MAGNITUDES FÍSICASEstodo aquello que se puede expresar cuantitativamente,dicho en otras palabras es susceptible a ser medido. ¿Para qué sirven las magnitudes físicas? sirven para traducir en números los resultados de las observaciones;así el lenguaje que se utiliza en la Física será claro, preciso y terminante. CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS 1.- POR SU ORIGEN A) MagnitudesFundamentales Son aquellasque sirven de base paraescribir lasdemásmagnitudes. En mecánica, tres magnitudes fundamentales son suficientes: La longitud, la masa y el tiempo. Las magnitudes fundamentales son: Longitud (L) Masa (M) Tiempo (T) B) , , , Intensidad de corriente eléctrica (I) Temperatura termodinámica (θ) Intensidad luminosa (J ) Cantidad de sustancia (µ) MagnitudesDerivadas Son aquellas magnitudes que están expresadas en función de las magnitudes fundamentales; Ejemplos: Velocidad Aceleración Fuerza C) , , , Trabajo , Superficie (área) , Densidad Presión Potencia, etc. MagnitudesSuplementarias (Son dos), realmente no son magnitudes fundamentales ni derivadas;sin embargo se lesconsideracomo magnitudesfundamentales: Ángulo plano (φ) , Ángulo sólido (Ω) 2.- POR SU NATURALEZA A) MagnitudesEscalares Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numérico y su respectiva unidad. Ejemplos: VOLUMEN TEMPERATURA Sólo necesito 100mm3 yestará terminado Tengo fiebre de40°C ¡Quefatal! TIEMPO Son las 12:15P.M. ¡Ya estarde! Como severá en todos estos casos, sólo senecesita el valor numérico y su respectiva unidad para quela magnitud quedeperfectamentedeterminada. B) MagnitudesVectoriales Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y unidad,se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplos: FUERZA DESPLAZAMIENTO F = 5N Sabemos que la fuerza que se está aplicando al bloque es de 5 Newton; pero deno ser por la flecha (vector) quenos indica que la fuerza es vertical yhacia arriba;realmenteno tendríamos idea si seaplica hacia arriba o hacia abajo.La fuerza esuna magnitud vectorial. El desplazamiento indica que mide 6 km y tienen una orientación N 60º E (tiene dirección y sentido) con lo cual es fácil llegar del punto “o”a la casa. Existe 3 tipos de unidades en el Sistema Internacional (S.14 cm Origen del Sistema de Unidades: 1 yarda 1 pulgada El 14 de octubre de 1 960.Magnitudes Físicas SISTEMA DE UNIDADES .54 cm 1 pie = 30. estableció el Sistema Internacional de Unidades (S. Basado en la radiación de una muestra de platino fundido preparada especialmente.). mol mol Con base en las propiedades del carbono 12.I.NOT ACIÓN EXPONENCIAL NOTACIÓN SISTEMA DE UNIDADES Lanecesidad de tener unaunidad homogéneapara determinada magnitud.I). Con base en lade fuerzamagnéticaentre dosalambresque transportan la misma corriente. estas son: UNIDADES DE BASE Son las unidades respectivas de las magnitudes fundamentales.48 cm 1 yarda = 91. la Conferencia General de Pesas y Medidas. Intensidad de Corriente Eléctrica Temperatura Termodinámica Intensidad Luminosa Cantidad de Sustancia 2. Un cilindro de aleación de platino que se conserva en el laboratorio Nacional de Patrones en Francia. Convencionalmente: 1 pulgada = 2. 1 pie 1. MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Ampere A Kelvin K Candela cd Definido por latemperaturaalaquehierveel aguaysecongelasimultáneamente si lapresión es adecuada. obliga al hombre a definir unidades convencionales. que tiene vigencia en la actualidad y que en el Perú se reglamentó según la ley N° 23560. MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO Angulo Plano radián rad Angulo Sólido estereorradián sr . UNIDADES SUPLEMENTARIAS Son lasunidadescorrespondientesalasmagnitudes suplementarias. Basado en la frecuencia de la radiación de un oscilador de cesio especial. PATRON PRIMARIO Basado en la longitud de onda de la luz emitida por una lámpara de criptón especial. sin embargo se les considera como unidades de base. excepto el prefijo de kilo que por convención será con la letra k minúscula.000 000 000 001 -15 10 =0. A continuación sólo sepresentarán algunas de ellas.01 -3 10 =0.000 000 000 000 001 -18 10 =0. m (metro) NuevasUnidades km (kilómetro) cm (centímetro) − La escritura. MÚLTIPLOS PREFIJO Deca Hecto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa SÍMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIÓN D H k M G T P E 101 =10 102 =100 103 =1 000 106 =1 000 000 109 =1 000 000 000 1012 =1 000 000 000 000 1015 =1 000 000 000 000 000 1018 =1000000000000000000 Unidad del S.