GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOSIDENTIFICAR EVENTOS INDEPENDIENTES Y UTILIZAR SUS PROPIEDADES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Obj 4 Pta 1 Se quiere surtir una panadería de 8 latas de leche de la marca A, 4 latas de jugo de la marca A, 8 latas de leche de la marca B y x latas de jugo de la marca B. ¿Cuánto debe ser el valor de x para que el tipo de producto y la marca sean independientes cuando se selecciona un producto al azar?. Solución: Definamos los siguientes eventos E 1 : “El producto seleccionado es leche”. E 2 : “El producto seleccionado es jugo”. A : “El producto seleccionado es de marca A”. B : “El producto seleccionado es de marca B”. Tenemos P(E 1 ) = x + 20 16 ; P(E 2 ) = x x + + 20 4 ; P(A) = x + 20 12 ; P(B) = x x + + 20 4 ; Si los cuatro eventos son independientes entonces, por ejemplo P( ) 2 E A = P(A)P(E 2 ), es decir 4 x x 20 x 4 x 20 12 x 20 4 · ⇒ , _ ¸ ¸ + + , _ ¸ ¸ + · + Luego, si x = 4 la marca del producto es independiente del tipo de producto que se surtirá. Note que si se trabaja con P( ) 1 E A , P( ) 1 E B ó P( ) 2 E A en ves de P( ) 2 E A , se obtiene el mismo resultado. Obj 4 Pta 2. Un fabricante de lavadores realizó un análisis de un gran número de quejas realizadas por los consumidores y determinó que éstas entraban en 6 categorías que se muestran en la siguiente tabla con sus respectivos porcentajes Razón de la Queja Eléctrica Mecánica Aspecto Total Durante el período de garantía 18% 13% 32% 63% Después del período de garantía 12% 22% 3% 37% Total 30% 35% 35% 100% Sean A={La causa de la queja es el aspecto del producto}, B={La queja se presento durante el lapso de garantía}. Determine si los eventos A y B son independientes. Solución: Tenemos que P(A) = 0.35, P(B) = 0.63, P(A∩B)= 0.32 y P(A).P(B) = (0.35)(0.63) = 0.2205. Como P(A∩B)≠ P(A)P(B) entonces se tiene que los eventos A y B no son independientes. Obj 4 Pta 3. Se escoge al azar una carta de un mazo de barajas de póquer. Sean A = {La carta elegida es un as}. B ={La carta elegida es de diamante}. Determine si estos eventos son independientes. Recuerde que en un mazo de barajas de poker hay 52 cartas, 13 de las cuales son de diamante y 4 son ases. 1/27 GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS Solución: Tenemos que 52 1 52 13 13 1 ) ( ) ( , 52 1 ) ( , 52 13 ) ( , 13 1 52 4 ) ( · · · ∩ · · · B P A P y B A P B P A P . Como P(A∩B)=P(A)P(B), entonces A y B son eventos independientes. Obj 4 Pta 4. Se lanza un dado balanceado. Sean A ={El resultado es un número par}. B ={El resultado es un número menor o igual que 4}. Determine si estos eventos son independientes. Solución: Tenemos que 3 1 3 2 2 1 ) ( ) ( , 3 1 6 2 ) ( , 3 2 6 4 ) ( , 2 1 6 3 ) ( · · · · ∩ · · · · B P A P y B A P B P A P . Como P(A∩B)=P(A)P(B), entonces A y B son eventos independientes. Obj 4 Pta 5. En un Instituto de idiomas se realiza un estudio para determinar qué relación existe, entre el hecho de que el estudiante trabaje y su progreso en un curso de ingles. Se determinan el tiempo que dedican a su trabajo 100 estudiantes y el nivel que cursan, obteniendo los siguientes resultados: Nivel Tiempo de trabajo Inicial Medio Avanzado Total Nada 10 8 2 20 Medio tiempo 15 12 9 36 Tiempo completo 14 13 17 44 Total 39 33 28 100 Sean MT ={El estudiante trabaja medio tiempo}. NA ={El estudiante cursa el Nivel avanzado}. Determine si estos eventos son independientes. Solución: Tenemos que . 1008 . 0 ) 28 . 0 )( 36 . 0 ( ) ( ) ( , 09 . 0 ) ( , 28 . 0 ) ( , 36 . 0 ) ( · · · ∩ · · B P A P y B A P NA P MT P Como P(A∩B) ≠ P(A)P(B), entonces A y B no son eventos independientes Obj 4 Pta 8. Al disparar sobre un blanco aéreo en determinadas condiciones de tiro, se considera que un disparo es efectivo cuando el proyectil explota en un punto cuya distancia al punto medio del blanco no exceda 10m en ninguna de las tres direcciones determinada por los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio con el punto medio del blanco en el origen de dicho sistema. Supongamos que la probabilidad de una desviación mayor de 10m viene dada por: P 1 = 0,08 en el eje x P 2 = 0,12 en el eje y P 3 = 0,1 en el eje z Si se considera la desviación en la dirección de cada eje como eventos independientes, ¿Cuál es la probabilidad de que un disparo sea efectivo? Solución: Como las desviaciones en la dirección de cada eje se pueden considerar independientes, luego la probabilidad pedida es: P = (1-P 1 ).(1-P 2 ).(1-P 3 ) = (0,92).(0,88).(0,9) = 0,72864 2/27 GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS Obj 4 Pta 9 Tres vecinos utilizan la misma línea de autobuses para regresar a su casa a las 18 horas al finalizar su trabajo. Debido a pequeñas demoras imprevistas en la oficina de cada uno, y a las irregularidades inevitables del servicio, no siempre pueden escoger el mismo autobús de las 18 horas 10 minutos con probabilidad 4 1 , el de las 18 horas 15 minutos con probabilidad 2 1 y el de las 18 horas 20 minutos con probabilidad 4 1 . Determine los eventos del experimento anterior. ¿Cuál es la probabilidad de que un día lleguen los tres a su casa en el mismo autobús? Solución: Definamos los siguientes eventos: A i : vecino i que cogió el autobús de las 18 h 10 min, ( i =1,2,3) B i : vecino i que cogió el autobús de las 18 h 15 min, ( i =1,2,3) C i : vecino i que cogió el autobús de las 18 h 20 min, ( i =1,2,3) E: Los tres vecinos coincidieron en un mismo autobús En estas condiciones se verifican: E = (A 1 A 2 A 3 ) U (B 1 B 2 B 3 ) U (C 1 C 2 C 3 ) Por la independencia de los eventos interceptados se tiene: P(E) = 15 , 0 64 10 4 1 2 1 4 1 3 3 3 · · + + Lo cual quiere decir que, aproximadamente, el 15% de los días llegarán los tres vecinos a su casa en el mismo autobús. Obj 4 Pta 10 Un disparo consiste en tres componentes independientes X, Y, Z. El dispositivo se considera defectuoso si uno o más de los componentes lo son. La probabilidad de que X sea defectuoso es 0,01, de que Y sea defectuoso es 0,02 y de que Z sea defectuoso es 0,10. Determine: a) la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso. b) la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso debido sólo a una falla del componente Z. Solución: Definimos a: P(X) = La probabilidad de que X no sea defectuoso P( X ) = La probabilidad de que X sea defectuoso P(Y) = La probabilidad de que Y no sea defectuoso P( Y ) = La probabilidad de que Y sea defectuoso P(Z) = La probabilidad de que Z no sea defectuoso P( Z ) = La probabilidad de que Z sea defectuoso Donde, P( X ) = 0,01 ⇒ P(X) = 1 ─ P( X ) =0,99 P( Y ) = 0,02 ⇒ P(y) = 1 ─ P( Y ) =0,98 P( Z ) = 0,10 ⇒ P(X) = 1 ─ P( Z ) =0,90 El evento, Z Y X : El dispositivo esta bueno. Y su complemento Z Y X : El dispositivo esta defectuoso. Determinan las partes: a) ) ( ). ( ). ( 1 ) ( 1 ) ( Z P Y P X P Z Y X P Z Y X P − · − · b) ) ( ). ( ). ( ) ( Z P Y P X P Z Y X P · Obj 4 Pta 11 3/27 GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS La urna X contiene 6 bolitas blancas y 4 negras y la urna Y contiene 3 bolitas blancas y 7 negras. Se extrae