capítulo12 Turbomáquinas hidráulicas Resumen: En este capítulo se desarrollarán los conceptos básicos concernientes a las turbomáquinas hidráulicas. Se analizará su funcionamiento como parte de un sistema de cañerías, se desarrollarán las relaciones de semejanza, se verán los elementos fundamentales como también las características particulares de cada tipo. Contenido: . 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 Conceptos generales....................................................................................................................................... 526 Ejemplos simples de instalación de las turbomáquinas .................................................................................. 527 Relaciones de semejanza en las turbomáquinas............................................................................................ 529 12.3.1 Coeficientes de capacidad, de carga y de potencia .........................................................................529 12.3.2 Velocidad específica .........................................................................................................................536 Teoría elemental de las turbomáquinas .......................................................................................................... 538 12.4.1 Hélices ..............................................................................................................................................539 12.4.2 Rodete radial.....................................................................................................................................542 Características particulares de las turbomáquinas ......................................................................................... 547 12.5.1 Turbomáquinas de flujo tangencial...................................................................................................547 12.5.2 Turbomáquinas de flujo axial............................................................................................................550 12.5.3 Turbomáquinas de flujo radial ..........................................................................................................554 12.5.4 Turbomáquinas de flujo mixto...........................................................................................................557 Punto de funcionamiento................................................................................................................................. 558 12.6.1 Punto de funcionamiento de una bomba..........................................................................................558 12.6.2 Funcionamiento de bombas en paralelo y en serie..........................................................................560 12.6.3 Cavitación y ANPA............................................................................................................................563 Problemas propuestos..................................................................................................................................... 568 CAPÍTULO 12 12.1 Conceptos generales En el capítulo 3 (ejemplo 4) se estudió el caso de álabes que desvían chorros, y se comprobó que la variación de la cantidad de movimiento ejerce una fuerza sobre él. Si además el álabe se traslada en la dirección y sentido del chorro con menor velocidad que él, producirá una potencia sobre el chorro que se puede calcular como la fuerza por la velocidad. Si el sentido de movimiento del álabe fuese opuesto al del chorro, la potencia sería ejercida por el fluido. Éste es el principio en que se basan las turbomáquinas. A partir de la definición anterior las turbomáquinas se pueden clasificar de acuerdo al fluido que circula como: Turbinas hidráulicas: un fluido incompresible (usualmente agua) produce potencia sobre un eje. Turbinas térmicas: un fluido compresible (usualmente un hidrocarburo o vapor de agua) produce potencia sobre un eje. Bombas centrífugas, ventiladores: un fluido incompresible recibe trabajo a través de un eje. Compresores, soplantes: un fluido compresible recibe trabajo a través de un eje. En este capítulo desarrollaremos los conceptos básicos correspondientes a las turbomáquinas hidráulicas que son las correspondientes al movimiento de los fluidos incompresibles (turbinas hidráulicas, bombas centrífugas, ventiladores, generadores eólicos). Obsérvese que los ventiladores y los generadores eólicos entran dentro de esta categoría. En rigor en la práctica es usual despreciar los efectos de compresibilidad cuando la variación de presión no supera los 1000 mm de columna de agua. Por lo tanto los ventiladores axiales y buena parte de los centrífugos pueden estudiarse despreciando los efectos de la compresibilidad. Obviamente existe un problema tecnológico en el álabe simple estudiado en el capítulo 3, pues es imposible sostener el movimiento rectilíneo en forma continua. Este problema se soluciona disponiendo los álabes en forma circular sobre una corona que gira alrededor de un eje como se muestra en la figura f:12.1. De acuerdo con los requisitos del proceso (caudal y altura de impulsión) los rotores pueden tener característica axial, radial o mixta. El rotor es de tipo axial cuando la componente de la velocidad en él es en la dirección del eje, tiene característica radial cuando el flujo se desarrolla según la componente radial y tiene característica mixta cuando el movimiento en el rotor es combinado. En la figura f:12.2 se muestran las características de cada uno de ellos. El tipo de movimiento que se desarrolla en el rotor permite calificar a las turbomáquinas ya sean hidráulicas o térmicas en máquinas axiales, radiales o de flujo mixto. A Q Rodete Alabes fijos Alabes móviles B Vch R R f:12.1 Tobera Alabes fijos R Rodete Varr R Alabes móviles Vabs Vrel Vch R Otra clasificación típica de las turbomáquinas se realiza en función del cambio de presión del fluido en su paso a través del rodete: turbinas de acción o impulsión: aquellas en las que el fluido de trabajo no sufre un cambio de presión importante, aprovechan únicamente la velocidad del flujo de agua turbinas de reacción: aquellas en las que el fluido de trabajo sí sufre un cambio de presión importante, aprovechan la velocidad del flujo de agua y además la pérdida de presión que se produce en su interior 526 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS Fig. 12.2 Radial Radial Mixto f:12.2 Mixto Axial 12.2 Ejemplos simples de instalación de las turbomáquinas Mediante la aplicación de la ecuación de la energía procederemos a calcular la potencia desarrollada (turbinas) o requerida (bombas), lo cual nos permitirá poner en evidencia las variables sobre las que debemos operar a fin de regular dicha potencia. Enfatizamos el hecho que la instalación variará de acuerdo con las necesidades tecnológicas que se requiera satisfacer y por lo tanto puede ocurrir que los términos en la ecuación de energía empleada puedan anularse o incorporarse nuevos. En la figura f:12.3 vemos el esquema correspondiente a una turbina hidráulica. 1 H f:12.3 turbina T 2 Recordamos la ecuación de la energía (ecuación 3.4.3.5) p 1 Q W ( eje) e d u V 2 g h V dA SC t VC 2 Si la aplicamos a un volumen de control compuesto por el reservorio de la turbina y la cañería de salida, obtenemos: u u1 V22 W (eje) 2 H Q g 2g Teniendo en cuenta que la diferencia de energías internas por unidad de peso es equivalente a las pérdidas en el sistema y reordenando podemos reescribir: V22 Q W ( eje ) H H pérdidas 2 g La anterior nos dice que la potencia que obtendremos de la turbina es directamente proporcional al caudal (el cual usualmente está determinado por la hidrología de los ríos y arroyos que formarán el embalse) y la diferencia de alturas entre el pelo de agua del embalse y el nivel de restitución. En particular el término entre paréntesis indica que la energía potencial menos las pérdidas del sistema y la energía cinética a la salida de la cañería de restitución son convertidas en energía disponible en el eje. Entonces la altura disponible en la turbina es: 527 CAPÍTULO 12 H T H H pérdidas V22 2g Con lo cual se puede expresar la potencia teórica absorbida en el eje de la turbina, como: W H Q ( eje )teórico T ec:12.1 Obsérvese que la altura disponible en la turbina puede variar ligeramente respecto de la definida aquí dependiendo de las condiciones de instalación. Las pérdidas son las debidas a la fricción en el sistema de cañerías y las pérdidas localizadas en la mismo. Esta potencia así obtenida es la potencia hidráulica teórica pues no tiene en cuenta el rendimiento de la turbina. Si tenemos en cuenta este rendimiento la potencia realmente obtenida en el eje será: W( eje )real W( eje )teórico T ec:12.2 La regulación de potencia de la máquina puede efectuarse variando la altura del embalse o bien variando el caudal que circula por la o las máquinas. Obviamente la variación de la altura del embalse es muy acotada y requiere de un tiempo importante, por lo cual en general las variaciones puntuales de potencia se obtienen regulando el caudal que circula. En la figura f:12.4 se esquematiza la instalación de una bomba centrífuga. La aplicación de la ecuación de la energía nos lleva a: u 2 u1 V22 W(eje) H Q g 2 g 2 H f:12.4 1 bomba B Y nuevamente teniendo en cuenta que la diferencia de energías internas por unidad de peso es igual a las pérdidas en el sistema: V22 Q W ( eje ) H pérdidas H 2 g Es decir que en el eje de la bomba se deberá suministrar una potencia que deberá ser suficiente para vencer las pérdidas en el sistema la diferencia de niveles entre los puntos de suministro y entrega y suministrar la energía cinética a la descarga. Nuevamente llamando altura de impulsión de la bomba al término: H B H pérdidas H V22 2g ec:12.3 Nuevamente se enfatiza que los términos que componen la altura de impulsión de la bomba pueden variar ligeramente con las condiciones de instalación. La potencia teórica en el eje entonces puede expresarse para una bomba como sigue: W( eje )teórico H B Q ec:12.4 Nótese que en el caso de la bomba la altura H puede ser positiva o negativa dependiendo de los niveles relativos entre el embalse y la descarga. 528 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS Así como en el caso de las turbinas la potencia calculada de este modo se denomina potencia hidráulica y si queremos determinar la potencia real a suministrar: W( eje )teórico W( eje )real B ec:12.5 Donde B es el rendimiento de la bomba propiamente dicha. El caso correspondiente a un ventilador es muy similar al de una bomba y por lo tanto no se realizará una deducción detallada. Como surge claramente inspeccionando estos dos casos, los fabricantes de turbomáquinas deben adaptar las prestaciones de las mismas para cubrir un rango muy amplio de prestaciones (caudales versus alturas disponible o altura de impulsión según se trate de turbinas o bombas respectivamente). Asimismo una determinada máquina en una dada instalación deberá adaptarse para prestar un servicio eficiente en diversas condiciones operativas que normalmente involucran cambios en los caudales, en las alturas o en ambos. Por ello al fabricante se le presenta un problema que requiere una solución conveniente desde el punto de vista económico y productivo. 