Oppure applicare il metodo del dimezzamento. il centro di solleci­ tazione è esterno al nocciolo e la sezione è quindi parzializzata. 3. Si può procedere per tentativi ragionati. yo è la distanza del centro geo­ metrico dal bordo superiore.Presso e tensoflessione 249 5. occorre trovare le espressioni che forniscono il mo­ mento statico Sn e il momento d’inerzia In della sezione reagente omogeneizza­ ta rispetto all’asse neutro. Si determina la distanza x dell’asse neutro dal bordo superiore come soluzione dell’equazione nella quale Sn ed In sono il momento statico ed il momento d’inerzia del­ la sezione reagente omogeneizzata. occorre quindi fare ri­ ferimento alla sezione costituita da tutto il calcestruzzo più le armature omogeneizzate. cioè di compressione. dipendenti dalla posizione dell’asse neutro e da quale è la parte compressa. cioè se N > 0 (trazione) ed ex < -ex oppure N < 0 (compressione) ed ex > -e2. L’eccentricità del centro di sollecitazione è ex = -40 cm. as­ segnando un valore di x. Lo sforzo normale è negativo. Tali . Sezione parzializzata Si individua quale è la parte compressa della sezione. coincidente con O per la simmetria) dista 65 cm dal bordo superiore. La sezione è com­ pressa superiormente se il momento flettente è positivo. 250 Capitola 10 espressioni sono riportate in figura 11.momento statico e momento d’inerzia rispetto all’asse neutro della sezione reagente omogeneizzata . Fig. come di seguito riportato. 11 . La posizione dell’asse neutro viene quindi calcolata col metodo del dimezzamento. .suP dal bordo su­ periore.La risoluzione procederà secondo i seguenti passi: .dalle deformazioni e si risale alle tensioni ϭc e ϭs. per sezione parzializzata Un'altra via per determinare la posizione x dell'asse neutro e lo stato tensionale nella sezione consiste nell’imporre l'equilibrio tra tensioni e caratteristiche della sollecitazione. N che sollecita la sezione. si ricava quindi so dalla condizione che s sia nulla per y = x do. Alternativa. compreso tra 0 e h perché là sezione è parzializzata. L’interesse di questa procedura sta però soprattutto nel fatto che essa è analoga a quella che dovrà essere seguita quando la legge costitutiva del materiale non è più lineare. si calcola l’eccentricità ex* corrispondente alle caratteristiche di sollecitazio­ ne trovate si noti che il valore del rapporto M* / N* non dipende da x. . risultanti dello stato tensionale. si confronta l’eccentricità trovata con quella corrispondente alla coppia M. .si assegna un valore di x.una volta trovato x. . - . la verifica della sezione non è soddisfatta. Nel caso in esame (calcestruzzo nel secondo stadio) si sfrutterà la linearità della relazione ϭ—ε.l'espressione generale che fornisce le deformazioni e è e = so + χ y. Si usa come origine del sistema di riferimento il punto O. si determina χ imponendo che la risultante delle tensio­ 1 ni coincida con lo sforzo normale sollecitante N. baricentro della sezione geometrica di calcestruzzo.Presso-e-tensofles sione 251 Poiché il valore massimo della tensione nel calcestruzzo supera il valore am­ missibile. si ricavano. si ha - - - utilizzando le espressioni generali riportate nel paragrafo 7 del capitolo 7. che dista una quantità do. a meno di χ.si varia x per fare in modo che le due eccentricità coincidano.sup . le caratteristiche di sollecitazione M* ed N*. flessione semplice) per ottenere formule di progetto. Tra gli infiniti diagrammi limite se ne possono individuare alcuni aventi particolare si­ gnificato. Data la linearità del modello. nelle verifi­ che a fessurazione. Domini M-N 5.1. ma è particolarmente utile nei casi più generali (come la flessione composta) e consente comunque una visione globale del comportamento della sezione. Vorrei però sottolineare che il parlare di campi di comportamento deve essere visto solo come un ap­ proccio strumentale. Campi di comportamento per modello lineare del materiale Il modello di comportamento denominato “primo stadio” richiede solo un controllo della tensione di trazione nel calcestruzzo e non presenta par- . ma non essenziale ai fini dell'effettuazione delle verifiche. Tale argo­ mento pertanto merita certamente attenzione. ma forse non il peso al­ cuni gli danno. Questo approc­ cio è usato nei casi semplici (sforzo normale centrato. sarebbe perfettamente equivalente determinare i valori delle caratteristiche di sollecitazione che portano al raggiungimento della tensione di riferimento e verificare che essi non siano superati da quelli effettivamente agenti nella sezione. le verifiche di resistenza vengono tipicamente effettuate calcolando i valori massimi delle tensioni pro­ vocati nel calcestruzzo e nell’acciaio da assegnate caratteristiche di sol­ lecitazione e controllando che essi siano inferiori ad opportuni valori di riferimento (tensione di progetto del calcestruzzo a trazione. che racchiudono un insieme di diagrammi corrispondenti ad uno specifico comportamento (campi di comportamento).252 Capitolo 10 5. tensioni ammissibili nel metodo che da esse prende il nome. Diagrammi limite e campi di comportamento In caso di modello lineare di comportamento del materiale (con o senza resistenza del calcestruzzo a trazione).2. Per far ciò occorre individuare diagrammi limite di tensione. utile se chiarisce il comportamento della sezione. cioè diagrammi corri­ spondenti al raggiungimento della tensione di riferimento (dell’acciaio o del calcestruzzo) nei punti più sollecitati della sezione. tensioni limite per le verifiche allo stato limite di tensioni di esercizio). 5. ma l’estensione al secondo caso richiede solo un cambio di simboli. tensoflessione 253 ticolarità che si prestino all’individuazione di specifici campi di compor­ tamento. Nella trattazione che segue si usano i simboli relativi al metodo delle tensioni ammissibili. facendo riferimento ai valori εs = ϭs / Es e Per semplicità. Nel caso di flessione composta deviata il discorso va­ le. ma ribaltandola si ottiene un analoga descrizione del com­ portamento della sezione per momento negativo. che nelle verifiche allo stato limite di tensioni di esercizio. per un’assegnata direzione di n ma si deve poi ripetere per tutte le infinite direzioni possibili. identico. tensioni (o deformazioni) Fig. Esso è usato sia nelle verifiche col metodo delle tensioni ammis­ sibili.diagrammi limite e campi di comportamento per modello lineare del materiale .Presso e. Il discorso viene quindi limitato al caso del modello di “secondo stadio”. la figura che si mostra (fig. nel quale i limiti tensionali sono ϭs per l'acciaio e crc per il calcestruzzo. Si noti inoltre che la linearità del legame costitutivo consentirebbe di descrivere gli stessi diagrammi in termini di deformazioni. 12) è relativa al caso di flessione composta retta per una sezione in cemento armato generica ma con un asse di simmetria. in modo da aver già definita la direzione dell’asse neutro n. che impone limiti differenti. 12 . La figura è riferita al caso di momen^ to positivo. con tensione pari a ϭ5 sia nell’armatura inferiore che in quella superiore.7 ac in corrispondenza del baricentro G (il diagramma E’ rappresenta la separazione tra le due condizioni). 5. 4) compreso tra D ed E: sezione tutta compressa. C) sezione parzializzata. Costruzione dei domini M-N Assegnando un qualsiasi diagramma limite.254 Capitolo 10 Nel caso di sezione soggetta (eventualmente) a momento positivo. con tensione pari a ϭs nell’armatura inferiore e ϭc al bordo superiore. si possono evidenziare i seguenti diagrammi limite di tensione: A) sezione tutta tesa. con tensione nulla al bordo inferiore e ϭc a quello superiore. con tensione pari a ϭs nell’armatura inferiore e nulla al bordo superiore. con tensione pari a ϭc al bordo superiore oppure 0. è possibile determinare le caratteristiche di sol­ lecitazione M ed N ad esso corrispondente. D) sezione tutta compressa. con tensione pari a ϭs nell’armatura inferiore. con tensione pari a 0. Esse costituiscono una cop­ . 3) compreso tra C e D: sezione parzializzata. E) sezione tutta compressa. con tensione pari a ϭs nell’armatura inferiore.3. B) sezione tutta tesa. sia uno di quelli particolari individuati con le lettere da A ad E che uno generico interno ad uno dei campi innanzi definiti. Diagrammi e campi analoghi a quelli riportati in figura 12 possono essere tracciati per una sezione soggetta a momento negativo (e quindi compressa inferiormente). I suddetti diagrammi limite individuano i seguenti campi di com­ portamento: 1) compreso tra A e B: sezione tutta tesa. questo limite ridotto è legato ad una pre­ scrizione della normativa italiana relativa al metodo delle tensioni ammissibili. 2) compreso tra B e C: sezione parzializzata. con tensione pari a ϭc al bordo superiore. che impone che “la tensione media dell’intera sezione non deve superare la tensione ammissibile per compressione semplice”.7ϭc sia al bordo infe­ riore che a quello superiore. nel senso che le tensioni ammissibili sono raggiunte in uno o più punti della sezione. Diagramma A La sezione è soggetta a trazione uniforme. la potremmo chiamare coppia “ammissibile”) che può essere riportata in_un diagramma avente come ascisse gli sforzi normali e come ordinate i momenti flettenti. Prendendo in considerazione tutti gli infiniti diagrammi limite si ottengono infiniti punti. inclusa la curva stessa. oneroso. riporteremo a destra i valori di compressione (ne­ gativi. Domini M-N per sezione rettangolare Il procedimento generale innanzi descritto può essere utilizzato struire il dominio M-N per una sezione rettangolare (fig. concettualmente semplice ma abbastanza è qui riportato come esempio applicativo. o anche curva di interazione M-N. L'asse N è quindi orientato da destra verso sinistra. che formano una linea chiusa alla qua­ le daremo il nome di diagramma M-N limite (oppure ammissibile.4. Una coppia esterna al dominio rappresenta caratteristiche della sol­ lecitazione non accettabili. maggior generalità si ipotizza avere armatura dissimmetrica (As Lo sviluppo analitico. Si ha quindi per co­ che. La superficie delimitata da tale curva. 5. per la convenzione dei segni adottata) e a sinistra quelli di tra­ zione. con ϭ=ϭs . . perché implicano il superamento delle ten­ sioni ammissibili. ma non vengono mai supera­ te. Assegnando un altro diagramma limite sì ottiene una nuova coppia ammissibile. Una coppia sul contorno è al limite dell'ammissibilità. Una coppia M-N interna a tale dominio rappresenta una coppia di caratteristiche della sollecitazione ammissibili (cioè per le quali non si superano le ten­ sioni ammissibili in alcun punto della sezione). viene denominata dominio M-N limite (oppure ammissibile). 13). Seguendo una tradizione della Tec­ nica delle costruzioni. per != A’s). se vo­ gliamo sottolineare il metodo di verifica).Presso e tensoflessionè 255 pia al limite dell'accettabilità (se vogliamo fare esplicito riferimento al metodo di verifica. . In particolare. perché esso è calcolato rispetto al centro geometrico della sezione e non al baricentro delle armature. essendo costituita dalle sole armatine. il momento è positi­ vo se As > As. 13 .diagrammi limite e campi di comportamento per sezione rettangolare Si noti che il momento è nullo solo se le armature sono simmetriche. negativo se As < A’s.sup dalla prima espressione e sostituendo nella seconda si ottiene una relazione lineare tra N ed M. Se invece As != A’s il momento flettente è diverso da zero. nonostante il diagramma di ten­ sione sia uniforme. Ciò corrisponde al fatto che il modello di comportamento è lineare e la sezione cui ci si deve riferire non cambia nell'ambito del campo 1.256 Capitolo 10 Fig. Campo 1 Si può notare che ricavando as. Presso e tensoflessiòne 257 . 258 CapitololO . Presso e tensoflessione 259 Si può notare che ricavando ϭc. Diagramma E’ La normativa italiana alle tensioni ammissibili impone. come ulteriore condi­ zione. Ciò corrisponde al fatto che nell'ambito del campo 4 la sezione cui ci si deve riferire non cambia.inf dalla prima espressione e sostituendo nella seconda si ottiene una relazione lineare tra N ed M. essen­ do costituita da tutto il calcestruzzo più le armature omogeneizzate. che lo sforzo normale non superi il valore corrispondente alla tensione . Si ha Si noti che. Se invece As ^ As il momen­ to flettente è diverso da zero. . ma invertendo tra loro As ed As e cambiando segno al momento ottenuto. con tensione nel calcestruzzo pari a 0. con segno opposto a quello del diagramma A.7 ϭc .7 ϭc nel baricentro Gc+S di calcestruzzo ed armature omogeneizzate. La parte corrispondente al momento negativo è stata ot­ tenuta con le stesse espressioni. si ottiene il valore di M per il diagramma E’. ma valore nettamente inferiore perché la tensione nelle armature è qui condiziona­ ta dalla congruenza col calcestruzzo. nullo nel baricentro della sezione reagente omogeneizzata. Il passaggio da E’ ad E equivale all’aggiunta di un diagramma a farfalla. Diagramma E Il diagramma corrisponde ad uno stato tensionale uniforme.260 Capitolo 10 0. Applicando le espressioni riportate nel paragrafo. il momento flet­ tente è nullo solo se le armature sono simmetriche. Le espressioni sopra indicate valgono quindi fino al raggiungimento del valore N = -(b h + n As +n A1 s) 0. Si determini il dominio M-N per verifiche col metodo delle tensio­ ni ammissibili.7 ϭc. si ottiene il dominio M-N mostrato in figura 14. con copriferro c=4 cm. per una sezione retiangolare 30x60 in calcestruzzo Rck=25 MPa armata con 10 cm2 inferiori e 6 cm2 superiori in acciaio FeB44k. Il baricentro Gc+s dista dal centro geometrico O del­ la quantità doG Sostituendo tale valore nell’espressione che fornisce il momento flettente nel campo 4. Esempio 15. 13) che corrisponde al raggiungimento della ten­ sione 0.7 ac cioè fino al diagramma E' (fig. analogamente a quanto visto per il diagramma A. e quindi alla variazione del solo momento flettente. leggermente curvilineo. An­ dando da sinistra verso destra. a volte decrescente e a volte con andamento ondulato. se vi è compressione. cioè dalla trazione alla compressione. Considerazioni generali e indicazioni progettuali L’esame di un dominio M-N. Il successivo tratto CD è sempre nettamente curvilineo. Ad esso a volte corrisponde la massima resistenza flessionale. il tratto AB rettilineo e quello BC. specialmente nelle sezioni con abbon­ dante armatura. si . sezioni con basso sforzo normale possono essere dimensionate utilizzando le espressioni della flessione semplice e riducendo un po’ le dimensioni o le armature. mostrano che la resistenza flessionale della sezione aumenta man mano che si passa da trazione a compressione. Il punto C è un punto di cuspide. in genere abbastanza marcata. Tenendo presente questo. utili anche per trarre indicazioni progettuali.Presso e tensoflessione 261 Fig. Si nota comun­ que che permane una buona resistenza flessionale fino a valori di sforzo normale corrispondenti ad una tensione media nel calcestruzzo superio­ re alla metà della tensione ammissibile. come quello mostrato in figura 14. oppure aumentandole se vi è trazione.5. consente alcune considerazioni. 14 . rispetto ai valori calcolati. e comporta il raggiungimento della tensione ammissìbile contemporane­ amente nel calcestruzzo e nell'acciaio. Tenendo presente questo.dominio M-N per sezione rettangolare con armatura non simmetrica 5. fornisce un ottimo strumento progettuale. si riesce infatti a valutare. la resistenza è fortemente condizionata anche dalla quantità di armatura disposta. 15 .262 Capitolo 10 consiglia di dimensionare sezioni pressoinflesse. Riportare in una stessa immagine l’insieme di domini corrisponden­ te a più armature.domini M-N corrispondenti a diverse quantità di armatura . Oltre a dipendere dalla tensione media nella sezione. Fig. a colpo d’occhio. 15) le curve di interazione corrispondenti ad una sezione priva di armatura ed alla stessa sezione con quantità di armatura via via crescenti (con pro­ porzione costante tra As ed As). fino al limite massimo che si ritiene accettabile per la sezione. o meglio le varie coppie corrispondenti alle diverse combinazioni di carico. Le espressioni riportate nel paragrafo precedente mostrano che il contribu­ to dell’armatura è proporzionale al valore di As ed A’s. se la sezione è accettabile e quali armature occorrono. facen­ dole lavorare a compressione con una tensione media pari a 0. Questa dipenden­ za lineare è evidente se si riportano in una stessa immagine (fig. si nota che i punti corri­ spondenti ad uno stesso diagramma di tensioni (e armature proporzio­ nalmente crescenti) sono allineati e posti ad intervallo costante. Disegnando sulla stessa immagine la coppia M-N che sollecita la sezione. soggette contempora­ neamente a valori elevati di sforzo normale e momento flettente.3 + 0.6 gc . In particolare. facendo riferimento al solo mo­ mento positivo (data la simmetria della sezione e delle armature). Il valore massimo (18 cm2) è stato scelto con la considerazione che esso equivale a circa 6020. -950 kN. per una sezione rettangolare 30x60 in calcestruzzo Rckr=25~MPa con armatura simmetrica in acciaio FeB44k. in modo da avere una distanza tra le barre non superiore a 25 cm. In definitiva. 16 . MN2 = 120kNm. Si disporranno quindi 5ϕ20 su ciascuno dei due lati corti della sezione. può ancora disporsi in un lato di 30 cm.263 Esempio 16. -1050kN I domini M-N sono stati ricavati con le espressioni riportate nel paragrafo pre­ cedente. pur presentando un momento flettente minore. La coppia MN3. con copriferro c—4 cm. La sezione è quindi accettabile. fuori calcolo. con passo di incremento pari a 3 cm2. al limite. Si constata innanzitutto che le tutte le coppie rientrano nel dominio più ampio. La coppia MN1 indica la necessità di un’armatura di circa 12 cm2. Nella stessa figura sono stati aggiunti i punti corrispóndenti alle tre cop­ pie M-N assegnate. armatura molto alta ma che. In figura 16 sono riportati i domini ottenuti. Fig. mostra la necessità di 10 cm2. Si utilizzino i domini M-N per verifiche col metodo delle tensioni ammissibili. -720kN. infine. la situazione più gravosa è quella corrispondente alla se­ conda coppia. sapendo-ehe le di­ verse condizioni di carico provocano le seguenti coppie: MN1 = 131 kNm. MN3 = 88kNm. La cop­ pia MN2.Presso e tensoflessione . per verificare l'accettabilità della sezione e definire le armature necessarie. richiede 15 cm2. ulteriori barre (di diametro minore.domini M-iV per sezione 30x60 con diverse quantità dì armatura . considerando un'armatura simmetrica (As = i'5) e con valore di As va­ riabile da 0 a 18 cm2. es­ sendo maggiore la compressione. ad esempio 014) nei lati lunghi. Verranno aggiunte. 264 Capitolo 10 IM>. 17).N ed My-N ed ha una sezione trasversale. Presso e tensoflessione deviata Il procedimento per la costruzione del dominio limite Mx-My-N ricalca concettualmente quello già descritto per la pressofiessione retta. già descritti. inoltre. In generale. che delimita il dominio ammissibile per presso e tensoflessione deviata. Fig. ma si presenta notevolmente più complicato a causa della possibile inclinazio­ ne dell’asse neutro. Dal punto di vista geometrico. solo le armature su due lati). 17 . occorre tenere presente che le armature sono disposte lungo tutti i quattro lati della sezione rettangolare (nella pressofiessione retta si considerano. che è approssimativamente un rombo.determinazione delle coppie My. Fa­ cendo variare l’inclinazione dell’asse neutro si ottiene una superficie nello spazio Mx-My-N. di solito. My ed N (fig.-My-N per una assegnata inclinazione dell’asse neutro . Il dominio che. ricavando per ciascuno di essi le corrispondenti caratteristiche di sollecitazione Mx. per una assegnata inclinazio­ ne dell’asse neutro si possono prendere in considerazione gli infiniti diagrammi limite di tensione. 18) ha una forma “spigolosa” con forti variazioni di inclinazione in corrispondenza delle intersezioni con i piani Mx. ottenuta assegnando un valore ad N. si ottiene (fig. se non si ha a disposizione un apposito pro­ gramma di calcolo. In effetti. anche se — in veri­ tà . Né è semplice utilizzare domini tridimensionali. anche se non rigoroso. è molto forte. Si potrebbero infatti determinare i va­ lori del momento ammissibile per pressoflessione retta nei due piani. Effettuare una verifica rigorosa a presso o tensoflessione deviata è sicuramente complicato. La pressoflessione deviata appare quindi molto gravosa. potrebbe nascere dalla forma approssimativamente rombica della sezione trasversale del dominio. Mx ed M y . se ad una sezione sollecitata a pressoflessione retta viene aggiunto un mo­ mento trasversale si ha un netto peggioramento dello stato tensionale nello spigolo della sezione in cui l’effetto dei due momenti si cumula. che indica una relazione quasi lineare tra i due momenti.Presso e tensofLessione 265 La forma della sezione trasversale mostra che l’interazione tra le due componenti del momento. qua­ li quelli che si otterrebbero in questo caso. Un approccio semplice. M x e M y corrispondenti allo sforzo normale sollecitante N e verificare l'accettabilità dei momenti con la relazione lineare . co­ me lo spigolo della sezione.ci si dovrebbe chiedere quanto sia realmente preoccupante il rag­ giungimento della tensione ammissibile in una zona molto limitata. si può cercare la coppia resistente che ha lo stesso valore dello sforzo normale sollecitante. senza costruire l'interò dominio. Questo pro­ cedimento è abbastanza oneroso. . se lo sforzo normale sollecitante è troppo alto. viene quindi effettuata calcolando i valori limite delle caratteristiche di sollecitazione. Nel caso più generale. Si esamina in­ vece più in dettaglio il caso della presso e tensoflessione retta. cioè i va­ lori corrispondenti a diagrammi delle e che raggiungono un valore limi­ te. Modello non lineare Quando il legame tensioni-deformazioni non è lineare occorre rifarsi di­ rettamente alle condizioni di equilibrio tra tensioni e deformazioni I limiti da non superare sono. occorre determinare il dominio limite nello spazio Mx-My-N e controllare che la terna di valori sollecitanti sia interna a tale dominio. avendo scelto di non porre limiti alla deformazione dell'acciaio). in questo caso. co­ me nel primo caso. la verifica può essere effet­ tuata determinando il dominio resistente (o dominio limite) Mrd-Nrd e controllando se la coppia sollecitante Msd-Nsd è interna ad esso.266 Capitolo 10 6. Si può però procedere anche direttamente. espressi in termini di de­ formazioni (in particolare del calcestruzzo. 7. Il procedimento è ite­ rativo. cioè ha Nsd = Nrd. ma nel testo sono fornite in un para­ grafo conclusivo semplici indicazioni applicative per le sezioni di uso più comune (sezioni rettangolari con armatura simmetrica). alternativa. In questo secondo caso la coppia cercata potrebbe anche non esistere. ed effettuare poi il confronto tra momenti. rica­ vare la coppia Mrd. La via concettualmente più corretta consiste nel ricercare la coppia resi­ stente "che ha la stessa eccentricità e x = M / N dàlia coppia sollecitante e confrontare Msd col momento Mrd trovato. ed M=MX. ma questo già indica che la verifica non è soddisfatta. Nrd e controllare se risponde ai requisiti richiesti. perché occorre assegnare un diagramma limite di tentativo. La verifica. di presso o tensoflessione deviata. e confrontando i valori che sollecitano la struttura con tali caratteri­ stiche limite. Verifica a presso o tensoflessione retta Quando il momento My è nullo. La risultante Nc è espressa in genere come frazione del valore che si avrebbe se tutto il calcestruzzo compresso fosse soggetto alla tensione massima Nc= -αfcD Ac. In quella occasione si è fatto notare che è possibile determina­ re Nc applicando la tensione massima α fcd all’80% della parte compres­ sa. Per un assegnato diagramma limite.i (oppure con Ns ed Ns quando vi è solo un’armatura inferiore As ed una superiore A’s). Ciò è in realtà corretto solo finché la sezione è parzializzata.Presso e tensoflessione 267 Fig. 20). Oppure può essere tutta compressa (fig.presso o tensoflessione retta.comp β Il fattore di riempimento p è stato già presentato nel caso della flessione semplice. a parti-.) La sezione può anche essere tutta tesa. è possibile ricavare la risultan­ te delle tensioni di compressione Nc e le forze nelle armature. 19 . ma questa è solo una situazione limite della sezione parzializzata. In una sezione tutta compressa occorre determinare Nc rifacendosi alle espres­ sioni integrali. nella quale l'asse neutro passa per il bordo superiore. di validità generale. e in questo caso il diagramma è individuato univocamente dalla deformazione minima £c>min perché la deformazione in un punto posto a 3/7 dell’altezza. deve essere pari a εc1. riportate alla fine del capitolo 7. 19). poiché la deformazione al bordo deve essere pa­ ri a εcu. che posso­ no essere indicate in generale con Ns. . re dal bordo più compresso. e in questo caso il diagramma è individuato univocamente dalla distanza x dell’asse neu­ tro dal bordo compresso. co­ me indicato più avanti. sezione parzializzata La sezione potrebbe essere parzializzata (fig. Indicando con εc.pressoflessione retta. per confrontarlo con quello sollecitante. il dia­ gramma di deformazione è definito dai due parametri . La seconda alternativa. Si ricordi che anche per quanto riguarda la posizione di Nc le espressioni di k fornite nel capitolo della flessione semplice o l'uso di un diagramma costante applicato all'80% della parte compressa forniscono valori corretti solo se la sezione è parzializzata. che io preferisco. per comodità. al termine del procedimento. sezione tutta compressa Se si segue la prima alternativa.1. Nella trattazione che segue l’origine O del si­ stema di riferimento è posta. richiede invece inizialmente il calcolo del solo sforzo normale.0020 (fig. analogamente a quanto fatto per sezione parzializzata nel capi­ tolo relativo alla flessione.268 Capitolo 10 Fig. dovendo ricavare il dia­ gramma limite cercato imponendo la condizione Il valore del momento flettente resistente Mm viene in questo caso cal­ colato una sola volta. Valori di β e k per sezione tutta compressa La risultante Nc delle tensioni di compressione e la sua posizione posso­ no essere determinate utilizzando le espressioni scritte alla fine del ca­ pitolo 7. in corrispondenza del punto in cui la deformazione assume il valore εci= -0. 21). 7. per determinare l'eccentricità della coppia resistente ed imporre che essa coincida con quella della coppia sollecitante occorre calcolare anche il momento flettente prodotto da queste forze. 20 .min il valore della deformazione al bordo meno compresso. Presso e tensofiessione 269 . 270 Capitolo 10 . per estenderla alla sezione tutta compressa. di sosti­ tuire al diagramma parabola-rettangolo un diagramma di tensioni co­ stante applicato per un tratto pari all'80% della parte compressa a partire dal bordo. vale solo per sezione parzializzata.Presso e tensoflessione 271 Considerazioni e indicazioni operative La dipendenza di β e k dalla forma della sezione oltre che dalla defor­ mazione minima complica notevolmente la verifica a presso e tensofies­ sione. specialmente quando si ha a che fare con sezioni di forma diversa da quella rettangolare. E' però possibile gene­ ralizzarla. L’indicazione della normativa europea. . La figura 22 mostra che all’aumentare di ηmin lo scarto tra valori esatti ed approssimati si riduce man mano. l'origine O del sistema di riferimento da utilizzare nella verifica a presso o tensoflessione coincide coi baricentro del rettangolo.valori esatti ed approssimati di β e k per sezioni di varia forma Si può infatti determinare un'altezza K mediante Tespressione e sostituire al diagramma parabola-rettangolo un diagramma di tensio­ ni costante. il diagramma limite delle s è individuato univocamente dalla distanza x dell’asse neutro dal bordo superiore.272 Capitolo 10 Fig. 4 del capitolo precedente. ma si estende con facilità al caso di sezione soggetta a momento negativo. rispetto ai valori . applicato per una parte della sezione di altezza h\ misurata a partire dal bordo più compresso. con valore pari a a fcd. Sezione rettangolare In una sezione rettangolare. 22 . 23). le deformazioni es ed ε's in corrispondenza delle armature inferiori e superiori valgono .8 h. 7. Per la linearità del diagramma delle s. quindi con fibre inferiori tese. Nel caso di se­ zione parzializzata è ηmin = 0 e l’indicazione coincide con quella della normativa europea perché fornisce h' = 0.già modesti — ottenuti per sezione parzia­ lizzata e riportati nella tab. Se la sezione è parzializzata (fig. La trattazione che segue è riferita al caso di sezione soggetta a momento positivo.2. posto a distanza hl2 dal bordo. Presso e tensoflessione 273 . 274 Capitolo 10 . Presso e tensoflessione 275 . 276 Capitelo 10 . Presso e tensoflessione 277 . 278 Capitolo 10 . Presso e tensoflessione 279 . εsu. A) sezione tutta tesa.280 Capitolo 10 8. Anche in questo caso. Diagrammi limite e campi di-comportamento In caso di modello non lineare del materiale. secondo l’impostazione tradizionale . che per quella dell’acciaio. Secondo questa impostazione. 27 . per una migliore visio­ ne globale del comportamento della sezione.diagrammi limite e campi di comportamento per modello non lineare del materiale. deformazioni (allungamento) (accorciamento) Fig. che racchiudono un insieme di diagrammi corrispondenti a specifici campi di comportamento. con deformazione pari a sSu sia nell’armatura inferiore che in quella superiore. 27). Campi di comportamento per modello non lineare del materiale L’impostazione classica. 8. Domini M-N 8. si individuavano numerosi diagrammi limi­ te particolari (fìg.2. prevedeva limiti sia per la deformazione del calcestruzzo. le caratteristiche di solleci­ tazione resistenti si determinano sempre a partire da diagrammi limite. come invece si fa in caso di modello lineare). può essere utile individuare tra gli infiniti diagrammi limite alcuni aventi particolare significato.1. espressi in termini di deformazione (e non di tensione. Particolàre rilievo veniva dato anche al raggiungimento della deformazione limite di snervamento syd nell’acciaio. εCu per sezione parzializzata o εci per sezione uniformemente compressa. adottata dalla normativa italiana. C’) sezione parzializzata. analoghi diagrammi e campi possono essere tracciati per una sezione compressa inferiormente. con deformazione pari a εsu nell’armatura inferiore e εyd in quella superiore.Presso e tensoflessione 281 A’) sezione tutta tesa. due soli campi di comportamento (fig. con deformazione pari a εc1 sia al bordo inferiore che a quello superiore. E) sezione tutta compressa. con deformazione pari a εcu al bordo superiore e deformazione minore di εyd al bordo inferiore. con deformazione pari a εcu al bordo superiore. con deformazione pari a εcu al bordo superiore e deformazione compresa tra εyd e εsu al bordo inferiore. 1) sezione parzializzata. Si possono individuare. con deformazione pari a εSu nell’armatura inferiore e nul­ la al bordo superiore. che cor­ risponde ad un asse neutro passante per il bordo superiore e quindi. Il primo campo è delimitato superiormente dal diagramma A. con deformazione pari a εsu nel­ l’armatura inferiore. 3) compreso tra C e C’: sezione parzializzata. con deformazione pari a εc1 in un punto si­ tuato a 3/7 dell'altezza rispetto al bordo superiore. per­ ché in essa le armature sono sempre oltre il limite di snervamento e quindi sog­ gette in ogni caso alla stessa tensione. prevede limiti solo per la deformazione del calcestruzzo. I suddetti diagrammi limite individuavano i seguenti campi di comporta­ mento: 1) compreso tra A e B: sezione tutta tesa. 5) compreso tra D ed E: sezione tutta compressa. a quello superiore. in . con deformazione pari a εc1 in un punto situato a 3/7 dell’altezza rispetto al bordo superiore. I diagrammi riportati in figura 27 si riferiscono ad una sezione compressa superiormente. L’impostazione seguita nel testo. 28). con deformazione pari a εsu nell’ar­ matura inferiore. con deformazione nulla al bordo inferiore e εcu. 2) sezione tutta compressa. D) sezione tutta compressa. con deformazione pari a εSu nell’armatura inferiore e εcu al bordo superiore. 4) compreso tra C’ e D: sezione parzializzata. C) sezione parzializzata. con deformazione pari a εyd nell’armatura inferiore e εcu al bordo superiore. B) sezione tutta tesa. La zona compresa tra A ed A’ non rappresenta un campo significativo. coerentemente alle indicazioni dell’Eurocodice 2. 2) compreso tra B e C: sezione parzializzata. in sostanza. con deformazione pari a -εyd nell’armatura superiore e εcu al bordo superiore. utilizzato come riferimento nella progettazione dì sezioni soggette a flessione semplice. in particolare C'. che presenta deformazione nulla al bordo inferiore e εcu a quello superiore. 8. cioè ad una sezione tutta compressa con deformazione pari a εc1 sia al bordo inferiore che a quello superiore. All’interno del campo 1 si possono comunque individuare alcuni diagrammi di maggiore interes­ se.3.diagrammi limite e campi di comportamento per modello non lineare del materiale. La separazione tra i due campi è costituita dal dia­ gramma D.282 Capitolo 10 deformazioni (allungamento) (accorciamento) Fig. ad una sezione tutta tesa (come il diagramma A dell’imposta­ zione classica).+) sezione parzializzata. L’altro estremo del secondo campo è costituito dal dia­ gramma E. C) sezione parzializzata. C's_) sezione parzializzata. con deformazione pari a εyd néll'armatura in­ feriore e εcu al bordo superiore. secondo l’impostazione seguita nel testo pratica. Costruzione dei domini M-N Assegnando un qualsiasi diagramma limite di deformazione. con deformazione pari a εsu nell’armatura in­ feriore e εcu al bordo superiore. 28 . con deformazione pari a εyd nell’armatura superiore e εcu al bordo superiore. C') sezione parzializzata. sia uno di quelli particolari che uno generico interno ad uno dei campi innanzi de- . 