UNIVERSIDAD NACIONAL“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA II HIDRODINAMICA AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ 2010 I. INTRODUCCION HIDRODINÁMICA Estudia el movimientos de los fluidos, es decir, el flujo de los fluidos Este estudio se realiza describiendo las propiedades de los fluidos (densidad, velocidad) en cada punto del espacio en función del tiempo. I. INTRODUCCIÓN • La naturaleza del movimiento de un fluido real es muy compleja y no siempre puede ser estudiada de forma exacta mediante el análisis matemático. • Contrariamente a lo que sucede con los sólidos, las partículas de un fluido en movimiento pueden tener deferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. • Las ecuaciones básicas que nos permiten predecir el comportamiento de los fluidos son: A. El principio de conservación de masa, a partir del cual se obtiene la ecuación de continuidad. B. El principio de conservación de la energía. C. El principio de conservación de la cantidad de movimiento que nos permite determinar las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en movimiento. de manera que contenga la misma masa durante los cambios en condición. II. 2. Los contornos del sistema forman una superficie cerrada. El sistema puede contener una masa infinitesimal o una masa finita grande de fluidos de fluidos y sólidos a voluntad del investigador . SISTEMAS Y VOLUMENES DE CONTROL.1. Sistema Un sistema se define como una cantidad arbitraria de masa de identidad fija limitada por el entorno a través de una frontera. y ésta superficie puede variar con el tiempo. momento. 2. II. Volumen de control. Es una región fija en el espacio. SISTEMAS Y VOLUMENES DE CONTROL. La cantidad y la identidad de la materia en el volumen de control permanecen fijas .2. a través de cuyos límites puede fluir. masa. energía. El volumen de control puede ser de cualquier tamaño y forma. El límite del volumen de control se denomina superficie de control. etc. . De la misma manera las otras magnitudes tales como la densidad. Flujo permanente. es decir ser variable respecto de las coordenadas. Por lo tanto.1. la presión y la temperatura no varían con el tiempo. FLUJO DE FLUIDOS 3. pero puede variar de un punto a otro. la velocidad de las sucesivas partículas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma. Un flujo es permanente cuando las propiedades del fluido y las condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo. esto es / t 0 p / t 0 T / t 0 Un ejemplo lo constituye el flujo de un líquido a través de una tubería larga recta de sección constante y a caudal constante. En un punto cualquiera del fluido. III. la velocidad es constante respecto del tiempo. TIPOS DE FLUJO DE FLUIDOS 3. es decir v / t 0 Un ejemplo de éste tipo de flujo lo constituye el movimiento de un fluido a través de una tubería de sección constante pero a caudal variable .2.p / s 0 III. Flujo no permanente. Un flujo es no permanente cuando las propiedades del fluido y las condiciones en cualquier punto cambian con el tiempo. Un flujo de fluidos es uniforme cuando en cualquier punto del fluido el vector velocidad es idéntico. la dirección y el sentido en un instante dado.p / s 0 III. esto se expresa mediante: v / s 0 Esto significa que las otras magnitudes físicas del fluido no varían con las coordenadas espaciales o bien / s 0 p / s 0 Un ejemplo lo constituye el movimiento de un fluido bajo presión a través de tuberías de sección constante y gran longitud.3. . Flujo uniforme. es decir con igual módulo. TIPOS DE FLUJO DE FLUIDOS 3. III. presión.4. Varía de un punto a otro en la región del fluido.es decir v / s 0 De igual forma las otras variables como la densidad. cuando el vector través de una tubería de velocidad en un instante sección variable dado de un punto a otro. / s 0 p / s 0 . Flujo no uniforme • Un ejemplo es el Se dice que un flujo es no movimiento de un fluido a uniforme. etc. TIPOS FLUJO DE FLUIDOS 3. Flujo laminar. En el flujo laminar se cumple la ley de Newton de la viscosidad dad por v / y Turbulento Laminar . deslizándose una capa sobre la otra adyacente. Un flujo es laminar cuando las partículas del