Matemática na Babilônia e Antigo EgitoProf a Mônica Instituto de Ciências Exatas, Naturais e Educação UFTM Março de 2015 História da Matemática O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Introdução Vamos enfocar o sistema de numeração utilizado pelos escribas babilônios que habitaram a Mesopotâmia por volta de 2000 a 1600 a.E.C., durante o período babilônio antigo, sem nos preocuparmos com seus antecedentes, que remontam a épocas bem mais antigas. História da Matemática O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Introdução História da Matemática O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Introdução Como podemos observar, o número sessenta era representado pelo mesmo símbolo usado para representar o número um. Por isso dizemos que o sistema dos antigos babilônios usa uma notação posicional de base sessenta. Ou seja, é um sistema sexagesimal. Na verdade, eles usavam uma combinação de base sessenta e de base dez, pois os símbolos até cinquenta e nove mudam de dez em dez. Ainda hoje, o sistema que usamos para representar as horas, minutos e segundos é um sistema posicional sexagesimal. Assim, 1h 4min 23s é igual a 1 × 60 × 60 + 4 × 60 + 23 = 3863s História da Matemática O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Introdução Nosso sistema de numeração em base dez também é posicional. Temos símbolos diferentes para os números de 1 a 9, e o dez é representado pelo próprio 1, mas em posição diferente. Por isso dizemos que nosso sistema é um sistema posicional de numeração de base dez. Os egípcios, os gregos e os romanos, por exemplo, não adotavam sistemas posicionais. Seus sistemas eram aditivos, isto é, somavam-se todos os símbolos usados na representação de um número para se obter este número. Outra grande vantagem de um sistema posicional, como o nosso, é que nele é possível desenvolver algoritmos e cientes para realizar operações. História da Matemática além de uma parte inteira. História da Matemática . no número 125. no número decimal 125. 38 os algarismos 3 e 8 representam −1 3 × 10 + 8 × 10−2 . o 2 representa o 20 e o 5 representa o 5. contenha também uma parte fracionária. O mesmo é válido para um número que. Assim. o algarismo 1 representa 100. podemos escrever 125 = 1 × 102 + 2 × 101 + 5 × 100 .O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Introdução Em nosso sistema de numeração. Por exemplo. + −t + ... . + 0 100 + −1 10−1 + . . temos que: = n 10n + n−1 10n−1 + .. . ∈ N −t 10 r a a a nt a a História da Matemática . dado um número real qualquer. . . .O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Introdução r Generalizando. História da Matemática . a−1 a−2 . que é a representação decimal de r .O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Introdução Escrevemos. . + a−t 10−t + . é a parte fracionária de r. então. + a0 100 é a parte inteira e a−1 10−1 + . . . e dizemos que: r = an 10n + an−1 10n−1 + . . . . . . que: r = an an−1 an−2 . . . a0 . escrevemos: = n n + n−1 n−1 + .. + a0 b0 é a parte inteira e História da Matemática a b +.. . . + −t −t r ab a b ab a b Isto signi ca que an bn + an−1 bn−1 + . . Para isso.O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Introdução É possível representar o número real r em um sistema de numeração posicional cuja base é um número natural b diferente de 1. . + 0 0 + −1 −1 + . . . . O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Introdução a−1 b−1 + . na base b. História da Matemática . . . . a0 . como an an−1 an−2 . . . . Logo. a−1 a−2 . o número será escrito. + a−t b−t é a parte fracionária deste número. História da Matemática b.O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Introdução Qual a vantagem de se utilizar a base sessenta. um sistema sexagesimal? Introdução Uma das vantagens é que o número 60 é divisível por todos os inteiros entre 1 e 6. dado um número real representação de r r e um sistema posicional neste sistema é nita ou uma dizíma periódica se e somente se r é um número racional. ou aproximadas. ou seja. Os babilônios não conheciam representações sexagesimais in nitas. que podiam ser exatas. a . Em geral. Eles trabalhavam simplesmente com representações nitas. o que