Hoofdstuk 2"MOMENT & KROMMING" -1- blanco -2- Inhoudsopgave 2.1 Verband tussen moment en kromming 2.2 De invloed van de buigstijfheid 2.3 Het gedrag bij belasten, stap voor stap 2.3.1 Moment dat aan de onderzijde de beton nog juist niet scheurt (Mr) 2.3.2 Moment dat het staal gaat vloeien 2.3.3 Moment dat het beton gaat stuiken 2.3.4 Moment dat het beton bezwijkt 2.4 Moment – krommingsdiagram (M - κ - diagram) 2.4.1 Inleiding 2.4.2 Rekenvoorbeeld #1 (constructie in de U.G.T.) 2.4.3 Het scheurmoment nader beschouwd 2.5 Belasten – ontlasten 2.6 Niet lineair – elastisch (variabele EI) 2.7 De buigstijfheid in de bruikbaarheidsgrenstoestand (B.G.T) 2.7.1 Uitgangspunten 2.7.2 Rekenvoorbeeld #2 (constructie in de B.G.T.) 2.7.3 Het kruipgedrag 2.7.4 Rekenvoorbeeld #3 (doorbuiging) 2.8 Nadere beschouwing van moment en kromming 2.8.1 De invloed van de hoeveelheid wapening op de kromming 2.8.2 Benaderingsformules voor Mu en κu 2.9 Omgekeerde volgorde markante punten (eerst betonstuik, daarna vloeien) 5 7 9 11 13 15 20 21 30 36 38 41 46 53 56 66 69 71 -3- blanco -4- . 1: Op buiging belaste ligger met een uitvergroting van een stukje balkdeel. Door de kromming zal het elementje aan de bovenzijde verkorten en aan de onderzijde verlengen met Δv. ε0 ε'b + ε0 In figuur 2.2.1 Verband tussen moment en kromming Het verband tussen moment M en kromming κ (“kappa”) is de buigstijfheid EI: κ= M EI ⇒ M = EI· κ De kromming κ is de 2e afgeleidde (2 * differentiëren) van de elastische lijn (zakking y): κ= d2 y dx 2 De reciproke waarde van de kromming is de kromtestraal ρ (“rho”): 1 κ 1 ρ ρ= ⇒ κ= Afleiding: h ϕ ρ ε'b h x h-x ϕ ϕ v v + ∆v Figuur 2. Uit evenredigheid met de grote driehoek ρ_v_ρ en de kleine driehoek (h – x)_Δv_(h – x) volgt: -5- . Voor de doorsnede geldt de wet van Bernoulli (“vlakke doorsneden blijven na buiging vlak”) en het moment is constant over de lengte v.1 is een stukje balk getekend welke belast is op buiging. De kromming kan ook worden verkregen door het éénmaal differentiëren van de hoekverdraaiing ϕ: κ = dϕ dx Ofwel: het integreren van krommingen geeft een hoekverdraaiing.h−x Δv = ρ v Δv ⎞ ⎛ Δv is de specifieke verlenging ε : ε = ⎜ ⎟ v ⎠ ⎝ v ⇒ ε= h−x ρ De kromming = specifieke rek hoogte waarover de rek plaatsvind ⇒ κ= ε h−x Op gelijkaardige wijze valt af te leiden voor de bovenste vezel.) σ = = M· (h − x ) I z is de afstand van de zwaartelijn tot de uiterste vezel z=h–x ⇒ κ = M· (h − x ) EI· (h − x ) = M EI = 1 ρ Hiermee is het verband tussen moment en kromming aangetoond. -6- . dus over hoogte x: κ= ε' x (accent ‘ vanwege druk) ε + ε' h Beide krommingen zijn gelijk.M.K. dus geldt : κ = σ = E· ε ⇒ ε= σ E Wet van Hooke : Uit bovenstaande valt af te leiden dat: κ = σ E ( h − x) M W M· z I σ = σ is de optredende buigspanning: W is het weerstandsmoment I is het traagheidsmoment ( A.O. T. 2.50 ‰) De aansluitende delen hebben dus een buigstijfheid EI die varieert! Dus even vlug de (juiste) doorbuiging uitrekenen m.) bepaald en is de onderlinge stijfheidsverhouding van de aansluitende delen belangrijk bij statisch onbepaalde constructies (U. De constructie wordt beschouwd in de uiterste grenstoestand (U. een doorbuigingsformule (“vergeet-me-nietje”) gaat niet welke waarde moet dan voor de stijfheid EI ingevuld worden? De balk heeft dus meerdere verschillende stijfheden. Net als bij andere materialen wordt hiermee de vervorming en doorbuiging (B. Stap voor stap wordt nagegaan wat er in de middendoorsnede gebeurt bij langzaam opvoeren van de belasting.).T.Eénmaal differentiëren van de elastische lijn (zakking y) geeft de hoekverdraaiing.75 ‰) delen waar de uiterste vezels bezwijken (3. Het moment tussen de puntlasten is dan constant.T.G.). kunnen in het balkje de volgende kenmerken worden herkend: delen van niet gescheurd beton delen van gescheurd beton delen waar het staal vloeit delen waar de uiterste vezels stuiken (1.v.2 De invloed van de buigstijfheid De buigstijfheid EI is bij betonconstructies erg belangrijk. Dit is de methode van het “gereduceerd momentvlak”. dus: ϕ = dy dx Samengevat: ϕ = dy dx en ϕ = ∫ κ· dx + c = ∫ EI· dx + c M Dit betekent dat als het M / EI – vlak als lastvlak wordt gebruikt (op een ligger). de uitgangspunten.b.m.G. de oplegreacties gelijk zijn aan de totale hoekverdraaiing ϕ die de balk ondergaat. Om dit inzichtelijk te maken wordt een gewapend betonbalkje aan de uiteinden opgelegd op scharnierende steunpunten en belast door twee puntlasten (“vierpuntsbuigproef”). staal is de EI bij beton niet constant! In een eenvoudig gewapend betonbalkje dat belast wordt tot bezwijken. -7- .v. Maar in tegenstelling tot bijv.G. Dit i. G.Figuur 2. beton onder druk σ-ε-diagram. Om het gedrag van de balk goed te kunnen beschrijven. moet ook het gedrag van de toegepaste (verschillende) materialen bekend zijn. Dus hoe is het gedrag van beton onder trek (onderzijde balk).3: σ-ε-diagrammen van beton (druk en trek) en staal voor de uiterste grenstoestand. onder druk (bovenzijde balk) en hoe gedraagt het betonstaal zich in het trekgebied. beton onder trek σ-ε-diagram.ε .50‰ ε’ fbm ≈0.2: Vierpuntsbuigproef met bijbehorende dwarskrachten.T.5 – 32. staal onder trek Figuur 2. In werkelijkheid is fs vele malen groter dan f’b: Vergelijk: FeB500 B25 fs = 435 N/mm2 f ’b = 15 N/mm2 -8- . de zgn. De diagrammen zijn onderling niet op schaal getekend. De benodigde σ-ε-diagrammen voor de beschouwing U.en momentlijn. zijn hieronder weergegeven: σ’ f 'b σ σs fs 1.175‰ εs 27. Daarom worden voor de verschillende materialen grafieken gehanteerd waarin hun karakteristieke gedrag valt af te lezen.5‰ σ-ε-diagram.diagrammen (“sigma – epsilon – diagrammen”).20‰ ε 2.75‰ 3. σ . 175‰ εs 27. zijn alle spanningen nul tot dat er belasting wordt aangebracht. kracht F. 2. 4. Het betonstaal hoeft niet per sé te vloeien aleer het beton stuikt.d. Dan pas ontstaan bovenin drukspanningen en onderin trekspanningen in het beton. ε’b. beton onder trek σ-ε-diagram. -9- .3. zij het nog zeer gering.5‰ σ-ε-diagram. 3. Iedere stap wordt gekozen bij een markant (kritisch) punt op één van de drie diagrammen: 1.175‰). moment dat aan de onderzijde de beton nog juist niet scheurt.3 Het gedrag bij belasten. Maar vanwege het feit dat het een samengestelde doorsnede ('n – zware' doorsnede) is.1 Moment dat aan de onderzijde de beton nog juist niet scheurt (Mr). De constructie gedraagt zich lineair-elastisch. Echter kan punt 2 en 3 omgekeerd zijn.pl = 2. staal onder trek Figuur 2.20‰ ε punt 1 2. als ook trekspanningen onderin het wapeningsstaal.50‰ fbm ε’ ≈0. stap voor stap 2. Dit is de fase dat het einde van de schuine tak in het beton-trekdiagram wordt bereikt.g. ε’b. σ’ f'b σ σs fs punt 1 punt 1 1.4: σ-ε-diagrammen voor beton en staal op het moment dat punt 1 wordt bereikt (scheurmoment).De belasting wordt in vier stappen vanaf nul opgevoerd.pl = 1. zal het staal niet geheel spanningsvrij blijven. omdat het staal pas echt wordt geactiveerd als het beton scheurt. moment dat het staal gaat vloeien (einde van de schuine tak. Verderop in dit hoofdstuk wordt hier nog uitvoerig aandacht aan besteed.5 – 32. Als even gemakshalve het eigen gewicht achtterwege wordt gelaten.u = 3. Het betonstaal moet natuurlijk wel altijd vloeien voordat de betondrukzone bezwijkt. dus voordat punt 4 bereikt wordt. i. εs.75‰ 3. moment dat beton gaat stuiken (einde van de schuine tak. Hieraan wordt voldaan met het maximale toepasbare wapeningspercentage ω0.75‰). moment dat beton bezwijkt (einde van de horizontale tak. dit is afhankelijk van de hoeveelheid toegepaste wapening. Deze ‘aanname’ moet altijd gecontroleerd worden. beton onder druk σ-ε-diagram.50‰) Dit is de volgorde zoals die hier wordt aangehouden. 2.max. max is bereikt ε’b << 1. > ½h h < ½h b Figuur 2. Het zwaartepunt van deze doorsnede ligt daarom ook wat lager.75‰ .Omdat nu aan de onderzijde van de balk de maximale treksterkte in het beton wordt bereikt. Uit het ε-diagram blijkt: • • • εs << 2.5: Rek.175‰ εb.6: Zwaartelijn 'n – zware' doorsnede n · As Aan de onderzijde bevind zich dus meer materiaal. De bijbehorende σ-ε-diagrammen zien er dan als volgt uit: ε'b xu h d h . De doorsnede is dus samengesteld uit verschillende materialen met verschillende eigenschappen. maar het is wel een ‘n-zware’ doorsnede. zal de balk scheuren.en spanningsdiagram voor de nog juist ongescheurde doorsnede (Mr). In feite is het gedrag hier nog lineair elastisch. Dit moment wordt het ‘scheurmoment’ (Mr) genoemd. dus de afstand van de zwaartelijn tot de onderste uiterste vezel is kleiner dan ½ h en de afstand tot de bovenste uiterste vezel is dan uiteraard groter dan ½ h.10 - .xu xu σ 'b << f 'b b εs εb rekdiagram σs << fs fbm spanningsdiagram Figuur 2. staal onder trek Figuur 2.7: σ-ε-diagrammen op het moment dat punt 2 wordt bereikt (vloeimoment).5‰ σ-ε-diagram.Uit het σ-diagram blijkt: • • • σs << fs fb = fbm σ’b << f’b staal vloeit nog lang niet. Dit is de enige fase waarin gebruik gemaakt wordt van het σ-ε-diagram van beton onder trek. scheurt de balk aan de onderzijde en t. punt 2 kan even zo goed eerder bereikt worden bij beton (f 'b) dan bij het staal (fs). een scheur komen alle trekkrachten in het staal.5 – 32.3. de maximale betondrukspanning is nog lang niet bereikt. Controleberekeningen moeten aantonen dat de uitgangspunten ook daadwerkelijk goed zijn aangenomen. Als de belasting wordt opgevoerd. beton onder druk σ-ε-diagram. D. Tussen twee scheuren in vind nog wel overdracht plaats van de trekkrachten in het betonstaal aan het beton. De balk moet niet gezien worden als een betonnen drukzone met er onder door enkel en alleen een wapeningsstaaf in het trekgebied.11 - . Nogmaals.2 Moment dat het staal gaat vloeien (Me).p.z. Dit is de fase dat het einde van de schuine tak in het staal-trekdiagram wordt bereikt. want het beton is niet meer in staat deze trekspanningen op te nemen. Bij verder door belasten zal het staal gaan vloeien.w. De ongescheurde betondelen hebben wel degelijk nog een grote invloed op de stijfheid van de balk. σ’ f'b punt 2 Trekspanning in het beton overschreden gescheurd géén trekopname meer mogelijk σ .175‰ 27. 2. de rekken van beide materialen uitrekenen en vergelijken met de rekken die behoren bij het einde van de schuine tak. De invloed op de stijfheid van de balk als geheel van deze ongescheurde stijvere 'tussenstukken' tussen de scheuren in wordt "tension stiffness" genoemd. .75‰ ε’ εs 2.50‰ σs fs punt 2 1. de maximale betontrekspanning is bereikt.diagram voor beton onder trek niet meer nodig.v. Als dan blijkt dat de optredende betonspanning σ'b groter is dan f 'b was de aanname fout.ε . 3. dus dat de eerste vezels in het beton reeds stuiken voordat het staal vloeit. 