HPdeMat - Lei de Composição Interna   ( Operações )

27/08/13HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações ) HPdeMat Home Biografias Ensino Superior Humor Sobre Ensino Médio Bibliografia Lei de Composição Interna Operações ) ( Uma aplicação f : A x A A é dita operação ou lei composição interna sobre A ou em A, se x, y A, x * y A. Logo, f (x, y) = x * y, (x, y) A x A. ( " f " de (x, y) é igual a x 'estrela' y, para todo par (x, y) pertencente a A x A ) Exemplos: 1) A relação f : x dada pela lei f(x, y) = x – y não define uma operação, visto que, por exemplo, (3, 5) x e f(3, 5) = 3 – 5 = – 2 que não pertence aos naturais. 2) A relação f : x dada pela lei f(x, y) = x/y não define uma operação, visto que, por exemplo, (3, 6) x e f(3, 6) = 3/6 = 1/2 que não pertence aos inteiros. 3) A relação f : x dada pela lei f(x, y) = xy define uma operação, pois para quaisquer x, y , x . y é um número natural. Propriedades de uma operação hpdemat.apphb.com/Operacao 1/10 x. Elemento neutro Uma operação * sobre um conjunto A admite elemento neutro representado por "e" também em A.com/Operacao 2/10 . x A. se. mas se ela for comutativa então pode ser realizada em qualquer ordem. x * y=y * x Significado: Toda operação deve ser resolvida da esquerda para direita. mas se ela for associativa então pode ser realizada com mais de dois elementos. z A. x * e=x=e * x hpdemat.Lei de Composição Interna ( Operações ) Associativa Uma operação * sobre um conjunto A é dita associativa se.apphb. x * (y * z)=(x * y) * z Significado: Toda operação é definida para dois elementos. Comutativa Uma operação * sobre um conjunto A é dita comutativa se. y A.27/08/13 HPdeMat . x. y. Logo. e caso exista. Elemento simetrizável Uma elemento "x" de um conjunto A tem simétrico ou é simetrizável em relação a operação * sobre um conjunto A se. se diz que existe elemento neutro à direita.com/Operacao A. Unicidade do elemento neutro: Sobre a afirmação de que o elemento neutro é único. Considerando que se tenha dois elementos neutros e. u = e. e * u = u ( se e for o elemento neutro à esquerda ) u * e = e ( se u for o elemento neutro à esquerda ) Mas. em qualquer ordem que esta seja realizada. e * u=u * e Da mesma forma ocorre considerando o elemento neutro à direita. existe um x' em A tal que: 3/10 . x hpdemat. ele é único. o que é uma contradição. Portanto. Significado: O elemento neutro é aquele que não muda o resultado da operação. Só existe elemento neutro se à esquerda e à direita forem o mesmo elemento de A.apphb. se diz que existe elemento neutro à esquerda. se existissem não seriam diferentes. pode-se provar por absurdo. independente de qual dos dois seja o elemento neutro. Se e * x = x. u e que sejam diferentes.Lei de Composição Interna ( Operações ) Se x * e = x.27/08/13 HPdeMat . se diz que "x" tem simétrico à esquerda. x' * x = x * x' = e Portanto. Significado: O simetrizável é aquele que operado com o seu simétrico dá o elemento neutro. têm simétricos então x * y tem simétrico e ( x * y )' = y' * x'.apphb. então. se à esquerda e à direita forem iguais. e caso exista ele é único. O conjunto U (A) representa o conjunto dos elementos que * tem simétrico