M A T E R IA L IN S T R U C C IO N A L D E A P O Y O A L A C A T E D R A D EF U N C IO N E S V E C T O R I A L E S M S c. Luis V illa m iza r 2011 Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería CONTENIDOS PROGRAMATICOS Tema 1 L im ites y C on tin u id a d . R" como espacio métrico. La norma euelídea. Módulo de los componentes en relación con la norma. Desigualdad de Schwarz. Definición y propiedades de la distancia. Funciones de R " en R m. Funciones reales. Función vec torial. Componentes de una función vectorial. Ejemplos. Dominio de una función vectorial. Conjuntos de nivel de una función real. Algunos ejemplos de represen tación gráfica de funciones de R 2 en R y de R en R 2. Esfera abierta. Conjunto abierto. Entorno. Entorno reducido. Punto de acumulación de un conjunto. Punto aislado. Int uición geométrica del concepto de limite. Definición de límite en térmi nos de esferas abiertas. Definición en términos de distancias. Teorema unicidad del limite (enunciar). Métodos para el cálculo límites. Límite a lo largo de una curva. Ejemplos. Límites iterados. Ejemplo. Demostración de la existencia de lími tes por definición. Ejemplo. Teorema: El límite de una función según límites de sus componentes (enunciar y motivar). Continuidad. Definición. Discontinuidad. Extensión continua. Continuidad de una función según la continuidad de sus com ponentes (enunciar y motivar). Teorema : Toda transformación lineal de R 71 en R"’ es continua (demostrar). Tenia 2 E l D iferen cial. Derivada Parcial. Definición. Ejemplos. Significado de la deriva da parcial como velocidad de crecimiento en una dirección coordenada. Significado geométrico. Función derivada. Derivadas de segundo orden y orden superior. Ejem plos. Igualdad de las derivadas cruzadas, (enunciar y motivar). Matriz jacobiana. Analogía con la derivada de una función de una variable. Definición de diferenciabilidad de una función de vanas variables por medio de la matriz jacobiana. La diferencial como una transformación lineal. Definición de transformación afín. La transformación afín aproximante. Plano tangente a la gráfica de una función / : R 2 —> R. Existencia de la matriz jacobiana como condición necesaria pero no suficiente para la diferenciabilidad. Teorema: Continuidad de las derivadas parcia les y diferenciabilidad (enunciar y motivar). Funciones de clase C 1 (Continuamente Diferenciables). Tema 3 D eriv a d a D ireccion a l. Definición. El vector gradiente. Matriz jacobiana y el vector gradiente. Derivada direccional y el vector gradiente. Teorema: Máximo y mínimo de 1a. derivada direccional en un punto en relación al vector gradiente (enunciar y demostrar). Conjuntos de nivel y el vector gradiente. Plano tangente a una superficie de la forma F { x , y . z ) — c. Recta tangente a una de la forma f ( x , y) = c. Tema 4 F u n ción C o m p u e sta , F u n ción Inversa, F u n ción Im p lícita . Compuesta de dos funciones. Teorema de la función compuesta o regla de la cadena (enunciar). Casos particulares de la regla de la cadena. Inversa local. Teorema de la función Departamento de Matemática 2 Luis Villamizar Universidad do Car abobo Facultad de Ingeniería inversa (enunciar). Función implícita. Caso particular F ( x . y ) — 0. Caso general F ( X . Y ) = 0. Teorema de la función implícita, (enunciar). Aplicación: Ecuación de la recta tangente a curvas en el espacio de la forma: ( F(x. y. z). G(x. y. z)) — (c t. c2). Tenia 5 E x tre m o s y E x trem os C o n d icio n a d o s. Forma cuadrática R ” . Función lio mogólica. Forma cuadrática como polinomio homogéneo. Matriz asociada a una forma cuadrática. Forma cuadrática definida, semidefinida y no definida. Diagonalización de una forma cuadrática. Método de Guldenfinger (enunciar). Método de los valores característicos. Matriz Hessiana. Analogía con la segunda derivada de una función real de una variable. Desarrollo de Tavlor de segundo orden. Extre mos de una función real. Extremos absolutos y relativos. Definición de un conjunto compacto en ?Rn. Teorema: Toda función real, definida sobre un conjunto compac to tiene un máximo y un mínimo. Ejemplo. Puntos críticos. Teorema: Análisis de extremos utilizando la matriz Hessiana (enunciar). Caso de dos variables. Extre mos condicionados. Definición. Método de sustitución directa y parametrización. Método de los multiplicadores de Lagrange (enunciar). Ejemplos. Tema 6 In tegrales M ú ltip les. Integral iterada en un rectángulo de R 2. Integral iterada sobre regiones más generales. Malla en R 2. Módulo de una malla,. Integral doble co mo límites de sumas. Significado geométrico. Integral triple y múltiple. Teorema de Fubini (enunciar). Propiedades. Aplicaciones: Areas. Volúmenes. Momentos estáti cos. Centro de gravedad. Momento de inercia. Definición de cambio de variables. Teorema de cambio de variables para integrales dobles (enunciar). Coordenadas Polares. Coordenadas cilindricas. Coordenadas esféricas. Tema 7 Integrales de Línea y de S u perficie. Curvas en forma parainétrica. Curvas suave y parcialmente suave. Vector tangente. Longitud de arco. Integral respecto a la longitud de arco. Aplicaciones: Area de una cerca de altura variable. Centro de masa de un alambre. Campos vectoriales. Rotacional y divergencia. Propiedades. Interpretación física: Mecánica de fluidos, campos electromagnéticos. Integral de línea de un campo vectorial. Propiedades. Significado físico. Trabajo realizado por una. fuerza. Velocidad tangencial promedio de un fluido. Integral de línea de un campo gradiente. Teorema de Groen en el plano (enunciar). Superficies en forma parainétrica. Plano tangente. Vector normal. Areas de superficies. Integral respecto al diferencial de área. Integral de superficie de un campo vectorial. Teorema de la divergencia en el plano enunciar. Teorema de Stokes (enunciar). Teorema de Gauss de la divergencia (enunciar). Aplicaciones. Departamento de Matemática 3 Luis Villamizar Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería BIBLIOGRAFIA 1. ANTON, Howard. Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Limusa. México. 1984 2. BRADLEY, G. y SMITH, I\. Cálculo de Varias Variables. Prentice Hall. España. 1998. 3. DA SILVA, José. Cálculo de Punciones Vectoriales. Facultad de Ingeniería. Univer sidad de Carabobo. Bárbula. 1980. 4. FALCON, F. y VILLAM IZAR. L. Complemento de Funciones Vectoriales. Univer sidad de Carabobo. Bárbula. 1993 t). GARCIA, V. y RODRIGUEZ, R. Integración en J?n, Aplicaciones y Teoremas Asociados. Facultad de Ingeniería. Universidad de Carabobo. Bárbula. 1989. 6. HERNANDEZ, Jaime. Funciones de Varias Variables. Facultad de Ingeniería. Uni versidad de Carabobo. Bárbula. 1973. 7. MARSDEN, Y. y TRO M BA, A. Cálculo Vectorial. Fondo Educativo Interameri•cano. España. 1981. 8. LEITHORD, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Haría. México. 1993. 9. PITA, Claudio. Cálculo Vectorial. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. México. 1995. 10. RODRIGUEZ, R. y TO VAR DE SOUTO, Y. Las Formas Cuadráticas en el Estu dio de Extremos de Funciones. Facultad de Ingeniería. Universidad de Carabobo. Bárbula. 1981. 11."SMITH, R. y MINTON, R.. Cálculo. Tomo 2. McGraw Hill. Colombia. 2001. 12. SPIEGEL, Murray. Cálculo Superior. 'Editorial Interamericana. México. 1972. 13. 8TEW ARD, James. Cálculo Multivariable. Editores Thompson. Tercera edición. 1998. 14. THOMAS, G. y FINNEY, R. Cálculo Varias Variables. Editorial Pearson. Novena Edición. México. 1999 15. WILLIAMSON, R., CR.OWELL, R. y T R O T T E R , H. Cálculo de Punciones Vec toriales. Prentice Hall. New Jersey. 1972. Departamento de Matemática 4 Luis Villamizar Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería MATERIAL INSTRUCCIONAL DE APOYO 1. Demuestre que R 4 con las operaciones: X 4- Y — {X\ 4- X¡\, X2 -r J/2. x 3+ V'i ■*4 + Vi) A o A' = (A.r1: A.T2, Ax3, Ax4) es un espacio vectorial, donde: A — (xi,x2, ¡r3, x4) e Y - (y ¡, y2, ys-tk), A € R. 2. Determine sí elconjunto definido por: 5 = {(.T], 2-2, 2:3^ 4) |Ti = X2 = T3 = ;C4} es un subespacio vectorial de R 4. 3. Verifique si el conjunto formado por las ternas de números reales (x , y , z ) tal que \x\ = \y\, es un subespacio vectorial de R 3. 4. Sean los conjuntos: A = {(a:, y) ¡ x > 0, y > 0} B = { ( x , y ) \ x y > 0} Verifique si definen un subespacio vectorial en R 2. 5. Determine si los conjuntos definidos por: a) Si = b) S2 — { ( x, y, z) | { ( x , y, z) \ 8y + 92 = 0} x = 2t, y = t, z = 511 € R e} 3a- - definen un subespacio vectorial en M3. 6. Dados los puntos Ap = (2,1), A i = (3 /2 ,1 /2 ) y la esfera abierta <5o(Ao, 1). De muestre que A i e So(Xo, 1) y que <Sj(Ai, 1/4) es un subconjunto de 50(A 0, 1). 7. Dados los puntos A'j — (1,3). A 2 = (3,1) y ó ¡(X i, 1). Determine el valor máximo de r de manera que <52(A 2,r ) p)<5i(Ai, 1) = 0. 8. Determine las componentes del vector A — ( x , y , z ) . Si cumple con: ||A|| — 3, A o A j - 4 y |¡A - A 2|!2 - ||Xf + ||A 2||2, con A , = (2 ,2: 0) y A 2 - ( 2 ,- 2 ,0 ) . 9. Si A , Y 6 R ". Demuestre que: 4(ATo Y ) = j|A -f Y ¡!2— ||’A — Y||2 2||y||2 !|A + Y||2+ ¡|A - Y f 2||A||2 + Departamento de Matemática = 5 Luis Villamizar vov = o .F 3 tales que ypr 14. Sea r¡(¡. Y — [ri-V'i) vectores de R 2. // >| = máx { .g(x).r|. donde A 13. y ¡ ) y 1 — i x¿. !¡i’ |j y | !A .1] es el conjunto de las funciones continuas en [0. Si X — 2r i. en R~ definida por fu |/(.*?••_> i* ytffc12. 2f. Sea A € R" y la relación: IIA |: = j. 1.<o í .y2 ./|} es una norma en R 2.r. 17. Sean X = ( xi .1]. g ) = /■ ¡ f ( x ) . demuestre que la aplicación dada por d ( f ..y t i .2 ) obtenga utilizando este producto escalar: ||A'!I.1].~ r 2 — 2c:i. la aplicación definida por: A” -f I ’ = 4:7' |J’2 + bilí t/ 2 defino un producto escalar. Facultad dr Ingeniería Sean A'U i.r)| dx es un norma. definida por pl. ) f.y i). determine a la relación d<-finida por A ■ Y — x jX'i +'¿V'. 1] el conjunto de las funciones continuas en [0. Sí C [0 . d.1c Demuestre que la apli cación CÍO. . Departamento de Matemática G Luis Villamizar . Verifique si en R 2. Sea d una función definida en R ” sobre un conjunto no vacío de la siguient e manera: x í y Demostrar que d ( X .r2.define un producto escalar en En . Demostrar que la aplicación en R 2 —? R. 15. 18.Ti¡ + \Tn\ -!-••• -4 ixv! Verifique si define una norma en R ” 16. V = (. 1) y V = ( 3 .r es una distancia en [0. Y ) define una distancia en R n. //_>) vectores en j?r. y) — J2’ = í i ¡x* “ Vi' define una métrica en R ” . 11.aso afirmativo.r ¡ . Hallar f V .Universidad de Cara bobo 10. 19.v • r \' . Verifique sí la relación d : R ” x R " -> R definida por d(x. si X = (2.j y Y — f \.y i). Establezca si la siguiente relación define un producto escalar X \ Y — 2s\x-y + -Ti?/2 + ?/i.. Y. Sean U v V dos vectores en R ” t ales que: lic/|: = p\'i! = r .C . y > 0. 22. Determine y represente el dominio de: ln [y ■ln(l -f x + y)] f(x. V y Z son tales que: ||Y|. y) |x = 1¡n. L4'].r Ja en [a.27. y — l/n. 2] —> R. 3.y) = V y'c Departamento de Matemática 7 o s -r Luis Villamizar |JA'4 Y|. Mencione (sí lo hay) un conjunto diferente al R ’'que sea abierto y cerrado a la vez Justifique su respuesta. |:v|| ^ (J • ü-v - y 4. Sea: . el conjunto complementario \AC) y el conjunto frontera [AF].b\ Calcular ||/|| donde / : [l. v = 1. Justifique su respuesta.Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería 20. C ual es el ángulo entre C y Í ’ .z\\ = IIy 4. ||Y|| = 4 y ||Y|| — 3. derivado. Tres vectores A'. complementario y frontera de A. 24. . Es A un conjunto acotado7. ?/)j x > 0. ||1'|¡ . Sean X e Y dos vectores en R" tales que: a) ||Y|! = 5 .r) — . 25. y < x. ■••} Describa los conjuntos interior.v i ! Demuestre que el ángulo entre U y V es de ~/3. Calcule ||Y .4 = {(x .Calcule l| A '-r| i 23.V|! b) X e Y forman un ángulo de tt/G.7. Calcular el ángulo que forman V'v Z.2.r € ¡1. Determine la norma y la distancia inducidas por el producto interno dado por: j ' U- I /(■»•) ' f/(.r)d. x < 3 } Represente: El conjunto derivado de A. el conjunto clausura [Aj.y ~ z |! Si el ángulo que forman A”e Yes r / 8. elconjunto interior .y .4 y IjY + V'|| . 26.4°]. Considere el conjunto: .r~. 2 L 21. = |¡z¡! ^ o .4 = {(x . /(. % 2 \x + y j 30.1) 31. Determine y represente el dominio de: f ( x . Determine y represente el dominio de: log (x+y/y) f{x. r ) *log( 100—x2 —y2) 32. Determine y represente el dominio de: yj'xy ■ln sen y log(or .% — ) + v/36 . y ) — araseni. Determine y represente el dominio de: Y x~v are sen (í+ f)J 33.y) - hi(5—i) y s e n b (2 i-y ) 34. Determine y represente el dominio de: in(cosx) + ln(cosy) xy y j eosh ( 2 . Determine y represente el dominio de: .Facultad de Ingeniería Universidad de Carabobo 28.4:r2 .y )~ Departamento de Matemática 8 Luis Villamizar .1 /(*>?