Prof.Andr´es P´erez Matem´aticas II Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Requisito: Matem´aticas I (11015) Pr´acticas de Matem´aticas II Prof.: Andr´es P´erez Caracas, Octubre de 2008 UNIDAD I Pr´acticas: 1 y 2 La integral de Riemann: • Aplicaciones a Familia de Curvas • Sumas de Riemann • Integrales definidas • M´etodos Num´ericos 4 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Pr´actica 1 Aplicaciones a Familia de Curvas Prof. Andr´es P´erez 1. Determine la funci´on que describe la posici´on de una part´ıcula, si la funci´on aceleraci´on viene dada por a(t) = t 2 +1, la velocidad inicial es v(0) = 4 y la posici´on inicial est´a dada por s(0) = 0. 2. Se estima que dentro de t meses, la poblaci´on de una cierta ciudad variar´a a raz´on de 4 + 5t 2/3 personas/mes. Si la poblaci´on en el primer mes es de 10.000 personas, entonces diga, ¿cu´al ser´a la poblaci´on de esta ciudad dentro de 8 meses?. 3. Una estad´ıstica prueba que una cierta ciudad crece a un ritmo proporcional a la ra´ız cuadrada de la poblaci´on P en el instante t. Si la poblaci´on era de 4.000 personas hace 10 a˜ nos, y hoy d´ıa hay 9.000 personas. ¿Cu´anto tardar´a en crecer hasta 16.000 habitantes? 4. La raz´on de cambio del volumen V de una bola de nieve que se derrite es proporcional a la superficie S de la bola. Si el radio de la bola es r = 2, cuando t = 0 y r = 1 2 , cuando t = 10. Demuestre que r(t) = − 3 20 t +2. 5. Una compa˜ n´ıa estima que el costo marginal (en d´olares por art´ıculo) para producir x art´ıculos es de 1, 92 −0, 002x. Si el costo de producci´on de un art´ıculo es de 562 d´olares, encuentre el costo de producir 100 art´ıculos. Ayuda: Si la funci´on costo se denota por C(x), entonces el costo marginal est´a dado por dC dx . 6. El incremento respecto al tiempo de una cierta magnitud q es proporcional al valor de dicha magnitud. Sabiendo que en el instante inicial, se tienen 25 unidades y que a los dos minutos se observan 75 de las mismas, hallar el valor de q a los 6 minutos. 7. Encuentre la ecuaci´on en x e y de la curva que pasa por (1, 2) y cuya pendiente en cualquiera de sus puntos es cuatro veces su coordenada en x. 8. Una bola es arrojada hacia arriba desde un planeta donde la aceleraci´on de la gravedad es k (una constante negativa) pies por segundo cuadrado. Si la velocidad inicial es v 0 , demuestre que la altura m´axima es justamente − v 2 0 2k . 9. En la escena de un accidente, el investigador de la polic´ıa determina que tan r´apido iba el conductor a partir de las marcas dejadas por los cauchos en el pavimento. Suponga que el carro fren´o con una desaceleraci´on de 15 m seg 2 . ¿A qu´e velocidad iba el auto cuando aplic´o los frenos, si recorri´o 75 m antes de detenerse? 10. Un auto que va a 60 millas por hora, patina 176 pies cuando los frenos son aplicados. Si el sistema de frenado produce una desaceleraci´on constante, ¿cu´al es esa desaceleraci´on? ¿Durante cu´antos segundos continuar´a el derrape? 11. La velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo de un eje coordenado est´a dado por v(t) = (2t −3) −3 , en metros por segundo. Si el desplazamiento en t = 0 es de 4 metros, encuentre el desplazamiento dos segundos m´as tarde. 12. Inicialmente se ten´ıan 100 mg. de sustancia radiactiva (torio 234). Al cabo de 6 horas, la cantidad inicial disminuy´o en 3 %. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva. 13. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N 0 de bacterias. Pasada una hora la cantidad de bacterias es 3N 0 /2. Si la rapidez de multiplicaci´on es proporcional al n´ umero de bacterias presentes, determine el tiempo necesario para que el n´ umero de bacterias se triplique. 5 14. Cuando un objeto absorve o despide calor en el medio que lo rodea, se verifica la Ley de Enfriamiento de Newton, que establece que: “La variaci´on de la temperatura de un cuerpo, es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio”. Suponga que una peque˜ na barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20 ◦ C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcule el tiempo que dicha barra demorar´a en alcanzar los 90 ◦ C, si se sabe que su temperatura aument´o 2 ◦ C en un segundo. ¿Cu´anto demorar´a la barra en alcanzar los 98 ◦ C?. 15. Un reactor generativo transforma el uranio 238, que es relativamente estable, en el is´otopo plutonio 239. Despu´es de 15 a˜ nos, se determina que 0.043 % de la cantidad inicial A 0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la semivida de este is´otopo. 16. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300 ◦ F. Tres minutos despu´es su temperatura es 200 ◦ F. ¿Cu´anto demorar´a en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70 ◦ F?. 17. Para describir la rapidez con la que se adquiere una habilidad se usa una curva de aprendizaje. Por ejemplo, supongamos que un fabricante estima que un nuevo operario producir´a A objetos el primer d´ıa de trabajo, y que a medida que va adquiriendo experiencia, producir´a los objetos m´as r´apidamente hasta que produzca un m´aximo de M objetos por d´ıa. Sea f(t), la cantidad de art´ıculos producidos el d´ıa t, para t ≥ 1. Suponga que el ritmo de producci´on f , es proporcional a M−f(t). Entonces: 17.1) Deduzca una f´ormula para calcular la cantidad de art´ıculos producidos en un d´ıa cualquiera. 17.2) Suponiendo que M = 30, f(1) = 5 y f(2) = 8. Estime el n´ umero de art´ıculos producidos el vig´esimo d´ıa. 18. El carbono 14 (C 14 ), es una sustancia radioactiva que tiene una vida media de aproximadamente 5600 a˜ nos. Es importante en arqueolog´ıa porque el C 14 existente en un ser vivo permanece constante durante la vida del ser. Determinar el tiempo transcurrido desde la muerte de un animal, si la concentraci´on de C 14 en sus restos, es igual a la tercera parte de la que corresponde con un animal que vive actualmente. 19. Se analiz´o un hueso fosilizado y se encontr´o que conten´ıa la cent´esima parte de C 14 . Determine la edad del f´osil. 20. Muchos creen que el sudario de Tur´ın que muestra el negativo de un cuerpo de un hombre crucificado es la mortaja de Jes´ us de Nazareth. En 1988, el Vaticano otorg´o autorizaci´on para que se fechara el carbono del manto. Tres laboratorios cient´ıficos independientes llegaron a la conclusi´on de que el manto tiene unos 660 a˜ nos. Edad que coincide con su aparici´on hist´orica. Con ´esta edad, determine ¿qu´e porcentaje de la cantidad original de C 14 le quedaba en 1988?. 21. Una peque˜ na barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20 ◦ C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcule el tiempo que dicha barra demorar´a en alcanzar los 90 ◦ C, si se sabe que aument´o 2 ◦ C en un segundo. ¿Cu´anto demorar´a la barra en alcanzar los 98 ◦ C? 22. Un term´ometro que est´a en el interior de una habitaci´on se lleva al exterior, en donde la temperatura del aire es de 5 ◦ F. Despu´es de un minuto el term´ometro marca 55 ◦ F y despu´es marca 30 ◦ F. ¿Cu´al es la temperatura inicial de la habitaci´on? 23. Un term´ometro que indica una temperatura de 70 ◦ F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. A trav´es de una ventana de vidrio del horno, un observador se percata que la temperatura que registra el term´ometro despu´es de 1 2 minuto es de 110 ◦ F y al minuto de introducido registra una temperatura de 145 ◦ F. ¿A qu´e temperatura est´a el horno? 24. A las 9:00 am. un term´ometro marca 70 ◦ F, se lleva al aire libre donde la temperatura es 15 ◦ F. A las 9:05 am. marca 45 ◦ F. A las 9:10 am. es llevado de nuevo al interior de la habitaci´on donde la temperatura se mantiene a 70 ◦ F. Si a los 5 minutos sube 20 ◦ F, ¿cu´anto marca a las 9:20 am.? Los siguientes son problemas para divertirse 6 25. Suponga que despu´es de un caluroso partido de Softball, usted que se encuentra en envidiables condiciones f´ısicas, pero hediondo a mono, estaba lo suficientemente sediento como para tomarse el agua directamente de la botella (cosa por la que su respectiva progenitora lo ha rega˜ nado toda la vida). Al llegar a la cocina y abrir la nevera se da cuenta que el agua que asumimos es filtrada no estaba muy fr´ıa (unos 15 ◦ C), toma un poco e introduce la botella en la nevera con la intensi´on de que otro beba su saliva. A los 5 minutos, vuelve a abrir la nevera e ingiere un poco del ya no tan preciado l´ıquido, que estaba un poco m´as fr´ıo (unos 10 ◦ C). Pasados otros cinco minutos, realiza un ´ ultimo intento y el agua ya se encontraba a 8 ◦ C. ¿A qu´e temperatura se encontraba la nevera?, asumiendo que la variaci´on de la temperatura del agua durante el tiempo que estuvo pegada a su boca es despreciable. 26. Hace algunos a˜ nos (no precisar´e cuantos, ya que podr´ıan ser muchos), unos arque´ologos usaron unos trozos de madera quemada (enti´endase chamuscada), es decir, de carb´on vegetal (pero no para hacer parrilla), para fechar las pinturas pre- hist´oricas y rupestres de las paredes y los techos de una caverna en Lacaux, Francia. Seg´ un estos tipos, las pinturas esas eran “burda” de bonitas. Determine entonces, cu´antos a˜ nos ten´ıan estos trozos de carb´on, si ellos lograron observar que hab´ıan perdido el 85.5% del carbono C 14 . 27. A un amigo m´ıo, hace alg´ un tiempo se le muri´o su suegra (q.e.p.d), este era el ´ unico disponible para retirar un documento que tiene que ver con la declaraci´on de muerte en la jefatura, para efectos de una herencia. Este pana, odiaba a su suegra y por supuesto se dirigi´o a la jefatura con una sonrisa que no le cab´ıa en la cara (el muy desgraciado). Al entrar, un empleado de la jefatura le pregunta la fecha en que falleci´o la occisa y este se acord´o (ya que en alg´ un momento de su vida pas´o por la universidad) que existe un profesor (como el de ustedes) que alguna vez le resolvi´o unos problemas que ten´ıan que ver con data de f´osiles y como a su suegra la consideraba un f´osil, intent´o sacar la cuenta. Se devolvi´o a donde estaba el cadaver (cementerio adentro) y le midi´o la concentraci´on de C 14 , notando que le faltaba el 0.015 % de la concentraci´on original. Se devolvi´o a la jefatura, a eso de las 9:30 am. y le dijo al efectivo que hab´ıa muerto seis meses atr´as. El efectivo, le dijo que era un mentiroso y no le dio el papel (este muchacho tambi´en pas´o por la universidad). Podr´ıa determinar usted, hace cu´anto tiempo muri´o la se˜ nora. 28. Un obrero, sale de su casa a eso de las 6:30 am, como todos los d´ıas. Para ir a la construcci´on, este se˜ nor debe abordar el tren del metro en la estaci´on Plaza Sucre (trayecto que le toma unos 15 minutos desde su casa) y desembarcar en la estaci´on Sabana Grande. Como todos sabemos, el metro es el gran desastre de Caracas y por supuesto estamos en una ´epoca del a˜ no donde los calorones son propios de menop´ausica prematura. El obrero, aborda el vag´on en el que el aire no funciona y con toda esa gente y los tufos respectivos, realmente hace calor. Al se˜ nor, le da una “yeyera” entre Colegio de Ingenieros y Plaza Venezuela, debiendo accionar la alarma respectiva, muy a pesar de los insultos de los dem´as viajeros. Cuando es atendido dentro del mismo vag´on (aproximadamente a las 7:05 am), determinan que su temperatura corporal se encontraba en los 39 ◦ C y el operador de la estaci´on (ir´onico el muchacho) le manifiesta que realmente est´a enfermo, ya que el vag´on se encuentra a unos confortables 19 ◦ C. A los 5 minutos, ya el se˜ nor ten´ıa 39.5 ◦ C. Determine si el se˜ nor estaba quebrantado de salud al entrar al vag´on. 29. Suponga que el d´ıa de ayer fu´e al mercado con su respectiva madre y en el ajetreo, las bolsas y todas esas cosas, se le ocurri´o la brillante idea de comprarse un par de laticas para refrescarse como en los comerciales de T.V (cosa que nadie cree que es malta). El portu de la esquina, le vendi´o una fr´ıa y la otra caliente, ya que se le da˜ no la nevera. En realidad, la caliente no estaba tan caliente, se encontraba a una temperatura de 23 ◦ C. Cuando usted lleg´o a su casa, lo primero que hizo fu´e introducirla en el “freezer” (enti´endase parte superior de su nevera), que se encontraba como Dios manda a una temperatura de envidiables 2 ◦ C bajo cero. Como usted ten´ıa mucha sed, abri´o la nevera a los 10 minutos y se percat´o que la lata a´ un estaba en los 10 ◦ C. Determine el momento exacto en que debe abrir la nevera para tomarse la espumosa, si la mejor temperatura para ingerirla es de 4 ◦ C. 30. Durante un d´ıa claro y despejado, un forense llega a la escena de un crimen en un conocido barrio de Caracas. Al llegar, inmediatamente observa su reloj (un casio altimeter bien pepeado) y escribe en su libreta de anotaciones que son las 3 : 45 pm. y que la temperatura se encuentra a 23 ◦ C. Seguidamente, toma los signos vitales del ya occiso y determina que estaba muerto (que brillante descubrimiento!!!) y que su temperatura corporal era de 27 ◦ C. Interrogando a los curiosos del lugar (que nunca faltan) encontr´o a la vieja bruja del barrio y esta que se la da de polic´ıa le dijo: “al pasar una hora de escuchar los disparos sal´ı con mi term´ometro y Juansito ten´ıa 35 ◦ C y la lengua afuera, no ten´ıa zapatos y faltaba su cartera, pobre muchacho, el era de su casa”. Al escuchar el relato fu´e directamente donde el detective y le dijo: “ya s´e a que hora muri´o el occiso”. Determine aproximadamente, a qu´e hora muri´o Juansito. 7 31. Sabemos que en las c´arceles venezolanas hay un brutal e inhumano hacinamiento. Un d´ıa haciendo una pesquisa en Yare I, determinaron que en el pabell´on de la muerte (Pabell´on B - se le dice de la muerte, ya que por cualquier viento mal oliente que sople mueren de asfixia -), se encontraba un recluso con una patulequera (chiripiorca seg´ un el chavo) y este dec´ıa, que le hab´ıa pasado algo con la tensi´on. Midieron su temperatura y determinaron que se encontraba en los 39.5 ◦ C, lo cambiaron al pabell´on de las locas (Pabell´on G) y al cabo de 2 minutos su temperatura disminuy´o en 2 ◦ C. Por si acaso, le volvieron a medir la temperatura pasados 2 minutos m´as (para ver si no era chachara del man este) y ten´ıa 37 ◦ C.¿A qu´e temperatura se encontraba el Pabell´on G? 32. Como siempre sucede en los barrios de Caracas, hay desadaptados sociales que llevan la marginalidad por dentro como bandera. Un cierto d´ıa, regresaba a su casa en el San Blas, un sujeto apodado “Er Chino” (se parec´ıa a Yoshi Toshia - el de la propaganda -). Este, ven´ıa de ese famoso lugar llamado Adrenalina (donde le tumbaron la moto, la cartera y la pechuga), bueno, el asunto es que el tipo ven´ıa super amotinado y se encontr´o a Rin Tin Tin (el perro vagabundo del barrio) y le ha metido la mam´a de las patadas, por supuesto, el perro estir´o la pata. Al tiempo, hizo acto de presencia “Er iluminao” (no era Hermes por si acaso), el cual regresaba de Canad´a (estuvo preso), subiendo las escaleras, mir´o al matorral y hallo bien flaco y comido de ratas el cadaver del querido Rin Tin, dec´ıa: Chamo pana m´ıo!!!, te dieron bollo, snif, snif, snif (lloriqueaba el muchacho). Este antisocial, era bien inteligente (acostumbraba hacer practicas forenses con los reclusos que quedaban de los motines) y se puso a medirle el C 14 al c´anido en cuesti´on y determin´o con sus equipos rudimentarios que hab´ıa perdido el 0.0015% del “C-catolce” (como el dec´ıa). Determine usted hace cu´anto “Er Chino” le dio bollo al Rin Tin. 33*. Una cooperativa que se encarga de limpiar los vidrios de los edificios, contrata a una “matraca” de gordo de unos 160 Kg., donde, el arn´es al cual estaba sujeto pesa 2.75 Kg. El gordo, despu´es de un suntuoso almuerzo (aproximadamente 2250 gramos), se encontraba reposando la papita, y por supuesto, el andamio (que se encontraba colocado en el piso quince) se parti´o en dos, ocasionando la posterior megacaida del gordo al vac´ıo (una distancia considerable, ya que cada piso tiene unos 3.5 m). Determine aproximadamente, el tiempo que tard´o el gordo en volverse papilla, considerando que la resistencia al aire de tama˜ na humanidad es de 2 veces la velocidad instant´anea. 8 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Pr´actica 2 Sumas de Riemann ∼ Integrales Definidas ∼ M´etodos Num´ericos Prof. Andr´es P´erez Parte I: Estimaci´on con sumas finitas 1. Calcule las sumas de Riemann seg´ un se indique, en las particiones que se presenten. 