Hidraulica de Tuberias y Canales - Arturo Rocha

HIDRAULICA DETUBERIAS Y CANALES i ii Arturo Rocha Felices HIDRAULICA DE TUBERIAS Y CANALES iii CONTENIDO Presentación v Prólogo vii Palabras Preliminares del Autor ix Indice de Figuras xvi Indice de Tablas xxi Lista de Símbolos Principales CAPITULO I xxiii INTRODUCCION 1.1 Objetivo del libro 1 1.2 Esquema del contenido general 1 1.3 Diferencias entre canales y tuberías 3 1.4 Tipos de flujo 4 1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía 7 1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal 9 1.7 Efecto de la viscosidad 11 1.8 Efecto de la gravedad 15 1.9 Concepto de distribución de velocidades 15 1.10 Coeficiente de Coriolis 21 1.11 Coeficiente de Boussinesq 23 1.12 Discusión de los valores de 1.13 Relación entre los coeficientes α y β α y 24 1.14 β Otros estudios sobre los coeficientes α 1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal Problemas propuestos 25 y β 27 32 38 xi CAPITULO II MOVIMIENTO UNIFORME 2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías 43 2.2 Relación entre el corte y la inclinación 46 2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para un canal muy ancho con movimiento laminar 2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para una tubería con movimiento laminar 2.5 69 Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso 2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en 75 2.9 Obtención de la ecuación de Chezy 76 2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugosos 79 Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl 82 Problemas propuestos III 72 conductos rugosos 2.11 CAPITULO 62 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos lisos 2.7 55 Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso 2.6 52 87 LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL MOVIMIENTO UNIFORME 3.1 Ecuación de Darcy 3.2 Significado del coeficiente 3.3 Tuberías hidráulicamente lisas 3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico de 91 f de Darcy ( en tuberías circulares) 95 Nikuradse 3.5 Introducción del coeficiente 98 f de Darcy en las ecuaciones de distribución de velocidades 3.6 3.8 xii 101 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de Colebrook - White 3.7 94 103 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales. Errores 104 Tuberías de sección no circular 109 3.9 Ley exponencial de distribución de velocidades 111 3.10 Concepto de capa límite 121 3.11 Espesor de la capa límite 123 3.12 Desarrollo de la capa límite 125 3.13 La separación. Expansión de un conducto 126 Problemas propuestos CAPITULO IV DISEÑO DE TUBERIAS 4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y línea piezométrica 135 4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo 138 4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento) 150 4.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales 163 4.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar) 166 4.6 Sistemas hidráulicos equivalentes 168 4.7 Tuberías en serie 170 4.8 Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación 174 4.9 Tubería con boquilla convergente final 177 4.10 Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo 180 Problemas propuestos CAPITULO V 130 186 DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES 5.1 Tuberías en paralelo 193 5.2 El problema de los tres reservorios 199 5.3 Bombeo de un reservorio a otros dos 205 5.4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente 210 5.5 Conducto que da servicio (filtrante) 211 5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo 215 5.7 Fórmula de Hazen y Williams 218 5.8 Diseño de una conducción 223 5.9 Diámetro más económico 228 5.10 Redes de tuberías. Método de Hardy Cross 229 Problemas propuestos 237 Problemas complementarios 249 xiii CAPITULO VI CALCULO DE CANALES 6.1 Condiciones normales 257 6.2 Fórmulas antiguas 260 6.3 Fórmula de Manning 265 6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad n a emplearse en la fórmula de Manning 271 6.5 Determinación de la sección transversal 272 6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.) 281 6.7 Concepto de borde libre 288 6.8 Cálculo de canales de sección compuesta 292 6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno 296 317 Problemas propuestos CAPITULO VII ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA 7.1 Energía específica 323 7.2 Energía específica a gasto constante 325 7.3 Sección rectangular 335 7.4 Sección parabólica 347 7.5 Sección triangular 350 7.6 Sección trapecial 353 7.7 Sección circular y otras secciones 361 7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica 365 7.9 Pendiente crítica mínima (pendiente límite, 7.10 Transiciones 7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la xiv VIII 369 371 energía específica 377 7.12 Fuerza Específica (Momenta) 378 7.13 Salto hidráulico 382 7.14 Descarga por una compuerta de fondo 387 Problemas propuestos CAPITULO SL ) 389 MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO 8.1 Introducción 395 8.2 Definiciones fundamentales 399 8.3 Ecuación general del movimiento gradualmente variado 401 8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico 407 8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado 409 8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad) 418 8.7 Curva de remanso 423 Problemas propuestos CAPITULO IX 451 VERTEDEROS 9.1 Objeto de los vertederos. Tipos 455 9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga 466 9.3 Fórmula de Francis 469 9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares 471 9.5 Vertederos triangulares 478 9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti 483 9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos 485 9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha) 487 9.9 Vertederos laterales 490 9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error en la medición de la carga 492 9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero 493 9.12 Vertedero sumergido 497 Problemas propuestos 502 Tablas Generales 507 Referencias Bibliográficas 513 xv INDICE DE FIGURAS Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías 3 Figura 1.2 Esquema de un piezómetro 4 Figura 1.3 Tipos de flujo 5 Figura 1.4 Movimientos variados 6 Figura 1.5 Teorema de Bernoulli 8 Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal 10 Figura 1.7 Radio hidráulico en un canal muy ancho 10 Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para varios fluidos Figura 1.8b Viscosidad dinámica en función de la temperatura para diferentes gases y líquidos Figura 1.8c 13 14 Viscosidad dinámica en función de la temperatura para varios tipos de aceite 14 Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal 16 Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería 17 Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento 17 Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar 18 Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal) 18 Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial 19 Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales 19 Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo 20 Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos 20 Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss 28 Figura 1.19 Ecuación de la energía 33 Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (mediciones) 35 xvi Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal 44 Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería 45 Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho 46 Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal 48 Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería 49 Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería 51 Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar 53 Figura 2.8 Subcapa laminar 65 Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para el cálculo de la distribución de velocidades 67 Figura 2.10 Flujo a través de un anillo 71 Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso 73 Figura 2.12 Coeficiente 78 Figura 2.13 Aspereza del contorno 80 Figura 2.14 Rugosidad artificial de Nikuradse 80 Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería 91 Figura 3.2 Coeficiente f de Darcy en tuberías lisas 98 Figura 3.3 Coeficiente f de Darcy en tuberías rugosas 99 Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse 100 Figura 3.5 Flujo paralelo 122 Figura 3.6 Generación de una capa límite 122 Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite 123 Figura 3.8 Espesor de la capa límite 124 Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta 126 Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones 127 Figura 3.11 Fenómeno de la separación 127 Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión 128 Figura 3.13 Aparición de contracorrientes 128 Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería 135 Figura 4.2 Abaco de Moody 140 C de Chezy xvii 3 Pérdida de carga local 150 Figura 4.7 Cuatro reservorios 202 Figura 5.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno 297 Figura 6.6 Características geométricas en una sección circular 301 xviii .4 Tubería ramificada 196 Figura 5.3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation 290 Figura 6.11 Esquema genérico de un suministro por bombeo 181 Figura 5.6 Tuberías en serie (dos tramos) 170 Figura 4.7 Tuberías en serie (tres tramos) 171 Figura 4.6 Tres reservorios (caso particular) 200 Figura 5.14 Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.13 Determinación del diámetro en una conducción 224 Figura 5.10 Presencia de una bomba 180 Figura 4.1 Comparación de varias secciones transversales que se caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m 274 Figura 6.8 Esquema de un sifón 175 Figura 4.4 Gráfico de Gibson (ensanchamiento gradual) 155 Figura 4.10 Conducto que da servicio 211 Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías 230 Figura 6.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales 291 Figura 6.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo 194 Figura 5.2 Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow) 278 Figura 6.8 Bombeo de un reservorio a otros dos 206 Figura 5.12 Diseño de una conducción 223 Figura 5.9 Tubería con boquilla convergente final 178 Figura 4.9 Tuberías con ramales de descarga independiente 210 Figura 5.11 Cálculo de un conducto filtrante 214 Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo 193 Figura 5.8 227 Figura 5.5 Tres reservorios 199 Figura 5.5 Contracción brusca 157 Figura 4.Figura 4.3 Varias tuberías en paralelo 194 Figura 5. 12 Grada negativa en un río 373 Figura 7.20 Salto hidráulico 382 Figura 8.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica 324 Figura 7.16 Curva Energía Específica .10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas 363 Figura 7.Figura 6.2a Variación de la energía específica y el tirante 334 Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular 351 Figura 7.19 Fuerza Específica 380 Figura 7.3 Corriente peraltada y corriente deprimida 399 Figura 8.5 Curva de descarga para Energía Específica constante 342 Figura 7.3 344 Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular 336 Figura 7.Tirante para diferentes caudales 375 Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular 339 Figura 7.11 Grada positiva en un río 373 Figura 7.13 Grada positiva en un torrente 374 Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow) 358 Figura 7.18 378 Gráfica para la deducción de la ecuación de la Fuerza Específica 378 Figura 7.4 Ríos y torrentes 400 Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente 397 Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo 396 Figura 8.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico 348 Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la Energía Específica Figura 7.14 Grada negativa en un torrente 374 Figura 7.5 Pendientes suaves y fuertes 400 Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado 402 xix .2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante 326 Figura 7.7 Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular 302 Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva 375 Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7. 14 Vertedero tipo Cipolletti 485 Figura 9. 427 Figura 9. según dibujo de Balloffet 461 Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre ( P >>> H ) 457 Figura 9.y = yc Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante ymax determinado por la condición de entrega al lago.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada 456 Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial 474 Figura 9.1 460 Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un vertedero rectangular 466 473 Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido 497 Figura 9. Figura 8.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en KL cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero 493 Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de xx un vertedero sumergido 498 . 486 Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares 481 Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c) 464 Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente en un vertedero en pared delgada.17 Vertedero lateral 491 Figura 9.11 Gráfico para la determinación de Figura 9. convenientemente aireada.10 408 426 427 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante ymin determinado por la grada.5 Vertederos en pared gruesa.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa 488 Figura 9.9 Otros tipos de vertederos 465 Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente 464 Figura 9. Esta figura es un detalle de la Figura 9.7 Intersección del eje hidráulico con Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso Figura 8.6 Diferentes formas de vertederos 463 Figura 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida 459 Figura 9. 2 Coeficientes de Hazen y Williams 219 Tabla 5.8 Propiedades hidráulicas de conductos en herradura 311 Tabla 6.9 Sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica 313 Tabla 6.1 Valores de f para el agua 144 Tabla 4.11 Elementos geométricos de diversas secciones 316 Tabla 7.1 Valores de la rugosidad absoluta Tabla 6.3 Valores del coeficiente 262 m de rugosidad a usarse en la fórmula de Kutter para pendientes mayores que 0.3 ( q = 1 m3/s/m) 345 xxi .7 Propiedades hidrálicas de conductos circulares 309 Tabla 6.3 Cálculos del ejemplo 5.5 259 264 Tabla de Cowan para determinar la influencia de diversos factores sobre el coeficiente n 273 Tabla 6.1 Valores aproximados de Tabla 1.1 Intensidad de aumento de la rugosidad 216 Tabla 5.6 Secciones circulares parcialmente llenas 304 Tabla 6.10 Secciones de máxima eficiencia hidráulica 315 Tabla 6.INDICE DE TABLAS α y β (Kolupaila) 25 Tabla 1.9 236 Tabla 6.4 Valores del coeficiente 263 G de rugosidad a utilizarse en la fórmula de Bazin Tabla 6.0005 Tabla 6.2 Factores adimensionales para las ecuaciones de Strauss 30 Tabla 2.2 Valores del coeficiente k k n de Kutter que generalmente se usa en los diseños Tabla 6.1 Valores de la rugosidad absoluta 74 Tabla 4.2 Coeficientes de Weisbach para contracciones bruscas 158 Tabla 4.3 Pérdidas de carga locales 160 Tabla 5.1 Ejemplo 7. 2 496 Tabla 9.2 Coeficientes en vertederos triangulares 481 Tabla 9.1 Resumen de la discusión de los seis casos del movimiento 360 gradualmente variado 416 Tabla 8.3 Coeficientes en vertederos de cresta ancha 490 Tabla 9.1 Coordenadas características de una napa vertiente libre 458 Tabla 9.4 Ejemplo 9.5 Valores de 499 xxii N para usarse en la fórmula 9-41 .Tabla 7.2 Secciones críticas ( E = yc + Vc2 2 g ) Tabla 8.2 Función de flujo variado para pendientes positivas y negativas 436 Tabla 9. Borde libre C Coeficiente de Chezy CH Coeficiente de Hazen y Williams c Coeficiente de descarga en vertederos cc Coeficiente de contracción cv Coeficiente de velocidad D Diámetro de la tubería d Tirante hidráulico E Energía e Constante de los logaritmos neperianos F Número de Froude Ff Fuerza debida a la fricción f Coeficiente de Darcy G Coeficiente de rugosidad de Bazin H Carga de agua H Energía total con respecto a un plano de referencia H bomba Energía suministrada por una bomba HS Altura de succión Hi Altura de impulsión hf Pérdida de carga o energía xxiii .LISTA DE SIMBOLOS PRINCIPALES A Area de la sección transversal AS Area de la sección transversal de salida a Rugosidad absoluta a Altura de una grada B Ancho de fondo b Ancho b Longitud de la cresta de un vertedero b.l. Línea piezométrica o de gradiente hidráulica M Exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas m Relación de máxima eficiencia hidráulica m Coeficiente de rugosidad para la fórmula de Kutter N Exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniforme N Coeficiente de reducción de carga en un vertedero sumergido n Coeficiente de Kutter n Parámetro característico de la curva de distribución de velocidades P Umbral de un vertedero P Perímetro P Fuerza hidrostática p Presión pv Presión absoluta de vaporización Pot Potencia Q Qn Caudal o gasto xxiv Gasto para un flujo normal t . P. E. Línea de energía L.hi Altura del salto hidráulico hloc Pérdida de carga local hroz Pérdida de carga por rozamiento hvort Pérdida de carga por la formación de vórtices hV Energía de velocidad o cinética K Coeficiente de pérdida de carga K Factor de capacidad Kn Factor de capacidad para condiciones normales k Rugosidad absoluta k0 Rugosidad inicial (al ponerse en servicio el conducto) kt Rugosidad después de transcurrido el tiempo L Longitud de un vertedero Le Longitud equivalente L. ro Radio de la tubería S Pendiente S Pendiente media Sc Pendiente crítica SE Pendiente de la línea de energía SL Pendiente límite SW Pendiente de la superficie libre S0 Pendiente del fondo T Ancho superficial T Temperatura V Velocidad media Vc Velocidad crítica Vh Velocidad a la distancia Vmax Velocidad máxima V* W Velocidad de corte w y y Velocidad de caida de una partícula yc yn Tirante crítico Tirante normal y Profundidad del centro de gravedad Z Zc Factor de sección z Elevación con respecto a un plano de referencia h del contorno Peso Tirante Eje de coordenadas Factor de sección para flujo crítico xxv .Qc Gasto crítico q Caudal o gasto específico R Radio hidráulico Re Número de Reynolds r . α Coeficiente de Coriolis α1 Velocidad de aumento de la rugosidad β Coeficiente de Boussinesq δ Espesor de la subcapa laminar δL Espesor de la capa límite laminar δT Espesor de la capa límite turbulenta κ Constante de Karman ρ Densidad del fluido γ Peso específico η Eficiencia de la bomba µ Viscosidad dinámica o absoluta ν Viscosidad cinemática τ τ0 Esfuerzo de corte τh Esfuerzo de corte a la distancia τ0 Esfuerzo medio de corte sobre el fondo θ Angulo ∆E Variación de energía ∆p Diferencia de presiones xxvi Esfuerzo de corte sobre el fondo o el contorno h del contorno . xxvii . Ecuaciones de Euler. En la Hidráulica de tuberías y canales trabajaremos con fluidos reales como agua. Comparación entre tuberías y canales. Objetivos. 1 . Semejanza Hidráulica y Análisis Dimensional. Concepto de distribución de velocidades. Hidroelectricidad. El desarrollo de los temas se apoya en conceptos básicos de Mecánica de Fluidos adquiridos anteriormente en los siguientes temas: Hidrostática. aceite o petróleo. Navier-Stokes y Bernoulli. Abastecimientos de Agua. Efecto de la gravedad y de la viscosidad. En este libro se presenta el modo de predecir el escurrimiento y los fenómenos de corriente para ciertas condiciones dadas.1 Objetivo del libro El objetivo de este libro es proporcionar al lector los conocimientos fundamentales de Hidráulica y Mecánica de los Fluidos que se requieren para el diseño de tuberías y canales y para otras aplicaciones de Hidráulica General.Capítulo I Introducción CAPITULO I INTRODUCCION 1. Coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Irrigación. 1. Drenaje. De otro lado. Al tener estos fluidos viscosidad habrá que admitir la existencia de tensiones tangenciales en el interior de la masa fluida y tendremos que apartarnos de la Hidrodinámica clásica.2 Esquema del contenido general Este libro consta de nueve capítulos cuyo contenido sintético es el siguiente Capítulo I: Introducción. se ofrece también los conocimientos básicos para el estudio posterior de Hidráulica Fluvial. Cinemática de los Fluidos. Tipos de flujo. etc. Ecuación de la cantidad de movimiento. El fenómeno de separación. Discusión del coeficiente n . Bazin y Manning. Bombeo. Sección de máxima eficiencia hidráulica. Otros sistemas indeterminados. Su uso como disipador de energía. Gráfico de Nikuradse. Discusión de la ecuación del eje hidráulico y presentación de los seis casos del movimiento gradualmente variado. Conceptos de rugosidad. Flujo normal. Movimiento uniforme. Conceptos de borde libre. Pendiente suave y pendiente fuerte. La resistencia en el movimiento uniforme. Salto hidráulico. Energía específica y Momenta. Cálculo de velocidad crítica. Hipótesis general para su estudio. contorno liso y subcapa laminar. Redes. Cambio de la rugosidad con el tiempo.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Capítulo II. Sifón. Movimiento gradualmente variado. Abaco de Moody. Concepto de capa límite. Fórmula General. Ecuación de Darcy. Cálculo de la pérdida de carga. Vertedero Sumergido. Fórmula de Hazen y Williams. Diseño de tuberías. Tubería equivalente. Régimen crítico: ríos y torrentes. Cálculo de la sección de un canal. Conducto que da servicio. Su objeto y uso. Problema de los tres reservorios. Capítulo IX. Capítulo IV. Ecuaciones de distribución de velocidades para el flujo laminar y turbulento. Significado de la energía específica. Sección circular parcialmente llena. Ley exponencial de distribución de velocidades. triangulares y trapeciales. Capítulo VI. Rugosidad compuesta. Ecuación del eje hidráulico. Capítulo VII. Ecuación de Blasius. 2 . Capítulo III. Capítulo VIII. Vertedero de cresta ancha. Cálculo de canales. Ecuaciones de resistencia de Karman-Prandtl. Concepto de momenta. Tipos. Vertederos rectangulares. Tubería en serie. Fórmulas de la velocidad media. Método de Hardy Cross. Errores. Fórmulas de Ganguillet-Kutter. Capítulo V. diámetro y gasto. Cálculo de la curva de remanso. Vertederos. Tuberías en paralelo. Tipos. Ecuación de Chezy. Diseño de conducciones y redes. Su objeto y uso. Pérdidas de cargas locales. 1 Diferencia entre canales y tuberías En las tuberías la presión ejercida por el fluido en cada punto está representada gráficamente por la altura que alcanza el líquido en un pequeño tubo (piezómetro) conectado a la tubería. 3 . Es un conducto cerrado.3 Diferencias entre canales y tuberías Son varias las diferencias que pueden establecerse entre el flujo en un canal y en una tubería. (Figura 1. en la forma de la sección transversal.1). Al haber contacto con la atmósfera. El canal tiene una superficie libre que está en contacto con la atmósfera.2 en la que p es la presión y γ es el peso específico del fluido. pues. se denomina cota piezométrica. tal como puede verse en la Figura 1. El flujo en un conducto cerrado. Cota piezométri ca = z h=z+ h= p γ p γ (1-1) (1-2) En los canales por lo general el flujo es agua. Hay presión ejercida por el fluido sobre el contorno. sino en el comportamiento hidráulico. el conducto es hidráulicamente un canal. en cambio en las tuberías puede tratarse de cualquier fluido (líquido o gaseoso). haya una superficie libre (Figura 1.Capítulo I Introducción 1. La diferencia entre un canal y una tubería no está. no es necesariamente un escurrimiento a presión. referida a un plano horizontal. a través de la superficie libre. La altura que alcanza el fluido en el piezómetro. que pueda tener la forma de una tubería. Tal sería el caso de un túnel o un conducto de desagüe en el que. Superficie libre TUBERIA CANAL Figura 1. En la tubería el líquido está confinado.15c). por estar parcialmente lleno. asbesto cemento. 1.2 Esquema de un piezómetro En lo que respecta a tuberías la forma más común es la circular. trapecial. semicircular o de forma cualquiera. rectangular. En cambio en un canal hay una superficie libre. materiales cuyos grados de aspereza no son muy diferentes. que en una 4 . Hay tuberías de diferentes formas: sección cuadrada. En una tubería dada la sección transversal es rígida y determinada. policloruro de vinilo. Otra de las diferencias entre ambos conductos está en la calidad de paredes.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Piezómetro h Plano de referencia z Figura 1. es decir en el grado de rugosidad del contorno. hierro fundido. En general se puede decir que los problemas en canales son más complejos que los problemas en tuberías. no presenta variaciones de sus características hidráulicas con respecto al tiempo. A pesar de las diferencias que han sido expuestas entre tuberías y canales es posible estudiar en conjunto su funcionamiento hidráulico. La sección de una tubería es en la mayor parte de los casos circular. en una sección determinada. En cambio los canales pueden tener superficies lisas como las anteriores o muy rugosas como aquellos con revestimiento de albañilería de piedra. Es decir. Un aumento en el gasto representa una variación en la sección.4 Tipos de flujo Se denomina movimiento permanente a aquél que. Un aumento en el gasto conlleva un aumento en la velocidad. Las tuberías suelen ser de acero. Un canal puede ser de ordinario rectangular. etc. pero no es la única. polietileno o poliester reforzado con fibra de vidrio. en una sección determinada. presión. minuto a minuto se están produciendo variaciones -aumentos o disminuciones. velocidad.para cualquier sección de dicho 5 . Se dice que un tramo de canal o tubería tiene movimiento uniforme cuando las características hidráulicas son las mismas -es decir. Así por ejemplo.3). Hay impermanencia.en el gasto y por lo tanto en la velocidad y en todas las características hidráulicas. si observamos la descarga de una tubería. El movimiento permanente es fácil de comprender. Es impermanente. como la de la Figura 1. Nivel de la superficie libre Q Figura 1. son constantes. quizá tengamos la impresión que su caudal no cambia. Si observamos un río durante varias horas. en una tubería en la que bruscamente cerramos una válvula situada en su extremo se producirá una onda de sobrepresión que se propaga hacia aguas arriba. pero en realidad hora a hora. velocidad.Capítulo I Introducción sección dada el gasto.3 Tipos de flujo Se denomina movimiento impermanente a aquel que. En una sección cualquiera habrá impermanencia porque las condiciones hidráulicas son variables con el tiempo. Por ejemplo. etc. Hay otros casos de movimiento no permanente que podrían presentarse. etc. en una sección cualquiera de la tubería también serán variables con respecto al tiempo: se dice entonces que el flujo no es permanente. en la que ahora suponemos que el nivel de la superficie libre es variable (un nivel descendente correspondería a un caso real) se tendría que el gasto. Podemos encontrar movimiento permanente en la descarga de una tubería que se alimenta de un estanque cuyo nivel permanece constante (Figura 1. presenta variaciones de sus características hidráulicas a lo largo del tiempo. Es variable. Se dice que durante dicho intervalo el movimiento es permanente.3. Este fenómeno de sobreelevación súbita de la presión se denomina golpe de ariete. pero difícil de encontrar en la naturaleza. permanecen constantes a lo largo del tiempo. presión. uniforme M. G. Ese tramo de transición o empalme es un movimiento gradualmente variado M. se produce sobre la grada. V.4). Si tenemos un canal con movimiento uniforme en el que hay una grada o caída habrá una cierta extensión en la que se desarrolla un movimiento que es una especie de transición o empalme entre el movimiento uniforme. (Figura 1. M. etc. y el movimiento rápidamente variado que. A partir de ese cambio el movimiento es gradualmente variado. el movimiento deja de ser uniforme cuando hay un cambio en el tirante y . R. (Ver Figura 1. De acá su nombre de gradual. por pequeño que sea este cambio. Ejemplo típico sería la presencia de una grada en un canal. V.). R.4 Movimientos variados En el ejemplo de la Figura 1.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha tramo. No se puede establecer con precisión la sección en la cual un movimiento deja de ser gradualmente variado para convertirse en rápidamente variado (M. velocidad. velocidad. que hay en el canal fuera de la zona de influencia de la grada. G. como se señaló anteriormente. El movimiento es variado cuando en un tramo cambia la sección transversal. V. M. lentamente a lo largo de una gran longitud.4. Así por ejemplo. área. Sobre la grada hay fuerte curvatura de las líneas de corriente y rápida variación de la velocidad: es un movimiento rápidamente variado. Se llama movimiento gradualmente variado a aquel en el que la variación de las características hidráulicas se produce suavemente.4) M. presión o cualquier otra característica hidráulica. y Figura 1. una tubería de sección transversal constante que se alimenta de un estanque en el que el nivel se mantiene invariable. V. V. se dice que tiene movimiento uniforme porque en todas las secciones transversales son constantes la presión. Si la variación se produce en una pequeña longitud se dice que el movimiento es rápidamente variado. 6 . R. 5 Teorema de Bernoulli. Nuestro estudio incidirá preferentemente en el movimiento permanente y uniforme. Sus dimensiones son L3 T-1. Resumiendo los conceptos anteriores señalamos que la no uniformidad es la variación del régimen de corriente con respecto al espacio y que la variabilidad es el cambio del régimen de corriente con respecto al tiempo. interesado en la solución de un problema práctico y real. En los ejemplos anteriores caudal o gasto Q significa el volumen de fluido que pasa en la unidad de tiempo por una sección determinada. El movimiento rápidamente variado se estudiará para algunos casos específicos. pero que desde el punto de vista del ingeniero. Cuando se calcula el gasto por unidad de ancho se llama gasto específico. Sus dimensiones son L2 T-1. Para los fluidos compresibles la ley de conservación de la materia exige que la cantidad de fluido que pasa por cada sección en la unidad de tiempo sea constante ρ AV = constante siendo ρ la densidad del fluido. Debe tenerse presente que en cualquier caso en el que se hable de cambio de velocidad. A el área de la sección transversal y V la velocidad media de la corriente.Capítulo I Introducción Hay muchos movimientos que estrictamente considerados son impermanentes o variados. se pueden considerar como permanentes y uniformes. Es éste el más frecuente en los problemas de ingeniería. Ecuación de la energía La forma más conocida del teorema de Bernoulli es V2 p + + z = constante 2g γ (1-5) 7 . éste puede ser tanto en magnitud como en dirección. En el flujo incompresible la densidad es constante y la ecuación de continuidad es A1V1 = A2V2 = Q = constante (1-3) A la relación entre el gasto y el área de una sección se le denomina velocidad media V= Q A (1-4) 1. V12 2g V22 2g p1 ! p2 Línea de corriente ! E z2 z1 Plano de referencia 1 2 Figura 1. Su representación gráfica a lo largo de una línea de corriente es la siguiente En un fluido ideal. Los otros dos términos son la altura de presión y la elevación. que parte del reposo. Para un fluido real habría una pérdida de energía entre 1 y 2. sino transformada en calor debido a la fricción.5 Teorema de Bernoulli Al primer término V 2 2 g . La ecuación de la energía para un fluido real es entonces 2 2 V1 p V p + 1 + z1 = 2 + 2 + z 2 + h f 1− 2 2g γ 2g γ 8 (1-6) . Su suma representa la energía potencial y constituye la cota piezométrica. El teorema de Bernoulli significa que para una línea de corriente la suma de la energía cinética y la potencial es constante. En una tubería o en un canal cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de Bernoulli. se le conoce con el nombre de energía de velocidad o energía cinética y representa la altura desde la que debe caer libremente un cuerpo. En realidad no es energía perdida. (es decir sin viscosidad). para adquirir la velocidad V . Cada uno de los tres términos tiene las dimensiones de una energía por unidad de peso del fluido. la energía E en 1 es igual a la energía en 2.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha La suma de los tres términos es constante a lo largo de una línea de corriente en un movimiento permanente e irrotacional (para un fluido ideal). Tienen sección transversal regular. En un flujo paralelo la distribución de presiones es hidrostática. E es la energía total. Los canales naturales son los ríos. El fondo esta constituido por partículas sólidas en movimiento (arenas. Los canales artificiales son construidos por el hombre. Es la relación que existe entre el área transversal y el perímetro mojado de un conducto hidráulico. etc).15d. 1. limos. piedras. torrentes.Capítulo I Introducción o bien. Los canales pueden ser fundamentalmente de dos tipos: naturales y artificiales. Si su alineamiento es recto se denomina canal prismático. E1 = E2 + h f 1− 2 (1-7) V es la velocidad de la corriente. R= A P (1-8) D 4 (1-9) Para una tubería de sección circular se tiene R= 9 . g la aceleración de la gravedad. γ es el peso específico del fluido.6 Propiedades geométricas de la sección transversal Hemos señalado que hidráulicamente se denomina canal al contorno en el que el escurrimiento tiene una superficie libre en contacto con la atmósfera. p la presión. etc. h f 1− 2 es la disipación (pérdida) de energía entre las secciones 1 y 2. z la elevación con respecto a un plano horizontal de referencia (los subíndices 1 y 2 corresponden a cada una de las dos secciones consideradas). Las tuberías son conductos a presión que pueden tener cualquier sección transversal. Tienen sección transversal irregular y variable y su estudio corresponde a la hidráulica fluvial. y se le denomina lecho móvil. La diferencia de energía entre una línea de corriente y otra se debe a la variación de la velocidad. Ver Figura 1. Radio hidráulico ( R ). arroyos. En un flujo paralelo se tendrá que la energía potencial (presión más elevación) es constante para toda la sección transversal. que el radio hidráulico es la cuarta parte del diámetro. A = by y b Figura 1. se dice que es un canal muy ancho.6 T y A P (Perímetro mojado) Figura 1. En un canal se debe tener en cuenta que sólo interviene el perímetro mojado. tal como se muestra en la Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal Tirante hidráulico ( d ) Es la relación que existe en un canal entre el área de la sección A y el ancho superficial T . lo que puede obtenerse fácilmente a partir de la definición general de la ecuación 1-8. Esto permite hacer un cálculo más rápido y fácil del radio hidráulico. Radio hidráulico en un canal muy ancho Cuando el ancho b de un canal o río es mucho mayor que el tirante.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha es decir.7 Radio hidráulico en un canal muy ancho 10 P = b + 2y R= by y = b + 2 y 1+ 2 y b . d= A T (1-10) Tirante ( y ) Es la distancia vertical del punto más bajo del fondo del canal hasta la superficie libre. o sea que se debe señalar cual es la longitud característica. La elección de la longitud característica es. En los canales se considera el radio hidráulico para la definición del número de Reynolds. pues. un asunto convencional. 11 . Cuando se menciona el número de Reynolds debe señalarse la forma en la que queda definido. que en un canal muy ancho el radio hidráulico es igual al tirante. consideran como longitud característica el radio hidráulico Re = VR ν y otros consideran como longitud característica el radio r de la tubería. especialmente europeos. 1.Capítulo I En un canal muy ancho Introducción y es muy pequeño y se puede considerar b R= y (1-12) Es decir.7 Efecto de la viscosidad El efecto de la mayor o menor viscosidad del fluido sobre las condiciones del escurrimiento se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Reynolds. El número de Reynolds ( Re ) tiene por expresión Re = VL ν (1-13) siendo V : velocidad media del escurrimiento L : longitud característica ν : viscosidad cinemática que es igual a la relación que existe entre la viscosidad dinámica o absoluta ( µ ) y la densidad del fluido ( ρ ) En una tubería se considera generalmente como longitud característica el diámetro de la tubería Re = VD ν Algunos autores. 12 . petróleo). 1. Para este caso no hay un límite definido. La explicación está en la ecuación 1-9. S. una tubería con flujo laminar en la que progresivamente se va aumentando la velocidad. o más. El número de Reynolds que separa los escurrimientos laminares de los turbulentos se llama crítico y para una tubería cuyo número de Reynolds se define según el diámetro tiene un valor aproximado de 2 300.8c han sido tomados del libro de Rouse. El movimiento turbulento es el más frecuente en los problemas de ingeniería.s/m 2. Editorial Dossat. salvo en el flujo a través de medios porosos. S. puede ocurrir para un número de Reynolds de 5 000. En el sistema M.8b y 1. se muestra para diferentes fluidos la variación de la viscosidad con la temperatura. centímetros y segundos.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha El número de Reynolds representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas. 10 000. Hidráulica.8. se mide en kg. Si tuviéramos el caso inverso. Caso contrario el flujo se denomina turbulento. Sus dimensiones son L2 T-1. En el agua (que tiene pequeña viscosidad) es poco frecuente. mide la relación entre un esfuerzo y una velocidad de deformación. Se dice que el flujo es laminar cuando las fuerzas viscosas son más fuertes que las de inercia. La unidad es el poise 1 poise = La viscosidad cinemática 1 gr − masa cm − s ν es la relación entre la viscosidad absoluta µ y la densidad ρ . Sus dimensiones son ML-1 T-1 en el sistema absoluto y FL-2 T en el sistema gravitacional. llegará un momento en el que el flujo se haga turbulento. Si tuviéramos una tubería con flujo turbulento en la que paulatinamente se va disminuyendo la velocidad llegará un momento en el que el flujo se hace laminar.8a. dependiendo de la naturaleza de las perturbaciones exteriores. La viscosidad absoluta µ o coeficiente de viscosidad dinámica. que corresponde aproximadamente a la cuarta parte del señalado para las tuberías. Su unidad es el stoke 1 stoke = 1 cm 2 s En la Figura 1. En el sistema C. F. (absoluto) se mide en gr-masa. G. Esto ocurre con un número de Reynolds de 2 300. El flujo laminar se presenta con más frecuencia en los fluidos muy viscosos (aceite. En un canal el número de Reynolds crítico está alrededor de 600. Las Figuras 1. 97) Glicerina 6 Fuel Oil (p. = 0. es el peso específico relativo) 13 .Capítulo I Introducción -3 10 0 o o 8 6 100 50 o Fuel Oil (p.e.e.68) 6 4 Tetracloruro de carbono 2 2 Mercurio -7 10 2 Aire y oxígeno -5 10 m s -3 10 8 -7 0 o o 50 100 o 10 T ºC Figura 1. = 0.e. = 0.e.94) 4 4 Helio SAE 30 2 2 Hidrógeno -4 10 6 6 Petróleo crudo (p.93) 4 -4 10 8 SAE 10 8 4 Metano ∀ 2 Amoníaco 2 -5 10 8 Anhidrido carbónico 8 6 6 4 -6 4 Salmuera (20% NaCl) Kerosene 2 10 Benceno Petróleo crudo (p.e. = 0.86) 2 Alcohol etílico -6 10 8 8 Agua 6 4 Gasolina (p. = 0.e.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para varios fluidos (p. 94) 4 2 10 SAE 30 -2 Anhidrido carbónico o 6 4 10 Oxígeno 2 6 5 10 8 4 10 Hidrógeno 5 4 Fuel .Oil (p.e.Oil (p.e.68) 2 o 10 6 Benceno 4 50 2 -4 10 8 Tetracloruro de carbono 6 0 2 Alcohol etílico Agua 8 o 5 4 2 -4 10 Hidráulica de tuberías y canales 14 o 5 4 .8c Viscosidad dinámica en función de la temperatura para varios tipos de aceite 6 5 T ºC Arturo Rocha Figura 1. = 0.s 8 o -1 8 kg . = 0.e.93) -3 10 8 6 5 -2 8 SAE 30 -6 Fuel .86) # m # 2 -5 -5 8 10 8 6 6 4 4 Helio Aire m2 4 2 2 0 Amoníaco 50 o 100 10 8 6 6 4 2 -6 Metano (Gas natural) o 2 10 -3 10 8 8 T ºC 6 5 o 0 50 o 100 o Figura 1.e.e. = 0.e.8b Viscosidad dinámica en función de la temperatura para diferentes gases y líquidos Petróleo crudo (p. = 0.s 2 100 Glicerina -1 6 Gasolina (p.50 0 o 100 Salmuera (20% NaCl) o 5 4 SAE 10 Kerosene 2 Mercurio Petróleo crudo (p. = 0.97) kg . = 0.93) Petróleo crudo (p. El número de Froude representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas gravitacionales. 1. El número de Froude ( F ) tiene por expresión F= V gL (1-14) siendo V : velocidad media g : aceleración de la gravedad L : longitud característica El número de Froude se utiliza en canales y generalmente se considera como longitud característica el tirante hidráulico d Por lo tanto F= V gd (1-15) Siempre que el escurrimiento se produzca con superficie libre.8 Efecto de la gravedad El efecto de la mayor o menor influencia de las fuerzas gravitacionales sobre las condiciones del escurrimiento se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Froude. Los valores altos del número de Froude corresponden a pequeña influencia de la gravedad.Capítulo I Introducción 1. es decir que alguna zona de la corriente no esta delimitada por el contorno. habrá influencia de la gravedad sobre todo el escurrimiento. el vector velocidad tiene componentes en las tres direcciones. Para cada punto de la corriente.9 Concepto de distribución de velocidades En los canales y en las tuberías el flujo es esencialmente tridimensional. 15 . Para analizar la variación de velocidades en la sección tendremos en cuenta la forma de la sección transversal. Los autores franceses llaman a este parámetro adimensional número de Reech-Froude. pues la naturaleza y características geométricas del contorno definen básicamente la curva de distribución de velocidades. Para h = D 2 se obtiene la velocidad máxima.15b.9 Distribución de velocidades en un canal Denominamos Vh a la velocidad que existe a la distancia h del contorno (en este caso del fondo). Mientras más angosto es el canal mayor es la influencia de los lados y la velocidad máxima está más profunda con respecto a la superficie. El esquema característico de la distribución de velocidades es el siguiente Vh y h Figura 1. El flujo es bidimensional. Pero en un canal rectangular angosto hay fuerte influencia de los lados y la velocidad máxima aparece debajo de la superficie. En cada punto de la sección hay una velocidad particular ( Vh ).75 y .9 y 1. Esto se debe a que hemos considerado fluidos reales (con viscosidad). En una tubería la velocidad es máxima en el eje y mínima en el contorno. tal como se muestra en el esquema de la Figura 1.10. En un canal de ancho infinito la velocidad máxima está en la superficie. Ver Figura 1. En los canales el caso más simple corresponde a un canal de ancho infinito. Sólo hay influencia del fondo. En los siguientes capítulos estableceremos su ecuación. La curva que expresa la relación entre Vh y h se llama curva de distribución de velocidades. Se observa que los ejemplos de las Figuras 1. La velocidad es máxima en la superficie. Empezaremos por analizar este último caso.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha En las tuberías el caso más simple corresponde a la sección circular.95 y y 0. En el fondo la velocidad es mínima. 16 .10 tienen algo en común: la velocidad es cero en el contorno. La influencia del contorno es simétrica y perfectamente definida. Valores usuales para ubicar la velocidad máxima son los comprendidos entre 0. como si fuera un fluido ideal salvo en la zona próxima a las paredes. como el de la Figura 1. la distribución de velocidades de un fluido real puede calcularse sin cometer mayor error. en un escurrimiento laminar el gradiente de velocidades es muy grande en toda la sección transversal y se tendrá una curva de distribución de velocidades de tipo parabólico (ver Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería La distribución de velocidades depende. la distribución de velocidades sería uniforme (Ver Figura 1. en una tubería cuyo número de Reynolds fuera del orden de 1 ó 2 millones podría tenerse la siguiente distribución de velocidades D Figura 1. Otros factores determinantes son el grado de aspereza (rugosidad) del contorno y el alineamiento del canal. salvo en la zona próxima al contorno donde los esfuerzos viscosos y el gradiente de velocidades son muy grandes.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento En cambio. entre otros factores. cuyo número de Reynolds sea infinito. del grado de turbulencia.12).11.Capítulo I Introducción D h= D 2 Figura 1. Así por ejemplo. Para números de Reynolds muy altos. Para un fluido ideal. 17 . sin viscosidad.13). Para números de Reynolds elevados se dice que existe turbulencia plenamente desarrollada y la distribución de velocidades tiende a hacerse uniforme. 13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal) Debe tenerse presente que a partir de un cierto valor del número de Reynolds se obtiene turbulencia plenamente desarrollada. en las que no puede dejarse de considerar la influencia de las paredes. Este es un caso particular.15 se presentan con carácter ilustrativo las distribuciones de velocidad típicas para diferentes secciones transversales. En la Figura 1. El alineamiento del conducto y la simetría de la sección también son factores determinantes de la curva de distribución de velocidades. Para ilustrar la distribución de velocidades en la sección transversal se indica en el esquema de la Figura 1.9 se presentó la distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho. 18 . Se tendrá entonces una distribución transversal de velocidades.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar D Figura 1. Tratándose de canales el caso más frecuente es el de las secciones trapeciales o rectangulares. Un aumento en el número de Reynolds no conlleva un aumento del grado de turbulencia.14 la sección de un canal en el que se ha dibujado las curvas que unen los puntos de igual velocidad (isotacas). Esta velocidad se ha relacionado con la velocidad media. Así la curva que tiene el número 2 significa que todos sus puntos tienen una velocidad que es el doble de la velocidad media. en las que la velocidad debe también ser nula. En la Figura 1.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha D Figura 1. 5 1.5 1.0 1.0 0.5 2.0 0.Capítulo I Introducción 2.5 0 2.5 (c) Canal circular parcialmente lleno 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales 19 .5 1.0 1.0 1.5 2.5 0 1. 2.5 (d) Canal natural (río) Figura 1.0 0.0 2.5 (b) Canal rectangular angosto 2.5 Figura 1.5 (a) Canal circular poco profundo 1. 5 1. .0 0.14 Isotacas en un canal de sección trapecial 0 2. A A SECCION A . que se llaman así por no seguir la dirección general de la corriente.16 Distribución de velocidades en un codo La aspereza (rugosidad) de las paredes y su influencia sobre la distribución de velocidades será analizada en el capítulo siguiente.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos 20 .A Figura 1. La resistencia viscosa reduce la velocidad en el contorno dando como resultado que allí la energía sea menor que en las capas adyacentes. Debido a la fuerte caída de presión que se produce en el contorno exterior hay un flujo secundario que se dirige hacia el exterior y que debe ser compensado por otro que se dirija hacia el interior. Damos una idea de su significado a través de la Figura 1.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha La asimetría de la sección transversal produce corrientes secundarias. Si el movimiento principal es a lo largo del conducto. según que el contorno sea liso o rugoso.17 en la cual se presentan para una misma tubería dos distribuciones de velocidad. entonces la corriente secundaria producida por una curvatura del alineamiento se desarrolla en un plano normal y representa una circulación que al superponerse al flujo principal da lugar a un movimiento espiral o "en tornillo". Liso Rugoso D Figura 1. Analicemos el caso que corresponde al cambio de dirección (codo) en una tubería. Consideremos un flujo paralelo. Pero. o sea la cota piezométrica. se busca una equivalencia. Como esto es difícil de hacer en la práctica. de filetes. De acá que el valor de la energía para toda la sección transversal. obtenido con la velocidad media. La ecuación 1-5 establece que la suma de Bernoulli es constante a lo largo de una línea de corriente. En el flujo paralelo hay una distribución hidrostática de presiones y por lo tanto la suma p + z . en una sección determinada. habría que tomar el promedio de los valores de 2 Vh 2 g . para dicho tubo de corriente se puede aplicar la ecuación de continuidad 1-3 dQ = Vh dA 21 . sino con la totalidad del escurrimiento. Para cada línea de corriente. mediante el cálculo de la energía que corresponde a la velocidad media. o muy grande.Capítulo I Introducción A partir de la ecuación de distribución de velocidades se calcula el gasto Q = ∫ Vh dA (1-16) 1. o una aproximación. Para calcular el valor de α pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es Vh . Para extender el teorema de Bernoulli a toda la sección transversal. Evidentemente que esto no es exacto. es idéntica para todas γ las líneas de corriente y la variación que hay entre la suma de Bernoulli para las diferentes líneas de corriente se debe al gradiente de velocidades.10 Coeficiente de Coriolis El teorema de Bernoulli fue establecido para una línea de corriente. La energía en general se expresa por γ QH Ahora bien. por cuanto no es lo mismo el promedio de los cuadrados. Esto significa que cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de Bernoulli. que tiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es γ . debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente se designa con la letra α y que recibe el nombre de coeficiente de Coriolis ó coeficiente de energía. que el cuadrado del promedio. pues se tendría que considerar un número infinito. al ingeniero no le interesa trabajar con líneas de corriente aisladas. el valor de la velocidad es y la energía cinética correspondiente es Vh 2 Vh 2 g . V α=∫ h 3 dA V 3A (1-17) que es la expresión del coeficiente de energía o de Coriolis. entre la energía real y la que se obtendría considerando una distribución uniforme de velocidades. para una sección dada. Obsérvese que α representa la relación que existe. considerando la velocidad media se tendría ρ 3 V A 2 para que este valor aproximado sea igual al correcto debe multiplicarse por un factor o α coeficiente de corrección al que se denomina α ρ 3 ρ 3 V A = ∫ Vh dA 2 2 de donde. 22 .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha y el valor de la energía cinética es 2 V H= h 2g para el tubo de corriente la energía resulta 2 V γVh dA h 2g dQ H que equivale a ρ 3 Vh dA 2 y la energía de toda la sección transversal se obtiene integrando la expresión anterior ρ 3 Vh dA ∫ 2 Si hiciéramos un cálculo aproximado de la energía de toda la sección. Sabemos que en general la cantidad de movimiento se expresa por ρ QV Para calcular el valor de y para el tubo de corriente es ρVh dA 2 La cantidad de movimiento de toda la sección transversal se obtendrá por integración de la ecuación anterior ρ ∫ Vh dA 2 Si hiciéramos un cálculo aproximado de la cantidad de movimiento total a partir de la velocidad media se tendría ρV 2 A para que este valor aproximado sea igual al verdadero debe multiplicarse por un factor o β coeficiente de corrección al que se denomina βρV 2 A = ρ ∫ Vh dA luego. β pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es Vh que tiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es γ .03 < α < 1.11 Coeficiente de Boussinesq El cálculo de la cantidad de movimiento (momentum) de una corriente también se ve afectado por la distribución de velocidades. V β=∫ 2 h 2 dA V A (1-19) 23 .36 (1-18) 1.Capítulo I Introducción Para canales prismáticos se tiene usualmente 1. debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente se designa con la letra β y que recibe el nombre de coeficiente de Boussinesq o coeficiente de la cantidad de movimiento. El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la sección transversal a partir de la velocidad media. 01 < β < 1. Siempre se tendrá que En el flujo laminar. α > β puesto que en la expresión de α Vh V interviene al cubo β y en la expresión de interviene al cuadrado. dado el fuerte gradiente de velocidades. El producto βρ QV representa el caudal o flujo de la cantidad de movimiento en una sección dada.13 se cumple exactamente esta condición. los valores de α y grandes. En lo sucesivo y salvo que se indique lo contrario se considerará la ecuación 1-22. Para canales prismáticos se tiene usualmente 1.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha que es la expresión del coeficiente de cantidad de movimiento o de Boussinesq. Ambos son siempre mayores que la unidad. la distribución de velocidades se hace más uniforme y es más cierta la suposición α = β =1. Es evidente que el uso de los coeficientes α y β depende de la exactitud con la que se estén haciendo los cálculos. Se demuestra fácilmente que en una tubería con escurrimiento laminar 24 β son . A medida que el grado de turbulencia es mayor.12 Discusión de los valores de α y β De acuerdo a lo expuesto anteriormente el coeficiente α se usará en los cálculos en los que intervenga la energía y el coeficiente β en los cálculos en los que intervenga la cantidad de movimiento. considerar α = β =1 (1-22) Obsérvese que para la Figura 1. si extendemos la ecuación de la energía a toda la sección transversal considerando como velocidad la velocidad media se obtiene 2 α1 2 V1 p V p + 1 + z1 = α 2 2 + 2 + z2 + h f 1− 2 2g γ 2g γ (1-21) Cada sección transversal en función de su distribución de velocidades tiene un valor de α .12 (1-20) 1. o sea para números de Reynolds altos. En muchos casos se justifica. Así por ejemplo. 50 1. β Max.25 1.10 1.33 1.30 1.17 1. se puede expresar en función de la velocidad media de la siguiente manera 25 . Como hemos señalado anteriormente los valores de α y β dependen del tipo de curva de distribución de velocidades. Canales y acueductos 1.15 1. Según estudios hechos por Kolupaila se pueden considerar los siguientes valores aproximados de α y β TABLA 1. Min. específicamente de la relación que existe entre la velocidad máxima y la media tal como se expresa en las ecuaciones 1-24.10 1.00 1. Prom.50 1.75 2.1 VALORES APROXIMADOS DE α Y β (KOLUPAILA) α Tipo de cauce Min. se han obtenido las siguientes expresiones para los valores de α y β α = 1 + 3ε 2 − 2ε 3 (1-24) β = 1+ ε 2 (1-25) siendo ε= expresión en la que Vmax −1 V (1-26) Vmax es el valor de la velocidad máxima.Capítulo I Introducción α =2 β= 4 3 (1-23) Para un canal muy ancho con fondo rugoso.17 Ríos con áreas de inundación 1.07 Ríos y torrentes 1.15 1. Prom.13 Relación entre los coeficientes α y β Considerando que la velocidad puntual Vh correspondiente a la distancia h del contorno.20 1.05 1.03 1.05 1. Max. 1-25 y 1-26. 3 3 3 1  Vh  1  V + ∆V  1  ∆V   dA = ∫ 1 +   dA = ∫   dA ∫ A V  A  V  A  V  2 3 1   ∆V   ∆V   ∆V   α = ∫ 1 + 3  + 3 +   dA A   V   V   V   2 α =1+ 3  ∆V  3  ∆V  dA + ∫   ∫ A  V  A  V 3 1  ∆V   dA + ∫   dA A  V   Ahora vamos a analizar el segundo miembro.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Vh = V + ∆V siendo (1-27) ∆V el exceso o defecto de la velocidad puntual sobre la media. La primera integral no puede ser nula y es siempre positiva. La segunda integral es siempre nula en virtud de la ecuación 1-28. Para calcular el valor de α evaluaremos la integral 3 1  Vh    dA A∫ V  que es la ecuación 1-17. Debe cumplirse que ∫ ∆VdA = 0 (1-28) Para que esta última expresión sea evidente. pues las diferencias con 26 . consideremos que Q = ∫ Vh dA Si reemplazamos el valor de la velocidad puntual se obtiene Q = ∫ (V + ∆V ) dA Q = VA + ∫ ∆VdA de donde se concluye que la integral es nula. La tercera integral es generalmente muy pequeña y se desprecia. 2 β =1+ 1  ∆V   dA  A∫ V  (1-30) Eliminando la integral común a las ecuaciones 1-29 y 1-30 se obtiene la relación entre y α β α − 1 = 3(β − 1) (1-31) Expresión que evidentemente es aproximada. Luego. h es la distancia al contorno. de modo que para cualquier distribución 27 . 1. Consideró que la distribución vertical de velocidades se expresa por una ecuación del tipo Vh = kh expresión en la que 1 n (1-32) k y n son parámetros característicos de la curva. Esta ecuación expresa todas las distribuciones posibles de velocidad para valores de n comprendidos entre 1 e infinito. Luego 2 3  ∆V  α =1+ ∫   dA A  V  Para calcular el valor (1-29) β hacemos un desarrollo similar y evaluamos la integral que se obtiene de la ecuación 1-19 2 2 1  Vh  2  ∆V  1  ∆V   dA  dA + ∫    dA = 1 + ∫  ∫ A V  A  V  A  V  La primera integral del segundo miembro es evidentemente nula.14 Otros estudios sobre los coeficientes α y β Strauss estudió el efecto de la forma de la sección transversal sobre los coeficientes α y β .Capítulo I Introducción respecto a la velocidad media están al cubo y tienden a compensarse entre los valores positivos y negativos. y β son independientes del tamaño de la sección. Su valor es una función exclusiva de la distribución de velocidades. α y β están influenciados además de la distribución de velocidades. η y ω con ayuda de la Tabla 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss Según la sección transversal se determinan los valores de ξ . 28 Para canales triangulares y rectangulares los valores de Para canales trapeciales los valores de .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha real de velocidades se puede encontrar un valor apropiado de ninguna influencia sobre los valores de n . que muestra la mitad de una sección transversal cualquiera de un canal.2. Combinando la ecuación 1-32 con un desarrollo basado en la consideración de tres factores adimensionales descriptivos de la forma de la sección transversal Strauss obtuvo las ecuaciones genéricas de α y β (ecuaciones 1-33 y 1-34) Los factores adimensionales son ξ= H1 H η= B B1 ω= B2 B1 definidos de acuerdo al esquema de la Figura 1. H1 H B B1 B2 Figura 1. 2. Las conclusiones a las que llega Strauss son las siguientes α 1.18. por la relación η entre el ancho en el fondo B y el ancho superficial B1 . El valor de k no tiene α y β. Obsérvese que se incluye la posibilidad de que el talud esta formado por dos pendientes diferentes. Capítulo I (2n 2 α= 2n +3 2n+3 n +3   n+3   3 3ξ 3 + 3n + 1 1 − ξ n + ω  ξ n − ξ n  + η 1 − − 2ξ − + ξ n  1 + η − ξ − 2ηξ + ωξ + ηξ 2 − ωξ 2 n n      ) ( 2 n +1 2 n +1 n +1   nn+1    ξ 1 n n  n    + ω ξ −ξ + − − − + 4n 2n + 9n + 9 1 − ξ 1 2 η ξ ξ    n n      4 ( ) 2 ) 2 3 Ecuación (1-33) (2n β= 2 2n+ 2 2n+ 2 2n+ 2  n+ 2    2 2ξ 2 + 3n + 1 1 − ξ n + ω  ξ n − ξ n  + η 1 + − 2ξ − + ξ n  1 + η − ξ − 2ηξ + ωξ + ηξ 2 − ωξ 2 n n      ) ( 2 n +1 2 n +1 n +1   nn+1    ξ 1 n n  n    η ξ ξ + ω ξ −ξ + + − − + 2n 2n + 6n + 4 1 − ξ 1 2    n n      2 ( 2 ) 2 29 Introducción Ecuación (1-34) ) . B1 = B2 Trapecio + Trapecio H1 < H .4142 0. B < B1 Trapecio + Rectángulo H1 < H . B < B1 . B = 0 . B = 0 . B2 > B1 Triángulo + Rectángulo H1 < H . B = B1 .4142 ω >1 . B1 < B2 Trapecio + Trapecio H1 < H . B < B1 .4142 0. B1 = B2 Triángulo + Trapecio H1 < H . η = tgθ . B1 = B2 ∃ ξ= H1 H η= B B1 ω= B2 B1 0 1 1 0 0 1 0 0 <η <1 1 0 <ξ <1 0 <η <1 1 0 <ξ <1 1 0 <ξ <1 0 1 0 <ξ <1 0 ω >1 0 <ξ <1 0 <η <1 ω >1 0. B1 = B2 Semicírculo + Rectángulo ξ > tgθ . B1 = B2 Trapecio H 1 = 0 . B = 0 .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha TABLA 1.414 < ξ < 1 0.2 FACTORES ADIMENSIONALES PARA LAS ECUACIONES DE STRAUSS Factores adimensionales SECCION 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 FORMA Rectángulo H 1 = 0 . B = B1 Triángulo H 1 = 0 . B1 = B2 .4142 1 0. B1 = B2 . B1 < B2 Semicírculo (sustituye al semioctógano) ξ = η = tg 22º 30' . Valores experimentales para α obtenidos en el río Danubio llegan a 1. 5. Después de estudiar tres ríos búlgaros llegan a V  α = 1 + 0.50. 31 . Aunque el estudio de los lechos móviles corresponde a la Hidráulica Fluvial.12 y 1. α n comprendidos entre 2 y 4. 97 V  β = 1 + 0. Los autores llegan a la conclusión que las deformaciones del fondo al alterar la distribución de velocidades modifican los valores usuales de α y β . Papasov y Botcheva estudiaron los valores de α y β en ríos de Bulgaria de fondo móvil y determinaron sus valores para diversas descargas y pendientes. damos una breve noticia sobre estas investigaciones.29 expresión en la que yc b yc es el tirante crítico para el gasto total y b es el ancho del canal. De las secciones estudiadas se encuentra que los menores valores de α se presentan para secciones rectangulares y los mayores para la sección triangular.82 Ferrer y Fuentes estudiaron la variación del coeficiente β de Boussinesq en un canal de gasto variable realizando experiencias en un canal de laboratorio en la Universidad de Chile.85. los valores de α y β dependen de la forma de la sección expresada a través de los parámetros 4. Llegaron a la conclusión que para este caso β = 1+ 0.34 y en canales con pequeña pendiente a 1. etc). trapecio más rectángulo. η y ω y de la distribución de velocidades en función de n . se tiene están comprendidos entre 1. Introducción ξ .047 max   V  4 . Para canales de sección combinada (doble trapecio. Teniendo en cuenta que en canales la distribución de velocidades es tal que puede describirse con la ecuación 1-32. para valores de que los valores de 6.056 max   V  4 .Capítulo I 3. h es la distancia al contorno (ecuación 1-32). T 1 y = 0.5 b=3m Ancho superficial T = 3.80 m y el talud 0. El teorema de Bernoulli sólo es aplicable para un fluido ideal. (El talud es la inclinación de los lados).80 m Perímetro mojado P = 3.79 m Area A = 2. P.5.72 4.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 1. línea piezométrica o de gradiente hidráulica. aceptando una distribución vertical de velocidades dada por la siguiente ecuación 1 Vh = kh n k es una constante. Se ha considerado que h f es la energía perdida en el tramo considerado.72 m Ejemplo 1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal Como una ilustración de la extensión del teorema de Bernoulli a toda la corriente.72 3. Solución.79 = 0.2 Obtener los coeficientes α y β para un canal rectangular muy ancho. 32 .19. El tirante es de 0.72 m2 Radio hidráulico R = A P = 2. con lo que en realidad estamos usando la ecuación de la energía. En la Figura 1.1 Calcular el radio hidráulico y el tirante hidráulico para un canal de sección trapecial cuyo ancho en la base es de 3 m.00 + 2 × 0.57 m Tirante hidráulico d = A T = 2.00 + 2 × 0.80 = 0. se presenta comparativamente en la Figura 1.80 m 0. Ejemplo 1.40 = 3. significa línea de energía y L.19 el escurrimiento en una tubería y un canal. Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1.894 = 4. L. E. Capítulo I Introducción (a) Tubería L. p1 ! p2 ! z1 z2 Plano de referencia 1 2 (b) Canal L. V22 2g p=0 y1 y2 Plano de referencia z1 z2 Ecuación de la energía: 2 2 p1 V p V + z1 + 1 = 2 + z2 + 2 + h f γ 2g γ 2g Figura 1.19 Ecuación de la energía 33 . P. V1 2 2g hf V22 2g L. E. hf 2 1 V 2g p = y ! L. E. P. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Solución. α= (1 + n ) n (3 + n ) β= (1 + n ) n(2 + n ) 3 2 Haciendo un desarrollo similar se obtiene 2 34 3 k 3 ∫ h n dh . 1 y n q k ∫ h dh V= = 0 y y Reemplazando en la ecuación 1-17 ∫ Vh dh y 3 α= V 3A α=       = 0 3 1   n  k ∫0 h dh    y y     y 1 3 +1 3 1  +1−3  +1  + 2 n yn n  3  1  1 + 1  n  De donde. Si aceptamos un ancho unitario se tendrá para el gasto específico la expresión dq = Vh dh reemplazando la velocidad. 1 dq = kh n dh El gasto es q = ∫ Vh dh y 1 q = k ∫ h n dh 0 La velocidad media se obtiene dividiendo el gasto entre el área. 52 1.15 0.73 0.05 1.52 0.125 0.80 El tirante es y = 0.20 Distribución vertical de velocidades (medición) 35 .075 1.90 1. Calcular a) b) c) d) e) f) g) el gasto específico q la velocidad media V gráficamente la distancia h del fondo a la que la velocidad es igual a la velocidad media. el coeficiente α de Coriolis el coeficiente β de Boussinesq los valores de α y β aplicando las ecuaciones 1-24 y 1-25 y comparar con los resultados anteriores.73 1. En primer lugar dibujaremos en un papel milimetrado la curva de distribución de velocidades h (m) 0.95 m 1. el número de Reynolds ( T = 18 °C) Solución.70 1.50 1.Capítulo I Introducción Ejemplo 1.20 0.80 1.30 1.20 0.95 m.24 1.06 0.20 0.65 0.65 0.10 1.06 V (m/s) Figura 1.3 La distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho es la siguiente h (m) Vh (m/s) 0.24 0. pero a su vez para que tenga sentido real la división en un número elevado de partes debe haber datos numerosos.20 + 1.80 5.125 + 1.20 se obtiene h = 0. a) Según la figura q = 1.73 5.125 0.898 1.200 0.95 A = 3.15 q = 1.48 m3/s/m q q 1.20 + 1.238 1.52 × 0.56 m/s A y 0.18 0.200 1.200 0.51 0.075 0.06 .875 ∑V 3 h α= 36 3.95 b) V= c) De la Figura 1.24 × 0.52 3.48 = = = 1. Las partes no tienen que ser necesariamente iguales.06 1.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha El gasto se obtiene aplicando la siguiente expresión h= y q = ∑ Vh ∆h h =0 En el momento de dibujar la curva es necesario extrapolar ligeramente los valores recordando dos conceptos fundamentales: en un canal muy ancho la velocidad máxima esta en la superficie y la velocidad mínima siempre está en el fondo.91 0.65 × 0. Dividimos luego la vertical en 6 partes. A 1.089 1.24 1. Mientras mayor sea el número de partes. para cada una de las cuales suponemos un valor constante de la velocidad.19 0.838 α = 1.036 1. mayor será la exactitud.06 1.702 1.56 3 × 0.49 0.65 4.83 0.838 = 1.150 0.35 m d) Para calcular α hacemos el siguiente cuadro Vh Vh3 A Vh3 .73 × 0.80 × 0.06 × 0.075 + 1.20 + 1. 24 0.95 A = 2.06 1.80 m/s.02 g) T = 18 ºC.200 0.599 1.31 0.486 ∑V 2 h β= f) 2.024 1.150 0.200 0.125 0. A 1.084 1.545 1.06 β = 1 + ε 2 = 1.80 3. la velocidad máxima es 1.0225 α = 1.192 1.368 β = 1.15 1.Capítulo I e) Introducción Para el cálculo de β hacemos un cuadro similar Vh Vh2 A Vh2 .003375 α = 1 + 3ε 2 − 2ε 3 = 1.15 ε 2 = 0.80 −1 = − 1 = 0.368 = 1. empezaremos por calcular el valor de ε para lo que obtenemos del gráfico que.24 1.075 0.462 1.061 α = 1.95 = = 1.65 2.0225 ε 3 = 0.56 2 × 0.73 2.72 0.52 2. aproximadamente.200 0.54 0.56 × 0.99 0.482 × 10 6 ν 10 −6 37 . ν = 10 −6 m2/s Re = VR 1.12 0.56 V ε = 0.02 para la aplicación de las fórmulas aproximadas. ε= Vmax 1. 18 que el gasto teórico en un canal se puede expresar por Q = A2 2 g (∆y − h f ) A  1 −  2   A1  2 A1 y A2 representan las áreas de las secciones transversales respectivas. =2 β = 4/3 Demostrar que en una tubería de diámetro D con régimen laminar. La diferencia de cotas piezométricas es ∆y .23V   r se cumple que 38 α = 1. Hallar el valor de β . ν la viscosidad cinemática del fluido y S la pendiente de la línea de energía. En donde β si α = 1. . Calcular el valor de 3. =2 β = 4/3 Demostrar que en una tubería cuyo radio es r y cuya distribución de velocidades es 1  h 7 Vh = 1.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo I) 1. cuya ecuación de distribución de velocidades es Vh = siendo gS  Dh h 2   −  ν  4 4 h la distancia al contorno.07. La pérdida de energía entre 1 y 2 es h f .2 2. se cumple que α 5. Demostrar a partir de la Figura 1. Demostrar que suponiendo una distribución lineal de velocidades en un canal se obtiene α 4. Capítulo I 6. Introducción Genéricamente la distribución de velocidades en una tubería de radio r se expresa por 1  h n Vh = Vmax   r A medida que aumenta el número de Reynolds aumentan los valores de los valores de α ? 7. n . ¿Qué ocurrirá con Un líquido fluye entre paredes paralelas. La ley de distribución de velocidades es  h Vh = Vmax 1 −   d La separación entre las placas es 2 d . La velocidad Calcular los valores de α y n V está medida a la distancia h del eje. β 8. Resolver el problema anterior para una tubería con la misma ley de distribución de velocidades. 9. En una tubería de radio ro , por la que circula aceite, la distribución de velocidades es  r2  Vh = Vmax 1 − 2   ro  r es la distancia del eje a la que la velocidad es Vh Hallar los valores de α y β 10. En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,45 m en A a 0,30 m en B. En B se bifurca. La tubería BC tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD 0,25 m de diámetro. C y D descargan a la atmósfera. La velocidad media en A es 1,80 m/s y la velocidad media en D es 3,60 m/s. Calcular el gasto en C y D y las velocidades en B y C. 11. En una tubería de 6" de diámetro fluye aceite de densidad relativa 0,8. La viscosidad es 1 poise. El gasto es de 200 l/s. Calcular el número de Reynolds. 12. Describir como varía el coeficiente de Coriolis con el número de Reynolds. 13. Una tubería horizontal AB de 0,40 m de diámetro conduce 300 l/s de agua ( T = 20°C). La presión en el punto A es de 5 Kg/cm2 y en el punto B es de 3,5 Kg/cm2. La longitud de la tubería es de 850 m. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reynolds. 39 Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 14. Una tubería horizontal de 8" de diámetro y 500 m de largo conduce 100 l/s de aceite de viscosidad 1 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 Kg/cm2 y en el punto final de 3 Kg/cm2. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reynolds. 15. Una tubería AB de 0,80 m de diámetro conduce 1 m3/s de agua. La elevación del punto inicial A es 25,8 m y su presión es de 5 Kg/cm2. La elevación del punto final B es 20,2 m y su presión es de 2 Kg/cm2. La longitud de la tubería es de 1 Km. La temperatura es de 20 °C. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular la presión de la tubería en el punto medio de la distancia AB. 16. Una tubería tiene en su primer tramo 6" de diámetro y una velocidad de 3 m/s. El segundo tramo tiene 8" de diámetro. 6" 8" Calcular el gasto y la velocidad en el segundo tramo. 17. Demostrar que en un estanque la energía por unidad de masa es constante para cualquier punto. 18. Calcular para el ejemplo 1.3 cuál es la celeridad de una pequeña onda superficial que se forme en el canal. ¿Podrá esta onda remontar la corriente?. Calcular el número de Froude e interpretar los resultados (La celeridad ó velocidad relativa es gy ). D1 19. Un tubo cónico vertical tiene entre sus extremos 1 y 2 una pérdida de carga h f , 1 igual a h f = 0,25 (V1 − V2 )2 2g 8m V1 es la velocidad en el punto 1, es igual a 6 m/s. La velocidad en el punto 2 es 2 m/s. La longitud del tubo es de 8 m. La presión en el punto 2 equivale a 10 m de agua. Calcular la presión en Kg/cm2 en el punto 1. 2 D2 20. Se tiene una línea de conducción cuya sección inicial tiene un diámetro de 8" y una presión de 2 Kg/cm2. La sección final tiene un diámetro de 6", una presión de 1 Kg/cm2 y está 1,20 m por encima de la sección inicial. Calcular la pérdida de energía h f , entre ambas secciones. El fluido es petróleo crudo de peso específico relativo 0,93 y la temperatura es de 25°C. 40 Capítulo I Introducción 12 cm 21. Una tubería vertical de sección variable conduce agua. El diámetro en la parte superior es de 12 cm y en la parte inferior de 6 cm. La longitud es de 10 m. Cuando el gasto es de 80 l/s la diferencia de presión entre los manómetros instalados en las secciones 1 y 2 es de 2,5 Kg/cm 2 . Determinar cual es el gasto que debería pasar en esta tubería para que la diferencia de presiones entre 1 y 2 sea cero. 2 10 m 1 Considerar que la perdida de carga h f 6 cm entre 1 y 2 es proporcional a la velocidad. 22. Las Figuras 1.10, 1.11, 1.12 y 1.13 presentan diferentes distribuciones de velocidad. Ordenarlas según valores crecientes del coeficiente de Boussinesq. 23. Hacer un esquema que muestre la distribución vertical de velocidades en el eje del canal cuya sección se muestra en la Figura 1.14. 24. Demostrar que para un canal triangular cuya distribución de velocidades está dada por la ecuación 1-32 se cumple que α= calcular el valor de α para (2n2 + 3n + 1)3 4n 4 (2n 2 + 9n + 9) n = 2. Comparar con las ecuaciones de Strauss. 25. Calcular el gasto en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es de 4". Las pérdidas de energía en el sistema equivalen a 4V 2 2 g . H = 10 m 41 Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 26. Una tubería se estrecha de 12" en la sección 1 a 6" en la sección 2. La diferencia de presión entre ambas secciones equivale a 20 cm de mercurio. La pérdida de energía entre 1 y 2 es de 0,15V12 2 g . Calcular el gasto. ¿Cuál sería el gasto si se desprecian las pérdidas de carga? 27. La sección transversal de una tubería circular se ha dividido en 10 áreas iguales por medio de círculos concéntricos. Se ha medido las velocidades medias en cada área, empezando por la velocidad en el centro. Los resultados en m/s son: 1,71; 1,70; 1,68; 1,64; 1,58; 1,49; 1,38; 1,23; 1,02; 0,77. Calcular los valores de α y β . Si el diámetro fuese de 0,80 m calcular el caudal. 42 Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε CAPITULO ΙΙ MOVIMIENTO UNIFORME 2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías El movimiento uniforme es el que se presenta más frecuentemente tanto en los cálculos de tuberías como en los de canales. En el capítulo anterior hemos señalado que cada punto de la corriente tiene su propia velocidad. Esto significa que existe una distribución de velocidades en la sección transversal. En este capítulo se establecerán las ecuaciones de distribución de velocidades y se obtendrá por integración las expresiones correspondientes a la velocidad media. En un canal con movimiento uniforme la profundidad ψ , el área Α , la velocidad media ς y el gasto Θ son constantes en todas las secciones y la línea de energía, la superficie libre y el fondo son líneas paralelas, de modo que sus pendientes son iguales (Figura 2.1) Σ Ε = ΣΩ = Σ 0 = Σ (2-1) Σ Ε es la pendiente de la línea de energía ΣΩ es la pendiente de la superficie libre Σ 0 es la pendiente del fondo Una de las condiciones para que se desarrolle un movimiento uniforme en un canal es que la pendiente no sea excesivamente grande. 43 Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα En la práctica es muy difícil encontrar un movimiento que sea estrictamente uniforme. En muchos casos el flujo en canales y ríos se considera, desde el punto de vista del ingeniero, como uniforme. ΣΕ ς2 2γ Σω ψ Σο Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal Si la pendiente de un canal es muy fuerte aparecen ondulaciones superficiales y el movimiento deja de ser uniforme. En algunos casos las altas velocidades dan lugar a que el agua atrape y arrastre partículas de aire, que constituyen el aire incorporado y que alteran la uniformidad del escurrimiento. En una tubería con movimiento uniforme el área, la velocidad y gasto son constantes en todas las secciones y la línea de energía es paralela a la línea piezométrica (obsérvese que estas líneas no son paralelas al eje de la tubería) (Figura 2.1). A la línea piezométrica ΣΩ . θ es el π ángulo formado por el eje de la tubería y el plano horizontal de referencia, es la presión, γ el peso específico del fluido, ζ la elevación con respecto al plano horizontal de referencia. Ε es la energía total. Los subíndices se refieren a cada una de las dos secciones. se le denomina también línea de gradiente hidráulica y se designa como En una tubería se denomina Σ Ε , pendiente de la línea de energía, a la relación entre la diferencia de energía entre dos secciones y la distancia entre las mismas, medida a lo largo de la tubería. ΣΕ = 44 Ε1 − Ε2 η φ 1− 2 = Λ Λ (2-2) Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε ς12 2γ ΣΕ = Σ Σω ηφ ς22 2γ π1 ! Ε1 π2 ! 1 Λ 1-2 2 ζ1 Ε2 ∀ ζ2 Plano de referencia 1 2 Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería En el movimiento uniforme, por ser la velocidad constante, se considera como diferencia de energía la correspondiente a la diferencia entre las cotas piezométricas. La línea de energía y la línea piezométrica son paralelas. Σ Ε = ΣΩ = Σ  π1  π   + ζ1  −  2 + ζ2  γ  γ  Σ= Λ (2-3) El fluido en movimiento ejerce fricción sobre el contorno. Para la obtención de las ecuaciones de distribución de velocidades se buscará, en primer lugar, establecer una relación entre el esfuerzo de corte y la inclinación de la línea de energía. Luego, una relación entre la velocidad y el esfuerzo de corte, para obtener finalmente, eliminando el corte, una función que relacione la velocidad con la inclinación de la línea de energía. En este desarrollo se sigue el método presentado por el Profesor Thijsse, en Delft (Holanda). Todo el desarrollo de este capítulo se refiere al movimiento permanente y uniforme. En este capítulo se considera que el coeficiente α de Coriolis es igual a 1. 45 Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 2.2 Relación entre el corte y la inclinación a) Canal muy ancho En la Figura 2.3 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimiento uniforme. ΣΕ Σω ς2 2γ Φ ∃η η Σο ψ ∀ #s Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho Recordemos que en el movimiento uniforme las tres pendientes son iguales y se designan con la letra Σ (ecuación 2-1). Φ es la componente del peso, de la parte achurada, en la dirección del escurrimiento, η es la distancia variable entre el fondo y la parte inferior de la porción achurada, cuya longitud es ∆σ . Como es un canal muy ancho consideramos el escurrimiento por unidad de ancho (medido perpendicularmente al plano del dibujo). Para el elemento fluido achurado se tiene que su volumen es ( ψ − η ) ∆σ y su peso es ρ γ ( ψ − η)∆σ El producto de la densidad específico 46 γ. ρ por la aceleración γ de la gravedad es igual al peso Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε La componente del peso en la dirección del escurrimiento es ρ γ ( ψ − η)∆σ σενθ Como el ángulo θ , formado por el fondo y un plano horizontal de referencia, es pequeño se considera que σενθ = Σ luego, ρ γ ( ψ − η)∆σ Σ En el movimiento uniforme no hay aceleración. La distribución de presiones es hidrostática. Las fuerzas debidas a la presión se compensan y la componente del peso en la dirección del escurrimiento debe ser equilibrada por el corte total, que es el producto del esfuerzo unitario de corte τ η por el área en que actúa τ η ∆σ = ρ γ ( ψ − η)Σ∆σ De donde, la relación entre el corte y la inclinación es τ η = γ ( ψ − η) Σ El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para (2-4) η =0 το = γ ψ Σ (2-5) Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulico το = γ Ρ Σ (2-6) Se llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto del peso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía). b) Canal de cualquier sección transversal El caso anterior es hipotético pues corresponde a un canal de ancho infinito. En la práctica los canales son rectangulares, trapeciales, circulares, etc. Todas estas formas diversas se esquematizan en la Figura 2.4. Se muestra en la figura dos secciones de un canal, ubicadas a una distancia ∆σ . Para las mismas condiciones anteriores se tiene que la componente del peso de la masa fluida, en la dirección del escurrimiento es ρ γ Α Σ ∆σ 47 Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα ρ es la densidad del fluido, γ la aceleración de la gravedad, Α la sección transversal, Σ la pendiente. #s Α ∃ο Π Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal Esta fuerza debe ser equilibrada por el corte total (en este caso el esfuerzo de corte sobre el fondo no es constante), que tiene por expresión  Π τ δΠ ∆σ  ∫ 0  Π es el perímetro mojado, τ 0 es el esfuerzo de corte sobre el fondo. o bien, aproximadamente Πτ 0 ∆σ Igualando la componente del peso y el corte total se obtiene τ0 = ρ γ Α Σ Π o bien, τ 0 = γ ΡΣ (2-7) Observamos que las ecuaciones 2-6 y 2-7 son iguales. Esto significa que el esfuerzo medio de corte sobre el fondo en un canal es igual al producto del peso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la inclinación de la línea de energía. 