/) log(senh ( f . ( .2 -_ „2 X* y f{x.y 2 + 6) .y2) + y/4 - 2x 2 .y 2 29. Determine y represente el dominio de la función: V^ln(x . 41. Determine y represente el dominio de: ln(x — 2) •y/y + ^/x g(x. Determine y represente el dominio de: \ / ¡ ñ ( 3 . y) = ln ( n H . Determine y represente el dominio de: y/senh[r ■ln(y — x 2)] y) = * * (? d £ p ) Departamento de Matemática 9 Luis Villamizar .|s2 .—3/ tog(l/+3) h(x.r+&) _ v 4 ~ x 2 " y 2 ' \/ij ■sbn x . + y) •cosh(ln(y — x))j f(x. Determine y represente el dominio de: ln{l+.Universidad de Carabobo Facultad de. Determine y represente el dominio de: 3.y) = V x+ > J x?+ y 40. Determine y represente el dominio de: \ f ¿ S q j” + ln(-™/) ^/'ln(x + y + 3) 39.x) 38. y) = log senh(2x — y) 36. Ingeniería 35. 37.y) are sen (y . Obtenga y represente el dominio de la función: ln[sen(a.y | ) f(x. Determine y represente el dominio de: \/lñ(3~—~! x 2 — 2y \) f(:r-V) arcsen(?/ . x —y + 1 y + 3x2 — 3 + In \ 36 — 4x 2 — 9y 2 Determine y represente el dominio de: e'\/ú/+2)'senh(.y ) = v 2 . Determine y represente el dominio de: y^ n ( t o t ) + 'y/v /(* .y) \ fh'.:ry 46.y2 In(. Determine y represente el dominio de: / p-^/tt-senh(¡r2-.Facultad do Ingeniería Universidad de Carabobo 42.y) 1»8 ( “ ) ' ( £ @ 2) 0 / 43.I 2 + 6 /(a "-y) = I n (^ ) 47.r2~2') Departamento de Matemática 10 Luis Villamizar . Determine y represente el dominio de: \j z-V H r.y) = ^4-T2. Determine y represente el dominio de: f (x. y) 48. Determine y represente el dominio de: \/s« nh ( f ' ¿ ) ■\' y .x) 44.Ty) 45. 0) Luis Villamizar . y ) — 3x2 + y es 5 cuando • ( x . 52.y) = 0 Departamento de Matemática 11 si (x. y) = 1 si (x. 0) Estudie la continuidad de / en X q = (0.2 \ 50. Aplicando la definición verifique que el limite de f ( x . y) = (0. 54. y) = 0 55. H . rtóx. si: ^ f(x-. ó la to Facultad do Ingeniería Universidad de Cara bobo 49. Explique. o . 0). defínalo. xy) \ f(x-V) v/l2 -3 r 2-4j.2 ).t ) ] ^ f(x-y) = V 51. y ) -> (1 . y) (0. Si su respuesta os afirmativa. y) 7^ (0.y) si (x. Estudie la continuidad de / en X Q — (0. Sea la función: 3x 2y ¿ f(x-y) = x 4 + 2y4 6 E s posible definir el valor /(O . í +2 / Determine y represente el dominio de: { \Zsen [* ( y . 0) de tal modo que / sea continua en este punto?. 0) si (x .y ) — (0 .•' V .> U -n ' • I------ . y) = (0. 0 ) /(a-. Sea: si (x.0). 0) • f(x. 0) Estudie la continuidad de: si (x. (0. Determine y represente el dominio de: / . 0) Départamento de Matemática 12 Luis Villamizar .v ) = a) Determine si esta función es continua en (0.y ) ± (0 . 1 si x > 0 . 60. éste debe pertenecer al interior del dominio?. 0 ) /(*> y) 0 si (x.0) 58".0). y ) (0 . b) Estudie su diferenciabilidad en (0. Sea: 2^ 5 si (x . y) = (0 . 0 ) a) Determine si / es continua.0). y) = ( 0 . Dada la función : ■^0 - si ( x . 0) f{x.y ) = < Demuestre que las derivadas parciales en el origen existen. y) . pero / no es continua en ese punto. y > 0 0 en la región complementaria /(x . 0 ) /(s . ¿Porque en la definición de derivada parcial de una función en un punto X o. Dada la función: x-'+V2 si ( x . b) Verifique si / es diferenciable en (x .y) 0 si (x. 59. 0 ) Verifique. si satisface el teorema de las derivadas cruzadas (Schwarz) en el punto * o = (0. 0 ) 0 si (x. y ) (0 .Facultad de Ingeniería Universidad de Carabobo 56.y ) = (0.( 0 . Sea. 57. y ) — (0. 65.0).?.y) = 64. y ) ¿ (0.) ¿ ( 0 . *n Facultad de Ingeniería .y) Es de clase C 1 en (0.0) tomando en cuenta el resultado anterior?. si y ¿ 0 y f T\0. 63. Sea: si ( x . y) = (0.0) Verifique si / satisface el teorema de la derivadas cruzadas en X q = (0. y ) es continua en (0. _ 61. Es diferenciable en ese punto?. +y¿ si (*. Sea la función: x+y si x + *y ' 0 ffa y) 0 si x + y = 0 a) Calcule / x(0 . _ Sea la función definida por: si ( x . 62.y ) ¿ (0. ¿Qué pue de decir acerca de la diferenciabilidad de ésta función en ese punto.0). b) ¿Que puede decir acerca de las derivadas cruzadas en el punto (0. con el resultado obtenido?.0).0) a) Determine si f ( x .0). b) Verifique si f xy — f yr en (0.0) f{x.Universidad de _Carabobo . Departamento de Matemática 13 Luis Villamizar . Verifique si la función dada es diferenciable en X q = (0. y ) (0. 0 ) 0 si { x .0).y). Determine si la función: xyse n( l/y ) siy^O 0 si y = 0 f(x.0) 0 si (a:.0).0) f(x-y) = 0 si ( x . 0)?.y i'. Sea: x 1 sen(1 . Dada la función: ■r^y eos 1 72^57 ) si (x.O) \jT-+y- 0 í si (x. y) = < Determine si g es diferenciable en (0.0).0).0). ¿Es diferenciable nllí?. 0) . ¿Es continuamente difereneiable en X „ = (0.0) b) Podrá encontrarse un función afín que permita aproximar a / en una bola abierta centrada en (0.y = 0 Determine se f es una funeión de clase C'1 en (0. ¿Es de clase C 1 allí? 68. 69. y ) .9(2-. Facultad de Ingeniería Dada la función: (x~ + y~) sen si ( x. Departamento de Matemática 14 Luis Villamizar . Es de clase C 1 en ese punto?.Universidad de Cara bobo 06.y) = a) Determine si / es una función de clase C 1 en (0. 0) 0 si (a. 0 ) Determine si f es diferenciable en A'(./• .o /(■r . — (0./. Sea: ) si . Sea xy2s e n ( l ) si x ± 0 0 si x = 0 ' /(r. 0)7. 67.(0.0).y) = 0 si x — 0 V y = ü Determine si f es una funeión diferenciable en (0. y) ± (0.y) 0 si x . 70. y) -A (U.\ y) = (0.r 0 V y ^ 0 /{■r.t ) 4 y2 cus 1/y) si . Justifique su respuesta. 0) si (x.0).0). si (x.Facultad do Ingeniería Universidad de Cara bobo 71. 0 ) Dada la función: í x y co s f^ ) si (x . 0) Determine si g es diferenciable en (0. Sea: í x~ sen ( 7) + y2 eos í j-) si x ¿ 0. y 0 ^ si x = 0 . ¿Es f diferenciable allí? Justifique su respuesta. determine si es continuamente diferenciable en . 0 ) f ( r <y ) = 0 75. 0) f(r-y) = Determine si f es de clase C 1 en (. y) — (0. Dada la función: j f^¡ p si (x . y) = (0. 72.y ) ± (0 . 74. y ) . 0) 0 si (x.y) — (0.(x.y) ■■ Verifique si / es una función de clase C 1 en A u = (0.f(-r. 0 ) 0 si (2. 0) g{¿-y) = < [ 0 si (x . Dada la función.0).. Es de clase C 1 en ese punto? Departamento de Matemática 15 Luis Villamizar . y = 0 /(* • //)= < 0 Determine si / es una función difomuciable en (0. 0).y ) = (0. y) ± (0. y ) * (0. ¿Es de clase C 1 allí? 73.v .(0.y ) ^ ( 0. Sea: xysen ( — ) si (x. y) — (0. 0 ) . 1.2 z \ 4x .0). y . Una lata de metal (sin tapa) en forma de un cilindro circular recto va a tener una altura interior de 15 cm. 80.25 cm Si el costo del metal que va a ser usado es 150 B s/m 3. 0 ) Verifique si se cumple el teorema de las derivadas cruzadas en X q = (0.005 que cumplacon la condición de continuidad de L en cualquier punto Xo77 . donde <£ y y? son funcionesreales de variable real. Demuestre que: 78.99. Departamento de Matemática 16 Luis Villamizar . un radio interior de 5 cm y un espesor de 0. d2z d2z _ 9 d2z dx 2 dy 2 dxdy Verifique que para valores de x e y suficientemente pequeños podemos escribir: 1 + x —y 79. con un posible error de 0. Dada la transformación lineal: / x — 3y + 2 z L ( x . dos veces derivables.y + z Hallar el valor de ó correspondiente a i — 0. encontrar en forma aproximada el costo del metal en la fabricación de lata. Sea z — x •4>{x + y) + y ■<p(x + y). 0 ) 0 si {x. 81. obtenga una expresión lineal que nos permita calcular ese valor en dicho punto. En el caso que quisiéramos encontrar mi valor aproximado para la función / en el punto (0. y) ^ ( 0 . Las dimensiones de una caja rectangular cerrada son 80 cm.Universidad de Carabobo 1 _____________________ Facultad de Ingeniería 76. el error máximo en el cálculo del área de la superficie de la caja. z ) ~ í bx + y . y) = ( 0 . Sea / : R 2 R la función: si (x. Estime usando una aproximación lineal. 60 cm y 50 cm res pectivamente.2 cm en cada dimensión.98). 86. y se aumentan.. 83. respectiva mente.mente a 5. 85... Determine en forma aproximada encualconexión el error cometido en la determinación de r es mayor. Las máquinas que se usan para cortar las piezas tienen un posible error de ±0. Si cada dimensión lineal esta sujeta. y ) = (x — 30)(70 .r2 + r 3 1 r = r2 y r3. a un error de 1 %. y 50 ohmsrespectivamente. 24 cm y 32 cm. si el material de la tapa y el fondo cuesta 10 B s/cm 2 y el de las caras laterales cuesta 12 B s/cm 2. 4 y 3 respectivamente y se usan para calcular la diagonal de la caja. el ancho y el alto de una caja rectangular se miden con un error máximo de 5 %. estime la variación de la ganancia semestral si los precios se suben en 1 y 2 Bs. Estime en forma aproximada el costo de 500 lingotes. En un supermercado se venden dos tipos de jugo de naranja envasado.798i + y Si se parte de 5 moléculas-gramo de ácido y 4 de agua. Si se mezclan x moléculas-gramo de ácido sulfúrico con y de agua. 16 y 24 cm. --viene dado por la fórmula: C <x y) _ l ' m Zy k ' J> 1./cm3.04. 87. si el material para su fabricación tiene un costo de 1500 Bs. ¿ Cuánto calor adicional se genera ?.5x — 4y) + (y — 40)(80 + 6x — 7y) Sea x e y los precios de cada envase de jugo de la primera y de la segunda marca. La ganancia semanal viene dada en Bs por: G ( x . 84! Se van a fabricar lingotes de platino en forma de rectángulos de 12. La resistencia r total de tres resistores con resistencias r — r\ 4. Si el precio actual del primero es 50 Bs por envase y del segundo 52 Bs. respectivamen te.15 cm..1-----Conexión Paralela n r2 r3 Si las resistencias se miden como 25. con errores posibles de 0.5 % en cada caso. Departamento de Matemática 17 Luis Villamizar . La longitud. viene dada por: Conexión Serie 1 1 1 -----1------.5 % y 2 %.01 V a 4. 1.. Estimar el porcentaje de error máximo posible si estas cantidades son 5. respectiva.Facultad de Ingeniería Universidad de Carabobo 82. 40. el calor liberado . Estime el costo máximo de una caja con medidas 20 cm. 1 cm d) Igual al caso a si el envase lleva tapa. Dos insectos frioleros (A y B) se encuentran respectivamente en los puntos A' i . Para X 0 = (3 .x. 92.5 cm y 2". tt/3). 89.3a. use radianes).5 ) se pide: a) En que dirección disminuye con mayor rapidez. y son las longitudes de dos de los lados y 0 es el ángulo comprendido entre ellos. éste potencial y cual es su valor numérico b) Cual es la razón de cambio del potencial en X 0 en la dirección normal a la superficie definida por Departamento de Matemática 18 Luis Villamizar . y y d son 1.5 cm. 2. Supóngase que las mediciones de x. i esportivamente.. -50 cni y . —2) y A’n — ( —1. Si A se mueve en la dirección del eje x y B en la dirección del eje y. respectivamente.í'u.-2 + 2y2 . El potencial eléctrico en un punto (x. la temperatura en cada punto (x. 0) — .(1. Sea T{x. Al levantar topográficamente un terreno triangular usted ha medido'dos de sus lados y el ángulo entre ellos. 91. Para (xo-yo) = (0.3xy + xyz en un punto (x . Que error podría tener en forma aproximada el cálculo de su área si en la medición de los lados se tiene un error de + 3 % y —2 % en la medición del ángulo.‘>0°. 90.4x y + y . ?/. y . Si la superficie de estos envases puede ser calculada por S(r. y) = 1 . y) del plano.085 unidades.h2.2 cm c) En la altura si la variación del radio se restringe a 0. 0. Determine la tolerancia (variación) 8 en forma aproximada en los siguientes casos: a) En el radio y la altura para cumplir lo exigido (Suponga igual tolerancia para r y h) b) En el radio si la variación de la altura se restringe a 0.?•. y) — <~2:r eos 2y. 205 rn y 7T/3. z) = 5.1 . 93. respectivamente. y. z ) del espacio. Estime el error máximo en el valor calculado de A si los errores máximos de x. El potencial eléctrico viene dado por V{x . Se requieren construir envases cónicos de radio 30 cm y alt ura 40 cm. tt/6 ) se pide: a) En que dirección disminuye con mayor rapidez éste potencial y cual es su valor numérico b! En que dirección el potencial se mantiene constante c) Cual es esta variación en la dirección desde (. Si ha obtenido los valores de 120 m. A{x.yo) hacia el punto {tt/2. se desea saber en forma aproximada: a) Cual de ellos estaría más caliente al final de su recorrido b) Cual será la variación de su temperatura desde su ubicación inicial si ambos se mueven hacia el origen con el incremento dado.Universidad de Carabobo facultad de Ingeniería 88.h) — nry/r2 4. y y 6 son 40 cni. exigiéndose que la cantidad del material utilizado no se exceda en 507t cm2.x y sen tí donde x. —4).r2 . y) viene dado por \'•(. (El área de un triangulo es (1/2 ) « 6 s e n s i e n d o n y !> las longitudes de dos de sus lados y 0 la medida del ángulo incluido. El área de un triángulo se va a calcular usando la fórmula. 97. Si éstos se redondean al entero superior (parte decimal > 0.