fluido se mueven a lo largo de trayectorias lisas en capas o láminas.5. III. TIPOS FLUJO DE FLUIDOS 3. Flujo turbulento En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven siguiendo trayectorias irregulares originándose un intercambio de cantidad de momentum molecular.6. . III. Es un ejemplo la cascada de un río. TIPOS FLUJO DE FLUIDOS 3. III. Tipos de Flujos de fluidos Flujo laminar Ocurre cuando las moléculas de un fluido en movimiento siguen trayectorias paralelas Flujo turbulento Ocurre cuando las moléculas de un fluido en movimiento siguen trayectorias erráticas . también se puede considerar como incompresible . Sin embargo. como el flujo atmosférico. TIPOS DE FLUJOS DE FLUIDOS FLUJO INCOMPRESIBLE Aquel en el cual la densidad de cada una de las partículas del fluido permanecen relativamente constantes mientras se mueve por el campo de flujo d 0 dt En este tipo de flujo se encuentran el movimiento de los líquidos. III. algunos flujos gaseosos de baja velocidad. Movimiento aerodinámico de un avión de alta velocidad . Es decir la presión y la temperatura cambia con la densidad d 0 dt Un ejemplo de este tipo de flujo es el movimiento de masas de aire como los huracanes. III. TIPOS DE FLUJOS DE FLUIDOS FLUJO COMPRESIBLE En general todos los fluidos son compresibles en menor o mayor grado. La viscosidad es el rozamiento interno entre partículas que componen el fluido. . FLUJO NO VISCOSO: Es aquel en el cual se desprecian los efectos de la viscosidad. III. TIPOS DE FLUJOS DE FLUIDOS FLUJO VISCOSO: Es quel flujo en el cual la viscosidad no pueden despreciarse. TIPOS DE FLUJOS DE FLUIDOS FLUJO ROTACIONAL. III. FLUJO IRROTACIONAL. . Son ejemplos de este tipo los huracanes. Aquel flujo que presenta vórtices. vy y vz en direcciones perpendiculares son funciones del tiempo y de las coordenadas espaciales. presión. En un flujo unidimensional se desprecian las variaciones de la velocidad. no hay cambios en el flujo en la dirección normal a dichos planos.8 Flujo bidimensional. El flujo a través de una tubería se puede considerar unidimensional. densidad. transversales a la dirección principal del movimiento del fluido.7. Es aquel tipo de flujo general en el que las componentes de la velocidad vx . . 3.9 Flujo tridimensional. Flujo unidimensional. Es un ejemplo el movimiento de un líquido a través de un vertedero. En este flujo se supone que todas las partículas siguen trayectorias idénticas en planos paralelos. 3. por lo tanto. FLUJO DE FLUIDOS 3. III. Debe ser de régimen estacionario d. VI. Debe ser un flujo irrotacional . b. En el estudio del movimiento de fluidos en muchos casos se puede considerar como un flujo de fluidos ideal a aquel que cumple con las siguientes características: a. FLUJO IDEAL. c. El fluido debe carecer de viscosidad o rozamiento interno. El fluido debe ser absolutamente incompresible. V. . Debe observarse que la tangente en un punto a la línea de corriente nos da la dirección instantánea de la velocidad de las partículas del fluido. en dicho punto. LINEA DE CORRIENTE Las líneas de corriente son líneas imaginarias dibujadas a través de un fluido en movimiento y que indican la dirección de éste en los diversos puntos del flujo de fluidos. V. . cuando ocurre produciría un flujo inestable y turbulento. Líneas de corriente Dos líneas de corriente nunca se cruzan entre si. entonces en la dirección perpendicular a la línea de corriente no existe flujo. VI. En la Figura.LINEA DE CORRIENTE Debido a que la velocidad en dirección normal a la línea de corriente no existe. se muestra la forma de algunas líneas de corriente al colocarse diversos sólidos del flujo de fluidos . TUBO DE CORRIENTE Es la parte de un fluido limitado por un haz de líneas de corriente. De igual forma ninguna partícula exterior al tubo de corriente puede ingresar al interior del tubo. Todas las partículas que se hallan en una sección de un tubo de corriente. VI. . al desplazarse continúan moviéndose por su sección sin salirse del mismo. como se muestra a través del tubo para un flujo permanente.VII. unidimensional y compresible. nos da la ecuación de continuidad. el área de la sección es A1 y la densidad ρ1. La aplicación del principio de conservación de masa a un flujo de fluidos permanente y unidimensional. mientras que en la sección (2) el área de la sección es A2 y la densidad es ρ2. Consideremos un sistema físico conteniendo una determinada cantidad de masa de fluido limitada por un tubo de corriente. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. en un tubo de corriente. Cerca de la sección (1) del tubo. en tanto que la superficie de control coincide con las paredes del tubo . El volumen de control está representado por las letras I y R. de tal forma que según el principio de conservación de masa del sistema se tiene que Masa del fluido en las masa del fluido en las zonas I y R en un zonas O y R en un tiempo t tiempo t dt Es decir: mI mR t mO mR t dt Para el caso de un fluido permanente las propiedades del fluido en puntos del espacio no son funciones del tiempo. de tal forma que mR t mR t dt . VII. De la figura puede verse que en un tiempo t el sistema está compuesto por el fluido dentro del volumen de control (I + R). ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. en un tiempo t + dt el sistema se mueve corriente abajo. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. VII. el régimen de de la sección y el desplazamiento flujo de masa que pasa a de la masa del fluido. es decir través de todas las secciones de un tubo de 1 A1dS1 2 A2 dS 2 corriente. la misma que fácilmente en función de otras expresa: en un flujo variables como la densidad. m Av Cte 1 A1 (dS1 / dt ) 2 A2 (dS2 / dt ) o 1 A1v1 2 A2 v2 d Av 0 . es constante. que se mI t mO t dt le conoce como Régimen de flujo de masa y constituye la llamada ecuación de la Estos dos términos se expresan continuidad. el área permanente. Por lo tanto Es a la cantidad m Av. VII. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. Por otro lado si se multiplica a la A la cantidad Q se le llama ecuación de continuidad por la Caudal o gasto o régimen de flujo aceleración de la gravedad local volumétrico o volumen por g se obtiene el flujo ponderal (G) unidad de tiempo que pasa a través de un área del tubo de G mg Av flujo, cuyas unidades son m3/s. Para flujos bidimensionales el Para el caso en el cual el fluido régimen de flujo se expresa por es incompresible la densidad así unidad de distancia perpendicular como el peso específico se normal al plano del flujo, la mantiene constante. Entonces la ecuación de continuidad, se ecuación de la continuidad se escribe G hv expresa en la forma Q Av Cte b VIII. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE EULER. Otra de las ecuaciones que describen el movimiento de fluidos es la ecuación de Euler, la ecuación de Bernoulli, la ecuación de la energía. La ecuación de Euler no es más sino la aplicación de la segunda ley de Newton al movimiento de las partículas de un fluido VIII. Ecuación de Euler Fuerzas debido a la presión F1 pdA; F2 ( p dp)dA Fuerzas debido al peso dW g dA dS sen Aplicación de la segunda ley de Newton Ft m.at F1 F2 dW Sen dm at dv p dA p dp dA g dA dS Sen dA dS dt dp g dA dSSen dA v dv la ecuación anterior se escribe dp g dz v dv • Para fluidos incompresibles dp v 2 d dz 0 2g • O para el caso de flujos cuya densidad es uniforme p v 2 d z 0 2g . Ecuación de Euler • Teniendo en cuenta que dz = dS sen. VIII. XI. Ecuación de Bernoulli Es una ecuación fundamental de la mecánica de los fluidos ideales y constituye una expresión del principio de conservación de la energía. la energía debida a la presión y la energía potencial gravitatoria debida a la elevación. Se obtiene integrando la ecuación de Euler. esto es 2 2 2 p v p1 v z1 1 p2 v z2 2 z H Cte 2g 2g 2g . Se considera que en el flujo existen tres tipos de energía: la energía cinética debida al movimiento. La ecuación de Bernoulli. revela además que las cantidades p/γ. . VIII. • La ecuación de Bernoulli. v2/2g y z son distancias verticales. la magnitud de la velocidad v y la altura z sobre el plano de referencia. la carga de presión (p/γ) así como la carga de altura z siempre permanece constante. se aplica a todos los puntos de la línea de corriente y provee una relación útil entre la presión p. A la cantidad H se