CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍATema: INTEGRACIÓN NUMÉRICA UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE N Hoja de ejercicios 6 1. (i) Aproxime cada una de las siguientes integrales usando la regla compuesta del trapecio con M = 10. (ii) Aproxime cada una de las siguientes integrales usando la regla compuesta de Simpson con M = 5. (a) 1 −1 1 + x 2 −1 dx (b) 1 0 (2 + sen(2 √ x)) dx (c) 4 0,25 dx/ √ x (d) 4 0 x 2 e −x dx (e) 2 0 2xcos (x) dx (f) π 0 sen(2x) e −x dx 2. Longitud de una curva. La longitud de una curva y = f (x) definida sobre un intervalo a ≤ x ≤ b es: longitud = b a 1 + (f ′ (x)) 2 dx. (i) Aproxime la longitud de la curva y = f (x) para cada una de las funciones que se relacionan a continuaci´ on usando la regla compuesta del trapecio con M = 10. (ii) Aproxime la longitud de la curva y = f (x) para cada una de las funciones que se relacionan a continuaci´ on usando la regla compuesta de Simpson con M = 5. (a) f (x) = x 3 para 0 ≤ x ≤ 1 (b) f (x) = sen(x) para 0 ≤ x ≤ π/4 (c) f (x) = e −x para 0 ≤ x ≤ 1 3. Area de una superficie de revoluci´on. El ´area de la superficie del s´ olido de revoluci´on que se obtienen al girar alrededor del eje OX la regi´ on limitada por la curva y = f (x), siendo a ≤ x ≤ b, viene dada por: area = 2π b a f (x) 1 + (f ′ (x)) 2 dx Facultad de Ingeniería Departamento de Ciencias 1 UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE N (i) En cada uno de los casos siguientes, aproxime el ´area de la superficie de revoluci´on correspondiente usando la regla compuesta del trapecio con M = 10. (ii) En cada uno de los casos siguientes, aproxime el ´area de la superficie de revoluci´on correspondiente usando la regla compuesta de Simpson con M = 5. (a) f (x) = x 3 para 0 ≤ x ≤ 1 (b) f (x) = sen(x) para 0 ≤ x ≤ π/4 (c) f (x) = e −x para 0 ≤ x ≤ 1 4. Determine en cada uno de los siguientes casos, el n´ umero M y el tama˜ no de los subintervalos h de manera que la regla del trapecio con M subintervalos nos permita obtener la integral dada con una precisi´ on de 5 ×10 −9 . (a) π/6 −π/6 cos (x) dx (b) 3 2 1 5−x dx (c) 2 0 xe −x dx 5. Determine en cada uno de los siguientes casos, el n´ umero M y el tama˜ no de los subintervalos h de manera que la regla de Simpson con 2M subintervalos nos permita obtener la integral dada con una precisi´ on de 5 ×10 −9 . (a) π/6 −π/6 cos (x) dx (b) 3 2 1 5−x dx (c) 2 0 xe −x dx PROBLEMAS Problema 1 ( ´ Optica) Para planificar una sala de rayos infrarrojos estamos interesados en calcular la energ´ıa emitida por un cuerpo negro (esto es, un objeto capaz de radiar en todo el espectro a temperatura ambiente) en el espectro (infrarrojo) comprendido entre las longitudes de onda 3 µm y 14 µm. La soluci´on de este problema se obtiene calculando la integral: E (T) = 2,39 · 10 −11 14·10 −4 3·10 −4 dx x 5 e 1,432/(Tx) −1 (1) que es la ecuaci´ on de Planck para la energ´ıa E (T), donde x es la longitud de onda (en cm.) y T es la temperatura (en Kelvin) del cuerpo negro. Facultad de Ingeniería Departamento de Ciencias 2 UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE N Problema 2 (Electromagnetismo) Consid´erese una esfera conductora de la electricidad de radio arbitrario r y conductividad σ. Queremos calcular la distribuci´on de la densidad de corriente j como funci´on de r y t (el tiempo), conociendo la distribuci´on inicial de la densidad de carga ρ (r). El problema puede resolverse usando las relaciones entre la densidad de corriente, el campo el´ectrico y la densidad de carga, y observando que, por la simetr´ıa del problema, j (r, t) = j (r, t) r/ |r|, donde j = |j|. Obtenemos: j (r, t) = γ (r) e −σt/ǫ 0 , γ (r) = σ ǫ 0 r 2 r 0 ρ (ξ) ξ 2 dξ (2) donde ǫ 0 = 8.859·10 −12 faradio/m es la constante diel´ectrica del vac´ıo. Problema 3 (Demograf´ıa) Consideramos una poblaci´on de un n´ umero M muy grande de in- dividuos. La distribuci´on N (h) de sus alturas puede representarse por una funci´on ”campana” caracterizada por el valor medio ¯ h de la altura y la desviaci´on est´andar σ N (h) = M σ √ 2π e −(h− ¯ h) 2 /(2σ 2 ) . (3) Entonces: N = h+∆h h N (h) dh (4) representa el n´ umero de individuos cuya altura est´a entre h y h+∆h (para un ∆h positivo). Un ejemplo lo proporciona la Figura 1 que corresponde al caso M = 200, ¯ h =1.7 m, σ =0.1 m, y el ´area de la regi´ on sombreada da el n´ umero de individuos cuya altura est´a en el rango 1.8-1.9 m. 100 1.5 1 2.5 1.8 1.9 2 200 300 400 500 600 700 800 0 h N ( h ) Figura 1: Distribuci´on de las alturas de una poblaci´on de M=200 individuos. Facultad de Ingeniería Departamento de Ciencias 3