1Colegio Liceo San Francisco de Asís Fecha: Asignatura Física 3° Trimestre Profesor Armando Contreras Vega Nivel 2° Medio Nombre ______________________________________________________ DINÁMICA LEYES DEL MOVIMIENTO INTRODUCCION En Cinemática se estudia el movimiento de los cuerpos sin atenerse a sus causas. En este capítulo se estudiará que causa o modifica un movimiento. Primeramente se introducirán dos nuevos conceptos: masa y fuerza. Masa ( m ) La masa de un cuerpo es una magnitud escalar y nos da una medida cuantitativa de la inercia de ese cuerpo, en otras palabras, la masa de un cuerpo es la que ofrece resistencia a un cambio en su movimiento, o si está en reposo, a adquirir movimiento. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el kilógramo [ kg ]. Observación: 1 [ kg ] = 1.000 [ g ] 1[g ] = 1.000 [ mg ] Fuerza ( F ) La fuerza es una magnitud vectorial y es la causante del movimiento y/o variaciones del movimiento de un cuerpo. Cuando más de una fuerza actúa sobre un mismo cuerpo, su suma vectorial nos da la fuerza resultante o neta y es la que se emplea para estudiar los cambios del movimiento de ese cuerpo. En el Sistema Internacional la fuerza se mide en Newton [ N ]. PRINCIPIOS DE NEWTON Primer Principio ( de inercia ) Un cuerpo se mantendrá en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme, a menos que una fuerza resultante no nula actúe sobre él. Un cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U. = velocidad constante) si la fuerza resultante es nula El que la fuerza ejercida sobre un objeto sea cero no significa necesariamente que su velocidad sea cero. Si no está sometido a ninguna fuerza (incluido el rozamiento), un objeto en movimiento seguirá desplazándose a velocidad constante. Para que haya equilibrio, las componentes horizontales de las fuerzas que actúan sobre un objeto deben cancelarse mutuamente, y lo mismo debe ocurrir con las componentes verticales. Esta condición es necesaria para el equilibrio, pero no es suficiente. Por ejemplo, si una persona coloca un libro de pie sobre una mesa y lo empuja igual de fuerte con una mano en un sentido y con la otra en el sentido opuesto, el libro permanecerá en reposo si las manos están una frente a otra. (El resultado total es que el libro se comprime). Pero si una mano está cerca de la parte superior del libro y la otra mano cerca de la parte inferior, el libro caerá sobre la mesa. Para que haya equilibrio también es necesario que la suma de los momentos en torno a cualquier eje sea cero. Los momentos dextrógiros (a derechas) en torno a todo eje deben cancelarse con los momentos levógiros (a izquierdas) en torno a ese eje. Puede demostrarse que si los momentos se cancelan para un eje determinado, se cancelan para todos los ejes. Para calcular la fuerza total, hay que sumar las fuerzas como vectores. Segundo Principio ( de masa ) La aceleración que adquiere un cuerpo al actuar una fuerza neta sobre él, es directamente proporcional a dicha fuerza e inversamente proporcional a su masa. Para entender cómo y por qué se aceleran los objetos, hay que definir la fuerza y la masa. Una fuerza neta ejercida sobre un objeto lo acelerará, es decir, cambiará su velocidad. La aceleración será proporcional a la magnitud de la fuerza total y tendrá la misma dirección y sentido que ésta. La constante de proporcionalidad es la masa m del objeto. La masa es la medida de la cantidad de sustancia de un cuerpo y es universal. Cuando a un cuerpo de masa m se le aplica una fuerza F se produce una aceleración a. F = m.a [ N ] [ Kgrf ] 2 Unidades: En el Sistema Internacional de unidades (SI), la aceleración a se mide en metros por segundo cuadrado, la masa m se mide en kilogramos, y la fuerza F en newtons. Se define por el efecto que produce la aceleración en la fuerza a la cual se aplica. Un newton se define como la fuerza necesaria para suministrar a una masa de 1 kg una aceleración de 1 metro por segundo cada segundo. Un objeto con más masa requerirá una fuerza mayor para una