INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLOCORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA “Un optimista ve una oportunidad en toda calamidad, un pesimista ve una calamidad en toda oportunidad” Winston Churchill NÚMEROS RACIONALES TABLA DE DESEMPEÑOS Comprender las propiedades y características de los representándolos en la recta numérica y el plano cartesiano. números racionales Manejar las relaciones y las operaciones básicas de los números racionales aplicándolos en la solución de problemas del entorno. Plantear y resolver ecuaciones utilizando los números racionales INDICADORES DE DESEMPEÑOS: Grafica con propiedad en la recta numérica. Grafica con propiedad en el plano cartesiano. Soluciona problemas aplicando las operaciones y propiedades de los números racionales. Soluciona problemas aplicando la potenciación de los números racionales. Soluciona problemas aplicando la radicación de los números racionales. Plantea y resuelve ecuaciones a partir de situaciones reales. Cumple con las tareas y actividades asignadas por el docente. CONTENIDOS: Concepto de número racional Conjunto de los números racionales Fracciones equivalentes Representación de los números racionales en la recta numérica Adición y sustracción de números racionales Multiplicación de números racionales División de racionales Potenciación y radicación de números racionales Ecuaciones con números racionales Polinomios con números racionales Números Racionales Los números racionales se representan por fracciones reducidas a su mínima expresión Concepto de fracción Una fracción es el cociente de representamos de la siguiente forma: b dos números enteros a y b, que denominador , indica el núm ero de partes en que se ha dividido la unidad. a numerador , indica el núm ero de unidades fraccionarias elegidas. Observe las siguientes figuras. En ellas la unidad es el rectángulo A. Hemos partido la unidad en diversas formas pero siempre en partes iguales. Cuando partimos la unidad que tenemos en 2 partes iguales cada pedazo se llama mitad o medio y la unidad queda partida en 2 mitades Esto lo expresamos como 1 2 . 2 Si partimos la unidad en 3 partes iguales, cada parte se llama tercio y la unidad queda partida en 3 tercios. Eso se expresa como 1 3 3 En el dibujo de abajo también hemos partido la unidad en sextos y en cuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en que queda partida la unidad y el nombre de las partes. En la forma en que estamos expresando estas particiones el número de abajo sirve para decir en cuántas partes iguales se fraccionaron la unidad y el número de arriba para decir cuántas partes tomamos. De estos números, el de arriba se llama numerador (el que numera o cuenta), y el de abajo denominador (el que da nombre), y la expresión se llama completa fracción o quebrado. En las figuras de arriba son iguales el numerador y el denominador porque tomamos todas las partes que forman la unidad. Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de ex tremos es igual al producto de medios. a y d son los extremos b y c son los medios En las figuras H e I tenemos 1 2 pero hay muchas otras maneras de tener esa misma 3 6 cantidad. Observe las siguientes figuras en las que el rectángulo U es la unidad; en ellas se ha marcado la misma cantidad de área de muchas maneras: Amplificación de fracciones . Estas fracciones son equivalentes : porque expresan la misma cantidad.En las figuras anteriores se ha marcado la tercera parte del área del rectángulo U con diversas fracciones. un tercio: Observe que podemos obtener todas estas fracciones de un tercio multiplicando numerador y denominador por el mismo número: 1 1x 2 2 3 3x2 6 1 1x 4 4 3 3 x 4 12 1 1x8 8 3 3 x8 24 Estas operaciones corresponden a obtener una partición más fina. de partes más pequeñas. De esta manera es posible obtener todas las fracciones equivalentes que se quiera. Por ejemplo. podemos simplificar la fracción cuarenta y ocho sesenta-avos dividiendo entre dos. dos veces. Por ejemplo. Por ejemplo: 4 42 2 12 12 2 6 Si se obtienen fracciones equivalentes con este proceso se dice que se simplifica o que se reduce una fracción. Reducción de fracciones a común denominador . sobre todo para comparar fracciones y para hacer operaciones con ellas. dos diecisieteavos es equivalente a dieciséis ciento-treinta-y-seis-avos porque 2 x 8 = 16 y 17 x 8 = 136 Simplificación de fracciones Observe también que si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número. es decir que no se puede reducir. y luego entre tres. Cuando el numerador y el denominador de una fracción no tienen divisores en común se dice que la fracción es irreducible. Lo que se hace con esto es agrupar partes pequeñas en una mayor. una vez. Obtenemos una fracción que ya no se puede simplificar más: 48 48 2 24 24 2 12 12 3 4 60 60 2 30 30 2 15 15 3 5 Saber encontrar fracciones equivalentes es muy útil. entonces al realizar estas divisiones obtenemos una fracción equivalente (simplificando fracciones). Tomamos una fracción y multiplicamos numerador y denominador por el mismo número natural. 