Ejercicios de Electromagnetismo IProf. Dr. Jaime Caballero Müller Departamento de Física - Universidad de Santiago de Chile CARGAS PUNTUALES 1. Considere dos esferas iguales cargadas con 1 C separadas en una distancia r. (a) Calcule la masa que debieran tener las esferas para que se encuentren en equilibrio estático considerando la fuerza gravitacional y la eléctrostática. (b) Considerando que la densidad de masa de las partículas es de 5.5 g/ cm3 (aproximadamente la densidad del fierro), ¿Cuál es la distancia mínima a la cual se pueden poner dichas esferas?. Indicación: Aproxime la fuerza entre las esferas como cargas puntuales. La constante de gravitación universal es G = 6.67 · 10−11 N m2 / kg2 y la constante en la Ley de Coulomb es k = 9 · 109 N m2 / C2 . Resp.: m = 1, 16 · 1010 kg; r = 159, 18 m (entre centros) 2. Tres cargas puntuales iguales a Q se encuentran ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado a. Determine la magnitud de la fuerza eléctrica que experimenta cada una de ellas. Resp: 2.4061 · 10−7 C 4. Dos globos iguales llenos de Helio, están cargados con carga igual Q. Mediante dos hilos de longitud 1 m amarrados a los globos se suspende una masa de 0, 005 kg quedando el sistema flotando en equilibrio con los hilos formando un ángulo de 60o entre sí. Determine el valor de la carga Q. Resp: 1, 2537 · 10−6 C 5. Dos cargas iguales a Q y 5Q están en línea recta separadas una distancia a. Determine los puntos en la línea que une las cargas donde el campo eléctrico es cero. 6. Se tienen tres cargas como se indica en la figura. Z 1 µC 3. Dos pequeñas esferas de masa m están suspendidas de un punto común mediante cuerdas de longitud L. Cuando cada una de las esferas tiene carga q, las cuerdas forman un ángulo con la vertical como indica la figura. Demuestre que la carga q viene dada por q = 2L sin θmg tan θ/k ,donde k es la constante de Coulomb. Determine q si m = 10 g, L = 50 cm y θ = 10o . ¯ ¯ ¯ ¯ Resp.: ¯F ¯ = 2 1 Q 2πεo a2 cos 30o 0,5 m 0,5 m 1 µC 0,5 m 1 µC Y X (a) Calcular el campo eléctrico en el origen del sistema coordenado. el 3/2 3/2 punto (3a. Fy = 2πεo b2 TRABAJO SOBRE CARGAS PUNTUALES 8. una con densidad de carga ρo y la otra con ρ = 2ρo . Cuatro cargas puntuales q. En el centro del cuadrado se coloca una quinta carga q. . 10. Encuentre las coordenadas (x. y) de todos los puntos en λο d 0 d λ = −2λο d q x (a) Calcular el campo eléctrico en el origen. En el problema anterior. 1 g. R + (a) Determine la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga en el origen. 2 q. Dos cargas Q1 y Q2 están a una distancia d: (a) Determine el punto en la línea que une las cargas donde el campo eléctrico es cero. (b) Si se trae desde el infinito una tercera carga situándolo donde el campo eléctrico es cero. 7.: E = 0 15. De una barra fina vertical que tiene densidad lineal uniforme de carga λ = 10−4 C/ m. 0) es un punto de equilibrio inestable. Una barra fina infinita. Deduzca una expresión para el campo eléctrico producido por un trozo recto de hilo de longitud L con carga Q distribuida uniformemente en su longitud. estando el origen en el extremo izquierdo del hilo y el eje Y perpendicular al hilo. -4 q y 2 q están fijas en los vértices de un cuadrado de lado b. Discuta si el equilibrio es estable o inestable. h i (x−a)ˆ+y ˆ x (x+a)ˆ+y ˆ x qQ Resp: F = 4πεO ((x−a)2 +y2 )y + 4 ((x+a)2 +y2 )y . Y X 14. y). Z los cuales la carga de prueba esta en equilibrio. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS (CASO LINEAL) 12. se dobla en forma de horquilla como se muestra en la figura. (b) Calcule explícitamente la fuerza (magnitud y dirección). Encuentre una expresión vectorial en coordenadas cartesianas para la fuerza que actúa sobre una carga de prueba Q. Resp: eligiendo el eje X como la diagonal que va desde -4q a 2q y el eje Y como la diagonal que va desde la otra carga 2q a la carga q. Determine el campo eléctrico en el punto O. Dos cargas puntuales están colocadas sobre el eje X. calcule la energía que se requiere para formar la mencionada distribución de cargas 11. (a) Indique en que dirección apunta la fuerza que actúa sobre la carga central q. Q1 = q en x = a y Q2 = −4q en x = −a . 9. se suspende una carga puntual de magnitud Q = 10−5 C de masa m = 0. Dos barras aisladoras delgadas se disponen como se indica en la figura. las compo3q 2 q2 nentes de la fuerza son: Fx = πεo b2 . Calcúlela. con densidad lineal de carga λ. en un punto de coordenadas (x. 13. ¿La energía gastada en el proceso es también cero?. amarrándola con un hilo de longitud L = 1 m a un punto de la barra. Ocho cargas puntuales de magnitud q se encuentran en los vértices de un cubo de arista a. ubicada en un punto cualquiera del plano XY .(b) Determinar la fuerza que se ejerce sobre la carga en el eje X. producida por las otras y (b) la magnitud de la fuerza sobre cualquier carga. ¯ ¯ h i 2 ¯ ¯ 1 1 x ˆ ˆ Resp: F = − kq2 1 + √2 + 3√3 (ˆ + y + z ) . ¯F ¯ = a i √ h kq 2 1 1 3 1 + √2 + 3√3 a2 O Resp. Determine la tensión en el hilo y el ángulo que forma con la vertical en la posición de equilibrio. Un disco circular de radio R tiene una carga total Q uniformemente distribuida en su superficie. ejerce sobre cada uno de los planos. 17.: F = Qλd ˆ 4πεo R(R+d) r 24. ambas uniformemente distribuidas. Un anillo metálico de radio a tiene una carga total Q distribuida uniformemente en su perímetro. z λ=cte (b) Si la carga puntual hubiese estado fija y el anillo se trae desde infinito a la posición descrita antes.(b) Determinar la fuerza que se ejercen las barras sobre una carga q dispuesta sobre el eje x. 22. donde r se mide respecto del eje del cilindro. 19. Resp. Determine el campo eléctrico en un punto sobre el eje que pasa perpendicularmente al plano del anillo. Un anillo aislador de radio a tiene una carga total Q distribuida uniformemente en su perímetro. (a) Encontrar una expresión para el campo eléctrico sobre el eje x debido a ambas cargas. ¿Cuál sería su respuesta?. h i p √ σλ Resp: F = 2εo L + R2 + b2 − R2 + (b + L)2 z ˆ DISTRIBUCIONES CARGA VOLUMÉTRICAS DE 18. ³ ´ σ z z Resp: E = 2εo |z| − √R2 +z2 z ˆ a a x Q y 21. Determine el trabajo realizado por el campo eléctrico. Un cilindro circular recto de radio R y altura L esta orientado a lo largo del eje Z y tiene una densidad de carga volumétrica no uniforme dada por ρ(r) = ρo +βr. a distancia d de su plano. Calcule el campo eléctrico en un punto sobre el eje del disco a una distancia z del plano de dicho disco. Resp: E = 0 . 16. 23. Tanto Q como λ son positivos. Una carga puntual q se trae desde el infinito y se coloca en un punto a distancia d sobre el eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro. (a) Una carga puntual q se trae desde el infinito y se coloca en un punto a distancia d sobre el eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro. Una esfera uniformemente cargada de radio R esta centrada en el origen con una carga Q. (c) Encuentre el o los puntos en los cuales la fuerza sobre q es nula. Considere un anillo de radio R que tiene una carga Q distribuida uniformemente. (b) Determinar el lugar donde pondría una segunda