C ACOLECCIÓN ACADÉMICA HORMIGÓN REFORZADO ROBERTO ROCHEL AWAD EAFIT ESCUELA DE INGENIERÍA Hormigón reforzado roberto rocHel awad Rochel Awad, Roberto Hormigón reforzado / Roberto Rochel Awad. -- Medellín : Fondo Editorial Universidad EAFIT, 2007. 368 p. : il. ; 24 cm. -- (Colección académica) ISBN 978-958-8281-66-7 1. Hormigón 2. Hormigón - Análisis 3. Hormigón - Pruebas 4. Hormigón - Diseño5. Hormigón - Control de calidad 6. Resistencia de materiales I. Tít. II. Serie. 620.136 cd 21 ed. A1129902 CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango Hormigón reforzado Primera edición: agosto de 2007 © Roberto Rochel Awad © Fondo Editorial Universidad EAFIT Cra.49 No. 7 sur-50 www.eafit.edu.co/fondoeditorial Email:
[email protected] ISBN: 978-958-8281-66-7 Diseño de colección: Miguel Suárez Editado en Medellín Colombia, Sur América contenido introducción ........................................................................................... 13 capítulo 1. características generales del Hormigón 1.1 composición .................................................................................... 15 1.1.1 cemento ............................................................................. 16 1.1.2 agua .................................................................................... 18 1.1.3 agregados .......................................................................... 19 1.1.4 relación agua / cemento................................................. 19 1.2 colocación y compactación..........................................................20 1.3 curado .............................................................................................21 1.4 la edad en la resistencia del Hormigón ...................................22 1.5 Velocidad de carga .......................................................................23 1.6 aditiVos ...........................................................................................24 1.7 normas de diseño...........................................................................25 capítulo 2. características mecánicas de los materiales 2.1 aspectos generales .......................................................................29 2.2 Hormigón ........................................................................................29 2.2.1 resistencia a la compresión, ¦f ’c .....................................30 2.2.1.1 deformación ultima, euc ...................................32 2.2.1.2 módulo de elasticidad, ec .............................. 33 2.2.1.3 relación de poisson, m ..................................... 35 2.2.2 resistencia a la tracción, fct ........................................... 35 2.2.3 resistencia a la flexión, ¦fr .............................................37 2.2.4 resistencia a tensión cortante, Vc ................................ 38 2.2.5 módulo de elasticidad a cortante, gc ........................ 39 2.2.6 coeficiente de expansión térmica, ac ...........................40 2.3 ...acero .............................................................................................40 2.3.1 módulo de elasticidad a cortante, es .........................41 2.3.2 coeficiente de expansión térmica, as ..........................42 5 características de los aceros nacionales ...................43 2.3.3.1 peso y dimensiones nominales de los aceros nacionales .......................................43 2.3.3.2 identificación de los aceros ..........................44 2.4 Hormigón reforzado.....................................................................44 2.4.1 aspectos generales ..........................................................44 2.4.2 refuerzo longitudinal ...................................................45 2.4.3 refuerzo transVersal .....................................................46 capítulo 3. aspectos generales del diseño 3.1 criterios .........................................................................................49 3.1.1. método de las tensiones admisibles.............................49 3.1.2 método del estado limite de resistencia ...................49 3.2 tipos de carga ................................................................................50 3.2.1 cargas muertas .................................................................50 3.2.1.1 masa de los materiales ....................................50 3.2.1.2 cargas muertas mínimas....................................50 3.2.1.3 facHadas, muros diVisorios y particiones....... 51 3.2.1.3.1 facHadas ........................................... 51 3.2.1.3.2 diVisiones y particiones, material tradicional ......................................52 3.2.1.3.3 diVisiones y particiones, material liViano ............................................... 53 3.2.1.4 peso de los acabados de piso............................54 3.2.2 cargas ViVas........................................................................54 3.3 dimensionamiento de elementos estructurales .................... 55 3.3.1 separación libre en barras, s ..........................................57 3.3.2 recubrimiento del acero, r ............................................57 3.4 ejemplos ..........................................................................................60 capítulo 4. método de las tensiones admisibles 4.1 introducción .................................................................................. 69 4.2 relación de módulos, n ................................................................71 4.3 tensiones de trabajo ....................................................................71 4.4 secciones balanceadas, sub-reforzadas y sobre-reforzadas ..72 4.5 equilibrio estático de las secciones .........................................73 4.6 método de la sección transformada (refuerzo a tracción).73 2.3.3 6 4.7 método de la sección transformada (refuerzo a compresión) ...............................................................75 4.8 ejemplos ..........................................................................................77 4.9 problemas propuestos ................................................................... 93 capítulo 5. control de flecHas y fisuras 5.1 flecHas ............................................................................................97 5.1.1 aspectos generales ..........................................................97 5.1.2 procedimiento para eValuar la flecHa inmediata.....100 5.1.3 expresiones para el cálculo de flecHas ....................103 5.1.4 procedimiento para eValuar la flecHa plástica .......104 5.1.5 flecHas máximas permitidas ..........................................105 5.2 fisuras ...........................................................................................106 5.2.1 fisuras por retracción de fraguado ...........................106 5.2.1.1 antes del fraguado ........................................106 5.2.1.2 después del fraguado ....................................106 5.2.1.3 retracción y dilatación térmica .................107 5.2.2 fisuras por cargas ..........................................................107 5.2.3 otras causas de fisuración ...........................................107 5.2.4 como preVenir las fisuras .............................................108 5.3 las fisuras y la nsr-98 ..........................................................110 5.4 las fisuras y el código aci-318-02 .......................................... 111 5.5 ejemplos ........................................................................................ 113 5.6 problemas propuestos .................................................................123 capítulo 6. método del estado límite de resistencia 6.1 análisis critico del método de las tensiones de trabajo ....127 6.2 Hipótesis del método del estado limite de resistencia ......128 6.3 factores de seguridad ...............................................................129 6.3.1 factores de carga ..........................................................130 6.3.2 factores de resistencia ................................................130 6.4 nomenclatura ............................................................................. 131 6.5 equilibrio estático de secciones rectangulares ..................132 6.6 cuantía balanceada, rb ............................................................... 135 6.7 cuantía máxima de diseño, rmáx .................................................. 136 6.8 cuantía mínima de diseño, rmin ...................................................137 7 6.9 consideraciones básicas del método del estado limite de resistencia ............................................................................... 138 6.10 cuantía de diseño ........................................................................140 6.11 ejemplos ........................................................................................141 capítulo 7. diseño a flexión de secciones resctangulares 7.1 diseño a flexión, armadura a tracción ...................................149 7.1.1 expresiones generales ..................................................149 7.1.2 elaboración de ayudas de diseño.................................150 7.1.3 procedimiento de diseño ..............................................154 7.1.4 especificaciones para el desarrollo del refuerzo.. 155 7.2 diseño a flexión, armadura a compresión ............................... 156 7.2.1 expresiones que rigen el diseño ................................. 156 7.2.2 reVisión de secciones..................................................... 158 7.3 ejemplos ........................................................................................ 159 7.4 problemas propuestos ................................................................. 183 capítulo 8. diseño a flexión de secciones en t y l 8.1 descripción ...................................................................................187 8.2 ancHo efectiVo de la aleta, be ..................................................187 8.3 expresiones de diseño................................................................. 189 8.4 limites de la cuantía .................................................................. 191 8.4.1 cuantía máxima de diseño ............................................. 191 8.4.2 cuantía mínima de diseño ..............................................192 8.5 procedimiento para el diseño de seccione en “t” ................192 8.6 procedimiento para la reVisión de seccione en “t” ............. 193 8.7 ejemplos ........................................................................................ 195 8.8 problemas propuestos .................................................................215 8.9 diagrama de flujo para el diseño de secciones en t y l......219 8.10 diagrama de flujo para la reVisión de secciones en t y l ...221 capítulo 9. diseño a tensiones cortantes 9.1 tensiones de cortante en Vigas Homogéneas rectangulares ..............................................................................223 9.2 tensiones de flexión en Vigas Homogéneas rectangulares ..............................................................................224 8 9.3 tensiones combinadas en Vigas Homogéneas rectangulares ..............................................................................224 9.4 tensiones combinadas en Vigas de Hormigón reforzado.......226 9.5 clases de refuerzo a tensiones cortantes .............................226 9.6 criterios de diseño .....................................................................228 9.7 modelo matemático para el análisis de tensiones cortantes ....................................................................231 9.8 diseño a tensiones cortantes ...................................................233 9.8.1 resistencia a tensiones cortantes del Hormigón, Vc .............................................................234 9.8.2 resistencia a tensiones cortantes de los estribos, Vs ..........................................................235 9.9 especificaciones generales de diseño .....................................237 9.9.1 sección critica para el diseño......................................237 9.9.2 refuerzo mínimo a cortante ........................................238 9.9.3 tensión cortante máxima para estribos .....................239 9.9.4 máxima separación de los estribos ..............................239 9.9.5 dimensiones de los estribos .........................................240 9.10 ejemplos ........................................................................................242 capítulo 10. diseño de losas en una dirección 10.1 introducción ................................................................................251 10.2 funcionamiento estructural de las losas en edificios .......251 10.3 clasificación ................................................................................252 10.4 juntas de construcción ..............................................................253 10.5 procedimiento de diseño para losas macizas en una dirección ................................................................................254 10.6 procedimiento de diseño para losas aligeradas.....................256 10.6.1 especificaciones de diseño para losas aligeradas.....259 10.7 apoyo de losas aligeradas sobre muros ...................................260 10.8 refuerzo de retracción y temperatura ..................................260 10.9 ejemplos ........................................................................................261 capítulo 11. diseño a losas en dos direcciones 11.1 generalidades ..........................................................279 11.2 método directo de diseño ........................................................282 11.2.1 limitantes del método .................................................282 9 11.2.2 espesores mínimos de las losas ....................................283 11.2.3 momento estático total ..............................................284 11.2.4 distribución del momento estático total................286 11.2.4.1 distribución del momento a los ancHo de la franja .....................................................288 11.2.5 diseño a flexión .............................................................289 11.2.6 reVisión de la torsión ...................................................291 11.2.7 diseño a cortante ..........................................................292 11.3 método de los coeficientes......................................................293 11.3.1 alcance ............................................................................293 11.3.2 franjas ..............................................................................293 11.3.3 condiciones de borde ....................................................293 11.3.4 secciones criticas para momento .................................293 11.3.5 momentos de diseño en la franja central ................294 11.3.6 momentos negatiVos en el apoyo común de paneles de diferente tamaño ......................................................294 11.3.7 momento de diseño en la franja de columnas .........294 11.3.8 nomenclatura ................................................................294 11.4 ejemplos ........................................................................................299 capítulo 12. ViViendas de uno o dos pisos 12.1 sistema estructural ...................................................................321 12.2 criterios generales ....................................................................321 12.3 cimentaciones ..............................................................................324 12.3.1 sistema de cimentación .................................................324 12.3.2 configuración en planta ..............................................325 12.3.3 estudios geotécnicos ....................................................325 12.3.4 cimientos en Hormigón ciclópeo con Vigas de corona .........................................................................326 12.3.5 cimientos en Hormigón reforzado ..............................327 12.3.6 instalaciones empotradas .............................................330 12.3.7 anclaje de las columnas de confinamiento ..............330 12.4 muros............................................................................................. 331 12.4.1 clasificación ................................................................... 331 12.4.2 dimensiones de los muros estructurales..................332 12.4.3 unidades de mampostería .............................................. 333 12.4.3.1 unidades de Hormigón.....................................333 10 12.4.3.2 unidades de arcilla .........................................334 12.4.3.3 unidades de silito-calcáreas.........................334 12.4.4 morteros de pega e inyección ......................................334 12.4.4.1 mortero de pega ..............................................334 12.4.4.2 mortero de inyección ..................................... 335 12.4.5 longitud de los muros estructurales confinados . 336 12.5 confinamiento de los muros estructurales ..........................337 12.5.1 columnas de confinamiento ........................................337 12.5.2 Vigas de confinamiento .................................................340 12.5.3 cintas de amarre ............................................................341 anexo a. anclajes y traslapos del refuerzo a.1 introducción ................................................................................345 a.2 longitud de desarrollo o de anclaje .....................................346 a.2.1 generalidades ................................................................346 a.2.2 longitud de desarrollo, barras rectas a tracción .347 a.2.3 longitud de desarrollo, barras a tracción con extremo en gancHo estándar ...............................348 a.2.4 longitud de desarrollo, barras a flexión................350 a.2.5 longitud de desarrollo, barras a compresión ......... 351 a.3 longitud de traslapo ................................................................. 351 a.3.1 longitud de traslapo, barras a tracción ..................352 a.3.2 longitud de traslapo, barras a compresión ..............352 tablas ..................................................................................................... 353 11 introducción El objetivo de este libro es iniciar al estudiante en los principios fundamentales del hormigón reforzado, se incluye suficiente información para un entendimiento completo. En este texto se aplican las disposiciones reglamentarias de las Normas Colombianas de Diseño y Construcciones Sismo-Resistentes (NSR-98), el ACI-318-02 y ACI-318-05. El tratamiento de las normas se hace de manera crítica, se discuten, analizan y comparan cada una de las disposiciones de las normas anteriores, de manera que el estudiante conozca la justificación actual de las especificaciones y tenga una actitud abierta al cambio, para asimilar las nuevas disposiciones que a través de la investigación y la experiencia llevarán en el futuro a nuevas normas de diseño. Todos los temas son tratados de manera ordenada y secuencial para permitir su implementación en computadores, tanto para el diseño como para la revisión de las secciones rectangulares, en “T” y en “L”, se incluyen diagramas de flujo para facilitar su sistematización. Se mejoran sustancialmente las ediciones anteriores aumentando el número de ejemplos hasta cubrir todos los posibles casos de diseño y revisión, y se ilustran los casos tratados con fotografías. Se hace un énfasis especial en el detallado de los elementos estructurales, en todos los capítulos se ilustra con ejemplos la manera de presentar en planos los resultados del diseño. En la evaluación de las cargas de acabados y particiones se hacen ejemplos numéricos paso a paso con el fin de discutir la pertinencia o no de los valores mínimos de diseño sugeridos por la norma colombiana. Se le adiciona a las ediciones anteriores el tema de losas o placas bidireccionales, el cual se ilustra con ejemplos de diseño por los métodos directo y de coeficientes. Todos los cambios que se han venido presentando en los últimos años llevaron al autor a revisar las ediciones anteriores, en principio, con el fin de incluirlos en la parte pertinente de cada capítulo, en la que se 13 estudian las especificaciones de diseño, pero además, se ha aprovechado la oportunidad para modificar otros temas diferentes a las especificaciones en sí, en gran medida como resultado del estudio y análisis de las publicaciones que han aparecido recientemente acerca de los diferentes temas tratados, y en parte, como respuesta a las críticas constructivas, recibidas de parte de colegas y estudiantes a la edición anterior. Agradecimientos por la ayuda recibida de varias fuentes, en particular de los ingenieros Juan Carlos Vélez y de Gabriel Ignacio Gutiérrez Jaramillo quienes con sus sugerencias y críticas contribuyeron directamente a la preparación de esta edición. 14 capítulo 1. características generales del Hormigón 1.1 composición El hormigón es un material de construcción, no homogéneo, constituido por la mezcla de cemento, arena, cascajo y agua. El cemento es el material ligante; la arena y el cascajo son materiales de relleno, llamados también agregados; el agua es el elemento catalizador que reacciona con el cemento y hace que éste desarrolle sus propiedades ligantes. La mezcla del cemento con el agua se denomina PASTA, y cumple las siguientes funciones: • En estado plástico sirve como lubricante permitiendo el deslizamiento entre partículas. • En estado sólido, en unión con los agregados, contribuye a proporcionar a la mezcla su resistencia mecánica. Además, rellena los espacios entre partículas proporcionándole al hormigón la característica de impermeabilidad. • Los agregados pétreos, arena y cascajo, cumplen las siguientes funciones: • En unión con la pasta, proporcionan la resistencia mecánica. • Son materiales de relleno, con lo cual se logra que el hormigón sea un material económico. • Al ser materiales inertes, controlan los cambios volumétricos. Si a la pasta se le adiciona arena, toma el nombre de Mortero, el cual se emplea en la pega de ladrillos y en el revoque o pañete de muros. Si al mortero se le adiciona cascajo, se obtiene el Hormigón propiamente dicho. Para mejorarle su resistencia y su ductilidad se refuerza con barras de acero, obteniéndose así el Hormigón reforzado. Existe otro material denominado Hormigón ciclópeo, constituido por hormigón y piedras de un tamaño aproximado de 10 a 20 cm. que se emplea en la construcción de muros de gravedad y en el realce de cimentaciones. 15 Dependiendo de la forma como se utilice el refuerzo se obtiene el Hormigón pretensionado o el Hormigón postensionado. En ellos, el acero se tensiona antes o después del vaciado. El hormigón pretensionado se emplea en la prefabricación de elementos de luces pequeñas; el hormigón postensionado se emplea en vigas de grandes luces, como es el caso de los puentes. Los materiales constituyentes del hormigón son de gran abundancia en la naturaleza. En la producción del mismo no se requiere de mano de obra calificada, lo cual hace que sea un material de construcción muy económico, que además se adapta a cualquier tipo de clima, resiste la acción del fuego, se acomoda con facilidad a cualquier forma estructural y bajo un adecuado diseño se comporta de manera muy aceptable frente a los efectos de sismos intensos. La propiedad mecánica más sobresaliente del hormigón es su resistencia a la compresión, f’c, la cual depende de muchos factores, incluyendo la edad, la calidad y proporciones de los materiales constituyentes, la producción y manejo del hormigón fresco y los cuidados posteriores al hormigón endurecido. Los principales factores que influyen en la resistencia del hormigón se describen a continuación. 1.1.1 cemento La palabra cemento se emplea para designar a toda sustancia que posea propiedades ligantes, cualquiera que sea su origen. Dada la alta producción de cemento portland, con relación a los otros cementos, su uso se ha generalizado. El cemento portland es un cemento hidráulico, producido de materiales calcáreos seleccionados, pulverizados y mezclados. Esta mezcla se calcina a 1.350 ºC y da como resultado un clinker, el cual se muele y se le adiciona yeso para regular el fraguado. El cemento debe cumplir con las normas NTC 121 y NTC 321. El cemento, tal como se usa en el hormigón, tiene la propiedad de formar una pasta al mezclarse con el agua; dicha pasta se endurece con el tiempo sin que las partículas lleguen a separarse. Este proceso de endurecimiento de la pasta se denomina fraguado. A mayor cantidad de cemento en una mezcla, mayor será su resistencia, pero al mismo tiempo mayor será la retracción del fraguado y mayor el costo de la misma. 16 figura 1.1 efecto del contenido de cemento en la resistencia del Hormigón. La reacción del cemento con el agua es exotérmica, libera calor, al enfriarse la mezcla presenta contracción del hormigón (retracción del fraguado), lo cual constituye un aspecto desfavorable del cemento. Al colocar el hormigón en forma masiva, se libera gran cantidad de calor, la cual va acompañada de una gran retracción del fraguado que genera grietas o fisuras que desmejoran la resistencia de la estructura. clases de cementos: • Tipo 1: Para hacer hormigones de uso general en la construcción, tiene una amplia aplicación en la elaboración de pastas y lechadas de inyección, morteros de albañilería, morteros de mampostería, hormigones simples y reforzados, y obras de hormigón en general. • Tipo 2: Para empleo cuando se desea un bajo calor de hidratación, como es el caso de masas de hormigón, estribos de puentes y grandes muros de contención. • Tipo 3: Es un cemento de uso estructural a temprana edad, su aplicación es especialmente recomendada en la producción de hormigones de alta resistencia inicial, sin el uso de aditivos acelerantes. Sin embargo, también es ampliamente recomendado en la elaboración de hormigones de alto desempeño, como aquellos de más de 420 kgf / cm2 de resistencia final a la compresión. • Tipo 4: Para obras donde se requiera el empleo de hormigón en masa y en donde se requiera un bajo calor de hidratación. 17 Tipo 5: Para obras donde se requiera alta resistencia al ataque químico, bajo calor de hidratación y en donde no se requieran altas resistencias iniciales. Es el cemento especial para obras marítimas, hormigones en contacto con suelos que contengan sulfatos y en la construcción de grandes masas de hormigón. En Colombia se fabrican los cementos tipo 1 y tipo 3, los otros se producen bajo pedido especial1,2. • tabla 1.1 composición química de los cementos. TIPO DE CEMENTO Silicato tricálcico Silicato dicálcico Aluminato tricálcico Aluminoferrita tetracálcica Finura (Wagner) C3S C2S C3A C4AF g / cm3 1 50 24 11 8 1.800 2 42 33 5 13 1.800 3 60 13 9 8 2.600 4 26 50 5 12 1.900 5 40 40 4 9 1.900 1.1.2 agua El agua permite que el cemento pueda fraguar y le comunica a la mezcla la fluidez necesaria para poderla manejar. Se recomienda cumplir con la norma NTC 3459. figura 1.2 efecto Hormigón. del contenido del agua en la resistencia del 18 Es de gran importancia regular el contenido de agua de una mezcla, un exceso de agua desmejora su resistencia al permitir la segregación de los agregados; además, al evaporarse el excedente de agua se produce un hormigón poroso; por el contrario, una deficiencia en el contenido de agua, conduce a mezclas poco fluidas, con hormigones porosos, poco impermeables y de baja resistencia. 1.1.3 agregados Por agregado fino o arena se entiende aquel que contiene las partículas comprendidas entre 5 y 0.075 milímetros. Por agregado grueso o cascajo se entiende aquel cuyas partículas tienen tamaño superior a 5 milímetros. Los agregados para el hormigón deben cumplir la norma NTC 174. Las características más importantes de un agregado son: • Granulometría. • Densidad aparente. • Absorción. • Masa unitaria seca. • Contenido de materia orgánica. • Contenido de arcilla. • Forma de las partículas. • Superficie de las partículas. 1.1.4 relación agua / cemento El factor más importante que afecta la resistencia del hormigón es la relación agua / cemento. Para producir la hidratación completa de todo el cemento es necesario emplear una relación agua / cemento de 0.25 (por peso), una relación adicional y mayor de 0.1 es necesaria para que el hormigón tenga una trabajabilidad adecuada, lo cual se obtiene para relaciones agua / cemento superiores a 0.50. La forma como la relación agua / cemento afecta la resistencia del hormigón a compresión y a tracción se indica en la figura 1.3. Al incrementar esta relación se disminuye la resistencia a compresión, a tracción y al desgaste, así como el módulo de elasticidad. Al variar esta relación, varía la docilidad y en consecuencia su resistencia. 19 figura 1.3 efecto de la relación agua / cemento en el Hormigón. 1.2 colocación y compactación En la obra debe prestarse atención muy especial al proceso de vaciado y colocación del hormigón. La mezcla debe utilizarse antes de la iniciación del fraguado con la manejabilidad adecuada. Antes de colocar el hormigón, debe revisarse la formaleta, la cual debe ser rígida y resistente a las cargas a soportar, no presentar deformaciones o asentamientos perjudiciales y no debe absorber el agua de la mezcla; además, se requiere que sea homogénea y continua para evitar que afecte la resistencia y acabados de los elementos. Durante la colocación del hormigón debe tenerse en cuenta: • Prever y verificar el correcto funcionamiento del equipo para la colocación y compactación. • Planificar un correcto transporte del hormigón dentro de la obra para evitar la segregación. • Distribuir uniformemente la mezcla, evitando formar grandes depósitos, en espera de que por sí misma se distribuya. • Vibrar adecuadamente la mezcla. Un exceso de vibrado produce segregación, ascienden las partículas finas y descienden las gruesas. La falta de vibrado produce vacíos dentro de la mezcla. • El hormigón no debe ser colocado en caída libre, pues esto produce segregación. • Una vez colocado el hormigón sigue el proceso de compactación, cuyo fin es alcanzar la máxima densidad posible. La compacta- 20 • ción se debe realizar de acuerdo con la consistencia de la mezcla, vibrado para mezclas secas y picado para mezclas blandas. Compactar masas pequeñas, vibrando espesores no mayores de 50 cm., teniendo la precaución de penetrar la capa anterior. El vibrador se debe introducir lenta y verticalmente. La duración y distancia debe ser la adecuada para producir un acabado uniforme. 1.3 curado El curado se define como la prevención del secado prematuro del concreto bajo un nivel de temperatura favorable por un periodo especifico. Si el agua de la mezcla escapa a edades tempranas, la hidratación del cemento no es total y se producen fisuras por retracción hidráulica, por ello es necesario tomar precauciones antes y después de la colocación del hormigón. Previamente el suelo y las formaletas que van a estar en contacto con el hormigón deben humedecerse para evitar que absorban el agua de la mezcla, y una vez se inicia el fraguado se deben proporcionar condiciones adecuadas para el curado. Durante los primeros días del fraguado es indispensable mantener la humedad de la mezcla, pues la hidratación del cemento continúa durante varios días o meses. Si se mantiene un adecuado curado, se facilita una mejor hidratación del cemento y en consecuencia se obtienen estructuras más resistentes. figura 1.4 efecto del curado en la resistencia del Hormigón. 21 El periodo del curado de los elementos de hormigón debe ser por lo menos de 7 días a una temperatura mínima de 10ºC y máxima de 32ºC, NSR-98 Sec. C.5.11.1, este periodo puede reducirse a 3 días en el caso de hormigones de alta resistencia y hormigones con acelerantes del fraguado. Alternativamente, cuando se hacen ensayos de resistencia sobre cilindros hay que mantener el curado hasta que la resistencia sea el 70% de la resistencia especificada. En el caso de vigas, columnas y muros no es necesario protegerlos de la pérdida de humedad mientras que F o to gra fía 1 . Curado de columna las formaletas estén colocadas; no obs- forrándola con polietileno. tante, si las formaletas se retiran antes de los cuatro primeros días es recomendable utilizar algún método de curado, posterior a su retiro. El curado del hormigón se realiza rociándolo con agua varias veces durante el día, o bien, impidiendo la evaporación del agua, forrando la estructura con polietileno. El hormigón que ha sido curado adecuadamente es más resistente a las diferentes solicitaciones de carga y más durable a los ataques químicos. El fisuramiento por retracción que ocurre cuando el desecamiento del hormigón no es evitado, origina superficies agrietadas que aparentan ser sólo un problema estético; sin embargo, pueden causar daños al hormigón y a su refuerzo debido a que facilitan la penetración dentro del hormigón de los agentes agresivos del medio ambiente y causar la corrosión del refuerzo. 1.4 la edad en la resistencia del Hormigón La resistencia del hormigón se incrementa apreciablemente con la edad, ya que la hidratación del cemento continúa por varios meses. En la práctica, la resistencia del hormigón se determina por el ensayo de cilindros 22 a las edades de 7 y 28 días. Como un dato práctico, la resistencia del hormigón a los 28 días es 1.5 veces la resistencia a los 7 días, este rango de variación está entre 1.3 y 1.7. El código Británico acepta el hormigón cuya resistencia a los 7 días no sea inferior a 2 / 3 de la resistencia requerida a los 28 días. La resistencia a los 28 días puede estimarse a partir de la resistencia a los 7 días, mediante el empleo de fórmulas empíricas, tales como: f’c (28) = C + K *f’c (7) (kgf / cm2) (1.1) Esta relación depende fundamentalmente del tipo de cemento empleado, en consecuencia, es una relación aproximada. Debe entonces cada laboratorio de materiales deducir las expresiones que se ajusten a los cementos del medio. Información adicional para varios cementos colombianos los encuentra el lector en la referencia 2, páginas 176 a 178. En Medellín se emplean las siguientes relaciones: Solingral: U. EAFIT U. Nacional: f’c (28) = 1.13 * f’c (7) + 50 f’c (28) = 1.014 * f’c (7) + 63.9 f’c (28) = f’c (7) + 7.42 * √ f’c (7) (kgf / cm2) (kgf / cm2) (kgf / cm2) (1.2) (1.3) (1.4) Otras relaciones aproximadas, pero también importantes, que relacionan la resistencia del hormigón a diferentes edades, referencia 1, son: f’c (28) f’c (90) f’c (28) f’c (28) = = = = √ f’c (3) + 17 * √ f’c (7) 1.35 * f’c (28) 1.20 * f’c (28) 1.16 * √ f’c (14) 1.0026 * √ f’c (14) + 41.13 (kgf / cm2) (kgf / cm2) (kgf / cm2) (kgf / cm2) (kgf / cm2) f’c (1 año) = 1.5 Velocidad de carga La resistencia a la compresión del hormigón se determina a partir de ensayos sobre cilindros o cubos a los cuales se les aplica una carga axial de compresión en pocos minutos. 23 Bajo cargas sostenidas por varios años la resistencia a compresión del hormigón se reduce cerca del 30%. Si la carga se aplica en un día la resistencia a compresión disminuye cerca del 10%. Luego, las cargas sostenidas o permanentes, así como el efecto de las cargas dinámicas y de impacto, deben ser tenidas en cuenta en el diseño. figura 1.5 efecto de la Velocidad de carga. 1.6 aditiVos Son productos que se adicionan al hormigón antes o durante el vaciado para modificar algunas de sus propiedades. Hay ocasiones en las cuales es conveniente modificar las propiedades normales del hormigón según el tipo de obra a construir o según sus características. En algunas obras es necesario que el hormigón adquiera rápida resistencia en pocas horas o que sus características de permeabilidad sean mejores o que su resistencia a los agentes atmosféricos sea mejor a los del hormigón normal. En estos casos debe adicionarse una sustancia que produzca el efecto deseado sin alterar la resistencia a la compresión del hormigón. Los diferentes aditivos pueden clasificarse en: • Plastificantes. • Acelerantes. • Retardadores. • Productos que producen expansión. • Repelentes de agua. 24 1.7 normas de diseño En las secciones anteriores se ha dado un ligero recuento, sobre algunos de los factores que influyen en la calidad de un buen hormigón. Las variables son muchas y se requiere normalizar los procedimientos de ensayos de los materiales y los de diseño, para garantizar con ello un mínimo de seguridad en las estructuras de hormigón, es decir, se requieren formular normas mínimas de diseño. Para desarrollar normas o códigos de diseño, es necesario que cada país aporte parte de sus recursos económicos para el desarrollo de investigaciones que conduzcan a tecnologías propias de cada región. Colombia, como casi todos los países del tercer mundo, no ha contado con dichos recursos, y su desarrollo tecnológico ha sido muy pobre. Este vacío se ha llenado en épocas anteriores adoptando al medio códigos desarrollados en otros países. El más empleado en Colombia es el código de la American Concrete Institute, el código ACI. En los últimos años y a causa de los desastres que han ocasionado los últimos sismos en Colombia, se han aunado los esfuerzos de las diferentes asociaciones de ingenieros, con el fin de adaptar algunas normas al medio que permitan regular la actividad de diseño y construcción. En la referencia 6 el lector encontrará un recuento detallado de los estudios realizados en Colombia. En 1974 se creó la Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, AIS; con el propósito de estudiar los aspectos de seguridad de las estructuras de hormigón reforzado ante movimientos sísmicos, en mayo de 1981 publicó su norma AIS-100-81, basada en el código norteamericano ATC3, la modelación adoptada para definir los parámetros de diseño aún es cuestionada, pero ha sido, sin lugar a dudas, un aporte importantísimo para la ingeniería nacional. Habrá que esperar algunos años, muchos quizás, para que el país disponga de información suficiente, en número y en calidad de eventos sísmicos para desarrollar normas propias. El Instituto Colombiano de Normas Técnicas y Certificación, ICONTEC, inició en 1978 la elaboración del Código Colombiano de Estructuras de Hormigón Reforzado. La base logística de este código fue el ACI de 1977 (ACI-318-77). Fruto de este esfuerzo es la norma ICONTEC 2.000, adoptada por el Consejo Nacional de Normas y Calidades, mediante resolución No 1.092 de Junio 17 de 1983 y que fue de obligatorio cumplimiento. 25 La norma ICONTEC 2.000 define en su sección A, los requisitos sísmicos, la norma AIS-100-81, para lo concerniente al diseño sismo-resistente. A principios de 1983 se publica la norma ICONTEC 2.000. Estando la ingeniería nacional en su discusión, se presenta el sismo que semidestruye la ciudad de Popayán el 31 de marzo de 1983. Ante la magnitud de la tragedia, el Gobierno Nacional solicita al ICONTEC la formulación de una norma que propendiera por el logro de estructuras sismo-resistentes. Figura 1.6. Código ColombiaSe revisó entonces la norma AIS-100-81 que no de Construcciones Sismo condujo a un nuevo documento, AIS-100-83, Resistentes CCCSR-84. que sirvió como base para la modificación de la norma ICONTEC 2.000. El 7 de junio de 1984 se formula en Colombia el Código Colombiano de Construcciones Sismo-Resistentes (CCCSR-84), basado en la norma ICONTEC 2.000 y en la norma AIS-100-83. El CCSR-84 adopta para el medio colombiano, especificaciones sísmicas propias y conserva, en un gran porcentaje, las bases de diseño formuladas por el ACI-318-83. Al poco tiempo de haberse oficializado la primera versión del Código Colombiano de Construcciones Sismo-Resistentes, se presentaron en el mundo varios terremotos que mostraron serias fallas en estructuras diseñadas con códigos modernos. Los terremotos de México (Septiembre de 1985) y El Salvador (Octubre de 1986), pusieron de manifiesto el comportamiento deficiente del sistema estructural de placas y columnas flexibles, comparados con sistemas muchos más rígidos usados en Chile y que mostraron un adecuado comportamiento durante el terremoto de Marzo de 1985. Semejanzas en los métodos constructi- Figura 1.7. Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo vos entre Colombia y México, en particular Resistente, NSR-98. 26 el uso extensivo del sistema de placa plana, así como similitudes en las condiciones del suelo de Bogotá D.C., con algunas zonas de la ciudad de México, ambas asentadas sobre un antiguo sedimento lacustre; hacen que sea muy importante el análisis cuidadoso de la experiencia mexicana para sacar de ésta el mejor provecho posible. A principio del año 1998 se han dado a la luz pública las Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo – Resistente (Ley 400 de 1997), denominadas NSR-98 y aprobadas por medio del decreto 33 del 9 de febrero de 1998. Estas normas actualizan y reemplazan la primera normativa sismorresistente de Colombia, CCCSR-84. Aparte del decreto 33 de 1998 se han expedido, con fines de actualización de las normas, tres decretos reglamentarios más (Números 34 de 1999, 2.015 del 2001 y 1.379 del 2002). 27 capítulo 2. características mecánicas de los materiales 2.1 aspectos generales El hormigón, sin reforzar, es resistente a la compresión, pero ofrece baja resistencia a la tracción, lo cual limita su empleo como material estructural. Para resistir tracciones el hormigón se refuerza con acero en las zonas donde éstas deben desarrollarse. El acero de refuerzo tiene como función estructural soportar las tracciones, restringir el agrietamiento, incrementar la resistencia del elemento estructural y proporcionar confinamiento lateral al hormigón, con lo cual se incrementa indirectamente su resistencia y se mejora la ductilidad de la estructura. Para diseñar estructuras de hormigón reforzado es necesario aplicar métodos de análisis que permitan combinar el hormigón simple con el acero de refuerzo, de manera que se aprovechen en forma eficiente y económica las características de cada uno de ellos. En las siguientes secciones se describen las características más importantes del hormigón y del acero. Se sugiere al lector consultar el texto de la referencia 12 para el estudio de las propiedades secundarias del hormigón tales como durabilidad, permeabilidad, resistencia al fuego, a la abrasión y a la intemperie. 2.2 Hormigón Dada la heterogeneidad de los materiales que lo constituyen, su resistencia depende de la calidad y proporción de cada uno de ellos, de la calidad de la mano de obra y del cuidado posterior al vaciado. El conocimiento de las diferentes propiedades mecánicas del hormigón es indispensable para el diseño, entre estas propiedades se incluyen: resistencia a la compresión, tracción, flexión y corte. Es práctica usual expresar estas propiedades en función de la resistencia a la compresión del hormigón. 29 2.2.1 resistencia a la compresión, ¦f’c La característica que mide la calidad del hormigón es su resistencia a la compresión, se representa como f’c e indica la resistencia de probetas cilíndricas de 15 cm. de diámetro por 30 cm. de altura, ensayadas a los 28 días. Detalles del ensayo deben consultarse en las normas NTC 673 (ASTM C39). Figura 2.1 Dimensiones de las probetas estándar. En Inglaterra, Alemania y otras partes de Europa las muestras ensayadas son cubos de 15 ó 20 cm. En Francia y Rusia se emplean muestras prismáticas de 7 * 7 * 35 cm ó de 10 * 10 * 50 cm. Para el ensayo de resistencia las muestras deben tomarse de acuerdo a la norma NTC 454 (ASTM C172). Los cilindros para el ensayo deben fabricarse y curarse de conformidad con la norma NTC 550 (ASTM C31). Para analizar los resultados y definir los criterios de aceptabilidad de los resultados de los ensayos Fotografía 2. Cilindros de hormigón en el deben estudiarse las disposiciones tanque de curado antes del ensayo. de la NSR-98 Sec. C.5.6, tema éste que se encuentra fuera del alcance del presente texto. En la fotografía 3 se ilustra un ensayo a compresión axial de un cilindro de hormigón simple. En cilindros con relación longitud / diámetro igual a 2, la falla suele presentarse a través de planos inclinados, respecto a la dirección de la carga; esta inclinación se debe a las restricciones que ofrecen las placas de apoyo de la máquina a los movimientos laterales. Si se engrasan los extremos del cilindro, para reducir las fricciones, las grietas producidas son aproximadamente paralelas a la dirección de aplicación de la carga, es el tipo característico de falla de los hormigones de alta resistencia, véase fotografía 4. 30 Fotografía 3. Ensayo a compresión axial de un cilindro de hormigón. Fotografía 4. Falla de un cilindro de hormigón a compresión axial. La curva tensión-deformación se obtiene de los resultados de este ensayo. Los valores de las tensiones resultan de dividir la carga axial total aplicada, P, por el área inicial de la sección transversal del cilindro, A, y representa los valores promedios bajo la hipótesis de distribución uniforme de deformaciones y de características de la curva tensióndeformación constantes. Figura 2.2 diagrama tensión-deformación del Hormigón a compresión. 31 La curva que se indica en la figura 2.2 corresponde a un ensayo efectuado en un tiempo relativamente corto, de unos pocos minutos desde su inicio hasta la falla. Se aprecia que el hormigón no es un material elástico y que la parte inicial de esta curva no es rigurosamente recta. Sin gran error, puede considerarse que es una porción recta hasta el 50% de la carga máxima. Figura 2.3 diagramas tensión-deformación para diferentes Hormigones. Se observa, en la figura 2.3, que la curva tensión-deformación alcanza un valor máximo para deformaciones comprendidas entre 0.002 y 0.0025. La deformación última en el instante de la falla se presenta para deformaciones comprendidas entre 0.003 y 0.008; sin embargo, se considera que el hormigón es útil hasta deformaciones comprendidas entre 0.003 y 0.004. 2.2.1.1 deformación ultima, εuc El ACI-318-02 Sec. 10.2.3 y el NSR-98 Sec. C.10.2.3 establecen que la máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema a compresión del hormigón debe suponerse igual a 0.003. εuc = 0.003 (2.1) Las normas europeas son más liberales que las americanas y adoptan como deformación última del hormigón el valor de 0.0035. 32 2.2.1.2 módulo de elasticidad, ec El módulo de elasticidad es una medida de la rigidez, o de la resistencia del material a sufrir deformaciones. El hormigón es un material elastoplástico y las tensiones no son proporcionales a las deformaciones. El módulo de elasticidad depende de la resistencia del hormigón, de su edad, de las propiedades de los agregados y de las del cemento, de la velocidad de carga y de la forma y tamaño de las probetas. Existen varias definiciones arbitrarias, basadas en consideraciones empíricas, del módulo de elasticidad. Unos autores lo definen como la pendiente de la tangente trazada en el origen de la curva tensión-deformación. El módulo así definido presenta como inconveniente la imprecisión en su evaluación. Otros autores proponen un módulo tangente definido como la pendiente de la tangente a la curva tensión-deformación para una tensión dada; pero la acción de las cargas sostenidas en el desarrollo de las deformaciones plásticas, hacen que la relación tensión-deformación sea una relación variable con el tiempo, lo cual dificulta la evaluación del módulo elástico. Otros, definen un módulo secante. Este módulo esta representado por la pendiente de la secante trazada del origen a un punto específico de la curva tensión-deformación, usualmente este punto esta definido por la tensión correspondiente al 45% de su valor máximo. Durante muchos años el ACI recomendó adoptar como módulo de elasticidad del hormigón la expresión: Ec = 1,000 f ’c, pero debido al desarrollo de nuevas tecnologías, fue necesario revaluar esta expresión para incluir su densidad (Wc) como una nueva variable. El ACI-318-02 Sec. 8.5.1 recomienda la siguiente expresión: Ec = 0.043 * Wc1.5 * √ f’c Unidades: Wc en kgf. /cm3 y f’c y Ec en MPa Para hormigones cuya densidad sea aproximadamente 2,300 kgf / m3 el ACI-318-02 Sec. 8.5.1 recomienda adoptar: Ec = 15,100 * √ f’c (kgf. / cm2) (2.3) (2.2) 33 figura 2.4 módulo de elasticidad del Hormigón. El CCCSR-84 omitió la expresión (2.2) dada por el ACI, error que se corrigió en la NSR-98 en la cual se especifica que el módulo elástico debe determinarse experimentalmente a partir de las curvas tensión-deformación obtenidas para un grupo representativo de cilindros estándar y adopta como módulo de elasticidad la pendiente de la línea secante trazada del origen al punto de la curva tensión-deformación correspondiente a una tensión de 0.45 f’c en compresión. En caso de que no se disponga de este valor experimental la NSR-98 sugiere en su sección C.8.5.4 tomar para hormigones cuya masa unitaria varíe entre 1,450 y 2,450 kgf / m3 el siguiente valor medio, sin distinguir por tipo de agregado: Ec = 0.11 * Wc1.5 √ f’c Ec = 0.034 * Wc1.5 √ f’c (kgf / cm2) (MPa) (2.4) Cuando no se disponga del valor experimental de Ec, o cuando no se disponga del valor de la masa unitaria del hormigón, puede utilizarse el siguiente valor medio, sin distinguir por tipo de agregado, NSR-98 Sec. C.8.5.4.1: Ec = 12,500 * √ f’c Ec = 3,900 * √ f’c (kgf / cm2) (MPa) (2.5) 34 La curva tensión-deformación se deduce bajo el análisis de deformaciones medidas sobre la superficie de la probeta. Estudios recientes13 han permitido observar que si las deformaciones se miden en el interior de la probeta, el valor del módulo elástico se incrementa en un 50%. Los procedimientos del ensayo pueden consultarse en la norma NTC-673 (ASTM C39). 2.2.1.3 relación de poisson, μ La relación de Poisson es el cociente obtenido de dividir la deformación unitaria transversal por la deformación unitaria longitudinal, obtenidas éstas de un ensayo a compresión simple sobre una probeta estándar, en el rango elástico del material. Este ensayo debe realizarse de acuerdo a la norma NTC 4025 (ASTM C489). Para el hormigón, el valor de la relación de Poisson varia entre 0.15 y 0.20. En el caso de que no se disponga de un valor experimental puede utilizarse un valor de 0.20 (NSR-98 Sec. C.8.5.4.2). Esta relación es importante en el diseño de túneles, presas, losas y arcos. Se remite al lector a la referencia 14 para el análisis del estado actual de las investigaciones sobre la relación de Poisson. 2.2.2 resistencia a la tracción, ¦ f’ ct El hormigón, no es un material dúctil y no soporta altas tensiones de tracción, lo cual es muy importante para el análisis de fisuras, tensiones cortantes y problemas torsionales. Ensayos de tracción directa no son aplicables para deducir la resistencia a la tracción del hormigón. En 1948 Fernando Carneiro en Brasil15, y casi simultáneamente Akasawa en Japón16, idearon un procedimiento de ensayo indirecto, el cual es conocido como el ensayo brasileño. Este ensayo consiste en someter un cilindro estándar a una carga de compresión aplicada sobre dos generatrices. La carga de falla, así obtenida, se acepta como una Fotografía 5. Ensayo de tracción indirecta en cilindros de hormigón. medida de la resistencia a la tracción. 