le denomina carga total. LA ECUACIÓN DE BERNOULLI. El experimento de Pitot demuestra que la suma de las cargas de velocidad (v2/2g). La ecuación de la hidrostática. IX. 1.h z1 1 z2 2 2g 2g Como el depósito está abierto sobre la superficie libre del fluido actúa la presión atmosférica p0. Así mismo. v1 y v2 son nulas. APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI. p1 p0 Para determinar la ecuación 0 z1 0 z2 hidrostática se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 p1 p0 z2 z1 de la p1 v 2 p2 v 2 p1 p0 . debido a que el fluido está en reposo. con lo que la ecuación anterior se escribe . la ecuación anterior se escribe. Permite determinar la velocidad p0 v12 p0 v22 de salida de un fluido a través de z1 z2 una boquilla. APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI. 2. . Teorema de Torricelli. Se aplica la 2g 2g conservación de masa v22 v12 2 g z2 z1 A1v1 A2v2 v22 v12 2 gh La ecuación de Bernoulli nos da p1 v12 p2 v22 z1 z2 2g 2g Debido a que las presiones en los puntos 1 y 2 son las mismas esto es la presión atmosférica p0. de tal forma que v2 2 gh . 1 A1 / A2 2 2 En general el área de la tobera A2 es mucho menor que el área de la sección transversal del depósito A1.. En otras palabras la A1 energía potencial de la superficie libre se convierte en energía 2 gh v cinética del chorro. APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI. Teorema de Torricelli. 2. Esta ecuación indica que la velocidad de descarga es igual a De las ecuaciones anteriores se la velocidad que alcanzaría una tiene partícula cayendo libremente sin A 2 fricción desde el punto 1 hasta el v22 1 2 2 gh punto 2. Entonces menor. si v1 es mayor que v2. uniéndolas. es Supongamos que tenemos un flujo posible solo si p2 es mayor que p1. con lo que se tiene A este fenómeno se le conoce 2 2 como efecto Venturi. . 2. lo que a su vez. la presión es del fluido en movimiento. donde la significativas de energía potencial velocidad sea mayor. en el cual no existen diferencias En términos más simples. Efecto Venturi En consecuencia. La velocidad del aire 2 entre las hojas será mayor que en En esta expresión. APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI. las caras externas y por tanto la entonces también lo es v2 v1 2 2 presión en las caras externas será mayor. en la ecuación de Bernoulli se puede considerar que z1 = z2 = 0. ( p1 p2 ) es negativo. p v p v 1 1 2 2 2g 2g Este efecto se aprecia con gran De donde facilidad al soplar entre dos hojas 1 de papel separadas unos cuantos p1 p2 v22 v12 centímetros. Efecto venturi El mismo efecto se observa cuando se sopla por la cara superior de una hoja dispuesta horizontalmente. . este ejemplo explica el porqué los techos arrancados de las casas con puertas y ventanas bien cerradas en un día de viento de gran intensidad. levantándola. a su vez. Otro ejemplo interesante lo constituye una pelota golpeada de manera que se roto traslade como se observa en la Figura que representa una mirada desde arriba. •P . •Se tiene Pinterior •P > Pinterior Velocidad •por lo tanto el vehículo más del aire pequeño es atraído hacia el más grande. Esto es más manifiesto si uno de los vehículos es mucho más pequeño que el otro.Algunas explicaciones a partir del efecto Venturi •En una carretera. si dos vehículos pasan cerca. en el espacio entre ellos el aire se mueve a gran velocidad respecto a los vehículos. por lo tanto en esa zona disminuye la presión del aire y con ello se justifica que los vehículos se atraen entre sí. Tubo Venturi • Este medidor mostrado en la figura consiste en un tubo con un estrechamiento en forma gradual y un aumento también gradual practicado con la finalidad de evitar la formación de remolinos de tal manera que no se produzca remolinos quedando de esta forma asegurado un régimen estacionario (permanente). . para mismo nivel horizontal por lo ello se aplica la ecuación de que continuidad entre los punto 1 y 2 p1 v12 p2 v22 2g 2g A1v1 A2 v2 A2 v2 v2 v v 2 2 1 1 2g p p 1 2 A1 Por otro lado aplicando la • Combinando las ecuaciones 1 y 2 ecuación de Bernoulli entre los 2 g p1 p2 puntos 1 y 2 se tiene v2 2 2 A2 2 p1 v p2 v 1 z1 1 z2 2 A1 2g 2g . Tubo