carga q = −Q/2 de modo que la fuerza neta sobre ella sea nula. Determine la fuerza resultante que actúa sobre una línea uniformemente cargada. Dos discos de radio R se ubican como se muestra en la figura y una carga q = −Q/2 es puesta en el punto P . El disco izquierdo tiene una carga Q (> 0) y el derecho −Q. por el centro del anillo. (b) ¿Qué relación debe existir entre Q y la carga total de la semicircunferencia para que el campo eléctrico en el origen sea nulo?. En la figura la semicircunferencia yace en el plano yz mientras la carga Q es una carga puntual contenida en el eje z a la distancia a del origen. P x=0 x=2R x=3R x (a) Calcular la fuerza que la carga q = −Q/2. orientada radialmente y con una carga total q con sus extremos en r = R y r = R + d. Determine la fuerza entre un disco de radio R cargado con densidad uniforme de carga σ y una varilla de largo L y densidad lineal λ colocada en el eje del disco. Determine el trabajo realizado por el campo eléctrico. a una distancia b del mismo. Calcule el campo eléctrico producido por esta distribución sobre el eje del cilindro. DISTRIBUCIONES SUPERFICIALES DE CARGAS 20. distan 2 cm. donde A es una constante positiva. uno en la dirección del eje x con una densidad de carga λ1 y el otro. (b) ¿porqué E = 0 en el centro del dieléctrico?. cada uno de radio ro . cargadas con una densidad σ1 = 4 µ C y σ 2 = 6 µ C. paralelas e infinitas. En la figura se ha representado parte de 2 cilindros de largo infinito. Se tienen dos hilos aisladores muy largos. 29. en puntos lejanos de sus extremos. muy largo. La densidad de carga volumétrica es constante. Un cilindro macizo. Demostrar que la magnitud del campo es la misma en las cuatro regiones que ellos determinan en el espacio. (b) sobre una línea que contenga los centros de la esfera y la burbuja. En la pregunta anterior suponga que la distribución de carga es ρ(z) = ρo + βz donde z se mide respecto de la base del cilindro. tiene una carga distribuida con una densidad de carga ρ = −Ar. Eanillo = APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS 27. La figura representa un volumen aislante de espesor d = 0. Repita el cálculo anterior para el caso en que la superficie fuese un cuadrado de lado a y determine el valor límite cuando a >> z 31.25. en la dirección del eje y con una densidad de carga λ2 . dentro y fuera de la esfera y (c) sobre un eje perpendicular a la línea que une los centros de la esfera y la burbuja. (a) Calcule el campo eléctrico en el interior y el exterior del globo. La figura muestra una esfera aisladora de radio R con densidad de carga ρ = Cte. Determine el valor del campo eléctrico en el interior y el exterior cercano al cilindro. 28. Calcule el campo eléctrico producido por esta distribución sobre el eje del cilindro. 26. Estudiar el campo eléctrico de este sistema. Resp. (b) La carga se traslada a un vértice del cubo. dentro y fuera de la esfera. (a) Determine el campo eléctrico a ambos lados del dieléctrico. 35. Calcule el campo eléctrico: (c) Determine el campo eléctrico en el interior del dieléctrico como función de x. (b) Determine la energía eléctrica que se requiere para cargar el globo trayendo las cargas desde el infinito. POTENCIAL 34. 30. que tienen en su superficie densidades de carga constantes σ 1 = σ y σ 2 = −σ respectivamente.: Ecuad (x) = λL x ˆ 4εo (x2 +L2 /4)3/2 x λL x πεo x2 +l2 /4 R r Figure 1: (a) en el centro de la burbuja. 