48 la tubería con la horizontal. La fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso es 2 2 ∆  ∆  ( π1 − π2 )π  − η  + γ π  − η  ∀σ σεν! 2  2  49 .5 se muestra un corte longitudinal en una tubería de sección circular de diámetro ∆ . ! es el ángulo que forma el eje de La fuerza debida al corte (fricción) es igual a la fuerza debida a la diferencia de presiones. de la pared de la tubería). Consideremos el cilindro coaxial mostrado en la figura. La fuerza debida al corte es ∆  τ η 2π  − η ∆σ 2  expresión en la que τ η es el esfuerzo de corte a la distancia η del contorno (en este caso.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε c) Tubería de sección circular ΣΕ Σω ς2 2γ π1 ! π2 ! ∀ η π1 π2 η ∆ #s Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería En la Figura 2. π  π   1 + ζ1  −  2 + ζ 2  = ∆σ Σ γ  γ  se obtiene para la fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso 2 ∆  γπ  − η  ∆σ Σ 2  que debe ser igual a la fuerza de corte. ∀σ σεν! = ζ1 − ζ2 luego.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα operando.  ∆ γπ  − η   2 2  π1   π2   + ζ1  −  + ζ 2   γ   γ teniendo en cuenta que. 2 ∆  ∆  τ η 2π  − η ∆σ = γπ  − η  ∆σ Σ 2  2  de donde. Luego. la relación entre el corte y la inclinación es ∆ η τ η = γ  − Σ  4 2 El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para το = γ pero la expresión η=0 ∆ Σ 4 ∆ 4 representa el radio hidráulico de la tubería circular. τ ο = γ ΡΣ 50 (2-8) (2-9) . 2   π π ∆ γπ  − η   1 − 2 + ∆σ σεν!  γ  γ 2  pero. La distribución del esfuerzo de corte en un canal es lineal: máximo en el fondo y nulo en la superficie.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería 51 . ∃η η ∃ο (a) ∃ο ∆ ∃η η ∃ο (b) Figura 2. Examinemos brevemente la distribución transversal del esfuerzo de corte.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε Para una tubería de cualquier sección transversal se obtiene mediante consideraciones análogas τ 0 = γ ΡΣ En resumen. En una tubería el esfuerzo de corte es máximo en las paredes y nulo en el centro y corresponde a la ecuación 2-11 en la que ρ es el radio de la tubería. tanto para canales como para tuberías el corte medio sobre el fondo es τ 0 = γ ΡΣ (2-10) Obsérvese que esta ecuación es válida tanto para el flujo laminar como para el turbulento. 2. Si η = 0 se tiene que τ η = τ 0 (contorno). Para el flujo laminar la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad es muy conocida y corresponde a la definición de viscosidad.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para un canal muy ancho con movimiento laminar En un canal como el presentado en la Figura 2. δςη = γΣ (ψ − η )δη ν e integrando. entonces τ η = 0. se obtiene ςη = 52 γΣ ν  η2   ψη − + Κ 2   . Se observa que si η = ρ = ∆ 2 (eje de la tubería). τη = µ δςη δη (2-12) Combinando esta ecuación con la 2-4. dividiendo por γ ( ψ − η) Σ = µ δςη δη γ ( ψ − η) Σ = ν δςη δη ρ.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα La ecuación de distribución de corte es  η τ η = τ ο 1 −   ρ (2-11) que se obtiene combinando las expresiones 2-8 y 2-9. separando variables.7 se tiene que a una distancia η del contorno existe un valor de la velocidad ( ςη ) y un valor del corte ( τ η ). La relación entre ςη y τ η depende de que el flujo sea laminar o turbulento. ςη = 0 . El valor de la constante de integración se obtiene para la condición que la velocidad es nula en el contorno ( η = 0 . Κ es una constante de integración. ψ es el tirante. ν ςη es la velocidad a la distancia η del fondo. Σ es la pendiente de la es la viscosidad cinemática. Sin embargo. Es una curva parabólica. ςη = γΣ  η2   ψη −  ν  2  (2-13) que es la ecuación de distribución de velocidades en un canal muy ancho con flujo laminar. Κ = 0 ). como la curva de distribución es parabólica se puede obtener la velocidad media por simple aplicación de las propiedades geométricas de la parábola. calculado por integración de la ecuación de distribución de velocidades.7 2 θ = ςµαξ ψ 3 53 . luego. ςµαξ Parábola ψ ςη δη δθ η Figura 2.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε Expresión en la que línea de energía.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar La velocidad máxima corresponde a la superficie ( η = ψ ) ςµαξ = γΣ 2 ψ 2ν (2-14) La velocidad media se puede obtener a partir del gasto. Según la Figura 2. 7 se observa que la velocidad superficial corresponde a la condición δςη =0 δη Evidentemente que también puede hacerse el cálculo por integración. el valor de la velocidad media. θ=∫ η= ψ η =0 ςη δη calculado θ se obtiene por división entre el área ψ . 54 . que es el de la ecuación 2-15. θ = ςψ Luego. Pero también se tiene que. θ es el gasto específico (por unidad de ancho). 2 ς = ςµαξ 3 ς= 2 γΣ 2 ψ 3 2ν ς= γΣψ 2 3ν (2-15) Que es la fórmula para el cálculo de la velocidad media en un canal con flujo laminar y que evidentemente equivale a ς= γΣΡ 2 3ν (2-15) Obsérvese que en el movimiento laminar la velocidad es proporcional a la primera potencia de la pendiente. En la Figura 2.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Puesto que el área de la parábola es igual a los 2/3 del rectángulo circunscrito. ςη = γΣ  ∆η η 2   −  ν  4 4 (2-16) que es la ecuación de distribución de velocidades para una tubería con movimiento laminar.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para una tubería con movimiento laminar Combinado las ecuaciones 2-8 y 2-12 se obtiene µ δςη ∆ η = γ  − Σ δη  4 2 de donde. luego de separar variables e integrar. ςη = 0 . Luego. pero en este caso aplicamos la propiedad geométrica que dice que el volumen de un paraboloide es la mitad del cilindro circunscrito. La velocidad máxima se presenta en el eje y corresponde a ςµαξ = γΣ ∆ 2 ν 16 η=∆ 4 (2-17) La velocidad media puede obtenerse por integración de la ecuación 2-16.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε 2. 1 ς = ςµαξ 2 En una tubería con flujo laminar la velocidad media es igual a la mitad de la velocidad máxima. se llega a ςη = γΣ  ∆η η 2   −  + Κ 4 ν  4 El valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones del contorno ( η = 0 . Κ = 0 ). ς= γΣ ∆ 2 ν 32 (2-18) 55 . es decir. Luego. 8 cual sería la variación en el gasto si la temperatura disminuye a 0 ºC. tenemos ς= γΣ 2 Ρ 2ν (2-19) expresión que es muy parecida a la ecuación 2-15. Calcular la viscosidad del petróleo. Θ= γπ ∆ 4 Σ 128ν y.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα que es la conocida ecuación de Hagen .1 Se bombea petróleo crudo en una tubería horizontal de 6 cm de diámetro. Considerar que la diferencia de presiones permanece constante. Si expresamos esta ecuación en función del radio hidráulico. En un caso el denominador es 2 y en otro 3. El gasto es de 25 litros por minuto. que fue establecida para un canal. Se ha verificado que entre dos manómetros colocados en la tubería a una distancia de 1 000 m hay una diferencia de presión de 0. ς= Θ Θ = Α π ∆2 / 4 obteniéndose el valor de la ecuación 2-18 Mediante sencillas transformaciones de la ecuación 2-18 se obtiene que la diferencia de cotas piezométricas separadas por la longitud Λ a lo largo de la tubería es 32 µ ςΛ γ ∆2 (2-19a) Ejemplo 2. 56 .Poiseuille. Determinar aproximadamente y con ayuda de la Figura 1. ς= γΣΡ 2 (2 á 3)ν La velocidad media también podría haberse obtenido por la integración de la ecuación 2-16 Θ=∫ η=∆ / 2 η =0 ∆  ςη 2π  − η  δη 2  de donde. Podríamos concluir que cualquier otra sección transversal intermedia entre los dos casos extremos estudiados (canal muy ancho y tubería circular) debe tener en el denominador un valor comprendido entre 2 y 3.103 Kg/cm2 . entonces µ = 1. La viscosidad dinámica que hemos obtenido corresponde.6 x 10-3 kg-s/m2 Aplicando nuevamente la ecuación 2-19a 1 030 = 32 × 1.00283 m2 ς= Θ Α = 0.147 m/s Luego.103 kg/cm2 = 1030 kg/m2 Θ = 25 l/min = 0.000417 m3/s Α= π ∆2 4 = 0. según la Figura 1. 57 . efectivamente laminar y corresponde a una temperatura de 20 ºC (aprox. ς = 0.9 x 10-4 kg-s/m2 Ahora debemos verificar el número de Reynolds para comprobar que el flujo es laminar.06 = = 980 ν 9 × 10 −6 El flujo es.6 × 10 −3 × ς × 1 000 36 × 10 −4 Se obtiene.86. π1 − π2 = 0.) Si la temperatura disminuye a 0 ºC. π1 − π2 = 32µ ςΛ ∆2 (2-19a) π1 y π2 son las presiones en las dos secciones de la tubería. a un petróleo crudo cuya densidad relativa es 0. Por ser una tubería horizontal en la que supondremos un régimen laminar. µ = 7.8.147 × 0. ν = 9 x 10-6 m2/s Re = ς∆ 0.147 × 1 000 36 × 10 −4 De donde.0724 m/s que es la nueva velocidad media al disminuir la temperatura (y aumentar la viscosidad). 1 030 = 32 ∝ × 0 .Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε Solución. Luego. pues. 01 kg-s/m2.2 ψ ς0.2 y 0. que representa el 50. ¿Cuál es la velocidad máxima que se presenta en la tubería? A 3m 30 0m 58 B .18  γΣ 2 ψ  = 0. expresión que es prácticamente igual a la ecuación ν 2-15 que nos da la velocidad media en un canal con flujo laminar El promedio de estos dos valores es 0.92 y la viscosidad es 0. 2 = 0. 8 = γΣ  0.8 del tirante.3 l/min La reducción es de 12.8 ψ 2 − 2 ν  0.48 ν  γΣ 2 ψ ν γΣ 2 ψ .64 ψ 2  0.3 Se bombea aceite a razón de 14 l/s en una tubería de 10 cm de diámetro. La densidad relativa del aceite es 0.33 ς= γΣ 2 ψ 3ν Ejemplo 2.2 Demostrar que en un canal con flujo laminar se puede calcular la velocidad media promediando las velocidades a 0. que nos da la distribución de velocidades en un canal con flujo laminar ςη = γΣ ν  η2   ψη −  2   Luego aplicamos esta ecuación a los dos tirantes mencionados 0. ¿Cuál será la diferencia entre las lecturas de los manómetros de los puntos A y B mostrados en la figura?.8 % Ejemplo 2.8 ψ ς0 . Solución.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα El nuevo gasto es Θ = 12. Partimos de la ecuación 2-13.7 l/min. δ  δςη  1 δπ = ρ ρ δρ  δρ  µ δξ expresión en la que ςη es la velocidad a la distancia ρ del eje ξ .07 x 10-4 m2/s Luego. es ςµαξ = γΣ ∆ 2 ν 16 ςµαξ = 3. Re = ς∆ = 1 664 ν con lo que se confirma que el flujo es laminar. ηφ Λ = 0.0619 x 300 = 18.55 m/s Valor que efectivamente corresponde al doble de la velocidad media (como debe ser en el régimen laminar).4 Demostrar que en una tubería circular con flujo laminar se cumple que.0619 γ Ρ2 o bien. δξ 59 . pues.78 m/s Α ν = 1. ∆π = 920 x 15. Despejamos ahora la pendiente Σ Σ= 2µ ς = 0.57 x 10-4 = 1.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε Solución. de 18. µ es la viscosidad dinámica y δπ es el gradiente de presiones.0619 η φ = 0.57 m. Supongamos que el flujo es laminar (ecuación 2-19) ς = γΣΡ 2 2ν Para aplicar esta ecuación tenemos los siguientes datos ς= Θ = 1.43 kg/cm2 La velocidad máxima. Como la diferencia de elevaciones es de 3 m se concluye que la diferencia de presiones debe equivaler a 15.57 m La diferencia de cotas piezométricas es. Ejemplo 2.57 m Luego. según la ecuación 2-17. Se cumple así que. entonces la velocidad máxima se presenta al radio ρ ρ = ρ1 α2 −1 2 ln α α= ρ2 ρ1 Solución. 2π ρ∆ξµ δςη δρ Como el flujo es laminar se ha introducido la ec. longitudinalmente.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Luego. demostrar que si se desarrolla un flujo laminar en el espacio comprendido entre dos tuberías concéntricas de radios ρ1 y ρ2 . Consideremos un elemento anular de espesor δρ . 2-12. una distancia ∆ξ . La variación de la fuerza de corte con el radio ρ es 2π ∆ξµ 60 δ  δςη   ρ δρ  δρ  (1) . δπ δξ ∆π = ∆ξ ρ1 ρ2 ρ2 ρ1 ρ1 ρ ρ2 δρ #ξ La fuerza debida a la diferencia de presiones es igual al área del anillo por la diferencia de presiones 2π ρδρ ∆ξ δπ δξ La fuerza de corte sobre el anillo es igual a su área por el esfuerzo de corte 2π ρ∆ξ τ η o bien. Consideremos también. integrando la expresión anterior. ubicado al radio ρ y cuya velocidad es ςη . en cuyos extremos hay presiones π1 y π2 cuya diferencia es ∆π . δ  δςη  1 δπ = ρ ρ δρ  δρ  µ δξ Integrando dos veces la ecuación obtenida se encuentra la velocidad ςη ρ δςη ρ 2 δπ = +Α δρ 2µ δξ δςη ρ δπ Α = + δρ 2 µ δξ ρ ςη = ρ 2 δπ + Α ln ρ + Β 4µ δξ Por condición de contorno se obtiene dos ecuaciones Si ρ = ρ1 . entonces ςη = 0 Α ln ρ1 + Β = − ρ12 δπ 4 µ δξ Α ln ρ2 + Β = − ρ22 δπ 4µ δξ de donde. Α(ln ρ2 − ln ρ1 ) = Α= La velocidad es máxima cuando ρ12 − ρ22 δπ 4µ δξ ρ12 − ρ22 δπ 1 4 µ δξ ln ρ2 ρ1 δςη =0 δρ 61 .Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε y la fuerza total sobre el anillo se obtiene multiplicando esta expresión por δρ 2πµ ∆ξ δ  δςη  ρ δρ δρ  δρ  (2) Las ecuaciones 1 y 2 deben ser iguales δπ δ  δς  = 2πµ ∆ξ  ρ η δρ δξ δρ  δρ  2π ρδρ∆ξ de donde. entonces ςη = 0 Si ρ = ρ2 . Para hallar las ecuaciones correspondientes en el movimiento turbulento habrá que recurrir además a información experimental. ρ es la densidad del fluido. como lo hemos visto. entre los que los más importantes son Prandtl. las ecuaciones de distribución de velocidades en el flujo turbulento se calculan en base a estudios teóricos y experimentales de algunos investigadores hidráulicos. en Delft. Para obtener la ecuación de distribución de velocidades debemos establecer previamente una relación entre el corte y la velocidad. recurriendo únicamente a consideraciones teóricas. von Karman y Nikuradse. a la que llama longitud de mezcla. Así pues. que nos da la tensión tangencial adicional presente en el flujo turbulento y que es τ η = ρ υ 'ς ' υ ' y ς ' son las fluctuaciones de la velocidad en un punto (flujo bidimensional).5 Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso El desarrollo que se presenta a continuación corresponde al expuesto por el profesor Thijsse. Partiendo de la expresión de Reynolds. Prandtl introduce una longitud característica Λ . Esta longitud representa la distancia media que tiene que recorrer una partícula para transferir o 62 .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα δςη ρ δπ Α = + =0 δρ 2 µ δξ ρ ρ 2 δπ ρ12 − ρ22 δπ 1 + =0 2 µ δξ 4 µ δξ ln ρ2 ρ1 ρ2 = ρ12 2  ρ22  1  2 − 1  ρ1  ln ρ2 ρ1 obteniéndose finalmente ρ = ρ1 α2 −1 2 ln α siendo α = ρ2 ρ1 2. La determinación de la distribución de velocidades en el flujo laminar se hace. De la ecuación 2-20 obtenemos δς τη =Λ η δη ρ (2-21) Examinaremos a continuación lo que ocurre en un canal y en una tubería. La condición es que la longitud de mezcla debe ser cero tanto en el fondo como en la superficie. obtenemos τη =κ ρ 1  η  2 δςη η1 −  ψ  δη  63 . Esto puede expresarse por medio de 1  η 2 Λ = κ η1 −  ψ  (2-22) κ es la constante de Karman. Reemplazando este valor de la longitud de mezcla en la ecuación 2-21.  δς  τ η = ρ Λ2  η   δη  2 (2-20) expresión para el flujo turbulento. Este concepto de longitud de mezcla es análogo al de recorrido libre medio de la teoría cinética de los gases. que consideramos correspondiente a la ecuación 2-12.4 (sin sólidos en suspensión). que es para el flujo laminar.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε perder su exceso de cantidad de movimiento. Prandtl consideró que υ ' es proporcional a δςη δη o o o υ' = Λ δςη δη ς ' es proporcional a δςη δη o o o ς '= Λ δςη δη y por lo tanto. para la que aceptamos el valor de 0. a) Canal muy ancho Debemos establecer para este caso una relación entre Λ y la profundidad. Consideremos entonces que la constante de integración. ρ ς* = τ0 = γψΣ ρ (2-24) Luego reemplazando en 2-23 δςη = ς* δη κ η integrando ςη = ς∗ ln η + Κ κ Evidentemente que esta ecuación no es válida hasta el fondo porque allí para (2-25) η=0. ln 0 = −∞ . Hay otras definiciones para la longitud de mezcla. cuyo valor estamos tratando de hallar. Aceptaremos que la ecuación 2-25 sólo es válida hasta una cierta distancia muy próxima al fondo. Sin embargo acá nos limitamos a presentar la teoría de Karman – Prandtl. γψΣ = κ η δςη δη separando variables. La expresión γψΣ que es igual a τ0 recibe el nombre de velocidad de corte. que buscan también una concordancia entre los resultados teóricos y las mediciones observadas. tiene la forma 64 . γψΣ δη κ η δςη = (2-23) Hemos llegado a esta ecuación a partir de una definición de la longitud de mezcla. dada por la ecuación 2-22.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ sustituyendo ahora el valor de Αρτυρο Ροχηα τ η según la ecuación 2-4 γ ( ψ − η) Σ =κ ρ 1  η  2 δςη η1 −  ψ  δη  simplificando. lo que es inadmisible. Es decir. la velocidad es cero. Se supuso y esta es la esencia de la teoría de Prandtl. 65 .8 Subcapa laminar Vamos a admitir que dentro de esta subcapa laminar el esfuerzo de corte es constante e igual al esfuerzo de corte sobre el fondo ( τ η = τ 0 . para η ≤ δ ). En el capitulo III presentamos con más detalle el concepto de capa límite y la aparición dentro de ella de una subcapa laminar.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε Κ =− ς* ln η0 κ η0 representa la distancia del fondo a la cual. que para el caso de un fondo liso se desarrolla cerca al fondo una delgada capa en la que el flujo es laminar. El espesor de esta subcapa laminar se designa con la letra δ Ecuación 2-26 Ecuación 2-27 % Fondo liso ηο Figura 2. según la ecuación 2-25. que la distribución de velocidades en esta subcapa es diferente a la que estamos aceptando para el resto de la sección. Reemplazando en la ecuación 2-25 el valor propuesto para la constante de integración se obtiene ςη = ς* η ln κ η0 (2-26) La imposibilidad de llevar hasta el contorno la validez de la ecuación 2-25 nos hace pensar que algo ocurre cerca de las paredes. la consecuencia de haber considerado que dentro de ella el corte es constante es que la distribución de velocidades es lineal y no parabólica (como correspondería a un movimiento laminar). Evidentemente que para η = δ ambas ecuaciones deben coincidir ςδ = ς*2 δ ν (flujo laminar) ςδ = ς* δ ln κ η0 (flujo turbulento) igualando estos dos valores se obtiene ς*2 ς δ δ = * ln ν κ η0 Para determinar el valor de 66 δ (2-27a) se realizó una combinación de consideraciones teóricas y . y se designa con el nombre se subcapa laminar. muy delgado. Ver Figura 2. que es para el flujo turbulento y la 2-27 que es para el flujo laminar que se desarrolla cerca al fondo en una capa cuyo espesor. ςη = ς*2 η+ Κ ν La condición de velocidad nula en el fondo determina que Κ =0 Luego ςη = ς*2 η para 0 ≤ η ≤ δ ν (2-27) Tenemos ahora dos ecuaciones de distribución de velocidades: la 2-26.8.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα En el flujo laminar el corte es τη = µ reemplazando δςη δη τ η = τ 0 y separando variables. es δ . δςη τ 0 τ 0 ρ ς*2 = = = µ µ ρ ν δη integrando. En este caso particular y por ser muy delgada la capa. Si llevamos estos valores a un gráfico semilogarítmico representado para el flujo laminar los valores de la ecuación 2-27 y para el flujo turbulento valores experimentalmente medidos se tiene 100 000 10 000 UL EN TO ςη ς* TU RB 1 000 100 LA M IN AR 10 0 0 5 10 11. luego ς* η = 11. Luego ς*δ = 11.6 ν (2-28) 67 .9 Relación entre parámetros adimensionales para el cálculo de la distribución de velocidades Obviamente la intersección de las dos curvas marca el límite de aplicación de cada una de ellas y resulta ser 11.6 15 20 25 30 35 ς* η ϖ Figura 2.6 ν a ese valor de η se le denomina δ .Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε experimentales a partir de la aceptación que la distribución de velocidades en un conducto liso es una relación entre dos parámetros adimensionales ςη ς* ς∗ η # . tal como se ha visto en la ecuación 2-27 para el flujo dentro de la subcapa laminar.6. Posteriormente señalaremos cuando se dice que un contorno es hidráulicamente liso.6ν ς* δ = ln ν ς* κ η0 ln δ = 11. pues. cuyas paredes sean hidráulicamente lisas. constante de Karman es de 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Reemplazando este valor en el primer miembro de la ecuación 2-27a ς*2 11. canal o tubería.64 η0 η0 = δ 104 (2-29) si reemplazamos este valor en la ecuación 2-26 se obtiene ςη = ς* 104η ln κ δ (2-30) que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente liso. se obtiene luego de algunas sustituciones una ecuación correspondiente a la 2-23. La ecuación 2-30 es. 68 . demostrándose así que la distribución de velocidades en el flujo turbulento es logarítmica. b) Tubería En este caso la longitud de mezcla tiene por expresión  2η  Λ = κ η1 −  ∆  1 2 (2-31) reemplazando este valor y el de la distribución del esfuerzo de corte en una tubería. con lo que el desarrollo continúa igual.6κ η0 El valor de κ . en la ecuación 2-21. como se demuestra a continuación. de carácter general para un conducto. ecuación 2-8. Para la distribución de velocidades en una tubería se obtendrá una expresión idéntica.4 ln δ = 4 . ςη ς* η ∃ . Luego. θ=∫ [ η= ψ η =δ ς* 104η δη ln κ δ ς θ = * ∫ ln104 δη + ∫ ln η δη − ∫ ln δ δη κ θ= ] ψ δ ψ ς* [ln104 η + η ln η − η − ln δ η]δ κ Reemplazamos los límites 69 . θ=∫ συπερφιχιε χοντορνο ςη δη Los límites de la integral los fijamos de acuerdo a la extensión de la validez de la ecuación de ςη . El contorno hidráulicamente liso es aquel que permite el desarrollo de una subcapa laminar. dividiendo el gasto entre el área obtendremos la velocidad media. Es decir.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos lisos En general los contornos pueden ser lisos o rugosos.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε Se observa que la ecuación 2-30 corresponde a una relación entre dos parámetros adimensionales. por cuanto. que guarda correspondencia con lo expuesto anteriormente. η ς η  =ϕ  *  δ  ν  2. para el flujo turbulento despreciamos la pequeñísima porción que corresponde al flujo laminar. a) Canal muy ancho Por integración de la ecuación 2-30 obtenemos el gasto específico para un canal muy ancho. naturalmente. entre otras.3 ψ = ln δ ψ κ ς= ς* 38.3 ψ ln κ δ que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho con fondo hidráulicamente liso y que evidentemente equivale a ς= ς* 38.3Ρ ln κ δ (2-32) En el desarrollo que nos ha permitido llegar a esta expresión se ha hecho. no es rigurosamente exacto.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα η= ψ η =δ Se obtiene θ= ς*  ψ ln104( ψ − δ ) − ( ψ − δ ) + ψ ln   κ  δ Consideramos ahora que. la simplificación de suponer ψ − δ = ψ . De otro lado debemos recordar que al fijar los límites de integración hemos despreciado el flujo a través de la subcapa laminar. b) Tubería El gasto es Θ=∫ 70 ∆  ςη 2π  − η δη χοντορνο 2  χεντρο .3 ψ = ψ ln ψ ln εδ κ κ δ ς= θ ς* 38. ψ −δ  → ψ θ= θ= ς* κ ψ  ψ ln 104 − 1 + ln  δ  ς* 104 ψ ς* 38. lo que. 10 Flujo a través de un anillo Θ=∫ η=∆ / 2 η =δ Θ = 2π Como límites de la integral fijamos laminar) y ∆  ς 104η δη 2π  − η  * ln δ 2 κ ς* ∆ / 2  ∆  104η δη  − η  ln ∫ δ κ δ 2  η = δ (despreciando así el flujo a través de la subcapa η = ∆ / 2 (eje de la tubería). cuya distancia al contorno es η . ∆ ς ∆ ∆ ∆ ∆ 2 Θ = 2π *  η ln104 + η ln η − η − lnδ η − ∫ η ln104 δη − ∫ η ln η δη + ∫ η lnδ δη 2 2 2 κ 2 δ 71 . El perímetro es 2π  − η  y el área 2  ∆  − η δη . Obsérvese que se ha determinado los límites de integración en función del campo de validez de la fórmula (flujo turbulento). luego. ∆ 104η 104η  2 ς ∆ Θ = 2π *  ∫ ln δη − ∫ η ln δη κ 2 δ δ δ la primera integral ya ha sido evaluada.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε el gasto total se obtiene por integración a partir del flujo a través de un pequeño anillo de espesor ∆  δη . 2  elemental correspondiente es 2π  δη ρ ∆ −η 2 ∆ η Figura 2. 4 Ρ ln κ δ (2-33) que es la ecuación que nos da la velocidad media de una tubería hidráulicamente lisa. la relación entre dos parámetros adimensionales. Obsérvese que las ecuaciones 2-32 y 2-33 son muy similares. Vamos a partir de la ecuación 2-26 cuya validez es genérica e independiente de la naturaleza del fondo (liso o rugoso) ςη = ς* η ln κ η0 Exagerando el tamaño de las asperezas del fondo tendríamos 72 .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα desarrollando y simplificando convenientemente obtenemos ς*  ∆ 2 104 ∆  Θ = 2π  ln 3 / 2  κ  8 2ε δ  ς= 104 ∆ Θ Θ ς = = * ln 3 / 2 2 Α π ∆ / 4 κ 2ε δ sustituyendo ∆ = 4 Ρ ς= ς* 46. o sea las protuberancias de su superficie. son tan grandes comparativamente con δ que no permiten el desarrollo de una subcapa laminar. ς Ρ =ϕ   ς* δ  Lo mismo ocurre con la ecuación de distribución de velocidades (2-30) ςη η =ϕ   ς* δ  En ambos casos la función es logarítmica por ser un flujo turbulento. 2.7 Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso En un contorno hidráulicamente rugoso las asperezas del fondo. Representan un concepto fundamental. Trabajó con tuberías en cuya superficie interior colocó una capa de arena de diámetro uniforme κ . entonces κ = 2α Reemplazando el valor de o o o η0 = α 15 (2-35) ηο en la ecuación genérica de distribución de velocidades (2-26) se obtiene ςη = ς* 30η ln κ κ (2-36) que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno rugoso (tubería o canal).Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε Ecuación 2-26 % Figura 2.11 que no es posible que se desarrolle la subcapa laminar. Repitiendo las experiencias para diversos diámetros y valores de κ llegó a la conclusión que la validez de la ecuación 2-26 puede extenderse hasta η0 = siendo κ 30 (2-34) κ el tamaño absoluto promedio de las irregularidades (asperezas) del fondo y que tiene un valor particular para cada material. En la Tabla 2.1 se presentan los tamaños de la rugosidad absoluta para diversos materiales. quien utilizó en realidad rugosidad artificial y homogénea. A veces se usa la mitad de este valor como representativo. Las ecuaciones 2-30 y 2-36 son las ecuaciones de la distribución de velocidad de KarmanPrandtl. El estudio experimental del comportamiento de las tuberías rugosas fue hecho por Nikuradse.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso Se observa en la Figura 2. 73 . En las tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes.5 x 10 -5 -5 5 x 10 Acero rolado nuevo Acero laminado. nuevo -5 -4 4 x 10 – 10 -4 Fierro fundido.5 x 10 -4 Concreto bien acabado.8x10 -4 – 9 x 10 Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados. En el concreto el acabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menores a los presentados en la Tabla 2. plástico.) 1.6 x 10 -4 -5 Concreto muy bien terminado. nuevo 2. asfaltado 1.1 VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA κ κ (m) MATERIAL Tubos muy lisos sin costura (vidrio. a mano 10 -5 Concreto liso 2.9 x 10 -5 Asbesto cemento.5 x 10 Fierro galvanizado 1. nuevo 2.9 x 10 – 0.5 x 10 Concreto centrifugado nuevo 1.5 x 10 Fierro fundido. acero -6 nuevo con superficie pintada. Por su propia naturaleza son valores aproximados. usado 2 x 10 Concreto sin acabado especial 10 -3 -3 – 3 x 10 -2 Concreto rugoso Duelas de madera -4 – 3 x 10 10 -4 1. La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande. Su determinación se ha hecho por métodos indirectos. 74 . cobre.5 x 10 Fierro forjado 4.1. etc.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα TABLA 2.5 x 10 -4 -3 0.2 x 10 Fierro fundido oxidado Acero remachado -4 -4 -3 -3 1 x 10 – 1. según el caso. 75 .8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos rugosos a) Canal muy ancho Obtenemos el gasto específico por integración. ψ − η0 → 0 θ= ς= ς*  ψ  ς ψ 30 ψ ψ ln 30 − ψ ln κ + ψ ln  = * ln  κ  ε κ εκ θ ς* 30 ψ = ln ψ κ εκ  → ς= ς* 11 ψ ln κ κ que evidentemente equivale a ς= ς* 11Ρ ln κ κ (2-37) que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho de fondo hidráulicamente rugoso.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε 2. θ=∫ συπερφιχιε φονδο ςη δη considerando como distribución de velocidad la ecuación 2-36 y reemplazando se obtiene θ= θ= ς* η = ψ 30η ln δη κ ∫ η = η0 κ [ ς* ln 30∫ δη + ∫ ln ηδη − ln κ ∫ δη κ θ= ] ψ η0 ψ ς* [η ln 30 + η ln η − η − η ln κ ]η0 κ    ς ψ η  θ = ∗ ln 30( ψ − η0 ) − ln κ ( ψ − η 0 ) + ψ ln − η0 ln 0  ε #∀! ε κ   → 0  pero. El gasto.4 Ρ ln κ κ (2-38) que es la ecuación de la velocidad media en una tubería de fondo hidráulicamente rugoso. Se observa que ambas ecuaciones son muy parecidas. Θ=∫ ∆ 2 η0 ς* 30η ln 2π κ κ ∆   − η δη 2  integrando y simplificando se obtiene ς= ς* 13.3Ρ ln κ δ (canales) ς= ς* 46.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα b) Tubería Se procede como en los casos anteriores.9 Obtención de la ecuación de Chezy Hasta el momento hemos obtenido dos fórmulas para el cálculo de la velocidad media en conductos lisos: una para canales (2-32) y otra para tuberías (2-33).10. ς= ς* 38. Con el objeto de obtener una fórmula aproximada que comprenda tanto a tuberías como a canales tomamos el promedio aproximado de los coeficientes y se obtiene 76 . se ha expresado en función del radio hidráulico. es Θ=∫ Reemplazando el valor de χεντρο χοντορνο ∆  ςη 2π  − η δη 2  ςη según la ecuación 2-36. puesto que para ese caso el radio hidráulico es igual al tirante. Difieren sólo en el valor numérico del coeficiente de Ρδ. 2. que fue establecida para un canal muy ancho. de acuerdo a la Figura 2.4 Ρ ln κ δ (tuberías) Conductos lisos La ecuación 2-32. tubería o cualquier otra sección intermedia). conductos lisos.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε ς= ς* 42 Ρ ln κ δ (2-39) Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto liso (canal muy ancho. Para la solución de problemas prácticos usaremos la ecuación 2-39. Para los conductos rugosos también hemos obtenido dos fórmulas: una para canales (2-37) y otra para tuberías (2-38) Conductos rugosos ς= ς* 11Ρ ln κ κ (canales) ς= ς* 13. En el segundo caso se entiende que el tamaño de la rugosidad absoluta y de las características del escurrimiento no permiten que se desarrolle una subcapa laminar.4 Ρ ln κ κ (tuberías) Ambas ecuaciones son también muy parecidas y pueden reemplazarse por otra que considere el promedio aproximado de los coeficientes de ς= ς* 12 Ρ ln κ κ Ρκ (2-40) Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto rugoso (canal muy ancho. En cambio en el primer caso. tubería o cualquier otra sección intermedia). Obsérvese que no se trata de una operación algebraica. si existe una subcapa laminar y la velocidad es función de su espesor. Un conducto puede tener paredes hidráulicamente lisas o hidráulicamente rugosas. Con fines prácticos estableceremos una fórmula que involucre ambos casos. Eventualmente pueden presentarse casos intermedios o de transición. para demostraciones las ecuaciones 2-32 y 2-33. combinando las ecuaciones 2-39 y 2-40. sino de una adaptación ς= 6Ρ ς* ln κ κ +δ 2 7 (2-41) 77 . Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Ρ % 2 5 10 20 50 100 200 500 1 000 2 000 5 000 10 000 C= 90 10 000 S NO S R O O IS NT . D HI C = 40 C = 35 C = 30 C= 20 10 5 25 2 Re 5x 2x Re 5x 2x Re 5x 2x Re 5x 6 0 =1 5 10 5 10 5 4 0 =1 4 10 4 10 3 3 0 =1 10 3 10 0 =1 2 10 Ρ = Radio hidráulico κ = rugosidad (según Tabla 2. de Delft. 2.1) δ = espesor de la subcapa laminar (ec.12 Coeficiente 78 Χ de Chezy .28) Re = ςΡ (referido al radio hidráulico) ν (Este diagrama ha sido tomado de las Lecciones de Clase del Profesor Thijsse. L O C IDR H C = 85 5 000 C = 80 2 000 C = 75 1 000 C = 70 500 C = 65 C = 60 200 C = 55 Ρ κ 100 C = 50 50 C = 45 S S NO S O R O O NT RUG O C R. Holanda) Figura 2. Haremos ahora algunos reemplazos en esta ecuación para darle otra forma ς= γΡΣ γ 6Ρ 6Ρ = ln 10 log ln κ δ κ δ κ κ + + 2 7 2 7 ς = γ × 2. caso contrario si δ no tiene significación entonces es la ecuación de los conductos rugosos. Sus dimensiones son L1/2 T-1.12.10 Concepto de rugosidad. en la que Χ = 18 log 6Ρ κ δ + 2 7 (2-43) Χ es el coeficiente de Chezy. 79 . Sus unidades son m1/2/s puesto que corresponde a γ.3 = 18 Luego.5 × 2. Conductos hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugosos Cada contorno tiene su propia aspereza o rugosidad que depende del material de que esta hecho y de su estado de conservación. ς = 18 log 6Ρ κ δ + 2 7 ΡΣ ς = Χ ΡΣ (2-41a) (2-42) que es la ecuación de Chezy.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε Si el valor κ de la rugosidad no tiene significación.3 log 6Ρ κ δ + 2 7 ΡΣ ΡΣ Pero γ × 2. 2. Para facilitar el cálculo y verificar los resultados se usa la Figura 2. una tubería de concreto es más rugosa que una de acero. entonces la fórmula 2-41 se convierte en la de los conductos lisos.. Un canal de tierra es más rugoso que un canal de concreto.5 × 2. Así por ejemplo. Al valor de κ (o al de α ) se le llama rugosidad absoluta. α κ .14 Rugosidad artificial de Nikuradse Se designa por κ el diámetro y por α el radio de los granos. La influencia de la rugosidad en el escurrimiento depende del tamaño del conducto.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Si pudiéramos ver con una luna de aumento el contorno de una tubería o de un canal. tirante o cualquier otra medida característica. Dan lugar a la aparición de pequeñas corrientes secundarias (vorticosas). η η (2-44) .13 Aspereza del contorno Las asperezas tienen diferente forma y tamaño. veríamos algo así como lo mostrado en la figura siguiente Figura 2. Con el objeto de estudiar la influencia de la rugosidad. ρ ρ . Estas asperezas producen una modificación en las condiciones del escurrimiento. α κ . α κ . Para ello cubrió las paredes con granos de arena de diámetro uniforme. es decir del radio de la tubería. κ = 2α Figura 2. Ρ Ρ . Se denomina rugosidad relativa a cualquiera de las relaciones siguientes α κ ∆ ∆ 80 . Nikuradse hizo experiencias en tuberías con rugosidad artificial. debe tenerse en cuenta. Cuando es posible que esta subcapa laminar exista se dice que las paredes son hidráulicamente lisas. etc.1 en la que aparece para cada material el valor de la rugosidad absoluta. una subcapa laminar. caso contrario son hidráulicamente rugosas. La posibilidad de existencia de la subcapa laminar es lo que define la naturaleza de las paredes. Existen tablas. Dicho en otras palabras.) y del tamaño. Determinar cual es la rugosidad absoluta de un conducto dado es un problema difícil. Se dice que un conducto es hidráulicamente liso (ecuación 2-39) cuando κ ≤ 0.4δ Lo que equivale aproximadamente a ς* κ ≤5 ν Se dice que un conducto es hidráulicamente rugoso (ecuación 2-40) cuando κ ≥ 6δ 81 .Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε o sus inversas. viscosidad. como lo estudiaremos luego en detalle. forma y espaciamiento de la rugosidad puede ser que se desarrolle o no. pero en última instancia el factor principal es la experiencia del ingeniero diseñador. Las experiencias que realizó Nikuradse y que fueron publicadas en 1933 son para el siguiente rango de rugosidades relativas 30 < ∆ < 1 014 κ Un conducto en el que la rugosidad relativa es de 30 se caracteriza porque es muy grande la influencia de la rugosidad en el escurrimiento. la naturaleza de las paredes depende del tamaño relativo de κ yδ. que la rugosidad cambia con el tiempo. gráficos y descripciones. Debe entenderse que por la propia naturaleza de la rugosidad y por la necesaria aproximación con la que se hacen los cálculos estos valores no pueden ser rigurosamente exactos. Como resultado de la combinación de las características del escurrimiento (velocidad. El valor de la rugosidad absoluta se determina por medio de la Tabla 2. De otro lado. 11 Transformación de las ecuaciones de Karman . ς* 104η ln κ δ ς* δ = 11.3 ς η 2.3 ψ ln κ δ . que nos da la velocidad media en un canal muy ancho de fondo hidráulicamente liso ς= 82 ς* 38.5 ς* ν (2-46) expresión equivalente a la 2-30.97 ς* κ ν κ de donde.Prandtl La ecuación 2-30 que da la distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente liso puede transformarse de la manera siguiente ςη = Combinando con 2-28.3 = log * + log 8.75 log * + 5. Reemplazo similar puede hacerse para la ecuación 2-32.6 se obtiene ν ςη = ς* 8.97ς* η ln κ ν Luego ςη 2. 2.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα lo que equivale aproximadamente a ς* κ ≥ 70 ν Para valores intermedios 5< ς* κ < 70 ν (2-45) se dice que el contorno es una transición entre liso y rugoso y se aplica la ecuación 2-41. ςη ς η = 5. 75 log * + 3 ς* ν (2-47) expresión equivalente a la 2-32.75 log + 6 ς* κ (2-50) efectuando la resta de estas dos expresiones se obtiene ςη − ς η = 5.5 ς* ψ (2-51) o bien. La ecuación 2-36 que da la distribución de velocidades en un contorno rugoso se transforma en ςη η = 5.5 ς* κ (2-49) y la que corresponde a la velocidad media (2-37) se trasforma en ς ψ = 5.75 log + 2.5 ς* ψ expresión que es igual a la 2-48. Luego. Si de la ecuación 2-46 restamos la 2-47 obtendremos para cada punto.75 log + 2. ςη − ς η = 5.5 ς* Ρ (2-52) 83 .5 ς* ψ (2-48) Con la idea de obtener una expresión análoga para el caso de canales rugosos hacemos un desarrollo similar.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε ς= ς* 3.75 log + 2.3ς* ψ ln κ ν ς ς ψ = 5. es decir. para cada valor de η . la diferencia entre la velocidad a esa distancia del fondo y la velocidad media ςη − ς η = 5.75 log + 2.75 log + 8. aceptaremos que en un canal sea liso o rugoso se cumple que ςη − ς η = 5. 25 m 800 kg/m 3 84 .75 log + 6.75 log + 2 ς* Ρ (2-57) Ejemplo 2.10 m y la presión es de 2 kg/cm2.5 En una tubería circular de acero ( κ =10-4 m) de 0. es ςη − ς η = 5. Se puede entonces aceptar que en una tubería el exceso de velocidad en un punto con respecto a la velocidad media referida a la velocidad de corte. La elevación del punto inicial es 20.75 log + 2 ς* Ρ (2-56) que restada de la 2-49 nos da obtenemos así las expresiones 2-54 y 2-56 que son iguales.8). La longitud de la tubería es 1 000 m Calcular a) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa b) el espesor de la subcapa laminar c) el coeficiente de Chezy d) la velocidad media e) el gasto Solución.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Para las tuberías se puede hacer un desarrollo similar. ςη − ς η = 5. La elevación del punto final es de 22.60 m de diámetro fluye aceite (peso específico relativo 0.75 log * + 3. La ecuación 2-33 se reemplaza.75 log + 2 ς* Ρ (2-54) Si la tubería fuera rugosa. La viscosidad del aceite es de 1 poise. La altura de presión en el punto inicial es 50 000 kg/m 2 = 6. se trasformaría la ecuación 2-38 en ς Ρ = 5. mediante sencillas transformaciones.5 ς* κ (2-55) ςη − ς η = 5.2 m y la presión en dicho punto es de 5 kg/cm2. por su equivalente ς ς Ρ = 5.5 ν ς* (2-53) Si restamos esta ecuación de la 2-46 se obtiene. 23 × 10 −4 = = 0.56 × 10 −2 = 0. δ = c) 11. Calculamos ahora la velocidad de corte (2-24) ς* = γΡΣ = 9.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε La cota piezométrica en dicho punto es 62. ς* κ 0.25 × 10 − 4 Luego las paredes se comportan como hidráulicamente lisas.6ν = 0.7 m.2 = 82. Por ser movimiento uniforme es igual a la de la línea de energía. Como las paredes son hidráulicamente lisas no interviene la rugosidad. Χ = 18 log d) 42 Ρ = 54 m1/2 /s δ Velocidad media (2-42) ς = Χ ΡΣ = 54 0.15 × 3.229 m/s Consideremos.56 × 10 −2 1 000 que es la pendiente de la línea piezométrica.0063 m ς* Coeficiente de Chezy (2-43).8 × 0. Luego calculamos la pendiente según la ecuación 2-3 Σ= ηφ Λ = 82.5 + 20.15 × 3.95 = 1. la cota piezométrica en el punto final es 47.7 − 47.95 m/s e) Gasto Θ = Ας = π ∆2 × 3.184 < 5 ν 1.12 m 3 /s 4 85 .56 × 10 −2 = 3. b) Espesor de la subcapa laminar (2-28).23 m/s a) Para saber si las paredes se comportan como hidráulicamente lisas o rugosas aplicamos la ecuación 2-45. Similarmente. ς* = 0.1 m.1 = 3. Podría haberse hecho el cálculo con la ecuación 2-33.7 × 103 # 4 Χ = 54 m1/2 /s Se observa que todos los valores coinciden en un punto. Luego de calcular la velocidad media verificamos que Re > 2 300 ( Re = 18 960 ). Para el cálculo de Χ hemos empleado la ecuación 2-39.12.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Para resolver este ejercicio se partió de la suposición de que el flujo es turbulento.15 Ρ = = 24 ∃ 0 . que es exclusivamente para tuberías lisas. 0 .15 = = 1 500 κ 10 −4 Re = ςΡ 18 960 = = 4 740 = 4 . El resultado habría sido prácticamente el mismo.0063 Ρ 0. A modo de verificación usamos el diagrama de la Figura 2. 86 . que es válida para conductos lisos. sean tuberías o canales. Para usar este diagrama recuérdese que el número de Reynolds debe referirse al radio hidráulico Ρ . mediante la siguiente ecuación implícita Χ = 18 log µ Calcular el valor de Re Χ µ para canales y tuberías. 3. Calcular el gasto. ¿Cuál es la naturaleza de las paredes?.8. fluye aceite cuya viscosidad es de 1 poise. Las características de la tubería se muestran en el esquema adjunto. 3 kg / cm 2 2 kg / cm 2 A 1 000 m B 8m 6m 2. Su peso específico relativo es de 0.75 m de diámetro.001 m). A partir de la ecuación de distribución de velocidades en un canal de fondo rugoso deducir las expresiones siguientes α = 1 + 3ε 2 − 2ε 3 β =1+ ε 2 siendo ε= ςµαξ −1 ς 87 . En un conducto circular de 0. de acero ( κ = 0. Calcular también un valor promedio para ambos conductos. Demostrar que el coeficiente Χ de Chezy se puede expresar para conductos hidráulicamente lisos.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo II) 1. 88 .2x10-6 m2/s. 9. Demostrar que si ε= ςµαξ −1 ς entonces en un canal ε = 2. en el que la presión es 5 kg/cm2 y termina en el punto B. La viscosidad es de 1.6 del tirante (medido a partir de la superficie) es igual a la velocidad media. 7. para un canal con flujo turbulento y paredes rugosas.83 = ς Χ 8.8 del tirante en un canal muy ancho con flujo turbulento es igual a la velocidad a 0. Calcular la pendiente de la línea piezométrica. Una tubería de concreto liso. Calcular cuál es el error que se comete al considerar que la velocidad a 0.0001 m. Calcular el valor de ςµαξ − ς ς* para un canal con turbulencia plenamente desarrollada.80 m de diámetro conduce agua con una velocidad de 4 m/s. ςµαξ es la velocidad máxima y ς es la velocidad media. La longitud de la tubería es de 600 m. Se tiene una tubería de 0. Definir la calidad de la paredes. Su viscosidad es de 1 centipoise.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα α es el coeficiente de Coriolis. Demostrar que el promedio de las velocidades a 0. 6.73 ς* 10.40 m de diámetro por la que circula agua. Se inicia en el punto A. cuya presión es de 3 kg/cm2 y cuya elevación es de 5 m superior a la del punto inicial. de 0.6 del tirante (midiendo el tirante a partir de la superficie). Calcular el coeficiente Χ de Chezy. Demostrar que en una tubería con turbulencia plenamente desarrollada se cumple que ςµαξ − ς = 3. β es el coeficiente de Boussinesq. Considerar κ = 0.5 ς* 7. Calcular a) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa b) el coeficiente de Chezy c) el gasto d) la pérdida de energía entre A y B 5. 4.2 y 0. La pendiente del fondo es 0.0 y 4. conservando la pendiente? ¿Qué porcentaje representa esta disminución?. El tirante es de 3 m. La tubería tiene una rugosidad uniforme κ = 4x10-4 m. 15. Calcular la rugosidad absoluta κ y la velocidad de corte.8 Kg/cm2. b) calcular el gasto. Si después resultara que la rugosidad es en realidad 10 veces mayor.80 m/s?. Un canal de concreto ( κ = 4x10-4 m) se usa para transportar agua.2x10-6 m2/s. La tubería AB de 300 m de largo y 0. Se tiene una tubería de 1. el tirante es de 2 m. c) calcular el esfuerzo de corte medio sobre el fondo. Se ha medido la velocidad superficial encontrándose que su valor es de 2. 12. En un río muy ancho. Por medio de un tubo de Pitot se ha medido la velocidad en el eje y en un punto ubicado a la distancia ∆ / 4 del contorno. El ancho en el fondo es de 4 m y el ancho superficial es de 12 m. Una tubería de sección circular de 0.2 m por 100. Hallar la velocidad media y el gasto. ¿Cuál es la máxima diferencia de elevación que puede existir entre A y B para que la tubería se comporte como hidráulicamente lisa? ¿Cuál sería la velocidad en este caso?.4x10-6 m2/s.2 m/s. 16. Demostrar que en una tubería de radio ρ se cumple que ςη − ς η = 5.75 log + 3.73 ς* ρ 19. El gasto por unidad de ancho es de 4 m3/s/m.50 m/s. Se sabe que en una tubería con flujo laminar la velocidad máxima es el doble de la velocidad media. 13. cuál sería la reducción del gasto. Calcular para un flujo turbulento a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidad media: a) en un canal.80 m de diámetro lleva agua que tiene una viscosidad de 1.3 del capítulo I). Verificar que esto se cumple para el ejemplo 2. 17. Considerando que la viscosidad cinemática del agua es 1. b) en una tubería. Los valores leídos son 5.80 m de diámetro conduce agua que ocupa la mitad de su sección transversal. Demostrar que a esa distancia es independiente de que el contorno sea liso o rugoso (comparar con el ejemplo 1. 14. La presión en el punto A debe ser de 4 Kg/cm2 y en el punto B de 3. La viscosidad del agua es 1.1 de este capítulo. 18.Χαπτυλο ΙΙ Μοϖιµιεντο Υνιφορµε 11.60 m de diámetro que conduce aire. ¿Qué inclinación debe dársele para que se establezca un flujo uniforme con una velocidad media de 0. a) decir si las paredes son lisas o rugosas. Demostrar que la condición para que un contorno se comporte como hidráulicamente liso se puede expresar por κ< 5Χν γς 89 . La rugosidad es de κ = 10-4 m.2x10-6 m2/s. cuyo fondo se supone constituido por partículas de diámetro uniforme κ . 22. Calcular en el ejemplo 2. en la expresión anterior. se obtiene la velocidad media correcta con un error de 0. para usar la fórmula en el sistema inglés? 24.5% para valores de ξ comprendidos entre 4 y 10. 90 . 21. Dibujar la distribución de velocidades. b) si el flujo es turbulento. a) si el flujo es laminar. Demostrar que Χ = 18 log 12 κ Χ + Ρ Re 23.3 a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidad media. Calcular a que radio debe colocarse un tubo de Pitot en una tubería para obtener con una sola lectura la velocidad media.25 ρ del contorno. ¿Qué valor habría que usar en lugar de 18. En una tubería la distribución de velocidades esta dada por 1  η ξ ςη = ςµαξ   ρ Demostrar que si por medio de un tubo de Pitot se mide la velocidad a la distancia 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 20. Las fuerzas que actúan son la diferencia de presiones.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería La suma de la fuerza debida a la diferencia de presiones y la componente del peso es igual a la resistencia que ofrece el contorno ( π1 − π2 ) Α + γ Λ sen θ Α = τ 0 ΠΛ (3-1) 91 . Λ π1 ∀ο π2 ζ1 Plano de referencia ! ζ2 Figura 3. la fricción y el peso del fluido. Entre estas fuerzas debe haber equilibrio.1 Ecuación de Darcy Consideremos el flujo en un cilindro de longitud Λ .Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ ΙΙΙ CAPITULO LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL MOVIMIENTO UNIFORME 3. ηφ = Λ ς2 4 Χ2 ∆ Multiplicando y dividiendo por 2 γ el segundo miembro se llega a la expresión de la pérdida de carga Λ ς 2 8γ ηφ = ∆ 2γ Χ 2 Denominaremos φ .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Α es la sección transversal. Tomando en cuenta las ecuaciones 2-10 y 2-42 se tiene. coeficiente de Darcy a la relación entre 8 γ y el cuadrado de φ = 8γ Χ2 Χ (3-2) Sustituyendo. ηφ = φ 92 Λ ς2 ∆ 2γ (3-3) . Π el perímetro y τ 0 el corte medio sobre el contorno. 2-42) γ 2 ς Χ2 ς = Χ ΡΣ si dividimos ambos miembros de la ecuación 3-1 por γ Α y se reemplaza el valor obtenido para τ 0 se obtiene π1 − π2 ς Π + Λ sen θ = 2 Λ Χ Α γ de donde. 2-10) τ 0 = γ ΡΣ τ0 = o o o (ec. π  π  ς2 Π  1 + ζ1  −  2 + ζ 2  = 2 Λ γ  γ  Χ Α luego. (ec. Consideremos que el flujo es turbulento. La ecuación de Darcy es en esencia igual a la ecuación de Chezy. (ec. 2-19) ς= γ ΣΡ 2ςµ Ρ o o o τ0 = 2ςµ Ρ γ ΣΡ 2 2µ Reemplazando en la ecuación 3-1 el valor obtenido para τ 0 . diámetro ∆ y velocidad media ς . El desarrollo anterior ha sido hecho para un movimiento turbulento.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ que es la ecuación de Darcy. Esto puede demostrarse utilizando los conceptos hasta ahora expuestos y haciendo simples transformaciones algebraicas. 2-19). También se le conoce con el nombre de Darcy . ηφ = 64 Λ ς 2 Re ∆ 2 γ 93 . en lugar de la ecuación de Chezy. La ecuación de Darcy permite calcular la pérdida de carga η φ que se presenta en un tramo de tubería de longitud Λ .Weisbach. En algunos textos el coeficiente φ de Darcy se designa con la letra λ. ec. ( π1 − π2 ) Α + γ Λ sen θ Α = 2ςµ ΠΛ Ρ dividiendo ambos miembros por γ Α y luego multiplicando y dividiendo el segundo miembro por ς . Para el flujo laminar se puede hacer un desarrollo análogo utilizando la velocidad media que corresponde a la ecuación de Poiseuille (flujo laminar. ηφ = 2 ηφ = 2 Π ς µ Λ Α γ Ρ Λ ς2 µ Ρ ρ γ Ρς Sustituyendo el radio hidráulico y haciendo algunas operaciones. 2-10) τ 0 = γ ΡΣ o o o (ec. 3. 2-44). el significado de φ es más complejo. κ es una longitud que mide el grado de rugosidad y tal que para dos conductos diferentes tiene valores proporcionales a los diámetros de los mismos cuando para valores iguales al número de Reynolds los valores correspondientes de φ son los mismos para ambos conductos.2 Significado del coeficiente φ de Darcy (en tuberías circulares) En lo que respecta al flujo laminar. en la que consideramos que para el flujo laminar. 94 . que estudiaremos a continuación. φ = 64 Re (3-4) el número de Reynolds esta referido al diámetro. La rugosidad absoluta depende de la calidad de las paredes expresada por a) Altura media de las irregularidades de la superficie b) Variación de la altura con respecto a la media c) Forma de las irregularidades del contorno d) Separación entre irregularidades adyacentes Dada la compleja naturaleza de la rugosidad absoluta y su difícil representación es que Nikuradse usó rugosidad artificial de diámetro uniforme.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα o bien.  ∆  (3-5) La rugosidad relativa es la relación entre la rugosidad absoluta y el diámetro de la tubería (ec. φ es simplemente una función del número de Reynolds. κ  φ = ϕ  Re. En el flujo turbulento. En general es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa. Es útil el concepto de rugosidad equivalente κ . ηφ = φ Λ ς2 ∆ 2γ que es la ecuación de Darcy. Según este concepto. en el caso más general. el valor de φ se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente. Para números de Reynolds mayores. φ = ϕ (Re) En cambio en una tubería hidráulicamente rugosa los valores de (3-6) κ son tan grandes con respecto al espesor que tendría la subcapa laminar. Entonces.3 Tuberías hidráulicamente lisas Blasius estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías lisas estableciendo que. que correspondan a turbulencia plenamente desarrollada. En una tubería hidráulicamente lisa se desarrolla una subcapa laminar. 3. cuyo espesor es bastante mayor que la rugosidad. también lo es que puede ser función de sólo uno de ellos. En una tubería lisa. φ es. Partimos de la ecuación 2-33. De acá que las irregularidades del contorno quedan dentro de la subcapa laminar y por lo tanto no tienen significado para el cálculo de φ . κ φ =ϕ  ∆ (3-7) Para la transición entre contornos lisos y rugosos es aplicable una ecuación como la 3-5. φ = 0.4 Ρ ln κ δ 95 .Χαπτυλο ΙΙΙ Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Si bien es cierto que en el flujo turbulento. (aproximadamente).316 Re 1 4 (3-8) Esta ecuación de Blasius es válida para números de Reynolds (referidos al diámetro) menores que 105. ς= ς* 46.que ésta no puede desarrollarse. función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa. 1 = 2. obteniendo ς= Necesitamos ahora una relación entre ς∗ ς∗ ∆ ln κ ν (3-9) ς∗ y φ . 2-28) δ= 11.92 φ 96 (3-13) .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ luego sustituimos el valor de Αρτυρο Ροχηα δ (ec. Para ello combinamos las siguientes ecuaciones. ς φ ∆ 1 1 = ln φ 8κ 8ν efectuando operaciones y haciendo algunas sustituciones. a partir de la ecuación 3-2 obtenemos.6ν ς∗ y reemplazamos el radio hidráulico por el diámetro. γ ς∗ = ς Χ (3-10) De otro lado.03 log(Re φ ) − 0. Χ= 8γ φ (3-11) ς∗ = ς φ 8 (3-12) De las dos últimas se llega a Reemplazando este último valor en la ecuación 3-9. ya conocidas ς∗ = γΡΣ ς = Χ ΡΣ Dividiendo. 237 (3-15) en la que el número de Reynolds está referido al diámetro y que da prácticamente los mismos resultados que la ecuación 3-14 para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107. Tiene el inconveniente de ser implícita. Obviamente la primera ecuación corresponderá a una línea recta. φ = 1 (1.221 Re 0 . Abarca el flujo laminar.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ y ajustando los coeficientes con valores experimentales obtenidos por Nikuradse se llega finalmente a 1 = 2 log(Re φ ) − 0. Es conveniente llevar a un solo gráfico las ecuaciones 3-4. φ depende linealmente de la viscosidad. en cambio en el flujo turbulento depende de la potencia un cuarto de la viscosidad. Se puede citar también la fórmula de Konakov que da el valor de φ en el flujo turbulento. por ejemplo.5)2 (3-16) que es aplicable para números de Reynolds mayores que 2 300 y hasta de varios millones (con respecto al diámetro). Nikuradse estableció también la siguiente relación empírica. usando papel logarítmico. 97 . Comparando. Este gráfico muestra la relación completa entre el coeficiente φ de Darcy y el número de Reynolds para tuberías lisas. 3-8 y 3-14. es una relación analítica entre φ y el número de Reynolds.8 φ (3-14) ecuación que tiene gran importancia.0032 + 0 . las expresiones 3-4 y 3-8 se observa que en el flujo laminar. φ = 0 .81 log Re −1. pues. el flujo turbulento (Blasius y Nikuradse) y la transición entre ambos escurrimientos. ς∗ = ς φ 8 de donde 1 3.20 φ= 64 Re 0.04 Laminar Turbulento 1 φ 0. Transición. en las tuberías hidráulicamente rugosas no puede desarrollarse una subcapa laminar.4∆ ς∗ 13.08 0. El valor de φ se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente.02 0.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Gráfico de Nikuradse Como hemos señalado antes. Partimos de la ecuación 2-38.03 log κ φ 98 (3-17) . El valor de la velocidad y el coeficiente de Darcy dependen exclusivamente de la rugosidad relativa.10 0.06 0.316 φ= 1 2 300 0.4 ∆ ς = ∗ ln ln κ κ κ κ e introducimos la ecuación 3-12.01 10 2 10 3 = 2 log Re φ #∃%&∋ Re 4 10 4 10 5 10 6 10 7 Re = ς∆ ϖ Figura 3.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ φ Αρτυρο Ροχηα 0. ς= ς 13.2 Coeficiente φ de Darcy en tuberías lisas 3.35∆ = 2. 2 tendríamos que considerar una familia de rectas paralelas al eje horizontal. pues. rugosas y a la transición entre ambos.02 0. Aparece en la Figura 3. 0. que es una síntesis de las Figuras 3. 504. 0. Pero también estudió experimentalmente la fase que corresponde a la transición entre paredes lisas y rugosas. 1014.10 y Figuras 2.01 10 κ ∆ se 4 10 5 10 6 Re = ∆ κ ς∆ ϖ Figura 3.13 y 2.2 0.2 y 3. Si quisiéramos hacer un gráfico similar o compatible con el de la Figura 3. 0. Debe tenerse presente que el gráfico de Nikuradse corresponde a tuberías de rugosidad artificial (ver apartado 2. El gráfico de Nikuradse representa en conjunto el comportamiento de las tuberías lisas.3. Para cada valor de obtiene el de φ (ó de φ ∆ κ .06 0. según el gráfico) 30.05 61. 99 .71∆ = 2 log κ φ (3-18) Se observa.14).03 252. que ahora φ es función exclusiva de la rugosidad relativa. Nikuradse estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías lisas y rugosas introduciendo algunos ligeros ajustes en los coeficientes de las expresiones analíticas.04 120. Es independiente del número de Reynolds.4.3 Coeficiente φ de Darcy en tuberías rugosas Como hemos visto.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ Ajustando los coeficientes de acuerdo a los resultados experimentales de Nikuradse 1 3. aparece una zona en la que el coeficiente φ es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa. Para tuberías comerciales se utilizará el diagrama de Moody (capítulo IV).13. cuya rugosidad no es artificial sino natural y tiene las características de la Figura 2.025 504 0.2 0. 100 .020 1 014 0. Si se pretendiera aplicar el diagrama de Nikuradse a tuberías comerciales.040 120 0. Es la transición.016 10 3 10 4 10 5 10 6 Re = ς∆ ϖ Figura 3. d) Para valores altos del número de Reynolds el coeficiente φ es función exclusiva de la rugosidad relativa.063 30 0.032 252 0.4 Gráfico de Nikuradse Analizando el gráfico de Nikuradse se encuentra lo siguiente a) En el régimen laminar ( Re ≤ 2 300). se comporta como hidráulicamente lisa hasta un valor correspondiente del número de Reynolds.050 61. entonces en la zona de transición se encontrarían fuertes diferencias. la rugosidad de las paredes no tiene ninguna influencia sobre la resistencia. Se observa en el gráfico que a medida que la tubería es relativamente más lisa se requiere un número de Reynolds mayor para que la tubería se aparte de la curva que corresponde a las tuberías lisas.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα φ ∆ κ 0. c) Al aumentar el número de Reynolds y/o la rugosidad. b) Una tubería con un valor determinado de la rugosidad relativa. 75 log + 2 ς∗ Ρ Expresión en la que ςη : velocidad a la distancia η del contorno ς : velocidad media ς∗ : velocidad de Corte Ρ : radio hidráulico La ecuación 2-57 nos muestra que en una tubería la diferencia entre la velocidad puntual y la media depende de la distancia al contorno. Luego.5 Introducción del coeficiente φ de Darcy en las ecuaciones de distribución de velocidades En el capítulo II establecimos la ecuación 2-57 ςη − ς η = 5. La velocidad máxima. Vamos a introducir la ecuación 3-12 en la ecuación 2-57 ς∗ = ς φ 8 obteniendo así ςη = ς η   φ  2. corresponde a ςµαξ = 1.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ 3. que se desarrolla en el eje.03 por 2. (3-20) La expresión 3-19 es muy útil para la obtención del coeficiente φ de Darcy y de la velocidad 101 .783  + 1 Ρ   (3-19) De acá se puede obtener la relación entre la velocidad máxima y la velocidad media.15 y 0. se obtiene ςη = ς η   φ  2.71 + 1 Ρ   Si se reemplaza 2.15 log + 0. Es independiente de que el contorno sea hidráulicamente liso o rugoso.71 por 0.43 ς φ +1 η = 2Ρ .03 log + 0.783 para ajustar con los resultados experimentales. bastaría con tomar dos de ellos y obtener dos ecuaciones con dos incógnitas y resolver el sistema. hallando así φ y ς .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα media a partir del conocimiento de la distribución de velocidades.15 ς 102 φ . para un caso particular.43 ς ρ ξ φ +ς β que representa una línea recta cuya ecuación es de la forma ψ = µξ + β Siendo.15 ς ψ µ φ log η + 1. Es preferible obtener φ y ς a partir de todos los valores medidos. µ = 2. Si los valores medidos hubieran sido obtenidos con gran precisión y alta confiabilidad. Sin embargo toda medición implica un error. se obtiene experimentalmente. la ley de distribución de velocidades. Esto puede hacerse por medio de un tubo de Pitot. Si en una tubería se miden los valores puntuales de la velocidad a diferentes distancias del centro. A partir de los valores obtenidos para ςη en función de η es posible calcular φ y ς por medio de la ecuación 3-19. haciendo un gráfico en papel semilogarítmico. Tal es el caso del problema 27 del capítulo I. ςη η λογ ρ La expresión 3-19 puede escribirse de la siguiente manera ςη = 2. pero como rugoso frente a otro flujo.43 ς Los valores de φ +ς µ y β se obtienen del gráfico.51 φ Combinando ambas expresiones se obtiene la ecuación de Colebrook y White. 103 . Resolviendo las dos ecuaciones se consigue los valores de φ y ς. 3. Depende también de las características del escurrimiento.10. Los valores de φ en la zona de transición entre tuberías lisas y rugosas se obtienen por medio de la fórmula de Colebrook y White. Podríamos.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ β = 1. 3-18) 1 3.White Hemos señalado y discutido ampliamente el concepto relativo a la naturaleza del contorno. Un contorno puede comportarse como liso frente a un flujo. Esto fue expuesto en el capítulo II. Figura 3. el fenómeno de la transición es diferente. diferente de la que usó Nikuradse). 3-14) Re φ 1 = 2 log 2. En las tuberías de rugosidad natural (no homogénea.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de Colebrook . Todo depende de la relación entre el tamaño de la rugosidad y el espesor de la subcapa laminar que podría desarrollarse. pues. se ve claramente que las tuberías más lisas requieren de un número de Reynolds mayor para apartarse de la ecuación general de las tuberías lisas. Esto se debe a que en una superficie con rugosidad natural las irregularidades del fondo son de diferente tamaño. decir que las tuberías dejan de comportarse como lisas para el mismo valor de la relación de κδ. La ecuación 3-19 ha sido trasformada de modo de referirla al radio de la tubería. Basta la presencia de algunas protuberancias mayores que la media para alterar la subcapa laminar. En el gráfico de Nikuradse.71∆ = 2 log κ φ Tuberías lisas (ec. Desde el punto de vista hidráulico no podemos decir que un determinado contorno es en sí liso o rugoso. Sabemos que en Tuberías rugosas (ec. apartado 2.4. con la pérdida de energía tomando en cuenta la calidad de las paredes y las constantes características del fluido: densidad y viscosidad.7 Dimensionamiento de conductos. ha hecho reflexiones muy interesantes sobre este problema. Esto determina un consumo de energía. debemos disponer de una ley de pérdida de carga. la ley de Darcy lo que hace es relacionar un parámetro característico del escurrimiento -la velocidad media. una ley de tipo descriptivo. la misma que depende del grado de turbulencia. Bruschin. Suiza. pues. señalando que una ley de pérdida de carga debe ser una ley “de comportamiento”. Con el objeto de dimensionar un conducto. de la Escuela Politécnica de Lausanne. Así.51 1 = −2 log  ∆ + φ  3. no se forma la subcapa laminar. Esto es lo que denominamos una pérdida de carga. pero hay pérdida de energía por rozamiento y formación de vórtices en el contorno. Conceptos fundamentales. se desarrolla en un contorno liso una subcapa laminar. Errores Hasta ahora hemos estudiado todas las variables involucradas en el escurrimiento en tuberías y su estudio nos permitirá. Señala Bruschin que las condiciones que debe reunir una ley de pérdida de carga son las siguientes 104 .71 Re φ  Αρτυρο Ροχηα      (3-21) Esta ecuación es prácticamente igual a la 2-41a del capítulo II. una disipación de energía. en el capítulo siguiente.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ  κ  2. que a su vez se debe a la viscosidad. Conviene ahora recapitular y ordenar algunos conceptos fundamentales. presentar las modalidades de dimensionamiento. vale decir. Si las paredes no son lisas. Como consecuencia de la fricción. sino rugosas. 3. Además hay pérdida de carga (de energía) por frotamiento interno entre los filetes fluidos. 51ν + ΡΣ log   14. compatible con los principios generales de la Mecánica de Fluidos b) Explicación clara del fenómeno de disipación de energía c) Caracterización e intervención de los parámetros principales descriptivos del fenómeno d) Verificación experimental. o la de Darcy.8 Ρ 4 8 γ Ρ ΡΣ  expresión que es prácticamente igual a la que obtuvimos en el capítulo II. ς = 18 log 6Ρ κ δ + 2 7  → ΡΣ ς = Χ ΡΣ y que es mucho más simple. Sus parámetros deben ser susceptibles de medida e) Facilidad de uso en los problemas de ingeniería La fórmula general de Colebrook y White satisface todas estas condiciones. 105 . En ambas ς : velocidad media de escurrimiento Ρ : radio hidráulico Σ : pendiente de la línea de energía κ δ ν : rugosidad absoluta : espesor de la subcapa laminar : viscosidad cinemática Χ : coeficiente de Chezy Si en la última ecuación sustituimos. Χ= 8γ φ se obtiene ς= 8γ φ ΡΣ que es prácticamente la ecuación de Chezy. Haciendo ligeras transformaciones en la ecuación 3-21 se obtiene ς = −2 8 γ  κ  2.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ a) Base racional. 51ν Θ  log  2 γ ∆ ∆Σ    δΣ   Σ   Tuberías rugosas La fórmula de Colebrook y White para paredes rugosas es Θ = −2 106 π ∆2 κ 2 γ ∆Σ log 4 3.) Haremos algunos cálculos para apreciar cuantitativamente la influencia relativa de los diversos factores.51ν Θ = −2 2 γ ∆Σ log 4 2 γ ∆ ∆Σ de acá se obtiene que la relación entre una variación en el gasto y una variación en el diámetro es  δΘ  0.217 = 0. viscosidad.5 − 2. Tuberías lisas La fórmula de Colebrook y White para paredes lisas es π ∆2 2.65 = 2. etc.71∆ .5 − 2. rugosidad. Analizaremos la influencia que tiene sobre el gasto una variación en el diámetro y una variación en la pendiente (de la línea de energía) para tuberías lisas y rugosas.51ν Θ  log  2 γ ∆ ∆Σ    δ∆   ∆   Similarmente la relación entre una variación en el gasto y una variación en la pendiente es  δΘ  0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Por lo general el cálculo de una tubería tiene un objetivo preciso: determinar cuál es el diámetro requerido para transportar un cierto gasto bajo condiciones dadas (pérdida de carga admisible. pendientes entre 0.1 % y 10 % y agua a 10 °C de temperatura.5 Θ Σ Con el objeto de apreciar el significado físico de las cuatro fórmulas obtenidas.  −1  δ  φ 2  δφ = −2  1  − φ φ 2 107 . correspondientes a casos usuales. es evidente que para la transición se tendrá valores intermedios. se obtiene que. Como las cuatro fórmulas obtenidas corresponden a los casos extremos de calidad de paredes (lisas y rugosas).43  δ∆ = 2. partimos de 1 κ = −2 log 3. y δΘ δ∆ ≈ 2.   δΘ  0.71∆ φ de donde. δΘ δΣ = 0.5 + 3.5 Θ ∆ (1) δΘ δΣ ≈ 0.71∆  ∆ Θ   log κ   y.3 m y 1 m.Χαπτυλο ΙΙΙ Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Haciendo cálculos similares a los anteriores.5 Θ Σ (2) Estas ecuaciones nos dan la variación que se produce en el gasto. como consecuencia de una variación en el diámetro ó de una variación en la pendiente (los coeficientes son valores medios. Para el cálculo de la influencia de la rugosidad. Por ejemplo diámetros comprendidos entre 0. conviene aplicar valores numéricos. para condiciones usuales y cualquier naturaleza de paredes). Se obtiene finalmente que. se obtiene κ δ  δς 0.43 δφ ∆ = −2   κ κ φ log ∆ 3. κ δ  1   ∆ δς 1 ≈ − a  12  κ ς 6 ∆ 108 (3) . Combinado las dos últimas expresiones. κ δ  0.71∆ A partir de la ecuación de Chezy (expresando ς= Χ en función de φ ) 8γ ΡΣ φ se obtiene 1 δφ δς =− 2 φ ς importante relación que nos muestra la variación de la velocidad en función de las variaciones del coeficiente φ de Darcy.174)   κ ς ∆ o bien. comprendidos entre 10-2 y 10-5 m se encuentra que.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα y con respecto a la rugosidad relativa.71∆  Para valores usuales de la rugosidad relativa.0775 α − 0.43 ∆ =   κ ς  κ  log  ∆  3. κ δ  δς ∆ = (−0. que una disminución del 10 % en el diámetro representaría un aumento del 50 % en la pérdida de carga. se presentan tuberías (conductos a presión) de sección diferente a la circular. se podría concluir. 2 y 3. como por ejemplo cuadradas. También debe tenerse presente que en secciones diferentes de las circulares es fácil que aparezcan corrientes secundarias transversales.Χαπτυλο ΙΙΙ Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Este desarrollo ha sido hecho para tuberías hidráulicamente rugosas. se obtiene δΣ δ∆ = −5 Σ ∆ lo que significa. Si tomamos como ejemplo una sección rectangular vemos que el esfuerzo de corte no es constante en todo el contorno. por ejemplo. En la primera parte de este capítulo hemos hecho la aplicación correspondiente al caso de tuberías circulares. Teniendo a la vista las ecuaciones 1. Allí donde el gradiente de velocidades es muy grande el corte será mayor al valor medio. - Una variación del 10 % en la rugosidad absoluta produce una variación del 1 % en el gasto. rectangulares. para dos tipos de conductos que corresponden a casos extremos: canal de ancho infinito y sección circular. etc. Evidentemente que nuestra ecuación fundamental para la determinación del coeficiente φ de Darcy (3-5) 109 . Combinado (1) y (2). Obtuvimos ecuaciones del coeficiente φ de Darcy en función del diámetro. ovales. Sin embargo. la influencia de la rugosidad es mucho menor. en algunos casos.8 Tuberías de sección no circular En el capítulo II hemos estudiado las ecuaciones de distribución de velocidades y la velocidad media. que - Una variación del 10 % en el diámetro produce una variación del 25 % en el gasto. a manera de ejemplo. 3. Para la transición. - Una variación del 10 % en la pendiente produce una variación del 5 % en el gasto. En la primera parte de este capítulo se obtuvo la ecuación de φ en tuberías lisas (ecuación 3-13). pero para un canal muy ancho. habría que partir de la ecuación 2-32 y se llegaría a 1 ς Ρ = 2.12).05 ν φ 110 . . Aceptaremos que en tuberías no circulares la pérdida de carga puede calcularse con la fórmula de Darcy. siempre que las secciones no se aparten demasiado de la forma circular.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα   φ = ϕ  Re. φορµα  ∆   Sin embargo. tal como se hizo en la deducción de la fórmula (apartado 2.   κ   ∆  tendría que ser ampliada de modo de incluir también el factor “forma de sección” κ   φ = ϕ  Re. El radio hidráulico de una sección circular es ∆ / 4 . considerando Re = ς 4Ρ ν κ κ = ∆ 4Ρ Por extensión se aplican los ábacos y fórmulas de las tuberías circulares. De acá que la ecuación de Darcy se transforma en ηφ = φ Λ ς2 4Ρ 2γ Para el cálculo de φ se seguirá el mismo procedimiento que en las tuberías circulares. Para esto se debe introducir dentro de la formula el concepto de radio hidráulico. partiendo de la ecuación 2-33.03 log ∗ + 1. Si quisiéramos obtener una expresión análoga a la 3-13. los errores que se pueden cometer en la determinación de la rugosidad tienen una influencia mayor que la que resulta de ignorar el factor forma. - La distribución de velocidades en las proximidades del contorno está determinada por la viscosidad.316 Re Reemplazando la ecuación 3-2. que por su forma exponencial es muy útil y conviene conocer. y reemplazando el número de Reynolds de la Χ2 ecuación de Blasius 111 .Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ 3. Esto significa. - Las curvas de distribución de velocidades permanecen similares al variarse la velocidad. la densidad y el corte sobre el contorno. que si la velocidad media se triplica. La deducción de Prandtl se basa en las siguientes suposiciones - La distribución de velocidades en las proximidades del contorno no depende del diámetro de la tubería. Partiremos de la conocida expresión (2-7) que nos da el corte τ 0 = γ ΡΣ que al combinarse con la ecuación de Chezy (2-42) nos da τ0 = γ 2 ς Χ2 (3-23) De otro lado. según Blasius (3-8) φ = 0. entonces la velocidad máxima también se triplica y las velocidades en todos los puntos varían en una misma proporción. φ = 1 4 8γ . - La velocidad a la distancia η del contorno se describe según la siguiente expresión η ςη = ςµαξ   ρ Siendo ξ (3-22) ξ la potencia cuyo valor debe determinarse. ρ es el radio de la tubería. Prandtl estableció una expresión para la distribución de velocidades.9 Ley exponencial de distribución de velocidades A partir de la ecuación de Blasius (3-8). por ejemplo. Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 1 Χ = 2 1 8 γς 4 ∆ 4 1 0. ς= ςη η Κ  ρ ξ ahora reemplazamos este valor de la velocidad media en la ecuación última obtenida para τ 0 .316ν 4 Reemplazando este valor en la ecuación 3-23 1 4 ρ ν 0.316 74 − 14 ς ∆ τ0 = 8 Luego sustituimos el radio ρ en lugar del diámetro ∆ y se tiene. 112 . 1 4 ρ ν 0. τ0 = 0. Luego.316 74 − 14 − 14 ς 2 ρ τ0 = 8 Consideremos que la velocidad máxima es proporcional a la velocidad media ςµαξ = Κς Sustituyendo en 3-22 η ςη = Κς   ρ ξ De donde.316 ρ ν 8κ 7 4 1 4 7 4 η ς η − 7 ξ 4 ρ 7 1 − ξ− 4 4 2 − 1 4 Para que τ 0 sea independiente del radio de la tubería se requiere que el exponente del radio sea nulo. Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ 7 1 ξ− =0 4 4 ξ=  → 1 7 Por lo tanto la distribución exponencial de velocidades es. el exponente es 1/10. Para números de Reynolds mayores que 105 el exponente ξ tiende a disminuir.235 ς (3-25) Luego. las limitaciones que corresponden a la fórmula de Blasius (tuberías lisas y números de Reynolds menores que 105). además de las hipótesis que se expusieron al iniciarse su deducción. En primer lugar calculamos el número de Reynolds.73 113 .1 Calcular el valor de φ en una tubería lisa de 0.25 × 10 −4 ! Como Re < 105. La velocidad es de 3. en una tubería 1  η 7 ς η = ς µαξ   ρ (3-24) Esta ecuación tiene.027 11.316 Re 1 4 = 0.235  ς ρ (3-26) Ejemplo 3. Solución. Prandtl menciona que para un número de Reynolds de 200 000.95 × 0 .95 m/s.25x10-4 m2/s. 1 ςη  η 7 = 1. la curva de distribución de velocidades queda mejor representada por el exponente 1/8 y para un número de Reynolds 10 veces mayor. Re = ς∆ 3. Con el valor de cada uno hallar la pérdida de carga para una longitud de tubería de 1 200 m.316 = 0. y la tubería es lisa se aplica la fórmula de Blasius (3-8) φ = 0.60 = 18 960 = 1. Hacer el cálculo por dos métodos diferentes.60 m de diámetro en la que fluye aceite con una viscosidad de 1. Experimentalmente se ha establecido que en una tubería ςµαξ = 1.316 (18 960) 1 4 = 0. 99 m 0 .026 Valor aproximadamente igual al de Blasius.25 × 10 −4 Como Re < 105 y la tubería es lisa es aplicable la fórmula de Blasius (3-8) φ = 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Si aplicamos la fórmula de Konakov (3-16).952 Λ ς2 = 0. Fluye aceite con una viscosidad cinemática de 1.76 × 0. 114 .60 2 γ ∆ 2γ ηφ = φ o bien. La pérdida de carga es 1 200 3.39 m 0 . La velocidad media es 2.2 Calcular el valor de φ y luego el valor de Χ en una tubería lisa cuyo diámetro es 0.34 A modo de verificación calculamos el valor de Χ (ecuación 3-11) Χ= 8γ = 53 m1/2/s φ Obsérvese que los valores obtenidos coinciden con los del problema propuesto 1 del capítulo II. Calculamos el número de Reynolds. Verificar la ecuación 3-14.316 (16 560) 1 4 = 0. φ = φ = 1 (1.76 m/s.75 m.5) 38. Re = ς∆ 2. Solución.25x10-4 m2/s.60 2 γ Ejemplo 3.5) (7.81 ξ 4.026 1 200 3.952 = 41. η φ = 0.0279 ≈ 0.316 = 0.5) 2 1 1 1 = = 2 2 (1.95 φ = 0.75 = 16 560 = ν 1.028 11.74 − 1.316 Re 1 4 = 0.277 − 1. Esto se debe a que el problema es idéntico.81 log Re− 1.027 = 42. ς = ς∗ 8 φ Luego.08 Ejemplo 3.884 Siendo ε = φ ςµαξ − 1 .99 = 2 log (16 560 x 0. ς∗ 30ψ ς∗ 11ψ ς∗ 30 ς∗ λν − ln ln ln ε κ κ = κ 11 = κ κ ε= κ ς ς ς ς∗ 2.884 φ 8 8 ς∗ φ 115 .5 ς∗ 2.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ Se puede observar también que los resultados obtenidos satisfacen la ecuación 3-14.5 ς∗ ε= κ = ς ς Pero.3 Demostrar que en un canal muy ancho de turbulencia plenamente desarrollada y fondo hidráulicamente rugoso se cumple que ε = 0. 1 = 2 log Re φ φ − 0 .99 ≈ 6.167) . ∀= 2.8 5.8 5.5 φ = = 0. ςη = ς∗ 30η ln κ κ ςµαξ = ς∗ 30 ψ ln κ κ La velocidad máxima corresponde a η = ψ La velocidad media es ς= ς∗ 11ψ ln κ κ Luego.0. Considerar que la ecuación 3-12 es aplicable ς Solución. velocidad 4 m/s.5 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menores que 105 se cumple que Α δ = 7 ρ Re 8 El número de Reynolds está referido al radio ρ de la tubería.71  κ φ  1 0 . Calcular la pérdida de carga. La pérdida de carga es ηφ = φ Λ ς2 1 000 16 = 0.001 = = 0. 116 .001 m.20 = = 8 × 105 ν 10 −6 Luego la rugosidad relativa κ 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Ejemplo 3.001  φ  φ = 0. Solución.005 ∆ 0. En la deducción debe utilizarse la ecuación de δ anteriormente establecida (ec.0303 valor bastante próximo al calculado con el abaco. Hallar el valor de Α .20 m.030 = 122. 1 ∆  = 2 log 3.20   = 2 log 3. Obsérvese que corresponde a tuberías hidráulicamente rugosas.030. luego podemos calcular φ utilizando la fórmula 3-18.20 Entrando con estos dos valores al diagrama de Nikuradse (por ser la rugosidad artificial) se obtiene φ = 0. diámetro 0.20 2 γ Ejemplo 3. Calculamos en primer lugar el número de Reynolds Re = ς∆ 4 × 0.71  0 .45 m ∆ 2γ 0 . ν = 10-6 m2/s. 2-28). rugosidad artificial κ = 0.4 Se tiene una tubería de 1 000 m de largo. 1 1 1 ς 8 28 ρ 8 ρ ν δ = 58.316 ς 1 8 Re 8 Reemplazando este valor de la velocidad de corte en la ecuación 2-28 de δ 1 11. Hallar el valor de Α .316 ν 8 ς Multiplicando y dividiendo por ρ y reemplazando ∆ = 2ρ . Ejemplo 3.316 Re φ ς 8 ς∗ = y 1 4 Combinando estas dos ecuaciones. 117 .65.6 8 ς 8 ∆ 8 ν δ = 1 0 .65 ρ Re 8 Luego. δ 63.65 = 7 ρ Re 8 El valor de Α es 63.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ Solución. La deducción debe hacerse sin utilizar la ecuación de δ anteriormente establecida (ec. Sabemos que φ = 0.6 ν 8 Re 8 δ = 0. ς∗ = 0.37 ρ 2 ν8 1 8 7 7 ς 8 ρ8 7 δ = 63. 2-28).37 1 ρς ν8 7 δ = 58.316 ς 1 1 11.6 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menores que 105 se cumple que Α δ = 7 ρ Re 8 El número de Reynolds está referido al radio ρ de la tubería. 033 Re ς = 1. 0 .316 1 1 7 ρν 4 ς 4 ρ − 1 4 8 ξ 24 o bien. 1  δ 7 ςδ = 1.235  118 − 6 7 . Sabemos también que dentro de la subcapa laminar se puede aceptar que el corte es constante e igual a τ0 . 7 7  0.033 Re 4 = ρ ςδ δ ς Pero.033 Re = 1. Sabemos que el esfuerzo de corte en el contorno es τ0 = 0.235 ς   ρ Reemplazando.033 #ς 2 Re 0 . según la ecuación 3-26.033 #ς 2 Re − 1 4 El número de Reynolds está referido al radio de la tubería.235 ς   ρ δ 3 4 δ  0. 0 .033  6 ρ   Re 8 = δ  1. τ0 = µ ςδ δ Igualando.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Solución.033 − 1 4 =µ ςδ δ ςρ − 14 ρ ςδ Re = ν δ ς 3 0 . 1  δ 7 ρ 0.235   ρ 3 4 Elevando a la potencia 7/6. es menor que 105. referido al diámetro. Α = 68. cuyo número de Reynolds.45 Ejemplo 3. se obtiene.7 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ De donde. Partimos de la ecuación de Darcy ηφ = φ Λ ς2 ∆ 2γ Reemplazando el diámetro en función del radio hidráulico y despejando la pendiente. Ejemplo 3. Por las condiciones del problema es aplicable la ecuación de Blasius φ = 0. Σ= 1 1 2 φ ς 8 Ργ Combinando con τ0 = γ Ρ Σ Se obtiene finalmente τ0 = 1 ρ φς2 8 119 .99  ∗  ς∗  ν  Solución.45 = 7 ρ Re 8 Luego.8 Demostrar que el esfuerzo de corte sobre el contorno se puede expresar por τ0 = 1 ρ φς2 8 Solución. se cumple que 1 ς ς ρ 7 = 6. δ 68.316 1 Re 4 Sabemos también que φ =8 ς∗2 ς2 Al combinar estas dos ecuaciones se obtiene la expresión buscada. 8x10-4 poises Viscosidad del agua : 1. Si ambas tuberías son hidráulicamente similares debe cumplirse que el número de Reynolds es el mismo para ambas  ρ1ς1 ∆1   ρ 2ς2 ∆ 2  =    µ1   µ 2    Luego al aplicar la fórmula racional.50  10 = = 23.25 kg/m3 Peso específico del agua : 1 000 kg/m3 Viscosidad del aire : 1.50 #2 ∆ 2 ∝1 1.9 Una fórmula racional para las pérdidas de presión en el caso de flujos en tuberías geométricamente similares es ∆π = ρ Λς 2  ρ ς∆  ϕ   ∆ µ   Para el caso de una tubería de 4” de diámetro.4  4 120 .25 150  2.25 10 1.4 m/s calculamos ahora la relación entre las pérdidas de carga 2 ∆π1 1 000 40  0.25 m en un tramo de 40 m.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Ejemplo 3. Considerar Peso específico del aire : 1. que lleva agua a una velocidad media de 0. Calcular la pérdida de carga en metros de agua en otra tubería de 150 m de longitud y 10” de diámetro en la que circula aire a la velocidad correspondiente para que ambas tuberías sean similares. Asumir que ambas tuberías tienen rugosidades absolutas similares. dato del problema a ambas tuberías y al obtener la relación entre las pérdidas de carga se llega a ∆π1 ρ1 Λ1 ς12 ∆2 = ∆π 2 ρ 2 Λ2 ς22 ∆1 De la igualdad de los números de Reynolds obtenemos ς2 = ς1 #1 ∆1 ∝2 1 000 4 1.2 × 10 −2 ς2 = 2 .8 × 10 − 4 = 0 .50 m/s la pérdida de carga es de 0.148   ∆π2 1.2x10-2 poises Solución. 3.148 la pérdida de carga en la tubería de aire equivale a una altura de 0. En las inmediaciones del cuerpo la distribución de velocidades estará determinada por los esfuerzos viscosos. En un flujo con turbulencia plenamente desarrollada la distribución de velocidades es casi uniforme en la sección. Para decirlo en otras palabras. próxima a las paredes. En estas condiciones un aumento en el número de Reynolds no conlleva un aumento en el grado de turbulencia.0108 m de agua. Toda la teoría sobre la capa límite es muy compleja. Imaginemos un flujo paralelo que se desarrolla en un espacio infinito. La influencia del contorno se limita a una capa. sin obstáculo o contorno alguno. incidiendo principalmente en el aspecto físico del problema. pero conviene presentar acá los conceptos fundamentales. Al alejarnos del cuerpo.25 = 0 . Cuando el flujo es laminar (o sea cuando no hay turbulencia) el gradiente de velocidades es muy grande. el gradiente transversal de velocidades depende del grado de turbulencia. muy delgada. la velocidad aumenta desde cero en el contorno hasta alcanzar. se le denomina capa límite. 