aceleración dada que uno con menos masa. Lo asombroso es que la masa, que mide la inercia de un objeto (su resistencia a cambiar la velocidad), también mide la atracción gravitacional que ejerce sobre otros objetos. Resulta sorprendente, y tiene consecuencias profundas, que la propiedad inercial y la propiedad gravitacional estén determinadas por una misma cosa. Este fenómeno supone que es imposible distinguir si un punto determinado está en un campo gravitatorio o en un sistema de referencia acelerado. Einstein hizo de esto una de las piedras angulares de su teoría general de la relatividad, que es la teoría de la gravitación actualmente aceptada. Se deduce que: 1 kgrf = 9,81 N F = m a Para cuantificar se utiliza la relación: F = m a Tercer Principio ( de acción y reacción ) Si un cuerpo A ejerce una fuerza ( acción ) sobre un cuerpo B, entonces el cuerpo B ejerce una fuerza ( reacción ) de igual tamaño y dirección que la primera, pero de sentido contrario, sobre el cuerpo A. F reacción = – F acción Observación: Estas fuerzas no se anulan, porque actúan sobre cuerpos distintos. Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto empuja suavemente a un niño, no sólo existe la fuerza que el adulto ejerce sobre el niño, sino que el niño ejerce una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el adulto. Sin embargo, como la masa del adulto es mayor, su aceleración será menor. La tercera ley de Newton también implica la conservación del momento lineal, el producto de la masa por la velocidad. En un sistema aislado, sobre el que no actúan fuerzas externas, el momento debe ser constante. En el ejemplo del adulto y el niño en la pista de patinaje, sus velocidades iniciales son cero, por lo que el momento inicial del sistema es cero. Durante la interacción operan fuerzas internas entre el adulto y el niño, pero la suma de las fuerzas externas es cero. Por tanto, el momento del sistema tiene que seguir siendo nulo. Después de que el adulto empuje al niño, el producto de la masa grande y la velocidad pequeña del adulto debe ser igual al de la masa pequeña y la velocidad grande del niño. Los momentos respectivos son iguales en magnitud pero de sentido opuesto, por lo que su suma es cero. Otra magnitud que se conserva es el momento angular o cinético. El momento angular de un objeto en rotación depende de su velocidad angular, su masa y su distancia al eje. Cuando un patinador da vueltas cada vez más rápido sobre el hielo, prácticamente sin rozamiento, el momento angular se conserva a pesar de que la velocidad aumenta. Al principio del giro, el patinador tiene los brazos extendidos. Parte de la masa del patinador tiene por tanto un radio de giro grande. Cuando el patinador baja los brazos, reduciendo su distancia del eje de rotación, la velocidad angular debe aumentar para mantener constante el momento angular. Un libro colocado sobre una mesa es atraído hacia abajo por la atracción gravitacional de la Tierra y es empujado hacia arriba por la repulsión molecular de la mesa. Como se ve se cumplen todas las leyes de Newton. . 3 Cuarta ley de Newton (gravitación) Fg = G.m 1 .m 2 / r 2 La fuerza entre dos partículas de masas m 1 y m 2 y, que están separadas por una distancia r, es una atracción que actúa a lo largo de la línea que une las partículas, en donde G es la constante universal que tiene el mismo valor para todos los pares de partículas. Fuerza elástica: Una fuerza puede deformar un resorte, como alargarlo o acortarlo. Cuanto mayor sea la fuerza, mayor será la deformación del resorte (∆x), en muchos resortes, y dentro de un rango de fuerzas limitado, es proporcional a la fuerza: F e = -k. ∆x k: Constante que depende del material y dimensiones del resorte. ∆x: Variación del resorte con respecto a su longitud normal. Fuerza normal: Fuerza normal al plano e igual pero de sentido contrario a la componente normal al plano, de la fuerza peso. N = cos α .m.g Fuerza de rozamiento: Fuerza aplicada y contraria al movimiento y que depende de la calidad de