9) = 2 2 · 3 2 =36 Comparar fracciones Fracción es con igual denominador De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador. 12.c.Reducir varias fracciones a común denominador consiste e n convertirlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Ejemplo: Fracciones con numeradores y denominadores distintos En primer lugar las tenemos que poner a común denominador Es menor la que tiene menor numerador. m. Para ello: 1 Se determina el denominador común. que será el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ejemplo: Fracción es con igual numerador De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador. . multiplicánd ose el cociente obtenido por el numerador correspondiente. (3. 2 Este denominador común se divide por cada uno de los denominadores. Ej emp lo: m . 3 10 25 Fracción mixta También podemos escribir las fracciones impropias como los enteros que forman y una fracción propia. esto se acostumbra escribir como 7 2 1 y se lee un entero dos quintos. . .Ejemplo: Fracción propia. 5 7 25 y 14 3 son fracciones mixtas. . en siete quintos tenemos un entero y dos quintos. Por ejemplo. y son fracciones propias. 4 11 32 . . en ese caso tenemos más que una unidad y decimos que es una fracción impropia. Por ejemplo. tenemos menos que una unidad y decimos que es una fracción propia. 8 Taller 1 1. Por ejemplo. Por ejemplo. Cuando tenemos un quebrado con el numerador más chico que el denominador. Encuentre todas las fracciones equivalentes en las siguientes figuras. 4 23 132 y son fracciones impropias. . 7 20 360 Fracción impropia Sin embargo podemos tener un quebrado con el numerador mayor que el denominador. 5 5 Cuando tenemos enteros y fracciones en esta forma decimos que es una fracción mixta. Diga qué parte de la unidad es la parte sombreada de cada uno de los otros rectángulos. En las siguientes figuras el rectángulo R es la unidad. Simplifique las siguientes fracciones hasta tener una fracción irreducible: 4.2. Representa gráficamente cada par de fracciones. En las siguientes figuras cada rectángulo es la unidad de referencia. De las siguientes parejas de fracciones diga cuál es más grande: 5. 3. Escriba qué parte del entero es la parte sombreada en cada caso y encuentre tres fracciones equivalentes a la que dio. para determinar si son o no equivalentes . mientras. Estudiemos cómo se hace en cada uno de los casos. Determina si cada par de fracciones son o no equivalentes: REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA Todas las fracciones pueden ubicarse en la recta numérica. dividimos en 3 partes iguales la unidad y tomas los dos primeros trozos desde el cero . si ubicamos 2/3 en la recta numérica. Por ejemplo.6. el numerador nos señala cuantas partes hay que tomar. Fracción propia Toda fracción propia se ubica entre el 0 y el 1 de la recta. Sólo habrá que dividir ese segmento de recta en las partes que indica el denominador de la fracción. el entero que se obtiene nos indica entre que números enteros está la fracción impropia. El entero 1 nos indica que la fracción está entre el 1 y el 2. ubicamos allí mismo los 5/3. Por ejemplo. debido a que las fracciones impropias son mayores que 1. dividimos ese segmento (del 1 al 2) en tres partes iguales y marcamos donde va 2/3. que corresponden a nuestra fracción original. Al convertirlas en número mixto. Ello. y la fracción que nos resulta se ubica entre dichos números. Por eso. las fracciones pueden ser transformadas a número mixto. veamos qué sucede con 5/3. O simplemente dividimos tantas unidades en tercios como sean necesarias para completar cinco tercios. TAREA DE CONSULTA Consultar como se ubica parejas ordenadas compuestas por números fraccionarios en el plano cartesiano . De este modo.Fracción impropia En este caso. antes de ubicarlas en la recta numérica. Ubicar en la recta numérica. determina si cada par de fracciones son o no equivalentes . Ubicar en la misma recta numérica 3. 