Venturi Para determinar el caudal en • Observando la figura se ve que primer lugar se determina la z1 y z2 se encuentran en un velocidad de flujo del fluido. Tubo Venturi La diferencia de presiones se Entonces el caudal Q o régimen determina a partir de las de flujo volumétrico se expresa lecturas de los piezometros. es decir en la forma Q A1v1 A2v2 p1 p0 h1 2 gh p2 p0 h2 Q A1 A2 A1 A2 2 2 p1 p2 h Entonces la velocidad se expresa en la forma 2 gh v2 A 2 1 2 A1 . Tubo de Venturi . Tubo de Venturi . consiste en un tubo determina del manómetros manométrico abierto e que va p2 p1 Hg h conectado a una tubería que lleva un fluido como se muestra 2 g Hg h en la Figura v p1 v 2 p2 v 2 z1 1 z2 2 2g 2g p1 v2 p2 0 0 0 2g 2g 2 g ( p2 p1 ) v . Tubo de pitot • Este dispositivo se utiliza para medir la velocidad del flujo de • La diferencia de presiones se un gas. gif 44 .wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Staudruck-Differenz-Messeinrichtung-prinzipiell-bewegt. •Tubo de pitot •http://upload. Tubo de Pitot •Sifones •Sifones 1 1 P0 gy0 v 0 PC gyC v C2 2 2 2 1 1 g 0 0 Patm gyC v C2 2 Patm 2 2 v C 2gyC El aire se mantiene a una presión manométrica p = 5 lb/pulg2. ¿Cuál es la velocidad del agua que sale si se ignora la fricción y la energía cinética del fluido por encima de la elevación A? El chorro de agua que sale tiene un diámetro d = 1 pie. . EJEMPLO 01 Un tanque cilíndrico contiene aire. aceite y agua. Si no se tiene en cuenta la fricción.80 y agua. aceite liviano con una densidad relativa de 0. EJEMPLO 02 Un tanque grande contiene aire comprimido.68. gasolina con una densidad relativa de 0. ¿Cuál es el régimen de flujo de masa m . La presión manométrica del aire es p = 150 kPa. Determine la lectura del manómetro en U si la densidad del mercurio es 13600 kg/m3. EJEMPLO 03 A través de la tubería mostrada en la figura fluyen trescientos litros por segundo de un líquido con peso específico de 8 kN/m3. . . EJEMPLO 04 Calcular el caudal ideal a través del sistema de tuberías mostradas en la figura. EJEMPLO 05 A través de la tubería mostrada fluye gasolina cuza densidad relativa es 0. .85. (b) El régimen de flujo de masa. Determine: (a) La lecturas de los medidores de presión. EJEMPLO 06 A través del tubo vertical circula agua en forma permanente z luego entra en la región anular entre las placas circulares mostradas. Si no se tiene en cuenta la fricción. ¿Cuál es el caudal de agua a través de la tubería si la presión manométrica en el punto A es 69 kPa?. Luego se mueve radialmente. . saliendo como una lamina libre. ¿Cuál es la mayor área A2 que hará que se aspire agua por la abertura del piezómetro?. Desprecie los efectos de compresibilidad. EJEMPLO 07 Para un régimen de flujo de aire de 2 m3/s de aire cuyo peso especifico es 12 N/m3. . Determine el régimen de flujo volumétrico . EJEMPLO 08 A través de la tubería mostrada en la figura fluye agua. Si la velocidad del agua en la posición 1 es v1 = 1.4 lb/pie3 y la densidad relativa del mercurio es 13.6. Considere que el peso específico del agua es 62. ¿Cuál es la lectura h del manómetro?. EJEMPLO 09 Los dos fluidos de a figura se encuentran a 20°C.7 pies/s y se desprecian las pérdidas. . EJEMPLO 10 A través del sistema de tuberías fluye agua. Determine: (a) la altura H(m) y (b) la lectura del medidor de presión p(kPa). . (b) cuando el tubo del pitot está en la sec. (a) usando el diagrama como se muestra. EJEMPLO 11 En esta tubería fluye agua a razón de tres décimos de metro cúbico por segundo. Calcular la lectura del manómetro. . 