— 3: 2 — .2 .085 unidades en la dirección normal a la curva do nivel definida por la función g{. El periodo de un péndulo simple de longitud ! esta definido por la expresión: T(l.y) ^ . ./TJg. Una banda limítrofe tiene 20 cm de espesor y se traza alrededor de un rectángulo cuyas dimensiones son 15 ni y 35 m. Estime el porcentaje de error en el volumen calculado. Cual es la máxima cantidad en forma aproximada que se deja de pagar por el envío de 500 cajas.5) y luego se multipli can entre sí. 18.enciable en ( —2. :} — . Calculo en forma aproximada el máximo error posible en el producto calculado que pueda resultar debido al redondeo.000 Bs. En una cierta fábrica la producción diaria en unidades es de: Q ( K . 99. 0.000 horas de trabajo Estime la variación de la producción que resultará de aumentar la inversión en 1. Además se tiene que lím(.n/c •.l entero inferior (parto decima! < 0.2 cuatro números.2 .y) = 2. L ) — 60A'12L1/3 donde K designa el capital invertido (en miles de Bs) \ /.2.3. Si el precio a pagar por el transporte es de 100 B s/en r por cada caja..2y. En la actualidad el capital invertido es do 900. 32. si las dimensiones de éstas tienen variaciones de ± 3 '/«.r. G y 3 metros. 94.5) ó a.‘ Cual es el error máximo relativo cometido porcentualmente en la determinación del periodo de péndulo si / —•3 con una variación de ±0.000 Bs Y so emplean cada día 1. .05 y Departamento de Matemática 19 Luis Villamizar .. 1 ) y .tj.y) = 3x 2y — x y ¿ — 2x t y ~ 1 en ( 1. Cual os la variación do h si so desplaza 0.I>) = ( l : 3 ) ñ r 2h 95. Se desea enviar cajas rectangulares con tapa de dimensiones 4. [V{r.r.g) — 2T7\. ancho y alto respectivamente. El radio y la altura de un cono circular recto se miden con errores máximos de 1 a y 4 (X . Determine en forma aproximada el número de metros cuadrados de pintura necesaria para trazar la banda limítrofe.05.98).su derivada direccional en ese punto en la dirección que forma un ángulo de tt/3 con el eje x positivo es 4 y —6 cuando este ángulo es 2 -/3 . respectivamente. 98.5 y 40. Sea 21. 1). J 1 (/¡ y ± 2 ('{ en el largo. Usando una aproximación lineal determine una valor para //( —2.7. y disminuir en 2 el número de horas de trabajo.1) o) Cual es esta variación cu la dirección desde A u hacia el origen do coordenadas d i ( uanto d ebe desplazarse desde el punto A’„ en la dirección anterior para cjue el potencial Varié (J.4 en ¡3 .\)h{x. 100. 96. la fuerza laboral (en horas de trabajo). si se sabe que h es una función M2 .Universidad de Carabobo Facultad do Ingeniería Gi.» R difer. 101. se flexionará al estar sometida a una carga uniforme (peso constante por metro lineal). w. soportada en ambos extremos. se requiere conocer cuanto es la variación del área cuando: a) su hipotenusa varia 1 % b) su ángulo varia 2 % c) ambas varían en esas cantidades. h) = En esta ecuación p es carga (newton por metro de longitud de la viga). el volumen y la temperatura de un mol de un gas ideal están relacionar dos mediante la ecuación P V . viga de 4 m de largo. x es longitud entre soportes (metros). (El área de un triangulo es (l/2)absen#. de estas dimensiones en 10 cm. Con h = 3 y r = 2 (en metros). ( c = 1). 102. 10 cm de ancho y 20 cm de altura que está sometida a una carga de 100 N /m . 103. respectivamente. en un sistema universal de medidas. Que error podría tener en forma aproximada el cálculo de su área si en la medición de los lados se tiene un error de 4-3 % y —2 % en la medición del ángulo. 104. La presión. ¿ Para cual variación se logra una flexión más pequeña?.Facultad de Ingeniería Universidad de Carabobo el valor de g = 32 con una tolerancia de ± 2 %.03 unidades de volumen y la temperatura disminuye de 310 a 309 unidades de temperatura.. A l levantar topográficamente un terreno triangular usted ha medido dos de sus lados y el ángulo entre ellos. Utilice una expresión lineal para calcular el cambio porcentual aproximado de la presión. siendo a y. Una viga rectangular horizontal. x. Suponga un sistema universal de medidas. s¿ pide: a) Cual debe ser la tolerancia en sus longitudes para que la capacidad del tanque no varíe en más de 2 % (suponga la ___ jTiisma tolerancia para ambas longitudes) b) En caso de incrementarse una sola. Si la hipotenusa debe medir 10 metros formando un ángulo con uno de los catetos de 7r/3. 205 m y tt/3. use radianes) Departamento de Matemática 20 Luis Villamizar .ó las longitudes de dos de sus lados y 6 la medida del ángulo incluido. Se requiere construir un tanque cónieo-cilíndrico de igual altura y del mismo radio. h es altura de la viga (metros) y c es una constante que depende de las unidades de medida y del material de que está hecha la viga. w es ancho de la viga (metros). si las vigas son construidas con un variación de 3 % en sus dimensiones y la carga varia en un 5% .8. ¿cual hace que el volumen aumente más?. si el volumen se incrementa de 12 a 12. En una obra civil la pared de un edificio tiene la forma de un triángulo rectángulo. Si ha obtenido los valores de 120 m. La cantidad S de flexión se calcula con la fórmula: S(p. Encuentre la variación en la flexión de una.25 T. 105. 2uv + 1. —3.2.t + 1. Determine la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie paramétrica S definida por g(u.z = 0 y la curva C por H ( x .y 3 4.u 2 4 v2].2 ) b) La ecuación vectorial de la recta tangente a la curva C definida por la intersección de Si y S 2 en el punto Xo c) Los puntos (si los hay) donde S2 no tiene plano tangente. » 115. z) — 2 z + 2y — x 2 — 9 y 52 definida en forma paramétrica por g{u.1). y) = I 2x y . Encuentre si los hay los puntos donde S no tiene plano tangente.y — z — 3 y 2x — y 4 z — 4. Sea la superficie definida por z — x 2 jrxy. ¿Cuál es el ángulo de intersección en Xq entre esa superficie y la superficie definida explícitamente por f ( x . Determine el plano tangente a 5 y el ángulo entre éste plano y el vector director a C en uno de los puntos donde se interceptan. Sea lásUperficie implícita S definida por F ( x . z ) — [x .Universidad de Carabobo ¡i 1 Facultad do Ingeniería 106. 2uv — 4 . u + v + 2] en el punto X 0 = (1. y . '^ 1 0 8 . v) — [u 2 + v — 9 . y 2 J2 113.y 2 — 5 en una elipse. z ) — [ x —l . Determine la ecuación del plano tangente a la superficie paramétrica S definida ' por g(u. Dada la superficie S definida por G ( x .0].x 3 . Sea el elipsoide = 1. z ) — x 2 + y2 — z = 0 y la curva C por H ( x . determine la ecuación del plano tangente a ésta que sea perpendicular a los planos x 4. Se pide: a) El ángulo de intersección entre Sy y 5 2 en el punto X ü = (1 . z ) = x y z — c¿ es una constante.2). ^ V l lO. v) = [2u 4.1. 116.v . z 2 —x .1). y. y . 109.y2} — [0. z) — z — x 2 4 x y = 0 y la curva C definida en forma paramétrica por g(t) — [t. u + v — 5] en el punto Xq = (—5.2. u — 2v. y . Determina la ecuación paramétrica de la recta tangente a ésta elipse en el punto (1.1 . z ) = x 2 4 y 2 . Encuentre si los hay los puntos donde S no tiene plano tangente.£2]. y) — x y en el punto Xq = (1. ^o) puede escribirse mediante la expresión ^ ^ ^ = 1 114. z 2 —x —y2] — [0. v) = [3u + v 2 + 6 . Dada la superficie S definida por G ( x . Determine un plano tangente al elipsoide x '2 -f 3y 2 + 5z 2 — 1 que sea paralelo al plano tangente a la superficie S. Dadas las superficies: Si definida por F ( x .3 . y . 2. definida por f ( x . Departamento de Matemática 21 Luis Villamizar . Demuestre qiie la ecuación de su plano tangente en el punto (x0: yo. Determine el plano tangente a 5 y el ángulo entre este plano y el vector director a C en uno de los puntos donde se interceptan. y .0]. ^ 1 1 2 . 107. —1). Se pide: a) El(los) punto (s) de intersección de S con C b) El plano tangente a S y la recta tangente a C en uno de esos puntos 111. El plano x + z — 3 cruza al cilindro x 2 -i. Muestre que el producto de las intersecciones con los ejes cartesianos de cualquier plano'tangente a la superficie definida por F ( x . y . <:0) = (2. tt/4) b) Los puntos (si los hay) donde S no tiene plano tangente c) El ángulo fie intersección con la superficie definida por 2z . en el punto ( uo. h) Los puntos (si los hay) donde ésta superficie no tiene plano tangente. no tiene plano tangente. Sea la superficie pararnétrica S definida por: g(ii.-1) y en la dirección normal al plano conseguido anteriormente. y) = xy es paralelo al plano a la superficie pararnétrica definida por a121. Una esfera tiene su centro en el punto (3. r) Los puntos donde el plano tangente a la superficie explícita definida por / (x. Hallar la ecuación* del plano tangente a la esfera en el origen Obt enga también ('1 otro plano tangente a la esfera que sea paralelo al plano encontrado.3. Dada la superficie pararnétrica S definida por: í/eosr \ ti sen e l v + v . i>q) = ( —2. donde 5 no tiene plano tangente. v) = (w2<:2. en forma pararnétrica. Departamento de Matemática 22 Luis Villamizar .2v u2 + r 2 a) Obtenga la ecuación del plano tangente a la superficie 5 en A'u = (1. i ) = Determine: a) La ecuación cartesiana del plano tangente a S en (u(l.3. z) = x y 2 — yz + x z 2 en (1.2. Encuentre (si los hay) los puntos en los cuales S. Obtenga la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie definida en forma paramótrion por </{v. v .5) y pasa por el origen de coordenadas. y) = x 2 + y2 que sea paralelo al plano 3x + 8y — 5z = 10. en el ¡¡unto A 0 = (1. 2). Calcule luego.4. Determine (si los hay). uv. Dada la superficie definida por f ( u .2v.r) = [2-u + r. uv2 + 1).x 2 + y2 en el punto dado 120. Determine la ecuación del plano tangente a ésta. Determine la ecuación del plano tangente a la superficie definida por la gráfica de la función f ( x . y.2). tr f r 2}. 122.Universidad de Cara bobo Facultad de Ingeniería 117. 118. la derivada direccional de g(x. 119.tt/4 ) y(v.v) = ¿u + v ii .1). Sea el elipsoide definido por Fl.i. 130. 2ii -f 1) y r->(f) = (2 4.2). 3) y B — ( —1.3v. Un cultivo de bacterias ha sido infectado por un contaminante.r. z) = x 2 4. y . z ) — z — . 2) que se alcanza en la dirección de A’o a punto A'i = ( 3 . u r . z) = x 2 + y2 — az2 = 0 es nula en todo punto de ésta superficie.4 y B. se 'pide: a) Con que rapidez cambia la temperatura de la partícula en el punto A 0 = (1/2. Determine: a) El (los) punto(s) do intersección do S y C. 124.S en A 0.t + 1. Obtenga (si los hay) donde . z ) = —l / ( x 2 y2 + z2). cuya concentración. Hallar las ecuaciones do los planos tangentes a esta esfera en los puntos .4 ) . u2v + 3) en el punto A’» — ( —3 .y2 -r 2 : 2 = 2.4r + r2) están en S. 125. y) = . y. Determine el(los) punto(s) de la superficie implícita Sj definida por la función F[. Los puntos . Si una partícula se mueve en sentido horario alrededor del círculo de radio 1 metro con centro en el origen. 128. 3 ) son los extremos de un diámetro de una esfera. No se tiene una ecuación para S pero se sabe que las curvas: n (tí) = (1 -¡.(/) = [t. Suponga que necesita conocer una ecuación del plano tangente a una superficie S en el punto A’o = (2. y .—2. Utilizando esta información calcule V / ( 1. 131.4 = (2. Encuentro una ex nación del plano tangente a. \^¡'2) b) Cual es ésta rapidez si se desplaza desde el punto A (l hacia el origen. y) es T(r. z ) —3y2+ z2 — 8 donde su plano tangente es paralelo al plano tangente a la superficie So definida por la función Giu. Sea / una función con derivadas parciales continuas y tiene derivada direecional máxima igual a 50 en A’n = (1.3).r + 3y + 8xy) Departamento de Matemátic a 23 Luis Villamizar . 12}..Universidad de Carabobo Facultad do Ingeniería 123.$■> no tiene plano tangente. Sea-la función f ( x . 5. Sea la superficie implícita S definida por F ( x . r y .1). 126. i). y. 129. y .r2 + xy — 0 y la curva C definida en forma paramétiica por <. Compruebe que la derivada diree cional de / en la dirección del vector normal a la superficie implícita definida por G ( x . 1 —v 2. 127. b) El plano tangente a S y la recta tangente a C en un punto de intersección.2xy ~ 1 y que la distancia en el plano x y se mide en metros. determino las ecuaciones de los planos tangentes en los puntos de intersección de éste con la curva definida por: g(1) = (3t. Cual os la ecuación de ose(os) plano(s). 2a3 — 1. —2.1. y ) — 2 + 4sen2(. esta dado por: C ( x . 3 . Suponga que la temperatura Celsius en el punto ( x . 21. v) = [i/2 -i-r. medida con un sistema coordenado xy.?r. en que dirección debe moverse para mantenerse a la misma temperatura. Determine el valor de a.. ^ . r / 6 ) se pide: a) En que dirección disminu ye con mayor rapidez éste potencial y cual es su valor numérico b) En que dirección el potencial se mantiene constante c) Cual es ésta variación en la dirección desde (x 0. 133. 