1.1) f(x) = √ x −1, con la partici´on dada por P = {3, 3.75, 4.25, 5.55, 6, 7} y considerando los puntos: w 1 = 3, w 2 = 4, w 3 = 4.75, w 4 = 6, w 5 = 6.5. 1.2) f(x) = − x 2 +3, con la partici´on dada por P = {−3, −1.3, 0, 0.9, 2} y considerando los puntos: w 1 = −2, w 2 = −0.5, w 3 = 0, w 4 = 2. 1.3) f(x) = x 2 2 +1 y el intervalo [−1, 2], se divide en seis subintervalos iguales, donde w k , es el punto medio del k-´esimo subintervalo. 1.4) f(x) = x 3 2 +2x +2 y el intervalo [0, 2], se divide en ocho subintervalos iguales, donde w k , es el punto frontera de la izquierda del k-´esimo subintervalo. 1.5) f(x) = 2x 4 +7x +5 y el intervalo [−1, 4] se divide en diez subintervalos iguales, donde w k , es el punto frontera de la derecha del k-´esimo subintervalo. 2. Para el primer recuadro, delimitar el ´area de la regi´on sombreada aproximando las sumas superior e inferior, empleando rect´angulos de base 1. Para el segundo recuadro, utilizar sumas superiores e inferiores para aproximar el ´area de la regi´on empleando el n´ umero dado de subintervalos y considerando las funciones y = √ x, y = √ x + 1, y = 1 x y y = √ 1 −x 2 , respectivamente. 9 3. Utilice la regla del punto medio A ≈ n k=1 f _ x k +x k−1 2 _ ∆x con n = 4, para aproximar el ´area de la regi´on limitada por la gr´afica de la funci´on y el eje x, sobre el intervalo dado. 3.1) f(x) = x 2 +3 [0, 2] 3.2) f(x) = x 2 +4x [0, 4] 3.3) f(x) = tan x _ 0, π 4 ¸ 3.4) f(x) = senx _ 0, π 2 ¸ 4. Halle una aproximaci´on de las siguientes integrales definidas por medio de las sumas de Riemann, empleando el punto medio para w k y el valor establecido para n. 4.1) 1 −1 (x 2 +3x +1) dx con n = 4 4.2) 8 6 dx x +1 con n = 5 4.3) 6 2 e x 4 dx con n = 5 4.4) 2.4 1.2 (3x 4 +4x 2 +3x +7) dx con n = 6 4.5) 8.7 3.5 √ x 2 +3x +5 x 5 +6x 3 +3 dx con n = 4 4.6) e 2 e 1 ln x dx con n = 5 Parte II: Sumas de Riemann con l´ımite 5. Determine el ´area de la regi´on entre la gr´afica de la funci´on y el eje m, sobre el intervalo indicado. Dibuje la regi´on. 5.1) f(m) = 3m 0 ≤ m ≤ 2 5.2) f(m) = m 2 0 ≤ m ≤ 3 5.3) g(m) = 1 2 m 2 ≤ m ≤ 4 5.4) h(m) = 4m−m 2 1 ≤ m ≤ 2 5.5) g(m) = 4m 2 −m 3 1 ≤ m ≤ 3 5.6) h(m) = m 3 +1 1 ≤ m ≤ 2 6. Calcule las siguientes integrales definidas utilizando la definici´on de Riemann. Luego verifique el resultado por el Teorema Fundamental del C´alculo. 6.1) 4 0 (x 2 +2) dx 6.2) 3 −1 (3x 2 +5x −1) dx 6.3) 5 0 (2x +3) dx 6.4) 8 3 (3x 3 +5x 2 +7x +6) dx 6.5) 2 −1 (2x 2 +5) dx 6.6) 5 0 (2x 3 +3x 2 −8x +9) dx 6.7) π/2 0 sen2x dx 6.8) 8 3 dx 1 +x 2 6.9) π/4 π/6 sec 2 x dx 7. Utilice la definici´on de Riemann en el intervalo [0, 5], para calcular la integral de las funciones f(x) dadas a trozos y compruebe el resultado usando f´ormulas apropiadas de geometr´ıa plana. 7.1) f(x) = x , si 0 ≤ x ≤ 1 1 , si 1 < x ≤ 3 2x +3 , si 3 < x ≤ 5 7.2) f(x) = x +2, si 0 ≤ x < 2 6 −x, si 2 ≤ x ≤ 5 10 8. Use la f´ormula n k=1 sen kx = cos _ α 2 _ − cos __ n + 1 2 ¸ α _ 2 sen _ α 2 _ para calcular π 2 0 sen x dx con una partici´on uniforme. 9. Utilice la definici´on de Riemann, para calcular b a dx x 2 Ayuda: Considere w k = √ x k x k−1 . Parte III: Integrales Definidas 10. Utilice el Teorema Fundamental del C´alculo, para hallar las siguientes integrales. 10.1) 3 0 (ax 2 +bx +c) dx 10.2) 36 4 dx √ x 10.3) 8 1 _ 4x 1 3 +2x − 1 3 _ dx 10.4) 0 −1 x 2 _ x 3 +1 dx 10.5) π/2 0 sen 2 3x. cos 3x dx 10.6) −1 −4 1 −x 4 x 2 dx 10.7) 3π/2 0 (4x +3 + cos x) dx 10.8) 3 1 x 2 +1 √ x 3 +3x dx 10.9) 0 −1 dx x 2 +2x +2 10.10) 3π/4 π/4 cos x 1 + cos x dx 10.11) 1 0 cosec 2 x 2 −x dx 10.12) π/4 0 2 sen x sec x + ( √ sec x sen x) 2 dx 11. Encuentre la derivada de las siguientes funciones. 11.1) F(x) = x −6 (2t +1) dt 11.2) F(x) = x 0 sen 4 t tan t dt ; − π 2 < x < π 2 11.3) F(x) = x 1 _ 1 +t 2 dt 11.4) F(x) = √ x 1/x _ t 4 +t 2 +4 dt 11.5) F(x) = π/4 x t tan t dt ; x > − π 2 11.6) F(x) = x 5 t 2 +3t +5 √ 1 +t 2 ln(3t +8) dt 11.7) F(x) = x 2 +1 1 √ 2 + sen t dt 11.8) F(x) = x 3 x _ 1 +t 4 dt 12. Utilice el Teorema de Comparaci´on y Acotamiento para demostrar las siguientes desigualdades. 12.1) 0 < 2 1 sen x x dx ≤ ln2 12.2) 1 ≤ 1 0 _ 1 +x 4 dx ≤ 6 5 12.3) 1 ≤ e 2 e dx ln x ≤ e(e −1) 12.4) 0 < 3 1 x 2 +1 √ x 3 +3x +7 dx ≤ 8 3 11 13. Sea f ∈ C[a, b], entonces, demuestre que: ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ b a f(x) dx ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ b a | f(x) | dx 14. Utilice una sustituci´on adecuada, o las indicadas, para calcular las siguientes integrales definidas. 14.1 ∗ ) a 0 _ a 2 −x 2 dx [x = asen θ] 14.2) π/2 0 senx sen(cos x) dx 14.3) π/6 0 sen 3 x cos x dx 14.4 ∗ ) −1 √ 3−6 3 2x +3 (x 2 +4x +5) 2 dx [x +2 = tan θ] 14.5) 1 0 x sen(πx 2 ) dx 14.6) 1 − 2 3 dx (2 +x) √ 1 +x 15. ∗∗ Realice la sustituci´on u = tan _ x 2 _ , para demostrar que: π/2 0 dx 3 +5 cos x = ln _ 4 √ 3 _ 16. Demuestre que: 16.1) Si f es una funci´on par, entonces: a −a f(x) dx = 2 a 0 f(x) dx 16.2) Si f es una funci´on impar, entonces: a −a f(x) dx = 0 17. Utilice el ejercicio anterior para calcular las siguientes integrales. 17.1) π −π (senx + cos x) dx 17.2) 1 −1 x 3 (1 +x 2 ) 4 dx 17.3) π −π (x 5 + | sen x|) dx 17.4) a −a _ a 2 −x 2 dx 17.5) 3 −3 x 2 +1 3 √ x 3 +3x dx 17.6) 1 −1 (1 +25x −7x 2 +5x 3 ) dx 18. Determine el error en la siguiente demostraci´on y halle el valor verdadero. π 0 _ 1 + cos 2x 2 dx = π 0 √ cos 2 x dx = π 0 cos x dx = senx ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ π 0 = sen π − sen 0 = 0 19**. Utilice integraci´on por partes, para calcular las siguientes integrales definidas. 19.1) 1 0 ln(x + _ 1 +x 2 ) dx 19.2) π/4 0 x arctan 2 x dx 19.3) 7 3 (2x +5)e −x dx 19.4 ∗ ) π/4 0 sec 3 x dx 19.5) π/4 π/6 x. sec 2 x dx 19.6) 4 1 √ x. ln x dx 19.7 ∗ ) 9 0 e √ x dx 19.8) π/4 π/6 x cos x sen 2 x dx 19.9 ∗ ) e 1 sen(ln x) dx 12 Parte IV: Teorema del Valor Medio Integral 20. Encuentre los n´ umeros que satisfacen la conclusi´on del Teorema del Valor Medio y adem´as encuentre el valor promedio de f en [a, b]. 20.1) 1 0 dx x 3 +1 20.2) 3 −1 (3x 2 −2x +3) dx = 32 20.3) 8 −1 3 √ x +1 dx = 54 20.4) −1 −2 8x −3 dx = −3 20.5) 2 1 (4x 3 −1) dx = 14 20.6) 4 1 (2 +3 √ x) dx = 20 20.7) 4 0 ( √ x +1) dx 20.8) 1 −1 (2x +1) 2 dx 20.9) 2 −1 (3x 3 +2) dx 21. Resuelva los siguientes problemas de aplicaciones al Teorema del Valor Medio: 21.1) Calcule el valor medio de la funci´on f en el intervalo [a, b] indicado: a) f(x) = x 2 +3x −1; [−1, 2] b) f(x) = x 3 ; [−1, 1] 21.2) Supongamos que un estudio indica que, entre las 13:00 horas y las 16:00 horas de un dia laborable t´ıpico, la velocidad (en Km/h) del tr´afico de una cierta salida de autopista viene dada por la f´ormula v(t) = 2t 3 −21t 2 +60t +20, donde t es el n´ umero de horas despu´es del mediod´ıa. Halle la velocidad media del tr´afico entre las 13:00 y las 16:00 horas. 21.3) Supongamos que x horas despu´es de medianoche, la temperatura en una cierta ciudad de Europa Central obedece aproximadamente a la f´ormula T(x) = 2 − 1 7 (x −13) 2 Halle la temperatura media entre las 2:00 am y las 2:00 pm y adem´as, la hora en que se alcanza la temperatura media. 21.4) Sea P un punto que se mueve sobre una recta coordenada y tiene una funci´on continua de velocidad v. Demuestre que el valor medio de v en [a, b], es igual a la velocidad media durante el intervalo de tiempo [a, b]. Parte V: M´etodos Num´ericos 22. La figura muestra la tasa media de flujo de agua (litros/minuto) en un tanque en un per´ıodo de 10 minutos. Utilice 10 subintervalos en cada caso y estime la cantidad total de agua que fluye en el tanque durante ese per´ıodo empleando: 22.1) La aproximaci´on del trapecio. 22.2) La aproximaci´on de Simpson. 23. La integral el´ıptica 8 √ 3 π 2 0 _ 1 − 2 3 sen 2 θdθ proporciona la circunferencia de una elipse. Emplear la regla de simpson con n = 8, para aproximar la circunferencia. 13 24. Utilice la regla parab´olica, o Regla de Simpson, para aproximar la cantidad de agua requerida para llenar una piscina, cuya forma es identica a la de la figura y que adem´as, tiene una profundidad de 6 pies (todas las dimensiones que aparecen en la figura est´an en pies). 25. ¿Cu´antas divisiones son necesarias para estimar el valor de la integral 3 1 1 x dx, con una presici´on de 0.00005, usando: 25.1) La regla del trapecio? 25.2) La regla de Simpson? 26. En los problemas (26.1) y (26.2), utilice la aproximaci´on que proporciona la Regla del Trapecio y la que proporciona la Regla de Simpson, para estimar la integral de la funci´on f en el intervalo [a, b], donde f es la funci´on tabulada. 26.1) x a = 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 = b f(x) 3.43 2.17 0.38 1.87 2.65 2.31 1.97 26.2) x a = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = b f(x) 23 8 −4 12 35 47 53 50 39 29 5 27. Utilice la regla trapezoidal para aproximar el ´area del terreno al borde del lago, como lo muestra la figura. Las dimensiones est´an en pies. 28. Utilice la regla trapezoidal y la regla parab´olica para hallar aproximaciones de las siguientes integrales, con el n´ umero de subintervalos indicado. 28.1) 1 0 √ 1 +x dx; n = 4 28.2) 2 0 _ 1 +x 3 dx; n = 6 28.3) 3 0 dx 1 +x 4 ; n = 8 28.4) 1/2 0 cos(e x ) dx; n = 10 28.5) 3 1 x 4 dx; n = 8 28.6) 1 0 e −x 2 dx; n = 6 28.7) 2 1 (1 +x) −1 dx; n = 6 28.8) 4 2 √ 1 + senx dx; n = 4 28.9) π 2 π 4 sen x x dx; n = 6 14 29. Determine el valor de n que debe satisfacer la Regla de Simpson para que en la aproximaci´on de la integral 8 3 dx 7 −3x se cometa un error menor a 0.0001. 30. Encuentre el m´ınimo valor de n, para que el valor de la integral indicada sea menor que el valor inidicado, si el proceso usado es el de los trapecios. 30.1) 1 1/2 dx x 0.0001 30.2) 3 0 (1 +x) −1 dx 0.001 31. Determine n, tal que, en la regla trapezoidal se cometa un error E n , menor que 0.01, en el valor aproximado de la integral. 31.1) 1.2 0 e −x 2 dx 31.2) 0.5 0 e x 2 dx 31.3) 2 1 √ senx dx 31.4) 2 1 sen √ x dx 32. Determine n, tal que, la regla trapezoidal de un error E n , menor que 0.005. Despu´es, use este valor para calcular el valor aproximado de la integral. 32.1) 4 2 1 +x 1 −x dx 32.2) 4 2 ln x dx 33. Calcule un valor aproximado de π, mediante la siguiente integral 1 0 4 1 +x 2 dx usando la regla parab´olica con n = 10. UNIDAD II Pr´actica 3 M´etodos de integraci´ on 16 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Pr´actica 3 M´etodos de Integraci´on Prof. Andr´es P´erez Parte I: Integraci´on Inmediata 1. Resuelva las siguientes integrales haciendo manipulaciones algebraicas y usando integraci´on inmediata. 1.1) 8x 2 +6x +4 x +1 dx 1.2) dx √ x −1 + √ x +1 1.3) (a x −b x ) 2 (ab) x dx 1.4) (nx) n−1 n dx 1.5) 3 x .e x dx 1.6) dx x 2 +7 1.7) dx √ 8 −x 2 1.8) e x (x −1) x 2 dx 1.9) x 3 +2x 2 +x +4 x 2 +1 dx 1.10) sen e x e −x dx 1.11) sec 3x. tan 3x dx 1.12) ln x + ln 5 5x ln 5x dx 1.13) ln(e x 2 −4 ) x −2 dx 1.14) _ 8 5 _ x dx 1.15) 3 sen x 2 cos 2 x dx 1.16) 2 x √ 1 −4 x dx 1.17) _ 3 √ x + 1 3 √ x _ dx 1.18) (1 +e x ) 2 1 +e 2x dx 1.19) ( √ a − √ x) 3 √ ax dx 1.20) x( √ x + 3 √ x) dx 1.21) 1 −x 4 x 2 +1 dx 1.22) x 3 −3x 2 +1 √ x dx 1.23) (x m −x n ) 2 p √ x dx 1.24) (x 2 +1)(x 2 −2) 3 √ x 2 dx 1.25) x tan(x 2 +1) dx 1.26) 1 + cos 2 x 1 + cos 2x dx 1.27) dx 1 + cosh x 1.28) sec 2 x dx 1.29) cosec 2 x dx 1.30) (2x + sec x. tan x) dx 1.31) 2 +6 x +6 −x (2 −x +3 x ) 2 dx 1.32) x − √ 1 +x 2 √ 1 −x 4 dx 1.33) cos x (7 + sen x) 2 dx 1.34) x 2 x +1 dx 1.35) x 2 −3 7 +x 2 dx 1.36) x 3 1 +x 4 dx 1.37) 1 + tan x 1 − tan x dx 1.38) senh 2x dx 1.39) dx 1 + cos x 17 Parte II: Sustici´on simple (Cambio de Variables) 2. Resuelva las siguientes integrales utilizando el m´etodo de sustituci´on: 2.1) e 2x 1 +e x dx 2.2) e arctan x +x ln(1 +x 2 ) +1 1 +x 2 dx 2.3) dx x ln x ln(ln x) 2.4) e sen 2 x sen 2x dx 2.5) senx ln(sec x) cos x dx 2.6) dx x cos 2 (1 + ln x) 2.7) dx e x +e −x 2.8) e sen xcos x cos 2x dx 2.9) sen(4t −1) 1 − sen 2 (4t −1) dt 2.10) senx cos x √ 2 − sen 4 x dx 2.11) x 3 +2x 2 +x +4 x 2 +1 dx 2.12) ln(x +1) − ln x x(x +1) dx 2.13) x 3 1 +x 8 dx 2.14) x(ax +b) n dx 2.15) x (x 2 +3) ln(x 2 +3) dx 2.16) a x a x +1 dx 2.17) x √ x −1 dx 2.18) x 7 (1 −x 4 ) 5 dx 2.19) x ln(1 +x 2 ) 1 +x 2 dx 2.20) dx cosec x. √ cos 2 x +2 cos x +1 2.21) dx cos 2 x(3 tan x +1) 2.22) arccos 2 x √ 1 −x 2 dx 2.23) 7x 3 (3 +2x) 1999 dx 2.24) sen2x √ 2 − cos 2 x dx 2.25) tan 3 2x. sec 4 2x dx 2.26) ln(x +1) − ln x x 2 dx 2.27) x +1 x 2 +2x +3 dx 2.28) x 3 _ x 2 +4 dx 2.29) _ x +1 x 1 x 2 dx 2.30) dx √ x(1 +x) 2.31) cos(3x −4y) dx 2.32) x 2 +x 4 −3x 2 −2x 3 dx 2.33) dx x 2 +15 2.34) 5 √ x 2 −2x +1 1 −x dx 2.35) x 1 +x 4 dx 2.36) sec x. tan x √ sec 2 x +1 dx 2.37) senx − cos x senx + cos x dx 2.38) √ tan x 1 − sen 2 x dx 2.39) x cotan(x 2 +1) dx 2.40) tan √ x √ x dx 2.41) x − √ arctan 2x 1 +4x 2 dx 2.42) dx x ln 2 x 2.43) sec 3 x +e sen x sec x dx 2.44) dx _ (1 +x 2 ) ln(x + √ 1 +x 2 ) 2.45) tan 3 x 3 . sec 2 x 3 dx 18 Parte III: Integraci´on por Partes (IPP) 3. Resuelva las siguientes integrales utilizando el m´etodo de integraci´on por partes: 3.1) sec 3 x dx 3.2) ln x x 2 dx 3.3) x ln(1 + √ x) dx 3.4) x. sec 2 x. tan x dx 3.5) x arctan x √ 1 +x 2 dx 3.6) x cos 2 x dx 3.7) ln(x 2 +1) x 2 dx 3.8) sen(ln x) dx 3.9) x 3 .e x 2 dx 3.10) x. sec x. tan x dx 3.11) x. arccos _ x 2 _ dx 3.12) x.