(sin dejar espacio).4microfaradios) .I. se forma otra nueva unidad. SUBMÚLTIPLOS PREFIJO SÍMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIÓN deci centi mili micro nano pico femto atto d c m µ n p f a -1 10 =0. Son lasunidadescorrespondientesalasmagnitudesderivadas.I. − Los símbolos de los prefijos para formar los múltiplos se escriben en mayúsculas. UNIDADES DERIVADAS 2. al unir múltiplo o submúltiplo con una unidad del S. 1. Ejemplo: NOT ACIÓN EXPONENCIAL NOTACIÓN En la física.I. Segundo: El múltiplo o submúltiplo (dejando un espacio) Tercero:Launidad del S. estos se escriben con letra minúscula. MAGNITUD UNIDAD Fuerza SIMBOLO Newton N metro cuadrado m2 Velocidad metro por segundo m/s Volumen metro cúbico m3 Trabajo Joule J Presión Pascal Pa Potencia Watt W Frecuencia Capacidad Eléctrica Hertz faradio Hz f ResistenciaEléctrica Ohm Ω Superficie (Area) OBSERVACIONES − El símbolo de una unidad no admite punto al final.000 001 -9 10 =0.4µf (36. para su simplificación se hace uso de los múltiplos y submúltiplos. es muy frecuente usar números muy grandes. − Todos los nombres de los prefijos se escribirán en minúscula. En el caso de los submúltiplos se escriben con minúsculas. − Cada unidad tiene nombre y símbolo. pero también números muy pequeños.I.4×10 f = 36.1 -2 10 =0. Ejemplo: 3 20×10 m =20 km (20 kilómetros) -6 36.3. en cuyo caso se escribirán con letra mayúscula. − Al unir un múltiplo o submúltiplo con una unidad del S.000000000000000001 OBSERVACIONES − Lossímbolosde losmúltiploso submúltiplos se escriben en singular.000 000 001 -12 10 =0. es la siguiente: Primero: El número (valor de la magnitud).a no ser que provenga del nombre de una persona.001 -6 10 =0. 20 .5 cm.2 m . tiene cuatro cifras significativas . nosotros podemos estimar:L =33.706 m . la longitud del mismo se puede expresar así: 33.032 m . 0.Magnitudes Físicas CIFRAS SIGNIFICA TIV AS SIGNIFICATIV TIVAS CONCEPTO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cuando un observador realiza una medición. tiene seis cifras significativas 6. 335 mm . 1 400. 0. determinar el número de cifras significativas: Al medir el largo del libro se observa que su medida está entre 33 y 34 cm.5 cm . l El dígito que se halle más a la derecha es el menos significativo. generalmente se determina como sigue: La regla graduada tiene como graduación mínima el centímetro. 4. tiene cuatro cifras significativas.471 2 m.23 m .356 m . l El cero que se coloca a la izquierda del punto de una fracción decimal no es significativo. El dígito distinto de cero que se halle más a la izquierda es el más significativo. El número de cifras significativas en un valor medido. tiene cuatro cifras significativas 2. tiene dos cifras significativas.70 m . Se podrá afirmar entonces que el largo del libro mide 33 centímetros más una fracción estimada o determinada“al ojo”. tiene dos cifras significativas. tiene dos cifras significativas.335 m Es notorio que el número de cifras significativas en el presente ejemplo es tres.0. tiene cuatro cifras significativas. tiene una cifra significativa. l Todos los dígitos que se hallen entre los dígitos menos y más significativos son significativos. tiene tres cifras significativas 321. l Ejemplo. 140 . incluso si es cero.así por ejemplo. 