CicloIntroductorio 2013 Semana 1 Contenido Dibujo Técnico………………………… página 1 Matemática I...………………………….. página 9 Informática……………………………… página 17 Algebra Lineal………………………….. página 27 . Ciclo Introductorio 2013 Dibujo Técnico Construcciones Geométricas I Los problemas sobre construcciones se tratan de situaciones en las que se pedirán encontrar puntos. rectas. usando solo regla simple y compas. que tengan determinadas características geométricas. polígonos. existen también otros temas como el eje radical y la potencia. para lo cual el estudiante deberá tener un mínimo de conocimientos sobre los “métodos básicos de construcción”. El objetivo es desarrollar la imaginación geométrica sobre el plano. Página 1 . Los problemas que se presentaran podrán ser resueltos mediante: Métodos de construcción y nociones geométricas básicas. Giros y traslados Homotecia Simetría (central y axial) El estudio de los procedimientos anteriormente mencionados constituye una parte de las llamadas “transformaciones geométricas” sobre el plano. etc. B. Encontrar el segmento AB.Ciclo Introductorio 2013 1. cuyo punto medio se encuentra en la recta L1 y es perpendicular a ella. L1 C 1 L2 Página 2 . A pertenece a C1 y B pertenece a L2 (dos soluciones). A B C D 2. C y D. Encontrar una circunferencia que equidiste de los puntos A. Construir el cuadrado inscrito en C1 de tal manera que la prolongación de uno de sus lados contenga el lado del triángulo equilátero inscrito en C2.Ciclo Introductorio 2013 3. Construir un triángulo rectángulo inscrito en C1 de tal manera que uno de sus catetos es el doble del otro. C1 C2 Página 3 . C1 4. L1 A L2 6. Dibujar el cuadrado PQRS de tal manera que P este en la circunferencia C1.Ciclo Introductorio 2013 5. L1 A L2 7. Q y S en la recta L1 y R en el arco C2. de tal forma que el lado AB se encuentra en L1 y C pertenece a L2. Dibujar el triángulo equilátero ABC. C1 L1 C2 Página 4 . Dibujar el cuadrado ABCD. de tal forma que el lado AB pertenece a L1 y el vértice C pertenece a L2. Página 5 . el punto o centro de homotecia. esta será la principal propiedad que se utilizara en la solución de problemas. BC. la diferencia radica en el elemento principal de esta transformación. Está muy asociada a la “semejanza” estudiada por ustedes en su preparación pre universitaria. B.Ciclo Introductorio 2013 HOMOTECIA Es una transformación geométrica isomorfa (conserva la forma de la figura transformada). C. pero no isométrica (no conserva el tamaño de la figura) como si lo hacen los traslados y los giros. C’ son llamados puntos homotéticos respectivamente. B’. Nótese el paralelismo entre los segmentos AB. A’. En los problemas de homotecia lo primero será identificar. para efectos prácticos es lo mismo. A’B’. o escoger un adecuado centro de homotecia. A’C’. es este paralelismo el que permite construir una figura homotética a partir de un único punto Así en el ejemplo es posible construir un triángulo A’’B’’C’’ a partir de un único punto A’’. B’C’ y AC. B’ B A’’ A’ A O Centro de la homotecia C C’ Los puntos A. 2.Ciclo Introductorio 2013 1. Dibujar la circunferencia tangente al arco en T y a la recta AB. T (no prolongar AB) B A Página 6 . Inscribir un cuadrado en un triángulo equilátero. Construir la media circunferencia tangente a L1 que pase por A y su centro debe estar en L2. (no prolongar L1 ni L2) A L1 L2 3. Dibujar el trapecio isósceles ABCD dado CD: D C B A 5. Y X O Página 7 .Ciclo Introductorio 2013 4. Dibujar el Cuadrado ABCD de centro O si X pertenece a AB e Y a CD. Inscribir una circunferencia en la figura simétrica.Ciclo Introductorio 2013 6. Inscribir un cuadrado en la media circunferencia 7. 