Guion de Clase

1Nombre de la Institución: Instituto Nacional “Albert Camus” Docente: Ana Maritza Escobar Cruz Año: 2013 Practicante: Billy Antonio Castellanos Rodríguez Sección: 2-4 Contador Número de la Unidad: 4 Nombre de la Unidad: Estudiemos la Probabilidad Guion de Clase Número 1 “Teoría de la Probabilidad” Tema 1: Experimento Aleatorio. (90 min.) Para empezar realizaremos dos experimentos; se formaran grupos de 5-6 estudiantes. Experimento 1: Tomar un dado y numerar sus caras del 1 al 6; lanzar el dado al aire e intenta contestar a las siguientes preguntas:  ¿Qué número caerá en la cara superior en el primer lanzamiento? _________________  Realiza el experimento 20 veces en las mismas condiciones que se hizo el primer lanzamiento e intenta adivinar que número caerá en la cara superior.  ¿Cuántas veces acertaste el número que cayó en la cara superior del lado? _________  ¿Crees que es fácil o difícil adivinar?  ¿conoces los resultados posibles que pueden aparecer en la cara superior del lado al caer? _____ ¿Cuántos y cuáles son? ________________________________________  ¿Qué características observas en este experimento? 1) ____________________________________________________________________ 2) ____________________________________________________________________ 3) ____________________________________________________________________ Experimento 2: Tomar una moneda y lánzala al aire, identifica un lado como cara y el otro como corona y responde las siguientes preguntas.  ¿Qué lado caerá hacia arriba en el primer lanzamiento? _________________________  Y en el segundo Lanzamientos? ____________________________________________  Realiza el experimento 20 veces en las mismas condiciones que se hizo el primer y segundo lanzamiento e intenta adivinar qué lado de la moneda caerá hacia arriba  ¿Cuántas veces acertaste el lado que cayó la moneda? _________________________  ¿Crees que es más fácil acertar en este caso, que en del dado? ___________________ ¿Por qué? _____________________________________________________________  ¿Conoces los resultados posibles que pueden aparecer en el lado que cae la moneda? ______ ¿Cuántos y cuáles son? ____________________________________________  ¿Cuáles son las características que observas en este experimento? 1) ___________________________________________________________________ 2) ___________________________________________________________________ 3) ___________________________________________________________________ 2 Los experimentos que tienen estas características se llaman Experimentos Aleatorios. ¿Qué es un Experimento Aleatorio? _______________________________________________ ____________________________________________________________________________ Luego de haber realizado estos experimentos, pondrá en común los resultados obtenidos en cada grupo; se escribirá en la pizarra las características que han observado cada grupo en los experimentos y a la definición que ha llegado cada uno. Esperando que cada grupo se aproxime a la definición formal y a las características que estos tienen. Definición: Un experimento aleatorio es todo aquel proceso o acción que no se sabe exactamente de manera ocurrirá. Ejemplos:  Lanzamiento de un dado  Juga lotería, ya que se sabe que puede caer un número de 4 cifras que el ganador/ra obtiene una vez que ha jugado.  Lanzamiento de una moneda.  Extraer una bolita de una urna que contiene 10 bolitas numeradas del 0 al 9  Marcador final de dos equipos de baloncesto que realizan un partido. Un experimento aleatorio debe cumplir o verificar las siguientes condiciones.  En las mismas condiciones iníciales pueden dar lugar a diferentes resultados finales.  Todos los resultados posibles se conocen por anticipado.  No se puede predecir el resultado en cada experimento particular.  En general, puede repetirse en las mismas condiciones indefinidamente. Tema 2: Espacio Muestral y Sucesos (90 min.) Para comenzar se realizaran 3 experimentos; se formarán grupos de 5-6 estudiantes. Experimento 1: Lanzar una moneda al aire y observar el lado que cae hacia arriba (cara o corona); cada vez que se lancé escribe el resultado en el siguiente círculo. 3  Si el resultado ya esta anotado; No volver a anotarlo.  Representa cara: C y Corona: X.  Realiza el experimento 10 veces.  ¿Qué tipo de experimento es? _____________________________________________  ¿Por qué? _____________________________________________________________  ¿Cuántos resultados posibles se obtuvieron?__________________________________  ¿Cuáles son esos resultados posibles?_______________________________________  Escribe esos resultados en forma de conjuntos que le llamaras E  ¿Crees que faltan resultados que no han sido observados en los 10 lanzamientos? ____  ¿Por qué?______________________________________________________________ Experimento 2: Lanzar un dado al aire y observar el número que aparece en la cara superior; cada vez que se lancé el dado escribir el número que apareció en el siguiente circulo.  Si el resultado ya esta anotado; No volver a anotarlo.  Realiza el experimento 20 veces.  ¿Qué tipo de experimento es? _____________________________________________  ¿Por qué? _____________________________________________________________  ¿Cuántos resultados posibles se obtuvieron?__________________________________  ¿Cuáles son esos resultados posibles?_______________________________________  Escribe esos resultados en forma de conjuntos que le llamaras E  ¿Crees que faltan resultados que no han sido observados en los 20 lanzamientos? ____  ¿Por qué?______________________________________________________________ Experimento 3: Lanzar una moneda al aire y un dado a la vez, observa que lado cae la moneda y el dado. Cada vez que se realice el experimento anotar el resultado en el siguiente círculo. 4  Si el resultado ya esta anotado; No volver a anotarlo.  Realiza el experimento 30 veces.  ¿Qué tipo de experimento es? _____________________________________________  ¿Por qué? _____________________________________________________________  ¿Cuántos resultados posibles se obtuvieron?__________________________________  ¿Cuáles son esos resultados posibles?_______________________________________  Escribe esos resultados en forma de conjuntos que le llamaras E  ¿Crees que faltan resultados que no han sido observados en los 30 lanzamientos? ____  ¿Por qué?______________________________________________________________ A cada conjunto E obtenido en los experimentos anteriores se le llama Espacio Muestral. ¿Qué es un Espacio Muestral? ___________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Luego de haber realizado estos experimentos se pondrá en común los resultados obtenidos en cada grupo, se escribirá en la pizarra la definición de espacio muestral de cada grupo, esperando que cada grupo se aproximen a la definición formal. Definición: El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se le llama Espacio Muestral y lo denotaremos por E. A cada uno de los elementos que forman el espacio muestral se llama punto muestral Ejemplos:  Se lanza una moneda. E = {cara, corona}  Terminación en que caerá el próximo premio mayor de la lotería. E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}  Lanzamiento de un dado. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 5  De una urna que contiene 3 bolitas blancas y 3 negras, se extraen 3, una después de la otra. E = {bbb, bbn, bnb, nbb, bnn, nbn, nnb, nnn} Ejercicios: Describa el espacio muestral de los siguientes experimentos. 1. Lanzar dos veces, sobre una mesa, un dado legal, cuyas caras se encuentran numeradas del 1 al 6, describa en cada caso los números (par de números) obtenidos. E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 2. Lanzamiento de dos monedas, una después de la otra. E = {(c,c), (c,x), (x,c), (x,x)} 3. De una urna que contiene 3 bolitas numeradas del 0 al 2, se extraen las tres, una después de la otra. E = {012, 021, 102, 120, 201, 210} Sucesos o Eventos Para comenzar se realizaran 2 experimentos; se formarán grupos de 5-6 estudiantes. Experimento 1: De una urna que contiene 3 bolitas blancas y 3 negras, se extraen 3 una después de la otra.  Describa el espacio muestral.  Describa los puntos muéstrales en la cual aparecen por lo menos 2 bolitas blancas; denótalo en forma de conjunto llamado A  Describa los puntos muéstrales en al cual aparece una sola bola negra; denótalo en forma de conjunto llamado B. Experimento 2: Lanzar un dado dos veces sobre una mesa cuyas caras se encuentran numeradas del 1 al 6.  