una bolita de cada una de las urnas. Determine entonces La probabilidad de que ambas bolitas sean del mismo color Solución: Sean: B1: bolita blanca extraída de la urna X B2: bolita blanca extraída de la urna Y N1: bolita negra extraída de la urna X N2: bolita negra extraída de la urna Y Pero como: P(B2 | B1)=P(B2) y P(N2 | N1)=P(N2), resulta que: P(B1∩ B2) = P(B1).P(B2) y P(N1∩ N2) = P(N1).P(N2) Por lo tanto: P(mismo color) = P(ambas blancas) + P(ambas negras) Así: P[(B1 ∩ B2) U (N2 ∩ N1)] = P(B1 ∩ B2) + P(N1 ∩ N2) = P(B1).P(B2) + P(N1).P(N2) = 100 46 Obj 4 Pta 12 Se extraen cinco cartas de una baraja española de 52 cartas en forma sucesiva y sin restricción. Determine: a) La probabilidad de que no haya ningún as entre las cinco cartas. b) La probabilidad de que las 3 primeras cartas sean ases y las dos últimas reyes. c) La probabilidad de que solo las tres primeras cartas sean ases. d) La probabilidad de que aparezca un as sólo en la quinta extracción. Nota: Hay cuatro as y cuatro reyes en las barajas españolas. Solución: a) Designemos por P( A)=La probabilidad de obtener un as entre las cinco cartas P( A)=La probabilidad de NO obtener un as entre las cinco cartas 4/27 GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS La probabilidad de que NO haya ningún as entre las cinco cartas es: P( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ) 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 A P A P A P A P A P A A A A A · 311875200 205476480 · b) Designemos por: P( A)=La probabilidad de obtener un as entre las tres primeras cartas P(R)= La probabilidad de obtener un rey Sean los eventos: R 1 : La antepenúltima carta es rey R 2 : La última carta es rey La probabilidad de que las 3 primeras cartas sean ases y las dos últimas reyes es: 311875200 288 48 3 . 49 4 . 50 2 . 51 3 . 52 4 ) ( ). ( ). ( ). ( ). ( ) ( 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 · · · R P R P A P A P A P R R A A A P c) Designemos por P( A)=La probabilidad de obtener un as entre las cinco cartas P( A)=La probabilidad de NO obtener un as entre las cinco cartas La probabilidad de que sólo las tres primeras cartas sean ases es: 311875200 54144 48 47 . 49 48 . 50 2 . 51 3 . 52 4 ) ( ). ( ). ( ). ( ). ( ) ( 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 · · · A P A P A P A P A P A A A A A P d) Designemos por P( A)=La probabilidad de obtener un as entre las cinco cartas P( A)=La probabilidad de NO obtener un as entre las cinco cartas La probabilidad de que aparezca un as en la quinta extracción es: 48 4 . 49 45 . 50 46 . 51 47 . 52 48 ) ( ). ( ). ( ). ( ). ( ) ( 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 · · A P A P A P A P A P A A A A A P 311875200 18679680 · Obj 4 Pta 13 Suponga que A y B son sucesos independientes asociados con un experimento. Si la probabilidad de que A o B ocurran es igual a 0,6, mientras que la probabilidad de que A ocurra es igual a 0,4, determinar la probabilidad de que B ocurra. Solución: 3 , 0 ) ( · B P Obj 4 Pta 13 Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento. Supóngase que P(A)=0,4, mientras que P(A U B)= 0,7. Sea P(B) = p. a) ¿Para qué elección de p son A y B mutuamente excluyente? b) ¿Para qué elección de p son A y B independientes? Solución: a) Por ser A y B son mutuamente excluyentes p = 0,7 ─ 0,4 ⇒p = 0,3 b)A y B son independientes si y solo si P(A ∩ B) = P(A).P(B) Por lo tanto, ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B P A P B P A P B A P B A P B P A P B A P − + · ⇒ − + · (1) Ahora, sustituyendo en (1) se tiene: 5/27 GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS 5 , 0 6 , 0 3 , 0 p p ). 4 , 0 ( p 4 , 0 7 , 0 ) B ( P ). A ( P ) B ( P ) A ( P ) B A ( P · · ⇒ − + · − + · Por lo tanto, para que A y B sean independientes la elección para p es: p = 0,5 Obj 4 Pta 14 Sean A, B eventos independientes de un espacio muestral X. Muestre que son independientes los eventos: a) A y B b) A y B Solución: a) [ ] [ ] ) ( ). ( ) ( . ) ( 1 ) ( . ) | ( 1 ) ( ). | ( ) ( B P A P B P A P B P B A P B P B A P B A P · − · − · · Obj 4 Pta 15 Si las probabilidades para que las personas que tienen 45 y 53 vivan por lo menos otros 20 años son 0,66 y 0,47 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas personas estén vivos todavía dentro de 20 años? ¿Cuáles hipótesis hay que formular? ¿Es esto razonable? Solución: Tenemos que aceptar que los eventos: E 1 : La primera persona viva otros 20 años y E 2 : La segunda persona viva otros 20 años, son independientes. Es imposible decir si esta hipótesis es o no razonable, sin embargo, si lo es que la probabilidad de que ambas personas vivan 20 años, entonces valdría: (0,66).(0,47)=0,31 Obj 4 Pta 16 Un complejo industrial está constituido por tres maquinas A, B y C, cuyas probabilidades de falla (eventos independientes) son 0,05; 0,03 y 0,01 respectivamente. El sistema falla si una, por lo menos, de las tres máquinas falla. Determinar la probabilidad de falla del sistema Solución: la probabilidad de que el sistema no falle es 0,088 Obj 4 Pta 17 Las probabilidades de que tres hombres que disparan a un objetivo, den en el blanco son 3 1 y 4 1 , 6 1 respectivamente Cada uno de los hombres dispara una vez al objetivo. a) Hallar la probabilidad de que uno de ellos acierte el blanco. b) Si solamente uno de ellos acierta el blanco ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido el primer hombre?. Solución: Sean A, B y C los eventos el 1 er hombre, 2 do hombre y el 3 er hombre acierta el blanco respectivamente. Sabemos P(A) = 6 1 ; P(B) = 4 1 ; P(C) = 3 1 . Como los tres hombres disparan independientemente entre si y 6 5 ) A ( P · ; 4 3 ) B ( P · y 3 2 ) C ( P · . Tenemos: a) Sea el evento E: uno de los hombres acierta el blanco; entonces E = ( ) ( ) ( ) C B A C B A C B A es decir, si solamente uno de los hombres da en el blanco es porque: i) solamente fue el primer hombre que acertó, esto es, C B A , o ii) solamente fue el segundo hombre quien acertó, o 6/27 GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS iii) solamente fue el tercer hombre quien acertó. Como i), ii) y iii) son mutuamente excluyendo, la probabilidad pedida es: P(E) = ( ) ( ) ( ) C B A P C B A P C B A P + + = 72 31 b) Debemos calcular P( A | B ), es decir: la probabilidad de acierto del primer hombre, dado que solamente uno de los hombres dio en el blanco. Ahora: C B A E A · es el evento de que solamente el primer hombre dio en el blanco. De acuerdo con la parte a) ( ) ( ) C B A P E A P · = 12 1 3 2 . 4 3 . 6 1 · y P(E) = 72 31 . En consecuencia P(A | B) = 31 6 72 31 12 1 ) E ( P ) E A ( P · · Obj 4 Pta 18 Se extrae una carta al azar de un juego de 52 cartas considere los eventos: E 1 : La carta es un diamante E 2 : La carta es un 10, J, Q, K o A. E 3 : La carta es un trébol E 4 : La carta es de corazón Responda las siguientes preguntas, justificando debidamente su respuesta. a) ¿Son independientes E 1 y E 2 ? b) ¿Son independientes E 3 y E 4 ? c) ¿Son independientes E 2 y E 3 ? Solución: Tenemos que: 4 1 ) ( 1 · E P ; 13 5 52 20 ) ( 2 · · E P ; 52 1 ) ( ) ( 4 3 · · E P E P a) ) ( ). ( 13 5 . 