36. √ 1 x ˆ x2 +L2 /2 . Hallar el potencial φ y el campo eléctrico en cualquier punto del plano XY y mostrar que E = −∇φ. Calcule el campo eléctrico producido por una superficie circular de radio R con distribución de carga σ a lo largo del eje de simetría perpendicular al plano que la contiene (ver problema 17) y determine su valor en el límite R >> z. Una carga puntual q está situada en el centro de un cubo cuya arista tiene una longitud d. la cual tiene una burbuja esférica vacía en su interior. 32. 5 m limitado por planos infinitos (perpendiculares al eje x) (en corte). (c) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico generado por la carga en el globo al inflarlo entre R y R + ∆R. Una carga lineal de densidad λ con la forma de un cuadrado de lado L se encuentra en el plano Y Z con su centro en el origen. ρ = 10 − 6 C/ m. ¿Cuál es el valor del flujo de a través de cada una de las caras del cubo?. Dos láminas planas. (No hay carga en el interior de los cilindros). Supongamos que dichos planos en vez de estar paralelos se cortan perpendicularmente. situada a la distancia a del centro. de radio a. y compare el resultado con el del campo que existe en el eje de una anillo cargado de radio r = L/2. de radio r. . ZZ (a) ¿Cuál es el valor del flujo de E ( E · dS) en una cara del cubo?. 33. Determine el campo eléctrico sobre el eje X a una distancia arbitraria x. con un centro en el origen y con la misma carga total. Compare su resultado con el valor que se obtiene utilizando la ley de Gauss en el caso de un plano infinito. Un globo esférico de radio R tiene una carga superficial con densidad σ. σ2 A D D y D x 40. (c) En las condiciones dadas en b. (b) ¿Cuál debe ser la diferencia de potencial V para que el electrón llegue con velocidad v/2 al agujero O0?. 39. Un cilindro macizo. (c) Determine la energía potencial de la carga Q. (a) Determine el campo eléctrico total sobre la carga Q. (b) Calcule la fuerza que ejerce Q sobre cada uno de los trozos de hilo. 37. Sol: U = 3Q2 /5a. Un electrón e− (carga −e) incide con velocidad v a un pequeño agujero practicado en el centro de un condensador de placas cuadradas planas de lado a (figura) entre las cuales se ha dispuesto una fuente que entrega un potencial V . donde A es una constante positiva. Calcular la energía potencial U de esta distribución esférica de carga. tiene una carga distribuida ρ = −Ar. (a) Encuentre el campo eléctrico sobre la línea AB. Un volumen esférico de radio a está lleno con carga de densidad uniforme ρ. (En sus cálculos utilice la aproximación de placas infinitas). pero esta vez rodeada por un casquete esférico conductor de radio interior b > a y espesor d. es decir. muy largo. Tres trozos de hilo cargado con densidad de carga λ se disponen como se indica en la figura. El casquete exterior tiene carga nula.v a V λ L Q λ L (a) Encuentre la expresión que da cuenta de la densidad de carga en las placas cuando entre ellas hay una diferencia de potencial V (inicialmente las placas están descargadas). . 42. en puntos lejanos a sus extremos. B z (b) en el interior de la esfera conductora y σ1 (c) para un radio r > b + d. En la esfera conductora hay una carga neta tal que el potencial exterior (r > 2R) es constante. Considere la misma esfera anterior. de radio a. 43. (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los centros de los cilindros? (c) Calcule el potencial en un punto sobre la línea AB. ¿Qué fuerza ejerce el electrón contra la placa positiva cuando ha recorrido una distancia δ/2 entre las placas?.