8: Rek. ligt de neutrale lijn nu aanzienlijk hoger.175‰ ( ε = σ / E εs = 435 / 2. In het spanningsdiagram staat voor beton alleen een driehoekig (druk-) spanningsfiguurtje getekend. Deze trekspanningen worden eenvoudigweg niet beschouwd en wordt alleen nog gekeken naar druk in beton en trek in staal.l wordt niet meer beschouwd.12 - . Doordat het beton aan de onderzijde niet meer mee doet. .De bijbehorende σ-ε-diagrammen zien er dan als volgt uit: ε'b xu h d xu z d . de maximale betondrukspanning is nog niet bereikt. beton is gescheurd en kan geen trekspanningen meer opnemen. tot de onderste uiterste vezel is nu groter dan ½h en de afstand tot de bovenste uiterste vezel is dan nu uiteraard kleiner dan ½h.175 ‰ rekdiagram spanningsdiagram Figuur 2. σ 'b xu n.9: Spanningsfiguur beton met verwaarloosd trekgedeelte.75‰ Uit het σ-diagram blijkt: • • • σs = fs σb >> fbm σ’b < f’b staal vloeit. géén trek meer in beton fs = 435 N/mm² Figuur 2.en spanningsdiagram op het moment dat staal vloeit (Me).0 · 105 = 2. maar alléén de wapening de trekkrachten opneemt.xu Ns fs = 435 N/mm² σ 'b N'b b εs = 2. terwijl in werkelijkheid ook onder de neutrale lijn nog een klein gebiedje is waar trekspanningen heersen.l.175‰ ) de rek in het beton aan de trekzijde is niet meer van belang ε’b < 1. Uit het ε-diagram blijkt: • • • εs = 2. dus de afstand van de n. Het staal is plastisch aan het vervormen. Het staal was al aan het vloeien en dit blijft zo. ofwel op 2/3 xu vanaf de n.5‰ σ-ε-diagram.175‰ εs 27.5 – 32.3. staal onder trek Figuur 2. Bij verder opvoeren van de belasting zullen de eerste vezels aan de bovenzijde in het beton gaan stuiken. alléén de rek wordt groter (punt 3 ligt nu verder verwijderd op de horizontale tak dan punt 2).3 Moment dat het beton gaat stuiken (Mpl).13 - . . Het inwendige moment wat kan worden opgenomen door deze gewapende doorsnede is dus: Mu = Ns · z met Ns = N’b en ofwel Mu = N’b · z ‘z’ als inwendige hefboomsarm (z = d . De rek in het staal kan nog oplopen tot ongeveer 3% (≈ 30‰ !) Dit is de fase dat het einde van de schuine tak in het beton-drukdiagram wordt bereikt. De kracht in het staal is: Ns = As · fs De kracht in het beton is: N’b = inhoud spanningsfiguur oppervlak Δ · breedte ½· σ’b· xu· b xu = hoogte van de ‘betondrukzone’ (hoogte van de driehoek. moet de horizontale resultante van de betondrukkracht (N’b) gelijk zijn aan de horizontale kracht in het staal (Ns).75‰ 3. σ’ f'b punt 3 σs fs punt 3 1.Omdat er sprake moet zijn van inwendig evenwicht (ΣH = 0). dus op 1/3 xu vanuit de bovenzijde.1/3 xu).50‰ ε’ 2.l. Ns grijpt aan in het hart van het wapeningsstaal en N’b grijpt aan in het zwaartepunt van de driehoek. het gebied waarin druk zit in de beton). 2.10: σ-ε-diagrammen op het moment dat punt 3 wordt bereikt (stuikmoment). Dit wil nog niet zeggen dat dan de constructie is bezweken. De spanning kan namelijk niet groter worden dan fs. beton onder druk σ-ε-diagram. en spanningsdiagram op het moment dat beton stuikt (Mpl).xu b εs > 2.75‰ Uit het σ-diagram blijkt: • • σs = fs σ’b = f ’b staal vloeit nog steeds. omdat σ’b = f ’b (f ’b aflezen in tabel) N’b = ½· f ’b· xu· b Het aangrijpen van de krachten is op dezelfde plaats als in de vorige fase: Ns grijpt aan in het hart van het wapeningsstaal en N’b grijpt aan in het zwaartepunt van de driehoek. en blijft: Ns = As · fs De kracht in het beton is nu wat eenvoudiger te bepalen. Uit het ε-diagram blijkt: • • εs > 2.75 ‰ xu h d xu z Ns fs = 435 N/mm² σ'b = f 'b N'b d . Omdat uiteraard ook hier weer sprake moet zijn van inwendig evenwicht. Het inwendige moment wat kan worden opgenomen door deze gewapende doorsnede is dus weer gelijk aan: Mu = Ns · z ofwel Mu = N’b · z .175 ‰ rekdiagram spanningsdiagram Figuur 2. kracht neemt niet meer toe de maximale betondrukspanning is bereikt.pl = 1.175‰ ε’b = 1.14 - . De kracht in het staal is.De bijbehorende σ-ε-diagrammen zien er dan als volgt uit: ε'b. moet N’b weer gelijk zijn aan Ns.11: Rek. 75‰ 3. Het inwendige moment Mpl is nu toch een fractie groter dan in de vorige fase.50‰ ε’ 2. alléén de rek in het staal is toegenomen. dus de inwendige hefboomsarm z is iets groter. dat al een tijdje aan het vloeien is. beton onder druk σ-ε-diagram. en die in het staal is en blijft onveranderd. de betondrukzone juist kleiner is en de spanning daarentegen groter is (σ’b bereikt hier de maximale waarde f ’b). dus bezwijkt de constructie op staalbreuk! Controleer voortdurend (bij elke stap) de rekken in het materiaal! Dit is de fase dat het einde van de horizontale tak in het beton-drukdiagram wordt bereikt. maar een kleinere spanning (σ’b).175‰ εs 27.3. terwijl in deze fase. .5‰ σ-ε-diagram. Let wel. Bij nog verder opvoeren van de belasting zullen steeds meer vezels aan de bovenzijde en in de lagen juist daaronder in het beton gaan stuiken.15 - . 2. fase 3.In feite is dus de inhoud van deze spanningsfiguur van beton gelijk aan die uit de vorige fase tenslotte moet de kracht in het beton gelijk zijn aan die in het staal. het kan voorkomen dat het staal voortijdig het einde van de horizontale tak bereikt (εs. De spanningsdriehoek in fase 2 heeft een grotere betondrukzone (xu). σ’ f'b punt 4 σs fs punt 4 1. waardoor de oppervlakken van de spanningsfiguren aan elkaar gelijk kunnen blijven. blijft dit (uiteraard) nog steeds doen en de rek wordt als maar groter. staal onder trek Figuur 2.5 – 32. omdat het zwaartepunt van de betondrukzone iets hoger ligt. Het staal. De betondrukzone wordt verder gereduceerd omdat de scheur steeds ‘dieper’ doorloopt.12: σ-ε-diagrammen op het moment dat punt 4 wordt bereikt (bezwijkmoment).4 Moment dat het beton bezwijkt (Mu).u). (Grafieken en Tabellen voor Betonconstructies) voor het berekenen van de buigtrekwapening in een constructie zijn gebaseerd op dit stadium. . met behoud van een deugdelijke constructie.xu b εs >> 2. Dit is dus de laatste fase. het bezwijkstadium. hetzelfde: Ns = As · fs Voor het beton blijft de resultante van de kracht N’b gelijk aan de inhoud van de spanningsfiguur. De tabellen die zijn opgenomen in de G. echter dit is geen driehoek meer. vanaf het eerste moment van vloeien. dus met de uitgangspunten in deze fase. Voor de staalkracht Ns geldt nog steeds. is onmogelijk. kracht neemt al lang niet meer toe de maximale betondrukspanning wordt bereikt over een grotere hoogte (over meer vezels) Er zijn nu zoveel betonvezels ‘gestuikt’.T. dat de constructie als bezweken wordt beschouwd.13: Rek. Het is een combinatie van een rechthoek (bovenste deel) met een driehoek (onderste deel).B.en spanningsdiagram op het moment dat beton bezwijkt (Mu). Verder opvoeren van de belasting. Uit het ε-diagram blijkt: • • εs >> 2.u = 3. Deze twee tezamen vormen weer de hoogte van de betondrukzone xu.16 - .175 ‰ rekdiagram fs = 435 N/mm² spanningsdiagram Figuur 2. geldt ook hier dat er voldaan moet worden aan inwendig evenwicht (ΣH = 0).50‰ Uit het σ-diagram blijkt: • • σs = fs σ’b = f ’b staal vloeit nog steeds.De bijbehorende σ-ε-diagrammen zien er dan als volgt uit: ε'b.175‰ ε’b = 3. Evenals bij alle vorige fasen.50 ‰ xu h d ½ xu ½ xu f 'b N'b z Ns d . maar laat wel heel goed de verhouding zien tussen de hoogte van de driehoek en van de rechthoek. echter conform de afspraak wordt dit verder niet meegenomen in de berekening.g. Zie figuur 2. In werkelijkheid is het verloop parabolisch Figuur 2. maar dan is de inwendige hefboomsarm z weer wat groter.50‰ even groot. .75‰ en van 1. Het werkelijke σ . Inhoudelijk maakt het echter weinig uit welk diagram er gehanteerd wordt. juist onder de neutrale lijn. Door de invloed van de kruip zullen in werkelijkheid de bovenste vezels iets ontlast worden. parabolisch en volgens de Eurocode. In werkelijkheid is er nog een klein gebiedje waar trek optreed. is het verschil van 0 – 1. Dit is niet gebruikelijk. of vice versa.15.w. I.Dit is een vereenvoudigde weergave. Conclusie is dat er procentueel een verschil van ± 1% zit in het uiteindelijk berekende moment Mu.a. Hieruit kan geconcludeerd worden dat de werkelijke vorm van de betondrukzone ook een parabolisch verloop heeft.17 - . dus m. Het (parabolisch) bezwijkmoment is een fractie kleiner.14: Verloop van de drukzone. Het oppervlak van de parabolische figuur is gelijk aan: ⅔ · f ’b· xu· b met z = d – 0. iets in spanning afnemen en zullen de lager gelegen vezels de grootste spanning vertonen. kan de hoogte van de betondrukzone xu keurig in twee gelijke delen gesplitst worden.d. We rekenen echter met een bi – lineair σ-ε-diagram en dat betekent dat de vorm van de drukspanningsfiguur ook gelijk is aan dit bi – lineaire diagram.75‰ – 3.diagram is parabolisch.375 xu Het oppervlak van de parabolische – rechthoekige figuur is gelijk aan: 17/ 21 · f ’b· xu· b met z = d – 416 xu Of het oppervlak is wat kleiner. parabolisch of parabolisch – rechthoekig (Eurocode). bi-lineair.ε . ½ xu voor de driehoek en ½ xu voor de rechthoek. werkelijk. In deze figuur zijn ook de rekken weergegeven. Nu kan ook het oppervlak van drukspanningsfiguur met bijbehorend zwaartepunt worden berekend.pl = 2.39 x u ) opmerking: als er gerekend wordt met andere uitgangspunten.p. 1.ε .50‰ 1. AΙ = ½ xu · f 'b AΙΙ = ¼ xu · f 'b ∑A = 3/4 xu · f 'b yΙ = ¼ xu yΙΙ = 2/3 xu → → AΙ ⋅ yΙ = 1/8 xu² f 'b AΙΙ ⋅ yΙΙ = 1/6 xu² f 'b ∑A · y = 7/24 xu² f 'b ΣA · y = y = ΣA 7 x u f 'b 3 x f' 4 u b 24 2 = 7 18 x u ( = 0.15: De betondrukzone weergegeven als vereenvoudigd σ-ε-diagram (bi-lineair).18 - .75‰ 3.00‰ i.diagram van beton onder druk Figuur 2.v.75‰.75‰ h d 0 σ' f 'b fs Spanningsfiguur 0 1. .16: Oppervlak en zwaartepunt betondrukzone bij gelijke hoogte van en Δ (½xu). is het oppervlak niet meer gelijk aan ¾ · f ’b · xu ! Het zwaartepunt van de drukzone ligt dus op 7/18 xu (0. een bi – lineair σ-ε-diagram met een stuikrek εb.f 'b 3.50‰ ε' σ . bijv.39 xu) uit de bovenzijde. gedraaid en gespiegeld. Figuur 2. de betonoppervlakken in de spanningsfiguren zijn gelijk en dus ook de krachten. Voor berekeningen in de B.p. etc.T.). C90/105 geldt: α = 0. Wel verschuift steeds de zwaartelijn naar boven. uit deze fase. In werkelijkheid kan de rek van beton aanzienlijk groter zijn dan 3. maar ook hier is het zwaartepunt weer naar boven verschoven. Het oppervlak vermenigvuldigd met de breedte van het constructie-element b geeft de inhoud van de spanningsfiguur: N’b = ½ · f ’b · xu · b ( ) + ½ · ½ · f ’b · xu· b (Δ) = ¾ · f ’b · xu · b Deze resultante van de betondrukkracht is weer gelijk aan die in de vorige fase.G.v. fy.v.Algemeen wordt ook wel geschreven: ∑A = α xu · f 'b en y = β xu Voor betonsterkteklassen C12/15 (B25) t/m C53/65 (B65) geldt dus: α = 0. zodat de inwendige hefboomsarm z groter is geworden en derhalve uiteraard ook het moment Mu is toegenomen. dus dit is het maximale inwendige moment (Mu) wat een constructie kan opnemen.rep i. zij het in (zeer) geringe mate. f 'b. Dus bij laboratoriumproeven (werkelijk gedrag) moeten deze punten eerst proefondervindelijk worden vastgesteld. De hier gebruikte diagrammen zijn voorgeschreven in de norm. Een grotere waarde van Mu kan niet bereikt worden. fy. de spanning en de rek in het betonstaal ook groter dan fs en εsu. dus N'b = Ns.p.62 β = 0.39 Naarmate de sterkteklasse verder toeneemt (>C53/65). Voor bijv.