1. Dibujar una recta que pase por P y que al cortar a C1 genere una cuerda de largo D (no completar C1) ^^. D C P Página 8 . ) (Leyes de composición interna). 0 (-a) Página 9 R a .b) = a + b Además debe cumplirse los siguientes axiomas Cerradura: a.b) → +(a.b . b R a+b Conmutatividad: a + b = b + a .Ciclo Introductorio 2013 Matemática 1 Sistema de los Números Reales Llamaremos sistema de los números reales a un conjunto en . b Asociatividad: a + (b + c) =(a + b) + c . Identidad aditiva: Opuesto Aditivo a a R R. provisto de dos operaciones : adición (+) y multiplicación (. 1° Ley de Composición Interna: → +: (a.c R R/ a + 0 = 0 + a = a R/ a + (-a) = (-a) +a = 0 . R a. y una relación de orden denotado por “<” y el axioma supremo. 3° Relación de Orden Ley de tricotomía: a. b R a.b . 0. R 1 0.b Además debe cumplirse los siguientes axiomas Cerradura: a. c R . Identidad multiplicativa: Opuesto Aditivo a a a .b) → a.c) . entonces Página 10 a.(b. b R una y solamente una de las relaciones se cumple Transitividad: Sí Sí Sí .b = b. 1 R/ R/ 1.a.c R. b R Asociatividad: (a.b).a = a . b.Ciclo Introductorio 2013 2° Ley de Composición Interna: •: → (a. R a.c = a.b Conmutatividad: a. a .b.c R distributiva a izquierda .Ciclo Introductorio 2013 S) Axioma de Sustitución: Si a y b pertenecen a un conjunto B y si a=b. D) Axiomas Distributivas: a) b) ( ( ) ) .c R distributiva a derecha NOTA El opuesto aditivo y el inverso multiplicativo son UNICOS Página 11 . a . mentonces en toda relacion se puede sustituir el elemento a por el elemnto b sin que se altere el significado de la relacion.b. Ciclo Introductorio 2013 Sustracción de Números Reales ( ) División de Numeros Reales Desigualdades Definición: Es una expresión que indica que un número es mayor o menor que otro. Se cumplen los axiomas de orden. Además: i) ii) iii) iv) v) Página 12 . Ciclo Introductorio 2013 Ejemplos 1.c.b. Demostrar que: …1°. si Demostración ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) Página 13 …Por hipótesis … 1° y definición …2° y … …4° y …5° y . y …Por hipótesis …3° . Para cada número real a R.4° y 3. 2° y axioma S …3° y axioma D a) …4° …5° y ) a. y …2°.b R. demostrar que a + a = 2a. Sí Demostración …Por hipótesis …1°.d R. Demostración …Por ( 2. Demostrar que: a. Para cada número real a. )( ) . c 1. – ( 7.Ciclo Introductorio 2013 Ejercicios I. 5. b. b. 4. ( )( . demostrar que: y 3. si Página 14 y . 4. 3. 2. – ( ) 8. . si R. 6. R. c 1. ( ) II. demostrar que: ) Para cada número real a. . si 2. √ 5. 4. 2.5 -2 2. por ejemplo: -1. es decir: [| |] á Para calcular el máximo entero de un número real x. el máximo entero de x lo representaremos por [|x|] y es el mayor de todos los enteros o iguales a x.Ciclo Introductorio 2013 Máximo Entero Si x es un número real. en caso que x sea entero) y el mayor de todos ellos es el máximo entero de [| |]. 3. se observa todos los enteros que se encuentran a la izquierda de x (o que coinciden con x.6 1 0 -1 [| |] |] |] [| |] [| 2 Generalizando: [| |] Propiedades: 1. 