Historia de la matemáticaLa historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos en matemáticas, de los métodos matemáticos, de la evolución de sus conceptos y también en cierto grado, de los matemáticos involucrados. Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c. 1650 a. C.) y los textos védicos Shulba Sutras (c. 800 a. C.). En todos estos textos se menciona el teorema, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría. Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio. Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.1 La matemática en el islam medieval, a su vez, desarrolló y extendió las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media. Desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, han ido creciendo exponencialmente hasta el día de hoy. Sistema chino de numeración con varillas. Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento de matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo, los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en una caverna de Sudáfrica de aproximadamente 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrones geométricos.2 También se descubrieron artefactos prehistóricos en África y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a. C.,3 que sugieren intentos iniciales de cuantificar el tiempo.4 Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la idea de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de animales.5 6 El hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del 20.000 a. C. Una interpretación común es que el hueso supone la demostración más antigua conocida3 de una secuencia de primos de la multiplicación por duplicación. Las matemáticas o la matemática es una ciencia que, a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos ). Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin. Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamín Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias". Por otro lado, Albert Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad". Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico. Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad. Introducción En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos. Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10. Las matemáticas en la antigüedad. Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones. Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas… de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso. Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (:), junto con la fracción _, para expresar todas las fracciones. Por ejemplo, _ era la suma de las fracciones _ y _. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14). El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Este mismo principio fue ampliado a la representación de fracciones, de manera que el ejemplo anterior podía también representar 2 × 60 + 27 + 10 × (\), o 2 + 27 × (\) + 10 × (\)2. Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil como el sistema decimal (base 10). Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. Tipos de Números Los números son a menudo clasificados de acuerdo a su uso. Por ejemplo, los números naturales se utilizan para el conteo, los números negativos ase utilizan para describir las deudas o temperaturas bajo cero, los números racionales se utilizan para describir las fracciones como la mitad de una naranja y los números irracionales se utilizan para ciertas distancias, como la diagonal de un cuadrado de lado 1 pie, que no se puede expresar con una fracción. Números Enteros El conjunto de los números {...,-3,-2,-1 ,0,1,2,3,...}. se llama el conjunto de los enteros y se denota con la letra ℤ. Dentro de este conjunto hay subconjuntos diferentes. El conjunto {1, 2,3,...} se llama el conjunto de los enteros positivos. El conjunto {...,-3, -2,1} se llama el conjunto de los enteros negativos. Tenga en cuenta que el número 0, a pesar de que es un número entero, no es ni positivo ni negativo. Números Naturales El conjunto de los números naturales se denota con la letra ℕ y se define como el conjunto de los enteros positivos. ℕ= {1, 2,3,...}. Números Racionales Los números racionales son el conjunto de números que pueden representarse como una fracción con dos números enteros. Es decir, los números racionales son aquellos números que pueden expresarse como m n, donde m y n son enteros y n≠0. 13,-54 ,30=301,0=0 5,0.25=14 Números Irracionales Los números irracionales son números reales que no se puede expresar como una fracción de dos números enteros. Los números irracionales más comunes son π y las expresiones que contienen una raíz que no se pueden eliminar. Ejemplo 3,5, 23,-3n2 Números Reales El conjunto de todos los números reales se denota por el símbolo ℝ y se puede considerar como el conjunto de todos los números que existen en la recta numérica. Esto incluye los números enteros, números racionales y números irracionales. Números No-Reales El conjunto de los números no-reales se puede considerar el conjunto de todos los números que no existen en la recta numérica. ¿Qué es un Número No-Real? Número NoReal -a, a > 0 Explicación El argumento de una raíz cuadrada no puede ser negativo. Ejemplos -2 no es un número real. a0 a es real. El denominador de una fracción que no puede ser 00 y 30 no son reales. cero. Expansiones Decimales y Números Racionales Cualquier decimal finito se puede expresar como una fracción. Por ejemplo: 0.23 =23100, 5.235 =52351000. Algunas fracciones tienen expansiones decimales infinitas que se repiten 13=0.33333. Por lo tanto, decimales finitos o decimales infinitos que se repiten son números racionales. Se puede demostrar que los números irracionales, tales como 3 ó π son decimales infinitos que no se repiten. Por lo tanto, los números irracionales también pueden ser considerados como números con infinitas expansiones decimales que no se repiten. Origen De Los Números. La utilización de los números como tal se remontan a hace más de 400.000 mil años, siempre con el uso de los dedos de las manos como origen y en los primeros pueblos primitivos. En el cultivo de la tierra y en los negocios con animales, empezó un sistema de conteos de los números, ya sea con marcas hecha en un tronco, nudos, piedras entre otras alternativas. Con el paso del tiempo necesitaron representar números cada vez mayores y tuvieron que inventar símbolos adecuados. Los primeros sistemas de numeración estaban basados en la yuxtaposición, es decir, en ir colocando los símbolos uno a continuación de otro. Los romanos por ejemplo, empleaban un conjunto de siete símbolos. El sistema romano todavía es utilizado, claro que en las fechas de monumentos, para escribir en algunos textos los siglos, etc. El sistema de numeración actual fue inventado por los Hindúes en el siglo II. Los árabes los introdujeron en Europa a Través de España y desde allí se extendió por todo el mundo. Los Números son ideas de cantidad que se encuentran en nuestra mente, es la forma como representamos o escribimos una idea de cantidad. Nuestro sistema de numeración es decimal. Recibe este nombre por que emplea diez símbolos. Es un sistema de numeración que no está basado en la yuxtaposición, sino que es posicional. Para comprenderlo basta con que pensemos que, si utilizaremos la yuxtaposición, el número 714 valdría; Funciones que se le asignan a los números: a) Contar: Dar la forma en nuestra mente de números a una determinada cantidad. b) Ordenar: A un conjunto determinado de elementos que pertenezcan a una categoría que asignemos previamente. c) Asignar códigos: Para la identificación de individuos o cosas. Este tipo de información se emplea para organizar información y con ellos no se realiza operaciones. d) Expresar medidas: Por comparación con una unidad elegida previamente. e) Efectuar cálculos matemáticos. Conjuntos Numéricos Números Naturales N N, es el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,.....), Se caracteriza por que tiene un número infinito de elementos, cada elemento tiene un sucesor, cada elemento excepto el 1 tiene antecesor. Números Cardinales Al conjunto de los números naturales se le agrega el elemento numeral cero y representa a los números cardinales. Números Enteros Z El conjunto de los números enteros comprenden 3 conjuntos los enteros negativos, el conjunto del numeral cero y el conjunto de los enteros positivos Números Racionales Q Producto de los problemas en la operatoria matemática que presentaban los números de forma entera se inventaron los números racionales. Los números Racionales son todos de la forma a/b, o sea fraccionarios, donde “a” corresponde a un número entero llamado Numerador y “b” corresponde a otro número entero llamado Denominador. Números Irracionales. I = Q*= Conjunto de números Irracionales I = Conjunto de números decimales infinitos no periódicos. A este conjunto de números pertenecen todos aquellos números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no puedan transformarse en una fracción. Aportes a las matemáticas. 1. Aportaciones de las culturas a las matemáticas Griegos: Las matemáticas griegas se cree que comenzaron con Tales (c. 624-c.546 a.C.)y Pitágoras (c. 582-c. 507 a.C.). Los matemáticos griegos, utilizan el razonamiento deductivo. Los griegos usan la lógica para obtener conclusiones a partir de definiciones. Algunos dicen que el mayor de los matemáticos griegos, sino de todos los tiempos, fue Arquímedes (c.287-212 a.C.), de Siracusa. Utilizó el método de exhaución para calcular el área bajo el arco de una parábola mediante la suma de una serie infinita, y dio muy precisas aproximaciones, escuela pitagórica que fue fundada por Pitágoras que de ahí salió el teorema de Pitágoras. India: Ellos incluyeron el número 0 como numero nulo, los hindúes tuvieron algún contacto con el mundo griego sin embargo las matemáticas hindúes se apoyaron más en el cálculo que en la de ducción.El mundo les debe el invento trascendental de la notación posicional empleando la cifra cero como valor nulo, utilizaron un sistema de numeración de base 10 (con diez dígitos) los hindúes se incorporaron en general a las obras astronómicas, Bhaskara II escribió un tratado de aritmética en el que exponía el procedimiento de cálculo de las raíces cuadradas. Se trata de una teoría de las ecuaciones de primer y segundo grado, no en forma geométrica, como lo hacían los griegos, sino en una forma que se puede llamar algebraica ,El carácter operacional de la matemáticas hindúes iba a la par con una concepción general del número irracional, pero abierta de un modo natural al negativo, con lo cual podían tomar en consideración los dos signos de la raíz cuadrada y las dos soluciones de la ecuación de segundo grado; así quedó abierto el camino del álgebra formal, seguido posteriormente por los árabes. Caldea: La civilización caldea impulsó la geometría, fueron los caldeos los primeros en dividir el círculo en 360 partes iguales debido