121 .10 Concepto de capa límite En el primer capítulo habíamos señalado que la distribución de velocidades en la sección transversal depende del número de Reynolds. el gradiente de velocidades disminuye. normalmente a su superficie.0108 m 23. Luego en el contorno la velocidad debe ser cero. ∆π 2 = 0. Si en este flujo colocamos un obstáculo. En el contorno mismo las velocidades del fluido y del contorno deben ser iguales. Llega un momento en el cual la turbulencia está plenamente desarrollada. Al aumentar la velocidad. Allí los esfuerzos viscosos son grandes y el gradiente de velocidad es intenso. tiende a uniformizarse. un cuerpo. A esta pequeña capa. es decir.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ Luego. a una distancia δ la velocidad que tendría en ausencia del cuerpo. Aparecerá un gradiente de velocidades. se producirá fricción entre el fluido y la superficie del cuerpo. y por consiguiente el número de Reynolds y el grado de turbulencia. Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Figura 3. La esencia de la teoría de Prandtl consiste en separar el escurrimiento en dos regiones: una interior y otra exterior a la capa límite. Para facilitar la interpretación del dibujo la escala vertical aparece considerablemente ampliada. ( Figura 3. La teoría de la capa limite planteada por Prandtl en 1904 es uno de los aportes más significativos a la Mecánica de Fluidos.6 Generación de una capa límite 122 . Esta zona de espesor variable δ que se inicia en el borde de ataque y que crece hacia aguas abajo se denomina capa límite.5 Flujo paralelo Consideremos que el cuerpo esta constituido por una placa lisa y delgada con borde de ataque agudo y que el flujo es bidimensional. 3.7 Definición del espesor de la capa límite 123 . salvo en una pequeña capa. sin viscosidad. El espesor de esta capa es más pequeño mientras mayor es el número de Reynolds. La consecuencia práctica de esto es que el movimiento de un fluido puede describirse como si correspondiera a un fluido ideal. Para un número de Reynolds infinito. Fuera de la capa límite el fluido se comporta como perfecto e irrotacional con energía constante y por la tanto son aplicables las ecuaciones de Euler y la teoría del flujo potencial. que es la capa límite. sólo puede alcanzarse asintóticamente. La definición más generalizada considera como espesor la distancia a la cual la velocidad es el 99 % de la que existiría en ausencia del contorno. ( (a) ( (b) Figura 3.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ Dentro de la capa limite los esfuerzos viscosos son intensos y determinan un fuerte gradiente de velocidades.11 Espesor de la capa límite De lo anteriormente expuesto se desprende que la distancia del contorno a la cual la velocidad sería la misma que habría de no existir el cuerpo o placa. próxima al contorno. Utilizaremos el concepto de espesor nominal de la capa límite.13). que corresponde a un fluido ideal. es evidente que el espesor de la capa límite es nulo (ver Figura 1. Por lo tanto las definiciones para el espesor de la capa límite son más o menos arbitrarias. El espesor de desplazamiento es la distancia en la que se considera desplazado el flujo como consecuencia de la disminución de velocidad en la capa límite. Debido al gradiente de velocidades dentro de la capa límite hay una disminución en el flujo cuyo valor sería ∫ η =∞ η =0 (ς − ςη ) δη El resultado de esta integral debe ser igual al producto de la velocidad que hay fuera de la capa límite por el espesor de desplazamiento ς δ∗ = ∫ η =∞ η =0 δ* .7 (b) se presenta otra definición similar. Se traza la asíntota y una recta que partiendo del origen intercepta a la asintota de modo que las áreas achuradas sean iguales. δ∗ = ∫ 124 η =∞ η =0  ς  1 − η  δη  ς  (3-27) . Se intercepta la asintota con una tangente a la curva de origen. En la Figura 3.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Otra manera de definir el espesor nominal de la capa límite se presenta en la Figura 3. 0.7 (a).99 ς ς− ς η ( ςη δη (∗ Figura 3.8 Espesor de la capa límite Otra forma de definición es la que considera el “espesor de desplazamiento”. (ς − ςη ) δη o bien. El espesor de la capa límite laminar δΛ viene dado por. se vuelve turbulenta. 125 . 1 δΤ = 0. Aparece entonces dentro de la capa límite turbulenta una subcapa laminar. Luego de una transición. Re = Se denomina ςξ ν ξ a la distancia medida desde el borde de ataque y a lo largo de la placa en la dirección del escurrimiento. 2-28).Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ 3. mientras que la capa límite laminar crece con el exponente 1/2.9 el flujo que se aproxima a la placa puede ser laminar o turbulento. Esta subcapa laminar es la que hemos estudiado en la capítulo II (ec. la capa límite es laminar hasta una cierta distancia del borde de ataque. Es decir que la capa límite turbulenta crece más rápidamente que la laminar. La transición entre el flujo laminar y turbulento dentro de la capa límite se produce para valores del número de Reynolds comprendidos entre 2x105 y 106 siendo.12 Desarrollo de la capa límite En la Figura 3.38  ξ 5 ς  (3-29) Comparando ambas expresiones se observa que el espesor de la capa límite turbulenta crece con el exponente 4/5 de ξ . Obsérvese que este número de Reynolds para la capa límite se define de un modo diferente al número de Reynolds de una tubería o un canal. Las expresiones que dan el espesor de la capa límite se derivan a partir de considerar el cambio de la cantidad de movimiento. la fricción con el contorno y el gradiente de presiones. sin embargo.38 ξ Re 1 5 4  ν 5 = 0. En cualquier caso. si es que la placa es suficientemente lisa. 1 δΛ = 5ξ Re El espesor de la capa límite turbulento δΤ 1 2  ν 2 = 5  ξ 2 ς  1 (3-28) viene dado por. lo que implica ∂π <0 ∂ξ Puede ocurrir también que por las características del contorno la presión aumente en la dirección del escurrimiento. Expansión de un conducto Si la capa límite se desarrolla en una tubería que arranca de un estanque. El efecto del gradiente de presiones del escurrimiento sobre el espesor de la capa límite se 126 .9 Capa límite laminar y turbulenta Hasta ahora hemos considerado que el flujo exterior a la capa límite se caracteriza por tener energía constante. ∂π >0 ∂ξ Se trata entonces de una expansión y la capa límite aumenta de espesor rápidamente. Para un determinado valor de ξ la capa límite turbulenta se habrá desarrollado íntegramente en la sección transversal y δ es igual al radio.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 3. se presentarán las fases descritas en la Figura 3.9. En el primer caso la capa límite aumenta de espesor lentamente. Si las paredes de la tubería son suficientemente lisas se desarrollará una subcapa laminar de espesor δ .13 La separación. ς ecuación 3-29 ecuación 3-28 subcapa laminar (Λ (Τ ( ξ laminar transición turbulento Figura 3. sin embargo normalmente la presión disminuye en la dirección del escurrimiento. Si esta condición se ∂ξ presenta en el escurrimiento. S Contracorriente Figura 3. y al haber presión adversa van perdiendo velocidad hasta que se detienen. Aparece una separación que se inicia en el punto S. su efecto será muy fuerte en la capa límite puesto que allí se tiene el efecto de fricción del contorno. ∗π )0 ∗ξ ∗π +0 ∗ξ Capa límite Figura 3. Las partículas fluidas de la capa límite se mueven muy lentamente.11 Fenómeno de la separación 127 .10 Variación del gradiente de presiones La condición ∂π > 0 corresponde a líneas de corriente divergentes. Luego por efecto del gradiente de presiones positivas se produce dentro de la capa límite una contracorriente.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ ilustra en el siguiente dibujo esquemático. Contracorriente Corriente principal Contracorriente Figura 3.13 Aparición de contracorrientes 128 . Puede haber movimiento en dirección contraria a la del escurrimiento principal (contracorriente). Capa límite Capa límite Figura 3. Lo anteriormente expuesto se puede resumir señalando que siempre que por una razón u otra haya un incremento de presión.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión Este problema se presenta en una expansión.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα La separación es el fenómeno de alejamiento del flujo de la pared. las partículas de la capa límite perderán velocidad hasta detenerse y si la diferencia de presión es muy fuerte las partículas avanzan en dirección contraria a la del escurrimiento. en un flujo de líneas de corriente divergentes. pero no flujo. Queda una porción en la que hay fluido. Si el gradiente de presiones es muy grande se produce la separación. Podría ser el caso de un difusor o un canal de sección creciente (una transición). en la dirección principal de la corriente. 5 m/s. ξ= 5 × 105 × 10 −6 = 0. δΤ = 0. Calcular el espesor de la capa límite a 5 cm y 1 m del borde de ataque.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ Ejemplo 3. Luego para ξ = 5 cm la capa límite es laminar.10 Fluye agua con una viscosidad de 10-6 m2/s a una velocidad uniforme de 2.38 1 Re 5 El número de Reynolds es Re = ςξ = 2.5 × 10 6 ν y. Se coloca una placa delgada y lisa paralela a la corriente.38 = 2 cm 19 129 . Solución.5 × 10 2 a) δΛ = b) A la distancia de 1 m el flujo es turbulento δΤ = 0. δΛ = 5ξ 1 Re 2 Re = ςξ = 12.07 × 10 −4 m 12.5 × 10 4 ν 5 × 5 × 10 −2 = 7. Calcular la longitud de la porción laminar de la capa límite formada.2 m 2. El flujo es paralelo. La transición se produce para ςξ = 5 × 105 ν Luego.5 La longitud de la porción laminar de la capa límite es de 20 cm. Calcular para el ejemplo 2.75. Comparar resultados. Calcular para el ejemplo 2. cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería. 3. 4.89 ςµαξ Calcular el valor del coeficiente φ de Darcy y la rugosidad relativa. cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería. 130 . Comparar resultados.5 y 3. cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería.6. Para rugosidad relativa creciente (para tuberías de rugosidad artificial). Si admitimos que en la ecuación de Darcy el valor de φ viene dado por la ecuación de Blasius y hacemos los reemplazos correspondientes demostrar que el exponente de la velocidad sería 1. Se han efectuado mediciones puntuales de la velocidad en una tubería con flujo turbulento encontrándose que la velocidad a la distancia ∆ / 4 del contorno es igual a 0. 8. calcular el valor de φ y comparar con el obtenido a partir de la ecuación de Blasius.1. 7.5. aplicando la ecuación de Darcy. A partir del valor de Χ obtenido en el problema propuesto 1 del segundo capítulo.3. Discutir como varía en una III) tubería la relación de la velocidad máxima a la media a ) Para b) 2.98 φ 5. Explique teóricamente por que no hay exactamente el mismo valor para Α en los ejemplos 3. Demostrar que α = 1 + 2. aplicando la ecuación de Darcy. aplicando la ecuación de Darcy.55 φ 3 2 β = 1 + 0. Calcular para el ejemplo 2. Calcular la pérdida de carga. 6. Comparar resultados.93 φ − 1. 9.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo 1 . Calcular el valor de φ a partir del coeficiente Χ de Chezy y a partir de la ecuación de Blasius. números de Reynolds crecientes.  ρ ς∆  Φ  = ϕ  2 ρς  µ  expresión en la que Φ es la fuerza de fricción por unidad de área del contorno. En la primera el flujo es laminar.25 kg/m3 La viscosidad dinámica del agua es 60 veces la dinámica del aire. La velocidad del aire es de 25 m/s. Se trata de simular el flujo del aire en una tubería en un modelo a la escala 1/4 en el que fluye agua. Se tiene dos tuberías de igual diámetro por las que circula el mismo gasto. ∆ el diámetro y µ la viscosidad dinámica. referido al diámetro. 131 . Demostrar que la relación entre las velocidades máximas respectivas es de 1. 237 para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107 (ec. 11.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ 10. de la velocidad ς del fluido y del diámetro ∆ y la rugosidad absoluta κ de la tubería. En la segunda. de la densidad ρ . Partiendo de que en una tubería rugosa con flujo turbulento la resistencia τ 0 por unidad de área µ .20 kg/cm2. ρ es la densidad.67. el número de Reynolds es de 80 000 (referido al diámetro). Según Nikuradse la relación entre el coeficiente φ de Darcy y el número de Reynolds Re . b) Cuál sería la pérdida de carga por unidad de longitud en la tubería para aire si en el modelo para agua la pérdida de carga por unidad de longitud es de 0. Mediante consideraciones dimensionales puede demostrarse que. demostrar que del contorno depende de la viscosidad  ρ ς∆ κ  τ0 = ϕ  . 1 000 kg/m3 Peso específico del agua : Peso específico del aire: 1. que es de paredes lisas. es φ = 0.221 Re 0 . para los que ésta fórmula da los mismos resultados que la ecuación de Blasius.  2 ρς  µ ∆ 12. ς es la velocidad media. 13. Calcular cuál es el valor de φ y el correspondiente número de Reynolds. Calcular a) Cuál debe ser la velocidad correspondiente del agua en el modelo para que exista similitud.0032 + 0. 3-15). 235   ς ρ Calcular a qué distancia del contorno la velocidad ( ςη ) es igual a la velocidad media. cuya separación es de 1 km. ¿Por qué no son exactamente iguales a los de la ecuación de Chezy? 16. 132 . En una tubería de 6” de diámetro hay un escurrimiento cuyo número de Reynolds (referido al diámetro).Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 14.51ν + ς = −2 8 γ ΡΣ log   14.8 Ρ 4 8 γ Ρ ΡΣ  tiene la forma de la ecuación de Chezy. Demostrar que la expresión para la velocidad media obtenida a partir de la fórmula de Colebrook y White   κ 2. El punto B está 2 m por encima del punto A. Suponer que la rugosidad de las paredes es uniforme. se ha verificado una pérdida de presión de 4 kg/cm2 entre los puntos A y B. Calcular el coeficiente φ de Darcy. cuyo gasto es de 1 200 l/s. Calcular a) El coeficiente φ de Darcy b) La calidad de las paredes (lisa o rugosa) c) El valor de la rugosidad absoluta (supuesta uniforme). 17. La distribución de velocidades en una tubería circular esta dada por 1 ςη  η 7 = 1. ς = 18 log 6Ρ κ δ + 2 7 ΡΣ Calcular el valor numérico de los coeficientes que resulten de la transformación. es de 22 000. En una tubería AB de 20” de diámetro. analítica y gráficamente d) La velocidad máxima 18. Demostrar que en un conducto hidráulicamente liso se cumple que ςκ 14 < ν φ 15. La temperatura del agua es de 8 ºC. En una tubería el valor de α es 1. Demostrar que los valores del problema 23 satisfacen la ecuación 3-14.25x10-4 m2/ s. Calcular cuál sería el porcentaje de disminución en el gasto si resultara que el diámetro de 0.Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε Χαπτυλο ΙΙΙ 19. como se supuso en los cálculos. 20. (con la única diferencia en la longitud). 133 . 25. El espesor de la tubería es de 2 cm. Se tiene una tubería de 1 m de diámetro. Calcular cuál sería la energía requerida para mantener la velocidad inicial cuando se tiene el nuevo valor de la rugosidad. Demostrar que el ejemplo 2.5.45 m de columna fluida. Después de algunos años de uso. En una tubería de 0.5 satisface los resultados del ejemplo 3. Comparar los ejemplos 8 y 9 y demostrar que se trata de una misma tubería. Calcular la relación entre la velocidad máxima y la media. Cada 100 m de recorrido se pierde una energía equivalente a 1. 24. La rugosidad absoluta es de un décimo de milímetro. la rugosidad aumentó a 1.75 m es exterior y no interior. 21.08. Se mantiene un movimiento uniforme por medio de la energía equivalente a 2 m de columna de agua por cada 100 m de tubería. 23.75 m de diámetro fluye aceite cuya viscosidad cinemática es de 1. Calcular los valores de α y β para la tubería del problema propuesto 5 de este capítulo. 22. Calcular los valores iniciales y finales de la velocidad media y del coeficiente φ de Darcy. La viscosidad del agua es de 10-6 m2/s.5 mm. La rugosidad de las paredes es de 1 mm. Si aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene L.1. π1 ! π2 ! ζ1 Plano de referencia 1 ζ2 2 Figura 4. P.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ CAPITULO Ις DISEÑO DE TUBERIAS 4.1 Ecuación de la energía en una tubería 135 .1 Concepto de pérdida de carga. E. 2 ∀ 1 ς1 2γ # η φ 1-2 2 ∀ 2 ς2 2γ L. Línea de energía y línea piezométrica Sea una tubería de sección variable como la mostrada en la Figura 4. salvo que se coloque una bomba. En el movimiento uniforme la línea de energía y la línea piezométrica son paralelas. Entonces. Es la energía consumida en forma de fricción y que denominamos η φ . pérdida de energía o pérdida de carga. b) En una tubería. d) La gradiente hidráulica es recta para tuberías rectas de sección transversal constante y para tuberías cuya longitud sea aproximadamente igual a la línea que une sus extremos.).Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ ∀1 Αρτυρο Ροχηα ς2 π ς12 π1 + + ζ1 = ∀2 2 + 2 + ζ2 + ∑ η φ 1− 2 2γ ! 2γ ! (4-1) Es decir. Si en cada sección se adiciona a la cota piezométrica el valor correspondiente a la energía de velocidad se obtiene la línea de energía. cuanto mayor es la pendiente o inclinación de la línea de gradiente tanto mayor será la velocidad del fluido. velocidad o elevación. por lo tanto la velocidad también lo es y la energía de velocidad es constante α1 α ς12 ς2 = α2 2 2γ 2γ es el coeficiente de Coriolis estudiado en el capítulo I. que al pasar de 1 a 2 hay una parte de la energía que “se pierde”: que no se transforma en presión. la ecuación de la energía es simplemente π1 π + ζ1 = 2 + ζ2 + ∑ η φ 1− 2 γ γ A la línea que resulta de unir las elevaciones a las que sube el líquido en una serie de piezómetros instalados a lo largo de la tubería se le denomina línea piezométrica o línea de gradiente hidráulica (L. 136 . Con respecto a la línea de gradiente o piezométrica conviene ordenar los siguientes conceptos a) La línea de gradiente indica por medio de su altura sobre el eje de la tubería la presión en cualquier punto de ella. Para el movimiento uniforme. P. La línea de energía siempre desciende en la dirección del escurrimiento. la sección transversal es invariable. o en tuberías de igual rugosidad y diámetro. c) La línea de gradiente hidráulica indica por su descenso vertical la energía perdida entre dos secciones (para el movimiento uniforme). y en el apartado 4. Potencia Se llama potencia de una corriente líquida a su energía por unidad de tiempo. en metros.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ La línea de gradiente hidráulica no siempre desciende en la dirección del escurrimiento. La línea de energía y la de gradiente coinciden con la superficie libre para un líquido en reposo. Las pérdidas de carga continuas se deben a la fricción y se calculan por medio de la fórmula de Darcy (ecuación 3-3). Estas pérdidas de carga son fundamentalmente de dos tipos: continuas y locales. codo. etc. Θ es el gasto en m3/s.. Ποτ es la potencia en kg-m/s (teórica).3 se presentarán sus valores. Η es la energía total con respecto al plano de referencia. Para obtener esta potencia en HP (Horse Power) Ποτ = γ ΘΗ 76 CV (Caballos de vapor) Ποτ = γ ΘΗ 75 KW (kilowatts) Ποτ = γ ΘΗ 102 137 . η φ = φ Λ ς2 ∆ 2γ Las pérdidas de carga locales dependen de las características de cada singularidad. Tal sería el caso de un estanque. En la ecuación de la energía 4-1 se ha designado como ∑η φ1− 2 a la suma de todas las pérdidas de carga (de energía) que ocurren entre 1 y 2. válvula. Ποτ = γ Θ Η (4-2) γ es el peso específico del fluido en kg/m3. costo de reposición y mantenimiento. Tuberías comerciales. estableciendo un gráfico similar al de Nikuradse y que relaciona el coeficiente φ de Darcy. asbesto-cemento. etc. Este fenómeno de envejecimiento de las tuberías será descrito mas adelante. Las características de este gráfico son similares al de Nikuradse. Cálculo En el apartado 3. 18. Los valores de la rugosidad absoluta obtienen de la Tabla 2. De otro lado debe tenerse presente que la rugosidad cambia con el tiempo. por Moody.2 se señaló la naturaleza compleja e irregular que tiene la rugosidad de las tuberías comerciales. duración.1 ó de la 4. Solución. La velocidad de salida del agua es de 15 m/s. De acá que Nikuradse usó en sus experiencias rugosidad artificial constituida por esferas de diámetro uniforme (granos de arena).1 De un estanque sale una tubería de 10” de diámetro que termina en una boquilla de 4” de diámetro. capacidad inicial.4.7 KW 4.2 Abaco de Moody. el número de Reynolds y los valores de la rugosidad relativa (Figura 4. plásticos. calidad y características químicas del fluido.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Ejemplo 4. Calcular la potencia teórica del chorro. El Estudio experimental de la pérdida de carga fue hecho. plomo. Pero las tuberías comerciales tienen rugosidad natural. Después de varios años de uso una tubería es más rugosa de lo que era inicialmente. es Ποτ = 1 396 kg m/s o bien. según la ecuación 4-2. entre otros. 138 κ se .1216 m3/s La energía en la boquilla es ςΣ2 = 11.2). concreto. El gasto es Θ = Α × ςΣ = 0. cambio con el tiempo. Cada material tiene una rugosidad característica propia.48 m ( ςΣ es la velocidad de salida) 2γ La potencia teórica del chorro. resistencia. acero. La selección del material de una tubería depende de varios factores: costo inicial. etc.4 HP = 13. cuyo valor forma parte de la descripción técnica de la tubería. Las tuberías comerciales son de diferentes materiales: fierro fundido. que son el número de Reynolds y la rugosidad relativa ς∆ ν κ ∆ Con ellos se determina el valor de φ y aplicando la ecuación de Darcy se calcula la pérdida de carga η φ .Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Los problemas que pueden presentarse en el cálculo de tuberías son los siguientes a) Cálculo de la pérdida de carga η φ Es el caso más simple. Con el número de Reynolds y la rugosidad relativa se calcula un valor para φ . por ejemplo. 139 . b) Cálculo del gasto Θ Los datos son Λ : ∆ : ν : κ : ηφ : longitud diámetro viscosidad cinemática rugosidad pérdida de carga Con estos datos no es posible calcular el número de Reynolds. Debe procederse por aproximaciones sucesivas. los datos son Θ : gasto Λ : longitud ∆ : ν : κ : diámetro viscosidad cinemática rugosidad Con estos datos se determina inmediatamente los dos parámetros necesarios para aplicar el diagrama de Moody. Obtenidos los valores de φ y de ς se debe verificar que satisfacen la ecuación de Darcy. Con el valor correcto de la velocidad se calcula el gasto. Si la diferencia fuera grande debe hacerse un nuevo cálculo hasta conseguir igualdad en las dos primeras cifras significativas. el cual se compara con el supuesto inicialmente. Primero se calcula la rugosidad relativa y observando el diagrama de Moody se supone un valor para φ (podría ser. en base a la cual se halla un número de Reynolds. Con este valor de φ incorporado a los datos se calcula un valor tentativo para la velocidad. el que corresponde a turbulencia plenamente desarrollada). 0001 Tuberías lisas 0.06 0.04 0.00001 0.10 Zona de Transición o La 0.002 0.006 0.07 Turbulencia plenamente desarrollada (Tuberías rugosas) 0.0008 0.008 Re φ = 200 ∆ κ 0.09 0.02 0.001 0.00005 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ 140 Flujo Laminar Zona Crítica 0.08 F luj φ 0.008 67 9 10 3 2 3 4 5 67 9 4 10 2 3 4 5 67 9 5 10 2 4 5 67 9 6 10 ς∆ ϖ Figura 4.05 0. ∃ min 0.0002 0.03 0.025 0.01 0.04 0.05 %&% ar.0006 0.0000005 0.2 Abaco de Moody 2 3 4 5 67 9 7 10 2 3 4 5 67 9 8 10 Αρτυρο Ροχηα Re = 3 .0004 0.000001 0.03 e ∋()R 0.004 0.009 0.015 0.02 κ ∆ 0.01 0.015 0. Re = 3.00025 m) de 10” de diámetro. 10 = φ Λ ς2 1 000 ς 2 = 0.04 × 105 10 −6 # Consideramos ahora como datos el número de Reynolds y la rugosidad relativa y hallamos φ en el diagrama de Moody. Re = ς ∆ 1.0198 ∆ 2γ 0.001 Si suponemos que la turbulencia está plenamente desarrollada φ = 0. φ = 0.59 × 0.56 m/s de donde.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Ejemplo 4. La pérdida de carga (de energía) en el tramo considerado es de 10 m.56 m/s y el gasto Θ = Ας = π ∆2 1.0198 Calculamos ahora la velocidad a partir de la ecuación de Darcy.254 2 γ De acá se obtiene. φ = 0. Luego la velocidad es de 1. Calcular el gasto. ς = 1. A partir del nuevo valor de φ hacemos un nuevo cálculo para la velocidad y se obtiene ς = 1.56 = 0.2 Se tiene una tubería nueva de fierro fundido ( κ = 0. La rugosidad relativa es κ ∆ = 0. Solución.59 m/s Luego. 141 .0205 Valor que difiere del supuesto. Conduce agua cuya viscosidad es de 10-6 m2/s.254 = = 4.0205 Valor igual al supuesto. La longitud es de 1 000 m.079 m3/s = 79 lps 4 Los valores de φ y ς satisfacen la ecuación de Darcy.96x105 y en el diagrama de Moody encontramos. 3. 3 1/2. 2. 3. 2 1/2. 10. 18. 6. Verificar que la pérdida de carga así calculada es igual o menor que la pérdida de carga admisible (dato). 1/4. Calcular la velocidad media y el número de Reynolds. 5. Este valor debe corresponder a los valores comerciales. 142 . Escoger tentativamente un diámetro. Con el diagrama de Moody hallar el valor de φ . ∆5 = 8 Θ2 φ Λ ∃ 2γ ηφ o bien.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ c) Αρτυρο Ροχηα Cálculo del diámetro ∆ Los datos son Λ : longitud ν κ : viscosidad : rugosidad ηφ : pérdida de carga Θ : gasto Si expresamos la ecuación de Darcy reemplazando la velocidad en función del gasto y del área se tiene Λ ηφ = φ ∆ Θ2  π ∆2   2 γ   4  2 De donde. 1 1/4. Para hacer un diseño debe conocerse cuales son los diámetros comerciales disponibles. 16. Si la pérdida de carga está entre los valores que corresponden a dos diámetros comerciales sucesivos. 6. 12. 2. ∆5 = 0 . 8. que se expresan generalmente en pulgadas y pueden ser: 1/8. 1/ 2. tomar el diámetro mayor.0827 φ 2 Θ Σ (4-3) Para la solución se recomienda el siguiente procedimiento 1. Calcular la rugosidad relativa. 3/4. 14. 5. 1. Caso contrario repetir el procedimiento 8. 4. Eventualmente su número puede ser muy restringido. 7. 1 1/2. 4. 24 y 30”. 3/8. Con la ecuación de Darcy calcular la pérdida de carga. Los métodos acá presentados no son los únicos para resolver problemas de tuberías. Re = 4Θ 1 πν D 4. valores usuales del coeficiente de Darcy. Es usual empezar los cálculos fijando el rango de velocidades admisibles.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Otro procedimiento para resolver el problema es el siguiente 1. Hasta acá el método desde el punto de vista de la Mecánica de los Fluidos. Al ingeniero no le basta que los valores de la rugosidad relativa y el número de Reynolds sean compatibles con el coeficiente de Darcy. Si el valor de φ es igual al supuesto el problema está resuelto. Calcular la rugosidad relativa. que garantizarán un comportamiento hidráulico mejor. 3. máximos y mínimos. 7. Esta tabla es muy útil para aligerar los cálculos. por ejemplo. 143 . piensa generalmente en términos de la velocidad media. el problema de costos y de diámetro más económico. Para el agua se presentan. Requieren además que la velocidad esté comprendida entre ciertos valores. Con el diagrama de Moody hallar el valor de φ . sin considerar por ahora.1. en la Tabla 4. 5. Suponer un valor para φ . 2. como el golpe de ariete. Las velocidades grandes pueden significar la aparición de fenómenos inconvenientes. Calcular el diámetro a partir de la ecuación 4-3. El ingeniero que busca el diámetro que debe tener una conducción. lo que será analizado posteriormente. Si este valor es diferente al supuesto repetir el procedimiento con el nuevo valor hallado. pero como seguramente el diámetro obtenido no es comercial se toma el inmediato superior. 6. El ingeniero hidráulico que se enfrenta a un problema real introduce una condición adicional: la velocidad media en la tubería. De allí se deduce el diámetro y se continúa con el método antes señalado. Existen diversos procedimientos de cálculo que última instancia lo que tratan de establecer es el valor del coeficiente de Darcy que corresponde a una rugosidad relativa y a un número de Reynolds dados. por la ecuación de continuidad ς ∆2 = 4Θ π se expresa como. Calcular el número de Reynolds considerando que Re = ς∆ ν y que. 50 1.60 0.90 1.20 1.1 VALORES DE φ PARA EL AGUA Temperatura 10 ºC a 24 ºC. de la Colección Shaum) 144 . Giles. Valores de φ x 104 ∆ Velocidad m/s Calidad Rugosa Media Nueva Muy lisa 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα TABLA 4.50 6.00 9.30 0.40 3.00 4.80 2.00 435 355 300 240 415 320 265 205 410 310 250 190 405 300 240 180 400 290 230 170 395 285 225 165 395 280 220 155 390 270 210 150 385 260 200 140 375 250 190 130 370 250 185 120 6” Rugosa Media Nueva Muy lisa 425 335 275 220 410 310 250 190 405 300 240 175 400 285 225 165 395 280 220 160 395 275 210 150 390 265 205 145 385 260 200 140 380 250 190 130 375 240 180 120 365 235 175 115 8” Rugosa Media Nueva Muy lisa 420 320 265 205 405 300 240 180 400 285 225 165 395 280 220 155 390 270 210 150 385 265 205 140 380 260 200 135 375 250 190 130 370 240 185 120 365 235 175 115 360 225 170 110 10” Rugosa Media Nueva Muy lisa 415 315 260 200 405 295 230 170 400 280 220 160 395 270 210 150 390 265 205 145 385 260 200 135 380 255 190 130 375 245 185 125 370 240 180 115 365 230 170 110 360 225 165 105 12” Rugosa Media Nueva Muy lisa 415 310 250 190 400 285 225 165 395 275 210 150 395 265 205 140 390 260 200 140 385 255 195 135 380 250 190 125 375 240 180 120 365 235 175 115 360 225 165 110 355 220 160 105 16” Rugosa Media Nueva Muy lisa 405 300 240 180 395 280 220 155 390 265 205 140 385 260 200 135 380 255 195 130 375 250 190 125 370 240 180 120 365 235 175 115 360 225 170 110 350 215 160 105 350 210 155 100 20” Rugosa Media Nueva Muy lisa 400 290 230 170 395 275 210 150 390 265 200 135 385 255 195 130 380 250 190 125 375 245 180 120 370 235 175 115 365 230 170 110 360 220 165 105 350 215 160 100 350 205 150 95 24” Rugosa Media Nueva Muy lisa 400 285 225 165 395 265 200 140 385 255 195 135 380 250 190 125 375 245 185 120 370 240 180 120 365 230 175 115 360 225 170 110 355 220 165 105 350 210 155 100 345 200 150 95 30” Rugosa Media Nueva Muy lisa 400 280 220 160 385 255 195 135 380 250 190 130 375 245 185 120 370 240 180 115 365 230 175 115 360 225 170 110 355 220 165 110 350 210 160 105 350 205 155 100 345 200 150 95 36” Rugosa Media Nueva Muy lisa 395 275 215 150 385 255 195 135 375 245 185 125 370 240 180 120 365 235 175 115 360 230 170 110 355 225 165 110 355 220 160 105 350 210 155 100 345 200 150 95 340 195 145 90 48” Rugosa Media Nueva Muy lisa 395 265 205 140 385 250 190 125 370 240 180 120 365 230 175 115 360 225 170 110 355 220 165 110 350 215 160 105 350 210 155 100 345 200 150 95 340 195 145 90 335 190 140 90 4” (Tomada del libro ’’Theory and Problems of Hydraulics and Fluid Mechanics’’ de Ronald V. Los valores de φ y de ς satisfacen la ecuación de Darcy. Calculamos el diámetro. Supongamos φ = 0. con el nuevo valor de φ . de cemento enlucido ( κ = 0. La pérdida de carga admisible es de 25 m.265 Σ ∆ = 0 . Repetimos el procedimiento.02 2.74 m Re = 2.0004 = = 0.77 × 106 ∃# ∆ La rugosidad relativa es κ 0. Solución.00052 ∆ 0. ∆ = 0.2 x 10-6 m2/s. ∆5 = 0.87 x 106 κ ∆ = 0.3 Calcular el diámetro que debe tener una tubería nueva. La longitud de la tubería es de 1 000 m.0168 6. Luego.222 ∆ = 0. Calculamos el Número de Reynolds Re = 4. Con el ábaco de Moody hallamos el valor de φ φ = 0.0168 Como el valor que hemos encontrado para φ es igual al último valor supuesto éste es el valor correcto.0827 φ 2 Θ = 0.74 m ∆ = 29. 4Θ 1 = 2. 7.0767 5.00054 φ = 0. 1.0004 m) para conducir 2 m3/s. La viscosidad del agua es de 1.13’’ 145 .Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Ejemplo 4. ∆5 = 0.767 m 3. muy grande. de 2” de diámetro.4 Qué presión se requiere para impulsar 20 lps a lo largo de una tubería lisa. Aplicando la ecuación de Darcy se obtiene η φ = 381. horizontal. 5m 1 2 4m 146 . Si lo fuera habría que verificar que esa alta velocidad no nos traerá dificultades. si esta velocidad es.013 (Diagrama de Moody).6 m y por lo tanto π1 − π2 = ∆π = 38. Ejemplo 4. desde el punto de vista del ingeniero. La longitud del tramo es 300 m. La viscosidad del agua es 10-6 m2/s.2 kg/cm2 Este ejemplo se ha presentado con el objeto de mostrar que un diámetro pequeño puede dar lugar a una alta velocidad y a una gran pérdida de carga. Hubiera sido más práctico. empezar por fijar el valor máximo para la velocidad. El número de Reynolds es 5x105 y para el coeficiente φ de Darcy se obtiene 0. Por ser una tubería horizontal ηφ = π1 − π2 ! Para calcular la presión requerida ( π1 − π2 ) debemos establecer la pérdida de carga. El diámetro de la tubería de descarga es de 2 cm. Solución. 0 Ejemplo 4.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα En este caso escogemos ∆ = 30’’ Este problema se ha resuelto según el método segundo propuesto para el cálculo del diámetro. Considerar únicamente las pérdidas de carga continuas.2x10-6 m2/s. por ejemplo. La tubería es lisa. Posteriormente se verá que el problema es también económico.5 Calcular el gasto del sistema mostrado en la figura. No se ha calculado la velocidad media. La viscosidad del agua es 1. Hemos obtenido el diámetro y no sabemos. ς1 = ς2 = ς Luego. De acá. Aplicamos la ecuación de la energía entre los puntos 1 y 2 ς12 π1 ς2 π + + ζ1 = 2 + 2 + ζ 2 + η φ1−2 ! 2γ ! 2γ Pero.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Solución. π1 − π2 Λ ς2 = η φ1−2 = φ γ ∆ 2γ Ahora aplicamos el teorema de Bernoulli entre 0 y 1 ς2 π ς02 π0 + + ζ0 = 1 + 1 + ζ1 2γ ! 2γ ! π0 = π 2 = 0 Combinando las dos ecuaciones. ς12 = 2 γ (ζ 0 − ζ1 ) Λ φ +1 ∆ Reemplazando valores.2 ξ 10 −6 147 .667 ς1 # 1. se obtiene ζ 0 − ζ1 = Λ ς2 ς12 + φ ∆ 2γ 2γ Obsérvese que la energía disponible se usa una parte para imprimir energía cinética y otra para vencer la fricción.02 ς1 = = 16 . ζ1 = ζ 2 . ς12 = 2γ × 5 10 γ = 4 200 φ +1 +1 φ 0. Energía y Bernoulli.02 (1) De otro lado sabemos que el número de Reynolds es Re = ς1 ∆ 0 . 0278 3.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Aplicamos ahora un método de tanteos.0193 4.5 0.0 16 667 0.5 0.2 70 001.25 4.0194 4.51 m/s Θ = 0.0192 4.5 41 667.51 4.1 0.0197 4.48 4.51 75 168. Esta energía se usa.8 0.0 33 334 0.0191 4.46 4. Podrían haberse obtenido del diagrama de Moody.2 0.4 0. ς1 (supuesto) Re φ (según Blasius) 1.00142 m3/s Los valores de φ se han obtenido aplicando la ecuación de Blasius.0221 4.5 75 001.51 ς1 ς1 = 4. Energía de velocidad ς2 2γ = 1.50 4.00 m Ε 148 .49 4. Como se señaló antes la energía disponible es de 5 m. una parte para imprimir energía cinética y otra para vencer las fuerzas de fricción.0 66 668 0.4 73 334.04 m Fricción ηφ = 3. asumiendo valores para la velocidad.0191 4. En este problema particular no se ha tomado en cuenta las pérdidas locales.96 m Energía Ε = 5.0234 4.16 2.3 71 668.87 2. 25x10-6 m2/s. Luego. La tubería es lisa.6 Calcular el gasto que fluye en el sistema mostrado en la figura. 5m Solución. 1 2m 2 No considerar pérdidas de carga locales. La viscosidad del agua es 1. de 10 cm de diámetro.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Ejemplo 4. Observando que π1 − π4 = 0 se llega a π 2 − π3 = ( ζ1 − ζ 2 ) − ( ζ 4 − ζ3 ) γ Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene ζ1 − ζ 4 = φ Λ ς2 ∆ 2γ (Esta expresión podría haberse obtenido mediante un rápido análisis de la figura) Reemplazando los datos del problema ς2 = 2.289 φ El número de Reynolds es 80 000 ς . en el ábaco de Moody se 149 . Para un valor supuesto de la velocidad se calcula el correspondiente número de Reynolds. Resolveremos las dos últimas ecuaciones por aproximaciones sucesivas. Aplicando el teorema de Bernoulli entre 1 y 2 4 π2 − π1 ς2 = ζ1 − ζ 2 − 2 γ 2γ 1m 3 Análogamente entre 3 y 4 se obtiene π3 − π 4 ς2 = ζ 4 − ζ3 − 3 γ 2γ Se ha considerado que ς1 = ς4 = 0 Aplicamos ahora la ecuación de la energía entre 2 y 3 Λ ς2 π 2 − π3 = ζ3 − ζ 2 + φ ∆ 2γ ! puesto que ς2 = ς3 = ς . que produce una pérdida de carga local a la que designamos como ηλοχ . se deben a la fricción y se calculan por medio de la fórmula de Darcy. 3-15 y 3-16 (estas ecuaciones podrían haberse utilizado como método alternativo de solución). Las pérdidas de carga locales o singulares ocurren en determinados puntos de la tubería y se deben a la presencia de algo especial que se denomina genéricamente singularidad: un codo. Si la velocidad es igual a la supuesta. En la figura 4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento) En una tubería las pérdidas de carga son continuas y locales. E. Con este valor se calcula la velocidad (utilizando la expresión deducida para este problema).3 se observa una tubería mostrando la línea de energía y la súbita caída que experimenta como consecuencia de una singularidad. η λοχ Singularidad Figura 4.0114 y el gasto es Θ = 111 lps Se observa que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 3-14. un estrechamiento. Los valores obtenidos de φ y de ς satisfacen la ecuación de la energía.3 Pérdida de carga local 150 . 4. Caso contrario deben proseguirse los tanteos. Las pérdidas de carga continuas son proporcionales a la longitud. una válvula.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα encuentra el valor de φ . etc. el problema está resuelto.17 m/s φ = 0. Línea de energía L. Se obtiene finalmente ς = 14. Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Las pérdidas de carga locales se expresan genéricamente en función de la altura de velocidad en la tubería ηλοχ = Κ expresión en la que ς2 2γ (4-5) ηλοχ es la pérdida de carga local expresada en unidades de longitud. ηλοχ = Κ ς2 2γ Expresión en la que ς es la velocidad media en la tubería. Analizaremos las principales pérdidas locales en flujo turbulento. válvula. ς es la velocidad media en la tubería. (ec. Entrada o embocadura Corresponde genéricamente al caso de una tubería que sale de un estanque Entrada (embocadura) A la entrada se produce una pérdida de carga ηλοχ originada por la contracción de la vena líquida. Su valor se expresa por. Κ es un coeficiente adimensional que depende de las características de la singularidad que genera la pérdida de carga (codo. Esto en razón que en tuberías muy largas la mayor parte de la pérdida de carga es continua. Las que se presentan más frecuentemente son 151 . El valor de Κ esta determinado fundamentalmente por las características geométricas de la embocadura. A. Sin embargo en tuberías muy cortas las pérdidas de carga locales pueden ser proporcionalmente muy importantes. 4-5). A las pérdidas de carga locales también se les denomina pérdidas menores. etc) así como del número de Reynolds y de la rugosidad. El borde acampanado significa que el contorno tiene una curvatura suave a la que se adaptan las líneas de corriente.04.26 corresponde a una ρ ∆ . Κ disminuye hasta llegar a 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ a) Αρτυρο Ροχηα Bordes agudos Zona de separación Κ = 0.04 ∆ d) Bordes entrantes (tipo Borda) ∆ 152 Κ =1 . Κ = 0.26 ∆ En este caso el valor de Κ depende de la relación relación de 0. Para valores mayores de ρ ∆ . sin producirse separación.2. c) Bordes acampanados (perfectamente redondeados).5 ∆ b) Bordes ligeramente redondeados ( ρ es el radio de curvatura) Κ = 0. El valor 0.03 cuando ρ ∆ es 0. 5 m/s en una tubería la pérdida de carga es de 0. E. Se observa que los valores sólo se hacen depender da las características geométricas y no del número de Reynolds o de la rugosidad. a) Ensanchamiento brusco L.159 m si la entrada es con bordes agudos y sólo 0. ς22 2γ A ∆1 D π1 π2 B ∆2 C 1 2 La pérdida de carga en el ensanchamiento brusco se calcula analíticamente a partir de la ecuación de la cantidad de movimiento. En una conducción normalmente se desea economizar energía. Entre las secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es ς12 π1 ς22 π2 + = + + ηλοχ 2γ ! 2γ ! (4-6) 153 . A modo de ejemplo cabe indicar que para una velocidad media de 2. Este ensanchamiento puede ser brusco o gradual. Ensanchamiento del conducto En ciertas conducciones es necesario cambiar la sección de la tubería y pasar a un diámetro mayor. η λοχ ς12 2γ L. B. P.013 m. si la entrada es acampanada. Conviene entonces dar a estas entradas la forma más hidrodinámica posible. que pueden diferir según las condiciones de las experiencias realizadas.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Los valores aquí presentados para Κ son valores medios. Aplicándole la ecuación de continuidad se obtiene 2 ηλοχ 2  Α1  ς12  Α2  ς22  = 1 −  =  − 1 2 Α γ 2    Α1  2 γ Este resultado teórico está confirmado por los experimentos. 154 (4-8) .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1. debe cumplirse que la resultante de las fuerzas exteriores es igual al cambio de la cantidad de movimiento. ( π1 − π2 ) Α2 = ρ Θ (ς2 − ς1 ) Considerando que el coeficiente de Boussinesq es 1. ς12 π1 ς22 π2 (ς1 − ς2 ) 2 + = + + 2γ γ 2γ γ 2γ Comparando esta expresión con la ecuación de la energía (4-6) se concluye que la pérdida de carga en el ensanchamiento brusco es (ς1 − ς2 ) 2 ηλοχ = 2γ (4-7) expresión que se conoce también con el nombre de fórmula de Borda. Para el volumen ABCD comprendido entre las secciones 1 y 2. Dividiendo esta última expresión por γ Α2 se obtiene π1 − π2 ς22 ς1 ς 2 = − γ γ γ Haciendo algunas transformaciones algebraicas se llega a π1 − π2 ς22 ς22 2ς1 ς 2 ς12 ς12 = + − + − γ 2γ 2γ 2γ 2γ 2γ agrupando se obtiene. 1. La pérdida de carga en el ensanche gradual es la suma de la pérdida por rozamiento con las paredes. se tiene que A1 A2 ς1 = ς ηλοχ = puesto que ς2 2γ (4-9) Α1 / Α2 → 0 Esto significa que toda la energía cinética del flujo se disipa en forma de energía térmica.6 ς1 ∗ ς2 0.5 ∆2 0.8 ∆1 =3 Κ 0.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Si la superficie Α2 es mucho mayor que Α1 como podría ser el caso de entrega de una tubería a un estanque. En una expansión gradual se producen torbellinos y vórtices a lo largo de la superficie de separación. entre otros. Este fenómeno fue descrito en el capítulo III al estudiar la teoría de la capa límite.4 Gráfico de Gibson (Ensanchamiento gradual) 155 . que determinan una pérdida de carga adicional a la que corresponde por fricción con las paredes.4 η λοχ = Κ 0.2 (ς1 − ς2 ) 2 2γ 0 0º 20º 40º 60º 100º 80º 120º 140º 160º 180º ∗ Figura 4.0 = 1. por Gibson. En un ensanche gradual hay mayor longitud de expansión que en un ensanche brusco.2 ∆2 ∆1 1. b) Ensanchamiento gradual La pérdida de energía en un ensanchamiento gradual (cónico) ha sido estudiada experimentalmente. más la pérdida por formación de torbellinos. ∆2 Contracción del conducto La contracción puede ser también brusca o gradual. ∆1 ∆2 En algunos casos se usa una expansión mixta o escalonada combinando una expansión gradual y una brusca. b) Para un ángulo de aproximadamente 60°la pérdida de carga en la expansión gradual es mayor que en la brusca.5 hasta llegar a una zona de máxima contracción que ocurre en la tubería de 156 . Con el objeto de disminuir la pérdida de carga en un cambio de sección se puede recurrir a una expansión curva. El valor obtenido del gráfico para Κ se reemplaza en la fórmula 4-10 ηλοχ = Κ (ς1 − ς2 ) 2 2γ (4-10) Obteniéndose así la pérdida de carga en un ensanchamiento gradual. ∆1 C. En general la contracción brusca produce una pérdida de carga menor que el ensanchamiento brusco.4 se muestran gráficamente los resultados experimentales de Gibson. La contracción brusca significa que la corriente sufre en primer lugar una aceleración (de 0 a 1) en la Figura 4.4) se obtienen las siguientes conclusiones a) Hay un ángulo óptimo de aproximadamente 8°para el cual la pérdida de carga es mínima. Observando el gráfico de Gibson (Figura 4.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα En la Figura 4. E. P. La ecuación 4-8 puede adoptar la forma siguiente 2 ηλοχ Siendo 2  Α  ς2  1  ς2 =  2 − 1 2 =  − 1 2  χχ Α2  2 γ  χχ  2 γ (4-11) χχ el coeficiente de contracción cuyos valores han sido determinados experimentalmente por Weisbach (Tabla 4.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ menor diámetro. La mayor parte de la pérdida de carga se produce entre 1 y 2 (desaceleración). Se produce consecuentemente una zona de separación. ς22 2γ ∆2 ∆1 0 1 2 Figura 4.2) 157 . 2 ς1 2γ η λοχ L.5 Contracción brusca Una contracción significa la transformación de energía de presión en energía de velocidad. Luego se inicia la desaceleración (de 1 a 2) hasta que se restablece el movimiento uniforme. La pérdida de energía entre 1 y 2 se calcula con la expresión 4-8 2 Α  ς2 ηλοχ =  2 − 1 2  Α1  2 γ en la que Α1 es el área de la sección transversal en la zona de máxima contracción y Α2 es el área de la tubería menor (aguas abajo). L. ς 2 es la velocidad media en la tubería de menor diámetro (aguas abajo). La energía perdida entre 0 y 1 es proporcionalmente muy pequeña. D.632 0.3 0.2 COEFICIENTES DE WEISBACH PARA CONTRACCIONES BRUSCAS [∆2 / ∆1 ] 2 0 0.681 0. El caso más importante es el codo de 90°. pues se reduce o casi elimina la formación de vórtices.9 0.643 0.712 0.6 0.1 0.586 0.5) Para el estrechamiento gradual la pérdida de carga es mínima.5 0.755 0. dado que el contorno sirve de guía o soporte a las líneas de corrientes.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα TABLA 4. Según Idelchik el coeficiente Κ para la pérdida de carga en una contracción brusca se puede calcular con la fórmula semiempírica 1 ∆  Κ = 1 −  2  2   ∆1   2     (4-13) ∆1 es el diámetro de la tubería mayor (aguas arriba) y ∆2 es el diámetro de la tubería menor (aguas abajo).8 0.813 0. La pérdida de carga es 158 . Consideraremos que su valor es cero. Cambio de dirección Un cambio de dirección significa una alteración en la distribución de velocidades.892 χχ 1 1 2  1 − 1 = Κ .624 0.4 0.659 0. entonces Si   χχ  2 ηλοχ Si ς =Κ 2 2γ (4-12) ∆2 / ∆1 es cero esto significa que Α2 es mucho menor que Α1 y se interpreta como una embocadura con bordes agudos ( Κ = 0.2 0. Se producen zonas de separación del escurrimiento y de sobrepresión en el lado exterior.7 0. ς2 2γ (4-17) Válvulas y Boquillas Una válvula produce una pérdida de carga que depende del tipo de válvula y del grado de abertura.75 ς2 2γ (4-16) Para el codo de curvatura suave la pérdida de carga es ηλοχ = 0.5 Los valores aquí señalados son meramente referenciales pues varían mucho con el diámetro de la tubería y el grado de abertura.9 ς2 2γ (4-14) Para el codo a 45°la pérdida de carga es ηλοχ = 0. ηλοχ es la pérdida de carga en la boquilla.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ ηλοχ = 0.42 ς2 2γ (4-15) Para el codo de curvatura fuerte la pérdida de carga es ηλοχ = 0.19 2.6 E. En una boquilla la pérdida de carga es ς 2 1 ηλοχ =  2 − 1 Σ  2γ  χϖ χϖ es el coeficiente de velocidad y ςΣ es la velocidad de salida. Los principales valores de Κ son Válvula globo (completamente abierta) Válvula de compuerta (completamente abierta) Válvula check (completamente abierta) 10 0. 159 . Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα TABLA 4.90 Codo de 45º Κ = 0.04 Bordes Entrantes Κ =1 (ς − ς2 )2 Κ 1 ENSANCHAMIENTO 2γ 2 Α  ς2 = Κ  2 − 1 2  Α1  2γ ( ς1 : velocidad aguas arriba. suave Κ = 0.5 Bordes ligeramente redondeados Κ = 0. ς2 : velocidad aguas abajo) CONTRACCION Brusco Κ =1 Gradual Gráfico de Gibson       2  2  ς 1 ς2 − 1 2 = Κ 2  2γ 2γ χχ  ( ς2 : Velocidad aguas abajo) Brusca Tabla de Weisbach Gradual Κ =0 CAMBIO DE DIRECCION ς2 Κ 2γ ( ς : velocidad media) Codo de 90º Κ = 0.26 Bordes Acampanados Κ = 0.5 .19 Válvula check (totalmente abierta) Κ = 2.75 Codo de curv.0 Válvula de compuerta (totalmente abierta) Κ = 0.3 PERDIDAS DE CARGA LOCALES ENTRADA Κ ς22 2γ ( ς : velocidad media de la tubería) Bordes Agudos Κ = 0. fuerte Κ = 0.60 VALVULAS ( ς : velocidad media) 160 Válvulas de globo (totalmente abierta) Κ = 10.42 Codo de curv. 7 Calcular el gasto que escurre en el sistema mostrado en la figura. Κ 2 es igual a 1 por corresponder a la entrega de una tubería en un depósito. Sustituyendo 7= φ ς2 ς2 6 ς2 + 0. que el valor de φ es función exclusiva de la rugosidad relativa (es independiente del número de Reynolds). Con el valor obtenido para la velocidad calculamos el gasto.1 2 γ 2γ 2γ Operando. 4-5).015 ∆ Si suponemos turbulencia plenamente desarrollada.5 + 0.5 La rugosidad se obtiene de la Tabla 2.76 m/s Verificamos ahora el número de Reynolds. 2m 5m Solución. Κ 1 = 0.044 Con este valor de φ .1.4 × 105 confirmándose así que la turbulencia está plenamente desarrollada. κ = 0. que es todavía tentativo por cuanto no sabemos si efectivamente hay turbulencia plenamente desarrollada. La embocadura es con bordes agudos. Luego. El diámetro es de 10 cm . (ec. como sabemos. ς = 5.8a o de la Tabla de propiedades mecánicas del agua. De la ecuación de la energía se obtiene 1m Λ ς2 ς2 ς2 + Κ1 + Κ2 7= φ ∆ 2γ 2γ 2γ Por ser la embocadura con bordes agudos.2) que φ = 0. se calcula la velocidad. La viscosidad se obtiene de la Figura 1. ς2 = 14 γ 60 φ + 1. Esto significa. 161 . La tubería es de fierro fundido bastante oxidado.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Ejemplo 4. 4-9). Re = 6. La temperatura del agua es de 25 °C.5 (ec. se obtiene en el ábaco de Moody (Figura 4. ς2 π ς12 π1 ς2 ς2 + + ζ1 = 0 + 0 + ζ0 + Κ 2 + 2 ! 2γ ! 2γ 2γ 2γ Por continuidad se tiene que.01 m Ejemplo 4. Planteamos la ecuación de la energía entre el punto 1 (ubicado inmediatamente después de la bomba) y el punto 0 (ubicado en la superficie del líquido). La pérdida de carga en la contracción gradual se desprecia.68.47 m Embocadura 0 .8 kg/cm2.1975 ς22 Reemplazando se obtiene 1. En el depósito la presión manométrica es de 1. A la salida de la bomba el diámetro de la tubería es de 3” y luego de una contracción gradual continúa por medio de un codo de curvatura suave de 2” hasta entregar al depósito. El manómetro ubicado inmediatamente después de la bomba indica 2 kg/cm 2 .94 2γ .85 m Λ ς2 ∆ 2γ 4. La gasolina debe permanecer en el depósito con una carga constante de 1.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Θ = 45 l/s A modo de verificación calculamos cada una de las pérdidas de carga ς2 2γ 0. la bomba impulsa gasolina cuyo peso específico relativo es 0.69 m Energía total 7.402 162 ς2 = 1.8 En el sistema mostrado en la figura. ς1 2 = 0.0 m. Calcular el gasto.5 Continua φ Entrega ς2 2γ 1. 0 1m B 1 Solución. En este cálculo se usan a fin de poder establecer comparaciones). El 64 % restante corresponde a la pérdida de carga continua.5 + 0.5 l/s 4. Η= φ 2 ς2 ς2 Λς + Κ1 + Κ2 2γ 2γ ∆ 2γ Admitamos que Κ1 es 0. Si la tubería tuviera una longitud bastante mayor. Λ ς  Η = 1. Κ 2 es 1 y φ = 0. Corresponde a valores pequeños de la relación ( Λ ∆ ). Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Luego.024 (son valores escogidos arbitrariamente.2 m/s Θ = 10. A fin de examinar con algo de generalidad la importancia relativa de las pérdidas de carga locales consideremos que en la figura del ejemplo 4. Este es un sistema en el que las pérdidas de carga locales son proporcionalmente muy elevadas. Se dice que una tubería es corta cuando las pérdidas de carga locales son importantes con respecto a la energía total y por lo tanto no pueden despreciarse en los cálculos. Corresponde a valores grandes de la relación entre la longitud Λ y el diámetro ∆ ( Λ ∆ ). Se dice que una tubería es larga cuando las pérdidas de carga locales pueden despreciarse sin que resulte un error significativo en el resultado de los cálculos.024  ∆  2γ  2 Examinemos varias posibilidades 163 .7 la longitud de la tubería es Λ .7 se observa que las pérdidas de carga locales (por embocadura y por entrega) representan el 36 % de la energía total. Para una longitud muy grande podría darse el caso que las pérdidas de carga locales sean despreciables. Entonces. el valor de la pérdida de carga continua crecería.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales En el ejemplo 4. ς2 = 5. pero que se presentan frecuentemente. el diámetro ∆ y la energía Η .5. 4 1.4 Luego el error en el cálculo de la velocidad sería del 27 %.4 2. luego ∆ Η = 3.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ a) Αρτυρο Ροχηα Λ = 100.5 + 240 240 1.5 + 24 24 1. 164 Λ/∆ (con ηλοχ ) (sin η λοχ ) ς2 /ς1 Error 100 1.3 % Los cálculos anteriores se expresan en el siguiente cuadro.03 3% 10 000 1.9 = 1.4 2γ La relación entre las velocidades calculadas.3 % . Evidentemente esto significa que al despreciar las pérdidas de carga locales la velocidad obtenida en los cálculos es 27 % mayor que la que se obtendría de haberlas considerado. entonces ς22 Η = 2. sería 3. según que se desprecie o no. b) Λ = 1 000 ∆ Siguiendo el mismo procedimiento se encuentra que el error en el cálculo de la velocidad sería del 3 % c) Λ = 10 000 ∆ El error en el cálculo de la velocidad sería del 0.27 27 % 1 000 1.9 ς12 2γ Pero si despreciamos las pérdidas de carga locales. las pérdidas de carga locales.003 0.27 2.5 + 2. (por ejemplo.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Estos valores son sólo indicativos. A continuación examinaremos otro procedimiento para apreciar la importancia relativa de las pérdidas de carga locales.0827 φ ∆  Θ  4 ∆ 2 Según lo expuesto en el capítulo III se tiene que se aceptamos un error del 20 % en la estimación de la rugosidad κ (lo que es perfectamente posible).5). Transformando. Λ  + 0. 0827 ∑ ∆5 ∆4 La importancia relativa de cada uno de los dos términos del segundo miembro significa que la tubería sea larga o corta. el cuadro precedente ilustra claramente para que orden de valores de Λ ∆ el error es muy pequeño. o su equivalente 0. Sin embargo.0827 ∑ Κ Η =  0. pues no corresponden a un caso absolutamente general Κ1 podría no ser 0. esto representará un error del 4 % en el cálculo del valor del coeficiente φ de Darcy (lo que equivale al 2 % de error en el cálculo de la velocidad).0827 φ Θ2 Θ2 + Λ Κ 0 . De acá se desprende que la condición límite corresponde a 165 .0827 φ Θ2 Λ ∆5 (4-18) Las pérdidas de carga locales usualmente corresponden a ∑Κ ς2 2g que equivale a 0.0827 ∑ Κ Θ2 ∆4 La pérdida total de energía es entonces la suma de ambas Η = 0. En un sistema cualquiera las pérdidas de carga continuas se expresan en función de la ecuación de Darcy. 0827 φ Λ = 0 .5 ∆ Λ ≈ 1 500 ∆ En lo sucesivo se considerará. que si Λ > 1 500 ∆ (4-19) la tubería es larga y por lo tanto las pérdidas de carga locales son despreciables. Se trata de la pérdida de carga que ocurre en una expansión brusca (ensanchamiento del conducto). Reemplazando se obtiene.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 4 % de 0 . las dos ecuaciones fundamentales para el cálculo son α1 ς12 π1 ς2 π + = α 2 2 + 2 + ζ 2 + ηλοχ 2γ ! 2γ ! ( π1 − π2 ) Α2 = ρ Θ (β 2 ς2 − β1 ς1 ) 166 . para fines prácticos.5 y φ = 0.024 ).0827 ∑ Κ ∆ 0.04 φ Λ =∑ Κ ∆ Examinemos el mismo sistema anterior ( ∑ Κ = 1. Λ = 1 562.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar) Por lo general en el flujo laminar las perdidas de carga locales son muy pequeñas comparadas con las pérdidas de carga continuas. Tal como se mostró en la figura del ensanchamiento brusco. Empecemos por examinar la pérdida de carga en un caso particular que es suceptible de tratamiento analítico. 4. En el caso más general una pérdida de carga local está formada por dos componentes: a) la pérdida de energía por rozamiento con el contorno. b) la pérdida de energía por disipación en la formación de vórtices ηλοχ = ηροζ + ηϖορτ Para el flujo laminar. (según ecuaciones de Darcy) ηροζ = 64 Λ ς 2 Re ∆ 2 γ que para longitud y diámetro constante equivale a ηροζ = Α ς2 Re 2 γ La pérdida de carga por formación de vórtices se considera que es ηϖορτ = Β ς2 2γ 167 . ς es la velocidad media. Los subíndices 1 corresponden al tramo ubicado aguas arriba y los subíndices 2 al tramo ubicado aguas abajo. Θ el gasto. β es el coeficiente de Boussinesq. γ el peso específico del fluido. ec. ρ su densidad.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ α es el coeficiente de Coriolis. Para el flujo laminar consideramos α1 = α 2 = 2 β1 = β 2 = 4 / 3 Haciendo las sustituciones y operando se llega finalmente a la expresión que da la pérdida de carga local ηλοχ ηλοχ = (3ς1 − ς2 )(ς1 − ς2 ) 3γ (4-20) Esta expresión puede compararse con la obtenida para el flujo turbulento. π es la presión. 4-7. Α el área de la sección transversal. 6 Sistemas hidráulicos equivalentes Se dice que dos sistemas hidráulicos son equivalentes cuando requieran la misma energía para que circule en cada uno de ellos el mismo gasto. los dos sistemas mostrados en la figura son equivalentes Η Η Θ Θ Siempre que los valores de la energía Η y del gasto Θ sean iguales en ambos sistemas.020 de coeficiente φ de Darcy para ser equivalente a otra tubería de 100 m de largo. La pérdida de carga debe ser igual en ambos sistemas φ 168 Λε ς 2 Λ ς2 ς2 = φ +∑Κ ∆ 2γ ∆ 2γ 2γ . del mismo diámetro y rugosidad.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα se tiene que Κ= Α +Β Re (4-21) Naturalmente que si el flujo es turbulento → Β Κ  Α y Β son dos constantes. en las que las pérdidas de cargas locales tienen un valor de ∑Κ = 2 ? Solución. Lo que equivale a decir que dos sistemas hidráulicos son equivalentes cuando el mismo gasto produce en ambos la misma pérdida de carga. Ejemplo 4. 4.9 ¿Cuál es la longitud que debe tener una tubería de 0. Así por ejemplo.10 m de diámetro 0. 24 (3. Ejemplo 4.0254 Con lo que queda verificado el problema.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ φ Λε ς 2 Λ = φ +2 ∆ 2γ ∆ Reemplazando los valores conocidos se obtiene Λε = 110 m.4x10-6 m2/s. 169 .6 m/s Θ = 0. Aplicando el teorema de Bernoulli entre 0 y 1 y la ecuación de la energía entre 1 y 2 se obtiene ζ0 − ζ2 = ς2  Λ   φ + Κ1 + 2 Κ 2 + 1 2γ  ∆  Reemplazando los valores conocidos y siguiendo el método general ς = 3. Verificar por el método de la tubería equivalente. El chorro descarga libremente a la atmósfera. 212.029 m3/s ≈ 29 l/s La longitud de tubería equivalente del mismo diámetro y rugosidad es 212. Luego. Está hecha de fierro fundido.24 m.1016 2 γ 2 η φ = 0. La viscosidad del agua es 1. Los bordes de la entrada son ligeramente redondeados.6 ) = 35.08 m 0. El diámetro de la tubería es de 4”. 0 Η 2 40 m 5m 1 120 m 75 m Solución.10 Determinar el gasto que circula en el sistema mostrado en la figura. nuevo. 1 2 Θ1 = Θ2 Figura 4. Esta condición se expresa por la ecuación de la energía Η = φ1 Λ1 ς12 Λ ς2 + φ 2 2 2 + ∑ ηλοχ ∆1 2 γ ∆2 2 γ (4-22) Los subíndices 1 corresponden al primer tramo. 170 . Corresponde a un sistema formado por dos tramos que conecta dos estanques. están en serie cuando se hallan dispuestas una a continuación de la otra de modo que por ellas escurre el mismo gasto. El primero. E. La solución es inmediata. Θ1 = Θ2 = Θ Para la resolución del sistema mostrado en la figura se presentan dos casos. La ecuación de la energía junto con la de continuidad. de diferente diámetro y/o rugosidad. La carga o energía disponible Η debe ser igual a la suma de todas las pérdidas de carga que ocurren en el sistema (continuas y locales). constituyen las dos ecuaciones fundamentales para resolver un sistema de tuberías en serie. Esta ecuación podría extenderse a cualquier número de tramos. longitudes.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 4. Son datos básicos los diámetros.6 Tuberías en serie (dos tramos) En esta figura se presenta un caso particular de tuberías en serie.7 Tuberías en serie Se dice que dos o más tuberías. P. L. que es el más simple. los subíndices 2 corresponden al segundo tramo. rugosidades y el gasto. tiene por incógnita la energía Η . Η L. L. longitudes y rugosidades. Con estos valores obtenidos para el coeficiente de Darcy. cual es el valor correspondiente de Θ . Esto puede hacerse. dato del problema. teniendo en cuenta la Tabla 4. se rehace el cálculo hallándose nuevos valores para ς1 . E.1 y/o las rugosidades relativas y luego obteniendo un valor para φ por observación del Diagrama de Moody. Re . y se determina con las rugosidades relativas los valores φ1 y φ 2 .2 (se puede suponer inicialmente que la turbulencia está plenamente desarrollada). Si estos valores obtenidos para φ son iguales a los dos últimos. Otro método es el siguiente. aproximadamente. Hay varios métodos para resolver este problema. Se puede entonces calcular el gasto y cada una de las pérdidas de carga. esto significa que se ha determinado los verdaderos valores de φ y de las velocidades.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ El segundo caso es más laborioso. Puede darse también el caso de un sistema en serie que descarga a la atmósfera. los diámetros. Figura 4. Siempre se debe verificar la ecuación de la energía. P. 1 Η L. Por medio de la ecuación de continuidad se expresa la ecuación de la energía en función de una de las dos velocidades ( ς1 ó ς2 ). 2 3 ςσ Θ1 = Θ2 = Θ3 Figura 4. Conviene luego iniciar los cálculos haciendo la siguiente suposición φ1 = φ 2 = φ Se debe entonces suponer un valor para φ . Uno podría ser suponer sucesivamente valores para el gasto y verificar en cada caso si la suma de todas las pérdidas de carga es igual a la energía disponible Η . Con el valor supuesto para φ se calcula las velocidades y luego los números de Reynolds para cada tramo. La incógnita es el gasto. ς2 . Los datos son la energía disponible Η . Con los valores obtenidos se hace un gráfico gasto-energía y se determina para el valor de Η . φ1 y φ 2 .7 Tuberías en serie (tres tramos) 171 . 09 + 199. Θ1 = Θ2 = Θ3 = Θ Si tuviéramos una tubería compuesta por varios tramos de diferente diámetro. 6 = (5.21 φ1 + 65. Solución. La ecuación de la energía es Λ ς2 ς2 Λ ς 2 (ς − ς2 ) ς12 + φ1 1 1 + 1 + φ2 2 2 + 2 ∆2 2 γ 2 γ ∆1 2 γ 2γ 2γ 2 6 = 0.5 (1) De la ecuación de continuidad se obtiene ς1 = 2. La otra ecuación fundamental es la invariabilidad del gasto. más la energía de velocidades correspondiente al chorro final. se demuestra fácilmente que ςΣ =  1+ ∑  ι =1  ν 2γ Η ΑΣ2  φ ι Λι ΑΣ2  + Κ ι Αι2  ∆ι Αι2 (4-23) el gasto es evidentemente Θ = ςΣ ΑΣ Ocurre a veces que en un sistema de tuberías en serie los tramos son tan largos que las pérdidas de carga locales resultan insignificantes con respecto a las pérdidas de carga continuas. En este caso se desprecian las pérdidas de carga locales.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Se mantiene el concepto general. La energía disponible Η es igual a la suma de todas las pérdidas de carga continuas y locales. Calcular el gasto. Ejemplo 4. La embocadura es con bordes agudos y el cambio de sección es brusco. el último de los cuales descarga a la atmósfera con una velocidad ςΣ (velocidad de salida). La tubería es de fierro fundido. nuevo. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 6 m.62 φ 2 ) 172 ς22 2γ (2) . Calcular cada una de las pérdidas de carga. La temperatura del agua es de 20 °C.11 Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6” de diámetro en los primeros 6 m y 9” en los 15 m restantes.25ς2 Reemplazando los valores conocidos. 40 m 2γ Λ1 ς12 = 2. Los números de Reynolds son. según la Tabla 2. Por lo tanto.36 m/s Lo que significa ς1 = 7.0016 ∆1 κ = 0.02 .15x106 Re 2 = 7. Usando estos valores calculamos un nuevo valor para las velocidades en (2) ς1 = 7. Se obtienen valores iguales a los supuestos. que conduce agua podríamos suponer inicialmente φ1 = φ 2 = 0. Reemplazando se obtiene.0205 Estos valores difieren ligeramente del que habíamos supuesto (0. Del diagrama de Moody (Figura 4. El objetivo de esta suposición es obtener el orden de magnitud del valor ς2 .42 m/s ς2 = 3.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Por tratarse de una tubería de fierro fundido. Re1 = 1. ς2 = 3. Para la rugosidad absoluta se ha tomado el valor 0.3 m/s Luego se calculan los números de Reynolds y los valores de φ .02).4.1 o la 4.022 φ 2 = 0.00025 m. Se puede tener una idea aproximada de este valor calculando las rugosidades relativas y observando el valor de φ para turbulencia plenamente desarrollada. la viscosidad cinemática es 10-6 m2/s.7x105 κ = 0.2) se obtiene el valor de φ φ1 = 0.5 η φ1 = φ1 ς12 = 1. Θ = Α1 ς1 = 135 l/s Verificación de la ecuación de la energía ηλοχ = 0.0011 ∆2 y las rugosidades relativas.43 m ∆1 2 γ 173 .56 m/s Considerando que para 20 °C. la línea de gradiente queda por debajo de la tubería y se produce presión negativa. 4.56 2γ (Energía total: 6. Η es la carga. La importancia de las pérdidas de carga locales es grande. pues la tubería no lo es).8 se observa una tubería que une dos estanques y que por alguna razón. Constituyen el 47 % de la energía total.87 m 2γ η φ2 = φ 2 Λ2 ς22 = 0. Si el estrechamiento es muy grande.8 Tubería sobre la línea de gradiente. La línea de gradiente está representada aproximadamente por la línea recta que une las superficies libres de los estanques (en realidad la línea de gradiente no es recta.75 m ∆2 2 γ ηλοχ = 1 2 ς22 = 0. A este sistema hidráulico se le denomina sifón. En la figura se observa un estrechamiento en la tubería. En los puntos de intersección entre la línea de gradiente y la tubería la presión es cero. En la Figura 4. Obsérvese que en este caso las tuberías son relativamente cortas. Se produce aumento de la velocidad y por consiguiente debe haber disminución de la presión. Debe tenerse presente que hablamos de presiones relativas. Sifón. 174 . P.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα (ς − ς2 ) = 0. Por lo tanto “presión cero” significa “presión atmosférica” y “presión negativa” significa “presión menor que la atmosférica”. que podría ser de tipo topográfico. Todo el tramo de la tubería que está sobre la línea de gradiente tiene presión negativa. Cavitación Siempre que la tubería queda por encima de la línea de gradiente (línea piezométrica) hay presión negativa. tiene un tramo alto que queda sobre la línea de gradiente.01 m) Con lo que queda verificada la ecuación (1). L. como el mostrado en la figura. Si la presión disminuye mucho aparece vapor de agua y el problema se agrava.8). Por lo tanto un sifón debe diseñarse de modo que la presión esté siempre por encima de la correspondiente a la formación de vapor a la temperatura del agua.33 + 0 = ς2 π + + ζ + η φ ΑΧ 2γ γ siendo. se tiene 0 + 10. Considerando en este caso para mayor facilidad de cálculo presiones absolutas. Para el cálculo del sifón se aplica la ecuación de la energía entre A y C (Figura 4. ς : velocidad media en la tubería 175 .8 Esquema de un sifón En el tramo de tubería en el que la presión es menor que la atmosférica se libera al aire contenido en el agua y si la velocidad no es suficientemente grande el aire queda retenido en la parte superior de la tubería impidiendo la normal circulación del agua.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ C ζ π= 0 D A π= 0 Η B Figura 4. c) La ruptura de las burbujas produce tensiones muy fuertes que pueden conducir a la falla estructural de la tubería. Se observa que el Parámetro de Cavitación es una forma del Número de Euler. Se denomina cavitación al fenómeno de formación y desaparición rápida de burbujas (cavidades) de vapor en el seno del líquido. con respecto al nivel de la superficie libre en el reservorio de alimentación : pérdidas de carga entre A y C (continuas y locales según el caso) El máximo valor de ζ depende del valor que se admite para la presión absoluta en C.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα π : altura correspondiente a la presión absoluta γ : ζ ηφ ΑΧ sobreelevación del eje de la tubería en su punto más alto. A fin de evitar la discontinuidad en el escurrimiento por desprendimiento de vapor. esta presión no debe ser inferior a la de vaporización del fluido a la temperatura de operación del sistema. En C se debe tener un valor de la velocidad que sea lo suficientemente alto como para arrastrar las burbujas de aire. 176 . En un sistema hidráulico debe evitarse la aparición de cavitación por las siguientes razones a) La cavitación significa una discontinuidad en el escurrimiento y por lo tanto una reducción de la eficiencia de conducción. Las burbujas se forman en las zonas de reducción de presión. πϖ es la presión absoluta de vaporización del líquido a la temperatura existente. Si hubiera que instalar una válvula de control debe hacerse en el tramo descendente. ρ es la densidad del líquido y ς es la velocidad media. Se debe procurar que en el tramo ascendente de la tubería las pérdidas de carga sean mínimas. La posibilidad de cavitación se describe por medio de un parámetro adimensional denominado Parámetro de Cavitación π − πϖ % ς 2/ 2 (4-24) π es la presión absoluta en el punto considerado. b) La cavitación significa inestabilidad en el escurrimiento y puede dar lugar a ruido o vibraciones. Al ser conducidas a zonas de mayor presión explotan provocando un ruido característico. 04.12 Dos estanques A y B (Figura 4. ζ = 1. con la temperatura.78 m. Hay curvas y gráficos que expresan la presión absoluta de vaporización en función de la temperatura.9 Tubería con boquilla convergente final Si al final de una tubería se coloca una boquilla tronco-cónica convergente disminuye el gasto. La diferencia de nivel entre ambos estanques es 15 m. La longitud entre A y C es 400 m.2 a 0. Sin embargo debe tenerse en cuenta que el agua contiene impurezas. Solución.3 kg/cm2. El diámetro de la tubería es 0.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ La presión absoluta de vaporización varía.4 m.71 m/s. sales.78 m La máxima elevación que puede tener la tubería en el punto C es 1. que obligan a aceptar valores prácticos diferentes. con respecto a la superficie libre del estanque A. ubicado por encima de la superficie libre del estanque A. La pérdida de carga en la boquilla viene dada por  ςΣ2 1  ηλοχ =  2 − 1 2γ  χϖ (4-25) 177 . Calcular además el gasto.8) están conectados por una tubería que pasa por un punto C. Se aplica la ecuación de la energía entre A y B (despreciando las pérdidas de carga locales por se tubería larga). Calcular la máxima elevación que puede tener el punto C de modo que la presión absoluta en el punto C sea el equivalente a 2. Considerar que el coeficiente φ de Darcy es 0. Luego aplicamos la ecuación de la energía entre A y C 0= Λ ς2 ς2 π + + ζ + φ ΑΧ ∆ 2γ 2γ γ Reemplazando. Para temperaturas normales se acepta que la presión absoluta de vaporización del agua es el orden de 0. El gasto es Θ = 215 l/s 4. pero aumenta la potencia del chorro. como es sabido.4 m de columna de agua (esta condición es impuesta a fin de evitar la cavitación). La longitud total de la tubería es de 1 000 m. Ejemplo 4. Se obtiene ς = 1. 9. El coeficiente de velocidad en la boquilla es 0. La embocadura es ligeramente redondeada ( Κ = 0. La potencia del chorro es Ποτ = γ Θ ςΣ2 2γ (4-27) Ejemplo 4. La energía disponible es de 40 m.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα χϖ : es el coeficiente de velocidad propia de la boquilla ςΣ : es la velocidad de salida del chorro L. P. La temperatura del agua es 10 °C. Η L. Calcular y comparar la potencia generada por el chorro con boquilla y sin ella. 178 .20 m de diámetro y de 840 m de longitud. E.13 De un estanque sale una tubería de 1.2).9 Tubería con boquilla convergente final Para el sistema mostrado en la figura la ecuación de la energía es Η =Κ ς 2 ς 2 Λ ς2  1 ς2 +φ +  2 − 1 Σ + Σ 2γ ∆ 2 γ  χϖ  2γ 2γ (4-26) Esta ecuación se resuelve combinándola con la de continuidad ∆ Ας = ΑΣ ςΣ ∆Σ Los subíndices corresponden a la salida. 2 ςσ 2γ Figura 4. La tubería es de fierro forjado y termina en una boquilla que reduce el diámetro a la mitad. m/s 2γ Ποτ = 710 HP Si la descarga se produce con boquilla. Examinemos en primer lugar las condiciones cuando la descarga se produce sin boquilla.33 m/s 179 .02 kg .782 = 53 973.010 ς = 9.2 + 700 φ La rugosidad relativa es 0.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Solución. entonces Η=Κ ς 2 ς 2 ς2 Λ ς2  1 + φ +  2 − 1 Σ + Σ 2γ ∆ 2 γ  χϖ  2γ 2γ Por la ecuación de continuidad ςΣ = 4ς Reemplazando los valores conocidos se obtiene ς= 40 × 2 γ 19.06 × 9 . Se obtiene finalmente φ = 0.78 m/s Θ = 11.06 m3/s La potencia del chorro es Ποτ = ! Θ ς2 = 1 000 2γ × 11.011 ς = 5. 2 ς2 Λ ς2 ς + φ + 2γ ∆ 2γ 2γ Η=Κ Reemplazando los valores conocidos ς= 40 × 2 γ 1.88 + 700 φ encontrándose finalmente φ = 0.00004. 5 % 4.10 Presencia de una bomba Ε2 es la inmediatamente Para el caso de una turbina cambia el signo de la expresión anterior. obtenida a partir de su velocidad de salida ςΣ . toman.10 Máquinas hidráulicas.59 veces mayor. El aumento ∆Ε en la energía de L. Las bombas están accionadas por un motor. E. del peso específico del fluido y de la potencia Ε2 ∆Ε = Ε1 Tubería B Ποτ γΘ (4-28) ( Ε1 es la energía inmediatamente antes de la bomba y energía después). Figura 4. este chorro tiene una potencia que es aprovechable.03 m3/s Ποτ = 1 840 HP Concluimos así que al colocar la boquilla la potencia del chorro es 2. Si de un estanque sale una tubería que descarga por medio de un chorro libre. Vale decir que en una turbina se usa la energía de la corriente para producir potencia.32 m/s Θ = 6. Suministro por bombeo Las máquinas hidráulicas son de dos tipos: bombas y turbinas. es igual al producto del gasto por el peso específico del fluido y por la altura de velocidad.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα ςΣ = 21. Luego la potencia del chorro. La potencia es un trabajo por unidad de tiempo. Ποτ = γ Θ 180 ςΣ2 2γ . energía. Las bombas aportan energía. es un trabajo por unidad de peso del fluido. La altura de velocidad del chorro. +Ε la corriente depende del gasto. La presencia de una bomba significa una elevación de la línea de energía. Se aprovecha la energía de elevación para obtener energía mecánica. Las turbinas absorben. Las turbinas están accionadas por la fuerza de la corriente líquida. pero el gasto se reduce al 54. tal como lo vimos en el apartado anterior. Esquema genérico de un suministro por bombeo En la Figura 4.11 el líquido descarga por medio de un pitón (boquilla) en un recipiente N. El tramo 0-1 (M-B) se denomina de aspiración (succión). El tramo 2-3 (B-N) se denomina de impulsión. que está a presión. B representa una bomba.11 Esquema genérico de un suministro por bombeo Si aplicamos la ecuación de la energía a la tubería de succión entre 0 y 1 se obtiene π0 ς12 π1 = α1 + + Η Σ + ∑ ηφ 0 −1 2γ γ γ 181 . En la Figura 4.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Se llama rendimiento de una bomba a la relación entre la energía útil aportada a la corriente y la energía que acciona la bomba. En M el líquido está confinado y sometido a una presión π0 . La eficiencia de una turbina es la relación entre la energía útil que se obtiene y la energía tomada de la corriente. Las alturas correspondientes se llaman de succión y de impulsión. π3 3 Ηι 1 N 2 B π0 ΗΣ 0 M Figura 4.11 se presenta esquemáticamente el caso más general de un suministro por bombeo de M a N. La potencia teórica de la bomba en HP debe ser Ποτ = 182 γ Θ ∆Ε (HP) 76 (4-31) .14). La presión π1 debe ser lo suficientemente grande como para que no se produzca cavitación en la bomba. Obsérvese que el diámetro de ambas tuberías. no es necesariamente igual (ver ejemplo 4. según el caso) entre 0 y 1. Evidentemente que ∆Ε es la energía necesaria para establecer el flujo. π2 ς2 ς2 π + α 2 2 = α3 3 + 3 + Η ι + ∑ ηφ 2−3 γ 2γ 2γ γ La energía suministrada por la bomba debe ser (Ε2 − Ε1 ) π ς2   π ς2  ∆Ε = Η βοµβα =  2 + α 2 2  −  1 + α1 1  2γ   γ 2γ  γ o bien. De modo similar se aplica la ecuación de la energía a la tubería de impulsión entre 2 y 3. succión e impulsión.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα El último término representa la suma de las pérdidas de carga (continuas y locales. ∆Ε = Η ι + π  π3 ς2 + α 3 3 + ∑ η φ −  0 − Η Σ − ∑ η φ  2−3 0 −1 γ 2γ γ  ∆Ε = Η Σ + Η ι + π3 − π0 ς2 + α3 3 + ∑ ηφ 0−3 γ 2γ Si los recipientes M y N estuvieran en contacto con la atmósfera (4-29) ( π0 = π3 = 0) La ecuación anterior se reduce a ∆Ε = Η Σ + Η ι + α 3 ς32 + ∑ ηφ 0−3 2γ (4-30) Esta expresión representa la energía que debe suministrar la bomba. 84 m/s y luego los números de Reynolds respectivos Re 8 = 3. No considerar pérdidas de carga locales.14 De acuerdo a la figura ¿qué potencia debe tener la bomba para elevar 70 l/s?.0016 En el diagrama de Moody se encuentran los valores del coeficiente φ de Darcy. designándolas por el subíndice que corresponde al diámetro.14x105 Re 6 = 4. ς8 = 2. 33.0012 0.0 m ∆ = 6" Λ = 600 m 0m B ∆ = 8" Λ = 300 m Solución.0 m 3.16 m/s ς6 = 3. nuevas. φ 8 = 0.023 Se puede entonces calcular la pérdida de carga en cada tramo 183 .18x105 Las rugosidades relativas son 0.4x10-6 m2/s.8. En primer lugar calculamos las velocidades en cada una de las tuberías. El fluido es agua con una viscosidad de 1.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Si introducimos el coeficiente η de eficiencia de la bomba entonces la potencia real es Ποτ = γ Θ ∆Ε η 76 (4-32) Ejemplo 4. Las tuberías son de fierro fundido. La eficiencia de la bomba es 0. Hallar la presión a la entrada y salida de la bomba.021 φ 6 = 0. La potencia teórica es (Η = ∆Ε ) Ποτ = γ ΘΗ = 97.106.38 m η φ6 = 68.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα η φ8 = 7.3 HP La presión a la entrada de la bomba ( π Ε ) se obtiene aplicando la ecuación de la energía ς02 π0 ς2 π + + ζ 0 = 8 + Ε + ζ Ε + η φ8 2γ γ 2γ γ Reemplazando.46 kg/cm2) La presión a la salida de la bomba ( π Σ ) es ς82 πΕ ς62 πΣ + = + − ∆Ε 2γ γ 2γ γ 0.25 γ πΣ = 101.4.75 + πΣ .24 .24 + πΕ + 0 + 7.62 m γ (.12 m (10. 0 + 0 + 3 = 0.25 m 2γ (no se ha considerado pérdidas de carga locales). 4-30) Ε = 30 + η φ8 + η φ6 + ς62 = 106.62 = 0. 184 .86 HP 76 La potencia efectiva es 122.0.12 m La energía que debe suministrar la bomba es (ec.11 kg/cm2) γ Obsérvese que en el tramo de succión (8”) el diámetro es mayor que en el de impulsión (6”). De esta manera se evita presiones negativas excesivas a la entrada de la bomba.38 γ Se llega finalmente a πΕ = .4. nuevo 5 x 10 -5 -4 4 x 10 – 10 -4 Fierro fundido. asfaltado 1. nuevo 2.5 x 10 -4 -3 0.5 x 10 -5 -5 Acero rolado nuevo Acero laminado.9 x 10 – 0. acero -6 nuevo con superficie pintada.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ TABLA 4. La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande.1).8x10 -4 – 9 x 10 Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados.) 1. usado 2 x 10 Concreto sin acabado especial 10 -3 -3 – 3 x 10 -2 Concreto rugoso Duelas de madera -4 – 3 x 10 10 -4 1.9 x 10 -5 Asbesto cemento. En el concreto el acabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menores a los presentados en esta tabla. etc. 185 . (Esta tabla es igual a la Tabla 2. Su determinación se ha hecho por métodos indirectos.2 x 10 Fierro fundido oxidado Acero remachado -4 -4 -3 -3 1 x 10 – 1.5 x 10 Concreto centrifugado nuevo 1. nuevo 2.5 x 10 -4 Concreto bien acabado.5 x 10 Fierro galvanizado 1. a mano 10 -5 Concreto liso 2.4 VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA κ κ (m) MATERIAL Tubos muy lisos sin costura (vidrio. cobre. En el caso de tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes.5 x 10 Fierro forjado 4.6 x 10 -4 -5 Concreto muy bien terminado.5 x 10 Fierro fundido. según el caso. Por su propia naturaleza son valores aproximados. plástico. de aceite cuya viscosidad es 1 poise (peso específico 910 kg/m3). La embocadura es 100 m 80 m con bordes agudos.9.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo IV) 1. Determinar la viscosidad del líquido sabiendo que el Η gasto es de 4 l/s. La entrada es con bordes agudos. La tubería es de fierro forjado. El acero es nuevo. La carga Η es 0. 4. En el tanque mostrado en la figura hay un líquido cuyo peso específico es de 900 kg/m3. Calcular el gasto. que tiene 4 cm de diámetro y es muy lisa. Está sometido a una presión de 0.1 poise y su peso específico relativo es 0. 3. 186 .90 m y la Λ longitud Λ es 8 m.12 kg/cm2. Calcular el gasto en el problema 3 si se coloca en la tubería una válvula de globo completamente abierta. de cobre. por lo que puede despreciarse la pérdida de carga local. Calcular el diámetro que debe tener una tubería de acero rolado para conducir 1 500 l/s. de 3” de diámetro. Calcular cada una de las pérdidas de carga. 