HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo diferencial a finalesdel siglo XVII llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matemáticas, a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución un fin en sí mismo. Ya Newton (los creadores del calculo infinitesimal fueron Leibniz y Newton) observo que si dny/dxn = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n í 1, en particular, y depende de n constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que esperar hasta el siglo XIX para poder ser demostrada con rigor (la demostración estándar actual usa el teorema del valor medio). Los matemáticos de la época con frecuencia usaban argumentos físicos: si y(t) denota la posición en el tiempo t de una partícula, entonces dy/dt es su velocidad. Si dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es decir, la partícula no se mueve y su posición, por tanto, permanece constante. En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones diferenciales y en el mismo año, Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales son funciones de elementos del triangulo característico. En 1690, Jacques Bernouilli planteo el problema de encontrar la curva que adopta una cuerda flexible, inextensible y colgada de dos puntos fijos, que Leibniz llamó catenaria (del latín cadena). Galileo pensó que esta curva era una parábola, mientras que Huygens probó que esto no era correcto. En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli publicaron soluciones independientes. La de Jean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mecánica: Consideremos un cable homogéneo sujeto por sus dos extremos (que suponemos a la misma altura) y que distan 2a uno del otro y sea la densidad del cable. Sea y = y(x) la función que describe la posición del cable. Por conveniencia se asumirá que la altura mínima del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras, y0(0) = 0). La segunda etapa (1728) de la historia de las ecuaciones diferenciales estuvo dominada por Leonard Euler: Él introdujo varios métodos para ecuaciones de orden inferior, el concepto de factor integrante, la teoría de las ecuaciones lineales de orden arbitrario, el desarrollo del uso del método de series de potencias entre otras cosas. La etapa siguiente (1820) fue una etapa de formalización y en ella hay dos personajes importantes Niels Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857); los problemas de existencia y unicidad de las solución cobraron importancia. astronomía. cálculo de variaciones.A continuación encontramos algunos autores que hicieron aportes valiosos a las ecuaciones diferenciales: Niels Abel El matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) hizo aportes en ecuaciones integrales. Augustin Cauchy El francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) hace aportes en cálculo de probabilidades. mecánica (incluyendo el problema de la cuerda vibrante). Identidad de Abel Daniel Bernoulli El suizo Daniel Bernoulli (1700-1792) hace aportes en dinámica de fluidos (principio de Bernoulli). resuelve problemas de trayectorias ortogonales en 1698. probabilidad. propuso y resolvió el problema de la baquistrócona (también resuelto por su hermano Jacques). alemán. cálculo de variaciones y problemas de la braquistócrona. hace aportes en astronomía. mecánica. elasticidad. Jacques Bernoulli Jacques Bernoulli (1654-1705). astronomía. óptica. matemático suizo. Introdujo la idea del factor integrante. álgebra (probó que las ecuaciones polinómicas de quinto grado no tienen soluciones exactas. Pafnuti Chebyshev . hace aportes a la mecánica. calculó la órbita del cometa Halley. análisis matemático. Friedrich Bessel Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846). La ecuación de Bernoulli fue propuesta por él en 1695 pero resuelta independientemente por Leibniz y su hermano Jean. Creó la teoría de variable compleja (1820) y aplicó su teoría a las ecuaciones diferenciales. funciones elípticas. probabilidad. geometría. mecánica. Cadena colgante (catenaria) Jean Bernoulli Jean Bernoulli (1667-1748). introdujo las funciones de Bessel y en 1817 estudió el trabajo de Kepler. suizo. problema tautócrono. dinámica de fluidos. óptica. alemán. Peter Dirchlet Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). el problema de los 3 cuerpos.El ruso Pafnuti Liwovich Chebyshev (1821-1894) trabaja en teoría de números (números primos). desarrolló (1739) la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales. calculó con precisión (1759) el perihelio del cometa Halley. estableció condiciones para la convergencia de las series de Fourier. Alexis Clairaut El francés Alexis Claude Clairaut (1713-1765) hace aportes a la geometría. funciones ortogonales. Leonhard Euler Leonhard Euler (1707-1783). análisis matemático. geometría. Dinámica de fluidos. aportes en álgebra y teoría de grupos. identidades de Euler. polinomios de Chebyshev. astronomía. Joseph Fourier El francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) descubre las series de Fourier en las investigaciones sobre el flujo de calor en 1822. suizo. mecánica de fluidos. astronomía. establece la ecuación de Clairaut y soluciones singulares (1734). Karl Gauss . teoría de números. fue el más prolífico de los matemáticos del siglo XVIII a pesar de sus impedimentos físicos (perdió un ojo en 1735 y quedó totalmente ciego en 1768). Ferdinand Frobenius El alemán Ferdinand George Frobenius (1849-1917) estudia los métodos de series para resolver ecuaciones diferenciales. hace aportes a la mecánica. acompañó a Napoleón en la campaña de Egipto (1798). Jean D¶Alembert El francés Jean le Rond D¶Alembert (1717-1783) hace aportes a la mecánica incluyendo el problema de la cuerda vibrante. probabilidad. inventó la función gamma. ecuaciones diferenciales parciales. análisis matemático. hace aportes en teoría de números. El alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue uno de los grandes matemáticos del siglo XIX. álgebra. funciones elípticas. óptica. teoría matemática de ondas. electricidad y magnetismo. función de Green. . Establece la mecánica analítica. sugirió la presencia de la capa atmosférica ahora llamada ionosfera. acústica. propuso muchos