a que para ellos el año contaba con 360 días. Este es el fundamento de los grados sexagesimales que se usan todavía en nuestros días .Babilonia: los babilonios desarrollaron una forma abstracta de escritura basada en símbolos cuneiformes sus símbolos fueron escritos en tablas de arcilla mojada cocidas al sol, miles de estas tablillas han sobrevivido hasta nuestros días. El aspecto más asombroso de las habilidades de los cálculos de los babilonios fue su construcción de tablas para ayudar a calcular. Los problemas k se planteaban eran sobre las cuentas de interés simple y compuesto. en geometría conocían el teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos semejantes. China: Los chinos usaron las matemáticas especialmente en la geometría ya que sus construcciones eran complicadas ellos también hicieron el Abaco. Mesopotamia: El cálculo floreció en Mesopotamia mediante un sistema decimal y sexagesimal, cuya primera aplicación fue en el comercio. Además de suma y resta conocían multiplicación y división y, a partir del II milenio a. C. desarrollaron una matemática que permitía resolver ecuaciones de hasta tercer grado. Conocían asimismo el número π, la raíz y la potencia, por lo que eran capaces de calcular volúmenes y superficies de las principales figuras geométricas. 2. Mayas: El aporte clave de los matemáticos mayas fue la creación del número cero, un concepto abstracto que permaneció ausente durante siglos en otras culturas. Representaban el cero con una concha marina, usaban puntos o círculos del uno al cuatro, y rayas que valían cinco hasta contar diecinueve. Su sistema numérico era vigesimal, y no decimal como el actual. Los científicos se preguntan si usarían los dedos de las manos y los pies para contar. Las técnicas de observación celeste a simple vista que practicaban los sacerdotes mayas son estudiadas por los científicos actuales. Se apoyaban en un sistema de referencias naturales. Describían las posiciones del Sol, la Luna, Marte, y registraban los eclipses. Egipto: se empleó el sistema decimal, su año civil se componía de 12 meses de 30 días cada uno a los que se agregaban 5 días adicionales. También se introdujeron los años bisiestos de 366 días y su día y noche tenían, cada uno,12 horas; aportaron: Sistema decimal, calcularon la superficie, el volumen de pirámides, cilindro y esfera, álgebra, astronomía: calendario solar, relojes de sol (gnomos) y agua (clepsidras).Fenicia: Aporto a las matemáticas la geometría, el cálculo solo que se basa en calcular el tiempo destacaron más por el invento del vidrio y de la pintura en tela. Romanos: La civilización romana adquirió un nivel altísimo en ingeniería, aun lo podemos comprobar en algunas de nuestras ciudades. Para ello tuvieron que tener unas matemáticas y un álgebra muy desarrollada. Sin embargo no conocían el número cero ni los números decimales y la nomenclatura de sus números hacía muy difícil su uso en sumas y restas y demás operaciones aritméticas. De hecho siempre se ha dicho que una de las ventajas que trajo la notación decimal fue el hacer la multiplicación mucho más fácil. Sistema de numeración decimal El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis(6); siete ( 7); ocho (8) y nueve (9). Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del binario o el hexadecimal. Notación decimal . Al ser posicional, el sistema decimal es un sistema de numeración en el cual el valor de cada dígito depende de su posición dentro del número. Al primero corresponde el lugar de las unidades, el dígito se multiplica por (es decir 1); el siguiente las decenas (se multiplica por 10); centenas (se multiplica por 100); etc. Ejemplo: Otro ejemplo: o también: Se puede extender este método para los decimales, utilizando las potencias negativas de diez, y un separador decimal entre la parte entera y la parte fraccionaria. Ejemplo: O también: El sistema de numeración romano es decimal, pero no-posicional: . Historia Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar. También existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. Cronología Año Acontecimiento Los egipcios utilizan un sistema decimal no posicional. Otras culturas de Mesopotamia (Sumeria, Babilonia,...) utilizaban un sistema posicional sexagesimal. III milenio a.C. Antes de Los chinos. 1350 hacia 600 hacia 500 los etruscos Registros en sánscrito. La civilización maya Numeraciones decimales El sistema decimal es el más común. Por ejemplo, las numeraciones: árabe, armenia, china, egipcia, gótica, griega, hebrea, inda, japonesa, mongol, romana, tchouvache, thaï. Escritura decimal En un sistema de numeración posicional de base racional, como la decimal, podemos representar números enteros, sin parte decimal, y números fraccionarios, un número fraccionario que tiene los mismos divisores que la base dará un número finito de cifras decimales, racional exacto, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita: la parte fraccionaria presentará un período de recurrencia pura, números racionales periódicos puros, cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia mixta, números racionales periódicos mixtos, (aquella en la que hay dígitos al comienzo que no forman parte del período) cuando haya al menos un factor primo en común con la base. La escritura única (sin secuencias recurrentes) puede ser de los tipos: Número entero Número decimal exacto. Número decimal periódico. Número decimal periódico puro. Número decimal periódico mixto. Número irracional.