29). Se una coppia sol­ lecitante Msd-Nsd è interna a tale dominio. nel caso . Diagramma A La sezione è soggetta ad allungamento con deformazioni infinite e quindi con tensione nell'acciaio pari a fyd. La superficie delimitata da tale curva. essa può essere sopportata dalla sezione.Si ha pertanto per co­ che per != A's). che formano una linea chiusa denominata diagramma M-N limite. per la convenzione dei segni adottata) e a si­ nistra quelli di trazione. Seguendo una tradizione della Tecnica delle costruzioni.Presso e tensoflessione 283 finiti. e calcolare quindi le caratte­ ristiche di sollecitazione M ed N ad essi corrispondenti. separatamente per calcestruzzo ed acciaio. o dominio resistente. centro geometrico della sezione (baricentro del solo calcestruzzo).. L’asse N è quindi orientato da destra verso si­ nistra. Prendendo in considerazione tutti gli infiniti diagrammi limite si ottengono infiniti punti. riporteremo a destra i valori di compressione (negativi. nel senso che la deformazione limite è raggiunta in un punto della sezione. perché implicano il superamento della deformazione limite. o anche curva di interazione M-N. Una coppia sul contorno è al limite dell'accettabilità. ma non viene superata negli altri punti. Si ricorda che il momento flettente viene valutato rispetto-ai punto 0. Una coppia esterna al dominio rappresenta caratteristiche della sollecitazione non accettabili. inclusa la curva stessa. Si ottiene così una cop­ pia limite. Assegnando un altro diagramma limite di deformazione si ottiene una nuova coppia limite. co­ stituisce il dominio M-N limite. maggior generalità si ipotizza avere armatura dissimmetrici (As Lo sviluppo analitico è ancora più semplice di quello mostrato di comportamento lineare.4. che può essere riportata in un diagramma avente come ascis­ se gli sforzi normali e come ordinate i momenti flettenti. 8. è possibile determinare i corrispondente diagrammi di tensione. Domini M-N per sezione rettangolare Il procedimento generale innanzi descritto può essere utilizzato struire il dominio M-N per una sezione rettangolare (fig. diagrammi limite e campi di comportamento per sezione rettangolare Si noti che il momento è nullo solo se le armature sono simmetriche. Il generico diagramma limite di deformazione è univocamente individuato dalla distanza x dell’asse neutro dal bordo superiore. negativo se As < A's. sup = εcu ed è quindi soggetta ad un diagramma di tensioni parabola-rettangolo. Le deformazioni εs ed ε's in corrispondenza delle armature inferiori e superiori valgono - .284 Capitolo 10 deformazioni Fig. In particolare. 29 . Campo 1 La sezione è parzializzata con εc. il momento è positi­ vo se As > As. Se invece As != A's il momento flettente è diverso da zero. nonostante il diagramma di ten­ sione sia uniforme. perché esso è calcolato rispetto al centro geometrico della sezione e non al baricentro delle armature. Presso e tensoflessione 285 . 2-86 Capitolo 10 . Si hanno in tal modo a disposizione sia formule per la verifi­ ca che formule per il progetto della sezione o dell'armatura.3.A\ (comunemente utilizzate per pilastri di edifici antisismici).a. proposto alla rivista ACI Structural Journal. 2004. per una sezione rettangolare 30x60 in calcestruzzo Rck = 25 MPa armata con 10 cm2 inferiori e 6 cm2 superiori in acciaio FeB44k. n. e quelle circolari con armatura distribuita anularmente (usate soprat­ tutto per pali e paratie). sezione rettangolare con armatura simmetrica Nel paragrafo precedente si è mostrato che il contributo del calcestruzzo alla resistenza della sezione è dato da Queste espressioni sono valide sia per sezione parzializzata (con (3 e k costanti) che per sezione tutta compressa (con (3 e k dipendenti dalla de­ formazione al bordo meno compresso e con x = h). Dominio M-N. Ghersi. Muratore.formule semplificate Nella pratica professionale le sezioni più frequentemente utilizzate per elementi pressoinflessi sono quelle rettangolari con armatura simmetri­ ca. con copriferro c=4 cm. Per queste sezioni è possibile descrivere diret­ tamente il dominio M-N mediante espressioni analitiche non molto complesse1.Presso e tensofLessione 287 Esempio 22. M. Analytical formulation of M-N domains for rectangular and circular cross sections. La parte corrispondente al momento negativo è stata ot­ tenuta con le stesse espressioni.5. Ingegneria sismica. ma invertendo tra loro As ed A’s e cambiando segno al momento ottenuto. Ricavando dalla prima equazione la x in funzione di Nc e sostituendo nella seconda. Applicando le espressioni riportate nel paragrafo. A. Sezione rettangolare e circolare . Muratore. si ottiene il dominio M-N mostrato in figura 30. Verifica e progetto allo stato limite ultimo di pilastri in c. Si determini il dominio M-N per verifiche allo stato limite ultimo. As . a sezione rettangolare: un metodo semplificato. si ottiene Si vedano gli articoli: A. 1 . Ghersi. 8. M. Ciò non è vero nel caso di sezione parzializzata. 31). il massimo momento flettente che può portare la sezione è somma dei massimi contributi di calcestruzzo ed armature. essendo εcu=-0. . per c <= 0.119 h se si usa un acciaio FeB38k (εyd=-0. per un tratto. il dominio M-N complessivo ha anch'esso.max = As (h-2c) fyd ed è ottenuto quando entrambe le armature sono snervate.078 h se si usa un acciaio FeB44k (εyd = -0. Il momento flettente è massimo quando la sua deri­ vata rispetto ad N c si annulla. 31). con una posizione dell'asse neutro xm e ad esso corrisponde il momento flettente Il massimo contributo flessionale dell'armatura è invece M s. Si può facilmente controllare che per la posizione xm dell'asse neutro le armature sono entrambe snervate a condizione che sia ovvero.00187) e per c <= 0. cioè per tutti i diagrammi limite compresi tra C's e C' Essendo il contributo dell’ac­ ciaio costante in tale intervallo. Sotto tale condizione.288 Capitolo 10 Se la sezione è parzializzata questa è l'equazione di una parabola. ma anche in questo caso la curva non si discosta molto da un andamento parabolico (Fig. andamento parabolico (Fig.00163). cioè per con Questo valore si ottiene per sezione parzializzata.0035. per­ ché β e k costanti. . Partendo dalla relazione tra M e d N innanzi ricavata. ma via via più prossimo al lineare al crescere dell’armatura) per valori dello sforzo normale di compressio­ ne superiori a quello corrispondente al punto di massimo.•' .. che si indicano con i simboli . compresi tra 0 e lo sforzo normale corrispondente al punto di massimo. ma l’errore che si commette nel ritenerlo valido anche in questo caso è comunque molto modesto.. ~ un tratto con esponente dipendente dalla quantità di armatura (pa­ rabolico per solo calcestruzzo..Valori base per la costruzione del dominio limite M-N Ciò può non essere vero solo per pilastri sollecitati nel piano di inerzia minima. si può ritenere che la frontiera del dominio limite M-N possa essere approssimata mediante una curva costituita da tre tratti: . L’equazione dei tre tratti può essere espressa in funzione dei valori ot­ tenuti in precedenza. per valori dello sforzo normale di compressione.un tratto parabolico.. 31 . per valori dello sforzo normale positivi (cioè di trazione).•^LTUV-- Presso e tensoflessione 289 Fig. nonché dei massimi contributi allo sforzo normale di calcestruzzo ed acciaio.un tratto lineare. . oltre che da un esame visivo del dominio.> iVjS' >• .. . max .per Nm minore di 0 (pressoflessione) e | Nm I compreso tra 0 e vm A/c. consiste nel considerare un’unica cur­ va con esponente dipendente dalla quantità di armatura (parabolica per solo calcestruzzo. quindi consiglio di riser­ vare la prima alternativa ai casi in cui si usa un computer ed utilizzare la seconda quando occorre effettuare un rapido controllo di una sezione. I vantaggi connes­ si all’avere una unica relazione sono notevoli. con linea più marcata.per NRd minore di 0 (pressoflessione) e | NRd | maggiore di vm Nc. ma via via più prossima al lineare al crescere dell’ar­ matura). meno precisa.per NRd maggiore di 0 (tensoflessione) .max La figura 32 riporta nella parte superiore. Un’alternativa.290 Capitolo 10 La relazione tra momento limite MRd e sforzo normale limite Nitd può essere espressa mediante le relazioni seguenti . mostrando che esse sostanzialmente coincidono con le curve ottenute in maniera rigorosa. Le differenze rispetto alla curva ri­ gorosa sono modeste e quindi pienamente accettabili. la cur­ va corrispondente a tale equazione. con linea più marcata. le cur­ ve corrispondenti a tali equazioni. utilizzando per tutti i valori di N l’espressione La figura 32 riporta nella parte inferiore. Presso e tensoflessione 291 292 Capitolo 10 Una stima più precisa del momento resistente può essere ottenuta notando che lo sforzo normale, di compressione, è compreso in valore assoluto tra 0 e vm Nc, max e quindi usando l’espressione Quest’ultimo valore coincide con quanto fornito da una analisi rigorosa. Dominio M-N, sezione circolare con armatura anulare La valutazione rigorosa del contributo del calcestruzzo alla resistenza di una sezione circolare di diametro D è alquanto complessa e non si riesce ad esprimere direttamente, in forma analitica, la relazione tra Mc ed Nc. Ciò nonostante, si può riscontrare che anche in questo caso la relazione è approssimativamente parabolica (Fig. 33) ed ha un massimo per Questo valore si ottiene per sezione parzializzata, con una posizione dell'asse neutro con h= D, e ad esso corrisponde il momento flettente L'armatura As,tot disposta nella sezione, che si immagina distribuita uniformemente secondo un anello di copriferro c, dà il suo massimo con­ tributo flessionale in corrispondenza ad uno sforzo normale con le armature non totalmente snervate. Il momento flettente massimo dipende anche dal copriferro e si può ritenere che valga Poiché i massimi contributi flessionali di calcestruzzo ed acciaio corri­ spondono in questo caso a sforzi normali diversi, si può assumere che la massima resistenza flessionale della sezione venga raggiunta per uno sforzo normale xm Presso e tensoflessione 293 Fig. 33 - Dominio M-N per sezione circolare D = 50 cm allo stato limite ultimo, esatto e approssimato Si può però ritenere, poiché i massimi non sono molto distanti, che la massima resistenza flessionale della sezione sia ancora somma dei mas­ simi contributi di calcestruzzo ed armature. Partendo dalle considerazioni innanzi esposte, si può approssimare la frontiera del dominio limite M-N mediante due tratti curvilinei, la cui equazione può essere espressa in funzione dei valori ottenuti in prece­ denza, nonché dei massimi contributi allo sforzo normale di calcestruzzo ed acciaio N c,max = Ac α f cd N s,max = As,tot fyd Nnd La relazione tra momento limite MRd e sforzo normale limite essere espressa mediante le relazioni seguènti può 294 Capitolo IO - per NRd maggiore di 0 (tensoflessione), oppure per NRd minore di 0 (pressoflessione) e | NRd | compreso tra 0 e vm Nc,max - per NRd minore di 0 (pressoflessione) e | NRd | maggiore di vm Nc,max La figura 33 riporta nella parte superiore, con linea più marcata, le cur­ ve corrispondenti a tali equazioni, mostrando che esse sostanzialmente coincidono con le curve ottenute in maniera rigorosa. Un'alternativa, meno precisa, consiste nel considerare un’unica cur­ va con esponente dipendente dalla quantità di armatura (parabolica per solo calcestruzzo, ma via via più prossima al lineare al crescere dell’ar­ matura), utilizzando per tutti i valori di N l’espressione La figura 33 riporta nella parte inferiore, con linea più marcata, la cur­ va corrispondente a tale equazione. Le differenze rispetto alla curva ri­ gorosa sono modeste e quindi ancora accettabili. Esempio 24. Si determini il massimo momento flettente che può portare allo sta­ to limite ultimo una sezione circolare di diametro D = 4 0 cm in calcestruzzo Rck=25 MPa armata con 16 cm2 in acciaio FeB44k, con copriferro c=4 cm, sog­ getta ad uno sforzo normale Nsd=800 kN. L’area della sezione è Presso e tensoflessione Una analisi rigorosa fornisce il valore Mm = 105.5 kNm, leggermente inferiore ma ai fini pratici sostanzialmente coincidente con quello trovato. Verifica della sezione Galcolare il momento resistente di una sezione, corrispondente ad un assegnato valore dello sforzo normale, è già un modo per effettuare la verifica. Partendo dalle formule più semplici (equazione unica) è però possibile proporre un approccio unitario alla verifica di sezioni rettango­ lari e circolari, che ricalca la procedura adottata per sezioni in acciaio. Occorre determinare preliminarmente i valori base di riferimento Nc,max, Mc,max, Ns,max e Ms,max nonché l’esponente m, usando le formule indicate 296 Capitolo 10 t-'/'v--'' A A-. 'V.Vk •:■ .i ■'■/' .V Presso e tensoflessione 297 Esempio 26. Si verifichi allo stato limite ultimo la sezione dell'esempio 24, sog­ getta alle caratteristiche di sollecitazione Msd=90 kNm, Nsd=-800 kN. Si ha Progetto dell’armatura Si è fatto notare in precedenza che la frontiera del dominio di una sezio­ ne con armatura è ottenuta, almeno con riferimento alla sezione rettan­ golare e per un certo intervallo di valori di N, traslando la curva che si ha per il solo calcestruzzo di una quantità pari al contributo flessionale massimo dell’armatura. Ciò consente di ottenere delle semplici formule per il progetto del­ l'armatura. Basta infatti calcolare il momento che deve essere affidato alle armature e poi determinare l'armatura necessaria per portare tale momento con la formula 298 Capitolo 10 nella quale zs,eq è il braccio della coppia interna costituita dalle armatu­ re, o meglio il braccio che si dovrebbe considerare se esse le armature tese e compresse fossero totalmente snervate. Esso vale zSteq = h - 2 c zs, , eq per sezione rettangolare per sezione circolare = 0-6 (h - 2.4 c) Nel caso di sezione rettangolare questa formula di progetto è valida, a rigore, solo con Nsd compreso, in valore assoluto, tra 0 e 0.5 Nc,max, ma può fornire un utile riferimento anche al di là di tale intervallo. Essa è a svantaggio di sicurezza quando Nsd è di compressione ma compreso, in valore assoluto, tra 0.5 Nc, max e Nc,max,\ diventa invece cautelativa in caso di tensoflessione o per compressione molto forte. Nel caso di sezione circolare la formula fornisce valori affidabili in caso di pressoflessione con Nsa compreso, in valore assoluto, all’incirca tra 0.3 Nc,max e 0.7 Nc,max. Al di fuori di questo intervallo essa è troppo cautelativa; per Nsd sempre di compressione e non superiore, in valore assoluto, ad Nc,max si ottengono valori più corretti usando come braccio della coppia interna il valore Così ad esempio, in caso di flessione semplice, si può usare come braccio della coppia interna il valore 0.9 (h—2.4 c). Esempio 27. Si determini l’armatura strettamente necessaria per la sezione de­ gli esempi 23 e 25, soggetta alle caratteristiche di sollecitazione Msd=210 kNm, Nsd= -600 kN. Come già calcolato nell’esempio 25, per questa sezione si ha Nc,max =2314.2kN_ Mc,max = 194.4 kNm Il braccio della coppia interna di armatura è zs,eq = 70 - 2 x 4 = 62 cm = 0.62 m Il momento da affidare alle armature è e quindi l’armatura totale necessaria è Presso e tensofiessione 299 ovvero As = A’s = 2.4 cm2. Poiché Nsd è minore, in valore assoluto, di 0.5 Nc,max, il valore così determinato è sicuramente corretto. Esempio 28. Si determini l'armatura strettamente necessaria per la sezione delVesempio precedente, soggetta alle caratteristiche di sollecitazione Msd=210kNm, Nsd=-l800 kN. Anche in questo caso si ha Nc,max = 2314.2 kN Mc,max = 194.4 kNm zs,eq= 0.62 m Il momento da affidare alle armature è e quindi l’armatura totale necessaria è ovvero As = As = 3.9 cm2. In questo caso, però, la formula non è a vantaggio di sicurezza ed è opportuno prevedere un'armatura un po’ maggiore. Un calcolo rigoroso mostra che sono necessari 4.4 cm2 per lato. La differenza è comunque inferiore al 15%. Esempio 29. Si determini Vàrmatura strettamente necessaria perla sezione de­ gli esempi 24 e 26, soggetta alle caratteristiche di sollecitazione Msd~90 kNm, Nsd=-800 kN. Come già calcolato nell’esempio 26, per questa sezione si ha Nc,max = 1384.8 kN Mc,max = 55.4 kNm Il braccio della coppia interna di armatura è zseq - 0.6 (50 - 2.4 x 4) = 18.2 cm = 0.182 m Il momento da affidare alle armature è e quindi l’armatura totale necessaria è Nel dimensionamento è opportuno scegliere una sezione in grado di sopportare bene la flessione e quindi tale che lo sforzo normale non sia molto discosto dal valore che corrisponde al mas­ simo momento flettente resistente. invece. Si consiglia pertanto di dimensiona­ re la sezione partendo dallo sforzo normale. Si determini Varmatura strettamente necessaria per la sezione del­ l'esempio precedente. mentre lo sforzo normale è ap­ prossimativamente noto. Un calcolo rigoroso mo­ stra che sono necessari 17.max.9 (50 . Le espressioni che approssimano la cur­ va di frontiera del dominio M-N possono infatti essere trasformate in .5 α fcd. dalle di­ mensioni ipotizzate per le sezioni. è consigliabile usare come braccio della coppia interna di armatura il valore zs eq . anche se può richiedere delle iterazioni.6 Nc. in valore assoluto. Esempio 30. Di solito in questi casi è il momento flettente ad essere fortemente variabile.9 cm2. con l’espressione usando come tensione di riferimento ϭrif un valore prossimo a 0.4x 4) = 27. in particolare quando si ha a che fare con strutture iperstatiche. ma è ottenuta alla fine di un calcolo ed è condizionata. Quando. a 0.300 Capitolo 10 Poiché Nsd è prossimo.274 m Il momento va affidato interamente all’armatura e quindi l'armatura totale ne­ cessaria è Il valore così determinato è sufficientemente affidabile. il valore così determinato è sufficientemente affidabile. Progetto della sezione In molte situazioni la coppia di caratteristiche sollecitanti M-N non è nota a priori.2. Un calcolo rigoroso mostra che sono necessari 11.4 cm2. Nsd = 0. si può suggerire un procedimento di progetto che ha la stessa semplicità di quello proposto per la flessione semplice. soggetta a flessione semplice Msd=90 kNm. Poiché si tratta di flessione semplice per sezione circolare. entrambe le caratteristiche di sollecitazione MsdNsd sono note.0.4 cm = 0. dallo sforzo normale adimensionalizzato v e della percentuale meccanica di armatura co che si vuole disporre.Presso e tensoflessione 301 formule per il progetto della sezione.max. le espressioni che forniscono la frontiera del dominio consentono di de­ terminare il momento flettente μ in funzione dello sforzo normale v. νs. per la se­ zione circolare (in cui A c = k D 2 / 4) si ha e quindi la corrispondente formula di progetto. Nelle tabelle 3 e 4 sono riportati i valori di r". Se si adimensionalizzano sforzi normali e momenti flettenti ponendo e si usano i valori adimensionalizzati delle resistenze di calcestruzzo e acciaio μc. Ma poiché con le posizioni fatte è M = μ Ac h α fcd si può ottenere per la sezione rettangolare (in cui A c = b h) e quindi la formula di progetto innanzi citata. In maniera analoga. ottenendo per la sezione rettango­ lare una relazione formalmente analoga a quella proposta per flessione semplice (a meno dell'uso di h al posto di d e di r" al posto di r o r') e per la sezione circolare una espressione equivalente Il coefficiente r" è in questo caso dipendente dalla forma della sezione. oltre che dalle caratteristiche del calcestruzzo e dal rapporto y tra copriferro ed altezza della sezione.max. .max (che è uguale alla percentuale meccanica di armatura totale ωtot) e μs. ottenuti per la classe di calcestruzzo e per un valore del rapporto y tra copriferro ed altezza della sezione di uso più comune. 302 Capitolo 10 Occorre osservare che. La percentuale di ar­ matura può essere facilmente fissata a priori. a differenza della flessione semplice. Lo sforzo normale adimensionalizzato deve invece . la for­ mula di progetto non è in questo caso risolutiva. basandosi anche su indi­ cazioni di normativa. In questo caso si avrebbe Nc. essa.Rd = 1653.363 .Presso e tensoflessione 303 essere definito preliminarmente e. si può ritenere che sia ω tot = 0. Il valore di r" non varia troppo neirintervallo 0. Si può quindi scegliere orientativamente un valore r” = 0. Per utilizzare la tabella 3.020. che indica come percentuale minima dell’armatura totale rispetto all’area di calcestruzzo il valore 0. corrisponde ad una percentuale meccanica pari a circa 0. dopo aver trovato le dimensioni della sezione. praticamente coincidente col valore usato per il dimensionamento.182. si sarebbe potuto usare anche una sezione 30x50. Invertendo la formula di progetto. cambiando la sezione.3 <= v <= 0. corrisponde ad una per­ centuale di armatura ω pari a circa 0. occorre calcolarne il valore esatto e modificare di conseguenza il valore di r". pari a ω = 0.6. Si progetti. occorre definire innanzitutto la percentuale mecca."interpolando i valori della tabella 3.302.3. poiché per i materiali indicati il rapporto fyd / a fCd è pari a 33. Esempio 31. E opportuno tener conto delle indica­ zioni della più recente normativa italiana. oppure la percentuale di armatura. E. assumendo 6=30 cm si ha ¥ # Si può quindi scegliere una sezione 30x60. usando le formule di progetto dell’arma­ tura risulta necessaria As = A’s = 4.9. In alternativa. Nsd=—600 kN. Con tale valore.0201.168. v mca di armatura superiore ed inferiore. in effetti. con copriferro c=4 cm. immaginando di disporre tale armatu­ ra principalmente nel. lato superiore ed inferiore e solo in misura minore negli altri due lati. una sezione rettangolare in cal­ cestruzzo Rck=25 MPa armata simmetricamente con barre in acciaio FeB44k. L’armatura totale da disporre è quindi ovvero As = A s = 4.5 cm2.0 kN v = 0. Per questa è Per tale valore di v si ha r" = 0.9 cm2.34. si ha che per v = 0.01. allo stato limite ultimo. soggetta alle caratteristiche di sollecitazione Msd~210 kNm. allo stato limite ultimo. Con le stesse considerazioni dell’esempio precedente. Usando le formule di progetto dell’armatura risulta in questo caso necessaria un’armatura As = A's= 7. Con esso si ha Si può quindi scegliere una sezione con diametro 45 cm. si ha che. una sezione circolare in calcestruzzo Rck=25 MPa armata con barre in acciaio FeB44k. si sceglie quindi un valore r" = 0.108. si ha .027.089. invertendo la formula di progetto che per v = 1. corrisponde ad una percentuale di armatura 0. totale compresa tra 22.tot = 26.2 cm2. interpolando i valori della tabella 4.6.333. a seconda che si consideri o trascu­ ri il termine k.8 e 36. per v = 0. Dalla tabella 4 si osserva che il valore di r" non varia troppo neirìntervallo 0.3. con copriferro c=4 cm. Occorrerebbe aumentare la sezione o la percentuale di armatura.567.354. An­ che questa soluzione è quindi accettabile. L’armatura totale da disporre è quindi od pari a circa ovvero As = A's = 7. si assume ωtot = 0. L'armatura totale da disporre è quindi Usando le formule di progetto dell’armatura si valuta come necessaria un ar­ matura. pari a a co = 0.8 cm2. abbastanza più alto del valore assunto in partenza.3 < v < 0. corrisponde ad una per­ centuale di armatura ω pari a circa 0. Si progetti. soggetta alle caratteristiche di sollecitazione Msd=120 kNm.4 cm2. Esempio 32. Se invece si aumenta la sezione.1 cm2. Per questa è Per tale valore di v si ha r" = 0. Il valore esatto fornito da un programma è As.304 Capitolo 10 Invertendo la formula di progetto. portandola ad un diametro di 50 cm.363. Se si mantiene la sezione scelta si ha. Nsd=-1800 kN. 832 corrisponde ad una percentuale di armatura co pari a circa 0.determinazione di Mx-My-N per assegnati valori dell’inclinazione e della posizione dell'asse neutro . 34 . solo le armature superiori ed inferiori). Il valore esatto fornito da un programma è As. 8.4 cm2. L’armatura totale da disporre è quindi Usando le formule di progetto dell'armatura si valuta come necessaria un ar­ matura totale compresa tra 13. Presso e tensoflessione deviata Anche allo stato limite ultimo il procedimento di costruzione del domi­ nio limite Mx-My-N è concettualmente analogo a quello descritto per la pressoflessione retta. ma numericamente più complicato a causa dèlia possibile inclinazione dell’asse neutro. a seconda che si consideri o trascu­ ri il termine k.8 cm2. almeno per la sezione rettango­ lare. Fig. nonché della necessità di tener conto delle armature disposte lungo tutti i lati della sezione (nella pres­ soflessione retta si considerano di solito.Presso e tensoflessione 305 Invertendo la formula di progetto si ha che per v = 0.2 e 15.tot = 12.6.226. 35) ha una forma molto più tondeggiante.5) si raggiunge in corri­ spondenza dello sforzo normale che rende massimo il momento flettente (Nsd ≈ 0. Facendo variare l’inclinazione e la posizione si ottiene una su­ perficie nello spazio Mx-My-N.Rd.).N sono il valore resistente del momento flettente Mx ed My per il valore assegnato di N. da un’equazione del tipo con una opportuna scelta degli esponenti p e q. Nell’espressione innanzi scritta.5 per qualsiasi valore dello sforzo normale. Il valore minimo dell’esponente (circa 1. 34). In via cautelativa. 35 . A differenza di quanto mostrato per le tensioni ammissibili. arrivando a valori superiori a 2 per sforzi normali di trazione e prossimi a 2 anche per compressione veramente elevata. Una sua qualsiasi sezione trasversale. . il dominio ammissibile per presso e tensoflessione deviata. L’esponente cresce al variare di N.306 Capitolo 10 Fig. si suggerisce di uti­ lizzare l’esponente 1.dominio Mx-My-N per sezione rettangolare allo stato limite ultimo Per una assegnata inclinazione e posizione dell’asse neutro si pos­ sono ricavare le tensioni corrispondenti al diagramma di deformazione limite e le corrispondenti caratteristiche di sollecitazione Mx.5 Nc. ottenuta asse­ gnando un valore ad N9 è approssimativamente un’ellisse e può essere descritta. il do­ minio che si ottiene allo stato limite ultimo (fig. in generale. che delimita.Rd. My ed N (fig. Mx.N ed My> Rd. Per far ciò si può notare che Tannatura “seconda­ ria” (quella laterale) dà un contributo pieno alla resistenza assiale. Nsd=-600 kN. non potendo essere tutta contemporaneamente snervata. men­ tre il suo contributo alla resistenza flessionale è ridotto al 40% circa. My. max =2314. È comunque a vantaggio di sicurezza trascurare questo contributo.sd=50 kNm.56 cm2. Per semplicità e a vantaggio di sicurezza.Sd=210 kNm. in acciaio FeB44k. In esse si potrebbe anche tener conto del fatto che l’armatura è presente su tutti e quattro i lati. Si verifichi allo stato limite ultimo una sezione rettangolare 30x70 in calcestruzzo RCk=25 MPa armata simmetricamente con 4020 inferiori e al­ trettanti superiori. Nel valutare M Rd si assume quindi A s .2kN rispetto all’asse x Xf .N e quindi procedere alla verifica a pressoflessione deviata.Presso e tensoflessione 307 Nel caso di sezione rettangolare. nel valutare il momento resistente rispetto a ciascun asse si tiene conto solo dell’armatura disposta nei lati paral­ leli all'asse. con copriferro c=4 cm.N ed My. Si ha così Nc.Ed.9 cm2 (tenendo conto anche dei 020 disposti allo spigolo). nel valutare My. le espressioni fornite nel paragrafo precedente possono essere utilizzate per determinare le quantità M .A's = 4ϕ20 = 12. x Esempio 33. nonché ulteriori 3014 su ciascun lato verticale. soggetta alle caratteristiche di sollecitazione Mx.Rdsi considera A s = A's = 2ϕ20 + 3ϕ14 = 10.Rd. i diagrammi sono sostanzialmente coincidenti. operando col metodo delle tensioni ammissibili oppure allo stato limite ultimo. Lo stato limite ulti­ mo mostra una resistenza flessionale maggiore.25 il coefficiente parziale di sicurezza del calcestruzzo in caso di sforzo normale centrato. è opportuno un breve confronto tra i risultati che si ot­ tengono nella verifica a presso o tensoflessione. ma con sforzi normali di trazione. ma non è infrequente riscontrare. Confronto tra tensioni ammissibili e stato limite ultimo Per concludere. specialmente se si tronca il domi­ nio SLU (linea tratteggiata) per tener conto delle indicazioni della nor­ mativa italiana (non valide per l'Eurocodice 2. perché la differenza di tasso di lavoro delle armature è sostanzialmente coincidente con il rapporto tra i carichi usati nei due metodi. In presenza _di armatura. per tener conto della diffe­ renza dei valori del carico nei due metodi). in situazioni ordinarie. Lo scarto dipende dalla quantità di armatura e dall’entità dello sforzo normale. ma accettate come utile suggerimento) di amplificare di 1.45 i valori delle tensioni ammissibili. E invece enorme la differenza che si riscontra per la sezione compressa. con scarti che possono superare il 20% in caso di forte compressione. che la sezione progettata allo stato limite ultimo porti momenti flettenti superiori del 70-80% rispettosa \ . Nella figura 36 sono sovrapposti i domini M-N ottenuti con i due metodi (amplifican­ do di 1.308 Capitolo 10 9. Si può innanzitutto notare che in assenza di armatura (curve inter ne) le differenze non sono molto forti. ma una differenza di que­ sto ordine di grandezza non stravolge il giudizio che un professionista può dare su una sezione. Basterebbe ciò a giustificare l’esigenza di una nuova normativa sismica. Questa è. che sono invece i punti più delicati e vulnerabili di un edificio.Presso e tensoflessione 3:99 quelli accettati se si usa il metodo delle tensioni ammissibili. il metodo delle tensioni ammis­ sibili o quello degli stati limite.. Ciò comporta problemi nel passaggio da un metodo al­ l'altro. a scelta. dei pilastri. che già tiene conto della diversità di carico. E ritengo che le differenze qui evidenziate rendano troppo complicato predisporre una norma che garantisca uguale sicu­ rezza consentendo di applicare. Modificare la normativa come era stato fatto nel 1996. Fig. runica vera motivazione che può essere addotta per abbandonare del tutto il metodo delle tensioni ammissibili. secondo me. particolarmente rilevanti nella progettazione di edifici antisismici. in linea con le indicazioni dell'Eurocodice 8 (come quella proposta con l'Ordinanza 3274). comporta una insufficiente sicurezza nella progettazioni. con e senza armatura) . Scarto. si ribadisce. 36 .confronto tra domini M-N per tensioni ammissibili e stato limite ultimo (sezione 30x70. semplicemen­ te aumentando proporzionalmente l’entità di carichi verticali ed oriz­ zontali. Le differenze qui evidenziate contrastano con la discreta coincidemza dei risultati forniti dai due metodi nel caso di sezioni soggette a fles­ sione semplice. 310 Capitolo 10 . Presso e tensoflessione 311 . perché da queste dipende l'ampiezza della parte di calcestruzzo reagente. come differenza ancora più. ma nelle sezioni adiacenti il momento sarà sicuramente diverso da zero. in quanto questo è legato alla variazione del momento flettente. per materiale omogeneo ed isotropo a comportamento elastico lineare. rilevante. Nelle applicazioni pratiche si segue però la tratta­ zione semplificata proposta da Jourawski (ancora nel 1856). o almeno di conci di essa. Ma si vedrà. fornisce risultati indipendenti dal valore del momento flettente M. La trattazione rigorosa del taglio per materiale omogeneo. ma bisogna esaminare il comportamento dell’intera tra­ ve. La teoria del taglio utilizzata nell’ambito della Scienza delle costruzioni. Il taglio in una sezione omogenea Nelle travi non vi può mai essere solo taglio. Si consideri una trave soggetta ad un taglio Vy (diretto secondo Tasse y. Per que­ sto motivo alcuni autori preferiscono parlare di sollecitazione composta di flessione e taglio e non semplicemente di taglio. che in realtà non è possibile pensare al taglio riella singola sezione. cioè vertica- . Si può avere esclusivamente ta­ glio in una singola sezione. nella quale il momento si annulla. anche se si mantiene l’ipotesi di comportamento lineare.Capitolo 11 TAGLIO 1. L’estensione di tale teoria ad un materiale come il cemento armato richiede invece la conoscenza delle caratteristiche di sollecitazione M ed N. linear­ mente elastico e senza limiti di resistenza è stata sviluppata da De Saint Venant (1856). 1). per l’equilibrio alla rotazione del cu­ betto la τyz deve essere uguale in valore alla τzy. come quelli che si avrebbero in una trave in legno costituita da più assi sovrapposte non collegate l’un l’altra (fig. mentre la risultante delle tensioni τzx deve essere nulla.una trave in legno realiz­ zata inchiodando più assi). la risultante delle tensioni xzy deve essere pari a Vy.Vy dz. che viene da alcuni denominata forza di scorrimento. Esso dà origine a tensioni tangenziali τ che avranno nel piano della sezione una componente verticale xzy ed una orizzontale τzx . agente sulla faccia orizzontale e diretta parallelamente all’asse della trave. 1 . la sua valutazio­ ne è inoltre necessaria in alcuni casi specifici. Le tensioni τyz hanno la funzione di evitare gli scorrimenti tra le fibre longitudinali. nella trattazione semplificata del taglio. cioè orientato verso il basso nella faccia di normale uscen­ te positiva). coerentemen­ te alle convenzioni dei segni stabilite in precedenza la differenza tra le tensioni sulle due facce vale quindi . Le tensioni normali prodotte dal momento flettente nelle due facce sono rispettivamente ϭz e ϭz+dϭz e valgono. come ve­ dremo subito. interviene. come ad esempio nel cal­ colo dei connettori posti nelle sezioni composte (come una trave mista acciaio-calcestruzzo. 2) alle cui estremità agiscono rispettivamente un momento flettente Mx ed un momento Mx+dMx . ma anche .scorrimento tra le assi di una trave in legno le. e positivo. alla τzy corrisponde una τyz. costituita da un profilato in acciaio ed una soletta in calcestruzzo.più banalmente . i quali hanno proprio il compito di evitare lo scorrimento. Se si considera un cubetto elementa­ re. La risultante delle τyz in un tratto. dall’equilibrio alla rota­ zione del concio si ricava la ben nota relazione tra momento flettente e taglio dMx .314 Capitolo 11 Fig. La trattazione di Jourawski parte dall’esame di un concio di trave di lunghezza dz (fig. Facendo riferimento al valore medio di τyz nella sezione orizzontale la condizione di equilibrio alla traslazione si scrive e quindi cioè. 2 . in definitiva.Taglio 315 Fig. si può determinare la relazione tra le tensioni tangenziali τyz e la variazione di tensioni normali dϭz. nonché dal momento statico Sx.relazione tra tensioni tangenziali % zy e normali Oz Se si divide il concio in due parti mediante un taglio orizzontale e si analizza l’equilibrio alla traslazione orizzontale di una di esse. essendo Sx il momento statico della parte di sezione sottostante la corda individuata mediante il taglio orizzontale Questa espressione mostra che il valore medio di τzy lungo una corda di­ pende dal taglio Vy e dal momento d’inerzia Ix dell’intera sezione rispet­ to all’asse baricentrico x (quantità che non dipendono dalla corda in con­ siderazione). della parte di sezione sotto­ stante calcolato rispetto all’asse baricentrico x e dalla larghezza b (che invece dipendono da questa). . cioè per una corda che passa per il bari­ centro. Nella trattazione approssimata del ta­ glio si assume che la τzy sia costante lungo la corda.316 Capitolo 11 Fig. La trattazione rigorosa mostra invece che τzy varia lungo la corda ed è massima nei punti estremi. . L’espressione innanzi ricavata per τzy mostra che il prodotto τzy b è massimo quando Sx è massimo. si ha τzx = τzy / tg α. cap. la τ coincide con la sua componente τzy . All’estremo della corda la tensione tangenziale x è parallela al bordo deila sezione (fig. I. In caso contrario. 