la superficie del cuerpo y de la superficie sobre la cual se desliza. F r = µ µµ µ .N µ:Coeficiente de rozamiento. Fuerza de rozamiento estática: fuerza mínima a vencer para poner en movimiento un cuerpo. Fuerza de rozamiento cinética: fuerza retardadora que comienza junto con el movimiento de un cuerpo. En el caso de deslizamiento en seco, cuando no existe lubricación, la fuerza de rozamiento es casi independiente de la velocidad. La fuerza de rozamiento tampoco depende del área aparente de contacto entre un objeto y la superficie sobre la cual se desliza. El área real de contacto (la superficie en la que las rugosidades microscópicas del objeto y de la superficie de deslizamiento se tocan realmente) es relativamente pequeña. Cuando un objeto se mueve por encima de la superficie de deslizamiento, las minúsculas rugosidades del objeto y la superficie chocan entre sí, y se necesita fuerza para hacer que se sigan moviendo. El área real de contacto depende de la fuerza perpendicular entre el objeto y la superficie de deslizamiento. Frecuentemente, esta fuerza no es sino el peso del objeto que se desliza. Si se empuja el objeto formando un ángulo con la horizontal, la componente vertical de la fuerza dirigida hacia abajo se sumará al peso del objeto. La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza perpendicular total. Centro de gravedad En cuanto al tamaño o peso del objeto en movimiento, no se presentan problemas matemáticos si el objeto es muy pequeño en relación con las distancias consideradas. Si el objeto es grande, se emplea un punto llamado centro de masas, cuyo movimiento puede considerarse característico de todo el objeto. Si el objeto gira, muchas veces conviene describir su rotación en torno a un eje que pasa por el centro de masas. El centro de gravedad o baricentro o centro de masas, es un punto donde puede suponerse encontrada todo el área, peso o masa de un cuerpo y tener ante un sistema externo de fuerzas un comportamiento equivalente al cuerpo Peso ( P ) Cada cuerpo en la superficie terrestre, es atraído por nuestro planeta con una fuerza, llamada peso del cuerpo, el cual se define así: 4 P = m g Para los cálculos se utiliza la siguiente relación: P = m g Donde: P es la magnitud del peso del cuerpo y en el Sistema Internacional se mide en Newton [ N ] m es la masa del cuerpo. g es la magnitud del vector aceleración de gravedad en la superficie de la tierra y aproximadamente es igual a 9,8 [ m / s 2 ] . Problemas resueltos : 1 ) Sobre un cuerpo de 5 [ kg ] , inicialmente con MRU, actúa una fuerza de 20 [ N ] . Calcula la aceleración que adquiere dicho cuerpo. a = m F = [ ] [ ] kg 5 N 20 = 4 [ m / s 2 ] 2 ) Al aplicar una fuerza de 15 [ N ] sobre un cuerpo en reposo, éste adquiere una aceleración de 6 [ m / s 2 ] . Calcula la masa de ese cuerpo. m = a F = [ ] [ ] 2 s / m 6 N 15 = 2,5 [ kg ] 3 ) Un cuerpo de 3 [ kg ] , inicialmente en reposo, adquiere una aceleración de 4 [ m / s 2 ] . Calcula la fuerza neta aplicada sobre él. F = m a = 3 [ kg ] × 4 [ m / s 2 ] = 12 [ N ] 4)Calcula el peso de un cuerpo de 5 [ kg ] en la superficie terrestre. P = 5 × 9,8 = 49 [ N ] 1) Calcular la masa de un cuerpo que al recibir una fuerza de 20 N adquiere una aceleración de 5 m/s 2 .Rta.: 4 kg 2) ¿Qué masa tiene una persona de 65 kgf de peso en: a) Un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,8 m/s 2 . b) Otro lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,7 m/s 2 . Rta.: 66,33 kg y 67,01 kg 3) Si la gravedad de la Luna es de 1,62 m/s 2 , calcular el peso de una persona en ella, que en la Tierra es de 80 kgf. Rta.: 13,22 kgf 4) ¿Qué aceleración tiene un cuerpo que pesa 40 kgf, cuando actúa sobre él una fuerza de 50 N?. Rta.: 1,25 m/s 2 5) Calcular la masa de un cuerpo que aumenta su velocidad en 1,8 km/h en cada segundo cuando se le aplica una fuerza de 60 kgf. Rta.: 120 kg 6) Si al tirar de una masa m 1 , ésta experimenta una aceleración a, ¿cuál debe ser la masa m 2 que se agrega, como indica la figura, para que tirando