5. [| [| [| [| [| |] |] |] |] n n n n n Página 15 3 . Determinar el dominio. 2. 3.Ciclo Introductorio 2013 Grafica de la función máximo entero ( ( ) [ | |] ) Ejercicios 1. 4. [| [| [| [| |] |] |] |] [| |] )( 5. el rango y graficar las siguientes funciones: ( ) [|√ |] ( ) ( ) √ [| |] | | [| |] Página 16 . ( )√[| |] 6. Ciclo Introductorio 2013 Informática ESTRUCTURA ALGORITMICA SECUENCIAL Representación en Diagrama de Flujo Re presentación en Pseudocódigo Página 17 . Solución: #include<iostream> // Librería using namespace std. int main() { int a. //Declaración de las variables cout << "El valor de 'a' es: ". b. // Suma Página 18 . cin >> b. // Operación de lectura cout << "El valor de 'b' es: ".Ciclo Introductorio 2013 Representación en Carta NS 1. Elaborar un algoritmo que permita ingresar por teclado dos valores enteros positivos y que muestra en pantalla los resultados que se obtienen al aplicarles los operadores aritméticos. cout << "a + b = " << a + b << endl. // Operación de escritura cin >> a. // Diferencia cout << "a * b = " << a * b << endl. Solución: #include<iostream> using namespace std. Página 19 . int main() { int a. cin >> a >> b. //Declaracion de las variables int aux.b = " << a .Ciclo Introductorio 2013 cout << "a . // Módulo return 0. cout << "El valor de 'a' es: " << a << endl. // División cout << "a % b = " << a % b << endl. } 2.b << endl. // Producto cout << "a / b = " << a / b << endl. Elaborar un algoritmo que permita ingresar por teclado valores para dos variables de tipo entero y que luego intercambia dichos valores. cout << "El valor de 'b' es: " << b << endl. //Variable auiliar para el cambio cout << "Ingrese los numeros a intercambiar: ". b. cin >> n. u. um = (n/1000)%10. cout << "El valor de 'b' es: " << b << endl. cm = n/100000. } 3. cout << "El valor de 'a' es: " << a << endl. int main() { int n. um. Página 20 . decenas de millar. c. // Numero a descomponer int cm. cout << "\nDespues del intercambio" << endl. dm = (n/10000)%10. Solución: #include<iostream> using namespace std. Elaborar un algoritmo que permita ingresar por teclado un entero positivo de 6 dígitos y que muestre en pantalla la cantidad de centenas de millar. a = b. dm. decenas y unidades. b = aux.Ciclo Introductorio 2013 aux = a. c = (n/100)%10. return 0. centenas. cout << "Ingrese el número a descomponer: ". unidades de millar. d. int main() { int r." << endl. Página 21 ." << endl. Elaborar un algoritmo que permita ingresar por teclado el radio de una esfera y que muestre como resultados el área de la superficie esférica y el volumen." << endl. } 4. // Radio de la esfera float se. return 0. // Variables reales cout << "Ingrese el radio de la esfera: ". u = n%10. cout << "Hay " << u << " unidades." << endl. cout << "Hay " << dm << " decenas de millar. cout << "Hay " << d << " decenas. cout << "Hay " << c << " centenas." << endl. v.Ciclo Introductorio 2013 d = (n/10)%10. cout << "Hay " << um << " unidades de millar. Solución: #include<iostream> // Libreria #include<cmath> // Libreria matematica using namespace std." << endl. cout << "\nDescomponiendo: " << endl. cout << "Hay " << cm << " centenas de millar. cout << "\nEl valor del volumen de la esfera es: " << v. Elaborar un algoritmo (en diagrama de flujo) que