35 La gran ventaja de este método es la facilidad de ejecución; no requiere equipo especial, pues se emplea la misma máquina y el mismo molde de las pruebas de compresión. Para que la representación de la carga a la tracción sea válida, debe cumplirse según demostraciones realizadas mediante análisis teórico y por análisis foto-elástico, que un material relativamente suave debe colocarse entre los platos de la máquina y el cilindro, para lograr una mejor distribución de la carga en los puntos de contacto. El material utilizado puede ser triplex, banda de caucho o corcho. Entre ciertos rangos de resistencia, la falla a la tracción se inicia hacia el centro de la muestra. a) b) c) Fotografía 6 Secuencia de la preparación del cilindro para el ensayo a tracción indirecta y forma de falla (c). La resistencia del hormigón a la tracción se calcula mediante la siguiente expresión, que se deduce de la teoría de la elasticidad: 2P f’ct = ––––––– d*L (2.6) f’ct = Resistencia a la tracción del hormigón. P = Carga máxima alcanzada durante el ensayo. d, L = Dimensiones de la probeta estándar (15 y 30 cm). La resistencia a la tracción, ( f’ct), es más variable que la resistencia a la compresión, (f’c), y su valor oscila entre el 10 y el 15% de f’c. Experimentalmente se ha demostrado que su valor varía entre: f’ct = 1.60 * √ f’c y f’ct = 1.86 * √ f’c (kgf / cm2) 36 El ACI-318-02 Sec.11.2 sugiere la adopción del siguiente valor promedio para hormigón ligero: f’ct = 1.78 * √ f’c (kgf / cm2) (2.7) Este valor es ligeramente superior a la verdadera resistencia a la tracción del hormigón, puesto que al no poder aplicarse la carga en la forma teórica preestablecida se generan tensiones secundarias que afectan los resultados. El procedimiento de este ensayo debe consultarse en la norma NTC-722 (ASTM C-496). 2.2.3 resistencia a la flexión, ¦ fr Para algunas aplicaciones, tales como el estudio de flechas o el diseño de pavimentos rígidos, es necesario conocer, en forma aproximada, la resistencia del hormigón a la flexión simple, la cual es conocida como Módulo de Ruptura y se representa como fr. Este módulo se determina ensayando una viga prismática de hormigón simple (15 * 15 * 60 cm), simplemente apoyada, sujeta a dos cargas concentradas aplicadas en los tercios de la luz. La falla que se presenta es brusca y va acompañada de la presencia de una fisura única. El procedimiento del ensayo debe consultarse en la norma NTC 2871(ASTM C-78). Figura 2.5 ensayo a la flexión del Hormigón simple. La tensión resistente se obtiene a partir de los resultados del ensayo, para lo cual se utiliza la siguiente expresión: 37 M*y f’r = ––––––– Ig f’r M y = h/2 (2.8) = Módulo de ruptura del hormigón. = Momento flector producido por la carga máxima. = Distancia de la fibra neutra a la fibra extrema sometida a tracción. 3 Ig = bh /12 = Momento de inercia de la sección sin fisurar respecto a la fibra neutra. Al aplicar esta expresión, se asume que el hormigón se comporta como un material elástico hasta la rotura, lo cual no es cierto; por esta razón los valores encontrados son superiores a los valores obtenidos en el ensayo indirecto (Método brasileño). Este ensayo proporciona una medida de la resistencia del hormigón a la flexión, o mejor, a la tracción debida a la flexión. La tensión máxima a ruptura por flexión (f’r) depende de la resistencia a la compresión del hormigón (f’c), de la esbeltez del elemento (h / L) y de las condiciones de curado. La evaluación de este módulo presenta varios inconvenientes, entre ellos, el que la máxima tracción se localiza en la fibra extrema del elemento, fibra ésta que se encuentra afectada por contracciones debidas a los cambios de las condiciones ambientales (humedad, temperatura, etc.); por ello la dispersión de los resultados es alta y mayor a la obtenida por el método brasileño. El ACI-318-02 Sec. 9.5.2.3 y el NSR-98 Sec.C.9.5.2.2 recomiendan adoptar el siguiente valor promedio: f’r = 2.00 * √ f’c f’r = 0.70 * √ f’c (kgf / cm2) (MPa) (2.9) 2.2.4 La resistencia del hormigón a tensión cortante pura no tiene importancia práctica, puesto que dicho estado implica la presencia de tensiones principales de la misma magnitud de la tensión cortante. De lo anterior se deduce que un elemento sometido a tensión cortante pura, falla por tensión diagonal cuando la tensión de tracción alcanza su valor crítico y no falla por tensión cortante. resistencia a tensión cortante, Vc 38 figura 2.6 módulo de ruptura del Hormigón, fct = 2.0 √ f’c . figura 2.7 estado de tensión cortante pura. La resistencia a tensión cortante del hormigón, medida por métodos indirectos, puede considerarse que es un 20 ó 30% mayor que su resistencia a la tracción y cerca de un 12% de su resistencia a la compresión. El ACI-318-02 Sec.11.3.1.1 y la NSR-98 Sec. C.11.3.1.1 recomiendan adoptar para diseño, la siguiente tensión cortante última para el caso de flexión y cortante: vc = 0.53 * √ f’c vc = √ f’c / 6 (kgf / cm2) (MPa) (2.10) 2.2.5 El módulo de elasticidad a cortante varía entre 0.40 y 0.60 veces el valor del módulo de elasticidad a compresión. De la teoría de la elasticidad el módulo de elasticidad a cortante puede expresarse como: módulo de elasticidad a cortante, gc 39 Ec Gc = –––––––––– 2 * (1 + μ) μ = Relación de Poisson del hormigón. Para μ = 0.20, se obtiene: Gc = 0.42 Ec (2.11) 2.2.6 El hormigón se expande cuando se incrementa la temperatura y se contrae cuando ésta desciende. El coeficiente de expansión térmica del hormigón varía entre 8.7 y 15.3 10-5 cm / cm / ºC, un promedio de 10-5 cm / cm / ºC puede emplearse (Este valor es recomendado por la Bristish Standard Institution). Este valor representa un cambio de 10 mm en un elemento de hormigón de 30 m si se somete a un cambio de temperatura de 33 ºC; si este elemento estuviese restringido se produciría una tensión interna de 70 kgf / cm2; luego, en grandes estructuras deben preverse juntas de dilatación para reducir las tensiones producidas por los cambios de temperatura. Ello se logra espaciando las juntas entre 20 y 60 m, y dejando un espacio libre entre ellas de 25 mm como mínimo. coeficiente de expansión térmica, αc 2.3 acero El acero de refuerzo se emplea de diferentes formas, la más común de ellas son barras o varillas de sección circular. Este refuerzo se localiza en las zonas donde se desarrollan tracciones, con el fin de que absorban estas solicitaciones, pues el hormigón no está en capacidad de resistirlas. Los diámetros usuales de estas varillas varían de ¼” a 1¼”. Comercialmente no se acostumbra denominarlas por su diámetro, se distinguen con un número, el cual coincide con el número de octavos de pulgada de su diámetro; por ejemplo, la barra de ⅝” se denomina barra No 5. Las barras de refuerzo se fabrican lisas o corrugadas. Las barras corrugadas tienen unas protuberancias o resaltes que permiten mejorar la adherencia entre el hormigón y el acero. El código ACI-318-02 Sec. 3.5.3.2 y la NSR-98 Sec. C.3.5.5 no aceptan el empleo de barras lisas para el refuerzo principal, la NSR-98 acepta el empleo de barras lisas sólo para estribos, espirales y refuerzo de repartición y temperatura. 40 Las barras de menor diámetro (No 2 y No 3) se emplean especialmente para espirales y estribos, se fabrican en barras o en rollos comúnmente llamados chipas de aproximadamente 250 kgf. de peso. Las barras No 4 a No 11 se emplean como refuerzo principal en vigas, columnas, losas, muros, etc. Figura 2.8 barras Hormigón. y mallas electrosoldadas para refuerzo del Además de las barras o varillas, también se emplean como refuerzo del hormigón, mallas electrosoldadas que consisten en barras dispuestas en sentidos ortogonales, soldadas en sus puntos de unión, formando así una estructura reticular. Son muy empleadas en las losas de poco espesor, en muros, pavimentos, etc. Los aceros se caracterizan por su límite de fluencia, el cual se aprecia con claridad en la curva tensión-deformación, ésta se obtiene del ensayo a tracción de probetas estándar. Las características de este ensayo deben consultarse en las normas NTC-2 (ASTM A370). 2.3.1 La curva tensión-deformación se obtiene sometiendo a tracción una probeta estándar, la tensión se obtiene dividiendo la carga aplicada entre el área inicial de la probeta. El diagrama característico del acero se puede observar en la figura 2.9. Puede observarse que el diagrama presenta una zona elástica perfectamente definida. En esta zona las tensiones son proporcionales a las deformaciones. El punto donde termina esta proporcionalidad se denomina punto de fluencia. Dada la dificultad de su determinación gráfica, se define trazando una paralela a la parte inicial de la curva, a partir de una deformación unitaria de 0.002; con ello se logra precisión en su determinación. La tensión correspondiente al punto de fluencia se denomina tensión de fluencia, se representa como fy. módulo de elasticidad a cortante, es 41 Figura 2.9. módulo de elasticidad del acero estructural. A partir del punto de fluencia se encuentra una zona plástica, donde el material se deforma sin ningún aumento en la tensión. Al final de esta zona, y debido al reacomodamiento de las partículas del material, éste sufre un «endurecimiento» y la curva muestra un incremento hasta lograr su valor máximo. La tensión máxima alcanzada en la curva se denomina tensión de rotura y se representa como fsu. A partir del valor máximo alcanzado por la curva, las deformaciones se incrementan considerablemente, hasta que se presenta la falla de la probeta. La deformación correspondiente al límite de proporcionalidad se denomina: εy. En la zona elástica, las tensiones son proporcionales a las deformaciones, la constante de proporcionalidad o pendiente de la zona elástica se denomina módulo de elasticidad del acero y se representa por Es. El ACI-318-02 Sec. 8.5.2 y el NSR-98 Sec.C.8.5.5 recomiendan adoptar para el diseño el valor: Es = 2’000,000 Es = 200,000 (kgf / cm2) (MPa) (2.12) 2.3.2 El coeficiente de expansión térmica del acero es del orden de 0.000012 mm / mm / ºC, este valor es sensiblemente igual al del hormigón (0.000010 mm / mm / ºC), esta particularidad es muy importante en las estructuras coeficiente de expansión térmica, αs 42 de hormigón reforzado, pues ante un cambio de temperatura ambos materiales sufren igual deformación. 2.3.3 características de los aceros nacionales Colombia cuenta con una acería: Paz del Río, y con varias siderúrgicas: Diaco, Hornasa, Sidelpa, Sidunor, Sidor, Laminados Andinos S.A., Aceros Sogamoso, Sideboyacá etc. Paz del Río produce acero A-37 en barras lisas de sección transversal circular, de acuerdo a la norma NTC-161, con un límite de fluencia mínimo de 2,400 kgf / cm2 (34,000 psi). Los diámetros de ¼” y ⅜” se producen en rollos (chipas) y los diámetros de ½” a 1¼” se producen en varillas de 6, 9 y 12 metros. Paz del Río y todas las siderúrgicas del país producen el acero grado 60 en barras corrugadas. En esta calidad no se produce el diámetro de ¼”. Anteriormente se empleaban en las construcciones sólo aceros de producción nacional, en la actualidad se emplean en Colombia aceros importados de Venezuela, Sidetur, y de Brasil. Esto hace muy importante hacerle control de calidad al acero de la construcción. No debe permitirse soldar en obra el acero grado 60, con el fin de evitar las pérdidas de sus propiedades mecánicas, tal como la ductilidad. Sin embargo, si en circunstancias especiales se requiere soldarlo en obra, dicha soldadura debe hacerse siguiendo las especificaciones de la norma AWSD A 5.5, usar electrodos WIZ 918 G y clasificación E 9018 G. 2.3.3.1 peso y dimensiones nominales de los aceros nacionales Tabla 2.1 dimensiones nominales de las barras de refuerzo nsr98 tabla c.3.2 Diámetro (pg) Ø3/8” Ø1/2” Ø5/8” Ø3/4” Ø7/8” Ø1” Ø1-1/4” Peso Kgf / m 0.560 0.994 1.552 2.235 3.042 3.973 6.404 Diámetro (cm) 0.95 1.27 1.59 1.91 2.22 2.54 3.23 Perímetro (cm) 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 10.130 Área (cm2) 0.71 1.29 1.99 2.84 3.87 5.10 8.19 43 2.3.3.2 identificación de los aceros Cada siderurgica identifica su producto con diferentes tipos de marcas. El acero grado 60 se produce de acuerdo a la norma ASTM A-706 y NCT 2289 y el límite de fluencia mínimo garantizado es de 4,200 kgf / cm2 (fy = 60,000 psi). En las figuras inferiores se indica cómo identifican sus productos las siderurgicas Sideboyacá (Colombia) y Sidetur (Venezuela). Figura 2.10 identificación de los acero de sideboyacá, colombia. Figura 2.11 identificación de los acero de sidetur, Venezuela 2.4 Hormigón reforzado 2.4.1 aspectos generales El hormigón es un material frágil, de buen comportamiento a tensiones de compresión, pero de muy baja resistencia a la tracción; por ello, tiene limitada aplicación estructural y debe combinarse con el acero con el fin 44 de que este material absorba las tracciones que no está en capacidad de soportar. Para efectos de diseño, se asume que existe adherencia perfecta entre estos materiales. El acero de refuerzo, además de soportar las tracciones que el hormigón no puede absorber, puede disponerse de manera que incremente la resistencia o mejore la ductilidad de la estructura. El refuerzo se dispone de dos formas: longitudinal o transversalmente. 2.4.2 refuerzo longitudinal Está representado por barras dispuestas a lo largo del elemento estructural; su función es absorber las tracciones que, por flexión, no está en capacidad de absorber el hormigón; luego, como es obvio, debe localizarse en las zonas donde éstas se presenten. Este refuerzo, además de absorber las tracciones, restringe el desarrollo de las grietas originadas por la baja resistencia a la tracción del hormigón y mejora su capacidad de deformación. Figura 2.12. disposición teórica del refuerzo longitudinal en Vigas. En ocasiones, se emplea refuerzo en las zonas de compresión con el fin de incrementar la resistencia, reducir las flechas plásticas o para confinar el hormigón. 45 2.4.3 refuerzo transVersal Este refuerzo está representado por armaduras transversales que reciben el nombre de estribos o aros. Su función estructural consiste en soportar las tensiones diagonales originadas por las fuerzas cortantes y confinar al hormigón proporcionándole restricción a los desplazamientos laterales y más capacidad de deformación (ductilidad). En el hormigón, este refuerzo cumple una función muy importante, su resistencia a la compresión es una función del confinamiento lateral. Figura 2.13. refuerzo longitudinal y transVersal en Vigas y columnas. Figura 2.14. diagrama tensión deformación, Hormigón confinado. 46 En la figura 2.14 se muestra el resultado de las probetas estándar de hormigón sometidas a cargas axiales de compresión, pero en este caso, las probetas se han introducido en una cámara de ensayo triaxial y se les ha sometido a una fuerza externa de compresión variable, adicional a la carga axial de compresión. La tensión de compresión, ortogonal a la producida por la carga axial, hace que la resistencia a la compresión se incremente considerablemente, con un aumento simultáneo de las deformaciones axiales admisibles. El área bajo la curva tensión-deformación representa un trabajo, y en un ciclo de carga representa la energía introducida. Entre más confinada esté una estructura, mayor será su capacidad para disipar energía en un evento sísmico y mayor será su ductilidad. Los estribos sufren deformaciones originadas por la expansión transversal del hormigón al ser sometido a cargas axiales altas. Su presencia le proporciona al hormigón mayor deformabilidad ante las cargas; esto significa que le da mayor capacidad para disipar energía. Los requisitos de confinamiento lateral son función de la energía que se espera disipar durante un evento sísmico, de allí que su diseño sea función de la ductilidad que se le desee dar a la estructura. Dependiendo de la capacidad de disipación de energía de la estructura se dan los requisitos de confinamiento mínimos en el capítulo C-21 de la NSR-98. Se remite al lector a la referencia 20 para profundizar sobre el tema de la tectónica y sismicidad colombianas. 47 capítulo 3. aspectos generales del diseño 3.1 criterios En el diseño debe satisfacerse que una estructura sea funcional y económica. Para lograr este objetivo deben seleccionarse los materiales apropiados y proporcionarse todos los elementos estructurales de modo que bajo parámetros mínimos de seguridad, soporten las solicitaciones previstas. Existen dos metodologías de diseño: 3.1.1 método de las tensiones admisibles Es conocido también como método elástico o método alterno de diseño. Se fundamenta en la aplicación de los conceptos de Resistencia de Materiales al elemento heterogéneo conocido como hormigón reforzado. Admite una variación lineal de las tensiones y acepta la Ley de Hooke. Una vez estimadas las cargas que actúan sobre una estructura, se proporcionan los elementos de manera que no se sobrepasen las tensiones admisibles de los materiales. Este método de diseño se constituyó en cuerpo central del código ACI hasta el año de 1956. A partir de ese año fue relegado a un segundo plano y hoy en día aparece tan solo como uno de sus apéndices (apéndice A), lo mismo ocurre con la NSR-98 que lo relega a su apéndice C-A. 3.1.2 método del estado limite de resistencia Conocido también como método de resistencia última, se fundamenta en el comportamiento de los elementos estructurales bajo cargas de falla. En consecuencia, no admite los conceptos elásticos. Las cargas estimadas se mayoran para obtener las cargas últimas de diseño. Estos factores de mayoración son, en un alto porcentaje, el valor de los factores de seguridad para diseño. 49 Es el método actualmente recomendado en todos los países. Inglaterra lo adoptó en 1957, Estados Unidos en 1956 y Rusia en 1935. Es el método recomendado por la NSR-98. 3.2 tipos de carga Las cargas son aquellas fuerzas que debe soportar una estructura y para las cuales deben proporcionarse los elementos estructurales. La NSR-98 dedica su título B a regular la forma como deben evaluarse las cargas a las cuales debe someterse una estructura. Una manera muy simplista de clasificar las cargas es agruparlas en cargas muertas y cargas vivas, siendo las cargas vivas aquellas que cambian de posición en la vida útil de la estructura. 3.2.1 cargas muertas Estas cargas incluyen el peso propio de la estructura y el peso de cualquier material permanentemente localizado en ella, tales como acabados de pisos y muros divisorios. Para su regulación la NSR-98 dedica el capítulo B.3. 3.2.1.1 masa de los materiales La masa de los diferentes materiales puede ser evaluada, con relativa precisión, a partir de las dimensiones de los elementos y de la masa unitaria de los mismos, la NSR-98 Sec. B.3.2 sugiere los siguientes valores mínimos: Hormigón simple ............................................. 2,300 Hormigón reforzado ........................................ 2,400 Mampostería en ladrillo macizo ..................... 1,800 Mampostería en ladrillo hueco ....................... 1,300 Mampostería en piedra ................................... 2,200 Ladrillo de arcilla, absorción baja .................. 2,000 Ladrillo de arcilla, absorción media ............... 1,850 Ladrillo de arcilla, absorción alta ................... 1,600 Mortero y arenilla de nivelación de pisos ..... 2,100 kg / m3. kg / m3. kg / m3. kg / m3. kg / m3. kg / m3. kg / m3. kg / m3. kg / m3. 3.2.1.2 cargas muertas mínimas Deben ser evaluadas utilizando las masas reales de los materiales. Como guía la NSR-98 Sec. B.3.3 sugiere emplear los siguientes valores mínimos: 50 Placa ondulada de asbesto-cemento ................... 18 Teja de zinc ..............................................................5 Teja de aluminio ......................................................2 Teja de barro, incluido mortero........................... 80 Impermeabilización.............................................. 15 Cielos rasos livianos pegados a la losa ...........5 a 10 Cielos rasos de madera ..................................10 a 50 Cielos rasos en yeso, suspendidos....................... 25 Cielos rasos de malla y pañete ...................80 a 100 kgf / m2. kgf / m2. kgf / m2. kgf / m2. kgf / m2. kgf / m2. kgf / m2. kgf / m2. kgf / m2. Para otros productos debe utilizarse el valor especificado por el fabricante, o a falta de éste, debe evaluarse en forma analítica o experimental. Baldosa monocapa Colpisos Formato 30x30 cm de 16 mm de espesor........... 36 kgf / m2. Baldosa duocapa Colpisos Espesor de cara vista de 9 mm de espesor ......... 62 kgf / m2. Baldosas Roca, peso de acuerdo a la referencia, el valor mas frecuente es de ......... 46 kgf / m2. 3.2.1.3 facHadas, muros diVisorios y particiones 3.2.1.3.1 facHadas La carga muerta causada por las fachadas debe evaluarse como una carga uniforme, por metro lineal, sobre el elemento estructural de soporte localizado en el borde de la losa. La NSR-98 Sec. B.3.4 recomienda emplear los siguientes valores mínimos, por m2 de área de fachada: Fachadas en ladrillo tolete a la vista y pañetado o revocado interiormente: ............................................ 300 kgf / m2. Fachadas en ladrillo tolete a la vista, más muro adosado en bloque de perforación horizontal de arcilla de 10 cm de espesor, pañetado o revocado en el interior: ................................................................. 450 kgf / m2. Ventanas, incluido el vidrio y el marco: ...................... 45 kgf / m2. Enchape en granito; adicional a la fachada, por cada mm de espesor de enchape ................................... 1.7 / mm kgf / m2. 51 Enchape en mármol; adicional a la fachada, por cada mm de espesor de enchape: .................................. 1.5 / mm kgf / m2. Enchape en piedra arenisca; adicional a la fachada, por cada mm de espesor de enchape: ........................... 1.3 / mm kgf / m2. Enchape cerámico; adicional a la fachada: ................. 150 kgf / m2. 3.2.1.3.2 diVisiones y particiones, material tradicional La NSR-98 en su Sec. B.3.4.2 expresa que la carga muerta producida por muros divisorios y particiones de materiales tradicionales, cuando éstos no hacen parte del sistema estructural, debe evaluarse para cada piso y se puede utilizar como carga distribuida en las placas. Si este análisis se hace debe quedar consignado en la memoria de cálculos y además debe dejarse una nota explicativa en los planos. Cuando no se realiza el análisis del peso de los muros por m2 de losa deben utilizarse como mínimo, 300 kgf / m2 de área de placa, cuando se trata de muros de ladrillo hueco de arcilla u hormigón y 350 kgf / m2 de área de placa, cuando se trate de muros de ladrillo Fotografía 7. Muro divisorio de material tradicional, macizo, tolete, arcilla u hormi- ladrillo de arcilla. tabla 3.1 cantidades de obra y peso de los muros por m2. Espesor muro cm Nro Ladrillos 10x20x40 Peso 7 kgf/u 12.5 12.5 25.0 12.5 12.5 25.0 Nro Ladrillos 15x20x40 Peso 11 kgf/u Mortero pega 1:3 a 1:5 m3 0.02 0.03 0.04 0.02 0.03 0.04 Mortero Revoque 1:6 a 1:8 m3 0.015 0.015 0.015 0.030 0.030 0.030 Peso Muro Kgf/m2 167.0 232.0 290.5 192.5 263.5 322.0 Revoque por una cara Revoque por dos caras 10 15 20 10 15 20 52 gón. Los valores anteriores hacen referencia a alturas libres de entrepisos de 2.20 m, cuando exista una mayor altura libre deben utilizarse valores proporcionales a la mayor altura. La anterior especificación representa un aumento considerable (100 %) de la carga muerta producida por muros respecto a la especificación del código CCCSR-84 (150 kgf / m2), este cambio se debe a la evolución que ha tenido el sistema constructivo en el cual, para el caso de apartamentos, manteniendo los mismos servicios: sala, comedor, cocina, 2 baños y 3 alcobas, se ha venido reduciendo el área construida aumentando con ello la densidad de muros. 3.2.1.3.3 diVisiones y particiones, material liViano La NSR-98 en su Sec. B.3.4.3 expresa que la carga muerta producida por muros divisorios y particiones livianas, debe evaluarse para cada piso y se puede utilizar como carga distribuida en las placas. Cuando el diseño se realice para estas divisiones debe colocarse una nota al respecto tanto en los planos arquitectónicos como en Fotografía 8. Divisiones con material no tradicional, divisiones modulares. los estructurales. Pueden emplearse los siguientes valores mínimos, pero en ningún caso se puede emplear menos de 50 kgf / m2 de área de placa. Los valores están definidos para alturas libres de entrepisos de 2.20 m, cuando exista una mayor altura libre deben utilizarse valores proporcionales a la mayor altura. Divisiones móviles de media altura............................ 50 kgf / m2. Lámina de yeso de 13 mm. en cada costado y costillas de acero o de madera, agregar 4 kgf / m2 por cada mm adicional de espesor de la lámina......... 90 kgf / m2. 53 Lámina de madera protegida y costilla de madera, pañetado o revocado sobre malla ................................ 200 kgf / m2. 3.2.1.4 peso de los acabados de piso Debe evaluarse para cada estructura de acuerdo al material a utilizar. La NSR-98 Sec. B.3.6 especifica que cuando no se realiza un análisis detallado puede utilizarse 150 kgf / m2, tanto en pisos como en terrazas. El valor que se utilice en terrazas y azoteas deben tener en cuenta los pendientados que se coloquen. 3.2.2 cargas ViVas Estas cargas no son permanentes, varían con el tiempo tanto en magnitud como en localización, pueden ser horizontales y/o verticales. Para su regulación la NSR-98 dedica el capítulo B.4. En general incluyen: • Peso de personas y muebles. • Cargas resultantes de la acción del viento y cambios de temperatura. • Presión de fluidos y empuje de tierras. Tendido de tuberías sobre la losa de entrepiso Baldosa Mortero de pega 2 cm de espesor Arenilla de nivelación pisos Espesor mínimo de 6 cm Fotografía 9. El sistema de extender las tuberías de las redes de agua, gas, teléfono. etc, sobre la losa, conduce a elevados valores de los acabados de piso. Fotografía 10. Para disminuir el peso de los acabados de piso las tuberías deberían ir descolgadas de la losa y se usaría cielo raso en yeso. 54 Peso de vehículos. Cargas dinámicas provenientes de un impacto o de un movimiento sísmico. La NSR-98 Sec. B.4.2.1 especifica los siguientes valores mínimos para diseño en kgf / m2: Viviendas ................................................................................. 180 Oficinas .................................................................................... 200 Escaleras en oficinas y viviendas .......................................... 300 Salas de reunión Con asientos fijos .............................................................. 300 Sin asientos fijos .............................................................. 500 Hospitales Cuartos ............................................................................... 200 Salas de operación............................................................. 400 Coliseos y estadios Gradería ............................................................................ 400 Escaleras ............................................................................ 500 Hoteles .................................................................................... 200 Garajes, automóviles .............................................................. 250 Fábricas Livianas ............................................................................. 500 Pesadas............................................................................1,000 Escuelas, colegios y universidades ....................................... 200 Bibliotecas Salas de lectura ................................................................. 200 Depósitos de libros ........................................................... 500 Cubiertas ................................................................................... 35 • • Estos valores son el resultado de cuidadosos estudios estadísticos y en consecuencia, deben ser valores adoptados universalmente. Para otros valores consúltese la NSR-98 en su sección B.4.2.1. 3.3 dimensionamiento de elementos estructurales La forma geométrica de la sección estructural más empleada es la rectangular. Ello se debe a la economía en el costo de la formaleta. 55 Para un adecuado dimensionamiento de los elementos estructurales se recomienda: a) b) c) Por efectos constructivos “b” y “h” deben ser múltiplos de 5 cm, por ejemplo: 20, 25 y 30 cm. La altura de la viga, “h”, por efectos arquitectónicos, debe limitarse al espesor de la losa del entrepiso. Con el fin de controlar las flechas excesivas, se recomienda adoptar un valor de “h” superior a “b”, esto para incrementar la inercia. Se recomienda adoptar valores para “h” entre “b” y “2b”. La dimensión “d” se denomina altura efectiva de la sección y es un parámetro fundamental de diseño. Figura 3.1 separación libre entre las barras de refuerzo. Una vez se ha determinado la cantidad de acero que debe colocarse en la zona de tracción, debe seleccionarse el número de barras que lo satisface. En este proceso se recomienda: a) Procurar que el área de las barras seleccionadas sea sensiblemente igual a la requerida, preferiblemente en exceso y no mayor de un 5%. Procurar seleccionar máximo dos tamaños de barras de manera que sus diámetros no difieran en más de 1/4”, por ejemplo: No 4 y No 6, No 5 y No 7. Al seleccionar el número de barras se debe procurar que puedan distribuirse simétricamente en la sección. b) c) 56 d) En lo posible, debe evitarse el empleo de diámetros altos para reducir los problemas de adherencia que se manifiestan con grietas o fisuras. Para proporcionar adecuadamente un elemento estructural es evidente que se requiere el conocimiento de los requisitos mínimos de colocación del refuerzo. Estas disposiciones se refieren a la separación libre entre las barras de refuerzo y al recubrimiento que debe proporcionárseles. 3.3.1 La separación libre entre barras longitudinales debe permitir un adecuado flujo del hormigón entre ellas, es decir, no debe producir segregación. El ACI-318-02 Sec. 7.6.1 y el NSR-98 Sec. C.7.6.1 especifican que la separación libre entre las barras no debe ser menor que el mayor de los siguientes valores: separación libre en barras, s Figura 3.2. Efectos de los sobretamaños en el hormigón. s > 2.50 cm. s > 1.33 veces el tamaño máximo del agregado. s > Diámetro de la mayor barra (db). Cuando el refuerzo se coloca en dos capas, la capa superior debe colocarse directamente sobre la inferior dejando una separación libre entre ellas no inferior a 2.50 cm (ACI-318-02 Sec. 7.6.2 y la NSR-98 Sec. C.7.6.2), debe conservarse la simetría vertical del refuerzo, figura 3.1. 3.3.2 La resistencia del hormigón a tracción es muy baja, motivo por el cual se desprecia en el diseño. Corresponde entonces al acero absorber la totalidad de las tensiones de tracción. Las tracciones que debe desarrollar el refuerzo provienen del hormigón, por ello se requiere que exista adherencia perfecta entre estos dos materiales; para garantizarla, las barras de refuerzo se fabrican con resaltes en su superficie, de ahí que el ACI no permita el empleo de barras lisas. recubrimiento del acero, r 57 Las barras de refuerzo deben estar libres de óxidos y de sustancias que desmejoren la adherencia entre el hormigón y el acero. El hormigón que rodea el refuerzo debe protegerlo del medio ambiente para evitar su oxidación, de allí que el código exija un recubrimiento mínimo de la armadura. Su espesor depende de la agresividad del medio donde se localice la estructura. Este recubrimiento, además de proteger la armadura, debe proporcionar un área de contacto suficiente entre el acero y el hormigón para que exista una adecuada transferencia de tensiones entre ellos. El ACI318-02 Sec. 7.7.1 y la NSR-98 Sec. C.7.7.1 recomiendan los siguientes valores de recubrimientos mínimos: Hormigón colocado directamente sobre el suelo y sujeto permanentemente a la acción de la tierra ............70 mm. Hormigón expuesto a la intemperie o en contacto con tierras de relleno: - barras > No 6 ...............................................................50 mm. - barras < No 5 ...............................................................40 mm. Hormigón no expuesto a la intemperie ni en contacto con tierras de relleno: - En placas, muros y viguetas.......................................20 mm. - En vigas y columnas Refuerzo principal ......................................................40 mm. Estribos y espirales .....................................................30 mm. Figura 3.3. recubrimiento del refuerzo. 58 Para una adecuada disposición del refuerzo se requiere un ancho mínimo de la sección, calculado según la expresión: bmin = 2r + 2 de + (n - 1) * s + n * db En la cual: n r s db de = = = = = (3.1) Número de barras en una fila. Recubrimiento del refuerzo. Separación libre entre las barras. Diámetro de la mayor barra. Diámetro del estribo. La altura efectiva de la sección, d, medida desde la fibra extrema a compresión al centroide del refuerzo a tracción, se obtiene de la expresión: d = h - r – de - db / 2 (3.2) En vigas y columnas, cuando el refuerzo principal esta conformado por barras No 8 o menores, las alturas efectivas de las secciones “d” serán: Para: r = 3.0 cm d = h – 3.00 – 0.95 – 2.54 / 2 Þ d = h – 5.22 cm En consecuencia, puede recomendarse adoptar un valor para la altura efectiva de la sección, con refuerzo principal < No 8, de: d = h - 6 cm (3.3) 59 3.4 ejemplos ejemplos 3.1 La siguiente planta estructural corresponde a un edificio proyectado para construirse en el barrio Laureles de Medellín, se desea evaluar el peso de los muros divisorios por m2 de losa para de divisiones tradicionales en ladrillo hueco de arcilla. Para los cálculos se deben considerar una altura libre de entrepiso de 2.40 m y una altura de puertas de 2.10 m. 60 a) Peso de los muros divisorios Se entiende por muros divisorios aquellos que “dividen” el espacio interior de una edificación, no deben incluirse entre éstos los muros perimetrales, de fachadas y laterales, para los cuales debe evaluarse su peso por metro lineal. 61 Muros de 10 cm: Área de 3 puertas de 0.70 m = 3*0.70*2.10 Área de 4 puertas de 0.80 m = 4*0.80*2.10 = 4.41 m2. = 6.72 m2. ======= Total área de puertas = 11.13 m2. Longitud total de muros (incluye puertas) = 54.50 m. Altura libre de entrepiso = 2.40 m. Área muro (incluye área de puertas) = 130.80 m2. Área neta de muro (sin incluir puertas) = 119.67 m2. Muros de 15 cm: Área de 2 puertas de 1.00 m = 2*1.00*2.10 = 4.20 m2. Longitud total de muros (incluye puertas) = 13.67 m. Altura libre de entrepiso = 2.40 m. Área muro (incluye área de puertas) = 32.81 m2. Área neta de muro (sin incluir puertas) = 28.61 m2. Longitud de ventanas Área Ventanas = 3.85 m = 3.85*2.4 = 9.24 m2 62 Peso total particiones: Se consideran los muros revocados o pañetados por ambas caras, pesos tomados de la tabla 3.1, para ventanas y puertas se toman 45 kgf / m2 según NSR-98 Sec. B.3.4. 119.67 * 192.5 28.61 * 263.5 9.24 * 45 (11.13 + 4.20) * 45 =========== Total = 23,036.5 kgf. = 7,538.7 kgf. = 415.8 kgf. = 689.9 kgf. = 31,680.9 kgf. Peso muros de 10 cm : Peso muros de 15 cm : Peso ventanas: Peso puertas Área de la losa = 167 m2 Peso muros divisorios = 31,680.90 /167 = 189.70 kgf / m2. Puede observarse que este valor, para este caso particular, es 41.9 % inferior al valor exigido por la NSR-98 para una altura libre de entrepiso de 2.4 m (300 x 2.4 / 2.2 = 327 kgf/m2), de allí que se recomienda evaluar el peso de los muros divisorios para utilizar valores reales ajustados al proyecto particular. Esto puede significar una economía importante en costo de la estructura. b) Peso de los muros laterales: Son los muros localizados en los costados de la edificación que la separan la edificación de las construcciones vecinas. En este caso son muros de 15 cm pañetados o revocados por una cara, tienen una altura libre de 2.40 m y su peso por metro lineal es de: Peso muros laterales = 1 * 2.4 * 263.5 = 632.5 kgf / m El peso de estos muros debe localizarse en el borde de la losa como una carga lineal uniformemente distribuida, cuyo valor es de 0.63 t/m. c) Peso de los muros de fachada Son muros localizados tanto en la fachada anterior como posterior del edificio; su peso debe evaluarse por metro lineal y se debe localizar en el borde de losa como una carga lineal uniformemente distribuida. Para evaluar el peso de estos muros deben conocerse las especificaciones de los acabados de las fachadas. 63 ejemplo 3.2 La siguiente planta estructural corresponde a un edificio de cuatro niveles proyectado para construirse en Apartadó, Antioquia. Se desea evaluar el peso de los muros divisorios por m2 de losa para de divisiones tradicionales en ladrillo coco de arcilla. Para los cálculos se deben considerar una altura libre de entrepiso de 2.50 m y una altura de puertas de 2.10 m. 64 a) Peso de los muros divisorios Se resaltan los muros divisorios, los cuales para este caso son todos de 10 cm de espesor e irán revocados o pañetados por ambas caras. En este caso todos los muros divisorios son de 10 cm. 65 Muros de 10 cm: Área de 1 puertas de 0.75 m = 1*0.75*2.10 Área de 3 puertas de 0.80 m = 3*0.80*2.10 Área de 4 puertas de 0.70 m = 4*0.70*2.10 Área de 2 puertas de 0.90 m = 2*0.90*2.10 Total área de puertas Longitud total de muros (incluye puertas) Altura libre de entrepiso Área muro (incluye área de puertas) Área neta de muro (sin incluir puertas) = 1.58 m2. = 5.04 m2. = 5.88 m2. = 3.78 m2. ========= = 16.28 m2. = 64.00 m. = 2.50 m. = 160.00 m2. = 143.72 m2. 66 Longitud de ventanas = 4.00 m. Área Ventanas = 4.00 * 2.5 = 10.00 m2. Peso total particiones: Se consideran los muros revocados o pañetados por ambas caras, pesos tomados de la tabla 3.1, para ventanas y puertas se toman 45 kgf / m2 según NSR-98 Sec. B.3.4. Peso muros de 10 cm : 143.72 * 192.5 Peso ventanas: 10 * 45 Peso puertas 16.28 * 45 Total = 27,666.1 kgf. = 450.0 kgf. = 732.6 kgf. =========== = 28.848.7 kgf. Área de la losa = 122.12 m2 Peso muros divisorios = 31,680.90 / 122.1 = 259.5 kgf / m2. Puede observarse que este valor, para este caso particular, es 23.9% inferior al valor exigido por la NSR-98 (300 x 2.5 / 2.2 = 340.9 kgf/m2). Si se analizan los resultados obtenidos en los ejemplos 3.1 y 3.2, que corresponden a proyectos contemporáneos, se observa que se obtienen resultados diferentes, por lo que no es posible llegar a recomendaciones de aplicación general. Debe entonces evaluarse en cada caso particular el peso de los muros si se desea hacer un análisis racional. b) Peso de los muros laterales: Son los muros localizados en los costados de la edificación que la separan de las construcciones vecinas. En este caso son muros de 20 cm pañetados o revocados por una cara, tienen una altura libre de 2.50 m y su peso por metro lineal es de: Peso muros laterales = 1 * 2.5 * 290.5 = 726.3 kgf / m. El peso de estos muros debe localizarse en el bode de la losa como una carga lineal uniformemente distribuida, cuyo valor es de 0.73 t/m. 67 ejemplo 3.3 Se desea evaluar el peso de los acabados de piso si se emplean en la construcción baldosas monocapa tipo colpisos. Hacer los cálculos y comparar las siguientes dos alternativas de construcción con las recomendaciones de la NSR-98 a) Con tendido de tuberías en la parte superior de la losa y b) con cielo raso y tuberías descolgadas. a) Peso de acabados con tendido superior de tuberías. Se requieren mínimo 6 cm de arenilla para nivelar el piso. Los casetones quedan embebidos dentro de la losa. Arenilla de nivelación Mortero de pega Peso de la baldosa Peso torta inferior Peso de acabados b) = 0.06 x 2,100 = 126 kgf / m2. = 0.02 x 2,100 = 42 kgf /m2. = 36 kgf / m2. = 0.02x 2,100 = 42 kgf / m2. ============= = 246 kgf / m2. Peso de acabados con tuberías descolgadas. Se requieren mínimo 3 cm de arenilla para nivelar el piso. Los casetones pueden removerse. Arenilla de nivelación Mortero de pega Peso de la baldosa Peso cielo descolgado Peso de acabados = 0.03 x 2,100 = 63 kgf / m2. = 0.02 x 2,100 = 42 kgf / m2. = 36 kgf / m2. = 25 kgf / m2. ============= = 166 kgf / m2. c) Peso mínimo de acabados según la NSR-98 = 150 kgf / m2. Conclusión: La especificación de la NSR-98 está por debajo de los valores de los acabados de piso utilizados usualmente en la construcción y debe revisarse esta disposición de la norma. Es muy ventajoso, desde el punto de vista estructural, la colocación del cielo raso falso descolgado. El peso de los acabados de esta losa es un 33% menor que el del sistema de colocación de tuberías en la parte superior de la losa. Para efecto de diseño lo más recomendable es evaluar el peso de acuerdo a los acabados a utilizar en cada caso particular. 68 capítulo 4. método de las tensiones admisibles 4.1 introducción Este método se basa en los conceptos de la teoría de la elasticidad. Se le conoce también como método alterno de diseño, método de las tensiones de trabajo o método de la línea recta. El CCCSR-84 lo ignoraba, la NSR-98 y el ACI-318-02 hacen poco énfasis en él, lo relegan a uno de sus apéndices y es posible que en un futuro desaparezca, pero aún esta vigente y fue un error del CCCSR-84 el ignorarlo. Los procedimientos para la evaluación de flechas y fisuras se basan en los conceptos elásticos. Los fundamentos del método son: • Las secciones planas antes de la flexión permanecen planas después de ella, es decir, las deformaciones de las fibras localizadas por encima y por debajo del eje neutro son proporcionales a su distancia al eje neutro, NSR-98 Sec. C-A.4.1. • Las tensiones son proporcionales a las deformaciones, varían linealmente con su distancia al eje neutro, excepto en vigas de gran altura (h / L > 2 / 5 para luces continuas y h / L > 4 / 5 para vigas simplemente apoyadas), y no deben sobrepasar los valores de las tensiones admisibles. NSR-98 Sec. C-A.4.1. • La resistencia del hormigón a la tracción (fr) no es efectiva cuando la sección se fisura. Antes de fisurarse el hormigón puede absorber tracciones, pero su valor es tan pequeño que puede despreciarse. NSR-98 Sec. C-A.4.3. • Se considera adherencia perfecta entre el hormigón y el acero, es decir, no se presenta deslizamiento entre los dos materiales. La nomenclatura utilizada es la siguiente: 69 b, h d d’ = = = c = Dimensiones de la sección transversal. Altura efectiva de la viga, se mide desde la fibra extrema a compresión al centroide del refuerzo a tracción. Localización del refuerzo a compresión, se mide desde la fibra extrema a compresión al centroide del refuerzo localizado en esta zona. Profundidad del eje neutro, medida desde la fibra extrema a compresión. Figura 4.1. relaciones fundamentales del método elástico. A’s As f’s fs fc εc = = = = = = ε’s = εs = Cs = Cc = C = T = Área del acero localizado en la zona de compresiones. Área del acero localizado en la zona de tracciones. Tensión de trabajo del acero a compresión. Tensión de trabajo del acero a tracción. Tensión de trabajo del hormigón a compresión, medida en la fibra extrema. Deformación unitaria del hormigón en la fibra extrema a compresión. Deformación unitaria del acero a compresión. Deformación unitaria del acero a tracción. Fuerza que soporta el acero localizado en la zona a compresión. Fuerza que soporta el hormigón a compresión. Cc + Cs = Fuerza resultante en la zona de compresión. Fuerza resultante en el acero a tracción. 70 4.2 relación de módulos, n La relación entre los módulos de elasticidad del acero y del hormigón es un parámetro muy empleado tanto en el diseño, como en la revisión de secciones. La norma NSR-98 Sec. C.A.4.4 expresa que esta relación debe considerarse como constante y puede tomarse como el número entero más cercano pero no inferior a seis (6). Los valores de los módulos de elasticidad (en kgf / cm2) para el acero y el hormigón son: ACERO: Es = 2’ 000,000 12,500 √f ’c (NSR-98 Sec. C.8.5.5). (NSR-98 Sec. C.8.5.4.1). HORMIGÓN: Ec = Para los hormigones generalmente empleados en estructuras de hormigón reforzado los valores de “n” son: Tabla 4.1 Valores de la relación de módulos. Hormigón Kgf / cm2 210 245 280 315 350 psi 3,000 3,500 4,000 4,500 5,000 Ec Kgf / cm2 181,142.2 195,655.9 209,165.0 221,853.0 233,853.6 n = Es / Ec 11.0 10.0 9.5 9.0 8.5 Hormigones con resistencias superiores a 350 kgf / cm2 se emplean, generalmente, en estructuras postensionadas; con resistencias inferiores a 210 kgf / cm2 no se emplean con fines estructurales, se usan por ejemplo para la construcción de andenes. 4.3 tensiones de trabajo El objetivo del método elástico es lograr un adecuado comportamiento de la estructura bajo cargas de servicio. Este comportamiento se refiere al control, dentro de límites permisibles, de flechas, fisuras y vibraciones. Para lograr que la estructura se comporte bajo condiciones elásticas, se limitan las tensiones de trabajo de los materiales a un 50%, o menos, de su resistencia efectiva, obtenida experimentalmente. 71 HORMIGÓN (NSR-98 Sec.C-A.3.1): fc = 0.45 f’c Factor de seguridad: 1 / 0.45 = 2.22 ACERO (NSR-98 Sec. C-A.3.2), para los aceros nacionales: Para fy = 40,000 psi, Para fy = 60,000 psi, fs = 0.50 fy fs = 24,000 psi (4.1) Tabla 4.2 tensiones de trabajo en los aceros nacionales. fy psi 34,000 36,900 40,000 60,000 Kgf / cm2 2,400 2,600 2,800 4,200 psi 17,000 18,450 20,000 24,000 fs Kgf / cm2 1,200 1,300 1,400 1,680 4.4 secciones balanceadas, sub - reforzadas y sobre - reforzadas Cuando en una sección el hormigón y el acero alcanzan simultáneamente sus máximas tensiones permisibles, se dice que la sección está balanceada. En este caso se aprovecha al máximo el trabajo de los materiales y la solución es económica. Si en el diseño se proporciona una sección con menos acero del necesario para condiciones balanceadas, se dice que la sección está subreforzada; en este caso el acero alcanza antes que el hormigón su máxima tensión permisible. Como criterio de diseño este es el tipo ideal de secciones, el acero es un material dúctil y su falla va acompañada de grietas que permiten prever el colapso de la estructura, dando lugar a repararla o a demolerla sin pérdidas humanas. Si en el diseño se proporciona una sección con más acero del necesario para condiciones balanceadas, se dice que la sección esta sobre-reforzada, en este caso el hormigón alcanza antes que el acero su máxima tensión permisible. Como criterio de diseño nunca debe proporcionarse este tipo de secciones, pues el hormigón por ser un material frágil, presenta una falla violenta, sin aviso previo y, en la mayoría de los casos, con pérdidas humanas. 72 4.5 equilibrio estático de las secciones Toda sección de hormigón reforzado debe cumplir dos condiciones de equilibrio estático: a) Las fuerzas internas resultantes de la compresión (C) y de la tracción (T) deben ser iguales, (C = T), debe existir equilibrio estático. En el proceso de revisión de secciones, siempre que se desee obtener la localización del eje neutro, ésta es la relación a plantear. El momento interno producido por las fuerzas C y T, debe ser igual al momento externo. b) La resultante a compresión puede ser la resultante de las tensiones de compresión en el hormigón únicamente, o bien, ser la resultante de las tensiones de compresión del hormigón y del acero a compresión, cuando éste existe. La resultante de las fuerzas de tracción proviene del acero únicamente. La resistencia a la tracción del hormigón es despreciable. 4.6 método de la sección transformada (refuerzo a tracción) El análisis elástico se fundamenta en la aplicación de las expresiones deducidas en la Resistencia de Materiales, obtenidas para materiales elásticos, homogéneos e isotrópicos, al material inelástico, heterogéneo y anisotrópico conocido como hormigón reforzado. Aplicando los conceptos de la Resistencia de Materiales a una sección heterogénea de hormigón reforzado, ésta puede Transformarse en una sección homogénea reemplazando el área del acero a tracción por un Figura 4.2. transformación del acero a tracción 73 área de hormigón que tenga igual comportamiento mecánico, esta área imaginaria de hormigón debe colocarse en el centroide del refuerzo y su cuantificación se deduce de manera muy sencilla. Tanto el área de acero como la de hormigón equivalente deben soportar la misma carga, (Ts = Tce), y además, deben presentar la misma deformación unitaria que les impone la compatibilidad de deformaciones (εs = εce). εs = εce, Aplicando la Ley de Hooke (ε = σ / E = f / E): fs = n fce (4.2) fs / Es = fce / Ece, Por estática: fs = Ts / As, Ts / As = n * Tce / Ace, fce = Tce / Ace Ace = n * As (4.3) Una sección de hormigón, con refuerzo a tracción puede transformarse en una homogénea de hormigón simple reemplazando el área del acero a tracción por un área imaginaria de hormigón, igual a “n” veces el área del acero a tracción (NSR98 Sec. C-A.4.4). Esta área equivalente debe localizarse en el centroide de la armadura, se asume de un espesor diferencial “dy”; esta transformación, teórica e imaginaria, facilita el análisis operativo de la sección real; su momento de inercia respecto al eje neutro de la sección se calcula como: I = b’ * dy3 / 12 + n * As * (d - c)2 El término b’ * dy3 / 12 » 0, por ser “dy” un infinitesimal de tercer orden, con lo cual: I = n As * (d - c)2 (4.4) El procedimiento del análisis es el siguiente: a) La sección se transforma en una sección homogénea reemplazando el área del acero a tracción (As) por un área de hormigón equivalente (Ace = n * As), la cual se localiza en el centroide del refuerzo que trabaja a tracción. 74 b) Se localiza la posición del eje neutro tomando momento estático de la sección homogénea respecto al mismo eje neutro. La suma de los momentos estáticos de las áreas respecto al eje neutro es nula. c) Se calcula el momento de inercia de la sección homogénea respecto a la fibra neutra y se procede a la aplicación de la expresión de la flexión (σ = M * y / I) para evaluar el momento admisible de la sección. Hormigón: Acero: Mc = fc * I / c Ms = fs * I / [n * (d - c)] (4.5) (4.6) 4.7 método de la sección transformada (refuerzo a compresión). Las deformaciones que se presentan en el acero a compresión y en el hormigón que lo rodea se verifican simultáneamente y deben ser iguales, de lo contrario, se presentarían fisuras que inutilizarían la sección. En consideración a que el hormigón no es un material elástico, la NSR-98 Sec. C-A.4.5 recomienda tomar como tensión de trabajo del acero a compresión el doble del valor calculado por la teoría elástica. Las deformaciones en el acero y en el hormigón que lo rodea deben ser iguales pues se ha supuesto adherencia perfecta. Debido a la fluencia lenta del hormigón se presentan deformaciones adicionales en el acero que aumentan su tensión, de allí la sugerencia de la NSR-98 de tomar el doble del valor elástico. Figura 4.3. diagrama superpuestos. tensión-deformación del acero y Hormigón 75 Algunos autores como Wang, Salmon y Park, estando dentro del campo de la seguridad, no tienen en cuenta esta especificación de la NSR-98. Otros autores como Nawy, la consideran. La manera como el área de acero a compresión se puede Transformar en un área de hormigón equivalente se deduce bajo los mismos parámetros de la sección anterior. figura 4.4 transformación del acero a compresión. Tanto el área del acero como el área del hormigón equivalente deben soportar la misma carga C, (Cs = Cce) y además, presentar la misma deformación unitaria que les impone la compatibilidad de las deformaciones. ε’s = εce, Aplicando la Ley de Hooke (ε = σ / E): f’s = n fce (valor elástico) f’s / Es = fce / Ece, La NSR-98 permite tomar el doble del valor elástico para f’s, luego: Por estática: f’s = Cs / A’s Cs / A’s = 2n Cce / Ace, f’s = 2n fce fce = Cce / Ace Ace = 2n A’s (4.8) (4.7) El área del acero a compresión (A’s ) puede reemplazarse por un área de hormigón equivalente (A’c = 2n A’s ); esta área, al igual que en el caso del refuerzo a tracción, debe localizarse en el centroide de la armadura a compresión y asemejarse su forma a la de un hilo que coincide en su localización con el centroide del refuerzo. 