(arctan x) 2 dx 3.13) arcsen _ x x +1 dx 3.14) x 2 √ a 2 −x 2 dx 3.15) ln _ x + _ 1 +x 2 _ dx 3.16) (arcsen x) 2 dx 3.17) 3 x . cos x dx 3.18) x 2 ln x dx 3.19) sen √ x +1 dx 3.20) x 3 _ x 2 +4 dx 3.21) arccos x dx 3.22) √ x ln x dx 3.23) (xe x +2 x ) 2 2 dx 3.24) e arcsen x dx 3.25) arctan( √ x +1) dx 3.26) 5x 2 . arctan 2x dx 3.27) sen √ x −1 dx 3.28) e √ x dx 3.29) (x 2 +5x +6) cos 2x dx 3.30) arcsen √ x √ 1 −x dx 3.31) x arcsen x dx 3.32) 5 x sen 5x dx 3.33) x sen x cos x dx 3.34) x ln _ 1 −x 1 +x _ dx 3.35) ln _ x _ 1 +x 2 _ dx 3.36) sen 2 x e x dx 3.37) (ln x) 2 dx 3.38) xe x (1 +x) 2 dx 3.39) sec 5 (ax +b) dx 3.40) x tan 2 2x dx 3.41) cos x ln(senx) dx 3.42) x cos 2 x sen x dx 3.43) x cos x sen 2 x dx 3.44) (x 2 −2x +3) ln x dx 3.45) e 2x sen 4x dx 19 4. Utilice el m´etodo de integraci´on por partes para demostrar las siguientes f´ormulas de reducci´on: 4.1) cos n x dx = 1 n cos n−1 x sen x + n −1 n cos n−2 x dx 4.2) ln n x dx = x ln n x −n ln n−1 x dx 4.3) x n e x dx = x n e x −n x n−1 e x dx 4.4) (x 2 +a 2 ) n dx = x(x 2 +a 2 ) n 2n +1 + 2na 2 2n +1 (x 2 +a 2 ) n−1 dx, n = − 1 2 5. Utilice el m´etodo de integraci´on por partes, para hallar una expresi´on para las siguientes integrales: 5.1) x n . ln m x dx 5.2) x n . sen ax dx 5.3) x n . cos ax dx 5.4) sec n x dx 5.5) sen n x dx 5.6) sen m x cos n x dx 5.7) (x +b) n .e ax dx 5.8) e ax cos bx dx 5.9) e ax sen n bx dx 6. Utilice cualquier m´etodo expuesto anteriormente, para hallar las siguientes integrales: 6.1) (ax 2 +bx +c).e kx dx 6.2) x √ a 2 +b 2 x 2 dx 6.3) cos √ x √ x dx 6.4) 7x (3 −x 2 ) ln(3 −x 2 ) dx 6.5) dx sec x(2 sen x +3) 6.6) a x 2 3x dx 6.7) x arctan _ x 2 −1 dx 6.8) dx 4x 2 +8x +4 6.9) dx x 2 +4x +5 6.10) (cos x +3x +7)e 3x dx 6.11) cosec 2 x 2 −x dx 6.12) 2 sen x sec x + ( √ sec x senx) 2 dx 6.13) dx √ x 2 +x +1 6.14) arctan x x 2 dx 6.15) x 3 arcsen 1 x dx 6.16) x 2 ln √ 1 −x dx 6.17) 1 − 3 √ 2x √ 2x dx 6.18) 1 + √ cotan x sen 2 x dx 6.19) sen 3 x 5 √ cos 3 x dx 6.20) sen _ π 4 −x _ sen _ π 4 +x _ dx 6.21) 5x √ 1 −x 4 dx 6.22) cotan x √ 1 −3 sen 2 x dx 6.23) e x e 2x −6e x +13 dx 6.24) dx (cotan x +1) sen 2 x 20 Parte IV: Potencias Trigonom´etricas 7. Resuelva las siguientes integrales de potencias trigonom´etricas: 7.1) sec 4 (5x) dx 7.2) sen 4 (3x). cos 2 (3x) dx 7.3) cotan 3 (2x) dx 7.4) tan 3 (2x). sec(2x) dx 7.5) sen 3 x. cos 3 x dx 7.6) (cos ax + sen ax) 2 dx 7.7) sen 2 _ x 2 _ cos 2 _ x 2 _ dx 7.8) tan x. sec 4 x dx 7.9) sen 2 x cos 3 x dx 7.10) sen x √ cos x dx 7.11) cosec 3 x dx 7.12) dx cos 6 x 7.13) sen 3 _ x 2 _ cos 5 _ x 2 _ dx 7.14) _ tan 3 x 3 + tan 4 x 3 _ dx 7.15) 1 + tan 2 2x sec 2 2x dx 7.16) dx 1 − sen x 7.17) cotan x cosec 3 x dx 7.18) sen 3 3x cos 3 3x dx 7.19) cotan 5 x sen 2 x dx 7.20) tan 3 x sec 6 x dx 7.21) (4 − sen 2x) 2 dx Parte IV: Sustici´on trigonom´etrica 8. Utilice sustituci´on trigonom´etrica, para hallar una expresi´on para las siguientes integrales: 8.1) x 2 (16 −x 2 ) 3/2 dx 8.2) dx 2x √ 4x 2 −1 8.3) √ x 2 +7 x dx 8.4) √ 1 −x √ x dx 8.5) x 3 _ x 2 −4 dx 8.6) x 2 25 −3x 2 dx 8.7) dx (x 2 −2x +5) 3/2 8.8) x 2 √ 6x −x 2 dx 8.9) 3x −1 x 2 +2x +2 dx 8.10) e x e 2x +e x +2 dx 8.11) dx x √ 4x 2 +9 8.12) x 12 +4x −x 2 dx 8.13) x 4 −1 x(x 2 +2) 2 dx 8.14) x (3x 2 +9x +10) 2 dx 8.15) e x √ 4 −e 2x dx 8.16) dx _ x 2 + (2 cos β)x +1 8.17) 2x +6 √ x 2 +6x +1 dx 8.18) dx x _ ln 2 x +3 ln x −1 8.19) 2x −3 2x 2 −6x +1 dx 8.20) a x ln a √ a 2x +2a x +1 dx 8.21) x 3 √ 16 +5x 2 dx 8.22) dx x 2 √ 25 −x 2 8.23) dx x √ 4x 2 −2 8.24) (9 −x 2 ) 3/2 x 2 dx 21 Parte VI: Fracciones Simples o Fracciones Parciales 9. Utilice el m´etodo de fracciones simples, para calcular las siguientes integrales: 9.1) 2x −1 (x −2)(x −1) dx 9.2) x 5 +x 4 −8 x 3 −4x dx 9.3) x 2 (x +3) 2 (x +4) 2 dx 9.4) 3x +2 x(x 2 +1) dx 9.5) x 2 +5x +3 (x −4)(x +7)(3x +1) dx 9.6) x 4 (x 2 −1)(x +2) dx 9.7) 4x 2 −5x (x 2 −x)(x 2 −x +1) 2 dx 9.8) 1 (x −1) 2 (x 2 +1) 2 dx 9.9) 3x −1 x 3 +2x 2 +2x dx 9.10) dx (x +a)(x +b) 9.11) 2x 2 +41x −91 (x −1)(x +3)(x −4) dx 9.12) 3x −1 x 3 −6x 2 +2x −12 dx 9.13) dx (x 2 −4x +3)(x 2 +4x +5) 9.14) dx x 4 +1 9.15) 5x 2 +6x +9 (x −3) 2 (x +1) 2 dx 9.16) dx x 3 +1 9.17) x 3 −1 4x 3 −x dx 9.18) x 2 −8x +7 (x 2 −3x −10) 2 dx 9.19) 3x −8 x 3 +x 2 +4x +4 dx 9.20) x 3 +x −1 (x 2 +2) 2 dx 9.21) x 3 −6 x 4 −6x 2 +8 dx 9.22) √ 2x +2 ( √ 3x +3)( √ 5x +5) dx 9.23) x 2 +x +1 (ax +b)(ax 2 +b) dx 9.24) x (x +1) 3 (x 2 +1) 2 dx 9.25) x 2 +2x +2 27x 3 −1 dx 9.26) x x 3 +2x 2 +x +2 dx 9.27) 2x 3 +9 (x 2 +3)(x 2 −2x +3) dx 9.28) 6x 2 +22x −23 (2x −1)(x 2 +x −6) dx 9.29) x 2 (2x 2 +2x +1) 2 dx 9.30) dx x(3 − ln x)(ln x −1) 9.31) x 3 −8x 2 −1 (x −1)(x +3)(x 2 +1) dx 9.32) 2x 3 +5x 2 +16x x 5 +8x 3 +16x dx 9.33) 3x 4 −2x 2 +3x +5 (x +1)(x 2 −1) 2 dx 9.34) x +3 4x 4 +4x 3 +x 2 dx 9.35) dx x 3 +x 2 +x 9.36) 3x 2 −x +1 x 3 −x 2 dx 9.37) x 4 x 4 −1 dx 9.38) dx (x +1)(x 2 +x +1) 2 9.39) dx (x −2)(3x 2 +x −1) 2 dx 9.40) 5x 3 +2 x 3 −5x 2 +4x dx 9.41) x 3 +x +1 x(x 2 +1) dx 9.42) x 3 −1 4x 3 +4x 2 −x −1 dx 9.43) dx x(x 4 +x 2 +1) 9.44) dx x(x 3 +x 2 +x) 9.45) x 2 (x −2) 7 dx 22 Parte VII: Integrales de funciones irracionales 10. Utilice una sustituci´on adecuada, para hallar las siguientes integrales de funciones irracionales: 10.1) dx √ 2x −1 − 4 √ 2x −1 10.2) x √ ax +b dx 10.3) √ x x +2 dx 10.4) √ x −1 3 √ x +1 dx 10.5) √ x +1 +2 (x +1) 2 − √ x +1 dx 10.6) x _ x −1 x +1 dx 10.7) 3 _ x +1 x −1 dx 10.8) x +3 x 2 √ 2x +3 dx 10.9) dx (2 −x) √ 1 −x 10.10) dx 1 + 3 √ x −2 10.11) √ x +1 1 −x dx 10.12) dx √ x − 4 √ x 10.13) dx √ 2x − √ x +4 10.14) dx √ x 3 √ x(1 + 3 √ x) 2 10.15) dx _ √ x +1 Parte VIII: Sustici´on Universal 11. Utilice la sustituci´on u = tan _ x 2 _ , u = tan x, u = sen x ´o u = cos x, para hallar las siguientes integrales de funciones racionales en t´erminos de las funciones sen x y cos x: 11.1) dx 1 + sen x + cos x 11.2) dx 3 +5 cos x 11.3) cos x 1 + cos x dx 11.4) dx sen x + cos x 11.5) sen x 1 − sen x dx 11.6) dx 8 −4 sen x +7 cos x 11.7) dx acos x +bsen x 11.8) 1 + tan x 1 − tan x dx 11.9) dx 1 +3 cos 2 x 11.10) dx sen 2 x +3 sen x cos x − cos 2 x 11.11) cos 2x cos 4 x − sen 4 x dx 11.12) 1 − sen x + cos x 1 − sen x − cos x dx 11.13) dx 6 −5 sen x + sen 2 x 11.14) cos x sen 2 x −6 sen x +5 dx 11.15) dx 3 sen 2 x +5 cos 2 x 11.16) 3dx 3 +2 sec x 11.17) dx 5 +4 cos 2x 11.18) 2dx 3 sen 2x +1 11.19) sen 2 x 1 + sen x dx 11.20) sen 2x sen x + cos x dx 11.21) dx (2 + cos x) senx 11.22) dx (2 − sen x)(3 − sen x) 11.23) dx 3 sen 2 x +5 cos 2 x 11.24) dx 2 sen x + cos x +3 11.25) sen x (1 − cos x) 2 dx 11.26) cos 2x sen 4 x + cos 4 x dx 11.27) 1 +2 senx cos x sen x + cos x dx UNIDAD III Pr´acticas: 4 y 5 Aplicaciones de la integral definida: • ´ Areas de regiones planas • S´olidos de Revoluci´on • Longitud de arco y superficies de Revoluci´on • Sistema de Coordenadas Polares 24 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Pr´actica 4 ´ Areas ∼ Vol´ umenes ∼ Longitud de arco ∼ Superficies de revoluci´on Prof. Andr´es P´erez Parte I: ´ Areas 1. Halle el ´area de la regi´on limitada por las gr´aficas de las funciones y +4 = x 2 y y −x = 2. 2. Halle el ´area de la regi´on encerrada entre las par´abolas x = y 2 y x = −2y 2 +3. 3. Calcule el ´area de la regi´on limitada por las gr´aficas de y = x +1, y = −x +1 y y = 2x −4. 4. Calcule el ´area de la regi´on limitada por f(x) = −2x 2 +8x −7 y g(x) = x −4. 5. Halle el ´area de un circulo de radio r. 6. Calcule el ´area de la regi´on R, limitada por las curvas x = _ 16 −y 2 y x 2 = 6|y|. 7. Considere la regi´on limitada por las curvas x = (y +1) 2 −1 y x = 1 − |y +1|. Halle el ´area de dicha regi´on. 8. Halle el valor positivo de b, para que el ´area de la regi´on limitada por las curvas x = −y 2 +3y y y = x +b 2 −1 sea 36 m 2 . 9. Encuentre el ´area de la regi´on limitada por las gr´aficas de las funciones y = | sen x| y y = 1, con 0 ≤ x ≤ 2π. 10. Determine el ´area de la regi´on limitada por: y = cos x; y = sen x y 0 ≤ x ≤ 2π. 11. Considere la regi´on R, limitada por las siguientes gr´aficas y − x = 6; y = x 3 y 2y + x = 0. Encuentre el ´area de dicha regi´on. 12. Determine el ´area de la regi´on acotada por las siguientes curvas y = e x ; y = e −x y x = ±1. 13. Halle el ´area de la regi´on acotada por las gr´aficas de las siguientes curvas y = x 3 −x y y = x. 14. Determine el ´area de la regi´on encerrada por las gr´aficas de las siguientes curvas y = √ x y y = x 3 . 15. A continuaci´on se da una regi´on R ⊂ R 2 , limitada por ciertas curvas. Hallar el ´area de R. 15.1) R = (x, y) ∈ R 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y = x 3 y = 8 x = 0 15.2) R = (x, y) ∈ R 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y = x 2 +2x 3y = 10 −x x = 2y 15.3) R = (x, y) ∈ R 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y = x 2 +8 y = (x −4) 2 y = x −2 x = 0 15.4) R = (x, y) ∈ R 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y = sen x y = sen 2x x = 0 x = π 15.5) R = (x, y) ∈ R 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 3y = 3x −x 2 x = 2y 15.6) R = (x, y) ∈ R 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y = x 2 −3x y = x 3 −3x 2 15.7) R = (x, y) ∈ R 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y = sen x y = _ π 2 −x 2 15.8) R = (x, y) ∈ R 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y = cos x , en II c y = tan x 25 Parte II: S´olidos de Revoluci´on 16. Halle el volumen del s´olido de revoluci´on, que se genera al hacer girar la regi´on acotada por las gr´aficas de las siguientes funciones alrededor del eje indicado. 16.1) x = y 2 ; y = x −2 alrededor del eje x = 0 16.2) y = 4x 2 ; y = 8 −4x alrededor del eje x = 1 16.3) 16y = 3x 2 +48 ; 16y = x 2 +80 alrededor del eje y = 2 16.4) x = 4 +6y −y 2 alrededor del eje x = 4 16.5) y = x 2 +2 ; 2y = x +2 ; x = 0 ; x = 1 alrededor del eje y = 0 16.6) xy = 2 ; x = 0 ; y = 1 ; y = 6 alrededor del eje x = 0 16.7) g(x) = √ x ; f(x) = x 2 alrededor del eje x = −3 16.8) x = 1 − |y +1| ; x = (y +1) 2 −1 alrededor del eje x = 4 16.9) y = _ π 2 −x 2 ; y = sen x alrededor del eje x = 5 16.10) y = −x 2 +x +12 ; y = x −4 alrededor del eje x = −5 16.11) y = 2 √ x ; y = x alrededor del eje y = 0 16.12) x = y 2 ; y = x −2 alrededor del eje x = 0 16.13) y = 4x 2 ; y = 8 −4x alrededor del eje x = 1 16.14) y = −x 2 +x +12 ; y = x −4 alrededor del eje y = 1 16.15) 1 = x 2 4 + y 2 9 alrededor del eje x = 0 16.16) y = x 2 +2 ; 2y = x +2 ; x = 0 ; x = 1 alrededor del eje y = 0 16.17) y = x 2 +2 ; 2y = x +2 ; x = 0 ; x = 1 alrededor del eje x = 0 16.18) y = 1 x ; x = 1 ; x = 2 ; y = 0 alrededor del eje x = −5 16.19) 1 = x 2 4 + y 2 9 alrededor del eje x = 3 16.20) y = 2 − |x| ; y = − _ 4 −x 2 alrededor del eje y = 2 26 Parte III: Longitud de Arco 17. Calcular la longitud de arco de las siguientes funciones en los valores indicados. 17.1) y = x 2 − ln x 8 entre x = 1 y x = e 17.2) y 2 −x = 0 entre (0, 0) y (1, 1) 17.3) y = 5 − √ x 3 entre x = 1 y x = 4 17.4) y = x 3 12 + 1 x entre x = 1; y x = 2 17.5) y = 5x 2/3 −10 entre x = 8 y x = 27 17.6) y = x 4 +3 6x entre x = 1 y x = 4 17.7) y = _ _ 4 − 3 √ x 2 _ 3 entre x = 1 y x = 8 17.8) x = y 4 16 + 1 2y 2 entre y = −2 y y = −1 17.9) 30xy 3 −y 8 = 15 entre ( 8 15 , 1) y ( 271 240 , 2) 17.10) 12xy −4y 4 = 3 entre ( 7 12 , 1) y ( 67 24 , 2) Parte IV: Superficies de Revoluci´on 18. Determine el ´area de la superficie de revoluci´on generada al girar la curva dada en torno al eje indicado. 18.1) y = √ x con 0 ≤ x ≤ 1 alrededor del eje x 18.2) y = 1 12x 3 + x 5 5 con 1 ≤ x ≤ 2 alrededor del eje y 18.3) x = y 4 8 + 1 4y 2 con 1 ≤ y ≤ 2 alrededor del eje x 18.4) y = 2 3 x 3/2 con 1 ≤ x ≤ 2 alrededor del eje y 18.5) y = (2x −x 2 ) 1/2 con 0 ≤ x ≤ 2 alrededor del eje x 27 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Pr´actica 5 Coordenadas Polares Prof. Andr´es P´erez 1. Grafique las siguientes funciones dadas en coordenadas polares. 1.1) r = 5 1.2) θ = − π 6 1.3) r = 2 cos θ 1.4) r = 4(1 − sen θ) 1.5) r = 8 cos 3θ 1.6) r 2 = 4 cos 2θ 1.7) r 2 = 9 sen 2θ 1.8) r = θ 2 1.9) r = e θ 1.10) r = 2 θ 1.11) r = 4 −4 cos θ 1.12) r = 4 cos 2θ 1.13) r = 3 sen 3θ 14) r = 6 sen3θ 1.15) r = − 1 θ 2. Determine el ´area de la regi´on dentro de la imagen del limaz´on r = 2 + cos θ. 3. Determine el ´area de un p´etalo de la rosa de cuatro p´etalos r = 4 sen 2θ. 4. Determine el ´area de la regi´on fuera del cardioide r = 1 + cos θ y dentro del c´ırculo r = √ 3 sen θ. 5. Determine el ´area de la regi´on fuera del ciclo menor y dentro del ciclo mayor del limaz´on r = 3 −6 senθ. 6. Determine el ´area de la regi´on fuera del cardioide r = 2 +2 sen θ y dentro del cardioide r = 2 +2 cos θ. 7. Determine el ´area de la rosa de tres p´etalos r = 4 cos 3θ en la regi´on encerrada por ella. UNIDAD IV Pr´acticas: 6 - 7 - 8 y 9 Integraci´on impropia y Sucesiones: • Trabajo Mec´anico y Fuerza Hidrost´atica • Centro de masa de l´aminas homog´eneas • Teorema de Pappus • Integrales impropias • Sucesiones 29 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Pr´actica 6 Trabajo Mec´anico ∼ Fuerza Hidrost´atica Prof. Andr´es P´erez Parte I: Trabajo (Vaciado de Tanques) 1. Un tanque c´onico reposa sobre su base que est´a a nivel del suelo y su eje es vertical. El tanque tiene un radio de 5 pies y una altura de 10 pies. Calcule el trabajo realizado al llenar este tanque con agua bombeada desde el nivel del suelo. Nota: Considere δ=62.4 libras/pie 3 . 2. Suponga que el tanque del ejercicio anterior est´a boca arriba, es decir, su v´ertice est´a al nivel del suelo y su base se encuentra a 10 pies sobre el suelo. Nota: Su eje sigue siendo vertical. 3. Un tanque cuyo punto m´ınimo est´a a 10 pies sobre el suelo tiene la forma de un taz´on, obtenida esta al hacer girar la par´abola x 2 = 5y, con −5 ≤ x ≤ 5, en torno al eje y. Las unidades de los ejes coordenados est´an en pies. ¿Cu´anto trabajo se realiza al llenar este tanque con petr´oleo cuya densidad es de 50 libras/pie 3 , si el petr´oleo se bombea desde el nivel del suelo? 4. La gasolina de una estaci´on de servicio se guarda en un tanque cil´ındrico enterrado a un lado de la estaci´on, de modo que la parte m´as alta del tanque est´a 5 pies debajo de la superficie. El tanque tiene 6 pies de di´ametro y 10 pies de largo. Suponga que la densidad de la gasolina es una constante γ, cuyas unidades est´an dadas en libra/pie 3 . ¿Cu´anto trabajo se realizar´a al vaciar toda la gasolina de este tanque, inicialmente lleno a todos los autom´oviles? 5. Considere un tanque esf´erico para agua, cuyo radio es de 10 pies y cuyo centro est´a a 50 pies del suelo. ¿Cu´anto trabajo se necesita para llenar este tanque, bombeando agua desde el nivel suelo?. Sugerencia: Los c´alculos pueden ser m´as simples si hace y = 0 en el centro del tanque y se piensa en la distancia que debe levantarse cada rebanada de agua. 6. Un tanque semiesf´erico de radio 10 pies est´a colocado, de modo que, su lado plano reposa sobre una torre de 60 pies de altura. ¿Cu´anto trabajo se necesita para llenar este tanque con petr´oleo de densidad 50 libras/pie 3 , si el petr´oleo debe bombearse al tanque desde el nivel del suelo? 30 7. En un Hospital, acaban de construir un nuevo contenedor de agua (v´ease la figura). Sus elementos principales consisten, en un tanque esf´erico que tiene un radio interno de 10 pies y un largo tubo para llenar de 30 pies de largo. El tubo para llenar es cil´ındrico con radio interno de 1 pie. Suponga, que se bombea agua desde el piso hasta el tanque, por medio del tubo. ¿Cu´anto trabajo se necesita para llenar el tubo y el tanque con agua? 8. Encuentre el trabajo que se debe realizar, para vaciar los tanques con las dimensiones se˜ naladas. Parte II: Fuerza Hidrost´atica 9. En los siguientes problemas se describe una compuerta en la cara vertical de una presa. Detrmine la fuerza total del agua sobre la compuerta, si la parte superior est´a a 10 pies debajo de la superficie del agua. 9.1) Un cuadrado de lado igual a 5 pies, cuya parte superior es paralela a la superficie del agua. 9.2) Un c´ırculo de radio 3 pies. 9.3) Un tri´angulo is´osceles de 5 pies de altura y 8 pies de base. 9.4) Un semic´ırculo de radio 4 pies, cuya orilla superior es su di´ametro (paralelo a la superficie del agua) 10. Suponga que una presa tiene la forma de un trapecio con una altura de 1000 pies, 300 pies de largo en la parte superior y 200 pies de largo en el fondo. ¿Cu´al es la fuerza total que ejerce el agua sobre la presa, cuando el nivel del agua detr´as de la presa llega hasta su parte superior? 11. Una presa de 60 pies de altura tiene forma de trapecio, el ancho de la parte superior es de 100 pies y de la base 40 pies. Halle la fuerza hidrost´atica si el nivel de agua desciende 10 pies por efecto de una sequ´ıa. 12. Suponga que la presa de la figura tiene las siguientes medidas: L = 200 pies de largo y T = 30 pies de ancho en su base. Determine la fuerza del agua sobre la presa, si el agua, tiene una profundidad de 100 pies y el extremo inclinado de la presa da cara al agua. 31 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Pr´actica 7 Centro de Masas ∼ Teorema de Pappus Prof. Andr´es P´erez 1. Calcule la masa de un bate de b´eisbol, con las siguientes caracter´ısticas: El bate tiene 30 pulgadas de longitud y cuya densidad de masa es δ(x) = _ 1 46 + x 690 _ 2 slugs/pulgada (los slugs son unidades para medir en el sistema ingl´es). Esta densidad, tiene en cuenta el hecho de que el bate de b´eisbol es semejante a un cono alargado. Halle entonces la masa del objeto. 2. Calcule el centro de masa del bate del ejercicio anterior. 3. Calcule la masa y el centro de masa de un objeto cuya densidad es δ(x) = x 6 +2 Kg/m, 0 ≤ x ≤ 6. Explique brevemente en t´erminos de la funci´on densidad, ¿por qu´e el centro de masa no est´a en x = 3? 4. Las siguientes figuras describen l´aminas de acero, cuya densidad asumiremos constantemente igual a δ. Determine el centroide en cada una de estas regiones: 5. Determine el centroide en una l´amina de acero con den- sidad constante, determinada por la regi´on acotada entre las gr´aficas de las curvas y = x 2 −x −6 y y = 9 −x. 6. Determine el centroide en una l´amina de acero con den- sidad constante, determinada por la regi´on encerrada por las gr´aficas de las siguientes curvas y = √ x y y = x 3 . 7. Determine el centroide en una l´amina de acero con den- sidad constante, determinada por la regi´on limitada por f(x) = −2x 2 +8x −7 y g(x) = x −4. 