4 1 52 5 ) ( 2 1 2 1 E P E P E E P · · · Y por lo tanto los eventos son independientes. b) los eventos NO son independientes. c) los eventos NO son independientes. Obj 4 Pta 23 Un dado honesto se lanza dos veces. Sean A = {Se muestra en la cara superior 4,5 ò 6 en el primer lanzamiento}. B = {Se muestra en la cara superior 1,2,3 ò 4 en el segundo lanzamiento }. Determine si estos eventos son independientes. Solución: Como cada una de las 6 maneras en las cuales un dado cae en el primer lanzamiento puede asociarse a con cada una de las 6 maneras en que cae en el segundo lanzamiento, en total hay 6.6 = 36 maneras igualmente factibles. Tenemos que 3 1 6 4 6 3 ) ( ) ( , 3 1 36 12 ) ( , 6 4 36 24 ) ( , 6 3 36 18 ) ( · · · · ∩ · · · · B P A P y B A P B P A P Como P(A∩B)=P(A)P(B), entonces A y B son eventos independientes. 7/27 GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS IDENTIFICAR VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS. IDENTIFICAR Y APLICAR EL CONCEPTO DE FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA EN EL CASO DISCRETO. UTILIZAR LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, POISSON E HIPERGEOMÉTRICA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. IDENTIFICAR Y APLICAR EL CONCEPTO DE FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA EN EL CASO ABSOLUTAMENTE CONTINUO. RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS EN LOS CUALES SE UTILICEN LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME Y NORMAL. CASO DISCRETO: Obj 5 Pta 1. El número de accidentes de trabajo en una fábrica sigue una distribución de Poisson. Se sabe que el promedio de accidentes en dicha fábrica, mensualmente, es de 3. Calcule la probabilidad de que en un mes ocurran 6 accidentes. Solución: Sea Y= número de accidentes de trabajo en una fábrica, Y se distribuye Poisson de parámetro 3. Luego, 05 . 0 720 ) 04 . 0 )( 729 ( ! 6 ) 729 ( ! 6 3 ) 6 ( 3 3 6 · · · · · − − e e Y P . Obj 5 Pta 2. El número de errores que hace una mecanógrafa tiene distribución de Poisson con media de 4 errores por página. ¿Cuál es la probabilidad de que una página escogida al azar tenga al menos 4 errores?. Solución: Sea X = Número de errores que comete una mecanógrafa, X se distribuye Poisson de parámetro 4, por lo que se tiene ( ) 59 . 0 ! 3 e 4 ! 2 e 4 ! 1 e 4 ! 0 e 4 1 ) 3 X ( P ) 2 X ( P ) 1 X ( P ) 0 X ( P 1 ) 4 X ( P 1 ) 4 X ( P 4 3 4 2 4 1 4 0 · 1 1 ] 1 ¸ + + − · · + · + · + · − · < − · ≥ − − − − Obj 5 Pta 3. Un defecto metabólico ocurre en aproximadamente una de cada 100 nacimientos. Si en un hospital nacen 4 niños en un día dado, calcule la probabilidad de que al menos uno de ellos tenga el defecto. Solución: El número de niños que tienen un defecto metabólico, X, se distribuye Binomial de parámetros p=1/100 y n=4. Entonces la probabilidad de que al menos un niño tenga un defecto metabólico es ( ) ( ) ( ) 04 . 0 96 . 0 1 0 1 1 1 1 · − · · − · < − · ≥ X P X P X P Obj 5 Pta 5. El fabricante de una marca de pasta de dientes afirma que el 60% de los consumidores prefieren una marca. Si entrevistamos a un grupo de personas escogidas al azar del grupo de consumidores de pasta de dientes, ¿Cuál es la probabilidad de tener que entrevistar exactamente 1 personas para encontrar al primer consumidor que prefiere esa marca? NOTA: Es GEOMETRICA Solución: 8/27 GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS Sea A la marca de pasta de dientes que prefieren los consumidores, X el número de personas entrevistadas para encontrar el primer consumidor y p la probabilidad de éxito, p=0.6. La probabilidad de tener que entrevistar exactamente a 5 personas para encontrar el primer consumidor que prefiera la marca A es 01536 , 0 ) 4 . 0 )( 6 . 0 ( ) 1 ( ) 5 ( 4 1 5 · · − · · − p p X P . OBJ 5 PTA 6. El fabricante de una marca de pasta de dientes afirma que el 60% de los consumidores prefieren una marca. Si entrevistamos a un grupo de personas escogidas al azar del grupo de consumidores de pasta de dientes, ¿Cuál es la probabilidad de tener que entrevistar exactamente 5 personas para encontrar a un consumidor que prefiere esa marca? Solución: Sea A la marca de pasta de dientes que prefieren los consumidores, X el número de personas entrevistadas para encontrar a un consumidor de pasta de dientes y p la probabilidad de éxito, p = 0.6. La probabilidad de tener que entrevistar exactamente a 5 personas para encontrar a un consumidor que prefiera la marca A es 0769 , 0 ) 01536 , 0 .( 5 ) 4 . 0 )( 6 . 0 .( 5 ) 1 ( . 5 ) 5 ( 4 1 5 · · · − · · − p p X P . Obj 5 Pta 6 El 3% de los pinos de navidad hecho por una maquina son defectuosos y parecen al azar durante la producción. Si se empaquetan de 24 pinos por caja. ¿Cuál es la aproximación de Poisson para probabilidad de que cierta caja contenga a lo sumo un pino defectuoso? Solución: Sea X la variable aleatoria real de Poisson de pinos defectuoso y t el número de pinos por caja Como 100 3 · λ , entonces pinos pinos pinos s defectuoso t 72 , 0 24 . 100 3 . · · λ En consecuencia se tiene el parámetro 72 , 0 . · t λ de Poisson para el empaque de 24 pinos por caja y lo que se quiere es la P[X≤1], esto es: [ ] [ ] 84 , 0 ). 72 , 0 ( ! . ) 72 , 0 ( 1 1 72 , 0 72 , 0 1 0 72 , 0 1 0 ≅ + · · · · ≤ − − · − · ∑ ∑ e e n e X P X P n n n Obj 5 Pta 7 Se sabe que para cierta clase de flores cerca del 5% de las semillas germinan. Las semillas se empaquetan y se venden en una caja de diez con la garantía de que más de 2 germinarán. Encontrar la probabilidad de que una caja fija arbitraria tenga la propiedad garantizada. Solución: Sea X la variable aleatoria real del número de semillas que germinarán, su distribución es binomial y como la probabilidad de que una semilla germine es p = 0,05, entonces: [ ] [ ] [ ] [ ] 09 , 0 91 , 0 1 ) 95 , 0 ).( 05 , 0 ( 1 10 ) 95 , 0 ( 0 10 1 2 05 , 0 ; 10 ; 1 ( ) 05 , 0 ; 10 ; 0 ( 1 ) 05 , 0 ; 10 ; ( 1 1 1 2 9 10 1 0 · − ≅ 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ − · > + − · − · ≤ − · > ∑ · X P b b i b X P X P i Obj 5 Pta 8 Una maquina fábrica objetos con una proporción medida de defectuosos del 1%. Hallar la función de probabilidad del número de defectuosos en una muestra al azar con reposición con 60 objetos. Solución: 9/27 GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS Como se puede identificar la variable de interés X es el número de defectuosos en una muestra al azar con reposición de tamaño n = 60. X es una variable aleatoria discreta que tiene una distribución binomial con parámetros n=60 y p=0,01. Así, su función de probabilidad es: . 60 0 ) 99 , 0 .( ) 01 , 0 .( 60 ) ( 60 ≤ ≤ , _ ¸ ¸ · · − x x x X P x x Obj 5 Pta 11 Una empresa de transporte utiliza camiones en su servicio. En promedio dos camiones por día sufren accidentes. Cada camión accidentado requiere un día de trabajo de un mecánico. La empresa solo dispone de un mecánico. ¿Cuál es la probabilidad de que él no tenga que atender un camión accidentado en un día dado? Solución: Como el número de camiones accidentados por día tiene aproximadamente una distribución de Poisson: P(n, λ ) = λ − λ e ! n n , λ > 0, n= 0,1,2,.... En nuestro caso se toma λ = 2 y n = 1 para calcular: P(1, 2) = 2 1 ! 