76 En el caso del acero a compresión es importante considerar el área del hormigón desalojado por la armadura, pues este hormigón trabaja a compresión. Esta consideración no tiene importancia en el caso del acero a tracción pues el trabajo del hormigón en esa zona es despreciable. Esta consideración es importante analizarla para plantear el equilibrio de la sección de modo que se facilite un análisis elástico. Figura 4.5. diferentes formas de secciones transformadas. Adoptamos para el análisis la sección derecha de la figura 4.5, pues con ella se facilita el análisis estático. La tensión de trabajo del acero a compresión no debe sobrepasar la tensión admisible; en la revisión de secciones debe hacerse control de ello, pues cuando dicha tensión se sobrepasa es un indicativo de que el tomar el doble del valor elástico para f’s no se cumple y un valor inferior a éste debe asumirse. 4.8 ejemplos ejemplo 4.1 La sección indicada corresponde a una viga simplemente apoyada de 5 m de luz, se desea determinar la máxima carga uniforme que puede soportar sin que los materiales excedan las tensiones admisibles. Se toma f’c = 210 kgf / cm2 y fy = 2,600 kgf / cm2. As = 20.40 cm2. 77 a) Características de los materiales: n = 11 fc = 0.45 f’c = fs = 0.50 f y = 94.50 1,300 kgf/cm2. kgf/cm2. b) Localización del eje neutro (C = T): Para obtener la resultante a compresión, C, se descompone el bloque de compresiones: C = C1 + 2 C2 C1 = ½ fc * c * 20 = 10 fc * c 2 * ½ fc1 * (c - 5) * 5 2 C2 = Del diagrama de tensiones: fc1 = fc * (c - 5) / c 2 C2 = 5 * fc * (c - 5)2 / c C = C1 + 2 C2 = 10 fc * c + 5 * fc * (c - 5)2 / c T = As * fs = 20.40 fs C=T Þ 10 * fc * c + 5 * fc * (c - 5)2 / c = 20.40 fs 78 Para eliminar de esta expresión las tensiones se debe recurrir a la proporcionalidad de las deformaciones: εc / c = εs / (d - c), Aplicando la Ley de Hooke: (ε = σ/E) fc / (Ec * c) = fs / [Es * (d - c)] fs = fc * (Es / Ec) * (d - c) / c = fc * n * (d - c) / c Reemplazando: 10 fc * c + 5 * fc * (c - 5)2 / c = 20.40 * fc * n * (40 - c) / c Para n = 11: c) 15 c2 + 174.40 c - 8.851 = 0 Þ c = 19.164 cm. Localización de la resultante a compresión: Para c = 19.164 cm se obtiene: C1 = 10 * c * fc = = 191.64 fc 52.34 fc ————— C = 243.98 fc 2 C2 = 5 * fc * (c - 5)2 / c Tomando momentos de C, C1 y C2 respecto a la fibra superior (Momento de la resultante igual al momento de las componentes) se obtiene: C * X = C1 * c / 3 + 2 C2 * [5 + (c - 5) / 3] 243.98 fc * X = 191.64 fc * 6.388 + 52.34 fc * 9.721 Þ X = 7.10 cm. d) Momento resistente de la sección: Hormigón: Mc = C * (40 - X) = 243.98 * fc * (40 - 7.10) = 8,026.94 fc Mc máx. = 8,026.94 * 94.50 * 10-5 Acero: Ms = T * (40 - 7.10) = As * fs * 32.90 = 20.40 * fs * 32.90 = 671.16 fs Ms máx. = 671.16 * 1,300 * 10-5 Þ Ms máx. = 8.73 t-m Þ Mc máx. = 7.585 t-m 79 El momento máximo que puede resistir la sección es el menor de estos momentos, es decir, 7.585 t-m. El hormigón alcanza primero su máxima tensión admisible. El momento interno (7.585 t-m) debe ser igual al momento externo (WL2 / 8). WL2 / 8 = 7.585 W = 8 * 7.585 / 52 Þ W = 2.43 t / m La máxima carga uniforme que soporta esta viga, simplemente apoyada es: 2.43 t/m. e) Tensiones de trabajo: (Mmáx. = Mc = Ms = 7.585 t-m) Hormigón: fc fc = Mmáx. / 8,026.94 = 7.585 * 105 / 8026.94 = 94.50 kgf / cm2 Þ C = 23,056 kgf. C = 243.98 fc = 243.98 * 94.50 Acero: fs fs = Mmáx. / 671.16 = 7.585 * 105 / 671.16 = 1,130.20 kgf / cm2 Þ T = 23,056 kgf. T = As * fs = 20.40 * 1,130.20 f) Interpretación de resultados: • C = T, Þ Indispensable para el equilibrio estático de la sección. • El diseño lo controla el hormigón (Mc < Ms), la sección se encuentra SOBRE-REFORZADA. • En las secciones sobre-reforzadas falla el hormigón, su falla es violenta, sin aviso previo, por tal razón NO debe diseñarse este tipo de secciones. EjEmplo 4.2 Determinar el momento resistente y revisar las condiciones de servicio de la siguiente sección para f’c = 210 kgf / cm2 y fy = 2,600 kgf / cm2. a) Características de los materiales: n = 11 fc = 0.45 f’c = 94.50 kgf / cm2. fs = 0.50 fy = 1,300 kgf / cm2. 80 b) Localización del eje neutro (C = T): Para obtener la resultante a compresión, C, se descompone el bloque de compresiones: C = C1 - C2 C1 C2 = ½ ½ fc * c * 60 = 30 * fc * c = ½ ½ fc 1 * (c - 16) * 36 fc1 = fc * (c -16) / c C2 = 18 * fc * (c - 16)2 / c Del diagrama de tensiones: C = C1 - C2 = 30 * fc * c - 18 * fc * (c - 16)2 / c T = As * fs = 55.44 * fs C=T Þ 30 * fc * c - 18 * fc * (c - 16)2 / c = 55.44 * fs Para eliminar de esta expresión las tensiones se debe recurrir a la proporcionalidad de las deformaciones: εc / c = εs / (d - c), Aplicando la Ley de Hooke: (ε = σ / E) fc / (Ec * c ) = fs / [ Es *(d - c)] 81 fs = fc * (Es / Ec) * (d - c) / c = fc * n * (d - c) / c Reemplazando: 30 * fc * c - 18 * fc * (c - 16)2 / c = 55.44 * fc * n * (74 - c) / c Para n = 11: 12 c2 + 1,185.84 c - 49,736.16 = 0 c) Localización de la resultante a compresión: Para c = 31.744 cm se obtiene: C1 = 30 * fc * c C2 = 18 * fc * (c - 16) / c 2 Þ c = 31.744 cm. = = 952.33 * fc -140.56 * fc —————— C = 811.77 * fc Tomando momentos de C, C1 y C2 respecto a la fibra superior (Momento de la resultante igual al momento de las componentes) se obtiene: C * X = C1 * c / 3 - C2 * [16 + (c - 16) / 3 ] 811.77 fc * X = 952.33 * fc * 10.58 - 140.56 * fc * 21.25 Þ X = 8.73 cm. d) Momento resistente de la sección: Hormigón: Mc = C * (d - X) = 811.77 * fc * (74 - 8.73) = 52,984.23 * fc Mc máx. = 52,984.23 * 94.50 * 10-5 Ms máx. = 3,618.57 * 1,300 * 10-5 Þ Mc máx. = 50.07 t-m Ms máx = 47.04 t-m Acero: Ms = T * (d - X) = 55.44 * fs * (74 - 8.73) = 3,618.57 * fs Þ El momento máximo que puede resistir la sección es el menor de estos momentos, es decir, 47,04 t-m. El hormigón alcanza primero su máxima tensión admisible. e) Tensiones de trabajo: (Mmáx. = Mc = Ms = 47,04 t-m) Hormigón: fc = Mmáx / 52,984.23 = 47.04 * 105 / 52,984.23 fc = 88.78 kgf / cm2 C = 811.77 * fc = 811.77 * 88.78 Þ C = 72,069 kgf. 82 Acero: fs = Mmáx / 3,618.57 = 47.04 *105 / 3,618.57 fs = 1,300 kgf / cm2 T = As * fs = 55.44 *1,300 Þ T = 72,069 kgf. f) Interpretación de resultados: C = T Þ Indispensable para el equilibrio estático de la sección. El diseño lo controla el acero (Ms< Mc), la sección se encuentra SUBREFORZADA. La falla en secciones sub-reforzadas es la ideal, va acompañada de grandes deformaciones que permiten prever el colapso de la estructura. En este caso puede repararse o demolerse la estructura sin pérdidas humanas. EjEmplo 4.3 Determinar el momento resistente y revisar las condiciones de servicio de la siguiente sección empleando el método de la sección transformada para f’c= 210 kgf / cm2 y fy = 2,600 kgf/cm2. a) Características de los materiales: n = 11 fc = 0.45 f ’c = 94.50 kgf/cm2. fs = 0.50 fy = 1,300 kgf/cm2. b) Localización del eje neutro: El momento estático de las áreas respecto al eje neutro es nulo: 2 * 5 * (c - 5) * (c - 5) / 2 + 20 c * c / 2 - 224.40 * (40 - c) = 0 15c2 + 174.40 c - 8,851 = 0 Þ c = 19.164 cm. 83 c) Momento resistente de la sección: Inercia: I = 20 * 19.1643 / 3 + 2 * 5 * (19.164 - 5)3 /3 + 224.40 * (40 - 19.164)2 I = 153.813,65 cm4 Momentos: Hormigón: fc = Mc *c / I Acero: fs = n fc = n Ms * (d - c) / I Þ Þ Mc = fc * I / c Ms = fs * I / [ n (d - c) ] Ms = 8.73 t-m Mc = 94.50 * 153,813.65 / 19.164 Mc = 7.59 t-m Ms = 1,300 * 153,813.65 / [11 * (40 - 19,164)] El máximo momento admisible de la sección es 7.59 t-m, controla el hormigón, la sección se encuentra SOBRE-REFORZADA. EjEmplo 4.4 Determinar el momento resistente y revisar las condiciones de servicio, por el método de la sección transformada. Considerar: f’c = 210 kgf/cm2 y fy = 2.600 kgf/cm2. a) Características de los materiales: n = 11 fc = 0.45 f ’c = 94.50 kgf / cm2. fs= 0.50 fy= 1,300kgf / cm2. b) Localización del eje neutro: El momento estático de las áreas respecto al eje neutro es nulo: 2 * 12 * c * c / 2 + 36 * 16 * (c - 8) - 609.84 * (74 - c) = 0 12 c2 + 1,185.84 c - 49,736.16 = 0 Þ c = 31.744 cm. 84 c) Momento resistente de la sección: Inercia: I = 60 * 31.7443 / 3 -36 * (31.744 - 16)3 / 3 + 609.84 * (74 - 31.744)2 I = 1’681,838.3 cm4. Momentos: Hormigón: fc = Mc * c / I Mc = 94.50 * 1’681,838.3 / 31,744 Acero: fs = n fc = n Ms * (d - c) / I Þ Mc = fc * I / c Mc = 50.07 t-m Þ Ms = fs * I / [n (d - c)] Þ Ms = 47.04 t-m Ms = 1,300 * 1’681,838.3 / [11 * (74 - 31,744)] El máximo momento admisible de la sección es 47.04 t-m, controla el acero, la sección se encuentra SUB-REFORZADA. EjEmplo 4.5 Determinar el momento resistente y revisar las condiciones de servicio, por el método de la sección transformada. Considerar: f’c= 210 kgf/cm2 y fy = 2.800 kgf/cm2. a) Características de los materiales: n = 11 fc = 0.45 f ’c = 94.50 kgf / cm2. fs = 0.50 fy = 1,400 kgf / cm2. 85 b) Localización del eje neutro: El momento estático de las áreas respecto al eje neutro es nulo: 25 * c * c / 2 + 84 * (c - 5) - 170.28 * (30 - c) = 0 12.5 c2 + 254.28 c - 5,528.40 = 0 Þ c = 13.19 cm. c) Revisión de las tensiones: Por proporcionalidad de las deformaciones se revisa en primera instancia cuál de los materiales controla el diseño. εc / c = εs / (d - c), Para: Aplicando la Ley de Hooke (ε = σ/ E): Þ fs = fc * n * (d - c) / c fs = 94.50 * 11 * (30 -13.19) / 13.19 fs = fc * ( Es / Ec) * (d - c) / c fc = 94.50 kgf/cm2 Þ 2 fs = 1,325 kgf / cm < 1,400 kgf / cm2. El hormigón alcanza primero la tensión admisible, la sección esta SOBRE-REFORZADA; debe revisarse el trabajo del acero a compresión. De la expresión (4.7): f ’s = 2n fc1. fc1 / (c - d’) = fc / c, fc1 = f ’s / 2n Þ f ’s = 2 *11 * 94.50 * (13.19 - 5) / 13.19 f ’s = 1,291 kgf / cm2 <1,400 kgf/cm2 El acero a compresión no alcanza la tensión admisible. El asumir f ’s como el doble de su valor elástico es satisfactorio, luego las tensiones de trabajo de los materiales son: fc = 94.50 kgf/cm2 d) fs = 1,325 kgf / cm2 f ’s = 1,291 kgf / cm2 f ’s = 2n * fc *(c - d’) / c Momento resistente de la sección: Inercia: I = b * c3 / 3 + (2n - 1) A’s * (c - d’)2 + n As * (d -c)2 I = 25 * 13.193 / 3 + 84 * (13.19 - 5)2 + 170.28 * (30 - 13.19)2 I = 72,874.3 cm4 Conocidas las tensiones de trabajo, el momento resistente puede calcularse en función de cualquiera de los materiales: 86 Hormigón: fc = Mc * c / I Þ Mc = fc * I / c Mc = 5.22 t-m Mc = 94.50 * 72,874.3 / 13.19 El momento resistente exacto de esta sección es 5.22 t-m. Otra forma de obtener el momento resistente puede plantearse analizando el equilibrio estático de la sección. Para el efecto se toma momento de la resultante a compresión (C) respecto a la resultante a la tracción (T): Cc= ½ ½fc * b * c - A’s * fc1 fc1 = f ’s / 2n = 1,291 / (2 * 11) = 58.682 kgf/cm2. Cs = A’s * f ’s M = ½ fc * b * c *(d - c / 3) - A’s * f c1 * (d -d’) + A’s * f ’s * (d - d’) M = ½ * 94.50 * 25 * 13.19 * (30 - 13.19 / 3) - 4 * 58.682 * (30 - 5) + 4 * 1,291 * (30-5) M = 5.22 t-m EjEmplo 4.6 Determinar el momento resistente y revisar las condiciones de servicio, por el método de la sección transformada. Considerar: f ’c = 210 kgf/cm2 y fy = 2.800 kgf/cm2. a) Características de los materiales: n = 11 fc = 0.45 f ’c = 94.50 kgf/cm2. fs = 0.50 fy = 1,400 kgf/cm2. 87 b) Localización del eje neutro: El momento estático de las áreas respecto al eje neutro es nulo: 25 * c * c / 2 + 29.82 * (c - 4) -170.28 * (30 - c) = 0 12.5c2 + 200.10 c - 5,227.68 = 0 Þ c = 13.957 cm. c) Revisión de las tensiones: Por proporcionalidad de las deformaciones se revisa en primera instancia cuál de los materiales controla el diseño. εc / c = εs / (d - c), Para: Aplicando la Ley de Hooke (ε = σ / E) fs = fc * ( Es / Ec) * (d - c) / c Þ fs = fc * n (d - c) / c fc = 94.50 kgf/cm2 Þ fs = 94.50 * 11 * (30 - 13.957) / 13.957 fs = 1,194.86 kgf / cm2 < 1,400 kgf / cm2. El hormigón alcanza primero la tensión admisible, la sección se encuentra SOBRE-REFORZADA. Debe revisarse el trabajo del acero a compresión. fc1 / (c - d’) = fc / c, fc1 = f ’s / 2n Þ f ’s = 2n * fc * (c - d’) / c f ’s = 2 * 11 * 94.50 * (13.957 - 4) / 13.957 f ’s = 1,483.2 kgf / cm2 > 1,400 kgf/cm2. El acero a compresión sobrepasa la tensión admisible. El asumir f ’s como el doble de su valor elástico NO es satisfactorio. Un valor inferior al doble debe adoptarse. Se toma f ’s = 1.400 kgf/cm2 y se resuelve este ejemplo a partir del equilibrio estático de la sección. d) Momento resistente de la sección: Considerando el hormigón desalojado por el acero a compresión, a partir del equilibrio estático de la sección se obtiene: Cc = ½ ½ fc * b * c - A’s * fc1 T = As * fs C = T, ½ * fc * b * c - A’s * fc *( c - d’) / c + 1.988 = As * n * fc * (d - c) / c fc1 = fc * (c - d’) / c Cs = A’s * f ’s = 1.42 * 1,400 = 1,988 kgf fs = n * fc * (d - c) / c 88 ½ * 94.50 * 25 * c - 1.42 * 94.50 * ( c - 4) / c + 1,988 = 15.48 * 11 * 94.50 * (30 - c) / c 1,181.25 c2 + 17,945.27 c - 482,207.07 = 0 c = 13.989 cm. Tensión de trabajo del acero a tracción: fs = n * fc *(d - c) / c = 11*94,50*(30 - 13,989) / 13,989 fs = 1.189,75 kgf / cm2. Tomando momentos respecto a T: M = ½ fc * b * c * (d - c / 3) - A’s * fc * ( c - d’) * (d - d’) / c + 1,988 * (d - d’) M = ½ * 94.5 * 25 * 13.989 * (30 - 13.989/3) - 1.42 * 94.5 * (13.989 - 4) * (30 - 4)/13.989 + 1,988 * (30 - 4) M = 4.679 t-m Resultados: La sección se encuentra SOBRE-REFORZADA. Profundidad del eje neutro: c = 13.989 cm Momento resistente exacto: M = 4.679 t-m Tensiones: fc = 94.50 kgf/cm2, fs = 1,189.75 kgf/cm2, f ’s = 1,400.00 kgf/cm2. EjEmplo 4.7 Determinar el momento resistente y revisar las condiciones de servicio, por el método de la sección transformada. Considerar: f ’c = 210 kgf/cm2 y fy = 2.600 kgf/cm2. 89 a) Características de los materiales: n = 11 fc = 0.45 f ’c = 94.50 kgf/cm2. fs = 0.50 fy = 1,300 kgf/cm2. b) Localización del eje neutro: El momento estático de las áreas respecto al eje neutro es nulo: 25 * c * c / 2 + 29.82 * (c - 4) - 134.20 * (30 - c) = 0 12.5c2 + 164.02 c - 4,145.28 = 0 Þ c = 12.80 cm. c) Revisión de las tensiones: Por proporcionalidad de las deformaciones se revisa en primera instancia cuál de los materiales controla el diseño. εc / c = εs / (d - c), Aplicando la Ley de Hooke (ε = σ/ E): Þ fs = fc * n (d - c) / c fs = fc * ( Es / Ec) * (d - c) / c Para: fc = 94.50 kgf / cm2 fs = 1,397 kgf / cm2 Þ fs = 94.50 * 11 * (30 - 12.80) / 12.80 > 1,300 kgf / cm2. El acero alcanza primero la tensión admisible, la sección se encuentra SUB-REFORZADA. Para fs = 1,300 kgf / cm2 se obtiene: fc = c * fs / [ n * (d - c)] fc = 12.80*1,300 / [11 * (30-12.80) ] fc = 87.95 kgf/cm2. Revisión del acero a compresión: fc1 / (c - 4) = fc / c, fc1 = f’s / 2n Þ f ’s = 2n * fc * (c - 4) / c f ’s = 2 * 11 * 87.95 * (12.80 - 4) / 12.80 f ’s = 1,330 kgf/cm2 > 1,300 kgf/cm2. El acero a compresión sobrepasa la tensión admisible. El asumir f ’s como el doble de su valor elástico NO es satisfactorio. Un valor ligeramente inferior al doble debe tomarse, se asume f ’s = 1,300 kgf / cm2. d) Momento resistente de la sección (Solución No 1): Considerando el hormigón desalojado por el acero a compresión, a partir del equilibrio estático de la sección se obtiene: 90 Cc = ½ fc * b * c - A’s * fc1 fc1 = fc * (c - d’) / c Cs = A’s * f’s = 1.42 * 1,300 = 1,846 kgf T = As * fs = 12.20 * 1,300 = 15,860 kgf C = T, fc * {½ * b * c - A’s * (c - d’) / c } + 1,846 = 15,860 c *fs –––––––––– *½[½* b * c - A’s * (c - d’) / c ] = 15,860 - 1,846 n * (d - c) c * 1,300 –––––––––– * [½ * 25 * c - 1.42 * (c - 4) / c ] = 14.014 11 * (30 - c) c = 12.8093 cm. Tensión de trabajo del hormigón: fc = c * fs / [n * (d - c) ] = 12.8093 * 1,300 / [11 * (30 - 12.8093)] = 88.06 kgf / cm2. Tomando momentos respecto a T: M = ½ fc * b * c * (d - c / 3) - A’s * fc * (c - d’) * (d - d’) / c + A’s * f’s * (d - d’) M = 88.06 [ ½ * 25 * 12.809 * (30 - 12.809 / 3) - 1.42 * (12.809 - 4) * (30 - 4) / 12.809 ] + 1.846 * (30 - 4) = 4.09 t-m. Resultados: La sección se encuentra SUB-REFORZADA. Profundidad del eje neutro: c = 12.8093 cm. Momento resistente exacto: M = 4.09 t-m. Tensiones: fc = 88.06 kgf / cm2, fs = 1,300 kgf / cm2, f ’s = 1,300 kgf / cm2. e) Momento resistente de la sección (Solución No 2): En esta solución, a partir de los resultados del literal “c”, se va a evaluar la relación real entre el valor de f’s para diseño y el valor de f’s obtenido mediante relaciones elásticas, y se aplicará la fórmula de flexión para calcular el momento resistente. 91 Sea: fc1 = f ’s / X n, d’ = 4 cm fc1 = fc (c - d’) / c X = c * f ’s / {n * fc * (c - d’)} Para: f’s = 1,300 kgf/cm2 fc = 87.95 kgf/cm2, c = 12.796 cm X = 1.9548 < 2 Con este valor de X y con las tensiones anteriores se calcula nuevamente la posición del eje neutro; este proceso es aproximado pues al variar la posición del eje neutro, varían las tensiones, pero estas variaciones son pequeñas y usualmente con una sola iteración es suficiente. Momento estático de las áreas de la sección transformada respecto al eje neutro: b * c2 / 2 + ( X * n - 1) * A’s * (c - d’) - n * As* (d - c) = 0 12.5 c2 + (1.9548 * 11 - 1) * 1.42 * (c - 4) - 11 * 12.20 * (30 - c) = 0 12.5 c2 + 163.314 c - 4,142.456 = 0 Þ c = 12.808 cm. fc = c * fs / [n * (d - c)] = 12.808 * 1,300 / [11 * (30 - 12.808)] = 88.046 kgf/cm2. fs = X * n * fc * (c - d’) / c = 1.9548 * 11 * 88.046 * (12.808 - 4) / 12.808 f’s = 1,301.97 kgf / cm2 > 1,300 kgf / cm2. Aunque este valor de f’s puede considerarse como satisfactorio se hará una nueva iteración a partir de los resultados anteriores: X = c * f’s / {n * fc * (c - d’)] = 12.808*1,300 / {11*88.046 * (12.808 - 4)} =1.9518 b * c2 / 2 + ( X * n - 1) * A’s * (c - d’) - n * As * (d - c) = 0 12.5 c2 + (1.9518 * 11 - 1) * 1.42 * (c - 4) - 11 * 12.2 * (30 - c) = 0 12.5 c2+ 163.267 c - 4,142.268 = 0, c = 12.8092 cm. fc = c * fs / {n * (d - c)} = 12.8092 * 1,300 / {11 * (30 - 12.8092)} = 88.06 kgf/cm2. 92 f’s = X * n * fc * ( c - d’) / c = 1.9518 *11 * 88.06 * (12.8092 - 4) / 12.8092 = 1,300 kgf/cm2. El valor de f’s cumple, la inercia de la sección será: I = 25 * 12.80923 / 3 + 29.067 * (12.8092-4)2 + 134.20 * (30-12.8092)2 = 59,428.90 cm4. Momento resistente: M = fc * I / c = 88.06 * 59,428.90 / 12.8092 = 4.09 t-m. 4.9 problEmas propuEsTos problEmas 4.1 a 4.3 Analizar las siguientes secciones a partir de su equilibrio estático. Considerar hormigón con f ’c = 210 kgf/cm2 y acero con fy = 2,600 kgf/cm2. a) b) Determinar el máximo momento admisible de la sección y las tensiones correspondientes en los materiales. Determinar las tensiones de trabajo en los materiales cuando estas secciones se someten a un momento externo de 2.0 t-m. Problema 4.1 Problema 4.2 Problema 4.3 Resp. a) M = 4.46 t-m. fc = 82.3 kgf / cm2. fs = 1,300 kgf / cm2. b) fc = 37 kgf / cm2. fs = 583 kgf / cm2. M = 2.68 t-m. fc = 94.5 kgf / cm2. fs = 1,184 kgf / cm2. fc = 70 kgf / cm2. fs = 883kgf /cm2. M = 2.61 t-m. fc = 87.3 kgf / cm2. fs = 1,300 kgf/ cm2. fc = 67kgf / cm2. fs = 996kgf / cm2. 93 problEma 4.4 Determinar, por el método de la sección transformada, el máximo momento admisible y las tensiones correspondientes en los materiales. Comprobar los resultados planteando el equilibrio estático de la sección. Considerar f ’c = 210 kgf / cm2 y fy = 2,600 kgf / cm2. Problema 4.4 Problema 4.5 Resp. M= fc = fs1 = fs2= 2.60 t-m. 77 kgf / cm2. 586 kgf / cm2. 1,300 kgf / cm2. Wmáx = fc = fs = f ’s1= f ’s2 = 5.98 t/m. 108,6 kgf / cm2. 1,680 kgf / cm2. 518.9 kgf / cm2. problEma 4.5 La sección de la figura corresponde a una viga simplemente apoyada de 5 m de luz. Determinar la máxima carga uniforme que puede serle aplicada si f ’c = 245 kgf / cm2 (n = 10) y fy = 4,200 kgf / cm2. problEma 4.6 Determinar la relación d/d’ que deben cumplir las secciones doblereforzadas para que todos los materiales alcancen simultáneamente las máximas tensiones permitidas por normas. Resp. d’ 6n * fc –––– = ––––––––––– - 2 d 2n * fc - f ’s 94 problEmas 4.7 a 4.12 Determinar el máximo momento admisible que pueden soportar las siguientes secciones y las tensiones correspondientes, a ese momento, en los materiales. Problema 4.7 Problema 4.8 Problema 4.9 Resp. M = 5.83 t-m. f ’s= 1,208 kgf /cm2. Sub-reforzada. M= 12.45 t-m. f ’s= 1,680 kgf /cm2. Sobre-reforzada. M= 18.48 t-m. f ’s= 1,651.4 kgf/cm2. Sobre-reforzada. Problema 4.10 Problema 4.11 Problema 4.12 Resp. M = 18.56 t-m. f ’s = 1,400 kgf/cm2. Sub-reforzada. M = 18.64 t-m. f ’s = 1,680 kgf/cm2. Sobre-reforzada. M = 6.57 t-m. f ’s = 1,107.3 kgf/cm2. Sub-reforzada. 95 problEmas 4.13 a 4.15 Determinar, por el método de la sección transformada, el máximo momento admisible y las tensiones correspondientes en los materiales. Comprobar los resultados planteando el equilibrio estático de la sección. Considerar f ’c = 210 kgf / cm2 para los problemas 4.13 y 4.14, f ’c = 280 kgf / cm2 para el problema 4.15 y fy = 4,200 kgf / cm2 para todos los casos. Problema 4.13 Problema 4.14 Problema 4.15 Resp. M = 2,71 t-m. fs = 1.063 kgf/cm2. Sobre-reforzada. M = 6,65 t-m. fs = 1.190 kgf/cm2. Sobre-reforzada. M = 13,03 t-m. fs= 1.680 kgf / cm2. Sub-reforzada. problEmas 4.16 a 4.18 Determinar, por el método de la sección transformada, el máximo momento admisible. f ’c= 210 kgf / cm2. fy = 4.200 kgf / cm2. f ’c= 210 kgf / cm2. fy= 4.200 kgf / cm2. f ’c = 280 kgf / cm2. fy= 4.200 kgf / cm2. Problema 4.16 Problema 4.17 Problema 4.18 Resp. M= 9.32 t-m. Sobre-reforzada. M = 12.87 t-m. Sobre-reforzada. M = 9.00 t-m. Sub-reforzada. 96 Capítulo 5. Control de FleChas y Fisuras Existen factores importantes que afectan las condiciones de servicio de una estructura: las flechas, las vibraciones, las fisuras o grietas, la corrosión del refuerzo y el deterioro de la superficie del hormigón. En este capítulo se trata con detalle la evaluación de las flechas y de las fisuras. 5.1 flecHas 5.1.1 aspectos generales Se denominan flechas a las deformaciones verticales que sufren los elementos estructurales, vigas, nervios y losas, debido a los efectos de las cargas gravitacionales, cargas vivas y cargas muertas (incluido el Figura 5.1. Flechas o deformaciones de las vigas debidas a cargas gravitacionales. peso propio). En los últimos años se han desarrollado nuevas tecnologías que han conducido al empleo de materiales de construcción de alta resistencia. El empleo de hormigones y aceros de alta resistencia conlleva al diseño de secciones pequeñas, con una disminución de la rigidez a la flexión del elemento estructural y su consecuente incremento de las flechas. Las flechas permisibles en una estructura dependen de muchos factores, entre ellos: tipo de la estructura, apariencia, acabados, divisiones, tipo y magnitud de la carga viva. La NSR-98 en sus tablas C.9.1(a) y C.9.1(b), especifica los espesores mínimos de vigas y losas armadas en una dirección para los cuales no es necesario calcular las flechas. Estos espesores para los aceros nacionales son: La tabla 5.1 debe emplearse para vigas y losas no preesforzadas que soporten o estén unidas a particiones, muros divisorios, y otros elementos 97 que puedan dañarse debido a flechas grandes, como los descritos en la sección 3.2.1.3.2. Entre estos elementos se cuentan los muros divisorios en ladrillo de arcilla y de hormigón (los más tradicionales): Tabla 5.1 espesores mínimos para no calcular flecHas – materiales tradicionales. Elemento Estructural Acero fy kgf/cm2 2,400 Losas macizas 2,600 2,800 4,200 2,400 Vigas o losas con nervios en una dirección 2,600 2,800 4,200 Apoyos simples L/18.8 L/18.1 L/17.5 L/14.0 L/14.8 L/14.2 L/13.8 L/11.0 Espesor mínimo, h Luz extrema L/21.5 L/20.7 L/20.0 L/16.0 L/16.2 L/15.6 L/15.0 L/12.0 Luz interior L/25.6 L/24.6 L/23.8 L/19.0 L/18.8 L/18.1 L/17.5 L/14.0 Voladizo L/9.4 L/9.1 L/8.8 L/7.0 L/6.7 L/6.5 L/6.3 L/5.0 La tabla 5.2 debe emplearse para vigas y losas no preesforzadas que no soporten o estén unidas a particiones, muros divisorios, y otros elementos que puedan dañarse debido a flechas grandes, como los descritos en la sección 3.2.1.3.3. Entre estos elementos se cuentan las divisiones móviles de media altura, los elaborados con láminas de yeso o de madera: Tabla 5.2 espesores mínimos para no calcular flecHas – materiales no tradicionales. Elemento Estructural Acero fy kgf/cm2 2,400 Losas macizas 2,600 2,800 4,200 2,400 Vigas o losas con nervios en una dirección 2,600 2,800 4,200 Apoyos simples L/27.0 L/26.0 L/25.0 L/20.0 L/21.5 L/20.7 L/20.0 L/16.0 Espesor mínimo, h Luz extrema L/32.3 L/31.1 L/30.0 L/24.0 L/25.0 L/24.0 L/23.1 L/18.5 Luz interior L/37.7 L/36.3 L/35.0 L/28.0 L/28.3 L/27.2 L/26.3 L/21.0 Voladizo L/13.5 L/13.0 L/12.5 L/10.0 L/10.8 L/10.4 L/10.0 L/8.0 98 El CCCSR-84 no hacía una discriminación para las flechas permisibles de acuerdo al tipo de divisiones empleadas y especificaba para las flechas permisibles los valores consignados en la tabla 5.2. La nueva norma obliga a mayores espesores de losa cuando las divisiones son rígidas (muros divisorios de mampostería en bloques de arcilla o de hormigón), y mantiene los valores permitidos en el CCCSR-84 pero para divisiones removibles, de yeso o de madera. Fotografía 11. Instalación de divisiones no tradicionales, livianas y flexibles, ideales para usarse en zonas sísmicas y estructuras aporticadas. La NSR-98 trata de desestimar el uso de las divisiones tradicionales y propiciar el uso las divisiones livianas por la ventaja que estas tienen desde el punto de vista sísmico, al disminuir la masa de las edificaciones; conviene llamar la atención sobre las implicaciones que esto tiene en el caso de incendio pues las divisiones livianas son muy vulnerables en los casos de incendio, y este fenómeno, hasta ahora poco frecuente en los eventos sísmicos del país, se verá incrementado en el futuro con el empleo del gas domiciliario. De las tablas anteriores puede observarse que mientras más in- Fotografía 12. Daños en la mampostería causados por la flexibilidad del voladizo. 99 determinada sea una estructura menor es el espesor requerido, con la consecuente reducción del peso propio y de los costos. Entre los inconvenientes que causan las deformaciones excesivas vale la pena mencionar: • Deterioro de acabados, fisuras en pisos y muros. • Mala apariencia estética. • Filtraciones de agua en terrazas. • Inestabilidad estructural. • Reducción de la durabilidad de la estructura, al hacerla vulnerable a la agresión del medio ambiente, carbonatación en el hormigón y oxidación en el refuerzo. Cuando el espesor, “h”, de una viga o de una losa, no cumple las anteriores especificaciones (tablas 5.1 y 5.2), deben calcularse las flechas. El ACI-318-02 Sec. 9.5.2.2 y la NSR-98 Sec. C.9.5.2.1 especifican que su cálculo debe hacerse con base en las fórmulas elásticas deducidas en la Mecánica de Sólidos, es decir, a partir de un análisis elástico, considerando los efectos que tienen la fisuración y el refuerzo en la rigidez del elemento. 5.1.2 procedimiento para eValuar la flecHa inmediata La flecha que se presenta una vez se aplica la carga viva se denomina flecha inmediata o instantánea. Es una deformación elástica de la que se recupera la estructura una vez se retira esta carga. Como ejemplo pueden citarse las deformaciones de los puentes al paso de los vehículos. Si las cargas vivas se sostienen sobre la estructura durante un tiempo importante las flechas o deformaciones se incrementan apreciablemente con el tiempo y de ese incremento ya no se recupera la estructura cuando se retira la carga. La evaluación de la flecha instantánea se basa en las relaciones elásticas del elemento. En general, la flecha puede expresarse como: d = K * (W L4 / Ec I) (5.1) En la cual: W = Carga total en la luz. K = Coeficiente que depende del grado de rigidez de los apoyos, de la distribución de la carga y de la variación de la inercia del elemento a lo largo de la luz. 100 Por ejemplo, la flecha máxima para una viga simplemente apoyada sometida a una carga uniforme en toda su luz es: d = 5 W L4 / 384 Ec I Los valores de W y L son conocidos. El problema se presenta en la determinación de la rigidez a la flexión del elemento (E c I). Para el valor del modulo de elasticidad Ec, se toma el valor módulo elástico del hormigón, ACI-318-02 Sec. 9.5.2.3 y NSR-98 Sec. C.9.5.2.2. La forma de obtener el módulo elástico del hormigón, Ec, ha sido ampliamente discutida en la sección 2.2.1.2 de este texto. En las zonas de momentos flectores máximos, el hormigón localizado en la zona de tracciones, se fisura o agrieta. Por ello no se debe considerar al evaluar la inercia de estas secciones. Esta inercia se conoce como inercia de la sección fisurada o agrietada y se representa por Icr. Cerca a los puntos de inflexión, puntos de momentos nulos, las tensiones son bajas y la sección no sufre agrietamiento. En este caso toda la sección del elemento estructural se debe considerar para la evaluación de la inercia, se desprecia la contribución del refuerzo pues éste no trabaja al no fisurarse el hormigón. Esta inercia se conoce como inercia de la sección sin fisurar y se representa por Ig (Para secciones rectangulares: Ig = bh3 / 12). El ACI-318-02 Sec.9.5.2.3 y el NSR-98 Sec. C.9.5.2.2 presentan la siguiente expresión simplificada para determinar el momento de inercia efectivo de un elemento estructural. Esta expresión representa un promedio ponderado entre las inercias de las secciones fisuradas y las no fisuradas: Ie = (Mcr / Ma)3 * Ig + [ 1 - (Mcr / Ma)3 ] * Icr < Ig Mcr / Ma < 1.0 Ig = Icr = Ie = Mcr = Momento de inercia de la sección no fisurada, sin considerar el refuerzo. Para secciones rectangulares: Ig = bh3/12. Momento de inercia de la sección fisurada, evaluada transformando la sección en una homogénea conforme a lo visto en el capítulo 4. Momento de inercia efectivo, promedio ponderado entre Ig e Icr. Momento de fisuración [ Mcr = fr * Ig / yt ]. (5.2) 101 Ma = fr = yt = Momento máximo del elemento para el nivel de carga que se evalúa. Módulo de ruptura del hormigón, (fr = 2.0 √f ’c ). Distancia medida desde el eje neutro hasta la fibra extrema a tracción. En luces continuas el momento de inercia efectivo debe tomarse como el promedio de los valores obtenidos mediante la expresión 5.2 para las secciones críticas de momento positivo (en la luz) y momentos negativos (en los apoyos). Para vigas simplemente apoyadas debe usarse el valor obtenido para la luz y para voladizos el valor del apoyo, NSR-98 Sec. C.9.5.2.3. El ACI-318-02, Sec. 9.5.2.4, para elementos continuos, sugiere tomar el promedio simple de valores de Ie para las secciones de momentos positivos y negativo. Para elementos prismáticos, se permite tomar el momento efectivo de inercia como el valor obtenido de la expresión 5.2 en la mitad de la luz para tramos simples y continuos, y en el punto de apoyo para voladizos. El empleo de las propiedades de la sección al centro de la luz para elementos prismáticos continuos, es considerado satisfactorio en cálculos aproximados, principalmente porque la rigidez al centro de la luz (incluyendo el efecto del agrietamiento) tiene efecto dominante sobre las deformaciones. En las notas del ACI-318-99 se sugiere emplear los siguientes valores promedio para vigas con los dos extremos continuos: Ie promedio = 0.70 Ie luz + 0.15 (Ie apoyo A + Ie apoyo B ) Para vigas con un extremo continuo: Ie promedio = 0.85 Ie luz + 0.15 Ie continuo (5.4) (5.3) La NSR-98 Sec. C.9.5.2.3 no indica como deben promediarse las inercias de las secciones críticas, se adoptan en este texto las especificaciones del ACI. 102 5.1.3 expresiones para el cálculo de flecHas En vigas sometidas a carga uniforme la flecha máxima esta muy cerca del centro de la luz. A falta de un cálculo más preciso, la flecha máxima se asume que se presenta en el centro de la luz. Para una viga sometida a carga uniforme la expresión para calcular la flecha en el centro de la luz se deduce aplicando el principio de superposición. - De la superposición de momentos: ML = Mo - 0.5 (Ma + Mb) Mo = ML + 0.5 (Ma + Mb) - De la superposición de deformaciones: dmáx = do - da - db - De la Mecánica de Sólidos: do= 5 Mo L2 / 48 EcI da= 3 Ma L2 / 48 EcI db= 3 Mb L2 / 48 EcI Figura 5.2. superposición de flecHas y momentos para una Viga con sus dos extremos continuos. Reemplazando: dmáx. = ( 5 L2 / 48 EcI ) * (Mo - 0.60 * Ma - 0.60 * Mb) De donde: dmáx. = (5 L2 / 48 EcI ) * (ML - 0.1 * [Ma + Mb]) (5.5) Esta expresión es aproximada, ha sido deducida en el centro de la luz, y se generaliza su aplicación para vigas simplemente apoyadas (Ma = Mb = 0), vigas con un extremo continuo (Ma ó Mb = 0) y vigas con sus extremos continuos. Para otro tipo de cargas debe consultarse un texto de Mecánica de Sólidos. 103 5.1.4 procedimiento para eValuar la flecHa plástica Las flechas elásticas, en el hormigón reforzado, se incrementan bajo cargas sostenidas. La retracción del fraguado y el flujo plástico son los fenómenos causantes de estas deformaciones diferidas. También influyen en ellas la temperatura, la humedad, la edad de la carga, el curado, la cantidad de refuerzo y la magnitud de la carga sostenida. Las flechas a largo plazo dependen del tiempo, de las cargas permanentes y de la cantidad de acero localizado en la zona de compresión. El ACI-318-02 Sec. 9.5.2.5 y el NSR-98 Sec. C.9.5.2.4 sugieren que las flechas diferidas se calculen mayorando las flechas elásticas por el siguiente factor: x l = ––––––––– 1 + 50 r’ (5.6) r’ = A’s / bd = Cuantía del refuerzo a compresión evaluada en la sección de la luz para vigas simplemente apoyadas o continuas y en el apoyo en caso de voladizos. x = Factor que depende de la duración de la carga sostenida. Los comentarios del ACI-318-02 Sec. 9.5.2.5 presentan una curva para estimar su valor para cargas sostenidas hasta 60 meses de duración, véase figura 5.3. Las cargas sostenidas por más de 60 meses pueden considerarse como cargas permanentes. La NSR-98 extracta de dicha figura los valores que sugiere en su sección C.9.5.2.4. l = Factor de mayoración, su valor depende de la armadura a compresión. Entre mayor sea este refuerzo, A’s, mayor será r’ y menor el factor de mayoración. La armadura a compresión mejora el confinamiento del hormigón y reduce las flechas plásticas. La NSR-98 Sec. C.9.5.2.4 sugiere los siguientes valores del coeficiente de efecto a largo plazo, x: 5 años o más ..........……. 12 meses …………… 6 meses ………….... 3 meses ………….... x = 2.0 x = 1.4 x = 1.2 x = 1.0 104 Figura 5.3 efecto de la carga sostenida, aci. 5.1.5 flecHas máximas permitidas Una vez se ha calculado el valor de la flecha plástica debe revisarse su magnitud para determinar si es admisible o no. Esto se hace comparando los valores obtenidos con los máximos permitidos por las normas. El ACI-318-02 tabla 9.5 (b) y el NSR-98 tabla C.9.2 especifican los máximos valores permitidos para las flechas. Tabla 5.3 Valores permisibles de las flecHas. Tipo de elemento Cubiertas planas que no soportan o no están unidas a elementos no estructurales que puedan ser dañados por flechas grandes. Losas que no soportan o no están unidas a elementos no estructurales que puedan ser dañados por flechas grandes. Cubiertas o pisos que soporten o estén unidos a elementos no estructurales que puedan ser dañados por flechas grandes. Cubiertas o losas que soportan o están unidas a elementos no estructurales que no puedan ser dañados por flechas grandes. flecha que se considera Flecha instantánea debida a la carga viva. Flecha instantánea debida a la carga viva. La suma de las flechas a largo plazo, debida a cargas permanentes, más la instantánea debida a cualquier carga adicional. Flecha límite L / 180 L / 360 L / 480 L / 240 Si al calcular las flechas éstas no cumplen los límites permitidos debe tomarse una de las siguientes determinaciones: • Incrementar el refuerzo a compresión en la luz para reducir el factor de mayoración. 105 • • • Incrementar las dimensiones del elemento para aumentar su inercia (rigidez). Emplear un hormigón de mejor calidad. Proporcionar una contra-flecha en la construcción, si es posible. 5.2 fisuras Las fisuras ocurren cuando las tensiones de tracción a las cuales esta sujeto el hormigón exceden su capacidad resistente a las tensiones de tracción en el hormigón. La capacidad resistente a las tensiones de tracción del hormigón varía con su edad y con la tasa de aplicación de las tensiones. La aparición de una fisura visible no significa necesariamente que algo ande mal; sin embargo, es importante conocer la causa que la produce para de esta forma poderla reparar. Hay varios tipos de fisuras que pueden presentarse: Unas debidas a la retracción del fraguado, otras debidas a las cargas, otras debidas a la expansión del material embebido en el hormigón. Un ejemplo típico es la corrosión del refuerzo, etc. 5.2.1 fisuras por retracción del fraguado 5.2.1.1 antes del fraguado Aparecen de manera aleatoria por la desecación superficial del hormigón a consecuencia de la evaporación del agua y presentan las siguientes características: • Aparecen en las primeras horas (1 a 10 horas), casi siempre en grupo. • Aparecen casi siempre en tiempo seco con sol directo y/o con viento; pero pueden aparecer también en tiempo frío y húmedo. • Tienen profundidad del orden de 10 a 40 mm, pudiendo alcanzar los 100 mm e incluso atravesar todo el espesor de losas delgadas. 5.2.1.2 después del fraguado Se originan por los cambios de volumen del hormigón debido a la evaporación del agua de los poros en ambientes secos. Aparecen donde la contracción esta impedida con una orientación perpendicular a la dirección en que el movimiento esta restringido. 106 La retracción hidráulica antes y después del fraguado tiene mayor importancia en elementos tales como losas y muros por su gran superficie y pequeño espesor. 5.2.1.3 retracción y dilatación térmica Aparecen en los elementos colocados en medios ambientes en los que disminuye o aumenta la temperatura y tienen limitados los movimientos de contracción. Su espesor no es uniforme y por lo general varían con los cambios de temperatura. 5.2.2 fisuras por cargas Las fisuras producidas por cargas difieren de las de retracción porque tienen mayor profundidad y aparecen con forma típica, razón por la cual es necesario comprobar las dimensiones de la fisura para establecer si son originadas por carga y constituyen un problema estructural. La reparación de este tipo de fisuras involucra tratamiento con morteros especiales, productos asfálticos y resinas epóxicas, entre otros. Son causantes de la fisuración del hormigón: • Cargas externas que generan altas tensiones diagonales que superan la capacidad de resistencia del hormigón. • Cargas externas que generan altas tensiones de tracción debido a la flexión. • Cargas externas que generan tensiones cortantes producto de la torsión de los elementos estructurales. 5.2.3 otras causas de fisuración Cuando no existe suficiente recubrimiento del acero se pierde la adherencia entre el acero y el hormigón. Este tipo de fisura es paralelo al refuerzo. • Cuando el acero se oxida aumenta su volumen generando tensiones de tracción que el hormigón no esta en capacidad de soportar. Este tipo de fisura es paralelo al refuerzo y se distingue del anterior por la presencia de un color rojizo producto de la oxidación del refuerzo. Debido al gran número de variables involucradas, al comportamiento aleatorio del agrietamiento y al alto grado de dispersión es indispensable hacer idealizaciones y simplificaciones muy amplias para poder graficar • 107 un patrón de formación. En la figura 5.4, a manera de ilustración, se indican las orientaciones de las fisuras que se presentan en una viga de hormigón. Las fisuras de flexión son perpendiculares al eje de la viga y se presentan en los sitios de momentos máximos, apoyos y luz; mientras que las fisuras por cortante son inclinadas. Figura 5.4 Clases de Fisuras en vigas. 5.2.4 • • como preVenir las fisuras Durante la colocación del hormigón debe evitarse el tráfico y la operación sobre las superficies recién acabadas. Una vez colocado el hormigón y tan pronto desaparezca el agua de exudación, lo cual es fácilmente detectable puesto que la superficie cambia de brillante a mate, proporcionar un adecuado curado bien sea mediante cubiertas protectoras o por tratamientos húmedos, tales como el riego directo y la arena constantemente humedecida. Prolongar el curado hasta que la resistencia sea el 70% de la resistencia de diseño, lo cual en hormigones normales ocurre alrededor de los 7 días. Proteger las superficies del hormigón de las elevadas temperaturas, los rayos del sol, los vientos y especialmente los cambios bruscos de temperatura. Verificar que las formaletas no se van a mover con la presión del hormigón fresco. No se debe alterar el hormigón para facilitar las operaciones de acabado, esto hace que el hormigón sea más propenso a presentar fisuras debido a la retracción hidráulica. Humedecer el suelo y los encofrados que van a estar en contacto con el hormigón para evitar que absorban el agua de la mezcla. • • • • • 108 Fotografía 13. Fisura debida a la oxidación del refuerzo, edificio Santa Catalina, San Andres Islas. Fotografía 14 . Fisura debida falla por adherencia entre el hormigón y el acero. Plaza minorista Jose Maria Villa, sector 11, Medellín. Fotografía 15. Fisura por tensión diagonal, cortante. Plaza minorista Jose Maria Villa, sector 11, Medellín. Fotografía 16. Fisura por tensión diagonal en estructura de una discoteca colapsada en Medellín. Fotografía 17. Fisura por tensión diagonal en edificio ubicado en el barrio Laureles de Medellín. 109 • • • • No exceder el vibrado del hormigón pues la pasta se concentra en la superficie aumentando la exudación y fomentando la retracción hidráulica que se traduce en fisuras superficiales. Verificar el recubrimiento de las varillas de refuerzo y de las instalaciones embebidas en el hormigón para evitar la aparición de fisuras por reflejo. Evitar tensiones sobre el hormigón que no ha alcanzado suficiente resistencia, verificando la resistencia antes de desencofrar y/o cargar la estructura. Un buen curado, además de prevenir fisuras, favorece el desarrollo de la resistencia y demás propiedades del hormigón. 5.3 las fisuras y la nsr-98 La NSR-98 adopta las mismas especificaciones del ACI-318-02, en la sección C.10.6.4 y recomienda revisar las fisuras cuando la tensión de fluencia del acero de refuerzo sea superior a 300 MPa (3,000 kgf / cm2). Para evaluar las fisuras debe calcularse el parámetro Z. Z = fs 3√dcA (5.7) fs = Tensión de trabajo del acero a tracción, puede asumirse como el 60% de su tensión de fluencia: fs = 0.60 fy. dc = Recubrimiento medido desde la fibra extrema a tracción hasta el centroide de la barra de refuerzo más cercana a ella. A = Área de hormigón que rodea una barra, es igual al área efectiva del hormigón a tracción, la cual tiene el mismo centroide del refuerzo a tracción, dividida por el número efectivo de barras. Figura 5.5. Nomenclatura de las variables para el análisis de las fisuras. N = Número efectivo de barras, igual al área total del refuerzo dividida por el área de la mayor barra a tracción. 110 y = Distancia desde la fibra extrema del hormigón a tracción hasta el centro de gravedad del refuerzo a tracción. N = As / As (mayor barra), A=2*y*b/N El valor de Z no debe exceder de 30 MN/m en interiores y 26 MN/m en exteriores. Estos valores de Z han sido calculados para que el ancho de la fisura en una estructura no expuesta a la intemperie no exceda el valor de 0.41 mm y cuando la estructura está expuesta al medio ambiente no exceda de 0.34 mm. A partir del ACI-318-02 el ACI abandona esta forma de controlar el ancho de las fisuras y centra su atención en la separación del refuerzo. Por ello habrá que esperar que en las nuevas versiones de la NSR se haga la actualización para el control de las fisuras. En el siguiente numeral se explicará en qué consisten dichas modificaciones. 5.4 las fisuras y el codigo aci-318-02 La expresión que proporciona el ACI-318-02 es la expresión adoptada por la NSR-98. La siguiente expresión, deducida por Gergely and Lutz, es una simplificación que se basa en un estudio estadístico de los datos de las pruebas que realizaron varios investigadores: dmáx = 0.00108 b fs 3√dcA * 10-2 mm (5.8) En la cual: dmáx = Ancho esperado de la fisura b = Puede tomarse como promedio 1.20 para vigas y 1.35 para losas de piso. Deducido el tamaño probable de una fisura debe comprobarse si es admisible o no. Para ello, el ACI recomienda los siguientes valores admisibles: tabla 5.4 ancHo de fisuras permitidos por el aci. Condición de exposición En interiores En exteriores Fisura permisible en mm 0.41 0.34 111 El ancho de las fisuras en el hormigón es muy variable. En las ediciones anterior al ACI-318-99 se daban disposiciones para la distribución del refuerzo que estaban basadas en ecuaciones empíricas usando un ancho de la fisura calculado de 0.41 mm para estructuras interiores y 0.36 mm para estructuras exteriores. Las nuevas disposiciones intentan controlar el agrietamiento superficial a un ancho que es generalmente aceptable para efectos prácticos pero que puede variar ampliamente dentro de una misma estructura. A partir del ACI 318-99 Sec. 10.6.4 el ACI reemplaza los requisitos del factor Z por un control de espaciamiento entre las barras de refuerzo. Para ello especifica que el espaciamiento máximo “s” del refuerzo longitudinal más cercano a la superficie de tracción no debe ser superior al valor dado por la siguiente expresión20,21,22. s < 96,000 / fs - 2.5 * cc < 75,000 /fs (5.9) Se permite tomar fs como el 60% del valor de la tensión de fluencia, en MPA. cc = recubrimiento libre medido desde la superficie externa de hormigón más cercana a tracción hasta la superficie de la armadura a tracción, en mm. Las especificaciones para controlar el ancho de la fisuras para evitar la corrosión del refuerzo son actualmente muy discutidas. Investigaciones recientes23,24 indican que no hay una relación directa entre la corrosión y el ancho de las fisuras, en los rangos analizados para tensiones bajo cargas de servicio. Por esta razón la distinción del ancho permitido para fisuras entre estructuras interiores y exteriores ha sido eliminada. Para una viga con acero de fy = 4200 kgf/cm2 = 420 MPa (fs = 252 MPa) y un recubrimiento al refuerzo principal de 40 mm (cc = 40 mm) se debe cumplir con una separación máxima entre barras de refuerzo de: 281 mm. Cuando las fisuras de una sección no cumplen con estos límites existen dos soluciones muy sencillas para reducir el tamaño de las fisuras a valores aceptables: • Emplear barras de menor diámetro, con ello se incrementa el número de barras y se disminuye la separación entre ellas. 112 Reducir al mínimo el valor del recubrimiento, para reducir con ello el término dc y cc, pero debe respetarse el recubrimiento especificado en la sección 3.3.2. Entre mayor sea la tensión de fluencia del acero de refuerzo, fy, mayor es la carga de tracción que éste puede soportar y mayor será entonces la fricción necesaria para que el hormigón le transmita, por adherencia, esta carga. Por esta misma razón, para barras de diámetros altos, mayores problemas de fisuración se presentan. Desde este punto de vista es ventajoso el empleo de barras de diámetros pequeños. El tamaño de las fisuras depende de: • Calidad del refuerzo (fy). • Calidad del hormigón (f ’c). • Diámetro de las barras. • Recubrimiento del refuerzo. • Área del hormigón a tracción que rodea el refuerzo. • Discontinuidad del refuerzo principal. • Retracción del fraguado. • Flujo plástico. • Condiciones ambientales, temperatura, humedad, etc. • Curado. • Contenido de pasta de la mezcla. Para controlar el agrietamiento se debe proporcionar un adecuado detalle del refuerzo de acuerdo a los resultados experimentales y a la experiencia práctica. El mejor control de la fisuración se obtiene cuando mejor se distribuye el acero en la zona de tracción del hormigón. • 5.5 ejemplos ejemplo 5.1 La viga de la figura ha sido diseñada para las siguientes cargas de servicio: Wcm = 1.50 t/m, Wcv = 0.94 t/m. Se desea determinar la flecha plástica si el 50% de la carga viva actúa permanentemente durante 24 meses. Considerar f ’c = 210 kgf / cm2, fy = 4,200 kgf / cm2 ( n = 11 ). Considerar que la viga soporta mampostería tradicional. 113 a) Revisión de h según la tabla 5.1 (a): Para evitar el cálculo de las flechas: h > L / 11 = 600 / 11 = 55.00 cm Por ser h < 55 cm se requiere revisar las flechas. Propiedades de la sección: Por ser una viga simplemente apoyada solo se analiza la sección de la luz para los siguientes estados de carga: = 1.50 t/m Wcm Wcm + %Wcv = 1.97 t/m Wcm + Wcv = 2.44 t/m 1) Se localiza el eje neutro: 25 * c * c/2 – 147.62 * (40 - c) = 0, 12.5 c2 + 147.62 c – 5,904.8 = 0 2) Þ c = 16.62 cm. Se calcula la inercia de la sección no fisurada, no se considera el refuerzo: Ig = bh3 / 12 = 25 * 453 / 12 = 189,843.75 cm4. 3) Se calcula la inercia de la sección fisurada, Icr: Icr = 25 * 16,623 / 3 + 147,62 * (40 - 16,62) 2 Þ Icr = 118.949,77 cm4 < Ig 4) Se calcula el momento de fisuración: Mcr = fr * Ig / (h/2) fr = 2.0 * √f ’ = 28.98 kgf / cm2 Ig = 189,843.75cm4 h/2 = 22,50 Mcr = 244.518.75t-cm Ie = (Mcr / Ma)3 * Ig + {1 - (Mcr / Ma)3} * Icr Mcr/Ma < 1.0 M = W L2/8 = 675.00 t-cm. M = W L2/8 = 886.50 t-cm. M = W L2/8 = 1,098.00 t-cm. b) Véase la sección transforma en la pagina siguiente. 114 5) Inercia efectiva para cada estado de carga: Estado de carga Wcm = 1.50 t/m Wcm + 0.50 Wcv = 1.97 t/m Wcm + Wcv = 2.44 t/m Ma t - cm 675.0 886.5 1,098.0 Mcr t- cm 244.52 244.52 244.52 Mcr / Ma 0.3623 0.2758 0.2227 Ie cm4 122,321.2 120,437.1 119,732.8 Ec = 12,500 * √f ’c = 12,500 * √210 = 181,142.2 kgf / cm2. c) Cálculo de las flechas elásticas, d = 5 M L2/ 48 Ec Ie d) Cálculo de la flecha plástica: d plástica = l * dcm + l1 * d% cv + dcv l = x / (1 + 50 r’), r’ = 0 (Cuantía del refuerzo a compresión en la luz). Para cargas aplicadas por más de 60 meses (cargas muertas): Þ x = 2.00 x = 1.65 l = 2.00 l1 = 1.65 Para cargas sostenidas por 24 meses: Þ e) dplástica = 2.0 *1.14 + 1.65 * 0.38 + 0.38 = 3.29 cm. Revisión de las flechas: L = 600 cm L / 180 = 3.33 cm > 0.76 cm L / 360 = 1.66 cm > 0.76 cm L / 480 = 1.20 cm < 3.29 cm Þ Limitante L / 240 = 2.50 cm < 3.29 cm Þ Limitante Puede adoptarse una de las siguientes soluciones para las limitantes: Colocar una contra-flecha de 3.29 – 1.20 = 2.04 cm. Rigidizar más la estructura; adicionando acero a compresión. Aumentar dimensiones. 115 ejemplo 5.2 La viga de la figura ha sido diseñada para las siguientes cargas de servicio: Wcm = 1.30 t/m, Wcv = 1.17 t/m. El 30% de la carga viva actúa permanentemente durante 12 meses. Considerar f ’c = 210 kgf / cm2, fy = 4,200 kgf / cm2 (n = 11). Considerar que la viga soporta mampostería tradicional. Se desea evaluar la flecha en la luz L1 para los siguientes casos: a) Para una inercia ponderada de acuerdo al ACI-318-99 b) Para una inercia con un promedio simple de acuerdo al ACI-318-02 y NSR-98 y c) La flecha aproximada calculada con la inercia de la luz. Revisión de h según la tabla 5.1: L1: Luz extrema h >L / 12 = 400 / 12 = 33.3 cm L2: Luz interior h > L / 14 = 550 / 14 = 39.3 cm Por ser h < 39.3 cm se requiere revisar las flechas. Propiedades de las secciones: 1) Localización del eje neutro, c, e inercia de la sección fisurada o transformada, Ir b * c2 /2 - n * As * (d - c) = 0, Icr = b * c3 /3 + n * As * (d - c) 2 Sección As cm c cm Icr cm4 2 L1 6.00 10.22 34,717.9 B 13.42 13.82 60,641.8 116 2) 3) Inercia de la sección no fisurada: Ig= bh3 / 12 = 89,322.9 cm4. Momento de fisuración: Mcr= fr * Ig/(h/2),h /2 = 17.5 cm. Mcr = 147.93 t-cm fr = 2.0 * Öf ’c= 28.98 kgf / cm2. a) Calculo de la flecha para una Inercia efectiva ponderada en la luz 1. ACI-318-99. Ie = (Mcr / Ma)3 * Ig + [1 - (Mcr / Ma)3] * Icr Para una viga con un extremo continuo: Ie promedio = 0.85 Ie luz + 0.15 I Ie apoyo Estado de carga CM W=1.30 t/m CM + 0.30CV W=1.65 t/m CM + CV W=2.47 t/m Sec. L1 B L1 B L1 B Ma t-cm 133.65 294.37 169.63 373.63 253.93 559.31 Mcr t-cm 133.65 147.92 147.92 147.92 147.92 147.92 Mcr / Ma 1.0000 0.5025 0.8720 0.3959 0.5825 0.2645 Ie cm4 89,322.9 64,281.0 70,924.0 62,421.5 45,510.4 61,172.5 Ie prom cm4 85,566.6 69,648.6 47,859.7 Mcr < Ma Ec = 12,500 * Öf ’c = 181,142.2 kgf / cm2 . Cálculo de las flechas elásticas, d = 5 (ML - 0.1 * Mapoyo) * L2 / 48 Ec Ie - Cálculo de la flecha plástica: dplástica = l * dcm + l1 * d% cv + dcv l = x / (1 + 50 r’), r’ = 0 (Cuantía del refuerzo a compresión en la luz). 