8. Utilice el Teorema de Pappus, para hallar el volumen del s´olido de revoluci´on que se genera al hacer girar la zona delimitada por las gr´aficas de f(x) = −2x 2 +8x−7 y g(x) = x −4, alrededor del eje x = 8. 9. Utilice el Teorema de Pappus, para hallar el volumen del s´olido de revoluci´on que se genera al hacer girar la zona delimitada por las gr´aficas de f(x) = 3 − (x + 1) 2 y g(x) = 1 −x, alrededor del eje y = 4. 10. Utilice el teorema de Pappus, para determinar el volumen del s´olido que se genera al hacer girar la regi´on delimitada por las gr´aficas de f(x) = cos x y g(x) = tan x, con 0 ≤ x < π 2 , alrededor de x = π 2 . 32 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Pr´actica 8 Integraci´on impropia ∼ Integrandos discontinuos 1. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes, en caso de que sean convergentes halle su valor. 1.1) ∞ 2 dx √ x +3 1.2) ∞ 1 ln x x dx 1.3) ∞ 2 dx (x +3) 3/2 1.4) ∞ 0 dx (2 +x)(3 +x) 1.5) ∞ 0 cos x dx 1.6) 3 −∞ dx x 2 +9 1.7) ∞ 0 arctan x 1 +x 2 dx 1.8) 1 −∞ dx (2x −3) 2 1.9) ∞ 2 dx 3 √ 5x −8 1.10) ∞ 1 dx 2x + 3 √ x +1 +5 1.11) ∞ 0 e −2x cos bx dx 1.12) ∞ 0 sen x dx 1.13) ∞ 0 e −x dx 1.14) 0 −∞ e 3x dx 1.15) ∞ e dx x. ln 2 x 1.16) ∞ 0 x x 2 +5x +6 dx 1.17) ∞ 1 sen πx dx 1.18) ∞ 0 5 2x +3 dx 1.19) −1 −∞ xe 2x dx 1.20) ∞ 1 ln x x 2 dx 1.21) ∞ 1 ln x x 3 dx 2. Suponga que la integral ∞ −∞ f(x) dx = L < ∞ es decir, converge. Suponga adem´as, que a, b ∈ R, con a = b. Demuestre que a −∞ f(x) dx + ∞ a f(x) dx = b −∞ f(x) dx + ∞ b f(x) dx 3. 3.1) Demuestre que: ∞ −∞ x dx diverge. 3.2) Demuestre que: lim t→∞ t −t x dx = 0 Esto evidencia que NO podemos definir ∞ −∞ f(x) dx = lim t→∞ t −t f(x) dx 33 4. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes, en caso de que sean convergentes halle su valor. 4.1) ∞ −∞ e −|x| dx 4.2) ∞ −∞ x.e −x dx 4.3) ∞ −∞ x 2 .e −x 3 dx 4.4) ∞ −∞ xe −x 2 dx 4.5) ∞ −∞ x 1 +x 2 dx 4.6) ∞ −∞ dx x 2 +4x +9 4.7) ∞ −∞ dx 3 √ x −1 4.8) ∞ −∞ x dx 4.9) ∞ −∞ (2x 2 −x +3) dx 5. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes y en caso de que converjan, halle su valor. 5.1) 4 0 dx x √ x 5.2) 9 −1 dx 3 √ x −9 5.3) 2 −1 dx x 2 5.4) 8 3 dx (5 −x) 2/5 5.5) 2 −2 dx x 2 −1 5.6) π/2 π/4 sec 2 x dx 5.7) π/2 0 cos x √ sen x dx 5.8) 1 0 x. ln x dx 5.9) 2 0 dx 4x −5 5.10) 7 −3 dx (x 2 −1)(x +3) 5.11) 4 0 dx x 2 +x −6 5.12) π/2 π/4 tan 2 x dx 5.13) 3 0 dx √ x 5.14) π 0 sec x dx 5.15) 6 −1 dx x 2 −5x −6 5.16) 2 0 x −3 2x −3 dx 6. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes y en caso de que converjan, halle su valor. 6.1) ∞ −∞ 3x 2 −4x +5 (x −1)(x 2 +1) dx 6.2) ∞ 4 x 2 √ x 2 −4x dx 6.3) ∞ 0 dx x 3/4 −x 5/4 6.4) ∞ −1 1 x 2 _ 1 + 1 x dx 6.5) ∞ 0 dx √ x(1 +x) 6.6) ∞ 2 dx (3 +x) √ x −2 7. Calcule el valor de K, para el cual las siguientes integrales convergen. 7.1) ∞ 0 _ 1 √ x 2 +4 − K x +2 _ dx 7.2) ∞ 0 _ x x 2 +1 − K 3x +1 _ dx y evalue la integral para dicho valor de K. 8. Sean f, g ∈ C[a, ∞], tales que: f(x) ≥ g(x), para todo x ≥ a. El Teorema de Com- paraci´on y Acotamiento, establece que: 1. Si ∞ a f(x) dx converge =⇒ ∞ a g(x) dx converge 2. Si ∞ a g(x) dx diverge =⇒ ∞ a f(x) dx diverge 8.1) ∞ 1 sen 2 x x 2 dx 8.2) ∞ 1 _ 1 + √ x x dx 8.3) ∞ 1 dx x +e 2x 8.4) ∞ 1 1 √ x 3 +1 dx 8.5) π 2 0 dx x sen x 8.6) 1 0 dx e x √ x 34 9. Determine los valores de p, para los cuales las integrales 9.1) 1 0 dx x p 9.2) ∞ e dx x(ln x) p dx 9.3) 1 0 x p ln x dx convergen y realice la evaluaci´on para dichos valores. 10. Demuestre que ∞ 0 x 2 e −x 2 dx = 1 2 ∞ 0 e −x 2 dx 11. Demuestre que la integral de Euler de 1 era especie (Funci´on Beta) B(p, q) = 1 0 x p−1 (1 −x) q−1 dx es convergente cuando p > 0 y q > 0. 12. Demuestre que la integral de Euler de 2 da especie (Funci´on Gamma) Γ(p) = ∞ 0 x p−1 e −x dx es convergente cuando p > 0. 13. Utilice el ejercicio 12, para: 13.1) Calcular Γ(1), Γ(2), Γ(3). 13.2) Demuestre que Γ(p +1) = pΓ(p). Ayuda: Integre por partes. 14. Una funci´on de densidad de probabilidad, se define como una funci´on ρ : I −→ R, que cumple las siguientes condiciones: i) ρ(t) > 0, para todo t ∈ I y ρ(t) = 0 en otro caso. ii) I ρ(t) dt = 1. 14.1) Considere f : R −→ R, definida por f(x) = ce −cx , para x ≥ 0 y c ∈ R + y 0 en otro caso. Demuestre que f, es una funci´on de probabilidad en R. 14.2) Calcule el promedio µ = ∞ −∞ xf(x) dx 14.3) Calcule la desviaci´on est´andar σ = _ ∞ −∞ (x −µ) 2 f(x) dx _ 1/2 15. Si f(t) es una funci´on continua pata todo t ≥ 0, la Transformada de Laplace de f, es una funci´on F, definida por F(s) = ∞ 0 f(t)e −st dt donde el dominio de F, es el conjunto de todos los valores s, para los cuales converge la integral. Encuentre la Transformada de Laplace de las siguientes funciones: 15.1) f(t) = k, k ∈ R 15.2) f(t) = e kt , k ∈ R 15.3) f(t) = t k , k ∈ N 15.4) f(t) = sen kt, k ∈ R 15.5) f(t) = cos kt, k ∈ R 15.6) f(t) = senh kt, k ∈ R 35 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Pr´actica 9 Sucesiones num´ericas Prof. Andr´es P´erez 1. Para cada una de las siguientes sucesiones, halle la f´ormula del t´ermino n-´esimo a n , e indique para que valor de n inicia dicha f´ormula. 1.1) 1, 2, 3, 4, . . . 1.2) 1, 3, 5, 7, . . . 1.3) 2, 4, 6, 8, . . . 1.4) 3, 6, 9, 12, . . . 1.5) 3, 5, 7, 9, . . . 1.6) 1, 8, 27, 64, . . . 1.7) 1, 1 4 , 1 9 , 1 16 , . . . 1.8) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , . . . 1.9) 7, 9, 11, 13, . . . 1.10) 0, 1, 0, 1, 0, . . . 1.11) 2, 6, 18, 54, . . . 1.12) 2, 3, 5, 8, 11, . . . 1.13) 2, 4, 6, 8, 10, . . . 1.14) 1 3 , − 4 5 , 9 7 , − 16 9 , . . . 1.15) 1 3 , − 4 5 , 9 7 , − 16 9 , . . . 1.16) 5 2 , 7 4 , 9 6 , 11 8 , . . . 1.17) 1 2 , 1 6 , 1 12 , 1 20 , . . . 1.18) 1 2 , 2 4 , 3 8 , 4 16 , . . . 1.19) 4 7 , 7 9 , 10 11 , 13 13 , . . . 1.20) 1 1 · 3 , 1 3 · 5 , 1 5 · 7 , . . . 1.21) 1 2 · 5 , 1 5 · 8 , 1 8 · 11 , . . . 1.22) 2 1 · 3 , 4 2 · 5 , 6 3 · 7 , . . . 1.23) 1 · 3, 2 · 9, 3 · 27, . . . 1.24) −5, 10, −17, 26, . . . 2. Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 pies sobre una losa de concreto. Cada vez que rebota alcanza una altura equivalente a 2 3 de la altura anterior. Determine la altura que alcanza en el tercer rebote y en el n-´esimo rebote. 3. Un objeto se deja caer desde una gran altura, de tal manera que recorre 16 pies durante el primer segundo, 48 pies durante el segundo instante de tiempo, 80 pies durante el tercero y as´ı sucesivamente. ¿Cu´anto recorre el objeto durante el sexto segundo? 4. Sea {a n } n≥1 , una sucesi´on infinita con t´ermino general a n . Determine cual de las siguientes sucesiones converge o diverge y en caso de que converjan halle su l´ımite. 4.1) a n = 1 5 n 4.2) a n = 4 √ n 4.3) a n = n 2 −1 n 2 +1 4.4) a n = 4n −3 3n +4 4.5) a n = n 2 n +1 4.6) a n = arctan 2n 4.7) a n = cos _ nπ 2 _ 4.8) a n = (−1) n n 2 1 +n 3 4.9) a n = _ π 3 _ n 4.10) a n = 3 + (−1) n n 2 4.11) a n = n 2 _ 1 − cos 1 n _ 4.12) a n = 4n 3 +3n 2 +1 5n 3 +3 4.13) a n = n2 −n 4.14) a n = ln(2 +e n ) 3n 4.15) a n = 1 + (−1) n 4.16) a n = sen n 2 n 4.17) a n = √ n +8 − √ n 4.18) a n = cos 2 n 2 n 4.19) a n = 2 n 3 n +1 4.20) a n = 5 −2 −n 6 +4 −n 4.21) a n = ln(n +1) − ln n 4.22) a n = _ 1 − 4 n _ n 4.23) a n = e n −e −n e n +e −n 4.24) a n = 5 + 5 n 3 n 36 4.25) a n = 10 (n+1)/n 4.26) a n = n √ n 4.27) a n = n 2/(n+1) 4.28) a n = √ n( √ n +1 − √ n) 4.29) a n = cos 2nπ n 4.30) a n = e n n 4 4.31) a n = (−1) n cos n n 2 4.32) a n = _ 3 m √ n m _ 2 m (n +1) _ nm 4.33) a n = n _ n +2 2n −3 _1 n −1 4.34) a n = _ n +1 n −1 _2n−1 4 4.35) a n = 2 n n! 4.36) a n = _ 1 2 _ n +1 4.37) a n = n 1 1 x p dx 4.38) a n = π − sen 2nπ n 4.39) a n = ln 2 n n 4.40) a n = 1 3 +2 3 +· · · +n 3 n 4 4.41) a n = _ 1 2 + 1 6n _ n 4.42) a n = ln 2n ln 3n 4.43) a n = senn 3 n 4.44) a n = (2n +1) 1 n 4.45) a n = n 2/3 sen n! n +1 4.46) a n = n 3 sen _ 2 n 3 _ 4.47) a n = n 5 +1 4n 2 4.48) a n = n _ n 2 +n 5. Sucesi´on de Fibonacci: 5.1) Suponga que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja procrea una nueva pareja, que es f´ertil al mes. Si comenzamos con una pareja de reci´en nacidos. Demuestre que si F 1 = 1 y F 2 = 1, entonces la sucesi´on de Fibonacci, {F n } 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . est´a dada por la f´ormula recurrente F n+1 = F n +F n−1 , n ≥ 3 5.2) Verifique que el t´ermino general de la sucesi´on es F n = 1 √ 5 _ 1 + √ 5 2 _ n − 1 √ 5 _ 1 − √ 5 2 _ n demostrando que esta expresi´on satisface la f´ormula recurrente. 5.3) Sea f n = F n+1 F n . Demuestre que f n−1 = 1 + 1 f n−2 . 5.4) Sea {F n } la sucesi´on de Fibonacci, dada en (5.2). Demuestre que lim n→∞ F n+1 F n = 1 + √ 5 2 6. Calcule el l´ımite de la siguiente sucesi´on √ 2, _ 2 √ 2, _ 2 _ 2 √ 2, . . . 7. Se˜ nale si las siguientes sucesiones son mon´otonas. 7.1) a n = 1 3n +5 7.2) a n = 3 + (−1) n n 7.3) a n = n −2 n +2 7.4) a n = √ n +1 5n +3 8. Demuestre que si x n+1 = 1 2 _ x n + 2 x n _ , para n ≥ 1 y adem´as lim n→∞ x n existe, entonces la sucesi´on {x n } converge a √ 2 o bien a − √ 2. 37 9. Si a 1 = 3 y a n+1 = 1 a n , para todo n ≥ 1. Calcule lim n→∞ a n . 10. Si a 1 = √ 2 y a n+1 = √ 1 +a n , para todo n ≥ 1. Calcule lim n→∞ a n . 11. Si a 1 = 2 y a n+1 = 1 2 (a n +4), para todo n ≥ 1. Calcule lim n→∞ a n . 12. Demostrar que √ 2, _ 2 + √ 2, _ 2 + _ 2 + √ 2, . . . converge a 2. 13. Demostrar que si {a n } es una sucesi´on que converge a cero y {b n } es una sucesi´on acotada, entonces {a n b n }, converge a cero. 14. Sean {a n }, {b n } y {c n } sucesiones tales que lim n→∞ a n = lim n→∞ c n = 1 y a n ≤ b n ≤ c n , para todo n. Demostrar que lim n→∞ b n = 1. 15. Demuestre que si {a n } y {b n } son dos sucesiones divergentes, entonces la sucesi´on {a n +b n }, tambi´en diverge. 16. Sean {a n } y {b n } dos sucesiones convergentes. Demostrar que lim n→∞ (a n +b n ) = lim n→∞ a n + lim n→∞ b n 17. Dar ejemplos de sucesiones {a n } y {b n } tales que lim n→∞ a n = lim n→∞ b n = 0, pero 17.1) lim n→∞ a n b n = 0 17.2) lim n→∞ a n b n = +∞ 17.3) lim n→∞ a n b n no existe 17.4) lim n→∞ a n b n = −∞ 18. Demostrar que si {a n } es una sucesi´on convergente y {b n } es una sucesi´on tal que b n = 0, para todo n y lim n→∞ b n = ∞, entonces lim n→∞ a n b n = 0 19. Demostrar que la sucesi´on n! n n n≥1 , converge a cero. 20. Utilice el teorema de sucesiones mon´otonas y acotadas para hacer un estudio de la convergencia de las siguientes sucesiones 20.1) 1 · 3 · 5 · · · (2n −1) 2 n n! n≥1 20.2) n! 1 · 3 · 5 · · · (2n −1) n≥1 21. Dada la sucesi´on {a n } definida por a n = ar n−1 , donde a y r son constantes. Se define la sucesi´on {S n } por S n = a 1 +a 2 +· · · +a n 21.1) Deducir que: S n = a −ar n 1 −r 21.2) Demostrar que {S n } converge si y s´olo si |r| < 1. AP ´ ENDICE 1 Repaso de L´ımites y Derivadas 39 Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica “ Antonio Jos´e de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias B´asicas Matem´aticas II (11025) Per´ıodo Lectivo: 2008-2 Repaso Repaso de L´ımites y Derivadas Prof. Andr´es P´erez Parte I: L´ımites 1. Calcule en caso de que existan, los siguientes l´ımites. 1.1) lim x→3 2x 2 +x 5x +1 1.2) lim x→4 16 −x 2 4 −x 1.3) lim x→5 √ 3x +1 −4 √ x −2 − √ 3 1.4) lim x→0 e ax −e bx sen ax − sen bx 1.5) lim x→1 x 3 +x 2 −x −1 2x 3 −3x +1 1.6) lim x→−1 1 + 3 √ x 1 + 5 √ x 1.7) lim x→0 sen(x +h) − senx h 1.8) lim x→0 √ 1 + sen x − √ 1 − sen x x 1.9) lim x→0 tan x − sen x x 1.10) lim x→0 sen 2 x x 1.11) lim x→ π 2 1 + tan 2 x cos 2 x 1.12) lim x→ π 4 1 − tan x sen x − cos x 1.13) lim x→ π 3 2 cos 2 x + cos x −1 4 cos 2 x +4 cos x −3 1.14) lim x→0 cosh x −1 x 1.15) lim x→∞ _ x +1 x −1 _ x 1.16) lim x→∞ _ x 2 +3 3x 2 +1 _ x 2 1.17) lim x→0 (1 +ax) b x 1.18) lim x→ π 4 ln(tan x) 1 − cotan x 1.19) lim x→∞ 3 √ x −1 − 3 √ x +1 1.20) lim x→0 x +x 2 |x| 1.21) lim x→0 √ 5x 2 −x 4 −x 2 x 1.22) lim x→2 (x 2 −x −2) 20 (x 3 −12x +16) 10 1.23) lim x→1 x 3 −2x +1 x 5 −2x +1 1.24) lim x→1 3 1 −x 3 − 2 1 −x 2 1.25) lim x→∞ x 3 −1 x 2 −1 1.26) lim x→4 √ 1 +2x −3 √ x −2 1.27) lim x→−2 3 √ x −6 +2 x 3 +8 1.28) lim x→8 √ 9 +2x −5 3 √ x −2 1.29) lim x→16 4 √ x −2 √ x −4 1.30) lim x→0 3 √ x +1 −1 x 1.31) lim x→∞ 3 _ x 3 +x 2 +1 − 3 _ x 3 −x 2 +1 1.32) lim x→0 √ x +1 −2 x 1.33) lim x→∞ √ x +3 −x 1.34) lim x→ π 6 2 sen x +sen x −1 2 sen x −3 sen x +1 1.35) lim x→0 x cotan 3x 1.36) lim x→0 _ tan _ π 4 −x __ cotan x 40 1.37) lim x→∞ _ x 2 +1 x 2 −2 _ x 2 1.38) lim x→∞ x[ln(x +1) − ln x] 1.39) lim x→0 (1 +x 2 ) cotan 2 x 1.40) lim x→2 4 −x 2 3 − √ x 2 +5 1.41) lim x→∞ 3 _ x 3 +3x 2 − _ x 2 −2x 1.42) lim x→1 x 2 +x −2 (x −1) 2 1.43) lim x→1 x −1 √ x 2 +3 −2 1.44) lim x→0 x cos _ 1 x _ 1.45) lim x→ π 3 1 −2 cos x sen _ x − π 3 _ 1.46) lim x→0 tan 5x cos 6x 1.47) lim x→0 tan x − senx x 3 1.48) lim x→∞ _ x −4 x +1 _ x+3 1.49) lim x→3 x 3 −27 x 2 −9 1.50) lim x→∞ x 2 x √ x 2 −1 1.51) lim x→2 √ 6 −x −2 √ 3 −x −1 1.52) lim x→−∞ 3 √ −8x 3 +x +1 x −1 1.53) lim x→−∞ sen _ x + 1 x _ − sen x 1.54) lim x→∞ 1 e −2x (e 2x +1) 1.55) lim x→∞ 3 ¸ x + √ x −2 e −100 +x 3 1.56) lim x→0 1 −e −x sen x 1.57) lim x→∞ x 2 + cos x x 5 +e x 1.58) lim x→∞ x 4 e x +3 sen x e −x +4x 2 +1 1.59) lim x→∞ x 4 cos x 3 (x 6 +1) 2 1.60) lim x→∞ x 5 +x 2 (x +1) 3 +1 1.61) lim x→π senx x −π 1.62) lim x→0 sen ax sen bx 1.63) lim x→ π 2 (1 + cos x) 3 sec x Parte II: Derivadas 2. Utilice la definici´on de la derivada, para calcular la derivada de las siguientes funciones. 2.1) f(x) = x 2 2.2) f(x) = x 3 2.3) f(x) = 1 x 2.4) f(x) = √ x 2.5) f(x) = 3 √ x 2.6) f(x) = tan x 2.7) f(x) = ln x 2.8) f(x) = e x 2.9) f(x) = cos x 2.10) f(x) = x x −5 2.11) f(x) = x 2 −3x 2.12) f(x) = √ 2x +1 3. Use las reglas de la suma producto y cociente de la derivada, para hallar la derivada de las siguientes funciones. 3.1) f(x) = 2x 1 −x 2 3.2) f(x) = 1 +x +x 2 1 +x −x 2 3.3) f(x) = 1 x + 1 √ x + 1 3 √ x 3.4) f(x) = x 2 cos x −x sen x 3.5) f(x) = e x (x 2 −2x +2) 3.6) f(x) = 3x 3 7 √ x 2 41 3.7) f(x) = −senx sec x 3.8) f(x) = (4x 2 +x +1)(1 −x 4 ) 3.9) f(x) = (2x 3 +1) _ 1 x +2 _ 3.10) f(x) = e x cosh x 3.11) f(x) = cosec x senh x 3.12) f(x) = 4 sen x +3 cos x tan x 3.13) f(x) = 3 sen x −x 4 x 3 cos x 3.14) f(x) = log a x 3.15) f(x) = 1 − sen x 1 + sen x 4. Use Regla de la Cadena, para hallar la derivada de las siguientes funciones. 4.1) f(x) = ln _ 1 x + ln _ 1 x + ln _ 1 x ___ 4.2) f(x) = ln _ e x + _ 1 +e 2x _ 4.3) f(x) = ln _ tan _ x 2 __ 4.4) f(x) = _ 2 +3 sen 2 x x 4 _ + cos _ 1 + √ 1 −x 2 x _ 4.5) f(x) = x[sen(ln x) − cos(ln x)] 4.6) f(x) = ln(e x + cos x) 4.7) f(x) = (5x 2 +2x −8) 3 4.8) f(x) = tan _ x 2 −1 x +4 _ 4.9) f(x) = ln _ sec 3 _ tan (e 3x ) _ 4.10) f(x) = cosec(cotan x 2 ) 4.11) f(x) = e tan(2x−1) + sen 4 _ 1 x _ 4.12) f(x) = senh(x 2 −1) 5. Use la derivada de funciones inversas, para calcular la derivada de las siguientes funciones. 5.1) f(x) = arcsen x 5.2) f(x) = arccos x 5.3) f(x) = arctan x 5.4) f(x) = arcsenh x 5.5) f(x) = arccosh x 5.6) f(x) = arctanh x 5.7) f(x) = arccosec x 5.8) f(x) = arcsec x 5.9) f(x) = arccotan x 6. Utilice las derivadas calculadas en el ejercicio anterior, para calcular las derivadas de las siguientes funciones. 6.1) f(x) = x arcsen _ x x +1 6.2) f(x) = 1 + _ 1 −x 2 arccos x 6.3) f(x) = arctan _ sen x + cos x sen x − cos x _ 6.4) f(x) = 2 √ a 2 −b 2 arctan _ _ a −b a +b tan _ x 2 _ _ 6.5) f(x) = arccos _ 1 cosh x _ 6.6) f(x) = arccos _ cos 2 x − sen 2 x _ 6.7) f(x) = arccosh _√ x +1 √ x −1 _ 6.8) f(x) = arcsec[ln(1 +x 4 )] 42 7. Utilice derivaci´on logar´ıtmica para hallar la derivada de las siguientes funciones. 