permita introducir una hora (en horas. diseñar un algoritmo para realizar las siguientes conversiones: a. el descuento y al final calcule el subtotal. se = M_PI*4*r*r. 3. minutos y segundos) y luego indique la cantidad de segundos que faltan transcurrir para que acabe el día. return 0. Elaborar un algoritmo (en carta N-S) que solicite las dimensiones de un paralelepípedo y halle su area lateral.Ciclo Introductorio 2013 cin >> r. Un departamento de climatología ha realizado recientemente su conversión al sistema métrico. // M_PI es el valor de 'pi' v = (4*M_PI*r*r*r)/3. 4. area total y su volumen. cout << "El valor de la superficie esferica es: " << se. 2. Página 22 . Leer la temperatura dada en la escala Celsius e imprimir su equivalente en Fahrenheit (la fórmula de conversión es F = 9/5 °C + 32). el IGV (18%) y el monto total a pagar (tener en cuenta que el subtotal + el IGV hacen el total a pagar). } EJERCICIOS PROPUESTOS 1. la cantidad a comprar. Elaborar un algoritmo (en pseudocódigo) que solicite el precio unitario de un producto. Elaborar un algoritmo que permita ingresar por teclado el radio y la altura de un cilindro y que muestre como resultados su área lateral. 7.Ciclo Introductorio 2013 b. Leer la cantidad de agua en pulgadas e imprimir su equivalente en milímetros (25. Se quiere conocer los datos estadísticos de una asignatura. la cantidad de personas con calificación A. Elaborar un algoritmo que permita ingresar por teclado valores para dos variables de tipo entero y que luego intercambia dichos valores. necesitamos un algoritmo que lea el número de alumnos inscritos. tanto de aprobados como de desaprobados. Elaborar un algoritmo que permita ingresar por teclado un entero positivo de 4 dígitos y que muestre en pantalla Página 23 . así mismo los porcentajes de acuerdo a la nota obtenida. 5. Elaborar un algoritmo que permita ingresar por teclado dos valores enteros positivos y que muestra en pantalla los resultados que se obtienen al aplicarles los operadores aritméticos. B. área total y volumen. C y D y muestre en pantalla los porcentajes. 10.5 mm = 1 pulgada). 8. por lo tanto. 9. 6. Elaborar un algoritmo que permite ingresar por teclado las coordenadas de dos puntos del plano y luego calcula e imprime en pantalla la distancia entre ellos. 4. Elaborar un algoritmo que nos permita ingresar la nota obtenida por un alumno y que imprime en pantalla su calificativo de la siguiente manera: De 00 a 05 es pésima. Página 24 .5 soles por cada hoja excedente. Elaborar un algoritmo que permita ingresar por teclado el número de páginas de un libro y que imprime en pantalla su precio. el cual se calcula así: El precio base es 30 soles. Elaborar un algoritmo que nos permita ingresar por teclado tres números y que nos muestre el menor de ellos. centenas. 11. Elaborar un algoritmo que permita ingresar por teclado un número de 3 cifras y que muestre en pantalla el número que se obtiene al invertir el orden de sus cifras. 3. Estructura Algorítmica Condicional 1. el precio se incrementa en 20%. si el libro tiene más de 100 hojas.Ciclo Introductorio 2013 la cantidad de unidades de millar. Elaboración de un algoritmo que permite ingresar por teclado cuatro números enteros y que muestra el mayor de ellos. el precio se incrementa 0. si el libro tiene más de 50 hojas. 