12.3 Relaciones de semejanza en las turbomáquinas 12.3.1 Coeficientes de capacidad, de carga y de potencia Para resolver el problema planteado en el punto anterior los fabricantes de turbomáquinas recurren a las “series homólogas”, que no son más que máquinas que cumplen con las reglas de semejanza y por lo tanto los ensayos de un modelo de máquina permiten predecir el comportamiento de un prototipo. Obviamente el empleo del análisis dimensional y semejanza vistos en el capítulo 4 resultan herramientas muy apropiadas para este fin. La similitud entre máquinas homólogas estará relacionada con las similitudes geométricas, cinemáticas y dinámicas. Mientras la similitud geométrica se relaciona con la máquina exclusivamente, la similitud dinámica estará relacionada con la prestación de la máquina y el fluido que maneja. Con esta premisa podemos decir que las variables que intervienen en el funcionamiento de una turbomáquina son: Semejanza geométrica: diámetro del rotor: D [L] Semejanza cinemática: velocidad de rotación N [1/T] Semejanza dinámica: Respecto de la prestación de la máquina: potencia desarrollada o absorbida W [M.L2/T3]; altura de impulsión o disponible: H [L]; caudal volumétrico Q [L3/T]. Respecto del fluido: densidad ρ [M/L3] y viscosidad μ [M/L.T] Adicionalmente se deberá considerar como variable la aceleración de la gravedad local g [L/T2] dado que relaciona la unidad de masa con la unidad de peso. Por lo tanto en la similitud intervienen ocho variables siendo tres las dimensiones fundamentales y por lo tanto habrá cinco números adimensionales que describen el problema completamente. Para hallarlos determinamos la cantidad de variables de repetición que son la misma cantidad que las dimensiones fundamentales, es decir tres. Las variables de repetición las elegimos de forma tal que sean representativas de la semejanza geométrica, en nuestro caso será D el diámetro del rodete; otra representativa de la semejanza cinemática N número de revoluciones de la máquina y el último representativo de la semejanza dinámica que como siempre elegimos la densidad ρ. Entonces podremos determinar los números como: a b 1 D 1 N 1 c1 W 529 CAPÍTULO 12 2 D a2 N b2 c2 Q 3 D a3 N b3 c3 H 4 D a4 N b4 c4 5 D a5 N b5 c5 g Reemplazando por las dimensiones fundamentales para el primer número: La1 T b1 M c1 L3c1 M L2 T 3 L0 T 0 M 0 De donde podemos formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: a1 3c1 2 0 b1 3 0 c1 1 0 Del cual resulta: c1 1; b1 3 y a1 5 Por lo tanto el primer número adimensional será: 1 W D5 N 3 Procediendo en la misma forma para el resto de las expresiones resulta: Q 2 3 D N ; 3 H g ; 4 ; 5 2 D DN2 D N Y por lo tanto debe existir: W Q H g ; ; ; ; 0 f 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 f 5 3 3 2 2 D D N D N D N D N El número π3 y π5 se combinan mediante su producto, ya que la combinación de ambos refiere la energía total entregada o recibida por la máquina a la unidad de masa en lugar de la unidad de peso como ocurre en H/D. Entonces la anterior la podemos reescribir: W Q H g 0 ; ; ; f 5 3 3 2 2 2 D N D N D N D N Siendo: CW W , el coeficiente de potencia D5 N 3 ec:12.6 Q , el coeficiente de capacidad D N ec:12.7 H g , el coeficiente de carga D2 N 2 ec:12.8 CQ CH 3 Teniendo en cuenta que N D es proporcional a la velocidad periférica en la punta del rodete el término D 2 N puede leerse como la inversa del número de Reynolds referido a la velocidad del rodete: D Vt ; por lo cual también podemos expresar: f CW ; CQ ; C H ; 0 De donde se puede despejar cualquiera de los números para encontrar una nueva función de éste con respecto a los otros. Cada uno de estos números nos permite predecir el comportamiento de un elemento de una serie homóloga de máquinas conociendo el comportamiento de un elemento de la serie cuando varía el diámetro del rodete o 530 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS bien el número de revoluciones de la máquina o ambos, dado que toda máquina es homóloga de sí misma. Como veremos más adelante en los ejemplos. Respecto del número de Reynolds cabe acotar que en las turbomáquinas tiene un valor muy alto y por lo tanto como este número representa la relación entre fuerzas de inercia y fuerzas viscosas concluimos que por ser muy alto los esfuerzos viscosos son muy bajos y por lo tanto la influencia de la viscosidad del fluido puede ser despreciada. Además como puede apreciarse del diagrama de Moody (punto 8.6) para valores por encima del millón el número de Reynolds se hace constante e independiente de éste. Por lo tanto no se comete un error demasiado apreciable si se desprecia al número de Reynolds, con lo cual se puede establecer: f CW ; CQ ; C H 0 Si recordamos que la potencia de una turbomáquina es proporcional a su caudal y altura de impulsión: W g Q H y observamos que: CW CQ C H concluimos que el coeficiente de potencia no es una variable independiente. Si además tenemos en cuenta que Q D 2 es proporcional a la velocidad radial (es el caudal dividido una longitud característica al cuadrado que es proporcional a la sección de pasaje del caudal); el coeficiente de capacidad resulta ser: Q Q D 2 Vr D 3 N N D Vt Es decir que este número (coeficiente de capacidad) representa la semejanza cinemática de los triángulos de velocidades y por lo tanto asegura la homología (semejanza) entre los distintos modelos de la serie. Por lo tanto de esta conclusión y la anterior podemos decir que: f 2 CW ; CQ 0 CW F2 CQ f1 C H ; CQ 0 C H F1 CQ Además, como vimos en la expresión ec:12.5, el rendimiento de una bomba viene dado por la relación entre la potencia puesta en juego y la potencia hidráulica teórica. b W( eje )teorico g Q H W( eje )real W( eje )real ec:12.9 Se puede llegar a esta expresión arreglando los coeficientes adimensionales CQ, CH y CW , como se muestra a continuación: b CQ C H CW Q H g 2 2 g Q H D N D N W W( eje )real 5 3 D N 3 ec:12.10 Y en las turbinas, según 12.3, es a la inversa, es decir: t W( eje )real W( eje )real CW W( eje )teorico g Q H CQ C H ec:12.11 Y como el coeficiente de potencia y de carga son funciones del coeficiente de capacidad, resulta que el rendimiento es una función del coeficiente de capacidad, o sea: F CQ 531 CAPÍTULO 12 Esto no es rigurosamente cierto porque también interviene el número de Reynolds en el rendimiento, pero es bastante aproximado en la mayoría de los casos. Por lo tanto para una serie de máquinas homólogas será posible graficar el coeficiente de potencia, el coeficiente carga y el rendimiento en función del coeficiente de capacidad como se muestra en la figura f:12.5: 100% 2.2 80 2.0 1.8 CH f:12.5 60 1.6 40 1.4 20 CH 1.2 0 0.5 1.0 CW bomba 0.8 0.4 0.6 0.3 0.4 0.2 CW turbina 0.2 0 0 CW 0.1 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 CQ Sin embargo, cuando se solicita cotización de una máquina dada lo usual es que el proveedor suministre la curva para una máquina donde se encuentra definido el diámetro y el número de revoluciones a la cual va a funcionar. Entonces procederá a derivar de las anteriores las curvas de potencia, de altura de impulsión y de rendimiento en función del caudal para el fluido definido. Una curva de este tipo se muestra en la figura f:12.6. o ent imi d n Re 15 80 60 40 12 20 0 9 25 Po ten cia A ltu ra 6 3 20 15 10 5 0 3000 6000 9000 12000 15000 18000 0 21000 Potencia al freno [CV] f:12.6 0 Rendimeinto 100% Ejemplo 12.1 Una bomba centrífuga de 37 cm de diámetro, gira a 2140 RPM con agua a 20ºC, y produce la siguiente información: Q [m3/s] 532 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 H [m] 105 104 102 100 95 85 67 P [kW] 100 115 135 171 202 228 249 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS a) calcular los coeficientes CQ, CH, CW y y graficarlos b) determinar el punto de rendimiento máximo y los coeficientes correspondientes c) se desea utilizar la misma familia de bombas para impulsar 25 m³/min de kerosene a 22ºC (densidad 804 kg/m³) a una potencia de 400 kW: ¿qué velocidad de bombeo (en RPM) y diámetro del impulsor (en cm) es necesario?, ¿qué altura se desarrollará? Solución a) Se calculan los valores para cada columna de datos de la tabla y luego se graficarán en una única curva, utilizando CQ como abscisas, CH en el eje izquierdo de ordenadas, y y CW en el eje derecho. Se utilizan distintas escalas. Q D3 N gH CH 2 D N2 W CW 5 D N3 CQ CQ C H 0,000 0,028 0,055 0,083 0,111 0,138 0,166 5,915 5,858 5,746 5,633 5,351 4,788 3,774 0,318 0,366 0,429 0,544 0,642 0,725 0,791 0,0000 0,4436 0,7412 0,8605 0,9227 0,9143 0,7919 CW 6,40 punto de máximo rendimiento 100% 93% 90% 5,60 75% 5,224 60% 4,80 45% 30% 4,00 15% f:12.7 CH 3,20 0% 2,40 0,75 0,675 1,60 0,50 0,80 0,25 0 0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,1164 0,15 CW 0 0,18 b) Se identifica el punto de máximo rendimiento y de la lectura del gráfico se obtienen los coeficientes para dicho punto: = 93%; CH = 5,224; CQ = 0,1164; CW = 0,675 c) Utilizando la similitud dimensional, se puede plantear la igualdad de coeficientes entre modelo y prototipo: el coeficiente de potencia es: el coeficiente de capacidad es: el coeficiente de carga es: CW W p Wm 0, 675 Dm5 N m3 D p 5 N p 3 ec:12.12 CQ Q Qm 3 p 0,1164 3 Dm N m D p N p ec:12.13 g Hp g Hm 2 5, 224 2 2 Dm N m Dp N p 2 ec:12.14 CH 533 CAPÍTULO 12 Estos valores pueden utilizarse para estimar el punto de máximo rendimiento para cualquier tamaño de bomba de esta familia con similitud geométrica. En nuestro caso, tomaremos los datos del las curvas como datos del modelo, queremos averiguar el diámetro y la velocidad de rotación (Dp y Np) de un prototipo, del que sabemos: Qp= 25 m³/min, p= 804 kg/m³, Wp= 400 kW. Tendremos que determinar por lo tanto par de Dp y Np que satisfaga simultáneamente las expresiones ec:12.12 y ec:12.13 Por lo tanto operaremos algebraicamente despejando Dp, de la expresión ec:12.12: 1 5 W p DP N 3 0.675 p p ec:12.15 Y reemplazando en ec:12.13, resulta: 4 Qp 0,1164 3 5 N p 3 p N p 0.657 W p Qp N p 5 p 0.0027 W p 3 5 0,1164 5 3 4 3 5 5 Wp 1 0,1164 0,1164 400.000 W Np 28, 73 1724 RPM 3 p 0.675 kg Qp s m 25 804 3 0.0027 m 60 s 5 4 ec:12.16 Reemplazando el valor de Np obtenido en ec:12.16 en la ec:12.15 se obtiene: D p 0, 478m Finalmente reemplazando el par de valores obtenidos en la expresión ec:12.14 obtendremos el valor de la altura: 2 1 5, 224 0, 478m 28, 73 s 100, 42m m 9,81 2 s 2 Hp 5, 224 D p 2 N p 2 g Ejemplo 12.2 Considere una bomba geométricamente similar a la que se ilustra en la figura f:12.7. Elabore la gráfica de una curva de comportamiento H versus Q para una bomba como ésta pero con un diámetro de impulsor D=0,7m y una velocidad N=1750 RPM. Solución Como las bomba es geométricamente similar a la de la figura f:12.7, se mantienen los coeficientes adimensionales CQ, CH y CW, como lo expresado en ec:12.12, ec:12.13 y ec:12.14, por lo que elaboraremos una tabla calculando Q, H y W en función de los datos de la bomba requerida (D=0,7m y N=1750RPM): m3 Q CQ D 3 N s C D2 N 2 H m H g W kW CW D 5 N 3 534 g Q H W 0,000 0,277 0,554 0,831 1,107 1,384 1,661 251 249 244 239 227 203 160 1325 1524 1789 2266 2677 3022 3300 0,00 0,44 0,74 0,86 0,92 0,91 0,79 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS Graficando los valores de H y en función de Q, resultarán las curvas para una única bomba de D = 0,7m y N = 1750 RPM punto de máximo rendimiento 250 225 100% 93% 90% 75% 219 60% 200 45% f:12.8 175 30% 150 15% H[m] 125 0% 100 75 50 25 0 0,25 0,50 0,75 0 1 1,22 1,25 1,50 1,75 Q[m³/s] Ejemplo 12.3 Grafique H versus Q y versus Q, de dos bombas geométricamente similares a la del Ejemplo 12.2 que mantienen el mismo diámetro pero varían su velocidad de rotación en: N1=2000 RPM y N2=2250 RPM. Marque en la curva el punto que pertenece al rendimiento máximo. Solución Como las bombas pertenecen a la misma familia, los coeficientes adimensionales se mantienen. Utilizando el subíndice 0 para la bomba del Ejemplo 12.2 y subíndice 1 para la de N1=2000 RPM, y utilizando las expresiones ec:12.12, ec:12.13 y ec:12.14, podemos poner. 