Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC.SS.(FIECS) Supongamos que un halcón H se encuentra en el punto (1; 0) y divisa una paloma Q en el origen, volando en dirección del eje Y con una velocidad V; el halcón vuela inmediatamente en dirección de la paloma con una velocidad W = 2V. ¿Cuál es el camino seguido por el halcón en su vuelo persecutorio? ¿En qué punto alcanzará a la paloma? SOLUCIÓN Escogemos un punto fijo y arbitrario (x;y) sobre la curva que describe la trayectoria del halcón, y calculamos la pendiente en ese punto: Donde ya incluimos el signo negativo por ser un ángulo superior a 90º Derivando miembro a miembro respecto a x: Ecuaciones Diferenciales – Mate IV – Cálculo Avanzado Trayectorias y problemas de persecución La persecución del halcón a la paloma http://yointegrador.blogspot.com 1 y) Derivando S(x) respecto a x: Podemos descomponer de la siguiente manera: De (2): Podemos reescribir de la siguiente manera: (4) en (3): (5) en (1): Sea Ecuaciones Diferenciales – Mate IV – Cálculo Avanzado Trayectorias y problemas de persecución La persecución del halcón a la paloma http://yointegrador.Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC.SS.com 2 . 0) hasta el punto (x.blogspot. (FIECS) Denominaremos a la función S(x) de la siguiente manera: Siendo S(x) la longitud recorrida sobre la curva desde el punto (1. com 3 . 0). y ‘(1) = z (1) = 0 Reemplazando estos valores en la última ecuación. es decir.Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC. su velocidad era igual a cero: X = 1.blogspot. (FIECS) Hallaremos el valor de z por el método de las variables separables Integrando miembro a miembro en la última ecuación: Sacando antilogaritmo miembro a miembro tenemos: Recordemos que la paloma estaba quieta cuando el halcón se encontraba en la posición (1. obtendremos el valor de A A=1 Reemplazando el valor de A en la última ecuación: Elevando al cuadrado: Dividimos por z + : Ecuaciones Diferenciales – Mate IV – Cálculo Avanzado Trayectorias y problemas de persecución La persecución del halcón a la paloma http://yointegrador.SS. com 4 .blogspot.SS. (FIECS) Pero de (6) y recordando que A = 1 Recordemos también que la relación entre V y W es: W = 2V.Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC. entonces Acomodaremos las variables respecto a su diferencial para proceder a integrar y hallar la trayectoria del halcón Condición inicial de la trayectoria del halcón: cuando x = 1. la trayectoria del halcón será: Ecuaciones Diferenciales – Mate IV – Cálculo Avanzado Trayectorias y problemas de persecución La persecución del halcón a la paloma http://yointegrador. y (1) = 0 Por lo tanto. blogspot. el halcón alcanzará a la paloma en el punto ) Referencias Bibliográficas: Aguilar Benítez. deberá ser en el punto (0.co/~jescobar/docs/cap3.udea.htm Escobar Acosta.mx/~rocio/curvas.Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC. evaluaremos la trayectoria del halcón en x = 0: Por lo tanto. Para hallar este valor. es decir. http://valle. Segunda Edición 2008. Págs. y(0)) ya que solo se mueve en el eje Y.edu. Eduardo: Análisis Matemático IV para estudiantes de Ciencias e Ingeniería. (FIECS) Si el halcón alcanza a la paloma. Capítulo 3. http://matematicas. Rocío del Pilar: Curvas de Persecución – XXXIV Congreso Mexicano de Matemática.fciencias. el halcón recorrerá y(0) antes de ser alcanzado por la paloma.com 5 .SS. 177 – 198 Ecuaciones Diferenciales – Mate IV – Cálculo Avanzado Trayectorias y problemas de persecución La persecución del halcón a la paloma http://yointegrador.pdf Espinoza Ramos. Universidad de Antioquia 2004. Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) 2001. Jaime: Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones en Maple.unam.