INTERROGACIÓN 3 – EYP1010Reporte sus resultados con 5 decimales. 1. (0.9 puntos: 0.3 c/u) Un estudio realizado por investigadores, con pacientes con altos niveles de colesterol, demostró que una dieta de 12 dı́as basada en alimentos sin colesterol junto con un poco de ejercicio moderado, desencadena una baja en tales niveles en la sangre. Demostró además que la baja del nivel representa un com- portamiento de tipo normal con una media de 15 % y una desviación estandar del 3 %. Para los investigadores, la disminución de los niveles de colesterol es superior a 13.5 % se considera como un objetivo logrado en su totalidad. (a) Suponga que se someterán a este tipo de dieta 5400 pacientes, determine la cantidad de personas que lograrán el objetivo. (b) Para un grupo de 5 pacientes que realiza la dieta, determine la probabilidad de que todos logren el objetivo en su totalidad. (c) De un total del 200 personas que se someten a la dieta de 12 dı́as. ¿Cuántas se esperan en promedio que logren el objetivo en su totalidad? Solución: Sea X la baja del nivel de colesterol (en porcentaje), X ∼ N (µ = 15, σ 2 = 32 ) (a) P (X > 13,5) = 1 − P (X ≤ 13,5) = 1 − P (Z < −0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915, por tanto de los 5400 pacientes, 3734 lograrán el objetivo. (b) Sea Y el número de pacientes que logran el objetivo de un total de 5. Y ∼ Binomial(n = 5, p = 0,6915). 5 P (Y = 5) = (0,6915)5 (0,3085)0 = 0,1581106 5 (c) Sea W el número de pacientes que logran el objetivo de un total de 200. W ∼ Binomial(n = 200, p = 0,6915), luego E(W ) = n × p = 200 × 0,6915 = 138,3 ≈ 138 personas aproximadamente. 2. (1.6 puntos: 0.4 c/u) Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por f (x), ( x 0≤x≤2 f (x) = 2 0 en otro caso Calcule: 1 es una variable aleatoria normal con media de 4 horas y desviación estándar de 2 horas. tenemos que K̄ ∼ N (0.32 horas. (a) Calcule el cuartil 3 de los tiempos que los alumnos dedican diariamente a estudiar. luego: P K̄ < 1. 22 ) ?−4 ?−4 (a) P (T <?) = 0.4 c/u) El tiempo que un alumno de la carrera de Ciencia Polı́tica. Solución: Sea T el tiempo que estudio los alumnos de Ciencia Polı́tica dedican el curso EYP1010.75 =⇒ P (Z < ) = 0. entonces L también lo tendrá. pero E(X 2 ) = 0 x2 × dx = 2.975 − 0. (c) Calcular la probabilidad de que un estudiante gane entre $ 4000 y $ 7500. Encuentre la distribución de L. luego V (X) = 2 − = 0.04) 300 1 X (b) Sea K̄ = Ki .2222 2 3 3. (a) Encuentre P (K60 > 2. . calcule P K̄ < 1. llamemoslas K1 . (b) Supongamos que cada padre le paga a un hijo por estudiar estas horas diarias y además definamos este pago mediante la función L = L(X) = 1000X + 500. 30/28). 4 × 10002). . . dedica diariamente a estudiar el curso de Probabilidad y Estadı́stica. T ∼ N (4. 300 son independientes con identica distribución podemos decir que por el · Teorema del Lı́mite Central.5 . . 4.75 =⇒ = 0.04) = 1 − 0.5 = P (Z < 1. 