Describe el espacio muestral.  Describa los puntos muéstrales en el cual el resultado (tómese como resultado, sus suma) es mayor a 7 y denótalo en forma de conjunto llamado C  Describa los puntos muéstrales en el cal el resultado (tómese como resultado, su suma) es igual a 5 y denótalo en forma de conjunto llamado D. 6 A cada conjunto: A, B, C, D, obtenidos en los experimentos anteriores se les llama Eventos o Sucesos. ¿Qué es un Suceso? ___________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Luego de haber realizado estos experimentos se pondrá en común los resultados obtenidos en cada grupo; luego se escribirá en la pizarra la definición de suceso de cada grupo esperando que cada grupo se aproxime a la definición formal. Definición: Se le llama suceso o evento a todo subconjunto del espacio muestral. De acuerdo a esta definición un suceso o un evento está compuesto por uno o varios `puntos muéstrales. Tema 3: Operaciones con Sucesos. (90 min.) Para comenzar se realizaran algunas actividades intuitivas; se formarán grupos de 5-6 estudiantes. Actividades: Sean A y B dos sucesos del Espacio Muestral E Actividad 1. Unión de sucesos. ¿Incluye el suceso AUB los puntos muéstrales de suceso A? _____ ¿Y los del suceso B? ____ Defina el suceso Unión: _________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ E B A La región sombreada representa la Unión de sucesos (AUB) AUB 7 Actividad 2: Suceso Intersección. ¿Incluye el suceso A∩B los puntos muéstrales del Suceso A? __________________________ ¿Y los del suceso B? ___________________________________________________________ Defina la intersección de sucesos: ________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Actividad 3: Suceso Diferencia. e ¿Incluye el suceso A-B, puntos muéstrales del suceso A? ______________________________ ¿Y del suceso B? _____________________________________________________________ Defina el suceso diferencia ______________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Actividad 4: Sucesos Incompatibles. La región sombreada representa la intersección de sucesos (A∩B) La región sombreada representa el suceso diferencia (A-B) A B El esquema muestra dos sucesos incompatibles. e e 8 ¿Los sucesos A y B tienen puntos muéstrales comunes? ______________________________ ____________________________________________________________________________ Defina cuando dos sucesos son incompatibles: ______________________________________ ____________________________________________________________________________ Si A y B son sucesos incompatibles cumplen: A∩B=ø Si A y B son sucesos compatibles cumplen: A∩B ≠ ø Actividad 5: Inclusión de Sucesos. ¿Los sucesos A y B tienen puntos muéstrales comunes? ______________________________ ¿Los sucesos A y B tienen elementos que no sean comunes? __________________________ ¿Hay elementos de A que no pertenecen al suceso B? ________________________________ Defina la inclusión de sucesos: ___________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Actividad 6: Sucesos Contrarios ¿Hay elementos de A en A c ? ____________________________________________________ Defina suceso contrario: ________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ La región coloreada de amarillo es el suceso B; y está dentro del suceso A. (B A) A A c La región sombreada de rojo representa un suceso contrario (A c ) e e 9 Sean A y B dos sucesos en el espacio muestral. Unión de A y B (AUB) Es el suceso formado por todos los posibles puntos muéstrales de A, de B o de ambos. Es decir AUB se verifica cuando ocurre uno de los dos, A ò B ò ambos; se representa con AUB se lee como “A ò B”, matemáticamente se expresa AUB= {x E/x A ò x B}. Ejemplo: sean A={1,3,5}, B={2,4,6}; encuentre AUB. AUB= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Intersecciòn de A y B (A∩B) Es el suceso formado por los puntos muéstrale comunes a A y B y se denota por A∩B; es decir el suceso A∩B se verifica cuando ocurre simultáneamente A y B; A∩B se lee como “A y B”; Matemáticamente se expresa A∩B= {x E/x A y x B}. Ejemplo: sean A= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B= {0, 1, 3, 5, 6, 7} A∩B= {1, 3, 5, 6} Inclusión Si cualquier punto muestral de A es también punto muestral de B, entonces A está contenida en B y se denota AcB. Ejemplo: Sean A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={2, 4, 6}, ¿Es B subconjunto de A? Si; ¿Por qué? Porque todos los puntos muéstrales de B están contenidos en A. Incompatibles, Disjuntos o Mutuamente Excluyentes Son aquellos que no tienen puntos muéstrales comunes; es decir A∩B=ø Ejemplo: Sean A= {1, 3, 5}, B= {2, 4, 6}; ¿A y B son sucesos Mutuamente excluyentes? Si; ¿Por qué? No tienen puntos muéstrales comunes; A∩B=ø. Diferencia de sucesos. Es el suceso formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B y se denota A-B; matemáticamente se expresa A-B= {x E/x A y x B}. Ejemplo: Sean A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B= {4, 5, 6}, encuentre A-B A-B= {1, 2, 3} 10 Propiedades de las Operaciones con Sucesos. Unión Intersección Conmutativa AUB = BUA A∩B = B∩A Asociativa AU(BUC) = (AUB)UC A∩(B∩C) = (A∩B)∩C Idempotente AUA=A A∩A=A Simplificación AU(B∩A) = A A∩(BUA) = A Distributiva AU(B∩C)=(AUB) ∩(AUC) A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C) Elemento neutro AUø=A AcE A∩E=A Leyes de De Morgan (A∩B) c = A c UB c (AUB) c = A c ∩B c Ejercicios. 1. Una bola contiene 8 bolas numeradas del 1 al 8. Se extrae una bola y anota su número; Sean los sucesos A: “La bola extraída es par”, B: “La bola extraída es impar”, C: “La bola extraída es un múltiplo de 4”; Obtener AUB, AUC, BUC, AUBUC, A∩C. Solución: A= {2, 4, 6, 8} B= {1, 3, 5, 7} C= {2, 4} AUB= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} AUC= {2, 4, 6, 8} BUC= {1, 3, 4, 5, 7, 8} AUBUC= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A∩C= {4, 8} 2. Se lanzan dos dados al aire. Sea A: “La diferencia de puntos obtenidos en los dados es 2” y el suceso B: “Obtener al menos un 6”. Encuentre AUB, A∩B, A c U c , y A c ∩B c . Solución: E= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A= {(1,3), (2,4), (3,1), (3,5), (4,2), (4,6), (5,3), (6,4)} B= {(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)} AUB= {(1,3), (2,4), (3,1), (3,5), (4,2), (4,6), (5,3), (6,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,5), (6,6), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)} A∩B= {(4,6), (6,4)} 11 A c = {(1,1), (1,2), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,5), (2,6), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,1), (5,2), 5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,5), (6,6)} B c = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)} A c U c = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A c ∩B c = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,4), (5,5)} 3. Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado y los siguientes: A: “Sale un número impar” B: “Sale un número menor que 3” C: “Sale un 3 ò un 5” D: “Sale un número menor que 7” E: “Sale un número mayor que 6” F: “Sale un número par” G: “Sale un número primo” Determine los sucesos: AUG, A∩G, AUB, A∩B, FUG, F∩G, F-H Solución: A= {1, 3, 5} B= {1, 2} C= {3, 5} D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} E= ø F= {2, 3, 6} G= {1, 2, 3, 5} AUG= {1, 2, 3, 5} A∩B= {1} A∩G= {1, 3, 5} FUG= {1, 2, 3, 4, 5, 6} AUB= {1, 2, 3, 5} F-H= {4, 6} Tema 4: Tipos de Sucesos y Eventos. (90 min.) Para comenzar se realizaran algunas actividades intuitivas; se formarán grupos de 5-6 estudiantes. Actividad. Realizar el experimento de tirar dos dados al aire a la vez y obtener la suma de los números de las caras que quedan hacia arriba.  Describa el Espacio Muestral E= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}  Determinar los siguientes sucesos y escriba sus puntos muéstrales. A: “La suma resulto ser 4” A= {4} 12 B: “La suma es menor ò igual a 3” B= {2, 3} C: “La suma resulto ser número par” C= {2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} D: “El resultado es 9” D= {9} E: “El resultado es 1” E= ø F: “El resultado está entre 2 y 12” F= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12} G: “La suma resulto un número impar” G= {3, 5, 7, 9, 11} H: “La suma es mayor que 5” H= {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} I: “La suma resulto ser 13” I= ø Consideraciones: A los sucesos A y D se les conoce como Sucesos Elementales.  ¿Qué son los sucesos A y D del Espacio Muestral? _____________________________  ¿Cuántos puntos muéstrales tienen estos sucesos? ____________________________ Defina con sus propias palabras qué es un suceso elemental: _______________________ ____________________________________________________________________________ Los sucesos B, C, F, G y H, se les conoce como sucesos compuestos.  ¿Qué son los sucesos B, C, F, G y H del espacio muestral? ______________________  ¿Es igual el número de puntos muéstrales que tienen cada uno de ellos? ___________  ¿Cuántos sucesos elementales tienen cada uno de? B_____ F_____ H_____ C_____ G_____ Defina con sus propias palabras qué es un suceso compuesto: _________________________ ____________________________________________________________________________ El suceso F se le conoce como suceso seguro  ¿Cómo es el suceso F comparado con el suceso E? ____________________________  ¿Cómo es el suceso F comparado con el espacio muestral?______________________  ¿Falta algún resultado posible del experimento en el suceso F? ___________________ Defina con sus propias palabras que es un suceso seguro: __________________________ _________________________________________________________________________ Los sucesos E e I se conocen como sucesos imposibles.  ¿Cuántos puntos muéstrales tienen cada uno? ________________________________  ¿Son o no un subconjunto del espacio muestral?_______________________________ Defina con sus propias palabras qué es un suceso imposible: _____________________ ______________________________________________________________________ Los sucesos B y F son sucesos compatibles F y H, D y H también los son:  ¿Qué observa con respecto a los puntos muéstrales de estos sucesos? _____________ ______________________________________________________________________ 13  ¿Cuáles son los puntos muéstrales? B y F____________________ F y H____________________ D y H ___________________ Defina cuándo dos sucesos son compatibles: __________________________________ ______________________________________________________________________ Los sucesos A y B son Incompatibles.  ¿Qué observas con respecto a los puntos muéstrales de estos? ___________________ ______________________________________________________________________ Defina cuándo dos sucesos son incompatibles: ______________________________ ______________________________________________________________________ El Suceso C es suceso contrario de G.  ¿Qué observas con respecto a los puntos muéstrales de estos sucesos? ____________ ______________________________________________________________________  ¿Y con respecto al espacio muestral que puede concluir de estos sucesos? _________ ______________________________________________________________________ Defina cuándo dos sucesos son contrarios: ___________________________________ ______________________________________________________________________ Tipos de Sucesos. Suceso Elemental: Es cada uno de los elementos o puntos muéstrales que forman parte del espacio muestral; es decir, cada uno de los subconjuntos unitarios del espacio muestral. Suceso Compuesto: Es la unión de dos o más sucesos elementales; es decir el subconjunto formado por dos o más puntos muéstrales. Suceso Seguro: Es aquel que se verifica siempre, sea cual sea el resultado del experimento, por lo tanto estará formado por todos los resultados posibles. El suceso seguro coincide con el espacio muestral. Suceso Imposible: Es el suceso que no se puede obtener como resultado de un experimento aleatorio, no tiene ningún elemento, por lo tanto, dicho suceso de un espacio muestral es vacio. Suceso Incompatible: Dos sucesos son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Sucesos Compatibles: El suceso compatible es aquel que, dados dos sucesos A y B tienen algún punto muestral en común. Suceso Contrario: El suceso contrario de A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A y se denota pos A c . 14 Nombre de la Institución: Instituto Nacional “Albert Camus” Docente: Ana Maritza Escobar Cruz Año: 2013 Practicante: Billy Antonio Castellanos Rodríguez Sección: 2-4 Contador Número de la Unidad: 4 Nombre de la Unidad: Estudiemos la Probabilidad Guion de Clase Número 2 “Probabilidad” Tema 1. Enfoques de la Probabilidad. (180 min.) Enfoque Clásico. También llamado a priori; se basa en la suposición de que cada resultado sea igualmente posible. También es llamado enfoque a priori porque permite calcular el valor de la probabilidad antes de observar cualquier evento de la muestra. Cuando se cuantifica la posibilidad de ocurrencia de un nuevo evento, teniendo en cuenta el espacio muestral, se dice se está calculando su probabilidad. Para calcular la probabilidad de acuerdo a este enfoque, se utiliza la siguiente formula: () () () Donde: P(A) es la probabilidad de que ocurra el evento A. n(A) es el número de elementos del evento. n(e) es el número de elementos del espacio muestral. Ejemplos. 1. Si tenemos en una caja 15 tarjetas verdes y 9 rojas, la probabilidad de sacar una tarjeta roja es: Solución: Sea A: “Sacar una tarjeta roja” () La probabilidad de obtener una tarjeta roja es del 37.5% 15 2. Dos equipos de béisbol tienen la misma capacidad y juegan el uno contra el otro una serie de 4 juegos. Se registra el resultado de cada juego. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer equipo no gane ninguno de los 4 juegos? Solución: Sean: A: El primer equipo B: el segundo equipo Debemos describir el espacio muestral. E= {AAAA, AAAB, AABA, ABAAA, BAAA, AABB, ABAB, BABA, ABBA, BAAB, BBAA, ABBB, BABB, BBAB, BBBA, BBBB} Sea C: “El equipo A no gane ninguno de los partidos” C= {BBBB} () 3. Una moneda se lanza al aire en dos ocasiones; calcule la probabilidad de que caigan dos caras; y también calcule la probabilidad de que caiga un número impar de caras. Solución. Sean: D: “Caen dos caras” C: Caras F: “Cae un número impar de caras” X: Coronas E= {CC, CX, XC, XX} D= {CC} F= {CX, XC} () () Ejercicios. 1. De entre los números 1, 2, 3, 4, 5,………, 50 se escoge uno al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 5? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 10? 16 Solución: E= {1, 2, 3, 4, 5,………, 50} Sean: A: “Sale un múltiplo de 5” B: “Sale múltiplo de 10” A= {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50} B= {10, 20, 30, 40, 50} () () 2. Un niño tiene dentro de una bolsa once canicas, 6 blancas y 5 negras. El niño mete la mano dentro de la bolsa y extrae, de una sola vez 7 canicas. Encontrar la probabilidad que extraiga. a) 3 blancas y 4 negras b) 4blancas y 3 negras. Solución: a) Como las 7 bolas se extraen simultáneamente, no hay una que salga primero y otra después, es decir el orden de extracción no interesa; Al no interesar el orden, el problema se resuelve por medio de combinaciones: Como de 11 canicas salen 7, esto puede ocurrir. Casos Posibles: (11C7)= 330 formas Como se extraen 3 canicas blancas “y” 4 negras sin interesar el orden de extracción; por lo tanto se tiene que los casos favorables son: Casos favorables: (6C3)(5C4)=(20)(5)= 100 ( ) 17 b) Los casos posibles siguen siendo los mismos 330 Ahora se desea saber los casos posibles de extraer 4 blancas y 3 negras, los casos favorables son: (6C4)(5C3)=(15)(10)= 150 ( ) Enfoque Empírico. También llamado a posteriori. Determina la probabilidad a partir de la porción de veces que curre un evento favorable en un número de observaciones. A este enfoque se le denomina también enfoque empírico debido a que determina los valores de probabilidad por medio de observación y recopilación de datos; también se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento un cierto número de veces. La probabilidad se calcula mediante la fórmula: () () Donde: n(A): corresponde al número de observaciones. n: número de veces que se realiza el experimento. Ejemplo: Lanzamiento de una moneda; se observó que cayó cara 16 veces, luego de haber lanzado la moneda al aire 40 veces. Sea: A: “Cayó cara” () Enfoque Subjetivo. Se dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo, basado en toda la evidencia a su disposición. Este enfoque no depende de la repetitividad de ningún evento y permite calcular la probabilidad de sucesos únicos y se da el caso de que ocurra o no esa única vez. Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina también enfoque personalista. 18 Ejemplos.  