2 y la conexión de presión estática está en la sección 1. produciendo una fuerza resultante dirigida hacia arriba. Sustentación del ala de un avión • Este principio explica el vuelo de los aviones. Luego. llamada fuerza ascensional o de sustentación. la presión encima del ala es menor que la presión debajo de ella. . ya que la forma y la orientación de las alas permiten que el aire pase con mayor velocidad por la parte superior que por la inferior de éstas. Es decir F 2g v1 v 2 v1 v2 p1 p2 • La fuerza d sustentación F F2 F1 ( p2 p1 ) A . Sustentación del ala de un avión • Esta distribución de las Aplicando 2 la ec de Bernoulli 2 p v p v líneas de flujo nos induce a 1 1 z1 2 2 z2 pensar que es semejante a 2g 2g 2 2 un venturímetro en donde la parte inferior (punto 1) es la p2 p1 2g v1 v2 z1 z2 A 2 2 garganta del venturímetro y el punto 2 la parte ancha de dicho tubo. Se ve entonces que la ecuación de Bernoulli es equivalente a la ecuación trabajo–energía de la mecánica para el flujo de un fluido ideal. el trabajo realizado y la energía transmitida. LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA. • La aplicación de los principios de trabajo-energía al flujo de fluidos produce una valiosa relación entre las propiedades del fluido. . Ep del sistema. y las zonas R y O en el tiempo t + dt. LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA. . produce un cambio equivalente en la suma de las energías cinéticas. Ek y potencial. Consideremos la sección de un tubo de corriente diferencial como se ve en la figura y el sistema fluido que ocupa las zonas I y R del volumen de control en el tiempo t. Para un fluido permanente la ecuación de la continuidad establece (ρ = cte). esto es en un tiempo dt. La relación trabajo-energía establece que el trabajo dW (expresado como una fuerza actuando a distancia) realizado sobre un sistema. • La energía en el instante t será • De igual forma la energía en el instante t es • El trabajo de flujo • El remplazo de ecuaciones conduce a . LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA. pero esta vez utilizando las ideas energéticas por lo que ésta se constituye en a Ecuación de la energía mecánica • Si al sistema se añade o extrae energía se tiene • La potencia viene expresada por . • Reacomodando términos se tiene • Una vez más se ha obtenido la ecuación de Bernoulli. LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA. Donde: es el factor de corrección de la energía cinética cuyo calor es aproximadamente de 2 para un flujo laminar y de 1. Cuando se considera las perdidas en las tuberías por la fricción se usa la ecuación.04 a 1.LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA. Todos los términos referidos a la ecuación tienen dimensiones de longitud .11 para el flujo turbulento. Los términos son todos positivos. 356 W PA = es la potencia agregada al fluido 1hp 745. • La potencia se calcula mediante la multiplicación de la energía transferida por newton de fluido por el flujo en peso. Es decir. PA hAW EAQ • Donde: 1hp 550lb. pie / s 1. 7 W = peso específico del fluido Q = es el flujo volumétrico . pie / s 1lb. POTENCIA REQUERIDA POR LAS BOMBAS • Se define como la rapidez a la cual se realiza trabajo. • En mecánica de fluidos la potencia es considerada como la rapidez con la que se transfiere la energía. • Debido a las pérdidas por fricción mecánica en los componente de la bomba. EFICIENCIA MECÁNICA DE LAS BOMBAS • Se usa para denotar la relación de la potencia transmitida por la bomba al fluido a la potencia que se suministra a la bomba. Potencia transmitida al fluido PA Potencia de entrada a la bomba PI . la eficiencia se expresa. turbulencia. fricción del fluido. . ¿Cuál es la potencia requerida por la bomba?. y sale a través de una boquilla para formar un chorro libre. Ejemplo 01 • Dentro de un tanque grande se encuentra agua con una presión manométrica de 35 kPa en su superficie libre. El agua se bombea a través de una tubería como se muestra en la figura. La turbina tiene una eficiencia de 90%. Ejemplo 02 • Determine la potencia producida por la Turbina mostrada en la figura para una razón de agua dulce de 0. .6 m3/s. Ejemplo 03 • Calcular la potencia de la bomba. si a través de ella existe un flujo de agua . EJEMPLO 04 • Cuando la bomba mostrada en la figura proporciona un caudal de 220 m3/h de agua a temperatura ambiente de 20°C desde el depósito.m/N. (a) ¿Cuál es la potencia en kilowatios (kW) que la bomba proporciona al agua?. la pérdida total de carga por ficción es 5 N. (b) ¿Cuál sería la potencia si eficiencia de la bomba es 82%? . Si el flujo se descarga a la atmósfera a través de una tobera de 5 cm de diámetro. pie/lb. Considere que el peso específico del agua es 62. Si la pérdida total de carga por fricción es de 5 lb. ¿Cuál debe