2. Aplicando el producto en cruz. Establece la relación de orden entre cada par de números 2. Ubicar en el plano cartesiano cada par ordenado Taller 3 1.Taller 2 1. Ordena de mayor a menor los siguientes números racionales SUMA Y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES SUMA Y RESTA DE RACIONALES CON EL MISMO DENOMINADOR Se suman o se restan los numerador es y se mantiene el denominador y si podemos. y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. Por ejemplo: Ej emp lo s: SUMA Y RESTA DE RACIONALES CON DISTINTO DENOMINADOR En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador. simplificamos el resultado.3. Ejemplos: . Por ejemplo. Sume las siguientes Fracciones: 2. se puede hacer de las dos maneras siguientes: a) Sumamos primero los enteros: b) O bien. sumar y simplificar el resultado.Suma y resta de fracciones mixtas Si sumamos fracciones mixtas podemos sumar primero los enteros y luego las fracciones o convertir los enteros en fracciones. si queremos sumar tres enteros un medio y cinco enteros un tercio. primero convertimos los enteros a fracciones impropias 1 3x 2 1 6 1 7 3 2 2 2 2 2 2 1 5 x3 1 15 1 16 5 3 3 3 3 3 3 Y luego sumamos: 7 16 21 32 53 5 8 2 3 6 6 6 Taller 4 1. Haga las siguientes restas de fracciones: . Usted ya sabe realizar estas operaciones con números enteros. Entonces. . resolver MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES En esta lección se verá cómo multiplicar y dividir números racionales. La regla es la siguiente: • El numerador del producto de dos fracciones es el producto de los numeradores. para efectuar la multiplicación necesitamos saber cuál es el numerador y cuál el denominador del resultado. y el denominador es el producto de los denominadores. Al multiplicar dos fracciones se obtiene una fracción. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Ahora vamos a presentar la manera en que se multiplican dos fracciones.3. de las fracciones que se están multiplicando. Así podemos realizar multiplicaciones como la que se muestra a continuación. Pero como 14 y 20 tienen divisores comunes. 2 2 7 14 x7 x 5 5 1 5 Taller 5 1. Encuentra los siguientes productos. podemos 20 simplificar el resultado. simplifica los resultados 3. encontrando una fracción equivalente que tenga un denominador más pequeño: dividiendo arriba y abajo entre 2 se obtiene Veamos un ejemplo: multipliquemos las fracciones y 2 5 y 7 10 7 4 Ya se ha dicho que los enteros son racionales que se pueden expresar como fracciones poniéndoles como denominador el 1.Obtenemos el resultado 14 . Resuelva las siguientes multiplicaciones y si es posible simplifique el resultado: A) 8 35 x 15 18 B) 2 9 x 3 16 D) 4 15 x 6 25 E) 8 x3 5 C) 2. Completa el cuadro: 8 5 x 9 7 F) 1 5 7 x x 2 4 3 . El resultado es el denominador del cociente. Por ejemplo. . se puede encontrar otro número racional que multiplicado por el primero dé como resultado 1. La primera de ellas es la propiedad del neutro multiplicativo. 2. El número encontrado es el inverso multiplicativo del primero. propiedad que ya conocíamos para los naturales y para los enteros: Al multiplicar por 1 cualquier número racional. El siguiente procedimiento para dividir fracciones: 1. Se multiplica el numerador de la primera. por el denominador de la segunda. El resultado es el numerador del cociente. Se multiplica el denominador del primero por el numerador del segundo. que son importantes para la división de fracciones.a b c axb bxa ax(bxc) (axb)xc 1xc ax(b+c) bx(c-a) División de fracciones Para dividir dos fracciones es conveniente hablar de algunas propiedades de la multiplicación de números racionales. Por ejemplo: 3 3 x1 8 8 La segunda propiedad es la del inverso multiplicativo: Para todo número racional distinto de cero. el resultado es ese mismo número. o un entero entre una fracción. Encuentre el inverso multiplicativo de los siguientes números: 2. Resuelve: 3.Ejemplos: Con este mismo procedimiento podemos dividir una fracción entre un entero. Por ejemplo: Taller 6 1. ya que podemos expresar el entero como una fracción con denominador igual a 1. Resuelve aplicando “Ley de la oreja” . Soluciona el crucigrama propuesto: . Completa la siguiente tabla 5.4. Simplifique las siguientes fracciones: POTENCIACIÓN NÚMEROS RACIONALES En los números racionales se aplican las mismas propiedades que en el conjunto de los números enteros. Es la multiplicación de factores iguales. Los términos de la potenciación son: n a=b Exponente Potencia Base .6. L a s p o t e n ci a s d e ex p o n e n t e p a r s o n si e m p r e p o s i t i va s . Potencia 0 Un número racional elevado a 0 es igual a la unidad. . L a s p o t e n c i a s d e e x p o n e n t e i m p a r t i e n e n e l mi s m o s i g n o d e l a base. Ejemplo: 2. Ejemplo: 3. Producto de potencias 3. Propiedades de la potenciación 1.1 potencias con la