ε diagrammen van de verschillende materialen (beton en staal). Merk op dat de gehele filosofie zoals die hierboven is besproken afhankelijk is van de gehanteerde σ . want de kracht in het staal verandert niet (vloeien alleen de rek neemt toe) en voor inwendig evenwicht geldt: ΣH = 0.p. Dit moet ook wel..rep i. is de betonspanning groter dan f'b en is resp. neemt zowel α als β af.v. gelden andere uitgangspunten (representatieve waarden i.50‰. Samengevat. . tenminste als er sprake is van bezwijken door betonstuik èn niet het voortijdig bezwijken van het staal omdat het eerder het einde van zijn horizontale tak heeft bereikt dan het beton. dus voor het bepalen van de buigtrekwapening voor sterkteberekeningen. wordt gebruikt om constructies te controleren op hun maximale draagvermogen bij buiging in de U.19 - .75 β = 0. De aanpak is hetzelfde. rekenwaarden: f 'b.35 De kracht in het beton in het bezwijkstadium kan nu bepaald worden. Controleren! Dit moment.T.G. diagram Figuur 2. vergelijkingen van driehoeken in het ε . zoals hierboven is omschreven. De momenten met bijbehorende krommingen kunnen worden uitgezet in een zgn.diagram.v. εboven x d κ= ε boven x = ε onder ε + ε onder = boven d−x d d-x εonder Figuur 2. kunnen m.4 Moment – krommingsdiagram (M .κ .4.κ . het ε .b.diagram de rekken worden berekend en daarmee zijn ook de krommingen te bepalen. M [Nmm] * 106 Mu Mpl Me Lineair – elastisch verloop αu Mx Mr = scheurmoment αe Mr Me = vloeimoment Mpl = stuikmoment Mu = bezwijkmoment Mx = willekeurig moment αx = arctan (EI)x αx κr κx κe κpl κu κ [mm-1] * 10-6 tan αx = Mx / κx M .17: Bepalen van de kromming m.κ .v. M .20 - .diagram .2.κ . Als de hoogte van de betondrukzone xu bekend is.18: M .1 Inleiding In iedere fase. kan bij het inwendige moment M de bijbehorende kromming κ worden bepaald.diagram) 2.b.diagram (spreek uit als M – kappa – diagram). De EI die afgeleid zou worden uit gegevens van tak 3 – 4.4.diagram wat bedoeld is voor de U. Merk op dat de r.T. Dit wordt verder in dit hoofdstuk behandeld. zoals hier getekend.c.diagram (αe)! Dit is per definitie zo.) van de lijn.κ .c. tussen Mpl en Mu. Er kan nu voor ieder willekeurig moment de bijbehorende kromming worden afgelezen. is het meestel voldoende om maar twee punten te stileren.(ε) en spanningsdiagram (σ) met daarin in aangeven de (on-)bekenden.T. te stileren met vier punten. dus in de U.G. vloer) waarin het moment en de eigenschappen constant zijn aangenomen en niet bij een (door-) snede! 2. .κ . Vanuit de oorsprong wordt een lijn getrokken naar Mx (moment waarbij de EI bepaald moet worden). En omdat de buigstijfheid EI gerelateerd is volgens: κ= M EI ⇒ EI = M κ kan dus ook voor ieder willekeurig moment de bijbehorende EI worden bepaald. Het is gebruikelijk om voor een M .T.κ .G. Teken telkens voor ieder punt het bijbehorende vervormings. De EI is dus de richtingscoëfficiënt (r.) Opgave: Bepaal voor bovenstaande balkdoorsnede het verband tussen moment en kromming en de waarde van EI in geval van een sterkteberekening.diagram hoort bij een (klein) stukje constructie-onderdeel (balk. Een M .2 Rekenvoorbeeld #1 (constructie in de U. Controleer steeds je uitgangspunten (aannames).κ .G.G. namelijk het scheurmoment en het vloeimoment.9h (beugel en flankstaven zijn niet getekend.diagram wat bedoeld is voor de B.Hierboven is een willekeurig M . genomen wordt van de lijn die vertrekt vanuit de oorsprong en niet van betreffend lijn in het M .) h b b * h = 400 * 600 mm2 As = 3 ∅16 = 603 mm2 Betonkwaliteit: C20/25 (B25) Staalkwaliteit: FeB500 d = 0.T.21 - .κ . Anders zou de EI op dat traject constant zijn. Voor een M .diagram. De kromming κx wordt afgelezen en de buigstijfheid (EI)x kan bepaald worden. Echter wordt dit gedaan voor zowel de korte – als de lange – duur. zou dan tot een absoluut minimum gereduceerd zijn (αu). 75 ‰ ⇒ 15 1.Zet de resultaten in een tabel (M.050 mm2 254.0· 105 n= = 23. Nogmaals.3 N/mm² spanningsdiagram Figuur 2. 3. is de volgorde verkeerd gekozen en zal stap 2 en 3 omgewisseld moeten worden en de berekening worden herzien.75‰ xu h d h .3 8570 Es = 2.75‰.75‰ ε'b = 3. κ en EI) en teken het bijbehorende M-κ-diagram.000 mm2 A staal: 23.22 - .75· 10 −3 = 8570 N / mm² 2.587 ⋅ 103 mm3 .0 · 105 N/mm² A beton: 400 * 600 = 240. 4.19: Rek. dat het stuikmoment eerder optreedt dan het vloeimoment. dan komt dit bij de controle van de uitgangspunten naar voren.en spanningsdiagram voor de nog juist ongescheurde doorsnede (Mr).175‰ εb rekdiagram σs << fs fbm = 2. 2. Mocht het nu zijn. bij een relatief laag wapeningspercentage is doorgaans deze volgorde juist. "n – zware" doorsnede: E 'b = f 'b 1. Bij de controle van de betonrek in fase 2 (vloeien staal) moet bij bovenstaande aanname ε'b < 1.75‰.xu xu σ 'b << f 'b b εs << 2. Hier wordt later op teruggekomen. 1) Scheurmoment ε'b << 1. Uitwerking: Er moeten 4 kritische punten beschouwd worden: 1. Scheurmoment Mr Vloeimoment Me Stuikmoment Mpl Bezwijkmoment Mu σb = fbm σs = f s ε'b = 1. Blijkt de betonrek juist groter te zijn dan 1.3 * 603 = 14.050 mm2 xb = 300mm xst = 540mm → → Ab ⋅ xb = 72000 · 103 mm3 Ast ⋅ xst = 7587 ⋅ 103 mm3 79.50‰ Ze worden hier in deze volgorde behandeld. x= 79.587·103 = 313 mm 254.050 (h – x → 600 - 313 = 287mm.) A.K.O.M. ('eigen' traagheidheidsmoment + verschuivingsregel van Steiner): I0 = 1/12 ⋅ 400 · 6003 + (400· 600) ⋅ (313 - 300)2 + 14.050 (540 - 313)2 = 7200 ⋅ 106 + 41 · 106 + 724 · 106 = 7965 · 106 mm4 (EI)0 = 8570 * 7965 · 106 = 68.300 · 109 Nmm2 (= 68.300 kNm²) Alternatieve methode: fbm = 2,3 N/mm² fbm· I0 2,3 * 7965· 106 ⇒ (h - x ) (600 - 313) Mr = = 63,83· 106 Nmm εb = fbm 2,3 = = 0,268· 10 - 3 = 0,268 ‰ Eb 8570 εs d-x (540 - 313) = ⇒ εs = * 0,268· 10 - 3 = 0,292· 103 = 0,212 ‰ εb h- x (600 - 313) σs = 0,212 · 10-3 * 20.000 = 42,4 N/mm² ε' b x = εb h- x ⇒ ε'b = 313 * 0,268· 10 - 3 = 0,292· 10 −3 = 0,292 ‰ (600 - 313) σ'b = 0,292 · 10-3 * 8570 = 2,50 N/mm² ε 'b + ε s κr = d (0,292 + 0,212)· 10-3 = = 9,333· 10 −7 mm-1 540 - 23 - (0,0009333 m−1 ) (EI) 0 = Mr κr = 63,83· 106 = 68.400· 109 N / mm² 9,333· 10- 7 (68.400 kNm²) ε'b = 0,292‰ h = 600 d = 540 As = 603 mm² 400 h - xu = 287 xu = 313 313 σ 'b = 2,50 N/mm² εs =0,212‰ εb = 0,268‰ rekdiagram σs = 42,4 N/mm² fbm = 2,3 N/mm² spanningsdiagram Figuur 2.20: Rek- en spanningsdiagram met berekende waarden voor de nog juist ongescheurde doorsnede (Mr). 2) Vloeimoment ε'b xu h d xu z d - xu Ns fs = 435 N/mm² σ 'b N'b b εs = 2,175 ‰ rekdiagram spanningsdiagram Figuur 2.21: Rek- en spanningsdiagram op het moment dat staal vloeit (Me). ε'b = x · εs d−x ⇒ E'b = Es n σ' b = E x · εs · s d−x n σ' b = ε s · Es = σs x · σs n (d − x) n= Es E' b σ ' b = ε ' b · E' b - 24 - σ 'b = x ⋅ σs n (d - x) ½· b· x· x · σ s = A s· σ s n(d - x) ΣH = 0 ½ · b · x · σ 'b = As · σs ½· b· x· x · σ s = A s· σ s n(d - x) ⇒ ½· b· x· x = As n(d - x) ½ · b · x² = n(d – x) · As ½ · 400 · x² = 23,3 · (540 – x) · 603 200 x² = 14.050 · (540 – x) 200 x² = 7587 · 103 – 14050 x x² = 37.935 – 70,25 x x² + 70,25 x – 37.935 = 0 x1 = 163 mm. ( x2 = -233 mm. n.v.t. ) σs = fs = 435 N/mm² (staal vloeit) εs = fs 435 = = 2,175· 10- 3 = 2,175 ‰ 5 Es 2,0· 10 163 · 2,175· 10- 3 = 0,94· 10- 3 = 0,94 ‰ < 1,75 ‰ ⇒ accoord (540 - 163) ε' b x = εs (d - x) ⇒ ε' b = σ'b = 0,94 · 10-3 * 8570 = 8,1 N/mm² Hieruit blijkt dat de volgorde vloeimoment – stuikmoment juist is gekozen (ε'b < ε'b;pl). ε'b + ε s (0,94 + 2,175)· 10-3 κe = = = 5,76· 10- 6 mm-1 d 540 - 25 - (0,00576 m−1 ) 75· 10.94‰ xu = 163 h = 600 d = 540 d .xu = 377 As = 603 mm² 400 163 σ 'b = 8.4· 106 = = 22.x ) (540 .11‰ ε'b x 87 .xu b εs > 2.⅓ x) Me = 603 · 435 · (540 .en spanningsdiagram op het moment dat beton stuikt (Mpl).11· 10.4 kNm) (EΙ) e = Me 127.en spanningsdiagram met berekende waarden op het moment dat staal vloeit (Me).1 N/mm² N'b z = 486 εs = 2.M = As · fs · z z = (d . ½ · 400 · x · 15 = 603 · 435 εs (d .3 = 9.pl = 1.87) = ⇒ εs = · 1.175 ‰ rekdiagram Ns fs = 435 N/mm² spanningsdiagram Figuur 2.⅓ ·163) = 127.22: Rek.4 · 106 Nmm (127.3 = 9.26 - .76· 10 −6 ( 22. ΣH = 0 ½ · b · x · σ 'b = As · σs → x = 87 mm.100 kNm²) ε'b = 0.175 ‰ rekdiagram spanningsdiagram Figuur 2.75 ‰ xu h d xu z Ns fs = 435 N/mm² σ'b = 15 N/mm² N'b d . 3) Stuikmoment ε'b.100· 10 9 Nmm 2 κe 5.23: Rek. 04 · 106 Nmm (134.175 ‰ rekdiagram fs = 435 N/mm² spanningsdiagram Figuur 2.en spanningsdiagram met berekende waarden op het moment dat beton stuikt (Mpl).04 kNm) (EI) pl = M pl κ pl = 134.xu = 453 As = 603 mm² 400 87 σ'b = 15 N/mm² N'b z = 511 Ns εs = 9.04· 106 2.pl = 1.01· 10 .en spanningsdiagram op het moment dat beton bezwijkt (Mu).01 10-6 mm-1 · d 540 (0.κ pl = ε' b + ε s (1.75 ‰ xu = 87 h = 600 d = 540 d . 4) Bezwijkmoment ε'b.25: Rek.668 kNm2 ) ε'b.24: Rek.75 + 9.u = 3.27 - .0201 m−1 ) Mpl = As · fs · (d .668 · 109 Nmm 2 (6. . 3/ 4· b · x · f ’b = As · fs → 3/ 4 · 400 · x · 15 = 603 · 435 → x = 58 mm. Het oppervlak van de spanningsfiguur is nu geen driehoek meer.⅓ x) 603 · 435 · (540 .5 = 6.11)· 10-3 = = 2.xu b εs >> 2.11 ‰ rekdiagram fs = 435 N/mm² spanningsdiagram Figuur 2.50 ‰ xu h d f 'b = 15 N/mm² ½ xu ½ xu z Ns N'b d .⅓ · 87) = 134. 248 kNm2 ) κu 6. omdat dan hrechthoekje ≠ hdriehoekje ≠ ½ xu.50· 10.5 ε'b.73· 106 = = 2.pl : ε’b.7/18 x) 603 · 435 · (540 .Let op! Als de verhouding ε’b.1)· 10 -3 = 6.248· 109 NNm 2 (2.5 ‰ ! κu = ε' b + ε s d = (3. .73 · 106 Nmm (135.50 + 29. De oplossing wordt gegeven achteraan in dit hoofdstuk wanneer Me > Mpl.1 ‰ rekdiagram fs = 435 N/mm² spanningsdiagram Figuur 2.73 kNm) (EI) u = Mu 135.x ) (540 . εs (d .u ≠ 1 : 2.28 - .u = 3.06037 m −1 ) Mu = As · fs · (d .037· 10.7/18 · 58) = 135.1‰ (! ) ε'b x 58 bij gebruikmaking van FeB500 HKN (koud vervormd) zou al staalbreuk zijn opgetreden bij 27.58) = ⇒ εs = · 3.1· 10.26: Rek. mag voor het oppervlak van de drukspanningsfiguur niet 3/4 · b · x · f ’b worden aangehouden.en spanningsdiagram met berekende waarden op het moment dat beton bezwijkt (Mu).5 mm −1 540 ( 0.037· 10 .3 = 29.xu = 482 As = 603 mm² 400 f 'b = 15 N/mm² ½ xu ½ xu z = 517 Ns N'b εs = 29.50 ‰ xu = 58 h = 600 d = 540 d .3 = 29. 83 0.27: M .76 20.29 - .κ .04 135.1: M .933 5.diagram Figuur 2.40 134.668 2.Tabel 2.100 6.tabel van rekenvoorbeeld #1 M – κ .diagram van rekenvoorbeeld #1 Voor ieder willekeurig moment kan nu de bijbehorende kromming worden afgelezen.37 1 mm-1 = 103 m-1 Stijfheid (EI) * 109 (Nmm2) 68.