5. La tubería de 6 cm de diámetro es de fierro fundido 2 nuevo. π Descarga por medio de la tubería mostrada. La viscosidad del aceite es 0. Calcular cual debe ser el valor de la carga Η en el sistema mostrado en la figura para que el gasto sea de 10 l/s. El codo es a 90°. La embocadura es perfectamente redondeada. La pérdida de carga por fricción es de 1 m por cada 100 m de tubería 2. La temperatura del agua es de 20 °C. La longitud total es de 75 m. 0 El sistema mostrado en la figura 1 descarga agua a la atmósfera. La embocadura es perfectamente redondeada. Calcular el gasto ( Τ = 20 °C). Calcular el gasto. de 6” de diámetro y 80 m de largo. La tubería arranca de un estanque cuya superficie libre está 5 m por encima del punto de descarga de la tubería. codo o cualquier otra obstrucción en una tubería depende de la forma de la obstrucción. de la densidad ρ del fluido y de su viscosidad dinámica µ . Considérese que la viscosidad cinemática del agua es 10-6 m2/s. por lo que puede despreciarse la pérdida de carga local. Descarga por medio de la tubería mostrada que tiene 4 cm de diámetro y es muy lisa.04 kg/cm2.cemento. dimensionalmente homogénea para obtener ∆π .5 x 10-5 m) Se tiene una tubería de fierro fundido.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ Η 6. Está sometido a una presión de 0. 9. ¿Cuál es la diferencia de nivel que debería existir entre los dos estanques del problema anterior para que el gasto sea de 50 l/s?. A lo largo de la tubería hay 2 codos standard de 90° y una válvula ( Κ = 10). 7. La tubería arranca de un estanque que tiene 5 m de carga con respecto al punto de desague. del diámetro ∆ de la tubería. En el tanque mostrado en la figura del problema 2. 10. A lo largo de la tubería hay dos codos standard de 90° y una válvula de globo completamente abierta. asfaltado. Determinar la forma más general de una ecuación. Dos estanques cuya diferencia de nivel es de 25 m están unidos por una tubería de 6” de diámetro y 1 550 m de longitud (asbesto . La carga Η es 0. ¿Qué forma particular tomaría esta ecuación cuando la viscosidad es despreciable?. La pérdida de presión ∆π debida a una válvula. de la velocidad media ς del escurrimiento.30 m y la longitud Λ es 20 m. Determinar la viscosidad del líquido sabiendo que el gasto es de 1 l/s. La viscosidad del agua es 10-6 m2/s. hay un líquido cuyo peso específico es de 750 kg/m3. Se tiene una tubería de fierro fundido de 6” de diámetro y 80 m de largo. de cobre. 11. 187 . La embocadura es con bordes agudos. ( κ = 4. 8. La embocadura es con bordes agudos. nuevo). Calcular el gasto. 1 m. La transición es gradual. Calcular cada una de las pérdidas de carga y el gasto. La tubería es de fierro forjado. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 24. 14. La temperatura del agua es de 15 °C. Para los efectos de este problema se puede considerar a la válvula como un orificio circular de coeficiente de descarga igual a 0.3x10-6 m2/s. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 8 m. unido al primero por una expansión gradual (10°) tiene 120 m de largo y 8” de diámetro. La viscosidad cinemática del agua es 1.7 m. 17. Considerando que el coeficiente φ de fricción es constante e igual a 0.5 m. Dibujar la línea de energía y la línea de gradiente hidráulica. Esta válvula está 15 m debajo del nivel del estanque. de la válvula. La embocadura es acampanada ( Κ = 0.032. Dos estanques están conectados por una tubería cuyo diámetro es de 6” en los primeros 20 pies y de 9” en los otros 50 pies. Dos estanques tienen una diferencia de nivel de 34. En el segundo tramo se ha colocado una válvula. Considerar φ = 0. Dos estanques están conectados por una tubería de 12” de diámetro y 915 m de largo. que tiene un primer tramo de 80 m de largo y 6” de diámetro.95. La embocadura es con bordes ligeramente redondeados y el cambio de sección es brusco. el gasto queda reducido al 90 % (del que existiría en ausencia de la válvula). A una distancia de 300 m del primer estanque se ha colocado en la tubería una válvula de 3” que descarga libremente a la atmósfera. La embocadura es con bordes ligeramente redondeados y el cambio de sección es brusco. El cambio de sección es brusco. El segundo tramo. Dos reservorios cuya diferencia de nivel es de 6 m están unidos por una tubería de acero remachado nuevo. Dos reservorios están conectados por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6” en los primeros 15 m y 8” de diámetro en los siguientes 25.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 12. Calcular el gasto y cada una de las pérdidas de carga. b) cuando la válvula está abierta. 15. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 20 pies. La embocadura es con bordes ligeramente redondeados. La temperatura es de 20 °C.04). La viscosidad del agua es de 1.3x10-6 m2/s.04 en ambas tuberías. 13. Calcular cual debe ser la diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos reservorios para que el gasto sea de 123. Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6” de diámetro en los primeros 15 m y 8” de diámetro en los siguientes 20 m. Calcular para que valor de Κ . Calcular el gasto: a) cuando la válvula está cerrada. 188 . 16. La embocadura es con bordes agudos. cuyo diámetro es de 2”. para que el gasto sea 8 l/s. El primer tramo de la tubería que los une tiene 3” de diámetro y 100 m de longitud. Dibujar la línea de gradiente hidráulica. Calcular que longitud debe tener el segundo tramo. calculando previamente cada una de las pérdidas de carga.5 l/s. El diámetro de la tubería es 0.0 m 7. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 20 m. Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6” de diámetro en los primeros 25 m y 8” en los 40 m restantes.20 m. Calcular el gasto.5 ∆ 189 . Dos estanques estan conectados por una tubería que tiene 8” de diámetro en los primeros 20 m y 6” en los 30 m restantes. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 15 m. en la que suponemos que la pérdida de carga es despreciable.0 m 3. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica. Las tuberías son de fierro fundido.Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ 18. Calcular el gasto para el sifón mostrado en la figura. Calcular la potencia. Calcular el coeficiente φ de Darcy. 20. La temperatura del agua es de 20 °C.0 m ∆ 4. 19. La temperatura del agua es de 20 °C. y cada una de las pérdidas de carga. nuevo. 8. 21. El cambio de sección es brusco. Si a la tubería se le adiciona una boquilla tronco cónica convergente.0 m 10° 1. determinar cual debe ser el diámetro de la boquilla para que la potencia del chorro sea máxima. La tubería es de fierro fundido.0 m 3.5x10-4 m. su rugosidad es de 1. De un estanque sale una tubería de 2 400 m de largo y 18” de diámetro. La carga es de 40 m. La embocadura es ligeramente redondeada. Descarga libremente a la atmósfera 350 l/s. la viscosidad es de 10-6 m2/s. El cambio de sección es brusco. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica. Calcular el gasto. La embocadura es perfectamente redondeada. Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 22. En el sistema mostrado en la figura circulan 60 l/s. La bomba tiene una potencia de 10 HP. La eficiencia de la bomba es 0,85. La presión manométrica inmediatamente antes de la bomba es de 0,06 kg/cm2. Determinar cual es la energía disponible inmediatamente después de la bomba. El agua está a 20 °C. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica. Calcular la longitud de cada uno de los tramos. 22,0 m 10,0 m B ∆ = 4" ∆ = 4" Fierro fundido, nuevo 23. Calcular la potencia que debe tener la bomba, cuya eficiencia es del 80 % para bombear 15 l/s. La succión se efectúa por medio de la válvula de pie mostrada en la figura ( Κ = 0,8). Hay una válvula check ( Κ = 2) y una válvula de compuerta ( Κ = 17). El codo es de curvatura suave. La tubería es de 4” de diámetro. Es de fierro galvanizado. La viscosidad del agua es 10-6 m2/s. 250 m 90,0 m 50 m 11,5 m B 10,0 m 1,5 m 190 Χαπτυλο Ις ∆ισε〉ο δε τυβερασ 24. Si no existiera la bomba circularían 150 l/s en el sistema mostrado en la figura. Calcular la potencia teórica requerida en HP de la bomba para mantener el mismo gasto, pero en dirección contraria. 12 m ∆ = 12" Λ = 600 m B ∆ = 12" Λ = 300 m 25. Una tubería conduce 200 litros por minuto de aceite. La longitud es de 2 km y el diámetro de 0,18 m. El peso específico relativo del aceite es 0,9 y su viscosidad 4x10-3 kg-s/m2. Si la potencia se mantiene constante se pregunta cual es la variación en el caudal. 191 Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ CAPITULO ς DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES 5.1 Tuberías en paralelo Sea una tubería AD como la mostrada en la Figura 5.1. En el punto B esta tubería se ramifica. Se produce una bifurcación, dando lugar a los ramales BMC y BNC, los que concurren en el punto C. La tubería continúa a lo largo de CD. M A B C D N Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo Se dice que las tuberías BMC y BNC están en paralelo. Ambas tienen en su origen (B) la misma energía. Lo mismo ocurre con su extremo (C) en el que ambas tienen la misma energía. Se cumple entonces el siguiente principio Energía disponible para BMC = Energía disponible para BNC La diferencia de energía entre B y C es la energía disponible. La energía disponible determina, de acuerdo a la naturaleza del contorno y del fluido, las características del escurrimiento. La 193 Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα energía disponible se transforma en energía de velocidad, de presión y elevación. En un conducto horizontal muy largo con velocidad relativamente pequeña se puede considerar que la energía disponible da lugar íntegramente a la pérdida de carga continua. Nótese que la ramificación puede ser en la forma de dos o más tuberías, cada una de las cuales tiene su propio diámetro, longitud y rugosidad. A modo de ilustración se ha efectuado el trazo de la línea de gradiente hidráulica (L. P.) para el sistema mostrado en la Figura 5.2 ηφ L. P. B -C A B C D Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo Como las tuberías en paralelo se caracterizan por tener la misma energía disponible se producirá en cada una de ellas la misma pérdida de carga. Sea una representación esquemática de varias tuberías en paralelo 1 2 3 A B C 4 D 5 Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo Se cumplirá que ηφ = ηφ = ηφ = ηφ = ηφ = ηφ 1 194 2 3 4 5 ΒΧ (5-1) Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ η φ representa la pérdida de carga en cada uno de los tramos. La suma de los gastos parciales de cada una de las tuberías es igual al gasto total Θ de la tubería AB (y de la tubería CD). Θ = Θ1 + Θ2 + Θ3 + Θ4 + Θ5 (5-2) La ecuación de continuidad debe verificarse para el nudo B y para el nudo C. Para el cálculo de tuberías en paralelo se presentan básicamente dos casos. En ambos suponemos conocidas las características de las tuberías, diámetro, longitud y rugosidad, así como las propiedades del fluido. 1. Se conoce la energía disponible η φ entre B y C y se trata de calcular el gasto en cada ramal. 2. Se conoce el gasto total Θ y se trata de determinar su distribución y la pérdida de carga. El primero corresponde al caso general de cálculo de tuberías. Se puede proceder, por ejemplo, con la ecuación de Darcy o con cualquier otra, al cálculo del gasto en cada ramal. Se recomienda el siguiente procedimiento Combinando las ecuaciones de Darcy y continuidad ( Θ = ςΑ ) se obtiene φΛ 2 Θ ∆5 (5-3) ∆ 5 12 ηφ Θ = 3,477 φΛ (5-4) η φ = 0,0827 expresión en la que, η φ : pérdida de carga en el tramo considerado φ : coeficiente de Darcy Λ : longitud del tramo considerado ∆ : diámetro de la tubería Θ : gasto de la que obtenemos inmediatamente Para una tubería dada los valores del diámetro y la longitud son constantes. En muchos casos se puede considerar que φ también es constante, por lo menos para un determinado 195 Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα rango de velocidades. Luego, 1 Θ = Κ η φ2 (5-5) A esta ecuación la denominaremos “ecuación de descarga de la tubería”. En ella ∆5 φΛ Κ = 3,477 (5-6) si usamos la ecuación de Darcy. Aplicando la ecuación de descarga 5-5 a cada ramal se obtiene el gasto respectivo. La ecuación 5-5 es un caso particular de una ecuación general que toma la forma Θ = Κη ξφ (5-7) en donde los valores de Κ y de ξ dependen de la ecuación utilizada. Podrían fácilmente obtenerse los valores de Κ y de ξ para la ecuación de Chezy, ya estudiada. Posteriormente se obtendrán, por ejemplo, para la ecuación de Hazen y Williams. Para el segundo caso se empieza por aplicar la ecuación de descarga a ambos ramales y se obtiene así la relación entre Θ1 y Θ2 . Combinando con la ecuación de continuidad se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se halla así los gastos parciales. Otro método consiste en plantear las ecuaciones de descarga para cada ramal y luego sumarlas ∑Κ η ι ξ φ =Θ (5-8) Esta ecuación permite la resolución inmediata del sistema, pues η φ o Θ es un dato. Hay un sistema de conducción que se caracteriza porque se produce una ramificación, pero los ramales no concurren en un punto. Este sistema puede tener un caso particular: que en las bocas de descarga de los ramales la energía sea la misma. Este sistema se considera como un sistema de tubería en paralelo. Ε1 Ε2 A B Ε 1 = Ε2 = Ε3 Figura 5.4 Tubería ramificada 196 Ε3 Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Ejemplo 5.1 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos Λ1 = 1 000 m Λ2 = 750 m ∆1 = 16’’ ∆2 = 12’’ φ1 = 0,018 φ 2 = 0,018 El gasto total es de 100 l/s. Calcular el gasto en cada una de las tuberías. Solución. Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en ambas. Aplicamos la ecuación 5-3 0,0827 φ1 Λ1 2 φ Λ Θ1 = 0,0827 2 5 2 Θ22 5 ∆1 ∆2 de donde, 5 Θ12 Λ2  ∆1 =  Θ22 Λ1  ∆2  750  16   =   = 3,16  1000  12  5 Se llega así a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Θ1 = 1,78Θ2 Θ1 + Θ2 = 0,1 Obteniéndose finalmente Θ2 = 36 l/s Θ1 = 64 l/s El método alternativo de solución consiste en aplicar a cada ramal la ecuación de descarga 5-4 Θ = 3,477 ∆ 5 12 ηφ φΛ obteniéndose 1 2 Θ1 = 0,0863 η φ 1 2 Θ2 = 0,0485 η φ sumando 1 2 Θ = 0,1348 η φ que es la ecuación de descarga del sistema. Para Θ = 0,1 m3/s se obtiene η φ = 0,55 m. Al reemplazar este valor en cada una de las dos ecuaciones se obtiene el gasto en cada ramal. El método es extensible a cualquier número de ramales. 197 Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Ejemplo 5.2 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos Λ1 = 100 m Λ2 = 156 m ∆1 = 14’’ ∆2 = 12’’ φ1 = 0,018 Χ2 = 80 m1/2/s Si con la energía disponible el gasto total es de 1 m3/s, calcular el gasto en cada ramal, teniendo en cuenta que en el ramal 1 hay una válvula ( Κ = 2,5). Solución. En primer lugar aplicamos la ecuación 3-2 φ2 = 8γ = 0,0122 Χ2 Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en cada ramal φ1 Λ ς2 Λ1 ς12 ς2 + 2,5 1 = φ 2 2 2 ∆2 2 γ ∆1 2 γ 2γ Reemplazando valores y operando se obtiene ς2 = 1,1ς1 Por continuidad, π ∆12 π ∆22 ς1 + ς2 = 1 4 4 Se obtiene así ς1 = 5,57 m/s Θ1 = 553 l/s ς2 = 6,13 m/s Θ2 = 447 l/s A modo de verificación se calcula la pérdida de carga en cada tramo obteniéndose η φ = 11,97 m, que es la energía disponible. En este problema también se pueden aplicar los métodos alternativos de solución descritos anteriormente. 198 Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ 5.2 El problema de los tres reservorios En la Figura 5.5 se muestran tres estanques ubicados a diferentes niveles y que están comunicados entre sí por un sistema de tuberías que concurren en un punto P. ζ1 ζ2 1 ζP 1 P 2 2 ζ3 3 3 Figura 5.5 Tres reservorios Los valores de ζ corresponden a las cotas piezométricas. En los estanques corresponden a la elevación de la superficie libre. Para el nudo P, ζ Π representa la suma de la elevación topográfica del punto P más la altura correspondiente a la presión. Usualmente los datos son: diámetros, longitudes y rugosidades de cada ramal y cotas piezométricas (elevaciones de la superficie libre) de cada estanque. Se busca el gasto en cada ramal y la cota piezométrica del punto P. Para determinados problemas pueden presentarse combinaciones entre los datos e incógnitas mencionados. El sentido del escurrimiento en cada tubería dependerá de la diferencia entre la cota piezométrica del nudo P y la del estanque respectivo. Evidentemente que la cota piezométrica del punto P no puede ser superior a la de los tres reservorios, pues en este caso el punto P debería comportarse como un punto alimentador del sistema. Tampoco puede ser que el punto P tenga una cota inferior a la de los tres estanques, pues entonces todo el caudal concurriría allí lo que implicaría que P fuese un punto de desagüe. La cota del punto P determinará el sentido del escurrimiento en cada ramal. La discusión anterior excluye el caso de un sifón. Así por ejemplo si la cota de P está por encima de los estanques 1 y 2, pero debajo del estanque 3, los sentidos del escurrimiento serán los mostrados en la Figura 5.6. 199 Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα ζP ζ3 Θ3 P Θ1 ζ1 Θ2 ζ2 ζP ζP ζP ζ1 ζ2 ζ3 Figura 5.6 Tres reservorios (caso particular) En este caso particular la ecuación de continuidad es Θ1 + Θ2 = Θ3 Esto significa que el estanque 3 es alimentador. Podrían hacerse dibujos análogos para otras combinaciones de cotas piezométricas. Debe verificarse siempre la ecuación de continuidad en el nudo: la suma de los gastos en el nudo, con su propio signo, es cero. Para resolver el problema de los tres reservorios, conociendo los diámetros, longitudes y rugosidades de cada tubería, así como las cotas piezométricas de cada estanque, se sugiere el método siguiente 1. Suponer un valor para la cota piezométrica del punto P. 2. Calcular, por simple diferencia, las energías disponibles en cada tramo. Corresponden a las pérdidas de cada η φ 1 , η φ 2 y η φ 3 . Determinar luego el sentido del flujo en cada ramal y plantear tentativamente la ecuación de continuidad. 3. Calcular el gasto en cada tubería por medio de la ecuación 5-4 ∆5 12 ηφ Θ = 3,477 φΛ 200 6. que es Θ3 − (Θ1 + Θ2 ) El gráfico sería ζP - 0 + Θ 3 . Así por ejemplo. Verificar la ecuación de continuidad en el nudo. por ejemplo. entonces la ecuación genérica es de la forma Θ = Κη ξφ determinándose los valores de Κ y de ξ para la ecuación particular que se está empleando. Calculado el valor de Κ es fácil hacer sucesivos reemplazos y tanteos. la de Hazen y Williams que estudiaremos más adelante. lo que es lo más probable. 4. se tiene que hay un error.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Esta ecuación toma para cada tubería la forma 1 Θ = Κ η φ2 Si en lugar de la ecuación de Darcy se quiere usar otra ecuación. hay que hacer nuevos tanteos. reiniciando el cálculo a partir del punto 1. para la última figura se tiene que la ecuación de continuidad debe ser Θ1 + Θ2 = Θ3 Como en un tanteo cualquiera lo más probable es que esta ecuación no se verifique.( Θ1 + Θ 2 ) 201 . Si la ecuación no quedara verificada. 5. como. A fin de no aumentar el número de tanteos conviene auxiliarse con un gráfico. por ejemplo. La intersección con el eje vertical significa que Θ3 − (Θ1 + Θ2 ) = 0 con lo que queda verificada la ecuación de continuidad y se obtiene los gastos en cada ramal. Esto determina el flujo en los ramales 1 y 2. Habrá luego que calcular la cota piezométrica en P2. Evidentemente que el flujo entre P1 y P2 es igual a Θ1 + Θ2 . Para hacer este gráfico es necesario definir previamente el sentido del escurrimiento en cada ramal y escribir la ecuación de continuidad en su forma correspondiente. La pérdida de carga se calcula por ejemplo con la ecuación 5-3 η φ = 0. Se puede. 1 2 3 4 2 1 3 P1 4 P2 Figura 5. Debe tenerse cuidado de hacer una sola suposición cada vez. Los puntos se unen con una curva suave. Una variante de este problema es el de los cuatro reservorios. Comparando Θ1 y Θ3 se deduce el sentido del escurrimiento en cada tubería.0827 φΛ 2 Θ ∆5 u otra similar si no se estuviera empleando la ecuación de Darcy. 202 .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Cada punto corresponde a un tanteo. Se puede obtener una rápida información sobre el sentido del flujo en el ramal 2 asumiendo en P una cota piezométrica igual a la del estanque 2. Esto implica Θ2 = 0. iniciar el cálculo suponiendo una cota piezométrica en el nudo P1.7 Cuatro reservorios El método general se basa en aproximaciones sucesivas. 3 Sea un sistema de tres reservorios. ΧΗ .). Hazen y Williams. Θ3 = 40. Habiendo calculado la cota piezométrica de P2 se calcula los gastos Θ3 y Θ4 y se verifica luego la ecuación de continuidad.02 φ 2 = 0. Caso que ésta no quede satisfecha deberá repetirse el procedimiento y recurrir a un gráfico. Solución.54.477 ∆ 5 12 ηφ φΛ determinamos la ecuación de descarga de cada tubería 1 1 1 Θ1 = 0.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ La forma genérica de esta ecuación es η φ = ΚΘ ξ en donde los valores de Κ y ξ dependen de la ecuación particular empleada (Chezy.0188 η φ22 Θ3 = 0. etc. Darcy. Los datos son ζ1 = 120 m ζ 2 = 100 m ζ 3 = 80 m Λ1 =1 000 m Λ2 = 2 000 m Λ3 = 1 200 m ∆1 = 8’’ ∆2 = 10’’ ∆3 = 6’’ φ1 = 0. Ejemplo 5.5 l/s η φ3 = 30 m.015 Calcular el gasto en cada uno de los ramales. φ . Para el cálculo de Κ se ha supuesto que el coeficiente de resistencia ( Χ . A partir de la ecuación Θ = 3.5 l/s Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = .0145 η φ21 Θ2 = 0.1 l/s 203 .9 l/s η φ2 = 10 m. etc. Θ2 = 59. Θ1 = 45.018 φ 3 = 0.) es constante. Conviene limitar esta constancia del coeficiente a un rango de valores de la velocidad.0074 η φ23 Iniciamos el cálculo suponiendo para el nudo P la cota 110 m ζ π = 110 m η φ1 = 10 m. 8 l/s η φ3 = 21 m. Θ2 = 13.5 m Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = 16.9 l/s η φ1 = 19.4 l/s ζ π = 100 m Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = 31. Θ1 = 64 l/s η φ2 = 0.2 l/s η φ2 = 5 m. Θ3 = 33. Θ3 = 33. Θ2 = 42 l/s η φ3 = 25 m.5 m.3 l/s η φ1 = 20 m.3 l/s η φ3 = 21.22. Θ2 = 0 η φ3 = 20 m. 204 Θ3 = 35 l/s .8 l/s Haremos algunos cálculos adicionales ζ π = 101 m η φ1 = 19 m.5 m. Θ1 = 64.8 l/s η φ2 = 0 . Θ1 = 63.2 l/s η φ2 = 1 m.1 l/s Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = 10. Θ2 = 18.5 l/s ζ π = 100. Θ3 = 34. Θ3 = 37 l/s Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada se hace un nuevo tanteo ζ π = 105 m η φ1 = 15 m.7 l/s Llevando estos valores a un gráfico se obtiene el resultado Θ1 = 62 l/s Θ2 = 27 l/s y la cota piezométrica del punto P es 102 m. Θ1 = 56.5 m. a partir de la ecuación 4-2.1 110 109 108 107 106 105 -22. Calcular la energía Η teórica suministrada por la bomba. Calcular la cota piezométrica 4.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ ζP -54. 1 ζ Ε a la entrada de la bomba.4 +31. una tubería de impulsión 2. 1.8 104 103 102 101 100 -60 -50 -40 -30 -20 -10 +10. Considerando que se conoce los diámetros. Ποτ es la potencia en HP. γ es el peso específico del fluido en kg/m3 y Θ es el gasto en m3/s.5 +16. 205 . una tubería de succión 1. se trata de calcular el gasto en cada ramal. Calcular la pérdida de carga 3. η φ en la tubería 1. Suponer un valor para el gasto Θ impulsado por la bomba ( Θ1 2. una bomba B. Se sugiere el siguiente método = Θ2 = Θ ). que se bifurca en las tuberías 3 y 4 para alimentar dos estanques.8 se muestra un reservorio alimentador 1.7 0 +10 +20 +30 +40 +50 +60 Θ 1 . así como las elevaciones de los estanques y la potencia de la bomba.3 Bombeo de un reservorio a otros dos En la Figura 5. longitudes y coeficientes de rugosidad de cada tubería. Η= 76 Ποτ γΘ Η es la energía en metros.( Θ 2 + Θ 3) 5. Calcular la cota piezométrica ζ Σ a la salida de la bomba. Calcular la cota piezométrica del nudo P 2 ζΠ = ζΣ − η φ 8. Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo 206 .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα ζ3 3 ζ4 3 4 4 ζp ζ1 1 1 B P 2 Figura 5. ζΣ = ζΕ + Η 6. 11. Calcular la pérdida de carga η φ en el tramo 2.8 Bombeo de un reservorio a otros dos 5. Calcular el gasto en la tubería 3 aplicando una ecuación de la forma Θ = Κη ξφ 10. 2 Calcular la energía disponible η φ 3 para el tramo 3 η φ = ζ Π − ζ3 3 9. Aplicar los pasos 8 y 9 a la tubería 4. 7. 63Θ22 Θ4 = 0. 125 m 120 m 10" 1 800 m 3 18" 2 100 m 1 20" P 4 12" 1 500 m 1 300 m B 300 m Solución. La pérdida de carga en las tuberías 1 y 2 viene dada por la ecuación 5-3 η φ = 0.0326η φ24 1 207 .Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Θ2 = Θ3 + Θ4 Caso contrario reiniciar el cálculo suponiendo otro valor para el gasto impulsado por la bomba. Para no aumentar el número de tanteos se recurre a un método gráfico similar al descrito en el apartado anterior.67Θ12 Θ3 = 0. (Para los efectos del problema considerar para la bomba una eficiencia del 100 %). Calcular el gasto en cada tubería.0827 φΛ 2 Θ ∆5 La ecuación de descarga en las tuberías 3 y 4 viene dada por la ecuación 5-4 Θ = 3. Ejemplo 5.0188η φ23 η φ2 = 107. Considerar φ = 0.477 ∆ 5 12 ηφ φΛ Reemplazando datos de cada tramo se obtiene 1 η φ1 = 14.02 en todas las tuberías.4 En el sistema mostrado en la figura hay una bomba que suministra a la corriente una potencia de 40 HP. 1 l/s Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada debemos proseguir con los tanteos.67Θ12 = 0.85 m. La pérdida de carga en el tramo 1 es η φ1 = 14.25 m. 208 .17 m y el gasto resultante es 1 Θ4 = 0.0326η φ24 = 98. Θ2 − (Θ3 + Θ4 ) = 0 sin embargo encontramos que para el gasto supuesto Θ2 − (Θ3 + Θ4 ) = -37.125 = 4.4 l/s La energía disponible para el tramo 4 es 9.4 m !Θ 1 000 × 0 . La pérdida de carga en el tramo 2 es η φ2 = 107.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Iniciemos el cálculo suponiendo un gasto Θ = 100 l/s (en la bomba).63Θ22 = 1.0188η φ23 = 38.17 .1 La cota piezométrica a la salida de la bomba es 130.17 m.7 l/s Para que se verifique la ecuación de continuidad se requeriría que Θ2 = Θ3 + Θ4 o bien.17 m y el gasto resultante es 1 Θ3 = 0. La energía teórica suministrada por la bomba es Η= 76 Ποτ 76 × 40 = = 30. La energía disponible (que suponemos se consume íntegramente en fricción) en el tramo 3 es η φ3 = 129.08 m La cota piezométrica en el nudo resulta ser 129.15 m La cota piezométrica a la entrada de la bomba es 99. 7 l/s se obtiene. Θ2 − (Θ3 + Θ4 ) = 2.( Θ3 + Θ 4 ) 209 . Redondeando los valores (l/s) se obtiene Θ = 108 l/s Θ3 = 24 l/s Θ4 = 84 l/s Θ 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100 -40 -30 -20 -10 0 +10 +20 Θ 2 .2 l/s con Θ = 108.3 l/s.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Hacemos un nuevo cálculo con Θ = 110 l/s y obtenemos Θ2 − (Θ3 + Θ4 ) = 8.9 l/s Hacemos un nuevo tanteo con Θ = 108 l/s y obtenemos Θ2 − (Θ3 + Θ4 ) = -1.1 l/s Llevando estos valores a un gráfico se obtiene finalmente Θ = 108. ζ1 ζ2 1 1 2 ζP P 3 ζ3 Figura 5. 2. Se trata de calcular el gasto en cada ramal. Esta tubería se bifurca en los ramales 2 y 3. Suponer una cota piezométrica en el punto P.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 5. .9 Tuberías con ramales de descarga independiente El método de cálculo sugerido es el siguiente 1. Calcular las energías disponibles para cada tramo 3. Calcular el gasto en cada tubería. diámetro ∆1 y coeficiente φ1 .4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente Sea un estanque alimentador del que sale una tubería de longitud de resistencia Λ1 . ∆5 12 ηφ Θ = 3. 210 Caso contrario repetir el procedimiento y/o recurrir a un gráfico auxiliar hasta encontrar el valor de la cota piezométrica del punto P necesaria para satisfacer la ecuación de continuidad. Se conoce la elevación del estanque y las cotas de descarga.477 φΛ o bien otra ecuación de la forma Θ = Κη ξφ 4. Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo Θ1 = Θ2 + Θ3 5. Se puede usar la ecuación de Darcy (5-4). 0827 5 (ec. η φ = ΚΘ 2 Λ expresiones en las que η φ : es la pérdida de carga φ : es el coeficiente de Darcy Λ : es la longitud de la tubería ∆ : es el diámetro ς : es la velocidad media Θ : es el gasto φ Κ : es igual a 0. puesto que el diámetro permanece constante. ηφ = φ Λ ς2 ∆ 2γ de donde. Si admitimos la validez de la fórmula de Darcy y la constancia del coeficiente φ se tendría que. 5-3) ∆ 211 . dicha fórmula nos indica que la pérdida de carga es proporcional al cuadrado del gasto y a la longitud. lo mismo que la velocidad. Θ0 Figura 5.5 Conducto que da servicio (filtrante) Se dice que un conducto es filtrante cuando a lo largo de su recorrido pierde parte del gasto que transporta.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ 5.10 Conducto que da servicio Resulta evidente que en estas condiciones el gasto de la tubería va disminuyendo. Es el caso de una tubería que da servicio y que cada cierta distancia tiene una toma (salida de agua). Podría ser una tubería de agua potable que a lo largo de una calle da servicio a cada casa. en general. Para el caso particular que el gasto final Θ sea cero ηφ = ΚΛ 2 Θ0 3 (5-11) Significa esta ecuación que en este caso la pérdida de carga sería la tercera parte de la que ocurriría si el gasto fuera constante. La pérdida de carga en un tramo muy pequeño es δη φ = ΚΘ 2 δΛ y por lo tanto Λ η φ = ∫ ΚΘ 2 δΛ 0 Introduciendo la ecuación (5-9) 2 η φ = Κ ∫ (Θ0 − θΛ ) δΛ Λ 0   θ 2 Λ2 η φ = ΚΛΘ02 + − Θ0 θ Λ 3    (Θ − Θ )2 − Θ (Θ − Θ ) η φ = ΚΛ Θ02 + 0  0 0 3   ηφ = ( ΚΛ 2 Θ0 + Θ0Θ + Θ 2 3 ) (5-10) que es la ecuación que nos da la pérdida de carga para un tramo de longitud Λ en cuyo extremo el gasto es Θ .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα En el conducto de la Figura 5. El gasto en cualquier sección es Θ = Θ0 − θΛ (5-9) siendo Λ la distancia desde el punto inicial. Consideremos que el gasto que sale a lo largo del conducto es θ m3/s por metro lineal de tubería. Supondremos que este gasto θ es constante. 212 .10 el gasto inicial es Θ0 . Considerar φ = 0.78 Θ 2 + 2 112. 2 ηφ = ΚΛ 7 2 7 φΛ Θ0 = 0. 15 6". Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel (15 m debajo de la superficie libre del estanque).52 Θ02 La pérdida de carga entre el estanque y el nudo es η φ = 0. Luego.024. Esta tubería se bifurca en ramales de 6’’ de diámetro y 150 m de largo cada uno.0827 φΛ 2 Θ = 1 718. Λ y ∆ para el conducto filtrante se obtiene η φ0 = 2 112. Despreciar las pérdidas de carga locales.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Ejemplo 5.5 De un estanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 300 m de longitud.0827 5 Θ02 3 4 12 ∆ Sustituyendo los datos φ . constante e igual para todas las tuberías.52 Θ02 = 15 m (1) 213 . Los extremos descargan libremente a la atmósfera. Calcular el gasto en cada ramal. Uno de los ramales es un conducto filtrante que tiene bocas de descarga distribuidas uniformemente a lo largo de la tubería de modo que la suma de la descarga de todas ellas es igual a la mitad del gasto inicial en ese ramal (la otra mitad descarga por la boca final). Solución.78 Θ 2 ∆5 Debe cumplirse que 1 718. 5-9 ηφ = En este caso particular Θ = ΚΛ 2 (Θ0 + Θ0Θ + Θ 2 ) 3 Θ0 . 150 m 0 En un conducto filtrante la pérdida de carga es según la ec. 15 m 0 1 8" 300 m P 0m 6". 31)2 Θ12 + 3 621. En cada uno de los dos ramales la pérdida de carga es 4. Θ = Θ0 + Θ1 = 1. puesto que de antemano se hubiera podido establecer la ecuación Θ0 = 12 Θ1 7 Continuando. Hay otra forma de calcular un conducto filtrante y es a partir de la variación de velocidades.46 Θ12 Θ0 = 1.0827 φΛ 2 Θ1 = 3 621.31 Θ1 Este problema particular se hubiera podido resolver más rápidamente.52 Θ02 = 3 621.78(2.11 Cálculo de un conducto filtrante 214 .31Θ1 + Θ1 = 2.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα La pérdida de carga en el otro ramal es η φ 1 = 0. que es prácticamente igual a la energía disponible.78 Θ 2 + 3 621.46Θ12 ∆5 Debe cumplirse que 1 718.31Θ1 Reemplazando en (2) 1 718.2 l/s Θ0 = 44. lo que hace un total de 14.46 Θ12 = 15 De donde.8 l/s La pérdida de carga η φ en el ramal principal es 10. ς0 ςx ξ Λ Figura 5. Θ = 79 l/s Θ1 = 34.97 m.73 m.24 m. Examinemos el caso particular en el que la velocidad final sea cero.46 Θ12 = 15 m (2) Luego 2 112. Para el caso en que la velocidad final sea la mitad de la inicial se obtendría.11 se ha hecho una representación gráfica de la disminución de velocidad para un tramo de longitud Λ y velocidad inicial ς0 . ηφ = 7 Λ ς02 φ 12 ∆ 2 γ (5-13) 5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo Con el uso y el paso de los años aumenta la rugosidad de los conductos y disminuye el gasto que pueden conducir. Se cumple que ςξ = ς0 Λ−ξ Λ La expresión para la pérdida de carga se obtiene aplicando la ecuación de Darcy a la longitud δξ y luego integrando 2 δξ ςξ δη φ = φ ∆ 2γ φ ς02 Λ (Λ − ξ ) δξ ηφ = ∆ 2 γ ∫0 Λ2 2 ηφ = para ξ2 ξ3  φ ς02  − + ξ Λ 3Λ2  ∆ 2 γ  ξ = Λ se obtiene ηφ = 1 Λ ς02 φ 3 ∆ 2γ (5-12) Significa esta ecuación que en un conducto que da servicio y cuyo gasto final es cero se cumple que la pérdida de carga es la tercera parte de la que ocurriría si el gasto fuera constante. Este problema está íntimamente vinculado al de la calidad del agua y para su conocimiento se requieren observaciones de muchos años.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ En la Figura 5. Se denomina ςξ a la velocidad a la distancia ξ del punto inicial. 215 . 1 para describir la intensidad de aumento de rugosidad TABLA 5. dentro de un cierto número de años. suelen recubrirse interiormente con una sustancia bituminosa protectora a fin de disminuir la corrosión y mantener la capacidad de diseño de la conducción. Lamont ha propuesto la Tabla 5. La corrosión es una acción química.1 INTENSIDAD DE AUMENTO DE LA RUGOSIDAD INTENSIDAD α1 . mm/año Pequeña 0. La consecuencia es la disminución de la capacidad.38 Cuando se diseña una conducción no debe tenerse en cuenta exclusivamente la rugosidad inicial.012 Moderada 0. La variación de la rugosidad con el tiempo se expresa así κ τ = κ 0 + α1 τ (5-14) siendo κτ : rugosidad después de transcurrido el tiempo τ κ0 : rugosidad inicial (al ponerse en servicio de la tubería) α1 : velocidad de aumento de la rugosidad Esta expresión debida a Colebrook y White supone que la rugosidad se incrementa linealmente con el tiempo.12 Severa 0. 216 .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Básicamente el fenómeno de envejecimiento de las tuberías tiene dos aspectos: aumento de la rugosidad y disminución de la sección útil. según la calidad de agua y otros factores. que son sensibles a la corrosión. Por lo tanto depende de la calidad del agua y de la calidad o naturaleza de la tubería. Las tuberías de fierro fundido.038 Apreciable 0. sino la que se espera se presente. De no hacerse esta previsión nos encontraríamos en el futuro frente a una disminución de la capacidad de la tubería. 000083 m/año Después de 8 años de servicio κ8 = κ 0 + 8α 1 κ8 = 0.4 φΛ 2 Θ ∆5 o o o Re = En el ábaco de Moody se obtiene φ = 0.001044 m φ = 0. Después de 4 años de servicio la potencia requerida para transportar el mismo caudal aumentó en 10 % ¿Cuál será la potencia necesaria después de 8 años. Luego φ = 0. Una ciudad se abastece de agua por medio de una tubería de 20’’ de diámetro.00046 = κ 0 + α 1 α1 = 0.1x10-6 m2/s.00046 m Un aumento del 10 % en la potencia supone un aumento del 10 % en el valor de φ . Después de 1 año de servicio la pérdida de carga es ηφ = η φ = 0.00071 = κ 0 + 4α 1 κ 0 = 0. Luego. Después de 1 año de la puesta en servicio se requiere de 40 HP por kilómetro de conducción.0827 Ποτ 40 × 76 = 7 .6.00071 m ς∆ = 9 × 105 ν κ1 = 0.6 m = γ Θ 1 000 × 0.0014 ∆ o o o κ 4 = 0. eficiencia 100 %). ∆ κ1 = 0.37 x 106 217 .00038 m o o o Por consiguiente 0.0009.0213 y para el mismo número de Reynolds la rugosidad relativa es κ4 = 0.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Ejemplo 5. Solución.00071 m Sabemos que según la ecuación 5-14 κ 4 = κ 0 + 4α 1 0.002055 ∆ o o o o o o κ8 = 0. sabiendo que entonces el caudal requerido será de 600 l/s? ( ν = 1. para bombear 400 l/s.0236 Re = 1. 5.54 (5-15) expresión en la que Θ : gasto en litros por segundo ΧΗ : coeficiente de Hazen y Williams ∆ : diámetro en pulgadas Σ : pendiente de la línea de energía en metros por km Para una tubería dada. luego Θ = Κ η 0φ . la longitud. Los valores de la constante ΧΗ de Hazen y Williams han sido determinados experimentalmente.000426 Χ Η ∆ 2. Los valores usuales son los de la Tabla 5.0827 Ποτ = φΛ 2 Θ = 20. 63 Λ− 0. (Obsérvese que este coeficiente 218 ΧΗ es diferente del de Chezy). Se usa ampliamente en los cálculos de tuberías para abastecimiento de agua. para tuberías de diámetro mayor de 2’’ y velocidades que no excedan de 3 m/s. el diámetro y el coeficiente de resistencia son constantes. Son función de la naturaleza de las paredes.54 (5-17) siendo La expresión 5-16 es similar a la ecuación 5-5.000426ΧΗ ∆ 2.2 . Su uso está limitado al agua en flujo turbulento.7 Fórmula de Hazen y Williams La fórmula de Hazen y Williams tiene origen empírico. La ecuación de Hazen y Williams usualmente se expresa así Θ = 0. 63 Σ 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα η φ = 0.6 × 20.77 m ∆5 γ ΘΗ 1000 × 0.54 (5-16) Κ = 0.77 = = 164 HP 76 76 que es la potencia teórica requerida. Sus gastos estarán en la misma proporción que sus respectivos coeficientes de Hazen y Williams. entonces ΧΗ Σ1 1 0 . - Si el diámetro y el gasto permanecen constantes. - Si el Diámetro ∆ y la pendiente de la línea de energía tiene que Σ se mantienen constantes se Θ1 Χ Η 1 = Θ2 Χ Η (5-18) 2 Significa esto que si el coeficiente ΧΗ varía. que tengan el mismo diámetro y el mismo valor de Σ .2 COEFICIENTES DE HAZEN Y WILLIAMS NATURALEZA DE LAS PAREDES ΧΗ Extremadamente lisas y rectas 140 Lisas 130 Madera lisa. entonces 219 . cemento pulido 120 Acero ribeteado 110 Fierro fundido viejo 95 Fierro viejo en mal estado 60-80 Fuertemente corroído 40-50 Hagamos una breve discusión de la fórmula. 85 (5-19) Así por ejemplo si dos tuberías tienen el mismo diámetro y el mismo gasto.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ TABLA 5. 54 = ΧΗ Σ 2 Σ 2  Χ Η1 = Σ1  Χ Η 2  0 . 54 2     1. el gasto variará en la misma proporción. Podría también aplicarse este concepto a dos tuberías. pero la primera tiene ΧΗ igual a 100 y la segunda igual a 120. 813 × 10 −7 Χ Η ∆ 4.54 = Θ 0.85 Así por ejemplo. 220 (5-20) . Σ 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 1.866 Para una tubería particular se cumple que η φ = ΚΘ1. 63 Σ= Θ1.4 × 7.714 Conviene obtener la expresión de la pérdida de carga a partir de la ecuación de Hazen y Williams. si ∆ = 10’’.866 ηφ = ΛΘ1.85 = 0.85 1.85 Que es la ecuación de descarga para la tubería.000426 Χ Η ∆ 2.25 Θ1.85 Σ 2  100  =  Σ1  120  = 0.813 × 10 × 7 022.00417Θ1.85 5.85 1.85 5.25 km se obtiene 1.85 5.813 × 10 − 7 Χ Η ∆ 4.00417Θ1.345 × 10 4 −7 η φ = 0. ηφ = ΧΗ = 120 y Λ = 1. 33 η 0φ2.000426Χ Η ∆ 2 . 50 m válvula 20 m 1 1 2 10 m P 3 10 m La elevación del punto P es 10 m.54 221 .25 km ∆2 = 10’’ ΧΗ 2 = 120 (cemento pulido) Λ3 = 1.54 siendo Κ característico de cada tubería e igual a Κ= 0.000426Χ Η ∆ 2 .000426Χ Η ∆ 2 . Inicialmente la válvula está completamente abierta. La ecuación de Hazen y Williams es Θ = 0.52 η 0φ3. 63 η 0φ . Solución.7 Determinar el gasto que fluye en cada uno de los ramales del sistema de abastecimiento de agua mostrado en la figura y hallar la presión en el punto P.68 η 0φ1. determinar el nuevo valor de gasto en cada tubería y la pérdida de carga en la válvula. 63 Λ0. 54 Λ0 .5 km ∆3 = 10’’ Χ Η3 = 120 (cemento pulido) Si se aumenta la presión en el punto P hasta 20 m de columna de agua (cerrando la válvula ubicada en el ramal 2). 54 Θ = Κη 0φ . Θ= 0. 54 Θ2 = 19. Λ1 = 5.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Ejemplo 5. 54 de donde.2 km ∆1 = 16’’ Χ Η1 = 100 (acero usado) Λ2 = 1. 54 Se puede calcular la ecuación respectiva para cada ramal hallando los correspondientes valores de Κ Θ1 = 25. 54 Θ3 = 17. 63 Σ 0 . 2 l/s Para el tramo 2 la energía necesaria para vencer las fuerzas de fricción es η φ 2 = 0. calculando luego las energías disponibles en cada tramo y los gastos. Θ2 = 41.04 ηφ2 = 5m Θ2 = 46.5 m Θ1 = 138 ηφ2 = 7.6 Con una presión de 17. Reemplazando se obtiene el gasto en los ramales 1 y 3.5 m en P prácticamente queda satisfecha la ecuación de continuidad.3 l/s Θ2 será simplemente la diferencia.1 η φ 3 = 15 m Θ3 = 75.5 l/s Θ3 = 88.2 Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = 24. 85 η φ2 = 4. La ecuación de descarga no es aplicable al tramo 2 por tener una válvula. entonces η φ1 = 20 m η φ2 = 10 m η φ3 = 20 m que son las energías disponibles en cada tramo. Para la primera parte del problema el método más simple consiste en tantear valores para la presión en P. Si se continúan los cálculos se obtiene π Π = 17. πΠ = 15 m πΠ = 17. Θ1 = 129.94 m.5 m Θ3 = 82. Cuando la ecuación de continuidad quede satisfecha se ha encontrado la respuesta.3 m Θ1 = 139 l/s 222 Θ2 = 57 l/s Θ3 = 82 l/s .4 η φ 3 = 17.5 m η φ1 = 25 m Θ1 = 146.3 Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = −1. Si la presión en el nudo P es 20 m.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Empecemos por la segunda parte del problema.004173Θ2 1.06 m Como la energía disponible es de 10 m resulta que la pérdida de la carga en la válvula es 5.5 m Θ2 = 57.6 η φ1 = 22. No sólo pueden destruir la tubería por erosión. Este concepto será analizado más adelante. El costo es muy importante.8 Diseño de una conducción Esencialmente el problema de un diseño de tuberías consiste en encontrar el diámetro más adecuado para transportar un gasto dado. La máxima presión admisible forma parte de la descripción técnica de una tubería. se anticipa la presencia de presión negativa en N y quizá una presión muy fuerte en M (positiva). Tampoco se puede aceptar cualquier presión positiva. Las tuberías. La tubería AB une los dos estanques. conociendo la carga disponible Η y el gasto Θ . M Η N B Figura 5.8). Hay otros factores que intervienen como la calidad de agua y otros. Examinemos el caso genérico de la Figura 5. Se trata de determinar el diámetro que debe tener. P. Se ha trazado aproximadamente la línea de gradiente hidráulica (sobre la hipótesis de diámetro uniforme entre A y B) y. Por cierto que en el diseño de una conducción debe tenerse en cuenta los diámetros comerciales disponibles. soportan determinadas presiones. El dibujo muestra el perfil de la tubería de acuerdo al terreno sobre el que debe apoyarse. según el material de que están hechas. La selección del diámetro implica un estudio de a) b) c) Velocidades Presiones Costo Las velocidades excesivas deben evitarse. Deben evitarse. Las presiones negativas ya fueron estudiadas anteriormente al examinar el comportamiento de un sifón (apartado 4. sino también hay la posibilidad del golpe de ariete. como se observa en el dibujo. que escapan a los alcances de este curso. Las condiciones a y b pueden satisfacerse con más de un diámetro. Las presiones pueden ser negativas o positivas. Debe escogerse el más económico. A L.12.12 Diseño de una conducción 223 .Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ 5. pues dan lugar a discontinuidad en el escurrimiento y a cavitación. Η M N B Figura 5. Si fueran muy grandes habría que utilizar un diámetro diferente para cada tramo y constituir un sistema de tuberías en serie.13 A L. La conducción está formada por varios tramos de diferentes diámetros. P. En todo caso debe tenerse presente que en el diseño de una conducción uno de los primeros problemas que debe analizarse es el número de tuberías a usarse (en paralelo).) aparece quebrada.13 Determinación del diámetro en una conducción Se observa que la línea de gradiente (L.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα La inclinación de la línea de gradiente sería Σ= Η Λ Siendo Η la diferencia de nivel entre los estanques y Λ la longitud total de la conducción. supuesta de diámetro uniforme. La razón es simple. P. Al desarrollar dicho ejemplo no se mencionó porqué hay dos diámetros diferentes (8’’ y 6’’).14. Se puede fácilmente verificar la intensidad de las presiones en M y N. Como una ilustración de lo anteriormente expuesto podemos examinar el ejemplo 4. costo y disponibilidad en el mercado. Se evita así las presiones positivas muy grandes y las presiones negativas excesivas. Para evitar esto se introdujo un tramo con un diámetro mayor (8’’) con lo que disminuyó la velocidad y por consiguiente la pérdida de carga. Si el primer tramo tuviera un diámetro de 6’’. 224 . Acá intervienen razones de seguridad. como se muestra en la Figura 5. la pérdida de carga sería muy grande y se produciría una fuerte presión negativa al ingreso de la bomba. 5 La pérdida de carga entre A y M es η φ ΑΜ = 50 × 1. Si usáramos un diámetro constante entre A y B se tendría que Σ= 265 = 56.4 m/km 4 .7 La pérdida de carga entre A y N sería η φ ΑΝ = 56. 18’’ y 20 ‘’de diámetro. El caudal debe ser de 500 l/s.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Ejemplo 5. 1 225 m A 13 00 m 1 100 m 2 200 m 1 050 m N M B' 12 00 m 960 m B Solución.4 m La cota piezométrica en N es ζ Ν = 1 027. Pensemos entonces en descomponer la tubería en dos tramos: AN y NB. 16’’.3 = 65 m 225 . Se dispone de tuberías de 14’’.8 Proyectar la línea de conducción entre los estanques A y B siguiendo el perfil del terreno mostrado en la figura. Σ= 175 = 50 m/km 3. para presiones de un máximo de 75 lb/pulg2. Supongamos que entre A y N el diámetro es constante.6 m La presión en N es π Ν = . Χ Η = 100.4 × 3.5 = 197.4 m Es una presión negativa inadmisible.22. pero nos interesa tener en el punto M la presión más alta posible (52. Ensayemos diámetros para el tramo MN. Tal como se hizo con el tramo AM descompondremos en un tramo Λ de 14’’ y otro de 16’’ de modo que 89.2 De la fórmula de Hazen y Williams obtenemos que el diámetro debería ser 14. Para 14’’ de diámetro la pendiente Σ es 89.Λ ) = 89. Veamos cuál debe ser teóricamente el diámetro.7 m de columna de agua.96 (1. Sólo disponemos de tuberías para 75 lb/pulg2.6 m/km.6 m valor que es admisible. De la fórmula de Hazen y Williams obtenemos ∆ 2 . mucho menor que la admisible (lo que en principio es aceptable).98 Λ + 46.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα La cota piezométrica en M es ζ Μ = 1 160 m La presión en M resulta ser πΜ = 60 m Esta presión es excesiva. Sea Λ la longitud de tubería de 14’’.0.000426ΧΗ Σ 0 .6 m y la presión para el punto N es . Con un diámetro de 14’’ la pérdida de carga sería notablemente mayor y resultaría en M una presión pequeña.5 m 1.98 m/km y para 16’’ la pendiente es 46.6’’.5’’ Si usáramos un diámetro de 16’’ la pérdida de carga sería menor y la presión en M resultaría mayor que la admisible. Con 16’’ de diámetro se tendría para el tramo MN una pérdida de carga de 103.7 m.7 m) a fin de disminuir el problema de la presión negativa en N. lo que representa para el tramo AN una pérdida de carga de 175.98 Λ + 46.54 o o o ∆ = 15.3 De donde la longitud Λ es 0.63 = Θ 0.Λ ) = 72. La pérdida de carga entre A y M es entonces 72. La cota piezométrica del punto N es 1 049. Debe cumplirse que 89.7 m con lo que su cota piezométrica resulta ser 1 152.3 m y la pendiente Σ es 55.3 m. La tubería AM queda así descompuesta en dos tramos: 262 m de 14’’ y 1 038 m de 16’’. lo que equivale a una altura de 52.2 .3 .96 m/km. Aceptaremos para M una presión máxima de 52.96 (1.262 km.4 m y la pendiente para el tercer tramo es Σ= 89.4 = 74. Si usáramos 14’’ de diámetro la presión resultante en N sería muy baja (negativa). Utilizaremos para el tramo AM dos diámetros diferentes 14’’ y 16’’ (constituyendo así un sistema de tuberías en serie).4 226 . 8 ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ B' .4 m A " 14 72.4 m N 1 050 m 1 029.3 m M' 1 152.14 Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.7 m 1 100 m 265 M 16" 1 049.Χαπτυλο ς 1 225 m 1 201.7 m " 16 52.1 m " 16 " 14 960 m B 227 Figura 5. Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα De acá se obtiene que Λ es 0. b) Instalación y operación del equipo de bombeo.M’) (M’ . Se entiende por “diámetro más económico” aquel para el cual resulta mínima la suma de los costos de instalación. A mayor diámetro.N) (N . 5. hay uno que es el diámetro más económico. Por razones de seguridad en el servicio puede convenir tener más de una tubería conformando así un sistema en paralelo. por ejemplo. Este costo es inversamente proporcional al diámetro. En una instalación por bombeo los costos principales son a) Adquisición e instalación de la tubería. Un análisis nos dirá cuál es la solución más económica. En la Figura 5. mayor costo. pues hay que empezar por examinar el número de tuberías.B’) (B’ . Si se trata. Este costo aumenta con el diámetro.14 se presenta el trazo de la línea piezométrica.9 Diámetro más económico Cuando se diseña una conducción por tubería no hay solución única. Los 4 700 m de conducción se descomponen finalmente así 262 m de 14’’ 1 038 m de 16’’ 2 200 m de 16’’ 432 m de 16’’ 768 m de 14’’ (A . de una conducción por bombeo el problema puede ser más complejo.M) (M . que conformarán la conducción. Con los diámetros grandes ocurre lo inverso. que desde el punto de vista puramente hidráulico constituyen soluciones. Para la obtención del diámetro más económico de una conducción por bombeo normalmente los datos están constituidos por - Diámetros disponibles en el mercado - Costo de las tuberías - Gasto requerido 228 . Tanto un diámetro como otros pueden satisfacer las condiciones hidráulicas. Los diámetros pequeños representan una gran pérdida de carga y por consiguiente requieren de gran potencia. operación y servicios del sistema.B) Lo que significa 1 030 m de tubería de 14’’ y 3 670 m de tubería de 16’’. De todos los diámetros posibles.768 km. en paralelo o en serie. La solución de una red es laboriosa y requiere un método de tanteos y aproximaciones sucesivas. Esta red consta de dos circuitos. Representemos esquemáticamente la red muy simple de la Figura 5.15. Método de Hardy Cross Una red es un sistema cerrado de tuberías. En cada circuito escogemos un sentido como positivo. En la tubería MN tenemos un caso típico de indeterminación: no se puede saber de antemano la dirección del escurrimiento. 5.Χαπτυλο ς - Coeficientes de rugosidad de las tuberías - Costo del KW hora - Tiempo de amortización - Interés - Costo de la bomba y el motor. Se escoge una distribución de gastos respetando la ecuación de continuidad en cada nudo. que resultan ser “positivas” o “negativas”. 229 . etc ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ El procedimiento de cálculo es el siguiente a) Escoger tentativamente un diámetro b) Calcular la pérdida de carga η φ c) Calcular la energía necesaria d) Calcular la potencia necesaria e) Calcular el costo anual de la potencia necesaria f) Calcular el costo del motor y de la bomba g) Calcular el costo de la tubería (teniendo en cuenta el diámetro y espesor requeridos) h) Calcular el costo de la inversión inicial: tubería. y se asigna a cada caudal un signo en función de los circuitos establecidos. motor y bomba y luego determinar la amortización (en base al número de años útiles del sistema) i) Determinar el costo total por año sumando la amortización anual de la inversión inicial ( η ) y el costo anual de la potencia ( ε ) Si el procedimiento anterior se repite para varios diámetros diferentes se encontrará finalmente el diámetro más económico. Se determina entonces las pérdidas de carga en cada tramo. Hay cuatro nudos.10 Redes de tuberías. Hay varios nudos en los que concurren las tuberías. en principio. Si tomamos. La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada circuito debe ser cero.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα M I II B C N Figura 5. En este método se supone un caudal en cada ramal.85 Si esta ecuación se aplica a los valores supuestos se obtiene 230 . En cada nudo debe verificarse la ecuación de continuidad. cuyo valor no conocemos. diferente al gasto real que llamaremos simplemente Θ . por ejemplo. Como los cálculos son laboriosos se recurre al método de Hardy Cross. Si para un ramal particular se supone un gasto Θ0 este valor será. luego Θ = Θ0 + ∆Θ En donde ∆Θ es el error. la fórmula de Hazen y Williams se tiene que la pérdida de carga en cada tubería es η φ = ΚΘ1. Ejemplo ηφ ΒΜ +ηφ ΜΝ + ηφ ΝΒ =0 2.15 Esquema típico de una red de tuberías Las condiciones que se deben satisfacer en una red son 1. verificando por supuesto que se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo. En cada ramal debe verificarse una ecuación de la forma η φ = ΚΘ ξ en donde los valores de Κ y de ξ dependen de la ecuación particular que se utilice. 3. 85 La pérdida de carga real será η φ = Κ (Θ0 + ∆Θ ) 1. desarrollando y despreciando los términos pequeños se llega a η φ = ΚΘ0 + 1. Con los nuevos caudales hallados se verifica la condición 1.85∑ 0 ηφ 0 Θ0 =0 De acá obtenemos finalmente el valor de ∆Θ ∆Θ = − ∑ ηφ 1.85 0 ηφ ηφ 0 Θ0 0 Θ0 ∆Θ ∆Θ De donde. Si no resulta satisfecha debe hacerse un nuevo tanteo. para cada circuito ∑ η φ = ∑ η φ + ∆Θ 1. 85 η φ = η φ + 1.85 1.9 Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal.85 Luego.85 ∑ (5-21) 0 ηφ 0 Θ0 Esta es la corrección que debe hacerse en el caudal supuesto. Considerar ΧΗ = 100 en todas las tuberías. Ejemplo 5. M m 500 B 6" C 6’’ 6" 200 l/s 70 0m 500 m 500 m 8" 8" 600 m N 8" 600 m 231 .Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ η φ 0 = ΚΘ0 1. 866 Estas ecuaciones corresponden a la fórmula de Hazen y Williams.85 siendo Κ= 1. que es la que utilizaremos. Se obtiene así M 0 -13 200 l/s B -11 0 I II + + C -20 +20 +70 +90 N La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente. La ecuación de descarga en cada tubería es η φ = ΚΘ1.00692 0. Habrá caudales positivos y negativos. Esto es puramente convencional y podría ser al contrario. tentativamente.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Solución. Ahora debemos hallar los valores de Κ en cada ramal para facilitar así el cálculo de la pérdida de carga con los diferentes caudales que nos irán aproximando sucesivamente a la solución final. En consecuencia cada caudal vendrá asociado a un signo. sin embargo. Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross.85 ∆ 4. que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. cuidando tan sólo que se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo (en valores absolutos naturalmente). Haremos también.00969 0.72 × 10 6 Λ Χ Η1.02806 0. Si éste no fuera el caso se utilizaría las ecuaciones correspondientes. Por consiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondiente signo.00830 .03367 0. Sabemos. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de las agujas del reloj. 232 CIRCUITO I CIRCUITO II BN NM MB CM MN NC 0. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condición 1 que debe satisfacer una red. dado que el coeficiente de resistencia está en los datos referido a dicha fórmula. una suposición con respecto a la distribución de caudales.02806 0. 23 = .85 × 2.3 1.6 .44 = +1.32 ∑η = −5.09 MN +20 + 7 + 6 = +33 +18.7.54 Aplicamos ahora la ecuación ∆Θ = − ∑ η φ0 ηφ 1.7 = -33 -18.93 + 7.12 = −2.6 = +64 +73.37 1. Se obtiene para cada circuito ∆Θ = −23.16.26 NC +90 + 7 +39.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga η φ0 en cada circuito aplicando la ecuación de descarga.85 ∑ 0 Θ0 para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal.91 CM -110 + 7 = -103 -51.1 1.72 φ0 .45 ∆Θ = −2 233 .16 .6 = -136 -61.54 = 7.28 1.85 × 1.26 ∆Θ = 7 Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga η φ son los siguientes CIRCUITO I Tramo CIRCUITO II Caudal ηφ Tramo Caudal ηφ BN +70 .15 ∆Θ = +1 ∆Θ = −6.35 CM MN NC ∑η = + 23.12 Calculamos nuevamente la corrección ∆Θ ∆Θ = 5.85 × 1. BN NM MB ∑η φ0 + 87.85 × 2.23 .44 φ = +97 ∑η φ = +6.72 = −6.09 MB -130 .29 NM -20 .56.57.16 + 34.04 ∆Θ = ∆Θ = −6 16. 2 ∑η φ ηφ = +30 +15.135 -60.2 = -105 BN + 64 + 1 NM .16 = 0.16 Calculamos ahora nuevamente la corrección ∆Θ ∆Θ = −0.43 NC +97 .83 φ = −0.85 × 1.2 .16 = +95 ∑η = +0.47 -53.15 +37. 234 .12 ∆Θ = ∆Θ = 0 0.1 MB .06 1.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Los nuevos caudales y los correspondientes valores de η φ son CIRCUITO I Tramo CIRCUITO II Caudal = + 65 ηφ Tramo Caudal +76. tal como se ve a continuación.85 × 2.33 + 1 + 2 = -30 -15.136 + 1 = .16 MN +33 . ∑η φ = 0 para cada circuito es la expresión de conceptos básicos del flujo en tuberías.06 CM -103 . Aplicada. al circuito I.41 ∆Θ = 0 En consecuencia los caudales son M 135 200 10 5 200 30 65 N 95 Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red. Obsérvese que la condición 1. debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en paralelo.12 1. por ejemplo.47 = −0. las siguientes ecuaciones η φ ΜΧ + η φ ΜΝ + η φ ΝΧ = 0 η φ ΒΝΧ = η φ ΒΜΧ La condición 3 queda también satisfecha.050 .00426 × 100 × 8 2 .83 m Valor que está dentro del error aceptado. ∆ = 8’’ ΧΗ = 100 Θ = 0 .7 l/s ηφ = 37. 235 . por las mismas razones. Debe cumplirse.63 × 63.54 Λ = 0.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ M I B N Por lo tanto se debe cumplir la ecuación fundamental η φ ΒΜ + η φΜΝ = η φ ΒΝ como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos. Tomemos un ramal cualquiera (NC).6 km Θ = 94. 15 0 MN 0.54 +6.32 -2 +95 +37.02806 -20 -7.16 +13 +33 +18.72 -5.29 -2 -105 -53.12 -0.16 0 NC 0.16 Αρτυρο Ροχηα Al aplicar el método de Hardy-Cross se sugiere realizar una tabulación como la aquí presentada.09 -3 +30 +15.23 -6 +64 +73.91 +1 +65 +76.00830 +90 +34.23 +7 +97 +39.43 +23.00969 -110 -57.26 +1 -135 -60.35 -6 -136 -61.16 0 MB 0.16 -13 -33 -18. 0 .9.93 +7 -103 -51.06 0 NM 0.83 -16.02806 +20 +7.CALCULOS DEL EJEMPLO 5. que corresponde al ejemplo 5.03367 +70 +87.09 +3 -30 -15.47 Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ 236 TABLA 5.00692 -130 -56.9 Κ Θο ηφ 0 ∑η φ0 ∆Θ Θ ηφ ∑η φ ∆Θ Θ ηφ ∑η φ ∆Θ Circuito 1 BN 0.44 +0.3 0 Circuito 2 CM 0. 2.2.80 m La elevación del punto C es 115. Considerar φ = 0. 3. Se tiene dos tuberías en paralelo de 3 000 m de longitud cada una. Calcular cuál es la energía necesaria para que el gasto total sea de 200 l/s.018 φ 2 = 0. 6.5 kg/cm2 237 . ¿Cual sería el gasto en cada una de las tuberías del ejemplo 5. El diámetro de la primera es de 10’’ y el de la segunda de 20’’. Se tiene dos tuberías en paralelo. 2. 5. Las tres tuberías tienen la misma longitud y el mismo valor de φ de Darcy. 4.018 φ 3 = 0. ¿Cuál sería la energía necesaria para transportar el gasto total del ejemplo 5.02 para ambas tuberías. ¿Cuál es el gasto en la tubería mayor si el gasto en la tubería menor es de 30 l/s?. El diámetro de la primera es de 8’’ y el de la segunda de 14’’. Considerar φ = 0.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo V) 1. Dos estanques están conectados por tres tuberías en paralelo cuyos diámetros son ∆ . Ambas tienen 2 500 m de longitud.025 en ambas tuberías. Calcular el gasto en cada una. considerando que no existiera la válvula? ¿Cuales serían los gastos en cada tubería?. Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura 1 2 B Λ1 = 80 m Λ2 = 120 m Λ3 = 300 m 3 ∆1 = 4’’ ∆2 = 6’’ ∆3 = 10’’ C φ1 = 0.10 m La presión del punto B es 4 kg/cm2 La presión del punto C es 2. La diferencia de nivel entre los estanques comunicados por el sistema en paralelo es de 18 m. si no estuviera la válvula y se mantuviera la misma energía disponible?.025 La elevación del punto B es 112. 2 ∆ y 3 ∆ . π 100 m 80 m 1 2 3 238 .030 φ 2 = 0.025. Calcular cuál debe ser la presión π para que el gasto en el ramal 2 sea de 50 l/s. un diámetro de 8’’ y un coeficiente φ de 0. Λ1 = 100 m Λ2 = 120 m Λ3 = 120 m ∆1 = 10’’ ∆2 = 8’’ ∆3 = 8’’ φ1 = 0.030 La tubería de alimentación mostrada en la figura tiene una longitud de 500 m.028 Determinar el gasto en cada ramal del sistema para Θ = 2 m3/s 1 2 3 4 9. C 3 Λ1 = 220 m ∆1 = 8’’ φ1 = 0.025 Λ2 = 280 m Λ3 = 390 m ∆2 = 10’’ ∆3 = 6’’ φ 2 = 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ 7.400 m3/s 8.025 φ 3 = 0.025 Λ4 = 100 m ∆4 = 10’’ φ 4 = 0.020 φ 3 = 0. Αρτυρο Ροχηα Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura 1 2 B Θ = 0. 24’’ 400 m. ζ1 1 2 Tramo 1-2 : Tramo 2-3 : 3 800 m. Se trata de aumentar el caudal a 900 l/s. La presión en el punto 3 debe ser 1. (a) Θ1 (b) 20" 800 m 16" 500 m 18" 14" 12" 300 m 12" Θ2 200 m 600 m 1 000 m 10" 800 m 11.03 Si el gasto en la primera tubería es de 50 l/s. Para el sistema mostrado en la figura se tiene que cuando el gasto es de 700 l/s la presión en el punto 3. Considerar φ = 0. es de 1 kg/cm2. Los datos son Λ1 = 1 200 m Λ2 = 800 m ∆1 = 12’’ ∆2 = 10’’ φ1 = 0. Determinar cuál es el diámetro que debe tener una tubería de 400 m de largo. En la figura se muestran dos sistemas de tuberías ¿Cuál de ellas tiene mayor capacidad (para una misma energía disponible)?.015 ∆1 = 4’’ ∆2 = 6’’ ∆3 = 4’’ Λ1 = 250 m Λ2 = 300 m Λ3 = 100 m 10.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ φ1 = 0. ¿Cuál es el gasto en la segunda? 239 .022 φ 3 = 0.02 φ 2 = 0. de empalme con una tubería.5 kg/cm2. colocada paralelamente a la anterior para cumplir con lo señalado ( φ es 0. 18’’ 12.025 en todas las tuberías). Dos estanques están conectados por dos tuberías en paralelo.02 en todas las tuberías.022 φ 2 = 0. Para un sistema de tuberías en paralelo se tiene φ1 = 0.025 φ 3 = 0. Calcular el valor Κ de la válvula.0122 ∆1 = 14’’ ∆2 = 12’’ Λ1 = 100 m Λ2 = 156 m Al colocar una válvula en el primer ramal hay unan disminución del 11 % en el gasto total. Esta tubería se bifurca dando lugar a ramales de 10’’ y de 2 500 m de longitud cada uno.02 para todas las tuberías. 16. 15.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 13. Estos ramales concurren en paralelo en el segundo estanque. En el ramal 2 hay una válvula check totalmente abierta.030 .018 φ 2 = 0.02 φ 2 = 0. 1 Η 2 Λ1 = 200 m Λ2 = 250 m Λ3 = 400 m 240 3 ∆1 = 4’’ ∆2 = 6’’ ∆3 = 8’’ φ1 = 0. 14. Η = 30 m 2 válvula 4 1 3 Λ1 = 120 m Λ2 = 130 m Λ3 = 130 m ∆1 = 6’’ ∆2 = 4’’ ∆3 = 4’’ Λ4 = 120 m ∆4 = 6’’ Considerar φ = 0. Entre dos estanques hay una diferencia de nivel de 6 m. Calcular el gasto en cada ramal. Considerar φ = 0.03 para todas las tuberías. Están conectados por un sistema que consta de un primer tramo formado por una tubería de 20’’ de diámetro y 2 500 m de longitud. Hallar el gasto. Asumiendo para φ un valor constante de 0.036 calcular la velocidad con la que el agua entra al segundo reservorio. Están unidos por medio de una tubería de 9’’ de diámetro y 2. si además del tubo anterior se coloca una tubería (3) en paralelo de 50 m de largo y 3’’ de diámetro. Calcular la elevación que debe tener el estanque para que el gasto que ingrese a él sea de 10 l/s.5 millas de largo. Suponiendo que ésta sea la única tubería de desagüe. A una milla del reservorio más alto la tubería tiene una salida que descarga 1.02 en todas las tuberías) Η 2 1 3 18. No se consideren pérdidas de cargas locales .5 ft3/s. calcular el gasto en cada ramal. La tubería 1 tiene 300 m de longitud y 4’’ de diámetro. ¿Cuál debe ser el valor de Η para que el gasto sea de 300 l/s? Determinar la longitud de una tubería equivalente que reemplace al sistema (para Η = 10 m).025 19. 17. Dos reservorios tienen una diferencia de nivel constante de 220 ft.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Si la diferencia de nivel Η entre ambos estanques es de 10 m. ( φ = 0. Calcular cuál sería el porcentaje de aumento en el gasto. ? π = 4 kg/cm 2 10 l/s válvula 0 2 1 Λ1 = 150 m Λ2 = 80 m Λ3 = 40 m ∆1 = 6’’ ∆2 = 4’’ ∆3 = 4’’ 3 φ = 0. 241 . determinar la longitud que debe tener una tubería en paralelo (2) del mismo diámetro para que el gasto en la tubería 1 aumente en 50 %. ∆1 = ∆2 = ∆3 = 12’’. Calcular el gasto en cada ramal y el valor que debe tener Η. Λ2 = 600 m. b) ¿Cuáles serían los valores de Θ1 y Θ2 si Η1 fuera cero?.018 en todas las tuberías. ∆1 = ∆2 = ∆3 = 6’’. Η 1 4 3 2 Λ1 = 300 m ∆1 = 8’’ 5 Λ2 = 300 m Λ3 = 300 m Λ4 = 600 m Λ5 = 800 m ∆5 = 12’’ ∆3 = 18’’ ∆4 = 12’’ ∆2 = 12’’ Considerar φ = 0. Darcy igual a 0. Se sabe que ζ1 1 ζ2 Η1 1 Η2 2 ζ3 P 3 22.025. Λ1 = 150 m. Λ2 = 70 m. En la tubería 1 la velocidad es 1. Se sabe que Η 2 − Η1 = 5 m.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 20. En el sistema de tres reservorios mostrados en la figura las tuberías tienen un coeficiente de Η1 + Η 2 = 10 m. b) ¿Cuáles serían los valores de Θ1 y Θ2 si Η1 fuera cero?. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de Η1 y Η 2 para que Θ2 sea cero?. Λ3 = 1 200 m. Λ3 = 90 m. coeficiente 242 . Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de Η1 y Η 2 para que Θ2 sea cero?. En el sistema de 3 reservorios mostrado en la figura del problema anterior las tuberías tienen un ΧΗ = 100.5 m/s. 21. Λ1 = 800 m. Hallar el caudal en cada uno de los ramales del sistema 0. En la figura se muestra una sistema de 3 reservorios. 180 m 1 1 150 m 14".Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ 23. 10" 3 000 m 120 m 2 24.028 en todas las tuberías.80 m. Calcular el gasto en cada uno de los ramales del sistema mostrado en la figura.30 m 103 m m 0 30 " 18 100 m 24" 0m 60 " 18 600 m 350 l/ s 0m 1 00 18" P2 300 m 18" P1 Considerar φ = 0. La válvula check ubicada en la tubería 1 está completamente abierta de modo que para un gasto de 250 |/s produce una pérdida de carga de 0. Calcular la longitud que debe tener la tubería 2. 1 000 m 14". ζ1 ζ2 ζ3 2 1 3 P ζ2 = 90 m Λ2 = 6 km ∆2 = 8’’ ζ1 = 100 m Λ1 = 4 km ∆1 = 10’’ Considerar ζ3 = 80 m Λ3 = 5 km ∆3 = 6’’ ΧΗ = 120 para todas las tuberías. 25. 243 . 0.01 9 100 m 27.5 m ( ΧΗ = 100 para todas las tuberías). 800 m . 0. El estanque 1 alimenta al sistema mostrado por medio de dos tuberías que totalizan 600 |/s. Calcular la potencia que debe tener la bomba para que el caudal en la tubería 3 sea de 40 |/s (ν = 10-6 m2/s). En el punto B la presión es de –2.0 . Del nudo P sale una tubería en cuyo extremo hay una turbina. 18 6". Eficiencia 0. Θ= 550 300 l/s m. Las tuberías se juntan en el punto P en el que reciben a otra tubería que viene del estanque 2.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 26. Determinar la potencia teórica generada por la turbina. Calcular la potencia de salida de la turbina mostrada en la figura (eficiencia 0.9) 218 m 150 m ".019 15 2 0.75 126 m 124 m 3 4 100 m 2 1 B 244 P 0 . 150 m 140 m 20" 1 4 00 0m 24 18" 25 00 " 12 2 m 00 100 m P 36" 4 000 m A m B 28. m 00 T 125 m P 12". Eficiencia 0. Tubería 3 : Tubería 4 : κ = 0.025 φ 2 = 0.8.40 m C + 0.30 m A Los puntos P1 y P2 se encuentran al nivel 0. Calcular la potencia que debe tener la bomba (eficiencia del 85 %).00015 κ = 0. Λ1 = 20 m. κ = 0.000045 ∆ = 12’’.0. Λ = 1 500 m. B y C la presión debe ser de 15 m de columna de agua y el gasto de 8 |/s. En los puntos A. 29. Λ1 = 200 m Λ2 = 50 m Λ3 = 30 m Considere φ = 0. Λ4 = 80 m Λ5 = 100 m 245 . En el sistema mostrado en la figura la bomba B suministra a la corriente una potencia de 76 HP.20 m 2 4 0m B 1 B P1 3 P2 5 .000045 κ = 0. Calcular cuál es la elevación de la superficie libre en el estanque C. 30. Λ2 = 180 m.018 ∆1 = 16’’. válvula Κ = 2.018 para todos los tubos. El gasto es de 250 |/s. ∆ = 10’’. Se tiene una red de distribución de agua + 0.5 C 2 18 m 5m 1 B A φ1 = 0. Λ = 600 m. ∆ = 18’’.00015 ∆ = 18’’.0 m. Tubería 1 : Tubería 2 : Λ = 600 m. ∆2 = 14’’.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Λ = 300 m. De acuerdo a la figura. La otra es instalar una tubería en paralelo de iguales características a la existente. Se dispone de tuberías de 6’’. Su longitud es de 2 000 m. El coeficiente de Darcy es 0. La potencia de la bomba es 122. La energía disponible es de 12 m. 8’’ y 10’’ de diámetro. La eficiencia de la bomba es 0.8 El costo de la tubería es S/. ¿Qué diámetro debe tener la conducción para elevar 70 |/s?. El gasto entregado por el sistema mostrado en la figura debe ser 800 |/s. 5 000 por m instalado El costo del HP instalado es S/. Las tuberías son de fierro fundido.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 31. Para todas las tuberías ΧΗ =120. nuevas. cuya eficiencia es de 0.4 x 10-6 m2/s.8). 15 000 (comparar sólo los costos iniciales) 32. La energía disponible es de 10 m. Por razones del servicio que da la tubería se requiere aumentar su caudal en 30 %. 90 m 85 m 18 " 50 00 m 18" 00 60 14 " m 6 000 m P 30" 0m 5 000 m 70 m B 34. Una tubería de abastecimiento de agua tiene una longitud de 1 200 m y un diámetro de 24’’. 33 m 3m 300 m 246 B m 600 . b) La fórmula de Hazen y Williams. Hay dos posibilidades. Cuál de las alternativas es más económica.3 HP (eficiencia 0. Se tiene una tubería de 20’’ de diámetro. 33. Calcular el gasto usando: a) La fórmula de Darcy. La tubería es muy lisa.8.022. El fluido es agua con una viscosidad de 1. La máxima presión negativa admisible es –6 m. Determinar la potencia que debe tener la bomba. Una es instalar una bomba. para una velocidad de 3. Calcular cuál será el valor de φ al cabo de 15 años de servicio. Se trata ahora de bombear un caudal mayor con la misma potencia instalada. 40. La longitud total es de 2 000 m y debe llegar al extremo final 140 |/s. La tubería tiene una rugosidad κ = 2. cambiando la tubería por una más lisa ( κ = 0. La longitud de la tubería es 1 800 m. después de 20 años de servicio. ¿En cuanto aumentará el caudal? 36.5 x 10-4 m. 37. La temperatura del agua es de 20 °C.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ 35.6 m/s. Con la potencia instalada (una bomba) se bombea en la actualidad un caudal de 300 |/s. Calcular el gasto en cada ramal. para un gasto de 250 |/s. Los extremos descargan libremente en la atmósfera. Calcular la pérdida de carga que tendrá esta tubería. B D A C 400 l/s Calcular el caudal en cada una de las tuberías de la red. Una tubería de abastecimiento de agua debe entregar uniformemente a lo largo de su recorrido 0.022. Una tubería de 18’’ de diámetro. De un tanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 1 000 ft de longitud.5 m/s.0168 para una velocidad de 4. de 12’’ de diámetro. 39.024 (constante). Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel (50 ft debajo de la superficie libre del tanque). Se sabe que 247 . Esta tubería se bifurca en ramales de 6’’ de diámetro y 500 ft de largo. Uno de los ramales tiene bocas de descarga distribuidas uniformemente a lo largo de la tubería de modo que la descarga de todas ellas es igual a la mitad del gasto en la tubería (la otra mitad descarga por la boca final). Una tubería nueva de 30’’ de diámetro tiene un valor de φ igual a 0. La cota piezométrica inicial es de 42 m y la presión final es de 34 m.00025 m). Al cabo de 6 años de uso una tubería de fierro fundido ha duplicado el valor de su rugosidad absoluta. tiene una rugosidad de 1 mm. Calcular el diámetro. y la presión que existirá en el punto medio. Despreciar las pérdidas de carga locales. para una velocidad de 4 m/s. fuertemente corroída. Considerar φ = 0. 38.5 |/s por metro de recorrido. Después de 10 años de servicio tiene un valor de φ igual a 0. 248 . C y D las descargas son de 80. respectivamente. 120 y 200 |/s.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Tramo Λ ∆ ΧΗ AB 320 m 8” 90 AC 810 m 6” 120 BC 1 200 m 6” 120 BD 1 000 m 6” 120 CD 300 m 6” 110 En los puntos B. 98 (ς1 − ς2 )2 2γ Problema 3 Una tubería horizontal de 10’’ de diámetro y 500 m de largo conduce 0. Calcular el gasto y dibujar las líneas de energía y de gradiente hidráulica. Entre los extremos 1 y 2 del tubo existe una pérdida de carga η φ cuyo valor es 0. La velocidad en el punto 1 (extremo superior) es de 9 m/s y en el extremo inferior es de 3 m/s (punto 2). 249 .5 poise y peso específico relativo 0. Problema 4 De un estanque sale una tubería de 4’’ de diámetro cuyo punto de descarga está 10 m por debajo de la superficie libre del estanque. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Problema 2 La longitud de un tubo cónico vertical es de 10 m. en kg/cm2. Calcular el número de Reynolds.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Capítulos I al V) Problema 1 En una tubería de radio ρ la distribución de velocidades se expresa por 1ξ η ςη = ςµαξ   ρ Encontrar las expresiones para el cálculo de los coeficientes de Coriolis y Boussinesq. La presión en el punto inicial es de 4 kg/cm2 y en el punto final es de 3 kg/cm2. Las pérdidas de carga en el sistema equivalen a cuatro veces la carga de velocidad. Hallar los valores particulares para ξ igual 7. El fluido es petróleo de peso específico relativo 0. Encontrar la presión en el punto 1.8.93. La presión en el punto 2 equivale a 15 m de columna de agua.20 m3/s de aceite de viscosidad 1. 937 log η + 3.38 η La temperatura del agua es de 15 °C.5 l/s. Problema 7 En un canal muy ancho.81 Calcular el gasto. j) El esfuerzo de corte sobre el fondo.50 m del fondo se encontró 1. Problema 8 En un canal muy ancho cuyo tirante es de 1.75 m de diámetro se ha determinado que la distribución de velocidades es ςη = 0. se ha determinado que la distribución vertical de velocidades es ςη = 0.00 m del fondo la velocidad fue 1.8 del tirante (a partir de la superficie). Calcular el valor de la velocidad máxima. cuyo fondo está constituido por partículas de diámetro uniforme y cuyo tirante es de 2 m.6 ψ (a partir de la superficie) i) El promedio de las velocidades a las profundidades 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Problema 5 En una tubería hidráulicamente lisa de 0. El diámetro es de 6 cm.49 m/s. Calcular a) La rugosidad absoluta b) La velocidad media c) La velocidad máxima d) El gasto específico e) El coeficiente Χ de Chezy f) La pendiente de la superficie libre g) A que distancia del fondo la velocidad es igual a la velocidad media h) La velocidad a una profundidad 0.41 m/s y a 1.499 ln 75.2 y 0.86.5 m se ha medido la velocidad a dos profundidades diferentes. La viscosidad del fluido es 8 x 10-4 kg-s/m2 y su densidad relativa es 0. Problema 6 En una tubería horizontal el gasto es de 0. Calcular a) La velocidad media b) La velocidad máxima c) La pendiente de la superficie libre 250 . A 0. Problema 13 Se tiene una tubería de 1 000 m de longitud y 0. Circula agua a una velocidad de 4 m/s.451 x 10-5 m2/s. un caudal de 3. Calcular la pérdida de carga considerando que las paredes son hidráulicamente rugosas. a 15 °C. Calcular la pendiente de la superficie libre y la rugosidad del fondo. La viscosidad es 1.5 kg/cm2. la pérdida de carga por kilómetro está dada por la expresión siguiente η φ = Κς 1. Problema 12 Se requiere conducir a través de una tubería de fierro galvanizado de 1 200 m de longitud.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Problema 9 Se tiene una tubería de 1 000 m de largo y 8’’ de diámetro que lleva agua a 20 °C. La viscosidad es 10-6 m2/s. 251 .50 m y tiene una presión de 2. La temperatura del agua es 20 °C.20 m de diámetro. El gasto es de 4 m3/s/m.5 y 4 m/s.20 y tiene una presión de 1 kg/cm2. 75 siendo η φ la pérdida de carga. Problema 11 Demostrar que en una tubería lisa de 30’’ de diámetro en la que circula petróleo de viscosidad 10-4 m2/ s. a) Decir si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa b) Calcular el coeficiente Χ de Chezy c) Calcular la velocidad máxima d) Calcular el coeficiente φ de Darcy e) Calcular la velocidad media y el gasto Problema 10 En un canal muy ancho la velocidad superficial es 2.2 m/s.5 m/s y la velocidad media es 2. La tubería es de fierro fundido bastante oxidado.5 m3/s de aire. El peso específico del aire es 1. El punto inicial está en la cota 218. La rugosidad absoluta es de 1 mm.226 kg/m3 . La validez de la fórmula propuesta está limitada a un rango de velocidades comprendido entre 0. No se debe utilizar ábacos. El punto final está en la cota 219. ¿Qué diámetro de tubería comercial se necesita si la pérdida de carga es de 200 mm de columna de agua?. ς la velocidad media y Κ una constante. Hallar el valor numérico de Κ . Problema 15 Sabemos que el flujo turbulento en una tubería da lugar a una distribución de velocidades que puede ser descrita por 17  η ςη = ςµαξ 1 −   ρ expresión en la que ςη es la velocidad a la distancia η del contorno. Problema 18 Calcular el diámetro que debe tener una tubería de fierro fundido nuevo para llevar 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Problema 14 Por una tubería lisa de 0. Si el gasto en la tubería es Θ calcular la energía cinética total en función de Θ . ρ es el radio de la tubería. c) ¿Cuál sería la rugosidad máxima aceptable en la tubería para que siga comportándose como hidráulicamente lisa?. El caudal es de 400 |/s. ςµαξ es la velocidad en el eje.240 m3/s. ρ y la densidad del fluido. La pérdida de carga no debe ser superior a 15 m. El coeficiente φ de Darcy es 0. 252 .40 m de diámetro fluye agua de viscosidad 10-6 m2/s. Problema 16 En una tubería fluye agua (20 °C) con una velocidad media de 2. ¿Cómo se explica la diferencia en energía cinética?. b) Hallar el espesor de la subcapa laminar. Hallar la velocidad de corte. La velocidad media no debe ser superior a 3 m/s ni inferior a 1 m/s. La viscosidad del agua es de 1.025. El coeficiente φ de Darcy es 0. a) Hallar la pendiente de la línea piezométrica. Problema 17 En una tubería de 4’’ de diámetro fluye agua con una velocidad de 0.019. Hallar el esfuerzo medio de corte sobre el contorno. Se dispone de tubos de 12’’. 14’’ y 16’’.8 m/s (20 °C). Comparar esta energía con la que se obtendría para el mismo gasto Θ en el caso de un movimiento laminar en la tubería.4 m/s.2x10-6 m2/s. La longitud de la tubería es de 800 m. 80 m de diámetro en sus primeros 200 metros y luego 0. La energía disponible es de 10 m. Considere ΧΗ = 100. y cada una de las pérdidas de carga. 8’’ en sus segundos 10 m y 6’’ en los terceros 10 m. La embocadura es con bordes agudos. a) Hallar el caudal b) Hallar la potencia del chorro c) ¿Qué potencia tendría el chorro si se colocara una boquilla convergente que reduce el diámetro a la mitad? ¿Cuál es el nuevo caudal?. Problema 22 1 600 l/s 8" 0 18 14 0m 16 16" 00 15 12" " m 17 " 00 16 00 m m 2 200 m Calcular el gasto y la pérdida de carga en cada tubería. para que la pérdida de carga continua sea el 50 % de la energía disponible. Los cambios de sección son bruscos. La tubería es de fierro fundido nuevo. Calcular al caudal.2).Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Problema 19 De un estanque sale una tubería de 0. Problema 21 Hallar la longitud que debe tener una tubería de 10’’ de diámetro. La tubería es de fierro fundido nuevo. La embocadura es de bordes agudos. La contracción es brusca. cuyo punto de descarga está 10 m por debajo de su estanque alimentador.60 m de diámetro en los últimos 50 m.9 Problema 20 Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6’’ de diámetro en sus primeros 10 m. 253 . La embocadura es redondeada ( Κ = 0. Fluye agua a 20 °C. La temperatura del agua es 15 °C. La temperatura es de 20 °C. La diferencia de nivel entre los reservorios es de 10 m. Considerar χς = 0. Calcular el gasto en cada boca de descarga. El segundo tramo es de 12’’ y mide 1 300 m. Problema 26 De un estanque sale una tubería compuesta de dos tramos en serie.40 m y una rugosidad absoluta κ de 5x10-5 m.025. La carga disponible es de 50 m.5 m tiene una salida que descarga 25 litros por segundo. La viscosidad del agua 0. Calcular la pérdida de carga que se producirá en el tramo de longitud Λ . El primero tiene un diámetro de κ de 10-4 m.20 m y una rugosidad absoluta es de 10-6 m2/s. Problema 25 Se tiene una tubería de 1 m de diámetro que da servicio a lo largo de su recorrido de modo que cada 0. El primero tiene 800 m de longitud y descarga libremente a la atmósfera en un punto ubicado 25 m debajo de la superficie libre del estanque alimentador. Considere que φ es constante e igual a 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Problema 23 De un estanque sale una tubería de abastecimiento de agua de 3 200 m de longitud. 