3). Nella trattazione approssimata si assume per semplicità che τzx vari linearmente lungo la corda. VIII. τzx deve essere tale da rendere la x parallela al bordo.relazione tra τzy e τzx Il valore ottenuto mediante la formula sopra riportata è rigorosa­ mente valido come valore medio. Nel caso di una sezione rettangolare con h = 2 b lo scarto è di circa il 3 %. per le quali la larghezza è mi­ nore dell’altezza. Scienza delle costruzioni. Ciò è corretto nel caso di sezioni molto sottili ed è ancora accettabile nel caso delle sezioni rettangolari più comunemente adottate. Quando b è variabile non si può dire a priori in quale corda si 1 Si veda ad esempio Belluzzi. come nella sezione rettango­ lare. Se il bordo è verticale. in particolare' quando il bordo è verticale ad entrambi gli estremi della corda si assume che τzx sia nulla lungo tutta la corda. per sezione quadrata è di circa il 12 % mentre per travi a spessóre la differenza può essere mol­ to più rilevante1. se si in­ dica con a l’angolo formato dal bordo rispetto all’orizzontale. 3 . mentre τzx è nulla. voi. La risultante N c delle tensioni di com­ pressione vale con l'integrale esteso a tutta la parte compressa della sezione. si ha Nella trattazione generale della flessione composta si è già richia­ mata la relazione ed essendo M= N c z (con z braccio della coppia interna). Sezione rettangolare Per una generica corda posta a distanza y dal baricentro (fig.Taglio 317 avrà la massima τzy.1. si ha La tensione tangenziale in corrispondenza al baricentro è quindi da­ ta dal rapporto tra il taglio ed il prodotto tra larghezza della sezione e braccio della coppia interna. Si noti che la trattazione del taglio non è influenzata dalla presenza di sforzo normale. il riferimento al braccio della coppia interna (grandezza che ha senso solo in caso di flessione) è qui usato. 1. solo in quanto equivalente al rapporto I x f S x. né dal valore del momento flettente. che ha larghezza costante. 4) il mo­ mento statico Sx vale . Essendo ϭz = E χ y y. solo per una sezione rettangolare. Una ulteriore espressione che fornisce direttamente la τzy in corri­ spondenza del baricentro può essere ricavata utilizzando espressioni già citate per la flessione semplice. cioè quel­ la posta al di sopra (o al di sotto. la x zy è sempre massima in corrispondenza al baricentro. indipendentemente dal valo­ re di N ed M. se M è negativo) di un asse baricentri­ co. 2. 1. e quindi individuata da un angolo 0 = arc cos y/r. vale b = 2 r sin ϴ. 4 .diagramma delle τzy per sezione rettangolare Il momento d'inerzia Ix vale Il diagramma delle tensioni tangenziali varia con y con legge para­ bolica. il momento statico Sx vale La larghezza b. . 5). espressa in funzione dell’angolo ϴ. il massimo si ha in corrispondenza del baricentro (y=0) e vale cioè è superiore del 50% al valore medio ottenuto dividendo il taglio per l'area della sezione.318 Capitolo 11 Fig. Sezione circolare Per una generica corda posta a distanza y dal baricentro (fig. anche se la differenza rispetto ad una parabola non è notevole ed anzi a prima vista il diagramma sembra quasi coincidente con quello della sezione rettangolare.diagramma delle τzy per sezione circolare Il diagramma delle tensioni tangenziali in questo caso non è parabo­ lico. ϴ=π/2) e vale cioè è superiore del 33% al valore mediò ottenuto dividendo il taglio per l’area della sezione. La larghezza b(y) della generica corda varia con l’or dinata y (fig. 6) ed è espressa da mentre il momento statico Sx vale .3. 1. il massimo si ha ancora in corrispondenza del baricentro (y=0.Taglio 319 Fig. 5 . Sezione triangolare Il baricentro della sezione triangolare è posto a 2/3 dell'altezza h. diagramma di τzy b e di τzy per sezione triangolare In questo caso il prodotto τzy b varia con legge cubica. Il valore massimo di τzy si ha quando la derivata di τzy rispetto a y si annulla. Sezione a doppio T L’espressione del momento statico è diversa a seconda che si consideri una corda che tagli o no l’ala superiore. raggiungendo il massimo in corrispondenza del baricentro. mentre il diagramma delle tensioni tangenziali è parabolico. cioè per e vale cioè è.4. Nel primo caso si ha mentre nel secondo . superiore del 50% al va­ lore medio ottenuto dividendo il taglio per l'area della sezione.320 Capitolo 11 Fig. 1. 6 . come nel caso della sezione rettangolare. Taglio 321 Il prodotto τzy b varia parabolicamente ma con due distinte leggi. essendo d S x = b y d y e quindi d S x I b = y d y indipendente da b. Il diagramma delle tensioni tangenziali è anch’esso parabolico ma presenta un salto in corrispondenza del passaggio tra ala e anima. La tangente immediatamente prima e dopo il sal­ to ha invece la stessa inclinazione. Per tale motivo la tensione tangenziale massima non differisce molto dal valore medio ottenuto dividendo il taglio per l'area della sola anima. il suo diagramma (fig. Esaminando il diagramma delle τzy si nota che il contributo delle ali è quasi trascurabile e che i valori nell'anima variano molto meno di quanto si ha per gli altri tipi di sezione precedentemente esaminati. Occorre infine osservare che la trattazione approssimata risulta molto imprecisa per quanto riguarda il valore delle τzy nell'ala. Que­ sta situazione (salto delle xzy ma costanza deH’inclíñazione) si ripete identica in tutti i casi di brusca variazione della larghezza. Esse in­ fatti hanno valori ben più alti di quello medio in corrispondenza dell'at- . dovuto alla brusca varia­ zione della larghezza. 7) è quindi continuo ma ha una discontinuità nella derivata in corrispondenza del passaggio tra ala e anima. ciò è dovuto al fatto che la variazione di τzy dipende dalla variazione del rapporto S x ib che si mantiene costan­ te. Ad esempio per una sezione rettangolare con doppia armatura simmetrica (As=A's) il baricentro coincide con quello della sezione geome­ trica e si ha Fig.calcestruzzo resistente a trazione Quando il calcestruzzo ha comportamento lineare ed è reagente anche a trazione (primo stadio). 2.diagramma delle iZy per sezione rettangolare a doppia armatura simmetrica. 8 . che variano linearmente nell’ala con valori che possono essere determinati applicando anche per queste la formula di Jourawski. per poi scrivere le espressioni del momento statico S x (y) e del momento d’inerzia I x . si può studiare il comportamento a taglio di una sezione in cemento armato applicando i modelli validi per materiale omogeneo (in questo caso la teoria di Jourawski) alla sezione omogeneiz­ zata. Modello lineare . Per fare ciò occorre innanzitutto determinare la posizione del barP centro della sezione omogeneizzata.322 Capitolo 11 tacco con l’anima e si riducono rapidamente all’allontanarsi da questa. Diventano inoltre rilevanti le τ2 X .. La presenza di arma­ ture concentrate crea una discontinuità del momento statico e quindi in corrispondenza ad esse vi sarà una variazione brusca anche delle τzy . con calcestruzzo interamente reagente . la tensione tangenziale è massima in corri­ spondenza del baricentro. Esempio 1. a causa della differenza tra armatura inferiore e superiore.inf =24. Si ritiene di essere in presenza di uno stato tensionale modesto e di carichi di breve durata nel tempo e quindi si assume n = Es/Ec = 7.Taglio 323 Il diagramma delle τzy assume l'aspetto mostrato in figura 8. vale 3. facen­ do però riferimento alla sezione reagente omogeneizzata. al quale si rinvia per alcuni passaggi numerici.. non nella derivata) di entità dipendente dalla quantità di armatura presente. In questo caso la sezione non è simmetrica.87 cm Poiché la larghezza b è costante. ancora pa­ rabolico ma con discontinuità (nel valore. ipotizzando che la sezione non sia fessurata. Data una sezione rettangolare 30x50 in calcestruzzo con R ck =25MPa armata con 4020 inferiori e 2014 superiori in acciaio FeB44k.02. dG.364558 cm4.13 cm dG.supf = 25. Modello lineare .calcestruzzo non resistente a trazione Se si considera il calcestruzzo non resistente a trazione (secondo stadio) sembrerebbe logico continuare ad usare la formula di Jourawski. già calcolati nell'esempio citato. si determini il valore massimo della tensione tangenziale provocata dal taglio V= 50 kN. Il momento statico della parte di sezione al di sotto del baricentro. con copriferro c=4 cm. rispetto al baricentro stesso. valgono I x . Si noti che in . I dati dell’esempio coincidono con quelli usati nel primo esempio relativo alla flessione semplice. La distanza del baricentro dai bordi superiore ed inferiore della sezione ed il momento d'inerzia della sezione omogeneizzata rispetto ad un asse baricentrico. 3. per riferirsi solo alia parte compressa del calceL'idea di utilizzare ancora la trattazione di Jourawski è alla base delle formule che si utilizzano nel metodo delle tensioni ammissibili. dal lo­ ro rapporto) dipende l'entità della sezione reagente. ma si precisa fin d’ora che essa rappresenta una estrema semplificazione del comportamento reale di una trave in cemento armato. a patto di scambiare tra loro bordo superiore ed inferiore). Per cornodità di calcolo si fa quindi riferimento ad un sistema di assi cartesiani x-y avente come origine il punto O (anziché G). Inoltre si determina Sx cal­ colando il momento statico della parte di sezione al di sopra della corda e cambiandolo di segno (cosa possibile perché Sx. meglio ancora.1. L’area A e il momento statico So rispetto al bordo superiore della sezione rea­ gente omogeneizzata valgono A = b x + n (As + A's ) . La "trattazione analitica è resa più complessa dal fatto che la posizione del baricentro varia in funzione della posizione dell’asse neutro e che il momento statico della parte di sezione al di sotto della corda è dipendente dalla posizione x dell’asse neutro. non esente da critiche e contraddizioni. In caso contrario occorre modificarle. soggetta a momento flettente positivo e quindi compressa superiórmente (la posi­ zione dell’asse neutro in figura 9 corrisponde al caso di pressoflessione. Si indica con O il centro della sezione geometrica e con G il baricentro della sezione rea­ gente omogeneizzata. Sezione rettangolare Si consideri una sezione rettangolare a doppia armatura. Se la sezione è tutta compressa a causa della presenza di sforzo normale si possono applicare integralmente le espressioni valide per il primo stadio.sup + Sx.324 Capitolo 11 questo caso il diagramma delle tensioni tangenziali provocate dal taglio dipende dal valore di N ed M. ma le formule che si sviluppano sono valide in generale.inf =0)Occorre innanzitutto calcolare la posizione del baricentro G. perché da questi (o. se la sezione fosse soggetta a momento negativo la trattazione sarebbe invariata. Finché la corda taglia la zona compressa. perché non viene aggiunta ulteriore area reagente. il momento statico non va­ ria rispetto al valore calcolato quando la corda coincide con l'asse neu­ tro. 9 . nel secondo stadio e quindi la distanza cIg di G dal bordo superiore vale Per calcolare il momento d’inerzia Ix rispetto a G conviene calcolare prima il momento d'inerzia Io rispetto al bordo superiore e poi applicare il teorema del trasporto. l'aliquota di momento statico dovuta al calcestruzzo vale A questo si deve aggiungere il contributo dell’armatura compressa.Taglio 325 Fig. ottenendo così Per determinare le τzy in una corda a distanza y da O occorre poi calcolare il momento statico della parte di sezione reagente posta al di sopra della corda rispetto al baricentro G (cambiato di segno). se la corda è al di sotto di essa Se la corda è al di sotto dell’asse neutro. Solo quando la .sezione rettangolare a doppia armatura. diagramma delle Xzy per una sezione rettangolare a doppia armatura. fino all’armatura tesa. Poi­ ché b è costante il massimo si raggiunge sempre in corrispondenza del baricentro della sezione reagente omogeneizzata. il tratto parabolico del dia­ gramma delle τzy è troncato bruscamente dal tratto costante. In caso di flessione semplice (fig.326 Capitolo 11 corda va al di sotto dell’armatura inferiore il momento statico si annul­ la. con un salto in corrispondenza dell’armatura compressa. In caso di tensofiessione. As=As=10 cm2) . infine. prima di raggiungere il massimo relativo. 10) questo corrisponde all’asse neutro e quindi il tratto parabolico è tangente al tratto costante nel punto di contatto. nel secondo stadio (sezione 30x60. e si ha quindi una discontinuità della tangente in corrispondenza dell’asse neutro. In caso di pressoflessione il baricentro della sezione reagente omo­ geneizzata è situato all'interno della parte compressa. 10 . e co­ stante nella parte di sezione non reagente. al valore massi­ mo segue quindi un tratto con x z y decrescenti fino all’asse neutro. Il diagramma delle x è quindi parabolico nel tratto di sezione rea­ gente. Fig. perché in tal caso tutta la parte reagente è al di sopra della corda. il valore massimo della τzy è dato da cioè è superiore di solo il 10% circa rispetto al valore medio ottenuto dividendo il taglio per l’area “utile” b d della sezione. per poi diventare costanti. il baricentro della sezione reagente omogeneizzata è situato nella parte tesa. in particola­ re.Taglio 327 Esempio 2. Il momento statico della parte di sezione al di sopra del baricentro rispetto al baricentro stesso. a variazioni lineari di b in zona tesa corrispondono variazioni di x con legge iperbolica (momento statico costante diviso per la funzione lineare di b) perché la tensione tangenziale tenderebbe all'infinito (e quindi avrebbe un asintoto) nel punto in cui b si annulla. Nell’esempio si era ottenuto x = 17. come nel caso della sezione a T.70 cm I = 21501 l e m 4 Poiché la larghezza b è costante.150 kN in presenza di flessione semplice.2. ai fini di una verifica col metodo delle tensioni ammissibili si determini il valore massimo della tensione tangenziale provocata dal taglio V . vale La tensione tangenziale massima può essere determinata rigorosamente come Utilizzando la formula approssimata si sarebbe ottenuto un risultato analogo. . La stessa sezione. è già stata esaminata nell'esempio 4 del capitolo 9. Altri tipi di sezione Per sezioni diverse dalla rettangolare si procede in maniera analoga. Quando la lar­ ghezza varia con continuità (ad esempio per sezioni trapezoidali) la ten­ sione tangenziale varia con legge dipendente da quella di b. ma senza la fatica di calcolare posi­ zione dell’asse neutro. ipotizzando che la sezione sia fessurata. Nei tratti in cui b è costante τzy varia con legge parabolica (se la zona è compressa) o rimane costante (se la zona è tesa). 3. cambiato di segno. momento d’inerzia e momento statico. Il riferimento al metodo delle tensioni ammissibili indi­ ca chiaramente che per il coefficiente di omogeneizzazione si deve utilizzare il valore n-15. corrisponde una anàlo­ ga variazione delle τzy (dimezzandosi b si raddoppia τzy). soggetta a flessione semplice. A variazioni localizzate della larghezza. la tensione tangenziale è massima in corri­ spondenza del baricentro. Con riferimento alla sezione dell’esempio 1. nel secondo stadio Sezione triangolare Si consideri una sezione triangolare a semplice armatura. soggetta a flessione semplice con fibre compresse superiori (fig. con variazione brusca o graduale della larghezza. mentre il rapporto SI b varia con leg­ ge parabolica.3). Sezioni a T e trapezie In figura 12 sono mostrati i diagrammi delle tensioni τzy per sezioni di forma varia. Da essi si possono immediatamente trovare conferme alle considerazioni fatte in precedenza. 11 .diagramma di τzy b e di τzy per una sezione triangolare a semplice armatura.75 x). quindi. finché si è al di sopra dell'asse neutro il momento statico della parte al di sopra della corda varia con legge cubica. mentre il prodotto τ b è sempre massimo in corrispondenza del baricentro (e quindi dell'asse neutro) la τzy è mas­ sima in una corda al di sopra di tale posizione (per l'esattezza a 0. al di sotto delFasse neutro il mo­ mento statico si mantiene costante e poiché b cresce linearmente la τzy decresce con legge iperbolica. A differenza della sezione omogenea. . ciò porta all’equazione di terzo grado Come già visto nel caso di sezione omogenea (paragrafo 1. La posizione del baricentro della sezione reagente omogeneizzata si calcola imponendo che l'asse neutro sia baricentrico. 11). Anche in questo caso. tensoflessione e pressoflessione. Sono ri­ portati separatamente i diagrammi relativi al caso di flessione semplice.328 Capitolo 11 Fig. come già si è detto. . 12 . le caratteristiche di sollecitazione fless glio sono sempre accoppiate ed è quindi indispensabile analizzare temporaneamente lo stato tensionale indotto da esse.diagramma delle τzy per sezioni con variazione brusca o gr della larghezza (la linea tratteggiata indica la posizione deli 3.Taglio 329 Fig. Considerazioni sullo stato tensionale Si è finora parlato separatamente di momento flettente (che induce sioni normali ϭz ) e di taglio (che induce tensioni tangenziali τzy).3. In ti. Esso è soggetto solo a tensioni tangenziali τzy sulla faccia verticale e τyz su quel­ la orizzontale. con calcestruzzo a) reagente a trazione.diagramma delle tensioni normali e tangenziali in una sezione rettangolare soggetta a flessione e taglio.330 Capitolo 11 Fig. Il cerchio di Mohr (fig. b) non reagente a trazione In figura 13 è mostrato l'andamento delle tensioni normali σ2 e delle tensioni tangenziali τzy indotte in una sezione rettangolare a semplice armatura rispettivamente dalla flessione e dal taglio. Vicevèrsa. Si consideri innanzitutto un elemento infinitesimo posto in corrispondenza dell’asse neutro. elemento 2). unita alla riduzione del valore delle τzy. 14. la presenza contemporanea di una tensione di compressione sulla faccia verticale. aumenta l'inclinazione rispetta all'asse della trave e riduce il valore della tensione principale di trazio­ ne. Al di sopra dell'asse neutro (fig. 13 . nel caso di calcestruzzo reagente a trazione la presenza di tensioni normali di trazione riduce l'inclinazione rispetto all'asse ed aumenta il valore della tensione principale di trazione negli elementi si- . Ì4. elemento 1) mostra che la dire­ zione principale di trazione è a 45° e che la tensione principale di trazione è uguale in valore alla τzy. o anche .nel caso di sezione parzializzata un qualsiasi elemento posto tra l'asse neutro e l'armatura tesa. nel caso di calcestruzzo a comportamento lineare reagente (a) e non reagente (b) a tra­ zione. al cemento armato nel secondo stadio. corrispondenza dell’asse neutro (lesioni a flessione e taglio. incompatibile. Si possono infatti riscontrare lesioni a 45° in prossimità dell’asse neutro (lesioni a taglio puro. oppure lesio­ ni che nascono al bordo teso con direzione verticale (a causa della ten­ sione normale di trazione) e si propagano verso il centro inclinandosi via via. 14. Poiché il calcestruzzo non è in grado di sopportare rilevanti valori della tensione di trazione.Taglio 331 Fig. 14 . non è possibile giustificare in maniera rigorosa la re­ sistenza a taglio nell'ambito di un modello di comportamento lineare con calcestruzzo non reagente a trazione. Ma la presenza di tensioni tangenziali porta in ogni caso alì’insorgere di una tensione principale di trazione. elemento 3). La presenza di queste lesioni mette in evi­ denza una incongruenza con le ipotesi base con le quali si è estesa la teoria del taglio. cioè ipotizzando che il calcestruzzo non sia in grado di sopportare una qualsiasi tensione di trazione. Le tensioni tangenziali τzy sono infatti state ricavate ap­ plicando la formula di Jourawski alla sezione reagente omogeneizzata. valida per materiale omogeneo. si formano in esso lesioni che rispecchiano l’andamento ora descritto. In definitiva.tensioni principali in zona tesa e in zona compressa tuati al di sotto dell’asse neutro (fig. Una possibile scappatoia è quella . fig. 15 b). Per calcestruzzo. in corrispondenza dell'armatura tesa le τzy si annullano e la direzione principale di trazione diventa orizzontale. 15 a).con l’ipotesi fatta. fino a raggiungere i 45° in. non reagente a trazione. fig. 332 Capitolo 11 Fig. 15 . almeno per valori molto bassi della tensione.4. indicato col simbolo τc0. Limiti a taglio nel metodo delle tensioni ammissibili La normativa italiana2 relativa al metodo delle tensioni ammissibili (D.1. prodotte da tali caratteristiche di sollecitazione. la normativa italiana alle tensioni ammissibili impone un limite per il valore massimo della tensione tangenziale nella sezione. mentre ta­ le resistenza è stata comprovata sperimentalmente. Poiché le ten­ sioni tangenziali sono in genere piccole rispetto a quelle normali si può quindi ritenere che il calcestruzzo si fessuri (e non reagisca a trazione) per la flessione e rimanga invece integro per il taglio. Si noti che nell'ambito di un modello lineare del materiale non si può giustificare in alcun modo la resistenza di una trave privaci armatura a taglio nella quale si siano formate lesioni. al di sotto del quale si può ritenere che il calcestruzzo sop­ porti da solerle tensioni indotte dal taglio.M. 14/2/92') precisa (punto 3. Seguendo questo criterio.lesioni nelle travi di invocare per il taglio la resistenza a trazione che il calcestruzzo sicuramente ha. 3. non superano i valori di τc0 ottenuti con l'espressione 2 Le frasi riportate in corsivo sono estratte dalla normativa .4) che “Non è richiesta la verifica delle armature al taglio ed alla torsione quando le tensioni tangenziali massime nel conglomerato. Quando la tensione tangenziale è più elevata diventa invece necessario disporre specifiche armature per il taglio e proporre nuovi modelli con i quali valutare il comportamento del­ la trave armata a taglio. la sezione non è accettabile e deve quindi essere ridimensionata.1. si determini il valore del taglio corrispondente al raggiungimento dei valori limiti della tensione tangenziale prescritti dalla nor­ mativa italiana. affidando alle staffe non meno del 40% dello sforzo globale di scorrimento” (cioè del taglio).1. La norma aggiunge poi.4. Ai fini pratici. non è necessario calcolare le armature a taglio (e a torsione) ma si dovranno comunque disporre le armature minime imposte dalla norma.8). se si è in presenza di solo taglio (senza torsione) si può immediatamente riconoscere se è possibile disporre le armature minime senza calcolo (se V > Vcl). che “La massima tensione tangenziale per solo taglio non delle_superare il valore Se tale valore è superato. . solo nel caso dei solai è consentito non disporre alcuna armatura a taglio se τ < τc0 (punto 7. può essere conveniente determi­ nare per ciascun tipo di sezione i valori del taglio corrispondenti alle x limite In tal modo. se è necessario calcolare tali armature (se Vco<V< Vci) o se la sezione è inammissibile (se V > Vcl).Taglio 333 Nella zona ove le tensioni tangenziali superano τc0 gli sforzi tangenziali devono essere integralmente assorbiti da armature metalliche. Si noti che ciò vuol dire che. poiché nella progettazione di una struttura costituita da numerose aste occorre confrontare con i limiti τc0 e τcl i valori delle tensioni tangenziali di ciascuna sezione e dato che normalmente si uti­ lizza un numero estremamente limitato di sezioni diverse in modo da semplificare le operazioni in cantiere.4. Esempio 3* Data una sezione rettangolare 30x50 in calcestruzzo con Rck =25MPa armata con copriferro c=4 cm. sempre al punto 3. se la x è inferiore a tale limite. si determini il valore del taglio corrispondente al raggiungimento dei valori limiti della tensione tangenziale prescritti dalla nor­ mativa italiana. quando il costo del materiale era più condizionante del costo della manodopera. I limiti tensionali sono gli stessi delFesempio precedente. il modello lineare con calcestruzzo non resistente atrazione non è in grado di giustificare la capacità di una trave a sopportare taglio. di passaggio da sot­ to a sopra. Tutti i modelli utilizzati nell’ambito del metodo delle tensioni ammissibili per valutare il comportamento della trave armata a taglio tengono conto esclusivamente del contributo di questa armatura.armatura a taglio Quando la tensione principale di trazione provocata dal taglio supera la resistenza a trazione del calcestruzzo. . còme ul­ teriore vantaggio. Data una sezione rettangolare 80x24 in calcestruzzo con Rck= 25MPa armata con copriferro c=4 cm. trascurando il possibile contributo del calcestruzzo. la presenza di un tratto inclinato. era consue­ tudine sagomare le barre. in grado di fungere da armatura a taglio. i limiti tensionali sono Si ha quindi Esempio 4. Poiché in presenza di taglio puro la tensione principale di trazione è inclinata a 45°. In questo caso si ha 4. In effetti nel passato. Occorre quindi disporre una specifica armatura per tale caratteristica di sollecitazione. Ciò comportava. la prima idea che viene in mente è di disporre delle bar­ re proprio con tale inclinazione. in modo da averle inferiormente in mezzeria di una trave e superiormente agli appoggi. Modello lineare .334 Capitolo 11 Per il calcestruzzo indicato. coerentemente con l’anda­ mento del diagramma del momento flettente. Armatura con sagomati a 45° Per definire quale armatura disporre per il taglio e quale sia il compor­ tamento di una trave armata a taglio si possono utilizzare due distinti modelli. e quindi all’abbandono dei sagomati come armatura a taglio. Si mostrerà però più avanti che i modelli teorici corrispondenti alle due tipologie citate (staffe e ferri di parete oppure so­ lo staffe) portano a conclusioni sostanzialmente analoghe. opportunamente disposte lungo la direzione di trazione. Esse infatti servono per tenere in posa le armature flessionali superiori ed inferiori ed hanno un importante effet­ to di cerchiatura del calcestruzzo. che fortunatamente danno risultati concordi: si può partire dal­ l’analisi dello stato tensionale oppure schematizzare le parti tese e com­ presse della trave come un tralìccio .Taglio 335 L'incremento dei costi connessi alla sagomatura delle barre ha por­ tato oggi ad un utilizzo quasi esclusivo di barre dritte come armatura a flessione. che fa riferimento all’uso di sole staffe. Partendo dalla considerazione che la risultante a 45° delle tensioni di trazione dovute al taglio può essere efficacemente assorbita da ferri orizzontali e verticali. si è diffusa nell'Italia centro-meridionale una tipo­ logia di armatura a taglio che prevede l’uso contemporaneo di staffe verticali e ferri longitudinali disposti in maniera diffusa lungo l’altezza del­ la sezione (ferri di parete). Questo approccio non è esclusivo delle travi. che il calcestruzzo non è in grado di sopportare.1. E da ribadire infine che le staffe svolgono numerose funzioni. che ne aumenta la resistenza. ed affidarle la forza corrispondente alla risultante di tali ten­ sioni ad armature diffuse. Questa tipologia appare invece quasi del tutto ignorata nella pratica progettuale dell’Italia settentrionale e dall’ampia sperimentazione sul taglio svolta in particolare al Pohtecnico di Milano. Dallo stato tensionale all'armatura a taglio Un primo modello per giustificare le armature a taglio. oltre a quella di sopportare il taglio. abbastanza coe­ rente con la linearità del modello del materiale. e soprattutto le duttilità X 4. ma è seguito in . consiste nel valutare le tensioni principali di trazione ϭξ. 336 Capitolo 11 Fig.la totalità della forza di trazione che deve essere tra­ smessa a causa del taglio attraverso una faccia inclinata a 45°. 16).di trazione sono meno rilevanti e quindi si ritiene a vantaggio di sicurezza continuare ad ar­ mare come nella zona sottostante. Nella parte compres­ sa l’inclinazione varia. Si consideri l’armatura inclinata disposta in un tratto orizzontale di lunghezza s (fig. 16 . In tutta la parte al di sotto dell’asse neutro le isostatiche di trazione sono inclinate a 45° rispetto all’asse del­ la trave e la tensione di trazione è pari alla τzy max. in gradò di assorbire. L’armatura ideale è quindi costituita da barre disposte con un angolo di 45° rispetto all’asse della trave. La tensione principale di trazione è pari alla τz y max (al di sotto dell’asse neutro e in assenza di sforzo normale) è quindi vale La risultante di trazione nell’area considerata vale quindi Si noti che mentre la τz y max può variare in dipendenza di b il prodot­ to τzy max b è costante anche per sezioni con larghezza non costante. L’area necessaria di ferri sagomati a 45° da disporre in un tratto s si ot- . Nel caso di travi. come ad esempio nelle volte sottili in cemento armatocche vengono calcolate come se fossero costituite da materiale omoge­ neo e poi armate con barre disposte lungo le isostatiche di trazione. ma le tensioni principali . quando a causa della flessione ci si trova nel se­ condo stadio appare logico valutare le tensioni tangenziali facendo rife­ rimento alla sezione parzializzata.armatura a taglio con sagomati a 45° numerosi altri casi. essa intercetta la faccia inclinata per un tratto pari a s/√2. Il traliccio di Mörsch Allo stesso risultato si può giungere utilizzando un modello proposto agli inizi del ‘900 da Mörsch. L’altezza della travatura reticolare è pari a z (braccio della coppia interna) e la distanza tra due successivi puntoni compressi (o tra due diagonali tese) misurata in orizzontale è pari a 2 z. Lo schema è isosta­ tico e perché si abbia equilibrio alla traslazione verticale la forza di tra- i*ig. si può assumere z = 0. e dalle barre disposta secondo la direzione di trazione (che in questo caso si suppongono concentrate mentre in realtà sono diffuse). 17 .9 d. l'armatura necessaria vale pertanto dove. corrispondenti alla direzione principale di compressione.Taglio 337 tiene dividendo tale forza per la tensione cui si vuol far lavorare l'armatura. mentre le aste di parete sono costituite dai puntoni di calcestruzzo. Facendo riferimento ai limiti prescritti dal metodo delle ten­ sioni ammissibili. La trave può essere vista come un traliccio (fig.traliccio di Mòrsch per armatura a taglio con sagomati a 45° . 17) i cui correnti sono la parte compressa di calcestruzzo e l'armatura tesa. con buona approssimazione. Si noti però che queste armature sono disposte su un tratto.16. in alternativa ai ferri inclinati di 45°. Pagano “Sul comportamento a rottura di travi in cemento armato in regime flessotagliante”. 1963 ed al libro di M. dalla considerazione che la ri­ sultante delle tensioni di trazione può essere assorbita. I riferimenti bibliografici più vecchi riconducono. 1968. La forza di compressione nel puntone è uguale a quella di tra­ zione nell’armatura inclinata e vale ancora √2 V . da ferri orizzontali e verticali. Verifica delle sezioni in cemento armato”.338 Capitolo 11 zione nell’armatura inclinata a 45° deve valere V . Pagano “Una più semplice disposizione dei ferri nelle travi in cemento armato”. che agisce sul tratto inclinato lungo s / √2 . può essere scomposta in due aliquote. Un po’ più recente è il riferimento che si trova nel libro di A. Liguori. vertica­ le od orizzontale. Raithel “Metodo semiprobabilistico agli stati limite. 1982. ciascuna pari alla forza divisa per 42 e quindi pari a V s/2 z (fig. n. L’area di ferri sa­ gomati necessaria per il tratto 2 z è quindi pari a e per un generico tratto s si ha cioè la stessa espressione ricavata a partire dall’analisi dello stato tensionale. Di conseguenza la compo­ nente orizzontale e verticale che agisce sulle barre poste in un tratto s vale V s/ z > . Liguori. 18). orizzontale e vertica­ le. di lunghezza s/2. a quanto mi risulta. Industria Italiana del Cemento. 4. si può notare che la forza V s/√2 z. come già detto. Ingegneri. 1973. n. alla nota di M. Partendo da quanto mostrato per i sagomati nel paragrafo preceden­ te.2. voi II. Edifici in cemento armato”. mentre i corrispondenti sagomati erano disposti lungo un tratto orizzontale s. Pagano “Teoria degli edifici. Armatura con staffe e ferri di parete Questa armatura nasce. L’efficacia di questa disposizione è discussa ampiamente nella nota di M.11. 18 .Taglio 339 Fig. è possibile inoltre disporre staffe con più di due bracci (doppie staffe o staffe più tirantini). di forma rettangolare. Il co­ efficiente è però assunto pari ad 1 “in attesa che la bibliografia divenga uniforme”. Nel de­ finire quali staffe effettivamente disporre occorre ricordare che ciascuna staffa va contata tante volte quanti sono i suoi bracci. in modo da tener conto delle discrepanze tra modelli teorici e risultati sperimentali. richiedenti quindi un'area di ferri dimezzata. di staffe necessaria per il tratto s Si noti che le staffe standard. Si può quindi dire che l'area di staffe da disporre in un tratto s vale L'area di ferri di parete da disporre per tutta l'altezza della sezione si ricava dalla formula precedente ponendo s = z e vale Nel libro di Pagano è aggiunto al denominatore di queste formule un coefficiente a. Nella prima nota citata dello stesso Pagano e nel libro di Raithel le stesse formule vengono invece riportate con un coefficiente 2 al denominatore. questi ultimi mostrano infatti una resi­ stenza a taglio reale molto maggiore di quella fornita dai modelli. Le formule così modificate.armatura a taglio con staffe e ferri di parete Dividendo tale forza per la tensione cui si vuol far lavorare l'armatura si ottiene l'area. hanno due bracci che attraversano una sezione orizzontale. sono quelle in genere usate nell'attuale prassi pro­ gettuale e richiamate anche nel mio libro “Edifici antisismici con strut- . 