1 2 − e = 2.(0,1353)=0,2716 La probabilidad para que el único mecánico pueda atender un camión accidentado en un día es: P(0,2)+P(1,2) = 2 0 ! 0 2 − e + 2 1 ! 1 2 − e 4059 , 0 · Luego, la probabilidad de que él no tenga que atender un camión accidentado en un día dado es: 5941 , 0 4059 , 0 1 · − · p 1 CASO CONTINUO: Obj 5 Pta 1. Suponga que el departamento de investigación de un fabricante de acero cree que una de las máquinas de rolado de la compañía está produciendo láminas de metal con espesores variables. El espesor es una variable aleatoria uniforme con valores entre 150 y 200 milímetros. Cualquier lámina que tenga menos de 160 milímetros de espesor deberá desecharse, pues resulta inaceptable para los compradores. Calcule la fracción de las láminas de aceros producidas por estas máquinas que se desechan. Solución: Sea la variable aleatoria Y el espesor de la lámina de acero. Para determinar la fracción de láminas de acero producidas por la máquina que tendrán que desecharse, debemos calcular la probabilidad de que Y, sea menor que 160 milímetros. 5 1 50 150 - 160 50 50 1 160) P(Y 160 150 160 150 · · · · < ∫ y dy . Obj 5 Pta 2 Sea c una constante y consideremos la función ¹ ' ¹ ≤ ≤ · p u n t o o t r o c u a l q u i e r e n 0 1 0 ) ( y s i c y y f a) Determine el valor de c para que f sea una función de densidad. b) Calcule P(0.2< y < 0.5) Solución: 10/27 GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS a) Para que la función f(x) sea una función de densidad debe satisfacer que sea positiva y que 1 ) ( · ∫ +∞ ∞ − dx x f . Encontremos el valor de a tal que f satisface estas condiciones 2 1 2 ) ( 1 0 2 1 0 c y c dy cy dy y f · · · ∫ ∫ +∞ ∞ − Luego 2 1 2 1 1 ) ( · ⇔ · ⇔ · ∫ +∞ ∞ − c c dx x f . Además si c = 2 la función f(y) resulta positiva. Por lo tanto el valor de c para que f(y) sea una densidad es c = 2. b) 21 . 0 ) 2 . 0 ( ) 5 . 0 ( 2 ) ( ) 5 . 0 2 . 0 ( 2 2 5 . 0 2 . 0 5 . 0 2 . 0 2 5 . 0 2 . 0 · − · · · · < < ∫ ∫ y ydy dy y f y P Obj 5 Pta 3. Suponga que la variable aleatoria Y tiene una función de densidad ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ' ¹ ∞ ≤ ≤ · − caso otro en y si e y f y 0 0 ) ( / λ λ . Sea W = Y 2 . Obtenga la función de distribución para la variable W. Solución: Calculemos P(W ≤ w), Como W es positiva, entonces P(W ≤ w) = 0 si w<0. Ahora veamos cuando w es positivo ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 / 0 / 0 / 2 λ λ λ λ w w y w y w e e dy e dy y f w Y P w Y P w W P − − − ∞ − − · − · · · ≤ · ≤ · ≤ ∫ ∫ Por lo tanto la función de distribución de la variable w es: ( ) . 0 0 0 1 ) ( / ¹ ¹ ¹ ' ¹ < ≥ − · ≤ · − w si w si e w W P w G w λ Obj 5 Pta 4 La cantidad X de papel que una impresora de un centro de computo universitario utiliza diariamente, tiene una distribución exponencial de media igual a 5 cajas; es decir 5 · λ . El costo diario de papel es C=3X+2. Obtenga la función de distribución de del costo del papel consumido diariamente por la impresora. Solución: Sabemos que la función de distribución de la variable X es una distribución exponencial de media 5 · λ . Esto es, x e x X P x F 5 1 ) ( ) ( − − · ≤ · . Calculemos P(C ≤ c 0 ) ( ) ( ) , _ ¸ ¸ − − − · , _ ¸ ¸ − ≤ · ≤ + · ≤ 3 2 5 0 0 0 0 1 3 2 2 3 c e c X P c X P c C P . Obj 5 Pta 5. Una compañía manufacturera diseño una maquina que suministra una cantidad aleatoria entre 6.5 y 7.5 galones de limpiador por minuto, para realizar lavado a presión . Suponga que la cantidad Y de limpiador suministrado es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [6.5 , 7.5]. Calcular la probabilidad de que la maquina suministre mas de 7.2 galones por minuto. Solución: Debemos calcular ) 2 . 7 ( > Y P , veamos 11/27 GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS ( ) . 3 . 0 2 . 7 5 . 7 5 . 6 5 . 7 1 7.2) P(Y 5 . 7 2 . 7 5 . 7 2 . 7 · − · · − · > ∫ y dy Obj 5 Pta 6 La duración (en minutos) de las llamadas telefónicas a larga distancia se vio que es un fenómeno aleatorio con función de densidad: 0 0 ; ; 0 . ) ( 3 < > ¹ ¹ ¹ ' ¹ · − x x e c x f x Determine el valor de c y calcule la probabilidad de que una llamada a larga distancia dure: a) menos de 3 minutos b) mas de 6 minutos c) Entre 3 y 6 minutos Solución: Hallemos c tal que: ∫ +∞ ∞ − ·1 ) ( dx c f 3 1 1 . 3 . 3 . 3 . . 3 lim . . 3 . ) ( 3 0 3 0 3 · ⇒ · ⇒ · + − · − · · − ∞ → ∞ + − +∞ − +∞ ∞ − ∫ ∫ c c c c e c e c dx e c dx x f x x x x a) 1 3 0 3 3 0 3 1 3 1 ) 3 ( − − − − · · · < ∫ e e dx e X P x x b) 2 2 6 0 3 6 0 3 1 1 1 3 1 ) 6 ( 1 ) 6 ( − − − − · + − · − · − · ≤ − · > ∫ e e e dx e X P X P x x c) 2 1 6 3 3 6 3 3 3 1 ) 6 3 ( − − − − − · − · · < < ∫ e e e dx e X P x x Obj 5 Pta 7 El tiempo promedio del trabajo sin fallo de una persona es 100 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Esa persona trabaje sin fallo un número de 72 horas? b) Trabaje sin fallo entre 24 y 48 horas? Solución: Sea T la variable aleatoria del tiempo del trabajo sin fallo de una persona. Por tratarse de un problema de tiempo de espera del trabajo sin fallo, sabemos que la función de distribución de la variable T es una distribución exponencial de media λ = 0,01(un fallo en 100 horas). a) 49 , 0 1 ). 01 , 0 ( 1 ) 72 ( 1 ) 72 ( 72 , 0 ) 72 ).( 01 , 0 ( 72 0 ). 01 , 0 ( 72 0 ). 01 , 0 ( ≅ · · + · − · < − · ≥ − − − − ∫ e e e dT e T P T P T T b) 17 , 0 ). 01 , 0 ( ) 48 24 ( 48 , 0 24 , 0 48 24 ). 01 , 0 ( 48 24 ). 01 , 0 ( ≅ − · − · · < < − − − − ∫ e e e dx e T P T T Obj 5 Pta 7 Un fabricante de resistencias, sabe por experiencia que el valor de las resistencias que produce está distribuido normalmente con 100 · µ Homs y 2 · σ ohms. a) ¿Qué porcentaje de resistencias tendrá un valor mayor que 98 ohms? 12/27 GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS b) ¿Qué porcentaje entre 96 y 105 ohms? Solución: Si pasamos de la distribución normal ) , ( σ µ N a la distribución normal estándar ) 1 , 0 ( N mediante la transformación σ µ − · X Z se tiene que: a) [ ] [ ] [ ] 84 , 0 ) 1 ( )) 1 ( 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 1 2 100 98 1 98 1 98 ≈ · − − · − − · − ≤ − · 1 ] 1 ¸ − ≤ − · ≤ − · > F F F Z P Z P X P X P Un 84,13% de las resistencias tendrán un valor mayor que 89 ohms. b) [ ] ) 2 ( ) 5 , 2 ( 2 100 96 2 100 105 105 96 − − · , _ ¸ ¸ − − , _ ¸ ¸ − · < < F F F F X P Luego, el [ ] { }% 100 . ) 2 ( ) 5 , 2 ( − − F F de la resistencia tendrá un valor entre 96 y 105 ohms. Obj 5 Pta 8 Sea X una variable aleatoria con densidad: ¹ ' ¹ > < ≤ ≤ · . 1 0 0 1 0 ) ( 2 x ó x s i x s i c x x f X Si X tiene función de densidad f X calcule: a) P(X≤1/2). b) P(1/4<X<1/2). c) P(X>3/4 | X>1/2). Solución: Debemos hallar el valor de c tal que 1 dx ) x ( f X · ∫ ∞ ∞ − . Veamos 3 3 0 0 ) ( 1 0 3 1 0 2 1 1 0 2 0 c cx dx cx dx dx cx dx dx x f X · · · + + · ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ ∞ − ∞ ∞ − Luego . 