La probabilidad de que la operación quirúrgica sea exitosa es del 75%  Hay una probabilidad de 90% de que hoy llueva. Tema 2: Axiomas de la Probabilidad. (135 min.) Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y A un evento de este experimento (A E). La probabilidad de a se define como el número real P(A), que cumple los siguientes axiomas: a) () b) Si B es un evento incompatible con A (ósea, ), entonces: ( ) () () c) P(E)=1 Consecuencias de los axiomas anteriores. 1. () En efecto, como () ( ), y y son eventos incompatibles entonces, () () (); cancelando (); tenemos que () 2. Si A es un evento y A c es su suceso complemento, entonces: P(A C )=1-P(A). En efecto; como E= AUA c , entonces por el axioma b.: P(E)= P(A) + P(A c ) y por el axioma c.: 1=P(A)+P(A c ), luego P(A c )=1-P(A). 3. Si A B, entonces () () Como A B, entonces ( ) A B-A B e Los eventos A y B-A son incompatibles, en consecuencia: () () ( ); como ( ) entonces () (). De la igualdad () () ( ), valida con la condición A B, se obtiene ( ) () (); en otras palabras, si A B, entonces ( ) () (). 19 4. Si A y B son dos eventos compatibles, es decir, si , entonces, ( ) () () ( ). En efecto, de las igualdades: A = (AB) U (AB c ) B = (BA) U (BA c ) (AUB) = (AB) U (AB c ) U (BA c ) Obtenemos: P(A) = P(AB) + P(AB c ) P(B) = P(BA) + P(BA c ) P(AUB) = P(AB) + P(AB c ) + P(BA c ) P(AUB) = P(A) + P(BA c ) Sumamos y restamos P(AB) P(AUB) = P(A) + P(BA c ) + P(AB) - P(AB) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB) A c B AB c e B A 20 Nombre de la Institución: Instituto Nacional “Albert Camus” Docente: Ana Maritza Escobar Cruz Año: 2013 Practicante: Billy Antonio Castellanos Rodríguez Sección: 2-4 Contador Número de la Unidad: 4 Nombre de la Unidad: Estudiemos la Probabilidad Guion de Clase Número 3 “Teoremas Básicos de la Probabilidad” Tema 1: Probabilidad de Eventos mutuamente Excluyentes. (45 min.) Para empezar realizaremos un experimento; se formaran grupos de 5-6 estudiantes. Se realizará el experimento de tirar dos dados al aire a la vez y obtener la suma de los números de las caras que quedan hacia arriba.  Escriba el espacio muestral e = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}  Determine los siguientes sucesos y escriba sus puntos muéstrales. A: “La suma resulto ser mayor a 6” A = {7, 8, 9, 10, 11, 12} B: “La suma resulto ser menor a 5” B = {2, 3, 4} Los sucesos A y B son sucesos mutuamente excluyentes.  ¿Qué observas con respecto a los puntos muéstrales de estos? ___________________ ______________________________________________________________________  ¿Los sucesos A y B tienen puntos muéstrales comunes? ________________________  ¿Será posible que el suceso A sé de al mismo tiempo que se da el suceso B? ________ ______________________________________________________________________ ¿Por qué? _____________________________________________________________ Defina que son los sucesos mutuamente excluyentes: _________________________________ ____________________________________________________________________________ Definición: Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes; si no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro (otros) evento (s). Ejemplos:  Al lanzar una moneda sólo puede ocurrir que salga cara o corona, pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son mutuamente excluyentes. 21  Al lanzar un dado puede ocurrir que salga 1, 2, 3, 4, 5, 6; pero o dos de ellos a la vez; por lo tanto, estos eventos son mutuamente excluyentes. Regla de la Adición. Ejemplo: Al lanzar un dado, calcula la probabilidad de: A: “Caen 3 puntos o menos”, B: “Caen 5 puntos o más”, además calcular la probabilidad de (AUB). Solución: () () ( ) () () ( ) Tema 2: Probabilidad de Eventos Solapados. (45 min) Dos eventos A y B son solapados si tienen puntos muéstrales comunes, los puntos muéstrales comunes a A y B, forman un subconjunto llamado intersección de A y B y se representa por AB. La fórmula para calcular la probabilidad de dos eventos solapados es: ( ) () () ( ). Despejando ( ). ( ) () () ( ). Multiplicando con (-1) en ambos lados de la expresión ( ) () () ( ). Ordenando tenemos ( ) () () ( ) A B e ( ) () () En el diagrama se representan eventos mutuamente excluyentes, como el evento A y el evento B son incompatibles, ósea que no tienen elementos muéstrales en común entonces tenemos que: 22 Tema 3: Probabilidad Condicional (135 min.) Consideremos una urna que contiene 4 bolitas rojas y 5 blancas, de las 4 rojas, 2 son lisas y 2 son rayadas, y de las 5 blancas, 4 son lisas y sólo una es rayada. Supongamos que se extrae una bolita al azar y, sin que la hayamos mirado, alguien nos dice que la bolita es roja, ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita sea rayada? Sean los sucesos A: “La bolita es rayada” y B: “La bolita es roja”; de donde obtenemos () y () . Sin embargo, como sabemos que la bolita es roja, la probabilidad de que sea rayada es de , ya que, de las rojas la mitad es lisa y la mitad rayada, observamos que al ocurrir B, el espacio muestral se reduce. En general, dado un experimento aleatorio y su espacio muestral asociado, queremos determinar cómo afecta a la probabilidad de A el hecho de saber que ya ha ocurrido otro evento B. Definición: Sean A y B eventos tales que () , la probabilidad del evento A condicionado a la ocurrencia del evento B es: P(A/B) = () () En el ejemplo anterior: () ( ) P(A/B)= () () Ejemplo: Consideremos una población en la que cada individuo es clasificado según dos criterios: es o no portados de VIH y pertenece o no a cierto grupo de riesgo que denominaremos R. Portador (A) No portador (A c ) Total Pertenece a R (B) 0.003 0.017 0.020 No pertenece a R (B c ) 0.003 0.977 0.980 Total 0.006 0.994 1.000 En esta población, la probabilidad de que un individuo sea portador es P(A)=0.006 y la probabilidad de que sea portador y pertenezca a R es P(AB)=0.003 23 Dado que una persona seleccionada al azar pertenece al grupo de riesgo R ¿Cuál es la probabilidad de que sea portador? P(A/B) = () () Calculemos ahora la probabilidad de que una persona sea portadora dado que no pertenece al grupo R. P(A/B c ) = () () Tema 4: Probabilidad de Eventos Independientes o Dependientes. (180 min.) Ejemplo 1. Alguien va a lanzar una moneda dos veces, si sale cara en el segundo lanzamiento, tienes la posibilidad de ganar un dólar. Supongamos que acaba el primer lanzamiento. a) Si el primer lanzamiento es cara, ¿Cuál es la probabilidad de ganar el dólar? b) Si el primer lanzamiento es corona, ¿Cuál es la probabilidad de ganar el dólar? c) ¿Son los lanzamientos independientes? Solución: Si el primer lanzamiento resulto ser cara, se tiene 50-50 para obtener cara en el segundo lanzamiento. La oportunidad es la misma si en el primer lanzamiento resulto caer corona. La oportunidad de obtener cara en el segundo lanzamiento sigue siendo la misma, cualquiera que haya sido el resultado en el primer lanzamiento. Esto es independencia. Ejemplo 2. Una urna contiene 3 tickets negros numerados 1, 2, 3; y 3 tickets blancos numerados 1, 2, 3. Un ticket será escogido al azar: tienes que adivinar el número del ticket. 3 2 1 1 2 3 24 a) Echarás un vistazo al ticket escogido cuando este fuera de la caja. No se puede distinguir el número, pero se observa que el ticket es negro; ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea el 2? b) De igual manera, ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea 2, pero observas que el tickets es blanco? c) ¿Son el color y el número independientes? Solución: Si el ticket es negro, la probabilidad de que el ticket elegido sea el 2 es de ; de igual manera si el ticket es blanco, conociendo el color, no cambia la probabilidad de escoger el número; por lo tanto el color y el número son independientes. Para ver si dos resultados son dependientes o independientes, con el hecho de saber lo ocurrido en el primer lanzamiento, podrás calcular la probabilidad de la segunda. Si la probabilidad del segundo lanzamiento depende del primero, los resultados son dependientes. Ejemplo 3. Se realizará un sorteo al azar de la caja. ¿El color y el número son independientes? Solución: Si sacas un ticket y le echas un vistazo y no se pude alcanzar a ver el número, pero sabes que el ticket es de color negro; existen de poder sacar el número 1; la posibilidad de sacar el número 1 cambia si sabes que el ticket es blanco ( ); por lo tanto, el color y el número son dependientes. Ejemplo 4. Se sacan dos