3 igualdad de CQ: D N Q Q1 3 0 Q1 Q0 1 1 3 D1 N1 D0 N 0 D0 N 0 igualdad de CH: D g H1 gH 2 0 2 H1 H 0 1 2 2 D1 N1 D0 N 0 D0 igualdad de CW: 5 3 D1 N1 1 W1 W0 5 W1 W0 5 3 3 D1 N1 1 D0 N 0 2 D0 N 0 2 2 ec:12.17 N 1 N0 2 ec:12.18 ec:12.19 Y como la densidad y el diámetro se mantienen constantes, resulta: N1 N Q1 Q0 1 ; H1 H 0 N0 N0 3 2 N y W1 W0 1 1 N 0 2 ec:12.20 A continuación se muestra una planilla realizada con las ecuaciones ec:12.20 para la velocidad de rotación N1=2000 RPM. Q1 Q0 N1 N0 N H1 H 0 1 N0 0,000 0,316 0,633 0,949 1,266 1,582 1,899 2 328 325 319 313 297 266 209 535 CAPÍTULO 12 3 N W1 W0 1 1 N 0 2 g Q H W 1978 2275 2671 3383 3997 4511 4926 0,00 0,44 0,74 0,86 0,92 0,91 0,79 Realizando lo mismo con N2=2250 RPM, y volcando los datos en un gráfico, obtendremos: 450 100% D = 0,7 m = cte 90% mie nto 400 80% má xim o re ndi 350 25 0R PM de 300 N= 2 p un t os N= 17 200 PM 0R f:12.9 00 H[m] 60% 2 N= 250 50 50% 40% RP M 150 30% 100 20% 50 0 70% 10% 0,50 0 1,00 1,50 2,00 0 2,50 Q[m³/s] 12.3.2 Velocidad específica La velocidad específica de una serie de turbomáquinas es una constante que permite preseleccionar el tipo de turbina o bomba a utilizar en una instalación determinada. Se definen en forma distinta para bombas y para turbinas. Para una serie de bombas centrífugas, la velocidad específica se define como la velocidad de rotación de una máquina de la serie tal que proporcione una altura de impulsión unitaria con un caudal unitario, funcionando en el punto de óptimo rendimiento. Despejando D de CH (expresión ec:12.8) resulta: D H g H D cte1 N CH N Donde se observa que hemos incluido la aceleración de la gravedad en la constante. Reemplazando esta expresión del diámetro en CQ (expresión ec:12.7), resulta: CQ Q 3 H N cte1 N N 2 Q H 3 2 cte2 Podemos plantear esta igualdad con un elemento de la serie y con una bomba de velocidad Ns y de altura y caudal unitario, es decir: 2 N Q H 3 2 2 N s 1 m3 s 3 1m 2 Y por lo tanto, la velocidad específica de una bomba centrífuga se puede calcular conociendo la característica de uno de los elementos de la serie, mediante: 536 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS Q Ns N 3 3 1m 4 H4 1 ec:12.21 m3 s Como conclusión podemos decir: La velocidad específica es independiente de las dimensiones de las bombas homólogas, refiriéndose exclusivamente a la forma, por lo que todas las bombas homólogas tienen la misma velocidad específica. La velocidad específica de una misma bomba no varía, cualquiera que sea la velocidad de trabajo, para puntos homólogos de funcionamiento. Las curvas de régimen semejante son curvas de igual velocidad específica y curvas de igual rendimiento. El valor de Ns a lo largo de una curva característica H=f(Q) a N=cte de una bomba, varía desde Ns=0 para Q=0 hasta Ns=∞ para H=0 Normalmente, para definir una bomba centrífuga, se toma el valor de Ns correspondiente al punto sobre la línea característica H=f(Q) en donde el rendimiento es máximo. Para una serie homóloga de turbinas hidráulicas se define la velocidad específica como la velocidad de rotación de un elemento de la serie que permite desarrollar una potencia unitaria con una altura de impulsión unitaria. Despejando D de CW (expresión ec:12.6) resulta: W 1 D 3 N CW 1 5 W 1 / 5 D 3 / 5 1 / 5 cte1 N Reemplazando esta expresión del diámetro en CH (expresión 8), resulta: CH H g 2 W 1 / 5 3 / 5 1 / 5 cte1 N 2 N H 2 / 5 cte2 W 2 / 5 N 4 / 5 Donde se observa que hemos incluido la aceleración de la gravedad en la constante 2. Podemos plantear esta igualdad con un elemento de la serie y con una turbina de velocidad Ns y de altura, potencia y densidad unitario, es decir: 2/5 H 2 / 5 W 2 / 5 N 4 / 5 kg 1m 1000 3 m 1kW 2 / 5 N s 4 / 5 Y por lo tanto, la velocidad específica de una turbina hidráulica se puede calcular conociendo la característica de uno de los elementos de la serie, mediante: 1/ 2 Ns N W 1 / 2 H 5 / 4 1 / 2 1m 5 / 4 1000 kg3 m 1/ 2 kW ec:12.22 Debe tenerse en cuenta que Ns no es adimensional y para cualquier turbomáquina dada dependerán de las unidades involucradas. La velocidad específica es independiente de las dimensiones de las turbinas homólogas, refiriéndose exclusivamente a la forma, por lo que todas las turbinas homólogas tienen la misma velocidad específica. La velocidad específica de una misma turbina no varía, cualquiera que sea la velocidad de trabajo, para puntos homólogos de funcionamiento. Las curvas de régimen semejante son curvas de igual velocidad específica y curvas de igual rendimiento. 537 CAPÍTULO 12 El valor de Ns a lo largo de una curva característica H=f(Q) a N=cte de una turbina, varía desde Ns=0 para W =0 hasta Ns=∞ para H=0 Normalmente, para definir una turbina hidráulica, se toma el valor de Ns correspondiente al punto sobre la línea característica H=f(Q) en donde el rendimiento es máximo. En la figura f:12.10 se muestra como varía la velocidad específica de las bombas. Se puede observar que la velocidad específica de las bombas radiales es bajo, en tanto para las bombas axiales es alto. cubierta del impulsor 300 200 100 80 60 40 20 10 Valores de la velocidad específica (succión simple) cubierta del impulsor f:12.10 núcleo núcleo álabe núcleo del impulsor núcleo álabe álabe álabe radial álabe Francis álabe flujo mixto flujo axial eje de rotación Comparación de los perfiles de las bombas Ejemplo 12.4 ¿Cuál es la velocidad específica de una bomba centrífuga que transporta 0,6 m³/min de agua, y gira a una velocidad de 1750 RPM, siendo la potencia requerida para mover la bomba de 3,7 kW y la eficiencia del 70%? Solución Despejando H de la expresión ec:12.10, tenemos: H B Wreal g Q Reemplazando valores: H 0, 7 3700W 26, 4m kg m 0, 6 m3 1000 3 9,81 2 m s 60 s Reemplazando los datos en la expresión ec:12.21, resulta: 0, 6 m3 N s 1750 RPM 60 s 3 15 RPM 26, 4m 4 Es decir que una bomba rotando a 15 RPM produce una altura de 1 m con un caudal de 1 m³/s. 12.4 Teoría elemental de las turbomáquinas Veremos a continuación dos elementos básicos para el entendimiento de las turbomáquinas: la teoría de las hélices que es básica para el entendimiento de las máquinas de flujo axial, la teoría del rodete plano que es básica para el estudio de las máquinas de flujo radial. 538 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 12.4.1 Hélices En el capítulo 5, al estudiar el perfil de ala se encontró que cuando éste es embestido por una corriente uniforme con un determinado ángulo de ataque, se produce una circulación sobre el mismo que da como resultado una diferencia de presiones que produce una determinada fuerza de sustentación. Si dicha fuerza de sustentación se produce a una cierta distancia de un eje al cual se encuentra vinculado el elemento de perfil de ala se producirá un par que hará que este elemento gire alrededor de dicho eje. Éste es el principio de los álabes en general y de las hélices en particular con el aditamento que la velocidad de la corriente libre varía con la distancia al radio. El caso enunciado es típico de los molinos de viento. Como es lógico, si en lugar de que la corriente uniforme embista al perfil se hace girar a éste respecto de un eje, se producirá una circulación en el fluido. Esto provocará una diferencia de presiones que hará que se produzca una fuerza en la dirección del eje que puede ser o bien utilizada para impulsar la hélice o bien si la hélice se encuentra quieta para impulsar el fluido. El primer caso es el correspondiente a las hélices de barcos o aviones y el segundo el correspondiente a los ventiladores y bombas axiales. En la figura f:12.11 se muestra una hélice que gira con una frecuencia angular N y se desplaza a una velocidad V0, en la misma figura se muestra una sección genérica de la hélice a una distancia r respecto del eje y su correspondiente triángulo de velocidades. N Vo dFi V -Fempuje .r dFt 2r ste nt a ció n dF V F Fsu f:12.11 paso efectivo (2rVo/r) r Vo paso geométrico A .r .N 2 A Fa rra str e Torque/r El paso geométrico definido como la distancia recorrida por el flujo con respecto a la circunferencia descripta por cada giro de la hélice, se modifica como resultado del propio avance de la hélice. El ángulo local de avance es proporcional a la relación de velocidad de avance y velocidad tangencial de la hélice. La diferencia entre el ángulo de avance de la hélice y definen el ángulo de ataque del perfil. Por lo tanto la fuerza de sustentación resulta normal a dicho ángulo. Si sumamos una velocidad -V0 y descomponemos la fuerza de sustentación en las componentes axiales y tangenciales obtenemos las fuerza de empuje y de torsión respectivamente, como se muestra en la figura f:12.11. Obsérvese que dichas fuerzas son diferenciales ya que estamos analizando un diferencial de hélice. A fin de contar con un rendimiento de conjunto elevado es conveniente obtener una relación empuje – torsión similar en todas las secciones de la hélice, lo cual requiere modificar el paso geométrico y la forma de la sección a lo largo de la misma, de aquí la forma “alabeada” de las mismas. Si queremos encontrar la fuerza de sustentación a lo largo de toda la pala deberemos calcular la misma sección a sección y adicionarlas. Obviamente como en el caso de los perfiles de ala finitos, la circulación sobre las secciones transversales induce torbellinos de punta de pala que producen una estela vorticosa posterior que gira debido a que egresa de la hélice con una velocidad tangencial igual a la velocidad periférica de la punta de pala y que se desplaza con mayor velocidad que la de la corriente uniforme como se muestra en la figura f:12.12. 539 CAPÍTULO 12 f:12.12 V Vo Por lo tanto la velocidad en la parte posterior es superior a la velocidad de la corriente uniforme para el caso de una hélice. Analicemos una hélice en la cual el volumen de control es el que se muestra punteado en la figura f:12.13. 3 4 p1 V V1 V4 f:12.13 p2 1 p3 p4 2 El volumen de control está compuesto por la hélice propiamente dicha y el volumen de aire que circula a través de la misma. Este volumen de control tiene una superficie mayor aguas arriba que aguas debajo de la hélice porque como vimos la velocidad del fluido es mayor en la descarga que en la succión. Es el caso de la hélice de propulsión o del ventilador. Si se tratase de un molino de viento el volumen de control sería justamente al revés, es decir la velocidad de la corriente aguas arriba es superior a la velocidad de la corriente aguas abajo. Si aplicamos la ecuación de cantidad de movimiento al volumen de control mostrado resulta: Fext V d V V dA SC t VC Como sólo nos interesa la dirección del movimiento X, el flujo es estacionario y las únicas fuerzas exteriores que actúan son el empuje E sobre la hélice, ya que en todo el resto del volumen de control la presión es la atmosférica, despreciando los efectos de fricción y los debidos a la gravedad, la anterior será: E A V V4 V1 ec:12.23 Donde A y V son el área de la sección frontal y la velocidad del flujo a través de la hélice respectivamente. Si ahora aplicamos la ecuación de cantidad de movimiento a un volumen de control compuesto por la hélice, como la velocidad aguas arriba y aguas abajo es la misma, y las únicas fuerzas exteriores que actúan son el empuje sobre la hélice y la diferencia de presiones queda: E p3 p 2 A Igualando con la ec:12.23 podemos eliminar el área A: p 3 p 2 V V4 V1 540 ec:12.24 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS Como el fluido es incompresible, estacionario y los efectos de fricción son despreciables entre las secciones 1 y 2 (figura 12.13) podemos aplicar la ecuación de Bernoulli entre dos puntos de estas secciones: p atm 1 2 p2 1 2 V1 V2 2 2 ec:12.25 Las mismas características tiene el flujo entre las secciones 3 y 4 por lo cual también podemos aplicar Bernoulli (notar que no podemos aplicar Bernoulli entre 2 y 3): p3 1 2 p atm 1 2 V3 V4 2 2 ec:12.26 Teniendo en cuenta que la velocidad del fluido en el sección 2 es la misma que en la sección 3 restando miembro a miembro la ec:12.26 de ec:12.25 se puede obtener la diferencia de presiones entre la sección 3 y la sección 2: p3 p 2 1 V42 V12 2 ec:12.27 