facilita o cálculo dos inversos multiplicativos dos números expressos nesta base. e não das unidades. que é um número usado para indicar também a posição vazia. em um primeiro momento. Observamos que a leitura mais fácil deve ser feita da direita para a esquerda e que este sistema dá margem a algumas ambiguidades. esta distinção não era feita.O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Introdução Uma importante característica do sistema posicional que usamos é o papel do zero. no caso dos Babilônios. Sabemos que 1 é diferente de 10 porque usamos o 0 para designar que o 1 está na posição das dezenas. Veremos que. História da Matemática . História da Matemática . para a separação entre a parte inteira e a parte fracionária. e o símbolo . como separador dos algarismos tanto da parte inteira quanto da parte fracionária.O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Introdução Usaremos o símbolo . O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Exemplo História da Matemática . que permitia determinar a ordem de grandeza dos números com que se lidava em cada problema. com duas cunhas.O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Ambiguidades Por exemplo. História da Matemática . este problema é resolvido unindo-se bem os dois símbolos. a diferenciação entre o número 1 e as potências de 60 dependia do contexto. para facilitar os registros. houve uma época em que se usava o símbolo de 1 com tamanho diferente para representar 60. Mas como diferenciar 1 de 60? Neste último caso. temos o número 2 ou o número 61. Quando os símbolos se tornaram padronizados. Na representação do número 2. que representavam cada uma delas o número um. História da Matemática . 1. 4321? (lembre-se de que eles não conheciam o 0). 1. 1. dado em nosso sistema.O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Exercícios 1 Como escrever os números 3601 e 7200 no sistema dos babilônios? 2 Escreva. 3 Escreva. 1. 9. 1. 1. 572. na base 60. 1 4 Como os babilônios representariam o número. 17. em nosso sistema decimal. 1 (c) 1. 15. 1. representados. o número representado em nossa base decimal por 234. por 0. no sistema de base 60. 4. os seguintes números. por: (a) 23. 45 (b) 1. 1. O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Operações Os babilônios sabiam. somar. 05 6 (vezes 25 é igual a) 2. . Um exemplo é como segue: 1 (vezes 25 é igual a) 25 2 (vezes 25 é igual a) 50 3 (vezes 25 é igual a) 1. 30 . subtrair. 40 5 (vezes 25 é igual a) 2. Eram feitos tabletes para auxiliar. dividir e extrair raízes quadradas. multiplicar. . 15 4 (vezes 25 é igual a) 1. História da Matemática . 38 − 40. 0. 37 com 7 × p. 5. que listavam os números e seus inversos multiplicativos. As divisões eram feitas com o auxílio de tabletes de inversos. 6. 30. 49. 4. ×p é su ciente somar 30 ×p A adição é feita de maneira análoga à nossa adição usual em base 10. 27. 15 = 1. 38. 3 2. 23. 59. Exemplos: (a) 1. História da Matemática . 50 (b) + 0. 30.O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia Operações Para calcular. 29. 13 = 2. por exemplo. subtração. há indícios de que os babilônios também calculavam potências e raízes quadradas. História da Matemática . O exemplo mais conhecido de cálculo de raízes quadradas pelos babilônios encontra-se no tablete YBC 7289. multiplicação e divisão.E. que eram registradas em tabletes.C. produzido entre 2000 e 1600 a.O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia O cálculo da raiz quadrada Além das operações de adição. O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia O cálculo da raiz quadrada História da Matemática . O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia O cálculo da raiz quadrada História da Matemática . O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia O cálculo da raiz quadrada História da Matemática . 51. de forma grosseiramente circular. tem um diâmetro de aproximadamente 7cm.O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia O cálculo da raiz quadrada O tablete. Perto de uma das diagonais. Como sempre. essencial no que expomos a seguir. História da Matemática . encontram-se os números 1. 25. 10 e 42. 