CTN537 – GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUESUniversité du Québec École de technologie supérieure Contenu du cours 3 L ’Hydrologie statistique (Notes de cours - Chapitre 2) Introduction Concepts de probabilité et de fréquence probabilité fré Analyse de fréquences fré Validation des données donné Analyse de fréquences graphique fré Analyse de fréquences analytique fré CTN-537 GESTION DES CTNRESSOURCES HYDRIQUES Cours #3 L’hydrologie statistique Professeur : Robert Leconte, ing. ing. Transposition à des sites non jaugés jaugé Risque hydrologique et risque d’inondation d’ Session Hiver 2007 Introduction Introduction L'hydrologie statistique Les impacts des événements hydrologiques extrêmes peuvent être très importants; trè L'exposition, pour un humain ou un ouvrage, à un événement indésirable est un risque et la indé probabilité est une mesure de ce risque; probabilité En raison des dommages qui peuvent résulter de la ré défaillance d'un ouvrage en milieu hydrique, il est important de quantifier le risque avant de faire une intervention en milieu hydrique. Utilité de l’hydrologie statistique: Utilité l’ Établir des critères de design critè Vérifier la fiabilité d’ouvrages existants ou projetés fiabilité projeté Allonger des séries de données sé donné Population vs échantillon population x temps x Échantillon continu x temps temps Échantillon discret Introduction Introduction Exemple : Rivière du Loup Riviè Station hydro. 022513 Superficie de 1038 km² km² 022513 Exemple : Rivière du Loup - débit max printemps Riviè 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 306 142 182 240 158 274 98,4 146 212 290 208 114 125 1987 1988 1989 1990 233 80,5 87,9 130 155 210 172 194 144 215 217,9 189,3 90,82 Analyse des débits max. dé du printemps entre le 1 mars et le 31 mai n = 26 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Exemple du fichier de débits pour le projet... 350 300 250 200 150 100 50 0 19 76 Moy=177,49 Écart-type=62,17 19 82 19 84 19 88 19 80 19 86 19 78 19 90 19 92 19 94 19 96 19 98 Robert Leconte, École de technologie supérieure 19 74 Page 1 3 log (N) N étant la taille de l'échantillon l'é Ex: riv du Loup N=26 C=6 Probabilité et fréquence Probabilité et fréquence Histogramme de fréquences pour Riv.5 écart-type cartcartEx: riv du Loup s=62 largeur = 15. 1 ] dé Xi fi f 6/36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Fréquence relative: Fré lorsque le nombre d'observations n a une valeur finie n fi = i n 4/36 2/36 ∑ P( X ) = 1 n i =1 i x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Probabilité et fréquence Probabilité et fréquence Histogramme de fréquences fré Histogramme de fréquences pour Riv. avec P(Xi) : [ 0 .CTN537 – GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUES Probabilité et fréquence Probabilité et fréquence Concepts de probabilité et de fréquence probabilité fré Probabilité : Probabilité lim nx P( X ) = n→ ∞ n n: nombre d’observations d’ nx: nombre d’occurrence de l’événement d’ l’év Distribution des probabilités probabilité Histogramme de fréquences (Variable discrète) fré discrè Xi = Somme des deux dés. la probabilité d'avoir une probabilité valeur précise est = 0% pré Robert Leconte. Du Loup fré C = 11 classes largeur = 25 Distribution des probabilités probabilité Fonction de densité de probabilité densité probabilité (variable continue) Exemple: X= débits maximum printanier Histogramme des débits maximum printaniers de la rivière du Loup 6 5 Nombre d'événement 4 3 2 1 