3 1 3 1 ) ( · ⇔ · ⇔ · ∫ ∞ ∞ − c c dx x f X Ahora, considerando el valor de c = 3: a) Calculemos P(X≤1/2) 8 1 0 2 1 3 3 0 ) ( ) 2 / 1 ( 3 2 / 1 0 3 2 / 1 0 2 2 / 1 0 2 2 / 1 0 · − , _ ¸ ¸ · · · + · · ≤ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ − ∞ − x dx x dx x dx dx x f X P X b) Calculemos P(1/4<X<1/2). 1406 , 0 64 1 8 1 4 1 2 1 3 ) 2 / 1 4 / 1 ( 3 3 2 / 1 4 / 1 3 2 / 1 4 / 1 2 ≈ − · , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ · · · < < ∫ x dx x X P c) P(X>3/4 | X>1/2). 13/27 GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS ( ) 8 7 8 1 8 8 1 1 ) 2 / 1 ( 1 ) 2 / 1 ( 64 37 64 27 64 64 27 1 4 3 1 3 0 3 ) ( ) 4 / 3 ( , 56 37 ) 7 ).( 64 ( ) 8 ).( 37 ( 8 7 64 37 ) 2 / 1 ( ) 4 / 3 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 4 / 3 ( ) 2 / 1 | 4 / 3 ( 3 3 1 4 / 3 3 1 4 / 3 2 1 4 / 3 1 2 4 / 3 · − · − · ≤ − · > · − · − · , _ ¸ ¸ − · · · + · · > · · · > > · > > > · > > ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ + X P X P x dx x dx dx x dx x f X P Donde X P X P X P X X P X X P X Obj 5 Pta 9 Sea X una variable aleatoria con densidad: ¹ ' ¹ > < ≤ ≤ · . 1 0 0 1 0 2 ) ( x ó x s i x s i x x f X Calcular las siguientes probabilidades: a) P(X≤1/2). b) P(1/4<X<1/2). c) P(X>3/4 | X>1/2). ( ) 4 3 4 1 4 4 1 1 ) 2 / 1 ( 1 ) 2 / 1 ( 16 7 16 9 16 16 9 1 4 3 1 2 0 2 ) ( ) 4 / 3 ( , 12 7 ) 3 ).( 16 ( ) 4 ).( 7 ( 4 3 16 7 ) 2 / 1 ( ) 4 / 3 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 4 / 3 ( ) 2 / 1 | 4 / 3 ( 2 2 1 4 / 3 2 1 4 / 3 1 4 / 3 1 4 / 3 · − · − · ≤ − · > · − · − · , _ ¸ ¸ − · · · + · · > · · · > > · > > > · > > ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ + X P X P x xdx dx xdx dx x f X P Donde X P X P X P X X P X X P X Obj 5 Pta 10 Sea X una variable aleatoria con densidad: ¹ ' ¹ ≥ ≤ < < − · . 2 0 0 2 0 ) 2 ( ) ( x ó x s i x s i x c x x f X a) Determine el valor de c para que la siguiente función sea una función de densidad. b) Calcular la P(a < X < b), siendo 0<a<b<2. 14/27 13 52 52 2/27 P( B) = y P ( A) P ( B ) = Como P(A∩B)=P(A)P(B). 6 2 P( B) = 4 2 2 1 = . 23 3 Como P(A∩B)=P(A)P(B).9) = 0. Determine si estos eventos son independientes. y P( A) P ( B ) = (0. Solución: Tenemos que P ( MT ) = 0. NA ={El estudiante cursa el Nivel avanzado}. Supongamos que la probabilidad de una desviación mayor de 10m viene dada por: P1 = 0. Obj 4 Pta 4.(1-P2).1 en el eje z Si se considera la desviación en la dirección de cada eje como eventos independientes.1008 .09 .36 )( 0. P ( A ∩ B) = 0. luego la probabilidad pedida es: P = (1-P1).28 ) = 0.(0.(0. Se lanza un dado balanceado. Como P(A∩B) ≠ P(A)P(B). ¿Cuál es la probabilidad de que un disparo sea efectivo? Solución: Como las desviaciones en la dirección de cada eje se pueden considerar independientes. Obj 4 Pta 5. Al disparar sobre un blanco aéreo en determinadas condiciones de tiro. obteniendo los siguientes resultados: Nivel Tiempo de trabajo Inicial Medio Avanzado Total Nada 10 8 2 20 Medio tiempo 15 12 9 36 Tiempo completo 14 13 17 44 Total 39 33 28 100 Sean MT ={El estudiante trabaja medio tiempo}. En un Instituto de idiomas se realiza un estudio para determinar qué relación existe. Determine si estos eventos son independientes.(1-P3) = (0. entonces A y B son eventos independientes. Solución: Tenemos que P ( A) = 3 1 = . entonces A y B son eventos independientes.28 . 52 52 1 13 1 = . entonces A y B no son eventos independientes Obj 4 Pta 8. B ={El resultado es un número menor o igual que 4}. Se determinan el tiempo que dedican a su trabajo 100 estudiantes y el nivel que cursan. entre el hecho de que el estudiante trabaje y su progreso en un curso de ingles.GUIA # 2 Solución: Tenemos que P ( A) = PROCESOS ESTOCÁSTICOS 4 1 = . 52 13 13 1 .72864 . Sean A ={El resultado es un número par}. P( NA ) = 0.92). se considera que un disparo es efectivo cuando el proyectil explota en un punto cuya distancia al punto medio del blanco no exceda 10m en ninguna de las tres direcciones determinada por los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio con el punto medio del blanco en el origen de dicho sistema. P( A ∩ B) = = .08 en el eje x P2 = 0.36 .88). P( A ∩ B) = .12 en el eje y P3 = 0. 6 3 6 3 y P ( A) P ( B ) = 12 1 = . aproximadamente. Obj 4 Pta 10 Un disparo consiste en tres componentes independientes X. Y su complemento X Y Z : El dispositivo esta defectuoso.02 ⇒ P(y) = 1 ─ P( Y ) =0. P (Y ). ( i =1. el 15% de los días llegarán los tres vecinos a su casa en el mismo autobús.98 P( Z ) = 0. Determine: a) la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso.3) Bi : vecino i que cogió el autobús de las 18 h 15 min. Determinan las partes: a) P ( X Y Z ) =1 −P( X Y Z ) =1 −P( X ). no siempre pueden escoger el mismo autobús de las 18 horas 10 minutos con probabilidad las 18 horas 15 minutos con probabilidad 1 . Z.02 y de que Z sea defectuoso es 0. el de 4 1 1 y el de las 18 horas 20 minutos con probabilidad .GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS 3/27 Obj 4 Pta 9 Tres vecinos utilizan la misma línea de autobuses para regresar a su casa a las 18 horas al finalizar su trabajo. b) la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso debido sólo a una falla del componente Z.2.3) E: Los tres vecinos coincidieron en un mismo autobús En estas condiciones se verifican: E = (A1 A2 A3) U (B1 B2 B3) U (C1 C2 C3) Por la independencia de los eventos interceptados se tiene: 1 1 1 10 = 0. Determine 2 4 los eventos del experimento anterior.01. El dispositivo se considera defectuoso si uno o más de los componentes lo son. ( i =1. Solución: Definimos a: P(X) = La probabilidad de que X no sea defectuoso P( X ) = La probabilidad de que X sea defectuoso P(Y) = La probabilidad de que Y no sea defectuoso P( Y ) = La probabilidad de que Y sea defectuoso P(Z) = La probabilidad de que Z no sea defectuoso P( Z ) = La probabilidad de que Z sea defectuoso Donde.2.99 P( Y ) = 0. ( i =1.15 P(E) = 3 + 3 + 3 = 4 2 4 64 Lo cual quiere decir que.10. de que Y sea defectuoso es 0. y a las irregularidades inevitables del servicio.90 El evento. La probabilidad de que X sea defectuoso es 0. P ( Z ) b) P ( X Y Z ) =P ( X ). X Y Z : El dispositivo esta bueno. P( X ) = 0. P(Y ).10 ⇒ P(X) = 1 ─ P( Z ) =0. Debido a pequeñas demoras imprevistas en la oficina de cada uno. P ( Z ) Obj 4 Pta 11 .3) Ci : vecino i que cogió el autobús de las 18 h 20 min.2. Y. ¿Cuál es la probabilidad de que un día lleguen los tres a su casa en el mismo autobús? Solución: Definamos los siguientes eventos: Ai : vecino i que cogió el autobús de las 18 h 10 min.01 ⇒ P(X) = 1 ─ P( X ) =0. P(N2) = 46 100 como: Obj 4 Pta 12 Se extraen cinco cartas de una baraja española de 52 cartas en forma sucesiva y sin restricción. d) La probabilidad de que aparezca un as sólo en la quinta extracción. Determine: a) La probabilidad de que no haya ningún as entre las cinco cartas. Solución: a) Designemos por P( A )=La probabilidad de obtener un as entre las cinco cartas P( A )=La probabilidad de NO obtener un as entre las cinco cartas .P(B2) y P(N1∩ N2) = P(N1).P(B2) + P(N1). Determine entonces La probabilidad de que ambas bolitas sean del mismo color Solución: Sean: B1: bolita blanca extraída de la urna X B2: bolita blanca extraída de la urna Y N1: bolita