117 Para cargas aplicadas por más de 60 meses (cargas muertas): x = 2.0 Þ l = 2.0 Para cargas sostenidas por 12 meses (NSR-98 Sec. C.9.5.2.4): x = 1.40 Þ l1 = 1.40 dplástica = 2.0 * 0.112 + 1.40 * 0.063 + 0.205 = 0.517 cm. Revisión de las flechas: L = 400 cm L / 180 = 2.22 cm > 0.27 cm. L / 360 = 1.11 cm > 0.27 cm. L / 480 = 0.83 cm > 0.51 cm. L / 240 = 1.67 cm > 0.51 cm. b) Calculo de la flecha para una Inercia con promedio simple en la luz 1. ACI-318-02, NSR-98. Modificando el valor de la inercia en las expresiones anteriores se obtiene: Para CM Para CM + CV dcm = 0.125 cm. Ie = (89,322.9 + 64,281.0) = 76,801.95 cm4. Ie = (45,510.4+ 61,172.5) = 53,341.45 cm4. dcm + % cv = 0.058 cm. dcm + cv = 0.159 cm. Para CM + %CV Ie = (70,924.0 + 62,421.5) = 66,672.75 cm4. dplástica = 2.0 * 0.125 + 1.40 * 0.058 + 0.159 = 0.490 cm. c) Calculo de la flecha aproximada para la inercia de la luz 1. ACI318-02, NSR-98. Para CM Para CM + CV dcm = 0.107 cm. Ie = 89,322.9 cm4. Ie = 45,510.4 cm4. dcm + % cv = 0.065 cm. dcm + cv = 0.228 cm. Para CM + %CV Ie = 70,924.0 cm4. dplástica = 2.0 * 0.107 + 1.40 * 0.065 + 0.228 = 0.533 cm. El menor valor de la flecha plástica se obtiene para las disposiciones del ACI-318-02 y la NSR-98, los cuales se basan en la inercia con promedio simple, y el mayor valor corresponderá a la inercia aproximada calculada para la inercia de la luz. 118 ejemplo 5.3 La viga de la figura ha sido diseñada para las siguientes cargas de servicio: Carga uniforme: Wcm = 0.80 t/m, Wcv = 0.80 t/m; cargas puntuales: Pcv = 1.00 t, Pcm = 1.30 t. Determinar la flecha plástica si f ’c = 210 kgf / cm2, fy = 4200 kgf / cm2 y n = 11. Considerar que la viga soporta mampostería tradicional. a) Revisión de h según la tabla 5.1 (a): Para voladizos: h > L / 5 = 300 / 5 = 60 cm. Por ser h < 60 cm se requiere revisar las flechas. b) Propiedades de la sección del apoyo: 1) Localización del eje neutro, c, y cálculo de la inercia de la sección fisurada, Icr. b * c2 /2 - n * As * (d - c) + (2n - 1) * A’s (c - d’) = 0 12.5 c2 - 168.96 * (37 - c) + 54.18 * (c - 5) = 0, Þ c = 15.60 cm. Ir = b * c3 /3 + n * As * (d - c)2 + (2n - 1) * A’s * (c - d’)2 Þ Icr = 115,101.39 cm4. 2) Inercia de la sección no fisurada: Ig = bh3 / 12 3) Þ Ig = 189,843.75 cm4. Momento de fisuración: Mcr = fr * Ig / (h/2), Mcr = 244.52 t-cm, h/2 = 22.5 cm. fr = 2.0 * Öf ’c = 28.98 kgf / cm2. 119 4) Inercia efectiva: Ie = (Mcr / Ma)3 * Ig + [1 - (Mcr / Ma)3 ]* Icr Estado de carga CM CM + CV Sec. A A Ma t-cm 750.00 1,260.00 Mcr t-cm 244.52 244.52 Mcr < Ma Mcr / Ma 0.3261 0.1941 Ie cm4 117,690.9 115,648.0 Ec = 12,500 * Öf ’c = 181,142.2 kgf /cm2 c) Flechas elásticas en el extremo del voladizo: Wcm = 8 kgf / cm, Pcm = 1,300 kgf De la Mecánica de Sólidos: d) Cálculo de la flecha plástica: l = x / (1 + 50 r’), dplástica = l * dcm + dcv r’= A’s / bd (Cuantía del refuerzo a compresión en el apoyo). r’ = 2.58 / 25 * 37 = 0.002789 Para cargas aplicadas por más de 60 meses (cargas muertas): x = 2.0 l = 1.755 dplástica = 1.755 * 0.93 + 0.54 = 2.17 cm. 120 e) Revisión de las flechas: L / 180 = 1.67 cm > 0.54 cm. L / 360 = 0.83 cm > 0.54 cm. L / 480 = 0.63 cm < 2.17 cm Þ Limitante. L / 240 = 1.25 cm < 2.17 cm Þ Limitante. ejemplo 5.4 Para un recubrimiento del refuerzo principal, r, de 4.00 cm se desea revisar las fisuras de la siguiente sección. Considerar f ’c = 210 kgf / cm2 y fy = 2,800 kgf /cm2. n = 11. Solución según Gergely and Lutz. a) Area de hormigón que rodea el refuerzo: Ac = 2 y b, y = r + db (mayor barra) / 2 y = 4.00 + 2.22 / 2 = 5.11 cm. Ac = 2 * 5.11 * 25 = 255.5 cm2. N = Número de barras equivalentes. N = As total / As mayor barra. N = 13.42 / 3.87 = 3.468 barras. Área de hormigón que rodea una barra equivalente: A = Ac / N A = 250/3.468 = 72.09 cm2. b) Cálculo de dc Para refuerzo dispuesto en una sola capa: “dc” y “y” coinciden, Þ dc = 5.11 cm. c) Cálculo de fs: fs = 0.60fy, d) fs = 0.60 * 2,800 fs = 1,680 kg/cm2. Cálculo del ancho de la fisura: dmáx = 0.00108 b fs 3ÖdcA * 10-2 mm. b = 1.2 para vigas. dmáx = 0.15 mm. dmáx = 0.00108 * 1.2 * 1,680 * 3Ö5 * 72.09 * 10-2 Þ 121 e) Revisión de la fisura: Fisuras admisibles: Para interiores: 0.41 mm > 0.15 mm. Para exteriores: 0.34 mm > 0.15 mm. Þ No hay problemas con la fisuración, puede usarse tanto en interio res como exteriores, el ancho de la fisura es admisible. Solución según la NSR-98: De la expresión 5.7 fs = 1,680 kg/cm2 dc = 5.11 cm A = 72.09 cm2 Z = 1,680 * 3Ö5.11*72.09 Z = 12,043.00 kgf / cm = 11.80 MN / m Revisión de los límites: 11.80 MN/m < 30 MN / m Þ No tiene problemas su empleo en interiores. 11.80 MN/m < 26 MN / m Þ No tiene problemas su empleo en interiores. Solución según el ACI-318-02: Debe revisarse si la separación de las barras es satisfactoria empleando la expresión 5.9, (fs en MPa y cc en mm). s < 96.000/fs - 2.5 * cc < 75.000 /fs fs = 1,680 kg/cm2 = 168 MPa. cc = Recubrimiento libre = 40 mm. s < 96.000/168 - 2.5 * 40 < 75.000 /168 s < 571.42 - 95 = 471.42 < 446.40 s = 446 mm. = 44.6 cm. (5.9) (1 kgf = 9.8 N) Z = fs 3ÖdcA La separación de las barras es adecuada y no existe problemas con la fisuración. 122 5.6 problemas propuestos problema 5.1 Determinar la flecha plástica del ejemplo 5.1 si se le adiciona a la sección dos barras No 4 en la zona a compresión, para las cuales d’ = 5 cm. Determinar el porcentaje de reducción de la flecha plástica. problema 5.2 Determinar la flecha plástica que se presenta en la luz No 2 si las cargas de servicio para las cuales se diseñó la viga son: Wcm = 1.30 t/m, Wcv = 1.17 t/m. Considerar en su evaluación que el 30% de la carga viva actúa permanentemente durante 12 meses. Emplear f ’c = 210 kgf/cm2 y fy = 2,800 kgf/cm2. Emplee el promedio simple de la inercia, compare los resultados si emplea el promedio ponderado del ACI-318-99 y con el valor aproximado obtenido al usar la inercia de la luz. problema 5.3 Determinar la flecha plástica que se presenta en la mitad de la luz, considerando las siguientes cargas uniformes: Wcm = 0.40 t/m, Wcv = 0.60 t/m; adicionalmente hay una carga muerta concentrada en el centro de la luz de 5.0 t. f ’c = 210 kgf/cm2 y fy = 4,200 kgf/cm2. 123 problema 5.4 Determinar si las flechas que se presenta en la luz No 2 son admisibles de acuerdo a lo especificado por la NSR-98. Empleando un promedio simple de la inercia, compare los resultados si emplea el promedio ponderado del ACI-318-99 y con el valor aproximado obtenido al usar la inercia de la luz. Emplear para los cálculos: f ’c = 210 kgf / cm2 y fy = 4.200 kgf / cm2. Nota: para el cálculo de la flecha emplee la expresión 5.5. problema 5.5 Analizar el tamaño máximo de la fisura que se espera se presente en la sección de la figura. f ’c = 210 kgf/cm2 y fy = 2,800 kgf/cm2 empleando la expresión de Gergely and Lutz. Resp. dc = 6.04 cm. (para 4No5 abajo), dmáx = 0.16 mm. 124 problema 5.6 La sección corresponde a una viga. Analizar si su fisuración empleando f ’c = 210 kgf/cm2, fy = 4,200 kgf/cm2. Se pide determinar: 1. 2. 3. Calcule el ancho de la fisura empleando la expresión de Gergely and Lutz. Calcule el valor del factor Z especificado por la NSR-98. Revise según el ACI-318-02 cuál debe ser la separación máxima del refuerzo para no tener problemas de figuración. Resp. 1) dmáx = 0.38 mm. 2) Z = 28.9. 3) smáx = 18 cm. 125 Capítulo 6. Método del estado líMite de resistenCia 6.1 a n á l i s i s trabajo crítico del método de las tensiones de El método de las tensiones de trabajo, basado en la teoría de la elasticidad, tiene varios inconvenientes, unos de tipo económico y otros de seguridad. Por esta razón, las técnicas modernas adoptan el método del estado limite o método de diseño a la rotura, resolviendo los problemas planteados al permitir un mejor aprovechamiento de los materiales y proporcionar un concepto más real de seguridad. Los principales inconvenientes del método de las tensiones de trabajo son: a) Admite la Ley de Hooke tanto en el hormigón como en el acero. En el acero la Ley se cumple con mucha exactitud en el período elástico del material, pero no se cumple para los estirados en frío ni en los naturales de alta resistencia. En el hormigón la curva tensión-deformación dista mucho de ser rectilínea, varía con el modo de aplicar las cargas y con su duración; las tensiones y las deformaciones son proporcionales sólo para tensiones muy bajas, pero esta proporcionalidad desaparece para tensiones altas. Al no ser las tensiones proporcionales a las deformaciones, el factor de seguridad definido al establecer el concepto clásico de tensión admisible no tiene significado alguno. b) El método de las tensiones de trabajo no tiene en cuenta los efectos de fluencia y retracción de fraguado. c) Es un error definir la relación de módulos “n” como constante, puesto que el módulo de elasticidad del hormigón es un valor muy difícil de precisar, por depender de muchos factores, entre los que se cuentan: duración de aplicación de las cargas, tipo de solicitación, calidad del hormigón, etc. 127 d) Las tensiones admisibles, para la armadura a compresión son, en general, muy bajas con el consiguiente perjuicio económico. e) El diseño clásico de secciones mediante el concepto de tensión admisible es un tanto arbitrario al no tener en cuenta factores ligados a la seguridad, entre los que se pueden mencionar: imprecisión en la evaluación de las cargas (muertas y vivas), función del elemento estructural, control de calidad de los materiales, confianza en el cálculo de las tensiones reales, etc. f) No proporciona el grado de seguridad de la estructura frente a posibles sobrecargas. 6.2 Hipótesis del método del estado límite de resistencia Este método se fundamenta en las siguientes hipótesis: a) Se admite que las secciones planas antes de la flexión, permanecen planas después de ella, es decir, las deformaciones son proporcionales a su distancia al eje neutro. Esta hipótesis se ha verificado experimentalmente y es correcta, excepto para mediciones muy pequeñas y en la rama descendente del diagrama tensión-deformación. b) El diagrama de tensiones de compresión no es rectilíneo y debe ajustarse a los resultados experimentales sobre cilindros. El ACI-318-02 Sec. 10.2.6 y la NSR-98 Sec. C.10.2.6 aceptan para el bloque de compresiones cualquier curva siempre que sus predicciones de la última resistencia estén en concordancia razonable con los resultados experimentales. En otros términos, no se acepta la proporcionalidad entre las tensiones y las deformaciones. c) Se admite adherencia perfecta entre el hormigón y el acero. Para el hormigón reforzado con varillas corrugadas esta hipótesis es realista. d) El trabajo del hormigón a tracción es despreciable. El despreciar la magnitud de estas tensiones no influye apreciablemente en la exactitud de los resultados. e) Resultados experimentales en vigas26, demuestran que la deformación del hormigón en el instante de la falla o rotura, euc, varía entre 0.0032 y 0.0037. Para hormigones de 140 a 350 kgf / cm2, estando del lado de la seguridad, se asume que la falla es inminente cuando euc alcanza el valor de 0.003. 128 Las normas europeas son más liberales y adoptan para euc el valor de 0.0035. Estos valores pueden variar sensiblemente para cargas de gran duración, pero dicha variación afecta poco los resultados. ACI-318-02 Sec.10.2.3 y NSR-98 Sec. C.10.2.3. figura 6.1 Valores Hormigón. propuestos para la deformación admisible del figura 6.2 Valores Hormigón. propuestos para la deformación admisible del 6.3 factores de seguridad La estructura y todo elemento estructural deben diseñarse de modo que esté en capacidad de soportar una carga razonablemente mayor a la esperada para condiciones de servicio. Este exceso de capacidad de la estructura depende de varios factores que se reúnen en dos grandes grupos: unos factores que afectan las cargas y otros la resistencia. 129 6.3.1 factores de carga Con este factor de seguridad se pretende cubrir los siguientes riesgos: • Posibles sobrecargas. • Defectos de construcción. • Hipótesis del análisis estructural. De acuerdo al ACI-318-02 Sec.9.2 y al NSR-98 Sec. B.2.4.2 las cargas verticales deben combinarse según la siguiente relación: Wu = 1.4 * Wcm + 1.7 * Wcv (6.1) Wu = Resistencia requerida (basada en posibles sobrecargas). Wcm = Carga muerta uniforme bajo condiciones de servicio. Wcv = Carga viva uniforme bajo condiciones de servicio. Las cargas vivas son afectadas por un mayor factor de seguridad que las cargas muertas, en virtud a que es más incierta su evaluación. Cuando se deben considerar otras cargas, como cargas de viento (NSR-98 Sec. B.6), cargas sísmicas (NSR-98 Sec. A), empujes de tierras o de fluidos, efectos estructurales tales como asentamientos diferenciales, fluencia, retracción, etc., deben combinarse de modo que la estructura esté en capacidad de resistirlas en forma individual o combinada. Estos factores de seguridad han sido deducidos con base en estudios de probabilidad de falla, luego deben constituirse en factores de aceptación universal y no deben ser modificados. 6.3.2 factor de resistencia ( f ) Este factor tiene por objeto reducir la capacidad teórica de resistencia de un elemento estructural; por ello, su valor es inferior a la unidad y cubre los siguientes riesgos: • Deficiencias de los materiales. • Deficiencia en el control de calidad. • Calidad de la mano de obra. El ACI-318-02 Sec.9.3.2 y el NSR-98 Sec. C.9.3.2 especifican los siguientes valores para el factor de resistencia, también llamado de subresistencia: 130 tabla 6.1 factores de sub-resistencia Caso de carga Flexión sin carga axial Tracción axial, con o sin flexión Compresión axial, con o sin flexión Þ Refuerzo transversal en espiral Þ Otro tipo de refuerzo transversal Cortante y torsión Contacto sobre hormigón (aplastamiento) 0.75 0.70 0.85 0.70 f 0.90 0.90 Puede observarse que la reducción a flexión es menor que a compresión. Ello se debe a la importancia del elemento estructural. La falla de una columna es violenta y debe evitarse, la falla de una viga es dúctil y en algunos casos puede dar lugar a reparaciones. Por otra parte, la falla de una columna con refuerzo transversal en espiral es más dúctil que cuando se refuerza con estribos, de allí la diferencia en el factor de sub-resistencia. Este factor de seguridad cubre la incertidumbre en la calidad de los materiales y de la mano de obra, no debe ser universal sino que debe adecuarse al medio. La NSR-98 adopta los valores sugeridos por el ACI318-02 y es de esperarse que se revisen estos factores para llegar a adoptar valores acordes al medio colombiano. 6.4 nomenclatura b,h = Dimensiones transversales del elemento estructural. c= d= Profundidad del eje neutro medida desde la fibra extrema a compresión. Altura efectiva de la sección medida desde la fibra extrema a compresión hasta el centroide del refuerzo a tracción. d’ = Localización del refuerzo a compresión, distancia medida desde la fibra extrema a compresión hasta el centroide del refuerzo a compresión. As = Área del acero de refuerzo a tracción. A’s = Área del acero de refuerzo a compresión. fy = Tensión de fluencia del acero. 131 r= Cuantía del refuerzo no pre-esforzado en tracción ( r = As/ bd). f ’c = Tensión de compresión máxima del hormigón obtenida en el laboratorio sobre las probetas estándar. figura 6.3 nomenclatura tencia. del método del estado limite de resis- ey = Deformación unitaria de fluencia del acero. euc = Deformación última admisible en el hormigón. Es = Módulo de elasticidad del acero. 6.5 equilibrio estático de secciones rectangulares El análisis del comportamiento mecánico de las secciones de hormigón reforzado se fundamenta en: a) Las secciones deben presentar equilibrio estático, luego la resultante de las fuerzas a tracción y compresión deben ser iguales (Cu = Tu). b) El momento interno resistente de la sección debe ser igual al momento externo. La relación entre la distribución de las tensiones a compresión y las deformaciones unitarias del hormigón deben ajustarse a los resultados experimentales, los cuales indican que ésta no es lineal. La resultante a compresión, Cu, se determina multiplicando el área del bloque de compresiones por el ancho “b” de la sección y por el factor de sub-resistencia, f. Dada la dificultad de expresar en forma matemática 132 la curva del bloque de compresiones, se ha optado por expresar esta área en función de la tensión a compresión promedio, fcp: figura 6.4 diagrama del bloque de compresiones, método del estado limite de resistencia. Cu = f * c * b * fcp Llamando: a = fcp / f ’c se obtiene: Cu = f * a * c * b * f ’c Tu = f * As * fy Mu = f * a * c * b * f ’c (d - b *c) Mu = f * As * fy * (d - b * c) (6.2) (6.3) (6.4) (6.5) Se define como “b * c” la distancia entre la fibra extrema a compresión y el centroide del bloque de compresiones. Para analizar la sección es necesario determinar los valores de los parámetros a y b, propiedades fundamentales del bloque de compresiones. Estos parámetros se han deducido del análisis experimental de numerosas vigas26. 133 figura 6.5 Valores de a. figura 6.6 Valores de b. Los valores de a y b , tomados de las figuras anteriores son: tabla 6.2 Valores de los parámetros a y b f ’c en kgf / cm2 f ’c < 2 80 f ’c = 350 f ’c = 420 a 0.7225 0.6825 0.6425 b 0.425 0.400 0.375 Se observa que para f ’c < 280 kgf/cm2, a decrece a razón de 0.04 por cada 70 kgf / cm2 de exceso sobre 280 kgf/cm2 y b decrece a razón de 0.025 por cada 70 kgf / cm2 de exceso sobre 280 kgf/cm2. El momento resistente de la sección, es función de los materiales, puede obtenerse de una manera muy sencilla igualando las expresiones (6.2) y (6.3). Para: As = r * bd, se obtiene: 134 f * a * c * b * f ’c = f * r * bd * fy c = r * fy * d / ( a * f ’c) Reemplazando la expresión (6.6) en (6.5): Mu = f * As * fy [d - b * r * fy * d / ( a * f ’c)] (6.7) (6.6) Para hormigones con f ’c < 280 kgf/cm2 Þ a = 0.7225 y b = 0.425 Mu = f * As * fy * [1 - 0.59 r * fy / f ’c] * d (6.8) Esta expresión representa el momento resistente de una sección en función de los materiales y se ajusta exactamente a los resultados experimentales26. figura 6.7 momento resistente de una sección rectangular. 6.6 cuantía balanceada (rb) Se define como cuantía balanceada aquella cuantía que corresponde a la cantidad de acero necesaria para que fallen simultáneamente el hormigón y el acero. En consecuencia, cuando el acero alcanza su deformación de fluencia ey el hormigón llegará simultáneamente a su deformación de rotura, euc. Del diagrama de deformaciones: euc / cb = ey / (d - cb) 135 euc cb = –––––––– * d euc + ey Para Es = 2’000,000 kgf / cm2 euc = 0.003 ey = fy / Es 6,000 cb = ––––––––– * d 6,000 + fy NSR-98 Sec. C.8.5.5 NSR-98 Sec. C.10.3.2 (fy en kgf/cm2) (6.9) Igualando las expresiones (6.6) y (6.9): r fy 6,000 ––––– * d = ––––––––– * d a f ’c 6,000 + fy f’c 6,000 rb = a * ––––– * ––––––––– fy 6,000 + fy (fy en kgf / cm2) (6.10) 6.7 cuantía máxima de diseño, rmáx La falla del hormigón es violenta, sin indicio previo y debe evitarse diseñando las secciones sub-reforzadas ( r < rb). Con ello se logra que el material que controla el diseño sea el acero, situación ideal puesto que su falla es dúctil y va acompañada de fisuras que permiten prever el colapso. El ACI-318-02 Sec.10.3.3 y la NSR-98 Sec. C.10.3.3, con el fin de garantizar que las secciones sean sub-reforzadas limitan la cuantía de diseño a un valor máximo del 75% del valor balanceado, para fy en kgf/ cm2 se obtiene: 6,000 f’c rmáx = 0.75 * a * ––––– * ––––––––– fy 6,000 + fy (fy en kgf / cm2) (6.11) tabla 6.3 cuantías máximas de diseño para secciones rectangulares. 136 f ’c en kgf/cm2 fy en kgf/cm2 2,400 2,600 2,800 4,200 2,400 2,600 2,800 4,200 rb 0.04516 0.04071 0.03695 0.02125 0.06021 0.05428 0.04926 0.02833 rmáx 0.03387 0.03053 0.02771 0.01594 0.04516 0.04071 0.03695 0.02125 210 280 6.8 cuantía minima de diseño, rmin Si en una sección de hormigón reforzado no se coloca acero de refuerzo, el material que debe fallar es el hormigón, su falla debe evitarse por ser violenta e imprevista. Con esta finalidad los códigos disponen colocar un refuerzo mínimo para evitar esta falla y proporcionarle con ello una ductilidad mínima a la estructura. La NSR-98 Sec. C.10.5.1 especifica que en toda sección de un elemento sometido a flexión, donde debido al análisis se requiera refuerzo a tracción, la cuantía mínima suministrada no será inferior a: 14 0.8 Öf ’c rmin = ––––––––– > ––––– fy fy (6.12) Los requisitos anteriores pueden dispensarse si en todas las secciones del elemento la cuantía de refuerzo a tracción suministrada es mayor al menos en un tercio de la requerida por análisis NSR-98 Sec. C.10.5.3. El ACI-318-02 propone dos alternativas para evaluar este refuerzo mínimo. a) En la Sec.10.5.1 especifica que la cuantía mínima no será inferior a: rmin = 14/ fy ( fy en kgf/cm2) b) En la Sec.10.5.2 especifica que alternativamente el área de refuerzo mínimo positivo o negativo, en toda sección, que requiera refuerzo a tracción, debe ser por lo menos un tercio mayor que la requerida. Estas especificaciones deben cumplirse en estructuras de capaci- 137 dad de disipación de energía mínima (DMI) y moderada (DMO), para estructuras de capacidad de disipación de energía especial (DES) deben cumplirse además los requisitos del Capítulo C.21 de la NSR-98. 6.9 ConsideraCiones básiCas del Método del estado líMite de resistenCia Los modernos métodos de análisis de estructuras de hormigón reforzado fueron inicialmente propuestos en 1912 y en 1932 por F. Stussi29. La relación tensión-deformación, en el hormigón, no es lineal, especialmente para tensiones superiores a 0.5 * f ’c. En la zona de compresión de una viga es de esperarse que exista la misma variación entre las tensiones y las deformaciones que las obtenidas de probetas estándar. La distribución de las tensiones de compresión puede esperarse que tenga un comportamiento teórico, como el indicado en la figura 6.8. Los valores de k1, k2 y k3 han sido obtenidos experimentalmente y sus resultados publicados en la referencia 26. Sin embargo, es deseable para el diseño, poder disponer de un método simple que permita de una manera fácil plantear las relaciones de equilibrio. Por esta razón el ACI-318-02 adopta para el diagrama de compresiones una distribución rectangular, la cual fue inicialmente propuesta, en la década de los 30, por C.S. Whitney29, y posteriormente fue revisada por Mattock y otros26. El método es conocido como método de Whitney. El método propuesto por Whitney, lo adopta el ACI y la NSR-98, Figura 6.8 forma experimental del bloque de compresiones en el Hormigón. 138 se fundamenta en: Se adopta una tensión de compresión uniforme en el hormigón y se asume distribuida sobre un área limitada por los bordes de la sección y por una línea paralela al eje neutro, localizada a una distancia “b1*c” de la fibra extrema a compresión, donde “c” es la distancia de esta fibra al eje neutro. El método propuesto por Whitney debe concordar con los resultados experimentales y sus resultados coincidir con los obtenidos en la sección 6.5. Del equilibrio estático se deduce que: Cu = Tu Cu = 0.85 f f ’c * ab, Igualando: As f y a = ––––––––––– 0.85 f ’c * b Tu = f As fy (6.13) figura 6.9 método de wHitney, bloque de compresiones La localización de la resultante a compresión y su magnitud deben coincidir, en el método de Whitney, con los resultados experimentales. De la anterior expresión se obtiene: Llamando: m = fy / 0.85 f ’c , As = rbd Þ a = rmd = 2 b c Por equilibrio estático, el momento resistente de una sección es: 139 Mu = (Cu ó Tu) * (d - a / 2) Mu = f As fy * (d - a / 2) Mu = 0.85 f f ’c * ab * (d - a / 2) (6.14) Las expresiones 6.13 y 6.14 son empleadas tanto en la revisión de secciones como en su diseño. Una relación importante que debe deducirse es la relación existente entre “a” y “c”: De la expresión 6.6: c = r * fy * d / a f ’c Multiplicando y dividiendo esta expresión por 0,85 y reemplazando: m = fy / 0.85 f ’c : c = 0.85 r m d / a, a = ( a/ 0.85 ) * c a=rmd (6.15) El término a/ 0.85 es identificado por el código como b1, ACI-318-02 Sec 10.2.7.1 y NSR-98 Sec. C.10.2.7.3: Por cada 70 kgf / cm2 de exceso resistencia de f ’c sobre 280 kgf / cm2 a decrece a razón de 0.04; luego b1 decrece a razón de 0.04 / 0.85 = 0.047 » 5%. Para hormigones con f ’c < 280 kgf / cm2 b1 se tomará como 0.85 y decrecerá a razón de 0.05 por cada 70 kgf / cm2 de exceso de resistencia sobre 280 kgf / cm2 pero no será inferior a 0.65. 6.10 cuantía de diseño As = r bd Mu = f r bd fy * (d - a / 2), a = r m d Mu = f r fy * (1 - m / 2) bd2 De la expresión (6.14), con Llamando: K = Mu / bd2 Despejando r : K = f r fy * (1- r m / 2) (6.16) 140 K = Mu / bd2 La expresión 6.16 es la utilizada en el diseño, conocido el momento externo y las dimensiones “b” y “d” se obtiene, con ella, la cuantía de acero necesaria. Es una expresión sencilla y fácil de aplicar y de sistematizar. 6.11 ejemplos ejemplo 6.1 Calcular el momento resistente de la siguiente sección: f ’c = 210 kgf / cm2 y fy = 2.600 kgf / cm2. r < rmáx b) Þ Sección sub-reforzada. Localización del eje neutro (Cu = Tu): Cu = 0.90 * 0.85 *210 * a * 25 = 4,016.25 * a Tu = 0.90 * 11.36 * 2,600 = 26,582.40 Þ Cu=Tu , a = 6.6187cm. 141 a=2bc para: f ’c < 280 kgf/cm2 c) Momento resistente: Mu = Tu * (d - a/2) = 26,582.40 * (30 - 6.6187 / 2) Þ Mu = 7.10 t-m b= 0.425 c=6.6187 / 0.85 = 7.7867 cm. ejemplo 6.2 Determinar el momento resistente de la siguiente sección si f ’c = 210 kgf / cm2 y fy = 2,600 kgf / cm2. a) Revisar si la sección es sub-reforzada o sobre-reforzada, para condiciones balanceadas: Del diagrama de deformaciones: euc / cb = ey / (d - cb) ey = fy / Es Para: euc = 0.003 Es = 2’000,000 kgf / cm2. De la expresión (6.9): 6.000 6.000 142 cb = –––––––––– * d = –––––––––– * 40 6.000 + fy 6.000 + fy cb = 27.907 cm. cb = 23.721 cm. ab = 0.85 Del equilibrio estático en condiciones balanceadas: Cu = 0.90 * [17,850.0 + 5,355.0 * (23.721 - 5) ] = 106,298.9 kgf. Tu = 0.90 * 20.40 * 2,600 = 47,736.0 kgf. Tu < Cu Þ La sección se encuentra sub-reforzada, falta acero de refuerzo para lograr el equilibrio, el acero llega primero a fluencia, es > ey. b) Revisar si cumple la cuantía máxima: Tu = Cu f * As (Balanceado) * fy = Cu (Balanceado) = 106,298.90 kgf. As (Balanceado) = 106,298.9 / (0.90 * 2,600) = 45.43 cm2. As máx = 0.75 * As (Balanceado) = 34.07 cm2. As < As máx (20.40 < 34.07 cm2). La cuantía es inferior a la máxima permitida. c) Determinar la posición del eje neutro: Tu = Cu = 47,736.00 kgf (Controla el acero, Tu = 47,736.00 kgf) 0.90 * [ 17,850.00 + 5,355.00 * (a - 5 ) ] = 47,736.00 kgf Þ a = 11.571 cm. c = a / 2b Para d) f ’c < 280 kgf/cm2 b = 0.425 Þ c = a / 0.85 = 13.613 cm. Determinar el momento resistente Mu: Se toma momentos de C1 y C2 respecto a Tu: Mu = f * C1 * (d - 2.5 cm) + f * C2 * [35 - (a - 5) / 2 ] C1 =17,850.00 kgf, C2 = 5,355 * (a - 5) = 35,187.71 kgf. Mu = 0.90*17,850.00*(40 - 2.50) + 0.90*35,187.71*(35 - 6.571/2) Þ Mu = 16.07 t-m 143 ejemplo 6.3 Determinar la carga de servicio para la cual ha sido diseñada la viga de la figura; considerar que la carga muerta que soporta corresponde solo a su propio peso. La sección en el centro de la luz es la indicada y en su fabricación se emplearon los siguientes materiales: f ’c = 210 kgf / cm2 y fy = 2,800 kgf / cm2. a) Revisar si la sección es sub-reforzada o sobre-reforzada. r = As / bd = 15.30 / (25 * 45) = 0.0136, Þ a = 0.7225 De (6.11): f’c 6,000 rmáx = 0.75 * a * ––––– * ––––––––– fy 6,000 + fy 210 6,000 rmáx = 0.75 * 0.7225 * –––––– * –––––––––––– = 0.02771 2.800 6,000 + 2.800 De (6.12): 0.8 Öf ’c 14 rmin = ––––––––– > ––––– = 0.005 fy fy Para: f ’c < 280 kgf/cm2 rmin < r < rmáx b) Þ La sección esta sub-reforzada, cumplen las cuantías. Cálculo del momento resistente: De (6.8): Mu = f * As * fy * [1 - 0.59 r * fy / f ’c ] * d Mu = 0.90 * 15.30 * 2,800 * [1 - 0.59 * 0.0136 * 2,800 / 210] * 45 = 144 = 15.50 t-m c) Cálculo de las cargas: Carga muerta = Peso propio: Wcm = 0.25 * 0.50 * 2.40 = 0.30 t/m Mu = Wu * L2 / 8 = (1.4 * Wcm + 1.7 * Wcv) * L2 / 8 15.50 = (1.4 * 0.30 + 1.7 * Wcv) * 36 / 8 Carga de servicio: Wservicio = Wcm + Wcv = 2.08 t/m Carga última: Wu = 1.4 * Wcm + 1.7 * Wcv = 3.45 t/m Factor de seguridad promedio = 3.45 / 2.08 = 1.65 Wcv = 1.78 t/m ejemplo 6.4 El voladizo de la figura debe soportar una carga muerta de servicio, incluyendo su propio peso, de 1.10 t/m, y una sobrecarga (carga viva) de servicio de 0.90 t/m. Si la sección del apoyo es la indicada se desea determinar si su diseño es satisfactorio para: f ’c = 210 kgf/cm2 y fy = 2,800 kgf/cm2. a) Revisar si la sección es sub-reforzada o sobre-reforzada. r= As / bd = 11.61 / (25 * 35) = 0.0132686, Para: f ’c < 280 kgf/cm2 Þ a = 0.7225 De (6.11): 6,000 f’c rmáx = 0.75 * a * ––––– * ––––––––– fy 6,000 + fy 145 210 6,000 rmáx = 0.75 * 0.7225 * –––––– * –––––––––––– = 0.02771 2.800 6,000 + 2,800 De (6.12): 14 0.8 Öf ’c rmin = ––––––––– > ––––– = 0.005 fy fy rmin < r < rmáx b) Þ La sección se encuentra sub-reforzada, cumplen las cuantías. Cálculo del momento resistente: De (6.8): Mu = f * As * fy * [1 - 0.59 r * fy / f ’c ]* d Mu = 0.90 * 11.61 * 2,800 * [1 - 0.59 * 0.0132686 * 2,800 / 210] * 35 Þ Mu = 9.17 t-m c) Cálculo de las cargas: Mexterno = Wu L2 / 2 = (1.4 * Wcm + 1.7 * Wcv) * L2 / 2 Mexterno = (1.4 * 1.10 + 1.7 * 0.90) * 2.402 / 2 Mexterno = 8.84 t/m El momento resistente de la sección (Mu = 9.17 t-m) es mayor que el producido por las cargas externas Þ la sección es satisfactoria. EjEmplo 6.5 La sección de la figura ha sido diseñada para que tenga una capacidad de resistencia a la flexión de 4.10 t-m. Se desea revisar su diseño para: f ’c = 210 kgf / cm2 y fy = 2,800 kgf / cm2. Solución No 1, Según la NSR-98: Colocar una cuantía mínima de: rmín = 0.005 As min = 0.005 * 25 * 45 = 5.63 cm2, Colocar 3No 5 = 6.00 cm2. 146 a = –––––––––––– = –––––––––––––––– As * fy 6.00 * 2,800 0.85 f’c * b 0.85 * 210 * 25 Þ Þ a = 3.765 cm. Mu = f As fy * (d -a/2) Mu = 6.52 t-m > 4.10 t-m Solución No 2, Según el ACI: a) b) Alternativa No 1: Colocar una cuantía mínima de 14 / fy = 0.005, Solución igual a la anterior Alternativa No 2: Colocar un tercio más de la armadura requerida: K = Mu / bd2 m = fy / 0.85 f ’c K = 4.10 * 105 / (25 * 452) m = 2,800 / (0.85 * 210) = 0.003299 K = 8.098765 kgf/cm2. m = 15.686 f = 0.90 As = r bd = 0.003299 * 25 * 45 As min = 1.33 * 3.71 = 4.93 cm2, As = 3.71 cm2. Colocar: 2No 5 + 1No 4 = 5.29 cm2. a = –––––––––––– = –––––––––––––––– As * fy 5.29 * 2,800 0.85 f’c * b 0.85 * 210 * 25 Þ a = 3.32 cm. Mu = f As fy * (d - a/2) Mu = 5.77 t-m > 4.10 t-m Para estructuras de demanda de capacidad de disipación de energía especial (DES) debe cumplirse el Capítulo C.21 de la NSR-98. 147 148 capítulo 7. diseño a flexión de secciones rectangulares 7.1 diseño a flexión, armadura a tracción 7.1.1 expresiones generales Las expresiones generales para el diseño de secciones rectangulares han sido deducidas en el capítulo anterior, un resumen de dichas expresiones es el siguiente: figura 7.1 método de wHitney - bloque de compresiones. a) Cuantía de diseño y límites de la misma: (6.16) 0.8 Öf ’c 14 rmin = ––––––––– > ––––– fy fy f’c 6,000 rmáx = 0.75 * a * ––––– * ––––––––– fy 6,000 + fy (fy en kgf / cm2) 149 b) Momento resistente: Mu = f * r * fy * [1 - b * r * fy / (a *f ’c) ] * bd2 K = f * r * fy * [1 - b * r * fy / (a * f ’c) ] Mu = K * bd2, d = , k2 = , (6.7) (7.1) (7.2) La expresión (7.2) es frecuentemente aplicada para el dimensionamiento de secciones. 7.1.2 elaboraCión de ayudas de diseño Con el advenimiento de los computadores y de las calculadoras programables resulta muy sencillo sistematizar la solución de las expresiones anteriores; tradicionalmente se han tabulado para los materiales más frecuentemente utilizados en la construcción. La manera como se elaboran dichas tablas se explica a continuación: a) Se seleccionan los materiales para los cuales se desean elaborar las ayudas de diseño. Como ejemplo seleccionamos los siguientes materiales que corresponden a la ayuda presentada en la tabla 7.1. Hormigón: Acero Para estos materiales: fy f ’c = 210 kgf / cm2 = 4,200 kgf / cm2 a = 0.7225 b = 0.425 b) La cuantía máxima permitida es: 210 6,000 rmáx = 0.75 * 0.7225 * –––––– * ––––––––––– = 0.01594 4,200 6,000 + 4,200 En 7.1: En 6.13: a = r m d, m = fy / 0.85 f ’c m = 23.529412 Þ a/d = 0.3751 150 Obsérvese que estos resultados corresponden a la última línea de la tabla 7.1. En las ayudas de diseño, la última línea corresponde a la cuantía máxima permitida. c) Se define el intervalo de variación de la cuantía para el cual se desea hacer la tabla. En el ejemplo que nos ocupa se selecciona un intervalo de 0.0005. Se le asignan valores a la cuantía, por debajo del valor máximo permitido, acorde con el intervalo seleccionado y se realizan los siguientes cálculos: Para: r = 0.0155: a / d = r * m = 0.0155 * 23.529412 = 0.3647 Estos resultados se llevan a la penúltima línea de la tabla. Se continúa este proceso asignándole nuevos valores a la cuantía de acuerdo al intervalo seleccionado, hasta llegar al valor mínimo permitido: 0.8 Öf ’c 14 rmin = ––––––––– > ––––– = 0.00333 fy fy rmin = 0.00276 > 0.00333 rmin = 0.00333 151 tabla 7.1 ayuda de diseño. 152 Con las actuales facilidades de computación es muy fácil programar el procedimiento de diseño. A continuación se elabora un diagrama de flujo para que el lector programe este proceso en el lenguaje de su predilección. 153 7.1.3 a) procedimiento de diseño Seleccionar los materiales, f ’c y fy b) Predimensionar el elemento estructural bajo los siguientes parámetros: Seleccionar la altura “h” de modo que cumpla los límites especificados en las tablas 5.1 y 5.2 para no tener que calcular las flechas. Para luces simples con relación h / Ln > 4/5 y para luces continuas con h / Ln > 2/5 las deformaciones no son lineales y las expresiones anteriormente deducidas no son aplicables. NSR-98 Sec.C.10.2.2. Ln = Luz libre de la viga. Para controlar la esbeltez y proporcionarle más rigidez a la viga se sugiere seleccionar la base de la sección entre: h/2 < b < h, además debe cumplirse que b > L/50, NSR-98 Sec.C.10.4.1, ACI-318-02 Sec. 10.4.1. Esta disposición tiene por objetivo garantizar la estabilidad lateral del elemento. Los valores asignados tanto a “b” como a “h”, por efectos constructivos, deben ser múltiplos de 5 cm. La altura efectiva de la viga “d” debe tomarse de acuerdo al análisis de la sección 3.3: d = h - 6 cm c) Evaluar la carga última, de acuerdo a los valores especificados en la sección 3.2, mediante la expresión: Wu = 1.4 * Wcm + 1.7 * Wcv d) Prediseñar la sección revisando los valores asignados a las dimensiones: Si es necesario, debe asignársele nuevos valores y repetirse el literal “c”. Una vez aceptadas las dimensiones se pasa al desarrollo del literal “e”. e) Calcular el refuerzo y verificar que la cuantía de diseño se encuentra dentro de los límites permitidos. (Sección 7.1.1.a). 154 f) Revisar el diseño verificando que la armadura seleccionada pueda colocarse adecuadamente dentro de la sección, cumpliendo los requisitos de recubrimiento y separación libre entre barras; estos análisis se han realizado en las secciones 3.3.1 y 3.3.2. g) Revisar los anclajes del refuerzo para garantizar su correcto comportamiento estructural. El lector debe analizar cuidadosamente el contenido del anexo A. h) Realizar planos detallados de despiece. Estos planos deben ser claros, sencillos y contener toda la información necesaria para su ejecución en obra. Recuérdese que a la obra llegan los planos y no la memoria de los cálculos. Los planos deben ser la representación gráfica de la memoria de cálculos. 7.1.4 especificaciones para el desarrollo del refuerzo Adicional al tema tratado en el anexo A, deben considerarse las siguientes especificaciones para la correcta disposición del refuerzo: a) Para el refuerzo positivo: En elementos simplemente apoyados al menos una tercera parte del refuerzo positivo debe llevarse hasta el apoyo y prolongarse un mínimo de 15 cm dentro de él. Para elementos continuos se exige llevar como mínimo la cuarta parte del refuerzo. NSR-98 Sec. C.12.11.1, ACI-318-02 Sec. 12.11.1. El refuerzo debe extenderse más allá del punto donde teóricamente no se requiera una distancia igual a la altura efectiva del elemento “d” o “12 * db”, la que sea mayor, excepto en los extremos de las luces simples y en los extremos libres de los voladizos. NSR-98 Sec. C.12.10.3, ACI-318-02-89 Sec. 12.10.3. b) Para refuerzo negativo: Al menos una tercera parte del refuerzo total a tracción suministrado para momento negativo en un apoyo debe tener una longitud de anclaje, más allá del punto de inflexión, no menor que la altura efectiva del elemento “d” o “12 * db” o 1/16 de la luz libre, la que sea mayor. NSR-98 Sec. C.12.12.3, ACI-318-02 Sec. 12.12.3. 155 7.2 diseño a flexión, armadura a compresión 7.2.1 expresiones que rigen el diseño Cuando una sección de una viga es solicitada por un momento superior al máximo permitido en condiciones sub-reforzadas y si sus dimensiones no pueden modificarse, una solución aunque NO económica, se obtiene colocando acero adicional en las zonas de tracción y de compresión; con esto se logra aumentar el momento resistente de la sección. Un elemento así armado se le conoce como doble-reforzado o con armadura a compresión. En ocasiones, las dimensiones de las vigas no pueden asignarse libremente debido a limitantes arquitectónicas que impiden su libre dimensionamiento y obligan, en ocasiones, al diseño de secciones doble-reforzadas. Algunas ventajas de las secciones doble reforzadas son: a) Disminuye el flujo plástico y la retracción del fraguado al confinarse mejor el hormigón. Por la misma razón, se incrementa la ductilidad del elemento mejorando su comportamiento a cargas dinámicas. b) Disminuye la magnitud de la flecha plástica. figura 7.2 sección de Hormigón con refuerzo a compresión Nomenclatura: A’s = As = rc = r = rt = Mu = Área del refuerzo localizada en la zona de compresiones. Área del refuerzo localizada en la zona de tracciones. Cuantía del acero a compresión (A’s / bd). Cuantía del acero a tracción (As / bd). Momento externo mayorado. 156 Mmáx = Máximo momento resistente permitido en condiciones sub-reforzadas. Mc = Mu - Mmáx = Momento que obliga a doble reforzar la sección. Para deducir las expresiones generales de diseño la sección doble reforzada se considera como la superposición de la máxima sección permitida en condiciones sub-reforzadas y de la sección adicional que genera el momento Mc. figura 7.3 análisis de las secciones doble-reforzadas a) Cálculo de la armadura a tracción: As = As máx + Ast As máx = r máx * bd f’c 6,000 rmáx = 0.75 * a * ––––– * ––––––––– fy 6,000 + fy Mc = f * As1 * fy * (d - d’) Mc As = r máx * bd + ––––––––––– fy * (d - d’) (7.3) b) Cálculo de la armadura a compresión: El diseño más económico se logra cuando el acero empleado a compresión alcanza su tensión de fluencia, f ’s = fs = fy , con lo cual se deduce que: Ast = A’s. 157 Mc A’s = ––––––––––– f fy * (d - d’) (7.4) 7.2.2 reVisión de secciones En el proceso de revisar el diseño de una sección y de evaluar su momento resistente, es fundamental analizar cuál o cuáles de los aceros alcanza la fluencia; para ello, deben revisarse las cantidades de acero proporcionadas. Esta revisión se hace a partir de las cuantías de las armaduras. a) Acero a tracción: Se define como cuantía neta la diferencia entre la cuantía del acero total localizado en la zona de tracción y la cuantía del acero localizado en la zona de compresión. rneta = rt - rc El valor de la cuantía neta indica que la sección es sub-reforzada si se cumple que: f’c 6,000 rneta < rb= a * ––––– * ––––––––– fy 6,000 + fy (6.10) Si la cuantía neta sobrepasa el valor de la cuantía balanceada, la sección se encuentra sobre-reforzada y la tensión de trabajo del acero a tracción se obtiene a partir de la siguiente expresión deducida por proporcionalidad de las deformaciones. d-c fs = 6.000 * ––––––– c (7.5) Por otra parte, si la cuantía neta sobrepasa el valor de la cuantía máxima permitida, sin exceder el valor de la cuantía balanceada, la sección se encuentra sub-reforzada pero su diseño NO es aceptable: f’c 6,000 rmáx = 0.75 * a * ––––– * ––––––––– fy 6,000 + fy 158 b) Acero a compresión: Del diagrama de deformaciones: euc ––– c = e’s ––– c -d Para el acero: e’y = fy / Es, Es = 2’000,000 kgf / cm2 6,000 c = –––––––––––– * d 6,000 - fy Del diagrama de tensiones se obtiene (Cu = Tu): f * 0.85 f ’c * ab + f * A’s * fy = f * As * fy a = 2 * b * c, o bien: a = a * c / 0.85 a* f ’c * bc + rc * bd * fy = rt * bd *fy f ’c 6,000 d’ ( rt - rc)mín = a * –––– * ––––––––– * –––– fy 6,000 - fy d (7.6) Si la cuantía neta tiene un valor superior o igual al valor obtenido mediante la expresión 7.6 quiere decir que el acero a compresión llega a la fluencia ( f ’s = fy). En caso contrario este acero no alcanza la tensión de fluencia y su tensión de trabajo debe calcularse a partir de la siguiente expresión deducida por proporcionalidad de deformaciones. c - d’ f ’s = 6,000 * ––––––– c (7.7) 7.3 ejemplos ejemplo 7.1 Calcular el momento resistente exacto de la siguiente sección, comparar su resultado con la solución aproximada que se obtiene despreciando el hormigón desalojado por la armadura localizada en la zona de compresión. f ’c = 210 kgf / cm2 y fy = 2,800 kgf / cm2. 159 a) Revisión de las cuantías: As = 2No 8 + 2No 7 = 17.94 cm2 A’s = 2No 5 = 4.00 cm2 rt = 17.94 / 25*40 = rc = 4.00 / 25*40 = 0.01794 0.00400 ======= rt - rc = 0.01394 Límite inferior: Para: f ’c < 280 kgf / cm2 Límite superior: Þ a = 0.7225 y b = 0.425 Cuantía balanceada: Límites: rb = rmáx / 0.75 = 0.03695 (rt - rc) min < (rt - rc) < (rt - rc)máx < rbal 0.01270 < 0.01394 < 0.02771 < 0.03695 La sección se encuentra sub-reforzada, el diseño cumple las normas y por tanto es aceptable. Al cumplir las cuantías los límites mínimos y máximos todos los aceros alcanzan la fluencia ( fs = f ’s = 2,800 kgf /cm2). b) Momento resistente exacto: se considera el hormigón desalojado por el acero a compresión. 160 b-1) Localización del eje neutro (Cu = Tu): a = 2 * b * c = 0,85 c f * 0.85 f ’c* (b * a - A’s) + f * A’s * f ’s = f * As * fs 0.85 * 210 * (25 * a - 4) + 4 * 2,800 = 17.94 * 2,800 Þ a = 8.9067 cm, c = a/0.85 = 10.478 cm b-2) Determinación del momento resistente exacto, se toma momentos respecto a Tu: M u = f * 0.85 f ’c * b * a * (d - a/2) - f * A’s * 0.85 * f ’c * ... ... * (d - d’) + f * A’s * f ’s * (d - d’) Mu = 0.90 * 0.85 * 210 *25 * 8.9067 * (40 – 8.9067 / 2) - 0.90 * ... ... * 4.0 * 0.85 * 210 * 35 + 0.90 * 4.0 * 2,800 * 35 Mu = 16,02 t-m c) Momento resistente aproximado: no se considera el hormigón desalojado por el acero a compresión. c-1) Localización del eje neutro (Cu = Tu): a = 2 * b * c = 0.85 c f * 0.85 f ’c * (b * a) + f * A’s * f ’s = f * As * fs 0.85 *210 * (25 * a) + 4 * 2,800 = 17.94 * 2,800 Þ a = 8.7467 cm, c = a/0.85 = 10.29 cm c-2) Determinación del momento resistente aproximado, se toma momentos respecto a Tu: Mu = f * 0.85 f ’c *b * a * (d - a/2) + f * A’s * f ’s * (d - d’) Mu = 0.90 * 0.85 * 210 * 25 * 8.7467 * (40 – 8.7467 / 2) + 0.90 * ... ... * 4.0 * 2,800 * 35 = 16.04 t-m Se aprecia, comparando los resultados, que la precisión obtenida no se ve apreciablemente afectada cuando se desprecia el trabajo del hormigón desalojado por el acero a compresión. 161 ejemplo 7.2 Calcular el momento resistente exacto de la siguiente sección. f ’c = 210 kgf /cm2 y fy = 4,200 kgf /cm2. a) Revisión de las cuantías: As = 4No 7 = 15.48 cm2 A’s = 2No 4 = 2.58 cm2 rt = 15.48 / 25*25 = rc = 2.58 / 25*25 = 0.024768 0.004128 ======= rt - rc = 0.020640 Límite inferior: Para: f ’c < 280 kgf / cm2 Þ a = 0.7225 y b = 0.425 Límite superior: Cuantía balanceada: Límites: rbal = rmáx / 0.75 = 0.02125 (rt - rc) min < (rt - rc) < (rt - rc)máx < rbal 0.0289 > 0.02064 > 0.01594 > 0.02125 Ý Ý La sección se encuentra sub-reforzada (fy = 4,200 kg/cm2), el diseño NO cumple las normas y por tanto es inaceptable. Al no cumplir las cuantías el límite mínimo el acero a compresión no fluye ( f ’s < fy). fs = 4,200 kgf / cm2 y f ’s = 6,000 * –––––– c c - d’ 162 b) Momento resistente exacto: se considera el hormigón desalojado por el acero a compresión. b-1) Localización del eje neutro (Cu = Tu): a = 2 * b * c = 0.85 c f * 0.85 f ’c * (b * a - A’s) + f * A’s * f ’s = f * As * fs 0.85 * 210 * (25 * 0.85 c - 2.58) + 2.58 * 6,000 * (c - 6) / c = = 15.48 * 4,200 3,793.125 c - 49,996.53 c – 92,800 = 0 2 Þ c = 14.832 cm, a = 0.85 * c = 12.61 cm, f ’s = 3,572.82 kgf / cm2. b-2) Determinación del momento resistente exacto, se toma momentos respecto a Tu: Mu = f * 0.85 f ’c * b * a * (d - a/2) - f * A’s* 0.85 * f ’c * ... ... * (d - d’) + f * A’s * f ’s * (d - d’) Mu = 0.90 * 0.85 * 210 * 25 *12.61 * (25 – 12.61 / 2) – ... ... - 0.90 * 2.58 * 0.85 * 210 * 19 + 0.90 * 2.58 * 3,572.82 * 19 Mu = 10.97 t-m. ejemplo 7.3 Calcular el momento resistente exacto de la siguiente sección. f ’c= 210 kgf /cm2 y fy = 4.200 kgf /cm2. 163 a) Revisión de las cuantías: As = 4No 8 = 20.40 cm2 A’s = 2No 4 = 2.58 cm2 rt = 20.40 / 25 * 30 = 0.02720 rc = 2.58 / 25 * 30 = 0.00344 ======= rt - rc = 0.02376 Límite inferior: f ’c < 280 kgf / cm2 Þ a = 0.7225 y b = 0.425 Límite superior: Cuantía balanceada: Límites: rbal = rmáx / 0.75 = 0.02125 (rt - rc) min < (rt - rc) < (rt - rc)máx < rbal 0.02027 < 0.02376 > 0.01594 > 0.02125 Ý Ý La sección se encuentra sobre-reforzada (fs < f ’y), el diseño NO cumple las normas y por tanto es inaceptable. Al cumplir las cuantías el límite mínimo el acero a compresión fluye (f ’s = 4.200 kgf/cm2). Existe exceso de acero localizado en la zona de tracciones. d-c f ’s = 4,200 kgf/cm2 y fs =6,000 * ––––––– c b) Momento resistente exacto: Se considera el hormigón desalojado por el acero a compresión. b-1) Localización del eje neutro (Cu = Tu): a = 2 * b * c = 0.85 c f * 0.85 f ’c * (b * a - A’s) + f * A’s * f ’s = f * As * fs 0.85 * 210 * (25 * 0.85 c - 2.58) + 2.58 * 4,200 = 20.0 * 6,000 * (30 - c) / c 164 3,793.125 c2 + 132,775.47 c - 3’672,000.00 = 0 Þ c = 18.20 cm, a = 0.85 * c = 15.47 cm, fs = 3,892.28 kgf/cm2 b-2) Determinación del momento resistente exacto, se toma momentos respecto a Tu: Mu = f * 0.85 f ’c* b * a * (d - a/2) - f * A’s * 0.85 * f ’c * ... ... * (d - d’) + f*A’s* f ’s*(d - d’) Mu = 0.90 * 0.85 * 210 * 25 * 15.47 * (30 - 15.47 / 2) - ... ... - 0.90 * 2.58 * 0.85 * 210 * 25 + 0.90 * 2.58 * 4,200 * 25 Mu = 16.17 t-m. ejemplo 7.4 El entrepiso de la figura esta conformado por una losa de hormigón de 8 cm de espesor, esta losa se apoya sobre vigas rectangulares prefabricadas espaciadas centro a centro cada 1.20 m, las vigas se apoyan, a su vez, en muros cargueros que se encargan de transmitir la carga a la cimentación. Si el entrepiso esta destinado para vivienda residencial, con divisiones no tradicionales, se desea calcular la armadura requerida para una de las vigas interiores. f ’c = 210 kgf / cm2 y fy = 2.800 kgf / cm2. Para el peso de las particiones tómese el resultado del ejercicio 3.1(190 kgf / m2) y para acabados los del 3.3 (166 kgf / m2). 165 Para una viga interior: a) Predimensionamiento: • Altura “h”: Se selecciona de modo que no sea necesario revisar las flechas. En el caso de vigas simplemente apoyadas y refuerzo de fy = 2,800 kgf /cm2 de la tabla 5.2 se obtiene, para divisiones no tradicionales: h > L / 20 = 600 / 20 = 30 cm. Þ Se selecciona: h = 30 cm. • Base “b”: Para controlar la esbeltez de de la viga la NSR-98 Sec. C.10.4.1 especifica que el ancho “b” de la zona a compresión debe ser mayor que L / 50, para el caso: b > L / 50 = 600 / 50 = 12 cm. De conformidad a lo discutido en la sección 3.3 el ancho “b” debe seleccionarse, en lo posible, dentro del siguiente rango: h / 2 < b < h, para este caso: 15 < b < 30 cm. Þ Se selecciona: b = 25 cm. Se han seleccionado las siguientes dimensiones transversales para la viga: b = 25 cm y h = 30 cm. Para la relación h / L = 0.30 / 6.00 < 4/5 puede considerarse una distribución lineal de las deformaciones, NSR-98 Sec. C.10.2.2. Con este valor se asume que existe espacio suficiente para colocar el refuerzo. b) Evaluación de las cargas gravitacionales: El área aferente de la losa por cada metro lineal de la viga es de 1.20 m2, luego: • • Carga viva (Wcv): Wcv = 180 * 1.20 = 216 kgf/m (Sec. 3.2.2) Carga muerta (Wcm): 166 1.20 * 1.00 * 0.08 * 2,400 = 231 kgf/m (Sec. 3.2.1.1) Peso de acabados 1.20 * 1.00 * 166 = 199 (Sec. 3.2.1.4) Peso de particiones 1.20 * 1.00 * 190 = 228 (Sec. 3.2.1.3.2) Peso propio 0.25 * 0.30 * 1.00 * 2,400 = 180 (Sec. 3.2.1.1) ========= Wcm = 838 kgf / m • Carga última o carga mayorada: Wu = 1.4 * Wcm + 1.7 * Wcv = 1,540.4 kgf / m. Peso de la losa c) Prediseño: Mu = Wu * L2 / 8 = 1.54 * 6.002 / 8 = 6.93 t-m Con el fin de obtener las menores dimensiones de la viga se debe procurar realizar un diseño próximo a la cuantía máxima que permiten las normas: Para: f ’c < 280 kgf / cm2 Þ a = 0.7225 y b = 0.425 Kmáx = f * rmáx * fy * [1 - b * rmáx * fy / (a * f ’c)] Para: f = 0.90 (flexión) Þ Mu = Kmáx * bd2 (7.1) Kmáx = 0.05465 t / cm2 Para dimensionar la sección se le asignan diferentes valores a “b”, múltiplos de 5 cm; los valores correspondientes obtenidos para “h” se aproximan por exceso, para efectos constructivos, al múltiplo de 5 cm más cercano: h = d + 6 cm. (Véase comentarios en la sección 3.3). Para: b = 15 cm b = 20 cm b = 25 cm b = 30 cm d = 29 cm (29 cm) d = 25 cm (29 cm) d = 23 cm (24 cm) d = 21 cm (24 cm) h = 35 cm h = 35 cm h = 30 cm h = 30 cm En el literal “a” se ha dicho que “h” debe ser mayor o igual a 30 cm si se desea evitar el calculo de las flechas. Se selecciona la tercera alternativa que coincide con las dimensiones previamente asignadas. 167 Dimensiones seleccionadas: b = 25 cm. d = 24 cm. h = 30 cm. Como estas dimensiones son idénticas a las asumidas en el prediseño no es necesario recalcular el valor de la carga muerta, si las dimensiones seleccionadas son diferentes a las asumidas en el prediseño debe recalcularse el valor de la carga muerta. d) Diseño: K = Mu / bd2 = 693 * / (25 * 242) = 0.048125 t/cm2 m = fy / 0.85 * f ’c = 2,800 / 0.85 * 210 = 15.68627 = 0.02339 rmín = 0.8 Öf ’c / fy > 14 / fy = 0.00413 > 0.005 rmín = 0.005 rmin < r < rmáx Como la cuantía seleccionada cumple con los límites estipulados por el código puede procederse al cálculo del refuerzo: As = r * bd = 0.02339 * 25 * 24 = 14.03 cm2. Selección de la armadura: 2No 8 + 1No 7 = 14.07 cm2. 