κ .37 κ [mm-1] * 10-6 M .76 20.73 1 Nmm = 10-6 kNm Kromming κ * 10-6 ( mm-1) 0.04 127.400 22.75‰ 4) ε’b = 3. zodat ook de bijbehorende stijfheid EI bepaald kan worden.tabel Moment M * 106 (Nmm) 63.83 127.73 134.50‰ M [Nmm] * 106 135.248 1 Nmm² = 10-6 kNm 1) σb = fbm 2) σs = fs 3) ε’b = 1.κ .4 63.10 60.1 60. .9333 5. De bijdrage van deze ongescheurde.4. Dit geeft het volgende beeld: ε'b xu h d d . direct al na de eerste scheur.g. Bij voorgaande berekeningen waren er altijd wel onder en/of boven de zwaartelijn van het rek. bij minimale buigtrekspanningen.a.κ .xu εs σs xu z Ns σ 'b N'b b rekdiagram spanningsdiagram Figuur 2. als een 'n – zware' doorsnede. De invloed van het wapeningsstaal is alleen meegerekend in het axiaal kwadratisch oppervlakte moment (of wel het 'traagheidsmoment'). Het volledige beton (-aandeel) aan de trekzijde zou als het ware weggedacht kunnen worden.n. Het scheurmoment Mr is in feite fictief (rekenkundig) in werkelijkheid is er een geleidelijke overgang van ongescheurd naar gescheurd. beton met een hoge stijfheid. Om dit te illustreren wordt dit punt berekend m.3 Het scheurmoment nader beschouwd In dit rekenvoorbeeld #1 is voor het scheurmoment Mr uitgegaan van beton als lineair – elastisch materiaal waarbij de gemiddelde treksterkte van beton maatgevend is. 'kritische punten' zoals die hier genoemd zijn. Er zullen al scheurtjes ontstaan voor het bereiken van dit punt. Tussen de scheuren in is er ongescheurd beton. de z.diagram die loopt van het scheurmoment naar het vloeimoment houdt rekening met de invloed van de treksterkte van beton. Dit zou in het M . m.w. het voorgaande rekenvoorbeeld #1.b.en spanningsfiguur als de wapening het volledige scheurmoment Mr opneemt. omdat er natuurlijk geen scheurtjes ontstaan bij exact de opgegeven maximale trekspanning.83 · 106 Nmm Dit moment zou dan volledig moeten worden opgenomen door de wapening.2. De lijn in het M .κ . Het scheurmoment Mr = 63.en spanningsdiagram bekende rekken en/of spanningen terug te vinden. stijve delen beton aan de totale stijfheid heet "tension – stiffening".diagram een extra punt opleveren tussen het scheurmoment en het vloeimoment.28: Rek. Als de invloed van de betontrekspanningen niet meegerekend zou worden. .30 - . zou dus de volledige trekkracht worden opgenomen door het wapeningsstaal. De resterende trekcapaciteit van het beton wordt dan verwaarloosd.v. Deze zorgen ervoor dat middels gelijkheid van driehoeken de onbekenden uitgerekend kunnen worden. want het scheurmoment Mr = 63. (x2 = -233 mm. ε'b. de wortelformule kan ook een algemene formule worden afgeleid. n. εs en σs.v. Uit het rekdiagram is af te leiden dat: ε' b x = εs d − x ⇒ ε'b = x · εs d−x [1] N'b = Ns σ'b = E'b · ε'b σs = Es · εs ½ · b · x · σ'b = As · σs ½ · b · x · E'b · ε'b = As · Es · εs [2] [1] invullen in [2]: (met n = Es / E'b) ⎞ ⎛ x ⇒ ½· b· x· ⎜ ⎟ ⎜ d − x · ε s ⎟ = n· A s · ε s ⎠ ⎝ ⇒ ½· b· x 2 = n· A s · (d − x) ⇒ ½· b· x 2 = n· A s · d − n· A s · x ⇒ ½· b· x 2 + n· A s · x − n· A s · d = 0 [3] invullen: ⇒ ½· 400· x 2 + 23. Wat nu wel bekend is.v.3· 603· 540 = 0 ⇒ x 2 + 70. σ'b.Hier zijn alleen maar onbekenden: xu.) M.31 - . is het moment.25· x − 37. in tegenstelling tot vorige berekeningen.b.3· 603· x − 23.83 · 106 Nmm.t.935 = 0 x1 = 163 mm. In [3] de hoeveelheid wapening As vervangen door het wapeningspercentage ω0: . Mr = Ns * z Mr = As · Es · εs · (d .⅓ ·163) εs = 1.175 · 10-3 (1.175 ‰ = 0.83 · 106 = 603 · 2.175 ‰) σs = 1.0 · 105 = 235 N/mm² ε'b = 163 · 1.2 = − n· ω0· d ± n2· ω0 · d2 + 2· n· ω0· d2 1 2 Alleen met de positieve discriminant is het antwoord valide: x = − n· ω0 + d (n· ω0 ) 2 + 2· n· ω0 met ω0 = As ( ⇒ let op : géén 10 −2 ! ) b· d dit geeft uiteraard hetzelfde resultaat voor x. zonder 10-2) ⇒ ½· b· x 2 = n· ω0 · b · d· (d − x) ⇒ ½· x 2 = n· ω0 · d2 − n· ω0 · d· x ⇒ ½· x 2 + n· ω0 · d· x − n· ω0 · d2 = 0 ⇒ x1.0 · 105 · εs · (540 .508 ‰ 540 − 163 σ'b = 0.508 · 10-3 * 8570 = 4.As = ω0 * b * d Invullen in [3]: (voor ω0 alléén de getalswaarde nemen.35 N/mm² .175 · 10-3 * 2.⅓ x) invullen: 63.32 - . 116· 10 −6 mm −1 540 Deze gegevens kunnen bijgetekend worden in het reeds gemaakte M .diagram Figuur 2.04 127.diagram van rekenvoorbeeld #1 zonder de invloed van de betontreksterkte.73 134.33 - .κ .⇒ κ= ( 1.2 . Het gearceerde gebied wordt nu niet meegenomen.933 3.37 κ [mm-1] * 10-6 M .175 + 0. Dus vanaf het eerste scheurtje neemt de wapening de volledige trekkracht over.76 20.κ . Het te volgen traject is vanaf de oorsprong naar 1 .83 1 2 0.1 60.116 5.diagram: M [Nmm] * 106 135.29: M .3 .κ .4 3 63.508 )· 10 −3 = 3. .933 5. Het te doorlopen traject is direct van de oorsprong naar vloeipunt 2. M [Nmm] * 106 135.1 60.30: M .κ . kan dit een goede benadering zijn. Als het verschil tussen κr en κe niet al te groot is.diagram Figuur 2.76 20.34 - .37 κ [mm-1] * 10-6 M . Er zal een geleidelijke overgang zijn.4 2 F F gebied tension-stiffening 63.73 134. De wapeningsstaven worden dan via de beugels in twee richtingen op hun plaats gehouden.83 1 gebied treksterkte beton 0. Zou de invloed van de trekcapaciteit van beton geheel achterwege worden gelaten. wordt onderstaande grafiek verkregen.Omdat hier geen rekening gehouden wordt met de positieve bijdrage van de treksterkte van het beton in de stijvere ongescheurde betondelen tussen de scheuren in (tension – stiffening). is het aannemelijker het eerste diagram aan te houden (zoals direct uit het rekenvoorbeeld volgde). Zoals reeds eerder is aangegeven. Omdat het niet erg realistisch is (en bij onderzoek ook niet is vastgesteld).diagram van rekenvoorbeeld #1 zonder scheurmoment. kan dit het best vergeleken worden met een balk waar aan de trekzijde wel wapening aanwezig is maar geen beton.κ .04 127. scheurpunt 1 is dan niet van toepassing. het scheurmoment is fictief. dat na het eerste scheurtje de kromming excessief toeneemt (in dit geval met een factor > 3). Het is dus sterk afhankelijk van het optredende moment waarmee gewerkt moet worden. Dit sterk vereenvoudigde diagram ziet er als volgt uit: Moment Mu Kromming κe κu Sterk vereenvoudigd M . Omdat de momenten Me.88 * 10-6 mm-1.κ .76 is 2. Het scheurmoment is dan niet relevant. wordt hiervoor één horizontale lijn getekend ter hoogte van Mu. In sommige literatuur staan sterk vereenvoudigde M . .diagram.35 - .diagram Figuur 2.κ .κ .diagrammen van zelfs maar twee punten: κe en κu. Deze kromming is wel ongeveer een factor 3 groter dan bij 1! Of het scheurmoment is helemaal niet interessant voor de beschouwing die gedaan wordt.31: Sterk vereenvoudigd M .In dit voorbeeld is de kromming ter hoogte van Mr op de tak 'oorsprong . Mpl en Mu vaak zo kort bij elkaar liggen.a. gebruikt bij het bepalen van de rotatiecapaciteit bij plastische scharnieren.2' ongeveer de helft van 5. Dit sterk vereenvoudigde diagram wordt o. 32: M . Belasten tot het scheurmoment (nog net niet scheuren). de 2e tak loopt vanuit dit punt naar het vloeimoment Me.κ . nà het vloeimoment .a.Normaliter wordt hier uitgegaan van het M . Of in geval van veel wapening zijn vloeimoment Me en stuikmoment Mpl omgewisseld. 2.ontlasten Bij het belasten van een constructie-onderdeel kan het traject gevolgd worden in het M .κ .diagram. Als nu ergens in dit traject gestopt wordt met belasten (de belasting wordt er af gehaald) wordt een rusttoestand bereikt die eindigt op de x-as. geeft bij ontlasten een zelfde terugweg.diagram met vier kritische (markante) punten. vervolgens de 3e tak naar Mpl en als 4e en laatste tak naar Mu. Afhankelijk in welk stadium (traject) het onderdeel zich bevindt.diagrammen zijn hier alleen ter illustratie en ter completering gegeven. Dus de 1e tak loopt vanuit de oorsprong naar het scheurmoment Mr. dus lineair – elastisch. M. M 2 M 2 3 1 1 3 κ 4 κ A A vòòr het vloeimoment Figuur 2. is er een blijvende kromming. Op het moment dat er een scheurtje optreedt en het traject zich in de 2e tak gaat begeven.diagrammen bij belasten – ontlasten.36 - . Hieronder staan grafieken hoe het 'terugverloop' plaatsvindt.w. er wordt rekening gehouden met de bijdrage van beton onder trek! De andere M . zal er een blijvende kromming optreden.5 Belasten .κ .κ . Vervolgens wordt vanaf het stoppunt op de 3e tak (punt 3) een lijn getrokken naar de krommingsas (x-as) evenwijdig aan de lijn 2 . wordt doorgetrokken in het 3e kwadrant.37 - . men bevind zich op de 2e tak. De eerste tak.Als hulp wordt gebruik gemaakt van het 3e kwadrant.A Het verdere verloop is gelijk aan het voorgaande. Waar de krommingsas (x-as) wordt doorsneden (punt 3) is het eindpunt. Ontlasten nà het scheurmoment resulteert dus altijd in een blijvende kromming! .verloop. is in feite dit punt 3 de nieuwe oorsprong en het nieuwe startpunt.a. De afstand van de oorsprong tot punt 1 is gelijk aan die van de oorsprong tot aan punt A Indien gedurende het belastingtraject het scheurmoment is gepasseerd. m.w. vanuit de oorsprong naar het scheurmoment.κ .c. Als nu opnieuw belast gaat worden. kan worden volstaan door een rechte lijn te trekken vanuit dit stoppunt (hier 2) naar punt A in het 3e kwadrant. moet eerst een hulplijn getrokken worden vanaf het punt van vloeien (punt 2) naar punt A in het 3e kwadrant. Dezelfde lijn wordt weer gevolgd naar punt 2 en vanaf hier geldt het normale M . Wordt echter pas ontlast nà het vloeimoment (zie grafiek). De afstand van uit de oorsprong tot dit punt 3 is een blijvende kromming. dus de r. maar het punt van vloeien nog niet is bereikt. is hetzelfde. immers het integreren van krommingen resulteert in een hoekverdraaiing.diagram in geprojecteerd (denk voor de verticale as de kromming κ). tot Mr .6 Niet lineair – elastisch (variabele EI) Het is nu duidelijk dat de buigstijfheid van een gewapende betonbalk (-vloer) niet constant is over de lengte van de balk.κ . In feite staat hier het complete M . Iedere andere lijn voorbij dit punt heeft een andere r.v. en dus een andere EI. geven de oplegreacties de hoekverdraaiing van de gehele ligger.c.2. .vlak Mr Me Mpl Mu (EI)r Figuur 2.33: Relatie stijfheid – moment. hier verandert de r.o. het middendeel. Het eerste deel.lijn Mu M / EI . In werkelijkheid zou dit tussen de verschillende punten een constant (continue) verloop moeten hebben. Het eerste ongescheurde deel van de ligger is zo stijf t. Heel gemakkelijk is nu ook het gebied te zien waarin de wapening aan het vloeien is (tussen de twee punten Me). is constant. In figuur 2. Als het M / EI – vlak als lastvlak wordt gebruikt. Een "correcte" ligger kan nu verkregen worden. niet omdat deze lijn al vertrekt vanuit de oorsprong.c.38 - . door de ligger op te splitsen in delen en voor ieder deel de bijbehorende EI te geven. alleen ter illustratie. F Ligger + belasting L M .33 onderaan is telkens een "gemiddelde" stijfheid aangegeven. dat de bijdrage hiervan tot de totale kromming van de ligger minimaal is. De stippellijn geeft het oppervlak weer indien de EI constant zou zijn met (EI)u = Mu / κu. Omdat bij verschillende belastinggevallen (lees.diagram. dus met een ongescheurde doorsnede. namelijk het gearceerde oppervlak. Het oppervlak binnen deze stippellijnen is gelijk aan: ½ · Mu / (EI)u· L Met Mu = ¼ · F · L geeft: ½ · (¼ · F · L) / (EI)u · L = ⅛ F L² / (EI)u (totale hoekverdraaiing van de ligger) ϕlinks = ϕrechts = ½ · ⅛ F L² / (EI)u = F L² / 16 (EI)u [rad. momenten) verschillende stijfheden behoren.