em relação a operação * sobre um conjunto A. ou seja.com/Operacao 4/10 . ( x' )' = x. Só existe o simétrico de um elemento "x" de A. Se y' * x' é o simétrico de x * y. Consequências do elemento simetrizável: Se uma operação * sobre um conjunto A é associativa e tem elemento neutro. tería-se: ( y' * x' ) * ( x * y ) = e ( simétrico à esquerda ) ( x * y ) * ( y' * x' ) = e ( simétrico à direita ) ( x * y ) * ( y' * x' ) = [ x * ( y * y' ) ] * x' = ( x * e ) * x' hpdemat.27/08/13 HPdeMat .Lei de Composição Interna ( Operações ) x * x' = e = x' * x Se x * x' = e. 2) Se "x" e "y" em A. então: 1) Se "x" tem simétrico x' então x' tem simétrico "x". Se x' * x = e. Se uma operação * admite elemento neutro então U (A) * . o simétrico de x' é x. se diz que "x" tem simétrico à direita. pois e * e' = e = e' * e. não tem elemento neutro à esquerda ) 5/10 . c ) a + a .e=0 e=0 e * a=a e+e. (a * b) * c = a * (b * c) (a+a. b . c + b . c = a + a . a * e=a=e * a a * e=a a+a.apphb. b) + ( a + b . c B. a operação * não é comutativa.com/Operacao ( logo.27/08/13 HPdeMat . iii) a B. y sobre i) a. b B. (1 + a) = a hpdemat.c) ( a + a .a=a e .b) * c=a * (b+b. Como x * y = x + x .Lei de Composição Interna ( Operações ) = x * x' = e Da mesma forma se mostra à esquerda. ( b + b . c ) . Exemplos: Verifique se a operação * sobre o conjunto "B" é associativa. c obviamente é falso ) Portanto.e=a a.a a + ab = b + ab ( o que obviamente é falso ) Portanto. se existe neutro e determine os elementos simetrizáveis para: a) B = e x * y = x + xy. c2 = a + a . b. b + a . se é comutativa. ii) a.b=b+b. b + a . a operação * não é associativa. a * b=b * a ( o que a+a. g) = (a.27/08/13 HPdeMat . e2) em B. b) * (c. f. b + d). hpdemat. b) * (c. d) B. então se: (a. (a. b + e2) = (a. d) * (a. b). a operação * não admite elemento neutro. b) * (c. b) * (c . b) * (c. d) = (ac. b) = (a. g) B. b + d) * (f. iii) Considerando e = (e1. iv) Como não tem elemento neutro. b) (a . e2) = (e1. e2) = (a. c . b) B = x e (a. d) = (c. b). e1 = a e1 = 1 e e b + e2 = b e2 = 0 (a. b + d) = (c . d + g) (a . (c. c . d) = (a . d). d + b) ( o que obviamente é verdadeiro ) Portanto. Como (a. b + d + g) verdadeiro ) Portanto. c. c. f. a. e1. b) * (e1. b) * [ (c. b) B. então não tem elemento simetrizável. b) a . b + d) sobre x i) (a. a operação * é comutativa. 0) é o elemento neutro da operação * sobre B. b + d + g) = (a . g) ] (a .apphb. b) tem-se: (a .Lei de Composição Interna ( Operações ) Portanto. b) * (e1. tem( o que obviamente é Como a operação * é comutativa não se faz necessário resolver à esquerda. b) Tomando. [ (a. g) = (a. (c. Portanto. a operação * é associativa. d) ] * (f. ii) (a. e2) * (a. f. d) * (f.com/Operacao 6/10 . c. (a. e = (1. (f. (a. 0) = (b'.Lei de Composição Interna ( Operações ) iv) Considerando (b'. b) (a. Elemento regular Um elemento "r" de um conjunto A é dito elemento regular mediante a operação * sobre um conjunto A. Como a operação * é comutativa não se faz necessário resolver à esquerda. a') = (1. a') = (1. 7/10 . então "r" é dito regular à direita. b) * (b'. 