136. Cual es el error relativo porcentual cometido en la determinación del periodo de péndulo si l — 3 con una variación de 0. y) del plano x y viene dado por la función V ( x .-5 ). La temperatura en un punto (x. Sea / : K 2 —>• M una función diferenciable en el punto ( 2 . 139. 6 y c de F ( x . El potencial eléctrico en un punto (x. v) — [u. 2. Sea / una función de dos variables que tiene derivadas parciales continuas y consi dere los puntos ^4(1. z) — a. su derivada direccional en ( 2 . y la derivada direccional en A en la dirección Departamento de Matemática 24 Luis Villamizar . 135. Supongamos que cierta función f ( x . .2). determine cual es esa dirección y éste valor numérico. Para otra hormiga en el punto (—2 . —1) una derivada direccional máxima de 25 en la dirección normal en Pq — (0 .x2y + bxz 2 + cyz para que ésta tenga en el punto X 0 = (1 . 137.Facultad de Ingeniería Universidad de Carabcbo donde x e y se miden 011 centímetros y C en centigramos por litro. Determine los valores a. _ x ) . —4) y tiene derivada direccional 1 en X q en la dirección Ub = (12.3). z) = axy 2 -f byz + cz 2x 3 en X o (l. 1 ) en la dirección de a ~ 2i — j . y) — e~2x eos 2y.y. y) do mía placa metálica es T ( x ) y) — \^ +yt ■En contrar la razón de cambio de temperatura en ( 1 . b y c para que la derivada direccional de la función ■f(x. Suponga un sistema universal de medidas.0 ) a la superficie definida por: G(u. y . 7) y D ( 6 .05 y g = 32 con una tolerancia de —2%. u2 + v2].f ( x . Una bacteria se encuentra en el punto de coordenadas (1.ir/3).3 i + 5j .5). 134. El periodo de un péndulo simple de longitud l esta dado por: T ( l . Para (x0) yo) = (0.í/o) hacia el puiito (ir/2. —1.0 .99. Una hormiga que está en (1. Determine la derivada direccional de / en X q en la dirección uc = . g ) = g.01) si l í m ^ ) . v.1) quiere caminar en la dirección en que la temperatura aumente con mayor rapidez.2) en la dirección del vector ua — (3. La derivada direccional de / en A en la dirección del vector A B es 3.1 ) .1 ). y ) ~ 3.4) es 6 y —2 en la dirección « * = (1 2 . Determine un valor aproximado para / en (1.. y ) tiene derivada direccional 8 en el punto X q — (—1.4 = (3. B { 3 . ¿En que dirección se deberá mover la bacteria en el cultivo para que no tenga ningún cambio en la concentración del contaminante. C (l.15).3). 132. 1 .1 ) en la dirección del vector «. —1) tenga un valor máximo de 64 en la dirección normal al plano xy. '138. 99. . y) del plano.2) pertenece a la curva de nivel definida por / de valor 5.01).2) ocurre a 30° con el eje x y la derivada direccional máxima negativa es —10. con el mismo incremento dado. 143.Olr2 — 0. vale —4 y está dirección forma un ángulo de 7r/3 con Departamento de Matemática 25 Luis Villamizar .02y2. Sea T(x. b) Si asciende en esa dirección. Dos insectos frioleros (A y B ) se encuentran respectivamente en los puntos (1.4 . 142.' Sea / : R 2 —» R. alcanzar la cima con más rapidez?. Si desde el punto X Q — (1 . .3y — z — —4 . y .1 ) . z) = x 2 + y2 — 2x y — x -+.4 ) se deja rodai’ un pelota. Se conoce que el punto (1. Si A se mueve en la dirección del eje x y B en la dirección del eje y. y) — 1 — 3a:2 + 2y 2 —Axy + y — x. Suponga que está escalando una montaña cuya forma está dada por la ecuación 2 = 1000 — O. cuales serán sus nuevas coordenadas? c) En que dirección su cota so mantendría igual que en X 0. la temperatura en cada punto (x.1 unidades en la dirección de la recta normal en el punto X i = (2 . ¿a qué ángulo sobre la horizontal ascenderá al principio?.764). se pregunta: a) En cuál dirección del plano X Y se desplazará? b) Cuando su cota haya disminuido 0. Sea / : R 2 —►R una función diferenciable.Universidad de Carabobo f Facultad de Ingeniería A C es 26. Se sabe que la derivada direccional de / en la dirección tangente a la curva C definida por' g(t) = Íí2 — t + 1. 140. ~ ) . Determine un valor aproximado de / en el punto (0. se pregunta: a) ¿Qué dirección deberá tomar al comienzo. 144. En cuanto cambiará la cota de la función: f { x . Sabiendo que el eje x apunta hacia el sur y el eje y hacia el este.1 — 2 t) en el punto X 0 — ( 1 .y/x2 -f y 2 + z 2 Si se mueve desde Xo — (3.100. Sea la superficie S definida por z 2 + x 2 — 2y — 9.4.18) a la superficie S definida por G\x. y usted está ubicado en un punto con coordenadas (60. 141. 145. ¿asciende ó desciende?.075 unidades.12) una distancia de 0. c) Si se dirige hacia el nor-este.05. 0.2 ) y (—1 — 4). Se sabe además que la dirección de mayor crecimiento de / en (1. y .origen.—3. se quiere saber en forma aproximada: a) Cual de ellos estaría más caliente b) Cual será la variación de su temperatura si ambos se mueven hacia el .2. para. Encuentre la derivada direccional de / en A en la dirección del vector AD. 0) se mueve 0.4 se encuentra en la posición (5.01. Sea / : M2 —> R. 149. 148. 0. z) — :rly'te : . . 0 ).r~ — 4 y . Sea / : ¡R2 —> R. 0) alcanza / su máxima variación.V(i) = ( 1.dirección tangente a la curva' C definida implícitament e por f ( x ./ sufre una variación de —4 en el punto A'o — (1 . 0) Cual es la derivada direccional de / en A'o — (0. Considere la fun ción F { x . dirección tangente a la curva paramétriea definida por f ( t ) — \í2 + 1. y ) = 4 en el punto ( 1. y ) — f { f ( x . ( ( — 1] en el pimío Pa = (1. la función diferenciable f { x .x 2. r .y. además / tiene una derivada direccional máxima de 50 en A'o = ( 1 . y) — 1000 — 6. y ) = 3.10. en la dirección ( —2. Sea / : R 2 —> R.0.0 ) se tiene que “ -( A 0) = 3 4 a. 0). r) — [u. Se pregunta: a) Si ambos se mueven un distancia de 0.1).3). f ( x .r apunta hacia el norte y el eje y al oeste.c ).1. y ) ) . 152. 0 ) 0 si ( x. Estime en cuánto cambia el valor de fi'x.98. Cual es su nueva posición en la montaña b) Si el eje . = l [ si ( x . En la dirección u-¿ = (0 . y desde su posición inicial . y ) .2 unidades en la. y) = i x — 2y — 4 = 0 en el punto (2. Determine la derivada direccional de F en (1.4 5 0 ). quien se encuentra más cerca de la cima fie la montaña. Departamento de Matemática 26 Luis Villamizar .02). Determine el gradiente fie la función /(. y ) — f ( f ( x .v. 1). obtenga un valor aproximado para F{. la función f { x . en 1« dirección del vector tangente a la curva definida por g(x.4 se dirige al sur-oeste y B liacia el nor-oeste. 151.0 ) .1.450) y el alpinista B en la posición (5. y ) . sabiondo que en la dirección fiel vector «i = ( 1 . y) ^ (0. y ) = 2xy . -1 0 .i.2 ) en la dirección de A'i = (—1.. 2) y en la. y ) ) .Universidad de Carabobo Facultad do Ingeniería la dirección de máximo decrecimiento de f en el punto A'o. 150. i. —1.1). 147. 14G. Determine un valor aproximado de la función / : M2 —> ¡R en el punto (1. y .y. Suponga que dos alpinistas están escalando una montaña cuya forma está dada por la ecuación c = / { . y ) = x 2 4 3xy. la función: ( ^ fi .05 unidades en la dirección de máximo incremento. Sin obtener la expresión literal de ésta función. f ( x .99).r.3) a X i — (3 — 4). y w 2 + r'-’j en (u0. Si se conoce que el punto pertenece a la curva de nivel definida por f ( x . —1. Considere la función compuesta F ( x .—1. y en la dirección del vector normal a la superficie paramétriea definida por g(u. Si el alpinista .0 . Cual es la derivada direccional de / en A'0. y ) (0. si en el punto (2. 4 .r) = ir .3 . Determine la ecuación del plano tangente a la superficie S definida por F en (0. Una escalera de 10 m esta recargada contra la pared y su parte superior esta resbalando a la rapidez de 3 m/seg.rs).4 en el punto (2.x2.1 .r 4 2y + C — 0. y ) . Sea F(.0 ) = 0 y V / ( 0. ir) = (ir — 2iinr. y) = f ( f ( f ( x . G(2) = 12. Sea F : R 2 -4 R una función que involucra a cierta función diferenciable f con otra función continua y : R — R.s / Si es paralelo al plano: —2. Si: Fí. el (los) punto(s) donde la . y).0 .r — ir) y la función h : R 2 —¥ R '! dada por h(r. .y) . si se sabe que: V / ( .s(l) — (2.0).y) = f { f ( x . 154. f ( x . y ) ) ) con / : R 2 -> M la función dada por f ( x . f ( x . f ( x . Que tan rápido esta cambiando el área del triángulo formado por la escalera. 158.r ~ 3 r2 . si se sabe que la recta tangente a la curva de nivel definida por f í.l .- / Jr y y(t i di Determine un valor aproximado de la función F en el punto (1. .Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería 153.3 ) = 2. Una pared ha.2).02). 150.t ) - T . / ( . 9 8 .r .r2 + 5:n/. <?(-2 ) = . .0) = (1. 159.S no tenga plano tangente.3 ) . v. . r — s.( . Sea F( . donde f : R2 —> R es una función diferenciable tal que /( 0 . Calcule la ecuación del plano tangente a la superficie S definida por la composición de las funciones ( / o y) o h — f o (g o h ) = f o g o h enel punto !r().s) — (r s .1 ¡. ) a la superficie S.1) viene dada por —4. Sea / : R 2 —r R la función f ( x . y G ( —2) — . 2). Departamento de Matemática 27 Luis Villamizar .1).-1. definida paramétrkatnente por la composición de las funciones: ¡(u.1. 1. y ) . Encuentre la ecuación cartesiana del plano tangente en el punto (.01. y : R 3 —» R J la función definida por la expresión y[ii. Siendo G(t) una primitiva de y(i).r g ( r . 155. Sea F(:r.r. y(l. . v . 157.r y — 8 : = 4. Obtenga un valor aproximado para F ( . siendo f : R 2 —> R una función de dase C 1. g( 2) = 1..r.r~y — 2x)./\ •(/) — f l x y 2 — 3y.y'. Obtenga la ecuación del plano tan Rente a la superficie definida por F en (— 1. la pared y el suelo cuando la escalera hace un ángulo de 30° con el suelo?. y ) — 3. y ) — 2r y . s .98).1 u -T. Determine si los hay.rü.ee un ángulo de 120° con el suelo. y)). 1.sen/. = (1. —2) en la dirección tangente a la curva definida por f(.(0.0).1). calcule la derivada direccional de x (u. —1). b) Determine (si los hay) los puntos donde S2. Sea h : K2 —> R 2 una función de clase C\ de modo que /?. y ) en un entorno de Ay. y) — 5 en (. y ) — h{h(h(x. plano tangente.1) es (1.1. Departamento de Matemática 28 Luis Villamizar . 101. . c) La ecuación vectorial de la recta tangente a la curva determinada por la intersección de éstas superficies en (2. no tenga.?'!. r —s. Sea G : R 2 -+ R 2 una función diferenciable en el punto A'o = (2. 3. Sea / : M2 —> R la función f { x . 163.Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería 160.s) = (r + s . y)) ) — (u.1). Determine si es posible definir y~l (u. 162. g : R 3 —» R 2 la función definida por la expresión g{u.3). Suponga que el gradiente de la función F c G en A'0 = (2. En caso cierto.v) = ( x . es: Sea g : R 2 —'* R 2 la función definida por g { x . rs).r. v) en la dirección de máximo incremento de y(u. y) = 3x y 2 .3). ¡’o.x\ ir) = (ir + 2uvu\ u + r + «. donde tiene por matriz Jacobiana a: Sea F : R 2 —> R una función diferenciable.0). Calcule la derivada direccional de F en el punto CÍJ'o) }’ en la dirección tangente a la curva C definida por h(t) = (cosí. Determine la derivada direccional de ( f o g ) o h cuando (i/(j. Dadas las superficies definidas por: a) Calcule el ángulo de intersección entre Si y S2 en el punto (2.) y h : R 2 -+ R 3 la función dada por h(r.0).2x 2y. Suponga que la matriz Jacobiana de h en A’o = (0.0) = (0.v) en (0.¡/i) = (1. v).) en t 0 = 7T/4. 1) = (2. Demuestre que: G ( x .Facultad de Ingeniería Universidad de Carabobo 164. y ) = f { x y 2 .» R una función de clase C 1.ce dada por í¡) — f ss(r. Determine la mat riz jacobiana en A'0 = ( —1.0) = ^ § 5f + §5f + . 105.1). y ) — 4 en el punto (2. y) + . Obtenga la ecuación del plano tangente a la superficie definida por F en ( —1. y ) es diferenciable y: 167. y ) (suficientemente diferenciable). 170.1) viene dada por —4. Sea f : R 2 que: R 2 una función diforenciablc de modo que / ( —1. y ) = f ( í f eos y.1). Sea / : R 2 —» R una función de clase C 2. Departamento de Matemática 29 Luis Viliamizar . y ) = / ( e 3' eos y. muestre que su laplaciano denotado por V 2r (x . y definido por: viene dado en coordenadas polares por: V 2z(r. ex sen y) también la satisface.r). si / satisface la ecuación de Lapla. Sea / : R 2 R una función de clase C 2. 1) de F : R 2 —> R 2.y ).t + 2y + 6 = 0. e* sen y) también la satisface. si / satisface la ecuación de Laplace dada por f XT(x. / 2 : R 2 —►R las funciones componentes de / . x 2y + 2.2xy) también la satisface. y) = 0. Dada la función z = z ( x . 168. Sea / : R 2 R una función de clase C 2. Si c = f ( x . Demuestre que G ( x . s) = ü.fyy( x . y) = / ( x 2 . siendo / : R 2 .s) = 0. Suponga Sean f ¡ .y .