κu in een M . . waarbij de oplegreactie gelijk is aan de hoekverdraaiing. Dus het wordt erg moeilijk om op een relatief eenvoudige wijze een constructie uit te rekenen. De puntjeslijn (vanuit de oplegging in het gearceerde gebied) geeft het oppervlak weer indien lineair – elastisch gerekend zou worden. geldt het oppervlak wat binnen het gearceerde gebied is getekend. van de lijn uit de oorsprong naar 0. Er zou dan gerekend worden met een volledig ongescheurde (stijve) doorsnede.Mu = ¼ · F · L L ϕ ϕ Figuur 2. Een oplossing hiervoor is gevonden in het toepassen van een "gemiddelde EI" voor de gehele ligger (constructie).c. want nu wordt verondersteld dat de stijfheid van de gehele ligger gelijk is aan (EI)u. Zie ook figuur 2. geldt het superpositiebeginsel niet.18.39 - .34: Ligger belast door het M / EI – vlak. De oplegreactie (hoekverdraaiing) is dan minimaal. Logisch.κ .8 Md gezien mag worden als de rekenwaarde van de buigstijheid (EI)d voor de gehele ligger. Dit wordt de quasi – lineaire elasticiteitstheorie genoemd (QLE). Vergelijk met de lijn uit de oorsprong tot punt Mu .] (vergelijk met "vergeet-me-nietje") De werkelijke hoekverdraaiing is dus een stuk kleiner. Indien lineair – elastisch wordt gerekend. Op arbitraire manier is bepaald dat de r. . dat er nog steeds M .diagrammen gemaakt moeten worden. De op deze manier bepaalde elasticiteitsmodulus voor beton heet dan ook de fictieve E-modulus. Om dit te ondervangen zijn er zeer veel M . Delen van de (EI)d door I resulteert in een E. Vervolgens is voor de I (A. Beton sterkteklassen C 12 / 15 (B15) C 20 / 25 (B25) C 28 / 35 (B35) C 35 / 45 (B45) C 45 / 55 (B55) C 53 / 65 (B65) f 'ck (N/mm²) 15 25 35 45 55 65 Ef voor buiging zonder normaalkracht (N/mm²) 2200 + 4900 ϖ0 e 2900 2500 + 5500 ϖ0 e 3600 2800 + 6100 ϖ0 e 4300 3100 + 6700 ϖ0 e 5000 3400 + 7300 ϖ0 e 5700 3700 + 7900 ϖ0 e 6400 Voor de complete tabel inclusief "buiging en normaalkracht symmetrisch gewapende rechthoekige doorsnede" wordt verwezen naar de VBC. Voor constructies die niet alleen op buiging worden belast.κ .Nu kunnen weer gewoon berekeningen worden gemaakt als ware het een lineaire – elastische constructie en het superpositiebeginsel kan weer toegepast worden. is deze E een 'rekenhulp'. In deze tabel staan ook fictieve waarden voor de E-modulus van constructies die belast worden op zowel buiging als normaalkracht.κ . Axiaal Kwadratisch Oppervlakte Moment ofwel traagheidsmoment) de ongescheurde en ongewapend gedachte doorsnede genomen. ofwel Ef. Tabel 3. aan excentrisch belaste kolommen (moment + normaalkracht).M. kunnen zgn. maar tevens ook op een normaalkracht. In de VBC staat deze in tabel 15.40 - .2: Fictieve E-modulus Ef voor buiging zonder normaalkracht. denk bijv.O. Omdat natuurlijk in werkelijkheid de doorsnede gescheurd is.diagrammen berekend met als variabelen de betonsterkteklasse f 'ck en het wapeningspercentage ω0. M – N . Het enige nadeel nog aan voorgaande methode is.diagrammen gemaakt worden.κ . Deze worden verder hier niet behandeld. De buigstijfheden (EI)d zijn berekend op bovenstaande wijze.8 Md. een ficiteve getal.K. Hierin wordt dus de relatie buiging + normaalkracht weergegeven versus de kromming. dus bij 0. Dus voor rechthoekige doorsneden: 1/12 b h3 [mm4]. Merk op dat het wapeningspercentage (ϖ0) hier betrokken is over de gehele bruto betondoorsnede. T. de 1e – orde krachtsverdeling toenemen vanwege de aanwezige belastingen.25 = 3875 N/mm² (EI)d = 3875 * 1/12 * 400 * 6003 = 27.T.G. is er sprake van 2e – orde. De verhouding van de buigstijfheden van de aansluitende delen is meestal belangrijker. Tot dusverre is er alleen nog gekeken naar de situatie in de uiterste grenstoestand (U. Vergelijk dit met een portaalconstructie de verhouding tussen (EI)kolom en (EI)liger is juist belangrijk (methode Cross).).diagram verkregen.b.v. Als de vervormingen t.T. zoals bij vervormingen en 2e – orde effecten.25 Ef = 2500 + 5500 * 0.41 - .G.v.v. de fictieve E-modulus Ef volgens VBC tabel 15: Voor B25 (f 'ck = 25 N/mm²) ϖ0 = 603 / (400 * 600) * 100% = 0.diagram in de B. kunnen er M .κ .T. Het maken van een M .G. 2.T. Voor een rechthoekige doorsnede geldt dus: (EI)d = E'b * 1/12 · b · h3 Let wel.κ diagrammen gemaakt worden voor de situatie bruikbaarheidsgrenstoestand (B.T.).G.g. De absolute waarde van de EI zal dan belangrijker zijn als de verhouding van de buigstijfheden onderling. .900 * 109 Nmm² Ef = 2500 + 5500 ϖ0 e 3600 2.7.7 De buigstijfheid in de bruikbaarheidsgrenstoestand B.κ . dan moet gerekend worden met de "werkelijke" EI uit het M .In het vorige rekenvoorbeeld is de EI uitgerekend met m. treedt op wanneer er sprake is van beïnvloeding van de krachtswerking door de vervorming. Daarom mag voor het berekenen van de krachtsverdeling van de 1e – orde gerekend worden met de EI van de ongescheurde doorsnede. Als de buigstijfheid EI nodig is voor het bepalen van verplaatsingen en vervormingen.κ . Als vergelijk wordt hier de EI berekend m. gaat op een gelijke manier als voor de U. Het 2e – orde effect. is het vaak niet belangrijk wat de absolute waarde van de buigstijfheid EI is. het wapeningsverschil mag niet al te groot zijn tussen de aansluitende delen.G. dus voor berekeningen op sterkte en de hierbij behorende buigstijfheid EI.b.G.1 Uitgangspunten Voor 1e – orde berekeningen in de U.diagram. een M . Als echter de absolute waarde van de EI een rol speelt. ook wel "geometrisch niet – lineair” genoemd. Stel: ϕ = 3. namelijk 1. waarin R. toegepast in een droog milieu.p.75 ‰. wordt in deze situatie gerekend met representatieve waarden van zowel de materialen als voor de belastingen.pl te bepalen.p. voor korte – en lange – duur.pl berekend worden. zijn deze steeds > 1. i. kan eenvoudig met de wet van Hooke de bijbehorende relatieve vervorming ε’b. Voor beton wordt daarom gerekend met onderstaande σ .diagrammen. Bijvoorbeeld.T. De ε’b. Voor de lange – duur moet de invloed van de kruip worden meegenomen en dat gebeurd middels de kruipfactor ϕ.diagrammen voor beton in de B.Zoals bekend wordt verondersteld.T.V.0.rep.∞ = 28.500 = 7702 N / mm ² 1+ 3 4· 3.ε . In de U. Omdat de betonspanning f ’b.0.6 (maximale waarde voor C 20/25 (B25).rep en i.w.ε . m.a. dus in feite juist andersom.35: σ . de materiaal. f ’b wordt gerekend met f ’b.G.42 - .6 .G. Hier is deze afhankelijk van de E-modulus.v.v. fs wordt gerekend met fs.pl is voor de sterkteberekening een vast gegeven. Figuur 2. Deze is dan voor de korte – duur. < 60%) De E – modulus lange – duur voor C 20/25 wordt hiermee: E 'b .∞ = E'b 1+ 3 4 ϕ Ook hier is dan op eenvoudige wijze de bijbehorende relatieve vervorming ε’b.en belastingfactoren zijn gelijk aan 1. De E-modulus lange – duur wordt daarmee: E'b.rep bekend is en de elasticiteitsmodulus E’b uit de tabel kan worden afgelezen. diagrammen voor betonstaal in de B.diagram getekend.κ . Voor de B. één M . Het verschil tussen beide grafieken is t.ε . zal het M .g. omdat door invloed van de kruip de vervorming (verplaatsing) op de lange duur zal toenemen.g.G. Zie figuur 2.v.G. Hierin zit ook een gedeelte veranderlijke belasting verwerkt! Hier wordt later verder op ingegaan. is echter meestal kleiner dan het vloeimoment Me of Met in de B.0· 105 = 0.43 - .T. Het is wel voldoende om voor elk van deze diagrammen maar twee punten te stileren. Het bezwijkmoment Mu in de U.κ .T.κ . bestaande uit vier punten.50‰) Voorts werd er in de U. In de ‘normale’ gebruiksfase zullen deze twee punten voldoende zijn. het kruipeffect. bij veel wapening kan het stuikmoment Mpl eerder optreden dan het vloeimoment). Daarom wordt een M . Mocht het ooit voorkomen dat dit onvoldoende blijkt.diagram natuurlijk moeten worden uitgebreid. Deze worden in hetzelfde diagram getekend.00250 (2. Figuur 2.ε .37. . Dit wordt niet op een willekeurige plaats bepaald in de grafiek.G. zoals reeds eerder gezien.diagram.diagram voor zowel de korte – als de lange – duur gemaakt.G. De rek bij vloeien wordt hiermee voor FeB500: ε s .T.36: σ . namelijk het scheurmoment Mr en het vloeimoment Me (of.Voor staal wordt gerekend met onderstaande σ .G.T. de permanente belasting. maar bij het moment t.v.T. is dit niet voldoende.pl = 500 2. en vloeimoment korte – duur is resp. Voor de scheurmomenten geldt: Korte – duur Lange – duur Mr = 1. dus ook een buigstijfheid EI voor de korte – duur.0 Mr = 1.κ . maar ook een deel van de veranderlijke belasting) kan dan het M .2 · W · fbr · kW. Door het M . Mr en Me en voor de lange – duur is dat Mrt en Met. Dit wordt aangegeven met de index "0" (EI)0 Voor lange . De buigstijfheid EI voor de lange – duur wordt aangegeven met de index "∞" (EI)∞ Het scheur. een windvlaag).duur belastingen (permanent.4 · W · fbr · kW.diagram voor de korte – duur kunnen krommingen worden afgeleid voor belastingen die van korte duur zijn (bijv.κ .diagram lange – duur gebruikt worden.κ .diagram Figuur 2.en lange-duur.M Me Met korte-duur kruip lange-duur Mr Mrt κ κr κrt κe κet M .44 - .37: M .∞ . dus met een index “t” er aan toegevoegd.diagram voor beton voor korte.κ . 35. is deze factor voor de korte – duur anders dan voor de lang – duur.of onderzijde van de doorsnede! In dit voorbeeld is x vanaf de bovenzijde en zit de wapening onderin. In onderstaand voorbeeld zullen deze factoren bepaald worden om een idee te geven van de invloed van de wapening op de doorsnede. Delen door ax (zie hierboven) geeft meteen het weerstandsmoment van de gewapende doorsnede.c. Omdat de invloed van de wapening afhankelijk is van de verhouding van E –moduli van de verschillende materialen (beton en staal). Dus voor een rechthoekige betondoorsnede b * h [mm²] met wapening As [mm²] wordt dat: I ”n” – zware doorsnede = 1/12 · b · h³ + b * h · (½ h – x)² + n · As · (d – x)² x is het zwaartepunt van de samengestelde doorsnede. ongewapend) geeft de factor kI. de boven. in de σ .ε . 