problemas. astrónomo y físico holandés. Christian Huygens (1629-1695) estudia vibraciones. métodos operacionales no rigurosos para resolver ecuaciones diferenciales. espacio de Hilbert. Charles Hermite El francés Charles Hermite (1822-1901) estudia la teoría de números. Johannes Kepler El alemán Johannes Kepler (1571-1630) hace aportes a la geometría. astronomía. Hace aportes a la teoría de números. lógica. Construye un reloj de péndulo basado en la cicloide (1673). Christian Huygens Matemático. especialmente encontrando áreas que ayudaron a la formulación de sus 3 leyes del movimiento planetario. ecuación hipergeométrica. electricidad y magnetismo. incluyendo el problema de los 3 cuerpos. ecuaciones diferenciales parciales. cálculo de variaciones. George Green El inglés George Green (1793-1841) hace aportes a la física matemática. teoría de números. método de variación de parámetros (1774). David Hilbert (1862-1943) hace aportes al álgebra. originó el término ³potencial´. David Hilbert Matemático alemán. álgebra (teoría de grupos). polinomios de Hermite. algunos todavía sin solución. prueba (1873) la trascendencia de e. astronomía. ecuación adjunta. Joseph Lagrange El francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813) fue uno de los grandes matemáticos del siglo XVIII. Oliver Heaviside El inglés Oliver Heaviside (1850-1925) hace aportes al electromagnetismo. óptica. cálculo de variaciones. ecuaciones integrales. geometría. óptica. Pierre de Laplace El francés Pierre Simón de Laplace (1749-1827) hace aportes a la mecánica. Joseph Liouville El francés Joseph Liouville (1809-1882) estudia la teoría de números (números trascendentes). análisis matemático. Gottfried Leibniz El alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fue el codescubridor. probabilidad. Isaac Newton El inglés Isaac Newton (1642-1727) fue codescubridor del cálculo junto a Leibniz. Análisis matemático. funciones analíticas. Marc Parseval El francés Marc Antoine Parseval (1755-1836) hace aportes al análisis matemático.Edmond Laguerre El francés Edmond Laguerre (1834-1886) hace aportes al análisis matemático. homogéneas y lineales. funciones de Legendre. óptica. leyes del movimiento y ley de gravitación universal. Ecuaciones integrales. variable compleja. ecuación de Laplace descubierta alrededor de 1787. Hace aportes a la mecánica. filosofía. flujo de calor. ecuaciones diferenciales parciales. con Newton. Charles Picard . variable compleja. primero en resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. regla de Leibniz. lógica. Adrien Legendre El francés Adrien Marie Legendre (1752-1833) hace aportes en teoría de números. polinomios de Laguerre. astronomía. métodos de series para resolver ecuaciones diferenciales (1671). del cálculo. separables. funciones elípticas. astronomía. identidad de Parseval en conexión con la teoría de las series de Fourier. geometría. problemas de Sturm-Liouville. funciones elípticas. probabilidad. método de Picard y teoremas de existencia-unicidad para ecuaciones diferenciales. geometría. Jacobi y Dirichlet). astronomía. mecánica de fluidos. Variable compleja. desigualdad de Schwarz. Jacques Sturm El suizo Jacques Charles François Sturm hace aportes al álgebra (número de raíces reales de ecuaciones algebraicas). Simeón Poisson El francés Simeón Denis Poisson (1781-1840) fue un físico matemático que hace aportes a la electricidad y el magnetismo. ecuaciones diferenciales parciales. fórmula de Rodríguez. Hermann Schwarz El alemán Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) estudia cálculo de variaciones. Olinde Rodríguez (1794-1851) hace aportes al análisis matemático. Henri Poincaré El francés Jules Henri Poincaré (1858-1912) hace aportes a las ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad. teoremas de existencia para ecuaciones diferenciales parciales. ecuación de Poisson. geometría no euclideana. mecánica celeste incluyendo el problema de los 3 cuerpos. problemas de Sturm-Liouville. topología. Jacopo Riccati El italiano Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) hace aportes al análisis matemático. filosofía de la ciencia. cálculo de variaciones. fórmula de Poisson. Olinde Rodríguez Matemático francés. acústica. variable compleja. geometría no euclideana. topología. Bernhard Riemann El alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) fue uno de los más grandes matemáticos del siglo XIX (alumno de Gauss. ecuación de Riccati resuelta en 1723 por Daniel Bernoulli y otros miembros más jóvenes de su familia. .El francés Charles Émile Picard (1856-1941) hace aportes a la geometría algebraica. vibraciones de resortes. Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo. Hoene Wronski Matemático polaco. Según su orden el orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de mayor orden en la ecuación. Josef Hoene-Wronski (1778-1853) estudia determinantes. movimiento de proyectiles. entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. óptica. introduce el wronskiano. Según su tipo si una solo contiene derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una variable independiente. Esto quiere decir q una ecuación diferencial de orden es lineal cuando la ecuación es . Es una ecuación ordinaria de segundo orden. Según la linealidad se dice que una ecuación diferencial como la es lineal si F es lineal en . .Brook Taylor El inglés Brook Taylor (1685-1731) hace aportes al análisis matemático. método de series de Taylor. filosofía. orden y linealidad. soluciones singulares. DEFINICIÓN Y CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuación que contiene las derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes es una ecuación diferencial. A veces. las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se escriben en la forma diferencial . wikipedia.pdf Ecuaciones diferenciales de denis zill ± séptima edición mty.org/wiki/Historia_de_las_ecuaciones_diferenciales personales.mx/etie/deptos/m/ma-841/recursos/l841-00.upv.es/jbenitez/cajon_sastre/histed.BIBLIOGRFIA y y y y es.pdf .itesm. RESUMEN DE ECUACIONES YEHIDER ENRIQUE CASTRO GONZALEZ POFESOR ECUACIONES DIFERENCIALES FUNDACION UNIVERSITARIA TECNOLOGICO COMFENALCO PRODUCCION INDUSTRIAL IV 2010-02-09 .