§^ 169. si se sabe que la recta tangente a la curva de nivel definida por f ( x . si: 166. Demuestre que: F { x . si / satisface la ecuación de Laplace dada por f rr(r.s) + f„ s(r. Sea F ( x .y2. ¡2 : R 4 —» R las funciones coordenalas de F y ( / o g ) ¡ . donde ti> es una función real de clase C~ y a un número real.2. ecuación del plano tangente a la superficie implícita definida por ( / o g)i(:.2 . Sea / . Sea F ( x . obtenga un valor aproximado para G(0.02).y) = / ( x j . y.98. Sin obtener la expesión literal de ésta función.2 . y ) . z ) en el pun to X Q y en a.0 . si se sabe que / ( .2 . donde g : R 2 —> R es una función diferenciable y a un número real.Si 4 Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería 171. 2 ) = 2 y V / { . y . Se pide: o. 2y). b) Calcular la d. (Jo g )2 : R 3 —> R las funciones coordenadas de la función compiesta ( F o G) : R 3 —>■R 2. Suponga que: ( 0 0 0 \ V 1 9 8 / Sean <?i. z) — 2 que pasa por X 0. i¿^yE1). y ) = x 2y — 2y¿ y g ( x yy) — 2 x y 2 . Obtenga las derivadas de segundo orden de F en ( . y la función F : R 4 —y R 2 una función diferenciable en el punto Yq . Considere la función G ( x . y ) ) . Y f \. y ) = f ( g ( x .1 ). v: 175. 176.) Determinar 1. y.1).E(x. 2) — (1. ( / o g)2(x. Sea G : R 3 —» R4 a a función diferenciable en el punto X q = (2.G ( X o) = (—1 . Sea F(x. y .1 ) . Demuestre que: 172. en ese punto. <?3.3). Demuestre que f uu + f vv = ■ 174. Demuestre que: lT2L-S&&.í ?4 : E3 —>•R las funciones coordenadas de G. g : R 2 —» R las funciones de clase C 1 definidas por f ( x . z) = xag {y/x. y) — (x2 f y 2) f ( x . Departamento de Matemática 30 Luis Villamizar . z/x). —3. y ) — aaó(y/x). —1.x 2 + 3xy.p2. z ) . g ( x . dirección de máximo incremento en ese punto de la función g4{ x . Sea F { x .rivada direccional de la función u —. V * Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería 177. Sea g : B 2 -4 R 2 una función difcreneiable en el punto P 0 € R 2. .3 ) . v). v ) en (0.v). y ) = f o f ( x . Dado el sistema: u —v — x 4 y .1 ) la ftmción g~l (u. en X 0 = (0. 179.v) _d(x. y) = 3x 2y . Demuestre que: d(u. determine la . 180.fo ) — (7. Suponga que la matriz Jacobiana de h. Sea A : R 2 —> R 2 una función de clase C 1 de modo que h. Sea g ( x . 181. v) y y — y { u . x 2 4 y 1 4 2xy). Determine la derivada direccional de f en el punto g(P0). 4 ) = ( . y) en un entorno de X 0. En caso cierto.13) .2 y 2 -+• 2x = 6. v — v ( x . Si V / ( l .v).0) = (0. y) = h(h(3x 4 2y. x = x( u.3). En caso cierto. en la dirección del vector (2.0). y ) — f { 2 x 2y — y 2. Determine si es posible definir g~l ( u .1) definida por c(x. Determine si es posible definir en un entorno de ( 1 . u 4 v = x —y El cual define las funciones implícitas u = u( x.y) Departamento de Matemática 31 d(v. v). en una dirección tangente a la curva C en (-2. v) Luis Villamizar . 2 x — y)) — (u. y ) — (u. v) y y = y(u. y ) en (1. y ) .0). Sea la función: -Si g : R 2 —> R 2 viene definida por g ( x . donde tiene por matriz jacobiana a: Í ^ í) = ( 1 o ) Sea / : R 2 —> R una función diferenciable.1). derivada direccional de g ( x.(0. calcule el ángulo de intersección entre las superficies definidas explícitamente por x = x(u. obtenga su matriz Jacobiana en (« o .1). es: Sea g la función definida por g(x. 178.2 .0). y). Suponga que el vector gradiente de la función compuesta / o g : M2 —> R en el punto P 0 es V ( / o # ) ( P 0) = (1.v ) = (x.y) = d(x. Sea F : R 3 -> R 2 tal que: Suponga que g(x) = (g i( x) .0. Sea w = x 2 + y2 -+.2.y3 = 1. Suponga que la expresión: g{t)dt + h(t)dt = 0 define implícitamente una función difcrcnciablc z — f ( x .99.0). 185. La ecuación G(x. g ( —1) = —1.99.Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería 182.g2(x)) es una función diferenciable que satisface la ecuación F( x. h : R —> R son funciones continuas.97).0).01). f{x.3) es 2 cuando forma un ángulo de 30° con el eje x positivo y 8 cuando este ángulo es de 150°.v0) = (L 1. donde g.—1. determine un valor aproximado paraît’ en ( t 0. 184. Se desean conocer las expresiones que permitan determinar en cual proporción deberán modificarse el largo y el ancho si la altura debe aumentarse ligeramente. z) — () defino a z implícitamente como una función do x e y. sabiendo que g{2.y = 0 Obtenga si es posible. (Use un valor para Zg ^ 0) 187.z ~ 0. y. Calcule el plano tangente a la superficie S definida por / en (1.z2 y z 2 — x y -+■yz -+. 183. z = . De esas expresiones calcule como variaran tales dimensiones en el caso en que la altura se de 3 ni. y a. u__v r v> . Sea z — f ( x . 188.= f ( x . v son funciones implícitas determinadas por las expresiones: 0 . 186.2-1) si se sabe que: 5 ( 1) = 5. y ) . gi(x).'Uo. Determine un valor aproximado para g en 1. estimar un valor para g en el punto (2. Considerando a z como una función de (x. z ) — x y z — e. h( 1) = 4 y h(5) — 20. gn{x)) = (0. La función . Sea c = g(x.3) = 5 y que la derivada direccional de g en (xlh yü) — (2. la ecuación del plano tangente a. Se requiere construir un recinto rectangular con una capacidad de 6 ms dispo niéndose de 20 m 2 del materia] apropiado para su construcción. y). donde u. y) esta dada como ~ = u +v . y) esa función.05. y) en el punto ( x 0. y0) = (1. Determine: Departamento de Matemática 32 Luis Villamizar . y ) definida implícitamente por F ( x . y . .-1. demuestre que 1a. + 2 x — + — y = 0 d. Considerando y =■ y(v. dx dy dz _ dy dz dx Sea u = xy y v = y2 — x 2. y azx -i. y . Facultad de Ingeniería 189. y — y ( x . Sea F : R 3 —» M una función de clase C 1.v) — (. y . í').demuestreque se satisface 191. z ) = 0 determina implícitamente funciones diferenciables'x = x (y ..1).5). —bz)— 0.1) Calcule la ecuación de la recta tangente C en í0 = 1. Sí el gradiente de F en (-2. z ) . La función: 2:í: -i. 190. quees posibledefinirx — x (u. = 1. Las ecuaciones: 2x i y 4.2) es (3. z ) . definida como F ( x — a z . Calcule las derivadas parciales de ésta función en A'0 . u .0 \ y Z X) determina implícitamente la función de clase C 1.(2 . 194.bz.y ) que satisface /( 1 ) — ( —1. z — f ( x . z — z (x . ecuación se transforma en + a2y = 0. verifique que y„ ■uT + yv ■vr — 0. z0) = ( 1.1 y z + x z ■+ ir + v / 0 1— ( 0 y 0 J definen un función y(u.4). . Encuentre la ecuación del plano tangente a y en el punto (a:0.x . y ) . y. .-1/4. Sea F : R 3 —> R.—1.1 \ G ( x .Universidad de Carabobo . y„. z ). Suponga que la expresión F{ x.y + 2 z + u — v -. Sea y = y(x) la solución do: o d2y dy a2 xr--h. v) y 193. . v) -— | x y -f ~ .v + 2v .y x 2 + t2 — 0 : x + y -r t — 1 ~ 0 definen implícitamente una curva C: f ( t ) = [x . z .x~ dx xSi hacemos x — -. 195. Demuestre que: 192. Departamento de Matemática 33 Luis Villamizar . 1. Suponga que la expresión dada por: F f-. y) . definida como F ( x — az. y ) está dada por z = bu — 2v donde u y v son funciones implícitas do x e y dadas por las expresiones: 2u — e2. v0) = (0. z ) — 4 en ( x q .. z )para calcularluegola derivada direccional de u — u ( x . Dada la función / : R 3 —> R 3. z Q) ?=(1 . 20) = (1.Universidad de C-arabobo Facultad de Ingeniería 196. y — bz) — 0. y . x. 197. determine las ecuaciones de los planos tangentes a las superficies definidas por u ( x.1). .t'o. Si hacemos x — „ dy dx a2 +~ x ¿y = 0 demuestre que la ecuación se transforma en ^ -f a2y = 0. y . Demuestre que y"(x) viene dada por: (PjJ __ -------- Fx A F y f . 201.1 ) y en ladirección normal a la superficie de nivel definida por v(x.2y — 0 . v = i'(x.1 ) .y.0).1 . z ). v = i'(x. Departamento de Matemática 34 Luis Villamizar . Sea y = y{x) la solución de: t d2u x~dx¿ t ~2 4 . y 0. yo.e2v-'3v .y 2 Habiendo verificado que éstas definen funciones v = n ( x. z) y w = u’( x . u4 — v x — x~ . Sea y = f ( x ) una función diforenciable definida implícitamente por F ( x .y = 0 Obtenga si es posible. Considere las expresiones: uv — 3x i.v. y . v. V / ( —1 .ui + e3u J Determine si es posible formar en un entorno del punto (u-o.2FxyFXFy -f Fyy(FX}2 dX ^ ' (Fy)3 198.0 ) las ecuaciones u= u ( x . y ) — 0.1 ).1. 199.0. La función z — f ( x . y . demuestre que se satisface (XZx ~í~ bZy — 1200.1 .1 . Sea F : R 3 —> R.y) en los alrededores del punto (u ./_í'3r —x = 0 3t. z ) en (x 0. definida por: / u + v + ew \ f(u. y ). w) = I u + w + e2* 1 \ v 4. Wo) = (0 . Considere («o. y ) y v(i\y). y) = (1 . 7. y ) respectivamente. obtenga la TAA.En caso afirmativo. uij. y ) — h o h ( x . v) y y ~ y ( u . Considere la función / : R 2 -4 E 2 dgwia por: f(x. 206.v).0).1) la función g~l (u. Considerando que es posible definir . de f ~ l en (0. 203.y) = Demuestre que ésta función admite inversa en un entorno de (0. v ). v) = u2 -r v¿ — 1 = 0 en (tx0. u 2 + uv) = (x.v). Facultad de Ingeniería. Determine si es posible definir en un entorno de = ( —1. y).V a Universidad de Carabobo 202.0). Sea g : R —> R una función continua tal que p(0) = 1. v —v(x. v ). 2/0) — (9)3) Para calcular el ángulo entre las superficies S i. v) en un entorno de (u0. y) en un entorno de ( £ 0. y — y{u.. 204. 205. v) = (tt3 -r v °. v) para calcular la variación absoluta de x en (uo.5) .0). y ) — (u. y) Determine si es posible formar las ecuaciones u = u(x. = 0. En caso cierto. S2 definidas por u — u( x. y) Si g : R2 —> R 2 viene definida por g ( x . Departamento de Matemática 35 Luis Villamizar . Sea la función: x ¿ — 2x y 2 x + y f(x-y) Nos interesa conocer si es posible formar las funciones x = x ( u. que aproxima a g~'{u. verifique que yu ■ux + yv ■v3. v0) — (—3. Sea u = x y y v — y 2 — x 2. Determine la matriz jacobiana.Vo) — ( —1. = x (u. y) y v — v ( x. en la dirección tangente a la curva definida por G(u. obténgalo. Sea la función: h{x. Considere la función: f ( u . 9. v) definidas en un esfera abierta 5 con centro en el origen.y)) = ('«.10) un valor aproximado para (y o ft.-0.y) en un entorno de A'o.!)• b) Usando una transformación afín. y ) fU . y 2 ■/ 2(:r.0 ) = (0.y) Suponga que las funciones u. Calcule en forma aproximada x(0.r). —0. v) en (2.0).0). Sea la función: 2xy + y 2x2 . V(w.v) — [x(ti. de modo que f ~ l {u. v) — (x. y ) ) ) = (u. x — x(u.v). v) — ( x . y ) = ( / 2(x . y ) . y ) = / ( / ( / ( x .1) y V t’(0 .o0)5-1 ). Facultad do Ingeniería Considere la función de clase C \ / : —>R~: u{x.0) demuestre que existen funciones de clase C 1.O) = (3. yo) ~ (~ 1.v)}. y) en un entorno de Ay.) ~1(u. y) v{ x.1. 210.-O.15. es: (JxJ) = ( 2 _1 Sean / i . / 2 : R 2 -> R las funciones coordenadas de f .'(’)• Determine si es posible definir g~ 1 (u.)-1 (it.Universidad de Carabobo 207. i1) = (x . es: ( JxJ) = 5 2 1 -1 Sean / 1? / 2 : R 2 —> R las funciones coordenadas de / .r) € S.En caso cierto. y )) y la función h : R 2 -> R 2 como h ( x . y) en un ent orno de (x0. Sea / : R2 —> R2 una función de clase C 1 de modo que /( 1 . Sea / : R 2 —> R 2 una función de clase C 1 de modo que /( 0 .l.y) — (x~ ■/ i ( x .99. calcule en (u0. 208. —1).0) = (0. 209.vQ) = (0. r) Departamento de Matemática 36 Luis Villamizar .y ). calcule (</{u0.y ). Sí g : R 2 -4 R 2 viene definida como g( x .1) y y(O.y(u.2). Si / ( 0.02). Suponga que la matriz Jacobiana de / en A'o = (1.x .1 ) = (2. v : R~ —> R tienen por gradiente en el origen a: Vií(O. En caso cierto.0) = ( —1.l). se pide: a) Determine si es posible definir g~l {u.y2 ~ x /(a v y ) = Si g : R 2 —> R 2 viene dada por g( x . y ) = (. Sea y : R 2 —> R 2 la función definida por g(x . / i ( x . obtenga un valor para g~l(u. Determine si es posible definir (g o /?.1). v) y y = y{u. Suponga que la matriz Jacobiana de / en A () = (0. Suponga que la matriz jacobiana de / en A'0 = (1. v) para calcular un valor aproximado cuando (u. calcule un valor aproximado de y -1 (0. v ) . r.2) viene dada por: 3 -1 1 -2 UxJ) Si g : R*’ -> R 2 se define como g ( r .| j.3. mediante la liealización correspondiente.1. Sea f ( x .0). t ) — (3. 213. h ( f i ( x . Las ecuaciones de transformación de coordenadas parabólicas son: x — uv eos(/:) y — uvsen(t) z — ~(ii2 — v2) Para ( u . l . v) y G : R 4 -4 R2 G(x.1). En caso cierto. Departamento de Matemática 37 Luis Villamizar . 1) y st.En caso cierto. obtenga ru(l. v) en el punto (it0. A y = —0.02. y ) — {j\(x. una aproximación para los nuevos valores de (u.o )/ ) ~ ( -2 1 ) Si g : R 2 —> R 2 viene definida como g(x. r .0./.02.r\y) + / 2(j\y)] y h : R 2 .üo) — (1.2). v) = (x. Suponga que la matriz Jacobiana de / en A'u = (0. r — s — x2 + y2) — (0. Considere la función: fU -y) = ( x 3 + y3 x2 + xy Nos interesa conocer si es posible formar las funciones x — r ( u. z) dada por A x = 0. y ) = [.02. y)] una función diferenciable de modo que / ( 0 .» R 2 como h { x . Determine si es posible definir a r = r (u . obtenga.97.0) es: U u . fo( x. y) = f í i x . Determine si es posible definir (g o /i)_1(?/. Sea / : R 2 —> R 2 la función f ( x . F ( x . s) — (rs — 3x + 2y. y ) = (2x — y . y — y(u.(. 212.99. y). la función g" \u. y) . y). v) = (8. x — y + 1) = (u. En caso cierto determine un valor aproximado de ( g o h ) ' 1(0.01). ?