Igualando la expresión ec:12.24 con la ec:12.27 podemos obtener el valor de la velocidad V del fluido a través de la pala: V 1 V4 V1 2 Para una hélice que actúa como propulsora (es decir que se le entrega potencia a través de un motor a fin de mover un avión o un barco) la potencia útil es la necesaria para trasladar la fuerza de empuje a la velocidad de la hélice (que se mueve con la velocidad del móvil). Como V1 es la velocidad de la hélice la potencia útil la encontramos como producto de la ecuación ec:12.23 por dicha velocidad: W u A V V4 V1 V1 Q V1 V4 V1 ec:12.28 La potencia que debemos entregar a la hélice (mediante el motor) la podemos obtener aplicando la ecuación de la energía al volumen de control de la figura f:12.13: 1 p Q W eje e d u V 2 g z V dA SC t VC 2 Teniendo en cuenta que la potencia es entregada y por lo tanto negativa, que no hay transferencia de calor, que el flujo es estacionario, que hemos despreciado las pérdidas de fricción y la variación de energía potencial y que sólo hay flujo a través de las secciones 1 y 4 la anterior se resume a: 1 1 1 W eje Q V12 Q V42 Q V42 V12 2 2 2 ec:12.29 Por lo tanto el rendimiento porcentual de la hélice valdrá: W u V1 V 100 100 1 100 1 V W eje V4 V1 2 ec:12.30 541 CAPÍTULO 12 Como el denominador es siempre mayor que el numerador ni aún despreciando las fuerzas viscosas el rendimiento de una hélice de propulsión puede ser del 100%. De hecho el rendimiento se aparta bastante del teórico debido al importante consumo de energía en la estela vorticosa. Las hélices de barco y aeronaves tienen eficiencias que no superan el 80%. En la figura f:12.14 se muestran las curvas características para una hélice de propulsión donde C E : coeficiente de empuje y CW : coeficiente de potencia y vienen dados por las expresiones: CE C W E N 2 D4 W N 3 D5 f:12.14 12.4.2 Rodete radial En la figura f:12.15 se muestra esquemáticamente un rodete donde el fluido ingresa por el anillo central y luego de recorrer todos los álabes egresa por el anillo exterior. El fluido sólo tiene componentes en el plano del papel y, para las deducciones que siguen, supondremos que existe una cantidad infinita de álabes dispuestos sobre el rodete, de forma que los triángulos de velocidades son los mismos en cualquier punto a una distancia fija del radio. Esta disposición corresponde a una bomba. Si el flujo escurriera de la periferia hacia el centro se trataría de una turbina. Una pregunta pertinente es ¿cómo son los cambios energéticos y las cantidades de movimiento que ocurren en un rodete? Para contestar esta pregunta analizaremos por separado (a pesar que son causa y efecto) lo que ocurre en una bomba y lo que ocurre en una turbina. A fin de comprender por qué al hacer girar el rodete con un motor (bomba) se logra un aumento de presión se puede recurrir a una simple observación: cuando revolvemos una taza de café u otra infusión, observamos que en el centro de la taza el nivel desciende respecto al nivel original, en tanto que en la periferia (borde de la taza) el nivel aumenta. Si imaginamos que confinamos el fluido mediante una tapa, lo que obtendremos es un incremento de presión desde el centro hacia la periferia, es decir exactamente lo que ocurre en una bomba. Puede verse que esto ya fue descripto en el capítulo 2 punto 2.6. Adicionalmente el fluido sale del rodete con una velocidad importante (energía cinética) que es recuperada en el difusor de la bomba, y convertido por lo tanto en un aumento de presión adicional. Estos dos mecanismos son los que actúan en una bomba. Aquí estamos interesados en el primero de estos fenómenos. Si analizamos desde el punto de vista de la transferencia de cantidad de movimiento que ocurre en el rotor de una bomba, podemos ver que cuando a una partícula se le confiere un sentido de rotación aparece una fuerza 542 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS centrífuga, esta fuerza centrífuga debe ser compensada por otra para evitar que la partícula salga despedida según la dirección radial (como ocurriría si se corta la soga que mantiene a una piedra rotando respecto a un punto), esta fuerza la suministra el aumento de presión que ocurre en la dirección radial. Podemos hacer un análisis similar para la turbina. El movimiento de la misma ocurre porque sobre los álabes impacta el fluido transfiriendo su cantidad de movimiento y como los álabes se distribuyen sobre la circunferencia, se produce un movimiento de giro. Además como el flujo se mueve con movimiento circular desde el exterior hacia el interior, la fuerza centrífuga disminuye desde la periferia hacia el centro, y por lo tanto debe disminuir la presión en la misma dirección para equilibrar la misma. 2 Vrel 2 V2 Referencias 2 V1, V2: velocidades absolutas Va rr 1 1 R2 Vt1, Vt2: velocidades absolutas tangenciales Vrel 1 r2 V ar V 1 R1 A A Vr1, Vr2: velocidades absolutas radiales Vrel1, Vrel2: velocidades relativas Varr1, Varr2, velocidades de arrastre f:12.15 superficie de control 1 1, 2: ángulo que forman las velocidades absolutas con la tangente a la superficie de control volumen de control 1, 2: ángulo que forman las velocidades relativas con la superficie de control superficie de control 2 Corte A-A : velocidad angular de rotación del rodete b2 b1 Planteando la ecuación de continuidad en el volumen de control indicado en la figura f:12.15, resulta: 0 V dA SC Al ser un flujo permanente, la derivada con respecto al tiempo se anula. Sólo queda desarrollar la integral del segundo término en la superficie de control 1 y 2, resultando: Vr1 2 R1 b1 Vr 2 2 R2 b2 Q En el gráfico f:12.16 se detallan los triángulos de velocidad a la entrada y salida del rodete. Por condición de diseño, la velocidad relativa en los álabes, debe ser tangente a ellos, de forma de disminuir las pérdidas por desprendimiento. 543 CAPÍTULO 12 Triángulo de velocidad a la entrada del álabe Triángulo de velocidad a la salida del álabe l1 2 dirección tangente a la circunferencia Vrel 2 Vt 2 V2 Vr 2 Varr 2=.R2 Vt 1 V1 1 Vre f:12.16 Vr 1 Varr 1=.R1 2 dirección tangente a la circunferencia a c b Para construir el triángulo de velocidad, basta con conocer el caudal que circula, la velocidad de rotación de la máquina, las dimensiones del rodete y la forma de los álabes (sus ángulos tangentes). Y de acuerdo con el principio de Galileo: Vabs Vrel Varr Siendo la velocidad de arrastre, la velocidad a la que gira el rodete. En la figura f:12.16.c, se observa el desprendimiento que ocurre cuando la velocidad relativa (la que ve un observador parado sobre el rodete) no es tangente a la entrada al álabe. Como la turbomáquina debe adaptarse a diferentes condiciones de operación es obvio que cuando deba operar fuera de las condiciones de diseño su eficiencia disminuirá. Si aplicamos la ecuación de momento cinético a un volumen de control que incluya al rodete como se muestra en la figura f:12.15, resulta: M ext r V d r V V dA t VC SC Esta es una ecuación vectorial según los tres ejes. Pero sólo nos interesa el momento en el plano del papel. Recordando que el flujo es permanente y que sólo hay flujo a través de las superficies extremas, se calcularán los momentos con respecto al centro del rodete, resultando: M z R1 V1 cos 1 R2 V2 cos 2 Q Como se puede observar en los triángulos de velocidad de la figura f:12.16 V1cos1 Vt1 y V2cos2 Vt2 y reemplazando en la ecuación anterior, resulta: M z R1 Vt1 R2 Vt 2 Q ec:12.31 Como hemos visto en el punto 5.2 del capítulo 5, se podía definir la circulación de un vórtice libre como: R1 Vt1 R2 Vt 2 cte Por lo tanto, si se construye un álabe con un perfil tal que se cumpla la condición anterior, no produciría ningún par y por consiguiente ninguna potencia. A dicho álabe se lo conoce como álabe neutro y por supuesto no tiene ninguna utilidad práctica. Por lo tanto si se quiere aumentar el momento torsor que produce un rodete puede procederse aumentando el caudal o bien aumentando la diferencia de circulación entre la entrada y la salida. Para obtener la potencia que produce el rodete, se multiplica el momento por la velocidad angular, resultando: M Q R V R V W z 2 t2 1 t1 ec:12.32 Nuevamente, refiriéndonos a los triángulos de velocidad de la figura f:12.16, podemos observar que: 544 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS R1=Varr1 y R2 Varr2 ec:12.33 Y reemplazando las expresiones ec:12.33 en la ec:12.32, resulta: W Q Varr 2 Vt 2 Varr1 Vt1 ec:12.34 Recordando la ecuación ec:12.1, habíamos llegado a: W g Q H ec:12.35 Igualando la ec:12.34 con la ec:12.351, podemos obtener una expresión interesante para la altura hidráulica: H Varr 2 Vt 2 Varr1 Vt1 g ec:12.36 Que demuestra que el álabe neutro no genera altura hidráulica alguna, de la misma forma que no se genera par torsor o potencia. Ejemplo 12.5 El impulsor de una bomba centrífuga que tiene las dimensiones mostradas, gira a 500 RPM. Suponiendo a la entrada una velocidad absoluta solamente de dirección radial calcular el caudal, el momento torsor y la potencia requerida para cumplir estas condiciones. 50mm 45° 45° 75mm 200mm Solución Plantearemos los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del álabe. 545 CAPÍTULO 12 Vt 2 45° Varr 2 2=45º Vrel 2 V2 Vr 2 Varr 1 R2=100mm 45° 45° Vrel 1 R1 =3 2, 5m m V 1 = Vr 1 De los valores dados en el enunciado y los triángulos de velocidades surgen los siguientes valores: 500 rpm 1000 kg m3 R1 75 mm 2 R2 200 mm 2 b 50mm m s m Varr 2 R2 Varr 2 5, 24 s m V1 Varr1 tan 45º V1 1,96 s Varr1 R1 Varr1 1,96 Como no hay componente tangencial, la velocidad absoluta en 1 sólo tiene componente radial, es decir: m s m3 Q 0, 023 s Vr1 V1 Vr1 1,96 Q 2 R1 b Vr1 Vt1 0 2 45º Y, por lo tanto: Q 2 R2 b Vr 2 Vr 2 Q 2 R2 b Vr 2 0, 74 m s La proyección tangencial de la velocidad absoluta a la salida la podemos calcular con: Vr 2 tan 2 Varr 2 Vt 2 Vt 2 Varr 2 Vr 2 tan 2 Vt 2 4,5 El momento torsor se puede calcular mediante la ecuación 12.31: M z R2 Vt 2 R1 Vt1 Q M z 10,35 N m Y finalmente la potencia requerida en el eje la calculamos mediante: Weje M z 546 Weje 545Wat m : s TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 12.5 Características particulares de las turbomáquinas Procederemos a analizar cada turbomáquina de acuerdo con la característica de flujo: axial, radial, tangencial o mixto. 12.5.1 Turbomáquinas de flujo tangencial Este tipo de turbomáquinas es del tipo de impulsión, donde el agua es acelerada en una tobera e impacta en la rueda a la cual le transmite el impulso que la hace girar. En la figura f:12.17 se observa un tipo de turbina de impulsión, conocido como turbina Pelton. Fuente: http://www.ebroacero.com f:12.17 (consultado 29 de enero de 2010) En la figura f:12.18 se muestra esquemáticamente una instalación. La tobera o inyector lanza directamente el chorro de agua contra la serie de paletas en forma de cuchara montadas alrededor del borde de una rueda. El agua acciona sobre las cucharas intercambiando energía con la rueda en virtud de su cambio de cantidad de movimiento, que es casi de 180°. Obsérvese en el corte B-B, como el chorro de agua impacta sobre la pala en el medio, es dividido en dos, los cuales salen de la pala en sentido casi opuesto al que entraron, pero jamás puede salir el chorro de agua en dirección de 180°, ya que si fuese así el chorro golpearía a la pala sucesiva y habría un efecto de frenado. El fluido puede ser inyectado por una o más boquillas ubicadas en forma periférica y el rotor puede disponerse de forma horizontal o vertical. Vista A-A rodete A dchorro f:12.18 B B álabe R tobera A Vch chorro Varr=.R Como se observa en la figura, el fluido entra y sale de los álabes de la rueda a la misma presión (normalmente la presión atmosférica). 