115 "Doorbuiging van betonconstructies".v. kW is een factor die er voor zorgt dat de invloed van de wapening van een “n – zware" doorsnede wordt meegenomen in de berekening.diagrammen van figuur 2.W is het weerstandsmoment van de ongewapende. simpelweg omdat de E – modulus van beton verschillende waarden heeft. Omdat de berekening van een “n – zware" doorsnede relatief eenvoudig is. ongescheurde betondoorsnede. maar wordt gewoon de invloed van de wapening in de doorsnede uitgerekend. dus van “n”. Deze factoren kunnen worden afgelezen uit grafieken die zijn terug te vinden in CUR – rapport nr. Ook voor de bepaling van de invloed van de wapening op het traagheidsmoment bestaat zo’n factor. De verhouding (I ”n – zware" doorsnede) / (I ongescheurd. Houd er rekening mee of x is gekozen t. wordt hier niet gerekend met deze factoren. [mm4] . kI.o.45 - . daarom wordt alleen de verplaatsing meegenomen (regel van Steiner). Zie r. De ‘eigen traagheid’ van het betonstaal is zeer gering. dus voor rechthoekige doorsneden geldt: Iy Wy = 112· b· h2 = ax ax is de afstand van het zwaartepunt tot de uiterste vezel. onder (o) of boven (b). 3 N/mm² . materialen etc.G.3 = 2.duur.en spanningsdiagram voor de nog juist ongescheurde doorsnede (Mr).rep fbr spanningsdiagram Figuur 2.xu xu σ 'b << f 'b.rep b εs << 2. voor zowel de korte .50‰ εb rekdiagram σs << fs.) Als voorbeeld wordt dezelfde uitgangspunten (doorsnede.38: Rek. dus in de B. b * h = 400 * 600 mm2 As = 3 ∅16 = 603 mm2 Betonkwaliteit: C20/25 (B25) Staalkwaliteit: FeB500 d = 0.) genomen als in het rekenvoorbeeld U.T.2.G.T.7.46 - . Zet de resultaten in een tabel (M.9h ϕ = 3.6 – h = 1. κ en EI) en teken het bijbehorende M-κ-diagram.T.600 = 1..0 * 2.6 – 0.(ε) en spanningsdiagram (σ) met daarin in aangeven de (on-)bekenden. Controleer steeds je uitgangspunten (aannames).) Opgave: Bepaal voor bovenstaande balkdoorsnede het verband tussen moment en kromming en de waarde van EI in geval van een doorbuigingsberekening.6 (kruipfactor) h b (beugel en flankstaven zijn niet getekend.0 * fbm = 1.0 fbr = 1. Teken telkens voor ieder punt het bijbehorende vervormings. fbr: kh = 1.G.2 Rekenvoorbeeld #2 (constructie in de B. Uitwerking: 1) Scheurmomenten a) Korte – duur ε'b xu h d h .als de lange . 47 - .304)2 = 7200 ⋅ 106 + 3.304 = 236 mm.221 mm2 xb = 300mm xst = 540mm → → Ab ⋅ xb = 72.000 kNm² ) 80.4 · 2.) I0 = 1/12 ⋅ 400 · 6003 + (400· 600) ⋅ (304 .0· 10 5 28.0 25.000 · 103 mm3 A5t ⋅ xst = 2.n = Es E' b ⇒ 2.ongescheurd.221 mm2 244.2 mm ≈ 304 mm (d – x → 540 .84 · 106 + 235.13 · 106 = 80.13· 106 = 24· 106 = 1.3 · 25.000381 m−1 ) .92 · 106 Nmm (80.300)2 + 7 · 603 (540 .280· 103 244.13· 106 mm3 (600 − 304) k W .92 kNm) (EI)r = 28.500 ≈ 7 Bepaling van het zwaartepunt: A beton: 400 * 600 = 240.033 Wy . ongewapend = 1/6 · 400 · 600² = 24 · 106 mm³ Mr = 1.000 mm2 A staal: 7 * 603 = 4.92· 106 212.1 · 106 = 7439 · 106 mm4 De invloed van de wapening is dus: k I .381· 10 −6 mm−1 (0.000 · 109 Nmm2 (212.280 ⋅ 103 mm3 x = 74.4 · fbr · W = 1.0 = Iy ax 7439· 106 = = 25.280 ⋅ 103 mm3 74.0 7439· 106 = 7200· 106 = 1.500 * 7439 · 106 = 212.047 Wy.000· 109 κr = = 0.221 = 304. 7· 106 7200· 106 = 1.470 ⋅ 103 mm3 x = 80.678 mm2 255.678 = 314.313)2 = 7200 ⋅ 106 + 54 · 106 + 793.6 1+ 4 1+ 4 Es n = E' b ⇒ 2.∞ = E'b 28.000 · 103 mm3 A5t ⋅ xst = 8.315 = 225 mm.237· 106 24· 106 = 1.176 Wy.b) Lange .7· 106 = = 28.∞ = 28.470· 103 255.) I0 = 1/12 ⋅ 400 · 6003 + (400· 600) ⋅ (315 .000 mm2 A staal: 26 * 603 = 15.7 · 106 = 8047.7 mm ≈ 315 mm (d – x → 540 .300)2 + 7 · 603 (540 .duur E'b.∞ = Iy ax 8047.118 Wy .ongescheurd.678 mm2 xb = 300mm xst = 540mm → → Ab ⋅ xb = 72.237· 106 mm3 (600 − 315) k W .500 = = 7703 Nmm2 3 ϕ 3 · 3. ongewapend = 1/6 · 400 · 600² = 24 · 106 mm³ .48 - .7 · 106 mm4 De invloed van de wapening is dus: k I.∞ = 8047.0· 105 7703 ≈ 26 Bepaling van het zwaartepunt: A beton: 400 * 600 = 240.466 ⋅ 103 mm3 80. 3 · 28.39: Rek.340 – 4221 x .Mrt = 1.0· 105 εs = = = 2.237 · 106 = 77.257· 10 −6 mm−1 (0.000 · 109 Nmm2 77.93 · 106 Nmm (EI)rt = 7703 * 8047. fs.50 ‰ ΣH = 0 (voor de afleiding van de volgende formules zie rekenvoorbeeld U.rep Es 500 2.000· 109 (77.xu Ns fs = 500 N/mm² σ 'b N'b b εs = 2.50· 10 −3 = 2.2 · fbr · W = 1.279.rep = 500 N/mm² (staal vloeit) fs .93 kNm) (= 62. bij “Vloeimoment”) ½ · b · x² = n(d – x) · As ½ · 400 · x² = 7 · (540 – x) · 603 200 x² = 4221 · (540 – x) 200 x² = 2.50 ‰ rekdiagram spanningsdiagram Figuur 2.001257 m−1 ) 2) Vloeimomenten a) Korte – duur ε'b xu h d xu z d .T.G.7 · 106 = 62.000 kNm² ) κ rt = = 1.49 - .93· 106 62.2 · 2.en spanningsdiagram op het moment dat staal vloeit (Me). 005643m−1 ) M = As · fs · z z = (d .396.7 N/mm² κe = εs 2.63 ‰ 28.pl = f 'b .50 - .55 ‰ < 0. ) ε b .55· 10.50· 10. ( x2 = .63 ‰ ⇒ accoord (540 .55 · 10-3 * 28.1· 106 = = 27.3 = 0.97) Hieruit blijkt dat de volgorde vloeimoment – stuikmoment juist is gekozen.63· 10 .500 = 15. ≈ 97 mm.500 ε' b x = εs (d .3 = 0.1 kNm) (EΙ) e = Me 153.x² = 11.129· 109 Nmm 2 κe 5.t.v.7 = 0 x1 = 96. σ'b = 0.50· 10-3 = = 5.1 · 106 Nmm (153.7 – 21.643· 10 −6 (27.105 x x² + 21.8 mm.643· 10-6 mm-1 d− x 540 − 97 (0.3 = 0.396.rep E' b = 18 = 0.⅓ x) Me = 603 · 500 · (540 .105 x – 11.⅓ · 97) = 153.x) ⇒ ε' b = 97 · 2.129 kNm²) . n.233 mm. 2 mm.678 · (540 – x) 200 x² = 8.3 = 1.x) ⇒ ε' b = σ'b = 1. ( x2 = .6 = 0 x1 = 170.50· 10-3 κ et = = = 6.b) Lange .7· 106 (EΙ) et = = = 21.34· 10 .39 x x² + 78.51 - .5 mm.v.15 ‰ < 2.34 ‰ 7703 170 · 2.15· 10.564· 109 Nmm 2 −6 κ et 6.⅓ x) Met = 603 · 500 · (540 .00676 m−1 ) M = As · fs · z z = (d . ) ε b .rep E' b = 18 = 2.248.50· 10.7 · 106 Nmm (145.pl = f 'b .9 N/mm² εs 2.330.76· 10 (21.330.120 – 15.39 x – 42.t.duur ΣH = 0 (zie korte .76· 10-6 mm-1 d− x 540 − 170 (0.170) ε' b x = εs (d .466.678 x x² = 42.34 ‰ ⇒ accoord (540 .564 kNm²) .⅓ · 170) = 145. n.3 = 2.3 = 1.6 – 78.7 kNm) M et 145.duur) ½ · b · x² = n(d – x) · As ½ · 400 · x² = 26 · (540 – x) · 603 200 x² = 15. ≈ 170 mm.15 · 10-3 * 7703 = 8. 52 - .9 0. .T.143 21.tabel Moment M * 106 (Nmm) Kromming κ * 10-6 ( mm-1) Stijfheid (EI) * 109 (Nmm2) 1) Scheurmomenten: a) korte – duur b) lange – duur 2) Vloeimomenten: a) korte – duur b) lange – duur 81.76 1 mm-1 = 103 m-1 212.diagram van rekenvoorbeeld #2 Het bezwijkmoment in de U.38 1.Tabel 2.1 145.7 kNm.tabel van rekenvoorbeeld #2 M – κ .7 korte-duur lange-duur 81.26 5.1 145.2: M .028 61.κ .64 6.diagram Figuur 2. Het heeft dus weinig zin om meerdere punten aan dit diagram toe te voegen.40: M .7 1 Nmm = 10-6 kNm 0.76 κ [mm-1] * 10-6 M .64 6.26 5.κ .38 1.G.561 1 Nmm² = 10-6 kNm M [Nmm] * 106 153.982 27.9 153. was 134.0 77.0 77.κ . extreem) Pver.60 * Pver.mom Het buigend moment wat uit deze belasting Pkruip voortkomt. voor zowel korte-duur als lange-duur en dus ook de bijbehorende buigstijfheid EI worden berekend.60 * Pver. Op welk punt in deze grafiek kan dan de kruip worden gedestilleerd? De invloed van de kruip is afhankelijk van langdurende belastingen.mom · l² (q is de belasting in kN/m1) (dit is Mq. plafond.extreem . installaties e.mom) · l² Mmom ≠ ⅛ · qver.60 * Pver.momentaan (t = ∞) Deze laatste is dus aanwezig vanaf het tijdstip t = 0 tot aan t = ∞. maar ook een gedeelte van de veranderlijke belasting van personen en/of goederen.60 * ψ · Pver. Daarom wordt voor kruipberekeningen 60% van de momentane veranderlijke belasting geacht permanent aanwezig te zijn: 0.w. een 'langdurend' deel 2. maar de grafieken lopen niet parallel. afwerking.a. een 'kortdurend' deel 60% * Pver. Zie ook figuur 2.3 Het kruipgedrag Bij ieder willekeurig moment kan nu de bijbehorende kromming worden afgelezen.60· Pver.d.momentaan (t = ∞). 0. De 'tussenafstand' is niet overal het hetzelfde. + 0.) is zonder meer een belasting die gedurende de gehele referentieperiode aanwezig is.60 * Pver. scheidingswanden.60· qver. De inrichting van de veranderlijke belasting is (meestal) ook permanent aanwezig. Dus deze term van 'momentaan' niet verwarren met de term momentaan als zijnde een gedeelte van de extreme veranderlijke belasting: Mmom = ⅛ · (qperm.mom) De totale extreme veranderlijke belasting Pver.extreem ψ = momentaanfactor De kruipbelasting bestaat dus uit de permanente belasting en een gedeelte van de veranderlijke belasting: Pkruip = Pperm.60 * Pver. . Het verschil tussen korte-duur en lange-duur kromming wordt veroorzaakt door het kruipeffect.60 * ψ · Pver.2.momentaan (t = 0) Het langdurend gedeelte wat aanwezig is gedurende de gehele referentieperiode is: 0. wordt het 'momentaanmoment' Mmom genoemd.momentaan (= 0.momentaan 0.momentaan Het langdurend gedeelte wat aanwezig is gedurende het (korte) optreden van de extreme veranderlijke belasting is: 0.extreem bestaat dus uit 2 delen: 1. De horizontale afstand tussen beide grafieken bij een zelfde moment geeft immers steeds verschillende waarden. m.53 - .momentaan (t = 0) is een deel van 0. + 0.7.60% * Pver. De permanente belasting (eigen gewicht.43. kort κmom.v.g.extreem 60%·Pver. de doorbuiging.momentaan Ppermanent κr κrt κmom. dus tijdsonafhankelijk optredend doorbuiging (kortdurend).diagram Figuur 2.g.kort Om de overige indices duidelijk te maken die in deze grafiek gebruikt worden.κ .lang κ κe κet M .41: M . kruip.b. . dus tijdsonafhankelijk optredende doorbuiging t. de doorbuiging in de eindtoestand ueind = utot – uze zeeg (bewust gemaakte opwaartse ronding in de constructie t.diagram t.54 - . eerst een overzicht: utot uel ukr ubij uon ueind uze de totale doorbuiging utot = uel + ukr de onmiddellijke.κ .b.v.lang .kort en een kromming κmom. In de grafiek is duidelijk het aandeel van de kruip te zien: bij Mmom hoort een kromming κmom. de bijkomende doorbuiging ubij = utot – uon de onmiddellijk. de tijdsafhankelijke doorbuig t.lang waaruit volgt: κkruip = κmom.v.v.κmom. compensatie van de doorbuiging).M Me Met korte-duur lange-duur κtotaal Mrep Mmom Mr Mrt κ Mg on κmom κel κkr κkr Pver. de permanente belasting. 0.mom t=0 t=∞ bijkomende doorbuiging: uon ubij utotaal ubij = utot – uon 1.0qperm + 0.totale doorbuiging: uel ukr utotaal utot = uel + ukr 1.55 - .extr. t = 0 t = 0 geeft dus aan dat de vervorming beschouwd moet worden direct na het aanbrengen van de belasting.60qver.1. dus zonder bijdrage van de kruip: uel = uon + uver.60qver.mom t=0 utot ukr ukr langdurend qver.0qver.0qperm t=0 t=∞ t=0 Figuur 2.mom umom. namelijk 60% van de momentane veranderlijke belasting. uel is dus de vervorming die direct optreed t.mom + 1.extr. Het is dus de korte-duur vervorming van de representatieve waarde van de volledige belasting Prep.v.g. zonder enige invloed van het kruipeffect. .mom . Wat overblijft van de veranderlijke belasting staat incidenteel (kortstondig) op de constructie.mom 0.t = 0 umom. de permanente belasting (uon) en de extreme veranderlijke belasting voor t = 0.extr . q uel uver.42: Verband tussen belasting en doorbuiging (formule).60qver. t = 0 veranderlijk u0. namelijk de permanente belasting en een deel van de veranderlijke belasting.extr – 0.extr – 0. Van deze belasting is een deel verantwoordelijk voor de kruip.t = ∞ permanent uon utot ubij u Figuur 2.mom + 1.60qver.43: Verband tussen belasting en doorbuiging (grafisch).0qperm + 0.0qver.60qver.60qver.60qver. 4 afwerklaag: 50 mm.19 kN/m² = 8.50 kN/m² Uitwerking: Schatten van de vloerdikte: Vloer is 2-zijdig vrij opgelegd d ≈ 6000 / 25 = 240 mm.56 - .70 kN/m² volgens de slankheidsregels is l/d ≈ 25 Veranderlijk: (personen en goederen) extreem momentaan Pd = 1.6.5 * 1. zal hier gerekend worden met h = 200 mm.3).000² = 45.0 = 4.diagrammen.30 Md = ⅛ * 10.8 kNm 1. tweezijdig opgelegd overspanning L = 6.