254 . Ambas bocas de descarga se encuentran 10 m por debajo del punto de descarga de la tubería de 12’’. El tercer tramo es de 10’’. El segundo tiene una longitud de 800 m. Calcular la longitud mínima que debe tener el primer tramo para que el segundo tramo se comporte como una tubería hidráulicamente lisa. de su punto medio sale un ramal de 6’’ y 500 m de largo. No considerar pérdidas de carga locales. Toda la tubería es de fierro fundido viejo. El gasto inicial es de 1 m3/s. El ramal de 14’’ tiene una longitud de 1 600 m. El primer tramo es de 10’’ y mide 1 200 m. que es necesario para que el gasto inicial haya disminuido a la mitad. un diámetro de 0. Dibujar una curva gasto-energía disponible para valores de la energía comprendida entre 15 y 40 m. (Se sugiere usar la fórmula de Hazen y Williams y el método de la tubería equivalente) Problema 24 Un depósito de almacenamiento de agua desagua a través de una tubería de 24’’ de diámetro (acero ribeteado) la que recorre 1 800 m y se bifurca en ramales de 12’’ y 14’’. Los ramales son de fierro fundido viejo. calcular el gasto π π = 2 atmósferas Κ Ε = 0.Χαπτυλο ς ∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ Problema 27 Para el sistema mostrado en la figura.5 (entrada) Κς = 2 (válvulas) 3m Κ Χ = 0.2 (codo) Λ (total) = 100 m κ = 3x10-5 m 3m ∆ = 25 mm ν = 10-6 m2/s 1m 255 . Supongamos que en un canal escurre libremente un caudal Θ . (6-1) Χ el coeficiente de Chezy. gradualmente variado habría para cada sección un tirante diferente del normal (mayor o menor según el caso).4. Es decir. Ρ el radio hidráulico y Σ la pendiente.1 Condiciones normales Los aspectos teóricos más importantes del flujo uniforme en canales han sido ya presentados en los capítulos I y II. pues. el dimensionamiento de la sección transversal para conducir un gasto dado en determinadas condiciones. Al respecto se puede observar la Figura 1. El movimiento es permanente y uniforme. la rugosidad. en este capítulo VI. que según hemos dicho antes se supone que es constante. se expone esencialmente el cálculo de canales.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ CAPITULO ςΙ CALCULO DE CANALES 6. La profundidad del agua (tirante) está determinada por la pendiente. 257 . Si el movimiento fuera. En el capítulo II hemos establecido la ecuación general para el cálculo de la velocidad media en un conducto ς = Χ ΡΣ en el cual ς es la velocidad media. el que caracteriza al movimiento permanente y uniforme. por ejemplo. la forma de la sección transversal y por el caudal Θ . El tirante con el que escurre el agua (o cualquier otro líquido) en estas condiciones se llama tirante normal. El tirante normal es. Ahora. pueden fácilmente reducirse a este caso particular. La expresión general del coeficiente Χ es Χ = 18 log 6Ρ κ δ + 2 7 (6-2) Ρ es el radio hidráulico. Los valores de la rugosidad absoluta κ pueden obtenerse de la Tabla 6.8 Ρ 4 8 γ Ρ ΡΣ  (6-4) Esta ecuación es equivalente a la de Chezy. Esta ecuación aparece en la forma presentada por Thijsse. La velocidad media puede expresarse también por medio de la ecuación de Colebrook White. Como en muchos casos el canal es hidráulicamente rugoso las ecuaciones 6-3 ó 6-4. Lo esencial en esta ecuación es que el coeficiente Χ de Chezy tiene una estructura que es función de las características del escurrimiento y de la naturaleza de las paredes. La ecuación de Chezy resulta ser entonces.1 (o de la Tabla 4. 2-42) mediante consideraciones teóricas basadas en las ecuaciones de Karman-Prandtl. que son generales.51ν + ς = −2 8 γ ΡΣ log   14. ς = 18 log 6Ρ κ δ + 2 7 ΡΣ (6-3) El gasto se obtiene inmediatamente a partir de la ecuación de continuidad. Según los valores relativos de κ y de δ el contorno puede considerarse hidráulicamente liso o hidráulicamente rugoso. 258 .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Esta ecuación corresponde a una sección determinada cuyo radio hidráulico Ρ implica un tirante " ψ " que es el tirante normal. Esta ecuación (6-1) llamada de Chezy fue establecida en el capítulo II (ec.1 que es una ampliación de la Tabla 2. κ la rugosidad absoluta y δ el espesor de la subcapa laminar.4). estudiada el capítulo III  κ  2. 9 x 10 -4 4 x 10 Cemento enlucido -5 Asbesto cemento. etc.1 VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA κ κ (m) MATERIAL Tubos muy lisos sin costura (vidrio.) es absolutamente referencial y sujeto a grandes variaciones según las circunstancias de cada caso particular.5 x 10 -4 -3 0.2 x 10 Fierro fundido. cobre. nuevo 1. nuevo 2. acero -6 nuevo con superficie pintada.6 x 10 -4 -5 10 Concreto muy bien terminado. nuevo Acero laminado. etc.5 x 10 -5 -5 5 x 10 Acero rolado. fondo de arena. a mano -5 2. nuevo 2.5 x 10 Fierro galvanizado 1.5 x 10 Concreto centrifugado. oxidado Acero remachado -4 -4 -3 -3 1 x 10 – 1. usado 2 x 10 Concreto sin acabado especial 10 -3 -3 – 3 x 10 -2 10 Concreto rugoso Duelas de madera -4 – 3 x 10 -4 1.) 1.9 x 10 – 0. plástico.1 κ señalado para los contornos muy rugosos (roca.8 x 10 -4 – 9 x 10 -4 Piedra asentada y bien lisa 5 x 10 Revestimiento de piedra 2 x 10 -3 -2 10 Grava -2 Piedra pequeña 2 x 10 Piedra grande 5 x 10 -2 0.1 Roca -3 3 x 10 Tierra (lisa) Fondo con transporte de arena Acequia con vegetación NOTA: Téngase presente que el valor de -2 10 -2 – 5 x 10 0.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ TABLA 6. 259 . nuevo -5 -4 4 x 10 – 10 -4 Fierro fundido.5 x 10 Fierro fundido. asfaltado 1.5 x 10 Fierro forjado 4.5 x 10 Concreto liso -4 Concreto bien acabado. Χ es el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy. incluyendo el río Mississippi. pero se ignoraba la naturaleza y estructura del coeficiente Χ . R. se basó en numerosas mediciones. para cualquier río.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 6. Kutter. Ganguillet y W. Su expresión es 1 0. Las tres fórmulas se caracterizan por corresponder a la siguiente expresión genérica Χ= Ξ Ψ 1+ Ρ (6-5) Los valores de Ξ e Ψ corresponden a cada fórmula particular. cuyos valores aparecen en la Tabla 6. Examinaremos brevemente algunas de las numerosas fórmulas de origen experimental que en el pasado se estableciera para el coeficiente Χ.2. Las fórmulas que presentaremos a continuación son las de Ganguillet-Kutter. 260 . Ρ es el radio hidráulico. establecida en 1 869 por los ingenieros suizos E.00155  ν  1 +  23 +  Σ   Ρ 23 + (6-6) Χ es el coeficiente de Ganguillet-Kutter a usarse en la fórmula de Chezy (6-1). Σ es la pendiente. Ρ el radio hidráulico y ν un coeficiente de rugosidad (de Kutter). La fórmula se originó en 1 768 cuando Chezy recibió el encargo de diseñar un canal para el suministro de agua a París. Hubo una larga época en la que se consideró que el coeficiente Χ era constante e igual a 50.2 Fórmulas antiguas Desde el Siglo XVIII se conocía la ecuación de Chezy (6-1). Kutter y Bazin. Durante muchos años estuvo bastante extendido el uso de esta fórmula.00155 + ν Σ Χ= 0. a) Fórmula de Ganguillet-Kutter La fórmula. 261 . la pendiente 1 ν (6-7) Σ fue introducida en la fórmula de Ganguillet-Kutter para lograr concordancia con las mediciones efectuadas por Humphreys y Abbott en el río Mississippi. Los valores de µ aparecen en la Tabla 6. 00281   ν 1 +  41. Ρ es el radio hidráulico.811 + Σ ν Χ= 0 .Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Conviene comentar algunas particularidades de esta fórmula. los resultados de la fórmula serían más precisos. Se observa que la fórmula de Ganguillet-Kutter corresponde a la forma genérica de la ecuación 6-5. Sin embargo. parecería que los errores (10 a 15 %) que tuvieron esas mediciones orientaron erróneamente a Ganguilllet y Kutter.65 + (6-8) b) Fórmula de Kutter Para pendientes mayores que 0.3. Algunos piensan que si no se hubiera introducido la influencia de la pendiente. Χ es el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy.00281 1. La fórmula de Ganguillet-Kutter en el sistema de unidades inglesas es 0.65 +  Σ   Ρ 41. Si el radio hidráulico es igual a 1 entonces Χ resulta ser independiente de la pendiente y la fórmula se reduce a Χ= Según señala King.0005 (1/2 000) la fórmula de Ganguillet-Kutter tiene una forma particular establecida por Kutter y que es independiente de la fórmula (6-6). La fórmula es Χ= 100 Ρ µ+ Ρ (6-9) Los valores del coeficiente de rugosidad µ son diferentes de los valores de ν (Kutter). 013 Superficie metálica.013 – 0.014 Concreto liso 0.035 Tierra.027 Tierra. lisa.016 Fierro fundido 0. pintada 0.025 Cemento liso 0.010 Acero soldado 0.013 Madera cepillada 0.012 Superficie metálica.012 Acero riveteado 0.017 Gunita (sección bien terminada) 0. SUPERFICIE ν Superficie metálica. sin pintar 0. corrugada 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα TABLA 6. con pedrones 0.013 Tablones sin cepillar 0.040 Para secciones circulares (trabajando como canal) Metal.014 Concreto frotachado 0.011 – 0. con piedras 0.015 Concreto sin terminar 0. usado 0.025 Tierra. limpia. liso 0. sección nueva 0.013 Superficie asfáltica rugosa 0.012 Madera sin cepillar 0.013 Vidrio 262 0.013 Concreto bien acabado.010 . limpia.016 Tierra.014 Cemento 0.035 Tierra.2 VALORES DEL COEFICIENTE ν DE KUTTER QUE GENERALMENTE SE USA EN LOS DISEÑOS.019 Gunita (sección ondulada) 0. con poca vegetación 0. lisa. sección antigua 0.022 Tierra gravosa 0.018 Tierra. con vegetación 0.022 Superficie asfáltica lisa 0.011 Mortero de cemento 0. 12 II Superficie bastante lisa.0005 CATEGORIA I FORMA DESCRIPCION µ Superficie muy lisa.15 III Superficie bien terminada IV Superficie usada. Ancho superior a 2 m Trapecial XIb (corresponde a algunos arroyos y ríos) 1. en tierra sin vegetación 1. Ancho inferior a 1.75 IX Piedra antigua. con vegetación abundante (corresponde a algunos arroyos y ríos) XII 2.0. Con mal mantenimiento.50 m.20 de agua con mucho tiempo de servicio.25 sin grandes incrustaciones 0. fondo con poco lodo 0.25 Xb Sección definida. Poca vegetación. usada 0.50 XIa En tierra con fondo pedregoso o fangoso. fondo fangoso 0.00 En tierra con vegetación muy abundante.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ TABLA 6.3 VALORES DEL COEFICIENTE µ DE RUGOSIDAD A USARSE EN LA FORMULA DE KUTTER PARA PENDIENTES MAYORES QUE 0. Tuberías de abastecimiento Semicircular 0. Cemento muy pulido 0. lecho fangoso.35 Piedra labrada bien acabada Piedra no bien terminada. sin vegetación. Madera cepillada 0.75 En tierra o piedra. Poca Xa vegetación 1.45 VII Piedra rústica. lecho fangoso.00 Otras Fondo rocoso.30 . fangoso 1. Arrastre de fondo 2. pero Rectangular V VI y 0.50 263 .55 VIII Piedra mal terminada. 85 5 Canales en tierra con hierbas. Sólo a título ilustrativo podríamos mencionar las siguientes. Utilizó el concepto de rugosidad de Kutter. Albañilería de piedra bien terminada.46 4 Canales en tierra. Cemento liso.16 3 Concreto sin pulir. Concreto bien acabado. Ríos de cauce irregular. 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα c) Fórmula de Bazin Esta fórmula fue establecida por Bazin en 1897 Χ= 87 Γ 1+ Ρ (6-10) Χ es el coeficiente a usarse en la fórmula de Chezy. Canales en tierra muy erosionados e 1.75 irregulares. 264 . Plancha metálica. Además de las tres fórmulas presentadas ha habido desde fines del siglo XIX una cantidad enorme de ellas. madera muy cepillada. Ρ el radio hidráulico. sin vegetación. Fondo de cantos 6 rodados. cada una de las cuales se aplica según la forma de la sección y la naturaleza de las paredes. Γ el coeficiente de rugosidad de Bazin.4 VALORES DEL COEFICIENTE Γ DE RUGOSIDAD A UTILIZARSE EN LA FORMULA DE BAZIN CATEGORIA 1 DESCRIPCION Contorno muy liso. quién en realidad presentó un conjunto de fórmulas. Los valores del coeficiente Γ aparecen en la Tabla 6.06 2 Contornos lisos. 1. 0. sin vegetación.30 Canales en tierra con vegetación. Knauff. 0. perfectamente ejecutado.4 determinada por el autor de la fórmula TABLA 6. Γ 0. pues. pero pasando a otras categorías. variable desde un cemento liso hasta una roca’’. En efecto. Por otra parte. en primer lugar. "Una crítica razonada y científica de las fórmulas anteriores no puede hacerse. deformaciones y vegetaciones. variables de una estación a otra: estamos lejos de haber expresado en fórmulas la asperidad de la pared de los canales.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Siedek publicó en Viena en 1901 "una nueva fórmula para el cálculo de canales" que es en realidad bastante complicada. cabe una comparación y en ella parece adaptarse mejor a las experiencias la de Bazin que la de Ganguillet y Kutter y Manning. que impiden una comparación justa. Hay muchas otras más como la de Christen (1903). etc.3 Fórmula de Manning Es la fórmula cuyo uso se halla más extendido en la actualidad. Forchheimer (1915). Groeger (1914). Es evidente que en la primera categoría. Scobey. que es la mejor definida. más difícil es comparar. dificultades de otro orden. corresponde a un canal existente. y es aún más difícil proyectar un canal dándose a priori la categoría que debe asignársele. Al igual que muchas fórmulas de esta época está basada en modificaciones de las ideas de Kutter y Bazin. Lindboe publico en 1910 una "nueva fórmula" para el cálculo de la velocidad media en corrientes naturales. 6. mientras más áspera es la pared. sino que son fórmulas empíricas de resultados experimentales y hay. además. Respecto a las fórmulas empíricas para el cálculo de la velocidad media es conveniente citar lo escrito por el profesor Francisco Javier Domingez. Proviene de considerar que en la fórmula de Chezy el coeficiente Χ es Χ= 1 6 Ρ ν (6-11) de donde al sustituir en 6-1 se obtiene la fórmula de Manning 265 . no descansan en base científica. ¿Cómo pretender comparar las categorías fijadas por un experimentador con las de otro?. Hay otra dificultad y es determinar por simple inspección que categoría de una fórmula que se quiere usar. Matakiewiez publicó en 1910 otra nueva fórmula para cursos naturales (ríos). la rugosidad de pared de un lecho cambia si está sujeto a posibles embancamientos. Sin embargo. que en el sistema de unidades inglesas. Así se tiene.486 3 2 Ρ Σ ν (6-14) Las unidades de 1. En el sistema métrico decimal la constante vale 1 y sus unidades son m1/3/s. Dado el carácter empírico de la fórmula de Manning debe esperarse que su validez esté limitada a determinadas condiciones. al tener ν unidades debería de cambiar de un sistema de unidades a otro.28081/3). (1. Rouse. Tampoco hay que olvidar que una expresión de este tipo no puede englobar la acción de la viscosidad. la ecuación de Manning es 2 ς= 1 1. pues.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 2 1 Ρ3Σ 2 ς= ν (6-12) y el gasto es Θ= 2 3 ΑΡ Σ ν 1 2 (6-13) Los valores del coeficiente de rugosidad son los de Kutter (Tabla 6. de suponer que su poca exactitud disminuya con números de Reynolds bajos". en su "Hidráulica" señala que: "La fórmula de Manning es aceptable para valores intermedios de la rugosidad relativa. Es.486 son ft1/3 /sec. 266 (6-15) . Se observa que las dimensiones de − ν son ΤΛ 1 3. En la literatura europea es frecuente que la fórmula aparezca con el nombre de Strickler o de Manning-Strickler y con la siguiente forma 2 1 ς = κΡ 3 Σ 2 siendo. En consecuencia. desde el principio se impusieron los valores de ν determinados por Kutter (sistema métrico decimal) y se halló una solución práctica que consiste en considerar a ν como adimensional e incorporar en la ecuación de Manning. en unidades inglesas.486 = 3.2). los mismos que se utilizan en la fórmula de Ganguillet-Kutter (6-6). un factor de corrección que es parte de la fórmula. Comparar los resultados.5 ν − 0.75 Ρ ( ν − 0. Manning. deberá tomarse en cuenta todos los factores que afecten al coeficiente ν de Kutter. (Τ = 20 °C) Solución. En primer lugar se calcula de inmediato el radio hidráulico que resulta ser Ρ = 1.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ κ= 1 ν (6-16) La ecuación de Strickler se conoce frecuentemente en los libros técnicos franceses con el nombre de fórmula de Gauckler. ξ = 2. quien fue un ingeniero que en 1868 publicó en "Annales des Ponts et Chaussées" la fórmula en cuestión. con las siguientes ecuaciones Para Ρ <1m ξ = 1.1 Se tiene un canal rectangular de 10 m de ancho y 3 m de tirante que conduce agua. Bazin. La pendiente es 0. La ecuación 6-18 se puede simplificar para fines prácticos. Ejemplo 6. la misma que en 1891 fue atribuida en su forma actual al irlandés Manning. Calcular el gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter. los mismos que serán analizados más adelante.011 y 0.040. Algunos autores soviéticos consideran que en lugar de la fórmula 6-11 debería usarse otra similar. bien acabado. 3 ν (6-20) Para el cálculo de un canal.1 m y 3 m y para valores de ν comprendidos entre 0.0008. Chezy y Pavlovski. Esta fórmula es válida para radios hidráulicos comprendidos entre 0.5 ν (6-19) Para Ρ >1m ξ = 1. o sea para el dimensionamiento de la sección transversal. La superficie es de concreto. pero con exponente variable.13 − 0. En 1925 Pavlovski presentó la expresión siguiente Χ= Ρξ ν (6-17) Siendo. Kutter.875 m 267 .10 ) (6-18) Χ es el coeficiente de Chezy en unidades métricas. pero con varios años de uso. 16 = 78 m1/2/s 1.000096 m ς* κ = 36 (transición) ν Χ = 87 m1/2/s por lo tanto. La descripción del contorno corresponde a Γ = 0.0008  1.014 + 0.16 87 Χ = 1+ 0 .37 m/s Θ = 101. La descripción del contorno corresponde a κ = 3x10-4 m ς* = 0.25 Χ = 100 1.29 m/s Θ = 98.121 m/s δ = 0.7 m3/s c) Fórmula de Bazin.6 m3/s d) Fórmula de Chezy.014  1 +  23 +  0.875 0 . ς = Χ ΡΣ = 2. 23 + Χ= 1 0.875 ς = 3.98 m/s Θ = Ας = 89.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ a) Αρτυρο Ροχηα Fórmula de Ganguillet-Kutter. Entonces. 25 + 1. La descripción del contorno corresponde a µ = 0.875 = 85 m1/2/s ς = 3.1 m3/s 268 .0005).014.00155 0. ς = 3.00155  0. La descripción del contorno corresponde a ν = 0.875  = 77 m1/2/s de donde.02 m/s Θ = 90.4 m3/s b) Fórmula de Kutter (Σ > 0.0008 0. 147 Ρξ = 78 m1/2/s ν ς = Χ ΡΣ = 3.6 m3/s COMPARACION DE LOS RESULTADOS FORMULA Χ ς Θ Ganguillet – Kutter 77 2.13 − 0.13 93.02 m/s Θ = 90.1 Pavlovski 78 3. Solución.10) = 0. a) Ganguillet-Kutter ν Χ ς Θ = = = = 0. Comparar los resultados de ambos ejemplos.875 Χ= ( 0.2 ¿Cuáles serían los valores del gasto en el canal del ejemplo anterior según las mismas fórmulas y considerando que el canal fuera de tierra con fondo pedregoso.75 1.5 0.37 101.7 Bazin 78 3.4 Kutter 85 3.07 92.2 m3/s 269 .014) 2 1 Ρ3Σ 2 = 3.02 90.02 90. que se obtiene aplicando la ecuación 6-11) f) Fórmula de Pavlovski.07 m/s ς= ν Θ = 92.74 m/s 52.8 Ejemplo 6.025 45 m1/2/s 1.6 Promedio 81 3. (ν = 0.014) ξ = 2. (ν = 0.98 89.6 Chezy 87 3.1 Manning 79 3.014 − 0.29 98. en buen estado.014 − 0.1 m3/s (Corresponde a un valor de Χ igual a 79 m1/2/s.Χαπτυλο ςΙ e) Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Fórmula de Manning. 4 52.6 m3/s ν ξ Χ ς Θ = = = = = 0.2 Chezy 101.2 m3/s κ Χ = = 5x10-2 m 48 m1/2/s ς Θ = = 1.75 44 m1/2/s 1.4 FORMULA 270 TIERRA CON FONDO .4 m3/s Bazin Chezy Manning Pavlovski COMPARACION DE LOS GASTOS CALCULADOS (m3/s) SUPERFICIE CONCRETO BIEN ACABADO EN CON VARIOS AÑOS DE USO PEDREGOSO.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ b) c) d) e) f) Αρτυρο Ροχηα Kutter µ Χ ς Θ = = = = 1.1 51.86 m/s 55.Kutter 89.025 1.70 m/s 51 m3/s Γ Χ ς Θ = = = = 1.8 Manning 92.206 46 m1/2/s 1.025 0.74 m/s 52.78 m/s 53.8 m3/s ν ς Θ = = = 0.6 Pavlovski 90.7 51 Bazin 90.3 45 m1/2/s 1.6 52.1 55.72 m/s 51.2 Kutter 98.6 53. BUEN ESTADO Ganguillet . Al obtenerse una superficie más lisa se logra disminuir el tamaño de la sección transversal ó aumentar la capacidad de descarga del canal. etc. para una misma naturaleza del contorno.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ De este ejemplo obtenemos algunas conclusiones importantes. La presencia de curvas aumenta la resistencia. cual es el valor de ν que se le asigna. depósitos de sedimentos. De acá vemos la importancia que tiene el revestimiento. Sin embargo. Las pequeñas irregularidades que pueden ocurrir como consecuencia de bancos. b) Dado un problema de diseño hay que considerar para la superficie (revestimiento) que va a tener el canal. En segundo lugar. Irregularidades. y esto es muy importante. Su crecimiento desmedido puede dar lugar fácilmente a aumentos del orden del 50 % en el valor de c) ν. lo normal es que un canal tenga uno o varios de los problemas que a continuación se señalan y que modifican el valor original que podía haberse asignado a El coeficiente ν. También interviene lo siguiente a) Curvas. Es frecuente en canales en tierra. Los canales en tierra se caracterizan por no tener una sección transversal invariable. En primer lugar. En el diseño de un canal será de primerísima importancia la correcta estimación de la rugosidad de las paredes. Especialmente si estas son numerosas y de pequeño radio de curvatura. Las tablas consideran los valores usuales del coeficiente ν para condiciones que podríamos llamar normales. aplicando la fórmula de Manning. la velocidad está fuertemente influenciada por la naturaleza del contorno. pues. las diversas fórmulas no dan una gran dispersión en los resultados. No es correcto considerar el coeficiente de rugosidad. Es particularmente importante en canales pequeños. pero no exclusivamente de la aspereza de la superficie.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad ν a emplearse en la fórmula de Manning Básicamente se presentan dos problemas de naturaleza diferente a) Dado un curso de agua existente calcular el gasto Θ que puede escurrir. Para ello se requiere estimar el valor de ν que corresponde al cauce. b) Vegetación. 271 . 6. como independiente del alineamiento del canal. ν depende. esencial. Su crecimiento puede alterar esencialmente los valores supuestos en base únicamente a la rugosidad. que estrictamente es un coeficiente de resistencia. alteran el valor de la rugosidad supuesta. servir a una irrigación. etc. en principio. seguridad. Para transportar un gasto Θ podemos. disponibilidad de materiales. que la rugosidad relativa disminuye y por lo tanto también debe disminuir el coeficiente Cowan determinó que el valor de ν. un número infinito de soluciones. d) Tirante. El caudal de diseño Θ es un dato impuesto al que debe adecuarse al cálculo de la sección del canal.5 tomada del libro de Ven Te Chow. de la naturaleza del servicio que presta y por cierto del análisis que se ha hecho de las disponibilidades de agua. En el caso de un canal que va a ser construido. sino de la función del canal. no proviene de un cálculo hidráulico. según la ecuación siguiente ν = (ν0 + ν1 + ν2 + ν3 + ν4 )µ5 siendo ν0 : el valor básico que depende de la rugosidad (aspereza) ν1 : es un valor adicional para tomar en cuenta las irregularidades ν2 : es un valor adicional para tomar en cuenta las variaciones en la forma y tamaño de la sección transversal ν3 : es para tomar en cuenta las obstrucciones ν4 : es para tomar en cuenta la vegetación µ5 : es un factor para tomar en cuenta los meandros Al respecto se incluye la Tabla 6. adoptar una determinada pendiente compatible con la naturaleza del revestimiento. Un canal puede servir para abastecer de agua a una ciudad.5 Determinación de la sección transversal En el cálculo de la sección de un canal debe partirse del hecho siguiente: desde el punto de vista hidráulico hay. que motiva una configuración variable del lecho. que escogeremos en función de varios factores: costo. ν a considerarse en los cálculos debería tomar en cuenta los factores anteriormente señalados. 272 .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Esto se agrava cuando el canal tiene transporte sólido. el gasto o caudal esta dado por las condiciones de diseño. a una central hidroeléctrica o tener un uso múltiple. 6. dentro de las limitaciones topográficas. de acuerdo a la teoría. En general al aumentar el tirante se tendrá. 005 Severa Despreciable Vegetación 0.028 Moderada Variación de la Sección ν0 Grava gruesa Menor Irregularidad 0.150 1.030 Severo 0.015 0.005 – 0.040 – 0.000 µ5 1.050 – 0.300 ν = (ν0 + ν1 + ν2 + ν3 + ν4 )µ5 273 .020 – 0.005 0.025 – 0.000 Ocasional Menor Apreciable ν2 0.050 0.010 – 0.010 – 0.010 0.010 – 0.060 Bajo 0.025 0.1 Muy alto Intensidad de Meandros 0.015 0.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ TABLA 6.5 TABLA DE COWAN PARA DETERMINAR LA INFLUENCIA DE DIVERSOS FACTORES SOBRE EL COEFICIENTE ν Tierra Superficie del Canal Roca Grava fina 0.010 Medio Alto ν4 Menor Apreciable Severo 0.020 Gradual 0.000 ν3 0.024 Suave Frecuente Efecto de la Obstrucción 0.025 0.020 1.000 ν1 0. 1 se observa varias secciones transversales que se caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m. arcillas) de diferente diámetro.4 m 45° 1. etc.5 m 6m 6m 3m 3m 2m 4m 2.095 m 20 m Figura 6. 274 . hay zonas en las que la velocidad es notablemente menor que la velocidad media. 4m 1. cuales son los factores limitantes para el diseño.1 Comparación de varias secciones transversales que se caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m Veamos. pues. limos.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα En esas condiciones podemos diseñar diversas secciones transversales: rectangular. trapecial. con un poco más de detenimiento. Si la velocidad del canal es pequeña hay la posibilidad de que estas partículas sedimenten formando bancos o depósitos. que en muchos casos el agua contendrá partículas en suspensión (arenas. Dado que la sección transversal se caracteriza por tener una distribución de velocidades. semicircular. Debemos admitir. No siempre un canal conduce agua totalmente libre de partículas sólidas (sedimentos). En la Figura 6. Cada partícula sólida se mantiene en suspensión en función de la relación que existe entre su velocidad de caída ω y la velocidad ς de la corriente. se considera que.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Sin embargo. firmes 1 Tierra arcillosa 1. Siempre consideramos que el talud se define como 1 vertical y ζ horizontal. por lo menos en primera aproximación. pues en una margen la velocidad es muy grande y en la otra muy pequeña. Según la naturaleza de las paredes hay tablas que dan las velocidades límites. Las partículas actúan como proyectiles y si la velocidad es alta pueden destruir el revestimiento. 275 .5 Arena 2 ó más Los valores consignados en esta tabla deben considerarse meramente referenciales. La velocidad ideal es aquella que para las características del agua y del revestimiento no produce erosión ni sedimentación y da lugar a un costo mínimo de construcción. Desde el punto de vista puramente hidráulico se puede lograr los mismos resultados con un canal de cualquier forma. El problema de erosión y sedimentación es más serio en tramos en curva. la velocidad media es un parámetro útil para examinar la posibilidad de sedimentación. 1 ζ Los taludes que generalmente se recomienda son los siguientes (en seco) MATERIAL TALUD ζ Roca dura y sana 0 Roca fisurada 0.5 Suelos cementados.25 Tierra arenosa 1. El talud de la sección depende de la naturaleza del terreno. ς ω ς ω Valores altos de esta relación indican tendencia a la sedimentación y al depósito. lo que se logra efectuando el cálculo respectivo y graficando como se ve en la figura adjunta.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα La sección hidráulica de un canal debe satisfacer la fórmula de Manning (o alguna de las otras). debemos tener una idea clara de como varía el gasto con el tirante. CASO A: Se conoce el ancho Los datos son β Θ Σ ζ ν 276 : ancho en la base : gasto : pendiente : talud : rugosidad β en la base . 2 3 ΑΡ = Θν Σ (6-21) 1 2 El miembro de la izquierda describe la geometría de la sección transversal. Θ= 2 3 ΑΡ Σ ν 1 2 de donde. Si ninguna de estas dos condiciones es impuesta. Para realizar un buen diseño. El valor ΑΡ 2 / 3 generalmente crece al aumentar el tirante. ψ ψ = φ (Θ ) (6-22) Θ Empezaremos por analizar como se realiza el cálculo cuando hay una condición impuesta. entonces tenemos mayor libertad para escoger la sección transversal. Esta puede ser el ancho en la base o el tirante. Para un valor del gasto y una rugosidad y pendiente dadas hay un valor de ΑΡ 2 / 3 que corresponde al tirante normal. 8 (ambas cotas están medidas en la superficie libre).Calcular el tirante normal.5 m y la cota del punto B es 835. La longitud de canal entre los puntos A y B es de 1 000 m. Dibujar la función gasto-tirante. El talud de 45°. ζ ψ β ΑΡ β Para el cálculo de 2/3 8/3 ΑΡ 2 / 3 basta con recordar que (6-21) β8 / 3 2 ΑΡ 3 = Θν 1 Σ2 Ejemplo 6. La cota del punto A es 836. El gasto es de 8 m3/s. Para la solución de este caso Ven Te Chow ha preparado un gráfico al que se entra con los valores de ΑΡ 2 / 3 ψ y se obtiene el valor de .2). 277 . para cada talud (Figura 6. tal como se ve en 8/3 β β el esquema adjunto.3 Se tiene un canal trapecial revestido en tierra en regulares condiciones de conservación. El ancho en la base es de 4 m.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ La incógnita es el tirante ψ Este caso se presenta con alguna frecuencia dado que por razones constructivas se puede requerir para el canal un ancho determinado. 2 Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow) 2 3 4 5 67 9 10 0.3 r 0.0 0.5 1 2/3 8/3 ∆ Figura 6.1 0.0 2.2 la cu 2 1.03 ψ β Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ 278 0.03 β 0.6 4 3 = = = = = 1.8 ó 0.0001 10 8 0.08 0.4 ψ ∆ ψ ∆ ζ= 0 (re ct g an ) ar ul ζ .5 3.2 .06 0.08 0.001 0.01 0.5 2.3 cir 0.2 1 0.0 4.06 0.0 0.5 2 3 10 4 5 67 9 10 8 6 6 4 MEH 3 2 ψ β 1.8 0.6 0.01 Αρτυρο Ροχηα ΑΡ 0.001 0.2 0.0.1 0.02 0.0001 ó 0.4 0.02 0.04 ψ 1 0.1 β 2/3 8/3 ó ΑΡ 0.0 ζ ζ ζ ζ ζ 0.5 =0 ζ= 0.01 0.1 0.04 ζ ψ ∆ 0.01 0.0 1. 2 se obtiene 1 2 o o o = 6.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Solución. Θ = 8 m3/s β=4m ζ=1 Σ = 0.2) 2 2 3 ΑΡ = Θν Σ De la Figura 6.04 ΑΡ 3 8 = 0.26 m Luego el tirante normal es 1. tanto para resolver este ejemplo sin la ayuda del gráfico de Ven Te Chow.  (β + ζψ )ψ  2 β + 2ψ 1+ ζ Θ = (β + ζψ )ψ  ν 2 3 1  Σ2  (6-26) 279 . como para obtener la función gasto . Examinemos ahora el método de tanteos.15 β3 ψ = 0.0007 ν = 0. Consideremos una sección trapecial como la mostrada en la figura ψ 1 ζ β Aplicando ecuaciones conocidas se obtienen las expresiones siguientes Α = (β + ζψ )ψ (6-23) Π = β + 2ψ 1+ ζ2 (6-24) Ρ= (β + ζψ )ψ (6-25) β + 2ψ 1+ ζ2 De donde.315 β de donde ψ = 1.26 m y se puede calcular toda la sección transversal (para 8 m3/s).02 (Tabla 6.tirante (ec 6-22). 26 1.6 1.4 1.6 1.5 10.9 4.37 1.37 0.92 0.1 6.0 5.4 1. 2  (4 + ψ )ψ  3 Θ = 1.2 7.02 Tenemos así una ecuación con una incógnita.2 1.0007)2  4 + 2 2 ψ  Θ = (4 + ψ )ψ  0.8 1. que puede ser resuelta por el método de tanteos.0 0 280 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Θ 3 (m /s) .323(4 + ψ )ψ    4 + 2 2 ψ  Dando valores al tirante ψ se obtiene lo siguiente ψ (m) 3 ψ (m) Θ (m /s) 0.48 1.3 8.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Reemplazando los datos del ejemplo se tiene Α = (4 + ψ )ψ Π = 4+ 2 2ψ Ρ= (4 + ψ )ψ 4+ 2 2ψ 2 1  (4 + ψ )ψ  3   (0.34 1.2 1.4 9.48 0.66 0. Se suele usar entonces el concepto de máxima eficiencia hidráulica que se estudia a continuación. En estos casos puede buscarse la sección de máxima eficiencia hidráulica. E. hay muchas combinaciones de las incógnitas β e ψ . Para la solución de este caso se puede recurrir al método de tanteos descrito anteriormente. Entonces se calcula el tirante que satisface la condición hidráulica. Se dice que una sección es de máxima eficiencia hidráulica cuando para la misma área. O bien. 6. H.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ CASO B: Se conoce el tirante ψ Los datos son ψ : tirante Θ : gasto Σ : pendiente ζ : talud ν : rugosidad La incógnita es el ancho en la base. También puede darse el caso que haya libertad para escoger los valores del ancho en la base y el tirante. ζ y Σ . pendiente y calidad de paredes tiene un área mínima. es aquella que para el mismo gasto. O bien al revés. CASO C: Se desconoce los valores de βe ψ En este caso se pueden escoger libremente los valores del ancho en la base y el tirante. Como normalmente los datos son Θ . pendiente y calidad de paredes deja pasar un gasto máximo. Anteriormente hemos visto los casos en los que hay una condición impuesta: Por ejemplo el ancho en la base.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. Esta condición se presenta cuando por razones de servicio se requiere un tirante determinado. 281 . ν .) Como se ha visto anteriormente hay muchas secciones transversales que satisfacen las ecuaciones de la velocidad media en movimiento uniforme. que satisfacen la fórmula de Manning. 5 Α3 = 2 Θν Π3 1 Σ2 3  5 2 Θν Α =  1  Π5  2 Σ  Como en un canal dado. Más adelante nos ocuparemos de este tipo de canales. de revestimiento y de superficie de infiltración. H. En condiciones normales la sección de M. Θ .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα La sección de M. H. se puede interpretar a la luz de la fórmula de Manning 2 1 ΑΡ 3 Σ 2 Θ= ν Luego. Barragan. basándose en la propiedad geométrica de ser el círculo la figura que para la misma área tiene el perímetro mínimo. Sin embargo.. involucra la mínima sección de excavación. Hay una patente española. es aquella que para la misma área tiene el perímetro mínimo. 282 . ν y Σ son constantes Α = ΚΠ 2 5 La sección de M. E. E. E. H. Esto. En consecuencia la sección de máxima eficiencia hidráulica es la semicircular. para la construcción de canales circulares. no da la mínima excavación. Naturalmente que en un canal en media ladera la sección de M. H. E. También debe tenerse presente que el perímetro mínimo involucra menor rozamiento. los canales circulares son poco usados. Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Para obtener la sección de máxima eficiencia hidráulica en la práctica se reemplaza la sección semicircular por una trapecial. Τ ζψ ψ 1 ζ β Lo que nos interesa es la relación que debe haber entre máxima eficiencia hidráulica. Llamemos β e ψ para que la sección sea de µ a esta relación µ= β ψ (6-27) Mediante simples consideraciones geométricas se obtiene Α = (µ + ζ )ψ 2 de donde. ψ= Α µ+ ζ El perímetro es Π = µψ + 2 ψ 1 + ζ 2 Mediante transformaciones sucesivas se obtiene ( Π 2 µ + Π 2 ζ = Α µ 2 + 4µ 1 + ζ 2 + 4 + 4 ζ 2 Derivando el perímetro Π con respecto a ) µ 283 . ψ β=2ψ Para las diferentes secciones trapeciales la relación µ se obtiene para cada talud. Así por ejemplo.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα δΠ 2 Α(µ + 2 1 + ζ 2 ) − Π 2 =0 = 2 Π(µ + ζ ) δµ De donde.5 2 2.5 3 4 µ 2 1. luego de simplificar (6-29) .25 En una sección de M. E. Los valores más comunes son ζ 0 0. en un canal rectangular ζ = 0. aplicando la ecuación 6-28. el radio hidráulico es Ρ= reemplazando el valor de 284 (µ + ζ )ψ 2 µψ + 2 ψ 1 + ζ 2 µ de la ecuación 6-28 se obtiene.32 0.47 0.56 1. ( µ = 2 1+ ζ2 − ζ Se concluye que para cada talud hay una relación ) (6-28) µ . H. Significa esto que en un canal rectangular la máxima eficiencia hidráulica se obtiene cuando el ancho es igual al doble del tirante.24 0.5 1 1. que es la que da la máxima eficiencia hidráulica.61 0.25 0.83 0.39 0. de donde µ = 2. E.003 y el coeficiente de rugosidad de Kutter se ha considerado de 0.10 se presentan cuadros auxiliares para el cálculo de canales en máxima eficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0. También puede obtenerse las condiciones de máxima eficiencia hidráulica para talud variable. Para este caso el perímetro es ( Π = ψ µ + 2 1+ ζ2 ) por condición de M. H. ζ Luego.577 285 . Solución.732. Se busca así el llamado "talud más eficiente".Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Ρ= ψ 2 (6-30) Lo que demuestra que en una sección de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico es igual a la mitad del tirante (sección trapecial). Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. ζ = 0.025.9 y 6. Ejemplo 6. ( µ = 2 1+ ζ2 − ζ ) sustituyendo se obtiene que el perímetro mínimo es Πµιν = 4 ψ 1 + ζ 2 − 2 ψζ δΠµιν =0 δζ de donde ζ= 3 3 (6-31) En las Tablas 6. La inclinación de las paredes (talud) impuesta por la naturaleza del terreno es 60° con la horizontal.4 Un canal debe transportar 6 m3/s. tg 60° = 1 = 1. 003)2 2 Θ = 1.74 β = 1. A partir de la ecuación Α = (µ + ζ )ψ 2 se obtiene aplicando la fórmula de Manning 2 1  ψ 3   (0.155 ψ o o o Para utilizar el gráfico de la Figura 6. ( ) µ = 2 1 + ζ 2 − ζ = 1.45 m2 ς Ρ = = 1.41 m 3.74 m/s 0.63 m luego los otros valores son ψ Α = = 1.705 m El cálculo podría haberse hecho de otra manera.39 ψ 3 para Θ = 6 m3/s se encuentra ψ = 1.73 ψ 2   0. 2 ΑΡ 3 = Θν Σ 1 2 o o o = 2.73 ψ 2 .866 β y obtenemos que.2 debemos entrar con la inversa del valor anterior ψ = 0.9) 286 Α = 1. 2 ΑΡ 3 8 = 0.155 β = 1.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Para máxima eficiencia hidráulica se tiene que.41 m (Este problema se podría haber resuelto usando la Tabla 6.025 se obtiene 8 Θ = 2.74 β3 pero. En este caso particular la sección hidráulica obtenida es la mitad de un hexágono.39 ψ 3 obtenida.0 1.5 1. Al respecto se puede ver la ecuación 6-31. pero el perímetro sería mayor que 4. Casualmente resulta ser el talud que da el perímetro mínimo (talud más eficiente). por la naturaleza del terreno es de 60°.45 m ς = 1.705 m ψ = 1. El talud.41 m 1.41 m Se observa que por ser una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico es igual a la mitad del tirante ψ.0 0.74 m/s Π = 4.63 m Θ = 6 m3/s Α = 3.6 3 3 1. Si resolviéramos este mismo problema para un talud diferente de 60° obtendríamos siempre una sección de máxima eficiencia hidráulica (para el talud respectivo). 3.89 m Ρ = 0. se puede hacer un gráfico ψ (m) 2.6 1. la longitud de cada talud es igual a la mitad del ancho superficial. 8 Con la ecuación Θ = 2.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Θ (m3/s) 287 .26 m m m 60º 1.89 m.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Con lo que la sección transversal queda así. borde libre ψ ¿Por qué puede presentarse en un canal un tirante mayor que el correspondiente al del gasto de diseño?.6 m3/s). También puede ocurrir que con el paso de los años el revestimiento del canal se deteriore y tienda ha hacerse más rugoso.7 Concepto de borde libre Se denomina borde libre (free board) a la altura (tirante) adicional que se da a fin de absorber los niveles extraordinarios que puedan presentarse por encima del caudal de diseño de un canal. si se diseña un canal para 30 m3/s y se encuentra que el tirante (normal) es 3. 288 . Por ejemplo. El borde libre sirve para absorber los incrementos en el tirante que se produzcan como consecuencia de lo anterior. caída de un tronco. pero. se requerirá de un tirante mayor para que escurra el mismo caudal. en el momento de la construcción y por causas que escapan al ingeniero diseñador puede ser que la superficie tenga una mayor rugosidad. Así por ejemplo. d) Puede ocurrir una obstrucción parcial a lo largo de la conducción. la diferencia es tomada por el borde libre. e) Por una razón u otra puede presentarse una onda en el canal. c) A lo largo de la conducción pueden presentarse ingresos de agua no previstos.46 m 6. b) Una mala operación en las compuertas de entrada al canal puede dar lugar a que ingrese a éste un caudal mayor que el de diseño. Entonces ψ = 1. En consecuencia. Por ejemplo.20 m ¿Por qué hemos de esperar un tirante mayor? Las razones son entre otras las siguientes a) Cuando se calcula la sección transversal de un canal hay que suponer un valor para la rugosidad.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα La ecuación que se ha obtenido gasto-tirante es muy importante. si el gasto fuera 10 % mayor (6. Si este fenómeno fuera más intenso que el previsto. El borde libre debe absorber la altura de ola correspondiente. El análisis de la curva gasto-tirante nos permite visualizar el problema del borde libre bajo una perspectiva diferente. y en las que sea cara el agua. pues. es conveniente dimensionar con generosidad el borde libre. Por último. No pensemos únicamente en centímetros adicionales para el tirante. y puede demostrarse mediante el calculo. Esta función no es lineal. Entonces la magnitud del borde libre depende esencialmente del grado de seguridad que se debe dar al canal como consecuencia de su importancia y de una estimación de la posibilidad que ocurra algún fenómeno extraordinario. de modo que es frecuente que un aumento en el tirante produzca un aumento pequeño en el costo del canal. tanto en la estimación de la oferta como de la demanda. En consecuencia. Naturalmente que hay que tener presente como varía el costo de una canal con el tirante. sino en su equivalente en metros cúbicos por segundo. es evidente. 289 . Indudablemente se trata de valores extremos. Si el canal rebalsa y está en zona arenosa las consecuencias pueden ser mucho más graves que en otro tipo de suelo. en la determinación de la magnitud del borde libre juega un gran papel la naturaleza del terreno en que está construido el canal. Ven Te Chow señala que el borde libre varía entre menos del 5 % y más del 30 % del tirante. una seguridad que toma el ingeniero diseñador contra fenómenos que tienen una cierta probabilidad de ocurrencia. Supongamos que se tiene dos secciones transversales como las mostradas a continuación 3m 8m Si ambas tienen similares velocidades. que un borde libre igual en ambas. representará en la primera un pequeño aumento de caudal y en la segunda un aumento de caudal bastante mayor. podríamos señalar que en zonas en las que los estudios hidrológicos no ofrecen una gran confiabilidad. Para dimensionar el borde libre (entendido como una altura vertical adicional al tirante) debemos tener en cuenta la forma de la sección transversal y esencialmente la curva gasto-tirante.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ El borde libre es. 3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation Hay también unas curvas que dan el borde libre en función del tirante y la velocidad.46 para Θ = 0.20 m) para canales grandes. Para cálculos preliminares el Bureau recomienda la fórmula siguiente β. = χψ (6-32) β. λ.6 0. : es el borde libre en metros ψ : es el tirante en metros χ : es un coeficiente que varía así 0. λ.76 para Θ = 85 m3/s El Bureau of Reclamation recomienda el gráfico de la Figura 6. el Bureau of Reclamation señala que el borde libre varía entre 1 ft (0. tal como aparece en la Figura 6.1 .4. profundos y con caudales de 85 m3/s ó más.4 .3 0 .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Para canales en tierra.5 1.3 .60 m3/s 0.3 Altura del Terraplén sobre la Superficie Libre Altura del Revestimiento sobre la Superficie Libre ALTURA EN METROS 1. donde dicho sea de paso es mayor la incertidumbre con respecto al coeficiente de rugosidad.9 0.2 . hasta 4 ft (1.2 0. 290 .0 2 3 4 5 10 20 30 40 50 100 m 3/s GASTO Figura 6.30 m) para canales pequeños y poco profundos. 3 0.2 m/ s 3.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ 6 2.4 m/s TIRANTE ψ EN METROS 4 1.0 m/s 5 2 1 0 0 0.6 m /s 1.0 BORDE LIBRE EN METROS Figura 6.0 m /s 2.2 m/s 1.6 0.8 m /s 2. 6 m /s 3 1.80 m/s 1.8 0.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales (Tomada de Engineering News Record) 291 . 4m /s 3.2 m/s 2.8 m/ s 3.6 m/s 2.2 0.7 0.1 0.0 m/ s 3.4 0.5 0.4 m /s velocid ad 0.9 1. ..Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 6.8 Cálculo de canales de sección compuesta Puede haber canales que tengan una sección transversal como esta Se dice entonces que es una sección compuesta. Un río tiene en época de estiaje un caudal pequeño. ΘΝ Cada parte de la sección tiene su propia rugosidad: Para cada parte de la sección se tendrá que 2 1 Ρ3 Σ 2 ςι = ι νι 292 ν1 .. pero en época de abundancia tiene un caudal grande que ocupa las áreas adyacentes... νΝ (6-33) . También puede ocurrir algo similar en un cauce natural.. Areas de inundación Θ1 Θ2 Una sección compuesta se puede dividir en Θ3 Ν secciones parciales de modo que el gasto total Θ es igual a la suma de los gastos parciales Θ = Θ1 + Θ2 + Θ3 + .. ν2 .. Está formada por la suma de dos figuras geométricas....... En este caso habrá dos valores para el coeficiente de rugosidad. ς= ∑ (Κ )Σ 1 2 (6-35) ι Α que es la expresión de la velocidad media en una sección compuesta. entones el problema consiste ν que sea representativo de todo el perímetro. Rugosidad compuesta Un canal puede ser construido de modo que el fondo y las paredes tengan rugosidades diferentes. 293 . Uno para el fondo y otra para las paredes.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ 2 1 1 Α Ρ3Σ 2 = Κι Σ 2 Θι = ι ι νι siendo. Κι = 2 3 ι Αι Ρ νι El gasto total es 1 Θ = ∑ (Κ ι )Σ 2 (6-34) ι =1 de donde. Si cada parte de la sección tiene un coeficiente en hallar un valor de νι de Kutter. Se dice entonces que el canal es de rugosidad compuesta. vidrio piedra concreto madera Estas figuras muestran dos ejemplos característicos de rugosidad compuesta. .Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Consideremos que hubiera Αρτυρο Ροχηα Ν rugosidades diferentes.. por facilidad operativa...... que sólo hubiera dos rugosidades diferentes. Para cada una de ellas habrá un radio hidráulico correspondiente y se puede calcular cada velocidad parcial 2 1 2 Ρ3Σ 2 ς1 = 1 ν1 1 Ρ3Σ 2 ς2 = 2 ν2 o bien. 3 3  2 ς1ν1   Ρ1 = 1  2  Σ   2 ς2 ν2   Ρ2 = 1  2   Σ  en consecuencia. ΠΝ Supongamos... ς1 = ς2 = .. Rugosidades : ν1 ν2 ν3 .. ςΝ 294 ... A cada una le corresponde una parte del perímetro mojado.. νΝ Perímetros : Π1 Π2 Π3 . y aplicando la ecuación Α = ΡΠ se tiene que 3 3  2 ς ν 1 1 Α1 =  1  Π1  2  Σ   2 ς ν 2 2 Α2 =  1  Π2  2   Σ  El área total es igual a la suma de las áreas parciales Α = Α1 + Α2 3 3 3 ς 2  2  2 ς ν ς ν ν 1 1 2 2  1  Π =  1  Π1 +  1  Π2  2  2   2  Σ  Σ   Σ  La pendiente es la misma.. Horton y Einstein hicieron la suposición de que la velocidad es una sola. Si el canal es liso entonces 2 1 ΑΡ 3 Σ 2 4.014 6 Θ 23 12 Si el canal es rugoso entonces.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Luego.0007 ) = 0.0175 295 .5 Se tiene un canal trapecial de 4 m de ancho en la base. b) Determinar el gasto para el mismo tirante normal. si el fondo tuviera un acabado rugoso y las paredes el acabado liso original.07 %.20 10 23 ν2 = 12 a) Si el fondo es rugoso y las paredes lisas 3 3  Π1 ν12 + Π2 ν 22  ν=  Π  [3.66 ) (0.10 m. Ejemplo 6. 7. La pendiente es 0. determinándose que para un caudal de 10 m3/s el tirante normal es 1.014) ν= + 4(0. El talud es de 45°. Luego el mismo canal se reviste con mortero preparado a base de arena gruesa.83(0.44 m. 2 3 3  32  Π1ν1 + Π2 ν22   ν=   Π   (6-36) que es coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección transversal.88 m. para el caso que el fondo fuera liso y las paredes rugosas.0007 ) = ν1 = = 0. Solución. a) Determinar el gasto para un tirante normal de 1. con lo que la rugosidad aumenta. Originalmente las paredes eran lisas y para un gasto de 6 m3/s el tirante normal era 0.11(0.97 ) (0.29(0.11)2 3 32 2 3    32 ] 23 = 0.02) (7. Podría ser. Examinemos el caso de un tubo circular parcialmente lleno ∆ 296 ψ .46 m3/s 0. una tubería de desagüe o una alcantarilla. ∆ ψ ψ En cualquiera de estos casos el conducto no trabaja a presión e hidráulicamente es un canal.79) (0.017 Luego. por ejemplo.02) (7.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno Es frecuente tener un conducto cerrado llevando un fluido que no ocupa totalmente la sección transversal.017 23 Θ= 12 6.0007 ) = 7.25 m3/s 0.0175 ν 23 12 b) Si el fondo es liso y las paredes rugosas [4(0. un túnel.61(0.11)2 3 32 ν= 32 ] 23 = 0.61(0.0007) = Θ= = 7.014) + 3.11(0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα el gasto es 2 1 ΑΡ 3 Σ 2 5.79 ) (0. 5. Sin embargo.6 "Características geométricas de la sección circular" que nos da para cada valor de la relación ψ ∆ el correspondiente valor del área. Examinemos en primer lugar las condiciones para tener velocidad máxima en un tubo parcialmente lleno.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno Se trata de hallar la relación ψ ∆ que da la máxima velocidad para el flujo. perímetro mojado y radio hidráulico son ρ2 Α = (θ − sen θ ) 2 (6-37) Π = ρθ (6-38) 297 . El flujo corresponde a un tirante ψ . A B ∆ ψ ! Figura 6.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Mediante simples consideraciones geométricas se puede determinar el área. Consideremos una tubería cuyo diámetro es ∆ y cuyo radio es ρ . La tubería que trabaja parcialmente llena se caracteriza por la posibilidad de tener una velocidad media y un gasto mayores a los que corresponderían a tubo lleno. θ es el ángulo en el centro. los cálculos se pueden simplificar con el gráfico de Figura 6. tirante hidráulico y radio hidráulico. Las expresiones correspondientes al área. AB es la superficie libre. perímetro y demás elementos de la sección transversal ocupada por el fluido. perímetro. 4934 rad θ = 257º 27‘ 10’’ ≈ 257º 30’ θ es el ángulo que corresponde a la velocidad máxima. 298 . (6-40) κ y ξ dependen de la fórmula particular empleada. o cualquier otra. para el cálculo de la velocidad media encontramos que siempre se cumple que ς = κΡ ξ Para pendiente y rugosidad constantes.81 ∆ (6-44) Por lo tanto.8128 ≈ 0. Por lo tanto. para que la velocidad sea máxima se requiere que el radio hidráulico sea máximo δΡ =0 δθ (6-41) ρ sen θ − θ cos θ =0 2 θ2 de donde. ! = tg ! (6-42) θ = 4. cuando el tirante es 0. Se determina inmediatamente que 2π − θ = 102º 30’ El tirante es De donde θ  ψ = ρ 1 − cos  2  (6-43) ψ = 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Ρ= ρ (θ − sen θ ) 2θ (6-39) Si consideramos las fórmulas de Manning o de Chezy.81∆ la velocidad es máxima. En la Figura 6. si usamos la fórmula de Manning.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Se observa que el resultado obtenido es independiente de la fórmula con la que se calcule la velocidad media. 299 .5 se observa que Α= ρ2 (θ − sen θ ) 2 Π = ρθ Ρ= ρ (θ − sen θ ) 2θ El gasto. Calculemos ahora cual es el valor de ψ ∆ que hace que el gasto sea máximo. tiene por expresión 2 1 ΑΡ 3 Σ 2 Θ= ν Se observa que para Σ y ν constantes el máximo valor del gasto corresponde al máximo 2 valor de ΑΡ 3 2   δ  ΑΡ 3    =0 δθ 1 (6-45) 2 − δΡ 2 δΑ + Ρ3 ΑΡ 3 =0 3 δθ δθ − − δΑ 2 δΡ Α =Ρ δθ 3 δθ 2 2 ρ2 (θ − sen θ ) ρ (sen θ − θ2 cosθ ) = ρ (1 − cosθ ) ρ (θ − sen θ ) 3 2 2 2 2θ θ De donde. entonces la condición hubiera sido 2    δ  ΑΡ 3   =0 δθ y se habría obtenido θ = 5. En la Figura 6.95 ∆ . Si se hubiera empleado la fórmula de Chezy. el gasto es máximo cuando ψ = 0.95 ∆ (6-48) Por lo que cuando se usa la fórmula de Chezy para los cálculos.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 5θ cosθ − 2 senθ − 3θ = 0 (6-46) θ = 5.7 se muestra el gráfico de elementos hidráulicos proporcionales que sirve para aligerar los cálculos de tubos circulares trabajando parcialmente llenos (como canales).938 ≈ 0. el gasto es máximo cuando ψ = 0.94 ∆ (6-47) Por lo tanto.94 ∆ .3784 rad θ = 308º 09’ 35’’ ≈ 308º ψ = 0.278 rad θ = 302º 24’ 26’’ ≈ 302º 30’ que es el ángulo que corresponde al gasto máximo. cuando se usa la fórmula de Manning para los cálculos. Se determina inmediatamente que 2π − θ = 57º 30’ El tirante es θ  ψ = ρ 1 − cos  2  de donde. 300 . ψ = 0. 1 1.2 0.8 ∀ . ∆0 Ρ0 = 0 0.2 0 0.0 Α Π δ .6 Características geométricas en una sección circular 0.9 Α Τ 2 Α0 = 1 1.3 ∆0 ψ 0.8 0.7 301 Figura 6.6 Α 0 0 Ρ0 Ρ 0.5 0. .4 0 Π Π0 Τ 0 2.7 Χαπτυλο ςΙ δ= 0.3 0.9 1.6 0.1 0 0 0 0 0.Ζ=Α Τ ∆0 δ = Α 0. .2 1.1 0.5 0 0.0 Α Τ ∆0 4 ψ ∆0 Ζ ∆ 0 δ ∆0 Α 0.∆ 0 4 Π0 = ∀ .3 Χ〈λχυλο δε χαναλεσ El subindice " 0" corresponde a tubo lleno 0 .4 0. Α0 Π0 ∆0 1. etc.5 0 0. 1 0.1 0.2 0.4 0.4 ς (n co 0.0 1. . etc.8 0.7 ς ς0 . etc.9 1.3 0. Figura 6. 0.6 Α0 Θ0 Θ (n c s on 0. Θ0 ς0 Ρ0 1.7 te) tan 0.8 (n Θ Θ 0 Α 0.9 ψ Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ 302 1.3 ς 0.8 0.9 0.5 0.1 0.0 0. 0.8 0.0 ns Ρ ∆0 Ρ0 0.6 0.2 1.0 0.1 1.1 0 0 0.7 Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular Θ ς Ρ .1 1.5 0.2 Ρ Ρ 0 .4 0.9 1.5 va ) ble ria Ν ν 0.4 ψ 0.2 0.2 * El subindice " 0" corresponde a tubo lleno * Ν es el coeficiente de Kutter 0 0.2 0.6 .3 0. .3 ς ς0 (n co n sta ) nte 0.0 1.3 0.7 ∆0 1.7 0.6 0.5 ta nt e) 0.3 0 Αρτυρο Ροχηα Θ Θ0 . Todos estos valores se pueden obtener fácilmente a partir de las ecuaciones anteriormente establecidas.013 Ν = = 0. También se cumple que para ψ ∆ > 0. ν es el coeficiente de rugosidad (variable) para la sección parcialmente llena. Para cada variable (gasto.85 0.7 se observa que para para cada valor de la velocidad (uno por encima y otro por debajo de 0. 303 . La curva de gastos tiene un máximo que corresponde a ψ ∆ igual a 0. Hay también una curva que da la relación entre las velocidades (ς ς0 ).95 si se usa la fórmula de Chezy. Un cuadro comparativo de todos los valores aparece en la Tabla 6. Examinemos las curvas de gasto y velocidad que corresponden a un coeficiente de rugosidad constante.6. la relación existente entre el gasto Θ correspondiente a dicha sección y el gasto Θ0 correspondiente al tubo lleno.07 y en el segundo es 1.14 (según Manning).81∆ ). ψ ∆ > 0.82 (aprox.85 puesto que del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene que para la relación ψ ∆ = 0. En cambio. velocidad) hay en realidad dos curvas. Así por ejemplo si un tubo tiene un coeficiente de rugosidad (a tubo lleno) de 0.85. cuando esté trabajando a 0.7 ∆ tendrá un coeficiente ν= 0.94 si se usa la fórmula de Manning y a 0.) hay para cada valor del gasto dos tirantes posibles.015 0.013.81 .Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Gráfico de elementos hidráulicos proporcionales La Figura 6.05.7 muestra para cada relación tirante-diámetro de una sección circular parcialmente llena. Ν es el coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección (podría expresarse como ν0 ).7 Ν ν es 0. una para coeficiente de rugosidad constante y otra para coeficiente de rugosidad variable en función de la altura. La curva de velocidades tiene un máximo que se presenta para ψ ∆ = 0. Corresponde a ς ς0 igual a 1.5 se tiene dos tirantes posibles En la Figura 6. En el primer caso la relación Θ Θ0 es 1. SECCIONES CIRCULARES PARCIALMENTE LLENAS CONDICION TUBO LLENO GASTO MAXIMO GASTO MAXIMO (Manning) (Chezy) 0.4934 rad 360º 308º 24’ 26’’ 308º 09’ 36’’ 257º 27’ 10’’ _ VARIABLES Α Α= Π = ρθ Π Ρ ρ2 (θ − sen θ ) 2 Ρ= ρ (θ − sen θ ) 2θ VELOCIDAD MAXIMA ψ ∆ _ θ _ Θmax Θ0 _ 1 1.94 0.813 2π rad 5.785 ∆ 2 0.3784 rad 4.25∆ 0.278 rad 5.84 0.639∆ 2.15 1.771 ∆ 2 0.29∆ 0.98 0.10 (Chezy) Αρτυρο Ροχηα .247∆ 0.689∆ 2.684 ∆ 2 3.304∆ 1 0.95 0.14 (Manning) 1.97 0.07 1.05 ςmax ς0 _ 1 _ _ Α Α0 _ 1 0.142∆ 2.22 Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ 304 TABLA 6.86 0.6 1.14 1.72 Ρ Ρ0 _ 1 1.765 ∆ 2 0.287∆ 0.87 Π Π0 _ 1 0. Las Tablas 6.7 y 6. Es usual diseñar para un ángulo de 240°. Ahora examinaremos la misma condición.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Obsérvese que para coeficiente de rugosidad constante. que es el caso que estamos analizando. se cumple que la velocidad media es la misma para medio tubo y para tubo lleno. En cambio. pero para cualquier conducto abovedado. En la práctica no conviene diseñar para la condición de gasto máximo porque entonces la superficie libre está tan cerca del extremo superior que cualquier eventualidad tendería a que el escurrimiento sea a tubo lleno. De acá δς = −ς δΑ Α (6-49) También debe cumplirse la ecuación de Chezy ς = Χ ΡΣ o bien. disminuyendo así la capacidad de conducción. ς =Χ Α Σ Π Si reemplazamos este valor de la velocidad en la ecuación 6-49 y además se reemplaza el valor de δς obtenido de la ecuación de Chezy se llega a 3ΠδΑ = ΑδΠ (6-50) 305 . Siempre se tendrá por continuidad que Θ = Ας de donde δΘ = Αδς + ςδΑ = 0 que es la condición de máximo caudal. si consideraramos que la rugosidad es variable entonces la velocidad media en medio tubo es sólo el 80 % de la correspondiente a tubo lleno. Expresión del caudal máximo para cualquier conducto abovedado Anteriormente hemos examinado las condiciones de máximo caudal para un conducto circular parcialmente lleno.8 sirven como ayuda para el cálculo de secciones circulares. Canales cubiertos de hielo A veces ocurre que en un canal construido en zonas frías se presenta un fenómeno inconveniente: se hiela la parte superior y el canal trabaja como tubería. Esta circunstancia debe tomarse en cuenta en los cálculos y verificar la capacidad del conducto como si fuese una tubería. 306 . Esta ecuación no depende de la fórmula empleada para el cálculo de la velocidad. especialmente si el canal tiene pequeña velocidad. Expresión de la velocidad máxima para cualquier conducto abovedado En cualquier conducto abovedado debe cumplirse que 1 Α 2 Σ ς = Χ ΡΣ = Χ Π de donde. Este fenómeno es frecuente en zonas andinas elevadas. con la consiguiente disminución en el gasto.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα Que es la ecuación diferencial que fija la condición de gasto máximo en cualquier conducto abovedado en el que se calcule el gasto con la fórmula de Chezy. 1 2 1 Α δς = ΧΣ   2 Π − 1 2 ΠδΑ − ΑδΠ =0 Π2 ΠδΑ − ΑδΠ = 0 (6-53) que es la condición de máxima velocidad en cualquier conducto abovedado. Obsérvese que la ecuación 6-50 al combinarse con las ecuaciones 6-37 y 6-38 nos daría la condición de gasto máximo en un conducto circular θ − 3θ cosθ + senθ = 0 (6-51) cuya solución es precisamente θ = 5.3784 rad que corresponde al resultado de la ecuación 648. Si hubiéramos usado la fórmula de Manning se habría obtenido que el gasto máximo para cualquier conducto abovedado está dado por 5ΠδΑ = 2 ΑδΠ (6-52) Si reemplazamos en esta ecuación las ecuaciones 6-37 y 6-38 se obtendría la ecuación 6-46. 015 Luego. En todo caso nuestra opinión es que es difícil una generalización y en cada caso debe hacerse un análisis técnicoeconómico. El coeficiente ν de Kutter es 0. Secciones en herradura Es frecuente que los túneles se construyan con una sección diferente de la circular.02 ς0 la velocidad a tubo lleno es ς0 = Θ 0. Si el flujo fuera a tubo lleno se tendría que (0.60) π 2 Θ0 = 4 2 1  0. La pendiente es de 0.60 ) 307 .1505 m3/s ≈ 151 l/s 0.60  3  (0.015. El método español de Barragán considera la construcción mecánica de secciones circulares. Según dicho ingeniero las secciones circulares representan una economía importante frente a las secciones trapeciales (del orden del 22 %). Sin embargo.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ Canales circulares Un canal semicircular es el más conveniente desde el punto de vista exclusivo de la eficiencia hidráulica. 80 Θ = = 0.31 m para ψ ∆ = 0. este tipo de canales es poco usado por las dificultades constructivas que conlleva. Solución.150 × 4 = 2 = 0.53 m/s Α π (0. Calcular la velocidad.52 ∆ o o o ψ = 0.8 sirve como ayuda para el cálculo de las secciones en herradura (horse shoe). Una de las secciones más empleadas es la sección en herradura.6 Por una alcantarilla de 60 cm de diámetro fluye un caudal de 80 l/s.53 Θ0 151 del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene ψ = 0. La Tabla 6. Ejemplo 6.52 se obtiene ς = 1.0008.0008)2   4  = 0. 53 m/s Luego ς = 1. Solución. (para verificar) (0. en la que una de las diagonales es vertical.54 m/s La velocidad es ς = 0.287 α que es la respuesta buscada 308 .02 x 0. M A Mediante consideraciones geométricas se obtiene B P R Α = α2 − S ψ Α = α2 − 1 ΑΒ ΜΠ 2 ( 1 ΑΒ α 2 − ψ 2 ) α Considerando la semejanza de los triángulos MAB y MRS se obtiene N ( ΑΒ = 2 α 2 − ψ ) luego.0008) 23 ς0 = 12 0.015 = 0.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα o bien. 3ΠδΑ = ΑδΠ se obtiene 5 ψ 2 − 4α 2 ψ − α 2 = 0 de donde ψ = 1.15) (0. Α = 2α 2 ψ − α 2 − ψ 2 similarmente se obtiene para el perímetro Π = 2 2ψ tomando en cuenta la ecuación 6-50. Usar la fórmula de Chezy.7 Hallar el tirante ψ que corresponde a la condición de caudal máximo en una sección cuadrada. de lado α.54 m/s Ejemplo 6.53 = 0. 0147 0.0242 0.1662 0.0813 0.0239 1.2836 0.8763 0.2450 1.1516 0.0069 0.2025 1.0409 0.2102 0.2074 0.34 0.1259 0.22 0.36 0.3284 1.0885 0.1039 0.39 0.0929 0.0472 0.7075 0.1623 0.1810 1.1935 0.3694 0.1373 1.16 0.0701 1.1709 0.05 0.4510 0.2546 0.3490 1.7 PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS CIRCULARES ∆ ψ Tirante ∆ Diámetro Α Area Π Perímetro mojado Ρ Radio hidráulico ψ ψ ∆ Α ∆2 Π ∆ Ρ ∆ ψ ∆ Α ∆2 Π ∆ Ρ ∆ 0.2020 0.31 0.0262 0.1152 1.0037 0.1199 0.20 0.1614 0.23 0.1364 0.24 0.0695 0.1416 0.0574 0.8500 0.1593 0.1118 0.13 0.21 0.1535 0.1206 0.1978 0.1466 0.1755 0.1801 0.0350 0.0754 0.29 0.0811 0.1800 0.4027 0.0013 0.19 0.10 0.1042 0.0986 0.0928 1.0389 0.1449 0.4949 0.9020 0.07 0.32 0.0197 0.2739 0.0635 0.06 0.2870 1.0294 0.0105 0.03 0.27 0.1281 0.0668 0.9273 0.15 0.2142 309 .9764 1.1891 0.0600 0.0132 0.1097 0.0534 0.1848 0.2451 1.2355 0.3482 0.2642 0.14 0.7377 0.26 0.6761 0.1312 0.5735 0.09 0.2934 1.1982 1.1152 0.0739 0.18 0.0451 0.01 0.12 0.2838 0.1365 0.8230 0.0326 0.0871 0.33 0.2003 0.11 0.35 0.7954 0.9521 0.28 0.30 0.5355 0.7670 0.40 0.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ TABLA 6.0470 0.0961 0.1890 0.2239 1.0513 0.6435 0.1566 0.0066 0.02 0.1711 0.38 0.2167 0.2061 0.2260 0.25 0.04 0.2661 0.6094 0.0192 0.17 0.3078 1.08 0.37 0.0003 1. 6736 2.2917 0.50 0.3898 1.7642 0.3040 0.1652 2.4723 0.2703 0.2620 0.3026 0.8338 1.67 0.7816 0.41 0.76 0.5212 0.44 0.6143 0.54 0.7560 0.3527 0.7926 1.7854 2.4227 0.2797 0.4303 1.5499 0.4027 0.1895 2.1176 2.5681 2.5308 1.6108 0.81 0.2787 0.79 0.2916 2.7662 0.84 0.92 0.2395 2.2676 0.3229 0.2830 0.2973 0.1412 2.4706 0.2950 0.60 0.5115 0.6489 0.0042 2.94 0.4981 0.4341 2.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ 310 Αρτυρο Ροχηα ψ ∆ Α ∆2 Π ∆ Ρ ∆ ψ ∆ Α ∆2 Π ∆ Ρ ∆ 0.2839 0.3462 0.8755 0.85 0.2922 0.6061 2.0488 2.7445 2.7115 2.52 0.87 0.6815 0.2331 0.9412 3.64 0.2665 0.2996 0.3328 0.8578 2.2561 0.5872 1.6231 0.2257 0.89 0.5687 0.6509 1.4327 0.3042 0.3727 0.42 0.2935 0.2649 0.58 0.8546 1.7320 0.6054 0.6906 0.5308 0.75 0.8132 1.5508 1.2531 0.2980 0.90 0.3017 0.2860 0.91 0.7043 0.0944 0.2591 0.5708 0.3186 2.3927 1.2995 0.62 0.5404 1.2400 0.0264 2.55 0.7749 0.4505 1.66 0.2944 0.86 0.7504 0.3032 0.51 0.1416 0.6404 0.4526 0.2984 0.48 0.3025 0.7707 2.4038 2.2143 0.2735 0.7186 0.3017 0.3037 0.95 0.2294 0.61 0.5108 1.5594 0.47 0.9391 1.6969 0.4101 1.57 0.96 0.63 0.3041 0.2881 0.8965 1.5964 0.4907 1.43 0.3033 0.3008 0.53 0.2818 0.7384 0.2962 0.3827 0.2728 0.49 0.68 0.7113 1.3043 0.4655 2.70 0.3627 0.2220 0.2653 0.73 0.2467 0.7315 1.3130 0.78 0.6467 2.2896 0.2181 0.5908 1.2899 0.6655 0.72 0.7722 0.2500 .2753 0.6318 2.9823 0.5780 0.3032 0.2366 0.59 0.3428 1.4426 1.3038 0.2776 0.6893 2.83 0.80 0.74 0.98 0.97 0.4920 1.65 0.69 0.7934 2.2434 0.4127 1.7389 2.5322 2.7785 0.4625 0.3006 0.5018 0.56 0.3746 2.77 0.7518 1.2963 0.6573 0.82 0.9177 1.6911 1.00 0.7254 0.0714 2.46 0.88 0.6710 0.99 1.71 0.3044 0.45 0.9606 1.2500 0.2864 0.7841 0.6308 1.4822 0.93 0. 21 0.0670 0.1919 1.2107 0.3139 0.1277 0.6963 0.1895 0.14 0.37 0.40 0.0839 0.2013 1.4959 0.1282 0.0066 0.9597 0.2489 1.1508 0.1494 0.2063 0.1078 0.8 PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS EN HERRADURA ∆/2 ∆ ∆ ψ ∆ ψ Tirante ∆ Diámetro Α Area Π Perímetro mojado Ρ Radio hidráulico ψ ∆ Α ∆2 Π ∆ Ρ ∆ ψ ∆ Α ∆2 Π ∆ Ρ ∆ 0.2217 0.24 0.33 0.0491 0.0658 0.3271 1.0024 1.3951 0.8513 0.0459 0.26 0.01 0.Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ TABLA 6.20 0.0895 0.11 311 .1031 0.1454 0.0748 0.31 0.0590 0.3074 0.27 0.4006 0.0886 0.0209 0.1560 0.1825 0.1804 0.2878 1.0421 0.0198 0.0502 0.2586 0.0019 0.17 0.0823 0.2103 0.1549 1.2935 0.3172 0.02 0.1222 0.2830 0.1097 0.0753 0.19 0.9166 0.1909 0.0670 0.3342 1.1286 1.0524 0.2975 0.0585 0.1367 1.1758 0.0132 0.2202 0.1662 0.0964 0.05 0.8482 0.22 0.1398 0.3546 1.1702 1.09 0.0150 0.08 0.1012 0.2321 1.1733 1.2780 0.1710 0.0264 0.16 0.0925 0.0394 0.5676 0.13 0.8054 0.4911 0.0448 1.2297 0.0329 0.0346 0.03 0.8950 0.0275 0.0236 1.28 0.0053 0.32 0.9811 0.2023 0.3748 1.4355 1.2181 0.1100 0.4758 0.10 0.1850 0.0097 0.23 0.4153 1.1457 1.0868 0.30 0.3370 1.34 0.4556 1.9382 0.12 0.07 0.04 0.15 0.29 0.2115 0.18 0.1161 0.06 0.1938 0.2683 0.1188 0.25 0.1640 0.39 0.1981 0.7528 0.38 0.0578 0.35 0.2393 1.36 0.2731 1.8732 0.2526 1.1341 0.1611 0.6351 0.2252 0.2142 0. 2454 0.5064 0.78 0.86 0.55 0.2356 0.2538 .5163 1.2431 2.3056 0.64 0.7943 0.4066 0.2602 0.2766 0.6312 2.5555 0.1742 0.8052 2.0431 0.3055 0.99 1.2884 0.3650 0.2514 0.3050 0.2969 0.3032 0.7175 2.7823 0.66 0.49 0.3006 0.7625 0.3067 0.3044 0.2544 0.5160 0.73 0.94 0.80 0.2906 0.2922 0.8772 1.4266 0.44 0.6033 2.7693 0.6493 0.2322 0.5909 2.6562 0.76 0.2844 0.5360 1.52 0.89 0.63 0.42 0.5000 2.3060 0.2574 0.0219 2.8367 1.4566 0.8101 0.3036 0.3066 0.0860 2.7362 1.2757 0.88 0.93 0.7999 0.1077 0.3767 0.3020 0.69 0.6929 0.2864 0.2666 2.3149 2.2816 0.3042 0.5595 0.5457 0.2947 0.1297 0.9592 0.8224 2.Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ 312 Αρτυρο Ροχηα ψ ∆ Α ∆2 Π ∆ Ρ ∆ ψ ∆ Α ∆2 Π ∆ Ρ ∆ 0.3867 1.83 0.4366 1.1518 2.87 0.4466 1.7554 2.4865 1.6362 1.2988 0.00 0.58 0.4666 1.5359 1.3064 0.3397 0.6935 2.6844 0.2858 0.9180 1.59 0.2657 0.2920 0.51 0.9188 0.8256 0.2967 0.2707 0.7315 0.46 0.90 0.2683 0.3018 0.3667 1.8293 2.2390 0.65 0.68 0.0009 0.8165 1.97 0.7094 0.6962 0.6582 2.98 0.77 0.7482 0.71 0.8188 0.6758 2.8146 2.2630 0.8569 0.92 0.70 0.45 0.54 0.2733 0.85 0.60 0.6219 0.5843 1.4716 0.6126 0.3028 0.7332 0.9832 3.81 0.2994 0.95 0.75 0.82 0.3469 1.96 0.8160 0.7759 2.4440 2.43 0.3067 0.5292 2.5761 1.0667 3.2484 0.2422 0.7012 2.2287 0.7408 2.9386 1.6762 1.53 0.7254 2.3061 0.2902 0.4170 0.7763 1.4166 1.7721 2.2937 0.79 0.3966 0.50 0.62 0.0645 2.3907 2.6671 0.3005 0.6162 1.72 0.5561 0.3050 0.7964 0.1969 2.4766 0.4965 0.3568 0.2696 0.91 0.57 0.5748 0.8976 0.2953 0.2981 0.6235 0.5938 0.5261 0.2198 0.3064 0.61 0.8280 0.7884 2.5962 0.48 0.2893 0.9800 2.84 0.56 0.7562 0.2804 0.2670 0.6403 2.7162 0.67 0.6576 2.47 0.2824 0.2781 0.41 0.8643 2.5651 1.74 0. 828 µ = 2 1 + ζ2 − ζ 1µ 0.500 0.141 ψ 3 1.Χαπτυλο ςΙ TABLA 6.094 ψ 3 1.694 0.094 ψ 3 1.000 1.623 ψ 3.000 µ 2 1.562 1.333 0.102 ψ 3 1.260 ψ 3 1.812 ψ 2 1.472 ψ 3.442 1.750 ψ 2 1.070 1.828 ψ 2 Α = (µ + ζ )ψ 2 Π 4ψ 3.207 1µ= ψ β Α 2 ψ2 1.9 SECCION TRAPECIAL DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA 90º θ 75º 58’ 71º 34’ 63º 26’ 60º 56º 19’ 53º 08’ 45º !#∃ ζ 0 0.736 ψ 2 1.500 ψ 3.866 0.091 ψ 3 1.152 ψ 3 ζ 313 β ) ψ µ= β ψ Θ= ΑΡ 2 3 Σ 1 2 ν ΑΡ 2 3 = Θν Σ1 2 Χ〈λχυλο δε χαναλεσ 1 ! ) Ρ=Α Π ψ 2 Ρ 1 ζ .474 ψ 3.667 0.809 0.934 1.750 1.775 ψ 2 1.5 0.464 ψ 3.657 ψ Π = µ + 2 1 + ζ2 ψ ζ#∃ ( ( 2 8 8 8 8 8 8 8 8 ΑΡ 3 1.155 1.236 1.732 ψ 2 1.640 0.577 0.118 ψ 3 1.737 ψ 2 1.000 0.550 ψ 3.250 0. 531 0.952 ψ 2 2.38º 40’ 33º 41’ 30º 29º 45’ 26º 34’ 21º 48’ 18º 26’ 14º 02’ ζ 1.268 ψ 2 2.000 µ 0.281 ψ 2 2.106 ψ 2 2.562 ψ 4.750 2.606 0.246 µ = 2 1+ ζ2 − ζ 1µ 1.118 2.500 1.325 0.000 4.536 0.770 ψ 6.095 ψ 3 2.885 ψ 2 3.500 3.211 ψ 4.250 1.325 ψ 2 4.596 3.425 1.536 ψ 4.649 ψ 8.492 ψ Π = µ + 2 1+ ζ2 ψ !#∃ 2 8 8 8 8 8 8 8 8 1.903 ψ 4.702 0.866 1.675 ψ 3 β ) ψ µ= β ψ Θ= ΑΡ 2 3 Σ 1 2 ν ΑΡ 2 3 = Θν Σ1 2 Αρτυρο Ροχηα 1 ζ ( ) Ρ=Α Π ΑΡ 3 ! ζ ( ψ 2 Ρ 1 ζ #∃ Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ 314 θ .557 ψ 3 1.000 2.817 ψ 3 2.026 1µ= ψ β Α 1.732 1.385 0.246 ψ 2 Α = (µ + ζ )ψ 2 Π 3.944 ψ 5.081 4.472 0.883 2.429 ψ 3 1.327 ψ 3 1.651 1.437 ψ 3 1.230 ψ 3 1.472 ψ 2 2. Χαπτυλο ςΙ TABLA 6.10 SECCIONES DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA SECCION TRAPECIO (Mitad de un hexágono) RECTANGULO (mitad de un cuadrado) TRIANGULO (Mitad de un cuadrado) SEMICIRCULO PARABOLA Τ = 2 2ψ PERIMETRO MOJADO RADIO HIDRAULICO ANCHO SUPERFICIAL TIRANTE HIDRAULICO Α Π Ρ Τ δ Ζ 3ψ 2 2 3ψ ψ 2 4 3ψ 3 3 ψ 4 3 2 ψ 2 2 ψ2 4ψ ψ 2 2ψ ψ ψ2 2 2ψ 1 2ψ 4 2ψ ψ 2 π 2 ψ 2 πψ 1 ψ 2 2ψ π ψ 4 π 2 ψ 4 4 2 ψ2 3 8 2ψ 3 1 ψ 2 2 2ψ 2 ψ 3 8 3ψ 2 9 1,39586 ψ 2 2,9836 ψ 0,46784 ψ 1,917532 ψ 0,72795 ψ 1,19093 ψ 2 FACTOR HIDRAULIC 5 5 2ψ2 5 2 2 ψ 2 5 5 5 315 (Este cuadro ha sido tomado del libro Open-Channel Hydraulics de Ven Te Chow) Χ〈λχυλο δε χαναλεσ CATENARIA AREA Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ 316 TABLA 6.11 ELEMENTOS GEOMETRICOS DE DIVERSAS SECCIONES SECCION AREA PERIMETRO MOJADO RADIO HIDRAULICO ANCHO SUPERFICIAL Α Π Ρ Τ βψ β + 2ψ βψ β + 2ψ (β + ζψ )ψ β + 2 ψ 1 + ζ2 ζψ 2 2 ψ 1 + ζ2 1 (θ − senθ )∆2 8 1 θ∆ 2 TIRANTE HIDRAULICO FACTOR HIDRAULICO δ Ζ Τ ψ β 5 ψ β βψ 2 RECTÁNGULO (β + ζψ )ψ Τ 1 ψ ζ β (β + ζψ )ψ β + 2 ζψ β + 2 ψ 1 + ζ2 β + 2 ζψ 5 [(β + ζψ )ψ] 2 β + 2 ζψ TRAPECIO Τ 1 ψ ζ ζψ 5 ψ 2 2 2 ζψ 2 2 ψ (∆ − ψ )   1  θ − senθ  ∆ θ  8   sen  2  2 (θ − senθ )2 2 ∆ 32  θ 0,5 sen   2  3Α 2ψ 2 3ψ 2 6Τψ1,5 9 π  2  − 2 ρ + (β + 2ρ )ψ 2  (π − 2)ρ + β + 2 ψ β + 2ρ π  2  − 2 ρ 2  +ψ β + 2ρ Α Π 2 ζ( ψ − ρ ) + ρ 1 + ζ 2 2 1+ ζ 2 ζψ 2 TRIANGULO Τ ∆ ψ ! θ   sen  ∆ , ó 2  1  sen!  1 − ∆ 4 !  5 5 CIRCULO Τ ψ 2 Τψ 3 Τ+ 8 ψ2 * 3Τ 2Τ 2 ψ 3Τ 2 + 8 ψ 2 PARÁBOLA Τ ρ ρ ψ β (π − 2)ρ + β + 2 ψ Τ 2 ρ2 − (1 − ζ cot −1 ζ ) 4ζ ζ 2ρ Τ 1+ ζ2 − 1 − ζ cot −1 ζ ζ ζ RECTÁNGULO CON ESQUINAS REDONDEADAS Τ 1 ζ ρ ψ ( ) [ ] Α Τ TRIANGULO CON FONDO REDONDEADO * Aproximación satisfactoria para el intervalo 0 ≤ ξ ≤ 1 , siendo ξ = 4ψ Τ , para ( Esta tabla ha sido tomada del libro Open-Channel Hydraulics de Ven Te Chow) Τ 2  2 ξ > 1 , la expresión exacta es ∆ = 2  1 + ξ + 1 ξ ln ξ + 1 + ξ      π   2  2 − 2  ρ + (β + 2 ρ )ψ     1, 5 β + 2ρ Α Α Τ Αρτυρο Ροχηα π  2  − 2 ρ + (β + 2ρ )ψ 2  Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo VI) 1. Hallar una expresión para la pérdida de carga η φ en un canal de longitud Λ , en función de la carga de velocidad y del radio hidráulico. 2. Un canal tiene un ancho en el fondo de 2,5 m. El tirante es 0,8 m y el talud es de 60°. La velocidad media es 1,80 m/s. ¿Cuál es el gasto? ¿Cuál es el radio hidráulico?. Dibujar la sección transversal. 3. Un canal rectangular tiene un ancho en el fondo de 2 m y un coeficiente de rugosidad de Kutter de 0,014. El tirante es 1,20 m y la pendiente 0,0012. Calcular el gasto. Calcular el tirante con el que fluirá el mismo gasto en un canal triangular, de 90º, que tiene la misma rugosidad y la misma pendiente. 4. Hallar el radio que debe tener la sección semicircular de un canal para transportar 3 m3/s. La pendiente del canal es 1 en 2 500. Considerar que el coeficiente Χ de Chezy es 49 m1/2/s. Si el canal tuviera forma rectangular, pero el mismo ancho y profundidad total que la sección anterior, ¿Cuál sería el gasto con el mismo valor de Χ y la misma pendiente?. 5. El canal mostrado en la figura tiene una pendiente de 0,0009. El coeficiente 1,5 m ν de Kutter es 0,013. Calcular el gasto. 90º 1,0 m ¿En cuánto aumentará el gasto si la pendiente fuera el doble? 6. ¿Qué sucede con el gasto en un canal si se cuadruplica la pendiente y el contorno se hace de una rugosidad doble?. Explicar detalladamente la respuesta. 7. En el problema número 2 la pendiente del canal es 0,003. Calcular ν de Kutter b) el coeficiente Χ de Ganguillet-Kutter a) el coeficiente c) la velocidad media a partir del coeficiente de Ganguillet-Kutter. Comparar con la velocidad media dato del problema κ de Strickler e) el coeficiente Χ de Chezy con la fórmula de Pavlovski d) el coeficiente 317 Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ 8. Un canal tiene según la tabla de Kutter una rugosidad Αρτυρο Ροχηα ν = 0,035. Calcular el coeficiente Χ de Chezy usando las fórmulas de Ganguillet-Kutter y Manning. El canal es muy ancho y el tirante es 1 m. 9. Hallar los valores de Ξ e Ψ , a que se refiere la ecuación 6-5, de las ecuaciones de GanguilletKutter, Kutter y Bazin. 10. Calcular el gasto en un canal que tiene 1,80 m de tirante. La pendiente es 0,0018. La rugosidad de Kutter a considerarse es 0,018, a) b) c) d) para una sección rectangular de 6 m de ancho para una sección triangular con un ángulo de 60° para una sección circular de 4 m de diámetro para una sección parabólica que tiene 4 metros de ancho a la profundidad de 1 m 11. Un canal de sección trapecial, en tierra sin vegetación, debe transportar un gasto de 10 m3/s, con una velocidad no mayor de 1 m/s. El talud es de 30° (con la horizontal). La pendiente es de 8 en 10 000. Calcular las dimensiones de la sección transversal. Usar la fórmula de Bazin. 12. Un canal trapecial tiene 24 ft de ancho superficial, un talud de 45° y un ancho en la base de 8 ft. El canal es de concreto frotachado. La pendiente es 0,0006. Calcular el gasto. Usar la fórmula de Ganguillet-Kutter y la de Manning (en unidades inglesas). 13. Se tiene un canal trapecial de 8 m de ancho en la base y de 2 m de tirante. El talud es de 1,5. El canal es de tierra, sin vegetación, y varios años de uso. La pendiente es 0,0004. Calcular el gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin, Manning y Chezy. Comparar resultados (la temperatura del agua es 15 °C) 14. En un canal de 0,80 m de ancho y 0,30 m de tirante fluye petróleo. La pendiente del canal es 0,0008. El canal es de fierro galvanizado. La viscosidad del petróleo es 10-5 m2/s y su peso específico relativo es 0,86. Calcular el gasto. 15. Un canal trapecial de concreto frotachado tiene una capacidad de 4 m3/s. La pendiente es 0,006. El talud es 0,5. Si el ancho en el fondo es de 1 m ¿Cuáles son las dimensiones de la sección transversal y la velocidad media?. Si el borde libre fuera de 30 cm ¿Qué caudal adicional podría ser absorbido? (en porcentaje). 16. Se quiere construir un canal con una pendiente de 0,0035 para conducir 4 m3/s ¿Qué dimensiones debe tener el canal para que la velocidad no sea superior a 1,5 m/s. El talud es 1,5. Considerar que el coeficiente ν de Kutter es 0,025. 17. Se tiene un canal trapecial de 5 m de ancho superficial y 3 m de ancho en el fondo, talud de 60° y coeficiente de rugosidad de Kutter de 0,030. La capacidad del canal es de 10 m3/s. Calcular 318 Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ a) ¿Cuánto habría que profundizar el canal, conservando el mismo ancho superficial y taludes, para aumentar su capacidad en 50 %?. b) ¿Cuánto habría que ensanchar el canal, conservando la misma profundidad y taludes, para aumentar su capacidad en 50 %?. 18. Demostrar que en un canal de máxima eficiencia hidráulica se cumple que la suma de los taludes es igual al ancho superficial. 19. Demostrar que en una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica se cumple que 1 (β + 2 ζψ ) = ψ 1 + ζ 2 2 20. Demostrar que en un canal trapecial de máxima eficiencia hidráulica, cuyo talud es de 45°, se cumple que 2 ΑΡ 3 β 8 3 = 1,90 21. Demostrar que para un canal que está en máxima eficiencia hidráulica se cumple para la sección más eficiente que  Θ ψ = 0,968 1ν  2 Σ 3 8     22. Demostrar que en un canal con una velocidad  Θ β = 1,118 1ν  2 Σ 3 8     ς , dada, la condición de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.) corresponde a pendiente mínima. 23. En un canal de M. E. H. el ancho en el fondo es de 3 m y el ancho superficial es 8 m. La pendiente es 0,006 y el coeficiente ν de rugosidad de Kutter es 0,025. Hallar el gasto. 24. El gasto de canal de alimentación de una central hidroeléctrica es de 60 m3/s. El talud es 1,25. a) Calcular las dimensiones de la sección transversal para un tirante de 2 m y una pendiente de 0,0008 (el coeficiente de rugosidad Γ de Bazin es 0,30). b) Conservando la velocidad del caso anterior ¿Cuáles serían las dimensiones del canal en condiciones de máxima eficiencia hidráulica? ¿Cuál deberá ser la pendiente del canal?. c) ¿Cuál sería la sección de máxima eficiencia hidráulica manteniendo una pendiente 0,001 ¿Cuál será la velocidad en este caso?. 319 Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 25. Un canal debe transportar 8 m3/s. El talud es de 45°. Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente es 0,002 y el coeficiente de Kutter es 0,022. En caso de revestir el contorno con concreto ( ν = 0,016) determinar cuáles serían las nuevas dimensiones de la sección transversal. 26. Un canal debe transportar 10 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) es 60°. Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener la máxima eficiencia hidráulica. La pendiente del canal es 0,005. El canal es de concreto frotachado. 27. Un canal debe conducir 750 l/s. El talud es 2. Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición que la pendiente sea mínima. La velocidad no debe ser mayor de 1 m/s. (a fin de prevenir erosiones). Considerar que ν es 0,03. En el caso de revestir el canal ( ν = 0,022) ¿Con qué tirante fluirá el mismo gasto, manteniendo la pendiente y la forma de la sección calculada en el caso anterior?. 28. Un canal debe transportar 6 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) es de 60° con la horizontal. Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0,003 y el coeficiente de Kutter es 0,025. En caso de revestir el canal con concreto frotachado ¿Cuáles serían las nuevas dimensiones de la sección?. 29. Un canal trapecial debe transportar 12,5 m3/s. El talud es 0,5. Determinar las dimensiones de la sección transversal de modo de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente es 0,0015. El coeficiente Χ de Chezy es 55 m1/2/s. 30. Se trata de diseñar un canal para 8 m3/s que debe ser construido en media ladera (inclinación media 30°). El ancho en el fondo es de 4 m. La pendiente del canal debe ser 0,00025 y el coeficiente de rugosidad de Kutter 0,025. El talud será de 45°. El borde libre se obtendrá de la Figura 6.4. Se pregunta si, desde el punto de vista del costo de excavación, habría resultado más económico un canal de máxima eficiencia hidráulica. 31. Determinar el talud que debe tener un canal triangular para que sea de máxima eficiencia hidráulica. 32. A igualdad de pendiente y calidad de paredes ¿En cuál de los siguientes casos se obtendrá una mayor velocidad de flujo para el escurrimiento de un mismo gasto? a) Usando un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica b) Usando un canal triangular da máxima eficiencia hidráulica 33. Un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 3,80 m tiene un talud igual a 0,75. La pendiente es 1 por 1 000. Si el canal estuviera completamente revestido de albañilería de piedra, entonces para un gasto de 45 m3/s el tirante es 3,06 m. Si el mismo canal estuviera revestido con concreto frotachado se tendría para un gasto de 40 m3/s un tirante de 2,60 m. 320 Χαπτυλο ςΙ Χ〈λχυλο δε χαναλεσ a) ¿Cuál será el gasto, si el fondo es de concreto y las paredes de albañilería de piedra, siendo el tirante de 3,0 m?. b) ¿Cuál será el gasto si el fondo es de albañilería y las paredes de concreto para un tirante de 3 m?. 34. Hallar las dimensiones que debe tener un canal trapecial en máxima eficiencia hidráulica para llevar un gasto de 70 m3/s. La pendiente es de 0,0008 y el talud es de 1,5. El fondo es de concreto frotachado y los taludes están formados de albañilería de piedra bien terminados. 35. Un canal trapecial transporta 12 m3/s y posee un talud de 60°. El ancho en el fondo es de 3 m y el tirante de 1,5 m. Si se necesita transportar 20 m3/s, se desea saber ¿Cuántos metros habría que profundizar la base del canal manteniendo el talud?. Considerar para concreto antiguo 0,018 y para el nuevo revestimiento 0,014. ¿Qué dimensión tendría la nueva base del canal? 36. Calcular el radio hidráulico de una sección triangular, a partir de la ecuación 6-29. 37. Hallar las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado, radio hidráulico, ancho superficial, tirante hidráulico y factor hidráulico para un canal circular parcialmente lleno en el que el tirante es el 60 % del diámetro. Hallar también el ángulo en el centro. Hallar luego las expresiones correspondientes al gasto y velocidad máximos, para ν igual constante y para ν igual variable. Como aplicación calcular todos los valores para ∆ = 16’’, Σ = 0,001 y ν = 0,014. ¿Cuál es el máximo gasto que podría haber en esta tubería y cuál es la máxima velocidad que puede presentarse?. 38. Hallar cual es el grado de sumergencia ( ψ ∆ ) que corresponde a un ángulo de 240° en una tubería circular parcialmente llena. 39. Determinar el diámetro mínimo de un colector de desagüe para conducir cada uno de los gastos siguientes: 160, 200 y 250 l/s. La velocidad no debe ser menor de 0,60 m/s ¿Cuál es el tirante en cada caso?. La cota del colector en el punto inicial es 100 m y en el punto final es 99,85. La longitud es de 200 m. El coeficiente ν de Kutter es 0,014. Dibujar la curva de variación entre Θ y ∆. 