0 65 à 90 90 à 115 115 à 140 140 à 165 165 à 190 190 à 215 Intervalle 215 à 240 240 à 265 265 à 290 290 à 315 315 à 330 f(x) x Une variable continue peut avoir une infinité de valeurs infinité Dans ce cas. École de technologie supérieure Page 2 .25 écart-type et 0.5 à 31 fi = ni n Le nombre de classes C devrait être approximativement égal à : C = 1 + 3. Du Loup fré C = 6 classes largeur = 40 Quelques règles pour la construction d'un rè histogramme de fréquences fré Nombre d'événement Histogramme des débits maximum printaniers de la rivière du Loup 7 6 5 4 3 2 1 0 70 à 110 110 à 150 150 à 190 190 à 230 230 à 270 270 à 310 Intervalle Le nombre de classes devrait être entre 5 et 20 La largeur des classes devrait être entre 0. École de technologie supérieure Page 3 . moyenne et écart-type de la population Robert Leconte.4 0.σ.2 0 0 50 100 150 200 250 300 350 Débit (m3/s) Fait intervenir l’aspect moyen d’occurrence d’un événement Type de structure Ponts : Autoroutes Routes principales Routes secondaires Ponceaux : Autoroutes Routes principales Routes secondaires Digues Plaines inondables 100 ans 50 ans 25 ans Période de récurrence T suggérée 50 ans 25 ans 10 ans 100 ans 100 ans Probabilité et fréquence Probabilité et fréquence Fonctions de densité de probabilité théorique densité probabilité thé Loi normale Fonctions de densité de probabilité théorique densité probabilité thé Estimation de µ et σ µ= $ 1 n ∑X =X n i =1 i 1 n ∑ ( X − X ) = s2 n − 1 i =1 i 2 σ$ 2 = f ( x) = ⎛ ( x − µ )2 ⎞ ⎟ exp⎜ − ⎜ 2σ 2 ⎟ σ 2π ⎝ ⎠ 1 Loi normale La moyenne et l’écart-type sont l’écartdes variables aléatoires alé Les propriétés statistiques de l’échantillon proprié l’échantillon approchent celles de la population quand la taille de l’échantillon augmente l’échantillon Variabilité d’échantillonnage = source d’erreurs Variabilité ’échantillonnage d’ µ.8 0.6 0.CTN537 – GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUES Probabilité et fréquence Probabilité et fréquence Fonction de répartition ré F(x) 1 Fonction de répartition ré f(x) F(x) 1 0 x Appelée aussi fonction de non dépassement Appelé dé F(x) = P(X ≤ x) = − F 1-F x Non dépassement 0 F 1-F x En hydrologie. on utilise surtout la fonction de dépassement dé 1− F ( x ) = P( X > x ) ∫α f ( x)dx x Dépassement Probabilité et fréquence Probabilité et fréquence Fonction de répartition (Rivière du Loup) ré (Riviè Période de retour (ou récurrence) ré T= 1 1 = P( X > x ) 1 − F ( x ) Fréquence de dépassement (histo à 11 classes) Fréquence cumulative relative 1.2 1 0. Du Loup fré Histogramme des débits maximum printaniers de la rivière du Loup Nombre d'événement Plusieurs variables hydrologiques ne sont pas bien représentées par une loi normale repré senté Pourquoi? Plusieurs variables ne prennent que des valeurs positives (ex: débits) dé 6 5 4 3 2 1 0 65 à 90 90 à 115 115 à 140 140 à 165 165 à 190 190 à 215 Intervalle 215 à 240 240 à 265 265 à 290 290 à 315 315 à 330 Robert Leconte.2 υ=25 α=5% n=16 x=181.1) P( X ≤ x ) = F ( X ) = −α ∫ f (x )dx = P(Z ≤ z ) x P(Z) dans les tables de loi normale Probabilité et fréquence Fonctions de densité de probabilité théorique densité probabilité thé Histogramme de fréquences pour Riv.