/))• Determine si es posible definir en un entorno de («o.y)/2.Universidad de Carabobo Facultad do Ingeniería 211. y). y. En caso afirmativo. 215. y )). 0) = (0.i\t) si se produce una variación en (x.v) y s = s ( u .—1). y. A z . / 2(x.y) } una función continuamente dií'ereneiable de modo que / ( 1.0). 2) = (2 . Considere las funciones F : R 2 —> R 2. v) en un entorno de A'0 — (1.y).03). 214.(l. y ) — \— y) ■f 2(x.04) de x e y. v(l) — (0. y ) — [(/i (x.0). obten gal o . —0.02.r. 1). ü) (x + y y 2 219.98) usando un desarrollo en Serie de Taylor. v). z ) . 1 . que en una vecindad del punto ( x a.13) . Sea F ( x .9) mediante el desarrollo de Taylor de segundo orden.r + y) para valores pequeños de x.v). Sea el sistema: -- f uv(x + 1 ) = 8 \ u(v + x) 4.1) está de finida implícitamente por: F ( x . Obtenga un polinomio que aproxime el cos(. y . Sea la fruición / : R 3 .—4) define implícitamente a la función y = f ( x .1 . obtenga su matriz Jacobiana en (uo.—(a-. 221. —2.r x y + x + 2 z + y = 0. z) — x 3 + y3 + z 3 — 3x — 3y + z — 2 = 0. y 0. Sea la función: y . y ) ~ f o f(x.v)->(ü.1. 217. Determine un valor aproximado para /(1 . En caso cierto. y) que en los alrededores del punto (2. hallar para que valores de ( x. z ) = .v(u + x) = 3 Determine si es posible formar u = u(x) y v — v(x) en un entorno de x 0 = 1..02) usando un desarrollo de Taylor de 2do orden. y.01 .o2 xy 2 x 2 + y 2 —x Si g : R 2 —>■ R 2 viene definida por g ( x . En caso cierto obtenga un valor aproximado de ?/ (1. Departamento de Matemática 38 Luis Villamizar .%j) = (u. —3.Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería 216. —1) la función g~ 1 (u. z) la forma cuadrática diferencial segundo de / en Xq se define en forma positiva si su matriz asociada en Xa viene dada por: {dxof) = / x 0 1 0 \ 1 -y 0 0 X 218.x 2 + 2 y 2 —x z . y y utilice ésta expresión para justificar que: . Determine si es posible definir en un entorno de (1.t R .-1.cos(x + y) 1 hn —. Obtenga una aproximación de / en el punto (2. Considere la función i — f ( x .vo) = (7. z 0) — (1 . y. 220. y ) definida implícitamente en en el punto ( x 0. 229. y ) en (lo* yo) = (1. Obtenga el desarrollo de Taylor de segundo orden de la función 2 = f ( x . Departamento de Matemática 39 Luis Villamizar .2)2 228. y ) = 6x y 2 — 2x3y -h y 2.2) . Obtenga la forma cuadrática diferencial de segundo orden de / en Xq = (1 .01). 227. z) = y3 + 3x 2z — zsy + z 2 — 3a. x y 2).z3 y G ( x .1 . si en el punto Xq = ( 2 . Considere la función y — f ( x . Estudie los extremos de: f { x . Con esta expresión estime un valor para /(0. Sea la función definida por f ( x . Determine y clasifique los valores extremos relativos de la. función definida por: f [ x . 224.1 ) .0 ).1 ) = (0.1 ) se tiene que V /( 2 .2(y . 223.18y2 -I. —0. Sea F ( x . Sea w = x 2y 2 + y z .3axy + en función de a.912. Considere las expresiones: x + y — eu — ev x2 + y¿ — u + y Si estas expresiones determinan funciones implícitas u — u(x\y).1 ) y clasifíquela.1. y ) = :c3 . y. Determine los extremos relativos de la función: f ( x . . y ) — (x3y — 2x y + x y 2 -r 3y) ■g ( x 2y . Zq ) = (1.99.02.01).1 ) esta definida implícitamente por: F ( x . z ) que. Use un desarrollo de Taylor de 2do orden para obtener un valor aproximado de w ( x .Facultad de Ingeniería Universidad de Carabobo 222. y . y . (Use un valor para 2o < 0 ) . . 230. 2 ) viene dado por la expresión: T2g ( x + 4. z ) — y s + 3x2z — z 3y + z 2 — 3x — 1. Determine un valor aproximado de u(0. z ) viene definida en forma implícita en F ( x . z) — xr + y 2 + z 2 = 6.1.Sl-i/ + 5 226. y . si y = f ( x . z) — 3x 2+ 2 y 2 + z 2 + 3 x y + 2 x z —y z + x + y —l5 — 0.1 .0 . en los alrededores del punto (1 .087).4 . ?/ .0 .2 ) + (x + 4)2 - 6(x + 4)(y . Sea F ( x . — 1 = 0 Determine el desarrollo de Taylor de segundo orden de tal función en el punto (x0.1).0). y . usando el desarrollo de Taylor de segundo orden. Determine si en ese punto la función tiene un valor extremo. v = v ( x . 225. y ) en los alrededores del punto (0 .. y0) = ( 2 . Se sabe que el desarrollo de Taylor de segundo orden de la función g en ( .2) = 2 0 + l l ( a : + 4) + 8 ( | /. z ) — 0. y) = x 3 + y ¿ + 3x 2 . Y la tasa de crecimiento de ir a partir del punto (2. usando un desarrollo de Taylor de segundo orden. ('1 cual es un mínimo que vale gíxo) = a y que h tiene solamente un extremo local en y0. Sean ir = x~y~ —yz y g(x. ¡i : R R funciones de cla. 2) la recta tangente a la curva de nivel definida poi f ( x . y ) tiene un punto critico en (1.ru. y que las gráficas de estas funciones no cruzan al eje de las abscisas. Determine la naturaleza Departamento de Matemática 40 Luis Villamizar . Halle. Si: i) a > 0 . un valor aproximado de «• cuando [x. b > 0 236. i. el cual es un máximo que vale h(yn) = b. Sea cj : R -+ R una función diferencial)le. sen/) en /„ — r.xy~ — y).r0 = 2 y que g'ix ()) > 0. 1) en la dirección definida por el vector norma! a la curva dada en forma paramétrica por r ( l ) = (eos/. Sea F(. z ) ~ . Estudie la naturaleza de éste punto crítico para: <y( 1) = 3. ¿Cuánto vale la mínima tasa de crecimiento de w en este caso? 233. r /(l) = 3 y r/(2) = 4. 234.tj) — f { x 2y 4. Sea. Estudie la naturaleza de el (los) pimto(s) crítico(s) de: 235.—) — 4 viene dada por 2x — 4y + G — 0 y además: 2.32. y. Suponga además que las segundas derivadas de g y h son no nulas en sus puntos críticos.01). si se sabe que en el punto ( 1. el cual es un máximo que vale g (x 0) = a. b < 0 ii) a < 0. y) — g{x)h(y). tal que y ( l ) — g(’2 ) Consideróla función / : R2 R: Demuestre que f ( x . el cual es un mínimo que vale h(y0) — h.se C 2.ii y.r. y que h tiene solamente un extremo local en y0. 1. siendo f : R J —> R tina iunc ión tic clase C 2 Obtenga un desarrollo de Taylor de segundo orden de F e u ( 1. h : R —> R funciones de clase C 2.1).Universidad de Cara bobo l-acultad de Ingeniería 231.99. Determine la naturaleza de los puntos críticos de: f ( x . Sea g : R —> R una función diferenciable.(1. torne < 0.1). . r y2 4= 6. Suponga que g tiene solam(. Suponga que g tiene solamente una raíz en el punto . Suponga además que las segundas derivadas de g y h son no nulas en sus puntos críticos.nte un extremo local en x v.2x. y ) . Suponga que g tiene solamente un extremo local en . y que las gráficas de estas funciones no cruzan al eje de las abeisas. Sean g. y ) = _/’(1 . Determinar las porciones de cabilla a cortar. Departamento de Matemátic a 41 Luis Yillamizar . y ) definida implícitamente.'o t/(¿)dí .g(0) > 0 243. :) — 2x 2 . Se dispone de una cabilla de 24 m de largo para cort arla y armar la estruct tira de un paralelepípedo que sirva para un tanque rectangular. z) = x :i 4.3y + c -!.3 ). mínimo.ule definida en forma implícita en F ( x . f ( x. 241.en: F{x. y ) una función lo suficientemente diferencia. z ) = z 2 4- J g(t)dt . y ) dada implícitamente en la expresión F{x.r* t 3xy + 2xz — yz 4 x 4 y + 2 = 0 Tiene puntos críticos en (5/2.H — 2c* — xy -+. = f ( x . 239.9 (0) > 0 242.Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería del punto crítico de la función: f( . y ) y su naturaleza. y . 237.r .y'1. Considere la función =• f ( x . —9) y ( —1. 11). y. suponga que ésta función no tiene raíces. y . —3) y (--3.y)= .: = f(x. Determine el(los) punto(s) crítieo(s). y. z ) = —. Si c = f ( x . Sea g : R —*•R una función diferenciable. .4 = 0 Determine la naturaleza de los puntos c ríticos de . Determina la naturaleza cié esos pun tos?. y) definida implícitamente en: F(. . Sea . ensilladura) de la función / : R'! -4 R: . Determine los puntos críticos de c = f ( r .xz 4 x -r 2y ■ — : = 0. Si c = f ( x . Sea y : R —? R una función diferenciable.3x .r) )2+ (h(y))J. sí: a) y y h son funciones ])ositivas b) g y h son negativas. :i . z ) = 3-r2 4 2y2 -T.2xz yz 4 x — y — ~ -t. y./ . para que el tanque tenga su mayor capacidad.y) — (. Determine la naturaleza de éstos puntos críticos./o y(t)dt . 238. Determine los extremos (si los hay) de la función / : R 2 —» R: f(x. y).</(. 240. clasificando su naturaleza (máximo.r. Suponga que la gráfica de y pasa por el origen..220 = U Tiene puntos críticos en (1.y¿ — z2 — 3xy 4. 251. y. 246. Determine la máxima utilidad. z. Supóngase que la producción de un cierto artículo depende de dos compras. 252. en cada día. Si la suma de éstos debe ser cero y la suma de sus cuadrados debe ser uno. definida por: g(t) = (cosí. Estima que si vende a x Bs. y . a fin de elevar al máximo su utilidad proveniente de tal venta. Determine el punto que está más próximo al origen de la. Utilice Departamento de Matemática 42 Luis Villamizar . 30 la unidad y la del tipo B a Bs. Determine el máximo valor del producto de tres números reales x. cuyos precios por unidad son res pectivamente 4$ y 1$. Determine los semiejes de la elipse que se obtiene al intersectar la superficie cilíndri‘ca x 2 + y 2 — 1 con el plano x + y + z — 0. z ) del elipsoide 2a:2 4. 40 la unidad. + z = 1 y el cilindro x 2 + y 2 — 1. '253. zq).Universidad de Carabobo Facultad do Ingeniería 244. el precio por unidad es 9$. Si la función de la producción esta condicionada por los valores 2 = f ( x . 245. Los montos de éstas están dados por 100a: y 100y. yo. y ) = 5 — \/x — l/y. 249. El dueño del negocio compra la marca del tipo A a Bs. punto que esta más lejos del origen.—1. Un negocio vende dos marcas A y B de tapas de tanques de gasolina. Use el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver el siguiente pro blema: Los cursos de dos ríos tienen aproximadamente la forma de la parábola y = \x 2 y de la recta x — y — 3.. la tapa del tipo B. ¿ ) = x + 2y + 3z sobre la curva de intersección del plano x — t. El plano x + y + z = 1 corta al cilindro x 2 + y 2 — 1 en una elipse.0) — (xq. vender 70 — bx + 4y tapas de la marca del tipo A y 80 + 6x — 7y tapas de la marca del tipo B. Determina la menor distancia del origen a la recta definida por la intersección de los planos y + 2 z = 12 y x + y = 6. sen(£/2)). Determine los valores extremos de la función f ( x . En g(t. curva definida por la intersección del plano x + 2y + z — 10 con el paraboloide z — x 2 + y 2 . la tapa del tipo A y a y Bs.1) en la dirección del vector tangente a la curva 7 . Calcule la derivada direccional de la función/(a. entonces podrá. 254. Cuánto debe cobrar por cada tapa de tanque de gasolina. sení. y. 247. Se desea construir un canal rectilíneo para unir estos dos ríos de tal manera que este tenga la menor longitud posible. y . 250. ¿Por cuales puntos habrá que trazar el canal? Haga un dibujo. 248. z) — x 2 — x y z en el punto X\ — (1 .4y 2 + 12z 2 = 120 donde su suma de coordenadas es máxima y donde es mínima. Determine los puntos (x . El monto de la producción está dado por lOOz. Determine los puntos sobre la elipse que se encuentran más cercanos y más alejados al origen. Determine los valores extremos de f ( x . '264. z) — 8. Sabiendo que el área de una elipse con semiejes a y b es nab. sobre la intersección de las superficies definidas por las funciones G ( x . 255.y 2 + x z + 60-. la temperatura (x. cuya superficie es de 1500 cm2 y cuya longitud total de sus aristas es de 200 cm. 257'.2 . y) ~ x 2 . z) — x ^ z 3 en la región B definida por: B = { ( x . y ) = 1 + xy acotada por la parábola y — x 2 y la recta y = 4. Determine el máximo volumen de una caja rectangular con tapa. z ) = xyz. y . Donde ubicaría usted esos puntos?.2 ) . y. Use Multiplicadores de Lagrange para calcular el área de la elipse definida por: 5a:2 . Después de una hora. 259. 0 < y < 2 }.*'Üíi'a fonda espacial con la forma del elipsoide Ax 2+ y 2+Az 2 — 16 entra a la atmósfera de 1a. Determine los extremos absolutos de la función f ( x .6x y + by 2 —32 = 0 261.i Facultad de Ingeniería Universidad de Carabobo multiplicadores de Lagrange y verifique la existencia de los valores extremos con el m étodo de parametrización. Determinar los exíremos de la función F ( x . y ) — 2x 3+ triangular de vértices (0 .16z 4. Determine los extremos absolutos de la función f ( x . usted ha sido con tratado para determinar donde el campo magnético es más fuerte y donde es más débil. la intensidad del campo magnético esta dada por M (x. usando la mínima cantidad de metal. (—2 .600. —x —y sobre 266. y ) \x? — 2x-~-y* — 3 < 0 } 262. z) — 6x .r2 + Ayz .3y2. y. Diseñe una lata cilindrica (con tapa) que contenga 1000 cm3 de agua. Encuentre el punto más caliente sobre la superficie de la sonda.y) j 0 < x < 3 . y ) = ar2 4. 258. x y 2 + 5x'¿ -f y 2 en 265. z) = x + y + z = 0. 256. Tierra. 