2 . Ası́ E(L) = 1000 × 4 + 500 = 4500.66 =⇒? = 5.2 puntos: 0.2 puntos: (a) 0.9192. dado que X tiene distribución normal.5. V (L) = 10002 × 4. .7) Se tienen 300 variables aleatorias independientes con distribución t-student de parámetro gl = 30.4) = 0. . (b) L = 1000X + 500. . (1. 300 i=1 Solución: (a) P (K60 > 2. Interprete. (1. .025 (b) Ya que Ki con i = 1. (b) 0. (a) P (X < 1) (b) P (X = 2) (c) E(X) (d) V (X) Solución: 1 x 1 Z (a) P (X < 1) = dx = 0 2 4 (b) P (X = 2) = 0 Z 2 x 1 2 2 4 Z (c) E(X) = x × dx = x dx = 0 2 2 0 3 2 2 R2 x 4 (d) V (X) = E(X 2 ) − [E(X)] . luego L ∼ N (4500. Nececitamos calcular media y varianza de esta distribución. K300 .04) = 1 − P (K60 ≤ 2. K2 .32 2 2 Luego podemos decir que el 25 % de los alumnos estudia sobre 5. 1 − α = 0.1199972 . (yi − Ȳ )4 n1 + n2 Coeficiente de curtosis: −3 (n − 1)S 4 X[kn]+1 si kn no es entero.975 × n 1156 Luego el IC con un 95 % de confianza para la proporción de sobrevivientes es: [0. Puntaje Z: z = S 2 n Correlación de Pearson: .5319 5.4013 = 0.1600028] FORMULARIO n n 1X X Media: Ȳ = yi (yi − Ȳ )3 n i=1 i=1 Coeficiente de asimetrı́a: (n − 1)S 3 n1 Y¯1 + n2 Y¯2 Media ponderada: Ȳ = . Solución: Sabemos que el intervalo de confianza para la proporción viene dado por r p̂(1 − p̂) p̂ ± Z1− α2 × n Sea p̂ la proporción de sobrevivientes. 1 X n 1 X xi − X̄ yi − Ȳ Varianza: S 2 = (yi − Ȳ )2 r= n − 1 i=1 n − 1 i=1 Sx Sy 3 . de pacientes con cáncer al pulmón que sobreviven cinco años después que se les diagnóstica esta enfermedad.5) − P (Z < −0.14) p̂ ± Z1− α2 × = 0.9332 − 0. (c) Queremos calcular P (4000 < L < 7500) = P (L < 7500) − P (L < 4000) = P (Z < 1. (1.95 . r r p̂(1 − p̂) 0.14(1 − 0. 0. Encuentre un intervalo de confianza si tiene una muestra de tamaño 1156 con 994 pacientes que no sobrevi- vieron al cancer. Percentil k: Pk = Xkn + Xkn+1 yi − Ȳ si knes entero.14 ± Z0.14 1156 Ası́. con un 95 % de confianza.25) = 0.1 puntos) A usted se le solicita que estime la proporción de sobrevivientes. p̂ = = 0. se tienen los siguientes datos: 162 n = 1156 . 1 + 2 · n1 n2 DISTRIBUCIONES n k Si W ∼ Bin(n. λ>0 k! E(H) = λ V (H) = λ Si Q ∼ Geo(p) .INFERENCIA · p(1 − p) p̂ ∼ N p. . + n1 n2 Rec(x) σ2 X · X̄ ∼ N µ . . q ∈ {1. b) → fX (x) = b−a 0 en otro caso a+b → E(X) = 2 (b − a)2 → V (X) = 12 ( 2 ) 2 1 1 x−µ Si X ∼ Normal(µ. } → P (H = k) = e . −∞<x<∞ 2πσ 2 2 σ → E(X) = µ → V (X) = σ 2 4 . V (X) = (x − µ)2 × pi n Rec(x) σ2 2 d¯ ∼ N µd . . 1. . . n} → P (W = k) = p (1 − p)n−k k E(W ) = n×p V (W ) = n × p × (1 − p) λk −λ Si H ∼ Poi(λ) . 3. 1. h ∈ {0. 2. b] Si X ∼ Uniforme(a. . n VARIABLES ALEATORIAS X · p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 ) E(X) = x × pi pˆ1 − pˆ2 ∼ N p1 − p2 . 3. 3. . 2. σ ) → fX (x) = √ exp − . d · V (X) = E(X 2 ) − [E(X)] n σ2 σ2 X̄1 − X̄2 ∼ N µ1 − µ2 . w ∈ {0. . . 2. p) . } → P (Q = k) = (1 − p)k−1 × p 1 E(Q) = p 1−p V (Q) = p2 1 Si x ∈ [a. . x>0 2n/2 Γ (n/2) → E(X) = n. − ν+1 Γ ν+1 2 x2 2 Si X ∼ t-student(ν) → fX (x) = √ 1 + . −∞<x<∞ νπΓ ν2 ν → E(X) = 0 si ν > 1 ν → V (X) = si ν > 2 ν−2 1 Si X ∼ χ2(n) n x → fX (x) = x 2 −1 e− 2 . n > 0 5 . n > 0 → V (X) = 2n.