(a) entre las esferas. Calcular el campo eléctrico en el interior y exterior de la esfera. λ L/2 e. Determine el valor del campo eléctrico y el potencial en el interior y el exterior cercano al cilindro. (b) el campo eléctrico en el exterior (r < 2R). Determine: R 2R (a) La carga total en la esfera aisladora. Se tiene una esfera aisladora con densidad de carga −r variable de la forma ρ = ρo e r y radio R limitada exteriormente por una esfera conductora de radio interior R y exterior 2R. donde Q es la carga total de la esfera. el trabajo requerido para formarla. 38. 41. a δ O O' (d) la densidad de carga en la superficie exterior de la esfera conductora. que equidista de los cilindros en una distancia igual a la separación entre ellos (D). Una esfera aisladora de radio a y densidad de carga dada por ρ = ρo e−r . (c) la diferencia de potencial entre r = 3R/2 (esfera conductora) y el centro de la esfera aisladora (considere el potencial cero ( φ = 0) en r = ∞). Calcule el campo eléctrico y el potencial respecto de infinito. Determine la fuerza ejercida sobre una carga puntual q ubicada en un punto de coordenadas (x. y r > b. placas infinitas conductoras con carga total nula.: sobre la placa inferior. a las distancias x1 y x2 . La densidad de carga en el resto del espacio es nula. Sol. ¿Sobre cuál placa y en que lugar chocara el electrón? Sol. ¡ (r) = ¢(σ/εo r) a2 + b2 si r > b . La energía asociada a la tensión superficial de la burbuja es proporcional a su superficie. Se tienen dos esferas metálicas aisladas de radio r1 = 0. Calcule el campo eléctrico producido por una distribución de carga tal que el potencial que produce esta dado por: V (r) = qe−λr /4πεo r. Determine el trabajo que realiza el campo eléctrico al traer una carga puntual Q desde una distancia 2d hasta una distancia d de un hilo recto infinito que tiene una carga uniforme λ C/ m. Considere un sistema formado por dos conductores cilíndricos paralelos. es decir Umec = Sτ . (c) La energía almacenada en el campo eléctrico antes y después de la conexión. Determine el trabajo que realiza el campo eléctrico al llevarse una carga de 2 µ C desde el punto (0.: ∆V = 4πεo 1 − a b 53. Considere una esfera no conductora de radio R que tiene una carga total Q repartida uniformemente en su volumen. Calcule además el trabajo que realiza el campo eléctrico sobre q al moverse la carga desde el punto (0. Un electrón parte de la posición indicada en la figura con una velocidad inicial vo = 5 · 106 m/ s formando un ángulo de 45o con el eje X . El campo eléctrico tiene la dirección y positiva y su magnitud es de 3. 5·103 V/ m. E(r) = r < ¡ ¢ σa2 /εo r2 si a < r < b . (b) Determine la energía requerida para traer una carga desde el infinito hasta ese punto. Determine el potencial eléctrico en todas partes. en que S es el área de la burbuja y τ es una constante.44. Calcule el potencial electrostático en cada una de las regiones mencionadas. En una región de espacio existe un campo eléctrico que se deriva del potencial V (x. Entre los cilindros hay una diferencia de potencial V . 48. En una región del espacio. 50. Encuentre el campo eléctrico en las zonas r < a. 51.: E(r) = q 4πεo r2 e−λr . muy largos. encuentre la capacidad del condensador coaxial. Suponiendo que el espacio entre los conductores es vacío y que el cilindro interior se encuentra a potencial V = Vo y el exterior a potencial V = 0 y que tanto a como b son mucho menores que L. Calcule la diferencia de potencial entre dos esferas concéntricas de radios a y b (a < b) que tienen cargas q y Q respectivamente. 0) al punto (x. Encontrar la diferencia de potencial entre las caras internas y entre las externas de las placas. paralelos. y. y) en una línea recta. 