tickets al azar con reemplazo en la siguiente casa. 1 2 1 1 2 2 25 a) Supongamos que la primera que sacamos es 1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 en la segunda extracción? b) Supongamos que la primera que sacamos es 2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 en la segunda extracción? c) ¿Son independientes cada extracción? Solución: Cualquiera que sea el resultado de la primera extracción, la posibilidad de obtener 4 en la segunda extracción se mantiene igual . La razón de esto es que el primer ticket extraído será devuelto a la caja, entonces en la segunda extraída será igual que al principio. Por lo tanto cada extracción es Independiente. Entonces como una conclusión podemos decir que dos eventos son Independientes cuando: La probabilidad de un suceso no cambia aunque ya haya ocurrido otro suceso. Y dos eventos son Dependientes cuando inicialmente uno de ellos modifica la probabilidad de ocurrencia del otro. Regla Multiplicativa. Veremos la forma de calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos, a base de multiplicar probabilidades. Ejemplo 1: Una urna contiene tres papeletas de colores Rojo, Blanco y Azul. Se realiza la extracción de dos papeletas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de extraer primero la roja y seguidamente la blanca? 1 2 3 4 5 R B A 26 Solución: Imagina un gran grupo de personas. Cada una tiene de esas personas tiene una urna como la anterior, y extrae dos papeletas al azar sin devolución. Un tercio de estas personas ha cogido la papeleta roja en primer lugar y ha dejado la urna asi: En la segunda extracción, alrededor de la mitad de estas personas cogerá la papeleta blanca. Por tanto, fracción de gente que ha extraído Roja-Blanca en ese orden es: La probabilidad es 1 de 6, es decir 16.66% Por ejemplo, supón que comienzas con 600 personas. Alrededor de 200 cogerán la papeleta roja en la primera extracción. De estas 200, alrededor de 100 cogerán la lanza en la segunda extracción. Por lo tanto de la gente habrá cogido la papeleta roja en primer lugar y la blanca en segundo lugar. Este método se llama Regla Multiplicativa. La probabilidad de que dos eventos ocurran es igual a la probabilidad de que la primera ocurra multiplicada por la probabilidad de que la segunda ocurra sabiendo que la primera ha ocurrido. Retomando la Definición de Probabilidad Condicional tenemos que: P(A/B) = () () P(B) x P(A/B)= P(AB); con P(A/B) = P(A) Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos. B A 27 Instituto Nacional “Albert Camus” Guía de Ejercicios Correspondiente a la Unidad 4: Estudiemos la Probabilidad Maestra: Ana Maritza Escobar Cruz Año: 2013 Practicante: Billy Antonio Castellanos Rodríguez Sección: CO2-4 Indicaciones: Resuelve en orden y aseo los siguientes ejercicios propuestos. 1. Describe el espacio muestral para el experimento que consiste en lanzar al aire una moneda tres veces: Solución: Sean: C= cara; X=Corona E = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX} 2. Luis, Juan y Pedro correrán entre ellos una competencia de 100 mts. Describe el espacio muestral para el orden en que llegarán a la meta. Solución: Sean: L= Luis; J= Juan; P= Pedro E = {LJP, LPJ, PLJ, PJL, JPL, JLP} 3. Índica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles no: a) El equipo de fútbol que ganará el juego Aleatorio b) Número premiado de la lotería Aleatorio c) El día de la semana que será pasado mañana No aleatorio d) Medir la longitud de una circunferencia de 3 Metros de radio No aleatorio e) La hora a la que saldrá el sol el 14 de Abril Aleatorio f) Encender una vela No aleatorio g) Tirar una goma y que caiga al suelo No aleatorio h) El viernes me sacaré la lotería Aleatorio i) Al lanzar un dado, que salga 5 Aleatorio j) El agua se congelará al alcanzar una Temperatura bajo cero No aleatorio 4. Escriba todos los números de dos cifras distintos que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5. E = {12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54} 5. Una bolsa contiene 8 bolas numeradas. Se extrae una bola y anota su número, sean los sucesos: A: “Sale par”; B: “Sale impar”; C: “Sale múltiplo de 4”. Obtener : AUB, AUC, BUC, AUBUC, AB. 28 Solución: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A= {2, 4, 6, 8} B= {1, 3, 5, 7} C= {4, 8} AUB= E = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8} AUC= {4, 8} BUC= AUBUC= E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} AB= 6. Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado y los siguientes sucesos: A: “Sacar un número impar” B: “Sacar un número mayor que 3” C: “Sacar un número menor que 1” D: “Sacar un número par, mayor que 3” Encuentre: AB, AB c , CD, B c C, AUB, AUB c , A c UA, B c UB Solución: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A= {1, 3, 5} B= {4, 5, 6} C= D= {4, 6} AB= {5} AB c = {1, 3} CD= = B c C= AUB= {1, 3, 4, 5, 6} AUB c = {1, 2, 3, 5} A c UA= E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B c UB= E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 7. Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado y los siguientes sucesos: A: “Sacar un número impar” B: “Sacar un número menor que 3” C: “Sacar un 3 ò un 5” D: “Sacar un número menor que 7” E: “Sacar un 8” F: “Sacar un número par” 29 Indica los sucesos que están incluidos en otros, los que son contrarios y los que son incompatibles. Solución: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A= {1, 3, 5} B= {1, 2} C= {3, 5} D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} E= F= {2, 4, 6} E es subconjunto de todos los demás conjuntos (A, B, C, D, F) A es subconjunto de D B es subconjunto de D C es subconjunto de D F es subconjunto de D A y F son incompatibles C y F son incompatibles E es incompatibles con todos los demás conjuntos (A, B, C, D, F) 8. En un dado de 20 caras, se considera el suceso A: “Obtener número primo” a) Describe el espacio muestral b) Escribe el Suceso Contrario de A Solución: a) E= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} b) A= {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} A c = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20} 9. Se extrae una bolita al azar de una caja que contiene 10 bolitas rojas, 30 bolitas blancas, 20 bolitas azules y 15 bolitas anaranjadas; encontrar la probabilidad de que sea: a) Blanca d) Roja, Blanca o Azul b) No azul e) Ni roja ni azul c) Anaranjada o Roja Solución: En total son 75 bolitas a) Sea: A: “Salga bolita blanca” () b) Sea: B: “Sacar una bolita Azul” P(B c ) 30 c) Sea: C: “Sacar una bolita anaranjada o una roja” () d) Sea: D: “Sacar una bolita roja, blanca o azul” () e) Sea: E: “No sacar una bolita roja ni una azul” () 10. Una moneda se lanza al aire en tres ocasione. Encontrar la probabilidad de: a) Obtener 3 caras b) Obtener menos de dos caras Solución: Sean: C= cara X= corona E= {CCC, CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX, XXX} a) Sea: A: “Salen 3 caras” () b) Sea: B: “Salen menos de dos caras” () 11. Si se selecciona al azar una letra de entre las 27 letras sencillas que forman nuestro alfabeto latino. Encontrar la probabilidad de que la letra: a) Sea una vocal b) Sea una letra anterior a la m c) Sea una letra posterior a la r Solución: E= {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z} a) Sea: A: “Se selecciona una vocal” () 31 b) Sea: B: “Seleccionar una letra anterior a la m” () c) Sea: C: “Seleccionar una letra posterior a la r” () 12. Se selecciona un punto al azar en el interior de un círculo, que mide 50 cm. De radio. Encontrar la probabilidad que el punto seleccionado se encuentre alejado del centro por más de 15 cm. Solución: El área posible, es toda el área del círculo. Área posible: = Para que el punto se encuentre alejado del centro por más de 15 cm.; el área favorable no es más que el área total menos el área del círculo con radio igual a 15 cm. Área favorable: Sea: A: “El punto está a más de 15 cm. del centro” () 13. Una diana (de tiro al blanco) consta de 4 colores; cada color cubre 10 cm. De radio de la circunferencia, teniendo en cuenta que los primeros 10 cm del centro (primer color) tiene un puntaje de 50 pts., el siguiente color 40 pts., el siguiente 30 pts. y por último 20 pts.; calcular la probabilidad de que al tirar un dardo, se obtenga el mayor puntaje. Solución: El área posible es toda el área de la diana; como son 4 colores y cada color cubre un radio de 10 cm.; el área total de la diana es: Área Posible: Ahora se tira el dardo y cae en los 10cm. más cercanos al centro, cuya área es igual a: Área Favorable: Sea: A: “El dardo cae en el área de mayor puntaje” () 32 14. Si un punto se selecciona dentro de la figura dada, ¿Cuál es la probabilidad que corresponda a la región sombreada? a) El área sombreada total del rombo: Dado que el ancho del área sombreada tiene 1 y toda su diagonal es igual a 4, por lo tanto la diagonal del rombo central es igual a 2. Si observamos los triángulos que se forman por la diagonal, se nos formas dos triángulos cuyas bases es 4; además tienen una altura igual a 2, dado que dicha diagonal pasa exactamente por el centro de la otra. Entonces tenemos que el área posible es: Siguiendo el mismo razonamiento el área favorable se obtiene restando el área del rombo central al área posible, quedando así: b= 2 y h= 1 El área favorable será: A rombo mayor –A rombo menor = 8-2= 6 Sea: A: “El punto seleccionado corresponde a la región sombreada” () 1 1 1 1 4 4 33 b) Ahora el área favorable lo obtendremos restando el área de los dos triángulos (puntos no favorables (dado que es más fácil de obtener)) al área del rectángulo. A triángulo = ; como son dos triángulos, el área no favorable será 3; por lo tanto el área favorable será 5. Sea: B: “El punto seleccionado corresponde a la región sombreada” () c) Sea: C: “el punto seleccionado corresponde a la región sombreada” () 1 4 2 1 1 1 El área posible, es el área del rectángulo; Ar= bxh= 4x2= 8 2 1 4 El área posible, es el área del triángulo rectángulo. At= . Y el área favorable se obtiene de la misma manea, la altura del triangulo es 2 y su base es 1, por lo qie su área será igual a . 34 15. Sean A y B dos sucesos aleatorios con P(A)= ; P(B)= y ( ) . Determine: a) P(A/B) c) P(AUB) e) P(B c /A C ) b) P(B/A) d) P(A c /B c ) Solución: a) P(A/B)= () () b) P(B/A)= () () c) P(AUB)= P(A) + P(B) – P(AB) P(AUB)= + – P(AUB)= d) P(A c )= P(B c )= P(A c B c )= P( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = P(A c /B c )= () ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ () ̅̅̅̅̅ = e) P(B c /A c )= () ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ () ̅̅̅̅̅ = 16. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos; hallar la probabilidad de que al seleccionar un alumno: a) Sea hombre b) Sea mujer morena c) Sea hombre rubio Solución: Hombre Mujer Total Moreno 10 20 30 Rubio 5 10 15 Total 15 30 45 35 a) Sea: A: “EL estudiante seleccionado es hombre” () b) Sea: B: “El estudiante seleccionado es mujer morena” () c) Sea: C: “El estudiante seleccionado es hombre rubio” () 17. Sabiendo que: a) P(A)= 0.5, P(B)= 0.6, P(A c B c )= 0.2; Encuentre P(A/B) b) P(A)= 0.6, P(B)= 0.3, P(A/B)= 0.4; Encuentre P(AUB) c) P(A)= 0.5, P(B)= 0.4, P(A/B)= 0.9; Encuentre P(B/A) d) Si A y B son sucesos incompatibles con P(A)= 0.15 y P(B)= 0.4; encuentre P(AB c ) Solución: a) P(A c B c )= 1- P(AUB) P(AUB)= 0.8 ( ) () () ( ) ( ) ( ) P(A/B)= () () b) P(A/B)= () () ( )=0.12 ( ) () () ( ) ( ) ( ) c) P(A/B)= () () P(AB)= P(A/B)P(B) P(AB)= (0.9)(0.4) P(AB)= 0.36 36 P(B/A)= () () = d) P(A)= 0.15, P(B)= 0.4; y como los sucesos son incompatibles P(AB c )= P(A)= 0.15- 18. A los habitantes de la capital se les hizo una encuesta con el propósito de determinar el número de lectores de la Prensa Gráfica y el Diario de Hoy: 16% de los habitantes leen la Prensa Gráfica, 20% lee el Diario de Hoy y un 1% lee ambos periódicos. Si se selecciona al azar un lector de la Prensa Gráfica, ¿Cuál es la probabilidad de que lea también el Diario de Hoy? Solución: Sean: A: “el habitante seleccionado lee la Prensa Gráfica” P(A)= 16% B: “El habitante seleccionado lee el Diario de Hoy” P(B)= 20% Dado que se sabe que el lector escogido lee la Prensa Gráfica; se calcula la probabilidad de que también lee Diario de Hoy por lo tanto: P(B/A)= () () = La probabilidad que un lector de la Prensa Gráfica también lea el Diario de hoy es del 6.25%. 19. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar, calcular la probabilidad de que: a) Sea roja b) No sea verde Solución: a) Sea: A: “Se extrae una bola roja” () b) Sea: B: “Extraer una bola Verde” P(B c ) () 20. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma salga 7? Solución: El espacio muestral contiene 36 puntos muestrales, de los cuales 6 de ellos suman 7; Sea A: “Su resultado suma 7”. A= {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} P(A)= 37 Instituto Nacional “Albert Camus” Prueba Objetiva Correspondiente a la Unidad 4: Estudiemos la Probabilidad Nombre del alumno:_________________________________________ Nº________ Docente: Ana Maritza Escobar Cruz Practicante: Billy Antonio Castellanos Rodríguez Fecha:_____________ Año: 2013 Sección: CO2-4 Indicación: Resuelva con orden y ase a lo que a continuación se le pide; cada problema tiene una ponderación del 20%. Esta prueba de de carácter individual a notas cerradas; deje constancia de su trabajo realizado de lo contrario invalidará su respuesta. 1. Si un punto se selecciona dentro de la figura dada, ¿Cuál es la probabilidad que corresponda a la región sombreada? Ahora el área favorable lo obtendremos restando el área de los dos triángulos (puntos no favorables (dado que es más fácil de obtener)) al área del rectángulo. A triángulo = ; como son dos triángulos, el área no favorable será 3; por lo tanto el área favorable será 5. Sea: B: “El punto seleccionado corresponde a la región sombreada” () 2. Si A y B son sucesos incompatibles con P(A)= 0.20 y P(B)= 0.7; encuentre P(AB c ) Solución: Como los sucesos son incompatibles, P(AB c )= P(A)= 0.20 1 4 2 1 1 1 El área posible, es el área del rectángulo; Ar= bxh= 4x2= 8 38 3. Sean A y B dos sucesos aleatorios con P(A)= ; P(B)= y ( ) . Determine: a) P(A/B) c) P(AUB) e) P(B c /A C ) b) P(B/A) d) P(A c /B c ) Solución: a) P(A/B)= () () b) P(B/A)= () () c) P(AUB)= P(A) + P(B) – P(AB) P(AUB)= + – P(AUB)= d) P(A c )= P(B c )= P(A c B c )= P( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = P(A c /B c )= () ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ () ̅̅̅̅̅ = e) P(B c /A c )= () ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ () ̅̅̅̅̅ = 4. Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorio y cuáles no; explique por qué: a) El equipo de fútbol que ganará el juego Aleatorio b) El día de la semana que será pasado mañana No aleatorio c) Número premiado de la lotería Aleatorio d) Lanzamiento de un dado Aleatorio e) Medir la longitud de una circunferencia de 3 metros de radio No aleatorio 39 5. En una clase hay 20 alumnas rubias, 15 morenas, 15 alumnos rubios y 10 morenos; hallar la probabilidad de que al seleccionar un alumno: a) Sea hombre c) Sea mujer morena d) Sea hombre rubio Solución: Hombre Mujer Total Moreno 10 20 30 Rubio 15 10 25 Total 25 30 55 d) Sea: A: “EL estudiante seleccionado es hombre” () e) Sea: B: “El estudiante seleccionado es mujer morena” () f) Sea: C: “El estudiante seleccionado es hombre rubio” () 40 41 Actividad 1. Experimento Aleatorio Para empezar realizaremos dos experimentos; se formaran grupos de 5-6 estudiantes. Experimento 1: Tomar un dado y numerar sus caras del 1 al 6; lanzar el dado al aire e intenta contestar a las siguientes preguntas:  ¿Qué número caerá en la cara superior en el primer lanzamiento? _________________  Realiza el experimento 20 veces en las mismas condiciones que se hizo el primer lanzamiento e intenta adivinar que número caerá en la cara superior.  ¿Cuántas veces acertaste el número que cayó en la cara superior del lado? _________  ¿Crees que es fácil o difícil adivinar?  ¿conoces los resultados posibles que pueden aparecer en la cara superior del lado al caer? _____ ¿Cuántos y cuáles son? ________________________________________  ¿Qué características observas en este experimento? 1) ____________________________________________________________________ 2) ____________________________________________________________________ 3) ____________________________________________________________________ Experimento 2: Tomar una moneda y lánzala al aire, identifica un lado como cara y el otro como corona y responde las siguientes preguntas.  ¿Qué lado caerá hacia arriba en el primer lanzamiento? _________________________  Y en el segundo Lanzamientos? ____________________________________________  Realiza el experimento 20 veces en las mismas condiciones que se hizo el primer y segundo lanzamiento e intenta adivinar qué lado de la moneda caerá hacia arriba  ¿Cuántas veces acertaste el lado que cayó la moneda? _________________________  ¿Crees que es más fácil acertar en este caso, que en del dado? ___________________ ¿Por qué? _____________________________________________________________  ¿Conoces los resultados posibles que pueden aparecer en el lado que cae la moneda? ______ ¿Cuántos y cuáles son? ____________________________________________  ¿Cuáles son las características que observas en este experimento? 4) ___________________________________________________________________ 5) ___________________________________________________________________ 6) ___________________________________________________________________ Los experimentos que tienen estas características se llaman Experimentos Aleatorios. ¿Qué es un Experimento Aleatorio? _______________________________________________ ____________________________________________________________________________ 42 Actividad 2. Espacio Muestral y Sucesos. Para comenzar se realizarán 3 experimentos; se formaran grupos de 5 o 6 estudiantes. Experimento 1: Lanzar una moneda al aire y observar el lado que cae hacia arriba (cara o corona); cada vez que se lancé escribe el resultado en el siguiente círculo.  Si el resultado ya esta anotado; No volver a anotarlo.  Representa cara: C y Corona: X.  Realiza el experimento 10 veces.  ¿Qué tipo de experimento es? _____________________________________________  ¿Por qué? _____________________________________________________________  ¿Cuántos resultados posibles se obtuvieron?__________________________________  ¿Cuáles son esos resultados posibles?_______________________________________  Escribe esos resultados en forma de conjuntos que le llamaras E  ¿Crees que faltan resultados que no han sido observados en los 10 lanzamientos? ____  ¿Por qué?______________________________________________________________ Experimento 2: Lanzar un dado al aire y observar el número que aparece en la cara superior; cada vez que se lancé el dado escribir el número que apareció en el siguiente circulo.  Si el resultado ya esta anotado; No volver a anotarlo. 43  Realiza el experimento 20 veces.  ¿Qué tipo de experimento es? _____________________________________________  ¿Por qué? _____________________________________________________________  ¿Cuántos resultados posibles se obtuvieron?__________________________________  ¿Cuáles son esos resultados posibles?_______________________________________  Escribe esos resultados en forma de conjuntos que le llamaras E  ¿Crees que faltan resultados que no han sido observados en los 20 lanzamientos? ____  ¿Por qué?______________________________________________________________ Experimento 3: Lanzar una moneda al aire y un dado a la vez, observa que lado cae la moneda y el dado. Cada vez que se realice el experimento anotar el resultado en el siguiente círculo.  Si el resultado ya esta anotado; No volver a anotarlo.  Realiza el experimento 30 veces.  ¿Qué tipo de experimento es? _____________________________________________  ¿Por qué? _____________________________________________________________  ¿Cuántos resultados posibles se obtuvieron?__________________________________  ¿Cuáles son esos resultados posibles?_______________________________________  Escribe esos resultados en forma de conjuntos que le llamaras E  ¿Crees que faltan resultados que no han sido observados en los 30 lanzamientos? ____  ¿Por qué?______________________________________________________________ A cada conjunto E obtenido en los experimentos anteriores se le llama Espacio Muestral. ¿Qué es un Espacio Muestral? ___________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 44 Actividad 3. Sucesos o Eventos. Para comenzar se realizaran 2 experimentos; se formarán grupos de 5-6 estudiantes. Experimento 1: De una urna que contiene 3 bolitas blancas y 3 negras, se extraen 3 una después de la otra.  Describa el espacio muestral.  Describa los puntos muéstrales en la cual aparecen por lo menos 2 bolitas blancas; denótalo en forma de conjunto llamado A  Describa los puntos muéstrales en al cual aparece una sola bola negra; denótalo en forma de conjunto llamado B. Experimento 2: Lanzar un dado dos veces sobre una mesa cuyas caras se encuentran numeradas del 1 al 6.  Describe el espacio muestral.  Describa los puntos muéstrales en el cual el resultado (tómese como resultado, sus suma) es mayor a 7 y denótalo en forma de conjunto llamado C  Describa los puntos muéstrales en el cal el resultado (tómese como resultado, su suma) es igual a 5 y denótalo en forma de conjunto llamado D. A cada conjunto: A, B, C, D, obtenidos en los experimentos anteriores se les llama Eventos o Sucesos. ¿Qué es un Suceso? ___________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 45 Actividad 4. Operaciones con Sucesos. Para comenzar se realizaran algunas actividades intuitivas; se formarán grupos de 5-6 estudiantes. Actividades: Sean A y B dos sucesos del Espacio Muestral E Actividad 1. Unión de sucesos. ¿Incluye el suceso AUB los puntos muéstrales de suceso A? _____ ¿Y los del suceso B? ____ Defina el suceso Unión: _________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Actividad 2: Suceso Intersección. ¿Incluye el suceso A∩B los puntos muéstrales del Suceso A? __________________________ ¿Y los del suceso B? ___________________________________________________________ Defina la intersección de sucesos: ________________________________________________ ____________________________________________________________________________ E B A La región sombreada representa la Unión de sucesos (AUB) AUB La región sombreada representa la intersección de sucesos (A∩B) e 46 Actividad 3: Suceso Diferencia. e ¿Incluye el suceso A-B, puntos muéstrales del suceso A? ______________________________ ¿Y del suceso B? _____________________________________________________________ Defina el suceso diferencia ______________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Actividad 4: Sucesos Incompatibles. ¿Los sucesos A y B tienen puntos muéstrales comunes? ______________________________ ____________________________________________________________________________ Defina cuando dos sucesos son incompatibles: ______________________________________ ____________________________________________________________________________ Si A y B son sucesos incompatibles cumplen: A∩B=ø Si A y B son sucesos compatibles cumplen: A∩B ≠ ø La región sombreada representa el suceso diferencia (A-B) A B El esquema muestra dos sucesos incompatibles. e 47 Actividad 5: Inclusión de Sucesos. ¿Los sucesos A y B tienen puntos muéstrales comunes? ______________________________ ¿Los sucesos A y B tienen elementos que no sean comunes? __________________________ ¿Hay elementos de A que no pertenecen al suceso B? ________________________________ Defina la inclusión de sucesos: ___________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Actividad 6: Sucesos Contrarios ¿Hay elementos de A en A c ? ____________________________________________________ Defina suceso contrario: ________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ La región coloreada de amarillo es el suceso B; y está dentro del suceso A. (B A) A A c La región sombreada de rojo representa un suceso contrario (A c ) e e 48 Actividad 5. Tipos de Sucesos y Eventos. Para comenzar se realizaran algunas actividades intuitivas; se formarán grupos de 5-6 estudiantes. Actividad. Realizar el experimento de tirar dos dados al aire a la vez y obtener la suma de los números de las caras que quedan hacia arriba.  Describa el Espacio Muestral  Determinar los siguientes sucesos y escriba sus puntos muéstrales. A: “La suma resulto ser 4” B: “La suma es menor ò igual a 3” C: “La suma resulto ser número par” D: “El resultado es 9” E: “El resultado es 1” F: “El resultado está entre 2 y 12” G: “La suma resulto un número impar” H: “La suma es mayor que 5” I: “La suma resulto ser 13” Consideraciones: A los sucesos A y D se les conoce como Sucesos Elementales.  ¿Qué son los sucesos A y D del Espacio Muestral? _____________________________  ¿Cuántos puntos muéstrales tienen estos sucesos? ____________________________ Defina con sus propias palabras qué es un suceso elemental: _______________________ ____________________________________________________________________________ Los sucesos B, C, F, G y H, se les conoce como sucesos compuestos.  ¿Qué son los sucesos B, C, F, G y H del espacio muestral? ______________________  ¿Es igual el número de puntos muéstrales que tienen cada uno de ellos? ___________  ¿Cuántos sucesos elementales tienen cada uno de? B_____ F_____ H_____ C_____ G_____ Defina con sus propias palabras qué es un suceso compuesto: _________________________ ____________________________________________________________________________ El suceso F se le conoce como suceso seguro  ¿Cómo es el suceso F comparado con el suceso E? ____________________________  ¿Cómo es el suceso F comparado con el espacio muestral?______________________  ¿Falta algún resultado posible del experimento en el suceso F? ___________________ 49 Defina con sus propias palabras que es un suceso seguro: __________________________ _________________________________________________________________________ Los sucesos E e I se conocen como sucesos imposibles.  ¿Cuántos puntos muéstrales tienen cada uno? ________________________________  ¿Son o no un subconjunto del espacio muestral?_______________________________ Defina con sus propias palabras qué es un suceso imposible: _____________________ ______________________________________________________________________ Los sucesos B y F son sucesos compatibles F y H, D y H también los son:  ¿Qué observa con respecto a los puntos muéstrales de estos sucesos? _____________ ______________________________________________________________________  ¿Cuáles son los puntos muéstrales? B y F____________________ F y H____________________ D y H ___________________ Defina cuándo dos sucesos son compatibles: __________________________________ ______________________________________________________________________ Los sucesos A y B son Incompatibles.  ¿Qué observas con respecto a los puntos muéstrales de estos? ___________________ ______________________________________________________________________ Defina cuándo dos sucesos son incompatibles: ______________________________ ______________________________________________________________________ El Suceso C es suceso contrario de G.  ¿Qué observas con respecto a los puntos muéstrales de estos sucesos? ____________ ______________________________________________________________________  ¿Y con respecto al espacio muestral que puede concluir de estos sucesos? _________ ______________________________________________________________________ Defina cuándo dos sucesos son contrarios: ___________________________________ ______________________________________________________________________ 50 Instituto Nacional “Albert Camus” Guía de Ejercicios Correspondiente a la Unidad 4: Estudiemos la Probabilidad Maestra: Ana Maritza Escobar Cruz Año: 2013 Practicante: Billy Antonio Castellanos Rodríguez Sección: CO2-4 Indicaciones: Resuelve en orden y aseo los siguientes ejercicios propuestos. 1. Describe el espacio muestral para el experimento que consiste en lanzar al aire una moneda tres veces: 2. Luis, Juan y Pedro correrán entre ellos una competencia de 100 mts. Describe el espacio muestral para el orden en que llegarán a la meta. 3. Índica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles no: a) El equipo de fútbol que ganará el juego b) Número premiado de la lotería c) El día de la semana que será pasado mañana d) Medir la longitud de una circunferencia de 3 metros de radio e) La hora a la que saldrá el sol el 14 de Abril f) Encender una vela g) Tirar una goma y que caiga al suelo h) El viernes me sacaré la lotería i) Al lanzar un dado, que salga 5 j) El agua se congelará al alcanzar una Temperatura bajo cero 4. Escriba todos los números de dos cifras distintos que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5. 5. Una bolsa contiene 8 bolas numeradas. Se extrae una bola y anota su número, sean los sucesos: A: “Sale par”; B: “Sale impar”; C: “Sale múltiplo de 4”. Obtener : AUB, AUC, BUC, AUBUC, AB. 6. Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado y los siguientes sucesos: A: “Sacar un número impar” B: “Sacar un número mayor que 3” C: “Sacar un número menor que 1” D: “Sacar un número par, mayor que 3” Encuentre: AB, AB c , CD, B c C, AUB, AUB c , A c UA, B c UB 51 7. Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado y los siguientes sucesos: A: “Sacar un número impar” B: “Sacar un número menor que 3” C: “Sacar un 3 ò un 5” D: “Sacar un número menor que 7” E: “Sacar un 8” F: “Sacar un número par” Indica los sucesos que están incluidos en otros, los que son contrarios y los que son incompatibles. 8. En un dado de 20 caras, se considera el suceso A: “Obtener número primo” a) Describe el espacio muestral b) Escribe el Suceso Contrario de A 9. Se extrae una bolita al azar de una caja que contiene 10 bolitas rojas, 30 bolitas blancas, 20 bolitas azules y 15 bolitas anaranjadas; encontrar la probabilidad de que sea: a) Blanca d) Roja, Blanca o Azul b) No azul e) Ni roja ni azul c) Anaranjada o Roja 10. Una moneda se lanza al aire en tres ocasione. Encontrar la probabilidad de: a) Obtener 3 caras b) Obtener menos de dos caras 11. Si se selecciona al azar una letra de entre las 27 letras sencillas que forman nuestro alfabeto latino. Encontrar la probabilidad de que la letra: d) Sea una vocal e) Sea una letra anterior a la m f) Sea una letra posterior a la r 12. Se selecciona un punto al azar en el interior de un círculo, que mide 50 cm. De radio. Encontrar la probabilidad que el punto seleccionado se encuentre alejado del centro por más de 15 cm. 13. Una diana (de tiro al blanco) consta de 4 colores; cada color cubre 10 cm. De radio de la circunferencia, teniendo en cuenta que los primeros 10 cm del centro (primer color) tiene un puntaje de 50 pts., el siguiente color 40 pts., el siguiente 30 pts. y por último 20 pts.; calcular la probabilidad de que al tirar un dardo, se obtenga el mayor puntaje. 52 14. Si un punto se selecciona dentro de la figura dada, ¿Cuál es la probabilidad que corresponda a la región sombreada? a) b) c) 1 1 1 1 4 4 1 4 2 1 1 1 2 1 4 53 15. Sean A y B dos sucesos aleatorios con P(A)= ; P(B)= y ( ) . Determine: a) P(A/B) c) P(AUB) e) P(B c /A C ) b) P(B/A) d) P(A c /B c ) 16. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos; hallar la probabilidad de que al seleccionar un alumno: d) Sea hombre e) Sea mujer morena f) Sea hombre rubio 17. Sabiendo que: a) P(A)= 0.5, P(B)= 0.6, P(A c B c )= 0.2; Encuentre P(A/B) b) P(A)= 0.6, P(B)= 0.3, P(A/B)= 0.4; Encuentre P(AUB) c) P(A)= 0.5, P(B)= 0.4, P(A/B)= 0.9; Encuentre P(B/A) d) Si A y B son sucesos incompatibles con P(A)= 0.15 y P(B)= 0.4; encuentre P(AB c ) 18. A los habitantes de la capital se les hizo una encuesta con el propósito de determinar el número de lectores de la Prensa Gráfica y el Diario de Hoy: 16% de los habitantes leen la Prensa Gráfica, 20% lee el Diario de Hoy y un 1% lee ambos periódicos. Si se selecciona al azar un lector de la Prensa Gráfica, ¿Cuál es la probabilidad de que lea también el Diario de Hoy? 19. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar, calcular la probabilidad de que: c) Sea roja d) No sea verde 20. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma salga 7? 54 Instituto Nacional “Albert Camus” Prueba Objetiva Correspondiente a la Unidad 4: Estudiemos la Probabilidad Nombre del alumno: __________________________________________ Nº________ Docente: Ana Maritza Escobar Cruz Practicante: Billy Antonio Castellanos Rodríguez Fecha:_____________ Año: 2013 Sección: CO2-4 Indicación: Resuelva con orden y ase a lo que a continuación se le pide; cada problema tiene una ponderación del 20%. Esta prueba de de carácter individual a notas cerradas; deje constancia de su trabajo realizado de lo contrario invalidará su respuesta. 1. Si un punto se selecciona dentro de la figura dada, ¿Cuál es la probabilidad que corresponda a la región sombreada? 2. Si A y B son sucesos incompatibles con P(A)= 0.20 y P(B)= 0.7; encuentre P(AB c ) 3. Sean A y B dos sucesos aleatorios con P(A)= ; P(B)= y ( ) . Determine: a) P(A/B) c) P(AUB) e) P(B c /A C ) b) P(B/A) d) P(A c /B c ) 4. Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorio y cuáles no; explique por qué: a) El equipo de fútbol que ganará el juego b) El día de la semana que será pasado mañana c) Número premiado de la lotería d) Lanzamiento de un dado e) Medir la longitud de una circunferencia de 3 metros de radio 5. En una clase hay 20 alumnas rubias, 15 morenas, 15 alumnos rubios y 10 morenos; hallar la probabilidad de que al seleccionar un alumno: a) Sea hombre; b) Sea mujer morena y c) Sea hombre rubio. 1 4 2 1 1 1 55