3No 7 + 1No 6 = 14.45 cm2. Se selecciona la primera de estas dos alternativas, facilita la colocación simétrica del refuerzo, y se revisa si puede colocarse adecuadamente la armadura. e) Revisión de las dimensiones de la sección: • Revisión de la base “b”: 168 Para agregados de 3/4” el valor de “s” es de 2.54 cm. db = Diámetro de la mayor barra (No 8, db8 = 2.54 cm). de = Diámetro del estribo, se asume la colocación de estribos No 3 (db3 = 0.95 cm). n= Número de barras, para el caso: n = 3. Considerando el recubrimiento al refuerzo longitudinal se tiene: bmin= 2r + 2db8 + 1db7 + 2s = 2 * 4 + 2 * 2.54 + 2.22 + 2 * 2.54 = 20.38 cm. bmin = 20.38 cm < 25 cm Þ Las barras pueden colocarse adecuadamente. • Revisión de la altura efectiva “d”: d = h - r - db8 / 2 = 30 – 4 – 2.54/2 = 24.73 cm. d = 24 cm. ¡Solución satisfactoria! f) Revisión del anclaje del refuerzo En vigas simplemente apoyadas al menos una tercera parte del refuerzo positivo debe llevarse hasta el apoyo y prolongarse dentro de él una distancia mínima de 15 cm, NSR-98 Sec. C.12.11.1. En este ejemplo se llevarán hasta el apoyo las 2 barras No 8, que corresponden al 72% del refuerzo positivo. Veamos ahora cómo y dónde se puede suprimir la barra No 7. • Dimensiones de las barras positivas a suprimir: La longitud de desarrollo para barras corrugadas a tracción se obtiene del apéndice A, tabla A-1. Para una barra baja No 8 con f ’c= 210 kgf/cm2 y fy = 2,800 kgf / cm2 se obtiene: Ld = 93 cm, para una barra No 7: Ld = 81 cm. La sección crítica de todas estas barras se presenta en donde se encuentre el momento máximo, para este caso es el centro de la luz. A uno y otro lado de esta sección crítica deben prolongarse las barras una longitud Ld, luego la longitud mínima de una barra No 8 es de 2 * Ld = 186 cm y la de una No 7 es de 2 * Ld = 162 cm. La supresión de la barras No 7 puede hacerse donde su trabajo a la flexión no sea requerido. El punto teórico de corte se obtiene 169 calculando el momento que pueden soportar las 2 No 8 (As = 10.20 cm2) que no se suprimen. A partir de los puntos teóricos de corte las barras a tracción que se suprime, 1No 7, debe prolongarse una distancia “d” o “12 db” (NSR-98 Sec. C.12.10.3), la que sea mayor. Del diagrama anterior se deduce que la longitud de la barra No 7 que se suprime es de: 2 * 1.44 + 2 * 0.27 = 3.38 m » 342 cm > 2 * Ld = 162 cm. • Dimensiones de las barras positivas no suprimidas: En vigas simplemente apoyadas debe revisarse el anclaje de las barras que se llevan hasta el apoyo (As = 10.20 cm2). El momento resistente de la sección debe calcularse sin el factor de reducción de resistencia f. 170 Para definir el término “La” véase en el apéndice A la sección A.2.4. La es la longitud que debe prolongarse la barra mas allá del centro del apoyo. En este caso su valor es negativo, el tamaño de las barras que llegan al apoyo es adecuado y las condiciones de anclaje son satisfactorias y deben prolongarse las barras un mínimo de 15 cm dentro del apoyo. Las barras que no se suprimen presentan como sección crítica los puntos teóricos de corte de la barra No 7 que se suprimió. A partir de dichos puntos las barras que continúan deben prolongarse como mínimo su longitud de desarrollo, Ld (93 cm), para este caso: L > 2 * 1.42 + 2 * Ld = 4.70 m. g) Despiece de la viga: Aunque teóricamente no se requiere, es conveniente adicionar un pequeño gancho en los extremos de las barras que se llevan hasta el apoyo para mejorar sus condiciones de anclaje. En el siguiente despiece se observa que la longitud de las barras que se llevan hasta el apoyo sobrepasan la longitud mínima de 5.38 m. 171 h) Viga de amarre de entrepiso: Con el fin de distribuir la carga de la losa uniformemente sobre los muros y para proporcionarle el confinamiento adecuado a la losa de entrepiso, se debe fundir una viga de amarre sobre los muros; sus dimensiones son tales que su base coincidirá con el ancho del muro y su altura con el espesor de la losa. ejemplo 7.5 El entrepiso de la figura esta conformado por losetas prefabricadas de hormigón de 8 cm de espesor, apoyadas sobre vigas rectangulares espaciadas centro a centro cada 2.25 m. Si el entrepiso esta destinado para vivienda residencial se desea calcular la armadura requerida por la viga No 4. Para su diseño considerar f ’c = 210 kgf/cm2 y fy = 4.200 kgf/cm2. Peso de las particiones 150 kgf/m2 y para acabados tómese el valor mínimo recomendado por la NSR-98. a) Evaluación de cargas: El peso de la losa se transmite directamente a las vigas No 1, 3, 4, 5 y 6; a su vez, estas vigas se encargan de transmitirla a los muros cargueros. La viga No 1 transmite la carga que recibe al muro y a la viga No 2, esta a su vez, la transmite a las vigas No 3 y No 4. Las uniones entre las vigas No 1 y No 2, y entre ésta y las No 3 y No 4 es conveniente considerarlas como uniones que no transmiten momentos, con el fin de evitar que se presente torsión. 172 • Carga sobre la viga No 1: El área aferente a una viga interior, como es la No 1, es de 2.25 m2 de losa por metro lineal de viga, en consecuencia: Carga viva (Wcv): Wcv = 180 * 2.25 = 405 kgf / m (Sec. 3.2.2) Carga muerta por área aferente (Wcm): Peso de la losa Peso de acabados Peso de particiones 2.25 * 1.00 * 0.08 * 2,400 = 432 kgf/m (Sec. 3.2.1.1) 2.25 * 1.00 * 150 = 337.5 (Sec. 3.2.1.4) 2.25 * 1.00 * 150 = 337.5 (Sec.3.2.1.3.2) ========= 1,107.0 kgf / m Carga muerta por peso propio (Wcm): Peso propio 0.25 * 0.35 * 1.00 * 2,400 = 210.0 kgf/m (Sec. 3.2.1.1) ========= Wcm = 1,317.0 kgf / m Carga última o carga mayorada: Wu=1.4 * Wcm+1.7 * Wcv= 2,532.3 kgf / m. 173 • Carga sobre la viga No 2: La viga No 2 debe estar en capacidad de soportar la carga que le transmite la viga No 1 y su propio peso: Peso propio (Wcm) Wcm = 0.25 * 0.35 * 1.00 * 2,400 = 210 kgf/m Wu = 1.4 * Wcm = 294 kgf/m. Carga sobre la viga No 4: La viga No 2 le transmite a la viga No 4 una carga concentrada de 2,940.57 kgf. La carga uniforme que recibe esta viga es igual a la de la viga No 1 por tener la misma área aferente, Wu = 2,532.30 kgf/m. En la zona donde esta el vacío destinado para las escaleras asumimos que la carga muerta uniforme que soporta es igual a la mitad del valor por área aferente (1,107.0/2) más el peso propio (210) y la carga viva será la mitad del valor por área aferente (405/2). Se ignora el peso de la escalera. • Carga última en zona de vacío: Wu = 1.4 * (1,107.0 / 2 + 210) + 1.7 * (405 / 2) = 1,413.2 kgf / m. b) Diseño: K = Mu / bd2 = 950 * / (25 * 292) = 0.04518 t / cm2 m = fy/ 0.85 f ’c= 4,200 / 0.85 * 210 = 23.52941 174 = 0.01439 Otra forma de obtener esta cuantía es interpolando con el valor de K en la tabla No 7.1. rmín. = 0.8 Öf ’c / fy > 14/ fy rmín. = 0.00276 > 0.00333 rmín= 0.00333 rmín. = < r < rmáx Como la cuantía seleccionada cumple con los límites estipulados por el código puede proceder al cálculo del refuerzo: As = r * bd = 0.01439 * 25 * 29 = 10.43 cm2. Selección de la armadura: 2No 7 + 1No 6 = 10.58 cm2. 4No 6 = 11.36 cm2. Se selecciona la primera de estas dos alternativas y se revisa si puede colocarse adecuadamente la armadura. c) Revisión de las dimensiones de la sección: Revisión de la base “b”: Se revisa considerando el recubrimiento al refuerzo principal. Para agregados de 3/4” el valor de “s” es de 2.54 cm. db = Diámetro de la mayor barra (No 7, db7 = 2.22 cm). de = Diámetro del estribo, se asume la colocación de estribos No 3 (de3 = 0.95 cm). n = Número de barras, para el caso: n = 3. bmin = 19.43 cm < 25 cm Las barras pueden colocarse adecuadamente. Revisión de la altura efectiva “d”: d = h-r-db / 2 d = 29.89 cm ! 175 d) Revisión del anclaje del refuerzo: En vigas simplemente apoyadas al menos una tercera parte del refuerzo positivo debe llevarse hasta el apoyo y prolongarse dentro de él una distancia mínima de 15 cm, NSR-98 Sec. C.12.11.1 En este ejemplo se llevarán hasta el apoyo 2 barras No 7 que corresponden al 73% del refuerzo positivo. Veamos ahora cómo y dónde se puede suprimir la barra restante, 1No 6. • Dimensiones de las barras positivas a suprimir: La longitud de desarrollo para barras corrugadas a tracción se obtiene del apéndice A, tabla A-1. Para una barra baja No 7 con f ’c = 210 kgf/cm2 y fy= 4,200 kgf/cm2 se obtiene: Ld = 122 cm. Para barras bajas No 6: Ld = 84 cm. La sección crítica de todas estas barras se presenta en donde se encuentre el momento máximo. A uno y otro lado de esta sección crítica deben prolongarse las barras una longitud Ld, luego la longitud mínima de la barra No 7 es de 2 * Ld = 244 cm y la de la barra No 6 es de 2 * Ld =168 cm. La supresión de la barra No 6 puede hacerse donde su trabajo a la flexión no sea requerido: El punto teórico de corte se obtiene calculando el momento que pueden soportar las dos barras No 7 (As = 7.74 cm2) que no se suprimen. 176 A partir de los puntos teóricos de corte estas barras deben prolongarse una distancia “d” o “12 db”, la que sea mayor. Del diagrama anterior se deduce que la longitud de la barra No 6 que se suprime es de: 1.28 + 1.08 + 2 * 0.29 = 2.94 m » 3.00 m > 2 * Ld = 1.68 m. • Dimensiones de las barras positivas no suprimidas: Las barras que no se suprimen presentan como sección crítica los puntos teóricos de corte de la barra No 6 que se suprimió. A partir de dichos puntos las barras que continúan deben prolongarse como mínimo su longitud de desarrollo, Ld, para este caso: L >1.28 + 1.08 + 2 * Ld = 4.80 m. e) Despiece de la viga: Aunque teóricamente no se requiere, es conveniente adicionar un pequeño gancho en los extremos de las barras que se llevan hasta el apoyo para mejorar sus condiciones de anclaje. En el siguiente despiece se observa que la longitud de las barras que se llevan hasta el apoyo sobrepasa la longitud mínima de 4.80 m. 177 f) Viga de amarre de entrepiso: Con el fin de distribuir la carga de la losa uniformemente sobre los muros y para proporcionarle el confinamiento adecuado a la losa de entrepiso se debe fundir una viga de amarre sobre los muros, su dimensiones son tales que su base coincidirá con el ancho del muro y su altura con el espesor de la losa. ejemplo 7.6 Se desea diseñar a flexión la viga que se indica en la figura, por razones arquitectónicas las máximas dimensiones que se permiten para la sección transversal son: b = 25 cm y h = 35 cm. Las cargas de servicio son: Wcm = 1.50 t/m y Wcm = 0.80 t/m. Como limitante deben emplearse barras No 6 para el refuerzo longitudinal y barras No 3 para el refuerzo transversal (estribos). a) Materiales: Hormigón: Acero: f ’c = 210 kgf / cm2. fy = 4.200 kgf / cm2. b) Dimensionamiento para barras No 6 considerando el recubrimiento al refuerzo principal (db = 1.91 cm): d’ = r + db / 2 r = 4 cm. ( Véase sección 3.3.2) de = 0.95 cm. ( Véase tabla 2.1) db = 1.91 cm. ( Véase tabla 2.1) d’ = 4 + 1.91 / 2 = 4.96 cm 178 Se asume: d’ = 5 cm d = h – d’ = 35 – 5 cm Wu = 1.4 * Wcm + 1.7 * Wcv Wu = 1.4 * 1.50 + 1.7 * 0.80 = 3.46 t / m Mu = Wu * L2 / 8 = 3.46 * 5.502 / 8 = 13.08 t-m Aplicando las expresiones 6.11 y 7.2: a= 0.7225, b = 0.425 f’c 6,000 rmáx = 0.75 * a * ––––– * ––––––––– = 0.01594 6,000 + fy fy K = f * r * fy * [1 - b * r * fy / (a * f ’c) ] = 0.04895 t / cm2. Se revisa si las dimensiones son apropiadas. El máximo momento que puede soportar con armadura simple es: Mmáx = Kmáx * bd2 = 0.04895 * 25 * 302 = 1,101.40 t-cm = 11.01 t-m La sección, para las dimensiones asignadas, está en capacidad de soportar un momento máximo de 11.01 t-m, con armadura simple. Como en este caso el momento externo es superior se requiere colocar armadura a compresión para poder soportar el exceso de momento sin sobre-reforzar la sección. Mc = Mu – Mmáx = 13.08 – 11.01 = 2.07 t-m c) Diseño a flexión: • Armadura a tracción, expresión 7.3: Se selecciona colocar en la parte inferior de la viga: 5 No 6 = 14.20 cm2 y se revisa, de acuerdo con la expresión 3.1, si pueden colocarse en un ancho de 25 cm. Se considera un tamaño máximo del agregado de ¾ ” para el cual la separación libre entra barras “s” será de 2.54 cm, Para un recubrimiento “r”, al estribo, de 3 cm se obtiene: bmín = 2r + (n - 1) * s + n * db = 2 * 4 + 4 * 2.54 + 5 * 1.91 = 27.71 cm Se necesita una base de 27.45 cm para poder colocar este refuerzo en una sola fila (no caben en 25 cm). Se decide entonces colocarlas en dos capas: En la inferior se dispondrán 3 No 6, que caben 179 perfectamente en 25 cm, y en la capa superior se colocan las otras 2 No 6. • Armadura a compresión: Se requiere colocar en la parte superior 2 No 4 = 2.58 cm2. d) Revisión del diseño: Como en la parte inferior se colocó el refuerzo en dos capas, debe revisarse el diseño pues el valor de “d” no corresponde con el valor calculado. Entre las dos capas del refuerzo a tracción debe dejarse una separación libre no inferior a 2.50 cm. • Revisión de d’: Para estribos No 3. d’ = r + db4 / 2 = 4.00 + 1.27 / 2 = 4.64 cm < 5 cm ü Este resultado es adecuado, a un menor valor de d’ se obtiene un mayor momento interno. • Revisión de d: Para estribos No 3. d = h - y, y = Centroide del refuerzo a tracción. y1 = r + db6 / 2 = 4.00 + 1.91 / 2= 4.955 cm. y2 = r + db6 + 2.5 + db6 / 2 = 4.00 + 1.91 + 2.54 + 1.91 / 2 = 9.405 cm. Para localizar el centroide del refuerzo a tracción se toma momento estático de las áreas de las capas de acero respecto a la fibra extrema a tracción. 180 d = h - y = 35 - 6.74 = 28.26 cm < 30 cm. La altura efectiva proporcionada es inferior a la requerida. Esta situación es desfavorable pues se reduce el momento resistente; hay necesidad de rediseñar la sección a partir de las siguientes dimensiones: b = 25 cm e) Rediseño: Mu máx = Kmáx / bd2 = 0.04895 * 25 * 28.262 = 977.32 t-cm Mc = Mu - Mu máx = 1,308.0 - 977.32 = 330.68 t-cm • Armadura a tracción: d = 28.26 cm h = 35 cm d’ = 4.64 cm Se han proporcionado 5 No 6 = 14.20 cm2, lo cual representa un 5.1% menos del refuerzo requerido, diferencia que puede considerarse admisible. Se colocarán entonces 5 No 6 en dos capas, en la capa inferior irán 3No 6 y en la superior 2 No 6. • Armadura a compresión: Las dos barras No 4 (As = 2.58 cm2) no son suficientes. Difieren en un 30%, error no aceptable. Se opta por colocar 3 No 4 (As = 3.87 cm2) en la zona a compresión de la viga. Esta barra adicional no modifica el centroide de este refuerzo luego d’ = 4.64 cm. f) Análisis de armadura a compresión: En los dos ejemplos precedentes se ha analizado con detalle la armadura a tracción; por dicha razón en este ejemplo se trata en particular el análisis de la armadura a compresión. 181 La longitud de desarrollo para una barra No 4 a compresión se obtiene de la tabla A-3 para barras no clasificadas como altas, de dicha tabla: Ld = 28 cm. Por colocarse más del acero necesario, se puede reducir esta longitud multiplicándola por los siguientes factores: Factor = As requerido / As colocado = 3.63/3.87 = 0.938 (NSR-98 Sec. C.12.3.3) Ld = 28 * 0.938 » 26 cm. A cada lado de la sección de momento máximo debe proporcionarse una longitud igual o mayor que la longitud de desarrollo, luego la longitud mínima de estas barras es de: 2*Ld = 52 cm. A partir de los puntos donde teóricamente no se requieren deben prolongarse una longitud “d” (27.33), “12 * db” (12 * 1.27 = 15.24 cm) o “Ln/16” ( 520/16 = 32.5 cm), la que sea mayor. Luego la longitud mínima de las barras a compresión debe ser de: 2 * (151 + 32.5) = 367 cm » 370 cm. 182 7.4 problEmas propuEsTos problEmas 7.1 a 7.9 Determinar el momento resistente exacto que pueden soportar las siguientes secciones y las tensiones correspondientes, a ese momento. Resp. M=16.60 t-m f ’s= 3,661 kgf/cm2. fs= 4,022 kgf / cm2. M=6.08 t-m f ’s=3,523 kgf/cm2. fs=3,909 kgf/cm2. M=11.03 t-m f ’s=2,907 kgf / cm2. fs = 4,200 kgf / cm2. 183 Resp. M= 4.27t-m f ’s=-66.7kgf/cm2. fs=2,800kgf/cm2. M=37.74t-m f ’s=4,200kgf/cm2. fs=3,572kgf/cm2. M=18.30t-m f ’s= 4,054kgf/cm2. fs=4,200kgf/cm2. Resp. M=29.60t-m f ’s=3,.933kgf/cm2. fs=4,200kgf/cm2. M=13.20t-m f ’s=2,800kgf/cm2. fs=2,800kgf/cm2. M=19.84t-m f ’s=3,121kgf/cm2. fs=4,.200kgf/cm2. problema 7.10 Diseñar el nervio No 3 del ejemplo 7.5 considerando que además del peso propio del entrepiso debe soportar una sobrecarga de 500 kgf / m correspondientes al peso del muro de la fachada. Emplear los mismos materiales del ejemplo en mención. problema 7.11 Diseñar la viga interior del entrepiso de la figura si éste estará destinado para uso residencial. f ’c = 210 kgf / cm2 y fy = 2.800 kgf / cm2. Cargas: acabados = 150 kgf / m2, particiones = 200 kgf / m2 184 problema 7.11 problema 7.12 Diseñar un nervio interior del entrepiso de la figura que estará destinado para uso residencial. El sistema estructural consiste de nervios prefabricados entre las cuales se colocarán bloques de hormigón igualmente prefabricados. Para simplificar el diseño se asumen las vigas como rectangulares de dimensiones b= 12 cm, h = 25 cm y d = 21 cm f ’c = 210 kgf/cm2 y fy = 4,200 kgf / cm2. Cargas: acabados = 150 kgf / m2, particiones = 200 kgf / m2, bloque = 19 kgf / unidad. problema 7.12 Resp. As = 2.31 cm2. 185 problEma 7.13 Determinar la mínima longitud que deben tener las 3 barras No 6 localizadas en la capa superior, del refuerzo a tracción, en el ejemplo 7.6, si éstas se suprimen en el mismo punto. Resp. L = 3.98 m. 186 capítulo 8. diseño a flexión de secciones en t y l 8.1 descripción Los sistemas de entrepiso están constituidos, generalmente, por una losa maciza y nervios o vigas, orientados en una o dos direcciones. El vaciado del hormigón debe realizarse en una sola operación para conformar una estructura monolítica que, para efectos de análisis y diseño, puede considerarse conformada por la unión de vigas con forma de “T” o “L” invertida: figura 8.1 sección típica de una losa de entrepiso con nerVios orientados en una dirección Las partes de la losa que actúan simultáneamente con el nervio o viga para resistir las tensiones de compresión se denominan “aletas”. 8.2 ancHo efectiVo de las aletas, be En las vigas “T”, cuando las aletas trabajan a compresión, estas tensiones alcanzan sus máximos valores en las caras del nervio y decrecen en forma aproximadamente parabólica hasta cero a una distancia “X” de la cara del nervio (Figura 8.2). Verticalmente las tensiones de compresión en las aletas también varían alcanzando su máximo valor en la fibra superior. 187 Dada la dificultad de expresar en forma matemática el bloque de compresiones, el ACI y la NSR-98, proponen adoptar un bloque rectangular de compresiones, equivalente al bloque real, en el cual la tensión de compresión promedio es de 0.85 f ’c y se distribuye en las aletas a lo largo de un ancho efectivo, be, que se calcula de acuerdo a las especificaciones de la NSR-98 Sec. C.8.5.7: (8.1) Para vigas “T”: be < 16 * t + bn be < de la longitud, L, de la viga be < distancia centro a centro de vigas adyacentes figura 8.2 distribución de tensiones de compresión en las aletas de t Vigas de sección en Para vigas “L”: be < 6 * t + bn be < 1/12 de la longitud, L, de la viga be < mitad de la distancia hasta el centro del nervio siguiente El ancho efectivo de las aletas, be, es una variable que depende principalmente de: • Longitud del nervio • Separación entre nervios • Ancho del nervio • De la relación t / h • Tipos de carga, puntual o uniforme • Condiciones de los extremos, apoyos simples o empotrados 188 Las vigas “T” aisladas, NSR-98 Sec. C.8.5.7.3, deben tener una aleta cuyo espesor, t, no será inferior a la mitad del ancho del nervio, bn, y el ancho efectivo de la aleta, be, no debe ser mayor que 4 veces el ancho del nervio (be < 4 bn). Debe colocarse una armadura en las aletas normal a la dirección del nervio, el objeto de este refuerzo es permitir que las partes sobresalientes de las aletas, actuando como voladizos, soporten las cargas aplicadas directamente sobre ellas. De acuerdo a la NSR-98 Sec. C.8.5.7.4.b la separación entre las barras de este refuerzo no debe ser superior a 50 cm ni a 5 veces el espesor de la losa. En el caso de vigas en “T” debe asegurarse que las aletas trabajen simultáneamente con el nervio para soportar las tensiones de compresión 8.3 expresiones de diseño Una viga se clasifica como rectangular, “T” o “L” según sea la forma del área del hormigón que trabaja a compresión: Si la zona inferior de la viga “T” trabaja a compresión, como ocurre usualmente en los apoyos continuos, la sección trabaja como rectangular y las dimensiones de diseño son “bn” y “h”. figura 8.3 diferentes posición del eje neutro tipos de secciones estructurales según la Si la zona superior de la viga “T” trabaja a compresión, caso usual en las luces, se pueden presentar los siguientes dos casos: a) Si el eje neutro está localizado dentro de la aleta la sección debe analizarse como rectangular. En este caso, para efectos del análisis y diseño, como base de la sección se debe tomar el ancho efectivo de las aletas. “be”. 189 b) Si el eje neutro se localiza dentro del nervio la viga se comporta como “T”. En este caso pueden presentarse los siguientes dos casos: b-1) El eje neutro queda localizado dentro del nervio pero el bloque de compresiones queda dentro de las aletas. En este caso la sección sigue siendo una sección en “T” pero puede analizarse como rectangular, la influencia de esta simplificación es despreciable. b-2) El eje neutro y el bloque de compresiones quedan localizados dentro del nervio. En este caso la sección debe analizarse como una sección en “T”. El caso de diseño de secciones rectangulares fue ampliamente tratado en el capítulo anterior por lo que nos ocuparemos ahora del proceso de diseño para secciones en “T” y en “L”. Las expresiones de diseño se obtienen separando el comportamiento del hormigón del nervio y el de las aletas, el acero total localizado en la zona de tracciones se divide en dos, uno para equilibrar el hormigón del nervio, Asn, y otro para las aletas, Asa Por equilibrio estático: Cu = Ca + Cn Tu = Ta + Tn Mu = Ma + Mn As = Asa + Asn Ca = f 0.85 * fc (be - bn) * t Ta = f Asa fy Ma = f Asa fy (d - t/2) Asa = 0.85 * fc (be - bn) * t / fy Cn = f 0.85 fc bn*a Tn = f Asn fy Mn = f Asn fy (d - a/2) Asn = 0.85 fc * bn*a / fy figura 8.4 análisis de secciones en “t”. 190 Cu = Ca + Cn = f 0.85 f ’c (be - bn) * t + f 0.85 f ’c * bn * a Mu = f Asa fy * (d - t/2) + f Asn fy * (d - a/2) Mu = f 0.85 f ’c (be - bn) * t * (d - t/2) + f 0.85 f ’c bn * a * (d - a/2) As = 0.85 f ’c (be - bn) t / fy + 0.85 f ’c bn a / fy Asa = 0.85 f ’c (be - bn) t / fy Asn = As - Asa (8.2) (8.3) (8.4) (8.5) (8.6) (8.7) 8.4 límites de las cuantías 8.4.1 cuantía máxima de diseño La filosofía de diseño indica que las secciones deben diseñarse subreforzadas para garantizar con ello que si la falla llega a presentarse ésta sea dúctil. Igualando Cu y Tu: f As fy = f 0.85 f ’c* (be - bn) * t + f 0.85 f ’c bn*a Igualando Ca y Ta: Asa fy = 0.85 f ’c *( be - bn) * t De (6.15): De (6.9): y en : a = ( a / 0.85 ) * c 6,000 c = ––––––––––– * d (fy en kgf / cm2) 6,000 + fy As fy = Asa fy + a * f ’c * bn *c Se acostumbra expresar las cuantías en función de las dimensiones del nervio “bn” y “d”, con lo cual, en esta última expresión se obtiene: rtotal = ra + a * –––– * ––––––––– fy 6,000 + fy f ’c 6,000 El segundo término de esta expresión es la cuantía balanceada correspondiente al nervio (véase expresión 6.10), por lo tanto la cuantía máxima permitida en vigas “T” para garantizar una falla dúctil es: rtotal < 0.75 * ( ra + rb) rtotal < 0.75 * ( ra + a * –––– * ––––––––– ) fy 6,000 + fy f ’c 6,000 (8.8) 191 8.4.2 cuantía mínima de diseño Para secciones en forma de T, donde el ala está sometida a tracción y el alma a compresión, el As suministrado no debe ser menor que el mínimo valor obtenido por las siguientes expresiones (NSR-98 Sec. C.10.5.2): bn = ancho del alma y be = ancho del ala. Cuando el alma es la que está sometida a tracción rige la cuantía mínima especificada en la expresión No 6.12 (NSR-98 Sec. C.10.5.1) En losas estructurales de espesor uniforme, el área mínima y el espaciamiento máximo del refuerzo en la dirección de la luz, deben ser los que se requieren para retracción y variación de temperatura (NSR-98 Sec. C.7.12). El espaciamiento máximo de este refuerzo no debe exceder de tres veces el espesor de la losa ni de 500 mm. NSR-98 Sec. C.7.12: Para barras corrugadas con fy igual a 420 MPa: rmín = 0.0018 8.5 procedimiento para el diseño de secciones en “t” • Se calcula el ancho efectivo de las aletas “be” aplicando la expresión (8.1) Se calcula el momento resistente de la sección para definir si se trata como “T” o como rectangular; asumiendo que c = t (a = 2 * b * c), la expresión (8.3) toma la siguiente forma: Mresistente = Cu * (d - a/2) = f 0.85 f ’c * be * a * (d - a/2) Si Mresistente > Mu la sección se comporta como rectangular, sus dimensiones son “be” y “d”. Se procede al diseño conforme al procedimiento del capítulo anterior. • 192 Si Mresistente < Mu la sección se comporta como “T” y en su diseño se siguen los siguientes pasos: • Si la sección se comporta con “T” debe calcularse si la profundidad del bloque de compresiones “a” cae o no dentro de las aletas, para ello se asume a = t y la expresión (8.3) toma la siguiente forma: Mresistente = Cu * (d - a/2) = f 0.85 f ’c * be * t * (d - t/2) Si Mresistente > Mu la profundidad del bloque de compresiones esta localizado en las aletas, en este caso puede asumirse que la sección se comporta como rectangular, sus dimensiones son “be” y “d”. Se procede al diseño conforme al procedimiento del capítulo anterior. Si Mresistente < Mu la profundidad del bloque de compresiones esta localizado el nervio, la sección se comporta como “T” y en su diseño se siguen los siguientes pasos: Se hace Mresistente = Mu y se calcula la profundidad “a” del bloque de compresiones aplicando la expresión 8.4. Mu = f 0.85 f ’c * (be - bn) * t * (d - t/2) + f 0.85 * ... ... * f ’c * bn * a * (d - a/2) Se calcula el acero de refuerzo con la expresión 8.5 y se revisan las cuantías aplicando las expresiones 8.8 y 6.12. As = Asa + Asn As = 0.85 * f ’c * (be - bn) * t / fy + 0.85 * f ’c * bn *a / fy 8.6 procedimiento para la reVisión de secciones en “t” • Se calcula el ancho efectivo de las aletas “be” aplicando la expresión 8.1 y se calcula la profundidad del eje neutro para la condición balanceada de acuerdo a la expresión 6.9. 6,000 cb = ––––––––––– * d 6,000 + fy (kgf / cm2) 193 • Se revisa si la sección trabaja como “T” o como rectangular, para ello se hace c = t y se revisa la condición de equilibrio: Para valores de “c” inferiores a “cb” el acero alcanza la fluencia, en este caso fs = fy. en caso contrario fs = 6,000 * (d- c) / c. a=2*b*c De la expresión 8.2 se obtiene: Cu = f 0.85 * f ’c * be * t Tu = f * As * fs Si Cu > Tu se debe disminuir el valor de “c”, en este caso la sección se comporta como una sección rectangular, en caso contrario se comporta como una sección en “T”. • Si la sección se comporta como “T” se revisa la profundidad del bloque de compresiones haciendo a = t y revisando la condición de equilibrio (Cu = Tu). c=a/2*b Para valores de “c” inferiores a “cb” el al acero alcanza la fluencia, en este caso fs = fy. en caso contrario fs = 6,000 * ( d- c) / c. De la expresión 8.2 se obtiene: Cu = f 0.85 * f ’c * be * a Tu = f * As * fs Si Cu > Tu se debe disminuir el valor de “c”, en este caso la sección se comporta como rectangular, en caso contrario se comporta como una sección en “T”. Se calcula la profundidad de eje neutro igualando Cu y Tu: f * 0.85 * f ’c * (be – bn) * t + f * 0.85 * f ’c * bn * a = f * As * fs Reemplazando: a = 2 * b * c y fs = 6000 * (d – c) / c Obtenido “c” se revisa la tensión del acero: fs = 6000 * (d – c) / c < fy Asa = 0.85 * f ’c * (be - bn) * t / fs Asn = As - Asa a = Asn * fs / 0.85 * f ’c * bn, c = a / 2 * b 194 Se calcula el momento resistente aplicando la expresión 8.4: Mresistente = f * 0.85* f ’c * (be - bn) * t * (d – t / 2) + f * ... ... * 0.85 * f ’c* bn * a * (d - a/2) Se revisa si la sección cumple los límites de las cuantías de acuerdo a lo especificado en la sección 8.4. 8.7 ejemplos ejemplo 8.1 La viga sombreada de la figura hace parte del sistema de entrepiso indicado. Una vez diseñada a flexión se le ha colocado un refuerzo de 8 cm2 en la parte inferior del nervio. Se desea determinar el valor del momento resistente de la sección. En su diseño se han empleado los siguientes materiales: f ’c = 210 kgf / cm2 y fy = 4.200 kgf / cm2. Procedimiento de revisión: • Se calcula el ancho efectivo de la aleta de acuerdo a la NSR-98 Sec. C.8.5.7.1. 1. El ancho efectivo (be) como ala de una viga T no debe exceder de ¼ de la luz de la viga. be < L/4 = 550 / 4 = 137.5 cm. 2. El ala efectiva que se proyecta a cada lado del alma no debe exceder de: 195 a. b. 8 veces el espesor de la losa (t): be < 16t + bn = 16 * 5 + 20 = 90 cm. La mitad de la distancia hacia el alma siguiente. be < 50/2 + 20 + 50/2 = 70 cm. El ancho efectivo de la losa que trabaja con el nervio es el menor de los anteriores valores, en este caso be = 70 cm. • Se calculan los parámetros generales de diseño: Para f ’c < 280 kgf/cm2: Cuantía balanceada: a = 0.7225 y b = 0.425 Cuantía máxima: Cuantía mínima r: rmáx. = 0.75 * rb = 0.01594 (6.11) (6.12) Para la condición balanceada: cb = 6,000 * d / (6,000 + fy) = 6,000 * 34/10,200 = 20.00 cm. • Se revisa si la sección trabaja como “T” o como rectangular; para ello se hace c = t = 5 cm. Debe revisarse si el acero alcanza la fluencia: a = 2 * b * c = 2 * 0.425 * 5 = 4.25 cm. c < cb Þ fs = fy = 4,200 kgf / cm2. Cu = f 0.85 * f ’c * be * a = 0.9 * 0.85 * 210 * 70 * 4.25 = 47,793 kgf. Tu = f As * fs = 0.90 * 8 * 4.200 = 30,240 kgf. Cu > Tu. Para que exista equilibrio estático Cu debe disminuirse. Þ La sección se comporta como Rectangular. • Se determina la posición exacta del eje neutro: r = As / be * d = 8 / (70 x 34) = 0.00336 < rb, 196 En estas condiciones el acero fluye: fs = fy a = As * fs / (0.85 * f ’c * be ) = 2.689 cm. c = a / 2 * b = 3 .164 cm. • Se calcula Asa y Asn con las expresiones 8.6 y 8.7: Asa = 0.85 f ’c (be - bn) a / fs = 0.85 * 210 * (70 - 20) * 2.689 / 4,200 = 5.71 cm2. Asn = As - Asa = 8 – 5.71 = 2.29 cm2. Cuantía de diseño: r = As / (be * d) = 8 / (70*34) = 0.00336 Cuantía del acero que equilibra las aletas: ra = Asa / (be * d) = 5.71 / (70 * 34) = 0.0024 • Se calcula el momento resistente aplicando la expresión 8.3: Ma = f 0.85 f ’c * (be - bn) * a * (d - a/2) = 0.9 * 0.85 * 210 * ... ... * (70 - 20) * 2.689 * (34 – 2.689/2) = 7.05 t-m. Mn = f 0.85 f ’c * bn * a * (d - a/2) = 0.9 * 0.85 * 210 * 20 * ... ... * 2.689 * (34 -2.689/2) = 2.82 t-m. Mu = Ma + Mn = 7.05 + 2.82 = 9.87 t-m. • Revisión de las cuantías: cuando la sección trabaja como rectangular se considera un área de hormigón igual a be * d: La sección es sub-reforzada si: r < ( ra + rb ) 0.00336 < 0.0024 + 0.02125 = 0.02365 Þ La sección es sub-reforzada. La sección es aceptable si: r < 0.75 * ( ra + rb ) y r > rmin. 0.00336 < 0.75 * (0.0024 + 0.02125) = 0.01774 0.00336 > 0.0033 Þ La sección es aceptable. • Conclusiones: La sección trabaja como rectangular. “c” y “a” están localizadas dentro de las aletas. 197 El momento resistente es de 9.87 t-m. La sección es sub-reforzada. El acero cumple los límites mínimos y máximos. Sección aceptable. ejemplo 8.2 Resolver el ejemplo 8.1 si la viga diseñada se refuerza con 13.5 cm2 de acero en la parte inferior del nervio. Determinar el valor del momento resistente de la sección. En su diseño se han empleado los siguientes materiales: f ’c = 210 kgf / cm2 y fy = 4.200 kgf / cm2. Procedimiento de revisión: • El ancho efectivo de la aleta ha sido calculado en el ejemplo 8.1, be = 70 cm. Se calculan los parámetros generales de diseño: Del ejemplo 8.1. Para f ’c < 280 kgf/cm2: a = 0.7225 y b = 0.425 Cuantía balanceada: rb = 0.02125 Cuantía máxima: rmáx = 0.75 * rb = 0.01594 Cuantía mínima: rmin > 0.00333 Para la condición balanceada: cb = 6,000 * d / (6,000 + fy) = 6,000 * 34/10,200 = 20.00 cm. • Se revisa si la sección trabaja como “T” o como rectangular, se hace c = t = 5 cm. • 198 Debe revisarse si el acero alcanza la fluencia: a = 2 * b * c = 2 * 0.425 * 5 = 4.25 cm. c < cb Þ fs = fy = 4,200 kgf / cm2. Cu = f 0.85* f ’c * be * a = 0.9 * 0.85 * 210 * 70 * 4.25 = 47,793 kgf. Tu = f As * fs = 0.90 * 13.5 * 4.200 = 51,030 kgf. Cu < Tu, para que exista equilibrio estático Cu debe aumentarse. Þ La sección se comporta como T. • Se determina la posición del bloque de compresiones, se revisa si “a” esta dentro de las aletas, se asume a = t = 5 cm. c = a / 2b = 5 / (2*0.425) = 5.882 cm. c < cb. Sección sub-reforzada, fs = fy Cu = f 0.85* f ’c * be * a = 0.9 * 0.85 * 210 * 70 * 5.00 = 56,227 kgf. Tu = f As * fs = 0.90 * 13.5 * 4.200 = 51,030 kgf. Cu > Tu, para que exista equilibrio estático Cu debe disminuirse. Þ “a” esta localizada dentro de las aletas. • Se determina la posición exacta del eje neutro: r = As /be * d = 13.5 / (70*34) = 0.00567 < rb = 0.02125 En estas condiciones el acero fluye: fs = fy. f As * fs = f 0.85 * f ’c * be *a Þ 0.9* 13.5 * 4,200 = 0.9 * 0.85 * 210 * 70 * a Þ a = 4.53 cm. c = a / 2 * b = 4.534 / (2 * 0 .425) = 5.34 cm. • Se calcula Asa y Asn con las expresiones 8.6 y 8.7: Asa = 0.85 f ’c * (be - bn) * a / fs = 0.85 * 210 * (70 - 20) * 4.53 / 4,200 = 9.64 cm2. Asn = As - Asa = 13.5 – 9.64 = 3.86 cm2. 199 • Se calcula el momento resistente aplicando la expresión 8.3: Ma = f 0.85 f ’c* (be - bn) * a * (d - a/2) = 0.9 * 0.85 * 210 * (70 - 20) * 4.53 * (34 – 4.53/2) = 11.57 t-m. Mn = f 0.85 f ’c * bn * a * (d - a/2) = 0.9 * 0.85 * 210 * 20 * 4.53 * (34 -4.53 / 2) = 4.63 t-m. Mu = Ma + Mn = 11.57 + 4.53 = 16.20 t-m. • Revisión de las cuantías: cuando la sección trabaja como T se considera un área de hormigón igual a bn * d: Cuantía de diseño: r = As / ( bn * d ) = 13.5 / (20 * 34) = 0.01985. Cuantía del acero que equilibra las aletas: ra = Asa / ( bn * d ) = 9.64 / ( 20 * 34 ) = 0.01417 La sección esta sub-reforzada si: r < ( ra + rb ) 0.01985 < 0.01417 + 0.02125 = 0.03542 Þ La sección esta sub-reforzada. La sección es aceptable si: r < 0.75 * ( ra + rb ) y r > rmin 0.01985 < 0.75 * ( 0.01417 + 0.02125 ) = 0.02657 0.01985 > 0.0033 Þ La sección es aceptable. * Conclusiones: La sección trabaja como T. “c” se localiza dentro del nervio. “a” se localiza dentro de las aletas. El momento resistente es de 16.20 t-m. La sección es sub-reforzada. El acero cumple los límites mínimos y máximos. Sección aceptable. ejemplo 8.3 Resolver el ejemplo 8.1 si la viga diseñada se refuerza con 16.9 cm2 de acero en la parte inferior del nervio. Determinar el valor del momento resistente de la sección. En su diseño se han empleado los siguientes materiales: f’c = 210 kgf / cm2 y fy = 4.200 kgf / cm2. 200 Procedimiento de revisión: • El ancho efectivo de la aleta ha sido calculado en el ejemplo 8.1, be = 70 cm. Se calculan los parámetros generales de diseño: del ejemplo 8.1: Para f’c < 280 kgf/cm2: a = 0.7225 y b = 0.425 Cuantía balanceada: rb = 0.02125 Cuantía máxima: rmáx. = 0.75 * rb = 0.01594 Cuantía mínima: rmin > 0.00333 Para la condición balanceada: cb = 6,000 * d / (6,000 + fy) = 6,000 *34/10,200 = 20.00 cm. • Se revisa si la sección trabaja como “T” o como rectangular, se hace c = t = 5 cm. Debe revisarse si el acero alcanza la fluencia: a = 2 *b * c = 2 * 0.425 * 5 = 4.25 cm. c < cb Þ fs = fy = 4,200 kgf / cm2. Cu = f 0.85 * f ’c * be * a = 0.9 * 0.85 * 210 * 70 * 4.25 = 47,793 kgf. Tu = f As* fs = 0.90 * 16.9 * 4.200 = 63,882 kgf. Cu < Tu, para que exista equilibrio estático Cu debe aumentarse. Þ La sección se comporta como T. • 201 • Se determina la posición del bloque de compresiones, se revisa si “a” esta dentro de las aletas, se asume a = t = 5 cm. c = a / 2b = 5 / (2 * 0.425) = 5.882 cm. c < cb. El acero fluye: fs = fy Cu = f 0.85* f ’c * be * a = 0.9 * 0.85 * 210 * 70 * 5.00 = 56,227kgf. Tu = f As* fs = 0.90 * 16.9 * 4.200 = 63,882 kgf. Cu < Tu, para que exista equilibrio estático Cu debe aumentarse. Þ “a” esta dentro del nervio. • Se calcula Asa y Asn con las expresiones 8.6 y 8.7: Asa = 0.85 f ’c* (be - bn) * t / fs = 0.85 * 210 * (70 - 20) * 5.00 / 4,200 = 10.63 cm2. Asn = As - Asa = 16.90 – 10.63 = 6.27 cm2. • Se determina la posición exacta del eje neutro: r = As / bn * d = 16.90 / (20 * 34) = 0.02485 ra = Asa / bn * d = 10.63 / (20 * 34) = 0.01563 r < ( ra + rb) = 0.01563 + 0.02125 = 0.03688 r < ( ra + rb). Sección sub-reforzada: fs = fy f Asn * fs = f 0.85 * f ’c * bn * a Þ 0.9 * 6.27 * 4,200 = 0.9 * 0.85 * 210 * 20 * a Þ a = 7.38 cm. c = a / 2 *b = 7.38 / (2 * 0 .425) = 8.69 cm. • Se calcula el momento resistente aplicando la expresión 8.3: Ma = f 0.85 f ’c* (be - bn) * t * (d - t/2) = 0.9 * 0.85 * 210 * (70 - 20) * 5 * (34 – 5/2) = 12.65 t-m. Mn = f 0.85 f ’c * bn * a * (d - a/2) = 0.9 * 0.85 * 210 * 20 * 7.38 * (34 -7.38 / 2) = 7.19 t-m. Mu = Ma + Mn = 12.65 + 7.19 = 19.84 t-m. 202 • Revisión de las cuantías: cuando la sección trabaja como T se considera un área de hormigón igual a bn * d: Cuantía de diseño: r= As / ( bn * d ) = 16.90 / ( 20 * 34 ) = 0.02485 Cuantía del acero que equilibra las aletas: ra = Asa / ( bn * d ) = 10.63 / ( 20 * 34 ) = 0.01563 La sección esta sub-reforzada si: r < ( ra + rb ) 0.02485 < 0.01563 + 0.02125 = 0.03388 Þ La sección esta sub-reforzada. La sección es aceptable si: r < 0.75* ( ra + rb ) y r > rmin. 0.02485 < 0.75 * ( 0.01563 + 0.02125 ) = 0.02766 0.02485 > 0.0033 Þ La sección es aceptable. • Conclusiones: La sección trabaja como T. “a” y “c” se localizan dentro del nervio. El momento resistente es de 19.84 t-m. La sección es sub-reforzada. El acero cumple los límites mínimos y máximos. Sección aceptable. ejemplo 8.4 Resolver el ejemplo 8.1 si la viga diseñada se refuerza con 20 cm2 de acero en la parte inferior del nervio. Determinar el valor del momento resistente de la sección. En su diseño se han empleado los siguientes materiales: f’c = 210 kgf / cm2 y fy = 4.200 kgf / cm2. 203 Procedimiento de revisión: • El ancho efectivo de la aleta ha sido calculado en el ejemplo 8.1, be = 70 cm. Se calculan los parámetros generales de diseño: Del ejemplo 8.1. Para f’c < 280 kgf/cm2: a = 0.7225 y b = 0.425 Cuantía balanceada: rb = 0.2125 Cuantía máxima: rmáx. = 0.75 * rb = 0.01594 Cuantía mínima: rmin > 0.00333 Para la condición balanceada: cb = 6,000 * d / (6,000 + fy) = 6,000 * 34/10,200 = 20.00 cm. • Se revisa si la sección trabaja como “T” o como rectangular, se hace c = t. Debe revisarse si el acero alcanza la fluencia: a = 2 * b * c = 2 * 0.425 * 5 = 4.25 cm. c < cb Þ fs = fy = 4,200 kgf / cm2. Cu = f 0.85 * f ’c * be * a = 0.9 * 0.85 * 210 * 70 * 4.25 = 47,793 kgf. Tu = fAs * fs = 0.90 * 20 * 4.200 = 75,200 kgf. Cu < Tu, para que exista equilibrio estático Cu debe aumentarse. Þ La sección se comporta como T. • Se determina la posición del bloque de compresiones, se revisa si “a” esta dentro de las aletas, se asume a = t = 5 cm. c = a / 2b = 5 / (2 * 0.425) = 5.882 cm. c < cb. El acero fluye:, fs = fy Cu = f 0.85 * f ’c * be * a = 0.9 * 0.85 * 210 * 70 * 5.00 = 56,227 kgf. Tu = f As * fs = 0.90 * 20 * 4.200 = 75,200 kgf Cu < Tu, para que exista equilibrio estático Cu debe aumentarse. Þ “a” esta dentro del nervio. • 204 • Se calcula Asa y Asn con las expresiones 8.6 y 8.7: Asa = 0.85 f ’c* (be - bn) * t / fs = 0.85 * 210 * (70 - 20) * 5 / 4,200 = 10.63 cm2. Asn = As - Asa = 20.00 – 10.63 = 9.37 cm2. • Se determina la posición exacta del eje neutro: r = As / bn*d = 16.90 / (20*34) = 0.02485 ra = Asa / bn*d = 10.63 / (20*34) = 0.01563 r < ( ra + rb) = 0.01563 + 0.02125 = 0.03688 Sección sub-reforzada: fs = fy f Asn * fs = f 0.85 * f ’c * (bn) * a a = 9.37 * 4200 / (.85 * 210 * 20) = 11.03 cm. Þ c = a / 2b = 11.03 / (2 * .425) = 12.98 cm. • Se calcula el momento resistente aplicando la expresión 8.3: Ma = f 0.85 f ’c* (be - bn) * t * (d - t/2) = 0.9 * 0.85 * 2 10 * (70 - 20) * 5 * (34 – 5/2) = 12.65 t-m. Mn = f 0.85 f ’c * bn * a * (d - a/2) = 0.9 * 0.85 * 210 * 20 * 11.03 * (34 - 11.03 / 2) = 10.09 t-m. Mu = Ma + Mn = 12.65 + 10.09 = 22.74 t-m. • Revisión de las cuantías: cuando la sección trabaja como T de considera un área de hormigón igual a bn * d: Cuantía de diseño: r = As / ( bn * d ) = 20 / ( 20 * 34 ) = 0.02941 Cuantía del acero que equilibra las aletas: ra = Asa / ( bn * d ) = 10.63 / ( 20 * 34 ) = 0.01563 La sección está sub-reforzada si: r < ( ra + rb ) 0.02941 < 0.01563 + 0.02125 = 0.03688 Þ La sección está sub-reforzada. 205 La sección es aceptable si: r< 0.75* ( ra + rb ) y r >rmin 0.02941 < 0.75 * ( 0.01563 + 0.02125 ) = 0.02766 0.02941 > 0.0033 Þ La sección no es aceptable. * Conclusiones: La sección trabaja como T. “a” y “c” se localizan dentro del nervio. El momento resistente es de 22.74 t-m. La sección es sub-reforzada. El acero cumple el límite mínimo. El acero no cumple el límite máximo. Sección no aceptable. ejemplo 8.5 Resolver el ejemplo 8.1 si la viga diseñada se refuerza con 25 cm2 de acero en la parte inferior del nervio. Determinar el valor del momento resistente de la sección. En su diseño se han empleado los siguientes materiales: f’c = 210 kgf / cm2 y fy= 4.200 kgf / cm2. Procedimiento de revisión: • El ancho efectivo de la aleta ha sido calculado en el ejemplo 8.1, be = 70 cm. Se calculan los parámetros generales de diseño: Del ejemplo 8.1. Para f’c < 280 kgf/cm2: a = 0.7225 y b= 0.425 Cuantía balanceada: rb = 0.02125 • 206 Cuantía máxima: rmáx. = 0.75 * rb = 0.01594 Cuantía mínima: rmin > 0.00333 Para la condición balanceada: cb = 6,000 * d / (6,000 + fy) = 6,000 *34/10,200 = 20.00 cm. • Se revisa si la sección trabaja como “T” o como rectangular, se hace c = t = 5 cm. Debe revisarse si el acero alcanza la fluencia: a = 2 * b * c = 2 * 0.425 * 5 = 4.25 cm. c < cb Þ fs = fy = 4,200 kgf / cm2. Cu = f 0.85* f ’c * be * a = 0.9 * 0.85 * 210 * 70 * 4.25 = 47,793 kgf. Tu = f As* fs = 0.90 * 25 * 4.200 = 94,500 kgf. Cu < Tu, para que exista equilibrio estático Cu debe aumentarse. Þ La sección se comporta como T. • Se determina la posición del bloque de compresiones, se revisa si “a” esta dentro de las aletas, se asume a = t = 5 cm. c = a / 2b = 5 / (2 * 0.425) = 5.882 cm. c < cb. El acero fluye, fs = fy Cu = f 0.85 * f ’c * be * a = 0.9 * 0.85 * 210 * 70 * 5.00 = 56,227 kgf. Tu = f As * fs = 0.90 * 25 * 4.200 = 94,500 kgf. Cu < Tu, para que exista equilibrio estático Cu debe aumentarse. Þ “a” esta dentro del nervio. • Se calcula Asa y Asn con las expresiones 8.6 y 8.7: Asa = 0.85 f ’c * (be - bn) * t / fs = 0.85 * 210 * (70 - 20) * 5 / 4,200 = 10.63 cm2. Asn = As - Asa = 25.00 - 10.63 = 14.37 cm2. 207 • Se determina la posición exacta del eje neutro: r = As / bn * d = 25.00 / (20 * 34) = 0.03676 ra = Asa / bn * d = 10.63 / (20* 34) = 0.01563 r » (ra + rb) = 0.01563 + 0.02125 = 0.03688 Sección balanceada: fs = fy f Asn * fs = f 0.85 * f ’c * (bn) * a a = 14.37 * 4200 / (.85 * 210 * 20) = 16.91 cm. Þ c = a / 2 b = 16.91 / (2 * .425) = 19.89 cm. • Se calcula el momento resistente aplicando la expresión 8.3: Ma = f 0.85 f ’c* (be - bn) * a * (d - a/2) = 0.9 * 0.85 * 210 * (70 - 20) * 5 * (34 – 5/2) = 12.65 t-m. Mn = f 0.85 f ’c * bn * a * (d - a/2) = 0.9 * 0.85 * 210 * 20 * 17.00 * (34 – 17.00 / 2) = 13.86 t-m. Mu = Ma + Mn = 12.65 + 13.86 = 26.51 t-m. • Revisión de las cuantías: Cuando la sección trabaja como T de considera un área de hormigón igual a bn * d: Cuantía de diseño: r = As / ( bn * d ) = 25 / ( 20 * 34 ) = 0.02451 Cuantía del acero que equilibra las aletas: ra = Asa / ( bn * d ) = 10.63 / ( 20 * 34 ) = 0.01563. La sección esta sub-reforzada si: r < ( ra + rb ) 0.03676 » 0.01563 + 0.02125 = 0.03688 Þ La sección esta balanceada. La sección es aceptable si: r < 0.75 * ( ra + rb ) y r > rmin 0.03676 > 0.75 * (0.01563 + 0.02125) = 0.02766 0.02941 > 0.0033 Þ La sección no es aceptable. • Conclusiones: La sección trabaja como T. “a” y “c” se localizan dentro del nervio. El momento resistente es de 26.51 t-m. 208 La sección esta balanceada. El acero cumple el límite mínimo. El acero no cumple el límite máximo. Sección no aceptable. ejemplo 8.6 Resolver el ejemplo 8.1 si la viga diseñada se refuerza con 30 cm2 de acero en la parte inferior del nervio. Determinar el valor del momento resistente de la sección. En su diseño se han empleado los siguientes materiales: f’c = 210 kgf / cm2 y fy = 4.200 kgf / cm2. Procedimiento de revisión: • El ancho efectivo de la aleta ha sido calculado en el ejemplo 8.1, be = 70 cm. Se calculan los parámetros generales de diseño: Del ejemplo 8.1. Para f’c < 280 kgf/cm2: a = 0.7225 y b = 0.425 Cuantía balanceada: rb = 0.02125 Cuantía máxima: rmáx. = 0.75 * rb = 0.01594 Cuantía mínima: rmin. = > 0.00333 Para la condición balanceada: cb = 6,000 * d / (6,000 + fy) = 6,000 * 34/10,200 = 20.00 cm. • 209 • Se revisa si la sección trabaja como “T” o como rectangular, se hace c = t = 5 cm. Debe revisarse si el acero alcanza la fluencia: a = 2 * b * c = 2 * 0.425 * 5 = 4.25 cm. c < cb Þ fs = fy = 4,200 kgf / cm2. Cu = f 0.85 * f’c * be * a = 0.9 * 0.85 * 210 * 70 * 4.25 = 47,793 kgf. Tu = f As * fs = 0.90 * 30 * 4.200 = 113,400 kgf. Cu < Tu, para que exista equilibrio estático Cu debe aumentarse. Þ La sección se comporta como T. • Se determina la posición del bloque de compresiones, se revisa si “a” esta dentro de las aletas, se asume a = t = 5 cm. c = a / 2b = 5 / (2 * 0.425) = 5.882 cm. c < cb: fs = fy Cu = f 0.85 * f ’c * be * a = 0.9 * 0.85 * 210 * 70 * 5.00 = 56,227kgf. Tu = f As * fy = 0.90 * 30 * 4.200 = 113,400 kgf. Cu < Tu, para que exista equilibrio estático Cu debe aumentarse. Þ “a” está dentro del nervio. • Se calcula Asa y Asn con las expresiones 8.6 y 8.7: Asa = 0.85 f ’c* (be - bn) * t / fs = 0.85 * 210 * (70 - 20) * 5 / 3,600 = 12.29 cm2. Asn = As - Asa = 30.00 – 12.29 = 17.71 cm2. • Revisión de las cuantías: Cuando la sección trabaja como T de considera un área de hormigón igual a bn * d: Cuantía de diseño: r = As / ( bn * d ) = 30 / ( 20*34 ) = 0.04412 Cuantía del acero que equilibra las aletas: ra = Asa / ( bn * d ) = 12.29 / ( 20 * 34 ) = 0.01807 La sección esta sub-reforzada si: r < ( ra + rb ) 0.04412 > 0.01807 + 0.02125 = 0.03932 210 Þ La sección está sobre-reforzada La sección es aceptable si: r < 0.75 * ( ra + rb ) y r > rmin 0.04412 > 0.75 * (0.01563 + 0.02125) = 0.02949 0.044121 > 0.0033 Þ La sección no es aceptable • Se determina la posición exacta del eje neutro: fs < fy , fs = 6000 * ( d – c) / c, a = 2b * c f Asn * fs = f 0.85 * f’c * (bn) * a 17.71 * 6000 x (34 – c) / c = 0.85 * 210 * 20 * 2 * 0.425 * c Despejando: c = 21.18 cm a = 2 * 0.425 * 21.18 = 18.01 cm. fs = 6000 * ( 34 – 21.18) / 21.18 = 3631.7 kgf/cm2. • Se calcula el momento resistente aplicando la expresión 8.3: Ma = f 0.85 f ’c * (be - bn) * a * (d - a/2) = 0.9 * 0.85 * 210 * (70 - 20) * 5 * (34 – 5/2) = 12.65 t-m. Mn = f 0.85 f ’c * bn * a * (d - a/2) = 0.9 * 0.85 * 210 * 20 * 18.01 * (34 – 18.01 / 2) = 14.46 t-m. Mu = Ma + Mn = 12.65 + 14.46 = 27.11 t-m. • Conclusiones: La sección trabaja como T. “a” y “c” se localizan dentro del nervio. El momento resistente es de 27.11 t-m. La sección esta sobre-reforzada. El acero cumple el límite mínimo. El acero no cumple el límite máximo. Sección no aceptable. EjEmplo 8.7 Si As = 51.81 cm2 determinar el momento resistente de la siguiente sección en “T”, la cual hace parte de un sistema de entrepiso, para el cual f’c = 210 kgf / cm2 y fy = 4.200 kgf / cm2. 211 Procedimiento de revisión: • Se calcula el ancho efectivo de las aletas “be”, en este caso este valor ya ha sido obtenido y es de 137.5 cm. Se revisa si la sección trabaja como “T” o como rectangular, se hace a =t: Cu =f 0.85 f ’c be t = 0.90 * 0.85 * 210 * 137.5 * 8 = 176,715 kgf Tu = f As fy = 0.90*51.81*4.200 = 195,842 kgf Cu < Tu la sección se comporta como “T” • Se calcula Asa y Asn con las expresiones 8.6 y 8.7 y se revisan las cuantías de acuerdo a las expresiones 8.8 y 6.12 Asa = 0.85 f ’c (be - bn) t / fy = 0.85 * 210 * (137.5 - 30) * 8 / 4,200 = 36.55 cm2 Asn = As - Asa = 51.81 - 36.55 = 15.26 cm2 Revisión de las cuantías: Cuantía máxima según la expresión 8.8: rtotal = 51.81 / 30 * 39 = 0.04428 6,000 f’c rtotal < 0,75 * ( ra + a * ––––– * ––––––––– ) fy 6,000 + fy 36.55 210 6,000 rtotal < 0,75* ( ––––––– + 0.7225 * –––––– * –––––––––––– ) = 0,03937 30 * 39 4.200 6,000 + 4.200 • 212 No se cumple el límite máximo de la cuantía (0.04428 > 0.03937), la sección se encuentra sobre-reforzada, en este caso hay que aumentar necesariamente las dimensiones de la sección. Continuaremos el ejercicio simplemente como una aplicación pedagógica. Cuantía mínima según la expresión 6.12 0.8Ö210 14 rtotal > ––––––––– > –––––– = 0.00333 4,200 4,200 Se cumple el límite mínimo de la cuantía (0.04428 > 0.00333) ü • Se localiza el eje neutro: a = Asn fy / 0.85 f ’c * bn = 15.26 * 4,200 / (0.85 * 210 * 30) = 11.97 cm • Se calcula el momento resistente aplicando la expresión 8.3: Mresistente = f 0.85 f ’c * (be - bn) * t * (d - t/2) + f 0.85 f ’c * ... ... * bn * a * (d - a/2) Mresistente = 0.90 * 0.85 * 210 * (137.5 - 30) * 8 * (39 - 4) + ... ... + 0.90 * 0.85 * 210 * 30 * 11.97 * (39 -11.97/2) Mresistente = 48.36 + 19.04 = 67.40 t-m ejemplo 8.8 Diseñar el nervio interior del entrepiso que se indica en la figura, considerar que la luz del nervio es de 5.5 m y que está solicitado por un momento mayorado de 67.40 t-m. fc = 210 kgf/cm2 y fy = 4,200 kgf/cm2. d = h - 6 cm = 39 cm. 213 • Se calcula el ancho efectivo de las aletas “be” aplicando la expresión 8.1 Para vigas “T”: be < 16 *t + bn = 16*8 + 30 =158.0 cm be < ¼ ¼ de la longitud, L, de la viga = 550/4 = 137.5 cm be < Distancia centro a centro de vigas adyacentes = 300 cm Se toma el menor valor, en consecuencia: be = 137.5 cm • Se calcula el momento resistente de la sección para definir si se trata como “T” o como rectangular; asumiendo que a = t, la expresión (8.3) toma la siguiente forma: Mresistente = f 0.85 f ’c be t* (d - t/2) = 0.9*0.85*210*137.5*8*39 - 4) = 61.85 t-m Mresistente < Mu (61.85 < 67.4) la sección se comporta como “T” • Se calcula la profundidad “a” del bloque de compresiones aplicando la expresión (8.4): Mu = f 0.85 f ’c (be - bn) * t *(d - t/2) + f 0,85 f ’c bn a (d - a/2) 6’740,000 = 0.9 * 0.85 * 210 * 107.5 * 8 * 35 + 0.9 * 0.85 * 210 * ... ... * 30 * a * (39 - a/2) a2 - 78 a + 790.30 = 0 Þ a = 11.97 cm • Se calcula el acero de refuerzo aplicando la expresión 8.5 y se revisan las cuantías aplicando las expresiones 8.8 y 6.12. As = Asa + Asn = 0.85 f ’c *(be - bn)*t / fy + 0.85 f ’c bn*a / fy As = 0.85 *210 * 107.5 * 8 / 4,200 + 0.85 * ... ... * 210 * 30 * 11.97 / 4,200 = 36.55 + 15.26 = 51.81 cm2 As = 51.81 cm2 Revisión de las cuantías: Cuantía máxima según la expresión 8.8: rtotal = 51.81 / 30 * 39 = 0.04428 ra = Asa / bn*d =36.55 / 30*39 = 0.03124 Asa = 36.55 cm2 Asn = 15.26 cm2 214 f’c 6,000 rtotal < 0,75 * ( ra + a * ––––– * ––––––––– ) fy 6,000 + fy 210 6,000 rtotal < 0,75* ( 0.03124 + 0.7225 * –––––– * –––––––––––– ) = 0,03937 4.200 6,000 + 4,200 No se cumple el límite máximo de la cuantía (0.04428 > 0.03937), en este caso hay que aumentar necesariamente las dimensiones de la sección. Cuantía mínima: 0.8 * Ö210 14 rtotal > –––––––––– > –––––– = 0.00333 ü 4,200 4,200 8.8 problemas propuestos problema 8.1 El sistema de entrepiso de la figura ha de cubrir una luz de 4.00 m, si f’c = 210 kgf / cm2 y fy = 4,200 kgf / cm2, determinar el momento resistente: a) de la sección en “L” y b) de la sección en “T” Resp. a) Mu = 21.90 t-m b) Mu = 22.10 t-m 215 problemas 8.2 a 8.5 Diseñar las siguientes secciones para los momentos indicados. f ’c = 210 kgf / cm2 y fy = 4,200 kgf / cm2 Resp. As = 17.70 cm2 Sub-reforzada Aceptable problEma 8.2 As = 17.09 cm2 Sub-reforzada No aceptable problEma 8.3 Resp. As = 11.46 cm2 Sub-reforzada Aceptable problEma 8.4 As = 14.97 cm2 Sub-reforzada Aceptable problEma 8.5 216 problemas 8.6 a 8.13 Calcular el momento resistente de las siguientes secciones para los materiales indicados. problEma 8.6 problEma 8.7 f ’c = 210 kgf / cm2 fy = 4,200 kgf / cm2 Resp. Mu = 34.62 t-m Sub-reforzada Aceptable f ’c = 210 kgf / cm2 fy = 4,200 kgf / cm2 Resp. Mu = 35.50 t-m Sobre-reforzada No aceptable problEma 8.8 problEma 8.9 f ’c = 210 kgf / cm2 fy = 4,200 kgf / cm2 Resp. Mu=16.31 t-m Sub-reforzada No aceptable f ’c = 210 kgf / cm2 fy =4,200 kgf / cm2 Resp. Mu = 29.01 t-m Sobre-reforzada No aceptable 217 problEma 8.10 problEma 8.11 f ’c = 210 kgf / cm2 fy = 4,200 kgf / cm2 Resp. Mu = 16.53 t-m Sobre-reforzada No aceptable f ’c = 210 kgf / cm2 fy = 4,200 kgf / cm2 Resp. Mu = 28.05 t-m Sobre-reforzada No aceptable problEma 8.12 problEma 8.13 f ’c = 420 kgf / cm2 fy = 4,200 kgf / cm2 Resp. Mu = 37.01 t-m Sub-reforzada Aceptable f ’c = 210 kgf / cm2 fy = 4,200 kgf / cm2 Resp. Mu = 24.00 t-m Sub-reforzada Aceptable 218 8.9 diagraMa de Flujo para el diseño de seCCiones en t o l 219 220 8.10 diagraMa de Flujo para revisión de seCCiones en t o l 221 222 capítulo 9. diseño a tensiones cortantes 9.1 tensiones de cortante en Vigas Homogéneas rectangulares La expresión deducida en la Mecánica de Sólidos para el análisis de las tensiones cortantes en vigas de material homogéneo y elástico es la siguiente: figura 9.1 estado de tensiones en el plano V = Fuerza cortante mayorada en la sección que se analiza. v = Tensión cortante de la sección en estudio. b = Ancho de la sección. Q = Momento estático respecto al eje neutro de la sección externa a la fibra que se analiza, área más oscura en la figura 9.1. Para una viga rectangular cuya sección transversal tenga de dimensiones “b” y “h” la variación de la tensión cortante obedece a la siguiente relación de la Mecánica de Sólidos: 3 V v = ––– * ––––––– * (h2 - 4 * y2) 2 b * h3 223 La variación de la tensión cortante es parabólica, nula en los extremos o bordes exteriores (y = + h/2) y máxima en el eje neutro (y = 0) donde tiene un valor de 1.50 veces la tensión cortante promedio (vmáx = 1.50 V/A). 