40. Determinar el diámetro que debe tener un túnel de sección circular ( ν = 0,030) para conducir un gasto de 20 m3/s de modo que sea la mínima sección posible. La pendiente es 0,0008. Calcular también el tirante y velocidad respectivos. 41. Calcular la pendiente mínima con la cual se podrá tender un conducto circular para que conduzca un gasto de 500 l/s. El diámetro debe ser de 36’’ y a fin de evitar sedimentaciones la velocidad debe ser superior a 0,60 m/s ( ν = 0,014). Determinar también con que tirante se producirá el escurrimiento. 321 Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Αρτυρο Ροχηα 42. Un conducto tiene forma oval, formado por arcos circulares. La parte superior es un semicírculo de radio ρ . El área y el perímetro mojado de la sección debajo del diámetro horizontal del 2 semicírculo son 3 ρ y 4,82 ρ , respectivamente. Demostrar que la máxima descarga se presenta cuando la superficie libre subtiende un ángulo de 305° en el centro de curvatura del semicírculo (usar la ecuación de Chezy). 43. La porción superior de la sección transversal de un canal es un semicírculo de radio ρ . La porción inferior es una semieclipse de ancho 2 ρ , profundidad 2 ρ y perímetro 4,847 ρ , cuyo eje menor coincide con el diámetro horizontal del semicírculo. El canal debe llevar 15 m3/s trabajando a 3/4 ( ψ ∆ = 0,75). La pendiente es 1 en 1 000, ν = 0,014. Hallar las dimensiones de la sección y el tirante que daría un gasto máximo. 44. Un acueducto tiene la forma que se muestra en la figura Σ = 0,0005 1,5 m Θ = 800 l/s 0,3 m ν = 0,012 Calcular el tirante, la velocidad media correspondiente y determinar cual sería el tirante para las condiciones de gasto máximo y de velocidad máxima. 0,3 m 1,5 m 45. Se tiene un conducto de la forma siguiente Θµαξ = 100 l/s β/2 Σ = 0,2 %o ν = 0,013 β/2 Calcular el valor del ancho β , el tirante y la velocidad media. β 322 Capítulo VII Energía específica y momenta CAPITULO VII ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA 7.1 Energía específica La energía de la corriente en una sección determinada de un canal es igual a la suma del tirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal de referencia arbitrariamente escogido y se expresa así Energía = y + α V2 +z 2g (7-1) y es el tirante, α el coeficiente de Coriolis, V la velocidad media de la corriente en la sección considerada, z la elevación del fondo con respecto a un plano de referencia. Si tomamos como plano de referencia el fondo del canal, la energía así calculada se denomina energía específica y se designa con la letra E . Esta definición significa z = 0. E = y +α V2 2g (7-2) La energía específica es, pues, la suma del tirante y la energía de velocidad. Como está referida al fondo va a cambiar cada vez que éste ascienda o descienda. Obsérvese que las definiciones anteriores no implican necesariamente condiciones normales. Puede, por ejemplo, calcularse la energía específica para una sección que forma parte de un 323 Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha movimiento gradualmente variado, siempre y cuando el flujo pueda considerarse como paralelo y aceptarse una distribución hidrostática de presiones, que son los supuestos fundamentales de la ecuación 7-1. La energía específica se interpreta gráficamente así Línea de energía ! V2 2g E y Fondo (plano de referencia) Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica Estamos considerando que la pendiente del canal es cero (horizontal), o muy pequeña. En consecuencia, es indiferente que el tirante se mida vertical o normalmente al fondo. Hemos visto en el capítulo I que en muchos casos se justifica considerar que el coeficiente de Coriolis es igual a la unidad. Entonces, E = y+ V2 2g (7-3) es la ecuación de la energía para este caso particular. Esta ecuación puede también expresarse en función del gasto Q y el área A de la sección transversal, que es una función del tirante y ( V E = y+ = Q A ). Q2 2gA2 (7-4) En esta ecuación se ve con claridad que hay tres variables involucradas: energía específica, gasto y tirante 324 Empezaremos por discutir las asíntotas de la ecuación 7-4. que si la pendiente del canal es lo suficientemente grande como para tenerse que tomar en cuenta. Q ) (7-5) Para poder discutir y analizar esta función consideraremos sucesivamente la constancia de cada una de las dos variables del segundo miembro de la ecuación 7-5. entonces no es lo mismo medir el tirante vertical o normalmente al fondo.2 Energía específica a gasto constante Discusión de la curva E − y La ecuación de la energía específica a gasto constante puede ser graficada colocando en el eje de abscisas los valores de la energía específica y en el eje de ordenadas los del tirante y . Es decir. si aceptamos que el gasto es constante y = φ (E ) (7-6) y = φ (Q ) (7-7) Pero si la energía es constante. 7. tal como se ve en el Figura 7. Así. Examinemos el mínimo de la ecuación 7-4 que corresponde a dE =0 dy 325 . Es claro que si la pendiente del canal no es cero entonces dicha asíntota no está a 45º. y=0 Es decir.2. que las dos asíntotas están constituidas por una recta a 45º ( E = y ) y por el eje de abscisas.Capítulo VII Energía específica y momenta y = φ (E . E = y+ Q2 2gA2 que evidentemente son E−y=0 . Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha E=y y Tirante V2 E = y+ 2g V22 2g y2 R IO V < Vc dE =0 dy y2 F<1 0< Q2 T 3 < 1 gA dE <1 dy Q = CONSTANTE 2 Vc 2g yc y1 y1 CRISIS V = Vc V12 2g 45º F=1 Q2 T 3 = 1 gA TORRENTE V > Vc F>1 dE <0 dy V2 E = y+ 2g E min Energía Específica E = y1 + V12 2g TORRENTE = y2 + V22 2g RIO y1 e y2 son tirantes alternos 2 ( E1 = E2 ) 2 V1 Vc > 2g 2g (flujo supercrítico) F > 1 ( y1 < yc ) V12 Vc 2 < 2g 2g (flujo subcrítico) F < 1 ( y2 > yc ) Si E < Emin no hay flujo posible del gasto Q Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante (Curva E − y ) 326 Q2 T 3 > 1 gA . que es T variable. Reemplazando este valor en la ecuación 7-8 se obtiene dE Q 2T = 1− 3 dy gA (7-10) Si esta ecuación se iguala a cero nos da el mínimo valor de la energía con que puede escurrir un gasto Q en un canal dado y que corresponde a las condiciones críticas dE Q 2T = 1− 3 = 0 dy gA 327 . Evidentemente que esta igualdad también es válida para un conducto abovedado.Capítulo VII Energía específica y momenta y a partir de la ecuación 7-4 se obtiene dE Q 2 dA = 1− 3 dy gA dy (7-8) Esta expresión es aplicable a una sección transversal cualquiera. como la que se ve en la figura Para cada valor del tirante y . T= dA dy (7-9) Siempre se cumple que la derivada del área con respecto al tirante es igual al ancho superficial. El área dy y es A A( y ) = ∫ T ( y )dy y 0 Al diferenciar esta expresión se llega a dA = Tdy Luego. Obsérvese en el cuadro “Elementos geométricos de diversas secciones” (Tabla 6. hay un valor del área A y un valor del ancho superficial T .11) que para todas las secciones se cumple la ecuación 7-9. de condición general de crisis. Q 2 A3 = g T ó Q 2T =1 gA3 (7-11) que es la condición general de flujo crítico en cualquier sección transversal. De esta última ecuación se obtiene Q= A gAT 328 . puede hacerse adimensional al dividir ambos miembros por L5 . La rama superior corresponde al régimen denominado RIO. Por lo tanto tiene dos ramas tal como se ve en la Figura 7. Hasta el momento hemos establecido que la ecuación de la energía específica tiene dos asíntotas y un mínimo. Es interesante notar que la ecuación 7-11. que separa los ríos de los torrentes. En él siempre se cumple que Q 2T >1 gA3 El régimen crítico.).2. Q2 A3 = gL5 TL5 (7-11a) siendo L una magnitud lineal característica de la sección (ancho. 7-11) Q 2T =1 gA3 La velocidad y el tirante que corresponden a la energía mínima se denominan críticos. corresponde a (ec. En él siempre se cumple que Q 2T <1 gA3 La rama inferior corresponde al régimen denominado TORRENTE. etc. diámetro.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha o bien. Luego. Ac y en lugar de T . Vc = g A T = gd c (7-12) Desde el punto de vista de la consistencia en la notación quizá sería más conveniente que en las ecuaciones 7-11.Capítulo VII Energía específica y momenta El tirante hidráulico se definió en el capítulo I como. Por comodidad se omiten los subíndices. Tc . V = g A T = gd que es la velocidad que corresponde al mínimo contenido de energía y que se denomina velocidad crítica Vc (en cualquier sección transversal). pero debe entenderse claramente que los valores de A . Q = A gd o bien. entonces la velocidad crítica sería Vc = De la ecuación 7-12. etc. 7-12 y otras se escriba en lugar de A . T y otros que corresponden al mínimo contenido de energía son necesariamente críticos. 329 . 7-12 y 7-14 son absolutamente equivalentes. Si no hubiéramos considerado que el coeficiente de Coriolis es igual a 1. como la relación entre el área de la sección transversal y el ancho superficial. se obtiene que Vc2 d c = 2g 2 (7-14) Significa esta ecuación que en un régimen crítico la energía de velocidad es igual a la mitad del tirante hidráulico (para cualquier sección). d= A T es decir. para α g d α c (7-13) = 1 . Es claro que las expresiones 7-11. Por eso se llama régimen supercrítico. El mayor de ellos corresponde a un régimen de río. El número de Froude es un indicador del tipo de flujo y describe la importancia relativa de las fuerzas gravitacionales e inerciales. uno de torrente y otro de río. Se caracteriza por que la velocidad siempre es menor que la crítica. 330 . superior a la mínima. Se caracteriza porque la velocidad siempre es mayor que la crítica. Introducción del Número de Froude Veamos como el número de Froude es útil para distinguir los tres regímenes anteriormente presentados. De acuerdo a las definiciones anteriores se comprende de inmediato que Emin = yc + Vc2 2g (7-15) Más adelante veremos que la proporción en la que se distribuye la energía mínima entre tirante y energía de velocidad depende de la forma de la sección transversal. entonces F= gd c =1 gd c (7-17) Llegándose así a la importante conclusión que en un régimen crítico el número de Froude es igual a 1. Los tirantes y1 e y2 . que corresponden a la misma energía específica se denominan alternos. pueden presentarse dos tirantes diferentes.2 que para un valor dado de la energía específica. El menor de ellos corresponde a un régimen de torrente. Por eso se llama régimen subcrítico. Su definición general es F= Si la velocidad V = gd V gAT (7-16) V de la corriente es igual a la crítica.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Se observa en la Figura 7. dE =0 dy (7-20) Condición que es precisamente de la energía mínima. 0< dE <1 dy (7-21) 331 . Por similares razones en un torrente el número de Froude es mayor que 1. Si el número de Froude es menor que 1 (régimen subcrítico) entonces. dE = 1− F 2 dy (7-19) Si el número de Froude es igual a 1 (condiciones críticas) entonces. Examinemos nuevamente la ecuación 7-10 dE Q 2T = 1− 3 dy gA Al introducir V = Q A se obtiene dE V2 = 1− A dy g T (7-18) Pero. 7-16) F= V g A T De donde. (ec.Capítulo VII Energía específica y momenta En un río la velocidad de la corriente es menor que la crítica y por lo tanto el número de Froude es menor que 1. En cambio en los ríos si es posible que un onda superficial remonte la corriente. De acá que los torrentes se caracterizan porque una onda superficial no puede remontar la corriente. Ríos y torrentes Los ríos se caracterizan por tener pequeña velocidad y gran tirante (régimen subcrítico). pero depende de la forma de la sección. En el régimen crítico la velocidad de la corriente es igual a la celeridad de la onda y ésta permanece estacionaria. c+V y V En un torrente siempre se cumple que la velocidad media de la corriente es mayor que gy (sección rectangular).2a. 332 . E En los torrentes la variación del tirante y la energía específica es de signo contrario: si aumenta el tirante disminuye la energía específica.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Propagación de una onda superficial Examinemos otra interpretación de los regímenes de corriente antes descritos Si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial ésta adquiere una celeridad c . En cambio en los torrentes la velocidad es grande y el tirante pequeño (régimen supercrítico): la mayor parte de la energía específica corresponde a energía de velocidad. V 2 2g La conclusión que obtenemos es que la relación describe el régimen de la corriente. es decir.2 y en la Figura 7. E La relación V 2 2g es fija para el régimen crítico. Esto se ve claramente en la Figura 7. una velocidad con respecto a la corriente que aproximadamente es igual a c = gy (7-22) Siendo y la profundidad de la corriente. c-V Resulta evidente que la condición para que un onda pueda remontar la corriente es que su celeridad sea mayor que la velocidad de la corriente. ( c = V ). vi) Para la energía específica mínima sólo hay un flujo posible: el crítico. en forma de resumen. iii) La curva E − y tiene dos asíntotas que son E = y . 7-12. han sido analizadas y discutidas en las páginas anteriores. dE = 0 . dE es negativo. se presenta a continuación. Se define por las ecuaciones 7-11. y = 0 . pero no en un torrente. a gasto constante) tiene dos ramas: una superior que corresponde al régimen de río y otra inferior que corresponde a los torrentes. se denominan alternos. dy ii) En un torrente. ó 7-14. En la rama inferior la velocidad de la corriente es siempre superior que la crítica (flujo supercrítico). iv) La curva E − y tiene un mínimo que corresponde al mínimo contenido de energía. vii) En la zona superior de la curva E − y la velocidad siempre es menor que la crítica (flujo subcrítico). (menor que 1). v) Para cualquier contenido de energía superior a la mínima existen dos puntos sobre la curva: uno corresponde a un río y el otro a un torrente. a gasto constante. En un torrente. pequeñas gradas de fondo que implican un cambio en la energía específica. sus principales características. viii) En un río el número de Froude es menor que 1. que se caracterizan por tener la misma energía específica.2) Aunque las características de la ecuación de la Energía Específica. por ejemplo. Esta es una propiedad importante de ríos y torrentes que será muy útil para la discusión de los perfiles de la superficie libre cuando se presente.Capítulo VII Energía específica y momenta En cambio en los ríos la variación es del mismo signo. i) La curva E − y (energía específica – tirante. mayor que 1. Los tirantes respectivos. En la crisis es 1. Propiedades de la curva de la Energía Específica (Figura 7. 333 . ix) Una onda superficial puede remontar la corriente en un río. y en un río es positivo. dy El tirante y la velocidad que corresponden al mínimo contenido de energía se denominan críticos. 2a Variación de la energía específica y el tirante Ejemplo 7. RI O ∀E En un torrente las variaciones de 45º ∀y TORR E e y son de diferente signo y ENTE de diferente orden de magnitud.Hidráulica de tuberías y canales x) Arturo Rocha En un río un aumento del tirante implica un aumento de la energía específica dE >0. Sea T el ancho superficial y V la velocidad media de la corriente. dy y En un río las variaciones de ∀y E e y son del mismo signo y del mismo orden de magnitud. Entonces. ∀E E Figura 7. x= T 2 y= V2 2g Como el problema establece que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación fundamental 7-11 Q 2 A3 = g T 334 .1 Probar que la sección de un canal en la cual el flujo es crítico puede ser expresada en la forma siguiente x2 y3 = Q2 32 g Donde “x” es la mitad del ancho superficial e “y” es la distancia de la superficie del agua a la línea de energía. Solución. dy En un torrente un aumento del tirante implica una disminución de la energía específica dE < 0. para estos casos de flujo crítico se sobreentiende que A es Ac y T es Tc .3 Sección rectangular Condiciones críticas En cualquier sección transversal en la que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación 7-11 ó la 7-12. En una sección rectangular la relación A T (tirante hidráulico) es igual al tirante. T el ancho superficial.Capítulo VII Energía específica y momenta Siendo en este caso. Luego. A el área de la sección transversal. 7. Podría haberse usado como condición de crisis la ecuación 7-12. Tal como lo señalamos antes. T = 2x A= Q = V Q 2 gy Reemplazando los valores de A3 y de T en el segundo miembro de la ecuación 7-11 se verifica la expresión propuesta. 335 . De esta ecuación se obtiene de inmediato Vc2 yc = 2g 2 (7-24) Esta última ecuación significa que en un régimen crítico en sección rectangular la energía de velocidad es igual a la mitad del tirante crítico. Vc = gyc (7-23) que es la ecuación de la velocidad crítica en una sección rectangular. ya que son equivalentes. Partamos de esta última ecuación Vc = g expresión en la que A T Vc es la velocidad crítica. 2. Vc 2 2g 1 E 3 yc 2 E 3 E Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular Se puede obtener fácilmente una expresión para el tirante crítico en función del gasto recordando que 336 . la proporción en la que se distribuye la energía. Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene 2 E 3 (7-25) Vc2 1 = E 2g 3 (7-26) yc = Esta es. Al respecto puede leerse nuevamente el comentario hecho después de presentar la ecuación 7-15.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha La energía que corresponde a las condiciones críticas es Vc2 E = yc + 2g Este valor de la energía es el mínimo en la curva E − y . en un canal rectangular. tal como se ve en la Figura 7. pues. en condiciones críticas. es decir. dE 2E = 3− dy y (7-29) Nótese que si en la ecuación 7-28 hacemos F = 1 esto significa condiciones críticas.Capítulo VII Vc = Q q = A yc Energía específica y momenta 2 o o o q2 = 0. y se obtiene E = 3 yc . 2 Lo mismo se podrá hacer en la ecuación 7-29. tal como se demostró anteriormente. el gasto por unidad de ancho. se llega a E V2 = 1+ y 2 gy Introduciendo el número de Froude F= V se obtiene gy E F2 = 1+ y 2 (7-28) Si esta expresión se combina con la ecuación 7-19. Las condiciones críticas están dadas por 337 .467q 3 yc = g 3 (7-27) Vc = gyc q es el gasto específico. se obtiene. La última expresión corresponde al sistema métrico. En general la energía específica de un canal rectangular es E = y+ V2 2g Si dividimos ambos miembros por el tirante y . 2 dy Expresión adimensional de la energía específica (Figura 7. se obtiene de inmediato a partir de 7-4 E = y+ q2 2gy 2 Dividiendo ambos miembros por el tirante crítico (7-30) yc se obtiene E y q2 = + yc yc 2 gy 2 yc Pero. obteniéndose también E = yc . en una sección rectangular yc = 3 q2 g ó lo que es lo mismo.4) La expresión que nos da la energía específica en un canal rectangular cuyo gasto específico es q . q 2 = gyc3 (7-31) E y y2 = + c2 yc y c 2 y (7-32) Reemplazando se obtiene que es la expresión adimensional de la energía específica en un canal rectangular.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 3 dE = 0 . La ecuación 7-32 puede también tomar la forma siguiente E 2 y 1 yc2 = + Emin 3 yc 3 y 2 338 (7-32a) . 5 2 3 E yc Figura 7.Capítulo VII Energía específica y momenta y yc E=y 3 yc2 y E yc = yc + 2 y 2 R IO 2 1 CRISIS TO RRE NTE yc = 2 E 3 45º 0 1 1.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular 339 . pues. El gasto máximo en un canal es el que corresponde a las condiciones críticas 3 Q = AVc = byc gyc = g byc2 340 . Por lo tanto habrá un valor del tirante que produzca el gasto máximo dq =0 dy 1 1 1 dq   − = 2 g (E − y )2 − (E − y ) 2 y  = 0 2 dy   De donde. para energía constante La ecuación de la energía específica en un canal rectangular es E = y+ q2 2gy 2 De acá podemos despejar el gasto específico q q = 2 g (E − y )y (7-33) Siendo la energía específica constante se tendrá que para cada valor del tirante y hay un valor correspondiente del gasto. el gasto es máximo cuando las condiciones son críticas. Esta es precisamente la ecuación 7-25 obtenida al examinar las condiciones críticas en un canal rectangular.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Variación del gasto con el tirante a energía específica constante El análisis hecho hasta ahora ha sido considerando gasto constante y energía específica variable en función del tirante. Luego. Vamos a examinar ahora la posibilidad mencionada en la ecuación 7-7 y = φ (Q ) . y= 2 E 3 Se obtiene así que el gasto es máximo cuando el tirante es los 2/3 de la energía específica. 6 + 0.V = 2.76 x 0. (F= 0.4 = 3.4 = 2. Ejemplo 7. La representación gráfica de la ecuación 7-33 aparece en la Figura 7.10 m3/s Como las ondas pueden remontar la corriente esto significa que el número de Froude es menor que 1 y que la velocidad media de la corriente es menor que la crítica como puede fácilmente comprobarse. Entonces.0. c . Solución.0 m/s.15).4 m/s A partir de la ecuación 7-22 obtenemos que y= c2 = 0.2 m/s y en otro caso son arrastradas por la corriente con una velocidad de 3.6 m/s y V = 0.6 . 341 .5. q= Q b 3 3  2 2 q = g  E2 3 (7-34) En el sistema métrico 3 q = 1.2 m/s. pero si la onda se produce contra la corriente su velocidad es 2. Hallar el gasto en el canal.0 m/s.4 = 1. en un canal rectangular yc = 2 E 3 Luego.Capítulo VII Energía específica y momenta Pero. c = 2. Si la onda se produce en la dirección de la corriente su velocidad es de 2.2 En un canal rectangular de 4 m de ancho se ha determinado que las ondas superficiales remontan la corriente con una velocidad de 2.69 m g El gasto es Q =AV = 2.2 c+V=3 De donde.704E 2 (7-35) Este es el gasto máximo que puede transportar un canal con un contenido de energía específica dado. Sea V la velocidad de la corriente en el canal y c la celeridad de las ondas superficiales. y) y VR2 2g RI O q dq FR Vc 2 2g < dy =0 1 3 q = 1.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha y q = 2g(E .704 E 2 (sección rectangular) yT yR yR yT = FR2 8 (1 + 1 + 2 ) 4 FR FT2 8 = (1 + 1 + 2 ) 4 FT Los subíndices R y T se refieren a río y torrente Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante 342 .704 E 2 CRISIS F=1 qmax 2 T V 2g E T 2 y 3 TO RR EN TE yc = F< 1 yR (sección rectangular) q yT q q < qmax 3 qmax = 1. 685 m/s (como esta velocidad es menor que la crítica el régimen es subcrítico). Los torrentes tienen tirantes menores que el crítico y velocidades mayores que la crítica. o usando la ecuación 7-23 Vc = gy c = 2.7009 m.7009 m puede establecerse dos tipos de escurrimiento (ríos y torrentes). Para cada uno de ellos se puede calcular el área. (régimen supercrítico). con un tirante de 1.3 En un canal rectangular el gasto específico es de 1 m3/s/m. la energía de velocidad y la energía específica.10 m). Presentar una tabla que muestre la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante (1. La velocidad crítica puede calcularse como gasto entre área. pero menores que 1. dy 343 . Conviene calcular en primer lugar el tirante crítico.47 aprox.4673 m (0.14) 2 0. Por ser una sección rectangular usamos la ecuación 7-27 yc = 3 q2 = 0.6 y Tabla 7.48 m puede haber dos escurrimientos a) Un río. Así por ejemplo. (2. Solución. (Ver Figura 7.4673 + yc 2g Vc2 2 g = 0. El número de Froude es menor que 1 y los valores de dE son positivos.14 m/s La energía mínima es 0.) g En la tabla se ha considerado cuatro tirantes mayores que el crítico y cuatro menores.50 > y > 0.46 m y una velocidad de 0. con una energía de 1. Asignaremos sucesivamente valores al tirante.7009 E (mínima) Para cualquier valor de la energía superior a 0. Los tirantes que corresponden al mismo contenido de energía específica se denominan alternos.Capítulo VII Energía específica y momenta Ejemplo 7. Los ríos tienen tirantes mayores que el crítico y velocidades menores que la crítica (régimen subcrítico).1). la velocidad media. Esta es la mínima energía con la que puede establecerse un régimen de 1 m3/s/m en un canal rectangular. 48 m. El número de Froude es mayor que 1 y los valores de dE son negativos. 344 .00 2.30 m a otro 0.6 Gráfico para el ejemplo 7.00 0.00 Vc 2g yc 0.20 m corresponden a la misma energía específica (1.4673 0. al pasar de un tirante 0.46) 0.69 0. En cambio en los torrentes al disminuir el tirante aumenta la energía específica.17 (Número de Froude) 0.50 2. Así por ejemplo.48 a 1.20 la energía específica aumenta de 0. dy Como los tirantes 1.00 1.7009 1.00 1.94 3.00 m la energía específica disminuye de 1.20) 0 0. En los ríos al disminuir el tirante disminuye la energía específica. En cambio en un río al disminuir el tirante de 1.05 m. Obsérvese que satisfacen la expresión propuesta en el ejemplo 7.20 m y una velocidad de 5 m/s (como esta velocidad es mayor que la crítica el régimen se denomina supercrítico).50 (1.46 m a 1.48 m) se dice que son tirantes alternos.4.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha y (m) E=y Tirantes alternos 2.50 E (m) 0.46 m y 0.57 TORRE NTE 45º 1.50 (0.32 3 q = 1 m /s/m 1m 0.87 m a 1. con un tirante de 0.2336 CRISIS 1.48 Figura 7.3 b) Un torrente.18 R IO yc 2 1.50 1.26 1. 1 0.75 0.524 19.69 0.99 10.5 3.898 4.867 1.1 EJEMPLO 7.745 86.4 1.50 3.60 1.30 3.67 0.13 2.28 0 0.00 5.023 1.67 0.01 98.142 0.26 -0.42 4.051 0.1 2.09 0.17 0.13 4.78 4.68 0.3 2.50 0.14 0.764 65.46 3.202 10.14 4.46 0.742 0.57 -11.10 10.476 3.567 0.99 - V = q y E = y+ V2 2g F= R I O disminuye la energía REGIMEN específica SUBCRITICO 0< CRISIS T O R R E N T E V gy dE <1 dy dE =0 dy Al disminuir el tirante aumenta la energía F <1 V2 E < 2g 3 F =1 Vc2 E = 2g 3 F >1 V2 E > 2g 3 V < VC V = VC REGIMEN específica SUPERCRÍTICO dE <0 dy V > VC dE 2E = 3− dy y y 345 1m Al disminuir el tirante c= gy Energía específica y momenta A= y REGIMEN .18 0.051 1.10 1.10 -101.16 1.3 ( q = 1 m3/s/m) y V V2 2g E F dE dy V2 2g × 100 E c c +V c −V 1.32 0.20 5.00 1.9 3.523 0.319 0.971 1.94 -2.00 0.484 0.40 2.6 3.48 - 0.40 6.276 1.588 44.13 0.102 5.4 1.00 1.7009 1.968 1.04 - 0.2336 0.98 4.71 5.4673 2.50 0.Capítulo VII TABLA 7.00 0 33.719 1.40 - 0.33 0.024 1.83 4.4 1. la celeridad de una pequeña onda superficial.1 se muestra para el rango de valores solicitado.1027 1.20 ) (1.46 m (pues ambos corresponden a la misma energía específica).3 hay 2 tirantes alternos.46 ) = 0. y1 + yc3 y c3 = + y 2 2 y12 2 y 22 Efectuando las operaciones indicadas se llega fácilmente a 2 y12 y 22 = yc3 y1 + y 2 En el ejemplo 7.4 Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y2 y el tirante crítico yc la siguiente relación 2 y12 y 22 = yc3 y1 + y 2 Solución. Por ser y1 e y2 tirantes alternos corresponden a flujos que tienen la misma energía específica y1 + V12 V2 = y2 + 2 2g 2g Introduciendo el gasto específico q (gasto por unidad de ancho) se obtiene y1 + q2 q2 = y2 + 2 2 gy1 2 gy 22 Pero en un canal rectangular yc = 3 q2 g Luego. la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante. En la Tabla 7. 0. 346 .66 2 2 que es prácticamente igual al cubo del tirante crítico. Ejemplo 7.20 m y 1. A modo de comprobación 2(0.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Para ilustrar la diferencia entre ríos y torrentes se ha calculado para cada tirante. Capítulo VII Energía específica y momenta 7. De acá se obtiene Vc2 yc = 2g 3 (7-37) 347 .4 Sección parabólica T A yc En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o la 7-12 que es su equivalente) Vc = g A T Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3 del área del rectángulo circunscrito A= 2 y cT 3 reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se obtiene Vc = 2 gyc 3 Vc = 2 gyc 3 (7-36) o bien. que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal parabólico. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Esta ecuación puede compararse con la ecuación 7-24. Combinando la ecuación 7-37 con la definición de energía específica en condiciones críticas se obtiene 3 E 4 (7-38) Vc2 1 = E 2g 4 (7-39) yc = Vc 2 2g 1 E 4 3 E 4 yc E Figura 7. Su expresión para un canal parabólico es Q= 2 2 y cT gyc 3 3 Vc A 3 1 3  2 2 Q =   g 2 T yc2  3 Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial se tiene q= 348 Q T (7-40) .7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico En la Figura 7. en condiciones críticas.7 se ve la distribución de la energía específica en un canal parabólico. El gasto máximo que puede escurrir con una energía dada es el que corresponde a las condiciones críticas. La expresión general para las condiciones críticas viene dada por la ecuación 7-11 y Q 2 A3 = g T T ( T . yc ) 2 Por ser una parábola el área es A= x 2 = 2 py yc 2 ycT 3 Por condición de parábola x 2 (T 2 ) T2 = = 2y 2 yc 8 yc 2 p= x 349 . en el sistema métrico 2 (7-42) yc = 0.5 Demostrar que el tirante crítico en una sección parabólica es 1 1 1  27  4  1  4 Q 2 y c =     1  64   p  g 4 (7-44) Considerar que la ecuación de la parábola es x 2 = 2 py Solución.1067 E 3 2 (7-43) Ejemplo 7.Capítulo VII Energía específica y momenta 3 1 3  2 2 q =   g 2 yc2  3 (7-41) De donde.7039 E  4  q = 1.701 q 3 El gasto máximo con energía específica constante es el que corresponde a las condiciones críticas 3  3 2 q = 1. 7-44) 1 1 1  27  4  1  4 Q 2 y c =     1  64   p  g 4 que es la expresión propuesta. T = 8 py c A= 2 y c 8 py c 3 Reemplazando en la ecuación general de crisis se obtiene (ec. Vc = g A T En el triángulo el área es A= 1 y cT 2 Reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se obtiene 350 . 7.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha De donde.5 Sección triangular. T A yc 1 z En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o la 7-12 que es su equivalente). Capítulo VII Energía específica y momenta Vc = 1 gyc 2 (7-45) o bien. Vc 2 2g 1 E 5 yc 4 E 5 E Figura 7. De acá se obtiene Vc2 yc = 2g 4 (7-46) ecuación que puede compararse con la 7-24 y la 7-37.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular 351 . Vc = 1 gyc 2 que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal triangular.8. Combinando la ecuación 7-46 con la definición de energía específica en condiciones críticas se obtiene yc = 4 E 5 (7-47) Vc2 1 = E 2g 5 (7-48) ecuaciones que muestran la proporción en la que se distribuye la energía específica en condiciones críticas en un canal triangular tal como se ve en la Figura 7. sólo a título ilustrativo.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo. otro método para obtener las condiciones críticas en un canal triangular. 4 (7-52) siendo z el talud. Q = AV = 1 1 y cT gyc 2 2 3 1 3  1 2 Q =   g 2 T yc2  2 Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial 3 1 (7-49) q =Q T 3  1 2 q =   g 2 yc2  2 de donde. La energía específica es E = y+ De donde. 352 V2 2g . 2 (7-51) yc = 0. Como ilustración podríamos señalar que en un canal triangular de 90º ( z = 1) el tirante crítico en el sistema métrico es yc = 0. 4 Veamos. en el sistema métrico q = 0. 2  2  Q yc =     g  z  0.7277 Q 0 .9346 q 3 Se demuestra fácilmente que en un canal triangular en condiciones críticas el tirante es 0.7920 E 3 2 (7-50) o bien. como las fórmulas genéricas están dadas. Sin embargo. Su área es A = zy 2 Luego. Luego dQ =0 dy De acá se obtiene inmediatamente yc = 4 E 5 verificando así la ecuación obtenida anteriormente y comprobando una vez más que las condiciones críticas implican energía mínima para gasto constante y gasto máximo para energía constante. Nota.6 Sección trapecial T yc 1 z A b 353 .8 m/s2.Capítulo VII Energía específica y momenta V = 2 g (E − y ) Designemos por z el talud de la sección triangular. es posible utilizarlas en cualquier sistema de unidades. restringiendo así su uso al sistema métrico. Debe. Q = AV = zy 2 2 g (E − y ) Para las condiciones críticas el gasto es máximo. 7. sin embargo. observarse en que casos se ha reemplazado previamente el citado valor de la gravedad. En muchos casos en los que aparece la aceleración de la gravedad se ha reemplazado ésta por su valor 9. 7-12) Vc = g A T En una sección trapecial se tiene.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha En cualquier sección transversal en régimen crítico debe cumplirse que (ec. las siguientes expresiones A = (b + zy )y T = b + 2 zy que al reemplazarse en la ecuación de la velocidad crítica dan Vc = g (b + zyc )yc b + 2 zyc (7-53) o bien. por consideraciones geométricas. Para resolver cualquiera de ellas se debe 354 . Si hubiéramos partido de la ecuación 7-11 Q 2 A3 = g T se tendría que las condiciones críticas en un canal trapecial están dadas por (b + zyc )3 yc3 b + 2 zyc = Q2 g (7-54) Las ecuaciones 7-53 y 7-54 son equivalentes. Vc = b + zyc b + 2 zyc gyc Como el primer radical siempre es menor que 1 se tiene que en un canal trapecial la velocidad crítica es menor que la que tendría un canal rectangular del mismo tirante. Esta es la expresión general de la velocidad crítica en un canal trapecial. Obsérvese que si b = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección triangular y si z = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección rectangular. 355 . entonces se debe suponer valores para el tirante hasta encontrar uno que satisfaga la ecuación 7-53 (ó la 7-54). (Se observa que es función del talud). Si el ancho en la base b y el talud z son datos. Se puede también obtener otra expresión para las condiciones críticas si expresamos el área del trapecio de la siguiente manera A= b +T yc 2 valor que reemplazado en la ecuación 7-12 da Vc = g b+T yc 2T (7-55) De donde. Vc2 b + T E = 2 g 5T + b (7-56) 4T E 5T + b (7-57) yc = Obsérvese que siempre se cumple 2 4T 4 E< E E< 3 5T + b 5 yc : (Rectángulo) (Trapecio) (Triángulo) 2 Vc 2g b+T E 5T + b yc 4T E 5T + b E Esta figura muestra la proporción en la que se distribuye la energía en un canal trapecial en condiciones críticas.Capítulo VII Energía específica y momenta recurrir a tanteos. Si z no es cero se puede resolver la ecuación 7-59 llegando a yc = 4 zE − 3b + 16 z 2 E 2 + 16 zEb + 9b 2 10 z (7-60) Abaco de Ven Te Chow Ven Te Chow en su libro “Open-channel Hydraulics” presenta un gráfico (Figura 7. La energía específica es E = y+ V2 2g La velocidad es V = 2 g (E − y ) El gasto es Q = (b + zy )y 2 g (E − y ) (7-58) La condición crítica corresponde a gasto máximo (siendo constante la energía) dQ =0 dy Luego de derivar la ecuación 7-58 e igualar a cero y operar se obtiene 5 zyc2 + (3b − 4 zE )yc − 2bE = 0 (7-59) que es una expresión general para las condiciones críticas en un canal trapecial. Ven Te Chow introduce una variable auxiliar Z que es 356 . Si se desea un cálculo más preciso puede usarse para obtener un valor aproximado y luego proseguir con la ecuación 7-53 ó 7-54. Si en esta expresión hacemos b = 0 se obtiene las condiciones críticas para un canal triangular y si hacemos z = 0 se obtienen las condiciones críticas para un canal rectangular. Para el cálculo.9) que permite el cálculo rápido del tirante crítico.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Veamos a título ilustrativo una expresión para el tirante crítico en un canal trapecial obtenida a partir de la consideración de que en condiciones críticas el gasto es máximo. La precisión es la que corresponde a un método gráfico. 5 y + 3 y c2 ) = 10.5 b z . otros valores 357 .2T Luego. que T g A3 = 10. A = (b + zy c )y c = (0.5 z yc yc b b Ejemplo 7. (Figura 7. El talud es 3. a modo de comprobación y análisis.10 m.5 + 3 y c )y c T = 0. Solución.5 + 6 yc (0.50 m. Luego se puede calcular.098 ≈ 1.Capítulo VII Energía específica y momenta Z= Se entra al gráfico con el valor de Q g (7-61) Z y y se obtiene el valor de c para cada valor del talud b 2.9).2(0. Z b 2. luego de reemplazar el gasto. Si partimos de la expresión general A3 Q 2 = se tiene.6 Hallar el tirante crítico para un canal de 10 m3/s en un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 0.5 + 6 y c ) 3 c Para resolver esta ecuación procedemos por tanteos (o cualquier otro método numérico) obteniéndo el valor del tirante crítico yc = 1. 1 0.01 Arturo Rocha Z 3 .6 cir c r ula 0.04 0.1 2 3 4 5 67 9 1 (Secciones circulares) Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow) 2 3 4 5 67 9 10 0.001 0.3 0.0 z = 2.06 D y 0.08 0.5 0.5 4 5 67 9 0.01 (Secciones trapeciales) 2.03 0.0 b 2 1.0 (re 0.0001 3 4 5 67 9 0.0 z = 4.01 2 D 2.b 0.02 2 0.0 0.8 0.001 2 3 4 5 67 9 0.5 = 1 z = 1 0 z z= = z y 1 z 4 3 z = 2.2 yc Hidráulica de tuberías y canales 358 Z b ó yc D 0.5 .1 1 10 100 10 8 6 r) ula ng a t c .4 0.5 z = 3. 7-48 y 7-60.8) y casi igual a este último. (Figura 7.29 m 21 % E 1.59 = 2.59 m T Vc = 9.18 m2 Vc = 2. También hubiéramos podido hacer el cálculo a partir del gráfico de Ven Te Chow.19 Z = 18 b 2.9).8 × 0.10 m g De donde.39 m/s E = yc + Vc2 = 1. pues la figura es casi triangular.5 yc = 2.39 m 2g Vc2 = 0.40 m/s Se aprecia que y c = 0.39 m 3 0.29 m 2g Obsérvese que también se cumple que Vc = gd c dc = A = 0. Z= Q = 3. Entonces.Capítulo VII Energía específica y momenta A = 4.2 b yc = 1. Línea de energía 1 0.79 E valor intermedio entre el rectángulo (2/3) y el triángulo (0. A modo de comprobación se puede verificar que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 7-47.50 m 359 .10 m 79 % E E = 1. 467q 2 3 0.854  E  5T + b  3 2 T T Q T yc yc x 2 = 2 py yc 1 z yc 1 z b Arturo Rocha T q= 0.792 E T 3  b + T  2 32 8.701q 2 3 0.467  1 4 0.704 E 3 2 1.935q 1 Vc2 2g VELOCIDAD CRITICA Vc GASTO MAXIMO qmax 2T 3 q b +T 2  Q 5 0.456  Q 2  p 1 ENERGIA DE VELOCIDAD 2 2 3 .2 SECCIONES CRITICAS ( E = yc + Vc2 ) 2g (Sistema métrico) TIRANTE CRITICO yc RECTANGULO PARABOLA TRIANGULO TRAPECIO 2 E 3 3 E 4 4 E 5 4T E 5T + b 0.816 gyc 0.107 E 3 2 0.Hidráulica de tuberías y canales 360 TABLA 7.707 gyc T +b gyc 2T 1.728  z 4 zE − 3b + 16 z 2 E 2 + 16 zEb + 9b 2 10 z 1 E 3 1 E 4 1 E 5 T +b E 5T + b gyc 0. 7 Sección circular y otras secciones Como en cualquier sección transversal las condiciones críticas vienen dadas por la ec. Reemplazando en la ecuación 7-11 se obtiene θ r 5 (θ − sen θ ) θ Q 2 r 6 (θ − sen θ ) sen = sen = 8 r (1 − cosθ ) 2 8 (1 − cosθ ) 2 g 3 Haciendo r = 3 D 2 2 5 Q D = 8 g 2 (θ − sen θ )3  sen θ  2  (1 − cosθ ) (7-63) Esta ecuación puede compararse con la ec. Consideremos la primera de ellas D Q 2 A3 = g T yc En una sección circular el área es (ec.Capítulo VII Energía específica y momenta 7.11. 7-11a Teniendo en cuenta consideraciones trigonométricas se puede sustituir 361 . 7-11 ó 7-12. 6-37) # A= r2 (θ − sen θ ) 2 Teniendo en cuenta las ecuaciones 6-43 y 7-9 se obtiene dA r (1 − cosθ ) = θ dy sen 2 T= (7-62) Esta última expresión es equivalente a la que aparece en la Tabla 6. 362 .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 1 − cos θ θ = 2 sen θ 2 sen 2 (7-64) Luego.10 permite resolver rápidamente la ecuación 7-65. 3 Q= g (θ − sen θ )2 24 θ  2  sen  2  5 (7-65) D2 1 2 En el sistema métrico 3 (θ − sen θ )2 Q = 0. Dada una tubería de diámetro D se puede calcular para cada valor del gasto el correspondiente ángulo θ que da condiciones críticas. El tirante crítico es yc = D θ 1 − cos  2 2 (7-67) La ecuación 7-65 expresa que para las condiciones críticas existe una función Q D 5 2 = φ (θ ) (7-68) El gráfico de la Figura 7. la que hidráulicamente es un canal. Este gráfico da también las condiciones críticas para otros conductos abovedados.9) puede también emplearse. El gráfico de Ven Te Chow (Figura 7.1383 θ   sen  2  1 2 D 5 2 (7-66) Esta última expresión es la que da las condiciones críticas en una tubería circular parcialmente llena. 10 0.20 0.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas Q D 5/2 Energía específica y momenta 0.10 0.3 Capítulo VII 2 1 4 D/2 D D D D/2 y y D y yc y D/2 D 4 1.00 0.20 0 1 2 3 363 Figura 7.30 .50 5 6 4 1.25 0 4 0.75 2 0.30 4 5 6 0.50 1 3 2 0.25 3 1 1. 64 .81 m A partir de la ecuación 7-67 encontramos el ángulo en el centro correspondiente yc = D θ 1 − cos  2 2 0.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Ejemplo 7. el diámetro es de 1 m.93 m/s A 0.44 m 2g La velocidad crítica es Vc = Q 2 = = 2.25 (4.64 o o o yc = 0.81 θ = 1 − cos 0.9729) 2 2 A = 0.44 = 1.6815 La energía mínima es E = 0. Siempre es aplicable el método de tanteos (o cualquier otro método numérico) en secciones para las que no exista gráficos especialmente preparados.80 m Podría también resolverse este problema sin ninguno de los dos gráficos mencionados.4791 rad El área es A= r2 (θ − senθ ) = 0.81.6815 D2 o o o A = 0.81 + 0.7 En un conducto circular el gasto es de 2 m3/s.25 m Hay también la posibilidad de usar el ábaco de Ven Te Chow Z= Q g = 0.4791 + 0. Z D 5 2 = 0. 364 .7 y = 0.5 2 θ = 256º 38’ θ = 4.10 Q D =2 5 2 o o o yc = 0.6815 m2 o o o Vc2 = 0. D A = 0. Calcular a) b) c) d) tirante crítico velocidad crítica energía mínima ángulo en el centro Solución.6815 m2 Podría haberse obtenido el mismo resultado a partir de la Tabla 6. Vamos a usar la Figura 7. Vc = g A T 2 1 R3S 2 V= n Igualando ambas expresiones se obtiene 365 . 7-12) con una ecuación de la velocidad normal. Pequeñas variaciones de la energía específica dan lugar a perturbaciones e inestabilidades en el escurrimiento. pues obligan a un borde libre mayor. (Manning. En condiciones críticas el tirante normal es igual al tirante crítico. Chezy. dar servicio a lo largo del canal. Se produce oleaje y “pequeños saltos imperfectos”. por José Gandolfo. Cuando la pendiente es crítica la superficie libre es ondulada e inestable.05 yc + c  2g  2Tc    (7-69) Cambiando la notación se podría escribir d   E ≥ 1. cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puede conseguir velocidades altas y acercarse o igualar las condiciones críticas. quien recomienda que una condición de diseño sea   A  V2   y +  ≥ 1.8 Flujo crítico normal.05 yc + c  2  (7-70) La pendiente crítica se calcula igualando la velocidad crítica (ec. Pendiente crítica Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de las condiciones críticas. Lo que si debe evitarse es el régimen crítico. En principio no hay inconveniente. Este problema ha sido estudiado. por ejemplo. Las dificultades se originan en la necesidad de mantener el revestimiento y. Pero. Estas oscilaciones de la superficie libre no son recomendables. etc). La pendiente correspondiente se llama pendiente crítica. entre otros.Capítulo VII Energía específica y momenta 7. desde el punto de vista puramente hidráulico. en tener un régimen supercrítico. La rugosidad es de 0. la que debe ser igual a la crítica para cumplir la condición del problema de tener a la vez un tirante que sea crítico y sea normal. f = g C2 8g 8g 2 . P = T .8 En un canal rectangular de 1. 7-72 queda reducida a Sc = pero. la ecuación de Chezy. entonces la ec. de donde. siendo f el coeficiente de fricción de Darcy. su velocidad se puede calcular por la fórmula de Manning. Luego. 7-19) Como el flujo debe ser normal. por ejemplo.018 (Kutter). entonces la pendiente crítica sería Sc = g P C2 T (7-72) En un canal muy ancho se puede considerar sin mayor error que el perímetro es igual al ancho superficial.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 2 1 R 3 Sc2 = gAT n de donde. Si hubiéramos empleado.80 m de ancho fluye un gasto de 5 m3/s. C = . Como las condiciones deben ser críticas la velocidad es Vc = gy c (ec. ¿Cuál debe ser la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal? Solución. si se usa la fórmula de Manning. Sc = g A n2 T 43 R (7-71) que es la ecuación de la pendiente crítica. 2 f C Sc = f 8 (7-73) Ejemplo 7. 366 . 46) 4 3 = 0.Capítulo VII Energía específica y momenta 2 1 R3S 2 = gy c n De donde.9 En un canal de concreto frotachado el gasto es de 3.92 m g El radio hidráulico correspondiente es 0. Calcular: a) el tirante crítico y la energía específica correspondiente. La sección transversal es la mostrada en la figura.92(0. 7-27 yc = 3 q2 = 0. Ejemplo 7.86 m3/s. a) La condición general de crisis es A= A3 Q 2 = = 1. Reemplazando valores se obtiene Sc = gy c n 2 R 4 3 9.0082 S c = 0.0082. con una pendiente de 0. Lo que significa que en este canal se establece.018) 2 = (0. Si este canal tuviera una pendiente mayor que 0. cuyo tirante es igual al tirante crítico. y6 y5 A3 = c = c T 8 yc 8 367 . Es la que separa los ríos de los torrentes. un movimiento uniforme.5204 T g 1 1 y cT = y c2 2 2 T = yc De donde. b) la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal.8 × 0. T A yc 45º Solución.0082 se establecería un flujo torrencial (supercrítico). El tirante crítico es según la ec.46 m.0082 Esta pendiente se denomina pendiente crítica. 5204 8 yc = 1.9835 m R= A 1.41 = 2.41 m 2g E = 1.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha yc5 = 1.412 ≈ 0.0076 368 2 3 .015 (0.648 ≈ 1.358 V2 = 0.06 m 4 E 5 E 5 (por ser sección triangular) Podría emplearse la ecuación 7-52.65 + 0.2 0.5  siendo.2  2  Q y c =     g  z 0.9835  12   Sc    0.4  3.86 = = 2.648 ≈ 1.5 2 2 S es Sc cuando la velocidad correspondiente es la crítica 2 1 R 3 S c2 Vc = V = n P = y c + y c 2 = 3. Sc = 0.84 = Obteniéndose finalmente.65 m o o o Vc = Q 3.3417) Vc = 2.86    = 1.4 2 =   g 0. 0.3417 m P 3.65 m  0.84 m/s A 1. z= b) z1 + z 2 0 + 1 = = 0.3613 = = 0. 9 Pendiente crítica mínima (Pendiente límite. para determinada sección. igualar a cero y resolver se obtiene b = 6 yc (7-75) P = 8 yc (7-76) de donde. Si bien es cierto que el concepto de pendiente crítica mínima no parece tener mayor interés práctico se presenta acá como una contribución al esclarecimiento teórico. R= b 3 = yc 8 4 (7-77) que son las ecuaciones para el cálculo de la sección transversal correspondiente a la pendiente límite SL . 7-71) A n2 Sc = g T 43 R Para un canal rectangular es Sc = gn 2 4 4 (b + 2 yc )3 = 1 b3 yc3 La pendiente crítica mínima se obtiene a partir de (7-74) dS c =0 dyc Al derivar la ecuación 7-74 con respecto a y . De todas las pendientes críticas posibles hay. Se le llama pendiente límite ( S L ). Introduciendo la ecuación 7-75 en la 7-74 se llega a SL = 8 gn 2 3 13 b (7-78) 369 . S L ) En un canal de geometría dada se puede establecer para cada gasto la pendiente crítica correspondiente. una que es la mínima. En general la pendiente crítica es (ec.Capítulo VII Energía específica y momenta 7. Examinemos en primer lugar un canal rectangular. se obtiene después de algunas simplificaciones A= T2 4T dP dT −3 P dy dy (7-82) que es la expresión general del área en un canal trapecial con pendiente crítica mínima. 7-71) 4 S c = gn 2 P3 1 A 3T La pendiente límite se obtiene a partir de dS c = 0 . La expresión general de la pendiente crítica es (ec. 370 . Si en esta última expresión se hace z = 0 se obtiene A = 6 yc2 que es lo correcto para un canal rectangular. 3-2).Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy. entonces SL = 4g 3C 2 (7-79) si ahora introducimos el coeficiente de Darcy (ec. derivando e igualando a cero. f = SL = 8 g se llega a C2 f 6 (7-80) El gasto que corresponde a la pendiente límite es Q=6 gy 5 2 c (7-81) Examinemos ahora una sección trapecial. teniendo en cuenta que dyc P = b + 2 1 + z 2 yc A = (b + zyc )yc T = b + 2 zyc Reemplazando. 10 Transiciones Como una aplicación del concepto de energía específica vamos a estudiar el perfil de la superficie libre en un canal en el que hay un cambio en la sección transversal. yc = yc = (ec. según que el fondo ascienda o descienda. Este cambio puede originarse en una pequeña grada de fondo. 7-78) gn 2 1 = 0.98 m/s V= n 1 R6 = 58.014.10 Para un canal rectangular de 2.0038 b3 Luego. cuyo coeficiente de rugosidad de Kutter es 0. 7-81) q2 g b = 0. calcular la pendiente límite así como las características del escurrimiento para estas condiciones.0229 C2 0.98 m/s Como verificación calculamos la velocidad media (condiciones normales) 2 1 R3S 2 = 1. Solución.4 m1/2/s C= n f = SL = 8g = 0.4 m de ancho.0229 = 0. Las transiciones se originan también por un cambio en el ancho del canal y se llaman contracciones si el ancho disminuye y expansiones si aumenta. positiva o negativa.67 (ec.792 m3/s/m o o o Q = 1.Capítulo VII Energía específica y momenta Ejemplo 7.9 m3/s Vc = gy c = 1.0038 6 7.40 m 6 q = gy c3 = 0. es decir la menor pendiente crítica posible es S L = 2. Para el estudio del perfil de la superficie libre en una transición suponemos que la pérdida de carga es 371 . La pendiente límite SL. 13 y 7. es el que corresponde a un flujo crítico sobre ella.14 los perfiles. V1 A1 = V2 A2 = Q Si no existiera una grada de fondo.15) Curva E − y para diferentes caudales Obsérvese en la Figura 7. esquemáticos. Por el contrario. de la superficie libre en varios casos.12. Es evidente que para el caso particular de un canal rectangular la recta que une el origen con los vértices de las curvas tiene una pendiente igual a 2/3 (cada vértice corresponde a la condición crítica del respectivo caudal). sin alterar la línea de energía. 372 . La grada positiva significa una disminución de la energía específica y la grada negativa un aumento. a gasto constante. El valor máximo que puede tener una grada positiva.16 como es que para diferentes valores del gasto se obtiene una familia de curvas E − y . En consecuencia cualquiera que sea la transición se tendrá que entre dos secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es y1 + siendo V2 V12 = y2 + 2 + a 2g 2g (7-83) a la altura de una grada (positiva o negativa). una disminución de la energía específica significa una disminución del tirante en los ríos y un aumento del tirante en los torrentes. 7.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha despreciable. 7. La conclusión general es que.11. Si el ancho es constante y el cambio de la superficie libre se origina en una grada se observa en las Figuras 7. (Figura 7. un aumento de la energía específica significa un aumento del tirante en los ríos y una disminución en los torrentes. En ambas secciones debe cumplirse la ecuación de continuidad. entonces a = 0 . Capítulo VII Energía específica y momenta V12 2g Línea de energía y 2 V2 2g E1 E2 y1 q y1 y2 yc y2 a 45º E2 E a E1 Río (subcrítico. a gasto constante. 1 2 E2 y2 + Del gráfico de la energía específica V2 2g y 2> y 1 Figura 7.12 Grada negativa en un río 373 .11 Grada positiva en un río Línea de energía V22 2g q y2 y 2 V1 2g E1 y1 yc E2 a y2 y1 45º E1 a E E2 Río (subcrítico. Del gráfico de la energía específica V1 2g En un río una disminución de la E1 = E 2+ a energía específica. V <Vc ) y1 > y c E 1 (Energía específica antes de la grada) y1 + 2 Ecuación de la energía (1-2) Luego. 1 y2 < y 1 Figura 7. E 2> E En un río un aumento de la energía específica. E 2< E implica una disminución del tirante. implica un aumento del tirante.a Luego. a gasto constante. V <Vc ) y1 > y c E 1 (Energía específica antes de la grada) y1 + Ecuación de la energía (1-2) V12 2g E 1= E 2. implica un aumento del tirante. y2 < y 1 Figura 7.13 Grada positiva en un torrente y Línea de energía 2 V1 2g E1 y1 V22 2g E2 yc q y1 y2 y2 a 45º E1 a E2 Torrente (supercrítico. V >Vc ) y1 < yc E 1 (Energía específica antes de la grada) Ecuación de la energía (1-2) V12 y1 + 2 g En un torrente una disminución de la energía específica. E1 = E2 + a Luego.a E 2> E 1 Del gráfico de la energía específica En un torrente un aumento de la energía específica.14 Grada negativa en un torrente 374 E . implica una disminución del tirante. a gasto constante. V1 2g E 1= E 2 . a gasto constante. E2< E 1 Del gráfico de la energía específica y2 > y 1 Figura 7.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Línea de energía y V22 2g V12 2g E2 E1 yc y2 q y1 y1 y2 45º a E2 a E E1 Torrente (supercrítico. V >Vc ) y1 < y c E 1 (Energía específica antes de la grada) y1 + 2 Ecuación de la energía (1-2) Luego. 15 Valor máximo de la grada positiva y E=y q1 < q2 < q3 Emin (3) pendiente = 2/3 (canal rectangular) Emin (2) Emin (1) q3 q2 q1 45º 3 2 1 E=y+ V2 2g Figura 7.16 Curva Energía Específica . sin alterar las condiciones aguas arriba. Figura 7.Tirante para diferentes caudales 375 . la energía específica C E = E min+ a max 2 sobre la grada debe ser mínima E min= y c + Vc 2g El máximo valor de la grada. corresponde a condiciones críticas (energía mínima).Capítulo VII Energía específica y momenta Línea de energía y V2 2g RI O 2 E V1 2g y2 Vc 2 2g ENTE TORR RI O 2 E min yc q y1 a max TORRENTE 45º E min a max E E Si a es máximo. 45 + 2 + 0.35 Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene Q = 13.22 m/s.2 V2 = Q Q = 3 y 2 7. ¿Cuál sería en este caso la depresión de la superficie libre?.80 m 2. Aguas arriba la profundidad de la corriente es 2.10 m 1.80 m 3 = 13 .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Ejemplo 7.10 m. 376 V2 = 1.0 m q1 = 3.06 m 0. Calcular el caudal. V12 = 0.08 m 0.06 m 1 45º 1. Calcular también cual es el máximo valor que podría tener la grada para que circule el mismo gasto sin alterar la línea de energía.80 + V12 V2 = 2.45 m Q yc 2.63 m 2.08 m.88 m Aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 que corresponden a los anchos de 4 y 3 m. Solución.25 m (grada positiva).11 En un canal rectangular el ancho se reduce de 4 a 3 m y el fondo se levanta 0. 2g V22 = 0.59 m 0.28 m 1. 4. respectivamente 2.25 2g 2g Por continuidad.88 m 2. En la zona contraída la superficie libre desciende 0.18 m 2g .55 m3/s/m y Línea de energía 0.25 m E 2.41 m3/s/m q2 = 4.64 m /s yc = 1.06 m 2 = 1.0 m 3.80 m.64 m3/s Efectuando las operaciones indicadas se tiene que V1 = 1. dibujar el perfil de la superficie libre y el gráfico de la energía específica.53 m 2. V1 = Q Q Q = = A1 4 y1 11.86 m/s. 88 = 1.92 m.28 m 2 y c = 1. 1 F2 = 0.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energía específica Si al extremo de un canal se produce una caída como la mostrada en la Figura 7. E1 = y1 + V12 = 2.17. sobre el plano de la grada hay un movimiento rápidamente variado.06 m . o sea. (lo que ocurre teóricamente sobre el plano de la grada y corresponde a condiciones críticas). Ello se debe a que sobre el plano de la grada el movimiento es rápidamente variado y por lo tanto no es aceptable la suposición de una distribución hidrostática de presiones. Sobre la grada la energía es mínima. Como el tirante crítico es 3 1. Obsérvese que el gasto específico q cambia al pasar a la zona contraída.88 m 2g E2 = y2 + V22 = 2. Sobre la grada el tirante no puede ser menor que el crítico pues esto implicaría un aumento de energía. y por último.96 m La depresión de la superficie libre es 0.92 + a max a max = 0. La ecuación de la energía 2 es E1 = E min + a max 2. En una sección cualquiera ubicada aguas arriba la energía es E . 1. hay un cambio de régimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento gradualmente variado. 377 . pero el tirante que hay sobre ella no es el tirante crítico que se obtendría al aplicar las ecuaciones hasta ahora establecidas.23 .56 m 7.Capítulo VII Energía específica y momenta De donde.38 .63 m 2g Como referencia se puede calcular los números de Froude y los tirantes críticos F1 = 0. Al desplazarnos hacia la caída la energía específica va disminuyendo hasta llegar a Emin . El máximo valor a de la grada corresponde a condiciones críticas sobre ella. y c = 1.28 m y la sección es rectangular la energía específica es y c . 17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la Energía Específica 7. 2 1 Q P1 y1 Wsen# y2 P2 Ff L Figura 7. Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley del movimiento de Newton) entre las secciones 1 y 2 se obtiene ρ Q (β 2V2 − β1V1 ) = P1 − P2 + Wsenθ − F f 378 (7-84) .18 Gráfica para la deducción de la ecuación de la Fuerza Específica. y ENERGIA MINIMA yc E E min ∃% 3.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Rouse. calculado con las fórmulas usuales. aproximadamente. tal como se ve en la Figura 7. la superficie libre y el fondo del canal.12 Fuerza Específica (Momenta) La segunda Ley del movimiento de Newton dice que el cambio de la cantidad de movimiento por unidad de tiempo es igual a la resultante de las fuerzas exteriores. se ubica a una distancia de 3 yc a 4 y c . determinó que para canales de pequeña pendiente la profundidad crítica es 1.4 veces el tirante sobre la grada. Consideremos un canal con un flujo permanente cualquiera y un volumen de control limitado por dos secciones transversales 1 y 2. El tirante crítico.5y c Figura 7. aguas arriba de la grada.18. P fuerza hidrostática. En consecuencia. En la ecuación de la cantidad de movimiento están involucradas las fuerzas exteriores. Entonces la ecuación 7-84 se reduce a ρ Q(V2 − V1 ) = P1 − P2 La fuerza hidrostática P es γ yA . expresión en la que: En la ecuación 7-84 se ha considerado una distribución hidrostática de presiones lo que es válido para el movimiento uniforme y aproximadamente válido en el movimiento gradualmente variado. L longitud. ‘’ y ’’ tirante. F f fuerza debida a la fricción. W peso. V velocidad media. Cada uno de los dos términos de la ecuación de la Fuerza Específica es dimensionalmente una fuerza por unidad de peso de agua. Introduciendo este valor de la fuerza hidrostática en la ecuación 7-85 y haciendo algunos reemplazos se llega a Q2 Q2 + y1 A1 = + y 2 A2 gA1 gA2 (7-86) Como los dos miembros son análogos se puede escribir Q2 + y A = constante = Fuerza Específica = Momenta gA (7-87) que es la ecuación de la Fuerza Específica o Momenta. las secciones 1 y 2 deben escogerse de tal manera que en cada una de ellas sea aplicable la ley hidrostática. en tanto que en la ecuación de la energía se expresa la disipación de energía interna. siendo (7-85) y la profundidad del centro de gravedad. Analicemos la ecuación de la cantidad de movimiento para un canal horizontal en el que el volumen de control tenga peso y fricción despreciables y en el que β1 = β 2 = 1 . W sen θ componente del peso en la dirección del escurrimiento.Capítulo VII Energía específica y momenta ρ densidad del fluido. θ ángulo que corresponde a la pendiente del canal. 379 . β coeficiente de Boussinesq. Q gasto. Obsérvese que la ecuación 7-84 es diferente a la ecuación de la energía. luego de un desarrollo matemático. E.19 Fuerza Específica Se observa que para una Fuerza Específica dada hay dos tirantes posibles y1 e y2 . y A es la fuerza hidrostática por unidad de peso. E.) Q 2 dA d (y A) =− 2 + =0 dy gA dy dy De donde. En el mismo gráfico se aprecia que la Fuerza Específica tiene un mínimo d (F . Fuerza específica (Momenta) Figura 7.) El gráfico de la Fuerza Específica es ec. A la suma de ambos términos se le llama Fuerza Específica o Momenta (F. por unidad de tiempo y gA por unidad de peso. Los tirantes que corresponden a la misma Fuerza Específica se denominan conjugados. se obtiene que 380 .E.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Q2 es la cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección. 7-87 y Tirante F. mínima O RI y2 yc TORRENTE y1 M F. E. ó M. Efectuando estos reemplazos en la ecuación 7-86 y operando se llega luego de algunas simplificaciones a q2 1 = y1 y2 ( y1 + y2 ) g 2 (7-88) Pero. A1 = by1 . Como una aplicación de la ecuación de la Fuerza Específica a un caso particular se puede examinar un canal rectangular en el que Q = bq . 381 . y2 = 2 2 b el ancho del canal. Obteniéndose así la importante conclusión que la Fuerza Específica mínima corresponde a condiciones críticas. A2 = by2 y1 = siendo y2 y1 . en un canal rectangular el tirante crítico es yc = 3 q2 g valor que sustituido en 7-88 nos da yc3 = Siendo 1 y1 y 2 ( y1 + y 2 ) 2 (7-89) y1 e y2 tirantes conjugados (es decir que tienen la misma Fuerza Específica).Capítulo VII Energía específica y momenta V2 d = 2g 2 que se puede comparar con la ecuación 7-14. También se le llama resalto.E. Línea de energía h f = (∀E)1-2 2 V2 2g 2 E1 V1 2g RIO TORRENTE y2 TO SAL y1 E2 (F .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 7.E.)2 E1 = E2 + h f Figura 7.20 Salto hidráulico La Fuerza Específica es la misma antes del salto y después del salto. Esquemáticamente se ve en la Figura 7. y luego de algunas sustituciones se llega a V12 1 y2  y2  1 +  = gy1 2 y1  y1  De donde. La energía específica disminuye de E1 a E2 .)1 = (F .20. Salto hidráulico en un canal rectangular Partimos de la ecuación 7-88 q2 1 = y1 y2 ( y1 + y2 ) g 2 Se divide ambos miembros por y13 . F12 = 382 1 y2  y2  1 +  2 y1  y1  y1 e y2 .13 Salto hidráulico El salto hidráulico es el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico con gran disipación de energía. Por lo tanto son tirantes conjugados. Así por ejemplo. cuando se estudia estructuras muy grandes. El salto hidráulico es un fenómeno tridimensional que presenta grandes fluctuaciones de la velocidad y de la presión en cada punto. una representación esquemática. es decir que tiene un alto grado de turbulencia. En un salto hidráulico se produce también la incorporación de aire a la masa líquida. Las presiones consideradas como un promedio temporal son en este caso de poca utilidad. y1 y2 = ϕ (F1 ) y1 Este resultado es sumamente importante para los estudios en modelo hidráulico. Se caracteriza por la gran disipación de energía.Capítulo VII Energía específica y momenta De acá se obtiene una ecuación en y2 y1 2  y2  y   + 2 − 2 F12 = 0 y1  y1  Resolviendo esta ecuación se obtiene y2 1 = y1 2 ( 1 + 8F − 1) 2 1 (7-90) Que es la ecuación de un salto hidráulico en un canal rectangular. la ecuación 7-90 es sólo una aproximación. La relación entre los tirantes conjugados y 2 es función exclusiva del número de Froude incidente. del modo como ocurren los fenómenos. lo que se traduce en una alta capacidad de mezcla. Basta con tener el mismo número de Froude en el modelo y en el prototipo para que. si es que hay suficiente turbulencia en el modelo. Sin embargo. El salto produce oleaje. que se propaga hacia aguas abajo. 383 . con fuerte curvatura de las líneas de corriente. Se puede describir como el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico. haya similitud. El salto hidráulico es un movimiento rápidamente variado. no se puede despreciar los efectos de las fluctuaciones instantáneas de la presión. Para la elaboración de un modelo matemático del salto hidráulico es necesario hacer muchas simplicaciones. investigador argentino.7 < F < 2. Bureau of Reclamation se distingue los siguientes tipos de salto F =1 Flujo crítico. señalando que “estos ejemplos son más que suficientes para llamar la atención de los proyectistas acerca de la necesidad de conocer con mayor aproximación las solicitaciones variables”.5 “salto débil”. Hay ondas superficiales 4. Gran disipación de energía (85 %) Pérdida de energía en el salto La perdida de energía en el salto hidráulico se define así  V2  V2   h f =  y2 + 2  −  y1 + 1  2g   2g   (7-91) expresión que aplicada a un canal rectangular da lugar luego de algunas pequeñas transformaciones a ∆E = h f = E1 − E2 384 3 y2 − y1 ) ( = 4 y1 y2 (7-92) .5 < F < 4. S. Se pueden describir por medio de su frecuencia y amplitud. Bonneville. que de no tomarse en cuenta en los cálculos podrían conducir a la falla total de la estructura. no hay salto 1 < F < 1. Las fluctuaciones son esencialmente aleatorias. Se produce el efecto de chorro.70 %) F >9 “salto fuerte”. Buena disipación de energía (45 . Alamogordo. Lopardo. Glendo. La disipación de energía es pequeña 2. Tipos de salto En función del número de Froude y según el U.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha En un salto hidráulico es posible que las fluctuaciones instantáneas de presión tengan valores tan altos.7 “salto ondular” (la superficie libre presenta ondulaciones) 1.5 < F < 9 “salto permanente o fijo”. cita lo ocurrido con las presas: Blustone. Calyton.5 “salto oscilante”. Aproximadamente se tiene que L = 6.). número de Froude.Capítulo VII Energía específica y momenta Eficiencia Se denomina eficiencia de un salto hidráulico a la relación entre la energía específica después del salto y la que hay antes de él. etc. Lopardo y Vernet han encontrado que HS 1 = (F1 − 1) y1 6 Para (7-96) F1 ≤ 7 385 . Oleaje En un salto hidráulico se producen ondas que se propagan hacia aguas abajo. ( ) ( 3 E2 8 F12 + 1 2 − 4 F12 + 1 = E1 8 F12 2 + F12 (7-93) ) La pérdida de energía relativa es 1− E 2 ∆E = E1 E1 (7-93a) Altura del salto ( hi ) La altura del salto se define como la diferencia entre los tirantes después y antes del salto ( hi = y2 − y1 ) Se demuestra fácilmente que 1 + 8 F12 − 3 hi = E1 F12 + 2 (7-94) Longitud del salto ( L ) La longitud del salto depende de muchos factores (pendiente del canal.9( y2 − y1 ) (7-95) En algunos casos para fijar el salto y disminuir su longitud se colocan dados o bloques. Sus alturas y periodos dependen del número de Froude incidente. Se designa como H S a la altura significativa (promedio del tercio superior). Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Ejemplos de salto hidráulico Línea de energía a) h f = E1 . . d) Si el tirante normal aguas abajo es mayor que y2 se produce el llamado salto yS y1 (yn es el tirante normal aguas abajo) 386 yn hidráulico ahogado. El salto hidráulico actúa como un disipador de energía Colchón Dispipador L b) En un río se costruye una presa derivadora Oleaje Vertedero y1 (barraje) para elevar el nivel del agua yn y2 en época de estiaje. E y1 a y2 yn En la figura se observa el llamado salto hidráulico libre. c) Compuerta Si en un canal se coloca una compuerta Línea de energía que deja una abertura en la parte inferior se produce aguas abajo un salto hidráulico.E2 2 y2 y1 Rápida Para vencer un desnivel se construye una V22 2g V1 2g rápida. Al final de ella debe disiparse yn Canal la energía. La energía se disipa por medio de un salto hidráulico. cc el coeficiente de contracción. La ecuación de la energía específica es y1 + V2 V12 = y2 + 2 2g 2g Por cierto que debe cumplirse la ecuación de continuidad V1 A1 = V2 A2 = Q Estas dos ecuaciones permiten resolver totalmente el flujo bajo la compuerta. Sea a la abertura de la compuerta.21 Descarga por una compuerta de fondo Consideremos un fondo plano e ignoremos la pérdida de carga. La descarga bajo una compuerta sumergida puede tener diversas características. según las 387 . Evidentemente que si la pérdida de carga es importante habrá que tomarla en cuenta y1 + V12 V2 = y2 + 2 + h f 2g 2g En ambos casos se ha supuesto que el coeficiente de Coriolis es igual a 1. Entonces y2 = cc a .Capítulo VII Energía específica y momenta 7. La energía específica en una sección ubicada inmediatamente aguas arriba de la compuerta debe ser igual a la energía específica en otra sección ubicada inmediatamente aguas abajo.14 Descarga por una compuerta de fondo Como una aplicación del concepto de energía específica examinaremos brevemente el flujo a través de una compuerta plana de fondo. Línea de energía V12 2g V22 2g y1 a E y2 Figura 7. ejemplos de salto hidráulico). demostrar que se cumple la siguiente expresión  y  ys = 1 + 2 F22 1 − 2  y2  y1  Siendo ys el tirante inmediatamente aguas abajo de la compuerta. F2 el número de Froude aguas abajo del salto. Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento (ec. 785) entre las secciones 1 y 2 (ver Figura d.12 Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad para el análisis de un salto hidráulico sumergido. P1 − P2 = ρ Q(V2 − V1 ) Reemplazando la fuerza hidrostática P e introduciendo la ecuación de continuidad se obtiene γ 1 γ (y s2 − y 22 ) = V2 y 2 (V2 − V1 ) g 2 Efectuando algunas sustituciones y operaciones se llega a 1  y s2  γ V2 (V2 − V1 ) γ  − 1 = 2  y 22  g y 2  V y s2 − 1 = 2 F22 1 − 1 y 22  V2 Obteniéndose finalmente la expresión propuesta. q el gasto por unidad de ancho. como el que puede ocurrir a la salida de una compuerta en un canal rectangular. y2 el tirante aguas abajo del salto.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha condiciones de aguas abajo. y1 la abertura de la compuerta. Ellas son a) No se forma salto b) Se forma un salto libre c) Se forma un salto sumergido (ahogado) Ejemplo 7. Por continuidad. Solución. V1 y1 = V2 y 2 . Despréciese la fricción en el canal. 388    . 3 m. Calcular el tirante crítico. En un canal rectangular la energía especifica es 2. S = 0. Verificar que se cumplen las ecuaciones 7-25 y 7-26.0125 Calcular a) El tirante normal b) La energía específica correspondiente al flujo uniforme c) El gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b Verificar que se cumple la ecuación 7-14. ¿Cuál es el gasto máximo que puede ser conducido? 5. Se deja caer una piedra en el canal. Hallar la altura de río y de torrente para q = 4 m3/s/m. b =6m. 2. En un canal rectangular se tiene los siguientes datos Q = 12 m3/s .Capítulo VII Energía específica y momenta PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo VII) 1. En un canal rectangular de 3 m de ancho circula un caudal de 7. el tirante normal correspondiente y la energía específica mínima cuando el gasto sea de 6 m3/s? Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿qué tipo de flujo se establecería en él? (¿río o torrente?) ¿Por qué? 6. Hacer una tabla y graficar los diferentes valores que puede tomar el tirante en función del gasto. Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. Calcular las velocidades de propagación.5 m3/s. la velocidad y la energía correspondiente.15 m/s. 7. 3. de las ondas superficiales producidas. ¿Cuál será la pendiente crítica. Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y 2 la siguiente relación y1 F22 + 2 = y2 F12 + 2 389 . En un canal rectangular el tirante es 0.315 %o . n = 0. hacia aguas arriba y aguas abajo.75 m y la velocidad es de 1. Demostrar que en un canal rectangular que conduce un gasto Q en condiciones críticas debe tener un tirante igual a los 3/4 del ancho para que el perímetro sea mínimo. 4. 20 m C de Chezy igual a 55 m1/2/s y conduce un gasto de 10 m3/s (talud 45º. Demostrar que en un canal de sección parabólica cuya ecuación es específica mínima es 0.467 3 qmax e) Vc = 2. El gasto es de 8 m3/s. 7-56 y 7-57.8 m/s2) Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables.13 y b) 2 Vc = 3. El gasto es de 12 m3/s. ¿Cuál es la energía que corresponde a las condiciones críticas?.1. ¿Qué tipo de flujo se establecerá?. Calcular para que pendiente se establecerá un movimiento uniforme con el mínimo contenido de energía. Calcular la pendiente crítica y el tirante crítico. 1 3 c = f 4 ( g = 9. Hallar el tirante crítico para el canal mostrado en la figura.13 yc2 = 2.56 Emin 1 1 c) E min = 0.7 3 q max 2 2 d) yc = 0.017). ancho en el fondo 2. En un canal parabólico la velocidad crítica es de 3. 14. z = 2. n = 0. la energía 11. 7-38. Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial ( b = 3 m. Arturo Rocha Demostrar que en un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica la pendiente crítica es 24. ¿Cuál es la ecuación de la parábola. las siguientes ecuaciones 3 2 c a) qmax = 3.5 m).95 m/s. Mostrar que se cumplen las ecuaciones 7-11. 7-39 y 7-44. yc 45º 13.69 n2 y 9. Demostrar que se cumplen las ecuaciones 7-14. x 2 = 16 y . Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.Hidráulica de tuberías y canales 8.3611 Q1 2 12. Si en estas condiciones de pendiente crítica se presenta un gasto menor que 10 m3/s.14 3 qmax 2 10. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a la energía cinética?. Un canal trapecial revestido en concreto tiene un coeficiente 60º 2. en el sistema métrico. 390 . de forma tal que la energía específica sea mínima y el valor de dicha energía b) la energía especifica cuando el gasto sea de 15 m3/s 18. El gasto es de 8 m3/s.00 m de Bazin?. El talud es de 45º. El talud es de 45º.70 m. 391 . Si el canal está trabajando en condiciones de máxima eficiencia hidráulica. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 2. Si por una razón u otra el contorno fuera más rugoso de lo señalado. Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m.80 m. hallar a) el caudal. El gasto es de 10 m3/s.5 m3/s. Calcular a) el tirante normal b) el tirante crítico c) la pendiente crítica d) la pendiente crítica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente (Las cotas están medidas sobre la superficie libre).6 son compatibles con la ecuación 7-60.80 m. indicar que tipo de flujo se presentaría con la pendiente crítica calculada. y sabiendo que la rugosidad del contorno corresponde a G = 0. éste sea crítico? (Talud 60º . En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. Demostrar que los resultados del ejemplo 7. La cota del punto A es 864. 16.80 m. La longitud del canal entre los puntos A y B es de 1 000 m. ¿Cuál debe ser la pendiente del canal mostrado en la figura para que se produzca un movimiento uniforme yc con el mínimo contenido de energía 45º para un gasto de 3. tirante 0. El tirante es 1.Capítulo VII Energía específica y momenta 15.020. ancho en el fondo 3 m) 19.30 m y la cota del punto B es 863. Determinar si el flujo es torrencial o tranquilo.46 en la fórmula 3.004.015). La pendiente es 0. 17. El canal es de concreto ( n = 0. Un canal trapecial revestido en concreto ( C = 60 m1/2/s) conduce un gasto de 8 m3/s a) establecer si este flujo es un río o un torrente b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo gasto. 20. 4 24.0022 se establezca un flujo crítico normal?. 23. Dibujar la curva E − y y verificar todos los valores valor de 1. Hallar el tirante alterno. 2  2  Q yc =     g  z  (ec. Calcular la altura de río y de torrente que podrían producirse en el canal cuya sección aparece en la figura. Para el canal mostrado en la figura ¿Cuál es el tirante crítico para un gasto de 12 364 l/s? ¿Cuál debe ser el 1. ¿Cuál debe ser el ancho en la base de un canal trapecial cuyo talud es 2 para que un gasto de 30 m3/s dé un tirante crítico normal de 1.40 m.25 m?.8883 Q 0. Calcular 1 también para cada uno de los dos regímenes. 392 . ¿Cuál es la energía específica? ¿Cuáles son el tirante y la velocidad cuando con la misma energía el gasto es máximo? ¿Cuál debe ser al ángulo en el vértice para que este gasto máximo sea de 321. La velocidad es de 2. En un canal de sección circular de 3 m de diámetro fluye un gasto de 15 m3/s. el tirante crítico. 27.50 m/s. con un tirante de 1. para un gasto de 6. la velocidad crítica y la energía mínima para que escurra el gasto mencionado.8 l/s?. así como las condiciones críticas.14 m.20 m. Verificar que se cumple las ecuaciones 7-66 y 7-67. Como comprobación hacer el cálculo con el ábaco de la Figura 7. 2 n de Kutter 90º 1: 1 coeficiente 1:2 yc 1 1: 26.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 21.10.00 m calculados. Demostrar que la velocidad crítica en un canal triangular de 90º ( z = 1) es Vc = 1. el número de Froude correspondiente a cada uno de los regímenes. Demostrar que el tirante crítico en un sección triangular es 0.5 m3/ s y una energía específica de 3. 25.25 dE dy en la curva E − y . En un canal triangular el tirante es de 0. 22. 7-52) 0.50 m para que con una pendiente de 0. el número de Froude y el correspondiente 0. El tirante normal es 2.50 m. El tirante en la segunda sección es de 1.Capítulo VII Energía específica y momenta 28. por medio de una transición suave en las paredes del canal. Un canal rectangular muy ancho conduce un gasto de 4 m3/s/m. En el canal se produce un resalto hidráulico.15 m.1 m3/s. hay dos regímenes posibles: río y torrente. 32. El fondo no sufre ninguna alteración. Calcular cual es la máxima sobreelevación que puede tener una grada de fondo para no afectar las condiciones de aguas arriba.40 m y la velocidad es 2. Por un canal rectangular de 5 m de ancho escurre un caudal de 10 m3/s. para un mismo gasto. una de cuyas diagonales es vertical. 31.75 m/ s se desea saber cual debe ser la sobre elevación de una grada de fondo para que se produzca un régimen crítico. 29. Entre los tirantes respectivos debe cumplirse que yT FR2  8  1 1 = + + yR FR2  4  o bien. hallar a) tirante crítico b) tirante antes del resalto c) tirante después del resalto d) la fuerza específica (momenta) e) la energía disipada en el resalto f) la potencia del resalto en HP 393 . 33. considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico. lleva un gasto de 6 m3/s con un mínimo contenido de energía. Dibujar el perfil de la superficie libre. F= V gy y R FT2  8  1 + 1 + 2  =  yT FT  4  FR y FT son los números de Froude para río y torrente. Si el número de Froude antes del resalto es 10 veces mayor que el que hay después del resalto.80 m de ancho. En un canal rectangular de flujo torrencial cuyo tirante es de 0. El gasto es de 2.20 m de ancho a otra de 1. Un acueducto de sección cuadrada. ¿Qué ocurre cuando FR = FT =1? 30. Un canal rectangular pasa de una sección de 1. Hallar el tirante en la primera sección. ¿Cuánto debe medir el lado L del cuadrado para que el tirante sea el 75 % del tirante máximo? ¿Cuál es la energía?. Demostrar que a energía constante. Dibujar para un canal rectangular las siguientes curvas a) E − y para q = 5 m3/s/m b) F .75 m de ancho se ha colocado una compuerta plana vertical que descarga por el fondo una vena líquida cuya altura es de 0. cuyos tirantes conjugados son y1 e y2 se cumple que 1 + 8 F12 − 3 y2 − y1 = E1 F12 + 2 siendo E1 y F1 la energía específica y el número de Froude antes del salto. 37. − y para q = 5 m3/s/m c) q − y para E = 4 m Calcular los mínimos o máximos en cada caso.50 m. 38. En un canal rectangular de 0. El coeficiente de contracción del tirante en la compuerta es de 0. Calcular la fuerza que soporta la compuerta por unidad de ancho del canal.6. Considerar en el intervalo 0 ≤ y ≤ 2. Calcular a) b) c) d) el caudal la fuerza sobre la compuerta la altura conjugada del resalto la energía disipada e) la pendiente que debería tener el canal aguas abajo del salto ( n = 0. Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es de 0. 36. En un canal rectangular de 5 m de ancho se produce un salto hidráulico que disipa el 40 % de la energía. 39.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 34.50 m. El tirante inicial es 0.80 m valores de ∆y = 0.25 m y que luego forma un resalto. Si el gasto es de 20 m3/s.015) f) la altura y la eficiencia del salto No considerar la fricción. 35. En un canal rectangular de 2 m de ancho se produce un salto hidráulico en el cual la disipación de energía corresponde a una potencia de 31. Hallar el tirante después del salto y el gasto.10 m.2 HP.E. Demostrar que en un canal rectangular la Fuerza Específica (Momenta) es q2 1 2 + y gy 2 394 . hallar los tirantes antes y después del salto. Demostrar (detalladamente. 40. No considerar la fricción.60 m.50 m se coloca una compuerta que deja en el fondo una abertura de 0. En un canal rectangular cuyo tirante normal es de 1. fundamentando cada paso) que en un canal rectangular en el que se produce un salto hidráulico. La teoría del movimiento gradualmente variado empezó a desarrollarse en 1828 con los estudios de Belanger y recién está completándose. V. Chezy. la velocidad varía de una sección a otra. G. La hipótesis general para el estudio del movimiento gradualmente variado es la siguiente La pérdida de carga en una sección es la misma que correspondería a un flujo uniforme que tuviese la misma velocidad y radio hidráulico que la sección mencionada. que siendo permanente no es uniforme. V. El movimiento uniforme se da pocas veces en la naturaleza. de la superficie libre y de la línea de energía son iguales. en los que el flujo sólo se aproxima al movimiento uniforme.). En este capítulo examinaremos el caso particular del movimiento gradualmente variado. A diferencia de lo que ocurre en el movimiento uniforme. sección.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado CAPITULO VIII MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO 8.) es un flujo permanente cuya profundidad (calado o tirante) varía suavemente a lo largo del eje de un canal. Es variado.1 Introducción El movimiento gradualmente variado (M. en el que las pendientes del fondo. 395 . No ocurre ni aun en los canales hechos por el hombre. En consecuencia. La aceptación de esta hipótesis implica que las fórmulas del flujo uniforme (Manning. Lo real es que a lo largo de una conducción abierta (canal) hay cambios de pendiente. rugosidad y alineamiento que determinan la aparición de un movimiento. Siguiendo a Ven Te Chow se presenta a continuación los aspectos generales del movimiento gradualmente variado (M. G. en el movimiento gradualmente variado estas tres pendientes son diferentes. menor que el tirante. M M P' P N N P' P Flujo cóncavo Flujo convexo M P N Flujo uniforme Figura 8. Los flujos convexos y cóncavos son curvilíneos. En cambio. Cuando las líneas de corriente tienen curvatura. ya el movimiento no es gradualmente variado.1. la curvatura debe ser pequeña. Para que esta hipótesis no se aleje de la realidad se requiere que la variación del tirante sea efectivamente gradual (suave) y. en consecuencia. Esto implica un flujo paralelo.