547 CAPÍTULO 12 Trataremos ahora de determinar el par que entrega la turbina, suponiendo conocidos la velocidad de salida de la tobera o boquilla, la velocidad de giro de la rueda y la forma del álabe. Consideramos que la velocidad de giro de la rueda y el caudal se mantienen constantes y que las pérdidas por fricción o turbulencia son nulos. En la figura f:12.19 se muestra en punteado el volumen de control adoptado, al que aplicaremos la ecuación del momento de la cantidad de movimiento (la sección de entrada del fluido a la cuchara se denomina 1, así como 2 a la sección de salida): volumen de control dchorro 2 V1 1 R Varr=.R V1=Vch 1 f:12.19 Vr 2 2 V2 Varr ext t Vr 2 R V2 2 triángulo de velocidad a la salida del álabe a M Vt 2 Vt 2 Vrel 2 dirección álabe tangente al inal ón f i c c e dir horro del c 90° r V d VC b r V V dA SC El término en derivadas parciales se anula puesto que si no varían ni la velocidad de giro de la máquina ni el caudal inyectado el flujo es permanente. Esta ecuación es de tipo vectorial y por lo tanto se puede descomponer en tres ecuaciones escalares según los ejes coordenados. Nosotros sólo estamos interesados en la ecuación según el eje z, que es el eje según el cual gira el aparato. Obviamente esta integral es nula sobre las superficies de control sobre las cuales no hay transferencia de masa. Es decir que la integral anterior sólo debe ser evaluada sobre las superficies 1-1 y 2-2. Finalmente adoptaremos como radio R la distancia al centro del rodete, y podemos escribir: M ext r V V dA r V V dA SC1 ec:12.37 SC 2 En el primer término, el agua ingresa al volumen de control, el radio vector es R y la velocidad absoluta V1 es igual a la velocidad del chorro Vch. Como esta velocidad es normal a R resulta: r V V dA r V V dA R V sen90º Q SC1 1 ec:12.38 SC1 De la misma manera, el momento cinético del fluido que egresa por la superficie 2-2 resulta: r V V dA r V SC 2 548 V dA R V SC 2 2 sen Q ec:12.39 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS El signo de la multiplicación vectorial r V se ha tomado como positivo si es antihorario y negativo si es horario. La velocidad absoluta a la salida V2, se ha indicado en la figura f:12.19.a, donde se ha trazado el triángulo de velocidades utilizando el principio de Galileo ( Vabs Vrel Varr ). En la figura f:12.19.b, se indica el ángulo , y se observa que V2·sen =Vt 2, que también lo podemos expresar diciendo que la única componente capaz de producir par sobre la rueda es la componente tangencial al rodete (puesto que para la componente en la dirección del eje r Vr 2 0 ) Por lo tanto en el egreso será: r V V dA R V t2 Q SC 2 Nuevamente, refiriéndonos al triángulo de velocidades, podemos expresar la velocidad absoluta tangencial a la salida en función de la velocidad relativa Vrel2 y de la velocidad de arrastre Varr. La velocidad relativa es aquella con la que veríamos desplazarse al fluido dentro del álabe si nos paráramos sobre éste, y suponiendo ausencia de rozamientos, podremos decir que la velocidad relativa se mantiene en todo el recorrido sobre el álabe, hasta su egreso, es decir: |Vrel 1| = |Vrel 2| Estas velocidades son iguales en módulo, pero no en dirección, ya que en el egreso la velocidad relativa es tangente a la superficie del álabe, puesto que no se ha considerado pérdidas por turbulencias (choques o separación). Y nuevamente, por el principio de Galileo, la velocidad relativa a la entrada es: Vrel1 V1 Varr , y su módulo: |Vrel1|=|Vrel 2|=Vch-·R, donde es la velocidad angular de la rueda. Y siendo: Vt 2 Vrel 2 cos R Vch R cos R r V V dA R V ch R cos R Q SC 2 ec:12.40 Finalmente, reemplazando ec:12.38 y ec:12.40 en ec:12.37, resulta: M z R Vch ( Q ) R Vch R cos R Q ec:12.41 Operando, se puede rescribir: M z R Q Vch Vch cos R cos R Finalmente el par resistente aplicado por el fluido a la rueda será: M z R Q R Vch 1 cos ec:12.42 Y el par desarrollado por la rueda, será de signo contrario: M z R Q Vch R 1 cos ec:12.43 Como la potencia es el producto del par torsor por la velocidad angular: W eje Q R Vch R 1 cos Aquí hemos supuesto que hay una infinita cantidad de álabes. Como esto no es así la potencia o el par torsor deberán afectarse por un factor que será menor que uno y que forma parte del rendimiento de la máquina. 549 CAPÍTULO 12 Para maximizar el rendimiento de la máquina desde el punto de vista de la construcción de los álabes vale observar que tanto el par torsor como la potencia serán máximos cuando el ángulo sea cero. Es decir cuando el flujo de agua sea desviado de forma tal que realice un giro de 180°. Si bien por razones constructivas no es posible llegar a dichos valores los ángulos reales se encuentran muy próximos a estos valores. Es interesante ver que la potencia es función de la velocidad tangencial de la máquina R . De una rápida inspección de las fórmulas de par torsor y potencia deducidos vemos que el par torsor y la potencia son nulos cuando la velocidad tangencial es igual a la velocidad del chorro. A medida que la diferencia entre ellas aumenta el par torsor aumenta continuamente. Por lo tanto a medida que la máquina se carga se tiende a frenar. Como estas máquinas se utilizan para generar energía eléctrica la velocidad de rotación se debe mantener constante, por lo tanto los cambios en la potencia se deben realizar modificando el caudal que ingresa por las boquillas. La potencia no se comporta de la misma forma respecto a la velocidad tangencial sino que pasa por un máximo y luego disminuye. Resulta interesante determinar el punto para el cual la potencia resulta máxima. Para ello derivamos la potencia respecto a la velocidad tangencial y la igualamos a cero: W eje 0 Q1 cos Vch R R1 cos R Operando en la anterior llegamos a: R Vch 2 Es decir que la potencia será máxima cuando la velocidad tangencial sea la mitad de la velocidad del chorro. Las turbinas de acción son recomendables para centrales con grandes saltos y moderados o pequeños caudales. Son la elección técnicamente más recomendable en instalaciones donde se requiere números de revoluciones específicos (Ns) entre 25 y 50 y se dispone de saltos de más de 180 metros. 12.5.2 Turbomáquinas de flujo axial Dentro de este tipo de turbomáquinas se distinguen las siguientes: ventiladores axiales bombas axiales a hélice turbinas hidráulicas axiales turbinas eólicas Para la clasificación de ventiladores axiales tomaremos como referencia “Industrial Ventilation” A manual of Recommended Pratice 8th Edition editado por la American Conference of Governmental Industrial Hygienists. De acuerdo con este trabajo los ventiladores axiales los clasifica en dos grandes grupos: Ventiladores axiales de palas Ventiladores axiales de álabes Los ventiladores axiales de pala pueden mover grandes caudales de aire con muy bajas presiones estáticas. Dentro de este tipo de ventiladores a su vez se pueden reconocer los ventiladores de disco y los ventiladores de hélice (ver figura f:12.20). 550 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS Ventilador de discos f:12.20 Ventilador de hélice Ventilador axial Los ventiladores de disco son utilizados generalmente como extractores de ambientes y no están conectados a conductos, es decir que la contrapresión que deben vencer es mínima. No son ventiladores aerodinámicos. Los ventiladores de hélice responden a la teoría vista en el punto 12.4.1. La característica de caudal es similar al anterior (volúmenes importantes) pero con valores de presión estática de descarga superiores al anterior (ver curvas en la figura f:12.20). Los ventiladores axiales de álabes (ver figura f:12.20) en cambio permiten desarrollar mayores presiones con mejores rendimientos que los anteriores. Esto se debe a dos factores: Los álabes tienen un mayor desarrollo en el sentido axial lo cual permite desarrollar mayores presiones. El ventilador se ubica dentro de un conducto y aguas abajo del ventilador se colocan enderezadores de vena lo cual mejora el rendimiento al mitigar los vórtices de punta de pala y la resistencia inducida en la estela. Los conceptos correspondientes a las bombas axiales a hélice son totalmente análogos al de los ventiladores axiales de álabe excepto que usualmente se ubican en forma vertical como se muestra en la figura f:12.20 donde también se muestran las curvas características para una máquina dada girando a un número de revoluciones determinado. Obsérvese la similitud con los ventiladores axiales de álabes. f:12.21 Alabes fijos 551 CAPÍTULO 12 Las turbinas axiales son indicadas para bombear caudales importantes con alturas de impulsión modestas. Son indicadas para aquellas instalaciones con número de revoluciones específicas Ns entre 110 y 220 y alturas de impulsión de hasta 15 metros. Como apuntamos en 12.1 las turbinas hidráulicas se pueden clasificar en turbinas de acción y turbinas de reacción. Las turbinas de acción fueron analizadas en 12.5.1. En las turbinas de reacción el rodete se encuentra totalmente sumergido en el agua. Las turbinas de reacción se pueden clasificar a su vez en axiales (turbina Kaplan) y radiales (turbina Francis). Las turbinas axiales por supuesto muestran características muy similares a las bombas y ventiladores axiales. La turbina de este tipo más común es la turbina Kaplan un corte de la cual se muestra en la figura f:12.22. La turbina Kaplan se utiliza en centrales con caudales importantes y saltos moderados con números de revoluciones específicos (Ns) entre 450 y 1000 con un rendimiento óptimo para un Ns de aproximadamente 600 y saltos menores a 30 metros. En la figura f:12.23 se muestran curvas características de estas turbinas. Alabes directrices f:12.22 Diámetro Rodete f:12.23 Finalmente dentro de las máquinas de flujo axial tenemos las turbinas de generación eólica que consisten básicamente en dos o tres hélices movidas por el viento que a su vez mueven un generador eléctrico. Usualmente se disponen en grupos más o menos numerosos de generadores a los cuales se denomina granja de molinos de viento. En la figura f:12.24 se muestra una granja de este tipo en Middelgrunden, en el mar de Copenhague, Dinamarca. Y en la figura f:12.25 se puede observar el tamaño que suelen tener las aspas del aerogenerador. En la figura f:12.26 se esquematiza el movimiento del aire a través de un molino de viento. La velocidad en la sección 1 es la velocidad del viento en el lugar normal a la cara frontal. Se observa que la imagen de flujo es exactamente opuesta a lo visto para una hélice de propulsión. En efecto la velocidad de la corriente libre se reduce aguas abajo pues el molino obtiene energía del flujo. Por lo tanto aplicando la ecuación de la energía a 552 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS un volumen de control tal como el mostrado y teniendo en cuenta que analizamos el estado permanente, que el trabajo es realizado por el flujo, que la presión tanto en la sección 1 como en la 4 es la atmosférica, despreciando el rozamiento y la variación de energía potencial llegamos a la siguiente ecuación: 1 1 1 W eje Q V12 Q V42 Q V42 V12 2 2 2 1 1 W eje Q V12 V42 A V V12 V42 2 2 El valor de la velocidad a través del molino como vimos al tratar de las hélices es la semisuma de las velocidades de las secciones 1 y 4 por lo cual la anterior se puede escribir: 1 1 W eje A V1 V4 V12 V42 2 2 Si definimos la potencia disponible como la correspondiente a un área de sección A (área de la superficie frontal del molino) a través de la cual el fluido circula con una velocidad V1 dicha potencia valdrá: 1 W disp A V1 V12 2 f:12.24 f:12.25 2 1 p4 V f:12.26 V4 V1 p1 p3 p2 3 Siendo el rendimiento del ventilador: 553 CAPÍTULO 12 W eje W disp Reemplazando en la anterior por las ecuaciones encontradas: 1 V1 V4 V12 V42 2 V1 V12 1 V4 V42 1 1 2 V1 V 2 1 Podemos encontrar el rendimiento máximo en función de la relación de velocidades V4 V1 para lo cual derivamos e igualamos a cero: V 4 V1 V V 2 1 4 1 42 V1 V 1 0 V 4 V1 2 V V 0 3 4 2 4 1 V1 V1 Ecuación de segundo grado que resuelta nos da: V4 V1 1 3 Reemplazando este valor de las relaciones de velocidades en la ecuación del rendimiento encontrada: 1 1 1 1 1 2 3 9 16 0,593 27 máx máx Como hemos considerado el flujo sin fricción es de esperar que este rendimiento sea menor, de todas formas podemos decir que el rendimiento de un molino de viento no podrá superar el 59,3%. 