7.1) f(x) = [senx] cos x + [cos x] sen x 7.2) f(x) = [ln x] x x ln x 7.3) f(x) = (e x −x) arcsen x 7.4) f(x) = _ x 6 +7 x 2 +3 _ arctan x 4 7.5) f(x) = 2 tan( 1 x ) 7.6) f(x) = x +x x +x x x 7.7) f(x) = arctan x ln 2 _ sec _ 2 3 √ x __ 7.8) f(x) = (ln x) e x + (cosh x) tan x 7.9) f(x) = a x +x a x 7.10) f(x) = _ arcsen(sen 2 x) arccos(cos 2 x) _ arctan 2 x AP ´ ENDICE 2 Coordenadas Polares Universidad Nacional Experimental Polit´cnica “ Antonio Jos´ de Sucre” e e Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ ıas” Departamento de Ciencias B´sicas a Matem´ticas II (11025) a Requisito: Matem´ticas I (11015) a Pr´cticas de Matem´ticas II a a Prof.: Andr´s P´rez e e Caracas, Octubre de 2008 UNIDAD I Pr´cticas: 1 y 2 a La integral de Riemann: • • • • Aplicaciones a Familia de Curvas Sumas de Riemann Integrales definidas M´todos Num´ricos e e 4 Universidad Nacional Experimental Polit´cnica “ Antonio Jos´ de Sucre” e e Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ ıas” Departamento de Ciencias B´sicas a Matem´ticas II (11025) a Per´ ıodo Lectivo: 2008-2 Aplicaciones a Familia de Curvas Pr´ctica 1 a Prof. Andr´s P´rez e e 1. Determine la funci´n que describe la posici´n de una part´ o o ıcula, si la funci´n aceleraci´n viene dada por a(t) = t2 + 1, la o o velocidad inicial es v(0) = 4 y la posici´n inicial est´ dada por s(0) = 0. o a 2. Se estima que dentro de t meses, la poblaci´n de una cierta ciudad variar´ a raz´n de 4 + 5t2/3 personas/mes. Si la o a o poblaci´n en el primer mes es de 10.000 personas, entonces diga, ¿cu´l ser´ la poblaci´n de esta ciudad dentro de 8 meses?. o a a o 3. Una estad´ ıstica prueba que una cierta ciudad crece a un ritmo proporcional a la ra´ cuadrada de la poblaci´n P en el ız o instante t. Si la poblaci´n era de 4.000 personas hace 10 a˜os, y hoy d´ hay 9.000 personas. ¿Cu´nto tardar´ en crecer o n ıa a a hasta 16.000 habitantes? 4. La raz´n de cambio del volumen V de una bola de nieve que se derrite es proporcional a la superficie S de la bola. Si el o 3 1 radio de la bola es r = 2, cuando t = 0 y r = 2 , cuando t = 10. Demuestre que r(t) = − t + 2. 20 5. Una compa˜´ estima que el costo marginal (en d´lares por art´ nıa o ıculo) para producir x art´ ıculos es de 1, 92 − 0, 002x. Si el costo de producci´n de un art´ o ıculo es de 562 d´lares, encuentre el costo de producir 100 art´ o ıculos. dC Ayuda: Si la funci´n costo se denota por C(x), entonces el costo marginal est´ dado por o a . dx 6. El incremento respecto al tiempo de una cierta magnitud q es proporcional al valor de dicha magnitud. Sabiendo que en el instante inicial, se tienen 25 unidades y que a los dos minutos se observan 75 de las mismas, hallar el valor de q a los 6 minutos. 7. Encuentre la ecuaci´n en x e y de la curva que pasa por (1, 2) y cuya pendiente en cualquiera de sus puntos es cuatro o veces su coordenada en x. 8. Una bola es arrojada hacia arriba desde un planeta donde la aceleraci´n de la gravedad es k (una constante negativa) o v2 pies por segundo cuadrado. Si la velocidad inicial es v0 , demuestre que la altura m´xima es justamente − 0 . a 2k 9. En la escena de un accidente, el investigador de la polic´ determina que tan r´pido iba el conductor a partir de las marcas ıa a m dejadas por los cauchos en el pavimento. Suponga que el carro fren´ con una desaceleraci´n de 15 2 . ¿A qu´ velocidad o o e seg iba el auto cuando aplic´ los frenos, si recorri´ 75 m antes de detenerse? o o 10. Un auto que va a 60 millas por hora, patina 176 pies cuando los frenos son aplicados. Si el sistema de frenado produce una desaceleraci´n constante, ¿cu´l es esa desaceleraci´n? ¿Durante cu´ntos segundos continuar´ el derrape? o a o a a 11. La velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo de un eje coordenado est´ dado por v(t) = (2t − 3)−3 , en metros por a segundo. Si el desplazamiento en t = 0 es de 4 metros, encuentre el desplazamiento dos segundos m´s tarde. a 12. Inicialmente se ten´ 100 mg. de sustancia radiactiva (torio 234). Al cabo de 6 horas, la cantidad inicial disminuy´ en ıan o 3 %. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva. 13. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias. Pasada una hora la cantidad de bacterias es 3N0 /2. Si la rapidez de multiplicaci´n es proporcional al n´mero de bacterias presentes, determine el tiempo necesario para que el n´mero o u u de bacterias se triplique. supongamos que un fabricante estima que un nuevo operario producir´ A objetos el primer d´ de trabajo. 19. que es relativamente estable. es proporcional a ıa o M − f(t).? a Los siguientes son problemas para divertirse . se lleva al aire libre donde la temperatura es 15◦ F. Entonces: 17. Una peque˜a barra de metal. ¿Cu´nto a o a demorar´ la barra en alcanzar los 98◦ C? a 22. cuya temperatura inicial es de 20◦ C. Despu´s de o e 15 a˜os. Muchos creen que el sudario de Tur´ que muestra el negativo de un cuerpo de un hombre crucificado es la mortaja de ın Jes´s de Nazareth. Cuando un objeto absorve o despide calor en el medio que lo rodea. un term´metro marca 70◦ F. Por ejemplo. 18. para t ≥ 1. ¿Cu´l es la temperatura inicial de la habitaci´n? e o e a o 23. la cantidad de art´ ıculos producidos el d´ t. es proporcional a la diferencia entre la temperatura del o cuerpo y la temperatura del medio”.1) Deduzca una f´rmula para calcular la cantidad de art´ o ıculos producidos en un d´ cualquiera. El carbono 14 (C14 ). se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. determine ¿qu´ porcentaje de la cantidad original de C14 le quedaba en 1988?. Se analiz´ un hueso fosilizado y se encontr´ que conten´ la cent´sima parte de C14 . es igual a la tercera parte de o la que corresponde con un animal que vive actualmente. o e e 21.2) Suponiendo que M = 30. cuya temperatura inicial es de 20◦ C. ¿A qu´ temperatura est´ el horno? e a 2 24. A o trav´s de una ventana de vidrio del horno. Para describir la rapidez con la que se adquiere una habilidad se usa una curva de aprendizaje. Tres laboratorios u o o cient´ ıficos independientes llegaron a la conclusi´n de que el manto tiene unos 660 a˜os. f(t). si se sabe que aument´ 2◦ C en un segundo.5 14. Con ´sta edad. y que a medida que va a ıa adquiriendo experiencia. ıa 17. Determine la semivida de este n is´topo. es una sustancia radioactiva que tiene una vida media de aproximadamente 5600 a˜os. Un term´metro que est´ en el interior de una habitaci´n se lleva al exterior. Suponga que una peque˜a barra de metal. Si a los 5 o minutos sube 20◦ F. si se sabe que su temperatura aument´ 2◦ C en a o un segundo. A las 9:05 am. Suponga que el ritmo de producci´n f . ¿Cu´nto e a demorar´ en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70◦ F?. el Vaticano otorg´ autorizaci´n para que se fechara el carbono del manto. es llevado de nuevo al interior de la habitaci´n donde la temperatura se mantiene a 70◦ F. Edad que coincide con su aparici´n o n o hist´rica. ¿Cu´nto demorar´ la barra en alcanzar los 98◦ C?. se determina que 0.043 % de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determinar ıa el tiempo transcurrido desde la muerte de un animal. marca o 45◦ F. Un reactor generativo transforma el uranio 238. Al sacar un pastel del horno. en donde la temperatura del aire es de 5◦ F. Es n importante en arqueolog´ porque el C14 existente en un ser vivo permanece constante durante la vida del ser. producir´ los objetos m´s r´pidamente hasta que produzca un m´ximo de M objetos por d´ Sea a a a a ıa. o o ıa e o 20. que establece que: “La variaci´n de la temperatura de un cuerpo. si la concentraci´n de C14 en sus restos. Tres minutos despu´s su temperatura es 200◦ F. se verifica la Ley de Enfriamiento de Newton. o a o Despu´s de un minuto el term´metro marca 55◦ F y despu´s marca 30◦ F. En 1988. se deja caer en un recipiente con agua n hirviendo. un observador se percata que la temperatura que registra el term´metro despu´s e o e de 1 minuto es de 110◦ F y al minuto de introducido registra una temperatura de 145◦ F. n Calcule el tiempo que dicha barra demorar´ en alcanzar los 90◦ C. su temperatura es 300◦ F. A las 9:00 am. o 16. Determine la edad del f´sil. A las 9:10 am. Calcule el tiempo que dicha barra demorar´ en alcanzar los 90◦ C. Estime el n´mero de art´ u ıculos producidos el vig´simo d´ e ıa. a a 15. ¿cu´nto marca a las 9:20 am. f(1) = 5 y f(2) = 8. a 17. en el is´topo plutonio 239. Un term´metro que indica una temperatura de 70◦ F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. toma los signos vitales del ya occiso y determina que estaba muerto (que brillante descubrimiento!!!) y que su temperatura corporal era de 27◦ C. le dijo que era o ıa a un mentiroso y no le dio el papel (este muchacho tambi´n pas´ por la universidad). ya que el vag´n se o o a o encuentra a unos confortables 19◦ C. Suponga que el d´ de ayer fu´ al mercado con su respectiva madre y en el ajetreo.p. a eso de las 9:30 am. abri´ la nevera a los 10 minutos y se percat´ que ıa o o la lata a´n estaba en los 10◦ C. realmente hace calor.5◦ C. A los 5 minutos. Se devolvi´ a donde estaba el cadaver o o o o (cementerio adentro) y le midi´ la concentraci´n de C14 . de carb´n vegetal (pero no para hacer parrilla). le da una “yeyera” entre Colegio de Ingenieros n y Plaza Venezuela. vuelve a abrir la nevera e ingiere un poco del ya no tan preciado l´ ıquido. o 29. Al se˜or. que estaba un poco m´s fr´ (unos 10◦ C). como todos los d´ Para ir a la construcci´n. si la u mejor temperatura para ingerirla es de 4◦ C. muy a pesar de los insultos de los dem´s viajeros. El obrero. hace cu´nto e o ıa a tiempo muri´ la se˜ora.e. Determine entonces. ya el se˜or ten´ 39. Al llegar a la cocina y abrir la nevera se da cuenta que el agua que n asumimos es filtrada no estaba muy fr´ (unos 15◦ C). ¿A a ıo ´ qu´ temperatura se encontraba la nevera?. y que la temperatura se encuentra a 23◦ C. un empleado o ıa de la jefatura le pregunta la fecha en que falleci´ la occisa y este se acord´ (ya que en alg´n momento de su vida pas´ por la o o u o universidad) que existe un profesor (como el de ustedes) que alguna vez le resolvi´ unos problemas que ten´ que ver con o ıan data de f´siles y como a su suegra la consideraba un f´sil. para efectos de una herencia. El portu de la esquina. El efectivo. Seguidamente. A un amigo m´ hace alg´n tiempo se le muri´ su suegra (q. Interrogando a los curiosos del lugar (que nunca faltan) encontr´ a la vieja bruja del barrio y esta que se la da de polic´ le dijo: “al pasar una hora de escuchar o ıa los disparos sal´ con mi term´metro y Juansito ten´ 35◦ C y la lengua afuera. le vendi´ una fr´ y la otra caliente. odiaba a su suegra y o por supuesto se dirigi´ a la jefatura con una sonrisa que no le cab´ en la cara (el muy desgraciado). Hace algunos a˜os (no precisar´ cuantos. unos arque´logos usaron unos trozos de madera n e ıan o quemada (enti´ndase chamuscada). Cuando es a atendido dentro del mismo vag´n (aproximadamente a las 7:05 am). Un obrero. estaba lo suficientemente sediento como para tomarse el agua directamente de la botella (cosa por la que su respectiva progenitora lo ha rega˜ado toda la vida). Este pana. A los 5 minutos. Se o o o devolvi´ a la jefatura. ıa inmediatamente observa su reloj (un casio altimeter bien pepeado) y escribe en su libreta de anotaciones que son las 3 : 45 pm. Determine aproximadamente. Al llegar. pobre ı o ıa ıa muchacho. Podr´ determinar usted. 27. el metro es el gran desastre de Caracas y por supuesto estamos en una ´poca del e a˜o donde los calorones son propios de menop´usica prematura. el era de su casa”. se ıa e le ocurri´ la brillante idea de comprarse un par de laticas para refrescarse como en los comerciales de T. intent´ sacar la cuenta. En realidad. o ıa n la caliente no estaba tan caliente. asumiendo que la variaci´n de la temperatura del agua durante el tiempo que e o estuvo pegada a su boca es despreciable. Determine si el se˜or estaba quebrantado de n ıa n salud al entrar al vag´n. Seg´n estos tipos. que se encontraba como Dios manda a una e e temperatura de envidiables 2◦ C bajo cero. si ellos lograron observar que hab´ a n ıan o ıan perdido el 85. u o ´ que tiene que ver con la declaraci´n de muerte en la jefatura. Al entrar. pero hediondo a mono. Como todos sabemos. toma un poco e introduce la botella en la nevera con la intensi´n de ıa o que otro beba su saliva. las bolsas y todas esas cosas. usted que se encuentra en envidiables condiciones f´ e ısicas. determinan que su temperatura corporal se encontraba o en los 39◦ C y el operador de la estaci´n (ir´nico el muchacho) le manifiesta que realmente est´ enfermo. ya que se le da˜o la nevera. Cuando usted lleg´ a su casa. y le dijo al efectivo que hab´ muerto seis meses atr´s.6 25. debiendo accionar la alarma respectiva.d). este era el unico disponible para retirar un documento ıo. sale de su casa a eso de las 6:30 am. se encontraba a una temperatura de 23◦ C. notando que le faltaba el 0. Francia. cu´ntos a˜os ten´ estos trozos de carb´n. o n 28. aborda el vag´n en el que el aire no funciona y n a o con toda esa gente y los tufos respectivos. Pasados otros cinco minutos.5% del carbono C14 . 30. 26. no ten´ zapatos y faltaba su cartera. e o . lo primero que o hizo fu´ introducirla en el “freezer” (enti´ndase parte superior de su nevera). a qu´ hora muri´ Juansito. o n tren del metro en la estaci´n Plaza Sucre (trayecto que le toma unos 15 minutos desde su casa) y desembarcar en la estaci´n o o Sabana Grande. Suponga que despu´s de un caluroso partido de Softball. ya que podr´ ser muchos). Determine el momento exacto en que debe abrir la nevera para tomarse la espumosa. las pinturas esas eran o u “burda” de bonitas. realiza un ultimo intento y el agua ya se encontraba a 8◦ C. Como usted ten´ mucha sed. para fechar las pinturas pree o hist´ricas y rupestres de las paredes y los techos de una caverna en Lacaux. Al escuchar el relato fu´ directamente donde el detective y le dijo: “ya s´ a que hora muri´ el e e o occiso”. este se˜or debe abordar el ıas. es decir. un forense llega a la escena de un crimen en un conocido barrio de Caracas.015 % de la concentraci´n original.V (cosa que nadie o cree que es malta). Durante un d´ claro y despejado. .el de ıa. le volvieron a o o o medir la temperatura pasados 2 minutos m´s (para ver si no era chachara del man este) y ten´ 37◦ C. snif (lloriqueaba el muchacho).0015% del “C-catolce” (como el dec´ Determine usted hace cu´nto “Er Chino” le dio bollo al Rin Tin. mir´ al matorral y hallo bien a o flaco y comido de ratas el cadaver del querido Rin Tin. Determine aproximadamente. subiendo las escaleras. el cual regresaba de Canad´ (estuvo preso).5◦ C.75 Kg. el arn´s al cual estaba sujeto pesa 2. te dieron bollo. El gordo. contrata a una “matraca” de gordo de unos 160 Kg. Al tiempo. Sabemos que en las c´rceles venezolanas hay un brutal e inhumano hacinamiento. se encontraba un recluso con una patulequera (chiripiorca seg´n el chavo) y este dec´ que le u ıa. Como siempre sucede en los barrios de Caracas. Este. Este antisocial. ya que por cualquier viento mal oliente o o que sople mueren de asfixia -). por supuesto. Midieron su temperatura y determinaron que se encontraba en los 39.7 31. n a . hizo acto de presencia “Er iluminao” (no a o era Hermes por si acaso). snif. lo cambiaron ıa o al pabell´n de las locas (Pabell´n G) y al cabo de 2 minutos su temperatura disminuy´ en 2◦ C. Un d´ haciendo una pesquisa en Yare a ıa I. ıa la propaganda -). donde. el asunto es que el tipo ven´ super amotinado y se encontr´ a Rin Tin Tin (el perro vagabundo del barrio) y le ha ıa o metido la mam´ de las patadas.¿A qu´ temperatura a ıa e se encontraba el Pabell´n G? o 32. Por si acaso. snif. la cartera y la pechuga). ıa bueno. a 33*. era bien inteligente (acostumbraba hacer practicas forenses con los reclusos que quedaban de los motines) y se puso a medirle el C14 al c´nido en cuesti´n y determin´ con sus equipos rudimentarios que hab´ perdido a o o ıa el 0. se encontraba reposando la papita. ocasionando la posterior megacaida del gordo al vac´ (una distancia considerable.se le dice de la muerte. ven´ de ese famoso lugar llamado Adrenalina (donde le tumbaron la moto. dec´ Chamo pana m´ ıa: ıo!!!. ıa). un sujeto apodado “Er Chino” (se parec´ a Yoshi Toshia . el perro estir´ la pata. hab´ pasado algo con la tensi´n. Un cierto d´ regresaba a su casa en el San Blas. ya que cada piso tiene unos o ıo 3.5 m). el tiempo que tard´ el gordo en volverse papilla. considerando que la resistencia al o aire de tama˜a humanidad es de 2 veces la velocidad instant´nea. Una cooperativa que se encarga de limpiar los vidrios de los edificios. el andamio (que se encontraba colocado en el piso quince) se parti´ en dos. despu´s de un suntuoso almuerzo (aproximadamente 2250 e e gramos). y por supuesto. hay desadaptados sociales que llevan la marginalidad por dentro como bandera. determinaron que en el pabell´n de la muerte (Pabell´n B . 