9.2 tensiones de flexión en Vigas Homogéneas rectangulares En el caso de flexión pura las tensiones normales obedecen a la siguiente relación deducida en la Mecánica de Sólidos: M*y s = –––––––– I En la cual: M = Momento flector. I = Inercia de la sección transversal respecto al eje neutro. y = Distancia medida del eje neutro a la fibra en la cual se desea determinar el valor de la tensión normal, s. La tensión normal alcanza su máximo valor en la superficie externa (y =+ h/2) y es nula en el eje neutro (y = 0). 9.3 tensiones combinadas en Vigas Homogéneas rectangulares Una viga sometida a flexión simple debe soportar simultáneamente las tensiones normales y de cortante. Su diseño debe garantizar un comportamiento adecuado ante una combinación de dichas tensiones. En la viga de la figura 9.2 se analiza el estado de tensiones que se presenta en la fibra neutra de una sección cualquiera de una viga. figura 9.2 análisis del estado de tensión en la fibra neutra. 224 El estado de tensiones que se presenta en la fibra neutra es conocido como estado de tensión cortante pura, no existen tensiones normales a la fibra. Al modificar la orientación de un elemento diferencial de la fibra neutra el estado de tensiones sufre modificaciones y se presentan tensiones diagonales, las cuales alcanzan sus máximos valores en los planos principales, o planos de tensión cortante nula, sus valores están dados por la expresión: Aplicando esta expresión al elemento diferencial indicado en la figura 9.3 se obtiene que s1,2 = + v. La inclinación de los planos principales está dada por: Tan 2Æp = s/ v, para el caso en estudio se obtiene: figura 9.3 estado de tensiones en los planos principales, fibra neutra. El anterior análisis puede realizarse en todas las fibras y en cada una de las secciones de la viga. Si se unen los puntos de igual tensión, sus trayectorias son ortogonales, es decir, se cortan siempre en ángulo recto. figura 9.4 trayectoria de las tensiones en una Viga rectangular Homogénea. 225 9.4 tensiones combinadas en Vigas de Hormigón reforzado El hormigón es un material apto para resistir tensiones de compresión pero de muy baja capacidad de resistencia a tensiones de tracción. Esta deficiencia se subsana introduciéndole barras de acero para que absorban las tensiones de tracción. Esto hace que el hormigón reforzado sea un material muy complejo en su comportamiento a tensiones cortantes. El hormigón no es un material homogéneo, experimentalmente se ha demostrado que su comportamiento no obedece a las relaciones deducidas en la Mecánica de Sólidos. En la actualidad las expresiones aplicadas al análisis de las tensiones cortantes se han obtenido a partir de resultados experimentales. Las tensiones cortantes por sí solas, no son las causantes de las fallas en las vigas de hormigón reforzado. Pese a que no existe una teoría exacta que explique la relación que existe entre las tensiones cortantes y la falla, se acepta universalmente que la falla en las vigas de hormigón no obedece a las tensiones cortantes sino a su efecto combinado con el de las tensiones de flexión lo cual da origen a las tensiones diagonales de tracción que son las causantes de la falla. Si se aplican los conceptos fundamentales de la teoría de la elasticidad, a la sección no homogénea y agrietada de hormigón reforzado, en la que se considera como parte elásticamente activa la zona de compresión y el área de las barras localizadas en la zona de tracciones multiplicadas por “n” se obtiene: figura 9.5 cálculo de la tensión cortante en una sección de Hormigón fisurada. 226 Esta es la expresión elástica de diseño empleada durante muchos años con la simplificación de tomar para “j” el valor de 7/8 = 0.875. La variación de las tensiones cortantes unitarias tiene una forma parabólica en la zona de compresiones, mientras que en la zona de tracciones el trabajo del hormigón se desprecia, allí el momento estático es constante, Q = n * As * (d - c), por lo que la tensión cortante no varía y el diagrama es rectangular. Esta conclusión es teórica, el hormigón puede soportar alguna tensión cortante antes de fisurarse y la variación real de las tensiones cortantes se aproxima más a la línea a trazos mostrada en la figura 9.6. figura 9.6 Variación de la tensión cortante. Las trayectorias de las líneas de tensiones en una viga de hormigón reforzado serán las indicadas en la figura 9.7, en ella se observa que tienen una inclinación de 45º en la zona de tracciones. La falla por cortante se debe a la tensión diagonal y se presenta cuando el hormigón agota su capacidad de resistencia a la tracción, las fisuras tendrán en ese caso la inclinación que se indica en la figura 9.8: figura 9.7 trayectoria de las tensiones en una Viga de Hormigón. 227 figura 9.8 inclinación de las fisuras potenciales en una Viga simplemente apoyada. 9.5 clases de refuerzo a tensiones cortantes Si la sección de hormigón de una viga es insuficiente para soportar por sí sola la tensión cortante, ésta debe reforzarse; una forma de refuerzo consiste en estribos verticales o inclinados. Otra forma consiste en doblar o levantar diagonalmente las barras inferiores en donde no se necesite su trabajo a flexión. figura 9.9 diferentes formas del refuerzo transVersal en Vigas. 9.6 criterios de diseño Las teorías formuladas antes de 1,945 suponían una tensión normal nula (s = 0) y por lo tanto las tensiones principales, s1,2 = + v; es decir, toman la tensión cortante vertical, “v”, como indicativo de la tensión diagonal. Las investigaciones posteriores demuestran que la falla y formación de grietas diagonales no es el resultado de la tensión cortante únicamente, 228 sino de la tensión diagonal de tracción, cuyo límite de agotamiento es la resistencia última del hormigón a tracción. Para el planteamiento del criterio de diseño a tensiones cortantes de vigas, sin refuerzo en el alma, se empleará la tensión cortante promedio como una medida de la tensión diagonal. Con el anterior criterio, la resistencia a la tensión diagonal se determina a partir de la siguiente expresión deducida en la Mecánica de Sólidos: Para expresar la tensión normal, s1, y la tensión cortante, v, en función de la resistencia última del hormigón a la tracción, fct, se analiza la estática de la siguiente sección: figura 9.10 relaciones de equilibrio, Vigas de Hormigón. M = T * jd = As * fs * jd = r * fs * j bd2 M fs = ––––––––– r * j bd2 fct es proporcional a fs / n: M fct = F * fs / n = ( F/ j ) * ––––––––– r * n * bd2 M fct = F1 * –––––––––––– r * n * bd2 229 La tensión cortante promedio es proporcional a la tensión cortante media (v = F2 * V / bd), lo cual permite obtener: Las grietas o fisuras, por efecto de la tensión diagonal, se presentan cuando se excede la resistencia del hormigón a la tracción o sea que el límite de s1 es fct. Cuando se alcanza este límite, M y V llegan a sus valores de agotamiento, Mu y Vu. Reemplazando la relación de módulos “n” por su igual Es / Ec se tiene haciendo el siguiente cambio de variables: C1 = F1/2 y C2 = F2. Esta ecuación ha sido deducida por I. M. Viest basado en los resultados experimentales obtenidos por J. Morrow y relaciona la tensión cortante unitaria con las variables más importantes que influyen en él: • Vu / bd Se incrementa con fct. • Vu / bd Disminuye cuando Mu / Vu aumenta. • Vu / bd Aumenta con r. Reemplazando fct por: k * Ö f ’c : Los parámetros Vu / bd Ö f ’c y Vu / Mu Ö f ’c se determinaron experimentalmente en vigas de sección transversal constante sin armadura transversal, con una o dos cargas concentradas mediante 194 ensayos, cuyos resultados aparecen publicados en la referencia 30. 230 Representando en un sistema de coordenadas rectangulares los resultados de los ensayos se observa que la tendencia central de los resultados experimentales puede expresarse mediante dos líneas rectas. De la referencia 30 se obtiene la gráfica de la figura 9.11, en la cual: Para valores de f ’c en kgf / cm2 se obtiene: (9.1) Esta expresión es adoptada por la NSR-98 Sec. C.11.3.2.1 y por el ACI-318-02 Sec.11.3.2.1 para el diseño a cortante de secciones rectangulares sometidas a tensiones combinadas de flexión y corte. Debe considerarse que: Vu * d / Mu < 1.0, para limitar con ello el valor de Vuc cerca de los puntos de inflexión, esta limitante no debe considerarse cuando se presenta compresión. figura 9.11 resistencia del Hormigón a tensiones cortantes en Vigas. 9.7 modelo cortantes matemático para el análisis de las tensiones El mecanismo mediante el cual el hormigón y su refuerzo soportan las tensiones cortantes se representa como un modelo matemático idealizado de una cercha; en este modelo: • La zona del hormigón que trabaja a compresión representa la cinta o cuerda superior de la cercha. 231 El refuerzo principal de tracción representa la cinta inferior. Los estribos representan la celosía que trabaja a tracción y el hormigón del nervio la celosía que trabaja a compresión. La capacidad de este modelo para soportar cortante depende de la disposición adoptada para la armadura transversal. Lo ideal sería disponer las armaduras de manera que sigan las trayectorias de las tensiones principales de tracción, pero este procedimiento no es aplicable por las siguientes razones: • Es poco práctico por lo complicado de la disposición del refuerzo en estas trayectorias. • Si así se colocaran, se estaría equilibrando solo un sistema de cargas; no se cumpliría además la compatibilidad de las deformaciones pues el acero se deformaría más que el hormigón, lo cual genera la aparición de fisuras y ocasiona redistribución de tensiones. figura 9.12 analogía cortantes. de la cercHa para el análisis de tensiones • • De allí que la armadura transversal empleada esté conformada por estribos verticales o inclinados y/o por barras dobladas. Estas tienen por finalidad, en el modelo, servir como celosía trabajando a tracción. El anterior modelo ha sido propuesto por E. Mörsch y en su desarrollo se adoptan las siguientes hipótesis: 232 Las zonas de tracción y de compresión solamente soportan tensiones normales. • Toda tensión vertical o inclinada de tracción debe absorberse con los estribos y/o barras dobladas. • Las fisuras producidas por la tensión diagonal se extienden desde el refuerzo principal hasta una profundidad de la viga igual a “jd”. Algunos inconvenientes para el análisis de las tensiones cortantes en vigas son: • Las recomendaciones para el diseño de los elementos de hormigón reforzado a tensiones cortantes son aún imperfectas y se basan en el análisis estadístico de resultados de ensayos de laboratorio. • Las especificaciones para determinar la tensión que puede absorber el hormigón simple (expresión 9.1) sobrestima la influencia del término Ö f ’c y subestima la influencia de la cuantía, r, y del término Vu * d / Mu. Por otra parte, la resistencia a tensiones cortantes en vigas de hormigón reforzado disminuye a medida que aumenta su altura, variable ésta que no considera la ecuación propuesta. • Las expresiones propuestas para el cálculo de estribos se basan en la analogía de la cercha. Esta analogía actualmente está en proceso de revaluación puesto que no considera la continuidad estructural de la viga, la cual es monolítica. Habrá que esperar que los resultados de las nuevas investigaciones relacionen de una manera racional las múltiples variables que involucra el estudio de las tensiones cortantes en elementos de hormigón reforzado. • 9.8 diseño a tensiones cortantes Se acepta el trabajo simultáneo del hormigón y del acero para soportar las tensiones cortantes. Cuando la tensión cortante excede la resistencia del hormigón debe proporcionarse refuerzo para que absorba esta diferencia (NSR-98 Sec. C.11.1.1). Vud = f* ( Vc + Vs ) Vc = Fuerza cortante nominal que absorbe el hormigón. Vs = Fuerza cortante nominal que absorben los estribos. Vud = Cortante crítico para el cual se realiza el diseño. 233 9.8.1 a) resistencia a tensiones cortantes del Hormigón (Vc) Hormigón sometido a flexión y corte únicamente. En este caso el diseño se basa en la expresión 9.1 (NSR-98 Sec. C.11.3.2.1). (9.1) Debe cumplirse que: Vu *d / Mu < 1.0 Para valores de Mu bajos controla el límite superior de f*0.93 * bd Ö f ’c; para valores altos de Mu, Vuc tiende a f*0.50*bd Ö f ’c. La aplicación de la expresión 9.1 es muy laboriosa, para simplificar el diseño los códigos proporcionan una expresión más sencilla, que representa un promedio de los valores dados por la expresión 9.1. NSR-98 Sec. C.11.3.1.1 y ACI-318-02 Sec 11.3.1. fVc = f * 0.53 * bd Öf ’c (9.2) b) Hormigón sometido a flexión, corte y carga axial de compresión. Cuando existe una carga axial de compresión las tensiones diagonales de tracción disminuyen y se mejora la capacidad que tiene el hormigón de resistir tensiones cortantes. NSR-98 Sec. C.11.3.2.2 y ACI-318-02 Sec 11.3.1 recomiendan: (9.3) En esta expresión: Vu * d / Mu puede ser mayor que 1.0. Mm = Mu - Nu * (4h - d) / 8. Nu = Fuerza normal de compresión. Esta expresión es aplicable siempre que el valor de Mm sea positivo, en caso contrario debe aplicarse el segundo término de la igualdad. Con el fin de simplificar la laboriosa tarea de aplicar la expresión 9.3 la NSR-98 Sec. C.11.3.1.2 y C.11.3.2.2 y el ACI-318-02 234 Sec.11.3.2.2 recomiendan emplear la siguiente expresión simplificada: (9.4) c) Hormigón sometido a flexión, corte y carga axial de tracción. Cuando existe una carga axial de tracción las tensiones diagonales de tracción aumentan y se deteriora la capacidad que tiene el hormigón de resistir tensiones cortantes. La NSR-98 Sec. C.11.3.2.3 y el ACI-318-02 Sec.11.3.2.3 recomiendan: (9.5) Nu debe tomarse como negativa por representan una carga de tracción. Alternativamente f Vuc puede tomarse igual a cero. NSR-98 Sec. C.11.3.1.3. 9.8.2 resistencia a tensiones cortantes de los estribos (Vs) Para deducir las expresiones de diseño se analiza una grieta en cuya trayectoria, con una inclinación f, se cortan “n” estribos inclinados un ángulo a. Para un espaciamiento de los estribos inclinados, medido sobre la horizontal, “s” se obtiene: figura 9.13 analogía de la cercHa. a = Inclinación de los estribos y/o barras dobladas. f = Inclinación de las fisuras en el hormigón. n = Número de barras transversales que cortan una fisura. 235 s = Separación horizontal de la armadura transversal. Av = Área de la sección de la armadura que trabaja a cortante. fv = Tensión de trabajo de la armadura a cortante. Vs = Fuerza cortante que resiste la armadura transversal. n * s = jd * ( Ctg f + Ctg a) jd Sen a * Ctg f + Cos a n = –––– * ––––––––––––––––––––––– s Sen a Vs = n * Av * fv * Sen a jd Vs = –––– * Av * fv * (Sen a * Ctg f + Cos a) s Vs * s Av * fv = ––––––––––––––––––––––––––– jd * (Sen a * Ctg f + Cos a) Las teorías actuales admiten que la inclinación de las fisuras es de 45º, ensayos recientes han demostrado que pueden disminuir hasta 30º, con respecto a la horizontal. Esta conclusión mejora la resistencia a cortante del hormigón pero las normas mantienen aún la recomendación de 45º, en este caso Ctg 45º = 1.00. Vs * s Av * fv = ––––––––––––––––––––– jd * (Sen a + Cos a) La inclinación más eficiente de los estribos se obtiene cuando el término Sen a + Cos a alcanza su valor máximo, esto se logra para a = 45º. En el caso de estribos verticales: a = 90º: Vs * s Av * fv = ––––––– jd Esta expresión en la misma que propuso W. Ritter en 1899. 236 En los primeros años del presente siglo se le asignó a “j” el valor de 7/8. Las últimas especificaciones consideran que no es necesario tanto refinamiento en estas expresiones matemáticas tan aproximadas y han omitido este término en consideración a la incertidumbre que encierra el estudio de las variables secundarias. El ACI-318-02 y la NSR-98 recomiendan: Para Estribos vertiCales, NSR-98 Sec. C.11.5.6.2. f * Av * fy * d f * Vs = ––––––––––––––– s f * Av * fy f * Vs = –––––––––––– s*b Para estribos inClinados, NSR-98 Sec. C.11.5.6.3. f * Av * fy * d * (Sen a + Cos a) f * Vs = –––––––––––––––––––––––––––––– s f * Av * fy * d * (Sen a + Cos a) f * Vs = –––––––––––––––––––––––––––––– s*b Cuando el refuerzo a cortante consiste en una barra doblada o un grupo de barras, dobladas todas a la misma distancia del apoyo y paralelas, se especifica en la NSR Sec. C.11.5.6.4. f * Vs = = f * Av * fy * Sen a < f * 0.80 * Ö f ’c bd f * vs = f * Av * fy * Sen a / bd < f * 0.80 Ö f ’c (9.6) (9.7) (9.8) 9.9 especificaciones generales de diseño 9.9.1 sección crítica para el diseño El código ACI-318-02 y la NSR-98 Sec. C.11.1.3 permiten tomar la sección crítica, para el cálculo de la tensión cortante mayorada de diseño, a la distancia “d”, medida a partir de la cara del apoyo. Esta recomendación está fundamentada en trabajos experimentales que demuestran que la 237 primera fisura inclinada se presenta en la luz a una distancia “d” de la cara del apoyo. Para que la sección crítica corresponda a la anterior definición, deben cumplirse dos condiciones: • No existir una carga concentrada entre la cara del apoyo y la sección localizada a la distancia “d”. • La reacción del apoyo, en la dirección del cortante, debe introducir compresión en las regiones cercanas al apoyo. De no cumplirse alguna de estas limitantes la sección crítica para el diseño a cortante debe localizarse en la cara del nudo. Entre la cara del apoyo y la sección crítica, situada a una distancia “d” de ésta, deben colocarse estribos con una separación igual a la obtenida para la sección crítica y el primer estribo se colocará a una distancia ? 5 cm de la cara del nudo. figura 9.14 secciones críticas para el diseño a cortante. 9.9.2 refuerzo mínimo a cortante Una viga sin armadura transversal es muy vulnerable a las sobrecargas accidentales las cuales pueden generar fallas violentas e imprevistas; por esta razón es indispensable la colocación de una armadura mínima, aunque el diseño no lo requiera, para controlar así la propagación de las fisuras diagonales e incrementar con ello la ductilidad de la estructura, previéndose una falla dúctil. El ACI-318-02 y la NSR-98 Sec. C.11.5.5.3 especifican que debe colocarse un refuerzo mínimo a cortante en toda sección donde Vu exceda el valor de f Vc /2. 238 b*s Avmin = 3.50 * –––––– fy (9.9) Cuando Vu sea inferior a f Vc /2, no se requiere la colocación de estribos mínimos. Este refuerzo mínimo sólo puede eliminarse en aquellos casos en los cuales se dispone de un adecuado factor de seguridad contra las grietas inclinadas que es el caso común de placas y zapatas; por esta razón, el ACI-318-02 y la NSR-98 Sec. C.11.5.5.1. permiten omitir la colocación de la armadura mínima a cortante cuando se trata de: • Losas y zapatas. • Construcciones con nervaduras. • Vigas con una altura inferior a 25 cm ó 2.50 veces el espesor del ala o la mitad del ancho del alma, la que sea mayor. 9.9.3 tensión cortante máxima para estribos Cuando una viga de hormigón reforzado debe resistir una fuerza cortante muy alta se presenta una tensión diagonal de compresión muy elevada en la parte superior de la fisura y puede ocasionar una falla del hormigón por aplastamiento. Para prevenir esta falla se limita la tensión cortante que puede absorberse con estribos, ACI-318-02 y la NSR-98 Sec. C.11.5.6.8, al valor: f Vs < 2.10 * f * bd * Ö f ’c f Vs < 2.10 * f * Ö f ’c (9.10) Cuando no se cumplan estos límites, necesariamente deben incrementarse las dimensiones del elemento. 9.9.4 máxima separación de los estribos Para asegurar que una fisura intercepte al menos un estribo el ACI-318-02 y la NSR-98 Sec. C.11.5.4.1 especifican que la separación entre estribos no debe exceder de: • • d/2. 60 cm. (9.11) Cuando f Vs > 1.10 * f * bd * Ö f ’c , las separaciones máximas permitidas entre estribos se deben reducir a la mitad del valor especificado en la expresión 9.11. NSR-98 Sec. C.11.5.4.3. 239 9.9.5 dimensiones de los estribos El ACI-318-02 y el NSR-98 Sec. C.12.13 requieren que el refuerzo a cortante se lleve tan cerca de la superficie del elemento como lo permitan los requisitos de recubrimiento. Para el dimensionado de los estribos existen las siguientes especificaciones: • Un doblez a 90º con una extensión recta de longitud mínima igual a 6db, en el extremo libre de la barra, cuando se trate de estribos con diámetro < No 5. Estos estribos se emplean en estructura de demanda de ductilidad mínima (DMI) (NSR-98 Sec. C.7.1.1.3). • En los estribos de confinamiento requeridos en las estructuras de demanda de ductilidad moderada (DMO) y especial (DES), para construcciones sismo-resistentes, deben emplearse ganchos con un doblez de 135º, con una extensión de 6db, pero no menor de 75 mm, que abrace el refuerzo longitudinal y se proyecte hacia el interior del elemento. En los estribos suplementarios el doblez en los extremos debe ser un gancho de 135º más una extensión de 6db, pero no menor de 75 mm y se permite que en uno de sus extremos se utilice un gancho de 90º más una extensión de 6db (NSR-98 Sec. C.7.1.2). • El diámetro interior de doblamiento de estribos de barras No 5 ó menor no debe ser inferior a 4db (NSR-98 Sec. C.7.2.2). figura 9.15 estribos cerrados. Estribos de confinamiento Estribos suplementarios Estribos 240 figura 9.16 gancHos estándar para estribos. Fotografía 18. Colocación adecuada de un estribo con gancho sísmico, no debe dejarse espacio entre el estribo y el refuerzo principal. Fotografía 19. Un atentado contra la seguridad estructural, detalle sin supervisión técnica y falta de todo criterio ingenieril. Fotografía 20. Un ejemplo de buena colocación de estribos dobles, denota buena calidad en la mano de obra y en la supervisión. Fotografía 21. El espacio entre el estribo y el refuerzo principal es llenado por pasta o por agua que reducen la función del estructural del estribo. 241 Fotografía 22. Disposición inclinada de estribos. No es la solución para estructuras sismorresistentes pues se equilibra solo un sistema de cargas. Fotografía 23. Barras inclinadas para soportar tensiones cortantes. 9.10 ejemplos ejemplo 9.1 Analizar la siguiente viga sometida a tensiones cortantes aplicando las expresiones 9.1 y 9.2. f’c = 210 kgf/cm2 y fy = 2.400 kgf/cm2. a) Análisis con la expresión 9.1: 242 La aplicación de esta expresión debe hacerse tabulando los resultados, estos se indican en la siguiente tabla. Su aplicación es muy laboriosa lo que la hace impráctica para el diseño. fVc máx = f * 0.93 * Öf’c = 0.85 * 0.93 * Ö210 = 11.46 kgf/cm2 b) Análisis con la expresión 9.2, en términos de tensiones se tiene: fVc = f * 0.53 * Öf’c = 0.85 * 0.53 * Ö210 = 6.53 kgf/cm2 (9.2) Es una expresión muy sencilla de aplicar lo que la hace ideal para fines de diseño. Es una recta que representa el valor promedio de la expresión 9.1 y está dentro del campo de la seguridad. X m 0.00 0.50 1.00 1.50 1.70 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.24 5.50 6.00 6.50 7.00 7.50 8.00 Mu t-m +5.77 +6.64 +7.21 +7.47 +7,50 +7.44 +7.11 +6.47 +5.54 +4.30 +2.77 +0.92 0.00 -1.15 -3.59 -6.34 -9.3 -12.70 -16.38 Vu tn 2.04 1.44 0.84 0.23 0.00 0.37 0.97 1,58 2.18 2.78 3.38 3.99 4.27 4.59 5.19 5.79 9.40 7.00 7.60 Vu d / Mu 0.159 0.098 0.052 0.014 0.000 0.022 0.061 0.110 0.177 0.291 0.549 1.000 1.000 1.000 0.651 0.411 0.307 0.248 0.209 4 No 6 r = 0.00841 2 No 6 r = 0.00421 Cuantía r =As / bd 176 rVu d / Mu 0.118 0.073 0,039 0.010 0.000 0.016 0.045 0.081 0.131 0.215 0.407 0.741 0.741 1.481 0.964 0.609 0.455 0.367 0.310 0.50 Öf’c Kgf / cm2 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 7.25 f Vc Kgf / cm2 6.26 6.22 6.20 6.17 6.16 6.18 6.20 6.23 6.27 6.34 6.51 6.79 6.79 7.42 6.98 6.68 6,55 6.47 6.43 243 ejemplo 9.2 Diseñar a cortante la viga de la figura si ha de soportar las siguientes cargas de servicio: Wcm = 2.20 t/m y Wcv = 1.10 t/m. f’c = 210 kgf / cm2 y fy = 2,400 kgf / cm2. a) Determinar la tensión cortante de diseño en la sección crítica situada a la distancia “d” del borde del apoyo. Wu = 1.4 Wcm + 1.7 Wcv = 4.95 t/m Reacción: R = Wu * L/2 = 4.95 * 5.80/2 = 14.36 t vud = Vud / bd = 11,760 / (25*40) = 11.76 kgf / cm2. Vu critica = Vud R - Wu * (0,125 + d) = 14.36 - 4.95 * (0.125 + 0.40) = 11.76 t 244 b) Determinar la tensión cortante que resiste el hormigón aplicando la expresión 9.2: fVc = f * 0.53 * Öf ’c = 0.85 * 0.53 * Ö210 = 6.53 kgf/cm2 c) Diseño de los estribos: Tensión cortante que absorben los estribos: fvs =vu - f vc = 11.76 - 6.53 = 5.23 kgf / cm2. fvsmáx = f * 2.10 * 0.85 * 2.10 * Ö f ’c = 0.85 * 2.10 * Ö210 = 25.87 kgf/cm2. (9.10) El cortante que deben soportar los estribos no sobrepasa el valor máximo permitido, por ello, las dimensiones de la sección son satisfactorias y puede procederse al diseño, se seleccionan estribos No 3 de dos ramas: Av = 2 * 0.71 = 1.42 cm2. Con la expresión 9.6 se tiene: 0.85 * 1.42 * 2.400 f * Av * fy s = ––––––––––– = ––––––––––––––––––– = 22.20 cm f * vs * b 5.23 * 25 Þ Se requieren estribos No 3 de dos ramas espaciados cada 22 cm. d) Revisión del espaciamiento de los estribos según la expresión 9.11. • • • d/2 = 20 cm. 60 cm. Av * fy / 3.50 * b = 1.42 * 2,400 / (3.50 * 25) = 39 cm. Se selecciona el menor de estos valores, es decir que la separación de los estribos no será superior a 20 cm y el primero de ellos se colocará a una distancia < 5 cm de la cara del apoyo. En la zona donde se requieran los estribos mínimos estos se separarán una distancia máxima de 39 cm. La longitud del estribo puede obtenerse a partir de las dimensiones de la sección restándole 6 cm a cada una de ellas y colocándole una longitud recta del gancho igual a 10 db » 10 cm. El siguiente corte corresponde a la viga objeto del diseño del presente problema. 245 ejemplo 9.3 Determinar la tensión cortante que debe absorberse con estribos empleando: a) la expresión 9.2, b) La expresión 9.1 y c) Considerando el efecto de la carga axial de compresión. Cargas de servicio: Vcm = 6.00 t, Vcv = 2.50 t, Mcm = 5.00 t-m, Mcv = 2.00 t-m, Ncm = 4.00 t, Ncv = 3.50 t-m. Considerar f ’c = 210 kgf/cm2 y fy = 2,800 kgf/cm2. a) Determinación de la carga facturada: Vu = 1.4 * 6.0 + 1.7 * 2.5 = 12.65 t Nu = 1.4 * 4.0 + 1.7 * 3.5 = 11.55 t Mu = 1.4 * 5.0 + 1.7 * 2.0 = 10.40 t-m 246 b) Solución empleando la expresión 9.2, no considera el efecto de la carga axial: f Vc= f * 0.53 * Öf’c = 0.85 * 0.53 * Ö210 = 6.53 kgf/cm2 f vs = vu - f vc = 12,650 / 30 * 45 - 6,53 = 2.84 kgf/cm2 c) Solución empleando la expresión 9.1, no considera el efecto de la carga axial: r = As / bd = 25.5 / 30*45 = 0.0189, Vu * d /Mu = 12.65 * 0.45 / 10.40 = 0.547 < 1.00 f vc = 0.85 * (0,50 * Ö210 + 176 * 0.0189 * 0.547) =7.71kgf / cm2 f vc máx = f * 0.93 * Öf ’c = 0.85*0.93* Ö210 = 11.46 kgf / cm2 f vc < 11.46 kgf / cm2. f vs = vu - f vc = 12,650 / 30*45 - 7.71 = 1.66 kgf / cm2. d) Considerando el efecto de la carga axial se aplica la expresión 9.3: Mn = Mu - Nu * (4h - d) / 8 = 1040 - 11.55 * (4 * 50 - 45) / 8 = 816 t-cm. (9.3) f vc = 0.85 * (0.50 * Ö210+ 176 * 0.0189 * ... ... * 12.65 * 0.45 / 8.16) = 8.13 kgf / cm2. f vc < 0.85 * 0.93 * Ö210 * Ö1 + 0.0286 * 11.550/30 * 45 < 12.78 kgf / cm2. f vs = vu - f vc = 12,650 / 30*45 - 8.13 = 1.24 kgf /cm2. Conclusiones: • El considerar la fuerza de compresión mejora el comportamiento del hormigón a tensiones cortantes en un 5.4% respecto a la expresión 9.1 y un 24.5% respecto a la expresión 9.2. • La expresión 9.1 es un 18.1% más alta que la expresión 9.2. • El empleo de la expresión simplificada 9.2 sub-estima el trabajo del hormigón a tensiones cortantes pero dentro del campo de la seguridad. 247 ejemplo 9.4 Calcular el espaciamiento de los estribos verticales que requiere la siguiente sección. Cargas de servicio: Vcm = 5.76 t, Vcv = 4.05 t, Mcm = 6.00 t-m, Mcv = 4.40 t-m, Ncm = -0.90 t, Ncv = -7.10 t-m. Considerar f’c = 210 kgf/cm2 y fy = 2,800 kgf/cm2. a) Detereminación de la carga factorada: Vu = 1.4*5,760 + 1.7*4,050 = 14,949 kgf. Nu = 1.4*-900 + 1.7*-7,100 = 13,330 kgf. Mu = 1.4*6.000 + 1.7*4,400 = 15,880 kgf. b) Cálculo de la tensión cortante que absorbe el hormigón (Nu es negativa por ser tracción): (9.5) f vc = 0.53 * 0.85 * (1 - 0.029 * 13,330 / 25 * 45) * Öf ’c = 4.29 kgf/cm2. c) Tensión cortante que deben absorber los estribos: vu = Vu / bd = 14,949 / 25 * 40 = 14.95 kgf / cm2. f vs = vu - f vc = 14.95 - 4.29 = 10.66 kgf / cm2. Se revisa el cortante máximo que puede absorberse con estribos: f Vs < 2.10 * f * 0.85 * Öf ’c < 210 * 0.85 * Ö210 = 25.87 kgf/cm2. (9.10) Al cumplirse esta relación puede procederse al diseño de los estribos. d) Calculo de los estribos No 3 de dos ramas, expresión 9.6: 0.85 * 1.42 * 2.800 f * Av * fy s = ––––––––––– = ––––––––––––––––––– = 22.20 cm f * vs * b 10.33 * 25 e) 248 Revisión del espaciamiento de los estribos según la expresión 9.11: • • • d/2 = 20 cm. 60 cm. Av * fy / 3.50 * b = 1.42 * 2,800 / (3.50 * 25) = 45.4 cm. Conclusión: se colocarán estribos No 3 de dos ramas cada 12 cm. 249 Capítulo 10. diseño de losas en una direCCión 10.1 introducción Las losas o placas de hormigón reforzado tienen como finalidad proveer una superficie plana, usualmente horizontal, en edificios, puentes o parqueaderos. Las losas se apoyan sobre muros cargueros o sobre vigas de hormigón fundidas monolíticamente con la losa; su función dentro de la estructura se limita sólamente a la transmisión de las cargas gravitacionales. 10.2 funcionamiento estructural de las losas en edificios En el funcionamiento de las estructuras las losas de entrepiso tienen dos funciones: son las responsables de soportar las cargas verticales y distribuir las fuerzas sísmicas horizontales. Cuando se dice que deben soportar las cargas verticales se refiere a su propio peso, acabados, particiones y carga viva de acuerdo al uso que tendrá la construcción. El análisis sísmico, en la mayoría de los casos, se considera que las losas de entrepiso son diafragmas rígidos, que bajo los efectos de las cargas horizontales, se desplazan integralmente Figura 10.1. En los sistemas de losas de rígida infinita, sin sufrir deformaciones en en su plano, todos sus puntos tienen igual desplazamiento en el plano de la losa. su plano. Los programas de análisis suponen la anterior hipótesis y basados en ella reparten las cargas sísmicas entre los pórticos o muros o en general en el sistema de resistencia 251 sísmica. Rigurosamente se dice que las fuerzas sísmicas se reparten entre los pórticos en proporción a su rigidez. De lo anterior se puede concluir que las losas de entrepiso constituyen el medio principal de distribución de las fuerzas sísmicas en el sistema estructural. 10.3 clasificación Según la orientación de los planos de flexión: a) Si una losa se apoya solamente en dos lados opuestos, la flexión se presenta perpendicular a ellos. Este tipo de losa es conocido como losa unidireccional debido a que la flexión se presenta sólamente sobre un solo eje. b) Si la losa se apoya sobre los cuatro costados y si la relación entre el lado mayor y el menor es mayor o igual a 2 un mínimo del 95% de la carga se transmite en una sola dirección. En la más corta, para efectos de diseño se considera como losa unidireccional. c) Si la losa se apoya sobre los cuatro costados y si la relación entre el lado mayor y el menor es inferior a 2 la losa se deforma presentando curvatura en las dos direcciones. En este caso la carga se transmite a los cuatro apoyos. Para efectos de diseño se considera como losa bidireccional (NSR-98 Sec. C.13.1.4.b). Según el sistema constructivo las losas se clasifican como: a) Losas macizas: Son aquellas que no tienen vacíos en su interior, por ejemplo las losas de escaleras. Es el sistema más convencional en la construcción de losas, consiste en una losa de hormigón con refuerzo interno sin ningún tipo de aligeramiento. b) Losas aligeradas o losas nervadas: Consiste usualmente en una losa maciza de hormigón, de 5 ó 10 cm de espesor, apoyada en nervios o viguetas, uniformemente espaciados a distancias que oscilan entre 40 y 100 cm. Se emplea el vocablo “torta” para referirse a la zona superior o inferior de las losas aligeradas. Aun cuando el diseño estructural está regido por el proyecto arquitectónico, ambos deben ajustarse al concepto de seguridad y control de daños. La selección del tipo de losa, no sólo debe hacerse desde el punto de vista económico sino que debe ser el apropiado a los criterios estructurales del 252 conjunto. El constructor debe recordar que por encima de las Normas, las edificaciones se comportan tal como se construyen y no necesariamente como se diseñan. figura 10.2 losa unidireccional aligerada. 10.4 juntas de construcción Idealmente una losa debe vaciarse en un solo día. Cuando ello no sea posible hay que interrumpir el vaciado del hormigón; esta interrupción genera una junta de construcción que debe localizarse bajo los siguientes parámetros: • Debe hacerse en los sitios donde la tensión cortante sea cercana a cero, de allí que se recomienda realizarla en el tercio medio de la luz. • La junta puede ser vertical o inclinada, su inclinación estará dada por el ángulo de reposo del hormigón y debe ser tal que siga las trayectorias de las líneas isobáricas de tracción, figuras 9.7 y 9.8. De este modo se logra que normal a la junta actúe una fuerza de compresión que mejora su confinamiento y además, la junta queda normal al plano de formación de la fisura por cortante. • La superficie de la junta debe picarse para aumentar la rugosidad y garantizar la continuidad estructural entre el hormigón viejo y el nuevo. 253 figura 10.3 disposición de las juntas de construcción en Vigas y losas. 10.5 procedimiento de diseño para losas macizas en una dirección Las losas macizas se emplean en el diseño de escaleras o en luces muy pequeñas que conducen a espesores muy bajos, por ejemplo 10 cm. No es adecuado su empleo en entrepisos con luces medianas y grandes por las siguientes dos razones: el costo y la masa muy elevada que incrementa los efectos de los sismos (F = m * a). • El espesor de la losa, h, se selecciona, aunque no es obligatorio, de modo que no exista necesidad de revisar las flechas, para ello se emplea los datos de la tabla 5.1 y 5.2. Como en la selección de este espesor no influye la magnitud de las cargas se debe estar dispuesto a revisarlo una vez se esté en el proceso de diseño. Para un correcto dimensionamiento es indispensable el buen criterio del ingeniero calculista. • El recubrimiento del refuerzo principal en losas, no apoyadas sobre el suelo, es de 2 cm, véase sección 3.3.2; es menor que el requerido para vigas y columnas en razón de que los entrepisos no están expuestos a la intemperie y además, los acabados mejoran la protección del refuerzo. El refuerzo principal en losas 254 usualmente no sobrepasa de la barra No 5 por lo que la altura efectiva, d, de la losa se puede calcular aplicando la expresión No 3.2, sin incluir los estribos, como: d = h - r - db / 2 = h - 2 - 1.588 / 2 = h - 2.79 cm d = h - 3 cm • (10.1) Para realizar el diseño se toma una franja de 1 metro de ancho y se analiza como si fuese una viga de dimensiones: b = 100 cm, y d = h -3 cm. Conocidas las dimensiones se evalúan las cargas y con ellas el cálculo de la armadura principal, esta armadura no puede separarse más de tres veces el espesor de la losa ni de 50 cm (NSR-98 Sec. C.7.6.5). En ningún caso la armadura principal será inferior a la requerida para controlar la retracción del fraguado y los cambios de temperatura. En zonas críticas la separación de la armadura principal, en losas macizas, no será superior a 2h, NSR-98 Sec. C.13.5.2. La armadura para controlar los cambios de temperatura y los efectos de retracción del fraguado debe colocarse normal y localizarse encima de la armadura principal, no debe espaciarse este refuerzo más de cinco veces el espesor de la losa ni de 50 cm (NSR-98 Sec.C.7.6.5). La losa debe revisarse a cortante, usualmente esta tensión no es crítica, en el caso de losas, pues el hormigón está en capacidad de absorber todo el cortante. Si esto no ocurre se debe incrementar su espesor hasta lograrlo. La revisión a cortante se hará de conformidad al procedimiento analizado en el capítulo 9. • • • figura 10.4 análisis y diseño de losas macizas unidireccionales. 255 10.6 procedimiento de diseño para losas aligeradas La economía de una estructura depende, entre otros factores, directamente de la magnitud de las cargas que la solicitan. Si se busca un buen rendimiento económico se debe tratar de obtener la estructura más liviana posible, sin desmejorar la seguridad de la misma. En las losas de entrepiso se concentra más del 30% de la masa de un edificio, debe buscarse reducir al máximo su masa pero recordando que una losa muy delgada tiene problemas de flechas, vibraciones, acústica, etc. figura 10.5 formación de las losas aligeradas. La reducción de la masa de un entrepiso se logra suprimiendo parte del hormigón localizado en la zona de tracciones, su trabajo se desprecia y su función se limita a darle protección a la armadura y continuidad a la estructura. Para suprimir parte de este hormigón el refuerzo se agrupa en zonas y se elimina el hormigón innecesario dejando sólo el requerido para la continuidad estructural. La eliminación del hormigón en la zona de tracciones se hace empleando una formaleta especial o dejando embebido dentro de la losa un material más liviano que el hormigón desalojado. Este elemento recibe el nombre de aligerante. Entre los más utilizados están: Ladrillos huecos de arcilla recocida. Bloques de escoria. Bloques de hormigón. Casetones de guadua. Casetones de fibra de vidrio. Casetones de icopor, también llamados porones. 256 Casetones de madera recuperables o no. Casetones de guadua no recuperables. Casetones de lona sintética. Casetones recuperables de polipropileno. Formaleta metálica removible. Prefabricados. Losas con casetón recuperable de icopor (poliestireno expandido): Los bloques de poliestireno expandido o de icopor son bloques macizos, recubiertos con una capa aislante de poliestileno inflable que permite su recuperación. Al casetón suele dejársele en sus caras laterales una pendiente del 10% de su altura de tal manera que forme una pirámide truncada que facilite su recuperación. Con el objeto de evitar que el trafico de trabajadores y el transporte de materiales dañe los casetones, estos deben instalarse, junto con el elemento inflable, una vez colocado el refuerzo de la losa. Fotografía 24. Preparación de los casetones de poliestireno expandido (icopor). Fotografía 25. Losa aligerada con icopor. Losas con casetón no recuperable de madera: Los casetones se elaboran con tablillas que se aseguran entre si con madera de manera tal que se forme el rectángulo correspondiente al casetón. La modulación y altura de los casetones dependen del diseño estructural de la losa. Una vez elaborados los casetones se colocan en la losa de acuerdo con la modulación estipulada en los planos, proporcionando así el aligeramiento necesario y sirviendo a la vez como formaleta para fundir las vigas y viguetas. 257 Los casetones de icopor, de fibra de vidrio y en algunas ocasiones los de madera son recuperables. Cuando se emplean los casetones de guadua y madera no recuperables suele colocarse una malla en la parte inferior de la losa sobre la cual se vaciará una capa de mortero de unos 2 cm de espesor antes de vaciar la losa, para dejar así constituido el cielo raso. En el caso de los casetones recuperables puede colocarse un cielo raso falso. La selección del aligerante más apropiado depende de las dimensiones de la losa. Espesores de losa hasta de 20 cm se aligeran con bloques de arcilla, Fotografía 26. Losa aligerada con casepara espesores mayores los ladrillos son tones de madera no recuperables. poco prácticos y se recurre al empleo de los casetones de guadua o de madera que se fabrican bajo pedido en las dimensiones que se deseen. En losas destinadas de viviendas es usual trabajar con luces de 3 a 4 m, dimensiones para las cuales se esperan espesores de losas de 15 a 20 cm. Es allí donde tienen el principal uso los ladrillos de arcilla como aligerante de las losas. figura 10.6 dimensiones y pesos de los ladrillos de arcilla usados en medellín. 258 Los casetones de madera tienen un peso aproximado de 30 kgf/m2, el peso de los ladrillos de arcilla se indican en la figura 10.6. 10.6.1 especificaciones de diseño para losas aligeradas • La NSR-98 Sec. C.13.2.2. limita el ancho de los nervios a 10 cm en su parte superior y su ancho promedio no puede ser menor de 8 cm. Su altura libre no debe ser mayor de 5 veces el espesor promedio del alma. El espesor de la losa superior debe tener mínimo 4.5 cm pero no menos de 1/20 de la distancia libre entre nervios (NSR-98 Sec. C.13.2.2.b). Esta losa debe tener el refuerzo de temperatura que exige la NSR-98 Sec. C.7.12.1. • figura 10.7 sección típica de una losa aligerada. • • • • La separación máxima entre nervios, medida centro a centro, no puede ser mayor que 2.5 veces el espesor total de la losa ni de 1.20 m. Debe colocarse nervios transversales de repartición con una separación libre máxima de 10 veces el espesor de la losa, sin exceder de 4.0 m. La losa superior debe revisarse para garantizar su buen comportamiento estructural, flechas y fisuras aceptables, y correcto comportamiento como hormigón simple para soportar las cargas impuestas, la máxima tensión de tracción no debe exceder de 2.0.f Öf ’c . El ACI-318 Sec.8.11.8 permite incrementar la tensión cortante que absorbe el hormigón en un 10% respecto a lo estipulado en el capítulo 9, pero si la relación entre la altura libre del nervio y su base es mayor de 3.5 no debe considerarse esta especificación: jVc = 1.1 * f * 0.53 * bd Öf ’c (11.2) 259 • • Estructuralmente los nervios se consideran elementos secundarios y su función consiste en transmitir las cargas a las vigas. En unión con la losa superior conforma un conjunto de gran rigidez en su plano. El refuerzo a flexión para los nervios puede consistir en barras No 3 o combinación de estas con barras No 4 y No 5. Este refuerzo sólo se coloca donde se necesite pues el confinamiento del hormigón lo proporciona la losa y no el refuerzo, por ello sólamente se colocan estribos donde sea estrictamente necesario. 10.7 apoyo de losas aligeradas sobre muros, nsr-98 sec.e.3.4 En las losas aligeradas que se apoyan sobre muros estructurales deben construirse vigas de confinamiento o de amarre, sobre el muro. Estas vigas tienen como función: distribuir uniformemente el peso de la losa sobre el muro y entrelazar los muros para conformar diafragmas rígidos para lograr un buen comportamiento sísmico. El ancho mínimo de las vigas de confinamiento será igual al ancho del muro, y su altura será igual a la de la losa. Estas vigas van embebidas dentro de la losa de entrepiso. NSR-98 Sec. E.3.4.2. El refuerzo longitudinal de las vigas de amarre se debe disponer de manera simétrica respecto a los ejes de la sección, en dos filas, y estará conformado por un mínimo de 4 barras No 3. NSR-98 Sec. E.3.4.4.a. El refuerzo transversal estará conformado por estribos No 2 cuyo espaciamiento, en caso de existir columnas de confinamiento, véase capitulo 11, será el siguiente: 6 estribos cada 10 cm en los extremos de la luz y en el centro de la misma se incrementará esta separación a 20 cm. Se entiende por luz la distancia entre columnas de confinamiento. NSR-98 Sec. E.3.4.4.b. 10.8 refuerzo c.7.12 de retraccion y temperatura , nsr-98 sec. En las losas macizas reforzadas en una dirección debe colocarse un refuerzo secundario para efectos de retracción de fraguado y variación de temperatura, en dirección perpendicular al refuerzo principal. En las losas aligeradas, en la loseta superior, debe colocarse este refuerzo en dos 260 direcciones ortogonales. La relación del área de refuerzo al área bruta de hormigón debe tener, como mínimo, uno de los siguientes valores: Para barras lisas o corrugadas con resistencia a la fluencia fy menor o igual a 3,500 kgf/cm2 ....................................0.0020 Para barras corrugadas con fy igual a 4,200 kgf/cm2 o mallas electrosoldadas lisas o corrugadas ........................................0.0018 En las losas aligeradas, el refuerzo por efectos de retracción y temperatura, colocado perpendicularmente a la dirección de los nervios, debe tener las mismas cuantías especificadas anteriormente respecto a la loseta superior, independientemente. Este refuerzo debe tener una separación máxima no mayor de 5 veces el espesor de la losa o 50 cm, la que sea menor. Cuando la losa este restringida, o no pueda expandirse o contraerse libremente, o cuando se desee controlar la fisuración, las cuantías mínimas anteriores deben multiplicarse por los siguientes factores: a) Para hormigón expuesto a la intemperie .............................factor = 1.50 b) Para hormigón que no este expuesto a la intemperie ........factor = 1.25 10.9 ejemplos ejemplo 10.1 La siguiente es una sección típica de una losa de un entrepiso de una vivienda residencial. Se desea evaluar las cargas por metro lineal de nervio y por m2 de losa y además, revisar la loseta superior. f ’c = 210 kgf/cm2 y para el refuerzo de temperatura considerar acero con fy = 2,800 kgf / cm2. a) Evaluación de cargas gravitacionales, por falta de una mayor información se toma los valores mínimos sugeridos por la NSR-98 para los pesos de acabados y particiones. 261 Carga Muerta por metro lineal de nervio: Losa superior: 0.50 * 1.00 * 2,400 * 0.05 = Losa Inferior: 0.50 * 1.00 * 2,300 * 0.02 = Nervio: 0.10 * 0.15 * 2,400 = Ladrillos: 10 * 5 = Acabados: 150 * 0.50 = Particiones: 300 *0.50 = 60 kgf/m 23 36 50 75 (NSR-98 Sec. B.3.6) 150 (NSR-98 Sec. B.3.4.2) ----------394 kgf/m Carga Viva por m de nervio: 180 * 0.50 = 90 kgf/m (NSR-98 Sec.B.4.2.1) Carga de diseño por m de nervio: 1.4 * 394 + 1.7 * 90 = 704.6 kgf / m. Carga de servicio por m2 de losa: Wcm= 394/0.5 = 788 kgf / m2. Wcv = 180 kgf / m2. Carga última por m2 de losa: Wu = 704.6 / 0.5 = 1,409.2 kgf / m2. b) Revisión a flexión de la loseta superior: Carga Muerta: Losa propio: 0.40 * 1.0 * 2,400 * 0.05 Acabados: 150 * 0.40 Particiones: 300 * 0.40 = 48 kgf / m = 60 =120 ---------228 kgf / m Carga Viva: Carga total última: 180 * 0,40 = 72 kgf 1.4 * 228 + 1.7 * 72 = 441.6 kgf Carga última uniforme: 441.6 / 0.40 = 1,104.0 kgf / m 262 Tensiones: ft máx = 2.0*f Öf ’c = 24.64 kgf / cm2 ft = Mu * y / I, I = b * h3 / 12, y = 2.5 cm, b = 100 cm, h = 5 cm Lu = 40 cm Mu = Wu * Lu2 /12 = 1,472 kgf-cm ft = 3.53 kgf/cm2 < 24.64 kgf / cm2 ü El espesor de la loseta es satisfactorio y no necesita refuerzo a flexión. c) Refuerzo por temperatura para mallas electrosoldadas, r= 0.0018*factor, (NSR-98 Sec. C.7.12.1): Ast = 0.0018 bh = 0.0018 *1.25* 100 * 5 = 1.125 cm2. Este refuerzo no debe espaciarse más de 5 veces el espesor de la losa superior (5*5=25 cm), ni de 50 cm (NSR-98 Sec. C.7.12.1). Para facilitar su colocación es usual recurrir al empleo de mallas electrosoldadas, la malla D-106 tiene 1.06 cm2 / m en cada dirección y la armadura está separada cada 15 cm. ejemplo 10.2 Para resolver el entrepiso del ejemplo 10.3 se requiere analizar y diseñar previamente la escalera de acceso. Como las escaleras carecen de divisiones emplear para su dimensionamiento las recomendaciones de la tabla 5.2. Procedimiento de diseño: este tipo de escaleras se analiza en su proyección horizontal como si se tratase de una viga simplemente apoyada. a) Selección de los materiales: Hormigón: f ’c = 210 kgf / cm2 Acero fy = 4,200 kgf / cm2 para barras > No 3 fy = 2,800 kgf / cm2 para barras < No 3 263 b) Predimensionamiento: Para no tener que calcular las flechas el espesor se determina de conformidad a las especificaciones contenidas en la tabla 5.2, en la cual para losas macizas simplemente apoyadas con acero de fy = 4,200 kgf / cm2: h > L / 20 = 230 / 20 = 11.5 cm. Se selecciona un espesor de 12 cm. En losas, el recubrimiento al refuerzo principal es de 2 cm, NSR-98 Sec. C.7.7.1. De acuerdo a la expresión 10.1. d = h - 3 = 12 - 3 = 9 cm. c) Evaluación de cargas, pesos totales: Carga muerta (Pcm): Peso de la losa horizontal 0.975 * 0.12 * 2,400 Peso de la losa inclinada 1,70 * 0.12 * 2,400 Peso de los peldaños 6 * (0.19 * 0.25/2) * 2,300 Peso de los acabados 150 * (0.975 + 1,70) Pcm Carga viva (Pcv): = 280.8 kgf. = 489.6 = 327.8 = 401.3 ========== = 1,499.5 kgf. Para escaleras Pcv = 2.30 * 300 = 690 kgf. Wu = Pu / L = 3,272.3 / 2.30 = 1,422.7 kgf / m. Carga última (Pu): Pu = 1.4 * Pcm + 1.7 * Pcv = 3,272.3 kgf. 264 d) Armadura por retracción de fraguado y cambios de temperatura (NSR98 Sec. C.7.12.1): Para un refuerzo No 3 (As = 0.71 cm2) con fy = 2,800 kgf/cm2 se obtiene: As temp = 0.0020 * factor * b * h = 0.002 * 1.25 * 100 * 12 = 3.00 cm2. Se requieren colocar 4.22 (3.00 / 0.71) barras No 3, espaciadas cada 100/4.22 = 23.65 cm, esta separación debe controlarse de acuerdo con lo especificado por la NSR-98 Sec. C.7.12.1: s < 5h = 5 * 12 = 60 cm. s < 50 cm. Se colocarán barras No 3 cada 25 cm, con lo cual efectivamente se están colocando 100 / 25 = 4 barras que corresponden a un área de refuerzo de 4 * 0.71 = 2.84 cm2 » 3.00 cm2. Este refuerzo se coloca perpendicular al refuerzo principal y encima de él, aproximadamente una barra por cada peldaño. Entre sus funciones están: controlar los efectos de la retracción del fraguado y de los cambios de temperatura, mejorar la ductilidad y permitir una mejor redistribución de la carga. 