con la misma fuerza, la aceleración que logre el sistema sea a/2?. Rta.: a.m 1 /(2.g +a) 7) Las masas A, B, C, deslizan sobre una superficie horizontal debido a la fuerza aplicada F = 10 N. Calcular la fuerza que A ejerce sobre B y la fuerza que B ejerce sobre C. Datos: m A =10 kg m B = 7 kg: m C = 5 kg Rta.: 4,54 N y 3,18 N 5 8) Un cuerpo de masa m, se suelta en el punto más alto de una superficie semiesférica de 3 m de radio, y resbala sin rozamiento. Determinar el punto en cual deja de tener contacto con la superficie.Rta.: 3 m 9) Un alpinista baja deslizándose por una cuerda de manera que su aceleración de descenso es de 1/8 de g, calcular la tensión de la cuerda. Rta.: 7/8 de su peso 10) Un paracaidista de 80 kgf de peso, salta a 5000 m de altura. Abre su paracaídas a 4820 m y en 10 s reduce su velocidad a la mitad. Calcular la tensión en cada uno de los 12 cordones que tiene el paracaídas. Rta.: 240 N Resolver: Donde no se indique emplear g = 10 m/s 2 . 1) ¿Cuál será el peso de un cuerpo en un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,7969 m/s 2 , si en un lugar donde la gravedad es normal pesa 30 N?. Rta.: 29,97 N 2) Determinar el peso de un cuerpo en un lugar donde g = 980,66 cm/s 2 , si por acción de una fuerza constante de 16 N, posee una aceleración de 8 m/s 2 . Rta.: 19,61 m/s 2 3) A un cuerpo que pesa 50 N, se le aplica una fuerza constante de 10 N, determinar: a) ¿Cuál es su masa?. b) ¿Qué aceleración le imprime la fuerza?. Rta.: a) 5 kg b) 2 m/s 2 4) Un cuerpo de masa m = 10 kg esta apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Una persona tira una soga inextensible fija al bloque, en dirección horizontal, con una fuerza de 20 N. a) Analizar cuales son los pares de acción y reacción en las intersecciones de la mano con la soga, la soga con el bloque, el bloque con la tierra y con el plano sobre el que esta apoyado. b) Calcular la aceleración del bloque, suponiendo despreciable la masa de la soga. Rta.: b) 2 m/s 2 5) En el sistema de la figura, la fuerza aplicada a la cuerda AB es de 40 N, el cuerpo pesa 50 N. Despreciando el rozamiento, determinar: a) El módulo de la fuerza de vínculo (reacción del plano). b) El módulo de la aceleración del cuerpo puntual. Rta.: a) 25,93 N b) 6,39 m/s 2 6) Un cuerpo de masa m = 60 kg esta apoyado sobre un plano de inclinación 37°, como muestra la figura. La intensidad de la fuerza F que ejerce la soga AB es de 500 N. Despreciando el rozamiento, calcular el módulo de la aceleración del bloque. Rta.: 0,637 m/s 2 7) Dos bloques están en contacto como muestra la figura, sobre una mesa. Se aplica una fuerza horizontal constante de 3 N. Si m 1 = 2 kg y m 2 = 1 kg, despreciando el rozamiento calcular: a) La aceleración que adquiere el sistema. b) La fuerza de interacción entre ambos cuerpos.Rta.: a) 1 m/s 2 b) 2 N y -1 N Responder: 1) Enuncia el principio de acción y reacción. 2) ¿Cómo enuncia el principio de masa?. 3) El peso ¿es una constante o una variable del cuerpo?. 4) Defina el Newton. Resolver: En todos los casos usar g = 10 m/s 2 . 6 Problemas suplementarios 1) Una fuerza horizontal constante de 40 N actúa sobre un cuerpo situado sobre un plano horizontal liso. Partiendo del reposo, se observa que el cuerpo recorre 100 m en 5 s. Determinar: a) ¿Cuál es la masa del cuerpo?. b) Si la fuerza deja de actuar al cabo de 5 s, ¿qué distancia recorrerá el cuerpo en los 5 s siguientes?.Rta.: a) 5 kg b) 200 m 2) A un cuerpo de 10 kg de masa se mueve con una velocidad constante de 5 m/s sobre una superficie horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es de 0,2. Determinar: a) ¿Qué fuerza horizontal se necesita para mantener el movimiento?. b) Si se suprime la fuerza, ¿cuándo se detendrá el cuerpo?.Rta.: a) 19,6 N b) 2,55 s 3) Una bala de rifle que lleva una velocidad de 360 m/s, choca contra un bloque de madera blanda y penetra con una profundidad de 0,1 m. La masa de la bala es de 1,8 g, suponiendo una fuerza de retardo constante, determinar: a) ¿Qué tiempo tardó la bala en detenerse?. b) ¿Cuál fue la fuerza de aceleración en N?.Rta.: a) 5,5.10 -4 s b) -1166,4 N 4) La masa de la Luna es, aproximadamente, 1/81 veces la de la Tierra, su radio es 1/4 veces el de ésta. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna?.Rta.: 1,94 m/s 2 5) Un elevador de 2000 kg de masa, sube con una aceleración de 1 m/s 2 . ¿Cuál es la tensión del cable que lo soporta?.Rta.: 21600 N 6) Un bloque de 8 N de peso se acelera hacia arriba mediante una cuerda cuya tensión de ruptura es de 12 N. Hállese la aceleración máxima que puede aplicarse al bloque sin que se rompa la cuerda. Rta.: 24,5 m/s 2 7) Un cuerpo está suspendido de una balanza de resorte sujeta al techo de un elevador. Determinar: a) Si el elevador tiene una aceleración hacia arriba de 2,45 m/s 2 y la balanza indica 50 N, ¿cuál es el peso verdadero del cuerpo?. b) ¿En qué circunstancias la balanza indicará 30 N?. c) ¿Qué medirá la balanza si se rompe el cable del elevador?.Rta.: a) -40 N b) 2,45 m/s 2 c) 0 N 8) Un bulto de 20 kg de masa descansa sobre la caja de un camión. El coeficiente de rozamiento entre el bulto y el piso de la caja es de 0,1. El camión se detiene en un semáforo y luego arranca con una aceleración 2 m/s 2 . Si el bulto se encuentra a 5 m de la culata del camión cuando éste arranca, determinar: a) ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que el bulto salga despedido por la culata del camión?. b) ¿Qué distancia recorrerá el camión en ese tiempo?.Rta.: a) 3,13 s b)9,8 m Resolver: 1) Un bloque de 5 kg de masa está sostenido por una cuerda que tira de él hacia arriba con una aceleración de 2 m/s 2 . a) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?. b) Después de haberse puesto en movimiento el bloque, la tensión de la cuerda disminuye a 49 N. ¿Qué clase de movimiento tendrá entonces el bloque?. c) Si se afloja completamente la cuerda, se observa que el bloque asciende aún 2 m antes de detenerse. ¿Qué velocidad llevaba cuando se aflojó la cuerda?. Rta: a) 59 N b) M.R.U. c) 6,26 m/s 2) Un cuerpo está suspendido de una balanza de resorte sujeta al techo de un elevador. a) Si el elevador tiene una aceleración hacia arriba de 2,45 m/s 2 y la balanza indica 50 N, ¿cuál es le verdadero peso del cuerpo?. b) ¿En qué circunstancias indicará la balanza 30 N?. c) ¿Qué indicará la balanza si se rompe el cable del elevador?.Rta: a) 40 N b) 2,45 m/s 2 c) 0 N 7 3) Una caja de 20 kg de masa descansa sobre la plataforma de un camión. El coeficiente de rozamiento entre la caja y el suelo es de 0,1. El camión inicia su marcha con una aceleración de 2 m/s 2 . Si la caja se encuentra a 5 m del final del camión cuando éste arranca, determinar: a) ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que la caja salga despedida del camión por su parte trasera?. b) ¿Qué distancia recorrerá el camión en ese tiempo?.Rta: a) 3,13 s 4) Un tren de pasajeros consta de una locomotora y dos vagones. La masa de la locomotora es de 6000 kg y la de cada vagón es de 2000 kg. El tren sale de una estación con una aceleración de 0,5 m/s 2 , determinar: a) La tensión en el enganche entre la locomotora y el primer vagón. b) La tensión en el enganche entre los vagones. c) La fuerza horizontal total que ejercen las ruedas de la locomotora sobre el riel. Rta: a) 2000 N b) 1000 N c) 5000 N 5) Un bloque descansa sobre un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético es de 0,5 y el estático de 0,75. Calcular: a) El valor de θ para que el bloque comience a deslizarse. b) La aceleración cuando el bloque comenzó a deslizarse. c) El tiempo necesario para que el bloque se deslice 6,096 m por el plano inclinado. Rta: a) 36,9° b) 1,95 m/s 2 c) 2,5 s IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL IMPULSO ( I ) Cuando una fuerza F actúa durante un intervalo de tiempo ∆ t sobre un cuerpo, le suministra un impulso que se define de la siguiente forma: I = F •∆ t El impulso es una magnitud vectorial y se mide en el Sistema Internacional en [ N s ] . Para calcular su valor se