ser la potencia en la bomba?. EJEMPLO 05 • Si a través de la bomba que se muestra en la figura debe circular 10 pie3/s.4 lb/pie3 y que el rendimiento de la bomba es 82% . pie/lb?. ¿Qué potencia en hp debe transmitir la bomba al fluido.089 pies3/s de fluido con peso específico de 60 lb/pie3. (considere que 1 hp = 550 lb. EJEMPLO 06 • Si la bomba mostrada en la figura impulsa 0.40 lb.pie/s) . si entre los puntos 1 y 2 hay una pérdida de energía de 3. ¿Cuál será la lectura h del manómetro en pies?. La pérdida de carga entre los puntos 1 y 2 es de 8 pies y la bomba proporciona al flujo 8 hp de potencia.3 m/s.4 lb/pie3 y 1 hp = 550 lb. EJEMPLO 07 • La bomba mostrada en la figura mueve querosene a 20ºC a 2. la densidad del agua 62.pie/s . Considere que la densidad relativa del kerosene es 0.804. según se representa en la figura. . ¿a qué potencia se requiere que funcione la bomba?.025) mediante un tubo sumergido y la descarga a través de una tobera. La pérdida total de carga es de 6. EJEMPLO 08 • Una bomba de bomberos saca agua de mar (DR = 1. Si el rendimiento de la bomba es 75%.5 pies. Estime la potencia en kilovatios: (a) extraida por la turbina y (b) requerida por la bomba . Para un caudal de diseño de 15000 gal/min en cada reacción . EJEMPLO 09 • El sistema bomba turbina mostrado en la figura admite agua del depósito superior para proporcionar energía a la ciudad. Por la noche bombea agua del depósito inferior al superior para restablecer la situación anterior. la pérdida de carga por fricción es de 17 pies. EJEMPLO 10 • A través de la tubería esta fluyendo 120 l/s de combustible jet (JP-4). Calcular la potencia de la bomba. . EJEMPLO 11 • A través de la tubería esta fluyendo 28 l/s de agua. . Calcular la potencia de la bomba. Segundo. • . son necesarias para encontrar los principales modelos que rigen el comportamiento de los fluidos en movimiento. FLUIDOS REALES Muchas de las restricciones que hemos considerado. porque proporcionan aproximaciones suaves al comportamiento de los fluidos reales Una aproximación mejor sería si se tiene en cuenta: Primero: considerar la resistencia que experimenta el fluido al desplazarse dentro de los tubos (viscosidad). a través de un coeficiente sencillo denominada numero de Reynolds. en muchos casos es necesario abandonar estas restricciones. Sin embargo. evaluar hasta que punto un fluido se comporta de manera laminar. FLUIDOS REALES: Viscosidad Flujo laminar aquel movimiento regular en el que las partículas del fluido parecen deslizar unas sobre otras en capas o láminas. Para determinar la viscosidad consideremos el flujo laminar de un fluido real que está confinado a moverse entre dos placas de extensión infinita . Flujo turbulento es un movimiento caracterizado por la aleatoriedad del movimiento de las partículas observándose remolinos de varios tamaños. En un intervalo de tiempo Δt. dv y M’ es l vt • dt dy . La rapidez v de deformación está dada por t y d rapidez de deformación lim Si el fluido es newtoniano. el resulta elemento se deforma tal como se vt y muestra en la figura. FLUIDOS REALES: Viscosidad El esfuerzo cortante será Para ángulos pequeños la distancia Δl puede expresarse F dF lim l y A0 A dA Igualando las ecuaciones. el t 0 t dt esfuerzo cortante es proporcional a la rapidez de La distancia Δl entre los puntos M d deformación. . Si se utiliza un perfil lineal velocidades en el aceite.005 mm.07 N/m2. Considere que la viscosidad del aceite es 0. Ejemplo • Un bloque de 1000 N de peso y 200 mm de lado desliza hacia abajo en un plano inclinado sobre una película de aceite con un espesor de 0. Determine la velocidad terminal de bloque.. Ejemplo • Un cilindro de 149.5 mm de diámetro y 150 mm de longitud cae por su propio peso con una velocidad constante de 46 mm/s. dentro de un tubo vertical lubricado de 150 mm de diámetro interno. La holgura que se supone. está llena de aceite. Determine la viscosidad del aceite. Suponiendo que la distribución de velocidades en la película de aceite es lineal. . Un flujo así se denomina turbulento. cesa el sentido de líneas separadas nítidamente. que dan lugar a un gran aumento de la resistencia al movimiento. que