265 e) Diseño a flexión: Para el refuerzo principal se dispondrá de barras > No 4 con fy = 4.200 kgf / cm2. Mu = Wu * L2 / 8 = 1.42 * 2.302 / 8 = 0.94 t-m = 94 t-cm K = Mu / bd2 = 0.011592 t/cm2 Þ r = 0.003190 rmín = 0.80 Öf ’c / fy > 14 / fy = 0.003333 As = r * bd = 0.00333 * 100 * 9 = 3.00 cm2. La armadura requerida por la flexión (3.00 cm2) no debe ser inferior a la requerida para controlar los cambios de temperatura (3.00 cm2). Si se colocan barras No 4 (As = 1.29 cm2) se requieren 3.00 / 1.29 = 2.33 barras. En un espesor de un metro su separación será 100 / 2.33 = 43 cm Þ colocar una barra No 4 cada 40 cm. Esta separación debe cumplir lo especificado por el NSR-98 Sec. C.7.12.1: s < 3h = 3 * 12 = 36 cm. s < 50 cm. La NSR-98 Sec. C.13.5.2 para losa macizas y en secciones criticas la separación la limita a 2h = 24 cm. Luego la máxima separación permitida es 24 cm, se colocarán barras No 4 cada 25 cm. Efectivamente se colocan 100 / 25 = 4.00 barras con un área efectiva de: 1.29 * 4.00 = 5.16 cm2 > 3.00 cm2. f) Diseño a cortante: La sección crítica se localiza a la distancia “d” medida a partir del borde del apoyo: Vu crítica = 1,422.7 * (2.30/2 - 0.15/2 - 0.09) = 1,401.4 kgf f Vc = 0.53 * f Öf’c* bd = 0.53 * 0.85 *Ö210* 100 * 9 = 5,876 kgf fVc > Vu Þ No requiere estribos. Si f Vc > Vu el hormigón está en capacidad de soportar las tensiones cortantes y por ello, no se requiere la colocación del refuerzo a cortante. El espesor de la losa debe controlarse buscando siempre esta condición. ejemplo 10.3 266 267 Se desea diseñar el entrepiso de la siguiente vivienda de dos niveles. Se asume que en esta estructura se emplearán divisiones tradicionales, para la evaluación del peso de acabados y particiones se emplearán las recomendaciones mínimas de la NSR-98. Se emplearán como muros cargueros los tres muros longitudinales de 15 cm de espesor que se aprecian en la planta del primer piso. En 268 el próximo capítulo se estudiará todo lo relacionado con los muros de cargas, cubierta, cimentaciones y condiciones de confinamiento. La losa se armará en una dirección y se apoyará sobre los tres muros cargueros, que se identificarán como los ejes A, B y C. Como las luces son pequeñas se empleará como aligerante ladrillos de arcilla, cuyas dimensiones comerciales son de 40 * 20* 10 y 40 * 20* 269 15, con lo cual se obtiene que la separación libre entre nervios sea de 40 cm: Se les asignan a los nervios No 2 y No 4 espesores de 10 cm. Para los nervios No 1 y No 5 se prevé que necesitan un mayor espesor dado que deben soportar el peso de los muros de cierre, por esta razón su espesor se asume de 15 cm. Un espesor de 15 cm se le asigna al nervio No 3 pues debe estar en capacidad de soportar el peso de la escalera estudiada en el ejemplo 10.2. Sobre los muros cargueros se fundirá monolíticamente con la losa una viga de amarre cuyo espesor coincidirá con el del muro y 270 su altura con la de la losa. a) Selección de los materiales: Hormigón: f ’c = 210 kgf / cm2 Acero fy = 4,200 kgf / cm2 para barras > No 3 fy = 2,800 kgf / cm2 para barras < No 3 Predimensionamiento: Se selecciona el espesor de la losa con las restricciones dadas en la tabla 5.2 y habrá necesidad de revisar la magnitud de las flechas. Para fy = 4.200 kgf / cm2 se obtiene: Para los nervios No 1 y No 2: (Simplemente apoyados) = 325 / 16 = 20.30 cm. h > L / 16 b) Para los nervios No 3, No 4 y No 5: (Un apoyo continuo) h > L / 18.5 = 325 / 18.5 = 17.60 cm. Se adopta un espesor de losa de 20 cm, este espesor de losa se logra empleando ladrillos toletes de dimensiones 15 * 20 * 40 cm, su peso promedio es de 11 kg/unidad. Una sección típica de la losa es la siguiente: c) Evaluación de cargas gravitacionales. Por metro lineal de nervio las cargas son: Carga muerta (Wcm): Peso de la loseta 0.50 * 0.05 * 2,400 Peso del nervio 0.10 * 0.15 * 2,400 Peso de acabados 0.50 * 150 Peso particiones 0.50 * 300 Peso ladrillos 5 *10 Carga viva (Wcv): Carga última (Wu): = 60 kgf / m. = 36 = 75 = 150 = 50 ======== Wcm = 371 kgf / m. Para vivienda: Wcv = 0,50 * 180 = 90 kgf / m. 271 Wu = 1.4 * Wcm + 1.7 * Wcv = 672.4kgf/m » 0.67 t/m. d) Diseño: Los extremos de los nervios deben considerarse como simplemente apoyados para no generar torsión en las vigas o nervios de apoyo, en estos apoyos debe colocarse una armadura mínima para controlar la fisuración. En el diseño de la sección de la luz se suele despreciar el trabajo de las aletas a compresión y se diseñan como si fuesen secciones rectangulares de dimensiones b * h. El refuerzo principal se calcula para: fy= 4,200 kgf/cm2 ( m = fy / 0.85 f ’c = 23.5294 ) Altura efectiva: d = h - 3 = 20 - 3 = 17 cm. Para estos materiales se deben cumplir los siguientes límites de las cuantías: rmín = 0.8 f ’c / fy > 14 /fy = 0.002760 rmín = 0.002760 > 0.00333 rmín = 0.00333 rmáx = 0.75 a* (f ’c /fy) * 6,000 / (6,000 + fy) = 0.01594 Nervio No 2: b = 10 cm, h = 20 cm d = 17 cm Para la luz: Mu = Wu * L2 / 8 = 0.885 t-m = 88.5 t-cm K = Mu / bd2 = 0.03062 t/cm2 Þ r = 0.009069 As = r * bd = 0.009069 * 10 * 17 = 1.54 cm2 Colocar: 1No 5 (As = 2.00 cm2). Para el apoyo: Pese a que el apoyo se considera como simple se le coloca una cuantía mínima para controlar la fisuración que se presenta al permitirse el giro, para calcular esta cuantía se emplea el valor del momento sugerido por la NSR-98 Sec. C.13.3.2.3 (Mu = Wu * L2 / 24). Mu = Wu * L2 / 24 = 0.295 t-m = 29.5 t-cm K = Mu /bd2 = 0.01021 t/cm2 Þ r = 0.002793 > rmin = 0.00333 As = r * bd = 0.00333 * 10 * 17 = 0.57 cm2. 272 Colocar: 1No 3 (As = 0.71 cm2). Control del cortante: Vu critico = 0.67 * (3.25 / 2 - 0.15 / 2 - 0.17) = 0.925 t = 925 kgf. f Vc = 0.53 * f Öf ’c * bd = 0.53 * 0.85* Ö210 *10*17 = 1,109 kgf. f Vc > Vu Þ No requiere estribos. Nervio No 1: El área aferente es la mitad de la que le corresponde al nervio No 2. En consecuencia: Wu = 0.34 t/m. Este valor debe incrementarse considerando el peso de la fachada; al no realizarse este cálculo, se asume arbitrariamente que este peso es de 0.50 t/m, con lo cual Wu = 0.84 t/m b = 15 cm. h = 20 cm. d = 17 cm. Para la luz: Mu = Wu * L2 / 8 = 1.11 t-m = 111 t-cm K = Mu / bd2 = 0.02561 t/cm2 Þ r = 0.00742 As = r * bd = 0.00742 * 15 * 17 = 1.89 cm2 Colocar: 1No 5 (As = 2.00 cm2). Para el apoyo: Mu = Wu * L2 / 24 = 0.37 t-m = 37 t-cm K = Mu / bd2 = 0.00853 t/cm2 Þ r = 0.00232 As = r * bd = 0.00232 * 15 * 17 = 0.59 cm2 Colocar: 1No 3 (As = 0.71 cm2). Control del cortante: Vu critico = 0.84 * (3.25 / 2 - 0.15 / 2 - 0.17) = 1.16 tn = 1,160 kgf f Vc = 0.53 * f Öf ’c * bd = 0.53 * 0.85 * Ö210 * 15 * 17 = 1,664.7 kgf f Vc > Vu Þ No requiere estribos. Nervios No 3 y No 4: Diseño del nervio No 4: b = 10 cm, h = 20 cm, d = 17 cm, fVc = 1,109 kgf 273 Sec. L1 B L2 Mu t-cm 9 68 58 K = Mu / bd2 t/cm2 0.003114 0.023529 0.020069 r 0.003333 0.006763 0.005690 As cm2 0.57 1.15 0.97 As colocado cm2 1No 3 = 0.71 1No 4 = 1.29 2No 3 = 2*0.71= 1.42 Para el apoyo extremo más desfavorable: L = 3.25m, Mu = Wu * L2 / 24 = 0.29 t-m K = Mu / bd2 = 0.01003 t/cm2 Þ r = 0.002742. As = r * bd = 0.002742 * 10 * 17 = 0.47 cm2 Þ Colocar: 1No 3 (As = 0.71 cm2). Vu critica = 1.30 - 0.67*(0.15/2 + 0.17) = 1.14 t » fVc = 1.109 t Þ No requiere estribos. NERVIO No 4 NERVIO No 3 Diseño del nervio No 3: Entre los ejes B y C tiene un área aferente casi igual a la del nervio No 2, por consiguiente en este tramo su carga es de 0.67 t/m; esta área aferente se reduce a la mitad entre los ejes A y B debido al vacío que existe para las escalas, por consiguiente en este tramo su carga será de 0.34 t/m y debe adicionársele el efecto del peso de las escalas (1.64 t/m) que se toma del ejemplo 10.2. b = 15 cm, h = 20 cm, d = 17 cm, fVc = 1.66 t 274 Sec. L1 B L2 Mu t-cm 39 76 55 K = Mu / bd2 t/cm2 0.008997 0.017532 0.012687 r 0.003333 0.004923 0.003501 As cm2 0.85 1.26 0.89 As colocado cm2 2No 3 =2*0.71= 1.42 1No 4 =1.29 2No 3 = 2*0.71= 1.43 En los apoyos extremos debe colocarse la misma armadura del Nervio No 1 (1No 3). Vu crítica = 1.32 - 0.67 * (0.15/2 + 0.17) = 1.16 t < fVc = 1.66 t Þ No requiere estribos. Nervio No 5: Su carga es igual a la del nervio No 1 (Wu = 0.84 t/m), de los valores obtenidos para los diagramas del nervio No 4 se deducen los siguientes valores: b = 15 cm, h = 20 cm, d = 17 cm, fVc = 1.66 t Sec. L1 B L 2 Mu t-cm 11.3 85.3 72.7 K = Mu / bd2 t/cm2 0.002607 0.019677 0.016770 r 0.003333 0.005571 0.004696 As cm2 0.84 1.426 1.20 As colocado cm2 2No 3 =2 * 0.71= 1.42 1No 5 = 2.00 1No 4 = 1.29 En los apoyos extremos debe colocarse la misma armadura del Nervio No 1 (1No 3). Vu crítica = 1.63 - 0.84*(0.15/2 + 0.17) = 1.42 t < fVc = 1.83 t Þ No requiere estribos. Nervio de amarre: Su función es confinar la losa y repartir la carga que recibe de los nervios sobre los muros cargueros, su ancho debe coincidir con el ancho del muro y su espesor con el espesor de la losa. De acuerdo a la NSR-98 Sec. E.3.4.4.a - su armadura longitudinal debe estar conformada por 4 barras longitudinales No 3 y estribos trasversales No 2 cada 10 cm en los primeros 50 cm de cada extremo de la luz (luz = espacio comprendido entre las columnas de amarre, ver capítulo 11) y en el resto cada 20 cm. En este ejemplo este nervio debe colocarse sobre los muros localizados en los ejes A, B y C y como corona de los muros del patio posterior. Nervio de temperatura o nervio transversal: Debe colocarse nervios transversales de repartición con una separación 275 libre máxima de 10 veces el espesor de la losa, sin exceder de 4.00 m. Su función es rigidizar los nervios en su sentido transversal. Estos nervios no requieren armadura de diseño aunque es bueno colocarle la armadura mínima exigida por la norma. En el caso del entrepiso de la figura se colocará uno de ellos en el centro de la luz de 3.25 m. e) Revisión de la loseta: b = 100 cm. h = 5 cm. Carga muerta (Wcm): Peso de la loseta: 1.00 * 0.05 * 2,400 = 120 kgf / m Peso de acabados: 1.00 * 150 = 150 Peso particiones: 1.00 * 300 = 300 ======= Wcm = 570 kgf / m. Carga viva (Wcv): Para vivienda Wcv = 1.00 * 180 = 180 kgf / m. Carga última (Wu): Wu = 1.4 * Wcm + 1.7 * Wcv= 1,104 kgf/m2»1.10 t/m. Mu = Wu * L2/12 = 1,472.0 kgf-cm. Máxima tracción solicitada del hormigón: ft = 6 Mu / bh2 = 3.53 kgf / cm2. Máxima tracción permitida: fct = 2.0 * f * = 2.0 * 0.9 * = 26 kgf/cm2. Conclusión: no se requiere refuerzo por flexión en la loseta. Refuerzo por cambios de temperatura: Para refuerzo con mallas electro-soldadas: Por estar la losa restringida 276 y usarse en interiores debe multiplicarse la cuantía de la norma por 1.25 para controlar la fisuración, según NSR-98 sec. C.7.12.1. Ast = 0.0018 bh = 0.0018 * 1.25 *100 * 5 = 1.125 cm2 / m / m. La máxima separación que se permite para el refuerzo seleccionado es: s < 5h = 25 cm < 50 cm. En este caso la separación máxima de este refuerzo es de 25 cm. Se emplearán mallas electrosoldadas, la malla D-106 tiene 1.06 cm2/m en cada dirección y la armadura está separada cada 15 cm. Lo cual satisface el requerimiento de este diseño. despieCe de la arMadura de los nervios 277 Capítulo 11. diseño de losas en dos direCCiones 11.1 generalidades Los paneles de las losas de entrepiso que trabajan en dos direcciones son aquellos paneles en los cuales la relación entre su longitud y su ancho es menor de 2. Sistemas de losas: • Losas planas sin vigas, apoyadas sobre columnas con o sin capiteles, con o sin ábacos. • Losas planas con vigas. Métodos de análisis y diseño permitidos por la NSR-98: • Método directo de diseño (NSR-98 Sec. C.13.6). Fotografía 27. Losa plana sin vigas apoyadas sobre capiteles. Fotografía 28. Losa armada en una dirección apoyada en vigas. Fotografía 29. Losa plana con ábacos. 279 • Método de los coeficientes (NSR-98 Sec. C.13.9). • Método del pórtico equivalente (NSR-98 Sec. C.13.7). • Métodos plásticos de análisis y diseño (NSR-98 Sec. C.13.8). En el presente texto estudiaremos el método directo y el de los coeficientes. Primero consideraremos un panel rectangular soportado en los cuatro lados por apoyos indeformables como son los muros estructurales o las vigas rígidas. La evaluación de la distribución de los momentos en las direcciones “x” y “y” es muy compleja, debido a que su comportamiento es altamente indeterminado. Si consideramos las franjas centrales AB y DE la flecha en el punto C debe ser la misma en ambas franjas. figura 11.1 franjas centrales en un panel de entrepiso. La flecha para una viga simplemente apoyada sometida a carga uniforme es 5Wu L4 /384EI. Si consideramos que WA-B y WD-E son las porciones de la carga total Wu que se transfieren a las franjas AB y DE, véase ilustración en la figura 11.1, se tiene que: Wu = WA-B + WD-E. Igualando las flechas en el punto C se obtiene: Wu * S4 WA-B = –––––––– L4 + S4 Wu * L4 WD-E = –––––––– L4 + S4 En la expresión anterior se puede observar que a la luz más corta, LD-E, corresponde una mayor porción de la carga. Extendiendo esta conclusión a otros tipos de apoyos puede afirmarse que a la luz más corta de un panel corresponde una mayor porción de la carga y por tanto mayores momentos. 280 Para los análisis aproximados de las losas bidireccionales se asume que existen planos verticales que cortan todos los pisos formando rectángulos en planta limitados por las líneas AB y CD, véase ilustración en la figura 11.2, trazadas en la mitad de la distancia entre columnas, se forma así un pórtico rígido en la dirección x. De manera semejante las líneas verticales EF y HG forman un pórtico rígido en la dirección y. Una solución de estos pórticos idealizados consistente en considerar vigas horizontales de losas equivalentes y columnas de apoyo. Esto permite el diseño de las losas como si fuesen las vigas del pórtico. f igura 11.2 p lanta la dirección x. de piso con el pórtico equiValente en El método de diseño directo presenta el modo de determinar de manera aproximada los momentos y cortantes utilizando coeficientes simplificados. El método del pórtico equivalente trata el pórtico de manera semejante a un pórtico real, por lo que tiene menos limitaciones que el método directo. Los momentos que se calculan en el pórtico equivalente no son uniformes a lo ancho del pórtico. Estos tienen un mayor valor sobre el eje de columnas y disminuye hacia el centro de las luces, por ello hay necesidad de dividir el pórtico en franjas para una mejor distribución de los momentos. 281 figura 11.3 franjas de columna y mitades de franjas centrales. La franja de columnas es una franja de diseño con un ancho igual a cada lado del eje de columnas igual a 0.25L1 ó 0.25 L2, la que sea menor (NSR-98 Sec. C.13.4.1). Lo anterior con el fin de evitar que la franja de columna sea demasiado ancha cuando la losa sea muy alargada en el sentido de L2. La franja central es una franja de diseño limitada por dos franjas de columnas (NSR-98 Sec. C.13.4.2). 11.2 a) método directo de diseño 11.2.1 limitantes del método En cada dirección debe haber un mínimo de tres luces continuas. b) Los paneles deben ser rectangulares con una relación de la luz más larga a la más, corta dentro de cada panel, no mayor de 2.0. c) Las longitudes de las losas sucesivas, en cada dirección, no pueden diferir en más de 1/3 de la luz más larga. d) Las columnas pueden desalinearse máximo el 10% de la luz (en la dirección del desalineamiento) de cualquier eje entre columnas sucesivas. e) Las cargas deben ser únicamente verticales, causadas por los efectos de la gravedad y estar uniformemente distribuidas sobre un panel completo. La carga viva no debe exceder de 2 veces la carga muerta. 282 f) Para un panel con vigas de apoyo por todos los cuatro lados, la rigidez relativa de las vigas en dos direcciones perpendiculares: a1 L22 / a2 L12, no debe ser menor de 0.2 ni mayor de 5. Longitud de la luz en la dirección en la cual se determinan los momentos, medida centro a centro de apoyos. a = Ec viga Iviga / Ec losa Ilosa. a1 = Valor de a en la dirección L1. Ec viga = Módulo de elasticidad del hormigón de la viga. L1 = Las cuatro primeras de estas limitaciones tienen como finalidad garantizar la simetría de la estructura para evitar los desplazamientos horizontales causados por ella. La limitación “e” impide aplicar el método a estructuras muy usuales; es frecuente encontrar fuerzas horizontales causadas por sismo o viento. Con la limitación “f” se trata de evitar la presencia de vigas con alta diferencia de rigidez en cada una de las direcciones. El calculo de la relación a1 L22 / a2 L12 debe hacerse en las dos direcciones, en la practica basta con calcularla en una sola dirección, pues si se cumple en una de ellas forzosamente debe cumplirse en la otra, pues 0.2 y 5.0 son recíprocos. 11.2.2 espesores mínimos de las losas El espesor mínimo de losas con vigas entre apoyos en todos sus lados debe ser (NSR-98 Sec. C.9.5.3.3): a) Para am < 0.2 se deben cumplir los requisitos de la sección C.9.5.3.2 del la NSR-98, esta relación cobija el caso de losas sin vigas. b) Para 2.0 > am > 0.2 el espesor no debe ser menor que: h> (11.1) 283 c) Para am > 2 el espesor no debe ser menor que: h> (11.2) Ln = Luz libre en la longitud larga en losas que trabajan en dos direcciones, medida cara a cara de las vigas de apoyo. b = Relación de la luz libre larga a la luz libre corta, para losas que trabajan en dos direcciones. am = Valor promedio de a para todas las vigas existentes en el bor de del panel. Cuando se desea predimensionar una losa puede emplearse la expresión 11.2, en ella el espesor de la losa solo depende de su geometría y de los materiales. Una vez se determine el espesor se calcula el valor de a. 11.2.3 momento estático total Considerando la franja de la losa de la figura 11.4 se aísla una viga de ancho L2, la cual está limitada por los dos ejes centrales de los paneles adyacentes A’ y B’. Esta viga en conjunto con las columnas del eje B forma un pórtico véase figura 11.5. La viga de este pórtico tendrá una carga por unidad de longitud igual a WuL2, en donde, Wu es la carga última por m2 de losa. En estas condiciones la viga presenta un diagrama de momentos similar al indicado de la figura 11.6. 284 figura 11.4 franja de una losa en la cual se determina el momento estático. figura 11.5 carga por m2 y por metro lineal de Viga en el pórtico equiValente en el eje b. 285 figura 11.6 distribución una losa con Vigas. de los momentos positiVos y negatiVos en Por equilibrio, el momento estático en cada uno de los tramos debe cumplir la siguiente relación: Wu * L2 * L12 Mo = ——————— 8 Para el caso del tramo 2-3: M2– + M3– Mo = —————— + M+luz 2 Realmente los momentos flectores no son uniformes a lo largo del ancho L2. En el eje B, por ser un eje de columnas, los momentos son mayores que a lo largo de los ejes A’ y B’, esto a causa de la mayor rigidez dada por la presencia de vigas y columnas. En la expresión superior se supone que los apoyos son puntuales, lo cual no coincide con la realidad. Para tener en cuenta lo anterior la NSR-98 Sec. C.13.6.2.4 recomienda que la luz de diseño L1 debe tomarse entre caras de columnas (L1n) pero en ningún caso será inferior a 0.65L1. Cuando las columnas sean de sección circular o poligonal se deben transformar en columnas cuadradas de igual área. NSR-98 Sec. C.13.6.2.4. 11.2.4 distribución del momento estático total Una vez determinado el valor del momento estático total éste debe distribuirse en momentos negativos en los apoyos y positivos en la luz. Para hacer la anterior distribución es necesario distinguir entre luces internas y externas. En referencia a la figura 11.5 la luz B-C es una luz interior, mientras que la luz A-B es una luz exterior. 286 En las luces internas (NSR-98 Sec. C.13.6.3.1) el momento estático total se distribuye de la siguiente manera: Momento negativo Momento positivo = 0.65 * Mo. = 0.35 * Mo. En las luces externas (NSR-98 Sec. C.13.1) la distribución depende del grado de empotramiento que proporcionen las columnas. En el caso de existir vigas en todos los cuatro lados del panel el momento estático total se distribuye de la siguiente manera: Momento negativo exterior Momento negativo interior Momento positivo en la luz = 0.16 Mo. = 0.57 Mo. = 0.70 Mo. En la tabla 11.1 se indican los coeficientes sugeridos por la NSR-98 para varias condiciones de apoyo de las losas. Estos coeficientes se han obtenido resolviendo distintas estructuras que cumplen con las limitaciones del método. tabla 11.1 coeficientes para la distribución del momento estático nsr-98 tabla. c.13.1. Momentos mayorados Momento negativo interior Momento positivo Momento negativo exterior Apoyo exterior libre 0.75 0.63 0.00 Losa con vigas entre cualquiera de los apoyos 0.70 0.57 0.16 Losa sin vigas entre apoyos internos Sin vigas de borde 0.70 0.52 0.26 Con vigas de borde 0.70 0.50 0.30 Apoyo exterior totalmente restringido 0.65 0.35 0.65 Los momentos negativos están dados en la cara de la columna, no en el eje, esta es la sección crítica a flexión. Cuando los momentos en las dos caras de las columnas no sean iguales, se debe diseñar con el momento mayor. NSR-98 Sec. C.13.6.3.3. El momento negativo exterior debe transferirse como momento torsionante a la viga y debe considerarse así en su diseño. NSR-98 Sec. C.13.6.3.4. 287 11.2.4.1 distribución del momento a lo ancHo de la franja Los momentos calculados actúan a lo ancho de la franja L2. Como su variación no es uniforme hay necesidad de distribuirlos. Para ello la franja de la losa se divide en una franja de columna y una franja central. El ancho de franja de columnas se limita al menor de los valores L1/4 ó L2/4, a cada lado del eje de columnas. Las dos franjas centrales van desde el borde de la franja de columnas hasta el eje central del panel correspondiente. La distribución del momento se hace inicialmente de modo que el momento total de la franja completa se divide entre la franja de columnas y la franja central acorde con los porcentajes de la tabla 11.2. Posteriormente, los momentos de la franja de columnas se dividen entre la viga y la losa, asignándole a la viga el 85% de su valor si la relación (a1 L2 / L1)> 1.0 (NSR-98 Sec. C.13.6.5). Para (a1 L2 / L1)< 1.0 se interpola linealmente entre 0 y 85% (NSR-98 Sec. C.13.6.5.1). La distribución de los momentos a lo ancho de la franja esta dada en función de la relación L2/L1 y del parámetro a1. En el caso de los momentos negativos exteriores esta dado en función del termino bt el cual es una medida de la relación entre la rigidez a torsión de la viga y la rigidez a la flexión de una franja de la losa perpendicular a la viga de borde. tabla 11.2 coeficientes para el calculo del momento mayorado en las franja tablas c.13-2,3,4. Relación de rigidez Momentos negativos en apoyos interiores (a1 L2 / L1) = 0 L2 / L1 0.5 75 90 1.0 75 75 100 75 100 75 60 75 2.0 75 45 100 75 100 45 60 45 (a1 L2 / L1) > 1.0 (a1 L2 / L1) = 0 (a1 L2 / L1) > 1.0 (a1 L2 / L1) = 0 Momentos negativos en apoyos exteriores bt = 0 bt > 2.50 bt = 0 bt > 2.5 100 75 100 90 60 90 Momentos positivos (a1 L2 / L1) > 1.0 288 bt = –––––––––––– EC viga * C 2EC losa * Ig (11.3) Is = Momento de inercia de la sección bruta de la losa alrededor del eje centroidal e igual h3/12 veces el ancho de la losa. Constante de la sección transversal utilizada para definir las propiedades de torsión. Relación de la rigidez a la torsión de la sección de la viga de borde a la rigidez a la flexión de un ancho de losa igual a la longitud de la luz de la viga, centro a centro de apoyos. C= Ec viga = Módulo de elasticidad del hormigón de la viga. bt = Calculo de la constante C: Una vez definida la viga se divide la sección en rectángulos y en cada uno de ellos se llama “x” al lado menor y “y” al lado mayor; una vez realizado lo anterior se calcula C mediante la relación (NSR-98 Sec. C.13.0): (11.4) En caso en que en la viga de borde sea posible hacer la división en rectángulos de distintas maneras, debe calcularse el valor de C para cada una de ellas y tomarse el mayor valor. 11.2.5 diseño a flexión En el diseño de losas bidireccionales pueden emplearse barras rectas, cortadas cuando no sean indispensables y dobladas; la economía en la fabricación y en la colocación del refuerzo conduce a una solución de barras rectas. La localización de los puntos de inflexión no se puede determinar fácilmente porque depende de la relación de las luces, de la proporción de la carga viva y la carga muerta, y de las condiciones de continuidad en los bordes. La NSR-98 Figura C.13.1 sugiere los puntos de corte de estas barras. 289 El área de refuerzo en cada dirección, para sistema de losas en dos direcciones, debe determinarse según los momentos en las secciones criticas, pero no debe ser menor que la requerida en la sección C.7.12.1 En el caso de barras corrugadas o mallas electro-soldadas de alambre liso o corrugado, con resistencia a la fluencia igual a 4,200 kgf/cm2 la cuantía mínima es de 0.0018 Este refuerzo debe tener una separación no mayor de 5 veces el espesor de la losa ó 50 cm, la que sea menor. NSR-98 Sec. C.7.12.1. tabla 11.3 extensiones mínimas del refuerzo en losas sin Vigas. El espaciamiento máximo del refuerzo principal en las zonas críticas no debe ser mayor que 2 veces el espesor de la losa, excepto en las áreas que sean de construcción nervada. NSR-98 Sec. C.13.5.2. El refuerzo para momento positivo, perpendicular a un borde discontinuo, debe extenderse hasta el borde de la losa y tener allí un anclaje recto o con ganchos de por lo menos 15 cm en las vigas de borde, columnas o muros. NSR-98 Sec. C.13.5.3. 290 El refuerzo para momento negativo, perpendicular a un borde discontinuo, debe anclarse en las vigas de borde, muros o columnas de manera que se tenga la longitud de desarrollo en la cara del apoyo. NSR98 Sec. C.13.5.4. 11.2.6 reVisión de la torsión En el caso de losas apoyadas en vigas rígidas, en la que “a” sea mayor que la unidad, se presenta un problema en las esquinas exteriores: La losa tiende a levantarse. Para evitar que la losa se agriete por este efecto la NSR-98 Sec. C13.5.6 exige colocar un refuerzo especial, superior e inferior, en las esquinas exteriores de acuerdo a los siguientes requisitos: a) El refuerzo especial tanto en la parte superior como en la inferior debe ser suficiente para resistir un momento igual al momento positivo de la losa (por unidad de ancho). b) Se supone que el momento actúa alrededor de un eje perpendicular a la diagonal desde la esquina en la parte superior de la losa y perpendicular a esa diagonal en la parte inferior. c) El refuerzo especial debe colocarse a una distancia igual a 1/5 de la luz mayor, en ambas direcciones, a partir de la esquina. d) El refuerzo especial debe colocarse en una banda paralela en la diagonal en la parte superior de la losa y en una banda perpendicular a la diagonal en la parte inferior de la losa. Alternativamente el refuerzo especial puede colocarse en dos capas paralelas a los lados de la losa que se localizan en la parte superior o en la parte inferior de la losa. figura 11.7 refuerzo en las esquinas exteriores de las losas. 291 11.2.7 diseño a cortante Para la distribución del cortante en vigas y losa la NSR-98 Sec. C.13.6.8 especifica que para las vigas donde a1 L2 / L1 sea igual o mayor que 1.0 deben dimensionarse para resistir la fuerza cortante causada por la carga mayorada sobre las áreas tributarias, causadas por líneas trazadas a 45 grados desde las esquinas de los paneles y los ejes de los paneles adyacentes paralelos a los lados largos. figura 11.8 franjas tributarias para reVisión del cortante en la losa. Las vigas con a1 L2 / L1 menor de 1.0 deben dimensionarse para resistir la fuerza cortante obtenida por interpolación lineal, suponiendo que las vigas con a = 0 no soportan carga. NSR-98 Sec. C.13.6.8.1. Además de las fuerzas cortantes calculadas de acuerdo con los presentes requisitos, las vigas deben dimensionarse para resistir los cortantes causados por las cargas mayoradas aplicadas directamente sobre ella. NSR-98 Sec. C.13.6.8.2. La resistencia a cortante de una losa puede calcularse bajo la suposición de que la carga se distribuye a las vigas de apoyo de acuerdo con los requisitos de la presente sección. Debe proporcionarse resistencia a la fuerza cortante total que ocurre en un panel. NSR-98 Sec. C.13.6.8.3 Considerando la losa de la figura 11.8, para el análisis del cortante la losa se divide en franjas de ancho unitario, como las franjas A y B y se revisa cada una de ellas como si fuese una viga. La fuerza cortante en el extremo de una franja, A, que es la más desfavorable es Wu L1 / 2. En el caso que se desee obtener la carga sobre las vigas se procede de conformidad a las áreas tributarias, las vigas verticales tendrán una carga de forma triangular y las horizontales de forma trapezoidal. 292 11.3 método de los coeficientes 11.3.1 alcance Este método solo es aplicable a losas cuyos paneles estén apoyados en sus cuatro bordes sobre muros o sobre vigas rígidas, para efecto de la aplicación del presente método, una viga se considera rígida cuando el parámetro “a” es mayor o igual a 0.5. Cuando se trate de losas nervadas, el mínimo número de nervaduras, en cada dirección, debe ser mayor o igual a seis, para poder aplicar este método. NSR-98 Sec. C.13.9.1. 11.3.2 franjas Los paneles de la losa se dividen, en cada dirección, en franjas de columnas y franjas centrales, de acuerdo a lo explicado en la sección 11.1. NSR-98 Sec. 13.9.2. 11.3.3 condiciones de borde En la aplicación del método se consideran dos condiciones de borde (NSR-98 Sec. C.13.9.4): a) Cuando la viga de apoyo en el borde del panel es suficientemente rígida a torsión, el apoyo puede considerarse equivalente a un apoyo central continuo. b) Cuando la viga de apoyo en el borde del panel tiene una rigidez torsional despreciable, debe considerarse que el apoyo de la viga es discontinuo. En este caso el momento de diseño en el borde de la losa debe ser igual a un tercio del momento positivo de diseño. 11.3.4 secciones críticas para momento Las secciones críticas para momentos, en cualquiera de las dos direcciones, son las siguientes (NSR-98 Sec. C.13.9.5): a) Para momentos negativos los bordes de los paneles en las caras de los apoyos. b) Para momento positivo el centro de los paneles. 293 11.3.5 momentos de diseño en la franja central Los momentos de diseño en la franja central deben calcularse utilizando las tablas 11.4, 11.5 y 11.6, empleando las siguientes ecuaciones (NSR-98 Sec. C.13.9.5): Ma = Ca,j Wj Lan2 Mb = Cb,j Wj Lbn2 (11.5) (11.6) Donde Wj corresponde a WL, Wd o Wu según se indica en cada una de las tablas, WL = Carga viva mayorada, Wd = Carga muerta mayorada y Wu = Carga última de diseño. 11.3.6 momentos negatiVos en el apoyo común de paneles de diferente tamaño (nsr-98 sec. c.13.9.8) Cuando el momento negativo de un lado del apoyo sea menos del 80% del correspondiente al otro lado del apoyo, la diferencia debe distribuirse en proporción a la rigidez relativa de las losas. 11.3.7 momento de diseño en la franja de columnas (nsr-98 sec. c.13.9.7) Los momentos de diseño en la franja de las columnas debe reducirse gradualmente de su valor total Ma, Mb en el límite de la franja central a 1/3 de estos valores en el borde del panel. 11.3.8 nomenclatura Para la correcta lectura e interpretación de las tablas en el siguiente grafico se ilustra la convención utilizada por la NSR-98. figura 11. 9 nomenclatura cientes. empleada por el método de los coefi- 294 tabla 11. 4 coeficientes para momentos negatiVo en losa Ma, neg = Ca,neg * W * La2 , W = carga muerta mas viva uniforme total Mb, neg = Cb,neg * W * Lb2 Relación m = La/Lb Ca,neg 1.00 Cb,neg Ca,neg 0.95 Cb,neg Ca,neg 0.90 Cb,neg Ca,neg 0.85 Cb,neg Ca,neg 0.80 Cb,neg Ca,neg¿ 0.75 Cb,neg Ca,neg 0.70 Cb,neg Ca,neg 0.65 Cb,neg Ca,neg 0.60 Cb,neg Ca,neg 0.55 Cb,neg Ca,neg 0.50 Cb,neg Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9 0.045 0.045 0.050 0.041 0.055 0.037 0.060 0.031 0.065 0.027 0.069 0.022 0.074 0.017 0.077 0.014 0.081 0.010 0.084 0.007 0.086 0.006 0.022 0.028 0.035 0.043 0.050 0.056 0.061 0.065 0.070 0.072 0.076 0.050 0.050 0.055 0.045 0.060 0.040 0.066 0.034 0.071 0.029 0.076 0.024 0.081 0.019 0.085 0.015 0.089 0.011 0.092 0.008 0.094 0.006 0.075 0.071 0.071 0.033 0.061 0.038 0.067 0.056 0.043 0.062 0.052 0.049 0.057 0.046 0.055 0.051 0.041 0.061 0.044 0.036 0.068 0.038 0.029 0.074 0.031 0.024 0.080 0.024 0.018 0.085 0.019 0.014 0.089 0.014 0.010 0.061 0.033 0.065 0.029 0.068 0.025 0.072 0.021 0.075 0.017 0.078 0.014 0.081 0.011 0.083 0.008 0.085 0.006 0.086 0.005 0.088 0.003 0.079 0.075 0.080 0.079 0.082 0.083 0.083 0.086 0.085 0.088 0.086 0.091 0.087 0.093 0.088 0.095 0.089 0.096 0.090 0.097 Un borde achurado indica que la losa continúa o se encuentra empotrada en ese apoyo; un borde sin marcas indica que el apoyo no tiene resistencia torsional. 295 tabla 11.5 coeficientes para momento positiVo de carga muerta en la losa Ma, pos,dl = Ca,dl * W * La2 , W = carga muerta uniforme total Mb, pos,dl = Cb,dl * W * Lb2 Relación m = La/Lb Ca,d 1.00 Cb,d Ca,d 0.95 Cb,d Ca,d 0.90 Cb,d Ca,d 0.85 Cb,d Ca,d 0.80 Cb,d Ca,d 0.75 Cb,d Ca,d 0.70 Cb,d Ca,d 0.65 Cb,d Ca,d 0.60 Cb,d Ca,d 0.55 Cb,d Ca,d 0.50 Cb,d Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9 0.036 0.036 0.040 0.033 0.045 0.029 0.050 0.026 0.056 0.023 0.061 0.019 0.068 0.016 0.074 0.013 0.081 0.010 0.088 0.008 0.095 0.006 0.018 0.018 0.020 0.016 0.022 0.014 0.024 0.012 0.026 0.011 0.028 0.009 0.030 0.007 0.032 0.006 0.034 0.004 0.035 0.003 0.037 0.002 0.018 0.027 0.021 0.025 0.025 0.024 0.029 0.022 0.034 0.020 0.040 0.018 0.046 0.016 0.054 0.014 0.062 0.011 0.071 0.009 0.080 0.007 0.027 0.027 0.030 0.024 0.033 0.022 0.036 0.019 0.039 0.016 0.043 0.013 0.046 0.011 0.050 0.009 0.053 0.007 0.056 0.005 0.059 0.004 0.027 0.018 0.028 0.015 0.029 0.013 0.031 0.011 0.032 0.009 0.033 0.007 0.035 0.005 0.036 0.004 0.037 0.003 0.038 0.002 0.039 0.001 0.033 0.027 0.036 0.024 0.039 0.021 0.042 0.017 0.045 0.015 0.048 0.012 0.051 0.009 0.054 0.007 0.056 0.006 0.058 0.004 0.061 0.003 0.027 0.033 0.031 0.031 0.035 0.028 0.040 0.025 0.045 0.022 0.051 0.020 0.058 0.017 0.065 0.014 0.073 0.012 0.081 0.009 0.089 0.007 0.020 0.023 0.022 0.021 0.025 0.019 0.029 0.017 0.032 0.015 0.036 0.013 0.040 0.011 0.044 0.009 0.048 0.007 0.052 0.005 0.056 0.004 0.023 0.020 0.024 0.017 0.026 0.015 0.028 0.013 0.029 0.010 0.031 0.007 0.033 0.006 0.034 0.005 0.036 0.004 0.037 0.003 0.038 0.002 Un borde achurado indica que la losa continúa o se encuentra empotrada en ese apoyo; un borde sin marcas indica que el apoyo no tiene resistencia torsional. 296 tabla 11.6 coeficientes losa para momento positiVo de carga ViVa en la Ma, pos,ll = Ca,ll * W * La2 , W = carga viva uniforme total Mb, pos,ll = Cb,ll * W * Lb2 Relación m = La/Lb Ca,L 1.00 Cb,L Ca,L 0.95 Cb,L Ca,L 0.90 Cb,L Ca,L 0.85 Cb,L Ca,L 0.80 Cb,L Ca,L 0.75 Cb,L Ca,L 0.70 Cb,L Ca,L 0.65 Cb,L Ca,L 0.60 Cb,L Ca,L 0.55 Cb,L Ca,L 0.50 Cb,L Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9 0.036 0.036 0.040 0.033 0.045 0.029 0.050 0.026 0.056 0.023 0.061 0.019 0.068 0.016 0.074 0.013 0.081 0.010 0.088 0.008 0.095 0.006 0.027 0.027 0.030 0.025 0.034 0.022 0.037 0.019 0.041 0.017 0.045 0.014 0.049 0.012 0.053 0.010 0.058 0.007 0.062 0.006 0.066 0.004 0.027 0.032 0.031 0.029 0.035 0.027 0.040 0.024 0.045 0.022 0.051 0.019 0.057 0.016 0.064 0.014 0.071 0.011 0.080 0.009 0.088 0.007 0.032 0.032 0.035 0.029 0.039 0.026 0.043 0.023 0.048 0.020 0.052 0.016 0.057 0.014 0.062 0.011 0.067 0.009 0.072 0.007 0.077 0.005 0.032 0.027 0.034 0.024 0.037 0.021 0.041 0.019 0.044 0.016 0.047 0.013 0.051 0.011 0.055 0.009 0.059 0.007 0.063 0.005 0.067 0.004 0.035 0.032 0.038 0.029 0.042 0.025 0.046 0.022 0.051 0.019 0.055 0.016 0.060 0.013 0.064 0.010 0.068 0.008 0.073 0.006 0.078 0.005 0.032 0.035 0.036 0.032 0.040 0.029 0.045 0.026 0.051 0.023 0.056 0.020 0.063 0.017 0.070 0.014 0.077 0.011 0.085 0.009 0.092 0.007 0.028 0.030 0.031 0.027 0.035 0.024 0.040 0.022 0.044 0.019 0.049 0.016 0.054 0.014 0.059 0.011 0.065 0.009 0.070 0.007 0.076 0.005 0.030 0.028 0.032 0.025 0.036 0.022 0.039 0.020 0.042 0.017 0.046 0.013 0.050 0.011 0.054 0.009 0.059 0.007 0.063 0.006 0.067 0.004 Un borde achurado indica que la losa continúa o se encuentra empotrada en ese apoyo; un borde sin marcas indica que el apoyo no tiene resistencia torsional. 297 tabla 11.7 relacion de la carga w en las direcciones la y lb para determinar el cortante de la losa en el apoyo y la carga en las Vigas Relación m = La/Lb Wa 1.00 Wb Wa 0.95 Wb Wa 0.90 Wb Wa 0.85 Wb Wa 0.80 Wb Wa 0.75 Wb Wa 0.70 Wb Wa 0.65 Wb Wa 0.60 Wb Wa 0.55 Wb Wa 0.50 Wb Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9 0.50 0.50 0.55 0.45 0.60 0.40 0.66 0.34 0.71 0.29 0.76 0.24 0.81 0.19 0.85 0.15 0.89 0.11 0.92 0.08 0.94 0.06 0.50 0.50 0.55 0.45 0.60 0.40 0.66 0.34 0.71 0.29 0.76 0.24 0.81 0.19 0.85 0.15 0.89 0.11 0.92 0.08 0.94 0.06 0.17 0.83 0.20 0.80 0.23 0.77 0.28 0.72 0.33 0.67 0.39 0.61 0.45 0.55 0.53 0.47 0.61 0.39 0.69 0.31 0.76 0.24 0.50 0.50 0.55 0.45 0.60 0.40 0.66 0.34 0.71 0.29 0.76 0.24 0.81 0.19 0.85 0.15 0.89 0.11 0.92 0.08 0.94 0.06 0.83 0.17 0.86 0.14 0.88 0.12 0.90 0.10 0.92 0.08 0.94 0.06 0.95 0.05 0.96 0.04 0.97 0.03 0.98 0.02 0.99 0.01 0.71 0.29 0.75 0.25 0.79 0.21 0.83 0.17 0.86 0.14 0.88 0.12 0.91 0.09 0.93 0.07 0.95 0.05 0.96 0.04 0.97 0.03 0.29 0.71 0.33 0.67 0.38 0.62 0.43 0.57 0.49 0.51 0.56 0.44 0.62 0.38 0.69 0.31 0.76 0.24 0.81 0.19 0.86 0.14 0.33 0.67 0.38 0.62 0.43 0.57 0.49 0.51 0.55 0.45 0.61 0.39 0.68 0.32 0.74 0.26 0.80 0.20 0.85 0.15 0.89 0.11 0.67 0.33 0.71 0.29 0.75 0.25 0.79 0.21 0.83 0.17 0.86 0.14 0.89 0.11 0.92 0.08 0.94 0.06 0.95 0.05 0.97 0.03 Un borde sombreado indica que la losa continúa o se encuentra empotrada en ese apoyo; un borde sin marcas indica que el apoyo no tiene resistencia torsional. 298 11. 4 ejemplos ejemplo 11.1 La siguiente construcción de dos niveles corresponde a una estructura aporticada y estará destinada para oficinas. Diseñar la losa de entrepiso, como losa maciza con vigas descolgadas, empleando el método directo de la NSR-98. Asumir todas las columnas de 40x40 cm, las vigas en el eje de las letras de 25x60 cm y en el eje de los números de 25x50 cm. Emplear hormigón con f’c = 210 kgf/cm2 y acero con fy = 4,200 kgf/cm2. Asumir como peso de particiones 350 kgf/m2 y para acabados 200 kgf/m2. 299 Procedimiento: 1) Se define el espesor de la losa mediante la expresión 11.2. Al analizar todos los paneles se concluye que el más desfavorable es el panel , en la dirección de la mayor luz, L = 575 cm, Ln = Luz mayor libre = 575 cm, luz menor libre = 475 cm. (NSR-98 Sec. C.9.5.3.3). b= Luz mayor libre / Luz menor libre = 575 / 475 = 1.21. Se asume un espesor de 14 cm. 2) Se revisa si se cumplen las limitaciones del método (NSR-98 Sec. C.13.6.1). a) b) c) d) e) Hay tres o más luces en cada dirección. ü Se cumple la relación entre la luz mas larga y la mas corta: 6.00 / 4.00 = 1.5 < 2.0. ü Se cumple la diferencia máxima entre las luces sucesivas: 5.0 – 4.0 = 1.0 < 5.0 /3. ü No existen columnas desalineadas, todas se encuentran localizadas en los ejes. ü Relación entre la carga viva y la carga muerta no es superior a 2.0 Carga muerta: Peso propio de la losa 1.0 * 0.14 * 2.400 = 336 kgf/m2. Acabados = 200 Particiones = 350 ============== CM = 886 kgf/m2. Carga viva (NSR-98 Sec. B.3.6) CV = 200 kgf/m2. CV / CM < 2.0 ü 300 f) Se revisa, en todos los paneles, si la rigidez relativa de las vigas, en dos direcciones perpendiculares, cumplen la siguiente relación: a1 * L22 0.20 < –––––––––– < 5.00 a1 * L22 • Calculo del término “a” para las vigas interiores de 6 m. bf = h – t < 4 * t bf = 60 – 14 = 46 cm bf < 4 * 14 = 56 cm Þ bf = 46 cm ycg = 19.37 cm, Ix = 1’884,149.3 cm4, a = Iviga / Ilosa = 8.14 Iviga = 837,618.4 cm4 Ilosa=bh3/12, b=(5.00+4.00)/2=4.5m, h = 14 cm, Ilosa=102,900 cm4 • Calculo del término “a” para las vigas interiores de 5 y 4 m. bf = h – t < 4 * t bf = 60 – 14 = 36 cm bf < 4 * 14 = 56 cm Þ bf = 36 cm ycg = 16.96 cm, Ix = 1´107,522.7 cm4, Iviga = 457,677.9 cm4 Ilosa = bh3/12, b = 600 cm, h = 14 cm, Ilosa = 137,200 cm4 a = Iviga / Ilosa = 3.34 301 • Calculo del término “a” para las vigas exteriores de 6 m. bf = h – t < 4 * t bf = 60 – 14 = 46 cm bf < 4 * 14 = 56 cm Þ bf = 46 cm ycg=23.09 cm Ix = 1’842,074.7cm4 Iviga = 698,864.7 cm4 Ilosa = bh3/12, b=250+12.5 cm. h=14 cm. Ilosa = 60,025 cm4. a = Iviga / Ilosa = 11.64. • Calculo del término “a” para las vigas exteriores de 5 y 4 m. bf = h – t < 4 * t bf = 60 – 14 = 36 cm bf < 4 * 14 = 56 cm Þ bf = 36 cm ycg = 19.83 cm. Ix = 1’074,594.7 cm4. Iviga = 385,022.7 cm4. a = Iviga / Ilosa = 5.39. Ilosa=bh3/12, b=300+12.5cm. h=14 cm. Ilosa = 71,458.3 cm4. 302 Resumen de los valores de “a”: Obtenidos los valores de “a” se revisa la relación a1 L22 / a2 L12: Panel , dirección horizontal, L1 = 6.00 m: Panel , dirección horizontal, L1 = 6.00 m: Panel , dirección horizontal, L1 = 6.00 m: Panel , dirección horizontal, L1 = 6.00 m: En todos los casos se cumple con esta limitación. ü Conclusión: Se cumple con todas las limitantes del método, en consecuencia, esta losa o placa de entrepiso puede analizarse por el Método Directo de Diseño. 303 3) Cálculo de los momentos estáticos de cada panel y de los momentos longitudinales. Para el momento estático: Wu * L2 * L21n Mo = –––––––––––––– 8 Wu = 1.4 * CM + 1.7 * CV = 1.4 * 886 + 1.7 * 200 = 1,580.4 kgf / m2 = 1.58 t / m2. L2 = ancho de la franja. L1n = Luz libre en la dirección que se calcula el momento estático. Para los momentos longitudinales: Eje A y D, todas las luces, Ln = 560 cm, L2 = 262.5 cm. 1.58 * 2.625 * 5.602 Wu * L2 * L21n Mo = –––––––––––––– = ––––––––––––––––––– = 16.26 t - m 8 8 M1-2(-) M12(+) M2-1(-) M2-3(-) M23(+) M3-2(-) = = = = = = 0.16 * Mo = 0.16 * 16.26 0.57 * Mo = 0.57 * 16.26 0.70 * Mo = 0.70 * 16.26 0.65 * Mo = 0.65 * 16.26 0.35 * Mo = 0.35 * 16.26 0.65 * Mo = 0.65 * 16.26 = = = = = = 2.60 t-m 9.27 t-m 11.38 t-m 10.57 t-m 5.69 t-m 10.57 t-m Eje B y C, todas las luces, Ln = 560 cm, L2 = 450 cm. 1.58 * 4.50 * 5.602 Wu * L2 * L21n Mo = –––––––––––––– = ––––––––––––––––––– = 27.87 t - m 8 8 M1-2(-) M12(+) M2-1(-) M2-3(-) M23(+) M3-2(-) = = = = = = 0.16 * Mo = 0.16 * 27.87 0.57 * Mo = 0.57 * 27.87 0.70 * Mo = 0.70 * 27.87 0.65 * Mo = 0.65 * 27.87 0.35 * Mo = 0.35 * 27.87 0.65 * Mo = 0.65 * 27.87 = = = = = = 4.46 t-m 15.89 t-m 19.51 t-m 18.12 t-m 9.75 t-m 8.12 t-m Eje 1 y 6 tramos A-B y C-D: Ln = 360 cm, L2 = 312.5 cm. 1.58 * 3.125 * 4.602 Wu * L2 * L21n Mo = –––––––––––––– = ––––––––––––––––––– = 13.06 t - m 8 8 304 Eje 1 y 6 tramo B-C: Ln = 360 cm, L2 = 312.5 cm. 1.58 * 3.125 * 3.602 Wu * L2 * L21n Mo = –––––––––––––– = ––––––––––––––––––– = 8.00 t - m 8 8 MA-B(-) MAB(+) MB-A(-) MB-C(-) MBC(+) MC-B(-) = = = = = = 0.16 * Mo = 0.16 * 13.06 0.57 * Mo = 0.57 * 13.06 0.70 * Mo = 0.70 * 13.06 0.65 * Mo = 0.65 * 8.00 0.35 * Mo = 0.35 * 8.00 0.65 * Mo = 0.65 * 8.00 = = = = = = 2.09 t-m 7.44 t-m 9.14 t-m 5.20 t-m 2.80 t-m 5.20 t-m Eje 2,3,4,5 Tramos A-B y C-D, Ln = 460 cm, L2 = 600 cm. 1.58 * 6.00 * 4.602 Wu * L2 * L21n Mo = –––––––––––––– = ––––––––––––––––––– = 25.07 t - m 8 8 Eje 2,3,4,5 Tramos B-C, Ln = 360 cm, L2 = 600 cm. 1.58 * 6.00 * 3.602 Wu * L2 * L21n Mo = –––––––––––––– = ––––––––––––––––––– = 15.36 t - m 8 8 MA-B(-) MAB(+) MB-A(-) MB-C(-) MBC(+) MC-B(-) 4) = = = = = = 0.16 * Mo = 0.16 * 25.07 0.57 * Mo = 0.57 * 25.07 0.70 * Mo = 0.70 * 25.07 0.65 * Mo = 0.65 * 15.36 0.35 * Mo = 0.35 * 15.36 0.65 * Mo = 0.65 * 15.36 = = = = = = 4.01 t-m 14.29 t-m 17.55 t-m 9.98 t-m 5.38 t-m 9.98 t-m Distribución de los momentos en las franjas Para distribuir los momentos obtenidos en el numeral 3 en las franjas debe determinarse previamente el valor de “bt”. Obtenido este valor se interpolarse linealmente en la tabla 11.2 para deducir el porcentaje de momentos que debe aplicarse a la franja de columna. Para realizar el procedimiento anterior debe determinarse previamente el valor de la constante de torsión “C” en las vigas perimetrales: 305 Ejes A y D: C1 = C2 = Þ C = 264.476 cm4 (Mayor valor entre C1 y C2). Ejes 1 y 6: C1 = C2 = Þ C = 203.246 cm4 (Mayor valor entre C1 y C2). Calculadas el valor de las constantes de torsión “C”, se procede a evaluar el valor de “bt” en los apoyos exteriores. bt es la relación de rigidez a la torsión de la sección de la viga de borde a la rigidez a la flexión de un ancho de losa igual a la longitud de la luz de la viga, centro a centro de apoyos. Franjas 1 a 6: Ilosa = 600 * 143/12 = 137,200 cm4 bt = CA-B / 2 * Ilosa = 264,476 / 2 * 137,200 = 0.96 306 Franjas A y D: Ilosa = 500*143/12 = 114,333 cm4 bt = C1-6 / 2*Ilosa = 203,246 / 2*114,333 = 0.89 Franjas B y C: Para las franjas centrales se toma el valor pro medio de las luces adyacentes, en este caso 4.50 m Ilosa = 450*143/12 = 102,900 cm4 bt = C1-6 / 2*Ilosa = 203,246 / 2*102,900 = 0.99 Cálculos de los momentos en las franjas A y D: L2 = 500 cm, L1 = 600 cm, a1 = 11.64 Para determinar el porcentaje del momento negativo en los apoyos exteriores debe interpolarse dos veces en la tabla 11.2. Relación de rigidez bt = 0 bt = 0.89 bt > 2.50 L2 / L1 0.5 100 ? 90 75 0.83 1.0 100 Momento (-) Apoyos Exteriores a1*L2/L1 > 1.00 Se interpola inicialmente para bt = 0.89: Para: L2/L1 = 0.50 bt = 0.00 Þ % = 100 bt = 0.89 Þ % = ? bt = 2.50 Þ % = 90 Para: L2/L1 = 1.00 bt = 0.00 Þ % = 100 bt = 0.89 Þ % = ? bt = 2.50 Þ % = 75 ? = (25/2.50) * 0.89 = 8.90 % = 100 – 8.90 = 91.10 ? = (10/2.50) * 0.89 = 3.56 % = 100 – 3.56 = 96.44 307 Relación de rigidez bt = 0 a1*L2/L1 bt = 0.89 bt > 2.50 L2 / L1 0.5 100 96.44 90 ? 0.83 1.0 100 91.10 75 Momento (-) Apoyos Exteriores Se interpola ahora para la relación: L2/L1 = 0.83 Para: L2/L1 = 1.00 L2/L1 = 0.50 Þ % = 96.44 L2/L1 = 0.83 Þ % = ? L2/L1 = 1.00 Þ % = 91.10 Relación de rigidez bt = 0 a1*L2/L1 bt = 0.89 bt > 2.50 ? = (96.44 - 91.10) * 0.33/0.50 = 3.52 % = 100 – 8.90 = 91.10 L2 / L1 0.5 100 96.44 90 92.92 0.83 1.0 100 91.10 75 Momento (-) Apoyos Exteriores Para determinar el porcentaje del momento positivo y negativo en los apoyos interiores, basta con interpolar una sola vez en la tabla 11.2 L2/L1 = 0.50 Þ % = 90 L2/L1 = 0.83 Þ % = ? L2/L1 = 1.00 Þ % = 75 ? = (90 - 75) * 0.33/0.50 = 9.90 % = 100 – 8.90 = 91.10 L2 / L1 0.5 a1*L2/L1 > 1.00 a1*L2/L1 > 1.00 90 90 0.83 80.10 80.10 1.0 75 75 Relación de rigidez Momento (-) Apoyos Exteriores Momento (+) El 85% del momento mayorado de la franja de columnas es resistido por la viga y el 15% restante por la losa si a1 L2 / L1 > 1.0, situación que domina todos los casos del presente ejemplo. NSR-98 Sec. C.13.6.5. Con los anteriores valores se elabora la siguiente tabla: 308 Sección M1-2 (-) M12 (+) M2-1 (-) M2-3 (-) M23 (+) M3-2 (-) Mo t-m 2.60 9.27 11.38 10.57 5.69 10.57 L2 / L1 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 a1 L2/L1 9.70 9.70 9.70 9.70 9.70 9.70 bt 0.89 *** *** *** *** *** % 92.90 80.10 80.10 80.10 80.10 80.10 Mfranja columna 2.42 7.43 9.12 8.47 4.56 8.47 Mviga t-m 2.06 6.32 7.75 7.20 3.88 7.20 Mlosa t-m 0.36 1.11 1.37 1.27 0.68 1.27 Mfranja central 0.18 1.84 2.26 2.10 1.13 2.10 Cálculos de los momentos en las franjas B y C: L2 = 450 cm, L1 = 600 cm, a1 = 8.14. Para determinar el porcentaje del momento negativo en los apoyos exteriores debe interpolarse dos veces en la tabla 11.2. Se interpola inicialmente para bt = 0.99, L2 / L1 = 0.75: Para: L2/L1 = 0.50 bt = 0.00 Þ % = 100 bt = 0.99 Þ % = ? bt = 2.50 Þ % = 90 Para: L2/L1 = 1.00 bt = 0.00 Þ % = 100 bt = 0.99 Þ % = ? bt = 2.50 Þ % = 75 ? = (100 - 75) * 0.99 / 2.5 = 9.90 % = 100 – 9.90 = 90.1 ? = (100 - 90) * 0.99 / 2.5 = 8.96 % = 100 – 8.96 = 96.04 Se interpola ahora para la relación: L2/L1 = 0.75 L2/L1 = 0.50 Þ % = 96.04 ? = (96.04 – 90.10) * 0.25/ .50 = 2.97 L2/L1 = 0.75 Þ % = ? L2/L1 = 1.00 Þ % = 90.10 % = 96.04 – 2.97 = 93.07 Para determinar el porcentaje del momento positivo y negativo en los apoyos interiores, basta con interpolar una sola vez en la tabla 11.2 Para los tramos A-B y C-D: L1 = 500 cm, L2 = 600 cm, a1 = 8.14, L1 / L2 = 0.75 L2/L1 = 0.50 Þ % = 90 L2/L1 = 0.75 Þ % = ? L2/L1 = 1.00 Þ % = 75 ? = (90 - 75) * 0.25/0.50 = 7.50 % = 90 – 7.50 = 82.50 El 85% del momento mayorado de la franja de columnas es resistido por la viga y el 15% restante por la losa. 309 Con los anteriores valores se elabora la siguiente tabla: Sección M1-2 (-) M12 (+) M2-1 (-) M2-3 (-) M23 (+) M3-2 (-) Mo t-m 4.46 15.89 19.51 18.12 9.75 18.12 L2 / L1 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 a1 L2/ L1 6.11 6.11 6.11 6.11 6.11 6.11 bt 0.99 *** *** *** *** *** % 93.07 82.50 82.50 82.50 82.50 82.50 Mfranja columna 4.15 13.11 16.10 14.95 8.04 14.95 Mviga t-m 3.53 11.14 13.69 12.71 6.88 12.71 Mlosa t-m 0.62 1.97 2.42 2.24 1.21 2.24 Mfranja central 0.31 2.78 3.41 3.17 1.71 3.17 Cálculos de los momentos en las franjas 1 y 6: L2 = 600 cm, L1 = 500 cm, a1 = 5.39. Para determinar el porcentaje del momento negativo en los apoyos exteriores debe interpolarse dos veces en la tabla 11.2. Se interpola inicialmente para bt = 0.96: Para: L2/L1 = 1.00 bt = 0.00 Þ % = 100 bt = 0.96 Þ % = ? bt = 2.50 Þ % = 75 Para: L2/L1 = 2.00 bt = 0.00 Þ % = 100 bt = 0.96 Þ % = ? bt = 2.50 Þ % = 45 ? = (100 - 45) * 0.96 / 2.50 = 21.12 % = 100 – 21.12 = 78.88 ? = (100 - 75) * 0.96 / 2.5 = 9.60 % = 100 – 9.60 = 90.40 Se interpola ahora para la relación: L2/L1 = 1.20 L2/L1 = 1.00 Þ % = 90.40 ? = (90.40 – 78.88) * 0.20/1.00 = 2.30 L2/L1 = 1.20 Þ % = ? L2/L1 = 2.00 Þ % = 78.88 % = 90.40 – 2.30 = 88.10 Para determinar el porcentaje del momento positivo y negativo en los apoyos interiores, basta con interpolar una sola vez en la tabla 11.2 Para los tramos A-B y C-D: L1 = 500 cm, L2 = 600 cm, a1 = 5.38, L1 / L2 = 1.20 L2/L1 = 1.00 Þ % = 75 L2/L1 = 1.20 Þ % = ? L2/L1 = 2.00 Þ % = 45 ? = (75 - 45) * 0.20/1.00 = 6.00 % = 75 – 6.00 = 69.00 310 Para los tramos B - C: L1 = 400 cm, L2 = 600 cm, a1 = 5.38, L1 / L2 = 1.50 L2/L1 = 1.00 Þ % = 75 L2/L1 = 1.50 Þ % = ? L2/L1 = 2.00 Þ % = 45 ? = (75 - 45) * 0.50/1.00 = 15.00 % = 75 – 15.00 = 60.00 El 85% del momento mayorado de la franja de columnas es resistido por la viga y el 15% restante por la losa. Con los anteriores valores se elabora la siguiente tabla: Sección MA-B (-) MAB (+) MB-A (-) MB-C (-) MBC (+) MC-B (-) Mo t-m 2.09 7.44 9.14 5.20 2.80 5.20 L2 / L1 1.20 1.20 1.20 1.50 1.50 1.50 a1 L2/L1 6.46 6.46 6.46 8.07 8.07 8.07 bt 0.96 *** *** *** *** *** % 88.10 69.00 69.00 60.00 60.00 60.00 Mfranja columna 1.84 5.13 6.31 3.12 1.68 3.12 Mviga t-m 1.57 4.36 5.36 2.65 1.43 2.65 Mlosa t-m 0.27 0.77 0.95 0.47 0.25 0.47 Mfranja central 0.25 2.31 2.83 2.08 1.12 2.08 Cálculos de los momentos en las franjas 2, 3, 4 y 5: L2 = 600 cm, L1 = 500 cm, a1 = 3.34. Para determinar el porcentaje del momento negativo en los apoyos exteriores debe interpolarse dos veces en la tabla 11.2. Se interpola inicialmente para bt = 0.96, L2 / L1 = 1.20: Para: L2/L1 = 1.00 bt = 0.00 Þ % = 100 bt = 0.96 Þ % = ? bt = 2.50 Þ % = 75 Para: L2/L1 = 2.00 bt = 0.00 Þ % = 100 bt = 0.96 Þ % = ? bt = 2.50 Þ % = 45 ? = (100 - 45) * 0.96 / 2.50 = 21.12 % = 100 – 21.12 = 78.88 ? = (100 - 75) * 0.96 / 2.5 = 9.60 % = 100 – 9.60 = 90.40 Se interpola ahora para la relación: L2/L1 = 1.20 L2/L1 = 1.00 Þ % = 90.40 ? = (90.40 – 78.88) * 0.20/1.00 = 2.30 L2/L1 = 1.20 Þ % = ? L2/L1 = 2.00 Þ % = 78.88 % = 90.40 – 2.30 = 88.10 311 Para determinar el porcentaje del momento positivo y negativo en los apoyos interiores, basta con interpolar una sola vez en la tabla 11.2 Los porcentajes para determinar el porcentaje del momento positivo y negativo en los apoyos interiores son iguales a los de las franjas 1 y 6. Sección MA-B (-) MAB (+) MB-A MB-C (-) MBC (+) MC-B (-) Mo t-m 4.01 14.29 17.55 9.98 5.38 9.98 L2 / L1 1.20 1.20 1.20 1.50 1.50 1.50 a1 L2/L1 4.01 4.01 4.01 5.01 .01 5.01 bt 0.96 *** *** *** *** *** % 88.10 69.00 69.00 60.00 60.00 60.00 Mfranja columna 3.53 9.86 12.11 5.99 3.23 5.99 Mviga t-m 3.00 8.33 10.29 5.09 2.75 5.09 Mlosa t-m 0.53 1.53 1.82 0.90 0.48 0.90(-) Mfranja 0.48 4.43 5.44 3.99 2.15 3.99 5) Diseño a flexión: Se diseña la losa en el eje B, tanto la franja de columna como la franja central, con un hormigón de f ’c = 210 kgf/cm2 y un acero de fy = 4,200 kgf/cm2. 312 Distribución de momento en las franjas verticales, el refuerzo debe disponerse verticalmente. Para el eje B: La franja de columnas es una franja de diseño con un ancho igual a cada lado del eje de columnas igual a 0.25L1 (0.25*4.00=1.00 m) o 0.25 L2 (0.25*5.00=1.25), la que sea menor. En este caso la franja de columnas en el eje B tiene 2.00 m de ancha, un metro a cada lado del eje. Distribución de momento en las franjas horizontales, el refuerzo debe disponerse horizontalmente. 313 Despiece para la franja B: Separación máxima del refuerzo = 2h = 28 cm. Cuantía mínima = 0.0018, los cálculos se hacen para barras No 3 (As = 0.71 cm2). Nota: Los momentos han sido calculados por ancho de franja. Para el diseño: h = 14 cm. d = 11 cm. ( 2 cm. de recubrimiento para losas). Para la franja central sobre el eje B: Para la franja de columnas en eje B: Sección M1-2(-) M12(+) M2-1(-) M2-3(-) M23(+) M3-2(-) Mu t-m 0.62 1.97 2.42 2.24 1.21 2.24 r 0.001800 0.002202 0.002719 0.002513 0.001800 0.002513 As cm2 3.96 4.84 5.98 5.53 3.96 5.55 s cm 28 28 23 25 28 25 b = 250 cm. b = 200 cm. Mu t-m 0.31 2.78 3.41 3.17 1.71 3.17 r 0.001800 0.002493 0.003077 0.002854 0.001800 0.002854 As cm2 4.95 6.86 8.46 7.85 4.95 7.85 s cm 28 25 21 22 28 22 Diseño de la franja de columna. b = 200 cm d = 11 cm. Calculo para As=4.84 cm2 Número de barras No3 = 4.84/0.71 =6.81 b franja central = 200 cm. Separación = 200 / 6.81 = 29 cm. Solución: Colocar 1f3/8” cada 28 cm. Calculo para As=8.46 cm2 Número de barras No3=8.46/0.71 = 11.92 b franja de columna = 250 cm. Separación = 250 / 11.92 = 21 cm. Solución: Colocar 1f3/8” cada 21 cm. Diseño de la franja central. b = 250 cm d = 11 cm. 314 Despiece de la losa en la franja de columna. Despiece de la losa en la franja de central. 