0. están determinados por todos los dígitos que pueden leerse directamente en la escala del instrumento de medición más un dígito estimado. 140. tiene dos cifras significativas 36. Ilustración En el ejemplo del libro. nota siempre que el instrumento de medición posee una graduación mínima: Las cifras significativas de un valor medido. una de las unidades no corresponde a las magnitudes fundamentales del sistema internacional: a b c d 4 2 4 1 2 3 2 3 1 1 5 5 5 3 3 3 2 2 2 2 ¿Cuál de las cantidades siguientes tiene tres cifras significativas? a) b) c) d) e) 305 cm 0.kelvin 4 50 millas y por 2. .kilogramo m .4 cm 6.Ahoratiene 5pies.54 ×10 m Todos tienen el mismo número Determine el número de cifras significativas en las siguientes cantidades medidas: (a) 1.I.- metro (m) Pascal (Pa) Amperio (A) candela (cd) segundo (s) ¿Qué magnitud está mal asociada a su unidad base en el S.Amperio g .(b) 8. en promedio.- a) b) c) d) e) 2.ylaotraa50millasde distancia (1 milla =1.(d) 22 m a) b) c) d) e) 10.254 cm 2 0.- a) b) c) d) e) Entre las alternativas.002 54 × 10 cm −3 254 × 10 cm −3 2.gramo ¿Qué relación no corresponde? a) b) c) d) e) 6.segundo Intensidad de corriente .mol C .- ¿Cuál de las unidades no corresponde a una unidad fundamental en el S.- 7.050 0mm 1.? a) b) c) d) e) 3. ¿Cuántos centímetros creció.- 6. Se indica que una población estáa60kmdedistancia.03 cm.1 × 10 m 5 30 millas y por 2.I. Un estudiante determinado medía 20 pulg de largo cuando nació.1 × 10 m 4 40 millas y por 10 m N.- Cantidad de sustancia .2 cm 5.señala la que pertenece a una unidad base en el S.kilogramo Tiempo .- A – Amperio mol .¿Cuál población está más distante y en cuántos kilómetros? 0.Coulomb A .A.metro 8. por año? a) b) c) d) e) Entre las unidades mencionadas.- 9.05 × 10 m 4 20 millas y por 2. a) b) c) d) e) 5.722 kg.3 cm 5.(c) 16.? a) b) c) d) e) 4.I.007 m.A.000 81 kg 2m N.sólo se ha cambiado parcialmente.61 km).7 cm 4.- 9 1 GN =10 N 12 2 TJ =2×10 J −9 1 nHz =10 Hz 9 3 MC =3×10 C −12 5 pA =5×10 A Al convertir unaseñal decamino al sistemamétrico.4pulg ytiene 18años de edad.Amperio Masa .3 cm ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene mayor número de cifras significativas? a) b) c) d) e) N – Newton Pa .kilogramo Temperatura termodinámica .TEST 1.Pascal C .Coulomb kg . 05g Solución: 1km 400320m= 400320 m× 1000 m 4.- problemas complementarios E= 81× 1017 E= 5× 10−3 − 4 + 7 = 5× 100 2.- E =5 3.000125g b0.00625g b0.00625g b0.80 Hm 1Hm 102 m .Magnitudes Físicas PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS A 1.005× 10−4 × 30000000 e (9000)3(0.23 × 103 m× 3 2 3 Solución: 5.05g e25× 10 j e125× 10 j R= e625× 10 j e5× 10 j e5 × 10 j e5 × 10 j R= e5 × 10 j e5× 10 j km m Convertir: 360 a h s 360 2 R= 400 320 m =400.000000243)2 Solución: E= 34 × 1017 je je j 36 × 109 (34 × 10−5)2 (35 × 10−9)2 = 3(6+ 8−10) × 10(9−10+18) 310 × 10−18 E= 3(6+ 8−10) × 10(9−10+18) E= 5× 10−3 10−4 3× 107 = (243× 10−9)2 Efectuar: E= 0.- 5 R= Convertir: 400 320 m a km Solución: 5 5 2 −5 km km 1000m 1h = 360 × × 360 h h 1km 3600 s km (360)(1000) = m/ s h 3600 R= km 36 × 104 = = 104 − 2 m/ s 360 h 36 × 102 5 2 3 4 −5 2 3 4 −6 3 −2 4 −6 3 −2 4 510 × 1015 × 59 × 10−18 58 × 10−10 × 54 × 10−8 R= 5b g × 10b15 − 18 + 10 + 8g 10 + 9 − 8 − 4 R= 57 × 1015 km = 100 m/ s h ¿Cuántos Gm tendrás en 2 230 m? Solución: 2230 m= 2.23 × 103 − 9 Gm 6780m= 6780 m× 2230 m= 2.- problemas de aplicación Efectuar: E =5 000 0×0.- Solución: 4 e E= 5× 10 Dar la expresión reducida: E= je1× 10 j E= E =500 E= (32 × 103)3 (81× 10−5)2 36 × 109 × 38 × 10−10 (0.000125g b0.23 × 10−6 Gm 6780 m= 67.00081)2 Solución: −2 E= 5× 104 − 2 = 5× 102 2.01 B 1.- Dar el valor simplificado de: 1Gm 3.- 4 b25000g b0.- Hallar la altura del nevado Huascarán en hectómetros si expresado en metros mide 6 780 m. Solución: 109 m 2230 m= 2.320 km 360 3 b25000g b0. mm 1m 1123 h 123 123 123 × × V= 123 123 24 123 h 1000 mm 3600 s V= km × 365 días s 0.000625 3 0. (1 año luz =distancia que recorre la luz en un año de 365 días).08 mm por día.000064 2 b0.