25. es el punto frontera de la derecha del k-´simo subintervalo. u √ 1. 0. x3 1.5.4) f(x) = + 2x + 2 y el intervalo [0. 2} y considerando los puntos: w1 = −2. delimitar el ´rea de la regi´n sombreada aproximando las sumas superior e inferior. . x2 1.8 Universidad Nacional Experimental Polit´cnica “ Antonio Jos´ de Sucre” e e Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ ıas” Departamento de Ciencias B´sicas a Matem´ticas II (11025) a Per´ ıodo Lectivo: 2008-2 Sumas de Riemann ∼ Integrales Definidas ∼ M´todos Num´ricos e e Pr´ctica 2 a Prof. donde wk . o w3 = 4.1) f(x) = x − 1. empleando a o rect´ngulos de base 1. −1. x 1. y = x + 1. w4 = 2. w5 = 6. en las particiones que se presenten. e 1.3. 5. x respectivamente. 3. 6. w4 = 6. es el punto medio del k-´simo e 2 subintervalo.3) f(x) = + 1 y el intervalo [−1. 2]. con la partici´n dada por P = {−3.5) f(x) = 2x4 + 7x + 5 y el intervalo [−1.9. y = u y y = 1 − x2 . 7} y considerando los puntos: w1 = 3. utilizar sumas superiores e inferiores para aproximar el ´rea de la regi´n a a o √ √ √ 1 empleando el n´mero dado de subintervalos y considerando las funciones y = x. se divide en ocho subintervalos iguales. 2].2) f(x) = − + 3.55. Para el primer recuadro. 4] se divide en diez subintervalos iguales. 0. Calcule las sumas de Riemann seg´n se indique.75. se divide en seis subintervalos iguales. donde wk . con la partici´n dada por P = {3. Para el segundo recuadro. w2 = 4. es el punto frontera de la 2 izquierda del k-´simo subintervalo. 4. donde wk . e 2. w2 = −0.5.75. Andr´s P´rez e e Parte I: Estimaci´n con sumas finitas o 1. o 2 w3 = 0. 1) f(x) = x 1 . empleando el punto o medio para wk y el valor establecido para n. si 2 ≤ x ≤ 5 2x + 3 .1) −1 6 (x2 + 3x + 1) dx 8 con n = 4 4. Halle una aproximaci´n de las siguientes integrales definidas por medio de las sumas de Riemann.2) 6 dx x+1 con n = 5 4.4) f(x) = sen x [0.3) 0 5 (2x + 3) dx 6. Determine el ´rea de la regi´n entre la gr´fica de la funci´n y el eje m. .4) 1. 4] 0.3) 2 e 4 dx 8.1) f(x) = x2 + 3 3. para calcular la integral de las funciones f(x) dadas a trozos y o compruebe el resultado usando f´rmulas apropiadas de geometr´ plana. Dibuje la regi´n.6) 0 (2x3 + 3x2 − 8x + 9) dx π/2 6.7 x 2. π 2 4. Calcule las siguientes integrales definidas utilizando la definici´n de Riemann.3) f(x) = tan x [0. Luego verifique el resultado por el Teorema o Fundamental del C´lculo. o ıa 7.4 con n = 5 4. Utilice la definici´n de Riemann en el intervalo [0. si 0 ≤ x ≤ 1 si 1 < x ≤ 3 si 3 < x ≤ 5 7.9 3.4) 3 (3x3 + 5x2 + 7x + 6) dx 6.1) 0 8 (x2 + 2) dx 3 6. Utilice la regla del punto medio A≈ k=1 n f xk + xk−1 2 ∆x con n = 4.8) 3 dx 1 + x2 π/4 6.2) f(x) = x + 2. 1 4. a o a o o 5. para aproximar el ´rea de la regi´n limitada por la gr´fica de la funci´n y el eje x. si 0 ≤ x < 2 6 − x. 2] 0. a o a o 3.4) h(m) = 4m − m2 5.3) g(m) = 1 m 2 5.2 e2 (3x4 + 4x2 + 3x + 7) dx con n = 6 √ 4.6) h(m) = m3 + 1 0≤m≤3 1≤m≤2 1≤m≤2 6.2) −1 2 (3x2 + 5x − 1) dx 5 6.2) f(x) = x2 + 4x 3. 5]. a 4 6.5) −1 8 (2x2 + 5) dx 6.5) g(m) = 4m2 − m3 0≤m≤2 2≤m≤4 1≤m≤3 5.9) π/6 sec2 x dx 7.7) 0 sen 2x dx 6. sobre el intervalo dado.1) f(m) = 3m 5.5 x2 + 3x + 5 dx 5 + 6x3 + 3 x con n = 4 4. sobre el intervalo indicado. π 4 3. .6) e 1 dx ln x con n = 5 Parte II: Sumas de Riemann con l´ ımite 5.5) 3.2) f(m) = m2 5. para calcular o √ b a dx x2 Ayuda: Considere wk = xk xk−1 . Encuentre la derivada de las siguientes funciones. Utilice el Teorema Fundamental del C´lculo. x2 +1 π x>− 2 11.8) F(x) = x 1 + t4 dt 12.2) 1 ≤ 0 3 1 + x4 dx ≤ 6 5 e2 12. Parte III: Integrales Definidas 10.1) F(x) = −6 x (2t + 1) dt 11. x x 11.1) 0 0 (ax2 + bx + c) dx 36 10.4) 0 < 1 √ 8 x2 + 1 dx ≤ 3 + 3x + 7 3 x .7) F(x) = 1 √ x3 2 + sen t dt 11.9) −1 10.4) −1 x2 π/2 x3 + 1 dx 10.11) 0 cosec 2x dx 2−x π/4 10.6) F(x) = 5 11.7) 0 (4x + 3 + cos x) dx 3π/4 10.5) 0 3 10.2) F(x) = 0 sen4 t tan t dt .10 8.3) 1 −1 4x 3 + 2x− 3 1 − x4 dx x2 dx x2 + 2x + 2 1 1 dx 10. para hallar las siguientes integrales.10) π/4 cos x dx 1 + cos x 10.6) −4 0 3π/2 10. a 3 10. Utilice la definici´n de Riemann.2) 4 dx √ x sen2 3x.12) 0 2 sen x √ dx sec x + ( sec x sen x)2 11. Use la f´rmula o n sen kx = k=1 cos α 2 − cos 2 sen n+ α 2 1 2 α para calcular π 2 sen x dx 0 con una partici´n uniforme.1) 0 < 1 sen x dx ≤ ln 2 x dx ≤ e(e − 1) ln x 1 12.4) F(x) = 1/x x t4 + t2 + 4 dt √ t2 + 3t + 5 1 + t2 dt ln(3t + 8) 11.3) 1 ≤ e 12. Utilice el Teorema de Comparaci´n y Acotamiento para demostrar las siguientes desigualdades.8) 1 x2 + 1 √ dx x3 + 3x 1 10. o 2 12. − π π <x< 2 2 √ x 11. cos 3x dx 8 10. o 9.3) F(x) = 1 π/4 1 + t2 dt 11.5) F(x) = x t tan t dt . 2) 0 1 sen x sen(cos x) dx 14.1∗ ) 0 −1 a2 − x2 dx 2x + 3 dx 2 + 4x + 5)2 (x [x = a sen θ] 14.3) 3 4 (2x + 5)e−x dx √ 19. Sea f ∈ C[a. para calcular las siguientes integrales definidas.5) π/6 π/4 x.1) 0 ln(x + π/4 1 + x2 ) dx 19. π 1 17. para demostrar que: 2 π/2 0 √ dx 4 = ln 3 3 + 5 cos x 16.∗∗ Realice la sustituci´n u = tan o x .3) −π 1 (x5 + | sen x|) dx 17.1) −π a (sen x + cos x) dx 17. sec2 x dx 19. entonces: o a a f(x) dx = 2 −a 0 a f(x) dx 16. entonces. b]. para calcular las siguientes integrales definidas.6) 1 x.2) Si f es una funci´n impar.4∗ ) √ [x + 2 = tan θ] 14. o 1 π/4 19. entonces: o f(x) dx = 0 −a 17. o π 0 1 + cos 2x dx 2 π = 0 π √ cos2 x dx π = 0 cos x dx = sen x 0 = sen π − sen 0 = 0 19**.9∗ ) 1 sen(ln x) dx . Utilice el ejercicio anterior para calcular las siguientes integrales.1) Si f es una funci´n par. o a π/2 π/6 14.6) −1 (1 + 25x − 7x2 + 5x3 ) dx 18.2) −1 3 x3 dx (1 + x2 )4 x2 + 1 √ dx 3 x3 + 3x π 17.5) 0 x sen(πx2 ) dx 14.4) −a a2 − x2 dx 17.4∗ ) 0 9 sec3 x dx 19. Demuestre que: 16. demuestre que: b b f(x) dx ≤ a a | f(x) | dx 14. o las indicadas.8) π/6 x cos x dx sen2 x e 19. ln x dx 19.2) 0 π/4 x arctan2 x dx 7 19. Utilice una sustituci´n adecuada. Utilice integraci´n por partes. Determine el error en la siguiente demostraci´n y halle el valor verdadero.6) −2 3 3−6 3 15.7∗ ) 0 e √ x dx 19.11 13.3) 0 1 sen3 x cos x dx dx √ (2 + x) 1 + x 14.5) −3 17. La integral el´ ıptica 8 3 √ π 2 1− 0 2 sen2 θ dθ 3 proporciona la circunferencia de una elipse.4) −2 4 20. la hora en que se alcanza la temperatura media.7) 0 √ ( x + 1) dx 20. o 23.2) La aproximaci´n de Simpson.6) 1 2 20. a 21. . o 22.2) −1 2 (3x2 − 2x + 3) dx = 32 8 20.5) 1 1 (4x3 − 1) dx = 14 20.1) 0 dx 3+1 x 8x−3 dx = −3 3 20. 1 20.4) Sea P un punto que se mueve sobre una recta coordenada y tiene una funci´n continua de velocidad v. la velocidad (en Km/h) del tr´fico de una cierta salida de autopista viene dada por la f´rmula v(t) = 2t3 − 21t2 + 60t + 20. b]. b] indicado: o a) f(x) = x2 + 3x − 1. a 21. Parte V: M´todos Num´ricos e e 22. Demuestre que o el valor medio de v en [a. para aproximar la circunferencia. La figura muestra la tasa media de flujo de agua (litros/minuto) en un tanque en un per´ ıodo de 10 minutos. es igual a la velocidad media durante el intervalo de tiempo [a.12 Parte IV: Teorema del Valor Medio Integral 20.8) −1 (2x + 1)2 dx 20. Encuentre los n´meros que satisfacen la conclusi´n del Teorema del Valor Medio y adem´s encuentre el valor promedio u o a de f en [a.1) La aproximaci´n del trapecio. [−1. b]. Utilice 10 subintervalos en cada caso y estime la cantidad total de agua que fluye en el tanque durante ese per´ ıodo empleando: 22.1) Calcule el valor medio de la funci´n f en el intervalo [a.2) Supongamos que un estudio indica que. 2] b) f(x) = x3 .9) −1 (3x3 + 2) dx 21. u e ıa. 1] 21. b]. Emplear la regla de simpson con n = 8.3) Supongamos que x horas despu´s de medianoche. entre las 13:00 horas y las 16:00 horas de un dia laborable t´ ıpico. Resuelva los siguientes problemas de aplicaciones al Teorema del Valor Medio: 21. la temperatura en una cierta ciudad de Europa Central obedece e aproximadamente a la f´rmula o 1 T (x) = 2 − (x − 13)2 7 Halle la temperatura media entre las 2:00 am y las 2:00 pm y adem´s.3) −1 4 √ 3 x + 1 dx = 54 √ (2 + 3 x) dx = 20 −1 20. [−1. donde t es el a o n´mero de horas despu´s del mediod´ Halle la velocidad media del tr´fico entre las 13:00 y las 16:00 horas. ¿Cu´ntas divisiones son necesarias para estimar el valor de la integral a 1 1 dx. n = 4 28. b]. tiene una profundidad a de 6 pies (todas las dimensiones que aparecen en la figura est´n a en pies).2). o o 26.75 1. 2 n=8 1/2 28. con una presici´n de 0. √ n=8 28. 3 25.38 1.00 3. n = 6 x . n=4 28. usando: o x 25. Utilice la regla trapezoidal y la regla parab´lica para hallar aproximaciones de las siguientes integrales.3) 0 1 dx . con el n´mero o u de subintervalos indicado. n=6 28. a 28.31 2. para aproximar o la cantidad de agua requerida para llenar una piscina. En los problemas (26.13 24.1) La regla del trapecio? 25.8) 2 1 + sen x dx.7) 1 (1 + x)−1 dx.50 = b 1.5) 1 4 x4 dx.1) y (26. 1 28.6) 0 π 2 π 4 n=6 28. o Regla de Simpson. 1 + x4 e−x dx. utilice la aproximaci´n que proporciona la Regla del Trapecio y la que proporciona la o Regla de Simpson. Utilice la regla trapezoidal para aproximar el ´rea del terreno al borde del lago. n = 6 28. Utilice la regla parab´lica. Las a dimensiones est´n en pies.50 0.9) sen x dx.00005.4) 0 2 cos(ex ) dx. n = 10 28.1) 0 √ 2 3 1 + x dx. cuya forma es identica a la de la figura y que adem´s. para estimar la integral de la funci´n f en el intervalo [a.17 1.2) 0 3 1 + x3 dx.2) La regla de Simpson? 26.97 27.25 2.00 2.43 1. donde f es la funci´n tabulada.65 2.1) x f(x) 26.87 2.2) x f(x) a=0 23 1 8 2 −4 3 12 4 35 5 47 6 53 7 50 8 39 9 29 10 = b 5 a = 1.25 2. como lo muestra la figura. 001 31.2) 0 ex dx 2 2 31.1) 1/2 dx x 3 0. Determine el valor de n que debe satisfacer la Regla de Simpson para que en la aproximaci´n de la integral o 8 3 dx 7 − 3x se cometa un error menor a 0.1) 0 e−x dx 2 0. Determine n.14 29. 1.005. Determine n.2 31. Encuentre el m´ ınimo valor de n.5 31.0001 30.3) 1 √ 2 sen x dx 31. si el proceso usado es el de los trapecios. tal que.4) 1 √ sen x dx 32. Despu´s. tal que.01. menor que 0. la regla trapezoidal de un error En . menor que 0. 1 30. use este valor para calcular el e valor aproximado de la integral.2) 0 (1 + x)−1 dx 0. 30. Calcule un valor aproximado de π. 4 32.1) 2 1+x dx 1−x 4 32. en la regla trapezoidal se cometa un error En . en el valor aproximado de la integral.2) 2 ln x dx 33. para que el valor de la integral indicada sea menor que el valor inidicado.0001. mediante la siguiente integral 1 0 4 dx 1 + x2 usando la regla parab´lica con n = 10. o . UNIDAD II Pr´ctica 3 a M´todos de integraci´n e o . 27) 1.2) √ dx √ x−1+ x+1 1.24) 1.38) 1.10) sen ex dx e−x ln(ex −4 ) dx x−2 √ 2x dx 1 − 4x 2 1. Resuelva las siguientes integrales haciendo manipulaciones algebraicas y usando integraci´n inmediata.34) 1.8) 3x .22) 1. tan x) dx cos x dx (7 + sen x)2 x3 dx 1 + x4 dx 1 + cos x 1. tan 3x dx x 1.28) sec2 x dx 2 + 6x + 6−x dx (2−x + 3x )2 x2 dx x+1 1 + tan x dx 1 − tan x 1.19) √ √ ( a − x)3 √ dx ax x3 − 3x2 + 1 √ dx x x tan(x2 + 1) dx 1.21) 1. Andr´s P´rez e e Parte I: Integraci´n Inmediata o 1.26) 1.30) 1.16) 1. o 1.35) 1.16 Universidad Nacional Experimental Polit´cnica “ Antonio Jos´ de Sucre” e e Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ ıas” Departamento de Ciencias B´sicas a Matem´ticas II (11025) a Per´ ıodo Lectivo: 2008-2 M´todos de Integraci´n e o Pr´ctica 3 a Prof.11) 1.36) 1.15) 1.14) 8 5 √ 3 dx 1 x+ √ 3 x 1.20) √ √ x( x + 3 x) dx (xm − xn )2 √ dx p x 1 + cos2 x dx 1 + cos 2x cosec2 x dx √ x − 1 + x2 √ dx 1 − x4 x2 − 3 dx 7 + x2 senh 2x dx 1.5) 1.39) .13) 1.12) 1.31) 1.6) 1.25) 1.33) 1.32) 1.37) 1.23) 1.4) 1.1) 8x2 + 6x + 4 dx x+1 (nx) √ n−1 n 1.ex dx ex (x − 1) dx x2 sec 3x.17) dx 1.7) dx 1.3) (ax − bx )2 dx (ab)x dx +7 1.9) x2 dx 8 − x2 x3 + 2x2 + x + 4 dx x2 + 1 ln x + ln 5 dx 5x ln 5x 3 sen x dx 2 cos2 x (1 + ex )2 dx 1 + e2x 1 − x4 dx x2 + 1 (x2 + 1)(x2 − 2) √ dx 3 x2 dx 1 + cosh x (2x + sec x.18) 1.29) 1. 5) 2.2) earctan x + x ln(1 + x2 ) + 1 dx 1 + x2 sen x ln(sec x) dx cos x esen x cos x cos 2x dx x3 + 2x2 + x + 4 dx x2 + 1 x(ax + b)n dx √ x x − 1 dx dx √ cosec x.28) x3 x2 + 4 dx 2.22) 2.1) 2.9) 2.17) 2.6) 2.31) cos(3x − 4y) dx √ 5 x2 − 2x + 1 dx 1−x 2.29) 2.37) sen x − cos x dx sen x + cos x √ tan x √ dx x sec3 x + esen x dx sec x 2. tan x √ dx sec2 x + 1 x cotan(x2 + 1) dx dx x ln2 x x x tan3 .14) 2.13) 2.45) 1 + x2 ) .36) sec x.10) sen x cos x √ dx 2 − sen4 x x3 dx 1 + x8 ax dx ax + 1 x ln(1 + x2 ) dx 1 + x2 arccos2 x √ dx 1 − x2 tan3 2x.27) x2 √ 2. cos2 x + 2 cos x + 1 7x3 dx (3 + 2x)1999 ln(x + 1) − ln x dx x2 x+1 1 dx x x2 x2 + x dx 4 − 3x2 − 2x3 x dx 1 + x4 tan x dx 1 − sen2 x x− arctan 2x dx 1 + 4x2 dx (1 + x2 ) ln(x + √ √ 2.19) 2.4) x sen 2x dx 2.43) 2.33) x2 2.8) 2.11) 2.12) 2.23) 2.42) 2.30) dx x(1 + x) dx + 15 2.39) 2.32) 2.3) dx x ln x ln(ln x) dx x cos2 (1 + ln x) sen(4t − 1) dt 1 − sen2 (4t − 1) ln(x + 1) − ln x dx x(x + 1) x dx (x2 + 3) ln(x2 + 3) x7 dx (1 − x4 )5 dx cos2 x(3 tan x + 1) √ sen 2x dx 2 − cos2 x x+1 dx + 2x + 3 2.21) 2. sec4 2x dx 2.18) 2.7) ex dx + e−x 2.26) 2. Resuelva las siguientes integrales utilizando el m´todo de sustituci´n: e o e2x dx 1 + ex esen 2 2.17 Parte II: Sustici´n simple (Cambio de Variables) o 2.35) 2.34) 2.25) 2.41) 2.20) 2.24) 2. sec2 dx 3 3 2.38) 2.15) 2.16) 2.44) √ 2.40) 2. arctan 2x dx 3.26) 3.38) xex dx (1 + x)2 cos x ln(sen x) dx 3.44) (x2 − 2x + 3) ln x dx 3.16) (arcsen x)2 dx √ 3.20) x3 x2 + 4 dx 3.22) x ln x dx 3.7) 3.45) e2x sen 4x dx .18) x2 ln x dx 3.40) x tan2 2x dx x cos x dx sen2 x 3.27) sen x − 1 dx 3.14) √ x2 dx a2 − x2 3.33) 3.ex dx 2 3.9) 3.21) arccos x dx 3.6) x dx cos2 x x3 .39) 3.15) ln x + 1 + x2 dx 3.35) ln x 1 + x2 dx 3.24) earcsen x dx √ 3.4) x.28) e x dx 3. Resuelva las siguientes integrales utilizando el m´todo de integraci´n por partes: e o 3.32) 5x sen 5x dx 3.1) sec3 x dx 3.34) x ln dx 3.43) 3.8) 3. arccos dx 3. cos x dx 3.5) 3.17) 3x .13) arcsen 3.41) 3.18 Parte III: Integraci´n por Partes (IPP) o 3. sec2 x.19) sen √ x + 1 dx 3.30) √ arcsen x √ dx 1−x x sen x cos x dx sen2 x dx ex sec5 (ax + b) dx 3.36) 3.3) x ln(1 + √ x) dx 3.2) ln x dx x2 x arctan x √ dx 1 + x2 sen(ln x) dx x 2 3.37) (ln x)2 dx 3. sec x.31) x arcsen x dx 1−x 1+x 3.23) (xex + 2x )2 dx 2 5x2 .29) (x2 + 5x + 6) cos 2x dx 3.25) √ arctan( x + 1) dx √ 3.42) x cos2 x sen x dx 3.12) x.10) 3.11) x. tan x dx x dx x+1 3. tan x dx ln(x2 + 1) dx x2 x.(arctan x)2 dx 3. 20) 6.14) 6. para hallar una expresi´n para las siguientes integrales: e o o 5.19 4.1) 6.6) senm x cosn x dx 5.2) √ 6.ekx dx 7x dx (3 − x2 ) ln(3 − x2 ) x arctan x2 − 1 dx x dx a2 + b2 x2 √ cos x √ dx x ax 3x dx dx x2 + 4x + 5 2 sen x √ dx sec x + ( sec x sen x)2 x3 arcsen √ 1 dx x 2 6.3) 6.9) 6.12) 6. Utilice cualquier m´todo expuesto anteriormente. n=− 5.7) 6. Utilice el m´todo de integraci´n por partes.3) xn .18) 1+ cotan x dx sen2 x 6.17) 6.4) secn x dx 5.19) 6.15) 6.eax dx 5.3) xn ex dx = xn ex − n xn−1 ex dx 2na2 x(x2 + a2 )n + 2n + 1 2n + 1 1 2 4.11) 6.8) eax cos bx dx 5. Utilice el m´todo de integraci´n por partes para demostrar las siguientes f´rmulas de reducci´n: e o o o 4.9) eax senn bx dx 6.5) dx sec x(2 sen x + 3) dx 4x2 + 8x + 4 cosec 2x dx 2−x arctan x dx x2 √ 1 − 3 2x √ dx 2x sen π π − x sen + x dx 4 4 6.5) senn x dx 5.4) (x2 + a2 )n dx = (x2 + a2 )n−1 dx.21) √ 5x dx 1 − x4 6. para hallar las siguientes integrales: e (ax2 + bx + c). lnm x dx 5.22) 6.13) √ x2 6.24) dx (cotan x + 1) sen2 x .1) xn .6) 6.16) x ln 1 − x dx sen3 x √ dx 5 cos3 x √ cotan x dx 1 − 3 sen2 x 2 6. cos ax dx 5.23) ex dx e2x − 6ex + 13 6.7) (x + b)n .2) lnn x dx = x lnn x − n lnn−1 x dx 4.1) cosn x dx = 1 n−1 cosn−1 x sen x + n n cosn−2 x dx 4.4) 6. sen ax dx 5.8) 6.2) xn .10) (cos x + 3x + 7)e3x dx dx +x+1 √ 6. 