[L. T. F. Gamut.Lógica, lenguaje y significado] 2. Lógica proposicional Lenguaje de la lógica proposicional *Restricción a oraciones declarativas, es decir, oraciones que afirman algo y por tanto pueden ser verdaderas o falsas. VOCABULARIO (elementos que constituyen el sistema) SINTAXIS (Reglas para la construcción de fórmulas bien formadas) SEMANTICA (Interpretación, valuación) VOCABULARIO 1. [Variables lógicas, letras proposicionales] [p,q,r…] Representan afirmaciones o proposiciones declarativas. Las letras proposicionales y las expresiones compuestas formadas a partir de ellas se clasifican como oraciones o [fórmulas] 2. [Operadores, conectivas, conectivas veritativo-funcionales*, constantes lógicas] CVF. Aquellas conectivas que dan lugar a oraciones compuestas cuyo valor de verdad depende exclusivamente de los valores de verdad de las oraciones simples (principio de composicionalidad) Negación - conectiva unaria o monádica – Operan sobre un único término Binarias – Ponen en relación dos términos (miembros: conjuntivo, disyuntivo, antecedente-consecuente) para formar una oración compuesta o molecular. Los términos pueden ser fórmulas atómicas o moleculares. (Correspondientes conjunciones del [lenguaje natural]) ¬ Negación ∧ Conjunción ↮ Disyunción exclusiva ∨ Disyunción inclusiva → Implicación material ↔ Equivalencia material 3. Paréntesis – Eliminan ambigüedades (Ej. pUqyR) SINTAXIS Las reglas de construcción de fórmulas compuestas a partir de (sub)fórmulas atómicas o subfórmulas compuestas. SEMANTICA Valor de verdad o significado: 0/1 (FALSO/VERDADERO) Para cada conectiva el valor de verdad de la fórmula resultante queda prescrito en una tabla de verdad [Tablas de verdad] Φ φ ∧ω ω 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 φ ∨ω 1 1 1 0 φ→ω 1 0 1 1 φ↔ω 1 0 0 1 φ↮ω 0 1 1 0 Φ ¬φ 1 0 0 1 . Las entidades que figuran como los valores posibles de una función son denominados su rango. son fórmulas. ( φ → ω ) . El conjunto de entidades [argumento] forman el dominio. Funciones] Semántica de L Al hablar de interpretación de un lenguaje proposicional nos referimos a la atribución de valores de verdad a sus oraciones. [CLAUSULA DE INDUCCION/DEFINICION INDUCTIVA/OPERADOR PROFUNDIDAD] [2. i. A partir de lo anterior. Si φ y ω son fórmulas. ( φ ↔ ω ) .4. Dichas atribuciones son denominadas valuaciones. en un número finito de pasos. de manera que primero nos ocupamos de las funciones. Las letras proposicionales son fórmula de L ii. Si φ es una fórmula. es posible consignar un único [árbol constructivo] a cada fórmula. El único requisito es que ningún argumento puede tener más de un único valor. Función Fecha de nacimiento de x Madre de x Jefe de Estado de x Rodado de x Negación de x Ciudad capital de x Sexo de x Dominio Personas Personas Países Bicicletas Fórmulas de LOGP ROP Países Personas Rango Fechas Mujeres Personas Números Fórmulas de LOG PROP Ciudades Masculino/Femenino ii. iv. entonces ( φ ∧ω ) . Sólo las [expresiones] que pueden ser generadas mediante las cláusulas i-iii. Pero estas valuaciones son funciones. Ejemplos i. Casos que no pueden ser considerados funciones ‘Función’ Hermano mayor de x Progenitor de x Objeto directo de x (oración) Verbo de x (oración) Negación de x Ciudad capital de x Sexo de x Caso No todas las personas tienen hermanos Todas las personas tienen más de un progenitor No todas las oraciones tienen OD Norma no cumplida Cada argumento del dominio posee un valor (1) Un argumento tiene un único valor (2) (1) Una oración puede tener más de un verbo Fórmulas de LOGP ROP Países Personas (2) Negación de x Ciudad capital de x Sexo de x (………SIGUE) . Una función es la atribución de un [único]* valor [imagen] a cada entidad de un cierto tipo específico [argumento].