12.5.3 Turbomáquinas de flujo radial Este tipo de máquinas se distinguen porque constan de un rotor que gira dentro de una carcasa y en el cual el flujo circula en dirección radial recibiendo o generando energía. Dentro de este tipo de máquinas se distinguen los siguientes: Ventiladores centrífugos Bombas centrífugas radiales Turbinas de reacción radiales (turbina Francis) Los ventiladores centrífugos (como todas las máquinas radiales) son apropiados para mover volúmenes menores que los ventiladores axiales pero pueden desarrollar una contrapresión mucho mayor. Debido a esta característica son la solución usual cuando se necesita transporte por conductos muy largos o contra filtros de manga como en el caso de la ventilación industrial. Los ventiladores se clasifican en tres grupos de acuerdo con la construcción del rodete (ver f:12.27). Ventiladores de paletas curvadas hacia atrás Ventiladores de álabes rectos Ventiladores de paletas curvadas hacia adelante 554 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS Ventilador de paletas curvadas hacia atrás f:12.27 Ventilador de palas rectas Ventilador de paletas curvadas hacia adelante En los últimos, dado que la punta de pala se curva en el sentido de rotación, la velocidad tangencial absoluta de salida del aire es mayor que en el caso que los álabes se curven en sentido contrario al de rotación. Esto hace que estos ventiladores sean más compactos (ocupan menos espacio) y su velocidad de rotación puede ser inferior a la del otro tipo, lo cual permite niveles de ruido menores. Se usan para vencer contra presiones estáticas moderadas, por lo cual son muy utilizados en aire acondicionado y ventilación pero no se recomiendan para ambientes con humo o polvo que se puedan adherir a los álabes pues los desbalancean. En la figura f:12.28 se muestra la incidencia de la curvatura de los álabes en las velocidades de salida f:12.28 Los ventiladores de palas rectas se usan en sistemas de extracción cuando se manejan fluidos que puedan taponar el ventilador, tales como en aserraderos, extractores buffer, etcétera. Los ventiladores de palas curvadas en sentido contrario al de rotación permiten velocidades de punta de pala mayores y por lo tanto admiten mayores velocidades de rotación lo cual los hace de mejor rendimiento que los anteriores y tiene características de no-sobrecarga. En la figura f:12.29 se muestra un corte típico de una bomba centrífuga radial. Usualmente las bombas no tienen álabes directrices y en la entrada el flujo normalmente es paralelo al eje a fin de reducir la potencia necesaria en el eje al mínimo. De la ecuación ec:12.31 para una bomba de este tipo resulta: M z Q R2 Vt2 Porque no hay velocidad tangencial a la entrada. De la misma forma de la ecuación ec:12.34 resulta: 555 CAPÍTULO 12 W Q Varr 2 Vt2 H Varr 2 Vt 2 g f:12.29 De la misma forma que el momento torsor y la potencia requeridos por la bomba se hacen mínimos cuando el flujo de ingreso no tiene velocidad tangencial la altura de impulsión se hace máxima. Debido a la fricción de fluido contra el rotor y la carcasa y a la resistencia de forma el rendimiento no es del 100%. Respecto a la resistencia de forma en los álabes se debe hacer notar que como generalmente estas máquinas no tienen álabes de ángulos variables, cuando funcionan fuera de la condición de diseño el rendimiento disminuye debido a que la velocidad relativa no es tangente a los álabes. En la figura f:12.30 se muestra una curva característica de una bomba. En ella se puede observar una curva que corresponde al ANPA y cuyo significado veremos más adelante. Respecto de la orientación de los álabes o paletas en general se utilizan los del tipo atrasado, es decir que el ángulo de punta de pala es opuesto al sentido de rotación o a lo sumo normal. Esto se debe a que si bien los álabes con paletas adelantadas permiten mayores velocidades de salida, el canal a que dan lugar produce pérdidas debido a desprendimientos que anulan todas las ventajas obtenidas. H f:12.30 W ANPA Q[m³/s] Finalmente podemos decir que este tipo de bomba encuentra sus aplicaciones con números de revoluciones específicos (NS) entre 15 y 90 con alturas de impulsión mayores a 30 metros. Las turbinas de flujo radial (turbinas Francis) son turbinas de reacción en las cuales el fluido ingresa por una envolvente a todos los álabes fijos llamados directrices, para luego alcanzar los álabes de la rueda o rodete a los cuales les confiere momento cinético (ver figura f:12.31). El momento torsor, la potencia y la altura disponible vienen dadas por las ecuaciones ec:12.31, ec:12.34 y ec:12.36 pero con los signos cambiados. A fin de optimizar los momentos torsores, potencia y altura de 556 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS impulsión se intenta que la velocidad a la salida no tenga componente normal (obsérvese que en la bomba la que se anula es la componente de entrada). álabes fijos Q B álabes móviles f:12.31 álabes móviles rodete álabes fijos Nuevamente el rendimiento se ve influenciado por las pérdidas por fricción y de forma y cuando varía el caudal respecto de las condiciones de diseño aumentan las pérdidas de forma y varía el rendimiento. En la figura f:12.32 se muestran las curvas características de estas máquinas. f:12.32 Estas máquinas son indicadas para saltos y caudales moderados con números de revoluciones específicos (NS) entre 45 y 500 y saltos entre 25 m y 180 m. 12.5.4 Turbomáquinas de flujo mixto Estas máquinas tienen una característica de flujo que las ubica entre las máquinas de flujo radial y las turbomáquinas de flujo axial. Las únicas máquinas que tienen esta característica son las bombas centrífugas de flujo mixto cuyo corte transversal se muestra en la figura f:12.33. Estas bombas prestan un servicio intermedio entre las axiales y radiales vistas anteriormente y son indicadas para trabajar con número de revoluciones específicos entre 70 y 135 con alturas de impulsión entre 10 y 40 metros. 557 CAPÍTULO 12 f:12.33 Alabes fijos 12.6 Punto de funcionamiento 12.6.1 Punto de funcionamiento de una bomba Como hemos podido observar al ver las curvas de las turbomáquinas, existen infinita cantidad de puntos en las cuales éstas pueden funcionar con una relación biunívoca entre el caudal y la altura de impulsión. Sin embargo el funcionamiento de las mismas se producirá en un punto determinado y para una condición dada de caudal y altura de impulsión. En el caso de turbomáquinas que actúan impulsando un fluido a través de un sistema de cañerías o conductos, tales como ventiladores o bombas la condición viene dada por la contrapresión que producen la diferencia de nivel y/o la pérdida por fricción en las cañerías. En el caso de los ventiladores las diferencias de nivel son despreciables y por lo tanto la contrapresión se debe exclusivamente a la pérdida de carga. Como vimos en el capítulo 8 de escurrimiento en conductos la pérdida de carga total viene dada por: H (f L D n Ki ) i 1 V2 2g Siendo la velocidad en un conducto circular: V 4Q D2 Resulta: H (f L D n K ) i i 1 2 8 Q2 D4 g Es decir que la curva de carga para un ventilador es aproximadamente proporcional al caudal al cuadrado. Entonces si superponemos en un mismo gráfico la curva del ventilador y la de demanda, el punto en que se intercecan ambas curvas es el punto de funcionamiento del ventilador (ver figura f:12.34). 558 H[mm H2O] TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS f:12.34 Resistencia del sistema con damper parcialmente cerrado Resistencia del sistema (varía aprox. Con Q2) Q[m3/h] En el caso de una bomba centrífuga la altura de impulsión viene dada por: H imp z H Donde z es la diferencia de altura geométrica entre la succión y la impulsión. La curva de carga en función del caudal es del tipo parabólica como la anterior pero en lugar de iniciar en el origen arranca con una altura igual a la diferencia geométrica (ver figura f:12.35). f:12.35 H[m H2O] Resistencia del sistema con Válvula parcialmente cerrada Resistencia del sistema (varía aprox. Con Q2) Q[m3/h] En muchos procesos industriales es necesario variar el caudal entregado por el ventilador o la bomba. En el caso de las turbomáquinas esto se realiza en forma muy simple disponiendo una válvula o un damper (según se trate de una bomba o de un ventilador) preferentemente en la descarga del sistema. De esta forma introducimos una pérdida de carga inducida que modifica la curva de carga como se puede observar en las figura f:12.34 y f:12.35. Obsérvese que esto mismo es lo que hacemos cuando regulamos la apertura de una canilla en nuestro hogar (de hecho la canilla es una válvula globo ángulo). En algunas bombas o ventiladores de gran potencia la regulación se realiza mediante paletas variables a fin que la máquina opere en zonas de rendimiento adecuado y por lo tanto mantener los consumos de energía en valores lo más bajo posibles. Las turbinas hidráulicas en su gran mayoría son utilizadas para generar energía eléctrica. Las necesidades de carga vienen impuestas por lo tanto por el consumo de energía que se produce en la red. De acuerdo con lo visto la potencia generada por las turbinas hidráulicas es directamente proporcional al caudal que circula por la máquina, regulando el caudal se regula la potencia entregada según la demanda de la central. Esta regulación en centrales de potencia moderada se realiza mediante válvulas agujas instaladas en la descarga de la máquina que generan lo que se conoce como “velo de novia” en la descarga de la presa. En otras centrales la regulación se realiza aguas arriba de la sala de máquinas. En el caso de las turbinas la utilización de álabes variables es muy extendida. Al variar los ángulos de ataque del agua a los álabes varía por lo tanto la curva de la máquina. Ejemplo 12.6 Se quiere utilizar una bomba de 81 cm de diámetro a 1170 RPM, cuya performance se puede representar por la siguiente ecuación: H=149·m-20·s2·m-5·Q2, para bombear agua a 15ºC de un tanque a otro 37 m por encima del anterior, a través de una cañería de 460 m de longitud, de 41 cm de diámetro y con un factor de fricción f = 0,030. La suma de los coeficientes de pérdidas localizadas es de 5. Determinar el punto de operación. Solución La altura de impulsión de la bomba, está dada por la expresión ec:12.3: 559 CAPÍTULO 12 H z B z A hA B Las pérdidas se pueden calcular mediante: L hA B hlocales h fricción ki f A B D 2 V 2 g 460m 8 Q2 s2 hA B 5 0, 03 Q2 113, 08 2 5 2 0, 41 m m g 0, 41m Finalmente, tendremos la expresión de la curva de resistencia del sistema: s2 H Q 37 m 113, 07 5 Q 2 m La curva de operación de la bomba, según el enunciado, es: H bomba Q 149m 20 s2 Q2 5 m Graficando ambas expresiones en función de Q, se tendrá el siguiente gráfico: 200 resistencia del sistema 150 132 H[m] performance de la bomba 100 f:12.36 50 0 0 0.5 0.92 1 1.5 2 Q[m³/s] El punto de intersección de ambas curvas es el punto de operación. Que también se puede obtener numéricamente igualando ambas expresiones: 37m 113, 08 s2 s2 2 Q 149 m 20 Q2 m5 m5 Finalmente, despejando Q, se obtiene: Q 149m 37m m3 0,92 s2 s 113, 08 20 5 m Y, reemplazando Q en cualquiera de las dos funciones, se obtiene: H (Q) 132m 12.6.2 Funcionamiento de bombas en paralelo y en serie Si una bomba provee la carga necesaria pero caudal insuficiente, una solución posible es combinar dos bombas similares en paralelo, compartiendo la misma succión y descarga. Un