340 Capitolo 11 tura intelaiata in cemento armato”. 1986. per­ ché non può sopportare la componente orizzontale di tale forza. Armatura con staffe Un’armatura costituita da sole staffe verticali non è coerente con l’idea di assorbire la risultante delle tensioni di trazione dovute al taglio. In questo caso (fig. L’area di staffe da disporre in un tratto s vale quindi. 19) la distanza tra due successivi puntoni compressi (o tra due staffe tese) mi­ surata in orizzontale è pari a z. dimenticando la motivazione “sperimentale”. se ne è cercata una giustificazione teorica. Nel corso degli anni il coefficiente a è quindi diventato stabilmente pari a 2 e. Essa è però giustificabile con il modello di traliccio.3. 4. innanzi richiamate). s e s/2. basata sulla scomposizione della forza di trazione. CUEN. 19 . tenendo conto del nume­ ro n di bracci Fig.traliccio di Mörsch per armatura a taglio con staffe . che in realtà è priva di significato ed errata (forse derivata dal non aver preso in considera­ zione la differenza tra le due lunghezze. Lo schema è isostatico ed effettuando una sezione inclinata che tagli il ferro verticale e i due correnti si vede che per l'equilibrio alla trasla­ zione verticale la forza di trazione nella staffa è pari al taglio V. Taglio 341 La forza di compressione nel puntone inclinato può essere determi­ nata effettuando una sezione verticale ed imponendo l'equilibrio alla traslazione verticale. la condizione di equilibrio alla rotazione rispetto a P diventa (fig. in cui è applicata la risultante di compressione. 20 c) quindi lo sforzo normale nelle armature è incrementato. in una sezione con ordi­ nata z1. In presenza di staffe. Nella trattazione della teoria dell’elasticità. si fa sempre riferimento sezioni trasversali. rispetto al va­ lore previsto dalla teoria dell’elasticità. l’asta inclinata che rappresenta tale armatura nel traliccio converge nello stesso punto P e non modificar l'equilibrio alla rotazione ed il valore di Ns. 20 a). Quando l’armatura a taglio è costituita da sagomati (fig. riferita a materiali omogenei ed isotropi. e vale Nelle travi in cemento armato occorre invece far riferimento ad una se­ zione che segue l’andamento della lesione a taglio. e . Traslazione del diagramma dei momenti L’uso del modello di traliccio con aste verticali (staffe) comporta un pro­ blema che era stato trascurato nell’ambito del metodo delle tensioni ammissibili ed è stato messo in luce nelle trattazioni allo stato limite ul­ timo. per­ pendicolari all’asse della trave (fig. la forza di trazio­ ne nelle armature può essere ricavata dall’equilibrio alla rotazione ri­ spetto al punto P. Così. invece. della quantità VI2. Si ottiene anche in questo caso una forza pari a √2 V. La tensione di compressione nei puntoni è quindi doppia quando si usano staffe verticali rispetto a quando si usano ferri inclinati a 45°. nella quale agisce il momento flettente M(zi). che però agisce su puntoni di ampiezza dimezzata rispetto al caso precedente. 20 b). tanto che spesso viene associato a quest’ultimo metodo dimenti­ cando che si riferisce invece al modello di traliccio. la quantità di staffe da disporre non è condizionata dalla presenza di ferri di parete. ovvero che bisogna “traslare” di tale quantità il diagramma del momento per ottenere i valori da usare nel dimensionamento delle armature. Per quanto riguarda l’opportunità di usare un coefficiente riduttivo.342 Capitolo 11 Fig. se si prescinde dall'eventuale coefficiente correttivo a. sia che le si metta inferiormente o come ferri di parete. la sperimentazione mostra che i modelli utilizzati nel metodo delle ten­ sioni ammissibili sottostimano la resistenza a taglio della sezione arma­ ta. co­ .sollecitazione nell'armatura a. Solo staffe. Per una maggior esattezza occorrerebbero modelli più realistici. Ma è anche vero che il modello di traliccio con sole staffe richiede un incremento dell'armatura a flessione. 20 . a conferma del fatto che il taglio richiede anche barre lon­ gitudinali. oppure staffe e ferri di parete? Confrontando le formule innanzi ricavate si nota che. flessione con diversi modelli Ciò equivale a dire che l'annatura a flessione deve essere progettata per il valore del .momento flettente che si ha in una sezione posta a di­ stanza zi2. invece. che porta ad un dimezzamento delle staf­ fe. che è stato sviluppato per lo stato limite ultimo ma che si adatta anche alle tensioni ammissibili. Questi ferri risultano utili anche per assorbire eventuali sollecitazioni di trazione. Il citarlo qui può apparire come un appesantimento del testo. Un approccio unificato Le armature a taglio nel metodo delle tensioni ammissibili vengono tra­ dizionalmente giustificate con i due modelli citati nei paragrafi prece­ denti (armatura per assorbire la risultante delle tensioni principali di trazione.4. è in effetti possibile. . Nell’ambito del metodo del­ le tensioni ammissibili ciò non ha alcuna importanza. Ma mi sembra opportuno intro­ durre fin d’ora un ulteriore modello. Occorre infine notare che usando staffe e ferri di parete (equivalenti ai sagomati) la tensione di compressione nel puntone è dimezzata ri­ spetto a quella che nasce usando solo staffe.. prodotte dal ritiro o da variazioni termiche. perché il limite imposto (τ < τc1) garantisce in ogni caso che la tensione di compressione nel puntone sia accettabile» Allo stato limite ultimo. il modello di traliccio con inclinazione variabile del puntone prevede che la capacità portante a taglio corrisponda all’angolo per il quale la resistenza del puntone uguaglia quella delle armature. Avere una sollecitazione mino­ re nel puntone (come nel caso di sagomati o di staffe più ferri di parete) consente di arrivare al collasso con una inclinazione del puntone più piccola e quindi con sollecitazioni più basse nelle armature a taglio. ma mi piace farlo perché aiuta ad una comprensione unitaria di tensioni ammissibili e stato limite ultimo. e limitano la possibilità di fessurazione della trave. ma rimane il fatto che essa non ha una giustifi­ cazione teorica nell’ambito del metodo delle tensioni ammissibili. anche fuori calcolo. la discretizzazione della trave in aste (in­ trodotta col traliccio di Mörsch) appare un po’ una forzatura perché an­ nulla la continuità del materiale tipica della teoria di elasticità lineare. Questi mo­ strano che la riduzione citata. In effetti. 4. almeno una coppia di ferri di parete in tutte le travi emergenti. Personalmente ritengo quindi migliore il comportamento di un’ar­ matura costituita da staffe e ferri di parete rispetto ad una con sole staf­ fe e consiglio di disporre. oppure il traliccio di Mörsch).Taglio 343 me quelli proposti per le verifiche allo stato limite ultimo. E però possibile sostituire le aste discretizzate del traliccio con distribuzioni continue di tensione (campi di tensione). Il modello che si considera prevede quindi: l’armatura tesa per la flessione. le tensioni ϭc di compressione a 45° do­ vute al taglio. che presenta tensioni di compressione inclinate a 45°.campi di tensione in sezioni orizzontali e verticali della trave . so­ stituite dalla loro risultante Nc. Se si effettua una sezione orizzontale lungo la trave e si prende in esame un tratto lungo dz (fig. riguardare il contributo delle armature a taglio come a tensioni distribuite è invece una semplificazione. le tensioni di compressione per flessione. 21 a). con risultante Ns. le tensioni ϭs di trazione dovuta all’armatura a taglio As. verosimile se le arma­ ture sono abbastanza fitte. 21 .344 Capitolo 11 ma i indispensabile per giustificare l’uso delle staffe come armatura a taglio. Ciò è quanto re­ almente avviene nel calcestruzzo. in esso agiscono le tensioni ϭc che hanno come risultante Fc Fc = b dz sin 45° ϭc Fig. α=90° per staffe). disposta con passo s ed inclinazione a (con α=45° per sagomati. trovata per l’equilibrio della se­ zione orizzontale. per garantire l'equilibrio alla traslazione verticale.Taglio 345 e le tensioni as che hanno come risultante Fs La componente orizzontale di queste due forze rappresenta la forza di scorrimento (già citata nel ricavare la relazione di Jourawski). la risultante Fc delle tensioni ϭ vale Fc = b z cos45° ac mentre la risultante Fs delle tensioni vale La componente verticale risultante delle due forze deve essere pari al taglio V. La com­ ponente verticale risultante deve invece essere nulla. Si ha quindi V = FC sin 45° + Fs sin a ovvero Sfruttando la relazione tra ϭc e ϭs. . si ottiene infine con una espressione che riunisce quelle ricavate per sagomati e per staffe. Deve quindi essere Fc sin45° = FS sina e quindi Se si effettua una sezione verticale (fig. 21 b) e si considera il tratto di altezza z (braccio della coppia interna). 2) che “Nelle travi si devono prevedere staffe aventi sezione complessiva non inferiore a 0. Se si sono usate barre 014. esso è praticamente irrilevante per travi emergenti.4=16. Minimi di armatura nel metodo delle tensioni ammissibili La normativa italiana3 relativa al metodo delle tensioni ammissibili (D. il passo delle staffe non dovrà superare il valore 12 0. nello stesso punto. Inoltre la parola “sezione complessiva” fa ritenere che nel confrontare l’area disposta con questo minimo si debba tenere conto del numero di bracci delle staffe che. con b espressa in cm. il limite equivale a 0. con un minimo di tre staffe al metro e comunque passo non supe­ riore a 0. mentre è particolarmente significativo per le travi a spessore.3.10 (3 cm2/m. essendo p la larghezza corrispondente a τ = τc0. 14/2/92) prescrive (punto 5.10 b τ / τc 0 cm2/m.5. anche se insieme a barre di diametro maggiore. come si è visto. per una lunghezza pari all'altezza utile della sezione da ciascuna parte del carico concentrato. Il limite del passo (“non superiore a 0. per le quali il limite di tre staffe a metro già garantisce tale risultato.8 volte l'altezza utile della sezione” Il riferimento normativo alla ‘larghezza corrispondente a τ = τc0” non è il massimo della chiarezza. il passo delle staffe dovrà essere al massi­ mo 12x1.346 Capitolo 11 4. interpretandolo come “la larghezza per la quale si avrebbe τ = τc0” ed essendo il valore massimo della tensione tangenziale direttamente proporzionale alla larghezza. almeno in presenza dei normali valori di luci e carichi che si riscontrano negli edifici per civile abitazione. Si ricorda infine che la norma prescrive che almeno il 40% del taglio sia affidato alle staffe (vedi paragrafo 3.M. La norma aggiunge poi. che “In prossimità di carichi concentrati o delle zone d'appoggio. es­ sendo 0 il diametro minimo dell'armatura longitudinale Questa indicazione può risultare particolarmente condizionante nel caso di travi emergenti.4).8 cm (arrotondato in pratica a 15 cm) e tale valore risulta più che sufficiente ad assorbire il taglio. interviene nel calcolo dell’armatura a taglio (ma non in quella per la torsione). 3 Le frasi riportate in corsivo sono estratte dalla normativa .8 volte l’altezza utile della sezione”) è necessario per garantire che una lesione a 45° in­ contri almeno una staffa. come quelle indicate. con copriferro c=4 cm.Taglio 347 Esempio 5. Esempio 6. ϕ8/15. ϕ8/20. che vale Disponendo staffe 08 a due bracci. Si calco­ la innanzitutto l’area corrispondente alle staffe . ciascuna delle quali fornisce un’area 2x0. si determini il valore del taglio che può essere sopportato da staffe a due bracci ϕ8/10. con copriferro c=4 cm.5 = 1. si determini la quanti­ tà di staffe necessaria per sopportare un taglio V -120 kN. E buona norma controllare preliminarmente se la sezione è accettabile e se è necessario effettuare il calcolo delle armature a taglio. occorre disporre 10ϕ8 per metro. Si noti che il taglio da utilizzare potrebbe essere il valore medio nel tratto con­ siderato (anche se può essere più comodo far riferimento al taglio massimo). Data una sezione rettangolare 30x60 in calcestruzzo con Eck = 25MPa armata con barre in acciaio FeB44k.5 cm2). È spesso conveniente calcolare una volta per tutte il taglio che può essere sop­ portato dalle staffe più comunemente adoperate. Occorre quindi calcola­ re la tensione tangenziale massima.0 cm2 (perché un 08 ha un’area di 0. Data una sezione rettangolare 30x60 in calcestruzzo con Rck=25MPa armata con barre in acciaio FeB44k. cioè un 08 ogni 10 cm. 16 cm2/m ed il taglio che possono portare. ed il modello di traliccio di Mörsch parte da un comportamento di trave fessurata ben lontano dalle ipotesi di comportamento lineare del materiale. ma spesso ben .7 kN Si noti che se il taglio ottenuto fosse risultato inferiore al 40% del taglio agente (32 kN) si sarebbe dovuto calcolare le staffe per quest’ultimo valore. si determini la quantità di staffe da aggiungere per sopportare un taglio V=120 kN.Vsag =80-28. Meccanismi e modelli di comportamento oltre il limite lineare I modelli utilizzati per esaminare una trave in c.a.3 = 51. Discutibili appaiono anche i modelli usati in presenza di armatura a taglio. ha senso determi­ nare lo stato tensionale mediante la trattazione di Jourawski solo fino al raggiungimento della resistenza a trazione del calcestruzzo. Data una sezione rettangolare. In assenza di una specifica armatura a taglio.0 cm2/m). cioè per va­ lori molto bassi del taglio.3 cm2/m). si determina il taglio che prtò . La loro area è Asag =4x1..l Dopo aver controllato che la sezione è accettabile e che occorre calcolare l'armatura. 5. Si ha Non è sufficiente disporre staffe 08/10 a 2 bracci (pari a 10. Per non ridurre ulteriormente il passo. è preferibile adottare staffe 08/15 a 4 bracci (pari a 13.8.con copriferro c=4 cm. ottenuto invertendo la formula di progetto. nella quale sono dispo­ sti 4014 sagomati in un metro. Il riferimento alla risultante delle ten­ sioni principali di trazione risente del limite di validità delle formule con cui tali tensioni sono ricavate.essere sopportato dai sagomati disposti.54 = 6. è Il taglio da affidare alle staffe è quindi Vst =V .348 Capitolo 11 Esempio 7.0x24 in calcestruzzo con RCk=25MPa armata con barre in acciaio FeB44k. soggetta a flessione e taglio nelle ipotesi di comportamento lineare lasciano alquanto insoddi­ sfatti. Inoltre Tevidenza sperimentale mostra che tali modelli forniscono risultati cautelativi. o “effetto ar­ co”). cioè sia funicolare dei carichi). superan­ do il limite lineare. assimilabile ad un incastro. come il calcestruzzo. Anche questo materiale. 22) mostra il raggiungimento di una nuova configurazione di equili­ brio. E opportuno innanzitutto ricordare che la teoria di De Saint Venant non vale per aste tozze né in prossimità di carichi concentrati (e quindi degli appoggi). In maniera analoga nelle zone di una trave in cui sono applicate forze concentrate. risultino più verosimili. è dotato di una bassissima resistenza a trazione. In questa zona non ha senso parlare di flessione e taglio. Si noti che per l’equilibrio dell'estremità dell’arco occorrono azio­ ni orizzontali che nel caso della parete muraria sono fornite dal vincolo di base.Taglio 349 lontani dal vero.lesioni in una parete muraria soggetta a cedimento verticale localizzato . o in prossimità degli appoggi (fig. nella quale la parte superiore della muratura è sostenuta mediante un meccanismo ad arco. In altre situazioni queste azioni vengono assorbite da un apposito tirante orizzontale. Per comprendere il meccanismo di comportamento in tali situazioni si può fare una analogia col comportamento di una parete in muratura. cioè proprio nelle situazioni in cui il taglio può essere più preoccupante. l'andamento delle lesioni (fig. L’ampiezza della zona interessata è direttamente proporzionale all’altezza della trave. Quando si verifica un cedimento loca­ lizzato al di sotto di una parete muraria. 22 . Occorre quindi riesaminare il comportamento di una trave soggetta a flessione e taglio per individuare modelli che. le azioni vengono trasmesse me­ diante puntoni compressi (trasferimento diretto del carico. L'arco è infatti uno schema statico nel quale i carichi verticali producono esclusivamente sforzo normale (purché esso abbia una forma opportuna. Nella trave la fun\ Fig. 23). Effetto arco: puntoni compressi in una trave zione di tirante è svolta dall’armatura inferiore. che sommava direttamente questo contributo a quello dell’armatura (deno­ minato “metodo normale”) è stato affiancato. cioè puntone e tirante. in un ambito non lineare si riesce a tener conto del contributo resistente del calcestruzzo (trascurato nel me­ todo delle tensioni ammissibili). 24 b). si è cercato di cogliere il compor­ tamento reale della trave con modelli che rappresentano una evoluzione del traliccio di Mörsch. e si può dimostrare che i due modelli (flessionale o ad arco) richiedo­ no sostanzialmente la stessa quantità di barre. un modello.350 Capìtolo 11 Fig. Ad una distanza dagli appoggi. In presenza di armature a taglio. Per de­ scrivere il comportamento a taglio in questa fase è stato proposto. 23 . Il modello inizialmente proposto. Per mensole molto corte si adotta esplicitamente un modello “strut and tie”. In assenza di specifiche armature a taglio. 24 a) o la rot­ tura del corrente compresso per compressione e taglio (fig. Considerando un vincolo di incastro tra puntone compresso e corrente compresso. Sperimentalmente si può di­ mostrare che la trave è in grado di sopportare ulteriori incrementi di ca­ rico. finché il carico è molto basso le sollecitazioni taglianti sono assorbite grazie alla resi­ stenza del calcestruzzo a trazione. disposta per la flessio­ ne. o da forze concentrate. Appena questo cresce un po' si for­ mano le tipiche lesioni a taglio e flessione. che par­ te da una base teorica ed è opportunamente tarato in maniera tale da rappresentare adeguatamente i dati sperimentali. nel­ l'ambito dello stato limite ultimo. anzi superato. fino al formarsi di lesioni che mostrano la rottura per pressoflessione del puntone inclinato compreso tra due fessure (fig. più verosimile della cerniera prevista nel modello a traliccio tradizionale. superiore al­ l'altezza utile d occorre invece far riferimento al comportamento a fles­ sione e taglio. detto “a pettine”. da un mo- . Rational Analysis of Shear in Reinforced Concrete Beams. per un fat­ tore β pari a β= 2.2) consente di incrementare la resistenza di una trave priva di armature a tagliò.2) indica invece di ridurre il taglio all’appoggio provocato da forze-concentrate applicate ad una distanza x < = 2 d dall’appoggio stesso nel rapporto x / 2 d . l'Eurocodice 2 (punto 4.5 d dal filo dell’appoggio. La normativa italiana (D.indicazioni di normativa Per tenere conto dell'effetto arco. E f f e t t o arco .3.2. in presenza di forze concentrate situate ad una distanza x<=2. Equiva­ lente a quest’ultimo ai fini pratici.0 <= β <= 5. IABSE Proceedings P-15/78 4 . ma non concettualmente.2. Braestrup e Bach. che supera la limitazione introdotta dall’uso di aste “discrete” del traliccio al posto del reale “continuo” strutturale4.Taglio 351 Fig. è il modello di “campi di tensione”. 9/1/96.0 Per lo stesso motivo..4. punto 4.rottura di una trave non armata a taglio dello che tiene conto della variazione di inclinazione delle tensioni di compressione (“metodo dell inclinazione variabile del traliccio”).2. moltiplicando la resistenza del calcestruzzo τRd.5 d/x. con 1. a condizione che le armature tese (che servono per la flessione o come tirante per 1 arco) siano adeguatamente ancorate. nel caso di travi con carico uniformemente distri­ buito è ritenuto generalmente cautelativo assumere come taglio massi­ mo nel tratto di estremità della campata il valore di Vsd calcolato alla distanza d dall’appoggio. Si veda l'articolo di Nielsen. 24 .M. 25). 26). 6.resistenza in assenza di armatee Il modello “a pettine” Il modello a pettine nasce dall’osservazione che una trave fessurata a taglio può vedersi come costituita da un corrente compresso.modello “a pettine” . come già mo­ strato nel paragrafo 1. 25 . Ricordando che la variazione del momento flettente è legata al taglio (ΔM= V Δz). In un modello lineare.1. Questa azione varia di sezione in sezione.352 Capitolo 11 6. I denti del pettine sono attraversati. L’arma­ tura è soggetta ad una forza di trazione proporzionale al momento flet­ tente M e pari a essendo 2 il braccio della coppia interna. se il momento fosse negativo la costola sarebbe posta inferiormente ed i denti superiormente. si ha Fig. Modello non lineare . la variazione di Ns è bilanciata dalle τ di aderenza. in assenza di fessura­ zione. sollecitata da un momento flettente posi­ tivo. In presenza di fessurazione la variazione di Ns diventa invece un’azione orizzontale ΔNs sul dente (fig. dall’armatura disposta per la flessione (la figura si riferisce ad una trave appoggiata agli estremi. al variare di M. e dagli elementi compresi tra le lesio­ ni. corrispondenti ai denti del pettine. nella parte inferio­ re. ma le formule non cambierebbero). inclinati a 45 gradi rispetto alla costola (fig. corri­ spondente alla costola del pettine. Le caratteristiche della sollecitazione provocate dalla forza ΔNs val­ gono La sezione resistente ha base b ed altezza Δz/√2 . La resistenza del dente.dente del pettine Verifica del dente. La massi­ ma tensione di trazione è di conseguenza pari a . Nel fare ciò si devono applicare le formule valide per calcestruzzo nel primo stadio. la sua area è quindi A = b Δz / √2 ed il modulo di resistenza W = b (Δz/√2) 2 / 6 . La forza orizzontale ΔNs genera nel dente uno sforzo normale di com­ pressione ed un momento flettente rispetto alla sezione d’incastro. può essere determinata esprimendo in fun­ zione di V la massima tensione di trazione e confrontandola con la resi­ stenza a trazione del calcestruzzo. cioè capace di resistere a trazione.Taglio Fig. trat­ teggiata in figura. e quindi la capacità della se­ zione di sopportare taglio. 26 . 27). si ottiene VM = 0.x = 0. delimitato dalla prima lesione a taglio (fig.35. si ha Fig.2d e quindi d .4 Capitolo 11 In base a considerazioni sperimentali si può assumere che sia Az — d x = 0. Se si prende in esame il concio di estremità della trave in corrisponden­ za dell’appoggio. Supponendo per semplicità che le tensioni dovute a ciascuna del­ le caratteristiche di sollecitazione siano costanti nella sezione. si rica­ va dall’equilibrio alla rotazione rispetto all’appoggio NC = V La sezione del corrente è soggetta a sforzo normale di compressione e taglio.8 d Si ottiene così e.25 b d frJd Verifica del corrente compresso. 27 .6 fctd.equilibrio del concio di estremità della trave . considerando la resistenza a trazione per flessione pari a 1. 62 V/bx Se si impone che la tensione principale di trazione sìa uguale al va­ lore di resistenza a trazione del calcestruzzo si ottiene un valore limite del taglio pari a VRd= 1. ovvero se x < 0.62 τ = 0. Questa situazio­ ne normalmente non si verifica in. diventa invece molto probabile se la sezione è soggetta a tensoflessione. a meno che l'armatura a flessione non sia estremamente bassa.2.Taglio 355 e quindi ϭ = τ.6bxfctd Man mano che ci si sposta verso il centro della campata lo sforzo norma­ le aumenta mentre il taglio diminuisce. Altri contributi alla resistenza del dente Tutti gli studi sperimentali sulla rottura di sezioni non armate a taglio mostrano valori in genere maggiori di quelli forniti dalle espressioni ri­ cavate mediante il modello a pettine. Confrontando il valore ora determinato con quello fornito dalla veri­ fica del dente. 6. si ha che la resistenza del corrente compresso è minore di quella del dente se 1. Occorre quindi integrare il modello con ulteriori considerazioni. . Il cerchio di Mohr corrispondente a questo stato tensionale ha per centro il punto e per raggio La tensione principale vale e sostituendo in questa espressione i valori innanzi determinati si ha ϭξ = 0. sezioni soggette a flessione semplice.25 d .156 d .6 x < 0. Ciò comporta una riduzione della tensione principale di trazione ed un aumento della resistenza del corrente. Anche le barre di armatura esercitano quindi un’azione mutua che riduce il momento flettente nel dente e ne aumentano la resistenza (effetto spinotto. Il contributo delle barre longitudinali può essere quantizzato proprio valu­ tando la resistenza del calcestruzzo di ricoprimento e dipende dalla quantità di armatura disposta. mostrata in maniera esageratamente accentuata nella figura 28 b. Esso infatti aumenta le di­ mensioni del corrente superiore rendendone più difficile la rottura.-: . al crescere dell’altezza della trave l’ampiezza della lesione aumenta e l’effetto dell’ingranamento si riduce. che però comporta che salti almeno in parte il calcestruzzo di ricoprimento. o effetto bietta). detto di ingranamento degli inerti.356 Capitolo 11 Fig. Le lesioni non sono mai perfettamente lisce. Le azioni mutue così generate riducono l’entità del mo­ mento flettente e limitano la deformazione del dente. quando i denti si deformano a pressoflessione. b) effetto spinotto Ingranamento degli inerti.a) ingranamento degli inerti. 28 . lo scorrimento tra le due facce della fessura (mostrato in scala molto amplificata nella figura 28 a) viene limitato dall’attrito dovuto alla scabrosità delle superfici e soprattutto dal contatto diretto tra gli inerti. La presenza di uno sforzo assiale di compressione incrementa la resi­ stenza a taglio di una sezione non armata. per le quali le fessure sono particolarmente strette. con­ V. Questo effetto. Effetto dello sforzo assiale. è particolarmente rilevante per travi basse. Lo scorrimento tra le due facce di una fessura comporta anche una de­ formazione dell’armatura flessionale. Effetto spinotto. pari a 0. 0. Il primo è espresso mediante il coefficiente k che vale k = l6-d con d altezza utile della sezione espressa in metri.2 + 40 ρ1) + 0. Prescrizioni della normativa Eurocodice 2 L’Eurocodice 2 (punto 4.02 (nel senso che se l'armatura è maggiore solo que- . già mostrato in precedenza. Nella formula si può riconoscere innanzi tutto il contributo base del modello a pettine.25 b d f c t d . rendendo quasi sempre necessaria la disposizione di specifiche armature per il taglio.05 / γc .Taglio 357 temporaneamente i denti del modello a pettine vengono accorciati e si riduce in essi l'effetto flettente. che rappresentano il contributo dell'ingranamento degli inerti e dell'effetto spinotto. Si noti che la normativa consente di attribuire a ρ1 al massimo il valore 0. L'effetto bietta è invece valutato mediante il termine 1.3.25 fctk0.15 ϭcp] bw d nella quale bw è la larghezza minima della sezione e τRd. è la resistenza unitaria a taglio di calcolo di riferimento. Questa è fornita dall'espressione VRd1 = [ τRd k (1.2.2 + 40 ρ1 nel quale p/ è la percentuale geometrica di armatura ed A. Il contrario accade in presenza di trazione: la diminuzione di di­ mensione del corrente compresso e l'incremento di flessione nel dente riducono sensibilmente la capacità di portare taglio.3.25 fctd =0.3) indica col simbolo VRd1 il valore di calcolo della resistenza a taglio di un elemento strutturale privo di una specifi­ ca armatura a taglio.sl è l'area delle armature di trazione ben ancorate rispetto alla sezione in esame. a condizione che sia d < 0. 6. Esso è molti­ plicato per due termini.6 m e che almeno il 50% dell'armatura inferiore sia portata fino all'appoggio e ben ancorata (in caso contrario si assume k = 1). In presenza di un apprezzabile sforzo normale di trazione si deve assumere 8=0. Il fattore r coincide con il k dell’Eurocodice 2 e ρ1 è la percentuale geome­ trica di armatura tesa.2 ad un massimo di 2. cioè il valore di M che. In assenza di questo. da considerare positiva se di compressione.01 ≈ 0. si assume δ=2. punto 4.2.2) prescrive come limite della resistenza a taglio di una sezione priva di armature a taglio il va­ lore 0. ϭcp = Nsd / Ac è infatti la tensione media nella sezione.2. porta a un diagramma triangolare di tensioni (passaggio tra sezione tutta compres­ sa e sezione parzializzata). Data una sezione rettangolare 30x50 in calcestruzzo con Rck=25MPa armata a flessione con 4014 con copriferro c-4 cm. definita in precedenza.15 ϭcp b d rappresenta infine la variazione di resistenza tagliante per effetto di una forza assiale Nsd . non è necessario calcola­ re Varmatura a taglio.25 MPa . unitamente allo sforzo normale Nsd.358 Capitolo 11 sta aliquota si considera effìcace). operando allo stato limite ultimo. 9/1/96. Normativa italiana La norma italiana (D. Per il calcestruzzo utilizzato si ha τRd = 0.25 fctd = 0. Il termine aggiuntivo 0. In pre­ senza di compressione si assume invece essendo Msd il momento sollecitante e Mo il momento di decompressione.25 fctd r (1+50 ρ1) bw d δ In questa espressione i due fattori r e 1+50 ρ1 rappresentano rispettiva­ mente il contributo dell'ingranamento degli inerti e dell’effetto bietta.25 x 1. negativa se di trazione. Esempio 8. il coefficiente 5 è pari ad 1. si determini il valore del taglio al di sotto del quale. Completamente diverso è invece il modo in cui si tiene conto della presenza di uno sforzo assiale. Se per effetto di Nsd e di Msd la sezione è tut­ ta compressa.2. Il coefficiente moltiplicativo per Per­ fetto bietta vana quindi da un minimo di 1.M. cioè considerare nulla la resistenza a taglio. Taglio 359 La percentuale geometrica di armatura a flessione è Il termine che tiene conto dell'effetto spinotto vale quindi 1.25 MPa.2 + 40x0. Se nel tratto considerato sono presenti sagomati se ne può tener conto.2+40 ρl = 1. con un taglio Vsd=28 kN.2+40x0.8 kN.14 Si ha quindi VRd1 =0.6 .00446 = 1.624 x 20 x 22 x 10-1 =24.14 x 1. cioè 20x24 e l’altezza utile è d = 22 cm.22 = 1.01059 = 1. Per il cal­ cestruzzo utilizzato si ha τRd = 0.624 L’effetto dell'ingranamento degli inerti è k = 1.38 Si ha quindi VRdì = 0. Dato un solaio in calcestruzzo con Rck~25MPa di spessore h=24 cm. con due travetti a metro da 10 cm armati in prossimità dell'appoggio con 1010 e 1ϕ14 con copriferro c=2 cm. ed il taglio resistente VRd1 ha una analoga va­ riazione e diventa pari a 73.379 X 30 X 46 X IO-1 =54. si valuti se è possibile non disporre un’armatura a taglio.6-d = 1. ' La sezione da considerare (per una fascia di solaio larga un metro) è quella co­ stituita dai soli due travetti.25x1. a filo della fascia piena. passando da 20 a 60 cm. sollecitato allo stato limite ultimo. La percentuale geometrica di armatu­ ra a flessione è Il termine che tiene conto dell’effetto spinotto vale quindi 1. =1. Realizzando una fascia semipiena al posto dei soli travetti la larghezza b si triplica. anziché disporre realmente armatura a taglio (poiché mettere staffe nei travetti del solaio è veramente scomodo).d = 1.38 X1. realizzando una fascia semipiena.379 L’effetto dell’ingranamento degli inerti è k = 1. In questo modo esso supera ampiamente il taglio agente Vsd ed è effettivamente possibile non disporre armatura a taglio.6kN Poiché il taglio agente supera VRd1 la sezione andrebbe armata a taglio.6 -0.2 + 40 ρ1.25 X 1.46 = 1.2kN Esempio 9.6-0. . In caso contra­ rio può essere preferibile aumentare VRd1 modificando la larghezza della sezio­ ne. appare quindi più corretto tenere conto di tale vincolo utilizzando un modello di traliccio iperstatico. si può giungere allo schiacciamento del puntone o allo snerva- Fig. nella tratta­ zione si indicherà genericamente con a l’inclinazione di tali elementi ri­ spetto all'orizzontale. con puntoni compressi inclinati a 45° ed incastrati nel corrente compresso (fig. Metodo normale Il modello di traliccio. Appare quindi logico utilizzare tale modello anche nell'ambito delle verifiche allo stato limite ultimo.armatura a taglio 7. essendo quindi a=45° per i sagomati e a=90° per le staffe. Nella realtà il puntone diagonale compresso è incastrato al corrente superiore (come già detto parlando di dente e dorso del pettine). perché le diagonali compresse (puntoni inclinati di calcestruzzo) sono individuate dalle fes­ sure provocate dal taglio. Modello non lineare . Le diagonali tese possono essere costituite da ferri sagomati o da staffe. lo schema iperstatico lavora sostanzialmente come il traliccio isostatico. Finché il comportamento si mantiene in campo elastico. 29 . Occorre però notare che il modello proposto da Mörsch è un traliccio isostatico. Il cosiddetto “metodo normale” per la valutazione della resistenza a taglio di una trave dotata di specifica armatura per il taglio consiste nell’analizzare il modello di traliccio iperstatico.360 Capitolo 11 7.1. fa in realtà riferimento ad una situazione ben diversa da quella di materiale omogeneo ed isotropo. 29).traliccio iperstatico . proposto da Mörsch ed utilizzato per il metodo delle tensioni ammissibili. Infatti la rigidezza estensionale è molto maggiore rispetto a quella flessionale e si può quindi trascurare la flessione che nasce nelle aste. Al crescere del taglio. nel quale tutte le aste sono incernierate nei nodi. Per l’Eurocodice 2 esso vale La rottura a compressione si ha quindi quando cioè per un valore del taglio. nell’imporre questa formula. essendo v un opportuno fattore che tiene conto del­ la riduzione di resistenza per la presenza contemporanea di tensioni di trazione nella direzione perpendicolare. con piccole deformazioni. Schiacciamento del puntone Come appena detto. La rottura per schiacciamento si avrà quando la tensione rag­ giunge il valore v fcd. le sollecitazioni nel puntone in fase elastica possono essere determinate trascurando l’iperstaticità del traliccio. si userà pertanto un valore di . in presenza di grandi de­ formazioni. alla fine. la loro sezione trasversale ha altezza z (1+cotα)/√2 e lar­ ghezza ò.Taglio 361 mento dell’armatura a taglio. Si ha così Poiché la distanza tra i puntoni. precisa che si deve uti­ lizzare cautelativamente il valore α = 90° (e quindi cot α=0) in presenza di sagomati. invece. NpUn. Il collasso avviene. Nel primo caso si ha una rottura fragile. può essere determinata effet­ tuando una sezione verticale ed imponendo che la sua componente ver­ ticale sia uguale al taglio. localmente valori più elevati di tensione nel calcestruzzo. perché la piega della sagomatura induce. per la rottura a pressoflessione del dente. che indicheremo col simbolo VRd2. misurata in orizzontale. pari a L’Eurocodice 2. si può sfruttare l’iperstaticità iniziale dello schema: l’armatura snervata si deforma ed i puntoni inclinati iniziano a lavorare a flessione. Nel secondo caso. La forza di compressione che in esso agisce. è pari a z (1+cotα). 