- d =2 año luz Un cabello humano crece a razón de 1.125× 10−7 Finalmente: d = 2 946080 × 10−8 Em e −13 Mm V = 0.05g b0.- e = 26 × 2 mm 1m 1000 mm e = 26 × 2 mm× Hallar en Em la distancia que existe desde la tierra a unaestrella. Expresar este cálculo en Mm / s.- Dar el espesor que forman 26monedasen lo que cada una de ellas tiene un espesor de 2 mm. 1 año luz = 300000 Solución: V= 108 .016g 4 Solución: −6 1/ 2 −6 1/ 3 e625× 10 j e64 × 10 j Q= e5× 10 j e16× 10 j −2 2 −3 4 8. Solución: e = 52× 10−3 m e = 52× 10−3 m× 1nm 10−9 m e = 52× 10−3 × 10+9 nm e = 52× 106 nm 5.4. −6 4 1/ 2 −6 6 1/ 3 e5 × 10 j e2 × 10 j Q= e5 × 10 je2 × 10 j 2 Solución: Q= −4 −3 4 4 52 × 10−3 × 22 × 10−2 52 × 10−4 × 216 × 10−12 = 2−14 × 10b g −3 − 2 + 4 + 12 Q= 2−14 × 1011 7.125× 10 6. Q= 1234 1234 1234 1000 m 1Em 12345 1234 12345 × 181234 1234 12345 112345 km 10 1234 m 1234 1añoluz = 946080 × 107 × 103 × 10−18 Em m s V = 0.125× 10−7 1234 1234 1234 km 241234 h 3600 s 1234 × 365 dia× × 1234 1añoluz = 300000 1234 s 1dia 11234 h 108 .- Convertir: 30 m/s a milla/h 1 milla =1 609. mm 108 .347 m .Considere que la luz recorre 300 000 km en 1 segundo. mm = 1día 24 h 1añoluz = 300000 × 365× 24 × 3600 km 123 123 1añoluz = 3× 105 × 365× 24 × 36 × 102 km 12345 12345 12345 1añoluz = 946080 × 107 12345 km× −2 m 108 × 10 24 × 103 × 36 × 102 s 1añoluz = 946080 × 10−8 Em m m 1M s × s 106 m s V = 0.siendo estadistanciaequivalente a2años luz. 347 m Solución: 30 m m 3600 s 1milla = 30 × s s 1h 1609. expresar dicho resultado en nm.- j d = 1892160 × 10−8 Em s d ≈ 19 × 10−3 Em Expresar en potencias de 10. 2 lb .108 s h Convertir: lb 3 pulg a pulg3 FG IJ H K = = 1lb 3 pulg × 1g −3 2. E =26.1 = 27738.- Dar el resultado de efectuar: 4000004 × 10−4 × 0.0081 Rpta.02×0.002×2 000 5.2lb 1g = 2.000004 × 10 Rpta.7 4 ¿Cuál es el resultado de efectuar: E= 0. E =30.7381 ml gramo g mililitro ml 1 litro =1dm3 .Magnitudes Físicas 30 m 30 × 3600 milla = s 1609.254 dm PROBLEMAS PROPUESTOS A 1.- Expresar el resultado en notación científica.003× 49000 × 0.347 h Solución: 9.1 kg =2.35×104 2 b g 8100 × 270 × 0.1 kw =1 kilowatt watt = Newton s * Solución: 1lb 3 pulg 1lb 1 kw-h = kw × h 1 kw-h= kw × h× pulg3 1000 w 3600 s × 1kw 1h 1lb 1 kw-h = 36 × 105 w × s 3 pulg Joule 5 1 kw-h = 36× 10 w × s× s 1w 1lb 3 pulg 1 kw-h = 36 × 105 Joule 1lb 10.003 E= 0.- 1000 g = 2. E =103 Rpta.000 03 4.2× 10 lb 1 −3 3 e2.2× 10 jb0.- Efectuar: E= 6.635× 26.- E= 6 Efectuar: E =2 250×0.9 × 0. E =4 2.081 0.2× 10−3 lb 1ml = 10−3 dm3 Convertir: 1kw-h a Joule (J ) .0002635 7. 1 pulg =0.1 1pulg3 × 3 b0. 3 Rpta. E =10−5 Rpta.35 ? 0. 13 2×10 . E =180 3.000 004×10 Rpta.254 dmg g × dm3 g dm3 g 3 dm × 10−3dm3 1ml g = 27.254g = 27738. * 1litro = 1dm3 1litro 1 = dm3 1000 1000 * 1kg = 2.- problemas de aplicación Efectuar: E =0.- 27000000 4 2.- ¿Qué distancia en Mm recorrió un móvil que marcha a 36 km/h en 2 Es? Rpta.2lb m milla 30 = 67. 001 b0.44×10 8.000006 30000 Rpta. ¿Cuántas bombas se destruyeron si se obtuvo 64×1036 J de energía? Rpta. 1J = N⋅ 72 x 10 pJ problemas complementarios Rpta.- 3 1.- Efectuar: E= 7.54×10−2 m 3×1017 ng Una bomba atómica libera 40 GJ de energía.010 9 m de alto. –8 E =5.064 5 m de diámetro está sobre un bloque que tiene 0. ¿Cuántos ng habrá en 18.223 x 10 10.023 ×1023 granos de arena.8. 6.4. Si inicialmente se tuvo 8 bacterias.- M =2-7×1011 m/s2 Se ha encontrado que en 1 kg de arena se tiene 6.- En un cm3 de agua se tiene aproximadamente 3 gotas. ¿Cuántas habrían en 3 horas? Expresar este resultados en Gbacterias? Rpta.- . B b0. en razón de 2 000 bacterias. Rpta.- 2 5 kPa Rpta.00032fNg ⋅ b1600kNg b12. 10.- 3 45000 9. m s2 Una pelota de 0. expresar en pJ el producto de 6 GN por 12 am. b6.000000000004 45000000 × Efectuar: E= 0. ¿A qué distancia está la parte superior de la pelota por sobre la base del bloque? (Dar su respuesta en metros) Rpta.Hallar su densidad en µg/m3.2.4 GNg ⋅ b0.000008 Jg b128000 Jg b0.