negra extraída de la urna X N2: bolita negra extraída de la urna Y Pero P(B2 | B1)=P(B2) y P(N2 | N1)=P(N2).GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS 4/27 La urna X contiene 6 bolitas blancas y 4 negras y la urna Y contiene 3 bolitas blancas y 7 negras.P(N2) Por lo tanto: P(mismo color) = P(ambas blancas) + P(ambas negras) Así: P[(B1 ∩ B2) U (N2 ∩ N1)] = P(B1 ∩ B2) + P(N1 ∩ N2) = P(B1). Nota: Hay cuatro as y cuatro reyes en las barajas españolas. Se extrae una bolita de cada una de las urnas. c) La probabilidad de que solo las tres primeras cartas sean ases. b) La probabilidad de que las 3 primeras cartas sean ases y las dos últimas reyes. resulta que: P(B1∩ B2) = P(B1). P(B) Por lo tanto. P ( A4 ). Si la probabilidad de que A o B ocurran es igual a 0. P ( A3 ). = 205476480 311875200 5/27 b) Designemos por: P( A )=La probabilidad de obtener un as entre las tres primeras cartas P(R)= La probabilidad de obtener un rey Sean los eventos: R1: La antepenúltima carta es rey R2: La última carta es rey La probabilidad de que las 3 primeras cartas sean ases y las dos últimas reyes es: P ( A1 A2 A3 R1 R2 ) = P ( A1 ). = 52 51 50 49 48 311875200 d) Designemos por P( A )=La probabilidad de obtener un as entre las cinco cartas P( A )=La probabilidad de NO obtener un as entre las cinco cartas La probabilidad de que aparezca un as en la quinta extracción es: P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) = P ( A1 ). Sea P(B) = p.7. Supóngase que P(A)=0. Solución: P ( B ) = 0. P ( R1 ). P ( A3 ).4. a) ¿Para qué elección de p son A y B mutuamente excluyente? b) ¿Para qué elección de p son A y B independientes? Solución: a) Por ser A y B son mutuamente excluyentes p = 0. P ( A5 ) = = 18679680 311875200 48 47 46 45 4 . . .GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS La probabilidad de que NO haya ningún as entre las cinco cartas es: P( A1 A2 A3 A4 A5 ) = P ( A1 ). P ( A3 ).3 Obj 4 Pta 13 Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento. = 52 51 50 49 48 311875200 c) Designemos por P( A )=La probabilidad de obtener un as entre las cinco cartas P( A )=La probabilidad de NO obtener un as entre las cinco cartas La probabilidad de que sólo las tres primeras cartas sean ases es: P ( A1 A2 A3 A1 A2 ) = P ( A1 ). P ( A2 ). . P ( A3 ). P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A B ) ⇒ P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A). .4 ⇒ p = 0. P ( A1 ). . P ( A2 ). mientras que la probabilidad de que A ocurra es igual a 0.7 ─ 0. determinar la probabilidad de que B ocurra. P ( A2 ). . sustituyendo en (1) se tiene: .4. . P ( A5 ). mientras que P(A U B)= 0. P ( A4 ). . 52 51 50 49 48 Obj 4 Pta 13 Suponga que A y B son sucesos independientes asociados con un experimento. P ( A2 ) = 4 3 2 48 47 54144 . P ( R2 ) = 4 3 2 4 3 288 . P ( A2 ). . P ( B ) (1) Ahora.6.3 b)A y B son independientes si y solo si P(A ∩ B) = P(A). P(B) = . por lo menos.7 = 0. 2do hombre y el 3er hombre acierta el blanco respectivamente. 0. p 0. P (B) = y P (C) = .P ( B ) = [1 − P( A)]. Sabemos P(A) = 1 1 1 . El sistema falla si una.66 y 0. o . b) Si solamente uno de ellos acierta el blanco ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido el primer hombre?.GUIA # 2 P( A B) = P( A ) + P( B) −P( A ).6 Por lo tanto. para que A y B sean independientes la elección para p es: p = 0.47 respectivamente.4).4 + p −(0. sin embargo. si solamente uno de los hombres da en el blanco es porque: i) solamente fue el primer hombre que acertó. Muestre que son independientes los eventos: a) A y B b) A y B Solución: a) P( A B) = P ( A | B ). cuyas probabilidades de falla (eventos independientes) son 0.66). Es imposible decir si esta hipótesis es o no razonable.3 ⇒p = = 0. entonces E = ( A B C) (A B C) (A B C) es decir. Solución: Sean A. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas personas estén vivos todavía dentro de 20 años? ¿Cuáles hipótesis hay que formular? ¿Es esto razonable? Solución: Tenemos que aceptar que los eventos: E1: La primera persona viva otros 20 años y E2: La segunda persona viva otros 20 años. 6 4 3 Tenemos: a) Sea el evento E: uno de los hombres acierta el blanco. si lo es que la probabilidad de que ambas personas vivan 20 años. o ii) solamente fue el segundo hombre quien acertó. B eventos independientes de un espacio muestral X. y 6 4 1 respectivamente 3 Cada uno de los hombres dispara una vez al objetivo. P( B) Obj 4 Pta 15 Si las probabilidades para que las personas que tienen 45 y 53 vivan por lo menos otros 20 años son 0.5 Obj 4 Pta 14 Sean A.P ( B ) = P ( A). B y C. P( B ) = [1 − P( A | B)]. entonces valdría: (0.5 0.(0.31 Obj 4 Pta 16 Un complejo industrial está constituido por tres maquinas A.088 Obj 4 Pta 17 Las probabilidades de que tres hombres que disparan a un objetivo.47)=0. esto es. B y C los eventos el 1er hombre. a) Hallar la probabilidad de que uno de ellos acierte el blanco. P( B) PROCESOS ESTOCÁSTICOS 6/27 0.03 y 0.05. P(C) = . son independientes. Determinar la probabilidad de falla del sistema Solución: la probabilidad de que el sistema no falle es 0. de las tres máquinas falla. Como los tres hombres disparan independientemente entre si y 6 4 3 5 3 2 P ( A ) = .01 respectivamente. A B C . den en el blanco son 1 1 . Determine si estos eventos son independientes. J. Obj 4 Pta 23 Un dado honesto se lanza dos veces. B = {Se muestra en la cara superior 1.6 = 36 maneras igualmente factibles.2. Tenemos que P( A) = 18 3 = . 36 6 36 3 y P( A) P ( B ) = 34 1 = 66 3 Como P(A∩B)=P(A)P(B). dado que solamente uno de los hombres dio en el blanco.GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS iii) solamente fue el tercer hombre quien acertó.3 ò 4 en el segundo lanzamiento }. Sean A = {Se muestra en la cara superior 4. Ahora: A E = A B C es el evento de que solamente el primer hombre dio en el blanco. 36 6 P( B) = 24 4 12 1 = .5 ò 6 en el primer lanzamiento}. P ( E 2 ) Y por lo tanto los eventos son independientes. . Q. En consecuencia P(A | B) = 72 1 P( A E ) 12 6 = = 31 31 P( E) 72 Obj 4 Pta 18 Se extrae una carta al azar de un juego de 52 cartas considere los eventos: E1: La carta es un diamante E2: La carta es un 10. E3: La carta es un trébol E4: La carta es de corazón Responda las siguientes preguntas. P( A ∩ B) = = . 52 13 P( E3 ) = P( E 4 ) = 1 52 a) P ( E1 E 2 ) = 5 1 5 = . c) los eventos NO son independientes. De acuerdo con la parte a) P ( A E ) = P ( A B C ) = 1 3 2 1 . Como i). justificando debidamente su respuesta. . es decir: la probabilidad de acierto del primer hombre. la probabilidad pedida es: P(E) = P (A B C ) + P (A B C ) + P (A B C ) = 31 72 7/27 b) Debemos calcular P( A | B ). ii) y iii) son mutuamente excluyendo. = P ( E1 ). 