30. Isso tinha de ser deduzido do contexto do problema. escrito no sistema sexagesimal babilônio. os números são escritos sem indicação de seus valores absolutos. 24. 35. Próximo a um dos lados do quadrado vemos o número. 51. Com efeito. 25. 24. 35.O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia O cálculo da raiz quadrada De acordo com Fowler e Robson. respectivamente. 35. 24. 51. os valores absolutos desses três números são. (Veri que!!!) História da Matemática . 1. 30. 10 e 42. 25. se multiplicarmos 1. 10 por 30 obtemos 42. 24. no História da Matemática . 35. a Assim.O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia O cálculo da raiz quadrada l = 30. a conclusão inevitável é que a diagonal é igual a l × 1. 10 em que l nosso caso 30( 1 2 ). 25. 10 encontra-se na tabela de coe cientes e é chamda de diagonal do quadrado. Assim. 24. usando diagonal constante 1. Segundo Fowler e Robson. o lado do quadrado. 51. d do quadrado é o lado do quadrado. obtemos sua d = 42. 51. História da Matemática . 24. 10) = 1. 51 √. 24. 10. 2 (1. 51.999998305 aproximação de que é uma boa 2. De fato.O sistema sexagesimal posicional na antiga Babilônia O cálculo da raiz quadrada Vemos portanto que os escribas babilônios sabiam que l ÷ d ≈ 1. traduzido usualmente da seguinte maneira: Procedimento: Adicionei a área e o lado de um quadrado: obtive 0. Qual o lado? História da Matemática .Problemas de segundo grau na Babilônia Versão em livros mais antigos Problema #1.45. 30 é o lado do quadrado.Problemas de segundo grau na Babilônia Versão em livros mais antigos Solução: 1 Tome 1 2 Fracione 1 tomando a metade 4 (: 0. 3 História da Matemática . 30 de 1 7 0. 15 a 0. 15) some 0. 30(: 0. 30 por 0. 30) multiplique 0. 45(: 1) 5 1 é a raiz quadrada de 1 6 Subtraia os 0. Problemas de segundo grau na Babilônia Versão em livros mais recentes Procedimento: A superfície e a minha confrontação acumulei: obtive 0. 45 (Estaria suposto que o objetivo era encontrar a confrontação .o lado) História da Matemática . 15 a 0.30) e retenha 0.15 3 agregue 0. obtendo 0.30 que você reteve 6 0.30 é a confrontação História da Matemática .Problemas de segundo grau na Babilônia Versão em livros mais recentes Solução: 1 1 é a projeção 2 quebre 1 na metade (obtendo 0.45 4 1 é o lado igual 5 retire do interior de 1 os 0.30. que chamaremos de 1 e l. l . obtendo 1. concretamente como um retângulo de lados Figura: Passo (1): Projeção do lado História da Matemática .Problemas de segundo grau na Babilônia Uma interpretação geométrica Primeiro se faz uma projeção do lado. o que permite interpretar a medida do lado procurado. Problemas de segundo grau na Babilônia Uma interpretação geométrica Figura: Enunciado: A superfície e a minha confrontação acumulei História da Matemática . Problemas de segundo grau na Babilônia Uma interpretação geométrica Figura: Passo (2): quebre 1 no meio História da Matemática . Problemas de segundo grau na Babilônia Uma interpretação geométrica Figura: Passo (2): quebre 1 no meio História da Matemática . 52. 28 por 19 é igual a 11. 51. 2 = 58. 1. 40 = 1. trabalhando no sistema sexagesimal dos babilônios. 7 48. 32 × 3. 25. 27. 36 48. usando o sistema sexagesimal dos babilônios. 59 História da Matemática . 32 × 3 = 2.Exercícios Exercícios 1 Veri que. 2 Veri que os resultados das operações indicadas. 59. 1 2 3 4 59. 2 = 2. 2. sem converter os números para a base 10. 12. 1 − 1. 64 2. 27 + 59. que o produto de 37. Operações e problemas no Antigo Egito Exemplo 1.6 Como repartir a quantidade de grãos contida em 5 sacos de feijão por 8 pessoas? História da Matemática . Operações e problemas no Antigo Egito Exercícios 1 Dividir 58 por 87. História da Matemática . 2 Expressar 3 7 como uma soma de frações com numerador 1. 1 7 dela adicionado.Operações e problemas no Antigo Egito A regra da falsa posição Exemplo 1.11) Uma quantidade. História da Matemática . com torna-se: 19. 11) Uma quantidade.Operações e problemas no Antigo Egito A regra da falsa posição Exemplo 1. 