- 0. 9.- Si 1J = N⋅m.en 6 m3 ¿Cuántas gotas tendremos? Rpta.0256 Jg b400Ng 16×1026 bombas Un cuerpo tiene una masa de 1 500 Mg y un volumen de 4 500 km3.069 × 1028 granos de arena? Rpta. 4 3 En un cultivo bacterial se observa que se reproducen en progresión geométrica cada hora.006 Halla la expresión reducida en (pN) E= Rpta. E =0. Rpta.1019 × 22 × 0.- 5. Halla la expresión reducida en: M= 18 × 106 gotas ¿A cuántos kPa equivalen 25 GN distribuidos en 2 2 5 Mm ? (Pa =N/m ) Rpta. 3.8 TNg ⋅ b8µNg 32 pN 64 Gbacterias 7.000000004002g Efectuar: E= Rpta. µg 1 × 103 3 3 m . -4 E =3.000020123 × 25× 105 146234 0. así: 2 Finesdel análisisdimensional 2 Velocidad(v) v= e L e ⇒ v= = t t T (dimensión de longitud) =(dimensión de longitud) v = LT−1 En el presente caso comprobamos que ambos miembros poseen las mismas dimensiones. 2. luego la ecuación es correcta. Sin embargo. muchas veces nos muestra la veracidad o la falsedad de nuestro proceso de operación. pueden expresarse en términos de las dimensiones (L). Aceleración(a) En la aplicación del Método Científico. utilizando para ello las reglas básicas del algebra. el metro es una medida de la dimensión “longitud”(L).Sirven para deducir las fórmulas a partir de datos experimentales. Dimensión de longitud Dimensión de velocidad = Dimensión del tiempo Así también.Magnitudes Físicas ANÁLISIS DIMENSIONAL Estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. El análisisde lasDimensionesen unaecuación. es analizándolo dimensionalmente. ya sea para la formulación de una hipótesis. Todaunidad física.El análisis dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes. la fuerza. el kilogramo lo es de la“masa”(M).. etc.. ECUACIONES DIMENSIONALES Son expresiones matemáticas que colocan a las magnitudesderivadasen función de lasfundamentales. 3.estáasociadacon unadimensión física. Así. como el m/s que es unidad de la velocidad que puede expresarse como la combinación de las antes mencionadas. la potencia. y/o (T). (M).Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulasfísicas. NOTACIÓN A :Se lee letra“A” [A] :Se lee ecuación dimensional de A Ejemplos: Hallar la Ecuación Dimensional de: Es una ecuación que puede provenir de un desarrollo extenso. Mostraremos como ejemplo: A×B×C =D×E×F 1.unaformade verificar si nuestro proceso operativo es correcto. el segundo pertenece a la dimensión del “tiempo”(T).haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional. esto es fácil de demostrar ya que el signo “=”de una ecuación indica que los miembros que los separa deben de tener las mismas dimensiones. la aceleración. menos las de suma y resta.. a= v LT−1 v ⇒ a= = t t T a = LT−2 .o en la experimentación también es recomendable usar el Análisis Dimensional. existen otras unidades. Así: P = ML2T−3 E – A +B +C =D V = L3 ➡ V =(Longitud)×(Longitud)×(Longitud) ➡ V =V =V =V =V Por lo tanto setendrá: E= A = B= C= D A = L2 Volumen(V) ➡ A =(Longitud)×(Longitud) ⇒ A = L⋅ L ➡ ➡ Area (A) OBSERVACIÓN Los números. los logaritmos y las funcionestrigonométricas.sedebe cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. a P= F = MLT−2 P = ML−1T−2 Trabajo (W) Densidad(D) W = F.a .siendo a =aceleración Presión(P) F MLT−2 Fuerza ⇒ P= = Area A L2 F = m. .d W = F.d ⇒ W = F d = MLT−2L W = ML2T−2 Potencia (P) P= W ML2T−2 W ⇒ P= = t t T D= M M Masa ⇒ D= = Volumen V L3 D = ML−3 PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Si unaexpresión escorrectaen unafórmula.Fuerza (F) F = m. los ángulos. pero para los efectos del cálculo se asume que es la unidad.no tienen dimensiones. ...- d) III e) N...- a) VVF b) VVV c) FVV ¿Qué relación no es correcta dimensionalmente? a) [fuerza] =M LT d) [trabajo] =M L T −1 b) [frecuencia] =T e) [cargaeléctrica]=I . [a] .- Pueden existir dos magnitudes físicas diferentes con igual fórmula dimensional.