utiliza la relación: I = F ∆ t Ejemplo: 1 ) Calcula el impulso que suministra una fuerza de 3 [ N ] sobre un cuerpo, si actúa sobre él durante 5 [ s ] I = 3 [ N ] × 5 [ s ] = 15 [ N s ] CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL ( MOMENTUM ) ( p ) Cada cuerpo tiene una cantidad de movimiento lineal la cual es una magnitud vectorial que en el Sistema Internacional se mide en [ kg m / s ]. Si un cuerpo de masa m tiene una velocidad de v , entonces su cantidad de movimiento lineal se define de la siguiente forma: p = m v Para calcular su valor se usa la relación: p = m v Ejemplo: 2 ) Un móvil de 4 [ kg ] tiene una rapidez de 5 [ m / s ] . Calcula su cantidad de movimiento. p = 4 [ kg ] × 5 [ m / s ] = 20 [ kg m / s ] RELACION ENTRE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Cuando se le suministra un impulso a un cuerpo, éste cambia su cantidad de movimiento, según la relación: I = ∆ ∆∆ ∆p = m ∆ ∆∆ ∆v = m ( v 2 – v 1 ) En los movimientos rectilíneos se utiliza la siguiente relación: F ∆ ∆∆ ∆t = m ( v 2 – v 1 ) Ejemplo: 8 3 ) Una fuerza neta de 8 [ N ] actuó durante 3 [ s ] sobre un móvil de 6 [ kg ] que llevaba MRU y una rapidez de 16 [ m / s ] . Calcula la rapidez que alcanzó el móvil después de esto, suponiendo que la fuerza actuó en la misma dirección del movimiento. 8 [ N ] × 3 [ s ] = 6 [ kg ] ( v 2 – 16 [ m / s ] ) v 2 = 20 [ m / s ] CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Si la fuerza neta que obra sobre un sistema es cero, éste mantiene su cantidad de movimiento lineal. Enunciando la Ley de conservación de la cantidad de movimiento dice: En cualquier sistema o grupo de cuerpos que interactúen, la cantidad de movimiento total, antes de las acciones, es igual a la cantidad de movimiento total luego de las acciones. Σm.v = 0 m i .v i = m f .v f ∆ ∆∆ ∆P = ∆ ∆∆ ∆p 1 + ∆ ∆∆ ∆p 2 CHOQUE ELASTICO Se considera un choque como elástico, si se conserva la cantidad de movimiento lineal y la energía cinética del sistema. Cuando dos móviles tienen MRU sobre una misma recta y chocan elásticamente, según la figura: a) Velocidades de Igual sentido Antes del choque: Después del choque: Se satisfacen las siguientes ecuaciones: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2 ( conservación de la cantidad de movimiento lineal ) 2 1 m 1 2 1 v + 2 1 m 2 v 2 2 = 2 1 m 1 u 2 1 + 2 1 m 2 u 2 2 ( conservación de la energía cinética ) A partir de ellas se llega a las siguientes relaciones: u 2 – u 1 = v 1 – v 2 u 1 = 2 1 2 1 ) 2 1 ( m m v v m m + + − u 2 = 2 1 1 1 2 2 ) 1 2 ( m m v m v m m + + − b) Velocidades de distinto sentido En este caso los cuerpos literalmente rebotan, y la velocidad final de cada uno será: v 1f = (v 2f - v 2i ).m 2 /m 1 + v 1i El principio de conservación del impulso es el mismo que el de conservación de la cantidad de movimiento. Cabe aclarar que en la práctica podemos aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento durante los choques, siempre que el tiempo que dura el impacto sea muy pequeño. Colisiones CHOQUE INELASTICO Se considera un choque como inelástico, si se conserva la cantidad de movimiento lineal, pero no se conserva la energía cinética del sistema. 9 Un ejemplo de esta situación se da cuando dos móviles con MRU sobre una misma recta chocan y se mantienen unidos después de la colisión, según la figura: Antes del choque: Después del choque: En este caso sólo se conserva la cantidad de movimiento lineal: m 1 v 1 + m 2 v 2 = ( m 1 + m 2 ) u Por lo tanto: u= 2 1 2 2 1 1 m m v m v m + + COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN: Para cualquier colisión entre dos cuerpos en la cual los cuerpos se mueven sólo a lo largo de una línea recta ( por ejemplo, el eje x), el coeficiente de restitución e está definido por: . e= 2 1 1 2 u u v v − − donde u1, u2= velocidades antes del choque v1, v2 velocidades después del choque. Para una colisión perfectamente elástica, e=1 Para una colisión inelástica, e < 1. Para dos cuerpos que permanecen unidos después del choque , e =0 PROBLEMAS RESUELTOS 1.Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?. Datos: m = 0,15 kg ;v i = 40 m/s ;v f = - 60 m/s (el signo es negativo ya que cambia el sentido) t = 5 ms = 0,005 s ∆ ∆∆ ∆p = I p f - p i = I ⇒ m.v f - m.v i = F.t ⇒F = m.(v f - v i )/t F = 0,15 kg.(- 60 m/s - 40 m/s)/0,005 s ⇒ F = 0,15 kg.(- 100 m/s)/0,005 s ⇒ F = - 3000 N Rta.: 3000 N 2) Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, ¿qué velocidad adquirió la bola luego del impacto?. Datos: m = 0,2 kg ; F = 50 N ; t = 0,01 s ; v i = 0 m/s ∆ ∆∆ ∆p = I p f - p i = I ⇒ m.v f - m.v i = F.t ⇒ m.(v f - v i ) = F.t ⇒ v f - v i = F.t/m ⇒ v f = F.t/m v f = 50 N.0,01 s/0,2 kg ⇒ v f = 2,5 m/s Rta: 2,5 m/s 3) Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente desde 0 hasta 50 N en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió del reposo?. Rta.: 10 m/s Datos: m = 10 kg; v i = 0 m/s ; F i = 0 N; F f = 50 N ;t = 4 s Para el impulso debe usarse la fuerza media, por lo tanto: F = (F f + F i )/2 ⇒ F = ( 50 N + 0 N )/2 ⇒ F = 25 N ∆ ∆∆ ∆p = I p f - p i = I ⇒ m.v f - m.v i = F.t ⇒ m.(v f - v i ) = F.t ⇒ v f - v i = F.t/m ⇒ v f = F.t/m v f = 25 N.4 s/10 kg ⇒ v f = 10 m/s 4) Se rocía una pared con agua empleando una manguera, la velocidad del chorro de agua es de 5 m/s, su caudal es de 300 cm 3 /s, si la densidad del agua es de 1 g/cm 3 y se supone que el 10 agua no rebota hacia atrás, ¿cuál es la fuerza promedio que el chorro de agua ejerce sobre la pared?.Rta.: 1,5 N Datos: φ V = 300 cm 3 /s (caudal volumétrico) v i = 5 m/s v f = 0 m/s (porque el chorro no rebota) ∆ = 1 g/cm 3 primero debemos hallar la masa de agua y el tiempo de acción: φ M = φ V . ∆ ⇒ φ M = 300 cm 3 /s.1 g/cm 3 ⇒ φ M = 300 g/s (caudal másico) φ M = 0,3 kg/s éste dato nos dice que en t = 1 s la masa de agua es m = 0,3 kg ∆ ∆∆ ∆p = I p f - p i = I ⇒ m.v f - m.v i = F.t ⇒ F = m.(v f - v i )/t F = 0,3 kg.(5 m/s - 0 m/s)/1 s ⇒ F = 1,5N 5) Se dispara horizontalmente una bala de 0,0045 kg de masa sobre un bloque de 1,8 kg de masa que está en reposo sobre una superficie horizontal, luego del impacto el bloque se desplaza 1,8 m y la bala se detiene en él. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es de 0,2, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?. Rta.: 1073 m/s 6) Se dispara una bala de 0,01 kg de masa contra un péndulo balístico de 2 kg de masa, la bala se incrusta en el péndulo y éste se eleva 0,12 m medidos verticalmente, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?. Rta.: 309,8 m/s Datos: m 1 = 0,01 kg m 2 = 2 kg v 2i = 0 m/s v 1f = 0 m/s ∆y= 0,12 m En el instante del impacto:∆ ∆ ∆ ∆ p i = ∆ ∆ ∆ ∆ p f p 1i + p 2i = p 1f + p 2f ⇒ m 1 .v 1i + m 2 .v 2i = m 1 .v 1f + m 2 .v 2f pero como v 2i = 0 m/s y v 1f = 0 m/s: m 1 .v 1i = m 2 .v 2f (2) Luego del impacto el péndulo adquiere una velocidad inicial que se reducirá a cero debido a la aceleración de la gravedad. Para el péndulo balístico resulta: v 2i 2 = 2.g.∆ ∆∆ ∆y ⇒ v 2i 2 = 2.10 m/s 2 .0,12 m ⇒ v 2i 2 = 2,4 m 2 /s 2 ⇒ v 2i = 1,55 m/s De (2): v 1i = m 2 .v 2f /m 1 ⇒ v 1i = 2 kg.1,55 (m/s)/0,01 kg ⇒ v 1i = 309,8 m/s Resolver 1) Un patinador de 80 kg de masa le aplica a otro de 50 kg de masa una fuerza de 25 kgf durante 0,5 s, ¿qué velocidad de retroceso adquiere el primero y que velocidad final toma el segundo?. Resp 1.53 m/s , 2.45 m/s 2) Un hombre colocado sobre patines arroja una piedra que pesa 80 N mediante una fuerza de 15 N que actúa durante 0,8 s, ¿con qué velocidad sale la piedra y cuál es la velocidad de retroceso del hombre si su masa es de 90 kg?. Resp 15 m/s, 1.33 m/s 3) Con una escopeta se dispara un cartucho de 100 perdigones de 0,4 g cada uno, los que adquieren una velocidad de 280 m/s, ¿cuál es la velocidad de retroceso del arma si pesa 5 kg?. Resp 2.24 m/s 11 4) Mediante un palo de golf se aplica a una pelota una fuerza de 242,2 N y adquiere una velocidad de 95 m/s. Si la masa de la pelota es de 0,05 kg, ¿durante cuánto tiempo actuó el palo sobre la pelota?. Resp 0.0196 seg 5) Una escopeta de masa 5,8 kg lanza