ν ⎛ s ⎜ ⎟ n⎠ ⎝ t: coefficient de Student (tables) υ: degrés de liberté = n-1 α: seuil de confiance (1-α) = intervalle de confiance Ex: Rivière du Loup Riviè n=26 x=177.3 υ=15 α=5% Probabilité et fréquence Probabilité et fréquence Exemple : Rivière du Loup Riviè Moyenne de l'échantillon en fonction de sa taille 230 220 210 Moyenne (m³/s) 200 190 180 170 160 150 0 5 10 15 Taille de l'échantillon 20 25 30 Fonctions de densité de probabilité théorique densité probabilité thé Loi Normale: Variable réduite z ré P(Z) z z= x−µ σ Z suit une loi normale N(0.CTN537 – GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUES Probabilité et fréquence Probabilité et fréquence Estimation de la moyenne de la population Moyenne de l'échantillon en fonction de sa taille 230 220 210 Moyenne (m³/s) 200 190 180 170 160 150 0 5 10 15 Taille de l'échantillon 20 25 30 Intervalle de confiance sur la moyenne On peut associer un intervalle de confiance à l ’estimation de la moyenne ⎞ IC1−α = x ± t(1−(α / 2 )).5 s=62.1 s=73. École de technologie supérieure Page 4 . s to c k a g e e n r é s e r v o ir D é b it m a x i m u m a n n u e l. alé Types de non stationnarité: tendance.n o r m a le D é b it m a x i m u m a n n u e l P r é c ip ita tio n jo u r n a liè r e . il faut que les données donné donné soient stationnaires. relocalisation de pluviomètre pluviomè Robert Leconte. a n n u e lle . stationnarité Exemples: détournement de cours d’eau. homogènes et indépendantes homogè indé Homogénéité : Les éléments de l’échantillon Homogé ité l’échantillon proviennent tous de la même population Exemple de non homogénéité: homogé ité Crues printanières et crues pluviales dans un même échantillon.La validation des données donné Assurer l’homogénéité. v o lu m e d e r u is s e lle m e n t m e n s u e l e t a n n u e l M ê m e q u e l o g . d u r é e e n tr e d e u x é v é n e m e n ts P r é c ip ita tio n jo u r n a liè r e . r u i s s e lle m e n t a n n u e l L ’analyse de fréquence fré Comprend 2 étapes: 1 . et l’ homogé ité stationnarité l’indépendance des données indé donné Vérification des données manquantes donné Présence de valeurs singulières Pré singuliè L o g -P e a rso n III V a le u r e x tr ê m e ty p e 1 ( G u m b e l) E x p o n e n tie lle G am m a 2 . urbanisation.L’analyse de fréquence fré Méthode graphique et/ou Méthode analytique Analyse de fréquence Analyse de fréquence Validation des données donné Pour élaborer un modèle statistique à partir des modè données d'un échantillon. m e n s u e lle .301 Cs: Coefficient d ’asymétrie asymé n: taille de l ’échantillon ’échantillon S: Écart-type cartX: Moyenne X: Variable aléatoire alé Probabilité et fréquence Analyse de fréquence Fonctions de densité de probabilité théorique densité probabilité thé Choix dépend de la réalité physique dé ré alité Extrapolation possible mais avec prudence ! F o n c t io n s d e d e n s it é N o r m a le L o g -n o rm a le V a r ia b le h y d r o l o g iq u e P r é c ip ita tio n a n n u e lle . p r é c ip ita ti o n jo u r n a liè r e e t a n n u e ll e . d é b it s . Du Loup fré Histogramme des débits maximum printaniers de la rivière du Loup Cs = Nombre d'événement a S3 a= n n ∑1 ( X i − X ) ( n − 1)( n − 2) i = 3 6 5 4 3 2 1 0 65 à 90 90 à 115 115 à 140 140 à 165 165 à 190 190 à 215 Intervalle 215 à 240 240 à 265 265 à 290 290 à 315 315 à 330 Riv Loup Cs = 0. la stationnarité. à l’exception des fluctuations aléatoires du climat.CTN537 – GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUES Probabilité et fréquence Fonctions de densité de probabilité théorique densité probabilité thé Coefficient d ’asymétrie asymé Renseigne sur la symétrie de la distribution symé Histogramme de fréquences pour Riv. École de technologie supérieure Page 5 . cycle. saut. printaniè Débits tirés