12) x dx 12 + 4x − x2 √ ex dx 4 − e2x dx x √ ln x + 3 ln x − 1 x3 dx 16 + 5x2 2 8. cos3 x dx 7.4) 1−x √ dx x 8.2) dx √ 2x 4x2 − 1 x3 x2 − 4 dx √ 8.18) 7.3) x2 + 7 dx x 8.13) sen3 dx 7.8) √ x2 dx 6x − x2 √ 8.12) 7.19) 2x2 8.16) dx 1 − sen x cotan5 x sen2 x dx 7.24) (9 − x2 )3/2 dx x2 . cos2 (3x) dx 7.3) cotan3 (2x) dx 7.22) dx √ 2 25 − x2 x 8. Utilice sustituci´n trigonom´trica.13) 8. sec(2x) dx x x cos2 2 2 7.4) tan3 (2x).9) x2 8.10) 8.21) (4 − sen 2x)2 dx Parte IV: Sustici´n trigonom´trica o e 8.5) 8.15) 8.1) sec4 (5x) dx 7.6) x2 dx 25 − 3x2 3x − 1 dx + 2x + 2 8.23) dx x 4x2 − 2 √ 8.15) 7.14) (3x2 √ 8.11) cosec3 x dx x x + tan4 3 3 7.17) cotan x cosec3 x dx 7.8) tan x. Resuelva las siguientes integrales de potencias trigonom´tricas: e 7.20 Parte IV: Potencias Trigonom´tricas e 7.16) 8.19) 7.7) dx 2 − 2x + 5)3/2 (x ex dx e2x + ex + 2 x4 − 1 dx x(x2 + 2)2 dx x2 + (2 cos β)x + 1 2x − 3 dx − 6x + 1 8.18) 8.1) x2 dx (16 − x2 )3/2 √ 8. para hallar una expresi´n para las siguientes integrales: o e o 8.11) dx x 4x2 + 9 x dx + 9x + 10)2 8.10) √ sen x cos x dx x x cos5 2 2 7.17) 2x + 6 dx x2 + 6x + 1 ax ln a dx + 2ax + 1 8.20) tan3 x sec6 x dx 7.21) 8.5) sen3 x.6) (cos ax + sen ax)2 dx sen2 x dx cos3 x dx cos6 x 1 + tan2 2x dx sec2 2x sen3 3x cos3 3x dx 7.9) 7. sec4 x dx 7.14) tan3 dx 7.2) sen4 (3x).7) sen2 dx 7.20) √ a2x 8. 2) 9.28) 9.38) 9.22) 2x + 2 √ √ dx ( 3x + 3)( 5x + 5) x2 + 2x + 2 dx 27x3 − 1 6x2 + 22x − 23 dx (2x − 1)(x2 + x − 6) x3 − 8x2 − 1 dx (x − 1)(x + 3)(x2 + 1) x+3 dx 4x4 + 4x3 + x2 x4 dx x4 − 1 5x3 + 2 dx − 5x2 + 4x 9.43) dx x(x4 + x2 + 1) 9.11) 2x2 + 41x − 91 dx (x − 1)(x + 3)(x − 4) dx x4 + 1 x3 − 1 dx 4x3 − x x3 + x − 1 dx (x2 + 2)2 x2 + x + 1 dx (ax + b)(ax2 + b) x x3 + 2x2 + x + 2 9.7) 9.31) 9.32) 9.18) 9.5) 9.36) 9.13) 9.6) (x2 9.40) x3 9.30) 9.24) dx 9.41) 9.15) 5x2 + 6x + 9 dx (x − 3)2 (x + 1)2 x2 − 8x + 7 dx (x2 − 3x − 10)2 x3 − 6 dx − 6x2 + 8 x (x + 1)3 (x2 + 1)2 9.9) x3 3x − 1 dx + 2x2 + 2x 3x − 1 dx − 6x2 + 2x − 12 9.19) x3 9.14) 9.42) 4x3 9.4) 9.3) 9.25) 9.37) 9.26) dx 9.17) 9.10) 9.1) 9.45) x2 dx (x − 2)7 . Utilice el m´todo de fracciones simples.39) 9.20) 9.23) 9.44) 9.21) x4 9.16) 9.8) 9.29) x2 dx (2x2 + 2x + 1)2 2x3 + 5x2 + 16x dx x5 + 8x3 + 16x dx x3 + x2 + x dx (x + 1)(x2 + x + 1)2 x3 + x + 1 dx x(x2 + 1) dx x(x3 + x2 + x) 9.33) 9.27) 2x3 + 9 dx (x2 + 3)(x2 − 2x + 3) dx x(3 − ln x)(ln x − 1) 3x4 − 2x2 + 3x + 5 dx (x + 1)(x2 − 1)2 3x2 − x + 1 dx x3 − x2 dx dx (x − 2)(3x2 + x − 1)2 x3 − 1 dx + 4x2 − x − 1 9. para calcular las siguientes integrales: e 2x − 1 dx (x − 2)(x − 1) 3x + 2 dx x(x2 + 1) 4x2 − 5x dx (x2 − x)(x2 − x + 1)2 dx (x + a)(x + b) dx (x2 − 4x + 3)(x2 + 4x + 5) dx 3+1 x 3x − 8 dx + x2 + 4x + 4 √ x5 + x4 − 8 dx x3 − 4x x2 + 5x + 3 dx (x − 4)(x + 7)(3x + 1) 1 (x − 1)2 (x2 + 1)2 dx x2 dx (x + 3)2 (x + 4)2 x4 dx − 1)(x + 2) 9.12) x3 9.21 Parte VI: Fracciones Simples o Fracciones Parciales 9.35) 9.34) 9. 22 Parte VII: Integrales de funciones irracionales 10. para hallar las siguientes integrales de funciones irracionales: o dx √ √ 2x − 1 − 4 2x − 1 √ x−1 √ dx 3 x+1 x+1 dx x−1 x √ dx ax + b x+1+2 √ dx (x + 1)2 − x + 1 x+3 √ dx x2 2x + 3 √ 10.5) 11. u = tan x.4) 11.8) 11.8) 10.5) 10. u = sen x ´ u = cos x.22) 11.2) dx 3 + 5 cos x sen x dx 1 − sen x 1 + tan x dx 1 − tan x cos 2x dx cos4 x − sen4 x cos x dx sen2 x − 6 sen x + 5 dx 5 + 4 cos 2x sen 2x dx sen x + cos x dx 3 sen2 x + 5 cos2 x cos 2x dx sen4 x + cos4 x 11.7) 3 10.6) 11.9) dx √ (2 − x) 1 − x √ dx √ x− 4x dx √ x+1 10.6) x 10.23) 11.1) dx 1 + sen x + cos x dx sen x + cos x dx a cos x + b sen x dx sen2 x + 3 sen x cos x − cos2 x dx 6 − 5 sen x + sen2 x 3dx 3 + 2 sec x sen2 x dx 1 + sen x dx (2 − sen x)(3 − sen x) sen x dx (1 − cos x)2 11.2) 10. para hallar las siguientes integrales de funciones o 2 racionales en t´rminos de las funciones sen x y cos x: e 11.10) dx √ 1+ 3x−2 √ dx √ 2x − x + 4 10.17) 11.14) 11.9) 11.27) .13) 11.19) 11.11) x+1 dx 1−x √ x dx x+2 x−1 dx x+1 √ 10.24) 11.18) 11.7) 11.21) 11.11) 11.13) 10.14) dx √ √ √ 3 x x(1 + 3 x)2 10. Utilice la sustituci´n u = tan x .12) 11.4) 10.25) 11.12) 10.3) 10.1) 10.20) 11.26) 11. Utilice una sustituci´n adecuada.16) 11.3) cos x dx 1 + cos x dx 8 − 4 sen x + 7 cos x dx 1 + 3 cos2 x 1 − sen x + cos x dx 1 − sen x − cos x dx 3 sen2 x + 5 cos2 x 2dx 3 sen 2x + 1 dx (2 + cos x) sen x dx 2 sen x + cos x + 3 1 + 2 sen x cos x dx sen x + cos x 11.10) 11.15) Parte VIII: Sustici´n Universal o o 11.15) 11. UNIDAD III Pr´cticas: 4 y 5 a Aplicaciones de la integral definida: • • • • ´ Areas de regiones planas S´lidos de Revoluci´n o o Longitud de arco y superficies de Revoluci´n o Sistema de Coordenadas Polares . y) ∈ R2 y = x2 + 2x 3y = 10 − x x = 2y y = sen x y = sen 2x x=0 x=π y = x2 − 3x y = x3 − 3x2 y = cos x . a o a 10. 9. Hallar el ´rea de R.5) R = (x. a o 5. a o a 3 15. a o a 3. a 6. y) ∈ R2 15. limitada por las curvas x = a o 16 − y2 y x2 = 6|y|.2) R = (x.8) R = (x. y = x3 y 2y + x = 0. Calcule el ´rea de la regi´n R. Determine el ´rea de la regi´n limitada por: y = cos x. Calcule el ´rea de la regi´n limitada por f(x) = −2x2 + 8x − 7 y g(x) = x − 4. Calcule el ´rea de la regi´n limitada por las gr´ficas de y = x + 1. Halle el ´rea de dicha regi´n. con 0 ≤ x ≤ 2π. y) ∈ R2 15. a o a 2. A continuaci´n se da una regi´n R ⊂ R2 . Halle el valor positivo de b.7) R = (x. Encuentre el ´rea de dicha o a a regi´n. Andr´s P´rez e e ´ Parte I: Areas 1. y) ∈ R2 .6) R = (x. para que el ´rea de la regi´n limitada por las curvas a o x = −y2 + 3y sea 36 m2 . y) ∈ R2 15.24 Universidad Nacional Experimental Polit´cnica “ Antonio Jos´ de Sucre” e e Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ ıas” Departamento de Ciencias B´sicas a Matem´ticas II (11025) a Per´ ıodo Lectivo: 2008-2 ´ Areas ∼ Vol´ menes ∼ Longitud de arco ∼ Superficies de revoluci´n u o Pr´ctica 4 a Prof. o o a 15. y = sen x y 0 ≤ x ≤ 2π. Halle el ´rea de la regi´n acotada por las gr´ficas de las siguientes curvas y = x3 − x y y = x. Halle el ´rea de la regi´n limitada por las gr´ficas de las funciones y + 4 = x2 y y − x = 2. limitada por ciertas curvas. o 12. en IIc y = tan x y y = x + b2 − 1 y = x2 + 8 y = (x − 4)2 y=x−2 x=0 3y = 3x − x2 x = 2y y = sen x y= π 2 − x2 15. Determine el ´rea de la regi´n encerrada por las gr´ficas de las siguientes curvas y = x y y = x . y) ∈ R2 15. 7. Determine el ´rea de la regi´n acotada por las siguientes curvas y = ex .4) R = (x. a o a √ 14.1) R = (x. y) ∈ R2 y = x3 y=8 x=0 15. y = −x + 1 y y = 2x − 4. Encuentre el ´rea de la regi´n limitada por las gr´ficas de las funciones y = | sen x| y y = 1. Considere la regi´n R. Halle el ´rea de un circulo de radio r. a o 13. limitada por las siguientes gr´ficas y − x = 6. o a o 8. Considere la regi´n limitada por las curvas x = (y + 1)2 − 1 y x = 1 − |y + 1|.3) R = (x. a o a 4. Halle el ´rea de la regi´n encerrada entre las par´bolas x = y2 y x = −2y2 + 3. a o 11. y = e−x y x = ±1. y) ∈ R2 15. 20) 1= x2 y 2 + 4 9 y = − 4 − x2 alrededor del eje alrededor del eje x=3 y=2 y = 2 − |x| . y= 1 .10) 16.1) x = y2 .4) x = 4 + 6y − y2 16. √ y = 2 x. y = −x2 + x + 12 .11) 16. x = 0.13) 16. y = x2 + 2 .19) 16. x = 0.16) 16. y=x−2 y = 8 − 4x 16y = x2 + 80 alrededor del eje alrededor del eje alrededor del eje alrededor del eje x = 0. y = 4x2 . x = 0.9) y = 16.3) 16y = 3x2 + 48 . x2 y 2 + 4 9 16. x x = 1. Halle el volumen del s´lido de revoluci´n. . que se genera al hacer girar la regi´n acotada por las gr´ficas de las siguientes o o o a funciones alrededor del eje indicado.18) 1= alrededor del eje 2y = x + 2 .17) 16.25 Parte II: S´lidos de Revoluci´n o o 16. y = 1. 16. x. 16. x = y2 . 16. 16. 16.12) 16.5) y = x2 + 2 . y=0 x=1 x=1 alrededor del eje alrededor del eje alrededor del eje x=0 y=0 x=0 x = −5 y = x2 + 2 .14) π2 − x2 .15) 16. f(x) = x2 x = (y + 1)2 − 1 y = sen x y=x−4 16. 2y = x + 2 . 16.8) x = 1 − |y + 1| . 16. x = 2. y=6 x=1 alrededor del eje alrededor del eje alrededor del eje alrededor del eje alrededor del eje alrededor del eje alrededor del eje alrededor del eje alrededor del eje alrededor del eje x=0 x=1 y=2 x=4 y=0 x=0 x = −3 x=4 x=5 x = −5 y=0 x=0 x=1 y=1 16.6) xy = 2 .7) g(x) = √ 2y = x + 2 .2) y = 4x2 . y=x y=x−2 y = 8 − 4x y=x−4 y = −x2 + x + 12 . 5) y = (2x − x2 )1/2 . 1) y = −1 ( 271 .7) y = entre x=1 y x=8 17. a o 18.2) y2 − x = 0 17.10) 12xy − 4y4 = 3 y y Parte IV: Superficies de Revoluci´n o 18.2) y = x5 1 + 12x3 5 y4 1 + 2 8 4y 2 3/2 x 3 con 1 ≤ x ≤ 2 alrededor del eje y 18.1) y = x2 − ln x 8 entre entre entre x=1 (0. x=8 y y x=2 x = 27 17.1) y = √ x con 0≤x≤1 alrededor del eje x 18.4) y = 1 x3 + 12 x entre entre x = 1. 2) 240 ( 67 .6) y = entre x=1 y x=4 17.8) x = y4 1 + 2 16 2y entre entre entre y = −2 y 8 ( 15 . Determine el ´rea de la superficie de revoluci´n generada al girar la curva dada en torno al eje indicado.5) y = 5x2/3 − 10 x4 + 3 6x 4− √ 3 x2 3 17. 0) x=1 y y y x=e (1.4) y = con con 1≤x≤2 0≤x≤2 alrededor del eje alrededor del eje y x 18.3) y = 5 − √ x3 17. 1) 7 ( 12 .26 Parte III: Longitud de Arco 17. Calcular la longitud de arco de las siguientes funciones en los valores indicados. 1) x=4 17.3) x = con 1≤y≤2 alrededor del eje x 18. 2) 24 17.9) 30xy3 − y8 = 15 17. 17. 1) r = 5 1.27 Universidad Nacional Experimental Polit´cnica “ Antonio Jos´ de Sucre” e e Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ ıas” Departamento de Ciencias B´sicas a Matem´ticas II (11025) a Per´ ıodo Lectivo: 2008-2 Coordenadas Polares 1.11) r = 4 − 4 cos θ 1.10) r = 1.4) r = 4(1 − sen θ) 1. Grafique las siguientes funciones dadas en coordenadas polares.8) r = θ 2 1. a o o 6.9) r = eθ Pr´ctica 5 a Prof. Andr´s P´rez e e 1.5) r = 8 cos 3θ 1. Determine el ´rea de la regi´n fuera del ciclo menor y dentro del ciclo mayor del limaz´n r = 3 − 6 sen θ.2) θ = − π 6 1. Determine el ´rea de la regi´n fuera del cardioide r = 1 + cos θ y dentro del c´ a o ırculo r = √ 3 sen θ. 1.15) r = − 2.7) r2 = 9 sen 2θ 2 θ 1. Determine el ´rea de la regi´n dentro de la imagen del limaz´n r = 2 + cos θ.6) r2 = 4 cos 2θ 1. Determine el ´rea de la rosa de tres p´talos r = 4 cos 3θ en la regi´n encerrada por ella. a o 7. a e e 4. 5. Determine el ´rea de la regi´n fuera del cardioide r = 2 + 2 sen θ y dentro del cardioide r = 2 + 2 cos θ. a o o 3. Determine el ´rea de un p´talo de la rosa de cuatro p´talos r = 4 sen 2θ. a e o .13) r = 3 sen 3θ 14) r = 6 sen 3θ 1.12) r = 4 cos 2θ 1 θ 1.3) r = 2 cos θ 1. UNIDAD IV Pr´cticas: 6 .8 y 9 a Integraci´n impropia y Sucesiones: o • • • • • Trabajo Mec´nico y Fuerza Hidrost´tica a a Centro de masa de l´minas homog´neas a e Teorema de Pappus Integrales impropias Sucesiones .7 . 29 Universidad Nacional Experimental Polit´cnica “ Antonio Jos´ de Sucre” e e Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ ıas” Departamento de Ciencias B´sicas a Matem´ticas II (11025) a Per´ ıodo Lectivo: 2008-2 Trabajo Mec´nico ∼ Fuerza Hidrost´tica a a Pr´ctica 6 a Prof. Considere un tanque esf´rico para agua. El tanque tiene un radio de 5 pies y o a una altura de 10 pies. con −5 ≤ x ≤ 5. Suponga que la densidad de la gasolina a es una constante γ. cuyas unidades est´n dadas en libra/pie3 .4 libras/pie3 . inicialmente a lleno a todos los autom´viles? o 5. Un tanque c´nico reposa sobre su base que est´ a nivel del suelo y su eje es vertical. Calcule el trabajo realizado al llenar este tanque con agua bombeada desde el nivel del suelo. 6. Las unidades de los ejes coordenados est´n en pies. si el petr´leo se bombea desde el nivel del o o suelo? 4. de modo que. Andr´s P´rez e e Parte I: Trabajo (Vaciado de Tanques) 1. Nota: Su eje sigue siendo vertical. La gasolina de una estaci´n de servicio se guarda en un tanque cil´ o ındrico enterrado a un lado de la estaci´n. ¿Cu´nto a a trabajo se realizar´ al vaciar toda la gasolina de este tanque. Un tanque cuyo punto m´ ınimo est´ a 10 pies sobre el suelo tiene la forma de un taz´n. Un tanque semiesf´rico de radio 10 pies est´ colocado. ¿Cu´nto trabajo e a a se necesita para llenar este tanque. bombeando agua desde el nivel suelo?. ¿Cu´nto trabajo a a a se realiza al llenar este tanque con petr´leo cuya densidad es de 50 libras/pie3 . en torno al eje y. a su v´rtice est´ al nivel del suelo y su base se encuentra a 10 pies sobre e a el suelo. de modo que la parte m´s alta del o a tanque est´ 5 pies debajo de la superficie. Sugerencia: Los c´lculos pueden ser m´s simples si hace y = 0 en el centro del tanque y se piensa en la distancia que debe a a levantarse cada rebanada de agua. si el petr´leo debe a o o bombearse al tanque desde el nivel del suelo? . cuyo radio es de 10 pies y cuyo centro est´ a 50 pies del suelo. 2. ¿Cu´nto trabajo se necesita para llenar este tanque con petr´leo de densidad 50 libras/pie3 . Suponga que el tanque del ejercicio anterior est´ boca arriba. su lado plano reposa sobre una torre de 60 pies e a de altura. es decir. obtenida esta al hacer girar la a o par´bola x2 = 5y. Nota: Considere δ=62. 3. El tanque tiene 6 pies de a di´metro y 10 pies de largo. en un tanque esf´rico que e tiene un radio interno de 10 pies y un largo tubo para llenar de 30 pies de largo.3) Un tri´ngulo is´sceles de 5 pies de altura y 8 pies de base.30 7. cuando el nivel del agua detr´s de a a la presa llega hasta su parte superior? 11. Sus elementos principales consisten. . a 9. acaban de construir un nuevo contenedor de agua (v´ase e la figura). En los siguientes problemas se describe una compuerta en la cara vertical de una presa. el ancho de la parte superior es de 100 pies y de la base 40 pies. 9.2) Un c´ ırculo de radio 3 pies. Suponga que la presa de la figura tiene las siguientes medidas: L = 200 pies de largo y T = 30 pies de ancho en su base. Suponga que una presa tiene la forma de un trapecio con una altura de 1000 pies. 9. Una presa de 60 pies de altura tiene forma de trapecio. n Parte II: Fuerza Hidrost´tica a 9. a o 9. si la parte superior est´ a 10 pies debajo de la superficie del agua. 12. cuya parte superior es paralela a la superficie del agua.4) Un semic´ ırculo de radio 4 pies. Encuentre el trabajo que se debe realizar. El tubo para llenar es cil´ ındrico con radio interno de 1 pie. Determine la fuerza del agua sobre la presa. tiene una profundidad de 100 pies y el extremo inclinado de la presa da cara al agua. Suponga. si el agua. 300 pies de largo en la parte superior y 200 pies de largo en el fondo. por medio del tubo. Halle la fuerza hidrost´tica si el nivel de agua desciende 10 pies por efecto de una sequ´ a ıa. para vaciar los tanques con las dimensiones se˜aladas. que se bombea agua desde el piso hasta el tanque. ¿Cu´l es la fuerza total que ejerce el agua sobre la presa. cuya orilla superior es su di´metro (paralelo a la superficie del agua) a 10. En un Hospital. Detrmine la fuerza total del agua sobre la compuerta. ¿Cu´nto trabajo se necesita para llenar el tubo y el tanque a con agua? 8.1) Un cuadrado de lado igual a 5 pies. a π π con 0 ≤ x < . Utilice el Teorema de Pappus. determinada por la regi´n encerrada por o √ x las gr´ficas de las siguientes curvas y = x y y = . 10. x 3. 0 ≤ x ≤ 6. 8. Determine el centroide en una l´mina de acero con dena sidad constante. determinada por la regi´n limitada por o f(x) = −2x2 + 8x − 7 y g(x) = x − 4. Calcule la masa de un bate de b´isbol. Calcule la masa y el centro de masa de un objeto cuya densidad es δ(x) = + 2 Kg/m.31 Universidad Nacional Experimental Polit´cnica “ Antonio Jos´ de Sucre” e e Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ ıas” Departamento de Ciencias B´sicas a Matem´ticas II (11025) a Per´ ıodo Lectivo: 2008-2 Centro de Masas ∼ Teorema de Pappus Pr´ctica 7 a Prof. para hallar el volumen del s´lido de revoluci´n que se genera al hacer girar la zona o o delimitada por las gr´ficas de f(x) = 3 − (x + 1)2 y g(x) = a 1 − x. determinada por la regi´n acotada entre o las gr´ficas de las curvas y = x2 − x − 6 y y = 9 − x. Utilice el Teorema de Pappus. Calcule el centro de masa del bate del ejercicio anterior. Las siguientes figuras describen l´minas de acero. Utilice el teorema de Pappus. Halle entonces la masa del e objeto. con las siguientes caracter´ e ısticas: El bate tiene 30 pulgadas de longitud y cuya 2 1 x + slugs/pulgada (los slugs son unidades para medir en el sistema ingl´s). ¿por qu´ el centro de masa no est´ en x = 3? e o e a 4. Esta e densidad de masa es δ(x) = 46 690 densidad. alrededor de x = . a 6. alrededor del eje x = 8. Explique brevemente 6 en t´rminos de la funci´n densidad. 