260. z) \x z + y 2 + z 2 < 1 } 263. Para erigir un radiotelescopio en un planeta recién descubierto. . en la región R definida por: R — { ( x . z ) — x 2 + y 2 + z 2 — 1 = O y H ( x . Determine los extremos absolutos de f ( x . y) = x 2 + x y 4. y . z) sobre la superficie de la sonda es T ( x . Con base en un sistema de coordenadas cuyo origen está en el centro del planeta. Obtenga los valores extremos de f ( x .0). y . Determinar los valores extremos de la función f ( x . y .2 xy + 2y sobre el rectángulo D '= {(ir . y .y. El planeta es esférico con radio seis unidades. y < x } Departamento de Matemática 43 Luis Villamizar la región la regiónD .2) y ( .y 2 en la región B definida por B = { ( x ty) |x 2 + y 2 < 1 . r2 .r t 2y . (1. b) Calcule la integral: fjfí xdxdy * 274. (2. Suponga que la temperatura de una lámina de metal ésta dada por la función T ( x . x 4. Determine las temperaturas máxima y mínima de la lámina * 272.y2 — 6 sobre la región triangular D de vórtices ( . Determine la masa de la plac:a plana de densidad S(x. 2G8.r — í).Universidad de C'arabobo Facultad de Ingeniería 2G7.1) y ( —1 — 2 ).la región dada por \x' -t \y\ < 1 usando un cambio de variables apropiado. Determine el valor numérico de: l r. Evahie la integral fjü e*+vdA . 273. Determine los ext remos absolutos de / (x. Determine los valores extremos absolutos de f ( x .1U11 triangular cerrada D con vórtices en ( —1.r = 2. y) \./' .2 + 2. y — ir — r. Calcular: (x 4. 276.3) y (1 .r2 — y2.+ y~ para puntos (x. Considere la transformación del plano Iry en el plano u-r definida por x — u + v. y ) — x 2 — 2xy — 3 1/2 sobre la rej . 271.1). ttJ x n.—1J.y)¿er~vdxdy JJ R donde R es la región acotada por x + y = 1.4. Donde D es.j y — 2\ < 4 }.1 y x — y — 1. x — 2| -f. 2G9.7. Determine los extremos absolutos de f ( x .r. y ) — x 2 -. .2 .r. 275. y) = |y cjuc ocupa la región definida por D — {(.2. sobre la placa triangular en el primer cuadrante limitada por las rectas .y = 4 .3// .la región imagen Rj y . el eje r y la roc:ta v -t. y — x y y — —x.y2 sobre la región D limitada por las rectas y — 2.</) = x s — xy l. x — y — . y — 0 y y = 270. Departamento de Matemática 44 Luis Villamizar .y) de la lámina definida por x 2 ~ 4y 2 < 4. . Se pide: a) Dibuje.2. Determine los extremos absolutos de /(. y) .^ A siendo D la región definida por: D = [—tí.1 ) . y ) = 5 . t\. Sea R uv la región ac otada por el eje u. 280.0.2.r* y la recta .v i 2.2. y) = //. 2. Use un método apropiado para evaluar la integral: f^ elA .</ — . (2.0). n + 2r para evaluar la integral: (?/ . —1.—2 ] y (0.(y — 1 )*’ = 1 y : . Use la transformación x — u t.Universidad de Carabobo Facultad do Ingeniería 277. Sea D la región del plano limitada por las rectas . Usando un procedimiento apropiado evalúe la integral: dydI siendo D la región triangular del plano limitada por la recta x -+. si (’»(.r|.</ = 0./ = . Departamento de Matemática 45 Luis Villamizar .. 0 ).r 4 y — r>. Si S(x..r)(2y .»• — 2y. Use la transformación 7"( u.2)./ D donde D es la región trapezoidal con vértices ( 1. (O.x)dxdy /) 278./•. 0 ). evalúe la integral: l donde Tí es la región trapezoidal con vértices ( 1. x = 0 y y =-. C-z : *. (2. 283. Usando un cambio de variables apropiado./• = 5 y i/ — 2.r 4 2y ) c y 'rdxdy Usando un cambio apropiado.2. 279. Considere la integral: I Jo í J ij (. r) = 2</ .7' 4. determine su valor numérico 282. y — r para evaluar la integral: f-2 r(if-r4)/2 / / Jo Jy/2 ':/dxdy 281. (0.1) y (0.0). Determine ('i centro de masa de la región del primer y segundo cuadrante limitada por las curvas C\ : . y) = !// .r2 4 y2 = 4. 284.y — 1. 2y -.r.r./. Determine la masa de la placa plana encerrada por las parábola . y 2 — x y y 2 = 2x\ 293.y\ que ocupa la región D limitada por la parábola y — 2 — x 2 y la recta y = x. Sea D la región del plano x y limitada por el paralelogramo de vértices (0. Use la transformación u. 291. Departamento de Matemática 46 Luis Villamizar . 287. Determine el centro de masa de la placa plana de densidad S (x .Universidad de Caxabobo Facultad de Ingeniería 285. y = —2x + 7.2x|. y — —2x 4-7.y)dydx. evalué: 286. Siendo D la región del plano en el primer cuadrante limitada por las rectas dadas: y — —2x 4.1) y (1. (1. Si 5 ( x .y . si ¿ (x .1). 289.4.0). transforme y evalúe la integral: donde D es la región del plano limitada por las curvas y = x 2. y) — \x 4. C 2 : x 2 + (y — l ) 2 = 1 y C 3 : y — 0. v — 2 x + y para evaluar: 2x2 — x y — y 2 dxdy j Siendo D la región del plano en el primer cuadrante limitada por las rectas dadas: y = —2x + 4. Usando un cambio de variables apropiados. Dibujar las regiones correspondientes.y ) = ¡y . Usando la transformación u = 2x — 3y y v = —x 4. = x — y. 292. (2. x — 0. Transformar y evaluar: según el cambio: u = ~ li. 290. Determinar el centro de gravedad de la región del primer y segundo cuadrante limitada por las curvas: Ci : x 2 + y 2 = 4. y = x — 2 y y ~ x + 1.y ) = |x|.0). y = 2x2. 288. — x — y. v — 2 x + y para evaluarJJD 2 x 2 —x y —y 2dxdy. Use la transformación u. y = x — 2 y y = x + l. Determine la masa de la placa plana encerrada por las parábola y = x 2 y la recta y = x + 2. v — —Jí. y — x y y — x + 1. la integral f f D( 2 x . Determine usando la transformación x — u + v y y — v. Dado el paralelogramo D en el plano x y con fronteras x = —3. 302. y ~ 0. Se pide: a)Dibuje el sólido b) Plantee la masa del sólido en coordenadas cartesianas si 5 ( x . y .y) = i y — |x!| 298. y ) = \x-t-y\ sobre el rectángulo D definido por [—1. y = 5 . Usando la transformación x — y — u y x + y — v. usando un cambio de variables apropiado: í Í Jo Jo V * + y ■(y ~ 2x f d y d x 296. y — 2x +■ 1.Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería 294.T2 + y2 . el plaíro y + z = 2 y el cilindro x — 4 . 301. Considere la transformación T definida por: Sea R^y la parte del disco en el primer cuadrante definido por las curvas: u2+ v 2 < 1. Dada la región en el primer octante limitada por los planos coordenados. z ) = 2 c.) Calcule dicha masa usando un cambio de variables apropiado.r Siendo R la región dol plano limitada por y — 2:r + 3.x y y = 2 — x. Usando un cambio apropiado. z) = z y el área de la pared lateral del sólido. Calcule: Jj {x 2 + y)dyd. Evalúe. u > 0 y v > 0. Se pide: a) Dibujar el sólido b) El volumen encerrado por él. y ) ¡| x\ + \y — 1| < 1} si la densidad viene dada por S(x. Dibuje el sólido. Calcule la integral doble de la función f ( x . Dado el sólido limitado por la superficie z — 4x 2 + 4y 2. Determine la masa de la lámina B — { { x . Sea el sólido limitado inferiormente por el plano x y lateralmente por la superficie x 2 -f y 2 + z 2 = 4 y superiormente por z = y/3(.9. Siendo R la región del plano limitada por x + y — 1. el plano x y y comprendido entre los cilindros x 2+ y 2 — 1 y . Departamento de Matemática 47 Luis Villamizar .r2 + y 2). x = 0. Se pide: a) Dibuje la región imagen R Iy = T { R UV) b) Calcule: ff dxdy JJRtv 300.1] x [—1. y. usando dos integrales iteradas con diferente orden en la integral más interna. 297. 299. 295. determine su masa si 6(x.1]. Calcule: f f R e*+vdydx.y2. r2 4. x2 4.y2 . 308.Calcule la masa del sólido limitado por las superficies . x 4 y — 2. el cilindro x 2 4. 311.y2 -+ ~J= S -2 '■ -r //.y 2 + z2) ' 1. Determine su masa. y.l. 305. z = 0. Calcule el volumen del sólido del primer octantc limitado superiormente por el paraboloide c = . Departamento de Matemática 48 Luis Villamizar .r = 2 .2). 310. use un cambio apropiado para calcularla. plantee la masa en coordenadas cartesianas. los cilindros x 2 — y 2 — 4.z2. 2y 4. Use coordenadas apropiadas. Sea el sólido acotado por el cono r2 = r 2 4. Determínela usando el cambio de variables mas apropiado.y2. z) = z. Calcule el volumen del sólido limitado por las superficies explícitas definidas por: y = 12 — x2 — y — 2x2 -i.y. 304. plantee la masa en coordenadas cartesianas. Dibuje el sólido y su proyección en el plano de integración.r~ = z. z) = (.— c2 = 4 y encima de . comprendida entre los planos y = 1 y y — 4. Determine el volumen del sólido limitado por las superficies parabóloieas x = ¡/~4-c* y-. Calcular la masa del sólido en el primor ociante acotado por los planos y = 0. Plantee la masa en coordenadas c artesianas sí 6{x. Determine’ el volumen del sólido limitado por la superficie y1 — r2^-z2.z~ -. Dado el sólido limitado por la superficie .y2 y dentro de la esfera cíe radio 2 y centro (0. Se pide: a) Dibuje el sólido b) Plantee la masa del sólido en coordenadas cartesianas sí S(x.rJ 4 3//-. x —4 y x 12.Universidad de Cara bobo Facultad do Ingeniería 303. Dibuje el sólido y su proyección en el plano de integración correspondiente. y . c) — c. y .¡y y lateralmente’ por y — x 2 y V= ■ 306. si la densidad es d(x. x~ = 3 (c2 + y2).0.r2 •+. Calcule la masa del sólido que esta encima del cono . el plano y 4.r2 4. cilindric as y esféricas. Dibuje el sólido. z) = \/. z ) — z c) Calcule dicha masa usando un cambio de variables apropiado.4 y 2.y2 = 16 y el plano xy. = y/. si ó{x. Si 6(x.y. Se pide: a) Dibujar el sólido b) El volumen encorrade» ]>oi c. Dada la región en el primer octante limitada por los planos coordenados. inferíormente por el plano .x = 6 y el cilindro y 2 4.% : Vo — \/x* 4 ¡r/2 = 0.señalando claramente los sentidos de integración.y2. = 4x2 4 4y2.y2 = 2x y el plano xy. d ( x . y.4. 312. 309. usando dos integrales iteradas con diferente orden en la integral más interna. — 2 y el cilindro x — 4 — y 2.. señalando claramente los sentidos de integración.2s2 y y — x 2 4 z2. z ) = x. 313. Sea la región en el espacio limitada entre las superficies 5] : x 2 4. 307. Calcule el volumen del sólido limitado por y = 1 -r x 2 — z2 y y — 3 — . 322. y. que limita con las paredes del paraboloide. Determine: a) La masa del sólido si 5{x. 321. z) = x 2 -t y 2 + z2. z) = 2. El techo de un pabellón de feria puede ser representado por la superficie parabólica: c = 10 — x 2 — y2.. So f)ide: a) Dibujar el sólido b) El volumen encerrado por él. = 8. y<z) — z b) El área de la superficie que recubre el sólido. el cilindro y el plano xy. Departamento de Matemática 49 Luis Villamizar .//— : = 2.y. y — 0 y ~ = 0.r2 . Dado el sólido limitado por los conos z2 = x 2+ y2 y z2 — 3x2 + 3y2 y el plano z — 2. Dada la región limitada por el cilindro parabólico .x.x 2 — y2 y los planos c = 3 \r . se pide plantear la masa del sólido en coordenadas cartesianas. 318. a) Dibujo el sólido b) Planteo la masa en coordenadas cartesianas o) Realice los cálculos. usando dcjs integrales iteradas c on diferente orden en la integral más interna. determino su volumen y el área de la superficie de la parto do éste que esta por enc ima del plano c = U.v''l . y el paraboloide b) El volumen del recinto limitado entre el piso (plano xy) el nivel de 6 m. Calcular: a) El volumen limitado por el nivel de 6 m. Use coordenadas apropiadas. Si la densidad viene dada por S(x.\/x2 . 319. 315.l ) 2 = 1 y X 2 \-{y~ 2)'2 = 4. z) = x que ésta limitado por las superficies . Se pide: a) La masa con d ( x . Dibujo el sólido. Si S(x. Determine la masa del sólido limitada superiormente por x 2 -+. z — 0. y1 -f z2 = 2 . usando un cambio de variables apropiado. plantee el volumen en coordenadas cartesianas. z ) — |r| b) El área do la su]>erfieio total í]u<' recubre e] sólido. Darlo el cono definido por c = y/x~ + y 2 y el cilindro x 2 + y2 — 2y.y : — . y. x 2 + (y . Dado el sólido limitado por el paraboloide z = 12 . 316.y. y . so pido: a) Determine el área de lasuperficie del cono que esta dentro del cilindro b) El volumen del sólido limitado por al cono. = 1 . x 2 +. y.z'2.y 2 = 4x. Dibuje el sólido. 317. Calcule dicha masa usando coordenadas esféricas. z) = (x 2 + y2 s2)' 1. Sea el sólido limitado por. Determine la masa del sólido de densidad ó(x.y2. si la densidad viene dada por S(x. z = 3 — y y z = 0. Determine la masa del sólido limitado por x ¿ + y 2 = 2x.Fac ultad d(' Ingeniería Universidad do Carabobo 314. 324.y2 — z2 = 9 e inferiormente por el plano c = 1. 323. 320. = 1 —x 2 y los planos .r = y 2 z2. En su interior se encuentra una superfic ie plana horizontal a una altura de 6 rn. y las paredes del paraboloide. Dado el sólido limitado por las superficies: c = 6 — y. y el plano yz. la cual representa la masa de un sólido: /: / J * 2 + y 2 + z 2')*1 dzdydx ■s/l— J yj¡r2+J/2 Dibuje el sólido. 331.$ Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería 325. f[ f B dydxdz y f[ f B dxdzdy c) Calcule dos de éstas integrales. una de las otras cinco integrales iteradas b) Calcule dichas integrales. usando dos integrales iteradas con diferente orden en 1a. Sea B el sólido en el interior del cilindro x? + y 2 — 1 entre z — 8 — 2x — y y z — y/x 2 + y 2. a) Dibuje el sólido b) Determine el área do. 329. 