60 f ctd bw d δ . gli ulteriori incrementi di carico producono un incremento della sollecitazione flessionale nel puntone inclinato. nella quale è però indicato il valore 0. Snervamento dell'armatura Finché si mantiene in regime elastico.30-al posto di v/2. Il valore del taglio che porta alla rottura. da Se si indica con Asw. fino alla sua rottu­ ra. in base alle condizioni di equilibrio. Quando nell’armatura a taglio si raggiunge la tensione di sner­ vamento. sia pari a si determina il taglio che provoca lo snervamento dell’armatura f yd Il contributo del puntone compresso è valutato. nel traliccio iperstatico sono pre­ ponderanti le azioni assiali ed è molto piccolo il momento flettente nel puntone. Ndiag / Adiag. l’area della diagonale tesa è ed imponendo che la tensione nella diagonale. mentre Tannatura si deforma a tensione costante.362 Capitolo 11 cot a maggiore di zero solo se vi sono staffe inclinate (tipologia normal­ mente non utilizzata in Italia). Tarea di armatura a taglio disposta in un tratto s. secondo TEurocodice 2. Si ha quindi Vcd = Vrd1 Per la normativa italiana il contributo del puntone compresso deve invece essere determinato mediante l’espressione Vcd = 0. La norma italiana fornisce una espres­ sione analoga. con il già descritto modello di pettine. che indichiamo con è quindi somma del va­ lore Vwd che si avrebbe in uno schema isostatico e dell’aliquota VCd dovu­ ta alla resistenza del puntone compresso (visto come dente del pettine) La forza di trazione Ndiag nella diagonale tesa del traliccio è data. La normative impone inoltre di non fare affidamento su un valore di Vcd superiore a Vwd. nec = Vsd -Vcd Infine si deve calcolare l’area di armatura a taglio necessaria utilizzan­ do la formula inversa Ovviamente quando l’armatura è costituita da staffe occorre tenere con­ to anche del numero di bracci. con armatura a taglio assegnata. con la formula mo­ strata in precedenza. confrontandolo col taglio agente Vsd.Taglio 363 nella quale il coefficiente δ tiene conto della presenza di uno sforzo as­ siale. In questo caso. Se essa va bene. la resistenza a taglio di una sezione è il mino­ re tra i valori di VRd2 e VRd3. La verifica di una sezione. Si noti che le formule usate coincidono (a meno dell’ovvia variazione della tensione di riferimento) con la formula generale ottenuta nel me­ todo delle tensioni ammissibili. si deve calcolare il valore di Vcd e quindi la resistenza a taglio necessaria per l’armatura V wd. Per essa si ha quindi. ϕ8/20 cm) e confrontare tali valori con la resistenza necessaria. verificare l’accettabilità della sezione. 2 Vwd ) Verifica della sezione e progetto dell’armatura In base a quanto esposto. ϕ8/15. una volta deciso se usare staffe verticali o inclinate si deve calcolare il valore di VRd2. più precisamente VRd3 = min ( Vwd + Vcd. Usualmente. In alternativa si può ricavare preliminarmente. a differenza del metodo delle tensioni ammissibili che lo affidava totalmente all’armatura. perché il modello usato allo stato limite ul­ timo affida una parte del taglio al calcestruzzo. Esse sono però riferite alla sola aliquota Vwd e non al taglio totale Vsd. . consiste quindi semplicemente nel confrontare il taglio sollecitante col VRd2 e VRd3 e controllare che sia più piccolo di entrambi. come già mostrato per il modello lineare. però. si ha a che fare con sezioni già dimensionate (per la flessione) e bisogna quindi controllare la correttezza del dimensiona­ mento e calcolare le armature necessarie. la resistenza corrispondente alle più comuni di­ sposizioni di staffe (ad esempio ϕ8/10. con copriferro c=4 cm. usando il metodo normale.364 Capitolo 11 Esempio 10. ϕ8/15. . ϕ8/20. Data una sezione rettangolare 30x60 in calcestruzzo con Rck =25MPa armata a flessione con 4014 in acciaio FeB44k. si determini il valore del taglio che può essere sopportato allo stato limite ultimo da staffe a due bracci ϕ8/10. La norma­ tiva parla quindi di “metodo di inclinazione variabile del traliccio” (an­ che se sarebbe più corretto dire “inclinazione variabile del puntone”). Aggiungendo queste tensioni il cerchio di Mohr si modifi­ ca (fig. Raggiunto lo snervamento dell’arma­ tura il taglio può ancora crescere. generalizzazione di quello di Mörsch. mostra­ no che l’inclinazione delle isostatiche di compressione rispetto all’oriz­ zontale tende a ridursi dopo lo snervamento dell'armatura a taglio. 30 b) e le direzioni principali di compressione non sono più a 45°. Si noti che anche in questo modo si tiene contro del contributo del calce- a) cerchio di Mohr per sole τ. fino alla rottura per taglio. per l'ingranamento degli inerti viene così trasmessa una tensione tangenziale xi. si può schematizzare la trave come un traliccio isostatico. nel quale il puntone compresso ha una generica inclinazione ϴ. Partendo da questa constatazione. si può ritenere che lo stato tensionale sia quello determinato col cerchio di Mohr a partire dalle sole x (fig. 30 a). grazie al progressivo inclinarsi del puntone. ma sono inclinate rispetto all'orizzontale di un angolo 9. 30 .Taglio 365 7J£. più piccolo. Fin­ ché le armature sono in campo elastico. ovvero in assenza di azioni trasmesse tra le due facce della lesione b) cerchio di Mohr ottenuto consideran­ do le azioni trasmesse tra le due facce della lesione Fig. 31). Metodo dell'inclinazione variabile del traliccio Le prove di carico condotte su travi. fino a quando questo arriverò allo schiacciamento.variazione delle isostatiche di compressione . f armatura a taglio può sempre essere costituita da sagomati e staffe e quindi se ne indica l'inclinazione con a (fig. Quando queste si snervano tendono ad esserci sensibili scorrimenti lungo le lesioni a ta­ glio. perché quando si formano le lesioni a 45° le tensioni principali di trazione sono sopportate dalle armature a taglio. Si ha infatti e l’altezza della sezione del puntone è z (cot ϴ + cot α) sin ϴ. generalizzando le espressioni determinate per il metodo normale. La resistenza a schiacciamento del puntone e quella a snervamento dell'armatura possono essere valutate immediatamente.1*3 f> rr-.’ 366 Capitolo 11 Fig. Quindi il taglio che porta a rottura il puntone è . 31 . Lo si fa però non sommando la resistenza a flessione del puntone (come nel metodo normale. trascurato nel metodo delle tensioni ammissibili. che considera un traliccio iperstatico) bensì considerando va­ riabile l'inclinazione del puntone stesso.traliccio isostatico con inclinazione variabile del puntone struzzo. Taglio 367 Dalle due espressioni si può notare che, partendo da un’inclinazione del puntone ϴ=45° (cioè cot ϴ=1), se si riduce il valore di 0 (e cresce cot 0) si ha una riduzione di VRd2 ed un aumento di VRd3. Si può allora pensare che nelle fasi iniziali del processo di carico le isostatiche di compressione siano a 45°. Quando, dopo aver raggiunto lo snervamento, si incremen­ tano ulteriormente i carichi iniziano a verificarsi grosse deformazioni e scorrimenti tra le fessure e le isostatiche di compressione si inclinano. In questo modo l’armatura può portare un taglio maggiore. Contempo­ raneamente si riduce la resistenza del puntone compresso ed il collasso sarà sempre dovuto allo schiacciamento di questo e sarà raggiunto per quel valore di 0 per il quale VRd2 e VRd3 diventano uguali. Nelle applica­ zioni pratiche occorre però mettere un limite inferiore a 0, ovvero un li­ mite superiore a cot 0, che per il decreto di applicazione nazionale ita­ liano dell’Eurocodice 2 è cot ϴ=2. Verìfica della sezione e progetto dell'armatura In base a quanto esposto, la resistenza a taglio di una sezione è il valore comune di VRd2 e VRd3, determinato per un opportuno valore di 0, oppure il minore tra i due valori determinati per cot ϴ=2. Operativamente, con­ viene iniziare a calcolare il valore di VRd2 e VRd3 per cot ϴ=2. Se entrambi sono maggiori del taglio sollecitante, la sezione è sicuramente verificata, mentre se VRd3 è minore di Vsd la sezione non va bene. Nelle altre situa­ zioni, occorre trovare il valore di 0 che massimizza la resistenza impo­ nendo la condizione VRd2 = VRd3 Si ottiene che deve essere eventualmente limitato rispettando le indicazioni del NAD italiano (1 <= cot ϴ <= 2). Usando questo valore si calcola la resisten­ za a taglio, da confrontare con l’azione sollecitante. Di solito però le armature sono incognite del problema. In tal caso, si può calcolare innanzitutto il valore di VRd2 con cot ϴ=2. Se, come quasi sempre accade, questo valore è maggiore di Vsd la sezione è sovrabbon- 368 Capitolo 11 dante. E allora possibile calcolare, con la formula ricavata in e con cot 0=2, la resistenza corrispondente alle più comuni di staffe (ad esempio ϕ8/10, ϕ8/15, ϕ8/20 cm) in modo da quella necessaria. Oppure si determinerà l'area di armatura a cessaria utilizzando la formula inversa \ precedenza disposizioni individuare taglio ne­ Solo nei casi in cui il valore di VRd2 calcolato con cot ϴ=2 risulta infe­ riore a Vsd occorre determinare 0 imponendo la condizione VRd2 = VSd e poi verificare la sezione e progettare Tannatura col valore di 0 così trovato. Esempio 11. Si verifichi col metodo di inclinazione variabile del traliccio una sezione rettangolare 30x50 in calcestruzzo con Rck = 25 MPa armata con staffe ϕ8/15 a due bracci in acciaio FeB44k, con copriferro c=4 cm, soggetta al taglio Vsd = 250 kN; L'area corrispondente alle staffe è Si inizia calcolando la resistenza VRd2 del calcestruzzo, ponendo cot ϕ = 2. Essendo v = 0.596 ez= 41.4 cm, si ha La resistenza VRd3 dell’armatura, calcolata ponendo cot ϴ = 2, è Poiché il taglio sollecitante è minore sia di VRd2 che VRd3 la sezione è verificata. Esempio 12. Si verifichi col metodo di inclinazione variabile del traliccio una sezione rettangolare 60x24 in calcestruzzo con Rck=25MPa armata con staffe 08/ 7.5 a quattro bracci in acciaio FeB44k, con copriferro c=4 cm, soggetta al ta­ glio Vsd = 350 kN. L’area corrispondente alle staffe è Taglio 369 La resistenza VRd2 del calcestruzzo, calcolata ponendo cotϴ=2 e tenendo conto che v = 0.596 e z = 18 cm, vale La resistenza VRd3 dell'armatura, calcolata ponendo cot ϴ = 2, è In questo caso, poiché Vsd < VRd3 ma Vsd > VRd2 occorre calcolare il valore di 0 che massimizza la resistenza. Si ha Con tale valore si determina Poiché questo valore è inferiore a Vsd la sezione non è verificata. Esempio 13. Data una sezione rettangolare 30x60 in calcestruzzo con Rck= 25 MPa armata con barre in acciaio FeB44k, con copriferro c=4 cm, si determini col metodo di inclinazione variabile del traliccio la quantità di staffe necessaria per soppor­ tare un taglio V = 180 kN. Anche in questo caso conviene partire col calcolo di VRd2, ipotizzando cot 0 = 2. Essendo v = 0.596 e z= 50.4 cm, si ha Poiché questo valore è maggiore del taglio sollecitante è corretto usare cot 0 = 2. L'armatura necessaria in un tratto di un metro vale quindi Disponendo staffe 08 a due bracci, ciascuna delle quali fornisce un’area 2x0.5 = 1.0 cm2, occorre disporre 508 per metro, cioè un 08 ogni 20 cm. Esempio 14, Data una sezione rettangolare 30x60 in calcestruzzo con Rck=25MPa armata con barre in acciaio FeB44k, con copriferro c=4 cm, si determini il valore del taglio che può essere sopportato allo stato limite ultimo da staffe a due bracci ϕ8/10, ϕ8/15, ϕ8/20, usando il metodo di inclinazione variabile del traliccio. 370 Capitolo 11 7.3. Modello dèi campi di tensione Gli stessi risultati del metodo di inclinazione variabile del traliccio si ot­ tengono con un modello proposto dalla scuola danese (Nielsen, Braestrup e Bach) che sostituisce le aste discretizzate del traliccio con distri­ buzioni continue di tensione (campi di tensione). Esso considera presen­ te: l'armatura tesa per la flessione, con risultante Ns; le tensioni di com­ pressione per flessioni, sostituite dalla loro risultante Nc; le tensioni ac dir compressione dovute al taglio, inclinate di un generico angolo ϴ; le tensioni ϭs di trazione dovuta all’armatura a tàglio ASy disposta con pas­ so s ed inclinazione α (con α=45° per sagomati, α=90° per staffe). Se si effettua una sezione orizzontale lungo la trave e si prende in esame un tratto lungo dz (fig. 32 a), in esso agiscono le tensioni ϭc che hanno come risultante Fc Fc=b dz sin ϴ ϭc e le tensioni <rs che hanno come risultante Fs Taglio 371 Fig. 32 - campi di tensione in sezioni orizzontali e verticali della trave La componente verticale risultante deve essere nulla, per garantire l'equilibrio alla traslazione verticale. Deve quindi essere Fc sin ϴ = Fs sin a e quindi Se si effettua una sezione verticale (fig. 32 b) e si considera il tratto di altezza z (braccio della coppia interna), la risultante Fc delle tensioni crc vale Fc = b z cos ϴ ϭ mentre la risultante Fs delle tensioni ϭs vale La componente verticale risultante delle due forze deve essere pari al taglio V. Si ha quindi V = Fc sinϴ + Fs sin α 372 Capitolo 11 ovvero Se si sfrutta la relazione tra ϭc e ϭs, trovata per l’equilibrio della sezione orizzontale, per eliminare ϭs nell’espressione, si ottiene V = b z sin2 ϴ (cot ϴ + cot α) ϭc Ponendo ϭc =v f e c d e 1 + cot2 ϴ = 1 / sin2 ϴ, si ritrova l’espressione di VRd2 Se invece la si sfrutta per eliminare ϭc nell’espressione, si ottiene e ponendo ϭs = fyd si ritrova l’espressione di VRd3 7.4, Traslazione del diagramma dei momenti Si è già fatto notare con riferimento al comportamento lineare che i mo­ delli utilizzati per analizzare il comportamento a taglio della sezione Fig. 33 - sollecitazione nell’armatura a flessione nel modello “a pettine” Taglio 373 hanno dei risvolti anche sul comportamento flessionale. Ciò vale anche per lo stato limite ultimo; meglio ancora, il problema è stato sollevato proprio analizzando la trave allo stato limite ultimo. Si consideri il modello a pettine, usato per valutare la resistenza a taglio in assenza di specifiche armature per tale caratteristica (fig. 33). La forza di trazione Ns costituisce, insieme con la forza di compressione Nc, una coppia che bilancia il momento flettente M2. La forza Ns non è però applicata sulla stessa verticale di Nc bensì ad una distanza Δz=d-x≈z. Si può quindi concludere che in una sezione che dista zi dall’appoggio l’armatura fissionale è sollecitata non dal momento Mi corrispondente ma dal momento M2 calcolato ad una distanza Az. Un problema analogo sussiste anche in presenza di armatura a ta­ glio. Si consideri una sezione con ordinata zi, nella quale agisce il mo­ mento flettente M(zi). La forza di trazione nelle armature può essere ri­ cavata dall’equilibrio alla rotazione rispetto al punto P, in cui è applica­ ta la risultante di compressione, e vale, in un modello tradizionale (fig. 34 a) Tenendo conto dell'inclinazione 0 del puntone compresso e a dell’arma­ tura (fig. 34 b), la condizione di equilibrio alla rotazione rispetto a P di­ venta invece Fig. 34 - sollecitazione nell’armatura a flessione 374 Capitolo 11 e quindi lo sforzo normale nelle armature è incrementato, rispetto al va­ lore previsto dalla teoria dell’elasticità, della quantità VI2 (cot ϴ - cotα). Ciò equivale a dire che l’armatura a flessione deve essere progettata per il valore del momento flettente che si ha in una sezione posta a di­ stanza Δz = z/2 (cotϴ - cotα), ovvero che bisogna “traslare” di tale quan­ tità il diagramma del momento per ottenere i valori da usare nel dimen­ sionamento delle armature. Si noti che quando si usano staffe questa quantità può valere al massimo z (se cot ϴ = 2), mentre quando si usano sagomati oppure staffe e ferri di parete essa è nulla se cot ϴ =1 e arriva a zi2 quando cotϴ =2. 7.5. Considerazioni sull'armatura con staffe e ferri di parete Nel paragrafo 4.2 si è descritta la tipologia di armatura a taglio costitui­ ta da staffe e ferri di parete e si è mostrato come essa possa considerarsi equivalente a barre inclinate a 45°. Più in generale, si può studiare la relazione tra tale disposizione e quella con barre inclinate di un angolo a generico ed al suo comportamento in presenza di un puntone inclinato di un angolo 0. Procedendo in maniera analoga a quanto fatto in precedenza, si fa riferi­ mento alle armature inclinate di un angolo a e disposte in un tratto s , misura­ to in orizzontale, ovvero s sin α misurato ortogonalmente alle armature. La for­ za Nsag che esse sopportano può essere scomposta secondo la verticale e l’oriz­ zontale (fig. 35); le due componenti Fig. 35 - scomposizione della forza di trazione tra staffe e ferri di parete Taglio 375 possono essere affidate alle staffe ed ai ferri di parete disposti in un tratto cor­ rispondente alla proiezione orizzontale e verticale del tratto s sin a, cioè di lun­ ghezza rispettivamente s sin2 α e s sin α cos α Si può constatare che il rapporto tra forza nelle staffe (o nei ferri di parete) e tratto in cui questi ferri sono disposti è lo stesso per i due gruppi di armature, cioè le staffe ed i ferri di parete devono essere disposti uniformemente con la stessa “densità” indipendentemente dal valore dell’angolo a. Infatti Npar è tanto più piccolo quanto più oc si avvicina a 90°, ma si riduce corrispondentemente anche la dimensione del tratto verticale rispetto a quella del tratto orizzontale. Analiticamente, si ha La forza che può essere sopportata dalle staffe si ricava moltiplicando l’area di staffe per unità di lunghezza Ast /s per la lunghezza del tratto orizzontale e per la tensione limite dell'acciaio e quindi Analogamente, la forza che può essere sopportata dati ferri di parete si ri­ cava moltiplicando l’area di ferri di parete disposti su tutta l’altezza utile z, Apar, per il rapporto tra la lunghezza del tratto verticale e l’altezza utile e per la ten­ sione limite dell'acciaio e quindi ed essendo Nsag = Asag fyd si ha cioè se i ferri di parete sono presenti in quantità maggiore delle staffe. ovvero che rende massima la quantità f = (cot ϴ + cot α) sin2 α= cot ϴ sin2 α + sin α cos α Imponendo che la derivata di questa quantità si annulli. si può ricavare la resistenza fornita da tali armature Nel caso in cui vi siano più staffe che ferri di parete. Invertendole e tenendo presente che. Si può quindi determinare quale sia l’angolo che ne massimizza il contributo. staffe e ferri di parete sono necessari contemporaneamente. con questo modello.par.sta è maggiore di VRd3. cioè quando il taglio limite VRd3. Staffe e ferri di parete non corrispondono però ad una armatura inclinata di un angolo a specifico. Tale aliquota vale e per essa si applicano le espressioni relative ad armatura con sole staffe. perché possono essere equiva­ lenti a barre disposte con un angolo qualsiasi. si ottiene . Le espressioni ora ricavate mostrano che il contributo di staffe e ferri di parete è legato all’angolo a.376 Capitolo 11 Queste due espressioni possono essere utilizzate come formule di progetto. La stessa cosà non è ovviamente possibile quando capita il contrario. si può ritenere che una parte delle staffe assorbano da sole il taglio. contributo dei ferri di parete alla resistenza a taglio In corrispondenza a questo valore di a si ottiene il valore massimo di f . nel metodo dell’inclinazione variabile del traliccio si riduce l’inclinazione del puntone il loro contri­ buto diventa meno rilevante.Taglio 377 Tabella 1. Quando. cot ϴ=1. cioè nel caso delle tensioni ammissibili o nel metodo “normale” dello stato limite ultimo. proporzionale a /max. Minimi di armatura nel metodo degli stati limite La normativa italiana allo stato limite ultimo (D. valore massimo consentito dal decreto italiano di applicazione dell'Eurocodice 2. il contributo dei ferri di parete non è trascurabile.10 (1 + 0. come fatto positivo. consentire una inclinazione del pun­ tone compresso altrimenti impossibile. ri­ mane però. essendo superiore al 20%.6. la riduzione di compressione nel puntone che può.M. che è proporzionale a cot ϴ (Tab. invece. Si può conclu­ dere che quando ϴ=45°. può essere confrontata con quella di un’arma­ tura costituita da sole staffe. nel caso di sezioni sottodimensionate.3.15 d / b ) b cm2/m . tenendo conto che La resistenza a taglio fornita dalla presenza contemporanea di staffe e fer­ ri di parete.2) che siano disposte “staffe aventi sezione complessiva non inferiore a Asi =0. 1). 9/1/96) richiede (punto 5. 7. riducendosi a meno del 6% quando cot ϴ=2. 30 cm) se Vsd / VRd2 <= 0. ciò può portare a staffe più distanziate rispetto a quanto prescritto dalla norma italiana (ma io consiglio di continuare a mantenere un passo di 15 cm agli appoggi). L’Eurocodice 2 fornisce anche indicazioni sulla massima distanza longitudinale tra barre sagomate.67 Nel caso di travi emergenti. valore leggermente minore di quello imposto dalla norma italiana. equivalente ad RCk = 25 MPa. ed acciaio S400.8 d.2 d nel ca­ so di barre piegate a 45°. .09 b.378 Capitolo 11 essendo d l'altezza utile della sezione e b lo spessore minimo dell'anima in cm. 8. L’Eurocodice 2 (punto 5.6 d: 30 cm) se 0. Ad esempio. La norma ribadisce poi le indicazioni relative al passo massimo già citate con riferimento al meto­ do delle tensioni ammissibili (mai superiore a 0. le indicazioni possono invece diventare più gravose nel caso di travi a spessore. con l'ulteriore limite di 12 0 in prossimità di carichi con­ centrati e delle zone di appoggio). che è 0. che sono quasi sempre sovradimensio­ nate rispetto al taglio.6 d (1+cot α). Il massimo passo accettabile tra le staffe di una trave è espresso in funzione del rapporto tra taglio agente Vsd e taglio limite VRd2 come . Confronto tra stato limite ultimo e tensioni ammissibili Per avere un’idea delle differenze che si hanno applicando il metodo de­ gli stati limite anziché quello delle tensioni ammissibili. cioè 1.min(0.4.67 . si possono con- .20 .2) indica col simbolo pm la percentuale di armatura a taglio e ne prescrive il valore minimo accettabile in funzione delle caratteristi­ che del calcestruzzo e dell’acciaio.8 volte l’altezza utile della sezione. con un minimo di tre staffe al metro77.20 <= Vsd / VRd2 <= 0.min(0. 20 cm) se Vsd / Vnd2 >= 0. sostanzialmente analogo agli acciai italiani. si ha ρw = 0.min(0.0009 e l'area minima di staffe (sin α=l) da disporre in un metro (s=100 cm) è pari a 0.3 d.2. per calcestruzzo C20/25. Considerando un'armatura a taglio costituita da sole staffe (α=90°) ed una inclinazione del puntone ϴ=45° (cot ϴ=1) e ϴ=26. per le quali un'armatura a taglio viene sempre disposta. realizzate con calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa.7 kN e 445.4 kN trave emergente VRd2= 584. mentre può essere condizionante nei solai. per i quali si cerca di solito di non di­ sporre armatura a taglio confidando sulla resistenza della sezione. definiti allo stato limite ultimo.6 kN e 467. \ E evidente che la resistenza fornita dal modello a pettine è molto più bassa di quella corrispondente al raggiungimento della τc0 . Se si opera alle tensioni ammissibili. Resistenza della sezione in assenza di armatura Ipotizzando un’armatura tesa per flessione pari a 4ϕ20 e quindi una percentuale di armatura longitudinale ρl ≈ 0.6 kN trave emergente VRd1 = 66.075 si ha trave a spessore VRd1 = 85. in particola­ re per le sezioni di maggiore altezza.45=116 kN. VRd2 e VRd3. effettuati nel metodo delle tensioni ammissibili. le due sezioni hanno un'area sostan­ zialmente coincidente.1 kN La differenza tra le due sezioni è dovuta solo al termine k (ingranamento degli inerti).7 kN In presenza di staffe inclinate. il valore τc0 viene raggiunto per entrambe le sezioni per un taglio V ≈ 80 kN. Le verifiche a taglio nei confronti dei tre valori VRd1.6° (cot ϴ=2) si ha ri­ spettivamente trave a spessore VRd2= 556. anziché verticali. Ciò non comporta veri problemi per le travi. la resistenza sarebbe ancora maggiore. il valore 80x1. entrambe con copriferro di 4 cm. corrispondono rispet­ tivamente al confronto di τ con i valori limite τc0 e τc1 ed alla verifica dell'armatura a taglio. . Resistenza della sezione in presenza dì armatura a taglio. a questo corrisponde­ rebbe nel caso di stato limite ultimo.Taglio 379 sperare a titolo di esempio due casi rappresentativi di situazioni che possono riscontrarsi in edifici: una sezione di trave a spessore 80x24 ed ma emergente 30x60. tenendo conto della differenza nei carichi. 9 kN x 1.380 Capitolo 11 Operando alle tensioni ammissibili. Considerando due diverse quantità di staffe (08/10 e 08/20.0 kN x 1. ϕ8/10 VRd3 =134.9 kN o 254. ϕ08/20 Vmax = 23. E evidente che la resistenza valutata allo stato limite ultimo è mol­ to maggiore di quella corrispondente al raggiungimento della τc1.6 kN trave a spessore.6 kN o 152.3 kN x 1.45 = 186. v E immediato constatare quanto il metodo delle tensioni ammissibili sottovaluti la resistenza dell'armatura.6 kN trave emergente. .3 kN o 119. al quale corrisponderebbe nel caso di stato limite ul­ timo il valore 255x1. si raggiunge il valore τc1 per un taglio V = 255 kN. ϕ8/20 VRd3 = 67. Operando alle tensioni ammissibili si ha invece come taglio per il quale si raggiunge la tensione ammissibile nell’armatura trave a spessore. a due brac­ ci.4 kN con valori abbastanza diversi a seconda del mètodo usato. \ Resistenza dell’armatura a taglio.3 kN trave emergente. indipendentemente dall'inclinazione delle staffe.2 kN. maggiori col metodo di inclinazione variabile del traliccio nel caso di travi emergenti.4 kN trave emergente. ϕ8/10 Vmax =128.45 = 33. ϕ8/20 VRd3 =188. di acciaio FeB44k) si ha utilizzando rispettivamente il metodo di in­ clinazione variabile del traliccio o quello normale trave a spessore. ϕ8/10 Vmax = 45.45 = 66.3 kN trave emergente.45=370 kN.45 = 93.9 kN trave a spessore. ϕ8/20 Vmax = 64.5 kN o 160. ϕ8/10 VRd3 =376.5 kN x 1. Taglio 381 . 382 Capitolo 11 . con il cosiddetto effetto arco. il comportamento della se­ zione della trave a taglio in regime lineare è stato valutato con la teoria di De Saint Venant (o di Jourawski). superata una certa distanza dal punto di applicazione.Capitolo 12 PUNZONAMENTO 1. In effetti si tratta di un problema analogo a quello dell’effetto di una forza applicata ad un elemento monodimensio­ nale (trave). Si è visto che localmente la forza si diffonde direttamente. mentre modelli di traliccio (o di campi di tensione) sono stati usati per cogliere il comportamento del Fig. o meglio su una superficie non troppo estesa. di un elemento bi­ dimensionale (piastra). studiato nel capitolo precedente. 1 . Taglio e punzonamento Si parla di punzonamento quando una forza concentrata agisce su un punto.trave soggetta a forza concentrata . Modello lineare L’impostazione tradizionale. utilizzata nelle verifiche col metodo delle tensioni ammissibili. Passando ad un elemento bidimensionale la sostanza non cambia. a taglio. 1). Si noti che allontanandosi dalla forza rimangono inalterati sia la caratteristica di sollecitazione da trasmettere che la sezione resistente. A differenza del taglio nella trave. però. prevede la determinazione delle tensioni tangen­ ziali x con un modello lineare e con riferimento ad una sezione a filo dell’area caricata. man mano che ci si al­ lontana dalla forza la superficie laterale resistente aumenta e si riduce lo stato tensionale. di conseguenza tutta la trave va verificata. In questo caso. h lo spessore dell’elemento bidimensionale. 2 .384 Capitolo 12 Fig. 2 b). Detto u il perimetro dell’area caricata. quindi. la forza) concio di trave allo stato limite ultimo (fig. e se necessario armata.piastra soggetta a forza concentrata (nella figura è mostrato solo il concio di piastra che sostiene. e quindi d la sua altezza utile e z il brac- . Si può pensare che la forza sia sostenuta dalle tensioni tangenziali x che agiscono sulle quattro facce laterali di un parallelepipedo (fig. 2 a) oppu­ re da campi inclinati di tensione che agiscono sulle quattro facce di un tronco di piramide (fig. il rischio di punzonamento è limitato alla zona critica immediatamente circostan­ te la forza applicata. 2. Verificare il solaio a punzona­ mento col metodo delle tensioni ammissibili. che scarica una for­ za di 40 kN su un'area d'impronta di 20x20 cm. Ciascun pilastro ha uno sforzo normale di 1100 kN. e quindi inclinata a. anche se non cau­ telativa.53 MPa. un po’ meno cautelativamente. si ha questo valore è inferiore a τc0. che per il calcestruzzo usato vale 0. di spessore 18 cm. Esempio 2. scaricano pilastri di sezione 30x70. Su un solaio pieno in c.pun deve avere una componente verticale pari ad F e deve quindi essere pari a Esempio 1. La se­ zione è verificata a punzonamento e non è necessario disporre specifiche armature. di spessore 50 cm. 45°. Verificare . Su una platea di fondazione in c. la si valuta come Se questo valore è inferiore a τc0 l'elemento è in grado di resistere al punzonamento anche senza specifiche armature. posti secondo una maglia regolare di 4 m per 5 m. In situazioni intermedie.a. Il perimetro dell’area caricata è u=80 cm.Punzonamento 385 cio della coppia interna. Se è superiore a τc1 la sezione non è accettabile (occorre aumentare lo spessore dell'elemento). Seguendo la prassi. L’armatura totale As. realizzato con calcestruzzo di classe Rck=25 MPa ed armato come una piastra con barre in acciaio FeB44k. è stato realizzato un soppalco usato come deposito.a. Spes­ so però. realizzata con calcestruzzo di classe Rck=25 MPa ed armata a piastra con barre in acciaio FeB44k. la massima tensione tangenziale è fornita dal­ l'espressione a seconda che si consideri la sezione tutta reagente o parzializzata. la forza F sarà assorbita da un’apposita arma­ tura disposta secondo le isostatiche di trazione. che definisce come perimetro u di riferimento per il punzona­ mento quello ottenuto diffondendo l’area caricata a 45° fino al piano medio della sezione (fig. La si può realizzare disponendo al di sotto del pilastro 5 barre 020 in una direzione e 5 nell’altra.53 MPa) e τc1 (1.(30x70x100)x0. 9/1/96. La sezione è veri­ ficata a punzonamento. sagomate a 45° verso l’alto ad entrambe le estremità. la forza di 1100 kN agisce su una superficie di 4x5 = 20 m2 e quindi la tensione nel terréno è La forza che si trasmette attraverso là superficie laterale è quindi F' = 1100 . Ciò è riconosciuto. Varmatiira da disporre. equivalente a 20020.1. Se si ipotizza che la platea sia rigida rispetto al terreno. come nel metodo delle tensioni ammissibili. ma occorre disporre un’armatura c Si tratta di un’armatura molto forte.386 Capitolo 12 la platea a punzonamento col metodo delle tensioni ammissibili e determinare. Parlando dell'effetto arco nel capitolo precedente si è detto che un carico concentrato si diffonde. La resistenza a punzonamento in assenza di apposita armatura è quindi (secondo il punto 4. Il perimetro dell'area caricata è u=200 cm. 3.055x10-3= 1088. Si ha quindi Questo valore è compreso tra t o (0.69 MPa). se necessaria.2. almeno in parte. Modello non lineare Normativa italiana Far riferimento ad una sezione a filo dell’area caricata.M. e solo all’esterno di tale zona ha senso preoccuparsi del taglio o del punzonamento. Nel valutare le tensioni tangenziali si può tener conto del fatto che la reazione del terreno bilancia in parte lo sforzo normale e quindi riduce la forza di punzonamento. con un angolo che potrebbe essere compreso tra 30 e 45°.5 kN quasi coincidente con lo sforzo normale trasmesso dal pilastro.2.5) . già nel D. 3. 3). è in verità eccessivamente cautelativo. La tensione sul terreno è La forza che si trasmette attraverso la superficie laterale è quindi F' = 1600-(80x120x100)x0.5. più precisamente con un rapporto larghezza/altezza pari a 1. 96.M.M. perché considera una diffusione del carico con angolo di circa 33° rispetto all’orizzontale. I lati del perimetro critico misurano a = 30+50 = 80 cm e b = 70+50 = 120 cm.2.5 x 400 x 50 x 1. Il perimetro critico è quindi w = 400 cm. Verificare allo stato limite ultimo secondo le indicazioni del D.01 MPa. anziché i 45° del D. la resistenza a punzonamento in assenza di armature è quindi FRd = 0. Poiché per il calcestruzzo utilizzato la resistenza a trazione vale fctd= 1. assumendo che il valore di calcolo dello sforzo normale trasmesso da ciascun pilastro sia 1600 kN.080x10-3 = 1523. Esempio 3.01 x 10-1 = 1010 kN Poiché la forza trasmessa attraverso la superficie critica è superiore a tale vaiore. Normativa europea L’Eurocodice 2 compie un ulteriore passo avanti. 3.Punzonamento 387 Questa espressione deriva dal considerare la tensione tangenziale pari a F l uh ed accettare una tensione principale di trazione (uguale alla x) non superiore alla metà della resistenza a trazione del calcestruzzo.2 kN cioè è inferiore di circa il 5% rispetto allo sforzo normale trasmesso dal pilastro. occorre disporre un’armatura a punzonamento. 9/1/96 la platea dell'esempio 2. inoltre la diffusione è estesa fino alle armature inferiori e . perimetro e sezione critica secondo l’Eurocodice 2 non fino al piano medio (fig. 4 . Fig. Se Tarea caricata è in prossimità di uno o più bordi liberi. 5 . Ad esempio.riduzione del perimetro criticò in prossimità del bordo . Il perimetro critico è quindi ottenuto traslando le linee di contorno dell’area caricata (o di una figura convessa che la racchiude) di una quantità pari a 1. 4a). se l'area caricata è un rettangolo di lati a e b il perimetro critico misura u = 2a+2b+3πd.5 d e raccordandole con archi di circonferenza (fig. il perime­ tro critico termina con tratti perpendicolari al bordo (ed il bordo libero ovviamente non è conteggiato nel perimetro). 4b). 5). se così facendo si ottiene una lunghezza minore di quella ottenuta in assenza di bordo (fig.388 Capitolo 12 Fig. L’azione sollecitante a punzonamento è quindi se Vsd è Fazione da trasmettere attraverso il perimetro critico (pari alla forza concentrata diminuita. ma minuscola (quindi v). .riduzione del perimetro critico in prossimità di fori o per pilastri allungati Ulteriori riduzioni devono essere fatte se Farea caricata è situata in prossimità di fori o aperture della piastra (fig. 6b).Punzonamento 389 Fig. Se il carico concentrato può presentare un’eccentricità se ne deve tener conto incrementando vsd mediante un coefficiente p.4 e β=1. la forza viene trasmes­ sa in misura maggiore in prossimità degli spigoli. o con perimetro maggiore di 10 d. 6 . L’Eurocodice preferisce far riferimento alle forze sollecitanti e resi­ stenti valutate per unità di lunghezza del perimetro critico ed utilizza per tali forze la lettera V. la resistenza a punzona­ mento è sostanzialmente riconducibile alle formule utilizzate per il ta­ glio. come per il taglio. 