d’années anormalement sèches ou humides tiré d’ anné sè Validation des données donné Stationnarité: Propriétés statistiques invariantes Stationnarité Proprié dans le temps. changement d’ climatique. fi) expé Tracer la meilleure courbe à travers le nuage de points. Xi.8 comprimé étiré étiré 400 Z X -4 0 0. fi) Tracé Xi: Débits.CTN537 – GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUES Analyse de fréquence Analyse de fréquence Validation des données donné Les données doivent être indépendantes: une donné indé valeur de l'échantillon n'est pas influencée par la l'é influencé valeur précédente. donné Raison de l'absence de données donné Attention à ne pas omettre des données importantes donné Valeur singulière: singuliè Valeur qui ne semble pas appartenir à la même population que le reste des données de l'échantillon. Note: pour le design de certains ouvrages. log-normale. il faut considérer la dépendance des données (On parle considé dé donné alors de modèles stochastiques). École de technologie supérieure Page 6 . Exemple de données dépendantes: donné dé débits journaliers en rivière riviè Validation des données donné Les données manquantes. probabilité Fréquence expérimentale: Équation de Weibull Fré expé fi = mi n+ 1 mi: rang occupé par l ’observation occupé n: taille de l ’échantillon ’échantillon Papier à probabilité: probabilité distribution normale. dé Calculer la fréquence expérimentale associée fré expé associé Choisir un papier à probabilité et positionner les points probabilité (Xi. Gumbel logPermet l’interpolation ou l’extrapolation (attention!) l’ l’ Analyse de fréquence Papier à probabilité normale probabilité Construction d’un papier à probabilité (normale) d’ probabilité 4 P(Z) Échelle à probabilité 0. etc.1 0. précipitations.fi) expérimentaux sur le papier.1 P(Z) Échelle arithmétique 0. Interpoler ou extrapoler pour trouver la fréquence d’un fré d’ événement quelconque ou pour obtenir l’événement l’év correspondant à une probabilité voulue. modè Analyse de fréquence Analyse de fréquence Méthode graphique Tracé de couple de points (Xi. donné l'é Peut être une donnée erronée à enlever de l'analyse. À classer par ordre Dé pré décroissant fi: fréquence expérimentale correspondante fré expé Méthode graphique Étapes à suivre Classer les événements Xi par ordre décroissant. donné erroné Peut être un événement extrême nécessitant un né ajustement particulier.8 1 100 Robert Leconte. donc l'ordre où elle survient pré où n'a pas d'importance. CTN537 – GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUES Analyse de fréquence Analyse de fréquence Méthode graphique: Papier log-normal log- Méthode graphique Avantages de la méthode graphique: mé Facile d’utilisation d’ Évaluation visuelle de l’applicabilité d’une fonction de l’ applicabilité distribution donnée à un échantillon donné Possible d’incorporer des "valeurs singulières" avec une d’ singuliè fréquence expérimentale particulière fré expé particuliè Exemple: Q1000=560 m3/s Analyse des m3/s bits maximum printaniers dé Q =410 dé de Riviè=330 m3/s Loup avec papier à Rivière du Q probabilité normale probabilité 100 20 Désavantages de la méthode graphique: mé Manque de précision dans le tracé de la ligne droite pré tracé Comparaison de différentes distributions difficile diffé Analyse de fréquence Analyse de fréquence Manque de précision de la méthode graphique pré mé Méthode analytique La méthode est basée sur l ’équation linéaire mé basé ’équation liné suivante: Q100=480 m3/s. École de technologie supérieure Page 7 .