328. z) — 2. Dada la integral. integral más interna.: a) Dibuje el sólido b) Planteé las integrales: Jffg dzdydx. y — 0 y z = 0. Dada la región limitada por el cilindro parabólico z = 1 —x 2 y los planos y + z — 2. comparando los resultados obtenidos. Se pide. superficie de la parte del cilindro que recubre al sólido c) La masa del sólido si S(x. Sea #-el-sólido limitado por las superficies de ecuaciones y 2 + z «=~l-y-a£-Hs = 1 situado en el primer oetantc. 326. Dada la integral: / I r1 fl-y / / 1 Jx~ Jí) dzdydx Se pide: a) Dibuje la región de integración B b) Determine f f j B dydA y ff fB dxdA Departamento de Matemática 50 Luis Villamizar . Se pide: a) Dibujar el sólido b) El volumen encerrado por él. — -327. Dada la integral: i Jo f í Jo Jo dxdzdy Se pide: a) Dibuje la región de integración B b) Determine f f f B dzdA y f f f g dydA 330. Dada la siguiente integral iterada: 1—j:2 r\~X I zdydzdx Jo se pide: a) Dibuje la región de integración b) Escriba cambiando el orden de inte gración de al menos la primera integral. transforme la integral a coordenadas esféricas y luego calcule la masa.y. Calcule el Jo del alambre modelado por C = {( x. Dibuje claramente el sólido y determine: a) Volumen b) Area total de la superficie que recubre el sólido. z) — z. plantee su volumen en coordenadas cilindricas y calcule el valor numérico usando coordenadas esféricas. 336. Determine el área. 337. Un anillo con la forma de la. curva x 2 -f y 2 = a 2 está formado por un alambre delgado cuya densidad viene dada por 6( x . superficie que recubre el sólido.1). Sea el sólido limitado por el plano y ~ z — 2. y ) — \x\ + |y|. en los otros cinco órdenes. 338.z~ — 12. 335.Dibuje el sólido. parte de la esfera x 2 4. de la superficie de la.r}.r Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería 332. Hallar la masa del anillo. entre los conos 2 = y j x 2 + y 2 y \/3 z — \Jx2 -i.0). con densidad fi(x. Calcule la masa de la región limitada interiormente por el cilindro x 2 + y 2 = 9 entre el paraboloide x 2 + y 2 — 4^ — 16 y el plano z — 1 con 5(x. Dada la integral: i-v xdzdydx Se pide: a) Dibuje la región de integración b) Exprese esta integral como una integral iterada que sea equivalente. Determine el área de superficie de la píu'te de superficie z = x 2 + 2y que está encima de la región triangular en el plano x y con vértices (0 . 341. el cilindro x 2 + y 2 — 1 y el plano xy. se pide: a) Dibuje el sólido b) Plantee el volumen del sólido en coordenadas cartesianas c) Determine el valor numérico del volumen d) Calcule el área de la superficie esférica que ésta dentro del paraboloide. y 2 < 8. (1. Obtenga además el área de toda la. y) \x 2 + y 2 — 9 . y) = ¡x — 2¡. Departamento de Matemática 51 Luis Villamizar . Sea B el sólido limitado por la parte de la superficie esférica x2 + y 2 + z 2 — 4z que esta dentro del paraboloide z — x 2 + y 2. 340.y 2 + z 2 = 4 que está dentro del cilindro x 2 + y 2 — 2x y encima del plano xy. y. 334. Sea el sólido interior a la superficie x 2 + y 2 -I. 339. 333.y 2. Dada la integral que representa la masa de un sólido B: n 'l —W r'¿~2z / zdydzdx i JO Dibuje el sólido y calcule las integrales: J[ffí zdxdydz y f ffB zdzdydx.0) y (1. 2y = x y y = 3. y) = [2.1) a (1. si C' es la curva orientada positivamente frontera de ésta. y/Sx < y.y2 — 4. ■348.r — sen(//° — Sy)dy Siendo C. . Calcule el trabajo realizado por dicha fuerza al mover una partícula sobre la curva?/ = x 2 + 1 entre los puntos (0.r > 0. 1) y (2. y) \x 2 4. (x — l )2 4 y2 = 1. x — 0 347.rl > ://|. Obtenga <fr 2. Evalúe lc {< xscvy —y)dr — (<"' eos y — x 2)dy. Luis Villamizar . x y = 3.r. Calcule fc (x + y)dx 4 (x 4.r2 -f y2 < 4. 350. siendo C la curva definida paramétrieamente por: </(/) = ¡ / ’ sen ( ~ ) .y¿)dx 4 l>3 + yA)dy siendo 7 la frontera./• < y.ey)d-y.dr 4- 3xdy. 343.y2 < 4. 349. xy¡.ormino la integral do línea: <j>{7y — f* " ' )dx + (15.r y. donde C es la frontera de la región D en el semiplano superior limitada por las curvas 1 < x 2 + y2 < 9 : —v ^ // < . siendo C' 1a. — eos + ^ )]. Evalúe: xydx 4 x 2dy C es la frontera de la región definida por: x 2 + y2 > 4. x 2 a) directamente b) aplicando Green Departamento de Matemática 52 y2 < 9. j. 346.Universidad de Carabobo Facultad do Ingeniería 342. Evalúe: (j) (a"3 . Calcule: . y > 0 }. 5).2y)dx -r (xáy2 — 2x)dy ■ Siendo C la frontera de la región D limitada por las curvas xy — 1. Del .r.r en e! primer cuadrante. curva x° + y0 — 1 desde (0.0). Verifique el teorema de Creen siendo el campo vect orial F(x. 0 < í < 1 344. Una fuerza cuya norma es x 4. 345. de la región del plano xy que esta en el primer cuadrante limitada por las curvas: x 2 4.i. la frontera do la región limitada por: .y forma un ángulo constante de 30c con el eje x en el plano xy. Sea la región D = {(. y > x y y > 0 . rydy Siendo C la frontera de la región D del primer cuadrantelimitada por las curvas x 2 + y2 — 4.y 2 < 4 y . a) directamente b) a])licando Green 356.alúe: 2xydx 4.y 2 < 4 .r2 —sen y~)dydonde C es lafronl era de la región limitada por x 2 + y2 > 1. Sea F ( x . 354. 355. .t y 2 = 9 y la recta y = —x. x 2 -r (y .3xdy donde C os la frontera de la regi<>n ('n el plano xy definida por 1 < x 2 -f. Evalúe la int egral de línea $>c {c r -r 0xy)rlx J (8.= 4. y ) ~ [xy. y) |x 2 4. y ) — [2x — y .x ¿ ~ y 2 < 9.2x + y: y C es la curva orientada positivamente frontera de la región D . x 2) v C la frontera de la región D definida por x -f y > 4 y x 2 + y2 < 16. y3. 358.r < y . E^.i -r Sxydy donde C.Facultad de Ingeniería Universidad de Carabobo 351. y ) = (y. Directamente y usando Green.r > 0 }.r2 — y 1 — 1 y x 2 + y. Departamento de Matemática 53 Luis Villamizar . .x < y £ %/3x.{ (. Verifique el teorema de Green si F ( x .1)2 = 1 y y — 0. </ > ( ) } . y/Sy > x . es la frontera de la región semianular D de la parte superior del plano que está entre los círculos . Verifique el teorema de Green. Evalúe: y 2dx + 3xdy Donde C es la frontera de la región en la parte superior del plano que esta entre los círculos x 2 + y2 = 1. Directamente y por Green. x 2 . Evalúe: ifd.r. 353. 357. Evalúe la integral de línea: y2dx + 'ó.r2 + y 2 < 4 . Verifique el teorema de Creen si F ( x . y > x. 352. x y ] y C es la curva orientada positivamente frontera de la región D = { (x. y) |. Encuentre el flujo del campo F ( x . 36-5. Encuentre el centro de masa de un cascarón delgado de densidad constante cono . y > 0}. Encuentre el flujo de F (x . 371. y. S es la parte del cilindro x2 + y 2 — 9 que está entre los planos z = 0 y z = 2. afuera a través de la superficie cortada del fondo del par aboloide z = x 2 + y 2 por el plano z = 1.y)\y < \/25 — x 2. y > |x¡}. 361. 0 < x < 1 y 0 < z < 4. 363. 3 x y 2 + 2x) y y la curva frontera de la región limitada por las curvas x2 + y 2 — 4. Evalúe <ff>s ( x 2y + zs)dS.l ) 2 = 1 y y = 0. x. Verifique el teorema de Green si F (x . Calcule F di con F(x<y) = (—3x 2y .viene dada por: rrab. z) = y z i + z 2k hacia el exterior a través de la superficie S cortada del cilindro y 2 4. C es la frontera de la región del primer cuadrante delimitada por las curvas x 2 + y 2 = 4. Sea el campo vectorial: F ( x . y ) --. x = 1 y ~ = 0. y = l y : = l. Dibuje esta región y el recorrido de C. 6 del 366. 2y = x y y = 3x en el primer cuadrante. 362.z 2 = 1. 369. y) — (x. y . 360. 367. z) — 4xi + 4y j + 2Á hacia. z) . y. Sea la integral <^3xydy + y 2dx. por los planos x = 0 y x = 1. Evalúe: (j) (x 3 — 2y)dx + (x 3y 2 — 2x)dy donde C es la frontera de la región D limitada por las curvas x y — 1. Verifique el teorema de Green.x].[—5xy. y) |x2 + y 2 < 4 . Encuentre el flujo del campo f { x . y C la curva orientada positivamente frontera de la región D = {(x. x + y) siendo C frontera de la región D — {(x. z) = x y x sobre la superficie del cubo cortado del primer octante por los planos x = l. y.r2 + y 2 cortado por los planos : = 1 y = 2.[y z . Integre y{x. z) = z2i + x j —3zk hacia arriba a través de la superficie cortada del cilindro parabóloico z = 4 — y 2 por los planos x = 0.Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería 359. Utilice una integral de línea para demostrar que el área encerrada por la elipse' ftr + fr ~ 1. x 2 + (y . — \/.2)2 + y~ = 4 y y = 0. xy = 2. 370. Evaluar directamente y a través del Teorema de Green. (x . Departamento de Matemática 54 Luis Villamizar . y. 368. 364. y > \/9 ~ x 2. Encuentre el flujo de F (x . —z 2} hacia el exterior a través del cilindro parabóloico y — x 2. región D acotada por el cilindro parabólico z — 1 — x 2 y los planos z — 0. z) = 3a. z 2) un campo vectorial y C la curva de intersección del plano y + z — 2 y el cilindro x 2 -+. y. y .z. Cual es el valor numérico de ese flujo de calor?. c:. Donde S os la superficie cuyos lados Si están dados por el cilindro x 2 -f y~ 4. Sea el campo vectorial F ( x . Compruebe que: (j>F ■di = JJ ro tF ■dS 379. y. x . Se quiere construir una pista de patinaje circular de 8 metros de diámetro en la ladera de una montaña que tiene la forma de un paraboloide. so requiere: a) El área de la pared vertical curvada de la estructura b) El volumen de la estructura c) Durante un típico día de verano los alrededores de la pista están sujetos a un campo de temperatura dado por T(x. Evalúo: <ff>s zdS. Sea F = [—3y2/2 . Sea F ( x .S2. z ) = [y2/2.0 ).1. 0) y (0. y cuya tapa S-i es la parte del plano c = a* + 1 que esta sobre .0 .z2 = 1. F ■di. 378. y . F ■di' = fjs rotF ■dS.1 que tiene como fondo So el disco x 2 + y ~ < 1 en el plano c = 0.y2 = 1. d S = j f f D divFdV. y . 375. z) = yi + x j + zk y S es la frontera de la región sólida encerrada por el paraboloide c = 1 . Donde F(x. a una altura de 64 metros. (0. r + : = 1 y el elipsoide x 2 + 2y2 4.Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniería 372. z ) = [y. x. Muestre que <fr F ■di — [fs ro tF ■dS 376. Una den sidad de flujo de calor V = —V T a través de todos los lados de la estructura (incluyendo pista y el-contacto con la montaña) produce un flujo de calor.0. Sea F ( x . Departamento de Matemática 55 Luis Villamizar . A fin de determinar si la estructura es costea. x 2. 374. yz) y 5 el triángulo de vértices (1 . Compruebe que <ff>s F ■dS = f f f D divFdV. y .. —2a:y.2 + (y — 4 )2 + 16z2. y = 0 v y + z = 2. Evalúe : c$>? F ■dS.x] y C la curva de intersección del plano . z ) — ( —y 2.y2 y el plano c = 0. z + 1] y S la frontera de la región sólida D encerrada por las superficies z — 9 — a:2 — y2 v el plano = 5. d) Si S es la parte del paraboloide dentro del cilindro y F ( x . Sea F ( x . 377.ble. Determine c^. 2) = 3xi + x y j + 2x z k y S la superficie de 1a. y . 373.1) que esta contenido en el plano x -f y + z — 1. muestre que (f(-. muestre que: @ s F . z) = [y.x2 . y . z ) = [ y . z 2).bobo 380._. x . y .x. Si F ( x .y 2. Sea el campo vectorial F ( x . 383.i S = S B d iv F d V 384. 382. siendo C •la curva definUa por la intersección de S\ y S¿. z) — jx 4. y .d l . 2). Sea el sólido E limitado por las superficies S¡ ■x 2 4. demuestre que: <fc F ■di — Jf. determine el flujo a través de toca la superficie que recubre el sólido y el valor de <fc F . Sea F (x . Sea el campo vectorial F ( x . y su parte superior se encuentra en el plano z — 2 — y. y .Ingeniería Universidad de Cara. determine: a) La masa del sólido si 5(x. z) = (—x. Muestre que: & s F . F el campo vectorial F ( x . y. las rectas y = x y r = 1. r ot F ■dS. —y.y 2 -r z 2 — 9. Sea el campo vectorial F ( x . z .y) y C la curva frontera del triángulo en que el plano x -t-2y + z — 3 corta al primer ociante. z) = ( . x. donde 5 es la superficie que recubre al prisma. siendo O la cirva definida por la intersección de y S3. xy.I Facuitad de.d S = j ] D divFdV. 386. Sea D el prisma cuya base es el triángulo en el plano x y limitado por el eje x. z) — xzt -t x j + z 2k. z) = { —y2. 385.2z . Sea el sólido linitado por las superficies S\\ z — 16 — z 2 — y 2 y S2■z = 16. z + lj y S la frontera de la región D encerrada por el paraboloide z = 1 — x 2 — y 2 y el plano z — 0. S2: x2 + y 2 + z 2 — 4 y S3 : z — \fx +■ y2.e superior del prisma y F ■dS = J[fD divFdV. y. interior a la superficie y¿: x 2 + (y — 2)2 = 4. z 2) y S la frontera del sólido B limitado por la parte del paraboloide z = x 2 + y 2 que ésta entre los planos r = 4 y z — 9. x. Sea el campo F — (x. Compruebe que § s F . Departamento de Matemática 56 Luis Villamizar . Muestre que <£r F-dl — Jfs rotF-dS. y . Compruebe que f e F ' di ~ Jfs rotF ■dS 381. y . z 2) y C la curva definida por la intersec ción del plano y f s = 2 y el cilindro x ~ + y ¿ = 1. siendo C la frontera de la pirí. z) — z b) §c F ■di.
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