- d) FVV e) FFV 10. señalar verdadero o falso: Todos los términos en el primer y segundo miembro tienen las mismas dimensiones.... III.fundamentales y . a) b) c) d) e) Precisar verdadero o falso dimensionalmente: III) En a 5..considera . II..[a] = [a] III. con carácter geométrico...Dimensionalmente todoslosángulosy funciones trigonométricas representan lo mismo.La ecuación dimensional de los términos del primer miembro...A..difieren de las dimensiones del segundo miembro..Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos. II.........- 7. - −1 LT −2 ML T 3 L −3 ML 2 LT ¿Quéunidad vaasociadaincorrectamentealasdimensiones dadas? kg ⋅ s m m b) kg⋅ 2 s m c) A⋅ s a) a) I b) II c) III d) VFV e) FVF El S.Losarcosen lacircunferenciason adimensionales..- d) I y II e) III y II Respecto al análisis dimensional señalar verdadero o falso: I....- −1 d) M LT e) M LT −2 2 −2 8.. Tres magnitudes – dos auxiliares Siete magnitudes – dos auxiliares Seis magnitudes – una auxiliar Tres magnitudes – una auxiliar N..Magnitudes Físicas TEST 1.- Respecto a una fórmula o ecuación dimensional.- I) L +L + L – L =L ( ) II) En sec(P + 12) ⇒ P = 1 ( ) x⋅ a) VVF b) FFF c) VVV m kg ⇒ x = ML−1 ( ) 9..Se emplea para verificar fórmulas propuestas.Todos los números y funciones trigonometricas que figuran como coeficientes tienen las mismas dimensiones.- I...I.. e igual a 1.A..I. ¿Cuál será las dimensiones de Q= 3 kg / m......[a] = 0 a) I b) II c) I y II 2.Se usa para deducir fórmulas..que proposición o que proposiciones siempre se cumplen: d) kg ⋅ m2 e) kg⋅ A ⋅ s2 m3 s4 − MTL−1 − MLT−2 − ILT − ML2A−1T−2 − ML3T−4 .T −1 c) [velocidad angular] =T 4. [a] .. II..s2? −1 −1 d) FFV e) VFV I. ¿Qué magnitud no está asociada a sus correctas dimensiones? a) b) c) d) e) ¿Qué proposición o proposiciones son falsas respecto al Análisis Dimensional? Velocidad Fuerza Volumen Densidad Aceleración 6. a) M L T −1 −2 b) M L T 2 c) M L T 3. [a] +[a] +[a] =[a] II.. III. III.- a) VVV b) VVF c) FFF Siendo“a”una magnitud física.. A +β.D Donde. m: masa F : fuerza v : velocidad Donde.- α =L V= β D Halle la dimensión de“S”en la siguiente fórmula física: S= L3 = β ML−3 ⇒ F⋅ d m⋅ c2 4.PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS A 1.determinar la ecuación dimensional de“x”e“y”. V :volumen A :área D : densidad Solución: Solución: ❏ Analizando cada elemento: ❏ Aplicando el principio de homogeneidad.- Donde. F : fuerza m : masa d : distancia v : velocidad β = M−1L+6 Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea.- Hallar la dimensión de“α”y“β”en la siguiente fórmula: V = α. Siendo. entonces: d =L m =M ❍ −1 c = LT Ax + By = C ❍ A x= B y= C S= F d mc S =1 2 = eMLT jbLg = ML T bMgeLT j ML T − 2 −2 12 B = ML2T−2 C = ML−3 ❏ Luego tendremos: −2 A = MLT−2 ❏ Con lo cual se tiene: 2 −2 A x= C MLT−2 x = ML−3 x= ML−3 MLT−2 ⇒ x = L−4T2 . A : fuerza B : trabajo C : densidad Solución: Ax +By =C ❏ Analizando cada elemento: F = MLT−2 Solución: ❏ Si laexpresión esdimensionalmentehomogénea.- problemas de aplicación Halle la dimensión de“K”en la siguiente fórmula física: m⋅ v2 K= F 3. m =M V= α A = β D v = LT−1 ❏ Determinando: α F = MLT−2 V= α A ❏ Luego tendremos: K = m⋅ v −1 2 = F bMgeLT j 2 −2 MLT = ML2T−2 L3 = α L2 ⇒ −2 MLT ❏ Determinando: β K =L 2. Magnitudes Físicas ❏ B B y= C ML2T−2 y = ML−3 y= 5. P : presión q :fuerza R :volumen s : longitud ❏ problemas complementarios 2.y = L−5T2 ⇒ Si la siguiente expresión es dimensionalmente homoz −y x génea: P =q R s Solución: Hallar: x – 3y ❏ Aplicando el principio de homogeneidad: 1/ 2 LM WOP = LM vOP N A Q N BQ Solución: ❏ P = ML−1T−2 q = MLT−2 R = L3 s =L z P= q R W −1 −2 A −y e s = MLT x −2 z −y j eL j bLg 3 x v B M1 = Mz ⇒ z = 1 − 1= 1− 3y + x = F 1/ 2 v F 2 = ⇒ B 1/ 2 = v 1/ 2 F L3 −2 2 eMLT j B = M−2LT4 x – 3y Las ecuaciones dimensionales sólo afectan a las bases. queda claro que la ecuación dimensional de todo exponente es la unidad. v +C⋅a Donde.- ML−3 ML2T−2 1. W: trabajo v : volumen F : fuerza Donde. 