6 a). Il perimetro critico viene in tal caso individuato con riferimento a lunghezze ridotte ai e bi (fig.5. con rapporto tra i lati a e b maggiore di 2. nel caso di fondazioni. della reazione del terreno valutata per tutta Farea racchiusa dal perimetro critico). Una volta-individuato il perimetro critico. In mancanza di calcoli specifici. Nel caso di aree cari­ cate di forma rettangolare molto allungata. nel caso di pilastri posti in prossimità di un bordo o di uno spi> golo di una piastra si può assumere rispettivamente β=1. la percentuale di armatura va valutata come Si tenga presente. che nelle verifiche a punzonamento la norma­ tiva consente di assumere per ρl al massimo il valore di 0. pari a 0.2+40ρl) d In questa espressione. Le quantità k. Se la piastra non ha spessore costante. se vsd è maggiore di URd2 la sezione non è ac­ cettabile. l’altezza utile d sarà valutata come media geometrica delle altezze utili nelle due direzioni ortogonali. per unità di lunghezza di perimetro critico. col mo­ dello a pettine. dell’armatura a punzonamento. già definita nel capitolo precedente. in assenza di specifica armatura a punzonamento. come per il taglio. La resistenza della sezione in assenza di armatura a punzonamento è valutata con le stesse espressioni ottenute. occorre solo osservare che. infine. per unità di lunghezza di peri­ metro critico. In presenza di armatura a punzonamento. in presenza di specifica armatura a punzonamento.25 fctd. misurate dove il perimetro critico interseca l’arma­ tura longitudinale. se è compresa tra URd1 e URd2 occorre disporre un’armatura tale da avere vsd <= URd1. se le armature longitudinali tese sono disposte in due direzioni ortogonali x ed y e con percentuali geometriche ρx e ρy . τRd è la resistenza unitaria a taglio di calcolo di riferimento. nel caso di taglio. ρl d sono anch’esse già state definite in precedenza. per unità di lunghezza di peri­ metro critico.02 come per il taglio).6 URd1 La resistenza legata alle armature è invece valutata col metodo norma­ le. URd2 resistenza di calcolo della sezione.015 (e non 0. si possono valu­ tare. URd3 resistenza di calcolo. le tre quantità URd1 resistenza di calcolo della sezione. Si ha infatti URd1 = τRd k (1.390 Capitolo 12 Per quanto riguarda la resistenza a punzonamento. Se vsd è minore di URd1 non è necessario disporre armatura per il punzo­ namento. la resistenza della sezio­ ne è definita in funzione di URd1 come URd2 = 1. inoltre. sommando la resistenza del dente del pettine a quella delle armature . 54 cm2) ogni 20 cm si ha Poiché l’armatura è uguale nelle due direzioni si ha Inoltre è e quindi La resistenza è abbondantemente superiore alla sollecitazione. era stata riportata a resistenza per unità di lunghezza della trave. cosa non ne­ cessaria nel caso di punzonamento in cui. non occorre quindi armatura a punzonamento. L'armatura deve essere disposta all’interno dell’area critica. Ipotizzando un copriferro c=2 cm. che nel caso del taglio la resistenza dell’armatura.8 cm L’azione sollecitante per unità di lunghezza è Per calcolare la resistenza della sezione non armata a punzonamento.Punzonamento 391 Si noti solo. aven­ do 1014 (1. Il perimetro critico è quindi u = 2 x 2 0 + 2 x 2 0 + 3x3. Verificare allo stato limite ultimo secondo le indicazioni dell'Eurocodice 2 la platea dell'esempio 2. là verifica va fatta solo per la sezione critica. si effettuerà il controllo a punzonamento anche considerando ulteriori perimetri critici. l’altezza utile del solaio è d=16 cm. La diffu­ sione del carico si ha per un tratto 1.14 x 16 = 230. assumendo che il valore di calcolò dello sforzo pormale trasmesso da ciascun pilastro sia 1600 kN e che sia presente nella pia- . come differenza formale ma non sostanziale. calcolata per il traliccio.5 d = 24 cm. Esempio 4. come detto. se necessario. In direzione x. assumendo che il valore di calcolo della forza scaricata sia 60 kN e che sia presente nel solaio un'armatura tesa costituita da 1014 ogni 20 cm in entrambe le direzioni. si deter­ mina innanzitutto la percentuale geometrica di armatura. Verificare allo stato limite ultimo secondo le indicazioni dell'Eurocodice 2 il solaio dell'esempio 1. Esempio 5. l’altezza utile della platea è d=46 cm e la dif­ fusione del carico si ha per un tratto 1.(22548 x 100) x 0. si deter­ mina innanzitutto la percentuale geometrica . è vRd2 = 1.8 x 46) = 30 cm a1 = MIN (70. in direzione y 1014 (1.6 kN/m .080 MPa.54 cm2) ogni 20 cm.di armatura. In direzione x si ha 1020 (3. non armata a punzonamento.2.6 X174. Occorre quindi calcolare b1 = MIN (30.25 x 1. Ipotizzando un copriferro c=4 cm.5 cm L’area racchiusa dal perimetro critico (trascurando in questa valutazione la dif­ ferenza tra ai ed a) è A = 30x70 +2x30x69 + 2x 70x69 +3.14 x (1.6 kN Si noti che ìa riduzione della forza è percentualmente molto più rilevante. perché l’area racchiusa dal perimetro critico è molto più ampia. occorre quindi controllare che la se­ zione armata a punzonamento si accettabile e quanta armatura disporre.1 kN/m La resistenza è inferiore alla sollecitazione.1 = 278.080 x 10-3 =1419.5.costituita da 1ϕ20 ogni 25 cm in una direzione e 1ϕ14 ogni 20 cm nell’altra. Quindi e nel complesso delle due direzioni Inoltre è e quindi vRdì = 0.5 d = 69 cm. ri­ spetto a quanto visto negli esempi 2 e 3.14 x 46 = 613.14 cm2) ogni 250 cm. Il rapporto tra i lati del­ l’area caricata-è in questo caso maggiore di 2. adeguatamente armata. la forza che si trasmette attra­ verso la superficie laterale è F‘= 1600 . La resistenza della sezione.392 Capitolo 12 tea un’armatura tesa . L’azione sollecitante per unità di lunghezza è Per calcolare la resistenza della sezione.00320) x 46 x 10 = 174.6 x 46 .2 x 30.2 + 40 x 0.30) = 60 cm Il perimetro critico è quindi u = 2 x 3 0 + 2 x 60 + 3x3.14x46 2 =22548cm 2 Poiché la tensione sul terreno è ϭt = 0. sempre rilevante e tale da ridurre l'armatura necessaria a meno della metà. la sezione è accettabi­ le. Sono di conseguenza molto frequenti rcasi in cui. del pilastro 3 barre 014 in una direzione e 3 nell’altra.Punzonamento 393 Poiché questo valore è maggiore dell’azione sollecitante. 4. ma allo stato limite ultimo si tiene conto anche del contributo del calcestruzzo. non è più necessario armare a punzonamento. Ba­ sterebbe infatti disporre al di sotto. riduce in maniera non trascurabile l'azio­ ne da trasmettere attraverso essa. Confronto tra stato limite ultimo e tensioni ammissibili Il punzonamento è forse l'argomento per il quale sono maggiori le diffe­ renze. analoga nei due casi. Ma anche quando una armatura deve essere disposta il risparmio è notevole: la resistenza dell'armatura è. sagomate a 45° verso l’alto ad entrambe le estremità. che aumenta la sezione resistente ed i~ noltre. . nel caso di fondazioni. tra stato limite ultimo (secondo l'Eurocodice 2) e tensioni ammissibili. in termini di risultati. L’armatura necessaria può essere valutata imponendo la condizione di resi­ stenza URd3 >= USd L’armatura così ottenuta è molto minore di quella calcolata nell’esempio 2. passando dalla normativa italiana all'Eurocodice. in se. Ciò è dovuto principalmente all'enorme in­ cremento del perimetro critico. 394 Capitolo 12 . alla De Saint Veriant.Capitolo 13 TORSIONE 1. La torsione in una sezione omogenea Nelle costruzioni reali non si riscontra quasi mai la presenza del solo momento torcente T. In elementi sottili. che risolse il caso della sezione circolare. alla De Saint Venant. sviluppata da Vlasov. ma la carenza di dati sperimentali e di modelli teorici spinge a considerare ancora la torsione come un fenomeno a se stante e ad accoppiarlo al taglio con formule molto semplificate. il comportamento è in­ termedio. vale il principio di sovrapposizione degli effetti e quindi l’effetto della torsione è valutato separatamente e poi sommato a quello delle al­ tre caratteristiche di sollecitazione. alla Vlasov. di sezione omogenea ed isotropa. ma non sottilissimi. alla Vlasov. come molti profilati in acciaio. . ed in parte come' torsione secondaria. Si suol dire in tal caso che il momento torcente è portato in parte come torsione primaria. I primi studi sulla torsione risalgono a Coulomb (1784). Si parla quindi in genere di torsione pu­ ra. Per i modelli lineari. Quando lo spessore è estremamente sottile si deve applicare la teoria delle aree settoriali. I modelli non lineari dovrebbero in­ vece tener conto della contemporanea presenza di più caratteristiche di sollecitazione. contrapposta alla torsione non uniforme. La teoria generale sviluppata successiva­ mente da De Saint Venant è valida per elementi a sezione compatta (e anche per sezioni chiuse di qualunque spessore) e cade in difetto per se­ zioni aperte di spessore sottile. punti appartenenti ad anelli di raggio r diver­ so subiscono spostamenti diversi. L’angolo unitario di rotazione ϴ. le fibre trasver­ sali (anulari) ruotano rigidamente. Essendo lo spessore piccolo. ciascuna sezione trasversale ruota anche in questo caso in maniera rigi­ da. Un generico elemento infinitesimo sarà soggetto a tensioni tangenziali x e subirà una deformazione angolare (scorrimento) y.396 Capitolo 13 Come esempio elementare di torsione pura si può considerare un’a­ sta tubolare. via via crescenti con r. In definitiva. Anche le ten­ sioni tangenziali variano alla stessa maniera e si può scrivere . 2) di raggio R. ed il raggio Se si considera un’asta a sezione circolare piena (fig. l’asse dell’asta rimane rettilineo. e quindi le fibre longitudinali subiscono uno scorrimento y crescente con r. si può assumere che la x non vari lungo lo spessore. 1). ten­ sioni e deformazioni sono legate dalla relazione τ = Gy con G modulo di elasticità tangenziale. mentre le fibre longitudinali si de­ formano trasformandosi in eliche che si avvolgono lungo il cilindro. su un tratto unitario. cioè la rotazione relativa tra le due fac­ ce di un concio di lunghezza unitaria. con sezione a forma di anello di raggio r e di spessore sotti­ le (fig. tutti gli elementi saranno soggetti alla stessa tensione e defor­ mazione. Data la simmetria. può essere determinato facilmente come rapporto tra lo spostamento provoca dallo scorrimento y. A parità di rotazione. inoltre. asta a sezione circolare soggetta a torsione se τmax è la tensione tangenziale lungo il bordo del cerchio. crescendo linearmente con la di­ stanza dal baricentro. 2 . nonostante questi siano molto lontani dal centro. nel caso di una sezione rettangolare di lati a e b. Per questo motivo la sezione trasversale. deve presentare anche defbrinazioni fuori piano (ingobbimento). con α >= b (fig. la massima tensione tangenziale ed il massimo scorri­ mento valgono rispettivamente e l’angolo unitario di rotazione 0 In sezioni con forma diversa dalla circolare o anulare lo scorrimento y non può variare con la stessa legge. Ad esempio. Imponendo la condizione di equilibrio alla rotazione tra la caratteristica di sollecita­ zione T e le tensioni agenti nella sezione. oltre a ruotare nel suo piano. 3)? la tensione tangenziale t cresce lungo le mediane in manie- . di conseguenza anche lo scorrimento deve essere nullo negli spigoli. che nel caso in esame è Di conseguenza.Torsione 397 Fig. Basti pensare che le tensioni tangenziali devono essere sempre parallele al contorno e quindi devono annullarsi agli spi­ goli. si ottiene la relazione essendo IP il momento d’inerzia polare della sezione. poi diminuisce e si annulla ai vertici. 3 . ed in misura diversa a seconda della mediana. che il prodotto τ t è costante e quindi la x va­ ria. . in misura inversamente proporzionale allo spessore. Imponendo la condizione di equilibrio alla rotazione tra la caratteristica di sollecitazione T e le tensioni agenti nella sezione. per se­ zione rettangolare molto allungata.398 Capitolo 13 Fig. fino ad un valore massimo al centro del lato. si ottiene la relazione essendo Ak l'area racchiusa dalla linea media della sezione tubolare. E' immediato constatare. pen­ sando all'equilibrio di una porzione limitata da due sezioni trasversali e due sezioni longitudinali.8.0. in una sezione.andamento delle x in una sezione rettangolare soggetta a torsione ra più rapida rispetto alla legge lineare. a 3. ma sottile (fig. con valori maggiori nel lato lungo e minori nel lato corto. 4). si può assumere (come già fatto per la sezione anulare) che la τ non vari lungo lo spessore. In­ fatti il prodotto r ds non è altro che il doppio dell'area dAk del triangolo infinitesimo tratteggiato in figura. Nel caso di sezione tubolare di forma qualsiasi e spessore t variabi­ le. Lungo le diagonali la x cresce fino ad un certo punto. in cor­ rispondenza degli spigoli. Il valore mas­ simo della tensione tangenziale è Il coefficiente ψ varia quindi da 4. per sezione quadrata. Lungo i lati la τ varia da zero. mostra la presenza di rotazione in corrispondenza degli appoggi.Torsione 399 Fig. Ma l’appoggio altri non è che la trave. In secondo luogo. essendo vincolata dai pilastri. Lo schema di calcolo adottato per il solaio. all’insieme costituito da travi e solai di un edificio. Ma c’è. ad esempio. tossiamo farne a meno — ed è quanto avviene nella pratica professionale — per due ragioni. è opportuna una breve riflessione sulla importanza . essere soggetta a torsione. Torsione per congruenza e torsione per equilibrio Prima di procedere con lo studio del comportamento di sezioni in cemen­ to armato soggette a torsione. quasi tutti gli elementi strutturali sono soggetti a torsione. che deve ruotare intorno all’asse e quindi. ma non è indispensabile per l’equilibrio. Spesso essa non vie­ ne evidenziata dal calcolo. e se volessimo essere coerenti fino in fondo con i modelli di ana­ lisi e di comportamento lineari dovremmo trovare il modo di valutarla. in particolare in quelli di estremità. Si pensi. Teoricamente. perché superato . La torsione in questo caso nasce esclusivamente per la congruenza tra elementi strutturali adiacenti.e diffusione — di tale caratteristica di sollecitazione nelle strutture. perché le regole di buona progettazione pongono di disporre in ogni caso armature (staffe e barre longitudina­ li) che servono anche per la torsione.asta a sezione tubolare soggetta a torsione La massima tensione tangenziale vale quindi (formula di Bredt) 2. 4 . Innanzitutto. specialmente finché usiamo modelli più sem­ plici che analizzano i diversi elementi separatamente l’uno dall’altro. usualmente quel­ lo di trave continua. Vi sono però dei casi in cui la torsione diventa necessaria per garan­ tire l'equilibrio. la torsione per congruenza non viene mai presa in considerazione.. anche se questo modo di fare non è coerente con la modellazione lineare tipica del metodo di verifica usato. si può applicare ad una sezione in cemento armato la stessa trattazione valida per sezione omogenea. già di per se bassa. ad esempio. Nella pratica professionale attuale. questo viene fatto trascurando del tutto l’eventuale presenza di armature e facendo riferimento alla sola sezione di calcestruzzo. le direzioni principali sono incli­ nate a 45° rispetto all’asse della trave e la tensione principale di trazio­ ne.400 Capitolo 13 il limite lineare la rigidezza a torsione. Essendo in presenza di sole τ. in strutture iperstatiche. L/Eurocodice ribadisce la va­ lidità di questa semplificazione.1) che “sarà necessario un calcolo completo della torsione. anche se tale torsio­ ne “può richiedere adeguati accorgimenti per limitare un'eccessiva fessurazione allo stato limite di esercizio”.1. alla trave a ginocchio che regge i gradini a sbalzo di una scala. la torsione insorga solo per esigenze di compatibilità e la stabilità della struttura non dipenda dalla resistenza torsionale. qualora Vequilibrio stati­ co di una struttura dipenda dalla resistenza torsionale degli elementi che la compongono” e che “qualora. si riduce ul­ teriormente e quindi diventa inessenziale per una verifica allo stato li­ mite ultimo. Anche se non molto frequenti. Più precisamente. . questi sono ca­ si in cui l’incapacità della trave a sopportare la torsione si tradurrebbe in una impossibilità di sostenere i carichi agenti. Oppure ad una trave che sostiene una pensilina non simmetrica.3. 3. ϭξ.stato tensionale Determinazione dello stato tensionale "Finché lo stato tensionale è molto basso. 3. Modello lineare .. non sarà generalmente necessa­ rio considerare la torsione allo stato limite ultimo”. è uguale alla τ. Si pensi. ancora molto basata sul metodo delle tensioni ammissibili. sottolineando (punto 4. tranne forse da qualche progettista molto pru­ dente.3. Mönnig. con riferimento allo stato limite ulti­ mo. nella normativa italiana (che suggerisce b1/6) e nell'Eurocodice 2 (che consente un qualsiasi valore compreso tra 2 c e A/u. 5). 5 . 3. non è richiesta la verifica delle armature finché la massima tensione tangenziale è inferiore a τco . Leonhardt. Limiti tensionali nel metodo delle tensioni ammissibili "I limiti previsti dal D. Milano . Ulteriori indicazioni si ritrovano. con a > b. La parte racchiusa dalla linea media del tubo viene detta usualmente “nu­ cleo cerchiato”. E. nel caso di sezione rettango­ lare di lati a e b. con un opportuno spessore t (fig. In sostanza.2. Diventa indispensabile la presenza di apposite armature.Torsione 401 a Fig. essendo b1 = b-2 c.sezione reale e sezione tubolare utilizzata dopo la fessurazione Quando la tensione principale di trazione supera la resistenza a trazione del calcestruzzo si formano fessure che presentano un anda­ mento a spirale lungo la trave. pari al doppio del copriferro di calcolo c. molto semplicemente. Indica­ zioni bibliografiche1 suggeriscono di usare. 14/2/92 riguardano sia taglio che torsione e sono già stati richiamati nel capitolo 11. per uno spessore abba­ stanza sottile. che per le usuali sezioni piene vengono disposte in prossimità della superficie esterna. il più piccolo tra b/6 e b1/5. risulta collaborante. se la massima tensione tangenziale supera τc1 la sezione non è F. dove A ed u so­ no rispettivamente area e perimetro della sezione).M. Ne deriva l’idea di considerare la trave come se fosse tubolare. Edizioni di Scienza e Tecnica. Lo spessore t della sezione tubolare potrebbe essere considerato. La sperimentazione mostra che in tal caso solo la porzione esterna di calcestruzzo. Le basi del dimensionamento nelle costruzioni in cemento armato. Liguori. Vorrei sottolineare che la normativa non indica quali modelli utiliz­ zare per determinare le τ. ed anche di soggettività. per veri­ ficare il limite τ < τc1. ho riscontrato prassi diverse in differenti zone d'Italia. Se dovessi proprio azzardare una mia opinione. Per quanto riguarda la torsione. che c'è nell'applicazione di qualsiasi norma. Napoli . In pratica. Data una sezione rettangolare 40x60 in calcestruzzo con Rck—25 MPa con copriferro di calcolo c=4 cm. a causa della flessione). voi. Esempio 1. Teoria e tecnica delle costruzioni. si ottiene e quindi 2 E. e questo potrebbe giustificare la scelta della scuola napoletana (ma se si usano i valori indicati da Leonhardt le x risultano ancora maggiori). Indicando con a e 6 rispettivamente il lato maggiore e il lato minore della se­ zione. In altre regioni si fa invece riferimento alla sezione tubolare. e quella tubolare per la torsione. direi che sarebbe concet­ tualmente più corretto determinare le τ con riferimento alla sezione in­ tegra quando si vuole verificare il limite τ < τco ed usare invece la sezio­ ne parzializzata per il taglio. come il taglio. e quindi prima della fessurazione (anche quando poi somma questi valori alle tensioni dovute al taglio. 6=40 cm. Usando le formule valide per sezione rettango­ lare. primo. Giangreco. calcolate per sezione fessurata). in situazioni intermedie occorre affidare la torsione. interamente ad apposite armature. Per il taglio si è fatto riferimento alla sezione nel secondo stadio (sezione parzializzata. La sostanza comunque non cambia e que­ ste differenze servono solo a sottolineare quel pizzico di convenzionalità. si ha a=60 cm. si determini la massima tensione tangenziale prodotta da un momento torcente T=25 kNm e la si confronti con i limiti indica­ ti dalla normativa italiana alle tensioni ammissibili. la formula per torsione in sezione ret­ tangolare fornisce di solito valori più cautelativi rispetto a quella per se­ zione tubolare.402 Capitolo 13 accettabile. se si usa t = 2 c. La scuola napoletana2 determina le τ considerando la se­ zione geometrica. Torsione 403 . si può ricavare a con Tespressione Se si usasse ancora ψ=4. Se invece si fa riferimento alla sezione tubolare. la sezione è quindi accettàbile ma occorre calcolare l'armatura a torsione. più ancora del precedente. si trova come soluzione a=51.69 MPa).81 MPa O τmax = 0.53 MPa) e τc1 (1. al crescere del rapporto a/b il valore di diminuisce. Se si vuole rea­ lizzare invece una sezione rettangolare con b=40 cm.493.8 si otterrebbe In realtà.8 e si ricaverebbe immedia­ tamente la lunghezza del lato Sarebbe quindi sufficiente una sezione quadrata di lato 45 cm. per como­ dità si utilizzano le formule che forniscono le tensioni per una sezione rettango­ lare. Se la sezione fosse quadrata. una sezione rettangolare in calcestruzzo con Rck-25 MPa che deve portare un mo­ mento torcente T=31 kNm.69 MPa). sarebbe ψ=4. seguendo le indicazioni bibliografiche citate si ha Il nucleo cerchiato ha lati ak = 72 cm e bk = 16 cm e la massima tensione tan­ genziale è in tal caso Seguendo le altre indicazioni si ha invece t = 8 cm oi = 9.404 Capitolo 13 Questo valore è compreso tra τco (0. La tensione tangenziale non deve superare il valore xcX (1.23 cm.78 MPa. e corrisponden­ temente Tmax = 0. secondo il metodo delle tensioni ammissibili. Esempio 3.64 cm e ψ=4. Procedendo ite­ rativamente. o per tentativi. . Si può usare quindi una sezione 40x55 (o 40x60). Le incognite sono i due lati a e b ed il coefficiente \j/ che dipende dal loro rapporto. Questo esempio evidenzia. Si dimensioni. di quanto possa va­ riare la tensione tangenziale a seconda del modello di comportamento e dello schema geometrico usato per determinarla. comune. ma si nota una incongruenza tra le scelte effettuate: per la torsione. Questa è la soluzione che è stata adottata nella pratica professionale. Modello lineare . è immaginare la trave come un elemento Fig. nel taglio prevale invece l’idea di disporre solo staffe (giustifi­ cate col modello a traliccio di Mörsch). che portano agli stessi risultati: il punto di partenza. 6). tut­ ti accettano l’idea di disporre contemporaneamente staffe e barre longi­ tudinali.Torsione 405 4. diventa indispensabile di­ sporre una specifica armatura affinché la sezione sia in grado di portare il momento torcente.armatura a torsione Quando la tensione principale di trazione provocata dalla torsione supe­ ra la resistenza a trazione del calcestruzzo. Il problema è sostanzialmente lo stesso del taglio. la quantità di armatura da disporre può es­ sere valutata con diversi modelli. Poiché la tensione principale di trazione è inclinata a 45°. la prima idea che viene in mente è disporre un’armatura proprio con tale inclina­ zione (fig.armatura a torsione con barre a spirale a 45c . e quindi staf­ fe e barre longitudinali. è prati­ camente impossibile disporre una tale armatura. Si noti che l’angolo è lo stesso su tutti i lati della sezione e quindi le barre dovrebbero essere disposte in modo da formare una spi­ rale che si avvolge intorno alla trave. La trazione inclinata a 45° può però essere assorbita se si dispongo­ no contemporaneamente barre in due direzioni ortogonali. 6 . Data l’entità dell’angolo. conseguente alla traslazione del diagramma del momento flettente. vista però come incremento dell’armatura a flessione. anche se in realtà si dispone lo stesso una ulteriore armatura longitudinale. Tornando alla torsione. questa soluzione ri­ mane quindi solo un’idea teorica. tese e compresse. Armatura a spirale. che realizzano un traliccio spa­ ziale (fig. Se si di­ spongono barre inclinate per assorbire la trazione che il calcestruzzo non è in grado di sopportare. Le lesioni che si formano quando viene superata la resistenza a trazione si avvolgono a spirale intorno alla trave. Questo modello. con ϭξ=τ. può in verità essere rappresentato graficamente solo se la sezione della trave è quadrata.1. a 45° Dallo stato tensionale all'armatura a torsione Il momento torcente provoca nella trave uno stato tensionale. che in fondo costi­ tuisce una sintesi molto elegante degli altri modelli. uniforme se si immagina la trave some una sezione tubolare a spessore sottile (fig. 7). si può quindi affidare all'armatura la risultante delle tensioni principali di trazione indotte dalia torsione. usare il modello di campi di tensione. In . si ottiene E traliccio spaziale dì Rausch Una possibile alternativa consiste nel considerare la trave come un in­ sieme spaziale di aste. l'armatura disposta in un tratto orizzonta­ le di lunghezza s intercetta la lesione per un tratto di lunghezza s / √2 e di larghezza i.406 Capitolo 13 tubolare. infine. 4. La risultante Ns delle tensioni di trazione nell'area consi­ derata vale L'armatura da disporre può essere valutata dividendo la forza di trazio­ ne per la tensione ammissibile dell'acciaio. 6) Questo corrisponde a tensioni principali inclinate a 45°. oppure. si può. si può modellare l'insieme di parti tese e parti compresse della trave come un traliccio. che a differenza di quello di Mòrsch ha un andamento tridimensionale. proposto da Rausch. come mostrato in figura. 8 b) . In un generico nodo. Per una migliore visualizzazione dei modello spaziale. disegnando su pareti e spigoli della trave una gri­ glia tratteggiata. le componenti delle forze in questo piano (Ns / √2 e Nc / √2 ) devono essere equivalenti alla eoppia torcente T (fig. con colore diverso.Torsione 407 Fig. e prova a disegnare. mostra che la forza nella diagonale tesa Ns de­ ve essere uguale a quella nella diagonale compressa Nc (fìg. un traliccio con serie multiple di diagonali. Si ha quindi Fig. convergo­ no 4 aste.equilibrio nel nodo ed equilibrio alla rotazione intorno all’asse della trave . le aste inclinate tese e compresse. consiglio di costruire un mo­ dellino della trave ripiegando un foglio di carta e disegnandogli sopra. due poste in un piano verticale e due in un piano orizzontale. in presenza di barre a 45° questo caso. le aste tese (linea più sottile) e quelle compresse (linea più spessa) si intersecano nei nodi della griglia. Nel caso di trave a sezione rettangolare. tutt’altro che comprensibile. infatti.8 . ma l'immagine che ne deriva è. 8 a). 7 . in verticale o in orizzontale. di passo pari al lato del quadrato.Traliccio spaziale. francamente. c’è chi propone. Consi­ derando invece una sezione perpendicolare all’asse. L’equilibrio alla traslazione in direzione perpendicolare allo spigolo. come quello indicato dalla lettera À. e per apprezzare me­ glio quello che avviene sulle facce nascoste. armatura a torsione con staffe e barre longitudinali . La forza che agisce sulle staffe o sui ferri di parete disposti in un tratto di lunghezza s sarà il doppio. ciascuna pari a N s / √2 . disposti per un tratto di lunghezza s/2 (fig. si ottiene così come staffe sii N. e quindi vale L’armatura da disporre può essere valutata dividendo la forza di trazio­ ne per la tensione ammissibile delTacciaio.408 Capitolo 13 ma tenendo conto del fatto che la distanza tra una diagonale tesa e l’altra. misurata in orizzontale. 9). una orizzontale ed una verticale. come già visto 4. Armatura con staffe e barre longitudinali Dallo stato tensionale alVarmatura a torsione Analogamente a quanto già visto per il taglio. Questa forza è assorbita dalle staffe. Fig.2. 9 . o dai ferri di parete. è pari al doppio del lato si può dire che Tannatura da disporre per un tratto di lunghezza s è. la risultante N s delle ten­ sioni di trazione può essere scomposta in due aliquote. concentrate negli spigoli). Si noti che la figura è ancora una volta riferita ad una sezione quadrata. convergo­ no ora 6 aste. per evitare i quasi insor­ montabili problemi grafici che si avrebbero nel caso di lati diversi. perimetro del nucleo cerchiato) U traliccio spaziale di Raus.Torsione 409 e come armatura longitudinale da disporre nell’intera sezione (cioè per s uguale ad uk. in verticale o in orizzontale.ch Volendo passare ad un insieme di aste che portano le azioni. come quello indicato dalla lettera A. si ha innanzitutto che per l’equilibrio alla traslazione in senso longitudinale (che deve dare N-0) anche la forza nella barra di spigolo Ns. prima viste come stato tensionale diffuso.lon deve essere pari a Nc/√2 . L’equilibrio alla traslazione in direzione per­ pendicolare allo spigolo. Inoltre. due poste in un piano verticale e due in un piano orizzontale. per l'equilibrio alla rotazione le componenti delle forze di compressione in . si può pensare al traliccio spaziale mo­ strato in figura 10. In un generico nodo. mostra che la forza nella staffa Nst deve essere pari a Nc/√2 (fig. In questo caso è necessaria la presenza di aste tese sia perpendicolarmente all’asse (le staffe) che in senso longitudinale (in questo modello. Ila). due lungo lo spigolo. Considerando invece una sezione perpendicolare all’asse. . 11 b) .410 Capitolo 13 Fig. Braestrup e Bach per il taglio allo stato limite ultimo. evi­ denziati per quel modello. si adatta molto bene anche alla torsione. originariamente proposto da Nielsen. nonché del fatto che uk = 4 bk. si può scrivere Campi di tensione L’approccio mediante campi di tensione. l'area di staffe necessaria per un tratto di lunghezza s è quindi e in maniera analoga. 11 . tenendo conto che Tarea totale di armatura longi­ tudinale è pari a quattro volte quella necessaria nel singolo spigolo.equilibrio nel nodo ed equilibrio alla rotazione intorno all’asse della trave questo piano (Nc/√2) devono essere equivalenti alla coppia torcente T (fig. perché supera i problemi legati alla forma della sezione. Si ha quindi ovvero Dividendo la forza di trazione per la tensione ammissibile dell'acciaio si ottiene l'area di armatura necessaria. Tenendo conto del fatto che la di­ stanza tra una staffa e l'altra è pari al lato. E' anzi un ottimo sostituto del modello di traliccio. nel tratto sezionato non vi può essere una forza risultante perpendicolare alla sezione.lon. tensioni di trazione in direzione orizzontale ϭc. La trave è vista sempre come una sezione tubo­ lare. Deve essere allora Fc sin 45° = Fst e quindi Fig. di spessore t. tensioni di trazione in direzione verticale ϭst dovute alle staffe. Se si effettua una sezione orizzontale lungo la trave e si prende in esame un tratto lungo dz (fig. dovute alle barre longitudinali. in esso agiscono le ten­ sioni ϭcche hanno come risultante Fc Fc = t dz sin45° ϭc e le tensioni ϭst che hanno come risultante Fst Poiché siamo in presenza di sola torsione. 12 a).Torsione 411 Il modello prevede la presenza di tensioni di compressione ϭc a 45°. dovute alla torsione.campi di tensione in sezioni orizzontali e verticali della trave . 12 . ϭs si ottengono le formule di progetto per staffe ed armatura longitudinale.lon .lon vale Anche qui non vi può essere una forza risultante perpendicolare alla se­ zione. . Indicando con r la distanza della linea media del tratto duk rispetto al baricentro. ponendo ϭst = ϭs.412 Capitolo 13 Se si effettua una sezione verticale (fig. la risultante F c delle tensioni ϭc vale Fc = t duk cos 45° ϭc mentre la risultante Fs. Deve essere pertanto La componente di Fc nel piano della sezione. identiche a quelle ricavate in precedenza. 12-b) e si considera un tratto lungo duk. che vale t duk cos 45° sin 45° ac deve contribuire airequilibrio alla rotazione intorno all’asse.lon delle tensioni ϭc. si ha Dalle ultime due espressioni. essendo l'area del 08 pari a 0.2 c + b . essendo b lo spessore minimo dell'anima misurato in centimetri. nel quale si è già constatato che le dimen­ sioni sono accettabili ma occorre disporre un’armatura a torsione. Data una sezione rettangolare 40x60 in calcestruzzo con Rck=25 MPa con copriferro di calcolo c=4 cm.15 b cm2 per staffe ad aderenza migliorata e 0. Le staffe devono essere collegate da apposite armature longitudinali Le indicazioni sono sufficientemente chiare. realizzata con barre in acciaio FeB44k. un ϕ8 ogni 10 cm. per metro lineare. Inoltre il passo delle staffe non dovrà superare 1/8 della lunghezza della linea media della sezione anulare resistente e comunque 20 cm.3. tenendo conto anche dei limiti indicati dalla normativa italiana.2) che “In presenza di torsione dovranno disporsi nelle travi staffe aventi sezio­ ne complessiva. si determini l'armatura da disporre.3. Minimi di armatura nel metodo delle tensioni ammissibili La normativa italiana relativa al metodo delle tensioni ammissibili (DJVL 14/2/92) prescrive (punto 5. La sezione è quella dell’esempio 1. come quella in esa­ me. non inferiore a 0. Quindi per una sezione di lati a e b.Torsione 413 4. in pratica. soggetta ad un momento torcente T=25 kNm e progettata col metodo delle tensioni ammissibili. né avrebbe senso realiz­ zare staffe con più bracci. Ad esempio.2 c) (b — 2 c) = (60 — 2 x 4) x (40 — 2 x 4) = 52 x 32 = 1664 cm2 u k = 2 ( a . Si noti che.5 cm2.25 b cm2 per staffe lisce. Nel calcolo dell'armatura interviene l’area Ak del nucleo cerchiato ma non il suo spessore t. Esempio 4. e si moltiplicava per due o quattro il loro contribu­ to). Tarea e il perimetro del nucleo cerchiato valgono Ak = (a . La prassi più comunemente seguita nel metodo delle tensioni ammissibili con­ sidera come nucleo cerchiato quello racchiuso dalle armature. nel caso della torsione la staffa viene usata per assorbire trazione su ciascuno dei lati e conta sempre una sola volta. perché i bracci interni non darebbero alcun contributo alla torsione.5 cm2 e quindi. che può variare notevolmente a seconda delle indicazioni bibliografiche seguite. o a quattro bracci.2 c ) = 2 x (52 + 32) = 168 cm . per una tra­ ve larga 30 cm la quantità di staffe da disporre in un metro è 4. mentre nel taglio le staffe contavano per quante volte attra­ versavano una sezione verticale (e quindi si parlava di staffe a due brac­ ci. con barre aventi copriferro di calcolo c. I limiti minimi di normativa sono però. si potrebbero quindi disporre in tutto 8010.2 x 4) x (24 .6 staffe a metro). date le dimensioni dei la­ ti. cioè il doppio del valore calcolato. almeno una barra al centro di ogni lato. Con riferimento all’esempio 2. essendo la dimensione minima 6=40 cm. Anche in questo caso si è già riscontrato che la sezione è accettabile ma deve essere armata a torsione. date le dimensioni dei la­ ti. staffe 08/10. si potrebbero quindi disporre in tutto 80.2 x 4) = 72 x 16 = 1152 cm2 = 2 x (72 +16) = 176 cm Le staffe da disporre in un metro sono quindi uk I minimi di normativa sono.3 cm2).15x24 = 3. essendo la dimensione minima b=24 cm. perché meno facili a piegarsi.10 . realizzata con barre in acciaio FeB44k. si determini l’armatura da disporre. Esempio 5. L’area e il perimetro del nucleo cerchiato sono Ak = (80 . o meglio staffe 08/15 (6.6 cm2 a metro.79 = 6. almeno due barre lungo il lato di dimensioni maggiori. Si noti che. Se non occorre altra armatura longitudinale. L’armatura longitudinale è invece Si dovrà disporre almeno una barra ad ogni spigolo e. ab­ bondando un po’.