6) Diseño a cortante: El caso más desfavorable es el panel 1 en la dirección más corta, se calcula por metro de ancho de la losa, coeficiente leído en la NSR-98 Sec. C.13.3.2.3. Wu * L 1.58 * 4.60 Vu = 1.15 * –––––––– = 1.15 * –––––––––––– = 4.180 kgf. 2 2 Vc = 0.53 j Öf ’c * bd = 0.53 *0.85 Ö210 * 100 *12 = 7,834kgf Vc > Vu Þ No se requiere refuerzo por cortante. ejemplo 11.2 Resolver el ejemplo 11.1 por el método de los coeficientes. Del ejemplo 11.1 se obtiene: Wd = 1.4 * CM = 1.4 * 886 = 1,240.4 kgf/m2 WL = 1.7 * CV = 1.7 * 200 = 340.0 kgf/m2 315 Wu = 1.4 * CM + 1.7 * CV = 1,240.4 + 340.0 = 1,580.4 kgf/m2 = 1.58 t/m2 El método de los coeficientes es aplicable en este ejercicio puesto que se cumplen las siguientes condiciones: • Los paneles solo soportan cargas de gravedad • Todos los paneles son rectangulares y se apoyan, en sus cuatros bordes, en vigas • Todos los valores de “a” obtenidos en el ejemplo 11.1 son mayo res 0.5 por lo que todas las vigas se consideran rígidas La es la longitud de la luz libre en la dirección corta, en este caso coincide, para todos los paneles, con las dimensiones de los lados orientados en el sentido de los ejes numéricos. Lb es la longitud de la luz libre en la dirección larga, en todos los casos de este ejemplo: Lb = 5.75 m. Franjas: Para el análisis los paneles de la losa se dividen, en cada dirección, en franjas de columnas y franjas centrales. 316 Ubicación de las franjas centrales y de columnas, tanto horizontales como verticales La franja de columna es una franja de diseño con un ancho a cada lado del eje de la columna igual a 0.25L2 ó 0.25 L1, el que sea menor. Se denomina: “m” a la relación existente entre el lado menor y el lado mayor de cada panel, m = Lb / La. Para los diferentes valores del parámetro “m” los coeficientes Ca,j y Cb,j se leen en las tablas 11.4 a 11.6 Los momentos de diseño se determinan para la franja central empleando las tablas 11.4, 11.5 y 11.6, y utilizando las siguientes expresiones: Ma = Ca,j * wj * La2 Mb = Cb,j * wj * Lb2 Panel No 1y2 3y4 La (m) 4.75 3.75 Lb (m) 5.75 5.75 Wj = Wu = 1.58 t/m Ma (t-m) 35.65 Ca,j 22.22 Ca,j Mb (t-m) 52.24 Cb,j 52.24 Cb,j Wj = CM = 1.24 t/m Ma (t-m) 27.98 Ca,j 17.44 Ca,j Mb (t-m) 41.00 Cb,j 41.00 Cb,j Wj = CV = 0.34 t/m Ma (t-m) 7.67 Ca,j 4.78 Ca,j Mb (t-m) 11.24 Cb,j 11.24 Cb,j Las cargas sobre las vigas de apoyo del panel rectangular, en dos direcciones, se calculan utilizando las proporciones de carga, para cada dirección, indicadas en la tabla 11.7. Para este caso en el panel 1, se tiene: Carga total sobre el panel 1: Pu=Wu*La*Lb=1.58*5*6=47.4t. De acuerdo a los coeficientes consignados en la siguiente tabla, de este valor el 68% de la carga va para las vigas orientadas en la dirección de Lb (32.23 t) y el otro 32% (15.17) va para las vigas orientadas en la dirección de La. Carga uniforme para las dos vigas orientadas en la dirección Lb Wb = 32.23 / 2 / 6 = 2.69 t/m 317 Carga uniforme para las dos vigas orientadas en la dirección La Wa = 15.17 / 2 / 5 = 1.52 t/m 318 Condiciones de borde: Cuando una viga de apoyo de un panel tiene una rigidez torsional despreciable, debe considerarse que el panel tiene un apoyo simple. En este caso el momento de diseño del panel en el apoyo simple o discontinuo debe ser igual a un tercio del momento positivo de diseño (NSR-98 Sec. C.13.9.10). 319 Momentos de diseño en la franja de columnas: Los momentos de diseño en la franja de columna deben reducirse gradualmente de su valor total Ma o Mb en la línea de la franja central a 1/3 de estos valores en el borde del panel (NSR-98 Sec. C.13.9.7). 320 capítulo 12. ViViendas de uno y dos pisos 12.1 sistema estructural La NSR-98 dedica su titulo E a las especificaciones para la construcción de viviendas de uno y dos pisos pertenecientes al grupo de uso I y cuyo sistema estructural esta constituido por muros de mampostería confinada. Las disposiciones están dirigidas a todos los profesionales que trabajan en la construcción de vivienda, así no sean especialistas del diseño estructural. Cuando se utilice un sistema estructural diferente al de los muros de mampostería confinada, o cuando la vivienda pertenezca a un grupo de uso diferente, debe intervenir un ingeniero estructural en su diseño. Entre otros sistemas estructurales puede mencionarse el de mampostería reforzada, el aporticado, prefabricado o el sistema industrial (muros vaciados). Es muy importante llamar la atención sobre la necesidad de intervención de un ingeniero experto en la mecánica de suelos, para definir la cimentación más apropiada. De esta decisión depende el sistema de cimentación a emplear, el sistema estructural y los cuidados que deben seguirse durante la construcción. Este capitulo es un complemento al titulo E de la NSR-98; solo se pretende ilustrar y complementar las disposiciones reglamentarias. 12.2 criterios generales (nsr-98 sec. e.1.3) El buen comportamiento sísmico de una vivienda de uno o dos pisos depende, en gran parte, de un buen planteamiento estructural. Para ello se sugieren los siguientes lineamientos generales: a) Para un buen comportamiento sísmico las viviendas deben tener muros estructurales en las dos direcciones principales en planta (NSR-98 Sec. E.1.3.1.a). Viviendas con muros en una sola direc- 321 ción son inestables pues el efecto sísmico puede presentarse en cualquier dirección. figura 12.1 configuración estructural de las ViViendas construidas de acuerdo a la nsr-98 con mamposterìa confinada b) La configuración de los muros debe ser lo más simétrica posible para evitar que se presente el efecto de la torsión (NSR-98 Sec. E.1.3.3). Cuando la planta asimétrica sea inevitable, la vivienda debe dividirse en módulos independientes, por medio de juntas, de tal manera que los módulos individuales sean simétricos (Ver figura 12.3). figura 12.2 disposición de los muros de carga. 322 c) Para garantizar que los muros estructurales trabajen como una unidad deben amarrarse tanto horizontal como verticalmente, para lograr con ello que se transmita a cada muro la fuerza lateral que debe resistir. Los elementos de amarre horizontales estarán localizados a nivel de cimentación, de entrepiso y de cubierta (NSR-98 Sec. E.1.3.b). figura 12.3 configuración estructural de las ViViendas. d) Debe procurarse que los muros cargueros tengan continuidad vertical a través de la losa de entrepiso. (NSR-98 Sec. E.1.3.4). figura 12.4 disposición Vertical de los muros cargueros. 323 e) El sistema de cimentación debe tener una rigidez apropiada de modo que se prevengan asentamientos diferenciales. 12.3 cimentaciones 12.3.1 sistema de cimentación El sistema de cimentación debe estar compuesto por una malla de cimientos que configuran anillos rectangulares en planta, una loseta de piso y los elementos especiales de transferencia de carga al suelo de cimentación. Debe garantizarse que el sistema de cimentación sea capaz de transferir al suelo las cargas verticales y laterales dentro de los límites permitidos de las deformaciones totales y diferenciales (NSR-98 Sec. E.5.1.1). Fotografía 30. En viviendas con estructuras aporticadas la continuidad vertical de las columnas es muy importante. figura 12.5 las Vigas de fundación deben conformar una malla cerrada 324 12.3.2 configuración en planta Los elementos de la malla de cimentación, hormigón ciclópeo más viga de amarre, deben configurar anillos rectangulares continuos, con dimensiones interiores no mayores de 4 m. Los refuerzos deben anclarse con ganchos estándar de 90º (NSR-98 Sec. E.5.1.2). 12.3.3 estudio geotécnico Debe realizarse obligatoriamente, por un Ingeniero Civil, un estudio de suelos cuando se presenten inestabilidad lateral, pendientes superiores al 30%, compresibilidad excesiva o expansibilidad de intermedia a alta colapsibilidad (NSR-98 Sec. E.5.1.3). Cuando para la obtención de la Licencia de Construcción no se exija el estudio de suelos, se deben cumplir los siguientes requisitos mínimos (NSR-98 Sec. E.5.1.4): a) Verificar el comportamiento de casas similares en las zonas aledañas constatando que no haya asentamientos diferenciales excesivos, agrietamientos, pérdida de verticalidad, deslizamientos, etc., que permitan concluir que el comportamiento de las casas similares ha sido el adecuado. b) Se debe realizar un mínimo de un apique por cada tres unidades construidas o por cada 300 m2 de construcción, hasta una profundidad mínima de 2.0 m, en el que se constate la calidad razonable del suelo de cimentación. c) Se deben retirar del suelo los materiales no adecuados para el apoyo de la cimentación, como son descapote, escombros, materia orgánica, etc. d) La capacidad portante del suelo para la cual se diseña la cimentación no debe ser superior a 0.5 kgf/cm2 (5 t/m2), a menos que por experiencia anterior se haya demostrado como aceptable el utilizar capacidades portantes mayores, en cuyo caso para obtener la licencia de construcción se debe acreditar esta experiencia ante la entidad gubernamental encargada de expedirla. 325 12.3.4 cimientos en Hormigón ciclópeo con Vigas de corona Este sistema de cimentación se emplea cuando el estrato de suelo que tiene la capacidad de soporte adecuada no se encuentra próximo a la superficie, razón por la cual se procede a realizar un reemplazo del suelo por hormigón ciclópeo. Sus dimensiones dependen de la capacidad de carga y de la profundidad del estrato apropiado. El hormigón empleado en la producción del hormigón ciclópeo debe ser el mismo que se emplea para las vigas figura 12.6 especificaciones mínimas para de corona, debe tener cimentaciones con Hormigón ciclópeo en un máximo de 40% en ViViendas de uno y dos pisos. piedras, de una dimensión máxima de 15 cm. Este agregado debe colocarse de manera intercalada y nunca en capas horizontales, cada piedra debe quedar totalmente envuelta en hormigón. Los cimientos de hormigón ciclópeo deben tener una sección rectangular con una altura mínima de 20 cm y el ancho que corresponda a las cargas del muro que soporta y a la capacidad portante del suelo, pero en ningún caso será inferior a 30 cm (NSR-98 Sec. E.5.2.1). Los cimientos excéntricos de hormigón ciclópeo deben tener cimientos perpendiculares que garanticen su estabilidad en distancias que no sobrepasen los 3.0 m entre ejes (NSR-98 Sec. E.5.2.2). Cuando se trate de muros estructurales el hormigón ciclópeo debe coronarse con una viga de espesor mayor o al menos igual al del muro que va a soportar (NSR-98 Sec. E.5.2.3). 326 Vigas de corona: Dimensiones: La altura de la viga de corona se debe determinar de modo que sea capaz de resistir en conjunto con el hormigón ciclópeo, las discontinuidades que se presenten por la existencia de las puertas y ventanas, suponiendo una reacción uniforme del suelo en el cimiento. En ningún caso su altura será inferior a 20 cm (NSR-98 Sec. E.5.2.4). Refuerzo: Debe tener al menos 4 barras No 3, dos arriba y dos abajo, y estribos de barra No 2 cada 20 cm (NSR-98 Sec. E.5.2.5). fy > 2.400 kgf / cm2 Materiales: Acero: Hormigón: f ’c > 175 kgf / cm2 Tamaño máximo del agregado = 2,5 cm. El hormigón empleado en las vigas de corona y en el ciclópeo debe ser el mismo. Cuando se trata de muros divisorios puede suprimirse la viga de corona. figura 12.7 dimensiones y refuerzo mínimo de la Viga para cimentación con reemplazo en Hormigón ciclópeo. 12.3.5 cimientos en Hormigón reforzado Este sistema de cimentación se emplea cuando el estrato de suelo apropiado se encuentra muy cerca de la superficie y no hay necesidad de hacer reemplazos. Los cimientos en hormigón reforzado deben tener una sección rectangular con dimensiones no menores a las especificadas en la tabla 12.1 (NSR-98 Sec. E.5.3.1). Los cimientos excéntricos de hormigón reforzado deben tener cimientos perpendiculares que garanticen su estabilidad en distancias que no sobrepasen los 4.0 m entre ejes (NSR-98 Sec. E.5.3.2). 327 figura 12.8 especificaciones mínimas para cimentaciones de Hormigón reforzado en ViViendas de uno y dos pisos. tabla 12.1 dimensiones mínimas en cm. para elementos de cimentación en Hormigón reforzado. Condición de apoyo Suelo Natural Plataforma de suelo mejorado (Cimientos formaleteados) Construcciones de un piso Ancho b cm. 25 20 Alto h cm. 20 20 Construcciones de dos pisos Ancho b cm. 30 25 Alto h cm. 30 25 Refuerzo mínimo: los elementos de los cimientos que constituyen la malla de la cimentación deben tener el siguiente refuerzo mínimo, colocado simétricamente en la sección y repartido en dos caras NSR-98 Sec. E.5.3.3). a) Refuerzo longitudinal: Construcciones de un piso: 4 barras No 3 (3/8”) Construcciones de dos pisos: 4 barras No 4 (1/2”) b) Refuerzo transversal: Estribos cerrados No 2 (1/4”) espaciados cada 20 cm. Materiales: fy > 2,400 kgf/cm2. Para barras No 3 (3/8”) fy > 4,200 kgf/cm2. Para barras No 4 (1/2”) 328 figura 12.9 especificaciones mí- figura 12.10 especificaciones mínimas de la Viga de fundación en cimientos de Hormigón reforzado para ViViendas de dos pisos. nimas de la Viga de fundación en cimientos de Hormigón reforzado para ViViendas de un piso. figura 12.11 diferentes cimientos en Hormigón reforzado. figura 12.12 detalles del refuerzo para Vigas de cimentación en uniones de esquina y en uniones en “t”. 329 12.3.6 instalaciones empotradas Cuando se requiera atravesar con instalaciones hidrosanitarias los elementos de la malla estructural se deben cumplir las siguientes condiciones (NSR-98 Sec. E.5.4.2): a) El diámetro del tubo que atraviesa no debe ser superior de 15 cm. b) El tubo se debe ubicar en el tercio central del elemento de hormigón reforzado o del elemento de hormigón ciclópeo. c) Las perforaciones en los elementos de la cimentación no pueden tener alturas mayores de 15 cm ni longitudes mayores de 30 cm. d) La altura de los elementos perforados se debe incrementar en la dimensión vertical de la perforación si esta excede el 50% de la altura original del elemento. e) En perforaciones de altura superior o longitud superior a 15 cm, se deben colocar dos estribos adicionales a cada lado de la perforación a 5 cm de la misma y espaciados a 10 cm uno de otro. No se requiere colocar refuerzo longitudinal adicional. 12.3.7 anclaje de las columnas de confinamiento Las columnas de confinamiento deben ser de hormigón reforzado, su armadura debe anclarse a la cimentación (NSR-98 Sec. E.3.3.1). figura 12.13 detalle de anclaje de la columna de confinamiento en la Viga de cimentación. 330 12.4 muros Los muros se construyen en el medio empleando básicamente dos clases de ladrillos. Los más usuales son los ladrillos de arcilla de perforación horizontal o vertical y le siguen en su uso los de hormigón. Fotografía 31. Muro confinado de mampostería de hormigón. Fotografía 32. Muro confinado de mampostería de arcilla de perforación vertical. 12.4.1 clasificación En una vivienda de uno o dos pisos existen dos clases de muros, los cuales se clasifican según la función que cumplen dentro de ella. a) Muros divisorios (NSR-98 Sec. E.2.1.1.2): son aquellos muros cuya única función es separar los espacios dentro de la vivienda y no soportan ninguna carga diferente de su propio peso. b) Muros confinados estructurales (NSR-98 Sec. E.2.1.1.1): son aquellos que soportan las cargas gravitacionales y/o las fuerzas horizontales causadas por sismos. Todos estos muros deben ser confinados y a su vez se dividen en: b-1) Muros de carga: son aquellos muros que además de soportar las fuerzas horizontales provenientes de los sismos 331 soportan las cargas gravitatorias aferentes de entrepiso y/o cubierta. b-2) Muros de rigidez o transversales: son aquellos muros que además de soportar las fuerzas horizontales provenientes de los sismos soportan su propio peso. Se consideran como muros estructurales aquellos que presentan continuidad vertical desde la cimentación hasta el nivel considerado, que no tienen ningún tipo de aberturas y están confinados (NSR-98 Sec. E.2.1.2). 12.4.2 dimensiones de los muros estructurales a) Debido a la altura libre (NSR-98 Sec. E.2.4.1): La distancia vertical libre entre diafragmas no excederá de 25 veces el espesor efectivo del muro. b) Debido a la longitud libre horizontal (NSR-98 Sec. E.2.4.2): La distancia libre horizontal no puede exceder de 35 veces el espesor efectivo del muro. La distancia libre horizontal se mide entre muros transversales trabados o entre columnas de amarre. figura 12.14 separación máxima entre amarres para muros cargueros. c) Espesor mínimo de los muros de carga confinados (NSR-98 Sec. E.2.4.3): En ningún caso el espesor nominal de los muros será inferior a lo establecido en la tabla 12.1. d) Espesor mínimo de los muros de rigidez transversales (NSR-98 Sec. E.2.4.4): La distancia libre horizontal o vertical, entre apoyos 332 o amarres, no debe exceder de 30 veces el espesor del muro. En ningún caso el espesor efectivo de estos muros será inferior a 10 cm. tabla 12.2 espesores mínimos nominales para muros estructurales en casas de uno y dos pisos (mm). Número de niveles Dos pisos 1o Nivel 110 110 110 2o Nivel 100 95 95 Zona de amenaza sísmica Alta Intermedia Baja Un piso 110 100 95 Nota: Para estos espesores mínimos nominales no se deben tener en cuenta los revoques (pañetes) o acabados El territorio colombiano se halla dividido en tres zonas según el grado de amenaza sísmica. Para utilizar las tablas 12.2 y 12.3 debe localizarse en cual de estas tres zonas está ubicada la estructura, para ello debe consultarse el apéndice A-3 de la NSR-98. 12.4.3 unidades de mampostería Las unidades de mampostería que se utilicen en la construcción de las viviendas de uno y dos pisos pueden ser de hormigón, de arcilla cocida o de sílice. Las unidades de mampostería pueden ser de perforación vertical, perforación horizontal o macizas y deben cumplir las especificaciones de las norma NTC 4026 y 922. Fotografía 33. Unidades de mampostería de arcilla cocida de perforación vertical. 12.4.3.1 unidades de Hormigón a) Las unidades de perforación vertical deben cumplir la norma NTC 4026 (ASTM C90). 333 b) Las unidades macizas deben cumplir la norma NTC 4026 (ASTM C55). c) Las unidades de resistencia clase baja deben cumplir la norma NTC 4026 (ASTM C129). 12.4.3.2 u nidades cilla de ar - Fotografía 34. Bloques de hormigón de perforación vertical. Las unidades de perforación vertical deben cumplir la norma NTC 4026 (ASTM C34). b) Las unidades macizas deben cumplir la norma NTC 4026 (ASTM C62 y C652). c) Las unidades de resistencia clase baja deben cumplir la norma NTC 4026 (ASTM C56, C212, C216). a) Fotografía 35. Bloques de arcilla cocida de perforación horizontal. 12.4.3.3 unidades de silico-calcareas Las unidades de perforación vertical deben cumplir la norma NTC 922(ASTM C73). 12.4.4 morteros de pega e inyección 12.4.4.1 mortero de pega Los morteros de pega utilizados en construcciones de uno y dos pisos deben tener buena plasticidad y consistencia y deben garantizar la retención del agua mínima para la hidratación del cemento. Su función principal es la de adherir las unidades de mampostería y para ello se deben establecer 334 dosificaciones apropiadas que garanticen su calidad. Su resistencia mínima a la compresión a los 28 días debe ser 17.5 MPa (175 kgf / cm2), medida en cilindros de 75 mm de diámetro por 150 mm de altura. Su dosificación entre material cementante (cemento y cal) respecto a la arena cernida por malla No 8, no puede ser inferior a 1.4 en volumen. Fotografía 36. El mortero de pega sirve también como mortero para revoque (pañete). 12.4.4.2 mortero de inyección El mortero de relleno para mampostería se define como una mezcla de material cementante y agua, con o sin agregados, proporcionada para producir una consistencia fluida (autonivelante) sin segregación de sus constituyentes durante el vaciado de las celdas de los muros. Puede proporcionarse por volumen según una tabla que se incluye en la norma NTC 4048, en la cual se presenta la opción de morteros de relleno grueso o fluido con una resistencia que varía entre 5 MPa y 17 MPa (50 a 170 kgf / cm2) dependiendo de la cantidad de agua de mezcla usada. figura 12.15 funciones del mortero de inyección 335 Puede ser especificado por resistencia a la compresión de la mampostería, f ’m, la cual debe ser superior, para todos los casos, a 13.5 MPa y denominada según la norma NTC 4043. Es importante que el tamaño máximo del agregado y la consistencia sean seleccionados teniendo en cuenta las condiciones del trabajo en particular. A pesar de que el mortero de relleno para mampostería es muy fluido, es buena práctica compactarlo (preferiblemente con vibrador) y supervisar que se llenen completamente todas las celdas. Por otro lado es recomendable no llenar celdas de más de un metro de profundidad porque se puede causar segregación. 12.4.5 longitud de los muros estructurales confinados Para garantizar un comportamiento sísmico adecuado debe proveerse de una longitud mínima de muros estructurales en cada una de las direcciones principales en planta. (NSR-98 Sec. E.2.5.1). a) Para una buena respuesta sísmica de la vivienda los muros confinados deben ubicarse buscando la mayor simetría y la mayor rigidez torsional posible. Esto se logra disponiendo los muros confinados simétricos y lo más cerca posible de periferia. (NSR98 Sec. E.2.5.2). b) Los muros confinados que se dispongan en cada una de las direcciones principales deben tener longitudes similares. Las longitudes de aquellos muros confinados que estén en un mismo plano vertical no deben sumar más de la mitad de la longitud total de muros confinados en esa dirección. (NSR-98 Sec. E.2.5.3). c) La longitud de los muros confinados que se requieren en cada una de las direcciones principales de la edificación, en metros, no puede ser menor a la obtenida por medio de la expresión 12.1 Mo * Ap Lmín = –––––––––– t (12.1) Lmin = Longitud mínima de muros estructurales en cada dirección (m). Mo = Coeficiente que se lee en la tabla 12.3. t= Espesor efectivo de muros estructurales en el nivel considerado (mm). Ap = Se considera en m2 como sigue: 336 • • • El área de la cubierta en construcciones de un piso. El área de la cubierta para muros del segundo nivel en construcciones de dos pisos El área de la cubierta más el área de entrepiso para muros en primer nivel de construcciones de dos pisos. tabla 12.3 coeficiente mo para longitud mínima de muros estructurales confinados. Zona de amenaza sísmica Valores de Aa 0.40 Alta 0.35 0.30 0.25 Intermedia Baja 0.20 0.15 0.10 0.05 Valores de Mo 33.0 30.0 25.0 21.0 17.0 13.0 8.0 4.0 d) Al contabilizar la longitud de los muros confinados solo deben tenerse en cuenta aquellos que son continuos desde la cimentación y que no tienen ninguna abertura entre las columnas de confinamiento. 12.5 confinamiento de los muros estructurales 12.5.1 columnas de confinamiento Aspectos generales: las columnas de confinamiento deben ser de hormigón reforzado, su armadura debe anclarse a la cimentación y a la viga de amarre superior o de cubierta. Su vaciado debe realizarse con posterioridad al levantamiento de los muros estructurales y directamente contra ellos. (NSR-98 Sec. E.3.3.1). b) Dimensiones: la sección transversal de las columnas de amarre debe tener un área no inferior a 200 cm2, su espesor debe ser igual al del muro que confina. (NSR-98 Sec. E.3.3.2). a) bmuro * h > 200 cm2 337 figura 12.16 sistema de Vaciado y de separación de los estribos para las columnas de confinamiento de muros. c) Ubicación: deben colocarse columnas de amarre en los extremos de los muros estructurales seleccionados, en las intersecciones con otros muros estructurales y en lugares intermedios a distancias no mayores de 35 veces el espesor efectivo del muro, 1.5 veces la distancia vertical entre elementos horizontales de confinamiento o 4 m (NSR-98 Sec. E.3.3.3). figura 12.17 localización y máxima separación permitida de las columnas de confinamiento. L < 35 * e < 1.5 * ho < 4.0 m 338 d) Refuerzo mínimo: El refuerzo longitudinal no debe ser inferior a 4 barras No 3. El refuerzo transversal consiste en estribos cerrados de barras No 2 espaciados cada 20 cm. Los primeros seis estribos se deben espaciar a 10 cm en las zonas adyacentes a los elementos horizontales de amarre. figura 12.18 el refuerzo de la columna de amarre debe quedar embebido dentro de la Viga de cimentación, debe Vaciarse una Vez se Ha leVantado el muro apoyando sobre este la formaleta. los gancHos superiores deben abrazar el nudo. 339 Fotografía 37. Columna de confinamiento vaciada dentro de las celdas del muro. Fotografía 38. Columna de confinamiento vaciada en la intersección de los muros. 12.5.2 Vigas de confinamiento Aspectos generales: las vigas de confinamiento deben ser de hormigón reforzado, su refuerzo debe anclarse en los extremos terminales con ganchos de 90º. Su vaciado debe realizarse directamente sobre los muros estructurales que confina. (NSR-98 Sec. E.3.4.1). b) Dimensiones: el ancho mínimo de las vigas de amarre debe ser igual al espesor del muro y su área transversal no será inferior a 150 cm2. (NSR-98 Sec. E.3.4.2). e) Ubicación: deben disponerse vigas de amarre formando anillos cerrados en un plano horizontal, entrelazando los muros estructurales en las dos direcciones principales para conformar diafragmas con la ayuda del entrepiso o la cubierta. Deben ubicarse en los siguientes sitios: (NSR-98 Sec. E.3.4.3). c-1) Nivel de cimentación - El sistema de cimentación constituye el primer nivel de amarre horizontal. c-2) A nivel del sistema de entrepiso en viviendas de dos niveles – Las vigas de amarre pueden ir embebidas en la losa de entrepiso. En caso de utilizarse una losa maciza de espesor superior o igual a 75 mm, se puede prescindir de las vigas de amarre en la zona ocupada por este tipo de losa, colocando el refuerzo requerido para la viga dentro de la losa. c-3) A nivel de enrase de cubierta- Existen dos opciones para la configuración del diafragma: a) • Vigas horizontales a nivel de dinteles más cintas de amarre como remate de las culatas. 340 • Vigas de amarres horizontales en los muros sin culatas combinadas con vigas de amarre inclinadas, configurando los remates de las culatas. En este caso se debe verificar, la necesidad de amarres o no a nivel de dinteles. figura 12.19 ubicación de los diafragmas y localización de las Vigas de confinamiento. f) Refuerzo mínimo (NSR-98 Sec. E.3.4.4): El refuerzo longitudinal no debe ser inferior a 4 barras No 3, las cuales se dispondrán de manera simétrica respecto a los ejes de la sección. El refuerzo transversal considerando como luz el espacio comprendido entre columnas de amarre ubicadas en el eje de la viga, o entre muros estructurales transversales perpendiculares al eje de la viga, se deben utilizar estribos cerrados de barra No 2 espaciados cada 10 cm en los primeros 50 cm de cada extremo de la luz y espaciados a 20 cm en el resto de la luz. 12.5.3 cinta de amarre Se consideran las cintas de amarre como elementos suplementarios a las vigas de amarre, utilizables en antepechos de ventanas, en remates de culatas, etc. Indistintamente se puede utilizar como cinta de amarre cualquiera de los siguientes elementos (NSR-98 Sec. E.3.5.1): a) Un elemento de hormigón reforzado de altura igual o mayor de 10 cm, con ancho igual al espesor del elemento que remata y 341 figura 12.20 dimensiones y refuerzo mínimo de las Vigas de amarre. figura 12.21 procedimiento para el Vaciado de la Viga de amarre de cubierta, este debe Hacerse utilizado el muro como formaleta, no debe olVidarse dejar embebida en la Viga la armadura necesaria para el empalme con la cinta de amarre. 342 reforzado con un mínimo con dos barras longitudinales No 3. El refuerzo transversal debe ser el necesario para mantener en la posición deseada las barras longitudinales. b) Un elemento de mampostería constituido por piezas de mampostería tipo U, reforzado longitudinalmente con un mínimo de dos barras No 3. figura 12.22 dimensiones y refuerzo mínimo de las cintas de amarre. Ilustración del procedimiento de construcción: figura 12.23 sólo una Vez leVantados los muros debe armarse la cinta; su refuerzo debe traslaparse con el de la Viga de amarre de la cubierta para que conformen una sola unidad. su ancHo será igual al del muro y su altura no será inferior a 10 cm. 343 Fotografía 39. Falla en la mampostería a nivel de cubierta por falta de de la viga de amarre. Fotografía 40. Falla en voladizos, Armenia, Colombia, 1999. Fotografía 41. Losa aligerada con ladrillo pero mal configurada, falta una viga a nivel de apoyo. Fotografía 42. Colapso total de los muros, se observa falta de confinamiento o “trabe” de los muros, Armenia, Colombia, 1999. Fotografía 43. Colapso de la cubierta de la vivienda por falta de viga de amarre. 344 anexo a. anclajes y traslapos del refuerzo a.1 introduccion Los procedimientos del análisis del hormigón reforzado se fundamentan en la existencia de una adherencia perfecta entre el hormigón y el acero. Esta adherencia depende de: • Fricción que se desarrolle entre el hormigón y el acero. Se presenta al tratar de desplazarse la barra de refuerzo. • Adherencia de naturaleza química entre el hormigón y el acero. Su valor es bajo comparado con el de la fricción motivo por el cual suele despreciarse. • Apoyo directo de los resaltes de las barras corrugadas sobre el hormigón. Figura A.1 Tensiones de adherencia para barras corrugadas. La adherencia por fricción es menor que la producida por el apoyo de los resaltes, esto hace crítico el empleo de las barras lisas y ha sido el motivo por el cual el ACI y la NSR-98 no recomiendan su uso. Dos factores son fundamentales en la adherencia: • La oxidación superficial ordinaria del refuerzo no parece afectar la adherencia. Si el grado de oxidación de las barras no es severo no es necesario limpiarlas. • El hormigón que rodea el refuerzo es el que más afecta la adherencia. El agua del hormigón se deposita en la parte inferior del refuerzo y una vez se ha evaporado deja un hormigón poroso, 345 de baja resistencia y deficiente adherencia. Este efecto es más severo en la barra horizontal y afecta más a la barra superior, el efecto se incrementa debido a la exudación y segregación del hormigón. Por la anterior razón se disminuye la adherencia en las partes altas y para contrarrestar este fenómeno hay que incrementar la superficie de contacto. El ACI 318 Sec.12.2.4.1 y la NSR-98 recomiendan incrementar en las barras altas la superficie de contacto en un 30%. Barras altas son las que tienen más de 30 cm de hormigón por debajo. a.2 longitud de desarrollo o de anclaje, ld a.2.1 generalidades La longitud de desarrollo recibe también el nombre de longitud de anclaje. Representa la longitud mínima que debe embeberse una barra dentro del hormigón para que al someterla a una carga axial de extracción falle por fluencia antes que por desgarre del hormigón. Figura A.2 Ensayo de adherencia. En un ensayo de extracción las tensiones en el acero varían desde fy en el extremo libre hasta “0” en el extremo empotrado. La falla en este tipo de ensayo se presenta al partirse longitudinalmente la masa de hormigón en dos o tres segmentos. En ella influyen, entre otros, los siguientes parámetros: • Resistencia del hormigón. • El recubrimiento del refuerzo. • El diámetro de la barra de refuerzo. 346 Entre las variables más importantes que afectan la longitud de desarrollo se cuentan: • El recubrimiento (lateral, superior o inferior) es un factor decisivo. La falla por adherencia se debe al agrietamiento que rodea al refuerzo. A un mayor recubrimiento mayor adherencia; sin embargo, el mejor rendimiento de adherencia no es proporcional al recubrimiento. Figura A.3 Tipos de fallas por adherencia. • • • La separación de las barras longitudinales, si están muy cerca unas de otras, se forman con facilidad grietas longitudinales entre ellas. La resistencia del hormigón a la tracción. La posición del refuerzo, entre más alto más problemas de adherencia. a.2.2 longitud de desarrollo, barras rectas a traccion. La distribución de las tensiones de adherencia no es uniforme. Se calcula dividiendo la carga de tracción, T, entre la superficie de acero en contacto con el hormigón. Mediante ensayos de extracción se ha demostrado que la tensión promedio de adherencia está dada por las siguientes expresiones: Para barras a tracción: m = k √f’c / db Para barras a compresión: m = k √f’c En donde k es una constante que depende de: • Tipo de refuerzo, liso o corrugado. • Diámetro de la barra de refuerzo, db. • Posición de la barra, alta o baja. 347 Obtenido la longitud de desarrollo será: T = mLd ∑s = Ab fy, Para barras a tracción: ∑s = pdb (perímetro de las barras) Ld = Ab fy / pk √f’c Para barras a compresión: Ld = Ab fy y db / pk √f’c A partir de este análisis el ACI Sec. 12.2 recomienda: Ld = 0.06 Ab fy / √f’c > 30 cm La NSR-98 recomienda: (A.1) NSR-98 Sec. C.12.2.2 Cuando existen efectos desfavorables para la longitud de desarrollo el código permite reducir este valor multiplicándolo por uno o varios de los factores que aparecen al pie de la tabla A.1. a.2.3 longitud de desarrollo, barras a traccion con extremo en gancHo estandar, ldh. Con el término de gancho se identifica a los dobleces que usualmente se realizan en los extremos de las barras, si se hacen conforme a las especificaciones de las normas se denominan ganchos estándar, están estandarizados los de 90 y 180º. Estructuralmente un gancho se requiere cuando no se dispone del espacio necesario para colocar la longitud de desarrollo, es el caso frecuente de la unión extrema de una viga con una columna. También se pueden emplear ganchos cuando se desee proporcionar la longitud de desarrollo en un menor espacio. En las barras corrugadas, la distribución de las deformaciones medidas a lo largo del gancho, indican que la fuerza de la barra se transfiere rápidamente al hormigón y que generalmente la parte recta que sigue al gancho es inefectiva a tracción. 348 Figura A.4 Gancho estándar de 90º. Figura A.5 Gancho estándar de 180º. En barras lisas las tensiones se reducen más lentamente a lo largo del gancho por lo que se puede obtener resistencias adicionales de anclaje extendiendo la parte recta que sigue del gancho. Los ganchos en barras lisas son más eficientes que en barras corrugadas. Las mayores tensiones de apoyo se presentan en la parte interior del gancho, zona que es desfavorable porque en ella se encuentra un hormigón poroso que afecta el deslizamiento del gancho, por eso solo deben emplearse cuando sea estrictamente necesario pues una barra recta proporciona un mejor anclaje. Una menor curvatura de un gancho significa menor concentración de tensiones. Entre menor sea el doblez mayor es la tensión transmitida con deslizamiento aceptable, por eso en lo posible no deben emplearse los ganchos de 180º. La concentración de tensiones en los ganchos puede producir desgarramiento en el hormigón normal al plano del gancho. Para lograr que el gancho desarrolle toda su tensión debe proporcionarse confinamiento lateral. A partir de los resultados de los ensayos de laboratorio de Orangun Jirsa y Breen, y Marquez y Jirsa el ACI formula la siguiente expresión para determinar la longitud de desarrollo para barras corrugadas en tracción con extremos en gancho estándar: 349 (A.2) La NSR-98 Sec. C.12.5 recomienda: Los resultados de esta expresión pueden consultarse en la tabla A.3. a.2.4 longitud de desarrollo, barras a fexión En las zonas próximas a los puntos de inflexión y en los extremos de las vigas simplemente apoyadas el momento flector tiende a ser nulo y el cortante presenta un valor alto. En estas zonas el momento varía rápidamente y por consiguiente también varían las tensiones del refuerzo, que ocasionan, a su vez, variaciones en las tensiones de adherencia. Figura A.6 ∆T = m p db ∆x, ∆M = ∆T * y, p db = s (perímetro de la barra) ∆M = m s ∆x * y, En conclusión: T = m s db (tensión * área) M = T * y, ∆M / x = V Ld = M / V ∆M =(T / db) ∆x * y, M / ∆x = T * y / Ld, La expresión anterior se ha utilizado como criterio para evaluar la longitud de desarrollo, V es la fuerza cortante mayorada de la sección de apoyo y M el momento resistente de la sección en el punto de inflexión sin considerar el factor de reducción de resistencia, Æ. El ACI-318-89 Sec. 12.11 permite incrementarla en una longitud La, que corresponde a la longitud de la barra a partir del centro del apoyo más la longitud equivalente de un gancho estándar pero su valor se limita a “d” ó “12 db”, el que sea mayor. 350 Ld = M / V + La (A.3) Cuando los extremos de las barras estén localizados en zonas donde se presente compresión en el hormigón se permite incrementar el valor de M / V en un 30%. Si esta relación no se cumple debe disminuirse el diámetro del refuerzo que se lleva al apoyo. a.2.5 longitud de desarrollo, barras a compresión A lo largo de las barras que trabajan a compresión hay menos tendencia a la fisuración y puede transmitirse una buena parte de la fuerza a compresión mediante el apoyo de la punta de la barra. Para que esto ocurra la barra debe cortarse a escuadra y debe existir una masa suficiente de hormigón detrás del extremo. El ACI-318-89 Sec.C.12.3.2 especifica: (A.4) La NSR-98 recomienda: NSR-98 Sec. C.12.3 Los resultados de esta expresión pueden consultarse en la tabla A.2. a.3 longitud de traslapo, lt Las dimensiones de las estructuras obligan a empalmar las barras en las luces de los elementos, físicamente estos empalmes son muy sencillos y se realizan uniendo entre sí las barras mediante un alambre apretado de modo que impida el movimiento. La longitud de traslapo debe ser tal que permita la transferencia de carga de una barra a otra a través del hormigón que las rodea, estas fuerzas generan tensiones cortantes, la eficiencia del empalme depende de la habilidad del hormigón para transmitir estas tensiones cortantes sin desintegración o deformación excesiva. Los empalmes deben evitarse en 351 las zonas críticas y deben estar en capacidad de desarrollar como mínimo el doble de la fuerza de tracción calculada en esa sección pero no menos de 1,400 kgf / cm2, ACI-318-89 Sec. 12.5.4. a.3 1 longitud de traslapo, barras a tracción En los empalmes de las barras a tracción se presenta el mayor peligro de fisuración en el hormigón. Las barras empalmadas producen una compresión diagonal en el espacio entre ellas de modo que se requiere una fuerza de “agarre” para evitar el desgarramiento del hormigón. Esta fuerza se proporciona colocando estribos en la zona de empalme. Los extremos libres de las barras empalmadas son puntos de discontinuidad, generadores de fisuras, por lo que es conveniente escalonarlos. Para que no presenten extremos libres alineados en la misma sección, el ACI Sec. 12.5. recomienda escalonarlos cada 60 cm. Las longitudes de traslapo para barras corrugadas a tracción se obtienen a partir de su longitud de desarrollo y se clasifican en DOS grupos, de acuerdo al porcentaje de acero empalmado, ACI-318-89 Sec. 12.15.1. Figura A.7 Empalmes del refuerzo a tracción. Las especificaciones de la NSR-98 pueden consultarse en la tabla A.5. a.3 2 longitud de traslapo, barras a compresión La transmisión de fuerzas de compresión mediante el empalme de barras de refuerzo ha recibido menos atención que en el caso de tracción. Por las mejores condiciones de adherencia en las barras a compresión los códigos permiten mayores tensiones de adherencia y menores longitudes de desarrollo. La principal diferencia entre un empalme a tracción y un 352 empalme a compresión se presenta en la eficacia del apoyo de punta. El ACI-318-89 Sec. 12.16 especifica que la longitud de empalme de barras a compresión se calculará con la expresión: Lt = 0.0071 * db * fy > 30 cm (A.5) Esta expresión es aplicable para aceros con fy = 4,200 kgf / cm2. Para hormigones con f’c = 210 kgf/cm2 la longitud de traslapo debe incrementarse 1/3. Las especificaciones de la NSR-98 pueden consultarse en la tabla A.6. tabla a-1 longitudes de desarrollo para barras corrugadas a tracción Aplicable cuando: ³• La separación libre entre las barras que se desarrollan o empalman, sea mayor o igual a db, el recubrimiento libre mayor o igual a db, y tenga estribos a lo largo de Ld, cumpliendo el mínimo requerido. • Cuando la separación libre entre barras que se desarrollen o empalman, sea mayor o igual a 2db y el recubrimiento libre mayor o igual a db. NSR-98 Sec. C.12.2.2 353 VALORES DE Ld, cm Barra No Acero fy kgf/ cm2 2.800 4.200 2.800 4.200 2.800 4.200 2.800 4.200 2.800 4.200 2.800 4.200 2.800 4.200 41 61 51 76 61 92 89 133 101 152 114 172 129 193 Hormigón f’c en kgf / cm2 175 altas 53 79 66 99 79 119 115 173 132 198 149 223 168 251 38 57 47 70 56 84 81 122 93 139 104 157 118 176 210 altas 49 74 60 91 73 109 105 158 120 181 136 204 153 229 35 52 43 65 52 77 75 113 86 129 97 145 109 163 245 altas 45 67 56 84 67 101 98 146 111 167 126 189 142 212 32 48 40 60 48 72 70 105 80 120 90 136 102 153 280 altas 42 63 52 79 63 94 91 135 104 156 118 176 132 199 30 46 38 57 46 68 66 99 76 113 85 128 96 144 315 altas 40 59 49 74 59 89 86 129 98 147 111 166 125 187 30 43 36 54 43 65 63 94 72 108 81 121 91 137 350 altas 39 56 47 70 56 84 82 122 93 140 105 158 118 178 4 5 6 7 8 9 10 Las longitudes anteriores pueden ser multiplicadas por uno o varios de los siguientes factores: • Si se coloca más acero del requerido (excepto para estructuras con capacidad especial de disipación de energía (DES)): factor = As requerido / As colocado (NSR-98 Sec. C.12.2.5). • Según el tipo de superficie (NSR-98 Sec. C.12.2.4): Barras de refuerzo con recubrimiento epóxico, con recubrimiento de hormigón menor que 3db o separación libre entre barras menor que 6db: factor = 1.50 Todos los otros casos con recubrimiento epóxico: factor = 1.20 Barras sin recubrimiento epóxico: factor = 1.00 • Paquetes de tres barras: factor = 1.20 (NSR-98 Sec. C.12.4.2) • Paquetes de cuatro barras: factor = 1.33 (NSR-98 Sec. C.12.4.2) Barras lisas: factor = 1.50 (NSR-98 Sec. C.12.4.1) 354 tabla a-2 longitud de desarrollo barras corrugadas a compresión NSR-98 Sec. C.12.3 VALORES DE Ld, cm Barra Nº (cm) 4 (1.270) 5 (1.588) 6 (1.905) 7 (2.222) 8 (2.540) 9 (2.865) 10 (3.226) Hormigón f ’c kgf/cm2 Acero fy Kgf / cm 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 2 175 (2,500) 20 30 25 38 30 45 35 53 40 60 45 68 51 77 210 (3,000) 20 28 23 35 28 41 32 48 37 55 42 62 47 70 245 (3,500) 20 26 21 32 26 38 30 45 34 51 38 58 43 65 280 (4,000) 20 24 20 30 24 36 28 42 32 48 36 54 40 61 315 (4,500) 20 23 20 29 23 34 27 40 31 46 34 52 39 58 350 (5,000) 20 23 20 29 23 34 27 40 31 46 34 52 39 58 Las longitudes anteriores pueden ser multiplicadas por uno o varios de los siguientes factores: • Refuerzo confinado dentro de un refuerzo en espiral no menor al No 2 y no mayor de 10 cm de paso o dentro de estribos No 4 espaciados a distancias no mayores de 10 cm: factor = 0.75 (NSR-98 Sec. C.12.3.3) • Si se coloca más acero del requerido: factor = As requerido / As colocado • Paquetes de tres barras: factor = 1.20 (NSR-98 Sec. C.12.4.2) • Paquetes de cuatro barras: factor = 1.33 (NSR-98 Sec. C.12.4.2) • Barras lisas: factor = 1.50 (NSR-98 Sec. C.12.4.1) Nota: Los ganchos no deben considerarse efectivos en la longitud de desarrollo de barras a compresión. 355 tabla a-3 dimensiones de los gancHos estándar, mm NSR-98 Sec. C.7.1 y C.7.2 Barra Nº L 4 (1.270) 5 (1.588) 6 (1.905) 7 (2.222) 8 (2.540) 9 (2.865) 10 (3.226) 222 278 333 389 444 546 615 GANCHO 90º D 38 48 57 67 76 115 129 C 197 246 295 344 394 473 532 L 200 235 285 333 381 520 585 GANCHO 180º M 89 111 133 156 178 258 90 C 60 60 76 89 102 115 129 La longitud “L” está calculada por el eje del refuerzo. 356 tabla a-4 longitud con gancHo estándar de desarrollo barras corrugadas a tracción NSR-98 Sec. C.12.5 VALORES DE Ldh, cm Barra Nº (cm) 4 (1.270) 5 (1.588) 6 (1.905) 7 (2.222) 8 (2.540) 9 (2.865) 10 (3.226) Acero fy Kgf / cm2 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 Hormigón f’c kgf/cm2 175 20 30 25 38 31 46 36 53 41 61 46 69 52 77 210 19 28 23 35 28 42 33 49 37 56 42 63 47 71 245 17 26 22 32 26 39 30 45 34 52 39 58 44 65 280 16 24 20 30 24 36 28 42 32 48 36 54 41 61 315 15 23 19 28 23 34 27 40 30 45 34 51 39 58 350 15 22 18 27 22 32 25 38 29 43 32 49 37 55 Las longitudes anteriores pueden ser multiplicadas por uno o varios de los siguientes factores: • Para barras No 11 o menores con recubrimiento lateral normal al plano del gancho mayor de 6.00 cm y para ganchos de 90º con recubrimiento en la extensión, después del gancho, mayor de 5 cm: factor = 0.70. • Para barras No 11 o menores en que el gancho está rodeado tanto vertical como horizontalmente por estribos espaciados a lo largo de la longitud de desarrollo no más de 3db, conde db es el diámetro de la barra: factor = 0.80. 357 Si se coloca más acero del requerido (excepto para estructuras con capacidad especial de disipación de energía (DES)): factor = As requerido / As colocado (NSR-98 Sec. C.12.2.5) • Barras con recubrimiento epóxico: factor = 1.20. Nota: Los ganchos no deben considerarse efectivos en la longitud de desarrollo de barras a compresión. • tabla a-5 longitudes de traslapo para barras a tracción Aplicable cuando: • La separación libre entre las barras que se desarrollan o empalman, sea mayor o igual a db, el recubrimiento libre mayor o igual a db, y tenga estribos a lo largo de Ld, cumpliendo el mínimo requerido. • Cuando la separación libre entre barras que se desarrollen o empalman, sea mayor o igual a 2db y el recubrimiento libre mayor o igual a db. La NSR-98 Sec. C. Clasifica las longitudes de empalme en dos clases que dependen del procentaje de acero longitudinal empalmado en la zona de traslapo. NSR-98 Sec. C.12.15.2 VALORES DE Lt, cm Barra Nº Acero fy kgf/ cm2 2.800 4.200 2.800 4.200 2.800 4.200 2.800 4.200 2.800 4.200 2.800 4.200 2.800 4.200 41 61 51 76 61 92 89 133 101 152 114 172 129 193 Hormigón f’c en kgf/cm2 175 altas 53 79 66 99 79 119 115 173 132 198 149 223 168 251 38 57 47 70 56 84 81 122 93 139 104 157 118 176 210 altas 49 74 60 91 73 109 105 158 120 181 136 204 153 229 35 52 43 65 52 77 75 113 86 129 97 145 109 163 245 altas 45 67 56 84 67 101 98 146 111 167 126 189 142 212 32 48 40 60 48 72 70 105 80 120 90 136 102 153 280 altas 42 63 52 79 63 94 91 135 104 156 118 176 132 199 30 46 38 57 46 68 66 99 76 113 85 128 96 144 315 altas 40 59 49 74 59 89 86 129 98 147 111 166 125 187 30 43 36 54 43 65 63 94 72 108 81 121 91 137 350 altas 39 56 47 70 56 84 82 122 93 140 105 158 118 178 4 5 6 7 8 9 10 358 Las longitudes anteriores pueden ser multiplicadas por uno o varios de los siguientes factores: • Si se coloca más acero del requerido (excepto para estructuras con capacidad especial de disipación de energía (DES)): factor = As requerido / As colocado (NSR-98 Sec. C.12.2.5). • Según el tipo de superficie (NSR-98 Sec. C.12.2.4): Barras de refuerzo con recubrimiento epóxico, con recubrimiento de hormigón menor que 3 db o separación libre entre barras menor que 6db: factor = 1.50 Todos los otros casos con recubrimiento epóxico: factor = 1.20 Barras sin recubrimiento epóxico: factor = 1.00 • Paquetes de tres barras: factor = 1.20 (NSR-98 Sec. C.12.4.2) • Paquetes de cuatro barras: factor = 1.33 (NSR-98 Sec. C.12.4.2) • Barras lisas: factor = 1.50 (NSR-98 Sec. C.12.4.1) tabla a-6 longitudes de traslapo barras a compresión Lt = 0.007 * db * fy > 30 cm NSR-98 Sec. C.12.16 VALORES DE Lt, cm Barra Nº (cm) 4 (1.270) 5 (1.588) 6 (1.905) 7 (2.222) 8 (2.540) 9 (2.865) 10 (3.226) Acero fy kgf/cm2 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 2,800 4,200 Hormigón f’c kgf/cm2 < 200 33 50 41 62 50 75 58 87 66 100 75 112 84 126 > 200 30 37 31 47 37 56 44 65 50 75 56 84 63 95 359 Las longitudes anteriores pueden ser multiplicadas por uno o varios de los siguientes factores: • Refuerzo confinado dentro de un refuerzo en espiral no menor al No 2 y no mayor de 10 cm de paso o dentro de estribos No 4 espaciados a distancias no mayores de 10 cm: factor = 0.75 (NSR-98 Sec. C.12.3.3). Si se coloca más acero del requerido: factor = As requerido / As colocado Paquetes de tres barras: factor = 1.20 (NSR-98 Sec. C.12.4.2) Paquetes de cuatro barras: factor = 1.33 (NSR-98 Sec. C.12.4.2) Barras lisas: factor = 1.50 (NSR-98 Sec. C.12.4.1) • • • • Nota: Los ganchos no deben considerarse efectivos en la longitud de desarrollo de barras a compresión. tabla a-7 propiedades de las barras de refuerzo ACI-318-02 Apéndice C DIMENSIONES Barra Nº 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Diámetro mm 6.40 9.52 12.70 15.88 19.05 22.22 25.40 28.65 32.26 Area cm2 0.32 0.71 1.29 2.00 2.84 3.87 5.10 6.45 8.19 Perímetro cm 1.98 2.98 3.99 4.99 6.00 6.97 7.98 8.99 10.00 Peso kg/m 0.248 0.56 0.994 1.552 2.235 3.042 3.973 5.060 6.404 360 tabla a-8 áreas para Varias combinaciones de barras (cm2) 0 1 2 Nº3 3 4 5 1 2 Nº4 3 4 5 1 2 Nº5 3 4 5 1 2 Nº6 3 4 5 1 2 Nº7 3 4 5 1 2 Nº8 3 4 5 1 2 Nº9 3 4 5 1 2 Nº10 3 4 5 0.71 1.42 2.13 2.84 3.55 1.29 2.58 3.87 5.16 6.45 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 2.84 5.68 8.52 11.36 14.20 3.87 7.74 11.61 15.48 19.35 5.10 10.20 15.30 20.40 25.50 6.45 12.90 19.35 25.80 32.25 8.19 16.38 24.57 32.76 40.95 5 4.26 4.97 5.68 6.39 7.10 7.74 9.03 10.32 11.61 12.90 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00 17.04 19.88 22.72 25.56 28.40 23.22 27.09 30.96 34.83 38.70 30.60 35.70 40.80 45.90 51.00 38.70 45.15 51.60 58.05 64.50 49.14 57.33 65.52 73.71 81.90 Nº9 Nº8 Nº7 Nº6 Nº5 Nº4 Nº3 1 2.00 3.29 4.58 5.87 7.16 3.29 5.29 7.29 9.29 11.29 4.84 7.68 10.52 13.36 16.20 6.71 10.58 14.45 18.32 22.19 8.97 14.07 19.17 24.27 29.37 11.55 18.00 24.45 30.90 37.35 14.64 22.83 31.02 39.21 47.40 2 2.71 4.00 5.29 6.58 7.87 4.58 6.58 8.58 10.58 12.58 6.84 9.68 12.52 15.36 18.20 9.55 13.42 17.29 21.16 25.03 12.84 17.94 23.04 28.14 33.24 16.65 23.10 29.55 36.00 42.45 21.09 29.28 37.47 45.66 53.85 3 3.42 4.71 6.00 7.29 8.58 5.87 7.87 9.87 11.87 13.87 8.84 11.68 14.52 17.36 20.20 12.39 16.26 20.13 24.00 27.87 16.71 21.81 26.91 32.01 37.11 21.75 28.20 34.65 41.10 47.55 27.54 35.73 43.92 52.11 60.30 4 4.13 5.42 6.71 8.00 9.29 7.16 9.16 11.16 13.16 15.16 10.84 13.68 16.52 19.36 22.20 15.23 19.10 22.97 26.84 30.71 20.58 25.68 30.78 35.88 40.98 26.85 33.30 39.75 46.20 52.65 33.99 42.18 50.37 58.56 66.75 5 4.84 6.13 7.42 8.71 10.00 8.45 10.45 12.45 14.45 16.45 12.84 15.68 18.52 21.36 24.20 18.07 21.94 25.81 29.68 33.55 24.45 29.55 34.65 39.75 44.85 31.95 38.40 44.85 51.30 57.75 40.44 48.63 56.82 65.01 73.20 Nº8 Nº7 Nº6 Nº5 Nº4 Nº3 1 2.71 4.71 6.71 8.71 10.71 4.13 6.97 9.81 12.65 15.49 5.87 9.74 13.61 17.48 21.35 7.94 13.04 18.14 23.24 28.34 10.32 16.77 23.22 29.67 36.12 13.29 21.48 29.67 37.86 46.05 2 3.42 5.42 7.42 9.42 11.42 5.42 8.26 11.10 13.94 16.78 7.87 11.74 15.61 19.48 23.35 10.78 15.88 20.98 26.08 31.18 14.19 20.64 27.09 33.54 39.99 18.39 26.58 34.77 42.96 51.15 3 4.13 6.13 8.13 10.13 12.13 6.71 9.55 12.39 15.23 18.07 9.87 13.74 17.61 21.48 25.35 13.62 18.72 23.82 28.92 34.02 18.06 24.51 30.96 37.41 43.86 23.49 31.68 39.87 48.06 56.25 4 4.84 6.84 8.84 10.84 12.84 8.00 10.84 13.68 16.52 19.36 11.87 15.74 19.61 23.48 27.35 16.46 21.56 26.66 31.76 36.86 21.93 28.38 34.83 41.28 47.73 28.59 36.78 44.97 53.16 61.35 5 5.55 7.55 9.55 11.55 13.55 9.29 12.13 14.97 17.81 20.65 13.87 17.74 21.61 25.48 29.35 1209.30 24.40 29.50 34.60 39.70 25.80 32.25 38.70 45.15 51.60 33.69 41.88 50.07 58.26 66.45 NOTA: Las columnas 0 y 5 contienen datos para un tamaño en grupos de barras de 1 a 10. Las columnas 1, 2, 3, 4 y 5 contienen datos para dos tamaño en grupos de 1 al 10. 361 362 referencias Alejandro Sandino Pardo, Hormigón, conferencias editadas por la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Bogotá. Sánchez de Guzmán Diego, Tecnología del Concreto y del Mortero. Pontificia Universidad Javeriana, Santafé de Bogotá, 1987. Guarín Humberto, Teoría del Concreto. Ciclo de conferencias dictadas para ingenieros residentes de Con-concreto, Medellín, noviembre de 1986. A.M. Neville, Tecnología del Hormigón, tomos 1 y 2. Instituto Mexicano del Cemento y del Concreto A. C. México 1977. Norma ICONTEC 2,000. Muñóz Duque Jaime. Bases y desarrollo del Código Colombiano de Construcciones Sismo-Resistentes, seminario sobre el riesgo sísmico en Colombia, Asociación de Ingenieros Estructurales, Medellín, agosto de 1984. “Building Code Requeriments for Structural Concrete and Commentary” Código ACI-318-02, American Concrete Institute, Farmington, Michigan. Norma ACIS-100-81. 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