1/ 2 B= L−1 = Lz − 3y + x ⇒ − 1= z − 3y + x NOTA A =L ❏ Determinando B ML−1T−2 = MzLz − 3y + xT−2z x – 3y = −2 = F ML2T−2 = MLT−2 ⇒ A ML−1T−2 = MzLzT−2zL−3yLx ❏ Nos piden: = F ❏ Determinando A P = qzR− ysx ML T Halle la dimensión de“A”y“B”en la siguiente fórmula física.pues estos siempre son números y por lo tanto estos exponentes se conservan siempre como tales (números).- Halle la dimensión de “A”.más no a los exponentes. W v = +F A B Donde. E :trabajo F : fuerza v :velocidad a : aceleración Solución: ❏ Aplicando el principio de homogeneidad: E = AF = Bv2 = C⋅ a ❏ Determinando A : E= A F ML2T−2 = A MLT−2 ⇒ A =L . 2 E =A.F +B.“B”y “C”en la siguiente fórmula física. De lo expuesto. C = ML Halle la dimensión de ”R”en la siguiente fórmula física: 2 Solución: 2 R =(x +t)(x – y)(y +z) ❏ Aplicando el principio de homogeneidad: Donde . c.Determine las dimensiones de a.y. Solución: Por el principio de homogeneidad: . a. t:tiempo x W= mc = A g h= B P Solución: ❏ W= A g h ❏ Observamos por el principio de homogeneidad: ML2T−2 = A = LT−2L x =T A =M 2 y = x = T2 2 2 z = y = T2 = T4 e j ❏ ❏ Luego tendremos: B P= W B⋅ W R= x y z R = T × T2 × T4 4. para que la fórmula sea homogénea dimensionalmente. son constantes dimensionales.que se desplazacon movimiento bidimensional. W: trabajo h : altura m: masa P : potencia c : velocidad A.b.puede determinarse con la fórmula empírica: V = aT3 + ML2T−3 = LxT− yMzL−3z ML2T−3 = MzLx − 3zT− y M1 = Mz ⇒ z = 1 bg x− 3 1 L2 = L ⇒ x − 3= 2 ⇒ x = 5 T−3 = T− y ⇒ y = 3 b T2 − c Donde: T. W : velocidad angular (en rad/s) R : radio de la hélice (en m) D : densidad del aire (en kg/m3) K : número x= 2 ❏ Finalmente: x Q= A B Calcular x. b.z.- Determinar lasdimensionesquedebetener Q paraque la expresión W sea dimensionalmente homogénea. 1/ 2 Q = M2T1/ 2 Solución: x y P= K R W D ML2T−3 = 1 L x 6.- z −1 y −3 z b gb g eT j eML j Suponga que la velocidad de cierto móvil.W . es tiempo.y c.- ❏ La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula: x y = W ⇒ B= t B =T R = T7 ⇒ t W= mc x ML2T−2 = M LT−1 e j z x ML2T−2 = MLxT− x P =K.5 mcx + Agh + BP B =M x Siendo: Q = Ax ⋅ B .R .5.- ❏ Determinando B : E= B v 2 ML2T−2 = B LT−1 2 e j ⇒ W =0. ❏ Determinando C : Además.D Donde.B : constantes dimensionales g : aceleración E= C a ML2T−2 = C LT−2 ⇒ 3. .. v :velocidad a= 2vtx ❏ Dimensionalmente: a = 2 v t Solución: x LT−2 = 1 LT−1 T b ge jb g −2 LT x = LT−1Tx LT−2 = LTx − 1 T−2 = Tx − 1 ⇒ x − 1= − 2 Con lo cual: x = − 1 ⇒ y = − 1 Nos piden: “x – 2y” x – 2y =–1 – 2(–1) x – 2y =1 En la expresión mostrada. F :fuerza D:densidad v :velocidad m1. ∞ x 8.Magnitudes Físicas T2 − c ⇒ ❏ de: ❏ V= a T V= a = LT−4 Dimensionalmente.Hallar“z” x y z F D v =(n +tan θ) m1 m2 m3 Donde. E = Mvx + Mvx + Mvx + ..m3 : masas En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta.paraque(n+tanθ )seahomogénea: [n] =[tan θ ] =1 b 2 T LT−1 = 7. Determinar la ecuación dimensional de“x”..- tanθ = número ❏ 3 LT−1 = a T3 ⇒ ❏ Solución: c = T2 b T2 Con lo cual: n +tan θ =número ⇒ b = LT [n +tan θ ] =1 Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea... ∞ 14444244443 E 2 E = Mvx + E ⇒ E = Mvx + E ❏ Dimensionalmente: 2 E = M v x= E 2 E = E ⇒ E =1 Además: M v x= E M v x =1 −1 bMgeLT j x = 1 x= 1 MLT−1 ⇒ x = M−1L−1T ...- x y− y x 0 e j a= vt e1+ k j a= vt b1+ 1g ❏ Luego tendremos: a= vt 1+ k Donde....- −1 Mx + y = M3 ❍ ❍ y− x y −3 Mx + yLx − 3y + zT−2x − z = M3L0T0 Dimensionalmente se tiene: 1° = k x MxLxT−2xMyL−3yLzT− z = M3 Solución: 1= k z v = n + tanθ m1 m2 m3 eMLT j eML j eLT j = b1gbMgbMgbMg j a: aceleración v: velocidad t : tiempo y− x y E = Mvx + Mvx + Mvx + . m2. M :masa .. ❏ Con todo el sistema: x F D Hallar: ”x – 2y” a= vtx 1+ ky − x e Siendo. −2 x − 3y + z L −2x − z T ❍ z ⇒ x+ y= 3 0 =L ⇒ x − 3y + z = 0 0 =T ⇒ − 2x − z = 0 Resolviendo: z =-9 ⇒ y− x= 0 ⇒ y= x 9... 5. E :trabajo . F :fuerza. α = M−1 β = L−1 [H] =1 h= 3. t : tiempo . v :velocidad . 2.d.- Rpta. x :distancia La medida de cierta propiedad (t) en un líquido se determina por la expresión: Rpta.