σ. augmentation de 17% Q100=410 m3/s x = µ + Kσ x: variable aléatoire alé K: facteur de fréquence fré µ. moyenne et écart type de la population Le facteur de fréquence K varie selon la loi fré et la période de retour considérée: pé considé équations analytiques tableaux de valeurs Analyse de fréquence Analyse de fréquence La loi normale Soit t (ou z) la variable réduite ré t= x− µ σ x = µ + Kσ ⇒ ⇒ x = µ + tσ K=t La loi log-normale logLe facteur de fréquence K est donné par: fré donné K= [exp(σ K − σ 2) − 1] [exp(σ ) − 1] y y 2 y 2 y 1 2 Les facteurs de fréquence K sont: fré y = ln( x ) Ky étant choisi dans la table de la loi normale: y = µ y + K yσ y Robert Leconte. École de technologie supérieure Page 8 .5572 + ln⎨ ln⎜ ⎩ ⎝ T − 1⎠ ⎭ ⎦ ⎣ Applicable pour N>100 La loi de Gumbel Si la taille de l ’échantillon est < 100.2/177.5 m³/s m³ Écart-type= 62.duLoi Normale Q 50 (m³/s) 305 Q 100 (m³/s) 322 370 (410) 408 336 Q 1000 (m³/s) 370 480 (560) 539 397 Méthode analytique Avantages de la méthode analytique: mé Pas de subjectivité dans l ’estimation de QT subjectivité Permet aussi de vérifier la qualité de l’ajustement vé qualité l’ Permet de comparer différentes lois facilement diffé Log-normale 337 (330)* Gumbel Pearson III 369 315 Désavantages de la méthode analytique: mé Ne peut traiter les "valeurs singulières" singuliè *: Comparaison avec résultats graphiques Robert Leconte. Gumbel et Pearson III logPériodes de retour = 50.7797 ⎢ 0.3504 Une loi log-Pearson type III avec un coefficient d’asymétrie nul correspond à une loi log-normale. Analyse de fréquence Analyse de fréquence Méthode analytique Résumé des résultats pour Rivière-du-Loup sumé ré Riviè re.2 m³/s cartm³ n=26 Cv=62.5 = 0. Pour la loi log-Pearson type III : Utilisation des valeurs de la loi Pearson III avec la transformation de l ’échantillon y=log(X) (ou ln(X)) Méthode analytique Exercice: Calcul des valeurs de crues pour les données de la Rivière du Loup donné Riviè Lois normale. 100 et 1000 ans Moyenne = 177.CTN537 – GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUES Analyse de fréquence Analyse de fréquence La loi de Gumbel Aussi appelée Loi des valeurs extrêmes type 1 appelé Le facteur de fréquence K est donné par: fré donné ⎡ ⎧ ⎛ T ⎞ ⎫⎤ ⎟ ⎬⎥ K = − 0. le facteur K ’échantillon est obtenu à partir de valeurs tabulées tabulé Analyse de fréquence Analyse de fréquence Lois Pearson III et log-Pearson III logLe facteur de fréquence K est fonction du coefficient d’asymétrie et de la période de récurrence. log-normale. Pas recommandé s’il y a des lacs importants. Du Loup fré Fonction khi-carré khi. Peut aussi être calculé en analysant les données de deux stations présentes sur le même bassin. Valeurs inférieures pour les grandes périodes de retour. Transposition à des sites non jaugés jaugé L ’exposant m varie typiquement de 0.CTN537 – GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUES Inférence statistique Inférence statistique L ’inférence statistique infé Pour évaluer l’acceptabilité de la fdp choisie à partir acceptabilité des écarts entre les fréquences expérimentales et fré expé celles calculées à partir de la fdp: calculé fdp: Écart trop important: fdp pas bonne Écart raisonnable: fdp bonne Le test de Khi-carré Khi.carré Histogramme des débits maximum printaniers de la rivière du Loup 7 Loi normale 6 Nombre d'événement 5 4 3 2 1 0 70 à 110 110 à 150 150 à 190 190 à 230 230 à 270 270 à 310 Intervalle Oi Ei Sites non jaugés