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha etc. en un movimiento uniforme la distribución de presiones es hidrostática. la distribución de presiones se diferencia de la del movimiento uniforme y debería ser como aparece en la Figura 8. Hay una aceleración normal a la dirección de la corriente. Cuando el radio de curvatura de la superficie libre es pequeño. Las principales son las siguientes i) La distribución de presiones en cada sección transversal es hidrostática. Este tipo de flujo se llama paralelo.1. 396 . tal como puede verse en la Figura 8. En el flujo cóncavo ocurre lo contrario.1. Las líneas de corriente no tienen curvatura y por lo tanto no hay componentes de la aceleración normales a la dirección de la corriente. Además de la hipótesis general es necesario hacer otras. Si el flujo fuera paralelo la distribución de presiones correspondería a la línea MP. sino rápidamente variado. tal como se aprecia en la Figura 8. en el flujo convexo la fuerza centrífuga actúa en sentido contrario a la gravedad y la presión resultante es menor que la correspondiente al flujo uniforme.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo En cambio.) pueden usarse para calcular la pendiente de la línea de energía en una sección de un movimiento gradualmente variado. Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado ii) El canal es prismático.) y que su alineamiento es recto. en todas las secciones transversales a pesar de que la velocidad media varía. etc. Un río no es un ‘‘canal prismático’’. 397 . y y cos2 ! y cos! ! Figura 8. eventualmente. además.2 Presión en un punto de la corriente. Cuando la pendiente es grande la alta velocidad da lugar a que el agua atrape aire. Este fenómeno se presenta generalmente para velocidades mayores de 6 m/s. un aumento del tirante. lo que significa que el coeficiente de Coriolis es constante. la profundidad a considerarse es la misma. v) La pendiente del canal es pequeña. iv) La distribución de velocidades es invariable. ya sea que se mida vertical o normalmente al fondo. de modo que a) La profundidad es la misma. triángulo. Esto significa que el canal tiene una sección transversal geométrica definida (rectángulo. incorporándolo al escurrimiento y produciéndose. vi) El factor de sección Z y el factor de capacidad K son funciones exponenciales del tirante. Cuando la pendiente se supone pequeña desaparecen los problemas de aire incorporado y. es el mismo. sea que se considere una vertical o la normal al fondo del canal. iii) El coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del escurrimiento e independiente del tirante. trapecio. b) No se considera aire incorporado. En una canal de pendiente grande se tendría la siguiente expresión de la presión en un punto de la corriente. K= 398 Q 1 S2 (8-8) . a la expresión CAR X .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha El factor de sección Z se define de la siguiente manera Z=A d siendo (8-1) d = A T . De la última expresión se deduce inmediatamente que 1 Q = KS 2 (8-7) Luego. 1 Q = CAR X S 2 (8-5) K Se denomina K . K = CAR X (8-6) Como K es directamente proporcional al gasto se considera que es una medida de la capacidad de conducción de la sección transversal. Luego. factor de capacidad. En consecuencia. de acá que el factor de sección pueda también expresarse así Z= A3 T (8-2) A es el área de la sección transversal y T es el ancho superficial. Para la definición del factor de capacidad K hay que recordar que en el cálculo del movimiento uniforme pueden usarse las expresiones genéricas siguientes V = CR X S Y (8-3) Q = CAR X S Y (8-4) Tanto en la ecuación de Manning como en la de Chezy el exponente de la pendiente S es 1/2. Eje Hidráulico y Vertedero yn Corriente peraltada y > yn yn y yc Corriente deprimida y < yn Figura 8. y en sus inmediaciones hay un tirante crítico. o río. Así por el ejemplo. En un canal. cuando se construye un vertedero en un canal.3.3). Podría se también que en un canal o río haya una caída brusca. El río que viene de aguas arriba con un tirante normal disminuye su tirante para aproximarse al crítico.2 Definiciones fundamentales Cuando en una corriente el tirante está determinado exclusivamente por el gasto.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado Si se utiliza la ecuación de Chezy. Si esa variación de tirante no es brusca se genera un movimiento gradualmente variado. pendiente. (Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida 399 . (8-9) 1 K = CAR 2 Si se utiliza la ecuación de Manning. 2 AR 3 K= n (8-10) 8. rugosidad y geometría de la sección se dice que hay condiciones normales. El tirante se denomina normal ( y n ). Aguas arriba de la presa o vertedero aparece una curva de remanso. tal como se ve en la Figura 8. A este caso particular se le llama una corriente peraltada porque su tirante es mayor que el normal. o una presa en un río. Su tirante se hace mayor que el normal. Aparece así una corriente deprimida porque el tirante es menor que el tirante normal. la corriente se eleva y por lo tanto se aparta de las condiciones normales. pueden presentarse ciertas singularidades que alteran el tirante normal (y por lo tanto la velocidad media de la corriente). En el plano de la caída la energía es mínima. entonces. las mareas producen alternadamente corrientes peraltadas y deprimidas. entre los respectivos tirantes normales. A las pendientes suaves se les denomina también tipo M. el tirante (del movimiento gradualmente variado) es mayor que el crítico.4 Ríos y torrentes En un río la velocidad de propagación de una onda superficial es menor que la velocidad media de la corriente. los ríos dependen de las condiciones de aguas abajo. Esta es una clasificación que se refiere a la corriente. produciéndose así un movimiento gradualmente variado. Pendientes suaves y fuertes. yn yc Pendiente suave (tipo M) yn > yc yc yn Pendiente fuerte (tipo S) yn < yc Figura 8. En un río. Cuando un canal o río desemboca en el mar. y yc yc y Río ( y > yc ) Torrente ( y < yc ) Figura 8. Por lo tanto. En cambio los torrentes no dependen de las condiciones de aguas abajo. Son pendientes suaves los lechos en los que el tirante normal es mayor que el crítico.5 Pendientes suaves y fuertes 400 . Son pendientes fuertes los lechos en los que el tirante normal es menor que el crítico. tipo S. del ingles steep. en un torrente es menor. y a las pendientes fuertes. del ingles mild. Lo contrario ocurre en los torrentes. Antes de establecer la ecuación del movimiento gradualmente variado conviene precisar otras definiciones. También un cambio de pendiente da lugar a una curva de ‘‘empalme’’. En cambio. Esta es una clasificación que se refiere al lecho.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Hay muchas otras formas en las que puede generarse un movimiento gradualmente variado. Ríos y torrentes. se distingue tres zonas Zona 1 Zona 2 Zona 3 y > yc y > yn yc < y < y n El tirante del movimiento gradualmente variado y es mayor que el tirante crítico y también es mayor que el tirante normal. conservándose constantes las otras características. así como el del movimiento gradualmente variado y . 8. y < yc El tirante del movimiento gradualmente variado y es menor y < yn que el tirante crítico y también es menor que el tirante normal. La pendiente crítica es la que separa las pendientes suaves de las fuertes y da escurrimiento crítico en movimiento uniforme. yn < y < yc El tirante del movimiento gradualmente variado y está comprendido entre el crítico y el normal. el normal y n . Nótese que fuera del movimiento uniforme. un lecho de pendiente suave puede convertirse en fuerte. Zonas En función de la posición relativa (magnitud) que tiene el tirante crítico yc . tal como se aprecia en la Figura 8. 401 . Si varía la rugosidad del contorno. puede escurrir un río o un torrente.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado Son pendientes suaves los lechos que en movimiento uniforme dan ríos y pendientes fuertes los que dan torrentes.6.3 Ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado Sea una sección longitudinal cualquiera de un movimiento permanente gradualmente variado. o viceversa. La energía total H es H= V2 + y+z 2g (8-11) Estamos suponiendo que el coeficiente de Coriolis es igual a 1 y que la pendiente del fondo es pequeña. que se presenta en un canal prismático con gasto constante Q . en cualquier clase de pendiente (fuerte o suave). Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha (1) V2 2g (2) SE Línea de energía H SW y S0 z Fondo dx Superficie libre ! x Figura 8. En la Figura 8. se tendrá que S 0 = senθ = − 402 dz dx . pues descienden en la dirección de escurrimiento. Derivando la energía total H con respecto a x se tiene La variación de esta energía a lo largo del canal es V 2  d  + y + z 2g dH  =  dx dx (8-12) La pendiente S 0 del fondo se define como el seno del ángulo θ .6 ∆z es negativa. La variación de la elevación del fondo ∆z puede ser positiva o negativa. La pendiente S E de la línea de energía se obtiene a partir de la ecuación de Chezy o de la de Manning. siendo x la ordenada en la dirección dx de la corriente. La variación de energía ∆H es siempre negativa en la dirección del flujo. pues lo contrario implicaría que se añadiese energía al sistema. Como ambas pendientes deben ser positivas. La pendiente se asume como positiva si desciende en la dirección del flujo y como negativa si asciende en la dirección del flujo.6 Movimiento gradualmente variado dH .  2g  dE = S0 − S E dx (8-13) Pero. ec.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado dH V2 V 2n2 SE = − =− 2 =− 4 dx C R R3 Luego. dy S 0 − S E = Q 2T dx 1− gA3 (8-16) 403 . combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene dy S 0 − S E = dx 1 − F 2 (8-14) que es una de las formas de la ecuación general del movimiento gradualmente variado. V 2  + y  d   2g  − S = −S 0 E dx Pero (8-12a) V 2   + y  es la energía específica E (ver la ecuación 7-2). Por lo tanto. anteriormente hemos establecido (capítulo VII. Como el cuadrado del número de Froude es Q 2T F = gA3 2 (8-15) se tiene que. 7-19) que dE = 1− F 2 dy Luego. 2 Q 2T  Zc  =  Z  gA3 Introduciendo en la ecuación 8-16 los valores obtenidos para K y Z se llega a 404 . G. Q 2 A3 2 = = Zc g T Luego. SE  Kn  = S 0  K  2 Según la definición de factor de sección Z= A3 T para cualquier sección Zc = Q g para condiciones críticas Esta última expresión se obtiene a partir de la consideración de que para condiciones críticas el número de Froude es igual a 1. para el movimiento uniforme Luego.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Vamos a hacer algunas transformaciones en esta ecuación. Según la definición de factor de capacidad K= Q 1 SE 2 Kn = Q 1 S0 2 para cualquier sección del M. por lo tanto Vc = gd c = g A T Q2 A =g 2 A T A Q = g T A . Vc = . a fin de introducir el factor de capacidad ( K ) y el factor de sección ( Z ). V. G. Aplicación a una sección rectangular muy ancha Si usamos la fórmula de Manning (8-10) se tiene 2 5 AR 3 yn3 (para condiciones normales) = Kn = n n 2 5 AR 3 y 3 = K= n n (para cualquier sección del M. G. Las ecuaciones de movimiento gradualmente variado. 8-14. 8-16 y 8-17 representan la variación de la superficie libre con respecto al fondo del canal. Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy (8-9). V.) Reemplazando estos valores en la ecuación general (8-17) se obtiene 10 y 3 1−  n  dy  y = S0 3 dx  yc  1−   y (8-18) que es la ecuación de eje hidráulico para un canal rectangular muy ancho (fórmula de Manning) en movimiento gradualmente variado. V. entonces la ecuación general del movimiento gradualmente variado sería 405 .) 2 Z c = A d c = yc3 (para flujo crítico) 3 Z = A d = y2 (para cualquier sección del M.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado 2 K  1−  n  dy K = S0 2 dx  Zc  1−   Z  (8-17) que es otra de las formas de la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado. 1 Demostrar que para un canal rectangular de ancho variable b y pequeña pendiente la ecuación del movimiento gradualmente variado es dy = dx 406 α Q 2 y db gA 3 dx α Q 2b 1− gA 3 S0 − SE + (8-22) . La ecuación general del movimiento gradualmente variado también puede expresarse así 2 Q 1−   dy  Qn  = S0 2 dx Q 1−    Qc  (8-20) siendo Q el gasto del movimiento gradualmente variado. G. Mediante algunas sencillas transformaciones puede obtenerse para el M. Qc es el gasto crítico para una profundidad y. la siguiente ecuación Q2 dy C 2 A2 R = Q2 dx 1− 2 gA d S0 − siendo d el tirante hidráulico (8-21) A T Ejemplo 8. Qn es el gasto para un flujo normal cuyo tirante y fuese igual al del movimiento gradualmente variado. V.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 3 y  1−  n  dy y = S0 3 dx  yc  1−   y (8-19) Si el coeficiente de Coriolis no fuese igual a la unidad. habríamos tenido que introducir su valor (constante) en la ecuación 8-11 y proseguir con el desarrollo. Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado Solución. G. y S0 La superficie libre se levanta ( dy ∀0) dx 407 . dy = dx αQ 2 y db gA 3 dx αQ 2 b 1− gA 3 S0 − S E + que es la expresión buscada. Así. nos da una indicación sobre algunas características dx del eje hidráulico. La superficie libre se levanta. V 2   d   2g  = dx  Q2 d  2  2 gA dx =−   −2 2 2  = Q dA = Q (− 2 )A −3 dA 2 g dx 2g dx Q 2  dy db  b + y  gA3  dx dx  Reemplazando en (1) − S E = −S0 + dy Q 2  dy db  −α b + y  3 dx gA  dx dx  De donde. Esta condición se da en los ríos peraltados y en los torrentes deprimidos. Si dx entonces el tirante y aumenta en la dirección de la corriente. SW dy > 0. V. 8. A partir de la ecuación 8-12a y de la introducción del coeficiente de Coriolis obtenemos V 2   d  2 g  dy  − S E = −S 0 + +α dx dx (1) Pero.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico El signo de dy en la ecuación del M. dx SW entonces el tirante y disminuye en la dirección de la corriente. ¿Qué ocurre cuando el tirante y del movimiento gradualmente variado se hace igual al tirante crítico? Esto implica que en la ecuación 8-17 se cumple que Z = Z c .Hidráulica de tuberías y canales Si Arturo Rocha dy < 0. entonces dy → infinito dx lo que implicaría que para y = yc el eje hidráulico debería ser vertical tal como se aprecia en la Figura 8. Se da en los ríos deprimidos y en los torrentes peraltados. por lo tanto en la ecuación diferencial del eje hidráulico se tendrá que como el denominador tiende a cero. La consecuencia de este hecho es que la ecuación establecida para el eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado no puede usarse en las inmediaciones de 408 y = yc .7. yc y = yc y Figura 8. . S0 y La superficie libre desciende ( dy dx 0) Para comprender mejor la discusión de la ecuación del eje hidráulico examinemos algunos casos especiales. La superficie libre desciende.7 Intersección del eje hidráulico con Esto significa que en las proximidades del tirante crítico ( y y = yc = yc ) el eje hidráulico tiene una gran curvatura y por lo tanto ya no es válida la hipótesis del movimiento gradualmente variado de considerar que las líneas de corriente son paralelas y de aceptar por lo tanto una distribución hidrostática de presiones. ¿Qué ocurre si el tirante y crece indefinidamente? Entonces. dx lo que implicaría que el eje hidráulico fuese vertical. se podría obtener el signo (positivo o negativo) del primer miembro.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado Partimos de la ecuación 8-17 y consideramos dos posibilidades con respecto al signo del primer miembro. dx de un movimiento uniforme (S 0 = SW ) . entonces para y = 0 se obtiene que dy → infinito. algebraicamente. Si fuera un canal rectangular muy ancho en el que se aplica la fórmula de Manning. En cambio si hubiéramos usado la fórmula de Chezy (8-19) se tendría que y3 dy = S 0 n3 yc dx lo que significaría que el eje hidráulico hace un cierto ángulo con el fondo. La ecuación del eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado. ¿Qué ocurre si el tirante es igual al tirante normal? Entonces dy = 0 lo que significa que la superficie es paralela al fondo y se trata. (8-18). según la ecuación 8-17 es 409 .Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado ¿Qué ocurre cuando el tirante se hace igual a cero? En el caso más general el valor de dy se hace indeterminado. Para cada una de ellas se presenta esquemáticamente la forma en la que. 8. dy → S0 dx o sea que la superficie libre tiende a ser horizontal. por lo tanto. dx Examinemos algunos casos particulares. que son las siguientes - Río peraltado en pendiente suave (M1) - Río peraltado en pendiente fuerte (S1) - Torrente deprimido en pendiente suave (M3) - Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3) - Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2) - Río deprimido en pendiente suave (M2) PRIMERA POSIBILIDAD dy > 0 Numerador y denominador positivos dx Como el numerador es positivo esto significa que 1− lo que necesariamente implica normal ( y K n2 >0 K2 K > K n . Es decir. 410 . Esta es una conclusión de carácter general: siempre que el numerador sea positivo se tiene una corriente peraltada. Se trata por lo tanto de una corriente peraltada. que el tirante es mayor que el tirante > yn ).Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 2 K  1−  n  dy K  = S0 2 dx  Zc  1−   Z  En esta ecuación pueden presentarse las siguientes posibilidades dy >0 dx Numerador y denominador positivos Numerador y denominador negativos dy <0 dx Numerador positivo y denominador negativo Numerador negativo y denominador positivo Con base en las posibilidades planteadas en este esquema general haremos la discusión de cada uno de los seis casos del movimiento gradualmente variad. en la entrega de un canal al mar o a un reservorio. Esta es también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea positivo se tiene un río. Se trata por lo tanto de un río. Tenemos así los dos primeros casos del movimiento gradualmente variado. Esta curva es la más conocida y estudiada pues se presenta frecuentemente. un cambio de sección. Caso 1 Río peraltado en pendiente suave (M1) Por tratarse de un río el tirante del movimiento gradualmente variado es mayor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente peraltada el tirante es mayor que el normal y por ser pendiente suave el tirante normal es mayor que el crítico. Obsérvese que en cada sección transversal las velocidades son menores que las que corresponderían al movimiento uniforme. Como la pendiente es suave la curva es tipo M1. Este río peraltado puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. esto significa que 1− Lo que necesariamente implica Z c2 >0 Z2 Z > Z c ( y > yc ). de la que se separa gradualmente. M1 yn y yc Río peraltado en pendiente suave y > y n > yc Como el tirante es mayor que el normal y que el crítico. Por lo tanto. Usualmente se le llama curva de remanso. Es una curva cóncava. Por lo tanto. numerador y denominador positivos implican necesariamente un río peraltado. Por lo tanto.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado Como el denominador también es positivo. las pérdidas de carga también serán menores. Crece hacia aguas abajo. se dice que el eje hidráulico está en la ZONA 1. También cuando hay una presa vertedora en el lecho del río. un aumento en la rugosidad. etc. Esta curva puede aparecer cuando se coloca un vertedero en un canal. 411 . cuando hay una diminución de pendiente. Se observa que el eje hidráulico es asintótico a la recta y = yn . Este tipo de perfil se origina de un modo similar al anterior. pues la pendiente es fuerte y el eje hidráulico está siempre por encima del tirante crítico y del normal (ZONA 1). S1 SALTO y yc yn Río peraltado en pendiente fuerte y > yc > y n Es una curva tipo S1. en un vertedero. Se trata por lo tanto de una corriente deprimida. Esta es una conclusión de carácter general: siempre que el numerador es negativo se trata de una corriente deprimida. Esta curva empieza con un salto y tiende asintóticamente hacia aguas abajo. Prosiguiendo con la discusión tenemos que SEGUNDA POSIBILIDAD dy > 0 Numerador y denominador negativos dx Como el numerador es negativo esto implica que 1− lo que nos conduce a K n2 <0 K2 K n > K ( yn > y ). variando en que la pendiente es fuerte. Es decir que el tirante es menor que el tirante normal. es decir. que la realiza normalmente. Esta curva es de longitud limitada. Es una curva convexa. Luego. presa o compuerta que produzca una sobreelevación de la superficie libre. Este eje hidráulico crece hacia aguas abajo a partir de su separación de y = yc .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Caso 2 Río peraltado en pendiente fuerte (S1) Por tratarse de un río el tirante del movimiento gradualmente variado es mayor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente peraltada el tirante es mayor que el normal y por ser pendiente fuerte el tirante normal es menor que el crítico. Como el denominador también es negativo se tiene que 1− 412 Z c2 <0 Z2 . sino que salta al nivel yn que está determinado por las condiciones de aguas abajo. Caso 3 Torrente deprimido en pendiente suave (M3) Por tratarse de un torrente el tirante del movimiento gradualmente variado es menor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente deprimida el tirante es menor que el normal y por se pendiente suave el tirante normal es mayor que el crítico. que por cierto puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. lo que es físicamente imposible. Por lo tanto. Por lo tanto. Luego.Capítulo VIII Lo que implica Movimiento gradualmente variado Z c > Z . también en una grada. Esta es también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea negativo se trata de un torrente. Se puede originar en una compuerta de fondo como en la figura. Es decir. La curva es tipo M3. S3 y yn yc Torrente deprimido en pendiente fuerte 413 . que el tirante es menor que el crítico ( y < yc ). en una disminución de pendiente de fuerte a suave. Es una curva cóncava. en un estrechamiento o. dando así lugar a otros dos casos de movimiento gradualmente variado. Este perfil debería empezar teóricamente en el fondo. Se trata por lo tanto de un torrente. numerador y denominador negativos implican un torrente deprimido. Caso 4 Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3) Por tratarse de un torrente el tirante del movimiento gradualmente variado es menor que el crítico y por tratarse de una corriente deprimida el tirante es menor que el normal y por ser pendiente fuerte el tirante normal es menor que el crítico. M3 SALTO y yc yn Torrente deprimido en pendiente suave y n > yc > y Como el tirante es menor que el crítico y que el normal se dice que el eje hidráulico está en la ZONA 3. Esta curva no llega en realidad a alcanzar el tirante crítico. Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha yc > yn > y Es un perfil tipo S3. Se trata de una curva convexa. Puede ocurrir aguas abajo de la descarga de una compuerta de fondo de pequeña abertura. Caso 5 Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2) Por tratarse de un torrente el tirante del movimiento gradualmente variado es menor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente peraltada el tirante es mayor que el normal y por ser pendiente fuerte el tirante normal es menor que el crítico. por ejemplo. Esta combinación de signos da un torrente peraltado. numerador positivo significa corriente peraltada y denominador negativo significa torrente. Luego. 414 S2 y yn Torrente peraltado en pendiente fuerte yc . que entrega a un canal de pendiente fuerte. asintótica hacia aguas abajo. Este torrente peraltado podría darse en principio en una pendiente suave o en una pendiente fuerte. Es muy poco frecuente. en un cambio de pendiente de muy fuerte a fuerte. o bien. Para que se dé en una pendiente suave se requeriría lo siguiente Corriente peraltada y > yn Torrente y < yc Pendiente suave y > yc No hay solución posible Por lo tanto no existe un torrente peraltado en pendiente suave. Examinemos ahora los casos en los que la superficie libre desciende (se acerca al fondo) en la dirección del escurrimiento lo que implica la condición dy <0 dx TERCERA POSIBILIDAD dy < 0 Numerador positivo y denominador negativo dx Según lo que hemos examinado anteriormente. Para la combinación de signos sólo hay una solución posible que es la que se presenta en el caso siguiente. Es una curva cóncava. CUARTA POSIBILIDAD dy < 0 Numerador negativo y denominador positivo dx El numerador negativo significa corriente deprimida y denominador positivo equivale a un río.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado yc > y > y n Como el tirante y es intermedio entre el crítico y el normal el eje hidráulico se desarrolla en la ZONA 2. M2 yn yc y Río deprimido en pendiente suave y n > y > yc Como el tirante y es intermedio entre el normal y el crítico. De esta consideración se origina el caso siguiente. A veces a esta curva se la llama un remanso de depresión. En principio puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. El eje hidráulico debe ser normal a dy < 0 la superficie libre desciende en la dirección dx y = yc . por ejemplo. esta combinación de signos significa río deprimido. Es una curva convexa del tipo M2. el eje hidráulico está en la ZONA 2. Este perfil puede originarse. La curva es del tipo S2. Nótese que al corresponder este caso a del escurrimiento. asintótica hacia aguas abajo. Luego. en un cambio de pendiente o como consecuencia de un ensanchamiento de la sección. Luego. Caso 6 Río deprimido en pendiente suave (M2) Por tratarse de un río el tirante del movimiento gradualmente variado es mayor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente deprimida el tirante es menor que el normal y por ser pendiente suave el tirante normal es mayor que el crítico. 415 . 1. etc. Este perfil se puede originar de varias maneras: una grada. V. se presenta en la Tabla 8. y que. En el libro de Domínguez se encuentra una tabla que resume la discusión de la ecuación general del M. Resumen de la discusión de los seis casos del M. una expansión en la sección. G. V. El eje hidráulico es asintótico a y = yn . G. TABLA 8. un cambio de pendiente.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha El eje hidráulico desciende en la dirección del escurrimiento y se acerca normalmente a y = yc . con algunas ampliaciones.1 RESUMEN DE LA DISCUSION DE LOS SEIS CASOS DEL MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO + 0 CORRIENTE PERALTADA NUMERADOR DENOMINADOR MOVIMIENTO UNIFORME RIO CRISIS CORRIENTE DEPRIMIDA TORRENTE dy >0 dx dy >0 dx 416 M1 S1 M3 S3 PENDIENTE SUAVE PENDIENTE FUERTE PENDIENTE SUAVE PENDIENTE FUERTE . Se demuestra fácilmente que la otra posibilidad (río deprimido en pendiente fuerte) es imposible. Hay varias maneras de resumir esquemáticamente la discusión de los seis casos del movimiento gradualmente variado. Capítulo VIII Pueden sintetizarse los seis casos en el siguiente esquema y > yn RIO PERALTADO M1 (CONCAVA) dy >0 dx CASO 1 Pendiente Suave y n > y > yc RIO DEPRIMIDO M2 (CONVEXA) y n > yc yc > y n CASO 6 CASO 3 y < yc TORRENTE DEPRIMIDO M3 (CÓNCAVA) dy >0 dx y > yc RIO PERALTADO S1 (CONVEXA) dy >0 dx yc > y > y n TORRENTE PERALTADO S2 (CONCAVA) dy <0 dx yn yc CASO 2 CASO 5 CASO 4 y < yn TORRENTE DEPRIMIDO S3 (CONVEXA) dy >0 dx 417   dy < 0  son los ubicados en la ZONA 2.   dx Obsérvese que los únicos perfiles que descienden en la dirección del escurrimiento  yc yn Movimiento gradualmente variado Pendiente fuerte dy <0 dx . yn 1 1 S0 2 El tirante normal del segundo tramo es mayor porque su pendiente es menor que la del 418 yn y n > yn 2 1 S c > S 0 > S0 1 2 2 Río uniforme que empieza en el punto P 2 . Por lo tanto. De pendiente suave a pendiente más suave Sean y n e yn los tirantes 1 2 normales en cada uno de los dos tramos. M1 P En el primer tramo.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 8. y n > yc . yc 1 En el segundo tramo. Es decir.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad) Como una ilustración del movimiento gradualmente variado se presenta una breve discusión de diez perfiles del eje hidráulico (seis generales y cuatro especiales) generados exclusivamente por cambio de la pendiente del fondo. por ser pendiente suave. Los seis casos generales son - De pendiente suave a pendiente más suave - De pendiente suave a pendiente menos suave - De pendiente suave a pendiente fuerte - De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte - De pendiente fuerte a pendiente más fuerte - De pendiente fuerte a pendiente suave Los cuatro casos especiales son - De pendiente suave a pendiente crítica - De pendiente crítica a pendiente suave - De pendiente crítica a pendiente fuerte - De pendiente fuerte a pendiente crítica 1. que se supone que todas las otras características permanecen constantes. por ser pendiente más suave también se cumple que yn > yc S0 y primero. río deprimido en pendiente suave. Como un M2 (río deprimido en pendiente suave) yn 1 río deprimido en pendiente suave. De pendiente suave a pendiente fuerte En el tramo de aguas arriba hay un río que al aproximarse al cambio de pendiente se deprime (M2) y tiende a acercarse normalmente a y = yc . de pendiente suave a más suave. De pendiente suave a pendiente menos suave Por consideraciones similares a las anteriores se tiene que yn < yn 2 1 M2 yn 1 y yc En ambos tramos se cumple que S0 yn > yc (pendiente suave) 1 yn yc 2 1 S0 2 S 0 < S0 < Sc yn > yc (pendiente menos 2 1 2 Río uniforme suave) Como P yn está más cerca de yc que y n . se dice que la pendiente es menos suave. arrancando S2 yc S0 (torrente peraltado en pendiente fuerte) 1 S 0 < Sc < S0 1 2 S0 2 y = yc como un SUAVE FUERTE torrente peraltado en pendiente fuerte. 2. yn > yc yn < yc normalmente a 1 yn 2 yc 2 419 .Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado El quiebre del fondo. 2 1 El perfil de empalme es del tipo M2. Inmediatamente aguas abajo del cambio de pendiente el torrente se peralta (S2). 3. da lugar a una curva de empalme tipo M1. A partir del punto P empieza un río uniforme. río peraltado en pendiente suave que se desarrolla en el primer tramo. continuando en pendiente más fuerte que la de aguas arriba. Un torrente si puede ser modificado por las condiciones de aguas arriba Desde el punto P se desarrolla un torrente deprimido en pendiente fuerte tipo S3.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 4. De pendiente fuerte a pendiente más fuerte El torrente aguas arriba no es influenciado por las condiciones de aguas abajo. El torrente de aguas abajo se peralta a partir del cambio de pendiente. De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte yc yn 1 P S0 S3 yn 1 S0 S0 > S0 > Sc 1 2 2 2 FUERTE MENOS FUERTE yn < yc yn < yc 2 1 yn < yn 1 2 Este torrente no puede ser modificado por las condiciones de aguas abajo. yc yn S2 P 1 S0 1 S0 FUERTE 2 MAS FUERTE S 0 > S 0 > Sc 2 1 yn < yc yn < yc 2 1 yn > yn 1 420 (torrente peraltado en pendiente fuerte) 2 yn 2 yc . 5. y n1 es el tirante y1 del salto. En el presente caso de cambio de pendiente. De pendiente fuerte a pendiente suave Este es el caso más importante y corresponde al salto hidráulico. es decir. 7. De pendiente suave a pendiente crítica M2 yn 1 yc S0 1 S 0 < Sc Sc yc = yn 2 1 SUAVE CRITICA yn > yc yn = yc 1 2 El eje hidráulico se aparta suavemente del movimiento uniforme. que el salto se desplaza hacia aguas arriba. En el segundo tramo hay un río uniforme en el que el tirante normal coincide con el tirante crítico. Si y 2 > y n2 entonces el salto queda rechazado y se produce dentro del tramo 2. 421 . Ambas posibilidades están presentadas en la figura adjunta. se desarrolla íntegramente entre el tirante crítico y el normal y termina con una tendencia a hacer un ángulo de 90º con y = yc . Si y 2 < y n2 el salto se produce en el tramo 1. Normalmente en un salto y1 < y2 (al respecto se puede ver la ecuación 7-90).Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado 6. mayor o menor que y n2 . hidráulico hay dos tirantes conjugados: yc 1 yn 1 S0 yc 1 S 0 > S0 1 S0 2 2 2 FUERTE SUAVE yn < yc yn > yc 1 2 yn > yn 2 Para el tirante yn 1 y1 ( yn1 ) existe un tirante conjugado y2 que puede ser igual. De pendiente fuerte a pendiente crítica yc yn 1 yn = yc 2 FUERTE CRITICA Aguas abajo del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido en pendiente suave y fuerte.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 8. De pendiente crítica a pendiente fuerte yn = yc S2 1 yn CRITICA yc 2 FUERTE Equivale al cambio de pendiente fuerte a más fuerte 10. 9. De pendiente crítica a pendiente suave yn = yc yn 1 yc Sc S0 2 1 CRITICA SUAVE yn = yc yn > yc 2 1 yn > yn 2 1 Antes del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido en pendiente suave y fuerte. 422 . La definición de longitud de la curva de remanso tiene un sentido práctico. 1 cm). en la que el tirante es calculable. Podríamos. El cálculo de la curva de remanso significa básicamente la solución de la ecuación dinámica del movimiento gradualmente variado. y otro ubicado en el extremo del escurrimiento en el que el tirante es igual. Para obtener la longitud de la curva de remanso debemos integrar la ecuación general del M. En consecuencia es necesario proceder con métodos aproximados. V. La longitud de la curva de remanso se define como la longitud comprendida entre un punto extremo. por ejemplo. G. G. El uso de un programa de cómputo resulta particularmente útil. decir que la curva termina cuando la diferencia entre el tirante normal y el del movimiento gradualmente variado es inferior a un valor dado (por ejemplo. indirectos o gráficos.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado 8.) y y1 y2 0 x1 x x2 423 . En muchos casos no es posible integrar directamente la ecuación diferencial del movimiento gradualmente variado.7 Curva de remanso Se denomina curva de remanso a la que se produce en un canal al presentarse un movimiento gradualmente variado. V. Examinemos la siguiente figura Eje hidráulico (M. que actúa como sección de control. o prácticamente igual al tirante normal. Para la obtención de la curva de remanso presentaremos tres métodos - Integración gráfica - Aproximaciones sucesivas - Integración directa Método de la integración gráfica Como su nombre lo indica este método consiste en integrar gráficamente la ecuación diferencial del movimiento gradualmente variado. dy Para el cálculo de una curva de remanso. por ejemplo) y. G. como la mostrada a continuación.) dx dy ( dx % & dy # ∋ ∃1 x y y1 y2 424 ( dx % & dy # ∋ ∃2 . Luego se determina el tipo de curva que se presentará (M1. V. i) Suponer un valor para el tirante ii) Calcular el valor correspondiente de iii) Calcular iv) Construir una curva. G. Para iniciar el cálculo de la curva de remanso con este método consideraremos que se conoce el valor de y en una sección de control.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Consideremos dos secciones transversales próximas 1 y 2. es decir. dy supuestos) y los valores obtenidos para dx . G. V. a continuación. dx dx . lo que siempre es posible. V. se procederá de la manera que se señala a continuación. dy Eje hidráulico (M. con los valores de y (tirantes dy a partir de la ecuación general del M. Evidentemente que x2 y2 x1 y1 x = x2 − x1 = ∫ dx = ∫ Nótese que dx dy dy dx es igual a la inversa del segundo miembro de la ecuación general del M. la longitud de la curva del movimiento gradualmente variado. es indispensable conocer un punto de dicha curva. que es la inversa del valor anterior. su inversa. dy Area =x=∫ Al medir esta área se tiene el valor de dx dy dy x. inclinación del eje hidráulico.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado El valor de x es el área achurada comprendida entre la curva. x e y y se obtiene la curva de remanso. el eje y . y las ordenadas dx correspondientes a los valores de y . el área. el valor del área comprendida en el gráfico y el correspondiente valor de Por último se dibuja x. Luego. 425 . factor de capacidad. radio hidráulico. Para una sección transversal cualquiera se sugiere trabajar con la siguiente tabla y A P R K Z dy dx dx dy )∗A x Es decir. Finalmente se obtendrá una curva de este tipo dx dy )∗A3 )∗A2 )∗A1 v) y2 y1 y De esta curva se puede obtener los correspondientes valores de ∆ A . perímetro. que para cada sección se calcula a partir de un valor de y . factor de sección. ∆x(S 0 − S E ) = E2 − E1 = ∆E y por lo tanto.8 se muestra un tramo de un canal prismático de longitud aparecen las secciones 1 y 2. ∆x en el que En la Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso Aplicando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene S0 ∆x + y1 + α1 V2 V12 = y2 + α 2 2 + S E ∆x 2g 2g de donde. a partir de la fórmula de . para una sección determinada. considerando como que en ese tramo el movimiento es uniforme. ∆x = El valor de Manning 426 ∆E S0 − S E S E se puede obtener.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Método de subdivisión en tramos Se divide el canal en pequeños tramos y se calcula separadamente cada uno de ellos. SE h f = SE ) x ∗ 2 + 1 V1 2g 2 + 2 V2 2g SW y1 S0 y2 S0 ) x ∗ )x ∗ z1 z2 Plano de referencia Figura 8. 10 como casos típicos). M. G. yn y ymax Lago Figura 8. Cada valor del tirante determina una sección para la que es posible calcular 427 . V.10 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante ymin determinado por la grada. G. (Ver las figuras 8. El cálculo se puede empezar por la sección extrema de aguas abajo. o mínimo según el caso.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado SE = n 2V 2 R Para un tramo (de longitud 4 3 ∆x ) el valor de S E es el promedio de los respectivos valores de S E al principio y al final del tramo. V. yn ymin y y = ymin x=0 Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante ymax determinado por la condición de entrega al lago. en la cual el tirante alcanza su máximo valor. M.9 y 8. Para hacer el cálculo asignaremos valores al tirante y de modo de acercarnos lentamente del valor extremo al normal. 3 se estableció que la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado (8-17) es 2 K  1−  n  dy K = S0 2 dx  Zc  1−   Z  Para la presente exposición de la integración de la ecuación 8-17 se sigue el procedimiento de Bakhmettef expuesto por Ven Te Chow en 1955.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha A : Area (en función de la geometría de la sección) R : Radio hidráulico R=A P V : Velocidad media V =Q A hV : Energía de velocidad hV = E : Energía específica V2 y+ 2g V2 2g ∆E : Diferencia de energía específica ∆E = E2 − E1 ó ( E1 − E2 ) entre dos secciones S E : Pendiente de la línea de energía en esa sección  Vn  SE =  2 3  R  S E : Pendiente media de la línea de energía SE = para un tramo dado ∆x = ∆x : Distancia Acumulando los valores de 2 SE + SE 1 2 2 ∆E S0 − S E ∆x se obtiene la distancia desde el origen escogido. 428 . Metodo de la integración directa En el apartado 8. Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado En primer lugar es necesario recordar la suposición hecha por Bakhmettef de que el cuadrado del factor de capacidad K (ec. 7-9) dA =T dy 429 . 8-6) es proporcional a una cierta potencia del tirante. se obtiene que el factor de capacidad K es K= AR n 2 3 tal como aparece en la ecuación 8-10. Sus características se establecen a continuación. Tomando logaritmos neperianos en la ecuación 8-23 se obtiene ( 2(ln K ) = ln c1 y N ) Derivando con respecto a y se llega a 2 d (ln K ) c1 Ny N −1dy dy = dy c1 y N De donde. al aplicar la fórmula de Manning. d (ln K ) N = dy 2y (8-24) Pero. las conocidas expresiones. N es el exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniforme. (ec. es decir K 2 = c1 y N (8-23) c1 es una constante de proporcionalidad. Tomando logaritmos en esta última expresión se obtiene 2   AR 3 ln K = ln  n       Derivando con respecto a y se llega a d (ln K ) 2 1 dR 1 dA = + dy 3 R dy A dy Introducimos ahora. dP  A d  T − R dR dy P =  = P dy dy Reemplazando se llega a  dP   T − R  dy  T d (ln K ) 2 1  = + 3R P A dy d (ln K ) 1  dP  5T − 2 R  =  3A  dy dy  Introduciendo la ecuación 8-24 se obtiene 1  N dP  5T − 2 R  =  2 y 3A  dy  De donde. Para una sección trapecial se obtiene a partir de la ecuación 8-25 que    y   y  1 + 2 z   1 + z 2     10   b  8   b  N= − 3   y  3  2  y  1 + z  b  1 + 2 1 + z  b        siendo 430 b el ancho en el fondo y z el talud del canal. N= 2y  dP  5T − 2 R   3A  dy  que es la expresión general del exponente hidráulico (8-25) N para cualquier sección transversal. 1-8) A P y se obtiene. d (ln K ) 2 1 dR T = + dy 3 R dy A Pero. (8-26) .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha R= (ec. con lo que N= 10 3 (8-28) Se puede hacer un desarrollo similar a partir de la suposición de que el cuadrado del factor de sección Z (ec. tomando logaritmos en la ecuación 8-2 y derivando con respecto a y se obtiene d (ln Z ) 3 T 1 dT = − dy 2 A 2T dy (2) Igualando (1) y (2) se obtiene M= y A dT   3T −  A T dy  (8-30) 431 . (1) Z = A3 T (ec. Sus características se establecen a continuación Tomando logaritmos ( 2 ln (Z ) = ln c2 y M ) Derivando con respecto a y . 2 d (ln Z ) M dy = dy y dy se llega a d (ln Z ) M = dy 2y Pero.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado Para el caso particular de una sección rectangular ( z N= = 0 ) se obtiene y b 10 8 − y 3 3 1 + 2  b  Si se tratase de una sección muy ancha. 8-1) es proporcional a una potencia M del tirante Z 2 = c2 y M (8-29) M es el exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas. Luego. entonces la relación (8-27) y b es muy pequeña y tiende a cero. 8-2). a partir de la ecuaciones 8-23 y 8-29. 8-32) se obtiene la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado. Si se considera que entre el tirante y del movimiento gradualmente variado y el tirante normal 432 y n existe la relación u . se obtiene M =3 (8-32) Para efectos de integrar la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado se considerará. 8-28) y M = 3 (ec. Para el caso particular de una sección rectangular ( z = 0 ). lo siguiente K 2 = c1 y N K n2 = c1 y N Z 2 = c2 y M Z c2 = c2 y M Reemplazando estos valores en la ecuación 8-17 se obtiene N y  1 −  n  dy  y  = S0 M dx y  1 −  c   y (8-33) que es la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado para cualquier sección transversal. previamente establecida. se tiene . Para un canal trapecial. Obsérvese que si en la ecuación 8-33 se reemplaza N = 10 3 (ec. 2 y y y  31 + 2 z  − 2 z 1 + z  b b b M=  y y    1 + 2 z b  1 + z b  siendo (8-31) b el ancho en el fondo y z el talud del canal. y que es la ecuación 8-18.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha que es la expresión del exponente hidráulico M para cualquier sección transversal. para un canal muy ancho en el que se aplica la fórmula de Manning. en función de los exponentes hidráulicos. Ven Te Chow la denomina función del flujo variado y la representa como F (u . A la primera de ellas.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado u= Como se recuerda. Introduciendo la ecuación 8-34 en la 8-33 se llega a N 1 1−   dy u = S0 M dx y  1 −  c   y De acá se obtiene M  yc  u N − M  1 yn   du + dx = 1 − S 0  1 − u N  yn  1 − u N    Para integrar esta ecuación se supone que los exponentes N y M son constantes para el tramo considerado. M  u  yc  u u N − M du yn  du + x = u − ∫  y  ∫0 1 − u N  + c 0 1− u N S0    n  (8-35) Para obtener el resultado es necesario resolver dos integrales. Luego. N ) = ∫ u 0 du 1− u N (8-36) Para la segunda integral Ven Te Chow introduce una variable auxiliar N v=uJ (8-37) N N − M +1 (8-38) siendo J= Con lo que la segunda integral del segundo miembro de la ecuación 8-35 queda así u N −M J ∫0 1 − u N du = N u v dv ∫ 1− v 0 J = J F (v. J ) N (8-39) 433 . si y yn (8-34) u es mayor que 1 se trata de corrientes peraltadas y si es menor que 1 se trata de corrientes deprimidas. A= yn S0 y  B =  c   yn  u= M J N y yn N v=uJ J= N N − M +1 A partir de la ecuación 8-42 se obtiene la longitud L de la curva de remanso entre dos secciones 1 y 2. J ) − F (v1 .) y del tirante. etc. J ) + c x = u − F (u. J ) = ∫ dv 1− vJ v 0 (8-40) Introduciendo en la ecuación 8-35 la nueva notación de ambas integrales se llega a M   yc  J yn  F (v. de la forma de la sección transversal (rectangular. de modo que L = x2 − x1 = x = A{(u2 − u1 ) − [F (u2 . J )]} (8-43) Los exponentes hidráulicos N y M dependen de la ecuación particular que se use (Chezy o Manning. A partir del conocimiento del factor de capacidad K y del respectivo tirante se puede calcular 434 . F (v. N ) − F (u1 . por ejemplo). N ) +   S0    yn  N  (8-41) Ven Te Chow usa la siguiente notación. parabólica.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha De donde. J )]+ c (8-42) siendo. x = A[u − F (u. N ) + B F (v. N )]+ B [F (v2 . los valores de 6. La Tabla 8. Seleccionar una fórmula para el cálculo del flujo (Chezy o Manning. Más tarde se recalcularon para 2. N ). N ). J ) reemplazando u por v y N por J . también lo es que su rango de variación no es muy amplio. preparó hacia 1914 unas tablas con diversos valores de N . Suele ser necesario hacer interpolaciones. Para el cálculo se suponen conocidos el caudal. Se calcula 5. Se supone que para un tramo determinado ( ∆ x ) los exponentes hidráulicos constantes. J . del que se ha tomado. ingresando con los valores de v y de J previamente calculados 8.4 y fueron publicadas por Bakhmettef en 1932. El procedimiento de cálculo para aplicar el método de integración directa es el siguiente 1. 8-34) y v (ec. Si bien es cierto que el exponente hidráulico N es variable.5 y aparece en su conocido libro sobre canales. la pendiente.8-30. Se calcula. Calcular el tirante crítico 3. para valores de N comprendidos entre 2 y 5. para las secciones extremas (inicial y final) del tramo considerado. con la ecuación 8-38 u (ec.2 se presenta para diversos valores de u y de N los correspondientes a la función F (u.8 < N < 5. por ejemplo) y determinar el tirante normal yn 2.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado el valor correspondiente del exponente hidráulico N. ingresando con los valores previamente u y N . J ) . Se calcula la longitud ∆ x correspondiente mediante la ecuación 8-43 435 . la rugosidad y las caracterísicas de la sección transversal.2 y se obtiene F (v.5 para diferentes secciones transversales. Se ingresa a la Tabla 8. F (u. Se calcula yc N y M son N (ec. quien fue profesor de Hidráulica en San Petersburgo. La Tabla 8.2 y se obtiene calculados de 7. 8-37) Se entra a la Tabla 8. Bakhmettef señala que N varía entre 2 y 5. o alguna de sus simplificaciones) y M (ec.2 sirve también para la función F (v. Bakhmettef. En la Tabla 8. o alguna de sus simplificaciones) 4. En la revolución rusa estas tablas se perdieron durante muchos años.2 que se adjunta fue preparada por Ven Te Chow entre 1952 y 1954. 8-26. 080 0.242 0.060 0.52 0.468 0.529 0.631 0.180 0.6 2.635 0.684 0.14 0.383 0.38 0.341 0.61 0.120 0.779 0.221 0.160 0.140 0.769 0.262 0.709 0.180 0.472 0.539 0.389 0.486 0.751 0.623 0.464 0.223 0.060 0.689 0.341 0.648 0.531 0.364 0.60 0.667 0.66 0.4 2.572 0.657 0.100 0.544 0.556 0.56 0.384 0.766 0.6 3.450 0.664 0.220 0.403 0.181 0.281 0.362 0.528 0.502 0.551 0.637 0.180 0.808 0.120 0.652 0.688 0.587 0.710 0.536 0.448 0.4 3.000 0.854 0.362 0.322 0.612 0.794 u 436 u .140 0.18 0.709 0.326 0.65 0.321 0.0 3.703 0.140 0.72 0.786 0.780 0.100 0.554 0.618 0.34 0.080 0.754 0.220 0.221 0.387 0.020 0.811 0.444 0.46 0.040 0.753 0.020 0.620 0.26 0.836 0.764 0.30 0.282 0.02 0.407 0.680 0.836 0.000 0.758 0.757 0.080 0.445 0.263 0.200 0.301 0.418 0.201 0.651 0.643 0.120 0.663 0.080 0.140 0.44 0.626 0.678 0.898 0.692 0.599 0.483 0.664 0.593 0.840 0.307 0.060 0.540 0.657 0.677 0.672 0.446 0.514 0.694 0.485 0.50 0.302 0.676 0.24 0.70 0.222 0.68 0.594 0.534 0.576 0.040 0.874 0.040 0.180 0.180 0.607 0.663 0.140 0.511 0.369 0.241 0.489 0.470 0.120 0.800 0.729 0.281 0.628 0.644 0.739 0.525 0.020 0.120 0.2 FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS Y NEGATIVAS (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS du 0 1− u N F (u .240 0.42 0.080 0.531 0.322 0.303 0.160 0.8 4.100 0.804 0.757 0.283 0.383 0.342 0.040 0.596 0.2 2.647 0.701 0.286 0.080 0.802 0.343 0.761 0.650 0.878 0.460 0.261 0.180 0.479 0.787 0.48 0.000 0.723 0.280 0.437 0.060 0.200 0.696 0.220 0.240 0.858 0.411 0.718 0.64 0.301 0.817 0.71 0.220 0.804 0.508 0.559 0.284 0.738 0.772 0.655 0.140 0.705 0.304 0.592 0.690 0.563 0.160 0.742 0.644 0.160 0.680 0.260 0.000 0.819 0.060 0.363 0.12 0.305 0.302 0.402 0.372 0.619 0.582 0.100 0.280 0.676 0.020 0.475 0.080 0.301 0.489 0.300 0.822 0.200 0.574 0.669 0.743 0.040 0.000 0.404 0.771 0.671 0.060 0.63 0.080 0.781 0.8 3.000 0.080 0.200 0.281 0.342 0.060 0.385 0.28 0.698 0.635 0.892 0.160 0.425 0.324 0.724 0.04 0.837 0.395 0.639 0.776 0.161 0.140 0.423 0.040 0.706 0.348 0.640 0.74 0.456 0.366 0.465 0.583 0.200 0.202 0.69 0.786 0.617 0.040 0.060 0.716 0.201 0.517 0.579 0.06 0.796 0.140 0. N ) = ∫ N 2.722 0.868 0.344 0.36 0.506 0.752 0.684 0.676 0.772 0.424 0.466 0.820 0.509 0.000 0.807 0.433 0.568 0.100 0.120 0.737 0.16 0.667 0.220 0.723 0.180 0.040 0.653 0.262 0.2 3.403 0.855 0.321 0.160 0.727 0.321 0.691 0.738 0.452 0.627 0.58 0.0 0.731 0.346 0.243 0.550 0.040 0.325 0.73 0.791 0.080 0.408 0.32 0.599 0.020 0.62 0.240 0.100 0.631 0.574 0.54 0.787 0.120 0.507 0.737 0.692 0.265 0.40 0.020 0.521 0.160 0.020 0.840 0.465 0.494 0.405 0.260 0.717 0.201 0.22 0.697 0.426 0.261 0.492 0.392 0.20 0.000 0.423 0.428 0.120 0.442 0.140 0.241 0.100 0.712 0.707 0.430 0.703 0.361 0.827 0.854 0.683 0.000 0.000 0.603 0.514 0.659 0.181 0.100 0.737 0.382 0.497 0.785 0.726 0.08 0.020 0.120 0.00 0.802 0.744 0.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha TABLA 8.550 0.261 0.161 0.565 0.557 0.260 0.823 0.746 0.140 0.754 0.020 0.120 0.766 0.608 0.200 0.819 0.785 0.713 0.221 0.060 0.363 0.100 0.804 0.443 0.488 0.241 0.020 0.343 0.244 0.382 0.414 0.060 0.750 0.181 0.329 0.10 0.772 0.282 0.240 0.67 0.918 0.731 0.160 0.793 0.367 0.100 0.040 0.323 0.722 0.769 0.351 0. 900 1.458 0.862 0.6 2.138 1.191 2.955 0.954 0.064 0.914 0.171 1.651 1.328 1.010 1.902 0.930 0.007 1.209 1.286 1.948 0.783 1.649 1.561 0.946 1.575 0.236 1.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) F (u .529 0.647 0.022 1.880 2.91 0.890 0.839 0.410 1.85 0.766 1.423 1.94 1.864 0.228 1.985 0.84 1.631 0.81 0.308 0.283 u 437 .977 1.014 0.343 0.173 1.868 0.543 1.995 0.627 0.979 1.844 0.449 1.666 1.976 0.961 2.506 1.692 0.216 1.17 1.046 1.020 3.187 1.626 0.999 1.358 0.031 1.078 1.110 0.919 0.985 1.746 0.610 1.262 1.400 0.067 1.091 1.153 1.608 0.665 0.630 0.790 0.921 0.09 1.504 1.266 1.652 1.994 1.602 0.07 1.982 1.385 1.294 1.103 1.945 2.433 0.974 0.181 1.294 1.75 0.204 1.945 2.714 0.279 1.270 1.828 1.065 1.780 0.354 1.155 1.007 0.183 1.668 0.581 0.757 1.511 0.681 0.849 0.88 0.78 0.76 0.553 0.861 0.993 1.337 0.010 0.094 0.472 1.151 1.092 1.089 0.327 2.131 1.485 0.872 0.978 0.357 1.031 0.959 2.506 0.0 0.909 0.121 1.090 1.329 0.015 1.975 0.978 0.436 0.403 1.266 1.370 1.972 0.189 1.656 0.322 1.050 1.317 2.2 3.212 2.008 2.833 0.107 1.640 2.812 1.293 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1.823 0.497 1.82 0.598 0.017 1.525 0.8 3.981 0.140 1.129 0.857 0.846 0.505 1.072 1.6 3.971 0.039 1.4 2.536 0.478 3.967 0.417 1.369 0.925 0.617 1.14 1.780 1.022 1.095 1.075 0.608 0.295 1.904 0.172 1.068 1.907 0.384 0.186 1.025 1.649 1.120 1.078 1.338 1.652 0.714 1.707 1.645 1.883 0.572 1.226 1.873 2.024 1.0 3.961 0.896 1.253 1.048 1.322 0.089 1.000 2.815 0.554 1.934 0.887 0.493 2.788 1.855 1.223 1.480 0.896 0.749 0.737 1.197 1.969 2.001 1.101 1.950 0.805 0.940 0.938 0.392 0.86 0.703 0.77 0.838 0.949 0.901 0.936 0.707 1.836 0.001 0.998 0.711 2.04 1.545 1.292 2.152 1.830 0.929 0.610 1.11 1.914 0.748 0.467 1.401 1.663 1.415 0.590 1.355 2.569 0.250 1.960 0.970 0.935 0.812 0.602 1.432 0.850 0.389 1.713 0.866 0.218 1.913 0.542 0.317 0.182 1.653 0.734 0.086 1.250 1.431 1.05 1.479 1.039 1.019 0.777 0.457 0.374 0.490 0.392 0.790 0.03 1.940 0.890 0.040 0.417 0.4 3.074 1.464 1.340 1.110 1.669 0.363 1.752 1.015 1.506 0.598 1.139 1.814 2.055 1.399 1.107 0.139 1.568 1.595 0.741 1.855 0.531 1.351 1.89 1.049 1.238 1.273 2.802 0.184 1.471 1.87 0.874 0.501 1.932 0.889 0.518 1.2 2.150 1.041 1.960 0.291 1.756 0.818 1.333 1.992 1.124 1.652 1.419 1.808 0.952 0.807 1.017 2.720 1.166 1.950 0.106 2.251 1.457 0.93 0.441 0.157 1.385 1.060 0.232 1.922 0.333 2.343 1.08 1.294 2.493 1.80 0.468 0.404 1.945 0.713 0.272 1.182 1.911 0.892 0.552 1.909 0.792 3.892 0.008 1.340 1.384 1.866 0.099 1.12 1.300 1.352 1.477 2.587 2.833 0.933 0.853 1.954 0.551 0.896 0.950 0.725 1.225 1.192 1.417 0.958 0.672 0.896 0.15 1.965 0.993 1.980 1. N ) = ∫ u 0 N du 1− u N 2.665 1.980 1.402 0.10 1.866 1.083 1.718 0.250 2.600 0.149 1.985 0.971 0.255 1.996 1.761 1.930 0.372 0.785 0.026 1.548 0.83 0.473 0.120 1.082 1.297 1.027 0.851 0.601 1.970 0.931 2.06 1.931 1.188 1.90 0.356 0.699 1.166 1.488 0.411 0.940 2.391 1.856 1.563 0.348 1.334 1.210 1.165 2.92 0.435 1.833 1.295 0.523 2.056 1.164 1.043 1.514 1.535 0.279 1.079 2.516 0.8 4.990 0.346 1.536 0.119 1.005 1.838 0.889 2.582 1.097 1.081 1.773 1.601 0.509 0.355 1.13 1.246 0.002 1.056 2.454 1.163 1.564 1.065 0.450 0.854 0.554 1.201 1.195 1.045 1.257 1.016 1.725 0.302 1.064 1.878 0.950 0.575 1.457 1.16 1.015 1.159 2.779 1.870 0.052 1.428 1.508 1.007 1.091 0.055 2.452 1.879 0.79 0.621 3.823 0.870 0.872 0.723 0.314 1.296 1.897 0.438 1.311 1.644 1. 171 0.031 0.086 0.176 0.202 0.001 0.082 0.001 0.012 0.676 0.525 0.281 0.028 0.069 0.755 0.277 0.188 0.0 0.425 0.266 0.123 0.103 0.006 0.494 0.027 0.132 0.480 0.855 0.316 0.371 0.011 0.341 0.731 0.013 0.220 0.177 0.057 0.046 0.089 0.004 0.269 0.108 0.076 0.138 0.262 0.079 0.000 u 438 du 1− u N .431 0.050 0.827 0.267 0.159 0.443 0.191 0.024 0.264 0.009 0.065 0.510 0.185 0.122 0.043 0.230 0.087 1.492 0.475 0.694 0.082 0.103 0.304 0.178 0.658 0.087 0.50 1.117 0.156 0.048 0.031 0.194 0.3 2.020 0.373 0.119 0.292 0.8 4.329 0.248 0.140 0.219 1.692 0.004 0.133 0.0 3.005 0.509 0.501 0.056 0.18 1.24 1.002 0.000 0.666 0.20 1.493 0.162 0.34 0.4 3.417 0.001 9.205 0.025 0.2 2.264 0.001 0.236 0.416 0.207 0.237 0.600 0.282 0.104 0.114 0.095 0.362 0.011 0.331 0.454 0.017 2.028 0.217 0.0 1.444 0.480 0.010 0.058 0.131 0.002 0.156 0.318 0.332 0.062 0.039 0.004 0.0 0.272 0.265 0.208 0.0 7.248 0.011 0.255 0.153 0.000 0.001 0.065 0.029 0.055 1.574 0.070 0.065 0.094 0.052 0.089 0.70 1.530 0.246 0.179 0.053 0.628 0.166 0.181 0.405 0.078 0.505 0.343 0.001 0.002 0.006 0.005 4.017 0.102 0.211 0.393 0.079 0.001 0.299 0.320 0.625 0.126 0.033 0.199 0.00 2.320 0.378 0.040 0.517 0.237 0.409 0.098 0.196 0.402 0.085 0.160 0.031 0.153 0. N ) = ∫ u 0 N 2.060 0.342 0.060 0.152 0.588 0.016 0.233 0.46 1.110 0.459 0.209 0.022 0.346 0.55 1.139 0.310 0.65 1.029 0.052 0.293 0.225 0.197 0.659 0.0 6.591 0.369 0.082 0.292 0.033 0.017 0.203 0.136 0.4 2.030 0.207 0.040 0.003 0.242 0.674 0.253 0.083 0.014 0.4 2.6 2.014 0.5 2.425 0.395 0.533 0.041 0.810 0.088 0.053 0.018 0.22 1.226 0.2 3.294 0.308 0.627 0.193 0.036 0.019 0.194 0.013 0.011 0.015 0.290 0.375 0.129 0.613 0.145 0.009 0.0 0.022 0.0 10.021 0.254 0.222 0.429 0.38 1.002 0.000 0.161 0.19 1.104 0.044 0.8 2.133 0.018 0.184 0.141 0.451 0.148 0.070 0.251 0.219 0.825 0.6 3.431 0.288 0.391 0.75 1.60 0.7 0.001 0.036 0.131 0.725 0.0 20.003 0.775 0.410 0.005 0.046 0.922 0.003 0.461 0.037 0.094 0.580 0.800 0.173 0.083 0.256 0.135 0.260 0.274 0.002 0.066 0.227 0.252 0.060 0.150 0.357 0.273 0.383 0.022 0.048 0.154 0.022 0.90 1.190 0.040 0.006 0.076 0.334 0.004 0.019 0.273 0.006 0.40 1.072 0.041 0.263 0.363 0.358 0.0 3.282 0.85 0.353 0.80 1.125 0.186 0.048 0.20 0.189 0.644 0.022 0.034 0.177 0.147 0.505 0.298 0.48 1.341 0.107 0.113 0.322 0.051 0.015 0.169 0.218 0.076 0.605 0.0 8.235 0.30 1.304 0.008 0.9 3.125 0.127 0.349 0.166 0.330 0.119 0.069 0.057 0.283 0.198 0.5 4.278 0.231 0.252 0.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) F (u .551 0.221 0.010 0.119 0.035 0.139 0.113 0.381 0.116 0.149 0.165 0.960 0.551 0.394 0.460 0.335 0.95 2.092 0.711 0.32 1.304 0.167 0.072 0.177 0.095 0.110 0.159 0.365 0.060 0.037 0.024 0.388 0.139 0.108 0.36 1.028 0.028 0.059 0.752 0.045 0.043 0.574 0.004 0.305 0.047 0.787 0.531 0.44 0.548 0.068 0.088 0.022 0.025 0.002 0.046 0.000 0.236 0.058 0.219 0.351 0.002 0.098 0.110 0.315 0.162 1.408 0.480 0.214 0.001 0.424 0.42 1.081 0.887 0.567 0.559 0.067 0.482 0.176 0.057 0.032 2.241 0.28 1.161 0.002 0.442 0.005 0.075 0.023 0.981 0.10 2.015 0.008 0.125 1.692 0.062 0.117 0.6 2.007 0.26 1.304 0.235 0.036 0.288 0.169 0.145 0.143 0.124 0.008 0.185 0.100 0.204 0.8 3.020 0.326 0.017 0.250 0.073 0.5 5.316 0.009 0.003 0.188 0.006 0.642 0.097 0.235 0.442 0.392 0. 698 0.460 0.754 0.624 0.730 0.100 0.787 0.719 0.280 0.652 0.732 0.440 0.60 0.802 0.180 0.684 0.240 0.080 0.380 0.502 0.140 0.320 0.761 0.8 0.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) du 0 1− u N F (u .706 0.614 0.34 0.757 0.060 0.421 0.421 0.220 0.685 0.708 0.260 0.686 0.831 0.040 0.612 0.180 0.779 0.080 0.060 0.611 0. N ) = ∫ N u 4.180 0.120 0.480 0.71 0.794 0.673 0.752 0.603 0.583 0.667 0.361 0.581 0.080 0.638 0.520 0.200 0.440 0.637 0.634 0.505 0.340 0.741 0.120 0.180 0.622 0.687 0.653 0.482 0.839 0.70 0.020 0.567 0.541 0.341 0.741 0.02 0.643 0.280 0.740 0.761 0.000 0.769 0.360 0.778 0.802 0.521 0.460 0.20 0.636 0.080 0.672 0.541 0.280 0.12 0.525 0.400 0.200 0.815 0.040 0.847 0.340 0.260 0.710 0.020 0.500 0.240 0.750 0.260 0.300 0.380 0.68 0.160 0.300 0.280 0.674 0.060 0.020 0.520 0.602 0.100 0.320 0.100 0.060 0.664 0.581 0.831 0.63 0.656 0.16 0.140 0.765 0.697 0.462 0.601 0.08 0.676 0.240 0.380 0.644 0.504 0.543 0.340 0.020 0.420 0.180 0.140 0.78 0.522 0.340 0.220 0.280 0.700 0.100 0.120 0.791 0.441 0.321 0.633 0.694 0.521 0.220 0.501 0.320 0.24 0.763 0.645 0.52 0.320 0.806 0.665 0.771 0.717 0.673 0.462 0.22 0.04 0.792 0.260 0.790 0.69 0.361 0.400 0.200 0.523 0.441 0.811 0.480 0.020 0.660 0.000 0.680 0.589 0.240 0.280 0.561 0.811 0.715 0.340 0.000 0.140 0.542 0.613 0.200 0.628 0.611 0.761 0.160 0.737 0.461 0.401 0.441 0.080 0.360 0.140 0.622 0.819 0.734 0.583 0.120 0.040 0.56 0.798 0.060 0.443 0.14 0.300 0.705 0.806 0.240 0.000 0.546 0.380 0.784 0.040 0.658 0.825 0.401 0.746 0.564 0.100 0.381 0.040 0.200 0.280 0.020 0.38 0.100 0.180 0.300 0.260 0.300 0.753 0.000 0.020 0.040 0.461 0.686 0.619 0.608 0.734 0.080 0.320 0.644 0.120 0.752 0.605 0.481 0.722 0.060 0.501 0.623 0.834 0.28 0.544 0.260 0.73 0.602 0.481 0.696 0.260 0.220 0.562 0.632 0.080 0.561 0.36 0.260 0.160 0.727 0.691 0.442 0.67 0.592 0.728 0.400 0.120 0.666 0.712 0.340 0.649 0.766 0.77 0.630 0.060 0.565 0.440 0.220 0.737 0.120 0.080 0.320 0.400 0.360 0.667 0.694 0.280 0.000 0.0 5.683 0.748 0.6 5.120 0.360 0.300 0.480 0.420 0.714 0.280 0.500 0.400 0.606 0.4 7.678 0.642 0.775 0.400 0.180 0.100 0.140 0.100 0.663 0.721 0.020 0.522 0.798 0.703 0.716 0.784 0.440 0.563 0.653 0.040 0.79 0.480 0.527 0.805 u 439 .570 0.773 0.615 0.646 0.61 0.180 0.817 0.10 0.484 0.060 0.587 0.562 0.240 0.748 0.080 0.200 0.060 0.614 0.420 0.220 0.481 0.380 0.160 0.585 0.706 0.788 0.710 0.220 0.612 0.260 0.100 0.020 0.717 0.30 0.76 0.381 0.727 0.782 0.561 0.460 0.774 0.18 0.773 0.140 0.160 0.649 0.000 0.766 0.000 0.441 0.541 0.380 0.729 0.160 0.622 0.663 0.808 0.320 0.220 0.180 0.743 0.746 0.635 0.656 0.040 0.461 0.460 0.542 0.759 0.65 0.647 0.420 0.626 0.200 0.300 0.862 0.58 0.66 0.46 0.786 0.360 0.160 0.691 0.000 0.26 0.180 0.74 0.778 0.483 0.100 0.695 0.360 0.64 0.402 0.6 7.463 0.06 0.722 0.2 4.782 0.669 0.796 0.44 0.675 0.200 0.582 0.140 0.804 0.617 0.360 0.4 5.140 0.698 0.48 0.661 0.633 0.794 0.340 0.0 7.080 0.240 0.739 0.749 0.420 0.824 0.160 0.40 0.759 0.735 0.340 0.260 0.500 0.799 0.2 6.685 0.503 0.689 0.300 0.703 0.582 0.632 0.811 0.422 0.160 0.72 0.220 0.020 0.120 0.200 0.200 0.820 0.521 0.654 0.340 0.42 0.679 0.240 0.400 0.280 0.641 0.421 0.62 0.771 0.541 0.320 0.548 0.723 0.00 0.604 0.849 0.360 0.50 0.709 0.726 0.000 0.040 0.32 0.220 0.420 0.320 0.501 0.381 0.160 0.626 0.625 0.120 0.655 0.060 0.240 0.040 0.54 0.8 6.75 0.300 0.380 0.240 0.817 0.675 0.300 0.140 0. 094 0.860 0.483 0.138 0.923 0.305 0.487 1.231 0.117 1.073 1.328 0.443 1.969 0.83 0.239 0.151 1.227 1.895 0.845 1.24 0.404 1.502 0.311 1.165 0.913 0.416 1.4 5.836 0.951 0.276 1.168 0.027 1.288 1.931 0.842 0.344 1.887 0.207 1.678 1.820 0.348 1.92 0.986 1.751 2.970 0.095 0.678 2.105 0.033 0.252 0.358 0.440 0.051 0.123 0.128 1.146 0.329 1.244 0.096 0.233 0.089 0.681 0.045 1.324 0.366 0.417 1.146 0.554 0.036 0.248 1.409 1.158 0.19 1.088 0.123 1.855 0.319 0.105 0.389 0.949 0.93 0.214 0.039 1.374 0.415 0.165 0.005 1.272 0.282 0.068 0.402 1.110 0.967 0.309 1.179 1.86 0.114 0.357 0.872 0.072 1.191 0.006 1.8 6.990 1.436 0.262 0.250 1.173 0.172 1.315 0.280 1.234 0.066 0.220 0.974 0.172 0.999 0.18 1.22 1.943 0.828 0.278 0.225 1.080 0.937 0.949 0.068 0.218 0.881 0.099 0.4 7.519 1.246 1.154 0.130 0.236 0.188 1.021 1.994 1.778 0.915 0.081 1.922 0.327 0.15 1.620 1.272 0.050 1.914 0.170 0.060 1.680 0.310 0.226 0.021 1.010 1.080 0.157 0.896 0.370 0.978 0.116 1.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) du 0 1− u N F (u .823 0.209 0.292 0.001 1.818 0.596 1.015 1.007 1.111 0.999 1.947 0.432 0.850 0.388 1.05 1.877 0.415 0.932 0.102 1.223 1.617 1.208 0.106 1.459 0.481 0.477 0.553 0.10 1.12 0.854 0.338 0.225 0.060 1.114 0.671 1.960 0.143 0.084 0.291 0.504 0.898 0.101 1.113 0.08 1.016 1.342 0.078 0.055 0.264 0.373 1.11 1.921 0.102 0.537 0.189 0.140 0.012 1.035 1.832 0.444 1.102 0.956 0.189 0.243 1.173 1.218 0.830 0.102 0.194 0.973 0.119 1.084 0.187 0.097 0.508 1.985 0.155 0.170 0.235 0.197 1.84 0.094 0.104 0.87 0.878 0.039 1.174 0.123 0.995 0.81 0.086 0.913 0.04 1.610 0.035 0.002 1.300 0.535 0.204 0.980 1.029 1.208 0.990 0.955 0.131 0.863 0.882 0.272 1.154 0.85 0.266 0.064 0.074 0.092 1.076 0.188 1.341 0.133 1.379 0.137 0.289 0.217 1.044 0.191 0.868 0.221 1.060 0.50 0.156 0.003 1.125 0.029 1.891 0.905 0.127 0.284 1.051 0.080 0.201 0.179 0.845 0.105 0.80 0.669 0.986 0.846 0.451 1.6 5.979 0.148 1.119 0.859 0.204 0. N ) = ∫ N 4.095 0.299 0.086 1.94 1.153 0.869 0.267 0.817 0.865 0.068 0.464 0.158 1.134 1.2 4.635 1.365 0.03 1.697 0.454 1.138 0.232 1.190 1.165 0.395 1.366 0.273 0.095 0.20 1.422 0.889 0.2 6.072 0.168 0.065 1.088 1.618 0.960 0.080 0.906 0.906 0.321 0.573 1.042 0.161 0.138 0.399 0.999 1.054 1.479 1.153 0.82 0.145 0.91 0.016 1.297 1.897 0.162 1.085 0.911 0.860 0.136 1.6 7.14 1.060 0.970 0.097 1.109 0.897 0.112 0.918 0.339 1.215 0.073 0.890 0.167 1.882 0.766 0.059 0.447 0.431 0.964 0.17 0.602 0.184 1.084 1.0 5.780 1.995 1.526 0.651 0.89 0.263 1.319 1.072 0.135 0.551 0.117 0.841 0.148 1.195 0.912 0.149 1.846 0.974 0.336 0.725 1.874 0.255 0.612 0.959 0.881 0.929 0.151 0.954 0.746 0.064 0.940 0.057 0.885 0.137 0.212 0.870 0.038 u 440 u ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ .126 0.927 0.930 0.199 1.935 0.360 0.16 1.403 0.262 0.852 0.249 0.275 1.337 1.148 1.254 0.486 0.333 0.938 0.181 0.116 0.110 0.044 0.88 0.8 0.09 1.240 0.176 0.020 1.838 2.950 0.916 0.000 1.984 1.06 1.285 1.228 0.239 0.0 7.090 0.319 1.393 1.199 0.195 0.975 0.875 0.565 1.125 0.873 0.07 0.469 0.803 0.737 0.711 1.054 0.183 0.290 0.111 1.078 0.056 0.259 0.048 0.966 0.229 0.049 0.833 0.546 1.135 0.598 1.192 0.262 1.040 1.129 0.241 1.946 0.068 0.396 0.063 0.351 1.087 1.866 0.13 1.950 0.118 0.204 0.868 0.838 0.012 1.901 0.394 0.090 0.932 0.502 1.537 1.298 0.253 0.447 1.209 0.181 0.310 1.901 0.917 1.191 0.990 1.212 0.90 0.372 1.015 0.854 0.994 1.354 1.300 0.064 1. 005 0.008 0.041 0.000 0.004 0.0 7.000 0.011 0.000 0.007 0.019 0.045 0.000 0.0 0.028 0.033 0.009 0.0 0.007 0.000 0.008 0.056 0.2 4.052 0.000 0.000 0.000 0.38 1.000 0.001 0.013 0.005 0.025 0.000 0.000 0.001 0.013 1.026 0.034 0.000 0.0 6.004 0.028 0.093 0.082 0.134 0.007 0.014 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.011 0.012 0.008 0.026 0.040 0.000 0.000 0.095 0.000 0.093 0.004 0.008 0.000 0.000 0.20 0.017 0.020 0.000 u 441 .092 0.000 0.061 0.034 0.65 1.002 1.001 0.000 0.035 0.052 0.000 0.037 0.003 0.008 0.000 0.017 0.000 0.041 0.000 0.001 0.001 0.0 7.021 0.011 0.001 0.049 0.000 0.054 0.002 0.087 0.000 0.007 0.000 0.018 0.010 0.045 0.000 0.000 0.022 0.000 0.002 0.010 0.019 0.004 0.038 0.000 0.026 0.026 0.002 0.001 0.016 0.127 0.00 2.040 0.001 0.000 0.26 1.004 0.002 0.145 0.000 0.5 4.008 0.017 0.003 0.004 0.003 0.060 0.004 0.001 0.160 0.000 0.030 0.098 0.4 7.006 0.000 0.114 0.000 0.009 0.000 0.010 0.003 0.001 0.135 0.003 0.003 0.023 0.012 0.044 0.013 0.000 0.000 9.004 0.033 0.003 0.073 0.015 0.021 0.004 0.001 0.009 0.006 0.021 0.003 0.030 0.063 0.10 2.008 0.000 0.059 0.28 1.022 0.021 1.020 0.013 0.009 0.006 0.002 0.001 0.003 0.002 0.6 2.001 0.000 0.002 0.46 1.019 0.000 0.048 0.050 0.043 0.042 0.000 0.019 0.000 0.006 1.006 0.000 0.007 0.014 0.031 0.70 0.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) du 0 1− u N F (u .024 0.046 0.012 0.017 0.0 8.002 0.8 1.000 0.008 0.002 0.061 0.001 0.000 0.006 0.36 1.000 0.046 0.010 0.030 0.000 0.182 0.020 0.0 10.118 0.000 0.108 0.038 0.023 0.001 0.001 0.001 0.039 0.48 1.90 1.2 6.067 0.067 0.002 0.40 1.100 0.9 3.036 0.022 0.015 0.000 0.043 0.083 0.0 0.000 0.000 0.023 0.030 0.001 0.005 0.95 2.000 0.126 0.024 0.019 0.75 1.009 0.005 0.054 0.000 0.041 0.001 0.000 0.006 0.000 0.005 0.000 0.001 0.001 0.033 0.120 0.30 1. N ) = ∫ N u 4.045 0.065 0.060 0.035 0.000 0.6 5.85 0.002 0.001 0.000 0.32 1.000 0.056 0.002 0.027 0.0 5.026 0.012 0.8 2.009 0.000 0.000 0.038 0.081 0.000 0.000 0.004 0.009 0.002 0.000 0.6 7.001 0.000 0.8 6.55 1.006 0.000 0.005 0.003 0.002 0.005 0.001 0.000 0.004 0.000 0.001 2.076 0.046 0.103 0.025 0.055 0.001 0.006 0.019 0.103 0.074 0.000 0.016 0.60 0.011 0.000 4.041 0.013 0.054 0.000 0.110 0.000 0.069 0.014 0.026 0.4 2.064 0.028 0.060 0.001 0.000 0.7 0.005 0.80 1.017 0.000 0.016 0.014 0.000 0.030 0.072 0.000 0.012 0.006 0.028 0.031 0.002 0.0 20.023 0.004 0.031 0.087 0.049 0.002 0.005 0.012 0.000 0.000 0.003 0.002 0.035 0.000 0.007 0.012 0.031 0.44 0.000 0.001 0.000 2.000 0.035 0.000 0.000 0.026 0.088 0.003 0.048 0.010 0.000 0.097 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.077 0.037 0.5 5.000 0.069 0.024 0.000 0.108 0.000 0.015 0.010 0.066 0.038 0.016 0.117 0.001 0.001 0.003 0.000 0.034 0.000 0.081 0.079 0.003 0.4 5.000 0.071 0.010 0.016 0.018 0.003 0.150 0.005 0.50 1.056 0.036 0.075 0.000 0.014 0.000 0.001 0.024 0.3 2.001 0.42 1.000 0.050 0.70 1.004 0.5 2.016 0.001 0.142 0.34 0.023 0.028 0.014 0.053 0.032 0.0 3.017 0.020 0.012 0. 632 0.44 0.400 0.160 0.789 0.581 0.601 0.200 0.360 0.723 0.652 0.100 0.754 0.631 0.16 0.200 0.777 0.14 0.714 0.652 0.662 0.52 0.733 0.734 0.220 0.70 0.580 0.160 0.320 0.758 0.60 0.631 0.704 0.780 0.561 0.020 0.320 0.560 0.631 0.00 0.581 0.77 0.340 0.703 0.280 0.713 0.280 0.67 0.220 0.460 0.420 0.540 0.8 0.54 0.744 0.200 0.631 0.160 0.260 0.600 0.560 0.601 0.69 0.120 0.060 0.380 0.320 0.300 0.724 0.611 0.260 0.120 0.060 0.500 0.520 0.340 0.140 0.220 0.40 0.757 0.02 0.747 0.440 0.040 0.140 0.080 0.715 0.100 0.000 0.702 0.641 0.380 0.420 0.693 0.440 0.180 0.340 0.723 0.600 0.100 0.26 0.32 0.480 0.360 0.200 0.260 0.778 0.48 0.460 0.68 0.480 0.692 0.060 0.080 0.671 0.792 0.520 0.768 0.621 0.020 0.71 0.300 0.400 0.140 0.120 0.22 0.611 0.360 0.672 0.260 0.340 0.75 0.580 0.673 0.766 0.300 0.662 0.200 0.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) du 0 1− u N F (u .180 0.672 0.500 0.56 0.440 0.460 0.180 0.020 0.040 0.440 0.420 0.240 0.661 0.681 0.641 0.702 0.641 0.672 0.520 0.040 0.340 0.04 0.42 0.756 0.460 0.78 0.500 0.320 0.100 0.12 0.755 0.64 0.788 0.58 0.601 0.745 0.400 0.20 0.79 0.240 0.734 0.140 0.28 0.120 0.34 0.040 0.694 0.300 0.725 0.360 0.420 0.38 0.560 0.180 0.682 0.280 0.736 0.280 0.683 0.520 0.300 0.726 0.180 0.160 0.74 0.380 0.2 8.120 0.000 0.73 0.0 9.240 0.260 0.692 0.06 0.802 0. N ) = ∫ N 8.540 0.641 0.540 0.46 0.642 0.651 0.100 0.240 0.040 0.460 0.804 0.6 9.713 0.611 0.65 0.220 0.790 0.420 0.000 0.62 0.10 0.692 0.320 0.280 0.735 0.798 u 442 u .020 0.400 0.36 0.220 0.66 0.08 0.580 0.746 0.661 0.682 0.360 0.799 0.480 0.767 0.18 0.800 0.662 0.4 9.480 0.480 0.400 0.060 0.080 0.140 0.787 0.380 0.50 0.30 0.080 0.380 0.651 0.020 0.779 0.704 0.621 0.500 0.24 0.611 0.000 0.540 0.61 0.520 0.610 0.621 0.440 0.621 0.651 0.683 0.63 0.72 0.765 0.000 0.769 0.744 0.080 0.060 0.540 0.76 0.500 0.712 0.776 0.160 0.240 0.621 0.560 0. 224 1.953 0.15 1.098 0.447 1.970 0.043 0.183 1.056 0.862 0.101 0.052 0.136 1.061 0.029 0.852 0.045 0.021 0.24 0.122 1.925 0.040 0.086 1.018 u ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 443 .856 0.143 0.147 1.034 0.046 0.112 1.196 1.143 0.970 0.001 1.255 0.037 0.05 1.052 0.4 9.257 0.921 0.06 1.313 0.124 0.949 0.053 1.822 0.047 1.115 0.028 0.88 0.813 0.900 0.032 0.209 0.960 0.024 0.069 0.991 1.221 0.889 0.80 0.903 0.212 0.844 0.03 1.041 0.269 0.86 0.048 0.124 1.075 0.028 0.827 0.029 0.420 0.010 1.084 0.016 0.918 0.933 0.85 0.058 0.187 1.995 0.883 0.93 0.037 0.84 0.811 0.050 0.112 0.839 0.980 0.560 1.961 0.091 0.032 0.196 1.289 0.041 0.083 0.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) du 0 1− u N F (u .937 0.89 0.894 0.92 0.967 0.868 0.157 1.140 0.22 1.036 0.922 0.055 1.062 0.048 0.845 0.94 0.067 0.17 0.940 0.160 1.614 0.20 1.237 0.063 0.04 1.831 0.000 1.025 0.108 1.937 0.063 1.062 1.957 0.087 1.134 0.134 1.337 0.077 0.111 0.092 0.833 0.815 0.050 1.015 1.056 0.069 0.16 1.074 0.865 0.195 0.106 0.116 0.999 1.350 0.021 0.039 0.519 0.368 0.500 1.223 0.262 0.907 0.085 1.071 0.87 0.90 0.045 0.127 0.032 0.036 0.999 1.132 0.13 1.132 0.243 1.985 0.878 0.83 0.050 0.027 0.10 1.101 0.820 0.278 0.260 1.022 0.972 0.037 0.040 1.065 0.237 0.320 1.81 0.228 1.275 1.494 0.032 1.82 0.6 9.092 0.055 0.094 0.19 1.09 1.858 0.847 0.929 0.054 0.07 0.294 0.030 0.0 9.075 0.892 0.020 0.860 0.028 0.150 1.91 0.043 0.12 0.849 0.8 0.950 0.886 0.363 1.530 1.990 0.476 1.165 0.954 0.11 1.302 1.2 8.810 0.077 0.010 0.331 0.097 1.18 1.074 1.577 0.067 0.914 0.975 0.175 1.911 0.060 0.159 0.181 0.152 0.875 0.897 0.033 0.08 1.005 1.809 0.908 0.006 1.835 0.055 0.881 0.046 0.158 0.042 0.170 0.033 1.994 1.986 1.944 0.546 0.082 0.062 0.084 0.280 1.210 1.035 0.14 1.825 0.980 1.391 0.975 0.873 0.837 0.173 0.989 1.038 0. N ) = ∫ N u 8.823 0.165 1.045 0.342 1.208 1.024 0.102 0.012 1.100 1.870 0.123 0. 001 0.009 0.005 0.000 0.004 0.001 0.005 0.018 0.000 0.001 0.46 1.32 1.002 0.000 0.002 0.70 1.65 1.007 0.013 0.000 0.000 0.48 1.006 0.000 0.007 0.000 0.000 0.28 1.000 0.001 0.000 0.000 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.012 0.025 0.000 0.000 0.005 0.000 0.0 20.0 8.008 0.00 2.9 3.012 0.000 0.018 0.44 0.009 0.42 1.000 0.90 1.000 0.000 u 444 u .0 10.014 0.002 0.000 0.006 0.000 0.000 0.009 0.001 0.001 0.001 0.001 0.60 0.0 3.000 0.000 0.8 2.000 0.0 7.000 0.000 0.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) du 0 1− u N F (u .004 0.3 2.011 0.001 0.006 0.006 0.40 1.007 0.6 9.000 0.000 0.001 0.001 0.000 0.000 0.001 0.34 0.000 0.80 1.000 0.000 0.014 0.008 0.000 0.000 0.002 0.000 0.5 2.009 0.011 0.005 0.55 1.021 0.5 5.002 0.000 0.000 0.002 0.000 0.0 6.000 0.000 0.008 0.0 0.005 1.009 1.006 0.002 0.000 0.0 0.004 0.004 0.001 0.003 0.000 0.38 1.000 0.2 8.000 0.10 2.000 0.002 1.000 0.012 0.008 0.4 9.8 1.26 1.000 0.000 0.002 0.003 0.000 0.011 0.010 0.000 2.022 0.021 0.000 0.003 0.000 0.010 0.000 0.004 0.000 4.95 2.008 0.000 0.000 0.85 0.000 0.013 0.000 0.006 0.000 0.005 0.015 0.000 0.30 1.024 0.010 0.000 0.000 0.016 0.016 0.000 0.50 1.020 0.001 0.000 0.001 0.000 0.20 0.000 0.014 0.5 4.028 0.012 0.000 0.009 0.000 0. N ) = ∫ N 8.000 0.000 0.4 2.6 2.018 0.000 0.001 0.000 0.008 0.000 0.7 0.001 1.001 0.000 0.0 0.000 0.000 0.36 1.000 0.000 0.001 0.75 1.000 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 2.014 0.000 0.004 0.000 0.001 0.000 0.000 0.005 0.010 0.001 0.000 0.000 0.000 0.0 9.000 0.019 0.000 9.017 0.000 0.000 0.000 0.007 0.003 0.016 0.002 0.003 0.003 0.001 0.004 0.016 0.000 0.000 0. 394 0.080 0.180 0.71 0.622 0.100 0.643 0.54 0.240 0.437 0.426 0.491 0.634 0.704 0.649 0.8 3.000 0.571 0.77 0.583 0.62 0.100 0.694 0.362 0.160 0.257 0.434 0.649 0.10 0.463 0.080 0.259 0.12 0.469 0.444 0.679 0.159 0.567 0.000 0.160 0.674 0.000 0.260 0.160 0.405 0.507 0.499 0.060 0.613 0.591 0.655 0.119 0.669 0.060 0.8 0.080 0.679 0.453 0.698 0.670 0.423 0.040 0.000 0.34 0.180 0.4 3.65 0.592 0.20 0.218 0.528 0.020 0.140 0.622 0.609 0.556 0.00 0.74 0.672 0.100 0.28 0.69 0.624 0.080 0.651 0.277 0.120 0.583 0.080 0.733 u 445 .2 2.219 0.060 0.679 0.139 0.724 0.659 0.060 0.253 0.671 0.614 0.592 0.701 0.140 0.589 0.715 0.42 0.595 0.607 0.607 0.44 0.240 0.467 0.586 0.040 0.275 0.52 0.180 0.0 3.040 0.200 0.344 0.713 0.650 0.634 0.693 0.357 0.603 0.627 0.240 0.435 0.533 0.615 0.723 0.419 0.655 0.603 0.396 0.197 0.120 0.234 0.489 0.24 0.689 0.430 0.576 0.308 0.40 0.220 0.657 0.585 0.040 0.523 0.585 0.384 0.060 0.140 0.643 0.619 0.659 0.100 0.607 0.611 0.6 3.120 0.686 0.239 0.631 0.501 0.337 0.78 0.458 0.658 0.707 0.274 0.545 0.060 0.319 0.693 0.000 0.020 0.040 0.313 0.296 0.683 0.280 0.667 0.380 0.579 0.119 0.563 0.687 0.673 0.293 0.719 0.606 0. N )− S 0 = ∫ u 0 N du 1+ u N 2.75 0.628 0.621 0.160 0.63 0.657 0.000 0.120 0.680 0.464 0.516 0.620 0.719 0.326 0.689 0.14 0.08 0.440 0.6 2.583 0.662 0.377 0.331 0.219 0.199 0.260 0.64 0.473 0.160 0.120 0.470 0.38 0.140 0.687 0.479 0.705 0.68 0.409 0.61 0.280 0.571 0.664 0.32 0.258 0.080 0.412 0.599 0.180 0.333 0.02 0.539 0.524 0.635 0.040 0.099 0.522 0.613 0.100 0.60 0.599 0.667 0.396 0.311 0.020 0.199 0.644 0.393 0.373 0.626 0.294 0.390 0.593 0.555 0.376 0.550 0.540 0.338 0.432 0.630 0.600 0.140 0.020 0.200 0.429 0.291 0.240 0.643 0.414 0.509 0.216 0.200 0.72 0.30 0.73 0.639 0.179 0.020 0.447 0.569 0.000 0.590 0.607 0.677 0.485 0.713 0.527 0.318 0.566 0.571 0.661 0.000 0.377 0.475 0.575 0.272 0.637 0.487 0.060 0.140 0.698 0.682 0.705 0.685 0.641 0.700 0.610 0.494 0.140 0.547 0.58 0.664 0.554 0.356 0.358 0.179 0.634 0.598 0.461 0.590 0.4 2.18 0.651 0.298 0.220 0.700 0.411 0.659 0.50 0.615 0.630 0.26 0.04 0.279 0.217 0.452 0.563 0.512 0.639 0.355 0.352 0.413 0.529 0.080 0.297 0.709 0.299 0.159 0.374 0.139 0.691 0.238 0.338 0.180 0.22 0.256 0.656 0.339 0.699 0.080 0.599 0.578 0.561 0.540 0.626 0.661 0.318 0.314 0.592 0.392 0.415 0.674 0.358 0.397 0.563 0.375 0.79 0.060 0.610 0.711 0.70 0.558 0.371 0.682 0.705 0.387 0.502 0.180 0.2 3.295 0.180 0.677 0.692 0.579 0.617 0.635 0.335 0.431 0.505 0.354 0.060 0.368 0.350 0.449 0.554 0.453 0.395 0.278 0.491 0.636 0.520 0.543 0.644 0.260 0.020 0.020 0.665 0.579 0.317 0.67 0.595 0.100 0.259 0.482 0.020 0.537 0.080 0.100 0.471 0.220 0.178 0.319 0.237 0.646 0.339 0.648 0.562 0.278 0.220 0.581 0.200 0.691 0.618 0.637 0.629 0.578 0.16 0.643 0.06 0.200 0.414 0.100 0.623 0.020 0.602 0.236 0.407 0.240 0.663 0.647 0.598 0.718 0.0 2.000 0.569 0.607 0.511 0.684 0.600 0.578 0.040 0.696 0.548 0.060 0.451 0.316 0.401 0.575 0.713 0.587 0.509 0.666 0.66 0.040 0.220 0.615 0.485 0.158 0.533 0.160 0.447 0.618 0.641 0.547 0.255 0.668 0.507 0.198 0.040 0.76 0.160 0.679 0.120 0.46 0.492 0.299 0.000 0.36 0.629 0.651 0.654 0.080 0.020 0.120 0.517 0.472 0.040 0.672 0.479 0.525 0.621 0.276 0.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) F (u .347 0.651 0.494 0.583 0.200 0.56 0.454 0.545 0.433 0.671 0.729 0.357 0.298 0.665 0.561 0.626 0.597 0.727 0.140 0.100 0.48 0.120 0.329 0. 906 0.795 0.753 0.862 0.912 0.804 0.923 0.914 0.820 0.876 0.840 0.15 1.785 0.843 0.835 0.895 0.722 0.8 0.740 0.814 0.793 0.721 0.824 0.815 0.922 0.732 0.840 0.868 0.804 0.888 0.829 0.859 0.82 0.815 0.880 0.818 0.890 0.859 0.935 0.819 0.843 0.883 1.845 0.902 0.790 0.719 0.919 0.921 0.844 0.789 0.777 0.000 1.878 0.876 0.777 0.970 0.833 0.878 0.801 0.799 0.888 0.870 0.937 0.807 0.904 1.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) F (u .020 1.816 0.4 2.938 0.897 0.940 0.948 0.893 0.782 0.866 0.826 0.771 0.833 0.764 0.916 0.877 0.759 0.934 0.698 0.793 0.783 0.754 0.815 0.874 0.900 0.904 0.797 0.858 0.829 0.754 0.847 0.813 0.809 0.882 0.808 0.801 0.836 0.837 0.762 0.757 0.739 0.898 0.839 0.807 0.755 0.917 0.750 0.867 0.785 0.93 0.719 0.818 0.913 0.886 0.745 0.720 0.917 0.908 0.837 0.871 0.960 0.6 2.940 0.824 0.743 0.796 0.864 0.89 0.818 0.855 0.833 0.851 0.928 0.870 0.10 1.899 0.752 0.692 0.795 0.739 0.905 0.920 0.881 0.746 0.893 0.753 0.881 0.764 0.729 0.18 1.94 0.20 1.826 0.780 0.891 0.886 0.965 0.772 0.806 0.19 0.811 0.701 0.827 0.820 0.750 0.767 0.850 0.835 0.828 0.005 0.897 0.84 0.738 0.764 0.777 0.861 0.870 0.793 0.908 0.805 0.942 0.865 0.733 0.890 0.803 0.804 0.776 0.856 0.856 0.841 0.727 0.07 1.822 0.731 0.777 0.904 0.17 1.889 0.820 0.704 0.885 0.87 0.918 0.710 0.849 0.775 0.860 0.740 0.770 0.945 0.703 0.808 0.713 0.883 0.850 0.746 0.85 0.950 0.899 0.09 0.703 0.985 0.695 0.880 0. N )− S0 = ∫ u 0 N 2.725 0.948 0.794 0.13 1.921 0.680 0.800 0.829 0.926 0.935 0.800 0.798 0.773 0.807 0.737 0.861 0.787 0.954 0.726 0.812 0.822 0.877 0.894 0.907 0.865 0.698 0.811 0.868 0.919 0.877 0.818 0.934 0.836 0.909 0.787 0.812 0.22 1.733 0.80 0.926 0.821 0.890 0.881 0.801 0.884 0.812 0.26 1.855 0.908 0.855 0.86 0.897 0.850 0.829 0.762 0.942 1.846 0.837 0.03 1.765 0.900 0.812 0.28 0.758 0.731 0.870 0.873 0.872 0.765 0.916 0.831 0.885 0.715 0.788 0.859 0.788 0.674 0.741 0.795 0.857 0.6 3.927 0.752 0.830 0.910 0.858 0.709 0.782 0.837 0.744 0.789 0.960 0.727 0.810 0.873 0.867 0.770 0.818 0.010 1.816 0.767 0.874 0.824 0.912 0.934 0.848 0.871 0.770 0.854 0.932 0.841 0.783 0.975 0.810 0.995 1.886 0.908 0.733 0.847 0.772 0.824 0.846 0.914 0.822 0.846 0.896 0.860 0.960 0.88 0.917 0.832 0.754 0.927 0.686 0.783 0.785 0.903 0.945 0.756 0.837 0.903 0.891 0.788 0.822 0.911 0.90 0.955 0.851 0.830 0.917 0.929 0.805 0.851 0.04 0.015 1.880 0.826 0.793 0.776 0.887 0.2 3.872 0.758 0.2 2.864 0.764 0.813 0.24 1.707 0.824 0.892 0.737 0.81 0.790 0.823 0.834 0.841 0.793 0.891 0.845 0.760 0.685 0.828 0.735 0.842 0.05 1.814 0.758 0.841 0.858 0.840 0.725 0.0 2.825 0.744 0.870 0.882 0.744 0.840 0.901 0.782 0.749 0.925 0.801 0.853 0.4 3.900 0.845 0.864 0.887 0.954 0.886 0.879 0.855 0.781 0.846 0.772 0.878 0.852 0.910 0.795 0.849 0.918 0.751 0.779 0.944 0.14 0.895 0.795 0.8 3.831 0.741 0.970 u 446 du 1+ u N .939 0.853 0.749 0.717 0.819 0.874 0.851 0.08 1.949 0.0 3.727 0.782 0.910 0.761 0.759 0.807 0.828 0.789 0.12 1.950 0.990 0.777 0.710 0.770 0.691 0.856 0.847 0.92 0.923 1.16 1.06 1.829 0.791 0.807 0.83 0.845 0.876 0.11 1.799 0.860 0.892 0.743 0.766 0.834 0.866 0.928 0.732 0.715 0.777 0.800 0.931 0.795 0.900 0.915 0.832 0.771 0.752 0.964 0.930 0.775 0.769 0.798 0.860 0.980 0.872 0.945 0.787 0.807 0.907 0.855 0.864 0.91 0.818 0.864 0.933 0.783 0.831 0.862 0.749 0.925 0.851 0.898 0.864 1.910 0.902 0.841 0.931 0.869 0.846 0.712 0.842 0.837 0.823 0.896 0.747 0.801 0.738 0.721 0. 110 1.199 1.990 1.196 1.303 1.034 1.056 1.112 1.082 1.5 5.064 1.080 1.054 1.100 1.097 1.152 1.206 1.150 1.064 1.012 1.90 1.176 1.249 1.098 1.984 0.995 0.158 1.100 1.32 1.205 1.986 0.60 1.039 1.183 1.006 1.979 0.064 1.085 1.196 1.974 0.037 1.028 1.216 1.239 1.42 1.032 1.074 1.172 1.150 1.079 1.078 1.0 4.461 1.981 0.016 1.007 1.120 1.313 1.035 1.342 1.161 1.972 0.8 1.102 1.9 1.134 1.008 0.50 1.153 1.189 1.997 1.029 1.009 1.972 0.122 1.079 1.203 1.121 1.2 3.0 3.000 1.954 0.126 1.40 1.146 1.142 1.047 1.042 1.086 1.955 0.95 1.360 1.117 1.48 0.975 0.989 0.156 1.151 1.996 1.967 0.225 1.0 3.933 0.961 0.121 6.175 1.107 1.149 1.979 0.116 1.012 1.968 0.069 1.041 1.251 1.128 1.055 1.097 1.102 1.46 1.005 1.132 1.119 1.074 1. N )− S 0 = ∫ u 0 N du 1+ u N 2.187 1.131 1.198 1.071 1.124 1.053 1.961 0.966 0.30 1.049 1.137 1.064 1.052 1.283 1.180 1.011 0.067 1.245 1.001 1.042 0.129 1.266 1.133 1.0 7.972 0.045 1.984 0.471 1.122 u 447 .173 1.075 1.384 1.966 0.085 1.212 1.931 0.140 1.977 0.925 0.204 1.063 1.208 1.967 0.176 1.406 1.154 1.40 1.122 1.156 1.36 1.117 1.081 1.993 0.074 1.105 1.096 1.174 1.989 0.066 1.955 0.113 1.955 0.109 1.965 0.941 0.007 1.117 1.188 1.216 1.094 1.162 1.85 1.5 4.016 1.168 1.152 1.0 1.948 0.106 1.166 1.122 1.057 1.997 1.142 1.137 1.053 1.136 1.012 1.072 1.026 1.980 0.352 1.946 0.983 0.162 1.0 9.989 0.077 1.223 1.115 1.092 1.939 0.115 1.137 1.951 0.144 1.952 0.0 10.940 0.103 1.060 1.984 0.020 1.065 1.973 0.049 1.035 1.6 2.073 1.000 1.035 1.010 1.058 1.34 1.089 1.269 1.017 1.994 0.7 2.185 1.989 0.203 1.122 1.308 1.270 1.082 1.146 1.995 1.201 1.175 1.094 2.176 1.104 1.991 0.979 0.4 3.260 1.030 1.133 1.252 1.163 1.039 0.00 2.962 0.004 1.985 0.979 0.085 1.973 0.70 0.026 1.286 1.048 1.162 1.0 1.235 1.190 1.024 1.394 1.041 1.176 1.65 1.232 1.085 1.019 1.075 1.024 1.090 1.075 1.012 1.103 1.292 1.922 0.977 0.6 2.087 1.171 1.066 1.122 1.996 1.101 1.106 3.75 1.178 1.292 1.110 1.122 1.44 1.009 1.930 0.158 1.374 1.260 1.326 1.138 1.228 1.150 1.096 1.