2. Determine el centroide en cada una de estas regiones: 5. 9. tiene en cuenta el hecho de que el bate de b´isbol es semejante a un cono alargado. para hallar el volumen del s´lido de revoluci´n que se genera al hacer girar la zona o o delimitada por las gr´ficas de f(x) = −2x2 +8x−7 y g(x) = a x − 4. Andr´s P´rez e e 1. a 3 7. Determine el centroide en una l´mina de acero con dena sidad constante. alrededor del eje y = 4. 2 2 . Determine el centroide en una l´mina de acero con dena sidad constante. para determinar el volumen del s´lido que se genera al hacer girar la regi´n o o delimitada por las gr´ficas de f(x) = cos x y g(x) = tan x. cuya a densidad asumiremos constantemente igual a δ. en caso de que sean convergentes halle su valor.16) 0 −1 1.2) 1 ∞ ln x dx x cos x dx ∞ 1. −∞ t 3.21) 1 2. converge. que a.12) 0 ∞ sen x dx dx x. Suponga que la integral ∞ f(x) dx = L < ∞ −∞ es decir.3) 2 3 dx (x + 3)3/2 dx +9 1. 3.15) e ∞ 1. ∞ Pr´ctica 8 a 1.11) 0 0 1.13) 0 ∞ 1.17) 1 ∞ sen πx dx ln x dx x2 1.1) Demuestre que: ∞ x dx diverge.32 Universidad Nacional Experimental Polit´cnica “ Antonio Jos´ de Sucre” e e Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ ıas” Departamento de Ciencias B´sicas a Matem´ticas II (11025) a Per´ ıodo Lectivo: 2008-2 Integraci´n impropia ∼ Integrandos discontinuos o 1.20) 1 1.1) 2 ∞ √ dx x+3 ∞ 1. con a = b. Suponga adem´s. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes.18) 0 ∞ 1.19) −∞ 1.9) 2 √ 3 ∞ dx 5x − 8 ∞ 1.4) 0 ∞ dx (2 + x)(3 + x) arctan x dx 1 + x2 dx √ 2x + 3 x + 1 + 5 e−x dx x dx x2 + 5x + 6 xe2x dx 1.14) −∞ ∞ e3x dx 1.2) Demuestre que: lim t→∞ −t x dx = 0 Esto evidencia que NO podemos definir ∞ t f(x) dx = lim −∞ t→∞ −t f(x) dx .5) 0 1 1.8) −∞ ∞ dx (2x − 3)2 e−2x cos bx dx 1. b ∈ R. ln2 x 5 dx 2x + 3 ln x dx x3 1.7) 0 1.10) 1 ∞ 1. Demuestre que a a ∞ b ∞ f(x) dx + −∞ a f(x) dx = −∞ f(x) dx + b f(x) dx 3.6) −∞ ∞ x2 1. ∞ 6.15) −1 5. Si a g(x) dx diverge =⇒ ∞ 8.6) 2 dx √ (3 + x) x − 2 7.2) −∞ ∞ x.1) −∞ ∞ 3x2 − 4x + 5 dx (x − 1)(x2 + 1) 1 dx x ∞ 6. ln x dx 5. en caso de que sean convergentes halle su valor. 4 5. ∞]. para todo x ≥ a. ∞ 4. Calcule el valor de K.3) −1 dx x2 cos x √ dx sen x 8 5.2) 4 ∞ √ x2 dx x2 − 4x dx x(1 + x) ∞ 6.4) 1 8. 8. establece que: o ∞ ∞ 1.11) 0 6 dx x2 + x − 6 dx 2 − 5x − 6 x π/2 5. Si a ∞ f(x) dx converge =⇒ a ∞ g(x) dx converge f(x) dx diverge a ∞ 2.8) −∞ 4.3) −∞ ∞ x2 .10) −3 π dx (x2 − 1)(x + 3) 5.5) −∞ ∞ 4. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes y en caso de que converjan.7) −∞ √ 3 4.2) 0 x K − x2 + 1 3x + 1 dx y evalue la integral para dicho valor de K. halle su valor.33 4.12) π/4 2 tan2 x dx 5.1) 1 ∞ sen2 x dx x2 √ 1 x3 +1 dx 8.4) 3 1 dx (5 − x)2/5 π/2 5.8) 0 x. g ∈ C[a. tales que: f(x) ≥ g(x). Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes.2) −1 √ 3 dx x−9 2 5.6) −∞ ∞ x2 4.1) −∞ ∞ e−|x| dx 2 ∞ 4.16) 0 x−3 dx 2x − 3 6. Sean f. ∞ 7.5) 0 √ 6.5) −2 2 5. halle su valor.3) 1 1 dx x + e2x dx √ x 8. El Teorema de Comparaci´n y Acotamiento.4) −1 1 x2 1+ 6.9) 0 dx 4x − 5 3 5.2) 1 π 2 1+ x dx x sen x √ x ∞ dx 8.9) −∞ (2x2 − x + 3) dx 5.13) 0 dx √ x 5. Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes y en caso de que converjan.6) π/4 7 sec2 x dx π/2 5.e−x dx x dx 1 + x2 x dx ∞ 4.1) 0 √ 1 x2 + 4 − K x+2 ∞ dx 7.3) 0 ∞ x3/4 dx − x5/4 6. para el cual las siguientes integrales convergen.14) 0 sec x dx 5.7) 0 4 5.1) 0 2 dx √ x x dx 2−1 x 9 5.5) 8.4) −∞ ∞ xe−x dx dx x−1 4.e−x dx dx + 4x + 9 3 4.6) 0 0 ex . k∈R k∈R 15. definida por f(x) = ce−cx . k∈N k∈R 15. ii) I ρ(t) dt = 1.2) f(t) = ekt .3) Calcule la desviaci´n est´ndar σ = o a −∞ (x − µ)2 f(x) dx 15. que cumple las siguientes o o condiciones: i) ρ(t) > 0. Demuestre que ∞ 0 x2 e−x dx = 2 1 2 ∞ 0 e−x dx 2 11.6) f(t) = senh kt. es una funci´n F. q) = 0 xp−1 (1 − x)q−1 dx Γ (p) = 0 xp−1 e−x dx es convergente cuando p > 0 y q > 0. definida por o o ∞ F(s) = 0 f(t)e−st dt donde el dominio de F. es convergente cuando p > 0.2) Demuestre que Γ (p + 1) = pΓ (p). la Transformada de Laplace de f. Encuentre la Transformada de Laplace de las siguientes funciones: 15. es una funci´n de probabilidad en R. para todo t ∈ I y ρ(t) = 0 en otro caso. 13.1) f(t) = k. Demuestre que la integral de Euler de 2da especie (Funci´n Gamma) o ∞ B(p. Γ (3). para x ≥ 0 y c ∈ R+ y 0 en otro caso. . 15. Utilice el ejercicio 12.1) 0 dx xp ∞ 9. Γ (2). Una funci´n de densidad de probabilidad.2) Calcule el promedio µ = −∞ xf(x) dx ∞ 1/2 14. Demuestre que la integral de Euler de 1era especie (Funci´n Beta) o 1 12. Ayuda: Integre por partes. Determine los valores de p. para los cuales las integrales 1 9. 15. 14. 14. se define como una funci´n ρ : I −→ R. es el conjunto de todos los valores s.1) Considere f : R −→ R.3) 0 xp ln x dx convergen y realice la evaluaci´n para dichos valores.1) Calcular Γ (1).3) f(t) = tk .2) e dx dx x(ln x)p 1 9.34 9. o 10. para los cuales converge la integral. Demuestre que f. k∈R k∈R 15. Si f(t) es una funci´n continua pata todo t ≥ 0. 13. para: 13.4) f(t) = sen kt.5) f(t) = cos kt. o ∞ 14. . 18. . 6. 10. una sucesi´n infinita con t´rmino general an . .6) 1.1) 1. .4) an = 4n − 3 3n + 4 n2 1 + n3 4.. 26.2) an = 4 n 4.. Determine la altura que alcanza en el tercer rebote y en el n-´simo rebote. . . 1.. .2) 1. 7. . 1. 2 · 9. Andr´s P´rez e e 1. . .16) 5 7 9 11 . 5.− .. 3. 1. .12) 2.17) an = n+8− n 4.19) 1. 2.. 4.. . . ..5) an = 4.9) 7.. .11) 2..23) 1 · 3. 8. .. . ¿Cu´nto recorre el objeto durante el sexto ı a segundo? 4. Para cada una de las siguientes sucesiones. .24) 2. . 9. 1 1 1 1.. . halle la f´rmula del t´rmino n-´simo an . 1. . 1. . . . 1. . 1. 9. 7. 12. Un objeto se deja caer desde una gran altura.15) an = 1 + (−1)n 2n 3n + 1 en − e−n en + e−n 4. 1.12) an = 4n3 + 3n2 + 1 5n3 + 3 sen n2 n 5 − 2−n 6 + 4−n 5n 3n 4. 80 pies durante el tercero y as´ sucesivamente. 64.1) an = 1 5n n2 n+1 π 3 n √ 4. . . .14) 1 4 9 16 . 2 3 4 5 1.. 3. 1·3 3·5 5·7 − 5.9) an = 4. .− .4) 3. 1. .. 5. 48 pies durante el segundo instante de tiempo. 1 1 1 1 .6) an = arctan 2n 3 + (−1)n n2 ln(2 + en ) 3n cos2 n 2n 1− 4 n n 4. 3.35 Universidad Nacional Experimental Polit´cnica “ Antonio Jos´ de Sucre” e e Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ ıas” Departamento de Ciencias B´sicas a Matem´ticas II (11025) a Per´ ıodo Lectivo: 2008-2 Sucesiones num´ricas e Pr´ctica 9 a Prof. . .16) an = 4. .18) an = 4. . .24) an = 5 + . 3 · 27. . 11. 1. 1. 54. 27.17) 1. Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 pies sobre una losa de concreto.. 1. 2 6 12 20 1. . 8. 7 9 11 13 1. .. . o 1.20) 1. ..23) an = 4. . . 0.3) an = n2 − 1 n2 + 1 nπ 2 4. 1·3 2·5 3·7 1.. 1. ... . 5. . Determine cual de las siguientes sucesiones converge o diverge o e y en caso de que converjan halle su l´ ımite. . . 4.7) an = cos 4. . .. 13. 8. Cada vez que rebota alcanza una altura equivalente a 2 de la altura anterior. 3 5 7 9 4 7 10 13 . 1. . 8.20) an = 4.. . .. 6. 6.13) 2. 2 4 8 16 2 4 6 . Sea {an }n≥1 .10) an = 4.10) 0. . 0. 10.8) an = (−1)n 1 n 4.. 9.− .3) 2.13) an = n2−n √ √ 4. . . −17. e 3 3. . 4.− . de tal manera que recorre 16 pies durante el primer segundo. . . . 11. e indique para que valor de n inicia o e e dicha f´rmula. .18) 1. 4 9 16 1. . . .5) 3. 2 4 6 8 1 1 1 . 4.. ..7) 1. .11) an = n2 1 − cos 4. .22) 2 · 5 5 · 8 8 · 11 1.19) an = 4..8) 1 2 3 4 . . 6. .21) 1 1 1 .14) an = 4. 3 5 7 9 1 2 3 4 . .22) an = 4.21) an = ln(n + 1) − ln n 4. .. .15) 1 4 9 16 . 3) Sea fn = . .48) an = n n2 + n 5.38) an = π− 4. entonces la sucesi´n {xn } converge a a o n→∞ .4) Sea {Fn } la sucesi´n de Fibonacci.3) an = n−2 n+2 √ 7. Demuestre que si xn+1 = √ bien a − 2. entonces la sucesi´n de Fibonacci.39) an = 4.45) an = n2/3 sen n! n+1 4.36) an = 1 2 +1 4. .41) an = 1 1 + 2 6n 4.1) Suponga que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja procrea una nueva pareja.32) an = 2m (n + 1) n 4. o o Fn+1 1 5. para n ≥ 1 y adem´s lim xn existe. n o 7.29) an = n n+2 2n − 3 1 dx xp n 1 n 4. 7. . . 2 √ 2 2. e Si comenzamos con una pareja de reci´n nacidos. √ 2 2. Demuestre que fn−1 = 1 + . . est´ dada por la f´rmula recurrente a o Fn+1 = Fn + Fn−1 .36 4.43) an = 4. Demuestre que si F1 = 1 y F2 = 1.4) an = n+1 5n + 3 √ 2o 8. 21. dada en (5. Fn fn−2 5. 2. 1. Demuestre que o √ Fn+1 1+ 5 lim = n→∞ Fn 2 6. Calcule el l´ ımite de la siguiente sucesi´n o √ 2.2) Verifique que el t´rmino general de la sucesi´n es e o 1 Fn = √ 5 √ 1+ 5 2 n n≥3 1 −√ 5 √ 1− 5 2 n demostrando que esta expresi´n satisface la f´rmula recurrente.25) an = 10(n+1)/n cos 2nπ 4. {Fn } e o 1.40) an = 13 + 23 + · · · + n3 n4 1 4. . Se˜ale si las siguientes sucesiones son mon´tonas.47) an = 4.35) an = 4.2) an = 3 + xn + 2 xn (−1)n n 7.1) an = 1 3n + 5 1 2 7. . 8.33) an = n n −1 4.46) an = n3 sen 4. 13.30) an = 4 n n+1 n−1 sen 2nπ n 2n−1 4 nm 4. que es f´rtil al mes.31) an = 4.2). 5. 3.42) an = ln 2n ln 3n 2 n3 4.28) an = √ √ √ n( n + 1 − n) √ 3mn m en 4.44) an = (2n + 1) n 4.26) an = √ n n 4.37) an = 1 4.34) an = 4.27) an = n2/(n+1) cos n (−1)n 2 n 2n n! ln2 n n sen n 3n n5 + 1 4n2 4. Sucesi´n de Fibonacci: o 5. 5. . converge a cero. Utilice el teorema de sucesiones mon´tonas y acotadas para hacer un estudio de la convergencia de las siguientes o sucesiones 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n! 20. Si a1 = 3 y an+1 = an .1) an lim =0 n→∞ bn lim an no existe bn 17. Calcule lim an . o e 16. o o n→∞ entonces an lim =0 n→∞ bn 19. 2. 14. Demostrar que si {an } es una sucesi´n convergente y {bn } es una sucesi´n tal que bn = 0. Demostrar que la sucesi´n o n! nn . {bn } y {cn } sucesiones tales que lim an = lim cn = 1 y an ≤ bn ≤ cn . entonces la sucesi´n {an + bn }. Demuestre que si {an } y {bn } son dos sucesiones divergentes. Calcule lim an . para todo n ≥ 1. para todo n y lim bn = ∞. Si a1 = 2 y an+1 = 12. n→∞ √ √ 10. converge a o o cero. Demostrar que 1 2 (an + 4).1) Deducir que: Sn = 21. 2+ √ 2. Demostrar que n→∞ n→∞ lim bn = 1. Dar ejemplos de sucesiones {an } y {bn } tales que lim an = lim bn = 0. .2) Demostrar que {Sn } converge si y s´lo si |r| < 1. tambi´n diverge. o a − arn 1−r .3) n→∞ 17. Se define la sucesi´n {Sn } por o o Sn = a1 + a2 + · · · + an 21. Si a1 = 2 y an+1 = 1 + an . Sean {an }.2) 2n n! 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n≥1 n≥1 21. n→∞ 11. n→∞ √ converge a 2. Demostrar que si {an } es una sucesi´n que converge a cero y {bn } es una sucesi´n acotada. pero n→∞ n→∞ 17. para todo n. Dada la sucesi´n {an } definida por an = arn−1 . para todo n ≥ 1. Sean {an } y {bn } dos sucesiones convergentes.1) 20. Demostrar que n→∞ lim (an + bn ) = lim an + lim bn n→∞ n→∞ 17. para todo n ≥ 1. n→∞ 15.4) n→∞ 18. 13. 2+ 2+ √ 2.2) an = +∞ n→∞ bn lim lim an = −∞ bn 17.37 1 9. donde a y r son constantes. entonces {an bn }. . n≥1 20. Calcule lim an . ´ APENDICE 1 Repaso de L´ ımites y Derivadas . 23) lim x3 − 2x + 1 x→1 x5 − 2x + 1 √ 1 + 2x − 3 √ x−2 1. los siguientes l´ ımites.13) lim π x→ 3 1.14) lim cosh x − 1 x→0 x 1.36) lim tan x→0 .15) lim x→∞ 1.20) lim x + x2 x→0 |x| 1.17) lim (1 + ax) x x→0 b 1.5) lim x→1 2x3 − 3x + 1 √ √ 1 + sen x − 1 − sen x 1.1) lim x→3 5x + 1 eax − ebx 1.24) lim x→1 2 3 − 1 − x3 1 − x2 √ 3 x−6+2 x3 + 8 1. Andr´s P´rez e e Parte I: L´ ımites 1.32) lim x+1−2 x √ 3 1.35) lim x cotan 3x x→0 1.34) lim π x→ 6 2 senx + sen x − 1 2 senx −3 sen x + 1 1.4) lim x→0 sen ax − sen bx 1.8) lim x→0 x 1.9) lim tan x − sen x x 1 − tan x sen x − cos x x+1 x−1 x x→0 x→0 1.31) lim 3 x→∞ x→0 1.6) lim x→−1 1 + 5 x 1.39 Universidad Nacional Experimental Polit´cnica “ Antonio Jos´ de Sucre” e e Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ ıas” Departamento de Ciencias B´sicas a Matem´ticas II (11025) a Per´ ıodo Lectivo: 2008-2 Repaso de L´ ımites y Derivadas Repaso Prof.22) lim (x2 − x − 2)20 x→2 (x3 − 12x + 16)10 1.21) lim x→0 1.7) lim sen(x + h) − sen x h 16 − x2 1.19) lim x→∞ x−1− √ 3 x+1 1. 2x2 + x 1. Calcule en caso de que existan.25) lim x3 − 1 x→∞ x2 − 1 √ 9 + 2x − 5 √ 3 x−2 x3 + x2 +1− 3 1.27) lim x→−2 1.28) lim x→8 √ 4 x−2 1.11) lim π x→ 2 √ 3x + 1 − 4 √ 1.2) lim x→4 4 − x x3 + x2 − x − 1 1.3) lim √ x→5 x−2− 3 √ 1+ 3x √ 1.29) lim √ x→16 x−4 √ x3 − x2 +1 1.10) lim sen2 x x→0 x 2 cos2 x + cos x − 1 4 cos2 x + 4 cos x − 3 x2 + 3 3x2 + 1 √ 3 x2 1 + tan2 x cos2 x 1.33) lim √ x→∞ 1.30) lim x→0 x+1−1 x x+3−x π −x 4 cotan x 1.12) lim π x→ 4 1.16) lim x→∞ 1.26) lim x→4 1.18) lim π x→ 4 ln(tan x) 1 − cotan x √ 5x2 − x4 − x2 x 1. 40 1.12) f(x) = √ 2x + 1 2.55) lim 3 x→∞ √ x+ x−2 e−100 + x3 1.3) f(x) = 1 x 2.4) f(x) = √ x 2. o 2.2) f(x) = 1 + x + x2 1 + x − x2 3.40) lim 4 − x2 √ x→2 3 − x2 + 5 x−1 x2 + 3 − 2 1.63) lim (1 + cos x)3 sec x π x→ 2 Parte II: Derivadas 2.56) lim 1 − e−x x→0 sen x x4 cos x3 x→∞ (x6 + 1)2 sen ax sen bx 1.62) lim x→0 1. 3.5) f(x) = √ 3 x 2.3) f(x) = 1 1 1 +√ + √ 3 x x x √ 7 x2 3.7) f(x) = ln x 2.38) lim x[ln(x + 1) − ln x] x→∞ 1.49) lim 2 x→3 x − 9 √ 3 1.50) lim √ x→∞ x x2 − 1 1. Utilice la definici´n de la derivada.59) lim 1. para hallar la derivada de las siguientes funciones.4) f(x) = x2 cos x − x sen x 3.57) lim x2 + cos x x→∞ x5 + ex x5 + x2 +1 x→∞ (x + 1)3 1.37) lim x→∞ x2 + 1 x2 − 2 x2 1.42) lim x2 + x − 2 x→1 (x − 1)2 1 − 2 cos x sen x − π 3 x−4 x+1 x+3 1.39) lim (1 + x2 )cotan x→0 2 x 1.1) f(x) = x2 2.53) lim sen x + x→−∞ √ 6−x−2 1.11) f(x) = x2 − 3x 2.61) lim x→π 1.47) lim tan x − sen x x→0 x3 1.5) f(x) = ex (x2 − 2x + 2) 3.8) f(x) = ex 2. para calcular la derivada de las siguientes funciones.60) lim 1.9) f(x) = cos x 3.41) lim 3 x→∞ x3 + 3x2 − 1 x x2 − 2x 1.1) f(x) = 2x 1 − x2 3. Use las reglas de la suma producto y cociente de la derivada.46) lim tan 5x x→0 cos 6x 1.43) lim √ x→1 1.48) lim x→∞ x3 − 27 1.2) f(x) = x3 2.52) lim x→−∞ x2 1.58) lim x4 ex + 3 sen x x→∞ e−x + 4x2 + 1 sen x x−π 1.10) f(x) = x x−5 2.6) f(x) = 3x3 .45) lim π x→ 3 1.54) lim 1 e−2x (e2x + 1) −8x3 + x + 1 x−1 x→∞ 1.6) f(x) = tan x 2.44) lim x cos x→0 1.51) lim √ x→2 3−x−1 1 x − sen x 1. 11) f(x) = etan(2x−1) + sen4 4.7) f(x) = arccosec x 5.1) f(x) = x arcsen x x+1 sen x + cos x sen x − cos x 1 cosh x √ x+1 √ x−1 6.12) f(x) = senh(x2 − 1) 5.14) f(x) = loga x 3. 4.7) f(x) = (5x2 + 2x − 8)3 4.8) f(x) = (4x2 + x + 1)(1 − x4 ) 3. para hallar la derivada de las siguientes funciones.1) f(x) = arcsen x 5.1) f(x) = ln 1 + ln x 1 + ln x 1 x 4.4) f(x) = √ a2 2 arctan − b2 a−b x tan a+b 2 6.5) f(x) = arccosh x 5.10) f(x) = cosec(cotan x2 ) 4.9) f(x) = ln sec 3 tan (e3x ) 1 x 4.15) f(x) = 4. Utilice las derivadas calculadas en el ejercicio anterior. para calcular la derivada de las siguientes funciones.11) f(x) = cosec x senh x 3.3) f(x) = arctan x 5. 6.4) f(x) = 2 + 3 sen2 x x4 + cos 1+ 1 − x2 x 4.13) f(x) = 3.7) f(x) = − sen x sec x 3.9) f(x) = (2x3 + 1) 1 +2 x 3.4) f(x) = arcsenh x 5. Use la derivada de funciones inversas.3) f(x) = ln tan 2 4.6) f(x) = ln(ex + cos x) x2 − 1 x+4 4.6) f(x) = arctanh x 5.7) f(x) = arccosh 6.10) f(x) = ex cosh x 3 sen x − x4 x3 cos x 3.2) f(x) = ln ex + 1 + e2x √ x 4.8) f(x) = tan 4.2) f(x) = 1 + 1 − x2 arccos x 6.12) f(x) = 4 sen x + 3 cos x tan x 1 − sen x 1 + sen x 3. Use Regla de la Cadena.5) f(x) = x[sen(ln x) − cos(ln x)] 4.8) f(x) = arcsec[ln(1 + x4 )] .3) f(x) = arctan 6.5) f(x) = arccos 6.41 3. para calcular las derivadas de las siguientes funciones.2) f(x) = arccos x 5. 5.6) f(x) = arccos cos2 x − sen2 x 6.8) f(x) = arcsec x 5.9) f(x) = arccotan x 6. 4) f(x) = [ln x]x xln x x6 + 7 x2 + 3 arctan x4 x arcsen x 7.42 7.3) f(x) = (e − x) 7.6) f(x) = x + xx + xx √ 3 x x x 7.5) f(x) = 2tan( x ) 1 7.2) f(x) = 7.1) f(x) = [sen x]cos x + [cos x]sen x 7.9) f(x) = a + x x ax 7.8) f(x) = (ln x)e + (cosh x)tan x arcsen(sen2 x) 7. Utilice derivaci´n logar´ o ıtmica para hallar la derivada de las siguientes funciones.7) f(x) = arctan x ln2 sec 2 7.10) f(x) = arccos(cos2 x) arctan2 x . 7. ´ APENDICE 2 Coordenadas Polares .