Sites non jaugés Transposition à des sites non jaugés jaugé Quand: Lorsqu’aucune donnée n’est disponible au site où l’analyse de fréquence est requise.carré χ c2 > χ ν2. notamment le test du khi-carré (χ²) khi. Habituellement plus élevé pour les crues nivales que pour les crues pluviales.9: Valeurs supérieures pour les faibles périodes de retour.1− α avec: χ = 2 c ∑ k (O − E ) i i 2 i =1 Ei Inférence statistique Histogramme de fréquences pour Riv. Comment ⎛ A ⎞ xTn = xTj ⎜ n ⎟ ⎜ A ⎟ ⎝ j⎠ m xTn et xTj: débit pour période de retour T pour sites non jaugé et jaugé An et Aj: superficies de bassin versant jaugé et non jaugé m: exposant empirique Robert Leconte.6 à 0.carré Hypothèse: Hypothè les distributions de fréquence expérimentale et fré expé théoriques ne diffèrent que par le hasard de thé diffè l ’échantillonnage ’échantillonnage Statistique d ’ajustement: L ’hypothèse est rejetée au seuil de confiance α si: hypothè rejeté Comment évaluer si la fdp retenue est acceptable? Quelques tests statistiques existent. École de technologie supérieure Page 9 . Réalisée en 1998 (Revue alisé canadienne de génie civil. on doit faire une analyse régionale de crues diffé ré Analyse régionale des crues ré Détermination des régions hydrologiques pour le Québec: Qué Étude de Anctil et coll.0 Si les sites jaugé et non jaugé sont sur des bassins jaugé jaugé différents. gé no 25.CTN537 – GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUES Sites non jaugés Sites non jaugés Transposition à des sites non jaugés jaugé Particularités et limites: Particularité Sites jaugé et non jaugé sur la même rivière jaugé jaugé riviè (même bassin versant) Ne pas employer en présence d’un plan d’eau pré d’ d’ important entre les sites jaugé et non jaugé jaugé jaugé An/Aj compris entre 0. École de technologie supérieure Page 10 .5 et 2. p 360-369) 360- QT = QTR ⋅ Qmoy Sites non jaugés Sites non jaugés Analyse régionale de crues ré Distribution régionale normalisée de chaque région ré normalisé ré Analyse régionale de crues ré Relation Qmoy en fonction de la superficie du bassin QTR Qmoy T Sites non jaugés Notions de risque Recommandations pour l’analyse de fréquence l’ fré Procédure Procé suggérée de suggé calcul de QT Le risque hydrologique Risque hydrologique: probabilité d’occurrence d’une crue donnée probabilité d’ donné relié à la période de retour T relié pé Risque d’inondation d’ Risque hydrologique pondéré en fonction des dommages pondé causés par la crue d’une période de retour T causé d’ pé Le risque d’inondation conditionne le choix d’une d’ d’ période de retour pour le design d’ouvrages d’ hydriques Robert Leconte. 5 (Di + Di +1 ) RI = ∑r i i Notions de risque Analyse économique du risque Projet optimal Coûts totaux Coûts annuels ction prote la pour Coût Domm a g es Période de retour T Robert Leconte. On fixe un RH acceptable. et on calcule la période de pé retour en fonction de la durée de vie de l’ouvrage.CTN537 – GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUES Notions de risque Notions de risque Le risque hydrologique Probabilité (ou risque) d’au moins 1 dépassement Probabilité dé sur une période de n années: pé anné 1⎞ ⎛ RH = 1 − ⎜ 1 − ⎟ ⎝ T⎠ n Le risque d ’inondation Niveaux d’eau pour chaque d’ période de retour T Tracé des zones Tracé inondables pour estimer les dommages Choix de la période de retour T: pé On utilise une valeur pré-définie. École de technologie supérieure Page 11 . duré l’ r = Pint Dmoy Pint = 1 1 − Ti Ti +1 Dmoy = 0. pré finie.