κ .methode) wordt aan het einde bepaald.0 kN/m³) lichte scheidingswanden: 0. afwerklaag lichte scheidingswandjes totaal 0.g.4 (niet maatgevend) .2) dekking c = 20 mm extreme veranderlijke belasting = 1. Belastingen: Permanent: e. Wat de consequenties zijn met deze geringere dikte voor een minder exacte doorbuigingsberekening (zoals de α .vergelijk de doorbuiging met de “α . Vloer in een woongebouw (veiligheidsklasse 3).75 * 0.2 * 6. 8.methode” (zie VBC art. (ρ = 20. maar 'exact' met M .bereken en controleer de doorbuiging in de eindtoestand en de bijkomende doorbuiging .19 * 6.50 kN/m² = 6.0 m¹ Betonsterkteklasse C 28/35 (B35) Staalsterkteklasse FeB500 (maximale kruipcoefficient ϕ = 3.00 kN/m² = 0.75 kN/m² = 0.30 + 1.75 kN/m².bereken voor onderstaande vloer de wapening . ψ = 0.050 * 20.51 kN/m² Pd = 1.30 kN/m² = 1. Omdat de slankheidregels erg conservatief zijn en de doorbuiging nu niet globaal wordt uitgerekend.35 * 6.2.75 = 10.80 kN/m² = 1.0 0.200 * 24.4 Rekenvoorbeeld #3 (doorbuiging) Opgave: .7. 18 < ω0 < ωmax = 1.174 2 = 72.Schat de kenmiddellijn ∅12 mm.8 N/mm² = 1.m.71 (neem de marge tussen de "berekende" en de "toegepaste" hoeveelheid wapening ruim genoeg i.κ .rep fbm kh FeB500 fy. d = 200 .20 . .92 N/mm² 1) Scheurmoment a) Korte – duur ε'b h d xu h .4 = 500 N/mm² fbr = 2.44: Rek.a B35 FeB500 As.rep = 25.T.94 voldoet) Maak een M .2.57 - .xu σ 'b << f 'b.67 staven / m¹) 45.491 ω0 = 0.rep xu σs << fs. de controle op de scheurwijdte het is dan van belang de optredende staalspanning relatief laag te houden).toegepast = 754 mm² (6.0 ⇒ k · ω0 = 7. ω0 = 754 / (1000 * 174) * 100% = 0.diagram voor de korte-duur en voor de lange-duur.200 = 1.B. B35 f ’b.en spanningsdiagram voor de nog juist ongescheurde doorsnede (Mr).362 k = 20.6 – 0.362 · 10-2 * 1000 * 174 = 630 mm² toepassen ∅12 – 150 As.½ · 12 = 174 mm.8 * 1.4 = 3.v. G. 11.2 N/mm² = 2.rep fbm εs εb b rekdiagram spanningsdiagram Figuur 2.berekend = 0.8 21· 1· 0.43 (ωmin = 0. 863 mm2 xb = 100mm xst = 174mm → → Ab ⋅ xb = 24.05· 106 mm3 (200 − 102) k W .45 * 754 = 4.058 Wy.846 ⋅ 103 mm3 x = 24.ongescheurd.05 · 106 = 38.000 · 103 mm3 A5t ⋅ xst = 846 ⋅ 103 mm3 24.00180 m−1 ) .92 · 7.473 kNm² ) κr = 38.000 * 693 · 106 = 21.58 - .0 = 693· 106 667· 106 = 1.5 mm ≈ 102 mm (d – x → 174 .0 7.0· 105 31.863 = 101.4 · fbr · W = 1.45 · 754 (174 .45 Bepaling van het zwaartepunt: A beton: 1000 * 200 = 240.05· 106 = 6.0 = Iy ax 693· 106 = = 7.039 Wy .67 · 106 mm³ Mr = 1.7 kNm) (EI)r = 31.000 ≈ 6.67· 106 = 1.102)2 = 667 ⋅ 106 + 0.8 · 106 + 25.473 · 109 Nmm2 (21.69· 106 21.802· 10 −6 mm−1 (0.100)2 + 6.000 mm2 A staal: 6. ongewapend = 1/6 · 1000 · 200² = 6.2 · 106 = 693 · 106 mm4 De invloed van de wapening is dus: k I .846· 103 244.69 · 106 Nmm (38.n = Es E' b ⇒ 2.102 = 72 mm.473· 109 = 1.) I0 = 1/12 ⋅ 1000 · 2003 + (1000· 200) ⋅ (102 .4 · 3.863 mm2 244. 2 1+ 4 1+ 4 ⇒ 2.106 = 68 mm.000 mm2 A staal: 22 * 754 = 16.588 mm2 256.ongescheurd.7 mm ≈ 106 mm (d – x → 174 .000 = = 9118 Nmm2 3 ϕ 3 · 3.886 ⋅ 103 mm3 26.126 Wy .∞ = 7.59 - .92 · 7.953· 106 6. ongewapend = 1/6 · 1000 · 200² = 6.100)2 + 22 · 754 (174 .4· 106 = 6.468· 10−6 mm−1 (0.67 · 106 mm³ Mrt = 1.106)2 = 667 ⋅ 106 + 7.b) Lange .841 · 109 Nmm2 37.00547 m−1 ) .7 · 106 = 751 · 106 mm4 De invloed van de wapening is dus: k I.∞ = E'b 31.67· 106 = 1.953· 106 mm3 (200 − 106) k W .2 · fbr · W = 1.841 kNm² ) (37.193 Wy.841· 109 (6.∞ = Iy ax = 751· 106 = 7.886· 103 x = 256.953 · 106 = 37.) I0 = 1/12 ⋅ 1000 · 2003 + (1000· 200) ⋅ (106 .4 kNm) κ rt = 5.2 · 106 + 76.0· 105 9118 ≈ 22 n = Es E' b Bepaling van het zwaartepunt: A beton: 1000 * 200 = 240.duur E'b.∞ = 751· 106 667· 106 = 1.41 · 106 Nmm (EI)rt = 9118 * 751 · 106 = 6.000 · 103 mm3 A5t ⋅ xst = 2.886 ⋅ 103 mm3 26.588 = 105.588 mm2 xb = 100mm xst = 174mm → → Ab ⋅ xb = 24.2 · 3. 2) Vloeimomenten a) Korte – duur ε'b xu h d d .50· 10.67· 10.6 mm.50 ‰ b fs.4 = 0 x1 = 36.2 = 0.45: Rek.3 x x² = 1692.3 = 0. n.v.3 mm.7 x x² + 9.3 · (174 – x) 500 x² = 846.60 - .en spanningsdiagram bij het vloeimoment (Me).50 ‰ ΣH = 0 (voor de afleiding van de hier toegepaste formules zie rekenvoorbeeld #1 “Vloeimoment”) ½ · b · x² = n(d – x) · As ½ · 1000 · x² = 6.pl = f 'b . fs.2 – 4863.000 ε' b x = εs (d .rep = 500 N/mm² σ 'b xu z N'b Ns rekdiagram spanningsdiagram Figuur 2.4 – 9.46.214.3 = 0.81‰ 31.81· 10 .0· 105 εs = = = 2. ≈ 37 mm.7 x – 1692.50· 10 −3 = 2.x) ⇒ ε'b = 37 · 2.45 · (174 – x) · 754 500 x² = 4863.37) .3 = 0.rep = 500 N/mm² (staal vloeit) fs .xu εs = 2.rep Es 500 2.rep E' b = 25.t.81‰ ⇒ accoord (174 . ) ε b.67 ‰ < 0. ( x2 = . 2 – 16.⅓ · 37) = 61.01819 m−1 ) M = As · fs · z z = (d .588 · (174 – x) 500 x² = 2.0 kNm) (EΙ) e = Me 61.355 kNm²) b) Lange .0· 10 6 = = 3.⅓ x) Me = 754 · 500 · (174 .77· 10 .3 = 2.2 x – 5.rep E' b = 25.pl = f 'b . ( x2 = .19· 10 −6 (3.2 = 2.6 mm-1 d− x 174 − 37 κe = (0. ≈ 61 mm.2 x x² + 33.Hieruit blijkt dat de volgorde vloeimoment – stuikmoment juist is gekozen.2 mm.886. ) ε b.duur ΣH = 0 (zie korte .772.duur) ½ · b · x² = n(d – x) · As ½ · 1000 · x² = 22 · (174 – x) · 754 500 x² = 16. σ'b = 0.631.588 x x² = 5.v.50· 10-3 = = 18.19· 10.61 - .94.77 ‰ 9118 .6 = 0 x1 = 61.355· 109 Nmm 2 κe 18.t.6 N/mm² εs 2.2 mm.0 · 106 Nmm (61.772.67 · 10-3 * 31.6 – 33.000 = 20. n. κ .50· 10-3 κ et = = = 22.9 kNm) (EΙ) et = M et 57.15· 10 (2.616 1 Nmm² = 10-6 kNm .616 kNm²) Tabel 2.35 ‰ < 2.7 37.3 N/mm² εs 2.94· 106 = = 2.47 18.4 61.⅓ · 61) = 57.61) σ'b = 1.9 1 Nmm = 10-6 kNm 1.15 1 mm-1 = 103 m-1 21.355 2.19 22.tabel van rekenvoorbeeld #3 M – κ .50· 10.x) ⇒ ε' b = 61 · 2.15· 10.02215 m−1 ) M = As · fs · z z = (d .0 57.841 3.473 6.ε' b x = εs (d .tabel Moment M * 106 (Nmm) Kromming κ * 10-6 ( mm-1) Stijfheid (EI) * 109 (Nmm2) 1) Scheurmomenten: a) korte – duur b) lange – duur 2) Vloeimomenten: a) korte – duur b) lange – duur 38.80 5.3 = 1.77 ‰ ⇒ accoord (174 .62 - .3: M .⅓ x) Met = 754 · 500 · (174 .6 mm-1 d− x 174 − 61 (0.35· 10.616· 109 Nmm 2 −6 κ et 22.3 = 1.35 · 10-3 * 9118 = 12.94 · 106 Nmm (57. 19 22.κ .en lange-duur rekenvoorbeeld #3.4 kNm Mrep = 36.19 kN/m² De volgende belastingen zijn nog nodig voor de B.05 kN/m² Pmom = 6.7 37. Deze kunnen dan vervolgens worden ingetekend in het zojuiste gemaakte diagram om zo de bijbehorende krommingen te bepalen. Tot nu toe is alleen nog de rekenwaarde van de belasting in de U.0 57.diagram Figuur 2.G.46: M . Pg = 6.2 kNm Mmom = 30.15 κ [mm-1] * 10-6 M .diagram voor korte.9 korte-duur lange-duur 38.63 - .M [Nmm] * 106 61. bepaald.diagrammen voor de korte.κ . Pd = 10.80 5.. Nu de M .47 18.4 1.T.κ .6 * 0.en lange-duur bekend zijn.72 kN/m² De bijbehorende momenten: ⅛ · Px · L²: Mg = 28.40 * 1. .T.κ .75 = 6.2 kNm Deze momenten kunnen nu bij ingetekend worden in het M .30 + 1.30 kN/m² Prep = 6.diagram. kunnen de momenten berekend worden die relevant zijn voor het bepalen van de vervormingen. waarmee vervolgens de EI berekend kan worden.75 = 8.G.30 + 0. 01) · 10-6 = 4.80 κtot 5.b.69 + 3.0 = 1.69 · 10-6 mm-1 κmom.32· 10−6 (EI) 0 = = = 21.473· 109 Nmm2 (21.κ .v.32 · 10-6 mm-1 κrep = 1.64 - .0 Met = 57. doorbuigingsberekening Nu kunnen de bijbehorende krommingen worden bepaald (m.diagram figuur 2.2 kNm κon = 1.4 Mrep = 36.2 Mmom = 30. gelijkvormigheid van driehoeken): Mg = 28.19 22.∞ = 4.b.2· 106 = 4.01 · 10-6 mm-1 κtotaal = κrep + κkruip = (1.diagram Figuur 2.4· 106 1.15 κ [mm-1] * 10-6 M .709 kNm2 ) .κmom.709· 109 Nmm2 (7.70· 10−6 = 7.2 kNm Mmom = 30.47: M .4 κel κkruip κkruip κon 1.v.41) · 10-6 = 3.9 korte-duur lange-duur Mr = 38.M [Nmm] * 106 Me = 61.70 · 10-6 mm-1 Voor de buigstijfheden EI geldt: Mg κ on Mrep κ tot 28.47 18.46 uitgebreid met gegevens t.∞ .41 · 10-6 mm-1 κmom.2 Mg = 28.4 kNm Mrep = 36.473 kNm2 ) (EI) ∞ = 36.7 Mrt = 37.41) κkruip = κmom.0 = (4.42 · 10-6 mm-1 (kort) (lang) (zie ook figuur 2.κ .42 – 1. 709· 109 = 18 mm.) uon = 5· M g· l2 48· (EI) 0 = 5· 28.993 · 109 Nmm² (5.De doorbuiging is: utot = 5· Mrep· l2 48· (EI) ∞ = 5· 36.2· 106 · 60002 48· 7. (0.29 · 31. Benadering m. de "α-methode" volgens tabel 35 uit de VBC: (EI)rep = α · E'b · I Mg ≤ Mr voor de onmiddellijk optredende doorbuiging: (EI)0 = 1 · 31. Hieruit blijkt dat deze vloer aan de doorbuigingseisen voldoet.2 ) = 0.) ubij = utot – uon ubij = 18 – 5 = 13 mm.005 m.b.667 kNm²) Mrep ≤ Mrt voor de totale doorbuiging: α = 1 / (1 + ¾ ϕ ) α = 1 / (1 + ¾ · 3. (0.473· 109 = 5 mm.004 · 6000 = 24 mm.4 · 106 · 60002 48· 21. Als nu de maximale doorbuiging in de eindtoestand gelijk is aan 0.018 m.29 (EI)∞ = 0.000 · 1/12·1000·200³ = 5.65 - .004· L: ueind ≤ 0.003·L: ubij ≤ 0.993 kNm²) .000 · 1/12·1000·200³ = 20.667 · 109 Nmm² α=1 (20.003 · 6000 = 18 mm.v. en de bijkomende doorbuiging ≤ 0. 3.en een bovengrens.a.993· 109 = 5.48 is een M . De verklaring hiervoor wordt nu duidelijk.e.uon = 5· M g· l2 48· (EI) 0 5· Mrep· l2 48· (EI) ∞ = 5· 28. de constructie moet rotatiecapaciteit bezitten.2· 106 · 60002 48· 5.w. scheurmoment vloeimoment stuikmoment bezwijkmoment De volgorde van 2 en 3 kan omgewisseld zijn. bekent als resp.4 · 106 · 60002 48· 20. De eerste tak. Hier is gemakshalve steeds hetzelfde punt (moment) gebruikt als start voor de volgende fase. Ook in dit geval zal de constructie nog juist voldoen.7 – 5.1 De invloed van de hoeveelheid wapening op de kromming Om e.8 Nadere beschouwing van moment en kromming 2. omdat er dan maar één grafiek is. (0.maximaal. Logisch.667· 109 5· 36.diagram zijn er vier markante punten: 1.κ . 4.) ubij = utot – uon ubij = 22. Een gewapend betonnen doorsnede heeft qua hoeveelheid wapening een onder.66 - . 2. te verduidelijken wordt terug gegaan naar de U. want het is een conservatieve benadering. . M. Hieronder in figuur 2.. Dat maakt de verklaring wat eenvoudiger.a.0052 m.7 mm.G.2 mm. loopt tot het (fictieve) scheurmoment Mr.minimaal en ω0. ϖ0.2 = 17.κ . de ongescheurde doorsnede. 2. Wel valt te constateren dat de vervormingen nu echt tegen de grens aan zitten.T. door flink te vervormen (scheuren) alvorens te bezwijken. (0.5 mm. In een M .) utot = = = 22.diagram getekend van een gewapend betonnen doorsnede met als enige variabele de hoeveelheid wapening ω0.8. De maximale hoeveelheid wapening die mag worden toegepast zorgt ervoor dat de constructie zijn 'waarschuwende' taak kan blijven vervullen.0227 m. De minimale benodigde hoeveelheid wapening zorgt ervoor dat het scheurmoment kan worden opgenomen. terwijl boven deze lijn juist het omgekeerde geldt.67 - . de andere getalswaarden is dit minimaal.C.