1 7 dela adicionado. Solução apresentada no Papiro de Ahmes /1 7 ˙ /7 1 Solução apresentada no Papiro de Ahmes 1 /2 ˙ 2 ˙ /4 ˙ /8 8 16 4 2 1 História da Matemática . com torna-se: 19. Exercícios Solução apresentada no Papiro de Ahmes /1 ˙ 8˙ 24 /2 ˙ 4˙ 42 /4 ˙ 92 História da Matemática . isto é preocupada em calcular comprimentos. o qual já conversamos quando discutimos a raiz quadrada. Para isso. Outro tablete YBC 7302.Conhecimentos Geométricos na Babilônia e no Egito Babilônia A Geometria era essencialmente métrica. em representação sexagesimal. áreas e volumes. Um dos mais famosos é o YBC 7289. 3 (a circunferência do círculo). sem que saibamos como chegaram a estes resultados. Cálculo de áreas na Babilônia Encontram-se em muitos tabletes problemas de geometria. encontramos os números. História da Matemática . eram utilizadas algumas propriedades geométricas de guras planas e de sólidos geométricos. 9 e 45 (a área do círculo). Conhecimentos Geométricos na Babilônia e no Egito Babilônia História da Matemática . assim. eles calculavam sua área usando o comprimento da circunferência. mesmo quando conheciam o diâmetro do círculo.Conhecimentos Geométricos na Babilônia e no Egito Babilônia Para os babilônios. Assim. o círculo era concebido como a gura limitada por uma circunferência. S = 2πr . . então. A é a área do círculo de circunferência S A = πr 2 . S r= Se e raio 2π A=π× S2 4π 2 = 1 4π S2 História da Matemática r . no sistema sexagesimal. teremos A= Como. de fato. a área do círculo do tablete foi encontrada dessa maneira. 1 12 1 12 S2 = 5. veremos que.Conhecimentos Geométricos na Babilônia e no Egito Babilônia Se zermos π = 3. História da Matemática . com bases retangulares ou triangulares. o de um cilindro circular reto e de prismas retos.Conhecimentos Geométricos na Babilônia e no Egito Babilônia Os babilônios calculavam volumes de vários sólidos. como. Os problemas que envolvem estes cálculos de volume são contextualizados em situações agrícolas. construções civil ou militar. ou outras atividades. muralhas e barragens e o número de operários necessários para construí-los. por exemplo. História da Matemática . São calculados os volumes dos muros. 45 aparecerá.Conhecimentos Geométricos na Babilônia e no Egito Babilônia.03. Em primeiro lugar. aparecerá.15 tal que 0. A altura era considerada implicitamente como igual ao diâmetro. a área.12 Procedimento para um tronco (cilíndrico) com 0.05 tal que 0.00. de forma circular: Triplique a linha divisória 0. basta multiplicar esta área da base circular pela altura.45 por 0.05 e terás 0.45. Em seguida.03. 05 de diâmetro. Combine (faça o quadrado) de 0. História da Matemática . calculava-se a área de uma seção transversal.15 aparecerá. A circunferência do tronco é 0. Multiplique 0. Exemplo 1.15.18. Conhecimentos Geométricos na Babilônia e no Egito Babilônia Na gura abaixo. tablete YBC 7290. vemos um trapézio. História da Matemática . então. e a base menor é igual a 2.20 (no sistema sexagesimal).Conhecimentos Geométricos na Babilônia e no Egito Babilônia Sua base maior e um dos lados são iguais a 2. 20 × 1 2 × (2. O escriba supõe que o trapézio é reto e. 20 + 2) História da Matemática . sua área é calculada fazendo: A = 2. a área de um retângulo era calculada multiplicando sua base por sua altura. o O problema n 6 do Papiro de Moscou ilustra bem o procedimento empregado: História da Matemática .A Geometria no Antigo Egito Falar de geometria no Antigo Egito é falar de procedimentos de cálculos de áreas e volumes. Por exemplo. Resultado 13. ˙ 4[da ˙ 2 largura] é [igual a] 3 para a largura. ˙ 4˙ até obter 1.13 ˙ 4˙ do Se lhe é dito. 13 Calcule [sua raiz quadrada]. Resultado 16. Resultado [:] 4 para o comprimento. Calcule com estes 12. um retângulo de área [igual a] 122 comprimento. ˙ Para o comprimento.A Geometria no Antigo Egito Exemplo 1. História da Matemática . Calcule 2 ˙ vezes. 14 Suponha que lhe é dito. isso é a área.A Geometria no Antigo Egito Exemplo 1. Multiplique 10 vezes 2. qual a área de um triângulo de lado 10 khet e base 4 khet? 1 400 ˙ 2 200 1 1000 2 2000 Sua área é 20 setat. História da Matemática . a m de obter seu retângulo. Retire 1 2 de 4. Subtraia 1 9 de 9 de 9.15 Fazer um celeiro (ou um cilindro) redondo de 9 por 10. o que vai ser igual a 8. 64. portanto.A Geometria no Antigo Egito Exemplo 1. História da Matemática . Multiplique 8 por 8 = 64 A área do círculo de base seria.