52 4 13 b) los eventos NO son independientes. Solución: Como cada una de las 6 maneras en las cuales un dado cae en el primer lanzamiento puede asociarse a con cada una de las 6 maneras en que cae en el segundo lanzamiento. en total hay 6. entonces A y B son eventos independientes. a) ¿Son independientes E1 y E2? b) ¿Son independientes E3 y E4? c) ¿Son independientes E2 y E3? Solución: Tenemos que: P ( E1 ) = 1 . = 6 4 3 12 y P(E) = 31 . K o A. 4 P( E 2 ) = 20 5 = . Si en un hospital nacen 4 niños en un día dado. X se distribuye Poisson de parámetro 4. se distribuye Binomial de parámetros p=1/100 y n=4. POISSON E HIPERGEOMÉTRICA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. mensualmente. Entonces la probabilidad de que al menos un niño tenga un defecto metabólico es P ( X ≥1) =1 − P ( X <1) =1 − P( X = 0 ) =1 − 0. Si entrevistamos a un grupo de personas escogidas al azar del grupo de consumidores de pasta de dientes. IDENTIFICAR Y APLICAR EL CONCEPTO DE FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA EN EL CASO DISCRETO. Solución: Sea Y= número de accidentes de trabajo en una fábrica.05 .59 1 ! 2! 3! 0! Obj 5 Pta 3. P (Y = 6) = 36 e −3 (729 )e −3 (729 )( 0. CASO DISCRETO: Obj 5 Pta 1.GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS 8/27 IDENTIFICAR VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS. ¿Cuál es la probabilidad de tener que entrevistar exactamente 1 personas para encontrar al primer consumidor que prefiere esa marca? NOTA: Es GEOMETRICA Solución: . El número de accidentes de trabajo en una fábrica sigue una distribución de Poisson. Y se distribuye Poisson de parámetro 3. El número de errores que hace una mecanógrafa tiene distribución de Poisson con media de 4 errores por página. 6! 6! 720 Obj 5 Pta 2. Se sabe que el promedio de accidentes en dicha fábrica. Solución: Sea X = Número de errores que comete una mecanógrafa.04 Obj 5 Pta 5. Solución: El número de niños que tienen un defecto metabólico. IDENTIFICAR Y APLICAR EL CONCEPTO DE FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA EN EL CASO ABSOLUTAMENTE CONTINUO. calcule la probabilidad de que al menos uno de ellos tenga el defecto. Luego.96 = 0. ¿Cuál es la probabilidad de que una página escogida al azar tenga al menos 4 errores?. UTILIZAR LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL. X. por lo que se tiene P ( X ≥ 4) = 1 − P ( X < 4) =1 −( P ( X = 0) + P ( X =1) + P ( X = 2) + P ( X = 3) ) 40 e −4 41 e −4 4 2 e −4 43 e −4 =1 − + + = 0. Un defecto metabólico ocurre en aproximadamente una de cada 100 nacimientos. Calcule la probabilidad de que en un mes ocurran 6 accidentes.04 ) = = = 0. El fabricante de una marca de pasta de dientes afirma que el 60% de los consumidores prefieren una marca. es de 3. RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS EN LOS CUALES SE UTILICEN LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME Y NORMAL. 0.05 ] 1 i =0 1 10 10 P[ X > 2] = 1 − (0.0. X el número de personas entrevistadas para encontrar el primer consumidor y p la probabilidad de éxito. El fabricante de una marca de pasta de dientes afirma que el 60% de los consumidores prefieren una marca. 72 = e −0.6.72 de Poisson para el empaque de 24 pinos por caja y lo que se quiere es la P[X≤1].84 n! n Obj 5 Pta 7 Se sabe que para cierta clase de flores cerca del 5% de las semillas germinan. ¿Cuál es la probabilidad de tener que entrevistar exactamente 5 personas para encontrar a un consumidor que prefiere esa marca? Solución: Sea A la marca de pasta de dientes que prefieren los consumidores. Solución: Sea X la variable aleatoria real del número de semillas que germinarán. Las semillas se empaquetan y se venden en una caja de diez con la garantía de que más de 2 germinarán.10 .95 ) 9 ≅ 1 − 0. Hallar la función de probabilidad del número de defectuosos en una muestra al azar con reposición con 60 objetos.( 0. su distribución es binomial y como la probabilidad de que una semilla germine es p = 0.4) 4 = 0. Si entrevistamos a un grupo de personas escogidas al azar del grupo de consumidores de pasta de dientes.72 pinos 100 En consecuencia se tiene el parámetro λ. X el número de personas entrevistadas para encontrar a un consumidor de pasta de dientes y p la probabilidad de éxito. p=0.e −0. OBJ 5 PTA 6.( 0. La probabilidad de tener que entrevistar exactamente a 5 personas para encontrar el primer consumidor que prefiera la marca A es P ( X = 5) = p (1 − p ) 5−1 = (0.24 pinos = 0. ¿Cuál es la aproximación de Poisson para probabilidad de que cierta caja contenga a lo sumo un pino defectuoso? Solución: Sea X la variable aleatoria real de Poisson de pinos defectuoso y t el número de pinos por caja Como λ = 3 3 defectuoso s .4) 4 = 5.GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS 9/27 Sea A la marca de pasta de dientes que prefieren los consumidores.t = 100 pinos . Solución: .05 ) + b(1. entonces λ.0769 .01536 .72 ).91 = 0.05 ) = − [b(0. 72 + (0.09 0 1 Obj 5 Pta 8 Una maquina fábrica objetos con una proporción medida de defectuosos del 1%. La probabilidad de tener que entrevistar exactamente a 5 personas para encontrar a un consumidor que prefiera la marca A es P( X = 5) = 5.0. 72 ≅ 0.6)( 0.01536 ) = 0.t = 0.95 )10 + (0.05.6)( 0. Obj 5 Pta 6 El 3% de los pinos de navidad hecho por una maquina son defectuosos y parecen al azar durante la producción. Si se empaquetan de 24 pinos por caja.72 ) = 1] =∑ n =0 1 . p = 0. p (1 − p ) 5 −1 = 5.( 0. Encontrar la probabilidad de que una caja fija arbitraria tenga la propiedad garantizada.6.10 . entonces: P[ X > 2] = 1 − P[ X ≤ 1] = 1 − ∑b(i.10 .05 ). esto es: P[ X ≤ 1] = ∑ P[ X n =0 1 (0.e −0. b) Calcule P(0..GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS 10/27 Como se puede identificar la variable de interés X es el número de defectuosos en una muestra al azar con reposición de tamaño n = 60. la probabilidad de que él no tenga que atender un camión accidentado en un día dado es: p =1 − 0.2) = 0 ! e + 1! e Luego. n= 0. n! λ > 0. Para determinar la fracción de láminas de acero producidas por la máquina que tendrán que desecharse. 160 P(Y < 160) = 150 ∫ 1 y dy = 50 50 160 = 150 160 . 2) = 1! e = 2. Cualquier lámina que tenga menos de 160 milímetros de espesor deberá desecharse.(0.5) Solución: c y s i 0≤ y≤ 1 f ( y) = 0 e nc u a loq t upr oiu e nr t o .1353)=0. 50 5 Obj 5 Pta 2 Sea c una constante y consideremos la función a) Determine el valor de c para que f sea una función de densidad. pues resulta inaceptable para los compradores.2< y < 0.01. La empresa solo dispone de un mecánico.4059 = 0.01) x .. su función de probabilidad es: 60 P ( X = x) = .150 1 = . Obj 5 Pta 11 Una empresa de transporte utiliza camiones en su servicio. Cada camión accidentado requiere un día de trabajo de un mecánico. Así..( 0.2716 La probabilidad para que el único mecánico pueda atender un camión accidentado en un día es: − 2 − 2 = 0. debemos calcular la probabilidad de que Y.4059 P(0..2. X es una variable aleatoria discreta que tiene una distribución binomial con parámetros n=60 y p=0. Suponga que el departamento de investigación de un fabricante de acero cree que una de las máquinas de rolado de la compañía está produciendo láminas de metal con espesores variables.1. El espesor es una variable aleatoria uniforme con valores entre 150 y 200 milímetros.2)+P(1. Solución: Sea la variable aleatoria Y el espesor de la lámina de acero. ¿Cuál es la probabilidad de que él no tenga que atender un camión accidentado en un día dado? Solución: Como el número de camiones accidentados por día tiene aproximadamente una distribución de Poisson: P(n. En nuestro caso se toma λ = 2 y n = 1 para calcular: P(1. λ ) = n λ e −λ .99 ) 60 −x x 0 ≤ x ≤ 60 .