forman una capa denominada capa límite. Existe una velocidad crítica. Entonces se observa que sólo las líneas de flujo muy cercanas a las paredes. NÚMERO DE REYNOLDS. . denominadas vórtices. En el interior del fluido se originan corrientes circulares aleatorias locales. conservan las propiedades del flujo laminar. después de la cual el fluido deja de comportarse en forma laminar. Más allá de la capa límite el movimiento es muy irregular. que matemáticamente está expresado mediante la ecuación Donde v es la velocidad del fluido. Existe un parámetro asociado a la turbulencia. η es su coeficiente de viscosidad dinámico. ρ es su densidad. NÚMERO DE REYNOLDS. r es una longitud asociada al flujo como por ejemplo el radio del tubo. cuando el flujo es en un tubo . denominado Número de Reynolds. • Si la sección del tubo es circular. Como consecuencia de esto. MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS. Dada la naturaleza de los efectos de la viscosidad. Las paredes del tubo ejercen una fuerza resistente sobre las capa más externas del fluido. que a su vez actúa sobre la capa más inmediata y así sucesivamente. la distribución de velocidades es parabólica . resulta evidente que la velocidad de un fluido viscoso que pasa a través de un tubo no es la misma en todos los puntos de una sección transversal. la velocidad es máxima en el centro del tubo y disminuye hasta ser nula en las paredes. Para calcular la velocidad en un fluido viscoso consideremos una porción de tubo de radio R y longitud L. MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS. Considere además que el movimiento del fluido es de izquierda a derecha debido a la diferencia de presiones (p1 – p2). Separemos ahora mentalmente una capa cilíndrica de fluido de radio interno r y espesor dr tal como se muestra . MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS. • En la parte interior de la capa actúa una fuerza de rozamiento • La fuerza resultante debido a la viscosidad será • Por la parte exterior de la capa actúa una fuerza de rozamiento dirigida en sentido contrario a la fuerza f (la fuerza f acelera el movimiento de la capa y la fuerza f1 lo frena . Esta fuerza en estado de régimen estacionario debe ser igual a la fuerza debido a la diferencia de presiones. esto es Igualando las fuerzas debido a la fricción y las debido a la presión Integrando en forma indefinida la ecuación anterior. Como la velocidad es máxima en el centro del tubo. MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS. el valor de . resulta • . será negativo y la fuerza será positivo. MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS. el valor de C es nulo por lo que la ecuación se escribe • Remplazando la velocidad • Integrando nuevamente • El volumen total que sale es • Ley de Poiseuille . entonces. es nulo. • Debido a que en el centro del • El volumen que sale del tubo es tubo r =0. .s. en función de la altura h de este nivel sobre el tubo capilar. Ejemplo • Un recipiente cilíndrico de radio R = 2 cm tiene en su pared lateral un orificio en la cual va montado horizontalmente un tubo capilar de radio interior r = 1 mm y longitud l = 2 cm. Este recipiente contiene aceite de ricino cuya viscosidad dinámica es 12 g/cm. Hallar la variación de la velocidad V. Calcular el valor numérico de esta velocidad cuando h = 26 cm. con que desciende el nivel del aceite en el recipiente. Ley de Stokes • Si un cuerpo esférico se mueve en un • Al principio la esfera acelera pero fluido experimenta una fuerza “ley de después de cierto tiempo alcanza una Stokes” velocidad límite a partir de la cual se mueve uniformemente. Entonces • Cuando la esfera se mueve dentro de un fluido como se muestra • De donde se tiene . Una bola emerge con velocidad constante de un líquido cuya densidad es 4 veces mayor que la del material de que está hecha la bola. Una bolita de acero de 1 mm de diámetro cae con la velocidad constante de 0.185 cm/s en un gran recipiente lleno de aceite de Ricino. Ejemplos 1. . Hallar la viscosidad dinámica del aceite de Ricino. 2. ¿Cuántas veces es mayor la fuerza de rozamiento que actúa sobre la bola que emerge que el propio peso de éste?.