5. 2. decenas y unidades. Elaborar un algoritmo que permita ingresar por teclado dos números enteros y que imprima en la pantalla un mensaje que indique la relación entre ellos. es descuento es del 12%. 9. Un banco establece que la clave secreta para acceso a sus cajeros automáticos debe ser un numero de 4 dígitos tales que ninguno de ellos se repita y que la suma de los dos Página 25 . de lo contrario mostrara el mensaje respectivo. está dentro o fuera de ella. de 16 a 20 es excelente.Ciclo Introductorio 2013 de 06 a 10 es deficiente. de 11 a 15 es regular. el descuento es del 20%. tiene pendiente positiva o negativa. si se compra desde 26 hasta 99. 7. vertical. si se compra de 10 hasta 25. Elaborar un algoritmo que permita ingresar las coordenadas de dos puntos en el plano y que determina si la recta que pasa por dichos puntos es horizontal. 10. Elabore un algoritmo que permita ingresar el costo unitario del artículo y la cantidad de unidades compradas e imprima el monto a pagar. 8. Elaborar un algoritmo que permita ingresar por teclado los coeficientes de una ecuación cuadrática y que muestra en pantalla sus raíces si estas existen. Elaborar un algoritmo que nos permita ingresar por teclado las coordenadas del centro de una circunferencia y su radio. 6. y que al ingresar las coordenadas de un punto en el segundo cuadrante determine si este punto pertenece a la circunferencia. Si se compra 100 o más unidades de un artículo se obtiene un descuento del 40%. Para cantidades menores no hay descuento. Para que un año sea bisiesto debe tiene que cumplirse que dicho año sea múltiplo de 4. Página 26 .5 soles por los tres primeros minutos o menos. Elabore un algoritmo que permita ingresar un valor entero y si se trata de una clave válida. Cada minuto adicional cuesta 0. Elabore un algoritmo que permita ingresar la cantidad de minutos que dura una llamada e imprima su costo.Ciclo Introductorio 2013 dígitos intermedios sea par. Una llamada telefónica cuesta 0. 12. imprima el dígito mayor.1 soles. Elabore un algoritmo que permita ingresar un año e imprima si es o no bisiesto. excepto si es múltiplo de 400. 11. pero no múltiplo de 100. U U(V+W) = V.V = (λ. Posee magnitud (longitud) y dirección (orientación).y). 2 El vector es cada elemento de R .d Observación: U.v1.U = a2+b2=|U|2 Satisface U. λ.V = V. el vector representado mediante sus componentes es: ( ) ( OPERACIONES CON VECTORES EN R2 Suma: U+V = (u1+v1.Ciclo Introductorio 2013 ALGEBRA LINEAL VECTORES EN R2 Pueden ser representados como un punto en el plano. λ ≠ 0 Producto escalar o euclidiano Sea V = (a.U Página 27 ) .v2) Diferencia U-V = U+ (-V) Dos vectores son paralelos si y solo si U = λ.U=a.q2) son los puntos inicial y final de un segmento de recta dirigido.b) y U = (c. Si el vector esta dado en función de sus componentes.V .c+b.d) V. es decir.b).U+W. la norma o longitud es: | | √ La orientación está determinada por el ángulo “Ɵ” que forma la flecha con el eje x (+) en sentido anti horario.p2) y Q=(q1. Otra forma es mediante flechas cuyo inicio es el origen de coordenadas y el extremo final es (x.u2+v2) Producto por un escalar: Sea λ ϵ R y V un vector λ. V=(a. llegándose: a=|V| cos Ɵ b=|V| sen Ɵ Si P=(p1. V VECTORES ORTOGONALES Dos vectores U y V que pertenecen a R2 son ortogonales si