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) F (u .983 0.195 1.983 0.062 1.055 1.126 1.147 1.115 1.993 0.80 1.6 3.056 1.120 1.967 0.2 2.004 1.107 1.231 1.103 1.973 0.093 1.10 2.154 1.137 1.20 2.983 0.319 1.109 1.056 1.203 1.064 1.071 1.233 1.167 1.957 0.141 1.130 1.55 1.995 1.002 1.959 0.081 1.989 0.430 1.944 0.979 0.960 0.124 1.272 1.153 1.044 1.022 1.014 1.125 1.048 1.999 0.990 0.084 1.071 2.184 1.015 1.136 1.325 1.049 1.324 1.137 1.5 2.373 1.987 0.065 1.38 0.970 0.027 1.948 0.8 3.976 0.30 2.032 1.142 1.000 1.447 1.125 1.937 0.224 1.090 1.140 1.090 1.005 0.020 1.964 0.090 1.978 0.113 1.129 1.159 1.961 0.0 2.017 1.8 2.085 1.095 1.117 1.000 1.948 0.110 1.131 1.229 1.4 2.003 1.136 1.166 1.221 1.001 1.915 0.0 8.998 1.042 1.982 0. 040 0.50 0.200 0.536 0.260 0.616 0.379 0.694 0.712 0.000 0.71 0.14 0.593 0.615 0.320 0.320 0.576 0.418 0.620 0.589 0.456 0.380 0.140 0.56 0.04 0.686 0.611 0.040 0.080 0.78 0.703 0.681 0.574 0.38 0.596 0.340 0.685 0.42 0.340 0.649 0.180 0.716 0.040 0.300 0.549 0.531 0.180 0.180 0.694 0.533 0.70 0.060 0.260 0.61 0.200 0.612 0.640 0.474 0.359 0.160 0.665 0.28 0.709 0.646 0.46 0.742 0.240 0.550 0.623 0.400 0.602 0.620 0.060 0.100 0.674 0.662 0.63 0.594 0.5 0.320 0.650 0.34 0.100 0.459 0.240 0.360 0.77 0.180 0.220 0.629 0.455 0.200 0.631 0.65 0.398 0.160 0.705 0.754 0.702 0.638 0.22 0.643 0.634 0.000 0.260 0.140 0.67 0.340 0.72 0.000 0.48 0.457 0.673 0.733 0.100 0.74 0.437 0.020 0.731 0.607 0.040 0.30 0.52 0.00 0.180 0.690 0.735 0.120 0.240 0.668 0.495 0.300 0.020 0.0 5.100 0.280 0.686 0.625 0.220 0.587 0.000 0.717 0.360 0.476 0.58 0.140 0.724 0.66 0.380 0.60 0.518 0.18 0.020 0.160 0.397 0.32 0.558 0.567 0.360 0.220 0.493 0.598 0.160 0.320 0.398 0.678 0.120 0.300 0.340 0.603 0.080 0.220 0.378 0.280 0.300 0.060 0.08 0.300 0.06 0.724 0.280 0.725 0.752 0.436 0.682 0.280 0.613 0.694 0.569 0.727 0.622 0.458 0.10 0.439 0.080 0.717 0.120 0.36 0.736 0.605 0.060 0.668 0.659 0.140 0.478 0.2 4.120 0.739 0.40 0.200 0.437 0.497 0.595 0.640 0.200 0.220 0.418 0.637 0.440 0.517 0.120 0.720 0.417 0.670 0.720 0.740 0.512 0.360 0.419 0.320 0.24 0.26 0.747 0.020 0.76 0.654 0.54 0.698 0.040 0.537 0.020 0.280 0.689 0.710 0.100 0.748 0.728 0.707 0.080 0. N )− S0 = ∫ u 0 N 4.240 0.44 0.000 0.665 0.498 0.260 0.339 0.240 0.660 0.12 0.744 0.656 0.699 0.604 0.515 0.760 u 448 du 1+ u N .20 0.479 0.64 0.400 0.73 0.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) F (u .75 0.712 0.731 0.060 0.657 0.570 0.79 0.555 0.632 0.532 0.585 0.738 0.080 0.69 0.677 0.677 0.140 0.160 0.652 0.552 0.02 0.629 0.0 4.380 0.702 0.260 0.16 0.475 0.68 0.62 0.420 0.647 0.494 0.513 0.5 5. 803 0.873 0.939 0.859 0.889 0.771 0.896 0.837 0.964 0.020 1.911 0.891 0.784 0.907 0.817 0.0 4.970 0.5 0.773 0.972 0.987 0.846 0.88 0.803 0.828 0.857 0.26 1.863 0.040 0.869 0.2 4.868 0.867 0.935 0.762 0.790 0.977 0.861 0.943 0.859 0.945 0.16 1.887 0.950 0.933 0.873 0.832 0.947 0.893 0.962 0.985 0.80 0.920 0.783 0.05 1.750 0.799 0.907 0.768 0.791 0.866 0.844 0.907 0.883 0.07 1.881 0.826 0.000 1.919 0.954 1.943 0.811 0.942 0.798 0.976 0.990 0.030 1.897 0.870 0.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) F (u .956 0.887 0.811 0.766 0.899 1.950 0.958 0.948 0.893 0.819 0.926 0.916 0.753 0.829 0.92 0.911 0.776 0.845 0.822 0.898 0.975 0.86 0.881 0.08 1.869 0.14 0.835 0.880 0.923 0.89 0.867 0.951 0.06 1.936 0.974 0.875 0.936 0.840 0.914 0.784 0.883 0.917 0.886 0.876 0.971 0.780 0.957 0.921 0.884 0.995 1.960 0.902 0.0 5.897 0.11 1.892 0.894 0.857 0.83 0.982 0.850 0.845 0.797 0.834 0.898 0.947 0.944 0.776 0.903 0.84 0.905 0.963 0.769 0.94 0.85 0.5 5.975 0.821 0.901 0.880 0.10 1.755 0.913 0.986 0.957 0.793 0.861 0.90 0.890 0.870 0.953 0.960 0.981 0.962 0.786 0.818 0.915 0.878 0.916 1.874 0.22 1.970 0.851 0.877 0.953 0.812 0.910 0.954 0.17 1.93 0.875 0.762 0.928 0.947 0.889 0.18 1.778 0.810 0.833 0.770 0.977 0.15 1.746 0.963 0.932 0.852 0.918 0.886 0.783 0.950 0.757 0.924 0.828 0.906 0.990 u 449 .940 0.932 0.902 0.005 0.875 0.840 0.893 0.846 0.831 0.91 0.861 0.981 0.823 0.923 0.925 0.921 0.24 1.87 0.909 0.950 0.857 0.797 0.966 0.851 0.840 0.883 0.81 0.777 0.970 0.861 0.856 0.901 0.864 0.28 0.965 0.825 0.873 0.866 0.911 0.972 0.939 0.82 0.760 0.867 0.944 0.805 0.816 0.960 0.957 0.09 0.864 0.879 0. N )− S 0 = ∫ u 0 N du 1+ u N 4.904 0.935 0.010 1.920 0.936 1.941 0.951 0.015 1.948 0.810 0.790 0.20 1.885 0.968 1.931 0.816 0.927 0.12 1.854 0.804 0.13 1.805 0.888 0.764 0.931 0.927 0.878 0.980 0.798 0.929 0.938 0.19 0.928 0.791 0.896 0.839 0.968 0.882 0.863 0. 111 1.0 1.994 0.055 1.008 1.029 1.42 1.994 0.040 1.029 1.100 1.068 1.099 1.035 1.084 1.0 5.014 1.014 1.008 1.093 1.073 1.103 1.995 0.997 1.059 1.068 1.047 1.097 1.028 1.985 0.068 1.111 1.006 0.085 1.068 1.042 1.990 0.5 5.039 1.064 1.049 1.48 1.5 5.022 1.054 1.106 1.8 2.056 1.018 1.100 1.979 0.111 1.016 1.004 1.016 1.071 1.5 1.991 0.087 1.005 1.061 1.078 1.082 1.039 1.022 1.056 1.75 1.054 1.045 1.65 1.012 1.85 1.009 1.60 1.020 1.003 0.34 1.38 0.056 1.009 1.053 1.085 1.076 1.10 2.017 1.051 1.051 1.060 1.002 1.075 1.050 1.068 1.985 0.085 1.056 1.058 1.057 1.052 1.051 1.0 1.092 1.051 1.077 1.065 1.2 4.111 1.100 1.32 1.068 1.999 1.086 1.5 2.098 1.50 1.079 1.30 1. N )− S0 = ∫ u 0 N 4.035 1.022 1.001 1.047 1.037 1.986 0.100 1.067 1.014 1.998 0.019 1.034 1.090 1.073 1.111 1.063 1.041 1.016 1.021 1.055 3.043 1.999 1.065 1.096 1.057 1.064 1.032 1.018 1.094 1.068 1.108 1.7 2.44 1.0 4.95 1.0 7.055 1.30 2.90 1.080 1.089 1.065 1.978 0.098 1.990 0.020 1.086 1.086 1.060 1.056 1.071 1.010 1.20 2.086 1.059 1.056 1.36 1.047 1.085 1.084 1.052 2.088 1.090 1.081 1.056 u 450 du 1+ u N .068 1.030 1.40 1.045 1.992 0.080 1.013 1.049 1.087 1.46 1.055 1.70 1.40 1.028 1.9 1.55 1.046 2.0 10.061 1.053 1.000 0.001 1.068 1.079 1.054 1.083 1.016 1.041 1.996 1.011 1.056 1.071 1.034 1.076 1.00 2.995 0.0 8.056 6.036 1.100 1.062 1.046 1.066 1.043 1.020 1.054 1.063 1.029 1.047 1.020 1.062 1.80 1.5 4.6 2.099 1.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow) F (u .110 1.006 1.0 3.0 9.067 1.039 1.065 1.005 1.0 4. En cierta sección el tirante correspondiente al movimiento gradualmente variado es de 3 m.12?.00038.025. b) flujo supercrítico. a) Calcular el tirante normal b) Determinar cuál de los seis casos del movimiento gradualmente variado se presentará al colocar un vertedero cuyo umbral es de 1. El ancho en el fondo es de 1.75 m por encima del tirante normal. 4. 451 .60 m. Se tiene un canal trapecial de concreto ( n =0. El caudal es de 10 m3/s.5 m. El tirante normal es de 3.028. Un canal muy ancho tiene una pendiente de 0. tal como se aprecia en la figura.75 m por debajo del que correspondería al tirante normal.80 m. Se tiene un canal trapecial de 20 m de ancho en la base y un talud 1:2. se coloca una compuerta. Calcular el tirante en una sección ubicada 40 m aguas abajo de la sección mencionada.001. yn 2.0001 y el gasto es de 1 m3/s. ¿Cuáles serían las características de dicha curva si la pendiente fuese 0. alejada de sus extremos. Si el coeficiente C de Chezy es 40 m1/2/s calcular las características de la curva de remanso originada por el vertedero. El canal termina en una caída libre. El talud es de 45º.014). Se debe determinar los diferentes perfiles de la superficie libre considerando dos situaciones diferentes en el canal: a) flujo subcrítico.7 m3/s. La pendiente es 0. Cuando hay marea alta el pelo de agua alcanza en la desembocadura un nivel que está 1. El gasto es de 12. Cuando hay marea baja el nivel de la superficie libre está 0. 5. El coeficiente de rugosidad n de Kutter es 0. Este canal desemboca en el mar. Calcular la curva de remanso en cada caso.20 m. En una cierta sección del canal. La pendiente es 0. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 1 m.Capítulo VIII Movimiento gradualmente variado PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo VIII) 1. La pendiente del fondo es 0.0003 y la rugosidad de Kutter es n =0. En un canal muy largo se establece un flujo permanente. 3. Se coloca un vertedero a todo lo ancho del canal y el tirante se eleva a 6. El nivel de agua sobre la cresta de entrada es de H =1.7 m de ancho toma agua de un embalse.0 m3/s Nivel del agua en el río 576.80 m Cota del fondo del canal en su iniciación 575.00 m Coeficiente de Kutter (supóngase constante) 0. 575.80 m 575.80 m Calcular a) El nivel de la superficie libre en la iniciación del canal b) Cota de la línea de energía en la iniciación del canal c) Tipo de perfil correspondiente al movimiento gradualmente variado que se presenta en el canal. H S0 7.85 m. La toma es suave y redondeada.014 Gasto en el canal 5.Hidráulica de tuberías y canales 6.85 m 576.013 es recto y largo. Calcular el caudal y el tipo de perfil superficial en la entrada del canal si se supone que las pérdidas son despreciables. La pendiente es S 0 =0. El canal rectangular de descarga de una turbina desemboca en un río. Los datos son los siguientes Cota del fondo del canal en la desembocadura 575.80 m 452 . El canal de concreto con n =0.001.00 m Ancho del canal 8.85 m Longitud del canal 275. Arturo Rocha Un canal rectangular de 3. 10.Capítulo VIII 8.20 m de profundidad. 453 . Calcular el perfil de la superficie (con un mínimo de 6 puntos) entre la compuerta de fondo y el vertedero. Un canal rectangular de 2.90 m de diámetro que tiene un tirante de 0.90 m. Determinar el exponente hidráulico M de un conducto circular de 0.15 m de profundidad. Existe una compuerta de fondo a 300 m aguas arriba del vertedero.60 m.40 m de ancho tiene una pendiente de 1/500. que permite la salida de un chorro de agua de 0. El coeficiente de Chezy es 49. Movimiento gradualmente variado Determinar el exponente hidráulico N de un canal trapecial cuyas características son las siguientes T 1 2 T = 12 m b=5m b 9. En su extremo hay un vertedero que eleva la corriente a 1.7 m1/2/s y el tirante normal es 0. Indicar igualmente los tipos de curva y sus características. Si existiera un salto hidráulico. ¿dónde ocurriría y cuál sería su altura?. por su forma. En realidad en un vertedero siempre están presentes ambas funciones.Vertederos Capítulo IX CAPITULO IX VERTEDEROS 9. Sin embargo. por su inclinación con respecto a la corriente y por otras circunstancias. son a la vez estructuras aforadoras. Los que tienen el objetivo exclusivo de medir.1 Objeto de los vertederos. En general. Pueden clasificarse por el tipo de cresta. lo hacen por lo general con caudales relativamente pequeños. Los vertederos resultan muy útiles para medir caudales. Una escotadura es el entrante que resulta en una cosa cuando está cercenada. Estas funciones no son excluyentes. Existen diferentes tipos de vertederos. escotadura) de contorno abierto. es decir. por ejemplo en una presa.1 se aprecia una escotadura rectangular de longitud L . En las obras de ingeniería hidráulica. por las condiciones laterales. o bien en una barrera colocada en un canal o río. que miden caudales. A esta estructura se le denomina aliviadero. 455 . En la Figura 9. o cuando parece que lo está. Tipos El vertedero ha sido definido por Balloffet como ‘‘una abertura (o mejor. También puede construirse un vertedero para permitir el rebose del líquido al llegar a un cierto nivel. o que circula por el río o canal’’. practicada en la pared de un depósito. por los niveles de aguas abajo. un vertedero suele tener una de las dos finalidades siguientes: a) medir caudales y b) permitir el rebose del líquido contenido en un reservorio o del que circula en un río o canal. como si le faltara allí algo para completar una forma más regular. y por la cual escurre o rebasa el líquido contenido en el depósito. se construyen vertederos para que cumplan la función de aliviaderos. R. V.V0 2g M. V. hV =∀! A Napa vertiente H V02 2g Escotadura H V0 > 3H P L Hidráulica de tuberías y canales 456 2 ! > 3H P Paramento B Aguas muertas B 4H P : es el umbral ! : es el coeficiente de Coriolis H : es la carga L : es la longitud del vertedero B : es el ancho del canal de aproximación V0 : es la velocidad de aproximación Arturo Rocha Figura 9. M. G.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada . a una napa vertiente.). Es un ‘‘remanso de depresión’’ originado en la transformación de energía potencial en energía cinética. En consecuencia.1 se muestra también la altura del umbral P del vertedero (paramento). en todo el contorno de la napa la presión es igual a la atmosférica. En la Figura 9.1. Hacia aguas arriba.). Sobre el vertedero y en sus inmediaciones hay un movimiento rápidamente variado (M. Se denomina carga sobre el vertedero a la altura H con respecto a un plano horizontal que pasa por la cresta. medida en la sección AB. V. tal como se aprecia en la Figura 9. hV H P hV p # p # Figura 9. es decir.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre ( P >>> H ) 457 . siendo H la carga sobre el vertedero.2 se observa la red de corriente correspondiente a esas condiciones (chorro libre). Un vertedero da lugar a un chorro. En la Figura 9. R. estudiados en un curso anterior de Hidráulica o de Mecánica de Fluidos. o trayectoria de la napa.Vertederos Capítulo IX Para una mejor comprensión de los aspectos teóricos vinculados a la descarga por vertederos es necesario que el lector recuerde y tenga presente algunos conceptos de descarga por orificios. hay un movimiento gradualmente variado (M. Se acepta que en la sección AB rige la ley hidrostática. Existen fundamentalmente dos tipos de napa vertiente en función de la presión que la rodea. Obsérvese que inmediatamente aguas arriba del umbral de vertedero hay una zona de estancamiento o de aguas muertas. en una sección AB. que es la distancia entre el fondo y la cresta del vertedero. Esta sección se encuentra a una cierta distancia del vertedero.1. Referencialmente se considera que esta distancia es igual a 4 H . V. En la napa libre la presión que hay en el espacio comprendido entre el paramento del vertedero (umbral). las paredes del canal inmediatamente aguas abajo de él y la parte inferior de la napa vertiente es igual a la atmosférica. En estas condiciones se forma el perfil. representado en la Figura 9. G. 20 .19 0.50 .0.0.0.70 0.155 0.00 .125 0.00 - 0.0. Para ello.20 .830 1.745 1.060 0.60 .450 0 .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha En la Tabla 9.270 0.125 0.010 0. si es necesario.125 0. Cuando el chorro es libre las condiciones de descarga (la napa) se mantienen bastante constantes y el vertedero es así confiable para medir caudales.03 0.665 1.54 .60 .0.05 .805 1.50 . según Franke.1.775 1.570 2.10 .0.1.00 .035 0.510 .80 .0.0.380 0.1.005 0.70 .620 2.90 .0.43 0.030 0.50 0.75 .40 .125 0.0.00 - 0.00 .3.00 - 1.41 0.1 se aprecia las coordenadas típicas correspondiente a un chorro libre. se colocan tomas de aire que garantizan la comunicación con la atmósfera.985 0.0.31 .22 0.3.0.210 0.00 x P>H z x 458 z PARTE PARTE INFERIOR SUPERIOR x PARTE PARTE INFERIOR SUPERIOR .2. Para conseguir la condición de chorro libre puede ser necesario ventilar debidamente el espacio antes mencionado ubicado debajo del chorro.540 3.0.000 0.0.0.1 COORDENADAS CARACTERISTICAS DE UNA NAPA VERTIENTE LIBRE ( P >>> H ) z H 1.0.0.2.75 .80 .30 0 0.105 0. Este es el caso deseable en un vertedero.0.705 1.0.59 0.1.950 0.40 .50 . TABLA 9. siempre que la altura del umbral sea mucho mayor que la carga sobre el vertedero ( P >>> H ).80 .0.74 .10 .11 .2.540 . Vertederos 459 Figura 9.Capítulo IX La presión en el espacio comprendido entre el El espacio comprendido debajo de la napa está Desaparece el aire en el espacio ubicado debajo paramento del vertedero y la napa vertiente es lleno de agua y aire. La napa vertiente (el chorro) no es estable: es oscilante. El aire se ha ido arrastrando. La lámi menor que la atmosférica y dicho espacio se El chorro es inestable. encuentra lleno de aire.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida . queda adherida al paramento del vertedero. de la napa y éste queda lleno de agua. ubicado debajo de la napa vertiente. Puede darse que el espacio debajo de la napa. Se dice entonces que la napa está deprimida. tiene una presión menor que la atmosférica el chorro no tiene descarga libre y se acerca al paramento del vertedero.11 H 2 H 3 p P P >> H Ventilación Figura 9. es decir. Si éste es menor que 2H / 3 se considera que el vertedero es en pared delgada.1.27 H 0. En estas condiciones el chorro se vuelve inestable y el vertedero no resulta adecuado para medir caudales.1 460 . La pared puede tener un cierto espesor. como se deduce de la observación de la Figura 9. la napa pasa de deprimida a adherente y adquiere una trayectoria vertical. pues inducen a error en la medición del caudal. Finalmente. La diferencia está en el tipo de contacto entre la napa vertiente y el paramento. 0. Para que un vertedero se considere en pared delgada no es indispensable que la cresta sea delgadísima como la de la Figura 9. esté libre de agua.66 H 0.23 H H p 0. pegada (adherida) al paramento.15 H 0.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Cuando el espacio antes descrito.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente en un vertedero en pared delgada. convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 9. En los vertederos en pared delgada el contacto entre el agua y la cresta es sólo una línea.85 H 0.3. Esto se produce con caudales pequeños. parcialmente con agua o totalmente lleno de agua.4 que corresponde a una napa vertiente en cresta delgada. en el que se produzca una presión menor que la atmosférica. Clasificación de los vertederos por el tipo de cresta Por el tipo de cresta se distingue dos grandes tipos: vertederos en pared delgada y vertederos en pared gruesa. una arista. tal como se aprecia en la Figura 9. Las condiciones de lámina vertiente adherida o deprimida deben evitarse. Se aprecia como se forma la napa vertiente. Si el umbral P fuese mucho mayor que H entonces V 0 tendería a cero. Velocidad de aproximación Se denomina velocidad de aproximación (velocidad inicial o de llegada) a la velocidad media que corresponde a la sección AB en la que el escurrimiento se produce en toda la sección. La velocidad de aproximación V 0 es V0 = Q Q = A B (P + H ) (9-1) siendo B el ancho del canal de aproximación. El flujo se adhiere a la cresta. cuyas dimensiones relativas aproximadas se dan en la Figura 9. en tanto que los tipos a y b se llaman de pared intermedia. El vertedero tipo c se considera en pared gruesa propiamente dicha.Vertederos Capítulo IX (a) (b) (c) Figura 9. lo que es indispensable para la correcta medición de caudales. según dibujo de Balloffet En cambio.5 Vertederos en pared gruesa. Esta velocidad inicial da lugar a una energía cinética hV = α V02 2g hV cuya expresión es (9-2) 461 . La cresta del vertedero es aguda (de umbral achaflanado) y el contacto es sólo una línea. En la Figura 9. En los vertederos en pared delgada la napa se caracteriza porque en todo su contorno la presión es igual a la atmosférica. Obsérvese que hacia aguas abajo de la sección AB la sección transversal que participa del escurrimiento es menor.4. En la Figura 9.1 se observa las características generales de la descarga sobre un vertedero en pared delgada. en los vertederos en pared gruesa el contacto es un plano.5 se observa tres vertederos en pared gruesa. que aparece en la misma figura. tal como se observa en la Figura 9. parabólicos. Si la inclinación fuese hacia aguas arriba ocurriría lo contrario. Un vertedero. Clasificación de los vertederos por los niveles de aguas abajo Este es un criterio de clasificación muy importante. En consecuencia. 462 . como ha sido claramente señalado por Domínguez. que ‘‘dicho nivel tenga influencia en el escurrimiento sobre el vertedero. la puede tener en otras circunstancias.1. tal como se ve en la Figura 9. definido como incompleto o ahogado por la cota del escurrimiento de aguas abajo.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Siendo α el coeficiente de Coriolis. poligonales y muchas otras posibilidades geométricas. En el vertedero libre el nivel de aguas abajo es inferior al de la cresta. Clasificación de los vertederos según su forma Según la forma hay diferentes tipos de vertederos: rectangulares. aun inferior a la cota del umbral. circulares. tal como se ve en la Figura 9.6. Existe también el llamado vertedero entrante. tal como se ve en la Figura 9. porque puede suceder que no lo tenga y en cambio otro. Esto no significa necesariamente. Es recomendable también que la altura P del umbral sea por lo menos igual a 3H . para una misma carga H el gasto aumenta con la inclinación hacia aguas abajo. Naturalmente que si B = L es un vertedero sin contracciones laterales. Clasificación por las condiciones laterales de descarga Los vertederos pueden ser con contracciones laterales o sin ellas. En cambio. el vertedero sumergido o incompleto se caracteriza porque el nivel de aguas abajo es superior al de la cresta. Los vertederos con contracciones laterales son aquellos en los que la longitud L del vertedero es menor que el ancho B del canal de aproximación. Para que se produzca contracciones laterales completas es necesario que la distancia entre cada extremo del vertedero y la pared del canal sea por lo menos de 3H . trapeciales.7. pues. triangulares. El vertedero inclinado hacia aguas abajo disminuye la contracción. pero puede estar inclinado hacia aguas arriba o hacia aguas abajo. Clasificación de los vertederos por la inclinación del paramento El paramento de los vertederos suele ser vertical.19. no es sinónimo de vertedero influenciado por dicho nivel’’. Vertederos Capítulo IX (a) Rectangular (d) Circular (b) Triangular (c) Trapecial (e) Parabólico (f) Parábola semicúbica (g) Mixto (h) Hiperbólico (i) Proporcional Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos 463 . 7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c) Vertederos inclinados con respecto a la dirección de la corriente Los vertederos suelen estar ubicados normalmente a la corriente. forman un cierto ángulo con ella. Algunos de ellos se aprecian en la Figura 9.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha H (a) (c) (b) Figura 9. 464 . Sin embargo. B L ∃ Figura 9. eventualmente. tal como se ve en la Figura 9.8.9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente Otros tipos de vertederos Existen otros tipos de vertederos como - Desarrollados Abatibles Inflables Laterales Morning Glory. etc. Vertederos Capítulo IX Vertedero de planta circular Combinación de orificio y vertedero Vertedero proporcional El caudal es proporcional a la carga H cámara inflable Vertedero desarrollado Vertedero Inflable Figura 9.9 Otros tipos de vertederos 465 . Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 9.10 se muestra parcialmente un estanque en una de cuyas paredes hay un orificio rectangular de ancho L .  V2  dQ = 2 g  y + α 0  Ldy 2g   466 .2 Vertederos rectangulares. ! V02 2g y h2 L h1 dy Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un vertedero rectangular Para efectos de cálculo consideramos que en el orificio hay una pequeña franja de área elemental de ancho L y espesor dy a través de la cual pasa el siguiente caudal dQ = VdA = VLdy siendo V la velocidad correspondiente. Para el cálculo de esta velocidad se aplica el teorema de Bernoulli y se obtiene  V2  V = 2 g  y + α 0  2g   Por lo tanto. Fórmula teórica de descarga A continuación se presenta la deducción de la fórmula general de descarga de un vertedero rectangular. En la Figura 9. Los otros elementos característicos se muestran en la figura. Si. que es la carga. además. se tiene 3  2 2   V 2 Q= 2 g  H + α 0   3 2g   h2 = 0. para obtener el gasto real se debe aplicar un coeficiente c de descarga. Si tuviésemos un vertedero en el que la velocidad de aproximación fuese tan pequeña que pudiese despreciarse. Para un vertedero debe darse que llamamos H a h1 . Entonces el gasto real es 3 3  2 2 2 2     V V 2 Q= 2 g c  H + α 0  − α 0   L  3 2g   2g     El coeficiente de descarga (9-4) c se obtiene experimentalmente. ni los efectos debidos a la contracción vertical de la napa. Esta fórmula no toma en cuenta la fricción.Vertederos Capítulo IX Integrando se obtiene el caudal a través del orificio Q = 2g ∫ h1 +α V02 2g 1  V 2 2  y + α 0  Ldy 2g   h2 + α V02 2g 3  2 2   V 2 Q= 2 g  h1 + α 0   3 2g   3   V02  2   L −  h2 + α 2 g     Esta fórmula es para un orificio. 3   V02  2    − α  L  2 g    (9-3) que es la fórmula teórica de descarga de un vertedero. En consecuencia. entonces. para V 0 = 0 se obtiene la descarga teórica 3 Q= 2 2 g LH 2 3 (9-5) La descarga real se obtiene aplicando un coeficiente de descarga c y se llega a 3 Q= 2 2 g cLH 2 3 (9-6) 467 . Las diversas investigaciones experimentales para determinar el coeficiente de descarga se han desarrollado para diferentes condiciones. Rehbock (1911). en otras se introduce una longitud o una carga ficticia para tomar en cuenta los efectos originados en fenómenos no considerados en la deducción de la fórmula teórica. Si nos salimos de él no hay seguridad en los resultados. Obsérvese que si en la fórmula 9-3 consideramos V02 2 g = hV y tomamos factor común H . el coeficiente de descarga c de un vertedero depende de varios factores: carga H . De las numerosas fórmulas existentes se presenta las siguientes: Francis (1852). En lo que respecta a vertederos rectangulares hay dos grandes grupos de ellos: sin contracciones y con contracciones laterales. Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos (1924). En las Figuras 9. en consecuencia. un campo de aplicación.4 se aprecia las características generales de la napa vertiente en un vertedero rectangular. La determinación del coeficiente de descarga c ha sido objeto desde el siglo XIX de numerosos estudios experimentales. Los estudios experimentales han partido de la fórmula teórica 9-3 y han seguido diversos caminos. propiedades del fluido. siempre que se aplique dentro de los límites fijados en los trabajos experimentales. En general. Bazin-Hegly (1921). KindsvaterCarter (1959). etc.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha que es la ecuación de descarga característica de los vertederos rectangulares. entonces se obtiene 3 3  3 2 2 2 h h     V V 2 2 g LH 1 + α  − α   Q=  3 H  H    (9-7) si comparamos esta fórmula con la 9-6 se obtiene una interpretación de un coeficiente de descarga que toma en cuenta el efecto de la velocidad de llegada y cuyo valor es 468 . Referencialmente se señala que si la sección transversal del canal de aproximación es mayor que 8 LH entonces se puede despreciar la velocidad de aproximación. En algunas investigaciones simplemente se introduce un coeficiente. altura del umbral. La posibilidad de despreciar la velocidad de aproximación depende de su valor y de la precisión con la que estemos trabajando. La aproximación que da cada fórmula es bastante buena. Obsérvese que en un vertedero rectangular el caudal es directamente proporcional a la longitud del vertedero y a la potencia 3/2 de la carga.1 y 9. naturaleza de los bordes. Cada investigación tiene. que constituyen los límites de aplicación de la fórmula. Se recomienda también que la altura del umbral P esté comprendida entre 0.50 m. La fórmula de Francis es 3 3  2 2 2 2     2 nH V V   2 g 0. experimentó también con otras longitudes.50 m. Francis realizó sus experiencias en Lowell.84 es dimensional. dentro de determinadas condiciones.60 m y 1. La mayor parte de las experiencias las hizo con un vertedero de 10 ft de longitud (3. En el sistema de unidades inglesas se tendría 469 . La fórmula obtenida por Francis considera la velocidad de aproximación V0 y la posibilidad de contracciones laterales. sin embargo.Vertederos Capítulo IX 3 3 h 2  h 2  1 + α V  −  α V  H  H  (9-8) 9. Se recomienda también que la relación L / H sea mayor que 3.3 Fórmula de Francis James B.18 m y 0.84 3 (9-10) Obsérvese que el coeficiente 0. ésta estuvo comprendida entre 0. en vertederos rectangulares en pared delgada con el objetivo de encontrar una expresión para el coeficiente de descarga. las que constituyen los limites de aplicación del coeficiente de descarga que obtuvo. Francis realizó más de 80 experimentos. En lo que respecta a la carga. Massachusetts.622 es adimensional. entre 1848 y 1852.622  L − Q=   H + 0  −  0   3 10   2g   2g     (9-9) En el sistema métrico se considera 2 2 g 0.05 m).836 ≈ 1.622 = 1. en cambio el coeficiente 1. entonces (9-13) n = 0 y la fórmula de Francis quedaría reducida a 3 Q = 1. se compara los resultados obtenidos y se prosigue hasta lograr la aproximación deseada. 470 . la longitud del vertedero L en metros. puesto que para calcular V0 se requiere conocer la carga H . Si se considera que la velocidad de aproximación es muy pequeña y que puede despreciarse. Con ese valor preliminar obtenido se aplica la ecuación general.84 L − 10  3 3   V02  2  V02  2      −   H + 2 g   2 g       (9-12) en la que el caudal Q está en m3/s. no hubiese contracciones laterales. 1. la carga H en metros. Aparece así una longitud efectiva  L − nH   en función del número n de 10  contracciones. Lo que se recomienda es hacer un cálculo preliminar a partir de la fórmula (9-14). 2). entonces V0 = 0 y la fórmula de Francis queda así 3 nH  2  Q = 1. Obsérvese que si L ≤ 0. la velocidad de aproximación V0 en m/s. Se designa como n el número de contracciones (0. Se observa que el criterio que usa Francis para considerar el efecto de las contracciones es el de considerar que como consecuencia de ellas se produce una reducción de la longitud del   vertedero.2 H aparecería cero o un valor negativo para el caudal.622 = 3.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 2 2 g 0.84 LH 2 (9-14) Para aplicar la fórmula general de Francis (Fórmula 9-9) es necesario recurrir a un método de tanteos y aproximaciones sucesivas.33 3 (9-11) En el sistema métrico la fórmula general de Francis queda así nH  Q = 1.84 L − H 10   Si. además. asumiendo que la velocidad V0 de aproximación fuese cero y que no hubiese contracciones. La fórmula de Bazin-Hégly se aplica a vertederos cuyas cargas están comprendidas entre 0.50 m y 2.6075 + 1 0 .00 m y en los que la altura del umbral se encuentra entre 0.Vertederos Capítulo IX Si la fórmula es aplicada correctamente y el vertedero fue bien colocado se puede lograr aproximaciones de ± 3 %. cuyas longitudes están entre 0.60 m. También se le conoce con el nombre de fórmula de Bazin-Hégly. a partir de las investigaciones de Bazin.045 +  1 + 0. se obtendría resultados menores que los reales. La llamó ‘’fórmula completa de Bazin’’. una nueva fórmula para el cálculo de la descarga de un vertedero rectangular en pared delgada con contracciones o sin ellas.00405   L  H   c = 0.6075 − 0.00405    H    + c =  0. Si el vertedero fuese sin contracciones. Si se usase el vertedero para medir caudales que den lugar a cargas muy pequeñas.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares a) Fórmula de Bazin.20 m y 2. 9. En 1921 Hégly publicó. 55    H    H + P    (9-16) 471 . ampliada por Hégly En 1886 Bazin luego de una larga serie de cuidadosos experimentos estableció una fórmula para calcular la descarga en vertederos rectangulares sin contracciones. fuera de los límites de aplicación de la fórmula de Francis.55    B H   B H +P  2 2    (9-15) en la que B es el ancho del canal. entonces B = L y el coeficiente de descarga sería 2 0. La fórmula de Bazin-Hégly parte de la ecuación 9-6.00 m. de descarga de un vertedero 3 Q= 2 2 g cLH 2 3 en la que para un vertedero con contracciones laterales el valor de c es B − L 0.10 m y 0. Los límites de aplicación de esta fórmula para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares con contracciones son 0. según que haya contracciones o no. El coeficiente c para un vertedero con contracciones es 2  L  3.025 m < H ≤ 0.037  +    1 +  1000 H + 1. La fórmula parte de la ecuación 9-6 de descarga de un vertedero 3 2 Q= 2 g cLH 2 3 En esta fórmula también hay dos coeficientes.025 ≤ H ≤ 0.615 − 3    2 2  1 L H   B  L   c = 0.578 + 0.80 m L B L ≥ 0.6   2 B  H + P   B     (9-17) B es el ancho del canal. Los límites de aplicación de este coeficiente son 0.80 m 472 (9-18) .30 B H ≤1 P El coeficiente de descarga c para un vertedero sin contracciones es 2 1  1  H    c = 0.6   2  H + P   La carga H está en metros.615 1 +    1 +   1000 H + 1.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha b) Fórmula de la Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos Esta fórmula de descarga para vertederos rectangulares en pared delgada fue adoptada en 1924.30 B m P ≥ 0. K H es un valor igual a 0.Vertederos Capítulo IX P ≥ 0. W.12.8 0. 473 . La cresta debe ser de 1 ó 2 mm de espesor. Tiene origen experimental y aparece en la Figura 9.001 m.6 0. Kindsvater y R. La fórmula es Q = ce 3 2 2 g (L + K L )(H + K H )2 3 (9-19) Como puede apreciarse.11 Gráfico para la determinación de KL Entre los requerimientos para una correcta aplicación de la fórmula están los siguientes.4 0. Fue establecida por C. en lugar de la longitud del vertedero se usa la ‘‘longitud efectiva’’.8 11 LL BB Figura 9.4 0.Carter Es una de las fórmulas de mayor confiabilidad. que se adiciona a la carga para constituir la ‘’carga efectiva’’.6 0.30 m H ≤ 1 P c) Fórmula de Kindsvater .2 0. con contracciones o sin ellas.2 0. Se aplica a todos los vertederos rectangulares. E. La carga H debe medirse a una distancia igual a 4 ó 5 veces la máxima carga. El vertedero debe ser propiamente en pared delgada. ce es el coeficiente de descarga propio de la fórmula. 55 (mm) KKLL (mm) 44 33 22 11 00 -1 -1 00 0. que es la suma de la longitud L del vertedero más un valor K L que se encuentra a partir de una expresión obtenida experimentalmente y que aparece en la Figura 9.11. Carter y data de 1959. pero debe cumplirse que B − L ≥ 0.6 0.5 H P ISO (1980) LMNO Figura 9. El umbral debe ser por lo menos de 10 cm.9 Coeficiente de descarga ce 0. entonces no hay contracciones. Se observa que se trata de un vertedero con dos contracciones y que la distancia de cada extremo del vertedero a las paredes del canal es apropiada para asegurar buenas condiciones de contracción. Así mismo. La altura del umbral es 1.5.75 0.50 m.7 0. de 2 m de longitud. Calcular el caudal para una carga de 0.8 0. Dadas las dimensiones del vertedero y la carga que se presenta son varias las fórmulas que podrían usarse.4 0 0.5 2 2.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial Ejemplo 9. Solución.65 0.8 =1 0.6 0.50 m.1 En un canal de 6 m de ancho se ha instalado un vertedero rectangular en pared delgada. La carga debe ser superior a 3 cm. la altura del umbral también garantiza una buena contracción. Si la longitud del vertedero es igual al ancho del canal ( L = B ). Fórmula de Francis Para iniciar el cálculo se puede usar la ecuación 9-14 considerando como que no hubiese contracciones no velocidad de acercamiento importante 474 .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha El nivel de la superficie libre de aguas abajo debe estar por lo menos 6 cm debajo de la cresta del vertedero. 2 m L B 0.7 0.5 1 1. La longitud del vertedero y el ancho del canal deben ser superiores a 15 cm.55 0 0. La relación entre la carga H y la altura P del umbral debe ser menor que 2. 238 m3/s   475 .236 = 0. Se hubiera podido partir de la ecuación 9-13.103 m/s 12 hV = V02 = 0.236 m3/s 10   V0 = 1.9 × (0.84 2 −  (0. entonces 3 nH  32  Q = 1.50 + 0.84 × 1. A partir del caudal encontrado se puede calcular la velocidad de aproximación (ec.50 )2 = 1.Vertederos Capítulo IX 3 Q = 1. sin embargo vamos a considerarlo y aplicamos la ecuación 9-12 nH  Q = 1.84 L −  H = 1.238 m3/s Obsérvese que este valor del caudal es casi 5 % menor del que se obtuvo suponiendo que no había contracciones y que la velocidad de aproximación era despreciable.0005 )2  = 1. 9-1) V0 = 1.50 + 0.9 (0.50    Q = 1.108 m/s A B(P + H ) 6 × 2 Aplicando la ecuación 9-2. V0 = 0 ). se obtiene hV = V02 = 0.0006 )2 − (0. para α = 1 .84 × 2 × (0.301 Q Q = = = 0.50 )2 = 1.0006 )2   10    Q = 1. pero como en este caso es tan pequeña no vale la pena hacerlo.0006 m 2g Se trata de un valor bastante pequeño.84 L − 10  3 3   (H + hV )2 − hV 2    3 3 2 × 0.84 ×1. Podría hacerse un nuevo cálculo de la velocidad de aproximación y repetir todo el procedimiento.0005 )2 − (0.84 LH 2 = 1.0005 2g 3 3 Q = 1.301 m3/s 3 Esta sería la descarga del vertedero para las condiciones señaladas ( n = 0 . 00405     2   0.6075 − 0.236 m3/s Fórmula de Bazin El coeficiente c de descarga para la fórmula de Bazin está dado por la ecuación 9-15 2 2 B − L 0.6   2 6  2.50    que es prácticamente igual a la relación entre 1.238 y 1.50    c = 0.037  +      1000 H + 1.045 + 1 + 0.50    6   0.615 − 3    2 2  2  6   1 + 1 2  0.578 + 0.0005  2  c = 1 + α V  − α V  = 1 +  −  = 1.55     6 0.50   c = 0.00405    L  H   + + c = 0.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Por lo tanto según la fórmula de Francis el caudal es 1.238 m3/s.588 y el gasto es Q= 3 2 c 2 g LH 2 = 1.50   0.0005  2  0.227 m3/s 3 Fórmula de la Sociedad Suiza Para un vertedero con contracciones el coeficiente de descarga viene dado por la ecuación 9-17 2  L  3.00   6     476 .6   2 B  H + P   B     Reemplazando los valores conocidos se obtiene 2  2  3. Si quisiéramos calcular el coeficiente de descarga con la ecuación 9-8 se obtendría 3 3 3 3 h  2  h  2  0.50   c = 0.615 − 3   2 2  L  B   1 + 1 L  H   c = 0.6075 − 0.037  +    1000 H + 1.578 + 0.50 + 1.0015 H  H 0.045 1 0 . 55       B H     B   H + P   reemplazando los valores conocidos se obtiene 2 2 6 − 2 0. 238 + 0.025 m.48 % Kindsvater 1.12 y para H = 0.33 se obtiene B K L = 0.006 0.59 P Por lo tanto.0025)(0.242 m3/s 3 3 1.237 m3/s 3 CUADRO COMPARATIVO INVESTIGADOR Q (m3/s) ε (m3/s) % Francis 1.11 y a partir de L = 0. los resultados son bastante coincidentes y las diferencias con respecto al promedio son inferiores al 1 %.0.50 )2 = 1.59 3 2 2 g (2 + 0.595 El caudal es Q= 3 3 2 2 2 g cLH 2 = 2 g × 0.001 0. independientemente del error que cada una de ellas tiene.002 0.227 .0.Vertederos Capítulo IX De donde.236 0 0 Al haber aplicado estas cuatro fórmulas se observa que.001)2 = 1.001 m.237 . Para el cálculo de K L se usa la Figura 9.16 % Bazin 1.08 % Promedio 1. Para el cálculo de ce se usa la Figura 9. c = 0.009 0. Q = 0.73 % Sociedad Suiza 1.756 Fórmula de Kindsvater Se aplica la ecuación 9-19 Q = ce 3 2 2 g (L + K L )(H + K H )2 3 K H es 0.33 se obtiene c e = 0.50 + 0.242 + 0. 477 .595 × 2 × (0. 0813 + P P   H   (9-20) H y P están en metros. El coeficiente c se aplica a la ecuación 9-6.6035 + 0.00009   0.0011 2  1+ c = 0. Sus experiencias fueron muy cuidadosamente hechas y trató de disminuir la influencia de las condiciones de aproximación.60 m.5 Vertederos triangulares Para deducir la fórmula de descarga en un vertedero triangular se plantea la siguiente figura Consideremos el gasto a través de b la pequeña franja elemental dx .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha d) Fórmula de Rehbock Rehbock realizó desde 1911 numerosas experiencias en el Laboratorio de Hidráulica de Karlsruhe con vertederos rectangulares. La longitud de la franja es x dx 2! H b(H − x ) H El área de la franja es b(H − x ) dx H Considerando a esta franja como un orificio y despreciando la velocidad de aproximación se obtiene el caudal dQ = Integrando entre 478 1  1  b (H − x ) 2 gxdx = b 2 g  Hx 2 − x 2 dx H H   x = 0 y x = H se obtiene . La fórmula de 1929 para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares en pared delgada sin contracciones es 3 H 0. Se recomienda usar la fórmula para cargas comprendidas entre 0. 9.025 m y 0. el caudal es Q = 2 2 g c tan α ∫ H 0 1 (H − y )2 ydy integrando se obtiene 479 . de donde 5 QTEORICO = 8 tan α 2 g H 2 15 (9-21) 5 QREAL = c 8 tan α 2 g H 2 15 (9-22) La fórmula de descarga para un vertedero triangular de un ángulo dado y para coeficiente c constante puede expresarse así Q = KH 5 2 siendo. K =c 8 tan α 2 g 15 La necesidad de este coeficiente de descarga c se justifica porque en la deducción de la fórmula no se ha tomado en cuenta la contracción de la napa y otros efectos que si están presentes en el flujo real.Vertederos Capítulo IX 3 4 Q = b 2g H 2 15 Pero. b = 2H tanα . Otra forma de calcular la descarga a través de un vertedero triangular verticalmente simétrico es considerar que la ecuación de uno de los dos lados del triángulo es x = y tan α dy y ! H de donde. como parte del estudio. 480 . Por lo tanto.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 5 8 2 g c tan αH 2 Q= 15 que es la ecuación de descarga de un vertedero triangular.Coke. Como la descarga depende de la potencia 5/2 de la carga se puede tener mayor precisión en la medición de caudales pequeños. La forma de conocer el coeficiente de descarga es mediante estudios experimentales. se aprecia los resultados. El coeficiente c depende de varios factores. En la Figura 9. que liberalmente significa escotadura en V . c= 15 m 8 El gasto se calcula con la fórmula 9-22. Para cargas pequeñas influye la viscosidad y la capilaridad. 90º y 120º. entre ellos están el ángulo del vertedero y la carga. Los vertederos triangulares son muy sensibles a la rugosidad de la cara de aguas arriba y a la exactitud en la medición de la carga. que los errores no son superiores al 5 %. C. Se determinó. 60º. La dificultad se da en conocer los correspondientes coeficientes de descarga. Si el vertedero estuviese formado por un triángulo asimétrico en el que los ángulos con respecto a la vertical fuesen α1 y α 2 se puede considerar el promedio respectivo. tomada de la Hidráulica de Dominguez. 45º. Entre las ventajas de los vertederos triangulares se puede citar las siguientes. en los vertederos triangulares es muy pequeña la influencia de la altura del umbral y de la velocidad de llegada. Cruz . Para ello se requiere que el ancho del canal de aproximación sea igual o mayor a 5 veces la carga sobre el vertedero. De un modo similar se puede obtener la descarga para vertederos de otras formas geométricas. En el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Chile los ingenieros L. Moya y otros realizaron entre 1923 y 1924 una amplia investigación experimental del flujo en vertederos de 15º. B ≥ 5H (9-23) A los vertederos triangulares se les suele conocer por su nombre en ingles: V-notch. Así mismo.13. Para cada ángulo del vertedero y para cada valor de la carga se obtiene el coeficiente m que es 8/15 del coeficiente de descarga c . 30º. 2 COEFICIENTES EN VERTEDEROS TRIANGULARES ANGULO ( 2α ) 15º 30º 45º 60º 90º 120º H> 0.14 0.25 0. para valores mayores de la carga (mayores. Se observa claramente que para cada ángulo el coeficiente aumenta al aumentar la carga.643 0.322 c 0.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares Es interesante analizar la Figura 9.12 m 0.10 0.13.619 0. mientras éstas sean pequeñas.Vertederos Capítulo IX m 0.313 0.471 481 .818 1. Estos valores prácticamente constantes hacia los que tiende el coeficiente de cada vertedero y las cargas respectivas son para cada ángulo los que aparecen en la Tabla 9.30 60º CRUZ COKE Y MOYA 120º otros ángulos MIGUEL Y FIGARI 0.32 0. alrededor de 3 ó 4 cm.25 0 0. mientras más pequeño sea el ángulo) se llega a un valor prácticamente constante.17 0.05 0. el aumento de la carga implica una disminución del coeficiente.33 0.325 0.25 H Figura 9.20 0.2 0.386 2.609 0.587 0.604 K 0.6 0.15 0.35 30º 45º 90º 120º 0.2 TABLA 9. Finalmente. A partir de un cierto valor de la carga.392 0.596 0.185 0.40 2! 15º 0.205 0.343 0. 37 H 2.14 m) 5 2 (para H ≥ 0.2 se podría tener una fórmula simple para cada vertedero de un cierto ángulo. 5 Q = 1. Así. la que se podría aplicar para valores de la carga H mayores que un cierto valor.392H Q = 0.2 H 5 2 (para H ≥ 0. H está en metros y el caudal Q en m3/s.3612 H 2 15 (9-24) James Thomson (1861) realizó experiencias con vertederos triangulares.593 8 2g H 2 15 o bien.818H Q = 1. A Barnes presentó la siguiente fórmula Q = 1. Posteriormente (1908) James Barr demostró experimentalmente que la fórmula de Thomson podía extenderse hasta H = 30 cm.185 m) 5 2 (para H ≥ 0.596H Q = 0. Sus experimentos abarcaron cargas entre 5 y 18 cm.12 m) Para el caso particular de los vertederos triangulares de 90º se tiene que 2α = 90º (α = 45º ) y el gasto teórico es 5 QT = 5 8 2 g H 2 = 2. 48 que es equivalente a la de Thomson y para la cual su autor señala que el error es inferior a 1/5 de 1 %. La fórmula es 5 Q = 0.25 m) Q = 0. Obsérvese que fórmulas como la de Thomson y de Barnes sólo son aplicables a partir de un cierto valor de la carga H obtenido experimentalmente.4 H 2 que es la conocida fórmula de Thomson para vertederos de 90º.205 m) 5 2 (para H ≥ 0. Es muy conocida su fórmula para vertederos triangulares de 2α = 90º .471H 5 2 (para H ≥ 0.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Aplicando la Tabla 9. se tendría Para 15º Para 30º Para 45º Para 60º Para 90º Para 120º Q = 0. A partir de las mediciones de Thomson y Barr.386H Q = 2. 482 . M.17 m) 5 2 (para H ≥ 0. 6 Vertederos trapeciales. Vertedero de Cipolletti Es un vertedero trapecial de determinadas características geométricas. y dos laterales. En consecuencia. cuyas características se señalan a continuación. a pesar de la falta de justificación teórica o experimental. 483 . Vertedero tipo Cipolletti Los vertederos trapeciales son muy poco usados para medir caudales. que son triangulares. Se obtiene así que la descarga en un vertedero trapecial isósceles es 5 3 Q = c1 8 2 2 g tan α H 2 2 g LH 2 + c2 15 3 ! ! H L Se tiene muy poca información experimental sobre los valores de los coeficientes de descarga para este caso. Para el cálculo de la descarga teórica se suele considerar que la sección está conformada por tres partes: una central. En 1887 el ingeniero Italiano Cipolletti estudió y propuso un tipo especial de vertedero trapecial. que es rectangular. - Otra parte a través de los triángulos. Balloffet señala que es frecuente considerar c1 = c2 = 0. casi no hay información sobre sus coeficientes de descarga. 2d ! L H d El gasto se considera formado de dos partes - Una parte a través de la abertura rectangular.6 .Vertederos Capítulo IX 9. La altura P del umbral debe b .2 H )H 2 3 Igualando 3 3 8 2 d 2g H 2 = 2 g (0. Consideremos que el gasto teórico a través de los triángulos es 3 8 Q = d 2g H 2 15 La disminución del gasto en un vertedero rectangular con dos contracciones se obtiene a partir de una fórmula tipo Francis 3 2 Q= 2 g (0.2 H )H 2 15 3 se obtiene H 4 = d 1 Es decir. La distancia 484 . tan α = 1 4 que es la condición de un vertedero tipo Cipolletti. El gasto en el vertedero Cipolletti es el correspondiente a un vertedero rectangular de longitud L . sin contracciones 3 Q = 0.86 LH 2 Para una correcta operación del vertedero Cipolletti se debe cumplir las siguientes condiciones. La carga debe ser mayor que 6 cm.63 2 2 g LH 2 3 L es la base del trapecio. pero debe ser inferior a L 3 . O bien. señalada en la ser mayor que el doble de la máxima carga sobre el vertedero. Esto implica α = 14º 2' .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Por consideraciones geométricas se cumple que tan α = d H Los taludes deben calcularse de modo que el aumento del gasto producido por ellos sea precisamente igual a la disminución del gasto causado por las contracciones en un vertedero rectangular de longitud L . en el sistema métrico 3 Q = 1.63. Experimentalmente se ha determinado que el coeficiente de descarga de un vertedero Cipolletti es 0. en distribución de aguas y otros sistemas compatibles con la aproximación de este vertedero. El primer y más importante punto para una buena y confiable medición de caudales con un vertedero es la apropiada selección del tipo de vertedero. 9.14. debe ser mayor que el doble de la máxima carga. Entre ellas están las siguientes 1. para medir caudales relativamente altos. Así por ejemplo. La carga debe medirse a una distancia de 4 H del vertedero. un vertedero rectangular sin contracciones podría ser el más indicado.Vertederos Capítulo IX Figura 9. En cambio. un vertedero triangular es muy indicado para medir caudales pequeños (puesto que en ellos el caudal depende de la potencia 5/2 de la carga). Más adelante se señala los errores que se pueden producir en el cálculo del caudal como consecuencia de un error en la medición de la carga.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos Los vertederos instalados para medir caudales deben reunir una serie de condiciones indispensables para garantizar su confiabilidad. El vertedero Cipolletti se usa en mediciones de campo. b H 1 0. No se recomienda su uso en laboratorios o en mediciones de precisión. El ancho del canal de aproximación debe estar comprendido entre 30 H y 60 H . Si se cumplen las condiciones de instalación el error puede ser ± 5 %.25 L P B Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti La corrección por velocidad de aproximación puede hacerse de un modo similar al que se hizo con la fórmula Francis. 485 . En los vertederos en pared delgada la cresta debe ser aguda. 4. que lo sea en una longitud no inferior a 10 veces la longitud L de la cresta del vertedero. El vertedero debe instalarse en un tramo recto. Para cada tipo de vertederos existen numerosas fórmulas de origen experimental. 3. E. El vertedero debe colocarse normalmente a la dirección de las líneas de corriente. H >3H L >3H >3 H P >3H Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones. Luego viene la correcta selección de la fórmula. Si estamos fuera de los rangos de experimentación. el umbral P y la distancia a las paredes del canal debe ser por lo menos igual al triple de la máxima carga sobre el vertedero. recta y horizontal. Russell. las que aparecen en la Figura 9. Para efectos de una buena conservación se recomienda que la cresta sea de bronce.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 2. además de las que pueden originarse en cada fórmula.15. debida a G. Para un vertedero rectangular con contracciones existen ciertas recomendaciones de carácter general. El vertedero debe colocarse perfectamente vertical y su cara de aguas arriba debe mantenerse lisa. En estas condiciones la velocidad de aproximación será despreciable. la confiabilidad del resultado es dudosa. Mientras estemos dentro de esos rangos se puede tener una alta aproximación en la medición de caudales. Cada una de ellas tiene un rango de aplicación. 486 . Se observa que la longitud L del vertedero. y que es producto de la recomendación de varios investigadores. Vertederos Capítulo IX 5. La altura del umbral P no debe ser inferior a 0,30 m ni a 3 veces la máxima carga sobre el vertedero. 6. La velocidad de aproximación debe mantenerse pequeña. La sección transversal del canal de aproximación [B × (H + P )] debe ser por lo menos igual a 6, o mejor 8 veces, la sección de la napa vertiente LH . 7. Debe tomarse las medidas pertinentes para que la napa vertiente quede perfectamente aireada. En todo su contorno la presión debe ser igual a la atmosférica. Si fuese necesario, debe instalarse dispositivos de aireación. 8. Si las condiciones de aproximación del flujo no son tranquilas debe colocarse elementos disipadores de energía, es decir tranquilizadores, como pantallas, ladrillos huecos, mallas, etc. 9. La carga debe medirse cuidadosamente, fuera del agua en movimiento, mediante una toma adecuada (principio de vasos comunicantes), a una distancia de aproximadamente cuatro veces la carga ( 4 H ) de modo que no haya influencia del movimiento rápidamente variado que se origina sobre la cresta del vertedero. Tampoco se debe medir la carga a mayor distancia del vertedero, porque entonces aparecería la influencia debida a la pendiente de la superficie libre del canal. 10.Las condiciones de aguas abajo (nivel del agua) deben ser tales que no influyan en la napa. 11. Los vertederos de dimensiones especiales, que no cumplen las condiciones antes señaladas, deben ser cuidadosamente calibrados. 9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha) En la Figura 9.16 aparece un vertedero de cresta ancha en el que la longitud de la cresta, plana y horizontal, es b . El vertedero es de descarga libre, es decir, no influenciado por las condiciones de aguas abajo. Para que el vertedero se comporte como de pared gruesa es necesario que el espesor la cresta sea mayor que los dos terceras partes de la carga b≥ 2 H 3 b de (9-25) puesto que si no se cumple esta condición el vertedero podría ser de pared delgada (ver Figura 9.4) o de pared intermedia. 487 Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha V02 2g V2 %H = 2g H y = yc P b Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa Se considera que la longitud máxima de b debe estar alrededor de 15H En el vertedero en pared gruesa mostrado en la Figura 9.16 se aprecia el perfil característico de la superficie libre. La energía específica aguas arriba es H + V0 2 g , la que debe ser 2 igual a la energía sobre la cresta, suponiendo que no haya fricción ni pérdidas de carga y que el coeficiente α de Coriolis sea igual a 1. Por lo tanto, V02 V2 = y+ H+ 2g 2g siendo V la velocidad media del flujo sobre la cresta y ∆H la diferencia de energía correspondiente. De la última ecuación se obtiene que la velocidad media sobre la cresta es   V2 V = 2 g  H + 0 − y  2g   Aguas arriba del vertedero se ha considerado que el flujo es subcrítico ( F < 1 ). En la sección correspondiente a la caída, al final de la cresta, se produce un flujo supercrítico F > 1 . En algún lugar intermedio, como el mostrado se produce un flujo crítico. 488 Vertederos Capítulo IX El flujo sobre el vertedero es crítico (y = yc ) . Es decir, que el flujo resuelve el cruce del vertedero haciéndolo con el mínimo contenido de energía. Si se tratase de una sección rectangular de ancho L entonces V2  2 y = yc =  H + 0  3 2g  (9-26) Por lo tanto, el gasto teórico sobre el vertedero es   V2 V 2  2 Q = BycV = L  H + 0   2 g  H + 0 − yc   3 2 g   2g    yc V De donde, 3 3 Q = g L yc2 = 3,13L yc2 (9-27) Esta fórmula se suele expresar en función de la energía de aguas arriba 3 3  V 2 2  2 2 Q =   2 g L H + 0  2g  3  Si la velocidad de aproximación es muy pequeña y/o su efecto se considera indirectamente, entonces el gasto teórico es 3 3  2 2 Q =   g LH 2  3 (9-28) En el sistema métrico el gasto teórico sobre un vertedero rectangular en pared gruesa es 3 Q = 1,7 LH 2 (9-29) En el sistema ingles sería 489 Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha 3 (9-30) Q = 3,09LH 2 Para obtener el gasto real deberá introducirse en la ecuación 9-29 un coeficiente de descarga c . Su valor se obtiene experimentalmente y depende de varios factores 3 (9-31) Q = c1,7 LH 2 George E. Russell, presenta algunos valores del coeficiente, provenientes de tres investigadores, para diversos valores de longitud L del vertedero, del umbral P y de las condiciones del borde de aguas arriba del vertedero. Los resultados aparecen en la Tabla 9.3. Si el nivel del flujo aguas abajo del vertedero fuese mayor que el de la cresta de éste, las condiciones de cálculo serían diferentes. TABLA 9.3 COEFICIENTES EN VERTEDEROS DE CRESTA ANCHA EXPERIMENTADOR L P CARGA 1,7c Bazin 2 0,75 0,09 a 0,50 1,42 a 1,61 U.S. Deep Waterways Board 2 1,40 0,25 a 1,50 1,55 Woodburn 3 0,53 0,15 a 0,45 1,53 a 1,57 Bazin 2 0,75 0,06 a 0,45 1,33 a 1,45 U.S. Deep Waterways Board 2 1,40 0,27 a 1,50 1,31 a 1,38 Woodburn 3 0,53 0,15 a 0,45 1,44 a 1,45 BORDE DE AGUAS ARRIBA REDONDEADO BORDE DE AGUAS ARRIBA AGUDO (Todas las dimensiones en metros) 9.9 Vertederos laterales Los vertederos laterales son aberturas (escotaduras) que se hacen en una de las paredes (taludes) de un canal. Su función es la de evacuar el exceso de caudal. En consecuencia, son aliviaderos. A continuación se presenta algunas nociones sobre estos vertederos. En la Figura 9.17 se aprecia el esquema característico de un vertedero lateral de longitud L practicado en un canal con flujo subcrítico ( F < 1 ) 490 Vertederos Capítulo IX Q0 Q1 Q L h h0 H0 Q0 H h1 Q P Q1 H1 i x Figura 9.17 Vertedero lateral Se observa las líneas de corriente y su desvío como consecuencia del vertedero lateral, cuyo caudal es conducido fuera del canal. En la Figura 9.17 se observa la longitud L del vertedero y el umbral P . El caudal inicial en el canal es Q0 . El caudal que pasa por el vertedero es Q y el caudal remanente es Q1 . Evidentemente que Q es el exceso de caudal que se quiere eliminar del canal. Q = Q0 − Q1 V0 es la velocidad correspondiente al caudal Q0 y V1 lo es del caudal Q1 , H 0 es la carga en el punto inicial del vertedero y H1 , es la carga en el punto final. H es la carga (variable) en cualquier punto del vertedero a la distancia x del punto inicial. Como se trata de un régimen subcrítico el valor de la carga h aumenta desde H 0 hasta H1 en el punto final del vertedero, lo que puede comprobarse experimental y teóricamente suponiendo que la energía es constante a lo largo de la cresta, tal como lo señala Balloffet. Se supone en la siguiente deducción que la variación de la carga es lineal a lo largo del vertedero. Por lo tanto, la carga 491 Hidráulica de tuberías y canales a la distancia Arturo Rocha x del punto inicial es H = H0 + H1 − H 0 x L (9-32) El gasto es Q= ∫ L 0 2 H − H0  c 2g  H0 + 1 3 L  3 2  x  dx  (9-33) De donde, Q= 5 2 1 5 2 0 H H −H c 2g L 15 H1 − H 0 (9-34) Como longitud del vertedero puede considerarse la longitud efectiva, la que siguiendo el criterio de Francis es L − nH . Si el vertedero es muy largo, más de 10H , puede despreciarse el 10 efecto de las contracciones. 9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error en la medición de la carga a) Vertedero rectangular La ecuación de descarga de un vertedero rectangular es 3 Q = KH 2 La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior 1 dQ = 1,5KH 2 dH de donde, 1 dQ = 1,5KH 2 dH comparando con el gasto se obtiene, dQ dH = 1,5 Q H 492 (9-35) Vertederos Capítulo IX Luego, un error, por ejemplo del 1 % en la medición de H , produciría un error de 1,5 % en el cálculo de Q . b) Vertedero triangular La ecuación de descarga de un vertedero triangular es Q = KH 5 2 La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior 3 dQ = 2,5KH 2 dH de donde, dQ dH = 2,5 Q H (9-36) En consecuencia, un error del 1 % en la medición de H representará un error del 2,5 % en el cálculo de Q . 9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero El vaciamiento de un depósito se puede producir por medio de un vertedero de cualquier forma y características. La condición de vaciamiento implica que el nivel de la superficie libre sea descendente. Se trata entonces de la descarga de un vertedero con carga variable. El caudal va disminuyendo paulatinamente. Este tipo de vertedero puede presentarse como aliviadero de presas. H1 H1 H H dH H2 Depósito H2 L Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero 493 Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha En la Figura 9.18 se aprecia un vertedero rectangular de longitud L que realiza el vaciamiento de un estanque, entre los niveles comprendida entre H1 (nivel inicial) y H 2 (nivel final). H es una carga variable H1 y H 2 . Consideremos que durante un intervalo de tiempo infinitamente pequeño dt , la carga H se puede asumir, para efectos de aplicación de una de las fórmulas de vertederos, como si fuese constante. El volumen descargado por el vertedero durante el tiempo dt debe ser 3 dV = 2 c 2 g LH 2 dt 3 Este volumen descargado debe ser igual al producto del área de la sección transversal A del depósito por dH , que es la variación de niveles. Luego, 3 2 c 2 g LH 2 dt = AdH 3 (9-37) Se está suponiendo que el área transversal A del estanque es constante. Sin embargo, en muchos casos no lo es. El área A puede ser una función de la carga. Una posibilidad es que esta función pueda expresarse matemáticamente de un modo simple. Tal sería el caso, por ejemplo, de paredes inclinadas 45º un otro ángulo. En los embalses naturales no existe esa función matemática. Se recurre entonces a una sumatoria. También se está suponiendo que el coeficiente de descarga es constante. De la expresión 9-37 se obtiene por integración ∫ t dt = 0 ∫ H2 H1 AdH 2 c 2 g LH 3 3 2 = A 2 c 2g L 3 ∫ H2 H1 dH 3 H2 Por lo tanto, el tiempo requerido para que el nivel de la superficie libre baje de t= 494  1 1  −   2 H1  c 2 g L  H 2 3 H 2 a H1 es 2A (9-38) Vertederos Capítulo IX H 2 tiende a cero, el tiempo requerido tenderá a infinito, lo que no concuerda con la realidad. Esto se debe a que tanto la carga H como el área de descarga estarían Obsérvese que si aproximándose a cero simultáneamente. En todo caso hay que recordar que las fórmulas para el cálculo de la descarga de un vertedero sólo son aplicables a partir de una cierta carga mínima. Cuando por una razón u otra no es posible integrar se debe recurrir a una sumatoria aplicando las fórmulas conocidas en intervalos muy pequeños. Este método se emplea también cuando el depósito tiene además el aporte de un caudal Q que a su vez puede ser función del tiempo. La magnitud de los intervalos dependerá de la precisión buscada y de las características de la información disponible. Ejemplo 9.2 Un depósito profundo tiene paredes verticales. La sección transversal es de 30 por 50 metros. En una de las paredes se ha instalado un vertedero rectangular de 0,50 m de longitud. La cresta del vertedero es aguda y se encuentra en la cota 122,30 m. Considerar que el coeficiente de descarga es constante e igual a 0,6. Calcular: a) el tiempo necesario para que el nivel de la superficie libre descienda de la cota 122,50 m a la cota 122,35 m, b) el gasto instantáneo al principio y al final del intervalo, c) el caudal medio durante el intervalo. Solución. a) Aplicando la ecuación 9-38 se obtiene t=  1  1 1  2 × 1 500 1  − − =    2 0,20  H 1  2 × 0,6 × 2 g × 0,5  0,05 c 2 g L  H 2 3 3 2A t = 7 576,7 segundos b) La ecuación de descarga por el vertedero es (considerando V0 = 0 y sin contracción). Q= 3 3 2 c 2 g LH 2 = 0,885H 2 3 Para la condición inicial H = 0,20 m y Q = 0,0792 l/s Para la condición final H = 0,05 m y Q = 0,0099 l/s c) El volumen total descargado es A(H 1 − H 2 ) = 30 × 50 × 0,15 = 225 m3 495 Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha El caudal medio es 225 Volumen = = 0,0297 m3 7 576,7 Tiempo Para realizar el cálculo del tiempo de vaciamiento de un estanque mediante una sumatoria se procede a elaborar una tabla como la 9.4 en la que sólo se ha presentado, como ejemplo, las primeras filas del cálculo correspondiente al ejemplo 9.2. Se procede así 1. Se empieza por considerar n valores de la carga comprendidos entre H1 y H 2 (columna 1). Para el ejemplo 9.2 estos valores podrían ser 0,20 m, 0,19 m, 0,18 m, etc. 2. Luego se calcula los correspondientes valores de ∆H , es decir, (H 2 − H1 ) para cada dos valores sucesivos de la carga (columna 2). 3. A continuación se calcula la carga media del intervalo, que es (columna 3). 1 (H1 + H 2 ) 2 4. A partir de la carga media obtenida se calcula el correspondiente caudal de descarga, y se considera los coeficientes que resulten más apropiados (columna 4). 5. Ahora se calcula el volumen descargado que es igual al producto del área transversal correspondiente del estanque, la que puede ser variable, por la diferencia de carga (columna 5). 6. Para obtener el intervalo de tiempo correspondiente se encuentra la relación entre el volumen descargado y el correspondiente caudal (columna 6). 7. Finalmente, se acumula los tiempos parciales y se obtiene el tiempo total. TABLA 9.4 EJEMPLO 9.2 1 2 3 4 5 6 7 H ∆H H Q Volumen ∆t t 0,19 0,01 0,195 0,0762 15 196,9 196,9 0,18 0,01 0,185 0,0704 15 213,0 409,9 0,17 0,01 0,175 0,0648 15 231,5 641,4 etc. 496 En la Figura 9. como se aprecia en la Figura 9.20.12 Vertedero sumergido Se dice que un vertedero está sumergido cuando el nivel de aguas abajo es superior al de la cresta del vertedero. La condición de sumergencia no depende del vertedero en sí. h es la diferencia de nivel entre la superficie libre de aguas abajo y la cresta del vertedero. está próxima a la unidad o cuando es muy pequeña.19 se observa un vertedero sumergido en el cual H es la diferencia de nivel entre la superficie libre de aguas arriba y la cresta del vertedero. En ellas el vertedero actúa como un aliviadero más que como un elemento de aforo. Es por eso que se recomienda hacer el cálculo sólo para 0. Las fórmulas para el cálculo de la descarga de un vertedero sumergido son menos precisas que las correspondientes a un vertedero libre. Si la relación h H . Las condiciones de aguas abajo. es decir la sumergencia. razón por la cual no se les usa como estructuras para determinar caudales. por ejemplo un remanso. Un mismo vertedero puede estar sumergido o no.Vertederos Capítulo IX 9.2 ≤ h ≤ 0. El vertedero sumergido puede ser de cualquier tipo o forma. Se denomina sumergencia a la relación que existe entre h y H .8 H (9-39) 497 . pueden determinar que un vertedero quede sumergido.19 Esquema típico de un vertedero sumergido Los vertederos sumergidos se presentan en diversas estructuras hidráulicas. según el caudal que se presente. H h Figura 9. sino de las condiciones de flujo. suele presentarse aguas abajo un flujo ondulado. Se suele considerar que c1 = c2 = 0. como Herschel.62 . Este método considera que el gasto total está formado por dos gastos parciales.84L(NH )2 498 (9-41) . Q1 que es el que escurre a través de un vertedero libre virtual cuya cresta se supone que coincide con el nivel de aguas abajo y Q2 que es el que escurre por un orificio virtual cuya altura es la diferencia de nivel entre el de aguas abajo y la cresta del vertedero. En consecuencia.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Figura 9. para un vertedero sumergido rectangular. Numerosos investigadores trataron de encontrar dichos coeficientes. resuelven el problema de hallar la descarga en un vertedero sumergido a partir de una modificación de la fórmula de Francis 3 Q = 1. de 1816. de cresta aguda el gasto es 3 1 3  2 2 2 2 2 2       2 V V V 2 g L  H + 0 − h  −  0   + c2 2 g Lh  H + 0 − h  Q = c1  3 2g 2g     2 g     (9-40) Q2 = orificio Q1 = vertedero libre La precisión de esta fórmula dependerá de la precisión con la que se pueda determinar los coeficientes c1 y c2 para este caso particular. pero los resultados no fueron satisfactorios ni coincidentes. lo que si bien no tiene mayor justificación teórica resulta útil para los cálculos prácticos.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de un vertedero sumergido Uno de los criterios más antiguos para determinar el caudal en un vertedero sumergido es el Du Buat. Algunos autores. 875 0.631 0. en la Universidad de Wisconsin.732 0.352 0.669 0.07 0.6 0.953 0.8 0. Q1 es el caudal que se produciría si el vertedero fuese libre.000 1.06 0.904 0. que depende de la sumergencia.714 0.800 0.896 0.006 1.03 0.000 0.880 0.723 0.006 1.05 0.).884 0.861 0.787 0.9 0.766 0.5 VALORES DE h H 0.003 1.574 0.773 3. 5/2 para vertedero triangular.967 0.806 0.956 0.950 0.557 0.846 0.915 0.980 0.841 0.498 0.471 0.644 0.830 0.992 0.005 1. etc.01 N PARA USARSE EN LA FORMULA 9-41 0.004 1.856 0.Vertederos Capítulo IX en donde H es la carga del vertedero considerado como si fuese libre y N es un coeficiente de reducción de la carga del vertedero supuesto libre.818 0.929 0.964 0.987 0.3 0.656 0.2 0.02 0.908 0.005 0.824 0.1 1.851 0.961 0.994 0. Los valores experimentales obtenidos aparecen en la Tabla 9. TABLA 9.932 0.7 0.989 0.985 0.935 0.900 0.703 0.912 0.947 0.604 0.982 0.977 0.681 0.006 1.692 0.998 0.441 0.402 0.871 0.975 0.758 0. estableció una fórmula genérica para vertederos sumergidos de diferente forma   h n  Q = Q1 1 −      H   0.275 Villemonte en 1947.813 0.04 0.922 0.892 0.794 0.618 0.742 0.972 0.836 0.780 0.006 1.5 0.938 0.941 0.520 0.002 1.08 0.0 1.750 0.996 0.007 1.944 0.926 0.09 0.888 0.970 0.007 1.00 0.590 0.539 0.919 0.959 0. 499 .5. 385 (9-42) n depende del tipo de vertedero (3/2 para vertedero rectangular.866 0.4 0.007 1. 4) m .23 H 1.977 (Tabla 9.35 + 5.10 m 0.62 2 g Lh ( H − h) 2 3 Reemplazando los valores conocidos se obtiene Q = 11.46 m3/s Ahora se puede introducir el efecto de la velocidad de aproximación V0 = 16.30 . El gasto se obtiene a partir de la ecuación 9-38 Q = 0.11 (1 + 0.08)1/2 Q = 12.30 m 1.30 m h = 0.80 m de umbral.08 2g Q = 11.62 3 1 2 2 g L ( H − h) 2 + 0.08)3/2 + 5.31 = 18.30 . La superficie libre se sobreeleva en 1 m.30 500 o o o N = 0.30)1/2 Q = 11.20 × 2.0.11 (1.0.30 = = 0.11 Q = 16.74 + 5.26 m/s 6.20 m de ancho en el que el tirante normal es de 1.3 En un canal de 6. Determinar el caudal Solución.05 m3/s Si usamos la fórmula de Francis con los coeficientes de Herschel se tiene h 0.10 m se instala un vertedero rectangular sin contracciones y con borde agudo de 0.00 m 0.30) 3/2 + 5.46 = 1.35 (1. Supongamos inicialmente que su valor es cero.10 m 1.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Ejemplo 9.35 (1 + 0. V02 2g H = 1.10 o o o V02 = 0.30 m 2.80 m Como no se conoce el caudal no se puede calcular V0 . 38) 2 = 17.77 m3/s Si usamos la fórmula de Villemonte   h n  Q = Q1 1 −      H   0 .59 m3/s CUADRO COMPARATIVO FORMULA RESULTADO Fórmula completa 18. 385 3 = Q1 [1 − (0.956 = 17.956 3 Q1 = 1.20 × 1.35 (0.38 2 = 18.977 × 1.4 m3/s Q = 18.84 LH 2 = 1.4 × 0.8 m3/s 501 .83 × 6.05 m3/s Francis – Herschel 17.84 L ( NH ) 2 = 11.23) 3 / 2 ] 0 .Vertederos Capítulo IX 3 3 Q = 1.77 m3/s Villemonte 17.59 m3/s Promedio 17. 385 = Q1 × 0. discutir su aplicabilidad y preparar un cuadro comparativo de los resultados. 5. En un canal de 7.20 m por encima de la cresta. de 1. ¿Cuál debería ser el ancho del canal para que conservando el mismo tirante normal se comporte como de máxima eficiencia hidráulica?. ¿Si la sobreelevación fuese de 0. El umbral es de 2. Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda.0 m. 3.0007 y un coeficiente C de 1/2 Chezy de 53 m /s. 6. Calcular el caudal.80 m/s. para que al colocar un vertedero cuyo umbral tiene una altura de 1 m la superficie libre se sobreeleve 0.70 m cuál debería ser el ancho?. Si la carga es 0.61 m calcular el caudal usando varias fórmulas. Deducir una expresión para la velocidad media.20 m de umbral y cresta aguda la carga sería de 0. sin contracciones.60 m. En un canal de 3. preparar un cuadro comparativo de los resultados considerando el efecto de la contracción.20 m de largo. Usar varias fórmulas. para una sección transversal correspondiente a la zona de máxima contracción. Comentar las diferencias en el cálculo de ambos casos a propósito de la consideración de la velocidad de aproximación. Un canal rectangular de 2 m de ancho tiene una pendiente de 0. Si se coloca un vertedero. Calcular el ancho que debe tener un canal rectangular que tiene un caudal de 12 m3/s.20 m de ancho se ha colocado un vertedero rectangular en pared delgada de 3. discutir su aplicabilidad. 4. Considerar que el vertedero es de cresta aguda en pared delgada y que el flujo de aguas abajo no influye en la descarga sobre el vertedero. 502 .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo IX) 1.61 m. Calcular la longitud adicional que debería tener el vertedero para compensar el efecto de las contracciones. en función de la carga. Se ha medido la carga y se obtuvo 0.20 m de ancho se ha instalado a todo lo ancho un vertedero rectangular en pared delgada de 2 m de alto. 2. Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Calcular la carga que debe tener el vertedero para que la velocidad en el eje de la napa vertiente en la zona de máxima contracción sea de 0. que descarga libremente. 10. El sistema es alimentado de modo que ingresan 500 l/s.80 100. El agua que pasa a través de un vertedero triangular de 90º es recogida en un tanque cilíndrico de 0.25 m sobre el vertedero el nivel del agua en el tanque cilíndrico aumenta 0. Hallar el coeficiente de descarga del vertedero.75 a del fondo para que el orificio y a el vertedero descarguen el mismo caudal. En la figura se muestra dos tanques comunicados por un orificio.80 m de longitud. la que da lugar a un orificio y a un vertedero. 8. Se pide: a) ¿cuál es la descarga de cada vertedero. b) ¿cuál debe ser el diámetro del orificio para que ambos vertederos descarguen el mismo caudal?.20 m de ancho que tiene un caudal de 500 l/s se va a instalar una placa como la mostrada en la figura. Se encontró que para una carga de 0. Si la placa tiene 0. 109.00 108.352 m en 4 segundos.00 A B 100.00 9. En un canal de 1. Las cotas respectivas se muestran en el dibujo. si el diámetro del orificio es de 8’’?.75 m de alto. La expresión general del flujo por un vertedero triangular es del tipo  H gH  . calcular la abertura H 0.Vertederos Capítulo IX 7.θ  Q = H 2 gH φ   ν  expresión en la que H : es la carga ν θ : viscosidad cinemática : es el ángulo del vertedero 503 . El tanque B tiene un vertedero triangular de 60º.80 m de diámetro. El tanque A tiene un vertedero rectangular en pared delgada de 0. Un fluido de viscosidad cinemática ν pasa a través de un vertedero triangular. Se tiene un vertedero triangular en el que el caudal viene dado por la expresión Q = 0. cuando la carga H es de 25 cm. 11.392 H 2.50 m 60º 45º 0. 13.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha Experimentos llevados a cabo para el agua en un vertedero de 90º dieron la fórmula Q = 1.5 Hallar el gasto en un vertedero similar por el que pasa un fluido que tiene una viscosidad cinemática seis veces mayor que la del agua. 12. de un cierto ángulo.5 Aplicando la similitud dinámica demostrar que el porcentaje de error que representa el uso de la fórmula práctica para medir el gasto cuando el fluido es un líquido cuya viscosidad cinemática es 12 veces la del agua será del 5 % por defecto. con el objeto de calcular la descarga Q conociendo la altura H . Determinar la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura 0.386 H 2.90 m 504 . Determinar la precisión con la que debe medirse la carga para que el error resultante no repercuta en un error superior al 1 % al calcular el gasto. Demostrar por medio del análisis dimensional que  32 12  Q H g =ϕ 5 1  ν H 2g2       Para el caso particular de un vertedero con un ángulo de 30º la descarga viene dada por la expresión Q = 0.6 H 5 / 2 . La fórmula de descarga teórica de un vertedero es Q = cH 7 2 .0 m de longitud. Se va a colocar un vertedero a todo lo ancho del canal. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura. 505 .25 m 15. 17. El vertedero rectangular tiene 2.50 m/s. si para un caudal de 50 l/s la carga sobre el vertedero rectangular es de 0. Establecer la forma del vertedero y la ecuación respectiva. para una carga de 0.40 m en el nivel del agua. Deducir la ecuación del gasto en función de la carga para un vertedero de sección parabólica.Vertederos Capítulo IX 14. Calcular la altura que debe tener el umbral del vertedero. Calcular la carga sobre el vertedero triangular. 18. Un vertedero rectangular y un vertedero triangular de 90º están colocados en serie en un canal. 19.23 m x 16.12 m. La velocidad de aproximación al vertedero debe ser de 0.12 m 30º 0. de modo de producir una sobreelevación de 0. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura y H=1m y = x2 60º 1. En un canal de 9 m de ancho hay un caudal de 18 m3/s.1 m. 0. Capítulo I Introducción TABLAS GENERALES TABLA 1 TABLA DE DIMENSIONES SISTEMA SISTEMA ABSOLUTO GRAVITACIONAL MLT FLT L L AREA L 2 L2 VOLUMEN L3 L3 TIEMPO T T CANTIDADES LONGITUD VELOCIDAD LT LT-1 VELOCIDAD ANGULAR T-1 T-1 ACELERACIÓN LINEAL LT-2 LT-2 VISCOSIDAD CINEMATICA L2 T-1 L2 T-1 GASTO L3 T-1 L3 T-1 M FT2 L-1 MLT-2 F MASA FUERZA -1 FT2 L-4 DENSIDAD PESO ESPECIFICO ML-2 T-2 FL-3 VISCOSIDAD DINAMICA ML-1 T-1 FTL-2 TENSION SUPERFICIAL MT-2 FL-1 MODULO DE ELASTICIDAD ML-1 T-2 FL-2 PRESION ML-1 T-2 FL-2 MLT-1 FT 2 -2 LF 2 -3 LFT-1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ENERGIA (Y TRABAJO) POTENCIA ML T ML T 507 . 468 x 10-4 0.336 x 10-4 0.02 x 10-6 25 101.508 x 10-4 0.s /m ) (Kg/m ) (Kg .39 975 0.94 1 000 1.606 x 10-4 0.803 x 10-6 35 101.94 1 000 1.360 x 10-6 85 98.552 x 10-4 0.815 x 10-4 0.00 981 0.94 1 000 1.37 965 0.317 x 10-4 0.909 x 10-4 0.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha TABLA 2 PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA Peso Viscosidad Viscosidad Temperatura Densidad específico dinámica cinemática T ρ γ µ ν (ºC) (Kg .381 x 10-4 0.33 x 10-4 1.98 971 0.505 x 10-6 60 100.294 x 10-6 2 4 3 2 Tabla tomada del libro de Mecánica de Fluidos Aplicada de Robert L.304 x 10-6 100 97.66 958 0.287 x 10-4 0.81 x 10-4 1.12 992 0.894 x 10-6 30 101.92 990 0.06 962 0.383 x 10-6 80 98.63 997 0.04 x 10-4 1.53 996 0.0 101.656 x 10-6 45 100.31 984 0.52 x 10-6 10 101.298 x 10-4 0.356 x 10-4 0.548 x 10-6 55 100.51 986 0.33 994 0.663 x 10-4 0.722 x 10-6 40 101.600 x 10-6 50 100.439 x 10-6 70 99.17 x 10-4 1.s/m ) (m2/s) 0.341 x 10-6 90 98. 1996 508 .94 1 000 1.67 968 0.74 998 1.30 x 10-6 15 101.732 x 10-4 0.410 x 10-4 0.69 978 0.55 x 10-4 1.78 x 10-6 5 101.411 x 10-6 75 99.15 x 10-6 20 101.322 x 10-6 95 98.439 x 10-4 0.71 988 0.467 x 10-6 65 100. Mott. 471x10 acres 1 pie cuadrado 0.6214 millas 1 yarda 36 pulgadas 1 milla 1.196 yardas cuadradas -4 1 metro cuadrado 2.76 pies cuadrados 1 metro cuadrado 1.0929 metros cuadrados 1 acre 3 4.093 yardas 1 kilómetro 0.9144 m 1 centímetro 0.Capítulo I Introducción TABLA 3 CONVERSION DE UNIDADES LONGITUD 10 -6 m 10 -9 m 1 Angstrom (A) 10 -10 m 1 pulgada 0.609 m 1 yarda 0.550 pulgadas cuadradas 1 metro cuadrado 1.047x10 metros cuadrados 509 .281 pies 1 metro 1.3048 m 1 milla 1.0254 m 1 pie 0.760 yardas 1 micrón 1 milimicrón SUPERFICIE 1 metro cuadrado 10.37 pulgadas 1 metro 3.3937 pulgadas 1 metro 39. masa/cm 3 1.masa/cm 1 lb .masa -2 1 libra .546 litros 1 galón americano 3.2 galones americanos 1 galón imperial 4.01602 gr .masa 3.205 libras .43 lb .31 pies cúbicos 1 metro cúbico 220 galones imperiales 1 metro cúbico 264.masa/cm 3 62.59 kilogramos .masa -2 1 kilogramo .832x10 -2 metros cúbicos MASA 1 kilogramo .Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha VOLUMEN 1 metro cúbico 35.masa 6.785 1 pie cúbico litros 2.108x10 slugs DENSIDAD 1 gr .masa/pie 510 3 3 3 .940 slug/pìe 3 0.masa/pie 1 gr .masa 2.852x10 slugs 1 slug 14. 013x10 6 dinas/cm 76 cm de Hg 406.1020 kilogramos 1 Newton 0.341x10 HP 1 watt 1 joule/s 1 HP 550 lb .205 libras POTENCIA 1 HP 76.04 kg .m/s -3 1 watt 1.7 lb/pulg 1.7 watts 1 watt 0.92 pulgadas de Hg 2.Capítulo I Introducción FUERZA 5 1 Newton 10 dinas 1 Newton 0.033 kilogramos/cm 1.116 lb/pie 14.pie/minuto PRESION 1 atmósfera 5 Newton/m 1.8 pulgadas de agua 29.pie/s 1 HP 33 000 lb .1020 kg .2248 libras 1 kilogramo 2.m/s 1 HP 745.013x10 2 2 2 2 2 511 . 951 0.7840 3 2 .277 0.1785 100 0.433 0.709 x 10-4 0.4104 300 0.385 0.946 0.3461 250 0.583 0.293 x 10-3 1.093 1.6246 450 0.567 3.s/cm ) (cm2/s) 0 1.4782 350 0.525 3.770 0.1322 50 1.675 2.946 2.175 0.2299 150 0.113 0.Hidráulica de tuberías y canales Arturo Rocha TABLA 4 PROPIEDADES FISICAS DEL AIRE (a la presión atmosférica) 512 Temperatura Densidad T ρ Viscosidad Viscosidad absoluta cinemática µ ν (ºC) (gr .7035 500 0.2860 200 0.582 0.616 2.488 3.5490 400 0.746 2.457 3.834 2.masa/cm ) (dina . 1962. 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