(8x0. Si possono disporre. . L’armatura longitudinale è invece Si dovrà dispórre almeno una barra ad ogni spigolo e. non ha in questo caso senso disporre ulteriori barre lungo l’altezza (l’armatura longitudinale dovrebbe essere distribuita più o meno con lo stesso passo lungo tutto il perimetro).15x40 = 6 cm2 a metro. tenendo conio anche dei limiti indicati dalla normativa italiana. 0. Si dovrebbero disporre staffe 08/8 (che in verità sono fin troppo fitte) oppure 010/12 (anche se le barre 010 sono usate più raramente come staffe. Se non occorre altra armatura longi­ tudinale. un po’ maggiori del valore calcolato. essendo la trave molto bassa. 0.414 Capitolo 13 Le staffe da disporre in un metro sono quindi Basterebbe quindi disporre 6 staffe 08 in un metro. La trave è vista sempre come una sezione tubolare. 13 a) fornisce in questo caso la relazione tra tensioni nel calcestruzzo e tensioni nelle staffe L’equilibrio alla traslazione in direzione perpendicolare ad una sezione verticale (fig. La trattazione analitica non differisce da quella mostrata nel paragra­ fo precedente. dovute alle barre longitudinali. Unica modifica rispetto a quanto detto nel paragrafo prece­ dente è il fatto che. Questo modello viene usato sia per determinare la resistenza della sezione in se. La si riporta quindi solo per il modello di campi di tensione. legata allo schiacciamento del calcestruz­ zo. L’equilibrio alla traslazione in direzione perpendicolare ad una sezione orizzontale lungo la trave (fig. dovute alle staffe. una volta createsi le fessure a spirale dovute alla torsione. che la resistenza complessiva tenendo conto dello snervamento del­ l’armatura. le forti deformazioni consentite dallo snervamento dell’armatura provocano la trasmissione di tensioni. di spessore t. ora inclinate con un angolo 0 generico. che fanno variare la direzione principale di compressione.Torsione 415 5. Modello non lineare A differenza di quanto visto per il taglio. Il modello prevede ancora la presenza di tensioni di compressione ϭc dovute alla torsione. L’analisi di una trave soggetta a torsione allo stato limite ultimo si riconduce quindi ad un unico modello. di campi di tensione). 13b) fornisce la relazione tra tensioni nel calcestruzzo e tensioni nelle barre longitudinali . per ingranamento degli inerti. lon. tensioni di trazione in direzione verticale ϭst. che prevede il modello a petti­ ne per valutare la resistenza ultima di una sezione priva di armatura a taglio. tensioni di trazione in direzione orizzontale ϭs. che è quello di traliccio spaziale (o. Il fenomeno è per­ fettamente corrispondente a quello descritto per il taglio: si può quindi parlare anche qui di traliccio con puntone ad inclinazione 0 variabile. non esiste un modello che giustifichi la resistenza di una sezione soggetta a torsione in assenza di una armatura specifica per tale carat­ teristica di sollecitazione. in maniera equivalente e forse anche più chiara. angolo 9 L'equilibrio alla rotazione intorno all'asse fornisce infine la relazione tra tensioni nel calcestruzzo e momento torcente T = 2t A k sin ϴ cos ϴ ϭc e quindi Resistenza della sezione Imponendo che sia ϭc = v fcd. si può ricavare il valore TRd1 del momento torcente che porta a rottura per compressione il calcestruzzo Anche in questo caso v è il coefficiente che tiene conto della riduzione di resistenza per la presenza contemporanea di trazione nella direzione . con puntone compresso inclinato di un .campi di tensione. 13 .416 Capitolo 13 Fig. Se la sezione è sovrabbondante. Si deve considerare per esse Il valore di TRd1 è fortemente influenzato dal valore assunto per lo spes­ sore t della sezione tubolare. Nelle sezioni comuni.lon = fyd. Aumentare t riduce però l’area del nucleo cerchiato. e questo comporta un incremento del­ l’armatura da disporre.Torsione 417 perpendicolare. le staffe sono disposte solo lungo il perimetro esterno e questa dissimmetria comporta una riduzione della resistenza. Si ricorda a tal proposito che l'Eurocodice 2 consente di utilizzare il valore che è di solito il più alto fra i possibili valori citati in bibliografia e quin­ di assegna la massima resistenza al calcestruzzo. può quindi esse­ re conveniente utilizzare per t il valore minimo consentito dalla norma t~2c Resistenza delVarmatura Imponendo invece che sia ϭst = ϭs. si può ricavare la resistenza a torsione TRd2 della sezione armata. oppure le formule di progetto dell’ar­ matura. La resistenza TRd2 corrisponde al più piccolo tra i valori che manda­ no in crisi le staffe o le barre longitudinali . L’Eurocodice 2 precisa però che si può utilizzare il valo­ re già indicato per il taglio solo nel caso di sezioni a cassone nelle quali le staffe sono disposte su entrambe le facce di ogni elemento. analogamente a quanto visto per il taglio. . si può ricavare il valore di 0 per il quale le due espressioni forniscono lo stesso valore di TRd2 Se questo valore rientra nell’intervallo previsto dalla normativa (1 < cot 0 < 2). Se le armature sono note. mentre il secondo si riduce. spesso non c’è una reale convenienza a tener cónto dell'inclinazione variabile del puntone. — Minimi di armatura nel metodo degli stati limite L’Eurocodice 2 si limita a richiamare le indicazioni già fomite per il ta­ glio. Le formule di progetto sono molto simili a quelle ricavate per il mo­ dello lineare Si noti che all’aumentare di cot 0 si riduce la quantità di staffe necessa­ ria. si ha di conseguenza Nell'assumere un valore di cot 0 superiore all’unità si ricordi però che al crescere di 0 si riduce contemporaneamente la resistenza TRd1 è quindi buona norma controllare preliminarmente qual è il massimo valore di cot 0 compatibile con la resistenza della sezione. ma aumenta quella delle barre longitudinali. quindi. Si noti infine che. le armature trasversali e longitudinali coincidono sostanzialmente con quelle fornite dal metodo delle tensioni ammissibili.418 Capitolo 13 Si noti che il primo valore cresce proporzionalmente con cot ϴ. Nel caso della torsione. in particolare la percentuale minima di armatura costituita da staf­ fe. se si assume cot 0=1. e ad aggiungere che la distanza tra le staffe non deve essere superio­ re a uk / 8 e quella tra le barre longitudinali non superiore a 350 mm. Verificare che la sezione sia accettabile vuol dire controllare che Tsd sia minore di TRd1 Secondo l’Eurocodice 2. come staffe da mettere in un metro Si può controllare che i valori così ottenuto sono quasi coincidenti con quelli de­ terminati nell'esempio 4. da realizzare in acciaio FeB44k.0 MPa. t=8 cm. quindi la sezione è verificata ed è possibile usare qualsiasi valore di cot 9 compreso tra 1 e 2 nel calcolo delle armature a torsione.20. Facendo riferimento al nucleo cerchiato definito nell'esempio precedente. se si usa cot ϴ=1 si determina. Esempio 7. che si riferiva alla stessa sezione sollecitata alle ten­ sioni ammissibili. In questo caso sarebbe però possibile usare un valore di cot 0 maggiore. Si verifichi allo stato limite ultimo una sezione rettangolare 40x60 in calcestruzzo con Rck=25 MPa con copriferro di calcolo c—4 cm. fi­ no a 2. si determini l’armatura necessaria a torsione. il valore minore.13. lo spessore della sezione tubolare può essere un qualsiasi valore compreso tra Se si considera.Torsione 419 Esempio 6. Ciò comporterebbe al limite il dimezzamento dell’area di staffe ed il raddoppio di quella delle barre longitudinali necessarie. fcd . Il coefficiente v vale in questo caso La resistenza a torsione della sezione è quindi Tsa è in ogni caso minore di Tndi. a vantaggio di sicurezza per il calcestruzzo. si ha fck . soggetta ad un momento torcente Tsd=35 kNm.75 MPa. si ha ak = 60-8 = 52 cm bk -40 —8 = 32 cm Ak =52x32 = 1664 cm2 Per un calcestruzzo di classe Rck — 25 MPa. . Per lo stesso caso dell'esempio precedente. che è un.lon = 6. Data una sezione rettangolare 80x24 in calcestruzzo con Rck=25 MPa con copriferro di calcolo c=4 cm.9 kNm per cot 0=1. po’ meno di quanto richiesto per cot 0=1. pari a 2. Poiché le armature disposte hanno Ast = 2. As. La resistenza dell’armatura è quindi .9 kNm per cot 0=2. TRd1 =39. si ha ak = 72 cm bk = 16 cm La resistenza a torsione della sezione è Ak =1152 cm2 uk =176 cm e quindi TRd1 . armata con staffe ϕ8/20 e con 8 barre longitu­ dinali ϕ10 in acciaio FeB44k. t=8 cm. per valutare l'armatura longitudinale occorre calcolare il valore di cot 0 imponendo Esempio 8. si determini qual è il massimo momento torcente che la sezione può portare allo stato limite ultimo Lo spessore della sezione tubolare può essere un qualsiasi valore compreso tra Se si considera.420 Capitolo 13 Ad esempio.49.5 cm2 al metro.32 cm2. se si dispongono staffe 08/20.5 cm2 al metro. il valore minore. a vantaggio di sicurezza per il calcestruzzo. quindi accettabile. il valore di cot 0 che massimizza TRd2è Questo valore è compreso tra 1 e 2. non esistono modelli teorici che de­ scrivano il comportamento di una trave soggetta contemporaneamente a torsione e taglio.Torsione 421 Il valore di TRd1 corrispondente a cot 0=1. utilizzando nel di­ mensionamento cot ϴ=1 ed incrementando t fino al valore Alu. Si dimensioni allo stato limite ultimo una sezione rettangolare in calcestruzzo con Rck=25 MPa che deve portare un momento torcente Tsd=46 kNm. Oppure. Ricordo comunque che. Lo stato tensionale viene determinato separatamente per le due caratteristiche di sollecitazione (a volte. sarebbe possibile adottare una sezione più piccola. Consiglio inoltre di partire. Ciò è plausibile ai fini della valutazione della tensione massima. da un valore cot 0=2. si tenga presente che i valori . = 13. e vi sono quindi punti in cui le tensioni si sottraggono anziché sommarsi. cautelativamente.81 kNm. Modello lineare Come già detto all'inizio del capitolo. Il dimensionamento è molto semplice se si assume t=2 c. Per quanto ri­ guarda i limiti imposti dalla normativa. Torsione e taglio 6. ma si ricordi che l'andamento delle τ è diverso nei due casi. con l’armatura disposta. anche con incongruenze nel modello di riferimento) e direttamente sommato. scegliendo come lato minore b=40 cm. ov­ vero bk=32 cm si ha e quindi occorre usare una sezione 40x50.198 è sicuramente superiore a TRd2. Si ha così.0 MPa si ha Si potrebbe utilizzare una sezione quadrata con lato e quindi una sezione 45x45.1.417 e fcd. 6. invertendo l’espressione che fornisce TRd1 ed essendo per il calcestruzzo assegnato v=0. e quindi con gli usuali valori del copriferro di calcolo t=S cm. La massima torsione che la sezione può sopportare. in caso di ne­ cessità. Esempio 9. nella prassi. è quindi proprio 25. 6. TRd1 e TRd2 per la torsione.1 τc1. nonostante la differenza del numero che compare nel pedice. è incrementato del 10% ed è quindi pari a 1. rappresentano quantità concettualmente analoghe (valore del momento torcente o del taglio che portano a rottura il calcestruzzo del puntone compresso). con i rispettivi modelli. Modello non lineare La resistenza a torsione e taglio di una trave. usando il pedice 0 per la resi­ stenza della sezione non armata). perché crea un minimo di confusione e costringe ad un maggior sforzo mnemonico. somma degli effetti di torsione e taglio. il limite che deve essere rispettato dalla τmax. . mentre per la torsione contano solo una volta. usando il mo­ dello di traliccio di Mӧrsch per il taglio e di traliccio spaziale di Rausch per la torsione. Unica accortezza deve es­ sere l'assumere uno stesso valore dell’inclinazione ϴ del puntone per en­ trambi i casi. io avrei suggerito di usare i simboli VRD0. cioè con l’espressione Si noti che TRd1 e VRd2. invece. manca un modello per la trave non armata e quindi alle resistenze ulti­ me di sezione ed armatura sono stati assegnati i pedici 1 e 2 (secondo -me. Anche le armature vengono valutate separatamente. secondo l’Eurocodice 2. nonostante il conseguente incremento di armatura longitudinale. Si invita a fare attenzione. al fatto che le staffe nel taglio contano in funzione del numero di bracci presenti. In presenza di entrambe. è valutata mediante un dominio a forma ellittica. Le armature devono essere valutate separatamente per taglio e tor­ sione. nel fare la somma. e poi sommate. Questa indicazione rende un po' più interessante la possi­ bilità di usare cot ϴ=2 anche per la torsione. rispettivamente.2. La differenza nasce solo dal fatto che per il ta­ glio esiste un modello per valutare la resistenza in assenza di armature (VRd1) e quindi le resistenze ultime di sezione ed armatura sono state contraddistinte con i pedici 2 e 3.422 Capitolo 13 τc0 e τc1 sono all’effetto della singola caratteristica di sollecitazione. VRd1 e VRd2 per il taglio. questa è una piccola cattiveria da parte di chi ha redatto l’Eurocodice 2. e poi sommate. nella torsione. 33 cm2/m.22 cm2. questa quantità potrebbe dimezzarsi se si usasse cot 0=2. soggetta alle caratteristiche di sollecitazione Tsd=32 kNm e Vsd=68 kN. la resistenza della sezione assumendo cot ϴ=2 ed usando t=2 c per la torsione. sono Se si usasse cot ϴ=1 si dovrebbero disporre staffe per 3.0 cm2/m. almeno inizialmente. pari a 5. Così facendo si ottiene per la torsione t= 8cm ' Ak =1144cm2 uk= 148 cm e quindi TRd1 = 39.Torsione 423 Esempio 10. essendo z = 50. As.78 cm2). quattro agli spigoli e due a metà del lato lungo.6 kNm. pari a 3.80=5. per quanto riguarda il taglio. in proporzione alle loro lunghezze.4 cm si ottiene VRd2 = 467. L’armatura necessaria per torsione è Le staffe necessarie a taglio. si avrebbe e diventa necessaria una armatura longitudinale realizzata con 6014 (9. Si verifichi allo stato limite ultimo e si determini l'armatura per una sezione rettangolare 30x60 in calcestruzzo con Rck=25 MPa. Se si decide di usare. considerando staffe a due bracci. queste corrispondono a e quindi occorre incrementare nella stessa misura l’armatura longitudinale e disporre Questa armatura deve essere distribuita in teoria lungo i lati. ad esempio staffe 08/10.ion=9. Se invece si usassero staffe 08/15. che può essere .24 cm2). Si può determinare.54 cm2 al me­ tro.7 kN.74+1. Poiché La sezione va bene e si può considerare qualsiasi valore di cot ϴ sia opportuno. In pratica (se non occorre altra armatura longitudinale per la flessione) si potrebbero mettere 6012 (6. 424 Capitolo 13 . Si prendono pertanto in considerazione i seguenti stati limite di eserci­ zio: .stato limite di deformazione. che può incrementare le già rilevanti deformazioni viscose. . che esamina gli ultimi due pro­ blemi. cioè situazio­ ni che comportano un rapido deterioramento oppure la perdita di fun­ zionalità della struttura. . che esamina il primo problema.danneggiamento del calcestruzzo per eccessiva compressione. che possono pregiudicare l’uso della struttura o dan­ neggiare gli elementi non strutturali. Generalità Gli stati limite di esercizio corrispondono a situazioni limite oltre le qua­ li non sono più soddisfatti i requisiti di esercizio prescritti.vibrazioni.Capitolo 14 STATI LIMITE DI ESERCIZIO 1.stato limite di fessurazione. possono essere rilevanti dal punto di vista dell'esercizio i seguenti problemi: fessurazione del calcestruzzo.deformazioni. . . . . che possono causare anch’esse disturbi o danni. che può influire negativamente sia sull’aspetto che sulla durabilità dell’opera (agevolando la corrosione delle armature).stato limite di tensioni in esercizio. . che può influire negativamente sulla durabilità della struttura.eccessivo stato tensionale nel calcestruzzo. Nel caso del cemento armato. che esamina il secondo e terzo problema. Indicazioni più dettagliate sui valori del carico variabile da considerare nei tre di­ versi casi sono riportate nel capitolo 3. Comportamento di un’asta tesa al crescere dei carichi Per comprendere a pieno in che modo avviene la fessurazione. linearmente elastico (fig. 1 b). un mo­ dello semplificato.426 Capitolo 14 Nelle verifiche agli stati limite di esercizio i carichi permanenti sono sempre considerati con il loro-valore caratteristico: per quanto riguarda i carichi variabili si distinguono tre combinazioni di carico differenti. corrispondenti a diverse probabilità di occorrenza: combinazione rara. 2. Sappiamo bene che il legame costitutivo del calcestruzzo non è line­ are (fig. almeno all’inizio.legame costitutivo del calcestruzzo . essendo lo stato tensionale uniforme in tutti i punti della se­ zione. fissiamo l'attenzione su un’asta soggetta a trazione. nelle verifiche agli stati limite di esercizio occorre sempre far riferimento ad un modello di comportamento lineare (primo o secondo stadio. Fig. Per semplicità consideriamo però. ad esempio la catena di un arco. Si è preferito usare questo esempio. 1 . 1 a). a seconda dei casi) ed effettuare un’analisi strutturale lineare (dal punto di vista meccanico). perché il comportamento di un’asta tesa è più semplice. è utile seguire il comportamento di una trave al crescere dei carichi. Stato limite di fessurazione 2. combinazione frequente e combinazione quasi permanente. anziché riferirsi ad una trave inflessa. Data l’entità dei carichi. In partico­ lare.1. 62x(400+7. 2).16)x10-1=71. Formazione della prima fessura Il comportamento lineare prosegue fino al raggiungimento della tensio­ ne di rottura per trazione del calcestruzzo fctk = 1. Sup­ poniamo quindi che Tasta che stiamo prendendo in esame abbia sezione 20x20.37 MPa Il valore della forza assiale per cui si raggiunge tale tensione (fig. In questa fase tutti i punti dell’asta sono soggetti alla medesima deformazione e di conseguenza la tensione nell’acciaio è n volte maggiore di quella del calcestruzzo.02x1. 3) è denominato sforzo normale di fessurazione. essendo n il coeffi­ ciente di omogeneizzazione Si ha così e la relazione tra forza N e allungamento Al è lineare. come quella tra tensione e deformazione. in calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa.62 MPa.8 kN . Prima della fessurazione Per bassi valori del carico si può ipotizzare una perfetta aderenza tra calcestruzzo e barre di acciaio. N r. e sia armata con 4 barre ϕ14 di acciaio FeB44k (fig.Stati limite di esercizio 427 Fig.02x6.asta soggetta a trazione Mi sembra utile sviluppare un esempio anche numericamente. Il corrispondente valore della tensione nell’acciaio è ϭ s = n ϭ c =7. e vale Nr = fctk (Ac+nAs)=1.62 = 11. 2 . tensioni fbk tra acciaio e calcestruzzo. Per l’equilibrio. riducendone la tensione. 3 . che lavorano quindi alla tensione Si noti che il comportamento delle barre in prossimità della fessura è quello di una barra immersa nel calcestruzzo e soggetta ad una forza che tende a sfilarla. da definire opportunamente.eff. il calcestruzzo non reagisce. e che in tale area la tensione ϭc sia uniforme. ma possiamo per semplicità -ritenere che il fenomeno sia circoscritto ad un’area di calcestruzzo. la prima fessura si innescherà quindi nella sezione meno resistente. In realtà le proprietà del materiale sono diverse da punto a punto. La diffusione delle tensioni nel calcestruzzo non è in realtà unifor­ me. In corrispondenza della fessura. ad una distanza Az dalla fessura si ha .stato tensionale subito prima della fessurazione Il calcestruzzo è ovunque ugualmente sollecitato. scaricano l'acciaio. Ac. e inducono trazione nel calcestruzzo. per aderenza. Nascono quindi. il modello di comportamento corrisponde a quello che viene denominato “secondo stadio” e la forza di trazione è portata solo dalle armature. quindi la rottura per trazione dovrebbe avvenire nello stesso istante in tutte le sezioni. che.428 Capitolo 14 Fig. che non pos­ siamo individuare con considerazioni teoriche (fig* 4). Stati limite di esercizio 429 Fig.stato tensionale dopo la formazione della prima fessura . fino a raggiungere nuovamente il valore fctk ad una distanza^ Contemporaneamente la tensione nell'acciaio si riduce.eff = Ac)> ad una distanza lr dalla fessura anche la tensione nell’acciaio ritorna al valore che aveva subito prima della fessurazione (fig. 4 .comportamento in prossimità della fessura Ipotizzando per semplicità che vi siano m barre uguali. La trazione nel calcestruzzo cresce man mano che ci si allontana dalla fessura. Se tutta la se­ zione di calcestruzzo è soggetta a trazione (Ac. Fig. si ha. 5). 5 . formazione progressiva delle fessure Formazione della successive fessure Sotto uno sforzo assiale praticamente costante (o. che cresce di pochissimo) si formeranno via via altre fessure. Se due fessure sono a distanza superiore al doppio di Zr. II e III stadio. 6 . perché il calcestruzzo non raggiunge la tensione di rottura (fig. 6). più realisticamente. perché per un tratto di ampiezza lr a destra e a sinistra di una fessura esistente la tensione è inferiore a fctk e quindi non si può avere rottura del calcestruzzo per trazione. tra loro si potranno formare altre fessure. Se in­ vece la distanza è inferiore a 2 lr non si potrà formare tra loro una ulte­ riore fessura. All’inizio della trattazione sul cemento armato si è distinto il comportamento del calcestruzzo con tre modelli. indicati come I. perché c’è un tratto in cui ϭc = fctk.430 Capitolo 14 Fig. Si noti che la distanza sr tra due fessure deve essere almeno pari a Zr. Considerazioni sui modelli di comportamento La descrizione delle pagine precedenti mostra che il comportamento di un elemento strutturale in cemento armato è più complesso rispetto a quanto assunto nei modelli semplificati usati nelle verifiche. Nel caso di un’asta tesa questo corrisponde ad ipotizzare che inizialmente il calce- . La distanza sr tra le fessure sarà quindi compresa tra l r e 2 Ir. il calcestruzzo smette istantaneamente di lavorare a trazione (tratto AB) e da allora in poi la forza è assorbita solo dalle ar­ mature (tratto BB?). corrisponde però ad una discontinuità di comportamento. corrispondentemente. Il comportamento complessivo può essere analizzato in termini di deformazione media εcrm e questa può essere espressa come aliquota della deformazione che si aveva un attimo prima del formarsi delle fessure εcrm = β εcr1 Contemporaneamente la tensione nell’acciaio varia dal valore σsr2. Nella tratta­ zione semplificata. per uno sforzo normale sempre sostanzialmente coincidente con Nr7 lo stato tensionale e deformativo non è più uniforme nelle diverse sezioni. là sua deformazione varia da O al valore εcr1 = fctk / Ec. In realtà quando si sono formate tutte le fessure (fìg. con un legame costitutivo lineare. corrispondente alla rottura del calcestruzzo per trazione. fino ad un minimo non inferiore a σsr1.Stati limite di esercizio 431 struzzo possa sopportare tensioni di trazione. La tensione nel calcestruzzo varia da 0 fino ad un massimo mi­ nore o uguale a fctk. analogamente. 8). e ciò porta ad un crescere delle deformazioni proporzionalmente all'aumentare della forza assiale (tratto O A in figura 7). che aveva raggiunto subito prima della forma­ zione delle fessure. corrispondente al modello di I stadio. coincidente con σcr1. corri­ spondente al modello di II stadio. La deformazione media . Il passaggio tra I e II stadio. la sua deformazio­ ne varia da σsr2 al valore σsr1. rispetto alla deformazione massima εsr2. Si avrà quindi In definitiva. Si può ipotizzare che la defor­ mazione media εcm vari in maniera inversamente proporzionale al cre­ scere di N con la relazione . All'ulteriore crescere della forza di trazione il contributo del calcestruzzo teso si riduce progressivamente. Questo contributo irrigidente del calcestruzzo teso è denominato tension stiffening. Ciò fa sì che l'asta tesa risulti più rigida rispetto a quanto ap­ parirebbe dal modello di comportamento di II stadio.432 Capitolo 14 Fig. mentre il trattò OA rappresenta il comportamento di cal­ cestruzzo e acciaio in tutti i punti dell'asta prima della fessurazione.asta interamente fessurata εsrm sarà ridotta. anche se limitato ai tratti compresi tra una fessura è l'altra. con la stessa proporzione con cui la deformazione media del calcestruzzo cresce da 0 a £crm. Comportamento dopo la fessurazione Si è mostrato che all'atto della fessurazione il calcestruzzo continua a dare un contributo. 8 . do­ po la fessurazione è possibile parlare solo di valori medi della deforma­ zione ed occorre distinguere il comportamento del calcestruzzo (tratto A C) da quello dell'acciaio (tratto A S). si ha . Valore medio della deformazione relativa Come visto. con riferimento al comportamento di II stadio. L’am­ piezza delle fessure sarà proporzionale alla differenza di allungamento Ma. 9 . l'accialo ha un allungamento maggiore del calcestruzzo.relazione tra forza assiale e deformazione dopo la fessurazione Contemporaneamente la deformazione media εsm deiracciaio tende ad avvicinarsi al valore εs2 previsto dal modello di II stadio e può essere espressa da L’andamento complessivo dei diagrammi forza-deformazione è mostrato in figura 9.Stati limite di esercizio 433 Fig. 0.2. Sulla base delle considerazioni riportate nel paragrafo precedente. con deformazioni ei ed 82 ai bordi (con ε1 > ε2) sì può assumere un valore intermedio Si noti che nel caso di trazione con barre ad aderenza migliorata.8 nel caso di barre ad aderenza migliorata. β=1. l’Eurocodice 2 indica come distanza me­ dia (in mm) tra due fessure il valore Il coefficiente. pari a 0.8.0 nel caso di trazione pura. secondo l’Eurocodice 2. cui si riferisce l'esempio trattato. secondo la normativa L'ampiezza media delle fessure può essere determinata moltiplicando la distanza media tra/le fessure Srmy per la differenza di deformazione me­ dia acciaio-calcestruzzo (denominata ema che sarebbe forse più cor­ retto chiamare Δεm) Il valore caratteristico (Trattile 5%) dell’ampiezza delle fessure può esse­ re determinato amplificando il valore medio con un opportuno coeffi­ ciente Per fessurazione indotta dai carichi si deve assumere.3 quando la dimensione minima è minore di 300 mm.7 in sezioni con dimensione minima maggiore di 800 mm.434 Capitolo 14 2.7. indica il riferimento ad un valore prossimo a 2 Ir. il rapporto fctk / fbk quindi il prodotto k1 k2.5 per flessione semplice. La percentuale geometrica di armatura pr deve essere calcolata come rapporto tra l'area di armatura tesa e l'area “efficace" di calcestruzzo. un valore interpolato per dimensioni intermedie.6 per barre lisce. Il coefficiente k2 tiene conto della forma del diagramma delle deformazioni ed è pari a 1. k1 tiene conto delle proprietà di aderenza delle barre e deve essere assunto pari a 0. sempre β=1. Ampiezza delle fessure. nel caso di tensoflessione. . Per fessurazione indotta da deformazione impedita si deve invece assumere β=1. ma anche di dati sperimentali. 1. Il coefficiente β2 tiene conto della durata di carico e vale 1. 0. che i limiti di apertura delle fessure andrebbero concordati col committente. Limiti all'ampiezza delle fessure La normativa italiana agli stati limite indica precisi valori dell'ampiezza massima delle fessure (0. 0. 0. 10 . differenziati a seconda della maggiore o minore aggressività dell’ambiente.5 per barre lisce. ovviamente. 0.0 per un singolo carico di breve durata. copriferro di cal­ colo. come principio generale. Il coefficiente β1 tiene conto delle proprietà di aderenza del­ le barre e vale 1.0 per barre ad aderenza migliorata. nonché della combinazione di carico e della sensibilità dell'armatura alla corrosione. solo se vi è uno sforzo normale di compressione.5 c. In alcuni casi particolari impone addirittura che la sezione risulti totalmente compressa (cosa possibile. La differenza di deformazione media acciaio-calcestruzzo deve esse­ re calcolata con l’espressione nella quale tutte le tensioni sono determinate con riferimento al modello di II stadio.5 per carico di lunga durata o più cicli di carico. mai in presenza di flessione semplice). L’Eurocodice 2 asserisce invece.2. in assenza di requisiti . Aggiunge però che. 10). essendo c.Stati limite di esercizio 435 Fig.area “efficace” di calcestruzzo cioè l?area che circonda tale armatura.4 mm).1. per quest’ultima si può fare rife­ rimento ad un tratto di altezza pari a 2. la distanza tra baricentro dell'armatura e bordo teso (fig. tenen­ do conto della funzione e della natura della struttura e dei costi inerenti al contenimento delle fessure. 9 kNm mentre usando i valo­ ri dell’esempio 4 si può trovare immediatamente lo stato tensionale provocato dal momento M= 90 kNm.436 Capitolo 14 specifici e di particolare aggressività dell’ambiente. al di là di un calcolo rigoroso. Esempio 1.56 cm2. per la quale il momento flettente e.7 MPa.8 perché le barre sono ad aderenza migliorata e k2 = 0:5 perché la sezione è soggetta a flessione semplice. l’armatura tesa è costituita da 4 barre 020 e per­ tanto il diametro da usare nel calcolo della distanza media tra le fessure è ϕ = 20 mm (se le barre fossero state diverse si sarebbe fatta una media pesata dei diametri). Data una sezione rettangolare 30x50 in calcestruzzo Rck=25 MPa armata con 4ϕ20 inferiori e 2ϕ14 superiori in acciaio FeB44k. una stima rapida ma effi­ cace della tensione nell’armatura tesa potrebbe essere ottenuta invertendo la formula di progetto dell’armatura Nella sezione in esame. ai quali si rimanda per la determinazione dello stato tensionale prima e dopo la fessurazione e del momento di fessurazione. Mr = 28. M=90 kNm Questa sezione è già stata esaminata negli esempi da 1 a 5 del capitolo 9. La distanza media tra le fes­ sure è quindi cioè quasi 10 cm. un limite di 0. In particolare. nonché del fatto che . in particolare la tensione nell’acciaio σs = 177. Tenendo conto che β1 = 1 perché le barre sono ad aderenza migliorata e β2 = 0.5 x 4) = 300 cm2 e quindi la percentuale geometrica di armatura è Si ha inoltre k1 = 0.5 perché il carico è di lunga durata (essendo la combinazione quasi permanente).3 mm nella combinazione di carico quasi permanente può essere considerato soddisfacente nei riguardi sia dell’aspetto che della durabilità. L’area dell’armatura tesa è As = 12. nell’esempio 2 si è determinato il momento di fessurazione. si determini l'ampiezza delle fessure nella combinazione di carico quasi permanente. mentre l’area della sezio­ ne tesa efficace è Act = 30 x (2. Faccio notare che. con copriferro c=4 cm. Controllo della fessurazione senza calcolo diretto Finché i limiti allo stato fessurativo non sono troppo stringenti è possi­ bile contenere l'ampiezza delle fessure seguendo semplici accorgimenti pratici.3.14 mm Si può ritenere accettabile questo valore. à cui corrisponde una rilevante ampiezza della fessura. descritta in precedenza. sotto carichi elevati. niente vieta che l'acciaio possa addirittura sner­ varsi: le verifiche allo stato limite ultimo prevedono proprio che. i carichi. . perché inferiore a 0. Indicazioni in tal senso fanno parte delle “regole di buona pro­ gettazione” che gli ingegneri esperti si tramandano. che ha un incremento notevole della tensione.Perché si formi una successiva fessura è necessario incrementare. .Stati limite di esercizio 437 data la linearità comportamento nel secondo stadio (col quale devono essere calcolate le tensioni σsr e σs La deformazione media è Come si può notare.Con la formazione della fessura. la maggior parte della trazione nella sezione è portata dal calcestruzzo.7 x 97. Ma se le armature nella prima sezione fessurata sono snervate questo incremento non è possibile se prima non si arri­ va all'incrudimento delle armature. l'armatura tesa sia snervata. tutta la trazione portata prima dal calcestruzzo passa all'acciaio.sul comportamento in esercizio. Percentuale minima di armatura Un primo problema è facilmente comprensibile ripensando all'evoluzio­ ne dello stato fessurativo. che incide sulla deformazione media solo per il 5%. Di per se. . Il valore-caratteristico dell’ampiezza delle fessure è wk = 1. in questo caso si sarebbe potuto trascurare l’effetto del tension stiffening.8 x 0. e l'Eurocodice 2 prova a tradurle in precise prescrizioni.3 mm. data la non linearità del comportamento ultimo. E' quindi necessaria una forte de­ formazione. tanto che lo stato tensionale nel­ l'acciaio è irrisorio. niente si può dire con certezza — a priori . anche se di poco. 2.000843 = 0.Prima che sì formi una fessura. . il valore maggiore.eff.2) è so­ stanzialmente analoga In questa formula. es­ sa produce una tensione e quindi. si vede che la prescrizione porta. Pensando ancora.15% della se- . per semplicità.438 Capitolo 14 Diventa quindi di fondamentale importanza limitare lo stato tensionale nell'armature subito dopo la fessurazione. Rimane da definire il va­ lore k.9 f y k (cioè il 90% del valore caratteristico della tensione di snervamento).4. sarebbe quindi sbagliato far riferimento al frattile 5% e bisognerebbe considera­ re. La tensione nell'acciaio. si ha E in effetti la formula prescritta dall'Eurocodice 2 (punto 4. Per questo motivo l'Eurocodice suggerisce di usare il valore f ct. Se si fanno quattro conti. si noti che la situazione è tanto più preoccupante quanto maggiore è questo valore. ad un valore non molto discosto dallo 0. resistenza a trazione del calcestruzzo al momento della fessurazione. dopo la fessurazione.eff — 3 MPa. k c = 0. invertendo la formula. invece. in caso di sezione inflessa. semmai.5 ad 1. k c un coefficiente che tiene conto del tipo di distribuzione di tensioni nella sezione subito prima della fessurazione (kc = 1 in caso di trazione pura. secondo il NAD italiano non deve superare il valore 0. introdotto per tener conto degli effetti di tensioni auto-equilibrate non uniformi. ma io confesso di prendere sempre. per sempli­ cità. Per quanto riguarda la tensione di trazione fct.2. ad un'asta tesa si può calcolare la forza di trazione Fc sopportata dal calcestruzzo teso al momento della fessurazione Quando. il frattile 95%.4 in caso di flessione semplice). A c t è l'area di calcestruzzo nella zona tesa (prima del­ la formazione delle fessure). questa forza viene passata all'acciaio. il suo valore può andare da 0. Ad esempio.diametri massimi e spaziature massime (barre ad aderenza migliorata) . cioè 2ϕ14. Questo valore è abbastanza basso. Il limite può diventare rilevante nel caso di travi di fondazione. Diametro massimo e distanza massima tra le barre Ulteriori indicazioni si ricavano pensando al fatto che. L’Eurocodice 2 prescrive quindi di calcolare la tensione nell'armatura.7 cm2 di armatura. e che questa distanza cresce con il diametro 0 e si riduce all'aumentare della percentuale di armatura ρr. a parità di area di armatura da disporre.Stati limite di esercizio 439 zione totale di calcestruzzo. con riferimento alla combinazione di carico quasi permanente. prescrizione questa già presente da tempo nella normativa italiana. limitare il diametro delle barre ed anche la distanza tra di esse (minore distanza potrebbe equivalere in teoria a minore area efficace e quindi percentuale di arma­ tura maggiore). che hanno spesso una dimensione notevole. e di valutare diametro massimo e distanza massima tra le barre in funzione di tale tensione. le fessure hanno ampiezza tanto maggiore quanto più gran­ de è la loro distanza media. In tal caso io conteggio. tutta l’armatura che è disposta nella zona tesa. Tab. 1 . però. a parità di stato tensionale. E quindi opportuno. compresa quindi l’armatura di parete. almeno per le comuni travi di un edificio. secondo i valori indicati in tabella 1. per una sezione 30x60 equi­ vale a richiedere sul lato teso 2. con copriferro c=4 cm. abba­ stanza soggettivo. si determinino i limiti di normativa per un controllo della fessurazione senza calcolo diretto e si verifichi se sono rispettati. Tasse neutro non è esattamente a me­ tà. ma la differenza è irrilevante). Interpolando a occhio i valori della tabella 1.440 Capitolo 14 Analoghe prescrizioni sono fornite per diametri e spaziature delle barre longitudinali da disporre in strutture in cemento armato precom­ presso. Stato limite di deformazione Una eccessiva deformazione degli elementi strutturali può comportare seri problemi di funzionalità. Si noti che nella maggior parte dei casi che si incontrano nella pra­ tica professionale disporre barre non superiori ai 020 e distanziarle di non più di 20 cm (in caso di flessione) garantisce che le fessure abbiano un'ampiezza accettabile. Data una sezione rettangolare 30x50 in calcestruzzo Rck=25 MPa armata con 4ϕ20 inferiori e 2ϕ14 superiori in acciaio FeB44k.7 MPa (co­ me visto nell'esempio precedente). in re­ altà. oltre a questo fastidio. La minima armatura che deve essere presente in zona tesa è L'armatura disposta è abbondantemente superiore a tale valore (si noti che nel calcolo si è assunto per semplicità che l’area tesa sia metà della sezione. Ma. Questo appare chiaro a chiunque abbia vi­ sitato vecchi edifici con solai in legno. essendo l’armatura non simmetrica. 