20 m. (b) El potencial final de las esferas. Sol: E(r) = E(r)ˆ. a < r < b. 46. £ ¤ q 1 Sol. a 4 cm del extremo izquierdo. Un condensador coaxial está formado por dos cilíndricos conductores concéntricos de radios a y b respectivamente y largo L. Encuentre la distribución de carga ρ = ρ(r). ¡ E(r) = ¢ σ/εo r2 a2 + b2 si b < r. ρ (r) = −qλ2 e−λr /4πr 54. Las superficies interior (r = a) y exterior (r = b) de un cascaron esférico no conductor tienen la misma densidad de carga σ. como muestra la figura. 0) al punto (1.: C = 2πεo L ln(b/a) 58. z) = xyz − 3x − 2y − z . calcule: (a) La carga final de cada esfera. Sol: C = √ πεo ln([(d+ d2 −4a2 )/2a]) . V (r) = V (σ/εo r) a2 + br si b > r > a y V (r) = (σ/εo ) (a + b) si a > r 55. 49. 10 m y r2 = 0. Una burbuja de forma esférica tiene una carga Q. 1) en forma cuasiestática (energía cinética despreciable). inicialmente descargadas y alejadas entre sí. donde E(r) = 0 si r ¢ ¡ a . Un plano conductor tiene una carga +Q y a cada lado de éste. 47. el potencial eléctrico está dado por V (x. Calcule el potencial respecto del infinito en el centro de un cuadrado de lado b en el cual se tiene una distribución uniforme de carga superficial σ. Si a la esfera de radio r1 se le coloca una carga de 6 · 10−8 C y luego se conectan ambas mediante un hilo conductor muy fino. 45. Encuentre la capacidad por unidad de longitud para el sistema de conductores. 0. 56. CONDENSADORES 57. (a) Calcule el potencial en un punto cualquiera del eje y. Finalmente calcule el radio de equilibrio de la burbuja. se colocan. 52. y) = Axy siendo A una constante. 1+λr Sol. separados una distancia d >> a. 1. Considere un disco circular de radio a y densidad de carga uniforme. y). Calcule la energía total de la burbuja (eléctrica y mecánica) como función de su radio y grafíquela. de radio a. Dos condensadores idénticos de área A y lado a y separación entre placas d. 2 Sol. (a) Calcule la energía almacenada en el sistema cuando la placa de espesor t ha penetrado una distancia x en el condensador.c) F = −∇U (x) (εx + εo (a − x)) . (c) Determine la fuerza sobre el dieléctrico en función de x. A = 4a2 d 2 60. como se indica. Ente la placas del condensador de la figura. (b) Determine la variación de energía en el condensador en función de x. Posteriormente se desconecta la batería.59. a d F x (a) Calcular la carga Q(x) en las placas en función de la distancia x cuando se introduce un dieléctrico de constante ε y ancho b. 61. Sol: a) Q(x) = Q d 2b(εx+εo (a−x)) 2 Vo b d . Calcule la capacidad del condensador. (b) Calcule la cantidad de carga transferida de un condensador a otro como función de x. donde Q es la carga total en el sistema. con lo cual los condensadores en paralelo quedan cargados y aislados. Mediante una batería se aplica al sistema una diferencia de potencial Vo .: a) E = 2εo a 2a(d−t)+xt Vo2 . b) ∆QA = d xt − 2a(d−t)+xt Q/2. Responder a la pregunta anterior cuando la placa que se introduce en el condensador de la izquierda está hecha con un dieléctrico cuya constante es ε. se conectan en paralelo. se introducen dos dieléctricos de constantes ε1 y ε2 que llenan totalmente el interior del condensador como se muestra en la figura. e indique en que sentido es la transferencia. 62. existe una diferencia de potencial Vo (cte). b) U (x) = . a(d−t) Sol. En un condensador de placas cuadradas paralelas de área A. inicialmente descargados. de lados a y b.: C = εo (ε1 + ε2 ) 2a . como se muestra en la figura. Se introduce en uno de los condensadores una placa conductora de igual área y de espesor t.