κ . Meer wapening geeft een hoger traagheidsmoment. Onder deze lijn zal het staal steeds vloeien aleer het beton stuikt.diagram gekozen voor de situatie dat staal het eerst zal vloeien. Dus altijd controleren of de gekozen volgorde juist is! . is dat naar mate men hoger in het diagram komt.48: M .diagram in de U. Op deze lijn ligt het punt waarvoor geldt dat het vloeimoment en het stuikmoment aan elkaar gelijk zijn. beton zal stuiken voor het staal vloeit. dus Mpl < Me. Maar t.v. Vaak wordt bij het maken van een M . Moment M u = Me Xu = 700 / (700+fs) * d (werkelijk) Mmax Mu bij ω0. omdat gerekend wordt met een nzware doorsnede waarin dus de invloed van de wapening is verwerkt. de horizontale tak steeds kleiner wordt. ofwel Me < Mpl. Deze (bijna) horizontale tak is de krommingsafstand tussen het vloeimoment en het bezwijkmoment of tussen het stuikmoment en het bezwijkmoment.G.) lijn die Mu weergeeft voor alle wapeningspercentages Me > Mpl Me = Mpl Me < Mpl Mr Me = Mr (met ϖ0. dus waar meer wapening is toegepast.κ . De scheiding wordt midden in de grafiek weergegeven.κ .o. dus Me = Mpl.In werkelijkheid zitten er (geringe) verschillen in het scheurmoment.diagram met ω0 als variabele Figuur 2. maar dit geldt alleen bij relatief lage wapeningspercentages. met ω0 als variabele. Wat direct opvalt.maximaal Xu = 500 / (500+fs) * d (V.B.T.minimaal) Kromming M . De betondrukresultante is gelijk aan de inhoud van de spanningsfiguur. De langste tak zit onderin de grafiek. Dit is het punt waar tegelijkertijd het staal vloeit en het bezwijkmoment wordt bereikt. wordt indirect het wapeningsstaal gelimiteerd. de zgn. Door opzettelijk de betondrukzone xu klein te houden. Bij de afleiding van deze hoeveelheid maximaal toepasbare wapening (ω0. Omdat echter bij het bereiken van deze betondrukzonehoogte géén rotatiecapaciteit meer aanwezig is (geen horizontale tak). dus Me = Mu. Uiteindelijk liggen de punten oorsprong . Het staal moet vloeien (vervormen) voordat de constructie bezwijkt op het verbrijzelen van de betondrukzone. Hierop wordt later teruggekomen.max) blijkt dat de betondrukzone is beperkt tot een hoogte van: xu ≤ 500 ∗d 500 + fs ( voor FeB500 met fs = 435 N / mm² → x u ≤ 0. waardoor N’b wordt beperkt. Dit is dus tevens Mmax. hoe meer een constructie kan vervormen. Juist genoeg om het scheurmoment op te kunnen nemen. Vergelijk dit met het gearceerde deel in figuur 2.κ . Dat betekent dat als het staal vloeit. De horizontale tak is immers niets anders dan een toename in de kromming.C.diagram bepaalt eigenlijk de reserve die de constructie in zich heeft alvorens te bezwijken. daar waar het wapeningspercentage minimaal is (ϖ0. het vermogen om te kunnen vervormen.68 - .30.max volgens de V. maar waar exact is niet bekend. is deze maximale hoogte voor de betondrukzone aangehouden om de constructie toch nog een waarschuwende functie mee te kunnen geven.62 d ) Dit volgt uit verdere uitwerking van: xu : ε'bu = d : (ε'bu + εs) Inwendig horizontaal evenwicht (ΣH = 0) zorgt ervoor dat Ns = N’b. is om veiligheidsredenen de hoogte van de betondrukzone begrensd bij: xu ≤ 700 ∗d 700 + fs ( voor FeB500 met fs = 435 N / mm² → x u ≤ 0. Hoe langer deze tak. het grootst opneembare moment wat geldt voor deze doorsnede.B. markant punt is te constateren bij beton. dat het effect van tension – stiffening steeds geringer wordt naarmate het wapeningspercentage toeneemt. In deze grafiek is ook heel goed te zien. Dit is één van de uitgangspunten in de veiligheidsfilosofie bij betonconstructies.Als de volgorde anders is. moet de berekening herzien worden met nieuwe uitgangspunten. “rotatiecapaciteit”. Helemaal bovenin de grafiek is een punt zonder horizontale tak.. De ‘horizontale’ tak in het M .bij benadering op één lijn en is er geen gearceerd gebied meer. .min).53 d ) Bij de afleiding van het maximale wapeningspercentage ω0. Beton bevindt zich dan in het bi-lineaire diagram op de 2e tak. er geen zgn. gegevens aan elkaar te relateren middels grafieken.1082 ∗ f 'ck 0 .8. Ze volgen niet uit zuivere wiskundige afleidingen.8918 ⇒ ⎛ b ∗ f 'ck ∗ d ⎞ ⎟ 156 ∗ ⎜ ⎜ ⎟ As ⎝ ⎠ 0 .69 - .19· 10−3 ∗ b ∗ f 'ck ∗ d1.1082 ∗ As 0 .1082 [Nmm] Voor de kromming geldt: κ u = 3. kan benaderd worden met de formule: Als functie van de kromming κu: Mu ≈ 2. vandaar 'benaderingen'.8918 [Nmm] Als functie van de hoeveelheid wapening: Mu ≈ 156 ∗ b 0 .6224· 10−6 ∗ b · f 'ck As [mm−1 ] .48). Deze formules zijn afgeleid door vele M . De kromme die de lijn voor alle Mu’s markeert (zie parabolische lijn in figuur 2.κ . Uitgangspunt is hier dat het beton bezwijkt en niet dat voortijdig het staal breekt.1082 ∗ κu −0.2.1082 ∗ As ∗ d [Nmm] Als functie van het wapeningspercentage: Mu ⎛ f' ⎞ ≈ 2.56 ∗ ω0 ∗ b ∗ d ∗ ⎜ ck ⎟ ⎜ω ⎟ ⎝ 0⎠ 2 0 . Hier volgen nog enkele benaderingsformules voor het (snel) bepalen van Mu en κu.1082 ∗d 1.2 Benaderingsformules voor Mu en κu. Beschouw onderstaande tabel en merk op wat de gevolgen zijn voor de kromming bij wijziging van: − − − − breedte b netto hoogte d de hoeveelheid wapening As betonsterkteklasse De betonstaalsterkteklasse is steeds FeB500.3 299. Invloed van b.02264 0.02264 0.3 1034.4: invloed van verschillende variabelen op de kromming.02264 0.2 κu [m-1] 0.02264 0.01132 0.02264 0.4 779.02264 0.8 1225.9 27.6 82.6 191.8 899. f ‘b en As op de kromming κu b [mm] 250 B25 d [mm] 250 250 500 750 250 250 500 750 750 1000 1250 1250 750 1000 1250 1250 As [mm²] 100 1000 1000 1000 260 2600 2600 2600 2000 2000 2000 4000 3000 3000 3000 6000 Mu [kNm] 10.7 1964.6 250 500 B25 750 B25 .02264 0.02264 0.02264 0.02264 0.01132 B65 → 65 / 25 = 2. Tabel 2.22640 0.7 599.9 1552.6 214.8 497.0 2947.9 817.22640 0.70 - .02264 0.02264 0. d. 9 Omgekeerde volgorde markante punten (eerst betonstuik. het vloeimoment. maar waar uit blijkt dat deze fout is. Er wordt nu een rekenvoorbeeld gegeven waarin wordt uitgegaan van bovenstaande volgorde. Daarom wordt direct overgegaan naar stap 2.175 ‰ fs = 435 xu z Ns σ 'b N'b b rekdiagram spanningsdiagram Figuur 2. Als uitgangspunt wordt het eerste rekenvoorbeeld in dit hoofdstuk genomen. In feite wordt nu alleen in de bestaande formules de hoeveelheid wapening aangepast en herberekend: ½ · b · x² = n(d – x) · As ½ · 400 · x² = 23.200 x x² = 151. daarna vloeien).49: Rek. Bij de voorbeeldberekeningen van de M .en spanningsdiagram bij vloeien (Me). 3. scheurmoment vloeimoment stuikmoment bezwijkmoment Bij de controle van deze aanname (controle van de rekken) is gebleken dat deze ook altijd juist was. Voor de afleiding van de formules zie rekenvoorbeeld 1. het bepalen van het scheurmoment. niet relevant.200 · (540 – x) 200 x² = 30. Tevens wordt de juiste oplossing gegeven. De 3 staven ∅16 worden nu vervangen door 3 staven ∅32 (As = 3 * 804 = 2412 mm²). "rekenvoorbeeld #1".3 · (540 – x) · 2412 200 x² = 56.71 - .740 – 281 x (dit was 603 mm²) .diagrammen was de volgorde altijd: 1.348 · 103 – 56. 2) Vloeimoment ε'b xu h d d .2. 4. Alle gegevens blijven ongewijzigd behalve de hoeveelheid wapening.xu εs = 2. 2.κ . In dit rekenvoorbeeld is stap 1. 3 = 2.3 = 2.v.50: Rek.x) ⇒ ε' b = Hieruit blijkt dat de volgorde vloeimoment – stuikmoment foutief is aangenomen.740 = 0 x1 = 273 mm.t. (is dus ongewijzigd) . De vraag is nu: hoever? Eerst moet opnieuw begonnen worden.555 mm.22· 10. σs = fs = 435 N/mm² ( x2 = .175 ‰ 5 Es 2.75 ‰ xu h d xu z εs Ns f 'b = 15 N/mm² N'b d .175· 10.75 ‰) en bevind zich al op de horizontale tak in het bi-lineaire diagram.175· 10. maar nu met het stuikmoment als uitgangspunt: 2) Stuikmoment ε'b pl = 1.x² + 281 x – 151.72 - .22 ‰ < 1. ) εs = fs 435 = = 2.0· 10 273 · 2.3 = 2. De rek in het beton is al voorbij het stuikmoment (> 1.en spanningsdiagram bij stuik (Mpl).273) ε' b x = εs (d .75 ‰ ⇒ niet accoord ! (540 .xu σs b rekdiagram spanningsdiagram Figuur 2. Voor de bepaling van de hoogte van de betondrukzone xu verandert er niets en kan gewoon dezelfde formule gehanteerd worden (ga dit zelf na bij de afleiding): ½ · b · x² = n(d – x) · As x1 = 273 mm. (staal vloeit) n. pl > ε'b > ε'b. εs (d .273) = ⇒ εs = · 1.□ N'b.xu εs = 2.u xu h d d .pl > ε'b > ε'b. De volgende fase is het vloeien van het staal: 3) Vloeimoment ε'b.51: Rek.3 = 1.73 - .3 = 1.175‰ 1.51.75· 10.u α xu f 'b = 15 N/mm² N'b.71‰ ε'b x 273 < 2.x ) (540 . De hoogte van de betondrukzone xu bestaat nu uit een verticaal stukje α xu en het schuine deel β xu.71· 10.52: Betondeel (druk) van spanningsdiagram fig.rechthoekje + N'b.175‰ ⇒ voldoet σs = Es * εs = 2.75· (d − x u ) ⎞ 1.∆ z□ z∆ Ns b fs = 435 N/mm² rekdiagram spanningsdiagram Figuur 2. 2.en spanningsdiagram bij vloeien (Me).x ) x = ⇒ ε'b = · εs ε'b x d−x ⇒ N'b = 1 2 · ⎛ 1.εs (d . κ en EI is bekend en wordt hier verder niet meer uitgewerkt.75 ⎟ · b · f 'b · (d − x u ) · b · f 'b + ⎜ x u − ⎟ ⎜ ε' b ε' b ⎠ ⎝ .□ N'b.75‰ α xu β f 'b = 15 N/mm² N'b.driehoekje β Figuur 2.71 · 10-3 = 342 N/mm² < 435 N/mm² De verdere berekening van M. Voor de betonrek ε'b geldt: ε'b.0 · 105 * 1.∆ De totale drukkracht N'b = N'b. M. ½ · xu · b · f 'b = fs · As As = ω0 · 10-2 ·b·d (z bepaalt m. z∆ = 540 – (71 + ⅓ · 209) ≈ 400 mm.m.175· ( 435· 2412 ) ≈ 280 mm.50‰ ⇒ voldoet d−x 540 − 280 ε'b = ε'b ε'b.34 α = xu .v. (1.v.74 - .∆ * z∆ = (71 · 400 · 15) · 505 + (½ · 209 · 400 · 15) · 400 = 466 · 106 Nmm ofwel: Me = fs * As * z = 435 * 2412 * (540 – 98) = 464 · 106 Nmm Er is een klein verschil i. Me = N'b. Controleer wel steeds de rek in het staal in de eindsituatie om te voorkomen dat de constructie vroegtijdig bezwijkt door staalbreuk! Bij twijfel wat de goede volgorde is en om extra rekenwerk te voorkomen kan er een eenvoudige toetsingsregel worden afgeleid die voldoet aan Me = Mpl.b. z□ = 540 – (½ · 71) ≈ 505 mm.pl · b · d· f 'b + 2· ε s · N'b (ε'b. omdat N'b = Ns en Ns = σs * As is hier voor N'b ingevuld: σs * As (bij vloeien: σs = fy) x 280 · εs = · 2.175) · 400· 15 xu = ⇒ n.75 · 280 ≈ 209 mm.b.pl ε'b · xu = 1. deze formules kan xu geschreven worden als: ε'b. Het bepalen van het bezwijkmoment Mu gaat op dezelfde wijze als in voorbeeld 1.□ * z□ + N'b. statisch moment) ½ · xu · b · f 'b = fs · ω0 · 10-2 · b · d .pl + 2· ε s ) · b · f 'b 1.β α = 280 – 209 = 71 mm.v.34‰ < 3.pl = xu β ⇒ β = ε'b.75· 400· 540· 15 + 2· 2.75 + 2· 2.b. 2.175 = 2. afronden naar hele millimeters. ½ · xu · f 'b = fs · ω0 · 10-2 · d ε'b.75 - .pl + ε s .b.pl ⎝ b .75 + 2.77% ⎟ ⎝ ⎠ Extra rekenwerk wordt voorkomen door m.pl ∗d invullen ⇒ ⎛ ε'b. worden aangehouden: ε´b.T.pl ⎠ s ⎝ b. de rekken volgens de V.v.175‰ gaat de formule eenvoudig over in: ⇒ ω0.pl ⎠ ⎝ b.75‰ εs. Indien voor de U.pl = xu d − xu ⇒ herleiden ⇒ x u = ε'b.pl ⎠ ⎝ = fs = ⎛ ε'b .pl = 1.175 ⎟ · 435 = 0.grens te bepalen.pl ε s .pl ⎞ ⎟ 50· ⎜ ⎜ ε' + ε ⎟ · f 'b b . deze formule eerst ω0.3 ∗ f 'b fs .grens = 22.C.pl ⎞ ⎟ · f ' = fs · ω0 · 10 −2 ½· ⎜ ⎜ ε' + ε ⎟ b s .pl = 2.pl ⇒ ω0 ⎛ ε'b.pl de grens ligt in dit geval op : ⎛ ⎞ 15 1.B.pl ε'b .G.pl ⎞ f 'b ⎟· 50· ⎜ ⎜ ε' + ε ⎟ f s .pl ⎞ ∗ d ⎟ · f 'b = fs · ω0 · 10 −2 · d ½· ⎜ ⎜ ε' + ε ⎟ s .75 ω0 = 50· ⎜ ⎜ 1.pl ⎠ ⇒ ⎛ ε'b .pl s .