( 0.5941 1 21 − 2 20 21 CASO CONTINUO: Obj 5 Pta 1. En promedio dos camiones por día sufren accidentes. Calcule la fracción de las láminas de aceros producidas por estas máquinas que se desechan. sea menor que 160 milímetros. Por lo tanto el valor de c para que f(y) sea una densidad es c = 2.5 1 Además si c = 2 la función f(y) resulta positiva. Por lo tanto la función de distribución de la variable w es: −e − 1 G ( w) = P(W ≤ w) = 0 w /λ si w ≥ 0 . Obtenga la función de distribución de del costo del papel consumido diariamente por la impresora. Obtenga la función de distribución para la variable W. F ( x) = P ( X ≤ x) =1 −e −5 x . Esto es. Una compañía manufacturera diseño una maquina que suministra una cantidad aleatoria entre 6. Ahora veamos cuando w es positivo P (W ≤ w) = P (Y 2 ≤ w) = P Y ≤ w = ( ) ∫ w f ( y ) dy = −∞ ∫ 0 w e−y / λ λ dy = − e − y / λ w 0 =1 − e− w /λ .5 0 .2 = (0. tiene una distribución exponencial de media igual a 5 cajas.2) . 0.5) 2 − (0. 7. veamos .5]. Calculemos P(C ≤ c0) −5 c −2 P ( C ≤ c0 ) = P ( 3 X + 2 ≤ c0 ) = P X ≤ 0 = 1− e 3 c0 − 2 3 . Solución: Sabemos que la función de distribución de la variable X es una distribución exponencial de media λ = 5 . 0 .2 galones por minuto.21 Obj 5 Pta 3. si w < 0 Obj 5 Pta 4 La cantidad X de papel que una impresora de un centro de computo universitario utiliza diariamente.5 b) P (0. Solución: Debemos calcular P (Y > 7. es decir λ = 5 . para realizar lavado a presión . Obj 5 Pta 5. en otro caso Sea W = Y2. entonces P(W ≤ w) = 0 si w<0.2 =y 2 0 . Como W es positiva. Suponga que la cantidad Y de limpiador suministrado es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [6.GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS 11/27 a) Para que la función f(x) sea una función de densidad debe satisfacer que sea positiva y que ∫ + ∞ − ∞ f ( x ) d =1 .2) 2 = 0.5 y 7.2 < y < 0.5 galones de limpiador por minuto. Calcular la probabilidad de que la maquina suministre mas de 7. Suponga que la variable aleatoria Y tiene una función de densidad e − y / λ λ f ( y) = 0 si 0 ≤ y ≤ ∞ .5) = 0.5 .2 ∫ f ( y )dy = ∫ 2 ydy 0 . El costo diario de papel es C=3X+2. Solución: Calculemos P(W ≤ w). Encontremos el valor de a tal que f satisface estas condiciones x + ∞ −∞ ∫ f ( y ) dy = ∫cy dy = c 0 1 y2 2 1 =c 0 1 2 Luego +∞ −∞ ∫ f ( x)dx = 1 ⇔ c 2 = 1 ⇔ c = 2 . 5) dy = y 1 7.3.GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS 7.2) = 7.e x →∞ −x 3 + 3. x > 0 f ( x) = c. P(Y > 7. −( 0 .5 7.( 72 ) = e −0 . sabemos que la función de distribución de la variable T es una distribución exponencial de media λ = 0. 48 ≅ 0.e 0 72 72 0 = e −( 0 .T a) P (T ≥ 72 ) = 1 − P(T < 72 ) = 1 − ∫ (0. 01 ).01(un fallo en 100 horas).T b) P (24 < T < 48 ) = ∫ (0.c. x < 0 Determine el valor de c y calcule la probabilidad de que una llamada a larga distancia dure: a) menos de 3 minutos b) mas de 6 minutos c) Entre 3 y 6 minutos Solución: + ∞ Hallemos c tal que: + ∞ −∞ ∫ f ( x) dx = + ∞ ∫ c. a) ¿Qué porcentaje de resistencias tendrá un valor mayor que 98 ohms? . 01).c = 3.2 Obj 5 Pta 6 La duración (en minutos) de las llamadas telefónicas a larga distancia se vio que es un fenómeno aleatorio con función de densidad: − 3x .e 0 3 −∞ −x 3 ∫ f (c)dx =1 − x +∞ 3 0 dx = −3.e 0 .01).c ⇒ 3. sabe por experiencia que el valor de las resistencias que produce está distribuido normalmente con µ =100 Homs y σ = 2 ohms. Por tratarse de un problema de tiempo de espera del trabajo sin fallo.T dx = −e −( 0.c.5 12/27 = 7.01).e −x 3 3 0 = lim − 3. 72 ≅ 0. 24 − e −0.5 − 7.c = 1 ⇒ c = 1 3 1 a) P ( X < 3) = ∫ e 3 0 −x 3 dx = e = 1 − e −1 6 −x 3 b) P( X > 6) = 1 − P( X ≤ 6) = 1 − ∫ e 0 3 dx = 1 − e −x 6 3 0 = 1 − 1 + e −2 = e −2 1 c) P(3 < X < 6) = ∫ e dx = −e 3 3 6 −x 3 −x 6 3 3 = e −1 − e −2 Obj 5 Pta 7 El tiempo promedio del trabajo sin fallo de una persona es 100 horas. 01).2 = 0.e 24 48 48 24 = e −0.2 ∫ ( 7. 01 ).49 −( 0 . 01). ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Esa persona trabaje sin fallo un número de 72 horas? b) Trabaje sin fallo entre 24 y 48 horas? Solución: Sea T la variable aleatoria del tiempo del trabajo sin fallo de una persona.17 Obj 5 Pta 7 Un fabricante de resistencias.T dT = 1 + e −( 0 .5 − 6. 13% de las resistencias tendrán un valor mayor que 89 ohms. b) P(1/4<X<1/2). Ahora. Obj 5 Pta 8 Sea X una variable aleatoria con densidad: Si X tiene función de densidad fX calcule: a) P(X≤1/2). x 1 Veamos + ∞ 1 1 cx 3 f X ( x ) dx = ∫ 0 dx + ∫ cx dx + ∫ 0 dx = ∫ cx dx = ∫ 3 −∞ −∞ 0 1 0 2 2 1 = 0 c 3 ∞ Luego −∞ ∫f X ( x) dx = 1 ⇔ c = 1 ⇔ c = 3.100} % de la resistencia tendrá un valor entre 96 y 105 ohms.GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS b) ¿Qué porcentaje entre 96 y 105 ohms? Solución: Si pasamos de la distribución normal N ( µ. . 1/ 2 P(1 / 4 < X < 1 / 2) = 1/ 4 ∫ 3 x 2 dx = x 3 1/ 2 1/ 4 1 1 1 1 = − = − ≈ 0.5) − F (−2)]. el 105 − 100 96 −100 − F = F (2. ∫f 0 X (x) d = . considerando el valor de c = 3: 3 a) Calculemos P(X≤1/2) 1/ 2 P ( X ≤ 1 / 2) = −∞ ∫ f X ( x) dx = 1/ 2 0 3 −∞ ∫ 0 dx + ∫ 0 0 1/ 2 3 x dx = ∫ 3 x 2 dx 2 0 1/ 2 = x3 1 1 = − 0 = 8 2 b) Calculemos P(1/4<X<1/2). c) P(X>3/4 | X>1/2).1) mediante la X −µ transformación Z = se tiene que: σ a) P[ X > 98 ] = 1 − P[ X ≤ 98 ] = 1 − P Z ≤ 13/27 98 −100 = 1 − P[ Z ≤ −1] = 1 − F (−1) = 1 − (1 − F (1)) = F (1) ≈ 0.84 2 Un 84.5) − F ( −2) 2 2 {[ F (2. Solución: Debemos hallar el valor de c tal que ∞ − ∞ ∞ c 2x s i 0 ≤ x ≤ 1 f X ( x) = 0 s i x < 0 ó x > 1.1406 8 64 2 4 3 3 c) P(X>3/4 | X>1/2). σ) a la distribución normal estándar N (0. b) P[96 < X < 105 ] = F Luego. P( X > 3 / 4) = +∞ 3/ 4 ∫ f X ( x) dx = 3/ 4 ∫ 1 3 x 2 dx + +∞ 2 3 ∫ 0dx = ∫ 3x dx =x 1 3/ 4 1 1 3/ 4 27 64 − 27 37 3 3 = (1) − = 1 − = = 4 64 64 64 3 P( X > 1 / 2) = 1 − P( X ≤ 1 / 2) = 1 − 1 8 −1 7 = = 8 8 8 Obj 5 Pta 9 Sea X una variable aleatoria con densidad: Calcular las siguientes probabilidades: a) P(X≤1/2).( 7) 56 8 Donde . b) Calcular la P(a < X < b). . 7 P ( X > 3 / 4 X > 1 / 2) P ( X > 3 / 4) 16 (7). P ( X > 3 / 4) = +∞ 3/ 4 ∫f X ( x ) dx = 3/ 4 ∫ 2 xdx + ∫ 0dx = ∫ 2 xdx =x 1 3/ 4 1 +∞ 1 2 1 3/ 4 = (1) 2 9 16 − 9 7 3 − =1 − = = 16 16 16 4 2 P ( X > 1 / 2) = 1 − P ( X ≤ 1 / 2) = 1 − 1 4 −1 3 = = 4 4 4 Obj 5 Pta 10 Sea X una variable aleatoria con densidad: c (2x − x) s i 0 < x < 2 f X ( x) = 0 s i x ≤ 0 ó x ≥ 2.( 4) 7 P ( X > 3 / 4 | X > 1 / 2) = = = = = 3 P ( X > 1 / 2) P ( X > 1 / 2) (16 ).GUIA # 2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS 14/27 37 P ( X > 3 / 4 X > 1 / 2) P( X > 3 / 4) 64 (37 ). 2x s i 0 ≤ x ≤ 1 f X ( x) = 0 s i x < 0 ó x > 1.( 8) 37 P( X > 3 / 4 | X > 1 / 2) = = = = = 7 P ( X > 1 / 2) P ( X > 1 / 2) (64 ). c) P(X>3/4 | X>1/2). a) Determine el valor de c para que la siguiente función sea una función de densidad.( 3) 12 4 Donde . siendo 0<a<b<2. b) P(1/4<X<1/2).