3. poggiati su un tale solaio non riescono a se­ . specie se di luce notevole e degra­ dati nel tempo: la deformazione è visibile a occhio nudo (e una pallina posta sul pavimento rotola verso il centro della stanza) e camminando si sente il solaio che oscilla (e certi soprammobili iniziano a tintinnare per le vibrazioni indotte dal nostro passo). le deformazioni hanno conseguenze oggettive. Ad esempio i tramezzi. Esempio 2. per la quale il momento flettente è M=90 kNm nella combinazione di carico quasi permanente. La tensione provocata dal momento flettente M= 90 kNm è 177. rigidi. Poi­ ché nel caso in esame le barre in zona tesa hanno diametro 020 e distanza mu­ tua di meno di 10 cm. le indicazioni sono ampiamente rispettate. nonché per il passo delle staffe. si ha come diametro massimo 28 mm e come spaziatura massima 275 mm. L’Eurocodice 2 asserisce. nel secondo all’intera sezione geometrica più le armature omogeneizzate. .se molto deformabile consente il ristagno dell’acqua nell'avvallamento. dovuta ai carichi applicati dopo la co­ struzione di tali elementi. che i limiti di de­ formazione andrebbero concordati col committente. nonché delle funzioni della struttura stessa.alcune zone della trave sono sicuramente fessurate. dei tramezzi. supera 1/500 della luce. fortunatamente rarissimi. macchinari o impianti particolari possono avere pro­ blemi di funzionamento se la loro posizione si discosta troppo dall’oriz­ zontale. nel primo caso occorre far riferimento alla sezione reagente omogeneizzata. Infatti: . .di solito le armature disposte variano lungo la trave.Stati limite di esercizio 441 guirne elasticamente le deformazioni e di conseguenza si fessurano. perché po­ trebbero indurre un effetto di risonanza che potrebbe portare al crollo (per questo motivo una truppa in marcia rompe il passo quando deve at­ traversare un ponte). Ed in casi. bisogna quindi tener conto dell’effetto irrigidente del calcestruzzo teso (tension stiffening). le inflessioni possono causare danni ai tramezzi se la freccia. In qualche caso. poi. ma l’acqua pesa ed aumenta la freccia. come principio generale. anche se la sua sezione geometrica si mantiene costante essa deve essere vista come trave a sezione variabile. e così via con un ef­ fetto a catena. quindi un ulteriore incremento della freccia.il modulo elastico del calcestruzzo varia con la stagionatura. delle finiture. si sono avuti crolli per il cosiddetto effetto piscina: una copertura con pendenza quasi nulla . Una valutazione rigorosa della freccia in strutture in cemento ar­ mato è molto più complessa di quanto non lo sia per le strutture in ac­ ciaio. la zona compresa tra due fessure non è inerte. Infine. Aggiunge però che l’aspetto e la funzionalità della struttura possono essere pregiudicati se la freccia dovuta ai carichi qua­ si permanenti supera 1/250 della luce. mentre altre pos­ sono non esserlo. . quindi. tenendo conto della natura della struttura. anche le vibrazioni sono pericolose. ciò consente l’accumulo di ulteriore acqua. si noti che la fessurazione dipende dai carichi applicati durante la vita della struttura e non solo da quelli applicati al momento che si considera. perché ad esempio una trave semplicemente appoggiata ha.a. che dipendono dalla storia di carico e dalle condizioni ambientali.valori base del rapporto luce/altezza utile per travi in c. 2 . Se è noto il rapporto di armatura. dal fatto che le travi siano molto o poco sollecitate. che consistono nel rispettare adeguati limiti del rapporto tra luce ed altezza della trave.5 m. Per ovviare a questi problemi l’Eurocodice 2 consente di usare regole semplici per limitare la freccia. I valori base del rap­ porto luce/altezza utile sono riportati in tabella 2. frecce maggiori di una campata intermedia di trave continua. Tab. Come si vede.5%. Il modo più semplice per giudicare quanto una trave sia sollecitata è esaminarne l'armatura.5%. “molto sollecitato” un elemento con p maggiore di 1.442 Capitolo 14 — occorre tener conto degli effetti viscosi. Ma i limiti de­ vono anche dipendere dall’entità del carico e quindi. I valor indicati in tabella devono essere ridotti (ovvero si deve aumentare l’al­ tezza della sezione) per travi di luce maggiore di 7 m e piastre di luce maggiore di 8. indirettamente. a parità di luce e carico. . per­ ché sicuramente una trave molto sollecitata sarà anche molto armata. Per questo motivo l’Eurocodice 2 definisce “poco sollecitato” un elemento in cui la percentuale di armatura nella sezione è inferiore a 0. si possono ottenere per interpolazione valori intermedi tra i casi di calcestruzzo molto o poco sollecitato. essi so­ no legati innanzitutto allo schema strutturale. l’Eurocodice 2 suggerisce di valutarlo col valore me­ dio della resistenza a trazione. Mr è il momento di fessurazione. ridotto in funzione del coefficiente di viscosità ϕ b) determinare la freccia fi nell’ipotesi di sezione non fessurata (primo stadio). occorre effettuare il calcolo della freccia.eff' } determinare il coefficiente ζ. anche se non tali da superare tutti i problemi. Per quanto riguarda il momento di fessurazione.2). cioè determinando il momento d’inerzia li della sezione co­ stituita da tutto il calcestruzzo più le armature (omogeneizzate con n=15). oppure se il committente richiede limiti di deformazione più stringenti. per quanto riguarda il momento agente. per tener conto della viscosità. si deve utilizzare come modulo elastico il valore E c . L’appendice 4 dell’Eurocodice 2 fornisce alcune indicazioni utili.Stati limite di esercizio 443 Se le indicazioni sul rapporto luce/altezza utile non sono rispettate. M il momento agente.eff. nell’espressione. anche in questo caso si deve utilizzare il modulo elastico effi­ cace Ec. usando un modello adeguato. dato che l’obiettivo è di tener conto dell’in­ fluenza media del tension stiffening nella trave. cioè determinando il momento d’inerzia In della sezione co­ stituita dal calcestruzzo compresso più le armature (omogeneizzate con n=15). . βi e β2 assumono i valori già indicati con riferi­ mento alla fessurazione (par. 2. credo sia più corretto considerare un valore medio del mo­ mento lungo la trave. c) che tiene conto del tensìon stiffening e consente di valutare quanto il comportamento reale sia intermedio tra i due casi limite considerati in precedenza. La via più semplice può essere codificata nella seguente procedura: a) determinare la freccia fu nell’ipotesi di sezione fessurata (secondo stadio). non si può ritenere direttamente accet­ tabile l'inflessione della trave ed occorrerà effettuare un calcolo più rigoroso. si ha Questo valore è di poco inferiore a quello che definisce la trave come molto sol­ lecitata. . I limiti del rapporto L!d sono 32 e 23.20 my ha sezione 70x24 ed è armata con 6ϕ20 superiori ed altrettanti inferiori. se il primo valore già rispetta i limiti è inutile proseguire con i passi successivi della procedura. ciascuna di luce 5. Verificare con le indicazioni semplificate dell'Eurocodice 2 se le inflessioni sono accettabili.4. Interpo­ lando. con l'espressione Si noti che. poiché è sempre fII > f > fI.444 Capitolo 14 d) determinare infine la freccia f della trave come valore intermedio tra i due valori limite. come si può facilmente intuire. Poiché lo schema è di due campate. Poiché. si dovrà aumentare l’altezza utile della sezione della trave portandola a Si dovrebbe quindi usare una sezione alta 26 cm anziché 24 cm. e quindi nelle situazioni ordinarie non vale la pena seguire questa via. Occorre innanzitutto determinare la percentuale di armatura. l’altezza utile è d=20 cm. L’inflessione viene poi calcolata mediante inte­ grazione numerica delle curvature. In tal modo si tiene conto sezione per sezione di quanto il momento sia superiore a quello di fessurazione. ognuna può considerarsi come campata di estremità di uno schema di trave continua. Esempio 3. Nella situazione in esame si ha Poiché questo valore è superiore al limite. il valore limite L/d — 24. Una trave continua di due campate. pensando a un copriferro di calcolo c=4 cm. In alternativa. per giudicare se la trave è poco o molto sollecitata. si ottiene per p=1. Una maniera più sofisticata potrebbe consistere nel suddividere la trave in conci di lunghezza non elevata ed utilizzare la procedura in­ nanzi descritta per calcolare la curvatura in ciascun concio.35% . L'onere richiesto da questo calcolo è però notevole. rispettivamente per calcestruzzo poco e molto sollecitato. 95. senza ulteriori calcoli. seguendo le indicazioni dell’appendice 4 dell’Eurocodice 2 e sapendo. il baricentro della sezione omogeneizzata si trova a metà altezza ed il momento d’inerzia vale . che la trave rispetta i limiti deformativi di normativa. In quésto caso. che nella combinazione di carico quasi permanente il carico agente è 18 k N / m e che il coefficiente fìnale di viscosità è ϕ=2. data la simmetria delle armature.1 del capitolo 9 si ricava la distanza x dell'asse neutro dal bordo compresso Poiché la freccia fu è già inferiore al limite si può dire.Stati limite di esercizio «5 Esempio 4. 3. si deve calcolare la freccia per trave non fessurata. che la trave è in calcestruzzo di classe RCk = 25 MPa. Usando le espressioni riportate nel par. Se si vuole comunque proseguire il calcolo per stimare la freccia tenendo conto del tension stiffening. Si calcola innanzitutto il momento d’inerzia nella sezione fessurata. Si verifichi l’ammissibilità della freccia della trave dell’esempio precedente. Quest'ultimo stato limite è invece ri­ ferito solo a chi opera col metodo degli stati limite. fctm =2. rappresentano problemi già noti anche a chi opera col metodo delle tensioni ammissibili. al posto del valore caratteristico. Essendo β1 = 1 perché le barre sono ad aderenza migliorata e β2 = 0. il coefficiente. da due problemi.446 Capitolo 14 Il momento di fessurazione si ricava imponendo che la tensione di trazione massima nel calcestruzzo sia uguale alla sua resistenza a trazione Il momento d’inerzia dovrebbe probabilmente essere calcolato con n = Es/Ec=7. Contemporaneamente. perché il metodo delle tensioni ammissibili già di per sé impone limiti alle tensioni di esercizio. per la possibile corrosione delle armature) lì considerati.02 e non n = 15. Limitazione delle tensioni in esercizio I primi due stati limite di esercizio presi in considerazione. ma comporta gli stessi problemi (estetici ma soprattutto di durabilità. quindi vale I = 97572 cm4.5 perché il carico è sostanzialmente permanente. quindi M = 30. ζ. fessurazione e deformazione. Innanzitutto.31 MPa. un tal tipo di lesioni non è preso in considerazione nel­ lo stato limite di fessurazione.42 kNm. come già detto all'inizio. vale La freccia vale quindi 4. Ma anche eccessive tensioni di trazione nell'acciaio posso- . Si ottiene così Il momento flettente massimo provocato dal carico è Posso ritenere che una stima sufficientemente rappresentativa del valore me­ dio del momento lungo la trave sia la metà di tale valore. forti ten­ sioni di compressione possono produrre fessure parallele alla direzione di compressione. L'esigenza di tenere sotto controllo lo stato tensionale in esercizio nasce. seguendo i sug­ gerimenti dell'Eurocodice è opportuno usare il valore medio della resistenza a trazione. I limiti da rispettare. Potrebbe invece non esserlo nei casi in cui si sono sfruttati pesantemente i vantaggi dello Tab. imponendo limiti più bassi e cancellando quel riferimento che consentiva di evitare la verifica. determinato ipotizzando che il ma­ teriale abbia un comportamento elastico lineare. L'altro aspetto è quello delle deformazioni viscose. La versione originaria dell'Eurocodice 2 impone limiti allo stato tensionale in esercizio che in verità non sono particolarmente condizionanti.limiti dello stato tensionale in esercizio.Stati limite di esercizio 447 no portare a deformazioni clastiche che comporterebbero fessure ampie e permanentemente aperte. che possono crescere più del previsto se lo stato tensionale è particolarmente elevato. tanto che è espressamente . 3 . ma che il calcestruzzo sia incapace di resistere a trazione (secondo stadio). secondo il NAD italiano . l'omogeneizzazione delle armature deve essere fatta utilizzando un coefficiente n = 15„ Nonostante l’abbassamento dei limiti. Lo stato tensionale deve essere. La verifica allo stato tensionale in esercizio è quindi sicuramente rispettata nei casi in cui tensioni ammissibili e stato limite ultimo portano agli stessi risultati (ad esempio. sono riportati in tabella 3. detto che una verifica dello stato tensionale in esercizio non è necessaria se si sono seguite tutte le prescrizioni genera­ li della norma (modalità di calcolo e dettagli esecutivi) e non si è fatta una ridistribuzione superiore al 30% nel calcolo allo stato limite ultimo. Il NAD italiano è intervenuto pesantemente su questo punto della norma. si può notare che questi sono comunque maggiori rispetto alle tensioni ammissibili. armatura). per elementi strutturali in cemento armato ordinario. travi inflesse a semplice. sapendo che essa è posta in am­ biente marino ed è sollecitata da un momento M= 150 kNm nella combinazione di carico rara e M= 120 kNm nella combinazione quasi permanente. oppure quando nell’analisi si è fatta una rilevante ridi­ stribuzione dei momenti flettenti). effettuare solo per essi la verifica e. la tensione massima nel calcestruzzo è e quella nell'acciaio I limiti previsti dal NAD italiano (per ambiente marino) sono: Entrambi i limiti sono rispettati. La posizione x dell’asse neutro è ed il momento d’inerzia della sezione reagente omogeneizzata Nella combinazione di carico rara. in acciaio FeB44k. Operativamente. Una trave di sezione 30x60 in calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa è armata con 2ϕ14 superiori e 4020 inferiori. . La determinazione dello stato tensionale segue lo stesso procedimento già visto per le verifiche a flessione nel secondo stadio. Verificare se la trave rispetta i limiti di tensioni in esercizio. per travi inflesse con forte armatura in compressione. Nella combinazione di carico quasi permanen­ te. se soddisfatta.448 Capitolo 14 stato limite ultimo (ad esempio. la tensione massima nel calcestruzzo è Il limite previsto dal NAD italiano (per ambiente marino) è: Anche questo limite è rispettato. Esempio 5. concludere che la struttura rispetta i requisiti tensionali in esercizio. conviene individua­ re i casi più significativi nella struttura che si è calcolata (nel numero minimo possibile). la tensione massima nel calcestruzzo è Anche questo valore supera. con sezione 30x50 ed armatura superiore costituita da 4014. Verificare se anche in questo caso la trave rispetta i limiti di tensioni in esercizio. inferiore da 5ϕ20. La verifica sarebbe invece pienamente soddisfatta se l’elemento fosse posto in am­ biente non aggressivo. lo stato tensionale in esercizio risulta non accettabile. la trave poteva essere realiz­ zata anche. In questo caso. la tensione massima nel calcestruzzo è e quella nell’acciaio In questo caso la verifica è rispettata per l’acciaio ma non per il calcestruzzo. anche se di poco. Nella combinazione di carico quasi permanente.Stati limite di esercizio 449 Esempio 6. La posizione dell’asse neutro è ed il momento d’inerzia della sezione reagente omogeneizzata Nella combinazione di carico rara. . sia pure di poco. forzando un po’ il dimensionamento. Per sopportare le stesse sollecitazioni. Il procedimento da seguire è lo stesso. il limite imposto dal NAD. quindi. 450 Capitolo 14 . Bibliografìa 1. 10. CA e CAP. Mӧnnig. 0. Leonhardt. Il calcolo del cemento armato con i me­ todi delle tensioni ammissibili e degli stati limite. E. Elementi di tecnica delle costruzioni. Pozzati. Nilson. Teoria e Tecnica delle costruzioni. Ed. P. cemento armato e cemento armato precom­ presso. Santarella. Belluzzi. McGraw-Hill. Mola. vol. Masson. calcolo di progetto e tecniche costruttive. Napoli. Il cemento armato. L. F. 9. Foraboschi. 2. A. Vol. Zanichelli. Cestelli Guidi. Milano. F. E. Torino. 8. Pitagora. Scienza delle costruzioni. Le basi del dimensionamento nelle costruzioni in cemento armato. Masson. E. Masson. Paulay. 4. Milano. . 6. Milano. Teoria e tecnica delle strutture. Progetto agli stati limite delle strutture in c. 13. 2. 2A e 2B. A. 7. G. Design of concrete structures. T. voll. Tecnica delle costruzioni. Hoepli. Milano. 1. Milano. Migliacci. R.. McGraw Hill R. Liguori. Hoepli.H. C. P. UTET.F.a. 3. Toniolo.1. Milano. Radogna. John Wiley & Sons. 12. 2. Giangreco. Edizioni di Scienza e Tecnica. Park. Bologna. Costruzioni compo­ ste acciaio-calcestruzzo. Teoria e tecnica delle strutture. Reinforced Concrete Structures. E. 5. Pozzo. Calzona. Milano. Inc. 11. Cemento armato. Bologna. Calcolo del cemento armato. Vol. Vol. sono presenti solo nel CD (ma il link ad essi compare anche nel sito). la stessa cosa ma un certo numero di file. Ghersi.it/users/aghersi/index. se qual­ cuno è veramente interessato al CD può richiederlo al mio indirizzo email aghersi@dica. Gli argomenti più strettamente correlati a questo li­ bro sono riepilogati in una pagina che parla del libro. attualmente non in commercio. in un CD1. Comunque. da me prodotto o raccolto. ma se posso cercherò di inviarlo . Non garantisco niente. è nato con finalità didattiche. 1). Abbondante è il materiale relativo al cemento armato.it”. vedere cosa succede per sezioni diverse. Innanzitutto. Blandini. Progetto di elementi strutturali in cemento armato. alla quale si acce­ de mediante un link dalla pagina principale del sito (fig. L. o diversamente sollecitate o armate. sono disponibili i file Excel che ho utilizzato per tutti gli esempi numerici del libro.dica. per fornire agli studenti una guida nello svolgimento del progetto — col 1 La maggior parte del materiale è già presente nel sito. più ingombranti e meno importanti. CUEN”. in formato pdf. Mi sembra quindi utile dare. cambiando i dati. nel sito dell’Università di Catania “www. Sito e CD sono. negli ultimi anni ho organizzato il tutto. Il testo. parallelamente.Appendice Ormai da parecchi anni metto a disposizione il materiale didattico e scientifico.unict.htm”.unict. in coda al testo. in sostanza. qualche indicazione su cosa può esse­ re trovato nel sito.“A. ma anche. Poiché il materiale è via via cresciuto. Grazie ad essi è possibile vedere in che modo ho svolto i calcoli (poi riportati nel libro). un testo di 128 pagine:. E poi disponibile. trave. Sono anche disponibili i relativi elaborati grafici. L’esempio era nato come relazione di calcolo.pagina iniziale del sito e del CD metodo degli stati limite — di un edificio in c. 1 .a.454 Appendice Fig. Può costituire . soggetto prevalentemen­ te a carichi verticali (con i suoi elementi base: solaio. in formato dwg. alla quale sono stati aggiunti man mano dei commenti operativi. pilastri. tra­ ve di fondazione). per sezioni di dimensioni assegnate. un utile strumento per effettuare la verifica o il progetto di sezioni in c. 2). e per confrontare quello che si ottiene usando i diversi metodi (tensioni ammissibili o stati limite). denominato EC2 (fig. Faccio inoltre presente che in alcuni punti non è perfettamente concordante col presente libro. consente anche il progetto delle armature. sia perché nel tempo ho apportato alcune semplificazioni procedurali (ad esempio nella verifica a flessione). Prevede tutti i tipi più comuni di sezione. ma colgo l'occasione per fornire qualche indicazione. 2 . taglio. Fig. è un programma che ho rea­ lizzato nell'ormai lontano 1997. consente di effettuare verifiche a flessione retta. ma come spesso capita il lavoro è rimasto incompiuto ed il manua­ le non è disponibile. purché dotata di un asse di simmetria. sia perché l'esempio era stato preparato prima dell’Ordinanza 3274 (che comporta comunque condizionamenti. Il programma.. anche prescindendo dalla sismicità della zona). fessurazione.a. purché non ci si dimentichi della sua origine “didattica”. ma consente di descrivere anche una sezione generica. Infine.Appendice 455 una guida utile anche per un professionista. Avevo iniziato a preparare un manuale d'uso.finestra principale del programma EC2 . L'uso del programma è abbastanza intuitivo. torsione. semplice e composta. Se l’opzione è settata. in un file EC2.cfg. In caso di dubbio.M. giusto per dare maggiore varietà d’uso. che il programma è stato realizzato pen~ Fig. che viene posto nella cartella del programma. a titolo informativo. Per evitare di cam­ biare queste impostazioni ogni volta. Al primo avvio le scelte di default sono: “sistema di misura internazionale” ed “Euroeodice 2. 14/2/92.cfg. suggerisco di cancellare il file EC2. al calcolo agli stati limite secondo il D.armatura longitudinale.M. 3 . e questo a volte può dar luogo a problemi. con o senza le modifiche del NAD italiano. sia le opzioni anzidette che altre informa­ zioni.456 Appendice Il programma consente di effettuare calcoli utilizzando il sistema di misura tecnico o quello internazionale e riferendosi all'Eurocodice 2. relative all'ultima sezione utilizzata o a modifiche di parametri di controllo richiesti nelle verifiche. Aggiungo. an­ che se non credo che queste possibilità siano mai state usate in pratica. La scelta del sistema di misura e della normativa da utilizzare può essere fatta mediante le corrispondenti voci nel menu Opzioni. con modifiche del NAD italiano”. si ritroverà il parametro modificato anche al succes­ sivo avvio del programma. 9/-1/96 o al metodo delle tensioni ammissibili secondo il D. Capita a volte di modificare qualche parametro e poi di non ricordarsene più. Consente anche di modifi­ care i fattori di sicurezza parziali e le deformazioni limite del materiale (sempre dal menu Materiale). Il programma consente di modificare le caratteristiche dei materiali (voci Calcestruzzo e Acciaiò del menu Materiale). con strati aggiuntivi . Così facendo vengono me­ morizzate. assegnata in fase di installazione (in genere C:\Programmi\EC2). magari senza ricordarselo. sempre nel menu Opzioni. Vorrei però invitare a fare un po' di at­ tenzione se si è settata l'opzione Salva impostazioni in uscita. è possibile settare l'opzione Salva impostazioni in uscita. 3). nella verifica il programma tiene conto degli eventuali altri strati di armatura. allo stato limite ultimo. o aumentarlo solo rendendosi conto bene di quello che si sta facendo. E inoltre possibi­ le salvare il dominio M-Ny sia come immagine (come file dxf) che come file di testo. 4). Per quanto riguarda la flessione. Per quanto riguarda le armature. corrispondente ad una qualsiasi cop­ pia M-N.Appendice 457 sando al limite “tradizionale” di deformazione εsu= 10 x IO*3 per l’acciaio. armature di parete. inferiori ed eventuali altri strati) in modo da soddisfare le condizioni li­ mite di tensione o deformazione. nel caso non siano state assegnate armature. oltre all’armatura superiore ed inferiore. il pro­ gramma minimizza la quantità di armatura totale (superiore e inferio­ re) e non considera altri strati di armatura. per minimizzare l'armatura totale la solu­ zione andrebbe verso sezioni a forte armatura tesa. assegnando se si vuole sia un momento negativo che uno positivo. e di tracciare una crocetta sui domini. mentre nel testo ho preferito non mettere alcun limite. Le prime sono quelle utilizzate per flessione. che contiene le diverse coppie che costituiscono il dominio. a seconda del metodo di verifica. Per controllare ciò è inserita una opzione. rispetto ai valori assegnati (superiori. Il programma consente anche di visualiz­ zare i domini M-N (fig. ma i risultati non cambiano. In questo modo è semplice visualizzare l’effetto di varie coppie M-N e comprendere quale armatura si debba disporre. il programma consente la verifica o il progetto delle armature. Le staffe e le armature di parete sono utiliz­ zate per taglio e torsione. il programma prevede armature longitudinali. L’armatura può essere definita come cm2 o come barre (usando il tasto f per 0). le armature sono variate proporzionalmente. meno duttili. Nel progettare l’armatura. . semplice e composta. Consiglio di la­ sciare il valore di default. anche altri strati di armatura (fig. disegnando più curve corrispondenti a diverse quantità di armature (sempre in proporzione a quelle assegnate). Si tenga presente che a vol­ te. le barre inclinate per il taglio. Per quanto riguarda la pressoflessione. staffe. che assegna un valore limite del rapporto tra posizione dell’asse neutro ed altezza utile. In questo secondo caso. barre inclinate. il programma con­ sente di assegnare. impone che le armature supe­ riori ed inferiori siano uguali. . ma occorre precisare che mediante esso i risultati vengono scritti in una finestra all'interno di quella principale del programma (vedi fig. con la possibilità di scegliere tra staffe. è anche possi­ bile scegliere tra metodo normale e metodo di inclinazione variabile del traliccio. staffe e sagomati. La parte relativa alla torsione ed alla fessurazione sono state ag­ giunte per ultime. che è rimasta anche se ormai il programma è stato ampiamente collaudato anche su questi argomenti. In tutte le finestre che mostrano risultati è presente il tasto Stampa.Domini M-N La parte relativa al taglio consente sia la verifica che il progetto del­ le armature. Il contenuto di questa fi­ nestra dovrà essere salvato poi in un file e quindi manipolato o stampa­ to come un qualsiasi file di testo. 2).458 Appendice Fig. staffe e ferri di pa­ rete. ed al momento della compilazione del programma erano state controllate ma non testate a sufficienza. Una nota finale è necessaria per l’output. 4 . Nel caso dello stato limite ultimo. Per questo motivo era stata aggiunta una nota di avviso. lui pensò: “la porterò ai miei bambini. pensò il contadino. C'era una volta un contadino. grata.. e pensò di dargli le arance. cominciò a piangere e . “le porterò ai miei bambini.E giunti alla fíne. “Cose questa pezza di stoffa che hai con te?” chiese. Quando la portantina passò vicino a lui la principessa si girò a guar­ darlo e gli fece cenno di avvicinarsi. Il bambino ora sorrideva e la nonna. che non le assaggiano da tanto tempo”. Continuò a cammi­ nare e dopo un po’ vide una splendida portantina. Il contadino si disse: “non posso far piangere questo bambino” e gli regalò la farfalla. quando una farfalla si posò su un rametto.. “È seta. rispose il contadino. così potranno giocare con lei' e la legò alla fascina con un filino d’erba. era tutto impolverato e sicuramente veniva da lontano. Era ormai quasi buio ed il contadino proseguì verso casa sen- . “Cosa posso fare per lui?” si chiese. che viveva nella zona più povera del pae­ se. grato. diede al conta­ dino una pezza di seta che aveva con sé. che teneva per mano il nipotino. La principessa accettò e. pen­ sò il contadino. che tornava al suo palazzo. finalmente dissetato. grata. Non riuscendo a mandarla via. Ma continuando a camminare dopo un po’ egli vide Un uomo accasciato contro un albero. Quando il bambino vide la farfalla. Era la principessa. principessa”. pestare i piedi. con una fascina di legna che aveva raccolto. perché la voleva per sé. diede al contadino tre arance. Una sera il contadino stava per tornare a casa. L’uomo. “co­ sì potrò fare un vestito nuovo per i miei bambini”. Dopo un po’il contadino incontrò una vecchietta. si rialzò e. figlia del re. gli diede una pesan­ te borsa. “Bene”. seguita da un gran­ de corteo. “e se ti piace te la regalo”. “Bene”. Gli si avvicinò e capì che l’uomo stava quasi moren­ do per la sete. Un proverbio indiano2 dice ututto ciò che non viene donato va perduto. di professionisti. traduzione interconfessionale in lingùa corrente. Allora avrai un tesoro presso Dio. o qualunque esso sia. a notare che-vicino a noi c’è chi ha bisogno. 10. Dovremo però impara­ re innanzitutto a donare noi stessi. perché nessuno è soltanto un tecnico. Ed il brano del vangelo3 che abbiamo scelto. Dovremo vivere il nostro lavoro. Quante volte ci è capitato di vedere un barbone. siamo esseri umani. e di passare rapi­ damente oltre con lo sguardo. Caro lettore. di ascoltare e di capire veramente gli altri. di dare un sorriso a chi ne ha bisogno. e da allora in poi la povertà divenne solo un lontano ricordo per quella zona del paese. cercando di essere disponibili nei confronti di tutti. tanti anni fa.. Con queste poté comprare dei campi per la sua famiglia e per tutte le famiglie vicine. come lettura in occasione del nostro ma­ trimonio. Il succo di tutto questo è che se saremo pronti a donare agli altri quello che possediamo anche noi ci arricchiremo. Cosa c'entra questa favoletta con un libro sul cemento armato? C’entra. sottolinea quanto sia importante essere disponibili nei confronti degli altri. buttato in un angolo di una strada o di una stazione ferroviaria. di docenti. e quanto bene può venire a tutti dalla disponibilità reciproca. parlando del giovane ricco che chiede a Gesù cosa fare per ot­ tenere la vita eterna dice: “Gesù lo guardò con grande simpatia e gli dis­ se: Ti manca soltanto una cosa: vai a vendere tutto quello che possiedi. ma soprattutto delle singole persone. perché era molto ricco”. come un servizio nei confronti della società.17-31. come se la mente si rifiutasse di cogliere adattata da un racconto di Bruno Ferrero II proverbio è citato più volte nei libri di Dominique Lapierre.460 E giunti alla fine. pur nella sua semplicità infantile. Poi vieni e seguimi!" Ed aggiunge una conclusione molto amara: “A queste parole l'uomo si trovò a disagio e se ne andò via triste. 3 Marco. E poi dovremo essere pronti a guardarci intorno veramente. e come tali dobbiamo porci anche problemi diversi da quelli puramente tecnici. e i soldi che prendi dalli ai poveri. ti sento un po’ perplesso. Quando arrivò si accorse che la borsa era piena di monete dyoro. za nemmeno aprirla. 2 1 Liberamente . La favola1. anche a quello che ritenia­ mo. Anche questo libro. Aurelio Ghersi e Lia Tarricone . un’associazione di volontariato internazionale senza sco­ po di lucro che dal 1972 è impegnata nel campo della cooperazione allo sviluppo e della solidarietà internazionale ed ha realizzato interventi in alcuni paesi africani (Benin. Camerun e Madagascar). spesso erroneamente. di ricerca e di insegnamento. se vuoi.org”. Potrai trovare maggiori informazioni su questa associazione nel sito awww. se riusciremo a vedere in queste per­ sone un nostro fratello che ha bisogno saremo sicuramente pronti a rinunciare a qualcosa di quello che abbiamo. E..E giunti alla fine. perché il 10% del prezzo di copertina sarà destinato ai “Laici Terzo Mondo”. E sappi che acquistando questo libro anche tu stai dando indirettamente un contributo economico concreto a qualcuno che ne ha bisogno. che è un tentativo di mettere a disposizione di tutti le esperienze e le riflessioni di un certo numero di anni di attività professionale. o ad altre di cui tu hai fiducia. 461 quell'immagine di miseria? Ecco. indispensabile. lettore.ltmong. vuole essere un piccolo dono per te. puoi dare anche tu direttamente un contributo a questa or­ ganizzazione.