y solo si V. Generalmente la longitud de la suma de dos vectores no es igual a la suma de vectores cuya longitud es igual a |U+V| Además por desigualdad triangular |U+V| ≤ |U| + |V| OBS: SOLAMENTE SERÁN IGUALES CUANDO TIENEN LA MISMA DIRECCIÓN Página 28 .a) es ortogonal a V. 2 Asociado a cada vector V = (a.U = 0 *El vector “O” (0.V). TEOREMA DEL VECTOR UNITARIO EN LA DIRECIÓN V: Si V es un vector distinto de cero en el plano entonces el vector | | | | Esto se llama normalización donde U tiene longitud 1 y la misma dirección de V.b) ϵ R se tiene que el vector denotado V┴= (-b.U = (λ.0) es ortogonal a cualquier vector.U) = (λ.Ciclo Introductorio 2013 λ (V.U). z ϵ R} Similarmente que en R3.z).0) j = (0. Página 29 .z) / x.1) V = (V1 . los elementos de R3 pueden representarse como puntos en el espacio o como flechas de origen y extremo final (x. j) VECTORES EN R3 R3={ (x.y.y.y. i.V2 .Ciclo Introductorio 2013 VECTORES CANÓNICOS O ESTÁNDAR i = (1. -V=-1. ( ) ( ) √ √ SUMA DE VECTORES Página 30 .1. es el vector opuesto de V.Ciclo Introductorio 2013 Donde la norma es: | | √ La dirección del vector “a” ϵ R3 está determinado por los ángulos que forma la flecha Oa con la parte (+) de los ejes coordinados.V ϵ R está dado por: λ. λz) Obs: Dado V y λ > 0. Ejm1: Hallar un vector U ϵ R3 que tenga la misma dirección que V= (4.V = (λx. λy.3) y norma 3.y. 3 3 Dado V = (x. λ. ( ) ( ) | | | | |√ | √ 2.V. 1. Hallamos el vector normalizado que posea la misma dirección que el vector V. Ahora multiplicamos por la norma buscada y listo.z) ϵ R y λ ϵ R.V es un vector que tiene la misma dirección que el vector V. el vector λ. Ciclo Introductorio 2013 Dados U y V.V).V1+ U2.V=U1.V2+ U3.γ ϵ R.V3 3 Ortogonalidad: Dados U y V ϵ R decimos que son ortogonales si V.U =0 Paralelismo: U = λ.U U (V+W) = U. W ϵ R y los escalares λ. se cumple: U+V=V+U (U+V)+W=U+(V+W) V+0=V V+(-V)=0 λ(γU)= (λγ)U= γ (λU) (λ+γ)U= λU+γU 1.W (λ.U=U TEOREMA 2 El producto escalar U.V=V.U Desigualdad Swartz |U. el producto escalar U.V+U.V) = V (λ.V con λ ≠ 0 TEOREMA 1 3 Dados V.V| ≤ |U| + |V| Página 31 .U = λ.U) |U|2 = U. U.(U. 5)j es un vector unitario. hallar ||̅ ̅ || ̅̅ 10.2) 2. Sean u. Halle el cos Ɵ y el sen Ɵ de v=ai+bj 5. Los lados de un triángulo son los vectores ̅ ̅ ̅ ̅ Si ||̅|| || ̅ || .v> + <u. donde 0≤Ɵ≤π (los vectores son no nulos). Si ̅ ( determine el vector x=2̅ 11. | || | TEOREMA 3 2 3 Dados 2 vectores U y V no nulos en R y R y Ɵ el ángulo entre ellos entonces: Ɵ es agudo si y solo si U. Encuentre la magnitud y dirección del vector dado: V=(4. tales que: ||u-v|| = 7. Dados u y ̅ ̅ ) y ||̅|| ̅ . Muestre que el vector (1/20.V=0 *Para que dos o más puntos sean colineales se forman vectores tal que uno de ellos sea múltiplo de otro PQ = λ PR PROBLEMAS 1. Calcular x-2y. y la . Calcular: || || || || 2 2 2 8. 7.Ciclo Introductorio 2013 Angulo entre dos vectores: Dados U y V vectores en R2 o R3 que coinciden en el origen forman un ángulo Ɵ. Muestre cual es el vector unitario de v=ai+bj 4.V<0 Ɵ es 90° si y solo si U. . Sean ̅ 6.4) V=(-4. 3. ||u-v|| = √ y <u. Página 32 . Probar la propiedad: <u. ||u|| = 3.5)i+(1/20.v> = -33. . ||v|| = 6.-4) V=(1. v ( ) ̅ ( ) ( ) √ ̅ ̅ .V>0 Ɵ es obtuso si y solo si U. Sean ̅ ̅ vectores en tales que ̅ es el vector opuesto a ̅. probar que r=s=0. > =||u|| ||v||2 9.v>. Calcular <u.