¿Cuál será la ecuación dimensional de t para que r se mida en m? Rpta. Halle la dimensión de“H”en la siguiente fórmula física.- Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula: V= x2 g + A B Donde. x : distancia . v2 F + E= α β A = LT−2 B = T−1 2t rd Siendo: h medida en m.peso específico.- Donde. D : densidad A : aceleración V :volumen F :fuerza Rpta.- problemas de aplicación H= D⋅ A ⋅ V F Donde. t = MT−2 Halle la dimensión de“α”y“β”en la siguiente fórmula física. Determinar la ecuación dimensional de“K” Resolviendo: x = y = z = K= GMb ❏ Luego: gLbz + xgTb y + zg + x+ y 2Mb gLb6 − 2ygTb6 − 2zg 6 − 2x K = Solución: ❏ Dimensionalmente: b x + yg L bz + xg T b y + xg = b6 − 2zg T G M 2 M 2 M bg K = 1M b6 − 2xg L b6 − 2yg 3 2 b6 − 2xg L b6 − 2yg T b6 − 2zg FG 6 − 2F 3I IJ FG 6 − 2F 3I IJ FG 6 − 2F 3I IJ H H 2K K H H 2K K H H 2K K L T K = M3L3T3 De donde: G= 2 b x + yg = M b6 − 2xg bz + xg = L b6 − 2yg L b y + xg = T b6 − 2zg T ⇒ x + y = 6 − 2x M ⇒ z + x = 6 − 2y ⇒ y + x = 6 − 2z PROBLEMAS PROPUESTOS A 1.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea. 4. v :velocidad . v :velocidad . A = LT B = T−1 .- Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula: v = A⋅ t + B⋅ x Donde.10. g :aceleración Rpta. - b g 4π 2L2 L − b cosθ donde. G= 3 4. hallar las dimensiones de“b”. e :distancia (m) .z) . si laecuación mostrada. 5.- L1/2T-1/2 En la ecuación: P = Kgydxhz Hallar: (x. F : fuerza . I = MLT−2 3.- Halle la dimensión de“G”. a :aceleración . 7.- 2 T L-14T28/3 Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea. WMa + bt2 . si la ecuación es dimensionalmente correcta.- M2LT-2 Hallar laecuación dimensional dez. C= W= 3Ry2Nx x 3 -4 LT 5Flog a 8F2C − 2 x b +v W: trabajo v : velocidad F : fuerza 2 eN − 2j R: longitud y : aceleración Rpta. 9.y. xv2 = A =L v : velocidad a : aceleración M:masa W : trabajo B = LT−2 C = LT−3 Rpta. problemas complementarios Determinar la dimensión de “x”.- Halle la dimensión de“A”.- bw + wlog2g + z 3 bg + gsenφgx w :peso . determinar las dimensiones de“x”. “B”y“C”en la siguiente fórmula física: e = A + Bt2 + Ct3 B 1. g :aceleración H = MT−1 8. t :tiempo (s) Rpta. G: aceleración de la gravedad T : tiempo b y L : longitud Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea. calcular x +y S = Kaxty K: constante numérica S: espacio a: aceleración t : tiempo Rpta.- Donde.- π tan α = G =M Rpta.determinar la ecuación dimensional de“C”. Determinar: Rpta. v :velocidad Rpta.Magnitudes Físicas 6.- LM aOP = ? N bQ L2 La fracción mostrada es dimensionalmente correcta y homogénea: A8 + B6 + C4 + D a+ p b− q y A = L−6T4 . 6. donde: sen 30° Rpta. a: aceleración t : tiempo Rpta. T2 ⋅ a Ax3 + Bx2 + Cx + D 20+ t + k = 10. MLT-2 Determinar las dimensiones de“a”.sabiendo que la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: Rpta. Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea.En la siguiente expresión. es dimensionalmente correcta: Donde. “H”e“I”en la siguiente fórmula física: F =Ga +Hv +I 2. donde: Rpta. v : velocidad e : espacio m: masa t : tiempo B : número real Rpta. W: trabajo e : espacio a : aceleración Hallar las dimensiones de A.- x =L y =M−1 2 60° cos 60° ± C(Ftan Donde. n− 1 α : ángulo en radianes L : longitud F : fuerza e : base de los logaritmos neperianos m y n :números 8. 1 9. sabiendo que la igualdad mostrada es dimensionalmente correcta. 7.85 m Rpta.donde. 2 10. P: presión g: aceleración de la gravedad h: altura K: constante numérica d: densidad Rpta. B y C para que sea dimensionalmente homogénea.- = xy A1 − A2 M Hallar [x][y]: d b x = sen π + α Donde.- h :altura m:masa A . 2 0. FG 2− xIJ H hK Determinar la dimensión de “b”para que la ecuación sea homogénea.- En la expresión: sen 30° mBL F πα IJ = e tanG A + H 2K W = ba+ b2c e ) 10 A =adimensional -1/2 B =L -3/2 -3/2 3 C =M L T Hallar las dimensiones de “x” e “y”. A :areas 1 Rpta. M2LT2 2 vy gi t + emB .