un proyectil de masa 20 g con una velocidad inicial de 750 m/s. ¿cuál será la velocidad de retroceso?. Resp 2.59 m/s 6) Una pelota de futbol de 850 g de masa adquiere una velocidad de 40 m/s mediante un puntapié de 0,2 s de duración, ¿qué fuerza recibió la pelota?. Resp 170 N 7) Determinar la masa de una esfera metálica que por acción de una fuerza de 20 N durante 0,3 s le provoca una velocidad de 2 m/s. Resp 3 Kg 8) A un cuerpo de 980 kg se le aplica una fuerza constante de 40 N durante 5 s. Calcular el impulso total y el incremento de velocidad. Resp “00 N.S 0.204 m/s 9) A un cuerpo de 50 kg de masa se le aplica una fuerza de 150 N durante 5 s, calcule el impulso y el incremento de velocidad. Resp 750 Ns 15 m/s Problemas suplementarios 1.Por lo general, una pelota de tesis golpeada durante un servicio viaja alrededor de 51 m/s. Si la pelota se encuentra en reposos en medio del aire al ser golpeada y tiene una masa de 0.058 kg, ¿ cuál es el cambio en su cantidad de movimiento al salir de la raqueta? Resp. 3.0 kg.m/s 2.Durante un juego de futbol, una pelota ( cuya masa es de 0.425kg), la cual está inicialmente en reposo, es pateada por uno de los jugadores. La pelota sale disparada a 26 m/s. Dado que el impacta duró 8.0 x10- 3 s, ¿ cuál fue la fuerza promedio ejercida sobre la pelota? Resp. 1.4kN 3.Un camión de carga de 40000 kg, viaja con una rapidez de 5.0 m/s a lo largo de una pista recta y choca con un camión de carga estacionado de 30000kg, quedando enganchado.¿Cuál será la rapidez de ambos después del impacto? Resp. 2.9 m/s 4.Un camión de carga de 15000kg está viajando por una pista plana a 5.00 m/s. Súbitamente, se dejan caer dentro del camión 5000kg de carbón. La velocidad del carbón en la dirección horizontal es cero. Encuéntrese la rapidez final del camión. Resp. 3.75 m/s 5.Se deja caer arena a razón de 2000 kg/minutos. Desde la parte final de una tolva sobre una cinta transportadora que se mueve horizontalmente a 250 m/min. Determínese la fuerza necesaria en el motor de la cinta transportadora , despreciando la fricción. Resp. 130 N 6.Dos cuerpos cuyas masas son 8 y 4 kg se mueven a lo largo del eje x en sentidos opuestos con velocidades de 11 m/s en dirección x positiva 7 m/s dirección x negativa, respectivamente . Después de chocar, los cuerpos se mantienen unidos. Encuéntrese su velocidad después del choque. Resp. 5m/s dirección x positiva 7.Una bala B de 8.0 g se dispara horizontalmente hacia el interior de un bloque de madera M de 9.00kg y se clava en él. El bloque , que puede moverse libremente, adquiere una velocidad de 40 cm/s después del impacto. Encuéntrese la velocidad inicial de la bala. Resp. 0.45km/s eje +x 8.Una masa de 16 gr se mueve en la dirección +x a 30 cm/s , mientras una masa de 4.0 gr se mueve en la dirección –x a 50 cm/s .Chocan y quedan unidas . Encuéntrese la velocidad después de la colisión. Resp. 0.14 m/s dirección eje x positivo 9.Se mueve un ladrillo de 2.0 kg con una velocidad de 6.0 m/s.¿ Cuál es la magnitud de la fuerza F necesaria, si se desea detener el ladrillo en un tiempo de 7.0x10 -4 s? Resp. F=-1.7x10 4 N 10.Una bala de 15 gr se mueve a 300 m/s al incidir sobre una placa de plástico de 2.0 cm de espesor. Al emerger de la placa su rapidez es de 90 m/s. ¿ Cuál es la fuerza promedio que impide su movimiento al pasar a través de la placa de plástico? Resp –3.1x10 4 N 11.Una pelota de 0.25 kg se mueve en la dirección del eje +x cuando es golpeada por un bat. Su velocidad final es de 19 m/s en la dirección -x. El bat actúa sobre la pelota por 0.010 s. Calcúlese la fuerza promedio F que ejerce el bat sobre la pelota. Resp. –0.80 kN 12.Dos muchachas, cuyas masas son m1 y m2 . se encuentran en reposo sobre patines de ruedas, tomadas de las manos y frente a frente. La muchacha 1 empuja repentinamente a la muchacha 2, la cual se desplazará hacia atrás con una rapidez v2. Suponiendo que las muchachas se deslizan libremente sobre sus patines , ¿ con qué rapidez se moverá la muchacha 1? Resp. V1=-(m2/m1) v2