misma base Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. Potencia de 1 Un número racional elevado a 1 es igual a sí mismo. Ejemplo: 4. Cociente de potencia 4.Ejemplo: 3.2 Potencias con el mismo exponente Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente d e las bases.1 Potencias con la misma base Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.2 Potencia con el mismo exponente Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases. . Ejemplo: 4. Potencia de una potencia Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.Ejemplo: 5. Ejemplo: . Ejemplo: 6. Potencia con exponente negativo Es otra potencia con el inverso multiplicativo del número racional y cuyo exponente es el mismo pero con signo positivo. f. i. e. 3. Opera: . j. g. c. h. Realiza las siguientes operaciones con potencias: a. d. b.Taller 7 1. si cada carro tiene 30 canastas? RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES En los números racionales se aplican las mismas propiedades que en el conjunto de los números enteros. Los términos que intervienen en la radicación son: el índice. ¿Se dobla un pliego de papel en dos partes y se recorta por el dobles. Una canasta de gaseosa tiene 30 botellas. cuantas botellas habrá en 30 carros. el radical (símbolo de la radicación y la raíz (el resultado buscado).4. la cantidad sub . Propiedades de los radicales Producto de radicales Cociente de radicales Potencia de radicales Raíz de un radical .radical. ¿Cuántos pedazos de papel hay después de repetir el mismo procedimiento cinco veces? 5. Raíz enésima de una potencia En los números racionales Ejemplo Recordar: La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador. Resolver aplicando propiedades . Las únicas raíces de números racionales que se trabajan un poco en este curso son las raíces de radicando racional e índice natural. Taller 8 1. Resolver aplicando propiedades .2. se procede igual que con los números enteros.ECUACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Para resolver ecuaciones con números racionales. Ejemplo 1 . Ejemplo 2 PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES Ahora se verá la aplicación de los procedimientos anteriores en la solución de problemas. Para la solución de estos planteamientos lo importante es lograr reducirlos a expresiones algebraicas. Ejemplo 1 . . 8x 1.6x 3 1.6x 5) 5 x 3 7 2 2 x x x 6 18 4 12 9 3 17) 5 7 16 0.Taller 9 1.5x 6) 3 4 3 3 x 2 x 1 x 8 5 10 2 18) 7 2 x 3 7) 4x 5 8x 3 5 3x 3 5x 3 8 6 3 2 4 19) 3 5 0 x2 2 8) x 3 x 4 1 x 1 2x 1 4 9 2 4 9 20) 2 3 x 1 x 1 9) 3x 5 2 x 1 x 3 5x 1 1 2 3 4 8 21) 3x 2 6x 0 3x 1 6x 1 22) 13 11 0 2x 3 x 3 23) x 4 2x 5 0 x 3 2x 10) 3x 8 x 1 7 x 4 x 8x 5 5 4 3 3 10 11) 7 8 9 1 31 7 x 2x 3x 4x 3 6x 12) 11 3 2 x x Respuestas: 1) 6 11) 2) 3 5 2 3) 12 12) 4 13) 4) 20 4 3 5) 5 14) 2 6) 15) -1 20 29 16) 7) 1 2 1 8 8) -5 17) 1 9) 5 18) 13 2 10) 17 23 19) 16 5 .25 0. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones fraccionarias de primer grado: 1) 1 1 x x5 2 3 13) 5 3 3 x 2 x 2) 1 1 5 x x3 3 2 6 14) 1 1 1 1 13 0 8x 9x 12x 24x 72 3) 3 5 x 2 x 1 4 6 15) 3 5 8 1 1 11 4x 14 7 x x 4 14x 4) x x 2x 6 3 2 4 5 16) 3 5 1. Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Calcula la capacidad del bidón. 6 Una granja tiene cerdos y pavos. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm? 4 En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Se pide: 1 Litros de gasolina que tenía en el depósito. consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa. ¿Cuánto dinero tenía Ana? . El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera. la mitad de la gasolina que le queda. 2 Litros consumidos en cada etapa. mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas? 5 Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. ¿Cuántos hombres. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo? 2 Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuántos cerdos y pavos hay? 7 Luís hizo un viaje en el coche.20) -5 21) 2 15 22) 8 23) 5 3 2. en el cual consumió 20 l de gasolina. 8 En una librería. Al salir de la librería tenía 12 €. Resolver 1 Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Cuál es el número? 3 La base de un rectángulo es doble que su altura . en total hay 35 cabezas y 116 patas. = 7. 2. 5. éstos van antes de cualquier operación Taller 10 Resuelve hasta la mínima expresión: 1.POLINOMIOS CON NÚMEROS RACIONALES Para resolver polinomios recuerda tener en cuenta el orden en las operaciones visto en los números enteros. 3. 6. y si intervienen signos de agrupación. = 4. Diego Alonso Castaño A Docente .
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