0). b) * (b'. Portanto. a') * (a. só for possível se ter as igualdades: r * x = r * y e x * r = y * r. tem-se: (a. mas a' pode ser qualquer inteiro. b + a') = (1. a') em B. y A.27/08/13 HPdeMat . o conjunto dos elementos simetrizáveis para a operação * sobre B é: U (B) = { (x.apphb. Se x * r = y * r hpdemat. b' só existirá se a = 1 ou a = –1. Se r * x = r * y esquerda. b) * (b'. x = 1 ou x = – 1 }. neste caso. b) Tomando. y) * x . 0) (a . tem-se: O conjunto B é formado apenas por números inteiros. a') = (1. b'. 0) a . se x. então "r" é dito regular à x = y. apenas se x = y.com/Operacao x = y. b' = 1 e b + a ' = 0 b' = 1/a e a' = – b B. então (a. e a operação dada por x Seja "r" o elemento regular. Observação: Se o elemento é regular o resultado da operação dele com qualquer outro elemento do conjunto é único.a–r–r.Lei de Composição Interna ( Operações ) R * (A) representa o conjunto dos elementos regulares em relação à operação * sobre um conjunto A.r–b–b. r – 1.r=b+b.r a+a. Isto quer dizer que exceto o zero todo elemento de B é regular à esquerda. (a – b) = 0 B. Regular à direita: a * r=b * r a=b a+a.a=r+r.b r+r. 0. (1 + r) = 0 Para se ter exclusivamente a = b é necessário que 1 + r ou seja. hpdemat.r–b.r=0 a–b+a. Exemplo: Considerando o conjunto B = * y = x + xy. Isto quer dizer que exceto o "– 1" todo elemento de B é regular à direita.27/08/13 HPdeMat . tem-se: Para se ter exclusivamente a = b é necessário que r 0. então a.a–r. b Regular à esquerda: r * a=r * b a=b r+r. (a – b) = 0 (a – b) .b=0 r.apphb.com/Operacao 8/10 .b=0 r .r=0 a – b + r . então distributiva à esquerda ou à direita se equivalem.b+1).27/08/13 HPdeMat . x.apphb.c+1) a. tem-se: a.com/Operacao 9/10 . c .c)+1=(a.Lei de Composição Interna ( Operações ) Obviamente se.b+a.b. "r" não for "0" nem "– 1". y e x ∆ y = x . considerando ∆ é distributiva à esquerda de * : a∆(b * c)=(a∆b) * (a∆c) a∆(b+b. então.c+1=a. se (y*z)∆ x= (y∆x )*( z∆ x) ( ∆ distributiva à direita de * ).c+a. Exemplo: Sejam x * y = x + xy e x ∆ y = xy + 1 operações sobre .a. ele é regular.b+1+a. verifique se ∆ é distributiva em relação a operação * .(b+b. o conjunto dos elementos regulares para a operação * sobre é: R ( )={x * . Como x * y = x + x .c+1 ab + abc + 1 = ab + a2bc + ab + ac + 1 ( o que obviamente é hpdemat. x ∆ ( y * z ) = ( x ∆ y ) * ( x ∆ z ) ( ∆ é distributiva à esquerda de * ) e. b. z A. Portanto. Observação: Se a operação ∆ for comutativa. y + 1. y.(a. se diz que a operação ∆ é distributiva em relação a operação * se.c)=(a.c+1) a.b+1)+(a. Distributiva Dadas as operações * e ∆ ambas em A.x 0 e x – 1 }.b+a.b+1) * (a.b. y que x < y ) não é fechado para a subtração em . Parte fechada Seja * uma operação sobre um conjunto A . Um subconjunto B do conjunto A é fechado mediante a operação de A se. x. Portanto. y B. (x+ y) . pois .com/Operacao 10/10 . Exemplos: 1) O conjunto é fechado para a adição em . ∆ não é distributiva em relação a operação * . pois além de ser um subconjunto não vazio dos inteiros. 2) O conjunto existem x.27/08/13 HPdeMat . à esquerda já deu errado.apphb. y . x. ( nos casos em Classe de Resto O conjunto m = { hpdemat.Lei de Composição Interna ( Operações ) falso ) Não é necessário fazer à direita. visto que mesmo que dê verdadeiro. x * y B. tal que ( x – y ) .