arreglo en paralelo también se utiliza si la demanda varía, entonces se utiliza una bomba para poco caudal y una segunda bomba se pone en funcionamiento para mayores descargas. Ambas bombas deberían tener válvulas de retención para evitar el retroceso del flujo cuando una esté cerrada. En la figura f:12.37 se esquematiza una instalación de este tipo. f:12.37 560 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS bomba A bomba B Las dos bombas en paralelo no necesitan ser idénticas. Sus descarga de flujo se sumarán para la misma altura, como se ve en la figura f:12.38. Si la bomba A tiene mayor altura de impulsión que la bomba B, la bomba B no se podrá sumar hasta que la carga de operación sea más baja que la altura de impulsión a caudal cero de la bomba B. Como la curva del sistema varía con Q, la entrega combinada de QA+B será menor que las descargas por separado QA o QB, pero seguramente mayor que cada una. Para una curva muy plana (estática), dos bombas similares en paralelo entregarán casi el doble del caudal. La potencia combinada se encuentra sumando la potencia de cada bomba A y B a la misma altura que el punto de operación. La eficiencia combinada es igual a: H D Q W Donde W es la suma de la potencia individual que cada bomba requiere. Si las bombas A y B no son idénticas, como se ve en la figura, la bomba B no debería utilizarse y ni siquiera debe ser puesta en marcha si el punto de operación está por encima de la altura de impulsión correspondiente a caudal nulo. bomba A bomba B combinadas en paralelo resistencia del sistema f:12.38 QA QB QB QA QA+B Q[m³/s] Si una bomba provee el caudal adecuado pero una carga muy baja, se puede considerar agregar una bomba similar en serie, con la salida de la bomba B alimentando directamente la succión de la bomba A. Como se muestra en la figura f:12.39, el principio físico de sumar en serie es que se suman las alturas para el mismo caudal, y eso dará la curva de performance combinada. f:12.39 bomba B bomba A Las dos bombas no necesitan ser idénticas, pero sí maneja aproximadamente el mismo caudal; hasta pueden tener distintas velocidades, aunque normalmente se utilizan con la misma configuración. 561 CAPÍTULO 12 La necesidad de un arreglo en serie implica que la resistencia del sistema es muy alta, por ejemplo requiere una altura mayor de la que cualquiera de las dos bombas por separado pueda dar. La altura del punto de operación de las dos bombas será mayor que el de A o B por separado, pero no tanto como su suma. La potencia combinada es la suma de la potencia al freno de A y de B en el punto de operación. La eficiencia combinada es similar a la de bombas en paralelo. H Q D W H[m] resistencia del sistema HB combinadas en series g12.40 HA bomba A bomba B QB QA QA+B Q[m³/s] En lugar de colocar varias bombas en serie, se puede utilizar una bomba multietapa. Básicamente todos los impulsores están en un mismo alojamiento, y la salida de una etapa de impulsor da al ojo de la siguiente. Tales bombas pueden crear cargas extremadamente altas. Ejemplo 12.7 Utilizar dos bombas iguales a la del Ejemplo 12.6 en paralelo para entregar más caudal. ¿Es eficiente la solución adoptada? Solución Como las bombas son idénticas, cada una entrega el mismo caudal a la misma velocidad de 1170 RPM. La curva del sistema es la misma, y la altura es igual a: La curva de operación de la bomba es: 2 H Bomba s2 Q s2 149m 20 5 149m 5 5 Q 2 m 2 m Nuevamente, igualando ambas expresiones, encontraremos el caudal del punto de operación: s2 s2 2 Q m 149 5 Q2 m5 m5 149m 37m m3 0,974 s2 s 113, 08 5 5 m 37m 113, 08 QParalelo Y la altura de impulsión la obtenemos de la primer expresión: 2 H Bomba s2 m3 149m 5 5 0,974 144m m s Por lo tanto el caudal que obtenemos es apenas un 6% mayor que el correspondiente a una bomba sola. Concluimos que la solución adoptada es muy poco eficiente. Podemos de este ejemplo sacar una conclusión general: cuando la curva de carga del sistema es muy empinada (por ejemplo cuando la pérdida dominante es 562 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS la debida a la fricción), la solución de poner las bombas en paralelo a fin de aumentar el caudal es poco eficiente. En cambio si la curva es plana (es decir que la pérdida depende poco del caudal que circula, como es el caso de vencer una altura de elevación geométrica determinada), la solución de poner bombas en paralelo puede ser adecuada. Ejemplo 12.8 Suponer que la altura de elevación del Ejemplo 12.6, aumenta de 37 a 152 m, mucho mayor que lo que una bomba única de 81 cm de diámetro puede ofrecer. Investigue utilizar bombas idénticas en series a 1170 RPM. Solución Como las bombas son idénticas, la altura total será el doble, y la constante de 37 m de la resistencia del sistema será reemplazada por 152 m. La curva de operación de la bomba será: s2 s2 H Bomba 149m 20 5 Q 2 2 298m 40 5 Q 2 m m La curva de resistencia del sistema: s2 H Q 152m 113, 08 5 Q 2 m Igualando ambas expresiones, encontraremos el caudal del punto de operación s2 s2 2 152m 113, 08 5 Q 298m 40 5 Q 2 m m Entonces podemos despejar el caudal de las bombas en serie que resulta: Q 298 152 m 113, 08 40 s2 m5 0,977 m3 s Reemplazando en la expresión de la altura de impulsión de la bomba o bien en la expresión de la resistencia del sistema obtenemos la altura de impulsión de las bombas en serie que resulta: H Q 260m Es decir que las bombas en serie podrán cumplir con el servicio requerido con un caudal similar al anterior. En este caso la disposición es efectiva. 12.6.3 Cavitación y ANPA Debido al sentido de rotación que se le imprime al fluido, la presión en el ojo de la máquina es menor a la presión en la cañería de entrada en la zona no afectada por el movimiento. Si la presión en la máquina desciende por debajo de la presión de vapor del líquido se forman burbujas de vapor que cuando pasan a zonas de mayor presión vuelven al estado líquido, y debido a la gran diferencia en el volumen que ocupan uno y otro, cuando el vapor vuelve a pasar a líquido implota e impacta en las superficies sólidas aledañas produciendo la erosión rápida del material. Este fenómeno se conoce con el nombre de cavitación y fue citado en el capítulo 1. En la figura 041 se observan las consecuencias de la cavitación en el alabe de una turbina Francis. 563 CAPÍTULO 12 g12.41 En la práctica, la cavitación se puede producir en cualquier punto de un circuito hidráulico como en tubos de venturi, huecos, protuberancias, cuerpos sumergidos, vórtices, o en máquinas hidráulicas (bombas o turbinas), propulsores marinos, transitorios en golpe de ariete y cojinetes En el caso de las bombas a fin de prevenir la ocurrencia de este fenómeno se define lo que se conoce como ANPA de la bomba. El ANPA de la bomba es la “altura neta positiva de aspiración” y podemos decir que representa la energía de presión total disponible del líquido excluido la energía de presión de vapor y medida en metros de columna de líquido en la succión de dicha bomba. Cada bomba tiene un ANPA característico que se conoce como ANPA requerido y es una curva que varía con el caudal y que es suministrada por el fabricante del equipo. Cada instalación a su vez tiene un ANPA característico que se conoce como ANPA disponible. La condición de diseño seguro requiere que el ANPA disponible sea mayor que el ANPA requerido. Para clarificar lo dicho observemos la instalación que se esquematiza en la figura f:12.402. impulsión D=cte Q brida de impulsión A f:12.40 brida de aspiración z zA D=cte Q B zB eje referencia Apliquemos la ecuación de energía a un volumen de control tal como el que se muestra en dicha figura. p 1 u + V 2 g .z . . V dA Q W eje e. .d + SC t VC 2 Como el volumen de control no incluye a la bomba, el flujo es permanente, incompresible y no hay intercambio de calor la anterior puede rescribirse: 1 p u + V 2 g .z . V dA 0 SC 2 Como sólo existe flujo a través de las superficies A y B y todas las variables son constantes en dicha sección y trabajando con presiones absolutas, desarrollaremos la expresión anterior para dichas secciones: 564 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS patm p V2 g z A u A B g zB uB B 2 Si dividimos la anterior miembro a miembro por g, y despejamos la pB/ (expresada en metros de columna de líquido) resulta: p B p atm V2 z B z A H pérdidas B 2g ec:12.44 A la entrada de la bomba hay una caída de presión que normalmente se relaciona con la velocidad absoluta y relativa en el rodete, según expresiones experimentales, del tipo: V2 V2 p B 1 relB 3 B 2 g 2 g ec:12.45 Ahora bien, la presión mínima en la entrada de los álabes deberá ser la presión de vapor, entonces tenemos: pV p B p B ec:12.46 Reemplazando la expresión ec:12.44 y ec:12.45 en ec:12.46 y dividiendo esta última por el peso específico resulta: p V p atm V2 V2 V2 z B z A H pérdidas B 1 relB 3 B 2g 2g 2g ec:12.47 Reagrupando términos: p atm p V2 V2 z B z A H pérdidas V 1 relB 3 1 B 2g 2g Haciendo 3 1 2 : p atm p V2 V2 z B z A H pérdidas V 1 relB 2 B 2g 2g ec:12.48 función del circuito ANPAdisponible función de la geometría ANPArequerido El ANPA disponible es función de la instalación e independiente del tipo de bomba. El ANPA requerido es un dato característico de cada tipo de bomba, variable según modelo, tamaño y condiciones de servicio, y es un dato a facilitar por el fabricante. La curva tiene una función de la forma: 565 CAPÍTULO 12 ANPAreq=f(Q²) ANPAreq[m] f:12.41 Q[m³/s] Entonces como ya dijimos la condición de diseño debe cumplir con la condición: ANPAdisp ANPAreq Si no se verifica lo anterior, caben hacer dos cosas: o aumentar el ANPA disponible o disminuir el ANPA requerido, y como vimos anteriormente, el ANPA disponible está íntimamente relacionada con la instalación y el requerido con la bomba. Por ejemplo, para aumentar el ANPA disponible se podría: aumentar la altura de la reserva de líquido aumentar la presión absoluta a la entrada presurizando el tanque disminuir la temperatura del fluido, para aumentar la presión de vapor disminuir las pérdidas por fricción en la cañería de aspiración (aumentando el diámetro de la misma, o disminuyendo los accesorios, disminuyendo la longitud de la cañería de aspiración, etc.) Para disminuir el ANPA requerido, se podría: aumentar la boca de la entrada del impulsor utilizar una bomba con velocidad de aspiración más baja y el diámetro del impulsor más grande utilizar una bomba con un impulsor de aspiración doble utilizar una bomba de refuerzo, en serie utilizar varias bombas de menor caudal en paralelo Algunas advertencias sencillas a fin de minimizar los problemas de cavitación en instalaciones simples son: Siempre que sea posible es preferible que la altura del depósito de succión esté por encima del nivel de la bomba. En este caso generalmente no habrá problemas de ANPA a temperaturas ambientes cuando se bombea agua. A medida que la temperatura del líquido aumenta se incrementa la presión de vapor y el ANPA disponible disminuye (caso del agua caliente). Se debe prestar mucha atención a la altitud del lugar donde se instalará la bomba porque a medida que se asciende la presión atmosférica disminuye y por lo tanto disminuye el ANPA disponible. Ejemplo 12.9 En la figura se muestra parte de la instalación de una industria, a realizarse en la ciudad de Jáchal, en la provincia de San Juan, donde la presión atmosférica es 879,7 HPa, por donde circularán 40 m³/h de agua a 90ºC, con una pérdida en la cañería de aspiración de la bomba de 0,4m. Calcular el ANPA disponible y evaluar el riesgo de cavitación, siendo el ANPA requerido por el fabricante de la bomba de 6 m. atm A 2m Caldera B Bomba 566 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS Solución De acuerdo a la ecuación ec:12.48 el ANPA disponible se calcula como: p z B z A hpérdidas V 90º 90º 90º 87970 N m2 68200 N m2 0 2 m 0, 4m 3, 69m 965,3 9,81 N m3 965,3 9,81 N m3 ANPAdisp ANPAdisp patm Es decir que el ANPA disponible es menor que el ANPA requerido y por lo tanto el riesgo de cavitación es muy alto. Ejemplo 12.10 Con los datos indicados, obtenga el caudal máximo que puede circular por la bomba sin que exista cavitación. diámetro de la tubería: 0.25m; coeficiente de fricción: f=0,016; coeficiente de pérdidas en el filtro:2,1; coeficiente de perdidas en el codo: 0,2; ANPA requerido de la bomba= 0,4m + 6s2m-5 Q2; presión de vapor del agua a 50ºC: 4297 Pa; presión atmosférica: 101300 Pa; peso específico del agua a 30ºC: 9764 N/m³ 5m B codo 2m A Bomba 3m filtro Solución Para obtener dicho caudal, igualaremos el ANPA requerido con el ANPA disponible. Según la ecuación ec:12.48 patm p z B z A H pérdidas V Y el fabricante indica que el ANPA requerido es: ANPAdisp ANPAreq 0,4m 6 s2 Q2 5 m Las pérdidas en el sistema las calculamos mediante: L 8 Q2 hA B hlocalizadas h fricción ki f A B D g 2 D4 s2 8m 8 Q2 59,5 hA B 2,1 0, 2 0, 016 Q2 9,81 m 2 0, 254 5 m m 0, 25 2 s Reemplazando los datos del problema y la pérdida calculada en la expresión del ANPA disponible: ANPAdisp 101300 N m2 4297 N m2 s2 s2 m 2m 59,5 5 Q 2 Q2 7,93 59,5 5 N N 9764 m3 9764 m3 m m Igualando las expresiones del ANPA disponible y del ANPA requerido resulta: 567 CAPÍTULO 12 s2 s2 2 7,93m 59,5 5 Q 0, 4m 6 5 Q 2 m m 2 s 7,53m 65,5 5 Q 2 m 7,53m m3 0,34 Q s2 s 65,5 5 Q 2 m Referencias bibliográficas: POTTER, MERLE; WIGGERT, DAVID. Mecánica de fluidos. 