[SINTAXIS] Definición de [Fórmula/Oración bien formada] i. entonces ¬φ es una fórmula.(φ ↮ ω) son fórmulas. iii. Cada valuación corresponde a una sola fila de la tabla de verdad. Ejemplos de equivalencias lógicas V ( ϕ )=V (¬¬ ϕ) Ley de la doble negación [TAUTOLOGIA] i. ϕ=¬(¬ p ∧¬ q) p q ¬p 0 0 1 1 0 1 0 1 ¬ p ∧¬ q ¬q 1 1 0 0 1 0 1 0 ¬(¬ p ∧¬ q) 1 0 0 0 0 1 1 1 *El número de filas de la tabla de verdad compuesta depende del número de proposiciones diferentes que aparecen en la fórmula. Semántica de la lógica proposicional] i.[2. [Equivalencias lógicas] ϕ ω ¬(¬ p ∧¬ q) p∨ q 0 1 1 1 0 1 1 1 V ( ϕ )=V (ω) Entonces.5. iv. Dos fórmulas lógicamente equivalentes tienen el mismo significado lógico. es posible observar una conexión entre la equivalencia lógica y la implicación material. ii. p ¬p ¬¬ p p↔ ¬¬ p . de modo que n letras proposicionales dan lugar a 2n filas. Ej. prescrita en su tabla de verdad. Si comparamos las tablas de verdad de dos fórmulas ϕ y ω lógicamente equivalentes. con las de la equivalencia material ϕ ↔ ω . Toda valuación es una función (unaria). en la cual se calculan los valores de verdad de todas las subfórmulas de una formula compuesta para toda distribución posible de los valores de verdad de sus letras proposicionales. en tanto que a cada fórmula [dominio de f] le corresponde un único valor de verdad [rango de f] ii. se dice que ϕ y ω son lógicamente equivalentes. A partir de la valuación de cada las fórmulas atómicas podemos establecer la valuación de cualquier fórmula compuesta mediante el árbol constructivo de la última [tabla de verdad compuesta]. La valuación de una fórmula debe concordar con la interpretación de cada conectivas. Luego. entonces V( ϕ ) = V( ω ) [CONTRADICCION] Las fórmulas ϕ tal que V( ϕ ) = 0 se denominan contradicción. entonces ( ¬ ϕ ) es una tautología. Es obvio que todas las tautologías son lógicamente equivalentes entre sí. sii para toda valuación V. si tenemos que V( ϕ ) = 1 y V( ω ) = 1. Las más comunes son de la forma ϕ∧¬ϕ Pueden obtenerse muchas tautologías a partir del Teorema 2 Si ϕ es una tautología. Teorema 4 Φ es una contingencia sii ¬ ϕ es una contingencia Prueba… (…) . ¬ ϕ es una contradicción. [CONTINGENCIA] Las fórmulas que o son ni tautologías ni contradicciones se denominan contingencias. se denominan tautologías. Prueba. Todas las contradicciones son equivalentes. con v2=1 No todas las contingencias son equivalentes entre sí. ϕ es una tautología. como una valuación v2. entonces ¬ ϕ es una contradicción. V( ϕ ) = 1 y V( ¬ ϕ ) = 0. Formulas ϕ tales que hay tanto una valuación V1 con V1=0. Teorema 3 Si ϕ es una contradicción. V( ϕ ) = 0 es una contradicción.1 0 0 1 1 0 q p∨ q q∧ p 1 0 0 0 1 0 0 0 p 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 (q ∧ p) ↔( p ∨ q) 1 1 1 1 Para todas las valuaciones de existe un único valor en la columna de la equivalencia material: 1 Teorema 1 ϕ y ω Las fórmulas son lógicamente equivalentes sii para toda valuación V. ϕ tal que para toda valuación V. V ( ϕ ↔ω) =1 ϕ tal que V( ϕ ) = 1 para toda valuación V.