2a.ed. México: Prentice Hall, 1988. 776 p. JOSÉ M. TARJUELO MARTÍN, BENITO. El riego por aspersión y su tecnología. Madrid: Mundi-Prensa, 2005. 581 p. WHITE, FRANK. Fluid mechanics. 5a. ed. New York: McGraw-Hill, 2003. ADDISON, HERBERT. Centrifugal and other Rotodynamic Pumps. London: Chapman & Hall, 1966. 565 p. MATHAIX, CLAUDIO. Mecánica de fluidos y turbomáquinas hidráulicas. 2a. ed. México: Oxford University Press, 1982. 660 p. HICKS, TYLER G.; THEODORE W. EDWARDS. Pump Application Engineering. McGraw-Hill Book Company, 1971. TURBOMÁQUINAS, LECCIÓN 6. España, Universidad de Oviedo. Referencias audiovisuales: INSTITUTE OF HYDRAULIC RESEARCH. Form, drag, lift and propulsion. Iowa, University of Iowa Productions. CHESTERTON. Características hidráulicas de las bombas centrífugas. Boston, A. W. Chesterton Co, 1990. CHESTERTON. Cavitación y NPSH. Boston, Chesterton Co, 1991. 12.7 Problemas propuestos 1. En la tabla se muestran valores de una curva de altura de impulsión versus caudal de una bomba operando a una velocidad de 3600 RPM. Desarrollar una nueva curva para la bomba, pero operando a una velocidad de 3000 RPM. Graficar ambas curvas e indicar en el gráfico cuales son las alturas para un caudal de 1,5 m³/s para la bomba operando a 3600 y a 3000RPM. respuesta: H3600=18,3m, H3000=11,6m 568 Q1 [m³/s] H1 [m] 0,00 21,03 0,38 20,88 0,76 20,42 1,14 19,51 1,51 18,29 1,89 15,85 2,27 11,28 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS altura de bombeo y potencia versus capacidad para D=0,38 m 90 80 80 70 70 60 60 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0,00 1,00 2,00 3,00 W [kW] 50 50 H [m] 2. Una instalación de bombeo de agua tiene las características mostradas en la figura. La bomba está operando con un caudal de 3,03 m3/min, una altura de impulsión de 72,85 m y una potencia de 59,7 kW. La bomba está sobredimensionada y una válvula de control impone una caída de presión de 215,12 kPa para mantener el flujo a 3,03 m3/min. Para reducir el consumo de potencia, el diámetro del impulsor se cambiará de tal modo que la caída de presión a través de la válvula de control se reduzca a 68,95 kPa. Encontrar la relación de diámetros y velocidades requeridos para alcanzar la nueva condición manteniendo la homología. Si el diámetro del impulsor existente es de 0,38m, determinar el nuevo diámetro del impulsor y la nueva potencia requerida. respuesta: D2/D1=1,034; N2/N1=0,906; =52,52 kW D2=0,393m; W 2 0 5,00 4,00 Q [m 3 /min] 3. En la figura, se observan las curvas de performance del modelo 4008 de una bomba de la industria Taco. En función de la bomba de 191 mm de diámetro de la figura, se quiere aumentar su tamaño, de tal manera que en el punto de rendimiento óptimo, la bomba entregue una altura de impulsión de 26 m y 0,065 m³/s. Determinar: a) el diámetro del impulsor, b) la velocidad en RPM, c) la potencia requerida. 24 22 custom unit, model 4008, N=1760 RPM % 40 213mm 50% % 60 65% % 70 75% 78% 203mm 80% 20 18 16 H[m] 82% 3% 8 84% 83% % 82 191mm 78% 178mm 14 70% 12 65% 10 8 6 7,5 BH 5B HP 0,01 0 0,02 0,04 0,03 Q[m³/s] 75% 15 BH P 10 BH P P 0,05 0,06 Fuente: http://www.taco-hvac.com/en/library.html, consultado 23/02/2010 =20,2kW respuesta: a) D2=221mm, b) N2=1989 RPM, c) W 2 4. Se ha ensayado una bomba con un impulsor de 371 mm de diámetro y que gira a N=2134 RPM, arrojando los siguientes resultados: Q [m3/s] 0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2 0,24 0,28 0,32 569 CAPÍTULO 12 H [m] 103,8 103,7 102,9 103,0 101,2 96,0 86,75 67,0 35,0 P [kW] 100,7 112,5 127,7 144,6 178,5 223,4 292,4 370,1 549,4 Determinar: a) el punto de rendimiento óptimo, b) la velocidad específica y c) la máxima descarga (caudal) posible aproximada. respuesta: a)Q≈0,16 m³/s , b)Ns=27RPM, c) Qmax≈0,34 m³/s 5. Utilizando el mismo impulsor del problema 4, aplicar las leyes adimensionales y determinar: a) la velocidad de rotación para la cual la altura que desarrolla la bomba a caudal nulo sea 85 m, b) la velocidad de rotación para la cual el caudal de descarga en el punto óptimo es 0,23 m³/s y c) la velocidad de rotación para que el punto de rendimiento óptimo requiera 60 kW. respuesta: a) N2 = 1931 RPM, b) N2 =3068 RPM, c) N2 = 1484 RPM 6. Una bomba de la misma familia del problema 4 se fabricará con un diámetro de 457 mm y la potencia del punto de rendimiento óptimo en este impulsor es de 186,42 kW bombeando gasolina (r=0,68). Utilizando los coeficientes adimensionales de las turbomáquinas, estimar: a) la velocidad de giro en RPM, b) El caudal de descarga en el punto de rendimiento óptimo, c) altura de impulsión que desarrolla la bomba a caudal nulo. respuesta: a) N2= 1739 RPM, b) Q2=0,24 m³/s, c) H2=104,64 m 7. Una bomba centrífuga transporta 0,009 m³/s de agua. Gira a una velocidad de 1750 RPM. La potencia requerida para mover la bomba es de 3729 W y la eficiencia es 70%. Cuál es la velocidad específica? respuesta: Ns=13 RPM 8. Se desea bombear agua a 15°C con un caudal de 1 m3/s y con una altura de impulsión de 6 metros. Si la bomba funcionará a 750 RPM ¿Qué tipo de bomba centrífuga es la más adecuada? respuesta: Ns = 196 RPM ; Bomba de flujo axial 9. En la figura se esquematiza una turbina radial ideal. La V2 30° velocidad absoluta del flujo a la entrada tiene una dirección de 30º y a la salida es radial. El caudal de agua a 20°C es de 3,5 m³/s. El ancho de los álabes es constante y de 10 cm. Calcular la potencia teórica (rendimiento 100%) V1 desarrollada. R2=0,7m =477 kW respuesta: W eje R1=0,4m N=135 RPM 10. En la figura se esquematiza una turbina radial ideal. La velocidad absoluta del flujo a la entrada tiene una dirección de 25º y la velocidad relativa es tangente al álabe como se muestra. El caudal de agua a 20ºC es de 8 m³/s. El ancho de los álabes es constante y de 20 cm. Calcular la potencia teórica desarrollada con un rendimiento del 100%. =801 kW respuesta: W eje Vrel 2 35° V2 25° Vrel 1 R2=1,2m 30° R1=0,8m N=80 RPM 570 TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 11. En la figura se muestra una turbina de reacción que opera a 200 RPM. El diámetro en el ingreso al rodete y en la descarga de los álabes directores es de 3,5m y el ancho de los mismos b=1m. El flujo abandona el rodete en la dirección axial. Se desea conocer: a) ¿a qué ángulo deberán colocarse los álabes directores de la turbina para obtener 9 MW de un caudal de 25 m³/s? y b) ¿cuánto vale la altura de carga sobre la turbina si se desprecian las pérdidas? respuesta: 2=13,03º, H=36,71m V2 2 V1 N=200 RPM D=3,5m 12. Una turbina de agua rota con una velocidad de 100 RPM cuando escurre un caudal de 0,28 m³/s. Los radios de salida y entrada son respectivamente R1 = 0,25m y R2 = 0,5m. El ángulo del álabe estacionario en el ingreso del agua es 2=20º. ¿Cuál debería ser la velocidad absoluta en el ingreso V2 para la condición de diseño (velocidad relativa tangente al álabe). El ancho de los álabes es constante y de 3,7 cm. respuesta: V2 =7,05m/s Vrel 2 V2 2=60º 2=20º 1 R2=0,5m R1=0,25m N=100 RPM 13. Si en el problema anterior el ángulo de la velocidad relativa al egreso es 1=60º, determine el momento y la potencia en el eje desarrollados. =9,85 kW respuesta: Mz=940,8 Nm; W eje 14. El álabe mostrado rota a 125 RPM a 1 m del eje de rotación. El caudal sale de la boquilla de 30 cm de diámetro es de 2 m³/s. La dirección de la velocidad absoluta de entrada forma un ángulo de 60° como se muestra en la figura. La velocidad relativa es tangente al álabe en todos sus puntos. Determinar los triángulos de entrada y salida correspondientes. 60° y x V2 Varr V1 60° D respuesta: V1=28,29m/s; V2=5,62m/s; Varr=13,09m/s, Vrel1=Vrel2=18,18m/s 15. Un chorro de agua que sale de una boquilla de 0,1m2 a una velocidad de 20 m/s incide sobre una serie de álabes de un rodete de turbina. El ángulo entre la tobera y el eje de la turbina es de 60°, saliendo el chorro con el mismo ángulo de entrada. Las velocidades absolutas se muestran en el gráfico. La velocidad de rotación de la máquina es constante e igual a 100 RPM. y el diámetro medio de la rueda es de 1m. Determinar: a) la fuerza tangencial (en N); b) el par (en Nm) que produce dicha fuerza sobre el eje de la rueda móvil de la turbina mostrada; c) la potencia desarrollada y d) los ángulos de los álabes. 2000mm Turbina de chorro libre V2 y x 2 30° Varr Fx (sobre el fluido) 1 30° V1=20m/s Chorro de agua de 0.1m² de sección respuesta: Fx = 53574 N, Mz = 26787 Nm; = 280,5 kW, 1 = 40º; 2 = 20º W eje 571 CAPÍTULO 12 16. Para el sistema mostrado en la figura las pérdidas por fricción y localizadas en la línea de succión son de 1,5 m del fluido bombeado. Para la línea de descarga, las pérdidas por fricción y localizadas son de 3 m. La densidad relativa del líquido bombeado es de 1,2. Para el sistema determinar: a) altura total de impulsión de la bomba b) presión absoluta en el punto A si la velocidad en la cañería de succión es de 1,5 m/s. respuesta: Hbomba = 31,08 m ; pA=469,76HPa 17. Para el sistema mostrado en la figura las pérdidas por fricción y localizadas son de 3 m del fluido bombeado, la densidad relativa del líquido bombeado es de 0,95. Determinar la altura de impulsión de la bomba, en m de líquido bombeado. respuesta: HB=16,27m p2 = 207 kPa 2 6m A p1 =patm 1 B 3 m Bomba 2 p1rel = -508mmHg (vacío) 6m 1 3m Bomba 18. Se bombea agua entre dos depósitos a través de una tubería con las siguientes características: D = 300 mm, L = 70m, f = 0,025, K = 2,5. La curva característica de la bomba de flujo radial se aproxima con la fórmula: H = 22,9m+10,7·s·m-2·Q - 111·s2m-5·Q². Determine el caudal Q y la altura de impulsión de la bomba H para las siguientes situaciones: a) z2 - z1 = 15 m con una bomba funcionando; b) z2 - z1 = 15 m con dos bombas idénticas operando en paralelo; c) z2 - z1 = 25 m con dos bombas idénticas operando en serie respuesta: a) Q = 0,23 m³/s; H = 19,5m, b) Q = 0,29 m³/s; H = 22,2m; c) Q = 0,30 m³/s; H = 32,7m 19. Un sistema tiene una curva de resistencia que viene dada por: H = 30m+4000·s2m-5·Q2. Se dispone hasta dos bombas de curva H(Q) = 18m+643·s2m-5·Q2. Determinar la disposición de instalación adecuada, y los valores de caudal y altura de impulsión de dicha disposición. respuesta: dos bombas en serie; Q = 0,034 m³/s ; H = 34,54 m 572
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